ée sur le paramétrage explicite. Il y a d'ailleurs une différence cruciale. On a vu que les facteurs unitaires des commutants sont toujours reliées par torsion intérieure. Par contre, les facteurs correspondant aux valeurs propres $\pm 1$ sont reliés par l'endoscopie non-standard \cite[\S 8.2]{Li11} entre systèmes de racines de type $\mathbf{B}_n$ et $\mathbf{C}_n$.
\end{remark}

Dès maintenant, $F$ désigne un corps local de caractéristique nulle, sauf mention expresse du contraire.

\begin{definition}\label{def:facteur-equi-sing}
  Soient $\gamma \in H(F)_\text{ss}$ et $\delta \in G(F)_\text{ss}$ sont en correspondance équi-singulière, et $\tilde{\delta} \in \rev^{-1}(\delta)$. On définit le facteur de transfert
  $$ \Delta(\gamma, \tilde{\delta}) := \lim_{\substack{\gamma_1 \to \gamma \\ \tilde{\delta}_1 \to \tilde{\delta}}} \Delta(\gamma_1, \tilde{\delta}_1) $$
  où les paires $(\gamma_1, \delta_1)$ sont des éléments semi-simples réguliers qui se correspondent, et $\tilde{\delta}_1 \in \rev^{-1}(\delta_1)$. 
\end{definition}

Cette limite existe d'après la descente semi-simple \cite[\S 7]{Li11} et la Définition \ref{def:equi-sing}. De plus, $\Delta$ est localement constant près de $(\gamma, \tilde{\delta}$). En effet, on peut supposer que
\begin{align*}
  \gamma_1 & = \exp(Y)\gamma, \quad Y \in \mathfrak{h}_\gamma(F), \\
  \tilde{\delta}_1 & = \exp(X)\tilde{\delta}, \quad X \in \mathfrak{g}_\delta(F),
\end{align*}
avec $X,Y$ assez proches de $0$. On vérifie que la formule de \cite[Théorème 7.10]{Li11} pour $\Delta(\exp(Y) \gamma, \exp(X) \tilde{\delta})$ tend vers une constante lorsque $(X,Y) \to (0,0)$, par l'équi-singularité.

\begin{example}\label{ex:Delta}
  Revenons à l'Exemple \ref{ex:equi-sing-ex}. Si $n'=n$, alors $\Delta(1,1)=1$. Si $n''=n$, alors $\Delta(1,-1)=1$. Ceci résulte de \cite[Propositions 7.5 et 7.6]{Li11a} et de la formule \cite[Corollaire 4.6]{Li11} corrigée
  \begin{gather}\label{eqn:Theta-valeur}
    \Theta_\psi(-1) = (\Theta^+_\psi - \Theta^-_\psi)(1) = |2|^{-n}_F.
  \end{gather}
\end{example}

\begin{definition}\label{def:kappa}
  Le caractère endoscopique $\kappa \in \mathfrak{R}(G_\delta, G; F)$ associé aux données $(n',n'',\gamma)$ est défini par la procédure suivante. D'après la Définition \ref{def:equi-sing}, on peut écrire les commutants sous la forme
  \begin{align*}
    G_\delta & = U' \times U'' \times \ensuremath{\mathrm{Sp}}(W_+) \times \ensuremath{\mathrm{Sp}}(W_-), \\
    H'_{\gamma'} & = U' \times \ensuremath{\mathrm{SO}}(V'_+, q'_+), \\
    H''_{\gamma''} & = U'' \times \ensuremath{\mathrm{SO}}(V'_-, q'_-),
  \end{align*}
  où $U'$ (resp. $U''$) est un produit direct de groupes unitaires et de groupes linéaires généraux, à restriction des scalaires près. Notons le nombre des groupes unitaires qui y apparaissent par $s'$ (resp. $s''$). D'après l'Exemple \ref{ex:coho-U}, on a $H^1_\text{ab}(F, U') = \{\pm 1\}^{s'}$, $H^1_\text{ab}(F, U'') = \{\pm 1\}^{s''}$ où chaque groupe unitaire dans la décomposition de $U'$ (resp. de $U''$) contribue un facteur direct $\{\pm 1\}$. Puisque le complexe abélianisé $G_\text{ab}$ est trivial, on a donc
  $$ H^0_\text{ab}(F, G_\delta \to G) = H^1_\text{ab}(F, G_\delta) = \{\pm 1\}^{s'} \times \{\pm 1\}^{s''}. $$

  Alors $\kappa: H^0_\text{ab}(F, G_\delta \to G) \to \ensuremath{\bbmu}_2$ est le caractère qui est trivial sur $\{\pm 1\}^{s'}$ et de la forme $(x_i)_{i=1}^{s''} \mapsto x_1 \cdots x_{s''}$ sur $\{\pm 1\}^{s''}$.

  Si $F$ est un corps de nombres, on définit $\kappa \in \mathfrak{R}(G_\delta, G; F)$ par la même recette en remplaçant $H^\bullet_\text{ab}(F, \cdots)$ par $H^\bullet_\text{ab}(\ensuremath{\mathbb{A}}/F, \cdots)$ partout. Il se localise en les caractères endoscopiques locaux au moyen de l'homomorphisme $\mathfrak{R}(G_\delta, G; F) \to \mathfrak{R}(G_\delta, G; \ensuremath{\mathbb{A}})$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Par convention, $\kappa$ est aussi regardé comme une fonction sur $H^0(F, G_\delta \to G)$ à l'aide de l'application $H^0(F, G_\delta \to G) \to H^0_\text{ab}(F, G_\delta \to G)$. On vérifie qu'elle est invariante par multiplication à droite par $G(F)$, donc elle se factorise par $\mathfrak{D}(G_\delta, G; F)$.
\end{remark}

\begin{definition}\label{def:fondamental}
  Rappelons qu'un $F$-tore maximal $T$ dans un $F$-groupe réductif $I$ est dit fondamental \cite[\S 10]{Ko86} si $T$ est $F$-elliptique (i.e. $T/Z_I$ est anisotrope) pour $F$ non-archimédien, et si $T$ est maximalement compact \cite[p.255]{KV95} pour $F$ archimédien.
\end{definition}

Les tores fondamentaux existent pour tout $I$. De plus, $H^1(F,T) \to H^1(F, I)$ est surjectif si $T$ est fondamental, d'après \cite[10.2 Lemma]{Ko86}. Puisque $\text{ab}^1_I$ est surjectif, $H^1(F,T) \to H^1_\text{ab}(F,I)$ l'est aussi.

Prenons un $F$-tore fondamental $T$ dans $G_\delta$. Rappelons que l'on a défini le caractère endoscopique $\kappa_T \in \mathfrak{R}(T, G; F)$ dans \cite[\S 5.3]{Li11}. Selon la décomposition $G_\delta = U \times \ensuremath{\mathrm{Sp}}(W_+) \times \ensuremath{\mathrm{Sp}}(W_-)$ (avec $U := U' \times U''$), on décompose $T = T_U \times T_+ \times T_-$ et
$$ \kappa_T = (\kappa_{T, U}, \kappa_{T,+}, \kappa_{T,-}). $$

Enregistrons maintenant une comparaison entre $\kappa$ et $\kappa_T$.

\begin{lemma}\label{prop:kappa-T}
  Sous l'injection $\mathfrak{R}(G_\delta, G; F) \hookrightarrow \mathfrak{R}(T, G; F)$