Magnetic and charge structures in itinerant-electron magnets:\\ Coexistence of multiple SDW and CDW
Fusayoshi J. Ohkawa
A theory of Kondo lattices is applied to studying possible magnetic and charge structures of itinerant-electron antiferromagnets. Even helical spin structures can be stabilized when the nesting of the Fermi surface is not sharp and the superexchange interaction, which arises from the virtual exchange of pair excitations across the Mott-Hubbard gap, is mainly responsible for magnetic instability. Sinusoidal spin structures or spin density waves (SDW) are only stabilized when the nesting of the Fermi surface is sharp enough and a novel exchange interaction arising from that of pair excitations of quasi-particles is mainly responsible for magnetic instability. In particular, multiple SDW are stabilized when their incommensurate ordering wave-numbers $\pm{Q}$ are multiple; magnetizations of different $\pm{Q}$ components are orthogonal to each other in double and triple SDW when magnetic anisotropy is weak enough. Unless $\pm 2{Q}$ are commensurate, charge density waves (CDW) with $\pm 2{Q}$ coexist with SDW with $\pm{Q}$. Because the quenching of magnetic moments by the Kondo effect depends on local numbers of electrons, the phase of CDW or electron densities is such that magnetic moments are large where the quenching is weak. It is proposed that the so called stipe order in cuprate-oxide high-temperature superconductors must be the coexisting state of double incommensurate SDW and CDW.
Stripes.tex
%
%
\documentstyle[prb,aps,eqsecnum,twocolumn]{revtex}
%\documentstyle[preprint,prb,aps,eqsecnum]{revtex}
%\documentstyle[prb,aps,eqsecnum]{revtex}
%
%
%
%\input BoxedEPS.tex
%\SetTexturesEPSFSpecial
%\HideDisplacementBoxes
%
%\topmargin=-1.5cm
%\oddsidemargin=-0.8cm
%\evensidemargin=-0.8cm
\textheight=25cm
%
\begin{document}
\draft
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\twocolumn[\hsize\textwidth\columnwidth\hsize\csname@twocolumnfalse\endcsname
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{
Magnetic and charge structures in itinerant-electron magnets:\\
Coexistence of multiple SDW and CDW}
\author{Fusayoshi J. Ohkawa}
\address{Division of Physics, Graduate School of Science, 
Hokkaido University, Sapporo 060-0810, Japan}
\date{Received: \hspace{4cm} }
%\date{Manuscript version: \today }
\maketitle
%
\begin{abstract}
A theory of Kondo lattices is applied to studying possible
magnetic and charge structures of itinerant-electron
antiferromagnets. Even helical spin structures can be stabilized
when the nesting of the Fermi surface is not sharp and the
superexchange interaction, which arises from the virtual exchange
of pair excitations across the Mott-Hubbard gap, is mainly
responsible for magnetic instability. Sinusoidal spin structures
or spin density waves (SDW) are only stabilized when the nesting 
of the Fermi surface is sharp enough and  a novel exchange
interaction arising from that of pair excitations of
quasi-particles is mainly responsible for magnetic instability. 
In particular, multiple SDW are stabilized when their
incommensurate ordering wave-numbers $\pm{\bf Q}$ are multiple; 
magnetizations of different $\pm{\bf Q}$ components are
orthogonal to each other in double and triple SDW when magnetic
anisotropy is weak enough. Unless $\pm 2{\bf Q}$ are
commensurate, charge density waves (CDW) with $\pm 2{\bf Q}$
coexist with SDW with $\pm{\bf Q}$. Because the quenching of
magnetic moments by the Kondo effect depends on local numbers of
electrons, the phase of CDW or electron densities is such that 
magnetic moments are large where the quenching is weak. It is
proposed that the so called stipe order in cuprate-oxide
high-temperature superconductors must be the coexisting state of
double incommensurate SDW and CDW. 
\end{abstract}
%
\pacs{2001 PACS: 75.10.-b, 71.10.-w, 75.10.Lp, 71.30.+h}
%%%%%%
% 71.10.-w Theories and models of many electron systems
% 71.27.+a Strongly correlated electron systems; heavy fermions
% 71.30.+h Metal-insulator transitions 
%          and other electronic transitions
% 74.20.-z Theories and models of superconducting state
% 75.10.-b General theory and models of magnetic ordering
% 75.10.Lp Band and itinerant models
% 75.30.Et Exchange and superexchange interactions
% 75.30.Kz Magnetic phase boundaries
% 75.30.Gw Magnetic anisotropy
% 75.50.-y Studies of specific magnetic materials
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
~\\]%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\narrowtext
%\twocolumn
%\widetext

\section{Introduction}\label{SecIntroduction}

It is a long standing and important issue to explain two types
of magnetism, local-moment magnetism and itinerant-electron
magnetism, in a unified theoretical framework.   
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Some of their physical properties are similar to each other and
others are different from each other.
Even if they are phenomenologically similar to each other, their
microscopic explanations can be totally different from each
other. For example, the spin susceptibility obeys the
Curie-Weiss law in both types of magnets. The Curie-Weiss law in
insulators is due to  the temperature dependence  of local
thermal spin fluctuations. This mechanism is of leading order in
$1/d$, with $d$  spatial dimensionality. On the other hand, the
Curie-Weiss law in metals is a controversial issue.  Two
mechanisms were proposed: the temperature dependence of the 
mode-mode coupling between intersite spin
fluctuations\cite{Murata,MK,Moriya} and that of Weiss' magnetic
mean fields.\cite{OhSDW-CW,Miyai} The former is of higher order
in $1/d$, while the latter is of leading order in $1/d$. It is
interesting which is responsible for the Curie-Weiss law in
actual $d=3$ dimensions. There is a sharp peak at the chemical
potential in the density of states in typical ferromagnetic
metals, and there is sharp nesting of the Fermi surface in
typical antiferromagnetic metals. Recent
theories\cite{Miyai,Miyake} showed that in such 
itinerant-electron magnets the mode-mode coupling plays a
totally negative role in the Curie-Weiss law. On the other hand,
a novel exchange interaction arising from the virtual exchange
of pair excitations of quasi-particles can have a large
temperature dependence consistent with the Curie-Weiss
law;\cite{OhSDW-CW,Miyai}  Weiss' mean fields are given by
magnetic polarizations multiplied by the exchange interaction.


Magnetic structures are different between the two types of
antiferromagnets. Helical structures are stabilized in typical
local-moment magnets,\cite{Yoshimori} and sinusoidal structures
or spin density waves (SDW)  in typical itinerant-electron
magnets. When ordering wave-numbers are incommensurate, there
are two or more than two equivalent wave-numbers depending on
lattice symmetry. An interesting issue is which are stabilized,
single or multiple SDW, in what conditions.


Itinerant-electron magnets lie in the vicinity of the
Mott-Hubbard metal-insulator transition.  A combined theory of
Hubbard's\cite{Hubbard} and Gutzwiller's\cite{Gutzwiller}
implies that in metallic phases the density of states is of a
three-peak structure, Gutzwiller's quasi-particle band at the
chemical potential between the lower and upper Hubbard
bands lying far from the chemical potential.\cite{ComThreePeak}
It is unquestionable that the Mott-Hubbard splitting exists even
in metallic phases in the vicinity of the transition. Such metals
must show a crossover between the two types of magnetism as a
function of temperatures. Denote the energy scale of local
quantum spin fluctuations by $k_{B}T_{K}$. They must behave as
local-moment magnets at $T\gg T_{K}$ because local thermal spin
fluctuations are dominant, and they behave as
itinerant-electron magnets at $T\ll T_{K}$ because magnetic
moments are quenched by local quantum spin fluctuations.  When
physical phenomana relevant to the Mott-Hubbard transition
are examined,  first of all, local spin fluctuations should be
accurately taken into account.  


Local spin fluctuations are rigorously considered  in any
single-site approximation (SSA) that includes all the
single-site terms. Such an SSA is reduced to determining and
solving selfconsistently the Anderson model,\cite{Mapping}
which is one of the effective Hamiltonians for the Kondo
problem.  Because the Kondo problem was
solved,\cite{Wilson,Nozieres,Yamada,Yosida,Exact} many useful
results are available in clarifying single-site properties in
lattice systems. The three-peak structure discussed above can
be easily understood by the SSA theory or the mapping to the
Anderson model. The quenching of magnetic moments by local
quantum spin fluctuations in lattice systems is mapped to that
in the Kondo problem, so that $T_{K}$ discussed above is
nothing but the Kondo temperature.  A perturbative treatment of
intersite terms starting from an {\it unperturbed} state
constructed in the SSA is nothing but a theory of Kondo
lattices. Because the SSA is rigorous for Landau's normal
Fermi-liquid states in infinite dimensions
$(d\rightarrow+\infty)$,\cite{Metzner} it can also be formulated
as a $1/d$ expansion theory. 


One of the purposes of this paper is to study which are
stabilized in itinerant-electron magnets, single or multiple
${\bf Q}$ structures, in what conditions. This paper is organized
as follows:  In Sec.~\ref{SecFormulation}, the theory of Kondo
lattices is applied to deriving Landau's free energy. What are
studied in Sec.~\ref{MagStr} are magnetic and charge structures
of ordered states below the N\'{e}el temperature. Discussion is
given in Sec.~\ref{Discussion}, and conclusion is given in
Sec.~\ref{Conclusion}. Landau's free energy for the Anderson
model is studied in Appendix~\ref{Anderson}.


\section{Formulation}\label{SecFormulation}
\subsection{Theory of Kondo lattices}\label{SecKondoTh}

Consider the following single-band model:
%
\begin{eqnarray}\label{EqHam}
{\cal H} &=& -  \! \sum_{ij \sigma} t_{ij}
d_{i \sigma}^{\dagger} d_{j \sigma} +
\! \sum_{i} U \hat{n}_{i \uparrow} \hat{n}_{i \downarrow} 
%
\nonumber \\ &&
- \frac{1}{2} \sum_{i \ne j} J_{ij}^{(p)}
\left( \hat{\bf s}_{i} \cdot \hat{\bf s}_{j} \right)
+ \frac{1}{2} \sum_{i \ne j} V_{ij}^{(c)}
\hat{n}_{i} \hat{n}_{i}  ,
\end{eqnarray}
%
with $\hat{n}_{i\sigma}= d_{i\sigma}^{\dagger}d_{i\sigma}$ and
$\hat{n}_{i}= \hat{n}_{i\uparrow} + \hat{n}_{i\downarrow}$;
%
$\hat{s}_{i\nu} = \frac{1}{2} \sum_{\alpha\beta}  
d_{i\alpha}^\dagger \sigma_\nu^{\alpha\beta} d_{i\beta}$ 
%
($\nu=x$, $y$ and $z$), with $\sigma_{\nu}^{\alpha\beta}$ the
Pauli matrix.  When only the first and second terms are
considered, the model (\ref{EqHam}) is reduced to the Hubbard
model, in which the wellknown superexchange interaction is
involved. Actual systems must be described by a multi-band
model. A superexchange interaction arising from multi-band
effects\cite{Roth,Multi-band} is phenomenologically included by
the third term. The fourth term is  the long range  Coulomb
interaction:
$V_{ij}^{(c)} = e^2/|{\bf R}_{i} - {\bf R}_{j}|$, with 
${\bf R}_{i}$ lattice sites.  No spin-orbit interaction or no
magnetic anisotropy is included in this paper.


Assume  Landau's normal Fermi-liquid state. The single-particle
selfenergy is divided into single-site and multi-site terms: 
$\Sigma_\sigma(i\varepsilon_n,{\bf k})=\tilde{\Sigma}_\sigma
(i\varepsilon_n)+\Delta\Sigma_\sigma(i\varepsilon_n,{\bf k})$. 
The multi-site term,
$\Delta\Sigma_\sigma(i\varepsilon_n,{\bf k})$,   is of higher
order in $1/d$, and is ignored here. The single-site term, 
$\tilde{\Sigma}_\sigma (i\varepsilon_n)$, is of leading order in
$1/d$. In the presence of infinitesimally small
external fields,
${\cal H}^\prime_{ext} = -\sum_{i\sigma} \bigl[\Delta\mu^\prime  +
\frac{1}{2}\sigma g\mu_B H^\prime \bigr]\hat{n}_{i\sigma}$, 
it is expanded in such a way that
$\tilde{\Sigma}_\sigma (i \varepsilon_n) =
\tilde{\Sigma}_0 + (1- \tilde{\phi}_\gamma) i \varepsilon_n +
(1-\tilde{\phi}_s) \frac{1}{2} \sigma g\mu_B  H^\prime   +
(1-\tilde{\phi}_c) \Delta\mu^\prime + \cdots$ for
$|\varepsilon_n| \ll k_BT_K$ and $T \ll T_K$, with $T_K$ 
the Kondo temperature discussed in Introduction. Because 
$\tilde{\Sigma}_\sigma(i\varepsilon_n)$ is equal to that of
the mapped Anderson model, it follows according to Yamada and
Yosida's\cite{Yamada,Yosida} that
$\tilde{\phi}_\gamma = (\tilde{\phi}_s + \tilde{\phi}_c)/2$;
$\tilde{\phi}_s$ and $\tilde{\phi}_c$  are approximately given by
Eqs.~(\ref{EqTilPhiS}) and (\ref{EqTilPhiC}) in Appendix. 
The electron density is given by\cite{ComNeutraility}
%
\begin{equation}\label{EqND}
n_{d} = \frac{1}{N} \sum_{i} \langle \hat{n}_i \rangle.
\end{equation}
%
with $N$ the total number of unit cells. When the system is in
the vicinity of the Mott-Hubbard transition, $n_{d}$ is close
to unity so that 
$\tilde{\phi}_s \gg 1$ and $\tilde{\phi}_c \ll 1$. 
The single-particle Green function is given by
%
\begin{equation}\label{EqGreen}
G_\sigma (i\varepsilon_n,{\bf k}) =
\frac{1}{\tilde{\phi}_\gamma}
\frac{1}{i\varepsilon_n - \xi({\bf k})},
\end{equation}
%
for $|\varepsilon_n| \ll k_B T_K$ and $T\ll T_K$, with
%
\begin{equation}
\xi({\bf k}) = \frac{1}{\tilde{\phi}_\gamma}
\biggl[\tilde{\Sigma}_0  - \sum_{j} t_{ij}e^{i {\bf k} \cdot 
({\bf R}_i-{\bf R}_j)} - \mu \biggr] .
\end{equation}
%
The quasi-particle density of states is given by
$\rho^*(\epsilon)= (1/N)\sum_{\bf k}\delta(\epsilon-\xi({\bf
k}))$. When  contributions from local spin fluctuations are only
considered, the specific heat at $T \ll T_K$ is given by
$\tilde{C}=\tilde{\gamma} T + \cdots$, with
$\gamma = (2/3)\pi^2 k_B^2  \rho^*(0)$.  


When irreducible two-point polarization functions in the
wave-number representation are denoted by
$\pi_{\sigma\tau}(i\omega_{l},{\bf q})$, those in spin and charge
channels are given by
%
%\begin{equation}\label{EqSusDiv-S}
$\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q})=
\pi_{\sigma\sigma}(i \omega_{l}, {\bf q})-
\pi_{\sigma-\sigma}(i \omega_{l}, {\bf q}) $
%\end{equation}
%
and
% 
%\begin{equation}\label{EqSusDiv-C}
$\pi_{c}(i \omega_{l}, {\bf q})=
\pi_{\sigma\sigma}(i \omega_{l}, {\bf q})+
\pi_{\sigma-\sigma}(i \omega_{l}, {\bf q}) $.
%\end{equation}
%
Spin and charge susceptibilities of the model (\ref{EqHam}) are
given by\cite{ComSus}
%
\begin{equation}\label{EqSusS}
\chi_{s}(i \omega_{l},{\bf q}) =
\frac{2\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q})}
{1- \left[ U + \frac{1}{2} J^{(p)}({\bf q}) \right]
\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q})} 
\end{equation}
%&=& \frac{\tilde{\chi}_{s}(i \omega_{l}) 
%+ \bigl[ U\tilde{\chi}_{s}(i \omega_{l}) +2 \bigr] 
%\Delta\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q})   }
%{1- \frac{1}{4}J^{(p)}
%({\bf q}) \left\{ \tilde{\chi}_{s}(i \omega_{l}) 
%+ \bigl[U\tilde{\chi}_{s}(i \omega_{l}) +2 \bigr] 
%\Delta\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q}) \right\} 
%- \frac{1}{2}U \bigl[U\tilde{\chi}_{s}(i \omega_{l}) +2 \bigr] 
%\Delta\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q}) }
%\nonumber \\
%
and
%
\begin{equation}\label{EqSusC}
\chi_{c}(i \omega_{l},{\bf q}) =
\frac{2\pi_{c}(i \omega_{l}, {\bf q})}
{1 + \left[ U +  2V^{(c)}({\bf q}) \right]
\pi_{c}(i \omega_{l}, {\bf q})} ,
\end{equation}
%
with
$J^{(p)}({\bf q}) = \sum_{j(\ne i)} J_{ij}^{(p)}
e^{-i{\bf q} \cdot ({\bf R}_{i} - {\bf R}_{j})}$
and
$V^{(c)}({\bf q}) = \sum_{j(\ne i)} V_{ij}^{(c)}
e^{-i{\bf q} \cdot ({\bf R}_{i} - {\bf R}_{j})} $.
%
Irreducible polarization functions are also divided into
single-site ones,
$\tilde{\pi}_{s}(i \omega_{l})$ and 
$\tilde{\pi}_{c}(i \omega_{l})$, and multi-site ones,
$\Delta\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q})$ and
$\Delta\pi_{c}(i \omega_{l}, {\bf q})$:
$\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q}) =\tilde{\pi}_{s}(i \omega_{l})
+\Delta\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q})$ and
$\pi_{c}(i \omega_{l}, {\bf q}) = \tilde{\pi}_{c}(i\omega_{l}) 
+\Delta\pi_{c}(i \omega_{l}, {\bf q})$.  Because the single-site
terms are  equal to those of the mapped Anderson
model,\cite{Mapping} its spin and charge susceptibilities  
are given by
%
\begin{equation}\label{EqSusSS}
\tilde{\chi}_{s}(i \omega_{l}) =
\frac{2\tilde{\pi}_{s}(i \omega_{l}) }
{1- U \tilde{\pi}_{s}(i \omega_{l})}
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}\label{EqSusSC}
\tilde{\chi}_{c}(i \omega_{l}) =
\frac{2\tilde{\pi}_{c}(i \omega_{l}) }
{1 + U \tilde{\pi}_{c}(i \omega_{l})} .
\end{equation}
%
The Kondo temperature is defined by
$k_{B} T_{K} \!=\! 1 / \bigl[ \tilde{\chi}_{s}(0) 
\bigr]_{T \rightarrow 0\hspace{1pt}{\rm K}}$.
When the Fermi-liquid relation\cite{Yamada,Yosida} is made use
of, it follows that 
$k_{B} T_{K} = (\tilde{\phi}_\gamma/\tilde{\phi}_s)/
\rho^*(0)$ so that $k_{B} T_{K}$ is as large as the bandwidth of
quasi-particles. In this paper, our study is restricted to the
strongly correlated regime defined by
%
\begin{equation}\label{EqStrongU}
k_{B}T_{K}/U \ll 1 .
\end{equation}


The Kondo temperature should be calculated by determining and
solving selfconsistently the mapped Anderson model. However,
it is treated as a phenomenological parameter in this paper. 


%
Eqs.~(\ref{EqSusS}) and (\ref{EqSusC}) are also written in such
a way that
%
\begin{equation}\label{EqSusSK}
\chi_{s}(i \omega_{l},{\bf q}) =
\frac{\tilde{\chi}_{s}(i \omega_{l})  }
{1- \frac{1}{4}I_{s}(i \omega_{l}, {\bf q})
 \tilde{\chi}_{s}(i \omega_{l}) }
\end{equation}
%
and
\begin{equation}
\chi_{c}(i \omega_{l},{\bf q}) =
\frac{\tilde{\chi}_{c}(i \omega_{l})  }
{\displaystyle 1 + V(i \omega_{l}, {\bf q})
 \tilde{\chi}_{c}(i \omega_{l}) } , 
\end{equation}
%
with
%
\begin{equation}\label{EqIs}
I_{s}(i \omega_{l}, {\bf q}) =
J^{(p)}({\bf q})  +
\frac{ 2\Delta\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q}) }
{\tilde{\pi}_{s}(i \omega_{l}) \pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q}) }
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}\label{EqIc}
V(i \omega_{l}, {\bf q}) =
V^{(c)}({\bf q})  -
\frac{ \Delta\pi_{c}(i \omega_{l}, {\bf q}) }
{2\tilde{\pi}_{c}(i \omega_{l}) \pi_{c}(i \omega_{l}, {\bf q}) }. 
\end{equation}
%
It follows from Eqs.~(\ref{EqSusS}) and (\ref{EqSusSS}) that
% 
\begin{equation}\label{Eq-1/U-1}
\pi_{s}(0, {\bf q}) = \frac1{U} \left[1 + 
O \left( k_{B}T_{K}/U \right) \right]
\end{equation}
and
\begin{equation}\label{Eq-1/U-2}
\tilde{\pi}_{s}(0) = \frac1{U} \left[1 + 
O \left( k_{B}T_{K}/U \right) \right] .
\end{equation}
%
Here, $U \gg |J^{(p)}({\bf q})|$ is assumed. 
To leading order in $k_{B}T_{K}/U$, Eq.~(\ref{EqIs}) becomes 
%
\begin{equation}\label{EqExchS}
I_{s}(i \omega_{l}, {\bf q}) =
J^{(p)}({\bf q})  +
2 U^{2} \Delta\pi_{s}(i \omega_{l}, {\bf q}) .
\end{equation}
%
It follows from Eqs.~(\ref{EqSusC}) and (\ref{EqSusSC}) that
%
\begin{equation}
\left[U \!+\! V_c ({\bf q})\right] \pi_c (0,{\bf q}) =
\frac{\frac{1}{2}
\left[U\!+\!V_c ({\bf q})\right]\chi_c (0,{\bf q})}
{1 - \frac{1}{2}
\left[U\!+\!V_c ({\bf q})\right]\chi_c (0,{\bf q}) }
\end{equation}
%
and
$U \tilde{\pi}_c (0) = \frac{1}{2}U\tilde{\chi}_c (0) /
[1 - \frac{1}{2} U\tilde{\chi}_c (0)]$.
It is likely that
$[U \!+\! V_c ({\bf q})] |\pi_c (0,{\bf q})| \agt 1$
and 
$U |\tilde{\pi}_c (0)|\agt 1$ in actual magnets. Note also that
$\tilde{\phi}_c \ll 1$ for  $n_d\simeq 1$. Then, the second
term of Eq.~(\ref{EqIc}) can be ignored. In this paper,
Eq.~(\ref{EqIc}) is approximated by 
$V(i \omega_{l}, {\bf q}) \simeq V^{(c)}({\bf q})$. 
In $d=3$ dimensions, 
%
\begin{equation}\label{EqVcq}
V^{(c)} ({\bf q}) = \frac{1}{v} \sum_{\bf G} \!\biggl[
\frac{4 \pi e^2}{|{\bf q}-{\bf G}|^2} 
- \frac{1}{N} \!\sum_{\bf p (\ne 0)} \!
\frac{4 \pi e^2}{|{\bf p}-{\bf G}|^2} \biggr] ,
\end{equation}
%
with ${\bf G}$ wave-numbers of reciprocal lattice points,  $v$
the volume of a unit cell, and the summation over ${\bf p}$ 
restricted to the first Brillouin zone. Because 
$\lim_{{\bf q}\rightarrow{\bf G}}  V^{(c)}({\bf q})/k_BT_K = +
\infty$, the charge susceptibility vanishes for commensurate
{\bf q}:
%
\begin{equation}\label{EqChiCV}
\lim_{{\bf q}\rightarrow {\bf G}}
\chi_{c}(i\omega_l, {\bf q}) =0 .
\end{equation}


The susceptibility given by Eq.~(\ref{EqSusSK}) with
Eq.~(\ref{EqExchS}) is consistent with a physical picture for
Kondo lattices that local spin fluctuations at different sites
interact with each other by intersite exchange interactions.  
Then, $I_{s}(i \omega_{l}, {\bf q})$ should be called an
exchange interaction, which is responsible for magnetic
instability. The second term of Eq.~(\ref{EqExchS}) is mainly
composed of three contributions.\cite{Multi-band,OhExc}  One is
the superexchange interaction, which arises from the virtual
exchange of pair excitations across the Mott-Hubbard gap. The
phenomenological term $J^{(p)}({\bf q})$ should be determined in
such a way that the sum of this superexchange interaction and
$J^{(p)}({\bf q})$ should be equal to the superexchange
interaction of actual systems. Another is the novel exchange
interaction arising from that of pair excitations of
quasi-particles. Whether it is ferromagnetic or antiferromagnetic
depends on the dispersion relation of quasi-particles. For
example, it is ferromagnetic in the so called flat-band and
band-edge models.\cite{Multi-band}  On the other hand, it is
antiferromagnetic when the nesting of the Fermi surface is sharp
or when the chemical potential is at the band center. The other
is the mode-mode coupling term among intersite spin fluctuations.
Each of the superexchange interaction and the novel exchange
interaction can cause magnetic instability, while the
mode-mode coupling suppresses magnetic instability. In the
following part of this paper, we assume that the sum of the two
exchange interactions is antiferromagnetic and is so strong to
cause magnetic instability; the N\'{e}el temperature $T_N$ is
determined by $1/\left[\chi_s(0,{\bf Q})\right]_{T=T_N} =0$ or
$1 - \frac{1}{4}\left[I_s(0, {\bf Q})
\tilde{\chi}_s(0)\right]_{T=T_N} =0$, with ${\bf Q}$ ordering
wave-numbers.


As discussed in Introduction, local spin fluctuation are quite
different between the two temperature regions,  $T\gg T_K$ and
$T\ll T_K$.  Then, local-moment magnetism is characterized by
$T_N\gg T_K$ while itinerant-electron magnetism by $T_N\ll T_K$.
In this paper, our study is restricted to itinerant-electron
magnetism or $T_N\ll T_K$.


\subsection{Landau's free energy}\label{SecLandau}

Magnetizations appear below $T_N$. 
In this subsection, Landau's free energy in the presence
of external fields 
%
\begin{equation}
{\cal H}_{ext} = 
-  g\mu_{B} \sum_{i} 
 \bigl( {\bf H}_{i}  \cdot \hat{\bf s}_{i} \bigr)
 - \sum_{i} \Delta \mu_{i}  \hat{n}_{i} ,
\end{equation}
%
is studied. For this purpose, it is convenient to consider 
%
\begin{equation}\label{EqFicH}
{\cal H}_{\Omega} =
{\cal H} + E_{ext} +  {\cal H}_{L} ,
\end{equation}
%
instead of ${\cal H}+{\cal H}_{ext}$, with 
%
\begin{eqnarray}
E_{ext} &=& -  \frac{1}{2}g \mu_{B} \sum_{i} 
\left( {\bf H}_{i} \cdot {\bf m}_{i} \right)
 - \sum_{i} \Delta \mu_{i} n_{i} 
\end{eqnarray}
%
including no operator and
%
\begin{equation}\label{EqLSC}
{\cal H}_{L} = 
- \sum_{i \nu} 
\lambda_{i\nu}^{(s)} \left( 2 \hat{s}_{i\nu} \!-\! m_{i\nu} \right)
 - \sum_{i} \lambda_{i}^{(c)}  
\left(\hat{n}_{i} \!-\! n_{i} \right) 
\end{equation}
%
including Lagrange's multipliers,
$\lambda_{i\nu}^{(s)}$ and $\lambda_{i}^{(c)}$.
The thermodynamic potential $\Omega$ for ${\cal H}_{\Omega}$
is given by 
%
\begin{equation}\label{EqOmegaDef}
e^{-\Omega/k_{\rm B} T}  \equiv
{\rm Tr}~\exp \biggl[ - \frac{1}{k_{B}T} \Bigl( 
{\cal H}_{\Omega} - \mu \sum_{i} \hat{n}_{i} \Bigr)  
\biggr] ,
\end{equation}
%
with $\mu$ the chemical potential. Lagrange's multipliers
should satisfy
%
\begin{equation}\label{EqDLM}
\frac{\partial \Omega}{\partial \lambda_{i\nu}^{(s)} } = 
m_{i\nu} - 2 \langle \hat{s}_{i\nu} \rangle_{\Omega} =0 
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}\label{EqDLC}
\frac{\partial \Omega}{\partial \lambda_{i}^{(c)} }  = 
n_{i} - \langle \hat{n}_{i} \rangle_{\Omega}  =0 ,
\end{equation}
%
with $\langle \cdots \rangle_{\Omega}$ standing for thermal
averages for ${\cal H}_{\Omega}$. Then, magnetizations
and charge densities are given by sets of ${\bf m}_i$ and
$n_i$, $\{{\bf m}\}$ and $\{n\}$. It follows that
%
\begin{equation}\label{EqDM}
\frac{ \partial \Omega}{\partial m_{i \nu}}
=\lambda_{i\nu}^{(s)}\bigl(\{{\bf m}\},\{n\}\bigr) -
\frac{1}{2}g\mu_{B} H_{i\nu}
\end{equation}
and
\begin{equation}\label{EqDC}
\frac{ \partial \Omega}{\partial n_{i}}
= \lambda_{i}^{(c)}\bigl(\{{\bf m}\},\{n\}\bigr) -  \Delta \mu_{i}
.
\end{equation}
%
Here, it is not necessary to consider the dependence of $\Omega$
on $\{{\bf m}\}$ and $\{n\}$ through 
$\lambda_{i\nu}^{(s)}$ and $\lambda_{i}^{(c)}$ because of
Eqs.~(\ref{EqDLM}) and (\ref{EqDLC}).
%
When $\Omega$ is minimized as a function of $\{{\bf m}\}$ and
$\{n\}$, it follows  from Eqs.~(\ref{EqDM}) and (\ref{EqDC})
that $\lambda_{i\nu}^{(s)} = \frac{1}{2}g\mu_{B} H_{i\nu}$ and
$\lambda_{i}^{(c)}=\Delta \mu_{i}$, so that ${\cal H}_{\Omega}$
becomes ${\cal H}+{\cal H}_{ext}$. The set of
Eqs.~(\ref{EqDLM}) and (\ref{EqDLC}) is nothing but the
selfconsistency condition to determine magnetizations and
charge densities for ${\cal H}+{\cal H}_{ext}$, and
$\Omega$ defined this way is Landau's free energy for
${\cal H}+{\cal H}_{ext}$. 

%\section{Application to Kondo lattices}


The normal Hartree term is given by
$\lambda_{0}=-\bigl(\frac{1}{2}Un_d+\sum_j V_{ij}^{(c)}n_d\bigr)$,
with $n_d$ the average electron density defined by
Eq.~(\ref{EqND}).\cite{ComNeutraility}
%
All of its effects are included in the {\it unperturbed} state
considered in Sec.~\ref{SecKondoTh}. Anomalous Hartree and Fock
terms, which are due to spin or charge polarizations, 
are given by
%
\begin{equation}\label{EqLSR}
\overline{\lambda}_{i\nu}^{(s)} \equiv
\lambda_{i\nu}^{(s)} + \biggl( \frac{1}{2} U m_{i\nu} 
+ \frac{1}{4} \sum_{j(\ne i)} J_{ij}^{(p)} m_{j\nu} \biggr) 
\end{equation}
%
for spin channels, and
\begin{equation}\label{EqLCR}
\overline{\lambda}_{i}^{(c)} \equiv
\lambda_{i}^{(c)} - \biggl( \frac{1}{2} U \Delta n_{i}
+ \sum_{j(\ne i)} V_{ij}^{(c)} \Delta n_{j} \biggr) ,
\end{equation}
%
for the charge channel, with
%
\begin{equation}\label{EqDN}
\Delta n_{i} = n_{i} - n_{d} . 
\end{equation}
%
Here, Lagrange's multipliers, $\lambda_{i\nu}^{(s)}$ and
$\lambda_{i}^{(c)}$, are included, and thermal averages 
$\langle \hat{s}_{i\nu} \rangle_{\Omega}$ and 
$\langle \hat{n}_{i} \rangle_{\Omega}$ are replaced by
$m_{i\nu}/2$ and $n_i$ because Eqs.~(\ref{EqDLM}) and
(\ref{EqDLC}) are eventually satisfied.  When
$\overline{\lambda}_{i\nu}^{(s)}$ and
$\overline{\lambda}_{i}^{(c)}$ are perturbatively considered
starting from the Fermi-liquid state considered in
Sec.~\ref{SecKondoTh}, it follows from the selfconsistency
condition of Eqs.~(\ref{EqDLM}) and (\ref{EqDLC}) that
%
%
\begin{eqnarray}\label{EqmQL-R}
m_{i\nu} &=& 2 \sum_{j} 
\pi_{\nu^{2}}(i,j)
\overline{\lambda}_{j\nu}^{(s)}
%
+ 2 \sum_{j_1 j_2} \pi_{\nu^{2}c}(i,j_1.j_2)
\overline{\lambda}_{j_1\nu}^{(s)}
\overline{\lambda}_{j_2}^{(c)}
%
\nonumber \\ &&
+   2 \sum_{j_1 j_2} \pi_{\nu c\nu}(i,j_1,j_2)
\overline{\lambda}_{j_1}^{(c)}
\overline{\lambda}_{j_2\nu}^{(s)} 
\nonumber \\
& & + 2\sum_{j_{1}\nu_{1}}\sum_{j_{2}\nu_{2}}\sum_{j_{3}\nu_{3}}
\pi_{\nu\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}}(i,j_{1},j_{2},j_{3})
%
\nonumber \\ && \hspace*{2cm} \times
\overline{\lambda}_{j_{1}\nu_{1}}^{(s)}
\overline{\lambda}_{j_{2}\nu_{2}}^{(s)}
\overline{\lambda}_{j_{3}\nu_{3}}^{(s)} + \cdots
\end{eqnarray}
%
and
%
\begin{eqnarray}\label{EqnQL-R}
\Delta n_{i} &=&  2 \sum_{j} 
\pi_{c^{2}}(i,j) \overline{\lambda}_{j}^{(c)}
%
\nonumber \\ && \hspace*{-5pt}
+ 2 \sum_{j_{1}j_{2}} \sum_{\nu_{1}}
\pi_{c\nu_{1}^{2}}(i,j_{1},j_{2})
\overline{\lambda}_{j_{1}\nu_{1}}^{(s)}
\overline{\lambda}_{j_{2}\nu_{1}}^{(s)}
 + \cdots ,
\end{eqnarray}
%
%
with $\pi_{\nu^{2}}(i,j)$ static two-point polarization
functions in spin channels, $\pi_{c^{2}}(i,j)$ those in
charge channels,
$\pi_{\nu^{2}c}(i_{1},i_{2},i_{3})$,
$\pi_{\nu c\nu}(i_{1},i_{2},i_{3})$ and
$\pi_{c\nu^{2}}(i_{1},i_{2},i_{3})$ static three-point ones
with two spin vertexes and a charge vertex, and 
$\pi_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}\nu_{4}}(i_{1},i_{2},i_{3},i_{4})$
static four-point ones with four spin vertexes. 


Note that
$\pi_{s}(0,{\bf q}) = \sum_{j} \pi_{\nu^{2}}(i,j)
e^{-i {\bf q} \cdot ({\bf R}_{i}-{\bf R}_{j})}$
for $\nu=x$, $y$ and $z$, and 
$\pi_{c}(0,{\bf q}) = \sum_{j} \pi_{c^{2}}(i,j)
e^{-i {\bf q} \cdot ({\bf R}_{i}-{\bf R}_{j})} $.
It follows from Eqs.~(\ref{EqmQL-R}) and (\ref{EqnQL-R}) that
in the wave-number representation 
%
\begin{eqnarray}\label{EqmQL} 
\lambda_{{\bf q}\nu}^{(s)} &=& 
\frac{m_{{\bf q}\nu}}{\chi_{s}(0,{\bf q})} 
- \frac{2}{\pi_{s}(0,{\bf q}) }
\sum_{{\bf q}_{1}{\bf q}_{2}}
\pi_{\nu^{2}c}({\bf q},{\bf q}_{1},{\bf q}_{2})
\overline{\lambda}_{{\bf q}_{1}\nu}^{(s)} 
\overline{\lambda}^{(c)}_{{\bf q}_{2}}
%
\nonumber \\ && 
- \frac{1}{\pi_{s}(0,{\bf q}) }
\sum_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}}
\sum_{{\bf q}_{1}{\bf q}_{2}{\bf q}_{3}}
\pi_{\nu\nu_1\nu_2\nu_3}
({\bf q},{\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3})
%
\nonumber \\ && \hspace*{2cm} \times
\overline{\lambda}_{{\bf q}_{1}\nu_{1}}^{(s)}
\overline{\lambda}_{{\bf q}_{2}\nu_{2}}^{(s)}
\overline{\lambda}_{{\bf q}_{3}\nu_{3}}^{(s)} 
+ \cdots
\end{eqnarray}
%
and 
%
\begin{eqnarray}\label{EqnQL} 
\lambda_{{\bf q}}^{(c)} &=& 
\frac{\Delta n_{\bf q}}{\chi_{c}(0,{\bf q})} 
%
- \frac{1}{\pi_{c}(0,{\bf q}) }
\sum_{{\bf q}_{1}{\bf q}_{2}} 
\sum_{\nu_{1}}
\pi_{\nu_{1}^{2}c}({\bf q},{\bf q}_{1},{\bf q}_{2})
%
\nonumber \\ && \hspace*{3cm} \times 
\overline{\lambda}_{{\bf q}_{1}\nu_{1}}^{(s)} 
\overline{\lambda}^{(s)}_{{\bf q}_{2}\nu_{1}}
+ \cdots ,
\end{eqnarray}
%
with  
%
\begin{equation}
m_{{\bf q}\nu}=\frac{1}{N}\sum_{i}
m_{i\nu}  e^{-i{\bf q}\cdot {\bf R}_{i}},
\end{equation}
%
\begin{equation}
\Delta n_{\bf q}=\frac{1}{N}\sum_{i} \Delta n_{i}
e^{-i{\bf q}\cdot {\bf R}_{i}},
\end{equation}
%
\begin{equation}
\lambda_{{\bf q}\nu}^{(s)}=\frac{1}{N}\sum_{i}  
\lambda_{i\nu}^{(s)} e^{-i{\bf q}\cdot {\bf R}_{i}},
\end{equation}
%
\begin{equation}
\lambda^{(c)}_{\bf q}=\frac{1}{N}\sum_{i} 
\lambda_{i}^{(c)} e^{-i{\bf q}\cdot {\bf R}_{i}},
\end{equation}
%
\begin{eqnarray}
\overline{\lambda}_{{\bf q}\nu}^{(s)} &=&
\frac{1}{N} \sum_{i}
\overline{\lambda}_{i\nu}^{(s)} 
e^{-i{\bf q}\cdot {\bf R}_{i}}
\nonumber \\
&=&
\lambda_{{\bf q}\nu}^{(s)}+ \frac{1}{2} U m_{{\bf q}\nu}
+ \frac{1}{4} J^{(p)} ({\bf q}) m_{{\bf q}\nu} ,
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
\overline{\lambda}^{(c)}_{\bf q} &=&
\frac{1}{N} \sum_{i}
\overline{\lambda}_{i}^{(c)} 
e^{-i{\bf q}\cdot {\bf R}_{i}}
\nonumber \\
&=&
 \lambda^{(c)}_{\bf q}- \frac{1}{2} U \Delta n_{\bf q}
-  V^{(c)} ({\bf q}) \Delta n_{\bf q} ,
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}\label{EqPi3}
\pi_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}}
({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3})  
&=& \frac{1}{N}
\sum_{i_{1}i_{2}i_{3}} \pi_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}}
(i_{1},i_{2},i_{3})
%
\nonumber \\ && \hspace{-1cm} \times 
e^{-i [({\bf q}_{1} \cdot {\bf R}_{{i}_{1}})
+ ({\bf q}_{2} \cdot {\bf R}_{{i}_{2}})
+ ({\bf q}_{3} \cdot {\bf R}_{{i}_{3}})] } ,
% \nonumber \\ && 
\end{eqnarray}
%
and
%
\begin{eqnarray}\label{EqPi4}
\pi_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}\nu_{4}}
({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4})  
%\delta_{{\bf q}_{1}+{\bf q}_{2}+{\bf q}_{3}+{\bf q}_{4}}
&=& \frac{1}{N} \!\!
\sum_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}} \!\!\!
\pi_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}\nu_{4}}(i_{1},i_{2},i_{3},i_{4})
%
\nonumber \\ && \hspace*{-3cm} \times
e^{-i[ ({\bf q}_{1} \cdot {\bf R}_{{i}_{1}})
+ ({\bf q}_{2} \cdot {\bf R}_{{i}_{2}})
+ ({\bf q}_{3} \cdot {\bf R}_{{i}_{3}})
+ ({\bf q}_{4} \cdot {\bf R}_{{i}_{4}}) ]}  .
%\nonumber \\ && 
\end{eqnarray}
%
Because of the translational symmetry, 
%
\begin{equation}
\pi_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}}
({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3})
\propto\delta_{{\bf q}_{1}+{\bf q}_{2}+{\bf q}_{3}} 
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}
\pi_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}\nu_{4}}
({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4})\propto
\delta_{{\bf q}_{1}+{\bf q}_{2}+{\bf q}_{3}+{\bf q}_{4}},
\end{equation}
%
with
%
\begin{equation}
\delta_{{\bf q}} =\left\{
\begin{array}{ll}
1, & \ {\bf q} = {\bf G} \vspace{0.2cm} \\
0, & \ {\bf q} \ne {\bf G}
\end{array} . \right.
\end{equation}


Eqs.~(\ref{EqmQL}) and (\ref{EqnQL}) can be solved in an iterative
manner. When $|m_{{\bf q}\nu}| \ll 1$ and 
$|\Delta n_{{\bf q}}| \ll 1$,  Eqs.~(\ref{EqmQL}) and
(\ref{EqnQL}) give trivial  relations, 
$\lambda_{{\bf q}\nu}^{(s)} = 
m_{{\bf q}\nu}/\chi_{s}(0,{\bf q})$
and
$\lambda_{{\bf q}}^{(c)} = 
\Delta n_{{\bf q}}/\chi_{c}(0,{\bf q})$.  
When these approximate relations are made use of, it follows that
%
\begin{eqnarray}\label{EqL1}
\overline{\lambda}_{{\bf q}\nu}^{(s)} 
&=& \frac{m_{{\bf q}\nu}}{2\pi_{s}(0,{\bf q})} 
\simeq \frac{1}{2}U m_{{\bf q}\nu}
\end{eqnarray}
%
and
%
\begin{eqnarray}
\overline{\lambda}^{(c)}_{\bf q} 
&=&
\frac{\Delta n_{\bf q} }{2 \pi_{c}(0,{\bf q}) } .
\end{eqnarray}
%
In Eq.~(\ref{EqL1}), Eq.~(\ref{Eq-1/U-1}) is also made use of. When
these  are used in Eqs.~(\ref{EqmQL}) and (\ref{EqnQL}), it follows 
that
%
\begin{eqnarray}\label{EqLQm}
\lambda_{{\bf q}\nu}^{(s)}  
&=&
\frac{m_{{\bf q}\nu}}{\chi_{s}(0, {\bf q})} 
- 2  \sum_{{\bf q}_{1}{\bf q}_{2}}
g({\bf q},{\bf q}_{1},{\bf q}_{2})
m_{{\bf q}_{1}\nu} 
\Delta n_{{\bf q}_{2}}
%\delta_{{\bf q}+{\bf q}_{1}+{\bf q}_{2}}
%
\nonumber \\
& &  
+ \sum_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}}
\sum_{{\bf q}_{1}{\bf q}_{2}{\bf q}_{3}}
 b_{\nu\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}}
 ({\bf q},{\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3})
\nonumber \\ && \hspace*{1cm} \times 
m_{{\bf q}_{1}\nu_{1}}
m_{{\bf q}_{2}\nu_{2}}
m_{{\bf q}_{3}\nu_{3}}
%\delta_{{\bf q}_{1}+{\bf q}_{2}+{\bf q}_{3}+{\bf q}_{4}}
+ \cdots
\end{eqnarray}
%
and
%
\begin{eqnarray}\label{EqLQn}
\lambda_{{\bf q}}^{(c)}  &=&
\frac{\Delta n_{\bf q}}{\chi_{c}(0, {\bf q})} 
- \sum_{\nu_{1}{\bf q}_{1}{\bf q}_{2}}
g({\bf q},{\bf q}_{1},{\bf q}_{2})
m_{{\bf q}_{1}\nu_{1}} m_{{\bf q}_{2}\nu_{1}} + \cdots, 
%
\nonumber \\ && 
\end{eqnarray}
%
with
%
\begin{equation}
g({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3}) =
\frac{U^{2} \pi_{x^{2}c}({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3})}
{2^{2}\pi_{c}(0,{\bf q}_{1})} 
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}\label{EqBnu}
b_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}\nu_{4}}
({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4}) =
- \frac{U^{4}}{2^{3}} 
\pi_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}\nu_{4}}
 ({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4}) .
\end{equation}



Eqs.(\ref{EqDM}) and (\ref{EqDC}) can also be written in the
momentum representation, and Lagrange's multipliers are
given by Eqs.~(\ref{EqLQm}) and (\ref{EqLQn}). By integrating
them, we obtain
%
\begin{equation}
\Omega = \Omega_{0} + \Omega_{ext}+  \Omega_{s^2} 
+ \Omega_{c^2} + \Omega_{s^2c} + \Omega_{s^4}  + \cdots,
\end{equation}
%
with $\Omega_{0}$ the term including 
no spin nor charge polarizations, 
%
\begin{equation}
\Omega_{ext} = -  N \biggl[ 
\frac{1}{2}g \mu_{B} 
\sum_{\bf q} 
\bigl({\bf H}_{\bf q} \!\cdot\! {\bf m}_{-{\bf q}} \bigr)
 +  \sum_{\bf q} \Delta \mu_{\bf q} \Delta n_{-{\bf q}}  
\biggr],
\end{equation}
%
\begin{equation}
\Omega_{s^2} = N \sum_{\bf q}
\frac{|{\bf m}_{\bf q}|^{2}}{2 \chi_{s}(0,{\bf q})},
\end{equation}
%
\begin{equation}
 \Omega_{c^2} =
N  \sum_{\bf q}
\frac{|\Delta n_{\bf q}|^{2}}{2 \chi_{c}(0,{\bf q})} ,
\end{equation}
%
\begin{eqnarray}\label{EqOS3}
 \Omega_{s^2c} &=& -  N \!\!
\sum_{{\bf q}_{1}{\bf q}_{2}{\bf q}_{3}} \!
g({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3})
%
%\nonumber \\ && \quad \times 
({\bf m}_{{\bf q}_{1}} \!\cdot\! {\bf m}_{{\bf q}_{2}} )
\Delta n _{{\bf q}_{3}} ,
\end{eqnarray}
%
and
%
\begin{eqnarray}\label{EqOS4}
\Omega_{s^4} &=& \frac{N}{4}
\sum_{{\bf q}_{1}{\bf q}_{2}{\bf q}_{3}{\bf q}_{4}} 
b_{\nu^{4}}({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4})
%
\nonumber \\ && \hspace{-0.5cm} \times 
\Bigl[  
({\bf m}_{{\bf q}_{1}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf q}_{2}} )
({\bf m}_{{\bf q}_{3}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf q}_{4}})
%
%\nonumber \\ && \hspace*{1cm} 
- ({\bf m}_{{\bf q}_{1}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf q}_{3}} )
({\bf m}_{{\bf q}_{2}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf q}_{4}})
\nonumber \\
&& \hspace*{1cm} 
+ ({\bf m}_{{\bf q}_{1}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf q}_{4}} )
({\bf m}_{{\bf q}_{2}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf q}_{3}})
\Bigr]  .
\end{eqnarray}
%
In Eq.~(\ref{EqOS4}), the following relations of
%
\begin{eqnarray}
b_{\nu^4}({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4})  
&=&
b_{\nu_1^2\nu_2^2}
({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4})
% 
\nonumber \\ &=&
- \Bigl[ b_{\nu_{1}\nu_{3}\nu_{1}\nu_{3}}
({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4})
\Bigr]_{\nu_{1} \ne \nu_{3}} \phantom{\Biggr]}
%
\nonumber \\ && 
\end{eqnarray}
%
are made use of; $b_{\nu_{1}\nu_{2}\nu_{3}\nu_{4}} 
({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4})=0$
for other combinations of $\nu_i$'s.

When ordering wave-numbers are incommensurate,
there can be several equivalent ones to them. Denote the
$i$\hspace{1pt}th pair by $\pm{\bf Q}_{i}$, and assume that
not only $\pm{\bf Q}_{i}$ but also $\pm 2 {\bf Q}_{i}$ and $\pm
4 {\bf Q}_{i}$ are incommensurate:  
$\pm 2{\bf Q}_{i} \ne {\bf G}$ or  
$\pm 4{\bf Q}_{i} \ne {\bf G}$. When SDW with 
$\pm {\bf Q}_{i}$ are stabilized,  CDW with $\pm 2{\bf Q}_{i}$ 
appear because of the coupling term  between SDW and CDW
given by Eq.~(\ref{EqOS3}) or
%
\begin{eqnarray}\label{EqS2-C}
\Omega_{s^2c} &=&
-  N \sum_i g({\bf Q}_i,{\bf Q}_i,- 2{\bf Q}_i)
%
\nonumber \\ && \times \Bigl[
\left({\bf m}_{{\bf Q}_i}\right)^2
\Delta n_{-2{\bf Q}_i}  +
\left({\bf m}_{-{\bf Q}_i}\right)^2
\Delta n_{2{\bf Q}_i} \Bigr] .
\end{eqnarray}
%
Here and in the following part, the summation over ${\bf Q}_i$
is made over pairs or it is made in such a way that  one
of $\pm{\bf Q}_i$ is only considered for each $i$.  When only SDW
or helical structures with ${\bf Q}_{i}$ and CDW with
$2{\bf Q}_{i}$ are considered, 
%
\begin{eqnarray}
\Omega_{ext} &=& -N \sum_{i} \biggl\{
\frac{1}{2}g \mu_{B} 
\Bigl[ \bigl({\bf H}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot\! 
{\bf m}_{-{\bf Q}_{i}}\bigr)
+\bigl({\bf H}_{-{\bf Q}_{i}} \!\cdot\!
{\bf m}_{{\bf Q}_{i}}\bigr) \Bigr] 
\nonumber \\
&& + \Bigl[
\Delta \mu_{2{\bf Q}_{i}} \Delta n_{-2{\bf Q}_{i}} 
+ \Delta \mu_{-2{\bf Q}_{i}} \Delta n_{2{\bf Q}_{i}}
\Bigr] \biggr\} ,
\end{eqnarray}
%
\begin{equation}\label{EqOmegaS2}
\Omega_{s^2} = N \sum_{i} 
\frac{|{\bf m}_{{\bf Q}_{i}}|^2} {\chi_{s}(0,{\bf Q}_i)},
\end{equation}
%
\begin{equation}
\Omega_{c^2} = N \sum_{i} 
\frac{|\Delta n_{2{\bf Q}_{i}}|^2}
{\chi_{c}(0,2{\bf Q}_i)} ,
\end{equation}
%
and
%
\begin{eqnarray}\label{EqOmegaS4}
\Delta\Omega_{s^4} &=&
\frac{N}{2} \sum_{i} \Bigl\{ 
B_{1} \left[ 2 |{\bf m}_{{\bf Q}_{i}} |^{4} -  
|({\bf m}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf Q}_{i}} )|^{2} 
\right] 
%
\nonumber \\ && \hspace*{1.2cm} + 
2 B_{2}
|({\bf m}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf Q}_{i}} )|^{2} 
\Bigr\} 
%
\nonumber \\ && 
+  \frac{N}{2} \sum_{i \ne j} \Bigl\{ 2B_{3}
|{\bf m}_{{\bf Q}_{i}} |^{2}  |{\bf m}_{{\bf Q}_{j}} |^{2}
%
\nonumber \\ && \quad  +
2B_{4} \left[
|({\bf m}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf Q}_{j}})|^{2}
+ |({\bf m}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot {\bf m}_{-{\bf Q}_{j}})|^{2}
\right]
%
\nonumber \\ && \quad +
B_{5} \left[
|({\bf m}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf Q}_{j}})|^{2}
-|({\bf m}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot {\bf m}_{-{\bf Q}_{j}})|^{2}
\right]\! \Bigr\} ,
%
\nonumber \\ && \phantom{\Bigr]} 
\end{eqnarray}
%
with
%
\begin{equation}
B_{1} = b_{\nu^{4}}({\bf Q},-{\bf Q},{\bf Q},-{\bf Q}) ,
\end{equation}
%
\begin{equation}
B_{2} =
 b_{\nu^{4}}({\bf Q},{\bf Q},-{\bf Q},-{\bf Q}) ,
\end{equation}
%
\begin{eqnarray}
B_{3} &=&
b_{\nu^{4}}({\bf Q},-{\bf Q},{\bf Q}^\prime,-{\bf Q}^\prime)
+ b_{\nu^{4}}({\bf Q},-{\bf Q},-{\bf Q}^\prime,{\bf Q}^\prime)
%
\nonumber \\ && 
- \frac{1}{2} 
b_{\nu^{4}}({\bf Q},{\bf Q}^\prime,-{\bf Q},-{\bf Q}^\prime)
- \frac{1}{2} 
b_{\nu^{4}}({\bf Q},-{\bf Q}^\prime,-{\bf Q},{\bf Q}^\prime),
\nonumber \\ && 
\end{eqnarray}
%
\begin{equation}
B_{4} = \frac{1}{2} 
b_{\nu^{4}}({\bf Q},{\bf Q}^\prime,-{\bf Q},-{\bf Q}^\prime)
+ \frac{1}{2} 
b_{\nu^{4}}({\bf Q},-{\bf Q}^\prime,-{\bf Q},{\bf Q}^\prime) ,
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}
B_{5} =
2 b_{\nu^{4}}({\bf Q},-{\bf Q},{\bf Q}^\prime,-{\bf Q}^\prime)
-2b_{\nu^{4}}
({\bf Q},-{\bf Q},-{\bf Q}^\prime,{\bf Q}^\prime) .
\end{equation}
%
Here, ${\bf Q}$ are ${\bf Q}^\prime$ 
$({\bf Q}\ne\pm{\bf Q}^\prime)$ are two different
wave-numbers among considered ${\bf Q}_i$'s, and symmetrical
relations such as
%
%\begin{equation}
$b_{\nu^{4}}({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4})
=b_{\nu^{4}}({\bf q}_{4},{\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3})=
b_{\nu^{4}}(-{\bf q}_{1},-{\bf q}_{2},-{\bf q}_{3},-{\bf q}_{4})
$
%\end{equation}
%
and so on, are made use of.

Four-point polarization functions are also divided into
single and multisite terms so that
\begin{equation}
b_{\nu^{4}}({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4})
= \tilde{b}_{\nu^{4}} + 
\Delta 
b_{\nu^{4}}({\bf q}_{1},{\bf q}_{2},{\bf q}_{3},{\bf q}_{4}) .
\end{equation}
%
The single-site term is approximately given by
Eq.~(\ref{EqBNu4}):
$\tilde{b}_{\nu^{4}}=2/\tilde{\chi}_s(0)=2k_BT_K$. When a diagram
corresponding to Fig.~2$(b)$ of the previous paper\cite{OhSDW-CW}
is considered and Eq.~(\ref{EqGreen}) is approximately used, the
multi-site term is calculated so that for $T \ll T_K$ 
%
\begin{eqnarray}\label{EqDBNu4}
&&\Delta 
b_{\nu^{4}}({\bf q}_1,{\bf q}_2,{\bf q}_3,{\bf q}_4) =
\delta_{{\bf q}_{1}+{\bf q}_{2}+{\bf q}_{3}+{\bf q}_{4}} 
\hspace{2pt} 2 \hspace{-1pt} \left(\hspace{-2pt}
\frac{\tilde{\phi}_s}{\tilde{\phi}_\gamma\tilde{\chi}_s(0)}
\hspace{-2pt}\right)^4 \hspace{-3pt} \times 
%
\nonumber \\ && \hspace{1.3cm} \times
k_BT_K \sum_{n}\frac{1}{N} \sum_{\bf k} 
\frac{1}{i\varepsilon_n \!-\! \xi({\bf k})}
\frac{1}{i\varepsilon_n \!-\! \xi({\bf k}\!+\!{\bf q}_1)}
%
\nonumber \\ && \hspace{1.3cm} \times 
\frac{1}{i\varepsilon_n \!-\! 
\xi({\bf k}\!+\!{\bf q}_1\!+\!{\bf q}_2)}
\frac{1}{i\varepsilon_n \!-\! 
\xi({\bf k}\!+\!{\bf q}_1\!+\!{\bf q}_2\!+\!{\bf q}_3)}.
\nonumber \\ && \phantom{\big]} 
\end{eqnarray}
%
Here, the Ward relation for the three-point vertex function in
spin channels is made use of, as it was in the previous
paper.\cite{OhSDW-CW} In general, 
%
\begin{equation}
|B_{5}| \ll {\rm Min}\left(B_1, B_{2},B_{3},B_{4}\right).
\end{equation}
%
The nesting of the Fermi surface is characterized by
$\xi({\bf k})\simeq -\xi({\bf k}+{\bf Q})$ in a wide {\bf k} region
in the vicinity of the Fermi surface. When the nesting of the
Fermi surface is sharp, $B_1$ is much lager than other $B_i$'s
so that 
%
\begin{equation}
B_{1}\gg{\rm Max}\left(B_{2},B_{3},B_{4}\right) \gg |B_5|.
\end{equation}
%



\section{incommensurate SDW and CDW}\label{MagStr}
\subsection{Sinusoidal or helical structures}


In this subsection, it is examined which are
stabilized, sinusoidal or helical structures. The second order
term in magnetizations, $\Delta \Omega_{s^2}$, does not depend on
magnetic structures. When magnetizations are small, magnetic
structures are determined by the fourth order term
$\Delta\Omega_{s^4}$.
When single ${\bf Q}$ structures are assumed, the fourth order
term is written as
%
\begin{eqnarray}
\Delta \Omega_{s^4} &=&
\frac{N}{2}  \Bigl\{ B_{1}
\left[  2 |{\bf m}_{\bf Q} |^{4} -  
|({\bf m}_{\bf Q} \!\cdot {\bf m}_{\bf Q} )|^{2} \right] 
\nonumber \\
&&  \hspace*{1cm} +  2 B_{2} |({\bf m}_{\bf Q} \!\cdot 
{\bf m}_{\bf Q} )|^{2} \Bigr\} .
\end{eqnarray}
%
When magnetizations are written as 
%
${\bf m}_{\bf Q} = {\bf m}_{\bf Q}^{\prime} 
+  i \hspace{2pt} {\bf m}_{\bf Q}^{\prime\prime} $,
%
with 
${\bf m}_{\bf Q}^{\prime}$ and ${\bf m}_{\bf Q}^{\prime\prime}$
being real, 
%
it follows that
\begin{equation}
({\bf m}_{\bf Q} \cdot {\bf m}_{\bf Q}) =
\left({\bf m}_{\bf Q}^{\prime} \right)^2 
- \left({\bf m}_{\bf Q}^{\prime\prime}\right)^2
+ i 2 ({\bf m}_{\bf Q}^{\prime} \cdot 
{\bf m}_{\bf Q}^{\prime\prime}) .
\end{equation}
%
It is easy to see that 
$|({\bf m}_{\bf Q} \cdot {\bf m}_{\bf Q})|^2$ becomes the
smallest for helical structures, which are characterized by 
$|{\bf m}_{\bf Q}^{\prime}| = |{\bf m}_{\bf Q}^{\prime\prime}|$
and
${\bf m}_{\bf Q}^{\prime} \perp {\bf m}_{\bf Q}^{\prime\prime}$,
such as
%
\begin{equation}\label{EqHelM}
|({\bf m}_{\bf Q} \cdot {\bf m}_{\bf Q})|^2 =0 .
\end{equation} 
%
On the other hand, it becomes the
largest for  sinusoidal structures, which are characterized by
${\bf m}_{\bf Q}^{\prime} \parallel {\bf m}_{\bf
Q}^{\prime\prime}$, such as 
%
\begin{equation}\label{EqSinM}
|({\bf m}_{\bf Q} \cdot {\bf m}_{\bf Q})|^2 =
|{\bf m}_{\bf Q}|^4.
\end{equation}
% 
Therefore, helical structures are stabilized when
%
\begin{equation}\label{EqCondHelical}
B_1 - 2B_2 < 0 ,
\end{equation}
%
and sinusoidal structures are stabilized when
%
\begin{equation}\label{EqCondSDW}
B_1 - 2B_2 > 0 .
\end{equation}


When no multi-site terms are included,
$B_{1} = B_{2} = B_{3} = B_{4} = \tilde{b}_{\nu^{4}}$ and
$B_{5}=0$. When there is no sharp nesting of the Fermi surface,
therefore, it is likely that Eq.~(\ref{EqCondHelical}) is satisfied.
The novel exchange interaction can never be strongly
antiferromagnetic in this case.\cite{Multi-band,OhExc} However,
antiferromagnetic instability can still occur when the
superexchange interaction is strongly antiferromagnetic. Even
helical structures are stabilized in such itinerant-electron
antiferromagnets. When the nesting of the Fermi surface is so
sharp for incommensurate {\bf Q} that Eq.~(\ref{EqCondSDW}) might
be satisfied, sinusoidal structures are stabilized as is
expected. 


\subsection{Single or multiple {\bf Q}  structures}

In this subsection, it is examined whether multiple {\bf Q}
structures are stabilized or not.  First, examine helical
structures under an assumption that Eq.~(\ref{EqCondHelical}) is
satisfied. Because
$({\bf m}_{\bf Q} \cdot {\bf m}_{\bf Q}) =0$ for helical
structures, $\Delta\Omega_{s^4}$ is reduced to
%
\begin{eqnarray}
\Delta\Omega_{s^4} &=&
\frac{N}{2} \sum_{i} B_{1}
|{\bf m}_{{\bf Q}_{i}} |^{4}  
%
%\nonumber \\ &&  \hspace*{-1cm}
+ \frac{N}{2} \sum_{i \ne j} \Big\{
2B_{3}
|{\bf m}_{{\bf Q}_{i}} |^{2}  |{\bf m}_{{\bf Q}_{j}} |^{2}
%
\nonumber \\ && 
+ 2B_{4} \left[
|({\bf m}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf Q}_{j}})|^{2}
+ |({\bf m}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot {\bf m}_{-{\bf Q}_{j}})|^{2}
\right]
%
\nonumber \\ && 
+ B_{5} \left[
|({\bf m}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot {\bf m}_{{\bf Q}_{j}})|^{2}
- |({\bf m}_{{\bf Q}_{i}} \!\cdot {\bf m}_{-{\bf Q}_{j}})|^{2}
\right] \! \Big\} .
%
\nonumber \\ && 
\end{eqnarray}
%
When Eq.~(\ref{EqCondHelical}) is satisfied, it is likely that
$B_{1} < 2B_{3}$, $B_{1} < 2B_{4}$, and $|B_{5}|$ is much smaller
than other $B_{i}$.  In such a case, multiple helical structures
are never stabilized. When helical structures appear at
temperatures much lower than $T_K$, they  must be of single {\bf
Q}. 


Next, examine sinusoidal structures under an assumption that
Eq.~(\ref{EqCondSDW}) is satisfied. In this case, we can put
%
${\bf m}_{{\bf Q}_{i}} = e^{i \theta_{i}} \bar{\bf m}_i$ 
and
${\bf m}_{-{\bf Q}_{i}} = e^{-i \theta_{i}} \bar{\bf m}_i$,
with $\bar{\bf m}_i$ being real.  The
fourth order term is given by
%
\begin{eqnarray}
\Omega_{s^4} &=& 
\frac{N}{2} \sum_{i} \left( B_{1}+  2 B_{2} \right)
|\bar{\bf m}_i|^{4} 
%
\nonumber \\ && 
+  N \sum_{i \ne j} \Bigl[ B_{3}
|\bar{\bf m}_i|^{2} |\bar{\bf m}_j|^{2}
%
+ 2B_{4} (\bar{\bf m}_i \!\cdot \bar{\bf m}_j)^{2} \Bigr] .
\end{eqnarray}
%
When the multiplicity of ${\bf Q}$ is two or three,  
$\Omega_{s^4}$ becomes the smallest when 
%
\begin{equation}\label{EqMperpM}
(\bar{\bf m}_i \cdot \bar{\bf m}_j)= 0
\end{equation}
%
for any pair of $i\ne j$. 
When Eq.~(\ref{EqCondSDW}) is satisfied, it is likely  that
%
\begin{equation}
B_{1} + 2 B_{2}  > 2 B_{3}
\end{equation}
%
is also satisfied. Then, multiple sinusoidal structures are
stabilized and their polarization vectors are orthogonal to each
other. 
%%%%%%
It follows that
%
\begin{equation}
\Omega_{s^2}+\Omega_{s^4} = N \lambda \left[
\frac{m^2}{\chi_{s}(0, {\bf Q}) } 
+ \frac{1}{2} B_\perp (\lambda)m^{4} \right] ,
\end{equation}
%
with
%
\begin{equation}
B_\perp (\lambda) = B_{1} +  2 B_{2}
+ 2 (\lambda \!-\! 1) B_{3}.
\end{equation}
%
Here,  $|{\bf m}_i|$ is simply denoted by $m$ because
all of $|{\bf m}_i|$ are the same as each other, and $\lambda$ is
the multiplicity of ordering wave-numbers, $\lambda=1, 2$ or 3.
Below $T<T_{N}$, 
% 
\begin{equation}
m^2 = - \frac{1}
{B_\perp (\lambda) \chi_{s}(0, {\bf Q}) } 
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}\label{EqOmega3}
\Omega_{s^2} + \Omega_{s^4} =
- \frac{\lambda N}
{2 B_\perp (\lambda) |\chi_{s}(0, {\bf Q}) |^{2}} .
\end{equation}
%
Because Eq.~(\ref{EqOmega3}) is an increasing function of 
$\lambda$, a symmetry broken ordered state is never stabilized
as long as $\lambda \le 3$; if there are three equivalent {\bf
Q}'s, for example, single or double {\bf Q} structures are
never stabilized.


When the multiplicity of ${\bf Q}$ is four or larger than four 
$(\lambda \ge 4)$, it is impossible that Eq.~(\ref{EqMperpM}) is
satisfied for any pair of ${\bf Q}_i$ and ${\bf Q}_j$. Only two
possible magnetic structures are examined in this paper; triple or
quartet ${\bf Q}$ structures.  Triple structures are
symmetry broken states, where only three ${\bf Q}$'s among
$\lambda$ wave-numbers are ordered and their magnetizations are
orthogonal to each other. Their free energy is given by
Eq.~(\ref{EqOmega3}) with $\lambda=3$. In quartet structures,
four ${\bf Q}$ components are ordered and each pair of
magnetizations make the same angle, $\cos^{-1}(-1/3) = 121.63
\cdots$~degree;  for example, 
$\bar{\bf m}_1 = m\left( 0,0,1\right)$, 
$\bar{\bf m}_2 = m\left( 0,\sqrt{8}/3,-1/3\right)$,
$\bar{\bf m}_3 = m\left( \sqrt{6}/3,-\sqrt{2}/3,-1/3\right)$,
and
$\bar{\bf m}_4 = m\left( -\sqrt{6}/3,-\sqrt{2}/3,-1/3\right)$.
%
Then, it follows that 
%
\begin{equation}
\Omega_{s^2} + \Omega_{s^4} = 4N \left[
\frac{m^2}{\chi_{s}(0, {\bf Q}_{i})}
+ \frac{1}{2} B_Q \hspace{1pt}m^{4} \right]
\end{equation}
%
with
%
\begin{equation}
B_{Q} = B_{1} + 2B_{2} + 6B_{3}+ \frac{4}{3}B_{4} .
\end{equation}
%
When the free energy is minimized, 
%
\begin{equation}
\Omega_{s^2} + \Omega_{s^4}  = - \frac{4N}
{2B_Q |\chi_{s}(0, {\bf Q}) |^{2}}
\end{equation}
%
below $T_{N}$. When $4/B_Q  >3/B_\perp(3) $ or
%
\begin{equation}\label{EqT-Q}
B_{1} > 4B_{4} - 2 B_{2} + 2 B_{3} ,
\end{equation}
%
is satisfied, quartet {\bf Q} structures are
stabilized. Otherwise, triple {\bf Q} structures are
stabilized. One can conclude that quartet {\bf Q} structures can
be stabilized only when the nesting of the Fermi surface is
extraordinarily sharp. 


\subsection{Coexistence of SDW and CDW}
\label{SecSCDW}

The coupling between helical structures and CDW vanishes
according to Eqs.~(\ref{EqS2-C}) and (\ref{EqHelM}), and  
that between SDW and CDW exists
according to Eqs.~(\ref{EqS2-C}) and (\ref{EqSinM}).
Once SDW with $\pm {\bf Q}$ appear, therefore, CDW with $\pm
2{\bf Q}$ appear. The amplitude of CDW is given by
%
\begin{equation}
\Delta n_{-2{\bf Q}} = g({\bf Q},{\bf Q},- 2{\bf Q})
 \chi_{c}(0,2{\bf Q}) 
{\bf m}_{\bf Q}^{2} .
\end{equation}
%
When multi-site terms are ignored, 
$g({\bf Q},{\bf Q},- 2{\bf Q})$ is approximately given by
Eq.~(\ref{Eq-g}):
%
\begin{equation}
g({\bf Q},{\bf Q},- 2{\bf Q}) \simeq 
\left\{\begin{array}{cc}
\Delta /\pi, &  \  n_d <1
\vspace{0.2cm}\\ 
- \Delta /\pi, & \  n_d >1
\end{array} \right. ,
\end{equation}
%
with $\Delta$ the hybridization energy of the mapped Anderson
model.  According to the mapping condition,\cite{Mapping}
$1/\Delta \simeq - \mbox{Im}(1/N) 
\sum_{\bf k}G_\sigma (+i0,{\bf k})$, so that the coupling constant
is rather large. However, the charge susceptibility is small. Then,
the amplitude of CDW must be  small. In particular, it vanishes 
when $2{\bf Q}$ is commensurate because of Eq.~(\ref{EqChiCV}).



Denote polarizations as 
${\bf m}_{\bf Q} = \frac{1}{2}{\bf m} e^{i \theta_{s}} $
and 
$\Delta n_{2{\bf Q}} = \frac{1}{2}|\Delta n|e^{i \theta_{c}}$,
with ${\bf m}$ being real.
Then, the coupling term is given by
%
\begin{eqnarray}
\Delta \Omega_{s^2c} &=& 
-\frac{1}{2} Ng({\bf Q},{\bf Q},- 2{\bf Q})
\chi_{c}(0, {\bf Q}) 
\nonumber\\&&\quad\quad\times
|{\bf m}|^{2}|\Delta n| 
\cos (2\theta_{s}- \theta_{c}) .
\end{eqnarray}
%
The free energy takes its minimum when 
%
\begin{equation}
2\theta_{s}- \theta_{c} = 
\left\{ \begin{array}{cc}
2 l \pi, & n_d <1 \vspace{0.2cm} \\
(2l+1) \pi, & n_d > 1 
\end{array} \right. ,
\end{equation}
%
with $l$ being integers. Then, it follows that
%
\begin{equation}\label{EqSDW-A}
{\bf m}_{i} = {\bf m}
\cos ( {\bf Q}\cdot {\bf R}_{i} + \theta_{s})
\end{equation}
%
and
%
\begin{eqnarray}\label{EqCDW-A}
\Delta n_{i} =\left\{
\begin{array}{cc}
+ |\Delta n|
\cos\bigl[2({\bf Q}\cdot {\bf R}_{i}+\theta_{s})\bigr] ,
& n_d <1 \vspace{0.2cm} \\
- |\Delta n|
\cos\bigl[2({\bf Q}\cdot {\bf R}_{i}+\theta_{s})\bigr] ,
& n_d >1 
\end{array} \right. 
\end{eqnarray}


The quenching of magnetic moments by local quantum spin
fluctuations, which is one of the most essential effects in Kondo
lattices, sensitively depends on local number of electrons. 
According to Eq.~(\ref{EqLocalTK}) in Appendix, the Kondo
temperature at the $i$\hspace{1pt}th site is approximately given
by 
%
\begin{equation}\label{EqTK}
\bigl[k_BT_K\bigr]_i = \frac{2\Delta}{\pi}
\bigl|1 - (n_d + \Delta n_i) \bigr|.
\end{equation}
%
Eqs.~(\ref{EqSDW-A}), (\ref{EqCDW-A}) and (\ref{EqTK}) show that
electron numbers $\Delta n_{i}$ are modulated in such a way that
magnetic moments are much quenched where $T_{K}$ are high. In the
less than half-filled case $(n_d<1)$, for example, doped holes go
mainly into sites where magnetic moments are small.


\section{Discussion}\label{Discussion}
\label{SecDiscussion}

Because no magnetic anisotropy is taken into account, directions
of magnetic polarizations are totally independent of those of
wave-numbers {\bf Q} in this paper. In actual magnets, absolute
directions of magnetizations are mainly determined by magnetic
anisotropy. However, the relative angles of magnetizations
between different {\bf Q} components must be 90$^\circ$ or at
least close to 90$^\circ$ in double or triple {\bf Q} structures
even if magnetic anisotropy is taken into account; the magnetic
part of the free energy is lower when the relative angles  are
closer to 90$^\circ$. 


In Kondo lattices, the coupling between SDW and CDW is strong
and the phases of SDW and CDW are never independent of
each other.  Then, even nonmagnetic impurities have a large
pinning effect on coexisting SDW and CDW.


Incommensurate SDW were observed in many metallic magnets, some
of which are of high enough symmetry such as cubic
CeAl$_2$,\cite{Barbara,Steglich} cubic Cr,\cite{Arrot,Werner} 
cuprate-oxide high-temperature superconductors,\cite{Tranquada}
which are approximately regarded as orthorhombic lattices, and so
on. In this paper, Landau's free energy is obtained up to the
fourth order in magnetizations. Because  saturated magnetic
moments are large in CeAl$_2$ and Cr, higher than the fourth
order terms are required to discuss their physical properties at
$T \ll T_N$. However, it is still interesting to examine whether
or not a multiple {\bf Q} structure is actually stabilized in
CeAl$_2$ because magnetic moments are small just below $T_N$.  It
should be mentioned that a triple {\bf Q} structure was
actually proposed for CeAl$_2$.\cite{Shapiro,Mac} The transition
at $T_N \simeq 38^\circ$C in Cr is of first order, and  it is not
certain if magnetizations are small enough even just below $T_N$.
Because a multiple {\bf Q} structure was also
suggested,\cite{Weiss} it is interesting to reexamine SDW in
cubic Cr. It has been claimed that the so called stripe order
must be stabilized in the cuprate oxides.\cite{Tranquada} Because
magnetizations are small, the theory of this paper is applicable
to magnetic states in the cuprate oxides. Within the theoretical
framework of this paper, the stripe order must be nothing but
the coexisting state of incommensurate SDW and CDW. It is
interesting  which is actually responsible for two equivalent
satellites in neutron diffraction, two equivalent magnetic
domains whose volumes are accidentally almost the same as each
other or a double {\bf Q} structure of SDW and CDW. 


The spectral weight of Gutzwiller's quasi-particle band is
small in strongly correlated electron systems in the vicinity
of the Mott transition. A large part of the spectral weight
exists in the lower and upper Hubbard bands, which are far
from the chemical potential. The formation of SDW and CDW
causes not only gaps in  quasi-particle spectra but also
pseudogaps in the lower and upper Hubbard bands.  Their
pseudogaps are as large as $U|{\bf m}({\bf Q})|$, although 
gaps in quasi-particle spectra are of the order of $k_BT_N$. It
is interesting to observe changes in the density of states
caused by the formation of SDW and CDW not only in the
vicinity of the chemical potential but also far from the
chemical potential.


\section{Conclusion}\label{Conclusion}
\label{SecConclusion}

Magnetic and charge structures in strongly correlated electron
liquids are studied within the theoretical framework of Kondo
lattices. When there is no sharp nesting in the Fermi surface
and the superexchange interaction is strongly
antiferromagnetic, helical structures are stabilized even in
itinerant-electron magnets. When the nesting of the Fermi
surface is sharp enough, sinusoidal structures are
stabilized.  When incommensurate ordering wave-numbers are  
multiple, in particular, multiple sinusoidal structures are
stabilized. Their magnetic polarizations are orthogonal to
each other in double or triple sinusoidal structures, when
magnetic anisotropy is small enough.


Because the quenching of magnetic moments by local quantum spin
fluctuations sensitively depends on local numbers of electrons
in Kondo lattices, incommensurate CDW is inevitably driven by
incommensurate SDW. In hole or electron doped systems at the
vicinity of the Mott transition, therefore, the phase of CDW is
adjusted in such a way that the density of doped carriers, holes
or electrons, is large at sites where magnetic moments are
small. 


\begin{acknowledgments}
The author is thankful to K. Fujiwara for showing him  the
references.\cite{Barbara,Steglich,Shapiro,Mac} This work was
supported by a Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
No.~13640342 from the Ministry of Education, Cultures, Sports,
Science and Technology of Japan.
\end{acknowledgments}


\appendix
\section{Non-mapped single-impurity Anderson model}
\label{Anderson}

Consider the Anderson model with infinitely large $U$,
constant hybridization energy $\Delta$, and conduction
bandwidth $2D$. According to a previous paper,\cite{Yamamoto} the
ground state energy of such an Anderson model is given by
%
\begin{equation}
E_{G} = \epsilon_{d} - \mu -\tilde{\lambda}_{c} -
\sqrt{ (k_BT_K)^2 e^{-\pi \tilde{\lambda}_{c} /\Delta} 
+ \sum_{\nu} \tilde{\lambda}_{\nu}^{2} } ,
\end{equation}
%
with $k_B T_{K} = \sqrt{D \Delta} \exp \left[ 
\pi( \epsilon_{d} - \mu )/2 \Delta \right]$.
%
Here, $\epsilon_{d}$ is the energy
level of strongly correlated electrons and $\mu$ is the
chemical potential; $\tilde{\lambda}_{c}$ and
$\tilde{\lambda}_{\nu}$ ($\nu=x, y$ and $z$) are external
fields or Lagrange multipliers, which are determined in such a
way that magnetic moments and electron numbers are 
${\bf m}=(m_x,m_y.m_z)$ and $n$.

In the absence of fields, the electron number is given by
%
$n_{d} = - \left[ \partial E_{G}/\partial \lambda_{c}
\right]_{\tilde{\lambda}_{c}=0,\tilde{\lambda}_{\nu}=0}
= 1 - (\pi T_{K}/2 \Delta) $, so that  
%
\begin{equation}\label{EqLocalTK}
k_B T_K = \frac{2 \Delta}{\pi} (1-n_d) .
\end{equation}
%
In the presence of fields, magnetic moments and the electron 
number are given by
%
\begin{equation}\label{EqAndM}
m_{\nu} = - \frac{\partial E_{G}}{\partial \tilde{\lambda}_{\nu}}
= \frac{\tilde{\lambda}_{\nu}}
{\sqrt{T_{K}^{2}e^{-\pi \tilde{\lambda}_{c} /\Delta} 
 + \sum_{\nu} \tilde{\lambda}_{\nu}^{2} }} 
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}\label{EqAndN}
n = - \frac{\partial E_{G}}{\partial \tilde{\lambda}_{c}}
= 1 - \frac{\pi}{2\Delta}
\frac{T_{K}^{2}e^{-\pi \tilde{\lambda}_{c} /\Delta} }
{\sqrt{T_K^2 e^{-\pi \tilde{\lambda}_{c} /\Delta} 
+ \sum_{\nu} \lambda_{\nu}^{2} }}.
\end{equation}
%
It follows from these equations that
%
\begin{equation}
\tilde{\lambda}_{\nu} ({\bf m},n) =
\frac{2 \Delta}{\pi}  
\frac{m_{\nu} (1-n)}{1-{\bf m}^2}
\end{equation}
and
\begin{equation}
\tilde{\lambda}_{c} ({\bf m},n) =
- \frac{2 \Delta}{\pi} 
\ln \frac{1-n}{(1-n_{d}) \sqrt{1-{\bf m}^2}} .
\end{equation}
%
Define a thermodynamic potential by 
%
\begin{eqnarray}
\tilde{\omega} ({\bf m},n) 
&\equiv&  E_{G}({\bf m},n) + n \tilde{\lambda}_{c} 
+ \sum_{\nu} m_{\nu} \tilde{\lambda}_{\nu}  
\nonumber \\
&=&
\epsilon_{d} - \mu  - 
\frac{2\Delta}{\pi} (1-n)
\nonumber \\
&& \quad 
+ (1- n) \frac{2 \Delta}{\pi} 
\ln \frac{1-n}{(1-n_d) \sqrt{1-{\bf m}^2}}  .
\end{eqnarray}
%
It is easy to confirm that
$\partial \tilde{\omega} ({\bf m},n) / 
\partial m_\nu = \tilde{\lambda}_\nu ({\bf m},n)$ 
and
$\partial \tilde{\omega} ({\bf m},n) / 
\partial n  = \tilde{\lambda}_c ({\bf m},n)$.


The case when the electron number is smaller than unity is
examined so far. The case where the electron number is larger
than unity can also be treated within this theoretical framework 
if the hole picture is taken.


In the presence of actual external fields,
$\Delta \mu$ and ${\bf H}$, the thermodynamic potential to be
minimized as a function of ${\bf m}$ and $n$ is given by
%
\begin{eqnarray}
%\frac{1}{N}\tilde{\Omega} 
\tilde{\Omega}_{A} 
&=& 
\tilde{\omega} ({\bf m},n) - n\Delta \mu -
\frac{1}{2}g\mu_B ({\bf m} \cdot {\bf H}) 
\nonumber \\
%&=& \frac{2 \Delta}{\pi} (1-n) 
%\left[ \ln \frac{2 \Delta (1-n)}
%{\pi \sqrt{D \Delta (1-m^{2})}} -1 \right] \nonumber \\
%&& \quad  
%- mh + (\epsilon_{d} - \mu - \Delta \mu) n 
%\nonumber \\
&=& \epsilon_{d} - \mu - T_{K}  - 
n\Delta \mu - \frac{1}{2}g\mu_B ({\bf m} \cdot {\bf H}) 
\nonumber \\
&& 
+ \frac{1}{2 \tilde{\chi}_{s}(0)} \left[
{\bf m}^{2} + \frac{1}{2} {\bf m}^{4} + \cdots \right]
\nonumber \\
&& 
+ \frac{1}{2 \tilde{\chi}_{c}(0)}  \Delta n^{2}
- \tilde{g}  {\bf m}^{2} \Delta n  + \cdots  ,
\end{eqnarray}
%
with $\Delta n= n-n_d$,
%
$\tilde{\chi}_{s}(0) = (\pi/2\Delta)/|1 - n_d|$,
$\tilde{\chi}_{c}(0) = (\pi/2\Delta) |1 - n_d|$,
and
%
\begin{equation}\label{Eq-g}
\tilde{g} = 
\left\{\begin{array}{cc}
\Delta /\pi, &   n_d <1
\vspace{0.2cm}\\ 
- \Delta /\pi, &  n_d >1
\end{array} \right. .
\end{equation}
%
Here, the results for $n_d>1$ in the hole picture are
interpreted into those in the electron picture. Then, it follows
that
%
\begin{equation}\label{EqBNu4}
\tilde{b}_{\nu^{4}} = \frac{2}{\tilde{\chi}_s(0)}
=\frac{4\Delta}{\pi} |1-n_{d}| = 2 k_B T_{K} .
\end{equation}
%
When the Friedel sum rule\cite{Shiba} is made use of, the
density of states at the chemical potential is given by
$\rho(0)  = \sin^2
\!\left(\pi n_d/2\right) /\pi \Delta$. 
%
When the Fermi-liquid relations,
$\tilde{\chi}_s(0)=\tilde{\phi}_{s} \rho(0)$ and
$\tilde{\chi}_c(0)=\tilde{\phi}_{c} \rho(0)$,
are made use of, it follows that
% 
\begin{equation}\label{EqTilPhiS}
\tilde{\phi}_{s} = \frac{1}{|1-n_{d}|} 
\frac{\displaystyle \left(\pi n_d/2 \right)^2}
{\displaystyle \sin^2 \!\left(\pi n_d/2 \right)},
\end{equation}
and
\begin{equation}\label{EqTilPhiC}
\tilde{\phi}_{c} = |1-n_{d}|
\frac{\displaystyle \left(\pi n_d/2 \right)^2}
{\displaystyle \sin^2 \!\left(\pi n_d/2 \right)}.
\end{equation}
%






\begin{references}
%
\bibitem{Murata}
K. K. Murata and S. Doniach, 
Phys. Rev. Lett. {\bf 29}, 285 (1972).
%
\bibitem{MK}
T. Moriya and A. Kawabata,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 34}, 639 (1973);
{\it ibid.} {\bf 35}, 669 (1973).
%
\bibitem{Moriya}
T. Moriya,
{\it Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism},
Springer Series in Solid-State Sciences 56,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1985.
%
\bibitem{OhSDW-CW}
F. J. Ohkawa,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 67}, 535 (1998).
%
\bibitem{Miyai}
E. Miyai and F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 61}, 1357 (2000).
%
\bibitem{Miyake}
K. Miyake and O. Narikiyo,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 63}, 3821 (1994).
%
\bibitem{Yoshimori}
A. Yoshimori,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 14}, 807 (1959). 
%
%
\bibitem{Hubbard}
J. Hubbard,
Proc. Roy. Soc. {\bf A276}, 238 (1963);
{\it ibid.} {\bf A281}, 401 (1964).
%
\bibitem{Gutzwiller}
M. C. Gutzwiller,
Phys. Rev. Lett. {\bf 10}, 159 (1963);
Phys. Rev. {\bf 134}, A293 (1963);
{\it ibid.} {\bf A137}, 1726 (1965).
%
\bibitem{ComThreePeak}
Photoemission electron spectra (PES) are almost the same in a
high-energy part between metallic and insulating phases in the
vicinity of the transition. These observations also imply that
the Mott-Hubbard splitting exists even in metallic phases. 
%
\bibitem{Mapping}
F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 44}, 6812 (1991);
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 60}, 3218 (1991); 
{\it ibid.} {\bf 61}, !615 (1991).
%
\bibitem{Wilson}
K. G. Wilson,
Rev. Mod. Phys. {\bf 47}, 773 (1975).
%
\bibitem{Nozieres}
P. Nozi\`{e}res,
J. Low. Temp. Phys. {\bf 17}, 31 (1974).
%
\bibitem{Yamada}
K. Yamada,
Prog. Theor. Phys. {\bf 53}, 970 (1975);
{\it ibid} {\bf 54}, 316 (1975).
%
\bibitem{Yosida}
K. Yosida and K. Yamada,
Prog. Theor. Phys. {\bf 53}, 1286 (1970).
%
\bibitem{Exact}
For reviews on the exact theory by the Bethe method, see, e.g., 
N. Andrei, K. Furuya, and J. H. Lowenstein,
Rev. Mod. Phys. {\bf 55}, 331 (1983);
A. M. Tsvelick and P. B. Wiegmann,
Adv. Phys. {\bf 32}, 453 (1983);
A. Okiji and N. Kawakami,
{\it Springer Series in Solid State Science} (Springer, Berlin,
1988), Vol. 77, p 63;
P. Schlottmann, Phys. Rep. {\bf 118}, 1 (1989).
%
\bibitem{Metzner}
W. Metzner and D. Vollhardt, 
Phys. Rev. Lett. {\bf 62}, 324 (1989).
%
\bibitem{Roth}
L. M. Roth,
Phys. Rev. {\bf 149}, 306 (1966).
%
\bibitem{Multi-band}
F. J. Ohkawa,
submitted to Phys. Rev. B
%
\bibitem{ComNeutraility}
The density $n_d$ should be equal to that of positive ions
because of the charge neutrality of the system. 
%
\bibitem{ComSus}
In this paper, the spin susceptibility is defined in such a way
that it does not included the factor $g^2\mu_B^2/4$.
%
\bibitem{OhExc}
F. J. Ohkawa,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 67}, 525 (1998).
%
\bibitem{Satoh}
H. Satoh and F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 57}, 5891 (1998);
{\it ibid.} B {\bf 63}, 184401 (2001).
%
\bibitem{Barbara}
P. Barbara, J. X. Boucherle, J. L. Buevos, M. F. Rossignol,
and J. Schweizer,
Solid State Commun. {\bf 24}, 418 (1977).
%
\bibitem{Steglich}
F. Steglich, C. D. Bredl, M. Loewenhaupt, and K. D. Schotte,
J. de Physique {\bf 40}, C5-301 (1979).
%
\bibitem{Arrot}
A. Arrot, S. A. Werner, and H. Kendric,
Phys. Rev. Letters {\bf 14}, 1022 (1965).
%
\bibitem{Werner}
S. A. Werner, A. Arrot, and H. Kendric,
Phys. Rev. {\bf 155}, 528 (1967).
%
\bibitem{Tranquada}
J. M. Tranquada, B. J. Sternlieb, J. D. Axe,
Y. Nakamura and S. Uchida,
Nature, {\bf 375}, 561 (1995).
%
\bibitem{Shapiro}
S. M. Shapiro, E. Gurewitz, R. D. Parks, and L. C. Kupferberg,
Phys. Rev. Letters {\bf 43}, 1748 (1979).
%
\bibitem{Mac}
D. E. MacLaughlin, O. Pe$\tilde{\mbox{n}}$a, and M. Lysak,
Phys. Rev. B {\bf 23}, 1039 (1981). 
%
\bibitem{Weiss}
R. J. Weiss,
Phys. Letters {\bf 10}, 45 (1964).
%
\bibitem{Yamamoto}
T. Yamamoto and F. J. Ohkawa,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 57}, 2264 (1988).
%
\bibitem{Shiba}
H. Shiba,
Prog. Theor. Phys. {\bf 54}, 967 (1975).
%
\end{references}


\end{document}
Stripes.tex
�j�j.Vnn�Monaco�+0$�ѝ�ӳx+PӘ(v�0@+��
H���s���xHH2;����>GG{�HHOd�'@�LaTeX*����;� TeX output 2001.08.10:1049��?6���;��Q���
���u

cmex10���Zcmr5�ٓ�Rcmr7�K�`y

cmr10�O
�\cmmi5�	0e�rcmmi7�
�b>

cmmi10�O!�cmsy7�
!",�

cmsy10��"V

cmbx10�f$�cmbx7��':

cmti10�$��N�cmbx12�%o���		cmr9�&�j��		cmti9�'�Aa�cmr6�(5��"		cmmi9�);�cmmi6�*����		cmsy9�,t�:		cmbx9�V����������������Q����
�]��Q����I�������5j��$��N�cmbx12�Magnetic��and�c��harge�structures�in�itineran�t-electron�magnets:����u��Co�`existence��of�m��ultiple�SD�W�and�CD�W������.��K�`y

cmr10�F��*�usa���y�oshi�UUJ.�Ohk��q�a���w�a����*m*�&�j��		cmti9�Division�N<of�Physics,�Gr��aduate�Scho�ol�of�Scienc�e,�Hokkaido�University,�Sapp�or�o�060-0810,�Jap�an�����J��%o���		cmr9�(Receiv��9ed:�u�)�����)b6A��&theory���of�Kondo�lattices�is�applied�to�studying�p�A�ossible�magnetic�and�c��9harge�structures�of����$ūitineran��9t-electron���an�tiferromagnets.��Ev�en�helical�spin�structures�can�b�A�e�stabilized�when�the�nesting����$ūof�4Othe�F��:�ermi�surface�is�not�sharp�and�the�sup�A�erexc��9hange�in�teraction,�|whic�h�arises�from�the�vir-����$ūtual�9�exc��9hange�of�pair�excitations�across�the�Mott-Hubbard�gap,�B�is�mainly�resp�A�onsible�for�magnetic����$ūinstabilit��9y��:�.���Sin�usoidal���spin�structures�or�spin�densit��9y�w�a�v�es�(SD�W)��are�only�stabilized�when�the����$ūnesting��Yof�the�F��:�ermi�surface�is�sharp�enough�and�a�no��9v�el��Yexc�hange�in�teraction�arising�from�that����$ūof�߬pair�excitations�of�quasi-particles�is�mainly�resp�A�onsible�for�magnetic�instabilit��9y��:�.�{yIn�particular,����$ūm��9ultiple�?�SD�W�?�are�stabilized�when�their�incommensurate�ordering�w�a�v�e-n�um�b�A�ers��*����		cmsy9��,t�:		cmbx9�Q��are�m�ultiple;����$ūmagnetizations��of�dieren��9t���Q��comp�A�onen�ts�are�orthogonal�to�eac�h�other�in�double�and�triple�SD�W����$ūwhen��|magnetic�anisotrop��9y�is�w�eak�enough.���Unless���2�Q��are�commensurate,��Fc�harge�densit�y�w�a�v�es����$ū(CD��9W)���with�����2�Q��co�A�exist�with�SD�W���with���Q�.�߇Because�the�quenc�hing�of�magnetic�momen�ts�b�y����$ūthe�֥Kondo�eect�dep�A�ends�on�lo�cal�n��9um�b�ers�֥of�electrons,��the�phase�of�CD��9W��sor�electron�densities����$ūis�}�suc��9h�that�magnetic�momen�ts�are�large�where�the�quenc�hing�is�w�eak.�U�It�is�prop�A�osed�that�the�so����$ūcalled�W�stip�A�e�order�in�cuprate-o��9xide�high-temp�erature�sup�erconductors�m��9ust�b�e�the�co�existing�state����$ūof�Tdouble�incommensurate�SD��9W�and�CD�W.�������$ū2001�TP��:�A��9CS:�75.10.-b,�71.10.-w,�75.10.Lp,�71.30.+h���������O������g���8��I.���INTR��CODUCTION�����It�wKis�a�long�standing�and�imp�Gortan���t�issue�to�explain�������t���w�o�q�t�yp�Ges�of�magnetism,���lo�cal-momen���t�magnetism�and������itineran���t-electron�2magnetism,��Hin�a�unied�theoretical������framew���ork.��CSome�|�of�their�ph�ysical�prop�Gerties�are�sim-������ilar�mto�eac���h�other�and�others�are�dieren�t�from�eac�h������other.�{8Ev���en���if�they�are�phenomenologically�similar�to������eac���h�other,��their�microscopic�explanations�can�b�Ge�totally������dieren���t�j�from�eac�h�other.��EF��*�or�example,�p4the�spin�suscep-������tibilit���y�Z�ob�Geys�the�Curie-W��*�eiss�la�w�in�b�Goth�t�yp�Ges�of�mag-������nets.�#�The�j�Curie-W��*�eiss�la���w�in�insulators�is�due�to�the�tem-������p�Gerature��dep�endence�of�lo�cal�thermal�spin�
uctuations.������This��mec���hanism�is�of�leading�order�in�1�
�b>

cmmi10�=d�,�@�with��d��spa-������tial���dimensionalit���y��*�.���On�the�other�hand,��
the�Curie-W�eiss������la���w��oin�metals�is�a�con�tro�v�ersial�issue.�Tw�o�mec�hanisms������w���ere�C�prop�Gosed:��the�temp�erature�dep�endence�of�the�mo�de-������mo�Gde���coupling�b�et���w�een���in�tersite�spin�
uctuations���^��ٓ�Rcmr7�1��{���3��8�and������that���of�W��*�eiss'�magnetic�mean�elds.���^��4�	0e�rcmmi7�;�5�����The�former�is�of������higher���order�in�1�=d�,��while�the�latter�is�of�leading�order�in������1�=d�.�csIt���is�in���teresting�whic�h�is�resp�Gonsible�for�the�Curie-������W��*�eiss���la���w�in�actual��d�_��=�3���dimensions.���There�is�a�sharp������p�Geak�#�at�the�c���hemical�p�oten���tial�in�the�densit�y�of�states�in������t���ypical���ferromagnetic�metals,��
and�there�is�sharp�nesting������of�Dthe�F��*�ermi�surface�in�t���ypical�an�tiferromagnetic�metals.������Recen���t�'�theories���^��5�;�6����sho�w�ed�that�in�suc�h�itineran�t-electron������magnets�6�the�mo�Gde-mo�de�6�coupling�pla���ys�a�totally�nega-������tiv���e��role�in�the�Curie-W��*�eiss�la�w.�zwOn�the�other�hand,�.Ia������no���v�el��exc�hange�in�teraction�arising�from�the�virtual�ex-������c���hange�1�of�pair�excitations�of�quasi-particles�can�ha�v�e�a������large��mtemp�Gerature�dep�endence�consisten���t�with�the�Curie-������W��*�eiss�@nla���w;���^��4�;�5��T�W�eiss'�mean�elds�are�giv���en�b�y�magnetic������p�Golarizations�UUm���ultiplied�b�y�the�exc�hange�in�teraction.������Magnetic�URstructures�are�dieren���t�b�Get�w�een�the�t�w�o������t���yp�Ges�-Rof�an�tiferromagnets.�	��Helical�structures�are�sta-������bilized���in�t���ypical�lo�Gcal-momen�t�magnets,���^��7��?d�and�sin�u-�������g�����soidal��zstructures�or�spin�densit���y�w�a�v�es�(SD�W)��!in�t�yp-�������ical�vitineran���t-electron�magnets.�	�*When�ordering�w�a�v�e-������n���um�b�Gers�u�are�incommensurate,���there�are�t���w�o�u�or�more�than������t���w�o���equiv��q�alen�t�w�a�v�e-n�um�b�Gers�dep�ending�on�lattice�sym-������metry��*�.�M�An��in���teresting�issue�is�whic�h�are�stabilized,��esingle������or�UUm���ultiple�SD�W,�in�what�conditions.������Itineran���t-electron�I magnets�lie�in�the�vicinit�y�of�the������Mott-Hubbard��.metal-insulator�transition.�.QA���com���bined������theory�@}of�Hubbard's���^��8����and�Gutzwiller's���^��9���implies�that�in������metallic�T�phases�the�densit���y�of�states�is�of�a�three-p�Geak������structure,��Gutzwiller's��Rquasi-particle�band�at�the�c���hem-������ical���p�Goten���tial�b�et���w�een���the�lo���w�er���and�upp�er�Hubbard������bands��lying�far�from�the�c���hemical�p�Goten�tial.���^��10����It�is�un-������questionable���that�the�Mott-Hubbard�splitting�exists�ev���en������in�n�metallic�phases�in�the�vicinit���y�of�the�transition.��bSuc�h������metals�Q�m���ust�sho�w�a�crosso�v�er�b�Get�w�een�the�t�w�o�t�yp�Ges������of�9�magnetism�as�a�function�of�temp�Geratures.�
�Denote������the���energy�scale�of�lo�Gcal�quan���tum�spin�
uctuations�b�y�����k����B����T����K�����.���They��m���ust�b�Geha�v�e�as�lo�Gcal-momen�t�magnets�at�����T�*��
!",�

cmsy10����T����K��
+9�b�Gecause�u�lo�cal�thermal�spin�
uctuations�are�dom-������inan���t,���and��gthey�b�Geha�v�e�as�itineran�t-electron�magnets�at�����T�v1����T����K��k��b�Gecause���magnetic�momen���ts�are�quenc�hed�b�y������lo�Gcal���quan���tum�spin�
uctuations.��eWhen�ph�ysical�pheno-������mana���relev��q�an���t�to�the�Mott-Hubbard�transition�are�exam-������ined,�
�rst���of�all,�lo�Gcal�spin�
uctuations�should�b�e�accu-������rately�UUtak���en�in�to�accoun�t.������Lo�Gcal�uPspin�
uctuations�are�rigorously�considered�in������an���y��isingle-site�appro�ximation�(SSA)��Jthat�includes�all�the������single-site��mterms.�F%Suc���h�an�SSA��Lis�reduced�to�determining������and���solving�selfconsisten���tly�the�Anderson�mo�Gdel,���^��11��n�whic�h������is�mone�of�the�eectiv���e�Hamiltonians�for�the�Kondo�prob-������lem.�gKBecause�5�the�Kondo�problem�w���as�solv�ed,���^��12��{���16�����man�y������useful���results�are�a���v��q�ailable�in�clarifying�single-site�prop-������erties�*�in�lattice�systems.���The�three-p�Geak�structure�dis-������cussed��sab�Go���v�e�can�b�Ge�easily�understo�o�d�b���y�the�SSA��Etheory������or���the�mapping�to�the�Anderson�mo�Gdel.�`�The�quenc���hing����������n�1��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������rrrrrrrr����������������rrr����r������������rrrrr����rrrrrrrrrr����rr����rrrrrrrr����rrrrrrrrrr����rrrrrrrr����������������������������������������rr������������rrrrrrrrr����������������rr����r������������rrrrrrr����rr����r����rrr����rr����r������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������r����������������rrr������������r����rrrr����������������rr����rrr����������������r������������r����r��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������rrrrrrrr����������������rr����rrrrrrrr����rr������������rrrrrr����rrrr����rr����rr����rrrrrr����rr����rrrrrrrr����rrrrrrrrrrr����rrrr����rr����r����rrrrrrrrr����rrr����rr��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������rrrrrrr������������rrr����������������r����������������������������������������r����������������rrrrrr����������������rr����rrrrr����rrrrrrrr����rr����rrrrrrr����rr����rrrrrrrr����r������������rrrrrrr����rrrrrrrr����rrr����r������������rrrrr����rrrrrrrrrr����rr����������������������������rrrrrrrr������������rrrrrrrrrr����������������rr����rrrrrrrrrrrrrrr����������������rr����rr����rrrrrrr����rrrr����rrrrrrrrrr����rrr����r������������r����rrrrrrrrrr����rrrr����rrr����rrrrrrr����������������������������rr����������������rrr����r����������������rrrr����rrrrrrr����rr����rrr����rrrrr����rrr����rrr����rrr������������rrrrr������������rrrrr����rr����rrrrrrrrrr����������������rrrr����r����rrrrrr����rrrr����rrr����rrrr����������������������������rrrr����������������rrr������������rrrrr����rr����rrrr����rrrrrrrrrrr����rrrrrr����rrr����rrrrrrrrrrrr����rrrr����������������rr����rrrrrr����rrrr������������rrrrrrr����rrr����rrrrrrrr����������������������������rrrrrrrrrr������������r����������������r����������������rrr����rrrrrrr����������������rrrr����rrrrrrrrrr����rr����rrrr����rrrrrr������������r����r����r����r����rr����rrr����rr����������������rrr����rrrr����rrrrrrrrrr����rrrr����rrr����������������������������rrrrrrr����������������rr����rrr����r����������������rrrr����rrrrrrr����rr����rrrrr����rrrrrr����rrr����r����rr������������r����rr����������������rrr����rrrrr����rr����rrrrrrrrr����rrrrrrr����rrrr����rrrr����������������������������rr����������������rrrr����rrrrrrrrrrr����rr����rrrrrrrrrrrrrrr����rr����rrrrrr����rrrr������������rrrrrrr����rrr����rrrrrrrr����rrrrrrrrrr������������r����������������r����������������rr����rrrrrrrrrrr����������������������������r������������rrrrrrr����������������rr����r����������������rrr����rrrrrrrrrr����rrrr����rrrrr����rrrrrrrrrrrrrr����rrrrrrrr����r����r����r����rrr����rr����r������������rrr��������������������������������������������������������������������������������������������r����������������������������������������������������������������������������������������r��������rrr����r����rrrrrrrr����������������������������rrrrrrrrrrrrrr����������������rr����rrrrrrr������������r��������r����r��������rrrr������������rrrr����rr����rrr����rrrrrrrrrr����rr����rrr����r����rrrrr����rr����rrrrrr����rrr����rrrrrr����rr����r����������������������������rrrr����������������rrrrrrrr����rrrrrrrrr������������r����rr����r����rrr����rrrrrrr����������������rrrrrr��������r����r����r��������rrr����rrrrrrrrrrrrr����������������r����rrrrr����rrrrrr����r����r����r����r����rr����������������������������rrr������������rr����������������rrrr��������������������r����r����r��������rr������������rrrrr����rrrr����rr����r����������������rrrr��������r����r����r����������������rrrrrrr����rrr����rrrrr����rrrr����rr����rrrrrrrr����rrrrr����rr����r����r����������������������������rrr����������������rrrrr����rrrrr����rrr������������rrrr����rr����rr����rrr����r������������rr����r����rrr����������������rr����rrrrrrrrrr����������������rrr����rrrrr����rr����rr������������r����������������rr����rrrrrrrr����rrrrrrrrr����������������������������rr����������������rrr������������r����rrrr����rrrrrrrr����rrrrr����rr����rrr����rrrrr����rrrrr����rrr����rrrrr����rrrr����rr����r����rrrr����������������rr����rr����rrrr������������rrrr����rrrr����rrr����rr����������������������������rrrrrr����������������rrrr������������r����rrrrr����rr����rrrrrrrrr������������rrrr����rrrrrrrrr����rrrrrrr����rrr����rrrrrrrrrrrr����r������������rrr����r����r����rrr����rr����rrrrrrrr����rrrrr����������������������������rr����������������rrrrrr����rrrrrrrrrrrrrr����rr������������r����rrr����rr����rr������������������������������������������������������������rrrr����������������r����������������r������������rrr����rrrrrrrrr����rrrrrrrrr����rrrrrrrrr����rrrrrrrr����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
n
n����������������
n
n
n
n������������
n
n
n
n
n
n
n
n��������������������������������������������
�
�����������������
�
�����
�����
�
�
�
�����
�
�
�
�
�
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�������������
�
�
�
�
�������������
�����
�
�
�
�
�����
�
�����
�
�
�
�
�
�
�����������������������������������������
�������������
�����
�����������������
�����
�
�������������
�
�����
�
�����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�����������������
�
�����
�
�
�
�
�
�
�
�
�������������
�����
�
�
�
�
�
�
�
�
�����
�
�
�����������������������������
�
�
�
�
�
�
�
�������������
�
�
�
�
�
�
�
�����������������	

����������������������������� !"#$%&'(����������������������������*+,-./������������0123����������������UVWX����������������Z[����]^_`a����cd����efghij����lmno������������pqrstu����wxy����{|}~����������������������������~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	

������������������������ !"����������������������������$%�()*+������������,����������������./01����345����6����89:;<=����������������?����������������@A����CDEFGHIJ����������������LMN����PQRS����UVWXYZ[����������������������������[\]^_`a������������b����������������de������������fgh����jkl����nopqrst����������������uvwx����z{����|����~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������
������������ ����"#$%&����()����,��������������������������������������������������������������������������������������������-.����0����������������2345��������8��������<=>?����������������������������?@AB����������������DEFGHIJKLMNOP������������Q����������������R����������������TU����WXY����[\]^_����abcde����������������ghi����klmnopq����rstu����������������������������wx������������y����������������{|����~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	����
��������������������������������������������������������������������������������������������������������-��������-������������������������-������������������������/01����������������������������3456����������������89����;����������������<=>?@����BCDEFGHI����KLMN����QRSTUV������������������������k����������������������������������������������������������������������������������������k����k������������������������mno����qrstuv����xy����{|����������������������������~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
���������������������������������������������������������������� !"#����%&����(����*+,-.����������������������������0������������123����������������56����89:����<������������=>?@ABC����E����FGHI������������JKLM����OP����RST����VWXYZ[����\����^_����abcdef����hi����������������������������k������������lmnopq����������������stuvwxyz{|}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
�������������������� !"#$%&'����������������������������)*+,-./����������������123����56������������789:;����<=����������������?@ABCDEF����HIJ������������KL����N����PQRSTUV����XYZ[\����������������������������\]^������������_����������������abcd����fg����ijk����mnopqrs����������������tuvw����yz����{|����������������~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
������������
������������ !"#$%&'������������(����*+,-����/01����345678����������������������������9����������������:;<=����������������?@������������AB������������������������W����W����W������������������������Z����[\]^_����abcd����ghijk����mno����qrs������������tu����w����x����z{|}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	

������������ !"����������������������������"#$%&'(����������������*+����-������������./0123����56������������789:;<=>?����@����BCDEFGHI������������������������Y������������������������[\]����_`a����bc����������������������������������������������������������������cdefgh����������������jklmnopqrs����uv����xyz{����}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
����������������
�������������������������������������������� !����"#$%&'����)*����,-./012����4567��������������������������������789:;����������������<����������������>?����������������AB������������CDEFGHIJK����MNOPQ����ST����VWXY����Z����\]^����`abcdefghij����������������lmnopq��������������������������������st����������������v������������wxyz{|}���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
����������������
����������������������������%������������������������'()����+,-./0123456������������������������G������������IJKLMNO����QRST����VW��������������������������������YZ[\]^_`����������������bcdefg����ijk����mnopqr������������s����uv����xyz{|}�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
����
������������������������������������ !"����#$%&'������������������������::������������������������<=����?@����BCD��������������������������������DEFGHIJKLMNO����������������QRST����VWX����Z[\]^_`abcde����ghijklmno����qrstuv����xy������������z{��������������������������������}~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
������������
������������������������������������������������ ����������������"#$%&'����)*+,-����/0����23������������456����89:;������������<=>����@ABC�����GHIJKLMNOP����R����S������������������������������������V������������������������V������������������������[������������������������[������������������������a����������������cdef����������������h������������ijk����m������������nop����q����r����tu����wx������������yz{|}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	������������������������	��������������������������������������������������������!"#$%������������&'����)*+����-./01����234����6����7��������������������������������9:������������;<=����������������?@AB������������CDE����GHIJ�����NOPQRSTUVWX����������������[\]^����`a����bcdefg����ijklmn��������������������������������nopq����������������stuvw����������������xy������������z����|}��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������d

�������� !"����$%&'()*+,-����01��������������������������������34������������5����������������789:;<=>?@A����CDEFG����HIJKLMNO����QRSTU����������������WXYZ����\]^_`abc����efg����ijk��������������������������������mnopqrstuvw����������������yz{|}~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������d��������������������	

���������������� !"��������������������������������"#$%����������������()*+,-.����������������012����45678����:;<=>?@����B������������CD����FGHI����JKL������������������������vv��������v������������������������vv������������������������xyz����{��������������������������������}~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������ !"#$%��������������������������������'(����������������*+,����./01234����67����9:;����=>?@ABCD����FG������������HIJK����������������MNO����QRSTU������������VWXY����������������������������������������������������������������d���������������t�*��Q����
�]��Q�������B�]���of��magnetic�momen���ts�b�y�lo�Gcal�quan�tum�spin�
uctuations�������in�ZLlattice�systems�is�mapp�Ged�to�that�in�the�Kondo�prob-������lem,���so�]6that��T����K��
�discussed�ab�Go���v�e�]6is�nothing�but�the�Kondo������temp�Gerature.�,�A��zp�erturbativ���e���treatmen�t�of�in�tersite�terms������starting�=�from�an���':

cmti10�unp��}'erturb�e�d�=��state�constructed�in�the�SSA������is���nothing�but�a�theory�of�Kondo�lattices.�^ZBecause�the������SSA��;is��Krigorous�for�Landau's�normal�F��*�ermi-liquid�states������in�Rinnite�dimensions�(�d���!��+�1�),���^��17��{8�it�Rcan�also�b�Ge�form���u-������lated�UUas�a�1�=d��expansion�theory��*�.������One��
of�the�purp�Goses�of�this�pap�er�is�to�study�whic���h�are������stabilized��Min�itineran���t-electron�magnets,��single�or�m�ulti-������ple��G��"V

cmbx10�Q��structures,�in�what�conditions.�OThis�pap�Ger�is�orga-������nized�g�as�follo���ws:��lIn�Sec.�I�GI,�l<the�theory�of�Kondo�lattices������is�{applied�to�deriving�Landau's�free�energy��*�.���What�are������studied�2�in�Sec.�I�GI�I�2�are�magnetic�and�c���harge�structures�of������ordered�0�states�b�Gelo���w�the�N���Geel�temp�Gerature.�iDiscussion������is��`giv���en�in�Sec.�IV,��band�conclusion�is�giv�en�in�Sec.�V.������Landau's��5free�energy�for�the�Anderson�mo�Gdel�is�studied������in�UUApp�Gendix�A.��!�%��8�Q�I�K�I.���F��CORMULA���TION��9�'C�A.���Theory�of�Kondo�lattices�����Consider�UUthe�follo���wing�single-band�mo�Gdel:��qˍ���L��H������K�=�����,�����������u

cmex10�X����t����ij�g����q�t����ij��
��d���1ɍ�O!�cmsy7�y���ˍ�i���6�d����j�g���R"�+�����8����X����t��\��i������U����h�^����n����i�"������2�^�����n����i�#�������^�����,�������<$��33�1��33�w�fe�	(֍2��������	����X�����	�i�6�=�j���-��J����:���9�(�p�)���Z��ij�����
�5�(����q��(b^��#���cĹs����i����z,����q���~�^��#���8�s����j�����
�Ȳ)���/V�+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍2��������I����X�����+��i�6�=�j���f`�V����:��8�(�c�)���Z��ij�����
�^����ǵn����i������`��^���୵n����i����5��;�������`}�(2.1)�����#8����with����F^���9��n����i�������=�	D"�d���1ɍ�y���ˍ�i���6�d����i��p۲and����F^���9��n����i������=���	�o^����n����i�"�����7�+���Q�^����K�n����i�#����?�;���	��^���	,L�s����i����=��
����������!�1���!��&�fe�s����2��������:����P����u������d���1ɍ�y���ˍ�i����.����^���[ٴ������
�d����i��2~�(��{S�=��]�x�,�"J�y�U%�and��L�z�p��),�with�����^���[ٴ���������the�P���auli������matrix.�1}When��wonly�the�rst�and�second�terms�are�consid-������ered,��`the���mo�Gdel�(2.1)�is�reduced�to�the�Hubbard�mo�del,������in��whic���h�the�w�ellkno�wn�sup�Gerexc�hange�in�teraction�is�in-������v���olv�ed.�|jActual�X�systems�m���ust�b�Ge�describ�ed�b���y�a�m�ulti-������band�:�mo�Gdel.�!�A�:ssup�erexc���hange�in�teraction�arising�from������m���ulti-band��Leects���^��18�;�19����is�phenomenologically�included������b���y���the�third�term.�kThe�fourth�term�is�the�long�range��
c�����Coulom���b�Z�in�teraction:�|J�V����:��8�(�c�)���Z��ij�����=�%,�e���^��2��|s�=�j�R����i��������R����j��6��j�,���with��R����i������lattice���sites.�e�No�spin-orbit�in���teraction�or�no�magnetic������anisotrop���y�UUis�included�in�this�pap�Ger.������Assume�,�Landau's�normal�F��*�ermi-liquid�state.���The������single-particle���selfenergy�is�divided�in���to�single-site�and������m���ulti-site��+terms:�s������b��(�i"����n��q~�;����k�)���=���x䍑B~��������������J�(�i"����n���)��+�������b��(�i"����n���;����k�).������The�V�m���ulti-site�term,��.������b��(�i"����n��q~�;����k�),�is�V�of�higher�order�in���ԍ���1�=d�,��xand��Ais�ignored�here.�-The�single-site�term,���x䍑��~�������������K�(�i"����n��q~�),�is������of�_leading�order�in�1�=d�.�U�In�the�presence�of�innitesimally������small�l�external�elds,��C�H���^�����0��፴ext������=�����������P���8��i�����oş��b������q�����^��0��5�+���������1�����&�fe�s����2�����ʏ��[�g�����B����H������^��0������7���b�������I0�^�����n����i����_�,��
�؍���it��3is�expanded�in�suc���h�a�w�a�y�that���x䍑��~�������������@��(�i"����n��q~�)���=���x䍑��~���������0����O�+���G����(1�o3����\q���5�~�����������
����
��)�i"����n��౲+�(1�����\q���5�~�����������s�����ò)�������33�1��33��&�fe�s����2�����bٵ�[�g�����B����H������^��0��
j�+�o3(1�����\q���5�~�����������c����wj�)����^��0��=l�+������������for�����j�"����n��q~�j����k����B����T����K��
e��and���T�*����T����K�����,���with��T����K��
e��the�Kondo�temp�Gera-���ԍ���ture�0�discussed�in�In���tro�Gduction.�e�Because���x䍑M~���������������(�i"����n��q~�)�is�equal������to��vthat�of�the�mapp�Ged�Anderson�mo�del,���it�follo���ws�accord-������ing��)to�Y��*�amada�and�Y�osida's���^��14�;�15��R��that���\q���+~�����������
�����0�=�#(���\q��P~����������s�������+���\q���~������V�����c����^O�)�=�2;��
-�����\q���>�~�����������s�������and���\q��Ǭ~������w������c�������are�w�appro���ximately�giv�en�b�y�Eqs.�(A11)�and������(A12)�UUin�App�Gendix.�q�The�electron�densit���y�is�giv�en�b�y���^��20��������E����B�ҵn����d��pʲ=�����<$��
J1���K�w�fe	��	(֍�N���������$����X����t����i���i��h����M�^���n����i����	T�i�:�����`{�(2.2)����Mč���with�7:�N�NU�the�total�n���um�b�Ger�7:of�unit�cells.�g�When�the�system�������is��in�the�vicinit���y�of�the�Mott-Hubbard�transition,�,��n����d���B�is������close��mto�unit���y�so�that���\q��6o~�����������s���������1�and���\q��6o~�����������c���������1.�%The�single-������particle�UUGreen�function�is�giv���en�b�y���󍍒)ጵG������b��(�i"����n��q~�;����k�)��=�����<$���1���K�w�fe�
�v���\q��P~����������
�����������<$��%1��1��w��w�fe,t��	(֍�i"����n���^��8��uǲ(�k�)�����?��;�����`}�(2.3)����#�����for�UU�j�"����n��q~�j����k����B����T����K���and��T�*����T����K�����,�with��������յ�uǲ(�k�)��=�����<$���1���K�w�fe�
�v���\q��P~����������
����������Db���^�������x䍑��~�����������0����#y������8�����X����t���o�j���UQ�t����ij��
��e������i�f$�cmbx7�k��(�R���O
�\cmmi5�i��*���R���j���a�)��-�Y��8�������^�����G�:�����`{�(2.4)����8n����The�6quasi-particle�densit���y�of�states�is�giv�en�b�y�����^������(��)��8=������(1�=��q�N��)��������P���8��k��+��`�(��I����uǲ(�k�)).�	:�When���con���tributions�from�lo�Gcal������spin��
uctuations�are�only�considered,��the�sp�Gecic�heat������at���T�01��̢�T����K��
tĲis�giv���en�b�y���x䍑�~������C���h�=���*p~���̢�
����>T�8@�+��Ա�������X�,�Y�with��
�Zڲ=������(2�=�3)���[ٟ�^��2���L�k���^���P��2��b��B��������^������(0).������When��Nirreducible�t���w�o-p�Goin�t��Np�olarization�functions������in���the�w���a�v�e-n�um�b�Ger���represen�tation�are�denoted�b�y����������@L��	�˲(�i!����l��ȵ;����q�),�uthose�n�in�spin�and�c���harge�c�hannels�are������giv���en��b�y������s��F:�(�i!����l��ȵ;����q�)��=�������@L��
E,�(�i!����l���;����q�)��Z��������@L�����-�(�i!����l���;����q�)��and���������c���(�i!����l��ȵ;����q�)�+=�������@L��
E,�(�i!����l���;����q�)�Y�+�������@L�����-�(�i!����l���;����q�).��Spin���and�c���harge������susceptibilities�UUof�the�mo�Gdel�(2.1)�are�giv���en�b�y���^��21���Se���W�����s��F:�(�i!����l��ȵ;����q�)��=�����<$��+�2�����s���(�i!����l���;����q�)���K�w�fe}���	�2�1�8�������b���c��U�O��+�������l�1��l��&�fe�s����2��������J���9��r�(�p�)��Ս�(�q�)����b����E�������s��F:�(�i!����l���;����q�)���������`}(2.5)����g�����and���e���
������c���(�i!����l��ȵ;����q�)��=�����<$��+ū2�����c���(�i!����l���;����q�)���K�w�fe}dƟ	�2�1�8�+������b���c��U�O��+�2�V��8��r�(�c�)���ǲ(�q�)����b����E�µ����c���(�i!����l���;����q�)�������D�;�����`{�(2.6)����縍���with���J���9��^��(�p�)��Ս�(�q�)�ӹ=������P���a���j�g��(�6�=�i�)��${&�J����:���9�(�p�)���Z��ij����e���^���i�q��(�R���i��*���R���j���a�)��6#��and���V��8��^��(�c�)���ǲ(�q�)�=��1ɍ������P���|���j�g��(�6�=�i�)���&�V����:��8�(�c�)���Z��ij����ǵe���^���i�q��(�R���i��*���R���j���a�)��1�z�.���Irreducible��p�Golarization�func-��
@����tions�L�are�also�divided�in���to�single-site�ones,���n~����ߵ����s�����^�(�i!����l��Ȳ)�and�������vH~��������c������߲(�i!����l��Ȳ),�͑and���m���ulti-site�ones,������s��F:�(�i!����l��ȵ;����q�)�and������c���(�i!����l���;����q�):���������s��F:�(�i!����l��ȵ;����q�)��4=���f�~��������s����س�(�i!����l���)�B�+������s��F:�(�i!����l���;����q�)�c�and������c���(�i!����l���;����q�)��4=�������vH~��������c������߲(�i!����l��Ȳ)��+������c���(�i!����l���;����q�).���Because�֨the�single-site�terms�are������equal���to�those�of�the�mapp�Ged�Anderson�mo�del,���^��11��x�its�spin������and�UUc���harge�susceptibilities�are�giv�en�b�y���,�����4��~���3r������s����=���(�i!����l��Ȳ)��=�����<$��<2�����~�������s����	��(�i!����l���)���K�w�fe7���	(֍1�8���U������~��������s������(�i!����l��Ȳ)���������`|(2.7)�����Y����and���e�����3q�~���2B������c����<�,�(�i!����l��Ȳ)��=�����<$��<2�����~�������c����	�&�(�i!����l���)���K�w�fe7n^�	(֍1�8�+��U������~��������c����
�A�(�i!����l��Ȳ)�����<�ܵ:�����`}�(2.8)��������The��<Kondo�temp�Gerature�is�dened�b���y��k����B����T����K��;�=�������1�=������b�������YȲ~���*������s�������(0)������b������*���T���!�0�K�����.�C�When�E�the�F��*�ermi-liquid�relation���^��14�;�15����is��QJ����made�Suse�of,���it�follo���ws�that��k����B����T����K��#��=�m�(���\q��P~����������
�����=���\q��P�~����������s����
;��)�=���^������(0)�so������that�xƵk����B����T����K��
.y�is�as�large�as�the�bandwidth�of�quasi-particles.������In�)�this�pap�Ger,�2~our�study�is�restricted�to�the�strongly�cor-������related�UUregime�dened�b���y������G�2�k����B����T����K�����=U��3����1�:�����`}�(2.9)��������The��Kondo�temp�Gerature�should�b�e�calculated�b���y�deter-�������mining�Vand�solving�selfconsisten���tly�the�mapp�Ged�Anderson���������n�2�����"����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������[\����������������^_`abcde����ghijk������������lm����o����p����rs������������tuv����xyz{����|}~������������d������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	������������

������������������������������������ ������������!����������������#$%&'()*����+����-.����01����2345678����:;<=>����������������������������@ABCDEFG����������������IJKL����NO������������������������������������������������������������������������������������������������VWX����������������YZ[\]^����_����`��������������������cdefg����ijklmnopqrs����uv����xyz����|}~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������d���������������������������������������������������������������������������������++������������������������-.����������������012����4567����9������������:����<=>?������������@A����������������������������ABCDE����������������HI����K����N����OP��������STUVWXYZ[����]^_`ab����������������c����������������������������ghi����������������kl����nop����rstu������������vwxy����{|����~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������     ����������������    	����   
������������  ����  ����     ����������������������������     ����������������  ���� ! " # $ %������������ & ' (���������������� + ,���� . / 0 1���� F������������ F G���������������� I J K���� M N O P Q R���� T U���� W X Y Z [���� ] ^ _ ` a b c d���������������������������� f g���������������� i j k l m n o���� q r���� t u v w x y z {���� } ~  � � � � ����� � � � ����� � � � � � ����������������� ����������������� � � � ����� � � ����������������������������� � � � � � � ����������������� � ����� � � � ����� ������������� ����� ����������������� � � ����� � � � � � � � ����� � � ����� ������������� � � � � ����� � � � � � � � � � ����� � ����������������������������� � � � � � � ����������������� � � � � � ����� ������������� � � ������������� ����� � � ����� ����� ����������������� � � �����!!!!������������!!!!!	!
!!����������������!!!!!!!!!!����������������������������!!����������������!!!������������!! ����!"!#����!%!&!'!(����!9!9!:����������������!<!=!>����!@!A!B!C!D!E!F!G!H!I����!K!L����!N!O!P����!Q!R����!T!U����!W!X!Y!Z����!k!l����������������������������!n!o!p!q!r!s!t!u����������������!w!x!y!z����!|!}!~!!�!�����!�!�!�����!�!�!�����!�!�!�!�!�!�!�!�����!�!�������������!�!�!�����!�!�����!�!�!�!�!�!�!�����������������������������!�!�����������������!�!�!�������������!�!�!�!�!�����!�!���������������������������������������������!�������������!�!�����������������!�������������!�!�!�!�!�!�����������������!�!�!�!�����������������������������������������""����������������""""""����""����"""""����""""""""��������������������������������������������"(")"*"+","-"."/����������������"1"2"3����"5"6"7"8"9������������":";"<"=����"?"@"A"B"C"D"E"F"G"H"I����"K"L������������"M"N"O"P������������������������������������������������"r������������������������������������"|������������������������������������"������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�������������������������������������������������"�"�������������"�����������������������������"�������������������������"�"�������������������������"�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������������������������"�"�����������������������������"�������������������������"�������������"�������������������������"�������������������������������������������������"�������������������������������������������������"�����������������������������"�����������������������������������������������������������������������������������������"�����"�����������������������������������������������������������������������������������������������������"�����"�������������������������������������������������������������������������#����������������������������������������������������#��������������������������������������������������������������������������������������������#����������������������������������������������������������������#!������������������������������������������������#$����#(����#(����#*����������������������������#-��������������������������������������������#5����#6����#7����������������������������#0#1������������������������������������#>����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#U��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#l������������������������#o������������������������������������������������#{��������������������������������������������������������������������������������������������#{����������������������������������������������������������������#�������������������������������������������������#�����#�����#�����#�����������������������������#���������������������������������������������#�����#�����#�����������������������������#�#���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#���������������������������������������������#�#�#�#�#�����������������������������������������������������#�#�#�#�������������������������������������������������������������������������������������#�#���������������������������������#���������������������#�����������������������������#�����������������������������#�#�����������������������������#�������������������������#�#�������������������������$$$������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$������������������������������������������������������������������������$����$#��������������������������������$&������������������������������������������������������������������������������������$1����$;��������������������������������$>������������������������������������������������������������������������������������$N$Q��������������������������������$T����������������������������������������������������������������������������$`��������������������������������������������������������������������������������������������$`��������������������������������������������������������$e��������������������������������������������$m$r������������������������$v����������������������������$�����������������������������$y$����������������������������$�����������������������������������������$�$�������������������������$�����������������������������$�������������������������$�$�������������������������$�����$���������������������$���������������������$�����$���������������������$���������������������$�$�$���������������������$�����������������$�$�����$�$�$�$���������$�����������������������������������������$�$�������������������������$�����������������������������$�$�$�����$�������������$�$�$�$�����������������������������$�$�$�$�$�$�$�����������������$�$�%%����������������%%%%����%%	%
����%
%%%����%%%����%%%%%%����%%%% %!����%#%$%%����%'%(%)%*%+%,%-����������������������������%-%.%/%0%1����������������%3%4%5����������������%7%8������������%9%:%;����%=%H%H%H%I����%K%L����%N%O%P%Q%R%S%T����%V%W����%Y%Z%[����%]%^%_%`%a%b%c����%e%f����%g%h%i%j����������������������������%l%m����������������%o%p%q%r������������%s����%u%v%w����%y����%z%{%|%}%~%����%�%�����%�%�%�������������%�%�%�%�%�����%�%�%�%�%�����%�%�����%�%�%�%�%�%�%�%�%�����%�%�����%�%�%�����������������������������%�������������%�%�%�����%�%�%�����������������%�%�%�%�%�%�����������������%�%�%�%�%�%�%�����%�������������%�%�%�����%�������������%�����%�%�%�%�%�%�%�����%�%�����%�������������%�����%�����%�����%�%�%�%�%�����������������������������%�%�%�%�����������������%�%�������������%�%�%�%�����������������%�����������������%�%�%�����%�%�%�%�%�������������%�%�%�%�%�����%�%�����%�%�%�%�%�%�%�%�%�����%�%�&&&&&����&&&&	����������������������������&������������&&
&&&&&&&����������������&&&&&&������������������������&2&2����&2����&2&2������������������������&4&5����&7&8&9&:&;&<&=&>&?&@&A&B&C&D&E&F&G&H����&J&K&L&M&N&O&P&Q����������������������������&S������������&T����������������&V&W&X����&Z&[&\&]&^����&`&a&b&c&d����������������&f&g&h����&j&k&l&m&n&o����&q&r&s&t����&v&w����&z&{&|����&~&&�&�����&�&�&�&�&�����������������������������������������&�&�&�&�&�&�������������&�����������������&�&�����&�&�&�&�&�&�&�&�&�&���������������������&���������������������������������������������&�����&�����&�����������������������������&�&�����������������������������&���������������������&�������������������������&�������������������������&�����&�����&�������������������������&�������������������������&���������������������&�������������������������&�������������������������&�����&�����������������&�&�&�&���������&�������������������������&�������������������������������������&�&�&�&�&�&�&�����������������&�&�&�&�&�&�����������������&�&�����&�&�&�&�&�&�&�&�''����''������������'''''	'
'''
����''����''����''''''''����������������������������''' '!'"'#'$'%'&������������''����������������')'*����','-'.'/'0'1'2'3����'5'6����'8'9':';����'='>'?������������'@'A'B����������������������������'F'G'H'I'J'K����������������'N'O'P'Q'R'S'T'U����'W'X'Y'Z'['\����'^����������������'_'`'a'b'c'd'e'f'g'h'i����'k'l'm'n'o'p����������������'r's't����������������������������'v'w'x'y'z'{'|'}'~''�'�'�'�'�����������������'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�����'�'�����'�'�'�'�'�'�'�����'�'�������������'�'�����'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�����'�'�'�����������������������������'�������������'�'�'�'�'�'�'�'�'�����������������'�'�'�'�'�'�����������������'�������������������������'�������������������������'�����'�'�������������������������'�������������������������'���������������������'�����'�����������������'�����������������������������������������������������������������������������������������������������'���������������������������������(����((������������������������(������������(����������������(����((������������������������(%������������������������(&����('(2������������������������(4������������(5��������������������(6����(=(?����������������������������(A(B(C����������������(E������������(F(G(H(I(J(K(L(M(N����(P(Q(R(S(T����������������(\(b������������������������(i������������������������(j����(k(v������������������������(x������������������������(y��������������������(z����(�(�����(�(�����������������(�(�����(�(�(�(�(�(�����(�(�(�(�(�����(�(�����������������������������������������(�����(�(�����(�����������������(�(�(�����������������(�(�����(�(�(�(�(�(�(�����(�(�(�(�(�����������������(�(�(�����(�(�(�(�(�(�(�(�(�(�(�����(�(�(�(�(�����������������������������������������������������������������������������������������������������(���������������������������������(�����(�(�������������������������(�������������������������(�(�����(�(�����������������������������(�(�����������������)))))))����))	)
))����))����)����))����)����������������))����)))����)) )!)")#)$)%)&����)())����)+),,�)/)0)1)2)3)4)5)6)7)8)9����������������������������);)<)=)>)?����������������)A)B)C)D)E)F)G)H����)K)L)M)N)O)P��������������������)S����������������������������������������)a����������������������������)d)e)f����������������������������)i��������������������)k����������������������������������������)o��������������������������������������������)r)x����������������������������������������������������)���������������������������������)�����)�������������������������)�������������������������)�����������������������������������������������������)���������������������������������������������������������������������������������������������)�������������������������������������)�������������)�����)�������������������������)�������������������������)�����������������������������������������)�����������������������������������������������������)�����������������������������������������������������������������������������������������������������)�)���������������������������������)�����������������������������������������)�)�����������������)�)�����)�)�)�)�)�)�)�)�����)�)�����)�)�)�������������)�����)�����)�����)�����)�����)�)�)�)�����������������������������������������������������������������������������������������������������*	��������������������������������*����**������������������������*������������������������*����������������*����������������������������������������������������������������������������������������������������*.��������������������������������*0����������������������������������������*2*3��������������������*4������������������������������������������������������������������������������������������������������������*H��������������������������������*I����*K*W������������������������*Y������������������������*[����*]*^��������*_������������������������������������������������������������������������������������������������������������*m��������������������������������*n����������������������������������������������������*z��������������������������������������������������������������������������������������������*z������������������������������������*�������������*�����*�������������������������*�������������������������*�����������������������������������������*�������������������������*�����������������*�*���������*�������������������������������������������������������������������������������������������������������������*���������������������������������*�*�����*�������������������������*�������������������������*�������������*�����������������*�����*�������������������������*�*�*���������������������������������*�����*�������������������������*�������������������������*�����������������*���������*�������������������������*�������������������������*�������������������������*�������������������������*�*�*���������������������*���������������������*���������*�������������������������*�������������������������*�����������������*�*�*�*���������*�������������������������+������������������������+++����+	+
+++
����++++������������++++����������������������������������������++++����������������++++++ +!+"+#����+%+&����+(+)������������+*+++,������������+-+.+/+0+1+2+3+4����������������+6+7+8+9+:+;+<����������������������������������������������������������������������������������������������������+S��������������������������������+T����+U+`������������������������+b������������������������+c����+f+g����+i+j+k+l+m����������������������������+o+p����������������+r+s+t+u����+w+x����+z+{+|����+~++�+�������������+�+�����+�+�+�+�+�+�+�+�����+�+�����+�+�+�+�����������������+�+�����+�+�+�+�+�������������+�+�����+�+�+�+�+�+�+�����������������������������+�+�+�����������������+�+�����+�����������������+�+�+�+�+�����+�+�+�����+�����+�+�+�+�+�+�+�������������������������+�+�����+�����+�+�������������������������+�+�+�+���������������������������������������������������������������������������������������������������������+���������������������������������+�����������������+�����������������������������������������������������������������������������������������������������+���������������������������������,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,��������������������������������,����,����,,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,%��������������������������������,(,),*��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,:��������������������������������,>,?,@����������������,B,C,D,E,F������������,G,H,I,J,K,L,M,N����,P,Q,R����,S,T����,V����,W����,Z,[,\,]����,_,n,n,n,o����,q,r,s����������������������������,u,�,�,�,�����������������,�,�����,�,�,�������������,�,�,�,�,�,�����������������,�,�,�����,�,�,�,�,�,�,�,�����,�,�,�,�,�,�������������,�����,�,�����,�,�,�����,�,�����,�����,�������������������������,�,�����������������������������������������������������������������������������,�������������������������,�������������������������,�������������������������������������������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������,�����������������������������������������������������������������-������������������������������������������������-����������������������������-������������������������������������������������������������������������-��������������������������������-����-������������������������������������-.-.-.-.-.����������������������������������������������������-2-3-4-5��������������������-8��������������������-;-<-=����-?-@-A-B-C����-E������������-F-G����-H������������-I-J����������������-L-M����-O-P-Q-R����-T-U-V-W-X-Y����������������-[-\-]-^����-`-a-b����-d-e-f-g-h-i��������������������������������������������-k-l����������������-n-o����-q-r-s����-u-v-w-x-y-z-{������������-|����-~-����-�-�-�����-�-�-�-�-�-�-�-�-�-�-�-�����-�-�-�-�-�-�-�-�-�-�-���������������������-�������������������������-�������������������������-�-���������������������������������-�-�-�-�-�����������������-�-�����-�-�-�-�������������-�����-�-�����-�-�-�-���������������������������������������������������������������������������������������������������������-���������������������������������-���������������������-�����-�-�-���������������������������������������������������������������������������������������������������������-���������������������������������-���������-�-�����������������-�-�-�����-�-�-�-�-�-�-���������������������������������........����������������.	.
...
����........����..����...������������..����.!����."����������������������������������������������������.F������������������������.M������������������������.O����.P.[������������������������.]������������������������.^��������������������._����.f����������������.h������������������������������������������������.���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������.�����������������������������������������������������������������������������.�������������������������������������������������������������������������������������������������.�.�������������������������.�������������������������.���������������������.�����������������.�����.�����.�������������������������������������.�������������������������������������.�.�.�.�.�����������������������������������������������������.�.�.���������������������.�����.�������������������������.�������������������������.�����������������.���������.�������������������������.�������������������������.�������������������������.�������������������������.�.�.���������.���������������������.���������.�������������������������.�������������������������.�����.�.�.�.�����������������������������������������������������/����������������/����/����/����������������/������������������������������������������������/7��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������/7������������������������������������������������������������������������/@��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������/P��������������������������������/S������������������������������������������������/X������������������������������������������������/X����������������������������/^������������������������/a/b������������������������/d������������������������/g����������������������������������������������������������������������������������������/i����/u����/w����/x������������������������������������������������������������������������������������������������������������/�������������������������/�����/�������������������������/�������������������������/�������������������������/���������������������/���������������������������������/���������������������������������/�������������������������������������/�/�/�/�/�����������������������������������������������������/�/�/�����������������/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�����/�/�/�/�/�/�������������/�����/�/�����/�/�/�/�/�/�����/�/�����/�/�/�����/�/�����/�����/���������/�������������������������/�������������������������/�����/�����/�����������������/���������������������������������/�/�����/�����������������/���������������������/�����������������������������������������/���������������������������������������������/�������������������������0	����������������0
����0��������������������0��������0����������������0����0����00 0"����������������0$0%0&0'����������������0*0+0,������������0-0.0/00010203040506����08090:0;����0=0>������������0?0@0A��������������������������������0C0D0E0F����������������0�0J0K0L0M0N0O0P0Q0R0S����0U0V0W����0Y0Z0[0\����0^0_0`0a0b0c0d0e0f0g0h����������������0j0k0l����0n0o������������0p0q0r0�0u����0w0x0y0z��������������������������������0|0}��������������������0���������������������0���������������������0�������������������������0�������������������������0�0�����0�0�0�������������0�0�����0�����0�������������������������������������������������������������������������������������������������������������0�������������������������������������������������������������������������������������0���������������������0�������������������������0�����������������0�����0�������������������������0�����������������0�0�0�0���������0���������������������0���������������������������������0�0�����0�����0�0�����0�������������������������������������0�������������������������0�����������������������������������������0�����������������������������0�����������������������������0�������������������������0�������������������������0�0�0�0���������������������������������0�0�0�0�����������������0�0�0�0�0�0�0�0�0�0�0�����1������������1����111������������111����1����������������1
����111
11111111����111111111��������������������������������1!1"����������������1$1%1&����1(������������1)����1*����1+1,1-����1.1/����10������������1112����������������1415161718191:1;����1<1=1>1?1@1A����1C1D1E����1G1H1I1J1K1L1M����1O����1P������������������������������������1U������������������������1]������������1a������������������������1c����1d1j������������������������1j������������������������1o��������������������1p����1w1y����������������1{1|1}1~1����������������1�1�����1�1�1�1�����1�1�1�����1�������������1�1�1�1�1�����1�����1�1�1�1�1�1�1�����1�1�1���������������������������������1�1�1�������������1�1�����������������1�����1���������1�������������������������1�������������������������1�����1�1�������������������������1�������������������������1���������������������1�����1�����������������1���������1�������������������������1�������������2������������������������2����22������������������������2������������2��������������������2����2��������������������2��������2������������������������2&����������������2'����2-������������������������2/����2027������������������������27������������2<��������������������2>����2E����������������2[2\2]������������������������������������2�������������������������2�������������������������2�����2�2�������������������������2�������������������������2���������������������2�����2�����������������2���������2�������������������������2�������������2�������������������������2�����2�2�������������������������2�������������2���������������������2�����2�����������������2���������2�������������������������2�����������������2�����2�������������������������2�����2�2�������������������������2�������������2���������������������2�����2�2�����������������3333����������������333����3������������33333 ��������������������������������3"3#3$3%3&3'3(3)3*3+3,3-3.3/3031����������������3334����363738����3:3;������������3<3=3>����3@3K3K3K3L����3N3O3P����3R3S3T������������3U3V����3X����3Y������������������������3f3f��������������������������������������������������������3�������������������������3�������������������������3�����3�3�������������������������3�������������������������3���������������������3�����3�����������������3�������������������������������������������������4$����4$������������������������4$������������4$����4$4$������������������������4$������������4$��������������������4$����4$��������������������������������������������������������������������������������������������4$��������������������4$��������������������������������4$������������������������4$��������������������4$����������������������������������������������������4$��������������������������������������������������������������������������������������������4$������������������������������������4$����������������������������������������4$����4$����4$������������������������4$����4$����4$������������������������4$����������������������������4$������������������������4$������������������������4$����4$4$������������������������4$������������4$��������������������4$����4$������������������������������������������������4343434343����������������������������������������������������5�5�5�����������������������������������������������������6������������������������6������������������������6����66������������������������6������������������������6!��������������������6"����6)����������������6+������������������������������������������������6�����6�������������������������6�������������6�����6�6�������������������������6�������������6���������������������6�����6���������������������������������������������������������������������������������������������6�����������������6���������������������������������6�������������������������6���������������������6�����6�����6�����������������������������������������6�����6�����6�������������������������6�����6�����6�������������������������6�����������������������������6�������������������������6�������������������������6�����6�6�������������������������6�������������6���������������������6�����6�����������������������������������������6�������������������������������������6�6�6�6�6�����������������������������������������������������6�6�6�6���������������������6�����������������������������������������6�����6�����6�������������������������6�����6�����6�����������������6�����������������������������6���������������������������������������������6�����������������6�����6�����6�����6�����6�������������������������6���������������������������������������������6�����6�����6�����������������������������6�6�����������������6�������������������������6�����6�����6�����6�����6�����6�������������������������6�������������������������7����7
������������������������7
������������������������7������������������������777��������������������7����������������������������������������7!����7"����7#������������������������7%����7&����7-����7/��������������������������������������������������������������������74������������������������������������������������77����������������78����7;����7;����7=����7>����������������������������7A��������������������������������������������7I����7J����7K����������������������������7D7E����������������������������7N������������������������7Q����7R����7S����7_����7a����7b������������������������7b������������������������7n����7p������������������������7p������������������������7{������������������������7����������������7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�����������������7�������������7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�����7�7�7�7�7���������������������������������������������7�7�7�7�7�����������������7�7�7�����7�7�7�7�����7�7�7�7�7�7�7�����7�7�������������7�7�����7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�����7�7�7�7�7�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7�����7�7�������������������������7�������������������������7�����7�7�7�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������8����88������������������������8������������������������88����������������888����������������8������������88888888 8!����8#8$8%8&8'����8/����82������������������������82������������������������87����888?������������������������8?������������������������8D��������������������8F����8M����8P8Q8R����8Z����8]������������������������8]������������������������8b����8c8j������������������������8j������������8o��������������������8q����8x8z������������������������������������8������������������������8������������������������8�����8�8�������������������������8�������������������������8���������������������8�����8�����������������8�������������������������������������������������������������������������������������������������������������8�����8�8�������������������������8�������������8�����������������8�����8�����8�������������������������8�������������������������8�����8�8�������������������������8�������������8���������������������8�����8�����������������8�8�8���������8�������������������������8�������������������������8�����8�8�������������������������8�������������8���������������������8�����9����������������9������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������9����99������������������������9������������������������9$����������������9&����9,����9/������������������������9/������������������������94����959<������������������������9<������������9A��������������������9C����9J9L����������������9O9P9Q9R9S9T9U����������������9W9X9Y����9[9\9]9^9_9`9a9b9c9d9e����9g9h9i9j9k����9m9n9o��������������������������������9r9s9t9u9v����������������9x9y����9{9|9}9~9����9�9�����9�9�9�����9�9�9�9�������������9�9�����9�9�9�9�9�9�9�9�����9�9�����9�9�9�9�������������������������9�9�������������������������9�9�9�����9�9�9�9���������������������������������9�9�9�����������������9�������������9�9�9�9�9�����9�9�9�9�9�9�9�9�9�9�9�9�9�9�9�9�����9�9�9�����9�9�9�����9�9�����9�����9�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������:����::������������������������:������������������������: ����������������:"������������������������������������������������:n��������������������������������������������������������������������������������������������������������:n����:n:n������������������������:n������������:n��������������������������������������������������������������������������������������������:n��������������������:n��������:n����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������:n����:n:n������������������������:n������������������������:n������������������������������������������������:}:}:}:}:}����������������������������������������������������:�:�:�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������:�����:�:�������������������������:�������������������������:�����������������:�������������������������������������������������;��������������������������������������������������������������������������������������������������������;����;;������������������������;������������;��������������������������������������������������������������������������������������������;����������������;��������;����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;����;;������������������������;������������������������;������������������������������������;������������������������������������;$;$;$;$;$����������������������������������������;(;);*����������������;,;-;.;/;0����;2;3;4;5������������;6;7;8;9;:;;;<����;>;?����;A;B<�;E;F;G����;I������������;J��������;N������������������������;N������������������������;T������������������������;T������������������������;\��������������������������������������������;`����;b��������������������������������;i����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������;{;|;}��������������������������������;�����������������������������������������������������;���������������������;�����;�����������������;�������������������������;�����������������;�;�;�;�����������������;�;�;�����;�����������������;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�����;�;�;�;�;�;�;�;�������������������������;�;�����;�����;�;�������������������������;�;���������������������������������������������;�;�;�;�����������������;�;�;�����;�;�;�����������������;�;�����;�;�;�;�;�������������;�;�����;�;�;�;���������<������������������������<������������������������<������������������������<������������������������<����������������<����������������������������������������������������������������������������������������������������<#��������������������������������<$��������������������������������������������������������������������������������������������������������<2��������������������������������<3����<4<9������������������������<;������������������������<<<=<>����<A<B��������������������������������<D<E<F<G��������������������<J������������������������<J������������������������<P������������������������<P������������������������<W<X����<Z<[����<]<^<_<`<a����<c<d����<f<g<h����<j<k<l<m<n<o<p<q<r����<t<u����<w<x<y<z<{<|<}<~<<�<�<�<�<�<�<���������������������������������<�<�����������������<�<�<�<�����<�<�<�������������<�<�<�����������������<�<�<�����<�<�<�<�<�����<�<�����<�<�<�<�<�<�<�<�<�<�����<�<�����<�<�<�����<�<�<�<�<�<�<�<�����<�<�<�<���������������������������������<�<�<�<�<�<�<�����������������<�<�<�<�<�<�����<�<�<�<�<�<�����<�������������<�����������������������������������������������������=������������������������=������������������������=������������������������=������������������������=
=��������������������=��������������������=����=������������������������������������="="="="="����������������������������������������=&='=(����������������=*=+=,=-=.����=0=1=2=3������������=4=5=6=7=8=9=:����=<===>=?=@=A����=C����=D����=F=G=H=I=J=K=L=M=N=O����=Q������������=R����=T=U=V=W=X=Y��������������������������������������������=Y=Z=[=\=]=^����������������=`=a=b����=d=e=f=g=h=i=j����=l=m=n=o=p=q=r=s=t=u=v=w=x������������=y=z={����=}=~=����=�=�=�=�������������=�=�����=�=�=�=�=�=�=�=�������������������������������������������������������������>��������������"�̋���Q����
�]��Q�������B�]���mo�Gdel.�nsHo���w�ev�er,�MXit�KYis�treated�as�a�phenomenological�pa-�������rameter�UUin�this�pap�Ger.������Eqs.�(2.5)�and�(2.6)�are�also�written�in�suc���h�a�w�a�y�that���j���T�����s��F:�(�i!����l��ȵ;����q�)��=�����<$����$��~���#�ߵ����s����.)޲(�i!����l���)���K�w�fe^[{�	���1�8��������l�1��l��&�fe�s����4��������I����s���(�i!����l���;����q�)���/~�������s����
���(�i!����l���)���������`z(2.10)�����N����and��j����������c���(�i!����l��ȵ;����q�)��=�����<$����!P�~��� !ǵ����c����*vm�(�i!����l���)���K�w�feW'�	(֍1�8�+��V�8�(�i!����l��ȵ;��q�)���/~�������c����
T��(�i!����l���)�����\Up�;�����`{�(2.11)����^����with�������I����s��F:�(�i!����l��ȵ;����q�)��=��J���9�����(�p�)��Ս�(�q�)�8�+�����<$��Q2�����s���(�i!����l��ȵ;����q�)��l�w�feG2�	(֍�����~�������s����	��(�i!����l��Ȳ)�����s���(�i!����l���;����q�)���������`|(2.12)��������and�����v�V�8�(�i!����l��ȵ;����q�)��=��V�������(�c�)���ǲ(�q�)�8������<$��榲�����c���(�i!����l��ȵ;����q�)��l�w�feL��	(֍2�����~�������c����	�&�(�i!����l��Ȳ)�����c���(�i!����l���;����q�)�����P�ǵ:�����`z�(2.13)����������It�UUfollo���ws�from�Eqs.�(2.5)�and�(2.7)�that���1����������s��F:�(0�;����q�)��=�����<$��o�1���K�w�fe��	(֍�U��������*�[���G1�8�+��O����Ų(���T�k����B����T����K�����=U���)����0Hf]�������`{(2.14)�����^����and��1�����-~����������s����$��(0)��=�����<$��o�1���K�w�fe��	(֍�U��������*�[���G1�8�+��O����Ų(���T�k����B����T����K�����=U���)����0Hf]���_�:�����`z�(2.15)����������Here,�%��U�I���2�j�J���9��^��(�p�)��Ս�(�q�)�j���is�assumed.���T��*�o�leading�order�in������k����B����T����K�����=U��,�UUEq.�(2.12)�b�Gecomes�������	')�I����s��F:�(�i!����l��ȵ;����q�)��=��J���9�����(�p�)��Ս�(�q�)�8�+�2�U�������2����������s���(�i!����l��ȵ;����q�)�:�����`|�(2.16)����M�����It�UUfollo���ws�from�Eqs.�(2.6)�and�(2.8)�that�����������[���M�U��S�+��8�V����c���(�q�)�]���&N������c���(0�;����q�)��=������Ӎ�������
��1��
���&�fe�s����2��������<�[��kY�U��S�+��8�V����c���(�q�)�]���Dlɵ����c���(0�;��q�)���K�_�fej�<�	���1�8��������l�1��l��&�fe�s����2�������
Fa�[��

~�U��S�+��8�V����c���(�q�)�]���:�����c���(0�;��q�)���������`{(2.17)����S����and��޵U������~��������c����
�A�(0)�ҥ=�������ر1��؟�&�fe�s����2�����
5~�U���F7�~��������c����k��(0)�=�[1������������1�����&�fe�s����2�����	��U���F7�~��������c�����(0)].�SaIt�is�lik���ely�that�������[�U�s��+�\x�V����c���(�q�)]�j�����c���(0�;����q�)�j����p������>����J����������
UN�1�<uand��U��j������~�������c����	�&�(0)�j����p������>����J�����������1�in�actual�mag-��
QG����nets.��Note��nalso�that���\q��p~�����������c�������$@�1�for��n����d��	��'��1.��Then,�4the������second�]�term�of�Eq.�(2.13)�can�b�Ge�ignored.���In�this�pap�er,������Eq.�D9(2.13)�is�appro���ximated�b�y��V�8�(�i!����l��ȵ;����q�)�U=�'��V����^��(�c�)���ǲ(�q�).�>sIn�����d���=�3�UUdimensions,���
����毵V��8�����(�c�)���ǲ(�q�)��=�����<$���1���K�w�fe4��	(֍�v������������X����1���y�G����������^���������<$��'䇲4��[�e���^��2���NU�w�fe%_��	(֍�j�q�8���G�j���r�2������H_������<$��|�1��l�w�fe	��	(֍�N�������������X���j���
�D�p�(�6�=�0�)�������<$��-�
�4��[�e���^��2���$���w�fe%���	(֍�j�p�8���G�j���r�2���������K����^�����Q�;�����`z�(2.18)���� �����with��G��w���a�v�e-n�um�b�Gers�of�recipro�cal�lattice�p�oin���ts,�ω�v�����the�1�v���olume�of�a�unit�cell,��and�the�summation�o�v�er�����p��o�restricted�to�the�rst�Brillouin�zone.�GBecause�������lim�����J���q�!�G����V��8��^��(�c�)���ǲ(�q�)�=k����B����T����K���2�=��+�1�,�#the���c���harge�susceptibilit�y������v��q�anishes�UUfor�commensurate��q�:��M������5$lim��x-��2+P�q�!�G���G������c���(�i!����l��ȵ;����q�)��=�0�:�����`z�(2.19)����",����The�z�susceptibilit���y�giv�en�b�y�Eq.�(2.10)�with�Eq.�(2.16)������is�ERconsisten���t�with�a�ph�ysical�picture�for�Kondo�lat-������tices��that�lo�Gcal�spin�
uctuations�at�dieren���t�sites�in�ter-������act��bwith�eac���h�other�b�y�in�tersite�exc�hange�in�teractions.�������B�]����Then,�+ֵI����s��F:�(�i!����l��ȵ;����q�)�ͽshould�b�Ge�called�an�exc���hange�in�terac-�������tion,�A�whic���h�pis�resp�Gonsible�for�magnetic�instabilit�y��*�.��The������second�L�term�of�Eq.�(2.16)�is�mainly�comp�Gosed�of�three������con���tributions.���^��19�;�22��큲One��is�the�sup�Gerexc�hange�in�teraction,������whic���h���arises�from�the�virtual�exc�hange�of�pair�excitations������across���the�Mott-Hubbard�gap.�	S@The�phenomenological������term�N�J���9��^��(�p�)��Ս�(�q�)�should�b�Ge�determined�in�suc���h�a�w�a�y�that������the��vsum�of�this�sup�Gerexc���hange�in�teraction�and��J���9��^��(�p�)��Ս�(�q�)������should���b�Ge�equal�to�the�sup�erexc���hange�in�teraction�of�ac-������tual��Esystems.�=�Another�is�the�no���v�el��Eexc�hange�in�teraction������arising���from�that�of�pair�excitations�of�quasi-particles.������Whether�K�it�is�ferromagnetic�or�an���tiferromagnetic�dep�Gends������on�F�the�disp�Gersion�relation�of�quasi-particles.��F��*�or�example,������it�&is�ferromagnetic�in�the�so�called�
at-band�and�band-������edge��Gmo�Gdels.���^��19��-�On�the�other�hand,��}it�is�an���tiferromagnetic������when�ԝthe�nesting�of�the�F��*�ermi�surface�is�sharp�or�when������the���c���hemical�p�Goten�tial�is�at�the�band�cen�ter.���The�other������is�Ethe�mo�Gde-mo�de�Ecoupling�term�among�in���tersite�spin������
uctuations.��Eac���h�}Qof�the�sup�Gerexc�hange�in�teraction�and������the��=no���v�el�exc�hange�in�teraction�can�cause�magnetic�in-������stabilit���y��*�,��while��the�mo�Gde-mo�de��coupling�suppresses�mag-������netic��uinstabilit���y��*�.��(In�the�follo�wing�part�of�this�pap�Ger,�ӽw�e������assume���that�the�sum�of�the�t���w�o���exc�hange�in�teractions������is���an���tiferromagnetic�and�is�so�strong�to�cause�magnetic������instabilit���y;�@�the���N���Geel�temp�Gerature��T����N��2��is�determined�b�y������1�=������[��qŵ����s��F:�(0�;����Q�)�]����+�P����T���=�T��m�N���F:��=��0�|%or�1�R�����������1�����&�fe�s����4�������
`A�[��
'^�I����s��F:�(0�;����Q�)���/~�������s����
���(0)�]����IŘ����T���=�T��m�N���dcC�=�0,������with�UU�Q��ordering�w���a�v�e-n�um�b�Gers.������As�q�discussed�in�In���tro�Gduction,���lo�cal�q�spin�
uctuation������are�?�quite�dieren���t�b�Get�w�een�the�t�w�o�temp�Gerature�regions,�����T�����^*�T����K��e��and����T����T����K�����.���Then,�ƣlo�Gcal-momen���t���magnetism������is���c���haracterized�b�y��T����N��
!����D�T����K�����while�itineran�t-electron������magnetism���b���y��T����N��lX��֧�T����K�����.�'fIn�this�pap�Ger,��our�study�is������restricted�UUto�itineran���t-electron�magnetism�or��T����N��
\ɸ���T����K�����.��!�%��9J+�B.���Landau's�free�energy�����Magnetizations���app�Gear�b�elo���w��T����N�����.�EIn�this�subsection,������Landau's�UUfree�energy�in�the�presence�of�external�elds��qˍ��H�H����ext�����=����g�[�����B�����������X����t��[s�i�������}���b������ԹH����i���,����q���~�^��#���8�s����i�������
h���b�����䟸����8�����X����t����i���UQ������i����ԙ�^���TL�n����i�����2�;�����`|�(2.20)�����;����is�UUstudied.�q�F��*�or�this�purp�Gose,�it�is�con���v�enien�t�UUto�consider������3r��H����
���o�=���H�Q��+�8�E����ext��e�+��H����L���t�;�����`|�(2.21)��������instead�UUof��H�Q��+�8�H����ext��م�,�with��'j�����#�E����ext���������=�����($�������<$��33�1��33�w�fe�	(֍2�����fg�g�[�����B�����������X����t��[s�i������%�(�����H����i���,��8�m����i���TL�)���C�����8�����X����t����i���UQ������i��TL�n����i��������`z�(2.22)���������including�UUno�op�Gerator�and��qˍ���]�H����L��Ì�=�������������X����t��<��i���������:��(�s�)���Z��i�����0�(��s2���f:^���s����i����
M���8�m����i�����)���A(R�����8�����X����t����i���UQ�����:��(�c�)���Z��i��������(����ag^�����n����i�����8���8�n����i���TL�)�������`{(2.23)����">:����including���Lagrange's�m���ultipliers,��!�����:��(�s�)���Z��i���
&�and������:��(�c�)���Z��i���
R�.�5GThe�ther-�������mo�Gdynamic�UUp�oten���tial�
�for��H����
��	���is�giv�en�b�y��q΍�����e�������
�=k�����Zcmr5�B��,w�T��"�ϸ����T��*�r���Nexp�����!\m���^�����&��������<$��\`�1��33�w�feRZ�	(֍�k����B����T�������������`��������H����
��n7��8�����������X����t��yg�i�����Gf�^�����n����i�����������`��������!���^����&\�;�����`|�(2.24)�����������n�3���-Bq����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������=�=�������������=�=�=�=�����������������=�=�������������=�����=�=�����=�=�=�����������������=�=�����������������=�=�����=�=�=�=�=�=�=�����=�=�����=�����=�=�=�=�=�=�=�=�=�=�=�=�=�=�=�=�����=�=�=�����������������������������������������=�=�=�=�=�=�=�����������������=�=�����=�=�=�=�����=�=�=�������������=�=�=�����������������������������=�=�=�=�����������������=�=�=�=�=�����=�=�=�����=�>>>>����>
>>����>>>>����>>>>>>>����>>����>>> ������������>!����>#����>%����>&����>'����>)>*>+>,������������������������������������������������>S������������������������>S������������������������>X����>Y>`������������������������>`������������������������>e��������������������>f����>m����������������>o��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������>�����>�>�������������������������>�������������>���������������������������������������������������������������������������������������������>���������������������>�����������������������������������������������������>���������������������������������������������������������������������������������������������>�������������������������������������>�������������������������>�������������>�����>�>�������������������������>�������������>���������������������>�����>���������������������������������������������������������������������������������������������������������>�����>�>�������������������������>�������������>�������������������������������������������������>�>�>�>�>�>�������������������������������������������������>�>�>�������������������������������������������������?������������������������?������������������������?����??������������������������?������������������������?"��������������������?#����?*����������������?,��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������?�����?�?�������������������������?�������������?���������������������������������������������������������������������������������������������?�����������������?���������?���������������������?�����?�?�������������������������?�������������������������?���������?�����?���������������������������������������������������������������������������������������������������������?�����?�?�������������������������?�������������?�������������������������������������?�������������������������������������?�?�?�?�?�?�������������������������������������������������?�?�?�?�������������������������������������?�������������������������?�������������������������?�����?�?�������������������������?�������������������������?���������������������?�����?�����������������?���������?�����������������������������������������?�����?�����@������������������������@����@����@
����������������@
������������������������������������������������@|@|����@|������������������������@|������������@|����@|@|������������������������@|������������������������@|��������������������@|����@|����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������@|����@|@|������������������������@|������������������������@|����@|������������������������@|������������@|����@|@|������������������������@|������������@|��������������������@|����@|������������������������������������������������@�@�@�@�@�@�������������������������������������@�@�@�������������������������������������@���������������������@�����@�@�������������������������@�������������������������@���������������������@�����@�����������������@���������@�����������������������������@�����@�����@�������������������������@�����@�����@���������������������@�����������������������������������������������������AO����AO������������������������AO������������������������AO����AOAO������������������������AO������������������������AO��������������������AO����AO��������������������������������������������������������������������������������������������AO��������������������������������������������������������������������������������������������������������AO����AOAO������������������������AO������������������������AO����AO������������������������AO������������������������AO����AOAO������������������������AO������������AO��������������������AO����AO������������������������������������AP������������������������������������A_A_A_A_A_A_������������������������������������������������AcAd����������������AfAgAhAiAj������������AkAl����AnAoApAq����AsAtAuAv����AxA�A�A�A�����A�A�A�����A�A�A�A�A�����A�A�A�A�������������������������������������������������A�������������������������A�������������������������A�A�����A���������������������A�����A�����������������A�������������������������������������������������A�������������������������������������������������������������������������������������������������A���������������������������������������������A���������������������A�����������������A���������A�����������������������������A�������������������������A�������������������������A�������������������������A�������������������������A�������������������������BB������������������������B
����������������������������B����������������������������������������B"B"B"B"B"B"������������������������������������������������B$B%B&����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������BYBZB[����������������B]������������������������������������������������Bg������������������������������������������������������������������������������������������������Bg��������������������������������������������Bm��������������������Bo����������������Bq��������Bs����������������������������By������������������������B|������������������������B|������������������������B�������������������������B�������������������������B�B�������������������������B�����������������������������B�����������������������������B�������������������������������������B�B�B�B�B�B�������������������������������������������������B�B�B�B�B���������������������B���������������������B�����������������B�����B�����������������������������������������B�����B�����B�������������������������B�����B�����B�����B���������������������B�B�����B�B�B�B�B�B�B�B�����������������B�����������������B�����B�B�B�B�B�B�B�����B�B�B�B�B�����B�B���������������������������������������������B�������������������������B�������������������������B�������������������������B�������������������������B�B���������������������B�����������������B�CC����CC
C
C
C
C����C������������CCCCCC������������������������������������������������C:������������������������C:������������������������C?����C@CG������������������������CG������������������������CL��������������������CN����CU����������������CW��������CY����������������������������������������C\����C]����C^������������������������C`����Ca����Ch����������������Ck����Cm����Co����������������������������������������Co������������������������Cz����C}������������������������C}������������C�����C�C�������������������������C�������������������������C���������������������C�����C�����C�������������������������������������C�C�C�C�C�C�������������������������������������������������C�C�����������������C�C�C�C�C�������������C�C�����C�C�C�C�����C�C�C�C�����C�C�C�C�C�����C�C�C�����C�C�C�C�C�����C�C�C�C�����������������������������������������������������D������������������������D��������������������D��������������������D������������������������D
������������������������D����D����D����D����������������������������D"������������������������D$������������������������D&D'����D(��������������������D)����D0����������������D2������������������������������������������������������������������������������������D���������������������������������������������������������������������������������������������D���������������������������������������������D�������������������������D���������������������D���������������������D�������������������������D�������������D�����D�����D�����D�����������������������������D�������������������������D�������������D�D�����D���������D�����D���������������������������������������������������������������������������������������������D���������������������D�����������������������������������������������������D���������������������������������������������������������������������������������������������D���������������������������������������������D�������������������������D���������������������D���������������������D�������������������������D�������������D�����D�����D�����D�����������������������������D�������������������������D�������������D�D�����D���������D�����D�������������������������������������������������D�D�D�D�D�D�������������������������������������������������D�D�D���������������������D�����������������������������������������������������������������������������������������D���������������������������������D�D�D�����������������D�����������������������������������������������������D���������������������������������������������������������������������������������������������D�������������������������������������D�����������������������������������������������������������������������������������������E��������������������������������EEE	����E����E
E��������������������E����������������������������������������������������E��������������������������������������������������������������������������������������������E������������������������������������E����������������������������������������������������������������������������������������E,��������������������E.E/E0E1E3����������������E5E6����E8E9����E;E<E=������������E>E?E@����EBECEDEE����������������������������������������EH����EI��������������������EM����������������EQ������������������������ES������������������������EU����EV����E]E^����E`����Ec������������������������Ee������������EgEh����Ei��������������������Ej����Eq����Er����������������������������������������������������Ew����������������������������������������������������Ew������������������������������������Ey����������������E}E~E��������E���������������������E�������������������������������������������������������������������������E���������������������������������E�E�E�����E�����������������������������������������������������E�����������������������������������������������������E�������������������������E�����E�E�����E�E�E�E�E�E�����E�E�E�E�����������������������������������������E�E�E�E�E�����������������E�E�E�E�����������������E�E�E�E�����E�E�E�E���������������������������������������������������������������������������������������������������������E���������������������������������E���������������������E�����E�E�E���������E�������������������������E�������������������������E���������E�E�����������������E�E�E�E�E�����������������E�E�E�����������������������������E�E�E�E�E�E�����������������E�E�E�F����FF����FFF����F	FFFFF����FFF����F������������F����FFFF F!F"F#F$����������������F&F'����F)F*F+F,����F.F/F0����F1F2F3����������������������������F6F7F8����������������F:FDFDFDFDFE����FGFH����FJFKFLFMFN������������FOFPFQFRFSFTFU����FW����FX��������F\��������������������F]����F^Fe������������������������Fe������������������������Fj��������������������Fl����Fs��������������������Fz��������F|����������������������������F����F�����F�������������������������F�����F�����F�F�����������������F�F���������������������������������F���������������������F�����F�����������������F�F�F�F�F�F�F�F�F�F�F�������������������������������������������������F�����������������������������������������F�����F�����F�������������������������F�����F�����F�����������������F�������������������������������������������������F�������������������������������������������������������������������������������������������������F�����������������������������������������������������������������F�������������������������������������������������F���������������������������������������������������������F�����������������������������������������������������������������G!����G!������������G!������������������������G!����������������������������������������������������������������������������������������������������G!����G!��������������������G!��������G!����G!������������������������G!����������������������������������������G#����������������������������������������������������G/������������������������������������������������������������������������������������������������G/����������������������������������������������������������������G6������������������������������������������������G=����G?����GB����GB����GD����GE������������������������������������������������������������Go����Go������������Go������������������������Go����������������������������������������������������������������������������������������������������Go����Go��������������������Go��������Go����Go������������������������Go��������������������������������������������������������������������Gw��������������������������������Gy������������������������������������G�G�G�G�G�G�������������������������������������������������G�G�G�G���������������������G���������G�������������G�����G�����G�G�G�����G�G�����G�������������G�G�G�����������������G�G�����G�G�G�G�G�G�G�����G�G�G�����G�G�G�G�G�G�G�����G�����G�G�G�������������G�G�G���������������������G���������������������������������G�G�G�����������������G�������������G�G�G�G�G�����G�G�����G�����G�G�G�G�����G�G�G�G�G�����������������G�G�G�����G�G�G�����G�G�G�G�G�G�G�G�G�����G�����G�����G�G���������������������������������G���������������������H	H
HHH
HHHHH����HH����HHH����HHHH����H!H"H#H$H%H&H'H(H)����H+H,H-H.H/����������������H1H2H3H4H5H6H7��������������������������������H=H=H=��������������������������������������������H@����HQ����HR������������������������H\����������������������������������������H_����H`����Ha������������������������Hc����Hd����Hk����HlHm������������������������Ho������������������������Hp������������������������Hr������������������������Ht����������������Hv����H}����H����������������H�H�H�����������������H�������������H�H�H�H�H�����H�H�H�H�H�H�H�H�H�H�H�H�H�����H�����������������������������H�����������������H�H�H�H�H�H�H�����������������H�H�H�����H�H�H�H�H�H�H�H�H�H�H�H���������H�����H�����������������������������������������������������H�H�H���������������������������������������������H�����H�����H�����������������������������I������������������������I������������������������I
����II������������������������I������������������������I��������������������I����I����������������I����I ����I"������������������������������������I1I1I1I1I1I1������������������������������������������������I5I6I7����������������I9I:I;I<I=I>I?I@IAIBICIDIE������������IF����IHIIIJ����IKIL����IN����IO����IQIRIS����IUIbIbIbIbIc����IeIfIgIh����IjIkIl����InI{I{I{I{I|����������������������������I~I����������������I�I�I�I�I�I�I�I�I�������������I�����I�I�I�I�����I�����I�I�����I�I�I�I�I�I�����I�I�I�I�I�I�I�����I�I�I�����I�I�I�I�I�����I�I�I�I�����������������������������I�I�I�I�I�����������������I�I�I�I�����I�I�������������I�I�I�����I�I�I�I�����P�I�I�I�I�I�I�I�I�I�I�����I�I�����I�I�P�I�I�I�I�������������I�����I�I�I�I�I�����I�I�����I�I�I�I�����������������������������I�I�I�����������������I�I�I�I�����I�I�I�������������I�����I�I�I�I�J����J����J����JJ����JJJ	J
JJJ
����JJJ����JJJJJ����JJ����JJJJJJJ J!J"J#J$����������������������������������������������������������������J&J'J(J)J*��������������������J-������������������������J-������������������������J2����J3J:������������������������J:������������������������J?��������������������JA����JH����������������JKJLJMJNJOJP����JR������������JS����JUJVJWJXJYJZ����J\J]����J_J`Ja������������JbJcJdJeJf����JhJi����JjJkJlJmJnJo��������������������������������������������JoJpJqJrJs����������������JuJvJwJx������������Jy����������������J{J|����J~JJ�J�������������J�J�J�J�J�J�J�����J�J�J�����J�J�J�J�J�J�J�J�����J�J�J�J�J�J�J�J�J�J�����J�����������������J�����������������J�J�J���������������������������������J�J�J�J�J�J�����������������J�J�J�J�����J�J�����J�J�J�����J�J�J�J�J�J�����J�J�����J�J�J�J�J�J�����J�J�J�J�������������J�J�J�J�����J�J�����J�J�J�J�J���������������������������������J�J�J�������������J�J�J�J�J�J�J�J�J�J�J�������������������������KK����K����KK������������������������KKK����������������KK����KKK����KKK������������KKKKK ����K!K"K#K$K%����K'K(����K)K*K+K,K-K.K/K0K1K2��������������������������������K4K5K6K7������������K8����������������K:K;K<K=K>K?����KAKBKCKD����KFKGKH����KJKKKLKMKNKOKP����KRKSKT����KUKVKWKXKY����K[K\����K^K_K`Ka����KcKdKeKfKgKhKiKjKkKlKm��������������������������������KoKpKqKrKsKt����������������KvKwKx����KzK{K|K}K~KK�K�K�K�K�K�����K�K�K�K�����������������K�K�K�����K�K�K�K�K�K�K�K�K�K�K�K�K�K�K�K���������������������������������K�K�K�K���������������������K�����������������������������������������K�����K�����K�������������������������K�����K�����K�����K�K�K�K�K�K�����K�������������K�����K�K�K�K�K�K�K�K�K�K�����K�K�����K�K�K�������������K�����K�����K�����K�����K�����K�K�K�K���������������������������������K�K�K�����������������K�K�K�����K�K�����K�K�K�K�����K�K�K�������������K�K�K�K�K�������������K�K�K�K�K�����K�L����LLLLLLLLL	����LLL
��������L����������������������������������������L����L����L������������������������L����L����L��������������������������������L"L#L$L%L&L'����������������L)������������L*����L,L-L.L/L0����L2L3����L5L6L7����L9L:L;����L<L=L>L?L@������������LALBLCLDLE����LGLH����LILJLKLLLMLNLOLPLQ����LSLT����LVLWLX��������������������������������LXLYLZL[����������������L]L^L_L`LaLbLcLd����������������LfLgLhLiLjLkLl����LnLo����LqLrLs����LuLv������������Lw����LxLy����������������L{L|L}����L~LL�L�L�����L�L�����L�L�L�L�L�L�L�L�L���������������������������������L�L�L�L�L�L�L�����������������L�L�L�L�����L�L�L�L�����L�L�����L�L�L�L�����L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�����L�L�����L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L���������������������������������L�L�L�L�L�L�L�����������������L�L�����L�L�����L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�����L�L�����L�L�������������L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�����L�L�L�������������L�L�MM��������������������������������MM����������������MMM����M
MMM
������������MMMMMM����MMMMMMMM����MM����M!M"M#M$M%M&M'M(M)M*M+M,M-M.M/M0����������������M2����������������M3M4����M6M7M8M9M:M;M<M=��������������������������������M?M@����������������MBMC����MEMFMGMHMIMJMKMLMMMNMOMPMQ����MSMT����MVMWMX����MZM[����M]M^M_M`MaMb����MeMfMgMhMiMjMkMl����MnMoMp����MrMsMtMuMv��������������������������������MwMxMyMz����������������M|M}������������M~MM�M�M�������������������������M�M�������������������������M�M�����M�M�M�����M�M�M�M�M�����M�M�M�M�M�����������������M�M�����M�M�����M�M�������������M�M�M�M�M�M�M�M�M�M�M�M�M�M�M���������������������������������M�M�M�M�����������������M�M�M�����M�M�M�M�M�M�M�����M�M�����M�M�M�����M�����������������M�M�M�M�����M�M�M�M�M�M�M�����M�M�����M�M�M�M�M�����M�M�����M�M�M�M���������������������������������M�M�M�����������������M�������������M�M�M�NNNN����N������������NNNN	����N
NNN
����NN����NN����NNN����NNNN����NNN ����N!N"N#N$����������������N&N'N(����N*N+N,N-N.��������������������������������N0N1����������������N3N4N5����N7N8������������N9N:N;N<N=����N>N?����������������NANBNCNDNENFNGNH����NJNKNLNM����NONPNQNRNS����NUNV������������NWNXNYNZN[N\N]����N_N`NaNb��������������������������������P�NfNgNhNiNjNkNlNmNnNoNp����������������NrNsNt������������Nu����������������NwNx����NzN{N|����N~NN�������������N�N�N�N�N�����N�N�N�N�N�����N�N�����N�N�N�N�N�N�N�N�N�����N�N�N���������������������������������N�N�N�����������������N�N�������������N�����N�N�����N�N�N�����N�N�N�N�N�����N�N�����N�N�N�N�N�N�N�N�N�����N�N�N�����N�N�N�N�N�����N�N�N�N�N�N�N�N�����N�N�N���������������������������������N�N�N�N�N�N�N�N�������������N�����������������N�����������������N�N�N�N�N�����������������N�N�N�����N�N�������������N�N�N�N�N�����N�N�����������������N�N�N�N�N�N�N�N�����N�N�N�N�N�N�N�N�OO����OOOO��������������������������������OOOO	O
����������������OO
OOOOOOOO������������O����������������O����������������OO����OOO����O O!O"O#O$����O%O&O'O(����O*O+O,O-����O/O0����O2O3O4O5����O7O8O9������������O:O;O<����������������O>����O?��������������������������������OAOBOCODOEOF����������������OHOIOJOK����OMONOO����OQOROS����OUOV����OXOYOZ����O\������������O]����O^����������������O`OaOb����OcOdOeOfOg����OiOj����OkOlOmOnOoOpOqOrOsOt��������������������������������OvOw����������������OyOz������������O{O|O}O~OO�O�O�O�O�O�O�O�O�O�����O�O�O�����O�O�����O�O�����O�O�O�O�O�O�����O�O�����O�O�O�O�O�����O�O�O�O�O�O�O�O���������������������������������O�O�O�O�O�O�O�O�O�O�������������O�O�����������������O�O�O�����������������O�����O�����������������O�O�O�����O�O�O�O�������������O�O�O�O�O�O�O���������O�������������������������O�������������������������O�O�����O�O�O�O�O�O�O�O�O�O�����O�����O���������������������������������O�����O�����������������������������O�������������������������O�������������������������O�������������������������O�O�����O���������������������O�����P����P
������������������������������������������������P��������������������P����P������������������������P����������������������������P����������������P����������������PP����P��������������������P����������������������������������������������������P+��������������������������������������������������������������������������������������������P+��������������������������������������������P0������������������������P2������������������������P4������������������������P5P6����P7��������������������P9����P@��������������������������������������������������������������������PO��������������������������������PPPQPR����PX������������������������������������������������P\��������������������P]����P^������������������������P`����������������������������Pc����PdPf��������������������������������PhPiPjPk��������������������Pn��������PwPxPyPzP{P|P}P~����P�������������P�����P�����P�P�P�����P�P�����P�������������P�P�P�P���������������������������������P�P�����������������P�P�P�P�P�P�P�P�P�����P�P�����P�P�������������P�P�P�������������P�P�P�P�P�P�P�P�����������������P�P�����P�P�P�����������������P�P�P�P�����Q�P�P�P�P�P�P�P�P�P���������������������������������P�P�P�����������������P�P�P�P�P�����P�P�Q�P�P�P�P�������������P�����P�������������P�P�����P�����P�P�P�����P�P�P�����P�����P�����P�����P�P�P�P�������������P�P�P�P�P�P�P�����P�P�P�P�P�P�P�P�������������������������������������Q��������������������Q��������������������Q������������������������Q������������������������Q
QQ��������������������Q��������Q��������Q������������������������Q������������������������Q����������������QQQQQ����������������Q!Q"������������Q#Q$Q%Q&Q'Q(Q)Q*Q+������������Q,����������������Q.Q/Q0Q1Q2Q3Q4Q5Q6��������������������������������Q8Q9����������������Q;������������Q<Q=Q>Q?Q@QAQBQCQDQEQFQG����QI����QJ��������QM������������������������QO������������������������QR��������������������QT������������������������QV������������������������QYQZQ[Q\Q]����Q_Q`QaQbQcQdQeQf����QgQhQiQjQkQlQmQnQoQp��������������������������������QrQsQtQuQvQwQxQyQz����������������Q|������������Q}��������Q�������������������������Q�������������������������Q���������������������Q�������������������������Q�������������������������Q�����������������Q�Q�����Q�Q�Q�Q�����Q�Q�Q�������������Q�Q�Q�����������������Q�Q�Q�����Q�Q�Q�Q�Q�����Q�Q���������������������������������Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�����������������Q�Q�����Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�������������Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�����Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�Q�����Q�Q���������Q�������������������������Q�������������������������Q���������������������Q�������������������������Q�������������������������Q�������������������������������������������������RR����������������RRRRRRRR����RRRR����RRRRRR������������������������������������������������RRRRR R!R"R#R$R%R&R'R(R)����������������R+R,R-������������R.R/R0����R2����R3R4R5������������R6��������R9������������������������R;������������������������R=����������������R?R@����RBRCRDRE����RGRHRIRJRKRLRMRNRORPRQ��������������������������������RSRTRURVRWRXRYRZ����������������R\R]R^R_����RaRbRcRdReRf����RhRi����RkRlRm����RoRpRqRrRsRtRuRv����RyRz����R|R}R~RR�R�R�R�����R�R�R�R�R�����������������������������������������������������R�������������������������R�R�R�������������������������R���������������������R�����R�������������R�������������������������R�����������������������������������������������������R�������������������������������������������������R���������������������������������������������������������R���������������������������������R�������������������������R�������������������������R���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������R���������������������������������R�������������������������������������������������R�������������������������������������������������R�����������������������������S
����S������������������������S��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������S!������������������������������������S0S0S0S0S0S0����������������������������������������������������S5S6����������������S8S9S:S;S<S=S>S?����������������SA����������������SBSC����SESFSGSH����SJSKSLSM������������SNSOSPSQ����SSST����SVSW����SYSZS[������������S\����S]S^S_S`Sa����Sb����������������SdSe����SgShSiSjSkSlSmSn����������������������������������������������������S�������������������������S�������������������������S���������������������S���������������������S���������������������S�������������������������S�S�S�������������������������S���������S�������������������������S�������������������������S�������������������������������������S�S�S�S�S�S�����������������������������������������S�S�S�S�S�S�S�����������������S�S���������S���������������������S���������������������S�������������������������S�S�S�������������������������T����TTTT��������������������������������������������������������T������������������������TTT ��������������������������������������������T$����������������������������������������T'����������������������������������������������������T4��������������������������������������������������������������������������������������������T4������������������������������������T5������������T9������������������������T9����������������������������������������������������TB������������������������������������������������TB������������������������������������TL������������������������TO������������������������TO������������������������T_��������������������Ta������������������������Ta����������������������������Tr����������������������������Tw������������������������������������������������T|������������������������������������������������T|����������������������������T�����T�������������������������T�������������������������T�������������������������T�������������������������������������������������T�T�T�T�T�T���������������������������������������������T�T�T�T�T�T�T�T�T�����������������T�T�����T�T�������������T�T�T�T�T�T�����T�T�T�����������������������������������������������������T�������������������������T�������������������������T���������������������T�������������������������������������������������T�������������������������������������������������T�T�����������������������������U����������������������������U����U����U����������������������������UU������������������������������������U��������������������U����������������������������������������������������������������U)U,��������������������������������U1��������������������U5������������������������U8U;����������������������������UC����������������������������UI������������������������������������������������UN������������������������������������������������UN����������������������������UZ����������������������������Ua����Ub����Uc����������������������������UZ������������������������������������Uk����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������U{��������������������U������������������������U����������������������������U�����������������������������������������U�U�U�U�U�U�����������������������������������������������������U�U�U�U�U�U�U�U�U�����������������U�U�U�U�U�U�U�U�U�U�����U�������������U�U�U�U�U�U�U�U�U�U�U���������������������U�����������������������������U�����U�����U�����������������������������U�U�����������������������������U�U�U���������U�����������������������������U�����U�����U�����������������������������U�����������������������������U�����������������U�U�U�����U�U�U�U�U���������������������������������������������U�U�������������U�U�U�U�U�U�V����������������V����VVVV������������VVV	V
����V����VVV��������V������������������������V������������������������V.V/����V1V2V3����V4V5����V7����V8����������������������������������������������������V_������������������������Vb����Vh����ViVj��������������������������������������������������������������������������������������������������������Vj������������������������Vt������������������������V}������������������������V�����������������V�������������������������V�V�V�����������������������������������������������������V���������������������������������V�����������������������������������������������������V�������������������������������������������������������������������������������������������������V�������������������������V�������������������������V�����������������������������������������������������������������V���������������������������������V�������������������������V�������������������������V���������������������V�������������������������������������������������V�������������������������������������������������V�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������V���������������������������������������������������������V���������������������������������V�������������������������������������V�V�V�V�V�V���������������������������������������������������������������������W�������������Bq�x�I���Q����
�]��Q�������B�]���with��d���the�c���hemical�p�Goten�tial.�	Q�Lagrange's�m�ultipliers�������should�UUsatisfy���R�������<$��'���@��8�
��#=�w�fe8�����@��8����:��(�s�)���Z��i�������=Dp�=���m����i��
���8�2�h���f:�^���s����i����~�i����
���o�=�0�����`{(2.25)����-k����and��ϋ�������<$��-��@��8�
��)|f�w�fe������@��8����:��(�c�)���Z��i�������C|@�=���n����i���,��8�h����M�^���n����i����	T�i����
���o�=�0�;�����`{�(2.26)����������with�!�h���������i����
��	W=�standing�for�thermal�a���v�erages�!�for��H����
��5W�.�`�Then,������magnetizations�|nand�c���harge�densities�are�giv�en�b�y�sets�of�����m����i�����and�UU�n����i��TL�,��f�m�g��and��f�n�g�.�q�It�follo���ws�that��O��������<$��Gt�@��8�
����w�fes!�	(֍�@��8m����i������)l�=�������:��(�s�)���Z��i������
�<���b�������f�m�g�;����f�n�g������b������7������<$��l�1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�g�[�����B����H����i������`{�(2.27)����g�����and��ϋ�������<$���v�@��8�
���u�w�fe2;�	(֍�@��8n����i������0
��=�������:��(�c�)���Z��i������
R���b������:�f�m�g�;����f�n�g������b������7��8������i��TL�:�����`{�(2.28)��������Here,�S�it�!is�not�necessary�to�consider�the�dep�Gendence�of��
c�����
�+�on��f�m�g��and��f�n�g��through������:��(�s�)���Z��i�����and������:��(�c�)���Z��i���~��b�Gecause�of�������Eqs.���(2.25)�and�(2.26).��When�
�is�minimized�as�a�func-������tion��.of��f�m�g��and��f�n�g�,�G�it�follo���ws�from�Eqs.�(2.27)�and��
�ƍ���(2.28)�_gthat������:��(�s�)���Z��i���
^�=��������1����&�fe�s����2�����	:��g�[�����B����H����i��-|�and������:��(�c�)���Z��i���
*ò=��������i��TL�,�a�so�that��H����
������b�Gecomes����H���+�th�H����ext��م�.�}�The�set�of�Eqs.�(2.25)�and�(2.26)�is������nothing��!but�the�selfconsistency�condition�to�determine������magnetizations���and�c���harge�densities�for��H��;�+����H����ext��م�,��and�
������dened�UUthis�w���a�y�UUis�Landau's�free�energy�for��H�Q��+�8�H����ext��م�.������The�XMnormal�Hartree�term�is�giv���en�b�y������0��H~�=���������b�����������Ȋ�1��Ȋ��&�fe�s����2�����
�0�U�n����d��䍲+���ʍ������P����|���j���^H�V����:��8�(�c�)���Z��ij����ǵn����d����������b�����	?	�,��bwith��e�n����d��}�the�a���v�erage��eelectron�densit���y�dened��
�M����b���y��
Eq.�(2.2).���^��20��.�All�of�its�eects�are�included�in�the��unp��}'er-������turb��}'e�d���state�considered�in�Sec.�I�GI���A.�	xAnomalous�Hartree������and�ӗF��*�o�Gc���k�terms,��'whic�h�are�due�to�spin�or�c�harge�p�Golar-������izations,�UUare�giv���en�b�y��������V����
�fe�W�$���������"��,�(�s�)��񾍑,�i���yY��������:��(�s�)���Z��i�����+����8����^���������<$��
ȇ�1��
ȇ�w�fe�	(֍2��������U�m����i��
��+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍4��������
�P����X���j���I�j�g��(�6�=�i�)����!�J����:���9�(�p�)���Z��ij���Ս�m����j�g�������u���^���������`z�(2.29)����6]����for�UUspin�c���hannels,�and����������
�fe�W�$���������"����(�c�)��񾍑��i���	��������:��(�c�)���Z��i����ø����8����^���������<$��
ȇ�1��
ȇ�w�fe�	(֍2��������U���n����i���,�+����wA����X���j���8�j�g��(�6�=�i�)�����V����:��8�(�c�)���Z��ij����ǲ�n����j�����6����^������ �;�����`{�(2.30)��������for�UUthe�c���harge�c�hannel,�with���荍�;(>�n����i��d�=���n����i���,��8�n����d�����:�����`{�(2.31)���������Here,�<�Lagrange's�6�m���ultipliers,������:��(�s�)���Z��i���
���and������:��(�c�)���Z��i���
R�,�are�included,�������and�1+thermal�a���v�erages�1+�h���f:�^���s����i����~�i����
��
f��and��h����M�^���n����i����	T�i����
���are�replaced�b���y�����m����i����=�2�8and��n����i���a�b�Gecause�Eqs.�(2.25)�and�(2.26)�are�ev���en�tu-��8ލ���ally��satised.�DWhen�����
�fe�W�$���������"���j�(�s�)��񾍑�j�i����and�����
�fe�W�$���������"���j�(�c�)��񾍑�j�i����`�are�p�Gerturbativ���ely�con-������sidered���starting�from�the�F��*�ermi-liquid�state�considered�in������Sec.�[ZI�GI���A,�\�it�follo���ws�from�the�selfconsistency�condition�of������Eqs.�UU(2.25)�and�(2.26)�that��Rƍ����q��m����i������
�߲=�����]2����������X����t��7�j�����������wi���2�����(�i;���j����)����
�fe�W�$���������"���W�(�s�)��񾍑�W�j�g�����s�+�8�2��������X����t���N�j���1��� �j���2�����������wi���2��^��c��sʲ(�i;�j����1��|s�:j����2���)����
�fe�W�$���������"���W�(�s�)��񾍑�W�j���1��� �����_���
�fe�W�$���������"��ڶ�(�c�)��񾍑ڶ�j���2��������Í���]�+2����������X����t���N�j���1��� �j���2�����������wic��
s�(�i;���j����1��|s�;�j����2���)����
�fe�W�$���������"���W�(�c�)��񾍑�W�j���1�����(:���
�fe�W�$���������"�����(�s�)��񾍑���j���2��� ��������鍍��]�+2���������X����t�����j���1��� ����1��������
����X����t��u�j���2��� ����2�������#�q����X����t��#?v�j���3��� ����3����4	ݵ�����wi���1��� ����2������3����I�(�i;���j����1��|s�;�j����2���;�j����3���)�����Í���ND�����
�fe�W�$���������"���W�(�s�)��񾍑�W�j���1��� ����1�����u���
�fe�W�$���������"��Jm�(�s�)��񾍑Jm�j���2��� ����2�����*�,���
�fe�W�$���������"��0���(�s�)��񾍑0���j���3��� ����3����B�"�+��8�������������`{�(2.32)����������B�]����and���ލ����vD�n����i������癲=�����u�2����������X����t��7�j���������c����2�����(�i;���j����)����
�fe�W�$���������"���W�(�c�)��񾍑�W�j�������Í���uϲ+2����������X����t���N�j���1��� �j���2������������X������>����1����!㊵��0[�c�����wi�2���w�1����sʲ(�i;���j����1��|s�;�j����2���)����
�fe�W�$���������"���W�(�s�)��񾍑�W�j���1��� ����1�����u���
�fe�W�$���������"��Jm�(�s�)��񾍑Jm�j���2��� ����1����-#�+��8������/�;�������`|�(2.33)����� �卒��with����������wi���2�����(�i;���j����)�static�t���w�o-p�Goin�t���p�olarization�functions�������in���spin�c���hannels,�i������c����2�����(�i;���j����)�those�in�c�harge�c�hannels,�����������wi���2��^��c��sʲ(�i����1��|s�;���i����2���;�i����3���),�G������wic��
s�(�i����1���;�i����2���;�i����3���)�}�and������c��wi���2���sʲ(�i����1��|s�;�i����2���;�i����3���)�}�static������three-p�Goin���t��
ones�with�t�w�o�spin�v�ertexes�and�a�c�harge�v�er-������tex,���and�����������1��� ����2������3������4��� &�(�i����1��|s�;���i����2���;�i����3���;�i����4���)���static�four-p�Goin���t�ones�with������four�UUspin�v���ertexes.������Note��that������s��F:�(0�;����q�)�^e=������P���
젟�j�����������wi���2�����(�i;�j����)�e���^���i�q��(�R���i��*���R���j���a�)��5C��for����[�=��=u���x�,�Z��y��B�and�&i�z�p��,�and������c���(0�;����q�)�#�=������P����ȟ�j��������c����2�����(�i;�j����)�e���^���i�q��(�R���i��*���R���j���a�)��1�z�.��It���t����follo���ws��from�Eqs.�(2.32)�and�(2.33)�that�in�the�w�a�v�e-������n���um�b�Ger�UUrepresen�tation��'j������޵�������(�s�)���፺q�����������=���������<$��#d˵m����q������w�fe!Ҩ�	(֍�����s��F:�(0�;����q�)�����@��������<$���'�2��l�w�fe!D(�	(֍�����s��F:�(0�;����q�)��������)ɟ���X������'��q���1��� �q���2����:��������wi���2��^��c��sʲ(�q�;����q����1��|s�;��q����2���)����
�fe�W�$���������"���W�(�s�)��񾍑�W�q���1��� �����}����
�fe�W�$���������"��S�(�c�)��񾍑S�q���2�������������������<$��UG�1��33�w�fe!D(�	(֍�����s��F:�(0�;����q�)��������)������X������%U6����1��� ����2������3�������D�\����X������>�^�q���1��� �q���2���q���3����Zr˵�����wi���1��� ����2������3����I�(�q�;����q����1��|s�;��q����2���;��q����3���)�����S����St������
�fe�W�$���������"���W�(�s�)��񾍑�W�q���1��� ����1������n���
�fe�W�$���������"���ű(�s�)��񾍑�źq���2��� ����2�����-�ܟ��
�fe�W�$���������"��3�3�(�s�)��񾍑3�3�q���3��� ����3����G*�+��8�������������`{�(2.34)����������and���0������X��������(�c�)���፺q����������=���������<$��$q�n����q���p�w�fe!�O�	(֍�����c���(0�;����q�)�����B{u������<$��tz�1��l�w�fe!ϟ	(֍�����c���(0�;����q�)��������(�p����X������'Z��q���1��� �q���2�������:b�����X������=������1����J���0[������wi�2���w�1���^��c��sʲ(�q�;����q����1��|s�;��q����2���)�����S����q�������
�fe�W�$���������"���W�(�s�)��񾍑�W�q���1��� ����1������n���
�fe�W�$���������"���ű(�s�)��񾍑�źq���2��� ����1����0��+��8��������/�;�������`z�(2.35)���������with��5����,?ϵm����q����X�=�����<$��
J1���K�w�fe	��	(֍�N���������$����X����t����i��� ��m����i����e�������i�q��R���i�����;�����`z�(2.36)����/���++_�n����q����=�����<$��
J1���K�w�fe	��	(֍�N���������$����X����t����i��� ���n����i��TL�e�������i�q��R���i�����;�����`|�(2.37)�������-s���������(�s�)���፺q����
MT�=�����<$��
J1���K�w�fe	��	(֍�N���������$����X����t����i��� ������:��(�s�)���Z��i���
�<�e�������i�q��R���i�����;�����`{�(2.38)�������-����������(�c�)���፺q���
��=�����<$��
J1���K�w�fe	��	(֍�N���������$����X����t����i��� ������:��(�c�)���Z��i���
R�e�������i�q��R���i�����;�����`{�(2.39)������������
�fe�W�$���������"���k�(�s�)��񾍒�k�q��������"%��=���������<$��/�'1��-�(�w�fe	��	(֍�N��������9�����X����t��?���i����Jr���
�fe�W�$���������"��O�ɱ(�s�)��񾍒O�ɴi���Z]�e�������i�q��R���i����������"%��=�����,����������(�s�)���፺q������+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�U�m����q���� �+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍4������J���9�����(�p�)��Ս�(�q�)�m����q���	�@�;�������`z�(2.40)�����)������U0���
�fe�W�$���������"��*��(�c�)��񾍒*��q�������$D��=���������<$��2�1��0�w�fe	��	(֍�N��������<ğ���X����t��A҃�i����L 5���
�fe�W�$���������"��Q���(�c�)��񾍒Q���i���\Ho�e�������i�q��R���i����������$D��=�����.Ҹ��������(�c�)���፺q����ø�����<$��l�1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�U���n����q���W��8�V��8�����(�c�)���ǲ(�q�)�n����q��Gw�;�������`|�(2.41)������������n�4�����b����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������WWWW��������������������W	��������WW
W����W������������WWWWWWW����W������������WWWW����WWW W!W"����������������W$W%W&W'W(W)W*W+W,W-����W/����W0W1W2W3W4W5W6W7W8W9����������������������������������������W;W<W=W>W?W@����������������WBWCWDWEWFWGWH��������������������������������������������������������������������������������W���������������������W�������������������������������������������������������������������������������������������������W�����������������W�����������������������������W�����W�����W�����������������������������W�W���������������������������������������������W���������������������W�������������������������W�W�������������������������W���������������������W�����W���������������������������������������������������������������������W�W���������������������������������W�������������������������W�������������������������W�����W���������������������������������W�W�W�W�W�W�������������������������������������������������W�W�W���������������������������������������������������������������������������������XE��������������������XE������������������������������������������������������������������������������������������������XE����������������XE����������������������������XE����XE����XE����������������������������XE��������������������������������������������XH��������������������XJ������������������������XJ������������������������XP����������������XX������������������������������������������������������������������������������������������������������������Xl������������������������Xl������������������������Xx����Xy����X{������������������������������������X�X�X�X�X�X�������������������������������������������������X�X�X�X���������������������X�����X�����������������X�����X���������������������X�������������������������X�������������������������X�X�X�X�X�X�X�X�����X�X�X�����X�X�X�X�X�X�X�����X�������������X�����X�X�X�X�X�X�����������������X�X�X���������X�������������������������X�������������������������X�����������������X�X�X�X�X�����������������������������X�X�X�X�X�X�X�X�X�X�X�X�X�X�����������������YYY����Y������������YYYY	Y
����YY
YYYYYYY����YYY����YYY����YY����Y ����Y!����Y#Y$Y%Y&����Y(Y)��������������������������������Y,������������������������Y4������������������������Y7Y8Y9��������������������Y<������������������������Y>������������������������Y@��������YD����YE����YM��������YPYQYR��������YV����YW����YY����Y[����������������Y]Y^����Y`YaYbYcYd������������YeYf����YhYiYjYk��������������������������������������������������������������������������������Y���������������������Y�������������������������������������������������������������������������������������������������Y�����������������Y�������������������������Y�Y�����������������������������������������Y���������������������Y�����������������������������Y�����Y�����Y�����������������������������Y�Y���������������������������������������������������������Y���������������������������������Y�����Y�����Y�����Y���������������������Y�����Y�����Y���������������������������������Y���������������������������������Y�����������������������������������������������������Y���������������������������������������������������������������������������������������������Y�������������������������������������Y�������������Y�������������������������Y�������������������������Z������������������������ZZ����������������������������������������ZZZZZZ������������������������������������������������ZZZ��������������������������������������������������������������������������������Z`��������������������Z`������������������������������������������������������������������������������������������������Z`����������������Z`������������������������Z`����������������������������������������Zb��������������������Zj����������������������������Zq����Zr����Zs����������������������������Zj��������������������������������������������������������Zz��������������������������������Z|����Z}����Z�����Z���������������������Z�����Z�����Z���������������������������������Z���������������������������������Z���������������������Z�����Z�������������������������Z�������������������������Z�������������������������������������Z�Z�Z�Z�Z�Z�������������������������������������Z�Z�Z�Z�Z�����������������Z�Z�����������������Z�Z�����Z�Z�Z�����Z�Z�Z�Z�Z�Z�Z�Z�Z�����Z�Z�����Z�Z�Z�Z�Z�Z�Z�Z�����Z�Z�Z�����Z�Z�Z�������������Z�Z�Z�Z�Z�Z�Z�����Z�Z�����������������������������������������Z�����������������Z�Z���������Z�����[����[��������[[[
��������[����[����[��������[[[[[[[��������[&����������������������������[0����[1����[2����������������������������[)[,����������������������������[6[7[8��������[A����������������������������[H����[I����[J����������������������������[A����������������������������[N������������[O[P[Q[R[S[T����[V[W����������������������������������������[Y[Z[[[\����������������[^[i[i[i[i[j����[l[m[n����[p[{[{[{[{[|[}����������������[�[�[�[�����[�����[�[�����[�[�[�[�[�[�[�[�[�����[�[�����[�����[�[�[�[�[�����������������������������[�[�[�[�����������������[�[���������[�����[�����[���������[�[�[���������[�����[�����[�����[�����������������[�[�����[�[�[�[�[�������������[�[�����[�[�[�[�����[�[�[�[�����[�[�[�[�[�[�����[�[�[�����������������������������������������[�[�[�[�[�[�����������������[�[�[�[���������\����������������������������\����\����\����������������������������\\����������������������������\����������������������������������������������������\#��������������������������������������������������������������������������������������������\#������������������������������������\$������������\'������������������������\'������������������������\-������������������������\0\3������������������������\7\8\9��������\B����������������������������\I����\J����\K����������������������������\B����������������������������\M����������������\S����\W������������������������\W������������������������\]����������������\_\`����\b\c\d\e��������\h������������������������\h������������������������������������\{������������\|\}\~\\�\���������������������\���������������������\���������������������\�������������������������\�\�\�������������������������\�����������������\�\�\�����\�\�\�����\�\�����\�\�\�\�����\�\�\�\�\�\�����\�\�\�����\�\�\�\�\�\�����\�\�����������������������������\�\�\�\�\�\�\�����������������\�\�\�����\�\�\�����\�\�\�\�\�\�\�\�\�\�\�\�\�\�\�����\�\�\�\�\�\�\�\�\�����\�\�����\�\�]]]]]]]����������������������������]]	]
]]]
]]]]]]]]����������������]]]����]������������]]]]] ����]"]#]$]%]&]'](])]*����],]-].��������]1��������������������]9��������������������]:������������������������]D]E]F������������������������]I����������������]K]L]M����]U����������������������������]X]Y]�]\]]]^����������������]`]a]b]c����]e������������]f����]g����������������]i]j����]l]m]n]o]p]q]r]s����]u]v]w]x����]z]{]|]}]~]����]�]�]���������]���������������������]���������������������]�������������������������]�]�]�������������������������]�����������������������������]�]�]�����������������]�]�]�]�]�]�����]�]�]�]�]�]�]�����]�]�]�]�����]�]�����]�]�]�������������]�]�����]�����]���������]�������������������������]�������������������������]���������������������]���������������������������������^����������������������������������������������������������������^��������������������������������������������������������������������������������������������^������������������������������������^����������������^������������������������^������������������������^����������������������������������������������������������������^��������������������������������������������^������������������������^��������������������������������������������^$����^%����^&����������������������������^^ ����������������������������^(������������������������^*����������������������������������������������������^0��������������������������������^2����������������^4^5^6^7��������������������^:������������������������^<������������������������^?^@^A����^C������������^D����^E^F^G^H^I����������������^K^L^M^N^O^P^Q^R����^T^U^V^W^X^Y������������^Z����^\^]_d^`^a^b����������������������������������������^d������������^e����������������^g^h^i����^k^u^u^u^v^w������������������������^�^�������������������������^�^�^�����^�^�����^�^�^�����^�_d^�^�^�^�����^�^�^�����^�^�^�^�^�^�^�^�����^�^�����^�^�^���������^�^�^�����������������^�^�^�����������������������������^�^�^�^�����������������^�����^���������������������^�^�^�^�^�����^�^�^�^�^�^�^�^�^�^�����^�^�����^�^�^�^�����^�������������^�����������������^�^�����������������^�^�^�^�^�^�^�^�^�����^�^�_____����������������������������___����������������_
����������������_������������_������������_
����______����������������____����_����___����_!_"_#����_%_&����_(_)_*_+����_-_.����_0����_1_2_3_4_5����_7������������_8_9_:_;_<����������������������������_<_=_>_?_@_A_B_C_D����������������_F_G_H����_J_K_L������������_M_N����_P����_Q����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������_{����������������������������������������������������_�����_�����_���������������������������������������������_�_�����������������������������_���������������������_�����������������������������_�����_�����_�����������������������������_�_�����������������������������_�������������������������������������������������_�����������������������������������������������������������������_���������������������������������������������������������������������������������������������_�������������������������������������_�����������������_�������������������������_�_�������������������������_�������������������������������������������������_���������������������������������������������������������������������������������������������_�����������������������������������������������������������������_�������������������������������������������������_�����������������_�����_�����_�����_�����_�����������������������������_���������������������������������������������_�����_�����_�����������������������������_�_�����������������������������_�������������������������`������������`����������������������������������������������������`������������������������������������������������``````������������������������������������������������`` `!����������������`#`$`%`&����`(������������`)`*`+`,`-`.`/`0����`2`3`4����������������������������������������������������������������������������������������������������������������`\����������������������������������������������������`l����`m����`n��������������������������������������������`\����������������������������`v��������������������`~����������������������������`�����`�����`�����������������������������`~����������������������������`�������������������������������������������������`�����������������������������������������������������������������`���������������������������������������������������������������������������������������������`�������������������������������������`���������������������`�����`�������������������������`�������������������������`�������������������������������������������������`�������������������������������������������������`�����������������`�����`�����`�����`�����`�����������������������������`���������������������������������������������`�����`�����`�����������������������������`�`�����������������������������`�����`�������������������������`�����������������������������������������������������`���������������������������������`�������������������������������������`�`�`�`�`�`�������������������������������������`�`�`�����������������`�`�`�����`�������������`�aaaa����a����aaaa	a
aa����aaaa��������������������������������������������a8����a:������������������������a:������������������������a@��������������������aB������������������������aB������������������������aH��������������������aJ������������������������aJ������������������������aP������������������������������������a_a_a_a_a_a_������������������������������������������������acadaeafag����������������aiajakalamanaoapaqar����������������at������������auavawaxayaza{a|a}a~a��������a�����������������������������a�����a�����a�����������������������������a�a�����������������������������a�a�a���������a�����������������������������a�����a�����a�����������������������������a�����������������������������a�����a�a�a�����a�a�a�a�a�a�a�a�a�����������������������������������������a�a�a�����������������a�a�a�a�a�a�a�����a�������������a�����a�a�a�a�a�a���������������������a���������������������������������������������������������������������a�a���������������������������������a�������������������������a�������������������������bbb��������b������������������������������������������������������������������������������������������������������������b������������������������b������������b+b,b-����b/b0b1b2b3b4b5b6����b8������������b9��������������������������������b<������������������������b?bB������������������������bD����bE����������������bHbIbJ��������bM������������������������bO������������������������bR������������bSbTbUbVbWbX����bZb[b\b]����b_bjbjbjbjbk����bmbnbo����bqb|b|b|b|b}����bb�b�����b�b�������������b�b�����b�b�b�����������������������������������������b�b�b�b�����������������b�b�b�b�b�c�b�b�b�����������������b�b�b�b�������������������������������������������������������������������������������������b�����������������������������������������������������b�����b�����b���������������������������������������������b�b�����������������������������b�b�b�������������������������������������������������������������������������������������b�����������������������������������������������������b�����b�����b���������������������������������������������b�����������������������������b�b�b�����b�������������b�b�b�b�b�b�b�b�b�b�������������b�b�b�����b�b�b�b�����������������������������b�b�b�b�b�b�c����������������cccccccc	����ccc
c����ccc����c����������������ccccccccccc����c!c"c#c$c%����c'c(c)c*c+c,c-c.c/c0����c2c3����������������������������c5c6c7c8����������������cI������������cI����������������cIcJ����������������cLcM����cOcPcQcRcS������������cTcU����cWcXcYcZ����c\c]c^����c`cacbcccdcecfcgchcicjckclcmcn����cpcqcrcsctcucvcwcx����czc{����������������������������c}c~cc�����������������c�c�c�c�c�c�����c�c�c�����c�c�c�c�c�c�����c�c�c�c�����������������������������������������������������c�������������������������c�c�����������������������������������������c���������������������������������c�������������������������������������������������c�������������������������������������������������c�����������������������������c�������������������������c�������������������������������������c�����������������������������c�����c�c�����������������c���������������������c���������������������������������������������������������������������������������c�����������������������������������������������������d����d����d��������������������������������������������d������������d����������������������������d����������������d������������������������������������d ������������������������������������������������d#������������������������d%������������������������d'������������������������d)��������������������d.������������������������d3������������������������������������d3������������������������d8������������������������d:����d;d<����d=������������������������d?������������������������d@dA������������������������dC������������dD��������������������������������������������������������������������������������dN����������������������������������������������������dc����dd����de��������������������������������������������dZ������������������������d\������������������������d_��������������������������������������������������������������������������������������������������������dp����������������������������������������������������d�����d�����d���������������������������������������������d|������������������������d~������������������������������������������������������������������������d�d�������������������������������������������������d�������������������������������������������������d�������������������������d�������������������������d�������������������������d���������������������������������d�������������������������d�������������d�d�������������������������d�����d�d�����������������d�������������������������d�������������������������d�����d�������������������������d�������������d���������������������������������������������������������������������������������d�����������������������������������������������������d�����d�����d���������������������������������������������d�������������������������d�������������������������������������������������������������������������������������������������������������d�����������������������������������������������������e����e����e��������������������������������������������d�������������������������d�������������������������e��������������������������������������������������������������������ee������������������������������������������������e!������������������������������������������������e$������������������������e$������������������������e+������������������������e+������������������������������������������������������������e4������������������������������������������������e7������������������������e7������������������������e>������������������������e>������������������������������������������������������������eG������������������������������������������������eJ������������������������eJ������������������������eQ������������������������eQ��������������������������������eZ������������������������e_������������eb������������������������eb������������������������ei������������������������ei������������ep������������������������ep����������������������������ev����ewex����������������ey������������������������ey������������������������e~����e������������������������e������������e�����e�������������������������e�������������e�������������������������������������������������������������e���������������������������������������������������������������������������������e�����������������������������������������������������e�����e�����e���������������������������������������������e�������������������������e�������������������������e�������������������������e�������������������������������������������������������������������������������������������������������������e�����������������������������������������������������e�����e�����f��������������������������������������������e�������������������������e�������������������������e�������������������������e�������������������������������������������������������������������������������������������������������������f����������������������������������������������������f&����f'����f(��������������������������������������������f������������������������f������������������������f������������������������f��������������������������������f+������������������������f2����������������f2����f2������������������������������������������������fAfAfAfAfAfA����������������������������������������������������������������������������fEfFfG����������������������������������������������������fq����fs������������������������fs��������������������������������������������fz������������������������������������f~������������������������������������������������f�������������������������������������������������f�����������������������������f�������������������������f�������������������������f�����������������������������f�����f�f�����������������f���������������������f���������������������������������������������������������������������������������f�����������������������������������������������������f�����f�����f���������������������������������������������f�������������������������������������������������������������������������f�f�������������������������������������������������f�������������������������������������������������f�������������������������f�������������������������f�������������������������f�������������������������������������������������������������f�������������������������������������������������f�������������������������f���������������������������������f�������������������������gg����������������������������������������g������������������������g��������������������������������g����gg����������������g������������������������g������������������������g����g������������������������g������������g��������������������������������������������������������������������������������g'����������������������������������������������������gB����gC����gD��������������������������������������������g3������������������������g3������������������������g:������������������������g:������������������������������������������������������������������������������������������������������������gO����������������������������������������������������gj����gk����gl��������������������������������������������g[������������������������g[������������������������gb������������������������gb��������������������������������gp������������������������gw����gw����gw������������������������gy��������������������������������������������g�g�g�g�g�g���������������������������������������������������������g�g�g�g���������������������g�������������������������g�������������������������������������g�����������������������������g�����g�g�����������������g���������������������g�����g�g�g�g�g�g�����g�������������g�����g�g�g�������������g�g�g�����g�����������������g�����g�g�g�g�g�g�g�g�g�g�g�����g�g�g�g�g�g�g�g�g���������������������������������������������g�g�����������������g�g�g�g�����g�������������g�g�g�g�g�g�g�g���������������������g�������������������������g�������������������������g�����������������������������g�����g�g�����������������g���������������������g�����g�g�g�g�g�����g�g�����g�����g�hhhh����h����hhhh	h
hhh
������������������������������������h������������������������h������������������������������������h������������������������h������������������������h����h������������������������h������������������������h$����������������h%������������������������h%������������h*����h+������������������������h+������������h0h2��������������������h7������������������������h<������������h>hA������������������������hC����hD������������������������hD������������hI����hJ������������������������hJ������������hO����hP������������������������hP������������hU����������������hXhYhZ��������h_������������������������hbhe������������������������������������he����������������������������hk����hl������������������������hl������������������������hq����hr������������������������hr������������hw����hx������������������������hx������������h}����������������h�h�h�h�h�h���������������������������������h�h�h�h�h�h�h�������������h�h�h�������������h�����������������h�h�h�h�����h�h�h�h�����h�����h�����h�����h�h�h�h�����h�����h�h�h�h�h�h�h�����h�h�h�����h�����h�����h�h�h�h�h�����h�����h�h�h���������������������������������h�h�h�h�����������������h�h�h���������������������h�������������������������h�������������������������h�������������������������h�������������������������h�������������h�������������������������h�������������h�������������������������h�����������������������������h�����h�������������������������h�������������������������h�����������������h�������������������������h�������������h�����h�������������������������h�������������h�����h�������������������������h�������������i����������������ii	i
iii
����iiiiii������������iii������������i����iiii����ii i!i"��������������������������������i$i%i&i'����������������i)i*i+i,����i.������������i/i0i1i2i3i4i5i6��������������������������������i:i;i<i=����������������i?i@iAiB��������iG������������������������iG������������������������iLiM����iN��������������������iO����iV����������������iX����������������������������i]��������������������������������������������i]������������������������ie������������������������ij������������������������������������ij����������������������������ip����iqir����is��������������������it����iv������������������������iy����iz����i|����i�����i�����i�������������������������i�������������������������i�����i�������������������������i�������������������������i�������������������������i�i�i���������������������i���������������������i�������������������������������������������������i�����i���������������������i���������������������i�i�i���������������������i�����������������i�����i�i�i���������i�������������������������i�������������������������i�i�����i���������������������i�����i�����������������i�����������������������������i���������������������������������������������i�������������������������i�������������������������i�������������������������i�����������������������������i�����i�i�����i���������������������i�����i�������������������������i�����i�����i�����j����j	����j
������������������������j
������������������������j����j������������������������j������������������������j!������������������������j%����������������j'j(��������������������������������������������j*j+j,j-j.������������j/j0����������������j2j3j4j5����j7j8j9j:����j<jIjIjIjIjJ����jLjMjN����jPj]j]j]j]j^����j`jajbjc����jfjg����jijjjk����jm����jn����jo����jpjq��������������������������������jr������������jsjt����ju������������jvjw����������������jyjzj{j|j}j~jj�����j�j�j�j�j�j���������������������������������������������������������j�����������������������������j�����j�����j�����������������������������j�����j�������������������������������������������������j�������������������������������������������������������������������������j�������������������������j�����j���������������������������������������������������������������������������������������������������������j�������������������������j�������������������������j�j�����j���������������������j�����j�����������������������������������������j�����������������������������������������������������k������������������������������������������������������������������������������������������������k������������������������k������������������������kk����k��������������������k����k����������������������������������������������������������������k������������������������������������������������k������������������������k������������������������k&������������������������k&��������������������������������k5������������������������k:������������������������������������k:������������������������k?������������������������kA����kB����kI��������������������kJ������������������������kJ������������������������kU��������kV������������������������kV������������ka��������������������������������������������������������������������������������kl����������������������������������������������������k�����k�����k���������������������������������������������kx������������������������kx������������������������k���������������������������������������������������������������������������������������������������������k�����������������������������������������������������k�����k�����k���������������������������������������������k�������������������������k�����������������������������������������������������������������������������k�����������������������������������������������������k�������������������������������������������������������������������������������������������������k�������������������������k�������������������������k�k�����k���������������������k�����k�����������������������������������������������������������������k�������������������������������������������������k�������������������������k�������������������������k�������������������������k�������������k�������������������������k�������������������������������������������������������������l������������������������������������������������l������������������������l������������������������l������������������������l������������l!������������������������l!��������������������������������l0������������������������l5������������l8������������������������l:������������������������l=������������������������l?������������lB������������������������lD����������������������������lG����lH����lO��������������������lP������������������������lP������������������������l[��������l\������������������������l\������������lg��������lh������������������������lh������������ls����������������������������������������������������������������l���������������������������������������������������������������������������������l�����������������������������������������������������l�����l�����l���������������������������������������������l�������������������������l�������������������������l�������������������������l�������������������������������������������������������������������������������������������������������������l�����������������������������������������������������l�����l�����l���������������������������������������������l�������������������������l�������������������������l�������������������������l�������������������������������������������������������������������������������������������������������������m����������������������������������������������������m"����m#����m$��������������������������������������������m
������������������������m
������������������������m������������������������m��������������������������������m'������������������������m.����������������m.����m.������������������������������������������������m=m=m=m=m=m=��������������������������������������������������������mBmCmD��������������������������������������������������������mn����������������������������m{����m|����m}����������������������������mn������������������������������������������������m���������������������������������������������������������������������m�����m�������������������������m���������������������������������������������������������������������������������������������������������m�������������������������m�������������������������m�m�����m���������������������m�����m�����������������������������������������m�����������������������������������������������������m�������������������������������������������������������������������������������������������������m�������������������������m�������������������������m�m�����m���������������������m�����m�����������������������������������������������������������������m�������������������������������������������������m�������������������������m�������������������������m�������������������������m�������������������������������������������������������������m�������������������������������������������������m�������������������������m���������������������������������n������������������������n	����������������������������������������n	������������������������n	����������������������������n������������������������n����n����n��������������������n������������������������n������������������������n(��������n)������������������������n)������������n4����������������������������������������������������������������n\��������������������������������������������������������������������������������ng����������������������������������������������������n�����n�����n���������������������������������������������ns������������������������ns������������������������n�������������������������n�������������������������������������������������������������������������������������������������������������n�����������������������������������������������������n�����n�����n���������������������������������������������n�������������������������n�������������������������n�������������������������n���������������������������������n�������������������������n�����������������n�����n�������������������������n���������������������������������������������n�n�n�n�n�n���������������������������������������������n�n�n�n�����������������������������������������������������n�������������������������n�����n�������������������������n�������������������������������������������������o
������������������������������������������������������������������������������������������������o
����������������������������������������������������������������o������������������������������������������������o����������������������������o������������������������oo������������������������o������������������������o!����o"����o#����o.����o0������������������������o0����������������������������o<������������������������������������oKoKoKoKoKoK��������������������������������������������������������oe����og������������������������og������������������������op������������������������������������������������o{������������������������������������������������������������������������������������������������o{����������������������������������������������������������������o������������������������������������������������o����������������������������o�����o�������������������������o�������������������������o�������������������������o�����o�����o�����o�����o�������������������������o�����������������������������o�������������������������������������o�o�o�o�o�o�������������������������������������������������o�����������������������������o�����o�����o�����������������������������o�����o�����������������������������o�������������������������������������������������o�������������������������������������������������������������������������������������������������o�����������������������������������������������������������������o�������������������������������������������������o�����������������������������p����������������������������p����p����p����������������������������pp����������������������������p������������������������p����p����p����p*����p,������������������������p,����������������������������p8������������������������������������pGpGpGpGpGpG������������������������������������������������pc����������������������������pf����pg����ph����������������������������pc����������������������������pr������������������������������������������������p}������������������������������������������������������������������������������������������������p}����������������������������������������������������������������p�������������������������������������������������p�����������������������������p�����������������������������p�����p�����p�����������������������������p�����������������������������p�������������������������p�����p�����p�����p�����p�������������������������p�����������������������������p�������������������������������������p�p�p�p�p�p���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������p���������������������������������������������������������p�����p�����p�������������������������������������������������p�����p�������������������������������������������������q��������������������������������������������������������������������q����������������������������������������������������������������������������������������������������q��������������������������������������������������������������������q����������������������������������������������������q������������������������������������������������������������������������������������������������������������q#��������������������������������������������������������q6����q7����q8������������������������������������������������q/q2��������������������������������q;������������������������q>����q?����q@����qK����qM������������������������qM������������������������������������������������������������������������qh����������������������������������������qq����������������������������q�����q�����q�����������������������������qt����q}����������������������������q�������������������������������������������������q���������������������������������������������������������������������������������������������q�������������������������������������q�����������������q�������������������������q�����q�������������������������q�������������������������������������������������q���������������������������������������������������������������������������������������������q�������������������������q�����������������������������������������q�����q�����q�������������������������q�����q�����q�����q�������������������������q�����q�������������������������q���������������������������������������������q�q�q�q�q�q�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������q���������������������������������������������������������r����r����r
������������������������������������������������q�������������������������������������������������r��������������������������������������������������������������������r&����������������������������������������������������������������������������������������������������r&��������������������������������������������������������������������r+����������������������������������������������������r+������������������������������������������������������������������������������������������������������������r:��������������������������������������������������������rJ����rK����rL������������������������������������������������r:��������������������������������rO������������������������rR����rS����rT����r_����ra������������������������ra������������������������������������������������������������r|����������������������������������������r�����������������������������r�����r�����r�����������������������������r�����������������������������r�����������������������������������������������������r���������������������������������������������������������������������������������������������r�������������������������������������r���������������������r�����r�������������������������r�������������������������r���������������������r�����������������������������������������r�����r�����r�������������������������r�����r�����r�r�����r�������������������������r�������������������������r���������������������������������������������r�r�r�r�r�r�������������������������������������������������������������������������v��������������b�|�m���Q����
�]��Q�������E������"���������1��� ����2������3���<��(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���)�����G.�=���������<$��U@1��R�A�w�fe	��	(֍�N��������a�X����X����t��^��i���1��� �i���2���i���3����t���������1��� ����2������3���<��(�i����1��|s�;���i����2���;�i����3���)����-u����5I'��e�������i�[(�q���1��� ��R���i����1����)+(�q���2����R���i����2����)+(�q���3����R���i����3����)]��w�%�;�������`z�(2.42)����������and���^�������������1��� ����2������3������4��� &�(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)�����Y��=���������<$��gb&1��eR'�w�fe	��	(֍�N��������t8�����X����t��m���i���1��� �i���2���i���3���i���4��������������1��� ����2������3������4��� &�(�i����1��|s�;���i����2���;�i����3���;�i����4���)����-u�����=��e�������i�[(�q���1��� ��R���i����1����)+(�q���2����R���i����2����)+(�q���3����R���i����3����)+(�q���4����R���i����4����)]���铵:�������`{�(2.43)���������Because�UUof�the�translational�symmetry��*�,��������������1��� ����2������3���<��(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���)���/������q���1��� �+�q���2���+�q���3�������`|�(2.44)��������and�����v���������1��� ����2������3������4��� &�(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)���/������q���1��� �+�q���2���+�q���3���+�q���4���5��;�����`{�(2.45)��������with��č��0�������q����=�������\�(����4j���
�S�1�;����ƹq���=��G���0����
�S�0�;����ƹq���6�=��G����>c��:������`{�(2.46)�����ō���Eqs.�ń(2.34)�and�(2.35)�can�b�Ge�solv���ed�in�an�iterativ�e�������manner.�l�When��a�j�m����q���	�@�j�����1�and��j��n����q��Gw�j���1,�(�Eqs.�(2.34)��N6����and���(2.35)�giv���e�trivial�relations,��R�����:��(�s�)��v��q����
MT�=���m����q���	�@�=����s��F:�(0�;����q�)�and���������:��(�c�)��v��q���
O�=��,�n����q��Gw�=����c���(0�;����q�).��QWhen�u.these�appro���ximate�relations������are�UUmade�use�of,�it�follo���ws�that���%�����b
���
�fe�W�$���������"��$7a�(�s�)��񾍑$7a�q��������1���=���������<$��G#��m����q����=F�w�fe&D)�	(֍�2�����s��F:�(0�;����q�)�����g���'�����<$���K�1���K�w�fe�	(֍2�����
-�U�m����q���������`{�(2.47)�����ы����and��덍���4ɬ���
�fe�W�$���������"��:��(�c�)��񾍑:��q�������G���=���������<$��\��n����q���Szg�w�fe&П	(֍�2�����c���(0�;����q�)�����z�j�:�������`z�(2.48)�����_č���In��Eq.�(2.47),���Eq.�(2.14)�is�also�made�use�of.�N8When�these������are�UUused�in�Eqs.�(2.34)�and�(2.35),�it�follo���ws�that��ύ���p/��������(�s�)���፺q���������ڲ=���������<$��+��m����q����$TC�w�fe!Ҩ�	(֍�����s��F:�(0�;����q�)�����I����8�2���� [����X���������q���1��� �q���2�����~�g�[ٲ(�q�;����q����1��|s�;��q����2���)�m����q���1��� ���
�`��n����q���2������\y����#!�+����P����X������������1��� ����2������3������� �Ο���X������кq���1��� �q���2���q���3����6�=�b�����wi���1��� ����2������3����I�(�q�;����q����1��|s�;��q����2���;��q����3���)����\u����?����m����q���1��� ����1����m����q���2��� ����2����m����q���3��� ����3���P��+��8�������������`z�(2.49)����������and��덍���;Z��������(�c�)���፺q�������*��=���������<$���	�n����q�����w�fe!�O�	(֍�����c���(0�;����q�)�����6�w������S����X������8����1��� �q���1���q���2����*6�g�[ٲ(�q�;����q����1��|s�;��q����2���)�m����q���1��� ����1����m����q���2��� ����1���P��+��8������/�;����������`|�(2.50)���������with��kp���.�g�[ٲ(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���)��=�����<$���K�U����^��2���������x����2��� �c����(�q����1���;��q����2���;��q����3���)���K�w�feN��	(֍���2���r�2�������c���(0�;��q����1���)���������`{(2.51)����ы����and��.�y��������µb�������1��� ����2������3������4��� &�(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)��=�������<$��33�U����^��4���33�w�fegw�	(֍�u��2���r�3�������ݵ�������1��� ����2������3������4��� &�(�q����1��|s�;��q����2���;��q����3���;��q����4���)�:���\	�����`{�(2.52)����������B�]����Eqs.(2.27)�'~and�(2.28)�can�also�b�Ge�written�in�the�mo-�������men���tum�q�represen�tation,���and�Lagrange's�m�ultipliers�are������giv���en��Gb�y�Eqs.�(2.49)�and�(2.50).�L�By�in�tegrating�them,��}w�e������obtain�������G�
��=�
����0���S�+�8�
����ext��e�+�
����s����2���
f:�+�
����c����2���
2�+�
����s����2��� �c��
��+�
����s����4����+����������/�;�����`{�(2.53)��������with�{�
����0����the�term�including�no�spin�nor�c���harge�p�Golariza-�������tions,��7�C��㣋�����:
����ext�����=����N�������^���������<$���l�1���l�w�fe�	(֍2�����
Ġ�g�[�����B�����������X������
aݺq�������}���b������ԹH����q��կ���8�m�����q������x���b�����U��+����8�����X������	�q���UQ������q��Gw��n�����q������x���^�����Ζ�;���\u�����`{�(2.54)�����&g����2V2
����s����2���
�r�=���N�����ß���X��������q�������<$���j�m����q��Gw�j���^��2���g�w�fe&ҩ�	(֍�2�����s��F:�(0�;����q�)�����<C�;�����`z�(2.55)����1�*���2��
����c����2���
��=���N�����ß���X��������q�������<$����j��n����q��Gw�j���^��2���g�w�fe&�P�	(֍�2�����c���(0�;����q�)�����;��;�����`z�(2.56)����-\y������
����s����2��� �c�������S�=�����0���N����9q����X�������ls�q���1��� �q���2���q���3����x8�g�[ٲ(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���)(�m����q���1���	�ϸ��8�m����q���2���	.��)�n����q���3����;�������`z�(2.57)������<����and���0������2
����s����4�������	Ĉ�=���������<$����N����w�fe	��	(֍���4��������+�����X������!�ʺq���1��� �q���2���q���3���q���4����E�εb������wi���4�����(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)����\z����˸������`�h������(�m����q���1���	�ϸ�8�m����q���2���	.��)(�m����q���3������m����q���4���	.��)����(�m����q���1������m����q���3���	.��)(�m����q���2������m����q���4���	.��)��������0ƥ+(�m����q���1���	�ϸ�8�m����q���4���	.��)(�m����q���2������m����q���3���	.��)������`�i������:�������`z�(2.58)���������In�UUEq.�(2.58),�the�follo���wing�relations�of�������^@�b������wi���4�����(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)�����J�8=�����U4n�b��0[������wi�2���w�1���^�������wi�2���w�2����AҲ(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)���������J�8=�����U4n�������`�h������b�������1��� ����3������1������3��� &�(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)������`�i�����������1��� �6�=����3������
������`{�(2.59)���������are��tmade�use�of;��b�������1��� ����2������3������4��� &�(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)��J=�0��tfor�other�������com���binations�UUof������i��TL�'s.������When�Lkordering�w���a�v�e-n�um�b�Gers�Lkare�incommensurate,������there��can�b�Ge�sev���eral�equiv��q�alen�t�ones�to�them.�gDenote������the� +�i��th�pair�b���y���Q����i��TL�,�*�and�assume�that�not�only���Q����i��tw�but������also��A��2�Q����i����and���4�Q����i���are�incommensurate:� =��2�Q����i��d�6�=���G��or������4�Q����i��F��6�=��9�G�.��jWhen�o6SD���W�o/with���Q����i��Â�are�stabilized,�u�CD�W������with��s��2�Q����i��Q��app�Gear�b�ecause�of�the�coupling�term�b�et���w�een������SD���W�UUand�CD�W�giv�en�b�y�Eq.�(2.57)�or���������
����s����2��� �c��������=�����8H��N�����ß���X����t�����i����4�g�[ٲ(�Q����i��TL�;����Q����i���;���2�Q����i���)����Ly����8H�������`�h��������(���s�m����Q���i����
r�)���� �h����2��&����n�����2�Q���i����h�+���8�(��o�m�����Q���i������)����$Ge����2��*n���n����2�Q���i������n����`�i����'k�:�������`{�(2.60)�����q͍���Here���and�in�the�follo���wing�part,�othe�summation�o�v�er��Q����i������is��
made�o���v�er��
pairs�or�it�is�made�in�suc���h�a�w�a�y�that�one������of��S��Q����i��O��is�only�considered�for�eac���h��i�.�c�When�only�SD�W���������n�5����!q������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������s������������������������s������������������������s������������������������s������������������������s������������s"������������������������s"����������������������������s+����s,������������������������s,������������������������s7��������������������s8������������������������s8������������sC��������sD������������������������sD������������sO��������������������������������sR����������������������������������������������������������������s_������������������������������������������������������������������������������������������������s_����������������������������������������������������������������sd������������������������������������������������sg������������������������sg������������������������sl������������������������sl������������sq������������������������sq��������������������������������sz������������������������s������������������������s������������������������s�������������������������s�������������s�������������������������s�����������������������������s�����s�������������������������s�������������������������s�����������������s�������������������������s�������������s�����s�������������������������s�������������s�������������������������������������������������������������s�����s�������������������������s�����s�����s�s�����s�������������������������s�������������������������s�����s�������������������������s�������������������������s�����������������������������s�s�s�����t������������������������t������������t����t������������������������t������������������������t����������������t#t%t'����t(������������������������t(������������t8����t:������������������������tC������������������������tC����������������tKtL������������������������tP��������������������������������������������trtrtrtrtrtr����������������������������������������������������tvtwtx����������������������������������������������������t�������������������������t�������������������������t�������������������������t�������������������������t�������������t�������������������������t�������������t�������������������������t�����������������������������t�����t�������������������������t�������������������������t���������������������t�������������������������t�������������t���������t�������������������������t�������������t���������t�������������������������t�������������t���������������������������������u,����������������������������������������������������������������u9������������������������������������������������������������������������������������������������u9����������������������������������������������������������������uC������������������������������������������������uF������������������������uF������������������������uK������������������������uK������������uP������������������������uP������������uU������������������������uU������������������������������������ue������������������������uj������������������������uj������������������������uq������������������������uq������������ux������������������������ux������������u������������������������u����������������������������u�����u�������������������������u�������������������������u�����������������u�������������������������u�������������u�����u�������������������������u�������������u�����u�������������������������u�������������u�������������������������������������������������������������u�����u�������������������������u�����u�����u�u�����u�������������������������u�������������������������u�����u�������������������������u�������������������������u�����������������������������u�u�u�����u�������������������������u�������������v����v	������������������������v������������������������v����������������vvv����v������������������������v������������v/����v1������������������������v:������������������������v:����������������vBvDvF����vG������������������������vG������������vW����vY������������������������vb������������������������vb����������������vjvl����������������������������vp��������������������������������������������v�v�v�v�v�v�����������������������������������������v�v�v�v�v�v�v�����������������v�v�����v�v�v�����v�v�v�v�v�v�v�v�v�v�v�v�v�����v�v�v�v�v�v�v�v�����������������v�������������������������������������v�������������������������v�������������������������v�������������������������v�������������������������v�������������v�������������������������v�����������������������������v�����v�������������������������v�������������������������v���������������������v�������������������������v�������������w��������w������������������������w������������w��������������������w��������w������������������������w"������������������������w"������������������������w-����w.������������������������w.������������w9����w:������������������������w:��������������������������������������������wTwTwTwTwTwT������������������������������������wXwYwZ������������������������������������wq������������������������wv������������������������wv������������������������w}������������������������w}������������w�������������������������w�������������w�������������������������w�����������������������������w�����w�������������������������w�������������������������w���������������������w�������������������������w�������������w���������w�������������������������w�������������w���������w�������������������������w�������������w���������������������w���������w�������������������������w�������������������������w�������������������������w�����w�������������������������w�������������w�����w�������������������������w�������������w�����w�������������������������w�����������������������������x������������������������������������xxxxxx������������������������������������xxxx������������������������������������������������x3������������������������x3������������������������x?��������������������������������������������xD����������������������������������������������������xZ����x[����������������������������xa��������������������xi��������xk����������������������������������������������������x�����x�����������������������������x���������������������x�����x���������x���������������������������������x�����������������������������������������x�x�x�x�x�x�������������������������������������������������x�x�x�x�����������������x�x�x�x�x�x�����x�x�x�����x�x�x�x�x�x�����x�x�x�����x�������������x�����x�x�x�x�������������x�x�����x�x�����x�x�����yyyyyyyy����y����������������������������������������yyy
yyyy����������������yyyy��������������������y����y������������������������y����y&������������������������y(����������������y,��������y.����y1y2y3��������y6����y<����y>������������������������y>������������������������yI����yM��������yOyQ����������������yTyUyVyW����yYydydydydye����������������������������������������ygyhyi����������������ylywywywywyx����yzy{y|������������y}����yy�y�y�y�y�y�����y�y�y�y�y�y�y�y�y�y���������������������y�����������������������������y�����y�����y�����������������������������y�����y�����������������������������y���������������������y�������������������������y�����y�������������������������y�y�������������������������y�������������������������y�y�����y���������������������y�����y�����y�y�y���������������������������������y�����������������������������y�����y�����y�����������������������������y�����������������������������y�����������������y�����y�������������������������y�������������������������z
z������������������������z������������������������zz����z��������������������z����zz����������������z!z"z#z$����������������z&z'z(z)z*����z,z-z.z/z0������������z1z2z3z4z5z6����z8z9z:z;z<z=z>z?z@����������������������������zBzCzD����������������zFzGzHzI����zKzLzM����zOzPzQ����zSzT����zVzWzXzYzZ������������z[z\����z^z_z`za��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������z�����������������������������������������������������z�����z�����z���������������������������������������������z�����z���������������������������������������������z���������������������������������������������������������������������z�������������������������z�����z�����������������������������������������������������������������������������������������������������z�����z�������������������������z�������������������������z�z�����z���������������������z�����z�������������������������������������z�����������������������������������������������������z���������������������������������������������������������������������������������������������z�������������������������������������z�����������������z�������������������������z�����z�������������������������������������������������{	{	{	{	{	{	����������������������������������������������������{
{{��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������{-����������������������������������������������������{9����{:����{;��������������������������������������������{-��������������������������������������������{G����������������������������������������������������������������{x����{x������������������������{x����������������������������������������������������������������������������������������������������{x����{x������������������������{x������������������������{x{x����{x��������������������{x����{x������������������������������������{z��������������������������������������������{�{�{�{�{�{�����������������������������������������������������{�{�����������������{�{�{�����{�{�{�{�{�{�{�����������������{�{�{�����{�{�{�{�{�{�����{�{�����{�{�{�{�����{�{�{�{�����{�{�{�����{�{�{�����������������{�{�{�{�����{�{�{�{�{�����������������������������{�{�{�����������������{�{�{�{�����{�{�����{�{�{�{�����{�{�{�{�{�{�����{�{�{�����{�||||||	����||����|||||������������||����||||����������������������������������������������������|C����������������������������|S����|T����|U����������������������������|F����|O��������������������������������������������|Y��������������������������������������������������������������������|�������������������������|�����|�����������������������������������������������������������������������������������������������������|�������������������������|�������������������������|�|�����|���������������������|�����|�������������������������������������|���������������������|�������������������������������������������������|�������������������������������������������������|�������������������������|�������������������������|�������������������������|���������������������������������|�����������������|�����|�����|���������������������|�������������������������|�������������������������|���������|�������������������������|�������������|�����|�������������������������|�������������������������|�������������������������|�������������������������|�����|�������������������������|�������������������������|���������������������������������������������������������������������}9������������������������������������������������}>������������������������������������������������}C������������������������}C������������������������}J������������������������}J������������}Q������������������������}Q������������������������������������������������������������}[������������������������������������������������}^������������������������}^������������������������}i������������������������}i������������}t������������������������}t��������������������������������}�������������������������}�������������}�������������������������}�������������������������}�������������������������}�������������}�������������������������}�����������������������������}�����}�����}���������������������}�������������������������}�������������������������}���������}�������������������������}�������������}���������}�������������������������}�������������}�������������������������������������������������������������}�����}�������������������������}�������������������������}�������������������������~������������������������~����������������������������~������������������������~������������������������~������������������������~������������������������~����������������~"������������������������~%������������������������~%������������������������~2������������������������~2����������������������������~s������������������������~z����������������~z����~z������������������������������������������������~�~�~�~�~�~�����������������������������������������������������~�~�~�����������������������������������������������������~�����������������������������~�����~�����~�����������������������������~���������������������������������������������~�����������������������������������������������������������������~�����~�������������������������~�����������������������������������������������������������������������������������������������������~�������������������������~�������������������������~�~�����~���������������������~�����~�������������������������������������~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$����������������%����&����-��������������������.������������������������.������������������������9��������:������������������������:������������E����H������������������������K������������������������K������������������������X������������������������X����������������������������_������������������������b������������������������b������������������������o������������������������o����������������������������v������������������������}����}����}������������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������A�����������������������������������������A�������������������������A�������������������������A�������������������������A�������������������������A�������������������������A�����A�������������������������A�������������A���������A�������������������������A�������������A���������A�������������������������A�������������A�������������������������������������������������������������������������������������������������������������A�������������������������A�������������A�������������������������A�������������������������A�A�����A���������A�������������������������A�������������A�������������������������������������������������P�P�P�P�P�P�������������������������������������������������T�U�V���������������������������������������������������������������������x�������������������������}�������������������������}��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������	������������������������������������������������������������������������ ���������!�������������������������!�������������,���������-�������������������������-�������������8�����:�������������������������������������������������������������I�I�I�I�I�I�����������������������������������������������������������������������������N�O�P�Q�R�\�\�\�\�]�����������������_�`�a�����c�m�m�m�m�n�����p�q�r�����t�u�v�w�����y�������������z�����|�}�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
���������������������������������������������������*�����������������,�����3�������������������������3�������������������������9�����������������@�������������������������C�D�E�������������������������G�����O�������������������������R�������������������������T�����������������������������W�����^�������������������������a�������������������������c�����������������������������f�����m�������������������������p�������������������������r�������������������������s�������������������������v�����}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%���������������������������������������������������������������������������������������������%�������������������������������������&�������������*�������������������������*�����������������������������������������������������4�������������������������������������������������4���������������������������������������������������������C���������������������������������D�������������������������D�������������������������Z���������������������^�������������������������g�����h�����������������������������������������������������v���������������������������������{�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������-�����-�������������������������-�������������������������-�������������������������-�����������������������������������������������������������������������������������������������������-�����-�������������������������-�������������������������-�-�����-���������������������-�����-�������������������������������������.�������������������������������������=�=�=�=�=�=���������������������������������������������������������X�������������������������[�������������������������]�����������������������������`���������������������b�������������������������������������������������h�������������������������������������������������h���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�����������������"�����#�������������������������#�������������������������.���������������������/�������������������������/�������������:���������;�������������������������;�������������F�i�����j�������������������������s�������������������������s�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������� �������������+�������������������������+�������������6�������������������������6�������������������������������������C�������������������������H�������������������������������������H�����������������������������N�����O�������������������������O�������������������������Z���������������������[�������������������������[�������������f���������g�������������������������g�������������r���������s�������������������������s�������������~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	����������������������������������������������������������������������������������������B���������D�����E�������������������������N�������������������������N�����������������a���������c�������������������������l�������������������������l�����������������������������y�{�����|����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�����
�������������������������������������������������������������������&���������(�������������������������1�������������������������1�����������������������������=���������������������������������D���������������������������������G���������������������������������������������V�V�V�V�V�V���������������������������������������������������������Z�[�����������������]�^�_�����a�l�l�l�l�m�n�����p�q�r�����t�u�v�w�x�������������y�z�{�|�����~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������"�������������������������������������������������������������5�����������������������������������������8���������������������������������?���������������������������������A�������������������������F�������������������������F�������������������������M�������������������������M�������������T�������������������������T�������������[�������������������������[�����������������������������b�����c�������������������������c�������������������������n���������������������o�������������������������o�������������z���������{�������������������������{���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'���������������������(�������������������������(�������������3���������4�������������������������4�������������?���������@�������������������������@�������������K�����������������L�����M�����������������P�Q�R�����T�U�V�W�X���������������������������������������������Z�[�\�������������]�^�_�`�a�b�c�d�e�����������������g�h���������m�������������������������o�������������������������q�r�s���������������������������������v�w�x�y�����������������{�|�}�~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������� �!���������&�����'�������������������������'�������������������������4�5�6���������������������������������8�9�:�;���������������������@�����B�����D�������������������������D�������������������������Q�R�S���������X�����\�����^�������������������������^�������������k�l�m�����o�p�q�r�s�t�u�v�w�x�y�z�{�|�}��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�"�����$�%�&�����(�)�*�+�,�-�.�/�����1�2�3�4�����7�����8�9�������������:�����;�<�=���������������������������������?�@�������������A�����������������C�D�E�����G�H�����I�����K�L�M�����N�O�����Q�����R�����T�U�V�����X�c�c�c�c�d�����f�g����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������#�����������������������������'�������������������������-�������������������������/�������������������������8�����9�������������������������A���������������������������������H�������������������������������������������������K�������������������������R�����T�������������������������W�����X�������������������������`���������������������������������������������������������h���������������������������������j���������������������������������������������y�y�y�y�y�y���������������������������������������������������������}�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
���������������������������� �������������!���������$�����&�����������������)�*�+�,�����.�/�0�1�����3�4�����5��������������������������������������������������������������������������!q�ċ�Ƞ�Q����
�]��Q�������B�]���or�ٍhelical�structures�with��Q����i��-ٲand�CD���W��)with�2�Q����i���are�������considered,��Qr�����$#
����ext���������=������ڸ�N�����ß���X����t�����i������3����^���������<$�����1�����w�fe�	(֍2����� ��g�[�����B���������`�h�����������b����0G�H����Q���i���L���8�m�����Q���i����������b������L�+����8����b������7�H�����Q���i���@M���m����Q���i������
r���b��������k���`i�������L{�����ڲ+������`�h�����������2�Q���i���n���n�����2�Q���i����h�+�8�������2�Q���i�������n����2�Q���i���������`�i�������'k���^�����l�;�������`|�(2.61)�����-'���)�*
����s����2���
�r�=���N�����ß���X����t�����i�������<$��仸j�m����Q���i���
r�j���^��2���g�w�fe'���	(֍�����s��F:�(0�;����Q����i��TL�)�����<�T�;�����`{�(2.62)����0sq���'��
����c����2���
��=���N�����ß���X����t�����i�������<$��솸j��n����2�Q���i���n��j���^��2���g�w�fe,�b�	(֍�����c���(0�;����2�Q����i��TL�)�����A���;�����`|�(2.63)�����ߍ���and��xԍ����
����s����4���������=���������<$���'�N���'�w�fe	��	(֍���2��������&�����X����t��,���i������57ɟ��`�n����;�u�B����1����'���b���
Qǲ2�j�m����Q���i���
r�j������4���S��8�j�(�m����Q���i���L���m����Q���i����)�j������2���|s���b�������Ly����;���+2�B����2��|s�j�(�m����Q���i���L��8�m����Q���i���
r�)�j������2��������`�o�������6�������+�����<$��33�N��33�w�fe	��	(֍���2��������
1����X�������i�6�=�j�������՟��`�n����"M��2�B����3��|s�j�m����Q���i���
r�j������2���j�m����Q���j���}�j������2�����i����#���+2�B����4����'���b���
QǸj�(�m����Q���i���L��8�m����Q���j���}�)�j������2���S�+��j�(�m����Q���i������m�����Q���j���C~�)�j������2���|s���b�������	����#���+�B����5����'���b���
QǸj�(�m����Q���i���L��8�m����Q���j���}�)�j������2���S��j�(�m����Q���i������m�����Q���j���C~�)�j������2���|s���b��������K���`o��������;����������`z�(2.64)�����Qq����with��_����#��B����1��C��=���b������wi���4�����(�Q�;�����Q�;��Q�;���Q�)�;�����`{�(2.65)����?H���#��B����2��C��=���b������wi���4�����(�Q�;����Q�;���Q�;���Q�)�;�����`{�(2.66)���������ӵB����3�������t&�=�����\�b������wi���4�����(�Q�;�����Q�;��Q������0���9�;���Q������0���)�8�+��b������wi���4�����(�Q�;�����Q�;���Q������0���;��Q������0���)����������\������<$��33�1��33�w�fe�	(֍2�����fg�b������wi���4�����(�Q�;����Q������0���9�;���Q�;���Q������0���)�8������<$��l�1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�b������wi���4�����(�Q�;���Q������0���;���Q�;��Q������0���)�;����\	������`{�(2.67)�����9��������S��B����4��C��=�����<$���K1���K�w�fe�	(֍2�����
-�b������wi���4�����(�Q�;����Q������0���9�;���Q�;���Q������0���)�8�+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�b������wi���4�����(�Q�;���Q������0���;���Q�;��Q������0���)�;���\	�����`{�(2.68)�����_�����and��$d4���������B����5��C��=��2�b������wi���4�����(�Q�;�����Q�;��Q������0���9�;���Q������0���)�8���2�b������wi���4�����(�Q�;�����Q�;���Q������0���;��Q������0���)�:���������`{�(2.69)���������Here,����Q�o�are��Q���^��0��=X�(�Q�Ge�6�=���Q���^��0���9�)�oare�t���w�o�odieren�t�w�a�v�e-�������n���um�b�Gers��among�considered��Q����i��TL�'s,�/and�symmetrical�rela-������tions��suc���h�as��b������wi���4�����(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)��6=��b������wi���4�����(�q����4��|s�;��q����1���;��q����2���;��q����3���)��6=�����b������wi���4�����(��q����1��|s�;�����q����2���;���q����3���;���q����4���)�UUand�so�on,�are�made�use�of.������F��*�our-p�Goin���t�*�p�olarization�functions�are�also�divided�in���to������single�UUand�m���ultisite�terms�so�that��_��������b������wi���4�����(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)��=���\q��lm~�������b������wi���4�����+��+�8��b������wi���4�����(�q����1��|s�;��q����2���;��q����3���;��q����4���)�:�����`|�(2.70)���������B�]����The�y�single-site�term�is�appro���ximately�giv�en�b�y�Eq.�(A10):���G����\q����~�������b������wi���4������V�=��
2�=���/�~�������s����
���(0)�=�2�k����B����T����K�����.�@IWhen��a�diagram�corresp�Gond-�������ing�Y�to�Fig.�2(�b�)�of�the�previous�pap�Ger���^��4���	�is�considered�and������Eq.���(2.3)�is�appro���ximately�used,��the�m�ulti-site�term�is������calculated�UUso�that�for��T�*�����T����K��� 	������ɲ�b������wi���4�����(�q����1��|s�;����q����2���;��q����3���;��q����4���)��=������q���1��� �+�q���2���+�q���3���+�q���4���7��2��������\� ������<$����\q��-²~�������������s�����ȇ�w�fe"f�
�v����\q��P�~����������
������F�~��������s������(0)������)a����\�!����1Lh���ٱ4��5������������"��k����B����T����K�����	`[����X������ ��n�������<$�����1�����w�fe	��	(֍�N��������&�؟���X�����+��k�������<$��J
4�1��7�|�w�fe)q�	(֍�i"����n�������8��uǲ(�k�)���������<$��K�1��c�S�w�fe<�7�	(֍�i"����n�������8��uǲ(�k��+��q����1��|s�)��������<���"������<$��&���1��33�w�feP��	(֍�i"����n�������8��uǲ(�k��+��q����1��
��+��q����2��|s�)���������<$�����1��S���w�fectß	(֍�i"����n�������8��uǲ(�k��+��q����1��
��+��q����2���+��q����3��|s�)������D��:�����������`{�(2.71)����������Here,���the���W��*�ard�relation�for�the�three-p�Goin���t�v�ertex�func-������tion���in�spin�c���hannels�is�made�use�of,��as�it�w�as�in�the������previous�UUpap�Ger.���^��4���ȲIn�general,�����%b�j�B����5��|s�j�����Min������(���R�B����1���;���B����2���;�B����3���;�B����4����)���]ĵ:�����`z�(2.72)��������The���nesting�of�the�F��*�ermi�surface�is�c���haracterized�b�y������uǲ(�k�)���'����(�k��ݲ+��Q�)���in�a�wide��k��region�in�the�vicinit���y�of�the������F��*�ermi�x;surface.��zWhen�the�nesting�of�the�F�ermi�surface�is������sharp,�UU�B����1���Ȳis�m���uc�h�UUlager�than�other��B����i��TL�'s�so�that�����]��B����1��C������Max�����(����B����2��|s�;���B����3���;�B����4����)���O�����j�B����5��|s�j�:�����`|�(2.73)����+�%���m�I�K�I�I.���INCOMMENSURA���TE�SD��CW�AND�CD�W��9�!�A.���Sin��Cusoidal�or�helical�structures�����In�,Kthis�subsection,�4�it�is�examined�whic���h�are�stabilized,������sin���usoidal�
or�helical�structures.���The�second�order�term������in���magnetizations,� 
����s����2���-Z�,�do�Ges�not�dep�end�on�magnetic������structures.�	q�When���magnetizations�are�small,�j�magnetic������structures�\are�determined�b���y�the�fourth�order�term�
����s����4���-Z�.������When�]single��Q��structures�are�assumed,�_the�fourth�order������term�UUis�written�as���0����36
����s����4�������/��=���������<$��;wL�N��;wL�w�fe	��	(֍���2��������E�}���`�n����Lu)�B����1����'���b���
Qǲ2�j�m����Q��G�j������4���S��8�j�(�m����Q���T���m����Q���)�j������2���|s���b�������\����V��+2�B����2��|s�j�(�m����Q���T��8�m����Q��G�)�j������2��������`�o����'�:�������`|�(3.1)����������When�G�magnetizations�are�written�as��m����Q��
4�=���m���^���0��g��Q���	e�+���i��m���^���00��g��Q���G�,�������with�UU�m���^���0��g��Q���
�q�and��m���^���00��g��Q����b�Geing�real,�it�follo���ws�that���������&(�m����Q��	���8�m����Q��G�)��=������b���\o�m�������0���፺Q�������b������4���߱2��#������8����b����7�m�������00���፺Q�������b�����?����߱2��"�O�+�8�i�2(�m�������0���፺Q���	����m�������00���፺Q����)�:�����`{�(3.2)�����*����It�>�is�easy�to�see�that��j�(�m����Q��	R���y�m����Q��G�)�j���^��2����b�Gecomes�the�smallest������for��?helical�structures,��wwhic���h�are�c�haracterized�b�y��j�m���^���0��g��Q���G�j���=�����j�m���^���00��g��Q���G�j�UU�and��m���^���0��g��Q���
4�?���m���^���00��g��Q����,�suc���h�as���`���>���j�(�m����Q��	���8�m����Q��G�)�j������2��C��=��0�:�����`{�(3.3)���������On�p:the�other�hand,�v�it�b�Gecomes�the�largest�for�sin���usoidal������structures,�/0whic���h��are�c�haracterized�b�y��m���^���0��g��Q���0��k�鐹m���^���00��g��Q���G�,�/0suc�h������as���������n�6����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7�8�����������������:�;�<�=�>�?�@�����B�C�D�E�F�G�H�I�J�K�����M�N�O�P���������S�������������������������S�������������������������`�a�b�����d�e�������������f�����������������h�i�j�k�����o�����p�������������������������p�������������}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������%���������������������������������'�������������������������������������������������-���������������������������������.�������������������������7�����8�������������������������8�����������������������������K���������P�������������������������Y�������������������������Y���������������������������������������������������������j���������������������������������������������������������q�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������@�������������������������C�������������������������E�����������������������������H���������������������J�������������������������������������������������O�������������������������������������������������O����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������H�N�������������������������Q�������������������������S���������������������������������������������W���������������������������������������������������������������������e�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������e�����������������������������������������������������������������j�������������������������������������������������j���������������������������������������������������������v���������������������������������z�������������������������z����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������������������������(�����������������������������;���������������������=�������������������������F�������������������������F�����������������������������S�����T�������������������������T�����������������������������������������a�������������������������������������������������������������������������v��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������������������������������������������������������������%���������������������'�������������������������0�������������������������0�����������������������������<�����=�������������������������=�������������������������C���������E�����F�����G�������������������������P�������������������������P�����������������c���������e�������������������������n�����o�������������������������o�����������������������������{�����|�������������������������|������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$�����%�������������������������%���������������������������������������������0���������������������������������������������������������;�������������������������������������=���������������������������������������������������������������������p�p�p�p�p�p�����������������������������������������������������t�u�v�w���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������.�.�.�.�.�.�������������������������������������������������C�������������������������C�����������������������������������������J�������������������������������������M�������������������������R�������������������������������������R�����������������������������X�����Y�����`���������������������a�����b�����i���������j�������������������������w�������������������������x���������y�����z��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������%�������������&���������������������)�����������������������������������������������������5���������������������������������������������������������������������������������������������5�������������������������������������7�������������������������<�������������������������������������<�����������������������������B�����C�����J���������K�����L�������������������������Y�������������Z���������[�����\�����c���������d�������������������������q�������������r�����s�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������+�������������,���������-�����.�����5���������6�������������������������C�������������D�����F�������������������������������������������������������������U�U�U�U�U�U�����������������������������������������������������Y�Z�[���������������������������������������������������������������������p�������������������������p�������������������������v�����������������x�����z�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������� �������������������������-�������������������������1�����2���������������������;�����;���������>�����?�������������������������L�������������������������M�����������������P�Q�R�����T�������������U�����V�����������������X�Y���\�]�^�_�����`�����b�����c�����d�����e�f�����������������������������������������g�������������h�i�����j�������������k�l�m�����������������o�p�q�r�s�����u�v�w�x�y�z�{�|�}�~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������������������	�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'���������(�������������������������(�������������3���������4�������������������������4�������������?�����������������@���������������������������������B�������������������������G�������������������������������������G�����������������������������M�����N�����O�������������������������O�������������������������Z���������������������[�����\�������������������������\�������������g���������h�����i�������������������������i�������������t���������u�����v�������������������������v����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
������������������������������������������������� �������������������������%�������������������������������������%�����������������������������+�����,�������������������������,�������������������������7���������������������8�������������������������8�������������C���������D�������������������������D�������������O���������P�������������������������P�������������[�����������������^���������������������������������������������������������������������������������������������������������m�������������������������������������m�������������������������������������t�����������������|�����~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
�
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�����������������&�����'�������������������������������������������������������������������������5���������������������������������6�7�8�����9�����:�����;�������������������������=�������������������������>�������������������������@�������������������������B�����������������D�E�F�G�����������������I�����K�L�M�N�O�P�Q�����S�T�U�V�W�X�Y�������������Z�[�\�]���������������������������������������������]�^�_�����������������a�b�����d�e�f�g�����i�k�����l�����m�����p�q�����s�t�u�����w�x�y�z�{�|�}�~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������7�����9�������������������������>�������������������������������������>�����������������������������D�����E�������������������������M�������������������������N���������������������O�������������������������W�������������X���������Y�������������������������a�������������b���������c�������������������������k�������������l�����������������n���������v�������������������������y�������������������������y�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������*�������������������������������������������������-�������������������������B�������������������������������������������������������������j�����m�������������������������o�������������������������p�������������������������r�����������������������������������������������������w�������������������������������������������������w�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����������������������������������������������������k�������������������������������������������������������������������������������������������������k�k�������������������������k�������������������������k���������������������k�����������������k�����k���������k���������k�������������������������k�������������������������k���������k�������������������������k�������������������������k����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
���������������������������������������� �������������!�����#�����$�%�&�'�(�����*�+�,�-�.���������������������������������.�/�0�1�����������������3�4�����6�7�8�9�����;�������������<�=�>�?�@�A�B�����D�E�����G�H�I�J�����L�M�N�����P�Q�R�����������������T�U�����W�X�����Z�����[�\�����^�_�����a�b�c���������������������������������e�f�g�h�i�j�k�l�����������������o�p�q�������������r�s�t��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
�����������������������������������������!�����"�������������������������������������'�����������������(�����)�����0���������������������6�����8�����;���������<�����=���������������������D���������E�����L�����������������O�P�����R�����T�U�V�W���������^���������a�b�c�d�e�f�����h�i�����k�l�m�����o�p�q�r�s�t�u�������������v�����x�y�����{�|�}��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�����$�������������������������$�����������������.�����������������������������3�����������������5�����6�������������������������8�������������������������9�����:�������������������������������������I�I�I�I�I�I���������������������������������������������������������s�������������s�����s�s�����������������s�s�s�s�s�s�s�s�s�s�s�s�����������������s�s�����s�s�������������s�����s�s�s�����s�s�����s���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���������������������������������������������� �!�"���������������������������������$�%�����������������'�(�)�*�+�,�-�.�/�0�1�2�3�4�5�����������������=�D�������������������������G�������������������������I�����������������������������L�����N�O�������������P�Q�����S�T�U�����W�X�Y�����Z�[�\�����^�_�����a�b�c�d�e�f�g�h���������������������������������j�k�l�m�n�o�p�q�r�s�t�����������������v�w�x�y�����������������{�|�}�~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
���������������������������������������� �!�"�#�$���������������������������������&�'�(�)�����������������+�,�����.�/�0�1�2�3�4�����6�7�����������������������������������������������������Q�X�������������������������[�������������������������]�������������������������������������������������a�������������������������������������������������������������������������n���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������n���������������������������������������������������������������������w�������������������������������������y�������������������������y����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�����
�������������������������������������������������������!���������������������#�������������������������#�������������������������3�����4�������������������������4�����������������������������������������@���������������������������������B���������������������������������������������Q�Q�Q�Q�Q���������������������������������������������������������V�W�X�Y�����������������[�\�]�^�_�`�a�b�c�d�e�f�g�h�����j�k�l�����n�o�p�q�r�s�t�����v�w���������}�������������������������}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������%�������������&�'�(�)�����+�,�-�.�/�����3�4�����6�7�8�9�:�������������;�<�����>�?�@�A�������������������������������������������������T�����U�������������������������U�������������������������i���������������������k�������������������������k�������������������������z�����������������|�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������.�.�.�.�.�����������������������������������������������������3�4�����������������6�7�����9�:�;�<�����>�?�����A�B�C�����E�F�G�H���������K�����L�����M�������������������������M�������������������������a���������������������c�������������������������c�������������������������r�����s�������������������������u�������������������������x�������������y�z�{�|�}�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#���������������������%�����������������������������;�A�����������������������������%�����������������D�����F�G�H�������������I�����K�L�����������������������������������������������������o�����p�����q�������������������������q�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������5���������������������7�����������������������������N�T�����������������������������7�����������������������������W�����������������Y�Z�[�����\���������������������������������^�_����������������������������������������������������������������������������L��ߠ�Q����
�]��Q�������B�]���+��j�(�m����Q��	���8�m����Q��G�)�j������2��C��=���j�m����Q���j������4��|s�:�����`{�(3.4)���������Therefore,�UUhelical�structures�are�stabilized�when�����?j��B����1���S��8�2�B����2��C��<���0�;�����`|�(3.5)��������and�UUsin���usoidal�structures�are�stabilized�when�����?j��B����1���S��8�2�B����2��C��>���0�:�����`|�(3.6)��������When�x�no�m���ulti-site�terms�are�included,��z�B����1��	)�=����B����2���=������B����3�����=���B����4���=���\q����~�������b������wi���4�����"E�and��1�B����5���=�0.�'ZWhen��1there�is�no������sharp���nesting�of�the�F��*�ermi�surface,��therefore,�it���is�lik���ely������that�	�Eq.�(3.5)�is�satised.�	��The�no���v�el�	�exc�hange�in�ter-������action��ycan�nev���er�b�Ge�strongly�an�tiferromagnetic�in�this������case.���^��19�;�22���y�Ho���w�ev�er,�
�an�tiferromagnetic���instabilit�y�can�still������o�Gccur��1when�the�sup�erexc���hange�in�teraction�is�strongly�an-������tiferromagnetic.�mTEv���en�G�helical�structures�are�stabilized�in������suc���h���itineran�t-electron�an�tiferromagnets.�-�When�the�nest-������ing��Eof�the�F��*�ermi�surface�is�so�sharp�for�incommensurate�����Q����that���Eq.�(3.6)�migh���t�b�Ge�satised,��sin�usoidal�structures������are�UUstabilized�as�is�exp�Gected.��!�%��U��B.���Single�or�m��Cultiple�Q�structures�����In��6this�subsection,��nit�is�examined�whether�m���ultiple��Q�����structures�h�are�stabilized�or�not.��gFirst,��Wexamine�helical������structures�_�under�an�assumption�that�Eq.�(3.5)�is�satised.������Because�E(�m����Q��	����չm����Q��G�)���=�0�for�helical�structures,�2�
����s����4���3��is������reduced�UUto���0������
����s����4�������3��=���������<$����N����w�fe	��	(֍���2��������%�����X����t��+���i���6Y�B����1��|s�j�m����Q���i���
r�j������4���S�+�����<$��l�N��l�w�fe	��	(֍���2��������i����X�����K��i�6�=�j�������]���`�n����&1	�2�B����3���j�m����Q���i����j������2���j�m����Q���j���}�j������2�����i�����ܲ+2�B����4����'���b���
QǸj�(�m����Q���i���L��8�m����Q���j���}�)�j������2���S�+��j�(�m����Q���i������m�����Q���j���C~�)�j������2���|s���b�������	�����ܲ+�B����5����'���b���
QǸj�(�m����Q���i���L��8�m����Q���j���}�)�j������2���S��j�(�m����Q���i������m�����Q���j���C~�)�j������2���|s���b�������������`o������h�:����������`|�(3.7)����������When�"�Eq.�(3.5)�is�satised,�V^it�is�lik���ely�that��B����1���@�<�Ͳ2�B����3��|s�,�����B����1��J[�<���2�B����4��|s�,�qand���j�B����5���j��is�m���uc�h�smaller�than�other��B����i��TL�.�J�In������suc���h��a�case,�D�m�ultiple�helical�structures�are�nev�er�stabi-������lized.���When�mRhelical�structures�app�Gear�at�temp�eratures������m���uc�h�UUlo�w�er�than��T����K�����,�they�m�ust�b�Ge�of�single��Q�.������Next,�/examine�%sin���usoidal�structures�under�an�assump-������tion���that�Eq.�(3.6)�is�satised.��GIn�this�case,��uw���e�can�put�����m����Q���i���
9,�=���e���^��i���i�����q������#���
N_�m����i�����and��
�m�����Q���i���y-�=��e���^���i���i�����q���	���#����`�m����i����w��,��Lwith���q��&���#����m����i�������b�Geing�real.������The�UUfourth�order�term�is�giv���en�b�y���������S�
����s����4���������=���������<$��B��N��B��w�fe	��	(֍���2��������@]����X����t��$�i�����.\β(��2@]�B����1���S�+�8�2�B����2���|s�)���a+�j���q��J����#���m����i����鞸j������4�����Ly����Q�+�N�����ß���X������d�i�6�=�j������3����`�h�����p�B����3��|s�j���q��J����#���m����i����鞸j������2���j���q��J����#���m����j����
���j������2���S�+�8�2�B����4���(���q��J���#���m����i����
wָ���q�������#����m����j����޲)������2��������`�i����	5W�:�������`|�(3.8)����� UW����When��the�m���ultiplicit�y��of��Q��is�t���w�o��or�three,�)�
����s����4���K��b�Gecomes������the�UUsmallest�when������@�((���q��J���#���m����i����"~����q�������#���8�m����j����޲)��=�0�����`}(3.9)��������for��an���y�pair�of��i��
�6�=��j����.���When��Eq.�(3.6)�is�satised,�:�it�is�������lik���ely�UUthat�������B�]���@E*�B����1���S�+�8�2�B����2��C��>���2�B����3������`z�(3.10)����/�����is�:�also�satised.�h�Then,�?�m���ultiple�sin�usoidal�structures�are�������stabilized�>�and�their�p�Golarization�v���ectors�are�orthogonal������to�UUeac���h�other.�q�It�follo�ws�that���v���Z
����s����2���
f:�+�8�
����s����4���
�r�=���N���������^�������<$����m���^��2���$��w�fe$dn�	(֍�����s��F:�(0�;����Q�)�����/�z+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�B����?����(��)�m������4���|s���^����q�
�;�����`|�(3.11)����!�����with������B����?����(��)��=��B����1���S�+�8�2�B����2���+�2(���8���1)�B����3��|s�:�����`{�(3.12)��������Here,����j�m����i��TL�j�m�is�simply�denoted�b���y��m��b�Gecause�all�of��j�m����i���j�����are���the�same�as�eac���h�other,���and����is�the�m�ultiplicit�y�of������ordering�UUw���a�v�e-n�um�b�Gers,�����=�1�;����2�or�3.�q�Belo���w��T�*�<�T����N�����,���+���1�Ƶm������2��C��=��������<$��މ�1��33�w�fe@V��	(֍�B����?����(��)�����s��F:�(0�;����Q�)���������`{(3.13)����������and��ed����I
����s����2���
f:�+�8�
����s����4���
�r�=��������<$��!i6�N��33�w�feOaZ�	(֍�2�B����?����(��)�j�����s��F:�(0�;����Q�)�j���r�2������Q���:�����`|�(3.14)�����ʍ���Because�'�Eq.�(3.14)�is�an�increasing�function�of���,�0�a�sym-������metry�>hbrok���en�ordered�state�is�nev�er�stabilized�as�long�as�������.���3;�K�if��1there�are�three�equiv��q�alen���t��Q�'s,���for�example,������single�UUor�double��Q��structures�are�nev���er�stabilized.������When��the�m���ultiplicit�y��of��Q��is�four�or�larger�than������four���(���Ǹ��4),�%�it�is�imp�Gossible�that�Eq.�(3.9)�is�sat-������ised��for�an���y�pair�of��Q����i��	>�and��Q����j��6��.�/Only�t�w�o�p�Gossi-������ble�6�magnetic�structures�are�examined�in�this�pap�Ger;������triple���or�quartet��Q��structures.�
��T��*�riple�structures�are������symmetry���brok���en�states,�Cjwhere�only�three��Q�'s�among������G�w���a�v�e-n�um�b�Gers�are�ordered�and�their�magnetizations������are�E�orthogonal�to�eac���h�other.�
B�Their�free�energy�is������giv���en��b�y�Eq.�(3.14)�with���¡�=�3.���In�quartet�struc-������tures,�@�four���Q��comp�Gonen���ts�are�ordered�and�eac�h�pair�of������magnetizations�o�mak���e�the�same�angle,���cos���Y���^���1���(��1�=�3)�H=������121�:�63������������degree;��2for�A>example,���q������#���|8�m����1�����B�=�PE�m������(���70�;����0�;��1�)���!US,���q������#���|8�m����2�����=���z���m��������b���?��0�;��������P�p���	�����P�fe�E���8�����=�3�;�����1�=�3����b����F�\�,���q���4��#���c��m����3�������=�/^�m��������b�����?����P�p����V���P�fe�E���6�����W�=�3�;���������Pp���UW���P�fe�E���2����
UX�=�3�;���1�=�3����b����`�Ӳ,�c�and��
�~����q���9b��#����m����4����ǖ�=���m��������b���?�������Pp���UW���P�fe�E���6����
UX�=�3�;���������Pp���UW���P�fe�E���2�����=�3�;���1�=�3����b����h��.�q�Then,�UUit�follo���ws�that��z���
��
����s����2���
f:�+�8�
����s����4���
�r�=��4�N����ß��^�������<$��v\�m���^��2���	<�w�fe'���	(֍�����s��F:�(0�;����Q����i��TL�)�����4`�+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�B����Q���;�m������4���|s���^��������`|�(3.15)����!�����with���d���!�k�B����Q��	�S�=���B����1���S�+�8�2�B����2���+�6�B����3���+�����<$��l4��l�w�fe�	(֍3�����	�G�B����4��|s�:�����`z�(3.16)����}�����When�UUthe�free�energy�is�minimized,��:����!��
����s����2���
f:�+�8�
����s����4���
�r�=��������<$��ò4�N��33�w�feA��	(֍�2�B����Q���;�j�����s��F:�(0�;����Q�)�j���r�2����������`|�(3.17)�����:����b�Gelo���w�UU�T����N�����.�q�When�4�=B����Q��	�S�>���3�=B����?����(3)�or�����0<�B����1��C��>���4�B����4���S��8�2�B����2���+�2�B����3��|s�;�����`{�(3.18)��������is�Psatised,�:quartet��Q� �structures�are�stabilized.���Other-������wise,��Qtriple�s�Q�rֲstructures�are�stabilized.�&[One�can�conclude������that�m
quartet��Q�lҲstructures�can�b�Ge�stabilized�only�when�the������nesting�UUof�the�F��*�ermi�surface�is�extraordinarily�sharp.���������n�7����� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������1�������������������������3�������������������������5���������������������7�����8�������������������������:�������������������������<���������������������>�����@�������������������������������������O�O�O�O�O�������������������������������������S�T�U�����������������W�X�Y�������������Z�[�\�]�^�_�`�����b�c�d�e�f�g�h�i�j�k�����m�n�o�����q�r�s�t�u�v�w�x�y�z�����|�}�~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$�%�&���������������������)�������������������������)�������������.�����/�1�����������������3�4�5�6�����������������8�9�:�;�<�����>�?�����A�B�����������������������������D�E�F�G�H�����������������J�K�L�M�N�O�P�����R�S�����U�V�W�����Y�����������������Z�[�\�]�����_�`�a�b�c�d�e�f�����������������h�i�j�k�l�m�n�o�p�q�����s�t�����������������v�w�����y�z�{�������������|�}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������"�#�����$�%�&�'�(�)�*�+�,�-�.�/�0�1�2�����������������4�5�6�7�8�9�:�;�<�=�����>�����@�A�B�����D�E�F�G�H�����������������������������J�������������K�L�M�N�����������������P�Q�R�S�����U�V�W�����Y�Z�[�����\�]�^�_�`�������������a�b�c�d�e�����g�h�����i�j�k�l�m�n�o�p�q�����s�t�����v�w�x�y�z�{�|�}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
������������������������������� �!�"�#�$�%�&�'�(�)���������������������������������0���������������������3�4�5�6�����������������8�9�:�����<�K�K�K�L�����N�O�P�Q�������������R�����T�������������U�����W�X�Y�Z�[���^�_�`�����������������b�c�d�����e�f�g�h�i�j�k�����m�n�o�p�q�r�s�t�u�v�����������������������������x�y�z�����������������|�}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������� �!�"�#�����%�&�����(�)�*�+�����������������.�/�0�1�2�3�����������������5�6�7�8�9�:�;�����=�>�?�@�A�B�C�����������������������������E�F�G�H�I�J�K�L�M�N�����������������P�Q�R�S�T�����V�W�����Y�Z�[�\�]�^�_�`�a�b�����d�e�f�g�����i�j�k�����m���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�������������������������$���������������������������������������������(���������������������������������������������������������������������5�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������5�����������������������������������������������������������������:�������������������������������������������������:�����������������������������@�������������������������@�������������������������H�����I�������������������������R�������������������������R�����������������������������_�������������������������_�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������/���������������������1�������������������������:�������������������������:�����������������������������F�����G�������������������������G�������������������������M���������O�����P�����Q�������������������������Z�������������������������Z�����������������m���������o�������������������������x�����y�������������������������y��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������*�����+�������������������������+���������������������������������������������6���������������������������������������������������������A�������������������������������������C���������������������������������������������������������������������e�e�e�e�e�����������������������������������������������������i�j�k�l�����������������n�o�p�����r���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
�������������������������������������������� �!�"�#�$�%�&�'�(�)�����+�,�-�����/�0�1�����2�3�����5�6�7�8�9�:�����������������������������:�;�<�=�>�?�����������������A�B�C�D�����������������F�G�H�I�J�K�L�����N�O�P�Q�R�S�T�U�V�W�����Y�Z�[�������������\�]�^�����`�a�����c�d�e�f�����g�h�i�j�k�l�m�n�����������������������������p�������������q�r�����s�����������������u�v�����w�����x�y�����{�|�}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������������������
�����������������������������������������������������������!�"�#���������������������������������)�������������������������2�������������������������2�����������������������������?���������������������A�������������������������D�K�������������������������K�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������^���������������������������������a�b�c���������������������f�������������������������o�����p�������������������������p�����������������������������}�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�������������������������&�������������������������&�������������������������+�����������������.�����0�������������������������0�����������������������������;�����������������������������?�������������������������������������������������������������������������������������������������L���������������������������������M�������������������������M�����������������������������������������������������������������f�����i�������������������������������������������������n�������������������������������������������������q�����u�����u�����w�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������
���
�����������������������������������������������#�$�����&�������������'�����(�����������������*�+�����-�.�/�0�1�2�����������������;�������������������������>�������������������������@�����������������������������D�������������E�F�G�H�I�J�����������������������������L�M�N�����������������P�Q�R�S�T�U�V�W�����Y�Z�[�\���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������#�������������������������#�������������������������)�����������������+�����-�������������������������-�������������������������4���������������������6�����8�������������������������8�����������������������������������������K�K�K�K�K�K�����������������������������������������������������O�P�����������������R�S�T�U�����W�X�Y�Z�[�]�^�_�`�����������������b�c�d�e�f�����������������h�������������i�j�k�l�m�n�o�����q�r�s�����t�u�v�w�x�y�z�����|�}�~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"���������������������������������������������(���������������������������������������������������������L�������������������������L�����������������������������������������������������������������������������������������������������L�������������������������L�������������������������L�L�����L���������������������L�����L���������������������������������N�������������������������������������������������Z���������������������������������������������������������������������������������������������Z�������������������������������������\�������������������������b�������������������������d�����k�����l�����m�������������������������m���������������������������������������������x�����������������������������{�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������� �������������!���������$���������'�������������(�)�*�+�,�-�����/�0�1�����3�4���������7�����8�������������������������@�������������A�������������������������������������D�E�F�����������������H�I�J�����L�M�N�O�����Q�R�����T�U�V�������������W�����Y�Z�[�\�]�^�����������������`�a�b���������k���������n�o�����q�r�s�����u�����v�w�x�y�z�{�|�}�~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � � � � � �����������������������������������������������������$�%�&�������������������������������������������������P�������������������������S�������������������������U�����������������������������X�����������������_�������������������������b�������������������������d�����������������������������g���������������������i������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������������������������������������
�����������������������������������������������������!�"�#�$�%�����'�(�����*�+�,�����-�.�����0�1�2�3�4�5�6�7�8�9�����;�<�����>�?�@�A�����C�D�������������������������������������M���������������������Q���������S�U�����������������W�X�����������������Z�[�\�]�^�����`�a�b�����d�e�f�g�h�����j�k�l�m�n�����������������o�p�q�r�������������s���������z�����|�}�~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������� �����"�#�$�������������%�&�'�(�)�*�+�����-�.�/�0�����2�3�4�����6�D�D�D�E�����G�H�����J�K�L�M���������������������������������M�N���Q�R�����������������T�U�V�����X�Y�������������Z�����\�]�^�_�����a�b���������e�������������������������m�������������������������p�q�r���������u�������������������������}��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������
���������������������������������������������������� �!�"�#�����%�&�'�(�)���������,�����4�5�����7�8�9�:�;�������������������������������������D���������������������G�������������H�����I�����J�K�L�����M�N�����O�������������P�Q�R�����T�U�V�����X�Y�Z�[�\�]�^�����`�a�b�����d�e�f�g�h�����j�k�l�m�n�o�p�q�r�s�t�u�v�w���������������������������������y�z�{�����������������}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������
������
�������������������������������� �����"�#�$�%�����'�(���������������������������������*�+�,�-�.�/�0�1�2�3�4�5�6�7�����������������9�:�;�������������<�����>�?�@�����B�C�D�E�����G�H�I�J�K�L���������������������R�R�R���������������������������������������������U�����V�������������������������X�����Y�����Z�����[�����\�]�����������������_���������������������������������a�b�c�����d�����e�f�������������������������n�����n�����n�������������������������q�r�s�t�u�v�w�����������������z�{�|�����������������~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �����������������"�#�$���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3�������������������������������������5���������������������7���������������������������������������������<�������������������������?�������������������������E�����������������������������������������������������������������������������������������������������E���������������������������������H�����I�����J���������������������K�������������������������Q�����������������������������������������������������������������������������������������������������Q���������������������T�����U�����V���������W�����X�����Y�����Z�������������������������`�����������������������������c�����������������h�i�j�k�l�����������������n�o�����q�r�s�t�u�������������v�w�����y�z�{�|����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3�������������������������3�������������������������9���������������������;�������������������������;�������������������������A�����������������C�����D�������������������������D�������������J�����L�����M�������������������������M�������������R�������������������������������������������������^���������������������������������������������������������������������������������������������^�������������������������������������_�������������������������_�������������������������e�������������������������������������t�t�t�t�t�t�����������������������������������������������������y�z�{�|�����������������~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
�
�
�
�
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����#�����$�%�������������������������'�������������������������*���������������������+�����,�-�������������������������3�������������������������4�5�6�����:�;�����������������������������������������]�������������������������]�������������������������c���������������������e�����f�������������������������f�������������������������l���������������������n�����p�������������������������p�������������v�����x�����z�������������������������z���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
�����������������������������������������������������������������������$���������������������'�(�)�*�+�,�-�.�/�0�����2�3�4�����6�������������7�����9�:�;�<�=�>�?�@�A�B�����D�E�F�G�����I�J�K�L�����N�O�P���������������������������������R�S�T�U�V�W�X�����������������Z�[�����]�^�_�����a�����������������b�c�d�e�����g�h�i�j�k�l�m�����o�p�����s�t�u�v�w�x�y�z�{�|�}�~���������������������������������������������������������������������������������������������� ��(�۞��Q����
�]��Q�������B�]����C.���Co�K�existence�of�SD��CW�and�CD�W�����The�H&coupling�b�Get���w�een�H&helical�structures�and�CD���W�G�v��q�an-�������ishes�U�according�to�Eqs.�(2.60)�and�(3.3),��
and�that�b�Get���w�een������SD���W���and���CD�W�exists���according�to�Eqs.�(2.60)�and�(3.4).������Once�"SD���W�with���Q��app�Gear,�),therefore,�CD�W�with�"��2�Q�����app�Gear.�q�The�UUamplitude�of�CD���W�is�giv�en�b�y�������=�n�����2�Q��J��=���g�[ٲ(�Q�;����Q�;���2�Q�)�����c���(0�;��2�Q�)�m�������2���፺Q���G�:�����`|�(3.19)��������When���m���ulti-site�terms�are�ignored,��ݵg�[ٲ(�Q�;����Q�;���2�Q�)���is�ap-�������pro���ximately�UUgiv�en�b�y�Eq.�(A9):��	���@�g�[ٲ(�Q�;����Q�;���2�Q�)���'������\�(����4j������=�;���5Yn����d��pʵ<��1���0����
�S���=�;���5Yn����d��pʵ>��1�����W�ϵ;�����`z�(3.20)����qэ���with����the�h���ybridization�energy�of�the�mapp�Ged�An-������derson��Qmo�Gdel.�y�According�to�the�mapping�condition,���^��11������1�=��fԸ'���Im����(1�=��q�N��)��������P���8��k��+�G������b��(+�i�0�;����k�),��#so�N�that�the�coupling������constan���t�'3is�rather�large.��`Ho�w�ev�er,�[�the�c�harge�suscepti-������bilit���y�a�is�small.���Then,��'the�amplitude�of�CD�W�a�m�ust�b�Ge������small.�\�In���particular,��Qit�v��q�anishes�when�2�Q��is�commensu-������rate�UUb�Gecause�of�Eq.�(2.19).������Denote�F�p�Golarizations�as��m����Q���P�=��������g�1���g��&�fe�s����2�����
�
�m�e���^��i���s���Cʲand��n����2�Q���ò=���=���������!�1���!��&�fe�s����2������Q��j��n�j�e���^��i���c���
⫲,��%with��b�m��b�Geing�real.���Then,�the�coupling�term������is�UUgiv���en�b�y��'j�����
����s����2��� �c������"���=�����-�ڸ�����<$��33�1��33�w�fe�	(֍2�����fg�N�g�[ٲ(�Q�;����Q�;���2�Q�)�����c���(0�;��Q�)����⍍��A�ܸj�m�j������2��|s�j��n�j�����cos��7(2�����s����8�����c���)�:�������`{�(3.21)����������The�UUfree�energy�tak���es�its�minim�um�when��qЍ����2�����s����8�����c�����=�������\�(����4j���UR�2�l�2`�[�;���=��n����d��pʵ<���1���0����
�S(2�l�k@�+�1)��[�;���=��n����d��pʵ>���1�����`�<�;�����`|�(3.22)����qэ���with�UU�l����b�Geing�in���tegers.�q�Then,�it�follo�ws�that�����&R�m����i��d�=���m�����cos��7(�Q�8���R����i���,�+������s��F:�)�����`z(3.23)��������and���	�������n����i��d�=�������\�(����'����
�S�+�j��n�j�����cos�����7���b�����8�2(�Q�8���R����i���,�+������s��F:�)������b�����*��;����s�n����d��pʵ<���1����ɍ��
�S�j��n�j�����cos�����7���b�����8�2(�Q�8���R����i���,�+������s��F:�)������b�����*��;����s�n����d��pʵ>���1�����������`{(3.24)�����qэ���The���quenc���hing�of�magnetic�momen�ts�b�y�lo�Gcal�quan�tum�������spin�D0
uctuations,�z�whic���h�is�one�of�the�most�essen�tial�eects������in���Kondo�lattices,��sensitiv���ely�dep�Gends�on�lo�cal�n���um�b�er���of������electrons.�According�E*to�Eq.�(A2)�in�App�Gendix,�{�the�Kondo������temp�Gerature�UUat�the��i��th�site�is�appro���ximately�giv�en�b�y����������xm���b�������k����B����T����K����������b�������_��i���ò=�����<$���K2���K�w�fe
UX�	(֍����������������֫������������+�1�8���(�n����d��⒲+��n����i��TL�)����������������UU�:�����`z�(3.25)����\	����Eqs.��](3.23),���(3.24)�and�(3.25)�sho���w�that�electron�n�um�b�Gers�������n����i���{�are�t/mo�Gdulated�in�suc���h�a�w�a�y�that�magnetic�momen�ts������are�qm���uc�h�quenc�hed�where��T����K��5$�are�high.��In�the�less�than������half-lled�Ɍcase�(�n����d��	�#�<�3q�1),�&�for�example,�dop�Ged�holes�go������mainly�UUin���to�sites�where�magnetic�momen�ts�are�small.�������B�]��F�$�IV.���DISCUSSION�����Because�Eno�magnetic�anisotrop���y�is�tak�en�in�to�accoun�t,�������directions�w�of�magnetic�p�Golarizations�are�totally�indep�en-������den���t�of�those�of�w�a�v�e-n�um�b�Gers��Q�زin�this�pap�er.���In�ac-������tual��magnets,�3,absolute�directions�of�magnetizations�are������mainly�Qdetermined�b���y�magnetic�anisotrop�y��*�.�	��Ho�w�ev�er,������the��relativ���e�angles�of�magnetizations�b�Get�w�een�dieren�t�����Q�t��comp�Gonen���ts�um�ust�b�Ge�90���^����	
�or�at�least�close�to�90���^�����in������double�ʬor�triple��Q�ʉ�structures�ev���en�if�magnetic�anisotrop�y������is�[�tak���en�in�to�accoun�t;��the�magnetic�part�of�the�free�energy������is�UUlo���w�er�when�the�relativ�e�angles�are�closer�to�90���^������.������In�y�Kondo�lattices,��the�coupling�b�Get���w�een�y�SD�W�y"and������CD���W�N�is�Ostrong�and�the�phases�of�SD�W�N�and�CD�W�N�are������nev���er�Vindep�Genden�t�of�eac�h�other.�t
Then,��Gev�en�nonmag-������netic�(�impurities�ha���v�e�(�a�large�pinning�eect�on�co�Gexisting������SD���W�UUand�CD�W.������Incommensurate��sSD���W��Pw�ere�observ�ed�in�man�y�metal-������lic��magnets,�D�some�of�whic���h�are�of�high�enough�symme-������try�ɢsuc���h�as�cubic�CeAl����2��|s�,���^��24�;�25���n�cubic�Cr,���^��26�;�27���cuprate-o���xide������high-temp�Gerature�EMsup�erconductors,���^��28���3�whic���h�are�appro�xi-������mately�|,regarded�as�orthorhom���bic�lattices,���and�so�on.��LIn������this�c�pap�Ger,���Landau's�free�energy�is�obtained�up�to�the������fourth�g�order�in�magnetizations.���Because�saturated�mag-������netic�Q�momen���ts�are�large�in�CeAl����2���P�and�Cr,���higher�than������the��Rfourth�order�terms�are�required�to�discuss�their�ph���ys-������ical���prop�Gerties�at��T�����T����N�����.��PHo���w�ev�er,���it���is�still�in���terest-������ing�ajto�examine�whether�or�not�a�m���ultiple��Q�ag�structure�is������actually���stabilized�in�CeAl����2��R[�b�Gecause�magnetic�momen���ts������are���small�just�b�Gelo���w��T����N�����.�-pIt�should�b�e�men���tioned�that�a������triple��
�Q����structure�w���as�actually�prop�Gosed�for�CeAl����2��|s�.���^��29�;�30������The��dtransition�at��T����N��
��'�1�38���^������C��Yin�Cr�is�of�rst�order,���and������it�S�is�not�certain�if�magnetizations�are�small�enough�ev���en������just�e7b�Gelo���w��T����N�����.��lBecause�a�m�ultiple��Q�e3�structure�w�as�also������suggested,���^��31���Ʋit�H�is�in���teresting�to�reexamine�SD�W�H�in�cubic������Cr.�	%PIt��has�b�Geen�claimed�that�the�so�called�strip�e�or-������der���m���ust�b�Ge�stabilized�in�the�cuprate�o�xides.���^��28��aƲBecause������magnetizations�QGare�small,�Rthe�theory�of�this�pap�Ger�is�ap-������plicable�̗to�magnetic�states�in�the�cuprate�o���xides.�D3Within������the�Y�theoretical�framew���ork�of�this�pap�Ger,�Z�the�strip�e�order������m���ust��Qb�Ge�nothing�but�the�co�existing�state�of�incommen-������surate�7SSD���W�7and�CD�W.�It�is�in�teresting�whic�h�is�actu-������ally�N5resp�Gonsible�for�t���w�o�N5equiv��q�alen�t�satellites�in�neutron������diraction,��ft���w�o�x�equiv��q�alen�t�magnetic�domains�whose�v�ol-������umes���are�acciden���tally�almost�the�same�as�eac�h�other�or������a�UUdouble��Q��structure�of�SD���W�and�CD�W.������The��+sp�Gectral�w���eigh�t��+of�Gutzwiller's�quasi-particle�band������is��nsmall�in�strongly�correlated�electron�systems�in�the������vicinit���y�=�of�the�Mott�transition.�i�A�=�large�part�of�the�sp�Gec-������tral��"w���eigh�t�exists�in�the�lo�w�er�and�upp�Ger�Hubbard�bands,������whic���h��Qare�far�from�the�c�hemical�p�Goten�tial.�1�The�formation������of��SD���W���and�CD�W���causes�not�only�gaps�in�quasi-particle������sp�Gectra��&but�also�pseudogaps�in�the�lo���w�er��&and�upp�er�Hub-������bard���bands.���Their�pseudogaps�are�as�large�as��U��j�m�(�Q�)�j�,������although���gaps�in�quasi-particle�sp�Gectra�are�of�the�order�of�����k����B����T����N�����.�_dIt�,is�in���teresting�to�observ�e�c�hanges�in�the�densit�y������of�gstates�caused�b���y�the�formation�of�SD�W�Sand�CD�W�Snot������only�Win�the�vicinit���y�of�the�c�hemical�p�Goten�tial�but�also�far������from�UUthe�c���hemical�p�Goten�tial.���������n�8���
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������
������������������!�"�#�����%�1�1�1�2�3�����������������5�6�7�����9�:�;�<�����>�������������?�@�������������A�����B�C�D�����������������������������F�G�������������H�����������������J�K�L�����������������N�O�����P�����R�S�T�U�V�W�����������������Y�Z�[�\�]�^�_�`�a�����c�d�����f�g�h�i�����k�w�w�w�w�x�����z�{�|�����~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������&���������������������(�����������������)�����*�����1���������������������2�����9���������:�����<�����=�����D�����K�������������������������K�������������������������P�Q�����R���������S�����T�����[�����]�����������������������������]�����������������������������]�����������������������������q���������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ¡¢£¤¥¦��������������������©����������������ª����«����²��������������������³����º��������»����½����¾��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�����
�������������������������������������������������������$���������������������+���������������������������������1�����������������������������������������������������K�����M�P�����Q�������������������������Y�������������������������[�������������������������]���������^�����������������������������������������������������r�����y�����{�~�����������������������������Æ������������������������È������������������������Ê��������Ë������������������������������������á������������������������������������ðððððð������������������������������������������������ôõö÷����������������ÿ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������
�������������������������������������������*�*�������������������������������������.�����/�����5���������������������<�����>���������H�H���������������������I�J�����K�����������������L���������������������M�����������������������������������������R���������������������������������������������R�������������������������[�������������������������b�������������������������d�e�����f�����g�����h���������������������i�����p�r�����������������t�u�����������������w�x�y�z�����|�}�~����ĀāĂăĄąĆć����������������������������ĉĊċČčĎď������������Đ����������������Ēē����ĕĖėĘęĚ����ĜĝĞğĠġ����������������ģĤ����ĥ����Ħħ����ĨĩĪ����������������ĬĭĮ����İ����ıĲĳĴĵ����ķĸĹĺĻļĽľĿ����������������������������Ŀ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������������������������������������������������������'�(�����*�+�,�-�.�/�0�1�2�����������������������������2�3�4�5�����������������7�������������8�9�:�;�<�=�����?�@�����B�C�D�����F�S�S�S�S�T�U�����������������������������[�\�]�^�_�`�����������������b�������������c�d�e�f�g�h�i�j�k�l�m�n�����p�q���������t�������������������������t������������������������ń����������������������������������������������������Ő��������������������������������������������������������������������������������������������Ő������������������������������������ő����ř������������������������Ŝţ������������������������ţ����������������������������ŭŮů����ŷ����Ź������������������������ż����Ž�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������
���������������������������� �!�����������������������������#�$�����������������&�'�(�������������)�*�����,�����-�������������������������������������������������H�O�������������������������R�������������������������T�������������������������U�����������������������������������������Y�������������������������������������\�����������������������������������������������������g���������������������������������������������������������������������������������������������g�������������������������������������i�����������������j�����������������k�����l�����s���������������������t�����{���������|�����~���������Ɔ����ƌ������������������������ƌ������������������������Ƒƒ����Ɠ��������ƕ����Ɯ������������������������������������������������������������ƺƽ����ƾ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������������������
���������������������������������������� �����"�#�$�%�&�����'�(�����*�+�,�-���������������������������������������������C�����I�������������������������I�������������������������N���������������������U�������������������������U�������������������������[���������������������������������������������a�����������������������������������������������������w�����y�������������}�������������~������������������������ǂ������������������������Ǆ������������������������ǆ��������������������Ǉ������������������������������������������������ǜǝ����Ǟ��������������������ǟ����Ǡǡ����ǥ������������Ǧ������������������������Ǫ������������������������Ǭ������������������������Ǯ��������������������ǰ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������*�������������������������*�������������������������6���������������������8�������������������������C�C�C���������������������E�����G���������������������R���������T�������������������������T�������������������������`���������g�������������������������g�������������������������l���������������������������������{�{�{�{�{�{�������������������������������������Ȁȁ������������������������������������������������Ȫ����Ȭ������������������������Ȭ������������������������Ȳ��������������������������������������������ȷ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������.�0�����6�����8�����9�������������������������>�>�>�����������������������������������������������������D���������������������������������E�F�����G���������������������R���������T�������������������������T�������������������������_���������e�������������������������e�������������������������j���������������������������������p���������������������������������r�����������������������������w�������������������������y�������������������������{���������������������|��������������������������������������������������������ɠɠɠɠɠɠ����������������������������������������������������ɤɥɦ����������������ɨɩɪɫɬ������������ɭɮɯɰ����ɲɳ����ɵɶɷɸɹɺɻɼ����ɾɿ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
�������������������������������������������������������������� �!�"�#�$�%�&�'�����������������)�*�+�,�-�.�/�0�������������1�2�3�����5�6�7�������������8�9�:�;�����=�>�����@�A�����B�C�D�����F�������������G�H�����I�����J�K�����������������M�N�����������������������������P�Q�R�S�T�U�V�W�X�Y�����������������[�\�]�^�_�`�a�b�c�����������������e�f�����h�i�j�����l�{�{�|�����~�����ʁʂʃ������������ʄʅʆʇʈʉ����������������ʋʌʍ����ʏʐʑʒʓ����������������������������ʕʖʗʘ������������ʙʚʛʜʝʞʟ����������������ʡʢ����ʤʥʦ��������ʩ��������������������ʷʸ����ʺʻʼʽ����ʿ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�"�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������"���������������������������������������������������������������������)�����������������������������������������)�������������������������������������*���������������������,���������.�����/�������������������������1�������������������������3�����:�����<�������������������������>�������������������������?�������������������������������������F�������������������������F�������������������������������������G�������������������������������������V�V�V�V�V�V�������������������������������������������������Z�[�\�]�����������������_�l�l�l�l�m�n�����������������p�}�}�}�}�~����ˀˁ˂����˄ˎˎˎˎˏ����ˑ˒˓������������˔����˖˗˘˙����˛˜˝˞˟ˠˡˢ����ˤ����˥˦����˧������������˨˩˪����������������������������˲����˴������������������������˴������������������������˻˼˽����������������˿�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������� �!�����#�$�%�&�����������������������������(�)�*�+�,�.�/�0�1�2�����������������4�5�6�7�����:�����;�������������������������=�������������������������>���������������������?�@�B�����������������D�E�F�����H�I�J�K�L�M�N�O�����Q�R�S�������������T�U�����W�X�Y�Z�[�����]�^�����������������������������`�a�b�c�d�e�����������������g�h�������������i�j�����l�m�n�o�p�����r�s�t�u�v�����x�y�z�{�|�}�~�����́̂̃̄̅����̆̇����̉̊̋����̍̎̏̐̑̒��������������������������������������������������������������������̩̩̩����������������̩̩̩̩̩̩̩̩̩̩�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
�����������������������������������������!�������������"�#�$�%�&�'�(�)�*�+�,�-�����/�0�1�����3�4�5�6�7�8�9�����;�<�=�>�?�����@�A�B���������������������������������B�C�D�������������E�����������������G�H�����J�K�L�M�N�����P�Q�����S�����T�����U�����V�W�X�����Y�Z�����[�������������\�]�^���������e���������������������h�i�����k�l�m�n�����p�q�r�����s�t�u�����������������w�x�����z�{�|���������������������������������|�}�~�����������������͇͈́͂̓̈́͆ͅ����������������͍͎͊͋͌͏͐͑����͓͔͕͖͙͚͗͛͘͜����͟͞����ͣͤͥͦͧͨͩͪͫͬͭͮ͢͡����ͰͱͲ��������������������������������ʹ͵Ͷͷ͸͹����������������ͻͼͽ;Ϳ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
���������������������������������!����������������������������������������������$���������������������'�(�)�*�������������+�,�-�.�������������/�0�����������������2�����3�4�5�����7�������������8�����:�;�������������������������B�������������������������E�F�����H�I�����K�L�M�N�O�����Q�R�S�T�U�����W�X�����Z�[�������������������������b�������������e�f���������������������������������h�i�j�k�l�m�����������������o�p�����r�s�t�u�v�w���������~��������������������΁΂΃΄΅Ά·ΈΉΊ����Ό΍������������ΎΏ����ΑΒ����ΔΕΖΗΘΙΚΛ����ΝΞΟΠΡ΢ΣΤΥ����Φ��������������������������������ΨΩ����������������Ϋάέ������������ήί����αβ����γδ����ζηθικλ����μν����������������ο��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	������
������������������������������������������������������������������ ���������������������������������$�%�����������������'�(�)�*�+�����-�.�/�0�1�2�3�4�5�����������������7�8�9�����;�<�=�>�?�@�A�B�����D�������������E�F�������������G�����H�I�J�����������������L�M�����N�����������������P�Q�R���������������������������������T�U�������������V�����������������X�Y�����������������[�\�]�^�_�`�����b�c�d�����f�g�h�����j�k�l�m�n�o�����q�r�����t�u�����v�����������������x�y�z�����|�}�����~����������������πρς��������������������������������τυφ������������χψ����������������ϊϋόύώ������������Ϗϐϑϒϓ����ϔ����ϖϗ����ϙϚϛ����Ϝ����ϞϟϠϡϢϣ����������������ϦϧϨϩϪ����������������Ϭϭ����Ϯϯ����ϱϲϳϴϵ϶Ϸ��������������������������������ϷϸϹϺϻ����������������ϽϾϿ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
������������������������������������������������������������������������ �����"�#�����%�&�'�����(�����*�+�,�-�.�/���������������������������������/�0�1�����������������3�4�5�6�7�8�9�:�����������������<�=�>�?�����A�B�����D�E�F�G�������������H�����J�K�L�����N�O�����Q�R�S�T�����V�W�X�Y�Z�[�����]�^�_�`�a�b���������������������������������b�c�d�����������������f�g�h�������������i�����k�l�����n�o�p�q�r�����u�v�w�x�������������������������{�������������������������}������������������������ДД����Д����ДД������������������������ЖЗИЙК����МНО������������������������бб����б����бб������������гдежзийкл������������мноп�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������
������������������������������������� �!�"�����$�%�&�'�(�)�*�+�,�����������������.�/�0�����2�3�����5�6�7�����������������9�:���������������������������������<�=�>�?�����������������A�B�C�������������D�E�F�����������������H�I�J�K�L�M�N�O�����Q�R�S�T�����V�W�X�Y�Z�[�����]�^�����`�a�b�c�d�e�f�g�����i�j�����l�m�����o�p�q���������������������������������s�t�u�v�w�x�����������������z�{�|�}�~����рс����уфхцчшщъыьэюяѐё����������������ѓєѕіїјљ����ќѝўџѠѡѢѣѤ����ѦѧѨѩ��������������������������������ѩѪѫѬѭ����������������ѯѰѱѲѳ������������Ѵѵ����ѷѸѹ����ѻѼѽѾѿ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
������������������������������������������������������������������������������������� �!�"�������������#�$�%�&�'�(�����*�+���������.���������������������2���������������������4�������������������������6�������������������������8�����������������:�;�������������<�����=�>�����?�@�A�����������������C�D�����������������F�G�����I�J�K�L�M�����O�P�������������Q�R�S�T�U�V�W���������������������������������W�X�Y�����������������[�\�����^�_�`�a�b�c�d�����f�g�h�i�j�k�l�����n�o�����q�r�s�����u�����w�������������x�y�z�{�|�}�~��������҅��������������������҈҉ҊҋҌҍҎҏҐ����Ғғ��������������������������������ҕҖҗҘҙҚқҜ����������������ҞҟҠҡҢңҤҥҦҧ����ҩҪ����ҬҭҮү������������������������Ҳ������������������������ҵ������������ҶҷҸҹҺһ����ҽҾҿ�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
��������������������������������������������������� �����"�������������#�$�����&�'�(�)�*�+�,�-�����/�0�1�2�������������3�4�5�6�����8�9�:�����<�=�>�?�������������������������B�������������������������D�������������������������V�V�����V�����V�V�����������������������������������������X�Y�Z�����������������\�]�^�_�`�a�b�c�d�e�����g�h���������k�������������������������m�������������������������t���������������������v�w�������������������������}�����������������������������������������Ӂӂ����ӄӅ����Ӈӈ����ӊӋ����ӎӏӐӑ����ӓӔӕӖӗӘ����������������ӚӛӜ��������������������������������ӟӠ����������������Ӣӣ����ӥӦӧ����өӪӫӬӭӮӯ����ӱӲ����ӴӵӶӷӸӹӺӻӼӽӾӿ�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
������������������������������������������������������������ �!�"�������������������������.�.�������������������������0�1�����������������3�4�����6�7�������������8�9�:�;�<�=�>�?�@�����B�C�����E�F�G�H�I�J�K�L�M�����O�P�����Q�����������������S�T�����V�W�X�Y�Z���������������������������������\�]�^�����������������`�a�����������������c�d�e�����g�������������h�i�j�����l�m�n�o�p�q�r�����t�u�v�w�����y�z�{�����}�~����ԀԁԂԃԄԅ����ԇԈԉԊԋ����Ԍ����ԎԏԐ��������������������������������ԐԑԒ����������������Ԕ������������ԕԖԗ����ԙ������������Ԛ����ԜԝԞԟԠԡԢԣԤԥ����ԧԨ����ԪԫԬ����Ԯԯ԰ԱԲԳԴ����Զ����ԷԸԹԺԻԼ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
���������������������������������������������������������������������� �!�����#�$�%�&�'�(�����*�+�����-�.�/�����1�2�3�4�5�6�7�����9�������������:�;�<�=�>�?�����������������A�B�C�D�E�F���������������������������������H�I�J�����������������L�M�N�O�P�Q�R�S�T�U�V�����X�Y�Z�[�\�]�������������^�_�`�����b�c�����e�f�g�h�����j�k�l�������������m�n�o�����������������q�r�s�����u�v�w�x�y�����z�����|�}�~�Հ��������������������������������Ղ������������ՃՄՅ����������������Շ������������Ո����ՊՋՌՍՎՏՐ����ՒՓՔ����Ֆ՗՘����՚՛����՜՝՞՟ՠաբգ����եզէըթ����իլ����ծկհձղճմյն��������������������������������նշոչպջ����������������սվ������������տ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
����������������������������������� �!�"���������������������������������$�%ּ�(�)�*�+�,�-�.�/�����������������1�������������2�����3�����������������5�6�7�8�9�����������������:�;�<�=�����>�����@�A�B�C�D�E�F�G�����I�J�K�L�M�N�O�����Q�R�S�T�U�����W�����X�Y�Z���������������������������������Z�[�\�]�����������������_�`�a�����c�d�e�f�g�h�i�������������j�k�l�m�n�����p�q�r�s�t�u�����w�x�y�����{�|�}�~����րց����փքօ����ֆ����։֊֋֌֍����֏֐��������������������������������֒����������������֖֔֕֗֘֙��������֠��������֣֤֥֦֧֪֨֩֫����֭֮����ְֱ������������ֲ����ִֵֶ����ָֹ����ֺֻ��������������������������������ֿ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
������������������������� �!�"�#�$�%�&�����(�)�����+�,�-���������������������������������/�0�1�2�3�4�5�������������6�����������������8�9�����;�<�=�����?�@�A�B�����D�E�F�G�H�I�J�K�L�M�N�����������������P�����������������R�S�T�U�V�����X�Y�Z�[�����]�^�����`�a�b�����d�e�������������f�g�h���������������������������������h�i�j�k�����������������m�������������n�o�p�q�����r�����t�u�v�w�x�y�����{�|�����~�׀����ׂ׃����ׄ����ׅ׆����׈׉׊����׌׍׎������������׏א����גדהוזחט����ךכלםמן��������������������������������סעףפ������������ץ����������������קרש����׫׬׭����ׯװױײ����״׵׶����׸����׹׺׻׼׽׾׿��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
�������������������������������������������������������������������������������� �����"�#�$�%�&�'�(�)�*�+�����-�.�����0�1�2�����4�5�������������6�����7�8�����������������:�;�<�����>�?�@�����A�B�����D�E�F�G���������������������������������G�H�I�J�����������������L�M�N�O�P�Q�����������������T�U�V�W�X�����[�\�]�^�_�`�a�b�c�d�����f�g�h�����j�k�����m�n�o�p�q�����s�t���������w���������������������x�����y����؀����؁����؈����؉����؋��������������������������������؍؎؏ؐؑؒؓؔ����������������ؘؙؖؗ����؛؜����؞؟ؠءآأؤإئابةتث����حخ������������دذرزس����صضط����عغ����ؼؽؾ�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
������������������������������������������� �!�"�#�$�%�&�'�����)�*�����,�-�����.�����������������0�1�2�����4�5�����6�����������������8�9�:���������������������������������<�=�>�?�����������������A�B�����D�E�F�����H�I�J�K�L�M�N�������������O�����Q�R�����T�U�V�����X�����Y�Z�[�\�]�^�_�����a�������������b�c�d�e�����f�g�h�i�����k�l�m�����o�p�q�r�����t�u�v���������������������������������x�y�z�{�����������������}�~�����ف������������قكلمنهو����ي������������ًٌٍَ����ُِّْٓ�������������������������������������������������������������{������������
���	����Q����
�]��Q�������B�]��=eC�V.���CONCLUSION�����Magnetic�}�and�c���harge�structures�in�strongly�correlated�������electron� ~liquids�are�studied�within�the�theoretical�frame-������w���ork�uof�Kondo�lattices.���When�there�is�no�sharp�nest-������ing��5in�the�F��*�ermi�surface�and�the�sup�Gerexc���hange�in�terac-������tion���is�strongly�an���tiferromagnetic,��'helical�structures�are������stabilized���ev���en�in�itineran�t-electron�magnets.�,hWhen�the������nesting���of�the�F��*�ermi�surface�is�sharp�enough,��sin���usoidal������structures��are�stabilized.�@�When�incommensurate�order-������ing��Hw���a�v�e-n�um�b�Gers�are�m�ultiple,�&Din�particular,�m���ultiple������sin���usoidal�Ӌstructures�are�stabilized.��hTheir�magnetic�p�Go-������larizations�Gare�orthogonal�to�eac���h�other�in�double�or�triple������sin���usoidal�G�structures,�J�when�magnetic�anisotrop�y�is�small������enough.������Because���the�quenc���hing�of�magnetic�momen�ts�b�y�lo�Gcal������quan���tum���spin�
uctuations�sensitiv�ely�dep�Gends�on�lo�cal������n���um�b�Gers�[of�electrons�in�Kondo�lattices,�\lincommensurate������CD���W��Dis��finevitably�driv�en�b�y�incommensurate�SD�W.�In������hole���or�electron�dop�Ged�systems�at�the�vicinit���y�of�the�Mott������transition,���therefore,�the�q�phase�of�CD���W�q�is�adjusted�in������suc���h�Za�w�a�y�that�the�densit�y�of�dop�Ged�carriers,�K�holes�or������electrons,��is��large�at�sites�where�magnetic�momen���ts�are������small.��!�%��-8��A��CCKNO�WLEDGMENTS�����The��author�is�thankful�to�K.�F��*�ujiw���ara�for�sho�wing�him������the�}rreferences.���^��24�;�25�;�29�;�30��,
�This�w���ork�w�as�supp�Gorted�b�y�a������Gran���t-in-Aid���for�Scien�tic�Researc�h�(C)��gNo.�13640342������from�@�the�Ministry�of�Education,�w�Cultures,�Sp�Gorts,�Science������and�UUT��*�ec���hnology�of�Japan.�����H�APPENDIX���A:�NON-MAPPED����l2SINGLE-IMPURITY���ANDERSON�MODEL�����Consider���the�Anderson�mo�Gdel�with�innitely�large��U��,������constan���t���h�ybridization�energy�,��&and�conduction�band-������width���2�D�G�.��According�to�a�previous�pap�er,���^��32���Բthe�ground������state�UUenergy�of�suc���h�an�Anderson�mo�Gdel�is�giv�en�b�y��Hb�����K�E����G��	��=�������d��Ⓒ�8������\q�����~�����������c����Y�������v/�s���8��v/�fep���э�(�k����B����T����K�����)���r�2��|s�e���r�����'���0�~���㍐@L����c�����ʴ=���!{�+��������X������4������\q�����~������UQ����r��2��\n����������|���;�����ϧ��(A1)����#T����with��Y�k����B����T����K��qв=���������p���t�����fe��wv��D�G�������exp����/��[��2X��[ٲ(�����d��Ⓒ�8��)�=�2�]���pC�.�*�Here,�
�����d����is�the������energy�S�lev���el�of�strongly�correlated�electrons�and����is�the������c���hemical�p�Goten�tial;���\q���0~������.������c����1ڲand���\q����~���������������Z�(��j�=���x;���y�v��and��z�p��)�are�exter-������nal�~�elds�or�Lagrange�m���ultipliers,���whic�h�~�are�determined������in��esuc���h�a�w�a�y�that�magnetic�momen�ts�and�electron�n�um-������b�Gers�UUare��m���=�(�m����x���;���m����y��·�:m����z�����)�UUand��n�.������In��the�absence�of�elds,��the�electron�n���um�b�Ger��is�giv���en������b���y� t�n����d��pʲ=���������[��qŵ@��8E����G���ڵ=@�����c����]�����C���0XJ�~���㍑/�f����c����8t�s�=0�;���'��`�~���㍴�������	(�=0��[��=�1�����(��[�T����K�����=�2),�+so�that�����07��k����B����T����K��
|˲=�����<$���K2���K�w�fe
UX�	(֍���������ֲ(1�8���n����d�����)�:����ϧ��(A2)�����Ѝ���In��the�presence�of�elds,��Pmagnetic�momen���ts�and�the�elec-������tron�UUn���um�b�Ger�are�giv�en�b�y�������HÀ������m��������=��������<$��33�@��8E����G���33�w�fe���
�v���A�@���\q����~�������8�������������&t�=�����<$����\q��0�c~������05������������K�w�fecE��E�����L�q���
��L�feYE��E���T����:��c��2��b��K������e���r�����'���0�~���㍐@L����c�����ʴ=���!{�+��8�����P����������\q���7�~������k�����r��2��\n����������������ק��(A3)����#�����and���&����D�n���=�������<$��33�@��8E����G���33�w�fe���
�v����@���\q����~�������8�����c��������&t�=�1�8������<$��0���l�w�fe
UX�	(֍�2���������<$��,E'�T���^���c��2��b��K������e���^������'���0�~���㍐@L����c�����ʴ=����'џw�fecE��E�����L�q���
��L�feYE��E���T����:��c��2��b��K������e���r�����'���0�~���㍐@L����c�����ʴ=���!{�+������P��������k�����r��2��\n�����������w���:����ק��(A4)��������It�UUfollo���ws�from�these�equations�that��������\q��-�~������-_m���������8.��(�m�;���n�)��=�����<$���K2���K�w�fe
UX�	(֍������������<$���	m�������ɲ(1�8���n�)���	�w�fe,��	(֍���1�8���m���r�2���������ק��(A5)�����5����and��w@�����\q���~������rY�����c����Z��(�m�;���n�)��=�������<$��33�2��33�w�fe
UX�	(֍���������ff�ln������<$��6��1�8���n�����w�feKJD�
UN��(1�8���n����d�����)�������p���UW�����feJ��UU��1����m���r�2���������i�:����ק��(A6)����XX����Dene�UUa�thermo�Gdynamic�p�oten���tial�b�y��Oۍ������f*~�������!���0Բ(�m�;���n�)�����"ƻ������-T�E����G���ڲ(�m�;���n�)�8�+��n���\q��j��~����������c����!�+��������X������4����UQ�m��������\q��dt�~�������ɵ�����������4����"ƻ�=�����-T�����d��Ⓒ�8��������<$��l�2��l�w�fe
UX�	(֍�����������(1����n�)����u9����7T�+(1�8���n�)�����<$��332��33�w�fe
UX�	(֍���������ff�ln������<$��6��1����n�����w�feKJD�
UN��(1����n����d�����)�������p���UW�����feJ��UU��1����m���r�2���������i�:������ק��(A7)������؍���It���is�easy�to�conrm�that��@���X�~����8�!���#��(�m�;���n�)�=@��8m��������=���\q��1�~����������������
�8�(�m�;�n�)���and���G���@���X�~����8�!���#��(�m�;���n�)�=@��8n���=���\q��1�~�����������c�����P�(�m�;�n�).�������The���case�when�the�electron�n���um�b�Ger���is�smaller�than������unit���y�\ois�examined�so�far.��The�case�where�the�electron������n���um�b�Ger�)is�larger�than�unit���y�can�also�b�e�treated�within������this�UUtheoretical�framew���ork�if�the�hole�picture�is�tak�en.������In�vlthe�presence�of�actual�external�elds,�����and��H�,�the������thermo�Gdynamic��'p�oten���tial�to�b�e�minimized�as�a�function������of�UU�m��and��n��is�giv���en�b�y��z������x䍒ł~������
����A��������%,��=�������0�|~���/�ҵ!���6P&�(�m�;���n�)�8���n���������<$��l�1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�g�[�����B����(�m����H�)���������%,�=�����/�ҵ����d��Ⓒ�8�����T����K��	��n���������<$��l�1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�g�[�����B����(�m����H�)����\����/��+�����<$����1��33�w�feO�	(֍2���/~�������s����
���(0)������� `-���^���%�K�m������2���S�+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�m������4���+��8��������
㇟��^�������������/�Ҳ+�����<$���1��33�w�feƟ	(֍2���/~�������c����
T��(0)������,�n������2���S�����n�~���8�g���Yùm������2��|s��n�8�+����������/�;������ק��(A8)����������with�D�n�T��=��n�����n����d�����,�����~���������s������(0)�T�=�(��[�=�2)�=�j�1�����n����d���j�,�����~���������c�����f�(0)�T�=������(��[�=�2)�j�1�8���n����d�����j�,�UUand��������3��~���3=Q�g���;%L�=�������\�(����4j������=�[�;���1�n����d��pʵ<���1���0����
�S���=�[�;���1�n����d��pʵ>���1�����T�z�:����ק��(A9)����Oፒ��Here,�9the�2�results�for��n����d��pʵ>���1�in�the�hole�picture�are�in���ter-������preted�Ȏin���to�those�in�the�electron�picture.�B�Then,��it�follo�ws������that��w@�����\q��3�~�������H�b������wi���4�����#��=�����<$��
!�2���K�w�feO�	(֍���/~�������s����
���(0)�����C�=�����<$���K4���K�w�fe
UX�	(֍���������ָj�1�8���n����d�����j���=�2�k����B����T����K�����:����ҧ��(A10)����]���When��the�F��*�riedel�sum�rule���^��33��
��is�made�use�of,��the�den-������sit���y�q�of�states�at�the�c�hemical�p�Goten�tial�is�giv�en�b�y���������n�9���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������٪٪����������������٪٪٪٪٪٪٪٪٪٪��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������������������������
���������������������������������������� �!�"�#�$�%�&�����(�)�*�+�,�-�����/�0�1�����3�4�5�6�7�8�9�:�;�<�=�����?�@�A�B�C�D�����������������������������D�������������E�F�G�����������������I�J�����L�M�N�O�P�����R�S�T�U�V�W�X�Y�Z�����������������\�]�^�_�����a�b�c�d�e�����g�h�����j�k�����m�n�o�p�q�����s�t�u�v�w�����������������������������w�x�y�����������������{�|�����~�ڀ����ڂ����������������ڃڄڅچ����ڈډڊڋڌڍڎ����ڐڑڒ����ڔڕږ����ژڙښ������������ڛڜڝڞڟ������������ڠڡڢڣڤ����ڦڧ����ڨکڪګڬڭ����������������������������ڭڮگڰ����������������ڲڳ����ڵڶڷڸڹںڻڼ����ھڿ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���������������������������������������������������������������������� �!�"�#�$�%�&�����������������(�)�����+�,�-�����/�����������������0�1�2�3�����5�6�7�8�9�:�;�����=�>�����@�A�B�C�D�����F�G�H�I�J�K�L�����������������N�O�P�������������Q�R�S�T�U�V�W�����������������������������Y�Z�[�\�]�^�_�`�a�b�����������������d�e�f�����j�k�l�m�n�o�p�q�r�s�t�����������������w�x�y�z�����|�}�~�ۀہۂۃۄۅۆۇۈۉ����ۋیۍێۏې����������������������������ېۑے����������������۔������������ە����ۖ����ۗۘۙ����ۚۛ����ۜ������������۝۞۟����ۣۡۢ����ۥ����ۦۧۨ۩۪ۭ۫۬����������������ۯ۰����۲۳۴۵۶۷۸۹ۺۻۼ����۾������������ۿ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������!�"�#�$�%�����'�(�����*�+�,�-�.�/�����1�2�����4�5�6�7�8�9�����������������������������;�<�=�������������>�?�@�A�B�C�D�����������������F�G�H�I�J�K�L�M�N�O�P�����������������R�S�T�U�����W�X�Y�Z�[�\�]�^�����`�a�b�c�d�e�f�g�h�����i�����k�l�����n�o�p�q�r�����������������������������t�u�v�w�x�y�z�����������������������������~�܀܁܂܃܄����������������܆܇܈����܊܋܌܍܎������������܏ܐܑܒ����ܔܕ����ܗܘܙܚܛܜܝܞ����ܠܡܢܣܤ����ܥܦ����ܨ����ܩ����ܫܬ������������ܭܮܯ����������������������������ܱܴܲܳ������������ܷܵܶ����������������ܹܻܼܺ����ܿ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
������������������������������������������������������������� �������������!�����������������#�$�����������������&�'�(�)�*�+�,�-�.�/�����1�2�3�4�����5�6�����8�����9�����;�<�=�>�?�@�A�B�C�D�E�F�G�H�����J�K�����L�M�����O�P�����������������������������R�S�T�U�����������������W�X�����Z�[�\�]�^�_�`�a�����c�d�e�������������f�g�����i�j�k�l�m�n�o�����q�r�����t�u�v�����x�y�z�{�|�}�~�����������������݂݁����݄݆݅����݈݉݊݋����������������������������ݍݎݏݐݑݒݓݔݕݖݗ����������������ݙݚݛݜݝݞݟݠݡݢ����ݤݥݦ����������������ݨݩݪݫݬ����ݮݯ����ݱݲ������������ݳ����������������ݵݶ����ݸݹݺݻݼݽݾݿ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
������������������������������� �!�"�#�$�%�&�����(�)�*�+�,�������������-�.�����0�1�2�����������������������������5�6�7�8�9�:���������������������������������������������T�������������T�T�T�T�����T�T�T�T�T�T�T�T�T�T���������������������������������������������V�W�X�����������������Z�[�\�]�^�_�����a�b�����d�e�f�g�h�i�j�k�����m�n�����p�q�����s�����������������t�u�v�w�������������x�y�z�����|�}�~����ހށނ����ރބޅކ����ވމފ����������������������������ލގޏ����������������ޑޒޓޔޕޖޗޘޙޚޛ������������������������޾޾����޾����޾޾����޾����޾޾����޾����޾޾������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
���������������������������������������������������������������� �!�"�#�����%�&�����(�)�*�+�,�-�.�/�0�1�����������������3�4�5�6�7�8�9�:�;�����=�>�������������?�@�A�B�C�����E�F�G�H�I�J�K�����������������������������M�N�O�����������������Q�����������������R�S�������������T�U�V�W�X�Y�Z�����\�]�����_�`�a�b�c�d��������������������������������ߺߺߺߺߺߺߺߺ����������������ߺߺ����ߺߺߺߺߺߺߺߺߺߺ������������������������������������ߺߺߺߺߺߺߺߺߺߺߺߺߺߺߺ����������������ߺߺߺߺߺߺߺߺ����ߺߺߺߺߺ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
�������������������������������������������������������� �!�����)�+�����������������-�.�/�����1�2�3�4�5�6�7�8�9�:�����<�=�>�?�@�����������������������������@�A�B�C�D�����������������G�����H�����������������J�����������������L�M�N�O�P�Q�R�S�T�����V�W�����Y�����[�\�]�^�_�`�a�b�����d�e�f�����g�h�i�������������������������x�x�������������������������z�{�|�����~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������,�����2�������������������������5�������������������������������������:�������������������������������������������������:�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������^�����������������������������������������m�m�m�m�������������������������������������������������r�s�t�u���������������������x�������������������������z�������������������������|�������������������������|��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
����������������������������� ���������#�$�����&�'�(�����������������������������*�������������+�,�-�.�/�0�1�����������������3�������������4�5�6�7�����8�9�:�;�<���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������T�U�V���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������p�����t���������������������u���������������������v�w�����������������y���������������������|�}�~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����$�����������������������������'�(�����������������*�+�,�����.�/�0�1�2�3�4�����6�7�����:�;�<�=�>�?�����������������A�B�C�����E�F�G�H�I�J�K�L�����N�������������O�P�����Q�������������R�S�����������������U�V�����X�Y�Z�������������[�\�����������������������������^�������������_���������������������d�������������������������d�������������������������j���������������������l�����������������������������r�������������������������|�����������������~�������������������������~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�������������������������#�������������������������%�������������������������������������������������:�:�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������:�������������������������������������<�=���������������������>���������?�������������������������A�������������������������B�����D�������������������������������������S�S�S�S�������������������������������������������������X�Y�����������������[�\�]�����_�`�a�b�c�d�e�f�����h�i�����l�m�n�o�p�q�����������������s�t�u�v�w�x�y�z�����|�}�~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������
�������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������%�%�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�����������������������������������������������������������������G�������������������������G�������������������������G�G���������������������G���������G�����G�������������������������������������������������������������������������������������������������������������G���������������������G���������G�������������������������G���������������������������������������������������������V�V�V�V�����������������������������������������������������X�Y�Z�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�����
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������/�����0�����7�����������������8�����9�����������������������������������������B�����������������������������������������F�������������������������F�������������������������K�����L�����S�����������������T�����U�����������������W���������Y�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������q�������������������������������������v�������������������������������������������������v�����������������������������~�������������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������=���������=���������=�������������������������������������������������������������������������������������������������=�=���������=���������=�������������������������=�������������������������=�����������������������������=�����������������������������������������������������������������������������������������������������=���������=���������=�������������������������=�����������������������������������������������������@���������������������������������������������O�O�O�O���������������������������������������������������������S�T�����������������V�W�����Y�Z�[�\�����^�_�����a�b�c�e�f�g�����i�j�k�l���������w�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!���������������������������������������������%�&�'�����������������)�*�+�,�����.�/�0�1�����3�4�5�����7�8�9�:�;�<�=�>�����@�������������A�B�����C�������������D�E�����������������G�H�����J�K�L�M�N�O�P�����R�S�T�U���������������������������������W�X�Y�Z�������������[�����������������]�^�����`�a�b�c�d�e�f�g�����i�j�����l�m�n�o�����������������q�r�s�����u�v�w�x�����z�{�|�}�~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
���������������������������� �!�����$�%�&�'�(�)�����������������1�����5���������8�9�:���������=�����E�����G�H�I���������������������������������K�L�M�N�O�P�������������Q�R�S�T�U�V�W�����������������Y�����Z�[�\�]�������������^�_�`�a�����c�d�����f�����g�����i�j�k�l�m�n�o�p�q�����s�t�����v�����x�y�z�{�|�}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������!�������������$�������������������������&�������������������������(�����)���������5���������7�����>��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"���������������������&���������(���������*�������������������������*�������������������������1���������4�����:�����>���������@�����������������������������������������������������L���������������������������������������������������������������������������������������������L�������������������������������������M�������������P�������������������������R�������������������������T�����U���������a���������c�����j�������������������������������������������������������������}�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������+�������������������������+�������������������������<�����>���������������������A�������������H�����������������H�����H�������������������������K���������������������������������������������Z�Z�Z�Z���������������������������������������������������������^�_�`�a�����������������i�����k���������������������l���������n���������������������o���������p�������������������������r�������������������������t���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�����*�-�������������.�������������������������4�������������������������6�������������������������8���������������������9�����������������������������������������������������M�����T�����V�Y�������������Z�������������������������_�������������������������a�������������������������c���������������������d�������������������������������������z�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7�������������������������������������7�����������������������������������������>�������������������������������������������������Z�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Z���������������������������������Z�Z�Z���������������������������������\�������������������������������������������������o�o�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������o�������������������������������������q�����r���������������������s���������t�������������������������t�������������������������y���������������������{�����}�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�����������������������������������������������������������������������Z�������������r��
K��Q����
�]��Q�������B�]����(0)�(=��sin���UF���*�2����ѹ�(���H��[�n����d�����=�2�)���9��=�[ٲ.��OWhen��-the�F��*�ermi-liquid�rela-���G����tions,����;~���������s����-�(0)�1z=���\q���|~�����������s����
m
��(0)��*and����F~��������c����
�в(0)�1z=���\q���|~�����������c����
9���(0),��are��*made�use�������of,�UUit�follo���ws�that��i������\q��#�~������"^�����s����/`��=�����<$��2�1���K�w�fe!qe�	(֍�j�1�8���n����d�����j���������<$����-���(��1�4��[�n����d�����=�2�)����Pv/����2���'��w�fe3D�	�ݍ��sin���G���*�2����Ñ�(��� ��[�n����d�����=�2�)�������\Id�;����ʧ��(A11)����9ō���and��w������\q��$��~������#������c����0z4�=���j�1�8���n����d�����j�����<$����V²(��:Q��[�n����d���=�2�)����)�L����2���33�w�fe3D�	�ݍ��sin���G���*�2����Ñ�(��� ��[�n����d���=�2�)�������5���:����ʧ��(A12)�����)�d�ff��56덍���N?��-=�'�Aa�cmr6�1����
x��K.���K.�Murata�and�S.�Doniac��9h,�6zPh�ys.���Rev.�Lett.��29�,�285����
x�(1972).�������N?��-=�2����
x��T.���Moriy��9a�and�A.�Ka�w�abata,�nJ.�Ph�ys.�So�A�c.�Jpn.��34�,�n639����
x�(1973);�T�ibid.��35�,�669�(1973).�������N?��-=�3����
x��T.�1�Moriy��9a,�y�Spin�S�Fluctuations�in�Itiner��ant�Ele�ctr�on�Mag-����
x�netism�,�UMSpringer�%JSeries�in�Solid-State�Sciences�56,�Springer-����
x�V��:�erlag,�TBerlin�Heidelb�A�erg�New�Y�ork�T�oky��9o,�1985.�������N?��-=�4����
x��F.�TJ.�Ohk��|ra��9w�a,�TJ.�Ph��9ys.�So�A�c.�Jpn.��67�,�535�(1998).�������N?��-=�5����
x��E.��*Miy��9ai�and�F.�J.�Ohk��|ra�w�a,���Ph�ys.�Rev.�B���61�,���1357�(2000).�������N?��-=�6����
x��K.���Miy��9ak�e�and�O.�Narikiy�o,�(J.�Ph�ys.�So�A�c.�Jpn.��63�,�(3821����
x�(1994).�������N?��-=�7����
x��A.�TY��:�oshimori,�J.�Ph��9ys.�So�A�c.�Jpn.��14�,�807�(1959).�������N?��-=�8����
x��J.�GOHubbard,�p�Pro�A�c.�Ro��9y��:�.�So�c.��A276�,�p�238�(1963);����ibid.��A281�,����
x�401�T(1964).�������N?��-=�9����
x��M.���C.�Gutzwiller,��Ph��9ys.�Rev.�Lett.��10�,�159�(1963);��dPh��9ys.����
x�Rev.�T�134�,�A293�(1963);��ibid.��A137�,�1726�(1965).�����������-=�10����
x��Photo�A�emission���electron�sp�ectra�(PES)���are�almost�the�same����
x�in���a�high-energy�part�b�A�et��9w�een���metallic�and�insulating����
x�phases��in�the�vicinit��9y�of�the�transition.�These�observ��|rations����
x�also�T�imply�that�the�Mott-Hubbard�splitting�exists�ev��9en�in����
x�metallic�Tphases.�����������-=�11����
x��F.��DJ.�Ohk��|ra��9w�a,��Ph�ys.��DRev.�B��4�44�,�6812�(1991);���J.�Ph��9ys.�So�A�c.����
x�Jpn.�T�60�,�3218�(1991);��ibid.��61�,�!615�(1991).�����������-=�12����
x��K.�TG.�Wilson,�Rev.�Mo�A�d.�Ph��9ys.��47�,�773�(1975).�����������-=�13����
x��P��:�.�TNozi������Xeres,�J.�Lo��9w.�T�emp.�Ph��9ys.��17�,�31�(1974).�����������-=�14����
x��K.��/Y��:�amada,�(&Prog.�Theor.�Ph��9ys.��53�,�970�(1975);�_�ibid��54�,����
x�316�T(1975).�����������-=�15����
x��K.��`Y��:�osida�and�K.�Y�amada,�8�Prog.�Theor.�Ph��9ys.��53�,�1286����
x�(1970).�����������-=�16����
x��F��:�or�̋reviews�on�the�exact�theory�b��9y�the�Bethe�metho�A�d,����
x�see,�@�e.g.,�N.�њAndrei,�K.�F��:�uruy��9a,�and�J.�H.�Lo��9w�enstein,����
x�Rev.�^�Mo�A�d.�Ph��9ys.��55�,��Q331�(1983);���A.�M.�Tsv�elic�k�and����
x�P��:�.�ޘB.�Wiegmann,�P�Adv.�Ph��9ys.��32�,�453�(1983);��:A.�Okiji����
x�and��[N.�Ka��9w�ak��|rami,��\�Springer��CSeries�in�Solid�State�Scienc��e����
x��(Springer,��/Berlin,�1988),�V��:�ol.�dj77,�p�63;��P��:�.�Sc��9hlottmann,����
x�Ph��9ys.�TRep.��118�,�1�(1989).�����������-=�17����
x��W.�"Metzner�and�D.�V��:�ollhardt,�eJPh��9ys.�Rev.�Lett.��62�,�324����
x�(1989).�����������-=�18����
x��L.�TM.�Roth,�Ph��9ys.�Rev.��149�,�306�(1966).�����������-=�19����
x��F.�TJ.�Ohk��|ra��9w�a,�Tsubmitted�to�Ph��9ys.�Rev.�B�����������-=�20����
x��The�e�densit��9y��(5��"		cmmi9�n���);�cmmi6�d���p�should�b�A�e�equal�to�that�of�p�ositiv��9e�ions����
x�b�A�ecause�Tof�the�c��9harge�neutralit�y�of�the�system.�����������-=�21����
x��In��this�pap�A�er,��the�spin�susceptibilit��9y�is�dened�in�suc�h�a����
x�w��9a�y�Tthat�it�do�A�es�not�included�the�factor��g��R���-=�2��}Q����-=��2���.��B���X��=�4.�����������-=�22����
x��F.�TJ.�Ohk��|ra��9w�a,�TJ.�Ph��9ys.�So�A�c.�Jpn.��67�,�525�(1998).�����������-=�23����
x��H.��oSatoh�and�F.�J.�Ohk��|ra��9w�a,��jPh�ys.��oRev.�B��X�57�,�5891�(1998);����
x��ibid.�T�B��63�,�184401�(2001).�������B�]�������Q��-=�24����g��P��:�.���Barbara,��}J.�X.�Bouc��9herle,�J.�L.�Buev��9os,�M.�F.�Rossignol,����g�and�TJ.�Sc��9h�w�eizer,�TSolid�State�Comm��9un.��24�,�418�(1977).���������Q��-=�25����g��F.�[Steglic��9h,���C.�D.�Bredl,�M.�Lo�A�ew��9enhaupt,�and�K.�D.����g�Sc��9hotte,�TJ.�de�Ph�ysique��40�,�C5-301�(1979).���������Q��-=�26����g��A.�Y�Arrot,�vS.�A.�W��:�erner,�and�H.�Kendric,�Ph��9ys.�Rev.�Letters����g��14�,�T1022�(1965).���������Q��-=�27����g��S.�]�A.�W��:�erner,�pA.�Arrot,�and�H.�Kendric,�Ph��9ys.�Rev.��155�,����g�528�T(1967).���������Q��-=�28����g��J.��M.�T��:�ranquada,���B.�J.�Sternlieb,�J.�D.�Axe,�Y.�Nak��|ram��9ura����g�and�TS.�Uc��9hida,�Nature,��375�,�561�(1995).���������Q��-=�29����g��S.�f�M.�Shapiro,���E.�Gurewitz,�R.�D.�P��9arks,�and�L.�C.�Kupfer-����g�b�A�erg,�TPh��9ys.�Rev.�Letters��43�,�1748�(1979).���������Q��-=�30����g��D.��)E.�MacLaughlin,�eO.�P��9e���A�~��n���#�a,�and�M.�Lysak,�Ph��9ys.�Rev.�B����g��23�,�T1039�(1981).���������Q��-=�31����g��R.�TJ.�W��:�eiss,�Ph��9ys.�Letters��10�,�45�(1964).���������Q��-=�32����g��T.��NY��:�amamoto�and�F.�J.�Ohk��|ra��9w�a,�2LJ.��NPh�ys.�So�A�c.�Jpn.��57�,����g�2264�T(1988).���������Q��-=�33����g��H.�TShiba,�Prog.�Theor.�Ph��9ys.��54�,�967�(1975).���������10���el:nS����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�������������������������,�������������.�������������������������0�������������������������1�����2�����8�����������������������������;�>�����������������E�G�����������������K�L�M�N�����������������P�Q�R�����T�����������������U�V�W�X�Y�Z�[�\�]�^�_�����a�b�c�d�e�����������������������������������������e�f�g�h�i�j�������������������������������������������������������������������������������������z���������������������������������{�|�}�����������������~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�������������������������������������������������7�������������������������������������������������������������������������������������������������7�����7���������������������7���������7�������������������������7�������������������������7���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������J�������������������������J�������������J�������������������������J�������������J�����J�����J�������������������������������������������������J���������������������������������������������������������������������������������������������������������J�J�J���������������������������������������������J���������������������������������J�������������������������J�������������J�������������������������J�������������J�����J�����J���������������������������������������������K�������������������������������������Z�Z�Z�Z�Z����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
��������������������������������������������������������������������� ���������������������'�(�)�*�+���������3�4�����6�����8�9�:�����<�=�>�?�@�A�B�������������������������������������������������������������U���������������������������������W�X�����������������Z�[�\�]�^�������������_�`���������������������g�h�i�j�����������������l�m�n�o�p�q�r�s�t�u�v�w�����y�z�����|�}�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �!�����������������#�$�����&�'�������������(�)�*�����,�-�������������.�/�����1�2�3�4���������;�<�����>�����@�A�B�����D�E�F�G�H�I�J�������������������������������������������������������������\���������������������������������^�_�����������������a�b�c�������������d�e�����g�h�i�����k�l�����n�o�����q�r�s�����������������t�����u�����v�w�����������������y�z�����{�|�}��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	������������������������������������������������������������������������������������������������������ �!�����#�$�������������%�&�����(�)�*�+���������2�3�����5�����7�8�9�����;�<�=�>�?�@�A�������������������������������������������������������������W���������������������������������Y�Z�����������������\�]�^�_�`�a�b�c�����������������e�f�g�������������h�i�����k�l�������������m�����������������n�����p�q�����r�s���������z�{�|�}�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
��������������������������������������������� �!�"���������)�*�+�,�-���������5�6�7�8�����:�����<�=�>�?�����A�B�C�D�E�F�G�������������������������������������������������������������`�`���������������������������������b�c�d�e�f�������������g�h�i�j�k�l�m�n�����������������p�q�r�s�t�u�v�w�����y�z�����{�|�}�~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
��������������������������������������������������������������������� �!�����#�$�%�&�'�(�)�*�+�,�-�.�����0�1�2�3�4�5�6�7�8�����:�;�<�=�>�?�����A�B�������������C�D�����F�G�����������������������������I�J�K�L�M�N�O�P�����������������R�S�T�U�V�W�X�������������������������������������������������������������l�l���������������������������������n�o�����������������q�r�����t�u�v�����������������w�������������x�����y�z�����������������|�}�����~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
����������������������������������������������������������$�%�����'�����)�*�+�����-�.�/�0�1�2�3�������������������������������������������������������������H�H���������������������������������J�����������������K�����������������M�N�O�P�������������U�����������������U�V�W�X�Y�����[�\�����^�_�������������`�a�����c�����d�e�f�g�����i�j�������������k�l�m���������t�u�����w�����y�z�����|�}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
�������������������������������������������� �!�"�#�����%�&�������������'�(�)���������0�1�����3�����5�6�7�8�����������������������������:�;�<�=�>�?�@�������������������������������������������������������������R�R���������������������������������U�����������������V�W�����������������Y�Z�[�\�]�^�_�����a�b�����d�e�f�����h�i�j�k�l�����n�o�p�q�r�s�����u�������������v�����x�y�z�����|�}�~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
������������������������������������������ �!�����#�$�%�&�'�(�)�����������������+�,�����.�/�0�1�2�����������������������������4�5�6�����������������8�9�����;�<�������������=�����>�?�����������������@�A�B�C���������������������J�K�L�M�N�O�P�Q�����������������S�T�U�V�W�X�����Z�[�����]�^�_�`�a�����c�d�e�f�g�����i�j�k�l�m�n�������������o���������������������������������r�s�t�u�v�w�x�y�z�{�����������������}�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
��������������������������������������������������������� �!�"�������������������������������������������������������������3�3���������������������������������5�6�����������������8�9�����;�<�=�>�?�����A�B�������������C�D�E�����G�H�I�J���������Q�R�S�����U�����W�X�Y�����[�\�]�^�_�`�a�������������������������������������������������������������x�x���������������������������������z�{�����������������}�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
������������������������������������!�"�#�$�%�&�'�������������������������������������������������������������:�:���������������������������������<�=�����������������?�@�A�B�����D�E�F�������������G�H�I�����������������K�L�M�����O�P�Q�R�����T�U�V�W�X�Y�Z�[�\�]�^�_�`�������������a�����c�d�����f�g�i�j�k�l�����n�o�����q�r�s�����t�����v�����������������������������x�������������y�����z�����������������|�}�~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
����������������������������������
���������������������������������������������� �!�����������������"�������������#�����$�%�����������������'�(�����)�*�+�����������������-�.�/�0�����2���������������������9�:�����<�����>�?�@�A�����C�D�E�F�G�H�I���������������������������������P�Q�R�S�T���������������������W���������^�_�����a�����c�d�e�f�g�h�����j�k�l�m�n�o�p������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �!�����#�$�����&�'�(�)�*�+�����-�.�����0�1�������������2�3�������������4�5�6�7�8�9�:�;�����=�>�?�����A�B�����D�E���������������������������������G�H�������������I�J�K�L�M�N�����������������P�Q�����S�T�����V�W�����X�Y�Z�[�\�]���������d�e�����g�����i�j�k�l�m�n�����p�q�r�s�t�u�v������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	���������������������������� ��������'()����+��������������������������������-./����������������1234567����������������������������������������������������������������MM������������������������������������OP����������������RS����U����������������VWXYZ[\]^����������������`a����cd����fghijklmno����qr����tu����wxyz����|}�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
������������
����������������!"����$����&'()����+,-./01����������������������������������������������������������������AA������������������������������������CD����������������FG����IJKLMNOPQRST����������������VW����Y������������Z��������������������������������j������������������������mn����pqr����tu����wxyz{|����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����
����������������������������������������������������������������������������!"������������#$����&'()��������01����3��������������������������������5678����������������:;<=>?@����������������������������������������������������������������RR������������������������������������TU����������������WXYZ[\����^_`ab����defghi����kl������������mno��������vw����y����{|}����������������������������������������������������������������������������������������nS4���|Stripes.texM���tw>pD��M����-
@V�~�Z$EH,.G��T�T*TEXG�H�|�8�hr�\G�z���E�E�E]^z��G������G"F`0"���BD�N B5�F`5��N -
@�hI$���pGlatex209.defx��pGtracefnt.styx��pGlatexsym.styx��p
revtex.clsfgx��p
revtex.styfgx��paps.stystyfgx��p	aps10.styyfgx��p
prbbib.styfgx	���|Stripes.auxgx
��pGulasy.fdauxgx�j�j. �.*FMT:rTEXFFlagRRang^PRECjDVI2v*PM ���� �H��� �@���Z���b���n ��� � ������ " ���� � �|�� �~ �d�� q� �T�� &� �\�� �B �`�� �� �,�� L� �$�� �� ��	�� � ��
�� >� �p���2 ��
cond-mat0108270.extracted_bib
\bibitem{Murata}
K. K. Murata and S. Doniach, 
Phys. Rev. Lett. {\bf 29}, 285 (1972).
%

\bibitem{MK}
T. Moriya and A. Kawabata,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 34}, 639 (1973);
{\it ibid.} {\bf 35}, 669 (1973).
%

\bibitem{Moriya}
T. Moriya,
{\it Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism},
Springer Series in Solid-State Sciences 56,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1985.
%

\bibitem{OhSDW-CW}
F. J. Ohkawa,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 67}, 535 (1998).
%

\bibitem{Miyai}
E. Miyai and F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 61}, 1357 (2000).
%

\bibitem{Miyake}
K. Miyake and O. Narikiyo,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 63}, 3821 (1994).
%

\bibitem{Yoshimori}
A. Yoshimori,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 14}, 807 (1959). 
%
%

\bibitem{Hubbard}
J. Hubbard,
Proc. Roy. Soc. {\bf A276}, 238 (1963);
{\it ibid.} {\bf A281}, 401 (1964).
%

\bibitem{Gutzwiller}
M. C. Gutzwiller,
Phys. Rev. Lett. {\bf 10}, 159 (1963);
Phys. Rev. {\bf 134}, A293 (1963);
{\it ibid.} {\bf A137}, 1726 (1965).
%

\bibitem{ComThreePeak}
Photoemission electron spectra (PES) are almost the same in a
high-energy part between metallic and insulating phases in the
vicinity of the transition. These observations also imply that
the Mott-Hubbard splitting exists even in metallic phases. 
%

\bibitem{Mapping}
F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 44}, 6812 (1991);
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 60}, 3218 (1991); 
{\it ibid.} {\bf 61}, !615 (1991).
%

\bibitem{Wilson}
K. G. Wilson,
Rev. Mod. Phys. {\bf 47}, 773 (1975).
%

\bibitem{Nozieres}
P. Nozi\`{e}res,
J. Low. Temp. Phys. {\bf 17}, 31 (1974).
%

\bibitem{Yamada}
K. Yamada,
Prog. Theor. Phys. {\bf 53}, 970 (1975);
{\it ibid} {\bf 54}, 316 (1975).
%

\bibitem{Yosida}
K. Yosida and K. Yamada,
Prog. Theor. Phys. {\bf 53}, 1286 (1970).
%

\bibitem{Exact}
For reviews on the exact theory by the Bethe method, see, e.g., 
N. Andrei, K. Furuya, and J. H. Lowenstein,
Rev. Mod. Phys. {\bf 55}, 331 (1983);
A. M. Tsvelick and P. B. Wiegmann,
Adv. Phys. {\bf 32}, 453 (1983);
A. Okiji and N. Kawakami,
{\it Springer Series in Solid State Science} (Springer, Berlin,
1988), Vol. 77, p 63;
P. Schlottmann, Phys. Rep. {\bf 118}, 1 (1989).
%

\bibitem{Metzner}
W. Metzner and D. Vollhardt, 
Phys. Rev. Lett. {\bf 62}, 324 (1989).
%

\bibitem{Roth}
L. M. Roth,
Phys. Rev. {\bf 149}, 306 (1966).
%

\bibitem{Multi-band}
F. J. Ohkawa,
submitted to Phys. Rev. B
%

\bibitem{ComNeutraility}
The density $n_d$ should be equal to that of positive ions
because of the charge neutrality of the system. 
%

\bibitem{ComSus}
In this paper, the spin susceptibility is defined in such a way
that it does not included the factor $g^2\mu_B^2/4$.
%

\bibitem{OhExc}
F. J. Ohkawa,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 67}, 525 (1998).
%

\bibitem{Satoh}
H. Satoh and F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 57}, 5891 (1998);
{\it ibid.} B {\bf 63}, 184401 (2001).
%

\bibitem{Barbara}
P. Barbara, J. X. Boucherle, J. L. Buevos, M. F. Rossignol,
and J. Schweizer,
Solid State Commun. {\bf 24}, 418 (1977).
%

\bibitem{Steglich}
F. Steglich, C. D. Bredl, M. Loewenhaupt, and K. D. Schotte,
J. de Physique {\bf 40}, C5-301 (1979).
%

\bibitem{Arrot}
A. Arrot, S. A. Werner, and H. Kendric,
Phys. Rev. Letters {\bf 14}, 1022 (1965).
%

\bibitem{Werner}
S. A. Werner, A. Arrot, and H. Kendric,
Phys. Rev. {\bf 155}, 528 (1967).
%

\bibitem{Tranquada}
J. M. Tranquada, B. J. Sternlieb, J. D. Axe,
Y. Nakamura and S. Uchida,
Nature, {\bf 375}, 561 (1995).
%

\bibitem{Shapiro}
S. M. Shapiro, E. Gurewitz, R. D. Parks, and L. C. Kupferberg,
Phys. Rev. Letters {\bf 43}, 1748 (1979).
%

\bibitem{Mac}
D. E. MacLaughlin, O. Pe$\tilde{\mbox{n}}$a, and M. Lysak,
Phys. Rev. B {\bf 23}, 1039 (1981). 
%

\bibitem{Weiss}
R. J. Weiss,
Phys. Letters {\bf 10}, 45 (1964).
%

\bibitem{Yamamoto}
T. Yamamoto and F. J. Ohkawa,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 57}, 2264 (1988).
%

\bibitem{Shiba}
H. Shiba,
Prog. Theor. Phys. {\bf 54}, 967 (1975).
%
