<p>在線性代數中，<b>1-形式</b>（<span lang="en">one-form</span>）是向量空間上的一種線性泛函。1-形式在這種向量空間語境中的使用方式，通常區別於高階的多重線性泛函中的1-形式。細節參見線性泛函。
</p><p>在微分幾何中，可微流形上的1-形式是餘切叢的一個光滑截面。具體說來，流形 <i>M</i> 上的1-形式是<i>M</i> 的切叢的全空間到 <b>R</b> 的一個光滑映射，限制在每個纖維上是切空間上的線性泛函。用符號表示，
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbf {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbf {R} },\,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <mo>:</mo>
        <mi>T</mi>
        <mi>M</mi>
        <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="bold">R</mi>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>,</mo>
        <mspace width="1em"></mspace>
        <msub>
          <mi>α<!-- α --></mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <mi>α<!-- α --></mi>
        <msub>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mo stretchy="false">|</mo>
          </mrow>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <msub>
              <mi>T</mi>
              <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                <mi>x</mi>
              </mrow>
            </msub>
            <mi>M</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>:</mo>
        <msub>
          <mi>T</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mi>M</mi>
        <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi mathvariant="bold">R</mi>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo>,</mo>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbf {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbf {R} },\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>這裡 α<sub>x</sub> 是線性的。
</p><p>1-形式經常局部地描述，特別是在一個局部坐標中。在一個局部坐標系中，1-形式是坐標的微分的線性組合：
</p>
<dl><dd><span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)dx^{1}+f_{2}(x)dx^{2}+\dots +f_{n}(x)dx^{n}.\,}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>α<!-- α --></mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>x</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>=</mo>
        <msub>
          <mi>f</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mi>d</mi>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>1</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msub>
          <mi>f</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mi>d</mi>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>2</mn>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
        <mo>+</mo>
        <msub>
          <mi>f</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msub>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mi>d</mi>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mi>n</mi>
          </mrow>
        </msup>
        <mo>.</mo>
        <mspace width="thinmathspace"></mspace>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)dx^{1}+f_{2}(x)dx^{2}+\dots +f_{n}(x)dx^{n}.\,}</annotation>
  </semantics></math></span></span></dd></dl><p>這裡 <i>f</i><sub>i</sub> 是光滑函數。注意這裡使用上指標，不要與冪混淆。從這種觀點來看，一個 1-形式從一個坐標系變到另一個時有共變變換法則。從而一個 1-形式是秩 1 共變張量場。 
</p>
<h2><span id=".E7.89.B9.E4.BE.8B"></span><span id="特例">特例</span></h2>
<p>設 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>U</mi>
        <mo>⊆<!-- ⊆ --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mi mathvariant="double-struck">R</mi>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }</annotation>
  </semantics></math></span></span> 爲一開集（譬如一個區間 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a,b)}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>a</mi>
        <mo>,</mo>
        <mi>b</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a,b)}</annotation>
  </semantics></math></span></span>），考慮可微函數 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>f</mi>
        <mo>:</mo>
        <mi>U</mi>
        <mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
          <mi mathvariant="double-struck">R</mi>
        </mrow>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }</annotation>
  </semantics></math></span></span>，具有導數 <i>f'</i>。<i>f</i> 的微分 <i>df</i>，在一點 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}\in U}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <msub>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>∈<!-- ∈ --></mo>
        <mi>U</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}\in U}</annotation>
  </semantics></math></span></span>，定義為變量 <i>dx</i> 的某個線性映射。具體地，<span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle df(x_{0},dx):dx\mapsto f'(x_{0})dx}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>d</mi>
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msub>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo>,</mo>
        <mi>d</mi>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mo>:</mo>
        <mi>d</mi>
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">↦<!-- ↦ --></mo>
        <msup>
          <mi>f</mi>
          <mo>′</mo>
        </msup>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <msub>
          <mi>x</mi>
          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
            <mn>0</mn>
          </mrow>
        </msub>
        <mo stretchy="false">)</mo>
        <mi>d</mi>
        <mi>x</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle df(x_{0},dx):dx\mapsto f'(x_{0})dx}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。（從而符號 <i>dx</i> 的含義揭示出來了：它不過是 <i>df</i> 的一個參數，或獨立變量。）故映射 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\mapsto df(x,\cdot )}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>x</mi>
        <mo stretchy="false">↦<!-- ↦ --></mo>
        <mi>d</mi>
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>,</mo>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\mapsto df(x,\cdot )}</annotation>
  </semantics></math></span></span> 將每個點 <i>x</i> 送到一個線性泛函 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle df(x,\cdot )}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>d</mi>
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">(</mo>
        <mi>x</mi>
        <mo>,</mo>
        <mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
        <mo stretchy="false">)</mo>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle df(x,\cdot )}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。這是微分（1-）形式最簡單的例子。
</p><p>用德拉姆復形表示，從 0-形式（數量函數）到 1-形式有一個映射，即 <span><span><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\mapsto df}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
        <mi>f</mi>
        <mo stretchy="false">↦<!-- ↦ --></mo>
        <mi>d</mi>
        <mi>f</mi>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\mapsto df}</annotation>
  </semantics></math></span></span>。
</p><p>一個 1-形式稱為閉 1-形式如果它是可微的且它的外導數在任何地方等於 0。
</p>
<h2><span id=".E5.8F.A6.E8.A7.81"></span><span id="另见">另見</span></h2>
<ul><li>2-形式</li>
<li>倒晶格</li>
<li>張量的中間處理</li></ul><h2><span id=".E5.8F.82.E8.80.83.E6.96.87.E7.8C.AE"></span><span id="参考文献">參考文獻</span></h2>
在線性代數中，**1 - 形式**（one-form）是向量空間上的一種線性泛函。1 - 形式在這種向量空間語境中的使用方式，通常區別於高階的多重線性泛函中的 1 - 形式。細節參見線性泛函。

在微分幾何中，可微流形上的 1 - 形式是餘切叢的一個光滑截面。具體說來，流形 _M_ 上的 1 - 形式是 _M_ 的切叢的全空間到 **R** 的一個光滑映射，限制在每個纖維上是切空間上的線性泛函。用符號表示，

　
: $\alpha :TM\rightarrow {\mathbf {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbf {R} },\,$

這裡 αx 是線性的。

1 - 形式經常局部地描述，特別是在一個局部坐標中。在一個局部坐標系中，1 - 形式是坐標的微分的線性組合：

　
: $\alpha _{x}=f_{1}(x)dx^{1}+f_{2}(x)dx^{2}+\dots +f_{n}(x)dx^{n}.\,$

這裡 _f_i 是光滑函數。注意這裡使用上指標，不要與冪混淆。從這種觀點來看，一個 1 - 形式從一個坐標系變到另一個時有共變變換法則。從而一個 1 - 形式是秩 1 共變張量場。

## 特例

設 $U\subseteq \mathbb {R} $ 爲一開集（譬如一個區間 $(a,b)$ ），考慮可微函數 $f:U\to \mathbb {R} $ ，具有導數 _f'_。_f_ 的微分 _df_，在一點 $x_{0}\in U$ ，定義為變量 _dx_ 的某個線性映射。具體地， $df(x_{0},dx):dx\mapsto f'(x_{0})dx$ 。（從而符號 _dx_ 的含義揭示出來了：它不過是 _df_ 的一個參數，或獨立變量。）故映射 $x\mapsto df(x,\cdot )$ 將每個點 _x_ 送到一個線性泛函 $df(x,\cdot )$ 。這是微分（1-）形式最簡單的例子。

用德拉姆復形表示，從 0 - 形式（數量函數）到 1 - 形式有一個映射，即 $f\mapsto df$ 。

一個 1 - 形式稱為閉 1 - 形式如果它是可微的且它的外導數在任何地方等於 0。

## 另見

* 2 - 形式
* 倒晶格
* 張量的中間處理

## 參考文獻
1-形式