Krein–Rutman theorem
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ರೆನ್-ರುಟ್ಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಪೆರಾನ್-ಫ್ರೊಬೀನಿಯಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1948ರಲ್ಲಿ ಕ್ರೇನ್ ಮತ್ತು ರುಟ್ಮನ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹೇಳಿಕೆ ಒಂದು ಬನಾಚ್ ಜಾಗವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅದು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು. ಇದನ್ನು ಒಟ್ಟು ಕೋನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವರ್ಣಪಟಲದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಧನಾತ್ಮಕ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಆದರ್ಶ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಆದರ್ಶವಿಲ್ಲ, ಆಗ ಡಿ ಪ್ಯಾಗ್ಟರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆದರ್ಶ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಊಹೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು