Moreau envelope
ಮೊರೆಯು ಲಕೋಟೆಯು (ಅಥವಾ ಮೊರೆಯು-ಯೋಸಿಡಾ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವಿಕೆ) ಸರಿಯಾದ ಕೆಳಭಾಗದ ಅರೆ-ನಿರಂತರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಒಂದು ನಯವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು 1965ರಲ್ಲಿ ಜೀನ್-ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಮೊರೆಯು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಮೊರೆಯು ಲಕೋಟೆಯು ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಷನ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಮಿನಿಮೈಸಿಂಗ್ ಓವರ್ ಮತ್ತು ಮಿನಿಮೈಸಿಂಗ್ ಓವರ್ಗಳು ಮಿನಿಮೈಸರ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರಬಾರದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅನೇಕ ಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ವಿಧಾನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಿಂದ ಸರಿಯಾದ ಕೆಳಗಿನ ಅರೆ-ನಿರಂತರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೊರೆಯು ಲಕೋಟೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮೊರೆಯು ಲಕೋಟೆಯನ್ನು ನಿಯತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಮೊರೆಯು ಲಕೋಟೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮೊರೆಯು ಲಕೋಟೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಅನಂತ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎಂದೂ ಕಾಣಬಹುದು. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತಿನ ಮೂಲಕ ಮೊರೆಯು ಲಕೋಟೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆಃ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಮೊರೆಯು ಲಕೋಟೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಡಿಸೆಂಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಫೆಂಚೆಲ್ನ ದ್ವೈತ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೊರೆಯು ಲಕೋಟೆಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ದ್ವಂದ್ವ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಇದು ಅದರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ, ಕನ್ವೆಕ್ಸ್, ಕಡಿಮೆ ಅರೆಕಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯದ ಉಪವಿಭೇದಕವು ಅದರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ನ ಉಪವಿಭೇದಕಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಗರಿಷ್ಠಕಾರಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರೈಮಲ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠಕಾರಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು. ಹೋಪ್ಫ್-ಲ್ಯಾಕ್ಸ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಮೊರೆಯು ಲಕೋಟೆಯು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಜಾಕೋಬಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಓಶರ್ ಮತ್ತು ಸಹ-ಲೇಖಕರು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಕೋಲ್-ಹಾಫ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಸಮೀಪದ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಿದರು. ಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಎ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಜಾಕೋಬಿ-ಆಧಾರಿತ ಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಃ ಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಯೂಟ್ಯೂಬ್ ವೀಡಿಯೊ