�� ��������������� ������������� �����������
\sc �.\
�������
��� ������������ �����, ������������ ����\-��\-���\-��\-�� ����������������� �����������, �� ����������� ������������� ���������� ��� ����� �������� � ����������� �� ������--������ ��� ����������� ����������� ������� � ������������, ��� ���� ����� ������������. ��������� �������� � ������� ����� 1919 �., ������� ������ �� ����� ��������� � ����������� ����������. ������� ����� �������, �� ������������� ������� ��������� ��\-��\-��\-��\-��� ���\-���\-��\-�\-��� ������ ���������������: ����� ������� ��� $\Psi$-�������, ������� ������� ������ � ������ ��������� �������� ����������.
nlin0505015.tex
\documentclass[10pt,reqno,a4paper]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,graphics}
%
%\input black.lat
%
\sloppy %  �� ������ ��������
\textwidth=15cm \textheight=21.cm \voffset=22mm \hoffset=-13mm
\topmargin=-0.5in

\newcommand{\mfrac}[2]
{\mbox{\footnotesize$\displaystyle\frac{\raisebox{-0.1em}{\mbox{$#1$}}}{
\raisebox{0.1em}{\mbox{$#2$}}}$}}

\newcommand{\reff}[1]{\mbox{$(\ref{#1})$}}

\newcommand{\gk}{\gamma_k^{}}
\newcommand{\pot}{{\mbox{\footnotesize$\raisebox{0.07em}{\mbox{\rm [}}
U\raisebox{0.07em}{\mbox{\rm ]}}$}}}

\newcommand{\potx}{{\mbox{\footnotesize$[U(x)]$}}}
\newcommand{\potxt}{{\rm\mbox{\footnotesize$[U(x,t)]$}}}
\newcommand{\sss}{\scriptscriptstyle}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}


\newcommand{\thetaAB}[2]
{\theta \raisebox{0.04em}{\mbox{$ \scalebox{0.5}[0.9]{\big[}
\!\!\raisebox{0.1em} {\scalebox{0.8}{\mbox{\tiny$
\begin{array}{c}#1\\#2\end{array}$}}}
\!\! \scalebox{0.5}[0.9]{\big]}$}}}

\newcommand{\varthetaAB}[2]
{\vartheta \raisebox{0.04em}{\mbox{$ \scalebox{0.5}[0.9]{\big[}
\!\!\raisebox{0.1em} {\scalebox{0.8}{\mbox{\tiny$
\begin{array}{c}#1\\#2\end{array}$}}}
\!\! \scalebox{0.5}[0.9]{\big]}$}}}


\begin{document}

\title{�� ��������������� �������������  �����������}

\author{\sc  �.\,�������}
\email{brezhnev@mail.ru}

\begin{abstract}
��� ������������ �����, ������������ ����\-��\-���\-��\-��
����������������� �����������, �� ����������� �������������
���������� ��� ����� �������� � ����������� �� ������--������ ���
����������� ����������� ������� � ������������, ��� ���� �����
������������. ��������� �������� � ������� ����� 1919 �., �������
������ �� ����� ��������� � ����������� ����������. ������� �����
�������, �� ������������� ������� ��������� ��\-��\-��\-��\-���
���\-���\-��\-�\-��� ������ ���������������: ����� ������� ���
$\Psi$-�������, ������� ������� ������ � ������ ��������� ��������
����������.\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents


\section{��������}
\noindent ������ �������������� (�������-���������������)
�������������� ���������� ���������������� ��������� � �������
���\-��\-���\-���, ������������ ������ � ������������ ����� �
����������� ��������� ��������� 30 ��� ����� � ������� �.\,��������
\cite{19,26}, �.\,�������� \cite{matv, 4,21}, �.\,����
\cite{57,17,21},  �.\,��������� \cite{7,8,70}, �.\,���������
\cite{24,25}, �.\,����� \cite{55}, �.\,������� \cite{37} � ��. ���
������������� ��������� ������ ��������� �������������
�������������� ({\sc ����}) ��� ��������� ����������� \cite{39}. �
������ �� ������� �� ���� �������� \cite{19,26} ����� ����, ���
��������� � ����������� ��������� �������� ������� ������������
���������� � ������������ ������ ��������� ��������� � �����������
��������, ������������ �������� ������ ����������� ��� --- ��������
������������� ��������� $\lambda$, ��� $\Psi$-�������, ��� �������
�� $x$, ������������� ������. ���������� ��������   \cite{29,39}
������� � ����, ��� ��������������, ��� ������������ ��������� �
��������� ������������ �����, ����� �������� ����������, ��� �������
������������ �������� �������� ����������� ��������
$\lambda(\mathcal{P})$ �� ��������� ����������� ��������������
������ ��������� ���� $W(\mu,\,\lambda)=0$, � $\Psi$-�������, ���
������� $\Psi(\mathcal{P})$, �������� �������� �����������������
���� \cite{15,32} ������� ���� ��� ��������� ������������
������������ ��������� ���� \cite{4,24}. ���� ��������� ����
\cite{57,56} � ��������� \cite{24}, ��������� ������ ��� �����������
������� �������--�������� (��), �������� � ���������, ��� ���
��������� ������������ ������ ����
\begin{equation}\label{gd}
\widehat L\Psi\equiv\frac{d^n}{dx^n}\,\Psi+u_2^{}(x)\,
\frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}\,\Psi+\cdots+ u_n(x)\,\Psi=\lambda\,\Psi\,,
\end{equation}
� ������ ������������� �����������, ����� �������������
������������� �������
\begin{equation}\label{theta}
\Psi\big(x;\,\lambda(\mathcal{P})\big)=
\frac{\Theta(\boldsymbol{D})\, \Theta\big(x\,\boldsymbol{U}+
\boldsymbol{D}+\boldsymbol{A}(\mathcal{P})\big )}
{\Theta\big(\boldsymbol{A}(\mathcal{P})+ \boldsymbol{D}
\big)\,\Theta\big(x\,\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D}\big)}\,
e^{\Omega(\mathcal{P})x}\,,
\end{equation}
� ������� �� ���� �� �����  ���������� � �������� ���������������
�������������� ������. �����,
$\Theta(\boldsymbol{z})\equiv\Theta(\boldsymbol{z}|B)$
--- ����-���, ����������� �� $B$-������� �������� ������
$W(\mu,\lambda)=0$, $\Omega(\mathcal{P})$
--- ������������� ������ �������� 2-�� ���� � ������������
������� 1-�� �������, $\boldsymbol{U}$ --- ���
$\boldsymbol{b}$-�������, $\mathcal{P}$ --- ����� �� ������,
$\boldsymbol{D}$ --- ���������� ������,
$\boldsymbol{A}(\mathcal{P})$ --- ����������� ����� $\mathcal{P}$ �
������� ������ ������������ ����������� \cite{5}.

� ������ �� ������ 1974 �. \cite{19} ��������� ���� ��������
�������� ���� ������ ������������ ��������� ��� � ���������,
�������������� � ���������� ���������. ������ ����, ��� � ��� ����
������ � <<����������������>> �������� ���������� ������������
������, ��� ���� ����������, ��� ���������, ������� ������ �������
�������� ����������� ��������, �������� ��������������
�������������� ������ �������������� ������������� ���������, �
������������ ����������� �������������� ������ --- �� �����������
\cite{39}. ����� �������� ������� \cite{25}, ��� ������� �������
�������������� ��������� ������������ ����������� \reff{theta}
������ �� ������������� �������������� ������. ��� --- �������������
�������� ������������� ���������� ������ � ��� ����� ���� �������� �
������ ����������� ������� \cite{2}. ��� ���������  � 70-� �����
�������� \cite{24}, ������������� ��������� � ���� �� ����� �
��������� ��������� ������������� ��� � 20-� ����� \cite{31,32}.

\subsection{������� ���������� � ���������}

����������� ������������ ��������� ��������� (��������� �����) ��
��������� ����������� ������� � ���� ��� ������ ��� ��������������
����� ��������������. � ���� ����� �� ������������ �������� �����
����������% � ����������������� ���������
. ����� �������� \S\,2. �
\S\,3 ����������� ����������� ����� �������������� � ����� ������
�������������� �����������. ��������� ��������� �������� ��������
������ ������������ ����, ������ ������ �� ����������� ���
���������. ����������� ��������� \S\,4--7 ��������� ����������
����������� ��������� ��������������� � ���� �������. � ���
��������� ������� ������, ��������� ��������� � ������ ���������
�������� ����������. ��������� ������ � �������� ���� ���������� ��
�������������������� ������ �� ��������� ������� �� ��������������,
\S\,8--9 ��������� ���������.

����� �������� ��������������� �.\,������, �.\,��������� �
�.\,���������� ��  ���������� � ������������, � ����. �.\,������� �
�.\,�������� �� ������� � ������.

\section{��������������� ��������� ���������}
\noindent � 1994 �. \cite[���.\,84--85]{38} ������� ������� ��������
�� ������ ������ ����a  \cite{49_2}, ��� � ����������� ������ �����
���������� ��������� ����������  �� �������������� ���������
\begin{equation}\label{schr}
\Psi''-u(x)\,\Psi=\lambda\,\Psi\,.
\end{equation}
���� ��������  ���������� � ������� $\Psi$, ����� \reff{schr}
������������� � �������������� ����������� � ������� ��� ��� ���
��������� ������.  ������ ���������� ��� ����� ��������� � ������
80-� �����, ������ �� ����������� ��  ������� ��� ��������� ��
������������� � $\Theta$-��������������� ��������. ��������� �
������� \cite{49_1,49_2} ����������� �����-���� ��������� �
��������������, ���� �� ������� �������� ��������������� ���������
������ � ��� ��������, ������� ��������� �������� �  ����������.
��������, �� ����� �������� ��������� ��������������� ������� $R$, �
������������ �������������� ������ ������ ����� �������� ���, ���
������� ���������� $\gamma_k^{}$ � ������ ��������� ������ ���?
����� ������� ��� $\Psi$-������� (������� \reff{final}), ���
����������� ����� � ��������� �����, �������� � ����������
$\Theta$-��������������� �������� ������.

\subsection{��������������� ������--������ ��������� \reff{schr}}
������ ��  ��������������� ����������������� ��������� � �����������
�������� ������������, ���� ������ ��� ����������� ���������
���������.  ��������� ��� ����� (����������� ��. � \cite{br4})
������� �������
\begin{equation}\label{pm}
\Psi_{\pm}(x;\,\lambda)=\sqrt{R(x;\lambda)}\,
\exp\!\!\int\limits^{\,\,x}\!\!\frac{\pm\mu\,dx}{R(x;\lambda)}\,,
\end{equation}
� ������� ������� $R=R(x;\lambda)$ ������������� �����������������
���������
\begin{equation}\label{hermit}
R'''-4\,(u+\lambda)\,R'-2\,u'\,R=0\,.
\end{equation}
���������� ��� ���� ���, � ��������� ��������� �������������� ���
$\mu$,
��������%���������� ������������������ ����� ����� ���������
\begin{equation}\label{muR}
\mu^2=-\mfrac12\,R\,R''+\mfrac14\,R'^2+(u+\lambda)\,R^2\,.
\end{equation}
��������  ������� \reff{pm} ����������� ���������� � �����������
���������� \cite{8,29,39,38}, �� ������ ����� --- � \cite{49_2}.
������� \reff{pm}, ��� ������� � ���������� \reff{exp},  �� ��������
������� ���������������. ��� �����, ��� ��� ��������� \reff{schr}
����� ������� ���� \reff{pm} ��� ����� $u(x)$, �� ������ �
������������� ������. ��� ������� �� ����������, � ������� ���������
\reff{hermit} ������� ���������� ������ �����������, ����� ���������
�������� � ����������������.  ����� ����, �������������� �������� ��
�� ������ ��������\footnote{���������� �������� ��������� ��
�������� �����������������. �����������
--- ��������� \reff{spectrsk}.}. � ������ �������, ��� ���� ������������� �������������
������������� ��� ���������� �������� ��������� �����
���������������  ����� ������ ������--������ \cite{kolchin,kapl} �
�� ����������� ���������� \cite{singerput}.

� ���������������� ������ ����� ��������� \reff{hermit} ����������
2-� �������������� �������� ��������� \reff{schr} \cite{singer}.
����� ������ ���������������� ����, ��� ������� ���������������
��������������, �� ��������, �� ������� \reff{pm}, ��� ����� ����
������ ������������ ������� $R(x;\lambda)$. ���, ��� ��������,
�������� ����������� ����� �� $\lambda$ � ���������������� ���������
�� $u(x)$. ��� ��������� ���������� ������������� ����������
���������--������ \cite{28, dik4}. ������ �������, ��� ��������
��������������� � ����������� ��������� \reff{schr} ��������
���������� ����� ����. ��������� \reff{hermit} ������ ����� ���� ��
���� �������, �������������� �� $\lambda$. ��� �������� � �����
��������� (��� ������ ��������) ���� � ������������������
$\partial=\partial_x$ � �������� �� ���������. ��� �������
��������������� � �������� ��� ��������� ��������. ����� ��������
��� ������� ���������������� ����, ����� ��������
$\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)$  � $u(x)$-�������������, ���� �
���� ��, ��� $u(x)$ �������� �������� �������������
����������������� ��������� �������� ������� $2g+1$. � �������
�������� $\mathcal{N}_\partial$, ������ $\lambda$, ����� ������
���������, ������������ �� �������� ���������--������ � ������ �����
��������� ������ \reff{muR}. ����������� � ���������� �������,
������� ��� ������� ������� �������� ���������������� ����, ������
���� ����� �������� ������� ������� �� ���������� $x$. � ����������,
�� ��������� ����������� ���������� ������ ���� ������� ���������,
�� ����� ������������� ��� ������, ����� ���� ���� � �������������
����� ��� �������� �������� �� ���. ������� $u(x)$, ��� �������
��������� ��������, �������� ������ ��������� ���������.
������������ ��������������� ��������� \reff{schr} ���������� � ����
���������� �����������.

{\bf ������� 1.} {\em ���������� ������--������
$\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)\langle\Psi_{\pm}\rangle$ ��������
������������� ����������� �� �������� ����������������� ����.
��������������� ���������������� ������ �����
$\mathrm{Gal}\big(\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)\langle\Psi_{\pm}\rangle\big)$
������ � ��������� ������
$\mathfrak{G}=\Big(\begin{smallmatrix}\alpha & 0_{}\\0 &
\alpha^{-1}\end{smallmatrix}\Big)$, ��� $\alpha\in\mathbb{C}$}.

\noindent {\em ��������������\/}. ������������� � �����������������
���������� ��������, ��� ��� �������� \reff{pm}, � ������ ������
���������\footnote{������������ $\lambda$. ��� ���������������
���������� ��������������� ������� � ������ �� �������������.}, ��
����������� $\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)$. ������� ������������
����� ������� � ���� \reff{pm}. �� ���� �������� ����������� ��
�������� $\{\Psi_{\pm},\Psi_{\pm}'\}$:
$$
 \Psi_{-}=\frac{R}{\Psi_{+}}\,,\qquad
\Psi_{+}'=\frac{R'+2\mu}{2R}\,\Psi_{+}\,, \qquad
\Psi_{-}'=\frac{R'-2\mu}{2\Psi_{+}}\,,
$$
�������������� ������� ������������  ��������� ��������������
$\mathfrak{G}=\big(\begin{smallmatrix}\alpha & \beta\\\gamma &
\delta\end{smallmatrix}\big)$ ������ $\Psi_{\pm}$ ���������
���������� ������
$\mathrm{Gal}\big(\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)\langle\Psi_{\pm}\rangle\big)$.
��������, �������� �������, ������������ � ����������� �������. ��
������� ����������� ������� ���  ���� �� ������� �������������
������������ ����� ������: ������� ����������������� ���������� ��
�������. \hfill$\blacksquare$

{\em ���������\/}. � �������������� ����� �� ������������� ���
����������������� �������� $R$. ������� ����������� ��� �����
�������������  $\lambda$-������ ������� 2. �������� ��� �����,
��������� � ���������� ���������� ��������� ��� ����������
sin-������.

� ����� ������� �� �������� ���� ����������� ������� ������
���������������. ������������� ������� ������ ������������ �����
$\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)$. ��� ���� �������� ��������������,
�� �������������� ���������� ��������� --- ��������� ��������.  ����
��� � ����� ���� ������������ ��� ������������� �� ��������
������������ ������� \cite{39,dik4}, ������������� �� ��������������
����� �������� (��. \cite[\S\,6--7]{27}, \cite{58, dik4}), �
��������������� ���� ��������� ������ ������--������, �����
��������. �������� �������� ��������������
--- ��� ������ \reff{muR}. ���������� ������� ��
������ ������ � ������ �����.

\subsection{��������� ��������������. ������������ �
������������ �������}

� \cite{br4} �� ����������������� ��, ���, �� ���� ���������, ���� �
���� ����, ����� ������ ����� ���������� $\gamma_k^{}$ ��� �����
���������������� ��������
\begin{equation}\label{factor}
R(x;\lambda)=(\lambda-\gamma_1^{}(x))\cdots
(\lambda-\gamma_g^{}(x))\,.
\end{equation}

{\bf ������� 2.} {\em  ������������  � ������������ ������
������������. ������������ ������ ������������ $\Psi$-������
��������--��������--���� \cite{15,21} ����� ���
\begin{equation}\label{final}
\begin{array}{l}
\displaystyle \Psi_{\pm}(x;\lambda)=\mbox{\rm\large exp}\,
\frac{1}{2}\!\left\{\! \int\limits^{\,\gamma_{{}_{1}}\!(x)}
\!\frac{w\pm\mu}{z-\lambda}\,\frac{dz}{w}\,\,\,\,+ \cdots +
\int\limits^{\,\gamma_{{}_{g}}\!(x)}
\!\frac{w\pm\mu}{z-\lambda}\,\frac{dz}{w} \right\}\;.
\end{array}
\end{equation}
����� ������� ������������ ������� ������������ � ������������
���������� � ���������� �  ��������������� �������� ���������� 3-��
���� �� ������������������ ������\/}.

\noindent {\em ��������������\/}. ������� \reff{final} ����������
������������ \reff{factor} � \reff{pm} � ����������� �������
�������������� �� $x$ �� �������������� �� ������ $w^2=(z-E_1)\cdots
(z-E_{2g+1})$ �������� �������������� 3-�� ���� � ����
���������������� ��������� ��������� \cite{49_2,7}
\begin{equation}\label{dubrovin}
\frac{d\gk}{dx}=2\frac{\sqrt{(\gk-E_1)\cdots
(\gk-E_{2g+1})}}{\displaystyle\prod\limits_{j\ne k}(\gk-
\gamma_j^{})}\,.
\end{equation}
�����, ����������� ������� \reff{final}  � ��������� \reff{schr}
���� ���������, ���� ��������������� �������� ������
$u=2\sum\gk-\sum E_k$ \cite{49_2, 21} � ����������� \reff{dubrovin}.
�������������� ������ ������ � ���������� \reff{dubrovin} ���������
���������� �� � ���� �������������� ��������� \cite{49_2,7}
\begin{equation}\label{jac}
\sum\limits_{k=1}^{g}\int\limits^{\;\gamma_k^{}}\!z^{g-1}\,\frac{d
z}{w} = d_g+2\,x\,,\qquad
\sum\limits_{k=1}^{g}\int\limits^{\;\gamma_k^{}}\!z^n\,\frac{d z}{w}
= d_{n+1}\,,\quad n=0,1,\ldots,g-2\,.
\end{equation}
���������� ����� ��������������, � ������������ ���������� �
����������, ��. � \cite[\S\,7]{br3}. \hfill$\blacksquare$

�� ��������, ����� �������, � ������������� ������ ���
��������������� ��������� ��������������� (�������� � ����������)
������������ � ��������������� ������--������ � �� ���������� �����:
{\em <<�������������>>  ������
$\mathrm{Gal}\big(\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)\langle\Psi_{\pm}\rangle\big)$
���� ���� ��������� �����������, �� ������� �� ��������� �
���������, ���������� {\em ������������\/} ����������, � ���������
\reff{schr} ������������ ��� ������
$\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)$\/}.

������� �������������� ������� ����� ������������ � ������������
��������� ��������� ������. � ����� ������� �� �������� �� ������
������ �� ��������� ������������, �� � ��� ����. ������� ����
����������� $\mu=\sqrt{(\lambda-\gamma_1^{})\cdots
(\lambda-E_{2g+1})}$\,. � ���� ����� � ������������ �������
��������--�������� \cite{15,4} ����������� ������������ �������� �
������������ �������� ���������� ���� �����. ��� �����, � ���������,
������ ������� ��������--���� (4.12--13) � \cite{21}, �������
����������� �������� �������� ��� ����, ���� �������� �� �����.


\subsection{$\Theta$-�������}
��������� ������� �������� �������� �������������� ������������� ���
���������� ������ (�������--��� (1975) \cite{21}), ������� ��������
�������� ������ ���� ������������� �� �������� �� ������ ����������
��� ������� ������.  ��������� ���������� ��������������, ��� �����
������ ������ ����� �������, ������� � ������������� ������ ����
������� (��. \S\,9 � \cite{br4}). ��������, ��� �����������
$\Theta$-���� \cite{21,38}. ����� ������������ ������� ��������,
������������� � ������������ �������, ������������� �������������
���������������� �����������, � (1+1)-������������� �������,
��������� �� ���������� $\Theta$-������� � �������� ��������� �����
��� ��������������.

{\bf ������� 3.} {\em $\Theta$-�������������� �������������
\reff{theta} ��� $\Psi(x;\lambda)$ �  \reff{its} ��� ����������
$u(x)$ �������� �� ������������ ������� \reff{final}. ���������
\reff{theta} � \reff{final} ���������������\/}.

\noindent {\em ��������������\/} �, � ���������, ���������
������������  ��������� $\Omega(\mathcal{P})$  � ���  ��������
$\boldsymbol{U}$, ��. � \cite[\S\,7]{br3}. ����� ������� (� ��
������� ����������� ��������), ���� ��������
$\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)$  �������� � ��������� �
��������������. ������������� ����������
$\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)\langle\Psi_{\pm}\rangle$ ����������
� $\Theta$-�������� ��� � ���� �������� �����. � ���� ������, �����
$\Theta$-������� ����������� ���, ������� ������� ������������� ���
��������� ����� ��������� ���������� ������� ��������� � \reff{pm} �
\reff{jac}: ��������� � ������������� ��  $\Theta$-���������
���������� ����� � $\Theta$. � ����������� ����������/������������
������, ����� ������ \reff{muR} ����� ������� ���, ����� �����������
����������� ����� �������� ������� $x$ � ���������� �� ���. �� ����
��������� ������������� �������, ��������� ������������
$\Theta$-������� � {\em ��������\/} ������������ �� $x$ � ����������
��������� (��. ������� \reff{theta}).

\subsection{$\Theta$-������������� ����� ��������}
������� 3 ������� � ���, ��� <<$\Theta$-��������������
��������������>> ��������  <<$\Theta$-��������������
��������������>> ��� ������������� �������� ��������� ����
������������� �� ������--������ � ������������ ������ �������������
���������������� ����� �������� $\Theta$-���������, � �����
��������� ��. ���� � $\Theta$. ��� ������������� ����������� ���
������������� ��������.

����� $\thetaAB{\alpha}{\beta}$ --- ����������� $\theta$-���� �����
� ����������������:
$$
\thetaAB{\alpha}{\beta}(x|\tau)= \sum\limits_{{}^{\scriptscriptstyle
k=-\infty}}^{\scriptscriptstyle \infty} e^{\pi i
\left(\!k+\frac\alpha2\!\right)^{\!2}\tau+ 2\pi
i\left(\!k+\frac\alpha2\!\right)\!\left(\!x+\frac\beta2\!\right)}\,.
$$
����� $\vartheta\equiv\theta(0|\tau)$ --- $\vartheta$-��������� �
$\theta_{1\!\!\!}'$ ���������� ����������� �� $x$ �� ����
$-\thetaAB{1}{1}(x|\tau)$. ���������  ������ ����������������
������������ �������������� ��������� ��� $\eta=\zeta(1|1,\tau)$.

{\bf ������� 4.} {\em ������� $\thetaAB{\alpha}{\beta}$  �
$\theta_{1\!\!\!}'$ � ������������� ������ ����������������
$(\alpha,\beta)$ $($�.\,�. ������� ����� $\theta_{1,2,3,4}^{}$$)$
�������� ������������ ����������������� ���
$(\vartheta,\eta)$-����������� � ������������� ����������
������������ ���������������� ����������\/}
\begin{equation}\label{new}
\left\{
\begin{array}{rl}
\ds \frac{\partial\thetaAB{\alpha}{\beta}}{\partial x}\!\!&=\ds\;
\frac{\theta_{1\!\!\!}'}{\thetaAB{1}{1}} \,\thetaAB{\alpha}{\beta}-
(-1)^{\alpha\left[\frac{\beta}{2}\right]}_{\mathstrut}\,
\pi\,\varthetaAB{\alpha}{\beta}^2\!\cdot\!
\frac{\thetaAB{1\mbox{\tiny--}\alpha}{0}\,
\thetaAB{0}{1\mbox{\tiny--}\beta}}{\thetaAB{1}{1}}\\\\
\ds \frac{\partial\theta_{1\!\!\!}'}{\partial x}\!\!&=\ds\;
\frac{\theta_{1\!\!\!}'^2}{\thetaAB{1}{1}}-\pi^2
\varthetaAB{0}{0}^2\,\varthetaAB{0}{1}^2 \!\cdot\!
\frac{\thetaAB{1}{0}^2}{\thetaAB{1}{1}}-
\Big\{4\eta+\mfrac{\pi^2}{3}\big(\varthetaAB{0}{0}^4+
\varthetaAB{0}{1}^4\big) \Big\} \!\cdot\!\thetaAB{1}{1}
\end{array}\right..
\end{equation}
{\em ���������������� ���������� ����� �������� ��� �������������
�����������  �� ������������ $\theta$-���������  ������������
�������� $\theta_{1\!\!\!}'$\/:
$\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)\subset
\mathbb{C}(\lambda,\mu,\vartheta,\eta;\theta,\theta_{1\!\!\!}')$}.

\noindent{\em ��������������\/}. ��� �� ��� ���� ���
$\theta$-������������� ����������� ����� ��������� ������������
$\zeta$ � $\wp$.  ������������ �������������� ������� ��� ����������
������. �������������� ��������� ����� $\theta$-���������,
����������� ����������� \reff{new}, ������������� ������������������
������ $\sigma,\zeta,\wp,\wp'$. \hfill$\blacksquare$

������� 4 ���������  ���������������� ��������  ������� �����
�������� ������ ��� ��������  ��� ������� ���� ��. ��� �����������
�� ������ ��� ���� $g=1$, �� � � �������, ����� $g$-������ �������
��������� �������� $\Theta$-������� �� �����������.


����� ����� ������������ �����������  ������� \reff{theta}. �������
$\Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{C})\,e^{kx}$, ��� $k$ �
$\boldsymbol{C}$ ��������� ������������ $\partial$, {\em
�������-���������������� ���������\/} ({\em ��������\/}, ���� $k=0$)
��� $\boldsymbol{\mathcal{L}}_x$-���������. �������� �� �����
��������� ���� ��� $\mathbb{C}$. ��� ���������������, ��� ��� ��
������� ��������--����
\begin{equation}\label{its}
u(x)=-2\,\frac{d^2}{dx^2}\ln\Theta(x\,\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D})
\,e^{kx}-\sum\limits_{j=1}^{2g+1}E_j\,,
\end{equation}
� ��� ��������� ������������� ���������� ��������. �� �������
�������.

���������� ���� $\Theta_\partial$, ����������� ����� ��������
���������: $\Theta_\partial\equiv
\mathbb{C}_\partial\big(\Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D})\big)$.
����� $ \mathcal{N}_\partial(u)\subset\Theta_\partial$. ����
���������� $\Theta_\partial$ �������� ��� �� ������ ������� �������,
��� ���������� ������ ����������, ��� ��� $\Theta$-��� �
$\boldsymbol{b}$-������� $\boldsymbol{U}$ ���������� �������� ��
$u(x)$.  �� ���� ������� �����  ������� ���
$\mathcal{N}_\partial(u)=\Theta_\partial$, �.\,�. ���������
\reff{schr} ������ ��� $\Theta_\partial$, ������� �����������
�������� $\Theta$-{\em ��������������\/} ����� ��������. ���������
$\lambda$  ���� ����������.

\subsection{�������������� ���
�������-���������������� $\Theta$-����������}

���������� ���� ������--������
$\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)\langle\Psi_{\pm}\rangle$ �
������������� $u(x)$. �� �����������������, ��� ����������
$\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)$, ������:  1) �������� ���
���������������� �������� � $\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)$, 2)
����������� ���������������� ����������� $\Psi$ �� ���������
$\lambda$  � 3) ���������� ������������� ���������������� ��������
(����������). � ���� �����, �� ��������� ������� 1 �  3, �� �����,
��� ���� ����� ��������� ���������:
$$
\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)\langle\Psi_{\pm}\rangle=
\mathbb{C}_\partial\Big(
\mfrac{\Theta\big(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D}+\boldsymbol{A}(\mathcal{P})\big)}{
\Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D})}\,
e^{\Omega(\mathcal{P})x}\Big)\,.
$$
������ �������, ��� � $\Theta$-�������������  �������������� ���
������� ��������, �  ��� ������ 1--3) �������� � ����� ��������. �
����, ��� ������� ������ ���������, ���������� ������������
��������������� ������� ������ �� ����, ��� � �������, �����������
���� ����:
$$
\mathcal{N}_\partial(u)=\mathbb{C}_\partial\big(
\Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D})\big) \subset
\mathbb{C}_\partial\big( \Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D})\,
e^{kx},\,
\Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D}+\boldsymbol{A}(\mathcal{P}))\,
e^{\Omega(\mathcal{P})x}\big)=\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)\langle\Psi_{\pm}\rangle\,.
$$
����� ��������, ��� ������ � <<������������� ���������
��������������>> �������� ����� ��������� �������� ����������
�������� ���� $\mathcal{N}_\partial(u)$ ��� �������� ��������������
���������� ��������� ��������. � $u(x)$-������������� ���
������������ �� ����� ���������������� ����������: ����������� ��
�������������� ������� \reff{jac} � ���������� ���������. �
$\Theta$-������������� ��������� ��������� � ������� �������� � ����
$\Theta_\partial$ �� ������� \reff{its}.

{\bf ������� 5.} {\em ����� $u(x)$
--- ������������� ���������. � $\Theta$-�������������,
�������������� ��������� ��������� \reff{schr} ������������
��������� �������� $\Xi$, ������������ ���������������� ����
$\mathcal{N}_\partial(u)$, �� ��������������
�������-���������������� �������\/:}
\begin{equation}\label{lin}
\Psi_{\pm}\big(x;\lambda(\mathcal{P})\big)=
C_{\pm}\cdot\Xi(x)\cdot
\Theta\big(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D} \pm
\boldsymbol{A}(\mathcal{P})\big) \, e^{\pm\Omega(\mathcal{P})x}\,.
\end{equation}

\noindent {\em ��������������\/}. �������
$\Xi(x)=\Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D})^{-1}$. � ����
\reff{its}  $\mathcal{N}_\partial(u)=\mathbb{C}_\partial(\Xi)$. ���
����������� ��������� �� ������������������ ������ ������ ���� ���
������������ ������. \hfill $\blacksquare$

������� 5 ������� � ���, ��� ��� �������� � $\Theta$-�������������,
��������� \reff{schr} �������������, ���
���� �� ��� ���� ���������� � {\em �����������\/} ��������������%
\footnote{��� ����� ������������� ��� �����������  ���������
������������� �������������� ���������� ��������� {\sc ����}, ���
������������ [$L,A$]-������. � ���� �������, � ������
����������/������������� �����������, ��������� ��������������
���������������� ��� ����������  ������ ������������� ��� ��������
�������������� (�������� ��������������).}. � ����� ����������
(0-������) ������ �� ����� �� ������ ����� \reff{lin}:
$\Psi_{\pm}(x;\lambda)= C_{\pm}\cdot 1\cdot e^{\pm a(\lambda)x}$.
�������, ��� ��������� ������� \reff{lin} � ���� ��������
������������ ��������� ����������� $\mathcal{N}_\partial(u)$ � ���
���������� $\mathcal{N}_\partial(u)\langle\Psi_{\pm} \rangle$  ��
�������� ����� ��� ��������� ������������� �������������� ��������
��������� ���, ��� �����, ��� ��������� � ������ ���������� �������
�����. ��������� ������ �������� ������� ������� � ���������
$\lambda$.

���� ���������� ����������� �� $\lambda$, �� �������������
���������������� ��������  ����� ����� � ����� �������������,  ���
��� ������� ����������������� ����� ������� (������� 1). � ������
�������, � ������������ � �������� 3,
$\boldsymbol{\mathcal{L}}_x$-������� ���� ���������� ���������
���������. ������� �� $u$- � $\Theta$-������������� ��������������
�� ���������� ���� ($B$-������� ������, $\boldsymbol{U}$-������� �
������ $\boldsymbol{D}$). �� ���� ������� �� �����  �������������
��������� \reff{schr} �������� ��� $\lambda$-������ (�����)
$\boldsymbol{\mathcal{L}}_x$-���������
$\Theta_\partial\big(\lambda(\mathcal{P})\big)\equiv
\mathbb{C}_\partial\big(\Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D}+
\boldsymbol{A}(\mathcal{P})) \, e^{\Omega(\mathcal{P})x}\big)$,
�.\,�. ������� $\mathcal{N}_\partial(u,\lambda)=
\Theta_\partial\big(\lambda(\mathcal{P})\big)$. ���� ����� ����
��������� ����������� ����������� ���������, ���� ���������
\reff{schr} ���� ���� ����������� $\lambda$-����� ���������. �����
$\boldsymbol{\mathcal{L}}_x(\mathcal{P})$-������� ���������
��������� ������� ��������� ��������, �.\,�. ���������. ��� �����
����������� ��������� $\boldsymbol{D}+\boldsymbol{A}(\mathcal{P})$:
$\mathcal{N}_\partial(u)=\mathbb{C}_\partial\big(
\Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D}_0+
\boldsymbol{A}(\mathcal{P}_0)) \, e^{\Omega(\mathcal{P}_0)x}\big)$.
�������� $\lambda$, ��� ����� ������������, ��� ��������� ����,
������� ������������� ��� ������� ��������
$\boldsymbol{\mathcal{L}}_x$-��������� ������ � ����� $x=0$. � �����
����, $\lambda$, ��� ����������� ������� �� ������ \reff{muR}, �����
������������� � ���� $\lambda(\mathcal{P})\sim \Theta^2
\raisebox{0.04em}{\mbox{$ \scalebox{0.5}[0.9]{\big[}
\!\!\raisebox{0.1em} {\scalebox{0.8}{\mbox{\tiny
$\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha}\\\boldsymbol{\beta}\end{array}$}}}
\!\! \scalebox{0.5}[0.9]{\big]}$}}(\boldsymbol{A}(\mathcal{P}))
\big/\Theta^2 \raisebox{0.04em}{\mbox{$ \scalebox{0.5}[0.9]{\big[}
\!\!\raisebox{0.1em} {\scalebox{0.8}{\mbox{\tiny
$\begin{array}{c}\boldsymbol{\gamma}\\\boldsymbol{\delta}\end{array}$}}}
\!\! \scalebox{0.5}[0.9]{\big]}$}}(\boldsymbol{A}(\mathcal{P}))$.
��� ���� �������� ������ �� 2-� ������� ���  �����������
\cite{prym}. ������������, �� �������� � ����, ��� �
$\Theta_\partial\big(\lambda(\mathcal{P})\big)$-�������������
�������� � ������������� ���������������� ��������, � ������ �����
���������� �����������: �������� ��������� \reff{schr} ����
��������� ���� ��������� ����.

���  ��������� ������� ��� ��������� �� �������� �� ������ � �������
������������� $\Theta$-����. ����� �� �����������  ���� ���
���������� ���, ���� ������������� ����� $\Theta$-���� �� �����
��������� �����-���� ���������������, ��� ��� (��� ����� ����) �����
���� ������� ���������� ����������. ���� ���� (� ��� ���������)
�������� ������, �� ��� �������� ������� �� ����� ��������� ������ �
����� ��������� ���������� ���������.

\subsection{���������������� ����������� ��������
$\boldsymbol{\mathcal{L}}_x$-���������}

����� $g$-������ ������� $\Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D})$
������������ � �������� ����� $\theta_{1,2,3,4}$ � �����������
������. ������� 4 �������� �����, ��� � ����� ��������� ��������
�������������� ���������� � ���������������� ����������� �������
����� ������������ �� ������� ���������. �������� �� ���
��������������� ���������� ������������� (1+1)-��������� ����
����������� ��������� ������
$x\boldsymbol{U}+t\boldsymbol{V}+\boldsymbol{D}$ �� ���������,
��������, ��� ��� ����� ����� �������� ��������/���������� ������,
������� ��������� � ������� �����������, �������� �����������
��������������� ������� ������������ ���������������� ���������
\reff{new} � �������������� �������� ����� $\theta$-���������. ����
���� ������� � ���, ��� ����� �������������� �������������
���������� ������--������, �.\,�. ��������������  ��������� �� {\em
�����������\/} ����������, � ���������������� ������������
$\theta,\theta'$-������� {\em ������� �������\/}, ������� ������
���� ����������. ���� ������ ������. ����� �� �������� � ������
������ ���������? ���������������� �������� ����� $g$-������
$\Theta$-������� ����������, ����� ������� $\Theta$-���������,
������������� ����� �� {\em ��������\/} ������������ � ����
������������� ��������� \cite{baker, BEL}, � �� ����� ��� ��
������������� �������� --- ������������ ���������������� ����������
$\wp'^2=4\wp^3-g_2^{}\wp-g_3^{}$. ������������ �� �����
���������������� �������� ������� ����� ��������� ����
$x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D}$ �������� ������� {\em
������������\/} ���������������� ��������� ������� ����
--- ����������� �� ������� $\Theta$ � $\Theta'$?

����� ������ ������������ ����� �� ��������� ��������� �������.
����� $\boldsymbol{U}$  --- ������ $\boldsymbol{b}$-��������
���������������� ������� ��������� 2-�� ���� �� ������������������
������, �������� ������������ ����� 1-�� �������. �����
$\big\{\Theta \raisebox{0.04em}{\mbox{$ \scalebox{0.5}[0.9]{\big[}
\!\!\raisebox{0.1em} {\scalebox{0.8}{\mbox{\tiny
$\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha}\\\boldsymbol{\beta}\end{array}$}}}
\!\!
\scalebox{0.5}[0.9]{\big]}$}}(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D}),\,
\Theta' \raisebox{0.04em}{\mbox{$ \scalebox{0.5}[0.9]{\big[}
\!\!\raisebox{0.1em} {\scalebox{0.8}{\mbox{\tiny
$\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha}\\\boldsymbol{\beta}\end{array}$}}}
\!\!
\scalebox{0.5}[0.9]{\big]}$}}(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D})\big\}$
���������� $\Theta$-������� � �������������� ����������������.
�������� �� ��� ��������������� ���������� ��� �����
$(\boldsymbol{\vartheta},\boldsymbol{U})$-��������, �.\,�.
���������� �� ������ ��������� \reff{new}?  ������� �������,
�������� �� ��� ��������, ������ ��� ��������� ���������������� (���
��������� � ������� �����������), ������������������  ���
$\Theta$-������� � ������������� ������� ���������, �������
��������� � ����� ������ ���������?

��������, ���� � ����� �������, ���������� ���� ��������,
�������������� �� ����� ����������. ��������� �� ������
�������������  ������� ������� � ��� ������, ��� ��������������
��������� �� ������������ �������� ������� �� ������������� �����
�������������� ������, ���������� ��  ����� ������� ��������
���������, ��������� �� ��� � ������� $\Theta'$. �������, ����� ���
���, �������������. ������������, ������ �� ��� ��� �, ���� ���, ��
��� ���������� ��� ������������� ���������?


\subsection{��������� � ������������� ��������}
��������� ������� ������������� ������������� �����������
\cite{smirnov} ��� ����������� � ������ ����������������
�������������� �������� ��������� \cite{singer}. ������, ���������
��� ��������, �������� ������� �������-��\-�\-���\-��\-���\-��\-��
�������������� (���������� $\gk$ � $\Theta$-�������),  ��
����������� � ��������������� ���������� (��. ��������  ����������
\cite{singerput}, \cite{berkovich}, \cite{ispanec}). ������� ���
������������ ������� �����  �������� ��������� � ������������� �
��������������� ��������������.

����� $u(x)$ --- ������������� ������������� ���������, �
$u=Q_1^{}(\wp)+Q_2^{}(\wp)\,\wp'$ ���� ��� �����������������
�������������. ������� ������ ���������� $x \to \wp,\;\Psi \to
\widetilde\Psi= \sqrt{\mathstrut \wp'}\,\Psi. $ ���������
\reff{schr} ������ ���
\begin{equation}\label{kov}
\widetilde\Psi_{\mathit{\wp\wp}}+
\left\{3\,\frac{(\wp^2+\frac14g_2^{})^2+2\,g_3^{}\wp
}{(4\wp^3-g_2^{}\wp-g_3^{})^2}
-\frac{Q_1^{}(\wp)+Q_2^{}(\wp)\,\wp'+\lambda}{4\wp^3-g_2^{}\wp-g_3^{}}
 \right\}\widetilde\Psi=0\,.
\end{equation}
�� ���������� ����������� ��� ��������� \reff{kov} ������������ �
����������� � ������������ � ������������� ��������. ����������
������� ���������� ������ ���������� � ������� \reff{pm}. ���
����������� � ������������� ��������.  � �� �� ����� ���������
���������  ������� � �������� \cite{singer,kov} ����������
��������������� ��������� �������������� ����� ���������. ��� ����
������ ��� ����� �������. ��������� � ������������� ��������������
���������� ���� ������������� ������ ����������, �.\,�. � �������� �
���� (��������� ����) � ������������ (�����, �������--������ � ��.).
��������� ������������� ���������� ����������� ��� �������������
������ �� ����� ���������.

{\bf ����������� 1.} {\em ��������� �������--��������, ������
����������� � ������������� ���������� ����
$$
\frac{\Psi''}{\Psi}-\lambda=\mbox{\rm �������  �� \ $x$}\,,
$$ ������������ � ������ �������������� ��������������
��� ������� ������\/}.

����� �������, ������� ����--�������� ��� $\Psi$ ���� \reff{theta} �
����������� ���� \reff{its} ���������� ����� ����� � � ���������
������ ��������������� �������. ���������������  ���������� �������
������������� ��� ���������� �������������� \reff{kov} ����,
������������ �� ����������� ������, ����������� �������, ���
$\Theta$-������� � ������ ���������������� ���������
<<�������������>> ��������������. ������������� ������ �������������
����� ��������� ��������� ������������ (��� ��������
���������������), ��� � �������� ���������� �����, ������ �����
��������� ����������� $\big\{\Theta \raisebox{0.04em}{\mbox{$
\scalebox{0.5}[0.9]{\big[} \!\!\raisebox{0.1em}
{\scalebox{0.8}{\mbox{\tiny
$\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha}\\\boldsymbol{\beta}\end{array}$}}}
\!\! \scalebox{0.5}[0.9]{\big]}$}},\, \Theta'
\raisebox{0.04em}{\mbox{$ \scalebox{0.5}[0.9]{\big[}
\!\!\raisebox{0.1em} {\scalebox{0.8}{\mbox{\tiny
$\begin{array}{c}\boldsymbol{\alpha}\\\boldsymbol{\beta}\end{array}$}}}
\!\! \scalebox{0.5}[0.9]{\big]}$}}\big\}$, ����� ������������ ������
��� (����� ���������� ���� ������������� �������) ��� ���� ����
(��������� � ������������� ��������������).

������ ��������������� ������������ ����� ���������� �������, ��
�������������� ��������. � ���� �� ��������  ��� ��������� �������
����������� � ������������ �������� � ��������� � ������ �����������
������� � �� ���������� � ������������ (������������� ����������,
������������� �������� � �.\,�.). ��� ������������� ������
������������ ����.

� ���������� ��������� ������� ��������� ��������� � ���������
�������������. ����������, �.\,�. ��������� $\Psi'/\Psi$, ����
��������� (�� $x$) �������� ���������, � �� ����� ��� ������������
���������������  �������� ����������� ���������� ���������
����������. ���������� ������� � ���, ��� ��������� ���������������
���������  ��� ���� ��������� $\lambda$, ��� ����� � ���������
��������� ��������. ������������� ���������� �� $x$ ����������� �
����� ���������������. �������� �������-���������� ��������� ��
�������� �������������.


\section{������������� � ������������� �������� ���������}

\subsection{������������� ���������}
� ������ ������������ ������������ �����, ������ �������� ���������
��, ������ ������, �� �������� � ������ ���������, ���� ���� ���
����, ��� �� ������� ���� �����������. ������, ������ �����������
��������� ����������� ����������� ������������ ���������������
������ �����, ��� �������������� ������ \cite{kolchin}. �� �������
���� ��� ��������������� �� ���������������� �������
<<��������������� � �����������>>, ��� � �������� ���������
������������. ����������� ��������, ��� ����� ���������� ������
��������������� � ��� �������������� �������. � ���������: 1)
������������� ���������� ������������ ������������� ����������
[$L,A$]-��� ���������� ������������� ���������; 2) ��� ��������
��������� ��������� �� ��������� �������������� ������; 3)
$\Theta$-����������� ������� �������--��������, �������
(2+1)-���������, ������� ���������� ������������� (1+1)-���������. �
������ �������, ��� �������� ����� ���� ������� ����������������,
��������� � ����� ������������ �� ����������� ��������, ��� �������
��� ��������� ������� ��������� <<���������������>>. � ����� ����,
���������������, ��� ������������ ��������, ������������ ����������
�� ���������. ������ ����������, ���� ��� �� ������� �� <<�������
���������>>, ���� ��������� ������������� ������. ��������� �������
���������� ������� ��������� \reff{kov}, � �� ����� (2+1)-���������
������������� �������� �������� �������������� ��������� ��
(��������� ��������) \cite{lip}. ��������� ������ �� ��������
������������� � ��������� � ����������� \cite{79}:
$$
\Psi''=\frac{\lambda}{u^2}\,\Psi\,.
$$
������������� ������ ��� ���� � ������ \S\,2 �������� ��� ���������.
�������� ������ � ������ $g=1$. $\Psi$-������� ����� ��� \reff{pm},
� �������
$$
R(x;\,\lambda)=u\,\lambda+\mfrac14\,u^2\,u''-
\mfrac18\,u\,u'^2-\mfrac12\,\alpha\,u\,,
$$
� �������������� ������ \reff{muR} �������� ��������� �������:
$\mu^2=\lambda^3-\alpha\,\lambda^2-E_1\,\lambda-E_2$, ���
$$
\left\{
\begin{array}{l}
E_1=\mfrac18\,u^3\,u^{\sss (\mathrm{IV})} +\mfrac14\,u^2\,u'\,u'''+
\mfrac {1}{64_{{}_{\mathstrut}}}\, (2\,u\,u'' -u'^2 -4\,\alpha)\,
(6\,u\,u''-3\,u'^2 + 4\,\alpha)\\
E_2=\mfrac {-1^{{}^{\mathstrut}}}{64}\,u^4\,u'''^2-\mfrac {1}{2^9}\,
\big(2\,u\,u''-u'^2 -4\,\alpha\big)\big((2\,u\,u''-u'^2)^2 -
16\,\alpha^2-64\, E_1{}^{{}^{\mathstrut}}\big)
\end{array}
\right.\,.
$$
� ���� ������� ������ �������� � ������������ \reff{schr} � �������
����������� ��������,  ��  �������� (�� $x$) �� �������� ������
����� ��������� \cite{dmitr} � $\Psi$ �� ���� ������� ����
\reff{theta}. ������� ��������� $\Theta$-������������� �������������
������� �� ��������������  � ������������ ����������� ������� ��,
�������� ���������� ��������� �������� ���������� ���� \cite{bur} �,
� ���������, ��������� ������ \cite{korotkin}. � ���� �������
������������ $[U,V]$-���, ��� ������� �� ������������� ���������,
����� ������ ��������� �� $x$ � ���� ������ ���� ������� �� $x$.
������  � �������������� ������ ��., ��������, � ������
\cite{korotkin}. �����, ��������� ����������� ������� ��������������
$\mathcal{N}_\partial$ �� �������� ��������� $\Theta$-��������������
�������, ��������� ��������� ������������� ������ ����� ��������,
�������� �� ������������ ������������� ���������, �������
����������� �������� 5 � �������� \reff{theta}. � ���� ������ ��
�����, �� ����� ����������������� ����, � ������ ��� ����������,
�������� ��������� ������� \reff{theta}. �������� ���� �����
���������:
$$
\Psi''=\big\{6\,\wp(x)+2\,\wp(x-\lambda)+4\,\wp(\lambda)\big\}\Psi\,,
\qquad \Psi(x;\lambda)= \frac{\sigma^2(x-\lambda)}{\sigma^2(x)}\,
e^{2\zeta(\lambda)x}_{}\,.
$$
������� ����� ����������� ���� �� �������� �
$\Theta$-��������������. ����������� ���, ��� ���� �����������
������ \reff{schr}, �.\,�. �������� \reff{hermit}, �������� �����
��������, ������������� � ����������� � ������� �������
$\big\{\Psi_+^2,\,\Psi_+\Psi_-, \,\Psi_-^2\big\}$.  � ���� ������,
��� �� ������ ���������, ������ ����� �� ������ �����������, �� �
������������� ���������� � ������ ����������� � �������
$\mathfrak{G}=\mathrm{Diag}(1,\alpha,\alpha^{-1})$, ���������
���������� ������� (��� $R=\Psi_+\Psi_-$) � ����
$\mathcal{N}_\partial$.

��� ����� ���  �������� ���������� ���������� ��������� ��������,
������ ��������� � ������  �������� ����� ������������� �������
���������� ���� ��������������� ��� ����� ��������, �� ��� ������
�������� ��������� ����������� �����������. ����� �������� ������,
��� ���� ��������� ��� ���� ������ ������������ ����������
$\Theta$-���� ���������� ����������� ��� ����, ��� ��� ���� ������
���������� �� ������ � ��������������� ������������ � ���� \S\,2.
����� �������, $\Theta$-����, ��� $\Theta$-������������� �����, ��
������ ��������� ��� ����������� �������, ������������ �������
������, ��������� ���� ���  ���������� �������������� ��������� ����
�������, ���� ��� �������������������� ���������. �� �� ����� ������
����������� ��������� ����������� �� ������ ��������� � �����������
��������������, � ����������� ���� �����������, ��� �������� �
���������� ��������������� ��������� � ���������� ���� �� �����. ���
����������� ��� �� ����������� $\Theta$-������� � �����������
����������. � ��� �� ���������� �������� ��������� ������������
�����, ������� �������� ��� �������� ���������--������
\cite{58,59,dik4}.

� ����� ������ ������������ ���������������, ������ ������ � ������
����� ����� ��������� �� ��������� ������� �� ���������������, ����
������ ������� �� �������������� �������������� ��������. ��������
��� ��������� ���������� ������� ������ ��������� ��� ������
��������� ����������� ��������������� \cite{53,39, 84}. ���������
������������ ������ �������� �������� �������� ���������, � ��� ���,
������� ���������, ��������, ��� ���������� �������� ���������
��������� \cite[���.\,110]{29}, \cite[\S\,2]{25} � \cite{dik1,dik3}.
������� ��� ������� ������ ������ ���� ��������--����  ������ ������
�������� \cite{4,5} � ����� ����������� �� ������ ���������.

\subsection{������������� ���������}
����� ������� ��������������� ���������� $\Psi_t=\widehat A\Psi$
������ \reff{gd}. ����� ��� ��������� ����� ���� ����������������
����? ���� ������������  $\widehat L$ ������� �� ����� ����������
$(x,\,t)$, �� ������ ��������� $\widehat
L([u(x,t)],\,\partial_x)\,\Psi=\lambda\Psi$ ������������ �����
����������  ������ � ����� ����������� $\lambda$ � $t$, ������
����������� �� $t$ ����������� ������� ������ � ����������.
���������� ������� --- ������� $[u(x,t)]$ ��������� �� ������������
���������� $\xi=x-\alpha\,t$. ����������� ��������� ����� ����������
$\xi$, �������� ��� ����� $t$ �������� � ������ ��������� � � ����
�������� ������� ���� $\Psi(x,\,t)=T(t)\,\Xi(\xi)$. �����������
����������� ���������� ����������,  ����� �� ��������� ��������
���������� $\mu$, ����������� $T(t)=\exp(\mu\,t)$ � �������������
�������� $\widehat A\Psi=\mu\Psi$. �� ����� ������������ ���
���������� ��������� ��� ���������� \cite{29} �����������
�������������� ���������. � ������, ��������� $\pot$ � ��������
���������������� ��������� \reff{gd} ���������� {\em
�������������\/} ��� {\em �������-��������������\/} ���� ����������
������ ���������������� �������� $\widehat A(\pot)$, ����� ��� ���
��������� ����� ����� ����������� ������� $\Psi$ � ����������������
������������ ���������� $\widehat L\Psi=\lambda\Psi$ � $\widehat
A\Psi=\mu\Psi$. C�. ����� \cite[���.\,42]{2} � \cite{25,5}.

\section{$\Psi$-������� � �������������� ������}
\subsection{�������������� �������������}

���� �������� (�.\,�. ���������) �������������, �� $\Psi$-�������
������������ ���� � \pot-�������������. ��� ����� ����������
��������������� ��������� ����������� �� ��������� $\widehat
L\Psi=\lambda\Psi$ � $\widehat A\Psi=\mu\Psi$ ������ �� �������
$$
\Psi_x=G(\lambda,\,\mu;\,\pot)\,\Psi\,.
$$

{\bf ������� 6.} {\em $\Psi$-������� ��� ������������� �����������
������ ����������� ����\/}
\begin{equation}\label{exp}
\Psi(x;\lambda) = \exp\!\int\limits_{ x_{\sss 0}^{}}^{\,x} \!\!
G(\lambda,\,\mu;\,\pot)\,dx\,,
\end{equation}
{\em ��� $G$ --- ������������ ������� �� $(\lambda,\,\mu)$ �
��������������, ����������� ����������������� ���������� �� $\pot$.
��������������� ������������ ������ ����� ���\/}
\begin{equation}\label{curve}
W(\mu,\lambda) \equiv
\mu^n+a_1^{}(\lambda)\,\mu^{n-1}+a_2^{}(\lambda)\,\mu^{n-2}+ \cdots
+a_n(\lambda)=0\,.
\end{equation}
�������������� ����������� \reff{curve}, ���������� ������������
\reff{exp} � ����� �� ���������� ���, ��� ����  �����, ��������
����������� �� �����. � ��������� \reff{curve} ��������
$a_k^{}(\lambda)$ �������� ���������� �� $\lambda$ �
����������������� ���������� �� \pot. ����� ������� ������ �������
������������ \reff{curve}, ������������� ������ � ��������������
����� $\mbox{det}\big(\widetilde A(\lambda) - \mu\,I\big)=0$, ���
$\widetilde A(\lambda)$ --- ��������� ������������� ���������
$\widehat A$ � ��������� ������, ������������� ������� \reff{exp}, �
��������� ������ \reff{curve} ���� ��� ���������. �� �������
\reff{exp} ����� �������, ��� ������ ����� ����� �������������
���������� �������� ��� � � ������ ��������� \reff{schr}.

{\bf ����������� 2.} {\em ���������������� ������ �����
$\mathrm{Gal}$ �������������� ��������� \reff{gd} ��������� ������
������������ ������ ����
$\mathfrak{G}=\mathrm{Diag}(\alpha,\beta,\ldots,\gamma)
\subset\mathrm{SL}_n(\mathbb{C})$\/}.

������� ���������� �������������� ��������� $\widehat A$ ����������
�������� $[L,\,A]$-��� ��� ������������� ���������� ����������������
���������, ������� �������� ��������� � ����������. � ���� �������
��������� $\widehat L\Psi=\lambda\,\Psi$, ������ �������� �����
������� �������������� ������ �� $\lambda$. � ����� ���� ������� ���
���������� �����������������. ����������� �� ������������
����������, �� ��������� ��� ��� ����� ������ ��� ������������ �����
������� ���. �������� � ������ ������������ ������ ����� ������� ��
������� \cite{68,45}.



\subsection{���������������� (���������������) �������������}
������� (\ref{exp}--\ref{curve}) ���� ��\-��\-��� �������� �������
��� ������� �� $\lambda$. � ������ ������� �� ����� ������� �
�������������� ����������������, �� ������ �������������
$W\big(\mu(\tau),\lambda(\tau)\big)=0$ � ����� ��� ������������
������ ����� ��������������� ��� ������ �� ������������ ����������
$\tau$, ������� �� �������������� ������ \reff{curve}. ��� ���
������������� ������������. ����� ��������������� ��������
(\ref{exp}--\ref{curve}) ��� ����������������, ���� $\Psi(x;\tau)$,
�������� �������� �������������� � ������� �� ��������� ������, ����
����� ������� ������ ����������������. � �������� �����������,
���������� ������, ��� ��� ������� ������������ �� ����� \cite{br}:
\begin{equation}
\label{burn} \mu^2=\lambda^5-\lambda\,, \qquad\qquad
\left\{\lambda=\frac{\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_3(\tau)}\;,\qquad
\mu=i\,\frac{\vartheta_2^2(\tau)}{\vartheta_3^3(\tau)}\,
\vartheta_4(2\tau) \right\}\;.
\end{equation}
����� $\vartheta(\tau)=\theta(0|\tau)$ --- ������������
$\vartheta$-��������� �����.  ��������� \reff{burn}, �������� ������
$$
\Psi_{\mathit{xx}}-u(x)\,\Psi=
\frac{\vartheta_4(\tau)}{\vartheta_3(\tau)}\,\Psi\;.
$$
������ \reff{burn}\  �������� ������������ ����������
(��������������) ��� ������ ���� $g=2$ � ������� ����������� ���
�������� ������������� ������
\begin{equation}\label{tor}
\wp'(\alpha)^2=4\,\wp(\alpha)^3-\frac53\,\wp(\alpha)\pm
\frac{27}{7}\,\sqrt{2\,}
\end{equation}
� �������
$\varkappa=\frac{1+i\sqrt{2}}{2}$. ��� ����� � ����, ��� ��� �������
������������ � ������������� ��������.  ������� ����������� ��
������ ������������� ��������� \cite{34,3} ����� ��������� ���
������. ��������������� ������� ����� �����������������, �������
���������� ��������� ��� $u(x)$  ����� $\wp$-������� �
$\Psi\big(x;\alpha(\tau)\big)$ � ����� �������--������ �� ��
��������, ������������� ��������� ��������������� $\Theta$-������� �
�������� �����:
$$
\Theta \Big(
\begin{smallmatrix}z_1^{}\\
\mathstrut z_2^{}\end{smallmatrix}\Big|
\ds\begin{smallmatrix}\varkappa&\frac12_{}\\\frac12\,&
\varkappa\end{smallmatrix}
\Big)=\mfrac12\,\big(\theta_3^{}\!(z_1^{}|\varkappa)
+\theta_4^{}\!(z_1^{}|\varkappa) \big)\,
\theta_3^{}\!\big(z_2^{}\big|\varkappa\big) +
\mfrac12\,\big(\theta_3^{}\!(z_1^{}|\varkappa)
-\theta_4^{}\!(z_1^{}|\varkappa)
\big)\,\theta_4^{}\!\big(z_2^{}\big|\varkappa\big)\;.
$$
�������� $\alpha$, ��� �������� ������������ ���� \reff{tor},
�������� ������������� �������� �, �������, ��� �������� ��������
������ ����� �������, ����������� $\alpha$ � ���������� ����������
$\tau$ �� ����� ������ \reff{burn} \cite{br}:
$$
-2\,\big(1\mp\sqrt{2\,}\big)\,\wp(\alpha)-\frac13\pm
\frac23\,\sqrt{2\,}= \frac{\vartheta_3^2(2\tau)}
{\vartheta_4(\tau)\,\vartheta_3(4\tau)}\,,
$$
��� ������� ����� ������������� ��� ��������������� (��
��������������) �������������  ������ \reff{burn}  ������������
��������� ����������� � ����������� �����������. ��������������
������ ����� ��� ��������� ����������� ����������� ���� �� \S\,4 �
\cite{br}.

��������� �������������  ������ ��������������� ���, ���
������������ ���������� �������� ����������� ������� $\lambda(\tau)$
��  ������ ��������� ����, �� ���������� ������ ��������, ������
����� $\Psi$, � ���� ��� ������������� ����������� ��� ��� �����
���� ����� ���� �������� $\tau$, ������� ��  ����� ���������
����������� (������ ������). ����� $\tau$ ��������� �� ���� ������
�������, $\Psi(x;\tau)$ ��������� �� ���� �������� ���� ������������
�����.


\section{��������� ���������}
\noindent � ���� ��������� �� ���������������� ����� ������ ������
��������� ��������� �� �������� $\gk$. ������ �� ������ �� �����
\cite{49_2} (��. ����� \cite[\S\,7]{31}, \cite{43,46}) ����������
��������� �� ���� ����������� � �� ����������� ��������������� ��
������������ ������������ ������. � ����� ����, ��� ���������
������--�������� ���� ��������� � ������������ ������ ���� ���
������� ����������� ������� $\Psi_{\!1,2}^{}$ \cite[���.\,83]{28}.
�� ���� �������� ������������ ������� ��������� \cite{14}, � �����
�� ���, � ��� ��� ������� � ���������� ������� ��������� ��
����������� ��������� \cite{15}. ��� ���������� ������ ��������
��������� � ��������� ������������ ������ ������ �� ��������. ��� ��
����� � ��������� ��������������� �� ��������, ������� ����������
�������� \cite{dik4} � ���������������� �� ��������� �����������
����� \cite{dik1,dik3}, ���� � � ������� ������������� ��� ���������
�� ����������� (������� ������� $R$ \cite{yal}).  �� ��� �������� ��
\reff{exp}, ������������� ������� �� � $R$, � � �������������
��������������� ����������� ������� $G(\lambda,\mu;\pot)$.

\subsection{��������� 3-�� ������� � ��������� ���������--������}
������������ ���� ������ ����������� ��� ������������ �������������
����������� ������, �� ����� �������� �������� ��������, ��
���������� ��������� ������������ ���������:

\begin{equation}
\label{sp3} \Psi'''+u(x)\,\Psi' + v(x)\,\Psi=\lambda\,\Psi\,.
\end{equation}
����� ��� �������������� ��������� ����� ���
\begin{equation}\label{ABC}
A(x;\lambda)\,\Psi''+B(x;\lambda)\,\Psi'+C(x;\lambda)\,\Psi
=\mu\,\Psi\,.
\end{equation}
�� \reff{ABC} � \reff{sp3} �������� ��������� ������
(������� ���������)
$$
\mu^3+(A''+3\,B'-2\,u\,A+3\,C)\,\mu^2+(\ldots)\,\mu+(\ldots)=0\,.
$$
����������� �����  $\mu^2$, ��� ��������� $k(\lambda)$, �����
�������� ������ ����, ��� ��� ��� ������������� ������ ���������
$\mu \to \mu-k(\lambda)/3$. � ���������� ��������
$$
C=-\mfrac13\,A''-B'+\mfrac23\,u\,A\,,
$$
\begin{equation}\label{curve3}
\mu^3+\mfrac13\, \big( A\,A^{\sss (\mathrm{IV})}
+(2\,A'+3\,B)\,A'''+ 3\,A\,B'''-A''^2 -u\,A\,A''-\cdots\big)\,\mu+
(\ldots)=0\,.
\end{equation}
$\Psi$-������� ����� ���
\begin{equation} \label{lnpsi}
\frac{\Psi'}{\Psi}=\frac{(A'+B)\,(\mu-C)-v\,A^2+A\,C'} {3\,A\,\mu +
A\,A''+u\,A^{2^{\mathstrut}}+3\,B\,(A'+B)}\,.
\end{equation}
��� ������ ����� ������� ��� ��� �����������. ����� �������� ���,
�����, ����� �������� ��� ��������� ������������ �� ������ �������.

���������� ���������� ��� ������������ ����� $\Psi$ ��
�������������� ������, ������� ������� �� $\lambda$ � ���������� ��
������ ��������� �����������. ��� ������ �������� ���������� �
������� ������������ �� $\mu$ ������� \reff{lnpsi} � �������
��������� ������ \reff{curve3}
$$
W(\mu,\,\lambda) \equiv \mu^3+Q(\lambda)\,\mu+T(\lambda)=0\,.
$$
� ���������� �������� �������
\begin{equation}\label{psi3}
{\frac {\Psi'}{\Psi}}=-{\mfrac {3\,A\,\mu^2-(A\,A''+
u\,A^2+3\,B^2+3\,B\,A' )\,\mu +A^{\mbox{{\tiny({\sc\scriptsize
iv})}}} + \cdots}
{(3\,v-u')\,A^3+(3\,B\,u+2\,A'\,u+2\,A'''+3\,B'')\,A^2+
3\,(A''+B')\,B\,A+3\,B^2\,(A'+B)}}\,.
\end{equation}
��� ���� $\Psi$ �������� �������� ��� $\Psi'\!/\Psi$  � �������
��������� ����������� \reff{psi3} ���
\begin{equation}\label{pi}
\begin{array}{l}
R(\lambda;\,x)  = (3\,v-u')\,A^3+(3\,B\,u+2\,A'\,u+
2\,A'''+3\,B'')\,A^2+
3\,(A''+B')\,B\,A+3\,B^2\,(A'+B) =\\ \\
\phantom{R(\lambda;\,x)} =  a\!\cdot\!(\lambda-\gamma_1^{})\cdots
(\lambda-\gamma_g^{})\,,
\end{array}
\end{equation}
��� $a$ �������� ���������. ������ ���������� ����
$\mu_k^{}=\mu\big(\gk(x)\big)$, �.\,�. ����� �����, ��������� ���
������ ����������� ���������
\begin{equation}\label{uniform}
\mu_k^3+Q\big(\gk(x)\big)\,\mu_k^{} +T\big(\gk(x)\big)=0\,.
\end{equation}
������� (\ref{lnpsi}, \ref{psi3}) � \reff{pi} ��������
������ ���������� ��� ������ ���� ���������� �����������. ���������
\reff{lnpsi}
$$
\frac{\Psi'}{\Psi}= \frac{(A'+B)\,(\mu-C)+A\,C'-v\,A^2}{A\,\mu-D}\,,
$$
��� ������� �����������
$$
-3\,D=A\,A''+u\,A^2+3\,B\,(A'+B)\,,
$$
��������  ������ ����������� --- ������� ��� ������ ����������. �
������, ����� $\lambda \to \gk(x)$,
\begin{equation}\label{mu}
\mu_k^{} \to -\mfrac13\left(A''+u\,A+3\,\mfrac{B}{A}\,(A'+B)
\right)\,.
\end{equation}
�����, �������� �� ������� \reff{mu} �����
������� �� ����������. ��������� ��������� ��� $Q(\lambda)$ ���
������� �� $\pot$ (������� \reff{curve3}), �������� �������
\reff{psi3} ��������� ���:
$$
\frac{\Psi'}{\Psi}= \frac{(A'+B)\,(\mu-C)+A\,C'-v\,A^2}{A\,\mu-D}=
-3\,\frac{(\mu^2+Q)\,A^2+A\,D\,\mu+D^2}{A\,R}+\frac{A'+B}{A}\;.
$$
��������� � ��������� ������� $\lambda \to \gk$ � ���������
\reff{mu}, �������� ������� ���������.


{\bf ������� 7.}  {\em ���������� ����� $(\gk,\,\mu_k^{})$
$\Psi$-������� ��� �������������� ������������� ����� \reff{sp3}
������������� ������� ���������������� ���������:
\begin{equation}\label{dubr}
\quad\gamma'_k=3\,A\big(\gk;\,\pot\big)\,\mfrac{3\,\mu_k^2+ Q(\gk)}
{\displaystyle a \prod _{j \ne k}(\gk-\gamma_j^{})}\,, \qquad \mu'_k
= -3\,A\big(\gk;\,\pot\big)\, \mfrac{Q'(\gk)\,\mu_k^{}+T'(\gk)}
{\displaystyle a \prod _{j \ne k}(\gk-\gamma_j^{})}\,.
\end{equation}
������ ���������� ����� $\mu_k^{}$ ����� ���}
$$
\mu_k^{} =\mfrac{D\big(\gk;\,\pot\big)}{A\big(\gk;\,\pot\big)}\,.
$$
������ ������ ��������� \reff{dubr} ������� �� \reff{uniform}
������� �����������. ������ ������ ��������� � \reff{dubr}
���������� � ������� \cite{44,45} � �������� ���������� ������������
����������� ������������ �������� ��������� ����������. �����������,
�������� ������ ���������� $\mu_k^{}$ � ��������������  ��
���������.  ������ ���������� ������� \cite{44} ������� � ���, ���
����������� ������� $3\,\mu^2+Q(\lambda)$ ���� � ��������
����������� $W_{\!\mu}(\mu,\lambda)$. ���� ������ ������������ ����
(����, ������, ��� �� �������) �������� ��������� ���������
\reff{dubr} � ������ ��������� ����� � ������������ ���������������
\begin{equation}\label{cheb}
d\,\omega = \frac{P(\mu,\lambda)}{W_{\!\mu}(\mu,\lambda)}\,
d\lambda\,.
\end{equation}
�� �������� �������� � ��������������  ��������� \reff{dubr}  �
������� ������� ������� ������ ��������� � ��������� ���� ���������.
� ���������� ������� ��� �� �����������. ���������  \reff{dubr} ��
���������, ��� ��� �������� ��������� � $A$-������� � ������ �����
���� �� ����� ������ �� ������������� $A(\gk;\,\pot)$ �����
$(\gamma,\,\mu)$. �������, ��� ����������� ������� ��������
������������� ����������� � �� ������������ ������������� �  �������
������� ���� 2 �����������. ������� ������ ���� ������������ ���
���������� ��� ������������ ����� \cite{44, 45}, ��� � ���
������������ ������ \cite{75}.

\section{��������� ��������}
\noindent �������� ������� $\gk$ �� ������� ������������, ��� ������
������ ������������ ���������:
\begin{equation}\label{time}
\quad\Psi_{\!t}= \widetilde
A(\lambda;\,x,\,t)\,\Psi_{\!\mathit{xx}}+ \widetilde
B(\lambda;\,x,\,t)\,\Psi_{\!x}+\widetilde
C(\lambda;\,x,\,t)\,\Psi\,,\qquad \widetilde C=-\mfrac13\,\widetilde
A_{\mathit{xx}}-\widetilde B_x+
\mfrac23\,u(\lambda;x,\,t)\,\widetilde A\,.
\end{equation}
� ����� ����, ������ \reff{curve} �� ������� �� $t$ � �������
\reff{exp} ����������� � ����� ������ ������� $t$. ����� �������
������� \reff{exp}, ������ ����������  ������������ �������
$\Psi(x_{\sss 0})=1$, ������������ ��������� ���������� ������, ���,
��� ��������� \reff{time} �������� ������������ � ��� \reff{exp}.
���� ���������� ��� �������� �������� ������������� �� ���������
\pot, �� \reff{exp} ������������� ������� ���������� � �������������
��������� \reff{ABC} �� ��� ������� �������. ���������  ����������
������������ ��������  $(\gk,\,\mu_k^{})$ (��. ����� \cite{44,45}).


{\bf ������� 8.} {\em  ����� \potxt\  --- ������������� ���������
������������ ������
$$
\Psi_{\!\mathit{xxx}}+u(x,\,t)\,\Psi_{\!x}+ v(x,\,t)\,\Psi
=\lambda\,\Psi
$$
� ������������� ����������
\begin{equation}\label{commut}
A(\lambda;\,x,\,t)\,\Psi_{\!\mathit{xx}}+
B(\lambda;\,x,\,t)\,\Psi_{\!x}+C(\lambda;\,x,\,t)\,\Psi=\mu\,\Psi\,,
\qquad
 C=-\mfrac13\,A_{\mathit{xx}}-B_{x}+ \mfrac23\,u\, A\,.
\end{equation}
� �������������� ������
$$
\mu^3+Q(\lambda)\,\mu+T(\lambda)=0\,.
$$
����� �������� $\Psi(\lambda;\,x,\,t)$ ����������� ����������
\reff{time}. �����

$\bullet$ ������� $\big(\gk(x,\,t),\,\mu_k^{}(x,\,t)\big)$
������������� ������� ���������������� ���������
\begin{equation}\label{dubr1}
\left\{
\begin{array}{ccl}
\displaystyle\frac{d}{dx}\, \gk&=&
\displaystyle3\,A(\gk)\,\frac{3\,\mu_k^2+Q(\gk)}
{\displaystyle a\prod _{j \ne k}(\gk-\gamma_j^{})}\\ \\
\displaystyle\frac{d}{dx}\, \mu_k^{}&=&\displaystyle-3\,A(\gk)\,
\frac{Q'(\gk)\,\mu_k^{}+T'(\gk)} {\displaystyle a \prod _{j \ne
k}(\gk-\gamma_j^{})}
\end{array}
\right.\,,
\end{equation}
%
\begin{equation}\label{dubr2}
\left\{
\begin{array}{ccl}
\displaystyle\frac{d}{dt}\, \gk&=&3\, \Big\{A(\gk)\,\widetilde
B(\gk)- \widetilde A(\gk)\,B(\gk)\Big\}
\,\displaystyle\frac{3\,\mu_k^2+Q(\gk)}
{\displaystyle a \prod _{j \ne k_{{\mathstrut}}}(\gk-\gamma_j^{})}\\ \\
\displaystyle\frac{d}{dt}\, \mu_k^{}&=& 3\, \Big\{\widetilde
A(\gk)\,B(\gk)- A(\gk)\,\widetilde B(\gk)\Big\}\, \displaystyle
\frac{Q'(\gamma_k^{{}^{{\mathstrut}}})\,\mu_k^{}+T'(\gk)}
{\displaystyle a \prod _{j \ne k}(\gk-\gamma_j^{})}
\end{array}
\right.\,.
\end{equation}

$\bullet$  ������ ����������, ���������� ������������ �� �����������
$$
\mu_k^{}(x,\,t)=\frac{D(\gk;\,x,\,t)}{A(\gk;\,x,\,t)}\,,
$$
������  ��������� {\rm $($\ref{dubr1}--\ref{dubr2}$)$} � �����������
���� � ��������� ������� ������� ������\/}
\begin{equation}\label{trace}
\potxt=S(\gamma,\,\mu)\,.
\end{equation}
{\em ��������������\/}. ��������� \reff{dubr1} ��� ���� �������� �
\S\,5 (������� 7), � ������� ������ \reff{trace} ����������
��������� ��������� �������� �������� ��������
\cite{29,25,dik1,dik3}. �������� �������� \reff{dubr2}. ����������
$\Psi_{\!\mathit{xx}}$ �� ��������� \reff{commut} � ���������
\reff{time}, ��������
$$
\frac{\Psi_{t}}{\Psi}= \frac{A\,\widetilde B-\widetilde A\,B}{A}\,
\frac{\Psi_{\!x}}{\Psi}+\widetilde C+(\mu-C)\,\frac{\widetilde
A}{A}\,.
$$
����������� � ������ ��������� ������ $\lambda \to \gk$, �������� �
������� ��������� ������������������ ���� �� ������ \reff{uniform}
$$
\dot{\!\gamma}_k=\frac{A\,\widetilde B-\widetilde A\,B}{A}\,
\gamma_k'\,,
$$
������,  � ���� \reff{dubr1},  ������� ��������� \reff{dubr2}.
\hfill$\blacksquare$

{\bf ����������� 3.} {\em ������� ��� ������������ �������������
������� $\Psi(x;\lambda)$ ���� \reff{final} ���������� �� �������
\reff{exp}, ��������� \reff{dubr1}, ��������� � ��������������
�������� �������������� 3-�� ���� �� ��������������������
������������ ������ \reff{curve3}\/}.

�� ����� ������� ����� �� ��������, ��������� ��� ����� ���
������������� �� ������������� ������� ���������� ��������������
��������� � \reff{cheb} \cite{80} � ���������� ����� ������� �������
������ \reff{trace}. � ��������� ������� ������� � ���{\'�}�, ���
�������� ������� ��������� ���������� \S\,9.

��� �������������, <<������������>> �������� ������ ��������� �����
������������ �������� � ���������� � ���������� ���������� 3-��
����. ������������ �������� � �������� �������. ������
<<������������ ������������>> ��� ����� ����������� ������ �����
���� ������ �� ��������� � ���� ������ ������: ���������,
�������������� � ��������������� �����������, ������������� ������
��������� ��������� $\lambda$ � �����, ����������� ��������������
�����������, � ������� ����������� ��������� (������ ���������) �
���� �� ���� �������������, ������� <<���������� �������>> �
�������� ���������, ��������� ������������ �����������, �������
���������  � �.\,�. ��� ������� �� ������������� ����������, �����
�������� ������ ������������� ���� ���� ����� ��������
$\Psi$-�������. ��� ����� ���������� ����������� ��������� � �������
� ���������� ���������� � ��������� $\Psi$-������� �� �������������
���������. �����, ��������, ��� ������� � ������������ �������������
�������� ����� ��������������� ������� ����� ������ ����������� �
������ ���� ����.

\section{������� ������}

\subsection{������������ ������� ������}
������� ������� ������ \reff{trace} --- ��� ���������� �������������
�����, � �� �������, � ����  ������������ �������������� �������
$S$, �������� ����������� ������� ������������ ���������������. ���
�����, ������� ���� \reff{exp} ����� �� ����� ����������, ��� ���
��������� � ����� �������� ���������������� ����������. ���� �����,
��������� \reff{dubr} ���������� ���������������� ������
������������ ������ ���������. ������ ����� ��� ���������,
������������, ������������ ��� ����������������, ��� ���������������
�� ����� ��������, ��� ��� ���������� ������ ����� ��������
��������������. ��������������� ��������� ��������� ���� �������
������� ����� ���������. ��� ������ ��������� � ���� ��������� ���
�������� �� ���� ������������� �������. ����������� ���������
��������� � ����������� ����� � ���������� ��������� �� ���������,
������� �������� ��� <<��������>>.

��������� ������ ���������� $\mu_k^{}$ �����������, ��� ���
������������ ������� �������  ���� �������������� ���������� �������
�������� �������� ���������� � ������ ��������� ����� � ���
���������� ���������� �������������.  ���������� ������� ��.  �
\S\,9. ��� �������������� ������������� ������ ������� ����������
����������, ���� ����  ���� ��������������� � 90-� ����� (��.
�������� \cite[\S\,3]{kuz}) � ����������� � ���, ��� �������  ��
���������/��������� $(p,\,q)$ (��� ���������� ��������������
$u,\,u_x,\ldots$) � ���������� ���������� $(\gamma,\mu)$ ��������
������ ������ ��� ������ ������� � ������������ ����� ����������
������������� ������ ���������� ����������.

������� ��������, ��� ��������������� ���� ��������� ������ ������
������ ����������� ��������� ��� � 1975 �. \cite{matv,29}. ������
���������� � ������������ �������� ����� ������ ������, ��� ���
������������ ��������� ���������--�� �����, ��������� ���������� ���
������� ����� ���� �� ������������� \cite{matv}. ��� ������ ����� ��
�������� \S\,9 � ���������� ������, � �������������������� ���������
����� �����  <<�������������>>  �������������� <<������>> �
���������� $(\gamma,\mu)$, �� ���������� ������� \reff{trace}, ��
������� ������� ���������. �� ����� �������� �� �����������  � ����
������������  �������.

\subsection{�������������� � ��������������� ������� ������}

���������� ����� ������ �������� �� ����� ����������, ������ ��
������� �������� � \S\,9. ����������� ��� �������������� ���������
������� � ���, ��� �������� �������� ������� ��� ����������� �
�������������� � ���������������, � �� ������������ ��������������
�����. � ����� ����, �������� (��. \S\,9), ���������� �����������
����������, ������ �������� ������, �������, � ����������� �����
������, ����� ���������  � ���������� ��������. ��� ��� {\sc �������
5} �� ���.\,\pageref{5}, ���������� ����� ���������� ��������
$E_k(\pot)$, �������� ��������� ���������:
\begin{equation}\label{3}
u^3+3\,\alpha\,u+3\,E_2^{}+27\,\sum\limits_{k=1}^{4}\,\gamma_k^2(x)=0\,.
\end{equation}
������������ ��� ��� ������� �� $u$, ������� �����, �������
��� �� ����� �������� �������������� ������������ ��������� �� $x$.
��� ����� ������������� �������������� ��������������� ��� �������
�������������� ��������� 3--4-� �������:
\begin{equation}\label{trans}
u=\wp\big(\omega(x);
-12\alpha,-12E_2-108\textstyle\sum\gamma_k^2(x)\big)\;,
\end{equation}
��� $\omega(x)$ --- ����� ����������, ��������������� �����������
������ ������� ������������, � �������� $\gk(x)$ ������������ �
����������� 5 (\S\,9). �������� � ������� \reff{trans} � �����
$\vartheta$-��������������, ����� ��������� ���������, ��������
�����:
\begin{equation}\label{transs}
u=-\frac{3}{2\alpha}\,\left\{E_2+9\sum\limits_{k=1}^{4}
\gamma_k^2(x)\right\}
\frac{\vartheta_2^8(\tau)+\vartheta_3^8(\tau)+\vartheta_4^8(\tau)}
{\big(\vartheta_2^4(\tau)+\vartheta_3^4(\tau)\big)
\big(\vartheta_3^4(\tau)+\vartheta_4^4(\tau)\big)}\,,
\end{equation}
��� ������������� ������ $\tau=\tau(x)$ ������������, ���������
���������� ��������� ������ $J(\tau)$, �� ������� ����������������
���������\footnote{����� ������� ��������, ��� ������� �������������
���������� ������ ��������� (��� ������������ ��� ������ �������
\reff{transs}), ���������� � ����� �.�������� {\em ``�������� ������
������������� �������''} (1970) �� ���.\,51 ��� � 3-� ���� {\em
�����.\,���\/}. �� ���.\,789, �������� �� ������ (�� ������� �
���������).}
$$
J(\tau)=\frac{4\alpha^3}{4\alpha^3-9E_2-81\sum\gamma_k^2(x)}\,.
$$
������� ����� ���������, ��� �������� ������ �����, ��� ��������,
�����������. ������� (\ref{trans}--\ref{transs}) ���������� �������
{\em �������������� ��������������� ������\/}. ������ �����
$\alpha=0$ �������� ����������� (��. {\sc ������ 1}) � �������
��������� ������. ��� ��������� �����, �� �� �� �� ��������.
�������� �������� ����� ��������� ����� �������� �������� �������
���������� ���������� ��� ��������������� ��������� �� ������
�������� �������. ��������, ��� ��� ������� ��  ������� \reff{4},
�������� ����������� �������������
$$
18\,
\sqrt[3]{\mathstrut\gamma_1^{}\,\gamma_2^{}\,\gamma_3^{}\,\gamma_4^{}}
=u''(x)+2\,u^2(x)+2\,\alpha\,.
$$

����� �������� ��������� <<��������������� ������>> ������� �
���������� ����������� �� ���������� �� ������� ������ �����������,
������������ ��������� $E_k(\pot)$ � ���������� ���������� $\gk$.
����� ����������� �������������� ��������� � ����������� ��������,
�������� �����. ��� ���������  (�������� ���� �� �������) ��
�����������. �������� ����� ���� ������������ ���������
$(\gamma,\mu)$-������������� �������� �������.  ����������� �������
������������ ��� ������ ���������, ������� ������������������ ������
���. ����� �� ����������� ���� �������� (\ref{trans}--\ref{transs})
� ������������ �������������, ��������� � ������ ���� ��� ����
����������� ������� ������������� �������������� ������ �
��������������� �������� ����� $\Theta$-���������, ������
������������� �����.

\subsection{��������������� ����������� ����� $\Theta$-���������}

��������  ���������� ���������� ���� ������������ �� �������
�������. � ����� ����, ����������� ������� \reff{transs} �
\reff{trans2}, ����� �����
\begin{equation}\label{transAbel}
-\frac29\,\alpha\,\sum\limits_{k=1}^{4}\,\frac{\gamma_k^2\,\mu_k^{}}
{\displaystyle\prod\limits_{j \ne k}\,(\gk-\gamma_j^{})} =
%
\left\{E_2+9\sum\limits_{k=1}^{4} \gamma_k^2(x)\right\}
\frac{\vartheta_2^8(\tau)+\vartheta_3^8(\tau)+\vartheta_4^8(\tau)}
{\big(\vartheta_2^4(\tau)+\vartheta_3^4(\tau)\big)
\big(\vartheta_3^4(\tau)+\vartheta_4^4(\tau)\big)}\,.
\end{equation}
��������� ������ � ���� �������
$\Theta(x\boldsymbol{U}+\boldsymbol{D})$-����\-����\-��\-��� ���
��������� ��� �������� �������, �������  ���������������
$\Theta$-���������.  � ������ ������� � ��� �������� �����������
����� $\Theta$-��������� ���� 4 ��� ������ \reff{curvekk}  �����
������������� $\vartheta$-���������. ��� ����� ����� � ���� ����,
��� ���������� �������������� ��������� 3-� ������� \reff{3}. �
������ ��������� ��������� ������ �������� �� ���� ����� �����
��������� � ������������� $\vartheta$-����������\footnote{����������
��������� �, � ���������, ���������� ������� ��������� 5-� �������
������.}, ���� � ������������� ������ ��������� � $\Theta$-��������
������ �����.

������� ����� �����  ��������� ������������ �������������
��������������� � ���������������� ��������������� � ����������
�������� �� ��� ���������� � ����������. ��. �������� ������
\cite{tah,hitchin} � ������������ � ���. � ������ \cite{brtheta}, �
���� ���������� ��������� ������� 4, ��� ����� ��������������
���������. � ���������, ��������� ����������� ��� ����������, �����
�������� ��������� ����������� (\ref{transs}--\ref{transAbel})
���������������� ������������������ � �������������� ���������
��������� � {\sc ������� 5}.






\section{������������ �������������� �����������}
\noindent ����� �� ������� ��� �������� ������������ ��������������
����������� ��� ������������ ��������� \reff{sp3}. ������� ��������
������������� ����������� ���� ����� ����� �� ����, ����� ������
������� ��� ��������� ���� ���. ������ ������� ���� ������ ����
������������ \cite{36,61,45}. ������������ � ���� ��������� �������
�������� ����������� ����������, ������� ������� ��� ������� �
������ \cite{16} ��� ��������� ���.

{\bf ����������� 4.} {\em ����� $u(x)$ --- ������������ $2$-������
���������  ��������� \reff{schr}. ����� $\Psi$-������� ������
����������
$$
\Psi(x;\lambda)=\sqrt{R\,}\,\exp\!\int\!\frac{\mu}{R}\,dx\,, \qquad
R=\lambda^2+\left(c_1^{}-\mfrac{u}{2}\right)
\lambda+\mfrac{3}{8}\,u^2-
\mfrac{1}{8}\,u_{\mathit{xx}}-\mfrac12\,\,c_1^{}\,u+c_2^{}\,.
$$
���  ���������� $x_{\sss 0} = a_{\sss 0} = 0$ ��� ���� ���������
���������� ����������
$$
\begin{array}{l}
u  =  \mfrac{6}{x^2_{{}_{\mathstrut}}} - \mfrac{4}{35}\,c_2^{}\,
x^2+ b\,x^4+c\,x^6+d\,x^8+
\cdots, \quad c_1^{}=0\,, \qquad \mbox{\rm\small
(6 ��������� ���������� \cite{16})}\\
u  = \mfrac{2^{{}^{\mathstrut}}}{x^2} -
\mfrac45\,c_2^{}\,x^2+b\,x^3+c\,x^4-
\mfrac{3}{10}\,c_1^{}\,b\,x^5+d\,x^6+\cdots,\quad \;\;
\mbox{\rm\small (7 ��������� ����������)}
\end{array}
$$
��������������� �������������� ������ ����� ���\/$:$}
$$
\begin{array}{rl}
\mu^2 \!\!\!\!& =  \lambda^5 + 2\,c_2^{}\,\lambda^3+\mfrac {63}{2}
\,b\,\lambda^2 + \left
(\mfrac{162}{175}\,c_2^2+\mfrac{297}{4}\,c\right)_{{}_{\mathstrut}}
\!\lambda + \mfrac {1377}{35}\,b\,c_2^{}+\mfrac {1287}{2}\,d\,,\\
\mu^2 \!\!\!\!& =  \displaystyle  \lambda^5+2\,c_1^{}\,\lambda^4+
\left(c_1^2+2\,c_2^{}\right)^{{}^{\mathstrut}} \!\lambda^3+
\left(4\,c_1^{}\,c_2^{}-\mfrac{7}{2}\,c\right)_{{}_{\mathstrut}}
\!\lambda^2+{}
\\& \ds\phantom{=}
+\left( 2\,c_2^{}\,c_1^2-7\,c\,c_1^{}+\mfrac{54}{25}\,c_2^2-
\mfrac{81}{4}\,d\right )^{{}^{\mathstrut}} \!\lambda  -
\mfrac72\,c\,c_1^2+ \left(\mfrac{54}{25}\,c_2^2-
\mfrac{81}{4}\,d\right)\! c_1^{}+\mfrac {81}{64}\,b^2\,.
\end{array}
$$
������ ����� ������ ��������� ����� ������. ������ �������������
��������� ���������� �� $x$, �������, ���������� �� ����� ���
�������, ������� ����� �� ��� � $x=0$ � ���������� �����
\begin{equation}\label{ans}
\pot=\frac{a_{-n}^{}}{x^n}+
\frac{a_{-n+1}^{}}{x^{n-1}}+ \cdots+ a_0^{}+a_1^{}\,x+\cdots
\end{equation}
� ��������� ������ \reff{curve} � ��������� �������� ����� ��
�������� $x$ ��������. 1) ������� $n$ � ��������� ��������
������������ $a_{-n}$. 2) �������� ��������� �� ������������� $a_k$.
����� ���������� �� ��� ����� ����� �������� ��������������
������������� ���������. 3) �������� ���� �������� $\alpha$, $c_k$
����� ������������ $a_k$. ��� ������ �����������, ��� ��� ���������
�� ��� �������. ����� ���������� ������� 1--3), ���������, ���������
����������� ���������� ���� ��������� ������ \reff{curve}. ������
������ ����������� ������������� $a_k$ ������� ���������� ������
����������� \reff{ans} ��������������� � ������������ ���������, ��
����� �� ������������� ���������� ��������� $c_k$, ������� ������ �
$\Psi$-�������.

{\sc ������ 1.} ������������ ������
\begin{equation}\label{spectrkk}
\Psi'''+u\,\Psi'+\mfrac12\,u'\,\Psi=\lambda\,\Psi\,.
\end{equation}
������������� �������� �������� �� �������������
��������� �����--����������� \cite{64}
\begin{equation}\label{kk}
u_t^{}=u_{\mathit{xxxxx}}+5\,u\,u_{\mathit{xxx}}+
\mfrac{25}{2}\,u_x\,u_{\mathit{xx}} +5\,u^2\,u_x\,.
\end{equation}
�������� � ������������ ���������� $x \to
x-\alpha\,t$, ��������:
$$
-9\,\lambda\,\Psi''+\left(u^2+\mfrac12\,u''+\alpha\right)\Psi'-
\left(6\,u\,\lambda+2\,u\,u''+\mfrac12\,u'''\right)
\Psi=\mu\,\Psi\,.
$$
����� �� ����������� � ���  ������, ��� � �������������� ������
$$
\mu^3+\Big(27\,\alpha\,{\lambda}^{2}-\mfrac92\,K\,\lambda+
E_1\Big)\,\mu+ 729\,{\lambda}^{5}+E_2\,\lambda^3+
\mfrac{27}{2}\,u\,K\,\lambda^2+
E_3\,\lambda+\mfrac{1}{8}\,(u''+2\,u^2+2\,\alpha)^2\,K=0
$$
�������� �� ������ ��������� ������������� ��������� \reff{kk},
�� � ��� ����:
$$
K \equiv \alpha\,u'+u^{\sss (\mathrm{V})}
+5\,u\,u'''+\mfrac{25}{2}\,u'\,u''+5\,u^2\,u'\,.
$$
$K$ ������ ���� �����. �� ����� �� ������������ � ���������
$u''+2\,u^2+2\,\alpha=\mathit{const}$.
���� ��������� ���������, �� �������� �����������
��������� $u=\mbox{\it const}$. � ��������� ������ �����
������ � ����������� ��������
$$
\mu^3+27\,\alpha\,\lambda^2\,\mu+729\,\lambda^5- 27\left
(\mfrac{3}{4}\,u'^{2}+u^3+3\,\alpha \,u \right)\lambda^3=0\,, \qquad
\mbox{��� \ $g=1$.}
$$
��������������� ������� ����� ����������� � ����� ���
$u=-3\,\wp\big(x+\mfrac34\,g_2^{}\,t\big)$. ��� ��������������
������ ������ \reff{curve} ����������� ���:
\begin{equation}\label{curvekk}
\mu^3+(27\,\alpha\,\lambda^2+E_1^{})\,\mu
+729\,\lambda^5+81\,E_2^{}\,\lambda^3+ E_3^{}\,\lambda=0\,,
\qquad
\mbox{ ��� \  $g=4$}\,.
\end{equation}
��������������� ���������
\reff{kk} ��� �� ��� ���������� � ������ ���������. �������� ������
��������� � \cite{22}, � ������� ������������ ��� ���� ���� ��������
������ �������  \cite{76}. ���� �� ���� ��������� ����������
���������� � ������ ����� ���
$$
u=-\frac{3}{x^2}+a\,x+b\,x^2+c\,x^3+d\,x^4+e\,x^5+\cdots, \qquad
\alpha=5\,b\,,
$$
$$
\begin{array}{l}
\mu^3+3\,(45\,b\,\lambda^2-52\,a^2\,b-128
\,a\,e-12\,c^2 )\,\mu+{}\\ \\
\quad\,{} +{\mfrac {9^{{}^{\mathstrut}}}{4}}\,\Big(324\,\lambda^4
-27\,(15\,a^2+28\,d)\,\lambda^2+116\,a^4+
336\,a^2\,d+384\,a\,b\,c+1536\,c\,e \Big)\,\lambda=0\,.
\end{array}
$$
��������� ���������� --- ������ �������:
$$
u=-\frac{24}{x^2}+a\,x^2+b\,x^4-{ \mfrac
{a^2}{72}}\,x^6+c\,x^8+d\,x^{10}+\cdots, \qquad \alpha=110\,a\,.
$$
��������� ��� ������ �� �� ����������.

{\sc ������ 2.} ������������ ������
\begin{equation}\label{spectrsk}
\Psi'''+u\,\Psi'=\lambda\,\Psi
\end{equation}
������ ����������� �
���������� ������--������ \cite{65}
\begin{equation}\label{sk}
u_t^{}=u_{\mathit{xxxxx}} + 5\,u\,u_{\mathit{xxx}} +5\,u_x\,
u_{\mathit{xx}}+5\,u^2\,u_x\,.
\end{equation}
���� �� ���� ��������� ���������� ������������ ������� \reff{sk}
����� ���
$$
u=-\frac{12}{x^2}+a\,x^2+b\,x^3+c\,x^4-\left(
\mfrac{a^2}{36}\,x^6+\mfrac{a\,b}{22}\,
x^7+\mfrac{b^2+a\,c}{44}\,x^8+\mfrac {5\,b\,c}{156}\,x^9\right)
+d\,x^{10}+\cdots \,\,\, (\alpha=20\,a)\,.
$$
������������� �������� ����� ������� �����������  �� ����������. ������
������������ ������ ��� 6--9-� �������� $x$ �� ��������, � ������������
�����������. ������ ����� ���
$$
\mu^3+36\,(15\,a\,\lambda^2-49\,b^2)\,\mu+9\,
\lambda\,(3^4\,\lambda^4-3024\,c\,\lambda^2+1568\,a^3 - 2^6\,
21^2\,c^2 - 2^8 \,3^3 \, 637\,d) = 0\,.
$$
����������� ������� ���������� ��� ������� ���������� ����������
$$
u=-\frac{6}{x^2}+a+b\,x-\Big(\mfrac{a^2}{6}\,x^2-\mfrac{a\,b}{3}\,x^3\Big)
+c\,x^4+\Big(\mfrac{a^2\,b}{24}\,
x^5 -\mfrac {a^4-18\,a\,b^2}{648}\,x^6+
{\mfrac {b^3-a^3\,b}{252}}\,{x}^7\Big)+d\,x^8+ \cdots
$$
�� ������ ����� �������� ������ ���������������� �������������� ����������,
�� ������������� � ������������� ��������. ��������������� ������� �������������
��������� \reff{sk} ���� �������� ���� \cite[���.\,380]{66}
(���� ���� ����
� ������������ ���������������� ����������, ������� �� ������
� ��������� �������--�������):
$$
u=-6\,\wp_1^{}-6\,\wp_2^{}\,, \qquad \wp_1^{} \equiv
\wp(x+12\,g_2^{}\,t-\Omega;\,g_2^{},g_3^{})\,, \quad \wp_2^{} \equiv
\wp(x+12\,g_2^{}\,t- \widetilde\Omega;\,g_2^{},\widetilde g_3^{})\,.
$$
��� ������������ �������������� �� ����� ���� �������� �  ������
������ ������������� ���������. ������ ���� $g=4$, $\Psi$-������� �
������ $R$-������� ����� ��� \cite{b1}:
$$
\Psi(x;\lambda)=\exp\!\int\!\!
\mfrac {4\,(\wp_1^{}-\wp_2^{})^{2}\,\mu+9\,\lambda\,(8
\,\wp'_1\, \wp'_2+4\,(\wp_1^{}+\wp_2^{})\,(4\,\wp_1^{}\,\wp_2^{}- g_2^{})-
\lambda^2-4\,g_3^{}-4\,\widetilde g_3^{})}
{(2\,\wp'_1+2\,\wp'_2+\lambda)\,\mu+72\,\lambda\,(\wp'_1\,\wp_2^{}+
 \wp'_2\,\wp_1^{})+72\,(g_3^{}-\widetilde g_3^{})\,(\wp_1^{}-\wp_2^{})
+18\,(\wp_1^{}+\wp_2^{})\,\lambda^2}\,dx\,,
$$
\smallskip
$$
\mu^3-324\,g_2^{}\,\lambda^2\,\mu+729\,\lambda\,
\big((\lambda^2+4\,g_3^{}+4\,\widetilde g_3^{})^2-64\,g_3^{}\,
\widetilde g_3^{}\big)=0\,,
$$
\begin{equation}\label{R3}
R(x;\lambda)\equiv \Psi_1^{} \Psi_2^{} \Psi_3^{}=
(\lambda^2+4\,\wp_1'\,\lambda+4\,\widetilde g_3^{}-4\,g_3^{})
\,(\lambda^2+4\,\wp_2'\,\lambda-4\,\widetilde g_3^{}+4\,g_3^{})\,.
\end{equation}

{\sc ������ 3.} �������� �� ���������� ���������
$u=-6\,\wp_1^{}-6\,\wp_2^{}$ �� ����� ������������� ������������
$g_2^{}, \,g_3^{},\,\widetilde g_2^{},\, \widetilde g_3^{}$
������������� ��� ������������ ������ \reff{spectrsk}\,? �����
������������� � ���� ������, ��� ������������� � ��������� ���������
���������, ����� ���������� � \S\,9 ({\sc ������ 8}). �������������
����������� ����� ��������� �� ��������� �������������� �����������
�� ���������� ����� ��������: ��������� 7-�� �������
\cite[���.\,193, � ������ ��������]{47}:
$$
u_t^{}=u_{7x}^{} + 7\left( u\,u_{5x}^{}+2\,u_x\,u_{\mathit{xxxx}}+
3\,u_{\mathit{xx}}u_{\mathit{xxx}}
+2\,u^2\,u_{\mathit{xxx}}+6\,u\,u_x\,u_{\mathit{xx}}+
u_x{}^{\!\!\!3}+\mfrac43\,u^3\,u_x\right)\,.
$$


\section{������� ������. �������}
\noindent
��� ��� ����������, ������������ ������ ��������� �\'������ ��������������� �
��������� ��� �������������. � ������� ������� ��� �����������
� ���������� ������. ��������� ������ �������� ��������, �����
������������������ �������� �������������.

{\sc ������ 4.} ������ \reff{spectrsk}. ������������� ����� ��� ����
$g=4$ ����� ���:
$$
(-9\,\lambda+3\,u')\,\Psi''+(u^2-u''+\alpha)\,\Psi'-6\,\lambda\,u\,\Psi=
\mu\,\Psi\,.
$$
��������
$$
A(\gk;\,\pot)=-9\,\gk+3\,u'
$$
� ��������� \reff{dubr}  ����� ������������ ���. ��������������
������ ����� ��� \reff{curvekk}. ��� ����������� ��������� ���
��������� $E_2$ � ���:
\begin{equation}\label{tmp1} E_2=u^{\sss
(\mathrm{IV})}+5\,u\,u''+\mfrac53\,u^3+\alpha\,u\,.
\end{equation}
��������������� ����� �������� $R$ ������ ��������� ��� �����������
���������� $\gk$ \cite{br4}:
$$
3^{-7}\,R(\lambda;\,x)=\lambda^4-\mfrac23\,u'\,\lambda^3+
\mfrac19\,\big(u^{\sss (\mathrm{IV})}   + 3\,u\,u'' +2\,u'^2+
u^3+\alpha\,u\big)\,\lambda^2 +(\ldots)\,\lambda +(\ldots)\,,
$$
� ����� �������� �������
\begin{equation}\label{tmp2}
u'=\mfrac23\,\sum\limits_{j=1}^{4}\,\gamma_j^{}\,.
\end{equation}
������������� ������ ���������� ������
$$
\mfrac19\,\big(u^{\sss (\mathrm{IV})} + 3\,u\,u'' +
2\,u'^2+u^3+\alpha\,u\big)=
\sum\limits_{k>j}^{4}\,\gamma_j^{}\,\gk\,,
$$
����� ��������� �� ���� � \reff{tmp1} $u^3$. � ���������� ��������
�������� ����������� �� $u$ --- ������ ������� ������� �������
������:
\begin{equation}\label{trace1}
u =  -\mfrac{3}{2\,\alpha} \,\Big\{E_2
+\sum_{k=1}^{4}\,\big(\gamma_k'''+\mfrac{15}{2}\,
\gamma_k^2\big)\Big\}\,.
\end{equation}
���������, \reff{trace1} ��� �������� ������������ �� ������ �
������� \reff{trace}, ��� ��� $\gamma',\,\gamma'',\,\gamma'''$
���������� ����� $(\gamma,\,\mu)$ � ����  \reff{dubr} � \reff{tmp2}.
�� � ���� ������� ��� �� ���������� �� ������� ����������
������������� ������. ������� ������� ���������� ����� �������
���������������� ��������� $Q(\lambda),\, T(\lambda)$. ���������
�������� $E_3=u'''\,(u''-u^2-\alpha)\,u'+\cdots$, ��������
$$
3^{-7}\,R(\lambda;\,x)=\lambda^4-\mfrac23\,u'\,\lambda^3-
\mfrac{1}{27}\,(6\,u\,u'-6\,{u'}^2+2\,u^3-3\,E_1)\,\lambda^2 +
(\ldots)\,\lambda + \frac{6\,E_1\,u-E_3}{729}\,.
$$
��������� ��������� � ���� ��������� ������ ���������� �������
������� ������� ������
\begin{equation}\label{strange}
u=\frac{E_3+3^6\,\gamma_1^{}\,\gamma_2^{}\,
\gamma_3^{}\,\gamma_4^{}}{6\,E_1}\,.
\end{equation}
������, �����
���������������, ������� ���� ������ ����� ��������� \reff{dubr},
������� � ������ \reff{tmp2},  �� ������� � ����
\begin{equation}\label{tmp3}
\frac{2\cdot 81\,d\,\gk}{3\,\mu_k^{2}+Q(\gk)}= \frac{\displaystyle
\sum\limits^{4}\, \gamma_j^{}-2\,\gk} {\displaystyle
\prod\limits_{j\ne k} \, (\gk-\gamma_j^{})}\,dx\,.
\end{equation}
����� ����� ���������

{\bf ����������� 5.} {\em ��������� \reff{tmp3} ������������ ������
��������� ����� ��� ������ \reff{curvekk}
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle\sum_{k=1}^4 \!\!\int\limits_{}^{(\gk,\,\mu_k^{})}
\!\!\!\!\!\frac{d\lambda}
{3\,\mu^2+Q(\lambda)}=a_1^{},&\displaystyle\quad
\sum_{k=1}^4 \!\!\int\limits_{}^{(\gk,\,\mu_k^{})} \!\!\!\!\!
\frac{\lambda\,d\lambda}
{3\,\mu^2+Q(\lambda)}=a_2^{},
\\ \\
\displaystyle \sum_{k=1}^4 \!\!\int\limits^{(\gk,\,\mu_k^{})}
\!\!\!\!\! \frac{\mu\,d\lambda} {3\,\mu^2+Q(\lambda)}=a_3^{}, &
\displaystyle\quad \sum_{k=1}^4 \!\!\int\limits^{(\gk,\,\mu_k^{})}
\!\!\!\!\!\frac{\lambda^2\,d\lambda}
{3\,\mu^2+Q(\lambda)}=a_4^{}-\mfrac{1}{81}\,x\,,
\end{array}
\right.
$$
��� $Q(\lambda)=27\,\alpha\,\lambda^2+E_1$. ������� ������� ������
����� ���\/}:
\begin{equation}\label{trace2}
u = \frac16\,\sum_{k=1}^4
\,\gk\,\mu_k^{}\,\frac{\sum\limits^4\gamma_j^{} -2\,\gk}
{\displaystyle\prod _{j \ne k}(\gk-\gamma_j^{})}\,.
\end{equation}
{\em ��������������\/}: 1, 2 � 4-� ����������� �����������
���������������� ����������� ������ ������ \reff{tmp3} ��
$(1,\,\gk,\,\gamma_k^2)$ ��������������, � ����������� �������������
� ���������������. ��� �������������� 3-�� ��������� �������������
�������� ��� ������ ���������� \reff{mu}:
\begin{equation}\label{muk}
\mu_k^{}= \frac {27\,u\,\gamma_k^2-9\,(u'''+2\,u\,u'
)\,\gk+3\,u'''\,u'-2\,{u''}^2+
(\alpha+u^2)\,(u''+u^2+\alpha)+3\,u\,u'^2}{-9\,\gk+3\,u'}\,.
\end{equation}
���������� �� � �������
$$
\sum\limits_{k=1}^4\,\frac{\mu_k^{}\,d\gk}
{3\,\mu_k^{}+Q(\gk)}
$$
����������, ��� ��� ����� ���������
$$
3\,\frac{(2\,u''+u^2+\alpha)\,(u''-u^2-\alpha)\,\big(2\,u'-3\,\sum\,\gk\big)}
{\displaystyle \prod\limits_{k=1}^4\,(3\,\gk-u')}\,,
$$
������� � ���� \reff{tmp2} ����� ����. �������� ������ �����
\reff{tmp3} �� $\gk\,\mu_k^{}$, ��������  � ��������� \reff{muk}
�������� ������� \reff{trace2}. \hfill$\blacksquare$

��������� ������   \reff{strange} � \reff{trace2} ���� ��� �������������
����� �������� �������. � ���� �������� ���������
���������� ��������� $\Theta$-�������� ���
������ ������������ ������.

{\sc ������ 5.} \label{5} ������������ ������ \reff{spectrkk}. �����
������ ����� ��� \reff{curvekk}, ����� ��� ������� �������� �����,
�� ����������� ������� ������ ���� \reff{trace1}, � ���������
\reff{dubr} ��� ����� ���������� ���. � ����� ����, ����������
������� $R(\lambda;\,x)$:
\begin{equation}\label{4}
\begin{array}{ccl}
3^{-7}\,R(\lambda;\,x)&=&\lambda^4-\mfrac16\,u'\,\lambda^3+
\mfrac{1}{18_{{\mathstrut}}}\,\big(u^{\sss (\mathrm{IV})}
 + 5\,u\,u'' +4\,u'^2+
2\,u^3+2\,\alpha\,u\big)\,\lambda^2 -\\ \\
&& {}-\mfrac{1}{324}\,(u'''+4\,u\,u')\, (u''+2\,u^2+2\,\alpha )\,
\lambda +\mfrac{1}{3^6
8}\,(u''+2\,u^2+2\,\alpha)^{3^{{\mathstrut}}}\,.
\end{array}
\end{equation}
�������� ��������� ���������
$$
u'=6\,\sum\limits_{k=1}^{4}\,\gk, \qquad \mfrac{1}{18}\,\big(u^{\sss
(\mathrm{IV})} + 5\,u\,u'' +4\,u'^2+2\,u^3+2\,\alpha\,u\big)=
\sum\limits_{k>j}^{4}\,\gamma_j^{}\,\gk\,.
$$
�������� ����� ��� � � ���������� ������� �������� ������ \reff{trace1}:
$$
u=\frac32\,\frac{45\,\big(\sum \gk \big)^2+ \sum
\big(2\,\gamma_k'''- 15\,\gamma_k^2\big) -2\,E_2}
{2\,\alpha-15\,\sum\gamma_k'}\,.
$$
������ ���������� ���� ������������ ����������
$$
\mu_k^{}=3\,u\,\gk+\frac{(u''+2\,u^2+2\,\alpha)^2}{36\,\gk}\,,
$$
������������ ����� ��������� ��������� ����� ����� �� ��� ��� � �
����������� 4, � ������� ������� ������ ������ ����������
\begin{equation}\label{trans2}
u=\frac13\,\sum\limits_{k=1}^{4}\,\frac{\gamma_k^2\,\mu_k^{}}
{\displaystyle\prod\limits_{j \ne k}\,(\gk-\gamma_j^{})}\,.
\end{equation}

{\sc ������ 6.} ������������ ������
$$
\Psi'''+u\,\Psi'+v\,\Psi=\lambda\,\Psi\,, \qquad
\Psi''+\alpha\,\Psi'+\mfrac23\,u\,\Psi=\mu\,\Psi\,, \qquad
\mbox{���\ \ $g=1$}\,.
$$
������ ����� ����������, �� �����������, ��� ��� ��������
��� ���������� $u,\,v$. �� �������������
������������ �������� ������� ���������
\begin{equation}\label{bsq}
v_t-v_{\mathit{xx}}+\mfrac23\,(u\,u_x+u_{\mathit{xxx}})=0, \qquad
u_t-2\,v_x+ u_{\mathit{xx}}=0\,,
\end{equation}
���������� �
���������� ���������� ������� $v \to v+\mfrac12\,u_x$. ������ �����
����������� ��� ������ ������� ������ ������ �������� �����������
�������� $\gamma_1^{}=\gamma$ � ���� ����� ���������� $E_k$:
\begin{equation}\label{ideal1}
\left\{
\begin{array}{rcl}
\gamma &=& v-\mfrac13\,u'+\alpha\,u+\alpha^3,\\
-E_1^{{}^{\mathstrut}}&=& u'-2\,v-\alpha\,u+\alpha^3, \\
-6^{{}^{\mathstrut}}\,E_2&=&
u''-(3\,\alpha^2+u)\,(3\,\alpha^2-2\,u)-9\,\alpha\,E_1\\
36\,E_3&=& u'^2-(3\,\alpha^2+u)\,
(15\,\alpha^4-\mfrac{4^{{\mathstrut}}}{3}\,u^2+\alpha^2\,u-12\,E_2^{}+
18\,\alpha\,E_1)-9\,E_1^2\,.
\end{array}
\right.
\end{equation}
�� ���� ������� ����� �����, ��� �������
������� ������ ���� $u=S_1(\gamma),\,v=S_2(\gamma)$ �� ����������.
�������� � \reff{ideal1} ����������� �� $x$ �� 1-�� � 2-�� ���������
� \reff{ideal1}, � ������������ ������������ ��� ����� � ������
$\mathbb{Q}(E_k,\,\alpha,\,\gamma)[u'',\,u',\,v',\,v,\,u,\,\gamma']$
��������, �������� ����� ������� \cite{71}, ������� ������� ������
c ������������ $\gamma_x^{}$:
$$
u = \frac13\,
\frac{\gamma_x^2+(3\,\alpha\,\gamma-E_2^{})\,\gamma_x^{} -
2\,(3\,\alpha\,\gamma-E_2)^2}
{-\gamma^2+E_1\,\gamma+E_3}-3\,\alpha^2\,,
$$
$$
v = \frac{\alpha}{3}\,\frac{
3\,\alpha^2\,(5\,\gamma^2+E_1\,\gamma+E_3)-3\,\alpha\,\gamma\,
(\gamma_x^{}+4\,E_2)-\gamma_x^2+E_2\,\gamma+2\,E_2^2}
{-\gamma^2+E_1\,\gamma+E_3} +3\,\gamma-E_1\,.
$$
��������� �������������� ������
$$
\mu^3-(3\,\alpha\,\gamma-E_2)\,\mu-\gamma^2+E_1\,\gamma+E_3=0
$$
�  ��������� ��������� \reff{dubr}
$$
\gamma_x^{}=-3\,\mu^2+3\,\alpha\,\gamma-E_2
$$
��������  ������� ������� ������ ����
$$
u=-3\,\mu-3\,\alpha^2,\qquad
v=6\,\alpha\,\mu+3\,\gamma+2\alpha^3-E_1\,.
$$
� ���� �������, ����������, �������� $(\gamma,\,\mu)$
���������� ����� ������������� ������� �
��������������� ����� ��������� ������� �� �� ��������. ��� ����� ����
�������� � ���������������� ��������������� ������������ ��������� \reff{bsq},
������� $u,\,v$ ���������� �� $x-\alpha\,t$.
�������������� ������ �� ������ ���������, �� ���������   \reff{dubr} � ������ ���������� \reff{mu}
�������� ��� ���������� � ������ � ���������� ����� ��������� ���������. �������� ��������� \reff{mu} ���� ������������
���� �� ��������� ������ ������.

{\sc ������ 7.} ������������ ������
$$
\Psi'''+u\,\Psi'+v\,\Psi=\lambda\,\Psi\,, \qquad
u\,\Psi''+(3\,\lambda+v-u'+\alpha)\,\Psi'+\left(\mfrac23\,u''-v'+\mfrac23\,u^2
\right) \Psi=\mu\,\Psi\,,
$$
$$
A=u\,,\qquad B=3\,\lambda+v-u'+\alpha\,,  \qquad \mbox{���\ \
$g=3$}\,.
$$
���������� $R(\lambda;\,x)$
$$
3^{-4}\,R(\lambda;\,x)=\lambda^3+\big (v+\alpha-\mfrac23\,u' \big)
\lambda^2+\mfrac{1}{9}\Big(
 \mfrac23\,u^3+u\,v'+u'^2 +3\,(v+\alpha)^2 -4\,(v+\alpha)\,u'\Big)
\lambda+(\ldots)\,,
$$
�������� ��������� ������
$$
v+\alpha-\mfrac23\,u'=-\gamma_1^{}-\gamma_2^{}- \gamma_3^{}\,,
$$
�� �������� ����� ������� $v$ ���������, ���� ����� �������
$u$ (� ������������� � $u'$). ������ ���.
��������� \reff{dubr} � ������ ���������� \reff{mu} ����� ���:
\begin{equation}\label{*}
\gamma_k'=u\,\frac{3\,\mu_k^2+Q(\gk)}
{\displaystyle27\,\prod\limits_{j \ne k}\,(\gk-\gamma_j^{})}\,,
\end{equation}
$$
\mu_k^{}=-\frac{27\,\gamma_k^2+9\,(2\,v-u'+2\,\alpha)\,\gk
+u\,u''+u^3+3\,(\alpha+v)\,(\alpha+v-3\,u')}{3\,u}\,.
$$
��������� ��������� �������, ������� ���������� $u,\,v$:
$$
\frac9u = - \sum\limits_{k=1}^{3}\,\frac{\mu_k^{}} {\displaystyle
\prod\limits_{j \ne k}\,(\gk-\gamma_j^{})}\,, \qquad
v=\frac23\,u'-\alpha-\sum\limits_{k=1}^{3}\,\gk\,.
$$
������ � ������ ��������� ����� ������������ � ������������ � �� �� �� ��������.
����� ���� ��� ��� �����������, ���� ���������  \reff{*}
����� ��������� ��� ������� �������
������, �������������� �� ����� $(\gamma,\,\mu)$, �� � ����������� $\gamma'$.

{\sc ������ 8.} ������������ ������ (��� $g=6$)
$$
\Psi'''+u\,\Psi'=\lambda\,\Psi\,,
$$
$$
-3\,(3\,u\,\lambda-u'''-2\,u\,u')\,\Psi''-
\left(27\,\lambda^2-9\,u'\,\lambda+u^{\sss (\mathrm{IV})}+
3\,u'^2-\mfrac43\,u^3\right) \,\Psi'- 6\,\lambda\,(u''+u^2)\,\Psi
=\mu\,\Psi\,.
$$
���� ������ ����������� ���������� �� ����������, ��� ���
\begin{equation}\label{Ak}
A(\gk;\pot)=-9\,u\,\gk+3\,u'''+6\,u\,u'\,,
\end{equation}
� ������������ �������� $R$
$$
\mfrac{-1}{3^{10}}\,R(\lambda;\,x)=\lambda^6-\mfrac23\,u'\,\lambda^5-
\mfrac19\,\big(2\,u\,u''-u'^2+\mfrac23\,u^3+\alpha\big)\,\lambda^4
-\mfrac{2}{81}\,\big(u\,u^{\sss (\mathrm{IV})}
 - \cdots- 2\,\alpha\,u'\big)\,\lambda^3+\cdots
$$
� ������������ ����� ���������
\reff{dubr}
�� ���� ������� ������ ���������� ������� ������� ������. �� �����
����������� �������������� �����������. � ����� ����,
��������� ��������� ���������
$$
\sum\limits_{k=1}^{6}\,\frac{\gamma_k^{\nu}} {\displaystyle
\prod\limits_{j \ne k}\,(\gk-\gamma_j^{})}=0\,, \qquad \nu=0 \ldots
4
$$
� ���������� \reff{Ak} �� $\gk$, ����� ��������
$$
\sum\limits_{k=1}^{6}\,\frac{\gamma_k^{\nu}\,d\gk}
{3\,\mu_k^2+Q(\gk)}=0, \qquad \nu=0,\,1,\,2,\,3\,.
$$
��� ����������� ����������� ������������� ����������, ��� � ������,
������������ ��������� $\mu_k^{}$ �� ������� \reff{mu}:
$$
\mu_k^{} =3\,\frac {81\,\gamma_k^4-27\,u'\,\gamma_k^3 -
\big(3\,u^{\sss (\mathrm{IV})} +15\,u\,u''+5\,u^3+
6\,\alpha\big)\,\gamma_k^2+\cdots} {3\,u\,\gk-u'''-2\,u\,u'}\,.
$$
� ���������� �������� ���������� ����� ������ �����
$$
\sum\limits_{k=1}^{6}\,\frac{\mu_k^{}\,d\gk}
{3\,\mu_k^2+Q(\gk)}=0\,,\qquad
\sum\limits_{k=1}^{6}\,\frac{\mu_k^{}\,\gk\,d\gk}
{3\,\mu_k^2+Q(\gk)}=-\frac{1}{27}\,dx\,.
$$

����������� ������� ��� ������ � ������� ������� ���������. �����
������������ ������ ������ ����� ������������� ��������������
�������� � ����� ������������ ����� �� ������� �������
�������������� ������� \cite{71}. �������� ������� � ���������������
���������, �� ��� �� ���� ����������, ����� ����� ����� �
����������, �� ������� ���������� ����� ���������� ���. ���������
������: ����� �� ���������� ������������� ������� ������� ������ ���
��������� �� ������? ��� ��������� �� ���������� � ����, ���������
������������ ����������� �������. �� ������������ �����������
��������, ��� ������� ���� \reff{trace2} �������� �� �����
����������� ��� ���� �����. �������� ������ $4 \to 6$ �
\reff{trace2} ����������. ��������� ���� �� �������� ����������, ���
������ ��������� ������, ������������ ����� $\gk$ � ���������������
�������� $R$, ��������. ��� �� ����� ������������� ����� �� ����
������ ����������, ��� ����� ��������� ��������.


\newcommand{\bib}[4]
{\bibitem{#1}  \mbox{\textsc{#2}}\,\,\,{\em #4\/} {#3}}

\newcommand{\ye}[1]{(#1)}

\newcommand{\JMP}[1]{\mbox{Journ.\,\,Math.\,\,Phys. \ye{#1}}}
\newcommand{\PLA}[1]{\mbox{Phys.\,\,Lett.\,\,{\bf A} \ye{#1}}}


\thebibliography{99}


%\bib{40}{�������, �., \ �����, �.}
%{�. \ye{1987},  444 c.}{�������� � ����� �������� ������.}

\bib{hitchin}{����, �., ������, �.}{�. (1991), 150 ���.}
{��������� � �������� ��������� ���������.}

\bib{14}{�������, �.�.}
{� ��. ��������-�������������� ������������ \ye{1978},
���.\,23,  77--86.}{� ������������ ������ ��������� ����.}

\bib{15}{�������, �.�.}{��� ���� \ye{1961}, �.\,141(2), 263--266.}
{������������� ������� ��\-��\-��\-����\-��� ����������� �� �������
����������.}

\bib{16}{���������, �.�., \ ���������, �.�.}
{\mbox{�����. ������ � ��� ����.} \ye{1989}, �.\,23(1), 57--58.}
{��\-���\-��\-���\-��� �������� ������ � ������ ���������
������������.}

\bib{berkovich}{��������, �.�.}{M. (2002), 464 ���.}
{������������ � �������������� ���������������� ���������.}

\bib{br4}{�������, �.�.}{{\tt http://arXiv/nlin.SI/0504051}.}
{������������ ��������� � ������ �������������� ��������������.\\}

\bib{brtheta}{�������, �.�.}{��������. ����������� (2004).}
{� �������� ����� � ������������.}

\bib{bur}{�������, �.�., �������, �.�., ��������, �.�.}
{����.\,���.\,������ (1987), �.\,70(3), 323--341.} {����� ��������
������ � ���������� ������������ ����������.}

%\bib{20}{��������, �.�.}{������ ���. ���� \ye{1956}, �.\,XI(1), 191--198.}
%{� ���������� ��� ����������� �������� ����������������� ���������
%������� �������.}

\bib{28}{��������, �.�., \ �����, �.�.}{������ ���. ���� \ye{1975}, �.\,XXX(5), 67--100.}
{����������� ��\-����\-���\-�� �����-������������� ��������� � ������� ���������
���������--�� �����.}

\bib{58}{��������, �.�., \ �����, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1976}, �.\,10(4), 13--29.}
{������� ������� ���������� � ������������ �������.}

\bib{59}{��������, �.�., \ �����, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1977}, �.\,11(2),  11--27.}
{��\-����\-���\-�� � ������������ �������.}

\bib{27}{��������, �.�., \ �����, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1979}, �.\,13(1), 8--20.}
{��\-���\-��\-��\-�\-��� ���������� ����\-��\-��� � ������� ��������.}



\bib{7}{��������, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1975}, �.\,9(1), 65--66.}
{�������� ������ ������ ��������� ��� ��\-��\-�\-��\-���\-���
������������� �����������.}

\bib{8}{��������, �.A.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1975}, �.\,9(3),  41--51.}
{������������� ������ ��� ��������� ���������--�� ����� � ������
������������� �����������.}


\bib{70}{��������, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.} \ye{1977}, �.\,11(4),
28--41.}
{������ ������������� ������������ ���\-��\-��,
��������� � ���������� �����������, � ������� ������������.}

\bib{5}{��������, �.�.}{������ ���. ���� \ye{1981}, �.\,XXXVI(2),  11--80.}
{����-������� �  ���������� ���������.}

\bib{2}{��������, �.�.}{����������� �������� ����������.
����� ����� � ���\-��\-��. �. ������.  \ye{1983}, �.\,23,  33--78.}
{��������� ������������� ���������.}

\bib{29}{��������, �.�., \ �������, �.�., \ �������, �.�.}
{������ ���. ���� \ye{1976}, �.\,XXXI(1),  55--136.}
{��\-��\-���\-��� ��������� ���� ���, ������������� ��������� �
������� ������������.}

\bib{26}{��������, �.�., \ �������, �.�.}
{���� \ye{1974}, �.\,67(6),  2131--2143.}
{������������� � ��\-���\-�� ������������� ������� ��������������� �������
��������� ��������� �� �����.}

\bib{39}{�������, �.�., �������, �.�., �������, �.�., ����������, �.�.}
{��� ���. �.�.\,��������. � \ye{1980}, 320 c.} {������ ���������.
����� �������� ������.}

\bib{47}{���������, �.�.}{�. \ye{1983}, 280\,�.}
{������ �������������� � �������������� ������.}

\bib{57}{���, �.�.}
{����������� �� ��������� ��.\,������� ����. ���.-���. ����. �.
\ye{1977}.} {������ ��\-���\-��\-��\-��\-��� � ���������
$\theta$-�������� ����������� ��������� ��������� �
����������������� ��������� ���������--�� �����.}

\bib{56}{���, �.�.}{���.\,�����.\,���.\,���� \ye{1984}, �.\,133,  113--125.}
{������� �������� � ����� ��\-���\-��� ������.}

\bib{17}{���, �.�., \ �������, �.�.}{�����. ������ � ��� ����.
\ye{1975}, �.\,9(1), 69--70.}
{�� ���������� ����� � �������� ������ �����.}

\bib{21}{���, �.�., \ �������, �.�.}{����. ���. ������ \ye{1975}, �.\,23(1),  51--67.}
{��������� ��������� � ��\-���\-��\-���\-��� �������� � $N$-���������� �������
���������
���.}


\bib{71}{����, �.,  �����, ��., �'��, �.}{�. \ye{2000}, 688 �.}
{������, ������������ � ���������.}

\bib{korotkin}{��������, �.�., �������, �.�.}{�����. ������ � ��� ����.
(2000), �.\,34(4), 18--34.}{� ����-�������������� �������� �������
���������� � ��������� ������.}

\bib{24}{��������, �.�.}{������ ���. ���� \ye{1977}, �.\,XXXII(6), 183--208.}
{������ �������������� ��������� � ������ ���������� ���������.}

\bib{25}{��������, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1978}, �.\,12(3),  20--31.}
{������������� ������ ������������ ���������������� ����������.}

\bib{34}{��������, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1980}, �.\,14(4),  45--54.}
{������������� ������� ��������� �� � ������������� ������� ������.}

\bib{3}{Kp������, �.�.}{����������� �������� ����������.
����� ����� � ���\-��\-��. �. ������. \ye{1983}, �.\,23, 79--136.}
{���������� ��������� � ������������� ������.}

\bib{lip}{���������, �.�., �������, �.�., �������, �.�.}
{������� �����. ���. ���� (1986), �.\,150, 70--75.}{� ����� �����
����������� ���������--����������� � ��������.}

\bib{mar}{��������, �.�.}{���. ������� \ye{1974}, �.\,95(3), 331--356.}
{������������� ������ ���������--�� �����.}

\bib{matv}{�������, �.�.}{������ ���. ���� \ye{1975}, �.\,XXX(6), 201--203.}
{����� ����� �������������� ��������� ���������--�� �����.}

\bib{78}{�������, �.�.}{����������� �� ��������� ��. �������
������� ���.-���. ����. ��� \ye{1982},  225 ���.}
{�������-�������������� � �������������� ������ ��������������
���������� ��������� ���� ���.}

\bib{79}{�������, �.�.}
{������ � ���� \ye{2000}, �.\,72(3), 223--228.}
{���������������� ���������� ������������ ������������ ������.}

\bib{19}{�������, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1974}, �.\,8(3), 54--66.}
{������������� ������ ��� ��������� ���������--�� �����. I.}

\bib{61}{�������, �.�.}{����. ���. ������ \ye{1996}, �.\,109(3), 347--356.}
{�� ����� ������ ������������� ������� ��������� ����������.}

\bib{36}{�������, �.�.}{���. ������� \ye{1999}, �.\,190(5), 139--157.}
{���������� ������������� ��\-��\-��� ��������� ����������.}

\bib{b1}{�������, �.�., \ �������, �.�.}{������ ���. ���� \ye{2002}, �.\,57(1),
167--168.} {� $\Psi$-������� ��� ������������� �����������.}

\bib{80}{���������, �.�.}{�. \ye{1948}, 396\,c.}
{������ �������������� �������.}


\bib{yal}{������, �.�.}{�������� ������. ����������� \ye{1997}.}
{� ������� ������ ��� ������������ ������ $3$-�� �������.}


\bib{74}{Al'ber, S.I.}{Journ.\,London Math.\,Soc. (2) \ye{1979},
v.\,XIX(3), 467--480.}
{������������ ��������� ���������--�� ����� ������� ������������
�����������.}

\bib{baker}{Baker, H.F.}{Cambridge Univ. Press (1907).}
{An Introductory to the Theory of Multiply Periodic Functions.}

\bib{32}{Baker, H.F.}{Proc.\,Royal Soc.\,London A \ye{1928},
v.\,118, 584--593.}{Note on the foregoing paper,
``Commutative ordinary differential operators'', by J.L.Burchnall
and J.W.Chaundy.}

\bib{38}{Belokolos, E.D., \ Bobenko, A.I., \ Enol'skii, V.Z., \ Its, A.R., \
Matveev V.B.}{Springer--Verlag \ye{1994}, 337\,p.}
{Algebro-Geo\-met\-ric Approach to Nonlinear Integrable Equations.}


\bib{75}{B\l{}aszak, M.}
{Journ.\,Nonlin.\,Math.\,Phys. \ye{2000}, v.\,7(2), 213--243.}
{Degenerate Poisson Pencils on Cur\-ves: New Separability Theory.}

\bib{br}{Brezhnev, Yu.V.}{{\tt http://arXiv/math.CA/0111150}.}
{Uniformization: on the Burnside curve $y^2=x^5-x$.}

\bib{br3}{Brezhnev, Yu.V.}{Phil.\,Trans.\,Royal Soc. Ser A: Math. and
Phys.\,Sciences (in press). {\tt http://arXiv/nlin.SI/0505003}}
{What does integrability of finite-gap/soliton potentials mean?}

\bib{BEL}{Buchstaber, V.M., Enolskii, V.Z., Leykin, D.V.}
{Review in Mathematics and Mathematical Physics. Eds. S.\,Novikov \&
I.\,Krichever. (1997), v.\,10(2), 1--125. London:  Gordon and
Breach.}{Kleinian functions, hyperelliptic Jacobians and
applications.}

\bib{31}{Burchnall, J.L., \ Chaundy, T.W.}{Proc.\,London Math.\,Soc.
\ye{1922}, v.\,22, ser.\,2, n.\,1435, 420--440.}
{Commutative ordinary differential operators.}

%\bib{30}{Burchnall, J.L., \ Chaundy, T.W.}{Proc.\,Royal Soc.\,London.
%Ser.\,A \ye{1928}, 557--583.}{Commutative Ordinary Differential
%Operators.}

\bib{84}{Caudrey, P.J.}{\PLA{1980}, v.\,79, 264--268.}
{The inverse problems for the third order equation
$u_{\mathit{xxx}}+q(x)\,u_x+r(x)\,u=-i\,\zeta^3\,u$.}

\bib{66}{Chazy, J.}{Acta Mathematica \ye{1911}, v.\,34, 317--385.}
{Sur les \'equations diff\'erentielles du troisi\'eme
ordre et d'ordre sup\'erieur dont l'int\'egrale g\'en\'erale a ses
points critiques fixes.}

\bib{53}{Deift, P., \ Tomei, C., \ Trubowitz, E.}{Comm.\,Pure and Appl.\,Math.
\ye{1982}, v.\,35, 567--628.}
{In\-ver\-se Scattering and the  Boussinesq Equation.}

\bib{dik1}{Dickey, L.A.}{Comm.\,Math.\,Phys. \ye{1981}, v.\,82(3),
345--360, 361--375.} {Integrable Nonlinear Equations and Liouville's
Theorem, I, II\/.}

%\bib{dik2}{Dickey, L.A.}{Comm.\,Math.\,Phys. \ye{1981}, v.\,82(3), 361--375.}
%{Integrable Nonlinear Equations and Liouville's Theorem, II\/.}

\bib{dik3}{Dickey, L.A.}{Comm.\,Math.\,Phys. \ye{1983}, v.\,88(1), 27--42.}
{Hamiltonian Structures and Lax Equations Generated by Matrix Differential
Operators with polynomial Dependence on a Parameter\/.}

\bib{dik4}{Dickey, L.A.}
{Advance Series in Math.\,\,Physics 12. World Scientific \ye{1991},
310 pp.}{Solitons equations and hamiltonian systems.}

\bib{44}{Dickson, R., \ Gesztesy, F., \ Unterkofler, K.}
{Rev.\,\,Math.\,Phys. \ye{1999}, v.\,11(7), 823--879.}
{Al\-geb\-ro-ge\-o\-met\-ric solutions of the Boussinesq hierarchy.}

\bib{45}{Dickson, R., \ Gesztesy, F., \ Unterkofler, K.}
{Math.\,Nachr. \ye{1999},
v.\,198, 51--108.}{A new approach to the Boussinesq hierarchy.}

\bib{dmitr}{Dmitrieva, L.A.}{\PLA{1993}, v.\,182, 65--70.}
{Finite-gap solutions of the Harry Dym equation.}

\bib{49_1}{Drach, J.}{Compt. Rend. Acad. Sci. \ye{1919}, t.\,168, 47--50.}
{D\'etermination des cas de r\'eduction de l'\'equation diff\'erentielle
$\frac{d^2y}{dx^2}=[\varphi(x)+h]\,y$.}

\bib{49_2}{Drach, J.}{Compt. Rend. Acad. Sci. \ye{1919}, t.\,168, 337--340.}
{Sur l'integration par quadratures de l'equation
$\frac{d^2y}{dx^2}=[\varphi(x)+h]\,y$.}

%\bib{23}{Ehlers, F., \ Kn\"orrer, H.}{Comment.\,Math.\,Helv.\,
%\ye{1982}, v.\,57, 1--10.}
%{An algebro-geometric interpretation of the B\"acklund-transformation
%for the KDV-equation.}

%\bib{shabat}{Fordy, A.P., Shabat, A.B., Veselov, A.P.}
%{��� \ye{1995}, �.\,105(2), 225--245.}{Factorization and Poisson
%correspondences.}

\bib{43}{Gesztesy, F., \ Ratnaseelan, R.}{Rev.\,\,Math.\,Phys. \ye{1998},
v.\,10, 345--391.}{An alternative approach to algebro--geometric solutions of
the AKNS hierarchy.}

\bib{46}{Gesztesy, F., \ Holden, H.}
{Math. Scand. \ye{2001}, v.\,90, 1--36.}
{Dubrovin equations and integrable systems on hyperelliptic curves.}

\bib{gesztesy}{Gesztesy, F., Holden, H.}{Cambridge (2003).}{Soliton equations and their algebro-geometric solutions.}

%\bib{60}{Halphen, G.-H.}{Partie I. Gauthier--Villars, \ye{1886}, 492 pp.}
%{Traite des Fonctions Elliptiques et de Leurs Applications.}

\bib{68}{Hereman, W., \ G\"oktas \"U.}
{{\tt http://xxx.lanl.gov: solv-int/9904022.}}
{Integrability Tests for Nonlinear Evolution Equations.}


\bib{kapl}{Kaplansky, I.}{Paris: Hermann \ye{1957}, 62 pp.}
{An introduction to differential algebra.}

\bib{64}{Kaup, D.J.}{Stud.\,Appl.\,Math. \ye{1980}, v.\,62, 189--216.}
{On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems
of the class $\psi_{\mathit{xxx}}^{}+6\,Q\,\psi_x^{}+6\,R\,\psi=\lambda\,\psi$.}

\bib{kolchin}{Kolchin, E.R.}{Annals of Math. \ye{1948}, v.\,49, 1--42.}
{Algebraic matrix groups and the Picard--Vessiot theory of
homogeneous linear ordinary differential equations.}

\bib{kov}{Kovacic, J.J.}{Journ. Symbolic Comput. \ye{1986}, v.\,2(1), 3--43.}
{An algorithm for solving second order linear
homogeneous differential equations.}

\bib{kuz}{Kuznetsov, V.B.,  Nijhoff, F.W., Sklyanin, E.K.}
{Comm.\,\,Math.\,Phys. (1997), v.\,189(3), 855--877.}
{Separation of variables for the Ruisenaars system.}

\bib{55}{Lax, P.D.}{Comm.\,Pure and Appl.\,Math. \ye{1975}, v.\,28, 141--188.}
{Periodic Solutions of the KDV-equation.}


\bib{4}{Matveev, V.B.}{Wroc\l{}aw University \ye{1976}. Preprint  n.\,373,
1--98.}
{Abelian functions and solitons.}

\bib{37}{McKean, H.P., \ van Moerbeke, P.}
{Inventions in Mathematics \ye{1975},
v.\,30(3), 217--274.}{The spectrum of Hill's equation.}

\bib{54}{McKean, H.P.}
{Comm.\,Pure and Appl.\,Math. \ye{1981}, v.\,34, 599--691.}
{Boussinesq's Equation on the Circle.}

\bib{22}{Musette, M., \ Conte, R.}{\JMP{1998}, v.\,39(10), 5617--5630.}
{B\"acklund transformation of partial differential
equations from the Painlev\'e--Gambier classification. I. Kaup--Kupershmidt
equation.}


\bib{ispanec}{Morales-Ruiz, J.J.}
{Progress in Mathematics, {\bf 179}. Basel: Birkh\"auser Verlag (1999).}{Differential Galois theory and
non-integrability of Hamiltonian systems.}

\bib{76}{Musette, M., \ Verhoeven, C.}{Physica D \ye{2000}, v.\,144(1--2),
211--220.}{Nonlinear superposition formula for the Kaup--Kupershmidt
partial differential equation.}

\bib{prym}{Prym, F.}{Berlin: Mayer \& M\"uller (1885).}
{Neue Theorie der ultraelliptischen functionen.}


\bib{singerput}{van der Put, M., \ Singer, M. F.}
{Berlin: Springer--Verlag (2003).}
{Galois theory of linear differential equations.}

\bib{65}{Sawada, K., \ Kotera, T.}{Progr.\,Theor.\,Phys. \ye{1974}, v.\,51(5),
1355--1367.}{A Method for Finding N-Soliton Solutions of K.d.V. Equation
and K.d.V.-Like Equation.}

\bib{singer}{Singer, M.F.}{Amer.\,\,Journ.\,\,Math. \ye{1981}, v.\,103,
661--682.}{Liouvillian solutions of $n$th order homogeneous
linear differential equations.}

\bib{33}{Smirnov, A.O.}{Acta Appl.\,Math. \ye{1994}, v.\,36, 125--166.}
{Finite-gap Elliptic Solutions of the KdV Equation.}

\bib{smirnov}{Smirnov,  A.O.}
{The Kowalevski property (Leeds, 2000), CRM Proc. Lecture Notes 32,
287--305. Amer.\,Math.\,Soc., Providence, RI, \ye{2002}.} {Elliptic
solitons and Heun's equation.}


\bib{tah}{Takhtajan, L.A.}{����. ���. ������ (1992), �.\,93(2),
330--341.}{A simple example of modular forms as tau-functions for
integrable equations.}



\end{document}

nlin0505015.extracted_bib
\bibitem{#1}  \mbox{\textsc{#2}}\,\,\,{\em #4\/} {#3}}

\newcommand{\ye}[1]{(#1)}

\newcommand{\JMP}[1]{\mbox{Journ.\,\,Math.\,\,Phys. \ye{#1}}}
\newcommand{\PLA}[1]{\mbox{Phys.\,\,Lett.\,\,{\bf A} \ye{#1}}}


\thebibliography{99}


%\bib{40}{�������, �., \ �����, �.}
%{�. \ye{1987},  444 c.}{�������� � ����� �������� ������.}

\bib{hitchin}{����, �., ������, �.}{�. (1991), 150 ���.}
{��������� � �������� ��������� ���������.}

\bib{14}{�������, �.�.}
{� ��. ��������-�������������� ������������ \ye{1978},
���.\,23,  77--86.}{� ������������ ������ ��������� ����.}

\bib{15}{�������, �.�.}{��� ���� \ye{1961}, �.\,141(2), 263--266.}
{������������� ������� ��\-��\-��\-����\-��� ����������� �� �������
����������.}

\bib{16}{���������, �.�., \ ���������, �.�.}
{\mbox{�����. ������ � ��� ����.} \ye{1989}, �.\,23(1), 57--58.}
{��\-���\-��\-���\-��� �������� ������ � ������ ���������
������������.}

\bib{berkovich}{��������, �.�.}{M. (2002), 464 ���.}
{������������ � �������������� ���������������� ���������.}

\bib{br4}{�������, �.�.}{{\tt http://arXiv/nlin.SI/0504051}.}
{������������ ��������� � ������ �������������� ��������������.\\}

\bib{brtheta}{�������, �.�.}{��������. ����������� (2004).}
{� �������� ����� � ������������.}

\bib{bur}{�������, �.�., �������, �.�., ��������, �.�.}
{����.\,���.\,������ (1987), �.\,70(3), 323--341.} {����� ��������
������ � ���������� ������������ ����������.}

%\bib{20}{��������, �.�.}{������ ���. ���� \ye{1956}, �.\,XI(1), 191--198.}
%{� ���������� ��� ����������� �������� ����������������� ���������
%������� �������.}

\bib{28}{��������, �.�., \ �����, �.�.}{������ ���. ���� \ye{1975}, �.\,XXX(5), 67--100.}
{����������� ��\-����\-���\-�� �����-������������� ��������� � ������� ���������
���������--�� �����.}

\bib{58}{��������, �.�., \ �����, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1976}, �.\,10(4), 13--29.}
{������� ������� ���������� � ������������ �������.}

\bib{59}{��������, �.�., \ �����, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1977}, �.\,11(2),  11--27.}
{��\-����\-���\-�� � ������������ �������.}

\bib{27}{��������, �.�., \ �����, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1979}, �.\,13(1), 8--20.}
{��\-���\-��\-��\-�\-��� ���������� ����\-��\-��� � ������� ��������.}



\bib{7}{��������, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1975}, �.\,9(1), 65--66.}
{�������� ������ ������ ��������� ��� ��\-��\-�\-��\-���\-���
������������� �����������.}

\bib{8}{��������, �.A.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1975}, �.\,9(3),  41--51.}
{������������� ������ ��� ��������� ���������--�� ����� � ������
������������� �����������.}


\bib{70}{��������, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.} \ye{1977}, �.\,11(4),
28--41.}
{������ ������������� ������������ ���\-��\-��,
��������� � ���������� �����������, � ������� ������������.}

\bib{5}{��������, �.�.}{������ ���. ���� \ye{1981}, �.\,XXXVI(2),  11--80.}
{����-������� �  ���������� ���������.}

\bib{2}{��������, �.�.}{����������� �������� ����������.
����� ����� � ���\-��\-��. �. ������.  \ye{1983}, �.\,23,  33--78.}
{��������� ������������� ���������.}

\bib{29}{��������, �.�., \ �������, �.�., \ �������, �.�.}
{������ ���. ���� \ye{1976}, �.\,XXXI(1),  55--136.}
{��\-��\-���\-��� ��������� ���� ���, ������������� ��������� �
������� ������������.}

\bib{26}{��������, �.�., \ �������, �.�.}
{���� \ye{1974}, �.\,67(6),  2131--2143.}
{������������� � ��\-���\-�� ������������� ������� ��������������� �������
��������� ��������� �� �����.}

\bib{39}{�������, �.�., �������, �.�., �������, �.�., ����������, �.�.}
{��� ���. �.�.\,��������. � \ye{1980}, 320 c.} {������ ���������.
����� �������� ������.}

\bib{47}{���������, �.�.}{�. \ye{1983}, 280\,�.}
{������ �������������� � �������������� ������.}

\bib{57}{���, �.�.}
{����������� �� ��������� ��.\,������� ����. ���.-���. ����. �.
\ye{1977}.} {������ ��\-���\-��\-��\-��\-��� � ���������
$\theta$-�������� ����������� ��������� ��������� �
����������������� ��������� ���������--�� �����.}

\bib{56}{���, �.�.}{���.\,�����.\,���.\,���� \ye{1984}, �.\,133,  113--125.}
{������� �������� � ����� ��\-���\-��� ������.}

\bib{17}{���, �.�., \ �������, �.�.}{�����. ������ � ��� ����.
\ye{1975}, �.\,9(1), 69--70.}
{�� ���������� ����� � �������� ������ �����.}

\bib{21}{���, �.�., \ �������, �.�.}{����. ���. ������ \ye{1975}, �.\,23(1),  51--67.}
{��������� ��������� � ��\-���\-��\-���\-��� �������� � $N$-���������� �������
���������
���.}


\bib{71}{����, �.,  �����, ��., �'��, �.}{�. \ye{2000}, 688 �.}
{������, ������������ � ���������.}

\bib{korotkin}{��������, �.�., �������, �.�.}{�����. ������ � ��� ����.
(2000), �.\,34(4), 18--34.}{� ����-�������������� �������� �������
���������� � ��������� ������.}

\bib{24}{��������, �.�.}{������ ���. ���� \ye{1977}, �.\,XXXII(6), 183--208.}
{������ �������������� ��������� � ������ ���������� ���������.}

\bib{25}{��������, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1978}, �.\,12(3),  20--31.}
{������������� ������ ������������ ���������������� ����������.}

\bib{34}{��������, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1980}, �.\,14(4),  45--54.}
{������������� ������� ��������� �� � ������������� ������� ������.}

\bib{3}{Kp������, �.�.}{����������� �������� ����������.
����� ����� � ���\-��\-��. �. ������. \ye{1983}, �.\,23, 79--136.}
{���������� ��������� � ������������� ������.}

\bib{lip}{���������, �.�., �������, �.�., �������, �.�.}
{������� �����. ���. ���� (1986), �.\,150, 70--75.}{� ����� �����
����������� ���������--����������� � ��������.}

\bib{mar}{��������, �.�.}{���. ������� \ye{1974}, �.\,95(3), 331--356.}
{������������� ������ ���������--�� �����.}

\bib{matv}{�������, �.�.}{������ ���. ���� \ye{1975}, �.\,XXX(6), 201--203.}
{����� ����� �������������� ��������� ���������--�� �����.}

\bib{78}{�������, �.�.}{����������� �� ��������� ��. �������
������� ���.-���. ����. ��� \ye{1982},  225 ���.}
{�������-�������������� � �������������� ������ ��������������
���������� ��������� ���� ���.}

\bib{79}{�������, �.�.}
{������ � ���� \ye{2000}, �.\,72(3), 223--228.}
{���������������� ���������� ������������ ������������ ������.}

\bib{19}{�������, �.�.}{\mbox{�����. ������ � ��� ����.}
\ye{1974}, �.\,8(3), 54--66.}
{������������� ������ ��� ��������� ���������--�� �����. I.}

\bib{61}{�������, �.�.}{����. ���. ������ \ye{1996}, �.\,109(3), 347--356.}
{�� ����� ������ ������������� ������� ��������� ����������.}

\bib{36}{�������, �.�.}{���. ������� \ye{1999}, �.\,190(5), 139--157.}
{���������� ������������� ��\-��\-��� ��������� ����������.}

\bib{b1}{�������, �.�., \ �������, �.�.}{������ ���. ���� \ye{2002}, �.\,57(1),
167--168.} {� $\Psi$-������� ��� ������������� �����������.}

\bib{80}{���������, �.�.}{�. \ye{1948}, 396\,c.}
{������ �������������� �������.}


\bib{yal}{������, �.�.}{�������� ������. ����������� \ye{1997}.}
{� ������� ������ ��� ������������ ������ $3$-�� �������.}


\bib{74}{Al'ber, S.I.}{Journ.\,London Math.\,Soc. (2) \ye{1979},
v.\,XIX(3), 467--480.}
{������������ ��������� ���������--�� ����� ������� ������������
�����������.}

\bib{baker}{Baker, H.F.}{Cambridge Univ. Press (1907).}
{An Introductory to the Theory of Multiply Periodic Functions.}

\bib{32}{Baker, H.F.}{Proc.\,Royal Soc.\,London A \ye{1928},
v.\,118, 584--593.}{Note on the foregoing paper,
``Commutative ordinary differential operators'', by J.L.Burchnall
and J.W.Chaundy.}

\bib{38}{Belokolos, E.D., \ Bobenko, A.I., \ Enol'skii, V.Z., \ Its, A.R., \
Matveev V.B.}{Springer--Verlag \ye{1994}, 337\,p.}
{Algebro-Geo\-met\-ric Approach to Nonlinear Integrable Equations.}


\bib{75}{B\l{}aszak, M.}
{Journ.\,Nonlin.\,Math.\,Phys. \ye{2000}, v.\,7(2), 213--243.}
{Degenerate Poisson Pencils on Cur\-ves: New Separability Theory.}

\bib{br}{Brezhnev, Yu.V.}{{\tt http://arXiv/math.CA/0111150}.}
{Uniformization: on the Burnside curve $y^2=x^5-x$.}

\bib{br3}{Brezhnev, Yu.V.}{Phil.\,Trans.\,Royal Soc. Ser A: Math. and
Phys.\,Sciences (in press). {\tt http://arXiv/nlin.SI/0505003}}
{What does integrability of finite-gap/soliton potentials mean?}

\bib{BEL}{Buchstaber, V.M., Enolskii, V.Z., Leykin, D.V.}
{Review in Mathematics and Mathematical Physics. Eds. S.\,Novikov \&
I.\,Krichever. (1997), v.\,10(2), 1--125. London:  Gordon and
Breach.}{Kleinian functions, hyperelliptic Jacobians and
applications.}

\bib{31}{Burchnall, J.L., \ Chaundy, T.W.}{Proc.\,London Math.\,Soc.
\ye{1922}, v.\,22, ser.\,2, n.\,1435, 420--440.}
{Commutative ordinary differential operators.}

%\bib{30}{Burchnall, J.L., \ Chaundy, T.W.}{Proc.\,Royal Soc.\,London.
%Ser.\,A \ye{1928}, 557--583.}{Commutative Ordinary Differential
%Operators.}

\bib{84}{Caudrey, P.J.}{\PLA{1980}, v.\,79, 264--268.}
{The inverse problems for the third order equation
$u_{\mathit{xxx}}+q(x)\,u_x+r(x)\,u=-i\,\zeta^3\,u$.}

\bib{66}{Chazy, J.}{Acta Mathematica \ye{1911}, v.\,34, 317--385.}
{Sur les \'equations diff\'erentielles du troisi\'eme
ordre et d'ordre sup\'erieur dont l'int\'egrale g\'en\'erale a ses
points critiques fixes.}

\bib{53}{Deift, P., \ Tomei, C., \ Trubowitz, E.}{Comm.\,Pure and Appl.\,Math.
\ye{1982}, v.\,35, 567--628.}
{In\-ver\-se Scattering and the  Boussinesq Equation.}

\bib{dik1}{Dickey, L.A.}{Comm.\,Math.\,Phys. \ye{1981}, v.\,82(3),
345--360, 361--375.} {Integrable Nonlinear Equations and Liouville's
Theorem, I, II\/.}

%\bib{dik2}{Dickey, L.A.}{Comm.\,Math.\,Phys. \ye{1981}, v.\,82(3), 361--375.}
%{Integrable Nonlinear Equations and Liouville's Theorem, II\/.}

\bib{dik3}{Dickey, L.A.}{Comm.\,Math.\,Phys. \ye{1983}, v.\,88(1), 27--42.}
{Hamiltonian Structures and Lax Equations Generated by Matrix Differential
Operators with polynomial Dependence on a Parameter\/.}

\bib{dik4}{Dickey, L.A.}
{Advance Series in Math.\,\,Physics 12. World Scientific \ye{1991},
310 pp.}{Solitons equations and hamiltonian systems.}

\bib{44}{Dickson, R., \ Gesztesy, F., \ Unterkofler, K.}
{Rev.\,\,Math.\,Phys. \ye{1999}, v.\,11(7), 823--879.}
{Al\-geb\-ro-ge\-o\-met\-ric solutions of the Boussinesq hierarchy.}

\bib{45}{Dickson, R., \ Gesztesy, F., \ Unterkofler, K.}
{Math.\,Nachr. \ye{1999},
v.\,198, 51--108.}{A new approach to the Boussinesq hierarchy.}

\bib{dmitr}{Dmitrieva, L.A.}{\PLA{1993}, v.\,182, 65--70.}
{Finite-gap solutions of the Harry Dym equation.}

\bib{49_1}{Drach, J.}{Compt. Rend. Acad. Sci. \ye{1919}, t.\,168, 47--50.}
{D\'etermination des cas de r\'eduction de l'\'equation diff\'erentielle
$\frac{d^2y}{dx^2}=[\varphi(x)+h]\,y$.}

\bib{49_2}{Drach, J.}{Compt. Rend. Acad. Sci. \ye{1919}, t.\,168, 337--340.}
{Sur l'integration par quadratures de l'equation
$\frac{d^2y}{dx^2}=[\varphi(x)+h]\,y$.}

%\bib{23}{Ehlers, F., \ Kn\"orrer, H.}{Comment.\,Math.\,Helv.\,
%\ye{1982}, v.\,57, 1--10.}
%{An algebro-geometric interpretation of the B\"acklund-transformation
%for the KDV-equation.}

%\bib{shabat}{Fordy, A.P., Shabat, A.B., Veselov, A.P.}
%{��� \ye{1995}, �.\,105(2), 225--245.}{Factorization and Poisson
%correspondences.}

\bib{43}{Gesztesy, F., \ Ratnaseelan, R.}{Rev.\,\,Math.\,Phys. \ye{1998},
v.\,10, 345--391.}{An alternative approach to algebro--geometric solutions of
the AKNS hierarchy.}

\bib{46}{Gesztesy, F., \ Holden, H.}
{Math. Scand. \ye{2001}, v.\,90, 1--36.}
{Dubrovin equations and integrable systems on hyperelliptic curves.}

\bib{gesztesy}{Gesztesy, F., Holden, H.}{Cambridge (2003).}{Soliton equations and their algebro-geometric solutions.}

%\bib{60}{Halphen, G.-H.}{Partie I. Gauthier--Villars, \ye{1886}, 492 pp.}
%{Traite des Fonctions Elliptiques et de Leurs Applications.}

\bib{68}{Hereman, W., \ G\"oktas \"U.}
{{\tt http://xxx.lanl.gov: solv-int/9904022.}}
{Integrability Tests for Nonlinear Evolution Equations.}


\bib{kapl}{Kaplansky, I.}{Paris: Hermann \ye{1957}, 62 pp.}
{An introduction to differential algebra.}

\bib{64}{Kaup, D.J.}{Stud.\,Appl.\,Math. \ye{1980}, v.\,62, 189--216.}
{On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems
of the class $\psi_{\mathit{xxx}}^{}+6\,Q\,\psi_x^{}+6\,R\,\psi=\lambda\,\psi$.}

\bib{kolchin}{Kolchin, E.R.}{Annals of Math. \ye{1948}, v.\,49, 1--42.}
{Algebraic matrix groups and the Picard--Vessiot theory of
homogeneous linear ordinary differential equations.}

\bib{kov}{Kovacic, J.J.}{Journ. Symbolic Comput. \ye{1986}, v.\,2(1), 3--43.}
{An algorithm for solving second order linear
homogeneous differential equations.}

\bib{kuz}{Kuznetsov, V.B.,  Nijhoff, F.W., Sklyanin, E.K.}
{Comm.\,\,Math.\,Phys. (1997), v.\,189(3), 855--877.}
{Separation of variables for the Ruisenaars system.}

\bib{55}{Lax, P.D.}{Comm.\,Pure and Appl.\,Math. \ye{1975}, v.\,28, 141--188.}
{Periodic Solutions of the KDV-equation.}


\bib{4}{Matveev, V.B.}{Wroc\l{}aw University \ye{1976}. Preprint  n.\,373,
1--98.}
{Abelian functions and solitons.}

\bib{37}{McKean, H.P., \ van Moerbeke, P.}
{Inventions in Mathematics \ye{1975},
v.\,30(3), 217--274.}{The spectrum of Hill's equation.}

\bib{54}{McKean, H.P.}
{Comm.\,Pure and Appl.\,Math. \ye{1981}, v.\,34, 599--691.}
{Boussinesq's Equation on the Circle.}

\bib{22}{Musette, M., \ Conte, R.}{\JMP{1998}, v.\,39(10), 5617--5630.}
{B\"acklund transformation of partial differential
equations from the Painlev\'e--Gambier classification. I. Kaup--Kupershmidt
equation.}


\bib{ispanec}{Morales-Ruiz, J.J.}
{Progress in Mathematics, {\bf 179}. Basel: Birkh\"auser Verlag (1999).}{Differential Galois theory and
non-integrability of Hamiltonian systems.}

\bib{76}{Musette, M., \ Verhoeven, C.}{Physica D \ye{2000}, v.\,144(1--2),
211--220.}{Nonlinear superposition formula for the Kaup--Kupershmidt
partial differential equation.}

\bib{prym}{Prym, F.}{Berlin: Mayer \& M\"uller (1885).}
{Neue Theorie der ultraelliptischen functionen.}


\bib{singerput}{van der Put, M., \ Singer, M. F.}
{Berlin: Springer--Verlag (2003).}
{Galois theory of linear differential equations.}

\bib{65}{Sawada, K., \ Kotera, T.}{Progr.\,Theor.\,Phys. \ye{1974}, v.\,51(5),
1355--1367.}{A Method for Finding N-Soliton Solutions of K.d.V. Equation
and K.d.V.-Like Equation.}

\bib{singer}{Singer, M.F.}{Amer.\,\,Journ.\,\,Math. \ye{1981}, v.\,103,
661--682.}{Liouvillian solutions of $n$th order homogeneous
linear differential equations.}

\bib{33}{Smirnov, A.O.}{Acta Appl.\,Math. \ye{1994}, v.\,36, 125--166.}
{Finite-gap Elliptic Solutions of the KdV Equation.}

\bib{smirnov}{Smirnov,  A.O.}
{The Kowalevski property (Leeds, 2000), CRM Proc. Lecture Notes 32,
287--305. Amer.\,Math.\,Soc., Providence, RI, \ye{2002}.} {Elliptic
solitons and Heun's equation.}


\bib{tah}{Takhtajan, L.A.}{����. ���. ������ (1992), �.\,93(2),
330--341.}{A simple example of modular forms as tau-functions for
integrable equations.}



