<p><b>邏輯矩陣</b>（或者<b>布林矩陣</b>）是由布林域<b>B</b> = {0, 1}組成的矩陣。這樣的矩陣可以用來表示一對有限集合之間的二元關係。
</p>
<h2><span id=".E5.85.B3.E7.B3.BB.E7.9A.84.E7.9F.A9.E9.98.B5.E8.A1.A8.E7.A4.BA"></span><span id="关系的矩阵表示">關係的矩陣表示</span></h2>
<p>如果<i>R</i>是有限集合<i>X</i>和<i>Y</i>之間的一個二元關係（<span> <i>R</i> ⊆ <i>X</i>×<i>Y</i></span>），那麼<i>R</i>可以用矩陣<i>M</i>來表示，<i>M</i>的行索引和列索引由<i>X</i>和<i>Y</i>兩個集合分別給出。<i>M</i>的元素定義如下：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{i,j}={\begin{cases}1&amp;(i,j)\in R\\0&amp;(i,j)\not \in R\end{cases}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>i</mi>
            <mo>,</mo>
            <mi>j</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow>
            <mo>{</mo>
            <mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false">
              <mtr>
                <mtd>
                  <mn>1</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mi>i</mi>
                  <mo>,</mo>
                  <mi>j</mi>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                  <mo>∈<!-- ∈ --></mo>
                  <mi>R</mi>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <mn>0</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mo stretchy="false">(</mo>
                  <mi>i</mi>
                  <mo>,</mo>
                  <mi>j</mi>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                  <mo>∉</mo>
                  <mi>R</mi>
                </mtd>
              </mtr>
            </mtable>
            <mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"></mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{i,j}={\begin{cases}1&amp;(i,j)\in R\\0&amp;(i,j)\not \in R\end{cases}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>注意，在以上定義中，假設了矩陣索引可以出自任意有限集合。如果要求索引是來自某集合<span> {1, 2, ..., <i>n</i></span>}的整數，必須用一個<i>n</i>維的有限集合與集合<span> {1, 2, ..., <i>n</i></span>}的對射（一一對應）來把原來集合的元素表示成整數。
</p>
<h2><span id=".E4.BE.8B.E5.AD.90"></span><span id="例子">例子</span></h2>
<p>自然數集合{1, 2, 3, 4}的二元關係<i>整除</i>由以下自然數對集合組成：
</p>
<dl><dd>{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.</dd></dl><p>相應的布林矩陣表示為：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&amp;1&amp;1&amp;1\\0&amp;1&amp;0&amp;1\\0&amp;0&amp;1&amp;0\\0&amp;0&amp;0&amp;1\end{pmatrix}}.}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow>
            <mo>(</mo>
            <mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
              <mtr>
                <mtd>
                  <mn>1</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>1</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>1</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>1</mn>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <mn>0</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>1</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>0</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>1</mn>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <mn>0</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>0</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>1</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>0</mn>
                </mtd>
              </mtr>
              <mtr>
                <mtd>
                  <mn>0</mn>
                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>0</mn>
                </mtd>
                <mtd>
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                </mtd>
                <mtd>
                  <mn>1</mn>
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            </mtable>
            <mo>)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>.</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&amp;1&amp;1&amp;1\\0&amp;1&amp;0&amp;1\\0&amp;0&amp;1&amp;0\\0&amp;0&amp;0&amp;1\end{pmatrix}}.}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><h2><span id=".E4.B8.80.E4.BA.9B.E6.80.A7.E8.B4.A8"></span><span id="一些性质">一些性質</span></h2>
<p>表示有限集合上的相等關係矩陣是單位矩陣，即對角線的元素均為1，其他元素為0。
</p><p>如果布林域被看作是半環的，加法對應於邏輯或，乘法對應於邏輯與，兩個關係的合成的矩陣表示等於表示這些關係的矩陣的矩陣乘法。
</p>
**邏輯矩陣**（或者**布林矩陣**）是由布林域 **B** = {0, 1} 組成的矩陣。這樣的矩陣可以用來表示一對有限集合之間的二元關係。

## 關係的矩陣表示

如果 _R_ 是有限集合 _X_ 和 _Y_ 之間的一個二元關係（ _R_ ⊆ _X_×_Y_），那麼 _R_ 可以用矩陣 _M_ 來表示，_M_ 的行索引和列索引由 _X_ 和 _Y_ 兩個集合分別給出。_M_ 的元素定義如下：

　
: $M_{i,j}={\begin{cases}1&(i,j)\in R\\0&(i,j)\not \in R\end{cases}}$

注意，在以上定義中，假設了矩陣索引可以出自任意有限集合。如果要求索引是來自某集合 {1, 2, ..., _n_} 的整數，必須用一個 _n_ 維的有限集合與集合 {1, 2, ..., _n_} 的對射（一一對應）來把原來集合的元素表示成整數。

## 例子

自然數集合 {1, 2, 3, 4} 的二元關係_整除_由以下自然數對集合組成：

　
: {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.

相應的布林矩陣表示為：

　
: ${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

## 一些性質

表示有限集合上的相等關係矩陣是單位矩陣，即對角線的元素均為 1，其他元素為 0。

如果布林域被看作是半環的，加法對應於邏輯或，乘法對應於邏輯與，兩個關係的合成的矩陣表示等於表示這些關係的矩陣的矩陣乘法。
0-1矩阵