<p>在數學中，<b>1 − 2 + 3 − 4 + …</b>表示以由小到大的接續正整數，依次加後又減、減後又加，如此反覆所構成的無窮級數。它是交錯級數，若以Σ符號表示前<i>m</i>項之和，可寫作：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>m</mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mi>n</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>此無窮級數發散，即其部分和的序列<span>（1, −1, 2, −2, …）</span>不會趨近於任一有窮極限。也就是說，單從極限的角度看的話，<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>不存在和。不過，在18世紀中期，萊昂哈德·歐拉寫出了一個他承認為悖論的等式：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>4</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>4</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>該等式的嚴謹解釋在很久以後才出現。自1890年起，恩納斯托·切薩羅、埃米爾·鮑萊耳與其他一些數學家就在研究有哪些定義良好的方法，可以給發散級數賦予廣義和——其中包含了對歐拉結果的新解釋。這些求和法大部分可簡單地指定<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>的「和」為<sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>。切薩羅求和是少數幾種不能計算出<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>之和的方法，因為此級數求和需要某個略強的方法——譬如阿貝耳求和。
</p><p>級數<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>與格蘭迪級數<span>1 − 1 + 1 − 1 + …</span>有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作<span>1 − 2<sup><i>n</i></sup> + 3<sup><i>n</i></sup> − 4<sup><i>n</i></sup> + …</span>的特例（其中n為任意自然數），這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了我們現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。
</p>


<h2><span id=".E5.8F.91.E6.95.A3.E6.80.A7"></span><span id="发散性">發散性</span></h2>
<p>級數項（1, −2, 3, −4, …）不趨近於0，因此通過項測試便可確定<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>發散。不過作為後文的參考，此處也以基礎的方法去證明此級數發散。首先，從定義可知，無窮級數的斂散性是由其部分和的斂散性所確定的，<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>的部分和為：</p>
<dl><dd>1 = <b>1</b>,</dd>
<dd>1 − 2 = <b>−1</b>,</dd>
<dd>1 − 2 + 3 = <b>2</b>,</dd>
<dd>1 − 2 + 3 − 4 = <b>−2</b>,</dd>
<dd>1 − 2 + 3 − 4 + 5 = <b>3</b>,</dd>
<dd>1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = <b>−3</b>,</dd>
<dd>…</dd></dl><p>此部分和序列的一個顯著特點是每個整數都恰好出現一次——如果將空部分和計入還包括0——因此它還說明了整數集<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Z} }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mi mathvariant="double-struck">Z</mi>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Z} }</annotation>
  </semantics></math></span></span>是可數的。很明顯的，不可能讓變化的結果收斂到一個確定的數，因此<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>發散。
</p>
<h2><span id=".E6.B1.82.E5.92.8C.E7.9A.84.E5.90.AF.E5.8F.91"></span><span id="求和的启发">求和的啟發</span></h2>
<h3><span id=".E7.A8.B3.E5.AE.9A.E6.80.A7.E4.B8.8E.E7.BA.BF.E6.80.A7"></span><span id="稳定性与线性">穩定性與線性</span></h3>
<p>由於各項 1, −2, 3, −4, 5, −6, … 以一種簡單模式排列，級數<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>可以透過移項以及逐項求和，再透過解方程式得出一數值。暫時假設<span><i>s</i> = 1 − 2 + 3 − 4 + …</span>這樣的寫法有意義——其中的<i>s</i>為常數，那麼以下的計算將說明<i>s</i> = <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>：
</p>
<dl><dd><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{smallmatrix}4s&amp;=&amp;\!&amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &amp;=&amp;\!&amp;({\color {Blue}\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots })&amp;+\,1\,+&amp;({\color {Red}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&amp;+\,1\,+&amp;({\color {Purple}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&amp;-\,1\,+&amp;({\color {OliveGreen}\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,6\,+\,\cdots })\quad \,\\\\\ &amp;=&amp;\ 1\,+&amp;[\,(\,{\color {Blue}1}\,{\color {Red}-\,2}\,{\color {Purple}-\,2}\,{\color {OliveGreen}+\,3}\,)\quad &amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,{-\,\color {Blue}2}\,{\color {Red}+\,3}\,{\color {Purple}+\,3}\,{\color {OliveGreen}-\,4}\,)\;\;\;\,&amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,{\color {Blue}3}\,{\color {Red}-\,4}\,{\color {Purple}-\,4}\,{\color {OliveGreen}+\,5}\,)\ \quad &amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,{\color {Blue}-\,4}\,{\color {Red}+\,5}\,{\color {Purple}+\,5}\,{\color {OliveGreen}-\,6}\,)\,+\,\cdots ]\\\\\ &amp;=&amp;\ 1\,+&amp;[\,0\,+\,0\,+\,0\,+\,0\,\cdots ]\ \;\\4s\ &amp;=&amp;\ 1\ \,\;\end{smallmatrix}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mstyle scriptlevel="1">
            <mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false">
              <mtr>
                <mtd>
                  <mn>4</mn>
                  <mi>s</mi>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>=</mo>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mspace width="negativethinmathspace"></mspace>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>1</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>2</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>3</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>4</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>+</mo>
                  <mtext> </mtext>
                  <mtext> </mtext>
                  <mspace width="thickmathspace"></mspace>
                  <mspace width="thickmathspace"></mspace>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>1</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>2</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>3</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>4</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>+</mo>
                  <mtext> </mtext>
                  <mtext> </mtext>
                  <mspace width="thickmathspace"></mspace>
                  <mspace width="thickmathspace"></mspace>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>1</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>2</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>3</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>4</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>+</mo>
                  <mtext> </mtext>
                  <mtext> </mtext>
                  <mspace width="thickmathspace"></mspace>
                  <mspace width="thickmathspace"></mspace>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>1</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>2</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>3</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>4</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                  <mspace width="1em"></mspace>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd></mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <mtext> </mtext>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>=</mo>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mspace width="negativethinmathspace"></mspace>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mstyle mathcolor="#2D2F92">
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mn>1</mn>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mo>−<!-- − --></mo>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mn>2</mn>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mo>+</mo>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mn>3</mn>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mo>−<!-- − --></mo>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mn>4</mn>
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                      <mo>+</mo>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                    </mstyle>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>1</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mstyle mathcolor="#ED1B23">
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mo>−<!-- − --></mo>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mn>2</mn>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mo>+</mo>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mn>3</mn>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
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                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                      <mn>4</mn>
                      <mspace width="thinmathspace"></mspace>
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                <mtd></mtd>
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                  <mtext> </mtext>
                </mtd>
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                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>+</mo>
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                  <mn>0</mn>
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                  <mo>+</mo>
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                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo stretchy="false">]</mo>
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              </mtr>
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        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{smallmatrix}4s&amp;=&amp;\!&amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &amp;=&amp;\!&amp;({\color {Blue}\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots })&amp;+\,1\,+&amp;({\color {Red}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&amp;+\,1\,+&amp;({\color {Purple}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&amp;-\,1\,+&amp;({\color {OliveGreen}\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,6\,+\,\cdots })\quad \,\\\\\ &amp;=&amp;\ 1\,+&amp;[\,(\,{\color {Blue}1}\,{\color {Red}-\,2}\,{\color {Purple}-\,2}\,{\color {OliveGreen}+\,3}\,)\quad &amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,{-\,\color {Blue}2}\,{\color {Red}+\,3}\,{\color {Purple}+\,3}\,{\color {OliveGreen}-\,4}\,)\;\;\;\,&amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,{\color {Blue}3}\,{\color {Red}-\,4}\,{\color {Purple}-\,4}\,{\color {OliveGreen}+\,5}\,)\ \quad &amp;+\ \ \;\;\,&amp;(\,{\color {Blue}-\,4}\,{\color {Red}+\,5}\,{\color {Purple}+\,5}\,{\color {OliveGreen}-\,6}\,)\,+\,\cdots ]\\\\\ &amp;=&amp;\ 1\,+&amp;[\,0\,+\,0\,+\,0\,+\,0\,\cdots ]\ \;\\4s\ &amp;=&amp;\ 1\ \,\;\end{smallmatrix}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl></dd></dl><p>因此，<i>s</i> = <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>，如右圖所示。
</p>

<p>儘管1 − 2 + 3 − 4 + …沒有通常意義的和，等式<span><i>s</i> = 1 − 2 + 3 − 4 + … =</span> <sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>卻可被賦予另外一種意義。發散級數之「和」的一種普遍定義被稱為一種求和法或可和法——通常是對於符合特定條件的一類級數可求和。求和法有許多種（部分將在下文中有所描述），這些方法跟普通求和也許有著一些共同的特性，例如：
</p>
<ol><li><b>線性</b>：設<b>A</b><sup>Σ</sup>為一種級數求和法。如果對於<b>A</b><sup>Σ</sup>可定義其上的那些序列，<b>A</b><sup>Σ</sup>是個線性泛函的話，則簡單地稱<b>A</b><sup>Σ</sup>是線性的。也就是說，對於序列<i>r</i>, <i>s</i>和純量<i>k</i>，有<b>A</b><sup>Σ</sup>(<i>k r</i>+<i>s</i>)=<i>k</i> <b>A</b><sup>Σ</sup>(<i>r</i>)+<b>A</b><sup>Σ</sup>(<i>s</i>)。</li>
<li><b>穩定性</b>：如果<i>a</i>是一個初項為<i>a</i><sub>0</sub>的序列，設<i>a</i><sup>*</sup>為<i>a</i>去掉初項後的序列，即對於一切n有<i>a</i><sup>*</sup><sub>n</sub>=a<sub>n+1</sub>，那麼<b>A</b><sup>Σ</sup>(<i>a</i>)有定義若且唯若<b>A</b><sup>Σ</sup>(<i>a</i><sup>*</sup>)有定義。而且，<b>A</b><sup>Σ</sup>(<i>a</i>)=<i>a</i><sub>0</sub> + <b>A</b><sup>Σ</sup>(<i>a</i><sup>*</sup>)。</li></ol><p>因此，以上的計算實際上證明的是下面的內容：給出任意的線性且穩定的可和法，並能對級數<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>求和，則結果必為<sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>。此外，由於：
</p>
<dl><dd><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s&amp;=&amp;\!&amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\;\;\;&amp;+\quad \quad \ &amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \;\;\;\;\;\\\\\ &amp;=&amp;1\,+&amp;(\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,&amp;+\,1\,-\,2\,+&amp;(\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,\cdots )\qquad \ \;\;\;\;\,\\\\\ &amp;=&amp;0\,+&amp;(\,(\,-\,2\,+\,3\,)\,+\,(\,3\,-\,4\,)&amp;+\quad \quad \ &amp;(\,-\,4\,+\,5\,)\,+\,(\,5\,-\,6\,)\,+\,\cdots )\\\\{\frac {1}{2}}&amp;=&amp;\!&amp;\ \ \ 1\,\quad -\quad 1&amp;+\quad \quad \ &amp;\ \;1\quad -\quad 1\quad \cdots \end{smallmatrix}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mstyle scriptlevel="1">
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                  <mn>2</mn>
                  <mi>s</mi>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>=</mo>
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                  <mn>1</mn>
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                  <mo>−<!-- − --></mo>
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                  <mn>2</mn>
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                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>3</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
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                  <mn>4</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
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                  <mo>+</mo>
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                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
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                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd></mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <mtext> </mtext>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>=</mo>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>1</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>2</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>3</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
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                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
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                <mtd>
                  <mo>+</mo>
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                  <mn>1</mn>
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                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
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              </mtr>
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                <mtd>
                  <mtext> </mtext>
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                <mtd>
                  <mo>=</mo>
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                  <mtext> </mtext>
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                <mtd>
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                  <mo>−<!-- − --></mo>
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                  <mn>4</mn>
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                  <mn>5</mn>
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                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mn>6</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd></mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
                      <mn>1</mn>
                      <mn>2</mn>
                    </mfrac>
                  </mrow>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>=</mo>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mspace width="negativethinmathspace"></mspace>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mtext> </mtext>
                  <mtext> </mtext>
                  <mtext> </mtext>
                  <mn>1</mn>
                  <mspace width="thinmathspace"></mspace>
                  <mspace width="1em"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="1em"></mspace>
                  <mn>1</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo>+</mo>
                  <mspace width="1em"></mspace>
                  <mspace width="1em"></mspace>
                  <mtext> </mtext>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mtext> </mtext>
                  <mspace width="thickmathspace"></mspace>
                  <mn>1</mn>
                  <mspace width="1em"></mspace>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mspace width="1em"></mspace>
                  <mn>1</mn>
                  <mspace width="1em"></mspace>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                </mtd>
              </mtr>
            </mtable>
          </mstyle>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s&amp;=&amp;\!&amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\;\;\;&amp;+\quad \quad \ &amp;(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \;\;\;\;\;\\\\\ &amp;=&amp;1\,+&amp;(\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,&amp;+\,1\,-\,2\,+&amp;(\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,\cdots )\qquad \ \;\;\;\;\,\\\\\ &amp;=&amp;0\,+&amp;(\,(\,-\,2\,+\,3\,)\,+\,(\,3\,-\,4\,)&amp;+\quad \quad \ &amp;(\,-\,4\,+\,5\,)\,+\,(\,5\,-\,6\,)\,+\,\cdots )\\\\{\frac {1}{2}}&amp;=&amp;\!&amp;\ \ \ 1\,\quad -\quad 1&amp;+\quad \quad \ &amp;\ \;1\quad -\quad 1\quad \cdots \end{smallmatrix}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl></dd></dl><p>故此方法也一定能對格蘭迪級數求和，並得結果為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
            <mtr>
              <mtd>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
                    <mn>1</mn>
                    <mn>2</mn>
                  </mfrac>
                </mrow>
              </mtd>
            </mtr>
          </mtable>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p>
<h3><span id=".E6.9F.AF.E8.A5.BF.E4.B9.98.E7.A7.AF"></span><span id="柯西乘积">柯西乘積</span></h3>
<p>1891年，恩納斯托·切薩羅在他的一篇論文中指出有可能將發散級數嚴謹地納入微積分學，並寫道：
</p>
<blockquote class="templatequote"><p>已可寫出
</p><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1-1+1-1+\cdots )^{2}=1-2+3-4+\cdots }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>4</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1-1+1-1+\cdots )^{2}=1-2+3-4+\cdots }</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>
並斷定兩邊均等於<sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>。</p></blockquote><p>對切薩羅而言，這個等式是他前一年發表的一個定理的應用，該定理可說是在歷史上關於可求和發散級數的第一個定理。關於此求和法的詳細內容請見下文；其中心思想是：<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>是<span>1 − 1 + 1 − 1 + …</span>對<span>1 − 1 + 1 − 1 + …</span>的柯西乘積。
</p>
<p>兩個無窮級數的柯西乘積可被定義，即使在它們都發散的時候。例如，若Σ<i>a</i><sub><i>n</i></sub>= Σ<i>b</i><sub><i>n</i></sub>= Σ(−1)<sup><i>n</i></sup>，柯西乘積的項由有窮對角線求和的方式給出：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&amp;=&amp;\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&amp;=&amp;\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mtable columnalign="right center left" rowspacing="1.4em 0.4em" columnspacing="1em">
            <mtr>
              <mtd>
                <msub>
                  <mi>c</mi>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mi>n</mi>
                  </mrow>
                </msub>
              </mtd>
              <mtd>
                <mo>=</mo>
              </mtd>
              <mtd>
                <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
                  <munderover>
                    <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>k</mi>
                      <mo>=</mo>
                      <mn>0</mn>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>n</mi>
                    </mrow>
                  </munderover>
                  <msub>
                    <mi>a</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>k</mi>
                    </mrow>
                  </msub>
                  <msub>
                    <mi>b</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>n</mi>
                      <mo>−<!-- − --></mo>
                      <mi>k</mi>
                    </mrow>
                  </msub>
                  <mo>=</mo>
                  <munderover>
                    <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>k</mi>
                      <mo>=</mo>
                      <mn>0</mn>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>n</mi>
                    </mrow>
                  </munderover>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mn>1</mn>
                  <msup>
                    <mo stretchy="false">)</mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>k</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mn>1</mn>
                  <msup>
                    <mo stretchy="false">)</mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>n</mi>
                      <mo>−<!-- − --></mo>
                      <mi>k</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mstyle>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mo>=</mo>
              </mtd>
              <mtd>
                <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
                  <munderover>
                    <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>k</mi>
                      <mo>=</mo>
                      <mn>0</mn>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>n</mi>
                    </mrow>
                  </munderover>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mn>1</mn>
                  <msup>
                    <mo stretchy="false">)</mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>n</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo>=</mo>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mn>1</mn>
                  <msup>
                    <mo stretchy="false">)</mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>n</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mi>n</mi>
                  <mo>+</mo>
                  <mn>1</mn>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                </mstyle>
              </mtd>
            </mtr>
          </mtable>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&amp;=&amp;\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&amp;=&amp;\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>積級數為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>4</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>所以，如果有一種求和法可以保持兩個級數的柯西乘積，並能得出<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\tfrac {1}{2}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
            <mfrac>
              <mn>1</mn>
              <mn>2</mn>
            </mfrac>
          </mstyle>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\tfrac {1}{2}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的結果，那麼它也能夠求出<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\tfrac {1}{4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>4</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
            <mfrac>
              <mn>1</mn>
              <mn>4</mn>
            </mfrac>
          </mstyle>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\tfrac {1}{4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。由前一節的結果可知，當方法是線性、穩定並保持柯西乘積的時候，<span>1 − 1 + 1 − 1 + …</span>與<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>的可求和之間是等價的。
</p><p>切薩羅的定理是一個微妙的例子。級數<span>1 − 1 + 1 − 1 + …</span>在最弱的意義上是切薩羅可求和，稱作<span>(C, 1)-可求和</span>，然而<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>則需要切薩羅的定理的一個更強的形式，它是<span>(C, 2)-可求和</span>的。由於切薩羅的定理的所有形式均為線性且穩定的，所得的值正是此前計算所得的。
</p>
<h2><span id=".E7.89.B9.E6.AE.8A.E6.96.B9.E6.B3.95"></span><span id="特殊方法">特殊方法</span></h2>
<h3><span id=".E5.88.87.E8.90.A8.E7.BD.97.E4.B8.8E.E8.B5.AB.E5.B0.94.E5.BE.B7"></span><span id="切萨罗与赫尔德">切薩羅與赫爾德</span></h3>

<p>若1 − 2 + 3 − 4 + …的(C, 1)切薩羅和存在，要找到其數值就需要計算該級數部分和的算術平均值。
部分和為：
</p>
<dl><dd>1, −1, 2, −2, 3, −3, …,</dd></dl><p>這些部分和的算術平均值為：
</p>
<dl><dd>1, 0,<sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>, 0,<sup>3</sup>⁄<sub>5</sub>, 0,<sup>4</sup>⁄<sub>7</sub>, ….</dd></dl><p>此平均值序列不收斂，因此<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>不是切薩羅可求和。
</p><p>切薩羅求和有兩種有名的廣義化：讓這些在概念上更簡單的是(H, <i>n</i>)法的序列，其中<i>n</i>為自然數。(H, 1)和為切薩羅求和，更高的方法則重複平均值的計算。在上文中，偶數項平均值趨近於<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>，奇數項平均值則全部等於0，所以平均值<i>的</i>平均值趨近於 0 與<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub>的平均數，即<sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>。因此，<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>是(H, 2)-可求和，其值為<sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>。
</p><p>符號「H」代表奧圖·赫爾德。1882年，他第一次證明了被現在數學家們所看作的在阿貝耳求和與(H, <i>n</i>)求和之間的關係；<span>-1 + 2 − 3 + 4 − …</span>是他給的第一個例子。<sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>是<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>的(H, 2)和這個事實也保證了它是阿貝耳和；這些都將在下文直接予以證明。
</p><p>另外一個常用的切薩羅求和的廣義化，是(C, <i>n</i>)法的序列。已經證明了(C, <i>n</i>)求和與(H, <i>n</i>)求和均能給出相同的結果，但是它們卻有不同的歷史背景。在1887年，切薩羅已經接近於陳述出(C, <i>n</i>)求和的定義了，但是他只給出了少量的例子。特別的，他在計算<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>為<sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>時所採用的方法可能是(C, <i>n</i>)的另一種描述，但是在當時並沒有對其進行證明。他在1890年正式定義了(C, <i>n</i>)法，以陳述他的定理：一個(C, <i>n</i>)-可求和級數與一個(C, <i>m</i>)-可求和級數的柯西乘積是(C, <i>m</i> + <i>n</i> + 1)-可求和。</p>
<h3><span id=".E9.98.BF.E8.B4.9D.E8.80.B3.E6.B1.82.E5.92.8C"></span><span id="阿贝耳求和">阿貝耳求和</span></h3>

<p>在一份1749年的報告中，萊昂哈德·歐拉承認級數<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>是發散的，但還是決定要對其求和：
</p>
<p>歐拉曾幾次提議將「和」這個詞廣義化。在<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>的情況下，他的設想與現在所知的阿貝耳求和相似：
</p>
<p>至少在當絕對值 |<i>x</i>| &lt; 1 時，有許多方式去驗證歐拉的下列等式正確：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>4</mn>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mrow>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mn>1</mn>
              <mo>+</mo>
              <mi>x</mi>
              <msup>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>2</mn>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>可以對右邊作泰勒展開，或使用正規的多項式長除。從左方開始，可採用上文的一般啟發式，並嘗試乘以兩次(1+<i>x</i>)，或對幾何級數<span>1 − <i>x</i> + <i>x</i><sup>2</sup> − …</span>求平方。歐拉似乎也提出可以對後者級數的每項求導。</p><p>以現代的觀點看，級數 1 − 2<i>x</i> + 3<i>x</i><sup>2</sup> − 4<i>x</i><sup>3</sup> + … 並沒有定義一個在<span><i>x</i> = 1</span>時的函數，因此不能簡單地把值代入到其相應的表達式。不過由於此級數在<span>|<i>x</i>| &lt; 1</span>時定義了一個函數，所以仍可取<i>x</i>趨近於1時的極限，而這就是阿貝耳和的定義：</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <msup>
              <mn>1</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mo>−<!-- − --></mo>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
        </munder>
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mi>n</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>x</mi>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <msup>
              <mn>1</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mo>−<!-- − --></mo>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
        </munder>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mrow>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mn>1</mn>
              <mo>+</mo>
              <mi>x</mi>
              <msup>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>2</mn>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>4</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><h3><span id=".E6.AC.A7.E6.8B.89.E4.B8.8E.E6.B3.A2.E8.8E.B1.E5.B0.94"></span><span id="欧拉与波莱尔">歐拉與波萊爾</span></h3>

<p>歐拉對該級數還使用了另外一種技巧：歐拉轉換，這是他自己的發明。要計算歐拉轉換，首先要有可形成交錯級數的正項序列——在此情況下為<span>1, 2, 3, 4, …</span>。將此序列中的首項標示為 <i>a</i><sub>0</sub>。
</p><p>下一步需要<span>1, 2, 3, 4, …</span>的前向差分序列；這恰好是<span>1, 1, 1, 1, …</span>。將該序列的首項標示為 Δ<i>a</i><sub>0</sub>。歐拉轉換也基於差分的差分，以及更高的迭代，但是在<span>1, 1, 1, 1, …</span>各項之間的前向差分均為0。<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>的歐拉轉換便可定義為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <msub>
          <mi>a</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>4</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
        <msub>
          <mi>a</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>8</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <msup>
          <mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <msub>
          <mi>a</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>4</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>用現代術語來說，<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>是歐拉可求和且其值為<sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>。
</p><p>歐拉可求和也蘊涵了另一種可求和性。將<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>表示為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <msub>
          <mi>a</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>k</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>就有了相關的處處收斂級數：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
              <msup>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mi>k</mi>
                </mrow>
              </msup>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>k</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
              <mo stretchy="false">)</mo>
              <msup>
                <mi>x</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mi>k</mi>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mrow>
              <mi>k</mi>
              <mo>!</mo>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mi>x</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 的波萊爾和為：</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msubsup>
          <mo>∫<!-- ∫ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </msubsup>
        <msup>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mi>x</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mi>a</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
        <mi>d</mi>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <msubsup>
          <mo>∫<!-- ∫ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
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            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </msubsup>
        <msup>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
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          </mrow>
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        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
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          </mfrac>
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          <mfrac>
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      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><h3><span id=".E5.B0.BA.E5.BA.A6.E5.88.86.E7.A6.BB"></span><span id="尺度分离">尺度分離</span></h3>
<p>賽切夫與Woyczyński只通過兩個物理原理便得出了<span>1 − 2 + 3 − 4 + … =<sup>1</sup>⁄<sub>4</sub></span>，這兩個原理分別是：無窮小鬆弛（<i>infinitesimal relaxation</i>）與尺度分離（<i>separation of scales</i>）。為求表達準確，這些原理促使了他們去定義一系列的「<i>φ</i>-求和法」，所有這些方法都可以將級數求和得<sup>1</sup>⁄<sub>4</sub>：
</p>
<ul><li>如果φ(<i>x</i>)是一個函數，其一、二階導數在(0, ∞)上是連續且可積的，有φ(0) = 1 ，並且φ(<i>x</i>)與<i>x</i>φ(<i>x</i>)在+∞時的極限均為0，則：</li></ul><dl><dd><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>δ<!-- δ --></mi>
            <mo stretchy="false">↓<!-- ↓ --></mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>m</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>m</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>m</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mi>φ<!-- φ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>δ<!-- δ --></mi>
        <mi>m</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
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          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl></dd></dl><p>該結果推廣了阿貝耳求和，當取<i>φ</i>(<i>x</i>) = exp(−<i>x</i>)時可得到先前的等式。此一般陳述可通過將關於<i>m</i>的級數中的項配對，並將表達式轉換為黎曼積分的形式予以證明。在後一步中，對<span>1 − 1 + 1 − 1 + …</span>的<span data-orig-title="相应证明" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Summation of Grandi's series#Separation of scales"><span>相應證明</span></span>運用了均值定理，但在這裡需要泰勒公式中更強的拉格朗日形式。
</p>
<h2><span id=".E5.B9.BF.E4.B9.89.E5.8C.96"></span><span id="广义化">廣義化</span></h2>

<p><span>1 − 1 + 1 − 1 + …</span>的三重柯西乘積為<span>1 − 3 + 6 − 10 + …</span>，為三角形數的交錯級數；其阿貝耳與歐拉和為<sup>1</sup>⁄<sub>8</sub>。<span>1 − 1 + 1 − 1 + …</span>的四重柯西乘積為<span>1 − 4 + 10 − 20 + …</span>，為四面體數的交錯級數，其阿貝耳和為<sup>1</sup>⁄<sub>16</sub>。
</p><p>另一個<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>在略微不同的方向的廣義化是一般級數<span>1 − 2<sup><i>n</i></sup> + 3<sup><i>n</i></sup> − 4<sup><i>n</i></sup> + …</span>。對正整數<i>n</i>來說，此級數有下列的阿貝耳和：</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
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          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>3</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <msup>
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                </mrow>
              </msup>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mrow>
              <mi>n</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <msub>
          <mi>B</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>其中<i>B</i><sub><i>n</i></sub>是伯努利數。對大於0的偶數<i>n</i>，則化約為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
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        <msup>
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          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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          </mrow>
        </msup>
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        <msup>
          <mn>3</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
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          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>後一個和成為尼爾斯·亨利克·阿貝爾特別嘲笑的物件，在1826年時他說：
</p>
<dl><dd>「發散級數純粹是魔鬼的工作，膽敢去找到任何證明它們的行為都是羞恥的。如果用到它們，可以從中獲得想要的東西；同時也是它們，製造了如此多的不愉快與如此多的悖論。試問能想到比下面內容更令人驚恐的東西嗎：
<dl><dd>0 = 1 − 2<sup><i>n</i></sup> + 3<sup><i>n</i></sup> − 4<sup><i>n</i></sup> + etc.</dd></dl></dd></dl><dl><dd>其中，<i>n</i>為正數。這是一個笑料，朋友。」</dd></dl><p>切薩羅的老師歐仁·查理·卡塔蘭也輕視發散級數。在卡塔蘭的影響下，切薩羅早期提出<span>1 − 2<sup><i>n</i></sup> + 3<sup><i>n</i></sup> − 4<sup><i>n</i></sup> + …</span>的「習用式」是「荒謬的等式」；而在1883年，切薩羅表明了當時的一個典型看法：這些公式是錯的，不過在某些場合在形式上是有用的。最後，在他1890年的書《<i>Sur la multiplication des séries</i>》中，切薩羅從定義開始採用了一個現代的做法。</p><p>此級數在<i>n</i>為非整數值的情況亦有所研究；這產生了狄利克雷η函數。歐拉研究<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>相關級數的部分動機是η函數的函數方程式，這直接導向了黎曼ζ函數的函數方程式。歐拉在正偶數（包括在巴塞爾問題中）時找到這些函數值的建樹已讓他聞名，他也試圖找到正奇數（包括在阿培里常數中）時的值，但這個問題直到今天仍是難以解決的。η函數通過歐拉的方法解決會比較簡單，因為它的狄利克雷級數是處處阿貝耳可求和；而ζ函數的狄利克雷級數則非常難以對發散的部分求和。例如，<span>1 − 2 + 3 − 4 + …</span>在η函數中的相似級數是非交錯級數<span>1 + 2 + 3 + 4 + …</span>，該級數在現代物理學上有很深的應用，不過需要非常強的方法才能求和。
</p>
<h2><span id=".E5.8F.82.E8.A7.81"></span><span id="参见">參見</span></h2>
<ul><li>伯努利數</li>
<li>黎曼ζ函數</li>
<li>泰勒級數</li>
<li>泛函方程式</li></ul><h2><span id=".E8.A8.BB.E9.87.8B"></span><span id="註釋">註釋</span></h2>

<h2><span id=".E5.8F.83.E8.80.83.E4.BE.86.E6.BA.90"></span><span id="參考來源">參考來源</span></h2>

<h3><span id=".E4.B9.A6.E7.9B.AE"></span><span id="书目">書目</span></h3>

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在數學中，**1 − 2 + 3 − 4 + …**表示以由小到大的接續正整數，依次加後又減、減後又加，如此反覆所構成的無窮級數。它是交錯級數，若以 Σ 符號表示前 _m_ 項之和，可寫作：

　
: $\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}$

此無窮級數發散，即其部分和的序列（1, −1, 2, −2, …）不會趨近於任一有窮極限。也就是說，單從極限的角度看的話，1 − 2 + 3 − 4 + …不存在和。不過，在 18 世紀中期，萊昂哈德・歐拉寫出了一個他承認為悖論的等式：

　
: $1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}$

該等式的嚴謹解釋在很久以後才出現。自 1890 年起，恩納斯托・切薩羅、埃米爾・鮑萊耳與其他一些數學家就在研究有哪些定義良好的方法，可以給發散級數賦予廣義和 —— 其中包含了對歐拉結果的新解釋。這些求和法大部分可簡單地指定 1 − 2 + 3 − 4 + …的「和」為 1⁄4。切薩羅求和是少數幾種不能計算出 1 − 2 + 3 − 4 + …之和的方法，因為此級數求和需要某個略強的方法 —— 譬如阿貝耳求和。

級數 1 − 2 + 3 − 4 + …與格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + …有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作 1 − 2n + 3n − 4n + …的特例（其中 n 為任意自然數），這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了我們現在所知的狄利克雷 η 函數和黎曼 ζ 函數。

## 發散性

級數項（1, −2, 3, −4, …）不趨近於 0，因此通過項測試便可確定 1 − 2 + 3 − 4 + …發散。不過作為後文的參考，此處也以基礎的方法去證明此級數發散。首先，從定義可知，無窮級數的斂散性是由其部分和的斂散性所確定的，1 − 2 + 3 − 4 + …的部分和為：

　
: 1 = **1**,

　
: 1 − 2 = **−1**,

　
: 1 − 2 + 3 = **2**,

　
: 1 − 2 + 3 − 4 = **−2**,

　
: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = **3**,

　
: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = **−3**,

　
: …

此部分和序列的一個顯著特點是每個整數都恰好出現一次 —— 如果將空部分和計入還包括 0—— 因此它還說明了整數集 $\mathbb {Z} $ 是可數的。很明顯的，不可能讓變化的結果收斂到一個確定的數，因此 1 − 2 + 3 − 4 + …發散。

## 求和的啟發

### 穩定性與線性

由於各項 1, −2, 3, −4, 5, −6, … 以一種簡單模式排列，級數 1 − 2 + 3 − 4 + …可以透過移項以及逐項求和，再透過解方程式得出一數值。暫時假設 _s_ = 1 − 2 + 3 − 4 + …這樣的寫法有意義 —— 其中的 _s_ 為常數，那麼以下的計算將說明 _s_ = 1⁄4：

　
: : ${\begin{smallmatrix}4s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&({\color {Blue}\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Red}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Purple}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&-\,1\,+&({\color {OliveGreen}\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,6\,+\,\cdots })\quad \,\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,(\,{\color {Blue}1}\,{\color {Red}-\,2}\,{\color {Purple}-\,2}\,{\color {OliveGreen}+\,3}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,{-\,\color {Blue}2}\,{\color {Red}+\,3}\,{\color {Purple}+\,3}\,{\color {OliveGreen}-\,4}\,)\;\;\;\,&+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}3}\,{\color {Red}-\,4}\,{\color {Purple}-\,4}\,{\color {OliveGreen}+\,5}\,)\ \quad &+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}-\,4}\,{\color {Red}+\,5}\,{\color {Purple}+\,5}\,{\color {OliveGreen}-\,6}\,)\,+\,\cdots ]\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,0\,+\,0\,+\,0\,+\,0\,\cdots ]\ \;\\4s\ &=&\ 1\ \,\;\end{smallmatrix}}$

因此，_s_ = 1⁄4，如右圖所示。

儘管 1 − 2 + 3 − 4 + … 沒有通常意義的和，等式 _s_ = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1⁄4 卻可被賦予另外一種意義。發散級數之「和」的一種普遍定義被稱為一種求和法或可和法 —— 通常是對於符合特定條件的一類級數可求和。求和法有許多種（部分將在下文中有所描述），這些方法跟普通求和也許有著一些共同的特性，例如：

1. **線性**：設 **A**Σ 為一種級數求和法。如果對於 **A**Σ 可定義其上的那些序列，**A**Σ 是個線性泛函的話，則簡單地稱 **A**Σ 是線性的。也就是說，對於序列 _r_, _s_ 和純量 _k_，有 **A**Σ(_k r_+_s_)=_k_ **A**Σ(_r_)+**A**Σ(_s_)。
2. **穩定性**：如果 _a_ 是一個初項為 _a_0 的序列，設 _a_\* 為 _a_ 去掉初項後的序列，即對於一切 n 有 _a_\*n=an+1，那麼 **A**Σ(_a_) 有定義若且唯若 **A**Σ(_a_\*) 有定義。而且，**A**Σ(_a_)=_a_0 + **A**Σ(_a_\*)。

因此，以上的計算實際上證明的是下面的內容：給出任意的線性且穩定的可和法，並能對級數 1 − 2 + 3 − 4 + …求和，則結果必為 1⁄4。此外，由於：

　
: : ${\begin{smallmatrix}2s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\;\;\;&+\quad \quad \ &(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \;\;\;\;\;\\\\\ &=&1\,+&(\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,&+\,1\,-\,2\,+&(\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,\cdots )\qquad \ \;\;\;\;\,\\\\\ &=&0\,+&(\,(\,-\,2\,+\,3\,)\,+\,(\,3\,-\,4\,)&+\quad \quad \ &(\,-\,4\,+\,5\,)\,+\,(\,5\,-\,6\,)\,+\,\cdots )\\\\{\frac {1}{2}}&=&\!&\ \ \ 1\,\quad -\quad 1&+\quad \quad \ &\ \;1\quad -\quad 1\quad \cdots \end{smallmatrix}}$

故此方法也一定能對格蘭迪級數求和，並得結果為 $1-1+1-1+\cdots ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}$

### 柯西乘積

1891 年，恩納斯托・切薩羅在他的一篇論文中指出有可能將發散級數嚴謹地納入微積分學，並寫道：

> 已可寫出
> 
> 　
> : $(1-1+1-1+\cdots )^{2}=1-2+3-4+\cdots $
> 
> 並斷定兩邊均等於 1⁄4。
> 
> 

對切薩羅而言，這個等式是他前一年發表的一個定理的應用，該定理可說是在歷史上關於可求和發散級數的第一個定理。關於此求和法的詳細內容請見下文；其中心思想是：1 − 2 + 3 − 4 + …是 1 − 1 + 1 − 1 + …對 1 − 1 + 1 − 1 + …的柯西乘積。

兩個無窮級數的柯西乘積可被定義，即使在它們都發散的時候。例如，若 Σ_a_n= Σ_b_n= Σ(−1)n，柯西乘積的項由有窮對角線求和的方式給出：

　
: ${\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}$

積級數為：

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots $

所以，如果有一種求和法可以保持兩個級數的柯西乘積，並能得出 $1-1+1-1+\cdots ={\tfrac {1}{2}}$ 的結果，那麼它也能夠求出 $1-2+3-4+\cdots ={\tfrac {1}{4}}$ 。由前一節的結果可知，當方法是線性、穩定並保持柯西乘積的時候，1 − 1 + 1 − 1 + …與 1 − 2 + 3 − 4 + …的可求和之間是等價的。

切薩羅的定理是一個微妙的例子。級數 1 − 1 + 1 − 1 + …在最弱的意義上是切薩羅可求和，稱作 (C, 1)- 可求和，然而 1 − 2 + 3 − 4 + …則需要切薩羅的定理的一個更強的形式，它是 (C, 2)- 可求和的。由於切薩羅的定理的所有形式均為線性且穩定的，所得的值正是此前計算所得的。

## 特殊方法

### 切薩羅與赫爾德

若 1 − 2 + 3 − 4 + … 的 (C, 1) 切薩羅和存在，要找到其數值就需要計算該級數部分和的算術平均值。
部分和為：

　
: 1, −1, 2, −2, 3, −3, …,

這些部分和的算術平均值為：

　
: 1, 0,2⁄3, 0,3⁄5, 0,4⁄7, ….

此平均值序列不收斂，因此 1 − 2 + 3 − 4 + …不是切薩羅可求和。

切薩羅求和有兩種有名的廣義化：讓這些在概念上更簡單的是 (H, _n_) 法的序列，其中 _n_ 為自然數。(H, 1) 和為切薩羅求和，更高的方法則重複平均值的計算。在上文中，偶數項平均值趨近於 1⁄2，奇數項平均值則全部等於 0，所以平均值_的_平均值趨近於 0 與 1⁄2 的平均數，即 1⁄4。因此，1 − 2 + 3 − 4 + …是 (H, 2)- 可求和，其值為 1⁄4。

符號「H」代表奧圖・赫爾德。1882 年，他第一次證明了被現在數學家們所看作的在阿貝耳求和與 (H, _n_) 求和之間的關係；-1 + 2 − 3 + 4 − …是他給的第一個例子。1⁄4 是 1 − 2 + 3 − 4 + …的 (H, 2) 和這個事實也保證了它是阿貝耳和；這些都將在下文直接予以證明。

另外一個常用的切薩羅求和的廣義化，是 (C, _n_) 法的序列。已經證明了 (C, _n_) 求和與 (H, _n_) 求和均能給出相同的結果，但是它們卻有不同的歷史背景。在 1887 年，切薩羅已經接近於陳述出 (C, _n_) 求和的定義了，但是他只給出了少量的例子。特別的，他在計算 1 − 2 + 3 − 4 + …為 1⁄4 時所採用的方法可能是 (C, _n_) 的另一種描述，但是在當時並沒有對其進行證明。他在 1890 年正式定義了 (C, _n_) 法，以陳述他的定理：一個 (C, _n_)- 可求和級數與一個 (C, _m_)- 可求和級數的柯西乘積是 (C, _m_ + _n_ + 1)- 可求和。

### 阿貝耳求和

在一份 1749 年的報告中，萊昂哈德・歐拉承認級數 1 − 2 + 3 − 4 + …是發散的，但還是決定要對其求和：

歐拉曾幾次提議將「和」這個詞廣義化。在 1 − 2 + 3 − 4 + …的情況下，他的設想與現在所知的阿貝耳求和相似：

至少在當絕對值 |_x_| < 1 時，有許多方式去驗證歐拉的下列等式正確：

　
: $1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}$

可以對右邊作泰勒展開，或使用正規的多項式長除。從左方開始，可採用上文的一般啟發式，並嘗試乘以兩次 (1+_x_)，或對幾何級數 1 − _x_ + _x_2 − …求平方。歐拉似乎也提出可以對後者級數的每項求導。

以現代的觀點看，級數 1 − 2_x_ + 3_x_2 − 4_x_3 + … 並沒有定義一個在 _x_ = 1 時的函數，因此不能簡單地把值代入到其相應的表達式。不過由於此級數在 |_x_| < 1 時定義了一個函數，所以仍可取 _x_ 趨近於 1 時的極限，而這就是阿貝耳和的定義：

　
: $\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}$

### 歐拉與波萊爾

歐拉對該級數還使用了另外一種技巧：歐拉轉換，這是他自己的發明。要計算歐拉轉換，首先要有可形成交錯級數的正項序列 —— 在此情況下為 1, 2, 3, 4, …。將此序列中的首項標示為 _a_0。

下一步需要 1, 2, 3, 4, …的前向差分序列；這恰好是 1, 1, 1, 1, …。將該序列的首項標示為 Δ_a_0。歐拉轉換也基於差分的差分，以及更高的迭代，但是在 1, 1, 1, 1, …各項之間的前向差分均為 0。1 − 2 + 3 − 4 + …的歐拉轉換便可定義為：

　
: ${\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}$

用現代術語來說，1 − 2 + 3 − 4 + …是歐拉可求和且其值為 1⁄4。

歐拉可求和也蘊涵了另一種可求和性。將 1 − 2 + 3 − 4 + …表示為：

　
: $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)$

就有了相關的處處收斂級數：

　
: $a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)$

因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 的波萊爾和為：

　
: $\int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}$

### 尺度分離

賽切夫與 Woyczyński 只通過兩個物理原理便得出了 1 − 2 + 3 − 4 + … =1⁄4，這兩個原理分別是：無窮小鬆弛（_infinitesimal relaxation_）與尺度分離（_separation of scales_）。為求表達準確，這些原理促使了他們去定義一系列的「_φ_- 求和法」，所有這些方法都可以將級數求和得 1⁄4：

* 如果 φ(_x_) 是一個函數，其一、二階導數在 (0, ∞) 上是連續且可積的，有 φ(0) = 1 ，並且 φ(_x_) 與 _x_φ(_x_) 在 +∞時的極限均為 0，則：

　
: : $\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}$

該結果推廣了阿貝耳求和，當取 _φ_(_x_) = exp(−_x_) 時可得到先前的等式。此一般陳述可通過將關於 _m_ 的級數中的項配對，並將表達式轉換為黎曼積分的形式予以證明。在後一步中，對 1 − 1 + 1 − 1 + …的相應證明運用了均值定理，但在這裡需要泰勒公式中更強的拉格朗日形式。

## 廣義化

1 − 1 + 1 − 1 + …的三重柯西乘積為 1 − 3 + 6 − 10 + …，為三角形數的交錯級數；其阿貝耳與歐拉和為 1⁄8。1 − 1 + 1 − 1 + …的四重柯西乘積為 1 − 4 + 10 − 20 + …，為四面體數的交錯級數，其阿貝耳和為 1⁄16。

另一個 1 − 2 + 3 − 4 + …在略微不同的方向的廣義化是一般級數 1 − 2n + 3n − 4n + …。對正整數 _n_ 來說，此級數有下列的阿貝耳和：

　
: $1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}$

其中 _B_n 是伯努利數。對大於 0 的偶數 _n_，則化約為：

　
: $1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0$

後一個和成為尼爾斯・亨利克・阿貝爾特別嘲笑的物件，在 1826 年時他說：

　
: 「發散級數純粹是魔鬼的工作，膽敢去找到任何證明它們的行為都是羞恥的。如果用到它們，可以從中獲得想要的東西；同時也是它們，製造了如此多的不愉快與如此多的悖論。試問能想到比下面內容更令人驚恐的東西嗎：

　
: 0 = 1 − 2n + 3n − 4n + etc.

　
: 其中，_n_ 為正數。這是一個笑料，朋友。」

切薩羅的老師歐仁・查理・卡塔蘭也輕視發散級數。在卡塔蘭的影響下，切薩羅早期提出 1 − 2n + 3n − 4n + …的「習用式」是「荒謬的等式」；而在 1883 年，切薩羅表明了當時的一個典型看法：這些公式是錯的，不過在某些場合在形式上是有用的。最後，在他 1890 年的書《_Sur la multiplication des séries_》中，切薩羅從定義開始採用了一個現代的做法。

此級數在 _n_ 為非整數值的情況亦有所研究；這產生了狄利克雷 η 函數。歐拉研究 1 − 2 + 3 − 4 + …相關級數的部分動機是 η 函數的函數方程式，這直接導向了黎曼 ζ 函數的函數方程式。歐拉在正偶數（包括在巴塞爾問題中）時找到這些函數值的建樹已讓他聞名，他也試圖找到正奇數（包括在阿培里常數中）時的值，但這個問題直到今天仍是難以解決的。η 函數通過歐拉的方法解決會比較簡單，因為它的狄利克雷級數是處處阿貝耳可求和；而 ζ 函數的狄利克雷級數則非常難以對發散的部分求和。例如，1 − 2 + 3 − 4 + …在 η 函數中的相似級數是非交錯級數 1 + 2 + 3 + 4 + …，該級數在現代物理學上有很深的應用，不過需要非常強的方法才能求和。

## 參見

* 伯努利數
* 黎曼 ζ 函數
* 泰勒級數
* 泛函方程式

## 註釋

## 參考來源

### 書目
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