<p><b>完全數</b>（<span lang="en">Perfect number</span>），又稱<b>完美數</b>或<b>完備數</b>，是一些特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的因數）的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。
</p><p>例如：第一個完全數是6，它有因數1、2、3、6，除去它本身6外，其餘3個數相加，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mn>2</mn>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo>+</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>6</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，恰好等於本身。第二個完全數是28，它有因數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其餘5個數相加，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>1</mn>
                </mrow>
                <mo>+</mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>2</mn>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo>+</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>4</mn>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo>+</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mn>7</mn>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo>+</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>14</mn>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>28</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，也恰好等於本身。後面的數是496、8128。
</p><p>十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。
</p>


<h2><span id=".E5.AE.8C.E5.85.A8.E6.95.B8.E7.9A.84.E7.99.BC.E7.8F.BE"></span><span id="完全數的發現">完全數的發現</span></h2>
<p>古希臘數學家歐幾里得是通過<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
的表達式發現前四個完全數的。 
</p>
<dl><dd>當<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2:}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>:</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2:}</annotation>
  </semantics></math></span></span><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msup>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>2</mn>
              </mrow>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>1</mn>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
          <mo>×<!-- × --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mrow>
              <mo>(</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msup>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>2</mn>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>2</mn>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>1</mn>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo>)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>6</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd>當<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=3:}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>:</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=3:}</annotation>
  </semantics></math></span></span><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msup>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>2</mn>
              </mrow>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>2</mn>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
          <mo>×<!-- × --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mrow>
              <mo>(</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msup>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>2</mn>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>3</mn>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>1</mn>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo>)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>28</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd>當<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=5:}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>5</mn>
        <mo>:</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=5:}</annotation>
  </semantics></math></span></span><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msup>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>2</mn>
              </mrow>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>4</mn>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
          <mo>×<!-- × --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mrow>
              <mo>(</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msup>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>2</mn>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>5</mn>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>1</mn>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo>)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>496</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd>
<dd>當<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=7:}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>7</mn>
        <mo>:</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=7:}</annotation>
  </semantics></math></span></span><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msup>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>2</mn>
              </mrow>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>6</mn>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
          <mo>×<!-- × --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mrow>
              <mo>(</mo>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msup>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>2</mn>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mn>7</mn>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mn>1</mn>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo>)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>8128</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>一個偶數是完美數，若且唯若它具有如下形式：<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，其中<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是質數，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。
</p><p>比如，上面的<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>6</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6}</annotation>
  </semantics></math></span></span>和<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 28}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>28</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 28}</annotation>
  </semantics></math></span></span>對應著<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=2}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=2}</annotation>
  </semantics></math></span></span>和<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 3}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>3</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 3}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的情況。我們只要找到了一個形如<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的質數（即梅森質數），也就知道了一個偶完美數。
</p><p>儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 12p+1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>12</mn>
        <mi>p</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 12p+1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>或<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 36p+9}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>36</mn>
        <mi>p</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>9</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 36p+9}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的形式，其中<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>p</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是質數。 
</p><p>首十個完全數是（<span> A000396</span>）：
</p>
<ol><li>6（1位）</li>
<li>28（2位）</li>
<li>496（3位）</li>
<li>8128（4位）</li>
<li>33550336（8位）</li>
<li>8589869056（10位）</li>
<li>137438691328（12位）</li>
<li>2305843008139952128（19位）</li>
<li>2658455991569831744654692615953842176（37位）</li>
<li>191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位）</li></ol><h2><span id=".E5.8E.86.E5.8F.B2"></span><span id="历史">歷史</span></h2>
<p>古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。其中的一個假設是：因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個質數，第 5 個完全數應該是第 5 個質數，即當 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=11}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>11</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=11}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 的時候，可是 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>11</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>23</mn>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mn>89</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 並不是質數。因此 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=11}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>11</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=11}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 不是完全數。另外兩個<b>錯誤假設</b>是：
</p>
<ul><li>頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數，第五個應該是 5 位數。</li>
<li>完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。</li></ul><p>事實上，第五個完全數 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>33550336</mn>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>12</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>13</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 是 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>8</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 位數。
</p><p>對於第二個假設，第五個完全數確實是以 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>6</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 結尾，但是1588年，義大利數學家彼得羅·卡達迪計出第六個完全數 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8589869056}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>8589869056</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8589869056}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，仍是以 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>6</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 結尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>6</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 和 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>8</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 結尾。卡達迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。</p><p>對完全數的研究，至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。
</p><p>每一個梅森質數給出一個偶完全數；反之，每個偶完全數給出一個梅森質數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 12 月為止，共發現了 51 個完全數，且都是偶數。最大的已知完全數為 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>82589932</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>×<!-- × --></mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>82589933</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 共有 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 49724095}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>49724095</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 49724095}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 位數。
</p>
<h2><span id=".E6.80.A7.E8.B4.A8"></span><span id="性质">性質</span></h2>
<p>以下是目前已發現的完全數共有的性質。
</p>
<ul><li>偶完全數都是以6或28結尾。</li>
<li>而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。</li>
<li>而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾。</li>
<li>除了6以外的偶完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那麼這個個位數一定是1<span id="noteTag-cite_ref-sup"></span>：</li></ul><pre><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 28}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>28</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 28}</annotation>
  </semantics></math></span></span> → <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2+8=10}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>8</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>10</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2+8=10}</annotation>
  </semantics></math></span></span> → <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+0=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>0</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+0=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 496}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>496</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 496}</annotation>
  </semantics></math></span></span> → <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4+9+6=19}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>4</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>9</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>6</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>19</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4+9+6=19}</annotation>
  </semantics></math></span></span> → <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+9=10}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>9</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>10</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+9=10}</annotation>
  </semantics></math></span></span> → <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+0=1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>0</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+0=1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</pre>
<ul><li>所有的偶完全數都可以表達為2的一些連續正整數次冪之和，從<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{p-1}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>p</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{p-1}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>到<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{2p-2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
            <mi>p</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{2p-2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>：</li></ul><pre><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6=2^{1}+2^{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>6</mn>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6=2^{1}+2^{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 28=2^{2}+2^{3}+2^{4}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>28</mn>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>4</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 28=2^{2}+2^{3}+2^{4}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>496</mn>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>4</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>5</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>6</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>7</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>8</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>8128</mn>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>6</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>7</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>12</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</pre>
<ul><li>每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和<span id="noteTag-cite_ref-sup"></span>：</li></ul><pre><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6=1+2+3}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>6</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6=1+2+3}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>28</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>4</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>5</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>6</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>7</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>496</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>+</mo>
        <mn>30</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>31</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>8128</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>2</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo>+</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>+</mo>
        <mn>126</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>127</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</pre>
<ul><li>除6以外的偶完全數，還可以表示成連續奇立方數之和（被加的項共有<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\sqrt {2^{p-1}}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <msqrt>
            <msup>
              <mn>2</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>p</mi>
                <mo>−<!-- − --></mo>
                <mn>1</mn>
              </mrow>
            </msup>
          </msqrt>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\sqrt {2^{p-1}}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>)<span id="noteTag-cite_ref-sup"></span>：</li></ul><pre><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 28=1^{3}+3^{3}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>28</mn>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>1</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>3</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 28=1^{3}+3^{3}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>496</mn>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>1</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>3</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>5</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>7</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>8128</mn>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>1</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>3</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>5</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>15</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>33550336</mn>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mn>1</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>3</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>5</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>.</mo>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>127</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</pre>
<ul><li>每個完全數的所有因數（包括本身）的倒數之和，都等於2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）</li></ul><pre><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>1</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>3</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>6</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mn>6</mn>
              <mo>+</mo>
              <mn>3</mn>
              <mo>+</mo>
              <mn>2</mn>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mn>6</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>1</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>4</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>7</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>14</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>+</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mn>28</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mn>28</mn>
              <mo>+</mo>
              <mn>14</mn>
              <mo>+</mo>
              <mn>7</mn>
              <mo>+</mo>
              <mn>4</mn>
              <mo>+</mo>
              <mn>2</mn>
              <mo>+</mo>
              <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mn>28</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</pre>
<ul><li>它們的二進位表達式也很有趣：（因為偶完全數形式均如<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>）</li></ul><pre><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (6)_{10}=(110)_{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>6</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>10</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>110</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (6)_{10}=(110)_{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (28)_{10}=(11100)_{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>28</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>10</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>11100</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (28)_{10}=(11100)_{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (496)_{10}=(111110000)_{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>496</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>10</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>111110000</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (496)_{10}=(111110000)_{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (8128)_{10}=(1111111000000)_{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>8128</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>10</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1111111000000</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (8128)_{10}=(1111111000000)_{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>33550336</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>10</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1111111111111000000000000</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>8589869056</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>10</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>111111111111111110000000000000000</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>137438691328</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>10</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>1111111111111111111000000000000000000</mn>
        <msub>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>
</pre>
<h2><span id=".E5.A5.87.E5.AE.8C.E5.85.A8.E6.95.B8"></span><span id="奇完全數">奇完全數</span></h2>
<p>用計算機已經證實：在10<sup>1500</sup>以下，沒有奇完全數；至今還證明了，如果奇完全數存在，則它至少包含11個不同質數（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜測：奇完全數是不存在的。完全數的個數是否為無限？至今都不能回答。
</p><p>美國數學家卡爾·帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。</p>
<h3><span id=".E5.A5.87.E5.AE.8C.E5.85.A8.E6.95.B0.E7.9A.84.E9.83.A8.E5.88.86.E6.9D.A1.E4.BB.B6"></span><span id="奇完全数的部分条件">奇完全數的部分條件</span></h3>
<ul><li><i>N</i> &gt; 10<sup>1500</sup></li>
<li><i>N</i>是以下形式：</li></ul><dl><dd><dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>N</mi>
        <mo>=</mo>
        <msup>
          <mi>q</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>α<!-- α --></mi>
          </mrow>
        </msup>
        <msubsup>
          <mi>p</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
            <msub>
              <mi>e</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mn>1</mn>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msubsup>
        <mo>…<!-- … --></mo>
        <msubsup>
          <mi>p</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
            <msub>
              <mi>e</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>k</mi>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msubsup>
        <mo>,</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl></dd>
<dd>其中：
<ul><li><i>q</i>，<i>p</i><sub>1</sub>，…，<i>p</i><sub><i>k</i></sub>是不同的質數（Euler）。</li>
<li><i>q</i> ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。</li>
<li><i>N</i>的最小質因子必須小於<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mrow>
              <mi>k</mi>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>1</mn>
            </mrow>
            <mn>2</mn>
          </mfrac>
        </mrow>
        <mo>.</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。</li>
<li><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{1}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{1}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>≡<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{2}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{2}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>...≡<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{k}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{k}}</annotation>
  </semantics></math></span></span> ≡ 1（mod 3）的關係不能滿足（McDaniel 1970）。</li>
<li>要麼<i>q</i><sup>α</sup> &gt; 10<sup>62</sup>，要麼對於某個<i>j</i>有<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p_{j}^{2e_{j}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msubsup>
          <mi>p</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>j</mi>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
            <msub>
              <mi>e</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>j</mi>
              </mrow>
            </msub>
          </mrow>
        </msubsup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p_{j}^{2e_{j}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span> &gt; 10<sup>62</sup>。</li>
<li><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N&lt;2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>N</mi>
        <mo>&lt;</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo stretchy="false">(</mo>
            <msup>
              <mn>4</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>k</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
              </mrow>
            </msup>
            <mo>−<!-- − --></mo>
            <msup>
              <mn>2</mn>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>k</mi>
                <mo>+</mo>
                <mn>1</mn>
              </mrow>
            </msup>
            <mo stretchy="false">)</mo>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N&lt;2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></li></ul></dd></dl><ul><li><i>N</i>必須可以寫成12n+1，468n+117或324n+81（n為整數）的形式。</li>
<li><i>N</i>不能被105整除。</li>
<li><i>N</i>的最大質因子必須大於10<sup>8</sup>，並低於 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (3N)^{1/3}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>3</mn>
        <mi>N</mi>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mo>/</mo>
            </mrow>
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (3N)^{1/3}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。。</li>
<li><i>N</i>的第二大質因子必須大於10<sup>4</sup>，並低於<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (2N)^{1/5}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>N</mi>
        <msup>
          <mo stretchy="false">)</mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <mo>/</mo>
            </mrow>
            <mn>5</mn>
          </mrow>
        </msup>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2N)^{1/5}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。  。</li>
<li><i>N</i>的第三大質因子必須大於100。</li>
<li><i>N</i>至少要有101個質因子，其中至少10個是不同的。 如果3不是質因子之一，則至少要有12個不同的質因子。</li></ul><ul><li>如果對於所有的<i>i</i>，都有<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e_{i}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>e</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>i</mi>
          </mrow>
        </msub>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e_{i}}</annotation>
  </semantics></math></span></span> ≤ 2，那麼：
<ul><li><i>N</i>的最小質因子必須大於739（Cohen 1987）。</li>
<li>α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。</li></ul></li></ul><h3><span id=".E5.9C.96.E6.9F.A5.E5.BE.B7.E5.AE.9A.E7.90.86"></span><span id="圖查德定理">圖查德定理</span></h3>
<p>這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 12m+1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>12</mn>
        <mi>m</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 12m+1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>或<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 36q+9}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>36</mn>
        <mi>q</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>9</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 36q+9}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。最初的證明在1953年由<span data-orig-title="雅克·圖查德" data-lang-code="en" data-lang-name="英語" data-foreign-title="Jacques Touchard"><span>雅克·圖查德</span></span>首先證明，1951年巴爾塔薩·范德波爾用非線性偏微分方程式得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。
</p><p>證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數）
</p>
<ul><li>歐拉證明了奇完全數的形式必如<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4j+1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>4</mn>
        <mi>j</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4j+1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。</li>
<li><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (n)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>σ<!-- σ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (n)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>表示<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的正因數之和。完全數的定義即為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n=\sigma (n)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mi>σ<!-- σ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n=\sigma (n)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。<br><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (n)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>σ<!-- σ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (n)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為積性函數</li>
<li>引理（甲）：若<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=6k-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>6</mn>
        <mi>k</mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=6k-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>（<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>k</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是正整數），則<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>非完全數。</li>
<li>引理（乙）：若<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=4k-1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>k</mi>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=4k-1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>（<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>k</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>
  </semantics></math></span></span>是正整數），則<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>非完全數。</li></ul><p>引理的證明（甲）：
</p><p>使用反證法，設<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為完全數，且<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\equiv -1{\pmod {6}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>6</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\equiv -1{\pmod {6}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\equiv -1{\pmod {3}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>3</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\equiv -1{\pmod {3}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。因為3的二次剩餘只有0,1，故<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>非平方數，因此其正因數個數為偶數。
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>有正因數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>d</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，則可得：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\equiv 1{\pmod {3}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>d</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>3</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\equiv 1{\pmod {3}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>且<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {3}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>/</mo>
        </mrow>
        <mi>d</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>3</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {3}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>；或</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\equiv -1{\pmod {3}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>d</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>3</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\equiv -1{\pmod {3}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>且<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {3}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>/</mo>
        </mrow>
        <mi>d</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>3</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {3}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。</dd></dl><p>因此，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>/</mo>
        </mrow>
        <mi>d</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>d</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>0</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>3</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。故<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d&lt;{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>σ<!-- σ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <munder>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>d</mi>
            <mo>&lt;</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <msqrt>
                <mi>n</mi>
              </msqrt>
            </mrow>
          </mrow>
        </munder>
        <mi>d</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>n</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>/</mo>
        </mrow>
        <mi>d</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>0</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>3</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d&lt;{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>但<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>n</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>3</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，矛盾。
</p><p>故<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的形式只可能為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6k+1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>6</mn>
        <mi>k</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6k+1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>或<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6k+3}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>6</mn>
        <mi>k</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6k+3}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>引理的證明（乙）：
</p><p>使用反證法，設<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為完全數，且<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>4</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>4</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。因為4的二次剩餘只有0,1，故<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>非平方數，因此其正因數個數為偶數。
</p><p><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>有正因數<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>d</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，則可得：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>d</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>4</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>且<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>/</mo>
        </mrow>
        <mi>d</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>4</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>；或</dd>
<dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\equiv -1{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>d</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>4</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\equiv -1{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>且<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>/</mo>
        </mrow>
        <mi>d</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>4</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。</dd></dl><p>因此，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>/</mo>
        </mrow>
        <mi>d</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>d</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>0</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>4</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。故<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d&lt;{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>σ<!-- σ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <munder>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>d</mi>
            <mo>&lt;</mo>
            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
              <msqrt>
                <mi>n</mi>
              </msqrt>
            </mrow>
          </mrow>
        </munder>
        <mi>d</mi>
        <mo>+</mo>
        <mi>n</mi>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mo>/</mo>
        </mrow>
        <mi>d</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>0</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>4</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d&lt;{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>但<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>n</mi>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mo>−<!-- − --></mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>4</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，矛盾。
</p><p>故<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
  </semantics></math></span></span>的形式只可能為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4k+1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>4</mn>
        <mi>k</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4k+1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p><br>
若<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=6k+1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>6</mn>
        <mi>k</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=6k+1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，根據歐拉的結果，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=4j+1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>j</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=4j+1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，綜合兩者，得<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=12m+1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>12</mn>
        <mi>m</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=12m+1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>若<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=6k+3}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>6</mn>
        <mi>k</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=6k+3}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=4j+1}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>j</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=4j+1}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，得<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=12m+9=3(4m+3)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>12</mn>
        <mi>m</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>9</mn>
        <mo>=</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>m</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=12m+9=3(4m+3)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。若<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>m</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>
  </semantics></math></span></span>非3的倍數，3和<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 4m+3}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>4</mn>
        <mi>m</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 4m+3}</annotation>
  </semantics></math></span></span>互質。
</p><p>因為<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (n)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>σ<!-- σ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (n)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>為積性函數，可得<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>σ<!-- σ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>n</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mi>σ<!-- σ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mi>σ<!-- σ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>m</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>σ<!-- σ --></mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>m</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>3</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>0</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
          <mspace width="0.333em"></mspace>
          <mn>4</mn>
          <mo stretchy="false">)</mo>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>但<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>2</mn>
        <mi>n</mi>
        <mo>=</mo>
        <mn>2</mn>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mn>4</mn>
        <mi>j</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>≡<!-- ≡ --></mo>
        <mn>2</mn>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mspace width="1em"></mspace>
          <mo stretchy="false">(</mo>
          <mi>mod</mi>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，出現了矛盾。故知<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">
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  </semantics></math></span></span>是3的倍數。代入<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m=3q}">
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        <mo>=</mo>
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      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m=3q}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，可得<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=36q+9}">
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=36q+9}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p>
<h2><span id=".E5.8F.83.E8.80.83"></span><span id="參考">參考</span></h2>
<ul><li>Odd Perfect Numbers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Gagan Tara Nanda</li></ul><h2><span id=".E8.A8.BB.E9.87.8B"></span><span id="註釋">註釋</span></h2>

<h2><span id=".E5.8F.83.E8.80.83.E8.B3.87.E6.96.99"></span><span id="參考資料">參考資料</span></h2>
<h2><span id=".E5.8F.83.E8.A6.8B"></span><span id="參見">參見</span></h2>
<ul><li>高合成數</li>
<li>婚約數</li>
<li>親和數</li>
<li>盈數</li>
<li>虧數</li>
<li>梅森質數</li>
<li>半完全數</li>
<li>佩服數</li>
<li>超完全數</li>
<li>梅森質數與完全數集合</li>
<li>笛卡兒數</li></ul><h2><span id=".E5.A4.96.E9.83.A8.E9.93.BE.E6.8E.A5"></span><span id="外部链接">外部連結</span></h2>
<ul><li><cite id="CITEREFHazewinkel2001" class="citation">Hazewinkel, Michiel (編), Perfect number, 数学百科全书, Springer, 2001, <span title="國際標準書號">ISBN</span> 978-1-55608-010-4</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0&amp;rft.atitle=Perfect+number&amp;rft.aufirst=Michiel&amp;rft.aulast=Hazewinkel&amp;rft.btitle=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%99%BE%E7%A7%91%E5%85%A8%E4%B9%A6&amp;rft.date=2001&amp;rft.genre=bookitem&amp;rft.isbn=978-1-55608-010-4&amp;rft.pub=Springer&amp;rft_id=http%3A%2F%2Fwww.encyclopediaofmath.org%2Findex.php%3Ftitle%3Dp%2Fp072090&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook"><span> </span></span></li>
<li>David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）</li>
<li>Perfect numbers – History and Theory（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）</li>
<li><span id="Reference-Mathworld-Perfect_Number"><cite class="citation web">埃里克·韋斯坦因. Perfect Number. MathWorld.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0&amp;rft.atitle=Perfect+Number&amp;rft.au=%E5%9F%83%E9%87%8C%E5%85%8B%C2%B7%E9%9F%A6%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%9B%A0&amp;rft.genre=unknown&amp;rft.jtitle=MathWorld&amp;rft_id=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2FPerfectNumber.html&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></span></li>
<li><cite class="citation web">Sloane, N.J.A. (編). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0&amp;rft.atitle=Sequence%26%23x20%3BA000396%26%23x20%3B%28Perfect+numbers%29&amp;rft.aufirst=N.J.A.&amp;rft.aulast=Sloane&amp;rft.genre=unknown&amp;rft.jtitle=The+On-Line+Encyclopedia+of+Integer+Sequences&amp;rft_id=https%3A%2F%2Foeis.org%2FA000396&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></li>
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<li><cite class="citation web">Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran.  <span> [<span>2015-01-10</span>]</span>. （原始內容存檔於2013-05-31）.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%95%B0&amp;rft.atitle=8128%3A+Perfect+Numbers&amp;rft.aufirst=James&amp;rft.aulast=Grimes&amp;rft.genre=unknown&amp;rft.jtitle=Numberphile&amp;rft_id=http%3A%2F%2Fwww.numberphile.com%2Fvideos%2F8128.html&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></li></ul><!-- 
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**完全數**（Perfect number），又稱**完美數**或**完備數**，是一些特殊的自然數：它所有的真因子（即除了自身以外的因數）的和，恰好等於它本身，完全數不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。

例如：第一個完全數是 6，它有因數 1、2、3、6，除去它本身 6 外，其餘 3 個數相加， ${{{1}+{2}}+{3}}=6$ ，恰好等於本身。第二個完全數是 28，它有因數 1、2、4、7、14、28，除去它本身 28 外，其餘 5 個數相加， ${{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28$ ，也恰好等於本身。後面的數是 496、8128。

十進位的 5 位數到 7 位數、9 位數、11 位數、13 到 18 位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。

## 完全數的發現

古希臘數學家歐幾里得是通過 $2^{n-1}\times (2^{n}-1)$ 的表達式發現前四個完全數的。

　
: 當 $n=2:$ ${{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6$

　
: 當 $n=3:$ ${{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28$

　
: 當 $n=5:$ ${{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496$

　
: 當 $n=7:$ ${{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128$

一個偶數是完美數，若且唯若它具有如下形式： $2^{n-1}(2^{n}-1)$ ，其中 $2^{n}-1$ 是質數，此事實的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。

比如，上面的 $6$ 和 $28$ 對應著 $n=2$ 和 $3$ 的情況。我們只要找到了一個形如 $2^{n}-1$ 的質數（即梅森質數），也就知道了一個偶完美數。

儘管沒有發現奇完全數，但是當代數學家奧斯丁・歐爾證明，若有奇完全數，則其形式必然是 $12p+1$ 或 $36p+9$ 的形式，其中 $p$ 是質數。

首十個完全數是（ A000396）：

1. 6（1 位）
2. 28（2 位）
3. 496（3 位）
4. 8128（4 位）
5. 33550336（8 位）
6. 8589869056（10 位）
7. 137438691328（12 位）
8. 2305843008139952128（19 位）
9. 2658455991569831744654692615953842176（37 位）
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54 位）

## 歷史

古代數學家根據當時已知的四個完全數做了很多假設，大部分都是錯誤的。其中的一個假設是：因為 2、3、5、7 恰好是頭 4 個質數，第 5 個完全數應該是第 5 個質數，即當 $n=11$ 的時候，可是 $2^{11}-1=23\times 89$ 並不是質數。因此 $n=11$ 不是完全數。另外兩個**錯誤假設**是：

* 頭四個完全數分別是 1、2、3、4 位數，第五個應該是 5 位數。
* 完全數應該是交替以 6 或 8 結尾。

事實上，第五個完全數 $33550336=2^{12}(2^{13}-1)$ 是 $8$ 位數。

對於第二個假設，第五個完全數確實是以 $6$ 結尾，但是 1588 年，義大利數學家彼得羅・卡達迪計出第六個完全數 $8589869056$ ，仍是以 $6$ 結尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 $6$ 和 $8$ 結尾。卡達迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數 137,438,691,328。

對完全數的研究，至少已經有兩千多年的歷史。《幾何原本》中就提出了尋求某種類型完全數的問題。

每一個梅森質數給出一個偶完全數；反之，每個偶完全數給出一個梅森質數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 12 月為止，共發現了 51 個完全數，且都是偶數。最大的已知完全數為 $2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)$ 共有 $49724095$ 位數。

## 性質

以下是目前已發現的完全數共有的性質。

* 偶完全數都是以 6 或 28 結尾。
* 而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以 1, 09, 39, 69 或 99 結尾。
* 而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以 01, 13, 21 或 41 結尾。
* 除了 6 以外的偶完全數，把它的各位數字相加，直到變成個位數，那麼這個個位數一定是 1：

```
$28$ → $2+8=10$ → $1+0=1$
$496$ → $4+9+6=19$ → $1+9=10$ → $1+0=1$
```

* 所有的偶完全數都可以表達為 2 的一些連續正整數次冪之和，從 $2^{p-1}$ 到 $2^{2p-2}$ ：

```
$6=2^{1}+2^{2}$
$28=2^{2}+2^{3}+2^{4}$
$496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}$
$8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}$
```

* 每個偶完全數都可以寫成連續自然數之和：

```
$6=1+2+3$
$28=1+2+3+4+5+6+7$
$496=1+2+3+...+30+31$
$8128=1+2+3+...+126+127$
```

* 除 6 以外的偶完全數，還可以表示成連續奇立方數之和（被加的項共有 ${\sqrt {2^{p-1}}}$ )：

```
$28=1^{3}+3^{3}$
$496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}$
$8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}$
$33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}$
```

* 每個完全數的所有因數（包括本身）的倒數之和，都等於 2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。）

```
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2$
${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2$
```

* 它們的二進位表達式也很有趣：（因為偶完全數形式均如 $2^{n-1}(2^{n}-1)$ ）

```
$(6)_{10}=(110)_{2}$
$(28)_{10}=(11100)_{2}$
$(496)_{10}=(111110000)_{2}$
$(8128)_{10}=(1111111000000)_{2}$
$(33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}$
$(8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}$
$(137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}$
```

## 奇完全數

用計算機已經證實：在 101500 以下，沒有奇完全數；至今還證明了，如果奇完全數存在，則它至少包含 11 個不同質數（包含一個不少於 7 位數的質因子）但不包含 3，亦不會是立方數。一般猜測：奇完全數是不存在的。完全數的個數是否為無限？至今都不能回答。

美國數學家卡爾・帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。

### 奇完全數的部分條件

* _N_ > 101500
* _N_ 是以下形式：

　
: : $N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},$

　
: 其中：
* _q_，_p_1，…，_p_k 是不同的質數（Euler）。
* _q_ ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。
* _N_ 的最小質因子必須小於 ${\frac {k-1}{2}}.$ 。
* $e_{1}$ ≡ $e_{2}$ ...≡ $e_{k}$ ≡ 1（mod 3）的關係不能滿足（McDaniel 1970）。
* 要麼 _q_α > 1062，要麼對於某個 _j_ 有 $p_{j}^{2e_{j}}$ > 1062。
* $N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$

* _N_ 必須可以寫成 12n+1，468n+117 或 324n+81（n 為整數）的形式。
* _N_ 不能被 105 整除。
* _N_ 的最大質因子必須大於 108，並低於 $(3N)^{1/3}$ 。。
* _N_ 的第二大質因子必須大於 104，並低於 $(2N)^{1/5}$ 。 。
* _N_ 的第三大質因子必須大於 100。
* _N_ 至少要有 101 個質因子，其中至少 10 個是不同的。 如果 3 不是質因子之一，則至少要有 12 個不同的質因子。
* 如果對於所有的 _i_，都有 $e_{i}$ ≤ 2，那麼：
  * _N_ 的最小質因子必須大於 739（Cohen 1987）。
  * α ≡ 1（mod 12）或 α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。

### 圖查德定理

這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如 $12m+1$ 或 $36q+9$ 。最初的證明在 1953 年由雅克・圖查德首先證明，1951 年巴爾塔薩・范德波爾用非線性偏微分方程式得出證明。茱蒂・霍爾德納在《美國數學月刊》第 109 卷第 7 期刊證了一個初等的證明。

證明會使用這四個結果：（下面的 n,k,j,m,q 均為正整數）

* 歐拉證明了奇完全數的形式必如 $4j+1$ 。
* $\sigma (n)$ 表示 $n$ 的正因數之和。完全數的定義即為 $2n=\sigma (n)$ 。 
 $\sigma (n)$ 為積性函數
* 引理（甲）：若 $n=6k-1$ （ $k$ 是正整數），則 $n$ 非完全數。
* 引理（乙）：若 $n=4k-1$ （ $k$ 是正整數），則 $n$ 非完全數。

引理的證明（甲）：

使用反證法，設 $n$ 為完全數，且 $n\equiv -1{\pmod {6}}$ 。

 $n\equiv -1{\pmod {3}}$ 。因為 3 的二次剩餘只有 0,1，故 $n$ 非平方數，因此其正因數個數為偶數。

 $n$ 有正因數 $d$ ，則可得：

　
: $d\equiv 1{\pmod {3}}$ 且 $n/d\equiv -1{\pmod {3}}$ ；或

　
: $d\equiv -1{\pmod {3}}$ 且 $n/d\equiv 1{\pmod {3}}$ 。

因此， $(n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}$ 。故 $\sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}$ 。

但 $2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}$ ，矛盾。

故 $n$ 的形式只可能為 $6k+1$ 或 $6k+3$ 。

引理的證明（乙）：

使用反證法，設 $n$ 為完全數，且 $n\equiv -1{\pmod {4}}$ 。

 $n\equiv -1{\pmod {4}}$ 。因為 4 的二次剩餘只有 0,1，故 $n$ 非平方數，因此其正因數個數為偶數。

 $n$ 有正因數 $d$ ，則可得：

　
: $d\equiv 1{\pmod {4}}$ 且 $n/d\equiv -1{\pmod {4}}$ ；或

　
: $d\equiv -1{\pmod {4}}$ 且 $n/d\equiv 1{\pmod {4}}$ 。

因此， $(n/d+d)\equiv 0{\pmod {4}}$ 。故 $\sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {4}}$ 。

但 $2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4}}$ ，矛盾。

故 $n$ 的形式只可能為 $4k+1$ 。

 
若 $n=6k+1$ ，根據歐拉的結果， $n=4j+1$ ，綜合兩者，得 $n=12m+1$ 。

若 $n=6k+3$ ， $n=4j+1$ ，得 $n=12m+9=3(4m+3)$ 。若 $m$ 非 3 的倍數，3 和 $4m+3$ 互質。

因為 $\sigma (n)$ 為積性函數，可得 $\sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}$ 。

但 $2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}$ ，出現了矛盾。故知 $m$ 是 3 的倍數。代入 $m=3q$ ，可得 $n=36q+9$ 。

## 參考

* Odd Perfect Numbers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Gagan Tara Nanda

## 註釋

## 參考資料

## 參見

* 高合成數
* 婚約數
* 親和數
* 盈數
* 虧數
* 梅森質數
* 半完全數
* 佩服數
* 超完全數
* 梅森質數與完全數集合
* 笛卡兒數

## 外部連結

* Hazewinkel, Michiel (編), Perfect number, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
* David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* Perfect numbers – History and Theory（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
* 埃里克・韋斯坦因. Perfect Number. MathWorld.
* Sloane, N.J.A. (編). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
* OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers.
* Great Internet Mersenne Prime Search
* Perfect Numbers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, math forum at Drexel.
* Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran. [2015-01-10]. （原始內容存檔於 2013-05-31）.
137438691328