Kis elemszámú véges csoportok listája
A matematika csoportelmélet nevű ágában fontos szerepet játszanak a véges csoportok: azok a csoportok, amelyeknek véges sok eleme van. Az alábbi lista a 16-nál kisebb elemszámú csoportokat sorolja föl, elemszám szerint csoportosítva.

Jelölések 
A csoportelméletben szokásos konvenciókat követve
1 jelöli a csoport egységelemét
Tetszőleges pozitív egész n-re  jelöli az n-edrendű ciklikus csoportot, azaz az n-edik komplex egységgyökök szorzáscsoportját.
Tetszőleges  egész számra  jelöli az n-edfokú diédercsoportot, azaz a szabályos n-szög szimmetriacsoportját.
Tetszőleges pozitív egész n-re  jelöli az n-edfokú szimmetrikus csoportot, azaz n elem összes permutációjának csoportját, és  jelöli az n-edfokú alternáló csoportot, azaz n elem páros permutációinak csoportját.
 jelöli a Klein-csoportot;  jelöli a kvaterniócsoportot.

Alapvető tények 
A kis véges csoportok enumerációja során újra meg újra felhasználható az alábbi néhány egyszerű gondolatmenet:

Minden pozitív egész n-re van n elemű csoport 
Tetszőleges n-re  az n-edrendű ciklikus csoport, példa n elemű csoportra.

Ha p prímszám, akkor csak egy p elemű csoport van 
Ha ugyanis  p elemű csoport és  és , akkor g rendje nem 1 de osztja p-t, ezért g rendje p. Így , azaz .

Kis elemszámú véges csoportok

Egyelemű csoport 
Egyelemű csoport csak egy van, a triviális csoport.

Kételemű csoport 
Mivel a 2 prímszám, az egyetlen kételemű csoport a .

Háromelemű csoport 
Mivel a 3 prímszám, az egyetlen háromelemű csoport a .

Négyelemű csoport 
Négyelemű csoportból kettő létezik:  és a V Klein-csoport. Ezek nyilván különböznek, hiszen az elsőben van negyedrendű elem, a másodikban pedig nincs. Több négyelemű csoport nincs, hiszen ha  négyelemű, akkor vagy van negyedrendű eleme, vagy nincs. Ha van, akkor az az elem generálja a csoportot, tehát a . Ha nincs, akkor  mindhárom 1-től különböző eleme másodrendű, és így ezek közül bármelyik kettő szorzata a harmadik. Emiatt  izomorf a Klein-csoporttal.

Ötelemű csoport 
Mivel az 5 prímszám, az egyetlen ötelemű csoport a .

Hatelemű csoport 
A hatelemű csoportok közt kézenfekvő módon szerepel a  ciklikus csoport és az  szimmetrikus csoport. Ezek különbözőek, hiszen az első kommutatív, a második pedig nem. Több hatelemű csoport nincsen.

Hételemű csoport 
Mivel a 7 prímszám, az egyetlen hételemű csoport a .

Nyolcelemű csoport 
A nyolcelemű csoportok között kézenfekvő módon szerepelnek a  csoportok. Ezek egymástól különböznek: míg  kommutatív, a másik kettő nem az; azt pedig, hogy a diédercsoport különbözik a kvaterniócsoporttól, onnan láthatjuk például, hogy a kvaterniócsoportban csak egy másodrendű elem van (a -1), míg a diédercsoportban van több is (minden tükrözés).

Kilencelemű csoport

Tízelemű csoport

Tizenegy elemű csoport 
Mivel a 11 prímszám, az egyetlen tizenegy elemű csoport a .

Tizenkét elemű csoport

Tizenhárom elemű csoport 
Mivel a 13 prímszám, az egyetlen tizenhárom elemű csoport a .

Tizennégy elemű csoport

Tizenöt elemű csoport

Források 

Csoportelmélet