Hermite's problem
ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯು 1848ರಲ್ಲಿ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಹರ್ಮೈಟ್ ಮಂಡಿಸಿದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅವರು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೇಳಿದರು, ಅಂದರೆ ಮೂಲ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಘನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ದಶಮಾಂಶ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ a0 ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ, xನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗ, ಮತ್ತು a1, a2, a3. ಗಳು 0 ಮತ್ತು 9ರ ನಡುವಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ x ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ N ಮತ್ತು p ಇದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ n ≤ N ಗೆ ಅದು + p = an ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಬರೆಯುವುದುಃ ಇಲ್ಲಿ a0 ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು a1, a2, a3. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ನಾವು x ಅನ್ನು ಮರಳಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ x ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವು (an) ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಪದಗಳ ನಂತರ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಯೂಲರ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಇದಲ್ಲದೆ, x ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ n ≤ N ಗೆ ನಾವು a + p = an ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ N ಮತ್ತು p ಇವೆ). ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1ನೇ ದರ್ಜೆಯ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ಅಭಾಗಲಬ್ಧಗಳು 2ನೇ ದರ್ಜೆಯ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ (ಎ) ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನಾವು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. 1848 ರಲ್ಲಿ, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಹರ್ಮೈಟ್ ಅವರು ಕಾರ್ಲ್ ಗುಸ್ತಾವ್ ಜಾಕೋಬ್ ಜಾಕೋಬಿ ಅವರಿಗೆ ಪತ್ರವೊಂದನ್ನು ಬರೆದು, ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಕೇಳಿದರು, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ x ಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬಹುದೇ, ಅಂದರೆ x ಘನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ 3 ನೇ ಹಂತದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ? ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ d ಗೆ, ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ x ಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆಯೇ, ಅದು x ಯು ಡಿಗ್ರಿ d ಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹುಆಯಾಮದ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಕೋಬಿ ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಆರಂಭಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ (x, y) ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು, ಅದು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿತು. (x, y) ಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ x ಮತ್ತು y ಎರಡೂ ಘನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಅವರು ಆಶಿಸಿದರು, ಆದರೆ ಹಾಗೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಬಗೆಹರಿಯದೆ ಉಳಿದಿದೆಯೇ ಎಂದು. 2015 ರಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಘನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧಕ್ಕೆ ಆವರ್ತಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೂಲಕ ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಘನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧಗಳನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆವರ್ತಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಿಂದ ಪಡೆದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇದು ಘನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದದ ಜ್ಞಾನದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಬದಲು, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮಿಂಕೊವ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆ ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು. ಈ ಕಾರ್ಯ? : [0,1] → [0,1] ಸಹ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ? (x) ಯು x ಯು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ x ಯು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. (x) ಒಂದು ಡಯಾಡಿಕ್ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ x ನಿಖರವಾಗಿ ಯಾವಾಗ ದ್ವಿಘಾತ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ? (x) ಒಂದು ಅಯ್ಕಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ [0,1] × [0,1] ಅಥವಾ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯದ ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಯಾವುದೂ ಇನ್ನೂ ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿಲ್ಲ. 2021ರಲ್ಲಿ ಒಲೆಗ್ ಕಾರ್ಪೆನ್ಕೋವ್ ಅವರು ಘನ ವಾಹಕಗಳ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎರಡು ವ್ಯವಕಲನ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಮೊದಲ (ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೈಜ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಇನ್ಪುಟ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ವಾಹಕಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಆಗಿದೆ. ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದರೆ ಡಿಗ್ರಿ 3 ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಔಟ್ಪುಟ್ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ವಾಹಕಗಳು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೆಯದು (ಎಚ್ಎಪಿಡಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್) ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ (ಸಂಕೀರ್ಣ ಘನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು