Countable Borel relation
ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬದಲಾಗದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, ಅವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದಂತಹ ವಿವಿಧ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸ್ವತಃ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯು ಅಸ್ಥಿರ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಮುಖ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅದು ಬೋರೆಲ್ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ). ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವು ಇದು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ಅದು "ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ" ಮತ್ತು "ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ" ಎರಡನ್ನೂ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದೇ ಮಟ್ಟದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ ಮತ್ತು ಬೋರೆಲ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ (ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡಿ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ಫೆಲ್ಡ್ಮನ್-ಮೂರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಕೆಲವು ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ (ನೋಡಿ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ (ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ) ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದೆಂದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರಬಹುದು ಆದರೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸಂಬಂಧವು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟವೂ ಸಹ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೋರೆಲ್ ಉಪವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧದ ಛೇದನವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಬೋರೆಲ್ ಅನ್ನು ಅಳೆಯಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ನಡುವೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಲುಜಿನ್-ಸುಸ್ಲಿನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ). ಬೋರೆಲ್ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ನಾರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗ್ರಾಫ್ನ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸಂಬಂಧವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳು ಎಣಿಸಬಹುದಾದಂತಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಫೈನೈಟ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧಗಳಾಗಿವೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಿನ ನಿರಂತರ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ದೃಢವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, 2ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು, ರೂಪದ ಮೂಲ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವರಿಗೆ (ಇದು ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿ ಆಗಿದೆ). ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ನಂತರ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಜಾಗವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ (ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಅಥವಾ)-ಇದನ್ನು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ವಿವಿಧ ವರ್ಗದ ಮಾದರಿಗಳ ನಡುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಇವು ಸೇರಿವೆಃ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಮಟ್ಟವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಹಂತದ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು. ಲುಜಿನ್-ನೊವಿಕೊವ್ ಪ್ರಮೇಯ ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ನಿಕೊಲಾಯ್ ಲುಜಿನ್ ಮತ್ತು ಅವರ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಪ್ಯೋಟರ್ ನೊವಿಕೊವ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಪುರಾವೆಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯ. ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಬೋರೆಲ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ಬೋರೆಲ್ ಕಾರ್ಯವಿದೆ (ಇದನ್ನು ಬೋರೆಲ್ ಏಕರೂಪತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅಂದರೆ ಅದರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಬೋರೆಲ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಬೋರೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅದು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಒಂದೆರಡು ಸುಲಭವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ನಾರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರಣವು ಬೋರೆಲ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಚಿತ್ರವು ನಿಖರವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ನ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸಂಬಂಧ ಎಲ್ಲಿದೆ). ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಇದು ಬೋರೆಲ್ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನಂತರ ಇದು ಬೋರೆಲ್ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ). ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲುಜಿನ್-ನೊವಿಕೋವ್ ನೊವಿಕೋವ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆಃ ಫೆಲ್ಡ್ಮನ್-ಮೂರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಜಾಕೋಬ್ ಫೆಲ್ಡ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ವಿನ್ ಸಿ. ಮೂರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾದ ಫೆಲ್ಡ್ಮನ್-ಮೂರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಮೇಯ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೂ ಬೋರೆಲ್ ಅಳೆಯಬಹುದಾದಂತಹ ಕ್ರಿಯೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗವು ನಿಖರವಾಗಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯ ಕಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಬೋರೆಲ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ಮಾರ್ಕರ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಈ ಲೆಮ್ಮಾವು ಥಿಯೋಡೋರ್ ಸ್ಲಾಮನ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಆರ್. ಸ್ಟೀಲ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಮತ್ತು ಫೆಲ್ಡ್ಮನ್-ಮೂರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಲೆಮ್ಮಾ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಬೋರೆಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಬಿಡಿ. ನಂತರ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಲೆಮ್ಮಾವು ಅನಂತ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳನ್ನು "ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸಣ್ಣ" ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಲೆಮ್ಮಾದಲ್ಲಿ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದು ಅಳತೆಯ ನಿರಂತರತೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳು