O último legado substantivo do Principia Mathematica é misto. É geralmente aceito que o teorema da incompletude de Kurt Gödel de 1931 demonstrou definitivamente que, para qualquer conjunto de axiomas e regras de inferência propostos para encapsular a matemática, haveria de fato algumas verdades da matemática que não poderiam ser deduzidas deles e, portanto, que o Principia Mathematica poderia nunca atingir seus objetivos. No entanto, Gödel não poderia ter chegado a essa conclusão sem o livro de Whitehead e Russell. Desta forma, o legado do Principia Mathematica pode ser descrito como seu papel chave em refutar a possibilidade de alcançar seus próprios objetivos declarados. Mas além desse legado um tanto irônico, o livro popularizou a lógica matemática moderna e atraiu importantes conexões entre lógica, epistemologia e metafísica.
Qual é o consenso geral dos axiomas e regras de inferência declaradas no Principia Mathematica?
misturado