Donaldson–Thomas theory
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಲಾಬಿ-ಯೌ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಸೀವ್ಗಳ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅದರ ಬಿಂದುಗಳ ವರ್ಚುವಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ವರ್ಚುವಲ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ವರ್ಗದ ವಿರುದ್ಧ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಕ್ಲಾಸ್ 1 ರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂಬುದು ಕ್ಯಾಸನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನಲಾಗ್ ಆಗಿದೆ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂರು-ಪದರಗಳ ಗ್ರೊಮೊವ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ರಾಹುಲ್ ಪಾಂಡರಿಪಾಂಡೆ ಮತ್ತು ಥಾಮಸ್ ಅವರ ಸ್ಥಿರ ಜೋಡಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಕೆಲವು ಬಿಪಿಎಸ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ದೈಹಿಕವಾಗಿ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೇನೆಂದರೆ, ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವರ್ಗದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಈ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಕನ್ನಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದಂತೆ ಕ್ಯಾಲಾಬಿ-ಯೂ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಕಹ್ಲರ್ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಉಪವರ್ಗವು ಅನುಗುಣವಾದ ಎಸ್ಸಿಎಫ್ಟಿಗೆ ಬಿಪಿಎಸ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗ್ರೊಮೊವ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆಯು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಂದ ನಯವಾದ ಗುರಿಯವರೆಗೆ ಸೂಡೊಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಜಾಗದ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವುದು. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ವಾಸ್ತವಿಕ ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಮೇಲಿನ ಛೇದಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಣಿಕೆಯ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮನೋಭಾವದಲ್ಲಿ, ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕೆಂದರೆ, ಒಂದು ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶ ಸೀವ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ. ಈ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವು ವರ್ಚುವಲ್ ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಹ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗ್ರೊಮೊವ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಗಳು ಡೊಮೇನ್ ಕರ್ವ್ನ ಬಹು ಕವರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕುಸಿದ ಘಟಕಗಳಾಗಿರಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ, ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸೀವ್ಗಳಲ್ಲಿರುವ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ. ದೇವೇಶ್ ಮೌಲಿಕ್, ಆಂಡ್ರೇ ಒಕೌನ್ಕೋವ್, ನಿಕಿತಾ ನೆಕ್ರಾಸೋವ್ ಮತ್ತು ರಾಹುಲ್ ಪಂಡಾರಿಪಾಂಡೆ ಅವರ ಆಳವಾದ ಊಹಾಪೋಹಗಳು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಲ್ಲಿ ಗ್ರೊಮೊವ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಮತ್ತು ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಅವರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚರರಾಶಿಗಳ ಸೂಕ್ತ ಬದಲಾವಣೆಯ ನಂತರ ಅವುಗಳ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ಯಾಲಾಬಿ-ಯೌ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳಿಗೆ, ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತೂಕದ ಯೂಲರ್ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಈ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಪ್ರೇರಕ ಹಾಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟೋರಸ್ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಲಯಗಳ ನಡುವೆ ಇತ್ತೀಚಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿವೆ. ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲಿನ ರೇಖೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವು 2875 ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುಗಳ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಿಂದುಗಳ ನಿಜವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗದ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಪೂರ್ಣಾಂಕ 2875 ಆಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಕ್ವಿನ್ಟಿಕ್ನಲ್ಲಿನ ಕೋನಿಕ್ಸ್ನ ಮಾಡುಲಿ ಜಾಗದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು 609250 ಆಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಕ್ಯಾಲಾಬಿ-ಯೌ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಚೆರ್ನ್ ಪಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಸೀವ್ಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಇದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಅನಂತ ಪ್ರಕಾರದ ಬೇರ್ಪಡಿಸದ ಆರ್ಟಿನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಬದಲಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಧಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತಹ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸೀವ್ಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವ ತೆರೆದ ಸಬ್ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ. - ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೀವ್ಗಳು. ಈ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಉತ್ತಮವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ತಾಂತ್ರಿಕ ತೊಂದರೆಯೆಂದರೆ, ಸ್ಥಿರ ಕೋಶದ ವಿರೂಪಗಳ ಅಡೆತಡೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದಾಗಿ ಅವು ಕೆಟ್ಟ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಈಗ ಕ್ಯಾಲಾಬಿ-ಯೌ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸೆರ್ರೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಯಾಮ 0 ರ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಅಡಚಣೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಸಂಬಂಧಿತ ವರ್ಚುವಲ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಕ್ಲಾಸ್ ಅನ್ನು ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು ಡಿಟಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ ಮತ್ತು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಮೃದುವಾದ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಥಾಮಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧಕರು ಗೀಸೆಕರ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರು, ಆದರೆ ಇತ್ತೀಚಿನ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಇತರ ಡಿಟಿ-ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಇತರ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಗೋಡೆ ದಾಟುವ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವಗಳು ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂನ ಡೊನಾಲ್ಡ್ಸನ್-ಥಾಮಸ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯು ಎಂನ ತೂಕದ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವು ಎಂನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಏಕತ್ವದ ಮಿಲ್ನರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಸೀವ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು, ಪಡೆದ ವರ್ಗದ ವಸ್ತುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಕಳಾಬಿ-ಯೌ 3 ಪಟ್ಟು ಸ್ಥಿರ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಪಂಢರಿಪಾಂಡೆ-ಥಾಮಸ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಪ್ರೇರಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎನ್ಯೂಮರೇಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಗ್ರೊಮೊವ್-ವಿಟ್ಟೆನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.