Riemann invariant
ರೀಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದಂತೆ ಮಾಡಲು ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಗಣಿತದ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿವೆ. ರೀಮನ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವು ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್ ಅವರು ಅನಿಲ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ತರಂಗಗಳ ಕುರಿತಾದ ತಮ್ಮ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದರು. ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಅಂಶಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಅಂಶಗಳು. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ಕೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಪದವನ್ನು ಒಟ್ಟು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವಂತೆ ನಿಯತಾಂಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಈಗ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಲು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎಡ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈಗ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಕರ್ಣೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹಾಡೋಗ್ರಾಫ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ನೀಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ವೇಗದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಬರೆಯಲಾದ ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಐಸೆಂಟ್ರೋಪಿಕ್ ಊಹೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಧ್ವನಿಯ ವೇಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ, ಅಲ್ಲಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ನೀಡಲು ತೃಪ್ತಿಕರವೆಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ರೀಮನ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳಿರುವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿವೆ (ಮತ್ತು ಅನಿಲ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಸಂಕೇತಗಳಾಗಿವೆ). ಸ್ಥಿರವಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಾಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಅನಿಲಕ್ಕೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ರೀಮನ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶಾಖ ಅನುಪಾತ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಹಾಡೋಗ್ರಾಫ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಹೋಡೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕುಸಿದರೆ, ನಾವು ಸರಳ ಅಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪವು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದವರೆಗೂ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸರಳ ತರಂಗ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬರ್ನ್ಹಾರ್ಡ್ ರೀಮನ್