Euklidana spaco
Euklidana spaco definesas kom vektorala spaco od afina normizita di fina dimensiono e do la normo heredesis de skalara produkturo. Kustumale la spaco pensesas quale la spaco ube ni vivas, ne fizikala spaco, quale Euklidana spaco di dimensiono 3.

Remarko sur la historio di koncepto 
La nuna defino esas plu generala ed ol emfazas similesi inter Euklidana spaci di diferanta dimensioni e, 1 - rekti, 2 - plani od nefinita spaci en du perpendikla direcioni, 3 - nefinita spaci en tri direcioni reciproke perpendikla, 4 - nefinita spaci en quar perpendikla direcioni, e, tale konseque.

La spaci di dimensiono supera od egala quar esas desfacile konceptenda, ma ol povas esar tre bone konocata. Kom regulo, nulo impedas konocar anke bona ke la spaci plu ordinara, ecepte on ne povas donar kompleta vidala reprezento. On povas kande mem donar partala reprezenturi. Simile ad la lonchi di sociso (tri dimensiona volumino) esas ideale (se ol esis nefinite dina) di figuri a du dimensioni, la lonchi di spaco di dimensiono n es spaci di dimensioni n-1.

Euklidana spaco e tempo-spaco 
Oportas ne konfundar Euklidana spaco di dimensiono 4 kun la tempo-spaco, qua havas dimensiono 4 segun l'ordinara teorio, ma qua ne esas Euklidana spaco. La “disto-quadrato” tempala-spaco (x2 + y2 + z2 - t2) ne esas sempre pozitiva e do ne esas definita per skalara produkturo.

Per la specala teorio di relativeso, la spaco esas Euklidana spaco di dimensiono 3. To volas dicar ke se on prenas instantala loncho di tempala-spaco (l'ensemblo di omna punti tempala-spaco, o eventi, simultana relatante a refero), on obtenas Euklidana spaco di dimensiono 3. La skalara produkturo povas ye esar definita de l'ensemblo di posibla pozicioni di rigida corpi en provizinta la refero di ortonormala* repero. Videz Einstein, la relativeso, sube.

L'euklidan adiro di la spaco-cienco 
Euklid asemblesis en sua libro "L'Elementi" omna geometriala konoci de sua epoko sub formo di axiomatika teorio. Tota afirmi esis sive teorii, sive propozicioni, sive axiomi quin Euklid asemblis en defini, postulati, e komuna nocioni. La klasika koncepto pri rispektiva roli di axiomi, di teori e di defini (Pascal, la geometrio-spirito et l'arto di persuadar) ne esis ta di Euklid. La laboro di Euklid skribesis en polemikala kontexto. La defini destinesas a fixar la senco di fundamentala nocioni. La komuna nocioni esas di veri poka o nediskutebla. Altralatere la kin postulati havas plu la karaktero di postuli quin ulu povas aceptar, o ne. La tri unesma fixigas reguli por konstruktar figuri kun rekti e cirkli. La quaresma (toto la rekta anguli esas egala) impozas uniformizo a la spacostrukturo. La kinesma esas multe min evidenta kam l'antea, ma ol es nekareebla per la pruvi di preske omna teori (ecepte l'unesmi).

Segun la kriterii di moderna axiomala, l'elementi ne esas komplete kontentiginta. Certa axiomi esas ulatempe uzita. Altri uzesas sen havar mentionita su kom tela ante, o sen esar enuncita. La pruvi ne esas sempre kompleta. Ol facas ofte voko a du geometriala konstrukti. La questiono di normi di dedukto ne es pozita.

L'euklidan axiomala metodo havis developita en multa tempi.
 la polemika karaktero di iniciala laboro rapide desaparas. La prestijo di Euklid havis tela ke sua axiomi, kelka-foye kontestabla, havis konsiderita kom prima veri. Sole la kinesma postulato ecitis di objecioni et certi havas per to esperita pruvar li de altra axiomi. On savas de-pos la developo di ne-Euklidana geometrii ke tela pruva ne povas existar.
 L'axiomi qui judikesis kom evidenta vereso, la geometrio-spirito havis definita da Pascal kom la kapableso pri expozar omna konoci, sive kom di axomi, o prima veri, sive kom di teorio pruvita de axiomi. L'axiomi es konsiderita kom ne-pruvebla e sua vera es supozita konocata di omni rationala esto. Per analogeso, certa fundamentala nocioni (punto, rekto, plano, ...) esis konsiderata kom di prima nocioni, ne-definisabla, do la signifiko supozesas konocata da omni rationala esto.
 la formala ne-suficanta dil expozo di Euklid havis progresive kompleta, nome per Pasch et Hilbert. Il-ca havas donita, kum La fundamenti dil geometrio, completa,rigorezo et tamen axiomala expozo sempre fidela al spirito di iniciala laboro.
 La moderna algebro havas kompletita l'unificala programo, entamita per Euklid e sua pre-iranti, persequas per Descartes, inter la geometriala metodi e la algebrala metodi (la kalkulo kum di nombri e plu ordinare la kalkuli kun equacioni). La sequo di ta artiklo es konsecrita a ta unajo, et a sua fizikala senco.

L'algebrala metodi en geometrio 

Descartes uzesis e developesis l'algebrala metodi di sua epoko e montris klare li konveno per trovar di solvi a geometriala problemi. exemple, quadrato centra sur l'origino e di radio R es l'ensemblo di tota punti di plano do la koordinati (x, y) satisfacas a l'equaciono x2 + y2 = R2 .

On povas uzar ta karteziana metodo por fondar la geometrio sur la reala nombri-teorio. To rijuntas la principo di Pitagoro, tota es nombro, ma en spirito poke diferanta di to di pitagorero, per qua la nombri esis sempre racionala, a du-opla senco, matematika - quociento di du integra nombri - e filozofiala - to qua povas konocesar racionale.

On departas di la defino di korpo \mathbb R di reala nombri. Se on definas la punti par di duo (x,y) di nombri, la rekti per l'ensembli di punti qua es solvi di equaciono ax + by + c = 0, kun (a,b) ≠ (0,0), la konguo di figuri per l'existo di izometrio, o transformo qua konservas la disti, e la disto inter du punti per la normo di vektoro qua bindas l'un a l'altra, lore omna axiomi di la Euklidana geometrio donita per Hilbert es vera. On dicas ke on havas definita modelo di ta axiomi.

Inverse, on povas partar de geometriala axiomi, definar la korpo di reala nombri e la spaci \mathbb R ^2 e \mathbb R ^3 provizita di sua verktora strukturo e di sua Euklidana normo.

L'Euklidana ed algebrala acesi es do equivalante, ma l'algebrala metodo, quankam kelka-foye min intuitiva, es di fore la plu povo. L'algebrala axiomi es ofte formale plu simple e plu komode generala ke la geometriala axiomi/

La pozicioni di rigida korpi 

La studio di pozicioni di rigida korpi es triesma formo, formale equivalanta a pre-iranti, d'abordar la principi dil Euklidana geometrio. Ol posibligas bindar direte de geometriala principi a di fizikala principi (relatanta a di observi). Ol povas esar generalita a la geometrio di tempo-spaco, per ke ol suficas di remplasar la nociono di rigida korpo per to di rigida automato, o horlojo. Ol lumas la ligilo inter l'algebrala metodi e la geometriala konstrukti.

Egaleso di figuri e rigideso di korpi 

Un di fundamentala nocioni di la Euklid-teorio es to d'egaleso, o konguo inter figuri. Du figuri, exemple du trianguli, es egala, se ol povas reprizentar du diferanta pozicioni di mem rigida korpo. Per komprenar la fizikala senco di egaleso di longui, ol ne es do necesa di en-duktar la nombri. Se exemple on volas mezurar la larjeso di fenestro per komprar kurteno, ol suficas di prenar kordeto e li facar marko. On povas uzar la kordeto per selektar la bona larjeso di kurteno sen havar bezona di konocar sua nombro di centimetri. Ordinare, por konocar se du disti AB e CD es egale, on povas reperar du punti E e F sur rigida linealo o tensita kordeto. To konduktas a problemo di cirkulata :

A geometriala senco, linealo esas rigida kande la disti inter sua punti ne varias. Ma quale savar ke ta disti ne varias, ke restas sempre egala a ol-mem?

Per savar ke du disti es egala, on uzas di rigida korpo. Ma per savar ke korpo es rigida ol facas savar ke sua disti restas egala. Yen qua resemblas vicioza cirklo.

La mezuro di longeso furnisas di koheranta rezulti kande la regulo di transitala es respektita : se la mezuri establisas ke AB e CD havas la mem longeso, e ke CD e EF havas anke la mem longeso, lore ol devas establisar ke AB e EF havas la mem longeso. Imaginez ke inter omna korpi supozita rigida, la un dilatas su, altri kontraktesas, e omnu segun sua propra ritmo. Lore la mezuri di longeso ne esos plu posibla, ol furnisus di ne-konsequanta rezulti. Ta hipotezo ne es pure imaginala : la reala solidi ne es rigida a geometriala senco. Sua dimensi varias kun la tempero. Per obtenar di koheranta mezuri, facas experimentar en la mezo di uniforma tempero o kun di poka sensibla materii a tempero-varii.

Imaginez nun ke tota korpi supozita rigida sive en vera en movo di perpetua expanso, tota a mem ritmo. La mezuro di longeso esus sempre posibla, ol furniras di koheranta rezulti e ol konduktus a supozar ke disto sur korpo restas sempre egala a ol-mem lore ke ol ne cesar di plu-grand-igar. To montras ke on ne povas savar en absoluta senco se disto restas sempre egala a ol-mem. La geometriala veri es fondita experiencale sur di mezuri qua establizas di relati inter la korpi. Ta es la koheranta inter omna mezuri qua montras la vera di equacioni ke on establisas.

Tota ta diskuso sur l'égala di longesi povus esar konduktar sur l'egala di duresi, di masi, di temperi e di irga fizikala grandeso. La vera di teori repozas sur la koheranta di mezuri.

La fundamentala rolo di studio di translaci 

La geometriala studio di figuro povas esar tre complikita quik de ol havas multa parti. Ol facas studiar omna relativa pozicioni. Ma on disposas d'utensili di granda povo per ke ol es tre generala, per ke ol posibligas di studiar en sola foyo total la pozicioni di omna korpi. Per to on studias l'ensemblo di total la posibla diplasi di korpi.

Diplaso es definita per duo di pozicioni di mem korpo, l'un initiala, l'altra finala. Unesma-vide on ne vidas la ganajo en generala per ke la diverso di diplasi es ankore plu granda ke la diverso di korpi. Ma on povas enduktar abstraktata e generala nociono per qua du korpi povas efektigar la mem diplaso mem se pluse ol es tre diferanta.

Kande di objekti es fixita sur tablo ke on diplasas, ol efektigas tota en senco la mem diplaso. Per defino du korpi efektigas la mem diplaso kande ol existas triesma korpo, tablo, suporto, sur qua ol puvus esar omna la du fixita lore di pasajo del iniciala ala finala poziciono. Ol suficas do di studiar l'ensemblo di omna diplasi di suporto per en deduktar la diplasi di omna korpi. Konocinta tota ta posibla diplasi, on en deduktas omna posibla pozicioni, pro ke omna pozicioni povas esar obtenita per diplaso de irga iniciala poziciono.

Per la geometrio di rigida korpi, ol es sole du tipi di fundamentala diplasi, la translaci e la rotaci. La geometrio di rigida korpi es do esenca la studio di translaci e la rotaci. La translaci funcionas partikulare fundamentala pro ke bindas omna punti di la spaco : esinta donita du punti ol existas sempre un e un sola translaco qua diplasas l'un sur l'altro. L'ensemblo di translaci revelas do partikulare bona la strukturo dil spaco, to es la relati inter sua punti.

La translaci es di diplasi en rekta lineo, sen turnar sur sama. La rotaci konsistas a turnar cirkum di fixa punto. La fundamentala proprajo di rotaci es do simple : existas fixa punto. Punto di suporto gardas la mem poziciono dum diplaso. La disto inter sua iniciala e finala poziciono es egala zero-ope.

La fundamentala proprajo di translaci esas poka plu komplika : tota li punta di suporto efektigas la mem trajekto. La disti inter la iniciala e finala poziciono di tota punti di suporto esas omni egala.

Quo esas rekta lineo ? 

Pro ke on definas la translaci de sua fundamentala proprajo, do on povas definar la nociono di rekta lineo de to di translaco. Rekto es ensemblo di punti qui esas tote obtenita de sole inter su e kompleta ensemblo di paralela translaci. Intuicale, on trasas rekta lineo kande on iras sen ulatempe chanjar lua direciono. La nociono di paralelismo o egaleso di direcioni di du translaci es poke delikata por definar. Ol traktas enduktar la nociono di kompozo di diplasi. De du diplasi d e e on povas definar triesma f qua es la produkturo du-ope.

On dicas anke ke f es obtenita per compozo di d e e. F konsistas a efektigar d'abord la diplaso d pose la diplaso e. f es egala a d sequita di e. Sive x iniciala poziciono di punto di suporto.

On notas d(x) sua finala poziciono pos la diplaso d. Se on efektigas seque e, sua nova finala poziciono es e(d(x)), on havas do f(x)=e(d(x)). On havas adoptita kurioza notizo a prima trakto: d sequita di e skribas su e°d , per ke f(x)=(e°d)(x)=e(d(x)) .

La diplasi es funcioni. La kompozo di diplasi es partikulara kazo di la kompozo di funcioni.

De sola diplaso d, on povas en definar di multa altri : d°d, d°d°d, d°d°d°d, e tale konseque. Ol iras tota en la mem direciono. Ol es omni paralela. On povas anke trovar di mikra diplasi, p exemple, tale ke d=p°p°p°p°p°p°p. P es
la rezulto di la divido di d en sep egala parti. p havas bona certa la mem direciono ke d. La defino di la generala nociono di equaleso di directi pozas tamen teknika desfacileso pro di ne-racionala nombri.

La neracionala nombri 

Komence, on povus kredar ke la divido di lineo en egala parti e la posibleso di pozar di linei la altri al extremajo di altri suficas per definar omna disti. En iterinta multa nombri di foye mem disto, on povas irar anke fore ke on volas. To es la Archimedo-principo. En divideso lineo en egala parti, on povas havar di parti anke mikra ke on volas. On povas do facar mezuri kun omna dezira precizeso.

On savas tamen ke esas ne-kun-mezurebla disti. La diagonala di quadrato exemple es ne-kun-mezurebla kun sua latero. On povas dividar la latero en egala parti tale mikra ke on volas e rikunpozar la parti di omni la posibla fasoni, on obtenos ul-tempe longeso exacte egala a la diagonala di quadrato. La demonstro di ta teorio ne esas tre desfacila. On atribuas ordinare a pitagorero. On rakontas ke to qua trovesis ta demonstro jetesis per sua kamaradi de alto di klifo pro ke to semblis kontredicar la teorii de Pitagoro.

Kande nombri mezuras ne-kun-mezurebla disto kun unajo di longeso, on dicas ke ol es ne-racionala, ne per ke Pitagoro es prenita exemple di racionala, ma per ke la divido en egala parti e l'asemblo es exempleso dil agiveso dil raciono.

La decimala nombri ne es ne-racionala per ke ol havas finita nombri di cifri pos la komo. La ne-racionala nombri havas sempre ne-finita nombri di cifri pos la komo. Certa racionala nombri anke, tri.ima exemple : 1/3=0,3333333333333....Ma la ne-racionala nombri havas ta remarkabla proprajo ke la sequo di cifri facas sempre spaco per novuro. Se nefinita sequo di decimala es obtenita per la iterala da mem sequo di cifri, ta es ke la nombri es racionala.

Kande translaco povas esar obtenita de altro per divido en equala parti e komposo di parti, ol es kun-mezurebla. Per prenar en konto la paralela e ne-kun-mezurebla translaci on povas pazar per la nociono di konvergo di sequo. Du translaci es paralela o havas la mem direciono kande ol existas sequo di translaci omni kun-mezurebla kun l'un e qua konvergas vers l'altro, to es ke ol aprochas su ne-finita.

Ensemblo di paralela translaci es komplete se ol kontenas omna translaci qua havas la mem directo. To finas la defino di la nociono di rekta lineo en l'internajo di teorio di pozicioni di rigida korpi.

L'Euklidana plani e spaco a tri dimensioni 

Plano es ensemblo di punti qua es omni obtenita de punti di rekto et completa ensemblo di paralela translaci inter ol ma no paralela a la iniciala rekto. On obtenas plano per diplasinta rekta lineo transverse sen sempre chanjar di direciono.

Plano povas do esar definita de punto e di du translaci neparalela.

translaco es coplaneso kun du altri, o paralela a definita plano per la du altri, kande ol deplasas la punti di ta plano sen la ek facar, kom kande on facas glitar papero-folio sur altro.

Euklidana spaco a tri dimensi es ensemblo di punti qua es tota obtenita de punti di plano e kompleta ensemblo di paralela translaci inter ol ma ne-paralela a iniciala plano.

La limiti di la experimentala vera di la Euklidana geometrio 

Ta es fakto di experimento ke nia spaco es euklidan a tri dimensioni, mine se on limitas su a observi a nia skalo, to di rigida korpi sur la tero. La fiziko di elementa partikuli di un parto, l'astrofiziko a granda skalo di altra parto ne povas kontentar sur la Euklidana geometrio. Mem a nia skalo, la gravito, la fakto ke la korpi falas, es manifesto di karaktero ne-Euklidana di spaco, ma ol agar su di geometrio di tempo-spaco (la teorio dicas di generala relativeso) e ol ne rimetas en questiono la loka valido a nia skalo di la Euklidana geometrio. Dicas ke la spaco es euklidan a tri dimensi ne es metafizica vero sur la naturo di realo o di materio. La questioni sur la tre mikra o la tre granda konduktas a le rimetar en questiono kom irga hipoteso. Ke la spaco es Euklidana volas sole dicar ke la teorio funcionas bona kande on aplicas li en bona kondicioni a solida korpi a nia skalo.

Karteziana koordinati e vektorala spaci 

La translaci es partikulare komoda per introduktar la Karteziana metodo, per numerisar la geometrio. Per reperar su en spaco, ol suficas di donar su tri translaci ne-coplananta. exemple en urbo kun Manhattan, on povas adoptar la tri direcioni west-esto, nord-sud e basa-alta. On povas atingar omni punti di spaco de solo per sequencio di tri trajeki segun ta tri direcioni (en la du senci).

Kompleta ensemblo di paralela translaci es vektorala spaco (reala) a un dimensiono. On povas definar dis vektoriala spaci a multi dimensi e la generala teorio di ta spaci es lineara algebro. L'ensemblo di translaci en nia fizikala spaco es di vektoriala spaci a un, du o tri dimensi provizita ke sive kompleta. En partikulare ol devas esar klozita per la kompozo, to es ke kontenas sempre u°t se ol kontenas la translaci t ed u.

La translaci et rotaci suficas por definar omna diplasi di rigida korpi 

Tota la pozicioni di rigida korpo povas esar atingita de irga iniciala pozicioni de translaco e di rotaco. La moderna aceso di la geometrio, per translaci et rotaci, posibligas do di komprenar pos per ke Euklid havas podita developar teorio tale potenta kun di elementi anke redukta, la rekta linei e la cirkli.

La defino di skala produkturo de pozicioni di rigida korpi 

Ol suficas definar ortonorma refero, to es origina punto e tri vektori - translaci - reciproke perpendikla. Per definar la perpendikuleso di du rekti de l'egalo di longesi, on povas pazar exemple per la nociono di mediacanto. Rekto D esas mediacanto di segmento AB kande ol pazas per la mezo di segmento e ke PA=PB per altra punto P di D. Du rekti esas perpendiklara kande l'un es mediacanto di segmento kontenita en altro. Du vektori es perpendiklara kande ol esas la direcioni di du rekti perpendikla.

Tam balde kam ortonormala* refero esas definita, la skalara produkturo di du vektori do la koordinati en to refero es (v1, v2, v3) e (w1, w2, w3) es definita per :

v.w =def v1.w1 + v2.w2 + v3.w3

Pro to, omna l'algebral axiomi di vektorala Euklidana spaci aquiras fizikala senco relate la pozicioni di rigida korpi.

Geometrio