Concentration inequality
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯದಿಂದ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ) ಹೇಗೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಿಯಮವು, ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವು, ಅತ್ಯಂತ ಸೌಮ್ಯವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ನಿರೀಕ್ಷೆಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮೊತ್ತಗಳು ಅವುಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸುತ್ತ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇತ್ತೀಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬಗ್ಗೆ ಎಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಮಾರ್ಕೋವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ (ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ) ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೂ, ಮಾರ್ಕೋವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯಾದ ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಬಗ್ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆಃ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಚೆಬಿಶೇವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮಾರ್ಕೋವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ವೈಸೊಚಾನ್ಸ್ಕಿಜ್-ಪೆಟುನಿನ್ ಅಸಮಾನತೆಯು X ಅನ್ನು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಲಿ, ಸರಾಸರಿ μ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ σ2. ನಂತರ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ (ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ನೋಡಿ ಉದಾ. ). ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ವೈಸೊಚಾನ್ಸ್ಕಿಜ್-ಪೆಟುನಿನ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಏಕರೂಪದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ವೈಸೊಚಾನ್ಸ್ಕಿಜ್-ಪೆಟುನಿನ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೊಂದಿದೆಃ ಪಾಲೆ-ಝಿಗ್ಮಂಡ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಕ್ಯಾಂಟೆಲ್ಲಿಯ ಗೌಸ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಚೆರ್ನೋಫ್ನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೆರ್ನೋಫ್ನ ಮಿತಿಯು ಕ್ಷಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಯಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು. ಮಾರ್ಕೋವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂಃ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂಃ ವಿಭಿನ್ನ ವಿತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕದ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ಚೆರ್ನೋಫ್ ಮಿತಿಗಳಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಏಕಾಗ್ರತೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಂಕಲನಕ್ಕಾಗಿ ನೋಡಿ. ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ i: ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ. ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ, ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರಲಿಃ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಂಧಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಹಲವಾರು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. 1. ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ 2. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಒಂದು ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಜುಮಾದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇದು ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಇತರ ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳನ್ನು, ಜೊತೆಗೆ ಸೂಪರ್ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಬ್ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಲ್ಲದು. ಫ್ಯಾನ್ ಮತ್ತು ಇತರರನ್ನು ನೋಡಿ. (2015). ಅಜುಮಾದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸರಳ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಬೌಂಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಘಾತಾಂಕವು 4 ರ ಅಂಶದಿಂದ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. 3. ಮೊತ್ತದ ಕಾರ್ಯವು, n ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸೀಮಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಚಲಪರಿಮಾಣ i ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, f ನ ಮೌಲ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೆಕ್ಡಿಯಾರ್ಮಿಡ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇದು ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ನ ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೊತ್ತದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಲ್ಲದು, ಅವು ಸೀಮಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವವರೆಗೆ. 4. ಬೆನೆಟ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ನ ಮೇಲೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸುಧಾರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅವರ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾದ ಗಡಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸಂಕಲನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಿ. ಇದು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ 5. ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಇದು ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾದ ಬದ್ಧತೆಯಿಂದ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾದ ಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೆರಡರಿಂದಲೂ ನಿಭಾಯಿಸಬಲ್ಲದು. 6. ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಚೆರ್ನೋಫ್ ಗಡಿಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸ್ಥಿರಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ನಾವು ಕೆಳ ಬಾಲದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಬಾಲದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚೆರ್ನೋಫ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಆವೃತ್ತಿಯೆಂದರೆಃ 7. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ ಎಫ್ರಾನ್-ಸ್ಟೈನ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ distribution#Bounds ಎಫ್ರಾನ್-ಸ್ಟೈನ್ ಅಸಮಾನತೆಯು (ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಎಂಜಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಬದ್ಧವಾಗಿದೆ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಲೆಟ್ ದೇರ್ ಎ ಪ್ರೂಫ್ ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಾಣಬಹುದು. ಬ್ರೆಟಗ್ನೋಲ್-ಹ್ಯೂಬರ್-ಕ್ಯಾರೋಲ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಬಹುನಾಮವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಾಹಕ ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಾಹಕದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯು (ಅನುಬಂಧ ವಿಭಾಗ) ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ದೂರವನ್ನು ಬಂಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಸನ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾನ್ ಝ್ವೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆ ಬಹುಪದೀಯ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಮೇಸನ್ ಮತ್ತು ವ್ಯಾನ್ ಝ್ವೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಚಿ-ಚದರ ಅಂಕಿಅಂಶದ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಾಡಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕವು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದರವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಡಲಿ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಡ್ವೊರೆಟ್ಜ್ಕಿ-ಕೀಫರ್-ವೋಲ್ಫೋವಿಟ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ (·) ನೊಂದಿಗೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿರಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣವು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಏಕಾಗ್ರತೆಯ ವಿರೋಧಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಏಕಾಗ್ರತೆಯ ವಿರೋಧಿ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣದ ಸುತ್ತ ಎಷ್ಟು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ದಿಕ್ಕುಗಳಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜವೆಂದು ಕೆಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ರಾವ್ ಮತ್ತು ಯೆಹೂಡಯಾಫ್ ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಗಾತ್ರದ ಉಪವಿಭಾಗದಿಂದ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಂವಹನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗ್ಯಾಪ್ ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸೇರಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿವೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಏಕಾಗ್ರತೆಯ ವಿರೋಧಿ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಾಲೆ-ಝಿಗ್ಮಂಡ್ ಮತ್ತು ಖಿಂಟ್ಚೈನ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕಾರ್ತಿಕ್ ಶ್ರೀಧರನ್, "ಏಕಾಗ್ರತೆಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಸೌಮ್ಯವಾದ ಪರಿಚಯ"-ಕಾರ್ನೆಲ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು