Q
stringlengths 0
980
| S
stringlengths 56
5.48k
| A
stringlengths 8
16
|
|---|---|---|
<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, высота <i>CH</i> равна 4, $BC = корень из 17.$ Найдите $ тангенс A.$ | Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$ тангенс A= тангенс \angle HCB= дробь: числитель: HB, знаменатель: CH конец дроби = дробь: числитель: корень из CB в квадрате минус CH в квадрате , знаменатель: CH конец дроби = дробь: числитель: корень из 17 минус 16, знаменатель: 4 конец дроби =0,25. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 0,25. | Ответ: 0,25 |
<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, высота <i>CH</i> равна 24, $BH = 7.$ Найдите $ синус A.$ | Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$ синус A= синус \angle HCB= дробь: числитель: HB, знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: HB, знаменатель: корень из CH в квадрате плюс HB в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: корень из 49 плюс 576 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 25 конец дроби =0,28. $ | Ответ: 0,28 |
<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, высота <i>CH</i> равна 7, $BH = 24.$ Найдите $ косинус A.$ | Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$ косинус A= косинус \angle HCB= дробь: числитель: CH, знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: CH, знаменатель: корень из CH в квадрате плюс HB в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: корень из 625 конец дроби =0,28. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 0,28. | Ответ: 0,28 |
<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, высота <i>CH</i> равна 8, $BH = 4.$ Найдите $ тангенс A.$ | Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$ тангенс A= тангенс \angle HCB= дробь: числитель: HB, знаменатель: CH конец дроби =0,5. $ <span style="letter-spacing:2px">Ответ</span>: 0,5. | Ответ: 0,5 |
<img src="/get_file?id=109386" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i> — высота, $AH = 27,$ $ тангенс A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . $ Найдите $BH.$ | Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому из треугольников <i>BHC</i> и <i>BCA</i> имеем:$BH=CH тангенс \angle HCB = CH тангенс A = AH тангенс в квадрате A = 27 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби =12. $<span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 12. | Ответ: 12 |
<img src="/get_file?id=109386" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i> − высота, $BH = 12,$ $ тангенс A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . $ Найдите $AH.$ | Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.$AH= дробь: числитель: CH, знаменатель: тангенс A конец дроби = дробь: числитель: HB, знаменатель: тангенс в квадрате A конец дроби = дробь: числитель: 12 умножить на 9, знаменатель: 4 конец дроби =27. $ | Ответ: 27 |
<img src="/get_file?id=109386" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i> − высота, $BH = 12,$ $ синус A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . $ Найдите $AB.$ | Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому $AB= дробь: числитель: CB, знаменатель: синус \angle A конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: HB, знаменатель: синус \angle HCB конец дроби , знаменатель: синус \angle A конец дроби = дробь: числитель: HB, знаменатель: синус в квадрате A конец дроби = дробь: числитель: 12 умножить на 9, знаменатель: 4 конец дроби =27. $ <span style="letter-spaceing:2px">Ответ</span>: 27. | Ответ: 27 |
<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i> — высота, $AH = 12,$ $ косинус A = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . $ Найдите $AB.$ | Углы <i>A</i> и <i>HCB</i> равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами,$AB= дробь: числитель: AC в квадрате , знаменатель: AH конец дроби = дробь: числитель: левая круглая скобка дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус A конец дроби правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: AH конец дроби = дробь: числитель: AH, знаменатель: косинус в квадрате A конец дроби = дробь: числитель: 12 умножить на 9, знаменатель: 4 конец дроби =27. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 27. | Ответ: 27 |
<img src="/get_file?id=66781" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10. | Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. По теореме Пифагора <i>a</i><sup>2</sup> = 100 − 36 = 64, <i>a</i> = 8, где <i>a</i> — второй катет. Поэтому$S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 8=24. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 24. | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=66781" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет. | Пусть <i>x</i> — меньший катет, тогда <i>x</i> + 2 — больший. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =24 равносильно x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =48 равносильно x в квадрате плюс 2x минус 48=0 равносильно система выражений новая строка совокупность выражений новая строка x=6, новая строка x= минус 8, конец системы . новая строка x больше 0 конец совокупности . равносильно x=6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
<img src="/get_file?id=66781" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Один острый угол прямоугольного треугольника на 32° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. | Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, а их разность по условию равна 32°, получаем систему уравнений:$ система выражений новая строка \angle A минус \angle B=32 градусов , новая строка \angle A плюс \angle B=90 градусов конец системы . равносильно система выражений новая строка \angle A=61 градусов , новая строка \angle B=29 градусов. конец системы . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 61. | Ответ: 61 |
<img src="/get_file?id=66781" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. | Обозначим меньший острый угол прямоугольного треугольника за <i>x</i>, тогда больший острый угол будет равен $4x.$ Имеем: $x плюс 4x=90 градусов.$ Поэтому <i>x</i> = 18°. Значит, больший острый угол равен $4x=4 умножить на 18 градусов =72 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 72. | Ответ: 72 |
<img src="/get_file?id=109387" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>ACB</i> равен $90$°, угол <i>B</i> равен $58$°, <i>CD</i> — медиана. Найдите угол <i>ACD</i>. Ответ дайте в градусах. | <i>CD</i> — медиана в прямоугольном треугольнике, значит, <i>CD = AD = BD</i>. Тогда треугольник <i>ACD</i> — равнобедренный, углы при его основании равны.$\angle ACD=\angle A=90 градусов минус 58 градусов =32 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 32. | Ответ: 32 |
<img src="/get_file?id=109389" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Острый угол прямоугольного треугольника равен 32°. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах. | Под углом пересечения прямых понимается меньший угол, который они образуют. Найдем угол <i>АОЕ</i> — внешний угол треугольника <i>АОС</i>. Получаем:$\angle AOE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \angle C плюс \angle A правая круглая скобка = дробь: числитель: 90 градусов , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 32 градусов , знаменатель: 2 конец дроби =61 градусов . $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 61. | Ответ: 61 |
<img src="/get_file?id=109391" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах. | По рисунку, используя свойство смежных углов и теорему о сумме углов треугольника, находим:$\angle BOD=180 градусов минус \angle BOA=180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка \angle A плюс \angle B правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 90 градусов , знаменатель: 2 конец дроби =45 градусов . $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 45. | Ответ: 45 |
<img src="/get_file?id=109394" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Острый угол <i>B</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> равен 61°. Найдите угол между высотой <i>CH</i> и биссектрисой <i>CD</i>, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. | Имеем: $\angle DCH=\angle C минус \angle ACD минус \angle BCH=\angle C минус дробь: числитель: \angle C, знаменатель: 2 конец дроби минус левая круглая скобка 90 градусов минус \angle B правая круглая скобка =90 градусов минус 45 градусов минус левая круглая скобка 90 градусов минус 61 градусов правая круглая скобка =90 градусов минус 45 градусов минус 29 градусов =16 градусов . $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 16. | Ответ: 16 |
<img src="/get_file?id=109394" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21°. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. | Меньшим будет угол <i>A</i>, так как угол <i>ACH</i> в прямоугольном треугольнике <i>ACH</i> очевидно больше, чем угол <i>HCB</i> в прямоугольном треугольнике <i>HCB</i>. Рассмотрим треугольник <i>ACH</i>.$\angle A=90 градусов минус \angle ACH=90 градусов минус левая круглая скобка \angle ACD плюс \angle DCH правая круглая скобка =90 градусов минус левая круглая скобка 45 градусов плюс 21 градусов правая круглая скобка =24 градусов .$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 24. | Ответ: 24 |
<img src="/get_file?id=109396" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> Острый угол <i>В</i> прямоугольного треугольника равен 66°. Найдите угол между высотой <i>СН</i> и медианой <i>СМ</i>, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. | Так как <i>CM</i> — медиана, то <i>AM = MC</i> (свойство медианы в прямоугольном треугольнике), а значит, углы <i>A</i> и <i>ACM</i> равны как углы при основании равнобедренного треугольника <i>АМС</i>. Заметим, что основание высоты ближе к вершине большего острого угла. Имеем: $\angle MCH=\angle C минус \angle ACM минус \angle BCH=90 градусов минус 24 градусов минус левая круглая скобка 90 градусов минус 66 градусов правая круглая скобка =42 градусов .$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 42. | Ответ: 42 |
<img src="/get_file?id=115050" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах. | В прямоугольном треугольнике <i>CHM</i> угол <i>C</i> равен 40°, поэтому угол <i>M</i> равен 50°. Треугольник <i>АСВ</i> прямоугольный, <i>CM</i> — медиана, опущенная из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы, следовательно, <i>CM = MB</i>, и углы <i>B</i> и <i>MCB</i> равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда:$\angle B= дробь: числитель: 180 градусов минус \angle CMB, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 180 градусов минус левая круглая скобка 90 градусов минус \angle MCH правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 180 градусов минус 50 градусов , знаменатель: 2 конец дроби =65 градусов . $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 65. | Ответ: 65 |
<img src="/get_file?id=109410" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах. | Так как <i>CM</i> — медиана, то <i>AM = MC</i> (свойство медианы в прямоугольном треугольнике), а значит, углы <i>A</i> и <i>ACM</i> равны как углы при основании равнобедренного треугольника.$\angle MCD=\angle C минус дробь: числитель: \angle C, знаменатель: 2 конец дроби минус \angle ACM= дробь: числитель: \angle C, знаменатель: 2 конец дроби минус \angle A=45 градусов минус 24 градусов =21 градусов . $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 21. | Ответ: 21 |
<img src="/get_file?id=109410" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах. | Так как <i>CM</i> — медиана, то <i>AM = MC</i> (свойство медианы в прямоугольном треугольнике), а значит, углы <i>A</i> и <i>ACM</i> равны как углы при основании равнобедренного треугольника:$\angle A=\angle ACM=\angle C минус \angle BCD минус \angle MCD=90 градусов минус 45 градусов минус 14 градусов =31 градусов .$<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 31. | Ответ: 31 |
<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, угол <i>A</i> равен $30 градусов,$ $AB = 2 корень из 3.$ Найдите высоту $CH.$ | $CH=AC синус A=AB косинус A синус A=2 корень из 3 косинус 30 градусов синус 30 градусов =2 корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1,5. $ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,5. <b>Приведем другое решение.</b>Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы, тогда из треугольника <i>ABC</i> получим $BC= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2 конец дроби = корень из 3. $Угол <i>HCB</i> равен углу <i>CAB</i> по свойству высоты прямоугольного треугольника, тогда из треугольника <i>HCB</i> получим $HB= дробь: числитель: BC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби . $ По теореме Пифагора$CH= корень из BC в квадрате минус BH в квадрате = корень из левая круглая скобка корень из 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате }= корень из 3 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби =1,5. $ | Ответ: 1,5 |
<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i> − высота, угол <i>A</i> равен $30 градусов,$ $AB = 2.$ Найдите $AH.$ | Выполним преобразования:$AH=AC косинус A=AB косинус в квадрате A=2 косинус в квадрате 30 градусов =2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =1,5. $<span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1,5. <b>Приведем другое решение:</b>Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, $CB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB=1.$Углы <i>CAB</i> и <i>HCB</i> равны по свойству высоты прямоугольного треугольника, тогда в треугольнике <i>CHB</i> катет <i>HB</i> равен половине гипотенузы <i>CB</i>: $HB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CB=0,5.$ Тогда <i>AH = AB − HB </i>= 2 − 0,5 = 1,5. | Ответ: 1,5 |
<img src="/get_file?id=109384" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/>В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> равен 90°, <i>CH</i> − высота, угол <i>A</i> равен $30 градусов,$ $AB = 4.$ Найдите $BH.$ | В треугольнике <i>ABC</i> катет <i>BC</i> лежит напротив угла в 30°, поэтому он вдвое меньше гипотенузы <i>AB</i>: его длина равна 2. В треугольнике <i>BHC</i> катет <i>BH</i> лежит напротив угла в 30°, поэтому он вдвое меньше гипотенузы <i>BC</i>: его длина равна 1. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
<img src="/get_file?id=109413" style="float:right;margin:10px;max-width:100%"/> | Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный, значит, углы <i>BAC</i> и <i>ABH</i> равны как углы при его основании.$ синус \angle BAC= синус \angle ABH= дробь: числитель: AH, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 10 конец дроби =0,3. $<span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 0,3. | Ответ: 0,3 |
Найдите наименьшее значение функции $y=3x минус натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в кубе $ на отрезке [−2,5; 0]. | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной на заданном отрезке: Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67866" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= минус 2$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −6. | Ответ: -6 |
Найдите наибольшее значение функции $y= натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 5x$ на отрезке [−4,5; 0]. | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной на заданном отрезке: Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: В точке $x= минус 4$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 20. | Ответ: 20 |
Найдите наименьшее значение функции $y=4x минус 4 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка плюс 6$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 6,5;0 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной на заданном отрезке: Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67876" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= минус 6$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −18. | Ответ: -18 |
Найдите наибольшее значение функции $y=8 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка минус 8x плюс 3$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 6,5;0 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной на заданном отрезке: Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67879" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= минус 6$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 51. | Ответ: 51 |
Найдите наименьшее значение функции $y=9x минус натуральный логарифм левая круглая скобка 9x правая круглая скобка плюс 3$ на отрезке $ левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 18 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 18 конец дроби правая квадратная скобка . $ | Функция определена и дифференцируема на заданном отрезке. Найдем ее производную:Найдем нули производной на заданном отрезке: Определим знаки производной функции на заданном отрезке, и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67888" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби $ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Найдите наибольшее значение функции $y= натуральный логарифм левая круглая скобка 11x правая круглая скобка минус 11x плюс 9$ на отрезке $ левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 22 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 22 конец дроби правая квадратная скобка . $ | Найдем производную заданной функции: $y'= дробь: числитель: 1, знаменатель: 11x конец дроби умножить на 11 минус 11= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус 11. $Найдем нули производной на заданном отрезке: Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67891" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 11 конец дроби $ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 8. | Ответ: 8 |
Найдите наибольшее значение функции $y=2x в квадрате минус 13x плюс 9 натуральный логарифм x плюс 8$ на отрезке $ левая квадратная скобка дробь: числитель: 13, знаменатель: 14 конец дроби ; дробь: числитель: 15, знаменатель: 14 конец дроби правая квадратная скобка . $ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной на заданном отрезке: Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: В точке $x=1$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3. | Ответ: -3 |
Найдите наименьшее значение функции $y=2x в квадрате минус 5x плюс натуральный логарифм x минус 3$ на отрезке $ левая квадратная скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка . $ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной на заданном отрезке: Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции: В точке $x=1$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −6. | Ответ: -6 |
Найдите точку максимума функции $y= натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка минус 2x плюс 9.$ | Функция определена и дифференцируема на $ левая круглая скобка минус 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67936" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x= минус 4,5.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −4,5. | Ответ: -4,5 |
Найдите точку минимума функции $y=2x минус натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 7.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: Искомая точка минимума $x= минус 2,5.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −2,5. | Ответ: -2,5 |
Найдите точку минимума функции $y=3x минус натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в кубе .$ | Заметим, что $y=3x минус 3\ln левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка .$ Область определения функции — открытый луч $ левая круглая скобка минус 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдем производную заданной функции: $y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x плюс 3 конец дроби . $Найдем нули производной:$3 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: x плюс 3 конец дроби =0 равносильно x= минус 2. $Найденная точка лежит на луче $ левая круглая скобка минус 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67941" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x= минус 2.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −2. | Ответ: -2 |
Найдите точку максимума функции $y= натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус 5x.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67942" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x= минус 4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −4. | Ответ: -4 |
Найдите точку минимума функции $y=4x минус 4 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка .$ | Заметим, что $y=4x минус 4\ln левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка .$ Область определения функции — открытый луч $ левая круглая скобка минус 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Найденная точка лежит на луче $ левая круглая скобка минус 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67945" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x= минус 6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −6. | Ответ: -6 |
Найдите точку максимума функции $y=8 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка минус 8x плюс 3.$ | Заметим, что $y=8\ln левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка минус 8x плюс 3.$ Область определения функции — открытый луч $ левая круглая скобка минус 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Найденная точка лежит на луче $ левая круглая скобка минус 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67950" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x= минус 6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −6. | Ответ: -6 |
Найдите точку максимума функции $y=2x в квадрате минус 13x плюс 9 натуральный логарифм x плюс 8.$ | Заметим, что $y=2x в квадрате минус 13x плюс 9 натуральный логарифм x плюс 8.$ Область определения функции — открытый луч $ левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Найденные точки лежит на луче $ левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67954" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
Найдите точку минимума функции $y=2x в квадрате минус 5x плюс натуральный логарифм x минус 3.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: Искомая точка минимума $x=1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
Найдите наименьшее значение функции $y=e в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 6e в степени x плюс 3$ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;2 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной:$2e в степени x левая круглая скобка e в степени x минус 3 правая круглая скобка =0 равносильно e в степени x =3 равносильно x=\ln3.$Отметим на рисунке нули производной и поведение функции на заданном отрезке: Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является ее значение в точке минимума. Найдем его:$y левая круглая скобка \ln3 правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка 2\ln3 правая круглая скобка минус 6e в степени левая круглая скобка \ln3 правая круглая скобка плюс 3=3 в квадрате минус 6 умножить на 3 плюс 3= минус 6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ:</span> −6. | Ответ: -6 |
Найдите точку максимума функции $y = \ln левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате плюс 2x плюс 7.$ | Заметим, что $ натуральный логарифм a в квадрате = 2 натуральный логарифм |a|,$ а значит,$y = 2 \ln|x плюс 4| плюс 2x плюс 7 = система выражений 2 \ln левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка плюс 2x плюс 7, x больше минус 42 \ln левая круглая скобка минус x минус 4 правая круглая скобка плюс 2x плюс 7, x меньше минус 4. конец системы $ Тогда $y' = система выражений дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 4 конец дроби плюс 2, x больше минус 4, дробь: числитель: 2 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: минус x минус 4 конец дроби плюс 2, x меньше минус 4 конец системы = дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 4 конец дроби . \endalign $ <img src="/get_file?id=67983" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Производная обращается в нуль в точке −5, которая является точкой максимума. <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> −5. <b>Приведём другой способ нахождения производной</b>$y=\ln левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате плюс 2x плюс 7.$Воспользуемся правилом нахождения производной сложной функции:$y'= дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби умножить на 2 левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на 1 плюс 2= дробь: числитель: 2, знаменатель: x плюс 4 конец дроби плюс 2= дробь: числитель: 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 4 конец дроби . $ | Ответ: -5 |
Найдите точку максимума функции $y=2 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в кубе минус 8x минус 19.$ | Область определения функции $x больше минус 4.$ Заметим, что $y=6 натуральный логарифм левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус 8x минус 19.$ Найдем производную этой функции: $y'= дробь: числитель: 6, знаменатель: x плюс 4 конец дроби минус 8. $ Найдем нули производной: $ дробь: числитель: 6, знаменатель: x плюс 4 конец дроби минус 8=0 равносильно x= минус 3,25. $ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67943" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> Искомая точка максимума $x= минус 3,25.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3,25. | Ответ: -3,25 |
Найдите точку максимума функции $y=0,5x в квадрате минус 7x плюс 12 натуральный логарифм x плюс 8.$ | Область определения функции — открытый луч $ левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдем производную заданной функции: $y'=x минус 7 плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: x конец дроби . $Найдем нули производной: $x минус 7 плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: x конец дроби =0 равносильно x в квадрате минус 7x плюс 12=0 равносильно совокупность выражений новая строка x=3, новая строка x=4. конец совокупности .$Найденные точки лежит на луче $ левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=67957" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=3.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
Найдите наименьшее значение функции $y=4x в квадрате минус 10x плюс 2 натуральный логарифм x минус 5$ на отрезке [0,3; 3]. | Найдем производную заданной функции:$y'=8x минус 10 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби . $Найдем нули производной на заданном отрезке: $ система выражений новая строка 8x минус 10 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби =0, новая строка 0,3 меньше или равно x меньше или равно 3 конец системы . равносильно система выражений новая строка совокупность выражений x=0,25, новая строка x=1, конец системы } новая строка 0,3 меньше или равно x меньше или равно 3 конец совокупности . равносильно x=1.$ Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=67895" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=1$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −11. | Ответ: -11 |
Найдите точку максимума функции $y=2x в квадрате минус 25x плюс 39 натуральный логарифм x минус 54.$ | Функция определена на$ левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ Найдём её производную: $y' левая круглая скобка x правая круглая скобка =4x минус 25 плюс дробь: числитель: 39, знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: 4x в квадрате минус 25x плюс 39, знаменатель: x конец дроби . $Найдем нули производной: $4x в квадрате минус 25x плюс 39=0 равносильно совокупность выражений x=3,x=3,25. конец совокупности . $Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=67962" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> Искомая точка максимума $x_max=3.$ <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 3. | Ответ: 3 |
Найдите точку максимума функции $y=x в кубе минус 48x плюс 17.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108140" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x= минус 4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −4. | Ответ: -4 |
Найдите наименьшее значение функции $y=x в кубе минус 27x$ на отрезке $ левая квадратная скобка 0;4 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108144" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=3$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −54. | Ответ: -54 |
Найдите наибольшее значение функции $y=x в кубе минус 3x плюс 4$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 2;0 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108148" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= минус 1$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
Найдите точку максимума функции $y=x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=108151" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=0.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0. | Ответ: 0 |
Найдите точку минимума функции $y=x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: Искомая точка минимума $x=2.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
Найдите наименьшее значение функции $y=x в кубе минус 3x в квадрате плюс 2$ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;4 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Производная обращается в нуль в точках 0 и 2, заданному отрезку принадлежит число 2. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108162" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=2$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −2. | Ответ: -2 |
Найдите наибольшее значение функции $y=x в кубе минус 6x в квадрате $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 3;3 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108163" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=0$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0. | Ответ: 0 |
Найдите точку максимума функции $y=x в кубе плюс 2x в квадрате плюс x плюс 3.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108167" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x= минус 1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −1. | Ответ: -1 |
Найдите точку минимума функции $y=x в кубе минус 2x в квадрате плюс x плюс 3.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108170" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
Найдите наименьшее значение функции $y=x в кубе минус 2x в квадрате плюс x плюс 3$ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;4 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции:Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108173" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=1$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. <b>Примечание.</b>Заметим, что на рисунке расставлены знаки не на всей числовой оси, а только на ее части. В частности, знак «минус» соответствует не промежутку от минус бесконечности до 1, а промежутку от $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби $ до 1. Заинтересованный читатель может отметить на числовой оси точки $ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби $ и 1 и расставить знаки на всех промежутках. | Ответ: 3 |
Найдите наибольшее значение функции $y=x в кубе плюс 2x в квадрате плюс x плюс 3$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 4; минус 1 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108176" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= минус 1$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на отрезке $ левая квадратная скобка минус 4; минус 1 правая квадратная скобка .$ Найдем это наибольшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
Найдите точку максимума функции $y=x в кубе минус 5x в квадрате плюс 7x минус 5.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108180" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
Найдите точку минимума функции $y=x в кубе плюс 5x в квадрате плюс 7x минус 5.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108182" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x= минус 1.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −1. | Ответ: -1 |
Найдите наименьшее значение функции $y=x в кубе минус x в квадрате минус 40x плюс 3$ на отрезке $ левая квадратная скобка 0;4 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108185" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=4$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −109. | Ответ: -109 |
Найдите наибольшее значение функции $y=x в кубе плюс 2x в квадрате минус 4x плюс 4$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 2;0 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Из уравнения $ 3x в квадрате плюс 4x минус 4=0 $ найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108191" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>На отрезке [−2; 0] функция убывает, поэтому она достигает своего наибольшего значения в точке <i>x</i> = −2. Найдем это наибольшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 12. | Ответ: 12 |
Найдите точку максимума функции $y=7 плюс 12x минус x в кубе .$ | Найдем производную заданной функции:Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108193" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=2.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 2. | Ответ: 2 |
Найдите точку минимума функции $y=7 плюс 12x минус x в кубе .$ | Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108374" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x= минус 2.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −2. | Ответ: -2 |
Найдите наименьшее значение функции $y=7 плюс 12x минус x в кубе $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 2;2 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108379" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x= минус 2$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −9. | Ответ: -9 |
Найдите наибольшее значение функции $y=7 плюс 12x минус x в кубе $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 2;2 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108382" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>На отрезке [−2; 2] заданная функция возрастает. Она принимает наибольшее значение в точке $x=2.$ Найдем его: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 23. | Ответ: 23 |
Найдите точку максимума функции $y=9x в квадрате минус x в кубе .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108388" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=6.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 6. | Ответ: 6 |
Найдите точку минимума функции $y=9x в квадрате минус x в кубе .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108390" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=0.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0. | Ответ: 0 |
Найдите наименьшее значение функции $y=9x в квадрате минус x в кубе $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 1;5 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108393" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=0$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: $y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 0. | Ответ: 0 |
Найдите наибольшее значение функции $y=9x в квадрате минус x в кубе $ на отрезке $ левая квадратная скобка 2;10 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: $x=0$ и $x=6,$ на заданном отрезке лежит только число 6. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108396" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=6$ заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 108. | Ответ: 108 |
Найдите точку максимума функции $y= дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 9x минус 7. $ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108399" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x= минус 3.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3. | Ответ: -3 |
Найдите точку минимума функции $y= дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 9x минус 7. $ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108401" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=3.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
Найдите наименьшее значение функции $y= дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 9x минус 7 $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 3;3 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108403" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Из рисунка видно, что наименьшее значение функции на заданном отрезке достигается в точке $x=3.$ Оно равно: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −25. | Ответ: -25 |
Найдите наибольшее значение функции $y= дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 9x минус 7 $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 3;3 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=108409" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Найденная производная неположительна на заданном отрезке, заданная функция убывает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 11. | Ответ: 11 |
Найдите точку максимума функции $y=5 плюс 9x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби . $ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:В точке 3 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому эта точка является точкой максимума. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 3. | Ответ: 3 |
Найдите точку минимума функции $y=5 плюс 9x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби . $ | Найдём производную заданной функции: $y'=9 минус x в квадрате .$Найдем нули производной: $9 минус x в квадрате =0 равносильно совокупность выражений x=3, x= минус 3. конец совокупности .$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: В точке −3 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому эта точка является точкой минимума. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3. | Ответ: -3 |
Найдите наименьшее значение функции $y=5 плюс 9x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 3;3 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наименьшим значением функции на отрезке является: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −13. | Ответ: -13 |
Найдите наибольшее значение функции $y=5 плюс 9x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби $ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 3;3 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=108429" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 23. | Ответ: 23 |
Найдите точку минимума функции $y=x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 3x плюс 1. $ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108431" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Найдите наименьшее значение функции $y=x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 3x плюс 1 $ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108435" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=4$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3. | Ответ: -3 |
Найдите точку минимума функции $y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 2x плюс 1. $ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: $ корень из x минус 2=0 равносильно корень из x=2 равносильно x=4.$ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108440" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Найдите наименьшее значение функции $y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 3x плюс 1 $ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108443" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Найденная производная неположительна на заданном отрезке, заданная функция убывает на нем, поэтому наименьшим значением функции на отрезке является: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −8. | Ответ: -8 |
Найдите точку максимума функции $y=7 плюс 6x минус 2x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка . $ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108447" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Найдите наибольшее значение функции $y=3x минус 2x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка $ на отрезке $ левая квадратная скобка 0;7 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108451" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> Найденная производная неотрицательна на отрезке (0; 1] и неположительна на отрезке [1; 4]; заданная функция возрастает на отрезке [0; 1] и убывает на отрезке [1; 7]. В точке 1 функция принимает наибольшее значение. Найдем его: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
Найдите точку максимума функции $y= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 3x плюс 1. $ | Найдем производную заданной функции:Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108452" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=9.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9. | Ответ: 9 |
Найдите наибольшее значение функции $y= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 3x плюс 1 $ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=108454" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Найдите точку минимума функции $y=x корень из x минус 3x плюс 1.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=108456" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Найдите наименьшее значение функции $y=x корень из x минус 3x плюс 1$ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108459" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>В точке $x=4$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3. | Ответ: -3 |
Найдите точку минимума функции $y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x корень из x минус 2x плюс 1. $ | Запишем функцию в виде $y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 2x плюс 1 $ и найдем ее производную: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108461" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x=4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Найдите наименьшее значение функции $y= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x корень из x минус 3x плюс 1 $ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=108477" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Найденная производная неположительна на заданном отрезке, заданная функция убывает на нем, поэтому наименьшим значением функции на отрезке является: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −8. | Ответ: -8 |
Найдите точку максимума функции $y=7 плюс 6x минус 2x корень из x.$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108466" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=4.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 4. | Ответ: 4 |
Найдите наибольшее значение функции $y=3x минус 2x корень из x$ на отрезке $ левая квадратная скобка 0;4 правая квадратная скобка .$ | Заметим, что $y= минус 2x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 3x$ и найдем производную этой функции: Найдем нули производной:$ минус 3 корень из x плюс 3=0 равносильно корень из x=1 равносильно x=1.$Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=108468" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Наибольшим значением функции на отрезке [0; 4] является ее значение в точке максимума. Найдем его: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 1. | Ответ: 1 |
Найдите точку максимума функции $y= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x корень из x плюс 3x плюс 1. $ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108470" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка максимума $x=9.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 9. | Ответ: 9 |
Найдите наибольшее значение функции $y= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x корень из x плюс 3x плюс 1 $ на отрезке $ левая квадратная скобка 1;9 правая квадратная скобка .$ | Заметим, что $y= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс 3x плюс 1 $ и найдем производную этой функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=108472" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является: <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 10. | Ответ: 10 |
Найдите наибольшее значение функции $y=x в кубе минус 6,5x в квадрате плюс 14x минус 14$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 4;3 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Из уравнения $ 3x в квадрате минус 13x плюс 14=0 $ найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108474" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>На отрезке [−4; 3] функция не является монотонной, она может достигать своего наибольшего значения в точках 2 или 3. Сравним значения функции в этих точках:$y левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =2 в кубе минус 6,5 умножить на 2 в квадрате плюс 14 умножить на 2 минус 14= минус 4,$$y левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =3 в кубе минус 6,5 умножить на 3 в квадрате плюс 14 умножить на 3 минус 14= минус 3,5.$Наибольшим является значение функции в точке 3, оно равно −3,5. <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −3,5. На мафеге к этой задаче указан прототип 77434. Однако эта задача -- сама прототип без клонов. | Ответ: -3,5 |
Найдите точку минимума функции $y= минус 21x в квадрате минус x в кубе плюс 32.$ | Функция $y= минус 21x в квадрате минус x в кубе плюс 32$ определена на множестве всех действительных чисел. Найдем производную заданной функции: $y'= минус 42x минус 3x в квадрате = минус 3x левая круглая скобка 14 плюс x правая круглая скобка .$Найдем нули производной: $3x левая круглая скобка 14 плюс x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=0,x= минус 14. конец совокупности . $Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108391" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>Искомая точка минимума $x= минус 14.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −14. | Ответ: -14 |
Найдите точку максимума функции $y=x в степени 5 плюс 15x в кубе минус 260x.$ | Найдем производную заданной функции: $y'=5x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 45x в квадрате минус 260.$ Сделаем замену $x в квадрате =t$ и решим полученное уравнение:$5t в квадрате плюс 45t минус 260=0 равносильно t в квадрате плюс 9t минус 52=0 равносильно совокупность выражений t=4,t= минус 13. конец совокупности . $ Вернемся к исходной переменной:$ совокупность выражений x в квадрате =4,x в квадрате = минус 13 конец совокупности . равносильно x в квадрате =4 равносильно совокупность выражений x=2,x= минус 2. конец совокупности . $ Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:<img src="/get_file?id=108125" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/> Искомая точка максимума $x= минус 2.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: −2. | Ответ: -2 |
Найдите наибольшее значение функции $y=x в степени 5 минус 5x в кубе минус 20x$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 6;1 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Сделаем замену $x в квадрате =t$ и решим полученное уравнение:Вернемся к исходной переменной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108475" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>На отрезке $ левая квадратная скобка минус 6;1 правая квадратная скобка $ функция достигает наибольшего значения в точке −2. Найдем его: <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span> 48. | Ответ: 48 |
Найдите наибольшее значение функции $y=3x в степени 5 минус 20x в кубе минус 54$ на отрезке $ левая квадратная скобка минус 4; минус 1 правая квадратная скобка .$ | Найдем производную заданной функции: Найдем нули производной: Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке: <img src="/get_file?id=108479" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>На отрезке$ левая квадратная скобка минус 4; минус 1 правая квадратная скобка $ функция достигает наибольшего значения в точке максимума. Найдем его: <span style="letter-spacing: 2px;">Ответ:</span>10. | Ответ: 10 |
Найдите наибольшее значение функции $y=3 плюс 27x минус x в кубе $ на отрезке [−3; 3]. | Найдем производную заданной функции: $y'=27 минус 3x в квадрате .$Найдем нули производной: $27 минус 3x в квадрате =0 равносильно x в квадрате =9 равносильно совокупность выражений x= минус 3, x=3. конец совокупности $Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции: <img src="/get_file?id=108383" style="margin:10px auto;display:block;max-width:100%"/>На отрезке $ левая квадратная скобка −3; 3 правая квадратная скобка $ заданная функция возрастает. Она принимает наибольшее значение в точке $x=3.$ Найдем его:$y левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =3 плюс 27 умножить на 3 минус 3 в кубе =3 плюс 81 минус 27=57.$ <span style="letter-spacing:2px ">Ответ</span>: 57. | Ответ: 57 |
Subsets and Splits