# Übungsblatt 3: sWeights

 * [Aufgabe 1](#Aufgabe-1)
 * [Aufgabe 2](#Aufgabe-2)

Eine experimentelle Verteilung in den Variablen $(x, m)$ habe eine Signalkomponente $s(x, m)$ = $s(x)s(m)$ und eine Untergrundkomponente $b(x,m)$ = $b(x)b(m)$. Der erlaubte Bereich ist $0 < x < 1$ und $0 < m < 1$. Es sei $s(m)$ eine Gaussverteilung mit Mittelwert $\mu = 0.5$ und Standardabweichung $\sigma = 0.05$. Die Verteilungen der anderen Komponenten werden aus gleichverteilten Zufallzahlen $z$ gewonnen. Für $s(x)$ verwende man $x = −0.2\ln{z}$, für $b(m)$ verwende man $m = \sqrt{z}$ und für $b(x)$ die Transformation $x = 1 − \sqrt{z}$.

Erzeugen Sie für zwei angenommene Effizienzfunktionen

 * $\varepsilon(x, m) = 1$
 * $\varepsilon(x, m) = (x + m) / 2$
 
Datensätze von Paaren $(x, m)$ die 20000 akzeptierte Signalereignisse und 100000 akzeptierte Untergrundereignisse umfassen.
Betrachten Sie nun die gemeinsame $m$-Verteilung und parametrisieren Sie diese durch

\begin{equation}
    f(m) = s(m) + b(m)
\end{equation}

mit

\begin{equation}
    s(m) = p_0 \exp\left(-\frac{(m - p_1)^2}{2p_p^2}\right)
\end{equation}

und

\begin{equation}
    b(m) = p_3 + p_4m + p_5m^2 + p_6\sqrt{m} \,.
\end{equation}

 Für den Fall $\varepsilon(x, m) = (x + m)/2$ benutzen Sie die obige Parametrisierung auch zur Beschreibung der $m_c$ und $m_{cc}$-Verteilungen, für die jeder $m$-Wert mit $1/\varepsilon(x, m)$, bzw. $1/\varepsilon^2(x, m)$ gewichtet wird, und die für die korrekte Behandlung von nicht-konstanten Effizienzen benötigt werden.
 
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## Aufgabe 1
Bestimmen Sie für beide Effizienzfunktion die sWeights $w(m)$ aus den beobachteten $m$-Verteilungen, und verwenden Sie $w(m)/\varepsilon(x, m)$ um die Verteilung $N_{s}s(x)$ aus den Daten heraus zu projizieren. Vergleichen Sie für beide Effizienzfunktionen das Resultat mit der Erwartung.

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```python

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## Aufgabe 2
Bestimmen Sie für $\varepsilon(x, m) = (x + m)/2$ unter Berücksichtigung der Funktion $\varepsilon(x, m)$ in der Bestimmung von $w(m)$ die korrekten sWeights aus den mit $1/\varepsilon(x, m)$ gewichteten Daten. Verwenden Sie die korrekten sWeights um mit $w(m)/\varepsilon(x, m)$ um die Verteilung $N_{s}s(x)$ zu extrahieren.


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1. YES
2. YES