Th�orie des groupes et psychologie de l'intelligence
Laurent Bartholdi
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\begin{document}
\title{Th�orie des groupes et psychologie de l'intelligence}
\author{Laurent Bartholdi}
\author{Fabrice Liardet}
\date{21 f�vrier 2005; compos� \today}
\maketitle
\tableofcontents

\section{Introduction}
Le but de cette note est de rapporter des r�sultats sur l'intersection entre la
th�orie des groupes et la psychologie de l'intelligence, telle qu'elle a �t�
�tudi�e par Piaget et son �cole.

Piaget a fait un usage �tendu d'id�es et de techniques math�matiques,
la plus frappante �tant peut-�tre son utilisation de la th�orie des
cat�gories~\cite{piaget:mc}.  Toutefois, comme S. Pappert nous met en
garde dans la pr�face de cet ouvrage, ``\fcite{Ma propre exp�rience de
  ce livre n'a pas �t� sans quelque douleur\dots puis-je voir dans
  l'utilisation que fait Piaget d'id�es math�matiques tout � fait
  profondes autre chose qu'une m�taphore superficielle?  Je ne suis
  pas le seul � �tre parfois assailli de tels doutes.}{piaget:mc}{8}''
La source du probl�me est facile � comprendre: Piaget �crit pour des
psychologues, dans un langage que les math�maticiens ont beaucoup de
peine � comprendre; et il utilise des concepts naturels pour les
math�maticiens, mais en court-circuitant les ann�es d'�tude
n�cessaires � un �tudiant de math�matiques pour se familiariser � ces
objets.

Un projet ambitieux serait de r��crire les ouvrages de Piaget (40 volumes) de
fa�on qu'ils soient plus accessibles aux math�maticiens; le vocabulaire
math�matique de Piaget est en effet non-standard, et le contenu psychologique y
est tr�s dense. Nous nous proposons, comme but plus modeste, de recenser les
usages de th�orie des groupes dans la th�orie piagetienne, et ainsi de fournir
� la fois une introduction de Piaget aux math�maticiens et une introduction des
math�matiques aux piagetiens.

La th�orie des groupes semble en effet le domaine \emph{par
  excellence} des math�matiques propre � d�crire le monde ---
ainsi, par exemple, les d�placements sont r�gis par un groupe,
comme on le verra au \S\ref{ss:gd}. L'axiome le plus important de la
th�orie des groupes, l'\emph{associativit�}, contient en
lui-m�me l'id�e d'abstraction. Nous verrons donc en passant les
divers domaines non-math�matiques o� la th�orie des groupes
s'applique.

Finalement, � titre d'illustration, et dans le pur esprit piagetien, nous
d�crirons quelques jeux, dont certains ont d�j� �t� impl�ment�s sur ordinateur,
qui font un usage non-trivial de la th�orie des groupes. Un soin particulier a
�t� pris pour qu'aucun concept math�matique ne soit apparent dans ces jeux.
Notre espoir est qu'un enfant, y jouant, d�couvre les \emph{id�es}
des math�matiques sous-jacentes, sans y voir la forme.

\subsection{Remerciements}
Nous tenons � exprimer notre immense gratitude � Androula
Henriques-Christophid�s et � Roger Fl�ckiger, qui par leurs
discussions g�n�reuses nous ont grandement facilit� l'acc�s aux textes
de Piaget. Nous sommes aussi reconnaissants � Daniela Helbig, Vaughan
Jones et Florian Sobiecky de nous avoir expliqu� certaines relations
entre la physique th�orique et la th�orie des groupes.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction � la th�orie des groupes}\label{s:intromath}
Le lecteur trouvera ci-dessous un bref r�sum� des notions importantes en
th�orie des groupes.

Un groupe peut �tre d�fini de deux mani�res diff�rentes, comme un
groupe \emph{abstrait} ou \emph{concret}; un r�sultat fondamental est
que ces deux d�finitions sont �quivalentes.  Commen�ons par les
groupes abstraits; dans ces groupes, les �l�ments sont repr�sent�s par
des symboles.  Soit $X$ un ensemble. On dira que $X$ est muni d'une
structure de groupe s'il existe (1) une op�ration, nomm�e
\emph{multiplication}\footnote{qui n'a en g�n�ral rien � voir avec la
  multiplication habituelle des entiers.}, qui � deux �l�ments $x,y\in
X$ attribue un produit $x\cdot y\in X$, (2) une op�ration, nomm�e
\emph{inversion}, qui � $x\in X$ attribue un inverse $x^{-1}\in X$, et
(3) un \emph{�l�ment neutre} $1\in X$, de sorte pour $x,y,z$ des �l�ments 
quelconques de $X$ les relations suivantes soient v�rifi�es:
\begin{alignat}{2}
  (xy)z &= x(yz) & \text{associativit�}\label{eq:assoc}\\
  xx^{-1} &= x^{-1}x = 1 & \text{inverse}\label{eq:inv}\\
  x1 &= 1x = x & \text{neutre}\label{eq:id}
\end{alignat}
Ces trois propri�t�s sont les \emph{axiomes} d�finissant la structure
de groupe. Le premier axiome stipule que la \emph{multiplication} de
trois �l�ments peut se faire dans l'ordre qu'on veut; c'est-�-dire
qu'�tant donn�s trois �l�ments $x,y,z$ dans cet ordre, leur produit
$xyz$ peut se calculer en multipliant d'abord $x$ avec $y$, puis ce
r�sultat interm�diaire avec $z$, ou bien en multipliant d'abord $y$
avec $z$, puis en multipliant $x$ avec ce r�sultat interm�diaire.

Remarquons que l'associativit� ne signifie \emph{pas} qu'on peut
mettre les trois �l�ments dans l'ordre qu'on veut quand on les
multiplie. Il existe une propri�t� additionnelle qu'un groupe peut
avoir, et qui dit que pour multiplier deux �l�ments $x,y$ on peut
calculer $xy$ ou $yx$, obtenant le m�me r�sultat dans les deux cas.
Cette propri�t� indique qu'on peut �changer l'ordre dans un produit de
deux (et donc un nombre quelconque d') �lements, et s'appelle
\emph{commutativit�}\footnote{L'associativit� peut �tre vue comme une
  forme de commutativit� � un niveau sup�rieur d'abstraction: elle
  indique que, �tant donn� un �l�ment $y$, les op�rations <<le
  multiplier par $x$ sur la gauche>> et <<le multiplier par $z$ sur la
  droite>> commutent.}; elle s'exprime par l'axiome $xy=yx$.

Le deuxi�me axiome stipule que tout �l�ment $x$ a un inverse,
c'est-�-dire un �l�ment not� $x^{-1}$ tel que le produit de $x$ par
son inverse donne l'�l�ment neutre.  Le troisi�me axiome stipule qu'un
�l�ment est inchang� si on le multiplie par l'�l�ment neutre.

� titre d'exemple de groupe, consid�rons un ensemble $X$ � trois
�l�ments, qu'on notera $\cdot,\curvearrowright,\curvearrowleft$
respectivement. Alors une structure de groupe sur $X$ n'est rien
d'autre que la donn�e de la multiplication, de l'inverse et du
neutre, sous forme de table par exemple:\footnote{On remarque que,
  dans la premi�re d�finition de groupe, l'inverse et
  l'�l�ment $1$ sont d�termin�s par la table de multiplication ---
  i.e., �tant donn� un groupe $X$ dont on ne conna�t que la
  table de multiplication, on peut reconstruire l'op�ration
  $x^{-1}$ et l'�l�ment $1$, et ce d'unique fa�on.}
\[\begin{array}{c|ccc}
  xy & y=\cdot & y=\curvearrowright & y=\curvearrowleft\\ \hline
  x=\cdot & \cdot & \curvearrowright & \curvearrowleft\\
  x=\curvearrowright & \curvearrowright & \curvearrowleft & \cdot\\
  x=\curvearrowleft & \curvearrowleft & \cdot & \curvearrowright
\end{array}\qquad
\begin{array}{c|ccc}
  x & \cdot & \curvearrowright & \curvearrowleft\\ \hline
  x^{-1} & \cdot & \curvearrowleft & \curvearrowright
\end{array}
\qquad\text{ �l�ment neutre: }\cdot
\]
On remarque qu'on aurait aussi pu �crire
$\cdot=0,\curvearrowright=1,\curvearrowleft=2$, auquel cas la
multiplication s'interpr�terait comme l'addition d'entiers modulo
$3$.

Un groupe concret est un groupe de transformations, d�fini comme suit.
Soit $U$ un ensemble. Un \emph{groupe sur $U$} est un ensemble $G$,
dont les �l�ments sont des bijections\footnote{Une bijection de $U$
  est une correspondance entre $U$ et $U$ qui relie chaque �l�ment de
  $U$ � un unique �l�ment de $U$.} de $U$, tel que si on prend deux
�l�ments quelconques $f,g\in G$ alors la fonction compos�e $f\circ g$
et la fonction inverse $f^{-1}$ appartiennent � $G$, et telle que la
transformation identique appartient � $G$ (cette derni�re condition
est n�cessairement satisfaite d�s que $G$ est non-vide).

On appelle $G$ un groupe concret, car il contient de fa�on
sous-jacente des bijections d'un ensemble concret $U$. C'est pourtant
un objet abstrait, dans le sens o� les �l�ments de $G$, qui sont
fondamentalement des bijections de $U$, sont consid�r�s comme des
objets atomiques.

Reprenons l'exemple ci-dessus. Si on consid�re un triangle �quilat�ral
$U$ dans le plan, on peut le faire tourner d'un nombre quelconque de
tiers de tour pour obtenir � nouveau un triangle dans la m�me
position.  Cette rotation est une bijection du plan, et par
restriction une bijection des points du triangle, i.e.\ de $U$. La
composition et l'inverse de telles rotations est encore une rotation
du triangle. Si on tourne le triangle d'un tour entier, on n'a d�plac�
aucun des points du triangle; ainsi par exemple la rotation d'un tiers
de tours est �gale � la rotation de quatre tiers de tour. Il n'y a que
trois �l�ments dans ce groupe de rotations $G$. Si on les appelle
$\cdot,\curvearrowright,\curvearrowleft$ pour d�signer respectivement
la transformation identique, la rotation d'un tiers de tour dans le
sens des aiguilles d'une montre, et la rotation d'un tiers de tour en
sens inverse, on voit que ces �l�ments se multiplient et s'inversent
comme d�crit plus haut.

De fa�on plus g�n�rale, on peut toujours
\emph{repr�senter} un groupe abstrait $X$ comme un ensemble $G$ de
bijections de $U$. D'autre part, un ensemble $G$ de bijections de
$U$ satisfait toujours les axiomes d�finissant un groupe abstrait.
Ces d�finitions sont donc �quivalentes --- ce r�sultat est connu
sous le nom de \emph{th�or�me de Cayley}.

\subsection{Cat�gories}\label{ss:cat} Dans son �tude des structures
mentales construites pendant le d�veloppement de l'enfant, Piaget
consid�re aussi diverses th�ories plus faibles (i.e.\ satisfaisant des
axiomes plus faibles que ceux des groupes). Il ne les nomme pas
explicitement, bien qu'un riche vocabulaire math�matique existe. Un
\emph{semigroupe} est un ensemble $X$ muni d'une op�ration binaire et
satisfaisant~\eqref{eq:assoc}. Un \emph{mono�de} est un semigroupe
muni d'un �l�ment neutre $1$ et satisfaisant~\eqref{eq:assoc}.  Un
\emph{magma} est un ensemble muni d'une op�ration binaire; ainsi
groupes, semigroupes et mono�des sont des magmas.

On peut aussi relaxer la d�finition de la multiplication, et arriver ainsi � la
notion de cat�gorie et de groupo�de. Une \emph{cat�gorie}\footnote{Pour les
  math�maticiens: on ne parlera ici que de petite cat�gorie.} est une paire
d'ensembles $X,G$ munie d'applications $s,t:G\to X$. On doit penser � $X$ comme
un ensemble de points, et � $G$ comme un ensemble de fl�ches reliant
un point � un autre; alors $s(g)$ et
$t(g)$ sont respectivement la source et le but de le la fl�che $g$. On a une
multiplication partiellement d�finie sur $G$: si $g,h\in G$ sont tels que
$s(g)=t(h)$, alors ils ont un produit $gh\in G$; on a $s(gh)=s(h)$ et
$t(gh)=t(h)$. On a aussi des unit�s $1_x\in G$, telles que $s(1_x)=t(1_x)=x$,
et les axiomes
\begin{alignat}{2}
  (gh)k &= g(hk) & \text{associativit�}\label{eq:cassoc}\\
  g1_{s(g)} &= 1_{t(g)}g = g & \text{identit�}\label{eq:cid}\\
\end{alignat}
Si de plus tout $g\in G$ a un inverse, i.e.\ un �l�ment $g^{-1}\in G$ avec
$s(g^{-1})=t(g)$ et $t(g^{-1})=s(g)$ et $gg^{-1}=1_{t(g)}$ et
$g^{-1}g=1_{s(g)}$, on appelle $G$ un \emph{groupo�de}.

On a, en r�sum�: une cat�gorie pour laquelle $X$ n'a qu'un �l�ment est un
semigroupe. Une cat�gorie pour laquelle tout �l�ment est inversible est un
groupo�de. Un groupo�de pour lequel $X$ n'a qu'un �l�ment est un groupe. Un 
semigroupe pour lequel tout �l�ment est inversible est un groupe.

Il existe une autre structure math�matique, celle de \emph{relation
  d'�quivalence}. C'est une relation sur $X$, i.e.\ une propri�t� $x\sim y$,
qui est transitive ($x\sim y$ et $y\sim z$ implique $x\sim z$), sym�trique
($x\sim y$ implique $y\sim x$) et r�flexive ($x\sim x$). Ces axiomes pr�sentent
une similarit� formelle avec la structure de groupe. Ceci est rendu plus
explicite en constatant qu'une relation d'�quivalence peut �tre d�crite �
l'aide d'un groupo�de: on prend pour $G$ l'ensemble des couples $(x,y)\in
X\times X$ tels que $x\sim y$. Les fonctions $s,t$ sont respectivement d�finies
comme la projection sur la premi�re et la seconde coordonn�e de $G$. Le produit
est donn� par $(y,z)(x,y)=(x,z)$ et l'inverse est donn� par $(x,y)^{-1}=(y,x)$.
En ce sens, un groupo�de est une g�n�ralisation naturelle des groupes et des
  relations d'�quivalence.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{La th�orie des groupes chez Piaget}\label{s:gpespiaget}
Il n'est pas � priori �vident que les structures math�matiques
d�crites dans le chapitre~\ref{s:intromath} s'appliquent � l'�tude du
d�veloppement de l'enfant. C'est justement une des intuitions
brillantes de Piaget que d'avoir per�u ce lien: \fcite{\dots si
  tardive qu'ait �t� la d�couverte de la notion de <<groupe>> en tant
  qu'�tre math�matique, ses propri�t�s les plus g�n�rales expriment en
  r�alit� certains des m�canismes les plus caract�ristiques de notre
  intelligence.}{piaget:eg1}{45}

La th�orie de Piaget s'appuie sur un grand nombre d'exp�riences r�alis�es sur
des enfants. Une des plus c�l�bres est la suivante: \fcite{Deux petits verres
  $A$ et $A_2$ de forme et de dimensions �gales sont remplis d'un m�me nombre
  de perles, cette �quivalence �tant reconnue par l'enfant qui les a lui-m�me
  plac�es, par exemple en mettant d'une main une perle en $A$ chaque fois qu'il
  en d�posait une autre en $A_2$ avec l'autre main. Apr�s quoi, laissant le
  verre $A$ comme t�moin, on verse $A_2$ en un verre $B$ de forme diff�rente.
  Les petits de 4-5 ans concluent alors que la quantit� de perles a chang�,
  quand bien m�me ils sont certains que l'on n'a rien enlev� ni ajout�: si le
  verre $B$ est mince et �lev�, ils diront qu'il y a <<plus de perles
  qu'avant>> parce que <<c'est plus haut>>, ou qu'il y en a moins parce que
  <<c'est plus mince>>, mais ils s'accorderont � admettre la non-conservation
  du tout.}{piaget:pi}{140}

Piaget postule donc l'existence d'un \emph{stade op�ratoire} chez
l'enfant, qui est le stade apr�s lequel un enfant ma�trise la notion
d'\emph{op�ration}.  Dans l'exemple ci-dessus, l'op�ration est le
transvasage des perles, au cours duquel aucune perle n'est cr�ee ou
d�truite; cette op�ration est r�versible, et la notion de conservation
du nombre de perles suit.

Si cette op�ration n'�tait pas r�versible (par exemple, si les perles
s'aggluttinaient, ou se divisaient, lors du transvasage), elle
pourrait fort bien modifier le nombre de perles pr�sentes dans les
verres, et l'enfant, pour d�terminer le nombre de perles dans les
verres, aurait raison de se fier � son intuition.

Piaget pousse plus loin son �tude: le nombre $n$ de perles peut �tre
exprim� comme $1+1+\dots+1$, qu'on voit comme op�ration <<ajouter $n$
fois une perle dans le verre>>. \fcite{On pr�sente d'embl�e au sujet
  les deux verres $A$ et $B$ et on lui demande de mettre simultan�ment
  une perle dans chaque verre; l'une avec la main gauche, l'autre avec
  la droite; lors de petits nombres (4 ou 5), l'enfant croit d'embl�e
  � l'�quivalence des deux ensembles, ce qui semble annoncer
  l'op�ration, mais lorsque les formes changent trop, � mesure que la
  correspondance se poursuit, il renonce � admettre
  l'�galit�!}{piaget:pi}{141--142} On voit ainsi que l'enfant accepte
de composer 4 ou 5 fois une op�ration, mais pas plus.

Le comportement op�ratoire peut, en premi�re approximation, �tre
oppos� au comportement \emph{intuitif}.  Paradoxalement, une structure
mentale plus rigide --- celle de groupe --- donne plus de souplesse �
un enfant, en particulier lors de l'appr�hension de domaines nouveaux.
Piaget parle d'intuition \emph{imag�e}, ou \emph{perceptive},
\fcite{tant que les enfants se placent au point de vue de la seule
  perception\dots Mais d�s que le sujet renonce � invoquer l'apparence
  sensible pour r�fl�chir aux transformations comme telles, il est
  conduit � supposer ou � affirmer la conservation. Les op�rations qui
  conduisent � ce r�sultat pr�sentent deux aspects distincts: identit�
  et r�versibilit�.}{piaget:dq}{15--16}; et \fcite{l'op�ration,
  c'est-�-dire l'action devenue r�versible, ne se trouve, � ce niveau
  du d�veloppement, qu'en partie dissoci�e de l'intuition,
  c'est-�-dire de l'action et de la perception
  irr�versibles.}{piaget:dq}{17--18} M�me l'intuition \emph{articul�e}
\fcite{n'est que le produit de r�gulations successives qui ont fini
  par articuler les rapports globaux inanalysables du d�but, et non
  pas encore d'un groupement proprement dit.}{piaget:pi}{158}  Pour
Piaget, un \emph{groupement} est une structure abstraite g�n�rale,
agissant sur des objets concrets. Il ne s'agit donc pas encore d'un
groupe au sens math�matique; on parlerait plut�t de \emph{magma}, de
\emph{groupo�de}, ou de \emph{relation d'�quivalence}. Il n'est pas
impossible que le concept que Piaget recherchait �tait pr�cis�ment
celui de cat�gorie.

Le groupement est l'\fcite{aboutissement d'une suite
  d'�quilibrations.}{piaget:pi}{139 bas}  Curieusement, Piaget voit
d�j� dans le groupement l'apparition des principes de
conservation (\fcite{\dots tant qu'il n'y a pas groupement, il ne
  saurait y avoir conservation des ensembles ou totalit�s, tandis
  que l'apparition d'un groupement est attest�e par celle d'un
  principe de conservation. Par exemple, le sujet capable de
  raisonnement op�ratoire � structure de groupement sera
  d'avance assur� qu'un tout se conservera ind�pendamment de
  l'arrangement de ses parties, tandis qu'il le contestera
  auparavant}{piaget:lela}{245}), alors que la physique classique ne
les voit que dans la structure de groupe (voir \S\ref{ss:physique}).

Un groupe, pour Piaget, est un groupement ferm� pour l'op�ration de
produit et d'inverse. On pense ainsi � un groupement comme � un
ensemble de bijections, i.e.\ d'op�rations r�versibles; toutefois,
si le groupement est <<trop petit>> au sens o� il ne contient pas tous
les produits et inverses de ses �l�ments, on <<ne sait pas>> que ses
�l�ments sont inversibles. Ainsi le \fcite{raisonnement
  pr�conceptuel\dots ne repose que sur des embo�tements incomplets et
  �choue ainsi � toute structure op�ratoire r�versible.}{piaget:pi}{139
  haut} On a toutefois d�j� affaire � une cat�gorie.

Remarquons enfin que Piaget fait tr�s peu mention de l'�l�ment neutre
du groupe dans son discours. Celui-ci pose un probl�me particulier,
car il est difficile d'accepter une <<transformation>> qui ne
transforme rien, comme le remarque G.  Henriques: \fcite{Il va sans
  dire qu'une transformation identique ne saurait se confondre avec
  l'absence d'activit� transformatrice\dots La seule justification
  [des actions transformatrices] r�side dans la compl�tion des
  syst�mes de transformations auxquels elles viennent
  s'adjoindre.}{piaget:mc}{194}

Une raison pour la r�ticence de Piaget peut aussi �tre que, plus que
la notion de groupe, c'est la notion d'\emph{espace homog�ne} qui lui
semble essentielle. Un espace homog�ne est un espace $X$ muni d'une
\emph{action} d'un groupe $G$, i.e.\ d'une op�ration attribuant �
$g\in G$ et $x\in X$ un �l�ment $gx\in X$, celle-ci satisfaisant les
axiomes $1x=x$ et $g(hx)=(gh)x$. Un groupe est un cas particulier
d'espace homog�ne; on prend $X=G$ et on d�finit l'action comme la
multiplication du groupe. Une diff�rence essentielle entre un groupe et
un espace homog�ne est que ce dernier n'a, au contraire de $G$, aucun
point privil�gi�.  C'est donc un pas de plus dans la direction de la
<<d�centration>>, de la capacit� de percevoir comme un acteur de
l'univers monde au m�me titre que d'autres, et non comme un point
central de celui-ci. La \fcite{d�centration ou coordination des
  rapports successivement centr�s constitue par cons�quent un
  <<groupement>> op�ratoire}{piaget:mv}{171}; et \fcite{le groupement
  est le contraire de l'�gocentrisme.}{piaget:dq}{275}

Piaget voit dans la d�centration un des pas essentiels de l'abstraction:
\fcite{Mais cet �tat initial, qui se retrouve en chacun des domaines de la
  pens�e intuitive, est progressivement corrig� gr�ce � un syst�me de
  r�gulations, qui annoncent les op�rations. Domin�e d'abord par le rapport
  imm�diat entre le ph�nom�ne et le point de vue du sujet, l'intuition �volue
  dans le sens de la d�centration. Chaque d�formation pouss�e � l'extr�me
  entra�ne la r�intervention des rapports n�glig�s. Chaque mise en relation
  favorise la possibilit� d'un retour. Chaque d�tour aboutit � des
  interf�rences qui enrichissent les points de vue. Toute d�centration d'une
  intuition se traduit en une r�gulation, qui tend dans la direction de la
  r�versibilit�, de la composition transitive et de l'associativit�, donc, au
  total, de la conservation par coordination des points de
  vue.}{piaget:pi}{148--149}

\subsection{Groupes de d�placements}\label{ss:gd}
On peut voir l'espace tridimensionel, dans lequel nous vivons, comme
le groupe de ses translations. Ce faisant, on fait l'amalgame entre le
groupe (les \emph{translations} de l'espace $\R^3$) et l'espace
homog�ne (de nouveau $\R^3$). On peut toutefois revenir au point de
d�part dans l'espace, mais dans une autre orientation; ceci se
d�crit naturellement par un groupe de d�placements plus riche
que celui des translations. Du point de vue pratique, la ma�trise
de ce groupe est essentielle pour l'enfant s'il souhaite se
d�placer efficacement.  Comme le note Piaget, il y a \emph{groupe}
lorsqu'il y a \fcite{un ensemble coordonn� de d�placements
  susceptibles de revenir � leur point de d�part, et tel que
  l'�tat final ne d�pende pas du chemin
  parcouru.}{piaget:cr}{95} Si l'orientation de l'objet peut changer
au cours du d�placement, il faut que le groupe en tienne
compte.\footnote{Il existe un sous-groupe du groupe des
  d�placements, constitu� des diff�rentes orientations que
  peut prendre un objet apr�s son retour � l'origine. Il s'agit
  du \emph{groupe d'holonomie}, dont nous n'aborderons pas l'�tude
  psychologique, bien qu'elle soit certainement tr�s prometteuse.}

Piaget distingue six stades de d�veloppement de groupes de
d�placement chez l'enfant. Au d�but, les groupes ne sont
pr�sents que comme <<r�ceptacles>> du syst�me de
coordonn�es de l'univers, et \fcite{on ne saurait parler de
  groupes, impliquant la perception de rapports actifs que le sujet
  �tablit entre les choses et lui.}{piaget:cr}{100} Ils sont donc d'une
part enti�rement concrets, et d'autre part aucune op�ration ne
leur est appliqu�e. Ceci caract�rise les deux premiers stades.

Les groupements apparaissent au troisi�me stade. Ils sont toujours concrets, et
ne servent qu'� coordonner des domaines qui jusque-l� �taient disjoints:
\fcite{Les op�rations dont il s'agit ici sont donc des <<op�rations concr�tes>>
  et non pas encore formelles: toujours li�es � l'action, elles structurent
  celle-ci logiquement\dots mais n'impliquent en rien la possibilit� de
  construire un discours logique ind�pendant de l'action.}{piaget:pi}{155} On
ne voit pour l'instant qu'un d�but d'objectivisation de l'espace, i.e.\ la
\fcite{constitution d'un champ ind�pendant du corps propre et dans lequel
  celui-ci se d�place comme un objet parmi d'autres objets.}{piaget:cr}{107}

Au quatri�me stade, il y a dissociation des d�placements de l'objet et de ceux
du sujet: l'enfant a conscience � la fois de ses propres d�placements et de
l'immobilit� des objets, m�me si \fcite{le sujet demeure �gocentrique,
  g�om�triquement parlant: il ne con�oit pas encore les positions et
  d�placements comme relatifs les uns aux autres, mais uniquement comme
  relatifs � lui.}{piaget:cr}{160} La r�versibilit� appara�t aussi � ce stade.

Le cinqui�me stade voit l'apparition de groupes proprement objectifs. C'est ici
que l'enfant acquiert la notion de \fcite{d�placement des objets les uns par
  rapport aux autres}{piaget:cr}{160 bas}; autrement dit, il parvient �
percevoir la relation entre deux objets (et non seulement sa relation � un
objet) � l'aide d'un groupe. Il peut aussi tenir compte de d�placements
successifs d'une chose qu'il cherche: \fcite{auparavant, il cherchait
  syst�matiquement l'objet l� o� il l'avait trouv� une premi�re
  fois.}{piaget:cr}{161}

C'est enfin au sixi�me stade que l'enfant per�oit et utilise v�ritablement le
groupe. Il peut en particulier utiliser des <<d�tours>>, i.e.\ par exemple
contourner un objet difficile � franchir comme un lit. En termes de groupes, ce
sont des �quations du genre $w=xyz$ qu'il faut utiliser, o� $w$ est <<traverser
le lit par le milieu>> et $x,y,z$ sont respectivement <<aller au coin du lit>>,
<<suivre son bord>> et <<retourner au milieu de l'autre c�t�>>. \fcite{L'espace
  est constitu� pour la premi�re fois � titre de milieu immobile. Cette
  acquisition finale garantit ainsi l'objectivit� des groupes per�us et la
  possibilit� d'�tendre ces groupes aux d�placements ne tombant pas directement
  dans le champ de la perception.}{piaget:cr}{181}

Les groupes apparaissent dans le cadre des d�placements. Ils sont ensuite
pr�sents dans d'autres contextes, en particulier la pens�e formelle.

\subsection{R�versibilit�}\label{ss:rev}
C'est dans la r�versibilit� que Piaget voit le d�veloppement de l'abstraction:
\fcite{en atteignant le niveau de la r�versibilit� enti�re, les op�rations
  concr�tes issues des r�gulations pr�c�dentes se cordonnent en effet en
  structures d�finies\dots qui se conservent la vie durant, sans exclure la
  formation de syst�mes sup�rieurs.}{piaget:lela}{217}

La pens�e formelle n�cessite la possibilit� de sp�culations \emph{r�versibles}
sur l'univers: \fcite{avec la pens�e formelle\dots une inversion de sens
  s'op�re entre le r�el et le possible. Au lieu que le possible se manifeste
  simplement sous la forme d'un prolongement du r�el ou des actions ex�cut�es
  sur la r�alit�, c'est au contraire le r�el qui se subordonne au possible: les
  faits sont dor�navant con�us comme le secteur des r�alisations effectives au
  sein d'un univers de transformations possibles.}{piaget:lela}{220} Il est
important, lors de telles sp�culations, de pouvoir facilement modifier de fa�on
r�versible un �tat hypoth�tique du monde, comme un joueur d'�checs d�place
ais�ment mentalement une pi�ce dans ce qu'il consid�re comme pouvoir �tre la
position de l'�chiquier dix coups plus tard.

La r�versibilit� est utilis�e par Piaget comme crit�re de constitution des
op�rations concr�tes, et c'est le recours � celle-ci qui permet la constitution
de notions de conservation. La r�versibilit� est l'argument utilis� par les
enfants pour justifier, par exemple, la conservation de la p�te � modeler que
l'on transforme en boulettes: \fcite{C'est pr�cis�ment la r�versibilit� qui
  engendre la conservation\dots la r�versibilit� est le processus m�me dont la
  conservation est le r�sultat\dots l'identit�, en fait, devient un argument �
  partir du moment o� elle est subordonn�e � la r�versibilit�\dots C'est donc
  bien la r�versibilit� qui entra�ne la conservation et non pas
  l'inverse.}{piaget:bc}{293}

La r�versibilit� garantit aussi la possibilit� de l'�quilibre: de m�me qu'il y
a �quilibre de pression entre deux chambres si et seulement s'il y a
possibilit� de flot, dans les deux directions, d'air entre les chambres,
\fcite{tout �tat d'�quilibre est reconnaissable\dots � une certaine forme de
  r�versibilit�.}{piaget:lela}{240}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les groupes en et hors des math�matiques}\label{s:math}
La th�orie des groupes est, bien �videmment, apparue en math�matiques. Il est
important, toutefois, de remarquer qu'elle n'a pas �t� cr��e pour elle-m�me,
mais pour expliquer d'autres parties de math�matiques: la r�solution
d'�quations polynomiales (Galois) ou diff�rentielles (Lie). Son �tude
syst�matique n'a commenc� qu'un demi-si�cle plus tard.

Piaget a reconnu tr�s t�t l'application possible de la th�orie des
groupes � la psychologie. Reprenons l'exemple du comptage de perles
cit� au chapitre~\ref{s:gpespiaget}: un �quilibre est atteint quand l'enfant
comprend que les variations des hauteur et de largeur des perles dans
le verre $B$ non seulement peuvent, mais \emph{doivent} se compenser.
Piaget d�crit cet �quilibre mobile par les caract�ristiques
suivantes:\fcite{\begin{enumerate}
  \item deux actions successives peuvent se coordonner en une seule;
  \item le sch�me d'action, d�j� � l'oeuvre dans la pens�e intuitive, devient
    r�versible;
  \item un m�me point peut �tre atteint, sans �tre alt�r�, par deux voies
    diff�rentes;
  \item le retour au point de d�part permet de retrouver celui-ci identique �
    lui-m�me;
  \item la m�me action, en se r�p�tant, ou bien n'ajoute rien � elle-m�me, ou
    bien est une nouvelle action avec effet cumulatif.
  \end{enumerate}
  On reconna�t bien l� la composition transitive, la r�versibilit�,
  l'associativit� et l'identit�}{piaget:pi}{155}

Au contraire, la commutativit� ($ab=ba$) ne semble pas �tre une notion aussi
importante, soit pour d�crire des ph�nom�nes physiques, soit chez l'enfant. Il
suit ainsi que la r�gle d'inversion d'un produit, $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$, est
comprise par l'enfant d�s qu'il ma�trise la notion d'inverse, comme le montre
l'exp�rience suivante: \fcite{On enfile le long d'un m�me fil de fer trois
  bonshommes de couleurs diff�rentes $A,B,C$, ou bien l'on fait entrer dans un
  tube de carton (sans chevauchements possibles) trois boules $A,B,C$. On fait
  dessiner � l'enfant le tout, � titre d'aide-m�moire. Puis on fait passer les
  �l�ments $A,B,C$ derri�re un �cran ou � travers le tube et l'on fait pr�voir
  l'ordre direct de sortie (� l'autre extr�mit�) et l'ordre inverse de retour.
  L'ordre direct est pr�vu par tous. L'ordre inverse, par contre, n'est acquis
  que vers 4-5 ans, � la fin de la p�riode pr�conceptuelle.}{piaget:pi}{145}

C'est cette m�me approche --- reconna�tre une structure de groupe sous-jacente
--- qui a �t� appliqu�e innombrablement dans divers domaines scientifiques.
Nous d�crivons ci-dessous quelques telles situations o� des groupes
apparaissent naturellement pour d�crire la r�versibilit� d'op�rations dans un
univers.

\subsection{Math�matiques}
Les premiers exemples de groupes rencontr�s dans un cours de
math�matiques sont g�n�ralement les groupes num�riques,
donn�s par l'addition d'entiers, ou l'addition <<modulo $n$>>, ou
encore la multiplication de rationnels non-nuls.  C'est ce que Piaget
d�crit comme les <<groupements additifs>> et les <<s�riations
d'ordre>> (si l'on consid�re la relation <<plus petit que>> sur les
rationnels).

L'arithm�tique sur les entiers se propose d'�tudier les
propri�t�s du groupe $\mathbb Z$ des entiers relatifs. Les
math�matiques construisent $\mathbb Z$ � partir des entiers
naturels $\mathbb N$, et construisent ces derniers � partir des
ensembles, r�duisant ainsi l'arithm�tique � la logique.
Piaget constate que l'enfant suit le m�me chemin dans son
d�veloppement: \fcite{les op�rations constitutives du
  nombre\dots ne requiert pas autre chose que les groupements additifs
  de l'embo�tement des classes\dots mais fondu en un seul tout
  op�ratoire\dots\ Cette r�union de la diff�rence et de
  l'�quivalence suppose\dots le passage du logique au
  math�matique.}{piaget:pi}{154}

Toutefois, une source in�puisable, et plus g�n�rale, de groupes est la
suivante. On prend \emph{n'importe quel} objet $X$, muni de ses
propri�t�s; par exemple, une figure et l'alignement de ses parties; un
ensemble de points et leurs distances respectives, un graphe et
l'ensemble de ses ar�tes. On consid�re l'ensemble $G$ de toutes les
applications bijectives\footnote{c'est-�-dire mettant les objets au
  source et au but en correspondance bi-univoque.} $f:X\to X$ qui
pr�servent ces propri�t�s.  C'est ce qu'on appelle le \emph{groupe
  d'automorphismes} de $X$. Ce groupe est un objet alg�brique dont,
d'une part, l'�tude peut r�v�ler de l'information sur $X$, permettre
de distinguer $X$ d'un $X'$ \emph{� priori} similaire, etc; et d'autre
part, dont la simple existence r�v�le des sym�tries de $X$, permettant
de simplifier grandement les calculs effectu�s sur $X$.

\subsection{Le groupe INRC}
Ce groupe appara�t � de nombreuses reprises dans l'oeuvre de Piaget; c'est un
groupe de sym�tries d'�nonc�s logiques. Il s'agit donc d'une abstraction au
deuxi�me degr�, le premier degr� �tant la constitution d'un �nonc� logique �
partir d'une situation concr�te.

Bien qu'il ne semble pas aussi important que les autres groupes apparaissant
dans ce travail, d�crivons-le bri�vement. Les lettres I,N,R,C indiquent
respectivement les transformations \emph{identit�}, \emph{n�gation},
\emph{r�ciproque} et \emph{corr�lative}, i.e.\ � partir de l'�nonc� <<$A$
implique $B$>>, les �nonc�s <<$A$ implique $B$>>, <<$B$ implique $A$>>,<<$A$
n'implique pas $B$>>, et <<$B$ n'implique pas $A$>>.

On a donc affaire � un groupe de transformations d'�nonc�s logiques, � quatre
�l�ments. Il est commutatif, tous ses �l�ments sont leurs propres inverses, et
il se nomme g�n�ralement le \emph{groupe de Klein}.

Si on g�n�ralise la construction d'INRC aux sym�tries
d'�nonc�s logiques avec plus que deux variables, on obtient
toujours un groupe ab�lien, mais plus gros. On a par exemple un
groupe d'ordre $8$ pour d�crire les sym�tries de formules
logiques � deux arguments et un r�sultat; et d'autres groupes,
toujours isomorphes � INRC, dans des syst�mes logiques plus
complexes, comme par exemple la logique o� toutes les op�rations
sont ternaires~\cite{piaget:tol}*{page 159}.

L'int�r�t d'un groupe, dans un tel contexte, est de pr�server dans une
structure relativement simple des changements op�r�s sur une formule. Plut�t
que de r��crire, ou de reconsid�rer mentalement, une formule � laquelle on a
appliqu� un �l�ment d'INRC, on peut conserver la formule telle quelle et
consid�rer l'�l�ment d'INRC en question. C'est aussi cette
philosophie d'�conomie que l'on retrouvera plus bas, au \S\ref{ss:info}.

\subsection{Physique}\label{ss:physique}
La physique se pr�occupe de la construction d'\emph{invariants},
i.e.\ de grandeurs, ou propri�t�s d'un syst�me qui ne
d�pendent pas de choix arbitraires faits pour effectuer des
mesures. Ainsi la position d'un objet d�pend d'un choix de
r�f�rentiel; mais son �nergie n'en d�pend pas. De m�me
toute grandeur physique mesurable est \emph{par n�cessit�} un
invariant --- invariant du groupe des changements de
r�f�rentiel.

S'il existe plusieurs choix de r�f�rentiels, tous �quivalents entre eux, alors
il existe un groupe de transformations convertissant ces r�f�rentiels les uns
en les autres.  Il ressort \emph{in fine} que ce qui est invariant est
pr�cis�ment ce qui est \emph{conserv�} par un groupe, et c'est l� l'une des
id�es essentielles de la m�canique classique. G�n�ralisant, \fcite{\dots la
  conservation constitue une condition n�cessaire de toute activit�
  rationnelle.}{piaget:gn}{6}

Piaget �tait intimement conscient de ce rapport entre invariants et groupes:
\fcite{La d�couverte d'une notion de conservation par l'enfant est toujours
  l'expression de la construction d'un\dots <<groupe>> (math�matique)
  d'op�rations.}{piaget:gs}{354}, \fcite{Les quantit�s qui se conservent sont
  des invariants de groupements ou de groupes}{piaget:dq}{214}

On peut se demander lequel, de l'invariant ou du groupement, est construit en
premier par l'enfant. Piaget �crit: \fcite{La condition commune � tous les
  groupements [est de] d�finir les transformations en fonction d'invariants et
  r�ciproquement.}{piaget:dq}{74} Toutefois, on lit aussi que \fcite{l� o� il y
  a <<groupement>> il y a conservation d'un tout, et cette conservation
  elle-m�me ne sera pas simplement suppos�e par le sujet � titre d'induction
  probable, mais affirm�e par lui comme une certitude de sa
  pens�e.}{piaget:pi}{150} On voit donc que la construction d'un groupe conf�re
de la solidit� � un invariant, et peut �tre consid�r�e comme pr�alable.

Comme on l'a vu au \S\ref{ss:rev}, c'est via la r�versibilit� que l'enfant
acc�de � la notion de groupe puis d'invariant: dans l'exp�rience des perles
d�crite au chapitre~\ref{s:gpespiaget}, le progr�s de l'enfant appara�t quand
\fcite{il r�pond qu'un transvasement de $A$ en $B$ peut �tre corrig� par le
  transvasement inverse}{piaget:pi}{150}

Il est int�ressant d'examiner de plus pr�s l'utilisation r�elle des groupes en
physique. Un r�sultat essentiel est commun�ment appel� le \emph{th�or�me de
  Noether}. Bri�vement, il dit qu'� tout groupe de transformations g�om�triques
(translations, rotations, etc.) laissant invariantes les lois physiques
correspond une loi de conservation. Ainsi la conservation de l'�nergie est li�e
� l'invariance par d�calage temporel; la conservation de l'impulsion est li�e �
l'invariance par translations; et la conservation du moment angulaire est li�e
� l'invariance par rotations des lois de la physique.

On peut exprimer plus pr�cis�ment ces r�sultats. Consid�rons d'abord le
formalisme galil�en; on a alors un syst�me physique, par exemple une particule,
qui �volue dans un univers. Le syst�me est d�crit comme un point dans espace,
dans notre exemple $M=\R^3\times\R$, o� $\R^3$ d�signe la position dans
l'espace et $\R$ est la coordonn�e <<temps>>.  Il y a des choix arbitraires: la
position et l'orientation d'un rep�re dans $\R^3$, et l'origine du temps. On
consid�re donc un groupe, le \emph{groupe galil�en}, qui agit sur l'espace $M$.
Il est engendr� par les transformations de la forme suivante:
\begin{itemize}
\item $(x,t)\mapsto(x+vt,t)$, le mouvement rectiligne uniforme, pour tout $v\in\R^3$,
\item $(x,t)\mapsto(x+p,t+s)$, les translations, pour tous $p\in\R^3$ et $s\in\R$, et
\item $(x,t)\mapsto(Gx,t)$, les rotations, pour tout $G\in O(3)$ (matrice de
  rotation).
\end{itemize}
C'est un groupe de dimension $10$, et la m�canique classique
postule que les lois de la physique doivent �tre invariantes par ce
groupe; ainsi il n'y a pas de point ni de direction privil�gi�e,
ni dans le temps ni dans l'espace, et les lois ne d�pendent que des
vitesses relatives.

La m�canique relativiste, aussi dite de Lorentz, ne donne pas de r�le
singulier � la coordonn�e <<temps>>; elle consid�re $M$ comme $\R^4$,
mais avec une nouvelle notion de distance, qui peut parfois prendre
des valeurs n�gatives. Le groupe d'invariants est alors le
\emph{groupe de Lorentz}, engendr� par les translations: $\R^4$, et
les rotations de l'espace-temps: $O(3,1)$. C'est � nouveau un groupe
de dimension $10$, mais il semble, � posteriori, math�matiquement plus
naturel que le groupe de Galil�e.

Venons-en au formalisme lagrangien; pour r�f�rence on
suit~\cite{arnold:cm}*{pages 53 et suivantes}. On a un espace de
configurations $M$, qui est une vari�t� diff�rentielle, par
exemple $\R^3$ pour l'espace des configurations d'une particule dans
l'espace. On ne repr�sente plus une particule comme un chemin
$x(t)$ dans $M$, mais plut�t comme un chemin $(x(t),\dot x(t))$ dans
l'espace tangent $TM$ de $M$; ces points de vue sont �videmment
�quivalents.

Un \emph{syst�me m�canique lagrangien} est donn� par cet
espace $M$ de configurations, et par une fonction $L$, dite
lagrangienne, sur $TM$. Alors on d�cr�te que l'�volution du
syst�me ne peut se produire que selon des courbes
\emph{extr�males} pour $L$: si $x(t)$, pour $t_0\le t\le t_1$, est
une �volution du syst�me, alors la fonctionnelle
\[\Phi(x)=\int_{t_0}^{t_1}L(x(t),\dot x(t))\]
doit prendre une valeur extr�male en $x$.  En d�rivant sous
l'int�grale, puis en int�grant par parties, on trouve que
\[\Phi(x)\text{ est extr�male si et seulement si }\frac{\partial
  L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x}=0.\]
La fonction langrangienne indique ainsi la <<direction de changement
maximal>> sur l'espace tangent.

Dans ce langage, $M$ a naturellement un groupe de diff�omorphismes,
qui remplace le groupe de Galil�e ou de Lorentz. Le th�or�me
de Noether formalise de la fa�on pr�cise suivante l'id�e que
toute loi de conservation est justiciable d'un invariant de groupe:
<<si la fonction lagrangienne est invariante par un groupe � un
param�tre $h^s$, pour $s\in\R$, i.e. si $\{h_s\}$ est un groupe de
diff�omorphismes de $M$ isomorphe � $\R$, et tel que
$\frac{d}{ds}L(h^sx,h^s\dot x)=0$, alors la quantit� $C(x,\dot
x)=\frac{\partial L}{\partial\dot x}\frac{dh^s(x)}{ds}|_{s=0}$ est
conserv�e.>>

Si on prend comme ci-dessus $M$ l'espace euclidien, et on d�finit
$L$ comme la diff�rence entre l'�nergie cin�tique et
l'�nergie potentielle, on retrouve les lois de conservation de
Galil�e. Par exemple, imaginons pour simplifier que la particule,
qui a une masse $m$, ne peut se d�placer que verticalement, et est
une hauteur $h$. Elle a donc une �nergie potentielle $E_p=mgh$
o�
$g$ est la constante de gravitation ($9.81ms^{-2}$ au sol) et une
�nergie cin�tique $E_c=\frac m2(\dot h)^2$, d'o�
$L=E_p-E_c=mgh-\frac m2(\dot h)^2$. Si $\Phi(h)$ est extr�male, on
a
\[\frac{\partial L}{\partial h}-\frac{d}{dt}\frac{\partial
  L}{\partial\dot h}=0\text{ si et seulement si }mg=m\ddot h,\]
c'est-�-dire que l'acc�l�ration de la particule est
constante, �gale � $g$.

Notons finalement que la m�canique quantique fait un usage encore bien plus
�tendu de la th�orie des groupes. D'une part, l'�volution d'un syst�me dans le
temps est d�crit par une transformation inversible (unitaire, plus
pr�cis�ment); le groupe des diff�omorphismes de l'espace des configurations est
de dimension infinie. Les particules �l�mentaires apparaissent alors
naturellement comme repr�sentations de ce groupe; � chaque repr�sentation
irr�ductible correspond un type de particule �l�mentaire. Nous ne nous
aventurerons pas plus dans cette direction.

\subsection{Informatique}\label{ss:info}
Contrairement � une id�e commun�ment r�pandue, l'informatique est li�e
� la th�orie des groupes par plusieurs liens tr�s forts. Le premier
est certainement la notion de <<pile>>: une structure dans laquelle on
peut stocker des objets, et les en sortir dans l'ordre inverse
d'entr�e. La pile est un objet, muni d'une transformation inversible
<<empiler>>: si elle n'�tait pas inversible, il ne serait pas possible
de r�cup�rer l'objet empil� pr�c�demment. L'exp�rience de Piaget,
d�crite au chapitre~\ref{s:math}, illustre bien le concept de pile.
Elle continue ainsi, par des manipulations de cette pile:
\textsf{Apr�s quoi on imprime un mouvement de rotation de $180^o$ �
  l'ensemble du dispositif (fil de fer ou tube) et l'on fait pr�voir
  l'ordre de sortie (qui est donc renvers�). L'enfant ayant contr�l�
  lui-m�me le r�sultat, on recommence, puis on effectue deux
  demi-rotations ($360^o$ en tout), puis trois, etc.}
  
\fcite{Or, cette �preuve permet de suivre pas � pas tous les progr�s de
  l'intuition jusqu'� la naissance de l'op�ration. De 4 � 7 ans, le sujet
  commence par ne pas pr�voir qu'une demi-rotation changera l'ordre $ABC$ en
  $CBA$; puis, l'ayant constat�, il admet que deux demi-rotations donneront
  aussi $CBA$.  D�tromp� par l'exp�rience, il ne sait plus pr�voir l'effet de
  trois demi-rotations.}{piaget:pi}{145}

On peut imaginer, � titre d'exemple, la programmation de la
commande <<undo>> (d�faire) dans un programme d'�dition de
texte. Au premier jet, un programmeur construira une pile, dans
laquelle il ins�rera, au fur et � mesure de la modification du
document, un historique de l'�tat du programme apr�s chaque
commande. Dans un deuxi�me jet, il cr�era une fonction <<undo>>
qui d�pend du type de la commande ex�cut�e. Le probl�me de
cette approche est que si le programme est complexe, les
diff�rentes combinaisons de <<undo>> le sont encore plus; de plus,
chaque commande n�cessite un espace de stockage compl�tement
diff�rent des donn�es d�truites.

La solution habituellement adopt�e est celle du <<pattern
commande>>, d�crite par exemple dans l'ouvrage classique de
programmation dite orient�e-objet~\cite{gamma-:dp}. L'id�e est
d'\fcite{encapsuler une requ�te comme un objet, autorisant ainsi le
  param�trage des clients par diff�rentes requ�tes, files
  d'attente et r�capitulatifs de requ�tes, et de plus,
  permettant la r�version des op�rations.}{gamma-:dp}{271} Dans
notre exemple de traitement de texte, toutes les commandes seraient
impl�ment�es comme des \emph{objets}. En tant que tels, ils
peuvent �tre assembl�s en \emph{s�quences}; ceci revient �
les multiplier dans une structure alg�brique. Ils sont tous munis
de leur propre op�ration <<undo>>, qui d�fait l'effet
pr�c�dent de la commande. C'est pr�cis�ment l'inverse
qu'on avait dans une structure de groupe.

Ainsi l'introduction de la notion d'op�ration r�versible
rev�t une importance capitale du point de vue de l'�conomie de
moyens. M�me avec le d�veloppement galopant de la technologie,
il est toujours d'actualit� d'utiliser le minimum de m�moire
n�cessaire dans un programme; et si ce crit�re est valable pour
les ordinateurs, il l'est � fortiori pour les �tres humains.

Si on admet qu'on manipule un objet --- en l'occurrence, un fichier de
texte --- de mani�re irr�versible, alors pour garantir la
possibilit� de revenir en arri�re on doit stocker toutes les
�tapes interm�diaires de cet objet. Si au contraire on admet que les
transformations sont r�versibles --- par exemple, si l'objet texte
contient en lui-m�me les moyens de d�faire les modifications
qu'il a subies --- alors on ne doit stocker qu'une seule copie de
l'objet.

L'exemple du joueur d'�checs ne se souvenant que d'une position de
l'�chiquier � la fois, et manipulant les pi�ces sur cet �chiquier de
fa�on r�versible, a d�j� �t� �voqu� au \S\ref{ss:rev}. Les
programmes informatiques d'�checs fonctionnent d'ailleurs selon ce
m�me principe.  Finalement, il est int�ressant de noter que les �tudes
du psychologue des �checs Krogious montrent qu'une des sources
majeures d'erreur de calcul de joueurs d'�checs vient pr�cis�ment de
mouvements mentaux modifiant irr�versiblement la nature de
l'�chiquier, c'est-�-dire essentiellement lors de captures de
pi�ces~\cite{krogious:psy}.

Remarquons que, du point de vue th�orique, on peut toujours
supposer que les calculs effectu�s par un ordinateur le sont de
mani�re r�versible. C'est particuli�rement int�ressant
dans le contexte des ordinateurs quantiques, qui sont soumis, comme
toute la physique quantique, � n'ex�cuter que des op�rations
r�versibles. M�me pour un ordinateur classique, ce r�sultat
pr�sente un int�r�t pratique: toute op�ration
non-r�versible entra�ne un accroissement d'entropie, donc une
dissipation d'�nergie sous forme de chaleur. Les processeurs
actuels sont limit�s en particulier par ce probl�me
d'�vacuation de la chaleur; or un ordinateur classique, mais
op�rant de mani�re r�versible, n'est pas soumis � cette
limite~\cite{bennett:reversibility}.

Ce r�sultat de r�versibilit� peut prendre la forme pr�cise
suivante: soit $M$ une machine de Turing\footnote{C'est un mod�le
  canonique d'ordinateur �l�mentaire}. Alors il existe une
machine de Turing �quivalente $M'$ telle que si $U\to V$ est une
instruction de $M'$, alors $V\to U$ est aussi une instruction de $M'$.
Il y a de plus des bornes sur la complexit� de $M'$ en fonction de
la complexit� de $M$~\cite{sapir-:isom}*{Lemme~3.1}.

\section{Jeux �ducatifs}
Les travaux de Piaget ont eu une grande influence sur le domaine de
l'�ducation, la plus importante �tant peut-�tre d'avoir mis en
�vidence que les grands pas effectu�s par un enfant au cours de son
d�veloppement intellectuel sont autant favoris�s, voire plus, par ses
pratiques ludiques que par les explications rationnelles de ses
professeurs. En cela, il s'est oppos� � la p�dagogie traditionelle qui
\fcite{consid�rait le jeu comme une sorte de d�chet mental ou tout au
  moins comme une pseudo-activit�, sans signification fonctionnelle et
  m�me nuisible aux enfants, qu'il d�tourne de leurs devoirs\dots\
  [Puis, citant K. Gross:] Le jeu est <<pr�exercice>>, et non pas
  seulement exercice, parce qu'il contribue au d�veloppement de
  fonctions dont l'�tat de maturit� n'est atteint qu'� la fin de
  l'enfance.}{piaget:fs}{158} Ce dernier chapitre a pour but de
d�crire des jeux �ducatifs naturels dans lesquels les concepts
fondamentaux de la th�orie des groupes peuvent se trouver. On
indiquera aussi diff�rentes pistes pour l'impl�mentation informatique
de ces jeux.

Insistons encore sur le fait qu'aucun concept de th�orie des groupes
ne doit �tre apparent dans les jeux ci-dessous; toute cette structure
doit �tre sous-jacente, si l'enfant est appel� � \emph{d�couvrir} et
non \emph{apprendre}. Ainsi, de la m�me mani�re que Piaget voulait
\fcite{trouver un biais de mani�re � �viter toute allusion aux
  d�signations linguistiques de la multiplication}{piaget:ar:cm}{31}
dans ses exp�riences, dans le but d'�viter que les sujets r�pondent ce
qu'ils ont appris <<par coeur>> sans le comprendre, on �vitera de
d�signer explicitement le groupe utilis�: Piaget pr�f�rera, par
exemple, ``J'ai 21 crayons et 15 gommes. Je veux donner le m�me nombre
de crayons et de gommes � chacun. Combien d'amis puis-je inviter au
maximum'' � ``Quel est le p.g.c.d. de 21 et 15?''.  Il s'agit d'amener
l'enfant � \fcite{reconna�tre en en un objet un caract�re $x$ pour
  l'utiliser � titre d'�lement d'une structure diff�rente de celle des
  perceptions consid�r�es, ce que nous d�signerons alors du nom
  d'abstractions et de g�n�ralisation
  <<constructive>>}{piaget:mp}{395}.

\subsection{Principe g�n�ral}\label{ss:factor}
La donn�e d'un groupe permet de construire assez facilement un jeu
classique qu'on peut appeler \emph{jeu de factorisation}.

Dans l'enseignement math�matique de niveau secondaire, par
factorisation on entend g�n�ralement la factorisation ou d�composition
d'un nombre entier en produit de nombres premiers --- un nombre
premier �tant un nombre qui est ind�composable en produit de nombres
plus petits.  Par exemple, si le nombre � factoriser est 84, la
solution du \emph{jeu de factorisation} est $84=2\cdot2\cdot3\cdot7$.

La g�n�ralisation de ce jeu � un groupe quelconque est la suivante: on
fournit au joueur un �l�ment du groupe --- dans notre exemple, 84 ---
et un \emph{ensemble g�n�rateur} du groupe, c'est-�-dire des
�l�ments du groupe qui ont la propri�t� que n'importe quel autre
�l�ment du groupe peut s'�crire comme un produit d'un nombre fini de
ces g�n�rateurs. Dans notre exemple, ces g�n�rateurs sont tous les
nombres premiers, et la propri�t� qui veut que tout nombre entier
puisse s'�crire comme un produit de nombres premiers est un th�or�me
fondamental de la th�orie des nombres.\footnote{L'exemple donn�
  concerne l'ensemble des nombres entiers positifs avec la
  multiplication, qui forment en r�alit� un mono�de (voir le
  \S\ref{ss:cat}) et non un groupe. On pourrait toutefois
  formuler cet exemple de mani�re tout � fait �quivalente dans le
  groupe des nombres rationnels --- les fractions de nombres entiers
  --- non nuls, o� cette fois tous les �l�ments ont un inverse pour la
  multiplication.}

Il est possible de d�barrasser ce jeu de son apparence tr�s
math�matique, en choisissant � la place des nombres entiers un
\emph{groupe concret}, tel qu'il a �t� pr�sent� au
chapitre~\ref{s:intromath}. Les �l�ments d'un groupe concret $G$ sont
des bijections d'un ensemble $U$, qui sera g�n�ralement judicieusement
choisi pour avoir une repr�sentation visuelle. Il est important de
r�aliser que seuls les �l�ments de $U$ sont des entit�s visibles ou
palpables. Le groupe $G$ ne contient que des op�rations
(transformations) sur les �l�ments de $U$.

Pour la description des jeux qui suivront, il est utile d'introduire
une nouvelle notation des groupes concrets, qui est celle dite de
l'\emph{action de groupe}\footnote{Pour les math�maticiens: on ne
  parlera ici que d'action fid�le.}: si $G$ est un groupe concret sur
un ensemble $U$, on dit que $G$ \emph{agit sur $U$}, et pour une
bijection $g\in G$ et un �l�ment $u\in U$, on note par $g\cdot
u=g(u)\in U$ le r�sultat de la bijection $g$ appliqu�e � l'�l�ment
$u$.  Cette notation est conforme � l'intuition gr�ce aux propri�t�s
suivantes:
\begin{enumerate}
\item $(g_1g_2)\cdot u=g_1\cdot(g_2\cdot u)$, pour tous $g_1,g_2\in G$
  et pour tout $u\in U$;
\item $1\cdot u=u$ pour tout $u\in U$, o� $1$ d�signe l'�l�ment neutre
  du groupe, qui n'est autre que la transformation identique: celle
  qui op�re sur chaque �l�ment de $U$ en le laissant inchang�.
\end{enumerate}

Dans sa forme classique, le jeu de factorisation demande une propri�t�
suppl�mentaire � l'action de groupe, qui est appel�e
\emph{transitivit�}: l'action de $G$ sur $U$ est dite
\emph{transitive} s'il est toujours possible de passer d'un �l�ment de
$U$ � un autre en utilisant un op�ration du groupe; autrement dit, si
pour tous $u_1,u_2\in G$ il existe une op�ration $g\in G$ telle que
$g\cdot u_1=u_2$.  Lorsque cette propri�t� de transitivit� n'est pas
v�rifi�e, cela signifie qu'un point donn� $u\in U$ ne peut �tre
transform� qu'en certains autres points de $U$. L'ensemble des points
atteignables � partir de $u$ est appel� l'\emph{orbite} de
$u$\footnote{Par analogie bien s�r � l'orbite d'une plan�te, qui
  repr�sente tous les points de l'espace pouvant �tre atteints par la
  plan�te sous l'<<action>> du temps.}, et l'ensemble $U$ se retrouve
ainsi stratifi� en orbites disjointes.

En rempla�ant alors $U$ par une de ces orbites $O$, on se retrouve
avec le m�me groupe $G$, qui agit cette fois transitivement sur $O$.
On pourrait donc penser que la situation est fondamentalement la m�me
que celle d'une action transitive; on verra toutefois plus loin qu'il
est possible de construire des jeux tr�s int�ressants sur des groupes
concrets avec une action non transitive.

Cette nouvelle notation permet d'exprimer tr�s naturellement les
donn�es de notre jeu de factorisation: si $G$ est un groupe concret
agissant transitivement sur un ensemble $U$, si $u_0,u_f$ sont deux
�l�ments de $U$ et si $S$ est un ensemble g�n�rateur de $G$, le
but du jeu est de trouver des �l�ments (pas forc�ment distincts)
$s_1,s_2,\dots,s_n\in S$ tels que $s_n\cdot s_{n-1}\cdots s_1\cdot
u_0=u_f$; le fait que l'action soit transitive assure que ce jeu
poss�de toujours une solution.

Remarquons qu'on a �crit le produit $s_n\cdot s_{n-1}\cdots s_1\cdot
u_0$, alors que $s_1$ agit en premier, $s_2$ en second, et $s_n$ en
dernier. C'est d� � notre convention d'agir par la gauche sur les
�l�ments. Si l'on agissait par la droite, on trouverait les �l�ments
$s_1,\dots, s_n$ dans leur ordre naturel.

\subsection{Exemples classiques}\label{ss:class}
\subsubsection{Orientation sur un plan quadrill�}
Dans beaucoup des jeux des premiers temps de l'informatique, le joueur
se retrouvait sur un �cran quadrill�, avec la possibilit� de s'y
d�placer � l'aide des quatre touches de direction, que nous
appellerons Sud, Ouest, Nord et Est. Ces quatre touches repr�sentent
un ensemble g�n�rateur du groupe des d�placements sur un
quadrillage. Plus pr�cis�ment, l'ensemble $U$ est l'ensemble des
points du quadrillage et le groupe $G$ est l'ensemble des couples de
nombres entiers permettant de repr�senter les d�placements, par
exemple avec la convention que $(3,-2)$ signifie <<trois cases �
l'est, moins deux cases au nord, c'est � dire deux cases au sud>>.
Dans cette convention, on �crirait Sud=$(0,-1)$, Ouest=$(-1,0)$,
Nord=$(0,1)$, E=$(1,0)$, l'ensemble \{Sud,Ouest,Nord,Est\} �tant un
ensemble g�n�rateur pour le groupe $G$.

Le jeu de factorisation consiste ici simplement de se rendre d'un
point � un autre en utilisant les quatre fl�ches. Cet exemple montre
donc qu'un jeu bas� sur la th�orie des groupes peut �tre tr�s simple
lorsque le groupe sous-jacent l'est aussi.

\subsubsection{Le cube hongrois}
Ce casse-t�te bien connu, d� au professeur Ern� Rubik, est un cube
qu'on voit comme compos� de petits cubes � raison de trois pour la
hauteur, trois pour la largeur et trois pour la profondeur, soit
vingt-six au total, le cube central n'�tant pas visible. Au d�part,
tous les petits carr�s visibles sur une m�me face du grand cube sont
colori�s de la m�me couleur. Le m�canisme de l'objet permet de faire
tourner n'importe quelle face du grand cube sur elle-m�me,
m�langeant ainsi les couleurs des faces contigu�s.

Le jeu de factorisation consiste � partir d'une configuration
quelconque du cube, et de retrouver la configuration de d�part en
utilisant les mouvement de rotations des faces (l'ensemble
g�n�rateur). Par opposition au jeu pr�c�dent, celui-ci est d'une
terrible difficult�, le groupe sous-jacent �tant tr�s
complexe.\footnote{Une bonne �tude de ce groupe via le logiciel
  \textsc{Gap} est disponible � l'adresse
  \texttt{http://www.gap-system.org/Doc/Examples/rubik.html}. On y
  apprend entre autres que le groupe contient 43252003274489856000
  �l�ments.}

\subsubsection{Le taquin}
Plus facile, ce c�l�bre casse-t�te du XIX�me si�cle pr�sente un carr�
de quatre cases par quatre, rempli par des petits carr�s coulissants
portant les nombres de 1 � 15, la seizi�me case �tant un espace vide,
qui permet d'y faire coulisser un des petits carr�s adjacents. Partant
d'une configuration quelconque, le but du jeu est de r�tablir la
configuration d'origine o� les nombres sont align�s dans l'ordre, la
case vide restant en bas � droite.

Si ce jeu para�t tr�s similaire au casse-t�te du cube hongrois,
l'asym�trie caus�e par la pr�sence d'une case vide fait en r�alit� que
sa meilleure formalisation ne s'exprime pas en termes de groupe mais
en termes de groupo�de, une variante plus faible de la notion de
groupe, qui a �t� pr�sent�e au \S\ref{ss:cat}.

Pour exprimer le taquin comme un jeu de factorisation sur un
groupo�de, il faut d'abord s�parer l'ensemble $U$ des configurations
en 16 sous-ensembles $U_{i,j}$, suivant la position de la case vide
--- l'ensemble $U_{i,j}$ est l'ensemble des configurations pour
lesquelles la case vide se trouve en position $(i,j)$, $i$ et $j$
�tant des entiers entre un et quatre repr�sentant les coordonn�es des
cases.  Dans le vocabulaire du \S\ref{ss:cat}, l'ensemble $X$ des
<<sommets du groupo�de>> est l'ensemble des 16 positions des cases du
jeu, et les <<fl�ches du groupo�de>> --- les op�rations repr�sentant
les mani�res de m�langer les petits carr�s du jeu --- sont des fl�ches
allant d'une case de $X$ � une autre, ces deux cases �tant les
positions respectives de la case vide avant et apr�s application de
l'op�ration.  Dans cette description, la diff�rence fondamentale avec
un groupe est que chaque op�ration ne peut s'appliquer qu'� certaines
configurations, celles dont la case vide se trouve au bon endroit.

Les mouvements fondamentaux (les g�n�rateurs) sont au
nombre\footnote{24 si on ne compte qu'une seule fois un mouvement et
  son inverse.} de 48 et s'expriment comme <<d�placer le petit carr� en
position $(i_1,j_1)$ sur la case vide en position adjacente
$(i_2,j_2)$>>.  Comme la case vide se d�place alors de $(i_2,j_2)$ �
$(i_1,j_1)$, ces mouvements sont des fl�ches allant de la case
$(i_2,j_2)$ � la case $(i_1,j_1)$.

En plus d'utiliser un groupo�de au lieu d'un groupe, le jeu de taquin
pr�sente une autre entorse � l'�nonc� de jeu de factorisation tel
qu'il a �t� pr�sent� au \S\ref{ss:factor}: � partir d'une
position de d�part donn�e, il est possible d'atteindre seulement la
moiti� des configurations imaginables.\footnote{En r�alit�, le cube de
  Rubik ne permet pas non plus de r�aliser toutes les configurations
  possibles, sans quoi il serait plus facile � r�soudre.} Par
exemple, les mouvements appel�s <<transpositions>>, qui permuteraient
deux des petits carr�s en laissant tous les autres en place, sont
impossibles.  Une telle particularit� ajoute � l'int�r�t du jeu, et
les paragraphes suivants pr�senteront des id�es de jeu pour exploiter
les situations de ce genre.

\subsection{Autres principes de jeu}\label{ss:varj}
Les trois ingr�dients pour r�aliser un jeu de th�orie des groupes sont: 
\begin{itemize}
\item Un groupe (abstrait). Il n'est toutefois pas n�cessaire de
  d�couvrir un nouveau groupe cr�er un jeu int�ressant. Les groupes
  commutatifs sont en revanche � �viter, car ils ne permettent pas de
  construire un jeu bas� sur l'ordre subtil d'op�rations � effectuer.

  Les groupes poss�dant des identit�s plus complexes sont au contraire
  tr�s int�ressants car la d�couverte de cette identit� r�v�le souvent
  une strat�gie de gain. Par exemple le groupe de Heisenberg (voir le
  jeu~\ref{jeu:cocc}, page~\pageref{jeu:cocc}) est \emph{nilpotent};
  il satisfait l'identit� $xyzyx=yxzxy$.

\item Un ensemble $U$ de configurations, faisant du groupe $G$ un
  groupe concret, pouvant �tre repr�sent� de mani�re visuelle. L�
  aussi, les math�maticiens ont con�u beaucoup de repr�sentations
  visuelles des groupes qu'ils �tudient, car celles-ci leur permettent
  souvent d'am�liorer la compr�hension de la structure des groupes.

\item Le principe de jeu. Si la plupart des jeux existants bas�s sur
  la th�orie des groupes sont de simples jeux de factorisation, il est
  pourtant possible de concevoir diverses variantes qui changent le
  caract�re du jeu. Gr�ce aux grand nombres de groupes concrets
  int�ressants qui pourront �tre utilis�s pour chacun de ces jeux,
  l'invention de ces variantes donnera un r�servoir quasi in�puisable
  de jeux.
\end{itemize}

Les sept descriptions qui suivent (et leurs variantes) sont des
formalisations de jeux existants, donn�es plus ou moins dans un ordre
croissant de complexit�. Le dernier paragraphe pr�sentera au moins une
version concr�te de chacun de ces jeux abstraits. Le contexte g�n�ral
est toujours celui d'un groupe concret $G$ agissant transitivement sur
un ensemble $U$.

\begin{enumerate}
\item Un \emph{jeu de calcul mental} consiste en la donn�e d'un
  �l�ment $u_0\in U$ et d'un nombre fini d'�l�ments $g_1,\dots,g_n\in
  G$. Le but du jeu est de trouver l'�l�ment $u=g_n\cdot g_{n-1}\cdots
  g_1\cdot u_0$.

  Dans l'exemple des nombres entiers donn� au \S\ref{ss:factor}, le
  jeu de calcul mental consiste en la donn�e des nombres 2, 2, 3 et 7,
  et le but du jeu est de calculer le produit de ces quatre nombres
  sans papier ni crayon.

\item Un \emph{jeu de calcul inverse} consiste en la donn�e d'un
  �l�ment $u_f\in U$ et d'un nombre fini d'�l�ments $g_1,\dots,g_n\in
  G$. Le but du jeu est de trouver l'�l�ment $u\in U$ tel que
  $u_f=g_n\cdot g_{n-1}\cdots g_2\cdot g_1\cdot u$.

  Ce jeu demandant de raisonner <<� l'envers>> a �t� utilis� par
  Piaget pour tester � quel �ge un enfant r�alise les probl�mes li�s �
  la non-commutativit� (voir \S\ref{ss:cat}) de l'encha�nement des
  op�rations. Curieusement, \fcite{l'inversion des op�rations\dots
    n'est comprise qu'� cet �ge de 7-8 ans toujours retrouv� pour ce
    qui est de la d�couverte de la r�versibilit�.}{piaget:ar:inv}{52}
  En effet, la mani�re la plus facile (mais pas toujours la seule) de
  trouver la solution $u$ est d'inverser tous les �l�ments
  $g_1,\dots,g_n$ et de retrouver $u$ comme $g_1^{-1}\cdot
  g_2^{-1}\cdots g_n^{-1}\cdot u_f$, en prenant bien soin d'inverser
  l'ordre des op�rations, alors que de jeunes enfants essaient souvent
  de calculer $g_n^{-1}\cdots g_2^{-1}\cdot g_1^{-1}\cdot u_f$, ce qui
  peut donner un r�sultat incorrect lorsque le groupe $G$ n'est pas
  commutatif.

  Pour les jeux qui suivent, la donn�e suppl�mentaire est celle de $S$,
  un ensemble g�n�rateur du groupe $G$.
\item Un \emph{jeu de factorisation} consiste en la donn�e de deux
  �l�ment $u_0$ et $u_f \in U$. Le but du jeu est de choisir
  $s_1,s_2,\dots,s_n$ des �l�ments de $S$ de fa�on � ce que
  $u_f=s_n\cdot s_{n-1}\cdots s_2\cdot s_1\cdot u_0$. Les �tapes
  successives $s_1\cdot u_0,s_2\cdot s_1\cdot u_0,\dots$ sont visibles
  par le joueur et la partie est gagn�e d�s que l'une de ces �tapes
  est le but $u_f$.

  Ce jeu poss�de deux variantes:
  \begin{itemize}
  \item Une variante dite \emph{aveugle} qui le combine au \emph{jeu
      de calcul mental}, car les �tapes interm�diaires ne sont pas
    visibles. Forc� de mentaliser ces �tapes interm�diaires, le joueur
    s�lectionne une s�quence d'�l�ments de $S$, soumet sa s�quence,
    puis observe le d�roulement de ces op�rations sans pouvoir
    intervenir.  La partie est gagn�e si le but est atteint � la
    derni�re �tape exactement.

  \item Une variante dite \emph{contrainte} o� chaque g�n�rateur ne
    peut �tre utilis� qu'un nombre limit� de fois. Le joueur re�oit
    des cartes en nombre donn� par une fonction $f:S\to\mathbb{N}$. Il
    doit exprimer $u_f$ comme $s_n\cdot s_{n-1}\cdots s_1\cdot u_0$ sans
    utiliser plus de cartes qu'il n'en a re�ues, c'est-�-dire de fa�on
    � ce que pour tout $s\in S$ on ait $\#\{i|s_i=s\}\le f(s)$.
    Alternativement et plus simplement, la contrainte peut porter
    uniquement sur le nombre total de cartes qu'il est permis
    d'utiliser. Il est possible au joueur de reprendre son coup,
    c'est-�-dire d'annuler son dernier d�placement en reprenant en
    main la carte jou�e. Bien s�r, la r�partition des cartes doit �tre
    choisie de fa�on � ce qu'une solution soit possible.
  \end{itemize}

\item Un \emph{jeu de combinaison} est identique � un jeu de
  factorisation, sauf que l'�l�ment but $u_f$ est inconnu du joueur,
  tel la combinaison d'un coffre-fort. Tr�s diff�rente, la strat�gie
  sera alors de parvenir � parcourir tout l'ensemble $U$ en utilisant
  l'ensemble g�n�rateur $S$.

  Ici aussi, le jeu de combinaison poss�de une variante aveugle (� la
  diff�rence pr�s qu'ici la partie est gagn�e si le but est atteint
  lors d'une �tape interm�diaire) et une variante contrainte, qui ne
  sont pas mutuellement exclusives.

\item Un \emph{jeu de combinaison d�voil�e} inclut la donn�e
  suppl�mentaire de composantes d'une configuration. On suppose ici
  qu'on a fix� une famille $U_1,\dots,U_m$ de sous-ensembles de $U$. �
  chaque action du joueur, la configuration r�sultante $u$ est
  compar�e � la configuration but $u_f$, et toutes les parties $U_i$
  qui contennent � la fois $u$ et $u_f$ sont r�v�l�s au joueur, et ces
  parties restent ensuite visibles jusqu'� la fin du jeu. Par exemple,
  si $U$ est l'ensemble des nombres � trois chiffres, on peut prendre
  $U_{1,0},\dots U_{3,9}$ les ensembles $U_{ij}$ des nombres ayant un
  $j$ � la position $i$. Ce jeu �voque le travail d'un sp�cialiste de
  l'ouverture des coffres-forts, qui est capable de rep�rer �
  l'oreille lorsqu'un des chiffres de la combinaison qu'il essaie de
  retrouver est � sa place.

  Dans la variante dite \emph{memory}, les composantes r�v�l�es au
  joueur ne sont plus visibles d�s que la configuration courante a
  chang�; le joueur doit donc m�moriser ces composantes r�v�l�es.

  Le \emph{jeu de combinaison d�voil�e} poss�de �galement une variante
  contrainte et une variante aveugle.

  Pour introduire les deux derniers jeux de ce paragraphe, il est
  n�cessaire d'introduire une notion tr�s importante de th�orie des
  groupes, celle de sous-groupe. Un \emph{sous-groupe} $H$ d'un groupe
  (concret ou abstrait) $G$ est un sous-ensemble de $G$ qui est
  lui-m�me un groupe pour la restriction de la multiplication de $G$
  (voir \S\ref{ss:cat}), ce qui revient � dire qu'il
  satisfait les trois propri�t�s suivantes:
  \begin{enumerate}
  \item Le produit de deux �l�ments de $H$ est encore dans $H$, i.e.\
    $h_1,h_2\in H\Longrightarrow h_1h_2\in H$;
  \item L'inverse d'un �l�ment de $H$ est encore dans $H$, i.e.\ $h\in
    H\Longrightarrow h^{-1}\in H$;
  \item L'�l�ment neutre de $G$ est dans $H$, i.e.\ $1\in H$.
  \end{enumerate}
  
  Les deux derniers jeux utilisent les m�mes donn�es que les jeux qui
  pr�c�dent, mais avec en plus un sous-groupe $H$ du groupe concret
  $G$. Le sous-groupe $H$ agit �galement sur l'ensemble $U$ (puisque
  les �l�ments de $H$ sont des �l�ments de $G$), mais $H$ contenant
  moins d'�l�ments que $G$, il ne sera pas toujours possible de passer
  d'un �l�ment de $U$ � un autre en utilisant les op�rations de $H$,
  c'est-�-dire que l'action de $H$ sur $U$ sera \emph{non transitive}
  (voir \S\ref{ss:factor}). On demande tout de m�me que
  le nombre d'orbites de $H$ soit fini.\footnote{C'est par exemple
    v�rifi� si le sous-groupe $H$ est d'\emph{indice fini} dans G.}

\item Un \emph{jeu de factorisation impossible} est la traduction d'un
  \emph{jeu de factorisation} pour cette action non transitive, la
  seule diff�rence �tant que l'ensemble $S$ est un ensemble g�n�rateur
  de $H$ et non un ensemble g�n�rateur de $G$. Les configurations de
  d�part ($u_0$) et de but ($u_f$) sont toujours choisies au hasard,
  ce qui signifie que le jeu poss�dera parfois une solution (lorsque
  $u_0$ et $u_f$ se trouvent dans la m�me orbite) et parfois aucune
  (lorsque $u_0$ et $u_f$ se trouvent dans des orbites diff�rentes).
  Dans ce dernier cas, le joueur gagne uniquement en d�clarant
  <<mission impossible>>.  Bien entendu, le joueur perd s'il d�clare
  <<mission impossible>> alors que le jeu poss�dait une solution.

  D'apr�s les recherches de Piaget, la prise en compte d'un �l�ment
  d'impossibilit� logique ne devrait �tre ma�trisable que par des
  enfants plus �g�s (environ 10 ans). Avant, \fcite{les sujet observ�s
    commencent par essayer\dots et si la moiti� des sujets finit par
    se rallier � l'impossibilit�, les autres admettent qu'ils n'y
    parviendront pas, mais pensent qu'un adulte astucieux y arriverait
    sans doute.}{piaget:rc:jeu}{49}

\item Un \emph{jeu de factorisation � choix} consiste en la donn�e
  d'un �l�ment $u_0\in U$ et d'un sous-ensemble $T\subset U$ qui est
  une \emph{transversale} pour l'action de $H$ sur $U$, c'est-�-dire
  qui contient exactement un �l�ment de chaque orbite --- cet ensemble
  $T$ est fini car nous avons suppos� le nombre d'orbites fini. Le but
  du jeu est de trouver $s_1,s_2,\dots,s_n\in S$ tels que $s_n\cdot
  s_{n-1}\cdots s_2\cdot s_1\cdot u_0$ soit un �l�ment de la
  transversale $T$.  Autrement dit, le jeu poss�de en apparence
  plusieurs buts (tous les �l�ments de $T$ en sont), mais dont en
  r�alit� un seul est atteignable: l'�l�ment de $T$ qui est dans la m�me
  orbite que $u_0$.
\end{enumerate}

Ces deux derniers jeux sont peut-�tre les plus int�ressants, en ce
qu'ils am�nent � une compr�hension intuitive de la notion de
sous-groupe. Ils peuvent �galement se jouer dans la variante aveugle,
mais il semble par contre p�dagogiquement maladroit d'en faire des
variantes contraintes, car cela conduirait trop facilement le joueur �
confondre une impossibilit� <<fortuite>> d'atteindre une solution par
manque de cartes, et l'impossibilit� <<structurelle>> de l'atteindre
car elle se trouve dans une orbite diff�rente.

\subsection{Quelques jeux, impl�mentables ou d�j� impl�ment�s sur
  ordinateur}\label{ss:implementes}
L' utilisation de l'ordinateur est un apport tr�s important pour
r�aliser les jeux d�crits au \S\ref{ss:varj}. Premi�rement,
elle permet d'acc�der � une plus grande vari�t� de repr�sentations
visuelles des groupes concrets, se lib�rant des contraintes li�es � la
r�alisation technique des jeux. Par exemple, il est � peu pr�s certain
que la cr�ation du cube de Rubik a demand� � son auteur beaucoup plus
d'ing�niosit� technique que d'imagination math�matique. D'une fa�on
g�n�rale, dans un casse-t�te physique du type <<factorisation>>, le d�fi
du constructeur est de restreindre le joueur � un ensemble g�n�rateur,
c'est-�-dire un ensemble de mouvements possibles, qui soit
suffisamment non trivial pour rendre le jeu int�ressant; avec
l'informatique par contre, rien de plus facile que de ne d�finir comme
commandes que certains boutons qui auront l'action d�sir�e sur la
configuration repr�sent�e � l'�cran.

Deuxi�mement, seule l'utilisation d'un ordinateur permet facilement de
cacher au joueur certaines informations, rendant ainsi possible les
jeux de combinaison et les variantes aveugles ou de calcul mental.
Finalement, un jeu sur ordinateur ne permet pas de tricher lorsque le
jeu n'est pas uniquement d�fini par ses contraintes physiques, et que
d'autres r�gles doivent �tre �nonc�es. Ceci est par exemple le cas
pour la variante de factorisation contrainte, qui fait intervenir des
<<cartes>>.

La r�alisation de ces jeux pr�sente deux b�n�fices importants: d'une
part, elle donne des exemples que la th�orie des groupes peut surgir
naturellement � partir de situations tr�s simples. Mais
principalement, elle permet de proposer � des enfants un cadre
purement ludique, dans lequel ils seront conduits � percevoir
intuitivement la pr�sence d'un groupe comme une entit� cach�e, et �
s'entra�ner � l'utilisation d'un raisonnement op�ratoire.

Regroup�s en trois grandes familles, voici quelques exemples de jeux
qui ont �t� pens�s pour �tre impl�ment�s sur ordinateur. Les
jeux~\ref{jeu:pl}, \ref{jeu:ps}, \ref{jeu:coffre} et~\ref{jeu:elef}
ont d�j� �t� programm�s, et tous les autres ne demandent qu'� l'�tre.
Les principes de jeu ayant d�j� �t� expos�s au \S\ref{ss:varj}, la
description de ces jeux mettra principalement l'accent sur la
description du groupe concret --- les configurations visibles et leurs
op�rations sous-jacentes --- ainsi que sur l'interface propos�e au
joueur.

La premi�re famille de jeux utilise les groupes de permutations de $n$
objets, groupes qui sont parmi les plus fondamentaux utilis�s en
math�matiques. Le groupe des permutations de $n$ objets est le groupe
concret de toutes les permutations possibles de $n$ objets diff�rents
occupant $n$ positions distinctes. Dans notre cas, les $n$ objets
diff�rents seront des billes de couleurs diff�rentes\footnote{Bien
  s�r, si cela est jug� plus attractif, les billes de couleurs peuvent
  �tre remplac�es par des motifs plus plaisants.}, qui seront souvent,
mais pas forc�ment, dispos�es en ligne. Avec par exemple une bille
jaune J, une bille rouge R et une bille bleue B, il y a six
configurations possibles, qui sont JRB, JBR, RJB, RBJ, BJR et BRJ. Les
op�rations agissant sur de telles configurations sont d�crites par
exemple comme <<inverser les positions de la deuxi�me et de la
troisi�me bille>>, cette op�ration transformant JRB en JBR.

\begin{enumerate}
\item Le \emph{jeu de la machine infernale} est un \emph{jeu de calcul
    mental} sur trois (ou plus) billes de couleur. Les trois billes se
  pr�sentent dans un certain ordre � l'entr�e d'un tube, puis leurs
  couleurs deviennent invisibles d�s qu'elles sont rentr�es dans le
  tube --- on voit alors des billes uniform�ment grises. A plusieurs
  endroits du tube, des dispositifs en forme de roue, et pouvant
  accueillir deux ou trois billes, permettent d'inverser l'ordre de
  celles-ci en effectuant une moiti� de tour complet, ceci �tant
  observ� par le joueur. Juste avant que les billes ressortent du tube
  par une autre ou par la m�me extr�mit�, le joueur doit pr�dire dans
  quel ordre les billes vont ressortir.

  Dans une exp�rience de Piaget, d�crite au d�but du
  chapitre~\ref{s:math}, ce jeu a �t� utilis� dans sa forme la plus
  simple, o� les trois billes subissent exactement une inversion de
  leur ordre, et o� le joueur doit se contenter de pr�dire quelle est
  la premi�re bille qui sortira du tube.

\item\label{jeu:pl} Le \emph{jeu des permutations lin�aires} est un
  \emph{jeu de factorisation} sur cinq (ou plus) billes de couleurs
  dispos�es en ligne, avec comme d�placements possibles (syst�me
  g�n�rateur) les quatre (ou plus) op�rations les plus �l�mentaires, �
  savoir celles qui permutent les positions de deux billes contigu�s.
  Comme dans le jeu pr�c�dent, ces op�rations peuvent tr�s bien �tre
  repr�sent�es par la rotation d'une roue. En utilisant ces
  op�rations, le joueur doit recomposer une configuration qui lui est
  donn�e comme but.

\item\label{jeu:ps} Le \emph{jeu des permutations cycliques} est un
  \emph{jeu de factorisation} sur cinq (ou plus) billes de couleur
  dispos�es sur un plateau circulaire --- et formant donc un pentagone
  r�gulier --- avec cette fois seulement deux g�n�rateurs: le premier
  g�n�rateur permute les positions des deux billes situ�es au sommet
  du cercle, tandis que le deuxi�me --- pouvant �tre repr�sent� par
  une manivelle faisant tourner le plateau circulaire --- fait tourner
  le cercle entier d'un cinqui�me de tour dans le sens d�sir�, chaque
  bille prenant alors la position de sa voisine.

\item Pour les joueurs plus avanc�s, le \emph{jeu des permutations
    paires} est un jeu de factorisation impossible sur sept billes de
  couleur, dispos�es sur deux plateaux circulaires se chevauchant; le
  premier plateau porte trois billes (formant un triangle �quilat�ral)
  et le second cinq billes (formant un pentagone r�gulier), une des
  sept billes se trouvant � l'intersection des deux plateaux et
  faisant � la fois partie du triangle et du pentagone. Le joueur doit
  atteindre la configuration but en se servant de deux manivelles
  permettant de faire tourner les plateaux. La difficult� et l'int�r�t
  suppl�mentaires de ce jeu est que ces deux op�rations ne sont pas
  des g�n�rateurs du groupe de permutations, mais ne permettent
  d'atteindre que l'exacte moiti� des configurations possibles,
  correspondant au sous-groupe des permutations dites \emph{paires}.
  Si les configurations de d�part et de but sont choisies au hasard,
  le joueur devra donc une fois sur deux d�clarer <<mission
  impossible>>.

\item\label{jeu:coffre} Le \emph{jeu du coffre} est un \emph{jeu de
    combinaison} sur quatre billes de couleurs dispos�es en ligne. Les
  g�n�rateurs sont les m�mes que dans le \emph{jeu des permutations
    lin�aires}, mais la combinaison � r�aliser est inconnue et sert �
  ouvrir un coffre au tr�sor. Pour faire comprendre le but au joueur,
  les billes font partie d'un dispositif scell� sur un coffre, o� des
  petites roues similaires � celle du \emph{jeu de la machine
    infernale} permettent de permuter deux billes contigu�s.

  La deuxi�me famille de jeux est bas�e sur un groupe plus familier
  aux non-math�maticiens, celui des d�placements dans le plan. Le
  plateau de jeu y sera toujours la grille quadrill�e d�crite dans le
  premier exemple du \S\ref{ss:class}, sur laquelle un pion
  repr�sent� par un dessin d'animal pourra �tre d�plac�.

\item Le \emph{jeu des moutons} est un \emph{jeu de factorisation
    contrainte et aveugle}. Sur diff�rentes cases du plateau de jeu,
  on trouve un mouton vu d'en haut, dont la t�te est orient�e vers une
  des quatre directions possibles, une bergerie dont l'entr�e se fait
  par l'une des quatre directions possibles, ainsi que des obstacles
  repr�sentant des cases infranchissables. Le joueur re�oit quelques
  cartes, sur chacune desquelles figure un des trois d�placements
  suivants du mouton: <<avancer>>, <<pivoter sur sa gauche>> ou
  <<pivoter sur sa droite>>. Le but du jeu est de composer une
  s�quence de cartes qui dirigeront le mouton vers sa bergerie en
  �vitant les obstacles.  Lorsque le joueur a choisi sa s�quence de
  cartes, il soumet sa solution, qui est appliqu�e par le programme;
  il gagne si le mouton entre dans sa bergerie par le bon c�t� au
  cours de la solution.

\item Le \emph{jeu des moutons programm�s} est un \emph{jeu de calcul
    inverse} utilisant le m�me cadre que le jeu pr�c�dent. Sont ici
  donn�s la bergerie et une s�quence de fl�ches d�crivant les
  mouvements qui seront effectu�s par le mouton (toujours parmi
  <<avancer>>, <<gauche>> et <<droite>>.). Placer des obstacles n'est
  ici pas n�cessaire. Le joueur choisit un des quatre moutons qui ont
  �t� repr�sent�s � l'�cran dans chacune des quatre orientations
  possibles, puis clique sur une case, qui sera la case de d�part de
  son mouton. Celui-ci effectue alors sa s�quence de programmation, et
  la partie est gagn�e uniquement si le mouton entre dans sa bergerie
  avec la derni�re fl�che de sa s�quence --- qui sera toujours une
  fl�che <<avancer>>.

\item\label{jeu:cocc} Le \emph{jeu de la coccinelle} fait intervenir
  un groupe plus complexe, appel� \emph{groupe de Heisenberg}. La
  coccinelle est au d�part de couleur unie, mais ses d�placements
  verticaux vont lui ajouter ou retirer des points sur le dos. Les
  quatre d�placements possibles (g�n�rateurs) sont simplement Sud,
  Ouest, Nord et Est, comme dans le premier jeu du \S\ref{ss:class}.
  Le plateau de jeu est de sept cases sur sept, et chaque colonne sauf
  la premi�re est rep�r�e par un d� � jouer indiquant de 1 pour la
  deuxi�me colonne � 6 pour la septi�me.  La coccinelle part de la
  case en bas � gauche (� l'extr�me sud-ouest). Un d�placement en
  direction de l'est ou de l'ouest laisse la coccinelle inchang�e; un
  d�placement en direction du nord ajoute � la coccinelle autant de
  points que l'indique la colonne sur laquelle elle se trouve; un
  d�placement en direction du sud retire � la coccinelle autant de
  points que l'indique la colonne sur laquelle elle se trouve; si la
  coccinelle ne porte pas assez de points pour cela, le d�placement
  vers le sud est impossible. Le jeu est une \emph{factorisation
    contrainte}, o� le nombre total de d�placements de la coccinelle
  est limit� � un maximum de 16; le but est de ramener la coccinelle
  sur sa case de d�part en ayant accumul� le plus de points possible.
  Le nombre de points maximal est de 16 et s'obtient en faisant quatre
  pas vers l'est, quatre pas vers le nord, quatre pas vers l'ouest
  puis quatre pas vers le sud; revenir avec 16 points est donc le but
  du jeu, mais on peut bien s�r mesurer le score du joueur par le
  nombre de points obtenu.

  Les deux derniers jeux de la famille des d�placements dans le plan
  sont des \emph{jeux de factorisation � choix}, utilisant des groupes
  connnus des math�maticiens sous la d�nomination g�n�rale de
  \emph{groupes cristallographiques}.

\item\label{jeu:elef} Dans le \emph{jeu des �l�phants r�fl�chis}, jou�
  sur un quadrillage de six cases par six\footnote{Ou plus grand, mais
    le nombre de cases doit �tre pair.}, la figurine repr�sente un
  �l�phant vu de profil, c'est-�-dire ne pr�sentant aucun axe de
  sym�trie. Dans sa position de d�part, l'�l�phant est repr�sent� �
  l'endroit, avec sa trompe vers la droite. Ici encore, les
  d�placements possibles sont Sud, Ouest, Nord et Est. Toutefois,
  chaque d�placement de l'�l�phant a un <<effet secondaire>>: l'image
  de l'�l�phant est retourn�e, exactement comme si toutes les ar�tes
  s�parant les cases �taient des miroirs. Si l'�l�phant se d�place
  vers l'ouest ou vers l'est, il se retrouvera donc avec la trompe �
  gauche. Si maintenant il se d�place vers le nord ou vers le sud, il
  se retrouvera sur le dos. Avec ces effets secondaires, le groupe
  engendr� par l'ensemble g�n�rateur \{Sud, Ouest, Nord, Est\} est
  alors plus petit d'un facteur quatre que le groupe de tous les
  mouvements envisageables, celui qui permettrait d'obtenir n'importe
  quelle position de l'�l�phant. Ceci signifie que l'ensemble des
  configurations possibles est form� de quatre orbites, et permet de
  faire du jeu des �l�phants r�fl�chis un \emph{jeu de factorisation �
    choix}: le but du jeu est d'amener l'�l�phant <<� l'endroit>>,
  c'est-�-dire sur ses pattes et regardant vers la droite, sur l'une
  parmi quatre cases-but dispos�es aux quatre coins du quadrillage ---
  ces quatre cases se trouvant dans les quatre orbites diff�rentes.

  Optionnellement, il est possible de fournir une aide au joueur en
  coloriant la grille en quatre couleurs, suivant la parit� du num�ro
  de ligne et du num�ro de colonne. Ce coloriage repr�sentant
  exactement la stratification en orbites des cases du quadrillage, il
  permet de d�terminer plus facilement quelle case-but doit �tre
  vis�e: si par exemple l'�l�phant se trouve � l'endroit sur une case
  jaune, cela signifie qu'il doit viser la case d'arriv�e jaune.
  D'autre part, une variante peut-�tre plus amusante propose quatre
  �l�phants au lieu d'un, qui sont dispos�s au d�part de fa�on � �tre
  rang�s chacun dans une des quatre cases-but.

\item En apparence quasiment identique, le \emph{jeu des �l�phants
    tournants} introduit une composante suppl�mentaire. La
  pr�sentation en est similaire au \emph{jeu des �l�phants r�fl�chis},
  mais avec un petit cercle sur chaque intersection des lignes,
  repr�sentant un centre de rotation. Les seuls d�placements possibles
  consistent � faire tourner d'un quart de tour les quatres cases se
  trouvant autour de l'intersection choisie, cette rotation ayant bien
  s�r effet sur l'orientation de l'�l�phant. L'�l�phant a maintenant
  huit orientations possibles, et pourtant, tout comme dans le
  \emph{jeu des �l�phants r�fl�chis}, l'ensemble des configurations
  possibles est toujours form� de seulement quatre orbites,
  correspondant au coloriage d�crit plus haut. Ceci s'explique par la
  pr�sence d'un mouvement d'aller-retour qui permet de renverser
  compl�tement l'�l�phant: faire d'abord tourner d'un quart de tour
  dans le sens des aiguilles d'une montre le carr� de quatre cases
  dont l'�l�phant se trouve sur la case nord-ouest (l'�l�phant se
  d�place d'une case vers l'est), puis faire tourner, toujours dans le
  sens des aiguilles d'une montre, le carr� de quatre cases dont
  l'�l�phant se trouve maintenant sur la case sud-est. Ce deuxi�me
  mouvement ram�ne l'�l�phant sur sa case originale, mais comme il a
  tourn� deux fois dans le sens des aiguilles d'une montre, il se
  retrouve renvers� � $180^o$. La d�couverte et l'identification de
  tels mouvements de renversement est essentielle pour r�ussir ce jeu
  de fa�on s�re.\footnote{Pour les math�maticiens, ce jeu illustre un
    r�sultat �l�mentaire: le nombre d'orbites (4) multipli� par le
    cardinal d'un stabilisateur (2) est �gal � l'indice du sous-groupe
    (8).}

  La variante avec quatre �l�phants au lieu d'un pr�sente l'attrait
  suppl�mentaire qu'il sera possible de faire tourner plusieurs
  �l�phants en m�me temps, si ceux-ci se trouvent sur le m�me carr� de
  quatre cases.

  La troisi�me famille de jeu utilise des puzzles constitu�s de pi�ces
  simples, � placer de fa�on � obtenir un motif dont le mod�le est
  visible. Tous ces puzzles auront la particularit� que toutes leurs
  pi�ces occupent en permanence toutes les cases possibles, mais sont
  dispos�es au d�part dans un mauvais ordre. Un mouvement possible
  repr�sentera donc toujours le mouvement simultan� de plusieurs
  pi�ces, exactement comme un jeu de taquin sans case vide, l'absence
  de case vide permettant de faire intervenir de vrais groupes au lieu
  de groupo�des (voir \S\ref{ss:class}).  Pour ne pas
  faire interf�rer des probl�mes de th�orie des groupes et des
  probl�mes de reconnaissance visuelle, on choisira g�n�ralement un
  motif facile � reconstituer, voire �ventuellement de simples nombres
  � remettre dans l'ordre, comme dans le jeu de taquin.

\item Le \emph{puzzle carr� libre} est un \emph{jeu de factorisation}
  sur un carr� de trois cases sur trois (ou plus), avec une grande
  libert� de mouvement: en cliquant successivement sur deux cases, il
  est possible de faire permuter n'importe quelle paire de pi�ces en
  laissant toutes les autres en place. Ces nombreux g�n�rateurs sont
  ceux qui permettent de r�soudre le jeu le plus facilement.

\item Le \emph{puzzle carr� taquin} limite les mouvement du jeu
  pr�c�dent aux permutations des paires de pi�ces adjacentes,
  effectu�es en cliquant entre les deux cases. Il s'agit d'une version
  simplifi�e du jeu du taquin (voir \S\ref{ss:class}), o�
  il n'est pas n�cessaire de s'inqui�ter de la position de la case
  libre.

\item Le \emph{puzzle carr� avec rotations} est toujours un jeu de
  factorisation sur le m�me carr� de quatre cases sur quatre, dont les
  g�n�rateurs sont les rotations des carr�s de quatre cases. Il s'agit
  des m�mes mouvements que ceux d�crits dans le \emph{jeu des
    �l�phants tournants}, mais sans faire tourner les pi�ces sur
  elles-m�me. Il est possible d'atteindre ainsi n'importe quelle
  configuration, mais c'est nettement plus difficile que dans les deux
  premiers jeux.

\item Le \emph{puzzle carr� cristallographique} utilise les m�mes
  rotations que le jeu pr�c�dent, mais cette fois ces rotations font
  �galement tourner les les pi�ces sur elles-m�me, exactement comme
  dans le \emph{jeu des �l�phants tournants}. Cette fois il n'est pas
  possible d'atteindre n'importe quelle configuration, le nombre
  d'orbites �tant de quatre. Selon les go�ts, il s'agira donc soit
  d'un \emph{jeu de factorisation impossible}, soit d'un \emph{jeu de
    factorisation � choix}, avec quatre mod�les dont un seul est
  r�alisable.

\item Le \emph{puzzle hexagonal} est compos� de sept hexagones
  r�guliers, un hexagone central et six hexagones dispos�s tout autour
  comme dans un nid d'abeille. Tout comme pour le \emph{puzzle carr�
    avec rotations}, les mouvements possibles sont les rotations
  autour des six intersections (les sommets de l'hexagone central),
  qui font ici tourner trois hexagones d'un tiers de tour, sans que
  ceux-ci tournent sur eux-m�mes. Exactement comme dans le \emph{jeu
    des permutations paires}, ces mouvements ne permettent d'atteindre
  que la moiti� des configurations, il s'agit donc d'un \emph{jeu de
    factorisation impossible}.

\item Le \emph{puzzle hexagonal corrig�} est un \emph{jeu de
    factorisation} identique au jeu pr�c�dent, sauf que deux des
  pi�ces hexagonales sont identiques. Cette petite modification est en
  effet suffisante pour que la factorisation ne soit plus jamais
  impossible.\footnote{Cette variante est directement inspir�e d'un
    ing�nieux jeu de taquin utilisant, au lieu des nombres de un �
    quinze, les lettres de "DEAD PIGS WONT FLY" r�parties ainsi sur
    les quatre lignes du jeu. Le but est alors de transformer le
    message en "DEAD PIGS FLY TOWN". L'astuce est qu'ici le jeu admet
    une solution, en permutant les deux D du mot DEAD.}

\item Le \emph{puzzle hexagonal cristallographique} est la version du
  \emph{puzzle hexagonal} o� les hexagones tournent �galement sur
  eux-m�mes. Les orbites �tant ici au nombre de six, il semble
  judicieux d'en faire un \emph{jeu de factorisation � choix} en
  proposant six mod�les dont un seul est r�alisable.

\item Le \emph{puzzle triangulaire} est compos� de huit triangles
  �quilat�raux formant un losange. Six des triangles sont dispos�s
  autour d'un point central pour former un hexagone r�gulier, auquel
  on ajoute deux triangles sur des c�t�s oppos�s de l'hexagone
  central. Les mouvements possibles sont ici la rotation de l'hexagone
  (les triangles tournant �galement sur eux-m�mes), ainsi que les deux
  r�flexions-miroirs qui permutent l'un des deux triangles ext�rieurs
  avec le triangle int�rieur qui lui est adjacent.

  Il est facile de voir que si un triangle est ramen� � sa position
  initiale par une suite de telles op�rations, alors il reviendra
  forc�ment dans la m�me orientation; par ailleurs, les huit objets
  (les triangles) peuvent �tre permut�s arbitrairement, et le groupe
  associ� � ce jeu est le groupe sym�trique $S_8$, � 40320 �l�ments.
  On peut consid�rer ce jeu comme un \emph{jeu de factorisation}, ou
  de \emph{factorisation impossible}, ou m�me d'\emph{isomorphisme}
  (voir ci-dessous).
\end{enumerate}

\subsection{Quelques pistes suppl�mentaires de jeux}
En plus des jeux pr�sent�s au \S\ref{ss:implementes}, il est possible
d'imaginer d'autres pistes � exploiter; il s'agira ici de jeux
incomplets dont le principe ou la pr�sentation pr�cise restera
partiellement � d�terminer.

Les jeux nomm�s \emph{puzzles} dans le \S\ref{ss:implementes}
inspirent un prolongement qui ne surprendra gu�re les math�maticiens,
celui des \emph{pavages euclidiens}. A la diff�rence de ces
\emph{puzzles}, un \emph{pavage euclidien} doit �tre vu comme une
division \emph{infinie} du plan entier en figures g�om�triques. Les
trois exemples qui ont �t� pr�sent�s sont le pavage par des carr�s,
appel� quadrillage, le pavage par des triangles �quilat�raux et la
pavage par des hexagones r�guliers; il se trouve que ce sont les trois
seules mani�res de remplir le plan avec des figures toutes identiques,
ceci � d�formation des pi�ces pr�s. Il est en effet possible de
d�former les pi�ces de ces pavages jusqu'� les rendre m�connaissables,
comme l'a souvent fait l'artiste M.C. Escher dans ses peintures et
gravures. Ce qui reste par contre invariant par d�formation des pi�ces
est le \emph{groupe d'isom�tries} sous-jacent du pavage.  Le
\emph{groupe d'isom�tries} d'un pavage est un sous-groupe de
l'ensemble des isom�tries du plan, c'est-�-dire l'ensemble de toutes
les transformations du plan qui laissent toutes les distances entre
les points inchang�es\footnote{Ainsi, par cons�quent, que tous les
  angles.}.  Le groupe des isom�tries du plan contient toutes les
translations, toutes les rotations, toutes les sym�tries axiales,
ainsi que les compositions de ces transformations. Les isom�tries du
pavage sont celles qui laissent celui-ci inchang�; par exemple, pour
un quadrillage, la rotation de 90 degr�s autour d'un sommet d�place le
quadrillage sur lui-m�me, et il s'agit donc d'une isom�trie de ce
pavage.  Les possibilit�s de pavage du plan sont innombrables
lorsqu'on permet d'utiliser plus d'une sorte de figure g�om�trique. �
chacun de ces pavages est donc associ� un groupe que l'on appelle
\emph{groupe cristallographique}, qui permet en particulier de
reconna�tre si deux pavages sont <<�quivalents>>, c'est-�-dire que l'un
ne serait qu'une d�formation de l'autre.  On peut imaginer des jeux
montrant l'un de ces pavages dont chaque sorte de figure serait d'une
couleur diff�rente. Pour donner au joueur l'impression que le pavage
est r�ellement infini, il faudrait sans doute lui donner la possiblit�
de naviguer dans celui-ci en le faisant d�filer sur l'�cran. Le jeu
pourrait alors �tre de manipuler ce pavage � l'aide de certaines
translations, rotations et sym�tries pour l'amener sur un mod�le
donn�.

Un autre piste est celle des groupes de d�placement non-euclidiens. �
deux dimensions, les <<g�om�tries mod�les>> sont au nombre de trois:
euclidienne, sph�rique et hyperbolique. � trois dimensions, il y en a
huit; voir~\cite{thurston:3d} pour un expos� de ce sujet. Ceci
signifie qu'il y a huit espaces qui ressemblent localement � l'espace
usuel, mais o� les notions de distance, et la structure globale sont
diff�rentes. L'une de ces g�om�tries, appel�e \emph{Nil}, a d�j� �t�
pr�sent� de mani�re d�guis�e dans le \emph{jeu de la coccinelle} (voir
le \S\ref{ss:implementes}). L'espace sous-jacent peut y �tre identifi�
� $\R^3$, mais les droites euclidiennes ne <<sont plus droites>> dans
cette nouvelle g�om�trie, et vice versa. Malgr� les apparences, la
coccinnelle �voluait v�ritablement dans un espace � trois dimensions,
la troisi�me dimension �tant rep�r�e par le nombre de points qu'elle
portait sur son dos. Les r�gles r�gissant l'augmentation ou la
diminution de ce nombre de points sont en fait exactement les r�gles
qui d�terminent la g�om�trie \emph{Nil}.  De fa�on similaire aux
pavages pr�sent�s plus haut, chacune de ces huit g�om�tries de
l'espace est univoquement d�termin�e par son \emph{groupe
  d'isom�tries}, c'est-�-dire par le groupe des transformations de
l'espace qui pr�servent toutes les distances entre les points. Le
groupe d'isom�tries de l'espace euclidien standard est bien entendu le
groupe des d�placements introduit par Piaget et d�crit au
\S\ref{ss:gd}.  La particularit� des jeux de d�placements dans des
g�om�tries non standard serait que, tout comme dans le cas de la
coccinnelle, certains d�placements seraient plus <<efficaces>> que
d'autres, et que le probl�me d'aller d'un point � un autre de l'espace
le plus rapidement possible ne consisterait plus � d�crire une ligne
droite?  La solution � ce probl�me est, par d�finition, de parcourir
une \emph{g�od�sique} de la g�om�trie concern�e. La mani�re la plus
ludique d'exposer cette probl�matique est sans doute de proposer un
jeu d'action en trois dimensions. Bien qu'on puisse arguer que de tels
jeux fassent surtout appel � des notions de g�om�trie, la pr�sence
sous-jacente du groupe d'isom�tries y est aussi importante qu'elle l'a
�t� soulign�e par Piaget dans ses travaux sur les groupes de
d�placements.

Au cours de cet article tout comme dans le discours de Piaget,
l'accent a souvent �t� mis sur la distinction entre une situation
concr�te, pr�sent�e soit par une situation de la vie r�elle, soit par
un jeu invent� de toutes pi�ces, et le groupe sous-jacent des
op�rations applicables � cette situation ou � ce jeu, qui pour sa part
ne peut pas �tre appr�hend� visuellement et dont la conscience demande
un effort d'abstraction. Un corollaire de cette dualit� est qu'il est
tout � fait possible de rencontrer deux situations en apparence
totalement diff�rentes, mais dont les groupes sous-jacents sont
identiques. En r�alit�, ces deux groupes ne sont pas identiques en
tant que groupes concrets, puisqu'ils agissent sur des ensembles
diff�rents, mais ils ont la m�me structure, et par cons�quent sont
identiques en tant que groupe abstraits. Le terme math�matique exact
est que ces deux groupes sont \emph{isomorphes}\footnote{Plus
  pr�cis�ment, ceci signifie que les �l�ments des deux groupes peuvent
  �tre mis en correspondance bijective, et que cette correspondance
  pr�serve l'op�ration du groupe.}.  Lorsque deux situations concr�tes
pr�sentent le m�me groupe sous-jacent, cela signifie en pratique que
toute strat�gie qui s'applique � la premi�re situation s'applique
�galement � la deuxi�me, et vice versa. La capacit� � identifier cet
\emph{isomorphisme de groupes} et � pouvoir transposer une strat�gie
d'une situation � une autre est une composante extr�mement importante
de l'intelligence math�matique. Construire des jeux se basant sur la
reconnaissance de ces isomorphismes serait donc particuli�rement
int�ressant.  Un exemple tr�s---peut-�tre trop---simple
d'\emph{isomorphisme de groupes} est donn� par les deux situations
suivantes. Dans la premi�re, un petit dessin carr� ne pr�sentant
aucune sym�trie peut �tre tourn� de 90 degr�s dans le sens d�sir�, ou
alors r�fl�chi selon un axe vertical. Il s'agit de la repr�sentation
standard du \emph{groupe des isom�tries du carr�}. La deuxi�me
situation pr�sente deux ampoules absolument identiques. Un
interrupteur permet d'allumer ou d'�teindre l'ampoule de gauche, et un
deuxi�me bouton permet de permuter les deux ampoules (par exemple, en
faisant tourner un plateau circulaire). Bien qu'il n'y paraisse pas,
le groupe sous-jacent � l'ensemble de configurations des deux ampoules
est isomorphe au groupe des isom�tries du carr�.  On peut imaginer
deux types de jeux se basant sur deux ensembles de configurations dont
les groupes sous-jacents sont isomorphes. La pr�sentation la plus
�vidente divise l'�cran d'ordinateur verticalement en deux, et
pr�sente les deux configurations de part et d'autre. La manipulation
d'une des deux configurations provoque automatiquement la
transformation �quivalente de l'autre configuration. Le d�faut de cet
isomorphisme tr�s explicite est que le joueur aura tendance �
manipuler la configuration avec laquelle il est le plus � son aise et
� n�gliger l'autre.  Une pr�sentation beaucoup plus implicite serait
de construire deux fois le m�me jeu, de pr�f�rence relativement
difficile, avec ces deux ensembles de configurations diff�rents.
Expos� au deuxi�me de ces jeux, le sujet pourrait alors profiter de
l'exp�rience accumul�e avec le premier, mais il serait bien s�r tout �
fait possible qu'il ignore celle-ci et recommence son analyse � z�ro.
Peut-�tre le m�canisme de jeu id�al pour mettre en �vidence le
principe d'isomorphisme se situe-t-il quelque part entre la
pr�sentation explicite et la pr�sentation implicite.

\begin{bibsection}
  \begin{biblist}
\bib{arnold:cm}{book}{
  author={\textsc {Vladimir I. Arnol{\cprime }d}},
  title={Mathematical methods of classical mechanics},
  series={Graduate Texts in Mathematics},
  volume={60},
  note={Translated from the 1974 Russian original by K. Vogtmann and A. Weinstein},
  publisher={Springer-Verlag},
  place={New York},
  date={1989},
  pages={xvi+508},
}
\bib{bennett:reversibility}{article}{
  author={\textsc {Charles H. Bennett}},
  title={Logical reversibility of computation},
  journal={IBM J. Res. Develop.},
  volume={17},
  date={1973},
  pages={525\ndash 532},
  review={MR0449020 (56 \#7325)},
}
\bib{gamma-:dp}{book}{
  author={\textsc {E. Gamma}},
  author={\textsc {R. Helm}},
  author={\textsc {R. Johnson}},
  author={\textsc {J. Vlissides}},
  title={Design Patterns},
  date={1998},
  publisher={Addison-Welsey},
  note={Traduction fran^^e7aise ^^e9dit^^e9e par Vuibert (Paris), 1999},
}
\bib{krogious:psy}{book}{
  author={\textsc {Nicola^^ef Kroguious}},
  title={La Psychologie au jeu d'^^e9checs},
  date={1986},
  publisher={Grasset},
  address={Paris},
}
\bib{piaget:mv}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {Les notions de mouvement et de vitesse chez l'enfant}}},
  publisher={Presses Universitaires de France},
  address={Paris},
  date={1946},
}
\bib{piaget:tol}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {Essai sur les transformations des op^^e9rations logiques. Les 256 op^^e9rations ternaires de la logique bivalente des propositions}}},
  publisher={Presses Universitaires de France},
  address={Paris},
  date={1952},
}
\bib{piaget:eg1}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {^^c9pist^^e9mologie g^^e9n^^e9tique et recherche psychologique}}},
  edition={5^^e8me ^^e9dition},
  publisher={Presses Universitaires de France},
  address={Paris},
  date={1957},
}
\bib{piaget:mp}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {Les m^^e9canismes perceptifs. Mod^^e8les probabilistes, analyse g^^e9n^^e9tique, relations avec l'intelligence}}},
  publisher={Presses Universitaires de France},
  address={Paris},
  date={1961},
}
\bib{piaget:dq}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {Le d^^e9veloppement des quantit^^e9s chez l'enfant}}},
  edition={2^^e8me ^^e9dition},
  publisher={Delachaux \& Niestl^^e9},
  address={Neuch^^e2tel},
  date={1962},
}
\bib{piaget:pi}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {La psychologie de l'intelligence}}},
  edition={4^^e8me ^^e9dition},
  publisher={Armand Collin},
  address={Paris},
  date={1967},
}
\bib{piaget:gn}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {La gen^^e8se du nombre chez l'enfant}}},
  edition={5^^e8me ^^e9dition},
  publisher={Delachaux \& Niestl^^e9},
  address={Neuch^^e2tel et Paris},
  date={1967},
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\bib{piaget:bc}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {Biologie et connaissance}}},
  publisher={Gallimard},
  address={Paris},
  date={1967},
}
\bib{piaget:fs}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {La formation du symbole chez l'enfant}}},
  edition={5^^e8me ^^e9dition},
  publisher={Delachaux \& Niestl^^e9},
  address={Neuch^^e2tel},
  date={1968},
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\bib{piaget:lela}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {De la logique de l'enfant ^^e0 la logique de l'adolescent}}},
  edition={2^^e8me ^^e9dition},
  publisher={Presses Universitaires de France},
  address={Paris},
  date={1970},
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\bib{piaget:cr}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {La construction du r^^e9el chez l'enfant}}},
  edition={5^^e8me ^^e9dition},
  publisher={Delachaux \& Niestl^^e9},
  address={Neuch^^e2tel et Paris},
  date={1973},
}
\bib{piaget:gs}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {La g^^e9om^^e9trie spontan^^e9e chez l'enfant}}},
  edition={2^^e8me ^^e9dition},
  publisher={Presses Universitaires de France},
  address={Paris},
  date={1973},
}
\bib{piaget:rc:jeu}{incollection}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textsc {J.J. Ducret}, \textsc {A. Henriques-Christophides}, \textit {La contradiction dans les compositions partitives}}},
  date={1974},
  publisher={Presses Universitaires de France},
  address={Paris},
  hyphenation={french},
  booktitle={EEG XXXI. Recherches sur la contradiction I},
  pages={33\ndash 53},
}
\bib{piaget:ar:cm}{incollection}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textsc {J.L. Kaufmann}, \textsc {J.F. Bourquin}, \textit {La construction des communs multiples}}},
  date={1977},
  publisher={Presses Universitaires de France},
  address={Paris},
  hyphenation={french},
  booktitle={EEG XXXIV. Recherches sur l'abstraction r^^e9fl^^e9chissante},
  pages={31\ndash 44},
}
\bib{piaget:ar:inv}{incollection}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {L'inversion des op^^e9rations arithm^^e9tiques}}},
  date={1977},
  publisher={Presses Universitaires de France},
  address={Paris},
  hyphenation={french},
  booktitle={EEG XXXIV. Recherches sur l'abstraction r^^e9fl^^e9chissante},
  pages={45\ndash 61},
}
\bib{piaget:mc}{book}{
  author={{\textsc {Jean Piaget}, \textit {Morphismes et cat^^e9gories}}},
  publisher={Delachaux \& Niestl^^e9},
  address={Neuch^^e2tel},
  date={1990},
}
\bib{sapir-:isom}{article}{
  author={\textsc {Mark V. Sapir}},
  author={\textsc {Jean-Camille Birget}},
  author={\textsc {Eliyahu Rips}},
  title={Isoperimetric and isodiametric functions of groups},
  journal={Ann. of Math. (2)},
  volume={156},
  date={2002},
  number={2},
  pages={345\ndash 466},
  issn={0003-486X},
  review={MR1933723},
}
\bib{thurston:3d}{book}{
  author={Thurston, William P.},
  title={Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1},
  series={Princeton Mathematical Series},
  volume={35},
  note={Edited by Silvio Levy},
  publisher={Princeton University Press},
  place={Princeton, NJ},
  date={1997},
  pages={x+311},
  isbn={0-691-08304-5},
  review={MR1435975 (97m:57016)},
}
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