<p><b>0的0次方</b>（英語：<span lang="en">Zero to the power of zero</span>），寫作<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，是極限的不定式之一，在排列組合以及群論中，常用的慣例是定義為1<span id="noteTag-cite_ref-sup"></span>，在微積分中則通常沒有定義，因為極限<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mi>x</mi>
            <mo>,</mo>
            <mi>y</mi>
            <mo stretchy="false">)</mo>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mn>0</mn>
            <mo>,</mo>
            <mn>0</mn>
            <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
        </munder>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>y</mi>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>不存在。
</p>
<h2><span id=".E5.AE.9A.E4.B9.89.E7.9A.84.E9.9C.80.E6.B1.82"></span><span id="定义的需求">定義的需求</span></h2>
<p>微分式：<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>d</mi>
            <mrow>
              <mi>d</mi>
              <mi>x</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <msup>
            <mi>x</mi>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mi>n</mi>
            </mrow>
          </msup>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mi>n</mi>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>在x=0，n=1的時候將無法作用，除非<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，另外，如果不定義<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，就無法處理二項式定理<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>y</mi>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN">
              <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo>
            </mrow>
            <mfrac linethickness="0">
              <mi>n</mi>
              <mi>k</mi>
            </mfrac>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE">
              <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mi>k</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <msup>
          <mi>y</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，因為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}=(1-1)^{0}={\binom {0}{0}}1^{0}(-1)^{0}=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN">
              <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo>
            </mrow>
            <mfrac linethickness="0">
              <mn>0</mn>
              <mn>0</mn>
            </mfrac>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE">
              <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <msup>
          <mn>1</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}=(1-1)^{0}={\binom {0}{0}}1^{0}(-1)^{0}=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>在多項式函數中把常數項視為零次項，可將多項式函數化簡為
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <msub>
          <mi>c</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>則<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(0)=c_{0}0^{0}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>0</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>c</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(0)=c_{0}0^{0}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>也必須用到<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p>

<h2><span id=".E6.B3.A8.E9.87.8A"></span><span id="注释">注釋</span></h2>
**0 的 0 次方**（英語：Zero to the power of zero），寫作 $0^{0}$ ，是極限的不定式之一，在排列組合以及群論中，常用的慣例是定義為 1，在微積分中則通常沒有定義，因為極限 $\lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}$ 不存在。

## 定義的需求

微分式： ${\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}$ 在 x=0，n=1 的時候將無法作用，除非 $0^{0}=1$ ，另外，如果不定義 $0^{0}$ ，就無法處理二項式定理 $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$ ，因為 $0^{0}=(1-1)^{0}={\binom {0}{0}}1^{0}(-1)^{0}=1$ 。

在多項式函數中把常數項視為零次項，可將多項式函數化簡為

$$
f(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}
$$

則 $f(0)=c_{0}0^{0}$

也必須用到 $0^{0}=1$

## 注釋
0的0次方