## 01강. 선형성 정의 및 1차 연립방정식 의미


### 00. Linearity 선형성

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- Linearity 행렬로 표현되는 것이 기본적으로 선형성을 만족해야 함
    - $f(x)$, x라는 변수에 대해서 function/operation 을 가지느냐
    
#### 조건 2가지를 만족할 때 Linearity 성립
- Superposition(중첩의 원리) : $f(x_{1}+x_{2}) = f(x_{1}) + f(x_{2})$
- Homogeniety $f(ax) = af(x)$ , a는 constant 
    - $f(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2})=a_{1}f(x_{1})+a_{2}f(x_{2})$ : 이 조건을 만족할 때 선형성이 있다고 함, 이런 것들 선형대수에서 다룬다.

- $ y = mx = f(x) $ : 위 두 조건을 만족하며 linear 하다
- $ y = mx + n $ : 원점을 지나지 않는 직선은 x와 y사이에 linearity 가 존재하지 않음, linear equation이라고 다 linearity를 가지는 것은 아니다. 하지만 변화량에는 선형성이 존재

#### operation의 linearity : differentiation, integration
 - $x_{1}(t), x_{2}(t) $ 에 대한 diff, inte의 선형성 알아보자 $\frac{d}{dt}(a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)) = a_{1}\frac{d}{dt}x_{1}(t)+a_{2}\frac{d}{dt}x_{2}(t)$ : linear 하다
    - integration 해도 마찬가지로 만족된다.
    - 미분 적분 linearity 가지기 때문에 매트릭스 폼으로 바꿔서 연산 수행 가능

#### matrix의 linearity : 행렬 A에 벡터 $x_{1}, x_{2}$을 곱할 때 새로운 형태의 벡터 y가 나오는데
- $A(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}) = a_{1}Ax_{1} + a_{2}Ax_{2}$


### Before getting started : Basic Notations of Matrix
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Vector v = (a, b, c) row vec 아니라 col vec 으로 쓰자 

\begin{align}
    v = \begin{bmatrix}
           a \\
           b \\
           c
         \end{bmatrix}
  \end{align}
  

- transpose(전치) : row와 column의 값을 interchange하는 것


### 01. Linear Combination(선형결합)
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\begin{align}
    v = \begin{bmatrix}
           a_{1} \\
           b_{1} \\
           c_{1}
         \end{bmatrix}
  \end{align}
  
\begin{align}
    w = \begin{bmatrix}
           a_{2} \\
           b_{2} \\
           c_{2}
         \end{bmatrix}
  \end{align}
  
$\alpha v + \beta w$를 계산한다

possible to express linear combination with multiplication of matrix and vector

\begin{align}
    \begin{bmatrix}
           v \ w
         \end{bmatrix} = 
    \begin{bmatrix}
           a_{1} \ a_{2} \\
            b_{1} \ b_{2} \\
            c_{1} \ c_{2} \\
         \end{bmatrix}
  \end{align} 
  
\begin{align}
  \begin{bmatrix}
           a_{1} \ a_{2} \\
            b_{1} \ b_{2} \\
            c_{1} \ c_{2} \\
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
            \alpha \\
            \beta \\
    \end{bmatrix}
\end{align} 


### 02. What is Matrix?
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- matrix is a set of number arranged in m x n (rows x columns)

- matrix calculation : + - * (by using inverse matrix)

- identitiy matrix : I

- inverse matrix : right and left inverse
    - 2x2 matrix can be defined by using determinant! $\frac{1}{ad-bc}$
    
    
### 03. What is Vector?
- - -

\begin{align}
    v = \begin{bmatrix}
           a \\
           b \\
           c
         \end{bmatrix}
\end{align}


geometrically addition of vector is drawn like parallelogram

subtraction of vector $v_{1}-v_{2}$ is defined as a arrow from $v_{2}$ to $v_{1}$

- inner product(내적)

$|v_{1}||v_{2}| cos\theta$


### Chap1. Gauss Elimination

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how to solve linear system sgn(부호함수) : 가우스 소거법으로 풀자

\begin{align}
  \begin{bmatrix}
           1 \ \ 2 \\
            4 \ \ 5 \\
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
            x \\
            y \\
    \end{bmatrix} =
    \begin{bmatrix}
            3 \\
            6 \\
    \end{bmatrix}
\end{align} 


geometically meaning of solution is intersection of two lines

however, question could be solved with linear combination of two column vectors as well.


#### For 3D  4D vector

row form - intersection

column form - linear combination of column vectors






  

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2018-06-12T04:36:48.000Z
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Qwen/Qwen-72B
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