## Ejemplo 2-2
Se requiere determinar las impedancias del circuito equivalente de un transformador de 20 kVA, 8000/240V, 60Hz. La prueba de circuito abierto se realizó en la prueba de circuito secundario del transformador (para reducir el voltaje máximo que se desea medir), y la prueba de cortocircuito se realizó en el lado primario (para reducir la máxima corriente que se tenía que medir). Se tomaron los siguientes datos: 

| Prueba de circuito abierto  | Prueba de cortocircuito  |
|------|------|
| (en el secundario)          | (en el secundario)       |
| $V_{Cab} = 240 \,\mathrm{V}$ | $V_{CC} = 489 \, \mathrm{V}$ |
| $I_{Cab} = 7,133 \, \mathrm{A}$ | $I_{CC} = 2,5 \, \mathrm{A}$ |
| $P_{CAb} = 400 \, \mathrm{W}$ | $P_{CC} = 240 \, \mathrm{W}$ |

Encuentre las impedancias del circuito equivalente referido al lado primario y dibuje el circuito.

### Solución
La razón de vueltas de este transformador es $a = 8000/240$. El factor de potencia durante la prueba de ciruito abierto es:

$$ \mathrm{fp} = \cos \theta = \frac{P_{Cab}}{V_{Cab} I_{Cab}} $$


```python
import numpy as np
import cmath
```


```python
# Datos:
Vcab = 240   ; Vcc = 489 # V
Icab = 7.133 ; Icc = 2.5 # A
Pcab = 400   ; Pcc = 240 # W
a = 8000/240
```


```python
fp_ca = Pcab/(Vcab*Icab)
```


```python
# La admitancia de exitación está dada por
Ye = cmath.rect( Icab/Vcab , -np.arccos(fp_ca) )
```


```python
print('Ye = (%.4f ∠ %.2f° S)'%(abs(Ye), np.rad2deg(np.angle(Ye)) ))
print('Ye = {:.5f} S'.format(Ye))
```

    Ye = (0.0297 ∠ -76.49° S)
    Ye = 0.00694-0.02890j S


$$ Y_e = \frac{1}{R_{N}} - j \frac{1}{X_M} $$


```python
RNS = abs(1/Ye.real)
XMS = abs(1/Ye.imag)
```


```python
print('RNS = %.1f Ohm'%RN)
print('XMS = %.2f Ohm'%XM)
```

    RNS = 144.0 Ohm
    XMS = 34.60 Ohm



```python
# El factor de potencia durante la prueba de cortocircuito es
fp_cc = Pcc/(Vcc*Icc)
```


```python
print('fp_cc = %.3f'%fp_cc)
```

    fp_cc = 0.196



```python
# La impedancia en serie está dada por
Zse = cmath.rect(Vcc/Icc,np.arccos(fp_cc))
```


```python
print('Zse = (%.1f ∠ %.2f°) Ohm'%(abs(Zse), np.rad2deg( np.angle(Zse) ) ))
print('Zse = {:.2f} Ohm'.format(Zse))
```

    Zse = (195.6 ∠ 78.68°) Ohm
    Zse = 38.40+191.79j Ohm



```python
Req = Zse.real
Xeq = Zse.imag
```


```python
print('Req = %.2f Ohm'%Req)
print('Xeq = %.2f Ohm'%Xeq)
```

    Req = 38.40 Ohm
    Xeq = 191.79 Ohm


El circuito equivalente simplificado resultante que se refiere al lado de alto voltaje (primario) se puede determinar convirtiendo los valores de la rama de excitación al lado de alto voltaje.


```python
RNP = a**2 * RNS
XMP = a**2 * XMS
```


```python
print('RNP = %.1f kOhm'%(RNP/1e3))
print('XMP = %.1f kOhm'%(XMP/1e3))
```

    RNP = 160.0 kOhm
    XMP = 38.4 kOhm




## Ejemplo 2-5
Se va a probar un transformador de 15kVA y 2300/230V para determinar los componentes de la rama de excitación, sus impedancias en serie y su regulación de voltaje. Se obtuvieron los siguientes datos de las pruebas realizadas al transformador:

$$\begin{array}{c|c}
\hline
\mbox{Prueba de circuito abierto} & \mbox{Prueba de cortocircuito} \\
\mbox{(lado de bajo voltaje)} & \mbox{(lado de alto voltaje)} \\
\hline
V_{CAb} = 230 \, V & V_{CC} = 47 \, V \\
I_{CAb} = 2,1 \, A & I_{CC} = 6,0 \, A \\
P_{CAb} = 50 \, W & P_{CC} = 160 \, W \\
\hline
\end{array}$$

1. Encuentre el circuito equivalente de este transformador referido al lado de alto voltaje.
2. Encuentre el circuito equivalente de este transformador referido al lado de bajo voltaje.
3. Calcule la regulación de voltaje a plena carga con un factor de potencia de 0,8 en retraso, un factor de potencia de 1,0 y un factor de potencia de 0,8 en adelanto usando la ecuación la ecuación exacta para $V_p$.
4. Haga una gráfica de la regualción de voltaje conforme se incrementa la carga desde vacío hasta plena carga con factores de potencia de 0,8 en retraso y 1,0 y 0,8 en adelanto.
5. ¿Cuál es la eficiencia del transformador en plena carga con un factor de potencia de 0,8 en retraso?

### Solución
1. La relación de espiras de este transformador es a=2300/230=10. Los valores de la rama de excitación equivalente del transformador con referencia al lado secundario (de bajo voltaje) se pueden calcular a partir de los datos de la prueba de cortocircuito. A partir de los datos de la prueba de circuito abierto, el ángulo de impedancia de circuito abierto es

$$ \theta_{CAb} = \arccos \frac{P_{CAb}}{V_{CAb} I_{CAb}} $$


```python
import numpy as np
import cmath
```


```python
# Datos:
Vcab = 230 ; Vcc =  47  # V
Icab = 2.1 ; Icc =   6  # A
Pcab = 50  ; Pcc = 160  # W
a = 2300/230
```


```python
theta_cab = np.arccos( Pcab/(Vcab*Icab) )
# La admitancia de excitación es
YE = cmath.rect( Icab/Vcab , theta_cab )
# Los elementos de la rama de exitación
# referida al secundario son
RNS = 1/YE.real
XMS = 1/YE.imag
# Con los datos de la prueba de cortocircuito,
# el ángulo de impedancia de cortocirciuto es
theta_cc = np.arccos( Pcc/(Vcc*Icc) )
# La impedancia en serie equivalente
ZES = cmath.rect(Vcc/Icc , theta_cc)
ReqP = ZES.real
XeqP = ZES.imag
RNP = a**2 * RNS
XMP = a**2 * XMS
```


```python
print('theta_cab = %.2f°'%np.rad2deg(theta_cab))
print('YE = (%.5f ∠ %.2f°) S'%(abs(YE),np.rad2deg(theta_cab)))
print('YE = {:.6f} S'.format(YE))
print('RNS = %.1f Ohm'%RNS)
print('XMS = %.1f Ohm'%XMS)
print('theta_cc = %.2f°'%np.rad2deg(theta_cc))
print('ZES = (%.3f ∠ %.2f°) Ohm'%(abs(ZES),np.rad2deg(theta_cc)))
print('ZES = {:.2f} Ohm'.format(ZES))
print('ReqP = %.2f Ohm'%ReqP)
print('XeqP = %.2f Ohm'%XeqP)
print('RNP = %.2f kOhm'%(RNP/1e3) )
print('XMP = %.2f kOhm'%(XMP/1e3) )
```

    theta_cab = 84.06°
    YE = (0.00913 ∠ 84.06°) S
    YE = 0.000945+0.009081j S
    RNS = 1058.0 Ohm
    XMS = 110.1 Ohm
    theta_cc = 55.43°
    ZES = (7.833 ∠ 55.43°) Ohm
    ZES = 4.44+6.45j Ohm
    ReqP = 4.44 Ohm
    XeqP = 6.45 Ohm
    RNP = 105.80 kOhm
    XMP = 11.01 kOhm




---------
2) Para encontrar el circuito equivalente referido al lado de bajo voltaje, simplemente se requiere dividir la impedancia entre $a^2$. Como $a = N_p/N_S=10$, los valores resultantes son


```python
RNS = RNP/a**2
XMS = XMP/a**2
ReqS = ReqP/a**2
XeqS = XeqP/a**2
ZeqS = complex(ReqS,XeqS)
```


```python
print('RNS = %.1f Ohm'%RNS)
print('XMS = %.1f Ohm'%XMS)
print('ReqS = %.4f Ohm'%ReqS)
print('XeqS = %.4f Ohm'%XeqS)
```

    RNS = 1058.0 Ohm
    XMS = 110.1 Ohm
    ReqS = 0.0444 Ohm
    XeqS = 0.0645 Ohm


---------
3) La corriente a plena carga en el lado secundario del transformador es


```python
SN = 15e3 # VA
VSN = 230 # V
```


```python
ISN = SN/VSN
phi = np.arccos(0.8)
IS = cmath.rect(ISN , phi)
```


```python
print('IS = (%.2f ∠ %.2f°) A'%(abs(IS), np.rad2deg(phi))) 
```

    IS = (65.22 ∠ 36.87°) A



```python
Vs = 230 # V
Vpa = Vs + ReqS * IS + XeqS * IS
```


```python
print('Vpa = (%.2f ∠ %.2f°) V'%(abs(Vpa), np.rad2deg(np.angle(Vpa))))
print('Vpa = {:.2f} V'.format(Vpa))
```

    Vpa = (235.72 ∠ 1.04°) V
    Vpa = 235.68+4.26j V



```python
RV = (abs(Vpa) - Vs)/Vs * 100
```


```python
RV
```




    2.488189620533749



## Problema N°1
Un transformador monofásico de 380/110V cuya $S_N = 5 \, \mathrm{kVA}$. Ensayado con el devanado de baja tensión (o secundario) en cortocircuito; se debe aplicar 33V al lado primario para que circule corriente nominal, siendo la potencia consumida por la máquina $P_{CC} = 100,2 \, \mathrm{W}$.

1. Cuál será la regulación, cuando la carga aplicada tiene un factor de potencia del 0,8 en atraso, y consume la corriente nominal.
2. Y el rendimiento, cuando la carga aplicada tiene un factor de potencia del 0,5 en atraso, entregando su corriente nominal, y las pérdidas en el núcleo son de 80W.

### Solución

__ítem a)__

__Datos:__
$\left\{
\begin{array}{l}
S_N = 5000 \, \mathrm{VA} \\
U_{1N} = 380 \, \mathrm{V} \\
U_{2N} = 110 \, \mathrm{V} \\
U_{CC} = 33 \, \mathrm{V} \\
P_{CC} = 100,2 \, \mathrm{W} \\
\mathrm{fp} = 0,8
\end{array}
\right.$



__Cálculo de corriente nominal 1__
$$ I_{1N} = \frac{S_N}{U_{1N}} = 13,16 \, \mathrm{A} $$

__Cálculo de corriente nominal 2__
$$ I_{2N} = \frac{S_N}{U_{2N}} = 45.45 \, \mathrm{A} $$

__Cálculo de $\varphi_e$__
$$ P_{CC} = U_{CC} I_{1N} \cos \varphi_e $$

$$ \varphi_e = \frac{P_{CC}}{U_{CC} I_{1N}} = 78,7^\circ $$

__Cálculo de $\varphi_2$__
$$ \cos \varphi_2 = \mathrm{fp} = 0,8 $$

$$ \varphi_2 = \arccos 0,8 = 36,87^\circ $$



__Fasorial:__



Del diagrama fasorial se deduce:
$$ U_1^2 = [U'_2 + U'_e \cos (\varphi_{e} - \varphi_2)]^2 + [U'_e \sin (\varphi_e - \varphi_2)]^2 $$

Cálculo auxiliar

$\left\{
\begin{array}{l}
U'_e \cos (\varphi_e - \varphi_2) = 33 \cos (78,7 - 36,9) = 24,7 \, \mathrm{V} \\
U'_e \sin (\varphi_e - \varphi_2) = 33 \sin (78,7 - 36,9) = 21,9 \, \mathrm{V} 
\end{array}
\right.$

Entonces

$$ 380^2 = (U'_2 + 24,7)^2 + (21,9)^2 $$

$$ (U'_2)^2 + 49,4 U'_2 - 143310 = 0 $$

$$ U'_2 = 354,7 \, \mathrm{V} $$

__El porcentaje de regulación resulta:__

$$ \varepsilon \% = \frac{U_1 - U'_2}{U_1} \times 100 $$

$$ \varepsilon \% = \frac{380 - 354,7}{380} \times 100 = 6,7\% $$

__ítem b)__

__Datos:__
$\left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{fp}_b = 0,5 \\
P_0 = 80 \, \mathrm{W}
\end{array}
\right.$

$$I_2 = I'_2 \cdot a = 45,45 \, \mathrm{V}$$ 

$$ U_2 = \frac{U'_2}{a} = 102,65 \, \mathrm{V} $$

$$ \varphi_b = \arccos (\mathrm{fp}_b) = 60^\circ$$

$$ \eta = \frac{U_2 I_2 \cos \varphi_b}{U_2 I_2 \cos \varphi_b + P_{cc} + P_0} \times 100 = 92,8 \% $$

### Resolución en python:


```python
import numpy as np
```


```python
# Datos:
SN  =  5e3  # VA 
U1N = 380   # V
U2N = 110   # V
Ucc =  33   # V
Pcc = 100.2 # W
fp  = 0.8
```


```python
# Corriente nominal primaria
I1N = SN/U1N
# Corriente nominal secundaria
I2N = SN/U2N
# (relación de transformación)
a = U1N/U2N
```


```python
phi_cc = np.arccos( Pcc/(Ucc*I1N) )
phi_2 = np.arccos(fp)
```


```python
print('phi_cc = %.2f°'%np.rad2deg(phi_cc))
print('phi_2 = %.2f°'%np.rad2deg(phi_2))
```

    phi_cc = 76.66°
    phi_2 = 36.87°



```python
import sympy as sp
```


```python
U2eq = sp.symbols('U2')
Eq = sp.Eq(U1N**2 , (U2eq + Ucc*sp.cos(phi_cc - phi_2))**2 + (Ucc*sp.sin(phi_cc - phi_2)**2) )
```


```python
Sol = sp.solve(Eq,U2eq)
```


```python
U2eq = Sol[1]
```


```python
print('U2eq = %.2f V'%U2eq)
```

    U2eq = 354.62 V



```python
reg = (U1N - U2)/U1N * 100
```


```python
print('reg = %.2f %%'%reg)
```

    reg = 6.68 %



```python
##########
# Item b
##########
I2eq = I1N
I2 = I2eq*a
U2 = U2eq/a
fp_b = 0.5
phi_b = np.arccos(fp_b)
Po = 80 # W

n = (U2*I2*np.cos(phi_b))/(U2*I2*np.cos(phi_b) + Po + Pcc) * 100
```


```python
print('n = %.1f %%'%n)
```

    n = 92.8 %



```python
%reset -s -f
```

## Problema N°2
Se desea conocer el valor más alto del rendimiento que puede alcanzar un transformador monofásico, con los siguientes valores nominales: $S_N = 14 \, \mathrm{kVA}$, $800/400 \, \mathrm{V}$, y conociendo que: $U_{CC} = 3 \, \%$, $P_{fe} = 95 \, \mathrm{W}$ y $P_{CC} = 180 \, \mathrm{W}$.

### Solución

__Datos:__
$\left\{
\begin{array}{l}
S_N = 14 \, \mathrm{kVA} \\
U_{N1} = 800 \, \mathrm{V} \\
U_{N2} = 400 \, \mathrm{V} \\
U_{cc} = 3 \% \\
P_{fe} = 95 \, \mathrm{W} \\
P_{cc} = 180 \, \mathrm{W}
\end{array}
\right.$

__Relación de transformación__
$$ a = \frac{U_{N1}}{U_{N2}} = 2 $$

__Corriente nominal primaria__
$$ I_{N1} = \frac{S_N}{U_{N1}} = 17,5 \, A $$

__Corriente nominal secundaria__
$$  I_{N2} = \frac{S_N}{U_{N2}} = 35 \, A $$

__Vacío:__

En el ensayo de vacío __se aplica la tensión nominal en el lado de baja tensión__ del transformador mientras que __el lado de alta tensión queda en circuito abierto.__

$$U_0 = U_{N2} = 400 \, \mathrm{V}$$

$P_0 = P_{fe}$
$$ I_0 = \frac{P_0}{U_0} = 0,2375 \, A $$

$$ P_0 = I_0 U_0 \cos \varphi_0 $$

Entonces
$$ \varphi_0 = \arccos \left( \frac{P_0}{I_0 U_0} \right) $$

__Cortocircuito:__

$$ I_{cc} = I_{N2} $$

$$ Z_{eq1} = \frac{U_{cc}}{I_{cc}} $$

$$ \varphi_{cc} = \arccos \left( \frac{P_{cc}}{I_{cc} U_{cc}} \right) = 64,62^\circ $$

$$ R_{eq1} = Z_{eq1} \cos \varphi_{cc} \quad \Rightarrow \quad R_{eq2} = \frac{R_{eq1}}{a^2} $$

$$ X_{eq1} = Z_{eq1} \sin \varphi_{cc} \quad \Rightarrow \quad X_{eq2} = \frac{X_{eq1}}{a^2} $$

__Rendimiento máximo:__

$$ P_0 = I_2^2 R_{eq2} \quad \Rightarrow \quad I_\mathrm{2 \eta max} = \sqrt{\frac{P_0}{R_{eq2}}} $$

$U_{20} = U_0$

$$ U_\mathrm{2 \eta max} = U_{20} - I_\mathrm{2 \eta max} (R_{eq2} \cdot 1 + 0) $$

$$ \eta_\mathrm{max} = \frac{U_\mathrm{2 \eta max} I_\mathrm{2 \eta max} \cdot 1}{U_\mathrm{2 \eta max} I_\mathrm{2 \eta max} \cdot 1 + P_{cu} + P_0} \times 100 = 98,7 \% $$

### Resolución en python:


```python
import numpy as np
```


```python
# Datos:
SN  = 14000     # VA
UN1 =   800     # V
UN2 =   400     # V
Po  =    95     # W
Pcc =   180     # W
Ucc = 3/100*UN1
```


```python
a = UN1/UN2  #     (relación de transformación)
IN1 = SN/UN1 # A   (corriente nominal primaria)
IN2 = SN/UN2 # A   (corriente nominal secundaria)
```


```python
# Vacío
Uo = UN2
Io = Po/Uo

phi_o = np.arccos(Po/(Io*Uo))

Ip = Io*np.cos(phi_o)
Im = Io*np.sin(phi_o)

# Corto circuito
Icc = IN2
phi_cc = np.arccos(Pcc/(Icc*Ucc))

Zeq1 = Ucc/Icc
Req1 = Zeq1*np.cos(phi_cc)
Xeq1 = Zeq1*np.sin(phi_cc)
Req2 = Req1/a**2
Xeq2 = Xeq1/a**2

# Rendimiento
U20 = Uo
I2max = np.sqrt(Po/Req2)
U2max = U20 - I2max*(Req2*1 + 0)

n = (U2max*I2max*1)/(U2max*I2max + Pcc + Po) * 100
```


```python
print('-------------------')
print('Rendimiento máximo:')
print('n = %.1f %%'%n)
print('-------------------')
```

    -------------------
    Rendimiento máximo:
    n = 98.7 %
    -------------------



```python
%reset -s -f
```

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2021-11-16T16:46:27.000Z
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