con qué entidades políticas limitaba el imperio carolingio
En su apogeo, el imperio tenía una población de diez a veinte millones de personas y una extensión de 1 112 000 km².Su corazón era Francia, la tierra entre el Loira y el Rin, donde se encontraba la principal residencia real del reino, Aquisgrán. Por el sur cruzaba los Pirineos y limitaba con el emirato de Córdoba y, después de 824, con el reino de Pamplona; por el norte limitaba con el reino de los daneses; por el oeste tenía una corta frontera terrestre con Bretaña, que más tarde fue reducida a tributaria; y por el este tenía una larga frontera con los eslavos y los ávaros, que fueron derrotados con el tiempo y sus tierras incorporadas al imperio. En el sur de Italia, las reclamaciones de autoridad de los carolingios fueron disputadas por los bizantinos y los vestigios del reino lombardo en el Principado de Benevento.