# Exponentialfunktionen lösen


```python
from sympy import *
```


```python
x = symbols('x')
l = 3*5**(x-2)
r = 7**(4-x)
g = Eq(l,r)
g

```




$\displaystyle 3 \cdot 5^{x - 2} = 7^{4 - x}$




```python
e = solveset(g)
e
```




$\displaystyle \left\{- \frac{- 4 \log{\left(7 \right)} - 2 \log{\left(5 \right)} + \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)} + \log{\left(7 \right)}}\right\}$




```python
N(e)
```




$\displaystyle \left\{2.78563560054719\right\}$



### Manuelle, schrittweise Lösung


```python
g
```




$\displaystyle 3 \cdot 5^{x - 2} = 7^{4 - x}$



 1 Schritt

Auf beiden Seiten der Gleichung wird der Log angewendet.


```python
l = log(l)
r = log(r)
Eq(l,r)
```




$\displaystyle \log{\left(3 \cdot 5^{x - 2} \right)} = \log{\left(7^{4 - x} \right)}$



 2 Schritt

Auf der linken Seite der Gleichung die 1. Logarithmus-Regel anwenden.

$log(a \cdot b) = log(a) + log(b)$


```python
l = log(3) + log(5**(x-2))
Eq(l,r)
```




$\displaystyle \log{\left(5^{x - 2} \right)} + \log{\left(3 \right)} = \log{\left(7^{4 - x} \right)}$



 3 Schritt

Auf beiden Seiten der Gleichung die 3. Logarithmus-Regel anwenden.

$log(a^b) = b \cdot log(a)$


```python
l = (x-2)*log(5)+log(3)
r = (4-x)*log(7)
Eq(l,r)
```




$\displaystyle \left(x - 2\right) \log{\left(5 \right)} + \log{\left(3 \right)} = \left(4 - x\right) \log{\left(7 \right)}$



 4 Schritt

Klammern durch Distributionsregel auflösen.

$a \cdot (b + c) = ab + ac$


```python
l = factor(l)
r = 4*log(7)-x*log(7)
Eq(l,r)
```




$\displaystyle x \log{\left(5 \right)} - 2 \log{\left(5 \right)} + \log{\left(3 \right)} = - x \log{\left(7 \right)} + 4 \log{\left(7 \right)}$



 5 Schritt

Alle $xlog$ auf eine Seite bringen, ...


```python
l -= x*log(5)
r -= x*log(5)
Eq(l,r)

```




$\displaystyle - 2 \log{\left(5 \right)} + \log{\left(3 \right)} = - x \log{\left(7 \right)} - x \log{\left(5 \right)} + 4 \log{\left(7 \right)}$



... alle $log$ auf die andere Seite.


```python
l -= 4*log(7)
r -= 4*log(7)
Eq(l,r)
```




$\displaystyle - 4 \log{\left(7 \right)} - 2 \log{\left(5 \right)} + \log{\left(3 \right)} = - x \log{\left(7 \right)} - x \log{\left(5 \right)}$



 6 Schritt

Klammer für $xlog$ durch umgekehrte Distributionsregel setzen.


```python
r = factor(r)
Eq(l,r)
```




$\displaystyle - 4 \log{\left(7 \right)} - 2 \log{\left(5 \right)} + \log{\left(3 \right)} = - x \left(\log{\left(5 \right)} + \log{\left(7 \right)}\right)$



 7 Schritt

x rechts isolieren, indem beide Seiten durch die rechte Klammer geteilt werden.


```python
r /= (log(5) + log(7))
l /= (log(5) + log(7))
Eq(l,r)
```




$\displaystyle \frac{- 4 \log{\left(7 \right)} - 2 \log{\left(5 \right)} + \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)} + \log{\left(7 \right)}} = - x$



 8 Schritt

Beiden Seiten mit - 1 multipizieren, um aus $-x$ ein $x$ zu machen.


```python
l *= -1
r *= -1
Eq(l,r)
```




$\displaystyle - \frac{- 4 \log{\left(7 \right)} - 2 \log{\left(5 \right)} + \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)} + \log{\left(7 \right)}} = x$



 9 Schritt 
 
Ergebnis im Taschenrechner ausrechnen


```python
N(Eq(l,r))
```




$\displaystyle 2.78563560054719 = x$




```python
e
```




$\displaystyle \left\{- \frac{- 4 \log{\left(7 \right)} - 2 \log{\left(5 \right)} + \log{\left(3 \right)}}{\log{\left(5 \right)} + \log{\left(7 \right)}}\right\}$



3dc6ef19e5d7ed0a1918de4cdda34279f55464bc
ipynb
Jupyter Notebook
Teil_70_Exponentialfunktionen.ipynb
chrMenzel/A-beautiful-code-in-Python
92ee43c1fb03c299384d4de8bebb590c5ba1b623
MIT
Teil_70_Exponentialfunktionen.ipynb
chrMenzel/A-beautiful-code-in-Python
92ee43c1fb03c299384d4de8bebb590c5ba1b623
MIT
Teil_70_Exponentialfunktionen.ipynb
chrMenzel/A-beautiful-code-in-Python
92ee43c1fb03c299384d4de8bebb590c5ba1b623
MIT
Qwen/Qwen-72B
1. YES
2. YES