Line group
ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಗುಂಪು ಎಂಬುದು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಆ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದು, ಆ ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಜಾಲರಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೇಖೆಯ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವು ಅದರ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳು ಅಥವಾ ಸಮ್ಮಿತಿ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಆ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಪೂರ್ಣ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನುವಾದಗಳು ಅಥವಾ ಆಫ್ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಆಫ್ಸೆಟ್ಗಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು, ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಅವು ರೇಖೆಯ ಘಟಕ ಕೋಶ ವಿಭಾಗದೊಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಎರಡು ಏಕ-ಆಯಾಮದ ರೇಖೆಯ ಗುಂಪುಗಳಿವೆ. ಅವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳಾದ Cn ಮತ್ತು Dn ನ ಅನಂತ ಮಿತಿಗಳಾಗಿವೆಃ ಎರಡು ಆಯಾಮದ 7 ಫ್ರೇಜ್ ಗುಂಪುಗಳಿವೆ, ಅವು ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು, ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ 180 ° ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳ 7 ಅನಂತ ಕುಟುಂಬಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ರೇಖೆಯ ಗುಂಪುಗಳ 13 ಅನಂತ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪುಗಳಂತೆಯೇ, ಒಂದೇ ಬಿಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಲಿನ ಗುಂಪುಗಳು ಆಫ್ಸೆಟ್ಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕುಟುಂಬವು n ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹರ್ಮನ್-ಮೌಗಿನ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಸ್ಕೋನ್ಫ್ಲೈಸ್ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ರೇಖೆಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೇತಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಫ್ರೇಜ್ ಗುಂಪುಗಳಂತೆಯೇ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಸುತ್ತಲೂ n ಬಾರಿ ಸುತ್ತುವ ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮಾದರಿಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನಂತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಈ ಗುಂಪುಗಳ ಪಟ್ಟಿಃ ಆಫ್ಸೆಟ್ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ. ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆಫ್ಸೆಟ್ಗಳು ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲೂ ಘಟಕ ಕೋಶದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಳಗೆ ಅದರ ಸುತ್ತ ಯಾವುದೇ ಆಫ್ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಲಿಸಿಟಿ q ನೊಂದಿಗೆ ಹೆಲಿಕಾಪ್ಟರ್ ಆಫ್ಸೆಟ್. ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಯುನಿಟ್ ಆಫ್ಸೆಟ್ಗಾಗಿ, ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ q ನ ಆಫ್ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆಫ್ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಹೆಲಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪತ್ತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಜಿಗ್ಜಾಗ್ ಆಫ್ಸೆಟ್. ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತಲಿನ ಘಟಕ ಕೋಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗವನ್ನು ಆವೃತ ಆಫ್ಸೆಟ್ ಮಾಡಿ. ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳಾದ ಪಿಎಂ, ಪಿಜಿ, ಸೆಂ ಮತ್ತು ಪಿಎಂಜಿ ಎರಡು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೋಟವು ರೇಖಾ-ಗುಂಪಿನ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವಿಭಿನ್ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮಾನಾಂತರ (ಎಚ್) ಅಥವಾ ಲಂಬ (ವಿ). ಇತರ ಗುಂಪುಗಳು ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲಃ ಪಿ1, ಪಿ2, ಪಿಎಂಎಂ, ಪಿಜಿಜಿ, ಸಿಎಮ್ಎಂ. ಬಿಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಸ್ಫಟಿಕಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬಿಂದು ಗುಂಪಾಗಿ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಿದರೆ, ಕೆಲವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಲರಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ರೇಖೆಯ ಗುಂಪನ್ನು ರಾಡ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 75 ರಾಡ್ ಗುಂಪುಗಳಿವೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಸಂಕೇತವು ಆಯತಾಕಾರದ ವಾಲ್ಪೇಪರ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಲಂಬ ಅಕ್ಷವು ಸಮ್ಮಿತಿ ಕ್ರಮ n ಅಥವಾ 2n ನ ಸಿಲಿಂಡರ್ನಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗುವಾಗ, n ನಿಂದ ν ವರೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಬಿಂದು ಗುಂಪುಗಳು C ν, C ν h, C ν v, D ν, ಮತ್ತು D ν h ಆಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ಗುಂಪುಗಳು ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಆಫ್ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಲಿಕಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿ Cn (q) ಮತ್ತು Dn (q) ಗುಂಪುಗಳು ಹೆಲಿಕಲ್ ವಸ್ತುಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಸಿಎನ್ (ಕ್ಯೂ) ಒಂದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಆಧಾರಿತವಾದ ಎನ್ ಹೆಲಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ, ಡಿಎನ್ (ಕ್ಯೂ) ಎನ್ ಅನ್ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಹೆಲಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ 2 ಎನ್ ಹೆಲಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಆಗಿದೆ. ಕ್ಯೂ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವುದರಿಂದ ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೆಲಿಕ್ಸ್ನ ಕೈರಾಲಿಟಿ ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಂಡೆನೆಸ್ ಅನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಿಕ್ ಆಮ್ಲಗಳಾದ ಡಿ. ಎನ್. ಎ. ಮತ್ತು ಆರ್. ಎನ್. ಎ. ಗಳು ತಮ್ಮ ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾಗಿವೆ. ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಿಕ್ ಆಮ್ಲಗಳು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಒಂದೇ ಎಳೆಗಳನ್ನು C1 (q) ನೀಡುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಎಳೆಗಳು ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೆಲಿಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅವು D1 (q) ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಗ್ರೂಪ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಗ್ರೂಪ್ ಒನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿ ಗ್ರೂಪ್ ಫ್ರೀಜ್ ಗ್ರೂಪ್ ರಾಡ್ ಗ್ರೂಪ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿ ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಗ್ರೂಪ್ಗಳು