<p><b>1 + 1 + 1 + 1 + …</b>，亦寫作 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <msup>
          <mi>n</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>, <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <msup>
          <mn>1</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>或<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，是一個發散級數，表示其部份和形成的數列不會收斂。數列1<sup><i>n</i></sup>可以視為公比為1的等比級數。不同於其他公比為有理數的等比級數，此級數不但在實數下不收斂，在某些特定數字p的p進數下也不收斂。若在擴展的實數軸中，因為部份和形成的數列單調遞增且沒有上界，因此級數的值如下：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mo>+</mo>
        <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
        <mo>,</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>此發散級數無法用切薩羅求和及阿貝爾和的求和法求和。
</p><p>當出現於物理運用時，它也解釋為<span data-orig-title="ζ函數正規化" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Zeta function regularization"><span>ζ函數正規化</span></span>，它是黎曼ζ函數在零點的取值。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>ζ<!-- ζ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>s</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <msup>
              <mi>n</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>s</mi>
              </mrow>
            </msup>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mrow>
              <mn>1</mn>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <msup>
                <mn>2</mn>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>1</mn>
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mi>s</mi>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="normal">∞<!-- ∞ --></mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mo stretchy="false">(</mo>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
              <msup>
                <mo stretchy="false">)</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mi>n</mi>
                  <mo>+</mo>
                  <mn>1</mn>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <msup>
              <mi>n</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>s</mi>
              </mrow>
            </msup>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
        <mo>,</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>上述二個公式在<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>s</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>時不成立，必需利用解析連續定義。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>ζ<!-- ζ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>s</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>s</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <msup>
          <mi>π<!-- π --></mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>s</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mtext> </mtext>
        <mi>sin</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mfrac>
              <mrow>
                <mi>π<!-- π --></mi>
                <mi>s</mi>
              </mrow>
              <mn>2</mn>
            </mfrac>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mtext> </mtext>
        <mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>s</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mtext> </mtext>
        <mi>ζ<!-- ζ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>s</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mspace width="negativethinmathspace"></mspace>
        <mo>,</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>用上式求得（假設<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma (1)=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi mathvariant="normal">Γ<!-- Γ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma (1)=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>）
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>ζ<!-- ζ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>0</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mi>π<!-- π --></mi>
          </mfrac>
        </mrow>
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>s</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mtext> </mtext>
        <mi>sin</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mfrac>
              <mrow>
                <mi>π<!-- π --></mi>
                <mi>s</mi>
              </mrow>
              <mn>2</mn>
            </mfrac>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mtext> </mtext>
        <mi>ζ<!-- ζ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>s</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mi>π<!-- π --></mi>
          </mfrac>
        </mrow>
        <munder>
          <mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>s</mi>
            <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </munder>
        <mtext> </mtext>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mrow>
                  <mi>π<!-- π --></mi>
                  <mi>s</mi>
                </mrow>
                <mn>2</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mrow>
                  <msup>
                    <mi>π<!-- π --></mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>3</mn>
                    </mrow>
                  </msup>
                  <msup>
                    <mi>s</mi>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>3</mn>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
                <mn>48</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mo>.</mo>
            <mo>.</mo>
            <mo>.</mo>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mtext> </mtext>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mn>1</mn>
                <mi>s</mi>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mo>.</mo>
            <mo>.</mo>
            <mo>.</mo>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mspace width="negativethinmathspace"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>以下<span><span>ζ(<i>s</i>)</span></span>在<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span><i>s</i> = 1</span></span>時的級數展開：也是這種意義下此級數的和：
</p><p><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −<sup>1</sup>⁄<sub>2</sub></span></span></p><p>也可用其他的s值來為其他的級數求和，例如ζ(-1)=1 + 2 + 3 + 4 + ⋯=–1/12，ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0，其通式為
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\ldots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}}">
  <semantics>
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            <mi>s</mi>
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    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\ldots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>其中<i>B</i><sub>k</sub>為伯努利數。
</p><p>在同一年內，有兩位傑出的物理學家斯拉夫諾夫（A. Slavnov）和F. Yndurain 分別在巴塞羅那作了學術演講。兩場學術演講的主題不同，但是在這兩個人的介紹當中，都說到了一句令觀眾非常難忘的話：「各位都知道，1 + 1 + 1 + 1 + … = −1⁄2」，某程度意味著「如果觀眾不知道這個，那麼繼續聽下去是沒有意義的。」 </p>
<h2><span id=".E5.8F.83.E8.80.83.E8.B3.87.E6.96.99"></span><span id="參考資料">參考資料</span></h2>

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**1 + 1 + 1 + 1 + …**，亦寫作 $\sum _{n=1}^{\infty }n^{0}$ , $\sum _{n=1}^{\infty }1^{n}$ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }1$ ，是一個發散級數，表示其部份和形成的數列不會收斂。數列 1n 可以視為公比為 1 的等比級數。不同於其他公比為有理數的等比級數，此級數不但在實數下不收斂，在某些特定數字 p 的 p 進數下也不收斂。若在擴展的實數軸中，因為部份和形成的數列單調遞增且沒有上界，因此級數的值如下：

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,$

此發散級數無法用切薩羅求和及阿貝爾和的求和法求和。

當出現於物理運用時，它也解釋為 ζ 函數正規化，它是黎曼 ζ 函數在零點的取值。

　
: $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,$

上述二個公式在 $s=0$ 時不成立，必需利用解析連續定義。

　
: $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,$

用上式求得（假設 $\Gamma (1)=1$ ）

　
: $\zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!$

以下 ζ(_s_) 在 _s_ = 1 時的級數展開：也是這種意義下此級數的和：

1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1⁄2

也可用其他的 s 值來為其他的級數求和，例如 ζ(-1)=1 + 2 + 3 + 4 + ⋯=–1/12，ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0，其通式為

　
: $\zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\ldots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}$

其中 _B_k 為伯努利數。

在同一年內，有兩位傑出的物理學家斯拉夫諾夫（A. Slavnov）和 F. Yndurain 分別在巴塞羅那作了學術演講。兩場學術演講的主題不同，但是在這兩個人的介紹當中，都說到了一句令觀眾非常難忘的話：「各位都知道，1 + 1 + 1 + 1 + … = −1⁄2」，某程度意味著「如果觀眾不知道這個，那麼繼續聽下去是沒有意義的。」 

## 參考資料
1+1+1+1+…