Birkhoff factorization
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬಿರ್ಖೋಫ್ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣ ಅಥವಾ ಬಿರ್ಖೋಫ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದು, ಇದು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ನ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು z ನಲ್ಲಿನ ಲಾರೆಂಟ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು M = M + M0M− ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ M +, z ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, M0 ಕರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು M−, z−1 ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ಇತರ ಕೆಲವು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಹಲವಾರು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿವೆ. ಬಿರ್ಖೋಫ್ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿರುವ ವಾಹಕ ಕಟ್ಟುಗಳ ಬಿರ್ಖೋಫ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯವು ರೇಖೆಯ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಕಾಕ್-ಮೂಡಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ (ಅಥವಾ ಲೂಪ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ) ಬ್ರುಹಾಟ್ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಬಿರ್ಖೋಫ್ ಅಪವರ್ತನವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಅಫೈನ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಬ್ರುಹಾಟ್ ವಿಭಜನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಬ್ರುಹಾಟ್ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಿರ್ಖೋಫ್ ಅಪಘಟನೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿರ್ಖೋಫ್ ವಿಭಜನೆ (ದ್ವಂದ್ವ ನಿವಾರಣೆ) ರೀಮನ್-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.