يملك الإحصائيون في معظم الحالات القدرة على الوصول إلى عينة فقط أو مجموعة جزئية مما يدرسونه، فمثلًا يستطيع الإحصائي إيجاد كلفة عينة عشوائية لآلاف قليلة من السيارات بدلًا من تحليل المتمع الكلي "تكلفة كل سيارة في مصر". يمكنه استخدام هذه العينة للحصول على تقدير جيد لتكلفة السيارات المصرية لكنه لن يطابق الأرقام الفعلية تمامًا.   ستأخذ ستة أيام عشوائية مثلًا لتحليل عدد كعك المافن الذي يباع يوميًا في مطعم صغير وتحصل على هذه النتائج: 38 و37 و36 و28 و18 و14 و12 و11 و10,7 و9,9. هذه عينة وليست الكل لأنك لا تملك بيانات عن كل يوم كان المطعم مفتوحًا به.   انتقل للطريقة الموضحة أدناه إذا كنت تعرف كل نقاط البيانات في المجتمع الإحصائي. يخبرك تباين مجموعة بيانات بكيفية توزيع هذه المجموعة. كلما اقترب التباين من الصفر زاد تقارب وتجمع نقاط البيانات. استخدم المعادلة التالية لحساب التباين عند العمل مع عينات مجموعة البيانات:    s2{\displaystyle s^{2}} = ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]/(n - 1)  التباين هو s2{\displaystyle s^{2}} ويقاس دومًا بالوحدات المربعة. يمثل xi{\displaystyle x_{i}} حدًا من مجموعة البيانات. تعني ∑ الجمع وتخبرك أن تحسب الحدود التالية لقيم xi{\displaystyle x_{i}} ثم تجمعها. متوسط العينة هو x̅. عدد نقاط البيانات هو n. . يشير الرمز x̅ أو إكس شرطة إلى متوسط العينة.  احسبه كما تحسب أي متوسط: اجمع كل نقاط البيانات ثم اقسمها على عددها.    مثال: اجمع أولًا نقاط البيانات: 17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84 ثم اقسم الإجابة على عدد النقاط وهي ستة في هذه الحالة: 84 ÷ 6 = 14. أي أن متوسط العينة = x̅ =14. يمكنك التفكير في المتوسط على أنه "نقطة منتصف" البيانات. يكون التباين منخفضًا إذا تجمعت البيانات قرب المتوسط بينما يرتفع إذا تباعدت عنه. حان الآن وقت حساب xi{\displaystyle x_{i}} - x̅ حيث xi{\displaystyle x_{i}} هو كل رقم في مجموعة البيانات. تخبرك كل إجابة بمدى انحراف ذلك الرقم عن المتوسط، أو للتبسيط أكثر: مدى ابتعاده عنه. .   مثال: x1{\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3x2{\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1x3{\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9x4{\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7x5{\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5x6{\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1 مراجعة عملك أمر سهل، لأن مجموع الإجابات يجب أن يكون صفرًا. يرجع سبب تعريف المتوسط أن الإجابات السالبة (المسافة من المتوسط إلى الأرقام الأصغر) تلغي تمامًا الإجابات الموجبة (المسافة من المتوسط إلى الأرقام الأكبر). مجموع الانحرافات الحالية (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)  صفر كما لاحظنا أعلاه. يعني هذا أن "متوسط الانحراف" سيساوي الصفر دومًا لذا لا يعلمك هذا أي شيء عن مدى توزيع البيانات. جد مربع كل انحراف لحل هذه المشكلة. سيحول هذا كل الأرقام لأرقام موجبة فلا تعود القيم الموجبة والسالبة تلغي بعضها البعض.    مثال: (x1{\displaystyle x_{1}} - x̅)2=32=9{\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}(x2{\displaystyle (x_{2}} - x̅)2=12=1{\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}92 = 81(-7)2 = 49(-5)2 = 25(-1)2 = 1 لديك الآن قيمة (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}} لكل نقطة بيانات من العينة. حان الآن وقت حساب قيمة بسط المعادلة بأكمله: ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]. يخبرك رمز السيجما ∑ بأن عليك جمع قيمة الحد التالي لجميع قيم xi{\displaystyle x_{i}}. لقد حسبت (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}} مسبقًا لكل قيمة xi{\displaystyle x_{i}} في العينة لذا كل ما عليك فعله هو جمع النتائج.   مثال: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166. كان الإحصائيون يقسمون على n عند حساب تباين عينة فيما مضى. يعطيك هذا القيمة المتوسطة لمربع الانحراف وهو مطابق مثالي لتباين تلك العينة، لكن تذكر أن العينة مجرد تقدير لمجتمع أكبر وستحصل على نتائج مختلفة إذا أخذت عينة عشوائية أخرى وأجريت نفس الحسابات، بينما تمنحك القسمة على n-1 بدلًا من ذلك تقديرًا أفضل لتباين مجتمع أكبر وهو ما يثير اهتمامنا فعلًا. هذا التصحيح شائع لدرجة أنه يمثل الآن تعريفًا مقبولًا لتباين العينة.   مثال: هناك ست نقاط بيانات في العينة لذا فإن n=6 وتباين العينة = s2=1666−1={\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33.2 لاحظ أن التباين يقاس بالوحدة المربعة للبيانات الأصلية، نظرًا لوجود أس في المعادلة. قد يصعب هذا الفهم البديهي للأمر لكن من المفيد استخدام الانحراف المعياري. لم يضع جهدك سدى، لأن الانحراف المعياري يُعرّف على أنه الجذر التربيعي للتباين. هذا سبب كتابة تباين العينة بصورة s2{\displaystyle s^{2}} والانحراف المعياري لها s{\displaystyle s}.  الانحراف المعياري للعينة الموضحة أعلاه مثلًا= s = √33.2 = 5.76.
Write down your sample data set. Write down the sample variance formula. Calculate the mean of the sample Subtract the mean from each data point. Square each result. Find the sum of the squared values. Divide by n - 1, where n is the number of data points. Understand variance and standard deviation.