Hamiltonian Monte Carlo
ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ (ಮೂಲತಃ ಹೈಬ್ರಿಡ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಗುರಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನೇರ ಮಾದರಿ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ. ಗುರಿ ವಿತರಣೆಗೆ (ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳು) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಮೆಟ್ರೋಪೊಲಿಸ್-ಹೇಸ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ವಿಕಾಸವು ಸಮಯ-ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂಯೋಜಕವನ್ನು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೀಪ್ಫ್ರಾಗ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರಾಜ್ಯದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರೋಪೋಲಿಸ್-ಹೇಸ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ, ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ ನ ಅಂದಾಜು ಶಕ್ತಿ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದಾಗಿ ಸ್ವೀಕಾರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ದೂರದ ರಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸತತ ಮಾದರಿ ರಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಎಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ದೋಷಕ್ಕಾಗಿ ಗುರಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿ ಮಾದರಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಮೂಲತಃ ಸೈಮನ್ ಡುವಾನ್, ಆಂಥೋನಿ ಕೆನಡಿ, ಬ್ರಿಯಾನ್ ಪೆಂಡಲ್ಟನ್ ಮತ್ತು ಡಂಕನ್ ರೋವೆತ್ ಅವರು 1987 ರಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರೋಮೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. 1996 ರಲ್ಲಿ, ರಾಡ್ಫೋರ್ಡ್ ಎಮ್. ನೀಲ್ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಶಾಲ ವರ್ಗದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕೃತಕ ನರ ಜಾಲಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಯಾ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕಾದ ಹೊರೆಯು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ವಿಳಂಬಗೊಳಿಸಿತು, 2010 ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಟಾನ್ನ ಅಭಿವರ್ಧಕರು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಎಚ್ಎಂಸಿಯನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತಂದರು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮಾದರಿಯ ಗುರಿ ವಿತರಣೆಯು () ಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಗಳ ಸರಪಳಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ವಾಹಕದ ಏಳನೇ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಗುರಿಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಅಂಶದಿಂದ ಬರುವಂತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಲೀಪ್ ಫ್ರಾಗ್ ಹಂತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಹಂತದ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಪಳಿಯು ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗಾಸಿಯನ್ ಆವೇಗವನ್ನು ಇಲ್ಲಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ಕಣವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲೀಪ್ ಫ್ರಾಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೀಪ್ ಫ್ರಾಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಮಯದ ನಂತರ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ವಾಹಕಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಲು ಸಮಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು. ಲೀಪ್ ಫ್ರಾಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಗೆ ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಹಾರವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆರಂಭಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎಂದಿಗೂ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಕಣಕ್ಕೂ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಸಮತೋಲನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ತಲುಪಲು, ಕಣಗಳು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಶಾಖ ಸ್ನಾನದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮೆಟ್ರೋಪೋಲಿಸ್-ಹೇಸ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಣಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಉಷ್ಣಬಲದ ಸಮತೋಲನ ವಿತರಣೆಯತ್ತ ಸಾಗಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲು, ಒಬ್ಬರು ಲೀಪ್ ಫ್ರಾಗ್ ಹಂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತಾರೆ, ನಂತರ ಮೆಟ್ರೋಪೊಲಿಸ್-ಹೇಸ್ಟಿಂಗ್ಸ್ ಹಂತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತಾರೆ. ಎಲ್ಲಿಂದ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತದೆಯೋ ಅಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯು-ಟರ್ನ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲರ್ ಇಲ್ಲ ಯು-ಟರ್ನ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲರ್ (ಎನ್ಯುಟಿಎಸ್) ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಟ್ಯೂನಿಂಗ್ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾದಾಗ, ಕಣವು ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಗಣನೆಯ ಸಮಯವನ್ನು ವ್ಯರ್ಥ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾದಾಗ, ಕಣವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆಯಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಸಡಿಲವಾಗಿ, ಎನ್ಯುಟಿಎಸ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಯು-ಟರ್ನ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವವರೆಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಓಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ, ಎಂಸಿಎಂಸಿ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಮಾರ್ಗದಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಹೊಸ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವರವಾಗಿ, ಲೀಪ್ ಫ್ರಾಗ್ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಬೈನರಿ ಮರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಂ. ಸಿ. ಎಂ. ಸಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತಯಾರಿಸಲು, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಲೈಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಮುಂದೆ ಕಣದ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗವು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇರಲಿ. ಅಂತೆಯೇ, ಮತ್ತು ಹಿಂದುಳಿದ ಕಣಕ್ಕೆ. ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ, ಬೈನರಿ ಮರವು ಮುಂಭಾಗದ ಕಣವನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಹಿಂದುಳಿದ ಕಣವನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲೂ, ಜಿಗಿತದ ಕಪ್ಪೆ ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 2 ಅಂಶದಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೊದಲ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ, ಮುಂಭಾಗದ ಕಣವು 1 ಲೀಪ್ ಫ್ರಾಗ್ ಹಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ, ಹಿಂದುಳಿದ ಕಣವು 2 ಜಿಗಿತದ ಕಪ್ಪೆ ಹಂತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಯು-ಟರ್ನ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವವರೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅಥವಾ ಯಾವಾಗ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಯು-ಟರ್ನ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಿದ ನಂತರ, ಮುಂದಿನ ಎಂ. ಸಿ. ಎಂ. ಸಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬೈನರಿ ಮರದಿಂದ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲಾದ ಲೀಪ್ ಫ್ರಾಗ್ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಮಾದರಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಉಳಿದ ಎಚ್. ಎಂ. ಸಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಸಂವೇದನಾಶೀಲವಾಗಿದ್ದರೆ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಆಣ್ವಿಕ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನದ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಸ್ಟ್ಯಾನ್ ಮೆಟ್ರೋಪೊಲಿಸ್-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಲ್ಯಾಂಗೆವಿನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಮೊದಲಿನಿಂದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮತ್ತು ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನಗಳು ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನಗಳು ಮಾರ್ಕೊವ್ ಸರಪಳಿ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ