Ordinary differential equation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು (ODE) ಕೇವಲ ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ (DE). ಇತರ ಡಿಇಗಳಂತೆ, ಅದರ ಅಜ್ಞಾತ (ಗಳು) ಒಂದು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ) ಕಾರ್ಯ (ಗಳನ್ನು) ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಲ್ಲಿ,., ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಬಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಕ್ರಮ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹಲವಾರು ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳು ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ (ಹೋಲೋನೋಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ). ಭೌತಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಲಭವಾದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ರೇಖೀಯವಲ್ಲದ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನ ರೇಖೀಯ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರಿಕಾಟಿ ಸಮೀಕರಣ). ಕೆಲವು ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮೀಕರಣವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಅನ್ವಯಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಪರಿಹಾರದ ಅಂದಾಜು ಒದಗಿಸಬಹುದು. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳು) ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಬದಲಾವಣೆಯ ಗಣಿತೀಯ ವಿವರಣೆಗಳು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ವಿವಿಧ ಭೇದಗಳು, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು, ವಿಕಸನ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು), ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳು, ಹೀಗೆ ಅವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ (ಖಗೋಳ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ), ಹವಾಮಾನಶಾಸ್ತ್ರ (ಹವಾಮಾನ ಮಾದರಿ), ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ (ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ದರಗಳು), ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ (ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ರೋಗಗಳು, ಆನುವಂಶಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ), ಪರಿಸರ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಜನಸಂಖ್ಯೆ ಮಾದರಿ (ಜನಸಂಖ್ಯೆ ಸ್ಪರ್ಧೆ), ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ (ಸ್ಟಾಕ್ ಪ್ರವೃತ್ತಿಗಳು, ಬಡ್ಡಿದರಗಳು ಮತ್ತು ಮಾರುಕಟ್ಟೆ ಸಮತೋಲನ ಬೆಲೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳು) ಇವು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್, ಲೆಬ್ನಿಜ್, ಬರ್ನೌಲಿ ಕುಟುಂಬ, ರಿಕಾಟಿ, ಕ್ಲೈರಾಟ್, ಡಿ 'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಎರಡನೇ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮ-F ಬಲದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಸ್ಥಳಾಂತರ x ಮತ್ತು ಸಮಯ t ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು, ಸ್ಥಿರ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ m ಕಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, F ಎಂಬುದು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಣದ x (t) ಸ್ಥಾನದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯ x (t) ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು F (x (t) ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ, y ಎಂಬುದು ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸಂಕೇತವು ಲೇಖಕರನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಯಾವ ಸಂಕೇತವು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಸಂಕೇತವು ಭೇದ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ನ ಸಂಕೇತವು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಡಿಮೆ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಫ್, x, y ಮತ್ತು y ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು n ಕ್ರಮದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, n ಕ್ರಮದ ಸೂಚ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತಷ್ಟು ವರ್ಗೀಕರಣಗಳಿವೆಃ ODE ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಹಲವಾರು ಜೋಡಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. y ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ; y (x) = [y1 (x), y2 (x),., ym (x)], ಮತ್ತು F ಎಂಬುದು y ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು n ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಆಯಾಮ m ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಸೂಚ್ಯ ಸಾದೃಶ್ಯವೆಂದರೆಃ ಇಲ್ಲಿ 0 = (0,0,., 0) ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಕೆಲವು ಮೂಲಗಳು ಇದನ್ನು ಸೂಚ್ಯ ODE [ವ್ಯವಸ್ಥೆ] ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಏಕವಲ್ಲದ್ದಾಗಿರಬೇಕು; ಈ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಏಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸೂಚ್ಯ ODE ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ODE ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಅದೇ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ, ಏಕವಚನ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸೂಚ್ಯ ODE ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು (DAE ಗಳು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕೇವಲ ಪರಿಭಾಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಲ್ಲ; ಡಿಎಇಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್) ಒಡಿಇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗಿಂತ ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ತೊಡಗಿಕೊಂಡಿವೆ. ಸಂಭಾವ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ, ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ಸಹ ಈ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಏಕವಚನವಲ್ಲದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ODE ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ODE ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು (ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಇದು ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಏಕತ್ವದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಈ ವರ್ಗೀಕರಣವು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಗ್ರವಾಗಿರಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹಂತದ ಭಾವಚಿತ್ರದ ಬಳಕೆಯ ಮೂಲಕ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಪರಿಹಾರಗಳು ಒಂದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು, ಅಲ್ಲಿ I ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು F ಗೆ ಪರಿಹಾರ ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, u ಅನ್ನು I ಮೇಲೆ n-ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಮತ್ತು, u ಅನ್ನು v ನ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ n ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೆಟ್ 'ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು' ಪೂರೈಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕವಚನ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪರಿಭಾಷೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವು ಒ. ಡಿ. ಇ. ಯ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು (ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ), ನಂತರ ಅದನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ (ಏಕರೂಪದ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ) ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ನಂತರ ಮೂಲ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಊಹೆಯ ವಿಧಾನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪರಿಭಾಷೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವಾಗ ಇದನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಅವಧಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸ್ವಾಯತ್ತ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳಿಗೆ ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಅವಧಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇಲ್ಲಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕೊನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಸೀಮಿತ-ಅವಧಿಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕೊನೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಅಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣಃ ಸೀಮಿತ ಅವಧಿಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಏಕವಚನ ಪರಿಹಾರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕವಚನ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದಲೂ ಇದು ವಿಶೇಷ ಗಮನವನ್ನು ಪಡೆದಿದೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಅತ್ಯಮೂಲ್ಯವಾದ ಆದರೆ ಅಷ್ಟಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಕೃತಿಯೆಂದರೆ ಹೌಟೈನ್ (1854). ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ (1873 ರಿಂದ) ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮುಂಚೂಣಿಯಲ್ಲಿದ್ದರು, ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಹಾರಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಅವರು ವಿವಿಧ ಬರಹಗಾರರು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕ್ಯಾಸೋರಾಟಿ ಮತ್ತು ಕೇಲಿಯವರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತೆರೆದರು. ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ (1872) ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕವಚನ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸುಮಾರು 1900ರಲ್ಲಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೆ ಕಡಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಪ್ರಾಚೀನ ಪ್ರಯತ್ನವು ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೆ ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡಿತ್ತು. ಹದಿನೆಂಟನೇ ಶತಮಾನದ ಬೀಜಗಣಿತಜ್ಞರು nನೇ ಹಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಿದ್ದ ಕಾರಣ, ಯಾವುದೇ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವುದು ವಿಶ್ಲೇಷಕರ ಆಶಯವಾಗಿತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಾಸ್ (1799) ತೋರಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಶ್ಲೇಷಕರು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಹೀಗಾಗಿ ಹೊಸ ಮತ್ತು ಫಲವತ್ತಾದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ತೆರೆಯಲಾಯಿತು. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಮೊದಲು ಮೆಚ್ಚಿಕೊಂಡವರು ಕೌಚಿಯವರು. ನಂತರ, ನಿಜವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬುದು ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅಥವಾ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದು. ಫುಚ್ಸ್ನ ಎರಡು ಆತ್ಮಚರಿತ್ರೆಗಳು ಒಂದು ನವೀನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದವು, ತರುವಾಯ ಇದನ್ನು ಥೋಮ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೊಬೆನಿಯಸ್ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. 1869ರ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕೊಲೆಟ್ ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆದಾರರಾಗಿದ್ದರು. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅವರ ವಿಧಾನವನ್ನು 1868ರಲ್ಲಿ ಬರ್ಟ್ರಾಂಡ್ಗೆ ತಿಳಿಸಲಾಯಿತು. ಕ್ಲೆಬ್ಷ್ (1873) ತನ್ನ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ದಾಳಿ ಮಾಡಿದನು. ಎರಡನೆಯದನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿದಿರುವ ಮೂಲಭೂತ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಕ್ಲೆಬ್ಷ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಲೈ ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತವು 1870 ರಿಂದ, ಸೋಫಸ್ ಲೈ ಅವರ ಕೃತಿಯು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಉತ್ತಮ ಅಡಿಪಾಯದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಿತು. ಹಳೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಏಕೀಕರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು, ಲೈ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದೇ ಅನಂತ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಏಕೀಕರಣದ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಅವರು ಸಂಪರ್ಕದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೂ ಒತ್ತು ನೀಡಿದರು. ಲೈ ಅವರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ (1) ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾದ ಅನೇಕ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಇದು ಏಕೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (2) ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಪ್ರಬಲವಾದ ಹೊಸ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಿರಂತರ ಅನಂತ ರೂಪಾಂತರಗಳು (ಲೈ ಸಿದ್ಧಾಂತ). ಸಮಗ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ (ಭಾಗಶಃ) ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಅದರ ಲಕ್ಷ ಜೋಡಿಗಳು, ಪುನರಾವರ್ತನೆ ನಿರ್ವಾಹಕರು, ಬ್ಯಾಕ್ಲಂಡ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಡಿಇಗೆ ನಿಖರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿರಂತರ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮಮಿತಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ರೇಖೀಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೇಖೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ (ಎಸ್ಎಲ್ಪಿ) ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಜೆಸಿಎಫ್ನ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. 1800ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಟರ್ಮ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಅವರನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಎಸ್ಎಲ್ಪಿಗಳು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತ, ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲೂ ಎಸ್ಎಲ್ಪಿಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕವಾಗಿ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮೇಯಗಳಿವೆ. ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯಗಳೆಂದರೆ {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" |-! ಪ್ರಮೇಯ! ಊಹೆ! ತೀರ್ಮಾನ |-|Peano ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯ | |F ನಿರಂತರ | |local ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮಾತ್ರ |-|Picard-ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಪ್ರಮೇಯ | |F ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರ | |local ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆ |-| ತಮ್ಮ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಈ ಎರಡೂ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಲು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗ್ರೋನ್ವಾಲ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಮೇಲಿನ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ನಂತಹ ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಡಿಎಇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅವು ತಮ್ಮ (ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ) ಬೀಜಗಣಿತದ ಭಾಗದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಳೀಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಾಗಿಃ x-y ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಆಯತದಲ್ಲಿ F ಮತ್ತು ≤F/≤y ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ (ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿಃ) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಚೌಕಾಕಾರದ ಆವರಣಗಳು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಮಧ್ಯಂತರವಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಪರಿಹಾರವಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. F ರೇಖೀಯವಾಗಿರಲು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇದು F (x, y) ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಜಾಗತಿಕ ಅನನ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದ ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ಷೇತ್ರ ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಊಹೆಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದಾಗ, ಸ್ಥಳೀಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಜಾಗತಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿಃ ಪ್ರತಿ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತಿಗೆ (x0, y0) ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಗರಿಷ್ಠ (ಬಹುಶಃ ಅನಂತ) ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಈ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವು ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಪರಿಹಾರದ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಸ್ಫೋಟಗಳಿವೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ω ಎಂಬುದು ಎಫ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅದರ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ. ಪರಿಹಾರದ ಗರಿಷ್ಠ ಡೊಮೇನ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಲು) ಇದು (x0, y0) ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆ. ಇದರರ್ಥ F (x, y) = y2, ಇದು C1 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸರಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಪರಿಹಾರದ ಗರಿಷ್ಠ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಾ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರವು ಗರಿಷ್ಠ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಮಧ್ಯಂತರವು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. y ನ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಅಸ್ತಿತ್ವವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಆದರೆ ಇದು ಮಧ್ಯಂತರವಲ್ಲದ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಭಾಗವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗರಿಷ್ಠ ಡೊಮೇನ್ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಡಿತ n ಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಷ್ಟ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು, i = 1,2,.., n ಗಾಗಿ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹೊಸ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ n ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಪ್ರಮುಖ ತರಗತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ,,,,, ಮತ್ತು, ಇವುಗಳು ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ; ಮತ್ತು ಅವು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ; ಇವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣ). ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅವುಗಳ ಸಮಾನ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಏಕೀಕರಣದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ, λ ಮತ್ತು ε ಏಕೀಕರಣದ ನಕಲಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ (ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ನಿರಂತರ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು), ಮತ್ತು ಸಂಕೇತವು ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸದೆ (ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಲಾಗಿರುವ) ಏಕೀಕರಣ ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ, ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಎಂದರ್ಥ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು n ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಊಹೆಯ ವಿಧಾನ ODE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳು ವಿಫಲವಾದಾಗ, ಅಥವಾ DE ಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಹೇಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆ ಇದ್ದಾಗ, ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ DE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲು, ನಾವು ಸರಳವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸಲು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅದು ಮಾಡಿದರೆ ನಾವು ಡಿಇಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಮತ್ತೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮತ್ತೊಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿಇಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದುಃ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ದೈಹಿಕವಾಗಿ ಸೈನೂಸೋಯ್ಡಲ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವರ್ತಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮೊದಲು ಡಿ. ಇ. ಯ ಏಕರೂಪದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಡಿ. ಇ. ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಊಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗೆ ಒಟ್ಟು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಈ ಎರಡೂ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆಃ ಓಪನ್ ಸೋರ್ಸ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾದ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಾಗಿ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್. ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ ಉಚಿತ (ಕಲಾತ್ಮಕ ಪರವಾನಗಿ 2) ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಆದ ಸಿ. ಓ. ಪಿ. ಎ. ಎಸ್. ಐ. ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್, ತಾಂತ್ರಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಲ್ಯಾಬೋರೇಟರಿ) ಗ್ನೂ ಆಕ್ಟೇವ್, ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಭಾಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೈಲ್ಯಾಬ್, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗಣನೆಗಾಗಿ ತೆರೆದ ಮೂಲ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಪಲ್, ಸಾಂಕೇತಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಸ್ವಾಮ್ಯದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ, ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಸ್ವಾಮ್ಯದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್. ಸಿಂಪೈ, ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗಳನ್ನು ಜೂಲಿಯಾ (ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆ) ಎಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲ ಪೈಥಾನ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್, ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಭಾಷೆಯಾಗಿದೆ. ಸೇಜ್ ಮ್ಯಾಥ್, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವಾರು ಶಾಖೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೈಥಾನ್ ತರಹದ ವಾಕ್ಯರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮುಕ್ತ-ಮೂಲ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಒಡಿಇ ಏಕೀಕರಣ ಘಟಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪೈಥಾನ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಸೈಪೈ ಆಗಿದೆ. ಚೆಬ್ಫನ್, 15-ಅಂಕಿಯ ನಿಖರತೆಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ತೆರೆದ ಮೂಲ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಆಗಿದೆ. ಜಿ. ಎನ್. ಯು. ಆರ್, ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಿಗಾಗಿ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಮುಕ್ತ ಮೂಲ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಪರಿಸರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒ. ಡಿ. ಇ. ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ಯಾಕೇಜುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇವನ್ನೂ ನೋಡಿಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪಟ್ಟಿ ವಿಷಯಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ವಿಧಾನ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ಪೊಲ್ಯಾನಿನ್, ಎ. ಡಿ. ಮತ್ತು ವಿ. ಎಫ್. ಜೈಟ್ಸೆವ್, ಹ್ಯಾಂಡ್ಬುಕ್ ಆಫ್ ಎಕ್ಸ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೊಲ್ಯೂಷನ್ಸ್ ಫಾರ್ ಆರ್ಡಿನರಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್ (2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ), ಚಾಪ್ಮನ್ & ಹಾಲ್/ಸಿಆರ್ಸಿ ಪ್ರೆಸ್, ಬೊಕಾ ರಾಟನ್, 2003. ಬಿಬ್ಲಿಯೋಗ್ರಫಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಜಾನ್ಸನ್, ಎ ಟ್ರೀಟೈಸ್ ಆನ್ ಆರ್ಡಿನರಿ ಅಂಡ್ ಪಾರ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಇಕ್ವೇಶನ್ಸ್, ಜಾನ್ ವಿಲೇ ಅಂಡ್ ಸನ್ಸ್, 1913, ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಮಿಚಿಗನ್ ಹಿಸ್ಟಾರಿಕಲ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಕಲೆಕ್ಷನ್ ವಿಟೋಲ್ಡ್ ಹ್ಯುರೆವಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಲೆಕ್ಚರ್ಸ್ ಆನ್ ಆರ್ಡಿನರಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಇಕ್ವೇಶನ್ಸ್, ಡೋವರ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್,. ಎ. ಡಿ. ಪೊಲ್ಯಾನಿನ್, ವಿ. ಎಫ್. ಜೈಟ್ಸೆವ್, ಮತ್ತು ಎ. ಮೌಸಿಯಕ್ಸ್, ಹ್ಯಾಂಡ್ಬುಕ್ ಆಫ್ ಫಸ್ಟ್ ಆರ್ಡರ್ ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್, ಟೇಲರ್ & ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್, ಲಂಡನ್, 2002. ಡಿ. ಜ್ವಿಲಿಂಗರ್, ಹ್ಯಾಂಡ್ಬುಕ್ ಆಫ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಈಕ್ವೇಶನ್ಸ್ (3ನೇ ಆವೃತ್ತಿ), ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪ್ರೆಸ್, ಬೋಸ್ಟನ್, 1997. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಇಕ್ಯೂವರ್ಲ್ಡ್ಃ ದಿ ವರ್ಲ್ಡ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಇಕ್ವೇಶನ್ಸ್, ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆನ್ಲೈನ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು/ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪಾಲ್ ಡಾಕಿನ್ಸ್, ಲಾಮರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ. ವಿಭೇದಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಎಸ್. ಓ. ಎಸ್. ಗಣಿತ. ದಕ್ಷಿಣ ಫ್ಲೋರಿಡಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಹೋಲಿಸ್ಟಿಕ್ ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ಸ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನಿಂದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದ ಕುರಿತು ಒಂದು ಪ್ರೈಮರ್. ಜೆರಾಲ್ಡ್ ಟೆಸ್ಚ್ಲ್ ಅವರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. ಡಿಫ್ಫಿ ಕ್ಯೂಗಳ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳುಃ ಎಂಜಿನಿಯರ್ಗಳಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯುಐಯುಸಿ ಯ ಜಿರಿ ಲೆಬಲ್ ಅವರು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕುರಿತು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಸೈಲ್ಯಾಬ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ODE ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಓಪನ್ ಎರಿಂಗ್ ತಂಡವು ಸೈಲ್ಯಾಬ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ODE ವಿವರಿಸಿದ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ರೂಪಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಒಂದು ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು Wolfram|Alpha ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು.