Postila Bètran


Postila Bètran

Ant yon antye n ki pi gran ke 1 e doub antye sila a, toujou gen yon nonm premye.
se yon teyorèm ki te konjektire pa Bertrand e ki demontre an 1850 pou lapremyè fwa pa matematisyen ris Tchebycheff
Gen plizyè varyant pou demontre teyorèm oubyen postila a. Men de ladan yo ki privilejye apwòch elemantè.

Premyè demonstrasyon

Premye lèm 
Premyè demach la ap mennen nou redemontre tankou yon lèm ke 

pou tout n ki siperyè ou egal ak 2 avèk

Nou pale de redemontre paske se yon demonstrasyon ki te la deja ....

An nou konsidere pwodui tout antye enpè yo divize pa pwodui tout antye pè yo ki enferyè oubyen egal ak 2n

Konfòmeman ak Arnel Mercier ak Jean Marie de Koninck an desiye pwodui sa pa P

An nou fè parèt anlè ya pwodui ki anba a

An nou konsidere

 

si nou devlope pwodui nap genyen

chak faktè yo estrikteman pozitif epi yo enferyè ak 1 , kidonk pwodui li menm tou enferyè ak 1.

 

 

sa ki bay

lè nou diseke nimeratè yo ak denominatè yo :

kidonk
 

Nou te wè ke

Fonksyon rasin kare kwasan, nou genyen :

Inegalite dwat la demontre

li pa fè answa apèl a oken nosyon nonm premye jiska prezan sinon ke faktoryèl la se nosyon de predileksyon nonm premye
 

Kounye an nou redemontre dezyèm pati inegalite, inegalite gòch la.

An nou konsidere pwodui sa : 

chak faktè yo pozitif e enferyè ak 1, kidonk pwodui ya globalman enferyè ak 1.

sa ki bay 

nou genyen 

Inegalite goch la demontre

kidonk lè nou konbine inegalite goch la ak inegalite dwat la nou gen  premye lèm

Dezyèm lèm 
An nou demontre yon dezyèm pwopozisyon sa ki va sèvi kòm lèm

An soulye ke fonksyon  Tchebychèf la defini konsa

   avèk   ...

Nan kad sa a nou sipoze ke n 

Inegalite a verifye pou n = 1 ak n = 2 .

An nou sipoze li vrè pou yon sèten 

kounye a an nou konsidere 

pou tou n siperyè ak 1, ekspresyon sa gen yon reyalite konkrè e se yon antye : se pa egzanp kantite souzansanm de n-1 eleman diferan ke nou ka
fòme a pati de yon ansanm de 2n-1 eleman.

An nou gade byen nimeratè a ak denominatè a

Tout nonm antye non nil ki enferyè ak 2n-1 se yon divizè de nimeratè a , an patikilye tout nonm premye ki enferyè ou egal ak 2n-1 se yon divizè nimeratè a .

Menm konsiderasyon an ka fèt pou denominatè a jiska n .

An nou konsidere nonm premye p ki siperyè ak n e ki enferyè oubyen egal ak 2n-1.

kidonk yon faktè premye p ki tèl ke 
  
pa senplifye.

 se donk miltipl non nil chak nonm premye tèl ke   .
Se donk yon miltipl non nil pwodui tout nonm premye sila yo.

 siperyè oubyen egal ak pwodui nonm sa yo 
 

Fonksyon Ln lan kwasant, nou genyen

tout fonksyon logaritm transforme pwodui an sòm logaritm

An nou konsidere inegalite dwat premye lèn lan oubyen dezyèm inegalite premye lèm lan

 nou kapab ekri li 

An nou pran logaritm Neperyen de manm yon.

Kòm se yon fonksyon kwasant, nap genyen

An nou konbine

An nou pa bliye ke nou vle demontre kòm dezyèm lèm

An nou konsidere kòm Ipotèz e an montre ke li vre pou 2n - 1 ak 2n pou tout n > 2

....

kòm 

si nou gen  alò 

kidonk

pou tout 

si lèm lan vre pou n li vre pou 2n - 1

an nou  pwouve rapidman ke inegalite vre pou 2n tou.

si inegalite a vre pou  
li vre alafwa pou 2n - 1 ak 2n .

An nou montre kounye a si fòmil la vrè pou entèval 
alò li vrè pou entèval 

Avan nou montre sa an nou verifye ke ingalite a vrè pou entèval 

Inegalite a vrè pou n = 2 selon enplikasyon avan an li vrè pou  ki donk li vre e pou 3 e pou 4.
Pwopriyete a vrè pou  oubyen ankò li vrè pou 
Pwopriyete a vrè pou 

Ipotèz rekirans 

An nou konsidere ke inegalite sou tout entèval  la e an nou montre ke li vrè pou tout entèval

 la tou .

An nou pran yon antye m kèlkon sou entèval 

sa vle di  

 

Nan de bagay ki ekskli yo youn lòt, nou gen youn fòseman.

m se yon nonm pè ou m se yon nonm enpè 

1)
 m pè 

ò pa ipotèz rekirans, inegalite a vrè pou tout n ki nan entèval presedan an. Inegalite a vrè pou  
Kidonk selon premyè dediksyon an li vrè pou  . Li vre donk pou tout m pè ki nan entèval 

2)

m enpè 

selon ipotèz rekirans

 inegalite a vrè pou tout n ki nan entèval presedan an. Inegalite a vrè pou  
Kidonk selon premyè dediksyon an li vrè pou  . Li vrè donk pou tout m enpè ki nan entèval 

An fendkont pwopriyete a vrè pou tout

Teyorèm Legendre 

Si nou gen yon nonm premye fiks, pi gwo ekspozan k tèl ke  alò 

An nou demontre sa pa rekirans

fòmil la vrè pou  

an sipoze fòmil la bon pou  epi an nou montre li bon pou 

swa 

selon ipotèz rekirans lan

ò   

  

ak  

enplike 

Sa ki enplike

kidonk si fòmil la vrè pou  li vrè pou   kidonk li vrè pou tout antye n ki pa egal ak zero.

Premyè demonstrasyon an answa 

An nou montre an premye lye ke 

pou chak  sa ki va pwouve ekzistans de yon nonm premye pou pi piti nan entèval   pou  chak 

An nou konsidere yon lòt fwa nonm

Oken nonm premye ki siperyè ak 2n pa yon divizè de N .

Tandiske tout nonm premye ki konpri ant n ekstrikteman ak 2n lajman divize N yon sèl fwa.

An nou konsidere n ak 2n  pou nou wè kisa ki rive.

si n premye, li parèt de fwa anlè a sou fòm n ak  

menm jan an li parèt 2 fwa anba a sèlman. Kidonk, n pa yon faktè de N.

Pou 2n , si  2n pa yon nonm premye.

Nan entèval   oubyen ankò  tout nonm premye se divizè N yon sèl fwa, paske nonm premye sa a prezante yon sèl fwa nan nimeratè a e li pa prezante nan denominatè a,

De tout fason nou ap gen pou nou retounen sou konsiderasyon sa a.

Si nou konsidere teyorèm Legendre lan nou kapab ekri :

An nou konsidere 

Pwodui sa vo 1 paske ekspozan toujou vo  0.

pou tout antye  n > 1 ,  2n pa premye kidon 

pou tout 

kidonk  
pou tout 

Nou ka ekri

An nou pran logarithm Neperyen de manm egalite ya.

An nou diseke sòm sa an 4 tèrm  .

pou premye tèm lan nou genyen :

....

kidonk

sou yon lòt ang

nou genyen sou baz ipotèz la

pou tout 

An nou konsidere dezyèm sòm lan

sou yon lòt ang , 

 

si p = 2

nap  genyen lè sa a :

kidonk tou nou tap genyen

si 

An nou gade ki sa nou ap genyen

kidonk 

pou  e 

kidonk pou tout 

An nou konsidere twazyèm sòm lan 

                

An konsidere nan ki kondisyon inegalite ki anba somasyon ak gen sans :

An nou endike dabò ke  toujou egal oubyen ak zero oubyen ak 1 .

anfèt pou tout reyèl x nou genyen 

 egal oubyen a 0 oubyen ak 1 .

 egal swa zero soit 1 .

 vo 0 oubyen 1 si 

An nou montre ke li vo 0 nan tout lòt ka .

 

 

  

ò 

 oubyen egal ak 1 oubyen egal ak 0

Kidonk 

 

Pou tout 

 

An nou konsidere katryèm sòm lan

An nou raple ke   swa egal ak 0 swa egal ak 1 .

yon lòt kote 

An nou gade apati de kilè  toujou vo zero pou yon p fikse

 
 , etandone ke i  se yon antye natirèl ki pa egal ak 0 .

sou ipotèz 

An nou raple ke 

lè nou anvizaje tout estimasyon yo oswa tout estime yo nou kapab ekri :

pou tout 

Li rete pou nou pwouve ke  estriteman pozitif .

Nou te genyen 

Anplis lè  , nou genyen 

yon lòt kote,  , etandone ke tout nonm pè pi gran ke 2 pa premye ou di mwens pa konpoze. 

Nou vin genyen :

Li rete pou nou pwouve ke manm dwat la pi gran ke zero e konsa ant n ak 2n nap va asire ke gen o mwen yon nonm premye .

An nou pwouve ekivalans lan 
 

 

An nou deziye pa  

An nou montre ke li pozitif pou tout 

An etann fonksyon an sou tout 

 

an nou pwouve ke  

an nou pwouve tou ke  pou tout 

kidonk fonksyon f la estriteman kwasant

oubyen 

si nou miltiplye pa 

sou ipotèz  an nou pwouve ke   

yon lòt kote nou genyen 

non genyen tou :

 
 

donk

Lis nonm premye superyè ou egal ak 3 epi ki enferyè ak 64 
3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61

Dezyèm demonstrasyon

Majorasyon apati postila Bètran

an sipoze majorasyon an vrè pou  e an montre ke li vrè pou n+1

kidonk nan entèval \left[1, 2^n\right] gen o mwen n nonm premye selon ipotèz rekirans lan .

selon ipotèz  Bètran  an egziste pou pi piti yon nonm premye nan entèval 

nou kapab di tou ke nan entèval  
gen pou piti yon nonm premye

gen pou pi piti n+1  nonm premye nan entèval

Anfendkont si majorasyon an vrè pou n, li vrè pou n + 1 .

.....

sa  nou rele 
 se k yèm nonm premye ki siperyè oubyen egal ak n .

Avèk , sipoze fikse an nou montre ke majorasyon an vre pou  .

Anvan nou fè sipozisyon an , an nou verifye ke majorasyon vre pou k = 1 

 
  paske nan entèval   li egziste pou pi piti yon nonm premye selon postila Bètran  .

Anfèt si n premye, 

si n pa premye 

kidonk

Postila Bètran avèk de twa fòmil matematisyen Ayisyen Lainé Jean Lhermite Junior konsènan nonm premye

Ekspresyon nonm premye ran n selon modèl flèch Jonatan  anakò avèk postila Bètran an

K yèm nonm premye ki siperyè oubyen egal ak n

Premye apwòch

Demonstrasyon 
nan de evenman kontrè nou gen fòseman youn. Nou kapab di ke oubyen :

 oubyen 

De presizyon dabò

nou gen asirans ke   egziste  e nou gen asirans tou ke egziste yon i nan entèval ... kote   akoz majorasyon an .

Dezyèm apwòch

Twazyèm apwòch

Gade tou 
 Fonksyon ki konte kantite divizè n
 Fonksyon ki konte nonm premye ki sou fòm an+b lè a ak b premye entre yo
 Fonksyon lanmbda Liouville
 Fonksyon pi
 Fonksyon Omega ki konte kantite faktè premye ki rantre nan dekonpozisyon yon nonm antye n
 Fonksyon omega ki konte kantite nonm premye ki diferan ki divize yon nonm n
 Fonksyon phi Euler
 Fonksyon pi, ki konte kantite nonm premye
 Fonksyon psi Tchebycheff
 Fonksyon tèta Tchebycheff
 Fonksyon Von Mangolt
 Fòmil pou nonm konpoze
 Modèl boul wouj ak boul ble
 Modèl flèch Jonatan
 Modèl Lhermite yo
 Modèl mouton lòt patiraj
 Modèl pitit prodig ou modèl ti mouton pèdi
 Modèl predesesè
 Modèl siksesè
 Modèl ti triyang ak gwo triyang
 Modèl triyang ak kwadrilatè
 Nonm pafè
 Nonm premye
 Nonm premye ak modèl boul rouj ak boul ble
 Nonm premye Ezau
 Nonm premye Fermat
 Nonm premye Izaak
 Nonm premye Jakòb
 Nonm premye Mersenne
 Nonm zanmi
 Primoryel
 Pwisansyèl
 Fonksyon ki konte nonm premye ki sou fòm an+b lè a ak b premye entre yo
 Rezolisyon ekasyon premye degre ak sentèz

Referans

Lyen deyò 

Matematik
Sentèz
Nonm premye
Aritmetik elemantè