Dirichlet-sor
A matematikában Dirichlet-sor minden sor, ami

alakú. Itt s komplex, és a egy komplex sorozat. Az általános Dirichlet-sor speciális esete.

Az analitikus számelméletben a Dirichlet-sornak számos meghatározó szerepe van. A Riemann-féle zéta-függvényt és a Dirichlet-féle L-függvényt is ilyen sorozatokkal definiálják. Azt sejtik, hogy a sorok Selberg-osztálya az általánosított Riemann-hipotézisnek engedelmeskedik. A sort Peter Gustav Lejeune Dirichlet után nevezték el.

Kombinatorikai jelentősége
A Dirichlet-sorozatok generátorsorozatként használhatók súlyozott halmazok leszámlálásához, ha az elemek súlya összeszorzódik a Descartes-szorzatban.

Ha A w: A → N függvények halmaza, ami súlyt rendel minden elemhez, akkor a súlyfüggvény szerint tetszőleges természetes szám ősképe véges halmaz. A súlyozott halmaz egy (A,w) alakú halmaz, ahol A és w megfelel a fenti tulajdonságoknak. Legyen továbbá an az A halmaz n súlyú elemeinek halmaza. Ekkor A w szerinti formális Dirichlet-féle generátorsora

Ha A, B egy (U, w) súlyozott halmaz diszjunkt részhalmazai, akkor uniójuk Dirichlet-sora a két részhalmaz Dirichlet-sorának összege:

Továbbá, ha (A, u) és (B, v) súlyozott halmazok, akkor definiálhatjuk a Descartes-szorzatukat a következőképpen:

Legyen a súlyfüggvény w: A × B → N, , és a tartóhalmaz . Ekkor:

,

ami annak következménye, hogy .

Példák
A legismertebb Dirichlet-sor a Riemann-féle zéta-függvényt definiálja:

A konvergenciatartománytól eltekintve:

mivel minden természetes szám egyértelműen felbontható prímhatványok szorzatára. Ez a tény insipálta az Euler-szorzatot.

Ismert továbbá, hogy:

ahol µ a Möbius-függvény. Ez és több más sorozat a Möbius-féle megfordítási formula és a Dirichlet-konvolúció ismert sorozatokra való alkalmazásával megkapható. Ha χ(n) egy Dirichlet-karakter, akkor

ahol L(χ, s) a Dirichlet-féle L-függvény.

Egy másik példa:

Továbbá:

ahol φ(n) az Euler-függvény,

ahol Jk a Jordan-függvény, és

ahol σa(n) az osztóösszeg-függvény.
A d=σ0 specializációval

A zétafüggvény logaritmusa:

minden Re(s) > 1-re. Itt Λ(n) a von Mangoldt-függvény. A logaritmikus derivált:

Az utóbbi kettő a Dirichlet-sorok deriváltjainak általánosabb kapcsolatának speciális esetei.

A λ(n) Liouville-függvény esetén:

Egy másik példa a Ramanujan-összegről:

Még egy példa a Möbius-függvénnyel:

Formális Dirichlet-sorok
Egy R gyűrű feletti formális Dirichlet-sor kapcsolatba hozható egy bizonyos függvénnyel (jelöljük a-val), ami a pozitív egészek halmazából R-be képez.

ahol az összeadás és szorzás definíciója:

ahol

a pontonkénti összeg, és

a és b Dirichlet-konvolúciója.

A formális Dirichlet-sorok gyűrűje, sőt algebrája R fölött Ω, ahol az azonosan nulla függvény a nullelem, és δ(1)=1, δ(n)=0 minden n>1-re az egységelem. A gyűrű egy eleme invertálható, ha a(1) invertálható R-ben. Ha R kommutatív, akkor Ω is; ha R integritási tartomány, akkor Ω is az. A nem nulla multiplikatív függvények az egységek részcsoportjának részcsoportját alkotják Ω-ban. A komplex számok fölötti Dirichlet-sorozatok gyűrűje izomorf a megszámlálható sok változós formális hatványsorok gyűrűjével.

Konvergencia
Legyen {an}n ∈ N. Vizsgáljuk azt a tartományt, ahol

előáll, mint a komplex s változó függvénye. Figyelembe véve a fenti sor konvergenciatulajdonságát: ha {an}n ∈ N komplex számok korlátos sorozata, akkor a fent definiált f abszolút konvergens a Re(s) > 1 felső félsíkján. Általában, ha an = O(nk), akkor a sor abszolút konvergens a Re(s) > k + 1 felső félsíkján.

Ha az an + an + 1 + ... + an + k összeg korlátos n-ben és k ≥ 0, akkor a fenti végtelen sorozat konvergál a Re(s) > 0 felső félsíkján.

Mindkét esetben f analitikus a fenti tartományokon.

Általában, a Dirichlet-sor konvergenciaabszcisszája a valós tengely metszete a függőleges egyenessel, amelynek a jobb oldalán a sorozat konvergál, és amitől balra divergál. Ez a Dirichlet-sorokra a hatványsorok konvergenciasugarának analogonja. A Dirichlet-sorok esete bonyolultabb, mert az abszolút konvergencia és az egyenletes konvergencia félsíkja különbözhet.

Sok esetben a Dirichlet-sor által definiált függvény analitikusan folytatható egy nagyobb tartományon.

Deriválás
Adott

függvény esetén megmutatható, hogy

feltéve, hogy a jobb oldal konvergál. Ha ƒ(n) teljesen multiplikatív, és feltesszük, hogy a sor konvergál minden Re(s) > σ0-ra,akkor

konvergál Re(s) > σ0-n. Itt Λ(n) a von Mangoldt-függvény.

Integráltranszformációk
A Dirichlet-sor Mellin-transzformációját a Perron-képlet adja meg.

Kapcsolat a hatványsorokkal
Az an sorozat, amit egy olyan Dirichlet-sor, mint generátorfüggvény generál, ami megfelel a következőnek:

ahol ζ(s) a Riemann-féle zéta-függvény, akkor an közönséghes generátorfüggvénye

Jegyzetek

Források
 Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 
 
The general theory of Dirichlet's series  by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections

Fordítás 

Analitikus számelmélet