Moyennabilit� int�rieure et extensions HNN
Yves Stalder\footnote{Financ� par le Fonds national suisse de la recherche scientifique, subside n� 20-101469}
We present sufficient conditions for HNN extensions to be inner amenable, respectively ICC, which give necessary and sufficient criteria among Baumslag-Solitar groups. We deduce that such a group, viewed as acting on its Bass-Serre tree, contains non trivial elements which fix unbounded subtrees.
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%--------------------------------------------------------------------

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\title{Moyennabilit� int�rieure et extensions HNN}
\author{Yves Stalder\footnote{Financ� par le Fonds national suisse de la recherche scientifique, subside n� 20-101469}}
\date{21 septembre 2005}


\begin{document}


\baselineskip=16pt

\maketitle

\selectlanguage{english}
\begin{abstract}
We present sufficient conditions for HNN extensions to be inner amenable, respectively ICC, which
give necessary and sufficient criteria among Baumslag-Solitar groups. We deduce that such a group, 
viewed as acting on its Bass-Serre tree, contains non trivial elements which fix unbounded subtrees.
\end{abstract}

\selectlanguage{french}
\begin{abstract}
On pr�sente des conditions suffisantes pour qu'une extension HNN soit int�rieurement moyennable,
respectivement CCI, qui donnent des crit�res n�cessaires et suffisants parmi les groupes de Baumslag-Solitar. 
On en d�duit qu'un tel groupe, vu comme groupe d'automorphismes de son arbre de Bass-Serre, poss�de des 
�l�ments non triviaux qui fixent des sous-arbres non born�s.
\end{abstract}

%\pagebreak

%------------------------------------------------------------------------

\section*{Introduction}

�tant donn� un groupe $\Gamma$, l'�tude de son alg�bre de von Neumann $W^*(\Gamma)$ sugg�re souvent des
propri�t�s et des questions int�ressantes concernant $\Gamma$. Par exemple, Murray et von Neumann avaient d�j� remarqu�
que $W^*(\Gamma)$ est un facteur de type $II_1$ si et seulement si le groupe $\Gamma$ est CCI, c'est-�-dire \emph{� classes de
conjugaison infinies} ; ils avaient aussi d�fini la <<~propri�t� Gamma~>> pour un tel facteur. (Voir le lemme 5.3.4 et la
d�finition 6.1.1 de \cite{MvN}.) Plus tard, Effros \cite{Eff} a montr� que cette propri�t� pour un facteur de type
$II_1$ de la forme $W^*(\Gamma)$ implique que le groupe $\Gamma$ est int�rieurement moyennable (voir la section \ref{Prelim}
pour la d�finition ou [BH86] pour une introduction plus compl�te � cette notion).
Il r�sulte imm�diatement des d�finitions que les groupes non CCI et les groupes moyennables
sont int�rieurement moyennables. Parmi les groupes CCI, il en existe qui sont
int�rieurement moyennables, par exemple le c�l�bre groupe $F$ de Thompson \cite{Jol}, et
d'autres qui ne le sont pas, par exemple les groupes libres non ab�liens.
Dans le cas des produits libres, l'�tude de ces propri�t�s est particuli�rement simple.
En effet, si $\Gamma = H * K$ est produit libre de deux groupes $H$ et $K$ non r�duits � un
�l�ment, les trois propri�t�s suivantes sont �quivalentes : (i) $\Gamma$ n'est pas CCI, (ii) $\Gamma$ est
int�rieurement moyennable et (iii) $H$ et $K$ sont chacun d'ordre deux, de sorte que $\Gamma$ est
un groupe di�dral infini. Pour des constructions plus g�n�rales, c'est un probl�me ouvert
que de formuler (m�me conjecturalement) des conditions n�cessaires et suffisantes pour les
propri�t�s d'�tre CCI et d'�tre int�rieurement moyennable. Notre objectif est d'�tablir des
crit�res s'appliquant au moins � tous les groupes de Baumslag-Solitar (voir les exemples
2.4 et 3.2).

Pour un groupe $G$, nous posons $G^* = G\setminus \{1\}$ et nous notons $Z(G)$ le centre de $G$. Tous
les groupes consid�r�s dans cet article sont suppos�s �tre d�nombrables.

\begin{Thm}\label{HNNCCI}
    Soit $\Gamma = HNN(\Lambda,H,K,\phi)$, avec $H \neq \Lambda$ ou $K \neq \Lambda$. Pour que
    $\Gamma$ soit � classes de conjugaison infinies, il suffit que toute classe de conjugaison finie de
    $\Lambda$ incluse dans $(H\cap K)^*$ contienne un �l�ment qui n'est point fixe d'aucun homomorphisme $\phi^j$ 
    (avec $j\in\N^*$).

    En particulier, si l'un au moins des groupes $\Lambda$, $H$, $K$, $H\cap K$ est CCI ou si les homomorphismes $\phi^j$
    (avec $j\in\N^*$) sont sans point fixe non trivial, le groupe $\Gamma$ est � classes de conjugaison infinies.
\end{Thm}
\begin{Prop}\label{HNNintMoy}
    Soit $\Gamma = HNN(\Lambda,H,K,\phi)$. Si pour tout $n\geqslant 1$ il existe $h_0^{(n)}, \ h_1^{(n)}, \ldots, h_n^{(n)}
    \in (Z(\Lambda) \cap H \cap K)^*$ tels que $h_i^{(n)} = \phi(h_{i-1}^{(n)})$
    pour $i = 1, \ldots, n$, alors $\Gamma$ est int�rieurement moyennable.
\end{Prop}

On donne �galement un �nonc� que nous devons � Guyan Robertson et qui assure la propri�t� CCI pour
certains groupes agissant sur des arbres (voir la proposition \ref{CCIarbres}).

\medskip

De la moyennabilit�
int�rieure, on peut encore d�duire des propri�t�s de l'action de certaines extensions HNN sur leur arbre de
Bass-Serre:
\begin{Prop}\label{CorActionArbre}
    Soit $T$ un arbre et $\Gamma$ un sous-groupe de $\text{Aut}(T)$ contenant des automorphismes hyperboliques
    transverses. Si $\Gamma$ est int�rieurement moyennable, il existe un �l�ment elliptique non trivial de $\Gamma$ qui
    fixe un sous-arbre non born� de $T$.
\end{Prop}
Ce dernier �nonc� s'applique �galement � la plupart des groupes de Baumslag-Solitar. Pour ces derniers, on
peut d'ailleurs exhiber explicitement des �l�ments qui fixent des sous-arbres non born�s.

\paragraph{Structure de l'article} La section \ref{Prelim} est consacr�e aux rappels et d�finitions
n�cessaires, la section \ref{CCI} � la propri�t� CCI et la section \ref{MoyInt} � la moyennabilit� int�rieure.
Ces deux derni�res sections sont agr�ment�es d'exemples. Enfin, la section \ref{MoyIntArbres} fait le lien
entre moyennabilit� int�rieure et actions sur les arbres.

\paragraph{Remerciements} Je voudrais remercier Paul Jolissaint, qui m'a incit� � �tudier la moyennabilit�
int�rieure des groupes de Baumslag-Solitar, ainsi que Pierre de la Harpe, dont les pr�cieuses
suggestions m'ont permis d'am�liorer sensiblement la pr�sentation de cet article. Je remercie �galement Alain Valette, 
qui m'a montr� le lemme \ref{CCIlemArbres} et la proposition \ref{CCIarbres}, dus � Guyan Robertson. Que les trois premi�res 
personnes soient en outre remerci�es pour leurs commentaires sur les pr�c�dentes versions de ce texte.

%---------------------------------------------------------------------------
\section{Pr�liminaires}\label{Prelim}

\paragraph{Moyennabilit� int�rieure et classes de conjugaison infinies} Soit $\Gamma$ un groupe (discret,
d�nombrable). Le groupe $\Gamma$ agit sur $\Gamma^*$ par conjugaison, ce qui s'exprime par la formule
$\gamma\cdot x = \gamma x\gamma^{-1}$. Par abus de langage, on note encore $\gamma$ l'application $x\mapsto
\gamma \cdot x$.
\begin{Def}\label{CCIdef}
Un groupe $\Gamma$ est dit \emph{� classes de conjugaison infinies (CCI)} s'il est infini et si toutes les
orbites de l'action pr�cit�e sont infinies, c'est-�-dire si pour tout $x\in\Gamma^*$, l'ensemble
$\{ \gamma x\gamma^{-1} : \gamma\in\Gamma \}$ est infini.
\end{Def}
Une \emph{moyenne} sur $\Gamma$ est une forme lin�aire $m: \ell^\infty (\Gamma^*) \to \mathbb{C}$ positive
(c'est-�-dire v�rifiant $m(f) \geqslant 0$ si $f \geqslant 0$) et normalis�e par $m(1)=1$.
\begin{Def}\label{MoyIntDef}
Un groupe $\Gamma$ est  dit \emph{int�rieurement moyennable} si $\Gamma = \{1\}$ ou s'il existe une moyenne
sur $\Gamma$ qui soit invariante par automorphismes int�rieurs, c'est-�-dire telle que
$m(f \circ \gamma^{-1}) = m(f)$ pour tous $\gamma \in \Gamma$ et $f \in \ell^\infty (\Gamma^*)$.
\end{Def}

Un groupe non CCI est n�cessairement int�rieurement moyennable. En effet, si $X$ est une partie finie non vide de
$\Gamma^*$ stable par conjugaison, il suffit de poser
$$
m(f) = \frac{1}{|X|} \sum_{x\in X}f(x)
$$
pour obtenir une moyenne invariante par automorphismes int�rieurs.

\paragraph{Extensions HNN} Soit $\Lambda$ un groupe, $H,K$ des sous-groupes et $\phi: H \to K$ un
isomorphisme. On d�finit l'\emph{extension HNN} de \emph{base} $\Lambda$ relativement
� $H$, $K$ et $\phi$ comme dans \cite[chapitre IV.2]{LynSch}:
$$
HNN(\Lambda,H,K,\phi) = \Pres{\Lambda, t}{t^{-1}ht = \phi(h) \ \forall h \in H} \ .
$$
Pour tout $j \geqslant 1$, d�finissons comme suit des homomorphismes $\phi^j$. On pose $\phi^1=\phi$
(en particulier $\dom (\phi^1) = \dom(\phi) = H$). Pour $j\geqslant 2$, on d�finit
r�cursivement
$$
\dom (\phi^j) = \phi^{-1} \big( \dom(\phi^{j-1}) \cap K \big) \subseteq H  \ ,
$$
et naturellement $\phi^j(h) = \phi(\phi^{j-1}(h))$ pour tout $h\in \dom(\phi^j)$.

Soit $\gamma = \lambda_0 t^{\varepsilon_1} \lambda_1 \cdots t^{\varepsilon_n} \lambda_n$ un �l�ment de
$HNN(\Lambda,H,K,\phi)$, avec $n \geqslant 0$, $\lambda_i \in \Lambda$ et $\varepsilon_i = \pm 1$.
L'�criture est dite \emph{r�duite} si elle ne contient aucun sous-mot de type $t^{-1} h t$ avec $h\in H$
ou $tkt^{-1}$ avec $k \in K$. L'�nonc� suivant est une variante du th�or�me de la forme normale dans les extensions HNN
\cite[th�or�me IV.2.1]{LynSch}. Nous nous y r�f�rerons (un peu abusivement) sous le nom de \emph{lemme de Britton}.
\begin{Lem}
Soit $\gamma = \lambda_0 t^{\varepsilon_1} \lambda_1 \cdots t^{\varepsilon_n} \lambda_n$ comme avant.
Si l'�criture est r�duite et si $\gamma = 1$, alors $n=0$ et $\lambda_0$ est l'�l�ment neutre de $\Lambda$.
\end{Lem}
Gr�ce au lemme IV.2.3 de \cite{LynSch}, on peut en outre d�finir une \emph{fonction longueur} $\ell :
HNN(\Lambda,H,K,\phi) \longrightarrow \N$ en posant $\ell(\gamma) = n$ si l'�criture $\gamma = \lambda_0 t^{\varepsilon_1}
\lambda_1 \cdots t^{\varepsilon_n} \lambda_n$ est r�duite.

\paragraph{Groupes de Baumslag Solitar} Ils sont d�finis par les pr�sentations
$$
BS(m,n) = \Pres{a,b}{ab^ma^{-1} = b^n}
$$
o� $m$ et $n$ sont des entiers non nuls. Ce sont des extensions HNN du groupe $\Z$. Plus pr�cis�ment, on a
$BS(m,n) = HNN(\Z,n\Z,m\Z,\phi)$ o� $\phi: n\Z \to m\Z$ est d�fini par $\phi(nk) = mk$. On v�rifie facilement
que dans ce cas
$$
\dom(\phi^j) = n_1^j d \Z \ \text{ pour tout } j\geqslant 1 \ ,
$$
o� $d=\text{pgcd}(m,n)$ et $n_1 = \frac{n}{d}$.

\paragraph{Arbres et th�orie de Bass-Serre} Pour les d�finitions des notions de graphe et d'arbre, on renvoie le lecteur
au chapitre I.2 de \cite{Ser}. Un automorphisme d'arbre $\alpha$ est dit \emph{sans inversion} si $\phi(e) \neq \bar e$
pour toute ar�te $e$. �tant donn� un tel automorphisme, la proposition 25 de \cite{Ser} montre que:
\begin{itemize}
  \item soit $\alpha$ est \emph{elliptique}, c'est-�-dire fixe au moins un sommet de l'arbre;
  \item soit $\alpha$ est \emph{hyperbolique}, c'est-�-dire tel qu'il existe une g�od�sique doublement infinie, appel�e
  \emph{axe}, sur laquelle $\alpha$ induit une translation d'amplitude non nulle.
\end{itemize}
Deux automorphismes hyperboliques sont dits \emph{transverses} si leurs axes n'ont qu'un nombre fini (�ventuellement
nul) de sommets en commun.

\medskip

�tant donn� une extension $\Gamma = HNN(\Lambda,H,K,\phi)$, l'\emph{arbre de Bass-Serre} associ� est le graphe donn� par
$$
Som(T) = \Gamma/\Lambda \ ; \ Ar(T) = \Gamma/H \sqcup \Gamma/K \ ; \ \overline{\gamma H} = \gamma t K \
; \ \overline{\gamma K} = \gamma t^{-1} H \ ;
$$
$$
(\gamma H)^- = \gamma \Lambda \ ; \ (\gamma H)^+ = \gamma t \Lambda \ ; \
(\gamma K)^- = \gamma \Lambda \ ; \ (\gamma K)^+ = \gamma t^{-1} \Lambda
$$
o�, �tant donn� une ar�te $e$, on note $e^-$ son origine et $e^+$ son sommet terminal.
Le chapitre I.5 de \cite{Ser} et le th�or�me 12 en particulier assurent qu'il s'agit
bien d'un arbre.\footnote{Il convient de remarquer que la d�finition d'extension HNN dans \cite{Ser} ne
correspond pas � la n�tre qui est celle de \cite{LynSch} (on passe de l'une � l'autre en rempla�ant $t$ par
$t^{-1}$).} On peut orienter $T$ de mani�re � ce que l'action �vidente de $\Gamma$ sur $T$ pr�serve l'orientation en posant
$$
Ar_+(T) = \Gamma/H \ ; \ (\gamma H)^- = \gamma \Lambda \ ; \ (\gamma H)^+ = \gamma t \Lambda \ .
$$
Relevons que cet arbre orient� est doublement r�gulier: en chaque sommet  de $T$ les ar�tes sortantes sont
en bijection avec $\Lambda / H$  tandis que les ar�tes entrantes sont en bijection avec  $\Lambda / K$.


%---------------------------------------------------------------------------
\section{Classes de conjugaison infinies}\label{CCI}

Le premier objectif de cette section est de prouver le th�or�me \ref{HNNCCI}. On traite s�par�ment
les �l�ments du sous-groupe $H\cap K$ et les autres.
\begin{Lem}\label{LemTypes}
    Soit $\Gamma = HNN(\Lambda,H,K,\phi)$, avec $H \cap K \neq \Lambda$. Pour tout \linebreak $\gamma \in \Gamma
    \setminus (H \cap K)$, la classe de conjugaison de $\gamma$ dans $\Gamma$ est infinie.
\end{Lem}
\begin{proof}
Si $\gamma\in \Lambda \setminus H$, les �l�ments $t^{-n}\gamma t^n$ (avec $n\in \N^*$) sont distincts deux � deux par
le lemme de Britton. Si $\gamma\in \Lambda \setminus K$, il en est de m�me des �l�ments $t^{n}\gamma t^{-n}$. Il ne reste
donc que le cas $\gamma \in \Gamma \setminus \Lambda$ � traiter, pour lequel on supposera $K \neq \Lambda$, laissant
la v�rification  du cas analogue $H \neq \Lambda$ au lecteur.

Soit $\gamma = \lambda_0 t^{\varepsilon_1} \lambda_1 \cdots t^{\varepsilon_{n}}\lambda_{n}$ une �criture
r�duite (avec $n \geqslant 1$) et soit $C$ la classe de conjugaison de $\gamma$. Il suffit d'exhiber une
suite $(\gamma_j)$ d'�l�ments de $C$ telle que $\lim_{j\to\infty}\ell(\gamma_j) = +\infty$.

Si $\varepsilon_1 = -1$, on trouve $\sigma \in \Lambda$ tel que $\sigma \lambda_0 \not\in K$ gr�ce � l'hypoth�se
$\Lambda \neq K$. On pose ensuite
$$
\gamma_1 = t^{-\varepsilon_n} \sigma \gamma \sigma^{-1} t^{\varepsilon_n} = t^{-\varepsilon_n} (\sigma\lambda_0)
t^{-1} \lambda_1 t^{\varepsilon_2} \lambda_2 \cdots t^{\varepsilon_{n}} (\lambda_{n} \sigma^{-1}) t^{\varepsilon_n}
$$
et la derni�re �criture est r�duite par construction. Il suffit alors de poser $\gamma_j = t^{-\varepsilon_n}
\gamma_{j-1}t^{\varepsilon_n}$ pour $j\geqslant 2$ car il vient $\ell(\gamma_j)= n+2j \to \infty$ pour $j \to
\infty$.

Si $\varepsilon_n = 1$, on trouve $\tau \in \Lambda$ tel que $\lambda_n \tau \not\in K$ gr�ce � l'hypoth�se
$\Lambda \neq K$. On pose ensuite
$$
\gamma_1 = t^{\varepsilon_1} \tau^{-1} \gamma \tau t^{-\varepsilon_1} = t^{\varepsilon_1} (\tau^{-1}\lambda_0)
t^{\varepsilon_1} \lambda_1 \cdots t^{\varepsilon_{n-1}} \lambda_{n-1} t (\lambda_{n} \tau) t^{-\varepsilon_1}
$$
et la derni�re �criture est r�duite par construction. Il suffit alors de poser $\gamma_j = t^{\varepsilon_1}
\gamma_{j-1}t^{-\varepsilon_1}$ pour $j\geqslant 2$ car il vient $\ell(\gamma_j)= n+2j \to \infty$ pour $j \to
\infty$.

Enfin, si $\varepsilon_1 = 1$ et $\varepsilon_n = -1$, il suffit de poser $\gamma_j = t^j\gamma t^{-j}$ pour
obtenir $\ell(\gamma_j)= n+2j \to \infty$ pour $j \to \infty$.
\end{proof}


\begin{Lem}\label{LemTypeI}
Soit $\Gamma = HNN(\Lambda,H,K,\phi)$ et soit $\gamma\in (H \cap K)^*$. On note $C_\Gamma$ (respectivement $C_\Lambda$)
la classe de conjugaison de $\gamma$ dans $\Gamma$ (respectivement $\Lambda$).  Pour que la classe $C_\Gamma$ soit infinie,
il suffit qu'une au moins des conditions suivantes soit satisfaite:
\begin{enumerate}
  \item[(a)] la classe $C_\Lambda$ est infinie;
  \item[(b)] la classe $C_\Lambda$ contient un �l�ment qui n'est point fixe d'aucun homomorphisme $\phi^j$
  (avec $j\in \N^*$).
\end{enumerate}
\end{Lem}

On convient qu'un �l�ment situ� hors du domaine de $\phi^j$ n'est pas un point fixe de cet homomorphisme.

\medskip

\begin{proof}
Si $C_\Lambda$ est infinie, il en est de m�me de $C_\Gamma$ car $C_\Lambda \subseteq C_\Gamma$.

S'il existe un �l�ment $c$ de $C_\Lambda$ qui n'est point fixe d'aucun $\phi^j$ (pour $j\in \N^*$), on a
$t^{-n} c t^n \neq c$ pour tout $n \in \N^*$. En effet, la relation $t^{-n} c t^n = c$ impliquerait
$\phi^{n}(c) = c$ gr�ce au lemme de Britton. Par cons�quent, l'ensemble $\{t^{-n} c t^n : n\in \N\}$
est infini. Comme il est inclus dans la classe $C_\Gamma$, cette derni�re est �galement infinie.
\end{proof}

\medskip

\begin{sproof}{du th�or�me \ref{HNNCCI}}
Soit $\gamma \in \Gamma^*$. Si la classe de conjugaison de $\gamma$ est contenue dans $(H\cap K)^*$ les hypoth�ses
impliquent qu'une des conditions (a),(b) du lemme \ref{LemTypeI} est satisfaite, ce qui entra�ne que la classe de conjugaison
de $\gamma$ est infinie. Dans le cas contraire, on obtient la m�me conclusion gr�ce au lemme \ref{LemTypes}.
\end{sproof}

\medskip

La proposition suivante s'applique � un des cas d'extension HNN non couverts par le th�or�me \ref{HNNCCI}, c'est-�-dire au cas
d'un produit semi-direct $\Z\ltimes_{\phi} \Lambda$ associ� � un automorphisme $\phi$ de $\Lambda$ (cas o�
$H=\Lambda = K$).

\begin{Prop}\label{HNNCCI2}
Soit $\Gamma = HNN(\Lambda,H,K,\phi)$. Si $\Lambda$ est non trivial et si les homomorphismes $\phi^j$
(avec $j\in\N^*$) sont sans point fixe non trivial, alors $\Gamma$ est CCI.
\end{Prop}
\begin{proof}
Par le th�or�me \ref{HNNCCI}, il ne reste que le cas $H=\Lambda=K$ � traiter. Tout �l�ment de $\Gamma$ peut
alors s'�crire sous la forme $\lambda t^n$ avec $\lambda \in \Lambda$ et $n\in\Z$. Supposons par
l'absurde qu'il existe un �l�ment $\gamma \in \Gamma^*$ dont la classe de conjugaison est finie.

On peut supposer que $\gamma = \lambda t^n$ avec $\lambda \in \Lambda^*$. En effet, si $\gamma = t^n$ avec
$n\in\Z^*$, on prend $\mu \in \Lambda^*$ (ce qui est licite car $\Lambda$ est non trivial) et on n'a plus
qu'� remplacer $\gamma$ par $\mu^{-1} \gamma \mu = \mu^{-1} \phi^{-n}(\mu) t^n$ puisque $\phi^{-n}$ est sans
point fixe non trivial. (Remarquons que la d�finition des it�r�s de $\phi$ ne pose pas de probl�me ici puisqu'il
s'agit d'un automorphisme de $\Lambda$.)

Comme la classe de conjugaison de $\gamma$ est finie, il en est de m�me de l'ensemble
$
\{t^{-j} \gamma t^j : j\in \N \} = \{\phi^j(\lambda) t^n : j \in \N \}
$,
ce qui montre qu'il existe $j \in \N^*$ tel que $\phi^j(\lambda) = \lambda$. On a obtenu la contradiction
cherch�e (avec les hypoth�ses).
\end{proof}

\medskip

On passe maintenant � des exemples d'extensions HNN � classes de conjugaison infinies. Bien que nous n'en
ayons pas trouv� trace dans la litt�rature, ils sont peut-�tre d�j� connu des experts.

\begin{Ex}
�tant donn�s deux entiers non nuls $m$ et $n$, le groupe de Baumslag-Solitar $BS(m,n)$ est CCI si et
seulement si $|m| \neq |n|$.
\end{Ex}
\begin{proof}
Si $m=n$, l'�l�ment $b^m$ est central dans $BS(m,m)$ et donc seul dans sa classe de conjugaison.
Si $m=-n$, l'ensemble $\{ b^m, b^{-m} \}$ est une classe de conjugaison finie.

Si $|m| \neq |n|$, le th�or�me \ref{HNNCCI} implique que $BS(m,n)$ est CCI.
En effet, les homomorphismes $\phi^j$ associ�s � la structure d'extension HNN de $BS(m,n)$ sont sans point fixe non trivial.
\end{proof}

\begin{Ex}
Si $\Gamma = HNN(\Lambda,H,K,\phi)$ avec $\Lambda = \Z^d = H$, les conditions suivantes sont �quivalentes:
\begin{enumerate}
  \item[(i)] le groupe $\Gamma$ est CCI;
  \item[(ii)] aucune des valeurs propres complexes de l'endomorphisme $\phi$ n'est une racine de l'unit�.
\end{enumerate}
\end{Ex}
\begin{proof}
$(i) \Rightarrow (ii)$: Par contraposition, supposons que $\phi$ poss�de une valeur propre $\mu$ telle que
$\mu^j = 1$ ($j\in\N^*$). Comme $1$ est valeur propre de $\phi^j$, celui-ci poss�de un point fixe non nul dans
$\mathbb{Q}^d$. Il poss�de donc aussi un point fixe non nul dans $\Z^d$, qu'on note $\lambda$. Par suite, l'ensemble $\{\lambda,
\phi(\lambda), \ldots, \phi^{j-1}(\lambda)\}$ est une classe de conjugaison finie de $\Gamma$.

$(ii) \Rightarrow (i)$: Pour tout $j\in \N^*$, l'endomorphisme $\phi^j$ est sans point fixe non trivial car $1$ n'en est
pas valeur propre. La proposition \ref{HNNCCI2} assure donc que $\Gamma$ est CCI.
\end{proof}


\medskip

Nous donnons maintenant un dernier exemple, qui montre que la condition du th�or�me \ref{HNNCCI} n'est pas n�cessaire.

\begin{Ex}
Posons $\Lambda = BS(m,m)$, avec $m\in \Z, |m| \geqslant 2$. Les �l�ments $a$ et $b^m$ engendrent un sous-groupe
isomorphe � $\Z^2$, qu'on note $H$. On consid�re $\Gamma = HNN(\Lambda,H,H,\phi)$, o� $\phi: H \to H$ est d�fini
par $\phi(a) = b^m$ et $\phi(b^m) = a$.
\begin{enumerate}
  \item[(1)] Le groupe $\Gamma$ est CCI.
  \item[(2)] Il existe une classe de conjugaison finie de $\Lambda$ contenue dans $H^*$ et dont tous les �l�ments sont 
  des points fixes d'homomorphismes de la forme $\phi^j$, avec $j\in \N$.
\end{enumerate}
\end{Ex}
\begin{proof}
(1) Soit $\gamma$ un �l�ment de $\Gamma$ dont la classe de conjugaison est finie. On doit montrer que $\gamma
= 1$. Par le lemme \ref{LemTypes}, $\gamma$ est un �l�ment de $H$, et donc �galement de $\Lambda$. Mais
on peut �crire $\Lambda = HNN(\Z,m\Z,m\Z,\text{id})$, o� la base $\Z$ correspond au sous-groupe engendr� par $b$.
� nouveau gr�ce au lemme \ref{LemTypes} on a $\gamma= b^{\ell m}$ avec $\ell \in \Z$. Par suite,
$t^{-1}\gamma t = a^\ell$, ce qui montre que la classe de conjugaison de $a^\ell$ est finie. Toujours gr�ce au lemme
\ref{LemTypes}, on obtient alors
$\ell = 0$, ce qui donne finalement $\gamma = 1$ comme d�sir�.

(2) L'�l�ment $b^m$ de $H^*$ est central dans $\Lambda$. Il est donc seul dans sa classe de conjugaison. De plus,
on a $\phi^2(b^m) = b^m$.
\end{proof}

\medskip

Les deux �nonc�s suivants, dus � Guyan Robertson, montrent plus g�n�ralement que certains groupes
d'automorphismes d'arbres sont � classes de conjugaison infinies.
\begin{Lem}\label{CCIlemArbres}
Soit $\Gamma$ un groupe agissant fid�lement et isom�triquement sur un espace m�trique $(X,d)$ de telle mani�re
que le quotient $\Gamma \backslash X$ soit fini. Si $\gamma$ est un �l�ment de $\Gamma$ dont la classe de
conjugaison est finie, alors il existe $K_\gamma >0$ tel que $d(x,\gamma x) \leqslant K_\gamma$ pour tout $x \in X$.
\end{Lem}
\begin{proof}
Soit $F\subseteq X$ un ensemble de repr�sentants des orbites; cet ensemble est fini. La classe de conjugaison
de $\gamma$ �tant finie, on peut poser
$$
K_\gamma = \max \{ d(y,g\gamma g^{-1}y) : g\in \Gamma, y\in F \} \ .
$$

Si $x$ est un �l�ment quelconque de $X$, on trouve $g$ dans $\Gamma$ et $y$ dans $F$ tels que $y=gx$. Alors
$d(x,\gamma x) = d(g^{-1}y, \gamma g^{-1}y) = d(y,g\gamma g^{-1}y) \leqslant K_\gamma$.
\end{proof}
\begin{Prop}\label{CCIarbres}
Soit $X$ un arbre dont tous les sommets ont au moins trois voisins. Si un groupe $\Gamma$ agit fid�lement
sur $X$ de telle mani�re que le quotient $\Gamma \backslash X$ soit fini, alors il est CCI.
\end{Prop}
\begin{proof}
Soit $\gamma$ un �l�ment de $\Gamma$ dont la classe de conjugaison est finie. On veut montrer que
$\gamma = 1$. Comme l'action est fid�le, il suffit de montrer que $\gamma$ agit trivialement sur $X$.

On commence par supposer (par l'absurde) que l'�l�ment $\gamma$ est hyperbolique. Comme tout sommet de $X$ a au moins
trois voisins, on peut trouver un sommet $x_n$ � distance $n$ de l'axe pour tout $n \geqslant 1$. Mais alors,
$d(x_n, \gamma x_n) \geqslant 2n$, ce qui contredit le lemme \ref{CCIlemArbres}.

Par cons�quent, $\gamma$ fixe au moins un sommet de $X$. Notons $T$ le sous-arbre de $X$ form� des points
fixes de $\gamma$. On suppose par l'absurde que $T\neq X$. Dans ce cas, comme tout sommet est de degr�
au moins trois, on trouve $x_n$ � distance $n$ de $T$ pour tout $n \geqslant 1$. Comme $\gamma$ ne fixe aucun
sommet de la g�od�sique joignant $x_n$ � $T$, on a $d(x_n,\gamma x_n) = 2n$ pour tout $n$, ce qui contredit le lemme
\ref{CCIlemArbres}.

Ainsi, $T=X$, ce qui signifie que $\gamma$ agit trivialement sur $X$.
\end{proof}

\medskip

La proposition \ref{CCIarbres} s'applique en particulier au cas d'une extension $\Gamma = HNN(\Lambda,H,K,\phi)$ telle
que $[\Lambda:H] \geqslant 3$, $[\Lambda:K] \geqslant 3$ et $\bigcap_{\gamma\in\Gamma} \gamma^{-1}H\gamma =
\{1\}$, et de m�me au cas d'un produit libre $H*_L K$ avec amalgamation au-dessus d'un sous-groupe commun $L$ de $H$ et
$K$,
tel que $[H:L] \geqslant 3$, $[K:L] \geqslant 3$ et $\bigcap_{\gamma\in\Gamma} \gamma^{-1}L\gamma = \{1\}$.
Terminons par un exemple d'extension HNN montrant que le th�or�me \ref{HNNCCI} n'est pas cons�quence
de la proposition \ref{CCIarbres}.
\begin{Ex}
Consid�rons le groupe $\Lambda = \F_2 \times (\oplus_{\Z}\Z)$, de pr�sentation
$$
\Lambda = \Pres{a,b,e_i \ (i\in\Z)}{[a,e_i],[b,e_i],[e_i,e_j] \ (i,j\in\Z)} \ .
$$
Soit $H$ le sous-groupe engendr� par les $e_i$ et $\phi:H \to H$ l'homomorphisme d�fini par la formule
$\phi(e_i) = e_{i+1}$. Soit encore $\Gamma = HNN(\Lambda,H,H,\phi)$.

Alors les homomorphismes $\phi^j$
(avec $j\in\N^*)$ sont sans point fixe non trivial (en particulier $\Gamma$ est CCI par le th�or�me \ref{HNNCCI}),
mais l'action de $\Gamma$ sur son arbre de Bass-Serre n'est pas fid�le.
\end{Ex}
\begin{proof}
Il est �vident que les homomorphismes $\phi^j$ (avec $j\in\N^*)$ sont sans point fixe non trivial. D'autre part,
le sous-groupe $H$ est normal dans $\Gamma$ par construction. Notons $T$ l'arbre de Bass-Serre de $\Gamma$.
On a $Ar_+(T) = \Gamma / H$, de sorte que  le sous-groupe $H$ fixe toutes les ar�tes de l'arbre de
Bass-Serre. Ainsi, l'action de $\Gamma$ sur $T$ n'est pas fid�le.
\end{proof}

%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Moyennabilit� int�rieure}\label{MoyInt}

Nous nous int�ressons maintenant � montrer que certaines extensions HNN sont int�rieurement moyennables.
La preuve qui suit s'inspire du corollaire 2.5. de \cite{Jol}.

\medskip

\begin{sproof}{de la proposition \ref{HNNintMoy}} Sans nuire � la g�n�ralit�, on peut supposer que le groupe
$\Gamma$ est CCI. Il s'ensuit que pour tout $n$, les �l�ments $h_0^{(n)}, \ldots, h_n^{(n)}$ sont deux � deux
distincts. En effet, si $h_i^{(n)} = h_j^{(n)}$ (avec $i<j$), l'ensemble $\{ h_i^{(n)}, \ldots h_{j-1}^{(n)}\}$
est une classe de conjugaison finie.

Nous allons construire une moyenne sur $\Gamma$
qui soit invariante par automorphismes int�rieurs. Soit $\omega$ un ultrafiltre sur $\N^*$ plus fin
que le filtre de Fr�chet\footnote{Il est �quivalent de demander que $\omega$ soit un ultrafiltre libre.}.
On pose pour $f \in \ell^\infty (\Gamma^*)$ :
\begin{eqnarray*}
    \mu_n(f)      & = & \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(h_i^{(n)}) \quad (n \in \N^*)   \\
    \mu_\omega(f) & = & \underset{n\to\omega}{\lim} \ \mu_n(f) \ .
\end{eqnarray*}
La limite existe car la suite $(\mu_n(f))_n$ est born�e et $\omega$ est un ultrafiltre. La forme lin�aire
$\mu_\omega$ sur $\ell^\infty(\Gamma^*)$ est positive et normalis�e. Il reste � voir
qu'elle est invariante par automorphismes int�rieurs. Comme $\Gamma$ est engendr� par $\Lambda$ et $t$, cela revient �
montrer:
\begin{enumerate}
  \item[(1)] $\mu_\omega(f \circ S_\lambda) = \mu_\omega(f)$ pour tout $\lambda \in \Lambda$, o� $S_\lambda(\gamma)
  = \lambda^{-1} \gamma \lambda$;
  \item[(2)] $\mu_\omega(f \circ T) = \mu_\omega(f)$, o� $T(\gamma) = t^{-1} \gamma t$.
\end{enumerate}
Comme les $h_i^{(n)}$ sont centraux dans $\Lambda$, on a $S_\lambda(h_i^{(n)}) = h_i^{(n)}$ pour tout $n \in \N^*$ et
pour tout $i= 1,\ldots,n$. Cela montre (1). Pour montrer (2), on constate d'abord que:
\begin{eqnarray*}
    \mu_n(f\circ T) & = & \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\circ T(h_i^{(n)})
                        = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(t^{-1} h_i^{(n)} t)   \\
                    & = & \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\circ \phi(h_i^{(n)})
                        = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} f(h_{i+1}^{(n)})          \\
                    & = & \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n f(h_i^{(n)})
                        = \mu_n(f) + \frac{1}{n} \big( f(h_n^{(n)}) - f(h_0^{(n)}) \big)
\end{eqnarray*}
Le dernier terme tend vers $0$ selon $\omega$. Il suit
que $\mu_\omega(f \circ T) = \mu_\omega(f)$.
\end{sproof}

\begin{Rem}
    Pour prouver la proposition \ref{HNNintMoy}, il est plus rapide de v�rifier la condition (F) du th�or�me
    1 de \cite{BedHar}. On suppose comme avant que $\Gamma$ est CCI, de sorte que les $h_i^{(n)}$ sont deux �
    deux distincts. On constate alors qu'on peut prendre $F_n = \{ h_1^{(n)}, \ldots, h_{n-1}^{(n)} \}$ pour
    $n \geqslant 2$. En effet $|\lambda F_n \lambda^{-1} \vartriangle F_n| = 0$ pour $\lambda \in \Lambda$ et
    $|t^{\pm 1} F_n t^{\mp 1} \vartriangle F_n| = 2$. Par suite, $|\gamma F_n \gamma^{-1} \vartriangle F_n|
    \leqslant 2\ell(\gamma)$ pour tous $\gamma \in \Gamma$ et $n\geqslant 2$. Pour tout $\gamma\in \Gamma$ il
    vient donc
    $$
    \underset{n \to \infty}{\text{lim}} \frac{|\gamma F_n \gamma^{-1} \vartriangle F_n|}{|F_n|} = 0 \ .
    $$
\end{Rem}

L'exemple suivant infirme la proposition 4.3 de \cite{BegCec}.\footnote{Pour d�montrer leur �nonc�, les
auteurs ont voulu utiliser la proposition 7 de \cite{BedHar}.
Dans la v�rification des hypoth�ses, ils ont suppos� � tort que les �l�ments du groupe d�finissant des
automorphismes elliptiques de l'arbre de Bass-Serre fixaient un unique sommet. Voir aussi l'exemple \ref{BSfix}}
\begin{Ex}\label{BSintMoy}
Le groupe $BS(m,n)$ est int�rieurement moyennable quels que soient les entiers non nuls $m$ et $n$.
\end{Ex}
\begin{proof}
Le groupe $BS(m,n)$ �tant une extension HNN, il suffit de v�rifier qu'on peut appliquer la proposition
\ref{HNNintMoy}. Pour tout $k \geqslant 1$, il suffit de poser $h_i^{(k)} =
b^{m^{i+1} n^{k-i+1}}$ pour obtenir $h_i^{(k)} = \phi(h_{i-1}^{(k)})$ pour tout $i = 1, \ldots, k$.
En outre, la base �tant commutative, ces �l�ments sont bien centraux.
\end{proof}

\begin{Ex}\label{AscintMoy}
Si $\Lambda$ est ab�lien et si $H=\Lambda$, alors $\Gamma = HNN(\Lambda,H,K,\phi)$ est int�rieurement
moyennable.
\end{Ex}
\begin{proof}
Si $\Lambda$ est trivial, on a $\Gamma = \Z$ et ce groupe est int�rieurement moyennable. Sinon, il suffit de
prendre $\lambda \in \Lambda^*$ et de poser $h_i^{(n)} = \phi^i(\lambda)$ pour pouvoir appliquer la
proposition \ref{HNNintMoy}
\end{proof}

\medskip

Nous terminons cette section en donnant des exemples qui infirment les points (d) et (e) du th�or�me 5 de
\cite{BedHar}\footnote{Dans cet article �galement, les auteurs ont suppos� � tort que les �l�ments elliptiques
(pour l'action sur l'arbre de Bass-Serre associ�) fixaient un seul sommet. Dans le cas (c) du th�or�me vis�,
par contre, cette hypoth�se est v�rifi�e car les stabilisateurs des ar�tes sont triviaux.}, qui donnaient des
obstructions � la moyennabilit� int�rieure pour des groupes du type $\Gamma = H *_A K$, respectivement $\Gamma =
HNN(H,A,B,\phi)$.

De nouvelles obstructions � la moyennabilit� int�rieure pour les extensions HNN et produits amalgam�s
peuvent par contre �tre obtenues en appliquant la proposition \ref{CorActionArbre} aux actions sur les
arbres de Bass-Serre correspondants.

\begin{Rem}
L'hypoth�se principale des points (d) et (e) dans \cite{BedHar} �tait:  <<~pour toute partie finie
$F\subseteq \Gamma^*$, il existe $\gamma \in \Gamma$ tel que $\gamma F \gamma^{-1} \cap A = \varnothing$~>>.
G�om�triquement parlant, cette condition assure que les actions des groupes sur leur arbre de Bass-Serre
et sur le bord de ce dernier sont fortement fid�les. Voir par exemple le lemme 9, sa preuve et la remarque
pr�c�dent la proposition 11 dans \cite{Har}.
\end{Rem}

Le groupe $BS(2,3)$ fournit un contre-exemple au point (e). En effet, on a vu dans l'exemple \ref{BSintMoy}
que ce groupe est int�rieurement moyennable tandis que le lemme qui suit montre que les hypoth�ses de (e)
sont satisfaites.
\begin{Lem}\label{HNNFidFort}
    Si $\Gamma = HNN(\Lambda,H,K,\phi)$ est tel que pour tout $\lambda \in \Lambda$, il existe $k \in \N$
    avec $\phi^k(\lambda) \not \in H$, alors pour toute partie finie $F$
    de $\Gamma^*$ et pour $n$ suffisamment grand, on a $t^{-n} F t^n \cap \Lambda = \varnothing$.
\end{Lem}

\begin{proof} Il suffit de montrer que pour tout $\gamma \in \Gamma^*$ et pour $n$
suffisamment grand, on a $t^{-n} \gamma t^n \not \in \Lambda$. On prend donc $\gamma \in \Gamma^*$ et on suppose
pour �viter la trivialit� qu'il existe $n_0 \in \N$ avec $t^{-n_0} \gamma t^{n_0} \in \Lambda$. Pour $n \in \N$,
on pose $\gamma_n = t^{-n_0 - n} \gamma t^{n_0 + n}$. Par hypoth�se, il existe $k \in \N$ tel que $\gamma_{k}
\in \Lambda \setminus H$. Les �critures $\gamma_{k+n} = t^{-n} \gamma_k t^n$ sont alors r�duites pour tout
$n \geqslant 1$. Donc pour $n > n_0 + k$, on a bien $t^{-n} \gamma t^n \not \in \Lambda$.
\end{proof}

\medskip

Le contre-exemple au point (d) est le suivant:
\begin{Ex}\label{contrex5d}
Consid�rons le groupe
$$
\Gamma = \Pres{a_1,a_2,b}{a_1 b^2 a_1^{-1} = b^3, a_2 b^2 a_2^{-1} = b^3} = BS(2,3)*_\Z BS(2,3) \ :
$$
\begin{enumerate}
 \item[(1)] il est int�rieurement moyennable;
 \item[(2)] pour tout ensemble fini $F$ d'�l�ments de $\Gamma^*$, il existe $\gamma \in \Gamma$ tel que $\gamma F
 \gamma^{-1} \cap \langle b \rangle = \varnothing$.
\end{enumerate}
\end{Ex}

\begin{proof} (1) Il est facile de voir que la suite de parties
$$
F_n = \{ b^{2^n}, b^{2^{n-1}\cdot 3}, \ldots, b^{2\cdot 3^{n-1}}, b^{3^n} \}
$$
satisfait la condition (F) du th�or�me 1 de \cite{BedHar}.

(2) On se donne $g \in \Gamma^*$. Il suffit de montrer que, pour $n$ suffisamment grand, l'�l�ment $(a_1a_2)^n
g (a_1a_2)^{-n}$ n'est pas une puissance de $b$. Pour �carter le cas trivial, on peut supposer qu'il existe
$n_0$ tel que $(a_1a_2)^{n_0} g (a_1a_2)^{-n_0}$ soit une puissance de $b$. Vu les relations qui d�finissent
$\Gamma$ il existe $n_1 \geqslant n_0$ tel que $(a_1a_2)^{n_1} g (a_1a_2)^{-n_1} = b^k$ avec $k$ non
divisible par $4$. On aura d�s lors:
\begin{eqnarray*}
(a_1a_2)^{n_1 + 1} g (a_1a_2)^{-n_1 -1} & = & a_1 b^{3\frac{k}{2}}a_1^{-1} \hspace{1cm} \text{ si } k \text{ est pair;} \\
(a_1a_2)^{n_1 + 1} g (a_1a_2)^{-n_1 -1} & = & a_1a_2 b^k a_2^{-1}a_1^{-1} \hspace{2mm} \text{ si } k \text{ est impair.}
\end{eqnarray*}
Les expressions $a_1 b^{3\frac{k}{2}}a_1^{-1}$ et $a_2 b^k a_2^{-1}$ ne sont pas r�ductibles dans $BS(2,3)$
(par le lemme de Britton). Pour $n > n_1 + 1$, l'�l�ment $(a_1a_2)^{n} g (a_1a_2)^{-n}$ n'est donc pas
une puissance de $b$ \cite[th�or�me IV.2.6]{LynSch}.
\end{proof}

%---------------------------------------------------------------------------
\section{Moyennabilit� int�rieure et arbres}\label{MoyIntArbres}

�tant donn� un arbre $T$, on note $\partial T$ l'espace des bouts de $T$. Remarquons que les automorphismes
de $T$ d�finissent des hom�omorphismes de l'espace $T\cup \partial T$. De plus un automorphisme de $T$ est
hyperbolique si et seulement s'il d�finit un hom�omorphisme hyperbolique de $T\cup \partial T$ au sens de
\cite[pp.~151--152]{BedHar}.
Notons �galement que deux automorphismes hyperboliques de $T$ sont transverses au sens de la section \ref{Prelim} si et
seulement si les hom�omorphismes hyperboliques de $T\cup \partial T$ associ�s sont transverses au sens de \cite{BedHar}.
Le lien entre hom�omorphismes hyperboliques et moyennabilit� int�rieure est le suivant:
\begin{Prop}\label{BH}\cite[proposition 7]{BedHar}
Soit $\Omega$ un espace topologique s�par� infini et $\Gamma$ un groupe d'hom�omorphismes de $\Omega$.
Si $\Gamma$ contient des hom�omorphismes hyperboliques transverses de $\Omega$ et s'il existe une application
$\Gamma$-�quivariante $\delta : \Gamma^* \to \Omega$ (o� $\Gamma$ op�re sur $\Gamma^*$ par conjugaison),
alors $\Gamma$ n'est pas int�rieurement moyennable.
\end{Prop}

Rappelons en outre que les arbres sont des espaces m�triques complets satisfaisant l'in�galit� de la m�diane
\cite[chapitre 3.b]{HaVa}. Le lemme 3.8 de \cite{HaVa} assure que toute partie born�e et non
vide d'un arbre poss�de un \emph{centre}, qui est le centre de la boule ferm�e de rayon minimal qui la
contienne.

\medskip

\begin{sproof}{de la proposition \ref{CorActionArbre}} Quitte � remplacer $T$ par sa subdivision
barycentrique, on peut supposer que $\Gamma$ agit sans inversion.

Par contraposition, on suppose que, pour tout �l�ment
elliptique $\gamma$ de $\Gamma$, le sous-arbre $T_{\gamma}$ form� des points fixes de $\gamma$ est born�. L'existence
d'�l�ments hyperboliques implique que $T$ n'est pas r�duit � un sommet. Ainsi $\Omega = T \cup \partial T$ est un espace
topologique s�par� infini. Consid�rons l'application
$
\delta : \Gamma^* \longrightarrow \Omega
$,
d�finie comme suit:
\begin{itemize}
    \item Si $\gamma$ est hyperbolique, $\delta(\gamma)$ est le point attractif de $\gamma$;
    \item Si $\gamma$ est elliptique,  $\delta(\gamma)$ est le centre de $T_{\gamma}$.
\end{itemize}
Si on fait agir $\Gamma$ sur $\Gamma^*$ par automorphismes int�rieurs, l'application $\delta$ est
$\Gamma$-�quivariante. Gr�ce � la proposition \ref{BH}, on en d�duit que $\Gamma$ n'est pas
int�rieurement moyennable, ce qui contredit les hypoth�ses.
\end{sproof}



\begin{Ex}\label{BSfix}
Pour tous $m,n \in \Z^*$, il existe $\gamma \in BS(m,n)$ tel que $\gamma$ fixe un sous-arbre
non born� de l'arbre de Bass-Serre associ�.
\end{Ex}
\begin{proof}
Remarquons pour commencer que, dans le cas qui nous occupe, l'arbre de Bass-Serre est localement fini. Les sous-arbres
non born�s co�ncident donc avec les sous-arbres infinis. On distingue trois cas.

(1) Si $m = kn$ avec $k\in\Z^*$, on peut prendre
$$
\gamma = b^n = a b^m a^{-1} = a b^{kn} a^{-1} = a^2 b^{km} a^{-2} = a^2 b^{k^2 n} a^{-2} = \ldots
$$
On a $\gamma = a^\ell b^{k^\ell n} a^{-\ell} \ \forall \ell \in \N$. L'�l�ment $\gamma$ fixe (au moins) les sommets $a^\ell
\Engend{b}$ o� $\ell$ parcourt $\N$ et donc un sous-arbre non born� de $T$.

(2) Si $n = km$ on constate de mani�re analogue que $\gamma = b^m$ fixe les sommets $a^{-\ell} \Engend{b}$
o� $\ell$ parcourt $\N$.

(3) Si les nombres $m$ et $n$ ne sont pas multiples l'un de l'autre (en particulier on a $|m|,|n| \geqslant 2$),
on prend $\gamma = b^n$. Remarquons que
$$
(aba^{-1}b^{-1})^\ell \gamma (aba^{-1}b^{-1})^{-\ell} = \gamma \text{ pour tout } \ell \in\N \ .
$$
Par suite, $\gamma$ fixe tous les sommets $(aba^{-1}b^{-1})^{k} \Engend{b}$.
Les expressions $(aba^{-1}b^{-1})^{k}$ �tant r�duites, le lemme de Britton implique que ces sommets dont distincts
deux � deux. L'�l�ment $\gamma$ fixe donc un sous-arbre non born�.
\end{proof}
\begin{Rem}
On laisse le soin au lecteur de v�rifier par lui-m�me que la proposition \ref{CorActionArbre} s'applique
si $|m|,|n| \geqslant 2$.
\end{Rem}



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\medskip

Adresse de l'auteur:

\vspace{2mm}

Institut de Math\'ematiques - Universit\'e de Neuch\^atel

Rue Emile Argand 11

CH-2007 Neuch\^atel - SUISSE

\vspace{2mm}

yves.stalder@unine.ch

T�l: +41 32 718 28 17; Fax: +41 32 718 28 01

\end{document}

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