<p><b><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></b>是距離原點兩個單位的高斯整數，為虛數單位的兩倍，同時也是負四的平方根，是方程式式<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{2}+4=0}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>4</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>0</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{2}+4=0}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的正虛根。日常生活中通常不會用<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>來計量事物，例如無法具體地描述何謂<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>個人，邏輯上<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>個人並沒有意義。部分書籍或教科書偶爾會使用<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>來做虛數的例子或題目。</p><p>在高斯平面上，與<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>相鄰的純虛數之高斯整數有<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>和<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>3</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，然而複數不具備有序性，即無法判斷<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>與<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>3</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>間的大小關係，因此無法定義<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>與<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>3</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>何者為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的前一個虛數、何者為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的下一個虛數。
</p>


<h2><span id=".E6.80.A7.E8.B3.AA"></span><span id="性質">性質</span></h2>
<ul><li><b><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></b>不屬於實數，是一個純虛數，同時也是複數位於複數平面，其實部為0、虛部為2，輻角為90度（<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mi>π<!-- π --></mi>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>弧度），其也能表達為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2e^{i\pi /2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <msup>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>i</mi>
            <mi>π<!-- π --></mi>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mo>/</mo>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2e^{i\pi /2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>或<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mrow>
          <mo>(</mo>
          <mrow>
            <mi>cos</mi>
            <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mi>π<!-- π --></mi>
                <mn>2</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mi>i</mi>
            <mi>sin</mi>
            <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mfrac>
                <mi>π<!-- π --></mi>
                <mn>2</mn>
              </mfrac>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo>)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。</li>
<li><b><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></b>是一個高斯整數，<span data-orig-title="高斯整數分解列表" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Table_of_Gaussian_integer_factorizations"><span>高斯整數分解</span></span>為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1+i)^{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1+i)^{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，或<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1+i)(1+i)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1+i)(1+i)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，其中，<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>1+<i>i</i></span></span>為<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>2<i>i</i></span></span>的高斯質因數。</li>
<li>所有複數的可以表達為<b><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></b>之冪的線性組合。換句話說若進位制以<b><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></b>為底數，則可獨一無二地表示全體複數。該進制稱為2i進制，由高德納於1955年發現。</li>
<li>複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的商，換言之，則<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z-z^{*}=2i\,Im(z)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>z</mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <msup>
          <mi>z</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo>∗<!-- ∗ --></mo>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
        <mi>I</mi>
        <mi>m</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>z</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z-z^{*}=2i\,Im(z)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>I</mi>
        <mi>m</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>z</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mi>z</mi>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <msup>
                <mi>z</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mo>∗<!-- ∗ --></mo>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mrow>
              <mn>2</mn>
              <mi>i</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl></li>
<li>正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的商。<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>sin</mi>
        <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>z</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <msup>
                <mi>e</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mi>i</mi>
                  <mi>z</mi>
                </mrow>
              </msup>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <msup>
                <mi>e</mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mo>−<!-- − --></mo>
                  <mi>i</mi>
                  <mi>z</mi>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mrow>
              <mn>2</mn>
              <mi>i</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl></li>
<li><b><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></b>等於最小的質數和虛數單位的積，即<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{_{1}}\times i=2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>p</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi></mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>1</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mi>i</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{_{1}}\times i=2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，其中<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{n}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>p</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{n}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為第<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>個質數。</li>
<li>虛數單位和虛數單位的倒數相差<b><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></b>。</li>
<li>任意數與<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。</li></ul><h3><span id="2i.E7.9A.84.E5.86.AA"></span><span id="2i的冪"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>2<i>i</i></span></span>的冪</span></h3>
<p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的前幾次冪為<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>1、 2<i>i</i>、 −4、 −8<i>i</i>、 16、 32<i>i</i>、 −64</span></span>...，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>1、<i>i</i>、−1、−<i>i</i></span></span>中變化。其中，實數項為−4的冪 ，虛數的正值項為16的冪的2倍 、虛數的負值項為16的冪的−8倍，因此這種特性使得<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，並且有研究以此特性設計複數運算電路。
</p>
<h3><span id="2i.E7.9A.84.E5.B9.B3.E6.96.B9.E6.A0.B9"></span><span id="2i的平方根"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>2<i>i</i></span></span>的平方根</span></h3>
<p><b><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></b>的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2i}}=1+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <mn>2</mn>
            <mi>i</mi>
          </msqrt>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2i}}=1+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，反過來說<b><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span></b>正好是實數單位與虛數單位相加的平方，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1+i)^{2}=2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1+i)^{2}=2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p>
<h2><span id=".E7.9B.B8.E9.97.9C.E6.95.B8.E5.AD.97"></span><span id="相關數字">相關數字</span></h2>
<h3><span id=".E2.88.922i"></span><span id="−2i"><span id="-2i"></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>−2<i>i</i></span></span></span></h3>
<p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。</p>
<h3><span id="1.2Bi"></span><span id="1+i"><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>1+<i>i</i></span></span></span></h3>
<p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的平方根，由於其冪次為<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>1+<i>i</i>、 2<i>i</i>、 −2+2<i>i</i>、 −4、 −4−4<i>i</i>、 −8<i>i</i>...</span></span>，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為底數的進位制，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>做為底數更為適合。</p>
<h3><span id=".E2.88.921.2Bi"></span><span id="−1+i"><span id="-1+i"></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>−1+<i>i</i></span></span></span></h3>

<p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -2i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -2i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的平方根。由於其冪次為<link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r58896141"><span><span>−1+<i>i</i>、 −2<i>i</i>、 2+2<i>i</i>、 −4、 4−4<i>i</i>、 8<i>i</i>...</span></span>，其在正負、虛實交替變化，因此其可以構建一個以<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為底數並用1和0表達複數的進位制。其他複數雖然也可以，如<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，但對高斯整數而言，以<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為底並不是一個優良的選擇。</p><p>除了<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>外，其他<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -n+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mi>n</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -n+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -1+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為例，其表達的範圍較為均勻，而<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -2+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -2+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>、<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -3+i}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>i</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -3+i}</annotation>
  </semantics></math></span></span>等則會越來越狹長。</p>
<h2><span id=".E5.8F.83.E8.A6.8B"></span><span id="參見">參見</span></h2>
<ul><li>虛數單位</li>
<li>-2</li></ul><h2><span id=".E5.8F.83.E8.80.83.E6.96.87.E7.8D.BB"></span><span id="參考文獻">參考文獻</span></h2>

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**$2i$** 是距離原點兩個單位的高斯整數，為虛數單位的兩倍，同時也是負四的平方根，是方程式式 $x^{2}+4=0$ 的正虛根。日常生活中通常不會用 $2i$ 來計量事物，例如無法具體地描述何謂 $2i$ 個人，邏輯上 $2i$ 個人並沒有意義。部分書籍或教科書偶爾會使用 $2i$ 來做虛數的例子或題目。

在高斯平面上，與 $2i$ 相鄰的純虛數之高斯整數有 $i$ 和 $3i$ ，然而複數不具備有序性，即無法判斷 $2i$ 與 $3i$ 間的大小關係，因此無法定義 $i$ 與 $3i$ 何者為 $2i$ 的前一個虛數、何者為 $2i$ 的下一個虛數。

## 性質

 * **$2i$** 不屬於實數，是一個純虛數，同時也是複數位於複數平面，其實部為 0、虛部為 2，輻角為 90 度（ ${\frac {\pi }{2}}$ 弧度），其也能表達為 $2e^{i\pi /2}$ 或 $2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)$ 。
* **$2i$** 是一個高斯整數，高斯整數分解為 $(1+i)^{2}$ ，或 $(1+i)(1+i)$ ，其中，1+_i_ 為 2_i_ 的高斯質因數。
* 所有複數的可以表達為 **$2i$** 之冪的線性組合。換句話說若進位制以 **$2i$** 為底數，則可獨一無二地表示全體複數。該進制稱為 2i 進制，由高德納於 1955 年發現。
* 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以 $2i$ 的商，換言之，則 $z-z^{*}=2i\,Im(z)$ 。

　
: $Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}$
* 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以 $2i$ 的商。

　
: $\sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$
* **$2i$** 等於最小的質數和虛數單位的積，即 $p_{_{1}}\times i=2i$ ，其中 $p_{n}$ 為第 $n$ 個質數。
* 虛數單位和虛數單位的倒數相差 **$2i$** 。
* 任意數與 $2i$ 相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉 90 度。

### 2_i_ 的冪

 $2i$ 的前幾次冪為 1、 2_i_、 −4、 −8_i_、 16、 32_i_、 −64...，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在 1、_i_、−1、−_i_ 中變化。其中，實數項為−4 的冪 ，虛數的正值項為 16 的冪的 2 倍 、虛數的負值項為 16 的冪的−8 倍，因此這種特性使得 $2i$ 作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，並且有研究以此特性設計複數運算電路。

### 2_i_ 的平方根

 **$2i$** 的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即 ${\sqrt {2i}}=1+i$ ，反過來說 **$2i$** 正好是實數單位與虛數單位相加的平方， $(1+i)^{2}=2i$ 。

## 相關數字

### −2_i_

 $-2i$ 是 $2i$ 的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。

### 1+_i_

 $1+i$ 是 $2i$ 的平方根，由於其冪次為 1+_i_、 2_i_、 −2+2_i_、 −4、 −4−4_i_、 −8_i_...，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於 $-1+i$ 為底數的進位制， $-1+i$ 做為底數更為適合。

### −1+_i_

 $-1+i$ 是 $-2i$ 的平方根。由於其冪次為−1+_i_、 −2_i_、 2+2_i_、 −4、 4−4_i_、 8_i_...，其在正負、虛實交替變化，因此其可以構建一個以 $-1+i$ 為底數並用 1 和 0 表達複數的進位制。其他複數雖然也可以，如 $1-i$ ，但對高斯整數而言，以 $1-i$ 為底並不是一個優良的選擇。

除了 $-1+i$ 外，其他 $-n+i$ 形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以 $-1+i$ 為例，其表達的範圍較為均勻，而 $-2+i$ 、 $-3+i$ 等則會越來越狹長。

## 參見

* 虛數單位
* -2

## 參考文獻
1+i