Zero to the power of zero
ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಶೂನ್ಯವು ಒಂದು ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದನ್ನು ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ 1 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸದೆ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿವರಿಸಲಾಗದೆ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ಗಳು ಸಹ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನೇಕ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾಡುವಷ್ಟೇ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆಃ ಖಾಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅದಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್ನಿಂದ ಅಂಶಗಳ 0-ಟುಪಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ; ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು 0-ಟುಪಲ್ ಇದೆ. ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ನಿಂದ-ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸೆಟ್ಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ; ನಿಖರವಾಗಿ ಅಂತಹ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಖಾಲಿ ಕಾರ್ಯ. ಈ ಮೂವರೂ ನೀಡಲು ಪರಿಣತಿ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಾಗ, ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಎ (ನೈಜ) ಬಹುಪದವು ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಪದವಾರು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ವಿತರಣಾ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಬಹುಪದಗಳು ಒಂದು ವರ್ತುಲವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅದರ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುರುತು ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪರಿಣತಿ ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ಅಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಏಕ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಏಕಾಂಗಿ. ಅಂದರೆ, 0 ಸೇರಿದಂತೆ ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ. ಯಾವುದೇ ಉಂಗುರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಅದೇ ವಾದವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಬಹುಪದೀಯ ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯವು ಇಫ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಪವರ್ ಸರಣಿಯ ಉಂಗುರಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ವಿಶೇಷತೆಗಳಿಗೆ 1 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐಡೆಂಟಿಟಿಗಳು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯ ಬಹುಪದವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಒಬ್ಬರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಧಿಕಾರದ ನಿಯಮವು 'ಅಟ್' ಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿರಂತರ ಘಾತಾಂಕಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಉಪ-ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮಿತಿಗಳಿಂದ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು; ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮೂಲ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸದಿದ್ದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವಾಗಿದೆಃ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವ (ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿರುವಂತೆ ಅಥವಾ) ಜೊತೆಗೆ, ಮಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ, ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅದು ಬೇರೆಯಾಗಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಿತಿಯು (ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿ) ಯೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ಎರಡು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯವು, ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೂ, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಡೆಯಿಂದ ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ. ಕಾರ್ಯದ ಸೀಮಿತ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತಾಂಕಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಶಾಖೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಶಾಖೆಯಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇತಿಹಾಸವು ಒಂದು ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ 1752ರಲ್ಲಿ, ಯೂಲರ್ ಅವರು ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಟಿಯೊ ಇನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟರಮ್ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಬರೆದರು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದರು. ಯೂಲರ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನ್ಸ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲಿಸ್ನ 1787ರ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಸ್ಚೆರೋನಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು "ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು" ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಹೆಚ್ಚು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ನೀಡಿತು. 1830 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಲಿಬ್ರಿ ಈ ಹಕ್ಕನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಹಲವಾರು ವಾದಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಆದರೂ ಅವು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ಮಾನದಂಡಗಳಿಂದಲೂ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ರೂಪವಾಗಿ ಯೂಲರ್, ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಫಾರ್, ಟು, ಟು ಫಾರ್ ನಿಂದ "ದೊಡ್ಡ ಜಂಪ್" ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು 1814ರಲ್ಲಿ, ಪ್ಫಾಫ್ ಒಂದು ಸ್ಕ್ವೀಜ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, 1821 ರಲ್ಲಿ ಕೌಚಿ ಅವರು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧಿತರಾಗಿದ್ದರೂ, ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಏಕೆ ಊಹಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ಬಂಧವಿಲ್ಲದೆ ಪೂರ್ಣ ಎರಡು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯು "ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಅವರು ಊಹಿಸಿದರು. ಈ ಸಮರ್ಥನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅವರು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದರು. ಕೌಚಿಯ ಕೃತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಮೊಬಿಯಸ್, 1834ರಲ್ಲಿ, ಪ್ಫಾಫ್ನ ವಾದವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ (ಬಹುಶಃ ಅದರಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂದು ತಪ್ಪಾಗಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು. ಮೊಬಿಯಸ್ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿದನು, ಆದರೆ ನಂತರ ಕೆಲವು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡಿದನು, ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಲ್ಲ. ಅನಾಮಧೇಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕಾರರೊಬ್ಬರು ನ್ಯಾಯಸಮ್ಮತವಲ್ಲದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಎತ್ತಿ ತೋರಿಸಿದರು; ನಂತರ "ಎಸ್" ಎಂದು ಸರಳವಾಗಿ ತಮ್ಮ ಹೆಸರಿಗೆ ಸಹಿ ಹಾಕಿದ ಮತ್ತೊಬ್ಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕಾರನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪ್ರತಿಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿದನು ಮತ್ತು "ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು" ಎಂದು ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದನು. ಪ್ರಸ್ತುತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಬೆನ್ಸನ್ (1999) ಪ್ರಕಾರ, "ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕೆ ಎಂಬುದರ ಆಯ್ಕೆಯು ಅನುಕೂಲತೆಯ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ, ನಿಖರತೆಯ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ. ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಿದರೆ, ಕೆಲವು ಸಮರ್ಥನೆಗಳು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿ ವಿಚಿತ್ರವಾಗುತ್ತವೆ. .. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಒಮ್ಮತವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದನ್ನು ತಡೆಯುವ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಿವೆ ". "ಇರಬೇಕು" ಎಂದು ಕ್ನುತ್ (1992) ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾಗಿ ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ; ಅವರು ಸಮಾನವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ರೂಪದ (ಎಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪ) ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವಾಗಿದೆಃ "ಕೌಚಿ ಮತ್ತು ಲಿಬ್ರಿ ಇಬ್ಬರೂ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಲಿಬ್ರಿ ಮತ್ತು ಅವರ ರಕ್ಷಕರಿಗೆ ಸತ್ಯವು ಏಕೆ ಅವರ ಕಡೆ ಇದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥವಾಗಲಿಲ್ಲ". ಇತರ ಲೇಖಕರು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ. 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಲೇಖಕರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದಂತೆ ತೋರುತ್ತಿಲ್ಲ. ಐ. ಇ. ಇ. ಇ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಲೈಬ್ರರಿಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪವರ್ ಅನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತದೆಃ ಪೌನ್ (ಇದರ ಘಾತಾಂಕವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ; ನೋಡಿ. ಪಾವ್ (ಅದರ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಘಾತಾಂಕವು ಪಾವ್ನಂತೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ನಾನ್ ಅಲ್ಲದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವುದು) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನಿಶ್ಚಿತ ರೂಪದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಪೌರ್ ಅನ್ನು ಎನ್ಎಎನ್ (ನಾಟ್-ಎ-ನಂಬರ್) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ನೋಡಿ. ಪಾವ್ ರೂಪಾಂತರವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಾಗಿ C99 ನಿಂದ ಪಾವ್ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದೆ. ಒಂದೇ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಷೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಪವರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಂಘರ್ಷದ ಬಳಕೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಂದಾಗಿ (ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ) ಪೌನ್ ಮತ್ತು ಪೌರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳು ಸಿ ಮತ್ತು ಸಿ + + ಮಾನದಂಡಗಳು ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಡೊಮೇನ್ ದೋಷ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು). ಆದರೆ C ಗೆ, C99 ರಂತೆ, ಪ್ರಮಾಣಕ ಅನೆಕ್ಸ್ F ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಿದರೆ, ನೈಜ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಮೌಲ್ಯವು NaN ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಗಮನಾರ್ಹ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ); ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತ ಅನೆಕ್ಸ್ G ಅನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಿದರೂ ಸಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಜಾವಾ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್,. NET ಫ್ರೇಮ್ವರ್ಕ್ ವಿಧಾನ System.Math.Pow, ಜೂಲಿಯಾ ಮತ್ತು ಪೈಥಾನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಭಾಷೆಗಳು ತಮ್ಮ ಘಾತಾಂಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಸಿ ಗಣಿತದ ಗ್ರಂಥಾಲಯದ ಪಾವ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ದಾಖಲಿಸುತ್ತವೆ; ಇದು ಲುವಾ ಮತ್ತು ಪರ್ಲ್ನ * * ಆಪರೇಟರ್ನ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ (ಅಲ್ಲಿ 0 * * 0 ಫಲಿತಾಂಶವು ವೇದಿಕೆ-ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ). ಗಣಿತ ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ತಂತ್ರಾಂಶಗಳಾದ ಎಪಿಎಲ್, ಆರ್, ಸ್ಟಾಟಾ, ಸೇಜ್ ಮ್ಯಾಥ್, ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್, ಮ್ಯಾಗ್ಮಾ, ಜಿಎಪಿ, ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್, ಪ್ಯಾರಿ/ಜಿಪಿ ಮತ್ತು ಗ್ನೂ ಆಕ್ಟೇವ್ ಇವುಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಇರಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೇರವಾಗಿ ನಮೂದಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು ದೋಷ ಅಥವಾ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೇಜ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಸರಳಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಪಲ್, ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ ಮತ್ತು PARI/ಜಿಪಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆಃ ಘಾತಾಂಕವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪ್ರಕಾರದ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ತಳದ ಪ್ರಕಾರದ a ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತವೆ; ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯದ ಫ್ಲೋಟಿಂಗ್-ಪಾಯಿಂಟ್ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗದ, ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಥವಾ ದೋಷವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 0/0 ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು sci.math FAQ: ಏನು? ಯಾವುದು (ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿ) ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ? AskAMathematician.com ಘಾತೀಯ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಅಂಕಗಣಿತ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೋಷಗಳು 0 (ಸಂಖ್ಯೆ) ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ವೈಪರೀತ್ಯಗಳು 1 (ಸಂಖ್ಯೆ)