# Sinais periódicos

Neste notebook avaliaremos a série de Fourier de alguns sinais periódicos. 

Um sinal periódico, contínuo, é aquele para o qual a seguinte propriedade é válida:
    
\begin{equation}
x(t) = x(t \pm mT_p),
\end{equation}
ou seja, o valor do sinal no instante $t$ [s] é o mesmo para o instante $t \pm mT_p$ [s]. Dessa forma, o sinal se repete a cada
período $T_p$.

$T_p$ é o chamado período fundamental do sinal periódico. Neste caso, $x(t) = x(t \pm T_p) = x(t \pm 2T_p) = ... = x(t \pm kT_p)$.

Os sinais periódicos tem uma frequência fundamental $f_1 = \frac{1}{T_p}$ (ou frequência angular fundamental $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_p}$.



A base para a estimativa do espectro de tais sinais é a ***Série de Fourier***, que nos afirma que qualquer sinal periódico pode ser representado por uma soma infinita de exponenciais complexas.

\begin{equation}
x(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}\tilde{c}_k \mathrm{e}^{\mathrm{j}k \omega_1 t}
\end{equation}
com os coeficientes dados por:

\begin{equation}
\tilde{c}_k = \frac{1}{T_p}\int_{T_p} x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_1 t}\mathrm{d}t
\end{equation}

Para investigar o espectro vimos que podemos usar a informação contida em ***exatamente um período do sinal*** $x(t)$.

## Mas e se não conhecermos o período $T_p$?

Vamos investigar então o que acontece em dois casos:

### 1. Quando medirmos um número $r$ inteiro de períodos fundamentais. 



Neste caso o período fundamental pode ser visto como $T^{'}_{p} = rT_p$ [s], e a frequência fundamental $f_{1}^{'}=\frac{1}{rT_p}$, $\omega_{1}^{'} = 2\pi f_{1}^{'}$ e os coeficientes de Fourier são dados por:

\begin{equation}
\tilde{c}_k = \frac{1}{rT_p}\int_{rT_p} x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{1}^{'} t}\mathrm{d}t
\end{equation}

Ora, se $r$ é um número inteiro, o sinal, $x(t)$ em si não mudou nada e o resultado dos coeficientes vai ser o mesmo. No entanto, $T^{'}_{p} = rT_p$, então a frequência fundamental $f_{1}^{'}$ é menor que a frequência fundamental original.

### 2. Quando medirmos um número $r$ não inteiro de períodos fundamentais. 

Agora, se $r$ não for um número inteiro e, por exemplo:



Claramente, a integral que calcula os coeficientes $\tilde{c}_k$ será diferente. Podemos ver isso pela seguinte perspectiva: Ao assumirmos que $x(t)$ é periódico, então se medirmos por uma quantidade não interia de períodos, é como se o novo sinal periódico fosse: 



### Assim, o que isso significa para o espectro $\tilde{c}_k$?


```python
# importar as bibliotecas necessárias
import numpy as np # arrays
import matplotlib.pyplot as plt # plots
plt.rcParams.update({'font.size': 14})
from scipy import signal # some signals

fs = 100
Tp = 1 
f1 = 1/Tp # Frequencia fundamental
w1 = 2*np.pi*f1
r = 17.6
t = np.arange(0, r*Tp, 1/fs) # vetor temporal

# onda quadrada
xt = signal.square(2 * np.pi * f1 * t)

# espectro original
ck = np.fft.fft(xt)
freq_vec = np.linspace(0, (len(xt)-1)*fs/len(xt), len(xt))

plt.figure()
plt.stem(freq_vec, np.abs(ck)/len(xt), '-k', basefmt=" ", use_line_collection=  True)
plt.grid(linestyle = '--', which='both')
plt.xlabel('Frequência [-]')
plt.ylabel(r'$|\tilde{c}_k|$ [-]')
plt.xticks(np.arange(0, 11, 1))
plt.xlim((0, 10))
plt.tight_layout()
plt.show()

print('Frequency vector is: {}'.format(freq_vec))
```


```python

```

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ipynb
Jupyter Notebook
Aula 22 - SF e aspectos de resolucao/SF e resolucao do spk.ipynb
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CC0-1.0
2020-10-01T20:59:33.000Z
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CC0-1.0
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CC0-1.0
2020-10-15T12:08:22.000Z
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