<p>在數學、物理及工程學裏，<b>虛數單位</b>是指二次方程式<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+1=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+1=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的解。雖然沒有這樣的實數可以滿足這個二次方程式，但可以通過虛數單位將實數系統<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mi mathvariant="double-struck">R</mi>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>
  </semantics></math></span></span>延伸至複數系統<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mi mathvariant="double-struck">C</mi>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>
  </semantics></math></span></span>。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式式無實數解。例如剛才提到的方程式式<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+1=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+1=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式式以及所有的多項式方程式式都有解。虛數單位標記為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，在電機工程和相關領域中則標記為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>j</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，這是為了避免與電流（記為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i(t)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>t</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i(t)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>或<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>）混淆。
</p>


<h2><span id=".E5.AE.9A.E7.BE.A9"></span><span id="定義">定義</span></h2>

<p>虛數單位<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>定義為二次方程式式<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+1=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+1=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的兩個根中的一個。這方程式式又可等價表達為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{x}^{2}}=-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msup>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mn>2</mn>
            </mrow>
          </msup>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{x}^{2}}=-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。</dd></dl><p>由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。很重要的一點是，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是一個良定義的數學構造。
</p><p>另外，虛數單位同樣可以表示為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mn>1</mn>
            </mrow>
          </msqrt>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>然而<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mn>1</mn>
            </mrow>
          </msqrt>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：
</p>
<dl><dd>因為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msqrt>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
            </msqrt>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msqrt>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
            </msqrt>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mrow>
              <mo>(</mo>
              <mrow>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mn>1</mn>
              </mrow>
              <mo>)</mo>
            </mrow>
            <mo>×<!-- × --></mo>
            <mrow>
              <mo>(</mo>
              <mrow>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mn>1</mn>
              </mrow>
              <mo>)</mo>
            </mrow>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mn>1</mn>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，但是-1不等於1。</dd></dl><dl><dd>但請注意：<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mi>a</mi>
            <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
            <mi>b</mi>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mi>a</mi>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mi>b</mi>
          </msqrt>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>成立的條件有<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>
  </semantics></math></span></span>,<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>b</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>
  </semantics></math></span></span>不能為負數。</dd></dl><p>實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是一個未知數，然後依照<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的定義，替代任何<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的出現為-1。<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的更高整數冪數也可以替代為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，或<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，根據下述方程式式：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>4</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>5</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>4</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。</dd></dl><p>一般地，有以下的公式：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{4n}=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>4</mn>
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{4n}=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{4n+1}=i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>4</mn>
            <mi>n</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{4n+1}=i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{4n+2}=-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>4</mn>
            <mi>n</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{4n+2}=-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{4n+3}=-i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>4</mn>
            <mi>n</mi>
            <mo>+</mo>
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{4n+3}=-i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>4</mn>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>其中<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\bmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>4</mn>
          </mrow>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\bmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>表示被4除的餘數。
</p>
<h2><span id="i.E5.92.8C-i"></span><span id="i和-i"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span><i>i</i></span></span>和<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>-<i>i</i></span></span></span></h2>
<p>方程式<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}=-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}=-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>有兩個不同的解，它們都是有效的，且互為共軛虛數及倒數。更加確切地，一旦固定了方程式的一個解<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，那麼<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>（不等於<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>）也是一個解，由於這個方程式是<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的唯一的定義，因此這個定義表面上有歧義。然而，只要把其中一個解選定，並固定為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，那麼實際上是沒有歧義的。這是因為，雖然<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>和<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>在數量上不是相等的（它們是一對共軛虛數），但是<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>和<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>之間沒有質量上的區別（-1和+1就不是這樣的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i^{2}=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i^{2}=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mi>i</mi>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><h2><span id=".E6.AD.A3.E5.BD.93.E7.9A.84.E4.BD.BF.E7.94.A8"></span><span id="正当的使用">正當的使用</span></h2>
<p>虛數單位有時記為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {-1}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </msqrt>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {-1}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。但是，使用這種記法時需要非常謹慎，這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如，公式<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mi>a</mi>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mi>b</mi>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mi>a</mi>
            <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
            <mi>b</mi>
          </msqrt>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>僅對於非負的實數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>a</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>
  </semantics></math></span></span>和<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>b</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>
  </semantics></math></span></span>才成立。
</p><p>假若這個關係在虛數仍成立，則會出現以下情況：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
            <mo stretchy="false">)</mo>
            <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
            <mo stretchy="false">)</mo>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mn>1</mn>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>（不正確）</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mo>±<!-- ± --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mo>±<!-- ± --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mo>±<!-- ± --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
            <mo stretchy="false">)</mo>
            <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
            <mo stretchy="false">)</mo>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mo>±<!-- ± --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mn>1</mn>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mo>±<!-- ± --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>（不正確）</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mi>i</mi>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <msqrt>
              <mn>1</mn>
            </msqrt>
            <msqrt>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
            </msqrt>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mfrac>
              <mn>1</mn>
              <mrow>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mn>1</mn>
              </mrow>
            </mfrac>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>（不正確）</dd></dl><h2><span id="i.E7.9A.84.E8.BF.90.E7.AE.97"></span><span id="i的运算"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span><i>i</i></span></span>的運算</span></h2>

<p>許多實數的運算都可以推廣到<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，例如平方根、冪、對數和三角函數。以下運算除第一項外，均為與<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>有關的多值函數，在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。
</p>
<ul><li><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的平方根為：</li></ul><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>±<!-- ± --></mo>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <msqrt>
                  <mn>2</mn>
                </msqrt>
                <mn>2</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <msqrt>
                  <mn>2</mn>
                </msqrt>
                <mn>2</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mi>i</mi>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mo>±<!-- ± --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <msqrt>
              <mn>2</mn>
            </msqrt>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd>這是因為：</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&amp;=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&amp;={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&amp;={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&amp;=i\end{aligned}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
            <mtr>
              <mtd>
                <msup>
                  <mrow>
                    <mo>[</mo>
                    <mrow>
                      <mo>±<!-- ± --></mo>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mfrac>
                          <msqrt>
                            <mn>2</mn>
                          </msqrt>
                          <mn>2</mn>
                        </mfrac>
                      </mrow>
                      <mo stretchy="false">(</mo>
                      <mn>1</mn>
                      <mo>+</mo>
                      <mi>i</mi>
                      <mo stretchy="false">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo>]</mo>
                  </mrow>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mn>2</mn>
                  </mrow>
                </msup>
              </mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <msup>
                  <mrow>
                    <mo>(</mo>
                    <mrow>
                      <mo>±<!-- ± --></mo>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mfrac>
                          <msqrt>
                            <mn>2</mn>
                          </msqrt>
                          <mn>2</mn>
                        </mfrac>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo>)</mo>
                  </mrow>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mn>2</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo>+</mo>
                <mi>i</mi>
                <msup>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mn>2</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mtext> </mtext>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
                    <mn>1</mn>
                    <mn>2</mn>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo>+</mo>
                <mn>2</mn>
                <mi>i</mi>
                <mo>+</mo>
                <msup>
                  <mi>i</mi>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mn>2</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo stretchy="false">)</mo>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
                    <mn>1</mn>
                    <mn>2</mn>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mn>1</mn>
                <mo>+</mo>
                <mn>2</mn>
                <mi>i</mi>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo>=</mo>
                <mi>i</mi>
              </mtd>
            </mtr>
          </mtable>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&amp;=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&amp;={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&amp;={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&amp;=i\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd>使用主平方根符號表示：</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mi>i</mi>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <msqrt>
              <mn>2</mn>
            </msqrt>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd>其解法為先假設兩實數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>
  </semantics></math></span></span>及<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>y</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，使得<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x+iy)^{2}=i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
        <mi>y</mi>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x+iy)^{2}=i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，求解<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo>,</mo>
        <mi>y</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y}</annotation>
  </semantics></math></span></span><ul><li>一個數的<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ni}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ni}</annotation>
  </semantics></math></span></span>次冪為：</li></ul></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mi>i</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>ln</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
        <mi>sin</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>ln</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd>一個數的<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ni}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ni}</annotation>
  </semantics></math></span></span>次方根為：</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mroot>
            <mi>x</mi>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mi>n</mi>
              <mi>i</mi>
            </mrow>
          </mroot>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>ln</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mroot>
            <mi>x</mi>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mi>n</mi>
            </mrow>
          </mroot>
        </mrow>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
        <mi>sin</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>ln</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mroot>
            <mi>x</mi>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mi>n</mi>
            </mrow>
          </mroot>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd>利用歐拉公式</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>i</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mrow>
            <mo>[</mo>
            <msup>
              <mi>e</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>i</mi>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
                    <mi>π<!-- π --></mi>
                    <mn>2</mn>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mo>+</mo>
                <mn>2</mn>
                <mi>k</mi>
                <mi>π<!-- π --></mi>
                <mo stretchy="false">)</mo>
              </mrow>
            </msup>
            <mo>]</mo>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>i</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msup>
              <mi>i</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>2</mn>
              </mrow>
            </msup>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mi>π<!-- π --></mi>
                <mn>2</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mn>2</mn>
            <mi>k</mi>
            <mi>π<!-- π --></mi>
            <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mi>π<!-- π --></mi>
                <mn>2</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mn>2</mn>
            <mi>k</mi>
            <mi>π<!-- π --></mi>
            <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>k</mi>
        <mo>∈<!-- ∈ --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mi mathvariant="double-struck">Z</mi>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd>代入不同的<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>k</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>
  </semantics></math></span></span>值，可計算出無限多的解。當<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>k</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>最小的解是<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mi>π<!-- π --></mi>
                <mn>2</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>≈<!-- ≈ --></mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }</annotation>
  </semantics></math></span></span>0.20787957635076...</dd></dl><ul><li>以<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為底的對數為：</li></ul><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>log</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>i</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mn>2</mn>
              <mi>ln</mi>
              <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
              <mi>x</mi>
            </mrow>
            <mrow>
              <mi>i</mi>
              <mi>π<!-- π --></mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><ul><li><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的餘弦是一個實數：</li></ul><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>cos</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>cosh</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mi>e</mi>
              <mo>+</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mfrac>
                  <mn>1</mn>
                  <mi>e</mi>
                </mfrac>
              </mrow>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <msup>
                <mi>e</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>2</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mrow>
              <mn>2</mn>
              <mi>e</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>≈<!-- ≈ --></mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx }</annotation>
  </semantics></math></span></span>1.5430806348152...</dd></dl><ul><li><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的正弦是純虛數：</li></ul><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>sin</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>i</mi>
        <mi>sinh</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mi>e</mi>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mfrac>
                  <mn>1</mn>
                  <mi>e</mi>
                </mfrac>
              </mrow>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <msup>
                <mi>e</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>2</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mrow>
              <mn>2</mn>
              <mi>e</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mi>i</mi>
        <mo>≈<!-- ≈ --></mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx }</annotation>
  </semantics></math></span></span>1.1752011936438...<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><h2><span id=".E5.9C.A8.E7.A8.8B.E5.BC.8F.E8.AA.9E.E8.A8.80"></span><span id="在程式語言">在程式語言</span></h2>
<ul><li>大部分的程式語言都不提供<b>虛數單位</b>，且平方根函數(大多為<b>sqrt()</b>或<b>Math.Sqrt()</b>)的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。</li>
<li>但Lisp的許多實現與方言，如Common Lisp，內建虛數和複數的支持。不少動態語言受其影響，也在語言本身或標準庫中支持虛數和複數，如Python、Ruby。</li>
<li>一些傳統程式語言，如C語言，也從C99開始支持虛數和複數。</li>
<li>在Matlab，<b>虛數單位</b>的表示方法為<b>i</b>或<b>j</b>，但<b>i</b>和<b>j</b>在for迴圈可以有其他用途。</li>
<li>在Mathematica，<b>虛數單位</b>的表示方法為<b>I</b>、<b>𝕚</b>或<b>𝕛</b>。</li>
<li>在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用<b>i</b>還是<b>j</b>表示<b>虛數單位</b>。</li>
<li>Go語言於第 1.0 版就內建虛數和複數的支持，變數類型為 <code>complex64</code>和<code>complex128</code>。</li></ul><h2><span id=".E8.A8.BB.E8.A7.A3"></span><span id="註解">註解</span></h2>

<h2><span id=".E5.8F.82.E8.A7.81"></span><span id="参见">參見</span></h2>
<ul><li>代數基本定理</li>
<li>虛數</li>
<li>複數平面</li>
<li>單位根</li>
<li>i</li></ul><h2><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span><span id="参考文献">參考文獻</span></h2>
<ul><li>Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998</li></ul><h2><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E9.93.BE.E6.8E.A5"></span><span id="外部链接">外部連結</span></h2>
<ul><li>歐拉對多項式的複數根的研究</li>
<li>i作為-1的平方根（英文視頻）</li>
<li><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i^{7321}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>i</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>7321</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i^{7321}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的計算方法舉例（英文視頻）</li></ul><!-- 
NewPP limit report
Parsed by mw2262
Cached time: 20230505171843
Cache expiry: 1814400
Reduced expiry: false
Complications: [show‐toc]
CPU time usage: 0.513 seconds
Real time usage: 0.826 seconds
Preprocessor visited node count: 5976/1000000
Post‐expand include size: 53598/2097152 bytes
Template argument size: 3741/2097152 bytes
Highest expansion depth: 28/100
Expensive parser function count: 2/500
Unstrip recursion depth: 0/20
Unstrip post‐expand size: 7334/5000000 bytes
Lua time usage: 0.156/10.000 seconds
Lua memory usage: 6456285/52428800 bytes
Number of Wikibase entities loaded: 0/400
--><!--
Transclusion expansion time report (%,ms,calls,template)
100.00%  421.505      1 -total
 40.24%  169.626     16 Template:計算結果
 39.22%  165.298     16 Template:計算結果/mathtag
 36.02%  151.836     48 Template:Safeyesno
 33.38%  140.696      1 Template:Numbers
 33.09%  139.463     34 Template:計算
 29.04%  122.406     34 Template:複變運算
 14.19%   59.817      1 Template:NoteTA
 13.58%   57.220     16 Template:計算結果/Layout
 13.26%   55.888      1 Template:Reflist
-->
在數學、物理及工程學裏，**虛數單位**是指二次方程式 $x^{2}+1=0$ 的解。雖然沒有這樣的實數可以滿足這個二次方程式，但可以通過虛數單位將實數系統 $\mathbb {R} $ 延伸至複數系統 $\mathbb {C} $ 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式式無實數解。例如剛才提到的方程式式 $x^{2}+1=0$ 就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式式以及所有的多項式方程式式都有解。虛數單位標記為 $i$ ，在電機工程和相關領域中則標記為 $j$ ，這是為了避免與電流（記為 $i(t)$ 或 $i$ ）混淆。

## 定義

虛數單位 $i$ 定義為二次方程式式 $x^{2}+1=0$ 的兩個根中的一個。這方程式式又可等價表達為：

　
: ${{x}^{2}}=-1$ 。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號 $i$ 。很重要的一點是， $i$ 是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

　
: $i={\sqrt {-{1}}}$

然而 $i={\sqrt {-{1}}}$ 往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

　
: 因為 $-1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1$ ，但是 - 1 不等於 1。

　
: 但請注意： ${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$ 成立的條件有 $a$ , $b$ 不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設 $i$ 是一個未知數，然後依照 $i$ 的定義，替代任何 $i^{2}$ 的出現為 - 1。 $i$ 的更高整數冪數也可以替代為 $-i$ ， $1$ ，或 $i$ ，根據下述方程式式：

　
: $i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i$ ，

　
: $i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1$ ，

　
: $i^{5}=i^{4}i=(1)i=i$ 。

一般地，有以下的公式：

　
: $i^{4n}=1$

　
: $i^{4n+1}=i$

　
: $i^{4n+2}=-1$

　
: $i^{4n+3}=-i$

　
: $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$

其中 ${\bmod {4}}$ 表示被 4 除的餘數。

## _i_ 和-_i_

方程式 $x^{2}=-1$ 有兩個不同的解，它們都是有效的，且互為共軛虛數及倒數。更加確切地，一旦固定了方程式的一個解 $i$ ，那麼 $-i$ （不等於 $i$ ）也是一個解，由於這個方程式是 $i$ 的唯一的定義，因此這個定義表面上有歧義。然而，只要把其中一個解選定，並固定為 $i$ ，那麼實際上是沒有歧義的。這是因為，雖然 $-i$ 和 $i$ 在數量上不是相等的（它們是一對共軛虛數），但是 $i$ 和 $-i$ 之間沒有質量上的區別（-1 和 + 1 就不是這樣的）。在任何的等式中同時將所有 i 替換為 - i，該等式仍成立。

　
: $-i^{2}=1$

　
: $-i=i^{-1}={\frac {1}{i}}$

## 正當的使用

虛數單位有時記為 ${\sqrt {-1}}$ 。但是，使用這種記法時需要非常謹慎，這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如，公式 ${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}$ 僅對於非負的實數 $a$ 和 $b$ 才成立。

假若這個關係在虛數仍成立，則會出現以下情況：

　
: $-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$ （不正確）

　
: $-1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1$ （不正確）

　
: ${\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i$ （不正確）

## _i_ 的運算

許多實數的運算都可以推廣到 $i$ ，例如平方根、冪、對數和三角函數。以下運算除第一項外，均為與 $i$ 有關的多值函數，在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

 * $i$ 的平方根為：

　
: $\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

　
: 這是因為：

　
: ${\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}$

　
: 使用主平方根符號表示：

　
: ${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$

　
: 其解法為先假設兩實數 $x$ 及 $y$ ，使得 $(x+iy)^{2}=i$ ，求解 $x,y$ * 一個數的 $ni$ 次冪為：

　
: $x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}$

　
: 一個數的 $ni$ 次方根為：

　
: ${\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}$

　
: 利用歐拉公式

　
: $i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}$ ， $k\in \mathbb {Z} $

　
: 代入不同的 $k$ 值，可計算出無限多的解。當 $k=0$ 最小的解是 $e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx $ 0.20787957635076...

* 以 $i$ 為底的對數為：

　
: $\log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }$

 * $i$ 的餘弦是一個實數：

　
: $\cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx $ 1.5430806348152...

 * $i$ 的正弦是純虛數：

　
: $\sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx $ 1.1752011936438... $i$

## 在程式語言

* 大部分的程式語言都不提供**虛數單位**，且平方根函數 (大多為 **sqrt()** 或 **Math.Sqrt()**) 的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
* 但 Lisp 的許多實現與方言，如 Common Lisp，內建虛數和複數的支持。不少動態語言受其影響，也在語言本身或標準庫中支持虛數和複數，如 Python、Ruby。
* 一些傳統程式語言，如 C 語言，也從 C99 開始支持虛數和複數。
* 在 Matlab，**虛數單位**的表示方法為 **i** 或 **j**，但 **i** 和 **j** 在 for 迴圈可以有其他用途。
* 在 Mathematica，**虛數單位**的表示方法為 **I**、**𝕚**或**𝕛**。
* 在 Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用 **i** 還是 **j** 表示**虛數單位**。
* Go 語言於第 1.0 版就內建虛數和複數的支持，變數類型為 `complex64` 和 `complex128`。

## 註解

## 參見

* 代數基本定理
* 虛數
* 複數平面
* 單位根
* i

## 參考文獻

* Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

## 外部連結

* 歐拉對多項式的複數根的研究
* i 作為 - 1 的平方根（英文視頻）
* $i^{7321}$ 的計算方法舉例（英文視頻）
-1的平方根