# Pré-Introdução à teoria das vibrações

## Aula 2 - Elementos de mola

### *Daniel Barbosa Mapurunga Matos (Aluno PPGEC/UFRGS)*



```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
```

## 1. Equação da mola
A mola é responsável por representar as forças restitutivas do sistema, sendo estas causadas por **deformações** em seu comprimento

Também chamada de força
restitutiva , a força
elástica atua contra a direção do movimento e tem
seu módulo calculado por:

\begin{align}
F_{el} = Kx
\end{align}

Onde K é a **rigidez** da mola ( constante elástica) e x a deformação. É válido lembrar que a energia potencial elástica para uma mola linear pode ser calculada por:

\begin{align}
U =\frac{ Kx^2}{2}
\end{align}

## 2. Associação de molas em série
Neste tópico, criaremos uma função para calcular a **rigidez equivalente** para molas em série. Relembrando a teoria, molas em série são aquelas que estão sujeitas a mesma força, podendo apresentar deformações iguais ou diferentes. A figura abaixo ilustra esta associação.


Chamando de $K_1$ e $K_2$ a rigidez de cada mola, é possível deduzir a equação da mola equivalente.


\begin{align}
F_1 &= K_1x_1\\
F_2 &= K_2x_2 \\
F &= K_{eq} x_{eq}\\
F &= F_1 = F_2
\end{align}
Igualando as forças a força total que atua no sistema, é possível escreve:


\begin{align}
F &= F_1 = F_2 \\
x_{eq} &= x_1+x_2 \\
x_{eq} &= \frac{F_1}{K_1} + \frac{F_2}{K_2}
\end{align}
Agora, substituindo as forças por $F$, pode-se escrever que:


\begin{align}
\frac{F}{K_{eq}} = \frac{F}{K_1} + \frac{F}{K_2}
\end{align}
Sendo assim, chega-se a seguinte expressão genérica:


\begin{align}
\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}+... + \frac{1}{K_n}
\end{align}


Agora, monta-se o script:


```python
def serie(x):                       #x será uma lista com a rigidez de cada mola
    keq_inv = 0
    for i in range(len(x)):        # loop para fazer a soma dos inversos
        keq_inv += 1/x[i]
    keq = 1/keq_inv                # invertendo para resultar na rigidez equivalente.
    
    return keq

x = [2,6,16]
keq = serie(x)

print(keq)
```

    1.3714285714285714


## 3. Associação de molas em paralelo
Para molas em paralelo, será feito o mesmo procedimento.



De acordo com o exposto, é possível visualisar agora que $ F = F_1 + F_2$ e $x_{eq} = x_1 = x_2$, sendo fácil deduzir que:


\begin{align}
K_{eq}x_{eq} &= K_{1}x_{1} + K_{2}x_{2}\\
\end{align}
cancelando as deformações, é possível escrever:


\begin{align}
K_{eq} &= K_{1}+ K_{2}+...+ K_N
\end{align}



```python
def paralelo(x):                       #x será uma lista com a rigidez de cada mola
    keq = np.sum(x)             # invertendo para resultar na rigidez equivalente.
    
    return keq

x = [2,6,16]
keq = paralelo(x)

print(keq)
```

    24


Existem outros tipos de associação de molas, porém os mais importantes estão expostos neste notebook. A associação de amortecedores é exatamente igual à de molas, sendo possível utilizar as mesmas expressões.

## 4. Exercício
considerando $ K1 = 5 \frac{N}{m}$ e $K2= 10 \frac{N}{m}$, calcular a rigidez equivalente.



Nota-se que a associação é mista, sendo necessário resolver por etapas.

Primeiramente, faz-se a associação dos sistemas que estão em paralelo ( cada um em um "andar")


```python
keq1 = paralelo([10,10,10])
keq2 = paralelo([5,5])
```

E agora associa-se em série as duas resultantes já encontradas:


```python
keq = serie([keq1,keq2])
print("a rigidez equivalente vale {}".format(keq))
```

    a rigidez equivalente vale 7.5



```python

```

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ipynb
Jupyter Notebook
Aula 2- Elementos de mola.ipynb
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MIT
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Qwen/Qwen-72B
1. YES
2. YES