Convergence proof techniques
ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರೂಫ್ ತಂತ್ರಗಳು ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಘಟಕಗಳಾಗಿದ್ದು, ವಾದವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋದಾಗ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ವಿವಿಧ ತಂತ್ರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಸರಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖದ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಸೂಕ್ತ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ವೃತ್ತಿಗಾರರಿಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಚಯವಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ವಿವರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಒಮ್ಮುಖ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಯಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ, ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತ ವಿಧಾನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ. ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳು ಒಂದು ಮಿತಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ. ಅಂತಹ ಎ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಪುರಾವೆ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮೌಲ್ಯವು ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕೆಳಗಿನ ತಂತ್ರಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಬಹುದು. ಸಂಕೋಚನ ನಕ್ಷೆಗಳು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಆಸಕ್ತಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಕನ್ಫಾರ್ಮಬಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಅದರ ಪರಿಮಾಣದ ವರ್ಗಮೂಲದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವಂತಹ ಅಂಶವಾರು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಬನಾಚ್ ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ (ಡೊಮೇನ್ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವಾಗಿದೆ) ನಂತರ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು. ಅಂತಹ ಎ ಅನ್ನು ಸಂಕೋಚನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಕೆಲವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಒಮ್ಮುಖವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಬೋಲ್ಜಾನೋ-ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮೂಲ ಅನುಕ್ರಮವು ಆ ಮಿತಿಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಂದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವು ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಆಗ ಆರಂಭಿಕ ಅನುಕ್ರಮವು ಆ ಮಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬೇಕು. ಏಕತಾನತೆ (ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಏಕತಾನತೆಯಿಲ್ಲದ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಬದಲಾಗಿ, ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂಬ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಿಯಾಪುನೋವ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಮೂಲಭೂತ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳೆಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು (ಅಥವಾ) ಗಾಗಿ ಮತ್ತು "ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿರಬೇಕು", ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ರೂಪದ ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಳಂಬ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನವು ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲಿಯಾಪುನೋವ್-ಕ್ರಾಸೊವ್ಸ್ಕಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. 1ನೇ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು ದುರ್ಬಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲಾಸಲ್ಲೆಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಯ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಒಮ್ಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ (ಬಲವಾದ ಒಮ್ಮುಖ)-ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮಾನದಂಡ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಬಿಂದುವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖ-ಒಮ್ಮುಖವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ,. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಅಂಕಕ್ಕೂ ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖ-ಬಿಂದುವಾರು ಒಮ್ಮುಖದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು (ತೆರೆದ) ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು. ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಅಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಂತಹ ಸ್ಥಿರ ಒಮ್ಮುಖ ದರವಿದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸರಳ ಅಂಶಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ. (ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣವು ಈವೆಂಟ್ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಮೌಲ್ಯದ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಮೌಲ್ಯದ ಸ್ಥಳವು ಡೈಸ್ನ ಸುರುಳಿಯಂತೆ ಇರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.) ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಒಮ್ಮುಖಗಳಿವೆ. ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮಿತಿಯವರೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾದ ಒಮ್ಮುಖ-ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮಿತಿಯವರೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖ, ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅಳತೆ 0 ರೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಸರಾಸರಿ ಒಮ್ಮುಖವು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಪುರಾವೆ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಈ ಲೇಖನದ ಪ್ರಸ್ತುತ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ. ಎಲ್2 ಕಾರ್ಯಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಡೊಮಿನೇಟೆಡ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಕಾರ್ಲ್ಸನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಡೂಬ್ನ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮೊನೊಟೋನ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನಲಾಗ್ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಒಮ್ಮುಖದ ಮೂಲ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ತನ್ನದೇ ಆದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಾಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಲ್ಲದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ