Teljes hatvány
A matematikában teljes hatványnak olyan pozitív egész számokat neveznek, melyek kifejezhetők egy pozitív egész szám egy másik pozitív egész kitevőre emelésével. Formálisabban, n teljes hatvány, ha léteznek m > 1 és k > 1 természetes számok, melyekre m<sup>k</sup> = n. Ebben az esetben az n teljes k-adik hatvány. Ha k = 2 vagy k = 3, akkor n hívható teljes négyzetnek, illetve teljes köbnek is. Változó, hogy az egyet teljes hatványnak tekintik-e (1k = 1 bármely k-ra).

Példák és sorösszegek 
A teljes hatványok sorozatát elő lehet állítani az m és k lehetséges értékeinek iterálásával. Az első néhány teljes hatvány emelkedő sorrendben (a duplikátumokat is mutatva) : 
 

A teljes hatványok (duplikátumokat is figyelembe vett) sorösszege 1:

aminek bizonyítása:

Az első néhány teljes hatvány (duplikátumoktól megtisztítva) ():
(néha 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, ...

A p teljes hatványok reciprokösszege a duplikátumok nélkül:

ahol μ(k) a Möbius-függvény és ζ(k) a Riemann-féle zéta-függvény.

Euler szerint Goldbach megmutatta (egy azóta elveszett levelében), hogy a p teljes hatványokat tekintve az 1/(p−1) sorösszege, 1-et és a duplikátumokat kivéve éppen 1-gyel egyenlő:

Ezt néha Goldbach–Euler-tételnek is nevezik.

Teljes hatványok keresése
Annak megállapítása, hogy adott n természetes szám teljes hatvány-e különböző módokon történhet, melyek különböző számítási bonyolultságúak lehetnek. Az egyik legegyszerűbb ilyen módszer, hogy vesszük az összes lehetséges k-t n osztói között, legfeljebb -ig. Ha tehát  osztói , akkor az értékek valamelyikének meg kell egyeznie n-nel, ha n valóban teljes hatvány.

A módszer azonnal egyszerűsíthető, ha k-nak csak a prímszám értékeit vesszük figyelembe. Ez azért van, mert ha  egy összetett -re, ahol p prím, akkor a kifejezés egyszerűen átírható a következőre: . Emiatt k minimális értékének szükségképpen prímnek kell lennie.

Ha n prímtényezős felbontása ismert, ahol  és  különböző prímszámokat jelöl, akkor n akkor és csak akkor teljes hatvány, ha , ahol a gcd=lnko a legnagyobb közös osztót jelenti. Vegyük például az n = 296·360·724 esetet. Mivel lnko (96, 60, 24) = 12, n teljes 12-edik hatvány (és természetesen teljes hatodik, negyedik hatvány, teljes köb és négyzet is, mivel 6, 4, 3 és 2 osztója a 12-nek).

Teljes hatványok közötti hézagok
2002-ben Preda Mihăilescu román matematikus igazolta, hogy a 23 = 8 és 32 = 9 az egyetlen egymás után következő teljeshatvány-pár, ezzel a Catalan-sejtést is bizonyítva.

A Pillai-sejtés azt állítja, hogy bármely pozitív egész k számhoz csak véges számú olyan teljeshatvány-pár létezik, melyek különbsége k. Ez egy megoldatlan probléma.

Kapcsolódó szócikkek
 Prímhatvány

Fordítás

Jegyzetek

További információk 
On a series of Goldbach and Euler

Számelmélet
Nevezetes számsorozatok