}_{0}t/\hslash} \ket{\psi(t)}_S,
\end{equation}
\noindent enquanto a conexão entre os operadores das diferentes representações é dada por
\begin{equation}\label{operador-int}
    \hat{A}_I(t) = e^{i\hat{H}_{0}t/\hslash} \hat{A}_Se^{-i\hat{H}_{0}t/\hslash},
\end{equation}
\noindent onde os elementos da representação de Schrödinger (Interação) são representados pelo subscrito $S$ ($I$).

Relacionando os elementos de ambas as descrições, podemos derivar a equação que descreve a evolução dos estados na representação de interação. De fato, com algumas manipulações algébricas, invertendo a equação (\ref{evolução-int}) e substituindo na equação de Schrödinger, obtemos
\begin{equation}
    \
   \big({\hat{U}_0}\hat{H}\hat{U}_0 - \hat{H}_{0}\big) \ket{\psi(t)}_I = i\hslash \pdv{\ket{\psi(t)}_I}{t},
    \end{equation}
que, levando em conta a evolução dos operadores na representação de interação, equação (\ref{operador-int}), pode ser escrito como 
\begin{equation}
    \
   \hat{H}_1(t) \ket{\psi(t)}_I = i\hslash \pdv{\ket{\psi(t)}_I}{t},
    \end{equation}
\noindent que é o análogo da equação de Schr\"{o}dinger na representação de interação desde que o hamiltoniano $\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}_1$ seja representado por
\begin{equation}\label{h-interação}
     \hat{H} = \hat{U}_0^{\dagger} \hat{H}_{1}\hat{U}_0
\end{equation}
\noindent na representação de interação.

Dessa forma, a partir da equação (\ref{h-interação}), com $\hat{H}_0 = \hat{H}_a + \hat{H}_m$ e $\hat{H}_1 = \hat{V}_I$, o hamiltoniano de Rabi na representação de interação fica dado por
\begin{equation}\label{Ht}
\hat{H}  =  \frac{\hslash\Omega}{2} [\hat{\sigma}_{+}(t) + \hat{\sigma}_{-}(t)]  \left\{  e^{i\left[\eta [\hat{a}(t) + \hat{a}^{\dagger}(t)] - \omega t + \phi\right]} + h.c. \right\},
\end{equation}
\noindent onde $\eta= k\cos{\theta}\sqrt{\hslash/2 m \nu}$ é denominado o parâmetro de Lamb-Dicke, sendo $\theta$ o ângulo entre a direção do laser e a direção do movimento do íon na armadilha. A evolução dos operadores presentes no hamiltoniano de Rabi é dada por
\begin{align}
    \hat{a}^{\dagger}(t)&=\hat{a}^{\dagger}e^{i\nu t}, &  \hat{a}(t)&=\hat{a}e^{-i\nu t},\\
    \hat{\sigma}_{+}(t)&=\hat{\sigma}_{+}e^{i\omega_{0} t}, &   \hat{\sigma}_{-}(t)&=\hat{\sigma}_{-}e^{-i\omega_{0} t},
\end{align}
\noindent como é possível demonstrar pelo lema de Baker-Campbell-Haussdorff \cite{Sakurai} a partir da equação (\ref{operador-int}).

Introduzindo o operador $\hat{\gamma} = \eta\left(\hat{a}e^{-i\nu t} + \hat{a}^{\dagger}e^{i\nu t} \right)$ apenas com o intuito de simplificar a notação, podemos escrever
\begin{equation}
    \hat{H} = \frac{\hslash \Omega}{2} \left(\hat{\sigma}_{+}e^{-i\delta t}e^{i(\hat{\gamma} +\phi)} + \hat{\sigma}_{-}e^{i\Bar{\omega} t}e^{i(\hat{\gamma} +\phi)} + h.c.\right),
\end{equation}
\noindent
onde definimos $\delta \equiv \omega - \omega_0$ e $\Bar{\omega} \equiv  \omega + \omega_0$. Na aproximação de onda girante, os termos que oscilam mais rapidamente -- as exponenciais com frequência $\Bar{\omega}$ -- podem ser descartados, o que nos permite escrever
\begin{equation}
    \hat{H}_{JC} = \frac{\hslash \Omega}{2} \left(\hat{\sigma}_{+} e^{-i\delta t}  e^{i\left(\hat{\gamma} + \phi\right)}+ h.c. \right),
\end{equation}
\noindent que é conhecido como hamiltoniano de Jaynes-Cummings semiclássico.


\subsection{Interações elementares}

No desenvolvimento do hamiltoniano de Jaynes-Cummings semiclássico, o parâmetro de Lamb-Dicke, $\eta=k\cos{\theta}\sqrt{\hslash/2 m \nu}$,  foi introduzido. Este parâmetro quantifica a amplitude das oscilações do íon na armadilha quando comparado com o comprimento de onda da radiação aplicada \cite{Blatt2003}. Um regime muito útil é o regime de Lamb-Dicke, no qual $\eta \ll 1$, ou seja, a amplitude de oscilação é muito pequena se comparada com o comprimento de onda do laser aplicado. Sob estas condições, expandindo a exponencial até primeira ordem e desprezando termos de ordens superiores, temos
\begin{equation}\notag
    \hat{H}_{LD} = \frac{\hslash \Omega}{2} \left\{ \hat{\sigma}_{+} \left[  1 + i\eta \left(\hat{a}e^{-i\nu t} + \hat{a}^{\dagger}e^{i\nu t}\right)\right]e^{i(\phi - \delta t)}  + h.c.\right\},
\end{equation}
\noindent que nos permite estudar as possíveis interações que podem ser construídas alterando-se a frequência do pulso de laser aplicado, acoplando os níveis internos aos níveis externos (de vibração). A natureza dos operadores gera diferentes frequências de transição
para cada possível interação entre íon e luz que são, em geral, denominadas frequências de Rabi \cite{Blatt2004}.
    
Para $\delta = 0$, caso em que a frequência do laser aplicado é ressonante com a frequência de transição entre os níveis internos, temos
\begin{equation}
\label{singlecarrier}
\hat{H} = \frac{\hslash \Omega}{2}\left(\hat{\sigma}_{+}e^{i\phi} + \hat{\sigma}_{-}e^{-i\phi}\right),
\end{equation}
\noindent onde a aproximação de onda girante foi aplicada, nesse caso por conta de assumirmos $\nu \gg \eta \Omega$, permitindo assim desprezar os termos proporcionais às exponenciais temporais em $\hat{H}_{LD}$. A interação com o campo ressonante induz transições do tipo $\ket{g,n}\longleftrightarrow\ket{e,n}$ com frequência de Rabi $\Omega$, alterando o estado interno sem modificar o estado vibracional do modo. Essa interação é denominada interação de campo ressonante (\textit{carrier interaction}).

Para $\delta= -\nu$, o caso em que a frequência do laser aplicado é dada por $\omega= \omega_{0} - \nu$, temos
\begin{equation}
  \hat{H} = \frac{\hslash \Omega}{2}\eta\left(\hat{a}\hat{\sigma}_{+}e^{i\phi} + \hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_{-}e^{-i\phi}\right),
