<p><b>秤球問題</b>，是指若在最多<span role="math"><span>3<sup><i>n</i></sup> − 3</span><span>/</span><span>2</span></span>個球中有一個特殊球的重量與眾不同（不知道偏重還是偏輕），而其他球的重量全部相同，則用無砝碼的天平稱n次可以找出特殊球，並確定特殊球是偏輕還是偏重；
如果有<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r72900767"><span role="math"><span>3<sup><i>n</i></sup> − 1</span><span>/</span><span>2</span></span>個球，則同樣可以保證找出特殊球，但不一定能確定特殊球是偏輕還是偏重。(n ≥ 2)
</p><p>以下主要介紹最簡單的12個球稱3次的版本。
</p>
<h2><span id=".E5.8A.A8.E6.80.81.E7.A7.B0.E6.B3.95"></span><span id="动态称法">動態秤法</span></h2>
<p>動態調整秤球方案是最常見的處理手法，在各種答案中，下表所列是其中的一種表述：
</p>
<p>最後給出的結論，判斷依據與下述的固定秤法的解釋完全一致。<br></p>
<h2><span id=".E5.9B.BA.E5.AE.9A.E7.A7.B0.E6.B3.95"></span><span id="固定称法">固定秤法</span></h2>
<p>固定秤法方案如下：
</p>
<ul><li>第一次稱：左盤放置1、2、3、4號球， 右盤放置5、6、7、8號球</li>
<li>第二次稱：左盤放置1、5、9、11號球，右盤放置2、3、6、10號球</li>
<li>第三次稱：左盤放置4、8、9、10號球，右盤放置1、2、5、12號球</li></ul><p>按此方案秤球，根據天平的狀態，可辨別出問題球。判斷如下：
</p>
<ul><li>若左重、左重、右重，判定是1號球重；若左輕、左輕、右輕，判定是1號球輕；</li>
<li>若左重、右重、右重，判定是2號球重；若左輕、右輕、右輕，判定是2號球輕；</li>
<li>若左重、右重、平衡，判定是3號球重；若左輕、右輕、平衡，判定是3號球輕；</li>
<li>若左重、平衡、左重，判定是4號球重；若左輕、平衡、左輕，判定是4號球輕；</li>
<li>若右重、左重、右重，判定是5號球重；若右輕、左輕、右輕，判定是5號球輕；</li>
<li>若右重、右重、平衡，判定是6號球重；若右輕、右輕、平衡，判定是6號球輕；</li>
<li>若右重、平衡、平衡，判定是7號球重；若右輕、平衡、平衡，判定是7號球輕；</li>
<li>若右重、平衡、左重，判定是8號球重；若右輕、平衡、左輕，判定是8號球輕；</li>
<li>若平衡、左重、左重，判定是9號球重；若平衡、左輕、左輕，判定是9號球輕；</li>
<li>若平衡、右重、左重，判定是10號球重；若平衡、右輕、左輕，判定是10號球輕；</li>
<li>若平衡、左重、平衡，判定是11號球重；若平衡、左輕、平衡，判定是11號球輕；</li>
<li>若平衡、平衡、右重，判定是12號球重；若平衡、平衡、右輕，判定是12號球輕。</li></ul><p>在此說明第一種情況（左重、左重、右重）的判斷方法：
</p>
<ul><li>第一次左重，劃掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑</li>
<li>第二次左重，劃掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑</li>
<li>第一、二次均左重，劃掉2、3、5，剩下1、6可疑</li>
<li>第三次右重，劃掉6，僅剩1，可判定重。</li></ul><p>同理，若左輕、左輕、右輕，判定是1號球輕。其餘依此類推。，
</p>
<h2><span id=".E6.95.B0.E5.AD.A6.E6.96.B9.E6.B3.95"></span><span id="数学方法">數學方法</span></h2>
<p>固定秤球方法，可以採用數學方程式來表達：<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle AX=Y}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>A</mi>
        <mi>X</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>Y</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle AX=Y}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，其中：
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=\left({\begin{matrix}1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;-1&amp;-1&amp;-1&amp;-1&amp;0&amp;0\\1&amp;-1&amp;-1&amp;0&amp;1&amp;-1&amp;0&amp;0&amp;1&amp;-1\\-1&amp;-1&amp;0&amp;1&amp;-1&amp;0&amp;0&amp;1&amp;1&amp;1\\\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0&amp;0\\1&amp;0\\0&amp;-1\\\end{matrix}}\right),}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>A</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
                <mtr>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                </mtr>
                <mtr>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                </mtr>
                <mtr>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                </mtr>
              </mtable>
            </mrow>
            <mspace width="1em"></mspace>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
                <mtr>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                </mtr>
                <mtr>
                  <mtd>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                </mtr>
                <mtr>
                  <mtd>
                    <mn>0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd>
                    <mo>−<!-- − --></mo>
                    <mn>1</mn>
                  </mtd>
                </mtr>
              </mtable>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mo>,</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=\left({\begin{matrix}1&amp;1&amp;1&amp;1&amp;-1&amp;-1&amp;-1&amp;-1&amp;0&amp;0\\1&amp;-1&amp;-1&amp;0&amp;1&amp;-1&amp;0&amp;0&amp;1&amp;-1\\-1&amp;-1&amp;0&amp;1&amp;-1&amp;0&amp;0&amp;1&amp;1&amp;1\\\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0&amp;0\\1&amp;0\\0&amp;-1\\\end{matrix}}\right),}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{12}\end{pmatrix}},Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>X</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow>
            <mo>(</mo>
            <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
              <mtr>
                <mtd>
                  <msub>
                    <mi>x</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>1</mn>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <msub>
                    <mi>x</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>2</mn>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <mo>⋮<!-- ⋮ --></mo>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <msub>
                    <mi>x</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>12</mn>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mtd>
              </mtr>
            </mtable>
            <mo>)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>,</mo>
        <mi>Y</mi>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow>
            <mo>(</mo>
            <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
              <mtr>
                <mtd>
                  <msub>
                    <mi>y</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>1</mn>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <msub>
                    <mi>y</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>2</mn>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <msub>
                    <mi>y</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>3</mn>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mtd>
              </mtr>
            </mtable>
            <mo>)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{12}\end{pmatrix}},Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>矩陣方程是用天平秤球的情況描述，即：左盤總重量—右盤總重量＝差值，下面進一步解釋A、X、Y的含義及判定規則。
</p><p>首先：因為在12個球中，只有1個球與其它球重量不一樣，所以在邏輯上使用±1來代表重量差±△X。
</p><p>其次：A為3行12列矩陣，係數矩陣的第i行第j列元素表示第i次第j號球的位置。1代表小球被放在左盤，-1代表小球被放在右盤，0代表小球不參與稱重。
</p>
<ul><li>X為12行1列矩陣，表示12個球的重量；</li>
<li>Y為3行1列矩陣，表示3次秤球的結果。左盤比右盤重時，用1表示；左右盤平衡時，用0表示；左盤比右盤輕時，用-1表示。</li></ul><p>最後：當Y與A的第j列相等時，則判定為第j球重；當Y與A的第j列的負向量相等時，則判定為第j球輕。
</p>
**秤球問題**，是指若在最多 3n − 3/2 個球中有一個特殊球的重量與眾不同（不知道偏重還是偏輕），而其他球的重量全部相同，則用無砝碼的天平稱 n 次可以找出特殊球，並確定特殊球是偏輕還是偏重；
如果有 3n − 1/2 個球，則同樣可以保證找出特殊球，但不一定能確定特殊球是偏輕還是偏重。(n ≥ 2)

以下主要介紹最簡單的 12 個球稱 3 次的版本。

## 動態秤法

動態調整秤球方案是最常見的處理手法，在各種答案中，下表所列是其中的一種表述：

最後給出的結論，判斷依據與下述的固定秤法的解釋完全一致。 

## 固定秤法

固定秤法方案如下：

* 第一次稱：左盤放置 1、2、3、4 號球， 右盤放置 5、6、7、8 號球
* 第二次稱：左盤放置 1、5、9、11 號球，右盤放置 2、3、6、10 號球
* 第三次稱：左盤放置 4、8、9、10 號球，右盤放置 1、2、5、12 號球

按此方案秤球，根據天平的狀態，可辨別出問題球。判斷如下：

* 若左重、左重、右重，判定是 1 號球重；若左輕、左輕、右輕，判定是 1 號球輕；
* 若左重、右重、右重，判定是 2 號球重；若左輕、右輕、右輕，判定是 2 號球輕；
* 若左重、右重、平衡，判定是 3 號球重；若左輕、右輕、平衡，判定是 3 號球輕；
* 若左重、平衡、左重，判定是 4 號球重；若左輕、平衡、左輕，判定是 4 號球輕；
* 若右重、左重、右重，判定是 5 號球重；若右輕、左輕、右輕，判定是 5 號球輕；
* 若右重、右重、平衡，判定是 6 號球重；若右輕、右輕、平衡，判定是 6 號球輕；
* 若右重、平衡、平衡，判定是 7 號球重；若右輕、平衡、平衡，判定是 7 號球輕；
* 若右重、平衡、左重，判定是 8 號球重；若右輕、平衡、左輕，判定是 8 號球輕；
* 若平衡、左重、左重，判定是 9 號球重；若平衡、左輕、左輕，判定是 9 號球輕；
* 若平衡、右重、左重，判定是 10 號球重；若平衡、右輕、左輕，判定是 10 號球輕；
* 若平衡、左重、平衡，判定是 11 號球重；若平衡、左輕、平衡，判定是 11 號球輕；
* 若平衡、平衡、右重，判定是 12 號球重；若平衡、平衡、右輕，判定是 12 號球輕。

在此說明第一種情況（左重、左重、右重）的判斷方法：

* 第一次左重，劃掉 9、10、11、12，剩下 1、2、3、4、5、6、7、8 可疑
* 第二次左重，劃掉 4、7、8，剩下 1、2、3、5、6 可疑
* 第一、二次均左重，劃掉 2、3、5，剩下 1、6 可疑
* 第三次右重，劃掉 6，僅剩 1，可判定重。

同理，若左輕、左輕、右輕，判定是 1 號球輕。其餘依此類推。，

## 數學方法

固定秤球方法，可以採用數學方程式來表達： $AX=Y$ ，其中： $A=\left({\begin{matrix}1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&0&0\\1&-1&-1&0&1&-1&0&0&1&-1\\-1&-1&0&1&-1&0&0&1&1&1\\\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}0&0\\1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right),$
 $X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{12}\end{pmatrix}},Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

矩陣方程是用天平秤球的情況描述，即：左盤總重量 — 右盤總重量＝差值，下面進一步解釋 A、X、Y 的含義及判定規則。

首先：因為在 12 個球中，只有 1 個球與其它球重量不一樣，所以在邏輯上使用 ±1 來代表重量差 ±△X。

其次：A 為 3 行 12 列矩陣，係數矩陣的第 i 行第 j 列元素表示第 i 次第 j 號球的位置。1 代表小球被放在左盤，-1 代表小球被放在右盤，0 代表小球不參與稱重。

* X 為 12 行 1 列矩陣，表示 12 個球的重量；
* Y 為 3 行 1 列矩陣，表示 3 次秤球的結果。左盤比右盤重時，用 1 表示；左右盤平衡時，用 0 表示；左盤比右盤輕時，用 - 1 表示。

最後：當 Y 與 A 的第 j 列相等時，則判定為第 j 球重；當 Y 與 A 的第 j 列的負向量相等時，則判定為第 j 球輕。
12球问题