Multipole radiation
ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ವಿಕಿರಣವು ದೂರದ ಮೂಲಗಳ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ವಿತರಣೆಗಳಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಅಥವಾ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ವಿಕಿರಣದ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಒಂದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚೌಕಟ್ಟಾಗಿದೆ. ಈ ಉಪಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಉದ್ದದ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ನಕ್ಷತ್ರಪುಂಜ ಘರ್ಷಣೆಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಲೆಗಳಿಂದ ಹಿಡಿದು ಪರಮಾಣು ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಗಾಮಾ ವಿಕಿರಣದವರೆಗೆ. ಸ್ಥಿರ ಮೂಲಗಳಿಂದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಕಿರಣವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿವರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಕಿರಣ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗಿಂತ ಸಾಕಷ್ಟು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ವಿಕಿರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಅಲೆಗಳ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ವಿಕಿರಣವು ವಿದ್ಯುತ್ ಚಾರ್ಜ್ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಪ್ರವಾಹದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರಚನಾತ್ಮಕ ವಿವರಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ರಚನೆಯು ಅಜ್ಞಾತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ ನೇರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಜಟಿಲವಾಗಬಹುದು. ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ವಿಕಿರಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಕ್ಷಣಗಳಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ಷಣಗಳಿಗಿಂತ ಕೆಳ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ರಚನೆಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ತಿಳಿಯದೆ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಕಿರಣದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕ್ಷಣಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮೂಲ ವಿತರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯು ವಿವಿಧ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೂಪರ್ಪೊಸಿಷನ್ನಿನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ತತ್ವವಾಗಿದೆ. ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ಗಳ ಮೂಲದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಭಾಷಾಂತರಿಸುವುದರಿಂದ ಮೊದಲ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕಧ್ರುವೀಯ ಆವೇಶದ ಕ್ಷಣವು ಕೇವಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ಆವೇಶದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಎಂದಿಗೂ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದ್ವಿಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣವು ಅನುವಾದ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕಧ್ರುವ ಮತ್ತು ದ್ವಿಧ್ರುವ ಕ್ಷಣಗಳು ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷಣವು ಅನುವಾದ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ಷಣಗಳು ಮೂಲದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತರದ ಮೇಲೆ ಕ್ಷೇತ್ರ ಅವಲಂಬನೆ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣದಿಂದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮೂಲದಿಂದ ದೂರ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಬಿಂದುವಿನ ಕೋನೀಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಎರಡನ್ನೂ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಿರ-ಧ್ರುವ ಮಾಪಕಗಳಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ರೇಡಿಯಲ್ ಅವಲಂಬನೆಯು. ಅಂದರೆ, ವಿದ್ಯುತ್ ಮೊನೊಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸ್ಕೇಲ್ಗಳಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವಿಲೋಮ ಅಂತರದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವ ಕ್ಷಣವು ವಿಲೋಮ ದೂರವನ್ನು ಘನವಾಗಿ ಅಳೆಯುವ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ದೂರ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ಷಣಗಳ ಕೊಡುಗೆ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ಷಣಗಳ ಕೊಡುಗೆಗಿಂತ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ವಿಕಿರಣ ತರಂಗಗಳ ರೇಡಿಯಲ್ ಅವಲಂಬನೆಯು ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ತರಂಗಗಳು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ದೂರ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತವೆ. ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸರಳವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿಕಿರಣದ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಅಲೆಯು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಂತೆ, ಅಲೆಯ ಸ್ಥಿರ ಶಕ್ತಿಯು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಿರುವ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಹರಡಬೇಕು. ಅಂತೆಯೇ, ಪ್ರತಿ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣವು ಆ ಕ್ಷಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ವಿಕಿರಣ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹಾಗಿದ್ದರೂ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಕಿರಣ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೂಲಗಳು ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಮೂಲ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮುಂದೆ ಒಂದೇ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನ ω ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಅನೇಕ ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಸೂಪರ್ಪೊಸಿಷನ್ ತತ್ವವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ವಾಹಕದ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ದಪ್ಪ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಣಗಳ ಆಂತರಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವು (ಸ್ಪಿನ್ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ನೋಡಿ) ಕೆಲವು ಮೂಲ ವಸ್ತುಗಳಿಂದ ಬರುವ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ವಿಕಿರಣದ ಮೇಲೂ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಬಹುದು. ಈ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಂತರಿಕ ಕಾಂತೀಕರಣವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಈ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ವಿಕಿರಣದ ಚರ್ಚೆಗೆ ಮುಂದೂಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗಳು ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ವಿದ್ಯುತ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ φ ಮತ್ತು A ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನೀಡಲು ಮೂಲ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಲೋರೆಂಜ್ ಗೇಜ್ನಲ್ಲಿ ಎಸ್. ಐ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ c ಎಂಬುದು ನಿರ್ವಾತದಲ್ಲಿರುವ ಬೆಳಕಿನ ವೇಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಮೂಲ ಬಿಂದು x′ ನಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಬಿಂದು x ಗೆ ಇರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಇಳುವರಿಯ ಮೇಲೆ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಮೂಲ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು. ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ವಿಕಿರಣವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಆಧಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಸಮೀಪದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಮೀಪದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅರೆ-ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮೂಲದ ಸುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ. ಬಹುಧ್ರುವದ ಮೂಲದಿಂದ ಗುರಿಯ ದೂರವು ವಿಕಿರಣ ತರಂಗಾಂತರಕ್ಕಿಂತ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಉಳಿದ ಅವಲಂಬನೆಯು ಸ್ಥಿರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ನ್ಯಾಪ್ಶಾಟ್ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹತ್ತಿರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು-ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅರೆ-ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಪದ ಮತ್ತು ದೂರದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಲೋಮ ದೂರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೂರದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಃ ಬಹುಧ್ರುವ ವಿಕಿರಣ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆವರ್ತನ ಮೂಲದಿಂದ ದೊಡ್ಡ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂದಾಜುಗಳು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆಃ ದೊಡ್ಡ ದೂರದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪದವು ಮಾತ್ರ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶಕ್ತಿಯು ವಿಭಿನ್ನ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ತಿನ ಏಕಧ್ರುವ ವಿಕಿರಣ, ಅಸ್ತಿತ್ವವಿಲ್ಲದ ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಮದ ಪದವು, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಚಾರ್ಜ್ ಆವರ್ತನದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಏಕಧ್ರುವ ಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ವಿದ್ಯುದಾವೇಶದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ, ಒಟ್ಟು ವಿದ್ಯುದಾವೇಶವು ಏರಿಳಿತಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಆಂದೋಲನದ ವೈಶಾಲ್ಯ q ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ,. ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ವಿಕಿರಣ ಶಕ್ತಿಯು ಸಹ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು. ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ವಿಕಿರಣ ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ವಿಕಿರಣವನ್ನು ವಾಹಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪದವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಭಾಗಗಳ ಇಳುವರಿ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಜ್ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ಏಕೀಕರಣವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪದವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವ ಕ್ಷಣದ ವೈಶಾಲ್ಯವು, ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿ ವಿಭವಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ವಿಭವಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಅಥವಾ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೂಲ-ಮುಕ್ತ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮುಕ್ತ ಜಾಗದ ಪ್ರತಿರೋಧ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿಕಿರಣ ತರಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಶುದ್ಧ ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವ ಶಕ್ತಿಯು ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆ, ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು, ಪಾಯಿಂಟಿಂಗ್ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಘಟಕದ ಘನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಯದ ಸರಾಸರಿ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊರಸೂಸುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಅಂಶವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿಯಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ವಿಕಿರಣ ಶಕ್ತಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ರೇಡಿಯಲ್ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಶುದ್ಧ ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿಯ ಅನ್ವಯವು θ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಏಕೀಕರಣವು ಒಟ್ಟು ವಿಕಿರಣ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ವಿಕಿರಣ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಪದವು ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ವಿಕಿರಣ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್ ವಿಕಿರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಜೆ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ವಿರೋಧಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎರಡನೇ ಪದವು ಪ್ರವಾಹದಿಂದಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕಾಂತೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣವು ಕಾಂತೀಯ ದ್ವಿಧ್ರುವದ ಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅಂದರೆ, ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ದ್ವಿಧ್ರುವಿನಿಂದ ಬರುವ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿನಿಂದ ಬರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತೆಯೇ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಕಾಂತೀಯ ದ್ವಿಧ್ರುವಿನಿಂದ ಬರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿನಿಂದ ಬರುವ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಡೈಪೋಲ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ದ್ವಿಧ್ರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಶುದ್ಧ ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ದ್ವಿಧ್ರುವ ಶಕ್ತಿಯು ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ದ್ವಿಧ್ರುವಿಯಿಂದ ಪ್ರತಿ ಘಟಕದ ಘನ ಕೋನಕ್ಕೆ ವಿಕಿರಣಗೊಳ್ಳುವ ಸರಾಸರಿ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ θ ಅನ್ನು ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ದ್ವಿಧ್ರುವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಹೊರಸೂಸುವ ಶಕ್ತಿಯೆಂದರೆಃ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್ ವಿಕಿರಣ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಭಾಗವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ವಿಕಿರಣಕ್ಕೆ ಮಾಡಿದಂತೆ ಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಚಾರ್ಜ್ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಟ್ರೇಸ್ಲೆಸ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಟೆನ್ಸರ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಿಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಸದಿಶ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ಕಾಂತೀಯ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಶುದ್ಧ ವಿದ್ಯುತ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಶಕ್ತಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಚತುರ್ಭುಜದಿಂದ ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಘನ ಕೋನಕ್ಕೆ ವಿಕಿರಣಗೊಳ್ಳುವ ಸರಾಸರಿ ಶಕ್ತಿಯು ಅಲ್ಲಿ θ ಅನ್ನು ಕಾಂತೀಯ ದ್ವಿಧ್ರುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊರಸೂಸುವ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯೆಂದರೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ವಿಕಿರಣವು ಮೂಲ ವಿತರಣೆಯ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷಣವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಬಳಸಲಾದ ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮುಂದುವರಿಸಲು ತುಂಬಾ ತೊಡಕಾಗುತ್ತವೆ. ಉನ್ನತ ಕ್ಷಣಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಯಂತ್ರೋಪಕರಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ಒಂದೇ ಮೂಲ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಚಾರ್ಜ್, ಕರೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟೈಸೇಶನ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಮೂಲಗಳಂತೆಯೇ ಸಮಯದ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸುರುಳಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಗುರುತನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಇದು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಸಮೀಕರಣದ ವಾಹಕ ರೂಪಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮೂಲ-ಮುಕ್ತ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಆವರ್ತನದೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ವಿಕಿರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಏಕರೂಪದ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವೆಕ್ಟರ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಗೋಳಾಕಾರದ ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಗೋಳಾಕಾರದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಲೆಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೋಚನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಕಿರಣಕ್ಕಾಗಿ. ಇತರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಸಿರು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆಃ ಹಸಿರು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆಃ ವಿದ್ಯುತ್ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ವಿದ್ಯುತ್ ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದರೆಃ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗೆ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದು ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಏಕೀಕರಣವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ ಬಹುಧ್ರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸರಳೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಸ್ಥಿರ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಸ್ಥಿರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂಲ ವಸ್ತುವಿನ ಆಂತರಿಕ ಕಾಂತೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರೇರಿತ ವಿದ್ಯುತ್ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ಗಳು ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವುಃ ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ಫೋರಮುಲಾವು ಈ ರೀತಿ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸರಳೀಕೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟೈಸೇಶನ್ನಿಂದ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟಿಕ್ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಆಂತರಿಕ ಮ್ಯಾಗ್ನೆಟೈಸೇಶನ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ವಿದ್ಯುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಂತೀಯ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಒಟ್ಟು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಒಗ್ಗೂಡುತ್ತವೆಃ ರೇಡಿಯಲ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ದೂರದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ ವಿಕಿರಣದ ರೇಡಿಯಲ್ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಹತ್ತಿರ ಮತ್ತು ದೂರದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್ ಸೂತ್ರ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ವಿಕಿರಣವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.