D�termination du rang des tissus du plan \\et autres invariants g�om�triques
Olivier Ripoll
math0505592.tex
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\begin{document}

\title{D�termination du rang des tissus du plan \\et autres invariants g�om�triques}
\author{Olivier Ripoll}
\date{\footnotesize Octobre 2004}
\maketitle
\footnotesize\textbf{R�sum� :}\\
Soit~$\W(d)$ un~$d\tir$tissu non singulier du plan pr�sent� par une �quation diff�rentielle du premier ordre � coeff\-icients dans~$\cl\lac x,y\rac$ de la forme 
\begin{center}
$F(x,y,y'):=a_0(x,y)\cdot (y')^d+a_1(x,y)\cdot (y')^{d-1}+\cdots+a_d(x,y)=0,$
\end{center} avec~$d\geq3$ et dont on note~$(E,\pq)$ sa connexion associ�e. Nous montrons que la trace de la courbure de~$(E,\pq)$ est la somme des courbures de Blaschke des~$3\tir$tissus extraits. En outre nous indiquons comment la courbure rend compte de la lin�arisabilit� du tissu~$\W(d)$. Notre r�sultat principal est un proc�d� explicite de d�termination pour~$d$ quelconque du rang de~$\W(d)$, � partir des coeff\-icients de~$F$. En application, nous retrouvons �galemment des r�sultats connus en g�om�trie des tissus.\vesp 
\textbf{Abstract :}\\
Let~$\W(d)$ be a non singular~$d\tir$web in the plane with~$d\geq3$, presented by a first order differential equation of the type $F(x,y,y'):=a_0(x,y)\cdot(y')^d+a_1(x,y)\cdot(y')^{d-1}+\cdots+a_d(x,y)=0,$ where $a_i\in\cl\lac x,y\rac$ and let~$(E,\pq)$ be the connection associated to~$F$. We show that the trace of its curvature is the sum of the Blaschke curvatures of extracted~$3\tir$webs of $\W(d)$. Our main result is an explicit determination of the rank of $\W(d)$. We also recover some well known results in web geometry.\normalsize
\section*{Abridged english version}
Let~$\W(d)$ be a non singular~$d\tir$web in~$(\cl^2,0)$, \emph{presented} by a f\-irst order differential equation with analytic coeff\-icients
$$F(x,y,y'):=a_0(x,y)\cdot (y')^d+a_1(x,y)\cdot (y')^{d-1}+\cdots+a_d(x,y)=0.$$ \indent This \emph{implicit} presentation leads to an explicit study of some invariants of the web~$\W(d)$ as the rank, and f\-its in with the geometric study of differential equations.\esp  Using the connection~$(E,\pq)$ associated to $F$ and introduced in~[4], we can first interpret some of the coeff\-icients of its curvature matrix.\\ \indent We prove for at least~$d=4\,,5\mbox{ and }6$, that the \emph{Blaschke-Chern curvature} of~$\W(d)$, which is the trace of the curvature~$K$ of~$(E,\pq)$, is an invariant of the web, \emph{i.e.} it only depends on the web and not on the presentation chosen. Furthermore, we have the following theorem\vspace{1ex}\\
\bfseries Theorem 1. (Trace formula) \normalfont\itshape The Blaschke-Chern curvature of a~$d\tir$web~$\W(d)$ is the sum of all the Blaschke curvatures of extracted~$3\tir$webs of~$\W(d)$, for at least\\$d=4\,,5\mbox{ and }6$.\normalfont \vesp
Interpreting the coeff\-icients of the connection matrix in any adapted basis, we can show that for a non singular planar~$4\tir$web, there exists an adapted basis where the following expression of the curvature matrix holds~:~$$K=\left(\matrix{ k_1 &\dx(k_1)+L_1 & \dy(k_1)+L_2 \cr0 & 0 & 0 \cr0& 0 & 0\cr}\right)dx\wedge dy$$ where~$L_1=L_2=0$ are the conditions for a~$4\tir$web to be linearisable~(\cf [3]). Hence we can deduce from this the Poincar� theorem~:\emph{ A~$4\tir$web of maximal rank is linearisable}.\vesp In the classical case where two families of leaves of~$\W(4)$ are respectively given by~$x=const.$ and by~$y=const.$, the previous methods still hold and we get an explicit expression of the coeff\-icients of the curvature matrix, involving the Blaschke curvatures of extracted~$3\tir$webs. This allows us to prove once again the trace formula and other results.\vesp In the general case of a $d\tir$web~$\W(d)$, the existence of an adapted basis of~$(E,\pq)$ gives just one integrability relation, leading to the construction of a matrix~$(k_{m\ell})$ of dimension~$\pi_d$ with coeff\-icients in $\cl\lac x,y\rac$ which gives explicitely the rank of~$\W(d)$. Precisely, using the special construction of this matrix, and the fact that~$\mbox{Ker}\,\pq$ is a local sytem, we obtain, thanks to Nakayama's lemma, the following result~:\vspace{1ex}\\
\bfseries Theorem 2. (Determination of the rank of a non singular planar~$d\tir$web) \normalfont\itshape The following equality holds~:~$\overline{K}:=\mbox{Ker}\,(k_{m\ell})=\ol\otimes_\cl\mbox{Ker}\,\pq$, and in particular,~$rank\,\W(d)=corank\,(k_{m\ell})$.\normalfont \vesp
For instance, this result allows us to recover a weak version of a theorem due to G. Bol~: \emph{A hexagonal~$4\tir$web is of maximal rank}.
\section{Introduction � la g�om�trie des tissus du plan}
\indent La g�om�trie des tissus est consacr�e � l'�tude des familles de feuilletages en position g�n�rale et � leurs invariants.\\ \indent Soit~$\ol=\cl\{x,y\}$ l'anneau des s�ries convergentes � coeff\-icients complexes � deux variables. Un~$d\tir$tissu~$\W(d)$ non singulier de~$(\cl^2,0)$ est la donn�e d'une famille de \emph{feuilles}, germes de courbes de niveau~$\{F_i(x,y)=cste\}\mbox{ o� } F_i\in\ol$ v�rif\-ie~$F_i(0)=0$ pour tout~$1\leq i\leq d$, et satisfaisant l'hypoth�se de position g�n�rale $$dF_i(0)\wedge dF_j(0)\,\neq\,0$$ pour~$1\leq i<j\leq d$. On consid�re une �quation diff�rentielle du premier ordre de la forme~$(1)$ suivante~:
\begin{center}
$F(x,y,y'):=a_0(x,y)\cdot (y')^d+a_1(x,y)\cdot (y')^{d-1}+\cdots+a_d(x,y)=0\qquad (1)$
\end{center}
o�~$F(x,y,p)\in\ol[p]$ est sans facteurs multiples et telle que~$a_0\neq0$. \vesp On note~$R\in\ol$ le~$p\tir$r�sultant de~$F$ avec~$R=(-1)^{\frac{d(d-1)}{2}}\cdot a_0\cdot\Delta$ o�~$\Delta$ est son~$p\tir$discriminant. En dehors du lieu~$\lac R=0\rac$, les~$d$ courbes int�grales d'une �quation diff�rentielle de la forme~(1) d�f\-inissent un~$d\tir$tissu non singulier, en vertu du th�or�me de Cauchy. R�ciproquement, la donn�e d'un~$d\tir$tissu non singulier de~$(\cl^2,0)$ permet de construire, quitte � effectuer un changement de variables, une �quation diff�rentielle$$F(x,y,y'):=\prod_{i=1}^d(\dy(F_i)y'+\dx(F_i))=0$$ de la forme~(1) v�rif\-iant~$R(0)\neq0$ et dont les~$d$~solutions au voisinage de~$0$ ont les pentes $p_i(x,y):=-\dx(F_i)/\dy(F_i)\in\ol$ des feuilles du tissu.\vesp Ainsi, tout tissu du plan est \textit{implicitement pr�sent�} par une �quation diff�rentielle de la forme~(1), � un inversible pr�s. \normalfont Cette approche ne privil�gie aucune des feuilles du tissu et s'inscrit dans le cadre de l'�tude g�om�trique des �quations diff�rentielles. Cette �tude sera locale, au voisinage de~$0\in\cl^2$ et l'on suppose \itshape d�sormais \normalfont que~$R(0)\neq0$.\\\,\\
$\bullet$ \bfseries Invariants des tissus du plan. \normalfont Soit~$\mathcal{A}(d)$ le~$\cl\tir$espace vectoriel des \emph{relations ab�liennes} du tissu non singulier~$\W(d)$ liant les normales aux feuilles et � coeff\-icients constants sur celles-ci, d�f\-ini par   
$$ \mathcal{A}(d):=\big\{(g_1(F_1),\ldots g_d(F_d))\in\ol^d\mbox{ tel que }(g_i)_{i=1\ldots d}\in\cl\lac t\rac \mbox{ et }\sum_{i=1}^dg_i(F_i)dF_i=0\big\}.$$

\indent On a la majoration classique \emph{optimale} suivante~: 
\begin{center}\vspace{1ex}
$rg\,\W(d):=dim_\cl\mathcal{A}(d) \leq \pi_d:=\frac{1}{2}\,(d-1)(d-2)$
\end{center}
et l'entier~$rg\,\W(d)$ d�f\-ini ci-dessus est un \emph{invariant} du tissu~: il ne d�pend que de~$\W(d)$ et non du choix des fonctions~$F_i$, ou pareillement, de l'�quation diff�rentielle qui le pr�sente. On l'appelle le \emph{rang} du tissu non singulier~$\W(d)$ ; nous verrons qu'en g�n�ral, le rang d'un tissu est nul.\vesp 
On dit qu'un~$d\tir$tissu~$\mathcal{L}(d)$ est \emph{lin�aire} si toutes ses feuilles sont des germes de droites. Un tissu \emph{alg�brique}~$\mathcal{L}_C(d)$ est un tissu lin�aire donn� par dualit� par une courbe alg�brique r�duite~$C$ de~$\pl^2$. Si~$P(s,t)=0$ est une �quation aff\-ine de~$C$, on v�rif\-ie que dans un syst�me de coordonn�es convenables, le tissu~$\mathcal{L}_C(d)$ est pr�sent� par l'�quation~$F(x,y,p)=P(y-px,y)=0$. Un th�or�me d'Abel permet alors de montrer que les tissus alg�briques sont de rang maximal~$\pi_d$. \esp Dans~[2], S. S. Chern et P. A. Griff\-iths ont d'ailleurs plus largement illustr� le lien existant entre la g�om�trie des tissus et la g�om�trie alg�brique. Cependant, l'existence des tissus du plan \emph{exceptionnels}, qui sont de rang maximal mais non alg�brisables, et dont le premier exemple li� � la relation fonctionnelle du dilogarithme fut donn� par G. Bol,  montre que l'on ne peut r�duire l'�tude des tissus de rang maximal � celle des courbes alg�briques planes (\emph{cf.}~[1] et~[4] pour des d�veloppements r�cents). \vspace{1ex} \\
\indent La d�termination du rang d'un tissu non singulier quelconque n'�tait effective que dans le cas d'un~$3\tir$tissu~$\W(3)$. On sait en effet depuis les travaux de W. Blaschke~[1] qu'il existe une~$1\tir$forme~$\gamma$ v�rif\-iant la relation $d\omega_i=\gamma\wedge\omega_i$ o�~$\omega_i=\rho_idF_i$, avec~$\rho_i\in\ol^*$ et~$\omega_1+\omega_2+\omega_3=0$. La~$2\tir$forme~$d\gamma$ est, contrairement � $\gamma$, un invariant du tissu appel�e \emph{courbure de Blaschke} de~$\W(3)$. On a alors l'�quivalence suivante~:~$rg\,\W(3)=1$ si et seulement si~$d\gamma=0$.\vspace{1ex} \esp
Nous proposons dans cette note une m�thode explicite pour d�terminer le rang d'un~$d\tir$tissu du plan non singulier quelconque, ainsi que l'interpr�tation d'autres invariants du tissu. Notre point de d�part sera la connexion associ�e � un~$d\tir$tissu introduite par A. H�naut dans~[4] ainsi que les invariants naturels qu'elle engendre.\vesp
$\bullet$ \bfseries Relations ab�liennes \emph{via} l'annulation d'une trace, et connexion associ�e \normalfont(\emph{cf.}~[4]). Soient~$d\geq3$ et~$\W(d)$ un~$d\tir$tissu non singulier pr�sent� par~$F$ de la forme~(1) et~$S=\lac F(x,y,p)=0\rac$ la surface lisse associ�e, munie de la projection canonique~$\pi:S\lrarrow(\cl^2,0)$ induite par~$(x,y,p)\rarrow(x,y)$. \esp Soit~$(\Omega_S^\bullet,d)$ le complexe de de Rham des formes diff�rentielles sur~$S$. La formule d'interpolation de Lagrange notamment permet de montrer qu'il existe un isomorphisme de~$\cl\tir$espaces vectoriels de~$\mathcal{A}(d)$ dans 
$$\mathfrak{a}_F=\lac\omega=(b_3\cdot p^{d-3}+b_4\cdot p^{d-4}+\cdots+b_d)\cdot\frac{dy-pdx}{\partial_p(F)}\in\pi_\ast(\Omega_S^1),b_i\in\ol\mbox{ et }d\omega=0\rac,$$gr�ce auquel une relation ab�lienne est vue comme l'annulation de la trace d'un �l�ment de~$\mathfrak{a}_F$ relativement au rev�tement~$\pi$ de degr�~$d$.\esp 
Gr�ce � la fermeture des �l�ments de~$\mathfrak{a}_F$ et par identif\-ication polyn�miale, l'espace~$\mathfrak{a}_F$ est uniquement d�termin� par les solutions analytiques~$b_i$ du syst�me diff�rentiel lin�aire homog�ne~$\mathcal{M}(d)$ suivant~:\begin{center}\vspace{1ex} $\displaystyle\mathcal{M}(d)\;\;\left\{\matrix{\dx (b_d) &+&  A_{1,1}\cdot b_3 + \cdots + A_{1,d-2}\cdot b_d&=&0\cr
\dx (b_{d-1})+\dy(b_{d})&+&   A_{2,1}\cdot b_3 + \cdots + A_{2,d-2}\cdot b_d&=&0\cr
  & & & \vdots& \cr 
\dx (b_{3})+\dy(b_{4})&+&  A_{d-2,1}\cdot b_3 + \cdots + A_{d-2,d-2}\cdot b_d&=&0\cr    
\dy(b_3)&+&A_{d-1,1}\cdot b_3 + \cdots + A_{d-1,d-2}\cdot b_d&=&0\cr}\right.$\end{center}\vspace{1ex}
 
\indent Concr�tement, un syst�me de Cramer o� l'on reconnait le d�terminant de Sylvester donnant le~$p\tir$r�sultant de~$F$ permet de d�terminer les coeff\-icients~$A_{ij}$ dans~$\ol\left[1/R\right]$, et un calcul montre qu'ils sont en fait � p�les sur~$\Delta$. Ceci conduit d'ailleurs � une �tude des tissus singuliers qui fait l'objet de travaux en cours.\esp  Par la nature de ses symboles, les solutions analytiques de~$\mathcal{M}(d)$ forment un \emph{syst�me local} dont nous sommes amen�s � chercher le rang. Pour cela est  construit � partir de~$\mathcal{M}(d)$ gr�ce � la th�orie de Cartan-Spencer un \itshape f\-ibr� vectoriel complexe~$E$ de rang~$\pi_d$ sur~$(\cl^2,0)$, \normalfont inclus dans le f\-ibr� des jets~$J_{d-2}(\ol^{d-2})$ et une \itshape connexion~$\pq~: E \rarrow\Omega^1\otimes_\ol E$, non n�cessairement int�grable, dont les sections horizontales s'identif\-ient �~$\mathfrak{a}_F$. \normalfont De plus, il existe une \emph{base adapt�e} de~$(E,\pq)$ telle que sa courbure~$K$ ait pour matrice $$\lp\matrix{k_1 &k_2 & \ldots &k_{\pi_d}\cr 0&0&\ldots&0\cr \vdots &\vdots & &\vdots\cr  0&0&\ldots&0}\rp dx\wedge dy.$$ \indent Le th�or�me de Cauchy-Kowalevski assure par cons�quent que les tissus maximaux sont exactement ceux pour lesquels la connexion associ�e est int�grable. Dans le cas d'un~$3\tir$tissu, la courbure obtenue est une~$2\tir$forme qui est la \emph{courbure de Blaschke} classique du tissu. Par construction, la connexion~$(E,\pq)$ d�pend de la pr�sentation $F$ de $\W(d)$. Cependant, elle permet de d�terminer d'autres invariants que le rang, comme nous allons le voir. \vesp Dans toute la suite, on consid�re un~$d\tir$tissu du plan non singulier~$\W(d)$ pr�sent� par une �quation diff�rentielle~$F$ de la forme~(1), et dont on note la connexion associ�e~$(E,\pq)$ et la courbure~$K$. 
\section{Trace de la matrice de courbure et autres invariants}
Soit~$P_{\W(d)}$ l'unique polyn�me � coeff\-icients dans~$\ol$ de degr� inf�rieur ou �gal �~$d-1$ v�rif\-iant pour tout~$1\leq i\leq d$ l'�quation~$P_{\W(d)}(x,y,p_i)=\dx(p_i)+p_i\dy(p_i)$. Les feuilles du tissu sont solutions de l'�quation diff�rentielle~$y''=P_{\W(d)}(x,y,y')$ et~$\W(d)$ est lin�aire si et seulement si~$P_{\W(d)}$ est nul. Dans~[3] est �tabli que~$\W(d)$ est lin�arisable si et seulement si~$\deg(P_{\W(d)})\leq 3$ et ses coeff\-icients v�rif\-ient un syst�me diff�rentiel~$L_1=0$ et~$L_2=0$. Essentiellement par le calcul, on montre la proposition suivante~: \vspace{1ex} \\
\textbf{Proposition 1. }\\
	(\textit{a}) \textit{Le polyn�me~$P_{\W(d)}$ est un invariant du tissu~$\W(d)$} ;\\
	(\textit{b}) \textit{Les �l�ments~$A_{ij}$ du syst�me~$\mathcal{M}(d)$ s'expriment explicitement � partir des coeff\-icients de~$P_{\W(d)}$, et de ceux d'une forme de Pfaff dont la diff�rentielle~$\kappa \,dx\wedge dy$ est un invariant du tissu~$\W(d)$.}
\normalfont\vesp
Par cons�quent, on pr�cise les r�sultats obtenus dans~[4] concernant les \emph{invariants} engendr�s par le syst�me~$\mathcal{M}(d)$, et un calcul montre pour au moins~$d=4$ et~$5$, que les coeff\-icients de la matrice de courbure sont des invariants du tissu.\vesp
L'�criture des coeff\-icients~$A_{ij}$ en fonction notamment des coeff\-icients du polyn�me $P_{\W(d)}$, permet aussi de retrouver, � la suite de I. Nakai (\emph{cf.}~[5]), pour un~$4\tir$tissu $\W(4)$ du plan non singulier, l'\textit{�quivalence} des trois propri�t�s suivantes~:
\begin{enumerate}
	\item \textit{Pour~$1\leq i \leq 4$, les~$1\tir$formes ~$dF_i$ d�finissant~$\W(4)$ � un inversible de~$\ol$ pr�s, v�rif\-ient la relation $dF_i=s_idF_1+t_idF_4$ avec~$s_i$ et~$t_i$ distincts dans~$\pl^1$} ;
	\item \textit{Les courbures de Blaschke des~$3\tir$tissus extraits de $\W(4)$ sont �gales} ;
	\item \textit{ Le birapport des quatre pentes~$p_i$ de $\W(4)$ est constant}.
\end{enumerate}

\indent Par ailleurs, on montre que de tels tissus ne sont \textit{pas} lin�arisables, sauf s'ils sont hexagonaux (\emph{i.e.} les quatre~$3\tir$tissus extraits sont de rang~$1$)\vesp
$\bullet$ \bfseries Lin�arisation des~$4\tir$tissus. \normalfont L'introduction du polyn�me~$P_{\W(d)}$ permet aussi dans le cas o�~$d=4$ au moins, d'identif\-ier plus pr�cis�ment la courbure~$K$, en  montrant la proposition de lin�arisation suivante~:\vesp
\textbf{Proposition 2. }\itshape Avec les notations pr�c�dentes et pour un~$4\tir$tissu $\W(4)$, il existe une base adapt�e de~$(E,\pq)$ telle que la matrice de courbure dans cette base admette la forme suivante \upshape:\itshape $$\left(\matrix{ 3\kappa &3\dx(\kappa)+L_1 & 3\dy(\kappa)+L_2 \cr0 & 0 & 0 \cr0& 0 & 0\cr}\right)dx\wedge dy.$$ 
\normalfont
Par cons�quent, et gr�ce aux propri�t�s g�n�rales de~$P_{\W(d)}$ rappel�es ci-dessus,\begin{center} $\W(4)$ \textit{est lin�arisable si et seulement si, dans cette base},\\$k_2=3\dx(\kappa)$ et~$k_3=3\dy(\kappa)$.
\end{center}

\indent En fait, on montre dans le cas g�n�ral que la matrice de courbure d'un tissu lin�aire ne d�pend que de~$\kappa$ et de ses d�riv�es partielles. 
Ainsi, on red�montre avec des m�thodes propres aux syst�mes diff�rentiels, le th�or�me de Poincar� suivant~: \textit{Un~$4\tir$tissu du plan non singulier de rang maximal est lin�arisable.}\vspace{1ex}\\$\bullet$ \bfseries Tissus rectif\-i�s. \normalfont Traditionnellement, on peut pr�f�rer � la pr�sentation implicite d'un tissu, la donn�e d'un \emph{tissu rectif\-i�}, d�f\-ini par les courbes de niveaux $$(x,y,F_3(x,y),\ldots,F_d(x,y)).$$

\indent Dans le cas non singulier, un changement de variables permet de se ramener � ce cas et les m�thodes pr�c�dentes s'y appliquent et donnent le r�sultat suivant~: \vspace{1ex}\\
\textbf{Proposition 3. }\itshape Pour un~$4\tir$tissu rectif\-i�~$\W(4)$, il existe une base adapt�e de~$(E,\pq)$ telle que les coeff\-icients de la matrice de courbure soient  \upshape: $$k_1=K_x+K_y+K_3+K_4\;;\;k_2=\dx(K_y)+v_3K_y\;;\;k_3=\dy(K_x)-v_2K_x$$
\itshape avec~$P_{\W(4)}=-v_1p^3-v_2p^2-v_3p-v_4$ et o�~$K_x,K_y,K_3$ et~$K_4$ d�signent les courbures de Blaschke des~$3\tir$tissus extraits de~$\W(4)$ index�es par la feuille retir�e.\normalfont\vesp  En g�n�ral, pour $d\geq5$, cette simplicit� n'est plus et les deux approches pr�sent�es se valent alors en complexit�. On remarque dans la proposition pr�c�dente que la trace de~$K$ est la somme des courbures de Blaschke des~$3\tir$tissus extraits, ce que l'on va g�n�raliser.\vesp
$\bullet$ \bfseries Sur la trace de la courbure de~$(E,\pq)$. \normalfont En germe dans [4], et de fa�on analogue � la th�orie de Chern-Weil, la trace~$tr(K)$ de la courbure~$K$ se r�v�le d'une importance propre pour la g�om�trie du tissu~$\W(d)$ et non pas seulement du f\-ibr�~$E$. Comme nous l'avons montr� pour le moment par un calcul pour au moins~$d=4,5\mbox{ et }6$, cette trace~$tr(K)$ est un invariant de~$\W(d)$ qu'on appellera la \emph{courbure de Blaschke-Chern} de~$\W(d)$, qui de plus, rend compte des~$3\tir$tissus extraits. En effet, on a le r�sultat suivant~:\vspace{1ex}\\
\textbf{Th�or�me 1. (Formule de la trace)}\itshape$\left.\right.$ \\\indent 
Soit~$\W(d)$ un d-tissu non singulier du plan implicitement pr�sent� par~$F$, dont on note~$(E,\pq)$ la connexion associ�e, et~$K$ sa courbure. On a alors l'�galit� suivante  \upshape:\itshape 
\begin{center}
~$\displaystyle tr(K)=\sum_{k=1}^{(^d_3)} d\gamma_k$,
\end{center}
\itshape pour au moins~$d=4,5\mbox{ et }6$, o� les~$d\gamma_k$ d�signent les courbures de Blaschke des~$3\tir$tissus extraits de~$\W(d)$.\normalfont\vesp
De fa�on �quivalente, le f\-ibr� d�terminant~$(\det(E),\det(\pq))$ associ� � $(E,\pq)$ est donc isomorphe au f\-ibr� tensoriel des f\-ibr�s en droites~$(\otimes L_i, \otimes \pq_i)$  associ�s aux~$3\tir$tissus extraits. 
\section{D�termination du rang des tissus du plan~: cas g�n�ral}
\indent L'existence de bases adapt�es de~$(E,\pq)$ permet de donner un moyen effectif de d�termination du rang. \esp On note~$\gamma=\gamma_xdx+\gamma_ydy$ la matrice de connexion du tissu dans une base adapt�e donn�e et on consid�re la premi�re ligne de la matrice de courbure dans cette base not�e $k=(k_1, k_2, \ldots, k_{\pi_d})$. Les sections horizontales de la connexion~$\pq$ not�es$$f=\,^t(f_1, f_2, \ldots ,f_{\pi_d})\in E^\pq:=\mbox{Ker}\,\pq$$qui s'identif\-ient aux relations ab�liennes du tissu, \emph{via} l'espace~$\mathfrak{a}_F$, v�rif\-ient le syst�me diff�rentiel~$df+\gamma f=0.$ La condition d'int�grabilit� de ce syst�me est donn�e, gr�ce � la base adapt�e, par la \emph{seule} relation $$k\cdot f=k_1f_1+k_2f_2+\cdots+k_{\pi_d}f_{\pi_d}=0\qquad (2).$$ \indent Ces consid�rations vont nous permettre de d�montrer le th�or�me suivant~: \vspace{1ex}\\   
\textbf{Th�or�me 2. (D�termination du rang d'un tissu du plan)}\itshape~$\left.\right.$ \\\indent
Soit~$\W(d)$ un d-tissu du plan non singulier pr�sent� par~$F$, dont on note~$(E,\pq)$ la connexion associ�e, munie d'une base adapt�e. Il existe un f\-ibr� vectoriel~$\overline{K}$ de rang~$rg\,\W(d)$, noyau d'un endomorphisme de~$\ol^{\pi_d}$, \emph{explicite}, tel que l'on ait $$\overline{K}=\ol\otimes_\cl E^\pq.$$
\indent En particulier, si l'on note~$(k_{m\ell})$ la matrice de cet endomorphisme, le rang du tissu est explicitement donn� par l'�galit� suivante \upshape: \itshape$rg\,\W(d)=corang\,(k_{m\ell}).$
\normalfont\vspace{1ex}\\
\textit{D�monstration. } Elle utilise le lemme de Nakayama et fondamentalement que~$E^\pq$ est un syst�me local. On consid�re les~$\pi_d$ �quations obtenues de la d�rivation jusqu'� l'ordre~$d-3$ de l'�quation (2) o� l'on pose~$df=-\gamma f$. On obtient ainsi une matrice carr�e~$(k_{m\ell})$ d'ordre~$\pi_d$ � coeff\-icients dans $\ol$, dont la premi�re ligne est~$k$. Le~$\ol\tir$module~$\overline{K}:=\mbox{Ker}\,(k_{m\ell})$ est de type f\-ini et par construction, l'inclusion~$\ol\otimes_\cl E^\pq\subseteq \overline{K}$ est v�rif\-i�e. Pour montrer la relation annonc�e, il suff\-it de montrer que l'on a l'�galit�  $$\overline{K}=\ol\otimes_\cl E^\pq+\mathfrak{m}\cdot\overline{K}$$ en notant~$\mathfrak{m}$ l'id�al maximal de~$\ol$. On consid�re des g�n�rateurs~$(g_1,\ldots,g_r)$ de~$\overline{K}$ tels que les~$g_i(0)$ soient $\cl\tir$lin�airement ind�pendants. Soit~$g\in\overline{K}$ ; le syst�me pr�c�dent de g�n�rateurs permet de montrer que si~$g(0)=0$, alors~$g\in\mathfrak{m}\overline{K}$.\\ \indent A l'aide du th�or�me de Cauchy et gr�ce � la construction particuli�re de la matrice $(k_{m\ell})$ issue de la d�rivation de la condition d'int�grabilit� $(2)$, on montre que si~$g(0)\neq0$, il existe un germe de fonction analytique~$f$ dans~$E^\pq$ telle que\\$f(0)=g(0)$. Ainsi,~$g-f\in\overline{K}$ et v�rif\-ie~$(g-f)(0)=0$. Comme pr�c�demment, le syst�me de g�n�rateurs permet alors de montrer que~$g-f\in\mathfrak{m}\overline{K}$, ce qui prouve l'�galit� voulue entre~$\ol\tir$modules et donne une m�thode explicite d'�valuation du rang.~$\Box$ \vesp
Par cons�quent, un~$d\tir$tissu non singulier~$\W(d)$ du plan est de rang au moins~$1$ si et seulement si le d�terminant de~$(k_{m\ell})$ est nul. Ce \itshape d�terminant \normalfont est certainement un invariant du tissu~$\W(d)$, comme cela a �t� montr� dans le cas o�~$d=4$.\esp Pour un~$4\tir$tissu et avec les notations pr�c�dentes, on v�rif\-ie que la matrice~$(k_{m\ell})$ est de la forme $$(k_{m\ell})\;=\; \lp\matrix{k \cr \dx(k)-k\cdot\gamma_x\cr \dy(k)-k\cdot\gamma_y}\rp$$
\indent En �crivant explicitement la matrice~$(k_{m\ell})$ dans ce cas, les r�sultats pr�c�dents permettent de montrer que \emph{le rang d'un $4\tir$tissu~$\W(4)$ dont les courbures de Blaschke des~$3\tir$tissus extraits sont �gales et non nulles v�rif\-ie l'in�galit�~$rg\,\W(4)\leq1$}. On montre �galement qu'un~$4\tir$tissu de courbure de Blaschke-Chern nulle est de rang distinct de~$2$. Ceci nous permet par exemple de retrouver le r�sultat suivant:  \vspace{1ex}\\
\textbf{Proposition 4. }(G. Bol, cas~$d=4$)  \textit{Un~$4\tir$tissu hexagonal~$\mathcal{H}(4)$ du plan est de rang maximal}.
\vspace{1ex}\\
\textit{D�monstration. }Un tissu hexagonal~$\mathcal{H}(4)$ admet quatre relations ab�liennes � trois termes, dont deux sont n�cessairement lin�airement ind�pendantes donc $rg\;\mathcal{H}(4)$ vaut au moins $2$. Or, sa courbure de Blaschke-Chern est nulle en vertu de la formule de la trace, donc~$\mathcal{H}(4)$ ne peut �tre de rang~$2$, d'apr�s la remarque pr�c�dente et par cons�quent~$\mathcal{H}(4)$ est de rang maximal.~$\Box$\espace
\noindent\textbf{R�f�rences}\small\vspace{1ex}\\
$\left[1\right]$\quad W. BLASCHKE und G. BOL, Geometrie der Gewebe, Springer-Verlag, Berlin, 1938.\\
$\left[2\right]$\quad S. S. CHERN and P. A. GRIFFITHS, Abel's Theorem and Webs, Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. \textbf{80} (1978), 13-110.\\
$\left[3\right]$\quad A. H\'ENAUT, Sur la lin�arisation des tissus de~$\cl^2$, Topology \textbf{32} (1993), 531-542.\\
$\left[4\right]$\quad A. H\'ENAUT, On planar web geometry through abelian relations and connections, Ann. of Math. \textbf{159} (2004), 425-445.\\
$\left[5\right]$\quad I. NAKAI, Curvature of curvilinear 4-webs and pencils of one forms~: Variation on a theorem of Poincar�, Mayrhofer and Reidemeister, Comment. Math. Helv. \textbf{73} (1998), 177-205.\normalsize
\\\,\\
\footnotesize \noindent Olivier Ripoll\\ LaBAG, UMR 5467\\ 351, cours de la Lib�ration, 33405 Talence, France\\
\footnotesize\textit{Adresse e-mail}~: Olivier.Ripoll@math.u-bordeaux1.fr\normalsize
 \end{document}