Unnamed: 0
int64 4
4.1k
| id
int64 89
8.68k
| type
stringlengths 12
72
| url
stringlengths 29
135
| problem
stringlengths 49
510
| task_images
stringlengths 36
48
⌀ | solution
stringlengths 1
1.83k
| solution_images
stringlengths 42
91
⌀ | answer
float64 -14
2.03M
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2,025 | 718 | Значение производной в точке касания как тангенс угла наклона | https://shkolkovo.net/catalog/vzaimosvyaz_funkcii_i_ee_proizvodnoj/znachenie_v_tochke_kasaniya_kak_tangens_ugla_naklona | Производная \(f'(x)\) функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна \(10\) . Найдите котангенс угла наклона касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) . | null | Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна тангенсу угла наклона касательной к графику \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\) . | null | 0.1 |
371 | 2,251 | Оценка + пример | https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_na_teoriyu_chisel/ocenka_primer | В странном кинозале места образуют треугольник: в первом ряду одно место, во втором ряду два места, ..., в \(n\) -ом ряду \(n\) мест. Известно, что число мест в кинозале положительно и делится на \(2017\) . Какое наименьшее количество стульев может быть в таком зале? | null | Пусть в зале \(n\) рядов, тогда число стульев в зале равно \[1 + 2 + ... + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} = k\cdot 2017\] – для некоторого натурального \(k\) . Так как число \(2017\) простое, то один из множителей \(n\) и \((n + 1)\) должен делиться на \(2017\) . | null | 2,033,136 |
2,388 | 346 | Рациональные уравнения | https://shkolkovo.net/catalog/reshenie_uravnenij_2/racionalnye | Найдите корень уравнения \(\dfrac{-x - 8}{x - 8} = 9\) . | null | ОДЗ: \(x \neq 8\) . Решим на ОДЗ: | null | 6.4 |
2,478 | 354 | Рациональные уравнения | https://shkolkovo.net/catalog/reshenie_uravnenij_2/racionalnye/page-3 | Найдите корень уравнения \(\dfrac{7,5 - x}{x - 13} = -0,25x\) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите модуль их разности. | null | ОДЗ: \(x \neq 13\) . Решим на ОДЗ: | null | 13 |
3,413 | 5,855 | Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора для решения треугольников | https://oge.shkolkovo.net/catalog/mnogougolniki/pryamougolnyj_treugolnik/page-4 | Острый угол \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равен \(55^\circ\) . Найдите угол между высотой \(CH\) и медианой \(CM\) , проведенными из вершины прямого угла \(C\) . Ответ дайте в градусах.
| /media/upload/task_images/1703/A_OGE_16_3_2.png | Так как медиана, опущенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы, то \(\triangle BMC\) – равнобедренный, то есть \(BM=CM\) . Следовательно, \(\angle BCM=\angle B=55^\circ\) .
\(\angle BCH=90^\circ-\angle B=35^\circ\) . Следовательно, \(\angle
HCM=55^\circ-35^\circ=20^\circ\) . | null | 20 |
2,997 | 6,223 | Задачи на движение по воде | https://oge.shkolkovo.net/catalog/tekstovye_zadachi/dvizhenie_po_vode | От пристани A в направлении пристани В с постоянной скоростью отправился первый теплоход. Через час после этого от пристани В в направлении пристани А отправился второй теплоход, причём скорость второго теплохода на 1 км/ч меньше, чем скорость первого. При этом скорость течения составляет 2 км/ч. Найдите скорость первого теплохода в неподвижной воде, если расстояние от А до В равно 120 км, а встретились теплоходы посередине между пристанями А и В. Ответ дайте в км/ч. | null | Так как теплоходы встретились посередине, а время, затраченное на это теплоходом с меньшей скоростью в неподвижной воде, меньше, чем время теплохода с большей скоростью в неподвижной воде, то теплоход с большей скоростью в неподвижной воде плыл против течения, то есть течение направлено от В к А. | null | 14 |
3,168 | 6,014 | Теоремы, связанные с длинами отрезков | https://oge.shkolkovo.net/catalog/okruzhnost/teoremy_dliny_otrezkov | В треугольнике \(ABC\) : \(\angle C = 90^{\circ}\) , \(AB = 10\) , \(CO\) – медиана. Найдите длину \(CO\) . | null | В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Покажем это:
Опишем около треугольника \(ABC\) окружность
\(\angle ACB = 90^{\circ}\) – вписанный, тогда он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, следовательно, градусная мера дуги \(AB\) равна \(180^{\circ}\) , а значит, \(AB\) – диаметр и \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, тогда \(AO = OC\) как радиусы. \[OC = AO = 0,5 \cdot AB = 5.\] | /media/upload/task_images/1709/A_OGE_17_3_7.png | 5 |
3,936 | 4,596 | Двойной подсчет | https://matholymp.shkolkovo.net/catalog/obschie_idei/dvojnoj_podschet/page-5 | Мисс Барашкис вырезала из прямоугольника \(20\times 30\) (20 столбцов, 30 строк) крест, в котором вертикальная полоска имеет ширину 3 клетки, а горизонтальная — 2 клетки. Сколько всего клеток в таком кресте? | null | Посчитаем, сколько всего клеток в вертикальной полосе. Так как строк в прямоугольнике 30, то высота вертикальной полоски равна 30 клеточкам, а ширина, по условию, равна 3 клеткам. Значит, в вертикальной полосе креста \(30\cdot 3=90\) клеток. | null | 134 |
3,053 | 6,198 | Задачи на движение по прямой | https://oge.shkolkovo.net/catalog/tekstovye_zadachi/dvizhenie_po_pryamoj/page-4 | Из пункта А в пункт Б одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй первую половину пути проехал со скоростью \(84\) км/ч, а вторую половину пути со скоростью, на \(11,2\) км/ч меньшей скорости первого, в результате чего оба автомобилиста прибыли в пункт Б одновременно. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она была больше 50 км/ч. Ответ дайте в км/ч. | null | Пусть скорость первого автомобилиста равна \(x\) км/ч, \(S\) км – расстояние от А до Б. Тогда можно составить такую картинку-схему:
Тогда время в часах, которое первый затратил на дорогу, равно \[\dfrac Sx\] Время в часах, которое второй затратил на дорогу, равно \[\dfrac{\frac S2}{84}+\dfrac{\frac S2}{x-11,2}\] Так как оба прибыли одновременно в пункт Б, то есть затратили на дорогу одинаковое время, то получаем следующее уравнение: \[\dfrac Sx=\dfrac{\frac S2}{84}+\dfrac{\frac S2}{x-11,2}\] Заметим, что можно разделить обе части уравнения на \(S\) , так как \(S\ne 0\) . Приведем к общему знаменателю и перенесем все слагаемые в одну сторону: \[\dfrac{x^2-(84+11,2)x+2\cdot 84\cdot 11,2}{2\cdot 84\cdot x\cdot (x-11,2)}=0\] Решим уравнение \(x^2-(84+11,2)x+2\cdot 84\cdot 11,2=0\) . Домножим его на \(10\) : \(10x^2-952x+2\cdot 84\cdot 112=0\) .
Дискриминант \[D=952^2-4\cdot 10\cdot 2\cdot 84\cdot 112=7^2\cdot 2^6\cdot
17^2-2^{10}\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2=7^2\cdot 2^6\cdot
(289-240)=(7\cdot 2^3\cdot 7)^2=392^2\] Следовательно, корнями будут \[x_1=\dfrac{952+392}{20}=67,2 \quad {\small{\text{и}}}
\quad x_2=\dfrac{952-392}{20}=28\] Так как скорость больше 50, то ответом будет число 67,2. | /media/upload/task_images/1730/A_OGE_22_2_2.png | 67.2 |
1,536 | 3,022 | 11. Сюжетные текстовые задачи | https://shkolkovo.net/catalog/syuzhetnye_tekstovye_zadachi/page-4 | Два поезда движутся навстречу друг другу – один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметим, что первый поезд прошел мимо него за 12 секунд. Какова длина первого поезда? Ответ дайте в метрах. | null | Заметим, что фраза “первый поезд прошел мимо пассажира за 12 с” означает, что с того момента, как пассажир увидел голову поезда, до того момента, как он увидел хвост поезда, прошло 12 с. Следовательно, неважно, где именно в поезде в этот момент находился пассажир. Поэтому пусть пассажир находился прямо в начале поезда. Первая картинка – когда пассажир увидел голову поезда, вторая – хвост поезда. Заметим, что за каждую секунду первый поезд проезжает \(\dfrac{70000}{3600}=\dfrac{175}9\) м, второй – \(\dfrac{80000}{3600}=\dfrac{200}9\) м. Следовательно, за каждую секунду пассажир удаляется от головы первого поезда на \(\dfrac{175}9+\dfrac{200}9=\dfrac{125}3\) м. Следовательно, через 12 с он удалится от головы поезда на \(\dfrac{125}3\cdot 12=500\) м. Так как в этот момент он будет видеть хвост поезда, то это значит, что 500 м и есть длина первого поезда. | /media/upload/task_images/1457/A_11_1_11.png | 500 |
1,814 | 2,709 | Буквенные дробные выражения | https://shkolkovo.net/catalog/preobrazovanie_vyrazhenij/bukvennye_drobnye/page-5 | Найдите значение выражения \[\dfrac{y^2-4xy-x^2}{(3x+y)(x+y)}+10\cdot\dfrac{xy-3x^2}{y^2-9x^2}-2\] при \(\dfrac{y+x}{x}=8\) . | null | Сделаем преобразования, учитывая, что \((3x+y)(x+y)\ne 0\) и \(y^2-9x^2\ne 0\) : | null | -0.75 |
2,826 | 5,799 | 4. Числовые и алгебраические выражения | https://oge.shkolkovo.net/catalog/chislovye_algebraicheskie_vyrazheniya/page-4 | Какое из данных чисел является значением выражения \(\sqrt{9^4}\) ?
1) \(729 \qquad \qquad\) 2) \(9\qquad \qquad\) 3) \(81\qquad \qquad\) 4) \(\dfrac1{81}\) | null | Запишем \(9^4\) как \((9^2)^2\) . Тогда \(\sqrt{(9^2)^2}=|9^2|=|81|=81\) . Следовательно, ответ 3. | null | 3 |
3,217 | 6,114 | Площадь параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата | https://oge.shkolkovo.net/catalog/ploshhadi_geometricheskix_figur/parallelogramma_romba_kvadrata/page-3 | Найдите площадь ромба, если его высота равна \(2\) , а острый угол равен \(30^\circ\) . | null | Проведем \(DH\perp AB\) .
Так как \(\angle A=30^\circ\) , а катет, лежащий против угла \(30^\circ\) , равен половине гипотенузы, то \(AD=2DH=2\cdot 2=4\) . Площадь ромба равна произведению высоты на сторону, к которой проведена высота, следовательно, \[S=DH\cdot AB=4\cdot 2=8\] ( \(AB=AD\) , так как в ромбе по определению все стороны равны) | /media/upload/task_images/1715/A_OGE_18_3_3.png | 8 |
259 | 90 | Нестандартные задачи | https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_iz_povsednevnoj_zhizni/nestandartnye/page-2 | Одна шоколадка стоит 53 рубля. Витя хочет подарить всем своим друзьям по набору из 5 шоколадок в каждом. У Вити есть 900 рублей, причём этих денег ему хватит на наборы для всех друзей, но если бы у него было на одного друга больше, то на ещё один полный набор денег не хватило бы. Сколько друзей у Вити? | null | Каждый набор обходится Вите в \(53 \cdot 5 = 265\) рублей. Наибольшее количество полных наборов, на которое Вите хватает денег, есть неполное частное от деления 900 на 265 и равно 3. По условию, если бы у Вити был ещё один друг, то для него на полный набор денег уже не хватило бы, значит у Вити ровно 3 друга. | null | 3 |
2,724 | 5,743 | Степени с целым показателем | https://oge.shkolkovo.net/catalog/znacheniya_chislovyx_vyrazhenij/stepeni_s_celym_pokazatelem | Найдите значение выражения \(6^{-12}:6^{-13}\) . | null | Так как \(a^x:a^y=a^{x-y}\) , то выражение равно \(6^{-12-(-13)}=6^{-12+13}=6^1=6\) . | null | 6 |
263 | 220 | Треугольник: работа с углами | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_i/treugolnik_rabota_s_uglami/page-3 | В треугольнике \(ABC\) : \(\angle A = 39^{\circ}\) , \(BD\) – биссектриса, \(\angle ABD = 30^{\circ}\) . Найдите \(\angle C\) . Ответ дайте в градусах. | /media/upload/task_images/1448/Triangle_9.png | Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle ABD = \angle DBC\) , тогда \(\angle ABC = 2\cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}\) . | null | 81 |
576 | 3,025 | Задачи на нахождение наибольшего/наименьшего значения величины | https://shkolkovo.net/catalog/slozhnye_zadachi_prikladnogo_haraktera/naibolshego_naimenshego_znacheniya_velichiny | На двух заводах, которыми владеет Александр, производят одинаковый товар. Если на первом заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(t\) товаров. Если на втором заводе рабочие трудятся \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(2t\) товаров. Заработная плата рабочего за час работы составляет 300 рублей. Найдите наименьшую сумму, которую должен потратить на зарплаты рабочим в неделю Александр, чтобы оба завода произвели 600 единиц товара. Ответ дайте в млн. рублей. | null | Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(2p\) товаров. Тогда \(600=t+2p\) . Так как заработная плата в час составляет \(300\) рублей, то сумма, которую должен заплатить Александр в неделю на зарплату рабочим, равна \[A=300(t^2+p^2)\] Выразим \(t=600-2p\) и подставим: \[A=A(p)=300(5p^2-4\cdot 600\cdot p+600^2)\] Таким образом, необходимо найти минимальное значение функции \(A(p)\) , если \(2p\) – целое неотрицательное число (потому что это количество товаров), причем не превышающее \(600\) (так как иначе \(t\) будет отрицательным, что невозможно, так как это тоже количество товаров). Заметим, что функция \(A(p)\) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \(p_0=\dfrac{4\cdot 600}{2\cdot
5}=240.\) Следовательно, \(p_0\) и есть точка минимума (причем \(2p_0\in [0;600]\) – подходит), следовательно, при \(p=240\) значение функции будет наименьшим. Тогда \(t=600-2p=600-480=120\) . Таким образом, \[A_{min}=300\cdot (240^2+120^2)=21\,600\,000.\] | null | 21.6 |
2,088 | 680 | Векторы на координатной плоскости | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_ii/vektory_na_koordinatnoj_ploskosti | Найдите скалярное произведение \(\overrightarrow{MN} (-1; -1)\) и \(\overrightarrow{PQ} (3; 8)\) . | null | Скалярное произведение векторов с координатами \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) равно \[x_1\cdot x_2 + y_1\cdot y_2.\] В данной задаче \((\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{PQ}) = -1\cdot 3 + (-1)\cdot 8 = -11\) . | null | -11 |
1,886 | 1,869 | Прямая и правильная призмы | https://shkolkovo.net/catalog/geometriya_v_prostranstve_stereometriya/pryamaya_i_pravilnaya_prizmy | Дана правильная треугольная призма. Площадь основания равна площади одной из боковых граней и равна \(4\sqrt3\) . Найдите объем призмы. | /media/upload/task_images/1351/2.png | Так как призма является правильной, то в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники, поэтому все боковые грани равны друг другу и являются прямоугольниками. Обозначим высоту призмы за \(h\) , а сторону правильного треугольника за \(x\) . Тогда найдем площадь основания: \(\displaystyle S_{\text{осн.}} = \frac{1}{2}\cdot x^2\cdot\sin 60^\circ = \frac{1}{2}\cdot x^2\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{4}\cdot x^2 = 4\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(x^2 = 16\) \(\Rightarrow\) \(x = 4\) . Высоту выразим из формулы для площади боковой грани: \(S = 4\sqrt3 = x\cdot h = 4\cdot h\) \(\Rightarrow\) \(h = \sqrt3\) . Наконец, найдем объем призмы: \[V = h\cdot S_{\text{осн.}} = \sqrt3\cdot4\sqrt3 = 12.\] | null | 12 |
1,316 | 926 | Нетипичные задачи | https://shkolkovo.net/catalog/issledovanie_funkcij_s_pomoschyu_proizvodnoj/netipichnye_zadachi/page-2 | Найдите точку локального минимума функции \(y = e^x \cdot \dfrac{x^2 + 4}{x^3}\) . | null | ОДЗ: \(x \neq 0\) . Решим на ОДЗ: | /media/upload/task_images/1379/B_12_11_3.png,/media/upload/task_images/1379/B_12_11_3_1.png | 2 |
1,006 | 2,452 | Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми | https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_po_stereometrii/nahozhdenie_rasstoyaniya_mezhdu_skreschivayuschimisya_pryamymi | В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) , ребро которого равно \(\sqrt{32}\) , найдите расстояние между прямыми \(DB_1\) и \(CC_1\) . | null | Прямые \(DB_1\) и \(CC_1\) скрещиваются по признаку, т.к. прямая \(DB_1\) пересекает плоскость \((DD_1C_1)\) , в которой лежит \(CC_1\) , в точке \(D\) , не лежащей на \(CC_1\) . | /media/upload/task_images/1466/A_14_3_2.png | 4 |
1,712 | 484 | Буквенные дробные выражения | https://shkolkovo.net/catalog/preobrazovanie_vyrazhenij/bukvennye_drobnye | Найдите значение выражения \(\dfrac{7\cdot(7 - 2x^2)}{(x-\sqrt{3,5})(x+\sqrt{3,5})}\) при тех значениях \(x\) , при которых оно имеет смысл. | null | \[\dfrac{7\cdot(7 - 2x^2)}{(x-\sqrt{3,5})(x+\sqrt{3,5})} = \dfrac{7\cdot(7 - 2x^2)}{x^2-(\sqrt{3,5})^2} = \dfrac{7\cdot(7 - 2x^2)}{x^2-3,5} = \dfrac{-14\cdot(x^2 - 3,5)}{x^2-3,5} = -14\] – при тех значениях \(x\) , при которых знаменатель исходной дроби отличен от 0, то есть, при тех \(x\) , при которых исходное выражение имеет смысл. | null | -14 |
1,488 | 2,122 | Задачи на движение по воде | https://shkolkovo.net/catalog/syuzhetnye_tekstovye_zadachi/na_dvizhenie_po_vode/page-2 | Моторная лодка проплыла по течению реки \(20\, км\) , после чего сломалась и в течение часа её уносило течением. Спустя час после поломки лодка развернулась и поплыла в обратную сторону с изначальной собственной скоростью, равной \(13\, км/ч\) . Известно, что обратный путь занял \(2 ч\) . Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч. | null | Пусть скорость течения реки равна \(v_{\text{т}}\) , тогда путь лодки по течению составил \(20 + 1\cdot v_{\text{т}} = 20 + v_{\text{т}}\, км\) . | null | 2 |
38 | 89 | Нестандартные задачи | https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_iz_povsednevnoj_zhizni/nestandartnye | Борис собирается выложить пол в душевой плиткой. Плитка имеет форму прямоугольника с размерами \(30\) см \(\times 20\) см. При этом пол в душевой имеет размеры прямоугольника \(3\) м \(\times 1,5\) м. Какую наименьшую сумму придётся потратить Борису на плитку, если одна плитка стоит 85 рублей? Ответ дайте в рублях. | null | Если класть плитку длинной стороной к короткой стороне душевой, то понадобится ровно \(\dfrac{150}{30}\cdot \dfrac{300}{20} = 75\) плиток. Следовательно, Борис потратит минимум \(75\cdot 85\) руб \(= 6375\) руб. | null | 6,375 |
3,379 | 6,055 | Описанная окружность | https://oge.shkolkovo.net/catalog/okruzhnost/opisannaya/page-3 | В окружность вписан пятиугольник \(ABCDE\) , причем \(AB=BC=DE=EA\) , \(\angle CAD=30^\circ\) . Найдите меньший из углов данного пятиугольника. Ответ дайте в градусах. | null | Рассмотрим картинку:
| /media/upload/task_images/1712/A_OGE_17_5_10.png | 105 |
1,841 | 3,050 | Задачи на формулы площадей и объемов | https://shkolkovo.net/catalog/geometriya_v_prostranstve_stereometriya/ploshhad_i_obem_figur/page-2 | Объем первого цилиндра равен \(16\) , причем известно, что его радиус в 7 раз меньше радиуса второго цилиндра, а высота второго цилиндра в 8 раз меньше высоты первого. Найдите объем второго цилиндра. | /media/upload/task_images/1513/A_8_18_3.png | Объем цилиндра с высотой \(H\) и радиусом основания \(R\) ищется по формуле \(V=\pi R^2H\) . Тогда объем первого относится к объему второго цилиндра как \[\dfrac{16}{V_2}=\dfrac{\pi\,R_1^2\,H_1}{\pi\,R_2^2\,H_2}=
\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\cdot \dfrac{H_1}{H_2}\] Из условие следует, что \(R_1=\frac17R_2\) , \(H_2=\frac18H_1\) , следовательно, \[\dfrac{16}{V_2}=\left(\dfrac{\frac17R_2}{R_2}\right)^2\cdot
\dfrac{H_1}{\frac18H_1}=\dfrac1{49}\cdot 8 \quad\Rightarrow\quad
V_2=98.\] | null | 98 |
4,103 | 6,539 | Зацикливание | https://matholymp.shkolkovo.net/catalog/processy/cheredovanie | По мановению волшебной палочки Гермиона с легкостью перемножила тысячу двоек. На какую цифру заканчивается это произведение? | null | Сначала объясним, почему вообще последние цифры зациклятся. Для этого посчитаем произведения одной, двух, трех и т.д. двоек, пока последняя цифра не повторится. \[\begin{array}{rcl}
2&=&2 \\
2\cdot 2&=&4 \\
2\cdot 2\cdot 2&=&8 \\
2\cdot 2 \cdot 2\cdot 2&=&16 \\
2\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2&=&32.
\end{array}\] | null | 6 |
1,911 | 511 | Числовые иррациональные выражения | https://shkolkovo.net/catalog/preobrazovanie_vyrazhenij/chislovye_irracionalnye/page-3 | Найдите значение выражения \(\sqrt{28 + 6\sqrt{3}} - \sqrt{31 + 12\sqrt{3}}\) . | null | Исходное выражение можно преобразовать следующим образом: | null | -1 |
2,201 | 2,107 | Работа с внешними углами многоугольника с помощью тригонометрии | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_ii/rabota_s_vneshnimi_uglami_mnogougolnika | Дан выпуклый четырехугольник \(GEOM\) , причем \(\angle G+\angle
E+\angle O=330^\circ\) . Найдите синус внешнего угла при вершине \(M\) . | null | Т.к. сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна \(360^\circ\) , то \(\angle M=360^\circ - 330^\circ =30^\circ\) . Следовательно, \(\sin \angle M=\sin 30^\circ =0,5\) . Т.к. синусы смежных углов равны, то \(\sin M_{\text{внеш}}=0,5\) . | /media/upload/task_images/1449/B_6_2_1.png | 0.5 |
3,675 | 8,683 | Произвольные последовательности | https://oge.shkolkovo.net/catalog/chislovye_posledovatelnosti/proizvolnye/page-2 | Какое из указанных чисел является членом последовательности \(l_n=5n-4\) ? 1) 56 \(\;\;\;\) 2)128 \(\;\;\;\) 3)135 \(\;\;\;\) 4)202 | null | Перепишем формулу в виде \(l_n+4=5n\) . Правая часть делится на 5, значит, левая тоже должна делиться. Из данных чисел только 1) удовлетворяет условию. | null | 1 |
2,175 | 2,155 | Окружность: центральные и вписанные углы | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_ii/okruzhnost_centralnye_i_vpisannye_ugly | Точки \(A\) и \(C\) разбивают окружность на две дуги, одна из которых равна \(280^\circ\) и на которой отмечена точка \(B\) . Найдите угол \(BAC\) , если \(AB=AC\) . Ответ дайте в градусах. | null | Рассмотрим картинку: | /media/upload/task_images/1331/B_6_4_1.png | 100 |
2,330 | 2,191 | Окружность: описанная около многоугольника | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_ii/okruzhnost_opisannaya_okolo_mnogougolnika/page-5 | Около пятиугольника \(ABCDE\) описана окружность, причем \(AB=BC=CD=DE=4\sqrt3\) , \(\angle A=90^\circ\) . Найдите \(AE\) . | null | Рассмотрим картинку: | /media/upload/task_images/1328/A_6_7_13.png | 12 |
21 | 1,477 | Задачи на проценты | https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_iz_povsednevnoj_zhizni/na_procenty_2 | Авиабилет стоит 12000 рублей. Двум пассажирам из группы в десять человек была сделана скидка в 6 \(\%\) . Сколько в сумме отдали эти 10 пассажиров за перелёт? | null | Билет со скидкой стоит \(12000 \cdot (1 - 0,06) = 11280\) рублей. Из группы в десять человек двое летели со скидкой, остальные восемь платили по 12000 рублей за билет. В сумме эти 10 пассажиров отдали \(12000 \cdot 8 + 11280 \cdot 2 = 118560\) рублей. | null | 118,560 |
1,402 | 2,120 | Задачи на движение по воде | https://shkolkovo.net/catalog/syuzhetnye_tekstovye_zadachi/na_dvizhenie_po_vode | Антон знает, что собственная скорость его лодки равна \(10\, км/ч\) . При этом ему надо успеть проплыть \(25\, км\) за \(2\) часа. Плыть он будет по течению. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы Антон успел? Ответ дайте в км/ч. Если в задаче может быть более одного ответа – выберите наименьший. | null | Чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы его лодка перемещалась со скоростью не меньше, чем \(25 : 2 = 12,5\, км/ч\) . То есть для того, чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы скорость течения была не меньше, чем \(2,5\, км/ч\) . | null | 2.5 |
1,888 | 3,115 | Прямая и правильная призмы | https://shkolkovo.net/catalog/geometriya_v_prostranstve_stereometriya/pryamaya_i_pravilnaya_prizmy | В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) , все ребра которой равны \(1\) , найдите угол между прямыми \(AA_1\) и \(CB_1\) . Ответ дайте в градусах. | null | Для того, чтобы найти угол между прямыми, не лежащими в одной плоскости, нужно одну из прямых параллельно перенести в плоскость, в которой лежит вторая прямая. Заметим, что \(BB_1\parallel AA_1\) . Следовательно, угол между \(AA_1\) и \(CB_1\) равен углу между прямыми \(BB_1\) и \(CB_1\) . Так как все ребра призмы равны, то грань \(BCC_1B_1\) представляет собой квадрат, где \(CB_1\) – диагональ. Следовательно, \(\angle
BB_1C=45^\circ\) . | /media/upload/task_images/1351/A_8_8_5.png | 45 |
1,198 | 2,773 | Нетипичные задачи | https://shkolkovo.net/catalog/issledovanie_funkcij_s_pomoschyu_proizvodnoj/netipichnye_zadachi | Найдите наибольшее значение функции \(y = -x^4 + 4x^3 - x^2 + 2x + 11\) на отрезке \([0; 2]\) . | null | \[y' = -4x^3 + 12x^2 - 2x + 2 = (-4x^3 + 11x^2) + (x^2 - 2x + 1) + 1 = x^2(11 - 4x) + (x - 1)^2 + 1\] | null | 27 |
3,674 | 8,682 | Произвольные последовательности | https://oge.shkolkovo.net/catalog/chislovye_posledovatelnosti/proizvolnye/page-2 | Последовательность задана условиями \(c_1=2\) , \(c_{n+1} = 3c_n-2\) . Найдите \(c_4\) . | null | Из данной в условии формулы следует, что | null | 28 |
3,438 | 5,555 | Теорема Пифагора, площадь и периметр прямоугольника | https://oge.shkolkovo.net/catalog/prikladnye_zadachi_po_geometrii/teorema_pifagora/page-3 | Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса в метрах.
На рисунке изображен флаг России.
| /media/upload/task_images/1698/A_OGE_15_2_2.png | Так как флагшток находится в вертикальном положении, то он, трос и земля образуют прямоугольный треугольник, причем длина троса равна длине гипотенузы этого треугольника. Следовательно, длина троса равна \(\sqrt{15^2+8^2}=17\) (м). | null | 17 |
3,490 | 5,826 | Равнобедренный треугольник | https://oge.shkolkovo.net/catalog/mnogougolniki/ravnobedrennyj_treugolnik/page-4 | В треугольнике \(ABC\) : \(\angle B = 32^{\circ}\) , \(AB = BC\) . Найдите внешний угол при вершине \(C\) . Ответ дайте в градусах.
| /media/upload/task_images/1702/A_OGE_16_2_6.png | В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle A = \angle ACB\) . Так как у любого треугольника сумма углов равна \(180^{\circ}\) , то \(180^{\circ} = 32^{\circ} + \angle A +
\angle C = 32^{\circ} + 2\angle A\) , откуда \(2\angle A = 148^{\circ}\) , тогда \(\angle A = 74^{\circ}\) . | null | 106 |
30 | 1,518 | Задачи на вычисление | https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_iz_povsednevnoj_zhizni/na_vychislenie | Стоимость одной минуты разговоров по тарифу “мой дорогой” составляет 2,5 рубля, а стоимость безлимитного тарифа “непрерывный” – 300 рублей за месяц. У Саши тариф “непрерывный”, по которому она за месяц проговорила 132 минуты. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы пользовалась тарифом “мой дорогой”? | null | При использовании тарифа “мой дорогой” Саша потратила бы \(2,5 \cdot 132 = 330\) . В итоге она потратила бы на \(330 - 300 = 30\) рублей больше. | null | 30 |
1,412 | 4,005 | 11. Сюжетные текстовые задачи | https://shkolkovo.net/catalog/syuzhetnye_tekstovye_zadachi/page-5 | Расстояние между городами A и B равно 403 км. Из города A в город B выехал автомобиль, а через 1 час следом за ним со скоростью 90 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда мотоцикл вернулся в A, автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от A до С. Ответ дайте в километрах. | null | Пусть \(x\) км/ч – скорость автомобиля. Пусть \(y\) км – расстояние от города A до города C. Тогда время, которое затратил автомобиль на путь AC, равно \(\dfrac yx\) (ч). Время, которое затратил мотоцикл на этот же путь, равно \(\dfrac y{90}\) (ч).
Так как мотоцикл выехал на час позже, то он затратил на 1 час меньше времени, следовательно, \[\dfrac yx-1=\dfrac y{90}\] Это первое уравнение.
На весь путь от A до B автомобиль затратил \(\dfrac{403}x\) (ч). Мотоцикл затратил на путь из C в A столько же времени, сколько на путь из A в C (так как обратно он ехал с той же скоростью, что и в C). Следовательно, на путь от A до C и обратно мотоцикл затратил \(\dfrac {2y}{90}\) . Заметим, что в сумме мотоцикл двигался также на 1 час меньше времени, чем автомобиль: \[\dfrac{403}x-1=\dfrac{2y}{90}\] Это второе уравнение. Составим систему: \[\begin{cases}
\dfrac yx-1=\dfrac y{90}\\[2ex]
\dfrac{403}x-1=\dfrac{2y}{90} \end{cases}\] Выразим \(x\) из первого уравнения: \(x=\dfrac{90y}{90+y}\) и подставим во второе уравнение, получим: \[2y^2-313y-403\cdot 90=0\] Дискриминант \(D=313^2+2\cdot 4\cdot 403\cdot 90=388\,129\) . Извлечем корень из данного числа. Так как \(600^2=360\,000\) , а \(700^2=490\,000\) , то \(600<\sqrt{388\,129}<700\) . Так как \(61^2=3721\) , \(62^2=3844\) , \(63^2=3969\) , то \(620<\sqrt{388\,129}<630\) . Подберем последнюю цифру: на конце дают \(9\) следующие цифры, возведенные в квадрат: \(3\) и \(7\) ( \(3^2=9, 7^2=49\) ). Проверим: \(623^2=388\,129\) . Таким образом, \(\sqrt{D}=623\) .
Найдем корни: \[y_{1,2}=\dfrac{313\pm623}{4}\quad\Rightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&y=234\\&y=-77,5\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(y\) – расстояние, то есть величина неотрицательная, то подходит только корень \(y=234\) . | null | 234 |
3,282 | 6,082 | Задачи на клетчатой бумаге | https://oge.shkolkovo.net/catalog/zadachi_na_kletchatoj_bumage/zadachi_na_kletchatoj_bumage/page-3 | Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\) , считая стороны квадратных клеток равными \(1\) .
| /media/upload/task_images/1718/A_OGE_19_1.png | Так как радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, ищется по формуле \(r=(a+b-c):2\) , где \(a, b\) – катеты, \(c\) – гипотенуза, то \[r=\dfrac{3+4-\sqrt{3^2+4^2}}2=1\] | null | 1 |
3,641 | 4,881 | Задачи на нахождение числа по проценту | https://oge.shkolkovo.net/catalog/tekstovye_zadachi_bazovogo_urovnya/naxozhdenie_chisla_po_procentu/page-5 | У Тани есть пятирублевые и десятирублевые монетки — всего 100 штук. Часть из них лежит в одном кармане, а часть в другом. Известно, что в первом кармане лежит 35 \(\%\) от всех монет. Известно также, что 20 \(\%\) монет из второго кармана — пятирублевые. Сколько десятирублевых монет лежит во втором кармане? | null | Так как в первом кармане лежит \(35\%\) всех монет, то во втором – \(100\%-35\%=65\%\) от всех монет. Следовательно, во втором кармане \(100\cdot 0,65=65\) монет. Так как пятирублевых монет во втором кармане \(20\%\) , то десятирублевых \(100\%-20\%=80\%\) . Следовательно, во втором кармане \(65\cdot 0,8=52\) десятирублевых монет. | null | 52 |
1,832 | 1,964 | Буквенные иррациональные выражения | https://shkolkovo.net/catalog/preobrazovanie_vyrazhenij/bukvennye_irracionalnye/page-2 | Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^3} + \sqrt{x}}\) при \(x = 16\) . | null | \[\begin{gathered}
\frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}{\sqrt[4]{x^3} + \sqrt{x}} = \frac{(\sqrt[4]{x})^2 + \sqrt[4]{x}}{(\sqrt[4]{x})^3 + (\sqrt[4]{x})^2} = \frac{\sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} + 1)}{(\sqrt[4]{x})^2(\sqrt[4]{x} + 1)} = \frac{\sqrt[4]{x}}{(\sqrt[4]{x})^2} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = \frac{1}{\sqrt[4]{16}} = \frac{1}{\sqrt[4]{2^4}} = \frac{1}{2} = 0,5\end{gathered}\] | null | 0.5 |
2,644 | 3,617 | Параллелограмм и его свойства | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_i/parallelogramm_i_ego_svojstva | Стороны параллелограмма равны \(9\) и \(15\) . Высота, опущенная на первую сторону, равна \(10\) . Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
| /media/upload/task_images/1314/fipi_3_5_1.png | Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь \(S=9\cdot 10\) , с другой стороны, \(S=15\cdot h\) , где \(h\) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, \[9\cdot 10=15\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\] | null | 6 |
3,224 | 5,971 | 17. Окружность | https://oge.shkolkovo.net/catalog/okruzhnost/page-3 | В окружности с центром \(O\) \(AC\) и \(BD\) – диаметры. Центральный угол \(AOD\) равен \(110^\circ\) . Найдите вписанный угол \(ACB\) . Ответ дайте в градусах.
| /media/upload/task_images/1708/A_OGE_17_1_7.png | Так как \(BD\) – диаметр, то \(\angle BOD=180^\circ\) , следовательно, \(\angle AOB=180^\circ-\angle AOD=70^\circ\) . \(\angle AOB\) и \(\angle
ACB\) – центральный и вписанный углы соответственно, опирающиеся на одну и ту же дугу, следовательно, \(\angle ACB=\angle
AOB:2=35^\circ\) . | null | 35 |
2,886 | 4,704 | Работа с графическими данными | https://oge.shkolkovo.net/catalog/rabota_s_graficheskimi_dannymi/rabota_s_graficheskimi_dannymi/page-7 | На рисунке показано изменение скорости автомобиля Формулы-1 в течение 7 секунд с момента входа в поворот. По вертикали отложена скорость автомобиля в метрах в секунду, по горизонтали – время в секундах. Определите по рисунку, через сколько секунд после входа в поворот скорость автомобиля стала 50 метров в секунду.
| /media/upload/task_images/1668/A_OGE_z5_16.png | По рисунку видно, что скорость автомобиля стала 50 метров в секунду через 3 секунды после входа в поворот. | null | 3 |
1,214 | 869 | 12. Исследование функций с помощью производной | https://shkolkovo.net/catalog/issledovanie_funkcij_s_pomoschyu_proizvodnoj | Найдите точку локального максимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 8x^2 + 55x + 11\) . | null | 1) \(y' = x^2 - 16x + 55\) . | /media/upload/task_images/1389/B_12_1_2.png,/media/upload/task_images/1389/B_12_1_2_1.png | 5 |
3,568 | 4,872 | Задачи на нахождение процента по числу | https://oge.shkolkovo.net/catalog/tekstovye_zadachi_bazovogo_urovnya/naxozhdenie_procenta_po_chislu | Масса топлива ракеты до старта составляла 280 тонн. Через некоторое время часть топлива сгорела и масса оставшегося топлива стала 238 тонн. На сколько процентов уменьшилась масса топлива? | null | Сгорело \(280 - 238 = 42\) тонны топлива. Чтобы найти, сколько процентов от 280 составляет 42, надо разделить 42 на 280 и умножить на 100 \(\%\) : \(42 : 280 \cdot 100\% = 15\%\) . | null | 15 |
2,214 | 2,685 | 6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_ii/page-4 | В ромбе \(ABCD\) одна из диагоналей в \(\sqrt{3}\) раз больше, чем другая диагональ. Найдите больший из углов этого ромба. Ответ дайте в градусах. | null | Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей ромба. Пусть \(AC : BD = \sqrt{3}\) . Так как \(AO = 0,5AC\) , а \(BO = 0,5BD\) , то \(AO : BO = \sqrt{3}\) , тогда \[\mathrm{tg}\, \angle ABO = \sqrt{3}\,,\] следовательно, \(\angle ABO = 60^\circ\) , тогда \(\angle ABC = 2\angle ABO = 120^\circ\) . | /media/upload/task_images/1450/0001K_6_3.png | 120 |
1,483 | 581 | Числовые тригонометрические выражения | https://shkolkovo.net/catalog/preobrazovanie_vyrazhenij/chislovye_trigonometricheskie | Найдите значение выражения \(\dfrac{7\sin{11^\circ}}{\cos{79^\circ}}\) . | null | Используя формулу приведения \(\sin(90^\circ \pm \alpha) = \cos \alpha\) , исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\dfrac{7\sin{11^\circ}}{\cos{79^\circ}} = \dfrac{7\sin{(90^\circ - 79^\circ)}}{\cos{79^\circ}} = \dfrac{7\cos{79^\circ}}{\cos{79^\circ}} = 7.\] | null | 7 |
3,334 | 5,869 | Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора для решения треугольников | https://oge.shkolkovo.net/catalog/mnogougolniki/pryamougolnyj_treugolnik | В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC=4\) , \(\angle C=30^\circ\) . Найдите высоту \(AH\) .
| /media/upload/task_images/1703/A_OGE_16_3_13.png | Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\) . Катет, лежащий против угла \(30^\circ\) , равен половине гипотенузы, следовательно, \(AH=0,5AC=2\) . | null | 2 |
1,770 | 1,982 | Буквенные степенные выражения | https://shkolkovo.net/catalog/preobrazovanie_vyrazhenij/bukvennye_stepennye/page-2 | Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt[4a]{\sqrt[a:2]{x^{2a^3}}}}{x^{a - 3}}\) при \(x = 4\) , \(a = 11\) . | null | \[\begin{gathered}
\frac{\sqrt[4a]{\sqrt[a:2]{x^{2a^3}}}}{x^{a - 3}} = \frac{x^{\frac{2a^3}{a:2}:(4a)}}{x^{a - 3}} = \frac{x^{\frac{4a^3}{a}:(4a)}}{x^{a - 3}} = \frac{x^{(4a^2):(4a)}}{x^{a - 3}} = \frac{x^{a}}{x^{a - 3}} = x^{a - (a - 3)} = x^{a - a + 3} = x^3 = 4^3 = 64\end{gathered}\] | null | 64 |
1,519 | 3,019 | 11. Сюжетные текстовые задачи | https://shkolkovo.net/catalog/syuzhetnye_tekstovye_zadachi/page-3 | Если два велосипедиста стартуют из одной точки в одном направлении, то через 6 часов расстояние между ними будет равно 48 км. На сколько километров назад должен отъехать более быстрый велосипедист (до начала движения), чтобы догнать менее быстрого через 3,5 часа, если скорость менее быстрого 10 км/ч? | null | Пусть \(x\) км/ч – скорость быстрого (следовательно, \(x>10\) ). Тогда \(x-10\) км/ч – скорость, с которой быстрый удаляется от медленного. Значит, за 6 часов он удалится от медленного на \(6\cdot(x-10)\) км, следовательно, \(6(x-10)=48\) , откуда \(x=18\) . За 3,5 ч медленный пройдет 35 км, следовательно, если быстрому нужно отъехать назад на \(s\) км, то он должен за 3,5 ч пройти \(s+35\) км. Следовательно, \(18\cdot 3,5=s+35\) , откуда \(s=28\) . | /media/upload/task_images/1457/A_11_1_6.png,/media/upload/task_images/1457/A_11_1_7.png | 28 |
162 | 2,736 | Задачи на округление и проценты | https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_iz_povsednevnoj_zhizni/na_okruglenie_i_procenty/page-3 | Вика хочет купить билет в кино для себя и подруги. Один билет стоит \(500\) рублей, но при покупке сразу двух билетов предоставляется скидка \(3\%\) на оба билета. У Вики в кармане \(1200\) рублей. Все оставшиеся после покупки билетов деньги она хочет потратить на попкорн, одна пачка которого стоит \(30\) рублей. Сколько пачек попкорна сможет купить Вика? | null | На билеты Вика потратит с учётом скидки \(2\cdot 500\cdot (1 - 0,03) = 970\) рублей. Тогда на попкорн у неё остаётся \(1200 - 970 = 230\) рублей. Количество пачек попкорна, которое сможет купить Вика, равно округлённому в меньшую сторону частному чисел \(230\) и \(30\) , то есть Вика сможет купить \(7\) пачек попкорна. | null | 7 |
149 | 3,933 | Треугольник: работа с площадью и периметром | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_i/treugolnik_rabota_s_ploschadyu_i_perimetrom/page-4 | Площадь равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\) равна \(20\) . В нем проведены высоты \(BD\) и \(AH\) , пересекающиеся в точке \(L\) . Найдите площадь треугольника \(BLH\) , если \(AH = 4\sqrt{2}\) . | null |
\[S_{ABC} = 0,5\cdot AH\cdot CB = 20\quad\Rightarrow \quad CB =5\sqrt{2}.\] Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\) , то \(AB=CB=5\sqrt2\) .
Из треугольника \(ABH\) по теореме Пифагора: | /media/upload/task_images/1427/AI_3_4_10.png | 4.5 |
4 | 1,457 | ЕГЭ по математике с решением | https://shkolkovo.net/catalog | Рубашка стоит 700 руб. Женя пришёл в магазин с 3300 рублей в кармане. Какое наибольшее количество рубашек сможет купить Женя? | null | По условию задачи надо найти наибольшее целое число, при умножении которого на 700 результат останется не больше 3300. Это число получается после округления в меньшую сторону результата от деления 3300 на 700 и равно 4. (Т.к. для покупки 5 рубашек Жене необходимо уже 3500 рублей, а это превышает имеющуюся сумму денег.) | null | 4 |
181 | 99 | Определение значения величины по графику/диаграмме | https://shkolkovo.net/catalog/analiz_dannyh_po_grafikam_i_diagrammam/po_grafikudi_agramme/page-4 | На рисунке жирными точками показано количество конфет, съеденных Лерой с 7 по 20 день диеты. По горизонтали указывается день от начала диеты, по вертикали – количество съеденных конфет в соответствующий день. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, через сколько дней после начала диеты Лера в первый раз за указанный промежуток времени съела 3 конфеты. | /media/upload/task_images/1297/Pict_18.png | По рисунку видно, что в первый раз за данный период Лера съела 3 конфеты через 9 дней после начала диеты. | null | 9 |
2,162 | 2,164 | Окружность: важные теоремы, связанные с углами | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_ii/okruzhnost_vazhnye_teoremy_svyazannye_s_uglami | Найдите угол между двумя секущими, проведенными к окружности из точки \(O\) вне окружности, если дуги, заключенные между этими секущими, равны \(103^\circ\) и \(47^\circ\) . Ответ дайте в градусах. | null | Рассмотрим картинку: | /media/upload/task_images/1330/B_6_5_4.png | 28 |
2,892 | 4,710 | Работа с графическими данными | https://oge.shkolkovo.net/catalog/rabota_s_graficheskimi_dannymi/rabota_s_graficheskimi_dannymi/page-7 | На рисунке показано изменение температуры в пустыне Сахара в течение 5 часов с полуночи. По горизонтали указывается время, отсчитываемое с полуночи, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько часов температура поднимается с 20 градусов до 40.
| /media/upload/task_images/1668/A_OGE_z5_22.png | По рисунку видно, что температура достигает значения в 20 градусов Цельсия в 2 часа, а значения в 40 градусов Цельсия в 4 часа. Температура поднимается с 20 градусов Цельсия до 40 за \(4 - 2 = 2\) часа. | null | 2 |
3,392 | 5,955 | Системы неравенств и двойные неравенства | https://oge.shkolkovo.net/catalog/neravenstva_ix_sistemy/sistemy_neravenstv_i_dvoinie_neravenstva | Укажите числа, являющиеся решениями системы неравенств \(\begin{cases} x<3,\\
-7-2x<0.\end{cases}\)
1) \(-4\) 2) \(-2\) 3) \(0\) 4) \(5\) В ответе укажите номера выбранных ответов в порядке возрастания без запятых, пробелов и других дополнительных символов. | null | Преобразуем систему: \[\begin{cases} x<3\\
-2x<7\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} x<3\\
x>-\frac72\end{cases}\] Нужно пересечь полученные решения:
Следовательно, ответ \(-\frac72<x<3\) . Следовательно, из представленных чисел решениями будут \(x=-2; 0\) . Ответ 23. | /media/upload/task_images/1696/A_OGE_14_3_4.png | 23 |
3,337 | 5,840 | Равнобедренный треугольник | https://oge.shkolkovo.net/catalog/mnogougolniki/ravnobedrennyj_treugolnik | В треугольнике \(ABC\) : \(\angle A = 32^{\circ}\) , \(\angle B =
70^{\circ}\) . На продолжении стороны \(AC\) за точку \(C\) отложен отрезок \(CK = BC\) . Найдите \(\angle K\) треугольника \(BCK\) . Ответ дайте в градусах.
| /media/upload/task_images/1702/A_OGE_16_2_16.png | У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как \(CK
= BC\) , то \(\angle CBK = \angle K\) . | null | 39 |
14 | 1,497 | Задачи на округление и проценты | https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_iz_povsednevnoj_zhizni/na_okruglenie_i_procenty | Евро стоит 90 рублей. Какое наибольшее количество евро можно будет купить на 2000 рублей, когда он подорожает на 20 \(\%\) ? | null | После подорожания, евро будет стоить \(90 \cdot (1 + 0,2) = 108\) рублей. По условию задачи надо найти наибольшее целое число, при умножении которого на 108 результат останется не больше 2000. Это число получается после округления в меньшую сторону результата от деления 2000 на 108 и равно 18. | null | 18 |
2,225 | 2,835 | Теорема синусов и теорема косинусов | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_ii/teorema_sinusov_i_teorema_kosinusov/page-2 | В треугольнике \(ABC\) : \(\ O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \(AB\) и \(AC = 5\sqrt{3}\) , \(OD\) – серединный перпендикуляр к стороне \(CA\) , \(\angle B = 60^{\circ}\) . Найдите \(OD\) . | null | Так как \(O\) – точка пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике \(ABC\) , то \(O\) – центр описанной около \(ABC\) окружности, \(AO = R\) . | /media/upload/task_images/1326/K'_6_9_6.png | 2.5 |
1,731 | 1,991 | Числовые логарифмические выражения | https://shkolkovo.net/catalog/preobrazovanie_vyrazhenij/chislovye_logarifmicheskie/page-3 | Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\log_2{56}}{\log_{28}{2}} - \frac{\log_2{7}}{\log_{224}{2}}\) . | null | \[\begin{gathered}
\frac{\log_2{56}}{\log_{28}{2}} - \frac{\log_2{7}}{\log_{224}{2}} = \frac{\log_2{28\cdot2}}{\log_{28}{2}} - \log_2{7}\cdot\log_{2}{224} = \frac{\log_2{28} + \log_2{2}}{\log_{28}{2}} - \log_2{7}\cdot\log_{2}{(32\cdot7)} =\\= (\log_2{(7\cdot4)} + 1)\cdot\log_{2}{(7\cdot4)} - \log_2{7}\cdot(\log_{2}{2^5} + \log_2{7}) =\\= (\log_2{7} + \log_2{2^2} + 1)\cdot(\log_{2}{7} + \log_2{4}) - \log_2{7}\cdot(5\log_{2}{2} + \log_2{7}) =\\= (\log_2{7} + 3)\cdot(\log_{2}{7} + 2) - \log_2{7}\cdot(5 + \log_2{7}) = \log^2_2{7} + 2\log_2{7} + 3\log_2{7} + 6 - 5\log_2{7} - \log^2_2{7} = 6\end{gathered}\] | null | 6 |
2,418 | 2,376 | Окружность: вписанная в многоугольник или угол | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_ii/okruzhnost_vpisannaya_v_mnogougolnik_ili_ugol/page-3 | В треугольник вписана окружность радиуса \(2,4\sqrt3\) . Одна из сторон треугольника равна \(13\) , а разность двух других равна \(5\) . Найдите большую сторону этого треугольника. | null | 1) Пусть в треугольнике \(BC=13\) , \(AC-AB=5\) . Таким образом, наибольшей стороной будет или \(AC\) , или \(BC\) . | /media/upload/task_images/1327/A_6_8_3.png | 21 |
3,318 | 5,916 | Тригонометрия | https://oge.shkolkovo.net/catalog/mnogougolniki/trigonometriya/page-3 | В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=BC\) , \(AB=8\) , \(\mathrm{tg}\,\angle A=\dfrac{\sqrt{33}}4\) . Найдите \(AC\) . | null | /media/upload/task_images/1704/A_OGE_16_7_8.png | 7 |
|
1,547 | 559 | Числовые логарифмические выражения | https://shkolkovo.net/catalog/preobrazovanie_vyrazhenij/chislovye_logarifmicheskie | Найдите значение выражения \(\log_{7}144 \cdot \log_{12}343\) . | null | По свойствам логарифма \[\log_{7}144 \cdot \log_{12}343 = \log_{7}(12^2) \cdot \log_{12}(7^3) = 2\cdot 3 \cdot \log_{7}12 \cdot \log_{12}7 = 6 \cdot \log_{7}12 \cdot \log_{12}7 = 6\cdot\log_{7}7 = 6,\] потому что \(\log_{a}b\cdot\log_{b}c = \log_{a}c\) . | null | 6 |
2,215 | 2,673 | Угловой коэффициент касательной как значение производной в точке касания | https://shkolkovo.net/catalog/vzaimosvyaz_funkcii_i_ee_proizvodnoj/uglovoj_koefficient_kasatelnoj_kak_znacheniev_tochke_kasaniya/page-4 | Известно, что уравнение прямой, касающейся графика функции \(y = 4x^3 + 6x^2 - x - 1\) , имеет вид \(y = -x + c\) . Найдите \(|c|\) . | null | Уравнение касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \((x_0; y_0)\) имеет вид: \(y = y'(x_0)(x - x_0) + y(x_0)\) , откуда следует, что \(y'(x_0) = -1\) , то есть \[12x_0^2 + 12x_0 - 1 = -1\qquad\Leftrightarrow\qquad
\left[
\begin{gathered}
x_0 = 0\\
x_0 = -1
\end{gathered}
\right.\] | null | 1 |
1,616 | 2,922 | Задачи, сводящиеся к решению неравенств | https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_prikladnogo_haraktera/svodyaschiesya_k_resheniyu_neravenstv/page-2 | После предупредительного выстрела в воздух высота пули до падения менялась по закону \(h = 2 + 300t - 5t^2\) , где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента выстрела. Сколько секунд с момента выстрела пуля находилась на высоте не менее \(2502\) метров? | null | Моменты \(t\) , в которые пуля находилась на высоте не менее \(2502\) метров, удовлетворяют неравенству \[2 + 300t - 5t^2 \geqslant 2502\qquad\Leftrightarrow\qquad 5t^2 - 300t + 2500 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 - 60t + 500\leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(t^2 - 60t + 500 = 0\) : \[t_1 = 10, \qquad\qquad t_2 = 50\] тогда: следовательно, пуля находилась на высоте не менее 2502 метров в моменты времени \(t\in[10;50]\) , то есть в течение \(50 - 10 = 40\) секунд. | /media/upload/task_images/1438/B_10_2_23.png | 40 |
2,454 | 452 | Тригонометрические уравнения | https://shkolkovo.net/catalog/reshenie_uravnenij_2/trigonometricheskie/page-2 | Найдите корень уравнения \[\mathrm{tg}{\biggl(\dfrac{\pi}{6} x\biggr)} = \sqrt{3}.\] Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из его положительных корней. | null | ОДЗ: \(\dfrac{\pi}{6} x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) . Решим на ОДЗ: | null | 2 |
2,061 | 698 | 7. Взаимосвязь функции и ее производной | https://shkolkovo.net/catalog/vzaimosvyaz_funkcii_i_ee_proizvodnoj/page-2 | Прямые \(y = kx - 3\) и \(y = x - 7\pi\) образуют с положительным направлением оси \(Ox\) углы \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, при этом, \(\cos \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{13}}\) . Найдите наибольшее из чисел \(k\) и \(\mathrm{tg}\, \beta\) . | null | Для прямой, заданной уравнением \(y = kx + b\) , коэффициент \(k\) есть значение тангенса угла между прямой \(y = kx + b\) и положительным направлением оси \(Ox\) . | null | 1.5 |
2,291 | 2,175 | Окружность: важные теоремы, связанные с длинами отрезков | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_ii/okruzhnost_vazhnye_teoremy_svyazannye_s_dlinami/page-2 | Из точки \(A\) вне окружности проведены две касательные \(AB\) и \(AC\) (где \(B, C\) – точки касания). Через произвольную точку \(X\) на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите периметр треугольника \(AMN\) , если \(AB=10\) . | null | Рассмотрим картинку: | /media/upload/task_images/1329/B_6_6_6.png | 20 |
369 | 3,764 | Оценка + пример | https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_na_teoriyu_chisel/ocenka_primer | Имеется 8 кучек камней, причем во всех кучах число камней разное (куча может состоять из любого, не меньшего 1, числа камней). Известно, что любую из куч можно убрать и все камни из нее разложить по другим кучам так, чтобы число камней в них стало одинаковым. Какое наименьшее число камней может быть в самой большой куче? (Задача от подписчиков) | null | Пусть \(a_i\) , где \(i=1...8\) – число камней в каждой куче после того, как кучи упорядочили по возрастанию числа камней в них. То есть \(a_1<a_2<...<a_8\) . Тогда \(a_1\geqslant 1\) (следует из условия), \(a_2\geqslant 2, \dots, a_8\geqslant 8\) .
Пусть мы взяли первую кучу и раскладываем из нее камни по остальным кучам так, чтобы количество в них стало одинаковым. Тогда, так как во всех кучах разное количество камней, наилучший исход (наименьшее количество камней в 1-ой куче) для нас будет таким: ничего не класть в 8-ую кучу, положить 1 камень в 7-ую, 2 камня в 6-ую, 3 камня в 5-ую, 4 камня в 4-ую, 5 камней в 3-ю и 6 камней во 2-ую. Следовательно, в первой куче должно быть как минимум \(1+2+3+4+5+6\) камней. То есть \(a_1\geqslant 21\) . Следовательно, \(a_2\geqslant 22\) и т.д., \(a_8\geqslant 28\) .
Утверждаем, что наименьшее возможное количество камней в большой куче – 28. Приведем пример: пусть у нас есть 8 куч камней, в которых 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 камней соответственно.
Разложение 1-ой кучи по остальным мы уже продемонстрировали выше. Аналогично можно проверить, что это условие выполняется для любой другой кучи: после разложения камней в оставшихся семи кучах будет по 28 камней. | null | 28 |
3,067 | 5,574 | Поиск значения алгебраических выражений | https://oge.shkolkovo.net/catalog/uravneniya_neravenstva/poisk_znacheniya_vyrazhenij | Найдите значение выражения \((a^3-16a)\cdot
\left(\dfrac1{a+4}-\dfrac1{a-4}\right)\) при \(a=-45\) . | null | Преобразуем: \[a(a^2-16)\cdot
\dfrac{a-4-(a+4)}{(a-4)(a+4)}=a(a-4)(a+4)\cdot
\dfrac{-8}{(a-4)(a+4)}=-8a\] Следовательно, значение выражения равно \(-8\cdot (-45)=360\) . | null | 360 |
1,439 | 3,037 | Задачи на растворы, смеси и сплавы | https://shkolkovo.net/catalog/syuzhetnye_tekstovye_zadachi/na_rastvory_smesi_i_splavy/page-2 | Смешав \(30\) -процентный и \(90\) -процентный растворы кислоты и добавив \(10\) кг чистой воды, получили \(42\) -процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(10\) кг воды добавили \(10\) кг \(50\) -процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(52\) -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(30\) -процентного раствора использовали для получения смеси? | null | Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий \(0\%\) кислоты. Пусть \(x\) кг – масса раствора с \(30\) -процентным содержанием кислоты, \(y\) кг – масса раствора с \(90\) -процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение \(42\) -процентного раствора: | /media/upload/task_images/1375/A_11_5_3.png,/media/upload/task_images/1375/A_11_5_4.png | 25 |
333 | 3,594 | Треугольник: работа с углами | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_i/treugolnik_rabota_s_uglami/page-4 | В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен \(14^\circ\) . Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
| /media/upload/task_images/1448/fipi_3_1_1.png | По условию \(\angle MAP=14^\circ\) . Так как \(AP\) – биссектриса и \(\angle A=90^\circ\) , то \(\angle CAP=45^\circ\) , следовательно, \(\angle CAM=45^\circ-14^\circ=31^\circ\) .
Тогда \(\angle C=90^\circ-31^\circ=59^\circ\) . Следовательно, \(\angle
B=\angle CAM=31^\circ\) – наименьший угол треугольника \(ABC\) . | null | 31 |
80 | 3,773 | Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора | https://shkolkovo.net/catalog/planimetriya_chast_i/pryamougolnyj_treugolnik_teorema_pifagora | В треугольнике \(ABC\) \( \ AB=BC=AC=2\sqrt3\) . Найдите высоту \(CH\) .
| /media/upload/task_images/1619/fipi_3_p_2.png | Так как \(AC=BC\) , то \(CH\) также является медианой, следовательно, \(AH=0,5 AB=\sqrt3\) . Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACH\) : \[CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=3\] | null | 3 |
No dataset card yet
- Downloads last month
- 5