Kepler's equation
ಕಕ್ಷೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣವು ಕೇಂದ್ರ ಬಲಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು ದೇಹದ ಕಕ್ಷೆಯ ವಿವಿಧ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಅವರು 1609 ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಆಸ್ಟ್ರೋನೋಮಿಯಾ ನೋವಾದ 60 ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಪಡೆದರು ಮತ್ತು ಅವರ ಎಪಿಟೋಮ್ ಆಫ್ ಕೋಪರ್ನಿಕನ್ ಆಸ್ಟ್ರೋನಮಿ (1621) ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕೆಪ್ಲರ್ ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರವು ಪ್ಯಾರಲಾಕ್ಸ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ 9ನೇ ಶತಮಾನದ ಹಬಾಶ್ ಅಲ್-ಹಸೀಬ್ ಅಲ್-ಮಾರ್ವಾಜಿಯ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಗಳೆರಡರ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲೂ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಖಗೋಳ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸಿದೆ. ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಾಸರಿ ಅಸಂಗತತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ, ವಿಲಕ್ಷಣ ಅಸಂಗತತೆ ಮತ್ತು ವಿಕೇಂದ್ರೀಯತೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಪ್ಲೇರಿಯನ್ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು 'ವಿಲಕ್ಷಣ ಅಸಂಗತತೆ' ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೇಹವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪೆರಿಯಾಸ್ಟ್ರಾನ್ ಅನ್ನು ಹಾದುಹೋದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೇಹದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಮೊದಲು ಸಮಯದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಅಸಂಗತತೆ ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಸರಾಸರಿ ಚಲನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೀರಿ, ನಂತರ ಪಡೆಯಲು ಮೇಲಿನ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ, ನಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿಃ ಅರೆ-ಪ್ರಮುಖ ಅಕ್ಷ, ಅರೆ-ಸಣ್ಣ ಅಕ್ಷ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣವು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸೈನ್ ಒಂದು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪಗಳು ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಹಲವಾರು ರೂಪಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೂಪವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಕಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಲಂಬವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ () ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪಥಗಳಿಗೆ () ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಡಿಯಲ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೀಯ (ರೇಡಿಯಲ್) ಪಥಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಪಥಗಳಿಗೆ () ಬಾರ್ಕರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ, ಕಕ್ಷೆಯು ವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಳವು ವೃತ್ತವು ಅಂಡಾಕಾರವಾಗಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ, ಮೂರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿರುತ್ತವೆಃ ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಪಥ, ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುವ ಅನಂತ ಕಿರಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹೋಗುವ ಪಥ ಅಥವಾ ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿಗೆ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಪಥ. 1 ಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚಳವು 180 ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ತಿರುಗುವ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳವು ತಿರುಗುವ ಕೋನವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋದಂತೆ, ಕಕ್ಷೆಯು ಅನಂತ ಉದ್ದದ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣಃ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ವಿಕೇಂದ್ರೀಯ ಅಸಂಗತತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಡಾಕಾರದ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದ −1 ಪಟ್ಟುಗಳ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿ M ಅನ್ನು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆಃ (ಇದರಲ್ಲಿ ಈಗ ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ನಂತರ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೇಡಿಯಲ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣಃ ರೇಡಿಯಲ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವುಃ ಎಲ್ಲಿ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಿರಣದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 1/2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ 1: ಗೆ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವಾಗ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸವಾಲಿನ ಸಂಗತಿಯಾಗಿರಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಲಾಗ್ರಾಂಜ್ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಸರಣಿಯು ಮತ್ತು ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಸಾಧ್ಯತೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಗೊಂದಲವು ನಾಲ್ಕು ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಕೆಪ್ಲರ್ ಸ್ವತಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಅನುಮಾನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದನುಃ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯು (ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಇದು ಕಾಪ್ಟೈನ್ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ವಿಲೋಮ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಲೋಮ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆಃ ಈ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದುಃ ಈ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ಸರಣಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಇನ್ವರ್ಸ್ ಸೀರೀಸ್ [ಸರಣಿ [M-ಸಿನ್ [M], {M, 0,10}] ಇನ್ವರ್ಸ್ ಸೀರೀಸ್ [ಸರಣಿ [M-e ಸಿನ್ [M], {M, 0,10}]] ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸರಳ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗಳಾಗಿವೆ. ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂತಹ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಆ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಪರಿಹಾರವು ವಿಲೋಮ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣದ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾದಾಗ ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ (ವಿಲೋಮ ಕೋಶ್ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ) ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಇದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ಬಳಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಯಾವಾಗ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಇತರ ಪರಿಹಾರಗಳು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತವೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು 1968ರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಲ್ ಸ್ಟಂಪ್ಫ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಆದರೆ ಅದರ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಲಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸರಣಿಯು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಮಿತಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾದಾಗ (ಸುಮಾರು 0.66) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ (ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಹೊರತು), ಆದರೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಮಿತಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ (ಇದು ಸರಳವಾಗಿ), ಆವರ್ತಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವಧಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ವಿಲೋಮ ರೇಡಿಯಲ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು () ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಈ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದುಃ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲುಃ ವಿಲೋಮ ಸರಣಿಗಳು [ಸರಣಿ [ಆರ್ಕ್ಸಿನ್ [ಸ್ಕ್ವಾರ್ಟ್ [ಟಿ]]-ಸ್ಕ್ವಾರ್ಟ್ [(1-ಟಿ) ಟಿ], {ಟಿ, 0,15]] ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂದಾಜು ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ, ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಇದನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದುಃ ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಈ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ರೇಡಿಯನ್ಗಳ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿವೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ಈ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾ. ಯಾವಾಗ <ಬಯಸಿದ ನಿಖರತೆ). ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಡಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗಿನ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ, ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನಿಖರವಾದ (ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ) ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಕೃತಿಗಳು. ಒಂದೇ ರೀತಿ 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಬಹುದು, ಇದು ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್, ಸೆಕೆಂಟ್ ಅಥವಾ ರೆಗುಲಾ ಫಾಲ್ಸಿಗಳಂತಹ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ-ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬೈಸೆಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವು ಖಚಿತವಾದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಣ್ಣ ಆರಂಭಿಕ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಬಹುದು. ಆಧುನಿಕ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ, 17 ರಿಂದ 18 ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ 4 ಅಥವಾ 5 ಅಂಕೆಗಳ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೂಪಕ್ಕೂ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಪಥದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಾರ್ಕರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಧಾನವು ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕ್ರಮಾವಳಿ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಕೆಪ್ಲರ್ನ 1621ರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ E (e, M, n) E = M k = 1 ರಿಂದ n ಗೆ E = M + e * sin E ಮುಂದಿನ k ರಿಟರ್ನ್ E ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೂಪವು ಇದೇ ರೀತಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಮೇಲಿನ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅದು ಸಣ್ಣ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಮತ್ತು,. ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಪ್ಲರ್ ಸಮಸ್ಯೆ ರೇಡಿಯಲ್ ಪಥದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಸಮೀಕರಣ ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಥ್ ವರ್ಲ್ಡ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಾಮಸೂಚಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಕೆಪ್ಲರ್ ಆರ್ಬಿಟ್ಸ್