<p>在數學中，被除數的除數（分母）是零或將某數<b>除以零</b>，可表達為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{0}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>a</mi>
            <mn>0</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{0}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是被除數。在算式中沒有意義，因為沒有數目，以零相乘（假設<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
        <mo>≠<!-- ≠ --></mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>），由於任何數字乘以零均等於零，因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中，此式為無意義。在程序設計中，當遇上正整數除以零程序會中止，正如浮點數會出現無限大或NaN值的情況，而在Microsoft Excel及Openoffice或Libreoffice的Calc中，除以零會直接顯示#DIV/0!
。
</p>


<h2><span id=".E5.9F.BA.E6.9C.AC.E7.AE.97.E8.A1.93"></span><span id="基本算術">基本算術</span></h2>
<p>基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>10</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10}</annotation>
  </semantics></math></span></span>個蘋果平分給<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>5</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5}</annotation>
  </semantics></math></span></span>人，每人可得<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {10}{5}}=2}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>10</mn>
            <mn>5</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {10}{5}}=2}</annotation>
  </semantics></math></span></span>個蘋果。同理，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>10</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10}</annotation>
  </semantics></math></span></span>個蘋果只分給<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>人，則其可獨得<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {10}{1}}=10}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>10</mn>
            <mn>1</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>10</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {10}{1}}=10}</annotation>
  </semantics></math></span></span>個蘋果。
</p><p>若除以<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>又如何？若有<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>10</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10}</annotation>
  </semantics></math></span></span>顆蘋果，無人（<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {10}{0}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>10</mn>
            <mn>0</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {10}{0}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，在基本算術中，是無意義或未下定義的。
</p><p>另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 13}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>13</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 13}</annotation>
  </semantics></math></span></span>除以<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>5</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5}</annotation>
  </semantics></math></span></span>」，換一種說法，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 13}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>13</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 13}</annotation>
  </semantics></math></span></span>減去兩個<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 5}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>5</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 5}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，餘下<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>3</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {13}{5}}=2}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>13</mn>
            <mn>5</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {13}{5}}=2}</annotation>
  </semantics></math></span></span>餘數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>3</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為無窮大乘以零仍是零。
</p>
<h3><span id=".E6.97.A9.E6.9C.9F.E5.98.97.E8.A9.A6"></span><span id="早期嘗試">早期嘗試</span></h3>
<p>婆羅摩笈多（598–668年）的著作《<span data-orig-title="婆羅摩曆算書" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Brahmasphutasiddhanta"><span>婆羅摩曆算書</span></span>》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多所說，
</p>
<p>830年，另一位數學家<span data-orig-title="摩訶吠羅 (數學家)" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Mahāvīra (mathematician)"><span>摩訶吠羅</span></span>在其著作《<i>Ganita Sara Samgraha</i>》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：
</p>
<p>婆什迦羅第二嘗試解決此問題，答案是讓<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n}{0}}=\infty }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>n</mi>
            <mn>0</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n}{0}}=\infty }</annotation>
  </semantics></math></span></span>。雖然此定義有一定道理，但會導致一個悖論：<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\times \infty }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\times \infty }</annotation>
  </semantics></math></span></span>的結果可以是任意一個數，所以所有的數都是相同的。</p><p>在微積分和數學分析中，像<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\times \infty }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\times \infty }</annotation>
  </semantics></math></span></span>或<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {0}{0}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>0</mn>
            <mn>0</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {0}{0}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的，結果可能是任意數。
</p>

<h2><span id=".E4.BB.A3.E6.95.B8.E8.99.95.E7.90.86"></span><span id="代數處理">代數處理</span></h2>
<p>若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{b}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>a</mi>
            <mi>b</mi>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>值是方程式<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle bx=a}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>b</mi>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>a</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle bx=a}</annotation>
  </semantics></math></span></span>中<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的解（若有的話）。若設<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>b</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，方程式式<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle bx=a}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>b</mi>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>a</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle bx=a}</annotation>
  </semantics></math></span></span>可寫成<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\times x=a}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>a</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\times x=a}</annotation>
  </semantics></math></span></span>或直接<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=a}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
        <mo>=</mo>
        <mi>a</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=a}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。因此，方程式式<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle bx=a}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>b</mi>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>a</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle bx=a}</annotation>
  </semantics></math></span></span>沒有解（當<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\neq 0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
        <mo>≠<!-- ≠ --></mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\neq 0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>時），但<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是任何數值也可解此方程式（當<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>時）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{b}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>a</mi>
            <mi>b</mi>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>未能下定義。
</p>
<h3><span id=".E9.99.A4.E4.BB.A5.E9.9B.B6.E7.9A.84.E8.AC.AC.E8.AA.A4"></span><span id="除以零的謬誤">除以零的謬誤</span></h3>
<p>在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>式：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0a=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
        <mi>a</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0a=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>試：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>：正確</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=2}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=2}</annotation>
  </semantics></math></span></span>：正確</dd></dl><p>得出：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0\times 1=0\times 2}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mn>2</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0\times 1=0\times 2}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>除以零得出
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {0}{0}}\times 1=2}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>0</mn>
            <mn>0</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {0}{0}}\times 1=2}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>簡化，得出：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1=2\,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1=2\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>以上謬論假設，某數除以0是容許的，並且<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {0}{0}}=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>0</mn>
            <mn>0</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {0}{0}}=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>另一個簡潔的證明
</p>
<p>通過上面的過程，證明了一切數字等於<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。此謬論是由於簡化的過程不正確，計算過程使用了「除以零」。
</p><p>因為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a-b)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>a</mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>b</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a-b)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是零，所以不能夠把左右兩邊的<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a-b)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>a</mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>b</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a-b)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>刪去。
</p>
<h3><span id=".E8.99.9B.E5.81.87.E7.9A.84.E9.99.A4.E6.B3.95"></span><span id="虛假的除法">虛假的除法</span></h3>
<p>在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{+}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>a</mi>
            <mi>b</mi>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mi>a</mi>
        <msup>
          <mi>b</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>+</mo>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{+}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，當中<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{+}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>b</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>+</mo>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{+}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>代表<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>b</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的虛構倒數。這樣，若<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{-}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>b</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{-}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>存在，則<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b^{+}=b^{-}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>b</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>+</mo>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>b</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b^{+}=b^{-}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。若<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>b</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，則<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0^{+}=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>0</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>+</mo>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0^{+}=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>；參見廣義逆。
</p>
<h2><span id=".E6.95.B8.E5.AD.B8.E5.88.86.E6.9E.90"></span><span id="數學分析">數學分析</span></h2>

<h3><span id=".E6.89.A9.E5.B1.95.E7.9A.84.E5.AE.9E.E6.95.B0.E8.BD.B4"></span><span id="扩展的实数轴">擴展的實數軸</span></h3>
<p>表面看來，可以藉著考慮隨著<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>b</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>
  </semantics></math></span></span>趨向<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {a}{b}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>a</mi>
            <mi>b</mi>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {a}{b}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>來定義「除以零」。
</p><p>對於任何正數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，右極限是
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>b</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <msup>
              <mn>0</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mo>+</mo>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
        </munder>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>a</mi>
            <mi>b</mi>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>+</mo>
        </mrow>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>另一方面，左極限是
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>b</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <msup>
              <mn>0</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mo>−<!-- − --></mo>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
        </munder>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>a</mi>
            <mi>b</mi>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>−<!-- − --></mo>
        </mrow>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty }</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>由於左極限及右極限不相同，因此函數在<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的極限不存在，該點沒有定義。同樣地，若<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是負數，極限也不存在。
</p><p>如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用羅必達法則計算。
</p>
<h3><span id=".E4.B8.8D.E5.AE.9A.E5.9E.8B.E6.A5.B5.E9.99.90"></span><span id="不定型極限">不定型極限</span></h3>
<p>不定型（Indeterminate Form）的極限可透過四則運算或羅必達法則計算。
</p><p>考慮函數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <msup>
                <mi>x</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>2</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>9</mn>
            </mrow>
            <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>3</mn>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>如果直接代入<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=3}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>3</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=3}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，會得到零除以零，這是沒有意義的。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <msup>
                <mn>3</mn>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>2</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>9</mn>
            </mrow>
            <mrow>
              <mn>3</mn>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>3</mn>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>0</mn>
            <mn>0</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <msup>
                <mi>x</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>2</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>9</mn>
            </mrow>
            <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>3</mn>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>x</mi>
              <mo>+</mo>
              <mn>3</mn>
              <mo stretchy="false">)</mo>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>x</mi>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>3</mn>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
            <mrow>
              <mi>x</mi>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>3</mn>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>6</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>此外，函數的極限可透過羅必達法則計算。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <mi>c</mi>
          </mrow>
        </munder>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mi>f</mi>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>x</mi>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
            <mrow>
              <mi>g</mi>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>x</mi>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <mi>c</mi>
          </mrow>
        </munder>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <msup>
                <mi>f</mi>
                <mo>′</mo>
              </msup>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>x</mi>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
            <mrow>
              <msup>
                <mi>g</mi>
                <mo>′</mo>
              </msup>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mi>x</mi>
              <mo stretchy="false">)</mo>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>若隨著<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>
  </semantics></math></span></span>趨向<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>與<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>g</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>均趨向<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>f</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>
  </semantics></math></span></span>及<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>g</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是何函數。
</p>
<h3><span id=".E5.BD.A2.E5.BC.8F.E6.8E.A8.E7.AE.97"></span><span id="形式推算">形式推算</span></h3>
<p>運用<span data-orig-title="形式推算" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="formal calculation"><span>形式推算</span></span>，正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munder>
          <mo form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mfrac>
              <mn>1</mn>
              <mi>x</mi>
            </mfrac>
          </mrow>
          <mo>=</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mfrac>
              <mrow>
                <munder>
                  <mo form="prefix">lim</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mi>x</mi>
                    <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
                    <mn>0</mn>
                  </mrow>
                </munder>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>1</mn>
                </mrow>
              </mrow>
              <mrow>
                <munder>
                  <mo form="prefix">lim</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mi>x</mi>
                    <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
                    <mn>0</mn>
                  </mrow>
                </munder>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mi>x</mi>
                </mrow>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
        <mo>.</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><h3><span id=".E9.BB.8E.E6.9B.BC.E7.90.83"></span><span id="黎曼球">黎曼球</span></h3>
<p>集合<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mi mathvariant="double-struck">C</mi>
        </mrow>
        <mo>∪<!-- ∪ --></mo>
        <mo fence="false" stretchy="false">{</mo>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
        <mo fence="false" stretchy="false">}</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為黎曼球（<span lang="en">Riemann sphere</span>），在複分析中相當重要。
</p>
<h2><span id=".E8.AE.A1.E7.AE.97.E6.9C.BA.E7.A7.91.E5.AD.A6"></span><span id="计算机科学">計算機科學</span></h2>
<p>在計算機中，除以零的結果根據程式語言、軟硬體環境、數據類型、數值而不同。部分語言中，無論是整數還是浮點數，除以0均會產生異常，而在另一部分語言中，整數除以零會產生異常或未定義行為，而浮點數除以零的結果如下：
</p>
<ul><li>零與NaN除以零：NaN（註：NaN不等於NaN）</li>
<li>零與NaN以外的數除以符號相同的0（如1除以0）：正無窮大</li>
<li>零與NaN以外的數除以符號不同的0（如1除以-0、-1除以0）：負無窮大</li></ul><h2><span id=".E6.B3.A8.E9.87.8B"></span><span id="注釋">注釋</span></h2>

<h2><span id=".E5.8F.83.E8.80.83"></span><span id="參考">參考</span></h2>
<ul><li><span data-orig-title="Patrick Suppes" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Patrick Suppes"><span>Patrick Suppes</span></span> 1957 (1999 Dover edition), <i>Introduction to Logic</i>, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).</li></ul><ul><li>Charles Seife 2000, <i>Zero: The Biography of a Dangerous Idea</i>, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).</li></ul><ul><li>Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), <i>Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences</i>, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).</li></ul><h2><span id=".E5.BB.B6.E4.BC.B8.E9.96.B1.E8.AE.80"></span><span id="延伸閱讀">延伸閱讀</span></h2>
<ul><li>Jakub Czajko (July 2004) "On Cantorian spacetime over number systems with division by zero", <i>Chaos, Solitons and Fractals</i>, volume 21, number 2, pages 261–271.</li></ul><ul><li><cite class="citation web">Ben Goldacre. Maths Professor Divides By Zero, Says BBC. 2006-12-07 <span> [<span>2008-04-23</span>]</span>. （原始內容存檔於2008-05-27）.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A%E9%99%A4%E4%BB%A5%E9%9B%B6&amp;rft.au=Ben+Goldacre&amp;rft.btitle=Maths+Professor+Divides+By+Zero%2C+Says+BBC&amp;rft.date=2006-12-07&amp;rft.genre=unknown&amp;rft_id=http%3A%2F%2Fwww.badscience.net%2F%3Fp%3D335&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook"><span> </span></span></li></ul><h2><span id=".E5.8F.83.E8.A6.8B"></span><span id="參見">參見</span></h2>
<ul><li>漸近線</li>
<li>0/0</li>
<li>引力奇異點</li></ul><!-- 
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在數學中，被除數的除數（分母）是零或將某數**除以零**，可表達為 ${\frac {a}{0}}$ ， $a$ 是被除數。在算式中沒有意義，因為沒有數目，以零相乘（假設 $a\neq 0$ ），由於任何數字乘以零均等於零，因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中，此式為無意義。在程序設計中，當遇上正整數除以零程序會中止，正如浮點數會出現無限大或 NaN 值的情況，而在 Microsoft Excel 及 Openoffice 或 Libreoffice 的 Calc 中，除以零會直接顯示 #DIV/0!
。

## 基本算術

基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如， $10$ 個蘋果平分給 $5$ 人，每人可得 ${\frac {10}{5}}=2$ 個蘋果。同理， $10$ 個蘋果只分給 $1$ 人，則其可獨得 ${\frac {10}{1}}=10$ 個蘋果。

若除以 $0$ 又如何？若有 $10$ 顆蘋果，無人（ $0$ 解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此， ${\frac {10}{0}}$ ，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「 $13$ 除以 $5$ 」，換一種說法， $13$ 減去兩個 $5$ ，餘下 $3$ ，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為 ${\frac {13}{5}}=2$ 餘數 $3$ 。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為無窮大乘以零仍是零。

### 早期嘗試

婆羅摩笈多（598–668 年）的著作《婆羅摩曆算書》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多所說，

830 年，另一位數學家摩訶吠羅在其著作《_Ganita Sara Samgraha_》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：

婆什迦羅第二嘗試解決此問題，答案是讓 ${\frac {n}{0}}=\infty $ 。雖然此定義有一定道理，但會導致一個悖論： $0\times \infty $ 的結果可以是任意一個數，所以所有的數都是相同的。

在微積分和數學分析中，像 $0\times \infty $ 或 ${\frac {0}{0}}$ 這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的，結果可能是任意數。

## 代數處理

若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即 ${\frac {a}{b}}$ 值是方程式 $bx=a$ 中 $x$ 的解（若有的話）。若設 $b=0$ ，方程式式 $bx=a$ 可寫成 $0\times x=a$ 或直接 $0=a$ 。因此，方程式式 $bx=a$ 沒有解（當 $a\neq 0$ 時），但 $x$ 是任何數值也可解此方程式（當 $a=0$ 時）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以 ${\frac {a}{b}}$ 未能下定義。

### 除以零的謬誤

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明： $2=1$

式：

　
: $0a=0$

試：

　
: $a=1$ ：正確

　
: $a=2$ ：正確

得出：

　
: $0\times 1=0\times 2$

除以零得出

　
: ${\frac {0}{0}}\times 1=2$

簡化，得出：

　
: $1=2\,$

以上謬論假設，某數除以 0 是容許的，並且 ${\frac {0}{0}}=1$ 。

另一個簡潔的證明

通過上面的過程，證明了一切數字等於 $0$ 。此謬論是由於簡化的過程不正確，計算過程使用了「除以零」。

因為 $(a-b)$ 是零，所以不能夠把左右兩邊的 $(a-b)$ 刪去。

### 虛假的除法

在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設 ${\frac {a}{b}}=ab^{+}$ ，當中 $b^{+}$ 代表 $b$ 的虛構倒數。這樣，若 $b^{-}$ 存在，則 $b^{+}=b^{-}$ 。若 $b=0$ ，則 $0^{+}=0$ ；參見廣義逆。

## 數學分析

### 擴展的實數軸

表面看來，可以藉著考慮隨著 $b$ 趨向 $0$ 的 ${\frac {a}{b}}$ 來定義「除以零」。

對於任何正數 $a$ ，右極限是

　
: $\lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty $

另一方面，左極限是

　
: $\lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty $

由於左極限及右極限不相同，因此函數在 $x=0$ 的極限不存在，該點沒有定義。同樣地，若 $a$ 是負數，極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用羅必達法則計算。

### 不定型極限

不定型（Indeterminate Form）的極限可透過四則運算或羅必達法則計算。

考慮函數 $f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}$

如果直接代入 $x=3$ ，會得到零除以零，這是沒有意義的。

　
: $f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}$

但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。

　
: $\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6$

此外，函數的極限可透過羅必達法則計算。

　
: $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

若隨著 $x$ 趨向 $0$ ， $f(x)$ 與 $g(x)$ 均趨向 $0$ ，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎 $f$ 及 $g$ 是何函數。

### 形式推算

運用形式推算，正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：

　
: $\lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .$

### 黎曼球

集合 $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ 為黎曼球（Riemann sphere），在複分析中相當重要。

## 計算機科學

在計算機中，除以零的結果根據程式語言、軟硬體環境、數據類型、數值而不同。部分語言中，無論是整數還是浮點數，除以 0 均會產生異常，而在另一部分語言中，整數除以零會產生異常或未定義行為，而浮點數除以零的結果如下：

* 零與 NaN 除以零：NaN（註：NaN 不等於 NaN）
* 零與 NaN 以外的數除以符號相同的 0（如 1 除以 0）：正無窮大
* 零與 NaN 以外的數除以符號不同的 0（如 1 除以 - 0、-1 除以 0）：負無窮大

## 注釋

## 參考

* Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), _Introduction to Logic_, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).
* Charles Seife 2000, _Zero: The Biography of a Dangerous Idea_, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).
* Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), _Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences_, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

## 延伸閱讀

* Jakub Czajko (July 2004) "On Cantorian spacetime over number systems with division by zero", _Chaos, Solitons and Fractals_, volume 21, number 2, pages 261–271.
* Ben Goldacre. Maths Professor Divides By Zero, Says BBC. 2006-12-07 [2008-04-23]. （原始內容存檔於 2008-05-27）.

## 參見

* 漸近線
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* 引力奇異點
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