Cyclically ordered group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಎಂದರೆ ಗುಂಪಿನ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಅಂದರೆ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಗುಣಾಕಾರ ಎರಡೂ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮವನ್ನು ಕಾಪಾಡುತ್ತವೆ. ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1947ರಲ್ಲಿ ಲಾಡಿಸ್ಲಾವ್ ರೀಗರ್ ಆಳವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಅವು ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿವೆಃ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳು. ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮವು ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮವನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪುಗಳು ಸಹ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವು. ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಗುಂಪುಗಳು ಹಿಂದಿನ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುವುದಿಲ್ಲಃ ವೃತ್ತದ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪಗುಂಪು. ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಪಾತಗಳು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅನುಪಾತಗಳಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ಸಹಜಃ ಒಂದು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು. ಒಂದು ವೃತ್ತದೊಳಗೆ ಬಾಗಿದಾಗ, ಅಂತಹ ಒಂದು-ರೇಖೀಯ ಗುಂಪನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಚಿತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿದ್ಯಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಹ-ಅಂತಿಮ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಕೇಂದ್ರ ಅಂಶಕ್ಕೆ, ಭಾಗಶಃ ಗುಂಪು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಅಂತಹ ಅಂಶ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ವೃತ್ತದ ಗುಂಪು ರೀಗರ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತೊಂದು ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿತು. ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವೃತ್ತದ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಅಂತಹ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ, ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮದ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರತಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಂತಹ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಧನಾತ್ಮಕವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಅದರ ರೇಖೀಯ ಪ್ರತಿರೂಪಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾದ ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅರ್ಹತೆ ಪಡೆಯುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ವಿಯರ್ಸ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಪುರಾವೆಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ತನ್ನದೇ ಆದ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಟ್ಟೊ ಹೋಲ್ಡರ್ ಅವರ 1901 ರ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಯನ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಅದರ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ರಚನೆಗಳು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವರ್ಗವಾದ "ದುರ್ಬಲ ಘಟಕದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದಾದ ಐ. ಸಿ-ಗುಂಪುಗಳು", ಎಂವಿ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉಪವರ್ಗವಾದ "ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದಾದ ಎಂವಿ-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು" ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ. ಅನುವಾದ. Sibirskii Matematicheskii Zhurnal ನಿಂದ ಅನುವಾದ, 46-53 ಆದೇಶಿಸಿದ ಗುಂಪುಗಳು ವೃತ್ತಗಳು