# PRAKTIKUM 6 <a id="chapter1"></a>
__Hampiran Polinomial__

*Topik*
1. Hampiran Deret Taylor
2. Analisis Galat Hampiran Deret Taylor 

<hr style="border:2px solid black"> </hr>

# 1 Hampiran Deret Taylor
Asumsikan bahwa $ f\in C^{N+1}[a,b] $ dan diketahui $ x_0\in[a,b] $. Jika $ x\in[a,b] $, maka

\begin{equation} 
f(x)=P_N(x)+E_N(x)
\end{equation}

dimana $ P_N(x) $ adalah fungsi polinomial yang dapat digunakan untuk menghampiri $ f(x) $, yaitu

\begin{equation} 
f(x)\approx P_N(x)=\sum_{k=0}^{N}\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
\end{equation}

dan galat $ E_N(x) $ memiliki bentuk

\begin{equation}
E_N(x)=\dfrac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}(x-x_0)^{N+1}
\end{equation}


### Contoh Soal 1
Diberikan fungsi $ f(x)=e^x $. Gunakan $ x_0=0 $ dan carilah $ P_5(x) $, $ P_7(x) $, dan $ P_9(x) $.

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal tersebut, langkah pertama yang dilakukan adalah mendefinisikan $P_N(x)$ dengan $f(x)=e^x$, yaitu 
1. Dicari nilai $f^{(k)}(x_0)$  yaitu turunan ke-$k$ dari $f(x_0)$

Fungsi turunan $f(x)=e^x$ adalah
\begin{align*}
&f'(x)=e^x\\
&f''(x)=e^x\\
&f'''(x)=e^x\\
&f^{(4)}(x)=e^x
\end{align*}
Karena $ x_0=0 $, didapatkan 
\begin{align*}
&f'(x_0)=e^0=1\\
&f''(x_0)=e^0=1\\
&f'''(x_0)=e^0=1\\
&f^{(4)}(x_0)=e^0=1
\end{align*}
Dengan memperhatikan pola di atas, maka $f^{(k)}(x_0) = 1$

2. Definisikan $P_N(x)$
\begin{align} 
P_N(x)&=\sum_{k=0}^{N}\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\\
      &=\sum_{k=0}^{N}\dfrac{1}{k!}(x)^k
\end{align}
Dengan $ N=5,7,9 $ untuk menghitung $ P_5(x) $, $ P_7(x) $, dan $ P_9(x) $, maka diperoleh
\begin{align*}
& P_5(x)=\sum_{k=0}^{5}\dfrac{1}{k!}\ {x^k} = 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^5}{5!}\\
& P_7(x)=\sum_{k=0}^{7}\dfrac{1}{k!}\ {x^k} = 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^6}{6!}+\dfrac{x^7}{7!}\\
& P_9(x)=\sum_{k=0}^{9}\dfrac{1}{k!}\ {x^k} = 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^6}{6!}+\dfrac{x^7}{7!}+\dfrac{x^8}{8!}+\dfrac{x^9}{9!}
\end{align*}

# 2 Analisis Galat
Pada subbab 1, telah diketahui bahwa galat $ E_N(x) $ memiliki bentuk

\begin{equation}
E_N(x)=\dfrac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}(x-x_0)^{N+1}
\end{equation}

Diberikan fungsi $ f(x)=e^x $. Hitung nilai $E_9(x)$ jika $ |x|\le1 $

Jawab:

Galat untuk hampiran $ P_9(x) $ adalah 

$$ E_9(x)=\dfrac{f^{(10)}(c)}{10!}\ x^{10} $$

Karena $ |x|\le 1 $ sehingga nilai $ -1\le c\le 1 $. Serta, karena $ f^{(10)}(c)=e^c $ maka $ e^c $ merupakan fungsi naik. Dengan demikian, nilai $ e^c\le e^1<3 $, sehingga nilai batas galat untuk hampiran $ P_9(x) $ adalah

$$ |E_9(x)|=\dfrac{|f^{(10)}(c)|}{10!}\ x^{10}\le\dfrac{e^c}{10!}<\dfrac{3}{10!}<8.26719\times10^{-7} $$

Jadi, hampiran $ E_9(x) $ memiliki batas akurasi hingga 6 angka desimal.

__Pertanyaan__ ? Berapa N minimal agar hampiran $f(x)=e^x$ memiliki galat maksimal $10^{-9}$ untuk selang  $|x|\le1$

Cek Kuliah 6

### Contoh 1
Diberikan fungsi $ f(x)=\exp(x) $. Gunakan teorema deret Taylor untuk
1. menggambarkan hampiran polinomial dari fungsi $ f $ dengan $ n=1,2,3,4 $ pada interval $ [-3,3] $ beserta $ f(x)=\exp(x) $
2. menggambarkan galat dari masing-masing hampiran terhadap fungsi $ f $ pada interval $ [-3,3] $.

Berdasarkan contoh sebelumnya didapatkan bentuk deret Taylor dari $ f(x)=\exp(x) $, yaitu

$$ P_N(x) = \sum_{k=0}^{N}\dfrac{1}{k!}(x)^k $$


```julia
function pn_exp(x,n)
    y = 0;
    for k = 0:n
        y = y + x.^k./factorial(k);
    end
    return y
end
```


```julia
# Definisikan batas interval dan nilai y eksak.
x = -3:0.01:3;
y = exp.(x);
```


```julia
using Plots
```


```julia
# hitung nilai P1 P2 P3 P4 pada interval x yang ditentukan
p1= pn_exp.(x,1);
p2= pn_exp.(x,2);
p3= pn_exp.(x,3);
p4= pn_exp.(x,4);
# gambarkan grafik masing-masing fungsi
p1a = plot(x,y,label = "f(x)",legend=:topleft)
plot!(x,p1,label = "p1")
plot!(x,p2,label = "p2")
plot!(x,p3,label = "p3")
plot!(x,p4,label = "p4")
# Tambahkan grid, title, label dan legend
title!("Plot perbandingan fungsi f(x) dan hampirannya")
xlabel!("x")
ylabel!("y")
```


```julia
# hitung nilai galat P1 P2 P3 P4 pada interval x yang ditentukan
e1 = abs.(y.-p1);
e2 = abs.(y.-p2);
e3 = abs.(y.-p3);
e4 = abs.(y.-p4);
# gambarkan grafik masing-masing galat
p1b = plot(x,e1,label = "E1",yaxis=:log,ylim=(1e-12, 100))
plot!(x,e2,label = "E2",legend=:bottomright)
plot!(x,e3,label = "E3")
plot!(x,e4,label = "E4") 
 
title!("Plot perbandingan galat hampiran fungsi f")
xlabel!("x")
ylabel!("y")

```

#### Pertanyaan
Bagaimana hampiran yang lain? seperti

$\sin(x)$ ?

$\cos(x)$ ?


Setiap fungsi memiliki deret Taylor yang unik.

Jadi, seperti langkah-langkah pada $e^x$, untuk menentukan hampiran $sin(x)$ maka harus mendefinisikan $P_N(x)$ terlebih dulu.

Misalkan, akan dicari hampiran $\cos(x)$ disekitar $x=0$.

Maka, cari $f^{(k)}(x_0)$ dengan $x_0=0$

\begin{align}
\begin{split}
&f(x) = cos(x)\\
&f'(x)= -sin(x)\\
&f''(x)=-cos(x)\\
&f'''(x) = sin(x)\\
&f^{(4)}(x) = cos(x)
\end{split}
\ \ \ \ \ \ \text{maka} \ \ \ \ \ \ 
\begin{split}
&f(0) = 1\\
&f'(0)= 0\\
&f''(0)=-1\\
&f'''(0) = 0\\
&f^{(4)}(0) = 1
\end{split}
\end{align}
Jadi, 
\begin{align}
P_N(x) &= 1+0-\frac{x^2}{2!}+0+\frac{x^4}{4!}+\dots\\
       &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots\\
       &= \sum_{k=0}^{N}\dfrac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} 
\end{align}

Beberapa bentuk deret Taylor dapat dilihat di
https://id.wikipedia.org/wiki/Deret_Taylor

<hr style="border:2px solid black"> </hr>

# Soal Latihan
Kerjakan soal berikut pada saat kegiatan praktikum berlangsung.

`Nama: ________`

`NIM: ________`

### Soal 1

Diberikan fungsi 

$$  f(x)=\cos(x)  $$

Ulangi langkah-langkah pada **Contoh 1** untuk membentuk hampiran polinomial dengan derajat $ n=1,2,3,4 $ pada interval $ [-4,4] $.


```julia

```

7d9809803d7d333d508f94b1f1024ac200b81e8e
ipynb
Jupyter Notebook
notebookpraktikum/Praktikum 06.ipynb
mkhoirun-najiboi/metnum.jl
a6e35d04dc277318e32256f9b432264157e9b8f4
MIT
notebookpraktikum/Praktikum 06.ipynb
mkhoirun-najiboi/metnum.jl
a6e35d04dc277318e32256f9b432264157e9b8f4
MIT
notebookpraktikum/Praktikum 06.ipynb
mkhoirun-najiboi/metnum.jl
a6e35d04dc277318e32256f9b432264157e9b8f4
MIT
Qwen/Qwen-72B
1. YES
2. YES