إن المعادلات التربيعية تكون في الصيغة ax2 + bx + c = 0, حيث أنa، b، c ثوابت رقمية و a لا تساوي 0 (لاحظ أن a قد تساوي 1 أو 1-). إذا كان لديك معادلة تحتوي على متغير واحد (x) بأكثر من حد x من الدرجة الثانية، يمكنك تحريك الحدود في المعادلة باستخدام العمليات الجبرية البسيطة للحصول على 0 في طرف و ax2...إلخ في الطرف الآخر.  على سبيل المثال، لنفكر في المعادلة الجبرية. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 باعتبار أنه يمكن تبسيطها إلى x2 + 6x + 9 = 0، وهي ما تعد صورة للمعادلة التربيعية. المعادلات التي تحتوي على x بأس أعلى مثل x3, x4...إلخ، لا يمكن أن تكون معادلات تربيعية. إنها معادلات تكعيبية، معادلات من الدرجة الرابعة، إلا إذا استطعنا تبسيط المعادلة من خلال إقصاء الحدود التي يزيد أسها عن 2. إذا كانت المعادلة التربيعية في الصورة x2 + bx + c = 0 (أي إذا كان معامل الحد x2 = 1), فمن المحتمل (ولكن ليس مؤكدًا) أنه يمكن استخدام اختصار بسيط لتحليل المعادلة. أوجد الرقمين اللذين يمكن ضربهما في بعضهما لإعطاء ناتج c و إضافتهما إلى بعضهما لإعطاء قيمة b. بمجرد أن توجد هذين الرقمين d  و e، ضعهما في التعبير التالي: (x+d)(x+e). عندما يتم ضرب هذين الحدين في بعضها تنتج المعادلة التربيعية، أي أنهما معاملات المعادلة التربيعية.  على سبيل المثال لنفكر بالمعادلة التربيعية x2 + 5x + 6 = 0. يمكن ضرب 3 و 2 في بعضهما للحصول على الرقم 6 وإضافتهما لبعضهما للحصول على الرقم 5 لذا فإنه يمكننا تبسيط المعادلة إلى (x + 3)(x + 2). توجد بعض الاختلافات البسيطة في الاختصار نتيجة لبعض الاختلافات البسيطة في المعادلة نفسها:  إذا كانت المعادلة التربيعية في الصورة x2-bx+c، يكون الحل في صورة (x - _)(x - _). إذا كانت المعادلة التربيعية في الصورة x2+bx+c، يكون الحل في صورة (x + _)(x +_). إذا كانت المعادلة التربيعية في الصورة x2-bx-c، يكون الحل في صورة (x + _)(x - _).   لاحظ: يمكن أن تكون الأرقام في الفراغات كسورًا أو أرقامًا عشرية. على سبيل المثال يمكن تحليل المعادلة x2 + (21/2)x + 5 = 0 إلى (x + 10)(x + 1/2). صدق أو لا تصدق، بالنسبة للمعادلات التربيعية غير المعقدة، يعد فحص المسألة أحد طرق التحليل المقبولة، ثم القيام فقط بتجربة الحلول المحتملة حتى تجد الحل الصحيح. تعرف أيضًا تلك الطريقة بالتجربة. إذا كانت المعادلة في الصورة ax2+bx+c و a>1، فإن تحليل المعادلة سيكون في الصورة (dx +/- _)(ex +/- _)، حيث أن d و e ثابتين رقميين لا يساويان 0 ويمكن ضربهما لإعطاء قيمة  a. يمكن أن يساوي d أو e أو كليهما 1 لكن ذلك ليس حتميًا. إذا ساوى كلاهما 0. فإنك قد استخدمت الاختصار المشروح أعلاه. لنجرب مسألة ما كمثال. 3x2 - 8x + 4 في البداية تبدو هذه المعادلة محيرة. لكن  بمجرد ملاحظة أن الرقم 3 له معاملين هما (1، 3)، فإن الأمر يصبح أسهل لأننا نعرف أن الإجابة يجب أن تكون في الصورة  (3x +/- _)(x +/- _). وفي هذه الحالة فإن إضافة a -2 في المساحات الفارغة سوف تعطي الإجابة الصحيحة. 2- × 3x = -6x و 2- × x = -2x. وإضافة 6x- و 2x- إلى 8x- فإن 2- × -2 = 4، إذن يمكننا أن نرى أن الحدود المحللة في الأقواس يمكن ضربها لتعطي المعادلة الأصلية. في بعض الحالات يمكن تحليل المعادلات التربيعية بشكل سريع باستخدام طريقة جبرية خاصة. أي معادلة تربيعية في الصورة x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. لذا إذا كانت قيمة b في المعادلة تساوي ضعف قيمة الجذر التربيعي لقيمة c، يمكن تحليل معادلتك في الصورة  (x + (الجذر التربيعي(c)))2. على سبيل المثال، فإن المعادلة x2 + 6x + 9 تلائم هذه الصورة. حيث أن. 32 هو 9 و 3 × 2 هو 6. لذا فإننا نعرف أن صورة المعادلة بعد التحليل هي (x + 3)(x + 3)، أو (x + 3)2. بغض النظر بمجرد تحليل المعادلة التربيعية أيًا كانت الطريقة، يمكنك إيجاد الحلول لقيم x من خلال وضع كل معامل يساوي صفر والحل. حيث أنك تريد قيم x  التي تجعل المعادلة تساوي صفر، وقيمة x التي تجعل أحد معاملاتك يساوي صفر هي حل محتمل للمعادلة التربيعية. رجوعًا للمعادلة x2 + 5x + 6 = 0. يمكن تحليل تلك المعادلة إلى (x + 3)(x + 2) = 0. إذا كان أي من المعاملات يساوي 0 فإن المعادلة بأكملها ستساوي 0. لذا فإن الحلول المحتملة لقيمة x هي الأرقام التي تجعل (x + 3) و (x + 2) يساويان صفر. تلك الأرقام هي 3- و 2- على التوالي. . عندما توجد حلول x المحتملة، قم بالتعويض بها في المعادلة الأصلية لترى إذا كانت الحلول صحيحة. في بعض الأحيان، عند التعويض بالحلول التي وجدتها لا تساوي المعادلة 0. يتم اعتبار هذه الإجابات غير صحيحة ويتم تجاهلها.  لنقم بالتعويض بقيم 2- و 3- في المعادلة  x2 + 5x + 6 = 0. لنبدأ بـ 2-:  (2-)2 + 5(-2) + 6 = 0 4 + 10- + 6 = 0 0 = 0. هذا صحيح أي أن 2- حل صحيح.   والآن فلنجرب 3-:  (3-)2 + 5(-3) + 6 = 0 9 + 15- + 6 = 0 0 = 0. هذا أيضًا صحيح. أي أن 3- حل صحيح أيضًا.
Ensure the equation is in quadratic form (ax2 + bx + c = 0). In quadratic equations where a = 1, factor to (x+d )(x+e), where d × e = c and d + e = b. If possible, factor by inspection. Solve by completing the square. Use factors to solve quadratic equations. Check your answers - some of them may be extraneous!