Von Mangoldt-függvény
A matematikában a von Mangoldt-függvény egy Hans von Mangoldtról elnevezett számelméleti függvény. Példa arra, hogy egy fontos számelméleti függvény nem szükségképpen multiplikatív vagy additív.

Definíció
A Λ(n)-nel jelölt von Mangoldt-függvény definíciója:

Λ(n) értékei az első kilenc pozitív egészre

ami az  sorozathoz kapcsolódik. 

Összegfüggvénye a ψ(x) Csebisev-függvény, aminek definíciója:

A ψ(x) függvényre von Mangoldt explicit képletet is meghatározott, amiben a Riemann-féle zéta-függvény nem triviális gyökeinek összege is szerepel. EZ a prímszámtétel első bizonyításának fontos része volt.

Tulajdonságok
A von Mangoldt-függvény megfelel a következő azonosságnak:

Az összeg befutja azokat a pozitív egész d-ket, amelyek osztói n-nek.  Ez bizonyítható a számelmélet alaptételével, mivel azok az értékek, amelyeket a függvény nem prímhatványokra vesz fel, csak a nulla.  Legyen például n  12  22 × 3. Ekkor

A Möbius-inverzióval kapjuk, hogy

Dirichlet-sor
A von Mangoldt-függvény fontos szerepet játszik a Dirichlet-sorok elméletében, és a Riemann-féle zéta-függvényhez is kapcsolódik. Speciálisan,

A logaritmikus derivált 

Ezek a Dirichlet-sorokkal való kapcsolat speciális esetei.  Ha

egy  f (n) teljesen multiplikatív függvény, és a sor konvergál a Re(s) > σ0 helyekre, akkor

konvergens minden Re(s) > σ0-ra.

Csebisev-függvény
A ψ(x) második Csebisev-függvény a von Mangoldt-függvény összegfüggvénye:

A Csebisev-függvény Mellin-transzformációja a Perron-formula felhasználásával:

ami teljesül, ha Re(s) > 1.

Exponenciális sorok

Hardy és Littlewood vizsgálta ennek a sornak az y → 0+ határértékét

A Riemann-hipotézis teljesülésének esetére belátták, hogy

Azt is megmutatták, hogy a sor oszcillál, mégpedig egyre erősebben. Sőt, létezik egy K > 0 úgy, hogy végtelen gyakran

A mellékelt grafikon mutatja, hogy ez az első valahány számra ez nem nyilvánvaló: az oszcilláció egészen az első 100 millió tag összegzéséig nem látható tisztán, és csak akkor látható, ha y < 10−5.

Riesz-közép
A von Mangoldt-függvény Riesz-közepe

ahol λ és δ a Riesz-közép paraméterei, és c > 1. A ρ fölötti összeg a Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg, és

konvergens, ha λ > 1.

Approximáció a Riemann-féle zéta-függvény gyökeivel

A Riemann-féle zéta-függvény gyökei fölötti összeg:

ahol ρ(i) az i-edik zéta-gyök, a csúcsok a prímeknél, ami numerikus számításokkal is bizonyítható. Az összeg nem megy el addig, hogy kiadja a von Mangoldt-függvény értékeit.

A von Mangoldt-függvény Fourier-transzformációja által adott spektrumban a csúcsok a Riemann-féle zéta-függvény gyökeinek képzetes részeinél vannak. Ezt néha dualitásnak nevezik.

Jegyzetek

Források
 * Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 
 

Számelméleti függvények