# **Optimización - Actividad 3**




*   Estudiante: Alejandro Jesús Manotas Marmolejo
*   Código: 200108289



# **Pregunta 1.**

Considere $N$ funciones convexas $f_i(x):\Re\Rightarrow \Re$, para $1 \le i \le N$, demuestre que su suma
\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^{N} f_i(x)\,,
\end{eqnarray}
es convexa.

**Respuesta.**

\begin{equation}
\begin{split}
& x_1, x_2 \in \Re\\
& z = \alpha x_1 + (1-\alpha)x_2\\
& f(z) = g(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2)\\
& g(x) = \sum_{i=1}^{N} f_i(x)\\
& = \sum_{i=1}^{N} f_i(z)\\
& = \sum_{i=1}^{N} f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2)\\
& = \sum_{i=1}^{N} \alpha f_i(x_1) + (1-\alpha)f_i(x_2)\\
& = \sum_{i=1}^{N} \alpha f_i(x_1) + \sum_{i=1}^{N} (1-\alpha)f_i(x_2)\\
& = \alpha \sum_{i=1}^{N} f_i(x_1) + (1-\alpha)\sum_{i=1}^{N} f_i(x_2)\\
& = \alpha g(x_1) + (1-\alpha) g(x_2) 
\end{split}
\end{equation}





---



# **Pregunta 2**

Demuestre que $g(x) = a\cdot f(x) +b$ es convexa, en donde $a,b\ge 0$ y $f(x):\Re\Rightarrow \Re$ es una función convexa.

**Respuesta.**

\begin{equation}
\begin{split}
& x_1, x_2 \in \Re\\
& z = \alpha x_1 + (1-\alpha)x_2\\
& f(z) = g(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2)\\
& g(x) = a \cdot f(x) + b\\
& = a \cdot f(z) + b \\
& = a \cdot (f(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2)) + b\\
& = a \cdot (\alpha f(x_1) + (1-\alpha) f(x_2)) + b\\
& = a\alpha f(x_1) + (1-\alpha)af(x_2) + b \\
& = a\alpha f(x_1) + (1-\alpha)af(x_2) + b + \alpha b - \alpha b\\
& = a\alpha f(x_1) + \alpha b + (1-\alpha)af(x_2) + b - \alpha b\\
& = \alpha (a f(x_1) + b) + (1-\alpha)af(x_2) + b (1 - \alpha)\\
& = \alpha (a f(x_1) + b) + (1-\alpha)af(x_2) + b (1 - \alpha)\\  
& = \alpha [a f(x_1) + b] + (1-\alpha) [af(x_2) + b]\\  
& = \alpha g(x_1) + (1-\alpha) g(x_2)
\end{split}
\end{equation}



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# **Pregunta 3**

Demuestre que, si $f(x):\Re \Rightarrow \Re$ es convexa, entonces $g(x) = f(a\cdot x +b)$ es convexa también, en donde $a,b \ge 0$.

**Respuesta.**

\begin{equation}
\begin{split}
& x_1, x_2 \in \Re \\
& z = \alpha x_1 + (1-\alpha) x_2\\
& f(z) = g(\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2)\\
& g(x) = f(a \cdot x + b)\\
& = f(a \cdot (\alpha x_1 + (1-\alpha)x_2) + b)\\
& = f(a \alpha x_1 +  (1-\alpha)ax_2 + b)\\
& = f(a \alpha x_1 +  (1-\alpha)ax_2 + b + \alpha b - \alpha b)\\
& = f(a \alpha x_1 + \alpha b +  (1-\alpha)ax_2 + b - \alpha b)\\
& = f(\alpha [a x_1 + b] +  (1-\alpha)ax_2 + b [1- \alpha])\\
& = f(\alpha [a x_1 + b] +  (1-\alpha) [ax_2 + b])\\
& = \alpha f([a x_1 + b]) +  (1-\alpha) f(ax_2 + b)\\
& = \alpha g(x_1) +  (1-\alpha) g(x_2)\\
\end{split}
\end{equation}



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**Recuerde:** En este curso no se tolerará el plagio. Sin excepción, en caso de presentarse esta situación, a los estudiantes involucrados se les iniciará proceso de investigación, y se actuará en conformidad con el Reglamento de Estudiantes de la Universidad del Norte. El plagio incluye: usar contenidos sin la debida referencia, de manera literal o con mínimos cambios que no alteren el espíritu del texto/código; adquirir con o sin intención, trabajos de terceros y presentarlos parcial o totalmente como propios; presentar trabajos en grupo donde alguno de los integrantes no trabajó o donde no se hubo trabajo en equipo demostrable; entre otras situaciones definidas en el manual de fraude académico de la Universidad del Norte:

(https://guayacan.uninorte.edu.co/normatividad_interna/upload/File/Guia_Prevencion_Fraude%20estudiantes(5).pdf )

**Isaías 40:31.** pero los que esperan a Jehová tendrán nuevas fuerzas; levantarán alas como las águilas; correrán, y no se cansarán; caminarán, y no se fatigarán.

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QuantumGorilla/Optimization
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