Si $\frac{dy}{dt}$ es una recta, entonces tiene la forma:

$$
y = mx + b
$$

y como tiene ordenada al origen $0$, $b = 0$:

$$
y = mx
$$

aun mas, la pendiente de esa recta es $\frac{1}{2}$, por lo que la ecuación queda:

$$
y = \frac{1}{2}x
$$

o escrito de otra manera:

$$
y = \frac{1}{2} x
$$

Si $\frac{dx}{dt}$ es una parabola, eso quiere decir que tiene la forma:

$$
\frac{dx}{dt} = a x^2 + b x + c
$$

o escrito de otra manera:

$$
x' = ax^2 + b^x + c
$$

tambien sabemos que la ecuación de una parabola vertical se puede escribir como:

$$
(x-h)^2 = 4 p (y - k)
$$

en donde el vertice de la parabola está en $(h, k)$ y su distancia focal es $p$.

Examinando el problema podemos ver que la distancia focal es $1$ y que el vertice es $(2k, -k^2)$, por lo que podemos escribir la ecuación de la parabola como:

$$
(x-2k)^2 = 1 (y + k^2)
$$

para nuestro sistema es:

$$
(x-2k)^2 = (y + k^2)
$$

$$
x^2 - 4kx + 4k^2 - k^2 = y 
$$

$$
y = x^2 - 4kx + 3 k^2
$$

Igualando estos dos sistemas obtenemos:

$$
\frac{1}{2} x = x^2 - 4k x + 3 k^2
$$

por lo que:

$$
x^2 - \left(4k + \frac{1}{2}\right) x + 3 k^2 = 0
$$

$$
x_{1,2} = \frac{\left(4k + \frac{1}{2}\right) \pm \sqrt{\left(4k + \frac{1}{2}\right)^2 - 4 (3 k^2)}}{2}
$$

$$
x_{1,2} = 2k + \frac{1}{4} \pm \frac{1}{2}\sqrt{4k^2 + 4k +\frac{1}{4}}
$$


```
from sympy import var, init_printing, solve, Matrix, eye, symbols
init_printing()

from IPython.html.widgets import interact, fixed
from matplotlib.pyplot import plot
%matplotlib inline
```


```
var("x, k")
```


```
ec = (x**2 - 4*k*x + 3*k**2) - (0.5*x)
ec
```


```
sol = solve(ec, x)
```


```
x1 = sol[0]
x1
```


```
x2 = sol[1]
x2
```


```
y = 0.5*x
y
```


```
y1 = y.subs(x, x1)
```


```
y2 = y.subs(x, x2)
```


```
x1.subs(k, 1)
```


```
y1.subs(k, 1)
```


```
x2.subs(k, 1)
```


```
y2.subs(k, 1)
```

Si $\frac{dy}{dt} = 0$, entonces tenemos $y = \frac{1}{2} x$.

Esto quiere decir que:

$$
y - \frac{1}{2}x = 0 = \frac{dy}{dt} = f_2
$$

De la misma manera para $\frac{dx}{dt}$:

$$
y - x^2 + 4kx - 3 k^2 = 0 = \frac{dx}{dt} = f_1
$$


```
var("y")
```


```
f1 = y - x**2 + 4*k*x - 3*k**2
f1
```


```
f2 = y - 0.5*x
f2
```


```
theta = Matrix([[x], [y]])
f = Matrix([[f1], [f2]])
f
```


```
Jf = f.jacobian(theta)
Jf
```


```
var("s")
```


```
detsIJf = ((s*eye(2) - Jf).det()).collect(s)
detsIJf
```


```
solucion1 = (solve(detsIJf, s)[0].subs(x, x1)).simplify()
solucion1
```


```
solucion2 = (solve(detsIJf, s)[1].subs(x, x1)).simplify()
solucion2
```


```
sol1 = solucion1.subs(k, 1)
```


```
def funcion(ks = 0.25):
    sol1 = solucion1.subs(k, ks)
    sol2 = solucion2.subs(k, ks)
    a1, b1 = sol1.as_real_imag()
    a2, b2 = sol2.as_real_imag()
    plot([a1, a2], [b1, b2], "o")
```


```
interact(funcion, ks=(0.0, 10.0))
```


```
a1, b1 = sol1.as_real_imag()
```


```
plot(a1, b1)
```


```

```

710f0ff1d45fd2f886797e0410fc8e8888d2a3ce
ipynb
Jupyter Notebook
IPythonNotebooks/Modelado y Simulacion/Examen I - Analisis de sistemas dinamicos.ipynb
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MIT
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2021-03-20T12:44:13.000Z
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Qwen/Qwen-72B
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