Theory of itinerant-electron ferromagnetism
Fusayoshi J. Ohkawa
% A theory of Kondo lattices or a $1/d$ expansion theory, with $d$ spatial dimensionality, is applied to studying itinerant-electron ferromagnetism. Two relevant multi-band models are examined: a band-edge model where the chemical potential is at one of band-edges, the top or bottom of bands, and a flat-band model where one of bands is almost flat or dispersionless and the chemical potential is at the flat band. In both the models, a novel ferromagnetic exchange interaction arises from the virtual exchange of pair excitations of quasiparticles; it has two novel properties such as its strength is in proportion to the effective Fermi energy of quasiparticles and its temperature dependence is responsible for the Curie-Weiss law. When the Hund coupling $J$ is strong enough, the superexchange interaction, which arises from the virtual exchange of pair excitations of electrons across the Mott-Hubbard gap, is ferromagnetic. In particular, it is definitely ferromagnetic for any nonzero $J>0$ in the large limit of band multiplicity. Ferromagnetic instability occurs, when the sum of the two exchange interactions is ferromagnetic and it overcomes the quenching of magnetic moments by the Kondo effect or local quantum spin fluctuations and the suppression of magnetic instability by the mode-mode coupling among intersite spin fluctuations. %
ferro_txt.tex
	��	��JV���Monaco�p��Th��@�FW�0@+���	H����xHH2;����>GG{�HH*d�'@�����LaTeX�*����;� TeX output 2001.08.17:1135�ԋ������,�����:u��ŋ���	�ɍ�����e�����N�cmbx12�Theory��of�itineran��t-electron�ferromagnetism������|��K�`y

cmr10�F��*�usa���y�oshi�UUJ.�Ohk��q�a���w�a����%�L��j��		cmti9�Division�N<of�Physics,�Gr��aduate�Scho�ol�of�Scienc�e,�Hokkaido�University,�Sapp�or�o�060-0810,�Jap�an��������o���		cmr9�(Receiv��9ed:�u�)�����$�A���theory��$of�Kondo�lattices�or�a�1�5��"		cmmi9�=d��expansion�theory��:�,�8Xwith��d��spatial�dimensionalit��9y�,�8Xis�applied���� �to��~studying�itineran��9t-electron�ferromagnetism.�Y�Tw�o�relev��|ran�t�m�ulti-band�mo�A�dels�are�examined:���a���� �band-edge��mo�A�del�where�the�c��9hemical�p�oten��9tial�is�at�one�of�band-edges,��Tthe�top�or�b�ottom�of�bands,���� �and���a�
at-band�mo�A�del�where�one�of�bands�is�almost�
at�or�disp�ersionless�and�the�c��9hemical�p�oten��9tial���� �is�)�at�the�
at�band.�Y�In�b�A�oth�the�mo�dels,�.�a�no��9v�el�)�ferromagnetic�exc��9hange�in�teraction�arises�from�the���� �virtual���exc��9hange�of�pair�excitations�of�quasiparticles;��kit�has�t�w�o�no�v�el�prop�A�erties�suc�h�as�its�strength���� �is��fin�prop�A�ortion�to�the�eectiv��9e�F��:�ermi�energy�of�quasiparticles�and�its�temp�erature�dep�endence�is���� �resp�A�onsible�[yfor�the�Curie-W��:�eiss�la��9w.��|When�the�Hund�coupling��J�7�is�strong�enough,���the�sup�erexc��9hange���� �in��9teraction,�whic�h��arises�from�the�virtual�exc��9hange�of�pair�excitations�of�electrons�across�the�Mott-���� �Hubbard�u�gap,���is�ferromagnetic.�=�In�particular,�it�is�denitely�ferromagnetic�for�an��9y�nonzero��J�(>�2��0���� �in�v�the�large�limit�of�band�m��9ultiplicit�y��:�.�@$F�erromagnetic�v�instabilit��9y�o�A�ccurs,���when�the�sum�of�the�t�w�o���� �exc��9hange��>in�teractions�is�ferromagnetic�and�it�o�v�ercomes�the�quenc�hing�of�magnetic�momen�ts�b�y�the���� �Kondo�&#eect�or�lo�A�cal�quan��9tum�spin�
uctuations�and�the�suppression�of�magnetic�instabilit�y�b�y�the���� �mo�A�de-mo�de�Tcoupling�among�in��9tersite�spin�
uctuations.������@�� �75.10.-b,�T71.10.-w,�75.30.Et,�75.10.Lp�������07������'�ɍ�3_��t�:		cmbx9�I.���INTR��CODUCTION�����<ܲItineran���t-electron��wferromagnetism�has�b�Geen�a�long������<�standing���and�imp�Gortan���t�issue�since�the�adv�en�t�of�quan-�����<�tum��mec���hanics.�_8When�the�Hubbard�mo�Gdel,�(�for�example,�����<�is��considered�in�the�Hartree-F��*�o�Gc���k�appro�ximation,�@�a�fer-�����<�romagnetic�UUinstabilit���y�condition�is�giv�en�b�y������@:t�
�b>

cmmi10�U�����ٓ�Rcmr7�0��|s�(0)���>��1�;����ʮ��(1.1)�������<�with���U�嚲the�on-site�repulsion�and������0��|s�(0)�the�unrenormal-������<�ized�?"densit���y�of�states�at�the�c�hemical�p�Goten�tial.�Lo�cal�?"cor-�����<�relations��b�Get���w�een�electrons�with�parallel�spins�are�accu-�����<�rately�H�treated�in�an���y�appro�ximation�as�long�as�the�P�auli�����<�principle���is�tak���en�in�to�accoun�t.�>�In�the�Hartree-F��*�o�Gc�k�ap-�����<�pro���ximation,��Aho�w�ev�er,�no��<lo�Gcal�correlations�b�et���w�een��<elec-�����<�trons�r�with�an���tiparallel�spins�are�tak�en�in�to�accoun�t;��rpara-�����<�magnetic�]Rstates�are�disfa���v�ored�]Rso�that�magnetic�states�are�����<�relativ���ely��ufa�v�ored.�a(The�condition�(��+�"V

cmbx10�??��
�n�)�is�nev�er�reliable.�����<�Lo�Gcal�6�spin�correlations�should�b�e�accurately�tak���en�in�to�����<�accoun���t�n3far�b�Gey�ond�the�Hartree-F��*�o�Gc�k�appro�ximation�in�����<�an���y�UUreliable�theory��*�.�����<�In�E�1963,���Kanamori���^��?���5�studied�ferromagnetism�in�Ni�in�����<�the��>�T�c��-matrix�appro���ximation,��whic�h��>is�relev��q�an���t�for�lo�w�����<�densities�*of�electrons�or�holes.��EHe�sho���w�ed�*that�a�ferro-�����<�magnetic���state�is�stabilized�not�only�when�Eq.�(��??��
�n�)�is�����<�satised�x+but�also�when�the�densit���y�of�states�has�a�sharp�����<�p�Geak�=Qwithin�broad�bands�and�the�c���hemical�p�oten���tial�is�����<�at��Ethe�p�Geak.�ĘMielk���e���^��?��EW�,��Mielk�e��Eand�T��*�asaki���^��?���,��T�asaki���^��?���,��and�����<�Kusak��q�ab�Ge��and�Aoki���^��?���c�sho���w�ed��that�the�ground�state�of�cer-�����<�tain�Z�m���ulti-band�mo�Gdels�is�ferromagnetic.�PIn�their�mo�dels,�����<�one��of�bands�is�disp�Gersionless�or�
at�and�the�densit���y�of�����<�states�?Gis�similar�to�that�of�Kanamori's.�/�These�theories�����<�sho���w�b�that�the�existence�of�a�
at�band�or�
at�bands�is�����<�one�Uof�the�most�relev��q�an���t�conditions�for�itineran�t-electron�����<�ferromagnetism.��kIn�	6man���y�ferromagnets�suc�h�as�Ni,�6.the�����<�densit���y�v	of�electrons�or�holes�is�lo�w�and�the�c�hemical�p�Go-�����<�ten���tial�q9is�at�one�of�the�band�edges.��rOne�ma�y�argue�that�����<�this�(condition�m���ust�also�b�Ge�relev��q�an�t.�b�Call�these�t�w�o�con-�����<�ditions��d
at-band�and�band-edge�conditions�in�this�pap�Ger.�����<�The�C�ground�state�can�b�Ge�ferromagnetic�ev���en�if�neither�����<�of��Hthese�conditions�is�satised.�
�Nagaok��q�a���^��?��͟�and�Thouless���^��?��������'�ɍ��<۲sho���w�ed���that�when�a�single��1�':

cmti10�hole��is�in���tro�Gduced�in�to�the������<�just��Ghalf-lled�system�or�the�electron�n���um�b�Ger��Gis��N����
!",�

cmsy10���ֲ1,�����<�with�صN�,�the�n���um�b�Ger��of�lattice�sites,�E�the�ground�state�is�����<�a�^ucompletely�p�Golarized�ferromagnetic�state�in�the�limit�����<�of�ޒ�U�����0��|s�(0)��Ѹ!��+�1�.�
}Because�spin�w���a�v�es�of�this�state�are�����<�abnormal�V5and�an���y�extension�of�their�argumen�ts�to�lo�w�����<�but�Rnonzero�densities�of��holes��is�dicult,�)Sit�is�doubtful�if�����<�a�Qferromagnetic�state�is�stabilized�in�the�thermo�Gdynamic�����<�limit�Pof�small��hole��densities�where�the�n���um�b�Ger�Pof�electrons�����<�is�UU�N��(1�8����`�),�with��N��3�!���+�1��and���'��!��+0.�����<�In��1963,��#another�t���w�o��distinguished�pap�Gers����^��?���W��^��	0e�rcmmi7�;��?���
Ĳw���ere�pub-�����<�lished.�	8�Hubbard���^��?��	2N�sho���w�ed���that�a�band�splits�in���to�t�w�o�����<�bands,�Uthe���lo���w�er�and�upp�Ger�Hubbard�bands.��{When�����<�the�I�densit���y�of�states�of�unrenormalized�electrons�is�a�����<�Loren���tzian�eshap�Ge�of�width����'��1�=�[�����0��|s�(0),��for�eexample,�����<�the�UUlo�Gcal�part�of�the�Green�function�is�giv���en�b�y��'j��������<$�����1���xџw�fe	��	(֍�N���������������u

cmex10�X������+�,f$�cmbx7�k���=˵G������b��(�i"����n��q~�;����k�)�����?%=���������<$���cd1��Jݎ�w�fe���
h��i"����n�����+��8���������a��d�����x䍑���~�������������
)��(�i"����n��q~�)�+��i��sgn���(�"����n���)��������J�����?%=���������<$��f(1�8��h�n����O!�cmsy7�������i��Jݎ�w�fea8N�	(֍�i"����n�����+��8���������a��d��+��i��sgn���(�"����n��q~�)���������卍��I�[+�����<$��-�|�h�n����������i��33�w�fer��	(֍�i"����n�����+��8���������a��d����U��S�+��i��sgn���(�"����n��q~�)�����tmF�;������Ү��(1.2)������ݍ��<�with���x䍑0~���������������8�(�i"����n��q~�)��the�selfenergy��*�,�QX���the�c���hemical�p�Goten�tial,�����<۵����a��
H�the�q�band�cen���ter,���and��h�n������b��i��the�a�v�erage�n�um�b�Ger�of�����<�electrons�{Gwith�spin���� �p�Ger�site.��When�the�F��*�ermi-liquid�����<�relation����^��?���W��^��;��?���Kl�is��made�use�of,��Gutzwiller's�result���^��?��&�giv���es�the�����<�mass�UUenhancemen���t�factor�of��������\q��A+�~������?�ɵ����
����M�Ÿ'���1�=�(1�8���n�)�;����Ү��(1.3)�������<�with�N�n�e��=��h�n����"����i�ާ�+��h�n����#���i�,��*so�Nthat�the�quasi-particle�band-��
-����<�width�	�is�appro���ximately�giv�en�b�y�1�=���\q��P�~����������
���������0��|s�(0).��zHubbard's������<�result�5is�relev��q�an���t�for�single-particle�excitations�far�from�����<�the���c���hemical�p�Goten�tial,��while�Gutzwiller's�result�is�rele-�����<�v��q�an���t��9for�those�in�the�vicinit�y�of�the�c�hemical�p�Goten�tial.�?�A�����<�com���bined��theory�of�Hubbard's�and�Gutzwiller's�giv�es�a�����<�three-p�Geak��ystructure�of�the�densit���y�of�states,��Gutzwiller's�����<�band���at�the�c���hemical�p�Goten�tial�b�Get�w�een�the�lo�w�er�and�up-�����<�p�Ger�UUHubbard�bands.�����������1�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������




����


����


����


����
����

����




����������������������������


����������������


������������

 
!
"
#
$
%����������������
'
(
)
*����
,
-
.����
0
1
2
3
4
5
6����
8
9������������
:
;
<
=����������������
?
@
A����
C
D
E
F
G
H
I
J����������������������������
L
M����������������
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X����
Z
[����
]
^
_����
a
b
c
d
e
f
g
h
i����������������
j������������
k������������
l����
n
o
p
q
r����
s
t
u
v
w
x
y
z
{����������������
~����
�
�
�
�����������������������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�����������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�������������
�����
�
�
�
�
�
�
�
�
�����
�
�����
�
�
�����
�
�����
�����
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������
�
�
���������������������
���������
�����
�������������������������������������
�
�
�
�
�������������������������������������
�
�
�
���������������������
���������������������
�
�
���������	

������������������������������������������������������������ ����#$%����'()*+,-./01����������������������������������������1234����������������6789:;������������<����>?����ABCDEF����HI����KLM����O����PQRSTUV����X������������YZ[\����]^_`a����������������cd����efg����������������ijkl����������������������������lmnopqrst����������������v������������wx������������y����z{|����~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	

��������������������������������������������������������������������������������������������!"����#����$%����&'(����*+����������������-.������������/01����3456789:;<=>����@����AB������������C����DEF����������������HIJKL����������������������������LMNOP����������������RSTU����WX������������YZ[\]^_`ab����defgh����jkl����nop����qr����tu����vw����yz{|}~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	������������
������������������������ !"#$%����'����(����*+,-./0123����567������������89����;<����=>����������������������������@ABCDE������������F����������������HIJ����L������������MN����OPQ����STU����WXYZ[\]^_����������������`������������a����b����defgh����ijklmnop����rs����������������������������uv������������w����������������yz{|}~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	

���������������������������� !"#$%����������������'(����*+,������������-����./����������������1234����6����89:;<=����������������������������=>?@ABCD����������������FGHIJ����LM����OPQRSTUVWX����Z[\����^_`a����cdef����hij����l��������{{������������������������|����~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !"#$������������������������2������������3����������������5����6789:������������������������G������������H����������������JKL����������������������������NOPQR����������������ST������������U����������������WXY����[\]^������������������������m������������������������opq������������r����st����������������wxyz����|}~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������� !"����$%����'()*+,-./01����������������34567����9:;<=>?@����������������������������BCD������������E����������������GHIJ����LMN����PQRSTUVWX����Z[����]����`ab����defg����ij����mno����qrstu����wx����������������������������z{|����������������~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����
�������������������� ����"������������#$����������������������������$%&������������'()*����������������,-����/0����234����67����9:;����=>?@����BCDEFG����������������IJK����MN����O����QRSTU����WXYZ����������������������������\]^_����������������abcdefghi����k������������lmn����pqrs����u������������v����xyz{|����������������}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������ !"$%&'����������������)*+,-.����������������/������������������������=������������������������?@A����CDEFGHIJ������������������������Y������������������������������������������������������������������������[\]������������^����_`����������������bcde����ghij����l����nopqrs������������������������������������������������������������������������������������������������z{|}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������
��������������������!"#$%&'()*+,-����/0123����56����89:����<=>?@��������������������������������BC��������������������F����������������J������������������������L������������������������MNO��������������������[��������]����c����e����������������ghijklm����opqr����t������������u����v����wx����z{����}~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	

������������ !"#$%&'(����*+����-./����123456������������789:;<=��������������������������������?@ABC����������������EF����HIJKL��������STUV��������YZ[\]^_`a����cdefg����ijk����m������������no����p������������qr����������������tu����wxyz{|}~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !"����������������$%&'()*������������������������8������������������������:;<������������=����>?����������������ABCD����F����HIJK����MNOPQR����TU������������VW����Y����Z����[��������������������������������]^_`ab����������������def����������������hi������������j����kl����nop����rst������������uv����xyz{|}~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������!"#$%����'()*+,-.����01����345������������67����9����:������������������������������������������������������������������������������������h����������������������������������������������������������������������������������������������������h������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������p����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������p��������������������������������}������������������������}��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������>����������������������������������������������������������������������������������������������������>>������������������������>������������������������>��������������������>��������>��������>������������������������>������������������������>��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������>����>>������������������������>������������������������>����>��������>����>����>>>��������������������>����>������������������������>������������>����������������������������������������������������������������������������P����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������]����]������������������������]����]������������������������]������������������������������������������������������������������������������������������������]]������������������������]������������������������]��������������������]��������]��������]������������������������]������������������������]��������]��������������������]��������]����]����]]]��������������������]����]������������������������]������������������������]������������������������������������_��������������������������������������������ppppp��������������������������������������������������������vwxy�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����"����#$����%������������&'����)*��������������������������������,-./01234����������������6789����;<=>��������F��������������������I������������JK����MNOPQ����������������TUVW����YZ[����]����������������^_`abcdefgh��������������������������������jklmnopq����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������'��������������������)����*����+,��������������������-��������.����/����1������������������������������������AAAAA����������������������������������������EFGH��������������������K��������������������L��������S����U������������������������_������������������������g��������������������h��������o����q������������������������}�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	����
���� !"#$%����'()����+,-.��������������������������������012����������������4������������56789:;����=������������>?@A����BCDEF����������������HIJKL����NOPQRSTUVWXY����[\]^_`����bc����efghi��������������������������������i����������������jk������������l����������������nop����rstuv����xy����{|}�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������� !����#������������$%&'()*����,������������-./0����1234����6������������78����9����:;<����>?@����BC����D����EF����IJK����MNO��������������������������������O������������PQ����������������STUVWXY����[\]^_`���������������������������������������������������������������� C����������������*��,�����:u��ŋ������&:u���<ܲThe�i�selfenergy�obtained�b���y�Hubbard�do�Ges�not�dep�end������<�on��)w���a�v�e-n�um�b�Gers��k��and�the�mass�enhancemen�t�factor�����<�obtained��{b���y�Gutzwiller�neither�dep�Gends�on��k�.�I8The�t�w�o�����<�theories�UUare�within�the�single-site�appro���ximation�(SSA).�����<�T��*�reating���the�Hubbard�or�the�p�Gerio�dic���Anderson�mo�Gdel�����<�in��one�of�the�b�Gest�SSA's�that�include�all�the�single-site�����<�terms�J%is�reduced�to�determining�and�solving�selfconsis-�����<�ten���tly��=a�single-impurit�y�Anderson�mo�Gdel.���^��?�����The�Anderson�����<�mo�Gdel�]Qis�one�of�the�simplest�eectiv���e�Hamiltonians�for�����<�the�$�Kondo�problem.�a�The�Kondo�problem�is�almost�com-�����<�pletely���understo�Go�d;����^��?���W��^��;��?���;��?���;��?����K�ev���en�the�exact�solution�b�y�the�����<�Bethe�]hmetho�Gd�w���as�obtained.���^��?�����Then,�_mman�y�useful�results�����<�are���a���v��q�ailable�to�clarify�single-site�prop�Gerties�in�lattice�sys-�����<�tems.��HThe���most�essen���tial�ph�ysics�in�v�olv�ed�in�the�Kondo�����<�problem���is�the�quenc���hing�of�magnetic�momen�ts�b�y�lo�Gcal�����<�quan���tum�mtspin�
uctuations,��{so�that�the�ground�state�is�����<�singlet���and�nonmagnetic���^��?��P�although�it�is�close�to�a�mag-�����<�netic��,quan���tum�critical�p�Goin�t.�I�No�magnetic�instabilit�y�o�Gc-�����<�curs��within�the�SSA,�and�it�can�o�Gccur�only�when�in���tersite�����<�or�$nm���ulti-site�eects�are�prop�Gerly�considered.��Multi-site�����<�eects���can�b�Ge�p�erturbativ���ely�considered�b�y�starting�from�����<�an����unp��}'erturb�e�d��state�constructed�in�the�SSA.�Because�the�����<�quenc���hing���of�magnetic�momen�ts�b�y�lo�Gcal�quan�tum�spin�����<�
uctuations��is�prop�Gerly�treated�in�suc���h�a�p�erturbativ���e�����<�theory��*�,�cit��&m���ust�giv�e�a�reliable�magnetic�instabilit�y�condi-�����<�tion.�c�Suc���h�*�a�p�Gerturbativ�e�theory�is�nothing�but�a�theory�����<�of�U�Kondo�lattices.�r�It�is�also�nothing�but�a�1�=d��expan-�����<�sion��Dtheory��*�,�-�with��d��b�Geing�spatial�dimensionalit���y�.�ߔAn�y�����<�SSA�	athat�	�includes�all�the�single-site�terms�is�rigorous�����<�for��*Landau's�F��*�ermi-liquid�states�in�innite�dimensions�����<�(�d�W�!��+�1�).���^��?���Multi-site��:terms�are�of�higher�order�in�1�=d�����<۲except��for�W��*�eiss'�mean�elds,��whic���h�are�resp�Gonsible�for�����<�magnetic�UUinstabilit���y��*�.�����<�The��Espin�susceptibilit���y�of�magnets�ob�Geys�the�Curie-�����<�W��*�eiss�:ula���w.�
!(Tw�o�mec�hanisms�ha�v�e�b�Geen�prop�osed�for�����<�that��of�itineran���t-electron�magnets:���^��?��	e�the�suppression�of�����<�the�WXspin�susceptibilit���y�b�y�the�mo�Gde-mo�de�WXcoupling�among�����<�in���tersite�$lspin�
uctuations����^��?���W��^��;��?���;��?����q�and�its�enhancemen�t�b�y�����<�W��*�eiss'�<�mean�elds.����^��?���W��^��;��?������When�the�densit���y�of�states�is�almost�����<�constan���t�ܥin�the�vicinit�y�of�the�c�hemical�p�Goten�tial,�>ythe�����<�suppression���b���y�the�mo�Gde-mo�de���coupling�b�Gecomes�larger�����<�with���increasing�temp�Geratures;�v"it�giv���es�the�Curie-W��*�eiss�����<�la���w.����^��?���W��^��;��?���;��?����When�the�densit�y�of�states�has�a�sharp�p�Geak�at�����<�the��-c���hemical�p�Goten�tial,���on�the�other�hand,�the�suppres-�����<�sion���b�Gecomes�larger�with�decreasing�temp�eratures;�F�the�����<�mo�Gde-mo�de��Qcoupling�pla���ys�a�totally�negativ�e�role�in�the�����<�Curie-W��*�eiss�UUla���w�in�the�
at-band�mo�Gdel.���^��?������<ܲBecause��Qthe�mo�Gde-mo�de��Qcoupling�suppresses�the�spin�����<�susceptibilit���y�Jin�an�y�case,�:it�cannot�b�Ge�a�mec�hanism�of�����<�magnetic��instabilit���y��*�.�1�A��scenario�that�the�mec�hanism�of�����<�the�@�Curie-W��*�eiss�la���w�is�also�resp�Gonsible�for�magnetic�insta-�����<�bilit���y�j�itself�seems�to�b�Ge�more�reasonable�than�the�scenario�����<�that��>the�mec���hanism�of�the�Curie-W��*�eiss�la�w�suppresses�����<�magnetic�UUinstabilit���y��*�.�����<�The��mo�Gde-mo�de�coupling�is�of�higher�order�in�1�=d��so�����<�that���it�v��q�anishes�in�the�large�limit�of��d�.�;�There�m���ust�b�Ge�an-�����<�other�EAmec���hanism,�Hxwhic�h�is�of�leading�order�in�1�=d�.�lkOnly�����<�the��np�Gossible�one�is�the�temp�erature�dep�endence�of�W��*�eiss'�����<�mean�W�elds.���^��?����The�enhancemen���t�of�the�spin�susceptibil-�����<�it���y�N5b�y�an�exc�hange�in�teraction�arising�from�the�virtual�����<�exc���hange�y�of�pair�excitations�of�quasi-particles�can�giv�e�����<�the���Curie-W��*�eiss�la���w.���^��?��*&�P�olarizations���m�ultiplied�b�y�the�ex-�����<�c���hange���in�teraction�are�W��*�eiss'�mean�elds,�and�they�are�����<�of��Cleading�order�in�1�=d�.��When�the�
at-band�or�band-�������&:u���<�edge��conditions�is�satised,�)lthis�exc���hange�in�teraction�is������<�ferromagnetic�&�and�the�Curie-W��*�eiss�la���w�app�Gears�only�in�����<�the�K�homogeneous�susceptibilit���y��*�.�TgMiy�ai�K�and�the�presen���t�����<�author���^��?��	.p�examined��the�Curie-W��*�eiss�la���w�of�Ni�b�y�using�����<�Kanamori's�UUmo�Gdel.�����<�Field-induced��ferromagnetism�or�metamagnetism�is�����<�observ���ed�
in�man�y�metals.�	��In�CeRu����2��|s�Si����2���,�z�for�
example,�����<�suc���h�ʧa�ferromagnetic�state�is�stabilized�at�magnetic�elds�����<�higher�'�than��H����M���t�'���7�:�7�T.�One�of�the�most�crucial�exp�Ger-�����<�imen���tal�?�results�is�the�single-parameter�scaling;����^��?���W��^��;��?������man�y�����<�quan���tities���sensitiv�ely�dep�Gend�on�pressures,��^and�they�scale�����<�with��Wthe�Kondo�temp�Gerature�or�energy��*�,�W�k����B����T����K�����.��The�����<�Kondo���energy�is�appro���ximately�equal�to�a�half�of�the�����<�bandwidth�%�of�quasiparticles,�/:�k����B����T����K��
|˸'���1�=�[2���\q��P~����������
���������0��|s�(0)].�a�This�����<�exp�Gerimen���t�9�giv�es�a�strong�restriction�for�a�ferromagnetic�����<�exc���hange�Qin�teraction�resp�Gonsible�for�the�metamagnetism�����<�in�]�CeRu����2��|s�Si����2���.��XSatoh�and�the�presen���t�author�sho�w�ed�that�����<�the�N4exc���hange�in�teraction�resp�Gonsible�for�the�Curie-W��*�eiss�����<�la���w���is�also�resp�Gonsible�for�the�metamagnetism.���^��?�����In�4�f�����<۲electron���systems,���the�densit���y�of�states�is�of�a�camelbac�k�����<�structure��3or�of�a�t���w�o-p�Geak��3structure�b�ecause�of�the�h���y-�����<�bridization�^�b�Get���w�een�disp�Gersiv�e�conduction�bands�and�al-�����<�most�Qpdisp�Gersionless��f�d��bands.�p{In�the�absence�of�magnetic�����<�elds,�"the��c���hemical�p�Goten�tial�is�b�Get�w�een�the�t�w�o�p�Geaks;�����<�either�+�of�the�
at-band�and�band-edge�conditions�is�not�����<�satised,��so���that�the�exc���hange�in�teraction�is�an�tiferro-�����<�magnetic.��|In�<the�presence�of�elds�as�high�as��H����M���\�,�4�the�����<�c���hemical���p�Goten�tial�is�at�one�of�the�p�Geaks�of�the�camelbac�k�����<�b�Gecause�E�of�the�Zeeman�shift�of�up�and�do���wn�spin�bands;�����<�b�Goth���of�the�
at-band�and�band-edge�conditions�are�sat-�����<�ised,�so��{that�the�exc���hange�in�teraction�b�Gecomes�ferro-�����<�magnetic��?around��H����M���\�.�HBecause�this�exc���hange�in�teraction�����<�has�2a�no���v�el�2prop�Gert�y�that�its�strength�is�prop�Gortional�to�����<�the�a�bandwidth�of�quasiparticles�1�=���\q��P�~����������
������(0),��it�is�easy�to�����<�explain���the�observ���ed�single-parameter�scaling.��gCall�this�����<�one�UUsimply�a�no���v�el�UUexc�hange�in�teraction�in�this�pap�Ger.�����<�The��mprevious�pap�Gers����^��?���W��^��;��?���
O�imply�that�when�either�or�b�oth�����<�of�p�the�
at-band�and�band-edge�conditions�are�satised�����<�ferromagnetic��instabilit���y�is�caused�b�y�the�no�v�el�exc�hange�����<�in���teraction�paev�en�in�the�absence�of�elds.���Ho�w�ev�er,�w$there�����<�is��a�crucial�dra���wbac�k��in�the�previous�pap�Gers.����^��?���W��^��;��?���
�{�An�addi-�����<�tional��0phenomenological�ferromagnetic�exc���hange�in�terac-�����<�tion,��2whic���h���is�indep�Genden�t�of�temp�Geratures�and�magnetic�����<�elds,�Sw���as� Zassumed�to�obtain�a�quan�titativ�e�agreemen�t�����<�b�Get���w�een���exp�erimen�t���and�theory��*�.�#�The�authors�of�these�����<�pap�Gers��sp�eculated�that�suc���h�a�ferromagnetic�exc�hange�����<�in���teraction�UUm�ust�exist�in�m�ulti-band�mo�Gdels.�����<�The���purp�Gose�of�this�pap�er�is�to�study�ferromagnetism�����<�in��mm���ulti-band�mo�Gdels�from�a�theoretical�viewp�oin���t�of�the�����<�comp�Getition�	vb�et���w�een�magnetic�instabilit�y�caused�b�y�in-�����<�tersite��exc���hange�in�teractions�and�the�quenc�hing�of�mag-�����<�netic���momen���ts�b�y�the�Kondo�eect.�	This�pap�Ger�is�orga-�����<�nized��9as�follo���ws:���In�Sec.���??��u��,��2an��unp��}'erturb�e�d��9�state�in�the�����<�1�=d��0�expansion�is�constructed�in�the�SSA.�It�is�sho���wn�in�����<�Sec.��N6�??��xڲthat�N6when�the�Hund�coupling�is�strong�enough�the�����<�sup�Gerexc���hange�fain�teraction,�j�whic�h�arises�from�the�virtual�����<�exc���hange��of�pair�excitations�b�Get�w�een�the�lo�w�er�and�up-�����<�p�Ger�XeHubbard�bands,�Y)b�ecomes�ferromagnetic.�z�It�is�sho���wn�����<�in��Sec.���??���زthat�when�the�
at-band�or�band-edge�condi-�����<�tion���is�satised�a�ferromagnetic�state�can�b�Ge�stabilized.�����<�Discussion��Ois�giv���en�in�Sec.���??�����,���and�summary�is�giv�en�in�����<�Sec.�����??���:�.��+In���App�Gendix���??���,� �a�single-impurit���y�Anderson�����<�mo�Gdel��Yis�studied�b���y�the�1�=�(2�l�Q�+��1)�expansion�metho�d,�����<�with�UU2�l�k@�+�8�1�b�Geing�orbital�degeneracy��*�.����������2���kb����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������efg����������������ijklmnopqr����tuvwxyz{����}������������~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������   ���� ���� ���� 	����������������������������   
     ����������������   ����      ����    !���� # $ % & ' ( ) * + , -���� / 0 1 2 3������������ 4 5 6 7 8 9 : ;���� = > ? @ A B���������������������������� F���������������� G H I J K L M���������������� O P Q���� S T U V W X Y���� [ \���� ^ _ `���� b������������ c d e f���� g h i���������������� k l m n o p q r���� t u������������ v w x���������������������������� z {���������������� } ~ ���� � ����� � � ����� ������������� � � ����� � � � � ����� � � � ����� � � � � � � ����� � � ����� � � ����� � � � � � � � � � � ����������������������������� � � � � ����������������� � ����� � � � � � � ����� � ����� � � � � � � � � � � ����� � � ����� � � � � � � ����� � � � � � � � � � � ����������������������������� � � ������������� � � ����������������� ����� � � � � � � � � � � � � �!����!����!!!!!!!	!
����!!
������������!!!!������������������������!������������������������!"!#!$����!&!'!(!)!*!+!,!-����������������������������!/!0������������!1!2!3����������������!5!6����!8!9!:����!<!=����!?!@!A����!C!D!E!F!G!H!I!J����!L&�!O!P!Q!R!S������������!T����!V!W!X!Y!Z![!\!]!^!_!`!a����!c!d!e����������������������������!g!h!i����������������!k!l!m!n!o����!q!r!s!t!u!v!w!x����������������!z!{!|����!~!!�!�!�����!�!�!�!�!�!�!�����!�!�����!�!�!�!�!�!�����!�!�!�!�����������������������������!�!�!�!�!�!�!�����������������!�!�!�!�!�!�!�!�������������!�����!�!�����������������������������!�����������������������������������������!���������!�������������!���������!�������������!���������!�����������������������������!�!�������������!�!�����!�!�!�����!�!�!�!�!�����!�!�!�!�!�!�!�!�����!�����!�����!�!�!�����������������������������!�!�!�!�!�����������������!�!�!�!�!�������������!�����!�������������!�!�����"""""""""	������������������������"������������������������"""""����������������"""����" ����"""#"$"%"&"'����")"*"+","-"."/����������������������������"1"2"3����������������"5������������"6����������������"7"8"9":";"<"=����"?"@����"B"C"D"E"F"G"H����"J"K"L"M"N"O"P"Q"R"S"T����"V"W"X"Y������������"Z"["\"]"^"_����"a"b����"d"e"f"g"h"i"j����"l"m"n"o����������������������������"o"p"q"r"s����������������"u"v"w����������������"y"z"{"|����"~""�"�"�������������"�"�"�"�����"�"�����"�"�"�"�"�����"�"�����"�����"�"�"�����"�"�����"�"�����"�"�"�����"�"�"�"�"�����������������������������"�"�"�"�"�"�"�����������������"�"�����"�"�"�����"�"�"�"�"�������������"�"�"�"�����"�"�����"�"�"�"�"�"�"�"�����"�"�"�"�"�����"�"�����"�����"�����"�"�������������"�"�"�����������������������������"�"�"�"�������������"�"�"�����������������"�"�"�"�����&�"�"�"�"�"�"�"�"�"�"�"�����������������"�"�����"�"�"�"�����"�##����######����#
###
#����##����������������������������#######����������������###����## #!#"###$#%#&#'#(#)������������������������#:������������������������#<#=#>#?#@#A#B#C����#E#F����#H#I����#K#L#M#N#O����#Q#R����#T����#V#W#X#Y����������������������������#Y#Z#[#\#]����������������#_#`#a#b������������#c#d#e����#g#h#i#j#k#l#m#n����#p������������#q#r#s����#t#u����������������#w#x����#z#{#|#}#~##�#�����#�#�#�#�#�#�#�#�#�#�����#�����#�������������#�#�����������������������������#�#�#�#�����������������#�#�#�#�#�#�����#�#�#�����#�#�#�#�����#�#�#�����#�#�����#�#�#�����#�������������#�#�#�#�����#�#�#�#�����#�#�#�#�����#�#�������������#�#�#�#�#�#�#�����������������������������#�#�����������������#�������������#�#�#�#�#�#�#�#�#�����#�&�#�#�#�#�����#�#�#�����#�#�#�#�������������#�#�#�#�����#�#�#�#�#�#�#�#�#�#�#�����������������#�#�#�#�#�$$$$$����������������������������$&�$	$
$$����������������$$$����$������������$����$����$$$$$$$$$$������������$ $!$"����$$$%$&$'$($)$*$+$,$-����$/����$0����$2$3$4$5$6$7$8$9����$;$<$=$>����������������������������$@$A��������������������$H$I$J����������������$K$L$M$N$O$P����$Q����$R��������$U$V$W$X$Y����$[$\$]$^$_$`$a$b$c$d$e����$g$h����$j$k$l����$n$o$p$q����$s$t$u$v$w$x$y����${$|$}����������������������������$$�$�$�$�������������$�$�$�$�����������������$�$�����$�$�$�$�$�$�$�$�����$�$�$�$�$�����$�$�����$�����$�����$�$�������������$�$�$�����$�$�$�$�����$�$�$�����$�$�$�$�����������������������������&�$�$�$�$�$�$�$�$�$�$�����������������$�$�����$�$�$�$�������������$�$�$�$�����$�$�$�$�$�$�$�����$�$�����$�$�$�������������$�����$�����$�����$�$�$�$�$�$�$�$�$�$�������������$�����������������������������$�$�$�$�$�$�����������������$�����������������$�$�����������������$�������������$�$�$�����$�$�$�����$�����%����%%%%%%%%	����%%%
%%%%%����%%%%%%%%%%����%����% %!%"%#%$%%����������������������������%%%&%'%(%)����������������%+%,%-������������%.����������������%0����%3������������%4%5%6%7%8%9%:%;%<%=����%>����%@%A%B%C%D%E����%G%H����%J%K%L%M%N%O%P����%R%S%T����%V����%X%Y%Z%[%\%]����������������������������%_%`����������������%b%c%d%e%f����%h%i%j%k%l%m%n%o%p����������������%r%s����%u%v����%x%y%z%{����%}%~%%�%�%�%�����%�%�%�����%�����%�����%�%���������%�%�%�%�%�%�����������������������������%�%�%�%�����������������%�%�%�%�%�%�����������������%�����������������%�%�%�%���������%���������%�������������%�%�%�%�����%�%�%�%�%�%�%�����%�%�%�%�%�%�%�%�%�%�%�%�%�������������%�����%�����������������%�%�����%�����������������������������%�%�%�����������������%�%�%�%�����������������%�%�%�%�%�%�%�%�����%�%�%�����%�%�%�����%�%�%�%�%�%�%�%�%�%�%�����%�%�%�%�%�����%�%�����%�%�&&&&&&����������������������������&&&	����������������&&&
&&&&&����&����������������&&&&&&&&&&&����&!&"&#&$&%&&����&(&)����&+&,&�&/&0&1&2����&4&5&6&7&8&9&:&;&<&=����������������������������&@����&A��������������������&L��������&M����&S����&T&V������������������������&d������������������������&f&g&h&i&j&k&l&m&n&o����������������&r&s&t&u&v����&x&y&z����&|&}����&&�&�&�&�&�����&�&�&�&�&�����&�&�����&�����&�&���������������������������������&�&�&�&�&�&�����������������&�&�&�����&�����������������&�&�&�&�&�����&�&�&�&�����&�&�&�&�&�&�����������������&�&�&�&�������������&�����&�&�&�����&�&�&�&�������������&�&�&�&�&�&�&�����&�&�&�����������������������������&�&�&�&�&�&�&�&�����������������&�&�&�&�&�&�&�&�&�&�������������&�����������������&�����������������������������&�&�&�����������������&�&�&�&�����&�&�&�&�&�&�&�&�&�&�&�&�&�������������&�����&�&�����'''''''����'	'
������������'''
����'''����''''''����������������������������'����������������''''����������������'' ������������'!'"����������������'$'%����'&����'(')'*����'+','-'.'/'0'1����'3'4����'5����'6����'8������������'9':';����'='>'?'@����'A'B'C'D����'F'G'H����������������������������'J'K'L'M����������������'O'P����'R'S'T'U'V'W'X'Y������������'Z'['\']'^'_'`'a'b'c����'e'f'g'h'i'j'k'l������������������������'x������������������������'z'{'|����'~''�'�'�'�'�'�'�'�'�����'�'�����������������������������'�'�'�����������������'�'�'�'�����'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�������������'�����'�����'�����'�'�'�����'�'�������������'�'�'�'�'�����'�'�����������������'�'�'�'�'�'�'�'�����'�'�'�'�'�����������������������������'�'�������������'�'�'�'�'�'�'�����������������'�'�'�'�����'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�����������������������������'�����������������������������������������'���������'�������������'���������'�����������������������������'�'�'�����'�'�'�����(((((((((	(
����(����(
����(����������������������������(����������������(((((����������������((((����(((( (!("����������������������������(8����������������������������������������(8��������(8����������������������������(<(=(>(?����(A(B(C����(E(F(G(H(I(J������������(K����(M(N����(P(Q(R(S(T(U����(W(X����(Z([(\(](^(_����������������������������(a(b(c(d(e(f(g������������(h����������������(j(k����(m(n(o����(q(r(s(t(u(v(w����(x����(z({����(}(~(����(�����(�(�(�(�(�(�(�����(�������������(�(�(�(�����(�(�(�(�(�����������������(�(�(�����������������������������(�(�(�(�(�(�(�(�(�(�(�����������������(�������������(�����(�(�(�����(�(�������������(�(�(�(�(�����(�(�����������������(�(�(�(�(�(�(�(�����(�������������(�(�(�(�(�(�����(�(�(�(�(�(�����������������������������(�(�(�(�����������������(�(�(�(�(�(�(�(�(�(�����(�(�(�(�������������(�(�(�(�(�(�(�(�(�����������������(�(�����(�(�(�������������(�(�����(�(�(�����(�(�(�(�(�(�(�����������������))))����������������������������))������������))����������������������������)����������������������������������������)��������)������������)��������)����������������������������)")#)$)%����������������)')())����)+),)-).)/)0����)1����)3)4����)6)7)8)9):);����)=)>)?����)A����)C)D)E)F)G����)I������������)J)K)L����)N)O����������������������������)Q)R)S����������������)U������������)V)W)X)Y)Z)[)\����)^������������)_)`)a)b����)c)d)e)f)g����������������)i)j����)l)m)n����)p)q)r)s)t����)v)w)x)y)z����)|)})~����)�)�)�)�)�)�)�)�����������������������������)�)�)�)�����������������)�������������)�)�)�)�)�)�����)�)�)�)�)�)�����)�)�)�)�����)�)�)�)�)�)�)�)�)�)�����)�)�)�)�����)�)�)�)�)�)�)�)�)�����������������)�)�)�����������������������������)�)�������������)�)�)�)�)�����)�)�����������������)�)�)�)�)�)�)�)�����)�)�)�������������)�)�����)�����)�)�)�)�)�)�)�����)�)�)�)�)�)�)�����)�����)�)�)�)�����)�)�����)�)�)�����������������������������)�)�)�)�)�)�)�����������������)�)�)�)�����������������**������������*����**����**	*
����*
*******����**������������****������������������������**������������������������������������*.*/*0*1*2*3*4����������������*6*7*8����*:*;������������*<*=*>*?*@����*A*B����������������*D*E*F*G*H*I*J*K����*M*N*O*P*Q*R*S*T*U*V����*X*Y*Z����*\*]*^*_����������������������������*a*b*c*d*e*f*g*h*i*j*k*l*m������������*n����������������*p*q����*s*t����*u����*w*x*y*z*{����������������*}*~����*�*�*�*�*�*�����*�������������*�����*�����*�*�*�����*�*�*�*�*�*�����*�*�����������������������������*�*�*�*�*�*�*�*�����������������*�*�*�*�*�*�*�*�*�*�������������*�����������������*�����������������*�����������������*�*�*�*�*�*�*�*�����*�*�*�*�����*�*�*�����*�*�*�����*�*�*�*�*�*�����*�*�����������������������������*�*�*�����������������*�*�*�*�*�*�*�����������������*�*�*�*�����*�*�������������*�����*�*�����*�*�*�*�����*�*�*�*�������������*�*�*�*�*�*�*�����*�*�*�����*�*�++++++����+++	+
++����������������������������++
+++������������+����������������++++++����+++++����+ +!����+#������������+$����+&+'+(+)����+++,+-+.+/+0+1+2+3+4����+6+7+8+9����+;+<+=����+?+@+A+B+C+D+E+F����������������������������+H+I+J+K����������������+M+N+O����+Q+R+S������������+T+U+V+W+X+Y����+[+\����+^+_+`����+b+c+d+e+f+g+h����������������+i+j+k+l����+n+o����+p����+r+s+t+u+v+w+x+y+z+{����������������������������+}+~++�+�+�+�+�����������������+�+�+�+�+�+�+�+�+�+�������������+�����������������+�����������������������������+�+�+�����������������+�+�������������+�+�+�+�+�����+�+�����+�+�+�+�+�+�+�+�����+�+�����+�+�����+�+�+�+�+�+�����+�+�+�+�+�����+�+�����+�����+�+���������+�+�����������������������������+�+�+�+�����������������+�+�����+�����������������+�+�+�+�+�+�+�����+�+�����+�+�+�����+�+�+�+�+�����+�+�+�+�+�����+�+���������+�����+�����������������+�+�+�+�+�����+�������������,,,����,������������,����,,,	����������������������������,	,
,,,
����������������,,,������������,,,,,,,����������������,,,,����,����, ,!����,#,$����,&,',(,),*,+,,����,.,/,0,1,2����,4,5����,8����,9,:����,<����������������,>,?,@,A����������������������������,C,D,E����������������,G������������,H,I,J,K,L,M,N����,P,Q,R����,T,U����,W,X,Y����,[,\,],^����,_,`,a,b,c,d,e����,g,h,i����,j,k,l,m,n,o,p����,r,s����,u����������������,v,w,x,y,z����������������������������,|,},~,����������������,�,�,�,�,�,�������������������������,�������������������������,�,�,�����,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�������������,�����,�,�����,�,�,�����,�,�,�,�����,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�����������������������������,�,�������������,�����������������,�����,�����,�,�����,�,�,�����,�,�,�,�,�����,�,�����,�,�,�,�,�,�,�,�,�����,�,�,�,�,�,�,�����,�,�,�,�����,�,�,�����,�,�,�,�,�,�,�����������������������������,�,�,�������������,�,�,�,�,�����������������,�,�����----����----	-
---
---����--����------------ -!-"-#����-%-&-'����-)-*-+����-,����������������������������-.-/-0����������������-2-3-4-5-6-7-8����������������-9-:-;-<����->-?������������-@-A������������������������-Q������������������������-T����-U-V-W-X-Y-Z-[-\-]-^-_-`����������������-b����-c-d-e-f-g-h-i-j-k����-m����-n����-p-q-r����-t-u-v����������������������������-v������������-w-x-y-z-{����������������-}-~����--�-�-�-�-�-�-�-�����-�-�-�����-�����������������-�-�-�-�-�����-�-�-�-�����-�-�-�-�-�-�����������������-�-�-�����-�-�-�-�����-�-�-�����������������������������-�-�����������������-�-�-�-�-�-�-�����-�-�-�-�-�����-�-�����-�����-�-�����-�����������������-�-�-�-�����-�-�-�����-�-�-�-�-�-�-�-�����-�-�����-�-�-�-�-�����������������������������������������������������������������-�-�-�-�����������������-�-�-�-�-�-�-�-�-�-�����-�-�����-�-�-�-�-�.�-�-�.����������������....����...	������������.
...
.����..����.........����..��������������������������������������������.. .!.".#.$.%.&.'.(.).*.+����������������.-.../����.1.2.3����.5.6.7.8.9.:.;����������������.<.=.>.?����.A.B������������.C����.E.F.G������������.H.I.J.K����.M.N.O.P����.R.S��������������������������������.U.V.W����������������.Y.Z.[.\.].^._.`.a.b.c����.e.f.g.h.i.j.k.l.m.n.o.p.q������������.r����������������.s����������������.v.w.x����.y.z����������������.|.}.~����.�.�.�����.�.�.�.�.�.�������������.���������������������������������.�.�.�.�.�.�������������������������.�������������������������.�.�.�.�.�.�.�.�����������������.�.�.�����.�.�.�.�.�.�.�����������������.�.�.�.�����.�.�������������.�����.�.�����.�.�����.�����.�����.�.�.�.�.���������������������������������.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�����������������.�.�������������.�.�.�.���������������������������������.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�����������������.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�����.�.�����.�//////////	/
/����/
/��������������������������������//////������������//����������������//����///����/ ����/"/#/$/%/&/'/(����������������/*/+����/-/.///0������������������������/2������������������������/7/8������������������������/:������������/?����������������/A/B/C����������������/E/F/G/H/I/J/K/L��������������������������������/N/O/P������������/Q����������������/S����/U/V/W/X/Y/Z/[/\/]/^/_/`/a����/c/d/e/f/g����/i/j����/l/m/n/o/p/q/r/s/t/u����/w/x����/{/|/}/~//�/�/�����/�/�/�/�/���������������������������������/�/�/�/�/�/�����������������/�/�/�/���������/�������������������������/�������������������������/���������������������/�����/�����/�����/�/�����/�/�/�����/�/�����/�/�/�����/�/�/�/�����/�/�/�/�/�/�/�����/�/�/�������������/�/�/���������������������������������/�/�/�/�������������/�/�/�����������������/�/�/�/�/�/�/�����/�/�����/�/�/�����/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�����/�/�/�/�/�/�/�/�����������������������������0����������������������������������������0��������0����������������������������000����0��������������������������������0000������������000000����������������0!0"0#0$0%0&0'0(����0)0*0+����0-0.0/������������000102����0405����0708090:0;0<0=0>0?0@����������������0B0C0D����0F0G0H0I����0K0L0M0N0O��������������������������������0Q0R0S0T����������������0V0W0X����0Z0[0\0]0^����0`0a0b0c������������0d0e0f0g0h0i0j����0l0m����0o0p0q0r0s0t����������������0u��������������������0x������������������������0z������������������������0{������������������������0}������������������������0����������������0�0�0���������������������������������0�0�0�0�0�����������������0�0�0�0�0�0�����0�0�����0�0�0�0�0�������������0�0�0�0�0�0�0�0�����0�0�0�0�0�����0�0�����0�����0�0�0�0�����0�0�����0�0�0���������������������������������0�0�0�0�0�0�0�0�0�����������������0�0�����0�0�0�0�0�0�0�0�0�0�0�0�0�0�0���������������������0�������������������������0�������������������������0�������������������������0�������������������������0���������������������0�����0�����0�0�����������������������������������������������������������������������������������������������������0���������������������������������1������������������������1������������������������1111	1����������������1
111��������������������������������111������������111111������������1����������������111����1 1!����1#����1%1&1'1(1)1*����1,1-1.1/10111213141516����18191:����1<����1>1?1@1A1B1C1D1E1F1G1H1I1J��������������������������������1L1M1N������������1O1P1Q1R1S����������������1U1V����1W1X1Y1Z1[1\1]1^1_����1a1b1c1d������������1e1f1g1h1i1j1k����1m1n1o����1q1r1s����1u1v1w1x1y1z1{1|1}1~11�1���������������������������������1�1�����������������1�1�1�1�������������������������1�������������������������1�1�������������������������1�������������1�����������������1�1�1�1�1�����1�1�1�����1�1�1�����1�1�1�1�1�1�������������1�����1�1�1�1�1�1�����1�1�1�����1�����1�1�����1�1�1�1���������������������������������1�1�1�����������������1�1�1�������������1�1�1�1�1�����1�1�����1�1�1�1�1�1�1�1�1�����1�1�1�1�������������1�1�1�1�1�1�1�����1�1�1�����1�1�1�����1�1�1�1�1�1�1�����������������1�1�1�1���������������������������������1�1�������������2����������������22����2222����2
222
������������2222222����222����222����222 2!2"2#2$2%2&2'2(2)2*2+������������������������27������������������������292:����2<����2>������������������������������������2A2B2C2D2E2F2G2H����������������2J2K2L2M2N2O2P2Q����������������2S2T2U����2W2X2Y2Z2[2\������������2]����2_2`����2b2c2d2e2f2g����2i2j����2l2m����2o����2q2r2s2t2u2v2w2x����2y��������������������������������2{2|2}2~22�2�2�2�����������������2�2�����2�2�����2�����2�������������2�����2�2�2�������������2�2�2�����������������2�2�2�2�2�2�2�2�2�����2�����2�2�2�2�2�2�����2�2�����2�2�2�����2�������������2�2���������������������������������2�2�2�2�2�2�2�2�2�2�2�����������������2�������������2�2�������������2�����2�2�2�����2�2�2�2�������������2�2�2�2�2�����2�����2�2�2�2�2�2�2�2�2�2�����2�2�2�2�2�����2�2�2�����2�2�2���������������������������������2�2�2�2�����������������2�2�2�2�������������2�2�2�2�2�2�2�2�2�2���������2���������������������2�33333����������������33����3	3
3����3
333333����33����33333333��������������������������������3"3#3$3%3&3'����������������3)3*3+����������������3-������������3.3/3031323334����36������������3738393:����3;3<3=3>����3@3A����3C������������3D3E����3F����3G3H3I����3K3L3M����3O����3P����3Q����3S������������3T3U3V3W3X��������������������������������3Z3[3\3]3^3_����������������3a3b����3d3e3f����3i3j3k3l3m3n3o3p����3r3s3t����3v3w3x3y3z3{3|3}3~����3�3�3�3�3�3�3�3�3�3�����3�3�����3�3�3���������������������������������3�3�3�3�3�63�3�3�����������������3�3�����������������3�3�3�3�����3�3�3�����3�3�3�������������3�3�3�3�3�����3�3�����3�3�3�3�3�3�3�3�3�����3�3�����3�3�����3�3�3�3�3�3�3�3���������������������������������3�3�3�3�3�3�3�3�3�����������������3�3�����������������3�3�3�����3�3�3�3�3�3�3�3�����3�3�����3�3�3�3�3�����3�3�����3�3�3�3�����3�3���������3�������������������������3�������������������������4����������������444��������������������������������4������������444	4
444
����������������4������������4444����4444����44����44����44 4!����4#4$����4&4'4(����4*������������4+4,4-4.����4041����434445����4748494:4;4<4=4>����4?��������������������������������4A������������4B4C4D4E4F4G����������������4I4J����4L4M4N����4P4Q4R4S4T4U����4W4X4Y4Z4[����4]4^����4`4a����4c4d4e����4g4h������������4i4j����4l4m4n4o����4q4r4s4t4u4v��������������������������������4x������������4y4z4{����������������4}4~����4�4�4�����4�4�4�4�4�4�4�4�����4�4�4�����4�4�4�4�4�4�4�4�4�����4�4�4�4�4�4�4�4�4�4�����4�4�4�����4�4�4�4���������������������������������4�4�64�4�4�����������������4�4�����������������4�4�4�4�����4�4�4�����4�4�4�������������4�4�4�4�4�����4�4�����4�4�4�4�4�4�4�4�4�����4�������������4�4�4�4�4�4�����4�4�4�4�4�4���������������������������������4�4�4�4�4�4�4�4�����������������4�4�4�4�4�4���������4�������������������������4�������������������������4�����������������4�555555����555	5
����55
5������������55555����55����555555555��������������������������������5!5"5#����������������5%����5'5(������������5)����5*5+����������������5-5.5/50������������515253����54����56575859����5;5<5=����5?5@5A5B5C5D5E5F����5H5I����5K5L5M5N������������5O5P5Q5R5S5T5U5V����5X5Y��������������������������������5\5]5^����������������5`5a5b5c5d5e5f5g5h����5j5k����5m5n5o5p5q5r5s5t5u5v5w5x5y5z����5}����5~��������������������������������������������������������������������������������������������������������5���������������������������������5�����5�5�5�5�����������������5�5�����5�5�����5�5�5�5�����5�5���������������������������������5�5�5�5�5�5�5�����������������5�5�5�����5�5�5�5�5�5�������������5�5�����5�5�5�5�5�5�5�5�5�5�5�5�5�5�5�5�����5�5�5�5�5�5�5�5�����������������5�5�5�5�����5�5�5�5���������������������������������5�5�5�����������������5�5�5�5�5�5�����5�����5�5�������������5�����5�5�����������������5�5�5�����5�5�5�5�6����66����666666	6
66����66����6666����666������������666��������������������������������66 6!����������������6#6$6%6&6'6(6)6*����6,6-6.������������6/6061����������������������������6C����������������������������������������6C��������6C����������������������������6E6F6G6H6I����6K6L6M6N����6P6Q6R6S����6U6V6W6X6Y6Z����6\6]����6_����6`6a6b��������������������������������6d6e����������������6g6h6i����6l6m6n6o6p6q6r6s����6u6v6w����6y6z6{6|6}6~66�6�����6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�����6�6�6�����6�6�6�6�6�8�6�6���������������������������������6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�����������������6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�������������6�����6�6�����6�6�6�6�6�6�����6�����6�����6�6�6�����6�6�����6�����6�6�����6�6�6�����6�6�6�6�6���������������������������������6�6�������������6�6�6�6�6�6�6�6�6�����������������6�6�����6�6�����6�6�����6�6�6�����6�6�6�6�6�6�6�����6�6�����6�6�6�6�6�7����������������77����7����77����777	����������������777
77��������������������������������77����������������7����7777777����777 ������������7!7"7#7$����7%����������������7'7(����7*7+7,����7.7/707172737475����78797:������������7;7<7=7>����������������������������7P����������������������������������������7P��������7P����������������������������7S7T����7V7W7X7Y7Z��������������������������������7Z7[7\7]7^7_����������������7a7b7c7d7e7f7g7h7i7j7k7l7m7n7o7p����7r7s7t7u7v7w7x7y7z7{7|7}7~����7�7�7�������������7�7�7�7�7�����7�7�����7�7�7�7�7�7���������������������������������7�7�7�7�7�����������������7�7�7�7�������������7�����������������7�7�����7�7�7�7�7�������������7�7�7�7�7�����7�����7�7�����7�7�7�7�������������7�7�7�7�7�7�7�7�����7�7�7�����7�7�7�7�7�7�7�7���������������������������������7�7�7�7�7�7�����������������7�������������7�7�����������������7�7�7�7�7�7�7�����7�7�����7�7�7�7�7�7�����7�����7�7�7�7�����7�7�7�7�7�7�7�����7�����7�7�7�7�7�7�7�7�����7���������������������������������7�������������88������������8����888����������������888	����8
888
88����8����������������888����888888����������������8����������������888 ����8"8#8$8%8&8'8(����8*8+����8-8.8/8081��������������������������������838485������������868788����������������8:8;����8<8=8>8?8@8A8B8C����8E8F8G8H����8J8K8L������������8M����8O����8Q8R8S8T8U8V8W8X8Y8Z8[8\8]����8_8`8a����8b8c8d8e8f��������������������������������8h8i������������8j8k8l8m8n8o8p8q8r����������������8t����8u8v8w����8y8z8{8|8}����88�����8�����8�8�8�8�8�8�8�8�8�����8�8�������������8�8�8�8�8���������������������������������8�8�8�����������������8�8�8�8�������������8�8�8�����8�8�����8�8�8�8�����8�8�8�����8�8�����8�8�����8�8�����8�8�8�8�8�����8�8�8�8�8�8�8�8�8�8�8�8�8�8���������������������������������8�8�����������������8�������������8�8�8�8�8�8�8�8�8�����8�8�������������8�8�8�8�����8�8�8�8�����8�����8�8�8�8�8�8�8�8�8�8�8�����8�8�8�8�8�����8�8�8�������������8�����8�8�����999��������������������������������9999������������9	9
999
99����������������9����99������������9����999����99999999 ����9"9#9$9%9&9'9(9)9*9+����9,����9.9/90919293����95����96����98999:��������������������������������9:9;9<9=9>9?9@����������������9C9D9E������������9F9G9H9I9J����9L9M����9N9O9P9Q9R9S9T9U9V9W����9Y9Z9[����9]9^9_����9a9b9c9d9e����9f9g9h9i����9k9l����9n9o9p9q��������������������������������9q9r9s9t9u����������������9w9x9y9z9{������������9|9}����9����9�����9�9�9�����9�9�9�9�9�����9�<v9�9�9�9�����������������9�9�9�9�����9�9�9�������������9�9�����9�9�����9�9�9�9�9���������������������������������9�9�9�9�9�����������������9�9�����9�9�9�9�9�������������9�9�9�����������������9�9�����9�9�9�9�������������9�9�������������������������9�����������������9�9���������9�9�9�����������������9�9�9�9�9�9�����9�����9���������������������9�9�9�9�9�����9�9�����9�9�9���������������������������������9�����9�9���������������������9�9�9�9�9�9�9�9�9�����::����::::::	:
:::
:����::����:::����::::����::����: :!����:#:$:%������������:&:'����:):*��������������������������������:,:-:.:/������������������������:=:=������������������������:?:@:A:B����������������:D:E:F:G����:I:J:K����:M:N:O:P����:R:S:T:U:V:W:X:Y����:[:\����:^:_:`:a:b:c����:e:f:g:h:i:j����:l:m:n��������������������������������:p:q:r������������:s:t:u:v:w������������:x:y:z:{:|����������������:~:����:�:�:�:�:�:�:�:�:�:�����������������:�:�:�:�����:�����:�:�:�:�:�:�����:�:�:�:�����:�:�:�����:�:�:�:�:�:�:���������������������������������:�:�:�������������:�:�:�:�:�����������������:�:�����:�:�:�:�����:�:�:�:�:�:�:�:�:�:�:�����:�������������:�:�����:�����:�:�:�����:�:�:�����:�:�����:�����:�:�����:�:�:�����:�:�:���������������������������������:�������������:�:�����������������:�:�:�:�:�:�:�����:�:�:�:�:�:�����������������:�����:�:�:�:�:�:�����:�:�:�:�:�:�:�;;;;;;;����������������;	;
����;;
����;;;������������;;��������������������������������;;����������������;;;;������������;*;*������������������������;,;-;.;/����;1;2;3;4����;6;7;8����;;;<;=;>;?;@;A;B����;D;E����;G;H;I;J;K;L;M;N;O����;Q;R;S;T;U;V��������������������������������;V;W;X;Y����������������;[;\����;^;_;`;a;b<v;e;f����;h����;j;k;l;m;n;o;p;q;r;s;t;u;v����;x;y;z;{;|����;~;;�����;�������������;�����;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�;���������������������������������;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�����������������;�;�����;�;�;�������������;�;�����;�;�����;�;�;�;�������������;�;�������������������������;�����������������;�;�;�����;�;�;�;�;�;�;�����;�;�����;�;�;�����;�;�����;�;���������������������������������;�;�;�;�������������������������;�;�������������������������;�����������������;�;�����������������;�;�;�������������;�;�;�;�;�������������;�;�������������;�����������������<����<<<<<<<	<
<<<
<<<������������<����<<<<<<<<��������������������������������<<������������<<< ����������������<"<#����<%<&<'<(<)<*<+����<-������������<.����<0<1<2����<5����<6����<7<8����<9��������������������<:����������������<;<<����<?<@<A<B<C<D<E<F<G����<I<J<K<L<M����<N<O��������������������������������<Q<R<S<T����������������<W����<X��������������������<Y����������������<Z����<]������������<^<_<`<a����<c<d<e<f<g<h<i����<k<l<m<n<o<p<q<r<s<t����������������<u������������������������������������������������������������=�������������kbɌ�!���,�����:u��ŋ������&:u��0Κ�I�K�I.���PRELIMINARIES���/���M�A.���Multi-band�mo�K�del�with�the�Hund�coupling��r/���<ܲConsider�5a�(2�l�*˲+��k1)-band�mo�Gdel,�;�with��l�gz�an�in���teger�or�a������<�half�UUin���teger:���^��?����H���:�F�H��β=���H����0���S�+�8�H����I�����:����ʮ��(2.1)�������<�The�UUrst�term�is�a�one-b�Go�dy�UUterm�giv���en�b�y����������H����0��C��=��������X����ʍ���mm������0ncmsy5�0�������Wi����X������G�k�������#�2���`�h����(��E����mm����0���e��(�k�)�8�������mm����0���������`�i������a���1ɍ�y���v��m�k����B��a����m����0���s�k�����;����ʮ��(2.2)���� ���<�with���a���1ɍ�y���v��m�k����ǭ�a�creation�op�Gerator�of�carriers,���electrons�or������<�holes.�3`Bands�� or�orbitals�are�denoted�b���y��m���=���l�2`�,�����(�l��ظ��x�1),������<۸�������炲,��and��P�l�2`�,�and�up�and�do���wn�spins�b�y���~;�=�"b��1.���It�is�����<�assumed��that�all�the�bands�are�degenerate�at�the��p�Goin���t�����<�due�UUto�lattice�symmetry��*�,�so�that�b�Goth��E����mm���6�(0)�and��덍�.;������a�����=�����<$��
J1���K�w�fe	��	(֍�N���������$����X������M�k��� ��E����mm���6�(�k�)����ʮ�(2.3)���������<�do�'not�dep�Gend�on��m�,�0]and��E����mm����0���e��(0)��=�0�'and�������b������u�1�=�������p���UW�����fe	��wv��N�������uU���b�������T���P���"C���k������<۵E����mm����0���e��(�k�)�X����inv����(�k�)�	=�0��for��m�±�6�=��m���^��0���S�and��an���y�function�����<۵X����inv����(�k�)�8in���v��q�arian�t�under�an�y�symmetry�transformation.�����<�In�UUthis�pap�Ger,��E����mm����0���e��(�k�)�p=��E����m����0���s�m���(�k�)�UUb�Geing�real�and��_Q�����E����mm����0���e��(�k�)��=������\�(����4j���
�S�E����l�
`l�����(�k�)�;���7��m��=��m���^��0����0����
�S�E����l�
`��l��㑲(�k�)�;���7��m��6�=��m���^��0���������ʮ��(2.4)����\č��<�are�;(also�assumed.���^��?����This�assumption�mak���es�argumen�ts�in�����<�this��pap�Ger�quite�simple,�ֹas�is�sho���wn�later.�=The�disp�ersion�����<�relations�UUof�2�l�k@�+�8�1�bands�are�giv���en�b�y��������@��E�������������፴m������(�k�)��=������\�(����4j���
�S�E����l�
`l�����(�k�)�8�+�2�l�2`E����l�
`��l��㑲(�k�)��;���m���=��l���0����
�SE����l�
`l�����(�k�)�8���E����l�
`��l��㑲(�k�)��;�����l��x����m����(�l�k@��8�1)������E}�:�����ʮ��(2.5)��������<�The�@b
at-band�condition�is�satised�when�the��l�2`�th�band�is�����<�almost�UUdisp�Gersionless�in�suc���h�a�w�a�y�that���H���
TߵE�������������፴l���,q�(�k�)��=��E����l�
`l�����(�k�)�8�+�2�l�2`E����l�
`��l��㑲(�k�)���'��E����l�
`l���(0)����ʮ�(2.6)�������<�for��an���y��k�.�H�In�this�case,���the�disp�Gersion�relations�of�other������<�2�l����bands�UU(�m���6�=��l�2`�)�are�giv���en�b�y��덍���E�������������፴m������(�k�)���'��E����l�
`l�����(�k�)�8�+�����<$��01��l�w�fe.;�	(֍2�l��������́���b������-�E����l�
`l���(�k�)����E����l�
`l���(0)������b�����*��:����ʮ��(2.7)�����Q���<�The�L�second�term�in�Eq.�(��??��
�n�)�is�the�on-site�Coulom���b�����<�in���teraction:���덍���)[�H����I���������=���������<$���h1���h�w�fe�	(֍2���������4����X����ʍ��D�mm����0�������.������X����ʍ�.(��i�@L�����0����?!(�U����mm����0���e��a���1ɍ�y���ˍ�mi���O}�a���1ɍ�y���!��m����0���s�i��@L���0�����c�a����m����0���s�i��@L���0����a����mi�����'m�����5�+�����<$��331��33�w�fe�	(֍2�����fg�J����왟���X�������m�6�=�m����0��������ӟ���X����ʍ�T´i�@L�����0����,MU�a���1ɍ�y���ˍ�mi���O}�a���1ɍ�y���!��m����0���s�i��@L���0�����c�a����mi��@L���0����a����m����0���s�i�������Ů��(2.8a)������3������=���������<$���h1���h�w�fe�	(֍2�����휵U��������X����t���ômi���;�n����mi��O}�n����mi�������L{�����5�+�����<$��331��33�w�fe�	(֍2�������	���^���m��U�������0��4������<$��l�1��l�w�fe�	(֍2�����	�G�J���9���^�������B�����X�����>N�m�6�=�m����0�������Wpڟ���X����ʍ�Wɴi�@L�����0����g�\�n����mi��O}�n����m����0���s�i��@L���0������㔍����5��J����왟���X�������m�6�=�m����0�������T���X����7���o�iX������,������X������+q3������Zcmr5�1��� ����2�������?5����X������>.�����3��� ����4������P�+�(��TϺ�s����:�����1��� ����2���b��X����Եs����:�����3��� ����4���b��X�����)������8����4�߸�a���1ɍ�y���ˍ�mi���1�����Q�a����mi���2����a���1ɍ�y���!��m����0���s�i���3�����ĵa����m����0���s�i���4����;������� d�(2.8b)����������&:u���<�with��5�����d�a���1ɍ�y���ˍ�mi�����=�����<$��
4�1���K�w�feuU�
wo�������p���UW�����fe	��wv��N����������M{����X�����"��k���(i�e�������i�(�k��R���O
�\cmmi5�i��*��)�� ��a���1ɍ�y���v��m�k����B��;����Ү��(2.9)����!�Ǎ��<۵a����mi�����its��)Hermite�conjugate,�Şand��n����mi���K�=�\εa���1ɍ�y���ˍ�mi���O}�a����mi���.�DBe-������<�cause�UUof�the�degeneracy�of�2�l�k@�+�8�1�bands�at�the��p�Goin���t,��]����*�
�U����mm����0���,��=�������^����������
G�U���;��� �sm���=��m���^��0����Xn���
G�U����^��0���T�;��� �sm���6�=��m���^��0���������ͮ��(2.10)����]����<�is�tLalso�assumed.�άIn�general,��	the�Hund�coupling�is�fer-�����<�romagnetic��a(�J��>��0).���In�Eq.�(��??��
�n�),�
�s���^����@L�����r�0���b��X�����is�the�(���[�����^��0����)th�����<�elemen���t��Tof�the��S����=���������1�����&�fe�s����2�����
T��spin�matrix,��S�s����x���,��s����y��·�,�or��T�s����z�����.�a�In�this��
�w���<�pap�Ger,�UU�s����z����is�diagonalized�so�that��s���^����@L�����r�0���፴z������=��������K�1���K��&�fe�s����2�����	)��[������@L�����0������.��!�%���I�B.���Mapping�to�the�Anderson�mo�K�del�����<ܲThe�UUsingle-particle�Green�function�for��H�n�is�giv���en�b�y�������A��G��������ѷ�1���፴���TE�(�i"����n��q~�;����k�)��=���(�����i"����n���^�+�8���)���,z�I����8�E����(�k�)���S������b��(�i"����n���;����k�)�;����ͮ��(2.11)�������<�with��"�I�I�b�Geing�the�unit�matrix,�����՟��b�����
��E����(�k�)������b������*���mm����0���]k�=���E����mm����0���e��(�k�),������<�and���S������b��(�i"����n��q~�;����k�)�the�selfenergy�matrix.���The�selfenergy�is������<�divided�UUin���to�single-site�and�m�ultisite�terms:�����
�[�S������b��(�i"����n��q~�;����k�)��=���x䍑�~�������������b��(�i"����n���)�I��ܲ+�8��S������b��(�i"����n���;����k�)�;����ͮ��(2.12)�����ԍ��<�with���x䍑Q�~�����5c���������ݲ(�i"����n��q~�)�5cthe�single-site�selfenergy�and��S������b��(�i"����n���;����k�)�����<�the�;�m���ultisite�one.�i-In�our�mo�Gdel,�@�the�selfenergy�for��k���=�0�����<�is���prop�Gortional�to�the�unit�matrix�b�ecause�of�the�assumed�����<�symmetry;�����ϟ��b������{��S������b��(�i"����n��q~�;����0)������b������*���mm��`޲do�Ges���not�dep�end�on��m��and��
�������<۟��b������g���S������b��(�i"����n��q~�;����0)������b������*���mm����0���Wm�=��0�UUfor��m��6�=��m���^��0���9�.��4׍��<�Calculating���the�single-site�selfenergy���x䍑�m~�������������Fu�(�i"����n��q~�)�is�re-�����<�duced�UUto�solving�a�single-impurit���y�Anderson�mo�Gdel:��qˍ������H����A���������=�������� 0͟���X������!l�m������.�����b�����2�B�����a��P��8�������b�����*��n����m����+��������X��������k������������b������U�e����c���(�k�)����������b������c���1ɍ�y���v��k����
*
�c����k������<��� 0Ͳ+�����<$��m�1��33�w�feuU�
wo�������p���UW�����fe	��wv��N�����������ӟ���X������c�m�k������'���`�h��,���v����m�k��`�a�������y���፴m���{1�c����k���b��+�8�v�������[ٷ���፴m�k����c���1ɍ�y���v��k����
*
�a����m������`�i���������� 0Ͳ+�����<$��331��33�w�fe�	(֍2��������
J�����X����ʍ�	�mm����0��������`����X����ʍ��u��@L�����0����+�ѵU����mm����0���e��a�������y���፴m���{1�a���1ɍ�y���!��m����0���s���@L���0������a����m����0���s���@L���0����a����m�����'m���� 0Ͳ+�����<$��331��33�w�fe�	(֍2�����fg�J����왟���X�������m�6�=�m����0�������T���X����ʍ�P״�@L�����0����+q3�a�������y���፴m���{1�a���1ɍ�y���!��m����0���s���@L���0������a����m��@L���0���/��a����m����0���s����;������ͮ��(2.13)�����!����<�with��(�n����m���Q�=�Y �a���^���y��፴m���{1�a����m���.�	AHere,�Bݵ����a���p�,���,��U����mm����0���e��,�and��J��a�are�����<�the���same�as�those�for�the�lattice�system;�ۡ�e����c���(�k�)�and��v����m�k������<۲should�D�b�Ge�determined�so�as�to�satisfy�a�mapping�condition�����<�discussed�UUb�Gelo���w.�q�The�Green�function�for��H����A��	��is�giv�en�b�y��q̍����x䍒�|>~�������t�G��������ѷ�1���፴�����ᔲ(�i"����n��q~�)��=������`�h����i"����n���^�+�8������x䍑UR�~��������������Z�(�i"����n���)�����x䍑g�~������L��������i��(�i"����n���)����`�i�����ָI����;����ͮ��(2.14)�����ڍ��<�with���x䍑�~������ݵL�����������(�i"����n��q~�)�p�=�(1�=��q�N��)��������P���8��k��+�j�v����m�k��`�j���^��2�����|s���b��������
C����b����n<�i"����n��	!b����e����c���(�k�)������b�����*��.�	`Be-��
�؍��<�cause��Qof�the�assumed�symmetry��*�,���x䍑�~������R�G���^����ѷ�1��፴������r�(�i"����n��q~�)�is�diagonal�and���ԍ���x䍒�k~������<۵L���������m��(�i"����n��q~�)���do�Ges�not�dep�end�on��m�.�ɠBecause�the�symmetri-�����<�cal���prop�Gert���y�of�������b�����٩��S������b��(�i"����n��q~�;����k�)������b������*���mm����0���?R�is�the�same�as�that�of������<۵E����mm����0���e��(�k�),�UUthe�lo�Gcal�Green�function�dened�b���y�������"�j�R������b��(�i"����n��q~�)��=�����<$��
J1���K�w�fe	��	(֍�N���������$����X������M�k��� ��G�������(�i"����n���;����k�)����ͮ�(2.15)������������3���he�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������<�������������<�<�����������������<�<�<�<�<�<�<�<�<�<�<�<�<�����������������������������������������<�<�����������������<�<�<�<�<�<�<�<�<�<�����<�<�������������<�<�<�����<�<�<�<�����<�<�<�����<�<�<�<�����<�<�<�<�<�<�<�<���������������������������������������������<�<�<�<�<�<�<�<�����������������<�����<�<�����<���������������������<�����������������<�<�<�<�<�==����==������������====����������������=
===
��������=��������������������==����==������������=====����==����=!����������������������������������������=#=$=%=&����������������=(=)������������=*=+=,=-=.=/������������������������=:����������������������������������������������������=Z��������������������=c��������������������=e������������������������=e������������������������=r��������������������=t������������������������=t������������������������=�������������������������������������=�=�=�=�=�������������������������������������=�=�=�����������������=�=�=�=�����=�=�=�=�����=�=�����=�����=�=�=�=�=�������������=�����=�=�����������������=�=�=�=�����=�=�=�������������=�=�����=�����=�������������������������������������������������=�������������������������=�������������������������=�������������������������������������������������=�������������������������������������������������>>������������������������������������������������������������������������������������������������������������>	������������������������������������������������������������>������������������������������������������������>����>��������������������������������������������������������>(��������������������������������>*������������������������>->.������������������������>5����������������������������>7����>8����>?��������������������>B��������>F>L������������������������>O>P������������������������>W��������������������������������������������>_��������������������������������>a����������������������������>z����������������������������>d����>e����>q����������������������������>|������������������������>������������������������>�������������������������>�����>�������������������������>�������������������������������������>�>�>�>�>�������������������������������������������������>�>�>�>���������������������>�����������������������������>�����������������������������>�����>�����>�����������������������������>�����>�>�>�>�>�>�>�>�����>�>�������������>�>�>�>�>�>�����>�>�����>�>�>�>�>�>�>�>�>�����������������>�>�>�>�>�>�>�>�>�����>�>�����������������������������������������>�>�>�>�??����������������?????����������������?	?
����??
??????����???����???????����?!������������?"��������?%��������������������?&��������?(����?)����������������?+��������������������?.����?/����?0��������������������?1��������������������?2?3?5������������������������������������?=����������������?=����?=������������������������??����������������?A?B?C��������������������?F����������������?H����?J?K?L����?N?O����?Q?R?S����?U?V������������?W?X����?[?\?]?^?_����?a����?b��������?j��������������������?k��������������������?n����?p?r����������������?|?}����??�����������������������������?�?�?�?�?�?�?�����������������?�?�?�?�����?�?�?�����?�?�?�����?�?�?�?�?�����?�?�?�����?�?�?�?�?�?�?�?�?�?�����?�?�����?�?�?�����?�����?�������������?�?�?�������������?�����������������������������?�?�?�����������������?�?�����?�?�?�?�?�?�?�����?�?�?�?�?�?�?�?�����������������?�����?�?�����?�?�?�?�����?�������������?�?�?���������?�������������������������?�?�������������������������?�?�?�����?�?�?�������������������������������������������������@������������������������@!������������������������@#������������������������������������������������@/������������������������������������������������������������������������������������������������@/����������������������������������������������������������������@4������������������������������������������������@4����������������������������@?������������������������@B@C������������������������@E����@F����@M��������������������������������@\@\@\@\@\������������������������������������������������@a@b����������������@d@e@f����@h@i@j������������@k@l@m����@o@p��������@s����@u����������������@w@x@y��������@|������������������������@@�������������������������@�����������������������������@�@�@�����������������@�����@�����������������@�@�@�������������������������������������@���������������������������������@�����@�����������������������������@�����������������������������������������������������������������������������������������������������@�������������������������������������������������������������@�������������������������������������������������@���������������������������������������������@�������������������������������������@�������������������������@�@�������������������������@�����������������������������@�����@�����@�����@�������������������������@�@�@�������������������������@�����@�����@�����������������@�����@�����������������@�@�@���������@���������������������@�����@���������@�������������������������@�������������������������@�@�A����������������AA������������A����AAA	A
AAA
A��������������������������������A������������������������AAA������������������������A����A����A ����������������A#A$������������A%����������������A&A'A(A)A*����A+����A-A.A/A0A1����A3A4����A5����A7A8A9A:A;A<A=A>����A@AAABACADAEAFAGAHAIAJAKALAMAN����������������������������AZA[����������������A]A^A_A`����AbAcAd������������AeAfAg��������Aj������������������������AmAn������������������������Au����������������������������Aw����Ax����A����������������A���������A�������������������������A�������������������������A�������������������������A�������������A�����A�����A�����������������A�������������A�A�A�A�����A�A�A�A�����A�A�A�������������������������������������������������A�������������������������A�A�������������������������A�����������������������������A�����A�����A�����������������A���������������������������������A�����������������������������������������������������B������������������������B������������B������������������������B����B����B����B������������������������B��������B��������B������������������������B��������������������������������������������������������B2������������������������B5����������������B6����B7������������������������B9����B:����BA����BC������������������������BG��������BK����BK��������BM������������������������BT��������������������������������������������������������BwBwBwBwBw������������������������������������������������B{B|B}����������������BB�B�B�����B�B�B�B�B�B�B�B�������������������������B�������������������������B�B�B�B�����B�B�B�B�B�B�B�B�B�B�����B�B�B�������������B�B�����B�B�B�B�B�B�B�����B�B�����B�B�����������������������������B�B�B�B�����������������B�B�B�������������B�B�����B�B�B�B�B�����B�B�B�B�B�B�B�����������������B�B�����B�B�����B�B�B�������������B�B�����B�B�B�B�B�B�����������������B�B�B�����B�B�B�B�����B�B�B�B�B�B�����������������������������B�B�B�B�B�B�B�B�B�����������������CC����C����C��������������������C����������������C����CCC
CC����CCC����CCC������������CC����C����C����������������������������������������������������CA��������������������������������������������CE����������������������������CC����������������������������CF����CG����CN����������������CP��������������������������������CV����������������������������������������������������Ck������������������������Cn������������Co������������������������Cq����Cr����Cy����������������C{����C}����C~������������C�������������������������C�����������������C�����C�������������������������C�����C�����C���������������������C�����������������C���������������������C���������C�������������������������������������������������C�������������������������C�������������C�������������������������C�����C�����C���������������������C���������C�������������������������C�����������������C�����C�������������������������C�����C�����C���������������������C���������������������C�����C���������������������C���������������������C���������C���������C�����C���������������������C���������������������C�C�����������������������������������������D����������������������������������������DDDDD������������������������������������������������D"D#D$����������������D'D(D)D*D+D,D-D.����D0D1D2D3D4D5D6D7D8����D:D;����D=D>D?D@DADCDDDE����DGDHDIDJ����DLDMDN��������DQ����������������DSDT����DVDWDXDY����D[D\����������������������������D^D_D`DaDbDc����������������DeDfDgDh������������DiDjDkDlDmDnDoDpDqDr����DtDu����DwDxDy������������Dz����D|����D~����D����D�����D�D�D�D�������������������������������������������������D���������������������������������������������D�����������������������������D�����������������������������D�����D�����D�����������������D���������D�������������������������D�������������D�������������������������D�����D�����D�����������������D�����D�����D�������������D�������������������������D�����������������D�����D�������������������������D�����D�����D���������������������D���������D�������������������������D�������������D�������������D�D�D���������������������������������EEEEE������������������������������������EEE����������������EE	������������E
��������E
����E����������������EE����EEEE����EE E!E"E#����������������E%E&E'����E)E*E+E,������������E-E.E/E0E1E2����E4E5E6E7E8E9E:E;E<����E>E?����EAEBECEDEE����������������������������������������EH����EI��������������������ELEMENEOEP����������������ES����ET��������������������EW����EW��������EY����������������EZ����E]E^E_����EaEbEc������������EdEe����Eg����Eh������������������������������������������������E}��������������������������������������������E�����������������������������E����������������������������E�����E�����E���������������������E���������E�������������������������E�������������E�������������������������E�����E�����E�����������������E�������������������������������������������������E���������������������������������������������������������������������������������������������E�����E�����������������������������������������������������������������E���������������������������������E�������������������������E�������������E�������������E�����E�����E���������E���������E�������������������������E�������������E�������������E�E�E���������������������������������E���������������������������������E�������������������������������������E�E�E�E�E�������������������������������������������������E�E�E�����������������E�E�E�E�E�E�����E�E�E�E�����FF����FFF����F��������FF������������������������F����FF����FFF����FFFFFF F!����F#F$F%F&F'F(������������F)����������������������������F+F,������������F-F.F/F0F1F2F3F4F5F6����������������������������������������������������Fz������������������������Fz����������������������������������������F�����������������������������������������������������������������F���������������������������������������������������������������������������������������������F�����������������������������������������������������������������F�������������������������������������������������F�F�������������������������F�������������������������������������������������������������F�������������������������������������������������F�F�������������F�����������������������������F���������������������������������F�������������������������F�F�������������������������F�����������������������������F�����������������������������F�����������������������������F�F�F�����������������������������F�����������������������������F�����������������������������F�������������������������F�������������������������F�F�������������������������������������G��������������������������������G������������������������G
������������������������G������������������������GG������������������������������������G ����������������G"������������������������G%G&G,����������������������������������������������������������������GA������������������������������������������������GM��������������������������������������������������������������������������������������������GM������������������������������������GO������������������������������������������������GT������������������������������������������������GW����GZ����GZ����G\������������������������Gc������������������������������������������������������������Gi������������������������������������������������GlGr������������Gx����������������������������G��������������������������������G�����������������������������G�����������������������������G�G�G�����������������������������G�����������������������������G�����������������������������G�������������������������G�������������������������G�G�������������������������������������G���������������������������������G�������������������������G�G�G�������������������������������������G�����������������������������G�������������������������G�������������������������G�������������������������G�G�������������������������������������������������G�G�G�G�G�G�������������������������������������������������������������G�����������������������������������������������������������������H��������������������������������������������������������������������������������������������H������������������������������������H������������������������������������������������H������������������������������������������������HHH����������������������������H������������������������HHH"������������������������H$������������������������H'H(����H)����H/����������������������������������������������������������������HD������������������������������������������������HP��������������������������������������������������������������������������������������������HP������������������������������������������������������������HV������������������������HY����������������������������������������H`������������������������Hb����������������������������������������������������Hn��������������������������������������������������������������������������������������������Hn������������������������������������Ho����������������������������������������Hv����������������������������������������������������H|������������������������������������������������H����H�����H�����H�������������������������H�������������������������������������������������������������H�������������������������������������������������H�H�������������H�����������������������������H���������������������������������H�������������������������H�H�H�������������������������H�������������������������H�������������������������H�������������������������H�H�������������������������������������H���������������������������������������������������������������������H�����H�������������������������������������������������H�������������������������������������������������H�����H�����H�����H�������������������������H�������������������������������������������������������������I������������������������������������������������II��������������������������������������������������������I
������������������������������������������������I��������������������������������������������������������������������������������������������������������I������������������������I������������������������I������������������������������������������������������������I!������������������������������������������������I)������������������������I)������������������������I3������������������������I3����������������������������������������I?������������������������IB����������������������������IN������������������������IP������������������������IV������������������������IX��������������������������������IB����������������������������I[����������������������������Ig������������������������Ii������������������������Io������������������������Iq��������������������������������I[��������������������Ix��������������������������������������������������������������������I�����I�����������������������������I�����������������������������I�I�I�������������������������I���������������������������������I�������������������������I�I�I�������������������������I�����������������I�����������������������������I�����������������������������I�������������������������I�������������������������I�I�������������������������I���������������������������������I�������������������������I�������������������������I�������������������������JJ������������������������J����������������J��������������������������������������������J J J J J J ����������������������������������������������������������������������������J6J7J8J9����������������������������������������������������JO����������������������������Jc����������������������������JRJSJY����������������������������Jf������������������������������������������������Jy��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Jy����������������������������������������������������������������������������������������������������Jy������������������������������������������������������������������������J~������������������������������������������������J~����������������������������J�������������������������J�����J�����J�����J�����J�����J�������������������������������������������������������������������������������������������������������������J�������������������������J�������������������������J�����������������������������J�����������������������������J�����J�����J�����������������������������J�������������������������������������J�J�J�J�J���������������������������������������������������������J�������������������������J�J�J�������������������������J�J�J�����������������J�J�J�J�J�J�J�����J�J�J�J�J�J�J�J�J�K����������������KKK��������K������������������������KK K&������������������������K)��������������������K+����������������������������K=����������������������������K.K/K6����������������������������K@������������������������KCKDKK������������KO����������������KeKfKg��������������������������������������������KgKhKiKjKk����������������KmKn����KpKqKr����KtKuKvKwKxKyKzK{K|K}����KK�����K�����K���������������������K�����������������K�����K�K�K�K�K�����K�K�����K�K�K�����K�����K�������������K�K�K�������������K�K�����������������������������������������������������K�������������������������K�K�������������������������K�����������������������������K���������������������������������������������K�����������������������������������������������������K�������������K�������������������������K���������������������K���������K�������������������������L��������������������������������������������������������L����������������������������������������L������������������������L������������������������L#��������������������L'����L'��������L)������������������������L0��������������������������������������������������������LTLTLTLTLTLT����������������������������������������������������LXLY����������������L[L\L]L^����L`LaLbLcLdLeLfLg����������������LiLj����LlLmLnLoLpLqLrLs����������������LuLvLw����LyLzL{L|����L~LL�L�L�L�L�L�����L�L�����L�L�L�L���������������������������������L�L�L�L�L�L�L�L�L�L�����������������L�����L�����������������L���������������������L�L�L�����������������L�L�����L�L�L�����L���������L�L�������������������������L�L���������������������L�����������������������������L�������������L�����������������������������L���������������������������������L�����������������������������L�L�����L�L�L�����L���������L�������������L�����������������������������L�����������������������������L�L�L���������������������������������L�L�L�L�MM������������M����������������MM����MMM	��������M��������������������M
����������������������������������������������������M��������������������������������������������������������������������������������������������M������������������������������������MMMM����M!M"M#M$M%M&M'��������������������M*������������������������M*������������������������M0��������M3������������������������M3������������������������M9����M;M<��������������������M?������������������������M?������������������������ME����������������MGMH����MJMKMLMM��������������������������������������������MOMPMQ������������MRMSMT��������������������MW������������������������MW������������������������M^M_����MaMbMcMdMeMfMgMhMiMjMkMl����MnMo����MqMrMsMt��������Mw����������������������������M�������������M�����������������������������M���������������������������������Mw����������������������������M�����������������������������������������������������M���������������������������������������������������������������������������������������������M�������������������������������������M�������������M�������������������������M�������������M�����������������������������M�����������������������������M�������������������������������������������������M�M�����������������M�M�M�M�M�M�M�����M�M�����M�M�M�����M�M�M�M�M�M�M�M�����M�M�������������M�M�M�������������������������������������������������O,O-O.����������������O0O1O2O3O4O5O6O7O8O9O:O;O<O=O>����O@OAOBOCOD����OFOGOHOIOJOKOLOM����OOOPOQ��������OT��������������������O^O_����OaObOc������������OdOe����Og����Oh����������������������������������������������������O}��������������������������������������������O�����O�����������������������������O}����������������������������O�����O�O�������������������������O�������������������������O���������������������O�����O�����������������O�������������O�������������������������O�O�������������������������O�������������������������O���������������������O���������O�����������������������������O�����������������O�����������������O���������������������O�����O�����O���������O�����O�������������������������O�������������������������P����PP������������������������P������������P��������������������P����P����P!������������������������������������P0P0P0P0P0P0����������������������������������������P4P5P6P7��������������������P:��������������������PD������������PEPFPGPH����PJPKPL����PNPOPPPQ����PSPTPUPVPWPXPY������������������������������������������������Pb��������������������������������Pp��������������������Px����Py����P���������������������������������P�����������������������������������������������������P�P�������������������������P�����������������������������P���������������������P�������������������������P�P�������������������������P�����������������������������P�����P�����P�P���������������������������������������������P�P�P���������������������P�������������������������P�������������������������P�����P�P�������������������������P�������������������������P���������������������P�����P�����P�P�P�����P�P�P�P�P�P�P�P�P�P�����P�P�P�P�P�P�P�����������������P�P�Q����QQQQQQQQ	Q
Q����Q
Q��������������������������������������������QQQQQQQ����������������QQ������������QQ����QQQ Q!Q"Q#Q$Q%Q&Q'Q(����Q*Q+Q,����Q.����Q/Q0Q1Q2Q3Q4Q5Q6����Q8Q9Q:Q;Q<Q=����������������������������������������QP������������������������QP������������������������Qa����QbQm������������������������Qm������������������������Qr��������������������Qs����Qz����������������Q|����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Q�����Q�Q�������������������������Q�������������Q�����Q���������������������Q�����������������Q�����Q�������������������������Q�������������������������Q�����Q�Q�������������������������Q�������������Q���������������������Q�����Q�����Q�������������������������������������Q�Q�Q�Q�Q�Q�����������������������������������������������������Q�Q�Q�Q�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������R����RR#������������������������R#������������������������R(����������������R,R-R.����R0R1R2R3R4R5R6R7R8R9R:����R<R=R>R?R@RARBRCRDRE����RGRHRI����RQ����RR������������������������RR������������������������Rc����RdRo������������������������Ro������������Rt��������������������Ru����R|��������������������������������R�R�R�����������������R�������������R�R�R�R�R�R�R�R�����R�R�R�R�����������������R�R�����R�R�R�����R�R�������������R�R�R�R�����������������R�R�R�����R�R�R�R�R�R�R�R�R�R�����R�R�R���������R���������������������R�����R���������������������������������R�R�����������������R�R�R�R�������������R�R�R�R�R�R�R�R�����R�R�����R�R�R�����R�R�R�R�����R�R�R�R�R�R�����R�����R�R�R�R�R�R�����R�R�����R�R�R�����R�R�R�R�R�R�R���������������������������������R�R�R�R�SSSSS������������������������������������������������S��������������������������������S����S ������������������������S ������������������������S1����S2S=������������������������S=������������������������SB��������������������SCSD��������������������������������SK����������������������������������������������������SNSO������������������������STSU������������SVSW����������������SYSZS[����S]S^S_����S`SaSb����SdSe��������Sh��������SkSlSm����������������������������������������������������������������������������Su������������������������������������S�����S�������������������������S�������������������������S�����S�S�������������������������S�������������������������S���������������������S�S���������������������������������S�����������������������������������������������������S�S�������������������������S�����������������������������S�����������������S�����������������S�S�S���������S���������S�����S���������S�������������������������S�������������������������S���������������������������������������������S�S�S�S�S�S�S�S�S�S�S�����������������S�S�S�����S�S�S�S�S�S�S�S�S�S�S�����S�S�S�S�S�S�S�TTT����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������T����TT*������������������������T*������������������������T/����T3T4����T6T7T8��������������������������������T8T9T:T;T<����������������T>T?����TATBTCTDTETFTG����TI����TKTLTMTNTOTPTQTRTSTTTUTVTWTX������������TY����T[T\T]T^T_T`TaTb����TdTe������������TfTgThTi��������������������������������������������������������T�������������������������T���������������������������������������������T���������������������������������������������������������������������T�����������������������������������������������������T�T�������������������������������������������������������������T�������������������������������������T�������������������������T�������������������������T���������������������T���������������������������������T���������������������������������T�������������������������T�T�������������������������T�������������������������������������T�������������������������������������������������T�����T���������������������������������������������������������T���������������������������������T�������������������������T�������������������������T�����T�����U��������U��������U��������������������������������U
��������������������U����������������������������U����������������������������U����U&����������������������������U(������������������������U+����U7��������������������������������������������������������������������UM������������������������������������������������U_��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������U_����������������������������������������������������������������������������������������������������U_������������������������������������������������������������������������Ud������������������������������������������������Ug����Uh����Uu����������������������������������������������������U|������������������������U������������������������U�����U�������������������������U�����������������������������U�����������������������������U�U�����������������������������U�������������������������U�����U�������������������������U���������������������U�����������������������������������������U�����������������������������U�����U�����������������U�����������������������������U�����������������������������U�����U�����������������������������U�������������������������U�U���������������������������������U�������������������������������������������������������������U�������������������������������������������������V
��������������������������������������������������������������������������������������������V
����������������������������������������������������������������V������������������������������������������������VV������������������������V������������������������������������������������������������V������������������������������������������������V&������������V,����������������������������V3��������������������������������V6������������������������V9V:������������������������VA����������������������������VD����������������������������VJ����������������������������VNVT����������������������������VV����������������������������V\����������������������������V`������������������������Vg������������������������Vm������������������������������������Vt��������������������������������Vx������������������������V{������������������������V�������������������������V�������������������������������������V�����������������V�������������������������V�V���������������������������������������������������������������������V�������������������������������������������������V���������������������������������������������������������������������������������������������V�������������������������������������V�������������������������������������������������V�������������������������������������������������V�����V�����V�����V�������������������������V�������������������������������������������������������������V�������������������������������������������������V�������������V�����������������������������V���������������������������������V�����������������������������V�����������������������������V�V�����������������������������W����������������������������W����������������������������W������������������������W������������������������W������������������������������������W��������������������������������W"������������������������W%W+������������������������������������W2����������������������������W4������������������������W7������������������������W>������������������������WD������������WH��������������������������������������������WWWWWWWWWWWW��������������������������������������������������������W[W\W]W^��������������������Wu������������������������WxW~������������������������W���������������������W�����������������������������W�����������������������������W�W�����������������������������W�������������������������W�W�������������W�����������������W�W�W�W�W���������������������W�������������������������W�������������������������W���������W�����W���������W�������������������������W�W�������������������������W�����������������������������W�����W�W�W���������W���������������������W�W�W���������������������������������W�W�W�����������������W�W�W�W�����W�W�����W�W�W�W�W�����XXX����XXX����XX	X
XXX
X����XXXXXXX��������������������X������������������������X������������������������X����X����X&����X)X*X+��������X.������������������������X1����X2����������������������������������������X<X=X>X?X@XA����������������XC������������XD����XFXGXHXIXJXKXLXMXNXO����XQXR����XTXU����XWXX����XZX[X\X]X^X_X`����Xd����XfXgXhXiXjXkXl����XnXoXpXqXrXsXtXuXv��������������������������������XxXyXzX{X|X}X~XX�����������������X�������������X�X�X�������������X�X�����������������X�X�X�����X�X�X�X�X�����X�X�X�X�X�X�X�X�����X�X�X���������X�������������������������X�������������������������X�X�����X�X�X�����X�X�����X�����X�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Y����Y������������������������������������������������������������������������Y	����Y
Y������������������������Y������������������������Y����������������Y��������������������������������Y#������������������������Y%Y0������������������������Y0������������������������Y6��������������������Y:��������Y=��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������YV����YWYb������������������������Yb������������Yg��������Yi������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Y}����Y~Y�������������������������Y�������������Y�������������������������Y���������������������������������Y���������������������Y�������������������������������������Y�Y�Y�Y�Y�Y�����������������������������������������������������Y�Y�Y�Y���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Y�����Y�Y�������������������������Y�������������������������Y�����������������Y�����Y�Y�����Y�����������������Y���������������������Y�����������������������������������������Y���������������������������������������������Y�������������������������Z����Z������������������������Z
����Z������������������������Z������������������������Z����������������������������������������������������Z��������������������������������������������������������Z$��������������������������������Z%Z0������������������������Z0������������������������Z5��������������������Z6������������������������Z6������������������������Z;����Z<����ZC��������������������������������ZI��������������������������������ZL����������������ZaZbZc��������������������������������������������ZcZdZeZfZg����������������ZiZj����ZlZmZn����ZpZqZrZsZtZuZv����ZxZyZzZ{Z|Z}Z~Z����������������Z�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Z�����Z���������������������������������������������������������������������Z�����Z�Z�������������������������Z�������������������������Z�����Z�Z�����Z�Z�Z�Z�Z�Z�Z�Z�����Z�Z�Z���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Z�����Z�Z�������������������������Z�������������������������Z�����������������Z�Z�������������Z�Z�����Z�Z�Z�����Z�Z�Z�����Z�Z�Z�����Z�Z���������Z�����[����������������[[[[[[	[
����[[
[����[[[[[[[[[��������������������������������[[[����������������[[[[������������[ [!["������������[#����[%[&������������������������������������[.��������������������������������[5����[6������������������������[6������������������������[G����[H[S������������������������[S������������������������[X��������������������[Y����[`��������������������������������[g����������������������������������������������������[j[k������������������������[r����������������������������[w[x����[z[{[|����[~[[�[�����[�[�����[�[�[�[�����[�[�������������������������������������������������[�������������������������[�[�������������������������[�����������������������������[�����[�����[�[�����������������[�[�[�����[�[�������������[�[�[�����[�[�[�[�[�����[�[�[�[�[�[�[�[�����[�[�[�[�[�[�����[�������������[�����������������������������������������������������[�������������������������[�������������������������[�����[�[�������������������������[�������������������������\����������������\������������������������������������������������\������������������������������������������������������������������������������������������������\����������������������������������������������������������������\������������������������������������������������\����������������������������\������������������������\������������\/����\0\;������������������������\;������������\@��������������������\A����\H��������������������������������\W\W\W\W\W\W��������������������������������������������������������������������^j���������������l�H<��,�����:u��ŋ������&:u���<۲is�UUalso�diagonal.�q�When��d������x䍑0��~�����.���G��������:3^�(�i"����n��q~�)��=��R������b��(�i"����n���)����Ů�(2.16)�������<�is���satised�an���y�single-site�quan�tit�y�of�the�lattice�system������<�is��the�same�as�its�corresp�Gonding�quan���tit�y��of�the�single-�����<�impurit���y�6�Anderson�mo�Gdel.�
�The�quan�tities,��M�����c���(�k�)�and�����<۵v����m�k��`�,�ׂof��Fthe�Anderson�mo�Gdel�should�b�e�selfconsisten���tly�����<�determined���to�satisfy�Eq.�(��??��
�n�);�2�Eq.�(��??���)�is�nothing�but�����<�the�UUmapping�condition�to�the�Anderson�mo�Gdel.��!�}����I�K�I�I.���EX��CCHANGE�INTERA�CTIONS��5K��;/2A.���Kondo�lattices���K���<ܲConsider��fthe�mapp�Ged�Anderson�mo�del�(��??��
�n�),��*and�in-�����<�tro�Gduce��
ctitious�and�innitesimally�small�external�elds�����<�suc���h�UUas��H����ext�����=�����������P���8��m��^���E����m��{1�n����m���,�UUwith��4e������������E����m��BI�=����8�+������B��������^�������<$��\]�1��\]�w�fe�	(֍2���������[�g����s��F:�H����s���r�+��8�mg����o��r}�H����o����+�����<$���k1���k�w�fe�	(֍2�������(����m�)�g����so��8��H����so������^�����L��:�������ʮ��(3.1)�����d����<�Here,�[�����B���Ͳis���the�Bohr�magneton;�t��g����s��F:�,��g����o��	2>�and��g����so���x�are��g�����<۲factors.���^��?��	2x�The��!single-site�selfenergy�at��T��N�=�n�0�K��is�ex-�����<�panded�UUin�suc���h�a�w�a�y�that��������x䍑�h~�����������m����J�(�i"����n��q~�)�����ey=�������x䍑&!~�����$����,,�(0)�8�+�(1�����\q����~�����������
����
OĲ)�i"����n���^�+�(1�����\q����~�����������c����A�)���������$�+(1�8����\q����~�����������s����tp�)�����<$��331��33�w�fe�	(֍2�����fg��[�g����s��F:�����B����H����s���+�(1�����\q����~�����������l����?��)�mg����o��r}�����B���H����o����������$�+(1�8����\q����~�����������so����f��)�����<$��331��33�w�fe�	(֍2�����fg(��[�m�)�g����so��8������B����H����so��
q��+��������������ʮ��(3.2)�����@����<�for�扸j�"����n��q~�j����k����B����T����K�����,�
�with��T����K���<�the�Kondo�temp�Gerature�dis-�����<�cussed�UUin�In���tro�Gduction�and�dened�b�elo���w.�����<�When���p�Golarizations�of�conduction�electrons�are�ig-�����<�nored,�UUit�follo���ws�according�to�Y��*�oshimori's���^��?�����that���������\q���}/~�������--�����
����)�=�����<$����\q��]N~������
L�����c������K�w�fe&.9�	(֍�2(2�l�k@�+�8�1)�����-��+�����<$���g3���\q��P~����������s�����l�w�fe&.9�	(֍�2(2�l�k@�+�8�3)�����-_+�����<$��
8)4�l�2`�(�l�k@�+�8�1)���\q��P~����������o�����l�w�feB\p�	(֍�(2�l�k@�+�8�1)(2�l��+�3)�����F���;����ʮ��(3.3)����2ƍ��<�and�:"static�susceptibilities�at��T����=�Dk0�K�9�of�the�Anderson�����<�mo�Gdel�UUare�simply�giv���en�b�y���`�������~���^������c�����F�(0)��������<$���K�@���K�w�fe92�	(֍@��8����������X����X������L��m���)�!�h�n����m��{1�i��=����4~��������������፴c�����
���(0)�;����ʮ��(3.4)����.���������T�~����%ֵ����s������ղ(0)�����	<����������<$���u�@���u�w�fes��	(֍@��8H����s���������*Nߟ���X������+�+�m�������<$��;���1��;���w�fe�	(֍2�����Aѷ��[�g����s��F:�����B����h�n����m��{1�i���=�����<$���K1���K�w�fe�	(֍4�����
-�g��������2���፴s����L��������2���፴B�����	(�~���������������፴s��������(0)�;������ʮ��(3.5)�����������c�~���4������o����"�ղ(0)�����2w����������<$��>8u�@��>8u�w�fe�ҟ	(֍@��8H����o���������S�"����X������T�n�m���cғ�mg����o��r}�����B����h�n����m��{1�i����������2w�=���������<$��>8u1��>8u�w�fe�	(֍3�����Dk��l�2`�(�l�k@�+�8�1)�g�������[ٱ2���፴o����L��������2���፴B�����	(�~���������������፴o��������(0)�;������ʮ��(3.6)������ƍ��<�and������������~����������so�����1�(0)�����)�h����������<$��5Kѵ@��5Kџw�fef�	(֍@��8H����so���������L�����X������N \�m�������<$��^4��1��^4��w�fe�	(֍2�����dg�(�m�[ٲ)�g����so��8������B����h�n����m��{1�i��������)�h�=���������<$��5K�1��5Kџw�fe�	(֍4�����=�������<$��l�1��l�w�fe�	(֍3�����	�G�l�2`�(�l�k@�+�8�1)�g�������[ٱ2���፴so���8���������2���፴B�����	(�~���������������፴so�����\��(0)�;������ʮ��(3.7)����������&:u���<�with��������,�1~���+������������፴�����7���(0)��=�2(2�l�k@�+�8�1)���\q��P~���������������8��(0)�;����Ү��(3.8)�������<�for��c���harge�(��В�=���c�),��spin�(���=���s�),��band�or�orbital�(���=���o�),������<�and��spin-orbital�com���bined�(��В�=���so�)�c�hannels.�O3Here,�X�h���������i�����<۲stands�UUfor�the�thermal�a���v�erage,�UUand��q΍����7��(�"�)�����B�=���������<$��27�1��(+�w�feg�	(֍2�l�k@�+�8�1�������DI ���^���K��������<$���²1��33�w�fe�	(֍�������u����^�����d�R�Im����r�ß��`�h���w>��T��*�r����x䍒���~�������5�G���������7��(�"�8�+��i�0)����`�i��������Ү��(3.9)�����qύ��<�is�UUthe�densit���y�of�states�p�Ger�spin�and�band.�����<�So���far,�&there�is�no�restriction�for��U��,��U����^��0���T�,�or����J��9�.�S�When�����<۵U�͞�=����U����^��0��c�and�~��J����=�0,���\q���~������������s�������=���\q���~�����������o�����ٲ=���\q���~�����������so����䐲.��It�is�reasonable�����<�to�m�assume�that��U��T���9�J��9�,����U����^��0������J�cֲand�m��U����p����>����J�����������U����^��0��R�so�that��
QG����\q����~�������<۵����s�����vl�'���\q��N�~������������o����cո'���\q��N�~������������so����,�.��lOnly��a�single�energy�scale,�>�the�Kondo�����<�temp�Gerature,�8�app�ears��)in�lo���w-energy�phenomena�of�the�����<�single-site�UUproblem.�q�In�this�pap�Ger,�it�is�dened�b���y���j���%l��k����B����T����K��
|˲=�����<$���K2�l�k@�+�8�1���K�w�feg�	(֍����~���⩵���r����\n��s������R�(0)�����![�=��2���\q��P~����������s����
;���(0)�:����ͮ��(3.10)����MЍ��<�The�8�sp�Gecic�heat�at�lo���w�temp�eratures,�>��T�*�����T����K�����,�is�8�giv���en�����<�b���y���x䍑�~�����UU�C���
�9�=���$�~�����
�����T��o�+��8�������
ㇲ,�UUwith��5������&G@~���%�r�
���.l&�=�����<$���K2(2�l�k@�+�8�1)���K�w�fe&.9�	(֍��3�������\q��,��~������+[������
����6r����[ٟ����2���L�k�������P��2���፴B������(0)�:����ͮ��(3.11)�����Ѝ��<�The��Kondo�temp�Gerature,����k����B����T����K�����,�is��as�large�as�the�eec-�����<�tiv���e�URF��*�ermi�energy�of�quasiparticles�in�the�lattice�system.�����<�In�ܠthis�pap�Ger,��rthe�Kondo�temp�erature�is�treated�as�a�����<�phenomenological�V�parameter�instead�of�determining�and�����<�solving�UUthe�Anderson�mo�Gdel�selfconsisten���tly��*�.�����<�Dene��a�t���w�o-p�Goin�t��p�olarization�function�of�the�lattice�����<�system,�UUwhic���h�is�a�2(2�l�k@�+�8�1)����2(2�l��+�1)�UUmatrix,�b���y��㗍�������ֽ���b�������i���f�(�i!����l��ȵ;����q�)������b������*���m��;m����0���s���@L���0�������K��=���������<$��Y��1��W���w�fe	��	(֍�N��������c�Z����X����t��g~ôij����q�#��c��Z�����i��{�$�1�=k��m�B��� �T��@��w�]�0����5G�d�we������i!����l���Ҵ���+�i�q��(�R���i��*���R���j���a�)������卍��VZN�h�n����mi��O}�(��!ǲ)�n����m����0���s�j�g���@L���0����ò(0)�i�:������ͮ��(3.12)���������<�When�UUits�irreducible�part�is�denoted�b���y���9DF��

cmmib10���
��(�i!����l��ȵ;����q�),��	������X���
U�(�i!����l��ȵ;����q�)�����.�L=������9z����@�H�(�i!����l��ȵ;����q�)���[��q�1�8�+��U���9���/��(�i!����l���;����q�)�]����E�������1��RRܵ:������ͮ��(3.13)��������<�According�UUto�Eq.�(��??��
�n�),��U�S��is�dened�b���y��+D��������8	���b������b��U�����9���b������(��m��;m����0���s���@L���0���'��=������8��	���>�����>�����>�����<�����>�����>�����>�����:�����H%���V^�0�;���7�m���=��m���^��0���#��and���X��"�=����[ٟ�^��0����Xn������U����^��0��4��8�J���;���7�m���6�=��m���^��0���#��and���X��"�=����[ٟ�^��0�������o�U���;���7�m���=��m���^��0���#��and���X��"�6�=����[ٟ�^��0�������y��U����^��0���T�;���7�m���6�=��m���^��0���#��and���X��"�6�=����[ٟ�^��0��������R�:����ͮ��(3.14)����*�k���<�The�Rirreducible�part�is�divided�in���to�a�single-site�term�������q���U�~��#����<������n��(�i!����l��Ȳ)�UUand�a�m���ultisite�term�����1Ʋ(�i!����l���;����q�)�so�that���������� =��(�i!����l��ȵ;����q�)��=���q����~��#�������	�޲(�i!����l���)�8�+�����1Ʋ(�i!����l���;����q�)�:����ͮ��(3.15)�������<�The�<reducible�p�Golarization�function�of�the�mapp�ed�An-�����<�derson�UUmo�Gdel�is�giv���en�b�y��{�������qƍ�)�~���:��)�����)��(�i!����l��Ȳ)�����4u*=�������q��@C~��#���?`����F5&�(�i!����l��Ȳ)������b�����*��1�8�+��U���q���~��#����9����/��(�i!����l���)������b������*����߷�1��� �:������ͮ��(3.16)��������<�Dene�UUthe�follo���wing�2(2�l�k@�+�8�1)����2(2�l��+�1)�UUmatrix:����������4���lo�J�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������\\\]����������������\_\`\a\b����\d\e\f\g\h\i\j\k\l����������������\n\o\p\q������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������\�����\�\�������������������������\�������������������������\�����������������\���������\�������������������������\�������������������������\�����\�\�������������������������\�������������\���������������������������������\�\�\�\�\�\�������������������������������������\�\�����������������\�\�\�\�\�^j]]����]]������������]����]]]	]
]]]
]]]]����]]]]����]]]����]����]]����]] ]!����]#]$]%]&]'](])����]+],]-].]/]0����������������������������������������]2]3����������������]5]6]7����]9]:];]<����]>]?����]A]B]C����]E]F]G]H]I]J]K������������]L]M]N]O]P]Q����]S]T]U]V������������]W]X]Y����]Z����������������]\]]����]`]a]b����]d]e]f]g]h]i]j����������������������������]k]l]m]n]o]p]q������������]r����������������]t]u]v]w]x]y]z]{����]}]~������������]]�]�]�����������������]�]�]�����]�]�]�]�����]�]�]�]�]�]�]���������������������]�������������������������]�������������������������]�����]�����]�����]�]�]���������������������������������]�������������������������]�����]�������������������������]�����������������]�]�����������������]�]�]�����]�]�]�]�]�]�]�]�����]�]�������������]�]�]�����]�]�]�]�]�]�����]�����]�����]�]�]�]�]�]�]�]�]�]�]�]�]�������������]�]�]�����������������������������]�]�]�]�]�]�]�]�]�]�����������������]�]�����^^^^^^^����^	^
^����^
��������^^������������������������^^����������������^^^����^ ��������^+^+������������^,����^.^/����^1^2^3^4^5^6^7����^9^:^;����������������������������^=^>^?����������������^A^B^C^D^E^F^G����^I^J^K^L^M^N^O^P^Q����^T^U����^W^X^Y����^[^\^]^^^_^`^a^b����^d^e������������^f^g^h^i��������������������������������������������^�������������^�����^�^�����������������^�^�������������^�^�^�^�^�^�����^�^�^�^�^�^�����^�^�^�^�^�^�����������������������������������������^�^�����������������^�^�^�^�^�����^�^�^�^�^�^�^�^���������������������������������������������^�^�^�^�^�^�^�^�����������������^�^�^�����^�^�^�^�������������^�^�����^�^�^�^�^�^�^�^�����^�^�����^�^�^�����^���������^�^�������������������������^�^�����������������^�__����___����������������������������___������������__	_
_����������������_�________����___����___�_ _!_"_#_$_%_&_'_(_)_*����_,_-_._/_0����_2_3_4_5_6_7_8_9����_<_=_>_?_@����������������������������_B_C_D������������_E����������������_G_H��������__������������������������_i_j_k������������������������_m��������������������_n����������������������������������������_r��������������������������������������������_u_{������������������������_�����_�������������������������_�_�������������������������_�������������������������_�_�������������_�����������������_�_�_�_�����������������������������������������������������������������_�����_�������������������������_�_�������������������������_�����������������_�����_���������������������_���������_�������������������������_�������������������������������������������������`��������������������������������������������������������`��������������������������������������������������������������������������������������������`������������������������������������`&������������`(������������������������`*������������������������`,������������������������`.������������������������`3��������������������`7`9������������������������`;������������������������`=������������������������`?������������������������`C������������������������������������������������`Q��������������������������������������������������������������������������������������������`Q��������������������������������`S��������������������`f����`h����`i����`k������������������������`n`o������������������������`q������������������������`t`u��������������������������������`}��������������������������������`������������������������������������������������������������`�`�`�`�`�����������������������������������������������������`�`�`�`�`���������������������`�������������������������`�������������������������`�`�����������������`�`�`�����`�`�`�`�����`�`�`�`�`�`�`�`�`���������������������`�������������������������`�������������������������`���������`�������������������������`�������������������������`�`�`���������`�������������������������`�`�������������������������`�`�`���������`���������������������������������`�`�`�`�`�`�`�`�������������������������`�������������������������`�`�`�����������������`�`�`�`�`�`�`�`�`�`�a����aaaaaaaa	a
a����a
a��������a��������������������a����������������a����a����������������aa����aaa����������������������������aaaa a!a"����������������a$a%����a'a(a)������������a*����a,����a.����a/����a0����a2a3a4a5������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ahan��������������������������������ap����aqa}������������������������a}������������������������a���������������������������������a���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������a�a�a�����������������a�����a�a���������a�������������������������������������������������������������������������������������������������������������a���������������������������������a�����a�a�������������������������a�������������������������a�����a�a���������a�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������a�a�����a�������������������������������������������������������������bbb��������������������b������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������b������������������������������������������������b$��������������������������������������������������������������������������������������������b$������������������������������������b*������������b,������������������������b.������������������������b1������������������������b3������������������������b5������������������������b7������������������������b9����b;b=��������b?������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������bQ����bSbU������������������������bW������������������������b[������������������������b]������������b_������������������������ba����������������������������������������������������������������btbvbx��������������������bz������������������������������������������������������������������������������������������������������������b�b���������������������������������b�������������������������������������������������b���������������������������������������������������������������������������������������������b���������������������������������b�����b�������������b�����b�����b�������������������������b�b�������������������������b�������������������������b�������������������������b�������������������������b�b�������������������������b�������������b�����������������b�����b�������������������������������������������������b�b�b�b�b�����������������������������������������������������b�b�b���������������������b�����b�������������������������b�������������������������b�����������������b���������b�������������������������b�������������������������b�������������������������b�������������������������b�����������������b�b�b�c��������c������������������������c������������������������c
cc����ccccc����cccc������������ccccccc����c c!c"c#����������������������������c#c$c%c&c'c(����������������c*c+����c-c.������������c/c0c1������������c2c3c4c5c6c7c8����c:c;c<����c>c?cLcBcCcD����cF����cGcHcI������������cJcK����������������������������cPcQcRcS����������������cU������������cVcWcXcYcZc[c\c]c^c_c`ca����cccd����cfcgchcicjckclcmcnco����cqcrcsctcucvcwcxcy����c{c|c}����cc�c�����������������������������c�c�c�c�c�c�����������������c�c�����c�c�c�c�c�������������c�c�����c�c�c�c�c�c�c�c�c�����c�c�����c�����������������c�c�c�c�c�c�c�c�c�c�������������������������c�������������������������c�c�c�c�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������c���������������������������������c�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������d������������������������������������������������������������������������������������������������������������ddd����d��������������������d����������������dd��������������������������������d������������������������������������������������d<����������������������������������������������������������������������������������������������������d<������������������������������������������������������������������������������������������������������������d<d<d<����d<��������������������d<����������������d<d<��������������������������������d>������������������������������������������������di����di����������������di����di��������������������di����������������didi����������������������������������������������������������������������������������������������������di������������������������������������������������������������������������������������������������������������didi����di��������������������di����������������didididi����di��������di����didi������������������������������������dk������������������������������������dzdzdzdzdz������������������������������������������������d�d�d�����������������d�d�d�d�d�d�����d�d�d�d�d�d�d�d�d�d�d�d�d�d�d�d�����d�e��������e��������������������e����������������e����e����������������e
e����e
ee����eeeeeeee����������������������������ee������������eee����������������e e!e"����e$e%e&e'e(e)����e+e,e-������������e.e/����e1����e2����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������egehei��������������������eq����������������������������������������������������e���������������������������������������������������������������������������������������������e���������������������e�����e�����������������������������������������������������������������e�������������������������������������������������e�e�����������������������������e�����e�������������������������e�e�������������������������e���������e�����������������������������������������������������������������������������e���������������������������������������������������������������������e�e�e�����e�������������������������������������e�e�e�e�e�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������f4f5f6������������������������������������f>��������������������������������������������������������������������fp��������������������������������������������������������������������������������������������fp����������������fp������������������������fp��������������������������������������������������������������������fu������������������������������������������������fxf~������������������������������������������������������������f���������������������������������������������������������������������������������������������f�������������������������������������f�������������f�������������������������f�������������������������f�������������������������f�������������������������f�����f�������������������������f�f�������������������������f���������������������f�������������������������������������������������f���������������������������������������������������������������������������������������������f�������������������������������������f���������������������������������f�����������������������������f�����������������������������f�����������������������������f�����������������������������f�����������������������������������������������������������������������������������������������������f���������������������������������������������������������������������f�f�f�����f���������������������������������������������ggggg��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������g7��������������������������������g8g9g:������������������������������������gB��������������������������������������������������������������������gp��������������������������������������������������������������������������������������������gp����������������gp������������������������gp��������������������������������������������������������������������gu������������������������������������������������gxg~����������������������������g�g�������������������������g�������������������������g�������������������������g�������������������������g�����g�������������������������g�g�������������������������g�������������������������������������������������������������g�����������������������������������������������������������������g���������������������������������������������������������������������������������������������g�������������������������������������g�����������������g�����g���������������������g�����������������g�g�����g�����������������������������������������g�����������������������������g�����������������������������g�����������������������������g�����������������������������g�����������������������������������������������������������������������������������������������������g�����������������������������g�������������������������������������g�g�g�����g���������������������������������������������hhhhh����������������������������������������������������hhh
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������hBhC��������������������������������hEhFhG������������������������������������hO��������������������������������������������������������������������h���������������������������������������������������������������������������������������������h�����������������h�������������������������h�h���������������������������������������������������������������������h�������������������������������������������������h�h�������������������������������������������������������������h���������������������������������������������������������������������������������������������h���������������������������������h�����h�h�����������������h�����h�������������������������h�h�������������������������h�������������������������h�������������������������h�����h�������������������������h�h�������������������������h�������������������������������������������������h�����������������������������������������������������������������h���������������������������������������������������������������������������������������������h�������������������������������������h�����������������������������������������������������i��������������������������������������������������������������������������������������������i������������������������������������i����������������i����i��������������������i����������������ii����i
����������������������������������������i����������������������������i
i����������������������������i����������������������������i����������������������������i����������������������������������������������������������������������������������������������������i8����������������������������i4i5������������������������������������i9i:i;����i<��������������������������������������������iKiKiKiKiK����������������������������������������������������������������������������iOiPiQiR����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������i}������������������������������������������������������������������������ii�i�����������������i�����i�i�i�����i���������������������i�����������������i�i�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������i�����i�i�i�����i�������������������������������������i�i�i�i�i�����������������������������������������i�i�i�����������������i�������������i�i�i�i�i�����i�����i���������������������i���������������������i�����i�i�����������������i�i�i�i�����i�����i���������i���������������������i�����i�i�����������������i�i�i�i�����i�i�����i�i�i�i�i�i�i�����i�����j��������j��������������������j����jj��������������������������������������������j	j
j����������������j
jjjjjjjjjjj����jjj������������jjjj j!����j%����j+��������������������j,��������������������j-j.����j/����j2����j3j4j5j6j7j8j9j:����������������j>j?j@jAjB��������������������jK����jR����������������jR����jR��������������������jZ������������������������������������j]j^j_j`jajb����������������jdjejf����jhjijj����jljmjnjojpjqjr����jt������������ju����jvjwjxjyjzj{����������������j}j~j��������������������������������������������������������j�����j�����j�����j�������������������������������������j���������������������������������������������������������������������j�������������������������������������������������������������������������������������������������j�����j���������������������j�����������������j�����������������������������������������������������������������j�����������������������������j�����������������������������������������������������j�������������������������������������������������������������������������������������������������j���������������������������������������������������������j�������������������������������������j�j�����������������������������������������������������j���������������������������������j�����������������j�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������k����k��������������������k��������k����kk������������������������k"����������������������������������������������������k�k�k�k�k���������������������������������������������������������k�k�����������������k�k�k�����k�k�k�k�k�k�������������k�����k�k�����k�k�k�k�k�k�����k�������������k�k�����k�k�k�k�����k�k�k�����k�k�k�k�k���������������������������������k�k�����������������k�k�k�k�����������������k�k�k�k�k�����k�k�����ll����lllllll	l
lll
����lll��������l��������������������l��������l����������������������������l ������������������������l"����l$l%��������������������l(��������������������l*����������������l-l.l/l0������������������������������������l3��������������������l4��������������������l5����������������������������������������l<������������������������l?l@lA��������������������lD��������������������lE����lFlH��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������l\��������������������������������������������������������������������������������������������������������lj��������������������������������lk��������������������������������������������������������������������������������������������������������lzl{��������������������������������l~����������������l�l�����l�l�����l�l�l�l�l�l�l�l�l�l���������������������������������l�l�����������������l�l�l�l�l�l�����l�l�l�l���������l���������������������l���������������������l���������������������l���������������������l�����������������������������������������l�������������������������l���������l���������������������l�l�l���������������������l�������������������������������������l�����������������������������������������l�������������������������������������l�����������������������������������������l�������������������������l�l�����l�l�l�l���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������l�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������m��������������������������������m������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������mm��������������������������������m����������������mmm m!����������������m#����m%m&m'm(m)m*����m,m-m.m/m0m1����m3m4m5m6m7m8����������������m:m;m<����m>m?m@mAmB��������������������������������mEmFmGmH������������mImJmKmLmMmNmOmP����������������mRmSmT����mUmVmWmX����������������mZm[����m]m^������������m_m`mambmcmdmemf����mhmimjmkmlmmmnmomp����mrms����mumvmw��������������������������������mymzm{m|m}m~mm�m�m�m�����������������m�m�m�m�m�m�m�m�����������������m�m�����m�m�m�m�����m�m�m�������������m�m�m�����m�m�����m�m�����m�m�m�m�m�m�����m�������������m�����������������������������������������������������m�������������������������m�������������������������m�������������������������m�������������������������m�������������������������������������������������m�����m���������������������m�����������������m�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������m���������������������������������������������������������������������m�m�m���������������������������������n����������������n����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������n����nnn����n ������������������������������������n/n/n/n/n/n/����������������������������������������������������n4n5n6����������������n8n9������������n:n;n<n>n?����nAnBnCnD����nFnG����nInJ������������nK����nMnNnOnP����nQnRnSnTnUnVnWnXnY��������������������n\��������������������n`��������������������nb������������������������nb������������������������nh����nknl����������������nnnonp������������nqnr��������������������������������nt������������nu������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������n�������������������������������������������������������������������������������������n���������������������n�������������������������n�����������������n�����n�������������������������n�����������������n�n�n�n���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������n�������������������������������������������������n�n�n�����n���������������������n�����������������n�n�������������������������������������������������������������������������������������������������������������n�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������n���������������������������������n�������������������������������������n�������������������������n�����������������������������������������n�����������������������������n�����������������������������o����ooo����o������������������������������������o$o$o$o$o$o$����������������������������������������������������o(o)o*����������������o,o-o.o/o0����o2o3o4o5������������o6o7o8o9o:o;o<o=��������������������o@������������������������o@������������������������oE������������������������oE������������������������oK����oMoN����������������oPoQ����oSoToUoVoW����oYoZ����o\o]o^����o`o�ocodoe��������������������������������oeofog������������oh����������������oj����������������okolomon����opoqorosotou����owox����ozo{o|o}o~oo�o�o�o�o�o�o�o�����o�o�����o�o�o�����o�o�o�o�o�o�o�����o�o�o�o�o�o�o���������������������������������o�o�����������������o�o�o�o�����o�o�o�������������o�o�o�����������������o�o�o�����o�o�o�o�o�����o�o�o�o�����o�o�o�o�o�o�o�����o�o�����o�o�o�o�o�o�o�����o�o�����o���������������������������������o�o�o�o�o�o�o�o�o�o�o�o�o�o�o�o�����������������o�o�o�o�o�o�o�o�o�����o�o�o�o�o�o�o�����o�o�����o�pppppppppp	����ppp
��������������������������������ppppppp����������������ppp����pppppp p!p"����p$p%������������p&p'p(����p*p+p,p-p.p/p0p1p2p3p4p5p6������������p7p8p9����������������p:��������������������������������p>p?pApBpC����������������pE����pG������������pH����pIpJpK������������pLpMpN����pO����������������pQ����pRpSpTpUpVpWpXpYpZp[p\����p^p_p`papbpcpdpe����pgph����pjpkpl����pnpopppqprpspt��������������������������������pvpwpxpypzp{p|����������������p~pp�p�������������p�����p�p�����p�����p�p�p�����p���������������������p�����������������p�p���������p���������p�p�p�����p���������p�����p�p�����������������p�p�p�p�p�p�p�����p�������������p�������������������������������������������������������������������������������������p�����������������������������������������p�����������������������������p�����p�p�������������������������p�������������������������p���������������������p�����p���������������������������������p�����������������������������������������������������p�q������������qq������������������������q	������������������������q������������������������������������q������������������������������������������������q��������������������������������������������������������������������q(����������������������������������������������������������������������������������������������������q(��������������������������������������������������������������������q-����������������������������������������������������q0q1����������������������������������������������������q8����������������������������������������������������q?����q@qA������������������������qA������������������������qF������������������������������������������������q8��������������������������������qXq\����������������qa������������������������qdqk������������������������qm������������������������qq��������������������qs����qt����qu����q�����q�����q�������������������������q�������������������������q�����q�������������������������q�������������������������q���������������������������������������������������������������������q�q�����q�������������������������q�q�q�������������������������q�����q���������������������q�����q�������������������������q�������������������������q�������������������������q�������������q�������������������������������������q�����������������������������q�q�q�����q�����q���������������������������������������������rrrrrr��������������������������������������������������������rrr	r
����������������rr
r����rrrrrrrrrrr����rrrr����r!r"����r$r%r&r'r(r)r*����r-������������r.��������������������������������������������������������������������������������������������������������rG������������������������rH����rIrP������������������������rR������������������������rS��������������������rT����r[r]������������������������������������������������������������r�����������������������������r�����r�r�������������������������r�������������������������r���������������������r�����r�������������������������������������r���������������������������������������������r�����������������������������r�����r�r�������������������������r�������������������������r���������������������r�����r�������������r���������������������r�����������������r���������r�������������������������r�������������������������r�����r�r�������������������������s������������s��������������������s����s
����s������������������������������������������������s����s������������������������s��������������������������������������������s�s�s�s�s�s���������������������������������������������s�s�s�s�s�s�s�s�s�����������������s�s�����s�s�s�����s���������s�s�������������������������s�s���������s���������������������s�s�����s�s�s�s�s�s�����s�������������s���������������������������������������������������������������������������������t������������������������������������t������������������������������������������������t(����������������������������������������������������t+t1������������t2t3������������������������t:������������������������t@������������������������������������tG����������������������������tI������������������������������������������������tO����������������������������������������tO����������������������������������������tO����������������������������tO����������������������������tO����������������������������������������tO����������������������������tO����������������������������tO����������������������������tO��������������������������������������������������������td����te������������������������tj��������������������tk��������tl������������������������ts����������������������������t�t�t�������������������������t���������������������t���������t�������������������������������������t���������������������������������������������������������t�����������������������������������������t�������������������������t���������������������t�������������t�������������������������t���������������������t�����t���������t�������������������������t�����������������������������t�t�t�������������������������t���������������������t���������t�������������������������������������t���������������������������������������������t�������������t�������������������������t���������������������t���������u������������������������u����������������������������uuu������������������������u��������������������u����u��������u$������������������������������������u+��������������������������������������������u>����������������������������������������uE������������������������uF������������������������uK��������������������uN����uN��������uP������������������������uW����������������������������ududud������������������������uk��������������������un����un��������ut������������������������������������u{��������������������������������������������u�������������������������������������u�u�u�u�u�u�����������������������������������������������������u�u�u�����������������u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�����u�u�u�u�����u�u�����u�u�u�u�u�u�u�����u�u�������������u�u�����u�����u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�����u�u�u�u�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������u���������������������������������u�����u�v������������������������v������������������������v����������������v
vv����v����v������������vvvvvvvv����vvvv����v&��������v;������������������������v<����v=vD������������������������vF������������vG��������������������vH����vO����vRvS����vUvVvWvX��������������������������������������������v�����������������������������v�����v�v�������������������������v�������������������������v���������������������v�����v�����������������v���������������������������������������������������������������������v�����������������������������v�����v�v�������������������������v�������������v�����������������v�����v���������v�������������������������v�����v�v�������������������������v�������������v���������������������v�����v�����v�������������������������������������wwwwww����������������������������������������ww	w
����������������ww
wwwwwww����w������������wwwwwwwwww w!����w#w$w%w&w'w(w)w*����w,w-����w/w0w1����w3w4w5w6����w7w8����w:w;w<��������������������������������w<w=w>w?w@wA����������������wCwD������������wEwFwG����wIwJ����wLwMwN������������wOwP����wR����wS��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������w���������������������������������w�����w�w�������������������������w�������������������������w�������������������������������������w���������������������������������������������������������������������������������������������������������w���������������������������������w�����w�w�������������������������w�������������������������w���������������������������������w���������������������������������w�����������������w���������w�������������������������������������������������������������������������������������w�����������������������������w�����w�w�������������������������w�������������w���������������������������������x����������������������������������������������������x����x������������������������x
��������������������������������������������x�x�x�x�x�x���������������������������������������������x�x�x�x�x�����������������x�x�x�����x�x�x�x�x�������������x�x�x�x�����x�x�x�����x���������������������x�����������������x�x���������x���������x�x�x�����x���������x�����x�x�����������������x�x�x�x�x�x�x�������������������������������������������������������������|<������������J����p���,�����:u��ŋ������Uy�����0�K����:����(��)�� ���m��;m����0���s���@L���0����"�'�=����܍���8��	���>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����<�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����>�����:������_�������<$��5�Ĳ1��%9��w�fe&.9�	(֍2(2�l�k@�+�8�1)�����O�i�;���nS�В�=���c���Bn�������<$��.V��1����w�fe&.9�	(֍2(2�l�k@�+�8�1)�����E!M��[��������0��g�;���nS�В�=���s���U7�������<$��$�X�1��X<�w�fe&.9�	(֍2(2�l�k@�+�8�1)���������<$��?�@3�mm���^��0���<�۟w�fe\q�	(֍�l�2`�(�l�k@�+�8�1)�����`�Ե;���nS�В�=���o����������<$�� t��1���ڟw�fe&.9�	(֍2(2�l�k@�+�8�1)���������<$��8ry3�mm���^��0���9��[�����^��0���8ry�w�fe(Q5�	(֍�zb�l�2`�(�l�k@�+�8�1)�����eL6�;���nS�В�=���so������>}:����Ů��(3.17)����E�ҍ��<�Because���our�system�has�the�particular�symmetry�suc���h������<�as�$�Eqs.�(��??��
�n�),�X�(��??���)�$�and�(��??��
�n�),�susceptibilities�of�the�four�����<�c���hannels�UUare�simply�giv�en�b�y��꒍���럎�����������፴�����(�i!����l��ȵ;����q�)�����c,������#�b�2(2�l�k@�+�8�1)�������X������;L�m������< ����X����ʍ�qɴm����0��VҴ��@L���0����x?�K����:����(��)�� ���m��;m����0��VҴ��@L���0�������sn���b�����"��(�i!����l��ȵ;����q�)������b������*���m��;m����0��VҴ��@L���0������5�����c,�=�����#�b2(2�l�k@�+�8�1)�����<$�����������(�i!����l��ȵ;����q�)��33�w�feH-��	(֍1����U���������������(�i!����l��ȵ;����q�)����������Ů�(3.18)�����Ɨ���<�and���̍��������~����͵����������፴�������t�(�i!����l��Ȳ)������������l�2(2�l�k@�+�8�1)����������X���������m������@@����X����ʍ���m����0���s���@L���0����$�صK����:����(��)�� ���m��;m����0���s���@L���0������!{����`�h����qƍ�(4��~���:��&4�����/4��(�i!����l��Ȳ)����`�i����Hqџ�m��;m����0���s���@L���0������5�������=�����l2(2�l�k@�+�8�1)�����<$������~������������y/�(�i!����l��Ȳ)��33�w�fe=�&�	(֍1����U��������:q�~�������������	�(�i!����l��Ȳ)�����@��;������Ů��(3.19)��������<�with���Ѝ�����U�������������=�����k1�����������X���������m������������X����ʍ�q�m����0���s���@L���0����#+0�K����:����(��)�� ���m��;m����0���s���@L���0�����������b�����$���U�����9���b������(��m��;m����0���s���@L���0������2�덍�����=��������썑k1�8��	��k1>����k1>����k1>����k1>����k1<����k1>����k1>����k1>����k1>����k1:���������(N���U�O���8�2�l�2`�(2�U����^��0��4���J��9�)�;����j�В�=���c���0����?&U�O��+�8�2�l�2`J���;����j�В�=���s������1W���U�O��+�8�2�U����^��0��4���J���;����j�В�=���o������C4CU�O���8�J���;����j�В�=���so�������C:������Ů��(3.20)�����/荑�<�Here,��v���������(�i!����l��ȵ;����q�)�|�and���1~�������������ɲ(�i!����l���)�are�irreducible�p�Golarization������<�functions�UUdened�b���y��꓍������w~����
���������t�(�i!����l��Ȳ)��=��������X������d�m�����������X����ʍ�8�m����0���s���@L���0����$G��K����:����(��)�� ���m��;m����0���s���@L���0�����������`�h������q��%�ֲ~��#���$������+���(�i!����l���)������`�i��������m��;m����0���s���@L���0���$��;����Ů��(3.21)����,c]�����m�����������(�i!����l��ȵ;����q�)��=���������X������d�m������������X����ʍ�㉴m����0��VҴ��@L���0�������K����:����(��)�� ���m��;m����0��VҴ��@L���0�������sn���`�h����!,R������1Ʋ(�i!����l���;����q�)��������`�i��������m��;m����0��VҴ��@L���0���!,R�;�����Ů��(3.22)����\X���<�and���Ǎ��
�(���������(�i!����l��ȵ;����q�)��=���N�~������������-?�(�i!����l���)�8�+����������(�i!����l���;����q�)�:����Ů��(3.23)�������<�Note��|that����~�������^�����፴������#�(�i!����l��Ȳ)�is�nothing�but�the�susceptibilit���y�of�the������<�mapp�Ged�UUAnderson�mo�del.�����<�It�UUfollo���ws�from�Eqs.�(��??��
�n�)�and�(��??���)�that��<����������������፴�����(�i!����l��ȵ;����q�)��=�����<$����%�O~���$X3����^�����፴�����0Lڲ(�i!����l���)���K�w�fea4˟	���1�8��������l�1��l��&�fe�s����4��������I�������(�i!����l���;����q�)���/~������r����\n����������(�i!����l���)�����fbI�;����Ů��(3.24)����6����<�with��������صI��������(�i!����l��ȵ;����q�)��=�����<$��-�2���K�w�feg�	(֍2�l�k@�+�8�1����� �x������<$��6����������(�i!����l���;����q�)��l�w�feJX��	(֍�����~�����������f'�(�i!����l���)��������(�i!����l���;����q�)�����N�ȵ:����Ů��(3.25)����Ɨ���<�In�UUthis�pap�Ger,�the�strong�coupling�regime�is�dened�b���y���Ǎ��=OS�U����s��
R����k����B����T����K�����Ů��(3.26)���������&:u���<�instead�U�of�Eq.�(��??��
�n�).�s�When�either�of�the�
at-band�and������<�band-edge�ټconditions�is�satised,�:�Eq.�(��??��
�n�)�is�satised.�����<�Eq.�s�(��??��
�n�)�leads�to�a�set�of��U�����������~��������^�����፴��������(0)�����1�s�and��U�����������^�����፴����(0�;����q�)��������<۲1�UUexcept�for���В�=���c�.�q�Then,�as�long�as��j�!����l��ȸj����p�����<����J���������
UN�k����B����T����K�����,�������x�U��������:q�~�������������	�(�i!����l��Ȳ)��=�1�8�+��O����G���b������t�1�=U�����������~���������������፴��������(0)������b��������ͮ��(3.27)�������<�and�UU�U���������������(�i!����l��ȵ;����q�)��=�1�8�+��O����G���b������t�1�=U�����������^�����፴����(0�;��q�)������b�����ꬲso�UUthat�������K��I��������(�i!����l��ȵ;����q�)��=�����<$��-�2���K�w�feg�	(֍2�l�k@�+�8�1��������U��������2���፴������������(�i!����l���;����q�)�:����ͮ��(3.28)����1^���<�The�]9susceptibilit���y�giv�en�b�y�Eq.�(��??��
�n�)�is�consisten�t�with�a�����<�ph���ysical��;picture�for�Kondo�lattices,���where�lo�Gcal�
uctua-�����<�tions���at�dieren���t�sites�in�teract�with�eac�h�other�b�y�in�ter-�����<�site��exc���hange�in�teractions.�O.Then,�Lw�e�call��I��������(�i!����l��ȵ;����q�)�giv�en�����<�b���y�W�Eq.�(��??��
�n�)�or�(��??���)�an�in���tersite�exc�hange�in�teraction�for�����<�the�rspin,�Q�orbital,�or�com���bined�c�hannel.��A�>p�Gerturbativ�e�����<�treatmen���t��Oof��I��������(�i!����l��ȵ;����q�)�is�nothing�but�the�1�=d��expansion;�����<۵I��������(�i!����l��ȵ;����q�)�is�of�higher�order�in�1�=d��for�almost�all��q�'s,��and�����<�it��is�leading�order�in�1�=d��for�particular��q�'s�suc���h�as��q���=�0,�����<�nesting�UUw���a�v�e�v�ectors,�and�so�on.��0h\�����b\����#��d������*(;� illustration fig1.eps scaled 330�����������c\�0 �����[���|׻FIG.��g1.���Examples�+nof�t��9w�o-line�+ndiagrams�for�������;�cmmi6���S��(�i!���l����;����q�).��yDi-�����<�agram��|(�a�),���whic��9h�is�in�the�site�represen�tation,���giv�es�the�su-�����<�p�A�erexc��9hange��cin�teraction�b�A�et�w�een�the��i�th�and��j���th�sites.�o�Dia-�����<�gram���(�b�),���whic��9h�is�in�the�w�a�v�e-n�um�b�A�er�represen�tation,���giv�es�����<�the�1�no��9v�el�exc�hange�in�teraction,�9#whic�h�arises�from�the�virtual�����<�exc��9hange�]of�pair�excitations�of�quasi-particles�with�w�a�v�e�n�um-�����<�b�A�ers�Ƞ�k�tϻ+��q��and��k�.��Tw��9o-line�diagrams�higher�order�in�in�tersite�����<�eects�"�suc��9h�as�(�c�)�can�b�A�e�still�of�leading�order�in�1�=d�,�e�but�����<�they��are�ignored�in�this�pap�A�er.�5A�Dsolid�line�stands�for�the�����<�single-particle���Green�function,���������~��Ff���j�G�����m�����P�(�i"�����n��7�)�giv��9en�b�y�Eq.�(��??��
�)�in�����<�(�a�)�>or�the�in��9tersite�part�of������		cmsy9�G���������(�i"�����n��7�;����k�)h�+��q�)�>or��G��������(�i"�����n��7�;����k�)�giv��9en�����<�b��9y���Eqs.�(��??��
�)�and�(��??���)�in�(�b�).���A���cross�in�(�a�)�stands�for��t��fh�mi;m���G�0���s�j������<ۻgiv��9en���b�y�Eq.�(��??��
�),���a�shaded�triangle�for�the�single-site�irre-�����<�ducible�sWthree-p�A�oin��9t�v�ertex�function�giv�en�b�y�Eq.�(��??��
�)�in�(�a�)�or�����<�Eq.�A(��??��
�)�in�(�b�),�k|and�a�shaded�rectangle�in�(�c�)�for�the�single-site�����<�irreducible�Tfour-p�A�oin��9t�v�ertex�function.�������<ܲIn���general,��an�exc���hange�in�teraction�arises�from�the�vir-�����<�tual��Lexc���hange�of�b�Gosons�or�b�osonic�excitations.�@�The�ex-�����<�c���hange�B\in�teraction�giv�en�b�y�Eq.�(��??��
�n�)�is�divided�in�to�four�����<�terms�UUin�suc���h�a�w�a�y�that����������5���@C+"��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������x���������������������������������������������x�����x�����x�����������������������������x�y������������yy������������������������y������������������������y������������������������������������y��������������������������������y������������������������������������������������y#����������������������������������������y#����������������������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������y#����������������������������������������������������������������������������������������yX��������������������������������������������������������������������������������������������yXyXyX����yX��������������������yX����������������yXyX������������������������������������y\������������������������ye��������������������yf��������������������yg������������������������������������������������������������������������������������y���������������������������������������������������������������������������������������������y�y�y�����y���������������������y�����������������y�y�������������������������������������y�������������y�����������������������������y�������������������������y�������������������������y���������������������y���������������������y�������������������������������������������������������������������������������������y���������������������������������������������������������������������������������������������y�y�y�����y���������������������y�����������������y�y�����������������������������������������������������������������z����zz������������������������z����������������������������������������������������������������������������������������������������z����������������z����z��������������������z����������������zz������������������������������������z
������������������������z��������������������z��������������������z������������������������������������������������������������������������zG��������������������������������������������������������������������������������������������zGzGzG����zG��������������������zG����������������zGzG����������������������������������������������������������������zu����zuzu������������������������zu������������������������zu������������zu����������������������������zu��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������zu����������������zu����zu��������������������zu����������������zuzu������������������������������������zx������������������������z���������������������z���������������������z�z�������������������������������������z�������������������������������������z�z�z�z�z�z�������������������������������������������������z�z�z�z�z�z�z�����������������z�z�z�����z�z�z�z�z�z�����z�z�z�����z�z�z�����z�z�z�z�z�z�z�z�z�z�����z�z�z�z�z�z�z�z�����z�z�z�������������z�����������������������������������������z�z�����������������z�z�z�z�����z���������z�z�������������������������z�z�����������������z���������{{������������{����������������{{{	����{��������{{������������������������{{����{�{�{�{�{�{�{�{�{�{�{�{�{�{�{�|����||����|||����|	|
||����������������������������|������������|||||||����������������|||����|||||| ����|"|#|$����|%|&����|(����|)����������������������������������������������������|Q����������������������������|Z����������������������������|X����������������������������|\����|]|d������������������������|f������������������������|g��������������������|h����|o������������������������������������|w������������������������������������|z|{||����|}��������������������|~����������������||���������������������������������|�������������������������������������������������|�|���������������������������������������������������������|�������������������������������������������������|�������������������������|�������������������������|�������������������������������������|���������������������������������|���������������������������������������������|�����|�����|�����������������������������|�|�������������|�|�������������������������|�������������������������|�������������������������������������|�������������������������������������������������������������|���������������������������������|�|�����|�|�������������������������|�������������������������|���������������������|�����}��������������������������������}	����������������������������������������������������}}������������}}������������������������}������������������������}#������������������������������������}*��������������������������������������������������������������������}?��������������������������������}B}C}D����}E��������������������}F����������������}G}H����������������������������������������������������}�������������������������}�������������������������}�����}�}�������������������������}�������������������������}���������������������}�����}���������������������������������������������������������������������������������������������}���������}���������}�������������������������}�������������������������}�������������������������}�������������}�����}�}�������������������������}�������������������������}���������������������}�����}���������������������������������������������������������}�}�}�}�}�}�����������������������������������������������������}�}�}�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������}�����������������������������}�������������������������������������}�����}�}�������������������������}�������������������������}�������������������������������������}�������������������������������������}�~~����~��������������������~����������������~~������������������������������������������������~	������������������������������������������������~~��������������������������������������������������������~������������������������������������������������~������������������������~"������������������������~(������������������������������������~/��������������������������������~2��������������������������������������������~5����~;����~<����������������������������~@~F������������~G~H������������������������~O������������������������~U������������������������������������~\��������������������������������������������������������~c������������������������������������������������������������������������������������������������~�����������������������������~�����~�~�������������������������~�������������������������~�������������������������~�������������������������������������������������~�~�������������~�~�������������������������~�������������������������~�������������������������������������~���������������������������������������������������������������������~���������������������������������~�~�~�����~���������������������~�����������������~�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"��������������������������������"����""������������������������"������������������������"��������������������������������������������������������������������������������������������"��������"��������"������������������������"��������������������������������������������������������������������������������������������"��������������������������������"����""������������������������"������������������������"������������������������������������#��������������������������������������������222222����������������������������������������6789����������������������������������������������������O������������������������O����������������������������������������[������������������������������������^������������������������������������������������c������������������������������������������������fl��������������������������������������������������������s������������������������������������������������v������������������������}�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�����������������������������������������#�����������������������������������������#�����������������������������#�����������������������������#�����������������������������#�����������������������������������������#�����������������������������#�����������������������������#�����������������������������#�����������������������������#���������������������������������������������������������8�����9���������������������:���������������������;�����<���������������������K�L�����M�����������������������������������������T�������������������������U���������V���������������������W�����X�����������������������������a���������������������b���������������������c�������������������������������������������������v���������������������x�����������������z�����{�������������}�������������~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������	�����������������������������������������������������������������������������������������������������������%�����������������(�)�*�������������������������������������������������������������������������������������������������������������A�����B�H�������������������������J�������������K�����N�O�P�����R�S�T�U�V�W�X�Y�Z�[�\�����^�������������_�`�a�b�c�d�e�f�g�h�i�����������������������������������������l�m�n�o�p�q�r�s�t�����������������v�w�y�z�{�|�����~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������4�����������������������������6�����7�>�������������������������@�������������A���������������������������������H�����������������������������������������������������K�Q�������������R�S�������������������������Z�������������������������`�������������������������������������g�����������������������������i�������������������������������������x�x�x�x�x�x������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����!�����������������������������%�+�������������,�-�������������������������4�������������������������<�������������������������������������C�������������������������������������������������������������X���������������������������������l���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �&�������������������������(�������������������������)���������������������*�����1�����������������3�������������������������������������������������������������������������������������������������������������I�����J�P�������������������������R�������������S�����������������U�����\�����_�������������������������_�������������������������i�����j�p�������������������������r�������������s���������������������t�����{�����}������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���������������
�������������������������������(�(�������������������������)�����+�,�-�����/���������=�=�������������>�����A�B�C�D�������������������������������������������������m�����������������������������x�����������������������������m�����������������������������z�����{���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�"�"�"�"�"�������������������������������������������������&�'�(�)�������������������������������������������������M�������������������������M�������������������������W�����X�_�������������������������a�������������������������b���������������������c�����j�����������������l�������������������������������������������������|���������������������������������������������������������������������������������������������|�����|���������������������|�����������������|���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������
���������������������������������������� �!�"�����$�%�&�'�(�)�*�+�����-�.�/�0�1�2�����4�5�����7�8�:�;�<�=�����?�������������@�������������������������������������������������f�������������������������f�������������������������n���������������������p�������������������������p�������������������������u�������������������������u������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������
���������������������������������������������������������������������+�+�������������������������,�����.�/�0�1�2�����4�5�����7�����9�:�;�����=�>���������A�������������������������A�������������������������������������������������������������������������������������������������b���������������������������������������������������������������������d�e�f���������������������j���������l�����������������o�p�q���������t�������������������������t�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(���������������������������������*�����+�1�������������������������3�������������������������4�����������������6�����8�����������������:���������<���������������������������������������������C���������������������������������D�����E�F�������������������������M�������������������������������������������������������������������������������������������������c�����������������������������a�������������������������������������e�f�g���������������������������������n�������������������������������������������������}�}�}�}�}�}������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�$�����������������&�'�(�)�����������������������������������������������������N�������������������������N�������������������������X�����Y�`�������������������������b�������������������������c���������������������d�����k�����������������m�������������������������������������������������|���������������������������������������������������������������������������������������������|�����|���������������������|�����������������|�������������������������������������}���������������������������������������������}�����������������������������}���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
�������������������������������������������������������������������������������������� �!�����#�$�%�&�'�����)�*�+�,�-�.�/�0�1�����������������3�4�5�6�7�����9�:�������������;�<�=�����t�A�B�C�D�E�F���������������������������������F�G�H�I�J�����������������L�M�����O�P�t�S�T�U�V�������������W�����Y�Z�[�\�]�����_�`�����a�b�c�d�e�f�����h�i�j�k�����m�n�o�����p�����r�s�t�u�v�����y�����z�����|�}�����~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������
����������������������������� �!���������������������������������$�%�&�����������������(�)�*�+�,�����������������.�/�0�1�2�3�4�5�����7�8�����:�;�<�������������=�>�?�@�A�����C�����D�E�F�G�H�I�J�����������������L�����������������N�������������O�P�Q�R�S�T�U�V�W�X�����Y���������������������������������[�\�]�^�_�`�a�b�������������c�����������������e�f���������i�������������������������i�������������������������s�����t�{�������������������������}�������������������������~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������������������������������!�����"�#���������&�'�(�����*�+�,�-�.�/�0�1�2�3���������:�����<�=�����?�@�A�������������B�����D�E���������H���������������������O�����P�R���������������������������������T�U�V�W�X�Y�Z�����������������\�������������]�����^�����_�����a�����b�c�d�e�f�g�h�����j�k�l�����n�o�����q�r�s�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���
��������������������������������������������������� �!�����"�#�$�%�&�'�(�)�*�����,�-�.�/�0�1�����3�4�5�6�����8�9�:�����<�=�>�?���������������������������������?�@�A�B�����������������D�E�F�������������G�H�I�J�K�����M�N�����P�������������Q�R�S�T�U�����W�X�����Z�����[�\�]�^�_�`�����b�c�d�e�f�g�h�i�j�k�l�m�����������������o�p�q�����s�t�u���������������������������������u�������������v�w�x�y�z�����������������|�}�����~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������+"�p��6��,�����:u��ŋ������&:u������F�I��������(�i!����l��ȵ;����q�)������u=�����(G��I���������(�s�)���፴���O�(�i!����l��ȵ;����q�)�8�+��I���������(�Q�)���፴���
��(�i!����l���;����q�)���������2G�+�I���������(�sQ�)���፴����Y�(�i!����l��ȵ;����q�)�8���4��������(�i!����l���;����q�)�:������Ů��(3.29)������;���<�Only��8con���tributions�from�the�so�called�t�w�o-line�diagrams������<�can���b�Ge�of�leading�order�in�1�=d�.���Three�examples�of�t���w�o-�����<�line�`�diagrams�are�sho���wn�in�Fig.���??��=d�.�
��The�rst�term,��
c����<۵I����:����(�s�)��]"�����O�(�i!����l��ȵ;����q�),�zcorresp�Gonds�r�to�Fig.���??��O�(�a�),�and�is�due�to�the�����<�virtual�~5exc���hange�of�pair�excitations�of�electrons�or�holes�����<�across�O/the�Mott-Hubbard�gap,�Pjwhose�excitation�energies�����<�are�.�as�large�as��U�Eϲor��U����^��0�����략J�$��and�m���uc�h�.�larger�than��k����B����T����K�����.�����<�This��His�a�generalized�sup�Gerexc���hange�in�teraction.�7�The�sec-�����<�ond���term,���I����:����(�Q�)��]"�����
��(�i!����l��ȵ;����q�),�corresp�Gonds�to�Fig.���??��e�(�b�),�and�is�����<�due��Uto�the�virtual�exc���hange�of�pair�excitations�of�quasi-�����<�particles,���whose�s�excitation�energies�are��O�G�(�k����B����T����K�����).�&�This�is�����<�the��mno���v�el�exc�hange�in�teraction�discussed�in�In�tro�Gduction.�����<�The���third�term,��_�I����:����(�sQ�)��]"������Y�(�i!����l��ȵ;����q�),�is���the�con���tribution�from�����<�t���w�o-line��diagrams�higher�order�in�in���tersite�eects�suc�h�as�����<�Fig.��`��??��=;�(�c�).��0The�`�last�term,�c���4��������(�i!����l��ȵ;����q�),�includes�`�all�the�����<�other���con���tributions,���whic�h�are�denitely�higher�order�in�����<�1�=d�.��gIts�+5lo���w�est-order�F��*�eynman�diagrams�corresp�Gond�to�����<�those���of�the�mo�Gde-mo�de���coupling�terms�considered�in�the�����<�so��%called�selfconsisten���t�renormalization�(SCR)��theory�of�����<�spin�UU
uctuations.����^��?���W��^��;��?�������<ܲThe���sup�Gerexc���hange�in�teraction,�߆�I����:����(�s�)��]"�����O�(�i!����l��ȵ;����q�),�is���consid-�����<�ered�Ąin�Sec.���??����,�`Oand�the�no���v�el�Ąexc�hange�in�teraction,�����<۵I����:����(�Q�)��]"�����
��(�i!����l��ȵ;����q�),�\is��^considered�in�Sec.���??��
�̲.�PuOn�the�other�hand,��
�ƍ��<���������(�i!����l��ȵ;����q�)��xas�w���ell�as��I����:����(�sQ�)��]"������Y�(�i!����l���;����q�)�are�ignored�in�this�����<�pap�Ger.��(Because����������(�i!����l��ȵ;����q�)�is�of�higher�order�in�1�=d��for�����<�an���y�UU�q�,�it�can�b�Ge�ignored�at�least�for�large�enough��d�.��!QY���q�B.���Sup�K�erexc��Change�in�teraction��H'���<ܲThere���is�no�restriction�for�carrier�densities�so�far.�R�In�����<�the�qfollo���wing�part�of�this�pap�Ger,�58our�study�is�restricted�����<�to�UUlo���w�densities�of�carriers���^��?����;���@ȸh�n����m��{1�i����1�;���n��=��������X������d�m���8�h�n����m���i��<��1�;����Ů��(3.30)��������<�so���that�m���ultiply�o�Gccupied�congurations�at�a�single�site�����<�can�$�b�Ge�ignored�in�the�ground�state�and�lo���w�lying�excited�����<�states.�	�iThe��single-particle�Green�function�is�appro���xi-�����<�mately�UUgiv���en�b�y�������b�������x䍑	a˲~�������G���������r�(�i"����n��q~�)������b������*���mm����0���Wm�=�������mm����0�����x䍑�f�~�����e��G����m����%���(�i"����n���),�UUwith���������x䍑�ܒ~������յG����m�����Ҳ(�i"����n��q~�)�����@=���������<$��A�h�n����m��{1�i�8�+��n����e���#ͩ�w�fek8>�	(֍�i"����n���^�+�8���������a��P�+��i��sgn���(�"����n��q~�)���������卍��"�v+�����<$��0�θh�n����m�����2�i��33�w�fe\ �	(֍�i"����n���^�+�8���������a��P���U�O��+��i��sgn���(�"����n��q~�)���������������"�v+����K�����X�����m����0���s�6�=�m������	9���\�"���������Ӎ�=tb�h�n����m����0���s���/��i�8�+�������l�1��l��&�fe�s����2��������h�n����m����0���s����o��i��g�_�fe����	(֍�i"����n���^�+�8���������a��P���U����r�0��4�+��J�/�+��i��sgn���(�"����n��q~�)��������#㙍���6�,+������Ӎ�������8ʱ1��8ʟ�&�fe�s����2�����=;p�h�n����m����0���s����o��i��33�_�fe����	(֍�i"����n���^�+�8���������a��P���U����r�0��4���J�/�+��i��sgn���(�"����n��q~�)���������Kd���\�#�����������"�v�+������������������UF�:������Ů��(3.31)�����kA���<�Here,�UU��[ٲ���'��1�=����0��|s�(0)�and��k?���*���n����e��c�'���1�8����������X����ʍ��m����0���s���@L���0�������h�n����m����0���s���@L���0�����i����Ů��(3.32)����N̍��<�is�	�the�densit���y�of�empt�y�sites.���This�is�a�straigh�tforw�ard�����<�extension�UUof�Eq.�(��??��
�n�)�or�Hubbard's�theory��*�.���^��?��������&:u���<ܲAccording�qto�the�W��*�ard�iden���tit�y�,���^��?���W�the�qreducible�single-������<�site�UUthree-p�Goin���t�v�ertex�function�is�giv�en�b�y���񍍍������`�h����qƍ�O�~���:���������2�(�i"����n��q~�;���i"����n���;�0)������`�i����LT/��m��;m����0���s���@L���0�������m���=���������<$��yXg�@���x䍑���~������8�G���^����1��፴m������5�(�i"����n��q~�)��yXg�w�fe/���	(֍���@��8��E����m����0���s���@L���0��������B�:������ͮ��(3.33)����������<�When���only�the�dep�Gendence�of��h�n����m��{1�i��on��E����m����0���s���@L���0�����is�con-������<�sidered���in�Eq.�(��??��
�n�),��3the�irreducible�single-site�three-p�Goin���t�����<�v���ertex�UUfunction�is�calculated�in�suc�h�a�w�a�y�that��<E������\q����~��������B���������#{�(�i"����n��q~�;���i"����n���;�0)�����3��=��������>=����X������?y.�m������O�z����X����ʍ�NZS�m����0���s���@L���0����ai�K����:����(��)�� ���m��;m����0���s���@L���0�������qύ���>=���������`�h����qƍ�꧲~���:��c�����q²(�i"����n��q~�;���i"����n���;�0)[1�8��U���q���~��#����9����/��(0)]����`�i����u���m��;m����0���s���@L���0������_Q����3���=�����>=������<$����
zI�~���	���������X�(0)��33�w�fe)�S�
h����x䍑C�~�����G���r��2��\n��m�����W��(�i"����n��q~�)����������2��4������-�a����X�������-�s�r�7�=1�������<$��aA�����;�r���?
�w�feY'v�	(֍�i"����n���^��8�z����r�����+��i��sgn���(�"����n��q~�)������g��;����-������ͮ��(3.34)�����Jz���<�with��(��������T��P��0������P�B����P�B����P�B��fi��P�@�����H%���&��z����1����Xn���&��z����2�������&��z����3�������&��z����4��������T��23��1������23�C����23�C����23�C��fi��23�A����=�Ѳ=�����T����0�������B�����B�����B��fi���@�����H%���#]y�����a��P��8����Xn���K�����a��P�+�8�U�O���������������a��P�+�8�U����^��0��4���J�/��������������a��P�+�8�U����^��0��4�+��J�/����������T��VXʫ1������VX�C����VX�C����VX�C��fi��VX�A�������ͮ��(3.35)����*�卒�<�and��(�!�������T����A�0��������AB������AB������AB��fi����A@�����H%����B�A����s�;1����#��A����o�;1����;���A����so�:1����Xn����B�A����s�;2����#��A����o�;2����;���A����so�:2��������B�A����s�;3����#��A����o�;3����;���A����so�:3��������B�A����s�;4����#��A����o�;4����;���A����so�:4��������T��S�1������SC����SC����SC��fi��SA����^�*�=�����T����0�������B�����B�����B��fi���@������#������1���,"�1���C�'1���Xn����q��1���,"�1���;�	��1����p���uV�l���"���������33�3��33��&�fe�s����2�������:x1��������33�1��33��&�fe�s����2�����������8��l���"���������33�1��33��&�fe�s����2�������������Cr�1��Cr���&�fe�s����2�����������T��K�(�1������K�(C����K�(C����K�(C��fi��K�(A����Vѵ;����ͮ��(3.36)����+u ���<�for�5�spin�(��В�=���s�),�<orbital�(���=���o�),�<and�com���bined�(���=���so�)�����<�c���hannels.�����<�Consider�4�an�exc���hange�in�teraction�b�Get�w�een�the��i�th�and�����<۵j����th�UUsites,�whic���h�is�dened�b�y���䍍��W�I����:����(�s�)���Z���;�ij����i�(�i!����l��Ȳ)��=�����<$��
J1���K�w�fe	��	(֍�N���������$����X�������M�q��� ��I���������(�s�)���፴���O�(�i!����l���;����q�)�e�������i�q��(�R���i��*���R���j���a�)��1�z�;����ͮ��(3.37)���������<�with�(��R����i��|��b�Geing�the�p�osition�of�the��i�th�unit�cell.���T��*�rans-�����<�fer���in���tegrals�b�Get�w�een�the��i�th�and��j����th�sites�ha�v�e�also�the�����<�follo���wing�UUsymmetry:���^��?��������w�t����mi;m����0���s�j������9w��=�����Dظ�����<$��C2�1��33�w�fe	��	(֍�N��������
1����X�����5�k���M}�E����mm����0���e��(�k�)�e������i�k��(�R���i��*���R���j���a�)�����"�(����9w���������D؟��\�(����򟍍�O�t����ij��
��;���b��m���=��m���^��0����0����O�t���^���0��;Z��ij���
��;���b��m���6�=��m���^��0�������j�:������ͮ��(3.38)�����ʄ���<�When�AWthe�t���w�o-line�AWdiagram�sho���wn�in�Fig.���??��Ų(�a�)�is�tak�en�����<�in���to��accoun�t�and�Eq.�(��??��
�n�)�is�made�use�of,�0�the�sup�Gerex-�����<�c���hange�UUin�teraction�is�calculated�in�suc�h�a�w�a�y�that�����z��I����:����(�s�)���Z���;�ij����i�(0)��=�����<$��-�2���K�w�feg�	(֍2�l�k@�+�8�1����� �x������<$��ᕲ2��l�w�fe��	(֍�U�����ߟT����:��c��(��)���Z��ij���
Vs�Y�����;�ij���;����ͮ��(3.39)����m����<�with��Jz�����I�T����:��c��(��)���Z��ij��������Բ=��������)E����X����ʍ�%W
�mm����0���s����<��K����:����(��)�� ���m��;m����0���s������j�t����mi;m����0���s�j��P��j������2�����"qӍ����Բ=�������%W
���\�(�����Ս��0eE�j�t����ij��
��j���^��2���S�+�8�2�l�2`�j�t���^���0��;Z��ij����j���^��2��|s�;���v���В�=���s����e���0eE�j�t����ij��
��j���^��2���S��8�j�t���^���0��;Z��ij����j���^��2��|s�;���v���В�=���o��UU�and����so����������ͮ��(3.40)�������������6���cHz�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �&�������������������������(�������������������������)���������������������*�����1�����������������4���������5���������������������������������������������?�����@�����A�����������������������������<�����������������������������C�����D�J�������������������������L�������������M���������������������N�����U���������������������������������������������������������n�u�����w�����������������������������������������������������������������������������������������~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������������������������������������������
������������������������������������������������������� �!�"�����$�%�����(�����)�*�����,�����������������.�/�0�1�2�����4�5�6�7�8�9�:�;�����=�>�����@�������������A�����B�C�����������������������������D�E�F�G�����������������I�J�K�L�M�N�O�P�����R�S�T�����V�W�X�������������Y�Z�����\�]�����_�`�a�b�������������t�t�������������������������u�����������������x�y�z�����}�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
���������������������������� �����"�#�$�%�&�����������������������������(�)�*�+�,�-�����������������/�0�1�����3�4�5�6�7�8�9�:�;�<�=�>�����@�A�B�C�����������������E�F�G�H�I�����K�L�M�N�O�P�Q�R�S�T�����V�W�X�Y�Z�[�\�]�����������������������������_�`�a�����������������c�d�����f�g�h�i�j�����l�m���������p���������������������s�t���������w�����������������������������������������~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����"�#�$�%�������������7�7�������������������������9�����:�����;�=�����?�@�A�����C�D�����������������������������F�G�H�����������������J�K�����M�N�O�����Q�R�S�T�U�V�W�����Y�Z�[�������������\�]�^�_�`�����b�c�����e�f�g�h�����j�k�l�m�n�o�p�q�r�s�t�����v�w�����y�z�{�|�}�~�����������������������������~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����#�)�������������������������+�������������������������,���������������������-�����4�6�����8�9�����������������;�<�=�����?�@�A�������������B�C�D�E�F�G�H�I�J�����L�M�N�O�����������������������������Q�������������R�����S�T�U�V�W�X�����������������Z�[�\�]�^�_�`�a�����c�d�e�f�g�h�����j�k�l�m�n�����p�q�����s�t�������������u�v�w�x�y�z�{�����}�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
����������
������������������������� �!�����#�$�%�&�'�����)�*�����������������������������-�����.�/�����1�����������������3�4�5�����������������7�8�������������9�����:�;�<�=�>�?�@�A�B�����D�����������������E�F�G�H�I�J�����L�M�N�O�P�Q�R�S�����U�V�W�X�Y�Z�[�������������\�]�^�����`�a�����������������������������c�d�e�f�g�����������������i�j�����l�m�n�����p�q�������������r�s�t�u�v�����w�x�����������������z�{�|�}�~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
��������������������������������������������������������������������������������������)�����*�����+����������������������������������������������������������-�����.�4�������������������������6�������������������������7���������������������8�����?�A�����C�D�����������������F�G�H�I�J�K�L�����������������������������L�M�N�O�����������������Q�R�����U�V�W�X�������������i�i�������������������������j�����������������l�m�n�����p�q�r�����t�u�������������v�����w�x�����������������z�{�|�����}�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������� �!�����)�����+���������������������������������������������5�����6�7�����8�����������������������������2�����������������������������:�����;�A�������������������������C�������������D���������������������E�����L�����O�P�Q�����S�T�U�V�W�X�Y�����[�\�����^�_�`�a�����������������������������c�d�e�������������f�g�h�����������������j�k�l�m�n�o�p�����������������y������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� � ����������������� � � ������������� � � � � ������������� � � � � ����� � ����� � � � � � � � � ���������������������������������������������6�7�8�9�:�����������������<�=�����?�@�����B�C�D�E�F�G�H�I�J�K�L�����N�O�P�����R�S�T�U�V�W�X�����Z�[�\�]�^�_�`�a�b�����d�e�����g�h�i�j�����������������l�m�����������������������������o�p�q�����������������s�t�u�v�w�������������x�y�z�{�����}�~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������� �����������������(���������*�������������������������������������/�������������������������������������������������2�8�����������������������������A�����C�������������������������F�L�������������U���������W���������Y�����Z�������������������������������������i�i�i�i�i�i�������������������������������������������������m�n�����������������p�q�r�s�����u�������������v�w�x�y�z�{�|�����~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	������������������������������������������������������������������������������������������������� �����"�����#�������������������������������������+�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������@���������������������������������A�����B�M�������������������������O�������������������������P���������������������������������W�����������������������������������������������������Z�[�������������������������b�����������������������������d���������������������j�������������������������m�n�������������������������u���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������c�����c�������������������������c�c�������������������������c���������������������c���������c�������������������������c�����������������������������������������������������������������������������������������������������c�c�������������������������c�������������������������c���������������������c���������c���������c�������������������������c�������������������������c���������c�����c�����c�c�c���������������������c�����c�������������������������c�������������������������c�������������������������������������������������������������������������x��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������
�������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������$���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������
����������������������������������������������������������)�������������������������+�������������������������2���������������������4���������������������6�������������������������������������������������;�������������������������������������>�������������������������E�������������������������K�������������������������������������R���������������������������������[�����]�������������������������`�������������������������g�������������������������m�������������������������������������t�����������������������������|������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����"�����������������#�$�%�����'�(�)�*�������������+�,�-�����.�����/�������������������������:�������������������������<�=�>�����������������@�A�B�C�D�E�F�G�H�����J�K�L�M�N�O�P���������������������������������������������Q�R�S�T�����������������V�W�X�Y�Z�[�\�������������]�^�_�������������`�����b�����c�d�e�f�g�����i�j�k�l�m�n�o�p�����s�t�����v�w�x�����y�z�����|�����}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�������������������������'�������������������������������������.�������������������������������������������������@�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �!�"�����$���������/�/�������������������������0�1�����������������3�4�5�����7�8�9�:�;�<�=�>�?�@�A�����C�D�E�F�G�H�I�J�K�L�M�����O�P�Q�R�S�T�U�������������V�W�X�������������Y���������������������������������[�������������\�]�^�_�`�����������������b�c�d�e�f�g�h�i�����k�l�����n�o�p�q�r�s�t�u�v�w�����y�z�����|�}�~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�����'�����(�����������������������������,�2�������������3�4�������������������������;�������������������������A�������������������������������������H�����������������������������������������������������������������������������b���������������������������������������������h�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������h�h�h�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������h�h�������������������������������������h�����h�h�������������������������h�������������������������h�������������������������������������������������������������m�����������������������������������������������������������������m�������������������������������������������������p�����������������q�r����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������5�������������������������5�������������������������������������������������L�������������������������L�������������������������������������������������d�������������������������d�����������������������������������������������������������������z���������������������������������������������z���������������������������������������������z���������������������������������z���������������������������������������������z�������������������������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$�������������������������%���������&���������������������'���������*���������������������������������������������������������=�����������������������������������������=�����������������������������������������=�����������������������������=�����������������������������������������=�������������������������������������������������M�M�M�M�M�M�����������������������������������������������������Q�R�S���������������������������������������������������������������������������������l���������������������������������������������l���������������������������������������������l���������������������������������l���������������������������������������������l���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������%�������������������������(�����)�*�������������������������������������/�������������������������2�3�����4�5�����������������������������������������������������������������J���������������������������������������������J���������������������������������������������J���������������������������������J���������������������������������������������J�������������������������������������N�������������������������������������������������T�����������������������������������������T�����������������������������������������T�����������������������������T�����������������������������������������T���������������������������������������������������������n�������������������������r�������������������������v���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(�(�(�(�(�(�����������������������������������������������������-�.�/�����������������1�2�3�4�����7�����=���������������������>���������������������?�����@�B�����������������D�E�F�G�H�I�J�����M�����S���������T���������������������U�����V�X�����������������Z�[�\�����^�_�`�������������a�b�c�d�e�����h�����n���������o���������������������p�q�����r���������������������������������u�������������v�w�x�y�z�{�|�}����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(���������������������������������������������4�����5�����6�����������������������������(�����������������������������8�����9�?�������������������������A�������������B���������������������C�����J�����L�������������������������O�����P�����Q�����\�����]�����^�������������������������^�������������������������i�����j�������������������������j�������������������������u�������������������������x�����������������������������������������������������������������������������������������������������5�6�7�8���������������������;�������������������������;�������������������������H�������������I�J�K�L�����N�O�P�����R�����S�T�U�V�W�X�Y�����[�\�����^�_�`���������c�����e�f�����h�i�j�k�����m�n�o�p�q�����������������u�����������������v�w�x�y�z���������������������������������z�{�|�����������������~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�������������������������������������������������!�����������������������������+�������������������������.�/�������������������������6�����������������������������8�����9�����@�����C�������������������������F�����H�����T�����V�����W�������������������������W�������������������������b�����c�������������������������c�������������������������n���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
�
�
�
�
���������������������������������������������������������������������������������������������������������� �!�����������������#�$�%�&�'�(�)�����+�,�-�������������.�/�����1�2�����4�5�6�7�������������I�I�������������������������K�����L�����M�����P�Q�����S�T�U�����V�W���������������������������������Y�Z�������������[�\�����������������^�_�`�a�b�c�����d�����f�g�h�����j�k�l�����n���������~�~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������+�������������������������������������������������������������������������������������������������+���������������������������������/���������������������������������������������7�����=�����>�����������������������������2�3�����������������������������A�������������������������I�����J�����K�L�������������O�������������������������������������^�^�^�^�^�^�����������������������������������������������������b�c�d�e����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������#�����$�������������������������'�(�������������������������*�������������������������,�������������������������.�����������������0�����1�����������������3�����4�����������������������������@�����������������������������7�8�����������������A�������������������������C�������������������������E�����������������������������M���������������������O���������������������Q���������������������������������������������������������e�����f�������������������������i�j�������������������������l�������������������������n�������������������������o�����������������p�����q�����������������������������}�����������������������������t�u�����������������~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������D������������z�������,�����:u��ŋ������&:u���<۲and���%�����XJ�Y�����;�ij������o�=���������<$��0m1��0m�w�fe�	(֍2����� c��U����ò(���R��k����B����T��c��)������'M����X������*.��"���n����7ir�U��������2���፴�����\q����~���������������2���፴�����;�(�i"����n��q~�;���i"����n���;�0)���x䍑C�~�����G�������4���፴m�����W��(�i"����n���)����#�ߍ���o=���������<$��0m1��0m�w�fe�	(֍2����� c��U�������n�4�������ß���X��������մr�7�=1��������A4������\����X����ʍ��4�r��7���0��돱=1���%J��A�����;�r����A�����;�r��7���0������(�z����r��m��;���z����r��7���0���"�;�)�:������Ů��(3.41)������܍��<�Here,�UU(�z�p�;���z����^��0��>в;�)�UUis�dened�in�suc���h�a�w�a�y�that��Y�����(�z�p�;���z�������0��>в;�)��������<$��Uj�1���K�w�fe#�?�	(֍��[ٲ(�z��ϸ��8�z����r�0��>в)�������'9���^����,�3�T��*�an���=q�������1����F����^�������<$��M��z��M��w�fe�W�	(֍�ҫ�������U+����^����]�����8�T��*�an����������1��������^�������<$��!��z����^��0���!��w�fe�W�	(֍�ҫ�������*䦟��^�����0�r���^������Ů��(3.42)����^���<�for��ߵz���6�=�(Q�z��p���^��0��>в,�Aand�(�z�p�;���z��)�=��lim������z��I{���0����!�z��(�(�z�;���z����^��0��>в).��eNote���that������<۵Y�����;�ij�����=�>��1��lfor��=U�3Y�!��+0�and��J�w�=�0.�When�the�carrier�����<�densit���y���is�so�small�that�Eq.�(��??��
�n�)�is�satised,��the�con�tri-�����<�bution���from�excitations�within�the�lo���w�er���Hubbard�band�����<�(�r�5�=���r��G��^��0���n�=�1)�>\is�nothing�but�that�from�the�virtual�exc���hange�����<�of���pair�excitations�of�quasi-particles.�/�Because�it�is�con-�����<�sidered�Jin�the�next�subsection,��Oit�should�b�Ge�subtracted�����<�in�d1order�to�a���v�oid�d1double�coun���ting�so�that�Eq.�(��??��
�n�)�is�re-�����<�placed�UUb���y���^��?����썍��Z�Y�����;�ij��H��=�����<$���K1���K�w�fe�	(֍2�����
-�U����₟���X������ôr�7�6�=�r�����0������A�����;�r����A�����;�r��7���0������(�z����r��m��;���z����r��7���0���"�;�)�:����Ů��(3.43)����#.؍��<�In�Gthe�follo���wing�part,�#��I����:����(�s�)���Z���;�ij����i�(�i!����l����=��0)�is�simply�denoted�b�y���ˍ��<۵I����:����(�s�)���Z���;�ij����i�.��fBecause�j5its��!����l��{��dep�Gendence�is�small,�olit�can�b�e�used�������<�for�UU�j�!����l��ȸj����U�lp�and��U����^��0��4��8�J��9�.�����<�In�UUthe�small�limit�of��=U��3�!���+0,�it�follo���ws�that��W�������I����:����(�s�)���Z��s�;�ij����ٲ=��������󙍑�ڲ4�T����:��c��(�s�)���Z��ij����33����feg�	(֍�2�l�k@�+�8�1�������̀���^�������<$��#�S�1��"Gџw�fe��	(֍�U�����-���8�l�������^�������<$��QP�1����w�fe��	(֍�U����r�0��s����8�J�����$�������<$��P��1���k�w�fe��	(֍�U����r�0��s��+��8�J������h����^�����M�v���^������;��������(3.44a)����/�9����7^�I����:����(�s�)���Z��o�;�ij����=��������󙍑o��4�T����:��c��(�o�)���Z��ij����33����feg�	(֍�2�l�k@�+�8�1�������̀���^���!�������<$�����1��33�w�fe��	(֍�U������J�+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍2�������	�G���^�������<$����3���F�w�fe��	(֍�U����r�0��s����8�J�����,dC�+�����<$��P�1���k�w�fe��	(֍�U����r�0��s��+��8�J������h����^�����UE����^����d��;����� c�(3.44b)�����Q���<�and��ׯ����r�I����:����(�s�)���Z��so�:�ij����V�=��������󙍑33�4�T����:��c��(�so�)���Z��ij����33����fe�I�	(֍����2�l�k@�+�8�1�����������^�������<$��%
��1��#��w�fe��	(֍�U�����.��+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍2�������	�G���^�������<$����1���F�w�fe��	(֍�U����r�0��s����8�J�����,dC������<$��P��1���k�w�fe��	(֍�U����r�0��s��+��8�J������h����^�����UE����^����갵:�����<ֲ(3.44c)�������<�In�A1deriving�these�results,�E8�����a������������k����B����T�c��,������a����+���U�'�������������<۵k����B����T�u��and�	�����a����+����U����^��0������J����������k����B���T�u��are�	assumed.���These�����<�results��ragree�with�those�calculated�for�insulating�phases�����<�b���y�UUthe�con�v�en�tional�p�Gerturbativ�e�metho�Gd.���^��?������<ܲNote�xXthat�Eq.�(��??��
�n�)�can�b�Ge�applied�ev���en�to��l�3Ҳ=�r0.���The�����<�sup�Gerexc���hange�p�in�teraction�in�spin�c�hannels�can�nev�er�b�Ge�����<�ferromagnetic�(in�the�single-band�mo�Gdel�(�l�4+�=��0).��?It�can�����<�b�Ge��1ferromagnetic�in�m���ulti-band�mo�dels�(�l��<���ܲ1�=�2),��hwhen�����<۵J�K��is�UUas�large�as��i#��� g�J��Q>�������q��������fe7GП
Q��l��2`�����2���ӵU�������2���n�+���8�(��o�U�������0����T�)�����;��tR�2�����FGɸ�8�l�2`U���:����Ů��(3.45)����ق���<�It�ESis�in���teresting�that�as�long�as��J��Q>���0�the�sup�Gerexc�hange�����<�in���teraction�,is�denitely�ferromagnetic�in�the�large�limit�����<�of�UUorbital�m���ultiplicit�y�UU(�l��x�!���+�1�).�����<�Non-zero����mak���es�the�sup�Gerexc�hange�in�teraction�re-�����<�duced.���Fig.��]��??���f�sho���ws�]��Y����s�;�ij��r��as�a�function�of��J�T5�for�v��q�arious�����<�'s,�(vand��<Fig.���??����sho���ws��Y����s�;�ij����as�a�function�of������a�����y���for�����<�the�ӯsame�'s.�F�P���ositiv�e�ӯand�negativ���e��Y����s�;�ij��
��'s�mean�that�the�����<�sup�Gerexc���hange���in�teraction�is�ferromagnetic�and�an�tiferro-�����<�magnetic,���resp�Gectiv���ely��*�.�F�When��B�J��{�and��l�΢�are�large�enough,�������&:u���<�the��sup�Gerexc���hange�in�teraction�is�ferromagnetic�ev�en�for������<�non-zero�UU.���=�����t=�����B��v��������[� illustration fig2.eps scaled 350����������u=���3�������|׻FIG.��g2.����Y�����s��Aa�cmr6�;�ij����dened��~b��9y�Eq.�(��??��
�)�as�a�function�of�the�Hund�����<�coupling,��վJ�ێ�,�for���l���=���1�and��l��=���2.��?Here,���(������a��>��x���)�=U����=���0�:�1�����<�and���U�����-=�q�%cmsy6�0�����=U���=��3�=�4�are�assumed.��SA��solid�line�sho��9ws��Y�����s�;�ij��8y�for�����<۾�R���=U�;��=�B�0�:�3,��a�wbrok��9en�line�for�����=U�;��=�B�0�:�2,��a�dotted-brok��9en�����<�line�Tfor���R���=U����=���0�:�1,�and�a�dotted�line�for�����=U����=���0.�����͍���qO̍���04�s�͍���� ��� illustration fig3.eps scaled 360����������rO̡�3�������|�FIG.��g3.����Y�����s�;�ij���_�dened�`�b��9y�Eq.�(��??��
�)�as�a�function�of�the�depth,�����<۾�����a��T7��ǘ��,��for���l����=���1�and��l��=���2.��Here,���J�X=U����=�0�:�3��and��U�����-=�0�����=U��=���3�=�4�����<�are�!assumed.��A� �solid�line�sho��9ws��Y�����s�;�ij��V��for���R���=U����=���0�:�3,�Q�a�brok�en�����<�line�U�for���R���=U����=���0�:�2,�|a�dotted-brok��9en�line�for�����=U����=���0�:�1,�|and�����<�a�Tdotted�line�for���R���=U����=���0.����ƍ��<ܲThe�T�signs�of��I����:����(�s�)���Z��o�;�ij����Ʋand��I����:����(�s�)���Z��so�:�ij���\�dep�Gend�on��j�t����ij��
��j���^��2��_����(j�t���^���0��;Z��ij����j���^��2��|s�.���ˍ��<�When��}�j�t����ij��
��j�i'�j�t���^���0��;Z��ij����j�,���b�Goth��}of��I����:����(�s�)���Z��o�;�ij������and��I����:����(�s�)���Z��so�:�ij������are�small.��?In-��
Iލ��<�teresting��'is�the�case�where�either�of��j�t����ij��
��j���^��2��	*��and��j�t���^���0��;Z��ij����j���^��2��	*��is�����<�m���uc�h���larger�than�the�other,�� b�Gecause�it�is�p�ossible�that�an�����<�instabilit���y��of�the�orbital�or�com�bined�c�hannel�o�Gccurs�at����������7���se ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�������������������������������������������������2�������������������������2���������������������������������;���������������������������������������������D�����������������������������B�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������]�����������������������������[�������������������������������������_�����`�k�������������������������k�������������������������p�����������������r�}�������������������������}��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�����
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ �������������������������#�������������������������������������*�����������������������������,�����2�3�����5���������������������������������������������D�D�D�D�D�D�����������������������������������������������������H�I�J�K�L�����������������Q�R�����S�������������T�����������������U�����������������������������\�������������������������]�����c�d�����������������g�h�����j�k�m�n�o�p�����r�s�����u�v�w�������������x�����z�����|�����}�����~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������'���������������������������������������������������������0�����������������������������5�������������������������C�����������������C�C���������������������������������������������F�����G�������������������������������������������������Z���������������������������������������������������������u�����������������������������u���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������u���������������������������������������������������������|���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	���������������������
��������������������������������������������������������%���������'�(�����+�,�-���������0���������������������1�����2�4�����������������8�9�:�;�����>�?�@�����B�C�D�E�F�G�H�����������������������������J�K�L�M�N�O�������������P�����������������R�S�����U�V�����X�Y�Z�[�\�����^�_�`�a�����c�d�e�����g���������y�y�������������������������z�����}�~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������������������������������
���������������������������������������� �!�����#�$�%�&�'�(�)�*�+�,�-�.�/�0�1�2�����������������4�5�6�7�8�9�:�����<�=�����?�@�����B�C�D�E�����������������������������E�F�G�H�I�J�K�����������������M�N�����P�Q�R�����T�U�V�W�����Y�Z�[�\�]�^�_�`�a�b�c�����������������e�f�����h�i�j�k�l�m�����o�������������p�����r�s�t�u�v�w�x�y�z�{�����������������������������}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�����!�����#�����������������������������*���������������������������������-�������������������������5�����6�����8�������������������������:�������������������������B�����C�����E�������������������������������������L�����������������������������Q�S�����T�������������������������T�������������������������Y�����������������Z�������������������������]�������������������������������������d�����������������������������f�����l�m�����o�������������������������������������~�~�~�~�~�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
�������������������������������������������������� �!�"�#�����������������������������������������%�&�'���������������������*�����0�������������������������2�������������������������3�����������������7���������9���������������������<�=�>���������A�����������������������������������������H�������������������������I���������������������J���������������������L�����������������������������R�S�����������������U�V�W�����Y�Z�[�\�]�����_�`�a�b�c�����e�f�����n�����o�p���������������������{���������������������}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������F�����F���������������������������������������������F�����F�����F�����������������������������F�F���������������������������������������������������������������������������������������������������������F�����F���������������������F�����������������F�������������������������������������������������������������N���������������������������������������������������������[�������������������������������������������������������������������������������������������������[�������������������������������������\���������������������]���������������������������������������������c���������������������������������������������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������~�����������������������������������������~�������������������������~���������������������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������X�����X���������������������������������������������X�����X�����X�����������������������������X�X���������������������������������������������������������������������������������������������������������X�����X���������������������X�����������������X�������������������������������������������������������������`�������������������������b�����������������������������������������������������m�������������������������������������������������������������������������������������������������m�������������������������������������n�������������������������������������������������y���������������������������������������������������������������������������������������������y�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
�
�
�
�
�
�������������������������������������#�$�����������������&�'�(�)�*�+�,�-�����/�0�1�2�3�����5�6�7�8�9�:�;�<���������������������G�������������������������I�������������������������K���������������������N���������������������R�����T�����V�������������������������X�������������������������Y���������������������[���������e�������������������������g�������������������������i���������������������j���������������������k���������n���������������������r���������������������������������������������t�������������������������v�������������������������w���������������������z�{�|�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
����������������������������������������������������������&�������������������������������������*�+�,�-�����������������/�0�1�2�����4�5�6�����8���������D�D�������������������������E�����G�H�I�����K�������������L�����N�O�P�Q�R�S�T�����V�W�������������X�Y�����[�\���������_���������������������`�����������������b�d�����������������f�g�h�����������������������������j�k�l�������������m�n�o�p�q�������������r�s�t�u�v�����������������x�y�����z�{�|�}�~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�����
��
���������������������������������������������������������������������������������������������������� �!�"�����$�%�������������������������������������������������G�����������������I���������������������������������������������P�����������������������������������������������������������������������������������������������������_�������������������������������������a�������������������������b�����������������������������������������b�������������������������g�������������������������l�������������������������n�����������������������������������������u�����������������������������{�������������������������������������������������~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
���������������������������������������������������������������������������� �!�"�#�$�����%�����������������(�����)���������������������5���������������������7�����>�����?�A�����������������������������G�H�I�J�K�L�M�N�����������������V�����Y�Z�[�������������\�]�����_�`�a�����c�d�e�������������f�g�h�i�j�����k�l�m�n�o�����q�r�����s�t�u�v�w�x�y�z�{�����}�~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	����������
����������������������!�������������������������#�������������������������$���������������������'���������*�+�,�����������������������������.�/�0�����������������2�3�4�5�����=�?�@�A�����������������D�������������E�F�G�H�I�J�����K�����������������M�N�O�����Q�R�S�T�U�V�W�������������X���������[�������������������������^�����_�����`�a�������������������������d�e�����g�h�i�j�����l�m�n�o�����q�r�s�����������������������������u�v�w�������������x�y�z�{�|�������������}�~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
������������������������������������������������������������������������ �!�"�#�$�%�&�'�����������������/�1�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������/�/�/�/�����������������/�/���������������������/�������������������������/�������������������������������������������������������������������������������������/�����/�/�������������������������/�/�/�/�/�/�����������������/�������������/�����/�/�/�����/���������/�/�������������������������/�����/�/�����/�����/�/�/�/�/�/�/�/�����/�/�����/�/�/�����/�/�/�/���������������������������������������������/�/�/�/�/�/�/�/�/���������������������/���������������������/�����/�/�/���������������������/���������������������/�����������������/�����/�/�/���������/���������/�����������������/�/�����������������/�/�/�/�/�����������������/�����/�������������������������/�������������������������/���������������������/�����/�����/�/���������������������/���������/�����/�����/�����/���������������������������������/�/�/���������������������/�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������/�������������������������/�/���������������������/�����������������/�����/�����/�����/�/�/�����/�/�/�/�/�/�/�/�����������������/�����������������/�/�/�/�/�����/�/�/�/�����/�/�/�������������/�/���������/�������������������������/�����/�����/�/�������������������������/�/�/�������������������������������������/�����������������/�����/�/���������������������/�����������������/�����/�����/�/�����������������/�����������������/�/�/�/�������������/�/�����/�/�/�/�����/�/�/���������/���������/�����/�/���������������������/�����������������/�����/�����/�/�����������������/�����/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�������������/�/���������������������������������/�/�/�/�����������������/�/�/���������/�����������������/�����/�/���������������������/�����������������/�����/�����/�/�����/�/�/�����/�����/�/�/�/�/�/�����/�/�/�/�����/�/�/���������/���������/�����/�/���������������������/�����������������/�/���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������#���������������������������������������������-�����.�����/�����������������������������&�����'�����(�)�����������������������������3�4�5���������8���������������������������������������������C�����D�����E�����������������������������;�<�����=�����>�?�����������������������������I�J�K�������������L�M�N�����P�Q���������T�����U�������������������������X�Y�������������������������[�������������������������[�������������������������`�����������������a�����b�����������������������������n�����������������������������e�f�����������������o�������������������������q�������������������������s���������������������������������������������u�v�w�x���������������������{�����|�������������������������ƀ������������������������Ƃ����������������Ɖ����Ƌ����ƌ����������������������������Ƙ����������������������������ƏƐ����������������ƙ����ƛ����������������ƞ������������ƟƠơ����������������ƣƤ��������Ƨ��������������������������������������������Ʊ����Ʋ����Ƴ����������������������������ƪ����ƫ����Ƭƭ����������������������������ƷƸƹ��������ƽ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������	����������������������������������������������������������������������#�����������������������������������������������$�������������������������&�������������������������)�*���������������������������������,�������������-�.�����/�����������������1�2�3�4�5�6�����8�9�:�;�����=�>�?�����A�B�C�D�E�F�����������������H�������������I�J�K�L�M�N�����P�Q�����S�T�����V�����W�X�Y�Z�[�\�]�����_�`�a�b�����d�e���������������������������������g�h�i�j�k�l�m�n�o�p�������������q�����������������s�t�����v�w�x�����z�{�|�}�~�ǀ����ǂǃ����ǅǆǇ����ǈǉǊǋǌ����Ǐ����ǐǑǒǓǔǕ����Ǘ������������ǘǙǚǛǜ����Ǟǟ�����������������������������������������������������������������������������ߖ��,�����:u��ŋ������&�;���<۲lo���w�UUenough�c�hannels.�q�In�general,��j�I����:����(�s�)���Z��o�;�ij���
A�j���>��j�I����:����(�s�)���Z��so�;�ij���>�j�.��!�%����C.���No��Cv�el�exc�hange�in�teraction�����<ܲSelfenergy���corrections�from�m���ulti-site�eects�are�of������<�higher�p�order�in�1�=d��except�for�those�due�to�W��*�eiss'�mean�����<�elds,���whic���h��are�not�presen�t�in�Landau's�normal�F��*�ermi-�����<�liquid�"�phases.�`�When�only�the�single-site�selfenergy�giv���en�����<�b���y�^�Eq.�(��??��
�n�)�is�tak�en�in�to�accoun�t,��,the�single-particle�����<�Green�UUfunction�is�appro���ximately�giv�en�b�y���������;F���b����e�G��������ѷ�1���፴���TE�(�i"����n��q~�;����k�)����b�����/����mm����0���C�_�=���\q��~������������
���������[��O��i"����n��q~�����mm����0�������8�e����mm����0���e��(�k�)�]���jE��;����Ů��(3.46)�������<�with��5�����͚�e����mm����0���e��(�k�)��=�����<$���1���K�w�fe�
�v���\q��P~����������
����������
���`�h����E����mm����0����(�k�)�8�+������`�����x䍑	N6�~�����1�����0������(0)��������`����:�*�����mm����0����e����`�i����e�;����Ů��(3.47)����z���<�for��øj�"����n��q~�j����p�����#�<����J����#������d�k����B����T����K�����.�The�disp�Gersion�relation�of�quasiparti-������<�cles,��I�����m�����(�k�),�is��determined�from��det����i����b����U�G���^����ѷ�1��፴���TE�(�����m���(�k�)�;����k�)����b����Z:��=�^0,������<�so�UUthat�����x������m�����(�k�)��=�����<$���1���K�w�fe�
�v���\q��P~����������
����������
���`�h����x䍑�`�~�����������0����"]E�(0)�8�+��E�������������፴m����(�k�)��������`�i���p�w�;����Ů��(3.48)��������<�with����E���^��������፴m������(�k�)�giv���en�b�y�Eq.�(��??��
�n�).�1�Note�that������m�����(�k�)��=�������l��	Qɲ(�k�)�����<�for��_�m��suc���h�as���l��0��\еm����(�l�s��A��1)��_and�only������l��Ȳ(�k�)�can�����<�b�Ge���dieren���t�from�them.��The�(�mm���^��0���9�)th�comp�onen���t�of�the�����<�Green�UUfunction,�is�calculated�in�suc���h�a�w�a�y�that��5獟�k獍�����[���¸G������b��(�i"����n��q~�;����k�)�]�����0����mm��/iֲ=�����<$���11���K�w�fe(�̟
�v�(2�l����+��81)���\q��P~����������
����������.J���^�������<$��Gӏ�2�l��2��w�fe1�s�	(֍i"����n��U��8������l��	Qɲ(�k�)�����f��+�����<$���x1���k�w�fe-f�	(֍�i"����n������8�����l��Ȳ(�k�)������.����^�����������Ů��(3.49)���������<�for�UUin���traband�comp�Gonen�ts,�and��5�.���k獍����l[���M��G������b��(�i"����n��q~�;����k�)�]����A�����mm����0���0��=�����<$����(��1)���^��2�l�
`�+1����K�w�fe(�̟
�v��(2�l����+��81)���\q��P~����������
����������.J���^�������<$��Ij��1��2��w�fe1�s�	(֍�i"����n��U��8������l��	Qɲ(�k�)�����f�Ѹ�����<$���x�1���k�w�fe-f�	(֍�i"����n������8�����l��Ȳ(�k�)������.����^�����������Ů��(3.50)��������<�for�UUin���terband�comp�Gonen�ts�(�m���6�=��m���^��0���9�).�����<�According�UUto�the�W��*�ard�iden���tit�y�,���^��?���������\q���g>�~��������������������̲(0�;����0;�0)����� ��=�����+��[1�8���U��������:q�~�������������	�(0)]���\q��P~������������������#���� ���=���������<$��,��2(2�l����+��81)���\q��P~���������������,���w�fe.�!�	(֍��H�U�����������~��������r����\n����������(0)�������\lL���^���a�j�1�8�+��O���G���^�������<$��Md�1��,�w�fe%B��	(֍�U�����������~��������r����\n����������(0)������+�8���^�����1����^����'ȵ:������Ů��(3.51)�����qύ��<�When��this�is�appro���ximately�used�for�non-zero�energies�����<�suc���h�$�as��j�"����n��q~�j����p���� c�<����J��� c�������k����B����T����k��	�and��j�!����l��ȸj����p���� c�<����J��� c�������k����B����T����k��	�and�the�t���w�o-line�����<�diagram��sho���wn�in�Fig.���??����(�b�)�is�tak�en�in�to�accoun�t,�O�the�����<�exc���hange�i�in�teraction�due�to�the�virtual�exc�hange�of�pair�����<�excitations�UUof�quasiparticles�is�calculated�so�that��{����ǵI���������(�Q�)���፴���
��(�i!����l��ȵ;����q�)����� �3=�������)p����`�h��.)��U��������\q����~����������������;�(0�;����0;�0)���UX���`�i����h���ݱ2������<$��p�1��l���w�fe�
�v���\q��P~���������r��2��\n��
����������y@����`�h��}���P��������(�i!����l��ȵ;����q�)��8����x䍑��~������P�����������(�i!����l���)����`�i������#������ �3�=�������+i���\� ������<$���\q��5�J�~������49H���������49H�w�fe�8�
�v����\q�����~������H������
���������A����\�!����H�_���ٱ2������<$��N��8(2�l�k@�+�8�1)��N��w�fe&.9�	(֍���[���/~������r����\n����������(0)]���r�2��������vq���`�h��z�U�P��������(�i!����l��ȵ;����q�)�8����x䍑uŲ~������P��������WP�(�i!����l���)����`�i����.ӵ:����
�����Ů��(3.52)��������<�Here,�������)p������ȵP��������(�i!����l��ȵ;����q�)�����$�/=�����/e��k����B����T����7����X�������̴"���n��������<$��mڲ1��]۟w�fe	��	(֍�N�������� [�����X�����%0��k������4#`����X����ʍ�0x%�mm����0���s����G��K����:����(��)�� ���m��;m����0���s������\q��l��~���������������2���፴
������������/e�������b�����*��G������b��(�i"����n��U�+��8�i!����l��ȵ;����k��+��q�)������b��������mm����0������孟��b�����Y�G������b��(�i"����n��q~�;����k�)������b��������m����0���s�m�����������ͮ��(3.53)�����q͍��<�is�UUa�a�p�Golarization�function�of�quasi-particles�and��'j�����x䍒&|�~�����$?͵P��������0^=�(�i!����l��Ȳ)��=�����<$��
J1���K�w�fe	��	(֍�N���������$����X�������M�q��� ��P��������(�i!����l���;����q�)����ͮ�(3.54)�����<���<�is��1its�lo�Gcal�part.�	\Because�an���y�single-site�term�is�con-������<�sidered���in�the��unp��}'erturb�e�d����state,���the�single-site�part�is�����<�subtracted�UUin�Eq.�(��??��
�n�).�����<�F��*�or��;the�spin�c���hannel�(����=����s�),��Eqs.�(��??��
�n�)�and�(��??���)�b�Ge-�����<�come�UUso�simple�as��5������3f�P����s��F:�(�i!����l��ȵ;����q�)��=�����<$����1���K�w�fe&��	(֍(2�l����+��81)�N��������,&d����X�����-o@�m�k�������<$��=v�f���[�����m�����(�k��8�+��q�)]����f��[�����m�����(�k�)]��=v�w�feb��	(֍��������m�����(�k�)��8�������m���(�k��+��q�)����i!����l����������ͮ��(3.55)�����捒�<�and��C܍����x䍒/]~������x�P����s�����@�(0)��=����c��Z�����i����1��@��UR1���@�dx���UX��c��Z�����i��UY�1��@���1���
���dy�����<$���f���(�y�[ٲ)�8���f��(�x�)����w�fe2���	(֍�
��x�8���y�����5u9����������(�x�)����������(�y�[ٲ)�;����ͮ��(3.56)����㖍��<�with��5����)]�����������(��)��=�����<$��-�1���K�w�feg�	(֍2�l�k@�+�8�1�������� ?@����X������#�״m���0[������`���b������:��8�������m�����(��)������b��������ͮ��(3.57)����qˍ��<�the���densit���y�of�quasi-particle�states�p�Ger�spin�and�band.�����<�F��*�or�UUorbital�(��В�=���o�)�and�com���bined�(���=���so�)�c���hannels,���܍������P��������(�i!����l��ȵ;����q�)�����'�w=�����2]�������<$����2�l�k@��8�1��33�w�fe&��	(֍(2�l����+��81)�N��������)_L����X�����.4u�k�������<$��:��f���[�����l��Ȳ(�k��8�+��q�)]����f��[�����l��Ȳ(�k�)]��:��w�feY|y�	(֍��������l��Ȳ(�k�)��8�������l���(�k��+��q�)����i!����l���������J�����9�+�����<$����8�l��33�w�fe&��	(֍�(2�l����+��81)�N��������)_L����X�����.4u�k�������<$��:��f���[������l��	Qɲ(�k��8�+��q�)]����f��[�����l��Ȳ(�k�)]��:��w�fe_�z�	(֍��������l��Ȳ(�k�)��8��������l��	Qɲ(�k��+��q�)����i!����l�������������9�+�����<$��332�l�2`�(2�l�k@��8�1)��33�w�fe)\s�	(֍�1�(2�l����+��81)�N��������+�ٟ���X�����0��k�������<$��=}�f���[������l��	Qɲ(�k��8�+��q�)]����f��[������l��	Qɲ(�k�)]��=}�w�fee�{�	(֍���������l��	Qɲ(�k�)��8��������l���(�k��+��q�)����i!����l�������B+�:������ͮ��(3.58)������捒�<�This�Gexc���hange�in�teraction�includes�no�in�trasite�part��
c����<�so�zthat������P�������q���ԵI����:����(�Q�)��]"�����
��(�i!����l��ȵ;����q�)��R=�0.�	y5When�z�I����:����(�Q�)��]"������(0�;����+0)��<��0,���:���<۵I����:����(�Q�)��]"�����
��(0�;����q�)��Mtak���es�its�maxim�um�v��q�alue�at�non-zero��q�.���In������<�this��pap�Ger,�i�it�is�classied�as�b�eing�an���tiferromagnetic�����<�when��~�I����:����(�Q�)��]"�����
��(0�;����+0)����<��0�and�as�b�Geing�ferromagnetic�when��
�ƍ��<۵I����:����(�Q�)��]"�����
��(0�;����+0)�#]�>��0.��As���w���as�studied�in�the�previous�pap�Ger,���^��?������<۲the��temp�Gerature�dep�endence�of��I����:����(�Q�)��]"�����
��(0�;����q�)�is�resp�onsible�����<�for���the�Curie-W��*�eiss�la���w.���It�is�easy�to�see�from�Eq.�(��??��
�n�)�����<�or�UU(��??��
�n�)�that��I����:����(�Q�)��]"�����
��(0�;����q�)�is�of�the�order�of��k����B����T����K�����.��!�%�����IV.���FLA���T-BAND�AND�BAND-EDGE�MODELS��9�5�aA.���Instabilit��Cy�condition�����<ܲAssume�\�T�7X�=���0�K�\�in�this�section.���Then,�^�it�follo���ws�that�����<۵P����s��F:�(0�;����j�q�j��!��+0)�=�����^������(0)�UUand��	�������<$��{z1��{z�w�fe�	(֍4��������I���������(�Q�)���፴s���
��(0�;����+0)��=�����<$����\q����~������g������s������K�w�fe�
�v���\q��P�~����������
����������
���\�"���a�1�8������<$����x䍑���~�����l�P����s����۲(0)��l�w�fex�	(֍�v�����r�����(0)������-���\�#�������<$��Tࣲ1��K���w�fe�ȟ	(֍���/~������r����\n��s�����
ک�(0)�����dd��:����Ү��(4.1)������������8����lq����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ǡǢ������������ǣ����������������ǥǦǧǨǩǪ����Ǭ����ǭǮǯǰǱǲǳǴ����������������ǶǷ����ǹǺǻǼǽǾǿ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������u�v�w�x�y�z�{�|�}�~����������������ȀȁȂȃȄȅȆȇȈȉȊ����ȌȍȎȏ����ȑ������������ȒȓȔȕȖȗȘșȚ����Ȝ��ȟȠȡȢ����ȤȥȦ����Ȩȩ����������������������������������������ȫȬȭȮȯȰ����������������Ȳȳȴȵȶ����ȸȹ����ȼ����ȽȾ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���
��������������������������������������������������������������������� �!�����������������#�$�%�&�'�(�)�����������������+�,�-�.�����0�1�2�3�����5�6�7�����9�:�;�<�=�>�?�@�A�B�C�����E�F�G�H�I�J�K�L�M�N�����P�Q�R�������������S�T�����������������������������V�������������W�����������������Y�Z�[�����]���������i�i�������������������������j�����l�m�����o�p�q�����r�s�����u�v�����w�x�����z�{�|�}�~�����ɀɁ����������������ɃɄɅ����ɇɈɉɊɋɌɍɎɏɐɑɒɓɔɕ����������������������������ɗɘəɚɛ����������������ɝɞɟɠɡɢɣɤ����ɦɧ����ɩɪɫɬɭ������������ɮɯɰɱɲɳɴɵ����ɷɸɹ����ɺɻ����ɽ����ɾ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������5�����������������������������������������<�������������������������?�K�������������������������K�������������������������V�������������������������Y�Z�������������������������a�����������������������������d���������������������f�������������������������i�j�������������������������q�����������������������������s�����t�����{����ʂ����������������������������ʄ������������������������������������ʓʓʓʓʓʓ������������������������������������ʗʘʙʚ������������������������������������������������ʯ������������������������ʲʳ������������������������ʺ����������������������������ʼ����ʽ�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�������������������������*�����������������������������2�������������������������5�6�������������������������=�������������������������������������������������E���������������������������������H�������������������������������������W�W�W�W�W�W������������������������������������������������ˉˊˋ��������������������ˎ����˙������������������������˙������������������������˞����������������������������������������������������ˣ����������������������������������������������������ˣ������������������������������������˥������������������������˥������������������������˪������������������������˪������������������������˰����������������˳˴˵����˷˸˹˺������������˻˼˽˾˿����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#�#�#�������������������������������������������������*�������������������������-���������������������������������������������@�����A�����������������������������-�����������������������������D�����G�������������������������I�������������J�����K�����R�����S���������������������T�����[�������������������������a�����������������������������e�����������������f�i�����������������������������������������}�~����������������̀́̂̃������������������������������������̛������������������������̝������������������������̞����̟����̦����������������̨��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����!�����(�����+�,�-�������������.�/�����1�����2�����4�5�6�����8���������F�F�������������������������G�H�����������������J�K�L�M�����O�P�Q�R���������W�������������������������Y�������������������������Z�����[�����b�����������������c���������f�������������������������i�����j�������������������������l�����m�����t�����������������������������w�x�y���������������������|���������̀́������������͂����̈́ͅ��������͉����͊��������������������͎��������������������͐��������͔��������͖����͗��������������������͘��������������������͙͚����������������͟͝͞����ͣͤ͢͡��������ͩ������������������������ͫ������������������������ͬ����ͭ����ʹ����ͷ͸͹����������������������������ͻ������������ͼ����������������;Ϳ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	���������������������������������������������������!�����#�����$�����%�����'�(�)�*�������������������������������������������������������������������������Q�������������������������S�������������������������S�������������������������e�����f�q�������������������������q�������������������������v���������������������w�����~����΅������������������������������������������������ΉΊ������������������������ΐ������������������������������������������������θ��������������������������������������������������������������������������������������������θθ����θ��������������������θ����������������θθ����������������������������������������������������������������������������������������������������θ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������&�������������������������������������������������������������������������������������������������&�&�������������������������&�������������������������&���������������������&�������������������������&�������������������������&�����&�����&���������������������������������������������������������.���������������������������������������������������������������������>�>�>�>�>�>�����������������������������������������������������B�C�D�����������������F�G�������������H�I�J�K�L�M�N�����P�Q�R�S�������������T�U�V�W�����X�Y�Z�����\�]�^������������������������������������������������������������������������φ������������������������ψ������������������������ψ������������������������Ϛ����ϛϦ������������������������Ϧ������������������������ϫ��������������������Ϭ����ϳ����Ϻ������������������������������������������������ϾϿ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������9�������������������������������������������������������������������������������������������������9�9�������������������������9�������������������������9���������������������9�������������������������9�����9�������������������������9�����9�����9�������������������������������������=�����������������������������������������������������k�������������������������������������������������������������������������������������������������k�k�������������������������k�������������������������k���������������������k�������������������������k�������������������������k�����k�����k���������������������������������������������������������s��������������������������������������������������������������������ЃЃЃЃЃЃ����������������������������������������ЇЈЉ����������������ЋЌ������������ЍЎЏАБВГ����ЕЖЗИ������������ЙКЛМ����НО����С����Т��������������������Х����Х��������Ч������������������������Ю������������������������Яб����������������������������жзийклмно������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������!�"�����#�$���������������������������������'���������������������������������+�,���������������������-���������/�������������������������/���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������N�O�P�Q���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������x�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(���������������������������������+���������������������������������������������:�:�:�:�:�:�����������������������������������������������������>�?�@�A�����������������C�D�E�F�����H�I�����K�L�M�N�O�������������P�Q�R�S�T�U�V�W�����Y�Z�[�\�����^�_�`�����b�c�d�e�f�g�h�i�����k�l�m�n�o�p�q�r�����������������������������t�u�v�������������w�����������������y�z���������}����҈������������������������҈������������������������ҍ����������������������������������������������������ґ����������������������������������������������������ґ������������������������������������ғ������������������������ғ������������������������Ҙ������������������������Ҙ������������������������ҟҠҡ��������Ҥ����Ҫ������������������������Ҭ������������������������ҭ����������������������������������������������������ұ����������������������������������������������������ұ������������������������ҳ������������������������ҳ������������������������Ҹ������������������������Ҹ������������������������ҿ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������
���������������������������������������������������������������������������������������������!�"�����#�$�%�&�'�(�)�*�+�����-�.�/�����1�2�����4�5�6�����8�9�:�;�<�=�>�����@�A�B�����C�D�E�F�G�����I�J�����L�M�N�O�����������������������������Q�R�S�T�U�V�W�X�Y�Z�[�����������������]�^�����a�b�c�d�e�f�g�h�i�j�k�l�m�n�����p�q�����s�t�u�v�w�x�y�z�{�|�����~�����ӁӂӃӄ����������������������������������������������������ӧ��������������������������������������������ӳ����Ӵ����ӵ����������������������������ӧ����������������������������ӷ����ӸӾ�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������6�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������6�����������������������������6�������������������������������������������������������������������������?�������������������������A�������������������������A�������������������������K�����L�R�������������������������T�������������������������U���������������������V�����]���������������������a�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������x�����y�������������������������ԁ������������Ԃ������������������������ԉ��������������������������������������������������������������������Ԛ������������������������������������������������������������Ԣ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
�
�����
���������������������
�����������������
�
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������
�����������������������������
�������������������������������������
�
�
�
�������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������"�����#�)�������������������������+�������������������������,���������������������-�����4���������������������6�������������������������������������������������������������������������������������������������������������G���������������������������������I�����J�P�������������������������R�������������S�������������������������Z���������������������������������]���������������������������������������������������������������������y�y�y�y�y�y�����������������������������������������~�ՀՁՂ����������������������������������������������������������������������������զ������������������������զ������������������������հ����ձշ������������������������չ������������������������պ��������������������ջ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����!�����������������������������%�+�������������,�-�������������������������4�������������������������:�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Q�����������������������������O���������������������������������������������������������������������������������h���������������������������������o���������������������������������p�������������������������p������������������������ւ����փ֎������������������������֎������������������������֘��������������������֢֜������������������������֤������������������������֥��������������������֦��������ְ��������ִ����ֻ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������G�G�G�G�G�G���������������������������������������������������������L�M�����������������O�����R�����T�������������U�V�W�X�Y�Z�[�\�]�^�_�����a�b�c�d�e�f�g�h�����j�k�����m�n�o�p�q�r�s�t�u�v�w�x�y�z�{�����}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������׳������������������������������������״����׵׻������������������������׽������������������������׾����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������� �!�"�#�$�%�����'�(�������������)�����+�,�-�.�/�0�1�2�3�4�5�����7�8�9�:�����<�=�����?�@�A�B���������������������������������������������B�C�D�E�F�G�H�����������������J�K�����M�N�O���������W�X�Y�����������������Z�[�\�]�^�_�����`�����a���������������������d�e�f�g�h�i�����������������k�l�m�����o�p�q�r�s�t�u�v�w�x�y�����{�|�}�~����؀؁��������������������������������؃؄؅؆؇؈؉؊؋،����������������؎؏����ؑؒؓ����ؕ��������؟؟������������������������ؠء��������������������������������إ����������������ئا����������������ةتث����حخدذ����ز������������سشصضطظ����ػ�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������&�������������������������&�������������������������+�����,�2�������������������������4�������������������������5���������������������6�����=�����������������?�������������������������������������������������V���������������������������������������������������������������������������������������������V�V�����V���������������������V�����������������V�V�����V�����������������������������������������������������������������]�������������������������������������������������`�����a���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�	�	�	�	�	����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������@�������������������������������������B�C�D�����������������F�����������������������������K�������������������������������������������������K�����������������������������������������N�T�����������������������������i�j�����������������������������������������t�������������������������������������������������t�����������������������������������������w�}����������������������������ڒړ������������������������������������������������ک��������������������ک����ک����������������ک��������������������ک��������ک��������ک����ک����ک����������������������������������������������������������������������������������������������������������������ک��������������������ک��������ک��������������������������������ڮ������������������������ڰ������������������������ڲ����ڳ����ڴ����ڹ������������������������ڻ������������ڽ����ھ����������������ڿ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�������������������������������������������������#�����������������������������,���������������������������������������������3���������������������������������;���������������������<���������@�������������������������B�������������������������D�����L�����M���������������������������������T�������������������������������������������������c�c�c�c�c�c�����������������������������������������������������g�h�i�����������������k�l�m�n�o�p�������������q�����s�t�����v�w�x�y�z�{�|�}�~�ۀہۂۃ����ۅۆۇۈۉۊ����ی������������ۍێ����ېۑےۓ����ەۖۗ����ۙۚۛۜ۝��������������������������������ۡ����������������ۣۢ����������������ۥۦۧۨ۩۪۫����ۮ����۴��������������������۵��������������������۶����۷����ۺۻۼ����۾ۿ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�����������������������������������������%�����������������������������������������������������>�����>���������������������>���������������������>���������������������������������������������������������������������������������������������>�>�����>���������������������>�����������������>�>�����>�����������������������������������������������������������������E�������������������������������������������������E�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ݳ��������������������ݳ����ݳ������������������������ݳ����ݳ������������������������ݳ����ݳ��������������������ݳ��������ݳ����ݳݳ��������ݳ��������ݳ��������ݳ����ݳ������������������������ݳ������������������������ݳ����ݳ����ݳݳ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������ݳ������������������������ݳ������������������������ݳ����ݳ����ݳ��������������������ݳ��������ݳ������������������������ݳ����ݳ������������������������ݳ����ݳ��������ݳ��������ݳ����ݳ��������ݳ��������ݳݳ������������������������ݳ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ޛ��������������������ޛ����ޛ������������������������ޛ����ޛ������������������������ޛ����ޛ��������������������ޛ��������ޛ����ޛޛ��������ޛ��������ޛ��������ޛ����ޛ������������������������ޛ����ޛ������������������������ޛ����ޛ����ޛޛ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������ޛ������������������������ޛ����ޛ������������������������ޛ����ޛ����ޛ��������������������ޛ��������ޛ������������������������ޛ����ޛ������������ޛ����ޛ��������ޛ��������ޛ����ޛ��������ޛ��������ޛޛ������������������������ޛ��������������������������������������������ޝ��������������������������������������������޻޻޻޻޻޻��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������%�������������������������'�������������������������(���������������������)�����0�����������������2�����3�5�����������������7�8�9�:���������������������=���������������������������������������������I�����J�����K�����������������������������=�����������������M�N�����O���������������������P�Q�R���������T���������U�W�������������������������������������������������Z���������������������������������������������f�����g�����h�����������������������������Z�����������������������������j�k�����l���������������������m�����t�����������������w�x�y�������������z�{�����}�~�����߁߂߃߄߅����߆߇����߉����������������ߊߋߌߍ����ߏߐ����ߒߓߔߕߖߗߘߙ��������ߜ����ߤ����������������ߦߧ��������������������������������������������ߩߪ߫߬����������������߮߯߰������������߲߱߳����������������ߵ߶����߸߹����߻߼߽߾߿���X������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
�����
��������������������������������������"�#�$�%�������������������������������������������������(���������������������������������������������4�����5�����6�����������������������������(�����������������������������8�9�����:���������������������<�=�>���������������������@���������A�C�����������������G�H�����������������J�������������K�L�����N�O�P�Q�R�S�T�����V�W�����Y�Z�[�����]�^�_�`�a�b�c�d�����f�g�h�������������i�j�k�������������������������w�����������������������������������������z�{�|�����������������~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������+�����,�����-����������������������������������������������������������/�0�����1���������������������2�����9�����<�=�����?�@�����B�C�D�����F�G�H�I�J�����L�M���������P�������������������������R�������������������������S�������������������������U�������������������������W������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������#�$�%���������������������������������������������������������������������������������Q�������������������������������������������������������������������������������������������������Q�����������������������������������������S���������������������������������������������Z�����[�����\�����������������������������S�����������������������������^�_�����`���������������������a�b�c�����������������f���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������j������������lq�d�	����,�����:u��ŋ������&:u���<۲Note�:zthat�����^������(0)�D�=���\q���~�����������
����[��(0)�:zto�leading�order�in�1�=d�.�!6An������<�instabilit���y�wpcondition�against�ferromagnetism�is�simply�����<�giv���en�UUb�y�1�8���(1�=�4)�I����s��F:�(0�;����0)���/~�������s����
���(0)���<��0�or��	���G1�8������<$����\q��)��~������ٽ�����s�����l�w�fe�
�v���\q��P�~����������
���������`ҟ��\�"��6)�1�������<$����x䍑���~�����l�P����s����۲(0)��l�w�fex�	(֍�v�����r�����(0)������-���\�#���J\�����X����s��
R�<���0�;����ʮ��(4.2)����qэ��<�with��5����ko�X����s��
R�=�����<$���K1���K�w�fe�	(֍4��������'���`�h����I���������(�s�)���፴s���O�(0�;����0)�8���4����s��F:�(0�;��0)����`�i�����p�Ѳ~���o�������s����z��(0)�:����ʮ��(4.3)�����Ѝ��<�When��ߵJ���is�strong�enough,���the�sup�Gerexc���hange�in�teraction,��
c����<۵I����:����(�s�)��]"��s���O�(0�;����0),���is�hYferromagnetic,�as�is�discussed�in�Sec.���??��
Dǲ.�"�The�����<�mo�Gde-mo�de�Vbcoupling,�V�����s��F:�(0�;����0),�can�b�Ge�ignored�in�innite�����<�dimensions��(�d����!��+�1�).���It�is�lik���ely�that��X����s���ѵ>��0�when�����<۵d�,�"˵l���and�ƀ�J����are�large�enough.��IWhen�Eq.�(��??��
�n�)�is�p�Gosi-�����<�tiv���ely��6large�enough,��	ferromagnetic�instabilit�y�o�Gccurs�ev�en�����<�when���neither�of�the�
at-band�and�band-edge�conditions�����<�is��asatised.�|�The�SCR��Jtheory����^��?���W��^��;��?���;��?���>f�can�only�b�Ge�applied�to�����<�suc���h���ferromagnets�in�nite�dimensions�(�d�����+�1�).�2�Then,�����<�it��is�examined�in�this�section�whether�or�not�ferromag-�����<�netic��Ainstabilit���y�is�p�Gossible�ev�en�when��X����s��6{�is�as�small�as�����<۸j��X����s��F:�j����k����B����T����K���or�UU�X����s��
R�=�0.���ԍ��<�The�?�signs�of�Eq.�(��??��
�n�)�or�������b�����j0�1�������x䍑�~������P����s����
�ǲ(0)�=���^������(0)������b������are�?�func-�����<�tionals�&of�����^������(��).�r;In�order�to�examine�the�
at-band�and�����<�band-edge���conditions,���w���e�consider�the�follo�wing�mo�Gdel�of�����<۵���^������(��):��It���is�giv���en�b�y�the�sum�of�a�narro�w�triangular�one�����<�and�8*a�wide�square�one�and�the�c���hemical�p�Goten�tial�is�just�����<�at�UUthe�p�Geak�of�the�triangle�in�suc���h�a�w�a�y�that������2Ƶ����������(��)��=��c����������፴n���q~�(��)�8�+�(1����c�)�����������፴w���y1�(��)�;����ʮ��(4.4)�������<�where�UU����^�����፴n���q~�(��)�and�����^�����፴w���y1�(��)�are�giv���en�b�y��9@�����m�����������፴n���q~�(��)��=����捓�8��	��>����>����>����>����>����>����>����<����>����>����>����>����>����>����>����:�������������<$����2����w�fe�=�	(֍�w����n���������R���^���!�Ʋ1��8����������������������������<$��
0ʵ����w�feC1�	(֍e����nd������������$������$�����$�����$������y���^���P9��;���YI'e����nd��bH�������0����ҟ�=�������<$��U�2�����w�fe�=�	(֍�w����n��������U����^���!�n�1��8����������������������������<$��
y"�����w�fe��	(֍e����nu�����������ԫ��������������������s)���^���P�
�;���YI'�0��������e����nu���������,�X�0��;���YI'�<�e����nd��	�0�;���e����nu�����<��������;����ʮ��(4.5)����8�Ս��<�with�UU�w����n��8��=���e����nu��d���8�e����nd��	�0�,�and��%������g�����������፴w���y1�(��)��=����򍓫8��	��>����<����>����:�����l΍������<$��.Ҳ1���ڟw�fe
��	(֍�w����w���������;���(ze����w�08d��
i��������e����w�08u����hҟ����.Ҳ0��;���(z�<�e����w�08d��
��;���e����w�08u��
���<������x];����ʮ��(4.6)����%�����<�with�oϵw����w���=���e����w�08u��(ĸ��1�e����w�08d��
��.��6F��*�or�the�sak���e�of�simplicit�y��*�,��nour������<�examination�ovis�restricted�to�a�realistic�case,�u�where�a�
at�����<�band�ZNlies�within�broad�bands:�{��e����nd��j��<��a�0��<�e����nu��
+�,�[��e����w�08d��
rD�<��0��<�����<�e����w�08u��3��,�UUand��w����w��	@I����w����n���Ӳso�that������8������������፴n���q~�(0)���������������፴w���y1�(0)�:����ʮ��(4.7)�������<�It��is�also�assumed�that�the�quasi-particle�densit���y�of�states������<�is�UUnormalized�in�suc���h�a�w�a�y�that��j����<�~��c��Z�����i��F��+�1��@��Bn�1���W'��d����������(��)��=�1�:��㖍��<۲Then,�UUthe�carrier�densit���y�p�Ger�site�is�giv�en�b�y�������+�b����2d�n�������=������L2(2�l�k@�+�8�1)������c��Z�����i�����+�1��@��8�1����v�df���(��)�����������(��)����q֍����=������L2(2�l�k@�+�8�1)��������^����Ƶc�����<$��33�j�e����nd��	�0�j��33�w�fe�k�	(֍����w����n������p��+�(1����c�)�����<$��33�j�e����w�08d��
��j��33�w�fe��	(֍����w����w�������?����^����i;r�:������Ү��(4.8)���������<�Here,�\.Luttinger's��6sum�rule�or�the�F��*�ermi-surface�sum������<�rule����^��?���W��^��;��?���
��is�UUmade�use�of.�����<�In�_'Eq.�(��??��
�n�),��d�c��is�the�w���eigh�t�_'of�the�triangular�part.��Ho���w-�����<�ev���er,�t�it�;4is�nev�er�a�free�parameter�in�this�pap�Ger.�#cWhen�����<�Eq.�u(��??��
�n�)�is�satised,�.�our�mo�Gdel�is�nothing�but�the�
at-�����<�band��Lmo�Gdel.�	`�Suc���h�a�
at-band�mo�del�is�sim���ulated�b�y�����<۵���^������(��)��Kwith��c���'��1�=�(2�l�+-�+���1).�<oWhen��Kin���terband�transfer�terms�����<۵E����l�
`��l��㑲(�k�)�ىare�small,��Kon�the�other�hand,�all�the�2�l�s��+�AI1�bands�����<�are�F,degenerate.�l�Suc���h�a�mo�Gdel�is�sim�ulated�b�y�����^������(��)�with�����<۵c���=�1�UUor��c���=�0.�����<�It�UUfollo���ws�that��#ˍ�����x䍒�S�~�������P����s�����ز(0)�����W=������E�c������2��|s�����������፴n���q~�(0)�A����n�����֟��^�������<$��
�ոj�e����nd��	�0�j��
�՟w�fe�k�	(֍����w����n��������s���^����)Eǲ+�8�(1����c�)������2�������������፴w���y1�(0)�A����w����Ή���^�������<$�����j�e����w�08d��
��j�����w�fe��	(֍����w����w�������!�ٟ��^������������E�+�c�(1�8���c�)�����������፴w���y1�(0)������\�"��������<$����2�e����nu�����w�fe��	(֍��ӵw����n��������A����nw����	����^�������<$��O��j�e����w�08d��
��j��O��w�fe��	(֍���e����nu�������([����^����1�S�+����"����b+�����<$��332�j�e����nd��	�0�j��33�w�fe�l�	(֍���w����n������7ҵA����nw����	����^�������<$��J��e����w�08u���O��w�fe�k�	(֍�j�e����nd��	�0�j������'TL���^�������.�����\#����4��;������Ү��(4.9)���������<�with��#͍����\|�A����n��q~�(�x�)������M=�����!�������<$��33�2��33�w�fe�	(֍3��������fg���\�(����t��1�8�+���������l�x������b�����*��x��+�3(1����x�)������b������l���feC���	(֍�aǲ1����x������I�v�ln��S�u�x��������)!��+���������33(1�8���x�)������b�����*��(1����x�)�+�3�x������b������33���fe\���	(֍�+~5�x������`ē�ln��i�(1�8���x�)������\�)����;�;������ͮ��(4.10)�����'G����	���A����w��y1�(�x�)��=���2������b�����*��x�����ln�����x�8�+�(1����x�)����ln��	��(1����x�)������b������;����ͮ��(4.11)����#č��<�and��#ˍ���Z�A����nw��j��(�x�)��=��ln����x�8�+�(�x��+�1)������2���'�ln����'���^������1�+�����<$��ǡ1��l�w�fe��	(֍�x������
Vb���^����:oC���x:����ͮ��(4.12)����c09����?l����s��A�m�����')�� illustration fig4.eps scaled 370����������@l����������|׻FIG.��g4.���A��usolid���line�sho��9ws��A�����n��7�(�x�),��Pa�dotted�line��A�����w��R�(�x�),�and�����<�a�Tbrok��9en�line��A�����nw��
���(�x�).�������<ܲThe���instabilit���y�condition�(��??��
�n�)�is�more�easily�satised���ԍ��<�for�:�smaller���x䍑wx~������P����s�����[�(0).�
!�Fig.���??��Q��sho���ws��A����n��q~�(�x�),���A����w��y1�(�x�),�and�����<۵A����nw��j��(�x�).�R�Note��Cthat��A����n��q~�(0)��J=��A����n���(1)�=�0;�ź�A����w��y1�(0)�=�����<۵A����w��y1�(1)��G=�0;�~�A����nw��j��(0)�=�0�prand��A����nw���(�x�)�increases�only�loga-�����<�rithmically�UUwith�increasing��x��in�suc���h�a�w�a�y�that���.�����A����nw��j��(�x�)��=��ln����x�8�+�����<$��l3��l�w�fe�	(֍2������'+�����<$��G�1��l�w�fe
��	(֍3�x������C������<$��۲1��l�w�fe3��	(֍12�x���r�2��������+������������ͮ��(4.13)������������9������S�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	���������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������$���������������������������������)�����+�,�-�����������������0�1�����3�4�5�6�7�8�9�����;�<�=�>�?�����A�B�����E�����F�G�����I�����������������L�M�����������������������������������������O�P�Q�R�S�T�U�V�W�X�������������Y�����������������[�\�]�^�_�`�a�b�c�����f�g�h�i�j�k�l�����n�o�p�q�r�s�t�u�v�w�x�y�z�{�����~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������@���������������������������������@�@�@�������������������������������������������������������������������������������������������������������������@�������������������������@�������������������������@�@�@���������������������������������������������������������G�����������������������������J���������Q�����S�������������������������U�������������������������W���������������������Y�����[�������������������������������������j�j�j�j�j�������������������������������������������������n�o�p�q���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
���������������������������������������� �!�������������"�#�$�%�&�������������'�(�)�*�+�����-�.�����/�0�1�2�3�4�5�6�7�8���������������������������������������������;���������������������������������������������@�����A�����B�����������������������������=�����������������������������E�F�����G���������������������H�I�L�����������������N�O�����������������Q�R�S�T�U�V�W�X�Y�Z�[�\�]�^�����`�a�����c�d�����f�g�h�i�j�k�l�m�n�����p�q�����s�t�u�v��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!���������������������$�%�&���������������������)���������������������-�.�/�����1�2�3�4�5�����7�8�9�:�;�<�=�����������������?�@�A�B�����D�E�F�����H���������R�R�������������������������S�����U�V�����X�������������Y�Z�[�\�����������������������������\�]�^�������������_�`�a�����������������c�d�e�f�g�����i�j�k�l�m�n�o�����������������q�r�s�t�u�v�w�x�y�z�{�|�}�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�������������������������������������������������������������������������������������������������� �!�"�#�$�%�&�'�(�)�����+�,�������0�1�2�3�����5�6�7�8�9�:�;�<�=�>�����A�����B���������������������E���������F�����L�����M�O�����������������Q�R�S�T�U�����������������������������W�X�����������������Z�[�����]�^�_�`�a�b�c�d�����f�g�����i�j�k�l�����n�o�p�q�r�s�t�����v�w�x�y�z�{�|�����~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
����������������������������������������������������!�"�������������������������������������*���������������������������������+���������������������,�������������������������������������������������������������������������������������������������������������8���������������������������������:�;�<�����=�A�������������������������C�������������������������D�E�F���������������������������������M���������������������P�Q�R�����������������T�U�V�W�X�����������������������������X�Y�Z�[�\�]�^�����������������`�a���������g�������������������������i�������������������������k�����s�����t�v�����������������x�y�����{�|�}�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
�������
���������������������������������������������������� �����������������#�����%�&�'�(�����*�+�,�-�.�/�����1�2�3�����5�6�7�����9�:�;�����=�������������>�?�@�A�B�C�D�����F�������������G�H�I�J�����K�L�M�N�����P�Q�����S�T�U�V�����������������������������X�Y�����������������[�\�]�����_�������������`�a�b�����d�e�����g�h�i�����k�l�m�n�o�p�q�r�����t�u�����w�x�y�������������z�����|�����~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������&�����������������������������*�����������������������������(�����������������������������,�����4�����5�����8�9�:�����<�=�>�������������?�@�����C�����D�������������������������������������������������\�����������������������������`�����������������������������^�����������������������������b�����j�����k�����������������m�������������������������������������s�����������������������������s�����������������������������s�����������������s�����������������s�����������������s�����������������s�����������������s�����������������s�����������������������������s�����������������s�����������������s�����������������s�����������������s�����������������s�����������������s�����������������s���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������0�������������������������������������������������������������������������������������������������0�������������������������0�����������������������������������������������������������������8�������������������������:���������������������>�������������������������������������F�����������������������������F�����������������F�����������������F�������������������������������������������������������������_���������������������������������������������������������������������������������������������_�������������������������_�_�����������������������������������������������������������������e�����������������������������������������e�����������������������������e�����������������������������e�������������������������������������������������m�����������������������������p�����������������������������u���������y����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������1�����������������������������5�����������������������������3�����������������������������7�����?�����@�����������������B�������������������������������������H�����������������������������H�����������������������������H�����������������������������H�����������������H�����������������������������������������������������������������������������������������|�������������������������������������������������������������������������������������������������|�������������������������|������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�������������������������#�������������������������$���������������������%�������������������������(�������������)�������������������������+���������������������,�������������������������/�������������0�������������������������3�����������������5�����������������6�7�����9�:�;�����=�>�?�������������@�����B�C�����E�F�G�H�I�J�K�L�M�����N�����������������O�����������������Q�R�S�����������������������������������������U�V�W�X�Y�Z�[�\�]�^�_�����������������a�b�����d�e�f�g�h�i�j�k�l�m�����o�p�����r�����t�u�v�w�x�y�z�{�|�����~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�����������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����"�������������������������������������1�1�1�1�1�������������������������������������6�7�����������������9�:�����<�=�>�?�����A�B�C�D�E�F�G�����I�J�K�L�����N�O�P�����R�S�T�U�V�W�X�Y�Z�[�\�]�^�_�����a�b�c�d�e�f�������������g�����i�j�����l�m�n�o�p�q�����������������������������������������s�t�����������������v�w�x�y�z�{�|�}�~��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�������������������������������������%�&�'�����(���������������������)�����������������*�+�����������������������������������������0�������������������������������������������������=�����C�����������������������������������������3�9�����������������������������K�S�U���������������������V�����^�����`�����e�������������������������g�������������������������i�����q�����r�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������;�����������������������������������������;���������;�����������������������������=�>�����������������@�A�B�C�����E�F�G�����I�J�K���������������������������������Q�R�����������������T�U�V�����X���������c�c�������������������������d�e���������������������h���������k�l�����n�o�p�����r�������������s�t�u�v�����w�����������������y�z�����|�}�~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)���������������������������������������������������������������������������������������������������
���
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�#�$�%�&�'�(�)�����+�,�����-�.�/�����1�2�����4�5�6�������������7�8�9�:�;�<�����>�����?�������������������������������������E�������������������������G�������������������������H�����P�����Q�����������������T�U�V�W���������Z���������������������a���������c�����d�����e�f�����g���������������������h�����������������i�j�m�����������������o�p�q�r�����������������t�u�������������v�w�x�y�z�{�|�����~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"���������������������$�����&�(���������������������������������.�/�����������������1�2�3�4�5�������������6�7�����9�:�;�<�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������[�������������������������������������]�^�_�������������������������������������b�����������������������������������������g�������������������������i�������������������������n�����������������������������r�����������������������������p�����������������������������t�u�v�����z�������������������������|����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������/�����/�������������������������/�/���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������/�������������������������/�����������������������������������������1�������������������������4�5�������������������������������������������������?���������������������������������������������������������W�����W�������������������������W�������������W�������������������������W�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������W�������������������������W�W�������������������������������������������������������������]�����������������������������`�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#���������������������������������$�����������������&�����������������������������������������������������L���������������������������������L���������������������������������L���������L�����L�L�L���������L���������L�����L���������������������������������L�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������L���������L���������L�����������������������������������������P�P�������������������������R�����������������������������������������������������u��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������.�������������������������1�2�������������������������4�����5�����6�����������������8���������<�<�������������������������>���������������������@�����B�����C���������D�����E�F�������������������������H�����������������������������K�K�������������������������������������������������P�������������������������R�����T�������������������������������������������������_�������������������������������������������������������������������������������������������������_���������������������������������������������������������e�����������������������������g���������h�j�������������������������������������y�y�y�y�y�y�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������k�k�k�k�����������������k�k�����������������k�����������������k�k�k�k�k�����������������k�k�k�k�����k�k�k�������������k�k���������k�������������������������k�������������������������k�����k�����k�k�����������������k�����k�k�k�k�k�k�����k�k�k�k���������k�������������������������k�������������������������k�����k�����k�k�����k�k�k���������������������������������������������k�����������������k�k�k�k�������������k�k�����k�k�k�k���������k�������������������������k�k�������������������������k�����k�����k�k���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
���������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!�����#�$�%�������������������������������������(�������������������������+�,�������������������������.�����/�����0�2�����������������4�5�6�7�����������������9�:�;�<���������?�������������������������?�������������������������D�E�F�����������������G���������I�������������������������I�������������N�O�P�����R�����S�U���������������������X�������������������������X�������������������������]�^�_�����a�������������������������������������c�������������������������c�������������������������h�i�j�����������������l�����m�o���������������������r�������������������������u�v�������������������������x�y�z�����{�����|������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)���������������������������������������������������������������������������������������������)�)�����)�������������������������)�����������������������������������������+�������������2�����������������2�����2�����������������������������������������A�A�A�A�A�A���������������������������������������������������������������������������������S���
$~��,�����:u��ŋ������&:u���<۲for����x��1���1.�k�When�the�c���hemical�p�Goten�tial�is�around�one������<�of���the�band-edges,��ferromagnetism�is�fa���v�ored.�x�On���the�����<�other�E_hand,��a�A����n��q~�(�x�)�and��A����w��y1�(�x�)�tak���e�their�largest�v��q�alues�����<�at��z�x����=�1�=�2;�0��A����n��q~�(1�=�2)�=���(2�=�3)��N+�(8�=�3)����ln����2���=�1�:�1873�������������<۲and��4�A����w��y1�(1�=�2)�V6=�2����ln����2�=�1�:�38629���������
UO�.�sdWhen�the�c���hemical�����<�p�Goten���tial�Z8is�around�the�band�cen�ter,��qferromagnetism�is�����<�disfa���v�ored.�S�This���is�one�of�the�reasons�wh���y�the�band-edge�����<�condition�� is�desired�to�b�Ge�satised�for�itineran���t-electron�����<�ferromagnetism.��!�`��6���B.���Flat-band�mo�K�del���.���<ܲConsider�UUthe�limit�of��w����w��y1�=w����n��8��!���+�1��or��䒍��.������������፴w���y1�(0)�=����������፴n���q~�(0)���!��+0����Ů�(4.14)�������<�in�UUthe�case�of�nonzero��c��(�c��>��0).�q�In�UUthis�limit,��f�����x䍑�~�������P����s���� ���(0)�=����������(0)��=��cA����n����&�(��	U
�j�e����nd��	�0�j�=w����n���q~�)���4N��:����Ů��(4.15)�������<�Note���that��c��,�'��1�=�(2�l���+���1)���is�smaller�than�unit���y��*�.�[�This�is������<�one�xof�the�reasons�wh���y�ferromagnetism�is�fa�v�ored�in�the�����<�
at-band�UUmo�Gdel.�q�Eq.�(��??��
�n�)�v��q�anishes�in�the�limit�of��䒍��E3��l��x�!���+�1����Ů��(4.16)�������<�or�����51��j�e����nd��	�0�j�=w����n��8��!���+0�:����Ů��(4.17)�������<�Eq.���(��??��
�n�)�is�nothing�but�the�band-edge�condition.�-{Then,������<�the��linstabilit���y�condition�(��??��
�n�)�with��X����s��	�˲=�@�0�b�Gecomes�����<�quite�UUsimple�as��䒍��2��1�8��������b�������\q��9�~�������7�����s����	ǵ=���\q��P�~����������
����������b�����sS�<���0�:����Ů��(4.18)����5ݍ��<�In�u�the�Kondo�problem,���\q���~������~�����s����
���=���\q��P�~����������
�����вis�called�the�Wilson�ra-�����<�tio.�=mCall��7it�the��lo��}'c�al��7�Wilson��7ratio�in�this�pap�Ger.�In�gen-�����<�eral,���it��)is�close�to�unit���y�in�the�lo�w�densit�y�limit�of��n���!��+0�����<�and�&is�larger�than�unit���y�for��n��>��1.�bThe�&carrier�densit�y�is�����<�simply�UUgiv���en�b�y����� _�n���=�2(2�l�k@�+�8�1)�����(���7�j�e����w�08d��
��j�=w����w���y1�)���2�}�:����Ů��(4.19)�������<�When���it�is�close�to�unit���y��*�,���n�%5�'��1,�c���harge���
uctuations�are�����<�substan���tially�� suppressed,���so�that���\q���"~�����������c���������\q��p²~������ ������s�����p�and���\q���"~�����������c��������\q��p²~������ ������o����
���,�����<�as�W8is�examined�in�App�Gendix���??��3��.�wqThen,���it�follo���ws�from�����<�Eq.�UU(��??��
�n�)�that���������\q��c�~������
�����
������'�����<$��s��3���\q��P~����������s������K�w�fe&.9�	(֍�2(2�l�k@�+�8�3)�����-��+�����<$��
8)4�l�2`�(�l�k@�+�8�1)���\q��P~����������o�����l�w�feB\p�	(֍�(2�l�k@�+�8�1)(2�l��+�3)�����F���:����Ů��(4.20)����⍑�<�In��the�case�of��U��3�=���U����^��0���A�and��J��Q�=�0,��it�follo���ws�that���\q��P�~�����������s������=���\q��~�����������o����
.�,�����<�so�UUthat�the��lo��}'c�al�UU�Wilson�UUratio�is�as�large�as��k|�������<$����\q���#~�������!�����s�����<w�w�fe�
�v���\q��P�~����������
�������*M��=��1�8�+�����<$��]�5�l�k@�+�3��l�w�fe7J��	(֍8�l��2`��r�2��糲+�11�l�k@�+�3�����>��>��1�:����Ů��(4.21)�������<�Here,���\q��Մ~�������������c�����a�=�\�0�H�is�assumed.�K�When��U�s�>�U����^��0��.�or��J�R�>��0,���it�����<�follo���ws�^�that���\q����~�����������s����%�>���\q����~������������o������.��VThe��lo��}'c�al�^��Wilson�^�ratio�is�larger�����<�than�d�Eq.�(��??��
�n�)�so�that�the�instabilit���y�condition,�h�Eq.�(��??���)�����<�or��;(��??��
�n�),���is�satised�in�suc���h�a�case.�xAs�long�as�the�Hund�����<�coupling���is�nonzero�(�J��Q>���0),��the�ferromagnetic�instabilit���y�����<�condition�_is�satised�in�the�
at-band�mo�Gdel�with�large�����<�enough�UU�l����and��d�.�������&:u��<���C.���Band-edge�mo�K�del�����<ܲConsider��the�lo���w�densit�y�limit�of��n�m@�!��+0��in�the�case������<�of�Z4�c�y߲=�1�or��c��=�0.��cAccording�to�the�ab�Go���v�e�argumen�t,�����<�the�?!c���hemical�p�Goten�tial�should�b�Ge�at�the�band�b�ottom.�j`It�����<�follo���ws�#`that���x䍑`E~������P����s�����(�(0)�~�!��+0�#`in�the�limit�of��n�~�!��+0.���The�����<�instabilit���y�UUcondition�is�also�giv�en�b�y�Eq.�(��??��
�n�).���G���<�In�� the�single-band�mo�Gdel,����lim����d���n�!�+0�����*jʟ��b�������\q��0P#�~������/!�����s����9;��=���\q��P�~����������
����������b��������'����1�but��
�K����<�lim���� l���n�!�+0������ҟ��b�������\q���+�~������@)�����s����%{��=���\q��P�~����������
����������b�����@�<����1�Яas�is�sho���wn�in�App�Gendix���??����.���The�����<�sup�Gerexc���hange�'�in�teraction�is�an�tiferromagnetic�in�gen-�����<�eral,��and�7it�v��q�anishes�in�the�limit�of��U���=k����B����T����k�����!���+�1�.�[hThe�����<�single-band�*mo�Gdel�with��n�и!��0�*and��U���=k����B����T����K��˃�!�в+�1��is�����<�close���to�a�quan���tum�critical�p�Goin�t�for�ferromagnetic�insta-�����<�bilit���y��*�.�l�Ho�w�ev�er,�IBthe�F>instabilit�y�condition�is�not�satised.�����<�In���m���ulti-band�mo�Gdels,���on�the�other�hand,�it�follo���ws�����<�that��x!lim���[����l�
`�!�+�1���.-|�lim���<
���n�!�+0�����S�s���b�������\q��Y�̲~������X0ʵ����s����blZ�=���\q��P�~����������
����������b�������=�Vi1�x!for��J�L��=�0�while��
�K����<�lim���� l���l�
`�!�+�1����6�lim���'�ǟ��n�!�+0�����?`-���b�������\q��EE��~������C�������s����N1�=���\q��P�~����������
����������b�����>��>��O�1��Dfor��J���>��0.�ߓThe�sup�Gerex-�����<�c���hange�E#in�teraction�is�ferromagnetic�for�non-zero��J�L�>�Vò0�����<�and��ylarge�enough��l�2`�.��2As�long�as�the�Hund�coupling�is�����<�nonzero�qL(�J���>����0),�xJtherefore,�the�ferromagnetic�instabilit���y�����<�condition��<Eq.�(��??��
�n�)�is�generally�satised�in�the�limit�of�lo���w�����<�densities���(�n��#�!��+0),�large�band�m���ultiplicit�y�(�l��!��#�+�1�),�����<�and�UUlarge�spatial�dimensions�(�d���!��+�1�).���^��?���!�%��C�g�V.���DISCUSSION�����<ܲIn���the�single-band�mo�Gdel,�*�the�sup�erexc���hange�in�terac-�����<�tion���is�an���tiferromagnetic�and�it�v��q�anishes�in�the�large�limit�����<�of��,�U��.�KThe�no���v�el��,exc�hange�in�teraction�is�an�tiferromag-�����<�netic�Πfor�almost�half�lling,�,�for�example,�according�to�����<�Fig.�����??���c�.�ըTherefore,��the���ground�state�m���ust�b�Ge�an�tiferro-�����<�magnetic�(�or�close�to�a�an���tiferromagnetic�critical�p�Goin�t�in�����<�the�}Xthermo�Gdynamic�limit�of�small��hole��densities�discussed�����<�in���In���tro�Gduction.���F��*�erromagnetic�instabilit�y�cannot�o�Gccur�����<�in�n�this�limit.���Nagaok��q�a�and�Thouless's�ferromagnetism�is�����<�a�UUsingular�p�Goin���t�as�a�function�of�carrier�n�um�b�Gers.�����<�Kanamori's���result���^��?����can�also�b�Ge�explained�within�the�����<�framew���ork��]of�this�pap�Ger.���Both�the�
at-band�and�band-�����<�edge���conditions�are�satised�in�Kanamori's�mo�Gdel.�;�Then,�����<�the�3�no���v�el�exc�hange�in�teraction�is�ferromagnetic�so�that�����<�the�Ȯground�state�m���ust�b�Ge�a�paramagnetic�state�close�to�����<�a���ferromagnetic�quan���tum�critical�p�Goin�t.�P�One�can�argue�����<�that�{=ferromagnetic�instabilit���y�can�o�Gccur�in�Kanamori's�����<�mo�Gdel���if�a�w���eak�ferromagnetic�sup�erexc���hange�in�teraction�����<�is���phenomenologically�included;��the�sup�Gerexc���hange�in�ter-�����<�action�w�cannot�b�Ge�ferromagnetic�in�an���y�single-band�mo�del.�����<�In�	 the�
at-band�mo�Gdels�considered�b���y�Mielk�e�and�����<�T��*�asaki,����^��?���W��^��;��?���;��?���;��?����?�dieren���t���orbits�are�lo�Gcated�at�dieren�t�p�Go-�����<�sitions�C�within�a�unit�cell.�k�In�general,�GUthe�Coulom���b�in�ter-�����<�action�2�b�Get���w�een�dieren�t�p�Gositions�is�m�uc�h�w�eak�er�than�����<�the���on-site�one.��kTheir�mo�Gdels�corresp�ond�to�the�case�����<�of��8�U�U>��:�0,����U����^��0��ߎ�=�0�and��J��s�=�0�in�Eq.�(��??��
�n�)�within�the�����<�framew���ork�"�of�this�pap�Ger.��When��U����^��0���and��J��are�small�or�����<�when�~�U����^��0���
�=����J��9�,��Othe�deriv��q�ation�of�the�sup�Gerexc���hange�in-�����<�teraction���in�this�pap�Ger�breaks�do���wn,�j�as�is�implied�b�y�����<�Eq.�6(��??��
�n�),�Q�where�its�denominators�v��q�anish.��iOnce�a�large�����<�enough�v�but�still�small��U����^��0��\R�(�U����^��0��䅵>��1J��9�)�b�Get���w�een�v�dieren�t�or-�����<�bits��dis�in���tro�Gduced,��hthe�form�ulation�of�this�pap�Ger�can�b�e�����<�applied��Jto�suc���h�v��q�arian�t�mo�Gdels�of�Mielk�e�and�T��*�asaki's.�IA�����<�strong�="ferromagnetic�sup�Gerexc���hange�in�teraction�exists�in�����<�suc���h�'mo�Gdels.��This�argumen�t�implies�the�existence�of�a�����<�strong��Pferromagnetic�exc���hange�in�teraction�or�an�eectiv�e���������<�10����N������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������E�F�G���������������������J���������������������M���������O�Q�����������������S�T�U�V�����X�Y�Z�����\�������������]�^�_�`�a�b�c�����e�������������f�g�h�i�����j�k�l�m�����o�p�����r�s�t�u�v�w�����y�z�{�����������������������������������������}�~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
�����������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������"�����"�����"�������������������������������������%�&�'���������������������*�������������������������,�������������������������-�.�����/�����0�1�����������������3�����5���������������������8�8���������������������:�����=�����>�����?�����@�A�B�C�D�������������������������J�����J�����J�������������������������L�����������������N�O�P�Q�����S�T�U�����W�������������X�Y�Z�[�\�]�^�����������������������������`�������������a�b�c�d�������������e�f�g�h�����������������j�k�����m�n�o�p�q�r�����t�u�v�����x�y�z�{�����}�~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������������������������������
����������������������������������������������������������:�:�����������������:�:�:�:�:�:�:�:�:�����:�:�������������:�:�:���������������������������������������������=�>�?�@�A�B�C�D�����������������G�H�I�����K�L�M�N�O�����Q�R���������U�������������������������W�������������������������Y�[�������������������������]�������������������������h���������������������j�����p���������s�t��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7���������������������������������9�:�;�����=�B�������������������������D�������������������������E�F�G�����������������J���������M�O�������������������������Q���������������������������������W�������������������������\�����]�������������������������`�a�������������������������c�����e�g�������������������������i�����������������������������p�����������������������������s���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������������������������������������������������������������������ �����������������!�"�#�$�%�&�'�����)�*�����,�-�.�����0�1�2�3�4�����6�7�������������������������������������������������[���������������������g���������������������h�����n�������������������������������������}�}�}�}�}�}���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
������������������������������������������������������������������������� �����������������"�#�$�%�&�'�(�)�*�+�������������,�����.�/�0�1�2�3�4�5�6�����8���������I�I�������������������������J�����M�N�O�P�����X�����Z�������������������������\�������������������������^�����������������_�����b�������������c�d�e�f�g�h�����������������������������j�k�l�m�n�����������������p�q�r�s�t�u�����w�x���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������)���������������������������������,�-�����/�0�1�2�3�4�����6�7�8�����:�;�<�=�>�?�����A�B�C�����������������������������C�D�E�F�����������������H�I�J�K�����������������M�N�����P�Q�R���������Y�Z�����������������[�����\�]���������������������m�n�o�p�q�r�����������������t�u�v�w�x�����z�{�����}�~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������
�������������������������������������������������������������������� �!�������������"�#�����%�����&�������������������������������������;���������������������=�����?�A�B�����C���������������������D�����������������E�F�������������������������L�������������������������N�����O�������������������������R�������������S�������������������������U�����V�W�������������������������Y�����������������������������`�����������������������������c�������������������������������������r�r�r�r�r�r�������������������������������������v�w�x�y�����������������{�|�����~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������#��������������������������������%����������������������������'(����������������*+����-./01234����67����9:;������������<=>?@������������MM������������������������N����������������PQRST����������������VW����YZ[\]������������^_����abcd����������������������������fgh����������������j��������{{������������������������|����~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������!!!!!!������������������������������������������������%&����������������()*����,-./����12��������5��������������������6��������������������7����������������������������������������>������������������������ABC��������F��������������������G����HJ����������������NO����QRSTU������������VW����YZ[\��������������������������������������������������������������������������������������������������������l��������������������������������n��������������������������������������������������������������������������������������������������������}������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������*����*��������������������*����*��������������������������������������������������������������������������������������������*����*������������������������������������*������������������������*����**����*��������������������*����*������������������������������������,��������-����/������������������������������������>>>>>>������������������������������������������������BCDEF��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������V��������������������������������X����������������Y����������������\]����_`abcdef����������������hijk��������n����������������p����r����������������������������������������y������������������������|}������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������ !"#$%&'(����������������*+,����.��������??������������@����������������������������BC����������������E��������WW������������������������XY����������������[\����^_`abdef����hi����klm������������n����p����rstuv����������������xy����{|}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	��������������������
��������������������������������������������������������������������������������11����������������111111111����11������������111������������������������������������������������456789:;����������������=>?����AB������������C����EFGHIJ����K����MNOPQ����ST��������W��������������������c��������ef����������������ij����lmn����pqrs��������������������������������������������uv��������������������y��������������������z����{����~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��������#��������������������/��������124����������������678��������������������������������:;<=>?@ABC������������D����������������FGHIJKLMN����PQ����STUV����XYZ����[\����^����_����abc����e��������ww������������������������xy��������������������������������������������}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������0������������������������������������������������������������6��������������������������������8��������������������;����������������?@����BC����EFG������������HI����KL����NOP������������QRSTU������������bb������������������������c����������������ghi��������������������������������klm������������nopqr������������stuvw����������������yz����{|}~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������+��������������������-����3��������67��������������������������������9:;<=����������������?@����B����DEFG������������HIJ����LMNOPQRS����U������������VWX����Y����[\]����_`abcdefghijk����mnopqr��������������������������������rstuv������������w����������������x����������������z{����|����}~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������			��������������������������������������������������������������������������������������������������������#������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������1��������������������������������3��������������������������������������������������������������������������������������������������������G������������������������������������������������������������N��������������������������������P����������������Q����������������UVW��������Z��������������������[����\����_`abc������������������������������������������������iii������������������������������������������������l����������������x����z�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������												
	����	
		����								��������	����������������	��������������������	��������������������������������	 	!	"����������������	$	%	&	'	(����	*	+	,	-	.	/��������	2����������������	4����������������	6	7����	9	:	;	<����	>	?����	A	B	C����	E	F	G	H����	J	K	L	M	N	O	P	Q����	S	T��������������������������������	V	W	X	Y	Z	[	\����������������	_����	`����������������	a��������������������	b	c	e����������������	g	h	i	j	k	l	m	n	o	p����	r	s	t����	v	w	x	y	z	{	|	}	~		�	�	�����	�	�	�	�	�	�	�	�	�	�������������	���������������������������������	�	�	�	�	�	�	�	�	�����������������	�	�	�����	���������	�	�������������������������	�����	�	�����	�	�	�	�	�	�	�	�	�����	�	�	�	�	�
s	�	�����	�	�����	�	�	�����	�	�	�	�	�����	�	�����	�	�������������	���������������������������������	�	�	�	�	�	�	�	�	�����������������	�����	���������������������	���������	�	�	�	�����������������	�	�	�	�
����



����
������������

	









����
����
����
��������������������
!��������������������
"����
(����
)
+��������������������������������
-
.
/����������������
1
2
3
4
5����
7
8
9
:
;
<
=����
?
@
A
B
C
D
E
F
G
H����
K����
L��������������������
W��������
X����
^����
_
a������������������������
r����������������������������������������������������
�
�����������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�������������������������������������������������
�
�����������������
�
�
�����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�����
�
�������������
�
�
�
�����������������
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�
�
�������������
�
�
�
�
�����
�
�����
�
�������������������������������������������������	����������������
��������!"����%����������������&'()*+,����./����123����56789����;<=>?��������������������������������AB��������������������E��������������������G����������������IJK����MN������������O����PQ����������������STU����VWXYZ����\]����^_`abcdef����hi����kl����mnopqrstuvw��������������������������������wxyz{����������������}~����������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
������������
���� !"����$������������%&'����(����*+��������������������������������-./����������������123456������������789:;<=����?@ABC����EF����HIJKL��������STUV��������YZ[\]^_`a����cdefghijk��������������������������������mn����������������pq������������rst������������uvwxyz{|�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������






����
����

����

������������



��������������������������������
@
A
B
C
D
E
F
G
H
I����������������
K
L
M
N
O
P������������������������
_������������������������
a
b
c����
e
f
g
h����
j������������
k����
m
n
o
p
q
r
s
t
u����
w
x
y
z
{
|����
~

���������������������������������
�
�
�
�
�
�������������
�
�
�����������������
�
�����
�
�
�
�����
�
�
�������������
�
�
�����������������
�
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�
�
�
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�
�
���������������������������������
�
�
�
�����������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�����
�
�
�����
�
�
�
�
�t
�
�����
�
�����
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�����
�
�������������
�
�
�
�����������������
�
�
�
�
���������������������������������
�
�
�����������������
�
�������������
�����
�
�����
�
�
�����
�
�
���������	

������������ !����#$%&��������������������������������()*����������������,-./01����34567����9������������:;<����>������������?����A����CDEFGHIJKLMN����PQRST����VWXYZ����\]��������������������������������_����������������abcdefghijklm����opqr������������stu����wxyz{|}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	

���� !"����������������$%&����()*������������+,-./������������01234����67����89:;��������������������������������;<=>?@����������������CDEFGH����J������������K����MNOPQRSTUVWXY����[\����^_������������`����bcdefghijkl����no����pqrs���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
X������������������������������������ ������������!"#$%����'(����*+X./01����2����4������������56��������������������������������6789:;<����������������>?@ABC����E����GHIJ����LMNOP����������������RS����UVWXYZ[\����������������^_`����bcdefg������������h����jk����lmno��������������������������������opqrst����������������v������������wx������������y����z{|����~X����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !������������"#$����������������&'����)*+,����./0������������123����������������5678��������;����������������������������������������B������������������������EFG��������J��������������������MNO����QRSTU����WX��������������������������������Z[\]��������������������`����������������������������������������g������������������������h��������������������i��������������������k����������������mno����qrstu����������������vwxyz����|}�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	

��������������������������������!����������������������������������������(������������������������-����.����������������������������������������5������������������������7����������������8��������������������9����<������������=>������������?����@AB����������������DEXHIJK����L����NOP��������������������������������PQRS����������������UV����XY������������Z[\������������]^_`ab����������������def����hijk����lmnopqr����tu����wxyz����|}~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
����
������������ ����"#$%&'()*����,-����/��������������������������������123456����������������89:;<=>?@ABCD����FGH������������IJKLM����OP����QRSTUVWXY����[\����^_����aXdefgh����i������������������������������������������������������������XX������������N�� �Eà�,�����:u��ŋ������&:u���<۲strong�$mHund�coupling�in�the�
at-band�mo�Gdel�of�Mielk���e������<�and��vT��*�asaki's,��<whic���h�corresp�Gonds�to�the�ferromagnetic�su-�����<�p�Gerexc���hange�8�in�teraction�considered�in�this�pap�Ger.�hThis�����<�is��another�reason�wh���y�ferromagnetism�is�fa�v�ored�in�the�����<�
at-band�UUmo�Gdels.�����<�Argumen���ts�=Ron�the�
at-band�condition�in�Sec.���??��W�are�����<�restricted��to�a�rather�realistic�case,�5where�a�
at�band�����<�lies��
within�broad�bands.�D�If�the�h���ybridization�or�mixing�����<�b�Get���w�een��
at�and�broad�bands�is�strong�as�it�is�in�our�����<�mo�Gdel,�Z�the�&mtreatmen���t�of�this�pap�er�can�b�e�extended�to�����<�the�Nwcase�where�a�
at�band�lies�outside�broad�bands.�o}Be-�����<�cause���of�crystalline�elds�in�cubic�lattices,�	for�example,��d�����<۲orbitals��Qsplit�in���to��d��and��d
�>��m�ultiplets.���A��9mo�Gdel�where�����<�only�ޙ�d��or��d
�lѲm���ultiplet�is�tak�en�in�to�accoun�t�corresp�Gonds�����<�to��ܵl��x�=��1�or��l��=��1�=�2,��[while�a�mo�Gdel�where�all��d��orbitals�are�����<�tak���en��,in�to�accoun�t�corresp�Gonds�to��l�3�=���2.�NMAlthough�the�����<�sup�Gerexc���hange�m|in�teraction�is�denitely�ferromagnetic�for�����<�large����l�2`�'s,��&whether�it�is�ferromagnetic�or�an���tiferromagnetic�����<�dep�Gends��rather�sensitiv���ely�on��l��n�in�the�region�of�small��l�2`�'s�����<�suc���h�jas��l��x�=��1�and��l��=��2,��as�are�sho���wn�in�Figs.���??���B�and���??��
�ز.�����<�Not�1�only�orbitals�around�the�c���hemical�p�Goten�tial�but�also�����<�all���other�orbitals�far�from�the�c���hemical�p�Goten�tial�should�����<�b�Ge��tak���en�in�to�accoun�t�for�a�quan�titativ�e�discussion�on�����<�the�magnitude�of�the�sup�Gerexc���hange�in�teraction�as�w�ell�����<�as�Z�its�signs.��*It�is�in���teresting�to�extend�the�theory�of�this�����<�pap�Ger���to�treat�suc���h�mo�dels�with�non-degenerate��d��or��f�����<۲orbitals���and�mo�Gdels�without�the�symmetry�of�Eqs.�(��??��
�n�)�����<�and��(��??��
�n�).��kSuc���h�extensions�seem�to�b�Ge�indisp�ensable�to�����<�explain��fquan���titativ�ely�itineran�t-electron�ferromagnetism�����<�in�UUactual�metals�or�allo���ys.�����<�It���is�assumed�in�this�pap�Ger�that�only�electrons�or�holes�����<�exist.�ӈIt�u�is�also�in���teresting�to�extend�the�theory�to�treat�����<�ferromagnetism��lin�semimetals,��where�electrons�and�holes�����<�co�Gexist.�����<�Because���the�sup�Gerexc���hange�w�as�originally�deriv�ed�in�����<�insulating��phases,��it�is�con���tro�v�ersial��whether�or�not�it�����<�exists�X*in�metallic�phases.�zGThe�deriv��q�ation�of�this�pap�Ger�����<�is�*�based�on�Eq.�(��??��
�n�)�together�with�the�W��*�ard�iden���tit�y�.���^��?������<۲It��vis�ob���vious�that�the�sup�Gerexc�hange�in�teraction�exists�����<�ev���en�)�in�metallic�phases�as�long�as�the�Mott-Hubbard�����<�splitting��exists.��jWhen�lo�Gcalized�lev���els�are�so�deep�that�����<۵����a��s��I��op���k����B����T����K�����,�S�Eq.��(��??��
�n�)�is�a�go�Go�d��appro���ximation�����<�only���for��j�"����n��q~�j�����k����B����T����K�����.�In���this�case,��Gutzwiller's�nar-�����<�ro���w��quasi-particle�band�app�Gear�at�the�c�hemical�p�Goten-�����<�tial��zb�Get���w�een�the�lo�w�er�and�upp�Ger�Hubbard�bands.�I7The�����<�system�lois�a�metal�b�Gecause�of�Gutzwiller's�band.��Ho���w-�����<�ev���er,���Gutzwiller's�z�band�pla�ys�no�role�in�the�pro�Gcess�of�����<�the���sup�Gerexc���hange�in�teraction.�R7When�lo�Gcalized�lev�els�are�����<�so�7�shallo���w�that������a���g���������p����@�>����J���@Ӹ�����H��k����B����T����K�����,�p�Eq.�(��??��
�n�)�is�a�rather�����<�go�Go�d�%Qappro���ximation�ev�en�for�the�vicinit�y�of�the�c�hemi-�����<�cal��p�Goten���tial;�6�according�to�Eq.�(��??��
�n�),�Athe�mass�enhance-���G���<�men���t��factor�is���\q��?�~�����������
����ͥ�=��1�m����n�[2�l�2`=�(2�l���+�1)],��whic�h��is�consisten�t�����<�with�b\Gutzwiller's�result�giv���en�b�y�Eq.�(��??��
�n�)�in�the�large�����<�limit�r�of��l�*Y�!����+�1�.���Gutzwiller's�band�and�the�lo���w�er�r�Hub-�����<�bard��%band�merge�in���to�a�band�and�the�upp�Ger�Hubbard�����<�band�=/lies�ab�Go���v�e�=/the�merged�band.�i�In�b�oth�the�cases,�Bthe�����<�Mott-Hubbard��splitting�exists�so�that�the�sup�Gerexc���hange�����<�in���teraction�UUexists.�����<�The���sup�Gerexc���hange�in�teraction�in�metallic�phases�can�����<�also��b�Ge�understo�o�d�b���y�the�follo�wing�argumen�t.�-Be-�����<�cause�1the�t���ypical�time�scale�of�quasi-particles,�hwhic�h�is�����<۵O�G�(����h���=k����B����T����B���),�Vis��m���uc�h�longer�than�that�of�pair�excitations�����<�of���electrons�or�holes�across�the�Mott-Hubbard�gap,��_whic���h�����<�is�s��O�G�(����h���=U��)�or��O�������b�������t����h��
�t=�(�U����^��0��2k��M�J��9�)������b������W�,�{<all�the�exc���hange�pro�cesses�������&:u���<�can�ob�Ge�nished�while�a�pair�of�quasi-particles�meet�o�cca-������<�sionally�"and�part�again.��$As�long�as�the�Mott-Hubbard�����<�splitting�nlexists�and�Eq.�(��??��
�n�)�is�satised,���therefore,�the�����<�sup�Gerexc���hange�5Oin�teraction�w�orks�b�Get�w�een�quasi-particle�����<�pairs�UUthat�o�Gccasionally�come�close�to�eac���h�other.�����<�The���no���v�el�exc�hange�in�teraction�considered�in�Sec.���??������<۲is�׵similar�to�the�double�and�the�RKKY�דexc���hange�in�ter-�����<�actions,�eac���h��Vof�whic�h�arises�from�that�of�pair�excita-�����<�tions�rhof�conduction�electrons.�&#The�double�and�the�RKKY�����<�exc���hange��Din�teractions�are�essen�tially�the�same;��in�man�y�����<�cases�#�the�double�exc���hange�in�teraction�seems�to�stand�for�����<�the�wl�q����=�0�comp�Gonen���t�of�the�RKKY�w!exc�hange�in�terac-�����<�tion.��-Ho���w�ev�er,��*the���no�v�el�exc�hange�in�teraction�is�totally�����<�dieren���t��pfrom�the�double�or�RKKY��Aexc�hange�in�teraction.�����<�When��the�RKKY��or�double�exc���hange�in�teraction�is�de-�����<�riv���ed,��/the��jexistence�of�lo�Gcalized�spins�are�assumed.�_The�����<�double��or�RKKY���exc���hange�in�teraction�is�an�exc�hange�in-�����<�teraction�krw���orking�b�Get�w�een�lo�Gcalized�spins�in�metals.��On�����<�the�6�other�hand,��Nthe�no���v�el�6�exc�hange�in�teraction�w�orks�����<�b�Get���w�een�)�itineran�t�quasiparticles.�	�The�strength�of�the�����<�RKKY���or���double�in���teractions�is�in�v�ersely�prop�Gortional�to�����<�the��width�of�conduction�bands,�(�while�the�strength�of�the�����<�no���v�el�
0exc�hange�in�teraction�is�prop�Gortional�to�the�band-�����<�width�UUof�quasiparticles.�����<�Because��Vthe�lo�Gcal�or�in���trasite�part�of�the�RKKY���or�����<�double��0exc���hange�in�teraction�can�pla�y�no�role,��its�in�trasite�����<�part��should�b�Ge�subtracted.�^�Then,�'�whether�the�RKKY�ror�����<�double�q�exc���hange�in�teraction�is�ferromagnetic�or�an�tiferro-�����<�magnetic��dep�Gends�on�the�p�osition�of�the�c���hemical�p�oten-�����<�tial.�X%The��tband-edge�condition�also�applies�to�this�case.�����<�When�V�the�c���hemical�p�Goten�tial�is�at�the�top�or�b�Gottom�re-�����<�gion�UQof�conduction�bands,�it�is�ferromagnetic.�q�When�the�����<�c���hemical��p�Goten�tial�lies�in�the�cen�ter�region�of�conduction�����<�bands���or�the�nesting�of�the�F��*�ermi�surface�is�signican���t,�����<�it��Ris�an���tiferromagnetic.�Q�The�situation�is�similar�to�that�����<�for�UUthe�no���v�el�UUexc�hange�in�teraction.�����<�The��Rdouble�or�RKKY��1exc���hange�in�teraction�arises�from�����<�the�Wlsecond-order�p�Gerturbation�in�the��s�-�d��exc���hange.�$When�����<�the����s�-�d��exc���hange�in�teraction�is�ferromagnetic,��rthe�v�olume�����<�of�glthe�F��*�ermi�surface�is�simply�giv���en�b�y�the�n�um�b�Ger�of�con-�����<�duction�Jelectrons.���In�the�band-edge�mo�Gdel,�:the�RKKY�����<�exc���hange��+in�teraction�is�ferromagnetic�and�metallic�fer-�����<�romagnetism�%Ois�p�Gossible.�a�F��*�erromagnetism�caused�b���y�this�����<�t���yp�Ge�>pof�the�double�or�RKKY�>)exc�hange�in�teraction�is�noth-�����<�ing�b�but�ferromagnetism�examined�b���y�Zener.���^��?����It�should�����<�nev���er�Tb�Ge�called�itineran�t-electron�ferromagnetism,�TVbut�it�����<�is�UUlo�Gcal-momen���t�ferromagnetism�in�metals.�����<�When�)Qthe��s�-�d��exc���hange�in�teraction�is�an�tiferromag-�����<�netic,�\lo�Gcalized�Z�spins�m���ust�b�e�screened�b���y�the�Kondo�ef-�����<�fect.�7The�N�analogy�b�Get���w�een�N�the�p�erio�dic�an���tiferromagnetic�����<۵s�-�d���mo�Gdel�and�the�p�erio�dic�Anderson�mo�del�implies�that�����<�when�!bhigher-order�pro�Gcesses�in�the��s�-�d��exc���hange�in�terac-�����<�tion��are�considered�the�double�or�RKKY��exc���hange�in�ter-�����<�action��should�b�Ge�replaced�b���y�a�similar�one�to�the�no�v�el�����<�exc���hange�ein�teraction�studied�in�this�pap�Ger.��%The�analogy�����<�also��%implies�that�the�v���olume�of�the�F��*�ermi�surface�m�ust�b�Ge�����<�giv���en��Rb�y�the�n�um�b�Ger�of�total�electrons�or�b�y�the�sum�of�����<�those�b�of�conduction�electrons�and�lo�Gcalized�spins.��	When�����<�the��yv���olume�of�electron�or�hole�F��*�ermi�surface�is�small,��this�����<�exc���hange���in�teraction�m�ust�b�Ge�ferromagnetic.��gF��*�or�exam-�����<�ple,��assume��$that�there�is�only�a�single�conduction�band.�����<�Denote��vthe�a���v�erage��vn�um�b�Ger�of�conduction�electrons�p�er�����<�site��bb���y��n����c���.���When�the�n�um�b�Ger�of�lo�calized�and�screened�����<�spins�E�is�tak���en�in�to�accoun�t,����n����c��jJ�=�Wi1�corresp�Gonds�to�the���������<�11����f�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������klmnop����������������rstu����wxyz{|}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������������!"������������#����%&'()*+,-./012����45����78����9����:;<=����?@����CDE����������������������������HIJKLMNO����������������QR������������STUVW����������������������������[\]^_`a������������bc����������������ef����hij����mnopqrst����vwxyz{|}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
����������������������������������������
���������������������������������������� !����#$%&'����)*����,-./01����34����67����9:����<=����?@A����������������������������CD������������EFGH����������������JKL����������������NOPQRSTU������������V����XY����[\]^����`ab����cd����fgh����j����k����mnopqrst����vw����������������������������yz{����������������}~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
����������������
�������������������������������������������� !"#$%����������������'()*+����-.������������/0��������3;��������>?@��������CI��������������������L����MNOPQRSTUV����������������Y����������������[\������������]^_����abcde����������������������������ghij��������������������mu��������xy��������|������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
��������������������������������������������������������������������!"#����������������������������%&'������������()*+,������������-./01����������������34����56789:;<=����?@����BCaFGHIJK����MNOPQRSTUVWXY����[\]����������������������������_`abc��������������������f����������������hij����������������lmnopqr����tu����wx����z{|}~�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	������������������������������������������������11������������������������2����������������������������456����������������89:;����=>?@ABCD����FGHIJK����MNO����Q������������RSTUVWX����Z������������[\]^����_`ab����def����hijk����������������������������mno����������������qrstu����wxyz{|}~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
������������������������������������������������������������ !"����������������$%����'(����*+������������,-./01234����67����9:;<=>����@AB����DEFGHI����KL����NOPQ����������������������������STU������������VW����������������YZ����\]^_`����bcd������������e����gh����ijkl����nopq����stuvwxyz{|}~������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������
�������������������������������� !"����$%&'()*+����,-./012345����789:;<=>?@ABCD����������������������������FG����������������IJKLMN����PQRSTU����WX����Z[\]������������^_`����������������������������de����������������gh����jklmnop����rs����uvwx����z{|������������}~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	����
��������������������������������������������������������������������YZ[\]^_����������������abc����efg������������hijkl������������mnopq����s����tu����wxyz{|}~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	
����
���������������������������������������� !"#$%����'()*����,-.����0����������������123����5678������������9:;����<����=������������������������H������������������������������������JK����������������MN����PQ������������RSTUV����XYZ[����]^_����abc������������defgh����ijklm����op����qrstuvwxy����{|}~����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	����
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������''������������������������(����*+����-����/0������������1����2����������������45678������������9:;<=>?@����������������������������BCDE����������������HIJ��������M����X������������������������X������������������������]����������������a��������c������������������������c������������������������h������������������������h������������������������n����������������pq����������������stuv����xyz{|����������������~���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	������������

������������!"#$%����������������'(������������)*����������������������������*+������������,-.����������������0123456789:;����������������=>?@����CDE����FG����IJ����LMNO����QR����TUV����XYZ������������[\]^����`a����������������������������cde����������������ghi������������jklmn������������opqrs����uv����wxyz{|}~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������� ����"����#$%&'����������������������������'()����������������+������������,-./������������01234����������������6789:;<=>����@A����CDE����G��������RR������������������������ST����������������VWX����Z[\]����_`abcdef����������������������������������������fgh������������i����������������mnopqr����tu�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������  �������� �������������������� �������������������� ���� ���� ����������������       ! " # $ % & '���� ) * + ,���� . / 0���� 2 3 4���� 6 7������������ 8���� 9 :���������������� < = > ?���������������������������� ? @ A B���������������� D E F G���� I J K L M���� O P������������ Q R���� T���� V W X Y���� [ \ ]���� _ ` a���� c d e������������ f g���� i j k l m n o���������������������������� q r s t���������������� v w x y���� { |������������ }������������ ~���� ���������������� � � ����� � � � � � ����� � � � � ����������������� � ����� ����� � � ����� � � ����� � � � � � ����������������� � � ����������������������������� � � � � � � � � � � � ����������������� � � � � � � � � ����� � � � � � ����� � ����� � � � ����� � � ����� � � ������������� � � � � ������������� � � � � ����������������������������� � ������������� � � � � � � � � ����������������� � � � � � � �����������������������������!�!�!�����������������!�!�!�������������!�!�!�!�!�������������!�!�!�!�!�����!�!�����!�!�!�!�!�!�!�!�!�����!�!�����!�!�!�!�!�!�!�!�����!�!�!�!�!�!�����!�!�!�����������������������������!�!�!�!�����������������!�������������!�����!�"""""""����"����"����"
������������"����"
""����"""""����""""����"""""" "!����"""#����������������"%"&"'����������������������������"'"(")"*"+����������������"-"."/����"1������������"2"3"4"5"6"7����"9":";"<����">"?"@"A"B����"D"E����"G"H"I"J"K"L"M"N"O"P"Q"R"S"T"U"V����������������"X"Y"Z"[����"\����"^"_��������������������������������"b����������������"c����"h��������������������"h��������������������"i"j������������������������"j������������������������"o������������������������"o������������"t"v����������������"x"y����������������"{������������"|"}����"~����"�"�"�"�"�"�����"�"�"�"�����"�"�"�"�����"�"�����"�"�"�"�����"�"�"�"�"�"�"�"�"�"�"�����������������������������"�"�����������������"�"�"�"�"�"�"�"�"�����"�"�����"�"�"�"�"�����"�"�"�"�"�"�����"�"�"�����"�"�"�"�"�"�"�"�"�"�"�"�����"�"�"�"�����������������"�"�"�"�������������"�����������������������������"�"���������������������"�����������������"�����"���������������������"���������������������"�"���������������������"�����"�"���������"�������������������������������������"�������������������������������������"���������������������"���������������������"�����"�����#����������������������������������������#������������������������#
��������������������#��������������������#
��������������������������������#��������������������������������#����������������###����###����## #!������������#"###$#%#&����#(#)#*����#+#,#-#.#/#0����������������������������������������������������������������#2#3#4����������������#6������������#7����$P#;#<#=#>#?#@����#B#C#D#E#F����#H����#J#K#L#M����#O#P����#R#S#T#U#V#W#X#Y#Z#[#\#]#^#_#`����#b#c#d#e����#g����#h#i#j#k��������������������������������������������#k#l#m#n#o#p#q#r����������������#t#u#v����#x#y#z#{����#}#~##�#�#�����������������#�#�����#�#�#�#�����#�#�����#�#�#�����#�#�#�#�#�#�#�#�#�#�#�#���������������������������������#�#�#�#�#�#�#�#�#�����������������#�#�#�#�#�#�����#�#�#�����#�#�#�����#���������#�#�������������������������#�����#�#�����#�#�#�#�#�$P#�#�#�����������������#�#�#�#�#�#�#�#�#�#�����#�#�#���������������������������������#�#�#�������������#�#�#�#�#�������������#�#�#�#�#�����������������#�#�����#�#�#�#�#�#�#�#�$����$����$$$$����$������������$	$
����$����$$
$����$$$$$$$$$$$$$$��������������������������������$$ $!$"$#����������������$%$&$'$(����$*������������$+$,$-$.$/$0$1$2$3$4$5����$7$8$9$:����$<$=$>$?$@����$B$C����$E$F$G������������$H����$J$K$L$M$N$O��������������������������������$�$�$�����������������$�$�������������$�����$�$�����$�$�$�����$�$�$�$�$�����$�$�����$�$�$�$�$�$�$�$�$�����$�$�$�$�$�$�$�$�$�$�����$�$�����$�$�$�$�������������$�$�����������������������������������������$�$�����������������$�$�$�$�$�$�$�����$�$�����$�$�$�����$�$�$�$�$�$�����$�$�$�����$�$�$�����$�$�$�$�����������������$�$�$�������������$�$�$�$�$�����$�$�����$�$�$�%��������������������������������%%%%%%%%����������������%	%
%������������%����������������%%����%%%%����%����%%%%%%����%%% %!����%#%$%%%&����%(%)����%+%,%-%.����%0%1%2%3%4%5%6��������������������������������%6%7%8%9%:����������������%<%=����%?%@%A%B%C%D%E%F%G%H����%J%K%L%M%N%O%P%Q%R%S����������������%V%W%X����%Z%[%\%]%^%_����%a%b%c����%e%f%g����%i%j%k%l��������������������������������%n%o%p������������%q%r%s%t%u����������������%w%x����%y%z%{%|%}%~%%�%�%�����%�%�%�����%�%�%�%�%�����%�%�%�%�%�%�����%�%�%�����%�%�%�%�%�����������������%�%�����%�%�%�����%���������������������������������%�%�%�%�%�����������������%�%�%�����%�%�%�%�%�%�����%�%�%�������������%�%�%�%�%�����%�%�����%�%�%�%�%�%�%�%�%�����%�%�%�%�%�����%�%�����%�%�%�%�%�����%�%�%���������������������������������%�%�%���������������������%���������������������%�����%�����%�%�%�%�������������%�%�%�%�������������%�����%�%�����%�%�%�����&&&&����������������&&&����&&	&
&&����&&����&&&&&&��������������������������������&&&&&����������������&&������������&����&&����& &!&"����������������&$&%&&����������������&(&)����&*����&+&,����&.&/&0����&1&2&3&4&5����&7&8����&9&:&;&<&=&>&?&@&A����&C&D����&F&G&H&I&J&K&L��������������������������������&N&O(�&R&S&T&U������������&V����������������&X&Y&Z&[����&]&^&_����&a&b&c&d&e&f����&h&i����&k&l&m&n����������������&p&q&r����&s&t&u&v&w����&y&z����&{&|&}&~&&�&�&�&�&���������������������������������&�&�&�&�����������������&�&�&�����&�&�&�&�����������������&�&�����&�&�&�&�&�&�����&�&�&�������������&�&�&�&�&�����&�&�����&�&�&�&�&�&�&�&�&�����&�&�����&�&�&���������������������������������&�&�&�������������&�&�&�����������������&�&�&�����������������&�&�&�&�&�&�&�&�&�����&�&�����&�&�������������&�&�&�&�&�&�&�����&�&�&�&�&�����&�&�&�����&�&�&�&�&�&�&�&�����������������&�&�&���������������������������������&�&�&�&�&�&�����������������&�&�����&�&�&�&�����������������'''������������'''''����'	'
����'''
''''''����''����''����'''����''' '!'"����'$'%'&��������������������������������'&'''(')'*'+','-'.����������������'0������������'1'2'3'4'5'6����'8������������'9':����';����'<'='>����'@'A������������'B'C'D'E'F'G'H����'J'K'L'M'N����'P'Q����'S'T'U'V'W'X'Y����������������'['\��������������������������������'^'_'`����������������'b'c'd'e'f����'h'i'j'k'l����������������'n'o'p����'r's������������'t����'u'v����������������'x'y'z����'{'|'}'~'����'�'�����'�'�'�'�'�'�'�'�'�����'�����'�'�'�'���������������������������������'�������������'�'�������������'�����'�'�'�����������������'�'�'�'�'�'�'�'�����'�����'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�����������������'�'�'�����'�'�'�'�'�'�'�'�����'�'�����'�'�'���������������������������������'�'�'�'�����������������'�'�����������������'�'�'�'�'�'�����'�'�������������'�'�'�'�'�'�'�'�'�'�����'�'�����'�'�����'�����'�'�'�'�'�'�����'�'�'�'�������������'�'�'�'�'�'�'�'�����((��������������������������������(((����������������(((	(
(����(
(����((((((((((����(((((( ����������������("(#($(%(&����((()(*����(,(-(.(/(0(1(2(3����(5(6����(8(9(:��������������������������������(<(=������������(>����(?(@����������������(B(C(D����(E(F(G(H(I����(K(L����(M(N(O(P(Q(R(S(T(U����(W(X����([(\(](^������������(_(`(a(b(c(d(e(f����(h(i����(k(l(m����(o(p(q(r(s��������������������������������(s(t(u(v(w����������������(y(z����(|(}(~((�(�(�(�(�(�(�(�(�(�(���������������������������������(�(�(�(�(�(�(�����������������(�(�(�����(�(�������������(�(�(�����(�(�����(�(�������������(�(�(�(�(�(�(�����(�(�(�(�����(�(�����(�(�(�����(�(�(�(�����������������(�(���������������������������������(�(�(�(�(�(�����������������(�(�(�������������(�(�(�(�(�����(�(�����(�(�(�(�(�(�(�(�(�����(�(�(�����(�(�(�����(�����(�(�����(�(�(�(�(�����������������(�(�(�����(�(�����(�(�(�(�(�(�(���������������������������������(�(�(�)����������������))))))����)	������������)
����))
)))))))))����������������)))))����������������))) )!)")#)$����)&)')(����)*)+),)-����������������)/)0��������������������������������)2)3)4)5)6)7����������������)9):);������������)<)=)>)?)@����)B)C����)D)E)F)G)H)I)J)K)L����)N)O����)Q)R)S)T)U)V)W)X)Y)Z)[)\)]����)_)`����)b)c����)d)e)f)g)h)i)j)k��������������������������������)k)l)m)n)o)p)q)r����������������)t)u)v������������)w)x)y)z����)|)}����))�)�����)�����)�)�)�)�)�)�)�����)�)�����)�)�)�����)�������������)�)�)�)�)�)�)�����)�����)�)�)�)�)���������������������������������)�)�)�)�)�����������������)�)�)�����������������)�)�)�)�)�)�)�)�)�����)�)�)�)�)�)�)�)�)�����)�)�)�)�����)�)�)�)�)�)�)�����)�)�����)�)�)�)�����)�)�)�)�)���������������������������������)�)�)�)�����������������)�)�)�����)�������������)�)�)�)�)�)�)�����)�������������)�)�)�)�����)�)�)�)�����)�)�����)�)�����)�)�)�����***����**����*������������**	*
**����***��������������������������������****����������������**����********* *!����*#*$*%*&*'*(����***+����*-*.����*0*1*2*3*4*5*6*7*8*9*:*;*<*=����������������*?*@*A*B����*D*E*F��������������������������������*H������������*I*J*K*L*M*N*O����������������*Q������������*R*S*T*U����*V*W*X*Y����*[*\*]*^����*`*a����*c*d*e����*g*h*i����*j*k*l����*n*o*p*q*r*s����*u*v����*x*y*z*{*|*}*~**�*���������������������������������*�*�*�*�*�����������������*�*�����*�*�*�����*�*�*�*�*�*�*�����*�*�����*�*�*�����*�����������������*�*�*�*�����*�*�*�*�*�*�*�����*�*�����*�*�*�*�*�+*�*�*�������������*�*���������������������������������*�*�����������������*�*�����*�*�������������*�*�*�*�*�*�*�*�*�*�*�*�*�*�*�*�����������������*�*�*�����*�*�*�*�*�*�*�*�*�����*�*�����*�*�*�*�*�*�*�����*�*�����*�*�*�*���������������������������������*�*�*�����������������*�*�*�����*�+������������+����++����������������+++����++	+
++����++����++++++++++��������������������������������+++ ����������������+"+#+$+%+&+'����+)+*����+,+-+.+/����������������+1+2+3������������+4+5+6+7+8����+:+;����+<+=+>+?+@+A+B+C+D����+F+G+H+I+J+K����+M+N+O+P��������������������������������+R+S+T����������������+V+W+X+Y+Z+[+\+]+^+_+`+a����+c������������+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n����+p+q����+s+t+u��������+x����+z����+|��������++�+�������������+�+�+�+�+�+�����������������+�+�+�+���������������������������������+�+�+���������������������+�����+�����+���������+�+�+�������������+�+�+�+�+�����+�+�����+�+�+�+�+�+�+�+�+�����+�+�����+�+�+�+�+�+�+�+�+�+�+�+�+�+�����������������+�+�+�����+�����+�+�+�+�+���������������������������������+�+�����������������+�+�+�����+�����������������+�+�+�+�����+�+�+�+�+�+�+�����+�+�����+�+�+�+�+�+�����+�+�+�������������+�+�����+�����+�����+�+�+�����+�����+�+�����+�������������+�+�����+�,����,,,,��������������������������������,,,,,	,
,����������������,
,,,,,,,,,����������������,,����,,,����,, ,!,",#,$,%,&,'����,),*������������,+,,,-,.����������������,0,1,2����,4,5,6,7��������������������������������,9,:,;������������,<,=,>,?,@����������������,B,C����,D,E,F,G,H,I,J,K,L����,N,O����,Q,R,S,T,U,V,W,X,Y,Z,[,\,]����,_,`,a����,c,d,e,f,g,h,i,j����,l,m,n,o��������������������������������,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y����������������,{,|����,~������������,,�,�,�,�,�,�,�����������������,�����������������,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�����,�,�,�,�,�,�����,�������������,�����,�,�,�,���������������������������������,�������������,�,�������������,�����������������,�,�����,�,�,�����,�,�,�,�,�,�����,�,�����,�,�,�,�����������������,�,�,�����,�,�,�,�,�����,�,�����,�,�,�,�,�,�,�,�,�����,�,�����,�,�,�,�,���������������������������������,�,�,�����������������,�,�,�����,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�����,�,�,�,�,�,�,�,�����,�������������,�����------������������������������-������������������������--����------��������������������������������---������������- -!����������������-#������������-$����-&-'-(-)-*-+����-.-/-0-1-2-3-4-5����-6-7-8-9-:-;-<-=->-?����-A-B-C-D-E-F-G-H-I-J-K-L-M-N-O����������������-Q-R-S����-U-V��������������������������������-X-Y����������������-\-]������������-^-_-`-a-b-c-d-e-f������������-g����-i-j-k-l-m-n-o-p-q-r-s-t-u-v����-x-y����-{-|-}-~--�-���������������������������������-�-�-�-�����������������-�-�-���������-�����-�����-���������-�-�-�������������-�-�-�-�-�����-�-�����-�-�-�-�-�-�-�-�-�����-�-�����-�-�����-�-�-�-�-�-�-�-�-�-�-���������������������������������-�-�-�-�-�-�����������������-�-�������������-�-�-�-�-�-�-�����������������-�-�-�-�-�����-�������������-�-�-�����-�����-�����-�-�-�-�-�-�-�-�����-�������������-�����-�-�-�����-�-�-�-�-�����-�-�-���������������������������������-�-�-�-�-�����������������-�-�-�����������������-�-�-�....����.������������..������������.����.	.
.����������������.
..����.����....����...����..������������..... .!.".#.$.%.&.'.(.).*������������������������������������.-����./����.1��������������������.4.5������������.6.7.8����.:.;.<����.>.?.@����.B����.C.D.E.F����.G.H.I����.K.L.M.N.O.P.Q.R����.T.U����.V.W.X����.Z.[.\.].^._.`����.b.c.d.e��������������������������������.g.h.i.j����������������.l.m.n.o.p.q.r.s.t.u.v.w����.y.z.{������������.|.}.~..�.�����.�.�����.�.�.���������.�����.�����.���������.�.�.�������������.�.�.�.�.�����.�.�����.�.�.�.�.�.���������������������������������.�.�.�.�����������������.�.�.�����.�.�.�.�.�.�.�.�.�.�����.�.�.�����.�.�.�.�.�.�����.�.�����.�.�.�.�����������������.�.�.�������������.�.�.�.�.�����.�.�����.�.�.�.���������������������������������.�.�.�.�.�.�����������������.�.�.�.�.�.�����.�������������.�����.�.�.�.�.�.�.�.�����.�������������.�����.�����.�.�.�.�.�.�.�����.�.�/����//����///����/	/
����/����//
��������������������������������///������������/////����������������//����/////// /!/"����/$/%/&/'/(/)/*����/,/-����///0/1/2����/4/5/6������������/7/8/9����������������/</=/>����/@/A/B/C/D/E/F��������������������������������/H/I/J/K����������������/M/N/O/P/Q/R/S����/U/V/W/X����/Z/[/\����/^������������/_/`/a/b/c����/e/f����/h/i/j����/l����������������/m/n/o/p����/r/s/t/u/v/w/x����/z����/{/|/}����/������������/���������������������������������/�/�/�������������/�/�����������������/�����/�����/�/�/�����/�����/�/�����/�������������/�/�����/�/�����/�/�/�/�/�����/�/�/�/�/�/�/�/�/�����/�/�����/�����/�����/�/�/�����/�/�/�����/�/���������������������������������/�/�/�/�/�����������������/�/�����/�/�/�/�/�/�/�/�/�/�����/�/�/�/�/�/�/�/�/�����/�/�/�����/�/�������������/�/�/�/�/�/�/�����/�/�/�/�/�/�����������������/�/�/�/���������������������������������/�/�/�����������������/�������������/�/�/�/�/�����/�/�����00000000����0
0����0
000����0����������������0000����0000000����0 0!����0#0$0%0&0'0(����������������0*0+0,0-��������������������������������0/0001������������0203040506����������������0809����0:0;0<0=0>0?0@0A0B����0D����0E0F0G����0I������������0J����0L0M0N0O0P0Q0R0S0T0U0V0W0X0Y����������������0[����������������0\0]����0_0`0a0b0c��������������������������������0c0d0e0f����������������0h0i0j0k0l0m����������������0o0p0q0r����0t0u0v0w0x����0z0{����0}0~00�����0�����0�0�0�0�0�0�����0�0�0�0�0�0�0�0�0�0�����0�0�0�0�0���������������������������������0�0�0�0�0�0�����������������0�0�0�����0�������������0�����0�0�0�0�0�����������������0�����0�0�����0�������������0�0�����0�0�����0�0�0�0�0�0�0�0�0�0�����0�0�0�0�0�0�0�0�0�����0�����0�0���������������������������������0�0�0�0�����������������0�������������0���������0�������������������������0�������������������������0�����������������0�0�0�0�����0�0�0�����0�����0�0�����0�������������0�0�����0�0�����0�0�����0�0�0�0�0�0�0�����111����11111	1
11��������������������������������11111����������������11����111������������11����11����11 ����1"1#1$1%1&1'����1(1)��������������������1,������������������������1,������������������������11����������������12����15161718191:1;������������1<1=1>1?����1A1B����1D1E1F������������������������������������������������������������2�2�������������f��l�j���,�����:u��ŋ������&:u���<۲total�belectron�n���um�b�Ger�b2�p�er�site.��&This�exc���hange�in�ter-������<�action���m���ust�b�Ge�ferromagnetic�for��n����c��	��'��Ҳ1,��"b�ecause�the�����<�band��edge�condition�is�satised.�L:W��*�e�sp�Geculate�that�if�the�����<�critical�URtemp�Gerature�is�m���uc�h�URlo�w�er�than�the�Kondo�tem-�����<�p�Gerature���ferromagnetism�caused�b���y�this�exc�hange�in�ter-�����<�action��m���ust�b�Ge�ph�ysically�the�same�as�itineran�t-electron�����<�ferromagnetism�UUstudied�in�this�pap�Ger.���^��?���!�%��>;��VI.���SUMMAR���Y�����<ܲItineran���t-electron�UMferromagnetism�in�m�ulti-band�mo�Gd-�����<�els��is�examined�within�a�theoretical�framew���ork�of�the�����<�comp�Getition��Qb�et���w�een�the�t�w�o�leading-order�eects�in�1�=d�:�����<�magnetic��5instabilit���y�caused�b�y�W��*�eiss'�mean�elds�or�ex-�����<�c���hange��in�teractions�and�the�quenc�hing�of�magnetic�mo-�����<�men���ts�UUb�y�the�Kondo�eect.�����<�Tw���o��+exc�hange�in�teractions�are�resp�Gonsible�for�ferro-�����<�magnetic��instabilit���y��*�.�LhOne�is�the�sup�Gerexc�hange�in�terac-�����<�tion,��whic���h��arises�from�the�virtual�exc�hange�of�pair�ex-�����<�citations��of�electrons�or�holes�across�the�Mott-Hubbard�����<�gap.���When�i\the�Hund�coupling�is�strong�enough�and�the�����<�band�_ m���ultiplicit�y�is�large�enough,�a�the�sup�Gerexc�hange�in-�����<�teraction�c�b�Gecomes�ferromagnetic.��iThe�other�is�the�no���v�el�����<�exc���hange��@in�teraction�arising�from�the�virtual�exc�hange�of�����<�pair��'excitations�of�quasi-particles,�	1whic���h�is�also�resp�Gonsi-�����<�ble���for�the�Curie-W��*�eiss�la���w.���Its�strength�is�prop�Gortional�����<�to���the�bandwidth�of�quasi-particles,��and�its�signs�dep�Gend�����<�on�Vthe�shap�Ge�of�the�densit���y�of�quasiparticle�states�and�����<�the��[p�Gosition�of�the�c���hemical�p�oten���tial.���This�exc�hange�����<�in���teraction�r�is�ferromagnetic,��Iwhen�the�
at-band�condi-�����<�tion�s�is�satised�so�that�the�densit���y�of�states�has�a�sharp�����<�p�Geak��around�the�c���hemical�p�oten���tial�within�or�outside�a�����<�broad�|�band�or�broad�bands�or�when�the�band-edge�con-�����<�dition�^is�satised�so�that�the�c���hemical�p�Goten�tial�is�at�one�����<�of��Sthe�band�edges.�1�When�the�electron�or�hole�densit���y�is�����<�close���to�unit���y�p�Ger�unit�cell,��\c�harge�
uctuations�are�sub-�����<�stan���tially��#suppressed�so�that�the��lo��}'c�al��#�Wilson��#ratio�is�en-�����<�hanced.��hBecause��5spin�
uctuations�are�more�enhanced�����<�than��orbital�
uctuations�in�the�presence�of�the�Hund�����<�coupling,���the�i��lo��}'c�al��Wilson�ratio�is�also�enhanced.���The�����<�enhancemen���t�E�of�the��lo��}'c�al�E��Wilson�E�ratio�leads�to�the�en-�����<�hancemen���t�x�of�the�no�v�el�exc�hange�in�teraction.��hWhen�the�����<�sum�o�of�the�sup�Gerexc���hange�and�the�no�v�el�exc�hange�in�ter-�����<�actions��o���v�ercomes�the�quenc�hing�of�magnetic�momen�ts�or�����<�the�|msuppression�of�magnetic�instabilit���y�b�y�lo�Gcal�and�in�ter-�����<�site���spin�
uctuations,���a�ferromagnetic�state�is�stabilized�����<�at�UUlo���w�enough�temp�Geratures.�����<�In�Jconclusion,���the�follo���wing�three�conditions�should�����<�b�Ge���satised�in�order�that�a�ferromagnetic�state�is�sta-�����<�bilized�	1at�lo���w�enough�temp�Geratures:�K�(i)�There�are�t�w�o�or�����<�more�@Ythan�t���w�o�@Ybands,�D�(ii)�the�on-site�Hubbard�repulsion�����<�is���m���uc�h�larger�than�the�energy�scale�of�lo�Gcal�quan�tum�����<�spin�!�
uctuations,�T�and�(iii)�the�Hund�coupling�is�strong�����<�enough.��5Some�$or�all�of�the�follo���wing�conditions�should�����<�also��b�Ge�satised:��(iv)�There�is�an�almost�disp�ersionless�����<�band�m'within�broad�ones,�s(v)�the�c���hemical�p�Goten�tial�is�at�����<�the��top�or�b�Gottom�of�bands,��and�(vi)�the�electron�or�hole�����<�densit���y�UUis�close�to�unit�y�p�Ger�unit�cell.��!�%��(���A��CCKNO�WLEDGMENTS�����<ܲThis�k�w���ork�w�as�supp�Gorted�b�y�a�Gran�t-in-Aid�for�Sci-�������&:u���<�en���tic��9Researc�h�(C)��No.�13640342�from�the�Ministry�of������<�Education,��jCultures,�Sp�Gorts,�Science��fand�T��*�ec���hnology�of�����<�Japan.��!�%�� "j�APPENDIX���A:�NON-MAPPED�����TSINGLE-IMPURITY���ANDERSON�MODEL�����<ܲConsider����H����A��
B�giv���en�b�y�Eq.�(��??��
�n�).��pIn�this�App�Gendix,���it�����<�is�UUassumed�that�the�h���ybridization�energy�dened�b�y��'j���o+��=�����<$��
J1���K�w�fe	��	(֍�N���������$����X������M�k��� ��j�v����m�k��`�j������2��|s�����`���b������:��8�+������e����c���(�k�)������b������������(A1)�����捒�<�do�Ges��not�dep�end�on����as�w���ell�as��m��and�the�conduction�����<�bandwidth���2�D���is�m���uc�h���larger�than��U��,����U����^��0���N�and����J��9�.�Q�When�����<۵U�l�=�hQ�U����^��0��M��=��J�^��=�0,��@the��densit���y�of�states�of�lo�Gcalized�elec-�����<�trons�UUis�giv���en�b�y�������!�p�����0��|s�(��)��=�����<$����1���K�w�fe�	(֍����������<$��0�����oϟw�feP�%�	(֍(��8�������a��P�+���)���r�2���S�+����r�2������^^'�:��������(A2)�����{���<�When��Qthe�F��*�riedel�sum�rule�or�the�F�ermi-liquid�relation���^��?������<۲is�made�use�of,��xthe�densit���y�of�states�at�the�c�hemical�p�Go-�����<�ten���tial�UUfor�non-zero��U��,��U����^��0��:��and��J�K��is�simply�giv���en�b�y��q΍��%2��(0)��=�����<$����1���K�w�fedu�	(֍��[ٲ������<�sin���!�����*�2����&,���^�������<$��;���[�n��.�ӟw�fe&.9�	(֍�2(2�l�k@�+�8�1)������U�?���^�����������(A3)�������<�as���a�function�of��n�(ϲ=������P���
�
��m��2;�h�n����m��{1�i�.�!�Our���study�in�this�Ap-�����<�p�Gendix�UUis�also�restricted�to��n��<��1.�����<�In���tro�Gduce�#�innitesimally�small�external�elds�giv�en�b�y�����<�Eq.�UU(��??��
�n�)�with��H����so��
�ϲ=��0,�and�dene��������5�����m��BI�=�������a��P��8���������<$��l�1��l�w�fe�	(֍2�����	�G��[�g����s��F:�����B����H����s�����mg����o��r}�����B���H����o���:��������(A4)�����Ѝ��<�The��|ground�state�w���a�v�e��|function,���,�is�expanded�in�suc���h�����<�a�UUw���a�y�that���^��?���q̍����e�������e�=������������`�h�����������0���S�+����������X������8�m�k����������:�(�m�@L�);(�k���)��$�ѵa�������y���፴�@L���	�˵c����k���b��+���������X������8�kp�����	����:�(�k��@L�);(�p���)��"�R�c���1ɍ�y���v��k����
*
�c����p������㔍�����+���������X��������m�k������������X����ʍ���m����0���s�p���@L���0����,-Ӳ���:�[(�m�@L�)(�m����0���s������0�����);(�p������0���)(�k���)]��V+������@����O��a�������y���፴m���{1�a���1ɍ�y���!��m����0���s���@L���0������c����p���@L���0���
%�c����k���b��+��8����������
㇟��`�i�����k�j�0�i�;����������(A5)��������<�with�UU�j�0�i��the�F��*�ermi�v��q�acuum,�and�it�satises��������.~)[��1EF�E��m��8�H����A���p��H����ext���م�]���y_��=�0�:��������(A6)�������<�In��Eq.�(��??��
�n�),�P���:�[(�m�@L�)(�m����0���s������0�����);(�p������0���)(�k���)]��Y�K�is�an�an���tisymmetrized������<�co�Gecien���t�UUdened�in�suc�h�a�w�a�y�that��������q���:�[(�m�@L�)(�m����0���s������0�����);(�p������0���)(�k���)]������S���=�����������=�����:�(�m�@L�)(�m����0���s������0�����);(�p������0���)(�k���)��O�I���8����:�(�m����0���s���@L���0�����)(�m�@L�);(�p������0���)(�k���)����������8�����:�(�m�@L�)(�m����0���s������0�����);(�k���)(�p������0���)��O�I�+��8���:�(�m����0���s���@L���0�����)(�m�@L�);(�k���)(�p������0���)��Ok�:����������(A7)���������<�Eqs.�UU(��??��
�n�)�and�(��??���)�giv���e�a�set�of�equations�for�'s:����������E��������0���S������<$��	���1��l�w�feuU�
wo�������p���UW�����fe	��wv��N����������糟���X������C�m�k����*,��v�������[ٷ�����k����	Ƭ����:�(�m�@L�);(�k���)��'��=��0�;��������(A8a)�����������<�12���@����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������1H1I1J1K1L����������������1N1O1P1Q1R1S1T1U����1W������������1X1Y����1Z������������1[1\����������������1^����1`����1a1b����1d1e1f1g1h����������������1j1k1l1m����1p1q1r������������1s1t1u1v1w����1y1z����1{1|1}1~����������������������������������������1~11�1�1�1�����������������1�������������1�1�1�����1�������������1�����1�1�1�1�1�1�1�1�1�1�1�1�1�����1�1�1���������1�������������������������1�������������������������1���������������������1�1�����������������1�����1�1�1�1�1�1�����1�1�1�����������������������������1�1�1�1�����������������1�1�1�1�����1�1�1�1�1�1�1�1�1�����1�1�����1�1�1�1�1�2�1�1�1�����������������1�����������������1�����1�1�������������1�1�1�1�1�1�1�����1�1�1�1�����1�1�����1�1�1�����������������������������1�1�1�1�1�1�1�1�����������������2222������������222222	2
����22
����2������������22����2����������������22����2����22����2222����22 2!����2#2$2%2&2'����2)2*2+2,����������������������������2,������������2-2.2/20212223����������������25262728292:2;2<2=2>2?2@2A2B����2D2E2F2G2H2I����2K������������2L����2N2O2P2Q����2S2T2U����2V2W2X2Y2Z����2\2]����2^2_2`2a����������������������������2a2b2c2d2e2f����������������2i������������2j2k2l����2n������������2o����2q2r����2s2t2u2v2w2x2y2z����2|2}2~����2�2�2�2�����2�2�����2�2�2�2�2�2�2�2�����2�2�2�2�2�2�2�2�2�2�����������������������������2�2�2�2�2�2�2�2�2�2�2�2�2�2�����������������2�2�2�2�2�2�2�����2�2�����2�2�2�2�����2�2�2�������������2�2�2�������������������������2�������������������������������������������������2�2�2�����������������2�2�2�2�2�2�����������������2���������������������������������������������2�2�2�2�2�2�2�2�������������2�2�2�2�2�2�3333����������������33333	3
333
33333����33����3����33333333 3!����3#3$������������3%3&����������������������������3&3'3(����������������3*3+����3-3.3/3031323334����363738393:3;����3=����3?3@3A3B3C3D3E3F3G3H3I����3K3L3M3N3O3P������������3Q3R3S����3U3V����3X3Y3Z����������������������������3\3]3^3_������������3`3a3b3c3d3e3f����������������3h����3i3j������������3k����3l3m3n����3p3q3r����3t����3u����3v����3x3y3z3{3|3}3~33�3�3�3�3�����3�4�3�3�3�3�����3�3�����3�����3�3�����3�����������������������������3�3�3�3�3�3�3�3�����������������3�3�3�3�3�3�3�3�3�3�������������3�����3�3�3�3�3�3�����3�����3�����3�����������������3�3�3�3�3�����3�3�3�3�����3�3�3�3�3�����3�3�����3�3�3�����������������������������3�������������3�3�3�3�3�����������������3�3�����3�3�3�3�3�3�3�3�3�3�����3�3�3�����3�3�3�����3�3�3�3�3�����3�3�3�3�����3�3�����3�3�3�3�3�3�3�3�����444����������������������������444������������44����������������4	����4
����44
4����44444����44�4444����������������������������4�4�������������4�����������������4�4�4�����4�4�4�4�4�����4�4�����4�4�4�4�4�4�4�4�4�4�����4�4�4�����4�4�4�4�������������4�4�4�4�4�4�4�����4�4�4�����4�4�4�4�4�4�����������������������������4�4�4�4�4�4�4�4�����������������4�4�4�4�4�4�4�4�4�4�������������4�����������������4�����������������4�4�4�����4�5����555����555������������5	5
555
����55555����55����555555����������������������������55555����������������5!5"5#5$������������5%����������������5'5(5)5*5+5,����5.5/5051����535455����5758595:5;5<5=����5?5@5A����5B5C5D5E5F����5H5I����5K5L5M5N����5P5Q5R����������������������������5R5S5T5U5V5W5X5Y5Z����������������5\5]����5_5`5a5b5c5d5e5f5g����5i5j����5l5m5n5o5p����5s5t5u5v5w5x����5z5{5|����5~55�5�5�5�5�5�5�5�5�5�����������������������������5�5�5�5�����������������5�5�5�5�����������������5�5�5�����5�5�5�5�����5�5�5�5�5�5�5�5�����5�5�����5�5�5�5�5�5�����5�5�5�5�5�5�����5�5�5�����5�5�5�����������������������������5�5�5�5�����������������5�������������5�5�5�5�5�5�5�5�5�5�����5�����5�5�����5�5�5�5�5�����5�5�5�5�5�5�5�����������������5�5�5�����5�5�5�������������5�5�5�5�5�����5�5�5�5�5�����5�5�5�����������������������������5�5�5�5�5�5�5�5�5�����������������6������������666666����6	6
666
666666666����������������666����66666 ����6"6#����6%6&6'����6)6*������������6+����6,6-����������������������������6/6061������������6263646566����������������6869����6:6;6<6=6>6?6@6A6B����6D6E6F6G6H6I6J����6L6M6N6O����6Q6R6S����6U6V6W6X6Y6Z6[����6]6^6_����6`6a6b6c6d����6f6g����������������������������6i6j6k6l����������������6n6o6p6q6r6s6t6u6v6w6x����6z6{����6}6~66�6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�����������������6�6�6�6�������������6�����6�6�����6�6�6�6�����6�6�6�6�������������6�6�6�6�6�����������������������������6�6�6�����������������6�6�6�����6�6�6�����6�6�6�6�6�6�6�����������������6�6�6�6�����6�6�������������6�6�����������������6�6�6�����6�6�6�6�6�6�6�6�����6�6�����6�6�6�6�������������6�6�6�6�6�6�6�6�����������������������������6�6�����������������6�6�6�����6�6�6�6�6�6�6�6�6�����6�6�����6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�6�777����������������777����77	7
����77
777����777������������777����������������������������77����������������777����7 7!7"7#������������7$����7&7'����7)7*7+����7-7.7/707172������������73����7576����78797:7;7<7=7>7?7@7A7B7C7D����7F7G7H7I7J7K����7M7N7O����������������������������7Q7R7S����������������7U������������7V7W7X7Y7Z7[7\����7^7_����7a7b7c����7e������������7f7g7h7i7j7k7l����7n����7o7p7q7r������������7s7t7u7v7w����������������7y7z7{7|����7~77�����7�7�7�7�7�����������������������������7�7�������������7�7�7�7�7�7�7�7�7�����������������7�7�����7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�7�����������������7�7�7�7�����7�7�7�����7�7�7�7�7�7�7�7�����7�7�7�7�7�7�����������������������������7�7�7�7�����������������7�7�����7�7�7�7�7�;�7�7�����7�7�����7�7�7�7�����7�7�7�����7�7�7�7�7�7�������������7�����7�7�����7�7�7�7�7�7�����7�7�7�����7�����7�7�7�7�7�����������������������������7�������������7�7�7�����������������7�7�8888����888����8	������������8
888
888����8����8888������������8888����88888 8!����8#8$����8&8'8(8)8*8+8,����8.����������������������������8081828384����������������86878889����8;8<����8>8?8@8A8B����8D8E8F8G8H����8J8K����8M8N8O8P����8R8S8T����8V8W8X8Y8Z8[8\8]8^����8`8a8b8c����������������������������8c8d8e8f8g8h����������������8j8k����8m8n8o8p8q;�8t8u����8w8x����8z8{8|8}����88�8�����8�������������8�8�8�8�8�8�8�����8�������������8�8�8�8�����8�8�8�8�����8�8�����8�8�����8�8�8�����������������������������8�8�����������������8�8�8�����8�8�8�8�����8�8�8�8�8�8�����������������8�8�8�8�����8�8�8�����8�8�8�8�8�8�8�8�����8�8�����8�8�8�8�����8�8�8�8�8�8�������������8�����8�8�����������������������������8�8�8�8�8�����������������8�8�����8�8�8�8�������������8�����8�������������8�8�����8�8�8�8�����8�8�8�8�8�����������������8�����8�8�8�8�8�����;�9999999999	����999
����9999����������������������������9999������������999999����������������999 9!9"9#9$9%9&9'����9)9*����9,9-9.9/����919293��������9:9;����������������9<����9=9>��������������������9M9N9O9P9Q9R����������������9T9U9V9W9X����9Z9[����9]9^9_����������������������������9_9`9a9b9c9d9e����������������9g9h9i9j9k9l9m����������������9o9p9q9r����;�9v9w9x9y9z9{9|9}9~9����9�9�9�����9�9�9�9�����9�9�9�9�9�9�9�9�����������������������������9�9�9�9�����������������9�9�9�9�9�9�9�����;�9�9�9�9�9�9�9�9�9�9�����9�9�����9�9�9�����9�9�9�9�9�9�9�9�����9�9�����9�9�9�����9�9�9�9�����������������������������9�9�9�9�9�9�9�9�9�����������������9�9�9���������������������9�9�����������������9�����9�9���������9�9�9�9�9�9�����9�9�9�9�9�����9�9�����9�9�9�9�����9�9�9�9�9�9�9�::����������������:::����������������������������::	:
:::
::::������������:����������������::����:::��������: :!����������������:"����:#:$��������������������:3:4:5:6:7:8����������������:::;:<:=:>����:@:A:B:C:D����:F:G����:I:J:K����:M:N:O����������������������������:O:P:Q:R:S:T:U:V������������:W����������������:Y:Z����:\:]:^����:`:a����:b����:c:d����:f:g:h����:i:j:k:l:m����:o:p����:q:r:s:t:u:v:w:x:y:z����������������:|:}:~:����:�:�:�����������������������������:�:�:�����������������:�:�����:�:�:�����:�:�:�������������:�:�:�:�:�������������:�:�:�:�:�����:�:�:�����:�:�:�����:�:�����:�����:�:�����:�:�:�����:�:�:�:�:�����:�:�����:�:�:�:�����������������������������:�:�:�:�:�:�:�����������������:�������������:�����:�:�:�:�:�:�:�����:�:�:�����:�:�:�:�:�����:�:�:�:�����:�:�����:�:�:�:�:�:�:�:�����:�:�:�:�:�����:�:�����:�:�����������������������������:�:�:�����������������:�:�:�:�:�:�:�:�:�:�:�����;;����;;;;;;	;
;����;
;;;;;;;;;������������;����;����;����;;������������;;; ����;";#;$����;&;'����;(;);*;+����������������������������;+;,;-;.����������������;0;1;2;3����;�;7;8;9;:;;;<;=;>;?;@;A����������������;C����;E;F;G;H;I;J;K;L;M;N;O;P;Q����;S;T;U;V;W����;Y;Z����;];^;_;`;a;b;c;d;e;f����������������������������;h;i����������������;k;l������������;m����;o;p;q;r;s;t����;v;w;x;y������������;z;{;|;};~;;�;�;�����������������������������;�;�����������������;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�����������������;�;�;�����;�;�;�;�;�������������;�;�;�;�����;�;�;�;�;�����;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�����;�;�;�;�;�;�����������������������������;�������������;�����������������;�;�;�;�;�=�;�;�����;�;�����;�;�;�;�;�����;�;�;�;�����;�����;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�;�����;�;�;�;�;�����;�;�����;�;�;�;�����������������������������;�;�;�;�;�;�;�����������������;�;�����;�;�������������;�����<<<<<<����<<	<
<������������<<
<<<<<<<����������������<<<����<<<<<����< <!<"����<$����<%����<&����<(<)����������������������������<+<,<-<.����������������<0<1<2<3����<5������������<6����<7����������������<9<:<;<<<=<>����������������<@<A<B<C����<E<F<G����<I<J<K<L<M<N<O����<Q<R<S<T<U<V<W����<Y<Z<[<\<]<^<_<`<a����������������������������<c<d����������������<f������������<g<h����<i����<k<l<m<n<o<p����<r<s<t<u����<w<x<y����<{<|<}<~<<�����<�<�<�<�<�����<�<�����<�<�������������<�<�<�����<�<�<�<�����<�<�<�����������������������������<�<�<�<�����������������=�<�<�<�<�<�<�<�<�<�<�<�����������������<�<�<�����<�<�<�<�<�����<�<�<�����<�<�<�<�����<�<�<�<�<�<�<�<�����<�<�����<�<�<�<�<�<�����������������������������<�<�<�<�<�<�<�����������������<�<�<�<�����������������<�<�����<�<�<�����<�<�����<�<�<�����<�<�<�<�<�������������<�<�<�<�����<�<�<�<�<�<�<�<�<�=����======����������������������������=	=
==����������������=������������=����======�===����������������====����=!="=#=$=%����='=(����=*=+����=-=.=/=0=1=2����=4=5=6=7����=8=9=:=;=<===>=?=@=A����������������������������=C=D=E=F����������������=H=I=J=K=L=M����=O=P=Q=R=S����=U=V=W=X=Y����������������=[=\=]����=_=`=a����=c������������=d=e=f=g=h=i=j����=l������������=m=n=o=p����=q=r=s=t����=v=w����=y=z����������������������������=|=}=~����������������=�=�=�����=�=�����=�������������=�=�=�=�=�����=�=�����=�=�=�=�=�=�����������������=�=�=�����=�=�=�=�����=�=�=�����=�=�=�=�=�=�=�=�����=�=�����=�=�=�=�����������������������������=�=�=�=�=�=�������������=�����������������=�=�����=�=�=�=�=�����=�=�����=�=�=�=�����=�����=�������������=�=�����=�=�=�=�����=�=�=�=�=���������������������������������������������=�������������=�=�=�=�����=�=�=�=�=�=�=�=�=�=���������������������������������������������=�=�=�=�����������������>������������>>>����>����>>����>
>>>
������������>>>>>����>����>����>����>>>>����>>>> >!>">#>$����>&>'>(����>*>+>,>-����������������������������������������������������������������>->.������������>/>0>�>3����������������>5>6>7>8>9>:>;����><����>>>?>@����������������>B>C>D����>F>G>H>I>J>K>L>M����>O>P>Q>R����>T>U>V����>X>Y>Z>[>\>]>^>_����>a>b��������������������������������������������>d>e>f>g>h>i>j>k>l>m����������������>o>p>q>r>s>t>u>v>w����>y>z������������>{>|>}>~>����>�>�>�>�>�>�>�����������������>�>�>�����>�����������������>�>�������������>�>�>�>�>�>�>�����>�>���������������������������������>�>�>�>�>�>�������������������������������������������������>�>�>�>�>�>�>�>�����������������>�>�����>�>�>�>�>�>�>�>�>�>���������������������������������������������>�>�>�>�>�>�>�>�>�>�>�>�>�>�>�����������������>�>�>�>�>�>�>�>�����>�>�>�>�>�������������������������������������������������????????��������������������?������������������������?������������������������?(?)?*������������?+?,����?.����?/����?1?2?3����?5��������?A?A������������������������?B?C����������������?E?F����?H?I?J?K����?M?N?O������������?P?Q?R?S?T?U����������������?W?X��������������������������������?Z?[����������������?]?^?_?`?a?b?c����?e?f?g?h����?j?k?l����?n������������?o?p?q?r?s?t?u?v?w?x?y?z����?|?}?~??�?�����?�?�?�?�?�?�����?�����?�������������������������������������������������?�����������������?�������������������������������������������������?�������������������������������������������������������������������������������������������������?�����������������������������������������������������������������?�������������������������������������������������?�����������������������������?�����?�������������������������?�����?�������������������������?�������������������������?�������������������������?���������������������������������������������?���������������������������������?���������������������?���������?���������?���������?�������������������������?�������������������������?�����?�����@��������������������������������@������������������������������������������������@@@@����������������������������������������������������@@������������@@����������������@@ @!����@#@$@%����@&@'@(����@*@+��������@6��������@9@:����@<������������@=@>@?����@A@B��������@E��������@H@I@J����@L@M@N����@P@Q@R@S@T@U@V@W@X@Y��������������������������������@[@\@]@^@_@`@a@b@c����������������@f����@g��������������������@j@k����@m������������@n@o����@p����������������@r@s@t@u@v@w����@y@z@{@|��������@��������������������@���������������������@�����������������������������@�������������������������@�@�@���������������������@���������������������@�����������������@�@�@�@�������������������������������������@���������������������@���������������������@�����������������������������������������@�������������������������@���������@���������������������@�����@�@�����������������@�@�@�����������������@�@�@�@�@�@�������������@�����@�@�����@�@�@�@�@�@�����@�@�����@�@�������������@�@�@�@�@�@�@�����@�@�@�@�@���������������������������������@�@�@�@�@�����������������@�@�����@�@�@�������������@�@�����@�����@�����������������������������������������������������@�������������������������A������������������������A����A
����A����������������A
������������������������������������������������A������������������������������������������������������������������������������������������������A��������������������������������������������������������������������AS��������������������������������������������������������������������������������������������AS����AS��������������������AS��������AS������������������������AS������������������������AS��������AS����AS������������������������AS������������������������AS����AS������������������������AS����������������������������������������AT������������������������������������AcAcAcAc����������������������������������������������������AgAhAiAj����������������AlAmAn����Ap����������������AqArAsAtAuAv����AxAyAz����A|A}A~A����A�A�����A�A�A�����A�����A�A�A�A�A�A�A�A�A�A�A�����A�A�A�A�A�A�A�A�������������������������A�����������������������������������������A�A�����������������A�A�A�A�����A�A�A�����A�A�A�����������������A�A�A�����A�A�A�A�A�A�������������A�����A�A�����A�A�A�A�A�A�����A�A�����A�A�A�����A�����A�A�A�A�A�A�A�����A�������������A�A���������������������������������A�A�A�������������A�A�A�A�����������������A�A�A�����A�A�A�A�A�A�A�A���������A���������������������A���������A�����������������������������B������������������������BB	B
��������B
��������������������BB����BBBBBB����BBB������������BB����B ����B!����������������������������������������������������B9����B:B;B<����������������B?������������������������������������������������BT������������������������������������������������������������������������������������������������BT����������������BT������������������������������������BYBYBY��������������������������������������������B[������������������������������������������������Bd��������������������������������������������������������Bz������������Bz������������������������������������������������������������������������������������������������BzBzBz����Bz��������������������Bz����������������BzBz��������������������������������������������������������B���������������������������������������������B�B�B�B�����������������������������������������������������B�B�����������������B�����B�B�B�B�B�B�B�B�����B�B���������B���������������������B�����������������������������B���������������������������������������������B�B�������������������������B�����B�������������������������B�B�������������������������B�����B�����������������B�B�B�����������������B�B�B�B�B�����B�B�����B�B�B�B�����B�B�B���������������������������������B�������������B�B�B�B�B�����������������B�B�����B�B�B�B�����B�B�B�B�B�CCCCC����CC��������C
����������������C��������C
C��������������������������������CC������������CCC������������CCCC����������������CCC C!C"C#C$C%C&C'C(C)C*C+����C-C.C/C0C1����C3C4C5C6C7C8C9C:����C=C>C?C@CA����CDCECF����CGCH����CJ����CK��������������������������������CMCNCO����������������CQ��������C\C\������������������������C]����C_C`CaCb��������Ce������������������������ChCi������������������������Ck����������������ClCn����CpCqCr����CtCuCwCxCy����������������������������������������������������C�������������������������C�C�������������������������C���������������������C�������������������������C�������������������������C���������������������C�����C���������C�����������������������������������������������������C���������������������������������������������������������������������������������������������C�������������������������������������C�������������C�������������������������C�������������������������C�������������������������C�������������������������C�������������������������C�������������������������C���������C�C�������������������������C�������������������������C�������������������������C�������������C�������������������������C�������������C�������������������������������������DDDD����������������������������������������������������DDD
����������������DDDDDD����DDDDD����D������������D����D����D����������������D!D"D#D$D%D&D'D(D)����������������D/D1����D4D5����D7D8D9D:D;D<D=D>����D@DA����DCDDDE������������DF��������������������������������DH����������������DJ������������DK����DL����DNDODPDQ������������������������Da������������������������������������������������������������D�������������������������������������D���������������������������������������������������������������������D�������������������������������������D�������������������������D�������������������������D�������������������������������������������������D�������������������������������������������������D�����D�����D�����������������������������D�������������������������D�����D�D�����������������D�D�D�����D�����D���������D�������������������������D�����������������������������D�����������������������������D�������������D�����������������������������D�������������������������D�����E������������������������E������������������������������������������������E������������������������������������������������EE����E)����������������������������E1������������������������E4����E5����EA����������������EBECED����EE����EQ��������ER������������������������EU����������������������������En����������������������������EX����Ed����������������������������Eq������������������������Et����E���������������������������������������������������������������������E�������������������������������������������������E�������������������������������������������������E�����E�����E���������������������������������������������������������E�������������������������������������������������E�������������������������E�������������������������E�����E�������������������������������������E���������������������������������E�������������������������E�E�����E�E�����������������E�E�����E�������������������������E�������������������������F����������������������������F������������������������F	F
F����F
����F����������������������������F ������������F!F"����F#����F/��������F0F1������������������������F8������������������������������������������������������������Fb����Fd����������������������������Fm����������������������������FqFw����������������������������Fy����������������������������F�����������������������������F�������������������������F�������������������������F�������������������������������������F���������������������������������F�������������������������F�����F�������������������������������������F�����������������������������F�������������������������F�����F�������������������������F�������������������������F�����������������F�����F�����������������������������������������������������F���������������������������������F�����F�����F�����F���������������������������������������������GGGG��������������������������������������������������������GGGG��������������������G����G����G!��������G$G%G&����G(����������������G)G*G+G,����G.����������������G/G0G1G2G3G4����G6G7G8����G:G;����G=G>G?G@GAGCGDGE��������������������������������������������������������Gl����������������������������Gn��������������������Gp����������������Gr������������������������Gr������������������������G~����G������������������������G�G�G�����������������������������G�����������������������������G�����������������G�����G�����G�������������������������������������G�G�G�G�����������������������������������������G�G�����������������G�G�G�����G���������G�G�������������������������G�G�����������������G�������������������������G�G�����G�G�����������������G�G�����G�������������������������G�������������������������G�����������������������������G�������������������������G�G�G�����G�����H����������������������������H������������HH
����H����H��������HH������������������������H"H#����H%H&����H(H)������������H*H+H,H-H.H/H0H1H2H3H4H5H6��������������������������������������������H8H9������������H:H=H>H?H@HA������������HB����������������HDHEHGHHHIHJ����HLHM����HOHPHQ����HR����HT����HV����HW����HX����HZH[H\H]����������������������������������������Hw������������������������HzH{����H|H�����������������H�H�����H�������������������������H�������������������������H�����������������������������H�������������������������H�H�H�����H�����H�����������������������������H�������������H�H�����H�����H���������H�H���������������������������������������������H�������������������������������������������������������������H�����������������H�������������������������H�����H�H�����������������II����I������������������������I	������������������������I����������������������������I������������������������III����I����I'����������������������������I.������������I/I0����I1����I=��������I>������������������������IC��������������������IL������������������������IO����IP������������������������IW������������������������I]������������������������������������Id������������������������IeIf����IgIm����������������InIoIs����It����I�����������������������������I�������������I�I�����I�����I���������I���������������������������������������������������������I�����I�������������������������I�����I�I�����������������I�I�����I�������������������������I�������������������������I�����������������������������I�������������������������I�I�I�����I�����I���������I�I�����I�����J����������������������������J
������������J������������������������J����������������J������������������������J����J ������������������������J'������������������������J-������������������������������������J4������������������������J5J6����J7J=����������������J>J?JA����JB����JN��������JOJP����JQ����J]����������������������������Jd������������Je������������������������Jh��������������������������������������������J�J�J�J���������������������������������������������������������J�J�J�J�����������������J���������J�J�������������������������J�����J�J�J�����J���������J�J�������������J�����J�J�J�������������J�����J�����J�J�J�����J�J�����J�J�J�J�J�J�J�J�J�����J�J�J�����J�J�J�J�����������������������������������������������������K,��������������������K3������������������������K5������������������������K7����������������������������������������������������KJ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������KJ����������������������������������������������������������������������������������������������������KJ������������������������������������������������������������������������KO������������������������������������������������KR����KS����K_����������������������������Kb����������������������������������������Ks����������������������������Ke����Ko����������������������������K{������������������������K~����KK�����������������K�K�K�����K�����K���������K�������������������������K�����������������K�����K�������������������������������������K�K�K�K�K���������������������������������������������������������������������N�N�������������@���
���,�����:u��ŋ������)p��������⪟��`�h��������E��m��8�����m����+��e����c���(�k�)������`�i���������:�(�m�@L�);(�k���)��'!�������<$��	���1��l�w�feuU�
wo�������p���UW�����fe	��wv��N��������v����m�k��`�����0���S������i�����������<$��mݲ1��33�w�feuU�
wo�������p���UW�����fe	��wv��N�����������c����X������;��p���%�Եv����m�p��������:�(�p��@L�);(�k���)����������⫸�����<$��mݲ2��33�w�feuU�
wo�������p���UW�����fe	��wv��N���������������X����ʍ��c�m����0���s�p���@L���0����-�>�v�������[ٷ���፴m����0���s�p���T*����:�[(�m�@L�)(�m����0���s������0�����);(�p������0���)(�k���)]��V�G�=��0�;�������g��(A8b)�����,A�������������`�h����=�E��m��8�e����c���(�p�)�+��e����c���(�k�)������`�i���������:�(�p��@L�);(�k���)��%2�+���������7l޸�����DM��33�v���^���[ٷ��፴m�p����33�n�fex��
wo���������p���V������fe	��wv��N������������:�(�m�@L�);(�k���)��'!��+��8����������=��0�;������ƃ��(A8c)�����#@2���#�����:�[(�m�@L�)(�m��);(�p���)(�k���)]��N��=��0�;�����g��(A8d)����!����������d����`�h�����w�E��m��8�����m����������m��������U�O��+���������z+�e����c���(�k�)�8�+��e����c���(�p�)������`�i���������:�[(�m�@L�)(�m����);(�p����)(�k���)]��]�
�����������������<$��33�v����m�p���33�w�fex��
wo���������p���V������fe	��wv��N������������:�(�m�@L�);(�k���)��'!�������<$���C�v����m�k���l�w�feuU�
wo�������p���UW�����fe	��wv��N������������:�(�m���@L�);(�p����)��3�X�+��8����������=��0�;�����ƍ����ƃ�(A8e)����� sq��������.ǟ��`�h�����竵E��m��8�����m����������m����0���s���h����U�������0��4�+��J�/�+��������-�+�e����c���(�k�)�8�+��e����c���(�p�)������`�i���������:�[(�m�@L�)(�m����0���s���);(�p���)(�k���)]��P�)���������h������<$��33�v����m����0���s�p���33�w�fe-�
wo���[ݟ����p���	�4�����fe	��wv��N��������t����:�(�m�@L�);(�k���)��'!�������<$���C�v����m�k���l�w�feuU�
wo�������p���UW�����fe	��wv��N������������:�(�m����0���s��@L�);(�p���)��*ɲ+��8����������=��0�����ƍ����� d(A8f��)����� sq��������ş��`�h�����ө�E��m��8�����m����������m����0���s���������U�������0��4�+��������Ƞ+�e����c���(�k�)�8�+��e����c���(�p�)������`�i���������:�[(�m�@L�)(�m����0���s����);(�p����)(�k���)]��]B+�+����UZ����T�+�J��9����:�[(�m���@L�)(�m����0���s���);(�p����)(�k���)]�����C����T�������<$��33�v����m����0���s�p���33�w�fe-�
wo���[ݟ����p���	�4�����fe	��wv��N��������t����:�(�m�@L�);(�k���)��%w	������<$��ߛ�v����m�k����k�w�feuU�
wo�������p���UW�����fe	��wv��N�������i����:�(�m����0���s���@L�);(�p����)��6�˲+��8����������=��0�;����
���������(A8g)����� sq���������d���`�h�����VH�E��m��8�����m������������m����0���s���h����U�������0��4�+��������K?+�e����c���(�k�)�8�+��e����c���(�p�)������`�i���������:�[(�m���@L�)(�m����0���s���);(�p����)(�k���)]��]B+�+��������K+�J��9����:�[(�m�@L�)(�m����0���s����);(�p����)(�k���)]��]B+�+��8����������=��0�;�������g��(A8h)������L���<�and�UUso�on.�q�In�Eqs.�(��??��
�n�),�(��??���)�and�(��??���),��m���6�=��m���^��0���9�.������<�When�:�small�irrelev��q�an���t�terms�are�ignored,��6it�follo�ws�����<�from�UUEqs.�(��??��
�n�){(��??���)�UUthat�����������<$��9�1���w�fe�:�	(֍�F�c��(�E����)�����{
=�����<$���K���K�w�feUW�	(֍�#���������-}����X������hɴm����I�ln��������)I������)I�����)I�����)I��������<$��U=U�D��-�u�w�feWdS�	(֍E��m��8��E����0���S������r����\n��m�����+�������������i�������i������i������i������i��;��������(A9)����+����<�with��9������8�F�c��(�E����)�������=���������<$��,1����w�fe�r�	(֍��E�����%�x�+�����<$��
��1��l�w�feg�	(֍2�l�k@�+�8�1��������`���\�"��������<$��:3S�1��%�w�fe/Hӟ	(֍�U�O��+�8�����a��P��������W�в+����"������+�����<$����3�l��33�w�feDѱ�	(֍U����r�0��4��8�J�/�+������a��P��������Ip��+�����<$��$=ϵl��l�w�feDѱ�	(֍U����r�0��4�+�8�J�/�+������a��P��������������\�#����OFN�;����������(A10)����������-�~�������E����0���������=�����������<$��33���33�w�feUW�	(֍�#���������
�����\�"�������ln������<$���F�D���F�w�fe���	(֍��������'��+�8�2����ln������<$���ڵD���+��U���ڟw�fe�v�	(֍�
c�U��������"�����+3�l����ln������<$��
:�D���+�8�U����^��0��4���J��
:�w�fe2;T�	(֍�
c�U����r�0��4��8�J�����B���+�8�l����ln������<$��
:�D���+��U����^��0��4�+��J��
:�w�fe2;T�	(֍�
c�U����r�0��4�+��J��������@~����\�#����FT�;����������(A11)�����qэ��<�and��5����������������፴m���BI�=�������a��P��8�g�������[ٷ���፴c��������������<$��l�1��l�w�fe�	(֍2�����	�G��[�g�����������፴s��������B����H����s����8�mg�����������፴o��������B����H����o��r}�:��������(A12)�����Ѝ��<�Here,�UU�g���^���[ٷ��፴c������,��g���^���[ٷ��፴s���J�and��g���^���[ٷ��፴o����are�renormalized��g��.�factors:��������� 	�g�������[ٷ���፴c����ղ=��1��8+�����<$��
JP1���k�w�feʟ	(֍2�l����+�1��������[����b������l�R�ǲ(�U��)�+�3�l�2`R��(�U�������0��s����J��9�)�8�+��l�2`R��(�U�������0��s��+��8�J��9�)������b�����*��;���������(A13)����*g�������<$��%���g���^���[ٷ��፴s����%���w�fe	�ǟ	(֍�WB�g����s������3kͲ=��1�8�+�����<$���2�l��l�w�feg�	(֍�2�l�k@�+�1�����`�R�ǲ(�U�������0��4���J��9�)�;��������(A14)���������<�and������������<$������g���^���[ٷ��፴o��������w�fe	�ǟ	(֍�A �g����o����������
<ʲ=������1�8�+�����<$��
��1��l�w�feg�	(֍2�l�k@�+�1�����`�R�ǲ(�U��)����M׍����+�����<$��332�l�k@��8�1��33�w�feg�	(֍2�l�k@�+�8�1�������x(���^�������<$��#�y�3��#�y�w�fe�	(֍4�����*%��R�ǲ(�U�������0��4��8�J��9�)�+�����<$��l1��l�w�fe�	(֍4�����	�G�R��(�U�������0��4�+��J��9�)����^������ֵ;����������(A15)�����qύ��<�with�������i;�R�ǲ(�x�)��=�����<$���K4(2�l����+��81)���K�w�fe+.@�	(֍�����������0[����^�������<$��G�4�1��6��w�fe&jK�	(֍�x��8�+������a��d���������`�m������<$���I�1��l�w�fe7�m�	(֍�D��U�+��8�x��+������a��d����������<{����^�������:��������(A16)�������<�Eq.��c(��??��
�n�)�should�b�Ge�discarded�for��l����=�b.0.���Note�that��g���^���[ٷ��፴c���V�>������<�g���^���[ٷ��፴s������=g����s���X����g���^���[ٷ��፴o����=g����o�����>��1;��ݵg���^���[ٷ��፴s����=g����s���X�=��g���^���[ٷ��፴o����=g����o���ײwhen�`Z�U��9�=��U����^��0��E��and�����<۵J��Q�=��0,���while���g���^���[ٷ��፴s������=g����s��
R�>�g���^���[ٷ��፴o����=g����o��K~�when���U��3>�U����^��0���U�or��J��Q>��0.�HVEv���en�����<�in���the�absence�of�the�spin-orbit�in���teraction,���the��g��Y�factor�����<�in�UUthe�spin�c���hannel�is�enhanced�in�m�ulti-band�mo�Gdels.�����<�When����h�n����m��{1�i��v��1,����F�c��(�E����)�is�appro���ximated�b�y��F�c��(�E����)��v�'�����<��1�=E����.�g�The�7�electron�n���um�b�Ger�7�is�giv���en�b�y��n���=���@��8E���=@����.�����<�The�UUc���harge�susceptibilit�y�is�calculated�so�that���j���������~�����������������፴c�����	�B�(0)�����'y=���������<$��$�ص@��8n��$��w�fe92�	(֍@��8�������=_�=����(�����g�������[ٷ���፴c�������)����G�����2������<$��*܌���L��w�fe+.@�	(֍�2(2�l����+��81)�����E�n�n������2����'�(��

��g�������[ٷ���፴c���-���8�n��)�����������(A17)�����MЍ��<�as���a�function�of��n�.�c�In�similar�manners,��spin�and�orbital�����<�susceptibilities�UUare�calculated�so�that��{č�������~���V�����������፴�����K��(0)�����.��=�������9g����^�������<$��A���g���^���[ٷ��፴����A���w�fe
w�	(֍�g�����������M�����^�����T�0���۱2������<$��i����WY~�w�fe+.@�	(֍�2(2�l����+��81)���������<$����=�n���^��2�����$�w�fe�?�	(֍�g���r��[ٷ��\n��c���-���8�n�������:����������(A18)�����qύ��<�The�Gexpansion�co�Gecien���ts�app�earing�in�the�single-site�����<�selfenergy�UUare�giv���en�b�y���|�����\q�� �~������Я�����c����)���=��(�g�������[ٷ���፴c������)������2��|s�(�g�������[ٷ���፴c���-���8�n�)�����<$��V¸h��[�n����m��{1�i���^��2���33�w�fe1��	�ݍ��sin���G���*�2��Ñ�h��[�n����m��{1�i������������(A19)����׍��<�for�UUthe�c���harge�c�hannel,�and��{č����\q�� �~������Ћ���������'?۲=�������^�������<$��V��g���^���[ٷ��፴����V��w�fe
w�	(֍�g�����������ޟ��^�����^R���۱2������<$��12?�1��%���w�fe�?�	(֍�g���r��[ٷ��\n��c���-���8�n���������<$��K5Ըh��[�n����m��{1�i���^��2���EE�w�fe1��	�ݍ��sin���G���*�2��Ñ�h��[�n����m��{1�i������������(A20)��������<�for�Ospin�(��В�=���s�)�and�orbital�(���=���o�)�c���hannels.�o�Note�that���G����\q����~�������<۵����c�����Z��>���\q��e��~������������s����f�����\q��e��~������������o������>���1�in�the�lo���w�densit�y�limit�of��n���!��+0�����<�although���\q���W~������UU�����s����W�����\q���~������������o���������1�����\q���~�����������c����$��for�UU�n��'��1.���<۟X-�ff���������<�13���m_�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������K���������������������������������K���������������������K���������������������K�������������������������K�K�������������������������K���������K�������������������������K�������������������������K�����K�����K���������������������������������L��������������������������������L������������������������L
����LL����������������LLL����L����L!��������L"������������������������L%����������������������������������������������������L8��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������L8����������������������������������������������������������������������������������������������������L8����������������������������������������L:������������������������L=����L>������������������������LL������������������������LN������������������������LP��������������������������������������������������������Li����������������������������������������������������L|��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������L|����������������������������������������������������������������������������������������������������L|������������������������������������������������������������������������L�������������������������������������������������L�����������������������������L�������������������������L�����L�������������������������L�������������������������L�����L�����L�����������������L�L�L�����L�����L���������L�����������������������������������������������������������������L�����������������������������������������������������L���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������L�����������������������������������������������������������������������������������������������������L�������������������������������������������������������������������������L�������������������������������������������������L�������������������������L�������������������������L�����M
������������������������������������M��������������������������������M����������������������������������������M)����������������������������M������������������������M������������������������M����������������������������M1������������������������M4M5����M6M<����������������M=M>����M?������������������������MF������������������������ML����������������������������MS������������������������MTMUMW����MX����Md����������������������������Mk������������MlMm����Mn����Mz��������M{M|������������������������M����������������M�����M���������������������������������������������M�M�M�M�M���������������������������������������������������������������������������������������������M���������������������������������M���������������������M���������������������M�������������������������M�������������������������M�����M�����M�����M���������M�������������������������M�������������M�����M�����M���������������������������������M���������������������������������M�������������������������M�����M�����N
����������������NNN
����N����N��������N������������������������N������������������������������������������������������������NA����������������������������������������������������Nc����������������������������������������Nc����������������������������Nc����Nc����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Nc����������������������������������������������������������������������������������������������������Nc��������������������������������������������Nj������������������������Nm����NnNt����������������NuNvNw����Nx����N���������N�������������������������N�������������������������N�����������������N�����N�������������������������N�����������������N�����N���������������������������������������������N�N�N�N�N���������������������������������������������������������N�������������������������N�N�����N�N�����������������N�N�����N�N���������N�N�N�����N�����N���������N�N�����N�����O��������OO������������������������O����������������O����O������������������������������������OOOOO����������������������������������������������������������������������������������������OC��������������������������������OF��������������������OH��������������������OP������������������������OSOY������������������������O\��������Od������������������������Og����Oh����On������������������������Oq��������Os��������������������Ou��������������������������������������������������������O�����O�������������������������O�������������������������O�����O�����O�����������������O���������O�������������������������O�������������O�����O�����O���������������������������������O���������������������������������O�������������������������O�O�����O�O�����������������O�O�����O�����O�����O���������O�O�O�����O�����O�����O���������O�O�����O�����O���������O�O�������������������������P��������������������������������������������������������P(����������������������������������������������������PF������������������������PF����PF������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������PF����������������������������������������������������������������������������������������������������PF��������������������������������������������PN������������������������PQ����PRPX����������������PYPZP[����P\����Ph��������Pi������������������������Pl����������������������������������������������������P�������������������������P�����P�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������P�����������������������������������������������������������������������������������������������������P���������������������������������������������P�������������������������P�����P�����P�����P�����������������P�P�P�����P�����P�����P���������P�������������������������P�������������������������P�����������������P�����P�������������������������P�����������������P�����P���������������������������������������������������������������������P�P�P�P�P���������������������������������������������������������������������������������������������Q��������������������������������Q��������������������Q
��������������������Q������������������������QQ������������������������Q��������Q&������������������������Q)������������������������Q0������������������������Q6������������������������Q9��������Q;����������������������������������������QB������������������������QD��������QF��������������������QH��������������������������������������������Qk����Qm������������������������Qo������������������������Qq����Qr����Qy����������������Q{��������Q}������������������������Q}������������Q�����Q�����Q���������������������������������Q���������������������������������Q�������������������������Q�Q�����Q�Q�����������������Q�Q�����Q�������������������������Q�������������������������Q���������Q�Q�Q�����Q�����Q���������Q�Q�����Q�����Q���������Q�Q�������������������������Q���������������������������������������������Q�����������������������������������������������������R$������������������������R$������������������������R$������������������������R$����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������R$����������������������������������������������������������������������������������������������������R$��������������������������������������������R+������������������������R.����R/R5����������������R6R7R8����R9����RE��������RF������������������������RI����������������������������������������������������Rg������������������������Rg����Rg������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Rg����������������������������������������������������������������������������������������������������Rg��������������������������������������������Rp������������������������Rs����Rt������������������������R{������������������������R�����������������R�R�R�����R�����R���������R�������������������������R�������������������������R�����������������R�����R�������������������������R�����������������R�����������������������������������������������������������������R�R�R�R�����������������R���������������������������������������������������������������������������������������������R���������������������������������R���������������������R���������������������R�������������������������R�R�������������������������S��������S	������������������������S������������������������S������������������������S����S������������������������S��������S����������������������������������������S&������������������������S(��������������������������������������������SK����SM������������������������SM������������������������SR����SS����SZ����������������S\��������S]������������������������S]������������Sb����Sc����Sj��������������������������������Sr��������������������������������Sy������������������������S|S}����S~S�����������������S�S�����S�������������������������S�������������������������S�����S���������S�S�S�����S�����S�����S���������S�S�����S�����S���������S�S�������������������������S���������������������������������������������������������S�����S���������������������S�������������������������S�S�����S�����S�����S�����������������S�S�����S�������������������������S�������������������������T��������TTT����T	����T����T��������TT����T����T%��������T&T'����������������������������������������������������������������TO����������������������������������������������������Tt������������������������Tt������������������������Tt������������������������Tt����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������Tt����������������������������������������������������������������������������������������������������Tt��������������������������������������������T{������������������������T~����TT�����������������T�T�T�����T�����T���������T�������������������������T�����������������������������������������������������T�������������������������T�����T�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������T�����������������������������������������������������������������������������������������������������T���������������������������������������������T�������������������������T�����T�������������������������T�������������������������T�����T�����������������T�T�T�����T�����T�����T���������T�������������������������T�������������������������T�����������������T�����T�������������������������T�����������������T�����T���������������������������������������������������������������������U)U)U)U)U)��������������������������������������������������������������������������������������������UV��������������������������������UX��������������������UY��������������������Ub������������������������Ue����Uf����Ul������������������������Uo��������Ux������������������������U{������������������������U�������������������������U�������������������������U���������U�����������������������������������������U�������������������������U���������������������������������������������U�����U�������������������������U�������������������������U�����U�����U�����������������U���������U�������������������������U�������������U�����U�����U���������������������������������U���������������������������������U�������������������������U�U�����U�����U�����U�����������������U�U�����U�������������������������U�������������������������V��������VVV����V	����V����V��������VV����V����V%��������V&V'������������������������V*��������������������������������������������VK����VM��������������������VT������������������������VWVX����VYV_����������������V`Va����Vb������������������������Vi������������������������Vj����Vp��������VqVrVt����Vu����V|����V���������V�V�����V�����V���������V�V�������������������������V�������������������������V�����������������V�����V�������������������������V�����������������V�����V���������������������������������������������V�V�V�V�V�����������������������������������������������������V�V�V�����������������V�V�����V�V�V�����������������V�V�����V�V�V�V�����V���������WW������������������������WW����W��������WW������������W����WWW����W��������W#W#������������W$W%��������W(��������������������W,����W,��������W.������������������������W5������������������������W7����������������������������������������W<W=W>W?����������������WBWCWDWEWF����WHWIWJWKWLWMWN����������������WOWP������������WQ����WSWTWUWVWW����WYWZW[����W]W^W_W`WaWbWcWd����������������WfWg����WiWjWkWlWm����WnWo����������������������������WqWrWsWt����������������WvWwWxWy����W{��������W�W�������������������������W�W�W���������W�W�������������W�����������������W�W�W�W�����������������������������������������������������������������������������W�������������������������������������������������������������������������������������������������W���������������������W�����W���������������������W���������������������������������W�������������������������������������������������W�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������W�����������������������������������������������������������������W�������������������������������������������������W�W���������������������������������W�W�����������������������������������������������������W�����������������������������������������W�����������������������������W�����������������������������W�������������������������������������������������������������X#��������������������������������������������������������������������������������������������X#��������������������X#��������������������X#����X#������������������������X#������������������������X#��������X#����������������������������X#����������������������������X#X#����������������������������X#��������X#����������������������������������������������������������������X*��������������������������������������������X*��������������������������������X*��������������������������������X*������������������������������������X-������������������������������������X<X<X<X<������������������������������������������������X@XAXBXC����������������������������������������������������XW��������������������XX����XY��������������������XZ��������������������������������X]����������������������������������������������������������������Xk������������������������������������������������������������������������������������������������Xk����Xk������������������������������������Xm������������������������������������������������X|��������������������������������������������������������������������������������������������X|����X|��������������������X|����������������X|����������������������������������������������������������������X�����������������������������������������������������������������X�������������������������������������������������������������������������������������������������X���������������������X���������������������X�������������������������X�������������������������X���������X�������������������������������������X���������������������������������������������������������X�������������������������������������������������X�����X���������������������������������������������������������������������������������������������X�����������������������������������������X�������������������������X���������������������X���������������������X���������X�������������������������X�������������������������X���������X�������������������������������������X�����������������������������������������������������Y��������������������������������������������������������������������������������������������Y����������������������������������������Y������������������������Y��������������������Y��������������������Y��������Y������������������������Y������������������������Y��������Y����������������������������������������������������Y!��������������������������������Y#��������������������������������������������Y2Y2Y2Y2Y2������������������������������������������������������������������������������������YM����YO������������������������YO��������������������������������������������YV����������������������������������������YY����������������������������������������������������Yl����������������������������������������������������������������������������������������������������������������Yl����������������������������������������������������������������Yt������������������������������������YxYx��������������������������������������������������������Y�������������������������������������������������������������������������������������������������������������Y���������������������������������Y�����������������Y���������������������Y�Y���������������������������������������������������������Y���������������������Y���������Y�������������������������������������������������������������������������������������������������������������Y���������������������������������������������������������������������������������Y�Y�����Y�������������������������Y�Y���������������������������������������������������������Y���������������������Y���������������������Y�����������������������������������������Y�������������������������Y���������Y�������������������������������������������������������������������������������������������������������������Y�����������������������������������������Y�������������������������Y���������������������Y�������������������������������������Y���������������������Y�������������������������Y�Y���������������������������������������������������������Z��������������������Z��������Z����������������������������������������Z������������������������Z��������Z������������������������������������������������������������������������������������������������������������Z����������������������������������������Z������������������������Z��������Z����������������������������������������������������������������Z��������������������������������Z��������������������������������������������Z!Z!Z!Z!Z!��������������������������������������������������������Z%Z&Z'����������������������������������������������������ZP����������������������������Z]����������������������������ZSZY����������������������������Z`��������������������Zi������������������������Zi������������������������Zo��������������������Zq����������������������������������������Zu����������������������������Zs����������������������������Z|����Z��������Z�����������������������������������������������������Z���������������������������������������������������������������������������������������������Z�������������������������������������Z�������������Z���������������������������������Z�����������������������������Z�����������������Z�������������������������Z�������������������������Z�������������������������Z�������������������������Z���������������������Z�Z���������������������������������Z�����������������������������Z�����������������Z�������������������������Z�������������������������Z�������������������������Z�������������������������Z�������������������������������������Z�Z�Z�Z�Z�����������������������������������������������������Z�Z�Z�Z�Z���������������������Z�����������������������������������������Z�����������������������������Z�����������������������������Z���������Z�����������������������������������������Z�����������������������������Z�����������������������������Z�Z�Z���������Z�����������������������������������������Z�����������������������������Z�����������������Z�Z�Z�����Z�Z�Z�Z�Z�Z�Z�[[[[[��������[��������������������[
[[[
[[[[��������������������������������������������������������['����������������������������������������[+����������������������������[)����������������������������[-����������������[/����������������[3������������������������������������������������[H��������������������������������������������������������������������������������������������[H����[H��������������������[H����[H����������������������������������������������������������������[R��������������������������������[T����������������[U����[V��������������������[W����[[����[_����[`������������[b��������[c����[d����������������������������������������[k������������������������[n��������[q��������������������[r����������������[s��������[v������������[x��������[y����[z����������������������������������������[�������������������������[���������������������[���������������������[���������������������������������[���������������������������������[�����������������������������������������[�[�[�[�[���������������������������������������������������������������������������������������������[�����������������������������������������[�����������������������������[�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������[�������������������������[���������������������������������������������[�����������������[�����������������[�������������������������������������������������[�����[�������������������������������������������������������������������������������������������������[�����[���������������������[�����[�������������������������������������[�����������������[�����[�����������������������������������������[�������������������������[���������[���������������������[�����[�������������������������������������[�[�[�[�[�����������������������������������������������������[�[�[�����������������������������������������������������������������������������������������\0����������������������������������������\0����������������������������\0������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������\0������������������������\0������������������������������������������������������������\3������������������������������������\6����������������\7������������������������������������������������\E��������������������������������������������������������������������������������������������\E����\E��������������������\E����\E������������������������������������\F����������������\G����\H��������������������\I������������������������������������������������������������\_������������������������������������������������\q����\q��������������������\q��������������������\q��������������������������������������������������������������������������������������������\q����\q��������������������\q����������������\q������������������������������������������������������������\v��������������������������������������������������������\���������������������������������������������������������������������������������������������\�������������������������������������\�����������������\�����\�����������������������������������������\�������������������������\���������������������\���������������������\�����\�������������������������������������������������\���������������������������������������������������������������������������������������������\�������������������������������������\���������\�����\�����������������������������������������\�������������������������\���������\���������������������\�������������������������\���������������������������������\���������������������������������������������\�\�\�\�\���������������������������������������������������������\�\�\�\�����������������������������������������������������\�����������������\�����\�����\�����������������\�������������������������������������������������]]]����]��������������������]����������������]]]����������������������������������������������������������������������������������������������������������������]������������������������������������������������������������]��������������������������������������������������������]4������������������������������������������������������������������������������������������������]4��������������������]4��������]4������������������������]4������������������������]4��������]4������������������������������������]6����������������������������������������������������]`������������������������������������������������������������������������������������������������]`��������������������]`��������������������]`��������]`��������]`������������������������]`������������������������]`��������]`��������������������������������������������������������]g��������������������������������]i������������������������������������]x]x]x]x]x����������������������������������������������������]}]~]����������������]���������]�]�������������������������]�����]�]�]�]�]�]�����]�������������]�����]�]�]�]�]�]�]�]�]�����]�]�]���������]���������������������]�����������������]�]�����������������]�]�]�]�����]�]�]�]���������]�����������������������������������������]�����������������������������]�����������������������������]���������������������������������������������]�����������������������������������������]�����������������������������]�����������������������������]�]�������������������������]�������������������������]���������������������]�����������������������������������������]�����������������������������]�����������������]�]�������������������������]�������������������������]���������]�]���������������������]�����������������������������������������]�����������������������������]�����������������]�]�������������������������]�������������������������]���������]�����������������������������������������]�����������������������������]�����������������]�]�������������������������]�������������������������]�]�]�]���������������������]���������������������]���������]�����������������������������������������^������������������������^^^������������������������������������^��������������������^����������������^
^����������������^^^^^��������������������^����������������������������������������^����������������������������^����������������������������^^������������������������^ ������������������������^!����^#����������������������������������������^'����������������������������^%����������������^(^)������������������������^+������������������������^.^/^0^1��������������������^4����������������^5����^6����������������������������������������^=������������������������^@^A��������^D����������������^E��������^F^H����������������^J^K������������^L^M��������������������������������^O^P����������������^R^S^T����^V^W^X^Y^Z^[^\����^^^_����^a^b^c����^e^f^g^h^i^j^k^l^m^n����^p^q������������^r^s^t^u^v^w^x^y^z^{����������������^}^~^��������^���������������������^�^�^�^�^�^���������������������������������^�^�����������������^�^�^�����^�^�^�^�����^�������������^�^�^�^�^�^�����^�^�����^�^�^�^�^�^�^�^�����^�^�����^�����^�^�^�^�^�^�^�^�^�����^�^�������������^�^�^�^�^���������������������������������^�^�^�^���������������������^�����^�������������������������^�^�������������������������^�����������������^���������^�^���������������������^���������������������^�����^���������������������^�����^�^�����^�^�^�^�^�������������_______����_����_	��������_��������������������_
����_��������������������_��������������������_��������������������������������_����_����__��������������������_����������������_�_�_�����������������_�_�_�_�_�_�_�_�����_�������������_�_�����_�������������_�_�����������������_�_�����_�_�_�������������_�_�����_�����_���������_���������������������_���������_�����`����������������`����������������``��������`����`����`��������������������������������```����������������`!������������`"`#`$`%`&����`(`)`*`+`,`-`.`/`0`1`2`3`4����`5����`7`8����`:`;`<`=`>`?`@`A`B`C����`E`F����`H`I`J`K��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������`q������������������������������������������������������������������������`s`t`u������������������������������������`x������������������������������������������������������������������������`�����������������`�������������������������������������������������������������������������������������������������`���������������������`�����`�����������������������������������������`�������������������������`�������������������������`�����������������������������������������`�����������������������������`���������������������������������`�������������������������������������������������`���������������������������������������������������������`�������������������������������������������������������������������������������������������������`�`�`�����`���������������������`�����������������`�`�`�������������������������������������a	������������������������a	��������������������������������a������������������������a����������������������������������������a����������������������������a����������������������������a��������������������a��������a"������������������������������������������������a3a3a3a3a3��������������������������������������������������������a7a8����������������a:����a<a=a>a?a@aAaBaC����aEaF��������aI����aK����������������aMaN����aPaQaRaSaTaUaV����aXaYaZa[a\a]a^a_����������������aaabacad����afagah����ajakalamanaoap��������������������������������arasatauavawaxayaza{a|a}a~aa�a�����������������a�a�a�����a�a�a�a�a�a�a�a�a�a�����a�a�����a�a�a�a���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������a�������������������������������������������������������������������������a�a�a�������������������������������������a�����������������������������������������������������������������a�������������������������������������������������������������a�����������������������������������������a�����������������������������a�������������������������������������������������������������������������������������������������������������a�������������������������a�����������������������������������������������������������������a�����������������������������������������������������a�������������������������������������������������������������b$����������������������������������������������������������������������������������������������������b$b$b$����b$��������������������b$����������������b$b$b$������������������������������������������������������������������������bF������������������������bF��������������������������������������������������������������������������������������������������������bF����������������������������������������bF����������������������������bF����������������������������bF��������������������bF������������������������������������bH��������������������������������������������bXbXbXbXbX��������������������������������������������������������b]b^b_����������������babbbcbdbebfbgbhbi����bkbl������������bmb�bqbrbsbt������������bubv����bxbybz����b{b|b}b~bb�����b�b�����b�b�b�����b�b�b�b�b�b�b�b�b�b�b���������������������������������b�b�b�b�b�b�b�b�b�b�����������������b�b�b�����b�b�b�������������b�b�����b�����b�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������b�����������������b�����b�����������������������������������������b�����������������������������b�����������������������������b�������������������������b�������������������������b�����b�����������������������������������������b�����������������������������b�����������������������������b���������������������b�����b�����������������������������������������������������cB����cB������������cB������������������������cBcB������������������������cB������������������������cB��������������������������������������������������������������������������������������������������������cBcBcB��������������������������������������������cB������������������������cB����cB������������cB������������������������cBcB������������������������cB����������������������������������������������������cQcQcQcQcQ����������������������������������������������������cUcVcW����������������cYcZc[����c]������������c^c_c`cacb����cd����cecfcgchcicjck����cmcnco������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������c���������������������������������������������c���������������������������������������������������������c�����������������������������������������c�����������������������������c���������������������������������������������������������������������������������������������������������c�������������������������c�������������������������������������������������������������c�������������������������������������������������c���������������������������������������������������������c�������������������������������������������������������������������������������������������������c�����������������������������������������c�����������������������������c�����������������������������c���������������������c���������������������������������������������������������������������d8����d8������������d8������������������������d8d8������������������������d8������������������������d8��������������������������������������������������������������������������������������������������������d8d8d8��������������������������������������������d8������������������������d8����d8������������d8������������������������d8d8������������������������d8����������������������������������������������������dGdGdGdGdG����������������������������������������������������dLdMdN����������������dPdQdRdS����dV����d\��������������������d]��������������������d^����d_����dbdcdd����dfdgdhdidjdkdl����do����du��������dv��������������������dw����dx����d{������������d|d}d~dd�d�d�d�����������������d�d�d�d�����d�d�d�d�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������d�������������������������������������d�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������d���������������������������������d�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������d���������������������������������d���������������������d�����������������d�d�����d�d�d�����d�d�������������d�����d�d�d�d�d�d�����d�����eeeee����ee��������e��������������������e��������ee��������������������������������eee e!e"e#e$e%��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������eJ��������������������������������eN������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������e]��������������������������������ea��������������������ec��������eg������������������������������������������������������������������������������������������������������������ev��������������������������������e�e�e���������������������e���������e���������e�e�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������f�f�������������_��ԋ�-��,�����:u��ŋ������&:u������<۟�-=�1�����g��J.�TKanamori,�Prog.�Theor,�Ph��9ys.��30�,�275�(1963).��������<۟�-=�2�����g��A.��3Mielk��9e,�\�J.�Ph�ys.��A24�,�\�3311�(1991);�ѣ�ibid.��A25�,�4335�����<�(1992);�TPh��9ys.�Lett.��A174�,�443�(1993);��������<۟�-=�3�����g��A.��=Mielk��9e�and�H.�T��:�asaki,��7Comm�un.�math.�ph�ys.��158�,��7341�����<�(1993).��������<۟�-=�4�����g��H.�0:T��:�asaki,�6�Ph��9ys.�Rev.�Lett.��69�,�1608�(1992);�=��ibid.��73�,�1158�����<�(1994);�T�ibid.��74�,�4678�(1995).��������<۟�-=�5�����g��K.��Kusak��|rab�A�e�and�A.�Aoki,���Ph��9ys.�Rev.�Lett.��72�,�144�(1994).��������<۟�-=�6�����g��Y.�TNagaok��|ra,�Ph��9ys.�Rev.��147�,�392�(1966).��������<۟�-=�7�����g��D.�h�J.�Thouless,��%Pro�A�c.�Ph��9ys.�So�c.�(London)�A�hm�86�,��%893�(1965).��������<۟�-=�8�����g��J.�̥Hubbard,��/Pro�A�c.�Ro��9y��:�.�So�c.��A276�,��/238�(1963);���ibid.��A281�,�����<�401�T(1964).��������<۟�-=�9�����g��M.���C.�Gutzwiller,�6�Ph��9ys.�Rev.�Lett.��10�,�159�(1963);�p�Ph��9ys.�����<�Rev.�T�134�,�A293�(1963);��ibid.��A137�,�1726�(1965).��������<۟�-=�10�����)�J.��SM.�Luttinger�and�J.�C.�W��:�ard,��SPh��9ys.�Rev.��118�,�1417�����<�(1960).��������<۟�-=�11�����)�J.�TM.�Luttinger,�Ph��9ys.�Rev.��119�,�1153�(1960).��������<۟�-=�12�����)�F.��2J.�Ohk��|ra��9w�a,��lPh�ys.��2Rev.�B��'�44�,�6812�(1991);���J.�Ph��9ys.�So�A�c.�����<�Jpn.�T�60�,�3218�(1991);��ibid.��61�,�!615�(1991).��������<۟�-=�13�����)�K.�TG.�Wilson,�Rev.�Mo�A�d.�Ph��9ys.��47�,�773�(1975).��������<۟�-=�14�����)�P��:�.�TNozi������Xeres,�J.�Lo��9w.�T�emp.�Ph��9ys.��17�,�31�(1974).��������<۟�-=�15�����)�K.��Y��:�amada,�<�Prog.�Theor.�Ph��9ys.��53�,�970�(1975);�w��ibid��54�,�����<�316�T(1975).��������<۟�-=�16�����)�K.��Y��:�osida�and�K.�Y�amada,�N)Prog.�Theor.�Ph��9ys.��53�,�1286�����<�(1970).��������<۟�-=�17�����)�F��:�or��reviews�see,�D�e.g.,�N.��Andrei,�K.�F��:�uruy��9a,�and�J.�H.�����<�Lo��9w�enstein,��Rev.��Mo�A�d.�Ph��9ys.��55�,�331�(1983);��vA.�M.�Tsv��9elic�k�����<�and�I;P��:�.�B.�Wiegmann,��4Adv.�Ph��9ys.��32�,�453�(1983);��.A.�Ok-�����<�iji�N
and�N.�Ka��9w�ak��|rami,�\;�Springer��\Series�in�Solid�State�Scienc��e�����<ۻ(Springer,��dBerlin,�1988),�V��:�ol.���77,�p�63;��6P��:�.�Sc��9hlottmann,�Ph�ys.�����<�Rep.�T�118�,�1�(1989).��������<۟�-=�18�����)�K.�TY��:�osida,�Ph��9ys.�Rev.��147��(1966)�223.��������<۟�-=�19�����)�W.�3RMetzner�and�D.�V��:�ollhardt,�z�Ph��9ys.�Rev.�Lett.��62�,�324�����<�(1989).��������<۟�-=�20�����)�The�/�Curie-W��:�eiss�la��9w�of�lo�A�cal-momen�t�magnets�arises�from�����<�the�Ltemp�A�erature�dep�endence�of�lo�cal�thermal�spin�
uctua-�����<�tions.�o�In�magnets,��ethere�are�only�t��9w�o�o�relev��|ran�t�leading�order�����<�eects�*�in�1�=d�:�F�lo�A�cal�spin�
uctuations�and�magnetic�W��:�eiss'�����<�mean�
elds.�Lo�A�cal�c��9harge�
uctuations�and�isotropic�BCS�
su-�����<�p�A�erconducting��J
uctuations�and�their�corresp�onding�W��:�eiss'�����<�mean�]�elds�are�also�of�leading�order�in�1�=d�,���but�they�are�����<�irrelev��|ran��9t�Tin�magnets.��������<۟�-=�21�����)�K.�;K.�Murata�and�S.�Doniac��9h,�I�Ph�ys.�;Rev.�Lett.��29�,�285�����<�(1972).��������<۟�-=�22�����)�T.��Moriy��9a�and�A.�Ka�w�abata,�TRJ.�Ph�ys.�so�A�c.�Jpn.��34�,�TR639�����<�(1973);�T�ibid.��35�,�669�(1973).��������<۟�-=�23�����)�T.�I�Moriy��9a,���Spin�i�Fluctuations�in�Itiner��ant�Ele�ctr�on�Mag-�����<�netism�,��Springer��SEries�in�Solid-State�Sciences�56,�Springer-�����<�V��:�erlag,�TBerlin�Heidelb�A�erg�New�Y�ork�T�oky��9o,�1985.��������<۟�-=�24�����)�F.�TJ.�Ohk��|ra��9w�a,�TJ.�Ph��9ys.�So�A�c.�Jpn.��67�,�525�(1998).��������<۟�-=�25�����)�E.���Miy��9ai�and�F.�J.�Ohk��|ra�w�a,��%Ph�ys.�Rev.�B����61�,��%1357�(2000).��������<۟�-=�26�����)�L.�APuec��9h,�H�J.�M.�Mignot,�P��:�.�Leja��9y�,�H�P�.�Haen,�H�J.�Flouquet,�����<�and�TJ.�V��:�oiron,�J.�Lo��9w.�T�emp.�Ph��9ys.��70�,�237�(1988).��������<۟�-=�27�����)�J.-M.�̽Mignot,��BJ.�Flouquet,�P��:�.�Haen,�F.�Lapierre,�L.�Puec��9h,�����<�and�	�J.�V��:�oiron,�BJ.�Magn.�Magn.�&�Mater.��76&77�,�97�(1988).��������<۟�-=�28�����)�H.���Satoh�and�F.�J.�Ohk��|ra��9w�a,���Ph�ys.���Rev.�B����57�,�5891�(1998);�����<ۼibid.�T�B��63�,�184401�(2001).��������<۟�-=�29�����)�When�!�no�in��9terband�terms�are�included,�$�the�form�ulation�of�����<�this�Tpap�A�er�can�b�e�applied�to�single-band�mo�dels.��������<۟�-=�30�����)�This��Wrelation�can�b�A�e�only�appro��9ximately�satised�in�actual�����<�systems.��������<۟�-=�31�����)�In���the�large�limit�of��l�&9�,����g�����o��Ķ�and��g�����so��F}�should�b�A�e�dened�in�����<�suc��9h��&a�w�a�y�that�they�include�a�factor�of�1�=�����0�p���
���0�fe�LЍ�l�&9�(�l�4q�+�81)����&�.�In�a�����<�similar��manner,�DK�v���m��E�tcmbx6�k��z��should�b�A�e�dened�in�suc��9h�a�w�a�y�that�����<�it��includes�1�=�����O�p����R���O�aHw�D���2�l�4q�+�81����,e,�5�so�that���R���T�/��1�=�(2�l��C�+��
1).��Then,�the�����<�p�A�erturbativ��9e���sc�heme�used�in�App�A�endix�is�nothing�but�the�����<�1�=�(2�l�4q�+�81)�Texpansion.�������&:u������<۟�-=�32�����)�A.�TY��:�oshimori,�Prog.�Theor.�Ph��9ys.��55�,�67�(1976).��������<۟�-=�33�����)�L.�d�M.�Roth,�xoPh��9ys.�Rev.��149�,�306�(1966).�When�the�in��9ter-�����<�action�O3energy�of�t��9w�o�O3atoms�due�to�admixture�of�ionic�states�����<�w��9as��7examined,��=the�splitting�b�A�et�w�een�the�t�w�o��S�����z���Ļ=���0�states�of�����<۾S�y�=��1�Qxand��S��=��0�due�to�the�Hund�coupling�w��9as�not�consid-�����<�ered���in�this�reference,���as�w��9as�sho�wn�in�T��:�able�I���there.�Because�����<�the�ʒ�S�Bܻ=���1�state�gains�a�larger�energy�than�the��S��=���0�one,�����<�this���splitting�pla��9ys�a�critical�role�in�deriving�the�ferromag-�����<�netic���sup�A�erexc��9hange�in�teraction,��
as�is�sho�wn�in�Eq.�(��??��
�)�of�����<�this�Tpap�A�er.��������<۟�-=�34�����)�In�b�this�case,��Dthe�mapp�A�ed�Anderson�mo�del�lies�in�the�so�����<�called�l v��|ralence�
uctuation�regime.�The�Kondo�temp�A�erature�����<�or�zenergy�can�b�A�e�still�dened�as�the�energy�scale�of�lo�cal�����<�quan��9tum�Tspin�
uctuations�b�y�Eq.�(��??��
�).��������<۟�-=�35�����)�J.�TC.�W��:�ard,�Ph��9ys.�Rev.��78�,�182�(1950).��������<۟�-=�36�����)�In�P�large�spatial�dimensions�(�d�����1),�_e�t��fh�mi;m���G�0���s�j��l�should�P�b�A�e�de-�����<�ned�)\in�suc��9h�a�w�a�y�that�it�includes�a�factor�of�1�=d���-=�(�L��D�ij��gY�=�2)��BS�,�����<�with�P>�L�����ij��	狻the�metrop�A�olitan�distance�b�et��9w�een�P>the��i�th�and��j���th��DB���<�sites,���-=�?��W�so�^"that��I���fh���[�(�s�)��:���;�ij������/��1�=d���-=�L��D�ij���Yb�is�of�higher�order�in�1�=d�.�Only�����<�when�n�the�con��9tributions�from�neigh�b�A�oring�sites�are�coheren�t,�����<۾I���fh���[�(�s�)���荿���
}:�(�i!���l����;����q�)���is�of�leading�order�in�1�=d��for�particular�and�dis-�����<�crete�B��q�'s.�It�is�of�higher�order�for�almost�all��q�'s.�The�1�=d��Y����<ۻdep�A�endence��
of��I���fh���[�(�Q�)���荿�����(�i!���l����;����q�)�and��I���fh���[�(�sQ�)���荿���I��(�i!���l���;����q�)�is�similar�to�that�����<�of�T�I���fh���[�(�s�)���荿���
}:�(�i!���l����;����q�).��������<۟�-=�37�����)�In��9traband�U�con�tributions�(�r�?0�=��i�r��Aǟ�-=�0���)�are�nev�er�signican�t,�fun-�����<�less�Tthey�are�in�the�vicinit��9y�of�the�c�hemical�p�A�oten�tial.��������<۟�-=�38�����)�When��<����-=���UT�(�x�)�is�of�a�Loren��9tzian�shap�A�e�in�suc�h�a�w�a�y�that�����<۾���-=���UT�(�x�)���=���(��*����-=����=��R��)���!�ɾ=�������&b������V�(��	N8�x�8������-=����h��a�������)����%������2��+�b�+���8(������-=�����)����J�����2���uI��&b����P��,��the��
no��9v�el�exc�hange�in-�����<�teraction�Tv��|ranishes�for�an��9y�����-=����h��a�����at��T�ک�=���0�K�b�A�ecause���덍��6�򣇫Z����i���7�+�1��@��Bp1���"���dx�����򣇫Z����i�����+�1��@���1�����dy����������f����(�x�)�8���f��(�y�R��)���ݟٔ�fe.�ҟ'm���þy�`���8�x�����1y�����=���UT�(�x�)�����=����(�y�R��)��!=������=���UT�(0)�:��bm������<۟�-=�39�����)�C.�TZener,�Ph��9ys.�Rev.��81�,�440�(1951).��������<۟�-=�40�����)�If�g'�T�
����оT���K��Ż,���lo�A�calized�spins�are�not�screened.�Then,�the�����<�double��or�RKKY���exc��9hange�in�teraction�m�ust�b�A�e�relev��|ran�t�for�����<۾T�ک���ƾT���K��Ż,��eand��iit�is�presumably�an��9tiferromagnetic�b�A�ecause�the�����<�v��9olume�+Hof�the�F��:�ermi�surface�is�large�for��n�����c���5�'��]�1.�A�+Cferromag-�����<�netic�Tstate�can�nev��9er�b�A�e�stabilized�ab�o��9v�e�T�T���K��
'�for��n�����c��l��'��ƻ1.��������<۟�-=�41�����)�H.�TShiba,�Prog.�Theor.�Ph��9ys.��54�,�967�(1975).���������<ڲ14���1K/S��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������e���������������������������������e�e�����������������e�e�e�e�e�e�e�e�e�����e�e�e�e�e�����e�e�e�e�e�e�����e�e�������������e�e�e���������e�e�����e�����fff����ffffff	f
������������������������������������������������������������������������f��������������������������������f f!����������������f#f$f%f&f'������������f(f)����������������f+f,����f.f/����f0f1f2��������f9f:f;����f=����������������f?f@fAfB����fDfEfFfGfHfIfJ��������������������fQfRfSfTfU��������f]f^f_����fa����fcfdfeff����������������������������fhfifjfkflfmfn����������������fpfq������������frfsft����fvfwfxfyfz��������f�f�f�f�����f�����f�f�f�����f�f�f�f�f�f�f�������������������������������������������������������������f���������������������������������f�f�����������������f�f�f�f�f�������������f�����f�f�f�����f�f�����f�����������������f�f�f�f�f�f�����������������f�f�f�f�����f�f�f�����f�f�f�f�f�����f�f�����f�f�f���������f�f�f�����f�����������������f�f�f�����������������������������f�f�f�f�f�f�f�������������������������������������������������������������f���������������������������������f�g����������������g����������������gggggg����������������g
g������������gg
g����gggg����ggggg��������g g!����g#����g%g&g'g(����g*g+g,g-g.g/g0��������������������g7g8g9g:g;��������gCgD����gF����gHgIgJgK����������������������������gMgNgOgPgQgRgS��������������������gZg[g\g]g^��������gfgg����gi����gkglgmgn����gpgqgrgsgtgugv������������������������������������������������������������g���������������������������������g�g�����������������g�g�g�g�g�����������������g�g�������������g�����g�g�g�����g�g�����g�g�g�g�g�����������������g�g�������������g�g�g�����g�g�g�g�����g�g�g�g�g���������g�g�����g�����g�g�g�����g�g�g�g�g�g�g�������������������������������������������������������������g���������������������������������g�g�����������������g�g�g�g�g�g�����������������g�g�����g�g�������������g�g�g�����g�g�g�g���������g�g�h����h����hhh����hh	h
hhh
h������������������������������������������������������������h#��������������������������������h&h'����������������h)h*����h,h-h.h/h0h1h2h3h4����������������h6h7h8������������h9h:����h<h=������������h>h?h@����hBhC����hDhE����hGhHhIhJhKhLhMhN����hP��������������������hWhX����hZ����������������h\h]h^����h`hahbhchdhehf������������������������������������������������������������hz��������������������������������h|h}����������������hh�h�h�h�h�h�h�����������������h�h�h�������������h�h�����h�h�������������h�����������������h�����h�h�����h�h���������h�h�h�h�����h�����������������h�h�h�����h�h�h�h�h�h�h���������������������h�h�h�h�h���������h�h�h�h�����h�����������������������������h�h�h�����������������h�h�h�h�h�h�h�������������������������������������������������������������h���������������������������������h�h�����������������h�h�����h�h�h�h�h�h�h�h�h�h�h�����������������h�h�������������h�ii����iiii����ii	i
ii��������ii����i����iii����iiiii i!i"����������������i$i%������������i&i'i(����������������������������i*i+i,i-��������������������i4i5i6����i8����i:i;i<i=����i?i@iAiBiCiDiE��������iLiMiNiOiP��������iXiYiZi[����i]����i_i`iaib����idieifigihiiij������������������������������������������������������������i�i���������������������������������i�i�����������������i�i�����i�i�i�i�i�i�i�i�i�����i�i�i�����i�i�����i�i�����i�����������������i�i�i�i�����������������i�i�������������i�i�i�����i�i�i�i���������i�i�i�����i�����i�i�i�i�����������������������������i�i�i�i�i�i�i�������������������������������������������������������������i�i���������������������������������i�i�����������������i�i�����i�i�i�i�i�i�i�i�i�i�����i�i�������������i�i�i�����i�i�i�i���������jjj����j����jjjj	����jjj
jjjj������������������������������������������������������������j%j%��������������������������������j'j(����������������j*j+����j-j.j/����������������j0������������j1����j2j3����������������j5j6����j7j8j9����������������j;j<j=j>����j@��������������������jGjH����jJ����jLjMjNjO����jQjRjSjTjUjVjW����������������jZj[����j]j^������������j_j`ja����jcjd������������jejf����������������������������jhjijjjk��������������������jrjs����ju����jwjxjyjz����j|j}j~jj�j�j���������j�j�j�j�j���������j�j�����j�����j�j�j�j�����j�j�j�j�j�j�j�������������������������������������������������������������j�j���������������������������������j�j�����������������j�j�����j�j�j�j�j�j�j�����j�j�j�j�����j�j�������������j�j�����j�j�������������j�j�j���������j�j�����j�����j�j�j�����j�j�j�j�j�j�j�������������������������������������������������������������kk��������������������������������k����������������k����������������kkkk	������������k����������������kkkkk����kk����kk������������kk����k����kkkk ����k"k#������������k$k%k&��������k-k.����k0����k2k3����k5k6k7k8k9k:k;������������������������������������������������������������kNkN��������������������������������kPkQ����������������kS����������������kTkUkVkWkXkY����������������k[k\k]k^k_����kakbkckdkekf����khki������������kjkkkl��������kskt����kv����kxkykz����k|k}k~kk�k�k���������������������k�k�k�k���������k�k�����k�����������������������������k�k�k�����������������k�k�k�k�k�k�k�������������������������������������������������������������k�k���������������������������������k�k�����������������k�����������������k�k�k�k�k�����k�k�k�����k�k�����k�����k�k�k�k�k�k�����������������k�k�k�k�k�����k�k�k�k�k�k�����k�k�������������k�k�k���������k�k�����k�����k�k�k�k�����������������������������k�k�k�k�k�k�k�������������������������������������������������������������ll��������������������������������l����������������ll����������������lllllll����llll����������������ll l!l"l#����l%l&����������������l(l)l*l+l,l-l.����l0l1����l3����������������l4l5l6l7������������l8l9����l;l<l=����l?l@����lBlC����������������������������lElF������������lG����lHlIlJlKlLlMlNlO����������������lQlRlSlT����������������lVlW������������lXlY����l[l\������������l]l^l_��������lflg����li����lklllm����lolplqlrlsltlu����������������lwlx����lzl{����l}l~l������������l�l�l�l�����l�����������������������������l�l�l�����������������l�����������������l�����l�l�����l�l�l�l�l�l�l�l�l�����������������l�l�l�l�����l�l�������������l�l�l���������l�l�����l�����l�l�l�����l�l�l�l�l�l�l�����������������l�l�����l�l�l�����������������������������l�l�l�����������������l�l�l�����l�l�����l�l�������������l�����l�l�����������������l�l�l�l���������������������l�l�l�l�l�l�l�l�����������������l�l�l�l�l�l�����l�l�����l�l�l�l�l�����l�l�l�l�l�����l�l�l�l�l�l�������������l���������������������������������mmmmmmmm	m
m����������������m
mmmmmm����mmmmmm����m����������������mmm����������������m!m"m#����m%����m'm(m)����������������m+����������������m,����m.m/������������m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9����m;m<����m=m>m?����������������������������mAmBmCmD��������������������mKmLmM����mO����mQ����mSmTmUmVmWmXmY������������������������������������������������������������mpmp��������������������������������mrms����������������mu����������������mvmwmxmymzm{����m}m~������������mm�m�����m�m�m�m���������m�m�m���������m�m�m�m�m�m�����m�m�m�m�������������������������������������������������������������m�m���������������������������������m�m�����������������m�m�m�m�m�m�m�����m�m�m�����m�m�����m�����������������m�m�m�m�m�m�m�m�m�����������������m�m�������������m�m�m�����m�m�m�m�����m�m�m�m�m���������m�m�����m�����m�m�m�����������������������������m�m�m�m�m�m�m�������������������������������������������������������������nn��������������������������������n	n
n����������������n
nnnnnn����������������nnnn����nn������������n����nn����n n!������������n"n#n$n%n&n'n(n)n*����n+����n-n.n/n0n1n2n3����n5n6n7n8n9n:����n<n=n>n?����������������������������nAnBnC����������������nEnFnGnH������������nInJnKnLnMnNnO����nQnRnS����nTnUnVnWnXnYnZ����n\n]����n_n`����nanbnc����nenfngnhninjnk����nmnnnonp����o�ntnunvnwnxny����������������������������nynzn{n|n}n~����������������n�n�����n�n�n�n�n�n�n�n�����������������n�n�n�n�n�����n�n�n�����n�n�n�n�����n�������������n�����n�����������������n�n�n�n�n�����������������n�n�����n�����n�n�n�n�n�n�n�����n�n�n�n�n�����������������������������n�o�n�n�n�n�����������������n�n�����n�����n�n�����n�����������������n�n�������������n�n�n�����n�n�n�n�����o�n�n�n�n�n�n�n�n�n�n�����n�n�n�����n�n�n�n�n�n�n�n�����n�����������������n�n�n�n�n�����������������������������n�n�n�n�����������������n�n�n�n�oo����oo������������ooo����o	������������o
ooo
o����o�oooooooooo����ooo����o!o"o#o$o%o&o'o(o)����o+o,o-����������������o/o0o1����������������������������o1������������o2o3o4o5o6o7o8o9o:o;o<o=����������������o�oAoBoCoDoEoFoGoHoIoJ����oLoMoN����oPoQoRoSoT����oVoWoXoYoZo[o\����o]o^o_o`oaob����od����������������oeofogohoi����������������������������okolomon����������������oqorosotou����owoxoy����o{o|o}o~����o�o�����o�o�o�o�o�o�o�����o�o�o�o�o�����o�o�����o�����o�o�����o�����������������o�o�o�����o�o�o�o�����o�o�o�����������������������������o�o�o�o�o�o�o�����������������o�o�������������o�����������������o�o�����o�o�o�o�o�o�o�o�������������������������������������������������������������o�o���������������������������������o�o�����������������o�o�����o�o�o�o�o�o�����o�o�o�����o�o�����o�o�o�o�o�o�������������o�o�����������������o�o�����o�o�o�����������������o�o�o�o�����o�o�o�o�p��������pp����p
����pp
p����������������������������ppppppp������������������������������������������������������������p%p%��������������������������������p'p(����������������p*p+p,p-p.������������p/����p1p2p3����p5p6����p8p9����p:����p;p<p=p>p?p@����������������pBpC����pEpF����pGpHpI����pKpL������������pMpN����pPpQpRpS��������pZp[����p]����������������p_p`pa����������������������������pcpdpepfpgphpi��������������������pppqprpspt��������p|p}����p����p�p�p�����p�p�p�p�p�p�p�������������������������������������������������������������p�p���������������������������������p�p�����������������p�p�p�p�p�������������p�p���������������������p�p�p�p�����������������p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�p�����p�p�����p�p�p�p�p�p�������������p�p�p�����p�p�p�����p�p�p�����p�p�����p�p�p�p�����������������������������p�p�p�p�p�p�����p�����������������p�p�p�p�p�p�p�p�����������������p�p�p�p�p�p�����p�p�����p�p�p�p�p�p�p�p�p�qq����qqqqqqq	q
����qq
q����qqqqqqqqq����������������������������q����������������qqqqqq����������������q!q"q#q$q%q&����q(q)q*q+q,q-q.������������q/q0q1����q3q4q5����q7����q8q9q:����q<����q=q>q?������������q@qA����qCqDqEqFqG������������������������������������������������������������q]q]��������������������������������q_q`����������������qbqc����qeqfqg����������������qh������������qi����qjqk����������������qmqn����qpqq������������qrqsqt����qvqw������������qxqy����q{q|q}q~��������q�q�����q�����q�q�q�����q�q�q�q�q�q�q�������������������������������������������������������������q�q���������������������������������q�q�����������������q�q�q�������������q�q�����q�q�q�����q�q�����q�q�����q�q�q�����������������q�����q�����q�q�����������������q�q�����q�q�q�����q�q�q�q�����q���������������������q�q�����q�����������������q�q�q�q�����q�q�q�q�q�q�q�������������������������������������������������������������q�q���������������������������������q�q�����������������q�q�rr������������rr����������������rr����rr	����rrr
rrrr����r����������������r����rrrr������������r����r����������������r����r����r r!r"r#r$����������������r&r'����r)r*r+r,r-r.r/r0r1����������������������������r3r4r5����������������r7r8����r:����������������r;r<r=r>r?r@����rBrC����rErF������������rGrH����rJ����rKrLrMrN����rPrQ������������rRrSrT��������r[r\����r^����r`rarb����rdrerfrgrhrirj������������������������������������������������������������rr��������������������������������r�r�r�r�r�����������������r�r�r�r�r�r�r�����������������r�r�����r�r�r�r�r�r�r�r�r�����r�����������������r�����r�r�r�r�r�����r�r�����r�r�r�r�r�r�r�r�r�����r�r�����r�r�r�r�������������r�r�����������������������������r�r�r�����������������r�r�����r�����������������r�r�r�r�r�r�����������������r�r�����r�r�r�r�r�����r�r�r�r�r�����r�����r�r�r�r�r�r���������r�r�r�r�r�����r�����r�r�����r�r�r�r�r�r�r�������������������������������������������������������������s
s
��������������������������������ss����������������sssss����sss����ss����ss ����s"s#s$����������������s%������������s&����s's(����������������s*s+����s,s-s.����������������s0s1s2s3����s5��������������������s<s=����s?����sAsBsCsD����sFsGsHsIsJsKsL��������������������������������sSsTsUsVsW��������������������sZ��������sasb����sd����sfsgshsisjsk����smsnsospsqsrss������������������������������������������������������������s�s���������������������������������s�s�s�s�����������������s�s�����s�s�������������s�s�s�s�s�s�s�����s�s�s�s�s�����s�s�s�����s�s�s�s�s�s�s�s�s�����������������s�s�s�����s�s�s�s�����s�s�s�s�s�s�s�����s�s�����������������������������s�s�s�s�����������������s�s�s�������������s�s�����s�s�s�����s�����s�����s�s�s�s�s�s�s�����s�s�����s�s�s�s�s�s�s�s�s�s�s�����s�s�����s�s�s�s�s�������������������������������������������������������������tt��������������������������������tttt����������������ttt	t
ttt
t����ttt����t������������t����tttt����ttttt ������������t!t"t#t$t%t&t't(����t*t+t,t-t.t0t1t2����t4t5����t7t8t9t:t;t<����������������������������t>t?t@tAtBtCtDtE������������������������������������������������������������t[t[��������������������������������t]t^����������������t`tatb����tdtetftgth����tjtktltmtn����tptq��������tt����������������tv��������������������ty������������������������t{������������������������t~tt���������t�������������������������t�t�������������������������t�t�t�t�t�t�����t�������������t�����t�t�t�t�t�t�����t�t�����������������������������t�t�t�������������t�����������������t�����t�����t�����t�����t�t�t�t�����t�t�t�t�����t�t�t�t�t�t�t�����t�����t�t�t�t�t�t�����t�t�����t�����t�����������������������������t�����������������������������������������������������������������������������������������������������t�����������������t�����t���������������������t�����������������t�t�����������������������������t�����t�t�����t�����������������������������t�t�t�t�t�t�t�����������������t�t�t�t�t�t�t���������������������t�������������������������t�����������������������������������������������������������������������������������������t�������������������������uuuuuu����u	������������u
����uu
uuuu����uu����uuu������������u����u����u����u����u ����u"u#u$u%����������������������������u'u(����������������u*u+u,u-u.u/u0u1����u4����u5����������������������������u;����������������������������������������������������������������������������������������������������u<����u=��������������������u>����������������u?����������������������������uB����������������uDuE����uGuHuIuJ��������uP����������������uV��������������������u^��������u`����ua����ubuc����ud��������������������ue����������������ufugui����������������ukulumunuo����uqurus����������������������������uu������������uvuwuxuyuzu{u|u}u~u������������u�����������������u�u�����u�u�u�u�����u�u�u�u�����u�u�����u�u�u�������������u�u�u�u�u�����u�u�����u�u�u�u�u�u�u�����u�u�u�����u�u�u�����������������������������u�����u�����u�u�����u���������������������u�����������������u�u�����������������u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�������������������������������������������������������������������������������������������������u�u�������������������������������������u�u�����������������u�����������������u�u�u�u�u�u�u�u�u�����u�u�u�u�u�����u�u�u�u�u�u�����u�u�������������u�u�u���������u�v����v����vv����vvv	v
vvv
����������������������������������������������������������������������������vv������������������������������������v v!����������������v#v$����v&v'v(v)v*����������������v,v-������������v.v/v0����v2v3v4v5��������v<v=v>����v@����vBvCvD����vFvGvHvIvJvKvL����vNvOvPvQ����vSvTvU����vWvX������������vYvZv[v\��������������������������������v\v]v^v_v`va����������������vcvdvevfvgvh����vjvk����vm������������vn����vo����������������vqvrvsvtvu����vwvxvy����v{v|����v~vv�v�v�v�v�v�v�����v�v�����v�v�v�v�v�����v�v�v�v�v�v���������������������������������v�������������v�v�����������������v�v�v�v�v�v�v�v�v�����������������v�v�v�����v�v�v�v�v�v�v�v�v�����v�������������v�v�����v�����v�v�v�����v�v�v�����v�����v�����v���������v�������������������������v�������������������������v�����������������v�����v�v�v�v�v�v�����v�v�������������������������������������v���������������������v�����������������v�����������������v�v�v���������v���������v�����������������v�����v�v�v�����v�v�����v�v�v�����v�v�v�v�����v�v�v�v�v�v�v�v�����v�������������ww����www����www	w
www
��������������������������������w
www����������������ww����wwww����wwwwwww w!w"w#����������������w%w&����w(������������w)w*����w,w-w.����w/w0����w2w3����w5����������������w6w7w8w9����w;����������������w=w>w?w@wAwB����wEwFwGwHwIwJwK��������������������������������wMwNwO��������������������wR��������������������wS����������������wT����wWwXwYwZw[����w]w^w_w`wa����wc����wewfwgwhwiwj����wlwmwnwowpwq����wswtwuwv����wxwywz��������w}��������w~����������������w����w�w�w�w���������������������������������w�w�w�w�����������������w�w�w�w�w�w�w�w�w�����w�w�w�������������w�w�����w�����w�w�w�w�w�w�w�w�����w�w�w�w�����w�w�����w�w�w�w�w�w�w�w�����w�w�w�����w�w�w�w�w�w�w�w�w���������������������������������w�w�w�w�w�����������������w�w�w�������������w�w�w�w�w�������������w�w�w�w�w�����w�w�����w�w�w�w�w�w�w�w�w�w�����������������w�w�����w�w�����w�w�w�����w�w�����w�w�����w�w�w�����w���������xx������������������������x����xx��������������������������������x	x
xx����������������xxx������������xxx����������������������������������������������������������������x*x*������������������������������������x,x-����������������x/x0x1x2����x4x5x6x7x8����������������x:x;x<����x>x?x@xA������������xBxC����xExFxGxHxIxJxKxL����xNxO����xPxQxR����xTxUxVxW����xYxZ����x\x]x^����x`xa��������������������������������xcxdxexfxgxh����������������xj����������������xkxlxmxnxoxp����xsxtxuxvxwxxxyxzx{x|����x~xx�x�x�x�x�����x�x�x�����x�x�x�x�x�����x�x�x�x�������������x�x�x�x�x�x�x���������������������������������x�x�����������������x�x�x�x�x�x�����x�x�x�����x�������������x�����x�x�x�x�x�����x�x�x�x�x�x�����x�x�����x�x�x�����x�x�x�x�x�x�����x�x�x�x�x�����x�x�����x�x�����x�x�x���������������������������������x�x�x�x�������������x�x�x�����������������x�x�x�x�����x�x�x�x�x�x�x�x�x�x�x�����x�����x�����x�x�x�����x���������yy������������������������yy����������������������������������������������������������������yy������������������������������������yy����������������yy ����y"����������������y#y$y%y&����y(y)������������y*y+y,����y.y/y0y1��������y8y9����y;����y=y>y?����yAyByCyDyEyFyG����������������������������������������������������������������yZyZ������������������������������������y\y]����������������y_y`yaybyc����yeyfygyhyiyjyk����ymynyoypyqyrysytyuyv����yy����yz��������������������y}��������yy�y���������������������y�������������������������y�y�y�y�������������������������y�������������������������y�������������������������y�y�y�y�y�y�����������������y�������������y�����y�y�y���������������������������������|,y�y�y�����������������y�y�����y�y�y�������������y�����y�����y�����y�����y�����y�y�y�y�����y�y�����y�y�y�y�y�y�y�y�����y�����y�y�y�y�y�y�����y�y�����y�����y�y�������������������������y�����y�������������������������y�y�������������������������y�����y�y�������������������������y���������������������������������y�y�y�y���������������������y�������������������������y�y�������������������������y�y�y�����y�y�y�y�y�z������������zzzzzz����zz	z
zzz
zz����z����zz������������z����zzz����������������zzz��������z����z z!����z#z$z%��������z(��������������������z*z+��������������������������������������������z-z.z/z0z1z2������������������������z@������������������������zBzC����������������zEzFzGzH��������zK��������������������������������������������zN����zO����zP����������������������������zY����zZ����z[z\����������������������������zd��������������������zf����zgzh������������������������zk������������������������znzo����������������������������ztzu����zwzx����zzz{z|z}z~z����z�z�z�z�z�����z�z�����z�����z�z�����z�����z�z�z�z���������������������������������z�z�z�z�����������������z�z�z�����z�z�z�������������z�z�z�z�z�z�z�z�z�z�����z�z�z�z�����z�z�z�z�z�����z�������������z�z�z�z�z�����z�z�z�z�z�����z�z�z�����z�z�z�z�z�z�z�����z�z�������������������������������������z���������������������������������������������z�����z�����z�����������������������������z�����������������������������z�����z�z�������������������������z�������������������������z���������������������z�����z�����������������z�z�����z�z�����z�z�{{{{{����{{{{	{
����{{
����{����{{��������{{{����{{{{{{{ {!{"{#����{%{&{'����{){*{+{,��������������������������������{,{-{.{/{0��������������������{3����{;{<{=����{@{A����{C{D����{F{G����{I{J{K{L{M{N����{P{Q{R{S{T����{V{W{X����{Z{[{\{]{^{_����{a{b{c��������{f����{n{o{p����{r{s{t����{w����{x{y������������������������������������������������{|{}{~������������{{�{�{�{�{�{�����������������{�{���������{���������������������������������������������{�����{�����{�����������������������������{�����������������������������{�����{�{�������������������������{�������������������������{���������������������{�����{�����{�{�{���������{���������������������������������������������{�����{�{�����{�����������������������������{�����������������������������{�����{�{�������������������������{�������������{���������������������{�����{�����{�{�����{�{�{�{�{�{�{�����{�{�����{�{�{�{���������������������������������{�{���������������������{���������������������������������������������{�����{�����{�����������������������������{�����������������������������{�����||������������������������|������������������������|	��������������������|����||����������������������������������������������������������������������������|,|,������������������������������������|.|/������������|0|1|2|3|4|5|6����������������|8|9|:����|;|<|=|>|?|@|A|B|C|D����|G����|H��������������������|I��������������������|J������������������������������������|Q������������������������|R����|U|V|W����|Y|Z|[����|\|]����|_|`|a|b|c|�|f|g|h����|i|j����������������|l|m|n��������������������������������|n|o|p|q����������������|s|t|u|v����|x|y|z����|||}����||�|�����|�|�|�|�|�|�|�������������|�����|�|�����|�|�|�����|�����|�|�|�|�|�|�|�����|�������������|�|�|�|�����|�|�|�|�|�����������������������������������������������������������������|�|�������������������������������������|�|�|�|���������������������|�������������������������|�������������������������|�����|�����|�����|�|�����|�|�����|�����|�|�|�|�|�������������|�|�|�|�|�����|�|�|�|�������������|�����|�|�����|�|�|�����|�����|�����|�����|�����|�����|�|�|�|�������������������������������������|�������������������������}������������������������}����}����}����������������}������������}��������������������}������������������������}������������}}��������������������}����������������������������}!��������������������������������������������}'��������������������������������}-������������������������}/��������������������}0��������}8����������������������������}<����������������������������}:��������������������������������}B������������������������������������������������}E������������������������}G������������������������}N��������������������}U������������������������}W����������������}]������������������������������������������������}`��������������������������������������������}f����������������������������}i����������������}k}l}m����������������}o}p������������}q����}r}s����}u}v}w����}x}y}z}{}|����}~}}���������������������������������}�}�}�}�}�}�}�}�}�����������������}�����������������}�}�}�}�}�}�}�����}�}�}�����}�}�������������}���������}�����������������������������}�����������������������������}�����������������������������}�}���������}���������������������}�����������������}�����}�����}�������������}�}�}�}�}�}���������������������������������������������������������������������}�����������������������������������������������������}�����}���������������������������������������������}�}���������������������������������}�}�����������������������������������������}�������������������������������������������������~����~����������������������������������������}�}�����������������������������~~������������������������������������������������~0��������������������~0����~0����~0��������������������~0��������~0��������~0����~0����������������~0����������������������������������������������������������������������������������������������������������������~0��������������������~0��������������������~0��������������������������������~5������������������������~7������������������������~8����~9����~:����~?������������������������~A������������~B����~C����������������~D����������������~F��������~K������������������������~M������������������������~O~P~Q����~S����������������������������������������������������������������������������~�~�������������������������������������~�~�����������������~�~�~�~�~�~�����~�~�������������~�~�~�����~�~�~�~���������~�~�����~�����~�~�~�����~�~�~�~�~�~�~�����������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� !"#$%&����()*+,����./0����234����6789:;<=>����@ABCD����FGH��������������������������������JKLMNO����������������QR����TUVW����������������YZ[������������\]^_`����bc����defghijkl����n����opq����s������������t����vwxyz����������������{|����}������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������	�
������������������
������������������������������������������������������� �!�"�#�$�%�&�'�(�)�����+�,�����-�������������.�����/���������������������2�������������������������4�������������������������7�8�9���������<�������������������������>�������������������������D���������������������F�H�����������������������������������������������������������������Z�Z�������������������������������������\�]�����������������_�`�a�b�c�d�����f�g�h�i�j�����l�m�n�o�p�q�����s�t�������������u�v�w���������~�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������/S$��(���;��,��<����u

cmex10���Zcmr5�ٓ�Rcmr7�K�`y

cmr10�O
�\cmmi5�	0e�rcmmi7�
�b>

cmmi10���0ncmsy5�O!�cmsy7�
!",�

cmsy10���N�cmbx12�o���		cmr9��j��		cmti9��Aa�cmr6�5��"		cmmi9�;�cmmi6�����		cmsy9�q�%cmsy6�t�:		cmbx9��E�tcmbx6�+�"V

cmbx10�,f$�cmbx7�1�':

cmti10�9DF��

cmmib10�����������
ferro_txt.tex� �ѾѾ�_ӦF��� �� ��͕ �Ԑ�T�TAMH���*TEX ��� ��x|� �WXs�\ ���|��� ��� ��@��|�� ���������� ��`0"�ɕ N5� ��`5�ɕ Κ0��pGlatex209.def��pGtracefnt.sty��pGlatexsym.sty��p
revtex.clsfg��p
revtex.styfg��paps.stystyfg��p	aps10.styyfg��p
prbbib.styfg	��o�BoxedEPS.tex
��pGulasy.fdt.aux���fig1.epst.aux���fig2.epst.aux
���fig3.epst.aux���fig4.epst.aux���
ferro_txt.aux	��	��JSORT��J*FMT2*PM >DVI2JFlag
PRECrTEX"��������	���\���� 	���\�� ������ ����� ������ i����� 3��l�� ���T�� ���L�� ^����� �:���	�� �*��4
�� ]������ 6����� �Z��@
�� v������ 	4�����������Z��P�����x
ferro_txt.tex
%
\documentstyle[prb,aps,eqsecnum,twocolumn]{revtex}
%\documentstyle[preprint,prb,aps,eqsecnum]{revtex}
%\documentstyle[prb,aps,eqsecnum]{revtex}
%
\input BoxedEPS.tex
\SetTexturesEPSFSpecial
\HideDisplacementBoxes
%
\topmargin=-2.2cm
\oddsidemargin=-0.8cm
\evensidemargin=-0.8cm
\textheight=26cm
%
\begin{document}
%
\draft
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%% Abstract in single column %%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\twocolumn[\hsize\textwidth\columnwidth\hsize\csname@twocolumnfalse\endcsname
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\title{ Theory of itinerant-electron ferromagnetism }
% \\in a multi-band model with the Hund coupling }
%
\author{Fusayoshi J. Ohkawa}
\address{Division of Physics, Graduate School of Science, 
Hokkaido University, Sapporo 060-0810, Japan}
\date{Received: \hspace{4cm} }
%\date{Manuscript version: \today }
\maketitle
%
%
\begin{abstract} 
%
A theory of Kondo lattices or a $1/d$ expansion theory, with
$d$ spatial dimensionality, is applied to studying
itinerant-electron ferromagnetism. Two relevant multi-band
models are examined: a band-edge model where the chemical
potential is at one of band-edges, the top or bottom of 
bands, and a flat-band model where one of bands is almost
flat or dispersionless and the chemical potential is at the
flat band. In both the models, a novel ferromagnetic exchange
interaction arises from the virtual exchange of pair
excitations of quasiparticles; it has two novel properties such
as its strength is in proportion to the effective Fermi energy
of quasiparticles and its temperature dependence is responsible
for the Curie-Weiss law.  When the Hund coupling $J$ is strong
enough, the superexchange interaction, which arises from the
virtual exchange of pair excitations of electrons across the
Mott-Hubbard gap, is ferromagnetic. In particular, it is
definitely ferromagnetic for any nonzero $J>0$ in the large
limit of band multiplicity. Ferromagnetic instability occurs,
when the sum of the two exchange  interactions is ferromagnetic
and it overcomes the quenching of magnetic moments by the Kondo
effect or local quantum spin fluctuations and  the suppression
of magnetic instability by the mode-mode coupling among
intersite spin fluctuations.
%
\end{abstract}
%
\pacs{75.10.-b, 71.10.-w, 75.30.Et, 75.10.Lp}
%%%%%%
% 71.10.-w Theories and models of many electron systems
% 71.27.+a Strongly correlated electron systems; heavy fermions
% 71.30.+h Metal-insulator transitions 
%          and other electronic transitions
% 74.20.-z Theories and models of superconducting state
% 75.10.-b General theory and models of magnetic ordering
% 75.10.Lp Band and itinerant models
% 75.30.Et Exchange and superexchange interactions
% 75.30.Kz Magnetic phase boundaries
% 75.30.Gw Magnetic anisotropy
% 75.50.-y Studies of specific magnetic materials
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.0cm}~\    ]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%% Abstract in single column %%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\narrowtext
%\twocolumn
%\widetext

\section{Introduction}\label{SecIntroduction}

Itinerant-electron ferromagnetism has been a long standing and
important issue since the advent of quantum mechanics. When the
Hubbard model, for example, is considered in the Hartree-Fock
approximation,  a ferromagnetic instability condition is given
by
%
\begin{equation}\label{EqStrongU}
U\rho_0(0)>1 ,
\end{equation}
%
with $U$ the on-site repulsion and $\rho_0(0)$ the
unrenormalized density of states at the chemical potential.
Local correlations between electrons with parallel spins are
accurately treated in any approximation as long as the Pauli
principle is taken into account. In the Hartree-Fock
approximation, however, no local correlations between electrons
with antiparallel spins are taken into account; paramagnetic
states are disfavored so that magnetic states are relatively
favored. The condition (\ref{EqStrongU}) is never reliable.
Local spin correlations should be accurately taken into account
far beyond the Hartree-Fock approximation in any reliable
theory. 


In 1963, Kanamori\cite{Kanamori} studied ferromagnetism in Ni
in the $T$-matrix approximation, which is relevant for low
densities of electrons or holes. He showed that a ferromagnetic
state is stabilized not only when Eq.~(\ref{EqStrongU}) is
satisfied but also when the density of states has a sharp peak
within broad bands and the chemical potential is at the peak.
Mielke\cite{Mielke1}, Mielke and Tasaki\cite{Mielke2},
Tasaki\cite{Tasaki}, and Kusakabe and Aoki\cite{Kusakabe}
showed  that the ground state  of certain multi-band models is
ferromagnetic.  In their models, one of bands is 
dispersionless or flat and the density of states is similar to
that of Kanamori's. These theories show that the existence of
a flat band or flat bands is one of the most relevant
conditions for itinerant-electron ferromagnetism.  In many 
ferromagnets such as Ni, the density of electrons or holes is
low and the chemical potential is at one of the band edges. One
may argue that this condition must also be relevant. Call these
two conditions flat-band and band-edge conditions in this
paper. 


The ground state can be ferromagnetic even if neither of these
conditions is satisfied. Nagaoka\cite{Nagaoka} and
Thouless\cite{Thouless} showed that when a single {\it hole} is
introduced into the just half-filled system or the electron
number is $N-1$, with $N$ the number of lattice sites, the
ground state is a completely polarized ferromagnetic state in
the limit of $U\rho_0(0) \rightarrow +\infty$. Because spin
waves of this state are abnormal and any extension of their
arguments to low but nonzero densities of {\it holes} is
difficult, it is doubtful if a ferromagnetic state is
stabilized in the thermodynamic limit of small {\it hole}
densities where the number of electrons is $N(1-\delta)$,
with $N\rightarrow +\infty$ and  $\delta \rightarrow +0$.


In 1963,  another two  distinguished
papers\cite{Hubbard,Gutzwiller} were published.
Hubbard\cite{Hubbard} showed that a band splits into two bands,
the lower and upper Hubbard bands. When the density of states of
unrenormalized electrons is a Lorentzian shape of width 
$\Gamma\simeq 1/\pi\rho_0(0)$, for example, the local part of
the Green function is given by 
%
\begin{eqnarray}\label{EqHubTh}
\frac{1}{N} \! \sum_{\bf k}\!
G_{\sigma}(i \varepsilon_{n}, {\bf k}) 
&=&
\frac{1}{i \varepsilon_{n} \!+\! \mu \!-\! \epsilon_{a} \!-\!
\tilde{\Sigma}_{\sigma}(i \varepsilon_{n} ) 
\!+\! i \Gamma \mbox{sgn}(\varepsilon_{n}) }
%
\nonumber \\ &=&
\frac{1-\langle n_{-\sigma}\rangle}
{i\varepsilon_{n}\!+\!\mu\!-\!\epsilon_{a}\!+\!
i\Gamma \mbox{sgn}(\varepsilon_{n})} 
%
\nonumber \\ &&  + 
\frac{\langle n_{-\sigma}\rangle}
{i\varepsilon_{n}\!+\!\mu\!-\!\epsilon_{a}\!-\!
U\!+\!i\Gamma\mbox{sgn}(\varepsilon_{n})} ,
\end{eqnarray}  
%
with  
$\tilde{\Sigma}_{\sigma}(i\varepsilon_{n} )$ the selfenergy,
$\mu$ the chemical potential, $\epsilon_{a}$ the band center,
and $\langle n_{\sigma}\rangle$ the average number of electrons
with spin $\sigma$ per site.  When the Fermi-liquid
relation\cite{Luttinger1,Luttinger2} is made use of,
Gutzwiller's result\cite{Gutzwiller} gives 
the mass enhancement factor of 
%
\begin{equation}\label{EqGutPhi}
\tilde{\phi}_\gamma \simeq 1/(1-n) ,
\end{equation} 
%
with $n=\langle n_{\uparrow}\rangle+\langle
n_{\downarrow}\rangle$, so that the quasi-particle bandwidth
is approximately given by $1/\tilde{\phi}_\gamma\rho_0(0)$.
Hubbard's result is relevant for single-particle excitations
far from the chemical potential, while Gutzwiller's
result is relevant for those in the vicinity of the chemical
potential. A combined theory of Hubbard's and Gutzwiller's
gives a three-peak structure of the density of states,
Gutzwiller's band at the chemical potential between the lower
and upper Hubbard bands. 



The selfenergy obtained by Hubbard does not depend on
wave-numbers {\bf k} and the mass enhancement factor obtained
by Gutzwiller neither depends on {\bf k}. The two theories are
within the single-site approximation (SSA).


Treating the Hubbard or the periodic Anderson model in one of
the best SSA's that include all the single-site terms is
reduced to determining and solving selfconsistently a
single-impurity Anderson model.\cite{Mapping}  The Anderson
model is one of the simplest effective Hamiltonians for the
Kondo problem. The Kondo problem is almost completely
understood;\cite{Wilson,Nozieres,Yamada,Yosida} even the exact
solution by the Bethe method was obtained.\cite{Exact} Then,
many useful results are available to clarify single-site
properties in lattice systems. The most essential physics
involved in the Kondo problem is the quenching of magnetic
moments by local quantum spin fluctuations, so that the ground
state is singlet and nonmagnetic\cite{YosidaSing} although it
is close to a magnetic quantum critical point. No magnetic
instability occurs within the SSA, and it  can occur only when
intersite or multi-site effects are properly considered.
Multi-site effects can be perturbatively considered by starting
from an {\it unperturbed} state constructed in the SSA. Because
the quenching of magnetic moments by local quantum spin
fluctuations is properly treated in such a perturbative theory,
it must give a reliable magnetic instability condition. Such a
perturbative theory is nothing but a theory of Kondo lattices. 
It is also nothing but a $1/d$ expansion theory, with $d$ being
spatial dimensionality.  Any SSA that includes all the
single-site terms is rigorous for Landau's Fermi-liquid states
in infinite dimensions $(d\rightarrow+\infty)$.\cite{Metzner}
Multi-site  terms are of higher order in $1/d$ except for
Weiss' mean fields, which are responsible for magnetic
instability.


The spin susceptibility of magnets obeys the Curie-Weiss law.
Two mechanisms have been proposed for that of itinerant-electron
magnets:\cite{ComCW} the suppression of the spin
susceptibility  by the mode-mode coupling among intersite spin
fluctuations\cite{Murata,MK,Moriya} and its enhancement by
Weiss' mean fields.\cite{Ohkawa-CW,Miyai}
%
When the density of states is almost constant in the vicinity
of the chemical potential, the suppression by the mode-mode
coupling becomes larger with increasing temperatures; it gives
the Curie-Weiss law.\cite{Murata,MK,Moriya}  When the density
of states has a sharp peak at the chemical potential, on the
other hand, the suppression becomes larger with decreasing
temperatures; the mode-mode coupling plays a totally negative
role in the Curie-Weiss law in the flat-band
model.\cite{Miyai}   


Because the mode-mode coupling suppresses the spin
susceptibility in any case, it cannot be a mechanism of
magnetic instability.  A scenario that the mechanism of the
Curie-Weiss law is also responsible for  magnetic instability
itself seems to be more reasonable than the scenario that the
mechanism of the Curie-Weiss law suppresses magnetic
instability. 


The mode-mode coupling is of higher order in $1/d$ so that it
vanishes in the large limit of $d$.  There must be another
mechanism, which is of leading order in $1/d$. Only the
possible one is the temperature dependence of Weiss' mean
fields.\cite{ComCW} The enhancement of the spin susceptibility 
by an exchange interaction arising from the virtual exchange of
pair excitations of quasi-particles can give the Curie-Weiss
law.\cite{Ohkawa-CW}  Polarizations multiplied by the exchange
interaction are Weiss' mean fields, and they are of leading
order in $1/d$. When the flat-band or band-edge conditions is
satisfied, this exchange interaction is ferromagnetic and the
Curie-Weiss law appears only in the homogeneous
susceptibility.  Miyai and the present author\cite{Miyai}
examined the Curie-Weiss law of Ni by using Kanamori's model.


Field-induced ferromagnetism or metamagnetism is observed in
many metals. In CeRu$_{2}$Si$_{2}$, for example, such a 
ferromagnetic state is stabilized at  magnetic fields higher
than $H_{M}\simeq 7.7$ T. One of the most crucial experimental
results is the single-parameter scaling;\cite{scaling,scaling2}
many quantities sensitively depend on pressures, and they scale
with the Kondo temperature or energy, $k_BT_K$. The Kondo
energy is  approximately equal to a half of the bandwidth of
quasiparticles, 
$k_BT_K \simeq 1/[2\tilde{\phi}_\gamma\rho_0(0)]$. This 
experiment gives a strong restriction for a ferromagnetic
exchange interaction responsible for the metamagnetism in
CeRu$_{2}$Si$_{2}$.
%
Satoh and the present author showed that the exchange
interaction responsible for the Curie-Weiss law is also
responsible for the metamagnetism.\cite{Satoh} In 4$f$ electron
systems, the density of states is of a camelback structure or
of a two-peak structure because of the hybridization between
dispersive conduction bands and almost dispersionless $f$
bands. In the absence of magnetic fields, the chemical
potential is between the two peaks; either of the flat-band and
band-edge conditions is not satisfied, so that the exchange
interaction is antiferromagnetic. In the presence of fields as
high as $H_{M}$, the chemical potential is at one of the peaks
of the camelback because of the Zeeman shift of up and down
spin bands; both of  the flat-band and band-edge conditions
are  satisfied, so that the exchange interaction becomes
ferromagnetic around $H_{M}$. Because this exchange interaction
has a novel property that its strength is proportional to  the
bandwidth of quasiparticles $1/\tilde{\phi}_\gamma\rho(0)$, it
is easy to explain  the observed single-parameter scaling. Call
this one simply a novel exchange interaction in this paper.  


The previous papers\cite{Miyai,Satoh} imply that when either or
both of the flat-band and band-edge conditions are satisfied
ferromagnetic instability is caused by  the novel exchange
interaction even in the absence of fields. However, there is a
crucial drawback in the previous  papers.\cite{Miyai,Satoh}  An
additional phenomenological ferromagnetic exchange interaction,
which is independent of temperatures and magnetic fields, was
assumed to obtain a quantitative agreement between experiment
and theory. The authors of these papers speculated that such a
ferromagnetic exchange interaction must exist in multi-band
models.


The purpose of this paper is to study ferromagnetism in
multi-band models from a theoretical viewpoint of the
competition between magnetic instability caused by intersite
exchange interactions and the quenching of magnetic moments 
by the Kondo effect. This paper is organized as follows: In
Sec.~\ref{SecPrel}, an {\it unperturbed} state in the $1/d$
expansion is constructed in the SSA.  It is shown in
Sec.~\ref{SecExch} that when the Hund coupling is strong enough
the superexchange interaction, which arises from the virtual
exchange of pair excitations between the lower and upper
Hubbard bands, becomes ferromagnetic.  It is shown in
Sec.~\ref{SecModel} that when the flat-band or band-edge
condition is satisfied a ferromagnetic state can be
stabilized.  Discussion is given in Sec.~\ref{SecDis}, and
summary is given in Sec.~\ref{SecSum}. In
Appendix~\ref{SecApp}, a single-impurity Anderson model is
studied by the $1/(2l+1)$ expansion method, with $2l+1$ being
orbital degeneracy.



\section{Preliminaries}\label{SecPrel}
\subsection{Multi-band model with the Hund coupling}
\label{MultiModel}

Consider a $(2l+1)$-band model, with $l$ an integer or a
half integer:\cite{Com1}
%
\begin{equation}\label{EqH}
{\cal H} = {\cal H}_{0} + {\cal H}_{I} .
\end{equation}
%
The first term is a one-body term given by
%
\begin{equation}\label{EqH0}
{\cal H}_{0} = 
\hspace{-0pt}\sum_{mm^\prime} \sum_{{\bf k} \sigma}
\Bigl[ E_{mm^\prime}({\bf k})  - \mu\delta_{mm^\prime} \Bigr] 
a_{m{\bf k}\sigma}^\dagger a_{m^\prime{\bf k}\sigma } ,
\end{equation}
% 
with  $a_{m{\bf k}\sigma}^\dagger$ a creation operator
of carriers, electrons or holes. Bands or orbitals are
denoted by $m= -l$, $-(l-1)$, $\cdots$, and $l$, and up and down
spins by $\sigma=\pm 1$. 
%%%%%% 
It is assumed that all the bands are degenerate at the $\Gamma$
point due to lattice symmetry, so that both $E_{mm}(0)$ and
%
\begin{equation}\label{EqLvA}
\epsilon_a = \frac{1}{N} \sum_{\bf k}
E_{mm}({\bf k}) 
\end{equation}
%
do not depend on $m$, and $E_{mm^\prime}(0)=0$ and 
$\bigl(1/\sqrt{N}\bigr)\sum_{\bf k}$ 
$E_{mm^\prime}({\bf k})X_{inv}({\bf k})\!=\!0$
for $m\ne m^\prime$ and any  function 
$X_{inv}({\bf k})$ invariant under any symmetry
transformation.
%%%%%%%
In this paper,  
$E_{mm^\prime}({\bf k})\!=\!E_{m^\prime m}({\bf k})$
being real and
%
\begin{equation}\label{EqSym}
E_{mm^\prime}({\bf k}) = \left\{
\begin{array}{ll}
E_{ll}({\bf k}) ,  & m=m^\prime \vspace{0.2cm}\\
E_{l-l}({\bf k}) , & m \ne m^\prime 
\end{array}\right. 
\end{equation}
%
are also assumed.\cite{Com2} This assumption makes
arguments in this paper quite simple, as is shown later. The
dispersion relations of
$2l+1$ bands are given by 
%
\begin{equation}\label{EqDisper}
E_m^*({\bf k}) = \left\{\begin{array}{l}
E_{ll}({\bf k}) + 2l E_{l-l}({\bf k})\hspace{1pt} ,\ m=l 
\vspace{0.2cm}\\ E_{ll}({\bf k}) - E_{l-l}({\bf k})\hspace{1pt}  ,\
-l \le m \le (l-1)
\end{array} \right. .
\end{equation}
%
The flat-band condition is satisfied when the $l$th band
is almost dispersionless in such a way that
%
\begin{equation}\label{EqFlat}
E_l^* ({\bf k}) = E_{ll}({\bf k}) + 2l E_{l-l}({\bf k}) \simeq
E_{ll}(0) 
\end{equation} 
%
for any ${\bf k}$. In this case, the dispersion relations of
other $2l$ bands $(m\ne l)$ are given by
%
\begin{equation}
E_m^* ({\bf k}) \simeq E_{ll}({\bf k}) + \frac{1}{2l} \bigl[
E_{ll}({\bf k})  - E_{ll}(0) \bigr] .
\end{equation}


The second term in Eq.~(\ref{EqH})
is the on-site Coulomb interaction:
%
\begin{mathletters}\label{EqInt}
\begin{eqnarray}\label{EqIntA}
{\cal H}_{I} &=& \frac{1}{2}\sum_{mm^\prime}
\sum_{i\sigma\sigma^\prime}
U_{mm^\prime}
a^{\dag}_{mi\sigma}a^{\dag}_{m^\prime i\sigma^\prime}
a_{m^\prime i\sigma^\prime}a_{mi\sigma} \nonumber \\
%
&& + \frac{1}{2} J \sum_{m\ne m^\prime}
\sum_{i\sigma\sigma^\prime}
a^{\dag}_{mi\sigma}a^{\dag}_{m^\prime i\sigma^\prime}
a_{mi\sigma^\prime}a_{m^\prime i\sigma} 
%
\\ \label{EqIntB}
&=& \frac{1}{2} U \sum_{mi\sigma} n_{mi\sigma}n_{mi-\sigma} 
%
\nonumber \\ &&
+ \frac{1}{2} \left( U^\prime - \frac{1}{2}J \right)
\sum_{m\ne m^\prime}
\sum_{i\sigma\sigma^\prime}
n_{mi\sigma}n_{m^\prime i\sigma^\prime} 
%
\nonumber \\ && - J \sum_{m\ne m^\prime}\sum_{iX}
\sum_{\sigma_1\sigma_2}\sum_{\sigma_{3}\sigma_{4}}
\left( s_{X}^{\sigma_1\sigma_2} s_{X}^{\sigma_3\sigma_4}\right) 
%
\nonumber \\ && \hspace*{1.2cm} \times 
a^{\dagger}_{mi \sigma_{1}}a_{mi \sigma_{2}}
a^{\dagger}_{m^\prime i \sigma_{3}}a_{m^\prime i \sigma_{4}} ,
%
\end{eqnarray}
\end{mathletters}
%
with
%
\begin{equation}
a_{mi\sigma}^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\bf k} 
e^{-i ({\bf k} \cdot {\bf R}_{i} )} a_{m{\bf k}\sigma}^{\dagger} ,
\end{equation}
%
$a_{mi\sigma}$ its Hermite conjugate, and
%
%\begin{equation}
$n_{mi\sigma} = 
a_{mi \sigma}^{\dag} a_{mi \sigma} $.
%\end{equation}
%
%
Because of the degeneracy of $2l+1$ bands at the $\Gamma$ point,
%
\begin{equation}\label{EqSymU}
U_{mm^{\prime}} = 
\left\{ \begin{array}{ll}
U, & m = m^\prime \vspace{0.1cm}\\
U^\prime, & m \ne m^\prime
\end{array} \right. 
\end{equation}
%
is also assumed. In general, the Hund coupling is ferromagnetic
$(J>0)$.
%
In Eq.~(\ref{EqIntB}), $s_{X}^{\sigma\sigma^\prime}$ is the 
$({\sigma\sigma^\prime})$th element of the $S=\frac{1}{2}$ spin
matrix, $s_{x}$, $s_{y}$, or $s_{z}$. In this paper, 
$s_{z}$ is diagonalized so that
$s_{z}^{\sigma\sigma^\prime}=\frac{1}{2} \sigma
\delta_{\sigma\sigma^\prime}$.


 

\subsection{Mapping to the Anderson model} 
%
% An {\it unperturbed} state in the $1/d$ expansion scheme  is
% never unique. In this paper, an {\it unperturbed} state is
% constructed   in an unrenormalized SSA, where no
% renormalization effect of multisite or  intersite
% interactions on the {\it unperturbed} state is not
% included.\cite{Com2}
%



The single-particle Green function for ${\cal H}$ is given by
%
\begin{equation}
{\cal G}_{\sigma}^{-1}(i\varepsilon_{n},{\bf k})
= 
\left( i\varepsilon_{n}+\mu \right) {\cal I} 
- {\cal E}({\bf k})
- {\cal S}_{\sigma}(i\varepsilon_{n},{\bf k}) ,
\end{equation}
%
with ${\cal I}$ being the unit matrix,
$\bigl[\hspace{1pt} {\cal E}({\bf k}) \bigr]_{mm^\prime} = 
E_{mm^\prime} ({\bf k})$,
and ${\cal S}_{\sigma}(i\varepsilon_{n},{\bf k}) $
the selfenergy matrix. 
%
The selfenergy is divided into
single-site and multisite terms: 
\begin{equation}
{\cal S}_{\sigma}(i\varepsilon_{n},{\bf k}) =
\tilde{\Sigma}_{\sigma}(i\varepsilon_{n}) {\cal I} +
\Delta {\cal S}_{\sigma}(i\varepsilon_{n},{\bf k}) ,
\end{equation}
%
with $\tilde{\Sigma}_{\sigma}(i\varepsilon_{n})$ 
the single-site selfenergy and 
$\Delta{\cal S}_{\sigma}(i\varepsilon_{n},{\bf k})$
the multisite one. 
%
In our model, the selfenergy for ${\bf k}=0$ is proportional
to the unit matrix because of the assumed symmetry;
$\bigl[\hspace{1pt} \Delta{\cal S}_{\sigma}(i\varepsilon_{n},0)
\bigr]_{mm} $
does not depend on $m$ and
$\bigl[\hspace{1pt} \Delta{\cal S}_{\sigma}(i\varepsilon_{n},0)
\bigr]_{mm^\prime} =0$
for $m\ne m^\prime$.

Calculating the single-site selfenergy 
 $\tilde{\Sigma}_{\sigma}(i\varepsilon_{n})$ 
is reduced to solving 
a single-impurity Anderson model:
%
\begin{eqnarray}\label{EqHamA}
{\cal H}_{A} &=& 
\sum_{m\sigma} \bigl[ 
\epsilon_{a}-\mu \bigr]n_{m\sigma} +
\sum_{{\bf k}\sigma} \bigl[e_{c}({\bf k})-\mu \bigr]
c^{\dag}_{{\bf k}\sigma}c_{{\bf k}\sigma} 
%
\nonumber \\ && 
+\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{m{\bf k} \sigma} \left[
v_{m{\bf k}}a^{\dag}_{m\sigma}c_{{\bf k}\sigma}
+v_{m{\bf k}}^{*}c^{\dag}_{{\bf k}\sigma}a_{m\sigma} \right] 
%
\nonumber \\ &&
+\frac{1}{2}\sum_{mm^\prime}\sum_{\sigma\sigma^\prime}
U_{mm^\prime}
a^{\dag}_{m\sigma}a^{\dag}_{m^\prime\sigma^\prime}
a_{m^\prime\sigma^\prime}a_{m\sigma} 
%
\nonumber \\ && + \frac{1}{2} J \sum_{m\ne m^\prime}
\sum_{\sigma\sigma^\prime}
a^{\dag}_{m\sigma}a^{\dag}_{m^\prime\sigma^\prime}
a_{m\sigma^\prime}a_{m^\prime\sigma}  ,
\end{eqnarray}
%
with
%
%\begin{equation}
$n_{m\sigma} = a^\dag_{m\sigma}a_{m\sigma}$.
%\end{equation}
%
Here, $\epsilon_{a}$, $\mu$, $U_{mm^\prime}$, and $J$ 
are the same as those for the lattice system;
$e_{c}({\bf k})$ and $v_{m{\bf k}}$
should be determined so as to satisfy
a mapping condition discussed below.  
%defined by Eq.~(\ref{EqU}).
%
%
The Green function for ${\cal H}_{A}$ is given by
\begin{equation}
\tilde{\cal G}_{\sigma}^{-1}(i\varepsilon_{n}) =
\left[i\varepsilon_{n} + \mu 
- \tilde{\Sigma}_{\sigma}(i\varepsilon_{n}) 
- \tilde{L}_{\sigma}(i\varepsilon_{n}) \right] {\cal I},
\end{equation}
with
%
%\begin{equation}
$\tilde{L}_{\sigma}(i\varepsilon_{n}) = 
(1/N) \sum_{\bf k} |v_{m{\bf k}}|^{2} \big/
\bigl[i\varepsilon_{n}-e_{c}({\bf k})\bigr] $.
%\end{equation}
%
Because of the assumed symmetry, 
$\tilde{\cal G}_{\sigma}^{-1}(i\varepsilon_{n})$ is diagonal
and $\tilde{L}_{\sigma}(i\varepsilon_{n})$ does not depend on
$m$.
%
Because the symmetrical property of
$\bigl[ \Delta{\cal S}_{\sigma}(i\varepsilon_{n},{\bf k})
\bigr]_{mm^\prime} $
is the same as that of $E_{mm^\prime}({\bf k})$,
the local Green function defined by 
\begin{equation}
{\cal R}_{\sigma}(i\varepsilon_{n}) =
\frac{1}{N}\sum_{\bf k} {\cal G}_{\sigma}
(i\varepsilon_{n},{\bf k}) 
\end{equation}
%
is also diagonal. When 
%
\begin{equation}\label{EqMap}
\tilde{\cal G}_{\sigma}(i\varepsilon_{n}) = 
{\cal R}_{\sigma}(i\varepsilon_{n}) 
\end{equation}
%
is satisfied any single-site quantity of the lattice system is
the same as its corresponding quantity of  the single-impurity
Anderson model. The quantities, $\epsilon_{c}({\bf k})$ and
$v_{m{\bf k}}$, of the Anderson model  should be
selfconsistently determined to satisfy Eq.~(\ref{EqMap}); 
Eq.~(\ref{EqMap}) is nothing but the mapping condition  to the
Anderson model.


\section{Exchange interactions}\label{SecExch}
\subsection{Kondo lattices}\label{SecExchDef} 

Consider the mapped Anderson model (\ref{EqHamA}), and introduce
fictitious and infinitesimally small external fields such as
%
%\begin{equation}
${\cal H}_{ext}=-\sum_{m\sigma}\Delta E_{m\sigma}n_{m\sigma}$,
%\end{equation}
%
with
%
\begin{equation}\label{EqExt}
\Delta E_{m\sigma} = \Delta\mu + 
\mu_B \! \left[\hspace{-1pt} \frac{1}{2} \sigma g_s H_s  
\!+\! m g_o H_o \!+\! \frac{1}{2} 
(\hspace{-1pt}\sigma m) g_{so}H_{so}
\right].
\end{equation}
%
Here, $\mu_B$ is the Bohr magneton; $g_s$, $g_o$ and
$g_{so}$ are $g$ factors.\cite{ComLargeL}  The single-site
selfenergy at $T=0~$K is expanded in such a way that
%
\begin{eqnarray}\label{EqSelf}
\tilde{\Sigma}_{m\sigma}(i \varepsilon_{n}) &=&
\tilde{\Sigma}(0) 
+ ( 1 - \tilde{\phi}_\gamma) i \varepsilon_{n} 
+ ( 1 - \tilde{\phi}_{c}) \Delta\mu
\nonumber \\ && 
+ ( 1 - \tilde{\phi}_{s}) \frac{1}{2}\sigma g_s\mu_B H_s
+ ( 1 - \tilde{\phi}_{l}) m g_o \mu_B H_o
\nonumber \\ && 
+ ( 1 - \tilde{\phi}_{so}) \frac{1}{2}(\sigma m) g_{so}
\mu_B H_{so} + \cdots 
\end{eqnarray}
%
for $|\varepsilon_{n}| \ll k_{B}T_{K}$, with $T_{K}$ the 
Kondo temperature discussed in Introduction and defined below.


When polarizations of conduction electrons are ignored, 
it follows according to Yoshimori's\cite{Yoshimori} that 
%
\begin{equation}\label{EqYoshiPhiM}
\tilde{\phi}_\gamma =
\frac{\tilde{\phi}_c}{2(2l+1)}
+\frac{3\tilde{\phi}_s}{2(2l+3)}
+ \frac{4l(l+1)\tilde{\phi}_o}{(2l+1)(2l+3)} ,
\end{equation}
%
%%%%%%It is interesting that $\tilde{\phi}_{so}$ does not appear
%%%%%%in Eq.~(\ref{EqYoshiPhiM}).
%
and static susceptibilities at $T=0$~K of the Anderson model are
simply given by
%
\begin{equation}\label{EqA_SusC}
\tilde{\chi}_{c}(0)  \equiv
\frac{\partial \phantom{\Delta\mu}}{\partial \Delta\mu} 
\sum_{m\sigma}\langle n_{m\sigma} \rangle
= \tilde{\chi}_{c}^* (0) ,
\end{equation}
%
\begin{eqnarray}\label{EqA_SusS}
\tilde{\chi}_{s}(0) &\equiv& 
\frac{\partial \phantom{H_{s}}}{\partial H_{s}} 
\sum_{m\sigma} \frac{1}{2}\sigma g_s\mu_B \langle  n_{m\sigma}
\rangle =\frac{1}{4}g_s^2\mu_B^2 \hspace{1pt}
\tilde{\chi}_{s}^* (0),
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}\label{EqA_SusL}
\tilde{\chi}_o(0) &\equiv& 
\frac{\partial \phantom{H_o}}{\partial H_o} 
\sum_{m\sigma} m g_o\mu_B\langle n_{m\sigma} \rangle
%
\nonumber \\ &=&
\frac{1}{3}l(l+1) g_o^2\mu_B^2
\hspace{1pt}\tilde{\chi}_o^*(0),
\end{eqnarray}
%
and
%
\begin{eqnarray}\label{EqA_SusSL}
\tilde{\chi}_{so}(0) &\equiv& 
\frac{\partial \phantom{H_{so}}}{\partial H_{so}} 
\!\sum_{m\sigma} \frac{1}{2}(m\sigma) g_{so}\mu_B \langle
n_{m\sigma} \rangle
\nonumber \\ &=& 
\frac{1}{4} \cdot
\frac{1}{3}l(l+1) g_{so}^2\mu_B^2 
\hspace{1pt}\tilde{\chi}_{so}^*(0),
\end{eqnarray}
%
with
%
\begin{equation}
\tilde{\chi}_{\alpha}^* (0) =
2(2l+1) \tilde{\phi}_{\alpha} \rho(0) ,
\end{equation}
%
for charge $(\alpha=c)$, spin $(\alpha=s)$, band or orbital
$(\alpha=o)$, and spin-orbital combined  $(\alpha=so)$ channels. 
%
Here, $\langle \cdots \rangle$ stands for the thermal
average, and
%
\begin{eqnarray}
\rho(\varepsilon) &=&  
\frac{1}{2l+1} \left(-\frac{1}{\pi}\right)\mbox{Im} \left[ 
\mbox{Tr} \ \tilde{\cal G}_{\sigma}(\varepsilon+i0) \right] 
%
%\nonumber \\ &=&  
%\frac{1}{2l+1} \left(-\frac{1}{\pi}\right)\mbox{Im} 
%\bigl[ \mbox{Tr} \ {\cal R}_{\sigma}(\varepsilon+i0) \bigr] 
\end{eqnarray}
%
is the density of states per spin and band.


So far, there is no restriction for $U$, $U^\prime$, or $J$. 
When $U=U^\prime$ and $J=0$, 
$\tilde{\phi}_{s} =\tilde{\phi}_o=\tilde{\phi}_{so}$. It is
reasonable to assume that $U \gg J$, $U^\prime \gg J$ and $U
\agt U^\prime$ so that 
$\tilde{\phi}_{s} \simeq \tilde{\phi}_o \simeq
\tilde{\phi}_{so}$. Only a single energy scale, the Kondo
temperature, appears in low-energy phenomena of the single-site 
problem. In this paper, it is defined by
%
\begin{equation}\label{EqDefTK}
k_{B}T_{K} = \frac{2l+1}{\tilde{\chi}_{s}^* (0)}
= 2\tilde{\phi}_{s} \rho (0) .  
\end{equation}
% 
The specific heat at low temperatures,
$T \ll T_{K}$,  is given by
$\tilde{C} = \tilde{\gamma} T + \cdots$, with
%
\begin{equation}
\tilde{\gamma} = \frac{2(2l+1)}{3}
\tilde{\phi}_\gamma \pi^{2} k_{B}^{2} \hspace{1pt} \rho(0).
\end{equation}
%
The Kondo temperature, $k_{B}T_{K}$,
is as large as the effective Fermi energy of quasiparticles
in the lattice system.

In this paper, the  Kondo temperature is  treated
as a phenomenological parameter
instead of determining and solving 
the Anderson model selfconsistently.

Define a two-point polarization 
function of the lattice system, which is
a $2(2l+1) \times 2(2l+1)$ matrix,  by
%
\begin{eqnarray}
\bigl[\mbox{\boldmath $\Pi$}(i \omega_l,{\bf q})
\bigr]_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime}
&=&
\frac{1}{N} \sum_{ij}\!\int_{0}^{1/k_{B}T} \hspace{-10pt} d\tau 
\ e^{i \omega_l\tau +i{\bf q}\cdot({\bf R}_{i}-{\bf R}_{j})} 
\nonumber \\ && \times \langle 
n_{mi\sigma}(\tau)n_{m^\prime j\sigma^\prime}(0)\rangle .
\end{eqnarray}
%
When its irreducible part is denoted  by
$\mbox{\boldmath $\pi$}(i \omega_l,{\bf q})$, 
%
\begin{eqnarray}
\mbox{\boldmath $\Pi$}
(i \omega_l,{\bf q}) &=&
 \mbox{\boldmath $\pi$}(i \omega_l,{\bf q}) 
\left[1 + {\cal U}
\mbox{\boldmath$\pi$}(i \omega_l,{\bf q}) \right]^{-1} .
%\nonumber \\
% &=& 
%\left[1 - \mbox{\boldmath$\pi$}
%(i \omega_l,{\bf q}) {\cal U}\right]^{-1}
%\mbox{\boldmath $\pi$}(i \omega_l,{\bf q}) .
\end{eqnarray}
%
According to Eq.~(\ref{EqIntB}), ${\cal U}$ is defined by 
%
\begin{equation}\label{EqU3}
\bigl[{\cal U}\bigr]_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime}=
\left\{\begin{array}{cc}
0, &\ m=m^\prime \mbox{~and~} \sigma=\sigma^\prime
\vspace{0.1cm}\\
U^\prime-J, &\ m\ne m^\prime \mbox{~and~} \sigma=\sigma^\prime
\vspace{0.1cm}\\
U, &\ m=m^\prime \mbox{~and~} \sigma\ne\sigma^\prime
\vspace{0.1cm}\\
U^\prime, &\ m\ne m^\prime \mbox{~and~} \sigma\ne\sigma^\prime
\end{array}\right. .
\end{equation}
%% 
The irreducible part is divided into a single-site term 
$\tilde{\mbox{\boldmath$\pi$}}(i \omega_l)$ and a multisite
term 
$\Delta\mbox{\boldmath$\pi$}(i \omega_l,{\bf q})$ so that
%
\begin{equation}
\mbox{\boldmath$\pi$} (i \omega_l,{\bf q}) =
\tilde{\mbox{\boldmath$\pi$}}(i \omega_l) +
\Delta\mbox{\boldmath$\pi$}(i \omega_l,{\bf q}).
\end{equation}
%
The reducible polarization
function of the mapped Anderson model
is given by
%
\begin{eqnarray}
\tilde{\mbox{\boldmath$\Pi$}}(i \omega_l) &=&
\tilde{\mbox{\boldmath$\pi$}}(i \omega_l)
\bigl[ 1 + {\cal U}\tilde{\mbox{\boldmath$\pi$}} 
(i \omega_l)\bigr]^{-1} .
%\nonumber \\ &=&
%\bigl[ 1 - \tilde{\mbox{\boldmath$\pi$}}
%(i \omega_l) {\cal U}\bigr]^{-1} 
%\tilde{\mbox{\boldmath$\pi$}}(i \omega_l).
\end{eqnarray}
%
Define the following $2(2l+1) \times 2(2l+1)$ matrix:
%
\begin{equation}
K^{(\alpha)}_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime}
=\left\{\begin{array}{cl}
\displaystyle \frac{1}{2(2l+1)} \ , & \alpha=c  
\vspace{0.2cm} \\
\displaystyle \frac{1}{2(2l+1)}
\sigma\sigma^\prime\ , & \alpha=s
\vspace{0.2cm}\\ 
\displaystyle \frac{1}{2(2l+1)}
\frac{3mm^\prime}{l(l+1)}\ , &
\alpha=o
\vspace{0.2cm}\\ 
\displaystyle \frac{1}{2(2l+1)}
\frac{3mm^\prime\sigma\sigma^\prime}
{l(l+1)}\ , & \alpha=so
\end{array}\right. .
\end{equation}
%
Because our system has the particular symmetry such as
Eqs.~(\ref{EqSym}), (\ref{EqSymU}) and (\ref{EqU3}), 
%%%%%%which leads to Eq.~(\ref{EqU3}) for ${\cal U}$ and a 
%%%%%%relation similar to Eq.~(\ref{EqU3}) for
%%%%%%$\tilde{\mbox{\boldmath $\pi$}}(i \omega_l)$ and
%%%%%%$\mbox{\boldmath $\pi$}(i \omega_l,{\bf q})$, 
susceptibilities of the four channels are simply given by 
%
\begin{eqnarray}\label{EqSusL1*}
\chi_\alpha^* (i \omega_l,{\bf q}) &\equiv&
2(2l+1) \!\sum_{m\sigma} \!\sum_{m^\prime\!\sigma^\prime} \!
K^{(\alpha)}_{m\sigma,m^\prime\!\sigma^\prime}
\bigl[\Pi(i \omega_l,{\bf q})
\bigr]_{m\sigma,m^\prime\!\sigma^\prime}
% 
\nonumber \\ &=& 
2(2l+1)\frac{\pi_\alpha(i\omega_l,{\bf q})}
{1- U_\alpha\pi_\alpha(i\omega_l,{\bf q})} 
\end{eqnarray}
%
and
%
\begin{eqnarray}\label{EqSusL2*}
\tilde{\chi}_\alpha^* (i \omega_l) &\equiv& 
2(2l+1)\sum_{m\sigma} \sum_{m^\prime\sigma^\prime}
K^{(\alpha)}_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime}
\left[\tilde{\mbox{\boldmath$\Pi$}}(i \omega_l)
\right]_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime}
% 
\nonumber \\ &=&
2(2l+1) \frac{\tilde{\pi}_\alpha(i\omega_l)}
{1- U_\alpha\tilde{\pi}_\alpha(i\omega_l)}, 
\end{eqnarray}
%
with
%
\begin{eqnarray}
U_{\alpha} &=& - 
\sum_{m\sigma}\!\sum_{m^\prime\sigma^\prime}
K^{(\alpha)}_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime}
\big[\hspace{1pt} 
{\cal U}\bigr]_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime}
%
\nonumber \phantom{\Bigg]}\\ &=&
\left\{\begin{array}{cl}
-U-2l \hspace{1pt} (2U^\prime-J), & \alpha=c
\vspace{0.2cm}\\
U + 2l J, & \alpha=s
\vspace{0.2cm}\\
-U+2U^\prime- J, & \alpha=o
\vspace{0.2cm}\\
U - J, & \alpha=so
\end{array}\right. .
\end{eqnarray}
Here, $\pi_{\alpha}(i\omega_l,{\bf q})$ and
$\tilde{\pi}_{\alpha}(i\omega_l)$ are irreducible polarization
functions defined by 
%
\begin{equation}
\tilde{\pi}_{\alpha}(i\omega_l)  = 
\sum_{m\sigma}\!\sum_{m^\prime\sigma^\prime}
K^{(\alpha)}_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime}
\Bigl[\tilde{\mbox{\boldmath$\pi$}}(i \omega_l) 
\Bigr]_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime},
\end{equation}
%
\begin{equation}
\Delta\hspace{-1pt}\pi_{\alpha}(i\omega_l,{\bf q}) =
\hspace{-2pt}\sum_{m\sigma}
\hspace{-2pt}\sum_{m^\prime\!\sigma^\prime}
\hspace{-2pt}K^{(\alpha)}_{m\sigma,m^\prime\!\sigma^\prime}
\hspace{-1pt}\Bigl[\hspace{-1pt}
\Delta\hspace{-1pt}\mbox{\boldmath$\pi$}
(i\omega_l,{\bf q}) 
\hspace{-2pt}\Bigr]_{m\sigma,m^\prime\!\sigma^\prime}, 
\hspace{-2pt}
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}
\pi_{\alpha}(i\omega_l,{\bf q}) =
\tilde{\pi}_{\alpha}(i\omega_l)
+ \Delta\pi_{\alpha}(i\omega_l,{\bf q}) .
\end{equation}
%
Note that $\tilde{\chi}_\alpha^* (i \omega_l)$ is nothing
but the susceptibility of the mapped Anderson model.




%
It follows from Eqs.~(\ref{EqSusL1*}) and (\ref{EqSusL2*})
 that
%
\begin{equation}\label{EqSusKond}
\chi_{\alpha}^* (i \omega_l,{\bf q}) =
\frac{\tilde{\chi}_{\alpha}^* (i \omega_l) }
{1- \frac{1}{4}I_{\alpha}(i \omega_l,{\bf q})
\tilde{\chi}_{\alpha}^* (i \omega_l) } ,
\end{equation}
%
with
%
\begin{equation}\label{EqExch0}
I_{\alpha}(i \omega_l,{\bf q}) =  \frac{2}{2l+1} \cdot
\frac{\Delta \pi_{\alpha}(i \omega_l,{\bf q})}
{\tilde{\pi}_{\alpha}(i \omega_l)
\pi_{\alpha}(i \omega_l,{\bf q})} .
\end{equation}
%
In this paper, the strong coupling regime is defined by
%
\begin{equation}\label{EqStrongC}
U_{s} \gg k_{B}T_{K}
\end{equation}
%
instead of Eq.~(\ref{EqStrongU}). When either of the flat-band
and band-edge conditions is satisfied, Eq.~(\ref{EqStrongC})
is satisfied. Eq.~(\ref{EqStrongC}) leads to a set of  
$U_{\alpha} \tilde{\chi}_{\alpha}^* (0) \gg 1$ and
$U_{\alpha} \chi_{\alpha}^* (0,{\bf q}) \gg 1$ except for
$\alpha=c$. Then, as long as $|\omega_l| \alt k_{B}T_{K}$, 
%
\begin{equation}\label{EqStrongU1}
U_\alpha \tilde{\pi}_\alpha (i\omega_l) =
1 + O \bigl(1/U_\alpha \tilde{\chi}_\alpha^* (0) \bigr)
\end{equation}
%
and
%
%\begin{equation}\label{EqStrongU2}
$U_\alpha \pi_\alpha (i\omega_l, {\bf q}) =
1 + O \bigl(1/U_\alpha \chi_\alpha^* (0, {\bf q}) \bigr)$
%\end{equation}
%
so that
%
\begin{equation}\label{EqExch}
I_{\alpha}(i \omega_l,{\bf q}) =  
\frac{2}{2l+1}U_{\alpha}^{2}
\Delta \pi_{\alpha}(i \omega_l,{\bf q}) .
\end{equation}
%
The susceptibility given by Eq.~(\ref{EqSusKond}) is
consistent with a physical picture for Kondo lattices, where
local fluctuations at different sites interact with each other
by intersite exchange interactions. Then, we call 
$I_{\alpha}(i \omega_l,{\bf q})$ given by Eq.~(\ref{EqExch0}) 
or (\ref{EqExch})  an intersite exchange interaction for  the
spin, orbital, or combined channel. A perturbative treatment
of $I_{\alpha}(i \omega_l,{\bf q})$ is nothing but the $1/d$
expansion; $I_{\alpha}(i \omega_l,{\bf q})$ is of higher order
in $1/d$ for almost all {\bf q}'s, and it is  leading order in
$1/d$ for particular {\bf q}'s such as ${\bf q}=0$, nesting
wave vectors, and so on.



%%%%%%%%%
%%%%%{fig1.eps scaled 300}
%%%%%%%%%
\begin{figure} 
\vspace{0.2cm}~\\
\centerline{\BoxedEPSF{fig1.eps scaled 330}}
\vspace{0.2cm}~\\
\caption[1]{ 
Examples of two-line diagrams for 
$\Delta \pi_\alpha (i\omega_l, {\bf q})$.   Diagram 
$(a)$, which is in the site representation,  gives the
superexchange interaction between the $i$th and
$j$th sites. Diagram $(b)$, which is in the wave-number
representation, gives the novel exchange interaction, which
arises from the virtual exchange of pair excitations
of quasi-particles with wave numbers ${\bf k}+{\bf q}$ and 
${\bf k}$.  Two-line diagrams higher order in intersite effects
such as $(c)$ can be still of leading order in $1/d$, but they
are ignored in this paper. A solid line stands for the
single-particle Green function,  
$\tilde{G}_{m\sigma} (i\varepsilon_n)$ given by
Eq.~(\ref{EqGst}) in $(a)$ or the intersite part of  
${\cal G}_{\sigma} (i\varepsilon_{n},{\bf k}+{\bf q})$ or
${\cal G}_{\sigma} (i\varepsilon_{n},{\bf k})$ given by 
Eqs.~(\ref{EqGrMM}) and (\ref{EqGrMM1}) in $(b)$. A cross in
$(a)$ stands for $t_{mi,m^\prime j}$ given by
Eq.~(\ref{EqTmm}), a shaded triangle for the single-site
irreducible three-point vertex function given by
Eq.~(\ref{EqLambda1}) in $(a)$ or Eq.~(\ref{EqLambda2}) in
$(b)$, and a shaded rectangle in $(c)$ for the single-site
irreducible four-point vertex function.  }
\label{FigTwo-Line}
\end{figure}





In general,  an exchange interaction arises from the virtual
exchange of bosons or bosonic excitations. The exchange
interaction given by Eq.~(\ref{EqExch}) is divided into four
terms in such a way that
%
\begin{eqnarray}\label{EqIA}
I_\alpha(i\omega_l,{\bf q}) &=&
I_\alpha^{(s)}(i\omega_l,{\bf q})
+I_\alpha^{(Q)}(i\omega_l,{\bf q}) 
\nonumber \\ && \quad 
+ \Delta I_\alpha^{(sQ)} (i\omega_l,{\bf q})
- 4\Lambda_\alpha(i\omega_l,{\bf q})  .
\end{eqnarray}
%
Only contributions from the so called two-line diagrams can be
of leading order in $1/d$. Three examples of two-line diagrams
are shown in Fig.~\ref{FigTwo-Line}.  The first term,
$I_{\alpha}^{(s)}(i\omega_l,{\bf q})$, corresponds to
Fig.~\ref{FigTwo-Line}$(a)$, and is due to the virtual exchange
of pair excitations of electrons or holes across the
Mott-Hubbard gap, whose excitation energies are as large as
$U$ or $U^\prime\pm J$ and  much larger than $k_{B}T_{K}$. This
is a generalized superexchange interaction. The second term,
$I_{\alpha}^{(Q)}(i\omega_l,{\bf q})$, corresponds to
Fig.~\ref{FigTwo-Line}$(b)$, and is due to the virtual exchange
of pair excitations of quasiparticles, whose excitation
energies are $O(k_{B}T_{K})$. This is the novel exchange
interaction discussed in Introduction. The third term, $\Delta
I_\alpha^{(sQ)} (i\omega_l,{\bf q})$, is the contribution from
two-line diagrams higher order in intersite effects such as
Fig.~\ref{FigTwo-Line}$(c)$. The last term,
$-4\Lambda_\alpha (i\omega_l,{\bf q})$, includes all the other
contributions, which are definitely higher order in $1/d$. Its
lowest-order Feynman diagrams correspond to those of the
mode-mode coupling terms considered in the so called
selfconsistent renormalization (SCR) theory of spin
fluctuations.\cite{MK,Moriya}





The superexchange interaction, 
$I_{\alpha}^{(s)}(i\omega_l,{\bf q})$, is considered in
Sec.~\ref{SecExchSup}, and the novel exchange interaction, 
$I_{\alpha}^{(Q)}(i\omega_l,{\bf q})$, is considered in
Sec.~\ref{SecExchNov}. On the other hand, 
$\Lambda_\alpha(i\omega_l,{\bf q})$ as well as 
$\Delta I_\alpha^{(sQ)}(i\omega_l,{\bf q})$ are ignored in
this paper. Because $\Lambda_\alpha (i\omega_l,{\bf q})$ is of
higher order in $1/d$ for any ${\bf q}$, it can be ignored at
least for large enough $d$. 



\subsection{Superexchange interaction}
\label{SecExchSup}

There is no restriction for carrier densities so far. In the
following part of this paper, our study is restricted to low
densities of carriers\cite{ComValence}
%
\begin{equation}\label{EqLowDensity}
\langle n_{m\sigma} \rangle \ll 1, \quad 
n = \sum_{m\sigma} \langle n_{m\sigma} \rangle < 1,
\end{equation}
%
so that multiply occupied configurations at a single site can
be ignored in the ground state and low lying excited states.
The single-particle Green function is approximately given
by $\bigl[\tilde{\cal G}_\sigma(i\varepsilon_n)
\bigr]_{mm^\prime}=\delta_{mm^\prime}
\tilde{G}_{m\sigma}(i\varepsilon_{n})$, with
%
\begin{eqnarray}\label{EqGst}
\tilde{G}_{m\sigma}(i\varepsilon_{n}) &=&
\frac{ \langle n_{m\sigma} \rangle + n_e}
{i\varepsilon_{n}+\mu - \epsilon_{a} + 
i\Gamma\mbox{sgn}(\varepsilon_{n})}
%
\nonumber \\ && 
+\frac{\langle n_{m-\sigma} \rangle}
{i\varepsilon_{n}+\mu- \epsilon_{a} - U + 
i \Gamma\mbox{sgn}(\varepsilon_{n})}
%
\nonumber \\ &&  
+ \! \sum_{m^{\prime}\ne m} \Biggl[ \! \frac{ 
\langle n_{m^{\prime}\sigma} \rangle 
+\frac{1}{2} \langle n_{m^{\prime}-\sigma} \rangle} 
{i\varepsilon_{n}+\mu - \epsilon_{a} - U^\prime + J 
+  i \Gamma\mbox{sgn}(\varepsilon_{n})}
%
\nonumber \\ && 
\hspace*{0.7cm} + \frac{\frac{1}{2}  
\langle n_{m^{\prime}-\sigma} \rangle}
{i\varepsilon_{n}+\mu - \epsilon_{a}- U^\prime-J + 
i \Gamma\mbox{sgn}(\varepsilon_{n})} \Biggr]
\nonumber \\ &&  + \cdots\cdots . \phantom{\Bigr]}
\end{eqnarray}
%
Here, $\pi\Gamma \simeq 1/\rho_0(0)$ and
%
\begin{equation}
n_e \simeq 1 - \sum_{m^\prime\sigma^\prime}
\langle n_{m^\prime\sigma^\prime}\rangle
\end{equation}
% 
is the density of empty sites.
This is a straightforward extension of Eq.~(\ref{EqHubTh}) or
Hubbard's theory.\cite{Hubbard}


According to the Ward identity,\cite{Ward}  
the reducible single-site three-point vertex function
is given by 
%
\begin{eqnarray}\label{EqWard}
\left[\hspace{-1pt}\tilde{\mbox{\boldmath$\Lambda$}}
(i\varepsilon_{n},i\varepsilon_{n};0)
\hspace{-1pt}\right]_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime} 
\hspace{-3pt} &=&
\frac{\partial \tilde{G}_{m\sigma}^{-1}(i\varepsilon_{n})}
{\partial \Delta E_{m^\prime\sigma^\prime}} .
%
%\nonumber \\ &=& 
%\hspace{-4pt}\sum_{\sigma_1 m_1}\hspace{-3pt}
%\frac{\partial \tilde{G}_{m\sigma}^{-1}(i\varepsilon_{n})}
%{\partial n_{\sigma_1 m_1}~~} 
%\frac{\partial n_{\sigma_1 m_1}~~}
%{\partial \Delta E_{m^\prime\sigma^\prime}} .
\end{eqnarray}
%
When only the dependence of $\langle n_{m\sigma}\rangle$ on
$\Delta E_{m^\prime\sigma^\prime}$ is considered in
Eq.~(\ref{EqGst}), the irreducible single-site three-point
vertex function is calculated in such a way that
%
\begin{eqnarray}\label{EqLambda1}
\tilde{\lambda}_{\alpha}
(i\varepsilon_{n},i\varepsilon_{n};0) &=&
\sum_{m\sigma}\sum_{m^\prime\sigma^\prime}
K^{(\alpha)}_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime}
%
\nonumber \\ && \times
\left[\tilde{\mbox{\boldmath$\Lambda$}}
(i\varepsilon_{n},i\varepsilon_{n};0) [1 - {\cal U}
\tilde{\mbox{\boldmath$\pi$}}(0)]
\right]_{m\sigma,m^\prime\sigma^\prime}
%
\nonumber \\ &=&
- \frac{\tilde{\pi}_{\alpha}(0)}
{\tilde{G}_{m\sigma}^{2}(i\varepsilon_{n})}
\sum_{r=1}^{4} \frac{A_{\alpha;r}}
{i\varepsilon_{n} -z_{r} + 
i \Gamma \mbox{sgn}(\varepsilon_{n})} ,
\nonumber \\
\end{eqnarray}
with
\begin{equation}
\left(\begin{array}{c}
z_{1} \vspace{0.1cm}\\  
z_{2} \vspace{0.1cm}\\  
z_{3} \vspace{0.1cm}\\  z_{4}
\end{array}\right)
= 
\left(\begin{array}{c}
\epsilon_{a}-\mu \vspace{0.1cm}\\  
\epsilon_{a}+U-\mu \vspace{0.1cm}\\  
\epsilon_{a}+U^\prime-J-\mu \vspace{0.1cm}\\  
\epsilon_{a}+U^\prime+J-\mu
\end{array}\right) 
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}
\left( \begin{array}{ccc}
 A_{s;1} &  A_{o;1} &  A_{so:1} 
\vspace{0.1cm}\\ 
 A_{s;2} & A_{o;2} & A_{so:2} 
\vspace{0.1cm}\\  
 A_{s;3} & A_{o;3} & A_{so:3} 
\vspace{0.1cm}\\  
 A_{s;4} & A_{o;4} & A_{so:4} 
\end{array}\!\right)
= \left(\!\begin{array}{rrr} 
 1 & 1 & 1 \vspace{0.1cm}\\  
 -1 & 1 & -1 \vspace{0.1cm}\\   
 l  & \ -\frac{3}{2} & \ -\frac{1}{2} 
\vspace{0.1cm}\\  
 -l &  -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}\right) ,
\end{equation}
%
for spin $(\alpha=s)$, orbital $(\alpha=o)$, and combined 
$(\alpha=so)$ channels.


Consider an exchange interaction between the $i$th and $j$th
sites, which is defined by
%
\begin{equation}
I_{\alpha;ij}^{(s)} (i\omega_l) =
\frac{1}{N}
\sum_{\bf q} I_{\alpha}^{(s)}(i\omega_l,{\bf q}) 
e^{-i{\bf q}\cdot({\bf R}_{i}-{\bf R}_{j})} ,
\end{equation}
%
%or
%
%\begin{equation}
%I_{\alpha}^{(s)}(i\omega_l,{\bf q}) =
%\sum_{j} I_{\alpha;ij}^{(s)}  (i\omega_l)
%e^{i{\bf q}\cdot({\bf R}_{i}-{\bf R}_{j})} ,
%
%\end{equation}
with ${\bf R}_{i}$ being the position of the $i$th
unit cell.
%
Transfer integrals between the $i$th and $j$th sites have also
the following symmetry:\cite{Com1/d}
%
\begin{eqnarray}\label{EqTmm}
t_{mi,m^\prime j} &=& - \frac{1}{N}
\sum_{\bf k} E_{mm^\prime}({\bf k}) 
e^{i {\bf k} \cdot ({\bf R}_{i}-{\bf R}_{j})} 
%
\nonumber \\ &\equiv&
\left\{\begin{array}{ll}
 t_{ij}, & m=m^\prime \vspace{0.2cm}\\
 t_{ij}^\prime, & m \ne m^\prime
\end{array} \right. .
\end{eqnarray}
%
When the two-line diagram shown in Fig.~\ref{FigTwo-Line}$(a)$
is taken into account and Eq.~(\ref{EqStrongU1}) is made use
of, the superexchange interaction
is calculated in such a way that  
%
\begin{equation}\label{EqSup}
I_{\alpha;ij}^{(s)}(0) =
\frac{2}{2l+1} \cdot \frac{2 }{U} \ T_{ij}^{(\alpha)}
Y_{\alpha;ij} ,
\end{equation}
%
with
%
%
\begin{eqnarray}\label{EqTij}
T_{ij}^{(\alpha)} &=& 
\sum_{mm^\prime\sigma}
K^{(\alpha)}_{m\sigma,m^\prime\sigma}
|t_{mi,m^\prime j}|^{2} 
%
\nonumber \\ &=&
\left\{ \begin{array}{ll}
|t_{ij}|^2 + 2l |t_{ij}^\prime|^2 , &\alpha = s \vspace{0.2cm}\\
|t_{ij}|^2-|t_{ij}^\prime|^2 , & \alpha = o \mbox{~and~} so 
\end{array} \right. 
\end{eqnarray}
%
and
%
\begin{eqnarray}\label{EqYij0}
Y_{\alpha;ij} &=&
\frac{1}{2} U\left(-  k_{B}T\right) \sum_{\varepsilon_{n}}
 U_\alpha^2 \tilde{\lambda}_\alpha^2 
(i\varepsilon_{n}, i\varepsilon_{n}; 0)
\tilde{G}_{m\sigma}^4(i\varepsilon_{n})
%
\nonumber \\ &=& 
\frac{1}{2} U
\sum_{r=1}^4 \sum_{r^\prime=1}^4 
A_{\alpha; r}A_{\alpha; r^\prime} 
\Xi(z_{r},z_{r^\prime};\Gamma) .
\end{eqnarray}
%
Here, $\Xi(z,z^\prime;\Gamma)$ is defined in such a way that
%
\begin{equation}
\Xi(z,z^\prime;\Gamma) \equiv \frac{1}{\pi(z\!-\!z^\prime)} 
\!\!\left[ \mbox{Tan}^{-1}\hspace{-3pt}\left(\!
\frac{z^{\phantom{\prime}}}{\Gamma}
\!\right) \!-\!
 \mbox{Tan}^{-1}\hspace{-3pt}\left(\! \frac{z^\prime}{\Gamma}
\right)
\!\right] 
\end{equation}
%
for $z \ne z^\prime$, and
$\Xi(z,z) = \lim_{z^\prime \rightarrow z} \Xi(z,z^\prime)$.
Note that $Y_{\alpha;ij}=-1$ for $\Gamma/U\rightarrow +0$ and
$J=0$.
%
When  the carrier density is so small that
Eq.~(\ref{EqLowDensity})  is satisfied,  the contribution from
excitations within  the lower Hubbard band $(r=r^\prime=1)$ is
nothing but that from the virtual exchange of pair excitations
of quasi-particles. Because it is considered in the next
subsection, it should be subtracted in order to avoid double
counting so that Eq.~(\ref{EqYij0}) is replaced
by\cite{ComSubtract}
%
\begin{equation}\label{EqYij}
Y_{\alpha;ij} = \frac{1}{2}U \sum_{r\ne r^\prime}
A_{\alpha; r}A_{\alpha; r^\prime}
\Xi (z_{r},z_{r^\prime};\Gamma) .
\end{equation}
%
In the following part, 
$I_{\alpha;ij}^{(s)}(i\omega_l=0)$ is simply denoted
by $I_{\alpha;ij}^{(s)}$. 
Because its $\omega_l$ dependence is small,
it can be used for $|\omega_l| \ll U$ and $U^\prime-J$.



In the small limit of $\Gamma/U\rightarrow +0$, 
it follows that
%
\begin{mathletters}\label{EqIij}
\begin{equation}\label{EqIijS}
I_{s;ij}^{(s)} =
-\frac{\displaystyle 4 T_{ij}^{(s)}
%\left(|t_{ij}|^2 \!\!+\!2l|t_{ij}^\prime|^{2}\right)
}{2l+1} 
\!\left[ \frac{1}{U}-l \left(\!\frac{1}{U^\prime\!-\!J}
\!-\! \frac{1}{U^\prime \!+\! J} \!\right)\!\right]  ,
\end{equation}
%
\begin{equation}\label{EqIijT}
I_{o;ij}^{(s)} =
-\frac{\displaystyle 4 T_{ij}^{(o)}
%\left(|t_{ij}|^2 \!\!-\! |t_{ij}^\prime|^{2}\right)
}{2l+1} 
\!\left[-\frac{1}{U}+\frac{1}{2}
\!\left(\!\frac{3}{U^\prime\!-\! J}
\!+\! \frac{1}{U^\prime \!+\! J} \!\right)\!\right]  ,
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}\label{EqIijST}
I_{so:ij}^{(s)} =
- \frac{\displaystyle 4 T_{ij}^{(so)}
%\left(|t_{ij}|^2 \!\!-\! |t_{ij}^\prime|^{2}\right)
}{2l+1} 
\!\left[ \frac{1}{U} + \frac{1}{2}
\!\left(\!\frac{1}{U^\prime\!-\!J}
\!-\! \frac{1}{U^\prime \!+\! J} \!\right)\!\right]  .
\end{equation}
\end{mathletters}
%
In deriving these results,
$\epsilon_a -\mu \ll - k_BT$, $\epsilon_a +U-\mu \gg k_BT$ 
and $\epsilon_a +U^\prime -J -\mu \gg k_BT$ are assumed. These
results agree with those calculated for insulating phases  by
the conventional perturbative method.\cite{Roth}


Note that Eq.~(\ref{EqIijS}) can be applied even to $l= 0$. The
superexchange interaction in spin channels can never be
ferromagnetic in the single-band model $(l=0)$.
%
It can be ferromagnetic in multi-band models
$(l\ge 1/2)$, when $J$ is as large as
%
\begin{equation}\label{EqJC1}
J > \sqrt{\displaystyle l^2U^{2}+\left(U^\prime\right)^2}- lU .
\end{equation}
%
It is interesting that as long as 
$J>0$ the superexchange interaction is definitely
ferromagnetic  in the large limit of orbital multiplicity
$(l \rightarrow + \infty)$.



Non-zero $\Gamma$ makes the superexchange interaction reduced. 
Fig.~\ref{FigJ(L=1*2)} shows $Y_{s;ij}$ as a function of $J$
for various $\Gamma$'s, and  Fig.~\ref{FigD(L=1*2)} shows
$Y_{s;ij}$ as a function of $\epsilon_a-\mu$ for the same
$\Gamma$'s.  Positive and negative $Y_{s;ij}$'s mean that the
superexchange interaction is ferromagnetic and
antiferromagnetic, respectively. When $J$ and $l$ are large
enough, the superexchange interaction is ferromagnetic even
for non-zero $\Gamma$.

%%%%%%%%
%%fig2.eps scaled 340
%%fig3.eps scaled 350
%%%%%%%%
%\vspace{-0.4cm}~\\
\begin{figure} 
\centerline{\BoxedEPSF{fig2.eps scaled 350}}
~\\
\caption[2]{ 
$Y_{s;ij}$ defined by Eq.~(\ref{EqYij}) as a function of the
Hund coupling,
$J$, for $l=1$ and $l=2$. Here, 
$(\epsilon_a-\mu)/U=-0.1$ and 
$U^\prime/U=3/4$ are assumed. 
A solid line shows $Y_{s;ij}$ for $\pi\Gamma/U=0.3$,
a broken line for $\pi\Gamma/U=0.2$,
 a dotted-broken line for $\pi\Gamma/U=0.1$, and
 a dotted line for $\pi\Gamma/U=0$.
}
\label{FigJ(L=1*2)}
\end{figure}

\begin{figure} 
\centerline{\BoxedEPSF{fig3.eps scaled 360}}
~\\
\caption[3]{ 
$Y_{s;ij}$ defined by Eq.~(\ref{EqYij}) as a function of the
depth, $\epsilon_a-\mu$, for $l=1$ and $l=2$. Here, 
$J/U=0.3$ and $U^\prime/U=3/4$ are assumed. A solid line shows
$Y_{s;ij}$ for $\pi\Gamma/U=0.3$, a broken line for
$\pi\Gamma/U=0.2$, a dotted-broken line for $\pi\Gamma/U=0.1$,
and a dotted line for $\pi\Gamma/U=0$.
}
\label{FigD(L=1*2)}
\end{figure}
%



The signs of $I_{o;ij}^{(s)}$ and $I_{so:ij}^{(s)}$ depend on
$|t_{ij}|^{2}-|t_{ij}^\prime|^2$.
When $|t_{ij}| \simeq |t_{ij}^\prime|$,  both of
$I_{o;ij}^{(s)}$ and  $I_{so:ij}^{(s)}$ are small.
Interesting is the case where either of $|t_{ij}|^{2}$
and $|t_{ij}^\prime|^2$ is much larger than the other, because 
it is possible that an instability of the orbital or combined
channel occurs at low enough channels. In general, 
$|I_{o;ij}^{(s)}| > |I_{so;ij}^{(s)}|$.




\subsection{Novel exchange interaction}
%arising from the virtual
%exchange of pair excitations of quasiparticles}
\label{SecExchNov}

Selfenergy corrections from multi-site effects are of
higher order in $1/d$ except for those due to Weiss' mean
fields, which are not present in Landau's normal Fermi-liquid
phases. When only the single-site selfenergy
given by Eq.~(\ref{EqSelf}) is taken into account, the
single-particle Green function is approximately given by
%
\begin{equation}
\left[ {\cal G}_{\sigma}^{-1} (i\varepsilon_{n},{\bf k}) 
\right]_{mm^\prime} = \tilde{\phi}_\gamma
\left[ i \varepsilon_{n} \delta_{mm^\prime} - 
e_{mm^\prime}({\bf k}) \right],
\end{equation}
%
with
%
\begin{equation}
e_{mm^\prime}({\bf k}) =\frac{1}{\tilde{\phi}_\gamma}
\left[ E_{mm^\prime}({\bf k}) +
\left(\tilde{\Sigma}_0(0) - \mu \right) \delta_{mm^\prime}
\right] ,
\end{equation}
%
%in the vicinity of the chemical  potential, 
for $|\varepsilon_{n}| \alt k_{B}T_{K}$.
The dispersion relation of quasiparticles, 
$\xi_m({\bf k})$, is determined from 
%
%\begin{equation}
$\mbox{det}\!\left[ {\cal G}_{\sigma}^{-1} 
(\xi_m({\bf k}),{\bf k})\right]  =0 $,
%\end{equation}
%
so that
%
\begin{equation}
\xi_m({\bf k}) = \frac{1}{\tilde{\phi}_\gamma}\left[ 
\tilde{\Sigma}_0(0) + E_m^*({\bf k})  -\mu \right] ,
\end{equation}
%
with $E_m^* ({\bf k})$ given by Eq.~(\ref{EqDisper}).
Note that $\xi_m({\bf k})=\xi_{-l}({\bf k})$ for $m$ such as
$-l \le m \le (l-1)$ and only 
$\xi_l({\bf k})$ can be different from them.
%
The $(mm^\prime)$th component of the Green function, 
is calculated in such a way that
%
\begin{equation}\label{EqGrMM}
\left[{\cal G}_{\sigma} (i\varepsilon_{n},{\bf k})
\right]_{mm}  \!=
\frac{1}{(2l\!+\!1)\tilde{\phi}_\gamma}
\!\left[\!\frac{2l}{i\varepsilon_{n}\!\!-\xi_{-l}({\bf k})}
\!+\!
\frac{1}{i\varepsilon_{n}\!-\xi_l({\bf k})}\!\right]
\end{equation}
%
for intraband components, and
%
\begin{equation}\label{EqGrMM1}
\left[{\cal G}_{\sigma} (i\varepsilon_{n},{\bf k})
\right]_{mm^\prime} \! =
\frac{(-1)^{2l+1}}{(2l\!+\!1)\tilde{\phi}_\gamma}
\!\left[\!\frac{1}{i\varepsilon_{n}\!\!-\xi_{-l}({\bf k})}
\!-\!
\frac{1}{i\varepsilon_{n}\!-\xi_l({\bf k})}\!\right]
\end{equation}
%
for interband components $(m\ne m^\prime)$.

%
According to the Ward identity,\cite{Ward}
%
\begin{eqnarray}\label{EqLambda2}
 \tilde{\lambda}_{\alpha}(0,0;0)
&=&  [1- U_{\alpha} \tilde{\pi}_{\alpha}(0)]
\tilde{\phi}_{\alpha}
\nonumber \\ &=& 
\frac{2(2l \!+\! 1) 
\tilde{\phi}_{\alpha}}{U_{\alpha}\tilde{\chi}^*_{\alpha}(0)}
\!\left[1 + O \!\left( \!\frac{1}
{U_{\alpha}\tilde{\chi}_{\alpha}^*(0)}
\! \right) \!\right] .
\end{eqnarray}
%
When this is approximately used for non-zero energies such as
$|\varepsilon_{n}|\alt k_{B}T_{k}$ and $|\omega_l|\alt
k_{B}T_{k}$ and the two-line diagram shown in
Fig.~\ref{FigTwo-Line}$(b)$ is taken into account, the exchange
interaction due to the virtual exchange of pair excitations of
quasiparticles is calculated so that 
%
\begin{eqnarray}\label{EqIQ}
I_{\alpha}^{(Q)}(i\omega_l,{\bf q})  
&=&  \!\left[ U_{\alpha}\tilde{\lambda}_{\alpha}(0,0;0) 
\! \right]^{2} \!\! \frac{1}{\tilde{\phi}_\gamma^2} \!
\left[P_{\alpha}(i\omega_l,{\bf q}) \!-\!
\tilde{P}_{\alpha} (i\omega_l) \right]
\nonumber \\ &=&
 \left(\frac{\tilde{\phi}_\alpha}{\tilde{\phi}_\gamma }
\right)^2 \!
\frac{8(2l+1)}{[\tilde{\chi}^*_\alpha(0)]^2} \!
\left[ P_\alpha (i\omega_l,{\bf q}) -
\tilde{P}_\alpha (i\omega_l) \right] .
\nonumber \\
\end{eqnarray}
%
Here, 
%
\begin{eqnarray}\label{EqPolQ} 
P_{\alpha}(i\omega_l,{\bf q}) &=&
-k_BT \sum_{\varepsilon_{n}}
\frac{1}{N} \sum_{\bf k} \sum_{mm^\prime\sigma} 
K^{(\alpha)}_{m\sigma,m^\prime\sigma} \tilde{\phi}_\gamma^2 
\nonumber \\ && \times
\bigl[{\cal G}_{\sigma}
(i\varepsilon_{n} \!\!+\! i\omega_l,{\bf k} \!+\! {\bf q})
\bigr]_{mm^\prime} \!
\bigl[{\cal G}_{\sigma}
(i\varepsilon_{n},{\bf k})\bigr]_{m^\prime m}
\nonumber \\ && \phantom{\Bigr]}
\end{eqnarray}
%
is a  a polarization function of quasi-particles and 
%
\begin{equation}\label{EqPolQL} 
\tilde{P}_\alpha(i\omega_l) =
\frac{1}{N} \sum_{\bf q} 
P_{\alpha}(i\omega_l,{\bf q}) 
\end{equation}
%
is its local part. Because any single-site term is considered
in the  {\it unperturbed} state, the single-site part is
subtracted in Eq.~(\ref{EqIQ}).


For the spin channel $(\alpha=s)$, Eqs.~(\ref{EqPolQ}) and
(\ref{EqPolQL}) become so simple as
%
\begin{equation}\label{EqIQS} 
P_{s}(i\omega_l,{\bf q}) = 
\frac{1}{(2l\!+\!1)N} \!\sum_{m{\bf k}} 
\frac{ f[\xi_{m}({\bf k} \!+\! {\bf q})] 
 \!-\! f[\xi_{m}({\bf k})]}
{\xi_{m}({\bf k}) \!-\! \xi_{m}({\bf k} \!+\! {\bf q}) 
\!-\! i \omega_l } 
\end{equation}
%
%
and
%
\begin{equation}\label{EqPLocal}
\tilde{P}_s (0) =
\int_{-\infty}^{\infty} \!\!\!\! dx \!\!
\int_{-\infty}^{\infty} \!\!\!\! dy
\frac{f(y)-f(x)}{x-y} \rho^* (x) \rho^* (y) ,
\end{equation}
%
with
%
\begin{equation}\label{EqRho**}
\rho^* (\epsilon) = \frac{1}{2l+1}\sum_m 
\delta \bigl(\epsilon- \xi_m (\epsilon) \bigr)  
\end{equation}
%
the density of quasi-particle states per spin and band.
%
For orbital $(\alpha=o)$ and combined $(\alpha=so)$ channels,
%
\begin{eqnarray}\label{EqIQST} 
P_{\alpha}(i\omega_l,{\bf q}) &=& 
- \frac{2l-1}{(2l\!+\!1)N} \!\sum_{\bf k} 
\frac{ f[\xi_l({\bf k} \!+\! {\bf q})] 
 \!-\! f[\xi_l({\bf k})]}
{\xi_l({\bf k}) \!-\! \xi_l({\bf k} \!+\! {\bf q}) 
\!-\! i \omega_l } 
%
\nonumber \\ && \hspace*{-1.2cm}
+ \frac{8l}{(2l\!+\!1)N} \!\sum_{\bf k} 
\frac{ f[\xi_{-l}({\bf k} \!+\! {\bf q})] 
 \!-\! f[\xi_l({\bf k})]}
{\xi_l({\bf k}) \!-\! \xi_{-l}({\bf k} \!+\! {\bf q}) 
\!-\! i \omega_l } 
%
\nonumber \\ &&  \hspace*{-1.2cm}
+ \frac{2l(2l-1)}{(2l\!+\!1)N} \!\sum_{\bf k} 
\frac{ f[\xi_{-l}({\bf k} \!+\! {\bf q})] 
 \!-\! f[\xi_{-l}({\bf k})]}
{\xi_{-l}({\bf k}) \!-\! \xi_{-l}({\bf k} \!+\! {\bf q}) 
\!-\! i \omega_l } .
%\nonumber \\ 
\end{eqnarray}
%


This exchange interaction includes no intrasite part  so that 
$\sum_{\bf q} I_{\alpha}^{(Q)}(i\omega_l,{\bf q}) =0$.
When $I_{\alpha}^{(Q)}(0,+0) <0$,
$I_{\alpha}^{(Q)}(0,{\bf q})$ takes its maximum value at
non-zero ${\bf q}$. In this paper, it is classified as being
antiferromagnetic  when $I_{\alpha}^{(Q)}(0, +0) <0$ and  as
being ferromagnetic  when $I_{\alpha}^{(Q)}(0, +0) >0$. 
%
As was studied in the previous paper,\cite{Miyai}
the temperature dependence of 
$I_{\alpha}^{(Q)}(0,{\bf q})$
is responsible for the Curie-Weiss law.
It is easy to see from Eq.~(\ref{EqIQ}) or (\ref{EqIQ0}) 
that  $I_{\alpha}^{(Q)}(0,{\bf q})$
is of the order of $k_BT_K$.


\section{Flat-band and band-edge models}
\label{SecModel}
\subsection{Instability condition } 

Assume $T=0$~K in this section. 
Then, it follows that 
$P_s (0,|{\bf q}|\rightarrow +0) = \rho^* (0)$ and 
%
\begin{equation}\label{EqIQ0}
\frac{1}{4} I_{s}^{(Q)}(0,+0)  =
\frac{\tilde{\phi}_s}{\tilde{\phi}_\gamma } 
\left[1-
\frac{\tilde{P}_s (0)}{\rho^*(0) } \right]
\frac{1}{\tilde{\chi}^*_s (0)} .
\end{equation}
%
Note that $\rho^*(0) = \tilde{\phi}_\gamma \rho (0)$
to leading order in $1/d$.
An instability condition  against ferromagnetism 
is simply given by 
$1  - (1/4) I_s (0,0)\tilde{\chi}_{s}(0)< 0 $ or
%
\begin{equation}\label{EqFerroCond}
1- \frac{\tilde{\phi}_s}{\tilde{\phi}_\gamma} 
\left[1-\frac{\tilde{P}_s (0)}{\rho^*(0)} 
\right] - \Delta X_s < 0 ,
\end{equation}
%
with
\begin{equation}\label{EqXs}
\Delta X_s = \frac{1}{4}\left[ I_s^{(s)} (0,0) 
- 4\Lambda_s(0,0) \right] \tilde{\chi}_{s}(0).
\end{equation}
%
When $J$ is strong enough, the superexchange interaction,
$I_s^{(s)} (0,0) $, is ferromagnetic, as is discussed in
Sec.~\ref{SecExchSup}. The mode-mode coupling, $\Lambda_s(0,0)$,
can be ignored in infinite dimensions
$(d \rightarrow+\infty)$.  It is likely that $\Delta X_s>0$ when
$d$, $l$ and $J$  are large enough. When Eq.~(\ref{EqXs}) is
positively large enough, ferromagnetic instability occurs
even when neither of the flat-band and band-edge conditions is
satisfied. The SCR theory\cite{Murata,MK,Moriya} can only be
applied to such ferromagnets in finite dimensions
$(d\ll+\infty)$. Then, it is examined in this
section whether or not ferromagnetic instability is possible
even when $\Delta X_s$ is as small as 
$|\Delta X_s| \ll k_BT_K$ or $\Delta X_s=0$.


The signs of Eq.~(\ref{EqIQ0}) or 
$\bigl[1- \tilde{P}_s (0)/\rho^*(0) \bigr]$ are functionals of
$\rho^* (\epsilon)$. In order to examine the flat-band
and band-edge conditions, we consider the following model of
$\rho^* (\epsilon)$: It is given by the sum of a narrow
triangular one and  a wide square one and the chemical potential
is just at the peak of the triangle in such a way that
%
\begin{equation}\label{EqRho}
\rho^* (\epsilon) =
 c \rho_n^* (\epsilon) + 
(1-c) \rho_w^* (\epsilon) ,
\end{equation}
%
where $\rho_n^* (\epsilon)$ and $\rho_w^* (\epsilon)$ are given
by 
%
\begin{equation}
\rho_n^* (\epsilon) =
\left\{\begin{array}{cl}
\displaystyle 
\!\!\frac{2}{w_n} \!\left(1 \!-\! 
\left|\frac{\epsilon}{ e_{nd}}\right| \right) ,
 & e_{nd} \le \epsilon \le 0 \\
 & \\
\displaystyle 
\!\!\frac{2}{w_n} \!\left(1 \!-\! 
\left|\frac{\epsilon}{ e_{nu}}\right| \right) ,
 & 0 \le \epsilon \le e_{nu}  \\
 & \\
0\hspace{1pt}, &  \epsilon < e_{nd} , \ e_{nu} < \epsilon
\end{array} \right. ,
\end{equation}
%
with $w_n = e_{nu}-e_{nd}$, and 
%
\begin{equation}
\rho_w^* (\epsilon) =
\left\{\begin{array}{cl}
\displaystyle 
\frac{1}{w_{w}}\hspace{1pt}, &  
e_{wd}  \le \epsilon \le e_{wu} \\
 & \\ 
0\hspace{1pt}, &  \epsilon<e_{wd} , \   e_{wu} < \epsilon 
\end{array} \right. ,
\end{equation}
%
with  $w_w=e_{wu}-e_{wd}$. 
For the sake of simplicity, our examination is restricted to a
realistic case, where a flat band lies
within broad bands: $e_{nd}<0<e_{nu}$, $e_{wd}<0<e_{wu}$,
and 
$w_w \gg w_n$ so that 
%
\begin{equation}
\rho_n^* (0) \gg \rho_w^* (0) .
\end{equation}
%
It is also assumed that the quasi-particle density of states is 
normalized in such a way that
%
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} d \epsilon 
\rho^* (\epsilon ) = 1 .
\]
%
Then, the carrier density per site is given by
%
\begin{eqnarray}
n &=& 2(2l+1) \int_{-\infty}^{+\infty} \!\! d\epsilon 
f(\epsilon ) \rho^* (\epsilon)
%
\nonumber \\
&=& 2(2l+1)\left[c \frac{|e_{nd}|}{w_{n}} + 
(1- c) \frac{|e_{wd}|}{w_{w}}\right] .
\end{eqnarray}
%
Here, Luttinger's sum rule or the Fermi-surface sum
rule\cite{Luttinger1,Luttinger2} is made use of.
%


In Eq.~(\ref{EqRho}), $c$ is the weight of the triangular part.
However, it is never a free parameter in this paper. When
Eq.~(\ref{EqFlat}) is satisfied, our model is nothing but the
flat-band model. Such a flat-band model is simulated by
$\rho^*(\epsilon)$ with $c \simeq 1/(2l+1) $. When interband
transfer terms $E_{l-l}({\bf k})$ are small, on the other
hand, all the $2l+1$ bands are degenerate. Such a model is
simulated by $\rho^*(\epsilon)$ with $c=1$ or $c = 0$.


It follows that  
%
\begin{eqnarray}
\tilde{P}_s (0) &=&
 c^2 \rho_n^* (0)   A_n \!\!\left(\! 
\frac{|e_{nd}|}{w_n}\right)
+ (1-c)^2 \rho_w^* (0) 
A_w \!\!\left(\!\frac{|e_{wd}|}{w_w}\right)
\nonumber \\ &&  + 
c(1-c) \rho_w^* (0)  \Biggl[ \frac{2e_{nu}}{w_n} 
A_{nw}\!\!\left(\frac{|e_{wd}|}{e_{nu}}\right) +
\nonumber \\ && \hspace*{2.5cm} + 
 \frac{2|e_{nd}|}{w_n} 
A_{nw}\!\!\left(\frac{ e_{wu} }{|e_{nd}|} \right) \Biggr],
\end{eqnarray}
%
with
%
\begin{eqnarray}
A_n (x) &=& - \frac{2}{3}
\Biggl\{1 + \frac{x \bigl[ x + 3(1-x)\bigr]}{1-x} \ln x 
%
\nonumber \\ && \hspace*{12pt}
+ \frac{(1-x) \bigl[(1-x)+3x \bigr]}{x}\ln (1-x) \Biggr\},
\end{eqnarray}
%
\begin{equation}
A_{w}(x) = - 2\bigl[ x\ln x +(1-x)\ln (1-x) \bigr],
\end{equation}
%
and
%
\begin{equation}
A_{nw}(x)
= \ln x + (x+1)^2\ln\left(1 +\frac{1}{x}\right)-x .
\end{equation}

%%%%%%
%%%\centerline{\BoxedEPSF{fig4.eps scaled 360}}
%%%%%%
\begin{figure} 
\centerline{\BoxedEPSF{fig4.eps scaled 370}}
\vspace{-0.0cm}~\\
\caption[4]{ 
A solid line shows $A_n(x)$, a dotted line $A_w(x)$,
and a broken line $A_{nw}(x)$.}
\label{Fig-A(x)}
\end{figure}


The instability condition (\ref{EqFerroCond}) is more easily
satisfied for smaller $\tilde{P}_s (0)$.  Fig.~\ref{Fig-A(x)}
shows $A_n(x)$, $A_w(x)$, and $A_{nw}(x)$. Note that 
$A_{n}(0)= A_{n}(1) =0$; $A_{w}(0) = A_{w}(1) =0$;
$A_{nw}(0)=0$ and $A_{nw}(x)$ increases only logarithmically
with increasing $x$ in such a way that 
%
\begin{equation}
A_{nw}(x) = \ln x + \frac{3}{2} + \frac{1}{3x} -
\frac{1}{12x^2} + \cdots 
\end{equation}
%
for $x\gg 1$. When the chemical potential is around one of the
band-edges, ferromagnetism is favored. On the other hand,
$A_n(x)$ and $A_w(x)$ take their largest values at $x=1/2$;
$A_n(1/2)=-(2/3)+(8/3)\ln 2=1.1873\cdots$ and 
$A_w(1/2) = 2\ln 2  =1.38629\cdots$. When the chemical
potential is around the band center, ferromagnetism is
disfavored. This is one of the reasons why the band-edge
condition is desired to be satisfied for itinerant-electron
ferromagnetism.



\subsection{Flat-band model}

Consider  the limit of $w_w / w_n\rightarrow +\infty$ or
%
\begin{equation}\label{EqWideLim}
\rho_w^* (0) / \rho_n^* (0) \rightarrow +0 
\end{equation}
%
in the case of nonzero $c$ $(c >0)$.  In this limit, 
%
\begin{equation}\label{EqPsR}
\tilde{P}_s (0) / \rho^*(0)  =
c A_n \left(\! 
|e_{nd}| / w_n \right) .
\end{equation}
%
Note that $c \simeq 1/(2l+1)$ is smaller than unity. This is
one of the reasons why ferromagnetism is favored in  the
flat-band model. Eq.~(\ref{EqPsR}) vanishes in the limit of 
%
\begin{equation}\label{EqL-Lim}
l \rightarrow+\infty
\end{equation}
%
or 
%
\begin{equation}\label{EqEdgeLim}
|e_{nd}| / w_n  \rightarrow +0.
\end{equation}
%
Eq.~(\ref{EqEdgeLim}) is nothing but the band-edge condition.
Then, the instability condition (\ref{EqFerroCond})
with $\Delta X_s =0$ becomes quite simple as 
%
\begin{equation}\label{EqFerroCond1}
1 - \bigl(\tilde{\phi}_s / \tilde{\phi}_\gamma
\bigr) < 0 .
\end{equation}
%
%

In the Kondo problem, $\tilde{\phi}_s/\tilde{\phi}_\gamma$
is called the Wilson ratio. Call it the {\it local}\hspace{1pt}
Wilson ratio in this paper. In general, 
it is close to unity in the low density limit of 
$n \rightarrow +0$ and is larger than unity for $n > 1$. 
The carrier density is simply given by
%
\begin{equation}
n = 2 (2l+1) \left(|e_{wd}|/w_w \right) .
\end{equation}
%
When it is close to unity, $ n \simeq 1$,
charge fluctuations
are substantially suppressed, so that
$\tilde{\phi}_c \ll \tilde{\phi}_s$ and
$\tilde{\phi}_c \ll \tilde{\phi}_o$, as is examined in
Appendix~\ref{SecApp}.
Then, it follows from Eq.~(\ref{EqYoshiPhiM}) that
%
\begin{equation}\label{EqYoshiPhiM2}
\tilde{\phi}_\gamma \simeq 
\frac{3\tilde{\phi}_s}{2(2l+3)}
+ \frac{4l(l+1)\tilde{\phi}_o}{(2l+1)(2l+3)}.
\end{equation}
%
In the case of $U=U^\prime$ and $J=0$,
it follows that  
$\tilde{\phi}_s = \tilde{\phi}_o$, so that
the {\it local}\hspace{1pt} Wilson ratio is as large as 
%
\begin{equation}\label{EqWR}
\frac{\tilde{\phi}_s}{\tilde{\phi}_\gamma} = 1+
\frac{5l+3}{8l^2 + 11l +3} >1 .
\end{equation}
%
Here, $\tilde{\phi}_c =0$ is assumed. When $U > U^\prime$ or
$J>0$,  it follows that  $\tilde{\phi}_s > \tilde{\phi}_o$. 
The  {\it local}\hspace{1pt} Wilson ratio is larger than
Eq.~(\ref{EqWR})  so that the instability condition,
Eq.~(\ref{EqFerroCond}) or (\ref{EqFerroCond1}), is satisfied
in such a case. As long as the Hund coupling is nonzero
$(J>0)$, the ferromagnetic instability condition is satisfied 
in the flat-band model with large enough $l$ and $d$.

\subsection{Band-edge model}

Consider the low density limit of $n \rightarrow +0$ in the
case of $c=1$ or $c=0$. According to the above argument,  the
chemical potential should be at the band bottom.   It follows
that $\tilde{P}_s (0) \rightarrow +0$ in the limit of
$n \rightarrow +0$. The instability condition is also given by
Eq.~(\ref{EqFerroCond1}).

In the single-band model, 
$\lim_{n \rightarrow +0}
\bigl(\tilde{\phi}_s/\tilde{\phi}_\gamma\bigr) \simeq  1 $ but 
$\lim_{n \rightarrow +0}
\bigl(\tilde{\phi}_s/\tilde{\phi}_\gamma\bigr) <  1 $ as is
shown in Appendix~\ref{SecApp}.
%
The superexchange interaction is antiferromagnetic in general,
and it vanishes in the limit of
$U/k_BT_k \rightarrow +\infty$. The single-band model with
$n \rightarrow 0$ and $U/k_BT_K \rightarrow +\infty$ is close
to a quantum critical point for ferromagnetic instability.
However, the instability condition is not satisfied.

In multi-band models, on the other hand, it follows that
$\lim_{l \rightarrow +\infty}\lim_{n \rightarrow +0}
\bigl(\tilde{\phi}_s / \tilde{\phi}_\gamma \bigr) =1 $ for
$J=0$ while
$\lim_{l \rightarrow +\infty} \lim_{n \rightarrow +0}
\bigl(\tilde{\phi}_s / \tilde{\phi}_\gamma\bigr) > 1$ for
$J>0$.
%
The superexchange interaction is ferromagnetic for non-zero
$J>0$ and large enough $l$. As long as the Hund coupling is
nonzero $(J>0)$, therefore, the ferromagnetic instability
condition  Eq.~(\ref{EqFerroCond}) is generally satisfied in
the limit of low densities $(n\rightarrow+0)$, large band
multiplicity
$(l\rightarrow+\infty)$, and large spatial dimensions
$(d\rightarrow+\infty)$.\cite{ComLorentz}





\section{Discussion}\label{SecDis}
%\subsection{Nagaoka and Thouless' ferromagnetism}

In the single-band model, the superexchange interaction is
antiferromagnetic and it  vanishes in the large limit of $U$.
The novel exchange interaction is antiferromagnetic for almost
half filling, for example, according to Fig.~\ref{Fig-A(x)}.
Therefore, the ground state must be antiferromagnetic or close
to a antiferromagnetic critical point in the thermodynamic limit of small
{\it hole} densities discussed in Introduction.  Ferromagnetic
instability cannot occur in this limit.  Nagaoka and Thouless's
ferromagnetism is a singular point as a function of carrier
numbers. 


%\subsection{Kanamori's flat-band model}


Kanamori's result\cite{Kanamori} can also be explained within
the framework of this paper. Both the flat-band and
band-edge conditions are satisfied in Kanamori's model. Then,
the novel exchange interaction is ferromagnetic so that the
ground state must be a paramagnetic state
close to a ferromagnetic quantum critical point. One can
argue that ferromagnetic instability can occur in Kanamori's
model if a weak ferromagnetic superexchange interaction is
phenomenologically included; the superexchange interaction
cannot be ferromagnetic in any single-band model. 


%\subsection{Flat-band model by Mielke and Tasaki}

In the flat-band models considered by Mielke and
Tasaki,\cite{Mielke1,Mielke2,Tasaki,Kusakabe} different orbits
are located at different positions within a unit cell. In
general, the Coulomb interaction between different positions is
much weaker than the on-site one. Their models correspond to
the case of $U>0$, $U^\prime=0$ and $J=0$ in Eq.~(\ref{EqInt})
within the framework of this paper. When $U^\prime$ and $J$ are
small or when $U^\prime=J$, the derivation of the superexchange
interaction in this paper breaks down, as is implied by
Eq.~(\ref{EqIij}), where its denominators vanish.  Once a large
enough but still small $U^\prime$  $(U^\prime >J)$ between
different orbits is introduced, the formulation of this paper
can be applied to such variant models of Mielke and Tasaki's.
A strong ferromagnetic superexchange interaction exists in such
models. This argument implies the existence of a strong
ferromagnetic exchange interaction or an effective strong Hund
coupling in the flat-band model of Mielke and Tasaki's, which
corresponds to the ferromagnetic superexchange interaction
considered in this paper. This is another reason why
ferromagnetism is favored in  the flat-band models.


Arguments on the flat-band condition in Sec.~\ref{SecModel} are
restricted to a rather realistic case, where a flat band lies
within broad bands. If the hybridization or mixing between flat
and broad bands is strong as it is in our model, the treatment
of this paper can be extended to the case where a flat
band lies outside broad bands. 
% 
%\subsection{Extension of this theory}
%
Because of crystalline fields in cubic lattices, for example,
$d$ orbitals split into $d\epsilon$ and $d\gamma$ multiplets. 
A model where only $d\epsilon$ or $d\gamma$ multiplet is 
taken into account corresponds to $l=1$ or $l=1/2$, while a
model where all $d$ orbitals are taken into account corresponds
to $l=2$. Although the superexchange interaction is definitely
ferromagnetic for large $l$'s, whether it is ferromagnetic or
antiferromagnetic depends rather sensitively on $l$ in the
region of small $l$'s such as $l=1$ and $l=2$, as are shown in
Figs.~\ref{FigJ(L=1*2)} and \ref{FigD(L=1*2)}. Not only orbitals
around the chemical potential but also all other orbitals far
from the chemical potential should be taken into account for a
quantitative discussion on the  magnitude of the superexchange
interaction as well as its signs. It is interesting to extend
the theory of this paper to treat such models with
non-degenerate $d$ or $f$ orbitals and models without the
symmetry of Eqs.~(\ref{EqSym}) and (\ref{EqSymU}).  Such
extensions seem to be indispensable to explain quantitatively
itinerant-electron ferromagnetism in actual metals or alloys.


It is assumed in this paper that only electrons or holes exist.
It is also interesting to extend the theory to treat
ferromagnetism in semimetals, where electrons and holes
coexist. 


%\subsection{Superexchange interaction in metallic phases}

Because the superexchange was originally derived in insulating
phases, it is controversial whether or not it  exists in
metallic phases.  The derivation of this paper is based on
Eq.~(\ref{EqGst}) together with the Ward identity.\cite{Ward} It
is obvious that the superexchange interaction exists even in
metallic phases as long as the Mott-Hubbard splitting exists.  
%%
When localized levels are so deep that 
$\epsilon_{a}-\mu \ll-k_{B}T_{K}$, Eq.~(\ref{EqGst}) is a good
approximation only  for
$|\varepsilon_{n}| \gg k_{B}T_{K}$. In this case, Gutzwiller's
narrow quasi-particle band appear at the chemical potential
between the lower and upper Hubbard bands.  The system is a
metal because of Gutzwiller's band. However, Gutzwiller's band
plays no role in the process of the superexchange interaction. 
When  localized levels are so shallow that
$\epsilon_{a}-\mu \agt - k_{B}T_{K}$,  Eq.~(\ref{EqGst}) is a
rather good approximation even for the vicinity of the chemical
potential; according to Eq.~(\ref{EqGst}), the mass enhancement
factor is  
$\tilde{\phi}_\gamma = 1 - n [2l/(2l+1)]$, which is 
 consistent with Gutzwiller's result given by
Eq.~(\ref{EqGutPhi}) in the large limit of
$l\rightarrow+\infty$. Gutzwiller's band and the lower Hubbard
band merge into a band and the upper Hubbard band lies above the
merged band. In both the cases, the Mott-Hubbard splitting
exists so that the superexchange interaction exists.  



% Whether the system is a metal or an insulator is
% not determined by whether the Mott-Hubbard gap exists, but is
% determined by the existence of quasi-particles bands at the
% chemical potential.

The superexchange interaction in metallic phases can also be
understood by the following argument. Because the typical time
scale of quasi-particles, which is $O(\hbar/k_{B}T_{B})$, is
much longer than that of pair excitations of electrons or
holes across the Mott-Hubbard gap, which is $O(\hbar/U)$ or
$O\bigl(\hbar/(U^\prime\pm J)\bigr)$, all the exchange
processes can be finished while a pair of quasi-particles meet
occasionally and part again. As long as the Mott-Hubbard
splitting exists and Eq.~(\ref{EqStrongC}) is satisfied,
therefore, the superexchange interaction works between
quasi-particle pairs that occasionally come close to each
other.



%\subsection{RKKY and double exchange interaction} 

The novel exchange interaction considered in
Sec.~\ref{SecExchNov} is similar to the double and the RKKY
exchange interactions, each of which arises from that of
pair excitations of conduction electrons.  The double and the
RKKY exchange interactions are essentially the same; in many
cases the double exchange interaction seems to stand for the
${\bf q}=0$ component of the RKKY exchange interaction.
However, the novel exchange interaction is totally different
from the double or RKKY exchange interaction. When the RKKY or
double exchange interaction is derived, the existence of
localized spins are assumed. The double or RKKY exchange
interaction is an exchange interaction working between
localized spins in metals. On the other hand, the novel
exchange interaction works between itinerant
quasiparticles.  The strength of the RKKY or double
interactions is inversely proportional to the width of
conduction bands, while the strength of the novel exchange
interaction is  proportional to the bandwidth of
quasiparticles.


Because the local or intrasite part of the RKKY or double
exchange interaction can play no role, its intrasite part
should be subtracted. Then, whether the RKKY or double exchange
interaction is ferromagnetic or antiferromagnetic depends on
the position of the chemical potential. The band-edge
condition also applies to this case. When the chemical potential
is at the top or bottom region of conduction bands, it is
ferromagnetic. When the chemical potential lies in the center
region of conduction bands or the nesting of the Fermi surface
is significant, it is antiferromagnetic. The situation is
similar to that for the novel exchange interaction.



The double or RKKY exchange interaction arises from the
second-order perturbation in the $s$-$d$ exchange. When the
$s$-$d$ exchange interaction is ferromagnetic, the volume of
the Fermi surface is simply given by the number of conduction
electrons. In the band-edge model, the RKKY exchange
interaction is ferromagnetic and metallic ferromagnetism is
possible. Ferromagnetism caused by this type of the double or
RKKY exchange interaction is nothing but ferromagnetism
examined by Zener.\cite{Zener} It should never be called
itinerant-electron ferromagnetism, but it is 
local-moment ferromagnetism in metals. 


When the $s$-$d$ exchange interaction is antiferromagnetic, 
localized spins must be screened by the Kondo effect.  The
analogy between the periodic antiferromagnetic $s$-$d$ model
and the periodic Anderson model implies that when higher-order
processes in the $s$-$d$ exchange interaction are considered
the double or RKKY exchange interaction should be replaced by
a similar one to the novel exchange interaction studied in
this paper.  The analogy also implies that the volume of the
Fermi surface must be given by the number of total electrons or
by the sum of those of conduction electrons and localized
spins.  When the volume of electron or hole Fermi surface is
small, this exchange interaction must be ferromagnetic. For
example, assume that there is only a single conduction band.
Denote  the average number of conduction electrons per site by
$n_{c}$. When the number of localized and screened spins is
taken into account, $n_{c}=1$ corresponds to the total
electron number 2 per site. This  exchange interaction must be
ferromagnetic for $n_{c}\simeq 1$, because the band edge
condition is satisfied. We speculate that if the critical
temperature is much lower than the Kondo temperature
ferromagnetism caused by this exchange interaction  must be
physically the same as itinerant-electron ferromagnetism
studied in this paper.\cite{ComLF}




\section{Summary}\label{SecSum}

Itinerant-electron ferromagnetism in  multi-band models is
examined within a theoretical framework of the competition
between the two leading-order effects in $1/d$: magnetic
instability caused by Weiss' mean fields or exchange
interactions and the quenching of magnetic moments by the
Kondo effect.  
%%%%%Our study is restricted to the low density regime  where
%%%%%the density of electrons or holes is smaller than unity per
%%%%%unit cell. 


Two exchange interactions are responsible for ferromagnetic
instability. One is the superexchange interaction, which arises
from the virtual exchange of pair excitations of
electrons or holes  across the Mott-Hubbard gap. When the Hund
coupling is strong enough and the band multiplicity is large
enough, the superexchange interaction becomes ferromagnetic.
The other is the novel exchange interaction arising from the
virtual exchange of pair excitations of quasi-particles, which
is also responsible for the Curie-Weiss law.  Its strength is
proportional to the bandwidth of quasi-particles, and its signs
depend on the shape of the density of quasiparticle states and
the position of the chemical potential. This exchange interaction
is ferromagnetic, when the flat-band condition is satisfied so
that the density of states has a sharp peak around the chemical
potential within or outside a broad band or broad bands or when
the band-edge condition is satisfied so that the chemical
potential is at one of the band edges.  When the electron or
hole density is close to unity per unit cell, charge
fluctuations are substantially  suppressed so that the {\it
local}\hspace{1pt} Wilson ratio is enhanced. Because spin
fluctuations are more enhanced than orbital fluctuations in the
presence of the Hund coupling, the  {\it local} Wilson ratio is
also enhanced.  The enhancement of the {\it local}\hspace{1pt}
Wilson ratio leads to the enhancement of the novel exchange
interaction. When the sum of the superexchange and the novel
exchange interactions overcomes the quenching of magnetic
moments or the suppression of magnetic instability by local and
intersite spin fluctuations, a ferromagnetic state is
stabilized at low enough temperatures. 


In conclusion, the following three conditions should be
satisfied in order that a ferromagnetic state is stabilized at
low enough temperatures: (i) There are two or more than two
bands, (ii) the on-site Hubbard repulsion is much larger than
the energy scale of local quantum spin fluctuations, and (iii)
the Hund coupling is strong enough. Some or all of the
following conditions should also be satisfied: (iv) There is
an almost dispersionless band within broad ones, (v) the
chemical potential is at the top or bottom of bands,  and  (vi)
the electron or hole density is close to unity per unit cell. 


\begin{acknowledgments}
This work was supported by a Grant-in-Aid for Scientific
Research (C) No.~13640342 from the Ministry of Education,
Cultures, Sports, Science and Technology of Japan.
\end{acknowledgments}


\begin{appendix}
\section{Non-mapped single-impurity  Anderson model}
\label{SecApp}

Consider ${\cal H}_{A}$ given by Eq.~(\ref{EqHamA}). In this
Appendix, it is assumed that the hybridization energy defined
by
%
\begin{equation}
\Delta = \frac{1}{N} \sum_{\bf k}
|v_{m{\bf k}}|^{2} \delta \bigl(\epsilon +\mu - e_{c}
({\bf k})\bigr)
\end{equation}
%
does not depend on  $\epsilon$ as well as $m$ and the
conduction bandwidth $2D$ is much larger than $U$, $U^\prime$
and $J$.  When $U=U^\prime=J=0$, the density of states of
localized  electrons is given by
%
\begin{equation}
\rho_0(\epsilon) = \frac{1}{\pi}
\frac{\Delta}{(\epsilon-\epsilon_a+\mu)^2 + \Delta^{2}}.
\end{equation}
%
When the Friedel sum rule or the Fermi-liquid
relation\cite{Shiba} is made use of, the density of states at
the chemical potential  for non-zero $U$, $U^\prime$ and $J$
is simply given by
%
\begin{equation}
\rho(0)  = \frac{1}{\pi \Delta} \sin^2
\!\left(\frac{\pi n}{2(2l+1)}\right) 
\end{equation}
%
as a function of  
$n = \sum_{m\sigma} \langle n_{m\sigma}\rangle$.
Our study in this Appendix is also restricted to $n <1$.


Introduce infinitesimally small external fields
given by Eq.~(\ref{EqExt}) with $H_{so}=0$, and define 
%
\begin{equation}
\epsilon_{m\sigma} = \epsilon_{a} 
- \Delta\mu - \frac{1}{2} \sigma g_s \mu_B   H_{s} 
- m  g_o \mu_B H_o.
\end{equation}
%
The ground state wave function, $\Phi$, 
is expanded in such a way that\cite{ComLargeL} 
%
\begin{eqnarray}\label{EqGndFunc}
\Phi &=& \Bigl[ \Gamma_0 
+ \!\sum_{m{\bf k}\sigma} 
\Gamma_{(m\sigma);({\bf k}\sigma)}
a^{\dagger}_{\sigma\tau}c_{{\bf k}\sigma} 
%
+ \!\sum_{{\bf k}{\bf p}\sigma}
\Gamma_{({\bf k}\sigma);({\bf p}\sigma)}
c_{{\bf k}\sigma}^{\dagger} c_{{\bf p}\sigma}
\nonumber \\  
% 
&& \quad\quad
+  \sum_{m{\bf k}\sigma} \sum_{m^\prime{\bf p}\sigma^\prime} 
\Gamma_{[(m\sigma)(m^\prime\sigma^\prime);
({\bf p}\sigma^\prime)({\bf k}\sigma)]}\times
\nonumber \\ &&  \hspace*{2.5cm} 
\times 
a^{\dagger}_{m\sigma}a^{\dagger}_{m^\prime\sigma^\prime}
c_{{\bf p}\sigma^\prime}c_{{\bf k}\sigma}
%\nonumber \\ && \quad\quad
%
+ \cdots \Bigr] |0\rangle ,
\end{eqnarray}
%
with $|0\rangle$ the Fermi vacuum, and it satisfies 
%
\begin{equation}\label{EqSchA}
\left[E - {\cal H}_{A}-{\cal H}_{ext} \right] \Phi = 0 .
\end{equation}
In Eq.~(\ref{EqGndFunc}), 
$\Gamma_{[(m\sigma)(m^\prime\sigma^\prime);
({\bf p}\sigma^\prime)({\bf k}\sigma)]}$ \
is an antisymmetrized coefficient defined in such a way that
%
\begin{eqnarray}
\Gamma_{[(m\sigma)(m^\prime\sigma^\prime);
({\bf p}\sigma^\prime)({\bf k}\sigma)]} &=& \nonumber \\ 
%
&& \hspace*{-3.1cm} = 
\Gamma_{(m\sigma)(m^\prime\sigma^\prime);
({\bf p}\sigma^\prime)({\bf k}\sigma)} \!-\!
\Gamma_{(m^\prime\sigma^\prime)(m\sigma);
({\bf p}\sigma^\prime)({\bf k}\sigma)} \nonumber \\  
% 
&& \hspace*{-3.0cm} -
\Gamma_{(m\sigma)(m^\prime\sigma^\prime);
({\bf k}\sigma)({\bf p}\sigma^\prime)} \!+\!
\Gamma_{(m^\prime\sigma^\prime)(m\sigma);
({\bf k}\sigma)({\bf p}\sigma^\prime)} .
%\nonumber \\ \phantom{\Bigr]}
\end{eqnarray}
%
Eqs.~(\ref{EqGndFunc}) and (\ref{EqSchA}) give a set
of equations for  $\Gamma$'s:
%
\begin{mathletters}\label{EqAs}
\begin{equation}\label{EqA0}
E \Gamma_0 - \frac{1}{\sqrt{N}}
\sum_{m{\bf k}\sigma} v_{{\bf k}\tau}^{*}
\Gamma_{(m\sigma);({\bf k}\sigma)} =0 ,
\end{equation}
%
\begin{eqnarray}\label{EqA1}
&&
\Bigl[ E -\epsilon_{m\sigma}+ e_c ({\bf k}) \Bigr]
\Gamma_{(m\sigma);({\bf k}\sigma)}
- \frac{1}{\sqrt{N}} v_{m{\bf k}} \Gamma_0 -
\nonumber \\ && \quad 
- \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{{\bf p}} v_{m{\bf p}}
\Gamma_{({\bf p}\sigma);({\bf k}\sigma)}
\nonumber \\ && \quad 
- \frac{2}{\sqrt{N}} 
\sum_{m^\prime{\bf p}\sigma^\prime} v_{m^\prime{\bf p}}^{*}
\Gamma_{[(m\sigma)(m^\prime\sigma^\prime);
({\bf p}\sigma^\prime)({\bf k}\sigma)]} =0 ,
%\nonumber \\
\end{eqnarray}
%
%
\begin{eqnarray}\label{EqA2}
&&\Bigl[E - e_{c}({\bf p}) + e_{c}({\bf k}) \Bigr]
\Gamma_{({\bf p}\sigma);({\bf k}\sigma)} +
\nonumber \\ && \hspace*{2.0cm}
- \frac{v_{m{\bf p}}^{*}}{\sqrt{N}} 
\Gamma_{(m\sigma);({\bf k}\sigma)} + \cdots =0 ,
\end{eqnarray}
%
\begin{equation}\label{EqA30} 
\Gamma_{[(m\sigma)(m\sigma);
({\bf p}\sigma)({\bf k}\sigma)]} =0 , 
\end{equation}
%
\begin{eqnarray}\label{EqA31} 
&& \Bigl[ 
 E -\epsilon_{m\sigma} -\epsilon_{m-\sigma} - U +
\nonumber \\ && \hspace*{1.0cm}
+ e_c ({\bf k})  + e_{c}({\bf p}) \Bigr] 
\Gamma_{[(m\sigma)(m-\sigma);
({\bf p}-\sigma)({\bf k}\sigma)]} \ -
%
\nonumber \\ && \hspace*{0.5cm} 
- \frac{v_{m{\bf p}}}{\sqrt{N}}
 \Gamma_{(m\sigma);({\bf k}\sigma)}
- \frac{v_{m{\bf k}}}{\sqrt{N}}
 \Gamma_{(m-\sigma);({\bf p}-\sigma)} + \cdots =0 , 
\nonumber \\
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}\label{EqA32} 
&&\Bigl[  E -\epsilon_{m\sigma} -\epsilon_{m^\prime\sigma} -
U^\prime + J +
\nonumber \\ && \hspace*{2.0cm}
 + e_c ({\bf k}) + e_{c}({\bf p})
\Bigr] 
\Gamma_{[(m\sigma)(m^\prime\sigma);
({\bf p}\sigma)({\bf k}\sigma)]} -
%
\nonumber \\ && \hspace*{0.5cm} 
- \frac{v_{m^\prime{\bf p}}}{\sqrt{N}} 
\Gamma_{(m\sigma);({\bf k}\sigma)}
- \frac{v_{m{\bf k}}}{\sqrt{N}}
 \Gamma_{(m^\prime\sigma);({\bf p}\sigma)}  + \cdots =0 
\nonumber \\
\end{eqnarray}
%
%
\begin{eqnarray}\label{EqA33} 
&& \Bigl[E- \epsilon_{m\sigma} - \epsilon_{m^\prime-\sigma} -
U^\prime +
\nonumber \\ && \hspace*{1.5cm} + 
e_{c}({\bf k}) +e_{c}({\bf p})
\Bigr] 
\Gamma_{[(m\sigma)(m^\prime-\sigma);
({\bf p}-\sigma)({\bf k}\sigma)]} +
\nonumber \\ && \hspace*{0.5cm}  
+ J \Gamma_{[(m-\sigma)(m^\prime\sigma);
({\bf p}-\sigma)({\bf k}\sigma)]}  \nonumber \\
%
&& \hspace*{0.5cm} 
- \frac{v_{m^\prime{\bf p}}}{\sqrt{N}} 
\Gamma_{(m\sigma);({\bf k}\sigma)}
\!-\! \frac{v_{m{\bf k}}}{\sqrt{N}}
 \Gamma_{(m^\prime-\sigma);({\bf p}-\sigma)}  + \cdots =0 ,
\!\! \phantom{\Bigg]} \nonumber \\
\end{eqnarray}
%
%
\begin{eqnarray}\label{EqA34} 
&&
\Bigl[ E- \epsilon_{m-\sigma} - \epsilon_{m^\prime\sigma}  -
U^\prime +
\nonumber \\ && \hspace*{1.5cm}
  +e_{c}({\bf k})+ e_{c}({\bf p})
\Bigr] 
\Gamma_{[(m-\sigma)(m^\prime\sigma);
({\bf p}-\sigma)({\bf k}\sigma)]} +
\nonumber \\ && \hspace*{1cm} 
+ J \Gamma_{[(m\sigma)(m^\prime-\sigma);
({\bf p}-\sigma)({\bf k}\sigma)]}
 + \cdots =0 ,\phantom{\Bigr]}
%\nonumber \\
\end{eqnarray}
\end{mathletters}
and so on. In Eqs.~(\ref{EqA32}), (\ref{EqA33}) and
(\ref{EqA34}), $m \ne m^\prime$.


When  small irrelevant terms are ignored, 
it follows from Eqs.~(\ref{EqA0})--(\ref{EqA34}) that
%
\begin{equation}
\frac{1}{F(E)} =
\frac{\Delta}{\pi} \sum_{m\sigma} \ln \left|
\frac{D}{E- \Delta E_{0} -\epsilon_{m\sigma}^{*} 
+\mu} \right| ,
\end{equation}
%
with
\begin{eqnarray}
F(E) &=& 
\frac{1}{-E}
+ \frac{1}{2l+1} \Biggl[
\frac{1}{U + \epsilon_{a} - \mu} +
\nonumber \\
%
&& 
+ \frac{3l}{ U^\prime - J + \epsilon_{a} - \mu}
+ \frac{l}{U^\prime + J + \epsilon_{a} - \mu}
\Biggr] , 
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
\Delta E_{0} &=& - \frac{\Delta}{\pi} \Biggl[ 
\ln \frac{D}{\Delta} + 2\ln \frac{D+U}{U}
%
\nonumber \\ && 
+ 3l  \ln \frac{D+U^\prime-J}{U^\prime - J}
 + l \ln \frac{D+U^\prime+J}{U^\prime + J}
\Biggr] ,
\end{eqnarray}
%
and
%
\begin{equation}\label{EqEST}
\epsilon_{m\sigma}^{*} = \epsilon_{a} - g_c^* \Delta\mu
- \frac{1}{2}\sigma g_{s}^* \mu_B H_{s} - m g_o^* \mu_B H_o .
\end{equation}
%
Here, $g_c^*$, $g_s^*$ and $g_o^*$ are 
renormalized $g$ factors: 
%
\begin{equation}
g_c^* = 1 \!+\! \frac{1}{2l\!+\!1} \! \bigl[ R(U) 
\!+\! 3l R(U^\prime\!-\!J)+  l R(U^\prime\!+\!J) \bigr],
\end{equation}
%
\begin{equation}
\frac{g_s^*}{g_s} = 1 + \frac{2l}{2l+1} R(U^\prime-J),
\end{equation}
%
and
%
\begin{eqnarray}\label{EqGo}
\frac{g_o^*}{g_o} &=& 1+\frac{1}{2l+1}R(U) 
\nonumber \\ && 
 + \frac{2l-1}{2l+1}\left[ \frac{3}{4} R(U^\prime-J)  
+ \frac{1}{4} R(U^\prime+J) \right] ,
\end{eqnarray}
%
with 
%
\begin{equation}
R(x) = \frac{4(2l\!+\!1)\Delta}{\pi} \!\left[
\frac{1}{x\!+\!\epsilon_{a}\!-\!\mu}
-\frac{1}{D\!+\!x\!+\!\epsilon_{a}\!-\!\mu}
\right].
\end{equation}
%
Eq.~(\ref{EqGo}) should be discarded for $l=0$. Note that 
$g_c^* > g_s^*/g_s \ge g_o^*/g_o > 1$;
$g_s^*/g_s=g_o^*/g_o$ when
$U=U^\prime$ and $J=0$, while $g_s^*/g_s> g_o^*/g_o$ when
$U>U^\prime$ or $J>0$. Even in the absence of the spin-orbit
interaction, the $g$ factor in the spin channel is enhanced in
multi-band models.



%
When $\langle n_{m\sigma} \rangle \ll 1$,
$F(E)$ is approximated by $F(E) \simeq - 1/E$.
% 
%
%\begin{equation}
%F(E) \simeq \frac{1}{-E} + \frac{1}{U} 
%+ \frac{\frac{3}{2}}{U^\prime - \frac{1}{4}J}
%- \frac{\frac{1}{2}}{U^\prime + \frac{3}{4}J} .
%\end{equation}
%
The electron number is given by
$n = - \partial E/\partial \Delta\mu$. 
%
The charge susceptibility is calculated so that 
%
\begin{eqnarray}
\tilde{\chi}_{c}^* (0) &=&
\frac{\partial n\phantom{\Delta}}{\partial \Delta\mu}
%\nonumber \\ &=&
= \left(g_c^*\right)^2 
\!\!\frac{\pi}{2(2l\!+\!1)\Delta}
\hspace{1pt}n^{2} \left(g_c^* -n\right)
\end{eqnarray} 
%
as a function of $n$. In similar manners, spin and orbital
susceptibilities are calculated so that
%
\begin{eqnarray}
\tilde{\chi}_{\alpha}^*(0) &=& 
\left(\frac{g_\alpha^*}{g_\alpha}\right)^{2}
\hspace{-5pt} \frac{\pi}{2(2l\!+\!1)\Delta}
\hspace{1pt}\frac{n^{2}}{g_c^*-n} .
\end{eqnarray} 
%
The expansion coefficients appearing in the single-site 
selfenergy are given by
\begin{equation}
\tilde{\phi}_{c} = (g_c^*)^2 (g_c^*-n) \hspace{1pt}
\frac{\langle \pi n_{m\sigma}
\rangle^2}  {\sin^2\langle \pi n_{m\sigma} \rangle}
\end{equation}
%
for the charge channel, and
%
\begin{equation}
\tilde{\phi}_{\alpha} =
\left(\frac{g_\alpha^*}{g_\alpha}\right)^{2}
\frac{1}{g_c^*-n} \hspace{1pt}
\frac{\langle \pi n_{m\sigma} \rangle^2} 
{\sin^2\langle \pi n_{m\sigma} \rangle}
\end{equation}
%
for spin $(\alpha=s)$ and orbital $(\alpha=o)$ channels. 
Note that
%
%\begin{equation}
$\tilde{\phi}_c > \tilde{\phi}_s \ge \tilde{\phi}_o > 1$
%\end{equation}
%
in the low density limit of $n \rightarrow +0$  although
%
%\begin{equation}
$\tilde{\phi}_s \ge \tilde{\phi}_o \gg 1 \gg \tilde{\phi}_c$ 
%\end{equation}
%
for $n \simeq 1$.
\end{appendix}


\begin{references}
%
\bibitem{Kanamori}
J. Kanamori,
Prog. Theor, Phys. {\bf 30}, 275 (1963).
%
\bibitem{Mielke1}
A. Mielke,
J. Phys. {\bf A24}, 3311 (1991);
{\it ibid.} {\bf A25}, 4335 (1992);
Phys. Lett. {\bf A174}, 443 (1993);
%
\bibitem{Mielke2}
A. Mielke and H. Tasaki,
Commun. math. phys. {\bf 158}, 341 (1993).
%
\bibitem{Tasaki}
H. Tasaki,
Phys. Rev. Lett. {\bf 69}, 1608 (1992);
{\it ibid.} {\bf 73}, 1158 (1994);
{\it ibid.} {\bf 74}, 4678 (1995).
%
\bibitem{Kusakabe}
K. Kusakabe and A. Aoki,
Phys. Rev. Lett. {\bf 72}, 144 (1994).
%
\bibitem{Nagaoka}
Y. Nagaoka,
Phys. Rev. {\bf 147}, 392 (1966). 
%
\bibitem{Thouless}
D. J. Thouless, 
Proc. Phys. Soc. (London) A {\bf 86}, 893 (1965).
%
\bibitem{Hubbard}
J. Hubbard,
Proc. Roy. Soc. {\bf A276}, 238 (1963);
{\it ibid.} {\bf A281}, 401 (1964).
%
\bibitem{Gutzwiller}
M. C. Gutzwiller,
Phys. Rev. Lett. {\bf 10}, 159 (1963);
Phys. Rev. {\bf 134}, A293 (1963);
{\it ibid.} {\bf A137}, 1726 (1965).
%
\bibitem{Luttinger1}
J. M. Luttinger and J. C. Ward,
Phys. Rev. {\bf 118}, 1417 (1960). 
%
\bibitem{Luttinger2}
J. M. Luttinger,
Phys. Rev. {\bf 119}, 1153 (1960). 
%
\bibitem{Mapping}
F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 44}, 6812 (1991);
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 60}, 3218 (1991); 
{\it ibid.} {\bf 61}, !615 (1991).
%
\bibitem{Wilson}
K. G. Wilson,
Rev. Mod. Phys. {\bf 47}, 773 (1975).
%
\bibitem{Nozieres}
P. Nozi\`{e}res,
J. Low. Temp. Phys. {\bf 17}, 31 (1974).
%
\bibitem{Yamada}
K. Yamada,
Prog. Theor. Phys. {\bf 53}, 970 (1975);
{\it ibid} {\bf 54}, 316 (1975).
%
\bibitem{Yosida}
K. Yosida and K. Yamada,
Prog. Theor. Phys. {\bf 53}, 1286 (1970).
%
\bibitem{Exact}
For reviews see, e.g., 
N. Andrei, K. Furuya, and J. H. Lowenstein,
Rev. Mod. Phys. {\bf 55}, 331 (1983);
A. M. Tsvelick and P. B. Wiegmann,
Adv. Phys. {\bf 32}, 453 (1983);
A. Okiji and N. Kawakami,
{\it Springer Series in Solid State Science} (Springer, Berlin,
1988), Vol. 77, p 63;
P. Schlottmann, Phys. Rep. {\bf 118}, 1 (1989).
%
\bibitem{YosidaSing}
K. Yosida,
Phys. Rev. {\bf 147} (1966) 223.
%
\bibitem{Metzner}
W. Metzner and D. Vollhardt, 
Phys. Rev. Lett. {\bf 62}, 324 (1989).
%
\bibitem{ComCW}
The Curie-Weiss law of local-moment magnets arises from the
temperature dependence of local thermal spin fluctuations.  In
magnets, there are only two relevant leading order effects in
$1/d$: local spin fluctuations and magnetic Weiss' mean fields. 
Local charge fluctuations and isotropic BCS superconducting
fluctuations and their corresponding Weiss' mean fields are also
of leading order in $1/d$, but they are irrelevant in magnets. 
%
\bibitem{Murata}
K. K. Murata and S. Doniach, 
Phys. Rev. Lett. {\bf 29}, 285 (1972).
%
\bibitem{MK}
T. Moriya and A. Kawabata,
J. Phys. soc. Jpn. {\bf 34}, 639 (1973);
{\it ibid.} {\bf 35}, 669 (1973).
%
\bibitem{Moriya}
T. Moriya,
{\it Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism},
Springer SEries in Solid-State Sciences 56,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1985.
%
\bibitem{Ohkawa-CW}
F. J. Ohkawa,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 67}, 525 (1998).
%
\bibitem{Miyai}
E. Miyai and F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 61}, 1357 (2000).
%
\bibitem{scaling}
L. Puech, J. M. Mignot, P. Lejay, P. Haen, J. Flouquet, and J.
Voiron, J. Low. Temp. Phys. {\bf 70}, 237 (1988).
%
\bibitem{scaling2}
J.-M. Mignot, J. Flouquet, P. Haen, F. Lapierre, L. Puech, and
J. Voiron, J. Magn. Magn. \& Mater. {\bf 76\&77}, 97 (1988).
%
\bibitem{Satoh}
H. Satoh and F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 57}, 5891 (1998);
{\it ibid.} B {\bf 63}, 184401 (2001).
%
\bibitem{Com1}
When no interband terms are included, the formulation of this
paper can be applied to single-band models.
%
\bibitem{Com2} 
This relation can be only approximately satisfied in actual
systems.
%
\bibitem{ComLargeL}
In the large limit of $l$, $g_o$ and $g_{so}$  should be
defined in such a way that they include a factor of
$1/\sqrt{l(l+1)}$.
In a similar manner, $v_{m{\bf k}}$ should be defined 
in such a way that it includes $1/\sqrt{2l+1}$, so that
$\pi\Delta \propto 1/(2l+1)$. Then, the perturbative scheme 
used in Appendix is nothing but the $1/(2l+1)$ expansion.
%
\bibitem{Yoshimori}
A. Yoshimori,
Prog. Theor. Phys. {\bf 55}, 67 (1976).
%
\bibitem{Roth}
L. M. Roth,
Phys. Rev. {\bf 149}, 306 (1966).
When the interaction energy of two atoms due to admixture of
ionic states was examined, the splitting between the two
$S_z=0$ states of $S=1$ and $S=0$ due to the Hund coupling was
not considered in this reference, as was shown in Table I
there.  Because the $S=1$ state gains a larger energy than the
$S=0$ one, this splitting plays a critical role in deriving the
ferromagnetic superexchange interaction, as is shown in
Eq.~(\ref{EqIij}) of this paper.
%
\bibitem{ComValence}
In this case, the mapped Anderson model lies in the so called
valence fluctuation regime. The Kondo temperature or energy
can be still defined as the energy scale of local quantum spin
fluctuations by Eq.~(\ref{EqDefTK}).
%
\bibitem{Ward} 
J. C. Ward,
Phys. Rev. {\bf 78}, 182 (1950).
%
\bibitem{Com1/d}
In large spatial dimensions $(d\gg 1)$, $t_{mi,m^\prime j}$
should be defined in such a way that it includes a factor of
$1/d^{(L_{ij}/2)}$, with $L_{ij}$ the metropolitan distance
between the $i$th and $j$th sites,\cite{Metzner} so that
$I^{(s)}_{\alpha;ij}\propto 1/d^{L_{ij}}$ is of higher order in
$1/d$. Only when the contributions from neighboring sites are
coherent,
$I^{(s)}_\alpha (i\omega_l, {\bf q})$ is of leading order in
$1/d$  for particular and discrete ${\bf q}$'s.  It is of
higher order for almost all ${\bf q}$'s. The $1/d$ dependence
of $I^{(Q)}_\alpha (i\omega_l,{\bf q})$ and 
$I^{(sQ)}_\alpha(i\omega_l,{\bf q})$ is similar to that of
$I^{(s)}_\alpha (i\omega_l, {\bf q})$.
%
\bibitem{ComSubtract}
Intraband contributions $(r=r^\prime)$ are never significant,
unless they are in the vicinity of the chemical potential.
%
\bibitem{ComLorentz}
When $\rho^*(x)$ is of a Lorentzian shape in such a way that
$\rho^*(x) = \left(\Delta^*/\pi\right)/
\left[\left(x-\epsilon_a^*\right)^2 +
\left(\Delta^*\right)^2\right]$, 
the novel exchange interaction vanishes for any
$\epsilon_a^*$ at $T=0$~K because  
%
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-10pt} dx 
\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-10pt} dy
\frac{f(x)-f(y)}{y-x} \rho^*(x) \rho^*(y) 
= \rho^* (0) .
\]
%
%\bibitem{Frohlich}
%H. Fr\"{o}lich and F. R. N. Nabarro, 
%Proc. Roy. Soc. {\bf A 175}, 382 (1940).
%
\bibitem{Zener}
C. Zener, Phys. Rev. {\bf 81}, 440 (1951). 
%
\bibitem{ComLF}
If $T\gg T_K$, localized spins are not screened. Then, the
double or RKKY exchange interaction must be relevant for
$T \gg T_K$, and it is presumably antiferromagnetic because the
volume of the Fermi surface is large for $n_c \simeq 1$.  A
ferromagnetic state can never be stabilized above $T_K$ for
$n_c\simeq 1$.
%
\bibitem{Shiba}
H. Shiba,
Prog. Theor. Phys. {\bf 54}, 967 (1975).

\end{references}


\end{document}

cond-mat0108269.extracted_bib
\bibitem{Kanamori}
J. Kanamori,
Prog. Theor, Phys. {\bf 30}, 275 (1963).
%

\bibitem{Mielke1}
A. Mielke,
J. Phys. {\bf A24}, 3311 (1991);
{\it ibid.} {\bf A25}, 4335 (1992);
Phys. Lett. {\bf A174}, 443 (1993);
%

\bibitem{Mielke2}
A. Mielke and H. Tasaki,
Commun. math. phys. {\bf 158}, 341 (1993).
%

\bibitem{Tasaki}
H. Tasaki,
Phys. Rev. Lett. {\bf 69}, 1608 (1992);
{\it ibid.} {\bf 73}, 1158 (1994);
{\it ibid.} {\bf 74}, 4678 (1995).
%

\bibitem{Kusakabe}
K. Kusakabe and A. Aoki,
Phys. Rev. Lett. {\bf 72}, 144 (1994).
%

\bibitem{Nagaoka}
Y. Nagaoka,
Phys. Rev. {\bf 147}, 392 (1966). 
%

\bibitem{Thouless}
D. J. Thouless, 
Proc. Phys. Soc. (London) A {\bf 86}, 893 (1965).
%

\bibitem{Hubbard}
J. Hubbard,
Proc. Roy. Soc. {\bf A276}, 238 (1963);
{\it ibid.} {\bf A281}, 401 (1964).
%

\bibitem{Gutzwiller}
M. C. Gutzwiller,
Phys. Rev. Lett. {\bf 10}, 159 (1963);
Phys. Rev. {\bf 134}, A293 (1963);
{\it ibid.} {\bf A137}, 1726 (1965).
%

\bibitem{Luttinger1}
J. M. Luttinger and J. C. Ward,
Phys. Rev. {\bf 118}, 1417 (1960). 
%

\bibitem{Luttinger2}
J. M. Luttinger,
Phys. Rev. {\bf 119}, 1153 (1960). 
%

\bibitem{Mapping}
F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 44}, 6812 (1991);
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 60}, 3218 (1991); 
{\it ibid.} {\bf 61}, !615 (1991).
%

\bibitem{Wilson}
K. G. Wilson,
Rev. Mod. Phys. {\bf 47}, 773 (1975).
%

\bibitem{Nozieres}
P. Nozi\`{e}res,
J. Low. Temp. Phys. {\bf 17}, 31 (1974).
%

\bibitem{Yamada}
K. Yamada,
Prog. Theor. Phys. {\bf 53}, 970 (1975);
{\it ibid} {\bf 54}, 316 (1975).
%

\bibitem{Yosida}
K. Yosida and K. Yamada,
Prog. Theor. Phys. {\bf 53}, 1286 (1970).
%

\bibitem{Exact}
For reviews see, e.g., 
N. Andrei, K. Furuya, and J. H. Lowenstein,
Rev. Mod. Phys. {\bf 55}, 331 (1983);
A. M. Tsvelick and P. B. Wiegmann,
Adv. Phys. {\bf 32}, 453 (1983);
A. Okiji and N. Kawakami,
{\it Springer Series in Solid State Science} (Springer, Berlin,
1988), Vol. 77, p 63;
P. Schlottmann, Phys. Rep. {\bf 118}, 1 (1989).
%

\bibitem{YosidaSing}
K. Yosida,
Phys. Rev. {\bf 147} (1966) 223.
%

\bibitem{Metzner}
W. Metzner and D. Vollhardt, 
Phys. Rev. Lett. {\bf 62}, 324 (1989).
%

\bibitem{ComCW}
The Curie-Weiss law of local-moment magnets arises from the
temperature dependence of local thermal spin fluctuations.  In
magnets, there are only two relevant leading order effects in
$1/d$: local spin fluctuations and magnetic Weiss' mean fields. 
Local charge fluctuations and isotropic BCS superconducting
fluctuations and their corresponding Weiss' mean fields are also
of leading order in $1/d$, but they are irrelevant in magnets. 
%

\bibitem{Murata}
K. K. Murata and S. Doniach, 
Phys. Rev. Lett. {\bf 29}, 285 (1972).
%

\bibitem{MK}
T. Moriya and A. Kawabata,
J. Phys. soc. Jpn. {\bf 34}, 639 (1973);
{\it ibid.} {\bf 35}, 669 (1973).
%

\bibitem{Moriya}
T. Moriya,
{\it Spin Fluctuations in Itinerant Electron Magnetism},
Springer SEries in Solid-State Sciences 56,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1985.
%

\bibitem{Ohkawa-CW}
F. J. Ohkawa,
J. Phys. Soc. Jpn. {\bf 67}, 525 (1998).
%

\bibitem{Miyai}
E. Miyai and F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 61}, 1357 (2000).
%

\bibitem{scaling}
L. Puech, J. M. Mignot, P. Lejay, P. Haen, J. Flouquet, and J.
Voiron, J. Low. Temp. Phys. {\bf 70}, 237 (1988).
%

\bibitem{scaling2}
J.-M. Mignot, J. Flouquet, P. Haen, F. Lapierre, L. Puech, and
J. Voiron, J. Magn. Magn. \& Mater. {\bf 76\&77}, 97 (1988).
%

\bibitem{Satoh}
H. Satoh and F. J. Ohkawa,
Phys. Rev. B {\bf 57}, 5891 (1998);
{\it ibid.} B {\bf 63}, 184401 (2001).
%

\bibitem{Com1}
When no interband terms are included, the formulation of this
paper can be applied to single-band models.
%

\bibitem{Com2} 
This relation can be only approximately satisfied in actual
systems.
%

\bibitem{ComLargeL}
In the large limit of $l$, $g_o$ and $g_{so}$  should be
defined in such a way that they include a factor of
$1/\sqrt{l(l+1)}$.
In a similar manner, $v_{m{\bf k}}$ should be defined 
in such a way that it includes $1/\sqrt{2l+1}$, so that
$\pi\Delta \propto 1/(2l+1)$. Then, the perturbative scheme 
used in Appendix is nothing but the $1/(2l+1)$ expansion.
%

\bibitem{Yoshimori}
A. Yoshimori,
Prog. Theor. Phys. {\bf 55}, 67 (1976).
%

\bibitem{Roth}
L. M. Roth,
Phys. Rev. {\bf 149}, 306 (1966).
When the interaction energy of two atoms due to admixture of
ionic states was examined, the splitting between the two
$S_z=0$ states of $S=1$ and $S=0$ due to the Hund coupling was
not considered in this reference, as was shown in Table I
there.  Because the $S=1$ state gains a larger energy than the
$S=0$ one, this splitting plays a critical role in deriving the
ferromagnetic superexchange interaction, as is shown in
Eq.~(\ref{EqIij}) of this paper.
%

\bibitem{ComValence}
In this case, the mapped Anderson model lies in the so called
valence fluctuation regime. The Kondo temperature or energy
can be still defined as the energy scale of local quantum spin
fluctuations by Eq.~(\ref{EqDefTK}).
%

\bibitem{Ward} 
J. C. Ward,
Phys. Rev. {\bf 78}, 182 (1950).
%

\bibitem{Com1/d}
In large spatial dimensions $(d\gg 1)$, $t_{mi,m^\prime j}$
should be defined in such a way that it includes a factor of
$1/d^{(L_{ij}/2)}$, with $L_{ij}$ the metropolitan distance
between the $i$th and $j$th sites,\cite{Metzner} so that
$I^{(s)}_{\alpha;ij}\propto 1/d^{L_{ij}}$ is of higher order in
$1/d$. Only when the contributions from neighboring sites are
coherent,
$I^{(s)}_\alpha (i\omega_l, {\bf q})$ is of leading order in
$1/d$  for particular and discrete ${\bf q}$'s.  It is of
higher order for almost all ${\bf q}$'s. The $1/d$ dependence
of $I^{(Q)}_\alpha (i\omega_l,{\bf q})$ and 
$I^{(sQ)}_\alpha(i\omega_l,{\bf q})$ is similar to that of
$I^{(s)}_\alpha (i\omega_l, {\bf q})$.
%

\bibitem{ComSubtract}
Intraband contributions $(r=r^\prime)$ are never significant,
unless they are in the vicinity of the chemical potential.
%

\bibitem{ComLorentz}
When $\rho^*(x)$ is of a Lorentzian shape in such a way that
$\rho^*(x) = \left(\Delta^*/\pi\right)/
\left[\left(x-\epsilon_a^*\right)^2 +
\left(\Delta^*\right)^2\right]$, 
the novel exchange interaction vanishes for any
$\epsilon_a^*$ at $T=0$~K because  
%
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-10pt} dx 
\int_{-\infty}^{+\infty} \hspace{-10pt} dy
\frac{f(x)-f(y)}{y-x} \rho^*(x) \rho^*(y) 
= \rho^* (0) .
\]
%
%
\bibitem{Frohlich}
%H. Fr\"{o}lich and F. R. N. Nabarro, 
%Proc. Roy. Soc. {\bf A 175}, 382 (1940).
%

\bibitem{Zener}
C. Zener, Phys. Rev. {\bf 81}, 440 (1951). 
%

\bibitem{ComLF}
If $T\gg T_K$, localized spins are not screened. Then, the
double or RKKY exchange interaction must be relevant for
$T \gg T_K$, and it is presumably antiferromagnetic because the
volume of the Fermi surface is large for $n_c \simeq 1$.  A
ferromagnetic state can never be stabilized above $T_K$ for
$n_c\simeq 1$.
%

\bibitem{Shiba}
H. Shiba,
Prog. Theor. Phys. {\bf 54}, 967 (1975).

