Silver's dichotomy
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟಿವ್ ಸೆಟ್ ಥಿಯರಿಯಲ್ಲಿ, ಸಿಲ್ವರ್ 'ಸ್ ಡೈಕೋಟಮಿ (ಸಿಲ್ವರ್' ಸ್ ಥಿಯೋರೆಮ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಎಂಬುದು ಜ್ಯಾಕ್ ಸಿಲ್ವರ್ ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಇತಿಹಾಸ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವು ಅದರ ಪೂರಕವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸಹವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಲ್ವರ್ 'ಸ್ ಡೈಕೋಟಮಿ ಎಂಬುದು ಸಹ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಒಂದು ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಹ-ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನೇಕ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೋಲಿಸಲಾಗದ ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾದ ನೈಜ ಗುಂಪು ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಬಂಧದ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳು ಇರಬೇಕು. ಹಾರ್ವೆ ಫ್ರೀಡ್ಮನ್ ಅವರು ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ 1980 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡ ಜ್ಯಾಕ್ ಸಿಲ್ವರ್ ಅವರು ಸಿಲ್ವರ್ನ ದ್ವಿಭಾಜನದ ಮೊದಲ ಪ್ರಕಟಿತ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಿಲ್ವರ್ ಡೈಕೋಟಮಿಯ ಒಂದು ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ, ಒಂದು ಸೆಟ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ ಸಮಾನತೆಯು ಸಹವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬೋರೆಲ್-ರಿಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಂತಹ ಯಾವುದೇ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ನಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಿಲ್ವರ್ನ ದ್ವೈಧೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟವು, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಹೊಸ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿತು, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಿಲ್ವರ್ನ ದ್ವಿಭಾಜನವು ಹಲವಾರು ದುರ್ಬಲ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಬಲದಲ್ಲಿ ಹಿಮ್ಮುಖ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಉಪವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಿಲ್ವರ್ನ ದ್ವಿಭಾಜನವು ಸ್ವತಃ ಓವರ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ