<p>在數學中，<b>負一</b>寫作 <span><span><b>−1</b></span></span>，是 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>1</span></span> 的加法反元素，即當 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>−1</span></span> 加上 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>1</span></span> 之後就變為 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>0</span></span>。<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>−1</span></span> 是介於 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>−2</span></span> 與 0 之間的整數，亦是最大的負整數。
</p><p>負一與歐拉恆等式相關聯，此恆等式表示為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msup>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mi>e</mi>
            </mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>i</mi>
              </mrow>
              <mspace width="thinmathspace"></mspace>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>π<!-- π --></mi>
              </mrow>
            </mrow>
          </msup>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>在軟體開發中，用來表示變數包含無用的資訊，亦能作為函式錯誤時的傳回值。
</p><p>在程式語言中，取決於第一個元素是用 0 還是 1 表示，<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>−1</span></span> 可以用來索引陣列的最後一個元素，或者倒數第二個元素。
</p><p><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>−1</span></span> 和 <link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>1</span></span> 有許多相似但略有不同的特性。
</p>


<h2><span id=".E4.BB.A3.E6.95.B8.E6.80.A7.E8.B3.AA"></span><span id="代數性質">代數性質</span></h2>
<p>將一數字乘上-1的動作，等價於將此數值變號。藉由分配律，以及1是乘法運算的單位元素之公理，對於實數x，我們得到
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>這裡我們使用了"任意實數x乘上0等於0"，將x從等式中約掉。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>0</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>0</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>0</mn>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl>
<p>也就是，
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+(-1)\cdot x=0\,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+(-1)\cdot x=0\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>故(−1) · <i>x</i>是 <i>x</i>的相反數。
</p>
<h3><span id=".E8.B2.A0.E4.B8.80.E5.B9.B3.E6.96.B9"></span><span id="負一平方">負一平方</span></h3>
<p>−1的平方亦即−1乘於−1，等於1。意即，兩負實數相乘為一正實數。
</p><p>代數證明此結果
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mn>0</mn>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mo stretchy="false">[</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo stretchy="false">]</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>第一個等式取自上一段落的結果。第二個等式是根據「−1是1的加法反元素」。
再使用分配律，我們得到
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mo stretchy="false">[</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo stretchy="false">]</mo>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>第三個等式依據是：1是乘法運算的單位元素。然後在等式前後加上1
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>以上運算適用於任意環。
</p>
<h3><span id=".E8.B2.A0.E4.B8.80.E7.9A.84.E5.B9.B3.E6.96.B9.E6.A0.B9"></span><span id="負一的平方根">負一的平方根</span></h3>
<p>複數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>滿足<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msup>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mi>i</mi>
            </mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mn>2</mn>
            </mrow>
          </msup>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，也可視為-1的平方根。另一個能滿足<i>x</i><sup>2</sup> = −1的複數<i>x</i>是−<i>i</i>。四元數的代數包含複數平面，等式<i>x</i><sup>2</sup> = −1擁有無限多組解。
</p>
<h3><span id=".E8.B2.A0.E4.B8.80.E7.9A.84.E4.B9.98.E5.86.AA"></span><span id="負一的乘冪">負一的乘冪</span></h3>
<p>我們定義<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mi>x</mi>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，即代數x的−1次方，或代數x的倒數。可將此定義結合指數定律<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R} }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>a</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>b</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>a</mi>
            <mo>+</mo>
            <mi>b</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mtext> </mtext>
        <mi>a</mi>
        <mo>,</mo>
        <mi>b</mi>
        <mo>∈<!-- ∈ --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mi mathvariant="double-struck">R</mi>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R} }</annotation>
  </semantics></math></span></span> 。
負數整數形式的指數可以拓展到環的反元素，定義<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{-1}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{-1}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>作為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的乘法反元素。
</p><p>函式或矩陣右上的-1不是指數，而是反函式與反矩陣。例如：<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f^{-1}(x)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>f</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f^{-1}(x)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的反函式，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin ^{-1}(x)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>sin</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin ^{-1}(x)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是反正弦函式。
</p>
<h3><span id=".E8.B4.9F.E4.B8.80.E7.9A.84.E5.AF.B9.E6.95.B0"></span><span id="负一的对数">負一的對數</span></h3>
<p>包括-1在內的所有負數在實數體中是沒有對數的，但在複數域，根據歐拉恆等式<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msup>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，可以得出-1的自然對數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln {(-1)}=i\pi }">
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln {(-1)}=i\pi }</annotation>
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</p>
<h2><span id=".E7.B6.AD.E6.95.B8"></span><span id="維數">維數</span></h2>

<p>空集的歸納維數被定義為-1。在<span data-orig-title="抽象多胞形" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Abstract_polytope"><span>抽象幾何學</span></span>中，空多胞形的維數亦被定義為-1。
</p>
<h2><span id=".E8.A8.88.E7.AE.97.E6.A9.9F.E7.9A.84.E8.A1.A8.E7.A4.BA.E6.B3.95"></span><span id="計算機的表示法">計算機的表示法</span></h2>
<p>大多數計算機系統使用二補數來表示負號整數。此系統中，所有位元皆為一以表示-1，若以8-bit有號整數系統表示，即為"11111111"，或十六進位制的"FF"。若將-1解讀為無號整數，<i>n</i>個一將表示為2<sup><i>n</i></sup> − 1，且較有號整數系統能容納更大數值。例如，8-bit的"11111111"表示為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{{2}^{8}}-{1}}=255}">
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        <mn>255</mn>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{{2}^{8}}-{1}}=255}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>在 <i>Setun</i>計算機中 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>以倒轉的阿拉伯數字一「<span>1</span>」表示。
</p>
<h2><span id=".E5.8F.83.E8.A6.8B.E6.A2.9D.E7.9B.AE"></span><span id="參見條目">參見條目</span></h2>
<ul><li>1：-1的相反數</li>
<li>數表</li></ul><h2><span id=".E5.8F.83.E8.80.83.E6.96.87.E7.8D.BB"></span><span id="參考文獻">參考文獻</span></h2>
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在數學中，**負一**寫作 **−1**，是 1 的加法反元素，即當 −1 加上 1 之後就變為 0。−1 是介於 −2 與 0 之間的整數，亦是最大的負整數。

負一與歐拉恆等式相關聯，此恆等式表示為 ${{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1$ 。

在軟體開發中，用來表示變數包含無用的資訊，亦能作為函式錯誤時的傳回值。

在程式語言中，取決於第一個元素是用 0 還是 1 表示，−1 可以用來索引陣列的最後一個元素，或者倒數第二個元素。

−1 和 1 有許多相似但略有不同的特性。

## 代數性質

將一數字乘上 - 1 的動作，等價於將此數值變號。藉由分配律，以及 1 是乘法運算的單位元素之公理，對於實數 x，我們得到

　
: $x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

這裡我們使用了 "任意實數 x 乘上 0 等於 0"，將 x 從等式中約掉。

　
: $0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,$

也就是，

　
: $x+(-1)\cdot x=0\,$

故 (−1) ・_x_ 是 _x_ 的相反數。

### 負一平方

−1 的平方亦即−1 乘於−1，等於 1。意即，兩負實數相乘為一正實數。

代數證明此結果

　
: $0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

第一個等式取自上一段落的結果。第二個等式是根據「−1 是 1 的加法反元素」。
再使用分配律，我們得到

　
: $0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

第三個等式依據是：1 是乘法運算的單位元素。然後在等式前後加上 1

　
: $(-1)\cdot (-1)=1$

以上運算適用於任意環。

### 負一的平方根

複數 $i$ 滿足 ${{i}^{2}}=-1$ ，也可視為 - 1 的平方根。另一個能滿足 _x_2 = −1 的複數 _x_ 是−_i_。四元數的代數包含複數平面，等式 _x_2 = −1 擁有無限多組解。

### 負一的乘冪

我們定義 $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ ，即代數 x 的−1 次方，或代數 x 的倒數。可將此定義結合指數定律 $x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R} $ 。
負數整數形式的指數可以拓展到環的反元素，定義 $x^{-1}$ 作為 $x$ 的乘法反元素。

函式或矩陣右上的 - 1 不是指數，而是反函式與反矩陣。例如： $f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的反函式， $\sin ^{-1}(x)$ 是反正弦函式。

### 負一的對數

包括 - 1 在內的所有負數在實數體中是沒有對數的，但在複數域，根據歐拉恆等式 ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ ，可以得出 - 1 的自然對數 $\ln {(-1)}=i\pi $ 。

## 維數

空集的歸納維數被定義為 - 1。在抽象幾何學中，空多胞形的維數亦被定義為 - 1。

## 計算機的表示法

大多數計算機系統使用二補數來表示負號整數。此系統中，所有位元皆為一以表示 - 1，若以 8-bit 有號整數系統表示，即為 "11111111"，或十六進位制的 "FF"。若將 - 1 解讀為無號整數，_n_ 個一將表示為 2n− 1，且較有號整數系統能容納更大數值。例如，8-bit 的 "11111111" 表示為 ${{{2}^{8}}-{1}}=255$ 。

在 _Setun_ 計算機中 $-1$ 以倒轉的阿拉伯數字一「1」表示。

## 參見條目

* 1：-1 的相反數
* 數表

## 參考文獻
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