#I sistemi lineari
###Esempio, nucleao di un'A.L.
$$
f(x, y, z) = (z+y, x-z) \\
\operatorname{ker} f = 
\begin{cases}
z + y = 0 \\
x - z = 0
\end{cases}
$$
Le due equazioni formanon un sistema linare.  
Questo insieme di equazioni possono essere arbitrariamente complesse.  
Sistemi più complessi (più equazioni e più incognite) non sono facilmente risolvibili.  

Alcuni sistemi sono più facilmente risolbili di altri.  
$$
\begin{cases}
1x + 1y + 2z = 1 \\
0x + 2y - 1z = 0 \\
0x + 4y + 0z = 7 
\end{cases}
$$
Questo sistema è facilmente risolvibile perchè ho molti coefficenti nulli.  
Posso notare come la matrice relativa a questo sistema è una matrice ridotta.  

#Rappresentazione dei sistemi lineari
I S.L. possono essere rappresentati da una sequenza di $m$ equazioni di cui la prima è di $n$ icognite
$$
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_a + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_n \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_n 
$$
Posso facilmente notare come posso rappresentare questo sistema tramite due matrici.  
 1. La matrice $A, R^{mn}$ formata dai coefficenti $a_{mn}$.  
 2. La matrice $B, R^{m1}$ formata dai termini noti.

Quindi posso rappresentare interamente con la matrice completa (A|B)
$$
(A|B) = 
\left[
\begin{array}{ccc|c}
a_{11} & \dots & a_{1n} & b_1 \\
a_{21} & \dots & a_{2n} & b_2 \\
\dots  & \dots & \dots  & \dots \\
a_{m1} & \dots & a_{mn} & b_m
\end{array}
\right]
$$
Posso vedere che definendo una matrice colonna con le mie icognite 
$$
X = 
\begin{bmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \dots \\ x_m
\end{bmatrix}
$$
la dicitura $AX=B$ mi crea esattamente il mio sistema di equazioni.  
Quindi analizzare S.L. equivale a studiare delle matrice.
#Sistema lineare ridotto
Un sistema è ridotto (quindi facilmente risolvibile) se la matrice $A$ dei coefficenti è ridotta per righe.  
###Esempio
$$
\begin{cases}
2x - 1y + 1z = 1 \\
0x + 4y - 3z = 0 \\
0x + 5y + 0z = 10 
\end{cases} \\
A = 
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 1 \\
0 & 4 & 3 \\
0 & 5 & 0
\end{bmatrix} \\
B = 
\begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 10
\end{bmatrix}
$$
###Tecnica di soluzione
La matrice A è ridotta per righe, quindi questo è un sistema ridotto.  
Si parte dall'ultima equazione (che contiene più zeri e quindi il numero minimo di incognite) e si risale un'equazione alla volta.  
$$
\begin{align}
5y = 10 & \rightarrow y = 2 \\
4y - 3z = 0 & \rightarrow z =  8/3 \\
2x - 2 + 8/3 = 1 & \rightarrow x = \frac{1 + 2 - 8/3}{2}
\end{align}
$$
###S.L. con infinite soluzioni
Se il numero di equazioni (righe) è minore del numero di incognite, nel cercare la soluzione mi rimarrano delle icognite.
$$
\left[
\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & 4 & 1 & 1 \\
0 & 2 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 
\end{array}
\right]
$$
Partendo dall'ultima riga ottengo
$$
2z + t = 0
$$
e scelgo di risolvere per $t$ per evitare una divisione
$$
t = -2z
$$
Ora salgo di una riga
$$
2y - z + y = 1
2y - 3z = 1
$$
Ora guardando la matrice mi accorgo che y, per la riga che sto analizzando, è l'elemento speciale, quello che sotto di se ha solo zeri.  
Devo risolvere questa equazione per y  
$$
y = \frac{3z +1}{2}
$$
Quindi vado ad analizzare la prima riga
$$
2x + y + 4z + t = 1 \\
2x + \frac{3z +1}{2} + 4z - 2z = 1
$$
Questo ci permette di avere tutte le mie incognite dipendenti solo da $z$
$$
\begin{align}
x & = \frac{1 - 2x - \frac{3z +1}{2}}{2} \\
y & = \frac{3z +1}{2} \\
t & = -2z
\end{align}
$$
Quindi $z$ posso sceglierla a mio piacere.  
Quindi $z$ viene detta **incognita libera** quindi questo sistema ha infinite soluzioni.  
La regola da ricordare è **quando devo scegliere per quale incognita risolvere una riga devo scegliere quella abbinata al coefficente speciale**.  
##Sistema ridotto privo di soluzioni
Se nel ridurre la matrice di un sistma trovo una riga con tutti coefficenti nulli ma con termine noto non nullo allora il sistema è irrisolvibile (detto anche *incompatibile*)

##Analisi di un sistema generico AX=B
Devo eseguire i seguenti passaggi
 1. Identificare se il sistema è risolubile
 2. Trovare le soluzioni del sistema
 

Se il sistema è ridotto per righe si può lavorare direttamente sulla matrice per analizzare il sistema.  
Se il sistema non è ridotto allora dobbiamo **trasformarlo** in un sistema **equivalente** (*con le stesse soluzioni*) ma **ridotto per righe**.  



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