<p>在微積分和數學分析的其他分支中，<b>不定式</b>（英語：<span lang="en">Indeterminate form</span>），又稱<b>未定式</b>，是指這樣一類極限，其在按極限的運算規則進行代入後，還未能得到足夠訊息去確定極限值。
</p><p>這個術語最初由柯西的學生<span data-orig-title="穆瓦尼奧" data-lang-code="fr" data-lang-name="法語" data-foreign-title="Abbé Moigno"><span>穆瓦尼奧</span></span>在19世紀中葉提出。常見的不定式有：<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ 和 }}~\infty ^{0}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>0</mn>
            <mn>0</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>,</mo>
        <mtext> </mtext>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>,</mo>
        <mtext> </mtext>
        <mn>0</mn>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
        <mo>,</mo>
        <mtext> </mtext>
        <msup>
          <mn>1</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>,</mo>
        <mtext> </mtext>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
        <mo>,</mo>
        <mtext> </mtext>
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mtext> 和 </mtext>
        </mrow>
        <mtext> </mtext>
        <msup>
          <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ 和 }}~\infty ^{0}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
處理計算未定式的值常見的方法為使用羅必達法則。
</p>
<h2><span id=".E4.BE.8B.E5.AD.90"></span><span id="例子">例子</span></h2>
<dl><dt>0除以0</dt></dl><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {0}{0}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>0</mn>
            <mn>0</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {0}{0}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 是不定式。
</p>
<dl><dt>0的0次方</dt></dl><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>也是不定式。在不同軟體中，有不同的處理規則，有些定義為1或0，有些視為「沒有定義」。
</p><p>在數學上，當<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>
  </semantics></math></span></span>趨向<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{+}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>+</mo>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{+}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{x}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{x}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的極限是1。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0\qquad }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <msup>
              <mn>0</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mo>+</mo>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
        </munder>
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
        <mspace width="2em"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0\qquad }</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1\qquad }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <msup>
              <mn>0</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mo>+</mo>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
        </munder>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mspace width="2em"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1\qquad }</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1\qquad }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <msup>
              <mn>0</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mo>+</mo>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
        </munder>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mspace width="2em"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1\qquad }</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>在冪級數和微積分中，有時候必須定義<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，等式才會成立。
</p><p>在二項式定理中，當<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，右式會出現<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>x</mi>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN">
              <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">(</mo>
            </mrow>
            <mfrac linethickness="0">
              <mi>n</mi>
              <mi>k</mi>
            </mfrac>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE">
              <mo maxsize="2.047em" minsize="2.047em">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>微分學的<span data-orig-title="幂法则" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Power rule"><span>冪法則</span></span>，在<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>及<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的情況下，也會出現<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{0}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{0}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>d</mi>
            <mrow>
              <mi>d</mi>
              <mi>x</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mi>n</mi>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><h2><span id=".E7.89.A9.E7.90.86"></span><span id="物理">物理</span></h2>
<p>在物理學上這是有一定的解釋。比如說電阻定義 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R={\frac {V}{I}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>R</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>V</mi>
            <mi>I</mi>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R={\frac {V}{I}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，當電壓和電流都為 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 時 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>R</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 的<span data-orig-title="值" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Value (mathematics)"><span>值</span></span>存在不確定性。
</p><p>例如，極限
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <mi>c</mi>
          </mrow>
        </munder>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mi>f</mi>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>x</mi>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
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            </mrow>
          </mfrac>
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>  <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(c)=g(c)=0\,}">
  <semantics>
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      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(c)=g(c)=0\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。若 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\,}">
  <semantics>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 等於 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)\,}">
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，極限為1；若 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\,}">
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 等於 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)\,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 的兩倍，則極限為2。</dd></dl><p>更一般地，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {0}{0}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {0}{0}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 的極限可以通過羅必達法則求得。
</p>
<h2><span id=".E4.B8.8D.E5.AE.9A.E5.BC.8F.E5.88.97.E8.A1.A8"></span><span id="不定式列表">不定式列表</span></h2>
<p>下表中列出了最常見的不定式，可以通過轉換來使得它們滿足羅必達法則的條件。
</p>
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在微積分和數學分析的其他分支中，**不定式**（英語：Indeterminate form），又稱**未定式**，是指這樣一類極限，其在按極限的運算規則進行代入後，還未能得到足夠訊息去確定極限值。

這個術語最初由柯西的學生穆瓦尼奧在 19 世紀中葉提出。常見的不定式有： ${\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ 和 }}~\infty ^{0}$ 。
處理計算未定式的值常見的方法為使用羅必達法則。

## 例子

**0 除以 0**

 ${\frac {0}{0}}$ 是不定式。

**0 的 0 次方**

 $0^{0}$ 也是不定式。在不同軟體中，有不同的處理規則，有些定義為 1 或 0，有些視為「沒有定義」。

在數學上，當 $x$ 趨向 $0^{+}$ ， $x^{x}$ 的極限是 1。

　
: $\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0\qquad $

　
: $\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1\qquad $

　
: $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1\qquad $

在冪級數和微積分中，有時候必須定義 $0^{0}=1$ ，等式才會成立。

在二項式定理中，當 $x=0$ ，右式會出現 $0^{0}$ 。

　
: $(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}$

微分學的冪法則，在 $n=1$ 及 $x=0$ 的情況下，也會出現 $0^{0}$ 。

　
: ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

## 物理

在物理學上這是有一定的解釋。比如說電阻定義 $R={\frac {V}{I}}$ ，當電壓和電流都為 $0$ 時 $R$ 的值存在不確定性。

例如，極限

　
: $\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}$ $f(c)=g(c)=0\,$ 。若 $f(x)\,$ 等於 $g(x)\,$ ，極限為 1；若 $f(x)\,$ 等於 $g(x)\,$ 的兩倍，則極限為 2。

更一般地， ${\frac {0}{0}}$ 的極限可以通過羅必達法則求得。

## 不定式列表

下表中列出了最常見的不定式，可以通過轉換來使得它們滿足羅必達法則的條件。
0除以0