ጨረር ፈንክሽን
ጨረር ፈንክሽን ወይም ጨረር ዋጋው የሆነ ፈንክሽን  የሂሳብ ፈንክሽን ሲሆን ውጤቱ ብዙ-ቅጥ ባለው ኅዋ ውስጥ የሚሰራጭ ጨረር (ቬክተር) ነው።  በአብላጫው ጊዜ የጨረር ፈንክሽን ግቤት  ነጠላ ቁጥር ( ስኬላር) ነው፣ ነገር ግን አልፎ አልፎ ግቤቱ የአቅጣጫ ቁጥር ወይም ህልው ቁጥር ቬክተር ሊሆን ይችላል።

ሂስባዊ ቀመር 
ነጠላ ቁጥር ግቤቱ የሆነና  ውጤቱ  ጨረር የሆነ ፈንክሽን ሲሰጥ ብዙ ጊዜ እንዲህ ይለ ፈንክሽን አንድ  ህልው ቁጥር ፓራሜትር  t ን እንደ ግቤት ሲወስድ ይታያል።  በተረፈ t  አብላጫውን ጊዜ የሚወክለው ጊዜን ሲሆን ውጤቱ በቬክተር  r(t) ይወከላል።  ከዚህ አንጻር እኒህ ፈንክሽኖች የአሃድ መስፈርት ቬክተሮችን i, j, k  በመጠቀም እንዲህ ይጻፋሉ
  ወይም

እዚህ ላይ  f(t), g(t)  እና  h(t)  የመሰረተ መዋቅሩ (ኮርድኔቶቹ) ፈንክሽን ሲሰኙ  ግቤታቸው  t ነው። ቬክተር  r(t)  ጅራቱ ከቁጥር ሰንጠረዥ መነሻ (0፣0፣0) ሲያርፍ እራሱ  በፈንክሽኑ ዋጋ ላይ ያርፋል። 

ከላይ የተጠቀሱት የጨረር ፈንክሽኖች በተጨማሪ በሚቀጥለው መልኩ ሊጻፉ ይቻሉ  

 or

የጨረር ፈንክሽን ለውጥ 
የሚቀጥለው የጨረር ፈንክሽን ቢሰጠን 

ለውጡ እንዲህ ይሰላል

የጨረተር ለውጥን እንዲህ መተርጎም እንችላለን፡  r(t)  የአንድን እቃ በኅዋ አቀማመጥ ቢወክል፣ ለውጡ እንግዲህ የዚያን እቃ ፍጥነት ይወክላል

በተመሳሳይ ሁኔታ የፍጥነቱ ለውጥ እንግዲህ ፍጥንጥነት ነው ማለት ነው።

ከፊል ለውጥ 
የጨረር ፈንክሽን a  ከፊል ለውጥ ከስኬላር ተለዋዋጭ  q አንጻር እንዲህ ይተረጎማል  

እዚህ ላይ  ai   በei አቅጣጫ ያለውን  የa ስኬላር ክፍል ይወክላል። ይህ ክፍል የ a እና ei አቅጣጫ ኮሳይን  ወይም ነጥብ ብዜት በመባልም ይታወቃል።

ተራ ለውጥ

አጠቃላይ ለውጥ 
ጨረር ፈንክሽን a  ብዛታቸው  n የሆኑ ስኬላርተለዋዋጮች  qr (r = 1,...,n) ቢሆንና እያንዳንዱ  qr የ አንድ ስኬልራ ብቻ  t ፈንክሽን ቢሆን,  የጨረር ፈንክሽኑ a  ተራ ለውጥ ከ t አንጻር  አጠቃላይ ለውጥ ተብሎ ሲታወቅ እንደሚከተለው ይቀመራል 

አንድ አንድ ጊዜ አጠቃላይ ለውጥ በዚህ መልኩ D/Dt ይጻፋል።  የአጠቃላይ ለውጡ ከከፊል ለውጡ  የሚለየው   qr. በጊዜ ውስጥ ሲለወጥ  በ a ላይ የሚያደርሰውን ተጽዕኖም ከግምት ውስጥ ስለሚያስገባ ነው።

ማጣቀሻ

ተጨማሪ ንባቦች 
Vector-valued functions and their properties (from Lake Tahoe Community College)
Everything2 article
3 Dimensional vector-valued functions (from East Tennessee State University) 

ጨረር
ጨረር ፈንክሽን ወይም ጨረር ዋጋው የሆነ ፈንክሽን  የሂሳብ ፈንክሽን ሲሆን ውጤቱ ብዙ-ቅጥ ባለው ኅዋ ውስጥ የሚሰራጭ ጨረር (ቬክተር) ነው።  በአብላጫው ጊዜ የጨረር ፈንክሽን ግቤት  ነጠላ ቁጥር ( ስኬላር) ነው፣ ነገር ግን አልፎ አልፎ ግቤቱ የአቅጣጫ ቁጥር ወይም ህልው ቁጥር ቬክተር ሊሆን ይችላል።

ሂስባዊ ቀመር 
ነጠላ ቁጥር ግቤቱ የሆነና  ውጤቱ  ጨረር የሆነ ፈንክሽን ሲሰጥ ብዙ ጊዜ እንዲህ ይለ ፈንክሽን አንድ  ህልው ቁጥር ፓራሜትር  t ን እንደ ግቤት ሲወስድ ይታያል።  በተረፈ t  አብላጫውን ጊዜ የሚወክለው ጊዜን ሲሆን ውጤቱ በቬክተር  r(t) ይወከላል።  ከዚህ አንጻር እኒህ ፈንክሽኖች የአሃድ መስፈርት ቬክተሮችን i, j, k  በመጠቀም እንዲህ ይጻፋሉ
  ወይም