<p>無窮級數中<b>1 + 2 + 3 + 4 + …</b>為所有自然數的和，是一個發散級數，其數學式也寫作 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 
</p><p>此級數前 <i>n</i> 項的部分和即是三角形數：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mi>n</mi>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>n</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>儘管這個級數的和第一眼看起來不會有任何有意義的值，透過<span data-orig-title="黎曼ζ函數正規化" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Zeta function regularization"><span>黎曼ζ函數正規化</span></span>與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\frac {1}{12}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>12</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {1}{12}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，表示為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>4</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>12</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>此結果在複分析、量子力學及弦理論等領域中有所應用。
</p>


<h2><span id=".E9.83.A8.E5.88.86.E5.92.8C.E5.85.AC.E5.BC.8F.E7.9A.84.E8.AF.81.E6.98.8E"></span><span id="部分和公式的证明">部分和公式的證明</span></h2>

<p>自然數從 <i>1</i> 加到 <i>n</i> 的和是 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mi>n</mi>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>n</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 能用許多方法證明。首先令
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.\,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>S</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>4</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>+</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>.</mo>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>我們將這些項重排反著寫：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.\,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>S</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>+</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>+</mo>
        <mn>4</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>1.</mn>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>將兩者相加，對應項相加，我們得到 
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2S_{n}=\underbrace {(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots +[3+(n-2)]+[2+(n-1)]+(1+n)} _{n},}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <msub>
          <mi>S</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <munder>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits">
            <munder>
              <mrow>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">[</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo>+</mo>
                <mn>2</mn>
                <mo stretchy="false">]</mo>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">[</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mn>2</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo>+</mo>
                <mn>3</mn>
                <mo stretchy="false">]</mo>
                <mo>+</mo>
                <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">[</mo>
                <mn>3</mn>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mn>2</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo stretchy="false">]</mo>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">[</mo>
                <mn>2</mn>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo stretchy="false">]</mo>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo>+</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo stretchy="false">)</mo>
              </mrow>
              <mo>⏟<!-- ⏟ --></mo>
            </munder>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </munder>
        <mo>,</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2S_{n}=\underbrace {(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots +[3+(n-2)]+[2+(n-1)]+(1+n)} _{n},}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2S_{n}=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)} _{n},}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <msub>
          <mi>S</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <munder>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-OP MJX-fixedlimits">
            <munder>
              <mrow>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo>+</mo>
                <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mo>+</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>n</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
              </mrow>
              <mo>⏟<!-- ⏟ --></mo>
            </munder>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </munder>
        <mo>,</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2S_{n}=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)} _{n},}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2S_{n}=n\cdot (n+1),}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <msub>
          <mi>S</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>,</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2S_{n}=n\cdot (n+1),}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>S</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mi>n</mi>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>n</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>.</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><h2><span id=".CE.B6.E5.87.BD.E6.95.B0.E7.9A.84.E6.B1.82.E5.92.8C.E4.B8.8E.E8.A7.A3.E6.9E.90.E8.BF.9E.E7.BB.AD.E6.80.A7"></span><span id="ζ函数的求和与解析连续性">ζ函數的求和與解析連續性</span></h2>
<p>當 <i>s</i> 的實部大於 1，<i>s</i> 次方的黎曼ζ函數等於求和 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msup>
            <mi>n</mi>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mi>s</mi>
            </mrow>
          </msup>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。當 <i>s</i> 的實部小於或等於 1 時和式發散，但當 <i>s</i> = −1 時 由 ζ(s) 的解析延拓給出 ζ(−1) 為 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\frac {1}{12}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>12</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {1}{12}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉馬努金另外給其定義，其拉馬努金和為 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\frac {1}{12}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>12</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {1}{12}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p>
<h2><span id=".E7.89.A9.E7.90.86"></span><span id="物理">物理</span></h2>
<p>在玻色弦理論中，我們想算出一個弦的可能的能量級，特別是最低能量級。非正式地說，每一個弦的諧波可以視為一組 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>D</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 無關量子諧振子，這裡 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>D</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 是時空的維數。如果基本振子頻率是 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>ω<!-- ω --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>
  </semantics></math></span></span> 則一個振子對 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 級諧波的貢獻是 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n\hbar \omega }{2}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mi>n</mi>
              <mi class="MJX-variant">ℏ<!-- ℏ --></mi>
              <mi>ω<!-- ω --></mi>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n\hbar \omega }{2}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。所以利用發散級數我們發現在所有諧波上求和是 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\frac {\hbar \omega (D-2)}{24}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
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              <mi>ω<!-- ω --></mi>
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              <mi>D</mi>
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              <mn>2</mn>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
            <mn>24</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {\hbar \omega (D-2)}{24}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。最後這確實是正確的，與<span data-orig-title="Goddard–Thorn theorem" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="no-ghost theorem"><span>Goddard–Thorn theorem</span></span>一起，導致波色弦理論在維數不為 26 時是不一致的。
</p><p>一個類似的計算是計算卡西米爾力。
</p>
<h2><span id=".E5.8E.86.E5.8F.B2"></span><span id="历史">歷史</span></h2>
<p>在拉馬努金寫給戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中（日期為1913年2月27日）：
</p>
<dl><dd>「親愛的先生，我很感激地讀到你1913年2月8日的信。我等待您的答覆，類似於一個倫敦的數學教授寫信要我仔細研究<span data-orig-title="布羅米奇" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Thomas John l'Anson Bromwich"><span>布羅米奇</span></span>的「無窮級數」而不要陷入發散級數的陷阱。……我告訴他，在我的理論中一個無窮數列 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}">
  <semantics>
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        <mo>+</mo>
        <mn>4</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
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          <mfrac>
            <mn>1</mn>
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          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。如果我告訴你這個，你肯定會勸我進精神病收容院。我向你細說此事只是使你相信，如果我暗示我只在一封信中所寫的行數，你不可能找出我證明的方法。」</dd></dl><h2><span id=".E6.B3.A8.E9.87.8A"></span><span id="注释">注釋</span></h2>

<h2><span id=".E5.BC.95.E7.94.A8"></span><span id="引用">引用</span></h2>

<h2><span id=".E5.BB.B6.E4.BC.B8.E9.98.85.E8.AF.BB"></span><span id="延伸阅读">延伸閱讀</span></h2>
<ul><li><cite class="citation journal">Lepowsky, James. Vertex operator algebras and the zeta function. Contemporary Mathematics. 1999, <b>248</b>: 327–340 <span> [<span>2008-12-13</span>]</span>. （原始內容存檔於2018-12-01）.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A1+%2B+2+%2B+3+%2B+4+%2B+%E2%80%A6&amp;rft.atitle=Vertex+operator+algebras+and+the+zeta+function&amp;rft.aufirst=James&amp;rft.aulast=Lepowsky&amp;rft.date=1999&amp;rft.genre=article&amp;rft.jtitle=Contemporary+Mathematics&amp;rft.pages=327-340&amp;rft.volume=248&amp;rft_id=http%3A%2F%2Farxiv.org%2Fabs%2Fmath%2F9909178&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></li>
<li><cite class="citation book">Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. 2003. ISBN 0-691-01019-6.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A1+%2B+2+%2B+3+%2B+4+%2B+%E2%80%A6&amp;rft.aufirst=A.&amp;rft.aulast=Zee&amp;rft.btitle=Quantum+field+theory+in+a+nutshell&amp;rft.date=2003&amp;rft.genre=book&amp;rft.pub=Princeton+UP&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook"><span> </span></span> See pp. 65–6 on the Casimir effect.</li>
<li><cite class="citation book">Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-83143-1.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A1+%2B+2+%2B+3+%2B+4+%2B+%E2%80%A6&amp;rft.aufirst=Barton&amp;rft.aulast=Zwiebach&amp;rft.btitle=A+First+Course+in+String+Theory&amp;rft.date=2004&amp;rft.genre=book&amp;rft.pub=Cambridge+UP&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook"><span> </span></span> See p. 293.</li></ul><h2><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E9.93.BE.E6.8E.A5"></span><span id="外部链接">外部連結</span></h2>
<ul><li>數學物理每周發現（124周）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），（126周）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），（147周）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）</li>
<li>歐拉對 1 + 2 + 3 + · · · = −<sup>1</sup>⁄<sub>12</sub> 的證明</li>
<li>所有自然數的和等於負十二分之一視頻（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）</li></ul><!-- 
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無窮級數中 **1 + 2 + 3 + 4 + …**為所有自然數的和，是一個發散級數，其數學式也寫作 $\sum _{n=1}^{\infty }n$

此級數前 _n_ 項的部分和即是三角形數：

　
: $\sum _{n=1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}$

儘管這個級數的和第一眼看起來不會有任何有意義的值，透過黎曼 ζ 函數正規化與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 $-{\frac {1}{12}}$ ，表示為：

　
: $1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}$

此結果在複分析、量子力學及弦理論等領域中有所應用。

## 部分和公式的證明

自然數從 _1_ 加到 _n_ 的和是 ${\frac {n(n+1)}{2}}$ 能用許多方法證明。首先令

　
: $S_{n}=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.\,$

我們將這些項重排反著寫：

　
: $S_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.\,$

將兩者相加，對應項相加，我們得到

　
: $2S_{n}=\underbrace {(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+\cdots +[3+(n-2)]+[2+(n-1)]+(1+n)} _{n},$

　
: $2S_{n}=\underbrace {(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)} _{n},$

　
: $2S_{n}=n\cdot (n+1),$

　
: $S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.$

## ζ 函數的求和與解析連續性

當 _s_ 的實部大於 1，_s_ 次方的黎曼 ζ 函數等於求和 $\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}$ 。當 _s_ 的實部小於或等於 1 時和式發散，但當 _s_ = −1 時 由 ζ(s) 的解析延拓給出 ζ(−1) 為 $-{\frac {1}{12}}$ 。

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在，但拉馬努金另外給其定義，其拉馬努金和為 $-{\frac {1}{12}}$ 。

## 物理

在玻色弦理論中，我們想算出一個弦的可能的能量級，特別是最低能量級。非正式地說，每一個弦的諧波可以視為一組 $D$ 無關量子諧振子，這裡 $D$ 是時空的維數。如果基本振子頻率是 $\omega $ 則一個振子對 $n$ 級諧波的貢獻是 ${\frac {n\hbar \omega }{2}}$ 。所以利用發散級數我們發現在所有諧波上求和是 $-{\frac {\hbar \omega (D-2)}{24}}$ 。最後這確實是正確的，與 Goddard–Thorn theorem 一起，導致波色弦理論在維數不為 26 時是不一致的。

一個類似的計算是計算卡西米爾力。

## 歷史

在拉馬努金寫給戈弗雷・哈羅德・哈代的第二封信中（日期為 1913 年 2 月 27 日）：

　
: 「親愛的先生，我很感激地讀到你 1913 年 2 月 8 日的信。我等待您的答覆，類似於一個倫敦的數學教授寫信要我仔細研究布羅米奇的「無窮級數」而不要陷入發散級數的陷阱。…… 我告訴他，在我的理論中一個無窮數列 $1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}$ 。如果我告訴你這個，你肯定會勸我進精神病收容院。我向你細說此事只是使你相信，如果我暗示我只在一封信中所寫的行數，你不可能找出我證明的方法。」

## 注釋

## 引用

## 延伸閱讀

* Lepowsky, James. Vertex operator algebras and the zeta function. Contemporary Mathematics. 1999, **248**: 327–340 [2008-12-13]. （原始內容存檔於 2018-12-01）.
* Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. 2003. ISBN 0-691-01019-6.  See pp. 65–6 on the Casimir effect.
* Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-83143-1.  See p. 293.

## 外部連結

* 數學物理每周發現（124 周）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），（126 周）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），（147 周）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 歐拉對 1 + 2 + 3 +・・・= −1⁄12 的證明
* 所有自然數的和等於負十二分之一視頻（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
1+2+3+4+……