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在 '当代数学' 上创建一个引人入胜且易于访问的电子学习模块，专为没有该主题知识的中学生量身定制。
We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法'. We have already covered the following unit in this section: '多数对多数投票'. Write a new unit titled '决选投票'. Here's some text for inspiration: 你的家人曾经争论过晚餐吃什么吗？假设你的家人正在决定一家餐馆，正好一半人想吃比萨饼，但另一半人想吃汉堡。你如何决定结果何时是平局？你需要一个决胜局！.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 决选投票 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法'. We have already covered the following unit in this section: '多数对多数投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票'. Write a new unit titled '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤'. Here's some text for inspiration: 为了通过多数或当多数选举进行决选时确定获胜者，我们采取以下三个步骤：.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法'. We have already covered the following unit in this section: '多数对多数投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤'. Write a new unit titled '排名选择投票'. Here's some text for inspiration: 在[链接]和轮到你11.4中，你会得到一个列表，对每个选民的偏好进行排序。这种顺序称为偏好排名。要求选民对其偏好进行排序的投票是排名投票，任何选民使用排名投票的投票系统都称为排名投票。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 排名选择投票 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法'. We have already covered the following unit in this section: '多数对多数投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票'. Write a new unit titled '通过排名选择投票确定获胜者的步骤'. Here's some text for inspiration: 为了确定排名选择投票时的获胜者，我们采取以下三个步骤：.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 通过排名选择投票确定获胜者的步骤 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法'. We have already covered the following unit in this section: '多数对多数投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票', '通过排名选择投票确定获胜者的步骤'. Write a new unit titled '博尔达计票'. Here's some text for inspiration: 排序投票是一种基于排序选票模拟多次决选的排序投票。另一种排序投票是**Borda计数法**，它使用排序选票，根据每张选票上排名较低的候选人人数奖励候选人积分。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 博尔达计票 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法'. We have already covered the following unit in this section: '多数对多数投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票', '通过排名选择投票确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '博尔达计票', '通过排名选择投票确定获胜者的步骤'. Write a new unit titled '成对比较和孔多塞投票'. Here's some text for inspiration: 到目前为止，我们已经讨论了两种排序投票方法：排序选择和博尔达计数。第三种排序投票方法是**成对比较法**，在这种方法中，候选人在一对一选举中击败的每个候选人都会获得一分，他们会为每个候选人获得半分。如果一个候选人比其他候选人获得更多的分数，那么该候选人就赢了。这种方法是几种**孔多塞投票方法**中的一种，这种方法是候选人被排序，然后成对比较，候选人必须击败所有其他人才能获胜。这些方法对候选人的评分方式各不相同，并不总是有明确的获胜者。赢得每种可能配对的候选人被称为**孔多塞候选人**。这些术语是以法国哲学家和数学家孔多塞侯爵的名字命名的，他更喜欢成对比较法而不是野兔法，并公开发表了支持它的论点。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 成对比较和孔多塞投票 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法'. We have already covered the following unit in this section: '多数对多数投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票', '通过排名选择投票确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '博尔达计票', '通过排名选择投票确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '博尔达计票', '博尔达计票'. Write a new unit titled '使用矩阵的成对比较方法确定获胜者的步骤'. Here's some text for inspiration: 为了在使用成对比较方法时确定获胜者，我们采取以下三个步骤：.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 使用矩阵的成对比较方法确定获胜者的步骤 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法'. We have already covered the following unit in this section: '多数对多数投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票', '通过排名选择投票确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '博尔达计票', '通过排名选择投票确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '博尔达计票', '博尔达计票'. We have already covered the following units in this section: '排名选择投票', '决选投票'. Write a new unit titled '三个关键问题'. Here's some text for inspiration: 在您决定是否要对Imaginarian选举使用成对比较方法之前，让我们考虑三个可能影响您的决定的问题。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 三个关键问题 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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这种投票制度与多数投票和孔多塞投票方法有共同之处，但它有区别于两者的特点。批准投票选票列出了候选人，并提供了批准或不批准每个候选人的选项。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 批准投票 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法'. We have already covered the following unit in this section: '多数对多数投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '决选投票', '通过决选的多数或多数选举确定获胜者的步骤', '排名选择投票', '通过排名选择投票确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '多数对多数投票', '博尔达计票', '通过排名选择投票确定获胜者的步骤'. We have already covered the following units in this section: '博尔达计票', '博尔达计票'. We have already covered the following units in this section: '排名选择投票', '决选投票'. We have already covered the following units in this section: '决选投票', '三个关键问题', '博尔达计票', '排名选择投票', '排名选择投票'. We have already covered the following units in this section: '成对比较和孔多塞投票', '三个关键问题', '多数对多数投票'. Write a new unit titled '比较和对比投票方法以识别缺陷'. Here's some text for inspiration: 哇！我们已经讨论了很多投票方法的选择。现在，你需要决定哪一个最适合想象。想象主义者可能认为某些投票系统的特征是可取的，而另一些是不可取的。在某些情况下，选民可能认为这些不受欢迎的特征是投票系统中的缺陷，这些缺陷足以激励他们拒绝该系统。如果你对这个决定感到有点不知所措，也许阅读其他面临类似问题的人的经历会有所帮助。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 比较和对比投票方法以识别缺陷 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法的公平性'. Write a new unit titled '多数标准'. Here's some text for inspiration: 投票中最基本的概念之一是大多数选民应该支持候选人获胜的想法，没有多数人的支持，候选人不应该获胜。这个概念被称为多数标准。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 多数标准 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法的公平性'. We have already covered the following unit in this section: '多数标准'. Write a new unit titled '头对头标准'. Here's some text for inspiration: 在为Imaginaria选择投票方法时，您必须考虑的另一个公平标准是孔多塞标准，也称为头对头标准。只要孔多塞候选人存在，只要孔多塞候选人赢得选举，选举方法就满足孔多塞标准。孔多塞方法是任何满足孔多塞标准的投票方法。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 头对头标准 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
在 '当代数学' 上创建一个引人入胜且易于访问的电子学习模块，专为没有该主题知识的中学生量身定制。
We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法的公平性'. We have already covered the following unit in this section: '多数标准'. We have already covered the following units in this section: '多数标准', '头对头标准'. Write a new unit titled '单调性判据'. Here's some text for inspiration: Imaginaria的市民可能会惊讶地发现，选民有可能通过将候选人在选票上的排名提高来导致该候选人失败。这公平吗？大多数选民会说，“绝对不行！！”这是一个违反被称为**单调性标准**的公平标准的例子，该标准在没有候选人因排名上升而受到伤害或因排名下降而得到帮助的情况下得到满足，前提是所有其他选票保持不变。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 单调性判据 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
在 '当代数学' 上创建一个引人入胜且易于访问的电子学习模块，专为没有该主题知识的中学生量身定制。
We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '投票方法的公平性'. We have already covered the following unit in this section: '多数标准'. We have already covered the following units in this section: '多数标准', '头对头标准'. We have already covered the following units in this section: '多数标准', '头对头标准', '单调性判据'. Write a new unit titled '无关替代标准'. Here's some text for inspiration: 我们已经讨论了很多关于投票公平的问题，但是还有一个公平标准，你和其他想象主义者应该知道。想想这个著名的轶事，它有时被认为是美国哲学家西德尼·摩根贝瑟的：.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 无关替代标准 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
在 '当代数学' 上创建一个引人入胜且易于访问的电子学习模块，专为没有该主题知识的中学生量身定制。
We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '标准除数、标准配额和分摊问题'. Write a new unit titled '分配问题'. Here's some text for inspiration: 在意象主义的新民主制国家中，有四个州：虚构镇、普莱登斯特德、伊卢森汉姆和米斯伯里。每个州都将在意象主义立法机构中拥有代表。你现在可能会就你的公民将使用哪种投票方式来选举代表达成一致。然而，在这个过程开始之前，你必须决定每个州将获得多少代表。这个决定将带来自己的挑战。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 分配问题 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
在 '当代数学' 上创建一个引人入胜且易于访问的电子学习模块，专为没有该主题知识的中学生量身定制。
We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '标准除数、标准配额和分摊问题'. We have already covered the following unit in this section: '分配问题'. Write a new unit titled '标准除数'. Here's some text for inspiration: 美国国会有两院：参议院和众议院。每个州有两名参议员，但众议员的人数取决于该州的人口。美国众议院的代表席位数目前法律规定为435个。为了将席位公平地分配给每个州，必须计算美国人口与代表席位数的比率。总人口与房屋面积的比率称为标准除数，它是一个席位所代表的总人口中的成员人数。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 标准除数 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
在 '当代数学' 上创建一个引人入胜且易于访问的电子学习模块，专为没有该主题知识的中学生量身定制。
We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '标准除数、标准配额和分摊问题'. We have already covered the following unit in this section: '分配问题'. We have already covered the following units in this section: '分配问题', '标准除数'. Write a new unit titled '标准配额'. Here's some text for inspiration: 一旦计算出想象力立法机构的标准除数，下一个任务就是确定每个州应该获得的席位数量，这被称为州的标准配额。除非所有州的人口相同，否则每个州将获得不同数量的席位，因为数量将与州人口成比例。为了确定这些数量，我们将使用我们之前学到的一个想法。回想一下，当项目$A$的单位数量与项目$B$的单位数量成比例时，我们有：$\text{{\规则{0.28em}{0ex}}A=\frac{\text{单位}{0.28em}{0ex}}B}{\text{比例{0.28em}{0 ex}}B\text{'s to}{\规则{0.28em}{0ex}}A\text{'s}}$.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 标准配额 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
在 '当代数学' 上创建一个引人入胜且易于访问的电子学习模块，专为没有该主题知识的中学生量身定制。
We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法'. Write a new unit titled '仔细看看分摊问题'. Here's some text for inspiration: 在标准除数、标准配额和分配问题中，我们计算了标准除数和各种分配场景中的标准配额。这些计算的结果通常会导致单位的分数和小数。然而，众议院的席位、教室里的笔记本电脑或各种其他资源是不可分割的，这意味着它们不能被分成小数部分。这留下了一个需要做出的决定。例如，如果分配给教室的笔记本电脑数量的标准配额是12.44个单位，我们如何处理0.44的小数部分？目前尚不清楚教室是否应该获得12个单位、13个单位或其他一些值。让我们尝试传统的四舍五入到最接近的整数值。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 仔细看看分摊问题 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法'. We have already covered the following unit in this section: '仔细看看分摊问题'. Write a new unit titled '哈密尔顿分摊法'. Here's some text for inspiration: 用传统的四舍五入方法将标准配额转化为整数时遇到的一个问题是，值的总和可能大于可用席位的数量。避免这种情况的一个合理方法是总是四舍五入，即使小数点后第一位是5位或更大。例如，12.33的标准配额和12.99的标准配额都会四舍五入到12。这就是所谓的较低配额。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 哈密尔顿分摊法 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法'. We have already covered the following unit in this section: '仔细看看分摊问题'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法'. Write a new unit titled '汉密尔顿分摊法的步骤'. Here's some text for inspiration: 应用汉密尔顿分摊法时，我们遵循五个步骤：.
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- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 汉密尔顿分摊法的步骤 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法'. We have already covered the following unit in this section: '仔细看看分摊问题'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤'. Write a new unit titled '配额规则'. Here's some text for inspiration: 被认为是有利的分配的一个特征是，最终配额值都是从标准配额中四舍五入或四舍五入产生的。四舍五入产生的值称为较低配额，四舍五入产生的值称为上限配额。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 配额规则 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 杰斐逊的分摊方法 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法'. We have already covered the following unit in this section: '仔细看看分摊问题'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤', '配额规则'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤', '配额规则', '杰斐逊的分摊方法'. Write a new unit titled '杰斐逊分摊方法的步骤'. Here's some text for inspiration: 我们采取四个步骤来应用杰斐逊的分摊方法：.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 杰斐逊分摊方法的步骤 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法'. We have already covered the following unit in this section: '仔细看看分摊问题'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤', '配额规则'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤', '配额规则', '杰斐逊的分摊方法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '杰斐逊分摊方法的步骤', '汉密尔顿分摊法的步骤', '汉密尔顿分摊法的步骤'. Write a new unit titled '亚当斯分摊法'. Here's some text for inspiration: 亚当斯的分摊方法是另一种基于修正除数的分摊方法。然而，亚当斯没有像杰斐逊那样将变化基于较低配额的总和，而是使用了较高配额。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 亚当斯分摊法 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法'. We have already covered the following unit in this section: '仔细看看分摊问题'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤', '配额规则'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤', '配额规则', '杰斐逊的分摊方法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '杰斐逊分摊方法的步骤', '汉密尔顿分摊法的步骤', '汉密尔顿分摊法的步骤'. We have already covered the following units in this section: '配额规则', '汉密尔顿分摊法的步骤', '哈密尔顿分摊法'. Write a new unit titled '韦氏分摊法'. Here's some text for inspiration: 韦伯斯特的分摊方法是另一种基于修正除数的分摊方法。然而，韦伯斯特没有像杰斐逊那样根据较低配额的总和或亚当斯那样根据较高配额的总和来进行变化，而是使用了传统的四舍五入。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 韦氏分摊法 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法'. We have already covered the following unit in this section: '仔细看看分摊问题'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤', '配额规则'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤', '配额规则', '杰斐逊的分摊方法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '杰斐逊分摊方法的步骤', '汉密尔顿分摊法的步骤', '汉密尔顿分摊法的步骤'. We have already covered the following units in this section: '配额规则', '汉密尔顿分摊法的步骤', '哈密尔顿分摊法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '汉密尔顿分摊法的步骤'. Write a new unit titled '比较分摊方法'. Here's some text for inspiration: 回想一下，本章讨论的四种分摊方法在两个主要方面有所不同：.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
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- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 比较分摊方法 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法'. We have already covered the following unit in this section: '仔细看看分摊问题'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤', '配额规则'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '哈密尔顿分摊法', '汉密尔顿分摊法的步骤', '配额规则', '杰斐逊的分摊方法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '杰斐逊分摊方法的步骤', '汉密尔顿分摊法的步骤', '汉密尔顿分摊法的步骤'. We have already covered the following units in this section: '配额规则', '汉密尔顿分摊法的步骤', '哈密尔顿分摊法'. We have already covered the following units in this section: '仔细看看分摊问题', '汉密尔顿分摊法的步骤'. We have already covered the following units in this section: '亚当斯分摊法', '亚当斯分摊法', '哈密尔顿分摊法', '哈密尔顿分摊法', '韦氏分摊法'. Write a new unit titled '分摊方法的缺陷'. Here's some text for inspiration: 正如我们所看到的，不同的分配方法在某些情况下可能会产生相同的结果，但在其他情况下会产生不同的结果。使用特定分配方法获得较少席位的州的公民会认为分配方法有缺陷，并支持不同的方法。这不可避免地会引发关于使用一种方法而不是另一种方法的争论。有利于较大国家的方法可能会受到较小国家的挑战，有利于较小国家的方法可能会受到较大国家的挑战，违反配额规则的方法可能会受到任何规模的国家的挑战，具体取决于具体情况。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 分摊方法的缺陷 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法的公平性'. Write a new unit titled '分摊悖论'. Here's some text for inspiration: Imaginaria的市民希望分配方法尽可能公平。他们合理地期望从公平分配中获得某些特征。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
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- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 分摊悖论 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法的公平性'. We have already covered the following unit in this section: '分摊悖论'. Write a new unit titled '阿拉巴马悖论'. Here's some text for inspiration: 1880年美国人口普查时，汉密尔顿分配法取代了杰斐逊法。众议院的席位数量并不是固定的。为了实现尽可能公平的分配，选择了房屋大小，这样汉密尔顿和韦伯斯特方法就会产生相同的分配。人口普查局的首席职员计算了275到350间房屋大小的分配。有一个令人惊讶的结果被称为阿拉巴马悖论，据说当房屋大小的增加减少了一个州的配额时，就会发生这种情况。阿拉巴马州将获得8个房屋大小为299的席位，但如果房屋大小增加到300个，则只能获得7个席位。（迈克尔·考尔菲尔德（Michael J. Caulfield）（甘农大学），“在美国国会中分配代表——分配悖论”，*收敛*（2010年11月），DOI：10.4169/loci003163）.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 阿拉巴马悖论 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法的公平性'. We have already covered the following unit in this section: '分摊悖论'. We have already covered the following units in this section: '分摊悖论', '阿拉巴马悖论'. Write a new unit titled '人口悖论'. Here's some text for inspiration: 对于Imaginaria的创始人来说，记住各州的人口随着时间的推移而变化是很重要的。一些人口增长，一些人口减少。一些人口大量增加，而另一些人口则少量增加。这些变化可能需要重新分配席位，或者由于人口的变化而重新计算州配额。对Imaginaria来说，期望人口增长超过其他州的州将在其他州之前获得席位是合理的。同样，汉密尔顿分配方法并不总是如此。一个州的人口增长率是人口变化与人口原始规模的比率，通常用百分比表示。如果人口增加，这个值是正的，如果人口减少，这个值是负的。人口悖论发生在人口增加的州失去席位，而人口减少的州要么保留席位，要么获得席位。更一般地说，人口悖论发生在人口增长率较高的州失去席位，而人口增长率较低的州保留或获得席位。.
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- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 人口悖论 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '表决和分配'. In particular, section '分摊方法的公平性'. We have already covered the following unit in this section: '分摊悖论'. We have already covered the following units in this section: '分摊悖论', '阿拉巴马悖论'. We have already covered the following units in this section: '分摊悖论', '阿拉巴马悖论', '人口悖论'. Write a new unit titled '新国家悖论'. Here's some text for inspiration: 作为Imaginaria的创始人，您可能还会考虑Imaginaria可以兼并附近的土地并增加州的数量的可能性。这种情况在美国发生过几次，例如1907年俄克拉荷马州成为一个州时。众议院的规模从386增加到391，以容纳俄克拉荷马州的五个席位配额。当使用汉密尔顿的方法重新分配席位时，纽约失去了一个席位给缅因州，尽管他们的人口没有变化。这是新州悖论的一个例子，当一个新州的增加伴随着席位的增加以维持人口与席位的标准比例，但现有的一个州在由此产生的重新分配中失去了一个席位时，就会发生这种情况。.
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '图形基础'. Write a new unit titled '图的部分'. Here's some text for inspiration: 在图中，对象用点表示，它们的连接用[link]中的线表示。[link]显示一个标记为*G*的简单图和一个标记为*H*的多重图。这些点被称为顶点；单个点是一个**顶点**，它是一组对象的一个对象，其中一些对象可能是相连的。我们经常用字母标记顶点。例如，图*G*有顶点*a、b、c*和*d*，Multigraph*H*有顶点，*e、f、g*和*h*。连接两个顶点的每个线段或连接称为边。*H*被认为是一个多重图，因为它在*f*和*h*之间有一个双边，在*h*和*g*之间有一个双边。*H*被称为多重图的另一个原因是它有一个将顶点*e*连接到自身的循环；循环是将顶点连接到自身的边。简单图中不允许循环和双边。.
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '图形基础'. We have already covered the following unit in this section: '图的部分'. Write a new unit titled '用图形分析地理地图'. Here's some text for inspiration: 当图形用于建模和分析现实世界的应用程序时，在特定顶点相遇的边的数量很重要。例如，图可以表示特定机场的直飞航班连接，如[link]。用图而不是地图表示连接会将焦点从机场连接的相对位置和方向转移。在[link]中，顶点是机场，边缘是直飞路径。特定机场和其他南佛罗里达机场之间的航班连接数量是在特定顶点相遇的边的数量。例如，基韦斯特有直飞航班到图上五个机场中的三个。在图形理论中，我们会说顶点FYW有3度。顶点的度是连接到该顶点的边的数量。.
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '图结构'. We have already covered the following unit in this section: '顶点度的重要性'. Write a new unit titled '边数与顶点度数的关系'. Here's some text for inspiration: 在[link]和你的TURN 12.6中将图形理论应用于神经科学和社会学中，顶点的度数和网络的弹性之间存在相关性。许多领域的研究人员也观察到图中边的数量和顶点的度数之间存在直接关系。要开始理解这种关系，请考虑[link]中五个顶点和零边的图。.
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '图结构'. We have already covered the following unit in this section: '顶点度的重要性'. We have already covered the following units in this section: '顶点度的重要性', '边数与顶点度数的关系'. Write a new unit titled '完备性'. Here's some text for inspiration: 假设一个房间里有五个陌生人，*A*、*B*、*C*、*D*和*E*，每个人都将被介绍给其他人。需要多少介绍？开始回答这个问题的一种方法是画一个图表，每个顶点代表房间里的一个人，每个边代表一个介绍，如[link]。.
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- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 识别和命名循环 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '图结构'. We have already covered the following unit in this section: '顶点度的重要性'. We have already covered the following units in this section: '顶点度的重要性', '边数与顶点度数的关系'. We have already covered the following units in this section: '顶点度的重要性', '边数与顶点度数的关系', '完备性'. We have already covered the following units in this section: '顶点度的重要性', '边数与顶点度数的关系', '完备性', '子图'. We have already covered the following units in this section: '顶点度的重要性', '边数与顶点度数的关系', '完备性', '子图', '识别和命名循环'. Write a new unit titled '循环子图和团'. Here's some text for inspiration: 当循环作为子图出现在更大的图中时，它们被称为**循环子图**。循环子图通过按顺序列出顶点来命名。您开始的顶点并不重要。[link]中的图*K*有两个三角形循环（*g*，*h*，*j*）和（*h*，*i*，*j*），以及一个四边形循环（*g*，*h*，*i*，*j*）。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 循环子图和团 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '图结构'. We have already covered the following unit in this section: '顶点度的重要性'. We have already covered the following units in this section: '顶点度的重要性', '边数与顶点度数的关系'. We have already covered the following units in this section: '顶点度的重要性', '边数与顶点度数的关系', '完备性'. We have already covered the following units in this section: '顶点度的重要性', '边数与顶点度数的关系', '完备性', '子图'. We have already covered the following units in this section: '顶点度的重要性', '边数与顶点度数的关系', '完备性', '子图', '识别和命名循环'. We have already covered the following units in this section: '循环子图和团', '边数与顶点度数的关系', '完备性'. Write a new unit titled '完全图中的三圈'. Here's some text for inspiration: 正如完全图有可预测的边数量一样，完全图也有可预测的循环子图数量。让我们看看[link]中显示的具有多达六个顶点的完整图中的三个圈。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 完全图中的三圈 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '比较图'. Write a new unit titled '什么时候两个图真的是同一个图？'. Here's some text for inspiration: 在算术中，当两个数字具有相同的值时，我们说它们相等，就像½=0.5。虽然½和0.5看起来不同，但它们具有相同的值，因为它们在实数线上被分配了相同的位置。我们什么时候说两个图相等？.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 什么时候两个图真的是同一个图？ | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '比较图'. We have already covered the following unit in this section: '什么时候两个图真的是同一个图？'. Write a new unit titled '两个图什么时候真正不同？'. Here's some text for inspiration: 验证两个图是否同构可能是一个具有挑战性的过程，尤其是对于较大的图。检查图可能不同的任何明显方式是有意义的，这样我们就不会花时间试图验证图是否同构。如果两个图有[链接]中显示的任何差异，那么它们就不可能是同构的。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 两个图什么时候真正不同？ | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '比较图'. We have already covered the following unit in this section: '什么时候两个图真的是同一个图？'. We have already covered the following units in this section: '什么时候两个图真的是同一个图？', '两个图什么时候真正不同？'. Write a new unit titled '同构图的识别'. Here's some text for inspiration: 尽管具有相同的底层结构，但表示相同连接模式的同构图看起来可能非常不同。边缘可以拉伸和扭曲。图表可以旋转或翻转。例如，在[link]中，每个图表都代表相同的连接模式。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 同构图的识别 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '比较图'. We have already covered the following unit in this section: '什么时候两个图真的是同一个图？'. We have already covered the following units in this section: '什么时候两个图真的是同一个图？', '两个图什么时候真正不同？'. We have already covered the following units in this section: '什么时候两个图真的是同一个图？', '两个图什么时候真正不同？', '同构图的识别'. Write a new unit titled '识别和命名同构'. Here's some text for inspiration: 当两个图是同构的，这意味着它们具有相同的结构时，它们的顶点之间存在对应关系，可以通过列出相应的顶点对来命名。这种对应顶点对的列表，使得一个图中的任何相邻对对应于另一个图中的相邻对，称为**同构**。考虑[link]中的同构图。在[link]中，我们可以将标签Graph*F*替换为Graph*A*中的标签，并具有相同的图，如[link]。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 识别和命名同构 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '比较图'. We have already covered the following unit in this section: '什么时候两个图真的是同一个图？'. We have already covered the following units in this section: '什么时候两个图真的是同一个图？', '两个图什么时候真正不同？'. We have already covered the following units in this section: '什么时候两个图真的是同一个图？', '两个图什么时候真正不同？', '同构图的识别'. We have already covered the following units in this section: '什么时候两个图真的是同一个图？', '两个图什么时候真正不同？', '同构图的识别', '识别和命名同构'. Write a new unit titled '互补图'. Here's some text for inspiration: 假设你是沃贝根营地的营地辅导员，你正在举办一个有四个项目的营地奥运会。露营者已经报名参加了这些活动。你在[链接]中画了一个图表来帮助你想象哪些项目有露营者的共同点。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 互补图 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '导航图'. Write a new unit titled '步行'. Here's some text for inspiration: 假设[link]是一个你想解决的迷宫。你想从开始到结束。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 步行 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '导航图'. We have already covered the following unit in this section: '步行'. Write a new unit titled '路径和步道'. Here's some text for inspiration: 游走是导航图形的最基本方式，因为它除了停留在图形上之外没有任何限制。当我们可以访问哪些顶点或边有限制时，我们会用不同的名称来称呼游走。例如，如果我们想找到一条避免两次在同一边旅行的游走，我们会说我们想找到一条小径（或有向小径）。如果我们想找到一条避免两次访问同一顶点的游走，我们会说，我们想找到一条路径（或有向路径）。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 路径和步道 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '导航图'. We have already covered the following unit in this section: '步行'. We have already covered the following units in this section: '步行', '路径和步道'. Write a new unit titled '电路'. Here's some text for inspiration: 在图形理论的许多应用中，例如创建高效的交付路线，在同一位置开始和结束是一个要求。当一个步行、路径或小径在它们开始的同一位置或顶点结束时，我们称之为闭合。否则，我们称之为开放（不在同一位置或顶点开始和结束）。下表给出了一些封闭步行、封闭小径和封闭路径的例子。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 电路 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '导航图'. We have already covered the following unit in this section: '步行'. We have already covered the following units in this section: '步行', '路径和步道'. We have already covered the following units in this section: '步行', '路径和步道', '电路'. Write a new unit titled '图形着色'. Here's some text for inspiration: 到目前为止，在本节中，我们已经了解了如何以不跳过任何顶点的顺序从一个顶点到另一个顶点来导航图形，但是在某些应用程序中，我们可能希望跳过顶点。还记得比较图表中的Woeengone营地奥运会吗？你计划了一个有四个项目的营地奥运会。露营者报名参加了这些活动。你画了一个图表来帮助你可视化哪些项目有露营者的共同点。[link]中Graph*E*的顶点代表事件，相邻的顶点表示有露营者参加这两个项目。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 图形着色 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 创建颜色来解决问题 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '导航图'. We have already covered the following unit in this section: '步行'. We have already covered the following units in this section: '步行', '路径和步道'. We have already covered the following units in this section: '步行', '路径和步道', '电路'. We have already covered the following units in this section: '步行', '路径和步道', '电路', '图形着色'. We have already covered the following units in this section: '步行', '路径和步道', '电路', '图形着色', '创建颜色来解决问题'. Write a new unit titled '四色问题'. Here's some text for inspiration: 给图上色解决问题的想法，灵感来自于数学中最著名的问题之一“四色问题”。这个想法是，不管一张地图有多复杂，只需要给地图上色四种颜色，这样两个共享边界的区域就不会有相同的颜色。多年来，每个人都怀疑这是真的，因为没有人能创造出一张需要超过四种颜色的地图，但他们无法证明这是普遍的。最后，图形被用来解决这个问题！.
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- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 四色问题 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '欧拉电路'. Write a new unit titled '连通性'. Here's some text for inspiration: 在我们讨论寻找最佳送货路线之前，我们必须确保有一条路线。例如，假设你的任务是乘飞机访问[链接]图中的每个机场。你能完成这项任务，只在图中列出的机场之间选择直飞航线吗？换句话说，所有机场都有路径连接吗？还是一些机场与其他机场断开连接？.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 连通性 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '欧拉电路'. We have already covered the following unit in this section: '连通性'. Write a new unit titled '欧拉电路的起源'. Here's some text for inspiration: 柯尼斯堡市，即今天的俄罗斯加里宁格勒，有分隔城市的水道。在18世纪，这座城市有七座横跨不同水道的桥梁。这些桥梁的地图显示在[链接]中。关于是否有可能找到一条穿过每座桥一次并返回起点的路线的问题被称为柯尼斯堡桥问题。1735年，有史以来最有影响力的数学家之一伦纳德·欧拉用他自己创造的数学领域图形理论解决了这个问题！.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 欧拉电路的起源 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '欧拉电路'. We have already covered the following unit in this section: '连通性'. We have already covered the following units in this section: '连通性', '欧拉电路的起源'. Write a new unit titled '中国邮递员问题'. Here's some text for inspiration: 在沃贝根营地，露营者乘坐独木舟在水路上旅行。作为沃贝根营地奥运会的一部分，你们将举行一场独木舟比赛。你们在11条不同的溪流中的每条溪流上都设置了一个检查站。比赛要求每支队伍穿越每条溪流，以任何顺序通过检查站，然后回到起跑线，如[链接]所示。.
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- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 中国邮递员问题 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '欧拉电路'. We have already covered the following unit in this section: '连通性'. We have already covered the following units in this section: '连通性', '欧拉电路的起源'. We have already covered the following units in this section: '连通性', '欧拉电路的起源', '中国邮递员问题'. Write a new unit titled '识别欧拉电路'. Here's some text for inspiration: 解决中国邮递员问题需要通过任何访问每个边的图或多图找到一个最短的电路。在欧拉图的情况下，这意味着找到一个欧拉电路。我们将使用的方法是找到图中的任何电路，然后从第一个电路的顶点开始找到第二个电路，该电路只使用第一个电路中没有的边，然后从前两个电路中的任何一个电路的顶点开始找到第三个电路，该电路只使用前两个电路中没有的边，然后继续这个过程，直到所有的边都被使用。最后，你将能够将所有的电路连接在一起成为一个大的欧拉电路。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '欧拉电路'. We have already covered the following unit in this section: '连通性'. We have already covered the following units in this section: '连通性', '欧拉电路的起源'. We have already covered the following units in this section: '连通性', '欧拉电路的起源', '中国邮递员问题'. We have already covered the following units in this section: '连通性', '欧拉电路的起源', '中国邮递员问题', '识别欧拉电路'. Write a new unit titled '欧拉化'. Here's some text for inspiration: 中国邮递员问题不仅适用于欧拉图。回想一下需要将邮件投递到细分街道的每个街区的邮政送货员。我们使用[link]中的地图来创建[link]中的图形。.
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- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '欧拉小径'. Write a new unit titled '欧拉小径'. Here's some text for inspiration: 如果我们需要一条遍历图中每条边的轨迹，这将被称为欧拉轨迹。因为轨迹是不重复边的行走，欧拉轨迹只访问每条边一次。.
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '欧拉小径'. We have already covered the following unit in this section: '欧拉小径'. Write a new unit titled '五个房间拼图'. Here's some text for inspiration: 正如欧拉确定只有具有偶数度顶点的图才有欧拉回路一样，他也意识到具有欧拉轨迹的图中唯一的奇数度顶点是开始顶点和结束顶点。例如，在[link]中，图*H*正好有两个奇数度顶点，顶点*g*和顶点*e*。注意我们在[link]的Excercise 3中看到的欧拉轨迹从顶点*g*开始，到顶点*e*结束。.
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- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 五个房间拼图 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '欧拉小径'. We have already covered the following unit in this section: '欧拉小径'. We have already covered the following units in this section: '欧拉小径', '五个房间拼图'. Write a new unit titled '桥梁和地方桥梁'. Here's some text for inspiration: 现在我们知道哪些图有欧拉轨迹，让我们研究一种找到它们的方法。我们将使用的方法涉及识别图中的桥梁。桥梁是一条边，如果删除，它会增加图中组件的数量。桥梁通常被称为切边。在[link]中，有几个桥梁的例子。请注意，不属于循环的边始终是桥梁，而属于循环的边永远不是桥梁。.
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '欧拉小径'. We have already covered the following unit in this section: '欧拉小径'. We have already covered the following units in this section: '欧拉小径', '五个房间拼图'. We have already covered the following units in this section: '欧拉小径', '五个房间拼图', '桥梁和地方桥梁'. Write a new unit titled '用Fleury算法寻找欧拉轨迹'. Here's some text for inspiration: 现在我们已经熟悉了桥，我们可以使用一种叫做弗勒里算法的技术，它是一系列步骤或算法，用于在任何图中找到欧拉轨迹，该轨迹恰好有两个奇数度的顶点。.
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- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '汉密尔顿循环'. Write a new unit titled '汉密尔顿之谜'. Here's some text for inspiration: 在我们看汉密尔顿难题的解决方案之前，让我们回顾一下我们在[link]中使用的一些词汇。记住有向循环是一种不重复任何边或顶点的电路会很有帮助。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 汉密尔顿之谜 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '汉密尔顿循环'. We have already covered the following unit in this section: '汉密尔顿之谜'. Write a new unit titled '汉密尔顿循环vs.欧拉电路'. Here's some text for inspiration: 让我们练习命名和识别哈密顿循环，以及将它们与欧拉电路区分开来。重要的是要记住，欧拉电路访问所有边而不重复，而哈密顿循环访问所有顶点而不重复。哈密顿循环像所有电路一样由它们的顶点命名。[链接]中给出了一个例子。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 汉密尔顿循环vs.欧拉电路 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '汉密尔顿循环'. We have already covered the following unit in this section: '汉密尔顿之谜'. We have already covered the following units in this section: '汉密尔顿之谜', '汉密尔顿循环vs.欧拉电路'. Write a new unit titled '阶乘'. Here's some text for inspiration: 在许多数学领域，我们必须计算像7美元\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$或11美元\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$这样的乘积，这些乘积涉及将特定数字中的所有计数数乘以1。想象一下，该乘积碰巧是从100到1的所有数字。这是很多文字！数学家们没有把所有这些都写出来，而是想出了一种速记符号。例如，我们写7美元！$，而不是7美元\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$，这是“7阶乘”。换句话说，从$n$到1的所有计数数的乘积称为$n$阶乘，它写为$n！$.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 阶乘 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '汉密尔顿循环'. We have already covered the following unit in this section: '汉密尔顿之谜'. We have already covered the following units in this section: '汉密尔顿之谜', '汉密尔顿循环vs.欧拉电路'. We have already covered the following units in this section: '汉密尔顿之谜', '汉密尔顿循环vs.欧拉电路', '阶乘'. Write a new unit titled '计算完整图中的Hamilton循环'. Here's some text for inspiration: 现在，让我们回到回答完整图中有多少汉密尔顿循环的问题。在[link]中，我们已经绘制了一个有四个顶点的完整图中的所有四个循环。记住，循环可以从循环中的任何顶点开始命名，但我们会从顶点$a$开始命名它们。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 计算完整图中的Hamilton循环 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '汉密尔顿循环'. We have already covered the following unit in this section: '汉密尔顿之谜'. We have already covered the following units in this section: '汉密尔顿之谜', '汉密尔顿循环vs.欧拉电路'. We have already covered the following units in this section: '汉密尔顿之谜', '汉密尔顿循环vs.欧拉电路', '阶乘'. We have already covered the following units in this section: '汉密尔顿之谜', '汉密尔顿循环vs.欧拉电路', '阶乘', '计算完整图中的Hamilton循环'. Write a new unit titled '加权图'. Here's some text for inspiration: 假设美国空军中一名驻扎在范登堡空军基地的军官在返回范登堡之前必须开车去参观另外三个加州空军基地，该军官需要参观每个基地一次，[link]中图表中的顶点代表四个美国空军基地，范登堡、爱德华兹、洛杉矶和比尔。边缘用每对城市之间的行车距离标记。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 加权图 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '汉密尔顿路径'. Write a new unit titled '汉密尔顿路径'. Here's some text for inspiration: 正如只访问一次图中每个顶点的电路被称为Hamilton循环（或Hamilton电路），只访问一次图中每个顶点的路径被称为Hamilton路径。当我们探索Hamilton路径时，您可能会发现通过查看[link]来刷新您对步行、路径和路径之间关系的记忆是有帮助的。我们知道路径是不重复任何顶点或边的步行。因此，Hamilton路径访问每个顶点而不重复任何顶点或边。[link]显示了从顶点*A*到顶点*E*的路径和从顶点*A*到顶点*E*的Hamilton路径。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 汉密尔顿路径 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '汉密尔顿路径'. We have already covered the following unit in this section: '汉密尔顿路径'. Write a new unit titled '汉密尔顿路径的存在'. Here's some text for inspiration: 事实证明，在[link]的Graph*G*中，顶点*A*和*E*之间不存在Hamilton路径。为了理解为什么，让我们想象在一座桥的一边有一棵红苹果树，在桥的另一边有一棵绿苹果树。现在假设有人让你捡起每棵树下所有掉落的苹果，而不要过一次以上的桥，并确保你捡起的第一个苹果和最后一个苹果都是红色的。你会说，那是不可能的！要想让第一个和最后一个苹果都是红色的，要么需要把青苹果留在地上，要么需要两次过桥。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 汉密尔顿路径的存在 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '汉密尔顿路径'. We have already covered the following unit in this section: '汉密尔顿路径'. We have already covered the following units in this section: '汉密尔顿路径', '汉密尔顿路径的存在'. Write a new unit titled '汉密尔顿小径还是欧拉小径？'. Here's some text for inspiration: 我们在欧拉轨迹中了解到，欧拉轨迹只访问每个边一次，而汉密尔顿路径只访问每个顶点一次。让我们练习区分两者。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 汉密尔顿小径还是欧拉小径？ | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '旅行销售员问题'. Write a new unit titled '蛮力和贪婪算法'. Here's some text for inspiration: 算法是可用于解决特定问题的一系列步骤。我们在本章中解决了许多问题，我们使用的程序是不同类型的算法。在本节中，我们将使用两种常见类型的算法，蛮力算法和贪心算法。蛮力算法首先列出每一个可能的解决方案，并应用每一个解决方案，直到找到最佳解决方案。贪心算法分阶段处理问题，在每个阶段做出明显的最佳选择，然后将选择连接在一起，形成一个可能是或可能不是最佳解决方案的整体解决方案。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 蛮力和贪婪算法 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '旅行销售员问题'. We have already covered the following unit in this section: '蛮力和贪婪算法'. Write a new unit titled '旅行销售人员问题'. Here's some text for inspiration: 现在让我们将注意力集中在称为旅行销售人员问题（TSP）的图形理论应用程序上，在该应用程序中，我们必须找到最短路线来访问多个地点并返回起点。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 旅行销售人员问题 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '旅行销售员问题'. We have already covered the following unit in this section: '蛮力和贪婪算法'. We have already covered the following units in this section: '蛮力和贪婪算法', '旅行销售人员问题'. Write a new unit titled '在完全图中寻找所有Hamilton循环的权重'. Here's some text for inspiration: 请注意，当我们解决范登堡警官的TSP时，我们列出了所有的汉密尔顿循环，并找到了它们的权重。这是你需要练习的技能。为了确保你不会错过任何一个，你可以计算完整图中可能的汉密尔顿循环的数量。知道完整图中一半的有向循环是反向的相同循环也很有帮助，所以，你只需要计算一半可能权重的数量，其余的都是重复的。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 在完全图中寻找所有Hamilton循环的权重 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '旅行销售员问题'. We have already covered the following unit in this section: '蛮力和贪婪算法'. We have already covered the following units in this section: '蛮力和贪婪算法', '旅行销售人员问题'. We have already covered the following units in this section: '蛮力和贪婪算法', '旅行销售人员问题', '在完全图中寻找所有Hamilton循环的权重'. Write a new unit titled '蛮力法'. Here's some text for inspiration: 我们一直使用的寻找完整图中权重最小的Hamilton循环的方法是蛮力算法，因此称为蛮力法，蛮力法中的步骤有：.
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '旅行销售员问题'. We have already covered the following unit in this section: '蛮力和贪婪算法'. We have already covered the following units in this section: '蛮力和贪婪算法', '旅行销售人员问题'. We have already covered the following units in this section: '蛮力和贪婪算法', '旅行销售人员问题', '在完全图中寻找所有Hamilton循环的权重'. We have already covered the following units in this section: '蛮力和贪婪算法', '旅行销售人员问题', '在完全图中寻找所有Hamilton循环的权重', '蛮力法'. Write a new unit titled '最近邻方法'. Here's some text for inspiration: 当蛮力法对于解决旅行销售人员问题不切实际时，另一种选择是一种称为最近邻法的贪婪算法，它总是首先访问最近或成本最低的地方。这种方法在一个完整的图中找到一个权重相对较低的哈密顿循环，其中，在每个阶段，通过比较当前顶点和其余顶点之间的边来选择下一个顶点，以找到最低的权重。由于最近邻法是一种贪婪算法，它通常不会给出最佳解决方案，但它通常会给出一个“足够好”的解决方案。最重要的是，步数将是顶点的数量。没错！一个有10个顶点的问题需要10个步骤，而不是362,880个。让我们看一个例子来看看它是如何工作的。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
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- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 最近邻方法 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '树木'. Write a new unit titled '什么是树？'. Here's some text for inspiration: 无论我们谈论的是家谱还是森林中的树，没有一个分支会绕回来重新加入树干。这意味着一棵树没有循环子图，或者是非循环的。一棵树也只有一个组件。所以，一棵树是一个连接的非循环图。这里有一些具有相同特征的图。[link]中的每个图都是一棵树。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 什么是树？ | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '树木'. We have already covered the following unit in this section: '什么是树？'. Write a new unit titled '树木的种类'. Here's some text for inspiration: 数学家们在命名树或包含树的图时玩得很开心。例如，[link]中的图不是树，但它包含两个组件，一个包含顶点*a*到*d*，另一个包含顶点*e*到*g*，每个顶点都是一棵树。这种结构被称为森林。对于具有某些特征的树也有有趣的名字。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 树木的种类 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '树木'. We have already covered the following unit in this section: '什么是树？'. We have already covered the following units in this section: '什么是树？', '树木的种类'. Write a new unit titled '树木的特征'. Here's some text for inspiration: 当我们研究树时，熟悉它们的一些特征是有帮助的。例如，如果您在任意两个现有顶点之间的树图中添加一条边，您将创建一个循环，并且生成的图不再是树。[link]中显示了一些示例。将edge*bj*添加到Graph*T*会创建循环（*b*，*c*，*i*，*j*）。将edge*rt*添加到Graph*P*会创建循环（*r*，*s*，*t*）。将edge*tv*添加到Graph*S*会创建循环（*t*，*u*，*v*）。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
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- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 树木的特征 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '树木'. We have already covered the following unit in this section: '什么是树？'. We have already covered the following units in this section: '什么是树？', '树木的种类'. We have already covered the following units in this section: '什么是树？', '树木的种类', '树木的特征'. Write a new unit titled '跨越树'. Here's some text for inspiration: 假设您计划用四个设备建立自己的计算机网络。一种选择是使用像[link]中那样的“网状拓扑”，其中每个设备直接连接到网络中的所有其他设备。.
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- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 跨越树 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '树木'. We have already covered the following unit in this section: '什么是树？'. We have already covered the following units in this section: '什么是树？', '树木的种类'. We have already covered the following units in this section: '什么是树？', '树木的种类', '树木的特征'. We have already covered the following units in this section: '什么是树？', '树木的种类', '树木的特征', '跨越树'. Write a new unit titled '使用路径构建生成树'. Here's some text for inspiration: 假设您想在图中找到生成树。一种方法是在图中找到路径。您可以从任何顶点开始，向任何方向移动，并创建一条通过图的路径，仅在您无法继续而不回溯时停止，如[link]所示。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 使用路径构建生成树 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 揭示跨越树 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '图论'. In particular, section '树木'. We have already covered the following unit in this section: '什么是树？'. We have already covered the following units in this section: '什么是树？', '树木的种类'. We have already covered the following units in this section: '什么是树？', '树木的种类', '树木的特征'. We have already covered the following units in this section: '什么是树？', '树木的种类', '树木的特征', '跨越树'. We have already covered the following units in this section: '什么是树？', '树木的种类', '树木的特征', '跨越树', '使用路径构建生成树'. We have already covered the following units in this section: '树木的种类', '什么是树？', '使用路径构建生成树', '使用路径构建生成树', '使用路径构建生成树'. Write a new unit titled '克鲁斯卡尔算法'. Here's some text for inspiration: 在生成树的许多应用中，图是加权的，我们希望找到权重最小的生成树。例如，图可能表示计算机网络，权重可能表示连接两个设备所涉及的成本。因此，找到总权重最低的生成树或最小生成树意味着省钱！我们将用来找到加权图的最小生成树的方法称为Kruskal算法。Kruskal算法的步骤是：.
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在 '当代数学' 上创建一个引人入胜且易于访问的电子学习模块，专为没有该主题知识的中学生量身定制。
We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与艺术'. Write a new unit titled '黄金比例'. Here's some text for inspiration: 黄金比例，也被称为黄金比例，是一种比例方面，可以在从自然到人体解剖学的美丽中找到，也可以在建筑结构中常见的黄金矩形中找到。黄金比例在自然界中从植物到海星、蜜蜂、贝壳等生物中表达。它通常用希腊字母**（发音为“费”）来表示。$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，十进制值约等于1.618。.
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与艺术'. We have already covered the following unit in this section: '黄金比例'. Write a new unit titled '斐波那契数列及其在自然界中的应用'. Here's some text for inspiration: 斐波那契数列可以自然地出现在我们环境中的各种元素中，从玫瑰花的花瓣数量到松果上的螺旋，再到莴苣上的刺等等。斐波那契数列可以在自然的艺术渲染中找到，以开发美观和逼真的艺术创作，如雕塑、绘画、风景、建筑设计等。它是以1、1开头的数字序列，每个后续项都是序列中前两个项的总和（1、1、2、3、5、8、13……）。.
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- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与艺术'. We have already covered the following unit in this section: '黄金比例'. We have already covered the following units in this section: '黄金比例', '斐波那契数列及其在自然界中的应用'. Write a new unit titled '黄金比率和斐波那契序列关系'. Here's some text for inspiration: 数学家多年来一直在探索我们周围世界的模式和应用，今天还在继续这样做。一种这样的模式可以在斐波那契数列的两个相邻项的比率中找到。.
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- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 黄金比率和斐波那契序列关系 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与艺术'. We have already covered the following unit in this section: '黄金比例'. We have already covered the following units in this section: '黄金比例', '斐波那契数列及其在自然界中的应用'. We have already covered the following units in this section: '黄金比例', '斐波那契数列及其在自然界中的应用', '黄金比率和斐波那契序列关系'. Write a new unit titled '黄金矩形'. Here's some text for inspiration: 将我们的注意力转向人造元素，黄金比例可以在建筑和艺术品中找到，可以追溯到埃及的古代金字塔（[链接]）和现代建筑，如联合国总部。古希腊人使用黄金矩形——任何长宽比为黄金比例的矩形——来创造美观和坚固的结构，黄金矩形的例子经常在同一座建筑中多次使用，如帕台农神庙，如[链接]。黄金矩形也可以在20世纪的建筑中找到，如华盛顿纪念碑。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 黄金矩形 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与环境'. Write a new unit titled '对气候变化产生积极影响-用水'. Here's some text for inspiration: 我们对水的使用是影响气候变化的一个因素。获得清洁的饮用水不仅对我们的健康至关重要，对我们生态系统的健康也至关重要。地球上大约十分之一的人不容易获得清洁的饮用水。当我们每个人都节约用水时，我们延长了湖泊和河流淡水的寿命，也减少了对我们社区下水道系统和排水系统的影响。此外，当我们节约用水时，我们也节约了用于将水带到家中和家中的电力。那么，我们能做些什么来帮助节约用水呢？.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 对气候变化产生积极影响-用水 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与环境'. We have already covered the following unit in this section: '对气候变化产生积极影响-用水'. Write a new unit titled '太阳能的历史'. Here's some text for inspiration: 19世纪中期，威洛比·史密斯发现硒具有光导响应性。此后不久，威廉·格里尔斯·亚当斯和理查德·埃文斯·戴发现硒暴露在阳光下可以发电，这是一项重大突破。不到10年后，查尔斯·弗里茨发明了第一个使用硒的太阳能电池。仅仅100年后，美国贝尔实验室在20世纪50年代中期生产了第一个实用的光伏电池，并在同一十年开发了用于为卫星供电的版本。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 太阳能的历史 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与环境'. We have already covered the following unit in this section: '对气候变化产生积极影响-用水'. We have already covered the following units in this section: '对气候变化产生积极影响-用水', '太阳能的历史'. Write a new unit titled '常见家用设备的计算能力需求'. Here's some text for inspiration: 千瓦是1000瓦特（W）。千瓦时（kWh）是能源使用的度量，即1000瓦特设备运行一小时所用的能量。使用千瓦时的定义，计算消耗1千瓦时的电力需要多长时间，我们用设备的使用除以1000瓦特。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 常见家用设备的计算能力需求 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与环境'. We have already covered the following unit in this section: '对气候变化产生积极影响-用水'. We have already covered the following units in this section: '对气候变化产生积极影响-用水', '太阳能的历史'. We have already covered the following units in this section: '对气候变化产生积极影响-用水', '太阳能的历史', '常见家用设备的计算能力需求'. Write a new unit titled '太阳能优势'. Here's some text for inspiration: 今天，太阳能可以为我们提供多种优势，包括减少温室气体和二氧化碳排放、为车辆供电、减少水污染、减少化石燃料等其他电力选择的有限供应压力。我们将进一步研究减少温室气体和二氧化碳排放。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 太阳能优势 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与医学'. Write a new unit titled '药物的浓度和剂量'. Here's some text for inspiration: 考虑任何药物，推荐的剂量会根据年龄、体重和疾病程度等几个因素而变化。医院和医疗药房并不储存所有可能需要的药物浓度。特别是静脉注射（IV）方法的液体药物可以很容易地调整以满足患者的需求。无论是手术前实施麻醉还是接种疫苗，都需要计算药物浓度以确保交付所需的药物量。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 药物的浓度和剂量 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与医学'. We have already covered the following unit in this section: '药物的浓度和剂量'. Write a new unit titled '验证新疫苗的有效性'. Here's some text for inspiration: 开发一种新疫苗并能够向公众提供的过程通常需要10到15年。在美国，该系统通常涉及公共和私人参与一个过程。在20世纪，几种疫苗被成功开发出来，包括以下几种： 20世纪50年代的脊髓灰质炎疫苗和20世纪90年代的水痘疫苗。这两种疫苗都花了数年时间才被开发、测试和向公众提供。知道疫苗从开发到给药的典型时间表，一些人想知道新冠肺炎疫苗是如何在不到一年的时间内发布的也就不足为奇了。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 验证新疫苗的有效性 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与医学'. We have already covered the following unit in this section: '药物的浓度和剂量'. We have already covered the following units in this section: '药物的浓度和剂量', '验证新疫苗的有效性'. Write a new unit titled '跟踪疫苗传播的数学建模'. Here's some text for inspiration: 随着大量人接受新冠肺炎疫苗，此时的问题是如何创造一种负担得起的疫苗，让全世界的人都能接种。如果找不到全球性的解决方案，那些无法获得疫苗的人将成为可能对现有疫苗产生耐药性的变种的孵化器。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 跟踪疫苗传播的数学建模 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与音乐'. Write a new unit titled '与声音相关的频率基础'. Here's some text for inspiration: 每一种声音都是由振动的物体产生的，这些振动以波的形式传播，被我们的耳朵捕获。有些振动我们可能能看到，比如弹拨的吉他弦在移动，而其他振动我们可能看不到，比如当我们不小心把手机掉在坚硬的地板上时屏住呼吸时产生的声音。我们看不到手机撞击地板的振动；然而，秋天产生的任何声音都是声波形式振动的结果，这可以被想象成类似于海浪在海洋中移动。.
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- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与音乐'. We have already covered the following unit in this section: '与声音相关的频率基础'. Write a new unit titled '音高基础'. Here's some text for inspiration: 当考虑到人耳能听到的各种声音水平时，耳朵从频率水平和声音的音高来感知声音。声音的质量被称为音高、声音的音调质量以及音调的高低。高频的声音有高音调，如900赫兹，低音调的声音有低频，如50赫兹。.
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- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 音高基础 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与音乐'. We have already covered the following unit in this section: '与声音相关的频率基础'. We have already covered the following units in this section: '与声音相关的频率基础', '音高基础'. Write a new unit titled '音符值、半步、全步和八度音阶'. Here's some text for inspiration: *“音符不超过五个，但这五个音符的组合产生了前所未有的旋律。”*.
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- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 音符值、半步、全步和八度音阶 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与音乐'. We have already covered the following unit in this section: '与声音相关的频率基础'. We have already covered the following units in this section: '与声音相关的频率基础', '音高基础'. We have already covered the following units in this section: '与声音相关的频率基础', '音高基础', '音符值、半步、全步和八度音阶'. Write a new unit titled '八度音阶的频率'. Here's some text for inspiration: 相距一个八度的音符具有相同的名称，并且在频率值上是相关的。给定任何音符的频率，同一个音符高一个八度的频率会加倍，当你在键盘或任何其他乐器上上下移动音符时，这种模式会继续下去。歌曲作者和歌手利用这种知识来上下改变音符的音高，以与一个人的音域保持一致。无论演奏或演唱哪个C，音高都是相同的，频率之间的关系是一两个幂。.
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- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 八度音阶的频率 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与体育'. Write a new unit titled '数据分析（统计）对推进团队的成功至关重要'. Here's some text for inspiration: 分析当今世界积累的大量数据以寻找模式并预测未来结果，为许多大学的数据分析创造了一个学位领域，这在可能会让你大吃一惊的地方需求量很大。其中一个地方是体育界，能够分析关于你的球队球员、潜在新兵、对手球队策略和对手球员的可用数据对你的球队的成功至关重要。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 数据分析（统计）对推进团队的成功至关重要 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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We are writing on chapter '数学和…'. In particular, section '数学与体育'. We have already covered the following unit in this section: '数据分析（统计）对推进团队的成功至关重要'. Write a new unit titled '单循环赛'. Here's some text for inspiration: 一种常见的锦标赛风格是单循环锦标赛（[链接]），每个队或对手与其他队或对手比赛，冠军由赢得最多比赛的队决定。平局是可能的，并根据联赛规则解决。.
不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
- 不要在开头使用“欢迎来到本单元”等介绍性短语或在结尾使用结论。 不要使用图像。 | 单循环赛 | 当代数学 | middle_school_students_with_ref |
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不要使用传统的教科书方法，而是使用基于故事的叙述来解释概念。尝试：
- 避免使用技术术语，并以直接、对话的语气表达想法，以激发好奇心并与年轻观众的经历产生联系。
- 包括思想实验和现实生活场景等互动元素。 目标是主题平易近人且有趣，激发人们对其如何应用于日常生活的好奇心。
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Subsets and Splits