Polynomial root-finding algorithms
ಬಹುಪದೀಯ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಇತಿಹಾಸದುದ್ದಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಾಕ್ಷಿಯೆಂದರೆ, 19ನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗೆ, ಬೀಜಗಣಿತವು ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸುತ್ತಿತ್ತು. ತತ್ವಗಳು ರೇಖೀಯ ಬಹುಪದದ (ಡಿಗ್ರಿ ಒನ್) ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಅಗತ್ಯವಿದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೂರು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ, ರಾಡಿಕಲ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್-ಫಾರ್ಮ್ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ತುಂಬಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಮೂಲಗಳ ಗಣನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಗಣನೆಯು ಬಹುಪದದ ಮೂಲಗಳ ನೇರ ಗಣನೆಗಿಂತ ಸುಲಭವಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಘನ ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ನೈಜವಲ್ಲದ ಘನ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು). ಐದು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹಂತದ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ, ಅಬೆಲ್-ರುಫಿನಿ ಪ್ರಮೇಯವು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮೂಲಗಳ ಯಾವುದೇ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಬಹುಪದಗಳ ಮೂಲ ಶೋಧನೆ ಮೂಲಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವು ನಿಖರವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಉಪ-ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ; ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳು ಅಥವಾ ನೈಜ ಬೇರುಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೇರುಗಳು ಭೌತಿಕ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ, ನಿಜವಾದ ಧನಾತ್ಮಕವಾದವುಗಳು ಮಾತ್ರ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಂಪ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಫ್ರಾನ್ಸಿಸ್ ಕ್ಯೂಆರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವಾದಯೋಗ್ಯವಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಒಂದೇ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು. ಒಂದು ಮೂಲವು ಕಂಡುಬಂದಾಗ, ದ್ವಿಪದವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಬಹುಪದದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಬಹುಪದವು ಉಳಿದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಡಿಮೆ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲಃ ವಿಲ್ಕಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಬಹುಪದವು ಒಂದು ಗುಣಾಂಕದ ಸಣ್ಣ ಮಾರ್ಪಾಡು ಮೂಲಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅವುಗಳ ಸ್ವರೂಪವನ್ನೂ (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೂ ಸಹ, ಒಬ್ಬರು ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದಾಗ, ಒಬ್ಬರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಡಿಗ್ರಿ 20 ರ ಬಹುಪದವು (ವಿಲ್ಕಿನ್ಸನ್ನ ಬಹುಪದದ ಡಿಗ್ರಿ) 10 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಹುಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಇದರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರಬಹುದು, ಇದು ಮೂಲದ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲಿನ ದೋಷವು ಬಹುಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅಬೆರ್ತ್ ವಿಧಾನ. ಎಂಪಿಸಾಲ್ವ್ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಉಚಿತ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖದ ಅನುಷ್ಠಾನವಾಗಿದೆ, ಇದು 1,000 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗಮನಾರ್ಹ ದಶಮಾಂಶ ಅಂಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ 1,000 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಗಳ ಮೂಲಗಳನ್ನು ವಾಡಿಕೆಯಂತೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಣ್ಣ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೂಲವು ನಿಜವೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ಸರಾಸರಿ, ಪದವಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ನೈಜ ಮೂಲಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವಾಗ ನೈಜವಲ್ಲದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳ ವ್ಯರ್ಥವಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ವಿಧಾನವು ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳು-ಬುಡಾನ್ ಮತ್ತು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು-ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿವೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವವರೆಗೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲರೂ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾರೆ. ನಂತರ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಮುಖ್ಯ ಗಣಕಯಂತ್ರ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (ಮ್ಯಾಪಲ್, ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ, ಸೇಜ್ ಮ್ಯಾಥ್, ಪ್ಯಾರಿ/ಜಿಪಿ) ಬಹುಪದದ ನೈಜ ಮೂಲಗಳಿಗೆ ಡೀಫಾಲ್ಟ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿ ಈ ವಿಧಾನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ವಿಧಾನಗಳ ವರ್ಗವು ಬಹುಪದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬಹುಪದದ ಸಹವರ್ತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಬಹುಪದದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದಕ್ಷತೆಯ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮುಕ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಪವರ್ ವಿಧಾನವು ಸೇರಿದೆ, ಅದರ ಅನ್ವಯವು ಕಂಪ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ಗೆ ಗ್ರೇಟೆಸ್ಟ್ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬರ್ನೌಲಿಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಶಿಫ್ಟ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ವಿಲೋಮ ಶಕ್ತಿ ವಿಧಾನವು, ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಚಿಕ್ಕ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಜೆಂಕಿನ್ಸ್-ಟ್ರಾಬ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣ (ಸಿಪೋಲಿ) ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಇದು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಡ್ ಬೇರುಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ ಎಲ್ಲಿದೆ). ಈ ವೇಗದ ಒಮ್ಮುಖವು ಪ್ರತಿ ಹಂತಕ್ಕೆ ಮೂರು ಬಹುಪದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ವೆಚ್ಚದೊಂದಿಗೆ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ಮೂರು ಹಂತಗಳಿಗಿಂತ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನ, ಇದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗಣನೆಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದರೂ, ಇದು ತುಂಬಾ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಒಮ್ಮೆಯೂ ಒಮ್ಮುಖವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಹುಪದವು ನಿಜವಾದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಹುಪದವು ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ದೊಡ್ಡ ನೈಜ ಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ದೊಡ್ಡ ಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನವು ಈ ದೊಡ್ಡ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ (ಮೂಲಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಬಹುಪದ ಮೂಲಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಇದು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಹಾರ್ನರ್ ವಿಧಾನದ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮೂಲವು ಕಂಡುಬಂದಾಗ, ಬಹುಪದದಿಂದ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಂಶದ ಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಯೋಜನೆಯು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ; ಅನುಕ್ರಮ ಅಪವರ್ತನಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಂದಾಜು ದೋಷಗಳು ಸಂಗ್ರಹವಾಗುತ್ತವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಕೊನೆಯ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಬಹುಪದದ ಅಂಶದಿಂದ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗೊಳ್ಳುವ ಬಹುಪದದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು, ಕಂಡುಬರುವ ಪ್ರತಿ ಮೂಲಕ್ಕೂ, ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೂಲ ಬಹುಪದದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಅಂದಾಜು ಮೂಲವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿ ಪುನರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಭರವಸೆ ಇಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬಹುಪದದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಅಸಮರ್ಪಕ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇದನ್ನು ವಿಲ್ಕಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಬಹುಪದಿಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ 20ನೇ ಹಂತದ ಈ ಬಹುಪದದ ಮೂಲಗಳು 20 ಮೊದಲ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ; ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ 32-ಬಿಟ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಕೊನೆಯ ಬಿಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ (-210ಕ್ಕೆ ಸಮಾನ) ಕೇವಲ 10 ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಮತ್ತು 0.6ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 10 ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದ ಸಂಬಂಧವು ಹ್ಯಾಲಿಯ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಲಗುರ್ರೆಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಘನ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಅದರ ಎರಡು ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಧಾನಗಳ ಸತತ ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ, 6 ಬಹುಪದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ (ಹಾರ್ನರ್ ನಿಯಮದೊಂದಿಗೆ) 9 ರ ಒಮ್ಮುಖದ ದರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಧಾನದ ಮೂರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಹುಪದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ 8 ರ ಒಮ್ಮುಖದ ದರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಈ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಲಗುರ್ರೆಯ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಇದು ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ). ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ, ನ್ಯೂಟನ್ನ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಲಿಯ ವಿಧಾನವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೆಯೊಳಗೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲಾಗ್ಯುರ್ ವಿಧಾನವು ತನ್ನದೇ ಆದ ನಿಜವಾದ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಹುಪದವು ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಗಣನೆಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಒಬ್ಬರು ಬಯಸಬಹುದು. ಆ ಪರಿಣಾಮಕ್ಕಾಗಿ, ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬಹುಆಯಾಮದ ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದ ಅನ್ವಯವು ಬೈರ್ಸ್ಟೋವಿನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಜೆಂಕಿನ್ಸ್-ಟ್ರಾಬ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ನಿಜವಾದ ರೂಪಾಂತರವು ಈ ವಿಧಾನದ ಸುಧಾರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಡ್ಯುರಾಂಡ್-ಕೆರ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅಬೆರ್ತ್ ವಿಧಾನವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಬಹು-ಬಿಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕಾಗಿ ವೇಗವರ್ಧಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ವೇಗದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದಂತೆಯೇ ಅಂತರ್ವೇಶನವು ಬಹುಪದಗಳ ದೊಡ್ಡ ಮಟ್ಟಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಸಮವಾದ, ಆದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉಚಿತ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಎಂಪಿಸಾಲ್ವ್ನಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನದ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಅದರ ದಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ನಿಖರತೆಗೆ ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖವಾಗಿದೆ. ಈ ಶೈಲಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಡ್ಯಾಂಡೆಲಿನ್-ಗ್ರ್ಯಾಫ್ ವಿಧಾನ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಲೋಬಚೇವ್ಸ್ಕಿಗೆ ಸಹ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ), ಇದು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವರ್ಗಗೊಳಿಸಲು ಬಹುಪದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಬೇರುಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಯೆಟ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಬೇರುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ಗೆ ಸುಲಭವಾದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯತ್ನದಿಂದ, ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸ್ವತಃ. ಹೊರಗಿಡುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಆವರಣ ವಿಧಾನಗಳು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಪ್ರದೇಶವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಸುವ ಹಲವಾರು ವೇಗದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಬೇರುಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಈ ಗಡಿಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಉಪವಿಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದಾದ ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಇತರ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳು ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ನ ಶಿಫ್ಟ್ಡ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲ್ಡ್ ಆವೃತ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ, ಎಫ್ಎಫ್ಟಿ ಆಧಾರಿತ ವೇಗವರ್ಧಿತ ವಿಧಾನಗಳು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಗಾಗಿ, ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಲೆಹ್ಮರ್-ಶುರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಶುರ್-ಕೊಹ್ನ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ; ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವಾದ ವಿಲ್ಫ್ನ ಜಾಗತಿಕ ದ್ವಿಭಾಜಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಅಂಕುಡೊಂಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಜಿತ ವೃತ್ತ ವಿಧಾನವು ಮೂಲಗಳ ಸಮೂಹಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ದೊಡ್ಡ-ಮಟ್ಟದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಫ್ಎಫ್ಟಿ-ಆಧಾರಿತ ಬಹುಪದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್-ರೀತಿಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿಖರತೆಯ ಬಹುಪದಗಳ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ವಿಧಾನವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ; ಇದು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿಜವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದದ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಿಂದಲೂ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆದಿರುವ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಇನ್ನೂ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಕ್ರಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೂಲ-ಶೋಧನಾ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಕೆಲವು ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅಬೆರ್ತ್ ವಿಧಾನದಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಹುಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದಾಗಿ (ವಿಲ್ಕಿನ್ಸನ್ನ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ನೋಡಿ), ಯಾವ ಮೂಲಗಳು ನಿಜವೆಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವುಗಳಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ-ನಿಖರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಗತ್ಯವಿರಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೆಲವೇ ಕೆಲವು ಮಾತ್ರ ನಿಜವಾಗಿದ್ದಾಗ ಅವರು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತಾರೆ. ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು, ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ನೈಜ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಗಣನೆಯನ್ನು ರಿಯಲ್-ರೂಟ್ ಐಸೋಲೇಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಬ್ಬರು, ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ನ್ಯೂಟನ್ನ ವಿಧಾನದಂತಹ ವೇಗದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ರಿಯಲ್-ರೂಟ್ ಐಸೋಲೇಷನ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅತ್ಯಂತ ಹಳೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸ್ಟರ್ಮ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ವಿನ್ಸೆಂಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ದ್ವಿಭಾಜನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. 21ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಿಂದಲೂ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳು ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಸುಧಾರಣೆಯಾಗಿವೆ. ಈ ಸುಧಾರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಹೋಲುವ ಗಣನೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತವೆ (ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಗಳು ನೈಜವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ). ಈ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಾದಲ್ಲಿ (ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ವಿಧಾನ) ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಪಲ್ನಲ್ಲಿ (ದ್ವಿಭಾಜಕ ವಿಧಾನ) ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಎರಡೂ ಅನುಷ್ಠಾನಗಳು 1,000ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಗಳ ನೈಜ ಮೂಲಗಳನ್ನು ವಾಡಿಕೆಯಂತೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಬಹುಪದಗಳ ಬಹು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಬಹು ಮೂಲಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗಣನೆ ಬಹು ಮೂಲಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಆಗಿ ಜಾರಿಗೆ ತರಲಾದ ಝೊಂಗ್ಗ್ಯಾಂಗ್ ಝೆಂಗ್ (2004) ಅವರ ವಿಧಾನವು, ಗುಣಾಂಕಗಳು ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಬಹುಪದದ ಬಹು ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷೇಪಿಸಬಹುದು. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಮೊದಲ ಹಂತವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗ್ರೇಟೆಸ್ಟ್ ಕಾಮನ್ ಡಿವಿಸರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಸ್ಕ್ವೇರ್-ಫ್ರೀ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಸಿಟಿ ರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳ ಗುಣಾಕಾರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೇಲೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಮಿತಿಮೀರಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ (ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕವು ಚರವಲ್ಲ). ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ದ್ರಾವಣವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅಸಮರ್ಪಕ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡನೇ ಹಂತವು ವಿಭಿನ್ನ ಮೂಲಗಳಿಗೆ ಮಿತಿಮೀರಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್-ನ್ಯೂಟನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಲಿಯಂ ಕಹಾನ್ (1972) ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಬಹು ಬೇರುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ ಬಹು ಬೇರುಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮಿತಿಮೀರಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾದರಿಯು ಗುಣಾಕಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಕ್ವೇರ್-ಫ್ರೀ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದ ಮೂಲಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿಖರವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸ್ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವಿದೆ. ಸ್ಕ್ವೇರ್-ಫ್ರೀ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಈ ವಿಧಾನವು ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕದ ಮೂಲಗಳಾಗಿರುವ ಬಹುಪದದ ಬಹು ಮೂಲಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಬಹುಪದ p ಯ ವರ್ಗ-ಮುಕ್ತ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯು ಒಂದು ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಬಹು ಮೂಲಗಳಿಲ್ಲದ ಬಹುಪದವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಯುನ್ನಿನ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಹುಪದಗಳ ಮೂಲ-ಹುಡುಕುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು