Hornasumma þríhyrnings
Hornasumma þríhyrnings (samtala úr samlagningu allra þriggja horna í þríhyrningi) er 180° (gráður).

Þetta voru viðtekin sannindi um þúsundir ára.

(að undanförnu þó að viðbættu: á sléttum fleti eða sléttu).

Frumsetningar Evklíðs voru taldar liggja í svo augum uppi og ekki þyrfti að sanna þær, og hornasumma þríhyrnings var afleiðing af þeim.

Um fimmtu setningu Evklíðs, höfðu stærðfræðingar þó löngum efasemdir og reyndu að sanna hana út frá hinum. Í yfir 2000 ár gekk hvorki né rak í þeim efnum.

Rússinn Lobasjevsky hjó á hnútinn árið 1829. Í stað fimmtu setningar Evklíðs setti hann aðrar, sem gengu í berhögg við hana. Einhverjir hefðu haldið, að úr því yrði óskapnaður og tómt rugl. En nei, útkoman varð ný og rökrétt óevklíðsk og frábrugðin rúmfræði. 

Talið er að óháð Lobasjevsky hafi hinn þekkti þýski stærðfræðingur Gauss og hinn ungverski Bolyai einnig uppgötvað þetta, en Gauss aldrei birt það og Lobasjevsky orðið á undan Bolyai að birta það.

Lobasjevsky varð fyrstur til að birta opinberlega tillögu um mælingu á rúmfræði himingeimsins. Hann lagði til að mæla stöðu Sirius með 6 mánaða millibili.

Gauss, sem lagði stund á landmælingar árin 1818-1832, átti gögn um marga stóra þríhyrninga. Með þekktari sögum, sem ævisöguhöfundurinn Bühler segir þó að sé mýta, er að Gauss hafi viljað kanna tilvist óevklíðskrar rúmfræði með mælingu hornasummu þríhyrnings fjallstindanna Hohenhagen, Inselberg og Brocken. Útkoman var 180 gráður innan skekkjumarka. Það er, að þótt rúmið sé óevklíðskt, sem síðar kom í ljós að það er, þarf lengri fjarlægðir til að frávik hornasummunnar frá 180 gráðum sé mælanlegt. 

Niðurstaða einnar breytingar Lobasjevskys á fimmtu setningunni, að í stað þess að samsíða línur skerist aldrei, heldur skerist í tveimur punktum leiddi til rúmfræði kúlu, þar sem gildir að:  

Hornasumma þríhyrnings er alltaf meiri en 180 gráður.

Á hýperbólskum fleti gildir hinsvegar að:

Hornasumma þríhyrnings er alltaf minni en 180 gráður.

Óevklíðsk rúmfræði olli þáttaskilum. Ekki aðeins að í lagi sé að draga í efa og skipta út viðteknum „sannindum“ / frumforsendum, heldur megi með því komast á áður lokaðar og óþekktar slóðir. Þá varð “skilnaður að borði og sæng” milli stærðfræðinnar og veruleikans. “Vísi stærðfræðin til veruleikans, er hún ekki viss, en ef hún er viss, vísar hún ekki til veruleikans,” sagði Einstein. Með óevklíðskri rúmfræði, og þeirri hugmynd að jafnvel hið ósýnilega þrívíða rúm okkar gæti verið sveigt, var skref stigið í átt til almennu afstæðiskenningar hans.

Tilvísanir