Coherent states in mathematical physics
ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಭೌತಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮೊದಲು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳಾಗಿ, ನಂತರ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನದ ಬೆನ್ನೆಲುಬಾಗಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು (ಸಹ ನೋಡಿ) ಎಂಬ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಆ ಉತ್ಸಾಹದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವು ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಪಾರ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಾಹಿತ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾದ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿವೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಸಾಲಿನ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಮುಖ್ಯ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಹಲವಾರು ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ, ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಅಳತೆ ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ ಇನ್ಗೆ, ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ವಾಹಕಗಳ ಈ ಸಮೂಹವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿಃ ನಕ್ಷೆಯು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ವಾಹಕಕ್ಕೆ, ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅದರ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ). ಗುರುತಿನ ನಿರ್ಣಯವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ದುರ್ಬಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ವಾಹಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಕುಟುಂಬ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಗೀಕೃತ ಅಥವಾ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ (ಸಿಸಿಎಸ್) ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು (ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ) ಮರುಪಡೆಯಲು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗುರುತಿನ ಸ್ಥಿತಿಯ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ದುರ್ಬಲ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ವಾಹಕಗಳು ಕೇವಲ ಒಟ್ಟು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು, ಹಾದುಹೋಗುವಂತೆ, ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ದೇಶವೆಂದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಾಹಕವು ಈ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ) ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗುರುತಿನ ನಿರ್ಣಯವು ತಕ್ಷಣವೇ ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಾಹಕಗಳು ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್, ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಾವು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯ ವಿವರಣೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಿಸಿಎಸ್ನ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರಚನೆಯ ಸರಳ ಮಾರ್ಪಾಡಿನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ () ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ಕನ್ವೆನ್ಶನ್ ಸೆಟ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಸಿಸಿಎಸ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ಅದೇ ಫಾಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈಗ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಅಥವಾ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಫಾಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅತಿಯಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿ (ಸಿಸಿಎಸ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ,) ತೆರೆದ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿರುವ ಗುರುತಿನ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಈ ಅಳತೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (ಫಾರ್) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ಥ್ರೂ ದಿ ಮೊಮೆಂಟ್ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಫಾಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ, ಕಾರ್ಯವು ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ ಬರುಟ್-ಗಿರಾರ್ಡೆಲ್ಲೊ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು. ಸಿ. ಸಿ. ಎಸ್ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ, ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿನಾಶ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಿಖರವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಈ ಎರಡು ನಿರ್ವಾಹಕರು, ಗುರುತು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ, ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಿರೂಪಗೊಂಡ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವ 'ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್' ಎಂಬ ಪದವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಆಪ್ಟಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಮತ್ತೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿಕಿರಣ ಕ್ಷೇತ್ರ ಮತ್ತು ಪರಮಾಣುಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅಂತಹ ಅನೇಕ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಲವು ವಿಕಿರಣದ ಆವರ್ತನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಿಸಿಎಸ್ನ ಸಮೂಹ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು). ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಉತ್ಪಾದಕಗಳಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಾಗ, ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬರುಟ್-ಗಿರಾರ್ಡೆಲ್ಲೋ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಾಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸೂ (1,1) ನ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿರೂಪಣೆಗಳಿಂದ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶುದ್ಧ ಬಿಂದು ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭೌತಿಕ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಝೌ-ಕ್ಲೌಡರ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಆಕ್ಷನ್-ಆಂಗಲ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ಭೌತಿಕ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಶಕ್ತಿಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಫ್ ಸ್ಟೇಟ್ಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಯಾಮರಹಿತ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯೋಣ. ನಂತರ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು, ಗಝೌ-ಕ್ಲೌಡರ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಅಂಶವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೇವಲ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗುರುತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅತಿಯಾದ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆಯಾದರೂ, ಗುರುತಿನ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೇಲಿನಂತೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಬೋಹ್ರ್ನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಹುತೇಕ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಲಿ ಮತ್ತು ಬಾಗರೆಲ್ಲೊ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಗೇಝೌ-ಕ್ಲಾಡರ್ ಸಿಎಸ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಿಎಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಾದೊಂದಿಗೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನರಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಶಾಖ ಕರ್ನಲ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಲೈ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರುವ ಕಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆ. ಹಾಲ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗೌಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಕೆ ಮೇಲಿನ ಶಾಖ ಕರ್ನಲ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಮೇಲೆ ಸೆಗಲ್-ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಗುರುತಿನ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಹಾಲ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸ್ಟೆನ್ಜೆಲ್ ಅವರು ಗೋಳಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಸಾಂದ್ರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಥಿಮಾನ್ ಮತ್ತು ಅವನ ಸಹಯೋಗಿಗಳಿಂದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಶಾಖ ಕರ್ನಲ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಿದ್ದರೂ, ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಪೆರೆಲೋಮೋವ್ ಪ್ರಕಾರದ್ದಲ್ಲ. ಗುಂಪು-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿಧಾನವಾದ ಗಿಲ್ಮೋರ್ ಮತ್ತು ಪೆರೆಲೋಮೋವ್, ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಗುಂಪು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಂಡರು. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ನಾವು ಸಿ. ಸಿ. ಎಸ್. ನ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹಿಂದಿರುಗೋಣ. ಅಲ್ಲಿ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಡಿಸ್ಪ್ಲೇಸ್ಮೆಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನ (ವೇಯ್ಲ್-ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಒಂದು ಅಂಶದ ಫಾಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಲ್ಲದೆ ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ, ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮತ್ತು ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಿಸಿಎಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ಮೊದಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಗ್ರೂಪ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದು ಏಕೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವರ್ಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಎಡ ಬದಲಾಗದ ಹಾರ್ ಅಳತೆ ಇದೆ. ಒಂದು ವಾಹಕವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಒಂದು ವಾಹಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅಂತಹ ವಾಹಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗುಂಪು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಒಂದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ವಾಹಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಾಹಕವು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ವಾಹಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಈ ವಾಹಕಗಳು ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಳಗಿನ ಗಿಲ್ಮೋರ್-ಪೆರೆಲೋಮೋವ್ ಸಿಎಸ್ನ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ). ಮುಂದೆ, ಗುರುತಿನ ನಿರ್ಣಯವು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚೌಕಾಕಾರವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಆನ್ ನ ಎಡ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಉಪ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಃ ತರಂಗಗಳು ಮೇಲಿನ ರಚನೆಯ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ರೇಖೆಯ ಅಫೈನ್ ಗುಂಪು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಎಲ್ಲಾ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪು, ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನೀಡಿದ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಗುಂಪು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿದ್ದು, ಎಡ ಅಪರಿವರ್ತನೀಯ ಅಳತೆಯನ್ನು (ಬಲ ಅಪರಿವರ್ತನೀಯ ಅಳತೆ) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಫೈನ್ ಗುಂಪು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅದರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು (ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹತೆ) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಹ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ವಾಹಕ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ವಾಹಕಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಗುರುತಿನ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ವಾಹಕವನ್ನು ಮದರ್ ವೇವ್ಲೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವೇವ್ಲೆಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಗ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ನಂತರ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಿಗ್ನಲ್ನ ನಿರಂತರ ತರಂಗ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಸಮತಲದ ಸಿಮಿಲಿಟ್ಯೂಡ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮತಲ ಅನುವಾದಗಳು, ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ 2ಡಿ ತರಂಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಿಲ್ಮೋರ್-ಪೆರೆಲೋಮೋವ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಗುಂಪು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈಗಾಗಲೇ ಇದು ಸಿಸಿಎಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇವುಗಳನ್ನು ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಎರಡನೆಯದರ ಅಂಶದ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ, ಆ ಅಂಶವು ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಅವಲೋಕನವೆಂದರೆ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನ ಕೇಂದ್ರವು ನಿರ್ವಾತ ವಾಹಕವನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತಾ, ಗಿಲ್ಮೋರ್ ಮತ್ತು ಪೆರೆಲೋಮೋವ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಚೌಕಾಕಾರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲ. ಒಂದು ವಾಹಕವನ್ನು, ಏಕಮಾನದ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಸರಿಪಡಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ ಬದಲಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಡ ಕೋಸೆಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಬಿಟ್ರರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಕಾಸೆಟ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಕೋಸೆಟ್ಗೆ, ನಾವು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ, ನಾವು ಅದೇ ಕೋಶಕ್ಕೆ ಬೇರೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಕೆಲವರಿಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ, ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಭೌತಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಕೋಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಗಿಲ್ಮೋರ್-ಪೆರೆಲೋಮೋವ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳ ಸಮೂಹವು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಗುರುತಿನ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಣಯವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಬದಲಾಗದ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಿಲ್ಮೋರ್-ಪೆರೆಲೋಮೋವ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಃ ಕೊಸೆಟ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೆರೆಲೋಮೋವ್ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಿಲ್ಮೋರ್-ಪೆರೆಲೋಮೋವ್ ನಿರ್ಮಾಣದ ವೈಫಲ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಇತರ ರಚನೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಇದು ಗುಂಪಿನ ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಚದರ ಏಕೀಕರಣದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಏಕರೂಪದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್, ಉಪಗುಂಪು ಮತ್ತು ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಬೌಂಡೆಡ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಬೌಂಡೆಡ್, ಪಾಸಿಟಿವ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಗುರುತಿನ ಗುಣಾಕಾರವು ಯಾವಾಗ ಎಂಬುದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿದ್ದರೂ, ಈ ರೀತಿಯ ಅರೆ-ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯು ಅಗಾಧವಾದ ಬಹುಮುಖತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹಿಂದಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಗುಂಪಿನಂತಹ ಅನೇಕ ದೈಹಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ವಾಹಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಕೊಹೆರೆಂಟ್ ಸ್ಟೇಟ್ಸ್ಃ ಅಳತೆಯ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಬೇಯೇಸಿಯನ್ ನಿರ್ಮಾಣ ನಾವು ಈಗ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಹೊರಟು, ಈ ವಸ್ತುಗಳ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಅವಲೋಕನಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಕೆಲವು ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ನ ಐಜೆನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ಗಳಾಗಿ, ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಸಿಎಸ್ಗಾಗಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನಂತೆ, ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಮಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂಗೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಭವನೀಯ ರಚನೆಯು ಅವುಗಳ ರಚನೆಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ರೀತಿಯ ದ್ವಂದ್ವತೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವಾಗ ಪ್ರಚೋದನೆಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆ, ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ರೇಡಿಯಲ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಚೌಕದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಆ ದ್ವಂದ್ವ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವರ್ಗವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ-ಅನಂತ ಎಣಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸೆಟ್ (ನಿರ್ಣಾಯಕ) ಫೈನೈಟ್ನೆಸ್ ಷರತ್ತಿಗೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರಬೇಕುಃ ಇದರ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಗುರುತನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಂತಹ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಆಪರೇಟರ್ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ನೈಜ ಮತ್ತು ಅರೆ-ಮಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವಾಗಿ). ಮೂಲವು ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಲ್ಲದ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದೆ. ಕೆಳ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ಸೌಮ್ಯವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಗುಂಪಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಮತ್ತಷ್ಟು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಿಖರವಾಗಬೇಕಾದರೆ ಅದನ್ನು ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದಾದ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಜಾಗದ ಈ ನಿರ್ಮಾಣದ ಕೊನೆಯ ಅಂಶವು ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆ ಇದೆಃ ಸುಸಂಗತ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಲೈಬ್ ಊಹೆ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ