Praktikus számok
A számelmélet területén egy pozitív egész szám akkor tartozik a praktikus számok vagy pánaritmikus számok közé, ha egymástól különböző osztóinak összegével az összes nála kisebb pozitív egész szám kifejezhető. Például a 12 praktikus szám, mert 1-től 11-ig a számok kifejezhetők 12 osztóinak, tehát az 1, 2, 3, 4, 6 összegeként (beleértve magukat az osztókat): 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 és 11 = 6 + 3 + 2.

A praktikus számok sorozata  így kezdődik:
1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

A praktikus számok megjelentek Fibonacci 1202-ben íródott Liber Abaci-jében, racionális számok egyiptomi törtekkel való kifejezésével kapcsolatban. Fibonacci formálisan nem definiálta a praktikus számok fogalmát, de táblázatában megjelennek a praktikus nevezőjű törtek egyiptomi törtekkel való kifejezései.

Maga a „praktikus szám” kifejezés -nak köszönhető, aki először próbálta meg osztályozni ezeket a számokat, amit aztán  és  fejezett be. Karakterizációjuk alapján egyszerűen eldönthető egy szám praktikussága prímtényezős felbontásuk alapján. Minden páros tökéletes szám és minden kettőhatvány is praktikus szám.

A praktikus számok több jellemzőjük alapján analógiát mutatnak a prímszámokkal.

A praktikus számok karakterizációja
Ahogy  és  megmutatták, egy szám praktikus volta egyszerűen eldönthető prímfelbontása alapján.
Legyen  pozitív egész szám prímtényezős felbontása  (ahol a prímek sorba vannak rendezve, ); ebben az esetben  akkor és csak akkor praktikus szám, ha minden  prímtényezője kellően kicsi ahhoz, hogy  kifejezhető legyen a kisebb osztók összegeként. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, az első  prímnek 2-nek kell lennie, és minden -re 2 és  között, minden további -nek teljesítenie kell a következő egyenlőtlenséget:

ahol  jelöli x osztóinak összegét. Például 2 × 3² × 29 × 823 = 429606 praktikus szám, mivel a fenti egyenlőtlenség igaz mindegyik prímtényezőjére: 3 ≤ σ(2)+1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 3²)+1 = 40 és 823 ≤ σ(2 × 3² × 29)+1=1171. Ez a karakterizáció kiterjeszti  részleges klasszifikációját.

A fenti feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy szám praktikus legyen. Egyrészt, a feltétel szükséges ahhoz, hogy a  kifejezhető legyen n osztóinak összegeként, mivel ha az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az összes kisebb osztót összeadva sem érné el az összeg a -et. Másrészt, a feltétel elégséges is, ami indukcióval megmutatható.

Ennél jóval erősebb állítást fogunk bizonyítani: ha n prímtényezős felbontása kielégíti a fenti feltételeket, akkor bármely  kifejezhető n osztóinak összegeként, a következő lépésekben:
 Legyen  és legyen .
 Mivel  és  indukcióval igazolhatóan praktikus számok, ezért q kifejezhető  osztóösszegeként.
 Mivel , és mivel  indukcióval igazolhatóan praktikus, r felírható  osztóinak összegeként.
 Az r-et reprezentáló osztók, együtt -szor a q-t reprezentáló minden egyes osztóval együtt alkotják m reprezentációját mint n osztóinak összege.

Tulajdonságaik
Az egyetlen páratlan praktikus szám az 1, mivel ha n > 2 páratlan szám, akkor 2 nem fejezhető ki n osztóinak összegeként. Ennél erősebb  megfigyelése, miszerint 1 és 2 kivételével minden praktikus szám osztható 4-gyel és/vagy 6-tal.
Két praktikus szám szorzata is praktikus szám. Ennél erősebb kitétel, hogy bármely két praktikus szám legkisebb közös többszöröse is praktikus szám.
A praktikus számok halmaza szorzásra nézve zárt.
Stewart és Sierpiński fenti karakterizációjából látható az is, hogy ha n praktikus szám, aminek d az egyik osztója, akkor n·d is praktikus szám.
A praktikus számok közül megkülönböztethetjük a primitív praktikus számokat. A primitív praktikus számok olyan praktikus számok, melyek vagy négyzetmentes számok, vagy elosztva valamely 1-nél nagyobb kitevőjű prímosztójukkal a hányados már nem ad praktikus számot. A primitív praktikus számok sorozata  így kezdődik:
1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

Kapcsolatuk más számcsoportokkal
Számos említésre méltó egész számhalmaz létezik, ami kizárólag praktikus számokból áll:
Abból, hogy ha n praktikus szám, aminek d az egyik osztója, akkor n·d is praktikus szám, következik, hogy 2 és 3 minden hatványának hatszorosa is praktikus szám.
Minden kettőhatvány praktikus szám. Kettő hatványai triviálisan kielégítik a prímfelbontási követelményeket: a prímtényezős felbontásukban egyedül szereplő p1 a feltételek szerint megegyezik kettővel.
Minden páros tökéletes szám is praktikus szám. Ez következik Leonhard Euler eredményéből, miszerint minden páros tökéletes szám felírható 2n − 1(2n − 1) alakban. A felbontás páratlan része megegyezik a páros rész osztóösszegével, így minden ilyen szám páratlan prímosztója legfeljebb a páros rész osztóösszege lehet. Ezért a szám kielégíti a praktikus számok követelményeit.
Minden primoriális (az első valahány prímszám szorzata) praktikus szám. Az első két primoriálisra, 2-re és 6-ra ez egyértelmű. A többi primoriálist úgy képezzük, hogy egy pi prímszámot összeszorzunk egy kisebb primoriálissal, ami osztható 2-vel és a következő legkisebb prímszámmal, pi − 1-gyel. A Bertrand-posztulátum alapján pi < 2pi − 1, tehát a primoriális minden rákövetkező prímtényezője kisebb az előző primoriális valamely osztójánál. Indukcióval belátható, hogy minden primoriális megfelel a praktikus számok karakterizációjának.
A primoriálisokat általánosítva, bármely szám, ami az első k prímszám nemnulla hatványának szorzatából áll elő, szintén praktikus szám. Ebbe beletartoznak a Rámánudzsan által definiált erősen összetett számok (számok, melyeknek több osztójuk van a náluk kisebb összes számnál) és a faktoriális számok is.

Praktikus számok és egyiptomi törtek
Ha n praktikus szám, akkor bármely m/n alakú racionális szám kifejezhető a ∑di/n összeggel, ahol minden di az n-nek különböző osztója. Az összeg minden tagja egységtörtté egyszerűsíthető, ezért az összeg megfelel m/n egyiptomi törtként való kifejezésének. Például:

Fibonacci 1202-es Liber Abaci-jében számos módszert ír le racionális számok egyiptomi törtként való felírására. Ezek közül az első annak vizsgálata, hogy a szám esetleg máris egységtört, de a másodikban megkísérli kifejezni a számlálót a nevező osztóinak összegeként; ez a módszer csak akkor ad garantáltan eredményt, ha a nevező praktikus szám. Fibonacci táblázatokat készített az olyan törtekhez, ahol a számláló a 6, 8, 12, 20, 24, 60 és 100 praktikus számok egyike.

 megmutatta, hogy minden x/y alakú szám kifejezhető legfeljebb  tagból álló egyiptomi tört alakban. A bizonyítás részeként praktikus számok ni sorozatát keressük azzal a tulajdonsággal, hogy minden ni-nél kisebb szám felírható az ni szám  különböző osztójának összegeként. Ekkor úgy választjuk meg i-t, hogy ni − 1 < y ≤ ni és xni-t y-nal elosztva q-t kapunk r maradékkal. Az előző választásainkból következik, hogy . A jobb oldal számlálóit kibontva ni osztóösszegeinek alakjába megkapjuk a kívánt egyiptomi tört-alakot.  hasonló technikát alkalmaz, de praktikus számok egy másik sorozatát használja annak megmutatására, hogy minden x/y alakú szám felírható egyiptomi tört alakban oly módon, hogy a legnagyobb nevező .

Szun Cse-vej 2015. szeptemberi sejtése szerint bármely pozitív racionális szám felírható véges számú praktikus szám reciprokösszegeként, tehát olyan egyiptomi törtkifejezésként, ahol minden nevező praktikus szám. A sejtés bizonyítása David Eppstein blogján olvasható.

Prímszámokkal való analógiák
A praktikus számok iránti érdeklődés egyik oka, hogy számos tulajdonságukban hasonlítanak a prímszámokra. Valóban, léteznek a Goldbach-sejtésnek és az ikerprím-sejtésnek analógiái praktikus számokra nézve: minden pozitív egész szám felírható két praktikus szám összegeként, illetve végtelen számú x − 2, x, x + 2 alakú praktikusszám-triplet létezik. Melfi megmutatta, hogy végtelen számú praktikus Fibonacci-szám létezik ; az analóg kérdés, hogy létezik-e végtelen számú Fibonacci-prím, még eldöntetlen.  megmutatta, hogy bármely pozitív valós x-re létezik praktikus szám az [x²,(x + 1)²] intervallumban, ami analóg a prímszámokra vonatkozó Legendre-sejtéssel.

Jelölje p(x) a legfeljebb x nagyságú praktikus számok számát.
 sejtése szerint p(x) aszimptotikusan egyenlő cx/log x-szel valamely c konstansra, ami a prímszámtételre emlékeztető képlet. A képlet megerősíti  sejtését, miszerint a praktikus számok zéró sűrűséggel helyezkednek el az egészek között.
 bizonyította, hogy megfelelő c1 és c2 konstansokra:

Végül  bizonyította Margenstern sejtését, megmutatva, hogy

ha  és a konstans .

Egyéb sejtések
Szun Cse-vej 2013-as sejtése szerint az  (n = 3, 4,...) sorozat szigorúan monoton csökkenő, határértéke 1.

Szun Cse-vej 2015-ös sejtése szerint bármely r pozitív racionális számhoz léteznek olyan, páronként különböző q(1)..q(k) praktikus számok, melyekre igaz, hogy  Például 2 = 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12, ahol 1, 2, 4, 6 és 12 praktikus számok, vagy 10/11 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/48 + 1/132 + 1/176, ahol 2, 4, 8, 48, 132 és 176 praktikus számok.

Jegyzetek

Irodalom
.
. As cited by .
.
. As cited by .
.
.
.
. As cited by  and .
.
.
.
.
.
.
.
.

További információk 
Tables of practical numbers  compiled by Giuseppe Melfi.

Nevezetes számsorozatok
Egyiptomi törtek