यह विधि, किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए (संख्या पर निर्भर करते हुए, यह एक सटीक उत्तर हो सकता है या एक नजदीकी अनुमान), उस संख्या के फ़ैक्टर्स का उपयोग करती है। किसी संख्या के फ़ैक्टर्स  factors, किन्हीं अन्य संख्याओं के सेट होते हैं, जिनका आपस में गुणा करने से, वही संख्या प्राप्त होती है।  उदाहरण के लिए, आप कह सकते हैं कि, 8 के फ़ैक्टर्स 2 और 4 हैं क्योंकि, 2 x 4 = 8 होता है। दूसरी तरफ, परफेक्ट वर्ग (Perfect squares) वे संख्याएँ होती हैं, जो अन्य पूर्णांकों का गुणनफल होती हैं। उदाहरण के लिए, 25, 36, और 49 पूर्ण वर्ग हैं क्योंकि वे क्रमशः 52, 62 और  72 हैं। परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स, जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, वे फ़ैक्टर्स हैं जो स्वयं भी परफेक्ट वर्ग हैं। प्राइम फैक्टराइज़ेशन के द्वारा वर्गमूल ज्ञात करना शुरू करने के लिए, सबसे पहले अपनी संख्या को उसके छोटे परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स में बदलने का प्रयास करें।   आइए हम एक उदाहरण का प्रयोग करें। हम हाथों से 400 का वर्गमूल ज्ञात करना चाहते हैं। शुरू करने के लिए, हम संख्या को परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स में विभाजित करेंगे। चूंकि 400, 100 का एक गुणक है इसलिए, हम जानते हैं कि यह 25, जो स्वयं भी एक परफेक्ट वर्ग है, से सम-विभाज्य (evenly divisible) है। क्विक मेंटल डिवीज़न (Quick mental division) से हमें पता चलता है कि, 400 में 25, 16 बार जाता है। संयोग से, 16 भी एक परफेक्ट वर्ग है। इस प्रकार, 400 के परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स 25 और 16 हैं क्योंकि, 25 x 16 = 400. हम इसे ऐसे लिखेंगे: √400 = √(25 x 16) वर्गमूल के गुणनफल की विशेषता यह बताती है कि, किसी भी दी गई संख्याओं a और b के लिए, √(a x b) = √a x√b। इस विशेषता के कारण, अब हम उत्तर प्राप्त करने के लिए, अपने परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स का वर्गमूल लेकर, उनका आपस में गुणा कर सकते हैं।  हमारे उदाहरण में, हम 25 और 16का वर्गमूल लेंगे। नीचे देखें:  √(25 x 16) √25 x √16 5 x 4 = 20 वास्तविक जीवन में, अक्सर ही जिस संख्या का वर्गमूल आपको निकालना होता है वह, 400 की तरह कोई अच्छी संख्या नहीं होगी जिसके परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स स्पष्ट हों। इन मामलों में, पूर्णांक में सटीक उत्तर पाना संभव नहीं भी हो सकता है इसके बजाय, कोई भी परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स ज्ञात करके, जिन्हें आप ज्ञात कर सकते हैं, आप एक अपेक्षाकृत छोटा, सरल, आसानी से-मैनेज-हो सकने वाला वर्गमूल के रूप में उत्तर ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या को परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स और नॉन-परफेक्ट वर्ग फ़ैक्टर्स के कांबिनेशन में छोटा करें और उसके बाद उसे सरलीकृत करें। आइए हम उदाहरण के लिए, 147 के वर्गमूल का प्रयोग करें। 147, दो परफेक्ट वर्गों का गुणनफल नहीं है इसलिए, ऊपर दिए गए अनुसार, हम मान को एक सटीक पूर्णांक नहीं पा सकते हैं। तथापि, यह एक परफेक्ट वर्ग और एक अन्य संख्या 49 और 3 का गुणनफल है। इस जानकारी का उपयोग करके हम अपना उत्तर सरलतम टर्म्स में निम्नानुसार लिख सकते हैं:  √147 =√(49 x 3) = √49 x √3 = 7 x √3 सरलतम टर्म्स में आपके वर्गमूल से, किसी भी बचे हुए वर्गमूल को गेस (guess) करके और गुणा करके, समान्यतया किसी न्यूमेरिकल उत्तर का एक रफ अनुमान लगाना काफी आसान होता है। आपके अनुमान को गाइड करने का एक तरीका है किसी भी तरफ के आपके वर्गमूल में निहित संख्या का परफेक्ट वर्ग ज्ञात करना। इससे आपको पता चल जाएगा कि वर्गमूल में निहित संख्या का दशमलव में मान इन्हीं दो संख्याओं के बीच में कहीं है, इस तरह आप उन दोनों के बीच में गेस कर पाएंगे। आइए हम अपने उदाहरण पर वापस चलें। चूंकि 22 = 4 and 12 = 1, हम जानते हैं कि √3 का मान 1 और 2 के बीच में है – संभवतः 1 की अपेक्षा 2 के ज्यादा निकट। हम 1.7 का अनुमान लगाएंगे। 7 x 1.7 = 11.9 यदि हम अपनी गणना को कैलकुलेटर से जांच करें तो हम देख सकते हैं कि हमारा उत्तर, वास्तविक उत्तर 12.13 के काफी करीब है। यही बड़ी संख्याओं के लिए भी काम आता है। उदाहरण के लिए, (35) का वर्गमूल का अनुमान 5 और 6 के बीच लगाया जा सकता है (शायद 6 के काफी निकट)।52 = 25 and 6 2 = 36. 35 25 और 36 के बीच है, तो इसका वर्गमूल अवश्य ही 5 और 6 के बीच होगा। चूंकि, 35 से 36 एक ही अंक ज्यादा है इसलिए, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि इसका वर्गमूल 6 से बस थोड़ा ही कम होगा। कैलकुलेटर से चेक करने पर हमें 5.92 के लगभग का उत्तर मिलता है – अर्थात हम सही थे। यदि आप आसानी से किसी संख्या के प्राइम फैक्टर्स (ऐसे फैक्टर्स जो प्राइम नंबर भी हों) निर्धारित कर सकते हैं, तो परफेक्ट वर्ग फैक्टर ज्ञात करना जरूरी नहीं है। अपनी संख्या को उसके लोवेस्ट कामन फैक्टर के टर्म्स में लिखें। उसके बाद, अपने फ़ैक्टर्स में,उससे मैचिंग प्राइम नंबर्स काजोड़ा देखें। जब आपको मैच करते हुए दो प्राइम फ़ैक्टर्स मिल जाएँ, तो वर्गमूल में से इन दोनों संख्याओं को हटा दें और उनमें से एक को वर्गमूल के बाहर लिख दें।   एक उदाहरण के तौर पर, आइए हम इस विधि का प्रयोग करके 45 का वर्गमूल ज्ञात करें। हम जानते हैं कि, 45 = 9 x 5 होता है और हम यह भी जानते हैं कि 9 = 3 x 3 होता है। इस प्रकार, हम अपने वर्गमूल को इस तरह के फ़ैक्टर्स के टर्म्स में लिख सकते हैं: √(3 x 3 x 5)। अब अंदर के दोनों 3 को हटाकर, एक 3 को वर्गमूल के बाहर लिखें और अपने वर्गमूल को सरलतम टर्म्स में प्राप्त करें: 3 x √5। यहाँ से, अनुमान लगाना आसान है। उदाहरण स्वरूप  एक अंतिम सवाल के लिए, आइए हम 88 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करें:  √88 = √(2 x 44) = √(2 x 4 x 11) = √(2 x 2 x 2 x 11). हमारे वर्गमूल में कई 2 मौजूद हैं। चूंकि, 2 एक प्राइम नंबर है, इसलिए हम 2 के एक जोड़े को अंदर से हटाकर, एक 2 को वर्गमूल के बाहर लिख सकते हैं। = सरलतम टर्म्स में हमारा वर्गमूल, 2 x √(2 x 11) या 2 x √2 x √11 होगा। यहाँ से, हम √2 और √11 के मान का अनुमान लगा सकते हैं और यदि चाहें तो एक लगभग सही उत्तर ज्ञात कर सकते हैं।
اقسم الرقم إلى عوامله المربعة الكاملة. خذ الجذور التربيعية للعوامل المربعة الكاملة. اختصر الإجابة لأبسط صورة إذا لم يسعك تحليل الرقم لعوامله الكاملة. الجأ للتقدير عند الضرورة. اختصر الرقم  بالعامل المشترك الأصغر كخطوة أولى.