Category of compactly generated weak Hausdorff spaces
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ದುರ್ಬಲ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗವಾದ ಸಿಜಿಡಬ್ಲ್ಯುಎಚ್ ಅನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡನೆಯದು ಒಬ್ಬರು ಬಯಸುವ ಕೆಲವು ಆಹ್ಲಾದಕರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲು ನಕ್ಷೆಗಳ ಅಗತ್ಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬೇಸ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಅಂತಹ ಒಂದು ವರ್ಗವೂ ಇದೆ. ಸಾಂದ್ರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲವಾದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಆಯಾ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಹಿಂದಿನ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಪ್ರೇರಣೆಗಾಗಿ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ಲಿ ಜನರೇಟೆಡ್ space#Motivation ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ಲೇಖನವು ವರ್ಗದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಿಜಿಡಬ್ಲ್ಯುಎಚ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಮರೆಯಲಾಗದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಸಣ್ಣ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. X, Y ಸ್ಥಳಗಳ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಗಳಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ಹೋಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ; ಇದನ್ನು X ನಿಂದ Y ಗೆ (ಮುಕ್ತ) ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, X, Y, Z ನಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವರ್ಗವು ಶ್ರೀಮಂತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದರೆ ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಂಕೀರ್ಣ. X, Yಗಳು ಬೇಸ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಸ್ಮ್ಯಾಶ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. X ನಿಂದ Y ವರೆಗಿನ (ಆಧಾರಿತ) ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸ್ಥಳವು X ನಿಂದ Y ವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬೇಸ್-ಪಾಯಿಂಟ್-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಆಧಾರರಹಿತ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸ್ಥಳದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿರ ನಕ್ಷೆಯ ಮೂಲ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಆಧಾರಿತ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್ಡ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಾದ X, Y, Z ಗೆ, X, Y, Z ನಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾದ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಸಿಜಿಡಬ್ಲ್ಯುಎಚ್ ವರ್ಗ, ಡೊಂಗ್ರಿಯುಲ್ ಕಿಮ್ 2017 ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ವರ್ಗಗಳು ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ