# Estadísticos principales

- Esperanzas, varianza y ley débil de los grandes números
- Variables aleatorias especiales


## Esperanza
La esperanza o  valor esperado de una v.a. $X$ se denota $E[X]$ y se calcula como:

$\begin{array}{ll} 
E[X] = 
\left\{\begin{array}{ll} \sum_i x_i P(X=x_i) & si\,X\, discreta\\
                          \int x f_X(x)dx & si\,X\, continua\\
\end{array} \right .\\
\end{array}$


Consideremos $g$ una función a valores reales, entonces:

$\begin{array}{lll}
E[g(X)] & = & 
\left\{\begin{array}{ll} \sum_i g(x_i) P(X=x_i) & si\,X\, discreta\\
                          \int g(x) f_X(x)dx & si\,X\, continua\\
\end{array}\right .\\
\end{array}$

Para el caso especial de $g(x) = x^n$ se define el n-ésimo momento de X como:

$\begin{array}{lll} 
E[X^n] & = & 
\left\{\begin{array}{ll} \sum_i x_i^n P(X=x_i) & si\,X\, discreta\\
                          \int x^n f_X(x)dx & si\,X\, continua\\
\end{array}\right .\\
\end{array}$

La esperanza es el primer momento y se denota $\mu$.

**Propiedades**

Sean $a,b \in \cal{R}$ entonces:

$\begin{array}{lll} 
E[aX+b] & = & aE[X] + b \\
E[X + Y] & = & E[X] + E[Y]\\
\end{array}$



## Varianza y covarianza
La varianza mide la variación de la v.a. entorno a la esperanza o media $\mu$, y se define como

$\begin{equation}
\begin{array}{ll} 
Var(X) = E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - \mu^2
\end{array}
\end{equation}$

Se cumple que:

$\begin{equation}
\begin{array}{ll} 
Var(aX+b) = a^2 Var(X)
\end{array}
\end{equation}$

Se define además la desviación estándar $\sigma = \sqrt{Var(X)}$ 


La covarianza mide la relación (lineal) que hay entre dos v.a. $X$ e $Y$. Si denotamos $\mu_X = E[X]$ y $ \mu_Y= E[Y]$ entonces:

$\begin{equation}
\begin{array}{lll}
Cov(X,Y) & = & E[(X-\mu_X)(Y-\mu_y)]
\end{array}
\end{equation}$

La correlación es una medida normalizada:

$\begin{equation}
\begin{array}{lll}
Corr(X,Y) & = & \frac{Cov(X,Y)}{Var(X) Var(Y)}
\end{array}
\end{equation}$



**Propiedades**

$\begin{array}{lll} 
Cov(X,Y) & = & Cov(Y,X) \\
Cov(X,X) & = & Var(X)\\
Cov(X+Z,Y) & = & Cov(X,Y) + Cov(Z,Y)\\
Cov(\sum_i \limits X_i,Y) & = & \sum_i \limits Cov(X_i,Y)\\
Var(X+Y) & = & Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)\\
Var(\sum_i \limits X_i) & = & 
\sum_i \limits Var(X_i) + \sum_i \limits \sum_{j\neq i} \limits Cov(X_i,X_j)
\end{array}$

## Otros estadísticos
$\begin{array}{lll}
\text{ Asimetría (skewness) } & = &  \frac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} = \frac{E[X^3]-3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}\\
&&\\
\text{ Curtosis }& = &\frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} = \frac{E[X^4] - 4\mu E[X^3] + 6\mu^2\sigma^2 + 3\mu^4}{\sigma^4}\\
\end{array}$


```R

```

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