# Probabilidad I:
Valor esperado e indicadores. Teorema de Bayes. Estimación Bayesiana. 


# 0. PMFs y PDFs conjuntas.

- Una PMF conjunta $p_{X,Y}$ de las variables $X$ y $Y$ está definida como 

\begin{equation}
p_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y)
\end{equation}

- La PMF marginal de X y Y puede ser obtenida a partir de la PMF conjunta, utilizando 

\begin{equation}
p_{X}(x)=\sum_{y}{p_{X,Y}(x,y)}
\end{equation}
y
\begin{equation}
p_{Y}(y)=\sum_{x}{p_{X,Y}(x,y)}
\end{equation}

De manera análoga, para $X$ y $Y$ que sean variables aleatorias conjuntas con una PDF conjunta $f_{X,Y}$ se tiene que 

\begin{equation}
f_{X,Y}(x,y)=f_{Y}(y)f_{X|Y}(x|y)
\end{equation}

\begin{equation}
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{Y}(y)f_{X|Y}(x|y)dy
\end{equation}

#### Ejercicio 1: Realice dos gráficas de funciones de distribución conjuntas para variables aleatorias X,Y distribuidas normales para medias y varianzas iguales y medias y varianzas diferentes


# 1. Valor Esperado.

Para variables discretas se define el valor esperado de una variable discreta $X$ como 

\begin{equation}
E[X] =\sum_{x}{x p_{X} (x)}
\end{equation}

y para una variable continua:

\begin{equation}
E[X] =\int_{x}{x p_{X} (x)}dx
\end{equation}

y la varianza se define como

\begin{equation}
var[X] = E[(X-E[X])^2]
\end{equation}

#### Ejercicio 2: Obtenga numéricamente el valor esperado y la varianza de una función de distribución Gamma generada aleatoriamente con parámetros $1/\lambda=0.5$ y $k=9$. Realice la gráfica de la distribución.



```python


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