<p>在數學領域，<b>1 + 2 + 4 + 8 + …</b> 是一個無窮級數，它的每一項都是2的冪。作為幾何級數，它以 1 為首項，2 為公比。
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}2^{k}.}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <munderover>
          <mo>∑<!-- ∑ --></mo>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
            <mo>=</mo>
            <mn>0</mn>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </munderover>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>k</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>.</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}2^{k}.}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>作為實數級數，他發散到無窮，所以在一般意義下它的和不存在。
</p><p>如果以代數運算的方式來計算這個數列的和，雖然可以得到∞以及-1這兩個值，但這必須在更廣泛的意義中才能成立。
</p><p>在歷史和數學教育，<span>1 + 2 + 4 + 8 + …</span>是正項發散幾何級數的一個基本例子。許多結果和爭論引出了許多類似級數，其他的例子如<span>2 + 6 + 18 + 54 + …</span>。
</p>


<h2><span id=".E6.B1.82.E5.92.8C"></span><span id="求和">求和</span></h2>
<p>1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和數列是 <span>1, 3, 7, 15, …</span>，由於該數列發散到無窮，所以部分和數列也發散到無窮。因此任何通常求和方法得到的和將是無窮，包括切薩羅求和法和阿貝爾求和法。</p><p>另一方面，有一種廣義方法使得 <span>1 + 2 + 4 + 8 + …</span> 的和為有限值 -1。相應的冪級數
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>=</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mn>2</mn>
        <mi>x</mi>
        <mo>+</mo>
        <mn>4</mn>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mn>8</mn>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mn>2</mn>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">

        </mrow>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mrow>
              <mn>1</mn>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mn>2</mn>
              <mi>x</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>的收斂半徑為 <sup>1</sup>/<sub>2</sub>，因此它在 <span><i>x</i> = 1</span> 時不收斂。然而，這樣定義的函數 <i>f</i> 在去掉點 <span><i>x</i> = <sup>1</sup>/<sub>2</sub></span> 後，具有到複數平面唯一的解析開拓，並且具有相同的形式 <span><i>f</i>(x) = 1/(1 − 2<i>x</i>)</span>。由於 <span><i>f</i>(1) = −1</span>，原級數 <span>1 + 2 + 4 + 8 + …</span> 是可求和的 (<i>E</i>)，其和為 −1，並且 -1 是級數的(<i>E</i>)和。（此標識方式是由戈弗雷·哈羅德·哈代參考萊昂哈德·歐拉在無窮級數上的研究而得）</p><p>用幾乎完全相同的方法可以考慮係數為 1 的冪級數，例如：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mn>1</mn>
        <mo>+</mo>
        <mi>y</mi>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mi>y</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mi>y</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>3</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>=</mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mfrac>
            <mn>1</mn>
            <mrow>
              <mn>1</mn>
              <mo>−<!-- − --></mo>
              <mi>y</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>並用 <i>y</i> = 2 代入。當然這兩個級數可由關係式 <i>y</i> = 2<i>x</i> 等價轉換。
</p><p>事實上(<i>E</i>)和為<span>1 + 2 + 4 + 8 + …</span>分配了一個有限值，這表明廣義方法不是完全符合慣例的。另一方面，他具有某些求和法可取的性質，包括穩定性和線性性質。這些後面的兩個公理實際上強制級數的和為 -1，因此它令下面的操作有效：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&amp;=&amp;\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]&amp;=&amp;\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\[1em]&amp;=&amp;\displaystyle 1+2s\end{array}}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mtable columnalign="right center left" rowspacing="1.4em 1.4em 0.4em" columnspacing="1em">
            <mtr>
              <mtd>
                <mi>s</mi>
              </mtd>
              <mtd>
                <mo>=</mo>
              </mtd>
              <mtd>
                <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
                  <mn>1</mn>
                  <mo>+</mo>
                  <mn>2</mn>
                  <mo>+</mo>
                  <mn>4</mn>
                  <mo>+</mo>
                  <mn>8</mn>
                  <mo>+</mo>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                </mstyle>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mo>=</mo>
              </mtd>
              <mtd>
                <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
                  <mn>1</mn>
                  <mo>+</mo>
                  <mn>2</mn>
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                  <mn>1</mn>
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                  <mn>2</mn>
                  <mo>+</mo>
                  <mn>4</mn>
                  <mo>+</mo>
                  <mn>8</mn>
                  <mo>+</mo>
                  <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
                  <mo stretchy="false">)</mo>
                </mstyle>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd></mtd>
              <mtd>
                <mo>=</mo>
              </mtd>
              <mtd>
                <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
                  <mn>1</mn>
                  <mo>+</mo>
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                  <mi>s</mi>
                </mstyle>
              </mtd>
            </mtr>
          </mtable>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&amp;=&amp;\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]&amp;=&amp;\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\[1em]&amp;=&amp;\displaystyle 1+2s\end{array}}}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>在某種意義下，<i>s</i> = ∞ 是方程式 <span><i>s</i> = 1 + 2<i>s</i></span>的一個解（例如∞是黎曼球上莫比烏斯轉換<span><i>z</i> → 1 + 2<i>z</i></span> 的兩個不動點之一）。如果某種已知的求和方法返回一個常數<i>s</i>，<i>例如</i>不是∞，那麼這是容易確定的。在這種情形下<i>s</i>可能由方程式的兩邊消去，得到 <span>0 = 1 + <i>s</i></span>，所以 <span><i>s</i> = −1</span>。</p>
<h2><span id=".E6.B3.A8.E9.87.8A"></span><span id="注释">注釋</span></h2>

<h2><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span><span id="参考文献">參考文獻</span></h2>

<h2><span id=".E6.9B.B4.E5.A4.9A.E8.B5.84.E6.96.99"></span><span id="更多资料">更多資料</span></h2>
<ul><li><cite class="citation journal">Barbeau, E.J., and P.J. Leah. Euler's 1760 paper on divergent series. Historia Mathematica. May 1976, <b>3</b> (2): 141–160. <span title="數位物件識別號">doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A1+%2B+2+%2B+4+%2B+8+%2B+%E2%80%A6&amp;rft.atitle=Euler%27s+1760+paper+on+divergent+series&amp;rft.au=Barbeau%2C+E.J.%2C+and+P.J.+Leah&amp;rft.date=1976-05&amp;rft.genre=article&amp;rft.issue=2&amp;rft.jtitle=Historia+Mathematica&amp;rft.pages=141-160&amp;rft.volume=3&amp;rft_id=info%3Adoi%2F10.1016%2F0315-0860%2876%2990030-6&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></li>
<li><cite class="citation journal">Euler, Leonhard. De seriebus divergentibus. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1760, <b>5</b>: 205–237 <span> [<span>2009-10-25</span>]</span>. （原始內容存檔於2013-09-26）.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A1+%2B+2+%2B+4+%2B+8+%2B+%E2%80%A6&amp;rft.atitle=De+seriebus+divergentibus&amp;rft.aufirst=Leonhard&amp;rft.aulast=Euler&amp;rft.date=1760&amp;rft.genre=article&amp;rft.jtitle=Novi+Commentarii+academiae+scientiarum+Petropolitanae&amp;rft.pages=205-237&amp;rft.volume=5&amp;rft_id=http%3A%2F%2Fwww.math.dartmouth.edu%2F~euler%2Fpages%2FE247.html&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></li>
<li><cite class="citation journal">Ferraro, Giovanni. Convergence and Formal Manipulation of Series from the Origins of Calculus to About 1730. Annals of Science. 2002, <b>59</b>: 179–199. <span title="數位物件識別號">doi:10.1080/00033790010028179</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A1+%2B+2+%2B+4+%2B+8+%2B+%E2%80%A6&amp;rft.atitle=Convergence+and+Formal+Manipulation+of+Series+from+the+Origins+of+Calculus+to+About+1730&amp;rft.aufirst=Giovanni&amp;rft.aulast=Ferraro&amp;rft.date=2002&amp;rft.genre=article&amp;rft.jtitle=Annals+of+Science&amp;rft.pages=179-199&amp;rft.volume=59&amp;rft_id=https%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fsim_annals-of-science_2002-04_59_2%2Fpage%2F179&amp;rft_id=info%3Adoi%2F10.1080%2F00033790010028179&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></li>
<li><cite class="citation journal">Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. November 1983, <b>56</b> (5): 307–314 <span> [<span>2009-10-25</span>]</span>. <span title="數位物件識別號">doi:10.2307/2690371</span>. （原始內容存檔於2019-08-21）.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A1+%2B+2+%2B+4+%2B+8+%2B+%E2%80%A6&amp;rft.atitle=Euler+and+Infinite+Series&amp;rft.aufirst=Morris&amp;rft.aulast=Kline&amp;rft.date=1983-11&amp;rft.genre=article&amp;rft.issue=5&amp;rft.jtitle=Mathematics+Magazine&amp;rft.pages=307-314&amp;rft.volume=56&amp;rft_id=http%3A%2F%2Flinks.jstor.org%2Fsici%3Fsici%3D0025-570X%2528198311%252956%253A5%253C307%253AEAIS%253E2.0.CO%253B2-M&amp;rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F2690371&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></li>
<li><cite class="citation web">Sandifer, Ed. Divergent series <span>(PDF)</span>. How Euler Did It. MAA Online. June 2006 <span> [<span>2009-10-25</span>]</span>. （原始內容存檔 <span>(PDF)</span>於2013-03-20）.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A1+%2B+2+%2B+4+%2B+8+%2B+%E2%80%A6&amp;rft.atitle=Divergent+series&amp;rft.aufirst=Ed&amp;rft.aulast=Sandifer&amp;rft.date=2006-06&amp;rft.genre=unknown&amp;rft.jtitle=How+Euler+Did+It&amp;rft_id=http%3A%2F%2Fwww.maa.org%2Feditorial%2Feuler%2FHow%2520Euler%2520Did%2520It%252032%2520divergent%2520series.pdf&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></li>
<li><cite class="citation journal">Sierpińska, Anna. Humanities students and epistemological obstacles related to limits. Educational Studies in Mathematics. November 1987, <b>18</b> (4): 371–396. <span title="數位物件識別號">doi:10.1007/BF00240986</span>.</cite><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&amp;rfr_id=info%3Asid%2Fzh.wikipedia.org%3A1+%2B+2+%2B+4+%2B+8+%2B+%E2%80%A6&amp;rft.atitle=Humanities+students+and+epistemological+obstacles+related+to+limits&amp;rft.aufirst=Anna&amp;rft.aulast=Sierpi%C5%84ska&amp;rft.date=1987-11&amp;rft.genre=article&amp;rft.issue=4&amp;rft.jtitle=Educational+Studies+in+Mathematics&amp;rft.pages=371-396&amp;rft.volume=18&amp;rft_id=http%3A%2F%2Flinks.jstor.org%2Fsici%3Fsici%3D0013-1954%2528198711%252918%253A4%253C371%253AHSAEOR%253E2.0.CO%253B2-%2523&amp;rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2FBF00240986&amp;rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal"><span> </span></span></li></ul><!-- 
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在數學領域，**1 + 2 + 4 + 8 + …** 是一個無窮級數，它的每一項都是 2 的冪。作為幾何級數，它以 1 為首項，2 為公比。

　
: $\sum _{k=0}^{n}2^{k}.$

作為實數級數，他發散到無窮，所以在一般意義下它的和不存在。

如果以代數運算的方式來計算這個數列的和，雖然可以得到∞以及 - 1 這兩個值，但這必須在更廣泛的意義中才能成立。

在歷史和數學教育，1 + 2 + 4 + 8 + …是正項發散幾何級數的一個基本例子。許多結果和爭論引出了許多類似級數，其他的例子如 2 + 6 + 18 + 54 + …。

## 求和

1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和數列是 1, 3, 7, 15, …，由於該數列發散到無窮，所以部分和數列也發散到無窮。因此任何通常求和方法得到的和將是無窮，包括切薩羅求和法和阿貝爾求和法。

另一方面，有一種廣義方法使得 1 + 2 + 4 + 8 + … 的和為有限值 -1。相應的冪級數

　
: $f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}$

的收斂半徑為 1/2，因此它在 _x_ = 1 時不收斂。然而，這樣定義的函數 _f_ 在去掉點 _x_ = 1/2 後，具有到複數平面唯一的解析開拓，並且具有相同的形式 _f_(x) = 1/(1 − 2_x_)。由於 _f_(1) = −1，原級數 1 + 2 + 4 + 8 + … 是可求和的 (_E_)，其和為 −1，並且 -1 是級數的 (_E_) 和。（此標識方式是由戈弗雷・哈羅德・哈代參考萊昂哈德・歐拉在無窮級數上的研究而得）

用幾乎完全相同的方法可以考慮係數為 1 的冪級數，例如：

　
: $1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}$

並用 _y_ = 2 代入。當然這兩個級數可由關係式 _y_ = 2_x_ 等價轉換。

事實上 (_E_) 和為 1 + 2 + 4 + 8 + …分配了一個有限值，這表明廣義方法不是完全符合慣例的。另一方面，他具有某些求和法可取的性質，包括穩定性和線性性質。這些後面的兩個公理實際上強制級數的和為 -1，因此它令下面的操作有效：

　
: ${\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\[1em]&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}$

在某種意義下，_s_ = ∞ 是方程式 _s_ = 1 + 2_s_ 的一個解（例如∞是黎曼球上莫比烏斯轉換 _z_ → 1 + 2_z_ 的兩個不動點之一）。如果某種已知的求和方法返回一個常數 _s_，_例如_不是∞，那麼這是容易確定的。在這種情形下 _s_ 可能由方程式的兩邊消去，得到 0 = 1 + _s_，所以 _s_ = −1。

## 注釋

## 參考文獻

## 更多資料

* Barbeau, E.J., and P.J. Leah. Euler's 1760 paper on divergent series. Historia Mathematica. May 1976, **3** (2): 141–160. doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6.
* Euler, Leonhard. De seriebus divergentibus. Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1760, **5**: 205–237 [2009-10-25]. （原始內容存檔於 2013-09-26）.
* Ferraro, Giovanni. Convergence and Formal Manipulation of Series from the Origins of Calculus to About 1730. Annals of Science. 2002, **59**: 179–199. doi:10.1080/00033790010028179.
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* Sierpińska, Anna. Humanities students and epistemological obstacles related to limits. Educational Studies in Mathematics. November 1987, **18** (4): 371–396. doi:10.1007/BF00240986.
1+2+4+8+……