<p>數學上，<b>1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...</b>是一無窮級數，在數學史上是其中一個較早給算出總和的例子，由阿基米德於公元前250-200年發現，其總和為1/3。一般來說，對於任何一個 a，若等比數列的第一項是 a，而公比為1/4，其收斂總和如下：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a+{\frac {a}{4}}+{\frac {a}{4^{2}}}+{\frac {a}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}a.}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>a</mi>
            <mn>4</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>a</mi>
            <msup>
              <mn>4</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>2</mn>
              </mrow>
            </msup>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>a</mi>
            <msup>
              <mn>4</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>3</mn>
              </mrow>
            </msup>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>4</mn>
            <mn>3</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mi>a</mi>
        <mo>.</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a+{\frac {a}{4}}+{\frac {a}{4^{2}}}+{\frac {a}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}a.}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl>

<h2><span id=".E5.9C.96.E5.83.8F.E7.A4.BA.E7.AF.84"></span><span id="圖像示範">圖像示範</span></h2>

<p>通常以正方形和三角形來展示「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...」這一無窮級數；將一個正方形或一個三角形分成四等分，每一分的面積為原先的四分一，並不斷重複（如圖左）。
</p><p>假設圖左的正方形面積為1，則最大的黑色正方形面積為（1/2）x（1/2）= 1/4。同樣地，第二大黑色正方形的面積為1/16，第三大黑色正方形面積為1/64。如此類推，黑色正方形占的所有面積為1/4 + 1/16 + 1/64 + ...，這也是所有灰色正方形或所有白色正方形所占的面積。由於這三種顏色的正方涵蓋正個原先的正方形，數學上寫成：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>3</mn>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mn>1</mn>
                <mn>4</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mn>1</mn>
                <msup>
                  <mn>4</mn>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mn>2</mn>
                  </mrow>
                </msup>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mn>1</mn>
                <msup>
                  <mn>4</mn>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mn>3</mn>
                  </mrow>
                </msup>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mn>1</mn>
                <msup>
                  <mn>4</mn>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mn>4</mn>
                  </mrow>
                </msup>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>1.</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl>
<p>同樣的幾何方法也適用於三角形，如圖右。如果大三角形的面積為1，則最大的黑色三角形的面積為 1/4，依此類推。另外，整個圖案與其中的上部分次小三角形中的圖案，具有自相似的性質。若圖案不斷重複，將形成一個謝爾賓斯基三角形。
</p>
<h2><span id=".E9.98.BF.E5.9F.BA.E7.B1.B3.E5.BE.B7"></span><span id="阿基米德">阿基米德</span></h2>

<p>阿基米德在其《拋物線的求積》中，以窮竭法求拋物線內的面積，在過程中牽涉到一系列的三角形。左圖有一拋物線，其中<b>AE</b>為割線，被分成相等線段，阿基米德證明三角形<b>CDE</b>和三角形<b>ABC</b>的和是三角形<b>ACE</b>面積的 1/4。然後，他分別在三角形<b>CDE</b>和三角形<b>ABC</b>上相似地各畫上兩個三角，這四個三角的面積總和為三角形<b>CDE</b>和三角形<b>ABC</b>的 1/4。如此類推，他證明拋物線與割線之間的面積是三角形<b>ACE</b>的4/3。
</p><p>命題23：設一系列的面積 A , B , C , D , … , Z , 其中 A 最大，而每個面積為下一個面積的4倍，則：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>A</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>B</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>C</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>D</mi>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>+</mo>
        <mi>Z</mi>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>3</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mi>Z</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>4</mn>
            <mn>3</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mi>A</mi>
        <mo>.</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>為證明以上命題，阿基米德先計算：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&amp;=&amp;\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&amp;=&amp;\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mtable columnalign="right center left" rowspacing="1.4em 0.4em" columnspacing="1em">
            <mtr>
              <mtd>
                <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
                  <mi>B</mi>
                  <mo>+</mo>
                  <mi>C</mi>
                  <mo>+</mo>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo>+</mo>
                  <mi>Z</mi>
                  <mo>+</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
                      <mi>B</mi>
                      <mn>3</mn>
                    </mfrac>
                  </mrow>
                  <mo>+</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
                      <mi>C</mi>
                      <mn>3</mn>
                    </mfrac>
                  </mrow>
                  <mo>+</mo>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo>+</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
                      <mi>Z</mi>
                      <mn>3</mn>
                    </mfrac>
                  </mrow>
                </mstyle>
              </mtd>
              <mtd>
                <mo>=</mo>
              </mtd>
              <mtd>
                <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
                      <mrow>
                        <mn>4</mn>
                        <mi>B</mi>
                      </mrow>
                      <mn>3</mn>
                    </mfrac>
                  </mrow>
                  <mo>+</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
                      <mrow>
                        <mn>4</mn>
                        <mi>C</mi>
                      </mrow>
                      <mn>3</mn>
                    </mfrac>
                  </mrow>
                  <mo>+</mo>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo>+</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
                      <mrow>
                        <mn>4</mn>
                        <mi>Z</mi>
                      </mrow>
                      <mn>3</mn>
                    </mfrac>
                  </mrow>
                </mstyle>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mo>=</mo>
              </mtd>
              <mtd>
                <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
                      <mn>1</mn>
                      <mn>3</mn>
                    </mfrac>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mi>A</mi>
                  <mo>+</mo>
                  <mi>B</mi>
                  <mo>+</mo>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo>+</mo>
                  <mi>Y</mi>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                  <mo>.</mo>
                </mstyle>
              </mtd>
            </mtr>
          </mtable>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&amp;=&amp;\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&amp;=&amp;\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>別一方面：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>B</mi>
            <mn>3</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>C</mi>
            <mn>3</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>Y</mi>
            <mn>3</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>3</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>B</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>C</mi>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>+</mo>
        <mi>Y</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>.</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>將這方程式式減去之前的方程式式：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>B</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>C</mi>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>+</mo>
        <mi>Z</mi>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>Z</mi>
            <mn>3</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>3</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mi>A</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>再在方程式式兩面各加上<b>A</b>，以得到最終結果</p><p>現今，1 + 1/4 + 1/16 + ... 的標準寫法如下：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.}">
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  </semantics></math></span></span></dd></dl><h2><span id=".E5.8F.83.E8.80.83"></span><span id="參考">參考</span></h2>
<h2><span id=".E5.8F.83.E8.80.83.E6.9B.B8.E7.9B.AE"></span><span id="參考書目">參考書目</span></h2>

<p><br></p>
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數學上，**1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...** 是一無窮級數，在數學史上是其中一個較早給算出總和的例子，由阿基米德於公元前 250-200 年發現，其總和為 1/3。一般來說，對於任何一個 a，若等比數列的第一項是 a，而公比為 1/4，其收斂總和如下：

　
: $a+{\frac {a}{4}}+{\frac {a}{4^{2}}}+{\frac {a}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}a.$

## 圖像示範

通常以正方形和三角形來展示「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...」這一無窮級數；將一個正方形或一個三角形分成四等分，每一分的面積為原先的四分一，並不斷重複（如圖左）。

假設圖左的正方形面積為 1，則最大的黑色正方形面積為（1/2）x（1/2）= 1/4。同樣地，第二大黑色正方形的面積為 1/16，第三大黑色正方形面積為 1/64。如此類推，黑色正方形占的所有面積為 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...，這也是所有灰色正方形或所有白色正方形所占的面積。由於這三種顏色的正方涵蓋正個原先的正方形，數學上寫成：

　
: $3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.$

同樣的幾何方法也適用於三角形，如圖右。如果大三角形的面積為 1，則最大的黑色三角形的面積為 1/4，依此類推。另外，整個圖案與其中的上部分次小三角形中的圖案，具有自相似的性質。若圖案不斷重複，將形成一個謝爾賓斯基三角形。

## 阿基米德

阿基米德在其《拋物線的求積》中，以窮竭法求拋物線內的面積，在過程中牽涉到一系列的三角形。左圖有一拋物線，其中 **AE** 為割線，被分成相等線段，阿基米德證明三角形 **CDE** 和三角形 **ABC** 的和是三角形 **ACE** 面積的 1/4。然後，他分別在三角形 **CDE** 和三角形 **ABC** 上相似地各畫上兩個三角，這四個三角的面積總和為三角形 **CDE** 和三角形 **ABC** 的 1/4。如此類推，他證明拋物線與割線之間的面積是三角形 **ACE** 的 4/3。

命題 23：設一系列的面積 A , B , C , D , … , Z , 其中 A 最大，而每個面積為下一個面積的 4 倍，則：

　
: $A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.$

為證明以上命題，阿基米德先計算：

　
: ${\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&=&\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&=&\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}$

別一方面：

　
: ${\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).$

將這方程式式減去之前的方程式式：

　
: $B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A$

再在方程式式兩面各加上 **A**，以得到最終結果

現今，1 + 1/4 + 1/16 + ... 的標準寫法如下：

　
: $1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.$

## 參考

## 參考書目
1/4+1/16+1/64+1/256+…