Plane-based Geometric Algebra
ಪ್ಲೇನ್-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪ್ಲೇನ್ಗಳು, ರೇಖೆಗಳು, ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮಾಡಲು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಗುರಿಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಛೇದನಗಳು, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಮತ್ತು 3D ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಕೋನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲತಃ ಸ್ಪಿನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಶೋಧನೆಯಿಂದ ಬೆಳೆದು, ಇದನ್ನು ರೊಬೊಟಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಅಂದಿನಿಂದ ಇದನ್ನು ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದ್ವಂದ್ವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ವಿಮಾನ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿಃ ಇದು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗ್ರೇಡ್-1 ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, "" ನಂತಹ ಒಂದೇ ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾದ ಅಂಶಗಳು. ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ಕೆಲವು ಅಪರೂಪದ ವಿನಾಯಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ, ಬೀಜಗಣಿತವು ಬಹುತೇಕ ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಮೂರು ಬೇಸಿಸ್ ಗ್ರೇಡ್-1 ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ವರ್ಗವು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಬೇಸಿಸ್ ಅಂಶವು ಅದರ ವರ್ಗವು. ವಿಮಾನ-ಆಧಾರಿತ ಜಿ. ಎ. ಯು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳ ಅಕ್ಷ-ಕೋನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ, ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನುವಾದಗಳ ಚತುರ್ಥಕ ಮತ್ತು ದ್ವಿ ಚತುರ್ಥಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು, ರೇಖೆಗಳ ಪ್ಲಕ್ಕರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ, ಸಮತಲಗಳ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಡ್ಯುಯಲ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗಳು ನಂತರ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ಕ್ರೂ, ಟ್ವಿಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ವ್ರೆಂಚ್ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು, ಅನುವಾದಗಳು, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲ ಸಾಮಾನ್ಯಗಳನ್ನು "ವಾಹಕಗಳು" ಎಂದು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮುಂದುವರಿದ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳ ಬಳಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಿಬ್ಸ್ ವಾಹಕಗಳು, ಸೂಡೊವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡರಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದು, ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎಯಲ್ಲಿ, "ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷ" ಮತ್ತು "ಬಿಂದುವಿನ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಕೇತದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ (ಎರಡು ಕಡಿಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು) ಅಂತಹ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮೂರು ಕಡಿಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು). ಕೆಳಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳು ಇನ್ನೂ ತಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ವಾಹಕ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅವು (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ) ವಾಹಕಗಳಲ್ಲ-ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಾಣಗಳಾಗಿ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತವಲ್ಲ. 'ವಾಹಕ' ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಬರುವ ವಿವಿಧ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ದೃಶ್ಯ ಅರ್ಥಗಳ ಸಂಘರ್ಷವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಈ ಲೇಖನವು ಪದದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಮಾನ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಮತಲಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಮತಲಗಳ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಆಧಾರವು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಸಮತಲ, ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ, ಮತ್ತು ಸಮತಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಆಧಾರ ಸಮತಲಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು y-ಮತ್ತು z-ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವುಗಳ ತೂಕದ ಸರಾಸರಿಯಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ-ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತು-ರೀತಿಯ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಇನ್ನೂ ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎ ಒಳಗೆ ಒಂದು ವಸ್ತುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ (ಇದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು (ಇದು x-ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ 180-ಡಿಗ್ರಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೂಲದ ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ. ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಸಂಯೋಜನೆ-ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ-ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿರುವ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ನೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು, ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮರ್ಥನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲ ಮೂರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ ನಾವು ಒಂದೇ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೆ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತೇವೆ. ಗ್ರೇಡ್-1 ಅಂಶವನ್ನು (ಸಮತಲ) ಸ್ವತಃ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ". ಹೇಳಿಕೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿದೆ. ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶವು ಅನಂತದಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲಕ್ಕಿಂತ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ-ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಇದನ್ನು "ಸಮೀಪಿಸಬಹುದು ಆದರೆ ಎಂದಿಗೂ ತಲುಪಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ". 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಆಕಾಶದಂತೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅದರಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು "ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳು" ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ "ಆದರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳು" ಅಥವಾ "ಅನಂತದ ಬಿಂದುಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಅನಂತ ರೇಖೆಗಳೂ ಸಹ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ; ಕ್ಷಿತಿಜ ರೇಖೆಯು ಅಂತಹ ರೇಖೆಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ವೀಕ್ಷಕನಿಗೆ, ಅವರು ನಿಂತಿರುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಮತಲಗಳು ಕ್ಷಿತಿಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನಾವು ನೆಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅದು ನೆಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲಗಳು ಅನಂತ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳಿಗೆ ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಅನಂತ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ರೇಖೆಯು, "ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ" ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ, ಇವು ಅನುವಾದಗಳಿಗೆ ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಹೋಲುವ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಹೊಂದುವ ಬದಲು, ಅವುಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಡವಳಿಕೆಯು ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು 0 ರಿಂದ ವರ್ಗವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೂರು ಆಧಾರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು-ಮೂಲಕ-ಮೂಲ,,, ಇದು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಆಧಾರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ದ್ವಿ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಇತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೊರತೆಗೆಯಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರಂತೆಯೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದಾದ ಹಲವಾರು ಉಪಯುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ಪರಿವರ್ತನೆಯು, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಮತಲಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲಿ, ಹಿಮ್ಮುಖವಾಗಿದೆ (ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಲೋಮ). ರೂಪಾಂತರವು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಕೋನ ಅಥವಾ ಅಂತರದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ; ನಿಖರವಾದ ದೂರ ಅಥವಾ ಕೋನದಿಂದ ರೂಪಾಂತರದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ದ್ವಿ ಚತುರ್ಥಕ ಘಾತಾಂಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮೀಟ್ (ಅಥವಾ "ಬೆಣೆ ಉತ್ಪನ್ನ"), ಇದು ವಸ್ತುಗಳ ಛೇದನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದ ಛೇದನವು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಒಳಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು, ವಸ್ತುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಇತರ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ; ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು-ಈ ಸೂತ್ರವು ವಸ್ತುಗಳು ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಮತಲಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಈಸ್ ಮತ್ತು ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವೆ ಕೋನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಮತ್ತು, ಅವು ರೇಖೆಗಳಾಗಿರಲಿ ಅಥವಾ ಸಮತಲಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು. ಇದು ಎರಡೂ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು, ಸಮತಲಗಳು ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇತರ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರದ (ಡ್ಯುಯಲ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್) ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಅನ್ವಯವು, ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ; ಇದು "ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಉತ್ಪನ್ನ". ರೇಖೆಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎರಡಕ್ಕೂ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದು ಒಂದು ಸಮತಲ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಅವರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವರ "ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಂಯೋಜನೆ"-ಒಂದು ಪ್ರತಿಫಲನವು ನಂತರ ಒಂದು ಪ್ರತಿಫಲನ, ಇದು ದ್ವಿ ಚತುರ್ಥಾಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಬಯಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬಹುದು; ನಾವು ಎರಡು ಸಮತಲಗಳ ಛೇದಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸಿದರೆ, ನಾವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ "ಗ್ರೇಡ್-2 ಭಾಗ" ವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೋಡಬೇಕಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಎರಡು ಕಡಿಮೆ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಭಾಗ. ಛೇದಕ ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಸಮತಲಗಳ ರೂಪಾಂತರ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಳಗೆ ಇದೆ ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾಹಿತಿಯು, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಅವುಗಳ ಛೇದಕ ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. 3ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ದೂರ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳ (ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು) ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟನ್-ಡಿಯೋಡೋನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎಯಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ರೂಪಾಂತರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸಮತಲ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಂತಹ ವಿಮಾನಗಳು, ಬಿಂದು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಂತಹ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳಂತಹ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು-ಇವು 3ಡಿ ಯಲ್ಲಿ 180-ಡಿಗ್ರಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಗುರುತಿನ ರೂಪಾಂತರವು ಶೂನ್ಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಅದರ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ಕೋನದ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಒಂದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಸ್ವಲ್ಪ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ (ರೂಪಾಂತರ ಸಂಯೋಜನೆ) ಬರೆಯಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಅದರ ಅಕ್ಷದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎರಡು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು; ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು 2-ಪ್ರತಿಫಲನ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ರೋಟರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಗಳು, ಗ್ಲೈಡ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ 3 ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು 3-ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 3ಡಿಗಾಗಿ ಇದರ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಸ್ಕ್ರೂ ಚಲನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು 4-ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಸ್ಕ್ರೂ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, 3ಡಿ ಪ್ಲೇನ್-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎಯ ಗ್ರೇಡ್-4 ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅತ್ಯುನ್ನತ ದರ್ಜೆಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು "ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವುದು" ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ ವರ್ಗದಿಂದ ವರ್ಗದಂತಹ ಗ್ರೇಡ್-1 ಅಂಶಗಳು. "ಕನ್ನಡಿಗಳನ್ನು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವ" ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲು ಈ ಸರಳ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದರ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು, ನಾವು 3D ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಸಮತಲ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದು 2-ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು 3-ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು 5-ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಈ ಎರಡು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು ರದ್ದುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, 3-ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತವೆ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ರೋಟೊರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಈ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ "ಸೇರಿಸಲಾದ" ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರತಿಫಲನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮತಲ ಭಾಗವು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬಭುಜಾಕೃತಿಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲು, ಅಥವಾ ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದನ ಅಥವಾ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ಸಮತಲದ ಛೇದನ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಘೂರ್ಣನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನುವಾದಗಳು ಸಹ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತದ ಘೂರ್ಣನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನುವಾದಗಳು ದೂರ ಮತ್ತು ಹಸ್ತವನ್ನು (ಕೈರಾಲಿಟಿ) ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ವಸ್ತುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಆ ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅಂತರವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಕೈಗವಸು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಬಲಗೈ ಕೈಗವಸು ಎಡಗೈ ಕೈಗವಸು ಆಗುವುದಿಲ್ಲ. 3ಡಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳು ದೂರವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗಾವಣೆಗಳು ಹಸ್ತವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನುವಾದಗಳು ಹಸ್ತವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು 3ಡಿ ವಿಮಾನ-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗುತ್ತದೆ (ಮೇಲಿನ ಪಿ. ಜಿ. ಎ. ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗಳು). ಸಮತಲಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಅನುವಾದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನುವಾದಗಳು ಸ್ಕ್ರೂ ಚಲನೆಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ನಂತರ ಅದೇ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಅನುವಾದ. ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಸ್ಇ (3) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ (ಕೈಯಿಂದ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ) ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ (ದೂರ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ) ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು. ಈ ಗುಂಪು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಎರಡು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ 4 × 4 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಡ್ಯುಯಲ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗಳು. ಡ್ಯುಯಲ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು (ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ಗಳಂತೆ) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಸ್ಇ (3) ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿದೆ. ಡ್ಯುಯಲ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ ಮುಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು 3ಡಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ 'ಸ್ಪಿನರ್' ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಕ್ಯಾಮಿಲ್ಲೆ ಜೋರ್ಡಾನ್ನ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಗುರಿಯಾಗಿತ್ತು. ಮತ್ತು ಮೈಕೆಲ್ ಚಾಸ್ಲೆಸ್ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ಆಯಾಮ-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ವಿಲೋಮ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ವಿಲೋಮ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಗೋಳಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಲೋಮಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ನಡವಳಿಕೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು ಗೋಳಗಳಲ್ಲಿನ ವಿಲೋಮಗಳ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮತಲವು ಅನಂತ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಳವಾಗಿದೆ. ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಇದು ವಿಲೋಮ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇನ್ವರ್ಸಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಕಾನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ (ಸಿಜಿಎ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ಲೇನ್-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಸಿಜಿಎಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ 3ಡಿ ಜಾಗಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗೋಳಗಳು, ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ (ಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ) ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಪಿಜಿಎ ಮತ್ತು ಸಿಜಿಎ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ನೋಡುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಸಿಜಿಎ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ", ಆದಾಗ್ಯೂ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಸಿಜಿಎಗೆ ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಇದು ವಿಮಾನ-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎ ಮತ್ತು ಸಿಜಿಎಗಳ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ವಿಮಾನ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಲ್ಲಾ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ದ್ವಂದ್ವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿ "ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ", ಪಿ. ಜಿ. ಎ. ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ದೊಡ್ಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಹಿಂಜರಿತದ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ-ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎಯಲ್ಲಿ, ಹಿಂಜರಿತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸೇರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸಮತಲವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೇರಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು (ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಮತಲಗಳು) ಸಮಾನವಾದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು (ಮೇಲೆ ನೋಡಿ) ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಹಿಂಜರಿತ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಾನದಂಡವು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಅಫೈನ್ ಹಲ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ದ್ವಂದ್ವತೆ ಮತ್ತು ಪರಿಭಾಷೆಯ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಪಿಜಿಎಯಲ್ಲಿ ಹಿಂಜರಿತದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ದ್ವಂದ್ವಕ್ಕೆ ನೀಡಲಾದ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಲೇಖಕರಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಯಾವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಹಿಂಜರಿತದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ; ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ದ್ವಂದ್ವದ ನಿಖರವಾದ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಗಮನಾರ್ಹ ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ತಾತ್ವಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿವೆಃ ಹಾಡ್ಜ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಮತಲ ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಇತರ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇತರ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು); ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಹಾಡ್ಜ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಒಂದು ಬಿಂದು ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ. ಪಿ. ಜಿ. ಎ. ಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಹಾಡ್ಜ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸಹ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಲ್ಲ; ಬದಲಿಗೆ, ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಜಾಗ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ, ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಜಾಗದ ನಡುವೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ವಿಚ್ಗಳು, ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಘರ್ಷಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ದ್ವಿ ಅಂತರದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ಲೇಖಕರು ಪಿ. ಜಿ. ಎ. ಯ ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜಿ. ಎ. ಭಾಗವನ್ನು "ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್" ಮತ್ತು "ಆಂಟಿಸ್ಪೇಸ್" ಎಂದು ಕರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಈ ದ್ವೈತದ ರೂಪವು, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ಅಂದರೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ), ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು "ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್" ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಕಾರಣವಾಗಿದೆ (ಇದು ಪೂರ್ಣ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಏಕರೂಪದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಪೂರ್ಣ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ). ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು (ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎ ಸಿಜಿಎಯ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ), ಆದರೆ ಅದರೊಳಗಿನ ಪಿಜಿಎ ಹಿಂಜರಿತದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸಿಜಿಎ ತನ್ನದೇ ಆದ ಹಿಂಜರಿತದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸಿಜಿಎಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪಿಜಿಎಯಲ್ಲಿ ಇದು ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಪಿಜಿಎ "ಅಂಕಗಳು" ಸಿಜಿಎ ಅಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಎರಡು ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು, ಪಿಜಿಎ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸಿಜಿಎ ಪಾಯಿಂಟ್ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಜೋಡಿಯು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಸಿಜಿಎಯಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು ಅದರೊಳಗಿನ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪಿಜಿಎ-ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವಿನಿಮಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ; ಸಿಜಿಎಯೊಳಗೆ ಹಾಡ್ಜ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಸಿಜಿಎ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇದು ಪಿಜಿಎ ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯೇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮೊದಲ ಅಂದಾಜಿಗೆ, ಭೌತಿಕ ಜಗತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಧರಿಸಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇತರ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುಗಳು, ಸಮತಲಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಸಮತಲ-ಆಧಾರಿತ ಜಿಎಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವ ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಬಹಳ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬೀರುತ್ತವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತವು ಜಾಗದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು, ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಗುಂಪಿನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ಇತರ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಾಗುತ್ತವೆ-ಮೀಟ್ ಇನ್ನೂ ವಸ್ತುಗಳ ಛೇದನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ; ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇನ್ನೂ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೋನವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಮ ಸಬಾಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ (ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ನಂತರ). ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅಂಶವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ