Laakso space
ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಲಾಕ್ಸೊ ಸ್ಥಳಗಳು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿರುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಅವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುವ ಭಾಗಶಃ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಚೀಗರ್ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತಾ, ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಳತೆ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸ್ಥಳಗಳು ಕಾರ್ನೋಟ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಉಪ-ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಆದರೆ ಕೋಚ್ ಸ್ನೋಫ್ಲೇಕ್ ಅಥವಾ ಸಿಯೆರ್ಪಿನ್ಸ್ಕಿ ಗ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ನಂತಹ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಬಹುದೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸಿತು. ಅಂತಹ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಬೌರ್ಡನ್ ಮತ್ತು ಪಾಜೋಟ್ ಮೊದಲಿಗರು. ಟೋಮಿ ಜೆ. ಲಾಕ್ಸೊ ವಿಭಿನ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿತು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಈಗ ಲಾಕ್ಸೊ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಾಣ ನಾವು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. (ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ, ನಾವು ಜಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.) ನಂತರ K ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಧ್ಯದ ಭಾಗವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಆ ರಚನೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, K ಅನ್ನು 0 ಮತ್ತು 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಉಪವಿಭಾಗವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಉಳಿಸಲು, ನಾವು ಈಗ ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ K ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಧ್ಯದ ಮೂರನೇ ಭಾಗದ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರಚನೆಯು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಮಧ್ಯದ ಮೂರನೆಯ ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ, ಅದರ ತ್ರಿಕೋನ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕೇವಲ 0 ಮತ್ತು 2 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. 0 ಮತ್ತು 2 ರ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ತ್ರಿಕೋನ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ K ಯ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈಗ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಿನ್ನಾಂಶವಾಗಿರಲಿ. 0 ಮತ್ತು 2 ರ ಉದ್ದದ ಪ್ರತಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ನಾವು ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶದ ಜಾಗವನ್ನು ಅಂಶದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಿಯಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಜಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ವರ್ಮ್ಹೋಲ್ ಮಟ್ಟಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕ್ರಮಗಳು ಕೆ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳ್ಳುವ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು-ಪೊಯಿನ್ಕೇರ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಿಲಿಪ್ಶಿಟ್ಜ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ