<p>在幾何學中，<b>十一面體</b>（英語：<span lang="en">Hendecahedron</span>）是指具有十一個面的多面體。沒有任何十一面體是正十一面體，也就是說找不到面由正多邊形組成且每個面全等、每個角相等的十一面體。
</p>


<h2><span id=".E5.91.BD.E5.90.8D"></span><span id="命名">命名</span></h2>
<p>十一面體的英文是Hendecahedron，其命名方式為Hen-代表一，deca代表十，然後結合多面體字尾-hedron，就得到十一面體Hendecahedron。
</p>
<h2><span id=".E5.B8.B8.E8.A6.8B.E7.9A.84.E5.8D.81.E4.B8.80.E9.9D.A2.E9.AB.94"></span><span id="常見的十一面體">常見的十一面體</span></h2>
<p>在所有凸十一面體中，包含鏡射像共有440,564種拓樸結構明顯差異的凸十一面體。拓樸結構有明顯差異意味著兩種多面體無法透過移動頂點位置、扭曲或伸縮來相互變換的多面體，例如五角錐柱和九角柱無論如何變形都無法互相變換，因此拓樸結構不同，但九角柱和九角錐台可以透過伸縮其中一個九邊形面來彼此互換，因此三角柱和三角錐台在拓樸上並無明顯差異。
</p><p>常見的十一面體有錐體和柱體、部分的詹森多面體和半正多面體，此處的半正多面體並非阿基米德立體，而是正九角柱。
</p><p>其他十一面體還有九角柱、十角錐、正五角錐反角柱的對偶、雙對稱十一面體等多面體，其中雙對稱十一面體可以密鋪空間。</p>
<h3><span id=".E4.B8.89.E8.A7.92.E7.BD.A9.E5.B8.B3"></span><span id="三角罩帳">三角罩帳</span></h3>

<p>三角罩帳是指以三角形為底的罩帳，是一種十一面體，由1個三角形頂面、1個六邊形底面、3個五邊形側面和6個三角形側面組成，共有11個面、21條邊和12個頂點，其中頂面的三角形與底面的六邊形互相平行，側面的三角形與五邊形交錯地圍繞軸分布在周圍。
</p><p>以正三角形為底的三角罩帳稱為正三角罩帳，其僅有頂面和底面為正多邊形，分別為頂面的正三邊形和底面的正六邊形，側面可能可以存在正三角形或存在正五邊形，但有正三角形面時，五邊形最多僅能是等邊不等角的非正五邊形；有正五邊形面時，三角形會出現等腰三角形，故不屬於詹森多面體。唯一屬於詹森多面體的罩帳僅有正五角罩帳。
</p><p>正三角罩帳的對稱群為<span data-orig-title="三維空間的二面體群" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Dihedral symmetry in three dimensions"><span>C<sub>3v</sub></span></span>群，階數為6階。
</p>
<h3><span id=".E6.88.AA.E5.8D.8A.E4.B8.89.E8.A7.92.E6.9F.B1"></span><span id="截半三角柱">截半三角柱</span></h3>

<p>在幾何學中，<b>截半三角柱</b>是指經過截半變換後的三角柱，是一種十一面體，其側面是正方形、底面是正三角形，另外還有6個等腰三角形面。
</p><p>截半三角柱可由三角柱將邊的中點當作新的頂點，舊的頂點消失，來構造，換句話說，即是用三角柱由一條棱斬到另一條棱的中點（即斬去三角柱的頂點，但不是截角）而成。
</p><p>其具有D<sub>3h</sub>二面體群的對稱性。
</p>
<h3><span id=".E8.A9.B9.E6.A3.AE.E5.A4.9A.E9.9D.A2.E9.AB.94"></span><span id="詹森多面體">詹森多面體</span></h3>
<p>在十一面體中，有3個是詹森多面體，它們分別為:正五角錐柱、二側錐三角柱、側錐六角柱。
</p>
<h3><span id=".E4.B9.9D.E8.A7.92.E6.9F.B1"></span><span id="九角柱">九角柱</span></h3>


<p>九角柱是一種底面為九邊形的柱體，是十一面體的一種，由11個面、27條邊和18個頂點組成，對偶多面體為雙九角錐。正九角柱代表每個面都是正多邊形的九角柱，其每個頂點都是2個正方形和1個九邊形的公共頂點，因此具有每個角等角的性質，可以歸類為半正十一面體。而頂點都是2個正方形和1個九邊形的公共頂點的這種頂角，在頂點圖中以<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4{.}4{.}9}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>4</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>.</mo>
        </mrow>
        <mn>4</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>.</mo>
        </mrow>
        <mn>9</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4{.}4{.}9}</annotation>
  </semantics></math></span></span>表示。正九角柱在施萊夫利符號中可以利用{9}×{} 或 t{2, 9}來表示；在<span data-orig-title="考克斯特—迪肯符号" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Coxeter-Dynkin diagram"><span>考克斯特—迪肯符號</span></span>中可以利用<span><span></span></span>來表示；在<span data-orig-title="威佐夫符號" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Wythoff symbol"><span>威佐夫符號</span></span>中可以利用2 9 | 2來表示；在康威多面體表示法中可以利用P9來表示。若一個正九角柱底邊的邊長為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>s</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>
  </semantics></math></span></span>、高為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>h</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，則其體積<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>V</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>
  </semantics></math></span></span>和表面積<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>S</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V={\frac {9hs^{2}\cot {\frac {\pi }{9}}}{4}}\approx 6.18182hs^{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>V</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mn>9</mn>
              <mi>h</mi>
              <msup>
                <mi>s</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>2</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mi>cot</mi>
              <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mfrac>
                  <mi>π<!-- π --></mi>
                  <mn>9</mn>
                </mfrac>
              </mrow>
            </mrow>
            <mn>4</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>≈<!-- ≈ --></mo>
        <mn>6.18182</mn>
        <mi>h</mi>
        <msup>
          <mi>s</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {9hs^{2}\cot {\frac {\pi }{9}}}{4}}\approx 6.18182hs^{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=9s\left(h+{\frac {1}{2}}s\cot {\frac {\pi }{9}}\right)\approx 9s\left(h+1.37374s\right)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>S</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>9</mn>
        <mi>s</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow>
            <mi>h</mi>
            <mo>+</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mn>1</mn>
                <mn>2</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mi>s</mi>
            <mi>cot</mi>
            <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mi>π<!-- π --></mi>
                <mn>9</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mo>≈<!-- ≈ --></mo>
        <mn>9</mn>
        <mi>s</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow>
            <mi>h</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>1.37374</mn>
            <mi>s</mi>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=9s\left(h+{\frac {1}{2}}s\cot {\frac {\pi }{9}}\right)\approx 9s\left(h+1.37374s\right)}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><h3><span id=".E5.8D.81.E8.A7.92.E9.8C.90"></span><span id="十角錐">十角錐</span></h3>
<p>十角錐是一種底面為十邊形的錐體，是十一面體的一種，由11個面、20條邊和11個頂點組成，其對偶多面體是自己本身。正十角錐是一種底面為正十邊形的十角錐。若一個正十角錐底邊的邊長為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>s</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s}</annotation>
  </semantics></math></span></span>、高為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>h</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，則其體積<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>V</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>
  </semantics></math></span></span>和表面積<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>S</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V={\frac {5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{6}}hs^{2}\approx 2.56474hs^{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>V</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mn>5</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <msqrt>
                  <mn>5</mn>
                  <mo>+</mo>
                  <mn>2</mn>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <msqrt>
                      <mn>5</mn>
                    </msqrt>
                  </mrow>
                </msqrt>
              </mrow>
            </mrow>
            <mn>6</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mi>h</mi>
        <msup>
          <mi>s</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>≈<!-- ≈ --></mo>
        <mn>2.56474</mn>
        <mi>h</mi>
        <msup>
          <mi>s</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{6}}hs^{2}\approx 2.56474hs^{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S={\frac {5s\left({\sqrt {4h^{2}+\left(5+2{\sqrt {5}}\right)s^{2}}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}s\right)}{2}}\approx 2.5s\left({\sqrt {4h^{2}+9.47214s^{2}}}+3.07768s\right)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>S</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mn>5</mn>
              <mi>s</mi>
              <mrow>
                <mo>(</mo>
                <mrow>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <msqrt>
                      <mn>4</mn>
                      <msup>
                        <mi>h</mi>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mn>2</mn>
                        </mrow>
                      </msup>
                      <mo>+</mo>
                      <mrow>
                        <mo>(</mo>
                        <mrow>
                          <mn>5</mn>
                          <mo>+</mo>
                          <mn>2</mn>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <msqrt>
                              <mn>5</mn>
                            </msqrt>
                          </mrow>
                        </mrow>
                        <mo>)</mo>
                      </mrow>
                      <msup>
                        <mi>s</mi>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mn>2</mn>
                        </mrow>
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                    </msqrt>
                  </mrow>
                  <mo>+</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <msqrt>
                      <mn>5</mn>
                      <mo>+</mo>
                      <mn>2</mn>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <msqrt>
                          <mn>5</mn>
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                  <mi>s</mi>
                </mrow>
                <mo>)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>≈<!-- ≈ --></mo>
        <mn>2.5</mn>
        <mi>s</mi>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <msqrt>
                <mn>4</mn>
                <msup>
                  <mi>h</mi>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mn>2</mn>
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                </msup>
                <mo>+</mo>
                <mn>9.47214</mn>
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<h2><span id=".E5.9C.A8.E5.8C.96.E5.AD.B8.E4.B8.AD"></span><span id="在化學中">在化學中</span></h2>
<p>在化學中，將十八面體硼烷離子([B<sub>11</sub>H<sub>11</sub>]<sup>2−</sup>)的氫全部去掉後，可以得到一個結構，它是十八面體，再將每個硼原子做垂直於重心到硼原子的面，可構造成新的多面體，即為十八面體硼烷結構的對偶多面體，也是<b>十一面體</b>之一。</p>
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<p>雙對稱十一面體（Bisymmetric Hendecahedron）是十一面體的一種多面體
</p><p>柏拉圖和阿基米德立體，只有少數可以密鋪於空間，也就是說堆砌在一起，不留空隙，以填補空間。Guy Inchbald描述了一個有趣的多面體，可以以令人驚訝的方式利用11面體完成空間的密鋪。</p>
<p>曾有人提出一個十一面體，它的面數和頂點數是相同的，經過扭曲後，會得到不同的特性。最對稱的自身對偶十一面體是雙對稱十一面體，它之所以會稱為雙對稱是因為它有兩個對稱面。
</p>
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在幾何學中，**十一面體**（英語：Hendecahedron）是指具有十一個面的多面體。沒有任何十一面體是正十一面體，也就是說找不到面由正多邊形組成且每個面全等、每個角相等的十一面體。

## 命名

十一面體的英文是 Hendecahedron，其命名方式為 Hen - 代表一，deca 代表十，然後結合多面體字尾 - hedron，就得到十一面體 Hendecahedron。

## 常見的十一面體

在所有凸十一面體中，包含鏡射像共有 440,564 種拓樸結構明顯差異的凸十一面體。拓樸結構有明顯差異意味著兩種多面體無法透過移動頂點位置、扭曲或伸縮來相互變換的多面體，例如五角錐柱和九角柱無論如何變形都無法互相變換，因此拓樸結構不同，但九角柱和九角錐台可以透過伸縮其中一個九邊形面來彼此互換，因此三角柱和三角錐台在拓樸上並無明顯差異。

常見的十一面體有錐體和柱體、部分的詹森多面體和半正多面體，此處的半正多面體並非阿基米德立體，而是正九角柱。

其他十一面體還有九角柱、十角錐、正五角錐反角柱的對偶、雙對稱十一面體等多面體，其中雙對稱十一面體可以密鋪空間。

### 三角罩帳

三角罩帳是指以三角形為底的罩帳，是一種十一面體，由 1 個三角形頂面、1 個六邊形底面、3 個五邊形側面和 6 個三角形側面組成，共有 11 個面、21 條邊和 12 個頂點，其中頂面的三角形與底面的六邊形互相平行，側面的三角形與五邊形交錯地圍繞軸分布在周圍。

以正三角形為底的三角罩帳稱為正三角罩帳，其僅有頂面和底面為正多邊形，分別為頂面的正三邊形和底面的正六邊形，側面可能可以存在正三角形或存在正五邊形，但有正三角形面時，五邊形最多僅能是等邊不等角的非正五邊形；有正五邊形面時，三角形會出現等腰三角形，故不屬於詹森多面體。唯一屬於詹森多面體的罩帳僅有正五角罩帳。

正三角罩帳的對稱群為 C3v 群，階數為 6 階。

### 截半三角柱

在幾何學中，**截半三角柱**是指經過截半變換後的三角柱，是一種十一面體，其側面是正方形、底面是正三角形，另外還有 6 個等腰三角形面。

截半三角柱可由三角柱將邊的中點當作新的頂點，舊的頂點消失，來構造，換句話說，即是用三角柱由一條棱斬到另一條棱的中點（即斬去三角柱的頂點，但不是截角）而成。

其具有 D3h 二面體群的對稱性。

### 詹森多面體

在十一面體中，有 3 個是詹森多面體，它們分別為：正五角錐柱、二側錐三角柱、側錐六角柱。

### 九角柱

九角柱是一種底面為九邊形的柱體，是十一面體的一種，由 11 個面、27 條邊和 18 個頂點組成，對偶多面體為雙九角錐。正九角柱代表每個面都是正多邊形的九角柱，其每個頂點都是 2 個正方形和 1 個九邊形的公共頂點，因此具有每個角等角的性質，可以歸類為半正十一面體。而頂點都是 2 個正方形和 1 個九邊形的公共頂點的這種頂角，在頂點圖中以 $4{.}4{.}9$ 表示。正九角柱在施萊夫利符號中可以利用 {9}×{} 或 t {2, 9} 來表示；在考克斯特 — 迪肯符號中可以利用來表示；在威佐夫符號中可以利用 2 9 | 2 來表示；在康威多面體表示法中可以利用 P9 來表示。若一個正九角柱底邊的邊長為 $s$ 、高為 $h$ ，則其體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {9hs^{2}\cot {\frac {\pi }{9}}}{4}}\approx 6.18182hs^{2}$

　
: $S=9s\left(h+{\frac {1}{2}}s\cot {\frac {\pi }{9}}\right)\approx 9s\left(h+1.37374s\right)$

### 十角錐

十角錐是一種底面為十邊形的錐體，是十一面體的一種，由 11 個面、20 條邊和 11 個頂點組成，其對偶多面體是自己本身。正十角錐是一種底面為正十邊形的十角錐。若一個正十角錐底邊的邊長為 $s$ 、高為 $h$ ，則其體積 $V$ 和表面積 $S$ 為：

　
: $V={\frac {5{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{6}}hs^{2}\approx 2.56474hs^{2}$

　
: $S={\frac {5s\left({\sqrt {4h^{2}+\left(5+2{\sqrt {5}}\right)s^{2}}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}s\right)}{2}}\approx 2.5s\left({\sqrt {4h^{2}+9.47214s^{2}}}+3.07768s\right)$

### 十一面體列表

## 在化學中

在化學中，將十八面體硼烷離子 ([B11H11]2−) 的氫全部去掉後，可以得到一個結構，它是十八面體，再將每個硼原子做垂直於重心到硼原子的面，可構造成新的多面體，即為十八面體硼烷結構的對偶多面體，也是**十一面體**之一。

## 雙對稱十一面體

雙對稱十一面體（Bisymmetric Hendecahedron）是十一面體的一種多面體

柏拉圖和阿基米德立體，只有少數可以密鋪於空間，也就是說堆砌在一起，不留空隙，以填補空間。Guy Inchbald 描述了一個有趣的多面體，可以以令人驚訝的方式利用 11 面體完成空間的密鋪。

曾有人提出一個十一面體，它的面數和頂點數是相同的，經過扭曲後，會得到不同的特性。最對稱的自身對偶十一面體是雙對稱十一面體，它之所以會稱為雙對稱是因為它有兩個對稱面。

## 參考文獻
11面體