kurakurai/kholle · Datasets at Hugging Face

id stringlengths 5 12	theme stringlengths 5 22	level stringclasses 2 values	problem stringlengths 24 342	answer stringlengths 1 67	solution stringlengths 11 746
1_pc_cpge	Mechanics	cpge	Une sphère homogène de masse $m$ et de rayon $R$ roule sans glisser sur un plan incliné d'angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale. Son accélération du centre de masse est : - $g\sin\alpha$ - $\frac{3}{7}g\sin\alpha$ - $\frac{5}{7}g\sin\alpha$ - $\frac{2}{5}g\sin\alpha$	\frac{5}{7}g\sin\alpha	Pour une sphère solide, le moment d'inertie est $I=\frac{2}{5}mR^2$. En appliquant la deuxième loi de Newton et la condition de roulement sans glissement, on obtient $a=\frac{mg\sin\alpha}{m+I/R^2}=\frac{5}{7}g\sin\alpha$.
2_pc_cpge	Mechanics	cpge	La période $T$ d'un satellite de masse négligeable en orbite circulaire de rayon $r$ autour de la Terre (masse $M$) est donnée par : - $2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ - $2\pi\sqrt{\frac{r}{GM}}$ - $\frac{2\pi r}{\sqrt{GM}}$ - $2\pi\sqrt{\frac{GM}{r^3}}$	2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}	En appliquant la loi de la gravitation et la force centripète, on obtient $\omega^2=GM/r^3$, soit $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$.
3_pc_cpge	Electromagnetism	cpge	Une spire circulaire de rayon $R$ est parcourue par un courant $I$. L'intensité du champ magnétique $B$ au centre de la spire est : - $0$ - $\frac{\mu_0 I}{2R}$ - $\frac{\mu_0 I}{R}$ - $\frac{\mu_0 I}{4\pi R}$	\frac{\mu_0 I}{2R}	Le champ magnétique au centre d'une spire circulaire de rayon $R$ parcourue par $I$ est $B=\frac{\mu_0 I}{2R}$ (direction perpendiculaire au plan de la spire).
4_pc_cpge	Electrostatics	cpge	On dispose de deux plaques parallèles immergées dans le vide, de surface $S$ et séparées par une distance $e$. La capacité du condensateur ainsi formé est : - $C=\epsilon_0\frac{S}{e}$ - $C=2\epsilon_0\frac{S}{e}$ - $C=\epsilon_0\frac{e}{S}$ - $C=\frac{\epsilon_0 S^2}{e}$	C=\epsilon_0\frac{S}{e}	La capacité d'un condensateur plan dans le vide est $C=\epsilon_0\frac{S}{e}$, où $\epsilon_0$ est la permittivité du vide.
5_pc_cpge	Thermodynamics	cpge	Un moteur thermique de Carnot fonctionne entre deux sources de températures $T_H$ et $T_C$ (en Kelvin). Son rendement maximal $\eta$ est : - $1 - \frac{T_H}{T_C}$ - $1 - \frac{T_C}{T_H}$ - $\frac{T_H - T_C}{T_H + T_C}$ - $\frac{T_C}{T_H}$	1 - \frac{T_C}{T_H}$ -	Le rendement d'un cycle de Carnot est $\eta =1 - \frac{T_C}{T_H}$, où $T_H$ est la température de la source chaude et $T_C$ de la source froide.
6_pc_cpge	Thermodynamics	cpge	Pour un gaz parfait diatomique, on note $\gamma = C_p/C_v$. Quelle est la valeur de $\gamma$ à température modérée (où seules les rotations sont activées) ? - $rac{7}{5}$ - $rac{5}{3}$ - $rac{3}{2}$ - $rac{9}{7}$	\frac{7}{5}	Pour un gaz parfait diatomique (2 degrés de liberté de rotation), $C_p/C_v=\gamma=7/5$.
7_pc_cpge	Relativity	cpge	Un vaisseau se déplace à la vitesse $v=0.6c$ par rapport à la Terre. Dans le repère du vaisseau, un événement dure $\Delta t_0=10\,$s. Quel est l'intervalle de temps $\Delta t$ mesuré sur Terre ? - $\Delta t = 10\,$s - $\Delta t = 12.5\,$s - $\Delta t = 16\,$s - $\Delta t = 25\,$s	\Delta t = 12.5\,	Le facteur de Lorentz est $\gamma=1/\sqrt{1-(0.6-^2/c^2}=1.25$. La durée mesurée est dilatée: $\Delta t=\gamma\Delta t_0=1.25\times10\approx12.5\,$s.
8_pc_cpge	Relativity	cpge	Quelle est l'énergie totale $E$ d'une particule de masse au repos $m$ en mouvement relativiste à la vitesse $v$ ? - $E=mc^2$ - $E=\frac{1}{2}mv^2$ - $E=\gamma mc^2$ - $E=(\gamma -1)mc^2$	E=\gamma mc^2	L'énergie totale relativiste est donnée par $E=\gamma mc^2$, où $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$.
9_pc_cpge	Waves	cpge	Pour un oscillateur harmonique amorti soumis à une force sinusoïdale de pulsation $\omega$, l'amplitude maximale (résonance) se produit pour la pulsation : - $\omega=\omega_0$ - $\omega=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$ - $\omega=\sqrt{\omega_0^2+2\gamma^2}$ - $\omega=\gamma$	\omega=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}	Pour un oscillateur amorti (coefficient $\gamma=b/(2m)$), la pulsation de résonance vérifie $\omega_{res}=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$.
10_pc_cpge	Waves	cpge	Pour un oscillateur harmonique (masse $m$, raideur $k$) avec frottement critique, le coefficient de frottement $b$ vérifie : - $b=\sqrt{4mk}$ - $b=2\sqrt{mk}$ - $b=\sqrt{m/k}$ - $b=m/k$	b=2\sqrt{mk}	Pour un amortissement critique, on a $b_{crit}=2\sqrt{mk}$ (formule obtenue à partir du discriminant de l'équation différentielle).
11_pc_cpge	Waves	cpge	Une source sonore approche d’un observateur fixe à une vitesse $v_s=30.0\,$m/s (rapide) dans l’air ($c=340\,$m/s). La fréquence émise est $f_0=1000\,$Hz. Quelle est la fréquence $f'$ perçue par l’observateur ? (effet Doppler) - $f'=1150\,$Hz - $f'=1100\,$Hz - $f'=1000\,$Hz - $f'=950\,$Hz	1100\,\text{Hz}	Avec la source se rapprochant, $f' = f_0\frac{c}{c-v_s} =1000\frac{340}{340-30}\approx1097\,$Hz.
12_pc_cpge	Waves	cpge	Deux ondes sinusoïdales transversales de même amplitude $A$ et même fréquence sont superposées. Si leur déphasage constant est $\pi$ (opposition de phase), l'amplitude résultante est : - $0$ - $A$ - $2A$ - $\sqrt{2}A$	0	En opposition de phase ($\Delta\phi=\pi$), les crêtes d'une onde coïncident avec les creux de l'autre, donc l'amplitude résultante est $\|A-A\|=0$.
13_pc_cpge	Optics	cpge	Pour une lentille mince convergente de distance focale $f$, la relation de conjugaison entre la distance de l'objet $d_o$, la distance de l'image $d_i$ et la focale est : - $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$ - $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}-\frac{1}{d_i}$ - $f=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$ - $f=\frac{1}{d_o}-\frac{1}{d_i}$	\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}	La formule des lentilles minces est $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$ (distances signées selon la convention usuelle).
14_pc_cpge	Optics	cpge	Un rayon lumineux passe de l'air (indice $n_1=1.00$) dans le verre (indice $n_2=1.50$) avec un angle d'incidence $i=30^\circ$. Selon la loi de Snell-Descartes, l'angle de réfraction $r$ vérifie : - $\sin r = 1.50\sin30^\circ$ - $\sin r = \frac{1.00}{1.50}\sin30^\circ$ - $\sin r = \frac{1.50}{1.00}\sin30^\circ$ - $r=30^\circ$	\sin r = \frac{1.00}{1.50}\sin30^\circ	La loi de Snell est $n_1\sin i = n_2\sin r$. Ici $\sin r =\frac{n_1}{n_2}\sin i=\frac{1.00}{1.50}\sin30^\circ$.
15_pc_cpge	Optics	cpge	Deux fentes d'écartement $a=0.20\,$mm sont éclairées par une lumière de longueur d'onde $\lambda=600\,$nm. L'écran est situé à une distance $D=2.0\,$m des fentes. L'écart entre deux franges d'interférence consécutives est : - $1.2\,$mm - $6.0\,$mm - $12.0\,$mm - $0.6\,$mm	6.0\,$mm	La distance inter-franges est $i=\frac{\lambda D}{a}=\frac{600\times10^{-9}\times2.0}{0.20\times10^{-3}}=6.0\times10^{-3}\,$m soit $6.0\,$mm.
16_pc_cpge	Waves	cpge	Une corde vibrante de longueur $L$ fixée à ses deux extrémités vibre avec des modes stationnaires de vitesse de propagation $v$. La fréquence du mode $n$ est : - $f_n=\frac{v}{L}$ - $f_n=\frac{v}{2L}$ - $f_n=\frac{nv}{2L}$ - $f_n=\frac{nv}{L}$	f_n=\frac{nv}{2L}$ -	Pour une corde fixe aux deux extrémités, les modes stationnaires ont des longueurs d'onde $\lambda_n=2L/n$, donc $f_n=v/\lambda_n=\frac{nv}{2L}$.
17_pc_cpge	Acid–Base	cpge	Quelle est la valeur du pH d'une solution aqueuse de HCl 0,01 M (acide chlorhydrique fort) ? - 2 - 3 - 1 - 12	2	HCl est un acide fort, $[\mathrm{H}^+]=0.01$ M donc pH= -log(0,01)=2.
18_pc_cpge	Acid–Base	cpge	On a une solution tampon constituée d’acide acétique (pKa = 4,76) et de son acétate dans les concentrations suivantes : [HA] = 0,10 M et [A^-] = 0,05 M. Le pH de la solution est : - 4,46 - 4,76 - 5,26 - 3,76	4,46	D’après Henderson-Hasselbalch: $\mathrm{pH}= \mathrm{p}K_a + \log\frac{[A^-]}{[HA]} = 4,76 + \log(0,05/0,10)=4,76 -0,30 \approx 4,46$.
19_pc_cpge	Thermodynamics	cpge	Une réaction chimique a $\Delta H^\circ<0$ et $\Delta S^\circ<0$. À quelle condition sur la température $T$ la réaction est-elle spontanée ($\Delta G<0$) ? - $T < \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}$ - $T > \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}$ - Toujours spontanée - Jamais spontanée	T < \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}	ΔG°=ΔH° - TΔS°. Si ΔH°<0 et ΔS°<0, alors ΔG°<0 si $T< \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}$ (les deux étant négatifs, le rapport est positif).
20_pc_cpge	Reaction	cpge	Pour une réaction endothermique, comment la constante d'équilibre $K$ varie-t-elle lorsque la température augmente ? - $K$ augmente - $K$ diminue - $K$ reste constante - $K$ devient nulle	K \text{augmente}	Selon la loi de Van't Hoff, si ΔH°>0 (réaction endothermique), augmenter $T$ augmente $K$ (la réaction est favorisée par la chaleur).
21_pc_cpge	Reaction	cpge	Quel est le mécanisme principal de la réaction du bromure de méthyle CH$_3$Br avec l'ion hydroxyde (OH$^-$) ? - SN1 - SN2 - E1 - E2	SN2	CH$_3$Br est un halogénoalcane primaire, et OH$^-$ est un nucléophile fort. Le mécanisme favorisé est la substitution nucléophile bimoléculaire (SN2).
22_pc_cpge	Reaction	cpge	Quel est le mécanisme principal de la réaction du bromure de tert-butyle (C(CH$_3$)$_3$Br) avec l'eau (solvant polaire protique) ? - SN1 - SN2 - E1 - E2	SN1	Le bromure de tert-butyle est très encombré et l'eau est un solvant polaire protique. La substitution nucléophile monomoléculaire (SN1) est privilégiée, par formation d’un carbocation tertiaire intermédiaire.
23_pc_cpge	Orbitals	cpge	Considérons la molécule H$_2$. Quel est son ordre de liaison selon la théorie des orbitales moléculaires ? - 0 - 1 - 2 - 0,5	1	Pour H$_2$, deux électrons occupent l'orbitale liante σ(1s). L'ordre de liaison est $(n_l-n_-/2 = (2-0)/2 = 1$.
24_pc_cpge	Hybridation	cpge	Dans la molécule CH$_4$, l'atome de carbone est hybridé : - sp - sp^2 - sp^3 - sp^3d	sp^3	Le carbone de CH$_4$ est tétraédrique, ce qui correspond à une hybridation sp^3.
25_pc_cpge	Acid–Base	cpge	Quel est le pH au point d’équivalence d’un titrage d’un acide fort par une base forte ? - 7 - 1 - 14 - 0	7	Au point d’équivalence d’un acide fort titré par une base forte, la solution est neutre (ni acide ni basique), donc pH≈7.
1_pc_bac	Mechanics	bac	La deuxième loi de Newton s’énonce : - $\vec{F}=m\vec{a}$ - $\vec{F}=m\vec{v}$ - $\vec{F}=m/g$ - $\vec{F}=mg$	\vec{F} = m\vec{a}	Somme des forces égale à $m\vec{a}$.
2_pc_bac	Mechanics	bac	Une force de $6\,$N est appliquée à un objet de masse $2\,$kg. Quelle est son accélération (en m/s$^2$) ?	3	Avec $F=ma$, $a=F/m=6/2=3\,\text{m/s}^2$.
3_pc_bac	Mechanics	bac	Une voiture accélère de $2\,$m/s à $7\,$m/s en $5\,$s. Calculer son accélération moyenne (en m/s$^2$).	1	Accélération moyenne $=\dfrac{7-2}{5}=1\,\text{m/s}^2$.
4_pc_bac	Mechanics	bac	La valeur de l’accélération de la pesanteur près de la surface de la Terre est environ : - $9.8$ - $8.9$ - $10.8$ - $9.81$	9.8	Valeur usuelle : $g\approx 9.8\,\text{m/s}^2$.
5_pc_bac	Electricity	bac	Quelle loi relie la tension $V$, l’intensité $I$ et la résistance $R$ dans un conducteur ohmique ? - $V=RI$ - $R=VI$ - $V=I/R$ - $I=VR$	V = RI	Loi d’Ohm : $V=RI$.
6_pc_bac	Electricity	bac	Dans un circuit, $V=12\,$V et $I=2\,$A. Calculer la résistance $R$.	6	Par $R=V/I=12/2=6\,\Omega$.
7_pc_bac	Electricity	bac	Deux résistances de $2\,\Omega$ et $3\,\Omega$ sont montées en série. Leur résistance équivalente est : - $5$ - $6$ - $1.2$ - $0$	5	En série, les résistances s’additionnent : $2+3=5\,\Omega$.
8_pc_bac	Electricity	bac	Un condensateur de capacité $C=10\,\mu\text{F}$ est soumis à $V=5\,$V. Calculer la charge $Q$ (en -.	5\times 10^{-5}	Relation $Q=CV=10\times10^{-6}\times 5=5\times10^{-5}\,$C.
9_pc_bac	Waves	bac	Une onde se propage à $340\,$m/s avec une fréquence de $170\,$Hz. Quelle est sa longueur d’onde (en m) ?	2	Avec $v=\lambda f$, $\lambda=340/170=2\,$m.
10_pc_bac	Waves	bac	Parmi les propositions suivantes, laquelle est une onde électromagnétique ? - Lumière - Son en air - Onde sismique - Onde de pression	\text{Lumière}	La lumière est une onde électromagnétique ; le son est mécanique.
11_pc_bac	Waves	bac	Une onde a une fréquence de $2\,$Hz. Quelle est sa période (en s) ?	0.5	La période $T=1/f=1/2=0.5\,$s.
12_pc_bac	Waves	bac	Laquelle de ces ondes est transversale ? - Lumière - Son en air - Onde de pression - Onde sismique longitudinale	\text{Lumière}	Les ondes électromagnétiques (lumière) sont transversales ; le son en air est longitudinal.
13_pc_bac	Thermodynamics	bac	Quel volume (en m$^3$) occupe 1 mole d’un gaz parfait à $T=273\,$K et $P=101325\,$Pa ?	0.0224	Équation d’état : $V=\dfrac{nRT}{P}=\dfrac{1\cdot 8.314\cdot 273}{101325}\approx 0.0224\,\text{m}^3$.
14_pc_bac	Thermodynamics	bac	Le premier principe de la thermodynamique s’écrit : - $\Delta U=Q-W$ - $\Delta S>0$ - $PV=nRT$ - $\Delta U=0$	\Delta U = Q - W	Conservation de l’énergie interne : $\Delta U=Q-W$ (chaleur reçue moins travail fourni).
15_pc_bac	Thermodynamics	bac	Quelle quantité de chaleur (en J) faut-il pour élever de $5^{\circ}\,$C la température de $1\,$kg d’eau ($c=4180\,$J/kg·K) ?	20900	$Q=mc\Delta T=1\times 4180\times 5=20900\,$J.
16_pc_bac	Organic Chemistry	bac	Lequel des groupements fonctionnels suivants correspond à un alcool ? - R–OH - R–CHO - R–COOH - R–NH$_2$	R-OH	Un alcool porte le groupe hydroxyle $-\mathrm{OH}$.
17_pc_bac	Organic Chemistry	bac	Combien d’isomères existe-t-il pour le composé $\mathrm{C_3H_8}$ (propane) ? - 1 - 2 - 3 - 0	1	Le propane n’admet qu’une seule structure de chaîne : un unique isomère.
18_pc_bac	Organic Chemistry	bac	Quelle est la masse (en g) de $2$ moles de $\mathrm{CH_4}$ (masse molaire $16\,$g·mol$^{-1}$) ?	32	Masse $=n\times M=2\times 16=32\,$g.
19_pc_bac	Chemical Reactions	bac	Laquelle des réactions suivantes est une réaction d’oxydoréduction ? - $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$ - $\mathrm{HCl}+\mathrm{NaOH}\to \mathrm{NaCl}+\mathrm{H_2O}$ - $\mathrm{CH_4}+2\mathrm{O_2}\to \mathrm{CO_2}+2\mathrm{H_2O}$ - $\mathrm{NaCl}\to \mathrm{Na^+}+\mathrm{Cl^-}$	2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}	Dans $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$, H est oxydé et O est réduit : réaction d’oxydoréduction.
20_pc_bac	Chemical Reactions	bac	Balancer la réaction $\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to \mathrm{H_2O}$. Quel est le coefficient devant $\mathrm{H_2O}$ ?	2	Équilibrage : $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$. Le coefficient devant $\mathrm{H_2O}$ est $2$.
21_pc_bac	Chemical Reactions	bac	Laquelle de ces réactions est une réaction acide–base ? - $\mathrm{HCl}+\mathrm{NaOH}\to \mathrm{NaCl}+\mathrm{H_2O}$ - $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$ - $\mathrm{NaCl}\to \mathrm{Na^+}+\mathrm{Cl^-}$ - $\mathrm{CH_4}+2\mathrm{O_2}\to \mathrm{CO_2}+2\mathrm{H_2O}$	\mathrm{HCl}+\mathrm{NaOH}\to \mathrm{NaCl}+\mathrm{H_2O}	Neutralisation acide–base produisant un sel et de l’eau.
22_pc_bac	Electrochemistry	bac	Dans une pile électrochimique, l’anode est l’électrode où a lieu : - l’oxydation - la réduction - l’électrolyse - la corrosion	l'oxydation	Par convention, l’oxydation (perte d’électrons) a lieu à l’anode.
23_pc_bac	Electrochemistry	bac	On donne $E^\circ(\mathrm{Zn^{2+}/Zn})=-0.44\,$V et $E^\circ(\mathrm{Cu^{2+}/Cu})=+0.34\,$V. Calculer $E^\circ_{\text{pile}}$ pour une pile Zn/Cu.	0.78~\text{V}	$E_{\text{pile}}=E_{\text{cathode}}-E_{\text{anode}}=0.34-(-0.44)=0.78\,$V.
24_pc_bac	Electrochemistry	bac	Un courant de $5\,$A circule pendant $2\,$s. Quelle charge électrique (en - a été transférée ?	10	Charge $Q=It=5\times 2=10\,$C.
25_pc_bac	Electrochemistry	bac	Combien de coulombs correspond à une mole d’électrons (constante de Faraday) ?	96485	La constante de Faraday vaut environ $F\approx 96485\,$C·mol$^{-1}$.
1_math_cpge	Analysis	cpge	Calculer la somme : $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{n+1-k}\right)$.	0	On commence par séparer la somme en deux : $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{n+1-k}\right) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1-k}$. On effectue ensuite le changement d'indice $j = n+1-k$ dans la deuxième somme, ce qui donne $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1-k} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}$. Ainsi, la somme devient $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 0$.
2_math_cpge	Analysis	cpge	Calculer la somme suivante : $\sum_{k=1}^{n} (n - k + 1)$. Quelle est la bonne réponse ? - $n^2$ - $\frac{n(n+1)}{2}$ - $n(n-1)$ - $2n$	\frac{n(n+1)}{2}	Effectuons le changement d'indice $\ell = n - k + 1$. Lorsque $k$ varie de 1 à $n$, $\ell$ varie aussi de 1 à $n$. Ainsi, $\sum_{k=1}^{n} (n - k + 1) = \sum_{\ell=1}^{n} \ell = \frac{n(n+1)}{2}$.
3_math_cpge	Trigonometry	cpge	Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\tan x \ge 1$. Quelle est la bonne réponse ? - $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [0 + k\pi, \pi/4 + k\pi[$ - $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[$ - $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/2 + k\pi, \pi + k\pi[$ - $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [-\pi/4 + k\pi, \pi/4 + k\pi[$	\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[	On considère un intervalle de longueur $\pi$. Comme $\tan(\pi/4) = 1$, l'inéquation $\tan x \ge 1$ est vérifiée pour $x$ dans $[\pi/4, \pi/2[$. En ajoutant $k\pi$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$, on obtient l'ensemble des solutions $S = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[$.
4_math_cpge	Exponential Equations	cpge	Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - e^x - 6 = 0$.	\ln(3)	On pose $X = e^x$. L'équation devient $X^2 - X - 6 = 0$. Les racines de cette équation sont $X = -2$ et $X = 3$. Comme $e^x > 0$, seule la racine positive $X = 3$ est valable. Donc $e^x = 3$, ce qui donne $x = \ln(3)$.
5_math_cpge	Limits	cpge	Déterminer la limite suivante : $\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}}$.	\frac{1}{2}	On factorise par $e^x$ au dénominateur : $\frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}} = \frac{1}{2 + e^{-3x}}$. Or $\lim_{x\to +\infty} e^{-3x} = 0$, donc la limite vaut $\frac{1}{2+0} = \frac{1}{2}$.
6_math_cpge	Limits	cpge	Déterminer la limite suivante : $\lim_{x\to -\infty} \frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}}$.	0	Quand $x\to -\infty$, $e^x\to 0$ et $e^{-2x}\to +\infty$, donc $2e^x + e^{-2x}\sim e^{-2x}\to +\infty$. Par quotient, $\frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}}\to 0$.
7_math_cpge	Number Theory	cpge	Quels sont les diviseurs positifs communs à 390 et 525 ? - {1, 3, 5, 15} - {1, 5, 25} - {1, 2, 5, 10} - {1, 3, 9, 27}	{1, 3, 5, 15}	On calcule le pgcd de 390 et 525 avec l'algorithme d'Euclide : $\text{pgcd}(390, 525) = 15$. Les diviseurs communs de 390 et 525 sont donc les diviseurs positifs de 15, soit {1, 3, 5, 15}.
8_math_cpge	Number Theory	cpge	Soient $n \in \mathbb{Z}$. Calculer le pgcd suivant : $\gcd(n^2+n, 2n+1)$.	1	On remarque que $4(n^2+n) = (2n+1)^2 - 1$. Ainsi, si $d$ divise à la fois $n^2+n$ et $2n+1$, alors $d$ divise aussi 1. Donc $\gcd(n^2+n, 2n+1) = 1$.
9_math_cpge	Linear Algebra	cpge	Soit $E_1=\{P\in\mathbb{R}[X]\;:\;P(0)=P(2)\}$. Déterminer si $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$. Répondre par 1 si Oui et 0 si Non.	1	On vérifie les propriétés d'un sous-espace vectoriel : (i) le polynôme nul est bien dans $E_1$, (ii) si $P,Q\in E_1$, alors $P+Q\in E_1$, (iii) si $P\in E_1$ et $\lambda\in\mathbb{R}$, alors $\lambda P\in E_1$. Donc $E_1$ est un sous-espace vectoriel, la réponse est 1.
10_math_cpge	Linear Algebra	cpge	Soit $E_2=\{P\in\mathbb{R}[X]\;:\;P'(0)=2\}$. Déterminer si $E_2$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$. Répondre par 1 si Oui et 0 si Non.	0	Le polynôme nul n'est pas dans $E_2$, car $0'(0)=0\neq 2$. Un sous-espace doit contenir le vecteur nul, donc $E_2$ n'est pas un sous-espace vectoriel. La réponse est 0.
11_math_cpge	Linear Algebra	cpge	Les vecteurs $u=( 1,2,3)$ et $v=(-1,4,6)$ dans $\mathbb{R}^3$. La famille $(u,v)$ est-elle libre ? Répondre par 1 si Oui et 0 si Non.	1	Pour être proportionnels il faudrait un scalaire $\lambda$ tel que $v=\lambda u$. Les rapports composante à composante sont $-1/1=-1$, $4/2=2$ et $6/3=2$, qui ne sont pas tous égaux. Donc $u$ et $v$ ne sont pas proportionnels, la famille $(u,v)$ est libre. Réponse : 1.
12_math_cpge	Combinatorics	cpge	Une course oppose 20 concurrents, dont Émile. Combien y a-t-il de podiums possibles ? - 6840 - 116280 - 7980 - 684	6840	Pour le premier, on a 20 choix possibles, pour le second 19, pour le troisième 18. Le nombre de podiums possibles est donc $20 \times 19 \times 18 = 6840$.
13_math_cpge	Combinatorics	cpge	Combien y a-t-il de façons de répartir les 52 cartes d'un jeu entre 4 joueurs N, S, E, O, chacun possédant 13 cartes ? - 52! / (13!)^4 - (52! * 4!) / (13!)^4 - 52! / (4! * 13!) - (52! / (13!)^4) * 4!	52! / (13!)^4	Il y a (52 choose 13) choix pour le premier joueur, (39 choose 13) pour le deuxième, (26 choose 13) pour le troisième, et le dernier prend les 13 cartes restantes. En factorielle : $\binom{52}{13}\binom{39}{13}\binom{26}{13} = 52! / (13!)^4$.
14_math_cpge	Probability	cpge	On tire simultanément trois cartes au hasard dans un paquet de 32 cartes. Quelle est la probabilité de n'obtenir que des cœurs ?	7/620	Le nombre de tirages de 3 cœurs parmi 8 est C(8,3) = 56. Le nombre total de tirages de 3 cartes parmi 32 est C(32,3) = 4960. La probabilité est donc 56/4960 = 7/620.
15_math_cpge	Linear Algebra	cpge	Les applications suivantes définissent-elles un produit scalaire sur R² ? φ₁((x₁,x₂),(y₁,y₂)) = √(x₁² + y₁² + x₂² + y₂²)	0	φ₁ n'est pas bilinéaire. Par exemple, pour u=(1,1), φ₁(2u,u) = √10 alors que 2 φ₁(u,u) = 2√4 = 4. Donc φ₁ n'est pas un produit scalaire.
16_math_cpge	Combinatoire	cpge	Soit n≥4 et a,b,c,d∈{1,…,n} tous distincts. Que vaut (a b)∘(c d)∘(d a) ?	(a c d b)	On calcule l'image de chaque élément sous la permutation composée. Les éléments autres que a,b,c,d sont fixés. Pour a: a→d→c→a, pour b: b→a→b, pour c: c→b→d→c, pour d: d→c→d. On en déduit que la permutation correspond au cycle (a c d b).
17_math_cpge	Linear Algebra	cpge	Calculer le rang de la matrice A = [[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]].	2	On utilise la méthode du pivot de Gauss pour mettre la matrice sous forme échelonnée. Après élimination, on obtient : [[1,2,3],[0,-1,-2],[0,0,0]]. La matrice a donc 2 lignes non nulles, donc rg(A) = 2.
18_math_cpge	Linear Algebra	cpge	Calculer le rang de la matrice B = [[1,1,1],[1,2,4],[1,3,9]].	3	La matrice B est une matrice de Vandermonde 3x3 avec colonnes distinctes. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, aucune ligne ne devient nulle après élimination. Ainsi, le rang de B est 3.
19_math_cpge	Linear Algebra	cpge	Dimension du sous-espace engendré par $(1,2,3)$ et $(4,5,6)$ dans $\mathbb{R}^3$.	2	Ils ne sont pas colinéaires : dimension $2$.
20_math_cpge	Calculus	cpge	Soient $m,n\in\mathbb{Z}$ avec $n\ge m$. Calculer $\displaystyle \int_m^n \lfloor x \rfloor \, dx$.	\frac{(n-m)(n+m-1)}{2}	Pour tout entier $p$, on a $$\int_p^{p+1} \lfloor x \rfloor \, dx = \int_p^{p+1} p \, dx = p.$$ Ainsi, on peut découper l'intégrale en intervalles unitaires : $$\int_m^n \lfloor x \rfloor \, dx = \sum_{p=m}^{n-1} \int_p^{p+1} \lfloor x \rfloor \, dx = \sum_{p=m}^{n-1} p.$$ Cette somme est une suite arithmétique, donc $$\sum_{p=m}^{n-1} p = \frac{(n-m)(n+m-1)}{2}.$$
21_math_cpge	Calculus	cpge	Calculer \[ \int_{-1}^{2} x \|x\| \, dx. \]	\frac{7}{3}	On découpe l'intégrale en deux intervalles où $\|x\|$ s'exprime facilement : \[ \int_{-1}^{2} x\|x\| \, dx = \int_{-1}^{0} x\|x\| \, dx + \int_{0}^{2} x\|x\| \, dx. \] Pour $x \in [-1,0]$, $\|x\| = -x$, donc $\int_{-1}^{0} x\|x\| \, dx = \int_{-1}^{0} -x^2 \, dx = [-x^3/3]_{-1}^{0} = 1/3$. Pour $x \in [0,2]$, $\|x\| = x$, donc $\int_{0}^{2} x\|x\| \, dx = \int_{0}^{2} x^2 \, dx = [x^3/3]_{0}^{2} = 8/3$. En sommant les deux contributions : $1/3 + 8/3 = 7/3$.
22_math_cpge	Analysis	cpge	Déterminer la limite de \[ v_n = \left( \prod_{k=1}^{n} (k+n) \right)^{1/n}. \]	\frac{4}{e}	On réécrit \(v_n\) comme : \[ v_n = \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln(k+n) \right). \] Posons \(f(x) = \ln(x)\) sur [1,2]. La somme \[ S_n(f) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(n + k\right) - \ln(n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n}\right) \] est une somme de Riemann de \(f\) sur [1,2]. Par le théorème des sommes de Riemann : \[ S_n(f) \to \int_1^2 \ln(x) \, dx = [x\ln x - x]_1^2 = 2\ln 2 - 1. \] Ainsi, \(v_n \to \exp(2\ln 2 - 1) = \frac{4}{e}.\)
23_math_cpge	Polynomials	cpge	Diviser \(X^4 + 5X^3 + 12X^2 + 19X - 7\) par \(X^2 + 3X - 1\) et donner le quotient.	X^2 + 2X + 7	Effectuons la division euclidienne : 1. Divisons le terme de plus haut degré : X^4 / X^2 = X^2 → premier terme du quotient. 2. Multiplions : X^2(X^2 + 3X - 1) = X^4 + 3X^3 - X^2. 3. Soustrayons : (X^4 + 5X^3 + 12X^2 + 19X - 7) - (X^4 + 3X^3 - X^2) = 2X^3 + 13X^2 + 19X - 7. 4. Divisons 2X^3 / X^2 = 2X → deuxième terme du quotient. 5. Multiplions et soustrayons : 2X(X^2 + 3X - 1) = 2X^3 + 6X^2 - 2X → reste = 7X^2 + 21X - 7. 6. Divisons 7X^2 / X^2 = 7 → troisième terme du quotient. 7. Multiplions et soustrayons : 7*(X^2 + 3X - 1) = 7X^2 + 21X - 7 → reste = 0. Ainsi, le quotient est X^2 + 2X + 7 et le reste est nul.
24_math_cpge	Polynomials	cpge	Soit $P \in K[X]$, et $a, b \in K$ avec $a \neq b$. Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X - a)(X - b)$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et $P(b)$.	\frac{P(a) - P(b)}{a - b} X + \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b}	Le reste $R$ est de degré au plus 1, donc $R(X) = \alpha X + \beta$. On écrit : $$P(X) = (X - a)(X - b) Q(X) + \alpha X + \beta.$$ En évaluant en $X = a$ et $X = b$, on obtient le système : $$\begin{cases} \alpha a + \beta = P(a), \\ \alpha b + \beta = P(b) \end{cases}$$ Résolvant ce système, on trouve : $$\alpha = \frac{P(a) - P(b)}{a - b}, \quad \beta = \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b}.$$ Ainsi, $$R(X) = \frac{P(a) - P(b)}{a - b} X + \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b}.$$
25_math_cpge	Polynomials	cpge	Soient n, m ≥ 1. Déterminer le pgcd de X^n − 1 et X^m − 1.	X^{\gcd(n,m)} - 1	On applique l'algorithme d'Euclide sur les polynômes. Supposons n > m et écrivons n = m p + r avec 0 ≤ r < m. Alors on a : X^n - 1 = X^{mp+r} - 1 = X^r (X^{mp} - 1) + (X^r - 1). Or X^{mp} - 1 est divisible par X^m - 1, donc \gcd(X^n - 1, X^m - 1) = \gcd(X^m - 1, X^r - 1). Par récurrence et en utilisant l'algorithme d'Euclide sur les entiers, on obtient finalement : \[ \gcd(X^n - 1, X^m - 1) = X^{\gcd(n,m)} - 1. \]
26_math_cpge	Integrals	cpge	Déterminer toutes les primitives de la fonction f_1(x) = 5x^3 − 3x + 7 sur R. - F(x) = \frac{5}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R} - F(x) = 5 x^4 - 3 x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R} - F(x) = \frac{5}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R} - F(x) = \frac{5}{4} x^4 - 3 x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R}	F(x) = \frac{5}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R}	Pour trouver la primitive d'un polynôme, on utilise la formule générale : \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1). \] Appliquons-la terme par terme : \[ \int 5x^3 dx = \frac{5}{4} x^4, \quad \int (-3x) dx = -\frac{3}{2} x^2, \quad \int 7 dx = 7x. \] Ainsi, toutes les primitives de f_1 sont données par : \[ F(x) = \frac{5}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, \quad C \in \mathbb{R}. \]
27_math_cpge	Integrals	cpge	Calculer l'intégrale suivante : \[ \int_0^{\pi/3} (1 - \cos(3x)) \, dx \] - \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} - 1 - 0	\frac{\pi}{3}	Une primitive de x \mapsto 1 est F(x) = x, et une primitive de x \mapsto \cos(3x) est F(x) = \frac{1}{3} \sin(3x). Ainsi, \[ \int_0^{\pi/3} (1 - \cos(3x)) \, dx = \Big[x - \frac{1}{3} \sin(3x)\Big]_0^{\pi/3} = \frac{\pi}{3}. \]
28_math_cpge	Inegrals	cpge	Calculer l'intégrale suivante : \[ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \sin(x^2) \, dx \] - 0 - 1 - -1 - \frac{\pi}{2}	1	On reconnaît la dérivée de u(x) = x^2, ainsi \[ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \sin(x^2) \, dx = \int_0^{\sqrt{\pi}} \frac{1}{2} u'(x) \sin(u(x)) \, dx = \Big[-\frac{1}{2} \cos(x^2)\Big]_0^{\sqrt{\pi}} = 1. \]
29_math_cpge	Integrals	cpge	Calculer l'intégrale suivante : \[ \int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x} \, dx \] - \frac{1}{2} (\ln 2)^{3/2} - \frac{2}{3} (\ln 2)^{3/2} - (\ln 2)^{1/2} - \frac{3}{2} (\ln 2)^{3/2}	\frac{2}{3} (\ln 2)^{3/2}	On pose u(x) = ln(x), alors u'(x) = 1/x. L'intégrale devient : \[ \int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x} \, dx = \int_0^{\ln 2} u^{1/2} \, du = \Big[ \frac{2}{3} u^{3/2} \Big]_0^{\ln 2} = \frac{2}{3} (\ln 2)^{3/2}. \]
30_math_cpge	Integrals	cpge	Calculer l'intégrale suivante : \[ I = \int_0^1 x e^x \, dx \]	1	On utilise l'intégration par parties en posant : \[ u(x) = x, \quad u'(x) = 1, \quad v'(x) = e^x, \quad v(x) = e^x. \] Alors : \[ \int_0^1 x e^x \, dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = (1\cdot e^1 - 0\cdot e^0) - (e^1 - e^0) = e - (e - 1) = 1. \]
31_math_cpge	Integrals	cpge	Calculer l'intégrale suivante : \[ J = \int_1^e x^2 \ln x \, dx \] Quel est le résultat ? - \(\frac{2 e^3 + 1}{9}\) - \(\frac{e^3 - 1}{3}\) - \(\frac{e^3 + 1}{6}\) - \(e^3 - \frac{1}{3}\)	\frac{2 e^3 + 1}{9}	On utilise l'intégration par parties en posant : \[ u(x) = \ln x, \quad u'(x) = \frac{1}{x}, \quad v'(x) = x^2, \quad v(x) = \frac{x^3}{3}. \] Alors : \[ \int_1^e x^2 \ln x \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_1^e - \frac{1}{3} \int_1^e x^2 \, dx. \] Calculons chaque terme : \[ \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_1^e = \frac{e^3}{3} - 0 = \frac{e^3}{3}, \quad \frac{1}{3} \int_1^e x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{e^3 - 1}{3} = \frac{e^3 - 1}{9}. \] Donc : \[ J = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3 - 1}{9} = \frac{3 e^3 - (e^3 - 1)}{9} = \frac{2 e^3 + 1}{9}. \]
32_math_cpge	Differential Equations	cpge	Déterminer la solution de l'équation différentielle \[ y' + 2y = -4, \quad y(1) = -3. \]	y(t) = -2 - e^2 e^{-2t}	On commence par résoudre l'équation homogène : \[ y' + 2y = 0 \] Les solutions sont de la forme : \[ y_h(t) = C e^{-2t}, \quad C \in \mathbb{R}. \] Cherchons une solution particulière de l'équation complète. Une fonction constante convient : \[ y_p(t) = -2 \] En effet, \(y_p' + 2y_p = 0 + 2(-2) = -4\). Ainsi, la solution générale est : \[ y(t) = y_p(t) + y_h(t) = -2 + C e^{-2t}. \] En utilisant la condition initiale \(y(1) = -3\) : \[ -2 + C e^{-2} = -3 \implies C = -e^2. \] Donc la solution particulière est : \[ \boxed{y(t) = -2 - e^2 e^{-2t} = -2 - e^{2-2t}}. \]
33_math_cpge	Differential Equations	cpge	Résoudre l'équation différentielle suivante sur \(\mathbb{R}\) : \[ y' + x^2 y = -x^2. \] - \(y(x) = -1 + e^{-x^3/3}\) - \(y(x) = -1 + \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}\) - \(y(x) = \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}\) - \(y(x) = -x^2 + \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}\)	y(x) = -1 + \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}	On commence par résoudre l'équation homogène : \[ y' + x^2 y = 0. \] Une primitive de \(x^2\) est \(x^3/3\), donc les solutions de l'équation homogène sont : \[ y_h(x) = \lambda e^{-x^3/3}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \] Pour trouver une solution particulière de l'équation complète, on remarque que la constante \(y_p(x) = -1\) convient car : \[ y_p' + x^2 y_p = 0 + x^2(-1) = -x^2. \] Ainsi, la solution générale est : \[ y(x) = -1 + \lambda e^{-x^3/3}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]
34_math_cpge	Differential Equations	cpge	Résoudre l'équation différentielle suivante sur \(\mathbb{R}\) : \[ y' + y = \frac{1}{1+e^x}. \] - \(y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x)\) - \(y(x) = \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}\) - \(y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x) + \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}\) - \(y(x) = \frac{1}{1+e^x} + \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}\)	y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x) + \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}	On commence par résoudre l'équation homogène : \[ y' + y = 0. \] La solution générale est : \[ y_h(x) = \lambda e^{-x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \] On cherche une solution particulière sous la forme \(y_p(x) = \lambda(x) e^{-x}\), alors : \[ y_p'(x) = \lambda'(x) e^{-x} - \lambda(x) e^{-x}. \] En substituant dans l'équation : \[ \lambda'(x) e^{-x} - \lambda(x) e^{-x} + \lambda(x) e^{-x} = \frac{1}{1+e^x} \Rightarrow \lambda'(x) e^{-x} = \frac{1}{1+e^x} \Rightarrow \lambda'(x) = \frac{e^x}{1+e^x}. \] Une primitive de \(e^x/(1+e^x)\) est \(\ln(1+e^x)\). Donc une solution particulière est : \[ y_p(x) = e^{-x} \ln(1+e^x). \] Ainsi, la solution générale est : \[ y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x) + \lambda e^{-x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]
35_math_cpge	Differential Equations	cpge	Résoudre l'équation différentielle suivante sur \(]-1,+\infty[\) : \[ (1+x)y' + y = 1 + \ln(1+x). \] - \(y(x) = \frac{1}{1+x} + \ln(1+x)\) - \(y(x) = \lambda (1+x), \lambda \in \mathbb{R}\) - \(y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + \ln(1+x), \lambda \in \mathbb{R}\) - \(y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + (1+x)\ln(1+x), \lambda \in \mathbb{R}\)	y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + (1+x)\ln(1+x), \lambda \in \mathbb{R}	On commence par résoudre l'équation homogène : \[ (1+x)y' + y = 0. \] La solution générale est : \[ y_h(x) = \frac{\lambda}{1+x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \] On cherche une solution particulière par variation de la constante, posant \(y_p(x) = \lambda(x)/(1+x)\). Alors : \[ y_p'(x) = \frac{\lambda'(x)}{1+x} - \frac{\lambda(x)}{(1+x)^2}. \] Substituons dans l'équation : \[ (1+x)\left(\frac{\lambda'(x)}{1+x} - \frac{\lambda(x)}{(1+x)^2}\right) + \frac{\lambda(x)}{1+x} = 1 + \ln(1+x) \Rightarrow \lambda'(x) = 1 + \ln(1+x). \] Une primitive est \(\lambda(x) = (1+x)\ln(1+x)\). Ainsi, la solution générale est : \[ y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + (1+x)\ln(1+x), \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]
36_math_cpge	Differential Equations	cpge	Résoudre l'équation différentielle suivante sur \(\mathbb{R}\) : \[ y' - 2xy = -(2x-1)e^x. \] - \(y(x) = e^x\) - \(y(x) = \lambda e^{x^2}, \lambda \in \mathbb{R}\) - \(y(x) = \lambda e^{x^2} + e^x, \lambda \in \mathbb{R}\) - \(y(x) = e^{-x^2} + x\)	y(x) = \lambda e^{x^2} + e^x, \lambda \in \mathbb{R}	On commence par résoudre l'équation homogène : \[ y' - 2xy = 0. \] En séparant les variables : \[ \frac{y'}{y} = 2x \Rightarrow \ln\|y\| = x^2 + C \Rightarrow y_h(x) = \lambda e^{x^2}, \lambda \in \mathbb{R}. \] Pour une solution particulière, on pose \(y_p(x) = \lambda(x) e^{x^2}\). Alors : \[ y_p'(x) = \lambda'(x) e^{x^2} + 2x \lambda(x) e^{x^2}. \] Substituons dans l'équation : \[ y_p' - 2xy_p = \lambda'(x)e^{x^2} = -(2x-1)e^x \Rightarrow \lambda'(x) = -(2x-1)e^{x-x^2}. \] Une primitive est \(\lambda(x) = e^{-x^2+x} = e^{-x^2} e^x\). Donc une solution particulière est \(y_p(x) = e^x\). La solution générale est : \[ y(x) = \lambda e^{x^2} + e^x, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]
37_math_cpge	Logique et nombres	cpge	136 est un multiple de 17 et 2 divise 167. Indiquer 1 si c’est vrai, 0 sinon.	0	Cette proposition est fausse, car 2 ne divise pas 167.
38_math_cpge	Logique et nombres	cpge	136 est un multiple de 17 ou 2 divise 167. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon.	1	Cette proposition est vraie, car 136 est un multiple de 17.
39_math_cpge	Logic	cpge	Il existe x ∈ ℝ tel que x+1=0 et x+2=0 en même temps. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon.	0	Cette proposition est fausse, car x devrait être simultanément égal à -1 et à -2, ce qui est impossible.
40_math_cpge	Logic	cpge	Il existe x ∈ ℝ tel que x+1=0, et il existe x ∈ ℝ tel que x+2=0. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon.	1	Cette proposition est vraie car ∃x ∈ ℝ, x+1=0 est vraie (il suffit de prendre x=-1) et de la même façon ∃x ∈ ℝ, x+2=0 est vraie (il suffit de prendre x=-2).
41_math_cpge	Logic	cpge	Pour tout x ∈ ℝ, x+1 ≠ 0 ou x+2 ≠ 0. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon.	1	Cette proposition est vraie, car il s'agit de la négation de la proposition 3, qui est fausse.
42_math_cpge	Linear equations	cpge	Résoudre le système suivant : \[ x + y + 2z = 3\\ x + 2y + z = 1\\ 2x + y + z = 0 \] Indiquer la solution sous forme (x, y, z).	(-1, 0, 2)	On utilise la méthode du pivot de Gauss : 1) Soustraire L1 de L2 et 2*L1 de L3 pour simplifier le système : \[ y - z = -2\\ -4z = -8\] 2) On en déduit z=2, y=0 et enfin x=-1. Donc la solution est (x, y, z) = (-1, 0, 2).
43_math_cpge	Linear equations	cpge	Résoudre le système suivant : \[ x + 2z = 1\\ -y + z = 2\\ x - 2y = 1 \] Indiquer la solution sous forme (x, y, z).	(-1, -1, 1)	On applique la méthode du pivot de Gauss : 1) De L3 - L1 on obtient -4z=-4 => z=1 2) Puis de L2, -y + z = 2 => -y + 1 = 2 => y=-1 3) Enfin de L1, x + 2*1 = 1 => x=-1 Donc la solution est (x, y, z) = (-1, -1, 1).
44_math_cpge	Series	cpge	Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse : 2\cdot 3 + 2\cdot 4 + \cdots + 2\cdot 12 - \sum_{k=2}^{12} 2k - \sum_{k=3}^{12} 2k - \sum_{k=1}^{12} 2k - \sum_{k=3}^{13} 2k	\sum_{k=3}^{12} 2k	La somme commence à k=3 et se termine à k=12, chaque terme étant multiplié par 2. Donc la bonne notation est \sum_{k=3}^{12} 2k.
45_math_cpge	Series	cpge	Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse : 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 8 + \cdots + 10\cdot 1024 - \sum_{k=0}^{9} k 2^k - \sum_{k=1}^{10} k 2^k - \sum_{k=1}^{11} k 2^k - \sum_{k=2}^{10} k 2^k	\sum_{k=1}^{10} k 2^k	Chaque terme est de la forme k*2^k, k allant de 1 à 10. Donc la bonne notation est \sum_{k=1}^{10} k 2^k.
46_math_cpge	Series	cpge	Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse : 2 - 4 + 6 - 8 + \cdots + 50 - \sum_{k=1}^{25} (-1)^k 2k - \sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} 2k - \sum_{k=1}^{50} (-1)^{k+1} k - \sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} k	\sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} 2k	Les termes alternent en signe et sont tous pairs (2k). Donc la bonne notation est \sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} 2k.
47_math_cpge	Series	cpge	Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse : 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \cdots + 1/(2n-1) - 1/(2n) - \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}/(2k-1) - \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k/k - \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}/k - \sum_{k=1}^{n} (-1)^k/(2k)	\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}/k	La somme alterne les signes pour les termes 1/k de k=1 à 2n, donc la bonne notation est \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}/k.
48_math_cpge	Complex numbers	cpge	Mettre sous forme algébrique le nombre complexe suivant et choisir la bonne réponse : $$z_5 = i (1 - 3i)^2$$ - $$-6 - 8i$$ - $$6 - 8i$$ - $$-6 + 8i$$ - $$6 + 8i$$	6 - 8i	Calculons $$(1 - 3i)^2 = 1 - 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 1 - 6i - 9 = -8 - 6i.$$ Ensuite, multiplions par $i$ : $$i(-8 - 6i) = -8i - 6i^2 = -8i + 6 = 6 - 8i.$$
49_math_cpge	Complex numbers	cpge	Résoudre l'équation complexe : $$\exp(z) = 3\sqrt{3} - 3i$$ Choisir la bonne réponse : - $$z = \ln(6) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$ - $$z = \ln(6) + i(\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$ - $$z = \ln(6) - i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$ - $$z = \ln(3) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$	z = \ln(6) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}	On pose $z = a + ib$, $a,b \in \mathbb{R}$. Alors $$\exp(z) = \exp(a) \cdot \exp(ib).$$ Mettons $3\sqrt{3} - 3i$ sous forme trigonométrique : $$\|3\sqrt{3} - 3i\| = \sqrt{27+9} = 6$$ et argument $$\theta = -\pi/6.$$ Donc $$3\sqrt{3} - 3i = 6 \exp(-i\pi/6).$$ Ainsi $$\exp(a) = 6 \Rightarrow a = \ln(6)$$ et $$b = -\pi/6 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.$$ Donc $$z = \ln(6) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}.$$
50_math_cpge	Complex numbers	cpge	Résoudre l'équation complexe suivante : $$z + 2i = iz - 1$$	z = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i	On commence par regrouper les termes contenant $z$ d'un côté : $$z - iz = -1 - 2i$$ Factorisation : $$z(1 - i) = -1 - 2i$$ Division par $(1 - i)$ : $$z = \frac{-1 - 2i}{1 - i}$$ Multiplication par le conjugué : $$z = \frac{(-1 - 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}$$ $$z = \frac{-1 - 3i + 2}{2}$$ Solution finale : $$z = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$$

1_pc_cpge

Mechanics

cpge

Une sphère homogène de masse $m$ et de rayon $R$ roule sans glisser sur un plan incliné d'angle $\alpha$ par rapport à l'horizontale. Son accélération du centre de masse est : - $g\sin\alpha$ - $\frac{3}{7}g\sin\alpha$ - $\frac{5}{7}g\sin\alpha$ - $\frac{2}{5}g\sin\alpha$

\frac{5}{7}g\sin\alpha

Pour une sphère solide, le moment d'inertie est $I=\frac{2}{5}mR^2$. En appliquant la deuxième loi de Newton et la condition de roulement sans glissement, on obtient $a=\frac{mg\sin\alpha}{m+I/R^2}=\frac{5}{7}g\sin\alpha$.

2_pc_cpge

Mechanics

cpge

La période $T$ d'un satellite de masse négligeable en orbite circulaire de rayon $r$ autour de la Terre (masse $M$) est donnée par : - $2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ - $2\pi\sqrt{\frac{r}{GM}}$ - $\frac{2\pi r}{\sqrt{GM}}$ - $2\pi\sqrt{\frac{GM}{r^3}}$

2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}

En appliquant la loi de la gravitation et la force centripète, on obtient $\omega^2=GM/r^3$, soit $T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$.

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Electromagnetism

cpge

Une spire circulaire de rayon $R$ est parcourue par un courant $I$. L'intensité du champ magnétique $B$ au centre de la spire est : - $0$ - $\frac{\mu_0 I}{2R}$ - $\frac{\mu_0 I}{R}$ - $\frac{\mu_0 I}{4\pi R}$

\frac{\mu_0 I}{2R}

Le champ magnétique au centre d'une spire circulaire de rayon $R$ parcourue par $I$ est $B=\frac{\mu_0 I}{2R}$ (direction perpendiculaire au plan de la spire).

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Electrostatics

cpge

On dispose de deux plaques parallèles immergées dans le vide, de surface $S$ et séparées par une distance $e$. La capacité du condensateur ainsi formé est : - $C=\epsilon_0\frac{S}{e}$ - $C=2\epsilon_0\frac{S}{e}$ - $C=\epsilon_0\frac{e}{S}$ - $C=\frac{\epsilon_0 S^2}{e}$

C=\epsilon_0\frac{S}{e}

La capacité d'un condensateur plan dans le vide est $C=\epsilon_0\frac{S}{e}$, où $\epsilon_0$ est la permittivité du vide.

5_pc_cpge

Thermodynamics

cpge

Un moteur thermique de Carnot fonctionne entre deux sources de températures $T_H$ et $T_C$ (en Kelvin). Son rendement maximal $\eta$ est : - $1 - \frac{T_H}{T_C}$ - $1 - \frac{T_C}{T_H}$ - $\frac{T_H - T_C}{T_H + T_C}$ - $\frac{T_C}{T_H}$

1 - \frac{T_C}{T_H}$ -

Le rendement d'un cycle de Carnot est $\eta =1 - \frac{T_C}{T_H}$, où $T_H$ est la température de la source chaude et $T_C$ de la source froide.

6_pc_cpge

Thermodynamics

cpge

Pour un gaz parfait diatomique, on note $\gamma = C_p/C_v$. Quelle est la valeur de $\gamma$ à température modérée (où seules les rotations sont activées) ? - $rac{7}{5}$ - $rac{5}{3}$ - $rac{3}{2}$ - $rac{9}{7}$

\frac{7}{5}

Pour un gaz parfait diatomique (2 degrés de liberté de rotation), $C_p/C_v=\gamma=7/5$.

7_pc_cpge

Relativity

cpge

Un vaisseau se déplace à la vitesse $v=0.6c$ par rapport à la Terre. Dans le repère du vaisseau, un événement dure $\Delta t_0=10\,$s. Quel est l'intervalle de temps $\Delta t$ mesuré sur Terre ? - $\Delta t = 10\,$s - $\Delta t = 12.5\,$s - $\Delta t = 16\,$s - $\Delta t = 25\,$s

\Delta t = 12.5\,

Le facteur de Lorentz est $\gamma=1/\sqrt{1-(0.6-^2/c^2}=1.25$. La durée mesurée est dilatée: $\Delta t=\gamma\Delta t_0=1.25\times10\approx12.5\,$s.

8_pc_cpge

Relativity

cpge

Quelle est l'énergie totale $E$ d'une particule de masse au repos $m$ en mouvement relativiste à la vitesse $v$ ? - $E=mc^2$ - $E=\frac{1}{2}mv^2$ - $E=\gamma mc^2$ - $E=(\gamma -1)mc^2$

E=\gamma mc^2

L'énergie totale relativiste est donnée par $E=\gamma mc^2$, où $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$.

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Waves

cpge

Pour un oscillateur harmonique amorti soumis à une force sinusoïdale de pulsation $\omega$, l'amplitude maximale (résonance) se produit pour la pulsation : - $\omega=\omega_0$ - $\omega=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$ - $\omega=\sqrt{\omega_0^2+2\gamma^2}$ - $\omega=\gamma$

\omega=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}

Pour un oscillateur amorti (coefficient $\gamma=b/(2m)$), la pulsation de résonance vérifie $\omega_{res}=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$.

10_pc_cpge

Waves

cpge

Pour un oscillateur harmonique (masse $m$, raideur $k$) avec frottement critique, le coefficient de frottement $b$ vérifie : - $b=\sqrt{4mk}$ - $b=2\sqrt{mk}$ - $b=\sqrt{m/k}$ - $b=m/k$

b=2\sqrt{mk}

Pour un amortissement critique, on a $b_{crit}=2\sqrt{mk}$ (formule obtenue à partir du discriminant de l'équation différentielle).

11_pc_cpge

Waves

cpge

Une source sonore approche d’un observateur fixe à une vitesse $v_s=30.0\,$m/s (rapide) dans l’air ($c=340\,$m/s). La fréquence émise est $f_0=1000\,$Hz. Quelle est la fréquence $f'$ perçue par l’observateur ? (effet Doppler) - $f'=1150\,$Hz - $f'=1100\,$Hz - $f'=1000\,$Hz - $f'=950\,$Hz

1100\,\text{Hz}

Avec la source se rapprochant, $f' = f_0\frac{c}{c-v_s} =1000\frac{340}{340-30}\approx1097\,$Hz.

12_pc_cpge

Waves

cpge

Deux ondes sinusoïdales transversales de même amplitude $A$ et même fréquence sont superposées. Si leur déphasage constant est $\pi$ (opposition de phase), l'amplitude résultante est : - $0$ - $A$ - $2A$ - $\sqrt{2}A$

0

En opposition de phase ($\Delta\phi=\pi$), les crêtes d'une onde coïncident avec les creux de l'autre, donc l'amplitude résultante est $|A-A|=0$.

13_pc_cpge

Optics

cpge

Pour une lentille mince convergente de distance focale $f$, la relation de conjugaison entre la distance de l'objet $d_o$, la distance de l'image $d_i$ et la focale est : - $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$ - $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}-\frac{1}{d_i}$ - $f=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$ - $f=\frac{1}{d_o}-\frac{1}{d_i}$

\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}

La formule des lentilles minces est $\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$ (distances signées selon la convention usuelle).

14_pc_cpge

Optics

cpge

Un rayon lumineux passe de l'air (indice $n_1=1.00$) dans le verre (indice $n_2=1.50$) avec un angle d'incidence $i=30^\circ$. Selon la loi de Snell-Descartes, l'angle de réfraction $r$ vérifie : - $\sin r = 1.50\sin30^\circ$ - $\sin r = \frac{1.00}{1.50}\sin30^\circ$ - $\sin r = \frac{1.50}{1.00}\sin30^\circ$ - $r=30^\circ$

\sin r = \frac{1.00}{1.50}\sin30^\circ

La loi de Snell est $n_1\sin i = n_2\sin r$. Ici $\sin r =\frac{n_1}{n_2}\sin i=\frac{1.00}{1.50}\sin30^\circ$.

15_pc_cpge

Optics

cpge

Deux fentes d'écartement $a=0.20\,$mm sont éclairées par une lumière de longueur d'onde $\lambda=600\,$nm. L'écran est situé à une distance $D=2.0\,$m des fentes. L'écart entre deux franges d'interférence consécutives est : - $1.2\,$mm - $6.0\,$mm - $12.0\,$mm - $0.6\,$mm

6.0\,$mm

La distance inter-franges est $i=\frac{\lambda D}{a}=\frac{600\times10^{-9}\times2.0}{0.20\times10^{-3}}=6.0\times10^{-3}\,$m soit $6.0\,$mm.

16_pc_cpge

Waves

cpge

Une corde vibrante de longueur $L$ fixée à ses deux extrémités vibre avec des modes stationnaires de vitesse de propagation $v$. La fréquence du mode $n$ est : - $f_n=\frac{v}{L}$ - $f_n=\frac{v}{2L}$ - $f_n=\frac{nv}{2L}$ - $f_n=\frac{nv}{L}$

f_n=\frac{nv}{2L}$ -

Pour une corde fixe aux deux extrémités, les modes stationnaires ont des longueurs d'onde $\lambda_n=2L/n$, donc $f_n=v/\lambda_n=\frac{nv}{2L}$.

17_pc_cpge

Acid–Base

cpge

Quelle est la valeur du pH d'une solution aqueuse de HCl 0,01 M (acide chlorhydrique fort) ? - 2 - 3 - 1 - 12

2

HCl est un acide fort, $[\mathrm{H}^+]=0.01$ M donc pH= -log(0,01)=2.

18_pc_cpge

Acid–Base

cpge

On a une solution tampon constituée d’acide acétique (pKa = 4,76) et de son acétate dans les concentrations suivantes : [HA] = 0,10 M et [A^-] = 0,05 M. Le pH de la solution est : - 4,46 - 4,76 - 5,26 - 3,76

4,46

D’après Henderson-Hasselbalch: $\mathrm{pH}= \mathrm{p}K_a + \log\frac{[A^-]}{[HA]} = 4,76 + \log(0,05/0,10)=4,76 -0,30 \approx 4,46$.

19_pc_cpge

Thermodynamics

cpge

Une réaction chimique a $\Delta H^\circ<0$ et $\Delta S^\circ<0$. À quelle condition sur la température $T$ la réaction est-elle spontanée ($\Delta G<0$) ? - $T < \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}$ - $T > \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}$ - Toujours spontanée - Jamais spontanée

T < \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}

ΔG°=ΔH° - TΔS°. Si ΔH°<0 et ΔS°<0, alors ΔG°<0 si $T< \frac{\Delta H^\circ}{\Delta S^\circ}$ (les deux étant négatifs, le rapport est positif).

20_pc_cpge

Reaction

cpge

Pour une réaction endothermique, comment la constante d'équilibre $K$ varie-t-elle lorsque la température augmente ? - $K$ augmente - $K$ diminue - $K$ reste constante - $K$ devient nulle

K \text{augmente}

Selon la loi de Van't Hoff, si ΔH°>0 (réaction endothermique), augmenter $T$ augmente $K$ (la réaction est favorisée par la chaleur).

21_pc_cpge

Reaction

cpge

Quel est le mécanisme principal de la réaction du bromure de méthyle CH$_3$Br avec l'ion hydroxyde (OH$^-$) ? - SN1 - SN2 - E1 - E2

SN2

CH$_3$Br est un halogénoalcane primaire, et OH$^-$ est un nucléophile fort. Le mécanisme favorisé est la substitution nucléophile bimoléculaire (SN2).

22_pc_cpge

Reaction

cpge

Quel est le mécanisme principal de la réaction du bromure de tert-butyle (C(CH$_3$)$_3$Br) avec l'eau (solvant polaire protique) ? - SN1 - SN2 - E1 - E2

SN1

Le bromure de tert-butyle est très encombré et l'eau est un solvant polaire protique. La substitution nucléophile monomoléculaire (SN1) est privilégiée, par formation d’un carbocation tertiaire intermédiaire.

23_pc_cpge

Orbitals

cpge

Considérons la molécule H$_2$. Quel est son ordre de liaison selon la théorie des orbitales moléculaires ? - 0 - 1 - 2 - 0,5

1

Pour H$_2$, deux électrons occupent l'orbitale liante σ(1s). L'ordre de liaison est $(n_l-n_-/2 = (2-0)/2 = 1$.

24_pc_cpge

Hybridation

cpge

Dans la molécule CH$_4$, l'atome de carbone est hybridé : - sp - sp^2 - sp^3 - sp^3d

sp^3

Le carbone de CH$_4$ est tétraédrique, ce qui correspond à une hybridation sp^3.

25_pc_cpge

Acid–Base

cpge

Quel est le pH au point d’équivalence d’un titrage d’un acide fort par une base forte ? - 7 - 1 - 14 - 0

7

Au point d’équivalence d’un acide fort titré par une base forte, la solution est neutre (ni acide ni basique), donc pH≈7.

1_pc_bac

Mechanics

bac

La deuxième loi de Newton s’énonce : - $\vec{F}=m\vec{a}$ - $\vec{F}=m\vec{v}$ - $\vec{F}=m/g$ - $\vec{F}=mg$

\vec{F} = m\vec{a}

Somme des forces égale à $m\vec{a}$.

2_pc_bac

Mechanics

bac

Une force de $6\,$N est appliquée à un objet de masse $2\,$kg. Quelle est son accélération (en m/s$^2$) ?

3

Avec $F=ma$, $a=F/m=6/2=3\,\text{m/s}^2$.

3_pc_bac

Mechanics

bac

Une voiture accélère de $2\,$m/s à $7\,$m/s en $5\,$s. Calculer son accélération moyenne (en m/s$^2$).

1

Accélération moyenne $=\dfrac{7-2}{5}=1\,\text{m/s}^2$.

4_pc_bac

Mechanics

bac

La valeur de l’accélération de la pesanteur près de la surface de la Terre est environ : - $9.8$ - $8.9$ - $10.8$ - $9.81$

9.8

Valeur usuelle : $g\approx 9.8\,\text{m/s}^2$.

5_pc_bac

Electricity

bac

Quelle loi relie la tension $V$, l’intensité $I$ et la résistance $R$ dans un conducteur ohmique ? - $V=RI$ - $R=VI$ - $V=I/R$ - $I=VR$

V = RI

Loi d’Ohm : $V=RI$.

6_pc_bac

Electricity

bac

Dans un circuit, $V=12\,$V et $I=2\,$A. Calculer la résistance $R$.

6

Par $R=V/I=12/2=6\,\Omega$.

7_pc_bac

Electricity

bac

Deux résistances de $2\,\Omega$ et $3\,\Omega$ sont montées en série. Leur résistance équivalente est : - $5$ - $6$ - $1.2$ - $0$

5

En série, les résistances s’additionnent : $2+3=5\,\Omega$.

8_pc_bac

Electricity

bac

Un condensateur de capacité $C=10\,\mu\text{F}$ est soumis à $V=5\,$V. Calculer la charge $Q$ (en -.

5\times 10^{-5}

Relation $Q=CV=10\times10^{-6}\times 5=5\times10^{-5}\,$C.

9_pc_bac

Waves

bac

Une onde se propage à $340\,$m/s avec une fréquence de $170\,$Hz. Quelle est sa longueur d’onde (en m) ?

2

Avec $v=\lambda f$, $\lambda=340/170=2\,$m.

10_pc_bac

Waves

bac

Parmi les propositions suivantes, laquelle est une onde électromagnétique ? - Lumière - Son en air - Onde sismique - Onde de pression

\text{Lumière}

La lumière est une onde électromagnétique ; le son est mécanique.

11_pc_bac

Waves

bac

Une onde a une fréquence de $2\,$Hz. Quelle est sa période (en s) ?

0.5

La période $T=1/f=1/2=0.5\,$s.

12_pc_bac

Waves

bac

Laquelle de ces ondes est transversale ? - Lumière - Son en air - Onde de pression - Onde sismique longitudinale

\text{Lumière}

Les ondes électromagnétiques (lumière) sont transversales ; le son en air est longitudinal.

13_pc_bac

Thermodynamics

bac

Quel volume (en m$^3$) occupe 1 mole d’un gaz parfait à $T=273\,$K et $P=101325\,$Pa ?

0.0224

Équation d’état : $V=\dfrac{nRT}{P}=\dfrac{1\cdot 8.314\cdot 273}{101325}\approx 0.0224\,\text{m}^3$.

14_pc_bac

Thermodynamics

bac

Le premier principe de la thermodynamique s’écrit : - $\Delta U=Q-W$ - $\Delta S>0$ - $PV=nRT$ - $\Delta U=0$

\Delta U = Q - W

Conservation de l’énergie interne : $\Delta U=Q-W$ (chaleur reçue moins travail fourni).

15_pc_bac

Thermodynamics

bac

Quelle quantité de chaleur (en J) faut-il pour élever de $5^{\circ}\,$C la température de $1\,$kg d’eau ($c=4180\,$J/kg·K) ?

20900

$Q=mc\Delta T=1\times 4180\times 5=20900\,$J.

16_pc_bac

Organic Chemistry

bac

Lequel des groupements fonctionnels suivants correspond à un alcool ? - R–OH - R–CHO - R–COOH - R–NH$_2$

R-OH

Un alcool porte le groupe hydroxyle $-\mathrm{OH}$.

17_pc_bac

Organic Chemistry

bac

Combien d’isomères existe-t-il pour le composé $\mathrm{C_3H_8}$ (propane) ? - 1 - 2 - 3 - 0

1

Le propane n’admet qu’une seule structure de chaîne : un unique isomère.

18_pc_bac

Organic Chemistry

bac

Quelle est la masse (en g) de $2$ moles de $\mathrm{CH_4}$ (masse molaire $16\,$g·mol$^{-1}$) ?

32

Masse $=n\times M=2\times 16=32\,$g.

19_pc_bac

Chemical Reactions

bac

Laquelle des réactions suivantes est une réaction d’oxydoréduction ? - $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$ - $\mathrm{HCl}+\mathrm{NaOH}\to \mathrm{NaCl}+\mathrm{H_2O}$ - $\mathrm{CH_4}+2\mathrm{O_2}\to \mathrm{CO_2}+2\mathrm{H_2O}$ - $\mathrm{NaCl}\to \mathrm{Na^+}+\mathrm{Cl^-}$

2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}

Dans $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$, H est oxydé et O est réduit : réaction d’oxydoréduction.

20_pc_bac

Chemical Reactions

bac

Balancer la réaction $\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to \mathrm{H_2O}$. Quel est le coefficient devant $\mathrm{H_2O}$ ?

2

Équilibrage : $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$. Le coefficient devant $\mathrm{H_2O}$ est $2$.

21_pc_bac

Chemical Reactions

bac

Laquelle de ces réactions est une réaction acide–base ? - $\mathrm{HCl}+\mathrm{NaOH}\to \mathrm{NaCl}+\mathrm{H_2O}$ - $2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to 2\mathrm{H_2O}$ - $\mathrm{NaCl}\to \mathrm{Na^+}+\mathrm{Cl^-}$ - $\mathrm{CH_4}+2\mathrm{O_2}\to \mathrm{CO_2}+2\mathrm{H_2O}$

\mathrm{HCl}+\mathrm{NaOH}\to \mathrm{NaCl}+\mathrm{H_2O}

Neutralisation acide–base produisant un sel et de l’eau.

22_pc_bac

Electrochemistry

bac

Dans une pile électrochimique, l’anode est l’électrode où a lieu : - l’oxydation - la réduction - l’électrolyse - la corrosion

l'oxydation

Par convention, l’oxydation (perte d’électrons) a lieu à l’anode.

23_pc_bac

Electrochemistry

bac

On donne $E^\circ(\mathrm{Zn^{2+}/Zn})=-0.44\,$V et $E^\circ(\mathrm{Cu^{2+}/Cu})=+0.34\,$V. Calculer $E^\circ_{\text{pile}}$ pour une pile Zn/Cu.

0.78~\text{V}

$E_{\text{pile}}=E_{\text{cathode}}-E_{\text{anode}}=0.34-(-0.44)=0.78\,$V.

24_pc_bac

Electrochemistry

bac

Un courant de $5\,$A circule pendant $2\,$s. Quelle charge électrique (en - a été transférée ?

10

Charge $Q=It=5\times 2=10\,$C.

25_pc_bac

Electrochemistry

bac

Combien de coulombs correspond à une mole d’électrons (constante de Faraday) ?

96485

La constante de Faraday vaut environ $F\approx 96485\,$C·mol$^{-1}$.

1_math_cpge

Analysis

cpge

Calculer la somme : $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{n+1-k}\right)$.

0

On commence par séparer la somme en deux : $\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{n+1-k}\right) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1-k}$. On effectue ensuite le changement d'indice $j = n+1-k$ dans la deuxième somme, ce qui donne $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1-k} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}$. Ainsi, la somme devient $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 0$.

2_math_cpge

Analysis

cpge

Calculer la somme suivante : $\sum_{k=1}^{n} (n - k + 1)$. Quelle est la bonne réponse ? - $n^2$ - $\frac{n(n+1)}{2}$ - $n(n-1)$ - $2n$

\frac{n(n+1)}{2}

Effectuons le changement d'indice $\ell = n - k + 1$. Lorsque $k$ varie de 1 à $n$, $\ell$ varie aussi de 1 à $n$. Ainsi, $\sum_{k=1}^{n} (n - k + 1) = \sum_{\ell=1}^{n} \ell = \frac{n(n+1)}{2}$.

3_math_cpge

Trigonometry

cpge

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\tan x \ge 1$. Quelle est la bonne réponse ? - $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [0 + k\pi, \pi/4 + k\pi[$ - $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[$ - $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/2 + k\pi, \pi + k\pi[$ - $\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [-\pi/4 + k\pi, \pi/4 + k\pi[$

\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[

On considère un intervalle de longueur $\pi$. Comme $\tan(\pi/4) = 1$, l'inéquation $\tan x \ge 1$ est vérifiée pour $x$ dans $[\pi/4, \pi/2[$. En ajoutant $k\pi$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$, on obtient l'ensemble des solutions $S = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [\pi/4 + k\pi, \pi/2 + k\pi[$.

4_math_cpge

Exponential Equations

cpge

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - e^x - 6 = 0$.

\ln(3)

On pose $X = e^x$. L'équation devient $X^2 - X - 6 = 0$. Les racines de cette équation sont $X = -2$ et $X = 3$. Comme $e^x > 0$, seule la racine positive $X = 3$ est valable. Donc $e^x = 3$, ce qui donne $x = \ln(3)$.

5_math_cpge

Limits

cpge

Déterminer la limite suivante : $\lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}}$.

\frac{1}{2}

On factorise par $e^x$ au dénominateur : $\frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}} = \frac{1}{2 + e^{-3x}}$. Or $\lim_{x\to +\infty} e^{-3x} = 0$, donc la limite vaut $\frac{1}{2+0} = \frac{1}{2}$.

6_math_cpge

Limits

cpge

Déterminer la limite suivante : $\lim_{x\to -\infty} \frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}}$.

0

Quand $x\to -\infty$, $e^x\to 0$ et $e^{-2x}\to +\infty$, donc $2e^x + e^{-2x}\sim e^{-2x}\to +\infty$. Par quotient, $\frac{e^x}{2e^x + e^{-2x}}\to 0$.

7_math_cpge

Number Theory

cpge

Quels sont les diviseurs positifs communs à 390 et 525 ? - {1, 3, 5, 15} - {1, 5, 25} - {1, 2, 5, 10} - {1, 3, 9, 27}

{1, 3, 5, 15}

On calcule le pgcd de 390 et 525 avec l'algorithme d'Euclide : $\text{pgcd}(390, 525) = 15$. Les diviseurs communs de 390 et 525 sont donc les diviseurs positifs de 15, soit {1, 3, 5, 15}.

8_math_cpge

Number Theory

cpge

Soient $n \in \mathbb{Z}$. Calculer le pgcd suivant : $\gcd(n^2+n, 2n+1)$.

1

On remarque que $4(n^2+n) = (2n+1)^2 - 1$. Ainsi, si $d$ divise à la fois $n^2+n$ et $2n+1$, alors $d$ divise aussi 1. Donc $\gcd(n^2+n, 2n+1) = 1$.

9_math_cpge

Linear Algebra

cpge

Soit $E_1=\{P\in\mathbb{R}[X]\;:\;P(0)=P(2)\}$. Déterminer si $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$. Répondre par 1 si Oui et 0 si Non.

1

On vérifie les propriétés d'un sous-espace vectoriel : (i) le polynôme nul est bien dans $E_1$, (ii) si $P,Q\in E_1$, alors $P+Q\in E_1$, (iii) si $P\in E_1$ et $\lambda\in\mathbb{R}$, alors $\lambda P\in E_1$. Donc $E_1$ est un sous-espace vectoriel, la réponse est 1.

10_math_cpge

Linear Algebra

cpge

Soit $E_2=\{P\in\mathbb{R}[X]\;:\;P'(0)=2\}$. Déterminer si $E_2$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$. Répondre par 1 si Oui et 0 si Non.

0

Le polynôme nul n'est pas dans $E_2$, car $0'(0)=0\neq 2$. Un sous-espace doit contenir le vecteur nul, donc $E_2$ n'est pas un sous-espace vectoriel. La réponse est 0.

11_math_cpge

Linear Algebra

cpge

Les vecteurs $u=( 1,2,3)$ et $v=(-1,4,6)$ dans $\mathbb{R}^3$. La famille $(u,v)$ est-elle libre ? Répondre par 1 si Oui et 0 si Non.

1

Pour être proportionnels il faudrait un scalaire $\lambda$ tel que $v=\lambda u$. Les rapports composante à composante sont $-1/1=-1$, $4/2=2$ et $6/3=2$, qui ne sont pas tous égaux. Donc $u$ et $v$ ne sont pas proportionnels, la famille $(u,v)$ est libre. Réponse : 1.

12_math_cpge

Combinatorics

cpge

Une course oppose 20 concurrents, dont Émile. Combien y a-t-il de podiums possibles ? - 6840 - 116280 - 7980 - 684

6840

Pour le premier, on a 20 choix possibles, pour le second 19, pour le troisième 18. Le nombre de podiums possibles est donc $20 \times 19 \times 18 = 6840$.

13_math_cpge

Combinatorics

cpge

Combien y a-t-il de façons de répartir les 52 cartes d'un jeu entre 4 joueurs N, S, E, O, chacun possédant 13 cartes ? - 52! / (13!)^4 - (52! * 4!) / (13!)^4 - 52! / (4! * 13!) - (52! / (13!)^4) * 4!

52! / (13!)^4

Il y a (52 choose 13) choix pour le premier joueur, (39 choose 13) pour le deuxième, (26 choose 13) pour le troisième, et le dernier prend les 13 cartes restantes. En factorielle : $\binom{52}{13}\binom{39}{13}\binom{26}{13} = 52! / (13!)^4$.

14_math_cpge

Probability

cpge

On tire simultanément trois cartes au hasard dans un paquet de 32 cartes. Quelle est la probabilité de n'obtenir que des cœurs ?

7/620

Le nombre de tirages de 3 cœurs parmi 8 est C(8,3) = 56. Le nombre total de tirages de 3 cartes parmi 32 est C(32,3) = 4960. La probabilité est donc 56/4960 = 7/620.

15_math_cpge

Linear Algebra

cpge

Les applications suivantes définissent-elles un produit scalaire sur R² ? φ₁((x₁,x₂),(y₁,y₂)) = √(x₁² + y₁² + x₂² + y₂²)

0

φ₁ n'est pas bilinéaire. Par exemple, pour u=(1,1), φ₁(2u,u) = √10 alors que 2 φ₁(u,u) = 2√4 = 4. Donc φ₁ n'est pas un produit scalaire.

16_math_cpge

Combinatoire

cpge

Soit n≥4 et a,b,c,d∈{1,…,n} tous distincts. Que vaut (a b)∘(c d)∘(d a) ?

(a c d b)

On calcule l'image de chaque élément sous la permutation composée. Les éléments autres que a,b,c,d sont fixés. Pour a: a→d→c→a, pour b: b→a→b, pour c: c→b→d→c, pour d: d→c→d. On en déduit que la permutation correspond au cycle (a c d b).

17_math_cpge

Linear Algebra

cpge

Calculer le rang de la matrice A = [[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]].

2

On utilise la méthode du pivot de Gauss pour mettre la matrice sous forme échelonnée. Après élimination, on obtient : [[1,2,3],[0,-1,-2],[0,0,0]]. La matrice a donc 2 lignes non nulles, donc rg(A) = 2.

18_math_cpge

Linear Algebra

cpge

Calculer le rang de la matrice B = [[1,1,1],[1,2,4],[1,3,9]].

3

La matrice B est une matrice de Vandermonde 3x3 avec colonnes distinctes. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, aucune ligne ne devient nulle après élimination. Ainsi, le rang de B est 3.

19_math_cpge

Linear Algebra

cpge

Dimension du sous-espace engendré par $(1,2,3)$ et $(4,5,6)$ dans $\mathbb{R}^3$.

2

Ils ne sont pas colinéaires : dimension $2$.

20_math_cpge

Calculus

cpge

Soient $m,n\in\mathbb{Z}$ avec $n\ge m$. Calculer $\displaystyle \int_m^n \lfloor x \rfloor \, dx$.

\frac{(n-m)(n+m-1)}{2}

Pour tout entier $p$, on a $$\int_p^{p+1} \lfloor x \rfloor \, dx = \int_p^{p+1} p \, dx = p.$$ Ainsi, on peut découper l'intégrale en intervalles unitaires : $$\int_m^n \lfloor x \rfloor \, dx = \sum_{p=m}^{n-1} \int_p^{p+1} \lfloor x \rfloor \, dx = \sum_{p=m}^{n-1} p.$$ Cette somme est une suite arithmétique, donc $$\sum_{p=m}^{n-1} p = \frac{(n-m)(n+m-1)}{2}.$$

21_math_cpge

Calculus

cpge

Calculer \[ \int_{-1}^{2} x |x| \, dx. \]

\frac{7}{3}

On découpe l'intégrale en deux intervalles où $|x|$ s'exprime facilement : \[ \int_{-1}^{2} x|x| \, dx = \int_{-1}^{0} x|x| \, dx + \int_{0}^{2} x|x| \, dx. \] Pour $x \in [-1,0]$, $|x| = -x$, donc $\int_{-1}^{0} x|x| \, dx = \int_{-1}^{0} -x^2 \, dx = [-x^3/3]_{-1}^{0} = 1/3$. Pour $x \in [0,2]$, $|x| = x$, donc $\int_{0}^{2} x|x| \, dx = \int_{0}^{2} x^2 \, dx = [x^3/3]_{0}^{2} = 8/3$. En sommant les deux contributions : $1/3 + 8/3 = 7/3$.

22_math_cpge

Analysis

cpge

Déterminer la limite de \[ v_n = \left( \prod_{k=1}^{n} (k+n) \right)^{1/n}. \]

\frac{4}{e}

On réécrit $v_n$ comme : \[ v_n = \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln(k+n) \right). \] Posons $f(x) = \ln(x)$ sur [1,2]. La somme \[ S_n(f) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(n + k\right) - \ln(n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n}\right) \] est une somme de Riemann de $f$ sur [1,2]. Par le théorème des sommes de Riemann : \[ S_n(f) \to \int_1^2 \ln(x) \, dx = [x\ln x - x]_1^2 = 2\ln 2 - 1. \] Ainsi, $v_n \to \exp(2\ln 2 - 1) = \frac{4}{e}.$

23_math_cpge

Polynomials

cpge

Diviser $X^4 + 5X^3 + 12X^2 + 19X - 7$ par $X^2 + 3X - 1$ et donner le quotient.

X^2 + 2X + 7

Effectuons la division euclidienne : 1. Divisons le terme de plus haut degré : X^4 / X^2 = X^2 → premier terme du quotient. 2. Multiplions : X^2*(X^2 + 3X - 1) = X^4 + 3X^3 - X^2. 3. Soustrayons : (X^4 + 5X^3 + 12X^2 + 19X - 7) - (X^4 + 3X^3 - X^2) = 2X^3 + 13X^2 + 19X - 7. 4. Divisons 2X^3 / X^2 = 2X → deuxième terme du quotient. 5. Multiplions et soustrayons : 2X*(X^2 + 3X - 1) = 2X^3 + 6X^2 - 2X → reste = 7X^2 + 21X - 7. 6. Divisons 7X^2 / X^2 = 7 → troisième terme du quotient. 7. Multiplions et soustrayons : 7*(X^2 + 3X - 1) = 7X^2 + 21X - 7 → reste = 0. Ainsi, le quotient est X^2 + 2X + 7 et le reste est nul.

24_math_cpge

Polynomials

cpge

Soit $P \in K[X]$, et $a, b \in K$ avec $a \neq b$. Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X - a)(X - b)$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et $P(b)$.

\frac{P(a) - P(b)}{a - b} X + \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b}

Le reste $R$ est de degré au plus 1, donc $R(X) = \alpha X + \beta$. On écrit : $$P(X) = (X - a)(X - b) Q(X) + \alpha X + \beta.$$ En évaluant en $X = a$ et $X = b$, on obtient le système : $$\begin{cases} \alpha a + \beta = P(a), \\ \alpha b + \beta = P(b) \end{cases}$$ Résolvant ce système, on trouve : $$\alpha = \frac{P(a) - P(b)}{a - b}, \quad \beta = \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b}.$$ Ainsi, $$R(X) = \frac{P(a) - P(b)}{a - b} X + \frac{a P(b) - b P(a)}{a - b}.$$

25_math_cpge

Polynomials

cpge

Soient n, m ≥ 1. Déterminer le pgcd de X^n − 1 et X^m − 1.

X^{\gcd(n,m)} - 1

On applique l'algorithme d'Euclide sur les polynômes. Supposons n > m et écrivons n = m p + r avec 0 ≤ r < m. Alors on a : X^n - 1 = X^{mp+r} - 1 = X^r (X^{mp} - 1) + (X^r - 1). Or X^{mp} - 1 est divisible par X^m - 1, donc \gcd(X^n - 1, X^m - 1) = \gcd(X^m - 1, X^r - 1). Par récurrence et en utilisant l'algorithme d'Euclide sur les entiers, on obtient finalement : \[ \gcd(X^n - 1, X^m - 1) = X^{\gcd(n,m)} - 1. \]

26_math_cpge

Integrals

cpge

Déterminer toutes les primitives de la fonction f_1(x) = 5x^3 − 3x + 7 sur R. - F(x) = \frac{5}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R} - F(x) = 5 x^4 - 3 x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R} - F(x) = \frac{5}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R} - F(x) = \frac{5}{4} x^4 - 3 x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R}

F(x) = \frac{5}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, C \in \mathbb{R}

Pour trouver la primitive d'un polynôme, on utilise la formule générale : \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1). \] Appliquons-la terme par terme : \[ \int 5x^3 dx = \frac{5}{4} x^4, \quad \int (-3x) dx = -\frac{3}{2} x^2, \quad \int 7 dx = 7x. \] Ainsi, toutes les primitives de f_1 sont données par : \[ F(x) = \frac{5}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + 7x + C, \quad C \in \mathbb{R}. \]

27_math_cpge

Integrals

cpge

Calculer l'intégrale suivante : \[ \int_0^{\pi/3} (1 - \cos(3x)) \, dx \] - \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} - 1 - 0

\frac{\pi}{3}

Une primitive de x \mapsto 1 est F(x) = x, et une primitive de x \mapsto \cos(3x) est F(x) = \frac{1}{3} \sin(3x). Ainsi, \[ \int_0^{\pi/3} (1 - \cos(3x)) \, dx = \Big[x - \frac{1}{3} \sin(3x)\Big]_0^{\pi/3} = \frac{\pi}{3}. \]

28_math_cpge

Inegrals

cpge

Calculer l'intégrale suivante : \[ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \sin(x^2) \, dx \] - 0 - 1 - -1 - \frac{\pi}{2}

1

On reconnaît la dérivée de u(x) = x^2, ainsi \[ \int_0^{\sqrt{\pi}} x \sin(x^2) \, dx = \int_0^{\sqrt{\pi}} \frac{1}{2} u'(x) \sin(u(x)) \, dx = \Big[-\frac{1}{2} \cos(x^2)\Big]_0^{\sqrt{\pi}} = 1. \]

29_math_cpge

Integrals

cpge

Calculer l'intégrale suivante : \[ \int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x} \, dx \] - \frac{1}{2} (\ln 2)^{3/2} - \frac{2}{3} (\ln 2)^{3/2} - (\ln 2)^{1/2} - \frac{3}{2} (\ln 2)^{3/2}

\frac{2}{3} (\ln 2)^{3/2}

On pose u(x) = ln(x), alors u'(x) = 1/x. L'intégrale devient : \[ \int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x} \, dx = \int_0^{\ln 2} u^{1/2} \, du = \Big[ \frac{2}{3} u^{3/2} \Big]_0^{\ln 2} = \frac{2}{3} (\ln 2)^{3/2}. \]

30_math_cpge

Integrals

cpge

Calculer l'intégrale suivante : \[ I = \int_0^1 x e^x \, dx \]

1

On utilise l'intégration par parties en posant : \[ u(x) = x, \quad u'(x) = 1, \quad v'(x) = e^x, \quad v(x) = e^x. \] Alors : \[ \int_0^1 x e^x \, dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = (1\cdot e^1 - 0\cdot e^0) - (e^1 - e^0) = e - (e - 1) = 1. \]

31_math_cpge

Integrals

cpge

Calculer l'intégrale suivante : \[ J = \int_1^e x^2 \ln x \, dx \] Quel est le résultat ? - $\frac{2 e^3 + 1}{9}$ - $\frac{e^3 - 1}{3}$ - $\frac{e^3 + 1}{6}$ - $e^3 - \frac{1}{3}$

\frac{2 e^3 + 1}{9}

On utilise l'intégration par parties en posant : \[ u(x) = \ln x, \quad u'(x) = \frac{1}{x}, \quad v'(x) = x^2, \quad v(x) = \frac{x^3}{3}. \] Alors : \[ \int_1^e x^2 \ln x \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_1^e - \frac{1}{3} \int_1^e x^2 \, dx. \] Calculons chaque terme : \[ \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_1^e = \frac{e^3}{3} - 0 = \frac{e^3}{3}, \quad \frac{1}{3} \int_1^e x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{e^3 - 1}{3} = \frac{e^3 - 1}{9}. \] Donc : \[ J = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3 - 1}{9} = \frac{3 e^3 - (e^3 - 1)}{9} = \frac{2 e^3 + 1}{9}. \]

32_math_cpge

Differential Equations

cpge

Déterminer la solution de l'équation différentielle \[ y' + 2y = -4, \quad y(1) = -3. \]

y(t) = -2 - e^2 e^{-2t}

On commence par résoudre l'équation homogène : \[ y' + 2y = 0 \] Les solutions sont de la forme : \[ y_h(t) = C e^{-2t}, \quad C \in \mathbb{R}. \] Cherchons une solution particulière de l'équation complète. Une fonction constante convient : \[ y_p(t) = -2 \] En effet, $y_p' + 2y_p = 0 + 2(-2) = -4$. Ainsi, la solution générale est : \[ y(t) = y_p(t) + y_h(t) = -2 + C e^{-2t}. \] En utilisant la condition initiale $y(1) = -3$ : \[ -2 + C e^{-2} = -3 \implies C = -e^2. \] Donc la solution particulière est : \[ \boxed{y(t) = -2 - e^2 e^{-2t} = -2 - e^{2-2t}}. \]

33_math_cpge

Differential Equations

cpge

Résoudre l'équation différentielle suivante sur $\mathbb{R}$ : \[ y' + x^2 y = -x^2. \] - $y(x) = -1 + e^{-x^3/3}$ - $y(x) = -1 + \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}$ - $y(x) = \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}$ - $y(x) = -x^2 + \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}$

y(x) = -1 + \lambda e^{-x^3/3}, \lambda \in \mathbb{R}

On commence par résoudre l'équation homogène : \[ y' + x^2 y = 0. \] Une primitive de $x^2$ est $x^3/3$, donc les solutions de l'équation homogène sont : \[ y_h(x) = \lambda e^{-x^3/3}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \] Pour trouver une solution particulière de l'équation complète, on remarque que la constante $y_p(x) = -1$ convient car : \[ y_p' + x^2 y_p = 0 + x^2(-1) = -x^2. \] Ainsi, la solution générale est : \[ y(x) = -1 + \lambda e^{-x^3/3}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]

34_math_cpge

Differential Equations

cpge

Résoudre l'équation différentielle suivante sur $\mathbb{R}$ : \[ y' + y = \frac{1}{1+e^x}. \] - $y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x)$ - $y(x) = \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}$ - $y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x) + \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}$ - $y(x) = \frac{1}{1+e^x} + \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}$

y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x) + \lambda e^{-x}, \lambda \in \mathbb{R}

On commence par résoudre l'équation homogène : \[ y' + y = 0. \] La solution générale est : \[ y_h(x) = \lambda e^{-x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \] On cherche une solution particulière sous la forme $y_p(x) = \lambda(x) e^{-x}$, alors : \[ y_p'(x) = \lambda'(x) e^{-x} - \lambda(x) e^{-x}. \] En substituant dans l'équation : \[ \lambda'(x) e^{-x} - \lambda(x) e^{-x} + \lambda(x) e^{-x} = \frac{1}{1+e^x} \Rightarrow \lambda'(x) e^{-x} = \frac{1}{1+e^x} \Rightarrow \lambda'(x) = \frac{e^x}{1+e^x}. \] Une primitive de $e^x/(1+e^x)$ est $\ln(1+e^x)$. Donc une solution particulière est : \[ y_p(x) = e^{-x} \ln(1+e^x). \] Ainsi, la solution générale est : \[ y(x) = e^{-x} \ln(1+e^x) + \lambda e^{-x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]

35_math_cpge

Differential Equations

cpge

Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]-1,+\infty[$ : \[ (1+x)y' + y = 1 + \ln(1+x). \] - $y(x) = \frac{1}{1+x} + \ln(1+x)$ - $y(x) = \lambda (1+x), \lambda \in \mathbb{R}$ - $y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + \ln(1+x), \lambda \in \mathbb{R}$ - $y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + (1+x)\ln(1+x), \lambda \in \mathbb{R}$

y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + (1+x)\ln(1+x), \lambda \in \mathbb{R}

On commence par résoudre l'équation homogène : \[ (1+x)y' + y = 0. \] La solution générale est : \[ y_h(x) = \frac{\lambda}{1+x}, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \] On cherche une solution particulière par variation de la constante, posant $y_p(x) = \lambda(x)/(1+x)$. Alors : \[ y_p'(x) = \frac{\lambda'(x)}{1+x} - \frac{\lambda(x)}{(1+x)^2}. \] Substituons dans l'équation : \[ (1+x)\left(\frac{\lambda'(x)}{1+x} - \frac{\lambda(x)}{(1+x)^2}\right) + \frac{\lambda(x)}{1+x} = 1 + \ln(1+x) \Rightarrow \lambda'(x) = 1 + \ln(1+x). \] Une primitive est $\lambda(x) = (1+x)\ln(1+x)$. Ainsi, la solution générale est : \[ y(x) = \frac{\lambda}{1+x} + (1+x)\ln(1+x), \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]

36_math_cpge

Differential Equations

cpge

Résoudre l'équation différentielle suivante sur $\mathbb{R}$ : \[ y' - 2xy = -(2x-1)e^x. \] - $y(x) = e^x$ - $y(x) = \lambda e^{x^2}, \lambda \in \mathbb{R}$ - $y(x) = \lambda e^{x^2} + e^x, \lambda \in \mathbb{R}$ - $y(x) = e^{-x^2} + x$

y(x) = \lambda e^{x^2} + e^x, \lambda \in \mathbb{R}

On commence par résoudre l'équation homogène : \[ y' - 2xy = 0. \] En séparant les variables : \[ \frac{y'}{y} = 2x \Rightarrow \ln|y| = x^2 + C \Rightarrow y_h(x) = \lambda e^{x^2}, \lambda \in \mathbb{R}. \] Pour une solution particulière, on pose $y_p(x) = \lambda(x) e^{x^2}$. Alors : \[ y_p'(x) = \lambda'(x) e^{x^2} + 2x \lambda(x) e^{x^2}. \] Substituons dans l'équation : \[ y_p' - 2xy_p = \lambda'(x)e^{x^2} = -(2x-1)e^x \Rightarrow \lambda'(x) = -(2x-1)e^{x-x^2}. \] Une primitive est $\lambda(x) = e^{-x^2+x} = e^{-x^2} e^x$. Donc une solution particulière est $y_p(x) = e^x$. La solution générale est : \[ y(x) = \lambda e^{x^2} + e^x, \quad \lambda \in \mathbb{R}. \]

37_math_cpge

Logique et nombres

cpge

136 est un multiple de 17 et 2 divise 167. Indiquer 1 si c’est vrai, 0 sinon.

0

Cette proposition est fausse, car 2 ne divise pas 167.

38_math_cpge

Logique et nombres

cpge

136 est un multiple de 17 ou 2 divise 167. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon.

1

Cette proposition est vraie, car 136 est un multiple de 17.

39_math_cpge

Logic

cpge

Il existe x ∈ ℝ tel que x+1=0 et x+2=0 en même temps. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon.

0

Cette proposition est fausse, car x devrait être simultanément égal à -1 et à -2, ce qui est impossible.

40_math_cpge

Logic

cpge

Il existe x ∈ ℝ tel que x+1=0, et il existe x ∈ ℝ tel que x+2=0. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon.

1

Cette proposition est vraie car ∃x ∈ ℝ, x+1=0 est vraie (il suffit de prendre x=-1) et de la même façon ∃x ∈ ℝ, x+2=0 est vraie (il suffit de prendre x=-2).

41_math_cpge

Logic

cpge

Pour tout x ∈ ℝ, x+1 ≠ 0 ou x+2 ≠ 0. Répondre 1 si c’est vrai, 0 sinon.

1

Cette proposition est vraie, car il s'agit de la négation de la proposition 3, qui est fausse.

42_math_cpge

Linear equations

cpge

Résoudre le système suivant : \[ x + y + 2z = 3\\ x + 2y + z = 1\\ 2x + y + z = 0 \] Indiquer la solution sous forme (x, y, z).

(-1, 0, 2)

On utilise la méthode du pivot de Gauss : 1) Soustraire L1 de L2 et 2*L1 de L3 pour simplifier le système : \[ y - z = -2\\ -4z = -8\] 2) On en déduit z=2, y=0 et enfin x=-1. Donc la solution est (x, y, z) = (-1, 0, 2).

43_math_cpge

Linear equations

cpge

Résoudre le système suivant : \[ x + 2z = 1\\ -y + z = 2\\ x - 2y = 1 \] Indiquer la solution sous forme (x, y, z).

(-1, -1, 1)

On applique la méthode du pivot de Gauss : 1) De L3 - L1 on obtient -4z=-4 => z=1 2) Puis de L2, -y + z = 2 => -y + 1 = 2 => y=-1 3) Enfin de L1, x + 2*1 = 1 => x=-1 Donc la solution est (x, y, z) = (-1, -1, 1).

44_math_cpge

Series

cpge

Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse : 2\cdot 3 + 2\cdot 4 + \cdots + 2\cdot 12 - \sum_{k=2}^{12} 2k - \sum_{k=3}^{12} 2k - \sum_{k=1}^{12} 2k - \sum_{k=3}^{13} 2k

\sum_{k=3}^{12} 2k

La somme commence à k=3 et se termine à k=12, chaque terme étant multiplié par 2. Donc la bonne notation est \sum_{k=3}^{12} 2k.

45_math_cpge

Series

cpge

Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse : 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 8 + \cdots + 10\cdot 1024 - \sum_{k=0}^{9} k 2^k - \sum_{k=1}^{10} k 2^k - \sum_{k=1}^{11} k 2^k - \sum_{k=2}^{10} k 2^k

\sum_{k=1}^{10} k 2^k

Chaque terme est de la forme k*2^k, k allant de 1 à 10. Donc la bonne notation est \sum_{k=1}^{10} k 2^k.

46_math_cpge

Series

cpge

Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse : 2 - 4 + 6 - 8 + \cdots + 50 - \sum_{k=1}^{25} (-1)^k 2k - \sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} 2k - \sum_{k=1}^{50} (-1)^{k+1} k - \sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} k

\sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} 2k

Les termes alternent en signe et sont tous pairs (2k). Donc la bonne notation est \sum_{k=1}^{25} (-1)^{k+1} 2k.

47_math_cpge

Series

cpge

Écrire la somme suivante avec le symbole somme et choisir la bonne réponse : 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \cdots + 1/(2n-1) - 1/(2n) - \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}/(2k-1) - \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k/k - \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}/k - \sum_{k=1}^{n} (-1)^k/(2k)

\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}/k

La somme alterne les signes pour les termes 1/k de k=1 à 2n, donc la bonne notation est \sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1}/k.

48_math_cpge

Complex numbers

cpge

Mettre sous forme algébrique le nombre complexe suivant et choisir la bonne réponse : $$z_5 = i (1 - 3i)^2$$ - $$-6 - 8i$$ - $$6 - 8i$$ - $$-6 + 8i$$ - $$6 + 8i$$

6 - 8i

Calculons $$(1 - 3i)^2 = 1 - 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 1 - 6i - 9 = -8 - 6i.$$ Ensuite, multiplions par $i$ : $$i(-8 - 6i) = -8i - 6i^2 = -8i + 6 = 6 - 8i.$$

49_math_cpge

Complex numbers

cpge

Résoudre l'équation complexe : $$\exp(z) = 3\sqrt{3} - 3i$$ Choisir la bonne réponse : - $$z = \ln(6) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$ - $$z = \ln(6) + i(\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$ - $$z = \ln(6) - i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$ - $$z = \ln(3) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}$$

z = \ln(6) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}

On pose $z = a + ib$, $a,b \in \mathbb{R}$. Alors $$\exp(z) = \exp(a) \cdot \exp(ib).$$ Mettons $3\sqrt{3} - 3i$ sous forme trigonométrique : $$|3\sqrt{3} - 3i| = \sqrt{27+9} = 6$$ et argument $$\theta = -\pi/6.$$ Donc $$3\sqrt{3} - 3i = 6 \exp(-i\pi/6).$$ Ainsi $$\exp(a) = 6 \Rightarrow a = \ln(6)$$ et $$b = -\pi/6 + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.$$ Donc $$z = \ln(6) + i(-\pi/6 + 2k\pi), k \in \mathbb{Z}.$$

50_math_cpge

Complex numbers

cpge

Résoudre l'équation complexe suivante : $$z + 2i = iz - 1$$

z = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

On commence par regrouper les termes contenant $z$ d'un côté : $$z - iz = -1 - 2i$$ Factorisation : $$z(1 - i) = -1 - 2i$$ Division par $(1 - i)$ : $$z = \frac{-1 - 2i}{1 - i}$$ Multiplication par le conjugué : $$z = \frac{(-1 - 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}$$ $$z = \frac{-1 - 3i + 2}{2}$$ Solution finale : $$z = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$$

Domain	# Questions	Level split (HS / Prépa)
Mathematics	100	50 / 50
Physics & Chemistry	50	25 / 25
Biology (SVT)	25	25
Total	175	100 / 75

Datasets:

kurakurai
/

kholle

Kholle Benchmark

All metrics and extraction code for evaluation are available in the official Luth repo.

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