<p><b>雙重梅森數</b>（英語：<span lang="en"><b>double Mersenne number</b></span>）是指可以用以下形式表示的梅森數：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>n</mi>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msup>
              <mn>2</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>n</mi>
              </mrow>
            </msup>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>其中<i>n</i>為正整數。
</p><p>雙重梅森數的數列如下
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{1}}=M_{1}=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>1</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{1}}=M_{1}=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>2</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mn>7</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>3</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>7</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mn>127</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{4}}=M_{15}=32767}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>4</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>15</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mn>32767</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{4}}=M_{15}=32767}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>5</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>31</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mn>2147483647</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}</annotation>
  </semantics></math></span></span> （OEIS數列A077585）</dd></dl><p>雙重梅森數的2倍加3是費馬數。
</p>


<h2><span id=".E9.9B.99.E9.87.8D.E6.A2.85.E6.A3.AE.E8.B3.AA.E6.95.B8"></span><span id="雙重梅森質數">雙重梅森質數</span></h2>
<p>若雙重梅森數本身也是質數，則稱為<b>雙重梅森質數</b>。由於梅森數<i>M</i><sub><i>p</i></sub>為質數的必要條件是<i>p</i>為質數，因此雙重梅森數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{p}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>p</mi>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{p}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為質數的必要條件是<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{p}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>p</mi>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{p}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為梅森質數。
</p><p>頭幾個雙重梅森質數如下：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>2</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mn>7</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>3</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>7</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mn>127</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>5</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>31</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mn>2147483647</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>7</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>127</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mn>170141183460469231731687303715884105727</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}</annotation>
  </semantics></math></span></span> （OEIS數列A077586）.</dd></dl><p>頭幾個使<i>M</i><sub><i>p</i></sub>為質數的p值為<i>p</i> = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127（OEIS數列A000043）。在p為2, 3, 5, 7時，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{p}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>p</mi>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{p}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為質數，但在<i>p</i> = 13, 17, 19及31時，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{p}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>p</mi>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{p}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>不是質數，下一個雙重梅森數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{61}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>61</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{61}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>還不確定是否是質數，其數值為2<sup>2305843009213693951</sup> − 1，大約是1.695×10<sup>694127911065419641</sup>，目前已知的素性測試無法處理這麼大的數字，已知在小於4×10<sup>33</sup>的整數中，沒有<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{61}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>61</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{61}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的質因數。可能除了上述的四個雙重梅森質數外，不存在其他的雙重梅森質數。。
</p>
<h2><span id=".E5.92.8C.E5.A4.A7.E7.9C.BE.E5.A8.9B.E6.A8.82.E7.9A.84.E9.97.9C.E4.BF.82"></span><span id="和大眾娛樂的關係">和大眾娛樂的關係</span></h2>
<p>在乃出個未來電影版《The Beast with a Billion Backs》中，雙重梅森數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{M_{7}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>M</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>M</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>7</mn>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{M_{7}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>出現在「哥德巴赫猜想的大略證明」中，其中該數字被稱為「火星素數」（martian prime）。
</p>
<h2><span id=".E7.9B.B8.E9.97.9C.E6.A2.9D.E7.9B.AE"></span><span id="相關條目">相關條目</span></h2>
<ul><li>完全數</li>
<li>費馬數</li>
<li>韋伊費列治素數</li>
<li>雙重指數</li></ul><h2><span id=".E5.8F.83.E8.80.83.E8.B3.87.E6.96.99"></span><span id="參考資料">參考資料</span></h2>

<h2><span id=".E5.BB.B6.E4.BC.B8.E9.96.B1.E8.AE.80"></span><span id="延伸閱讀">延伸閱讀</span></h2>
<ul><li><cite id="CITEREFDickson1971" class="citation">Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, New York: Chelsea Publishing, 1971 [1919]</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A%E5%8F%8C%E9%87%8D%E6%A2%85%E6%A3%AE%E6%95%B0&amp;rft.aufirst=L.+E.&amp;rft.aulast=Dickson&amp;rft.btitle=History+of+the+Theory+of+Numbers&amp;rft.date=1971&amp;rft.genre=book&amp;rft.place=New+York&amp;rft.pub=Chelsea+Publishing&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook"><span> </span></span>.</li></ul><h2><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E9.80.A3.E7.B5.90"></span><span id="外部連結">外部連結</span></h2>
<ul><li><span id="Reference-Mathworld-Double_Mersenne_Number"><cite class="citation web">埃里克·韋斯坦因. Double Mersenne Number. MathWorld.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A%E5%8F%8C%E9%87%8D%E6%A2%85%E6%A3%AE%E6%95%B0&amp;rft.atitle=Double+Mersenne+Number&amp;rft.au=%E5%9F%83%E9%87%8C%E5%85%8B%C2%B7%E9%9F%A6%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%9B%A0&amp;rft.genre=unknown&amp;rft.jtitle=MathWorld&amp;rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FDoubleMersenneNumber.html&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></span></li>
<li>Tony Forbes, A search for a factor of MM61（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.</li>
<li>Status of the factorization of double Mersenne numbers</li>
<li>Double Mersennes Prime Search（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）</li>
<li>Operazione Doppi Mersennes（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）</li></ul>
**雙重梅森數**（英語：**double Mersenne number**）是指可以用以下形式表示的梅森數：

　
: $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$

其中 _n_ 為正整數。

雙重梅森數的數列如下

　
: $M_{M_{1}}=M_{1}=1$

　
: $M_{M_{2}}=M_{3}=7$

　
: $M_{M_{3}}=M_{7}=127$

　
: $M_{M_{4}}=M_{15}=32767$

　
: $M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647$ （OEIS 數列 A077585）

雙重梅森數的 2 倍加 3 是費馬數。

## 雙重梅森質數

若雙重梅森數本身也是質數，則稱為**雙重梅森質數**。由於梅森數 _M_p 為質數的必要條件是 _p_ 為質數，因此雙重梅森數 $M_{M_{p}}$ 為質數的必要條件是 $M_{p}$ 為梅森質數。

頭幾個雙重梅森質數如下：

　
: $M_{M_{2}}=M_{3}=7$

　
: $M_{M_{3}}=M_{7}=127$

　
: $M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647$

　
: $M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727$ （OEIS 數列 A077586）.

頭幾個使 _M_p 為質數的 p 值為 _p_ = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127（OEIS 數列 A000043）。在 p 為 2, 3, 5, 7 時， $M_{M_{p}}$ 為質數，但在 _p_ = 13, 17, 19 及 31 時， $M_{M_{p}}$ 不是質數，下一個雙重梅森數 $M_{M_{61}}$ 還不確定是否是質數，其數值為 22305843009213693951 − 1，大約是 1.695×10694127911065419641，目前已知的素性測試無法處理這麼大的數字，已知在小於 4×1033 的整數中，沒有 $M_{M_{61}}$ 的質因數。可能除了上述的四個雙重梅森質數外，不存在其他的雙重梅森質數。。

## 和大眾娛樂的關係

在乃出個未來電影版《The Beast with a Billion Backs》中，雙重梅森數 $M_{M_{7}}$ 出現在「哥德巴赫猜想的大略證明」中，其中該數字被稱為「火星素數」（martian prime）。

## 相關條目

* 完全數
* 費馬數
* 韋伊費列治素數
* 雙重指數

## 參考資料

## 延伸閱讀

* Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, New York: Chelsea Publishing, 1971 [1919] .

## 外部連結

* 埃里克・韋斯坦因. Double Mersenne Number. MathWorld.
* Tony Forbes, A search for a factor of MM61（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
* Status of the factorization of double Mersenne numbers
* Double Mersennes Prime Search（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Operazione Doppi Mersennes（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
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