<p><b>十七邊形</b>是指幾何學中有17條邊及17隻角的多邊形。其內角和為2700°，有119條對角線。
</p><p><b>正十七邊形</b>是有17邊的正多邊形。正十七邊形的每個內角為<span>158.<span>8235294117647058</span></span>度。
</p>


<h2><span id=".E4.BD.9C.E5.9C.96.E6.96.B9.E6.B3.95"></span><span id="作圖方法">作圖方法</span></h2>
<h3><span id=".E4.BD.9C.E5.9C.96"></span><span id="作圖">作圖</span></h3>
<p>1796年高斯證明了可以用尺規作圖作出正十七邊形，同時發現了可作圖多邊形的條件。正十七邊形其中一個作圖方法如下：
</p><p>
</p><p>英文裏，詹·何頓·康威認為heptadecagon是錯誤的拼法，應為heptakaidecagon。
</p><p>
</p><p>可作圖性亦同時顯示2π/17的三角函數可以只用基本算術和平方根來表示。高斯的書<i>Disquisitiones</i>包含了這條等式：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {cos} {2\pi  \over 17}={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}.}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mn>2</mn>
              <mi>π<!-- π --></mi>
            </mrow>
            <mn>17</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
              <mo>+</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <msqrt>
                  <mn>17</mn>
                </msqrt>
              </mrow>
              <mo>+</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <msqrt>
                  <mn>34</mn>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mn>2</mn>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <msqrt>
                      <mn>17</mn>
                    </msqrt>
                  </mrow>
                </msqrt>
              </mrow>
              <mo>+</mo>
              <mn>2</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <msqrt>
                  <mn>17</mn>
                  <mo>+</mo>
                  <mn>3</mn>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <msqrt>
                      <mn>17</mn>
                    </msqrt>
                  </mrow>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <msqrt>
                      <mn>34</mn>
                      <mo>−<!-- − --></mo>
                      <mn>2</mn>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <msqrt>
                          <mn>17</mn>
                        </msqrt>
                      </mrow>
                    </msqrt>
                  </mrow>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mn>2</mn>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <msqrt>
                      <mn>34</mn>
                      <mo>+</mo>
                      <mn>2</mn>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <msqrt>
                          <mn>17</mn>
                        </msqrt>
                      </mrow>
                    </msqrt>
                  </mrow>
                </msqrt>
              </mrow>
            </mrow>
            <mn>16</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>.</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {cos} {2\pi  \over 17}={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}.}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><h3><span id=".E8.AD.89.E6.98.8E"></span><span id="證明">證明</span></h3>
<p>設正十七邊形中心角為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>,則<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 17\alpha =360^{\circ }}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>17</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>360</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>∘<!-- ∘ --></mo>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 17\alpha =360^{\circ }}</annotation>
  </semantics></math></span></span>度,
</p><p>即<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 16\alpha =360^{\circ }-\alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>16</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>360</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>∘<!-- ∘ --></mo>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 16\alpha =360^{\circ }-\alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>故<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin 16\alpha =-\sin \alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>sin</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>16</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>sin</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin 16\alpha =-\sin \alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>，而
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 16\alpha &amp;=2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\&amp;=2^{2}\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\&amp;=2^{4}\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\\end{aligned}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
            <mtr>
              <mtd>
                <mi>sin</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>16</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
              </mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <mn>2</mn>
                <mi>sin</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>8</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>8</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <msup>
                  <mn>2</mn>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mn>2</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mi>sin</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>4</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>4</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>8</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <msup>
                  <mn>2</mn>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mn>4</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mi>sin</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>2</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>4</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>8</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
              </mtd>
            </mtr>
          </mtable>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 16\alpha &amp;=2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\&amp;=2^{2}\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\&amp;=2^{4}\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>因為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin \alpha \neq 0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>sin</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>≠<!-- ≠ --></mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin \alpha \neq 0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，則
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 16\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha =-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>16</mn>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>8</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 16\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha =-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>又由 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>β<!-- β --></mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>β<!-- β --></mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>β<!-- β --></mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}</annotation>
  </semantics></math></span></span>等，有
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cdots +\cos 8\alpha )=-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>8</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cdots +\cos 8\alpha )=-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>而<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos 15\alpha =\cos 2\alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>15</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos 15\alpha =\cos 2\alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos 12\alpha =\cos 5\alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>12</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>5</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos 12\alpha =\cos 5\alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>，令
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>8</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>y</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>3</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>5</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>6</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>7</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>有：
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+y=-{\frac {1}{2}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>y</mi>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+y=-{\frac {1}{2}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>又
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}xy&amp;=(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha )\\&amp;={\frac {1}{2}}(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 4\alpha +\cos 6\alpha +\cdots +\cos \alpha +\cos 15\alpha )\\&amp;=-1\\\end{aligned}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
            <mtr>
              <mtd>
                <mi>x</mi>
                <mi>y</mi>
              </mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>2</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>4</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>8</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>3</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>5</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>6</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>7</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo stretchy="false">)</mo>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
                    <mn>1</mn>
                    <mn>2</mn>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>2</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>4</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>4</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>6</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo>+</mo>
                <mi>cos</mi>
                <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
                <mn>15</mn>
                <mi>α<!-- α --></mi>
                <mo stretchy="false">)</mo>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mn>1</mn>
              </mtd>
            </mtr>
          </mtable>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}xy&amp;=(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha )\\&amp;={\frac {1}{2}}(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 4\alpha +\cos 6\alpha +\cdots +\cos \alpha +\cos 15\alpha )\\&amp;=-1\\\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>所以，得
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
              <mo>+</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <msqrt>
                  <mn>17</mn>
                </msqrt>
              </mrow>
            </mrow>
            <mn>4</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>y</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <msqrt>
                  <mn>17</mn>
                </msqrt>
              </mrow>
            </mrow>
            <mn>4</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>另設:
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=\cos \alpha +\cos 4\alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=\cos \alpha +\cos 4\alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}=\cos 2\alpha +\cos 8\alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>8</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}=\cos 2\alpha +\cos 8\alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>，
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{1}=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>y</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>3</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>5</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{1}=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{2}=\cos 6\alpha +\cos 7\alpha }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>y</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>6</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>7</mn>
        <mi>α<!-- α --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{2}=\cos 6\alpha +\cos 7\alpha }</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>故有
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>+</mo>
        <msub>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
              <mo>+</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <msqrt>
                  <mn>17</mn>
                </msqrt>
              </mrow>
            </mrow>
            <mn>4</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{1}+y_{2}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{1}+y_{2}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>最後，由
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos \alpha +\cos 4\alpha =x_{1}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \alpha +\cos 4\alpha =x_{1}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos \alpha \cos 4\alpha ={\frac {y_{1}}{2}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \alpha \cos 4\alpha ={\frac {y_{1}}{2}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>可得
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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                </msqrt>
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              <mo>+</mo>
              <mn>2</mn>
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                  <mn>17</mn>
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                  <mo>−<!-- − --></mo>
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                      <mn>2</mn>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                  <mo>−<!-- − --></mo>
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        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>其為整數加減乘除平方根的組合，故正十七邊形可用尺規作出。
</p>
<h2><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E9.93.BE.E6.8E.A5"></span><span id="外部链接">外部連結</span></h2>
<p>以下的幾個網頁均有介紹如何正十七邊形的尺規作圖：
</p>
<ul><li>http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）</li>
<li>https://web.archive.org/web/20050204005828/http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html <span title="韓語">（韓文）</span></li>
<li>https://web.archive.org/web/19991111063410/http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html <span title="英語">（英文）</span></li>
<li>http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） <span title="英語">（英文）</span></li></ul><!-- 
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**十七邊形**是指幾何學中有 17 條邊及 17 隻角的多邊形。其內角和為 2700°，有 119 條對角線。

**正十七邊形**是有 17 邊的正多邊形。正十七邊形的每個內角為 158.8235294117647058 度。

## 作圖方法

### 作圖

1796 年高斯證明了可以用尺規作圖作出正十七邊形，同時發現了可作圖多邊形的條件。正十七邊形其中一個作圖方法如下：

英文裏，詹・何頓・康威認為 heptadecagon 是錯誤的拼法，應為 heptakaidecagon。

可作圖性亦同時顯示 2π/17 的三角函數可以只用基本算術和平方根來表示。高斯的書 _Disquisitiones_ 包含了這條等式：

　
: $\operatorname {cos} {2\pi  \over 17}={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}.$

### 證明

設正十七邊形中心角為 $\alpha $ , 則 $17\alpha =360^{\circ }$ 度，

即 $16\alpha =360^{\circ }-\alpha $

故 $\sin 16\alpha =-\sin \alpha $ ，而

$$
{\begin{aligned}\sin 16\alpha &=2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{2}\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{4}\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\\end{aligned}}
$$

因為 $\sin \alpha \neq 0$ ，則

$$
16\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha =-1
$$

又由 $2\cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )$ 等，有

$$
2(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cdots +\cos 8\alpha )=-1
$$

而 $\cos 15\alpha =\cos 2\alpha $ ， $\cos 12\alpha =\cos 5\alpha $ ，令

$$
x=\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha
$$

$$
y=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha
$$

有：

$$
x+y=-{\frac {1}{2}}
$$

又

$$
{\begin{aligned}xy&=(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha )\\&={\frac {1}{2}}(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 4\alpha +\cos 6\alpha +\cdots +\cos \alpha +\cos 15\alpha )\\&=-1\\\end{aligned}}
$$

所以，得

$$
x={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}
$$

$$
y={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}
$$

另設:

 $x_{1}=\cos \alpha +\cos 4\alpha $ ， $x_{2}=\cos 2\alpha +\cos 8\alpha $ ，

$$
y_{1}=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha $ ， $y_{2}=\cos 6\alpha +\cos 7\alpha
$$

故有

$$
x_{1}+x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}
$$

$$
y_{1}+y_{2}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}
$$

最後，由

$$
\cos \alpha +\cos 4\alpha =x_{1}
$$

$$
\cos \alpha \cos 4\alpha ={\frac {y_{1}}{2}}
$$

可得

$$
\cos \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}
$$

其為整數加減乘除平方根的組合，故正十七邊形可用尺規作出。

## 外部連結

以下的幾個網頁均有介紹如何正十七邊形的尺規作圖：

* http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* https://web.archive.org/web/20050204005828/http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html （韓文）
* https://web.archive.org/web/19991111063410/http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html （英文）
* http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （英文）
17边形