Sistema: dS/dt=-bS, dI/dt=bI, b es positivo (b=beta)


```python
from sympy import *
from sympy.abc import S,I,t,b
```


```python
#puntos criticos
P=-b*S
Q=b*I
#establecer P(S,I)=0 y Q(S,I)=0
Peqn=Eq(P,0)
Qeqn=Eq(Q,0)
print(solve((Peqn,Qeqn),S,I))
#Eigenvalores y eigenvectores
M=Matrix([[-b,0],[0,b]])
print(M.eigenvals())
pprint(M.eigenvects())
```

    {I: 0, S: 0}
    {-b: 1, b: 1}
    ⎡⎛       ⎡⎡1⎤⎤⎞  ⎛      ⎡⎡0⎤⎤⎞⎤
    ⎢⎜-b, 1, ⎢⎢ ⎥⎥⎟, ⎜b, 1, ⎢⎢ ⎥⎥⎟⎥
    ⎣⎝       ⎣⎣0⎦⎦⎠  ⎝      ⎣⎣1⎦⎦⎠⎦


El sistema tiene un punto critico en el origen el cual tiene eigenvalores -b y b, ya que b es postivo los eigenvalores son reales distintos uno positivo y otro negativo por lo que el punto critico es un punto silla, el cual es inestable.

Ya que el sistema tiene un punto critico que es un punto silla, por la definicion 9 el indice del punto critico es -1 y por el teorema 1 entonces no hay ciclos limites en el sistema, es decir no existe una solucion periodica aislada del sistema.


```python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import pylab as pl
import matplotlib
```


```python
def dx_dt(x,t):
    return [ -0.5*x[0] , 0.5*x[1] ]
#trayectorias en tiempo hacia adelante
ts=np.linspace(0,10,500)
ic=np.linspace(20000,100000,3)
for r in ic:
    for s in ic:
        x0=[r,s]
        xs=odeint(dx_dt,x0,ts)
        plt.plot(xs[:,0],xs[:,1],"-", color="orangered", lw=1.5)
#trayectorias en tiempo hacia atras
ts=np.linspace(0,-10,500)
ic=np.linspace(20000,100000,3)
for r in ic:
    for s in ic:
        x0=[r,s]
        xs=odeint(dx_dt,x0,ts)
        plt.plot(xs[:,0],xs[:,1],"-", color="orangered", lw=1.5)
#etiquetas de ejes y estilo de letra
plt.xlabel('S',fontsize=20)
plt.ylabel('I',fontsize=20)
plt.tick_params(labelsize=12)
plt.ticklabel_format(style="sci", scilimits=(0,0))
plt.xlim(0,100000)
plt.ylim(0,100000)
#campo vectorial
X,Y=np.mgrid[0:100000:15j,0:100000:15j]
u=-0.5*X
v=0.5*Y
pl.quiver(X,Y,u,v,color='dimgray')
plt.savefig("SI.pdf",bbox_inches='tight')
plt.show()
```

Analisis de existencia de Bifurcaciones

El punto critico del sistema no varia con el cambio en el valor de b (beta) ya que es idependiente de este parametro.


```python

```

a130c2cb628bda71ad01b6470680efa48c8eb4d3
ipynb
Jupyter Notebook
ModeloSI.ipynb
deleonja/dynamical-sys
024acc61a4e36d46b1502ce0391707e4afbc58e2
MIT
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MIT
Qwen/Qwen-72B
1. YES
2. YES