Pincement sur le spectre et le volume en courbure de Ricci positive
We shall show that a complete manifold of dimension $n$ with $\Ric\geq n{-}1$ and its $n$-st eigenvalue close to $n$ is both Gromov-Hausdorff close and diffeomorphic to the sphere. This extends, in an optimal way, a result of P.~Petersen \cite{Pe} (as a by-product, we fill a gap stated in the erratum \cite{Pe2}). We shall also show that a manifold with $\Ric\geq n{-}1$ and volume close to $\frac{\Vol\sn}{\#\pi_1(M)}$ is both Gromov-Hausdorff close and diffeomorphic to the (lens) space $\frac{\sn}{\pi_1(M)}$. This extends results of T.~Colding \cite{Co1} and T.~Yamaguchi \cite{Yam2}.\\ Nous montrons qu'une vari�t� compl�te de dimension $n$, de courbure $\Ric\geq n{-}1$ et dont la n-i�me valeur propre est proche de $n$ est Gromov-Hausdorff proche de $(\sn,can)$ et diff�omorphe � $\sn$. Ce r�sultat �tend de mani�re optimale un r�sultat de P.~Petersen \cite{Pe} (au passage nous comblons le trou annonc� par l'auteur dans l'erratum \cite{Pe2}). Nous montrons �galement qu'une vari�t� v�rifiant $\Ric\geq n{-}1$ et de volume proche de $\frac{\Vol\sn}{\#\pi_1(M)}$ est diff�omorphe � l'espace (lenticulaire) $\frac{\sn}{\pi_1(M)}$ et Gromov-Hausdorff proche de la m�trique canonique. Ceci am�liore des r�sultats de T.~Colding \cite{Co1} et T.~Yamaguchi \cite{Yam2}.
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\title{Pincement sur le spectre et le volume en courbure de Ricci positive}
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\begin{document}
\def\R{\rm R}
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\def\ppi{{\boldmath $\pi$}}
\def\S{\mathbb{S}}
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\def\sn{\mathbb{S}^{n-1}}
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\def\proof{\noindent{\sl Preuve.~}}
\def\remark{\noindent{\bf Remarque.~}}

\newtheorem{theo}{Th�or�me}
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\newtheorem{lemma}[theo]{Lemme}
\newtheorem{example}[theo]{Exemple}
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\date{}
\maketitle 

\noindent{\sc Erwann AUBRY\footnote{Travaux en partie financ�s par la bourse FNRS Suisse n�20-101469}}\\[5mm]
\noindent Institut de math�matiques\\
          Universit� de Neuch�tel,\\
          erwann.aubry@unine.ch

\abstract{\small We shall show that a complete manifold of dimension $n$ with $\Ric\geq n{-}1$ and its $n$-st eigenvalue close to $n$ is both Gromov-Hausdorff close and diffeomorphic to the sphere. This extends, in an optimal way, a result of P.~Petersen \cite{Pe} (as a by-product, we fill a gap stated in the erratum \cite{Pe2}). We shall also show that a manifold with $\Ric\geq n{-}1$ and volume close to $\frac{\Vol\sn}{\#\pi_1(M)}$ is both Gromov-Hausdorff close and diffeomorphic to the (lens) space $\frac{\sn}{\pi_1(M)}$. This extends results of T.~Colding \cite{Co1} and T.~Yamaguchi \cite{Yam2}.\\

Nous montrons qu'une vari�t� compl�te de dimension $n$, de courbure $\Ric\geq n{-}1$ et dont la n-i�me valeur propre est proche de $n$ est Gromov-Hausdorff proche de $(\sn,can)$ et diff�omorphe � $\sn$. Ce r�sultat �tend de mani�re optimale un r�sultat de P.~Petersen \cite{Pe} (au passage nous comblons le trou annonc� par l'auteur dans l'erratum \cite{Pe2}). Nous montrons �galement qu'une vari�t� v�rifiant $\Ric\geq n{-}1$ et de volume proche de $\frac{\Vol\sn}{\#\pi_1(M)}$ est diff�omorphe � l'espace (lenticulaire) $\frac{\sn}{\pi_1(M)}$ et Gromov-Hausdorff proche de la m�trique canonique. Ceci am�liore des r�sultats de T.~Colding \cite{Co1} et T.~Yamaguchi \cite{Yam2}.}

\section{Introduction}

{\bf Dans cet l'article, $M$ d�signe par d�faut une vari�t� riemannienne compl�te de dimension $n$ et de courbure de Ricci $\Ric\geq(n{-}1)$.} Dans cet ensemble de vari�t�s, la sph�re $\sn$ (munie de sa m�trique canonique) est un point extr�mal pour de nombreux invariants riemanniens. Des th�or�mes de comparaison classiques d�s � S. Myers, R.~Bishop, A.~Lichnerowicz, S.~Cheng et M.~Obata astreignent les vari�t�s de cet ensemble � v�rifier $\Diam M\leq\Diam\sn=\pi$ (et donc $M$ est compacte et $\pi_1(M)$ est fini), $\Vol M\leq\Vol\sn$, $\Rad M\leq\Rad\sn=\pi$ (o� $\Rad$ d�signe le radius, i.e. le rayon de la plus petite boule g�od�sique qui recouvre toute la vari�t�), $\lambda_1(M)\geq\lambda_1(\sn)=n$ (o� $0=\lambda_0(M)<\lambda_1(M)\leq\lambda_2(M)\leq\ldots$ d�signe le spectre du laplacien sur la vari�t�, compt� avec multiplicit�). De plus, si l'�galit� est r�alis�e dans une de ces in�galit�s, alors la vari�t� $M$ est isom�trique � la sph�re canonique $\sn$ (auquel cas, $n$ est une valeur propre de $M$ de multiplicit� $n+1$).

Au vu de ces faits, il est naturel de chercher les propri�t�s (topolo\-giques, diff�rentiables ou m�triques) de $\sn$ qui sont conserv�es par les vari�t�s riemanniennes de courbure $\Ric\geq n{-}1$ pour lesquelles l'un des invariants riemanniens consid�r�s plus haut prend une valeur suffisamment proche de sa valeur extr�male.

Dans \cite{Co1} et \cite{Co2}, T.~Colding montre que les trois conditions suivantes sont �quivalentes (toujours sous l'hypoth�se $\Ric\geq n{-}1$):

(1) $\Vol M$ est proche de $\Vol\sn$,

(2) $\Rad M$ est proche de $\pi$,

(3) $M$ est Gromov-Hausdorff proche de $\sn$.

P.~Petersen a par la suite prouv� que la condition $(2)$ est �quivalente � ce que les $n{+}1$ premi�res valeurs propres (non nulles) du laplacien de $M$ soient proches de $n$ (voir \cite{Pe}). De plus, ces 4 conditions impliquent que $M$ est diff�omorphe � $\sn$, d'apr�s le:

\begin{theo}[J.~Cheeger-T.~Colding, \cite{Ch-Co3}]\label{Che-Col}
  Soient $K$ un r�el fix� et $(M^n_p,g_p)_{p\in\N}$ une suite de vari�t�s riemanniennes compl�tes v�rifiant $\Ric_{g_p}\geq K$ et qui converge au sens de Gromov-Hausdorff vers une vari�t� riemannienne $(M_\infty^n,g)$ compacte (de m�me dimension). Alors $M_p$ est diff�omorphe � $M_\infty$ pour $p$ assez grand.
\end{theo}

Le but de cet article est de d�montrer trois r�sultats de stabilit� nouveaux. Le premier est une version optimis�e (et quantitative) du r�sultat de P.~Petersen \cite{Pe}:

\begin{theo}\label{TheoA}
 Il existe des constantes $\epsilon(n)>0$, $\beta(n)>0$ et $C(n)>0$ telles que si les ${\bf n}$ premi�res valeurs propres non nulles du laplacien de $M$ sont inf�rieures � $n+\epsilon(n)$ alors la distance de Gromov-Hausdorff entre $\S^n$ et $M$ est major�e par $C(n)\bigl(\lambda_n-n\bigr)^{\beta(n)}$ et $M$ est donc diff�omorphe � $\S^n$.
\end{theo}

Notons que dans notre sch�ma de preuve, une approximation de Hausdorff � valeur dans $\sn$ est explicitement construite, ce qui rend calculable la valeur $\epsilon(n)$ � partir de laquelle elle existe.

\begin{remark}
  Le th�or�me A est optimal en ce qui concerne la premi�re conclusion, puisqu'on construit dans cet article une suite de m�triques $g_k$ sur $\sn$ telle que $\Ric(g_k)\geq n-1$, $\lambda_i(g_k)\to n$ pour $1\leq i\leq n-1$ et telle que la suite $(\sn,g_k)$ tende (en distance de Gromov-Hausdorff) vers la demi-sph�re de dimension $n{-}1$ munie de sa m�trique canonique. En revanche, le probl�me de savoir � partir de quelle valeur $k$, l'hypoth�se $\lambda_k(M)\leq n\bigl(1+\epsilon(n)\bigr)$ implique que la vari�t� $M^n$ est diff�omorphe � $\sn$ est encore un probl�me ouvert (il r�sulte du th�or�me A et de contre-exemples d�s � M.~Anderson \cite{An2} et Y.~Otsu \cite{Ots} que cette valeur est comprise entre $2$ et $n$).
\end{remark}

 Notons qu'il est d�montr� dans \cite{Ber} que $M$ poss�de $k$ petites valeurs propres proches de $n$ si et seulement s'il existe une partie de $M$ Hausdorff proche de $\S^{k-1}$. De ceci et du th�or�me A d�coule le:

\begin{corollary}
 Il existe des constantes $\epsilon(n)>0$, $\beta(n)>0$ et $C(n)>0$ telles que, si $M$ contient une partie $A$ qui, munie de la distance induite, est � distance de Gromov-Hausdorff de $(\S^{n-1},can)$ inf�rieure � $\epsilon\leq\epsilon(n)$, alors $M$ est diff�omorphe � $\sn$ et $M$ est � distance de Gromov-Hausdorff de $\sn$ inf�rieure � $C(n)\epsilon^{\beta(n)}$.
\end{corollary}

\begin{remark}
  Ce corollaire est encore valable s'il existe seulement une partie $A$ de $M$ qui est Gromov-Hausdorff proche du sous ensemble $\{\pm e_1,\ldots,\pm e_n\}$ de $\sn$ (o� $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonorm�e de $\sn$).
\end{remark}

Avant d'�noncer les autres r�sultats principaux de cet article, rappelons le volume d'une vari�t� $M$ de courbure $\Ric\geq n{-}1$ est major� par $\Vol\sn/\#\pi_1(M)$, l'�galit� �tant atteinte si et seulement si $\pi_1(M)$ est un sous-groupe (fini) de $O(n+1)$ agissant librement sur $\sn$ et si la vari�t� riemannienne $M$ est l'espace lenticulaire $\sn/\pi_1(M)$. De m�me, si $M$ est non orientable, alors son volume est major� par $\Vol(\sn,can)/2$, l'�galit� �tant atteinte si et seulement si la dimension $n$ est paire et $ M=\mathbb{P}^n\Re$.

Dans le cas o� $M$ est de volume presque maximal, nous prouvons les deux r�sultats suivants (qui am�liorent � la fois un r�sultat de T.~Colding, qui ne traite que le cas o� le volume de $M$ est proche de celui de $\sn$ dans \cite{Co1}, et un r�sultat de T.~Yamaguchi qui suppose de plus que la courbure  sectionnelle de $M$ est minor�e par une constante $-K^2$ dans \cite{Yam2}):

\begin{theo}\label{TheoB}
 Il existe des constantes $\epsilon(n)>0$, $\beta(n)>0$ et $C(n)>0$ telles que, si $M$ est non simplement-connexe et v�rifie $\Vol M\geq\frac{\Vol\sn}{2}\bigl(1-\epsilon(n)\bigr)$, alors la distance de Gromov-Hausdorff entre $M$ et $\mathbb{P}^n(\Re)$ est major�e par $C(n)\Bigl(\frac{\Vol\sn}{2}-\Vol M\Bigr)^{\beta(n)}$ et $M$ est diff�omorphe � $\mathbb{P}^n(\Re)$.
\end{theo}


On remarquera que ce r�sultat s'applique au cas non-orientable et que, dans ce cas, la conclusion est que $n$ est pair, $M$ est diff�omorphe � $\mathbb{P}^n(\Re)$ et Gromov-Hausdorff proche de $\mathbb{P}^n(\Re)$.
Dans le cas o� le groupe fondamental est de cardinal quelconque, on a le:

\begin{theo}\label{TheoC}
Soit $k\in\N^*$. Il existe des constantes $\epsilon(n,k)>0$, $\beta(n)>0$ et $C(n)>0$ telles que si $M$ v�rifie:
$$\displaylines{\hfill\Vol M\geq\frac{\Vol\sn}{k}\bigl(1-\epsilon(n,k)\bigr)\hfill\mbox{et}\hfill\#\pi_1(M)\geq k,\hfill}$$
alors $\pi_1(M)$ est un sous-groupe (de cardinal $k$) de $O(n+1)$ agissant librement sur $\sn$, la distance de Gromov-Hausdorff entre $ M$ et $\sn/\pi_1(M)$ est major�e par $C(n)\Bigl[\frac{\Vol\sn}{k}-\Vol M\Bigr]^{\beta(n)}$ et $M$ est diff�omorphe � l'espace lenticulaire $\sn/\pi_1(M)$.
\end{theo}

En remarquant que tout espace lenticulaire non simplement connexe est de diam�tre major� par $\frac{\pi}{2}$, on obtient, en courbure de Ricci minor�e par $n{-}1$, le:

\begin{corollary}
Il existe des constantes $\epsilon(n)>0$ et $\delta(n)>0$  telles que si $M$ v�rifie les deux in�galit�s:
$$\displaylines{\hfill\Vol M\geq\frac{\Vol \sn}{2}\bigl(1-\delta(n)\bigr)\hfill\mbox{et}\hfill\Diam M\geq \frac{\pi}{2}+\epsilon(n),\hfill}$$
alors $M$ est simplement connexe.
\end{corollary}

D'apr�s l'am�lioration de l'in�galit� de Lichnerowicz sur le $\lambda_1$ donn�e par \cite{BBG}, on a un �nonc� �quivalent o� l'hypoth�se sur le diam�tre est remplac�e par l'hypoth�se $\lambda_1\leq n+\delta(n)$ (o� $\delta(n)$ est une constante strictement positive dont un minorant est donn� dans \cite{BBG}).
\bigskip

On obtient aussi l'am�lioration suivante des th�or�mes de Lichnerowicz et de Myers:
\begin{corollary}
  Il existe des constantes $\alpha(n)>0$ et $\delta(n)>0$  telles que si $M$ est non simplement connexe alors:
$$\displaylines{\lambda_1(M)\geq n\Bigl(\frac{\#\pi_1(M)\Vol M}{\Vol\sn}+\delta(n)\Bigr),\cr
\Diam M\leq\bigl(\frac{\pi}{2}+\delta(n)\bigr)\biggl[1+\frac{1-\frac{\#\pi_1(M)\Vol M}{\Vol\sn}}{\alpha(n)}\biggr].}$$
\end{corollary}

\noindent{\sc Plan de l'article:}
Dans la section 2 nous �tablissons les estim�es analytiques sur les fonctions propres de $M$ n�cessaires � nos d�monstrations, dans la section 3 nous nous pla�ons dans le cas o� $M$ admet $n+1$ valeurs propres proches de $n$ et, en suivant \cite{Ga} et \cite{Pe}, nous construisons � l'aide de ces fonctions propres une approximation de Hausdorff $\Phi$ de $M$ dans $\sn$ de degr� $\pm1$ (nous prouvons ce dernier fait, qui manquait dans \cite{Pe}; voir l'erratum \cite{Pe2}). Cependant, notre m�thode de preuve s'appuiera sur des arguments diff�rents de ceux propos�s dans \cite{Ga} et \cite{Pe}. Dans la section 4, nous montrons qu'un sous-groupe fini d'isom�tries de $M$ admet une action isom�trique sur $\sn$ qui rend $\Phi$ �quivariante et que, si la premi�re action est libre, alors la seconde l'est aussi. Dans la section 5, nous donnons la preuve des th�or�mes B et C. Pour cela, montrons que nos vari�t�s sont Hausdorff proches d'un quotient de la sph�re par un groupe fini d'isom�tries, mais pour pouvoir conclure, il faut toutefois montrer que ce quotient est une vari�t� non singuli�re. Pour ce point d�licat, T.~Yamaguchi utilise dans \cite{Yam2} une hypoth�se suppl�mentaire de minoration de la courbure sectionnelle, qui implique une minoration de la systole de $M$. Nous nous passons de cette hypoth�se grace au r�sultat de la section 4 (quant � la technique de T.~Colding pour traiter le cas $k{=}0$ du th�or�me \ref{TheoC}, elle utilise de mani�re essentielle le fait que l'espace mod�le est dans ce cas de Radius $\pi$; cette ne peut pas s'adapter trivialement pour d�montrer le th�or�me \ref{TheoC}). En section 6 nous prouvons le th�or�me A et d�crivons en section 7 la famille de contre-exemples qui prouve l'optimalit� du th�or�me A.\\[2mm]
{\sl Remerciements.} Je remercie S.~Gallot pour ses nombreux encouragements et U.~Suter pour les nombreuses conversations concernant le lemme \ref{Suter}.


\section{Valeurs propres proches de $n$ et fonctions propres associ�es}\label{fibreE}

\noindent{\bf Fibr� augment� de E.~Ruh \cite{Ru}:}
\smallskip

Notons $E\to M$ le fibr� vectoriel obtenu comme somme de Withney de $TM$ et d'un fibr� trivial en droite (on notera $E=TM\oplus\Re\,e$). Le produit scalaire et la connection lin�aire suivants munissent $E$ d'une structure de fibr� riemannien:
$$\begin{array}{l}
<X+fe,Y+he>_E=g(X,Y)+fh\\
D^E_Z(X+fe)=D_Z^MX+fZ+\bigl(df(Z)-g(Z,X)\bigr).e
\end{array}$$
o� on a not� $g$ la m�trique de $M$ et $D^M$ sa connection de Levi-Civita.

\begin{remark}
Le fibr� normal de $\sn$ dans $\Re^{n+1}$ est un fibr� trivial en droite dont la somme de Withney avec $T\sn$, munie de la m�trique d�crite plus haut n'est autre que le fibr� trivial $E=\sn\times(\rn+1,can)$. Rappelons que les fonctions propres de $\sn$ associ�es � la valeur propre $n$ sont de la forme $f(x)=<u,x>_{\rn+1}$, o� $u$ est un vecteur quelconque de $\rn+1$. Notons $e(x)=x$, alors la correspondance $f\mapsto\nabla f+f.e=u$ donne une identification naturelle entre l'espace des fonctions propres associ�es � la valeur propre $n$ de $\sn$ et les sections parall�les du fibr� $E$. On va montrer dans la suite que cette correspondance se g�n�ralise � toutes les vari�t�s de courbure de Ricci presque minor�e par $n-1$: le laplacien de $ M$ sur les fonctions aura autant de valeurs propres proches de $n$ que le laplacien brut $\overline{\lap}^E$ sur $E$ aura de valeurs propres proches de $0$ (proposition \ref{klapimpklapbr}) et les sections de $E$ de la forme $\nabla f+fe$, o� $f$ est une fonction propre associ�e � une valeur propre proche de $n$, seront presque "parall�les" (lemme \ref{estimSi}). Inversement les fonctions de la forme $<S,e>_E$, o� $S$ sont des sections propres associ�es � de petites valeurs propres seront presque des fonctions propres associ�es � des valeurs propres proches de $n$.
\end{remark}

\noindent{\bf Op�rateur $\lap_{sph}$:}
\smallskip

Dans la suite, {\sl on note {\boldmath $\pi$} la projection orthogonale de $E$ sur son sous-fibr� $TM$ et $A$ la sym�trie orthogonale d'hyperplan $TM$. On d�finit un champ d'endomorphismes sym�triques sur $E$ en posant $\Ric'(S)=\Ric_M^{~}\bigl(\pi(S)\bigr)-(n-1)\pi(S)$. On notera par la suite $\lap_{sph}$ l'op�rateur $\overline{\lap}^E+\Ric'$}.

\noindent{\bf Sections $S_f=\nabla f+f.e$:}
\smallskip

Le lemme suivant sera fondamental pour relier les fonctions propres de $ M$ aux sections propres de $\overline{\lap}^E$~:

\begin{lemma}\label{laplapsph}
  Soit $f:M\to \Re$ telle que $\lap f=\lambda f$. On pose $S_f=\nabla f+f.e$, on a alors la relation $\lap_{sph}(S_f)=(\lambda-n)A(S_f)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
  Un calcul direct donne:\\
$$\overline{\lap}^E(S_f)(x)=\overline{\lap}_M\nabla f-\nabla f+nf.e-\lap f.e,$$
o� $\overline{\lap}_M$ est le laplacien brut de $TM$. Enfin, l'op�rateur $\overline{\lap}_M+\Ric_M$ n'est autre que l'op�rateur de Hodge $\lap_H$ sur les champs de vecteurs, qui commute avec $\nabla$, d'o� la relation annonc�e.
\end{proof}

\noindent{\bf Correspondance fonctions/sections propres}
\smallskip

Nous aurons besoin d'une minoration de la premi�re valeur propre $\lambda_1^1$ du laplacien de Hodge sur les 1-formes de $M$. L'in�galit� suivante d�coule d'une variante de la m�thode de Lichnerowicz. Nous en donnons une preuve succinte:
\smallskip

\begin{lemma}\label{L1}
  Soit $ M$ v�rifiant $\Ric\geq n-1$, alors $\lambda_1^1(M)\geq n$ (resp. la premi�re valeur propre du laplacien de Hodge, restreint aux 1-formes co-ferm�es est minor�e par $2(n-1)$).
\end{lemma}

\begin{proof}
  Soit $\alpha\in\Lambda^1(M)$. En d�composant orthogonalement $D\alpha$ en partie antisym�trique $\frac{d\alpha}{2}$, partie sym�trique sans trace et partie scalaire $-\frac{\delta\alpha}{n}g$, on obtient $|D\alpha|^2\geq\frac{|d\alpha|^2}{2}+\frac{(\delta\alpha)^2}{n}$.
En int�grant la formule de Bochner on obtient:
$$(\lap\alpha,\alpha)=\|D\alpha\|_2^2+\int_M\Ric(\alpha,\alpha)\geq\frac{\|d\alpha\|_2^2}{2}+\frac{\|\delta\alpha\|_2^2}{n}+(n-1)\|\alpha\|_2^2$$
Si $d\alpha=0$, alors $\|\delta\alpha\|_2^2=(\lap\alpha,\alpha)$ et donc $(\lap\alpha,\alpha)\geq n\|\alpha\|^2$. Si $\delta\alpha=0$, alors  $\|d\alpha\|_2^2=(\lap\alpha,\alpha)$ et donc $(\lap\alpha,\alpha)\geq 2(n-1)\|\alpha\|^2$.
\end{proof}

Nous en d�duisons que $\lap$, $\overline{\lap}^E$ et $\lap_{sph}$ ont le m�me nombre de petites valeurs propres, c'est la:
\smallskip

\begin{proposition}\label{klapimpklapbr}
   Il existe des constantes $\alpha'(n)>\alpha(n)>0$ (explicitement calculables) telles que, si $ M$ est une vari�t� compl�te v�rifiant $\Ric\geq n{-}1$, alors:
\medskip

\noindent $(i)$ $\lambda_{n+2}(M)\geq n+\alpha'(n)$ et $\lambda_{n+2}(\lap_{sph})\geq\lambda_{n+2}(\overline{\lap}^E)\geq \alpha'(n)$.
\medskip

\noindent $(ii)$ Pour tout entier $k$, $0\leq\lambda_{k}(\overline{\lap}^E)\leq\lambda_k(\lap_{sph})\leq\bigl(\lambda_k(M)-n\bigr).$

R�ciproquement, si $\lambda_{k}(\overline{\lap}^E)\leq\alpha(n)$ alors $$\lambda_{k}(M)\leq n+200n^2\sqrt{\lambda_{k}(\overline{\lap}^E)}.$$
\end{proposition}

\begin{proof}
La premi�re s�rie d'in�galit�s annonc�e en $(ii)$ d�coule directement de la positivit� du potentiel $\Ric'$, du lemme \ref{laplapsph} et du principe du min-max.

Pour finir de d�montrer $(ii)$, notons $(S_i)_{1\leq i\leq k}$ une famille $L^2$-ortho--norm�e de sections propres (associ�es aux $k$ premi�res valeurs propres) de $\overline{\lap}^E$. Notons ${\cal E}$ l'espace vectoriel engendr� par les sections $(S_i)_{1\leq i\leq k}$, muni du produit scalaire $L^2$ de $E$, et ${\cal F}=\Psi({\cal E})$, o� $\Psi(S)=<S,e>_E$ (notons que ${\cal F}$ est engendr� par les fonctions $f_i=<S_i,e>_E$). Nous allons conclure en appliquant le principe du min-max � ${\cal F}$:

$\bullet$ Les fonctions de ${\cal F}$ sont d'int�grale nulle car $\overline{\lap}^E$ est auto-adjoint, $\overline{\lap}^Ee=n.e$ (lemme \ref{laplapsph}, avec $f=1$), $\overline{\lap}^E(S_i)=\lambda_iS_i$ et $\lambda_i\neq n$, d'o� $\frac{1}{\Vol M}\int_Mf_i=\frac{1}{\Vol M}\int_M<S_i,e>_E^{~}=0$.

$\bullet$ $\Psi$ est une application injective, et donc ${\cal F}$ est un espace de fonctions de dimension $k$: si $S\in{\rm Ker}\Psi\cap{\cal E}$, alors $S=X\in\Gamma(M)$ et  $\|D^ES\|_2^2\leq\alpha(n)\|S\|_2^2<\|S\|_2^2$. Or $D^E_YX=D^M_YX-g(X,Y)e$, et donc $\|D^ES\|_2^2=\|D^MX\|_2^2+\|X\|_2^2\geq\|X\|_2^2=\|S\|_2^2.$ On en d�duit que $S=0$.

$\bullet$ Il ne reste plus qu'� montrer que le quotient de Rayleigh des fonctions de ${\cal F}$ est presque plus petit que $n$. Soit donc $f\in{\cal F}\setminus\{0\}$. Il existe donc $\alpha\in\Lambda^1(M)$ tel que $S=\alpha^\#+f.e\in{\cal E}$, ce qui donne:
$$\displaylines{\|D^M\alpha^\#+fId_{TM}-(df-\alpha).e\|_2^2=\|D^ES\|^2_2\hfill\cr
\hfill\leq\lambda_k(\overline{\lap}^E)\|S\|^2_2=\lambda_k(\overline{\lap}^E)(\|\alpha\|_2^2+\|f\|_2^2),}$$
Dont on d�duit les deux in�galit�s suivantes:
$$\|D^M\alpha+fg\|_2^2\leq\lambda_k(\overline{\lap}^E)(\|\alpha\|_2^2+\|f\|_2^2)$$
$$\|df-\alpha\|_2^2\leq\lambda_k(\overline{\lap}^E)(\|\alpha\|_2^2+\|f\|_2^2)$$
La deuxi�me de ces in�galit�s donne l'in�galit�:
$$\Bigl|\frac{\|df\|_2}{\|f\|_2}-\frac{\|\alpha\|_2}{\|f\|_2}\Bigr|\leq\sqrt{\lambda_k(\overline{\lap}^E)}\Bigl(1+\frac{\|\alpha\|_2}{\|f\|_2}\Bigr).$$
On est donc ramen� � montrer que le rapport $\frac{\|\alpha\|_2^2}{\|f\|_2^2}$ est presque major� par $n$. Or, en proc�dant comme dans la d�monstration du lemme \ref{L1}:
$$\frac{\|d\alpha\|_2^2}{2}+\|f-\frac{\delta\alpha}{n}\|_2^2\leq\|D^M\alpha+fg\|_2^2\leq\lambda_k(\overline{\lap}^E)(\|\alpha\|_2^2+\|f\|_2^2).$$
On en d�duit:
$$\displaylines{(\lap\alpha,\alpha)=\|d\alpha\|_2^2+\|\delta\alpha\|_2^2\hfill\cr
\hfill\leq5n^2\sqrt{\lambda_k(\overline{\lap}^E)}(\|\alpha\|_2^2+\|f\|_2^2)+\Bigr(1+\sqrt{\lambda_k(\overline{\lap}^E)}\Bigl)n^2\|f\|_2^2.}$$
Enfin, d'apr�s le lemme \ref{L1}, on a $(\lap\alpha,\alpha)\geq n\|\alpha\|_2^2$. En combinant les deux derni�res in�galit�s, on obtient $\|\alpha\|_2^2\leq\Bigl(1+12n\sqrt{\lambda_k(\overline{\lap}^E)}\Bigr)n\|f\|_2^2,$
d�s que $\alpha(n)\leq\frac{1}{36n^4}$, ce qui permet de conclure.

$(i)$ sera d�montr� pour l'op�rateur $\overline{\lap}^E$ dans la section suivante. Pour les autres op�rateurs, cela d�coule alors de $(ii)$.
\end{proof}

\begin{remark}
  On pourrait renforcer l'analogie avec le cas de $\sn$ d�crit pr�c�demment en montrant que, si $f$ est une combinaison lin�aire des fonctions propres de $M$ associ�es � des valeurs propres proches de $n$, alors $S_f$ est $L^2$-proche d'une combinaison lin�aire des sections propres de $\overline{\lap}^E$ associ�es � de petites valeurs propres (la r�ciproque est aussi vraie en rempla�ant $f\mapsto S_f$ par $S\mapsto<S,e>_E$).
\end{remark}

\noindent{\bf Estim�es sur les fonctions propres}
\smallskip

Soit $(\sqrt{n+1}.f_i)_{1\leq i\leq k}$ une famille $L^2$-orthonorm�e de fonctions pro--pres de $M$ associ�es � des valeurs propres $0<\lambda_1\leq\ldots\leq\lambda_k\leq n+\epsilon$. On lui associe la famille $L^2$-orthogonale $(S_i)_{1\leq i\leq k}$ de sections du fibr� $E$ d�finies par $S_i=\nabla f_i+f_ie$. 
 On obtient alors les estim�es analytiques et g�om�triques suivantes~:
\smallskip

\begin{lemma}\label{estimSi}
  Il existe des constantes $\alpha(n)>0$ et $C(n)>0$ (explicitement calculables) telles que si $M$ v�rifie $\lambda_{k}\leq n+\epsilon$ (avec $\epsilon\leq\alpha(n)$), alors~:\\
$(i)\hskip1cm\|\sum_{i=1}^{k}\alpha_iS_i\|_\infty\leq\Bigl(1+C(n)\sqrt{\epsilon}\Bigr)\|\sum_{i=1}^{k}\alpha_iS_i\|_2,$\\
pour tout $(\alpha_i)\in\Re^{k}$.\\
$(ii)$ Il existe un sous-ensemble $M_{\epsilon}$ de $M$ tel que~:\\
~\hskip5mm $\Vol M_{\epsilon}\geq\bigl(1-C(n)\epsilon^\frac{1}{4}\bigr)\Vol M$\\
\hskip5mm$|<S_i(x),S_j(x)>_E-\delta_{ij}|\leq C(n)\epsilon^\frac{1}{4}$ pour tout $x\in M_{\epsilon}$ et tout couple $(i,j)$.
\end{lemma}
\begin{remark}
   Si la famille $(S_i)_{1\leq i\leq k}$ est une famille $L^2$-orthonorm�e de sections propres d'un op�rateur $\overline{\lap}^E+V$ � potentiel $V$ positif associ�es � des valeurs propres $\lambda_1(\overline{\lap}^E+V)\leq\ldots\leq\lambda_k(\overline{\lap}^E+V)\leq\epsilon$ (avec $\epsilon\leq\alpha(n)$), alors les propri�t�s $(i)$ et $(ii)$ sont encore valables (la preuve qui suit s'adapte facilement).
\end{remark}

\begin{proof}
D'apr�s le lemme \ref{laplapsph}, la famille de sections  $(\sqrt{\frac{n+1}{\lambda_i+1}}S_i)$ est $L^2$-orthonorm�e et v�rifie $\lap_{sph}S_i=(\lambda_i-n)A(S_i)$ pour tout indice $i\leq k$. Soient $E_k$ l'espace vectoriel engendr� par $(S_i)_{1\leq i\leq k}$ et $\dis A_p=\supp_{S\in E_k\setminus\{0\}}\frac{\|S\|_p}{\|S\|_2}$, o� $p\in]1,+\infty]$. 

Soit $S\in E_k\setminus\{0\}$ et posons $u=\sqrt{|S|^2+\epsilon^2}$ pour $\epsilon>0$. D'apr�s l'in�galit� de Kato, on a $u\lap u\leq\,<\overline{\lap}^ES,S>_E\leq|\lap_{sph}S|u$. On en d�duit que, pour tout r�el $p>1/2$~:
$$\|d(u^p)\|_2^2=\frac{p^2}{2p-1}\int_M(u\lap u)u^{2p-2}\leq\frac{p^2}{2p-1}\left[\|\lap_{sph}S\|_{2p}\|u\|^{2p-1}_{2p}\right]$$
En appliquant l'in�galit� de Sobolev $\|f\|_\frac{2n}{n-2}^2\leq C(n)\|df\|_2^2+\|f\|_2^2$ donn�e par \cite{Ili} � la fonction $u^p$ et en faisant tendre $\epsilon$ vers 0, on obtient~:
$$
\| S\|_{\frac{2pn}{n-2}}^p\leq\frac{C(n)p}{\sqrt{2p-1}}\sqrt{\|\lap_{sph}S\|_{2p}\| S\|_{2p}^{2p-1}}+\| S\|_{2p}^p$$
(cette in�galit� reste valable en dimension $2$ en rempla�ant $n$ par $4$).
Or $E_k$ est un espace stable par $A\lap_{sph}$ et $A$ est une isom�trie, on a donc~:
$$\|\lap_{sph}S\|_{2p}=\|A\lap_{sph}S\|_{2p}\leq A_{2p}\|A\lap_{sph}S\|_2\leq A_{2p}(\lambda_k-n).\|S\|_2.$$
On en d�duit l'in�galit� $A_{\frac{2pn}{n-2}}\leq\left(1+\frac{C(n)p}{\sqrt{2p-1}}(\lambda_k-n)^\frac{1}{2}\right)^{1/p}A_{2p}$, et donc $A_\infty\leq\prod_{j=0}^{\infty}\left(1+\frac{C(n)\nu^j}{\sqrt{2\nu^j-1}}(\lambda_k-n)^\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\nu^j}}$ en posant $\nu=\frac{n}{(n-2)}$.
Enfin, en utilisant la concavit� de la fonction $\log$, on obtient $A_\infty\leq\bigl(1+C(n)\sqrt{\epsilon}\bigr)$.

Nous allons maintenant prouver que l'in�galit� $(i)$ implique la propri�t� $(ii)$. Posons $M_\epsilon$ l'ensemble des points $x\in M$ o�:
$$\displaylines{\hfill|S_i(x)+S_j(x)|_E^2\geq2(1-\epsilon^\frac{1}{4}),\hfill|S_i(x)-S_j(x)|_E^2\geq2(1-\epsilon^\frac{1}{4}),\hfill\cr
\hfill|S_i(x)|_E^2\geq1-\epsilon^\frac{1}{4}\hfill\forall i<j\hfill}$$
D'apr�s $(i)$ (et en posant $h=\sum_{i<j}|S_i+S_j|_E^2+|S_i-S_j|_E^2+\sum_i2|S_i|_E^2$)~:
$$\displaylines{
2k^2=\frac{1}{\Vol M}\int_Mh=\frac{1}{\Vol M}\int_{M_\epsilon}h+\frac{1}{\Vol M}\int_{M\setminus M_\epsilon}h\hfill\cr
\leq\frac{\Vol M_\epsilon}{\Vol M}\Bigl(\sum_{i<j}\|S_i+S_j\|_\infty^2+\|S_i-S_j\|_\infty^2+\sum_i2\|S_i\|_\infty^2\Bigr)\hfill\cr
\hfill+(k^2-1)\Bigl(1-\frac{\Vol M_\epsilon}{\Vol M}\Bigr)\max_{1\leq i<j\leq k}\Bigl[\|S_i+S_j\|_\infty^2,\|S_i-S_j\|_\infty^2,2\|S_i\|_\infty^2\Bigr]\hfill\cr
+2\Bigl(1-\frac{\Vol M_\epsilon}{\Vol M}\Bigr)(1-\epsilon^\frac{1}{4})\cr
\leq2k^2\bigl(1+C(n)\sqrt{\epsilon}\bigr)\frac{\Vol M_\epsilon}{\Vol M}\hfill\cr
\hfill+\Bigl[2(k^2-1)\bigl(1+C(n)\sqrt{\epsilon}\bigr)+2(1-\epsilon^\frac{1}{4})\Bigr]\left(1-\frac{\Vol M_\epsilon}{\Vol M}\right)
}$$
On en d�duit $\frac{\Vol M_\epsilon}{\Vol M}\geq1-\frac{k^2C(n)\epsilon^\frac{1}{4}}{1+C(n)\epsilon^\frac{1}{4}}\geq1-k^2C(n)\epsilon^\frac{1}{4}$, pour $\epsilon\leq\alpha(k,n)$ assez petit.
D'apr�s $(i)$, on a pour tout $x\in M_\epsilon$ et tout $i\neq j$~:
\begin{eqnarray*}
  \bigl|<S_i(x),S_j(x)>_E\bigr|&=&\Bigl|\frac{|S_i(x)+S_j(x)|^2-|S_i(x)-S_j(x)|^2}{4}\Bigr|\\
&\leq&\frac{2(1+C(n)\sqrt{\epsilon})-2(1-\epsilon^\frac{1}{4})}{4}\leq C'(n)\epsilon^\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}
De m�me, $\bigl|\|S_i(x)\|_E^2-1\bigr|\leq C'(n)\epsilon^\frac{1}{4}$. Supposons $k>n+1$: en appliquant ce qui pr�c�de � la famille $(S_i)_{1\leq i\leq n+2}$, on obtient que $|<S_i,S_j>-\delta_{ij}|\leq C(n)\epsilon^\frac{1}{4}$ sur $M_\epsilon$. Mais alors, il existe au moins un point $x$ de $M$ o� la famille $(S_i(x))_{1\leq i\leq n+2}$ est de rang $n+2$, ce qui est impossible car $E$ est de rang $n+1$. On en d�duit d'abord que $k\leq n+1$ (et donc le $(i)$ de la proposition \ref{klapimpklapbr}), puis la propri�t� $(ii)$ annonc�e.\end{proof}

\section{Vari�t�s admettant $n+1$ petites valeurs propres}\label{Ln+1}

Dans cette section nous �tudions les vari�t�s compl�tes v�rifiant $\Ric\geq(n{-}1)$ et $\lambda_{n+1}\leq n+\alpha(n)$. Fixons une famille $(\sqrt{n+1}.f_i)_{1\leq i\leq n+1}^{~}$ $L^2$-orthonorm�e de fonctions propres associ�es aux valeurs propres $n\leq\lambda_1\leq\ldots\leq\lambda_{n+1}\leq n+\epsilon$ et consid�rons l'application:
\begin{eqnarray}\label{Fi}
\Phi~: M&\to&\S^n\hookrightarrow\Re^{n+1}\nonumber\\
x&\mapsto&\frac{1}{\bigl(\sum_jf_j(x)^2\bigr)^{1/2}}.\bigl(f_1(x),\ldots,f_{n+1}(x)\bigr)
  \end{eqnarray}
Nous d�montrons dans cette section la:
\smallskip

\begin{proposition}\label{Fiprop}
   Il existe des constantes $\alpha(n)>0$ et $C(n)>0$ (explicitement calculables) telles que si $ M$ est une vari�t� compl�te qui v�rifie $\Ric\geq(n-1)$ et $\lambda_{n+1}\leq n+\epsilon$ (pour $\epsilon\leq\alpha(n)$), alors~:
$$\Vol M\geq\bigl(1-C(n)\epsilon^\frac{1}{2(n+1)}\bigr)\Vol\sn.$$
et l'application $\Phi$ est une approximation de Hausdorff � valeur dans $\sn$ de degr� $\pm 1$.
Plus pr�cisement, pour tout couple de points $(x,y)$ de $M$, on a:
 $$\left|d_{\sn}(\Phi(x),\Phi(y))-d_M(x,y)\right|\leq C(n)\epsilon^\frac{1}{384(n+1)^3}.$$
\end{proposition}

\begin{remark} 
Notre sch�ma de preuve est une adaptation de celui de P.~Petersen dans \cite{Pe} (voir aussi \cite{Au1}). Toutefois, nous corrigeons l'erreur faite par P.~Petersen sur le calcul du degr� de $\Phi$ (voir l'erratum \cite{Pe2}) ce qui est indispensable pour notre d�monstration des r�sultats annonc�s en introduction. Pour la d�monstration du fait que $\Phi$ est une approximation de Hausdorff, nous renvoyons � l'article \cite{Pe} de P.~Petersen (noter que d'apr�s ce qui suit, $\Phi$ est surjective). On pourra regarder aussi \cite{Au2}, o� la m�me propri�t� est d�montr�e sous des hypoth�ses de pincement int�gral de la courbure de Ricci passant sous $n{-}1$ et la forme du majorant de la distance de Gromov-Hausdorff est explicitement calcul�e.
\end{remark}

\noindent{\bf $\Phi$ est bien d�finie sous nos hypoth�ses~:}
\smallskip

Cela d�coule du:
\smallskip

\begin{lemma}\label{1.13}
 Il existe des constantes $\alpha(n)>0$ et $C(n)>0$ (explicitement calculables) telles que si $\lambda_{n+1}\leq n+\epsilon$ (avec $\epsilon\leq\alpha(n)$), on a~:
$\|\sum_{i=1}^{n+1}f^2_i~-1\|_\infty\leq C(n)\epsilon^{\frac{1}{2(n+1)}}.$\end{lemma}

\begin{proof}
Soit $x_0$ un point quelconque de $M$. En appliquant le lemme \ref{estimSi} avec $\alpha_i=f_i(x_0)$, on obtient:
$$\displaylines{\bigl(\sum_{i=1}^{n+1}f_i(x_0)f_i\bigr)^2+\bigl(\sum_{i=1}^{n+1}f_i(x_0)\nabla f_i\bigr)^2\leq(1+C(n)\sqrt{\epsilon})^2\|\summ_{i=1}^{n+1}f_i(x_0)S_i\|_2^2\cr
\hfill\leq(1+C(n)\sqrt{\epsilon})\sum_{i=1}^{n+1}f_i(x_0)^2.}$$
On en d�duit que la fonction $h=\summ_{i=1}^{n+1}f_i^2$ v�rifie les in�galit�s $\|h\|_1=1$, $\|h\|_\infty\leq\bigl(1+C'(n)\sqrt{\epsilon}\bigr)$ et $\|dh\|_\infty\leq C'(n)$. Le r�sultat annonc� d�coule alors du lemme suivant~:

\begin{lemma}
  Soient $(M^n,g)$ compacte et v�rifiant $\Ric\geq0$ et $h:M\to\Re$ une fonction lipschitzienne, alors:
$$|h|\geq\|h\|_\infty-2\bigl(\Diam M\|dh\|_{\infty}\bigr)^\frac{n}{n+1}\bigl(\|h\|_\infty-\|h\|_1\bigr)^\frac{1}{n+1}.$$
\end{lemma}

\begin{proof}
On peut supposer $\|h\|_1>0$. Soit $x\in M$:
$$\displaylines{\|h\|_1=\frac{1}{\Vol M}\int_{B(x,\eta)}|h|+\frac{1}{\Vol M}\int_{M\setminus B(x,\eta)}|h|\hfill\cr
\hfill\leq\frac{\Vol B(x,\eta)}{\Vol M}\bigl(|h(x)|+\|df\|_\infty\eta\bigr)+\left(1-\frac{\Vol B(x,\eta)}{\Vol M}\right)\|h\|_\infty.\hfill}$$
On en d�duit que $\|h\|_\infty-\|h\|_1\geq\frac{\Vol B(x,\eta)}{\Vol M}\bigl(\|h\|_\infty-|h(x)|-\|df\|_\infty\eta\bigr)$. Posons $\eta=\frac{\|h\|_\infty-|h(x)|}{2\|df\|_\infty}>0$. Le th�or�me de Bishop-Gromov, donne alors:
$$\|h\|_\infty-\|h\|_1\geq\frac{\bigl(\|h\|_\infty-|h(x)|\bigr)^{n+1}}{2^{n+1}\|df\|_\infty^n(\Diam M)^n}.$$
\end{proof}
\end{proof}

\noindent{\bf Calcul de $d\Phi$~:}

Soit $x$ un point de $M$, alors $d_x\Phi$ est une application de $T_xM$ dans $T_{\Phi(x)}\S^n\subset\Re^{n+1}$. On note $^td_x\Phi$ l'application transpos�e de $d_x\Phi$ vu comme une application de $(T_xM,g_x)$ dans $\Re^{n{+}1}$ muni de son produit scalaire canonique, qu'on notera $<.,.>^{~}_{\Re^{n+1}}$. Si $(\varepsilon_i)_{1\leq i\leq n+1}$ est la base canonique de $\Re^{n+1}$ alors $^td_x\Phi(\varepsilon_i)=\frac{\nabla f_i-\Phi_i\sum_{k=1}^{n+1}\Phi_k.\nabla f_k}{(\sum_j f_j^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{S_i-\Phi_i\sum_{j=1}^{n+1}\Phi_jS_j}{(\sum_j f_j^2)^{\frac{1}{2}}}$, o� on a pos� $\Phi_i=\frac{f_i}{\bigl(\sum_jf_j^2\bigl)^\frac{1}{2}}$ (o� $TM$ est vu comme un sous-fibr� de $E$). En particulier, pour tout vecteur $v$ de $T_{\Phi(x)}\S^n(=\Phi(x)^{\bot})$, on a $^td_x\Phi(v)=\frac{\sum_{i=1}^{n+1}v_iS_i}{(\sum f_j^2)^{\frac{1}{2}}}$.


\noindent{\bf $\Phi$ est presque contractante:}
\smallskip

Les lemmes \ref{estimSi} et \ref{1.13} nous donnent alors le:
\smallskip

\begin{lemma}\label{Ficontractante}
 Si $ M$ v�rifie $\Ric\geq n-1$ et si $\lambda_{n+1}\leq n+\epsilon$ (avec $\epsilon\leq\alpha(n)$), alors $\|d\Phi\|_\infty\leq1+C(n)\epsilon^{\frac{1}{2(n+1)}}$.
\end{lemma}

\noindent{\bf Si $M$ est orientable, alors ${\rm deg}\,\Phi=\pm1$}
\smallskip

Soit $x$ un point de $M$ et $(X_i)$ une base orthonorm�e directe de $T_xM$. Pour tout $x\in M$, on munit $E_x$ de l'orientation induite par $TM$ (i.e. telle que $(\tilde{X_i})_{1\leq i\leq n+1}=(X_1,\cdots,X_n,e)$ soit une base directe de $E_x$). On note $L_x:\Re^{n+1}\to E_x$ l'application d�finie par $L_x(v)=\sum_{i=1}^{n+1}v_iS_i(x)$ et $h(x)=\det L_x$ (le d�terminant �tant calcul� relativement � des bases orthonorm�es directes des espaces de d�part et d'arriv�e). En calculant $h$ dans une base orthonorm�e directe de $\Re^{n+1}$ de la forme $(e_1,\cdots,e_n,\Phi(x))$, on obtient:
$$h(x)=\Bigl(\sum_jf_j^2(x)\Bigr)^\frac{n+1}{2}\det d_x\Phi.$$
Commen�ons par estimer $\|h\|_2^{~}$. On a $\|h\|^2_\infty\leq\bigl(1+C(n)\sqrt{\epsilon}\bigr)$ car $h^2(x)\leq|L_x|^{2n}$ et d'apr�s le lemme \ref{estimSi} $(i)$, on a: 
$$|L_x(v)|^2_E\leq\bigl(1+C(n)\sqrt{\epsilon}\bigr)\|\sum_{i=1}^{n+1}v_iS_i\|_2^2\leq\bigl(1+C(n)\sqrt{\epsilon}\bigr)\|v\|^2_{\Re^{n+1}},$$
pour tout $v\in\Re^{n+1}$. Par ailleurs, pour tout couple $(u,v)$ de vecteurs de $\Re^{n+1}$, on a~:
$$\displaylines{\Bigl|<^tL_x\circ L_x(u),v>_{\rn+1}^{~}{-}<u,v>_{\rn+1}^{~}\Bigr|{=}\Bigl|\sum_{ij}u_iv_j\bigl(<S_i,S_j>_E-\delta_{ij}\bigr)\Bigr|\hfill\cr
\hfill\leq\max_{ij}\bigl|<S_i,S_j>_E-\delta_{ij}\bigr|\|u\|_{\rn+1}^{~}\|v\|_{\rn+1}^{~}}$$
et donc, d'apr�s le lemme \ref{estimSi} $(ii)$, $\bigl\| ^tL_x\circ L_x-Id_{T_{\Phi(x)}\S^n}\bigr\|\leq C(n)\epsilon^\frac{1}{4}$, pour tout point $x$ du sous-ensemble $M_\epsilon$, i.e. $|h^2(x)-1|\leq C(p,n)\epsilon^\frac{1}{4}$ sur $M_\epsilon$. On obtient alors l'estim�e~:
\begin{eqnarray*}
  \Bigl|\frac{1}{\Vol M}\int_Mh^2-1\Bigr|&\leq&\Bigl|\frac{1}{\Vol M}\int_{M_\epsilon}(h^2-1)\Bigr|\\
&&\hskip1.5cm+\Bigl(1-\frac{\Vol M_\epsilon}{\Vol M}\Bigr)\max\bigl(1,\|h^2\|_\infty-1|\bigr)\\
&\leq&C(n)\epsilon^\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}

Pour obtenir le degr� de $\Phi$, c'est l'int�grale $\frac{1}{\Vol M}\int_Mh$ que l'on doit estimer.Nous allons utiliser l'in�galit� de Poincar� pour montrer que la moyenne de $h$ est proche de sa norme $L^2$. Pour cela, il faut montrer que la norme $L^2$ de $dh$ est petite:

 En prenant la base canonique de $\Re^{n+1}$ comme base orthonorm�e au d�part, et une base orthonorm�e directe quelconque $(\tilde{X}_i(x))$ de $E_x$ � l'arriv�e, on obtient $h(x)=det\bigl(<\tilde{X}_i,S_j>_E\bigr)$. Soit $x$ un point donn� de $M$, $X\in T_xM$ et $\gamma_X$ la g�od�sique passant par $x$ avec le vecteur vitesse $X$. On note $(\tilde{X}_i)$ le rep�re transport� parall�lement le long de $\gamma_X$ de $(\tilde{X}_i(x))$. Alors $d_xh(X)=X.\Bigl(det\bigl(<\tilde{X}_i,S_j>_E^{~}\bigr)_{ij}\Bigr)$ est �gal �:
$$
\sum_{j=1}^{n+1}det
\begin{pmatrix}
  {<}\tilde{X}_1,S_1{>}&\hskip-3mm\ldots&\hskip-3mm {<}\tilde{X}_1,D^E_XS_j{>}\hskip-3mm&\hskip-3mm\ldots&\hskip-3mm{<}\tilde{X}_1,S_{n+1}{>}\\
\Biggl|&&\Biggl|&&\Biggl|\\
{<}\tilde{X}_{n+1},S_1{>}&\hskip-3mm\ldots&\hskip-3mm {<}\tilde{X}_{n+1},D^E_XS_j{>}&\hskip-3mm\ldots&\hskip-3mm{<}\tilde{X}_{n+1},S_{n+1}{>}
\end{pmatrix}
$$
D'o� $\bigl|d_xh(X)\bigr|\leq C(n)\max_i\|S_i\|_\infty^n\max_i|D^E_XS_i(x)|_E$. Le lemme \ref{estimSi} $(i)$, donne donc:
$$
  \|dh\|_2^2=\frac{1}{\Vol M}\int_M|dh|^2\leq C(n)\max_i\frac{1}{\Vol M}\int|D^ES_i|^2(x)\leq C(n)\epsilon,$$
la derni�re in�galit� d�coule de la preuve du lemme \ref{klapimpklapbr} $(ii)$. 

Or $\lambda_1\geq n$ et donc $0\leq\|h\|_2^2-\bigl(\frac{1}{\Vol M}\int_Mh\bigr)^2\leq C(n)\epsilon$. On d�duit donc de l'estim�e pr�c�dente sur $\|h\|_2^2$ que~:
$$\displaylines{1-C(n)\epsilon^\frac{1}{4}\leq\Bigl(\frac{1}{\Vol M}\int_Mh\Bigr)^2\leq1+ C(n)\epsilon^\frac{1}{4}}$$
Pour conclure, on a ${\rm deg}\Phi\Vol\S^n=\int_M\det\,d\Phi=\int_M\bigl(\sum_kf^2_k\bigr)^{-\frac{n+1}{2}}h$. Le lemme \ref{1.13} et la majoration de $\|h\|_\infty$ donnent alors $\Bigl||{\rm deg}\,\Phi|\frac{\Vol\S^n}{\Vol M}-1\Bigr|\leq C(n)\epsilon^\frac{1}{2(n+1)}.$
Comme ${\rm deg}\,\Phi$ est un entier et que $\Vol M\leq\Vol\sn,$ on obtient ${\rm deg}\Phi=\pm1$ et $\Vol M\geq\Vol\S^n\bigl(1-C(n)\epsilon^\frac{1}{2(n+1)}\bigr)$.\medskip

\noindent{\bf Si $\lambda_{n+1}(M)\leq n+\epsilon(n)$ alors $M$ est orientable:}
\smallskip

Si $M^n$ est non-orientable, on construit l'application $\Phi$ � partir des fonctions propres $(f_i)_{1\leq i\leq n+1}$ et on note $\pi:\widetilde{M}\to M$ le rev�tement riemannien orientable de $M$. Soit $\widetilde{\Phi}=\Phi\circ\pi:\widetilde{M}\to\S^n$. On a $\deg_2\widetilde{\Phi}=\deg_2\Phi\deg_2\pi=0$ (o� $\deg_2$ d�signe le degr� modulo 2), et donc $\widetilde{\Phi}$ est de degr� orientable pair. Cependant, $(\widetilde{M}^n,\tilde{g})$ v�rifie aussi $\Ric\geq(n{-}1)$ et les fonctions $\tilde{f}_i=f_i\circ\pi$ sont des fonctions propres  de $(\widetilde{M}^n,\tilde{g})$ associ�es aux m�mes valeurs propres $\lambda_i$. On en d�duit que l'application $\widetilde{\Phi}$ n'est autre que celle �tudi�e en {\bf e)} associ�e � la vari�t� $(\widetilde{M},\tilde{g})$ et aux fonctions propres $\tilde{f}_i$. $\widetilde{\Phi}$ doit donc �tre de degr� $\pm 1$, ce qui est contradictoire.

\section{�quivariance de $\Phi$}
\label{sec:Equiv}
Nous allons exhiber, sous les hypoth�ses de la section \ref{Ln+1}, un morphisme du groupe ${\rm Isom} M$ des isom�tries de $ M$ dans le groupe $O_{n+1}(\Re)$ des isom�tries de $\sn$ pour lequel l'application $\Phi$ est �quivariante:

Soit $f$ une fonction propre ($\lap f=\lambda f$) et $\sigma$ une isom�trie de la vari�t� $ M$. Alors $\lap(f\circ\sigma)=\lambda(f\circ\sigma)$. En particulier, si on suppose que $(\sqrt{n+1}.f_i)_{1\leq i\leq k}$ est une base de l'espace de toutes les fonctions propres associ�es aux valeurs propres de $ M$ inf�rieures � un r�el $\alpha$ donn�, alors il existe une matrice $A^\sigma$ de ${\cal M}_k(\Re)$ telle que pour tout indice $i$, on ait $f_i\circ\sigma=\sum_jA^\sigma_{ij}f_j$.
De plus, comme $\sigma$ pr�serve le volume riemannien, on a $\frac{\delta_{ij}}{n+1}=\frac{1}{\Vol M}\int_Mf_i\circ\sigma.f_j\circ\sigma dv_g=\sum_{kl}A^\sigma_{ik}A^\sigma_{jl}\frac{\delta_{kl}}{n+1}$.
On en d�duit que $\sigma\mapsto A^\sigma$ est un morphisme de groupe de ${\rm Isom M}$ � valeur dans $O_k(\Re)$.

Dans le cas particulier o� $ M$ v�rifie $\Ric\geq(n-1)$ et $\lambda_{n+1}\leq n+\epsilon$, le choix d'une famille $(\sqrt{n+1}.f_i)_{1\leq i\leq n+1}$ $L^2$-orthonorm�e de fonctions propres associ�es aux $n+1$ premi�res valeurs propres non nulles de $M$ induit un morphisme de ${\rm Isom} M$ � valeurs dans $O(n+1)$ (d'apr�s le lemme \ref{klapimpklapbr} $(i)$) tel que $\Phi\bigl(\sigma(x)\bigr)=A^\sigma\bigl(\Phi(x)\bigr)$ pour toute isom�trie $\sigma$. L'outil central de la d�monstration des th�or�mes B et C est le lemme suivant:

\begin{lemma}\label{quotient}
  Soient $ M$ une vari�t� compl�te v�rifiant $\Ric\geq n{-}1$ et $\lambda_{n+1}\leq n+\epsilon$ (pour $\epsilon\leq\alpha(n)$), et $\Phi:M\to\sn$ l'application d�finie dans la section \ref{Ln+1}. On se donne de plus $G$ un groupe fini d'isom�tries agissant librement sur $ M$. Le morphisme $\sigma\mapsto A^\sigma$ est alors injectif sur $G$ et $A(G)$ est un sous groupe de $O_{n+1}(\Re)$ agissant librement sur $\sn$. Enfin, $\Phi$ passe au quotient en une $C(n)\epsilon^\frac{1}{384(n+1)^3}$-approximation de Hausdorff de $ M/G$ sur $\sn/A(G)$.
\end{lemma}

\begin{proof}
  Si $\sigma\in{\rm Ker}A$ alors la vari�t� quotient de $ M$ par le groupe $<\sigma>$ v�rifie aussi $\Ric\geq n-1$ et $\lambda_{n+1}\leq n+\epsilon$. Mais alors $ M$ et $ M/<\sigma>$ ont des volumes presqu'�gaux � celui de $(\sn,can)$ (d'apr�s \ref{Fiprop}). Or le cardinal de $<\sigma>$ est �gal au rapport de ces volumes (car $<\sigma>$ agit librement), et donc ${\rm Ker}A=\{id_G\}$.

$G$ est un groupe agissant par isom�trie sur $ M$ et $\sn$, et $\Phi$ est une application �quivariante pour ces deux actions. $\Phi$ passe donc au quotient en une application de la vari�t� riemannienne $ M/G$ sur (l'orbifold) $\sn/G$. Il est facile de montrer que $\Phi$ �tant une $C(n)\epsilon^\frac{1}{384(n+1)^3}$-approxi-mation de Hausdorff de $M$ sur $\sn$ (proposition \ref{Fiprop}), son quotient est aussi une $C(n)\epsilon^\frac{1}{384(n+1)^3}$-approximation.

Pour montrer que $G$ agit librement sur $\sn$, commen�ons par remarquer que d'apr�s le th�or�me \ref{Che-Col}, on peut supposer que sous les hypoth�ses du lemme, $M^n=\sn$ (remarquez que dans la suite on a juste besoin que $M$ soit hom�omorphe � $\sn$, et donc \cite{Per} suffit). On utilise alors le:

\begin{lemma}\label{Suter}
  Soit $G$ un groupe fini, soient $\alpha_i:G\times\sn\to\sn$, $i=1,2$ deux actions sur la sph�re $\sn$ et $\Phi:(\sn,\alpha_1)\to(\sn,\alpha_2)$ une application �quivariante qui est de degr� $\pm1$. Si $\alpha_1$ est libre alors $\alpha_2$ est aussi libre.
\end{lemma}

Si $\alpha_2$ n'est pas libre, alors $G$ admet un �l�ment non trivial $\sigma$ tel que $\alpha_2(\sigma)$ fixe un point de $\sn$. Quitte � remplacer $G$ par $<\sigma^l>$ (pour $l$ bien choisi), on peut se ramener au cas o� $G$ est un groupe de cardinal $p$ premier fixant un point de $\sn$ par l'action $\alpha_2$. Notons $M_\Phi$ le cylindre de l'application $\Phi$. Au couple $(M_\Phi,\sn)$ est alors associ� la suite longue exacte en cohomologie relative (� coefficients dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$) suivante:
$$\displaylines{0\to H^0(M_\Phi,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\stackrel{\Phi^*}{\to}H^0(\sn,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\to H^1(M_\Phi,\sn;\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\to\ldots\hfill\cr
\hfill\ldots\to H^n(M_\Phi,\sn;\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\to H^n(M_\Phi,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\stackrel{\Phi^*}{\to}H^n(\sn,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\to0}$$
Or, pour tout $1\leq i<n$, on a $H^i(M_\Phi,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=H^i(\sn,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\{0\}$ et donc $H^i(M_\Phi,\sn;\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\{0\}$. Enfin, puisque $\Phi$ est de degr� $\pm1$, on en d�duit que $\Phi^*$ est un isomorphisme entre $H^n(M_\Phi,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ et $H^n(\sn,\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ et donc:
$$H^i(M_\Phi,\sn;\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\{0\}$$
pour tout entier $i\geq0$.

Comme $\Phi$ est �quivariante, les actions $\alpha_1$ et $\alpha_2$ induisent une action $\alpha_\Phi$ sur $M_\Phi$ dont les points fixes $Fix(\alpha_\Phi)$ s'identifient aux points fixes de $\alpha_2$ (car $\alpha_1$ est sans point fixe). D'apr�s un th�or�me d� � E.~Floyd (th�or�me 7.9, chap.III, page 144 de \cite{Bre}), on a:
$$\sum_{k\geq0}{\rm dim}H^k(\underbrace{Fix(\alpha_\Phi)}_{Fix(\alpha_2)},\underbrace{Fix(\alpha_1)}_\emptyset;\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}){\leq}\sum_{k\geq0}{\rm dim}H^k(M_\Phi,\sn;\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}){=}0$$
et donc $H^k(Fix(\alpha_2),\emptyset;\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=H^k(Fix(\alpha_2);\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\{0\}$ pour tout entier $k$, ce qui implique $Fix(\alpha_2)=\emptyset$. D'o� une contradiction (remarquez que dans le cas qui nous interesse dans la suite, $\alpha_2$ agit par isom�trie, est donc $Fix(\alpha_2)$ ne pouvait �tre a priori que vide ou une sous-sph�re).
\end{proof}

\section{D�monstration des th�or�mes B et C}
\label{sec:theoBetC}

Sous les hypoth�ses des th�or�mes B et C, le rev�tement riemannien universel (resp. orientable) $(\widetilde{M},\tilde{g})$ de la vari�t� $ M$ v�rifie $\Ric\geq n-1$ et est de volume presque �gal � $\Vol\sn$. On en d�duit que $(\widetilde{M},\tilde{g})$ v�rifie $\lambda_{n+1}(\widetilde{M},\tilde{g})\leq n+C(n)\Bigl(\frac{\Vol\sn}{2}-\Vol M\Bigr)^{\beta(n)}$ (ce r�sultat d�coule qualitativement de \cite{Pe}; voir \cite{Au2} pour une autre preuve et le calcul de la forme du majorant). Le lemme \ref{quotient} implique alors que $\pi_1(M)$ (resp. le groupe du rev�tement orientable) agit librement sur $\sn$ par isom�trie et que le quotient de $\widetilde{\Phi}$ r�alise une approximation de Hausdorff de $ M$ (car le rev�tement est normal) sur  $\sn/\pi_1(M)$ (resp.  $\sn/(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$). Pour la d�monstration du th�or�me B, remarquons que le seul groupe d'isom�tries de cardinal 2 agissant librement sur $\sn$ est $\{\pm Id\}$, et donc nos vari�t�s sont proches de $\mathbb{P}^n\Re$ en distance de Gromov-Hausdorff. Pour le th�or�me $C$, remarquons que le cardinal de $\pi_1(M)$ est exactement $k$ et que les groupes d'isom�tries de $\sn$ de cardinal $k$ sont en nombre finis (quand ils existent). On en d�duit que sous les hypoth�ses des th�or�mes B et C, les vari�t�s sont proches d'un nombre finis de vari�t�s riemanniennes compactes possibles de m�me dimension. D'apr�s le th�or�me \ref{Che-Col}, on en d�duit l'existence d'une constante $\alpha(n,k)>0$ telle que nos vari�t�s soient diff�omorphes aux espaces lenticulaires annonc�s.

\section{D�monstration du th�or�me A}
\label{sec:theoA}

Nous allons en fait montrer que sur une vari�t� v�rifiant $\Ric\geq n-1$, l'existence de $n$ valeurs propres proches de $n$ implique l'existence d'une $n{+}1$-i�me valeur propre proche de $n$.

Nous commen�ons par supposer que $M$ est orientable. On munit $E$ (comme dans la section \ref{Ln+1}) de l'orientation compatible avec celle de $TM$. Si $(S_1,\cdots,S_n)$ est une famille de sections de $E$, on note $S=S_1\wedge\cdots\wedge S_n$ la section duale de la 1-forme $S\mapsto\det(S_1,\cdots,S_n,S)$. $S_1\wedge\cdots\wedge S_n$ est bien �videmment $L^2$-orthogonale aux sections $S_i$ pour tout $i$. On a de plus les relations $D^E_X(S_1\wedge\cdots\wedge S_n)=\sum_{i=1}^nS_1\wedge\cdots\wedge D^E_XS_i\wedge\cdots\wedge S_n$ pour tout $X\in TM$ et $|S_1\wedge\ldots\wedge S_n|_E\leq|S_1|_E\ldots|S_n|_E$. On peut alors d�montrer un premier r�sultat~:
\smallskip

\begin{lemma}\label{LnlapbrimpLn+1lapbr}
  Il existe des fonctions $\alpha(n)>0$ et $C(n)>0$ (explicitement calculables) telles que si $ M$ est orientable et v�rifie $\lambda_n(\overline{\lap}^E)\leq\epsilon$ (avec $\epsilon\leq\alpha(n)$) alors $\lambda_{n+1}(\overline{\lap}^E)\leq C(n)\epsilon.$
\end{lemma}
\bigskip

\begin{proof}
  Soit $(S_1,\cdots,S_n)$ une famille $L^2$-orthonorm�e de sections propres de $\overline{\lap}^E$ associ�es aux $n$ premi�res valeurs propres et $S_{n+1}=S_1\wedge\cdots\wedge S_n$. Le lemme \ref{estimSi} $(iii)$ nous donne:
$$\|D^ES_{n+1}\|_2^2\leq n^2(\max_{i\leq n}\|S_i\|_\infty)^{2n-2}\max_{i\leq n}\|D^ES_i\|_2^2\leq C(n)\epsilon.$$ 
Montrons que la norme $L^2$ de $S_{n+1}$ est proche de $1$: d'apr�s la remarque qui suit le lemme \ref{estimSi}, on a $\|S_{n+1}\|_\infty\leq\prod_{i\leq n}\|S_i\|_\infty\leq1+C(n)\sqrt{\epsilon},$
et il existe un sous-ensemble $M_\epsilon$ de $M$ tel que~:
$$\displaylines{\hfill |<S_i,S_j>_E-\delta_{ij}|\leq C(n)\epsilon^\frac{1}{4}\hfill\Vol M_\epsilon\geq\bigl(1-C(n)\epsilon^\frac{1}{4}\bigr)\Vol M\hfill}$$
Fixons un point $x$ de $M$ et $(X_1,\ldots,X_{n+1})$ un rep�re orthonorm� direct de $E_x$ tel que ${\rm Vect}\bigl(X_1,\ldots,X_n\bigr)$ et ${\rm Vect}\bigl(S_1(x),\ldots,S_n(x)\bigr)$ co�ncident, on a alors $S_1\wedge\ldots\wedge S_n=cX_{n+1}$, o� $c^2$ vaut:
$$\det\begin{pmatrix}
  <S_1,S_1>_E&\ldots&<S_n,S_1>_E\\
\Bigl|&&\Bigr|\\
<S_1,S_n>_E&\ldots&<S_n,S_n>_E
\end{pmatrix}$$
On en d�duit que:
$$\bigl||S_{n+1}(x)|^2-1\bigr|=|c^2-1|=\bigl|\det\bigl(<S_i,S_j>_E^{~}\bigr)_{ij}-\det I_n\bigr|\leq C(n)\epsilon^\frac{1}{4},$$
en tout point $x$ de $M_\epsilon$. On obtient donc~:
\begin{eqnarray*}
  \bigl|\|S_{n+1}\|_2^2-1\bigr|&\leq&\bigl|\frac{1}{\Vol M}\int_{M_\epsilon}\bigl(|S_{n+1}|^2-1\bigr)\bigr|\\&&+\bigl|\frac{1}{\Vol M}\int_{M\setminus M_\epsilon}\bigr(|S_{n+1}|^2-1\bigr)\bigr|\\
&\leq&C(n)\epsilon^\frac{1}{4}+\Bigl(1-\frac{\Vol M_\epsilon}{\Vol M}\Bigr)2C(n)\leq C(n)\epsilon^\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}
$(S_i)_{1\leq i\leq n+1}$ est donc $L^2$ presque othonorm�e et que $\|D^ES_i\|_2^2\leq C(n)\epsilon$ pour tout $1\leq i\leq n+1$. Par l'in�galit� de Cauchy-Schwarz, on obtient que pour toute combinaison lin�aire $S$ des sections $S_1,\ldots,S_n$ et $S_{n+1}$ on a $\|D^ES\|_2^2\leq C(n)\epsilon\|S\|_2^2$. Le principe du min-max conclut.
\end{proof}

On peut alors en d�duire la proposition suivante (remarquer qu'on ne suppose plus que $M$ est orientable) qui combin�e � la proposition \ref{Fiprop} et au theor�me \ref{Che-Col} d�montre le th�or�me A~:
\smallskip

\begin{proposition}\label{LnimpLn+1}
 Il existe des constantes $\alpha(n)>0$ et $C(n)>0$ (universellement calculables) telles que si $M$ v�rifie $\lambda_n(M)\leq n+\epsilon$ (avec $\epsilon\leq\alpha(n)$), alors $\lambda_{n+1}(M)\leq n+C(n)\epsilon^\frac{1}{2}.$
\end{proposition}
\medskip

\begin{remark}
  Bien �videmment, on peut d�cliner cette proposition en rempla�ant la conclusion par l'une des in�galit�s~:
$$\displaylines{\Rad M\geq\bigl(1-C(n)\epsilon^{\beta(n)}\bigr)\pi,\hfill\Vol M\geq\bigl(1-C(n)\epsilon^{\beta(n)}\bigr)\Vol\S^n\cr
\mbox{ou  }d_{GH}\bigl( M,\S^n\bigr)\leq C(n)\epsilon^{\beta(n)}}$$
o� $C(n)$ et $\beta(n)$ sont des constantes explicitement calculables.
\end{remark}

\begin{proof}
 Si $M$ est orientable, la proposition d�coule directement des propositions \ref{klapimpklapbr} $(i)$ et $(ii)$ et du lemme \ref{LnlapbrimpLn+1lapbr}. Supposons donc que $M$ n'est pas orientable. Soit $\bigl(\sqrt{n+1}.f_i\bigr)_{1\leq i\leq n}$ une famille $L^2$-orthonorm�e de fonctions propres associ�es aux $n$ premi�res valeurs propres non nulles de $ M$, soit $\pi:(\widetilde{M}^n,\tilde{g})\to M$ le rev�tement riemannien orientable de $M$ et notons $\tilde{f}_i=f_i\circ\pi$. Sur $(\widetilde{M}^n,\tilde{g})$ on obtient une fonction $\tilde{f}_{n+1}$ telle que $(\sqrt{n+1}.\tilde{f}_i)_{i\leq n+1}$ soit une famille de fonctions propres de $(\tilde{M},\tilde{g})$ associ�es � des valeurs propres proche de $n$. Le morphisme de groupe $A$ de ${\rm Gr}\bigl(\widetilde{M},M\bigr)$ dans $O_{n+1}(\Re)$ construit � partir de la famille $(\tilde{f}_i)_{i\leq n+1}$ (voir le lemme \ref{quotient}) est injectif et $A\bigl({\rm Gr}\bigl(\widetilde{M},M\bigr)\bigr)$ agit librement sur $\Re^{n+1}$. Or, l'hyperplan engendr� par $\bigl(\tilde{f}_i\bigr)_{1\leq i\leq n}$ est �videmment fix� par ${\rm Gr}\bigl(\widetilde{M},M\bigr)$, ce qui est contradictoire. 
\end{proof}

\begin{remark} La preuve de la proposition \ref{LnimpLn+1} peut se faire sans th�orie de Flyod: on sait que l'�l�ment non trivial de ${\rm Gr}\bigl(\widetilde{M},M\bigr)$ est d'ordre 2, fixe l'hyperplan engendr� par les fonctions $(f_i\circ\pi)$ et donc agit par sym�trie orthogonale hyperplane sur $\sn$. On en d�duit que l'application $\widetilde{\Phi}$ de degr� $\pm1$ construite � partir des fonctions propres $(\tilde{f}_i)_{i\leq n+1}$ passe au quotient en une application $\Phi$ de $M$ sur la demi-sph�re $\frac{1}{2}\S^n$ dont le degr� modulo $2$ est �gal � 1. Or $M$ est une vari�t� sans bord et $\frac{1}{2}\S^n$ est une vari�t� � bord (et m�me contractile), le degr� modulo 2 de $\Phi$ ne peut donc �tre que nul, d'o� une contradiction.
\end{remark}

\section{Optimalit� du th�or�me A}\label{Opt}

Pour clore cet article, nous allons montrer que pour tout entier $p\in\{1,\ldots,n{-}1\}$, il existe une suite $(g_k)_{k\in\N}$ de m�triques sur $\S^n$ qui v�rifie $\Ric\geq(n{-}1)$, $\lambda_{p}(g_k)\to n$, $\lambda_{p+1}(g_k)\to \beta(n)>n$, $Vol(g_k)\to 0$, $(\S^n,g_k)$ tend en distance de Gromov-Hausdorff vers la demi-sph�re canonique de dimension $p$ et par cons�quent, la suite des Radius tend vers $\frac{\pi}{2}$ (ce qui montre qu'aucun des r�sultats de stabilit� obtenu dans la proposition \ref{LnimpLn+1} et dans la remarque qui la suit ne se g�n�ralise sous l'hypoth�se $\lambda_{n-1}\leq n+\epsilon$). En revanche, nous n'avons pas encore r�ussi � construire une suite de vari�t�s non diff�omorphes � $\sn$ de courbure de Ricci sup�rieure � $(n{-}1)$ et telle que la suite des $\lambda_{n-1}$ tende vers $n$ (voir \cite{An2} ou \cite{Ots} pour des vari�t�s non homotopes � $\S^n$ admettant des m�triques de courbure de Ricci sup�rieure � $(n{-}1)$ et admettant une seule valeur propre arbitrairement proche de $n$).
\smallskip

\noindent{\sc{\bf Exemple.}} --- La m�trique $g_k$ est une g�n�ralisation des fuseaux en codimension quelconque. En fait, on construit $g_k$ en �crasant la m�tri-que canonique de $\sn$ dans le fibr� normal � une sous sph�re $\S^{p-1}$. La difficult� �tant de r�gulariser la m�trique sur $\S^{p-1}$ et sur son cut-locus $\S^{n-p}$ tout en pr�servant le minorant sur la courbure de Ricci. Nous d�crivons la suite $g_k$ dans le cas particulier $p=n-1$, la g�n�ralisation aux autres valeurs de $p$ ne pose aucun probl�me (notons que dans le cas $p=n$, il n'est pas possible d'�craser la m�trique dans le facteur normal).
 Soit $k$ un entier non nul. Nous commen�ons par fixer les notations suivantes:
$$\displaylines{\hfill\eta_k=\sqrt{\sin^2(\frac{1}{\sqrt{k}})+\frac{1}{k^2}\cos^2(\frac{1}{\sqrt{k}})},\hfill\epsilon_k=\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{1}{\sqrt{k}}}{k},\hfill\cr
\theta_k=\arctan\Bigl(\frac{1}{k\tan\frac{1}{\sqrt{k}}}\Bigr)-\frac{\pi}{2k}+\frac{1}{k\sqrt{k}}}$$
On note $I_k$ lintervalle $]0,\frac{\pi}{2}-\theta_k[$. Sur la vari�t� $M=I_k\times\S^1\times\S^{n-2}$, on consid�re la m�trique $g_k=dr^2+a_k(r)^2g_{\S^1}+b_k(r)^2g_{\S^{n-2}}$, o� $g_{\S^1}$ et $g_{\S^{n-2}}$ sont les m�triques canoniques des sph�res $\S^1$ et $\S^{n-2}$, et o� $a_k$ et $b_k$ sont des fonctions d�finies sur $I_k$ par les formules~:
$$\displaylines{a_k(r)=\left\{
  \begin{array}{ll}
\frac{1}{k}\sin(kr)&\mbox{sur }]0,\epsilon_k],\\
\eta_k\sin(r+\theta_k)&\mbox{sur }[\epsilon_k,\frac{\pi}{2}-\theta_k[,\end{array}\right.\hfill\cr
\mbox{ et }\cr
 b_k(r)=\left\{
  \begin{array}{ll}
\frac{\epsilon_k}{\epsilon_k+\theta_k}\cos\bigl((\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k})r\bigr)+\frac{\theta_k}{\epsilon_k+\theta_k}\cos\bigl(\theta_k+\epsilon_k\bigr)&\mbox{sur }]0,\epsilon_k],\\
\cos(r+\theta_k)&\mbox{sur }[\epsilon_k,\frac{\pi}{2}-\theta_k[.
  \end{array}\right.\hfill}$$
Remarquons que la fonction $a_k$  (resp. $b_k$) est $C^1$ sur $I_k$, $C^2$ en dehors de $\epsilon_k$ et tend vers $0$ en $0$ (resp. tend vers $0$ en $\frac{\pi}{2}-\theta_k$). La m�trique $g_k$ se prolonge en une m�trique $C^1$ sur $\S^n$ pour laquelle le cercle $\S^1$ est le cut-locus de la sous sph�re $\S^{n-2}$.

Pour minorer la courbure de Ricci, on applique les formules de calcul de la courbure de Ricci des doubles-produits tordus (voir par exemple \cite{Ots}). En un point $x$ fix� de $M$ on note $\frac{\partial}{\partial r}$ un vecteur tangent au facteur $I_k$, $u$ un �l�ment de $T_x\S^1$, $v$ un �l�ment de $T_x\S^{n-2}$. Alors, la courbure de Ricci $\Ric_k$ de $(\sn,g_k)$ v�rifie les propri�t�s suivantes:

$$\Ric_k\bigl(\frac{\partial}{\partial r},u\bigr)=\Ric_k\bigl(\frac{\partial}{\partial r},v\bigr)=\Ric_k\bigl(u,v\bigr)=0,$$
$$\displaylines{\Ric_k\bigl(\frac{\partial}{\partial r},\frac{\partial}{\partial r}\bigr)=-\frac{a''}{a}-(n-2)\frac{b''}{b}\hfill\cr
\hfill=\left\{
  \begin{array}{l}
k^2+(n-2)\bigl(\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k}\bigr)^2\frac{\cos\bigl((\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k})r\bigr)}{\cos\bigl((\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k})r\bigr)+\frac{\theta_k}{\epsilon_k}\cos\bigl(\theta_k+\epsilon_k\bigr)}\geq k^2\mbox{ sur }]0,\epsilon_k]\\
n-1\mbox{ sur }[\epsilon_k,\frac{\pi}{2}-\theta_k[\\
  \end{array}\right.}$$
$$\displaylines{\frac{\Ric_k\bigl(u,u\bigr)}{g_k(u,u)}=-\frac{a''}{a}-(n-2)\frac{a'b'}{ab}\hfill\cr
\hfill=\left\{
  \begin{array}{l}
k^2+(n-2)\frac{k\cos(kr)}{\sin(kr)}\bigl(\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k}\bigr)\frac{\sin\bigl((\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k})r\bigr)}{\cos\bigl((\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k})r\bigr)+\frac{\theta_k}{\epsilon_k}\cos\bigl(\theta_k+\epsilon_k\bigr)}\geq k^2\mbox{ sur }]0,\epsilon_k]\\
n-1\mbox{ sur }[\epsilon_k,\frac{\pi}{2}-\theta_k[\\
  \end{array}\right.}$$
et 
$$\frac{\Ric_k\bigl(v,v\bigr)}{g_k(v,v)}=-\frac{b''}{b}-\frac{a'b'}{ab}+(n-3)\Bigl(\frac{1-{b'}^2}{b^2}\Bigr)$$
Donc
$$\displaylines{\frac{\Ric_k\bigl(v,v\bigr)}{g_k(v,v)}\geq\Bigl(\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k}\Bigr)^2\frac{\cos\bigl((\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k})r\bigr)}{\cos\bigl((\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k})r\bigr)+\frac{\theta_k}{\epsilon_k}\cos\bigl(\theta_k+\epsilon_k\bigr)}\hfill\cr
\hskip1.7cm\geq\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k}\sim\frac{2}{\pi}\sqrt{k}\mbox{ sur }]0,\epsilon_k]\hfill}$$
(car $\theta_k+\epsilon_k\geq\bigl(\frac{\epsilon_k+\theta_k}{\epsilon_k}\bigr)r$) et
$$\displaylines{\frac{\Ric_k\bigl(v,v\bigr)}{g_k(v,v)}=
2+(n-3)\frac{1-\sin^2(r+\theta_k)}{\cos^2(r+\theta_k)}=n-1\mbox{ sur }[\epsilon_k,\frac{\pi}{2}-\theta_k[.}$$
On d�duit des calculs pr�c�dents que $(\S^n,g_k)$ est de courbure de Ricci sup�rieure � $(n{-}1)$ pour $k$ assez grand.

\noindent Il est �vident que le volumes des m�triques $g_k$ tend vers $0$. De plus, la suite de vari�t�s ainsi obtenue tend (en distance de Gromov-Hausdorff) vers une des h�mi-sph�res de dimension $n{-}1$ que borde la sph�re $\S^{n-2}$: notons $(N_k,h_k)$ la vari�t� $]\epsilon_k,\frac{\pi}{2}-\theta_k[\times\S^{n-2}$, munie de la m�trique $h_k=(dr)^2+\cos^2(r+\theta_k)\,g_{\S^{n-2}}$; elle est isom�trique � une boule g�od�sique de $\S^{n-1}$ de rayon $\frac{\pi}{2}-(\epsilon_k+\theta_k)$ (priv�e de son centre), donc elle converge vers la demi-sph�re $\frac{1}{2}\S^{n-1}$, munie de sa m�trique canonique. Par ailleurs, $(N_k,h_k)$ se plonge dans $(M,g_k)$ de mani�re isom�trique, via l'application $(r,v)\mapsto(r,u_0,v)$, o� $u_0$ est un point fix� de $\S^1$. De plus, la distance dans $M$ entre deux points $p=(r,u_0,v)$ et $q=(r',u_0,v')$ co�ncide avec la distance dans $N_k$ entre $(r,v)$ et $(r',v')$. Comme $d_{g_k}\bigl[(r,u,v);(r,u_0,v)\bigr]\leq\pi\,\eta_k$, on obtient que $(M,g_k)$ converge vers l'h�misph�re de $\S^{n-1}$ au sens de Gromov-Hausdorff. Il nous reste � montrer que le laplacien de ces vari�t�s admet au moins $n{-}1$ valeurs propres proches de $n$. Pour cela, nous pouvons soit appliquer \cite{Ber}, soit choisir des points $x_0,\ldots,x_{n-2}$ sur $\S^{n-2}$ de sorte que $d_{\S^{n-2}}(x_i,x_j)=\frac{\pi}{2}$ si $i\neq j$ et noter encore $x_i$ le point $(0,u_0,x_i)$ de $M$; en appliquant le principe du min-max aux $(n-1)$ fonctions $f_i(x)=\cos\bigl(d_k(x_i,x)\bigr)$ (la forme des m�triques $g_k$ fait que les int�grales � calculer convergent vers les int�grales correspondantes calcul�es sur $(\frac{1}{2}\S^{n-1},can)$; voir \cite{Au2} pour les d�tails). Enfin, les m�triques $g_k$ n'ont  pas plus de $n-1$ valeurs propres proches de $n$ car sinon, d'apr�s \cite{Ber}, les vari�t�s $(\sn,g_k)$ contiendraient une sous partie Gromov-Hausdorff proche de $(\S^{n-1},can)$; or une demi-sph�re de dimension $n-1$ ne peut contenir une partie Gromov-Hausdorff proche de la sph�re $(\S^{n-1},can).$ On remarquera toutefois que la $p$-i�me valeur propre $\lambda_p^k$ de la vari�t� $(M,g_k)$ reste born�e par une fonction de $p$ (pour $p$ quelconque) lorsque $k$ tend vers l'infini car les fonctions propres radiales pour le probl�me de Neuman de la demi-sph�re de dimension $n{-}1$ permettent de construire, comme pr�c�demment, une famille presque $L^2$-orthonorm�e de fonctions tests sur $M$ dont les quotients de Rayleigh pour la m�trique $g_k$ tendent vers le spectre pour le probl�me de Neuman de la demi-sph�re de dimension $n{-}1$. On conclut alors par le principe du min-max.

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math0505408.extracted_bib
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