sentence1: وكان هذان المبدأن سببا لتعريف طرق عديدة أطلقا عليها اسم ("φ-summation methods")، وجميعها أعطى نفس النتيجة بأن مجموع هذه المتسلسلة هو 1⁄4: إذا كان (φ(x هي دالة بحيث أن المشتقتين الأولى والثانية لها متصلتان وقابلتان للتكامل على الفترة (0, ∞)، بحيث أن φ(0) = 1 ونهايات (φ( x و (xφ(x عند +∞ هي 0، فإن lim δ → 0 ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m ( m + 1 ) φ ( δ m ) = 1 4 . {\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.} هذه النتيجة تعتبر تعميم لمجموع آبل، والذي يمكن الحصول عليه عند تساوي كلا من (φ(x و (exp(-x.
sentence2: Ппрецизно, овие принципи водат кон определување на широко семејство на „методи за φ-сумирање“, од коишто сите даваат сума еднаква на  1⁄4: Ако φ(x) е функција чијшто прв и втор извод се непрекинато интеграбилни во интервалот (0, ∞), при што φ(0) = 1 и граничните вредности од φ(x) и xφ(x) за +∞ се еднакви на 0, тогаш: lim δ → 0 ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m ( m + 1 ) φ ( δ m ) = 1 4 . {\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.} Овој резултат претставува воопштување на Абеловото сумирање, коешто се добива со воведување на замената φ(x) = exp(−x).