Effondrement, spectre et propri�t�s diophantiennes des flots riemanniens
Pierre Jammes
flots.tex
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\sloppy
\title{Effondrement, spectre et propri�t�s diophantiennes des flots
riemanniens}
\author{Pierre Jammes}
\date{}
\begin{document}
\maketitle
{\small 
\textsc{R�sum�.---}
On �tudie le comportement des premi�res valeurs propres du laplacien 
agissant sur les formes diff�rentielles lors d'un effondrement adiabatique 
d'un flot riemannien $\mathcal F$ sur une vari�t� compacte $M$. Le nombre 
de petites valeurs
propres peut alors se calculer en fonction de la cohomologie basique
de $\mathcal F$, et on donne des crit�res spectraux pour l'annulation
des classes d'\'Alvarez et d'Euler du flot. En outre, on d�finit un
invariant de nature diophantienne du flot qui est li� au comportement
asymptotique des petites valeurs propres. Un appendice est consacr� aux
propri�t�s arithm�tiques des flots riemanniens.

Mots-clefs : effondrements, formes diff�rentielles, laplacien, 
petites valeurs propres, flots riemanniens, approximations diophantiennes.

\medskip
\textsc{Abstract.---}
We study the behavior of the first eigenvalues of the Hodge Laplacian acting
on differential forms under adiabatic collapsing of a riemannian flow 
$\mathcal F$ on a closed manifold $M$. We show that the number of small
eigenvalues is related to the basic cohomology of $\mathcal F$, and
give spectral criteria for the vanishing of the \'Alvarez class
and the Euler class of the flow. We also define a diophantine
invariant of the flow which is related to the asymptotical behavior
of the small eigenvalues. An appendix is devoted to arithmetic
properties of riemannian flows.

Keywords : collapsing, differential forms, Laplacian, 
small eigenvalues, riemannian flows, diophantine approximations.

MSC2000 : 58J50, 58C40, 53C12}


\selectlanguage{english}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}

\section*{Summary}
The aim of this article is the study the behavior of the first eigenvalues
of the Hodge Laplacian on certain collapsing manifolds. Most works on
his subject deal with collapsing of a fibre bundles on their basis. In this
article, we consider a diferent topological structure on the manifold,
namely a foliation. More precisely, we focus on the case of a riemannian
flow, that is a 1-dimensional foliation equiped with a transversal
riemannian structure: there exist a metric $g$ such that if we write
$g=g_H\oplus g_V$, where $g_V$ is the component of the metric tangential
to the leaves and $g_H$ the orthogonal component, $g_H$ is constant along
the flow. Such a metric is called ``bundle-like''. For a bundle-like metric 
$g$, we define the adiabatic collapsing associated
to $g$ by $g_\varepsilon=\varepsilon^2g_H\oplus g_V$. The curvature of
$g_\varepsilon$ is known to be bounded as $\varepsilon$ tends to $0$.

 The behavior of the firsts eigenvalues of the Hodge laplacian is
related to the basic cohomology $H^*(M/\mathcal F)$ of the flow, which
is the cohomology of the space of the basic forms $\Omega^*(M/\mathcal F)
=\{\omega\in\Omega^*(M),\ \prodint_X\omega=\prodint_X\de\omega=0\}$, where
$X$ is a vector field tangent to the flow. This
cohomology is finite dimensional. If $0<\lambda_{p,1}(M,g)\leq 
\lambda_{p,2}(M,g)\leq \ldots$ denotes the positive spectrum of the laplacian
on $p$-forms, we prove the following:


\begin{etheo}\label{sum:th1}
Let $M$ a compact $n$-manifold, $\mathcal F$ a riemannian flow on $M$, 
and $(g_\varepsilon)$ the adiabatic collapsing of a bundle-like metric $g$.
 Then :
\begin{enumerate}
\item The number of positive small eigenvalues on $p$-forms
for the collapsing $(g_\varepsilon)$ is
$$m_p=\dimension H^p(M/\mathcal F)+\dimension H^{n-p}(M/\mathcal F)-b_p(M);$$
\item there is a constant $c(g,\mathcal F)>1$ such that for all $p$, $k$,
and $\varepsilon$ such that
$1\leq k\leq m_p$ and $0<\varepsilon<1$, 
$c^{-1}\cdot\varepsilon^2\leq
\lambda_{p,k}(M,g_\varepsilon)\leq c\cdot\varepsilon^2$.
\end{enumerate}
\end{etheo}

The existence of small eigenvalues is related to two cohomological
invariants of the flow, namely the \'Alvarez class and the Euler class.
According to \cite{do98}, there is a bundle-like metric such that
if $X$ is a unitary vector field tangent to the flow $\mathcal F$ and 
$\chi=X^\flat$ its characteristic form, the basic component of the 1-form
$\kappa=\mathcal L_X\chi$ is closed. Its basic cohomology class is denoted
$[\kappa]\in H^1(M/\mathcal F)$, and is an invariant of the flow 
(see~\cite{al92}). It is an obstruction for the flow to be isometric.
The Euler form of $\mathcal F$ is defined by $e=\de\chi-\kappa\wedge\chi$
and induces a class $[e]\in H^2_{-\kappa}(M/\mathcal F)$, where
$H^*{-\kappa}(M/\mathcal F)$ is the twisted basic cohomology defined
by the twisted differential operator $\de_{-\kappa}=\de+\kappa\wedge$ 
(see~\cite{rp01a}). We can deduce from the theorem~\ref{sum:th1} the 
following vanishing criteria for the \'Alvarez and Euler class:
\begin{ecor}
If there is a degree $p$ such that $\lambda_{p,1}(M,g_\varepsilon)$ 
tends to 0 when
$\varepsilon\to0$, then $[e]\neq0$.

The eigenvalue $\lambda_{1,1}(M,g_\varepsilon)$ tends to 0 as
$\varepsilon\to0$ if and only if $[\kappa]=0$ and $[e]\neq0$.
\end{ecor}

The theorem~\ref{sum:th1} gives bounds of the small eigenvalues depending
on the parameter $\varepsilon$, wich is proportional to the volume of the
manifold. In the second part of the article, we study the behavior of
small eigenvalues relatively to the Gromov-Hausdorff distance between
the manifold $(M,g_\varepsilon)$ and the limit space of the collapsing.
The closure of a leaf is known to be a torus on which the flow is linear
(cf.~\cite{ca84a}, \cite{ca84b}). We prove that the dimension of this torus
and this linear flow are the same for almost all closures of leaves
(lemma~\ref{geom:lem0}). Hence, the slope of the linear flow on
closures of generic leaves is an invariant of the flow. If this
closure is two dimensional, the slope of the flow is an irrational number
$\alpha\in\R\backslash\Q$, and we can define an irrationnality exponent
for the flow by 
$\mu(\mathcal F)=\sup\{\nu,\ |\alpha-\frac pq|<\frac1{q^\nu} \textrm{ has
infinitely many solutions}\}$.


\begin{etheo}
Let $\mathcal F$ be a riemannian flow on a compact manifold $M$
such that the closure of generic leaves of $\mathcal F$ is of dimension~2.
Then, for all adiabatic collapsing $(g_\varepsilon)$ of $\mathcal F$, 
$$\liminf_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)}
{\ln\varepsilon}=\frac1{\mu(\mathcal F)},$$
where $\mu(\mathcal F)$ denotes the irrationnality exponent of $\mathcal F$,
and $\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)$ the Gromov-Hausdorff distance 
between $(M,g_\varepsilon)$ and the limit space of the collapsing.
\end{etheo}
It follows that, under these hypothesis, we have
$\limsup_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\lambda_{p,i}(M,g_\varepsilon)}
{\ln\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)}=2\mu(\mathcal F)$.

When the dimension $k$ of the closure of generic leaves is greater than~3,
the slope of the flow is a vector $\alpha\in\R^{k-1}$. If $\alpha$
is badly approximable, that is
$\|\alpha-\frac pq\|\geq\frac c{q^{1+\frac1{k-1}}}$
for some $c(\alpha)>0$ and for all  $q\in\Z^*$, $p\in\Z^{k-1}$ we have
the following :

\begin{etheo}
Let $M$ a compact manifold, and $\mathcal F$ a riemannian flow on $M$
If the generic closure of leaves of $\mathcal F$ are $k$ dimensional
and the slope of the flow is badly approximable, then
for all adiabatic collapsing $(g_\varepsilon)$ of $\mathcal F$,
there is a constant $c>0$ such that
\begin{equation}
\frac1c\cdot\varepsilon^{\frac1k}\leq\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)
\leq c\cdot\varepsilon^{\frac1k}
\end{equation}
for all $\varepsilon\in]0,1]$.
\end{etheo}
As a corollary, we have 
$\frac1c\cdot\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)^{2k}\leq
\lambda_{p,i}(M,g_\varepsilon)\leq
c\cdot\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)^{2k}$.

 The last part of the article is devoted to examples of collapsing
riemannian flows. In particular, we exhibit flows with prescibed 
$\mu(F)$ and with badly approximable slope.
\selectlanguage{french}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\section{Introduction}
On sait qu'� diam�tre born� et courbure de Ricci minor�e, la premi�re
valeur propre du laplacien agissant sur les fonctions d'une vari�t�
compacte est uniform�ment minor�e. Dans \cite{cc90}, B.~Colbois
et G.~Courtois ont montr� que ce r�sultat ne s'�tendait pas au
laplacien agissant sur les formes diff�rentielles et que m�me avec
une hypoth�se de courbure sectionnelle born�e, on pouvait trouver
des vari�t�s admettant une suite de m�triques telle que la premi�re
valeur propre du laplacien tende vers 0. Ils montrent en outre
qu'� courbure et diam�tre born�s, si une valeur propre tend vers z�ro, 
alors le volume ---~ou de mani�re �quivalente 
le rayon d'injectivit�~--- de la vari�t� tend vers 0, c'est-�-dire
qu'elle s'effondre. Ces r�sultats motivent le probl�me suivant :
\begin{question}\label{intro:q}
� quelles conditions une vari�t� qui s'effondre admet-elle une
ou plusieurs petites valeurs propres~? Peut-on estimer � quelle vitesse
ces valeurs propres tendent vers z�ro par rapport au volume ou au rayon
d'injectivit�~?
\end{question}
Ces questions ont d�j� fait l'objet de plusieurs travaux (\cite{cc00},
\cite{lo02}, \cite{ja03}, \cite{ja04}, voir \cite{ja05} pour une pr�sentation
synth�tique de ces r�sultats), mais les situations �tudi�es
sont celles d'une vari�t� $M$ tendant pour la distance de
Gromov-Hausdorff vers une vari�t� lisse $N$ de dimension inf�rieure, $M$
ayant alors une structure de fibr� sur $N$, alors que l'espace limite
d'une vari�t� qui s'effondre est en g�n�ral une vari�t� stratifi�e.
Les seuls exemples connus de petites valeurs propres dans 
le cas o� la vari�t� $M$ tend vers un espace m�trique qui n'est pas une 
vari�t� lisse sont des exemples de fibr�s de Seifert (\cite{cc90}),
situation tr�s proche des fibr�s en cercles �tudi�s en d�tail dans \cite{cc00}.

On va s'int�resser ici � des situations plus g�n�rales que les fibr�s,
� savoir les feuilletages, en se restreignant au cas plus simple
o� les feuilles sont de dimension~1, c'est-�-dire aux flots, et on
consid�rera des effondrements obtenus en faisant varier la m�trique le long 
des feuilles. Le choix des feuilletages est en particulier motiv� par le 
fait qu'il permet d'exhiber facilement des exemples de petites valeurs propres 
dans le cas o� la vari�t� s'effondre sur un espace singulier (voir
ci-dessous), et il fera en outre appara�tre des diff�rences notables
avec le cas des espaces limites lisses (voir remarque~\ref{intro:rq2}). 
La restriction aux flots s'explique par le fait que m�me 
dans le cas des fibr�s, la seule situation vraiment �lucid�e est celle 
o� la fibre est un cercle. Le fait que la vari�t� s'effondre � courbure 
born�e impose aussi certaines contraintes sur le feuilletage que nous 
d�taillerons plus loin.

Il s'av�re que l'exemple le plus simple d'effondrement sur un espace
singulier, qui est l'effondrement d'un flot isom�trique, fournit 
un exemple de petite valeur propre. Et contrairement aux exemples donn�s
dans \cite{cc90}, on peut faire en sorte que les feuilles ne soient pas
compactes:
\begin{exemple}\label{intro:ex}
On consid�re sur la sph�re $S^3=\{(a,b)\in\C^2,\ |a|^2+|b|^2=1\}$ l'action
isom�trique du tore $T^2$ d�finie par $(\theta_1,\theta_2)\cdot
(a,b)=(e^{i\theta_1}a,e^{i\theta_2}b)$. Si on se donne un irrationnel
$\alpha\in\R\backslash\Q$, on peut lui associer un flot sur $S^3$ par 
le plongement de $\R$ dans $T^2$ d�fini par $t\mapsto(t,\alpha t)$ en 
consid�rant l'action induite sur $S^3$.

Pour construire l'effondrement, on d�compose la m�trique  canonique $g$
en la somme $g=g_H\oplus g_V$ d'une composante verticale, tangente au flot, 
et d'une composante horizontale $g_H$ sur l'espace orthogonal au flot.
On d�finit alors la famille de m�triques $g_\varepsilon=g_H\oplus 
\varepsilon^2g_V$. Comme $\alpha$ est irrationnel, l'adh�rence de chaque
feuille est une orbite de l'action de $T^2$, et donc $(S^3,g_\varepsilon)$
tend vers $S^3/T^2=[0,\frac\pi2]$ pour la distance de Gromov-Hausdorff
quand $\varepsilon$ tend vers 0.

On consid�re la 1-forme diff�rentielle $\omega=\frac X{|X|^2}$, o� $X$ est
le champ de vecteur associ� au flot. Sa codiff�rentielle $\codiff\omega$
est nulle : en effet, $\codiff\omega$ est une fonction invariante par le
flot, donc $\de\codiff\omega$ est partout orthogonale � $\omega$,
et donc $\|\codiff\omega\|^2=(\omega,\de\codiff\omega)=0$. En outre,
sa diff�rentielle v�rifie $i_X\de\omega=\mathcal L_X\omega-\de i_X\omega=0$.
Le quotient de Rayleigh de $\omega$ d'�crit donc
$R(\omega)=\frac{\|\de\omega\|^2}{\|\omega\|^2}$, et tend vers 0 quand
$\varepsilon$ tend vers z�ro, car $\|\omega\|^2$ tend vers l'infini et
$\|\de\omega\|^2$ reste constant. On est alors assur�
qu'une valeur propre du laplacien agissant sur $\Omega^1(S^3)$ tend vers
z�ro quand on effondre la sph�re, et cette valeur propre est non nulle
puisque $b_1(S^3)=0$.
\end{exemple}

On va chercher dans cet article � comprendre dans quelle mesure
cet exemple se g�n�ralise aux autres flots. On consid�re donc un flot
$\mathcal F$ ---~c'est-�-dire un feuilletage orientable de dimension 1,
\emph{a priori} sans param�tre~---
sur une vari�t� $M$ et si on se donne une m�trique $g$ sur $M$, on d�finit
comme dans l'exemple \ref{intro:ex} une famille de m�triques
$(g_\varepsilon)$ en d�composant $g$ sous la forme $g_H\oplus g_V$, o�
$g_V$ est la m�trique le long des feuilles et $g_H$ la composante
de la m�trique $g$ orthogonale aux feuilles, et en posant
$g_\varepsilon=g_H\oplus\varepsilon^2g_V$ pour $\varepsilon\leq1$. 
On appellera �~effondrement
adiabatique associ� � $g$~� la famille de m�trique ainsi construite.

Il est rare qu'une telle d�formation de la m�trique maintienne 
la courbure born�e, m�me avec l'hypoth�se que les feuilles sont
de dimension~1. On supposera donc en outre que le flot $\mathcal F$ est 
riemannien, c'est-�-dire qu'il admet une m�trique, dite �~quasi-fibr�e~�, 
dont la composante $g_V$ est invariante par le flot (cette 
propri�t� ne d�pend pas du param�trage choisi sur le flot). En effet,
Y.~Carri�re a montr� (\cite{ca84b}) que si $g$ est une telle m�trique, 
la courbure sectionnelle de $g_\varepsilon$ est uniform�ment born�e par 
rapport � $\varepsilon$, cette propri�t� �tant fausse pour les
feuilletages riemanniens de dimension plus grande (m�me en supposant par
exemple que le feuilletage est d�fini par une action localement libre
de $\R^k$). Les flots riemanniens 
fournissent ainsi un grand nombre d'exemples d'effondrements sur des 
espaces singuliers (nous en rappelerons certains dans la section~\ref{ex}). 
Rappelons aussi une autre propri�t� de ces m�triques, 
que nous n'utiliserons pas ici mais qui intervient 
dans d'autres contextes (voir par exemple \cite{gh83}, \cite{mo05}, 
\cite{ma08}
et les r�f�rences qui y sont donn�es) et qui motive l'�tude des flots 
riemanniens en g�n�ral : si on se donne un champ d'hyperplans
sur une vari�t� riemannienne, il est totalement g�od�sique
si et seulement si la m�trique est quasifibr�e pour le flot orthogonal,
ce flot �tant alors riemannien. 

Sous ces hypoth�ses, nous allons mettre en �vidence quels sont les
points communs et surtout les diff�rences avec les effondrements
de fibr�s. En particulier, nous tacherons d'�clairer les liens entre 
comportement du spectre, g�om�trie de l'effondrement et dynamique du flot 
qui n'�taient qu'esquiss�s dans \cite{ja04}. 

Si $X$ est un champ de vecteur tangent au flot, on d�finit la cohomologie 
basique $H^*(M/\mathcal F)$ du flot comme �tant la cohomologie de l'espace 
des formes basiques $\Omega^*(M/\mathcal F)=\{\omega\in\Omega^*(M),\ 
\prodint_X\omega=\prodint_X\de\omega=0\}$. On sait (\cite{eksh85}) que si 
le flot est riemannien, cette cohomologie
est de dimension finie. On va montrer qu'on peut calculer le nombre
de petites valeurs propres pour l'effondrement $(g_\varepsilon)$
en fonction de cette cohomologie. Pour tout 
$p$, on notera $\lambda_{p,0}(M,g)$ la valeur propre nulle pour les 
$p$-formes, si elle existe, et $\lambda_{p,1}(M,g)\leq \lambda_{p,2}(M,g)\leq
\ldots$ les valeurs propres non nulles, en les r�p�tant s'il
y a multiplicit�.
\begin{theo}\label{intro:th1}
Soit $(M,g)$ une vari�t� riemannienne compacte de dimension $n$, 
$\mathcal F$ un flot
riemannien sur $M$ et $(g_\varepsilon)$ l'effondrement adiabatique 
associ� � une m�trique $g$ quasi-fibr�e pour $\mathcal F$. Alors :
\begin{enumerate}
\item le nombre de petites valeurs propres non nulles sur les $p$-formes 
pour l'effondrement $(g_\varepsilon)$ est 
$$m_p=\dimension H^p(M/\mathcal F)+\dimension H^{n-p}(M/\mathcal F)-b_p(M)\ ;$$
\item il existe une constante $c(g,\mathcal F)>1$ telle que pour tout $p$,
tout $1\leq k\leq m_p$ et tout $0<\varepsilon<1$, on a 
$c^{-1}\cdot\varepsilon^2\leq
\lambda_{p,k}(M,g_\varepsilon)\leq c\cdot\varepsilon^2$.
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{remarque} Le th�or�me \ref{intro:th1} s'applique en particulier
aux fibr�s en cercles, ce qui permet de retrouver une partie des r�sultats de 
\cite{cc00}.
\end{remarque}

\begin{remarque}\label{intro:rq2}
 En revanche, contrairement � ce qui se passe pour
les effondrements de fibr�s sur leur base, ce n'est pas la cohomologie
de l'espace limite qui intervient ici mais celle de la structure 
transverse. Cela contraste aussi avec les exemples d'effondrements � 
courbure minor�e �tudi�s par J.~Lott dans \cite{lo04} pour lesquels
le nombre de petite valeurs propres se calcule � l'aide de la 
cohomologie de l'espace limite. La structure
de fibr� sur l'espace limite ne semble donc pas pertinente pour �tudier
dans toute sa g�n�ralit� le probl�me pos� par la question~\ref{intro:q}.
\end{remarque}

On peut d�duire du th�or�me \ref{intro:th1} un lien entre les propri�t�s 
spectrales du flot et
deux invariants cohomologiques, les classes d'\'Alvarez et d'Euler, dont
nous allons rappeler les d�finitions :

On se donne une m�trique $g$ quasi-fibr�e pour le flot, un champ
de vecteur $X$ unitaire et tangent au flot. La forme caract�ristique du
flot est $\chi=X^\flat$ et sa forme de courbure moyenne est $\kappa
=\mathcal L_X\chi$. Dans \cite{al92}, J.-A.~\'Alvarez~L\'opez a montr� que
la composante basique de cette forme de courbure est ferm�e, et que
la classe de cohomologie basique de cette composante ne d�pend pas de
la m�trique. On appelle \emph{classe d'\'Alvarez} cette classe de
cohomologie et on la note $[\kappa]\in H^1(M/\mathcal F)$. On sait
que cette classe est nulle si et seulement si le flot est g�od�sible, ou
de mani�re �quivalente qu'il est isom�trique ---~c'est-�-dire qu'il 
existe une m�trique sur $M$ et un param�trage du flot 
tels que le flot agisse par isom�trie.

On d�finit la forme d'Euler du flot par $e=\de\chi-\kappa\wedge\chi$.
Cette forme est ferm�e pour l'op�rateur diff�rentiel tordu $\de_{-\kappa}$
d�fini par $\de_{-\kappa}\omega=\de\omega+\kappa\wedge\omega$,
et il existe une m�trique quasi-fibr�e pour laquelle cette forme est basique.
La forme $e$ repr�sente donc une classe de cohomologie $[e]$ dans la 
cohomologie basique tordue $H^2_{-\kappa}(M/\mathcal F)$ d�finie comme 
la cohomologie de $\Omega^*(M/\mathcal F)$ pour la diff�rentielle tordue
$\de_{-\kappa}$. La classe $[e]$ est appel�e \emph{classe d'Euler} du flot 
$\mathcal F$.
Elle d�pend de la m�trique, mais pas le fait qu'elle soit nulle:
on peut montrer (\cite{rp01a}, \cite{rp01b}) que $[e]=0$ si et seulement 
s'il existe un feuilletage transverse � $\mathcal F$ dont la torsion est 
basique.

On peut alors �crire :
\begin{ecor}\label{intro:cor1}
S'il existe $p$ tel que $\lambda_{p,1}(M,g_\varepsilon)$ tend vers 0 quand
$\varepsilon$ tend vers 0, alors $[e]\neq0$.

La valeur propre $\lambda_{1,1}(M,g_\varepsilon)$ tend vers 0 quand 
$\varepsilon$ tend vers 0 si et seulement si $[\kappa]=0$ et $[e]\neq0$.
\end{ecor}
\begin{remarque}
Si $H^1(M)=\{0\}$, par exemple si $M$ est simplement connexe, 
on a n�cessairement $[\kappa]=0$ et $[e]\neq0$ (voir
remarque \ref{coh:rq2} dans la section \ref{coh}). Cette situation 
est illustr�e par l'exemple \ref{intro:ex}.
\end{remarque}

 Dans le cas o� le flot est isom�trique, on a donc une condition
n�cessaire et suffisante sur le spectre ---~� savoir l'absence de petites
valeurs propres~--- pour que la classe d'Euler 
s'annule, comparable � celle qui est d�j� connue dans le cas des
fibr�s en cercle (\cite{cc00}). Cette condition ne se g�n�ralise cependant
pas au cas des flots non isom�triques : on donnera au paragraphe
\ref{ex:euler} un exemple de flot dont la classe d'Euler est non nulle
mais dont l'effondrement ne produit pas de petite valeur propre.
On verra aussi dans la section \ref{coh} que ce ph�nom�ne peut s'exprimer 
en termes cohomologiques (remarque \ref{coh:nul}).

Le th�or�me \ref{intro:th1} donne l'ordre de grandeur de la vitesse
� laquelle les petites valeurs propres tendent vers z�ro par rapport 
� $\varepsilon$, c'est-�-dire par rapport au volume. Dans le cas des
fibr�s en cercles, le volume, le rayon d'injectivit� et la distance de
Gromov-Hausdorff sont tous du m�me ordre au cours de l'effondrement; 
ce n'est pas le cas pour des effondrements plus g�n�raux, et en
particulier pour les effondrements de flots riemanniens dont les feuilles
ne sont pas toutes compactes. On a construit dans \cite{ja04} des exemples 
d'effondrement de flots isom�triques pour lesquels le comportement 
asymptotique de la premi�re valeur propre non nulle par rapport au rayon 
d'injectivit� d�pend d'une propri�t� de nature dynamique du flot et qui 
s'exprime en termes d'approximations diophantiennes. 
Ces exemples ne se g�n�ralisent pas � 
tous les flots riemanniens (voir la remarque \ref{geom:rq}), 
mais on peut d�finir un invariant diophantien li� au comportement
asymptotique des petites valeurs propres par rapport � la distance de
Gromov-Hausdorff entre $M$ et l'espace limite de l'effondrement,
dans le cas d'effondrements adiabatiques.

On sait que les adh�rences des feuilles d'un flot riemannien sont des tores
et qu'en restriction � l'adh�rence d'une feuille, le flot est conjugu�
� un flot lin�aire (cf. \cite{ca84a}). On peut donc d�crire le flot
sur une adh�rence de feuille diff�omorphe � $T^k$ par un
vecteur $(1,\alpha)$ avec $\alpha\in\R^{k-1}$. Ce vecteur n'est
d�fini qu'� un diff�omorphisme lin�raire du tore pr�s, mais cela 
n'influe pas sur ses propri�t�s diophantiennes. On peut en fait montrer qu'il
existe un entier $k$ et un flot lin�aire $\mathcal F_0$ sur $T^k$ tels que
sur presque toutes les adh�rences des feuilles du flot $\mathcal F$,
la restriction de $\mathcal F$ est conjugu�e � $\mathcal F_0$
(voir lemme~\ref{geom:lem0} pour un �nonc� pr�cis), ce qui permet 
de consid�rer les propri�t� diophantiennes de $\mathcal F_0$ comme
des propri�t�s globales du flot $\mathcal F$. On parlera 
d'\emph{adh�rence g�n�rique} pour d�signer les �l�ments de la classe 
de conjugaison de $\mathcal F_0$, et de \emph{feuille g�n�rique}
pour d�signer les feuilles dont l'adh�rence est g�n�rique. On peut aussi 
montrer que la dimension maximale des adh�rences des feuilles est
celle de l'adh�rence g�n�rique.

 Supposons dans un premier temps que l'adh�rence g�n�rique du flot 
$\mathcal F$ est de dimension~2. En restriction � une adh�rence
g�n�rique le flot s'identifie � un flot lin�raire
sur $\R^2/\Z^2$ induit par un vecteur qui peut s'�crire $(1,\alpha)$ dans
une base de $\Z^2$, avec 
$\alpha\in\R\backslash\Q$. 
L'exposant d'irrationalit� (appel� aussi \emph{mesure d'irrationalit�}) 
de $\alpha$ est d�fini par 
\begin{equation}
\mu(\alpha)=\sup\left\{\nu,\ |\alpha-\frac pq|<\frac1{q^\nu} 
\textrm{ a une infinit� de solutions }(p,q)\in\Z^2\right\}.
\end{equation}
Rappelons que l'exposant d'irrationalit� est au moins �gal � deux 
sur les irrationnels, qu'il vaut exactement 2 pour presque tout r�el,
en particulier pour les r�els alg�briques, et que les r�els pour lesquels
il est infini sont exactement les nombres de Liouville.

 Cet exposant ainsi associ� � un flot lin�aire sur $T^2$ ne d�pend pas de 
la base de $\Z^2$ choisie
et, en vertu du lemme \ref{geom:lem0}, on peut d�finir un invariant global
du flot en consid�rant l'exposant d'irrationalit� du flot sur une adh�rence 
g�n�rique :
\begin{df} Soit $\mathcal F$ un flot riemannien sur une vari�t�
compacte $M$ dont les adh�rences g�n�riques sont de dimension 2. 
On appelle exposant d'irrationalit� du flot, not� $\mu(\mathcal F)$, l'
exposant d'irrationalit� du vecteur directeur du flot restreint � une
adh�rence g�n�rique.
\end{df}

On a alors, en notant $\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)$ la distance
de Gromov-Hausdorff entre $(M,g_\varepsilon)$ et l'espace limite de
l'effondrement :
\begin{theo}\label{intro:th2}
Soit $M$ une vari�t� riemannienne compacte et $\mathcal F$ un flot riemannien 
sur $M$ dont la dimension maximale des adh�rence des feuilles est 2. 
Alors, pour tout effondrement adiabatique $(g_\varepsilon)$ du flot, on a
\begin{equation}
\liminf_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)}
{\ln\varepsilon}=\frac1{\mu(\mathcal F)},
\end{equation}
o� $\mu(\mathcal F)$ est l'exposant d'irrationalit� du flot.
\end{theo}
\begin{remarque} On en d�duit que sous les hypoth�ses du th�or�me 
\ref{intro:th2}, on a
\begin{equation}
\limsup_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\lambda_{p,i}(M,g_\varepsilon)}
{\ln\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)}=2\mu(\mathcal F),
\end{equation}
pour tout entier $p$ et tout $0<i\leq m_p$.
\end{remarque}

\begin{remarque}On verra dans la section \ref{ex} (paragraphe \ref{ex:ex})
que pour tout
$\mu\in[2,+\infty]$, on peut construire des flots dont l'exposant
d'irrationalit� est $\mu$.
\end{remarque}

La d�monstration du th�or�me \ref{intro:th2} ne se g�n�ralise pas 
quand la dimension des adh�rences des feuilles d�passe 2. Cependant, si la
direction du flot sur une adh�rence g�n�rique
est difficilement approchable, c'est-�-dire induite par un vecteur
$(1,\alpha)\in\R^k$ tel qu'il existe $c(\alpha)$>0 pour lequel
\begin{equation}
\|\alpha-\frac pq\|\geq\frac c{q^{1+\frac1{k-1}}}
\end{equation}
pour tout $q\in\Z^*$ et $p\in\Z^{k-1}$,
on peut d�terminer pr�cis�ment le comportement
asymptotique de $\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)$ :
\begin{theo}\label{intro:th3}
Soit $M$ une vari�t� riemannienne compacte et $\mathcal F$ un flot riemannien
sur $M$. Si les adh�rences g�n�riques du flot sont de dimension $k$ et
que sur ces adh�rences, la
direction du flot est difficilement approchable, alors pour
tout effondrement adiabatique $(g_\varepsilon)$ du flot, il existe 
une constante $c>0$ telle que
\begin{equation}
\frac1c\cdot\varepsilon^{\frac1k}\leq\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)
\leq c\cdot\varepsilon^{\frac1k}
\end{equation}
pour tout $\varepsilon\in]0,1]$.
\end{theo}
\begin{remarque} On peut en d�duire un r�sultat sur le spectre comme pour 
le th�or�me \ref{intro:th2}: sous les hypoth�ses du th�or�me \ref{intro:th3},
il existe une constante $c>0$ telle que
\begin{equation}
\frac1c\cdot\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)^{2k}\leq
\lambda_{p,i}(M,g_\varepsilon)\leq
c\cdot\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)^{2k},
\end{equation}
pour tout entier $p$, tout $0<i\leq m_p$ et tout $\varepsilon\in]0,1]$. 
Notons aussi que dans
\cite{ja04}, on ne donnait des exemples de valeurs propres de 
l'ordre de $\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)^{2k}$ uniquement en
degr� inf�rieur � 3. Ici, on peut effectivement avoir de tels
valeurs propres en tout degr� (voir paragraphes \ref{ex:spheres} et
\ref{ex:ex}).
\end{remarque}

On verra dans la section \ref{ex} comment construire des flots dont
la direction est difficilement approchable (paragraphes \ref{ex:ex} et
\ref{ex:diff}). On peut aussi �noncer le
crit�re suivant (voir remarque \ref{ap:rq1} de l'appendice):
\begin{proposition}\label{intro:pr}
Si $\mathcal F$ est un flot riemannien non isom�trique dont
la dimension de l'adh�rence g�n�rique est un nombre premier, alors 
la direction du flot est difficilement approchable.
\end{proposition}
\begin{remarque}
Dans le cas ou l'adh�rence g�n�rique est de dimension 2, le fait que
la direction du flot $\mathcal F$ soit difficilement approchable implique 
que $\mu(\mathcal F)=2$. L'exposant d'irrationalit� ne peut donc �tre 
prescrit que dans le cadre des flots isom�triques. On a l� une illustration 
du caract�re rigide des flots riemanniens non isom�triques.
\end{remarque}

Le th�or�me~\ref{intro:th1} et le corollaire~\ref{intro:cor1} 
seront d�montr�s dans la section~\ref{coh}. La section~\ref{geom} 
sera consacr�e � l'�tude de $\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)$ 
et � la d�monstration des th�or�mes~\ref{intro:th2} et~\ref{intro:th3}.
Dans la section~\ref{ex}, nous pr�senterons plusieurs exemples. Nous
terminerons par un appendice sur les propri�t�s arithm�tiques des
flots riemanniens qui nous serons utiles pour construire certains exemples
et pour �tablir le proposition~\ref{intro:pr}.

\section{Cohomologie et spectre des flots riemanniens}\label{coh}
\subsection{Suite spectrale des flots riemanniens}
Les d�monstrations du th�or�me \ref{intro:th1} et du corollaire
\ref{intro:cor1} s'appuient essentiellement sur les
r�sultats de J.~A.~\'Alvarez~L\'opez et Y.~A.~Kordyukov qui g�n�ralisent
dans \cite{alk00} des r�sultats ant�rieurs de Mazzeo, Melrose et Forman
(\cite{mm90}, \cite{fo95}) en montrant qu'on peut calculer le nombre de 
petites valeurs propres lors d'un effondrement adiabatique (sans 
hypoth�se sur la courbure)
d'un feuilletage riemannien � l'aide de la suite spectrale diff�rentielle
du feuilletage. Cette suite spectrale appara�t pour la premi�re
fois dans les travaux de K.~S.~Sarkaria \cite{sa74} \cite{sa78}.
Nous renvoyons au chapitre 4 de \cite{to97} ou � \cite{alk00} pour une 
d�finition de la suite spectrale diff�rentielle 
d'un feuilletage riemannien. Afin de ne pas alourdir le texte, nous 
noterons $E_1^{*,*}$ ce qui est not� $\hat{E}_1^{*,*}$ dans \cite{alk00}:
\begin{theo}[\cite{alk00}]\label{coh:alk1}
Soit $\mathcal F$ un feuilletage riemannien sur une vari�t� compacte
$M$, $g$ une m�trique sur $M$ et $(g_\varepsilon)$ l'effondrement
adiabatique associ�. On a alors, pour tous entiers $p$ et $k\geq0$, 
en notant $E^{*,*}_k$ la suite spectrale du feuilletage et en posant
$E^p_k=\displaystyle\bigoplus_{a+b=p} E^{a,b}_k$ :
$$\dimension E^p_{k+1}=\#\{i\geq1,\ \lambda_{p,i}(M,g_\varepsilon)\in
O(\varepsilon^{2k})\textrm{ \emph{quand} }\varepsilon\to0\}+b_p(M).$$
\end{theo}
Pour obtenir une minoration des petites valeurs propres comme celle
du th�or�me \ref{intro:th1}, on doit compl�ter ce r�sultat :
\begin{theo}\label{coh:alk2}
Sous les hypoth�ses du th�or�me \ref{coh:alk1}, il existe $c>0$ d�pendant
de $g$ mais pas de $\varepsilon$ tel que pour tout entier $p\geq0$ et tout
entier $i>\dimension E^p_{k+1}-b_p(M)$, on a
$$c\cdot\varepsilon^{2k}\leq\lambda_{p,i}(M,g_\varepsilon)$$
pour tout $\varepsilon\leq1$.
\end{theo}
Nous utiliserons ce r�sultat pour une m�trique $g$ quasi-fibr�e, mais 
il est vrai pour une m�trique quelconque, comme le th�or�me~\ref{coh:alk1}. 
Nous allons donc le montrer dans le cas g�n�ral.

\begin{demo} Nous allons utiliser le fait (d�montr� dans \cite{alk00})
qu'il existe une suite d�croissante de sous-espaces de $\Omega^*(M)$
\begin{equation}
\Omega^*(M)\supset\mathcal H^*_1\supset\mathcal H^*_2\supset\mathcal H^*_3
\supset\ldots\supset\mathcal H^*_\infty
\end{equation} 
et un op�rateur sym�trique $\Delta'_\varepsilon:\Omega^*(M)\to\Omega^*(M)$
dont le spectre est le m�me que celui de $\Delta(M,g_\varepsilon)$, et
v�rifiant les deux propri�t�s suivantes:
\begin{itemize}
\item $\mathcal H^*_k\simeq E^*_k$;
\item Si $\omega_i$ est une suite d'�l�ments de $\Omega^p(M)$ telle que
$\|\omega_i\|=1$ et $(\Delta'_\varepsilon\omega_i,\omega_i)\in 
o(\varepsilon_i^{2(k-1)})$ o� $\varepsilon_i$ est une suite tendant vers $0$,
alors il existe une sous-suite convergente de $\omega_i$  
dont la limite est dans $\mathcal H^p_k$ (\cite{alk00}, th�or�me B).
\end{itemize}
S'il existe une suite $\varepsilon_i$ tendant vers $0$ et telle que 
$\lambda_{p,m-b_p(M)}(M,g_\varepsilon)\cdot\varepsilon_i^{-2k}$ tende vers
z�ro pour un $m>\dimension E^p_{k+1}$, alors on peut construire
une suite $(\mathcal B_i)_{i\in\N}$ de famille de vecteurs $\mathcal B_i=
(\omega_i^{(j)})_{1\leq j\leq m}$ telle que 
chaque famille $\mathcal B_i$ soit orthonorm�e et que pour tout $j$,
on a $(\Delta'_\varepsilon\omega^{(j)}_i,\omega^{(j)}_i)\in
o(\varepsilon_i^{2k})$ quand $i\to+\infty$. On peut donc 
extraire de $(\mathcal B_i)$ une sous-suite convergente, dont la 
limite sera orthonorm�e et contenue dans $\mathcal H^p_{k+1}$. Mais alors
on a $\dimension\mathcal H^p_{k+1}\geq m$, ce qui contredit 
$\dimension\mathcal H^p_{k+1}=\dimension E^p_{k+1}<m$.

Le th�or�me B de \cite{alk00}, utilise comme hypoth�se que la m�trique
$g$, et donc l'effondrement $(g_\varepsilon)$, est quasi-fibr�e. Il reste
donc � montrer qu'on peut �tendre le r�sultat qu'on vient d'obtenir
� des m�triques quelconques. Soit $g$ une m�trique quasi-fibr�e, $g'$
une m�trique quelconque, et $(g_\varepsilon)$ et $(g'_\varepsilon)$ les
effondrements adiabatiques associ�s. Comme la vari�t� $M$ est compacte,
il existe des constantes $\tau>0$ et $\tau'>0$ telles que
$\tau' g\leq g'\leq\tau g$. Comme l'ont remarqu� \'Alvarez et Kordyukov
dans \cite{alk00} (section 4), on a alors 
$\tau' g_\varepsilon\leq g'_\varepsilon\leq\tau g_\varepsilon$ pour tout 
$\varepsilon>0$. Un th�or�me de J.~Dodziuk (\cite{do82}) assure alors que 
\begin{equation}
\frac1{\tau'}\left(\frac{\tau'}\tau\right)^{\frac{3n}2}
\lambda_{p,k}(M,g_\varepsilon)\leq\lambda_{p,k}(M,g'_\varepsilon)\leq
\frac1\tau\left(\frac{\tau\vphantom{'}}{\tau'}\right)^{\frac{3n}2}
\lambda_{p,k}(M,g_\varepsilon)
\end{equation}
pour tout entiers $k\geq0$ et $p\in[0,n]$, ce qui montre bien que
le comportement asymptotique du spectre lors de l'effondrement 
ne d�pend pas de la m�trique initiale choisie.
\end{demo}

Dans le cas o� les feuilles sont de dimension 1, la suite spectrale
du feuilletage est assez simple: le complexe bigradu�
$\Omega^{*,*}(M/\mathcal F)$ sur lequel est construit la suite se r�duit
aux deux lignes $\Omega^{*,0}(M/\mathcal F)$ et $\Omega^{*,1}(M/\mathcal F)$,
$\Omega^{*,q}(M/\mathcal F)$ �tant nul pour $q\geq2$. Le terme $E^{*,0}_2$ 
s'identifie � la cohomologie basique $H^*(M/\mathcal F)$ comme pour
tous les feuilletages, et le terme $E^{*,1}_2$ est isomorphe � 
la cohomologie tordue $H^*_\kappa(M/\mathcal F)$ qui est la cohomologie
des formes basiques pour l'op�rateur diff�rentiel tordu $\de_\kappa:
\omega\to\de\omega-\kappa\wedge\omega$ (\cite{kt84}, diagramme 2.18).
Comme $E^{*,q}_2$ est nul pour $q\geq2$, la suite d�g�n�re au rang 3,
et on peut d�duire du th�or�me \ref{coh:alk2} que toutes les petites
valeurs propres sont de l'ordre de $\varepsilon^2$ et que leur nombre
se calcule en fonction de $H^*(M/\mathcal F)$, $H^*_\kappa(M/\mathcal F)$
et $b_p(M)$:
\begin{fait} Le nombre de petites valeurs propres non nulles sur les 
$p$-formes pour un effondrement $(g_\varepsilon)$ associ� � une
m�trique quasi-fibr�e $g$ est 
$m_p=\dimension H^p(M/\mathcal F)+\dimension H_\kappa^{p-1}(M/\mathcal F)
-b_p(M)$, et il existe une constante $c(g,\mathcal F)>1$ telle que pour 
tout $p$ et tout $1\leq k\leq m_p$, on a $c^{-1}\cdot\varepsilon^2\leq
\lambda_{p,k}(M,g_\varepsilon)\leq c\cdot\varepsilon^2$.
\end{fait}
\begin{demo} La suite spectrale $E_k^{*,*}$ du feuilletage d�g�n�re au
rang 3, donc $\dimension E_k^p=b_p$ pour tout $k\geq3$. Les seules 
petites valeurs propres sont donc celles correspondant � $k=1$ dans les
th�or�mes \ref{coh:alk1} et \ref{coh:alk2}. Leur nombre est 
\begin{eqnarray}
m_p&=&\dimension E_2^p-b_p\nonumber\\
&=&\dimension E_2^{p,0}+\dimension E_2^{p-1,1}-b_p\nonumber\\
&=&\dimension H^p(M/\mathcal F)+\dimension H^{p-1}_\kappa(M/\mathcal F)-b_p,
\end{eqnarray}
et les th�or�mes \ref{coh:alk1} et \ref{coh:alk2} assurent l'existence d'une
constante $c$ telle que 
\begin{equation}
c^{-1}\cdot\varepsilon^2\leq\lambda_{p,k}(M,g_\varepsilon)
\leq c\cdot\varepsilon^2
\end{equation}
 pour tout 
$1\leq k\leq m_p$.
\end{demo}

La cohomologie basique ne v�rifie en g�n�ral pas la dualit� de Poincar�,
mais il existe une relation de dualit� avec la cohomologie tordue:
\begin{fait}[\cite{kt83}]\label{coh:dual}
Si $\mathcal F$ est un flot riemannien sur une vari�t� compacte $M$
de dimension $n$, alors on a $H_\kappa^i(M/\mathcal F)\simeq H^{n-1-i}
(M/\mathcal F)$.
\end{fait}
On en d�duit que la constante $m_p$ peut s'�crire
\begin{equation}
m_p=\dimension H^p(M/\mathcal F)+\dimension H^{n-p}(M/\mathcal F)-b_p(M),
\end{equation}
Ce qui ach�ve la d�monstration du th�or�me \ref{intro:th1}.
\subsection{Suite de Gysin des flots riemanniens}
Pour d�montrer le corollaire \ref{intro:cor1},
on va pr�ciser les r�les des classes $[\kappa]\in H^1(M/\mathcal F)$ et
$[e]\in H^2_{-\kappa}(M/\mathcal F)$ dans la cohomologie du flot. On
a d�j� dit que la classe d'\'Alvarez est nulle si et seulement si
le flot est isom�trique. Cette propri�t� du flot poss�de d'autres
caract�risations:
\begin{theo}[\cite{ca84a}, \cite{kt83}, \cite{ms85}, \cite{al92}]%
\label{coh:geod}
Soit $\mathcal F$ est un flot riemannien sur une vari�t� 
compacte $M$ de dimension $n$. Les propri�t�s suivantes sont �quivalentes :
\begin{enumerate}
\item le flot $\mathcal F$ est isom�trique;
\item le flot $\mathcal F$ est g�od�sible;
\item la classe d'\'Alvarez du flot est nulle;
\item $H^{n-1}(M/\mathcal F)\neq 0$;
\item la cohomologie basique du flot v�rifie la dualit� de Poincar�.
\end{enumerate}
\end{theo}

La classe d'Euler $[e]$ intervient dans une suite exacte longue de
cohomologie, construite par J.~I.~Royo~Prieto et qui g�n�ralise la suite
de Gysin des fibr�s en cercles :
\begin{theo}[\cite{rp01a}, \cite{rp01b}]\label{coh:gysin}
 Si $\mathcal F$ est un flot riemannien sur une vari�t� compacte $M$,
on a la suite exacte longue
\begin{equation}
\cdots\to H^i(M/\mathcal F)\to H^i(M)\to H_\kappa^{i-1}(M/\mathcal F)
\stackrel{\wedge e}{\to}H^{i+1}(M/\mathcal F)\to\cdots
\end{equation}
\end{theo}
\begin{remarque} Dans \cite{rp01a}, le th�or�me \ref{coh:gysin} est
d�montr� en utilisant un argument � la Mayer-Vietoris. On peut aussi
le d�duire de la suite spectrale du fibr� comme pour les fibr�s en
cercles, en s'appuyant sur le fait que la suite spectrale v�rifie
$E_2^{*,q}=0$ pour $q\geq2$ et en suivant la m�me d�marche que dans
\cite{bt82} (chapitre 3, \S 14).
\end{remarque}

\begin{remarque}\label{coh:rq2}
Il est bien connu que si $M$ est simplement connexe, alors le flot
est n�cessairement isom�trique : c'est par exemple un cas particulier
d'un r�sultat d'�.~Ghys (\cite{gh84}) et on peut le retrouver en remarquant
que $[\kappa]\in H^1(M/\mathcal F)\subset H^1(M)=\{0\}$. La suite
de Gysin montre que l'hypoth�se $H^1(M)=\{0\}$ implique aussi $[e]\neq0$.
En effet, on a alors la suite exacte 
\begin{equation}
\{0\}\to H_\kappa^0(M/\mathcal F) \stackrel{\wedge e}{\to}H^2(M/\mathcal F)\to
\end{equation}
et comme $[k]=0$, on a $H_\kappa^0(M/\mathcal F)=H^0(M/\mathcal F)\simeq\R$.
L'application $\wedge e$ �tant injective, elle est donc aussi non triviale. 
Par cons�quent $[e]\neq0$.
\end{remarque}

Le corollaire d�coule des r�sultats �nonc�s pr�c�demment.\\ 
\begin{demo}[du corollaire \ref{intro:cor1}]
Si la classe d'Euler $[e]$ est nulle, la suite de Gysin se d�compose
en suites exactes courtes de la forme
\begin{equation}
0\to H^i(M/\mathcal F)\to H^i(M)\to H_\kappa^{i-1}(M/\mathcal F)\to0
\end{equation}
On en d�duit que $b_p(M)=\dimension H^i(M/\mathcal F)+\dimension
H_\kappa^{i-1}(M/\mathcal F)$ et donc que $m_p$=0.
Par contrapos�e, on obtient la premi�re affirmation du corollaire.

Si la classe d'\'Alvarez est non nulle, alors $H^{n-1}(M/\mathcal F)=0$
(th�or�me \ref{coh:geod}) et donc $H_\kappa^0(M/\mathcal F)=0$
(fait \ref{coh:dual}). On peut alors d�duire de la suite de Gysin
que $H^1(M/\mathcal F)\simeq H^1(M)$, et on obtient finalement que $m_1=0$.

Il reste � montrer que si $[\kappa]=0$ et $[e]\neq0$, alors on a effectivement
une petite valeur propres pour les $1$-formes. Le d�but de
la suite de Gysin s'�crit :
\begin{equation}
0\to H^1(M/\mathcal F)\stackrel{i}{\to}H^1(M)\stackrel{j}{\to}
H_\kappa^0(M/\mathcal F) \stackrel{\wedge e}{\to}H^2(M/\mathcal F)\to
\end{equation}
Le fait que $[\kappa]=0$ implique que $H_\kappa^0(M/\mathcal F)\simeq
H^0(M/\mathcal F)\simeq\R$, le noyau de $\wedge e$ est donc $\R$ ou $\{0\}$. 
La cohomologie $H_\kappa^0(M/\mathcal F)$
�tant alors repr�sent�e par les fonctions constantes sur $M$, l'application
$\wedge e$ est nulle si et seulement si $[e]=0$. Si $[e]\neq0$, alors
le noyau de $\wedge e$ est $\{0\}$ et l'application $j$ est nulle, 
et donc $H^1(M/\mathcal F)\simeq H^1(M)$. 
Si $[\kappa]=0$ et $[e]\neq0$, on a finalement $m_1=\dimension 
H^{n-1}(M/\mathcal F)=\dimension H_\kappa^0(M/\mathcal F)=1$.
\end{demo}

\begin{remarque}\label{coh:nul}
L'absence de petite valeur propre se traduit sur la suite de Gysin par
le fait que toutes les applications $H_\kappa^{i-1}(M/\mathcal F)
\stackrel{\wedge e}{\to}H^{i+1}(M/\mathcal F)$ sont nulles. Si le flot 
est isom�trique, le cas $i=1$ permet d'en d�duire que la classe
d'Euler est nulle, mais le raisonnement ne se g�n�ralise pas aux 
autres flots, et on peut trouver des flots pour lesquels toutes les 
applications $\wedge e$ sont nulles
sans que la classe d'Euler soit nulle (voir paragraphe \ref{ex:euler}).
\end{remarque}

\section{G�om�trie des effondrements}\label{geom}
Avant de d�montrer les th�or�mes \ref{intro:th2} et \ref{intro:th3},
nous allons d'abord justifier la notion d'adh�rence g�n�rique:
\begin{lem}\label{geom:lem0}
Soit $M$ une vari�t� riemannienne compacte et $\mathcal F$ un flot
riemannien sur $M$. Il existe un flot lin�aire $\mathcal F_0$ 
sur un tore $T^k$ tel que toute restriction du flot $\mathcal F$
� une adh�rence de feuille soit conjugu�e � un flot quotient de 
$\mathcal F_0$, et que la r�union des adh�rences des feuilles de 
$\mathcal F$ sur lesquelles le flot est conjugu� � 
$\mathcal F_0$ forme un ouvert dense de mesure pleine de $M$.
\end{lem}
Les flots quotients de $\mathcal F_0$ sont les flots obtenus, pour tout 
$l\leq k$, en projetant lin�airement $T^k$ sur un tore $T^l$ (en incluant
l'identit� et les quotients d'indice fini, si $k=l$).

Cette notion de feuille g�n�rique correspond � celle de feuille r�guli�re 
sans holonomie introduite dans \cite{am86}. Par ailleurs, on peut noter 
que les adh�rences des feuilles du flot sont de dimension au plus $k$.

\begin{demo}[du lemme \protect\ref{geom:lem0}]
On va s'appuyer sur le fait que toute feuille $F$ du flot admet un 
voisinage ouvert $U$, appel� �~voisinage de Carri�re~�, v�rifiant les 
propri�t�s suivantes (voir \cite{ca84a}):
\begin{itemize}
\item le voisinage $U$ est satur� par le flot;
\item il existe un diff�omorphisme $U\to S^1\times T^k\times B^{n-k}$
envoyant l'adh�rence de $F$ sur $S^1\times T^k\times \{0\}$;
\item le flot restreint � $U$ est conjugu� au flot obtenu par la suspension
d'un diff�omorphisme $T\times R$ de $T^k\times B^{n-k-1}$, o� $T$
est une translation irrationnelle et $R$ une rotation de la boule $B^{n-k-1}$.
\end{itemize}
On peut d�composer la rotation $R$ en somme de rotations planes :
\begin{equation}
R=\left(\begin{array}{cccc}
R_1&\ldots&0&0\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&\ldots&R_m&0\\
0&\ldots&0&Id
\end{array}\right)
\end{equation}
o� les $R_i$ sont des rotations non triviales du plan.

Supposons d'abord que $R\neq Id$.
On d�finit les points g�n�riques de la boule $B^{n-k-1}$ comme �tant 
les points qui ne sont fix�s par aucune des rotations $R_i$. 
Si $x$ et $y$ sont deux tels points, il existe une matrice diagonale $D$ et 
une rotation $R'$ commutant toutes deux avec $R$ et telle que $y=DR'(x)$. 
Les orbites de $x$ et $y$ sous l'action de $R$ sont conjugu�es
\emph{via} l'application $DR'$, donc leur orbites pour le flot le sont
aussi, ainsi que les adh�rences de ces orbites. 
L'ensemble des points g�n�riques de la boule forme un ouvert 
de mesure pleine de $B^{n-k-1}$, donc la r�union de leurs orbites pour
le flot est un ouvert de mesure pleine de $U$. On appellera feuilles g�n�riques
(resp. adh�rences g�n�riques) de $U$ ces orbites (resp. leur adh�rence). 
Si on consid�re un point $z$ non g�n�rique de la boule,
l'adh�rence de son orbite pour le flot peut s'�crire comme le quotient
de l'adh�rence g�n�rique par l'adh�rence du groupe engendr� par les rotation
$R'_i$ qui fixent ce point.

Si on suppose maintenant que $R=Id$, toutes les restrictions du flot
aux adh�rences des feuilles de $U$ sont conjugu�es au flot sur $\bar F$,
qui repr�sente alors la feuille g�n�rique de $U$.

Par compacit�, il suffit d'un nombre fini de voisinages de Carri�re
pour recouvrir la vari�t� $M$. Si deux de ces ouverts ont une 
intersection commune, ils auront en particulier une feuille en
commun qui sera une feuille g�n�rique de chacun des deux ouverts.
Par connexit�, on en d�duit que tous les ouverts du recouvrement
on la m�me adh�rence g�n�rique. La r�union des feuilles g�n�riques
formant un ouvert dense de mesure pleine sur chaque ouvert du recouvrement,
leur r�union sur l'ensemble de la vari�t� est aussi un ouvert dense de
mesure pleine. Il en va de m�me pour les adh�rences g�n�riques.
\end{demo}

Quand on effondre la vari�t� $M$ par $g_\varepsilon$, elle tend vers 
un espace m�trique $X$  qui est le quotient de $M$ par les adh�rences
des feuilles du flot. La distance de Gromov-Hausdorff 
$\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)$ entre $(M,g_\varepsilon)$ et $X$
est alors de l'ordre du maximum du diam�tre des adh�rences des feuilles
pour la m�trique induite. Plus pr�cis�ment, on sait (voir \cite{cfg92},
en particulier le th�or�me 2.6) que si on note $\pi:M\to X$
la projection de $M$ sur $X$ et qu'on pose 
\begin{equation}
\delta'(\varepsilon)=\sup_{x\in X}\diam(\pi^{-1}(x), g_\varepsilon),
\end{equation}
 alors il existe une constante $c>0$ 
ind�pendante de $\varepsilon$ telle que
\begin{equation}\label{geom:eqd}
\frac1c\cdot\delta'(\varepsilon)\leq\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)
\leq c\cdot\delta'(\varepsilon),
\end{equation}
pour tout $\varepsilon\in]0,1]$.  
En nous appuyant sur cette remarque, on va montrer que 
$\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)$ est contr�l� par le diam�tre
d'une adh�rence g�n�rique.
\begin{lem}\label{geom:lemd}
Soit $(M,g)$ une vari�t� riemannienne compacte munie d'un flot riemannien 
$\mathcal F$ d'adh�rence g�n�rique $(T^k,\mathcal F_0)$. Si $\bar g$ est une
m�trique sur $T^k$ et en notant $(g_\varepsilon)$ et $(\bar g_\varepsilon)$
les effondrements adiabatiques de $M$ et $T^k$ pour leur flot respectif,
alors il existe un constante $c>0$ ne d�pendant pas de $\varepsilon$ telle
que
$$\frac1c\cdot\diam(T^k,\bar g_\varepsilon)\leq
\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)\leq c\cdot\diam(T^k,\bar g_\varepsilon)$$
pour tout $\varepsilon\in]0,1]$.
\end{lem}
\begin{demo}
Pour tout $x\in X$, la m�trique $g$ induit une m�trique sur $\pi^{-1}(x)$. 
On peut ainsi d�finir une application
continue de $X$ dans l'espace des m�triques du tore $T^k$: Si $x$
est l'image par $\pi$ d'une adh�rence g�n�rique, l'image de $x$ est simplement
la m�trique $g_x$ induite par $g$ sur cette adh�rence, et
on peut prolonger cette application pas continuit� sur les adh�rences
non g�n�riques, quitte � ce que la m�trique $g_x$ soit d�g�n�r�e dans le cas
o� l'adh�rence de la feuille est de dimension strictement inf�rieure � $k$, 
le diam�tre de $\pi^{-1}(x)$ �tant dans tous les cas major� par 
$\diam(T^k,g_x)$. 

L'espace $X$
�tant compact, on peut trouver une constante $\tau>0$ telle que
pour tout $x\in X$, $g_x\leq\tau\bar g$, o� $\bar g$ est
la m�trique canonique de $\R^k/\Z^k$. En notant $(g_{x,\varepsilon})$
et $(\bar g_\varepsilon)$ les effondrements adiabatiques associ�s, on a
$g_{x,\varepsilon}\leq\tau\bar g_\varepsilon$, pour tout $\varepsilon>0$.
On en d�duit que 
\begin{equation}
\diam(\pi^{-1}x,g_\varepsilon)\leq\diam(T^k,
g_{x,\varepsilon})\leq\tau\diam(T^k,\bar g_\varepsilon)
\end{equation}
pour tout $x\in X$ et tout $\varepsilon\in]0,1]$, et donc que 
\begin{equation}\label{geom:eqd1}
\delta'(\varepsilon)
\leq\tau\diam(T^k,\bar g_\varepsilon).
\end{equation}
 Si on se donne un point $x_0\in X$ qui soit la projection par $\pi$
d'une adh�rence g�n�rique, on peut trouver $\tau'>0$ tel que 
$\tau'\bar g\leq g_{x_0}$. On a alors 
\begin{equation}\label{geom:eqd2}
\tau' 
\diam(T^k,\bar g_\varepsilon)\leq\delta'(\varepsilon)
\end{equation}
 pour tout $\varepsilon\in]0,1]$. On peut alors conclure
en utilisant l'encadrement~(\ref{geom:eqd}).
\end{demo}

Le lemme \ref{geom:lemd} assure que
\begin{equation}
\liminf_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\delta(M,\mathcal F,g_\varepsilon)}
{\ln\varepsilon}=\liminf_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\diam(T^k,
\bar g_\varepsilon)}{\ln\varepsilon}.
\end{equation}
 Pour d�montrer le th�or�me \ref{intro:th2}, il reste donc � d�crire 
la g�om�trie de l'effondrement d'une adh�rence g�n�rique 
dans le cas o� elle est de dimension 2. Le flot est enti�rement d�termin� 
par la donn�e d'un irrationnel $\alpha\in\R$, le flot �tant induit par le 
vecteur $(1,\alpha)\in\R^2$. On va
�tudier le comportement asymptotique du diam�tre d'un tore $T^2$ plat 
au cours de l'effondrement d'un flot lin�aire:
\begin{lem}\label{geom:lem1}
Soit $T^2=\R^2/\Z^2$, $g$ le quotient sur $T^2$ de la m�trique
canonique de $\R^2$, $\alpha$ un r�el irrationnel et $(g_\varepsilon)$ 
l'effondrement adiabatique associ� � $g$ et au flot lin�aire induit
par le vecteur $(1,\alpha)$. On a alors :
\begin{equation}
\liminf_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\diam(T^2,g_\varepsilon)}
{\ln\varepsilon}=\frac1{\mu(\alpha)}.
\end{equation}
\end{lem}
\begin{demo}
On va en fait montrer que
\begin{equation}
\limsup_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\injrad(T^2,g_\varepsilon)}
{\ln\varepsilon}=1-\frac1{\mu(\alpha)},
\end{equation}
le lemme s'en d�duit en utilisant le fait qu'il existe une constante
$C>0$ telle que
\begin{equation}\label{geom:vol}
\frac1C\cdot\Vol(T^2,g_\varepsilon)\leq\injrad(T^2,g_\varepsilon)\cdot
\diam(T^2,g_\varepsilon)\leq C\cdot\Vol(T^2,g_\varepsilon).
\end{equation}
et que $\Vol(T^2,g_\varepsilon)=\varepsilon$.

Notons $\|\cdot\|_\varepsilon$ la norme sur $\R^2$ obtenue en relevant
 la m�trique $g_\varepsilon$. On peut remarquer que pour
tout $\varepsilon>0$, on a 
\begin{equation}
\injrad(T^2,g_\varepsilon)=\frac12\inf_{\underset{(p,q)\neq(0,0)}
{(p,q)\in\Z^2}} \|(p,q)\|_\varepsilon
\end{equation}
Le probl�me est donc d'estimer la distance pour la m�trique $g_\varepsilon$
entre les points non nuls de $\Z^2$ et l'origine. On notera $D$ la droite 
vectorielle de $\R^2$ engendr�e par $(1,\alpha)$, et $\theta$ l'angle entre 
la droite $D$ et l'axe des abscisses pour la m�trique $g$.

On va d'abord minorer cette distance en fonction de l'exposant
d'irrationalit� de $\alpha$. Soit $\nu$ un r�el tel que $\nu>\mu(\alpha)$. 
L'in�quation $|\alpha-\frac pq|<\frac1{q^\nu}$ n'a alors qu'un nombre
fini de solutions, on peut donc trouver une constante $0<c(\alpha)<1$ telle que
\begin{equation}\label{geom:eqnu}
\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac c{q^\nu}
\end{equation}
pour tout $(p,q)\in\Z^2\backslash(0,0)$. Pour tout $\varepsilon>0$ on
d�finit une partie $A_\varepsilon$ de $\R^2$ par:
\begin{equation}
A_\varepsilon=\left\{(x,y)\in\R^2,\ |x\alpha-y|<c\cdot\varepsilon^{1-\frac1\nu}
,\ |x|<\frac1{\varepsilon^{\frac1\nu}}\right\}.
\end{equation}
Pour tout $0<\varepsilon<1$, le seul point � coordonn�es enti�res contenu 
dans $A_\varepsilon$
est $(0,0)$. En effet, si $(q,p)\in A_\varepsilon\cap\Z^2$, alors
$|q|<\varepsilon^{-\frac1\nu}$ et $|q\alpha-p|<
c\cdot\varepsilon^{1-\frac1\nu}$. Si $q\neq0$ ceci implique
$|q\alpha-p|<\frac c{q^{\nu-1}}$, et donc $|\alpha-\frac pq|<\frac c{q^\nu}$,
ce qui contredit (\ref{geom:eqnu}). Si $q=0$, alors 
$|p|<c\cdot\varepsilon^{1-\frac1\nu}$ ce qui implique $p=0$.

Le domaine $A_\varepsilon$ est, pour la m�trique $g$, un parall�logramme
dont un cot�, parall�le � la droite $D$, est de longueur $\frac2{\cos\theta}
\varepsilon^{-\frac1\nu}$, et l'autre, parall�le � l'axe
des ordonn�es, est de longueur $2c\cdot\varepsilon^{1-\frac1\nu}$. Il contient
donc un rectangle $R$ dont les cot�s, respectivement parall�les et orthogonaux
� $D$, sont de longueurs $\frac2{\cos\theta}
\varepsilon^{-\frac1\nu}-2c|\sin\theta|\varepsilon^{1-\frac1\nu}$ et
$2c\cdot\cos\theta\cdot\varepsilon^{1-\frac1\nu}$. Pour la m�trique 
$g_\varepsilon$,
$R$ est un rectangle de cot�s $\varepsilon^{1-\frac1\nu}(\frac2{\cos\theta}
-2c|\sin\theta|\varepsilon)$ et $2c\cdot\cos\theta\cdot
\varepsilon^{1-\frac1\nu}$. 
On peut donc trouver un r�el $\rho>0$ ne d�pendant pas de $\varepsilon$ 
tel que, pour la m�trique $g_\varepsilon$, la boule
de centre $(0,0)$ et de rayon $\rho\varepsilon^{1-\frac1\nu}$
soit contenue dans $A_\varepsilon$ et donc ne contienne pas d'autre
point � coordonn�es enti�re. On a par cons�quent la minoration
\begin{equation}
\injrad(T^2,g_\varepsilon)\geq\frac\rho2\varepsilon^{1-\frac1\nu}
\end{equation}
et, en tenant compte du fait que $\ln\varepsilon$ est n�gatif, la majoration
\begin{equation}
\frac{\ln\injrad(T^2,g_\varepsilon)}{\ln\varepsilon}\leq1-\frac1\nu+
\frac{\ln\frac\rho2}{\ln\varepsilon}.
\end{equation}
En passant � la limite quand $\varepsilon\to0$ puis $\nu\to\mu(\alpha)$,
on obtient
\begin{equation}
\limsup_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\injrad(T^2,g_\varepsilon)}
{\ln\varepsilon}\leq1-\frac1{\mu(\alpha)},
\end{equation}


On va maintenant majorer $\injrad(T^2,g_{\varepsilon_n})$ pour une
suite $(\varepsilon_n)$ tendant vers z�ro. Soit $\nu<\mu(\alpha)$. Il existe
deux suites d'entiers $(p_n)$ et $(q_n)$ telles que $(q_n)$ soit
strictement croissante et $\left|\alpha-\frac{p_n}{q_n}\right|<\frac1{q_n^\nu}$
pour tout $n\in\N$.

Soit $P_n$ le projet� orthogonal de $(p_n,q_n)$ sur la droite $D$. 
On peut noter que $P_n$ est ind�pendant du choix de la m�trique 
dans la famille $(g_\varepsilon)$.
Si on note $d$ et $d'$ les distances pour la m�trique canonique 
de l'origine � $P_n$ et de $P_n$ � $(p_n,q_n)$, on a $\|(p_n,q_n)\|^2_\varepsilon
=\varepsilon^2d^2+d'^2$. D'un part, la distance $d'$ peut s'�crire
$d'=|q_n\alpha-p_n|\cos\theta$, donc $d'\leq q_n^{1-\nu}\cos\theta$. D'autre
part, comme $\frac{p_n}{q_n}\to \alpha$, on a la majoration
\begin{equation}
d^2\leq p_n^2+q_n^2=q_n^2\left(\frac{p_n^2}{q_n^2}+1\right)\leq q_n^2(\alpha+2).
\end{equation}
Si on pose $\varepsilon_n=q_n^{-\nu}$, on a finalement
\begin{equation}
\|(p_n,q_n)\|^2_{\varepsilon_n}\leq q_n^{2(1-\nu)}(\cos^2\theta+\alpha+2)
=\varepsilon_n^{2(1-\frac1\nu)}(\cos^2\theta+\alpha+2).
\end{equation}
On en d�duit que
\begin{equation}
\limsup_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\injrad(T^2,g_{\varepsilon})}
{\ln\varepsilon}\geq
\limsup_{n\to+\infty}\frac{\ln\injrad(T^2,g_{\varepsilon_n})}
{\ln\varepsilon_n}\geq1-\frac1\nu,
\end{equation}
et, en passant � la limite quand $\nu\to\mu(\alpha)$,
\begin{equation}
\limsup_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\injrad(T^2,g_{\varepsilon})}
{\ln\varepsilon}\geq1-\frac1{\mu(\alpha)}.
\end{equation}
\end{demo}

\begin{remarque} Le th�or�me \ref{intro:th2} apporte un �l�ment
de r�ponse � la question, pos�e par P.~Pansu dans \cite{pa84},
de savoir si dans l'exemple \ref{intro:ex} on peut mesurer l'�cart
entre deux m�triques obtenues en fixant $\varepsilon$ et en faisant
varier $\alpha$. On voit que si on choisit deux valeurs de $\alpha$ ayant
des exposants d'irrationalit� diff�rents, on pourra effectivement trouver
des valeurs de  $\varepsilon$ pour lesquelles la distance de Gromov-Hausdorff
entre les deux m�triques est minor�es.
\end{remarque}
\begin{remarque}\label{geom:rq}
 Les adh�rences non g�n�riques emp�chent de contr�ler
le rayon d'injectivit� global en fonction de $\mu(\mathcal F)$. On
peut voir dans l'exemple \ref{intro:ex} que le rayon d'injectivit� est
donn� par la longueur des feuilles compactes et qu'il est donc de
l'ordre de $\varepsilon$ quel que soit $\mu(\mathcal F)$.
\end{remarque}

Une difficult� appara�t si on cherche � g�n�raliser le lemme \ref{geom:lem1}
aux tores de dimension sup�rieure. On peut repr�senter un flot lin�aire
sur $T^k$ par un vecteur $(1,\alpha)\in\R^k$ avec $\alpha\in\R^{k-1}$ et
d�finir un exposant d'irrationalit� de $\alpha$ par 
\begin{equation}
\mu(\alpha)=\sup\{\nu,\ \|\alpha-\frac pq\|<\frac1{q^\nu} 
\textrm{ a une infinit� de solutions } (p,q)\in\Z^{k-1}\times\Z\}
\end{equation}
Cet invariant permet de contr�ler le rayon d'injectivit� du tore lors de
l'effondrement, mais la relation (\ref{geom:vol}) se g�n�ralise par 
\begin{equation}
\frac1{C(k)}\injrad^{k-1}(T^k)\cdot\diam(T^k)\leq
\Vol(T^k)\leq C(k)\cdot\injrad(T^k)\cdot
\diam^{k-1}(T^k),
\end{equation}
ce qui ne permet pas de contr�ler le diam�tre en fonction du 
rayon d'injectivit� aussi pr�cis�ment qu'en dimension 2. Cependant,
dans le cas o� $\alpha$ est difficilement approchable, on a montr� dans
\cite{ja04} le r�sultat suivant :
\begin{proposition}
Soit $\alpha\in\R^{k-1}$ un vecteur difficilement approchable, $\mathcal F$ le
flot lin�aire induit sur $T^k$ par le vecteur $(1,\alpha)$, $g$
une m�trique sur $T^k$ et $(g_\varepsilon)$ l'effondrement 
adiabatique associ� � $\mathcal F$ et $g$. Il existe une constante 
$c(g,\alpha)>0$ telle que
\begin{equation}
\frac1c\cdot\varepsilon^{\frac1k}\leq\injrad(T^k,g_\varepsilon)\leq
\diam(T^k,g_\varepsilon)\leq c\cdot\varepsilon^{\frac1k}.
\end{equation}
\end{proposition}

 Le lemme \ref{geom:lemd} permet d'en d�duire directement le th�or�me 
\ref{intro:th3}.

\section{Exemples}\label{ex}
\subsection{Flots isom�triques}
\subsubsection{Effondrements de sph�res}\label{ex:spheres}
Les sph�res ayant un gros groupe d'isom�trie, elles permettent de construire
facilement des exemples de flots isom�triques. En outre, on 
obtient ais�ment des flots pour lesquels l'espace limite de l'effondrement
est singulier. On peut g�n�raliser l'exemple \ref{intro:ex} de la
mani�re suivante :

\begin{exemple}
On consid�re la sph�re 
\begin{equation}
S^{2n-1}=\{(a_1,\ldots,a_n)\in\C^n,\ |a_1|^2+\ldots+|a_n|^2=1\}
\end{equation}
sur laquelle le tore $T^n$ agit isom�triquement par
\begin{equation}
(\theta_1,\ldots,\theta_n)\cdot(a_1,\ldots,a_n)=
(e^{i\theta_1}a_1,\ldots,e^{i\theta_n}a_n).
\end{equation}
Un sous-groupe � un param�tre du tore $T^n$ induit un flot isom�trique
non singulier sur $S^{2n-1}$. Si ce sous-groupe est dense dans $T^n$, 
l'espace limite
de l'effondrement est $X=S^{2n-1}/T^n$, qu'on peut identifier � un domaine
de la sph�re $S^{n-1}$:
\begin{equation}
X=\{(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\ |x_1|^2+\ldots+|x_n|^2=1\textrm{ et }
x_1,\ldots,x_n\geq0\}.
\end{equation}
Cet espace est diff�omorphe � un simplexe de dimension $n-1$.

Le m�me argument que dans l'exemple \ref{intro:ex} assure que ces
effondrements produisent des petites valeurs propres. La classe d'Euler
de ces flots est donc non nulle, selon le corollaire \ref{intro:cor1}.
\end{exemple}

\begin{remarque} Comme les sph�res de dimension paire ont une caract�ristique 
d'Euler non nulle, non seulement elles n'admettent pas de flot non singulier
mais elles n'admettent pas non plus d'effondrement � courbure born�e.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La suite de Gysin permet de calculer la cohomologie basique du flot,
on a $H^p(M/\mathcal F)=\R$ quand $p$ est pair et 
$H^p(M/\mathcal F)=\{0\}$ quand $p$ est impair. On a donc des petites
valeurs propres en tout degr� autre que 0 et $n$.
\end{remarque}

\subsubsection{Prescription de l'exposant d'irrationalit�}\label{ex:ex}
Dans l'exemple \ref{intro:ex}, comme sur n'importe quelle vari�t�
dont le groupe d'isom�trie contient un tore $T^2$, 
on peut construire
pour tout $\alpha\in\R\backslash\Q$  un flot dont le vecteur directeur
sur une adh�rence g�n�rique est $(1,\alpha)$. Pour tout $\mu\in[2,+\infty]$,
on peut construire un $\alpha$ dont l'exposant d'irrationalit� est
$\mu$ en utilisant le fait que l'exposant d'irrationalit� peut se calculer
� l'aide du d�veloppement en fraction continue de $\alpha$:
\begin{theo}[\cite{so04}]
Soit $\alpha$ un irrationnel, $[a_0,a_1,a_2,\ldots]$ son d�veloppement en 
fraction continue et $\displaystyle\frac{p_n}{q_n}$ les r�duites
successives de ce d�veloppement. On a alors
$$\mu(\alpha)=1+\limsup_{n\to+\infty}\frac{\ln q_{n+1}}{\ln q_n}
=2+\limsup_{n\to+\infty}\frac{\ln a_{n+1}}{\ln q_n}.$$
\end{theo}
Sachant qu'on a aussi $q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}$, on voit qu'on peut 
ais�ment construire une suite $(a_n)$ ayant l'exposant d'irrationalit�
souhait�, par exemple en posant la relation de r�currence $a_{n+1}=[q_n^\mu]$
si $\mu$ est fini. Le cas $\mu=+\infty$ correspond aux nombres
de Liouville.

 Si le groupe d'isom�trie contient un tore $T^k$, on peut construire
un flot lin�aire sur ce tore ---~et donc un flot isom�trique sur la
vari�t�~--- dont la direction est difficilement approchable, en utilisant 
le fait que si $(1,\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ est
une base d'un corps de nombres r�el, alors $(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$
est difficilement approchable (\cite{sc80}, th�or�me 4A, p.42).

\subsubsection{Fibr�s principaux en tores}
Si on consid�re un fibr� $T^2\hookrightarrow M\to N$ principal, un
vecteur $(1,\alpha)$ sur $T^2$ induit un flot isom�trique dont
toutes les feuilles sont g�n�riques. En suivant la construction donn�e
dans \cite{ja04}, on peut obtenir un effondrement pour lequel le
rayon d'injectivit� global est du m�me ordre que celui d'une fibre 
quelconque. On peut donc construire, pour tout $\mu\geq2$, un flot pour
l'effondrement duquel on a
\begin{equation}
\liminf_{\varepsilon\to0}\frac{\ln\lambda_{p,i}(M,g_\varepsilon)}
{\ln\injrad(M,g_\varepsilon)}=\frac{2\mu}{\mu-1},
\end{equation}
Pour tout $i\leq m_p$.

\subsection{Flots non isom�triques}
\subsubsection{Fibr�s en tores sur le cercle}
On peut construire un grand nombre d'exemples de flots non isom�triques
en prenant comme support des fibr�s en tores sur le cercle. Si on
se donne un matrice $A\in\SL_k(\Z)$, cette matrice induit un diff�omorphisme
lin�aire du tore $T^k$ et on peut construire un fibr� 
$T^k\hookrightarrow M\to S^1$ par suspension de ce diff�omorphisme.
Chaque vecteur propre de $A$ induit sur $T^k$ un flot lin�aire qui s'�tend
en un flot global sur $M$. Si on munit $M$ d'une structure de solvari�t�
et d'une m�trique invariante comme dans \cite{ja03}, on peut ais�ment
repr�senter le flot consid�r� par un champ de vecteur invariant et
v�rifier que la m�trique est quasi-fibr�e pour ce flot (voir les
exemples donn�s dans \cite{rp01b}). 

Pour illustrer le corollaire \ref{intro:cor1}, on va donner deux exemples
illustrant chacun des cas $[e]=0$ et $[e]\neq0$.

\begin{exemple}\label{ex:ex1}
On pose $A=\smat{2&1\\1&1}$. Le flot correspondant est l'exemple le
plus simple de flot non isom�trique ---~il repr�sente l'unique classe
de flots non isom�triques dans la classification des flots riemanniens
�tablie en dimension~3 par Y.~Carri�re dans \cite{ca84a}~---, et sa classe
d'Euler est nulle (cf. \cite{rp01b}). L'effondrement du flot ne produit
donc aucune petite valeur propre.
\end{exemple}

\begin{exemple}\label{ex:ex2}
 On pose
\begin{equation}
A=\left(\begin{array}{cccc}
2&1&0&1\\ 1&1&0&0\\ 0&0&2&1\\ 0&0&1&1
\end{array}\right).
\end{equation}
D'apr�s la th�orie de J.~Lott (\cite{lo02}), les effondrements du
fibr� obtenu ne produisent jamais de petites valeurs propres pour les
$1$-formes diff�rentielles, mais on a montr� dans \cite{ja03} que
l'effondrement du flot produisait des petites valeurs propres sur
les $2$-formes. On peut en d�duire que $[\kappa]\neq0$ et $[e]\neq0$.
\end{exemple}
 Dans \cite{rp01b} est pr�sent� un exemple de vari�t� de dimension 6
admettant un flot riemannien v�rifiant $[\kappa]\neq0$ et $[e]\neq0$. Dans
l'exemple \ref{ex:ex2} ci-dessus, la vari�t� est de dimension 5. On ne 
peut pas trouver de tels exemples en dimension 3 selon la classification 
de Y.~Carri�re. On va voir au paragraphe suivant qu'il en existe en
dimension 4, mais que leur effondrement ne peut pas produire de
petites valeurs propres.

\subsubsection{Existence de petites valeurs propres et 
annulation de la classe d'Euler}\label{ex:euler}
Nous allons construire dans ce paragraphe  un exemple de flot dont
la classe d'Euler est non nulle mais dont l'effondrement adiabatique ne
produit pas de petite valeur propre. Pour cela, nous commencerons par
�tablir deux lemmes. Le premier fournit un crit�re concernant l'annulation
des classes d'Euler et d'�lvarez :
\begin{lem}\label{ex:lem1}
Soit $\mathcal F$ un flot riemannien sur une vari�t� $M$, et $N$ une
sous-vari�t� de $M$ stable par $\mathcal F$. Si la classe d'�lvarez
(resp. d'Euler) de $\mathcal F$ est nulle, alors la classe d'�lvarez
(resp. d'Euler) du flot restreint � $N$ est nulle aussi.
\end{lem}
\begin{demo}
Le cas de la classe d'�lvarez est �vident quand on se souvient que
$[\kappa]=0$ signifie que le flot est isom�trique: si une m�trique sur 
$M$ est invariante par le flot, sa restriction � $N$ sera aussi invariante
sous l'action de la restriction du flot.

Si $\chi$ est la forme caract�ristique du flot sur $M$, la forme
d'Euler est d�finie par $\de\chi=\kappa\wedge\chi+e$, et $[e]=0$ signifie
que $e$ est une forme exacte pour la diff�rentielle tordue $\de_{-\kappa}$,
c'est-�-dire qu'il existe une forme basique $\beta$ telle que $e=\de\beta
+\kappa\wedge\beta$. On a donc $\de\chi=\kappa\wedge\chi+\de\beta
+\kappa\wedge\beta$. Si on note $i$ l'injection $i:N\to M$, on peut
en d�duire $\de(i^*\chi)=(i^*\kappa)\wedge(i^*\chi)+\de(i^*\beta)
+(i^*\kappa)\wedge(i^*\beta)$. On peut v�rifier que $i^*\chi$ est bien
la forme caract�ristique du flot restreint � $N$, et que $i^*\kappa$ 
et $i^*\beta$ sont des formes basiques pour ce flot. On en d�duit que
$i^*\kappa$ est la forme de courbure et $\de(i^*\beta)+
(i^*\kappa)\wedge(i^*\beta)=\de_{-i^*\kappa}i^*\beta$ la forme d'Euler
du flot sur $N$, et que la classe d'Euler correspondante est nulle.
\end{demo}

Le second lemme concerne le spectre du laplacien en dimension 4 :
\begin{lem}
L'effondrement adiabatique d'un flot riemannien non isom�trique 
sur une vari�t� de dimension~4 ne produit pas de petites valeurs propres.
\end{lem}
\begin{demo}
La th�orie de Hodge assure qu'en dimension 4, le spectre du laplacien
de Hodge-de~Rham est enti�rement d�termin� par sa restriction aux $1$-formes
diff�rentielles. Or, on a vu que l'effondrement d'un flot non isom�trique 
ne produit pas de petite valeur propre sur les $1$-formes.

On peut aussi remarquer que pour un flot non isom�trique en dimension~4, 
on a $H_\kappa^0(M/\mathcal F)=H^3(M/\mathcal F)=\{0\}$, et donc
toutes les applications $H_\kappa^{i-1}
(M/\mathcal F)\stackrel{\wedge e}{\to}H^{i+1}(M/\mathcal F)$ dans la suite
de Gysin du flot sont nulles, ce qui garantit qu'il n'y a pas de petites
valeurs propres (cf. remarque \ref{coh:nul}).  
\end{demo}

En vertu du lemme pr�c�dent, il nous suffit de construire un flot 
riemannien non isom�trique sur une vari�t� de dimension~4 dont la classe 
d'Euler est non nulle. L'exemple que nous allons consid�rer appartient
� une famille de flots non isom�triques exhib�e dans \cite{am86}, nous
allons en donner une construction qui permet de facilement mettre en
�vidence le fait que $[\kappa]\neq0$ et $[e]\neq0$ en utilisant le lemme
\ref{ex:lem1}.

On commence par consid�rer le flot de l'exemple \ref{intro:ex} sur la sph�re
(le coefficient $\alpha$ d�terminant la direction du flot sera fix�
ult�rieurement).
En prenant le produit de la sph�re $S^3$ par un cercle, on obtient un 
flot sur $S^3\times S^1$ dont l'adh�rence g�n�rique est de dimension~2 et 
dont l'espace limite de l'effondrement est $[0,\frac\pi2]\times S^1$. 
On peut noter qu'au dessus de $]0,\frac\pi2[\times S^1$, le flot se
d�compose en un produit trivial entre l'adh�rence g�n�rique et 
$]0,\frac\pi2[\times S^1$.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{picture}(0,0)%
\includegraphics{fig1}%
\end{picture}%
\setlength{\unitlength}{4144sp}%
%
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFontNFSS\undefined%
\gdef\SetFigFontNFSS#1#2#3#4#5{%
  \reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%
  \fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%
  \selectfont}%
\fi\endgroup%
\begin{picture}(4409,1689)(1315,-2548)
\put(1846,-1006){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFontNFSS{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$S^3\times S^1$}%
}}}}
\put(2251,-1411){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFontNFSS{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$\pi$}%
}}}}
\put(4906,-1366){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFontNFSS{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$\pi$}%
}}}}
\put(4726,-1006){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFontNFSS{12}{14.4}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$M$}%
}}}}
\end{picture}%
\end{center}
\caption{\label{ex:fig1}}
\end{figure}

On modifie maintenant la vari�t� de mani�re � ajouter une anse � l'espace
limite: le nouvel espace limite $X$ est obtenu en enlevant deux disques $D_0$
et $D_1$ �
$[0,\frac\pi2]\times S^1$ et en recollant le long des bords de ces deux
disques un cylindre $S^1\times[0,1]$. La vari�t� $M$ sur laquelle sera
d�fini le nouveau flot est obtenu en enlevant les deux parties de la forme
$D_i\times T^2$ au dessus des deux disques de l'espace limite, et en
recollant le long du bord le produit $S^1\times[0,1]\times T^2$. On doit
pr�ciser la mani�re d'effectuer le recollement car la topologie
de la vari�t� $M$ en d�pend: on se donne une matrice $A\in\SL_2(\Z)$ et
on identifie les bords de $D_i\times T^2$ et $S^1\times[0,1]\times T^2$
par
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{ccc}
\partial D_0\times T^2 & \to & S^1\times\{0\}\times T^2 \\
(x,y) & \to & (x,y) \end{array}\right.
\end{equation}
et
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{ccc}
\partial D_1\times T^2 & \to & S^1\times\{1\}\times T^2 \\
(x,y) & \to & (x,Ay) \end{array}\right. ,
\end{equation}
l'identification entre $\partial D_i$ et $S^1$ provenant de l'adjonction
d'anse sur l'espace limite.

 On construit le flot riemannien sur $M$ en munissant
$S^1\times[0,1]\times T^2$ du flot obtenu par produit de l'adh�rence 
g�n�rique du flot sur $S^3\times S^1$ par $S^1\times[0,1]$. Pour assurer
la compatibilit� du flot avec le recollement ci-dessus, on choisit la
matrice $A$ telle qu'elle admette une valeur propre irrationnelle
---~par exemple la matrice $A$ de l'exemple \ref{ex:ex1}~---, et
on prend comme direction du flot sur $S^3$ la direction propre correspondante.
On obtient bien ainsi un flot lin�aire dense dans $T^2$ qui est invariant par 
$A$.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{picture}(0,0)%
\includegraphics{fig2}%
\end{picture}%
\setlength{\unitlength}{4144sp}%
%
\begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFontNFSS\undefined%
\gdef\SetFigFontNFSS#1#2#3#4#5{%
  \reset@font\fontsize{#1}{#2pt}%
  \fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}%
  \selectfont}%
\fi\endgroup%
\begin{picture}(2529,1397)(3104,-1880)
\put(4856,-1758){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFontNFSS{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$X_1$}%
}}}}
\put(4911,-1401){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFontNFSS{10}{12.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}$X_2$}%
}}}}
\end{picture}%
\end{center}
\caption{\label{ex:fig2}}
\end{figure}
Il reste � montrer que les classes d'�lvarez et d'Euler du flot sont
non nulles. On va pour cela d�finir deux sous-vari�t�s $N_1$ et $N_2$ de $M$, 
stable par le flot, et appliquer le lemme \ref{ex:lem1}.
Pour $N_1$, on choisit une sph�re $S^3\times\{x\}$ dans $S^3\times S^1$
qui ne rencontre pas les $D_i\times T^2$, et qui est donc pr�serv�e dans $M$.
L'espace limite de l'effondrement de $N_1$ est un segment $X_1$ dans $X$.
 On construit $N_2$ en se donnant un cercle $X_2$ dans $X$ qui passe par 
l'anse (voir figure \ref{ex:fig2}) et en d�finissant $N_2$ comme �tant le
fibr� en tore $T^2$ au dessus de $X_2$.

La sous-vari�t� $N_1$ est une sph�re donc le flot restreint � $N_1$
a une classe d'Euler non nulle, et $N_2$ est la suspension du diff�omorphisme
lin�aire de $T^2$ induit par la matrice $A$, donc le flot restreint � $N_2$ 
est non isom�trique d'apr�s la classification de \cite{ca84a}. En vertu du 
lemme \ref{ex:lem1}, les classes d'�lvarez et d'Euler du flot sur $M$ sont
toutes les deux non nulles.


\begin{remarque}
Le proc�d� d'adjonction d'anse sur l'espace limite peut ais�ment se 
g�n�raliser � d'autres flots, par exemple ceux du paragraphe \ref{ex:spheres},
pour construire des exemples de flots non isom�triques.
\end{remarque}

\subsubsection{Construction de flots difficilement 
approchables}\label{ex:diff}
 On va pr�senter ici une construction de flots riemanniens 
non isom�triques dont la direction est difficilement approchable.
Notons qu'une construction semblable appara�t aussi dans \cite{gh83}
pour d'autres de ses propri�t�s. 

 On consid�re une vari�t� compacte $B$ telle que $b_1(B)\neq0$, 
et on note $\tilde B$ son rev�tement universel.
L'id�e est de se donner un flot lin�aire sur $T^k$ dont la direction
est difficilement approchable, et de construire un 
fibr� en tore $T^k$ sur $B$ dont le groupe de structure est form� de 
diff�omorphismes lin�aires de $T^k$ pr�servant le flot orient� sur le tore.

On se donne une extension alg�brique r�elle
$\mathbb K$ de $\Q$ de degr� $k$, on note $r$ le nombre de plongements 
r�els de $\mathbb K$ et $s$ son nombre de paires de plongements complexes
conjugu�s. On montre en appendice que si 
$v\in\R^k$ est un vecteur dont les composantes forment une base d'entiers 
de $\mathbb K$ ---~c'est-�-dire une base de $\mathbb K$ sur $\Q$ qui est 
aussi une base de l'anneau des entiers de $\mathbb K$,
vu comme $\Z$-module~---, alors $v$ est difficilement approchable
et le groupe $G_v$ d�fini par
\begin{equation}
G_v=\{A\in\SL_k(\Z),\ Av=\lambda v\text{ avec }\lambda>0\}.
\end{equation}
est un groupe ab�lien libre de rang $r+s-1$, et ce rang peut prendre toutes
les valeurs entre $[\frac{k+1}2]$ et $k-1$ selon le choix du corps 
$\mathbb K$ (voir th�or�me~\ref{ap:th3} et remarque~\ref{ap:rq3}).

On obtient un fibr� $M$ en tore sur $B$ en se donnant un morphisme de
groupe $\varphi:\pi_1(B)\to G_v$ et en d�finissant $M$ comme
le quotient de $\tilde B\times T^k$ pour l'action de $\pi_1(B)$
d�finie par $\gamma\cdot(x,y)=(\gamma\cdot x,\varphi(\gamma)\cdot y)$. 
Comme la direction
de $v$ est invariante par $G_v$, le flot induit par $v$ sur 
$\tilde B\times T^k$ passe au quotient sur $M$ en un flot difficilement
approchable.

 Si l'image de $\varphi$ est non triviale, le flot n'est pas isom�trique:
en effet, si le flot �tait isom�trique, son action sur $M$ s'�tendrait
en une action de son adh�rence dans le groupe d'isom�trie de $M$, 
cette adh�rence  �tant compacte et isomorphe au tore $T^k$.
le fibr� serait alors principal et son groupe de structure pourrait
se r�duire � des translation sur le tore $T^k$.

\begin{remarque}
L'image de $\varphi$ dans $G_v$ est un quotient ab�lien de $\pi_1(B)$,
donc son rang est major� par $b_1(B)$. L'hypoth�se $b_1(B)\neq0$ assure
que l'on peut choisir l'application $\varphi$ telle que son image soit non 
triviale.
\end{remarque}

\begin{remarque}
On peut appliquer � la vari�t� obtenue un proc�d� chirurgical semblable
� celui pratiqu� au paragraphe \ref{ex:euler} pour construire un
flot dont la classe d'Euler est non nulle. 
\end{remarque}

\begin{remarque} Les �l�ments du groupe $G_v$ ont $r$ directions propres
simples en commun. On peut donc construire $r$ flots difficilement 
approchables distincts sur la vari�t� $M$ obtenue.
\end{remarque}

\newpage

\renewcommand{\thesection}{Appendice}
\section{Sur les propri�t�s arithm�tiques des flots riemanniens}
\renewcommand{\theequation}{A.\arabic{equation}}

� un flot riemannien dont l'adh�rence g�n�rique est de dimension $k$,
on peut associer un sous-groupe de $\SL_k(\Z)$ de la mani�re suivante:
si $v$ est un vecteur de $\R^k$, on d�finit le groupe $G_v$ par
\begin{equation}
G_v=\{A\in\SL_k(\Z),\ Av=\lambda v\text{ avec }\lambda>0\}.
\end{equation}
Si le flot lin�aire sur l'adh�rence g�n�rique d'une flot riemannien 
$\mathcal F$ est induit par un vecteur $v$, on d�finit $G_\mathcal F$ 
comme �tant �gal au groupe $G_v$, c'est le groupe des diff�omorphismes
lin�aires du tore qui pr�servent le flot lin�aire orient� induit par $v$
sur $T^k$. Le vecteur $v$ d�pendant d'un choix
de base dans $\Z^k$, le groupe $G_\mathcal F$ est d�fini � conjugaison 
pr�s dans $\SL_k(\Z)$. 

Les groupes $G_v$ interviennent dans la classification des feuilletages
totalement g�od�siques de dimension 1 �tablie dans \cite{gh83}, o�
�.~Ghys montre en particulier que ces groupes sont
n�cessairement ab�liens libres et de rang inf�rieur ou �gal � $k-1$. 
Le groupe $G_\mathcal F$ poss�de aussi la propri�t�
suivante, qui a �t� remarqu�e dans des situations particuli�res
(\cite{gh83}, \cite{am86}) mais dont nous n'avons pas trouv� de d�monstration 
g�n�rale dans la litt�rature :
\begin{theo}\label{ap:th1} 
Si le groupe $G_\mathcal F$ est trivial, alors le flot $\mathcal F$ est 
isom�trique.
\end{theo}
\begin{demo}
On commence par appliquer le proc�d� de d�singularisation du flot
d�crit par P.~Molino dans \cite{mo77} (voir aussi \cite{ca84a} pour
son application aux flots): si $\mathcal F$ est un flot
riemannien sur une vari�t� $M^n$ et qu'on note $\tilde M$ la vari�t�
de dimension $n(n-1)$ d�finie comme �tant le fibr� des rep�res orthonorm�s
directs transverses au flot, le flot $\mathcal F$ induit un flot riemannien
$\tilde{\mathcal F}$ sur $\tilde M$, dont toutes les feuilles sont g�n�riques
et qui a la propri�t� d'avoir la m�me 
adh�rence g�n�rique que $\mathcal F$. De plus, la vari�t� $\tilde M$ poss�de 
une structure de fibr� sur une vari�t� $B$ dont les fibres sont les adh�rences 
$T^k$ des feuilles du flot.

 Le groupe de structure du fibr� $\tilde M\to B$ est compos� des
diff�omorphismes du tore qui pr�servent le flot lin�aire sur l'adh�rence
g�n�rique. D'apr�s le lemme 4.7 de \cite{ep84}, on peut r�duire ce
groupe de structure aux diff�omorphismes affines du tore qui pr�servent
le flot, leur partie lin�aire �tant alors n�cessairement contenue dans
$G_{\tilde{\mathcal F}}=G_\mathcal F$. Si le groupe $G_\mathcal F$ 
est trivial, la fibration $\tilde M\to B$ est principale. Le flot
$\tilde{\mathcal F}$ est donc isom�trique, car on peut munir $\tilde M$
d'une m�trique invariante pour l'action de $T^k$ qui sera n�cessairement
invariante par le flot.

On conclut en utilisant le fait (\cite{ms85}, proposition I.1) que 
$\mathcal F$ est isom�trique si et seulement si $\tilde{\mathcal F}$ 
est isom�trique. 
\end{demo}

On va �tudier plus pr�cis�ment les groupes $G_v$ afin de pouvoir 
d�terminer si un flot est difficilement approchable et pour en 
construire des exemples. On s'int�resse au cas o� le flot lin�aire
induit par $v$ sur le tore $T^k$ est � orbites denses, c'est-�-dire
que les composantes de $v$ sont lin�airement ind�pendantes sur $\Q$. 
Si on note $v=(v_1,\ldots,v_k)$, on peut donc associer � $v$ un espace
vectoriel sur $\Q$ de dimension $k$, not� $E_v$, par $E_v=\mathrm{vect}_\Q
(1,\frac{v_2}{v_1},\ldots,\frac{v_k}{v_1})$.

\begin{theo}\label{ap:th2}
 Si $A$ est un �l�ment de $G_v$, alors la matrice $A$ est 
diagonalisable sur $\C$, ses valeurs propres ont toutes la m�me 
multiplicit�.

Si de plus le vecteur $v$ est vecteur simple de $A$, alors $E_v$ est
un corps de nombres et $v$ est difficilement approchable.
\end{theo}
\begin{demo}
On commence par remarquer, comme dans la d�monstration du lemme 5.3 de
\cite{gh83}, que l'ind�pendance
lin�aire des composantes de $v$ implique que si $M$ est une matrice
� coefficients entiers telle que $Mv=0$ alors $M=0$. C'est en particulier
vrai pour les matrices de la forme $P(A)$, o� $P$ est un polyn�me � 
coefficients entiers et $A$ un �l�ment de $G_v$. Soit
$\lambda$ le r�el tel que $Av=\lambda v$. Si $P$ et un polyn�me annulateur
de $\lambda$, alors $P(A)v=P(\lambda)v=0$, donc $P$ est un polyn�me 
annulateur de $A$. R�ciproquement, si $P(A)=0$, alors 
$P(\lambda)=0$. Le polyn�me minimal de $\lambda$ est donc
aussi polyn�me minimal de $A$. Comme les racines
du polyn�me minimal d'un r�el alg�brique sont n�cessairement simples,
la matrice $A$ est diagonalisable sur $\C$. De plus, comme le
polyn�me caract�ristique de $A$ est � coefficient entier, il reste
invariant par l'action du groupe de Galois du polyn�me minimal de
$\lambda$, donc toutes ses racines ont la m�me multiplicit�.

La suite de la d�monstration s'appuie sur une autre remarque faite par 
�.~Ghys dans \cite{gh83}, � savoir que l'application $\varphi:G_v
\to\R^*$ qui � une matrice $A\in G_v$ associe sa valeur propre
associ�e � $v$ est un morphisme de groupe dont l'image est
contenue dans $E_v$. En reprenant les notations pr�c�dentes,
on a donc $\lambda\in E_v$, mais aussi $\lambda^i\in E_v$
pour tout $i\in\Z$, et par cons�quent $\Q(\lambda)\subset E_v$.
Si $v$ est vecteur simple d'une matrice $A\in G_v$, alors
son polyn�me minimal est de degr� $k$, donc $[\Q(\lambda):\Q]=
k=\dimension E_v$, c'est-�-dire que $\Q(\lambda)=E_v$.
L'espace vectoriel $E_v$ est alors un corps de nombres r�el, dont
une base est form� par la famille
$(1,\frac{v_2}{v_1},\ldots,\frac{v_k}{v_1})$. Par cons�quent le vecteur 
$v$ est difficilement approchable (\cite{sc80}, th�or�me 4A, p.42).
\end{demo}

\begin{remarque}\label{ap:rq1}
Le th�or�me \ref{ap:th2} assure que les multiplicit�s des valeurs propres des 
�l�ments de $G_v$ sont n�cessairement des diviseurs de $k$. 
Si on consid�re un flot riemannien $\mathcal F$ dont la dimension $k$ de 
l'adh�rence g�n�rique est un nombre premier
et que le groupe $G_\mathcal F$ n'est pas trivial ---~par exemple si le
flot $\mathcal F$ n'est pas isom�trique, selon le th�or�me \ref{ap:th1}~---
il contient un �l�ment dont
les valeurs propres sont simples, et donc le flot est difficilement
approchable.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Dans \cite{gh83}, �.~Ghys introduit, pour la donn�e d'une forme 
$\omega\in\R^{n*}$ telle que $\omega(v)\neq0$, le groupe $G_{v,\omega}$
des �l�ments $A\in G_v$ tels que $\omega$ soit vecteur propre de $\trans A$.
On peut d�duire du th�or�me \ref{ap:th2} que si $A\in G_v$, il existe 
n�cessairement une forme propre $\omega$ de $\trans A$ telle que 
$\omega(v)\neq0$, et si $v$ est vecteur simple de $A$ cette forme 
est unique, � une constante multiplicative pr�s. Comme les �l�ments de
$G_v$ commutent, cette forme sera aussi forme propre des transpos�es des
autres �l�ments de $G_v$. Sous l'hypoth�se que $v$ est vecteur simple
d'un �l�ment de $A$, on a donc $G_{v,\omega}=G_v$.
\end{remarque}

 On va donner maintenant une description plus globale des groupes $G_v$:
on peut en effet les classifier en les interpr�tant comme une 
repr�sentation d'un
sous-groupe du groupe des unit�s d'un corps de nombres r�el.
On obtient en particulier une m�thode pour construire des groupes
$G_v$ non triviaux, dans le but de construire des flots riemanniens
non isom�triques difficilement approchables (cf. paragraphe \ref{ex:diff}).

Pr�cisons quelques notations: si on consid�re un corps de nombres r�el 
$\mathbb K$ de rang $k$, on note $\mathcal O_\mathbb K$
son anneau des entiers, $\mathcal U_\mathbb K=\mathcal O_\mathbb K^*$ 
son groupe des unit�s et $\mathcal U_\mathbb K^+$ le sous-groupe d'indice 
fini de $\mathcal U_\mathbb K$ form� des �l�ments positifs dont la norme
(par rapport � l'extension $\mathbb K/\Q$) est �gale � 1. On peut alors
�crire:
\begin{theo}\label{ap:th3}
Soit $\mathbb K$ un corps de nombres r�el et $\mathcal B=(b_1,\ldots,b_k)$
une base d'entiers de $\mathbb K$. Il existe un morphisme 
injectif $\mathcal U_\mathbb K^+\hookrightarrow\SL_k(\Z)$ dont l'image,
que noterons $G_{\mathbb K,\mathcal B}$, est 
le groupe $G_v$ pour le vecteur $v=(b_1,\ldots,b_k)\in\R^k$, qui est
difficilement approchable.

R�ciproquement, Si $v\in\R^k$ est un vecteur dont les composantes sont
lin�airement ind�pendantes sur $\Q$, il existe un entier $d$ qui divise $k$,
une extension alg�brique r�elle $\mathbb K$ de $\Q$ de degr� $d$, une
base d'entiers $\mathcal B$ de $\mathbb K$ et 
une matrice $P\in\GL_k(\Q)$ tels que $G_v=P^{-1}G'P\cap\SL_k(\Z)$, 
o� $G'$ est le groupe
$$G'=\left\{\left(\begin{array}{ccc}A&0&0\\0&\ddots&0\\0&0&A\end{array}
\right),\ A\in G_{\mathbb K,\mathcal B}\right\}.$$
\end{theo}
\begin{remarque}
Le rang du groupe $G_v$ est major� par le rang du groupe 
$G_{\mathbb K,\mathcal B}$ qui est �gal au rang de $\mathcal U_\mathbb K$.
Si $r$ et $s$ sont respectivement le nombre de plongement r�els 
de $\mathbb K$ et le nombre de paires de plongements complexes conjugu�s,
on a $k=r+2s$ et le th�or�me des unit�s de Dirichlet affirme que
le rang de $\mathcal U_\mathbb K$ est major� par $r+s-1$. On retrouve
donc le fait que le rang de $G_v$ est au plus $k-1$. Remarquons aussi que
si les valeurs propres de $A\in G_v$ sont simples, alors $r$ est le nombre de
valeurs propres r�elles de $A$ et $2s$ son nombre de valeurs propres complexes.
La seule connaissance de $A$ permet donc de majorer le rang de $G_v$.
\end{remarque}

\begin{remarque}\label{ap:rq3}
Comme $k=r+2s$ et $r\geq1$ (il existe au moins un plongement
r�el de $\mathbb K$, � savoir l'identit�) le rang du groupe 
$G_{\mathbb K,\mathcal B}$ est compris entre $[\frac{k+1}2]$ et $k-1$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La matrice $P$ du th�or�me \ref{ap:th3} et son inverse ne sont pas 
n�cessairement enti�res,
donc les �l�ments de $P^{-1}G'P$ ne sont \emph{a priori} pas contenu
dans $\SL_k(\Z)$. Cependant, une partie du groupe $G'$ peut
rester enti�re � travers cette conjugaison. Par exemple, consid�rons
les matrices
$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&6\\0&1&0\end{array}\right),\ 
B=\left(\begin{array}{ccc}-3&-2&-6\\-6&-15&-38\\-2&-6&-15\end{array}\right)
\textrm{ et }P=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right).$$
$A$ et $B$ sont des matrices diagonalisables qui commutent, donc
sont �l�ments d'un $G_v$, o� $v$ est un vecteur propre commun � $A$ et $B$.
La matrice $P^{-1}AP$ n'est pas enti�re, mais $P^{-1}BP$ l'est.
\end{remarque}

\begin{remarque}
D�terminer une famille de g�n�rateurs du groupe des unit�s d'un corps
de nombre, et donc des groupes $G_v$, est un probl�me difficile. On
connait un algorithme pour les corps quadratiques,  mais il n'existe rien 
de tel d�s que le degr� du corps d�passe 2.
\end{remarque}

\begin{demo}[du th�or�me \protect\ref{ap:th3}]
Soit $\mathbb K$ un corps de nombres r�el, $\mathcal B=(b_1,\ldots,b_k)$
une base d'entiers de $\mathbb K$ et $a$ un �l�ment de 
$\mathcal U_\mathbb K^+$. On consid�re l'application $m_a:x\mapsto a\cdot x$
qui est un isomorphisme du $\Q$-espace vectoriel $\mathbb K$, et on
note $M_a=(m_{i,j})$ sa matrice dans la base $\mathcal B$. Comme $a$ est
un entier de $\mathbb K$, le $\Z$-module $\mathcal O_\mathbb K$ est stable 
par $m_a$,
donc la matrice $M_a$ est enti�re, et le d�terminant de $m_a$ est
par d�finition �gal � la norme de $a$ qui vaut 1. La matrice $M_a$
appartient donc � $\SL_k(\Z)$. Par ailleurs, l'�galit� $m_a(b_i)=a\cdot b_i$
peut s'�crire $\sum_jm_{j,i}b_j=a\cdot b_i$ pour tout $i$, c'est-�-dire
que
\begin{equation}
\trans{M_a}\left(\begin{array}{c}b_1\\\vdots\\b_k\end{array}\right)
=a\cdot\left(\begin{array}{c}b_1\\\vdots\\b_k\end{array}\right).
\end{equation}
Si on pose $v=(b_1,\ldots,b_k)$, c'est un vecteur difficilement approchable
car ses composantes forment une base d'un corps de nombres, et c'est
un vecteur propre de la matrice $\trans{M_a}$, pour tout $a\in
\mathcal U_\mathbb K^+$. L'application $\rho:a\mapsto\trans{M_a}$,
qui est naturellement un morphisme de groupe, est donc � valeur dans
$G_v$, et elle est injective car le fait que $M_a=I$ implique que $a=1$.
On peut se convaincre que c'est une bijection en remarquant que 
le morphisme injectif $\varphi:G_v\to\R_+^*$ qui appara�t dans la 
d�monstration 
du th�or�me~\ref{ap:th2} est en fait � valeur dans $\mathcal U_\mathbb K^+$
et constitue une application r�ciproque de $\rho$.

Consid�rons maintenant un vecteur $v=(v_1,\ldots,v_k)\in\R^k$ dont les 
composantes sont lin�airement ind�pendantes sur $\Q$. L'espace vectoriel 
$E_v$ n'est pas n�cessairement un corps, mais il contient le $\Q$-espace 
vectoriel engendr� par l'image du morphisme $\varphi:G_v\to\R_+^*$,
qui est un corps et qu'on notera $\mathbb K$. Si $M=(m_{i,j})\in G_v$ et
$Mv=\lambda v$, alors $E_v$ est stable par multiplication par $\lambda$:
en effet, on a alors $\lambda v_i=\sum_jm_{i,j}v_j\in E_v$, pour tout $i$.
Cette multiplication d�finit une action libre de $\varphi(G_v)$ sur $E_v$,
qui s'�tend par $\Q$-lin�arit� en une op�ration multiplicative de 
$\mathbb K$ sur $E_v$, c'est-�-dire que 
$E_v$ est un espace vectoriel sur $\mathbb K$. En notant $d$ le degr� de
$\mathbb K$, on se donne une base $(e_1,\ldots,e_{k/d})$ de
$E_v$ sur $\mathbb K$ telle que $e_1=1$. Si $\mathcal B=(b_1,\ldots,
b_d)$ est une base de $\mathbb K$, les produits $(b_i\cdot e_j)_{i,j}$ forment
une base $\mathcal B'$ de $E_v$ sur $\Q$.

L'�quation $\lambda v_i=\sum_jm_{i,j}v_j$ montre que $\trans{M}$ est
la matrice de l'endomorphisme $m_\lambda:x\mapsto\lambda\cdot x$ dans la base 
$(v_i)$ de $E_v$; on va chercher quelle forme prend sa matrice dans la base
$\mathcal B'$. Remarquons d'abord que $\mathbb K$ est stable par
$m_\lambda$, ainsi que tous les sous-espaces de la forme $\mathbb K\cdot
e_j$, et que les matrices des restrictions $m_{\lambda|\mathbb K\cdot
e_j}$ dans les bases $(b_i\cdot e_j)_i$ sont toutes les m�mes. Il
suffit donc de d�terminer la matrice de $m_\lambda$ restreint � 
$\mathbb K$. Or on l'a d�j� calcul�, c'est la transpos�e de la 
matrice $A=\rho(\lambda)\in G_{\mathbb K,\mathcal B}$.
La transpos�e de la matrice de $m_\lambda$ dans la base $\mathcal B'$
est donc
$$A'=\left(\begin{array}{ccc}A&0&0\\0&\ddots&0\\0&0&A\end{array}
\right).$$
Si on note $P$ la transpos�e de la matrice de passage de $(v_i)$
� $\mathcal B'$, on a donc $M=P^{-1}A'P$. Comme la matrice $P$ ne d�pend pas
de $M$, on a montr� que $G_v$ est contenu dans le groupe $P^{-1}G'P$.

R�ciproquement, un �l�ment $M=(m_{i,j})\in P^{-1}G'P$ est la transpos�e de 
la matrice dans la base $(v_i)$ d'un endomorphisme $m_\lambda$
avec $\lambda\in\mathcal U_\mathbb K^+$, et donc v�rifie
$\lambda v_i=\sum_jm_{i,j}v_j$ pour tout $i$. Le vecteur $v$ est
donc vecteur propre de $M$, et si de plus $M\in\SL_k(\Z)$, alors
$M$ appartient � $G_v$. Finalement, on a bien $G_v=P^{-1}G'P\cap\SL_k(\Z)$.
\end{demo}

\begin{thebibliography}{EKSH85}
{\small
\makeatletter
\ifx\fonteauteurs\@undefined
\def\fonteauteurs{\scshape}\fi
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}\end{thebibliography}
\noindent Pierre \textsc{Jammes}\\
Universit� d'Avignon\\
laboratoire de math�matiques\\
33 rue Louis Pasteur\\
F-84000 Avignon\\
\texttt{Pierre.Jammes@ens-lyon.org}
\end{document}


math0505417.extracted_bib
\begin{thebibliography}{EKSH85}
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\ifx\fonteauteurs\@undefined
\def\fonteauteurs{\scshape}\fi
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