#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# # Aprendizado de máquina - II

# ## Resumo
# 
# - Na aula anterior... problema de classificação (aprendizado de máquina supervisionado)
# - Nesta aula, resolveremos um problema de _clusterização_ (**aprendizado de máquina não supervisionado**) 
# - Aprendizado supervisionado: possível medir erros entre os valores esperados e os previstos
# - Aprendizado não supervisionado: algoritmos categorizam _features_ através de critérios de similaridade, estatísticos ou geométricos.

# ## Breves comentários sobre aprendizagem
# 
# - _Aprendizagem_: conceito quantificável por meio de erros. 
# - Durante treinamento do algoritmo, dois erros são estimados. 

# ### Erro de treinamento
# 
# - Mede a discrepância entre as amostras observadas e as amostras apenas do conjunto de treinamento.
# - Erro por amostras (ex. classificação):
# $$e_i = e(x_i,y_i) =
# \begin{cases}
# 1, \ \ \text{se} \ \ h(x_i) = y_i \\
# 0, \ \ \text{caso contrário}
# \end{cases}$$
# 
# - Define-se o erro de treinamento por:
# $$E_{tr} = \frac{ \sum_{i=1}^n e_i }{n},$$

# ### Erro de generalização 
# 
# - Erro médio calculado sobre os dados não vistos ($E_gen$)
# - Em geral, $E_{gen} \geq E_{tr}$ e a _aprendizagem_ é atingida quando $E_{gen}$ é o menor possível. 
# - Assim, **a aprendizagem é o resultado de $E_{tr} \to 0$, ou $E_{gen} \approx E_{tr}$**. 
# - Um excelente treinamento deve conduzir a um modelo de aprendizagem robusto.

# ### Curvas de aprendizagem, _overfitting_ e _underfitting_
# 
# - A aprendizagem é medida por meio de _curvas de aprendizagem_, que possuem aparência assintótica. 
# - Modelos com alto desempenho durante a etapa de treinamento que generalizam mal tendem a sofrer um _superajustamento_ (_overfitting_). 
# - Modelos com baixo desempenho já durante a etapa de treinamento tendem a sofrer um _subajustamento_ (_underfitting_). 
# - Ambos os comportamentos são percebidos nas curvas de aprendizagem. 
# - A correção de _overfitting_ ou _underfitting_ pode ser feita com várias técnicas, tais como _regularização_.

# ## Treinamento, validação e generalização
# 
# - _treinamento_: etapa em que se verifica o desempenho de um modelo a partir de uma classe de modelos.
# - _validação_: etapa em que se selecionam os melhores hiperparâmetros do modelo tendo por base estimativas do erro de generalização. 
# - _generalização (ou teste)_: etapa exclusiva em que se avalia o desempenho final do modelo sobre um conjunto de dados que nunca deve ser usado nas etapas de treinamento ou validação. 

# ## Estudo de caso: clusterização de dados aleatórios

# ### O que é clusterização? 
# 
# Particionamento de dados em subconjuntos disjuntos chamados _clusters_, de forma que os elementos de um cluster sejam altamente similares (alta _similaridade intra-classe_) e os elementos de clusters distintos possuam baixa similaridade com os os demais clusters (baixa _similaridade inter-classe_ ).

# ### Similaridade e distância
# 
# - Estabelecer "similaridade" entre instâncias pode ser um pouco difícil. 
# - Em problemas de clusterização, usam-se distâncias. 

# ### Distância de Minkowski
# 
# $$d({\bf x},{\bf y}) = \left( \sum_{i=1}^d | x_i - y_i |^p \right)^{1/p},$$
# 
# com ${\bf x}$ e ${\bf y}$ vetores do espaço $\mathbb{R}^n$ e $p \in \mathbb{R}$ é um parâmetro. Dependendo do valor de $p$, a fórmula se reduz a outras distâncias conhecidas:
# 
# - Se $p = 2$, temos a _distância Euclidiana_;
# - Se $p = 1$, temos a _distância de Manhattan_ (ou _distância do taxista_);
# - Se $p = \infty$, temos a _distância de Chebyshev_ (ou _distância do máximo_), definida por $\max \{ | x_i - y_i | \}$, isto é, a componente com o maior módulo.

# ### O algoritmo _k-means_
# 
# _k-means_ é um algoritmo classificado como de _partição rígida_ que atribui cada elemento no espaço de _features_ a um único cluster. Os passos do algoritmo são: 
# 
# 1. Inicialize o valor _k_ de clusters desejados;
# 2. Inicialize os centroides dos _k clusters_;
# 3. Atribua cada uma das _n_ amostras de dados ao cluster cujo centroide está mais próximo da amostra;
# 4. Redefina os _k_ centroides iterativamente assumindo que estejam corretos;
# 5. Se nenhuma amostra migrar de um cluster para outro na última iteração, pare. Caso contrário, retorne ao passo 3.

# In[24]:


import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt


# In[26]:


# cria dados aleatórios
N = 40

X1 = 1.25*np.random.randn(N,2)
X2 = 5 + 1.5*np.random.randn(N,2)
X3 = [8,3] + 1.2*np.random.randn(N,2)

X = np.concatenate([X1,X2,X3])

X.shape


# Vamos criar rótulos para os 3 grupos e mostrar a clusterização segundo o que nós pré-determinamos e o que, de fato, é passado como entrada para o algoritmo.

# In[28]:


# cria labels
c = np.concatenate([np.full(N,1), np.full(N,2), np.full(N,3)])

plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(1,2,1)
plt.scatter(X1[:,0],X1[:,1],color='r')
plt.scatter(X2[:,0],X2[:,1],color='g')
plt.scatter(X3[:,0],X3[:,1],color='b')
plt.title('Dados rotulados')

plt.subplot(1,2,2)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],color='k')
plt.title('Dados "vistos" pelo algoritmo');


# Usa _k-means_ com inicialização de 3 clusters.

# In[30]:


from sklearn import cluster

# no. de clusters
k = 3

# ajusta parâmetros de aprendizagem
cfit = cluster.KMeans(init='random',n_clusters=k)
cfit.fit(X)


# In[32]:


# labels do ajuste
print(cfit.labels_)


# In[35]:


# plota comparativo de labels (original x ajuste)
cl = cfit.labels_ + 1

plt.scatter(X[cl==1,0], X[cl==1,1],color='r')
plt.scatter(X1[:,0],X1[:,1],color='gray',edgecolor='k',alpha=0.4)

plt.scatter(X[cl==2,0], X[cl==2,1],color='g')
plt.scatter(X2[:,0],X2[:,1],color='gray',edgecolor='c',alpha=0.4)

plt.scatter(X[cl==3,0], X[cl==3,1],color='b')
plt.scatter(X3[:,0],X3[:,1],color='gray',edgecolor='m',alpha=0.4);

plt.title('Rótulos originais x rótulos do ajuste');


# Criando pontos novos no espaço que cobre os dados originais. 

# In[53]:


# gera "grade" 2D de pontos 
# em [-5,15] x [-5,15]
x = np.linspace(-5,15,200)
XX,YY = np.meshgrid(x,x)
sz = XX.shape

# concatena
data = np.c_[XX.flatten(), YY.flatten()]

# predição
Z = cfit.predict(data)


# Verificando partição do espaço determinado pelo algoritmo x dados originais.

# In[56]:


# partições do espaço
plt.imshow(Z.reshape(sz), interpolation='bilinear', 
           origin='lower', extent=(-5,15,-5,15), 
           alpha=0.3,vmin=0,vmax=k-1)
plt.scatter(X[c==1,0], X[c==1,1],color='r')
plt.scatter(X[c==2,0], X[c==2,1],color='g')
plt.scatter(X[c==3,0], X[c==3,1],color='b')
plt.title('Partições do espaço');


# Então, comparamos o resultado da clusterização em comparação com os dados originais.

# In[62]:


plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(1,2,1)
# overlay
plt.imshow(Z.reshape(sz), interpolation='bilinear', 
           origin='lower', extent=(-5,15,-5,15), 
           alpha=0.3,vmin=0,vmax=k-1)
# original
plt.title('Rótulos originais')
plt.scatter(X[c==1,0], X[c==1,1],color='r')
plt.scatter(X[c==2,0], X[c==2,1],color='g')
plt.scatter(X[c==3,0], X[c==3,1],color='b')
plt.subplot(1,2,2)
# overlay
plt.imshow(Z.reshape(sz), interpolation='bilinear', 
           origin='lower', extent=(-5,15,-5,15), 
           alpha=0.3,vmin=0,vmax=k-1)
# clusterização
plt.title('Rótulos da clusterização')
plt.scatter(X[cl==1,0], X[cl==1,1],color='r')
plt.scatter(X[cl==2,0], X[cl==2,1],color='g')
plt.scatter(X[cl==3,0], X[cl==3,1],color='b');


# ## Métricas de qualidade para clusterização

# ### Coeficiente de Silhueta
# 
# - Valor atribuído a cada ponto de um cluster para medir a "silhueta" de seu cluster
# 
# $$s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max \{a(i),b(i)\}},$$
# 
# - $a(i)$ é a distância média intra-cluster da amostra $i$, isto é, a distância média da amostra $i$ a todos as suas "irmãs", percententes ao seu mesmo _cluster_. Este valor mede a dissimilaridade de $i$ em relação às suas amostras "irmãs".
# 
# - $b(i)$ é a distância média inter-cluster da amostra $i$, considerando o cluster _A_ ao qual ela pertence e o _cluster_ _B_ mais próximo de _A_. Este valor mede a dissimilaridade de $i$ em relação a todas as amostras em _B_.

# ### Interpretação
# 
# O valor de $s$ varia no intervalo [-1,1]
# 
# - Quando $s=-1$, a clusterização é considerada incorreta
# - Quando $s=1$, a clusterização está muito densa. 
# - Quando $s \approx 0$, há _clusters_ que sobrepõem.

# Vamos calcular $s$ para o nosso exemplo.

# In[66]:


from sklearn import metrics
ss = metrics.silhouette_samples(X,cl,metric='euclidean')
ssm = metrics.silhouette_score(X,cl,metric='euclidean')


# In[69]:


plt.title('Coeficiente de silhueta por amostra')
plt.plot(ss,'+');
plt.plot(np.arange(len(ss)),np.full(np.shape(ss),ssm),':',label='s médio');
plt.legend();


# ### Análise de silhueta
# 
# Usada para escolher um valor ótimo para o número de clusters a serem determinados.

# In[71]:


import matplotlib.cm as cm

fig, (ax1,ax2) = plt.subplots(1,2)
fig.set_size_inches(8, 4)

ax1.set_xlim([-0.2,1])
ax1.set_ylim([0, len(X) + (k + 1) * 10])


y_lower = 10
for i in range(1,k+1):
    ssi = ss[cl == i] # i-th cluster s
    ssi.sort()
    sizei = ssi.shape[0]
    y_upper = y_lower + sizei
    
    color = cm.nipy_spectral(float(i) / k)
    ax1.fill_betweenx(np.arange(y_lower, y_upper),0,
                      ssi,facecolor=color, edgecolor=color,
                      alpha=0.7)
    ax1.text(-0.05, y_lower + 0.5 * sizei, str(i))
    y_lower = y_upper + 10
    
ax1.set_title(f'Plot de silhueta: {k} clusters')
ax1.set_xlabel("s")
ax1.set_ylabel("Rótulos dos clusters")    
    
ax1.axvline(x=ssm, color="red", linestyle="--")
    
colors = cm.nipy_spectral(cl.astype(float)/k)
ax2.scatter(X[:, 0],X[:, 1],marker='o', s=30, lw=0, alpha=1.0,
            c=colors, edgecolor='k')    
centroides = cfit.cluster_centers_
ax2.scatter(centroides[:, 0], centroides[:, 1], marker='o',
            c="white", alpha=1, s=200, edgecolor='k')

for i, c in enumerate(centroides):
    
    ax2.scatter(c[0], c[1], marker=f'$%d$' % (i+1), alpha=1,
                s=50, edgecolor='k')
    
ax2.set_title("Clusters") 
ax2.set_xlabel("Feature #1")
ax2.set_ylabel("Feature #2")
plt.suptitle(("Análise de silhueta por k-means: %d clusters" % k),
                 fontsize=12, fontweight='bold');


# ## Conclusão
# 
# A análise de silhueta mostra que 3 clusters é um número adequado porque em todos eles há amostras com valor de $s$ acima da média. A espessura das silhuetas também ajuda a ter uma ideia do "tamanho" dos _clusters_.

#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# # Aprendizado de máquina - II

# ## Resumo
# 
# - Na aula anterior... problema de classificação (aprendizado de máquina supervisionado)
# - Nesta aula, resolveremos um problema de _clusterização_ (**aprendizado de máquina não supervisionado**) 
# - Aprendizado supervisionado: possível medir erros entre os valores esperados e os previstos
# - Aprendizado não supervisionado: algoritmos categorizam _features_ através de critérios de similaridade, estatísticos ou geométricos.

# ## Breves comentários sobre aprendizagem
# 
# - _Aprendizagem_: conceito quantificável por meio de erros. 
# - Durante treinamento do algoritmo, dois erros são estimados. 

# ### Erro de treinamento
# 
# - Mede a discrepância entre as amostras observadas e as amostras apenas do conjunto de treinamento.
# - Erro por amostras (ex. classificação):
# $$e_i = e(x_i,y_i) =
# \begin{cases}
# 1, \ \ \text{se} \ \ h(x_i) = y_i \\
# 0, \ \ \text{caso contrário}
# \end{cases}$$
# 
# - Define-se o erro de treinamento por:
# $$E_{tr} = \frac{ \sum_{i=1}^n e_i }{n},$$

# ### Erro de generalização 
# 
# - Erro médio calculado sobre os dados não vistos ($E_gen$)
# - Em geral, $E_{gen} \geq E_{tr}$ e a _aprendizagem_ é atingida quando $E_{gen}$ é o menor possível. 
# - Assim, **a aprendizagem é o resultado de $E_{tr} \to 0$, ou $E_{gen} \approx E_{tr}$**. 
# - Um excelente treinamento deve conduzir a um modelo de aprendizagem robusto.

# ### Curvas de aprendizagem, _overfitting_ e _underfitting_
# 
# - A aprendizagem é medida por meio de _curvas de aprendizagem_, que possuem aparência assintótica. 
# - Modelos com alto desempenho durante a etapa de treinamento que generalizam mal tendem a sofrer um _superajustamento_ (_overfitting_). 
# - Modelos com baixo desempenho já durante a etapa de treinamento tendem a sofrer um _subajustamento_ (_underfitting_). 
# - Ambos os comportamentos são percebidos nas curvas de aprendizagem. 
# - A correção de _overfitting_ ou _underfitting_ pode ser feita com várias técnicas, tais como _regularização_.

# ## Treinamento, validação e generalização
# 
# - _treinamento_: etapa em que se verifica o desempenho de um modelo a partir de uma classe de modelos.
# - _validação_: etapa em que se selecionam os melhores hiperparâmetros do modelo tendo por base estimativas do erro de generalização. 
# - _generalização (ou teste)_: etapa exclusiva em que se avalia o desempenho final do modelo sobre um conjunto de dados que nunca deve ser usado nas etapas de treinamento ou validação. 

# ## Estudo de caso: clusterização de dados aleatórios

# ### O que é clusterização? 
# 
# Particionamento de dados em subconjuntos disjuntos chamados _clusters_, de forma que os elementos de um cluster sejam altamente similares (alta _similaridade intra-classe_) e os elementos de clusters distintos possuam baixa similaridade com os os demais clusters (baixa _similaridade inter-classe_ ).

# ### Similaridade e distância
# 
# - Estabelecer "similaridade" entre instâncias pode ser um pouco difícil. 
# - Em problemas de clusterização, usam-se distâncias. 

# ### Distância de Minkowski
# 
# $$d({\bf x},{\bf y}) = \left( \sum_{i=1}^d | x_i - y_i |^p \right)^{1/p},$$
# 
# com ${\bf x}$ e ${\bf y}$ vetores do espaço $\mathbb{R}^n$ e $p \in \mathbb{R}$ é um parâmetro. Dependendo do valor de $p$, a fórmula se reduz a outras distâncias conhecidas:
# 
# - Se $p = 2$, temos a _distância Euclidiana_;
# - Se $p = 1$, temos a _distância de Manhattan_ (ou _distância do taxista_);
# - Se $p = \infty$, temos a _distância de Chebyshev_ (ou _distância do máximo_), definida por $\max \{ | x_i - y_i | \}$, isto é, a componente com o maior módulo.

# ### O algoritmo _k-means_
# 
# _k-means_ é um algoritmo classificado como de _partição rígida_ que atribui cada elemento no espaço de _features_ a um único cluster. Os passos do algoritmo são: 
# 
# 1. Inicialize o valor _k_ de clusters desejados;
# 2. Inicialize os centroides dos _k clusters_;
# 3. Atribua cada uma das _n_ amostras de dados ao cluster cujo centroide está mais próximo da amostra;
# 4. Redefina os _k_ centroides iterativamente assumindo que estejam corretos;
# 5. Se nenhuma amostra migrar de um cluster para outro na última iteração, pare. Caso contrário, retorne ao passo 3.

# In[24]:


import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt


# In[26]:


# cria dados aleatórios
N = 40

X1 = 1.25*np.random.randn(N,2)
X2 = 5 + 1.5*np.random.randn(N,2)
X3 = [8,3] + 1.2*np.random.randn(N,2)

X = np.concatenate([X1,X2,X3])

X.shape


# Vamos criar rótulos para os 3 grupos e mostrar a clusterização segundo o que nós pré-determinamos e o que, de fato, é passado como entrada para o algoritmo.

# In[28]:


# cria labels
c = np.concatenate([np.full(N,1), np.full(N,2), np.full(N,3)])

plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(1,2,1)
plt.scatter(X1[:,0],X1[:,1],color='r')
plt.scatter(X2[:,0],X2[:,1],color='g')
plt.scatter(X3[:,0],X3[:,1],color='b')
plt.title('Dados rotulados')

plt.subplot(1,2,2)
plt.scatter(X[:,0],X[:,1],color='k')
plt.title('Dados "vistos" pelo algoritmo');


# Usa _k-means_ com inicialização de 3 clusters.

# In[30]:


from sklearn import cluster

# no. de clusters
k = 3

# ajusta parâmetros de aprendizagem
cfit = cluster.KMeans(init='random',n_clusters=k)
cfit.fit(X)


# In[32]:


# labels do ajuste
print(cfit.labels_)


# In[35]:


# plota comparativo de labels (original x ajuste)
cl = cfit.labels_ + 1

plt.scatter(X[cl==1,0], X[cl==1,1],color='r')
plt.scatter(X1[:,0],X1[:,1],color='gray',edgecolor='k',alpha=0.4)

plt.scatter(X[cl==2,0], X[cl==2,1],color='g')
plt.scatter(X2[:,0],X2[:,1],color='gray',edgecolor='c',alpha=0.4)

plt.scatter(X[cl==3,0], X[cl==3,1],color='b')
plt.scatter(X3[:,0],X3[:,1],color='gray',edgecolor='m',alpha=0.4);

plt.title('Rótulos originais x rótulos do ajuste');


# Criando pontos novos no espaço que cobre os dados originais. 

# In[53]:


# gera "grade" 2D de pontos 
# em [-5,15] x [-5,15]
x = np.linspace(-5,15,200)
XX,YY = np.meshgrid(x,x)
sz = XX.shape

# concatena
data = np.c_[XX.flatten(), YY.flatten()]

# predição
Z = cfit.predict(data)


# Verificando partição do espaço determinado pelo algoritmo x dados originais.

# In[56]:


# partições do espaço
plt.imshow(Z.reshape(sz), interpolation='bilinear', 
           origin='lower', extent=(-5,15,-5,15), 
           alpha=0.3,vmin=0,vmax=k-1)
plt.scatter(X[c==1,0], X[c==1,1],color='r')
plt.scatter(X[c==2,0], X[c==2,1],color='g')
plt.scatter(X[c==3,0], X[c==3,1],color='b')
plt.title('Partições do espaço');


# Então, comparamos o resultado da clusterização em comparação com os dados originais.

# In[62]:


plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(1,2,1)
# overlay
plt.imshow(Z.reshape(sz), interpolation='bilinear', 
           origin='lower', extent=(-5,15,-5,15), 
           alpha=0.3,vmin=0,vmax=k-1)
# original
plt.title('Rótulos originais')
plt.scatter(X[c==1,0], X[c==1,1],color='r')
plt.scatter(X[c==2,0], X[c==2,1],color='g')
plt.scatter(X[c==3,0], X[c==3,1],color='b')
plt.subplot(1,2,2)
# overlay
plt.imshow(Z.reshape(sz), interpolation='bilinear', 
           origin='lower', extent=(-5,15,-5,15), 
           alpha=0.3,vmin=0,vmax=k-1)
# clusterização
plt.title('Rótulos da clusterização')
plt.scatter(X[cl==1,0], X[cl==1,1],color='r')
plt.scatter(X[cl==2,0], X[cl==2,1],color='g')
plt.scatter(X[cl==3,0], X[cl==3,1],color='b');


# ## Métricas de qualidade para clusterização

# ### Coeficiente de Silhueta
# 
# - Valor atribuído a cada ponto de um cluster para medir a "silhueta" de seu cluster
# 
# $$s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max \{a(i),b(i)\}},$$
# 
# - $a(i)$ é a distância média intra-cluster da amostra $i$, isto é, a distância média da amostra $i$ a todos as suas "irmãs", percententes ao seu mesmo _cluster_. Este valor mede a dissimilaridade de $i$ em relação às suas amostras "irmãs".
# 
# - $b(i)$ é a distância média inter-cluster da amostra $i$, considerando o cluster _A_ ao qual ela pertence e o _cluster_ _B_ mais próximo de _A_. Este valor mede a dissimilaridade de $i$ em relação a todas as amostras em _B_.

# ### Interpretação
# 
# O valor de $s$ varia no intervalo [-1,1]
# 
# - Quando $s=-1$, a clusterização é considerada incorreta
# - Quando $s=1$, a clusterização está muito densa. 
# - Quando $s \approx 0$, há _clusters_ que sobrepõem.

# Vamos calcular $s$ para o nosso exemplo.

# In[66]:


from sklearn import metrics
ss = metrics.silhouette_samples(X,cl,metric='euclidean')
ssm = metrics.silhouette_score(X,cl,metric='euclidean')


# In[69]:


plt.title('Coeficiente de silhueta por amostra')
plt.plot(ss,'+');
plt.plot(np.arange(len(ss)),np.full(np.shape(ss),ssm),':',label='s médio');
plt.legend();


# ### Análise de silhueta
# 
# Usada para escolher um valor ótimo para o número de clusters a serem determinados.

# In[71]:


import matplotlib.cm as cm

fig, (ax1,ax2) = plt.subplots(1,2)
fig.set_size_inches(8, 4)

ax1.set_xlim([-0.2,1])
ax1.set_ylim([0, len(X) + (k + 1) * 10])


y_lower = 10
for i in range(1,k+1):
    ssi = ss[cl == i] # i-th cluster s
    ssi.sort()
    sizei = ssi.shape[0]
    y_upper = y_lower + sizei
    
    color = cm.nipy_spectral(float(i) / k)
    ax1.fill_betweenx(np.arange(y_lower, y_upper),0,
                      ssi,facecolor=color, edgecolor=color,
                      alpha=0.7)
    ax1.text(-0.05, y_lower + 0.5 * sizei, str(i))
    y_lower = y_upper + 10
    
ax1.set_title(f'Plot de silhueta: {k} clusters')
ax1.set_xlabel("s")
ax1.set_ylabel("Rótulos dos clusters")    
    
ax1.axvline(x=ssm, color="red", linestyle="--")
    
colors = cm.nipy_spectral(cl.astype(float)/k)
ax2.scatter(X[:, 0],X[:, 1],marker='o', s=30, lw=0, alpha=1.0,
            c=colors, edgecolor='k')    
centroides = cfit.cluster_centers_
ax2.scatter(centroides[:, 0], centroides[:, 1], marker='o',
            c="white", alpha=1, s=200, edgecolor='k')

for i, c in enumerate(centroides):
    
    ax2.scatter(c[0], c[1], marker=f'$%d$' % (i+1), alpha=1,
                s=50, edgecolor='k')
    
ax2.set_title("Clusters") 
ax2.set_xlabel("Feature #1")
ax2.set_ylabel("Feature #2")
plt.suptitle(("Análise de silhueta por k-means: %d clusters" % k),
                 fontsize=12, fontweight='bold');


# ## Conclusão
# 
# A análise de silhueta mostra que 3 clusters é um número adequado porque em todos eles há amostras com valor de $s$ acima da média. A espessura das silhuetas também ajuda a ter uma ideia do "tamanho" dos _clusters_.

#!/usr/bin/env python # coding: utf-8 # # Aprendizado de máquina - II # ## Resumo # # - Na aula anterior... problema de classificação (aprendizado de máquina supervisionado) # - Nesta aula, resolveremos um problema de _clusterização_ (**aprendizado de máquina não supervisionado**) # - Aprendizado supervisionado: possível medir erros entre os valores esperados e os previstos # - Aprendizado não supervisionado: algoritmos categorizam _features_ através de critérios de similaridade, estatísticos ou geométricos. # ## Breves comentários sobre aprendizagem # # - _Aprendizagem_: conceito quantificável por meio de erros. # - Durante treinamento do algoritmo, dois erros são estimados. # ### Erro de treinamento # # - Mede a discrepância entre as amostras observadas e as amostras apenas do conjunto de treinamento. # - Erro por amostras (ex. classificação): # $$e_i = e(x_i,y_i) = # \begin{cases} # 1, \ \ \text{se} \ \ h(x_i) = y_i \\ # 0, \ \ \text{caso contrário} # \end{cases}$$ # # - Define-se o erro de treinamento por: # $$E_{tr} = \frac{ \sum_{i=1}^n e_i }{n},$$ # ### Erro de generalização # # - Erro médio calculado sobre os dados não vistos ($E_gen$) # - Em geral, $E_{gen} \geq E_{tr}$ e a _aprendizagem_ é atingida quando $E_{gen}$ é o menor possível. # - Assim, **a aprendizagem é o resultado de $E_{tr} \to 0$, ou $E_{gen} \approx E_{tr}$**. # - Um excelente treinamento deve conduzir a um modelo de aprendizagem robusto. # ### Curvas de aprendizagem, _overfitting_ e _underfitting_ # # - A aprendizagem é medida por meio de _curvas de aprendizagem_, que possuem aparência assintótica. # - Modelos com alto desempenho durante a etapa de treinamento que generalizam mal tendem a sofrer um _superajustamento_ (_overfitting_). # - Modelos com baixo desempenho já durante a etapa de treinamento tendem a sofrer um _subajustamento_ (_underfitting_). # - Ambos os comportamentos são percebidos nas curvas de aprendizagem. # - A correção de _overfitting_ ou _underfitting_ pode ser feita com várias técnicas, tais como _regularização_. # ## Treinamento, validação e generalização # # - _treinamento_: etapa em que se verifica o desempenho de um modelo a partir de uma classe de modelos. # - _validação_: etapa em que se selecionam os melhores hiperparâmetros do modelo tendo por base estimativas do erro de generalização. # - _generalização (ou teste)_: etapa exclusiva em que se avalia o desempenho final do modelo sobre um conjunto de dados que nunca deve ser usado nas etapas de treinamento ou validação. # ## Estudo de caso: clusterização de dados aleatórios # ### O que é clusterização? # # Particionamento de dados em subconjuntos disjuntos chamados _clusters_, de forma que os elementos de um cluster sejam altamente similares (alta _similaridade intra-classe_) e os elementos de clusters distintos possuam baixa similaridade com os os demais clusters (baixa _similaridade inter-classe_ ). # ### Similaridade e distância # # - Estabelecer "similaridade" entre instâncias pode ser um pouco difícil. # - Em problemas de clusterização, usam-se distâncias. # ### Distância de Minkowski # # $$d({\bf x},{\bf y}) = \left( \sum_{i=1}^d | x_i - y_i |^p \right)^{1/p},$$ # # com ${\bf x}$ e ${\bf y}$ vetores do espaço $\mathbb{R}^n$ e $p \in \mathbb{R}$ é um parâmetro. Dependendo do valor de $p$, a fórmula se reduz a outras distâncias conhecidas: # # - Se $p = 2$, temos a _distância Euclidiana_; # - Se $p = 1$, temos a _distância de Manhattan_ (ou _distância do taxista_); # - Se $p = \infty$, temos a _distância de Chebyshev_ (ou _distância do máximo_), definida por $\max \{ | x_i - y_i | \}$, isto é, a componente com o maior módulo. # ### O algoritmo _k-means_ # # _k-means_ é um algoritmo classificado como de _partição rígida_ que atribui cada elemento no espaço de _features_ a um único cluster. Os passos do algoritmo são: # # 1. Inicialize o valor _k_ de clusters desejados; # 2. Inicialize os centroides dos _k clusters_; # 3. Atribua cada uma das _n_ amostras de dados ao cluster cujo centroide está mais próximo da amostra; # 4. Redefina os _k_ centroides iterativamente assumindo que estejam corretos; # 5. Se nenhuma amostra migrar de um cluster para outro na última iteração, pare. Caso contrário, retorne ao passo 3. # In[24]: # In[26]: # cria dados aleatórios # Vamos criar rótulos para os 3 grupos e mostrar a clusterização segundo o que nós pré-determinamos e o que, de fato, é passado como entrada para o algoritmo. # In[28]: # cria labels # Usa _k-means_ com inicialização de 3 clusters. # In[30]: # no. de clusters # ajusta parâmetros de aprendizagem # In[32]: # labels do ajuste # In[35]: # plota comparativo de labels (original x ajuste) # Criando pontos novos no espaço que cobre os dados originais. # In[53]: # gera "grade" 2D de pontos # em [-5,15] x [-5,15] # concatena # predição # Verificando partição do espaço determinado pelo algoritmo x dados originais. # In[56]: # partições do espaço # Então, comparamos o resultado da clusterização em comparação com os dados originais. # In[62]: # overlay # original # overlay # clusterização # ## Métricas de qualidade para clusterização # ### Coeficiente de Silhueta # # - Valor atribuído a cada ponto de um cluster para medir a "silhueta" de seu cluster # # $$s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max \{a(i),b(i)\}},$$ # # - $a(i)$ é a distância média intra-cluster da amostra $i$, isto é, a distância média da amostra $i$ a todos as suas "irmãs", percententes ao seu mesmo _cluster_. Este valor mede a dissimilaridade de $i$ em relação às suas amostras "irmãs". # # - $b(i)$ é a distância média inter-cluster da amostra $i$, considerando o cluster _A_ ao qual ela pertence e o _cluster_ _B_ mais próximo de _A_. Este valor mede a dissimilaridade de $i$ em relação a todas as amostras em _B_. # ### Interpretação # # O valor de $s$ varia no intervalo [-1,1] # # - Quando $s=-1$, a clusterização é considerada incorreta # - Quando $s=1$, a clusterização está muito densa. # - Quando $s \approx 0$, há _clusters_ que sobrepõem. # Vamos calcular $s$ para o nosso exemplo. # In[66]: # In[69]: # ### Análise de silhueta # # Usada para escolher um valor ótimo para o número de clusters a serem determinados. # In[71]: # i-th cluster s #1") #2") # ## Conclusão # # A análise de silhueta mostra que 3 clusters é um número adequado porque em todos eles há amostras com valor de $s$ acima da média. A espessura das silhuetas também ajuda a ter uma ideia do "tamanho" dos _clusters_.