���������� ������� ��, �������� ������������� ����������, � ��������� �� ����������
{������ ���������-���������}
{Universidad Complutense de Madrid}
math0505340.tex
\documentclass[russcorr,a4paper,12pt]{article}


%\usepackage[ot2enc]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\newtheorem{theorem}{�������}
\newtheorem{corollary}{���������}
\newtheorem{definition}{�����������}
\newtheorem{example}{������}
\newtheorem{exercise}[theorem]{����������}
\newtheorem{lemma}{�����}
\newtheorem{proposition}{�����������}
\newtheorem{remark}{���������}
\newenvironment{proof}[1][��������������]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\setlength{\oddsidemargin}{.05in}
\setlength{\textwidth}{6in}

\title{���������� ������� ��, �������� ������������� ����������, � ��������� �� ����������}
\author{{������ ���������-���������}\\
{Universidad Complutense de Madrid}\\
email: rutwig@ucmail.ucm.es}
\date{}


\begin{document}

\maketitle

\begin{center}
{\cyr ���������\newline}
\end{center}

{\cyr � ��������� ������ �� �������� ����������� ������������
����������� �� ����� ���������� ������ ��. �� ��������� �����
������������ ������� ����������������� ������������� ���� ������
����������� ��������� �������-������� � �������� ���������
���������� � ���������� ������������ �� ��������.}


{\cyr

\section{��������}



���������� ������� �� ���������� ������ ����� ������ �� ������ �
����� � ��������������� ������������ � ��������� � ��������, ��
����� � ��� ������������� ���������� ���� ������ �� (��� ��������,
����������� ������ ���������������). � ����� ������ �������������
�� ���� ��������� ��-�� ���������� ����� �������� ��� ����������
������ �� (�����, ��� ����� ��������). � ��������� ������ ��
��������� ���������� ������� �� ������������ ����, ������� ��
�������� �������������� �����������. ������ ����������
������������ ��� ������������� ������, �������� ������������
����������� ����� ���� ���������� � � ������ ���������� ������ ��.
��� �������� � ������ ���������� ������������ ������ �� � �������
������������.\newline �� ��������� ����� ��� ����������:
���������� ����������������� ������������� � ���������
������������ �� ������� �� (�� ������� ������� �� ����� ��). ��
�������, ��� ������������ ����������� ��������� ������������
������ �������� �������� ������������ � ��������������� �������� �
������������ �����������.

\section{������������ ����������� ���������� ������ ��}

������������ ����������� ���� ���������� ������� ��� �������������
������ ��� �������� ������ �����. ��������� ����������� �����
�����, ��� ����� ���� ���������������� ������������, ��� ���������
���������� �������� � ����������� �������-������� \cite{AC4}. ���
�������� ����� ���� �������� �� ������ ���������� ������ ��; �
���� ������ �� ��� ������ ��������� ������������� �����������
������. ��� �������� ��������� ������� ������������ ������� ��.
\medskip

��� ������, ��������� ����� $Z\left(  \frak{g}\right)$ �����
������� �� $\frak{g}$, � ����� $b_{1}(\frak{g})$ --- ������ �����
�����, �� ���� ����������� ������������
$H_{1}(\frak{g},\mathbb{R})$.


\begin{theorem}
����� $\frak{g}_{i}$ $\left( i=1,2\right) $ --- ���������� ������� ��, ����� $%
b_{1}\left( \frak{g}_{i}\right) =\dim \left(
\frac{\frak{g}_{i}}{\left[ \frak{g}_{i},\frak{g}_{i}\right]
}\right) $. ����� ���������� ������������ ����������� ����������
$\frak{e}$ ��� $\frak{g}_{1}\oplus \frak{g}_{2}$, ���������������
��������� ��������:

\begin{enumerate}
\item  $b_{1}\left( \frak{e}\right) =b_{1}\left( \frak{g}_{1}\right)
+b_{1}\left( \frak{g}_{2}\right) $

\item  $\dim D^{1}\left( \frak{e}\right) =\dim D^{1}\left( \frak{g}%
_{1}\right) +\dim D^{1}\left( \frak{g}_{2}\right) +b_{1}\left( \frak{g}%
_{1}\right) b_{1}\left( \frak{g}_{2}\right) $

\item  $\dim D^{i}\left( \frak{e}\right) =\dim D^{i}\left( \frak{g}%
_{1}\right) +\dim D^{i}\left( \frak{g}_{2}\right) ,\;i\geq 2$

\item  $\dim \,Z\left( \frak{e}\right) =\dim Z\left( \frak{g}_{1}\right)
+\dim Z\left( \frak{g}_{2}\right) +b_{1}\left( \frak{g}_{1}\right)
b_{1}\left( \frak{g}_{2}\right) .$
\end{enumerate}
\end{theorem}


\begin{proof}
�������������� --- ��������� �� �� �����, ��� � � �������������
������ \cite{C2,AC4}, ��� ���� ��������� �����������
������������������ ���������� �� ���������� ������������������.
���������� ���������� ������������ ����������� ������� $\varphi \in H^{2}\left( \frak{g}_{1}\oplus \frak{g}_{2},\mathbb{R}^{b_{1}\left( \frak{g}%
_{1}\right) b_{2}\left( \frak{g}_{2}\right) }\right) $, ��� ���
\begin{equation}
\varphi \left( \frak{g}_{1},D^{1}\frak{g}_{2}\right) =\varphi \left( D^{1}%
\frak{g}_{1},\frak{g}_{2}\right) =0.
\end{equation}
������� (1) �������������, ���
\begin{equation}
\dim _{\mathbb{R}}\left\{ \varphi \left( X,X^{\prime }\right) \;|\;X\in
\frak{g}_{1}-\left[ \frak{g}_{1},\frak{g}_{1}\right] ,\;X^{\prime }\in \frak{%
g}_{2}-\left[ \frak{g}_{2},\frak{g}_{2}\right] \right\} =b_{1}\left( \frak{g}%
_{1}\right) b_{1}\left( \frak{g}_{2}\right) .
\end{equation}
��� ����������� �������� �� ����� �������, ��� $\left\{
X_{1},..,X_{b_{1}\left( \frak{g}_{1}\right) }\right\} $ � $\left\{
X_{1}^{\prime },..,X_{b_{1}\left( \frak{g}_{2}\right) }^{\prime
}\right\} $ --- ����������� ������ ���������� ��� $\frak{g}_{1}$ �
$\frak{g}_{2}$ ��������������.
���� $\left\{ e_{1},..,e_{b_{1}\left( \frak{g}_{1}\right) b_{1}\left( \frak{g%
}_{2}\right) }\right\} $ --- ������������ ����� �
$\mathbb{R}^{b_{1}\left( \frak{g}_{1}\right) b_{2}\left(
\frak{g}_{2}\right) }$, �� �� ����� ������� ������ �������������
$\varphi $, ��� �������� ����� �����
\begin{eqnarray}
\varphi \left( X_{i},X_{j}^{\prime }\right)  &=&e_{\left( i-1\right)
b_{1}\left( g_{2}\right) +j},\;1\leq i\leq b_{1}\left( \frak{g}_{1}\right)
,\;1\leq j\leq b_{1}\left( \frak{g}_{2}\right)  \\
\varphi \left( X,X^{\prime }\right)  &=&0\text{ ��� }X\in D^{1}\frak{g}_{1}%
\text{ ��� }X^{\prime }\in D^{1}\frak{g}_{2}
\end{eqnarray}
��������������� ���������� ������������� ���� ����������� �������.
\end{proof}

����� $B_{i}$ --- ����� ������� $\frak{g}_{i}$ ($i=1,2$). �����
������ �� � ������� $\frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}$
������������ ����� ����������� ������ ��� ������ $\frak{g}_{1}$ �
$\frak{g}_{2}$ �, ����� ����, ������ ���� $[X,X^{\prime}]$ ���
���� ���������� $X\in \frak{g}_{1}$ � $X^{\prime }\in
\frak{g}_{2}$. � ���� ��������� �������-�������, �������
���������� ����� ���� �������� ����������� �  $b_{1}\left(
\frak{g}_{1}\right) b_{1}\left( \frak{g}_{2}\right) $ 2-����� ����
\begin{equation*}
d\eta _{ij}=\omega _{i}\wedge \omega _{j}^{\prime },
\end{equation*}
��� $\omega _{i}$ (�����. $\omega _{i}^{\prime }$) --- �����,
��������������� ���������� $X_{1}\in \frak{g}_{1}$ (�����.,
$X_{2}\in \frak{g}_{2}$). ��������� ������ ������������
����������� ��������� �������.

\begin{definition}
������������ ����������� $\frak{g}_{1}\underline{\times
}\frak{g}_{2}$ ������������ ����� ����������� ���������� $\
\frak{g}_{1}\oplus \frak{g}_{2}$, ������������ ������� ���������
$\varphi $.
\end{definition}

\begin{proposition}
���� $\frak{g}_{i}$ --- ���������� ������� �� ������� $j_{i}$ ���
$i=1,2$, �� $\frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}$ ---
������������ ������� �� �������  $\max \left\{ j_{1},j_{2}\right\} $. � ���������, $\frak{%
g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}=\frak{g}_{2}\underline{\times }\frak{g}%
_{1}.$
\end{proposition}

�� ����, ���������� $\frak{%
g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}=\frak{g}_{2}\underline{\times }\frak{g}%
_{1}$ �������� ���������� �������� ��.

\begin{definition}
����� $\frak{g}$ --- ���������� ������� ��. ������� $\frak{g}$
���������� ������������� �����������, ���� ���������� ����������
$\frak{g}_{1}$ � $\frak{g}_{2}$, ����� ��� $\frak{g\simeq
g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}$.
\end{definition}




\begin{proposition}
��� ������  $d\geq 4$ ���������� ���������� ������� �� $d$-��
�������. ����� ���������� ���� $(\frak{g}_{1},\frak{g}_{2})$
(����� $\frak{g}_{i}$ --- ����������), �.�. $\frak{g\simeq
g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}$.
\end{proposition}

\begin{proof}
��� ������  $n\geq 3$ ����� ���������
\begin{equation}
n=\left( n-2\right) +1+1.
\end{equation}
����� $\frak{r}_{n}$ --- ������� ��, � ������� ������ ����� ���
\begin{equation}
\left[ X_{1},X_{j}\right] =X_{j},\;2\leq n-2
\end{equation}
� ������ $\left\{ X_{1},..,X_{n-2}\right\} $. ������� ��
$\frak{r}_{n}$ --- ��������� � �� ������������. �����, $\dim
\frak{r}_{n}/\left[ \frak{r}_{n},\frak{r}_{n}\right] =1$. ����
$L_{1}$ --- ������� ������� ������� �������, �� ������������
$\frak{r}_{1}\underline{\times }{L}_{1}$ ������������ �����
���������� ������� $n$-�� ������� (�� ����������� ������ $n=3$,
��� ��� $\frak{r}_{3}=L_{1}$, �������������
$\frak{r}_{3}\underline{\times }{L}_{1}$ ��������� �������
����������� $\frak{h}_{1}$).
\end{proof}

���� ���� �� ������ $\frak{g}_{1}$ ��� $\frak{g}_{2}$ ���������,
�� ������������ ���� ������ ����� ���������. ����� ����� ���������
��������:

\begin{proposition}
����� $\frak{g}$ --- ������������ �����������. �����
\begin{enumerate}
\item  $\dim \left[ \frak{g},\frak{g}\right] \leq \dim \frak{g}-2$.

\item  $\dim Z\left( \frak{g}\right) \geq 1.$

\item  $\dim \frak{g}\geq 3.$

\item  ���� ������� $\frak{g}$ ��������� � ��������������, ��
���������� ���������� ��������������� ���������� $\frak{g}_{1}$ �
$\frak{g}_{2}$ �����, ��� $\frak{g\simeq g}_{1}\underline{\times
}\frak{g}_{2}$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

�������� �� �������� ������������� ���� ����������� ���������� �
������������� �����������, �� ����� �������� ������ �������������
����� ������, �������� �� ��� ��������� ������������� � ������
������������. �������� �������������� � ����������� ���� �
��������� �� �����������.


\begin{proposition}
����� $\frak{g\simeq }$ $\frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}$ ---
������������ �����������, � ����� $\left( d_{i},m_{i}\right) =\left( \dim \frak{g}_{i},b_{1}\left( \frak{g}_{i}\right) \right) $
��� $i=1,2$. ���� $\dim \frak{g}%
=7$, �� ����� ����� ���� �� ��������� �������:

\begin{enumerate}
\item  $\left( d_{1},m_{1}\right) =\left( 5,1\right) $, $\left(
d_{2},m_{2}\right) =\left( 1,1\right) $.

\item  $\left( d_{1},m_{1}\right) =\left( 4,1\right) $, $\left(
d_{2},m_{2}\right) =\left( 2,1\right) $.

\item  $\left( d_{1},m_{1}\right) =\left( 3,1\right) $, $\left(
d_{2},m_{2}\right) =\left( 3,1\right) $.

\item  $\left( d_{1},m_{1}\right) =\left( 4,2\right) $, $\left(
d_{2},m_{2}\right) =\left( 1,1\right) $.

\item  $\left( d_{1},m_{1}\right) =\left( 3,2\right) $, $\left(
d_{2},m_{2}\right) =\left( 2,1\right) $.

\item  $\left( d_{1},m_{1}\right) =\left( 3,1\right) $, $\left(
d_{2},m_{2}\right) =\left( 2,2\right) $

\item  $\left( d_{1},m_{1}\right) =\left( 3,3\right) $, $\left(
d_{2},m_{2}\right) =\left( 1,1\right) $.
\end{enumerate}

� ���������, ���� $b_{1}\left( \frak{g}\right) =4$, �� �������
$\frak{g}$ �������� �������������.
\end{proposition}

\begin{proof}
��� ��� $\dim \left( \frak{g}_{1}\underline{\times
}\frak{g}_{2}\right) =d_{1}+d_{2}+m_{1}m_{2}$, ����������
������������� �������� � ��������� ����� ���� � ����� ����
����������� �����. �������� $b_{1}\left(
\frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\right) =b_{1}\left(
\frak{g}_{1}\right) +b_{1}\left( \frak{g}_{2}\right) =m_{1}+m_{2}$
� $\dim \frak{g}=7$, �� ����� $2\leq b_{1}\left(
\frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\right) \leq 4$. ����
$b_{1}\left( \frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\right)
=2$, to $m_{1}=m_{2}=1$, � �� �������� � ������� 1.-3. ���� $
b_{1}\left( \frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\right)
=3$, �� �����
\begin{equation*}
7=d_{1}+d_{2}+2.
\end{equation*}
���� $d_{1}=4$, �� $d_{2}=1$, ������������� $m_{2}=1$, $m_{2}=2$.
�� �������� � ������ 4. ����  $d_{1}=3$ � $d_{2}=2$, �� ����
$m_{1}=1$ � $m_{2}=2$, ���� $m_{1}=2$ � $m_{2}=1$. ��� ��������
��� � ������� 5 � 6. ���� $b_{1}\left(
\frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\right) =4$, ��
$\frak{g}_{1}$ � $\frak{g}_{2}$ --- ������� �������, �
������������ $\frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}$
������������.
\end{proof}

��� �������� $n\geq 8$ �� ����� ������ ��� ������, �� ��� ���
���������� ������� �� ������������ $n\geq7$ �� ����������������
(��������� ��������� ����������� --- ����� \cite{Mu4,Tu}),
��������� �� ��� �� �������������.


\section{���������� � �����������}

���������� ����������������� ������������� ������ ������ ���� �
������ �������������, � ����� �� ������ �������������� �
���������� ����������� (��������� ����� � �����������
������������� ��� ������� � ������� � ������� ������).\newline

����� �� ����������� ������� ��� ����������� ���� �����������
�������� ������ ���������������� ���������; ��� ��������� ��������
�� ������ �������������� ���������� (��������� � �����������
��������), �� ����� � �������������� �������, ������� �������
���������� � ������ ������������� ������������� ������
\cite{Pe,Ber,Tro}. ����� $\left\{C_{ij}^{k}\right\}$ ---
����������� ������ ������� �� $\frak{g}$ � ������
$\left\{X_{1},..,X_{n}\right\}  $. �����
\begin{equation}
\widehat{X}_{i}=-C_{ij}^{k}x_{k}\partial_{x_{j}}
\end{equation}
--- ������������� ������� ��, ��� $\left[  X_{i},X_{j}\right]  =C_{ij}^{k}X_{k}$ $\left(  1\leq i<j\leq
n,\;1\leq k\leq n\right)  $. ������������� ������� $F\left(
X_{1},..,X_{n}\right) $ �� $\frak{g}^{*}$ �������� �����������
����������������� ������������� ������� �� $\frak{g}$ ����� �
������ �����, �����
\begin{equation}
\widehat{X}_{i}F\left(  x_{1},..,x_{n}\right)  =-C_{ij}^{k}x_{k}%
\partial_{x_{j}}F\left(  x_{1},..,x_{n}\right)  =0,\;1\leq i\leq n. \label{sys}
\end{equation}
����� �����  $\mathcal{N}\left(  \frak{g}\right)  $ ������� (���
��������������, ��� � ����������������) ������� (\ref{sys})
�������� ��������
\begin{equation}
\mathcal{N}\left(  \frak{g}\right)  =\dim\,\frak{g}-{\rm rank} \,\left(C_{ij}^{k}x_{k}\right),
\end{equation}
��� �������  $A(\frak{g})$ ���������� �� �������:
\begin{equation}
A(\frak{g})=\left(C_{ij}^{k}x_{k}\right),
\end{equation}
� ������ $\left\{X_{1},..,X_{n}\right\}  $. ��� ������� �����
����� ���������������� � �������������� ��������� �������-�������
��������� �������. ����� $\mathcal{L}(\frak{g})=\mathbb{R}\left\{
d\omega_{i}\right\} _{1\leq i\leq \dim\frak{g}}$ ---
��������������� ������������ $\bigwedge^{2}\frak{g}^{\ast}$,
����������� 2-������� $d\omega_{i}$. ��� ���
$\dim\mathcal{L}(\frak{g})=\dim\left( \frak{g}\right)  $ ����� �
������ �����, ����� $d\omega_{i}\neq0$ ��� ���� $i$, �� ����
$\frak{g}=[\frak{g},\frak{g}]$, ���� $\omega=a^{i}d\omega_{i}$ ---
������� ������ ��������� �  $\mathcal{L}(\frak{g})$, �����
���������� $j_{0}\left( \omega\right) \in\mathbb{N}$, �.�.
\begin{equation}
\bigwedge^{j_{0}\left(  \omega\right)  }\omega\neq0,\quad \bigwedge
^{j_{0}\left(  \omega\right)  +1}\omega\equiv0.
\end{equation}
����� $r\left(  \omega\right)  =2j_{0}\left(  \omega\right)$, ���
$r\left(  \omega\right)$ --- ���� 2-����� $\omega$ \cite{C43}.
�������
\begin{equation}
j_{0}\left(  \frak{g}\right)  =\max\left\{  j_{0}\left(  \omega\right)
\;|\;\omega\in\mathcal{L}(\frak{g})\right\}.
\end{equation}
��������, ���  $j_{0}\left(  \frak{g}\right)  $ --- ��������
��������� ������� �� $\frak{g}$. �������� ���������� ����������,
���
\begin{equation}
\mathcal{N}\left(  \frak{g}\right)  =\dim\frak{g}-2j_{0}\left(  \frak{g}\right) \label{Ca}.
\end{equation}
������� (\ref{Ca}) ����� ��� ������ ����� ����������� ����������
������������ � ��� ������, ����� ����� ����� ��� �� ��������.

��� ����������� ����� ����������� ����������� �������� �������
(\ref{Ca}), �������� ��������� �������-�������. �����
$\frak{g}_{1}$ � $\frak{g}_{2}$ --- ���������� ������� �� � �����
$\left\{ C_{ij}^{k}\right\}$ (��������������� $\left\{
\overline{C}_{lm}^{n}\right\} $) --- ����������� ������ �������
$\frak{g}_{i}$ ($i=1,2$) � ������ $\left\{
X_{1},..,X_{d_{1}}\right\} $, �����. $\left\{ X_{1}^{\prime
},..,X_{d_{2}}^{\prime }\right\} $. ��������� �������-�������
����� ���:
\begin{eqnarray}
d\omega _{i} &=&0,\;1<i<m_{1} \label{MC1}  \\
d\omega _{k} &=&-C_{ij}^{k}\omega _{i}\wedge \omega _{j},\;k\geq m_{1},
\end{eqnarray}
��� $\frak{g}_{1}$, ��� ����
\begin{eqnarray}
d\omega _{i}^{\prime } &=&0,\;1<i<m_{2} \\
d\omega _{k}^{\prime } &=&-\overline{C}_{ij}^{k}\omega _{i}^{\prime }\wedge
\omega _{j}^{\prime },\;k\geq m_{2}. \label{MC4}
\end{eqnarray}
��� $\frak{g}_{2}$. ����� ��������� ��� ������������
$\frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}$  ����� ��� (15)-(18)
i
\begin{equation}
d\eta_{ij}=\omega_{i}\wedge\omega_{j}^{\prime},\quad 1\leq i\leq m_{1}, 1\leq j\leq m_{2}. \label{MC5}
\end{equation}
��� ���� $X_{i}$ (�������������� ��� $X_{i}^{\prime }$)
\begin{equation}
X_{i}\lrcorner \,\omega _{j}=\delta _{ij}\;(\text{�����.
}X_{i}^{\prime }\lrcorner \,\omega _{j}^{\prime }),
\end{equation}
��� $\lrcorner$ --- ��������� ������������. �����
$\mathcal{N}\left(  \frak{g}\right)$ ����� �������� ��
������������� ����� ��������� ������ ���������, �����������
��������� (15)-(19). ���������� ���� ��������� ������ �����
���������� ����� �����.

\begin{proposition}
�����  $\omega _{0}\in \mathcal{L}\left( \frak{g}_{1}\right) $, �
����� $\omega
_{0}^{\prime }\in \mathcal{L}\left( \frak{g}_{2}\right) $ --- ��� �����, �.�.
$j_{0}\left( \omega _{0}\right) =j_{0}\left( \frak{g}_{1}\right) $ � $%
j_{0}\left( \omega _{0}^{\prime }\right) =j_{0}\left(
\frak{g}_{2}\right) $. ����� $F\subset \left\{ 1,..,m_{1}\right\}
$ � $F^{\prime }\subset\left\{ 1,..,m_{2}\right\} $ ---
������������, �.�.
\begin{enumerate}
\item  $\forall \alpha \in F$ $\Rightarrow X_{\alpha }\lrcorner \,\omega
_{0}\equiv 0.$

\item  $\forall \beta \in F^{\prime }\Rightarrow X_{\beta }^{\prime
}\lrcorner \,\omega _{0}^{\prime }\equiv 0$.
\end{enumerate}
�����
\begin{equation}
j_{0}\left( \frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\right) =j_{0}\left(
\frak{g}_{1}\right) +j_{0}\left( \frak{g}_{2}\right) +j_{0}\left( \omega
\right) ,
\end{equation}
���
\begin{equation}
\omega =\sum_{\alpha \in F,\beta \in F^{\prime }}\omega _{\alpha }\wedge
\omega _{\beta }.
\end{equation}
� ���������,
\begin{equation}
m_{1}m_{2}\leq \mathcal{N}\left( \frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}%
_{2}\right) \leq \mathcal{N}\left( \frak{g}_{1}\right) +\mathcal{N}\left(
\frak{g}_{2}\right) +\left( m_{1}m_{2}-2j_{0}\left( \omega \right) \right) .
\end{equation}
\end{proposition}

\begin{proof}
�������� �������-�������  $\frak{g}_{1}\underline{\times
}\frak{g}_{2}$ ���������� �� ��������� (15)-(18). �����
����������� ����������� ������������ �� �������
\begin{equation}
\mathcal{N}\left( \frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\right) =\dim
\left( \frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\right) -2j_{0}\left(
\theta \right) ,
\end{equation}
��� $\theta \in \mathcal{L}\left( \frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}%
_{2}\right) $ --- ����� ����� ������������� �����. ����� $\alpha \in F$. ��� ��� $%
\omega _{0}\in \mathcal{L}\left( \frak{g}_{1}\right) $, ��������� $%
X_{\alpha }\,\lrcorner \,\omega _{0}=0$ �������������, ��� $\left[ X,X_{\alpha }%
\right] =\psi ^{k}X_{k}\neq 0$ ��� ���� $X\in \frak{g}_{1}$ (��
����, $d\omega _{k}$ �� ����� � $\omega_{0}$). ����� ������, ���
\begin{equation}
\omega _{0}+\omega _{0}^{\prime }+\sum_{\alpha \in F,\beta \in F^{\prime
}}\omega _{\alpha }\wedge \omega _{\beta }
\end{equation}
����� ����������� ����, ��� ��� $j_{0}\left( \omega _{0}\right) =j_{0}\left( \frak{g}%
_{1}\right) ,\;j_{0}\left( \omega _{0}^{\prime }\right) =j_{0}\left( \frak{g}%
_{2}\right) $ � $\omega \notin \mathcal{L}\left(
\frak{g}_{1}\right) + \mathcal{L}\left( \frak{g}_{2}\right) $.
�����
\begin{eqnarray}
\mathcal{N}\left( \frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\right)
&=&\dim \frak{g}_{1}+\dim \frak{g}_{2}+m_{1}m_{2}-2\left( j_{0}\left( \omega
_{0}\right) +j_{0}\left( \omega _{0}^{\prime }\right) +j_{0}\left( \omega
\right) \right) \nonumber \\
&=&\mathcal{N}\left( \frak{g}_{1}\right) +\mathcal{N}\left( \frak{g}%
_{2}\right) +\left( m_{1}m_{2}-2j_{0}\left( \omega \right) \right) .
\end{eqnarray}
$m_{1}m_{2}\leq \mathcal{N}\left( \frak{g}_{1}\underline{\times
}\frak{g }_{2}\right) $ ������� �� ���� �����, ��� �����������
�������� �������� ������������.
\end{proof}

\begin{corollary}
���� $\mathcal{N}\left( \frak{g}_{1}\right) =\mathcal{N}\left( \frak{g%
}_{2}\right) =0$, �� $\mathcal{N}\left(
\frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\right) =m_{1}m_{2}$.
\end{corollary}


\begin{proof}
� ���� ������  $\mathcal{N}\left( \frak{g}_{1}\right) =\mathcal{N}\left( \frak{g}%
_{2}\right) =0$, ���������� $2$-����� $\omega _{0}\in \mathcal{L}\left( \frak{%
g}_{1}\right) $ � $\omega _{0}^{\prime }\in \mathcal{L}\left( \frak{g}%
_{2}\right) $, �.�. $\dim \frak{g}_{1}=2j_{0}\left( \omega
_{0}\right) $ � $\dim \frak{g}_{2}=2j_{0}\left( \omega
_{0}^{\prime }\right) $. �� ����, �����
$\theta=\omega_{0}+\omega_{0}^{\prime}$ ����� ���� $\dim
\frak{g}_{1}+\dim \frak{g}_{2}$. ������� $
\frak{g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}$ �������� � ��������
$m_{1}m_{2}$ ����������� ���������. ����� �������, ����� $\theta$
����� ������������ ����.
\end{proof}

\begin{remark}
��������, ������ ������, �������. ����� $\frak{g}$ --- ������� ��,
���������� �����������
\begin{eqnarray*}
d\omega _{1} &=&\omega _{2}\wedge \omega _{3}+\omega _{1}\wedge \omega _{4}
\\
d\omega _{2} &=&\omega _{2}\wedge \omega _{4}-\omega _{2}\wedge \omega _{5}
\\
d\omega _{3} &=&\omega _{3}\wedge \omega _{5} \\
d\omega _{4} &=&d\omega _{5}=0
\end{eqnarray*}
����� $\omega _{0}=d\omega _{1}$ ������������� ���������
$j_{0}\left( \omega
_{0}\right) =j_{0}\left( \frak{g}\right) =2$, �� ���� $\mathcal{N}\left( \frak{g%
}\right) =1$. ����� $\frak{g}\underline{\times }\frak{g}$ ---
���������� ������� �� 14-�� ������� (��� ��� $b_{1}\left(
\frak{g}\right) =2$), ��� ���� ��������� �������-������� ����� ���
\begin{equation*}
\begin{tabular}{lll}
$d\omega _{1}=\omega _{2}\wedge \omega _{3}+\omega _{1}\wedge \omega _{4};$
& $d\omega _{1}^{\prime }=\omega _{2}^{\prime }\wedge \omega _{3}^{\prime
}+\omega _{1}^{\prime }\wedge \omega _{4}^{\prime };$ & $d\eta _{1}=\omega
_{4}\wedge \omega _{4}^{\prime }$ \\
$d\omega _{2}=\omega _{2}\wedge \omega _{4}-\omega _{2}\wedge \omega _{5};$
& $d\omega _{2}^{\prime }=\omega _{2}^{\prime }\wedge \omega _{4}^{\prime
}-\omega _{2}^{\prime }\wedge \omega _{5}^{\prime };$ & $d\eta _{2}=\omega
_{4}\wedge \omega _{5}^{\prime }$ \\
$d\omega _{3}=\omega _{3}\wedge \omega _{5};$ & $d\omega _{3}^{\prime
}=\omega _{3}^{\prime }\wedge \omega _{5}^{\prime };$ & $d\eta _{3}=\omega
_{5}\wedge \omega _{4}^{\prime }$ \\
$d\omega _{4}=d\omega _{5}=0;$ & $d\omega _{4}^{\prime }=d\omega
_{5}^{\prime }=0;$ & $d\eta _{4}=\omega _{5}\wedge \omega _{5}^{\prime }$%
\end{tabular}
\end{equation*}
� ������ $\left\{ \omega _{1},..,\omega _{5},\omega _{1}^{\prime
},..,\omega _{5}^{\prime },\eta _{1},..,\eta _{4}\right\} $. �����
$\theta =\alpha ^{i}d\omega _{i}+\beta ^{j}d\omega _{j}^{\prime
}+\gamma
^{k}d\eta _{k}\in \mathcal{L}\left( \frak{g}\underline{\times }\frak{g}%
\right) $ --- ������� ������ ���������.����� $\bigwedge^{6}\theta
\equiv 0$ �
\begin{equation*}
\bigwedge^{5}\theta =\left( \alpha ^{1}\right) ^{2}\left( \beta ^{1}\right)
^{2}\gamma ^{4}\omega _{1}\wedge \omega _{2}\wedge \omega _{3}\wedge \omega
_{4}\wedge \omega _{5}\wedge \omega _{1}^{\prime }\wedge \omega _{2}^{\prime
}\wedge \omega _{3}^{\prime }\wedge \omega _{4}^{\prime }\wedge \omega
_{5}^{\prime }\neq 0
\end{equation*}
����� � ������ �����, ���� $\alpha ^{1}\beta ^{1}\gamma ^{4}\neq
0$. ����� $\theta ^{\prime }=d\omega _{1}+d\omega _{1}^{\prime
}+d\eta _{4}$ ����� ������������ ����, ��� ���� $\mathcal{N}\left(
\frak{g}\underline{\times }\frak{g}\right) =4$. � ���������, ��
��������, ��� ���� $F$ � $F^{\prime}$ �� �����, �� ���� $\omega
=d\eta _{4}$ ������������� ������� $j_{0}\left( \omega \right)
=1$, ����� $2\mathcal{N}\left( \frak{g}\right) -2j_{0}\left(
\omega \right) =0$. ����� ����, ������� $\frak{g}\underline{\times
}\frak{g}$ ����� ������ ��������� ��������, � �� �� �����
$\frak{g}$ �� ����� �������������� ����������� (�� ����
������������ ����������).




\end{remark}


\section{���������� � ���������� ������������}

�������� ������ ��������� ���������� �
���������������-�������������� ���������� �� ������� ��. ���
����������� ��������� �������� ��������� ����� ������� �� �
������������ ������������, ������� �������� ����� ������,
����������� ��������� ������.

\begin{definition}
����� $E:\frak{g\rightarrow g}$, $E\neq \pm id$ --- ������������
����������� ������� $\frak{g}$. � ���� ������ ����������� $E$
������ ��������� ����� ������������. �������, ��� $E$ ������
��������� ������������, ���� ����� ����� ���������������, �.�.
���� ��� ����� $X,Y\in \frak{g}$ ����� ����� ��������� ���������.
\begin{equation*}
E\left[ X,Y\right] =\left[ E\left( X\right) ,Y\right] +\left[ X,E\left(
Y\right) \right] -E\left[ E\left( X\right) ,E\left( Y\right) \right] .
\end{equation*}
\end{definition}

�� ����� ����������
\begin{equation}
\frak{g=g}_{+}\oplus \frak{g}_{-}, \label{DD}
\end{equation}
��� $\frak{g}_{+}$ --- ����������� ���������������,
��������������� ������������ �������� $\lambda=1$, �
$\frak{g}_{-}$ --- ����������� ������������, ���������������
������������ �������� $\lambda=-1$. ���� ������� ���������������
�����������, �� ��������������� $\frak{g}_{+}$ � $\frak{g}_{-}$
�������� ������������. ����� ��������� ���� ������� ��� ���������
����� ������ �� � ���������������� ��� ������ �� ������������
$n\leq 4$ \cite{Ov}. � ��������� ������� �� ����������, ���
������������ ����������� ���� ����� ������������� ������� ������
��, ���������� ����� ����������; ��� ������� ������������ �
�������� ����� ���������.

\begin{proposition}
����� $\frak{g}_{i}$ $\left( i=1,2\right) $ --- ���������� �������
��, � ����� $E_{i}$ $(i=1,2)$ --- ��������� ������������ ���
$i=1,2$. ����� $E_{1}\left( X_{j}\right) =\varepsilon _{j}X_{j}$
��� $1\leq j\leq n\,$, $\varepsilon _{j}=\pm 1$ � ������ $\left\{
X_{1},..,X_{n}\right\} $ (�����. $E_{2}\left(
X_{j}^{\prime}\right) =\varepsilon _{j}X_{j}^{\prime}$ ��� $1\leq
j\leq m\,$, $\varepsilon _{j}=\pm 1$ � ������ $\left\{
X_{1}^{\prime},..,X_{n}^{\prime}\right\} $). �����
$\frak{g}_{1}\underline{%
\times }\frak{g}_{2}$ �������� ����������� �������������.
\end{proposition}

\begin{proof}
��� ����������� �������� ����� �������, ��� $X_{i}\left( 1\leq
i\leq b_{1}\left( \frak{g}_{1}\right) \leq n\right) $, �.�.
$X_{i}\notin \left[ \frak{g}_{1},\frak{g}_{1}\right] $ (��
�������� �� ������� $\frak{g}_{2}$). ����� $\left[
X_{i},X_{j}^{\prime }\right] =Z_{ij}$
���  $1\leq i\leq b_{1}(%
\frak{g}_{1}),1\leq j\leq b_{1}\left( \frak{g}_{2}\right) $ � $E:\frak{%
g}_{1}\underline{\times }\frak{g}_{2}\rightarrow \frak{g}_{1}\underline{%
\times }\frak{g}_{2}$ by $E|_{\frak{g}_{1}}=E_{1}$ --- ���������
�����������, �.�. $E|_{\frak{g}_{1}}=E_{1}$ � �����
$E|_{\frak{g}_{2}}=E_{2}$. ����� ����, �������� $E$ �� �����
��������� $Z_{ij}$ --- �����������. ��� ���  $E_{1}$ � $E_{2}$
������������, ��� ���� $\left[
\frak{g}_{1},D^{1}\frak{g}_{2}\right] =\left[ D^{1}\frak{g}_{1},\frak{g}_{2}%
\right] =0$, ��� ���������� ��������� ������� ��������������� ����
�� ����� $\left( X,X^{\prime }\right) \in \frak{g}_{1}\frak{\oplus
g}_{2}$ c $\left[ X,X^{\prime }\right] \neq 0$: ����� $X=\alpha
^{i}X_{i}+\beta ^{j}Y_{j}
$ $\left( i\leq n\right) $ � $X^{\prime }=\gamma ^{k}X_{k}^{\prime}+\delta ^{l}Y_{l}^{\prime }$, ��� $Y_{i}\in \left[ \frak{g}_{1},\frak{g}%
_{1}\right] $ ��������������  $Y_{i}^{\prime }\in \left[ \frak{g}_{2},\frak{g}%
_{2}\right] $. �����
\begin{eqnarray}
&&E\left[ X,X^{\prime }\right] -\left[ E\left( X\right) ,X^{\prime }\right] -%
\left[ X,E\left( X^{\prime }\right) \right] +E\left[ E\left( X\right)
,E\left( X^{\prime }\right) \right] \nonumber \\
&=&\alpha ^{i}\gamma ^{k}E\left( Z_{ik}\right) -\alpha ^{i}\gamma ^{k}\left(
\varepsilon _{i}+\varepsilon _{k}\right) Z_{ik}+\alpha ^{i}\gamma
^{k}\varepsilon _{i}\varepsilon _{k}E\left( Z_{ik}\right) \nonumber \\
&=&\alpha ^{i}\gamma ^{k}\left\{ \left( 1+\varepsilon _{i}\varepsilon
_{k}\right) E\left( Z_{ik}\right) -\left( \varepsilon _{i}+\varepsilon
_{k}\right) Z_{ik}\right\}. \label{AT}
\end{eqnarray}

����� ��������� (28) ���������� � ����, ��� ���� ��� $(i,k)$ ���
����� $E\left( Z_{ik}\right) =\lambda _{ik}Z_{ik}$ s $\lambda
_{ik}=\pm 1$. ����� ����� ��� ��������� ������:

\begin{enumerate}
\item  ��� $\left( i_{0},k_{0}\right) $ �� ����� $\varepsilon
_{i_{0}}+\varepsilon _{k_{0}}=0$. ����� $1+\varepsilon
_{i_{0}}\varepsilon _{k_{0}}=0$, � �� ����� ��������  $\lambda
_{i_{0}k_{0}}$ ������ $1$ ��� $-1$.

\item  ��� $\left( i_{0},k_{0}\right) $ ����� $\varepsilon
_{i_{0}}+\varepsilon _{k_{0}}\neq 0$. ����� $sgn\left( \varepsilon
_{i_{0}}\right) =sgn\left( \varepsilon _{k_{0}}\right) $; �����
�������,
 $2E\left( Z_{i_{0}k_{0}}\right) =\pm 2Z_{i_{0}k_{0}}$, ������� $%
\lambda _{i_{0}k_{0}}=\pm 1$; ���� ���������� � ����������� ��
$\varepsilon _{i_{0}}+\varepsilon _{k_{0}}$.
\end{enumerate}

�������� $E$ �� $Z_{ij}$ ��������� ���������� � ������ $\left(
\varepsilon _{i}+\varepsilon _{k}\right) \neq 0$. � ���������
������� �� ����� ������� ���� ��� $\lambda_{ij}$. ��� ����������
(\ref{DD}) �� �����
\begin{eqnarray}
\frak{g}_{+}^{E} &=&\frak{g}_{+}^{E_{1}}\oplus \frak{g}_{+}^{E_{2}}\oplus
\left\langle Z_{ij}\;|\;\lambda _{ij}=1\right\rangle  \\
\frak{g}_{-}^{E} &=&\frak{g}_{-}^{E_{1}}\oplus \frak{g}_{-}^{E_{2}}\oplus
\left\langle Z_{ij}\;|\;\lambda _{ij}=-1\right\rangle
\end{eqnarray}
��� ��� $E_{1}$ � $E_{2}$ ������������, �� $\frak{g}%
_{+}^{E}$ � $\frak{g}_{-}^{E}$ �������� ������������ � $\frak{g}_{1}\underline{%
\times }\frak{g}_{2}$.
\end{proof}

\begin{example}
���������� ������ ��������� ������� �� $\frak{r}_{4}$ �
$\frak{r}_{4,0}$:
\begin{equation}
\frak{r}_{4}:\;\left[ X_{0},X_{1}\right] =X_{1},\;\left[ X_{0}X_{2}\right]
=X_{1}+X_{2},\;\left[ X_{0},X_{3}\right] =X_{2}+X_{3}
\end{equation}
� ������ $\left\{ X_{0},X_{1},X_{2},X_{3}\right\} $ �
\begin{equation}
\frak{r}_{4,0}:\;\left[ X_{4},X_{5}\right] =X_{6},\;\left[ X_{4},X_{7}\right]
=X_{6}
\end{equation}
� ������ $\left\{ X_{4},X_{5},X_{6},X_{7}\right\} $. �����
������������ $\frak{r}_{4}\underline{\times }\frak{r}_{4,0}$. �
������ $\left\{ X_{0},..,X_{9}\right\} $ ������� �������� ��������
\begin{equation}
\left[ X_{0},X_{4}\right] =X_{8},\;\left[ X_{0},X_{7}\right] =X_{9}.
\end{equation}
� ��������������� ������������� (31)-(32). ������� $\frak{r}_{4}$
� $\frak{r}_{4,0}$ ����� ��������� $E_{1}$, �����. $E_{2}$, ���

\begin{eqnarray}
E_{1}\left( X_{i}\right)  &=&X_{i},\;i=0,1;\;E_{1}\left( X_{i}\right)
=-X_{i},\;i=2,3 \\
E_{2}\left( X_{i}\right)  &=&X_{i},\;i=4,5;\;E_{2}\left( X_{i}\right)
=-X_{i},\;i=6,7.
\end{eqnarray}
������ ��������� $E:\frak{r}_{4}\underline{\times }\frak{r}_{4,0}\rightarrow \frak{%
r}_{4}\underline{\times }\frak{r}_{4,0}$ ����� �������, ��� $E|_{\frak{r}_{4}}=E_{1},\;E|_{%
\frak{r}_{4,0}}=E_{2}$. �� ����������� 6 �������, ���
\begin{equation}
E\left( X_{8}\right) =X_{8},\;E\left( X_{9}\right) =\lambda X_{9},
\end{equation}
���  $\lambda =\pm 1$. ���� $ \lambda =1$, �� �� ������� ���������
�� $\frak{r}_{4}\underline{\times }\frak{r}_{4,0}$, �.�. $\dim
\left( \frak{r}_{4}\underline{\times }\frak{r}_{4,0}\right)
_{+}=6,\;\dim
\left( \frak{r}_{4}\underline{\times }\frak{r}_{4,0}\right) _{-}=4$, � ��
����� ��� ����� $\lambda =-1$ ������ ��������� � $\dim \left( \frak{r%
}_{4}\underline{\times }\frak{r}_{4,0}\right) _{+}=\dim \left( \frak{r}_{4}%
\underline{\times }\frak{r}_{4,0}\right) _{-}=5$.
\end{example}





\begin{definition}
�����  $\frak{g}$ --- ������� �� �� ���������� ������������ $E$.
���� $\dim \frak{g}_{+}=\dim \frak{g}_{-}$, �� $E$ ��������
��������������� ���������� �� $\frak{g}$.
\end{definition}

\begin{corollary}
����� $\frak{g}$ --- ���������� ������� ��, ��� ������� $\left\{
X_{1},..,X_{4m},..,X_{2n}\right\} $, ��� ��� $b_{1}\left(
\frak{g}\right) =4m$, � ����� $E$ --- ��������������� ���������.
����
\begin{enumerate}
\item  $X_{i}\notin D^{1}\frak{g}$ ��� $1\leq i\leq 4m,$

\item  $X_{i}\in \frak{g}_{+}$  ��� $1\leq i\leq 2m$ and $X_{i}\in \frak{g}%
_{-}$  for $2m+1\leq i\leq 4m.$

\item  $b_{1}\left( \frak{g}_{+}\right) =b_{1}\left( \frak{g}_{-}\right) =2m.
$
\end{enumerate}
�� $\frak{g}_{+}\underline{\times }\frak{g}_{-}$ ���������
��������������� ���������.
\end{corollary}

\begin{proof}
��� ���  $E$ --- ��������������� ���������, �� ����������� $\dim \frak{g}_{+}\underline{\times }\frak{g}_{-}$
�����. ����������� 6 ������ ��������� ������������ $E$ �� $\frak{g}_{+}%
\underline{\times }\frak{g}_{-}$. ����������� ��  $\frak{g}_{+}$ �
$\frak{g}_{-}$ �������� �������������(�����., �����������������)
������������. �������� 2 (��. �������������� ����������� 6) ����
$E\left( \left[ X_{i},X_{j}\right] \right) $ $\left( 1\leq i\leq
2m,2m+1\leq j\leq 4m\right) $ ��������� ���� �� �����. �� $4m^{2}$
��������� ���� $[X_{i},X_{j}]$ ���������� $2m^{2}$ ��������� ����
����, � ���������  $2m^{2}$ ��������� --- ���� �����. �������
$\dim \left( \frak{g}_{+}\underline{\times }\frak{g}_{-.}\right)
_{+}=\dim \left( \frak{g}_{+}\underline{\times
}\frak{g}_{-.}\right) _{-}=n+2m^{2}$.
\end{proof}

���������� ������ ����������, ��� ������� �������� �����������, ��
�� ����������� ��� ������������� ����������� �������� ��
�������������.






����� �������� ������������� �.�.����������� �� ����������� ��
����������� � �.�.��������� �� ������ ���������� � ������.


}




\begin{thebibliography}{99}


\bibitem{AC1}J. M. Ancochea and R. Campoamor-Stursberg. Two step solvable Lie
algebras and weight graphs, Tranf. Groups \textbf{7} (2002), 307-320.

\bibitem{AC5}J. M. Ancochea and R. Campoamor-Stursberg. Characteristically
nilpotent Lie algebras of type $\frak{g}_{1}\underline{\times}\frak{g}_{2}$,
Forum Math. \textbf{15} (2003), 299-307.

\bibitem{C2}R. Campoamor-Stursberg. A graph theoretical determination of solvable complete rigid Lie algebras, Linear Alg. Appl. \textbf{372} (2003), 53-66.

\bibitem{AC4}J. M. Ancochea and R. Campoamor-Stursberg. Symplectic forms and
products by generators, Comm. Algebra \textbf{{30} }(2002), 4235-4249.

\bibitem{Mu4} �.�.������������, � ���������� �������� ��,
�������� �����. ����������. \textbf{32} (1963), 114-123.

\bibitem{Tu} P. Turkowski. Solvable Lie algebras of dimension six. J. Math. Phys. \textbf{31} (1990), 1344-1350.

\bibitem{Pe} �.�. ���������. ������������� ������� ������������
�������� � ������� ��, ���., ������, 2002.

\bibitem{Ber} �.�. ������, ���������� ����������������� �������������
��� ������ �� ���������� ������������ ����, ��� \textbf{51}
(1996), 141-143.

\bibitem{Tro} �.�.��������. �������� � ��������� ������������ � �����������, ���. ���, 1989.

\bibitem{C43} R. Campoamor-Stursberg. An alternative interpretation of the Beltrametti-Blasi formula by means of differential forms, Phys. Lett. A \textbf{327} (2004), 138-145.

\bibitem{Ov} A. Andrada, M.L. Barberis, I. Dotti, G. Ovando. Product structures on four dimensional solvable Lie algebras, available at xxx.lanl.gov/math.RA/0402234.

\end{thebibliography}




\end{document}

math0505340.extracted_bib
\begin{thebibliography}{99}


\bibitem{AC1}J. M. Ancochea and R. Campoamor-Stursberg. Two step solvable Lie
algebras and weight graphs, Tranf. Groups \textbf{7} (2002), 307-320.

\bibitem{AC5}J. M. Ancochea and R. Campoamor-Stursberg. Characteristically
nilpotent Lie algebras of type $\frak{g}_{1}\underline{\times}\frak{g}_{2}$,
Forum Math. \textbf{15} (2003), 299-307.

\bibitem{C2}R. Campoamor-Stursberg. A graph theoretical determination of solvable complete rigid Lie algebras, Linear Alg. Appl. \textbf{372} (2003), 53-66.

\bibitem{AC4}J. M. Ancochea and R. Campoamor-Stursberg. Symplectic forms and
products by generators, Comm. Algebra \textbf{{30} }(2002), 4235-4249.

\bibitem{Mu4} �.�.������������, � ���������� �������� ��,
�������� �����. ����������. \textbf{32} (1963), 114-123.

\bibitem{Tu} P. Turkowski. Solvable Lie algebras of dimension six. J. Math. Phys. \textbf{31} (1990), 1344-1350.

\bibitem{Pe} �.�. ���������. ������������� ������� ������������
�������� � ������� ��, ���., ������, 2002.

\bibitem{Ber} �.�. ������, ���������� ����������������� �������������
��� ������ �� ���������� ������������ ����, ��� \textbf{51}
(1996), 141-143.

\bibitem{Tro} �.�.��������. �������� � ��������� ������������ � �����������, ���. ���, 1989.

\bibitem{C43} R. Campoamor-Stursberg. An alternative interpretation of the Beltrametti-Blasi formula by means of differential forms, Phys. Lett. A \textbf{327} (2004), 138-145.

\bibitem{Ov} A. Andrada, M.L. Barberis, I. Dotti, G. Ovando. Product structures on four dimensional solvable Lie algebras, available at xxx.lanl.gov/math.RA/0402234.

\end{thebibliography}