Q-Gaussian distribution
ಕ್ಯೂ-ಗಾಸಿಯನ್ ಎಂಬುದು ಸೂಕ್ತ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಲಿಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಲಿಸ್ ವಿತರಣೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ಯೂ-ಗಾಸಿಯನ್ ಎಂಬುದು ಸಾಸ್ಲಿಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್-ಗಿಬ್ಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಅಥವಾ ಶಾನನ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಗಾಸಿಯನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು q → 1 ಎಂದು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ-ಗಾಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ, ಭೂವಿಜ್ಞಾನ, ಅಂಗರಚನಾಶಾಸ್ತ್ರ, ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರ, ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ, ಹಣಕಾಸು ಮತ್ತು ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. 1 <q <3 ಗಾಗಿ ಗಾಸಿಯನ್ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ವಿತರಣೆಯು ಅದರ ಭಾರವಾದ ಬಾಲಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ-ಗೌಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯು ಬೌಂಡೆಡ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಪಿಡಿಎಫ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಯೂ-ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕ್ಯೂ-ಅನಲಾಗ್ ಅನ್ನು 2008 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ನಿರ್ಬಂಧವು ಅಂದರೆ ಡಿ. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು q ನಿಯತಾಂಕದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು q → 1 ಎಂದು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಪುರಾವೆಯ ಕೊರತೆಯಿದೆ. ಹೆವಿ ಟೈಲ್ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ, ವಿತರಣೆಯು ಕ್ಯೂ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನ ನಡುವಿನ ನೇರ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ವಿತರಣೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿತರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸುವ ವೈದ್ಯರು ಒಂದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವಿಸ್ತಾರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕದ ಕೊರತೆಯಿದ್ದರೆ ಕ್ಯೂ-ಗಾಸಿಯನ್ ರೂಪದ ಆಯ್ಕೆಯು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದು. ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ q-ಗೌಸಿಯನ್ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ q-ಘಾತೀಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಯುಮುಲೇಟಿವ್ ಡೆನ್ಸಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ಯುಮುಲೇಟಿವ್ ಡೆನ್ಸಿಟಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯಾದರೂ x ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಪ್ಫಾಫ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಏಕೆಂದರೆ, ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಮೊದಲ ಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ಷಣದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಥಿರ ಶೂನ್ಯ ಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ) ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಮಾಹಿತಿ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರುವಂತೆಯೇ, q-ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯು ಈ ಮೂರು ಕ್ಷಣಗಳ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಲಿಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ವಿತರಣೆಗಳು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವಾದ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯಿಂದ ಸಮರ್ಥಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಇದು 1908 ರಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಗೊಸ್ಸೆಟ್ ಅವರು ಸಣ್ಣ-ಮಾದರಿ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯ ಅಳತೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ. ಗೊಸ್ಸೆಟ್ನ ಮೂಲ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ ನಿಯತಾಂಕ ν ಅನ್ನು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಗೊಸ್ಸೆಟ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು νನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೇಲ್ಡ್ ರಿಪರಾಮೆಟ್ರಿಜೇಷನ್ ν ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರ್ಯಾಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾದ q ಮತ್ತು β ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ν ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನೊಂದಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ t-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಮಾನವಾದ q-ಗೌಸಿಯನ್ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಮಟ್ಟಗಳಿಗೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯಕ್ಕೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯ ಬೆಂಬಲವು ಈಗ ν <0 ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನಂತಕ್ಕಿಂತ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂರು-ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಆವೃತ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಅನೇಕ ವಿತರಣೆಗಳಂತೆ, q-ಗೌಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಳದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ನಂತರ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಯೂ-ಗಾಸಿಯನ್ನರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು ಬಾಕ್ಸ್-ಮುಲ್ಲರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬಾಕ್ಸ್-ಮುಲ್ಲರ್ ತಂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬಾಕ್ಸ್-ಮುಲ್ಲರ್ ತಂತ್ರವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರದ ಕ್ಯೂ-ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಚಲನಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಜೋಡಿಯು ಒಂದೇ ಒಂದು ವಿಚಲನವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕ q ಹೊಂದಿರುವ q-ಗಾಸಿಯನ್ ನಿಂದ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು q-ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಕ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ q-ಗಾಸಿಯನ್ ನಿಂದ ವಿಚಲನಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಕ್ಯೂ-ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಾನದ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿಯೂ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಕಾರದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಶಕ್ತಿ (ಅನಂತ ಸಂಭಾವ್ಯ ಬಾವಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು) ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಬಿಳಿ ಶಬ್ದ ಶಕ್ತಿ, ಅಲ್ಲಿ ಬಿಳಿ ಶಬ್ದವಾಗಿದೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಮಿತಿಮೀರಿದ/ಸಣ್ಣ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಒಮ್ಮುಖವು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ ಸ್ಟಾಕ್ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್, ಎನ್. ಎ. ಎಸ್. ಡಿ. ಎ. ಕ್ಯು ಮತ್ತು ಇತರೆಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಣಕಾಸಿನ ರಿಟರ್ನ್ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಕ್ಯೂ-ಗಾಸಿಯನ್ಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾನ್ಸ್ಟಾಂಟಿನೊ ಟ್ಸಾಲಿಸ್ ಟ್ಸಾಲಿಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಟ್ಸಾಲಿಸ್ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಟ್ಸಾಲಿಸ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಕ್ಯೂ-ಎಕ್ಸ್ಪೊನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಕ್ಯೂ-ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವಿಕೆ ಜುನಿಪರ್, ಜೆ. (2007), ಸೆಂಟರ್ ಆಫ್ ಫುಲ್ ಎಂಪ್ಲಾಯ್ಮೆಂಟ್ ಅಂಡ್ ಇಕ್ವಿಟಿ, ದಿ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ನ್ಯೂಕ್ಯಾಸಲ್, ಆಸ್ಟ್ರೇಲಿಯಾ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಾಲಿಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್, ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಫಾರ್ ನಾನ್-ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಸಿವ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಲಾಂಗ್-ರೇಂಜ್ ಇಂಟರಾಕ್ಷನ್ಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳು ಅನಂತವಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು