Lambert-sor
A Lambert-sor a matematikában egy

alakú sor. Formálisan átírható a következőképpen:

ahol az új sor együtthatói an és a konstans 1 függvény Dirichlet-konvolúciójával számítható ki:

Ez a sor a Möbius-féle megfordítási formulával invertálható, és a Möbius-transzformáció egy példája.

Példák
Mivel ez az utóbbi tipikus számelméleti összeg, majdnem minden multiplikatív számelméleti függvény egzaktul összegezhető, ha Lambert-sorként van megadva. Így például

ahol  az n szám pozitív osztóinak száma.

Magasabb rendű osztófüggvényekre

ahol   tetszőleges komplex szám, és

az osztófüggvény.

Azok a Lambert-sorok, amelyekben an-nek trigonometrikus függvények, például an = sin(2n x), a Jacobi-féle théta-függvények logaritmikus deriváltjainak különféle kombinációiként értékelhetők ki.

A többi ismert Lambert-sor közé tartozik a  Möbius-függvényé:

A  Euler-függvény:

A   Liouville-függvény:

ahol a bal oldali összeg a Ramanudzsan-féle théta-függvényhez hasonló.

Alternatív alak
Elvégezve a  helyettesítést a sor egy másik, gyakran használt alakját kapjuk:

ahol

mint előbb. A Lambert-sor ebben az alakjában,  helyettesítéssel a Riemann-féle zéta-függvény definíciójában látható páratlan egész értékeire.

Alkalmazása

Az irodalomban különféle összegeket neveznek Lambert-sornak. Például, mivel  polilogaritmikus függvény, ezért minden

alakú sort nevezhetünk Lambert-sornak, feltéve, hogy a paraméterek megfelelők.  Emiatt

ami teljesül minden komplex q-ra, ami nincs az egységkörön, és ez a Lambert-sorra vonatkozó azonosságnak tekinthető.
Ez következik több, Ramanudzsan által kiadott azonosságból. Ramanudzsan munkásságának nagy részét Bruce Berndt dolgozta fel.

Források
 
 
 * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,

Fordítás 

Analitikus számelmélet