<p>在數學中，「<b>1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·</b>」這個無窮級數是絕對收斂的交錯級數中的一個較為簡單的例子。
</p><p>因為「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·」是一個首項為1/2、公比為−1/2的幾何級數，所以將它求和有：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\frac {1}{2}}{1-(-{\frac {1}{2}})}}={\frac {1}{3}}.}">
  <semantics>
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      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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              <mo>−<!-- − --></mo>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\frac {1}{2}}{1-(-{\frac {1}{2}})}}={\frac {1}{3}}.}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl>

<h2><span id=".E5.93.88.E8.82.AF.E5.B8.83.E4.BB.80.E6.B8.B8.E6.88.8F.E5.8F.8A.E8.B6.85.E7.8E.B0.E5.AE.9E.E6.95.B0"></span><span id="哈肯布什游戏及超现实数">哈肯布希遊戲及超現實數</span></h2>

<p>對該級數進行簡單的移項後有：
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{3}}.}">
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        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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            <mn>8</mn>
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        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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            <mn>16</mn>
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        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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            <mn>1</mn>
            <mn>3</mn>
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        </mrow>
        <mo>.</mo>
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{3}}.}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</p><p>上一步得到的級數由一個正整數加上一組或正或負的1/2的冪組成，所以它可以被轉化為代表超現實數1/3的無限的藍-紅Hackenbush串（blue-red Hackenbush string）：
</p>
<dl><dd>LRRLRLR… = 1/3.</dd></dl><p>簡化後的Hackenbush串消去了重複的「R」：
</p>
<dl><dd>LRLRLRL… = 2/3.</dd></dl><p>就<span data-orig-title="哈肯布什" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Hackenbush"><span>哈肯布希</span></span>里的情況而言，這個等式意味著畫在右側的小塊的值為0；則後移動小塊的玩家可以有制勝的戰略。
</p>
<h2><span id=".E7.9B.B8.E5.85.B3.E7.BA.A7.E6.95.B0"></span><span id="相关级数">相關級數</span></h2>
<ul><li>「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · 是絕對收斂的。」這樣的陳述意味著級數「1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·」是收斂的。事實上，後者收斂得到1，而且它證明了1進行二進位擴展（binary expansion）後得到的是0.111…。</li>
<li>將級數「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · 」各項按順序從左至右兩兩相加，會得到另一個具有同樣的和的幾何級數，「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·」。這是數學史上第一個被求和的級數；它曾被阿基米德於公元前約250~200年使用過。</li>
<li>發散級數「1 − 2 + 4 − 8 + · · ·」的歐拉轉換是「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·」，因此，雖然前者並不具有通常意義上的和，但它的歐拉求和的結果也是1/3。</li></ul><h2><span id=".E6.B3.A8.E9.87.8A"></span><span id="注释">注釋</span></h2>

<h2><span id=".E5.8F.82.E8.80.83"></span><span id="参考">參考</span></h2>

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在數學中，「**1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·**」這個無窮級數是絕對收斂的交錯級數中的一個較為簡單的例子。

因為「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 +・・・」是一個首項為 1/2、公比為−1/2 的幾何級數，所以將它求和有：

　
: ${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\frac {1}{2}}{1-(-{\frac {1}{2}})}}={\frac {1}{3}}.$

## 哈肯布希遊戲及超現實數

對該級數進行簡單的移項後有： $1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{3}}.$

上一步得到的級數由一個正整數加上一組或正或負的 1/2 的冪組成，所以它可以被轉化為代表超現實數 1/3 的無限的藍 - 紅 Hackenbush 串（blue-red Hackenbush string）：

　
: LRRLRLR… = 1/3.

簡化後的 Hackenbush 串消去了重複的「R」：

　
: LRLRLRL… = 2/3.

就哈肯布希里的情況而言，這個等式意味著畫在右側的小塊的值為 0；則後移動小塊的玩家可以有制勝的戰略。

## 相關級數

* 「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 +・・・是絕對收斂的。」這樣的陳述意味著級數「1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +・・・」是收斂的。事實上，後者收斂得到 1，而且它證明了 1 進行二進位擴展（binary expansion）後得到的是 0.111…。
* 將級數「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 +・・・」各項按順序從左至右兩兩相加，會得到另一個具有同樣的和的幾何級數，「1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +・・・」。這是數學史上第一個被求和的級數；它曾被阿基米德於公元前約 250~200 年使用過。
* 發散級數「1 − 2 + 4 − 8 +・・・」的歐拉轉換是「1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 +・・・」，因此，雖然前者並不具有通常意義上的和，但它的歐拉求和的結果也是 1/3。

## 注釋

## 參考
1/2−1/4+1/8−1/16+…