Earth–Moon problem
ಅರ್ಥ್-ಮೂನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಯ ಬಣ್ಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ (ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಇದನ್ನು 1959 ರಲ್ಲಿ ಗೆರ್ಹಾರ್ಡ್ ರಿಂಗೆಲ್ ಅವರು ಮಂಡಿಸಿದರು. ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಬೈಪ್ಲಾನಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಕ್ರೋಮಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕನಿಷ್ಠ 9 ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ 12 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಸೂತ್ರೀಕರಣ ನಕ್ಷೆಯ ಬಣ್ಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಅಥವಾ ಭೂಮಿಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ದೇಶಗಳಂತಹ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಜಾಗವನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬೇಕು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉದ್ದದ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಅವು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಎರಡು ನೆರೆಯ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಬಣ್ಣದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕು ಬಣ್ಣದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಎಷ್ಟು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಗರಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಹಾಗೆ ಮಾಡಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಬದಲಿಗೆ, ಭೂಮಿ-ಚಂದ್ರನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ದೇಶವೂ ಚಂದ್ರನ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಅನುಗುಣವಾದ ವಸಾಹತನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅದಕ್ಕೆ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಈ ವಸಾಹತುಗಳು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲಿನ ಗಡಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾದ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಎರಡು ದೇಶಗಳು ಭೂಮಿಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಚಂದ್ರನ ಮೇಲೆ ಗಡಿಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಂಡಾಗ ಅವುಗಳಿಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ, ಪ್ರತಿ ದೇಶ ಮತ್ತು ಅದರ ವಸಾಹತುಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೇಶಗಳು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ರಿಂಗೆಲ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕೇಳುತ್ತದೆಃ ದೇಶಗಳ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆಯಾದರೂ, ಎಲ್ಲಾ ದೇಶಗಳು ಬಣ್ಣಗಳಾಗಿರಬಹುದೆಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ? ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಒಂದು ದೇಶ ಮತ್ತು ಅದರ ವಸಾಹತುಗಳ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಗೆ ಒಂದೇ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ದೇಶಗಳು ಅಥವಾ ವಸಾಹತುಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರತಿ ಸಾಮೀಪ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಂಚಿನೊಂದಿಗೆ, ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಈ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಬೈಪ್ಲಾನಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಎರಡು ದಪ್ಪದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆಃ ಅವುಗಳ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು (ಭೂಮಿಯ ಸಾಮೀಪ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಚಂದ್ರನ ಸಾಮೀಪ್ಯಗಳು) ಅಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ಉಪಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಎರಡೂ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ರಿಂಗೆಲ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ವರ್ಣದ ದ್ವಿಫಲಕ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ದ್ವಿ ಸಮತಲ ನಕ್ಷೆಯು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಕ್ಷೆಯು ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ), ಇದರಿಂದ ಅದು ಕೇವಲ 11 ನೆರೆಯವರೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಶೃಂಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು, ಉಳಿದ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಬಣ್ಣ ನೀಡುವುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಳಕೆಯಾಗದ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಗರಿಷ್ಠ 12 ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಗ್ರಾಫ್ನ ಅವನತಿ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ದುರಾಸೆಯ ಬಣ್ಣವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೈಪ್ಲಾನಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ 12 ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. 9 ಬಣ್ಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಬೈಪ್ಲಾನಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು 6-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು 5-ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಈ ಎರಡು ಉಪ ನಕ್ಷೆಗಳು ಒಂದು ಉಪ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು 11 ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಪ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ 6 ಬಣ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಸೈಕಲ್ ಉಪ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ 3 ಬಣ್ಣಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ 9 ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. 1974ರಲ್ಲಿ ಥಾಮ್ ಸುಲಾಂಕೆಯವರ ಈ ನಿರ್ಮಾಣವು, 8 ಬಣ್ಣಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬ ರಿಂಗೆಲ್ನ ಊಹೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸಿತು. ತರುವಾಯ, ಬೈಪ್ಲಾನರ್ 9-ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ (ಒಂಬತ್ತು ಬಣ್ಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು) ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಗತಿಯ ಕೊರತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, 2018 ರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆನ್ ಗೆತ್ನರ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಣ್ಣಗಳು 11 ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸೈಕಲ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಬಲವಾದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಪಡೆದ ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಗ್ರಾಫ್ ಸೇರಿದಂತೆ 10-ವರ್ಣದ ಬೈಪ್ಲಾನಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಅವರು ಹಲವಾರು ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ 10 ಬಣ್ಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆಯೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಕಡಿಮೆ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಬಣ್ಣದ ವರ್ಗವಾಗಲು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವು ದ್ವಿ ಸಮತಲ ನಕ್ಷೆಯು ಹೊಂದಬಹುದಾದ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬೈಪ್ಲಾನಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು (ಅಥವಾ ಭೂಮಿ-ಚಂದ್ರನ ನಕ್ಷೆಗಳು) ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಬೈಪ್ಲಾನಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಬಣ್ಣಗಳ ಒಂದು ಅನ್ವಯವು ಶಾರ್ಟ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಮುದ್ರಿತ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ ಬೋರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಕಗಳೊಳಗಿನ ವಿದ್ಯುತ್ ವಾಹಕಗಳು ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಸಮೀಪಗಳು ಬೈಪ್ಲಾನಾರ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಬಣ್ಣ ಹಾಕಿದ ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ರಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಬಣ್ಣಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಕ್ಕದ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಶಾರ್ಟ್ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗಳನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು. ಸ್ವಲ್ಪ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಸರ್ಕ್ಯೂಟ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗ್ರಹಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆವೃತ್ತಿಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದಾದ ದೇಶಗಳು ಸೇರಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ದಪ್ಪದ ನಕ್ಷೆಗಳು (ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗ್ರಹಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ), ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ (ಇನ್ನೂ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೂ) ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ, ಕ್ರೋಮಾಟಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಭೂಮಿ-ಚಂದ್ರನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಅದೇ ಅವನತಿ ವಾದದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಬಣ್ಣಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳೊಳಗೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಬಣ್ಣ