Euler–Rodrigues formula
ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯೂಲರ್-ರಾಡ್ರಿಗಸ್ ಸೂತ್ರವು ವಾಹಕದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ರೋಡ್ರಿಗಸ್ನ ತಿರುಗುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಯೂಲರ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ತಿರುಗಿಸಲಾದ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನವಾದ ರೋಡ್ರಿಗಸ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು (ಒಲಿಂಡೆ ರೋಡ್ರಿಗಸ್ ಅವರ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ), ಫ್ಲೈಟ್ ಸಿಮ್ಯುಲೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಆಟಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೂಲದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಅದರ ಹೊಸ ಸ್ಥಾನ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ರೋಡ್ರಿಗಸ್ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸೂತ್ರವು ಸಾಂದ್ರ ರೂಪವಾದ ಸಮ್ಮಿತಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಹೊರತಾಗಿ, ನಾಲ್ಕು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಎರಡು ಆವರ್ತನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆವರ್ತನಗಳ ಯೂಲರ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ಸಂಯುಕ್ತ ಆವರ್ತನದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು (ಆವರ್ತನ 1ರ ನಂತರ ಆವರ್ತನ 2) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಬೇಸರದ ಸಂಗತಿಯಾದರೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ. (ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಯೂಲರ್ನ ನಾಲ್ಕು-ಚದರ ಗುರುತು, ಇದನ್ನು ರೋಡ್ರಿಗಸ್ ಸಹ ಬಳಸುತ್ತಾರೆ.) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಅದರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷದಿಂದ (ಘಟಕ ವಾಹಕದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಯೂಲರ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ 360 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಪೂರ್ಣ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ನ ವಾದಗಳು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ಮಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಅವು ಒಂದೇ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವು (ಶೂನ್ಯ ತಿರುಗುವಿಕೆ,) ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಯೂಲರ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ನ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು; ಸ್ಕೇಲಾರ್ ನಿಯತಾಂಕವು ನೈಜ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದದ (ಅಥವಾ ವರ್ಸರ್) ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಆವರ್ತನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘಟಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಗುಂಪು, ಋಣಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮಾಡ್ಯುಲೋ, ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಯು (2) ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಲೈ ಗ್ರೂಪ್ ಎಸ್ಯು (2) ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅದರ ಯೂಲರ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಸ್ಯು (2)-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಪೌಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಯೂಲರ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪಿನ (3) ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಸ್ಯು (2) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಎರಡು ಕವರ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮೂಲಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಎಸ್ಒ (3) ನಲ್ಲಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಎಸ್ಯು (2) ≈ ಸ್ಪಿನ್ (3) ನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವೆಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ವರ್ಸರ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಔಪಚಾರಿಕತೆಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ SO (4) 3D ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್