Hardy field
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳಿಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜಿ. ಎಚ್. ಹಾರ್ಡಿಯ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮಾಣುಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ದೊಡ್ಡ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಗ್ರಹ H ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದು f ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ u ಗೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ R ಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಲೇಖನದ ಉಳಿದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ x ಗೆ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ "ಅಂತಿಮವಾಗಿ" ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಾವು H ನಲ್ಲಿ f ಕಾರ್ಯವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಎಫ್-ಜಿ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಫ್ ಅನ್ನು ಜಿ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಎಚ್ ಮೇಲೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಬಂಧದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ H ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಪ್ರೇರಿತ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು H ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, H ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು H ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು H ನಲ್ಲಿಯೂ ಇದ್ದರೆ, H ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಮೇಲಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಅಂಶಗಳು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿ ಕಾರ್ಯ f ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, [f] ν ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಸ್ವತಃ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ [f] ν ಬದಲಿಗೆ ಒಬ್ಬರು ಕೇವಲ f ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು F ಯು R ನ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು F ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ F ನಲ್ಲಿನ α ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯ fα ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅದು R ನಿಂದ α ಗೆ ಪ್ರತಿ x ಅನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು F ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದು F ನಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಇದು ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕಡಿಮೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಆರ್ (x) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಆರ್ ಮೇಲಿನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪಿ (x)/ಕ್ಯೂ (x) ರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಬಹುಪದ Q ಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ x ಗೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ Q ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ನೈಜ ಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಪಾತದ ನಿಯಮವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮತ್ತೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ R (x) ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಘಾತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಲಾಗರಿದಮ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ, ಮತ್ತು ರೂಪದ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹಾರ್ಡಿ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡದಾದ ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು (ಹಾರ್ಡಿ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ) ಟ್ರಾನ್ಸ್ಸೀರೀಸ್ ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲವು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಂತಹ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಅನಂತ) ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ f ಎಂಬುದು Hನ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು R ≤ {− ≤, + ≤} ನಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ g − f ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ f <g ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ನಾವು H ಮೇಲೆ ಆದೇಶವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಇದು f ನ ಮಿತಿಯು g ನ ಮಿತಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ f <g ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯ f (x) = x ಮತ್ತು ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯ g (x) = ex ನ ಸೂಕ್ಷ್ಮಜೀವಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ g (x) − f (x)> 0 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಆ g> f ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಅವೆರಡೂ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತವೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಷ್ಟು ಬೇಗನೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕ್ರಮವು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗಳು ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ f (x) = 1/x ಮತ್ತು g (x) = 0 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಆಧುನಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೈಜ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಕೆಲವು ರಚನೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆರ್ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಓ-ಕನಿಷ್ಠ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಚ್ (ಆರ್) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನೈಜ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹಾರ್ಡಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇನ್ನೂ ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕ್ಷೇತ್ರ (ಗಣಿತ) ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳು