```python
from sympy import *
from sympy.abc import x, y, m, n, z, r
```


```python
dis = (x**2 - x)/(4 + x) >= 3
dis
```




$\displaystyle \frac{x^{2} - x}{x + 4} \geq 3$




```python
3/x
```




$\displaystyle \frac{3}{x}$




```python
x/(sqrt(sqrt(y + 45/S(16)*(y**2 + 5))))
```




$\displaystyle \frac{x}{\sqrt[4]{\frac{45 y^{2}}{16} + y + \frac{225}{16}}}$




```python
Eq(x, m*y + r, evaluate=False)
```




$\displaystyle x = m y + r$




```python
S(15)/7
```




$\displaystyle \frac{15}{7}$




```python
eq = Eq(15, m*7 + r, evaluate=False)
eq
```




$\displaystyle 15 = 7 m + r$




```python
eq.subs({m:2, r:1})
```




$\displaystyle \text{True}$



$${{15}\over{0}} \quad\leftrightarrow\quad 15 = 0m + r =  r \quad m, r\in\mathbb{Z} \wedge r < 15$$
Se scelgo
$$m=1, r=0 \quad\rightarrow\quad 15 \not = 0*1 + 0 = 0$$

Ritornando al nostro problema iniziale, il denominatore $x+4\not=0$ per ogni $x\in\mathbb{R}$, quindi $x\not=-4$.


```python
dis
```




$\displaystyle \frac{x^{2} - x}{x + 4} \geq 3$



**Intermezzo**, questo che abbiamo scritto e' la condizione di esistenza rispetto alla divisione. Ce ne possono essere altre, ad esempio:


```python
sqrt(x+1)
```




$\displaystyle \sqrt{x + 1}$



La scrittura $\sqrt{y}$ significa che devo trovare un numero $z\in\mathbb{R}$ tale che $y = z^2$. Quindi, ha senso $\sqrt{-3}$? No, perche' non esiste $z\in\mathbb{R}$ tale che $-3=z^2$. Tornando alla scrittura sopra, devo trovare un numero $z\in\mathbb{R}$ tale che $x+1 = z^2$. Qual e' la condizione per cui riesco effettivamente a trovare questo $z$? Quando $x + 1\geq 0$, ovvero $x \geq -1$.


```python
solve(dis)
```




$\displaystyle \left(6 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq -2 \wedge -4 < x\right)$



---


```python
x
```




$\displaystyle x$




```python
expr = abs((x**2 - 9)/(x-1))
expr
```




$\displaystyle \left|{\frac{x^{2} - 9}{x - 1}}\right|$




```python
from sympy.plotting import plot
```


```python
plot(expr,)
```


```python
solve(expr > 5)
```




$\displaystyle \left(-\infty < x \wedge x < -7\right) \vee \left(1 < x \wedge x < 2\right) \vee \left(x < 1 \wedge \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{41}}{2} < x\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{41}}{2} < x\right)$



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