Bishop's graph
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬಿಷಪ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಚದುರಂಗ ಫಲಕದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಷಪ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಕಾನೂನುಬದ್ಧ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವು ಚದುರಂಗ ಫಲಕದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಬಿಷಪ್ನ ಕಾನೂನುಬದ್ಧ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳು (ಚೌಕಗಳು) ಸಾಮಾನ್ಯ ಕರ್ಣವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಿದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಅಂಚು ಇರುತ್ತದೆ. ಚದುರಂಗ ಫಲಕವು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಪ್ರೇರಿತ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಬಿಷಪ್ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಚದುರಂಗ ಫಲಕವು ಎರಡು ಬಣ್ಣಗಳ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು, ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಅಥವಾ ಲಂಬವಾಗಿ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಚೌಕಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಬಿಷಪ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಎರಡು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಶೃಂಗದ ಸೆಟ್ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ಚೌಕಗಳಾಗಿವೆ. ಕಾರಣವೇನೆಂದರೆ, ಬಿಷಪ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ಚಲನೆಗಳು ಅದನ್ನು ಬಣ್ಣಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚಲನೆಗಳಿಂದ ಬಿಷಪ್ ಯಾವುದೇ ಚೌಕದಿಂದ ಅದೇ ಬಣ್ಣದ ಯಾವುದೇ ಬಣ್ಣಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು. ಫಲಕವು ಸಮ ಉದ್ದದ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಘಟಕಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಲ್ಲ. ಮೂಲ ಫಲಕವು ಚೌಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಉದ್ದದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಬಿಷಪ್ನ ಗ್ರಾಫ್ನ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ವಜ್ರದ ಮೇಲೆ ರೂಕ್ನ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಕೆಂಪು ಚೌಕಗಳನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) 45 ಡಿಗ್ರಿ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ಬಿಷಪ್ನ ಚಲನೆಗಳು ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗುತ್ತವೆ. ಬಿಷಪ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಆ ಚೌಕವನ್ನು ತಲುಪಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಬಿಷಪ್ ದಾಳಿ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಚೌಕವು ಆ ಬಿಷಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಿಂದ ದಾಳಿಗೊಳಗಾಗುವ ಅಥವಾ ಆಕ್ರಮಿಸಲ್ಪಡುವಂತಹ ಬಿಷಪ್ಗಳ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಷಪ್ ಬೇರೆ ಯಾರ ಮೇಲೂ ದಾಳಿ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಬೋರ್ಡ್ ಆಫ್ ಸೈಡ್ ಎನ್ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಷಪ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಎನ್, ಮತ್ತು ಇದು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸಬಲ್ಲ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಷಪ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸೆಟ್, ಇದು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಬಿಷಪ್ಗಳು ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿರುವವರು ಸೇರಿದಂತೆ ಪ್ರತಿ ಚೌಕವು ಬಿಷಪ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಿಂದ ದಾಳಿಗೊಳಗಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಷಪ್ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ; ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಬೋರ್ಡ್ ಆಫ್ ಸೈಡ್ n ≤ 3 ನಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸೆಟ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಗಾತ್ರವು ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸೆಟ್ಗಿಂತ ಸುಮಾರು 1/3 ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತದ ಚೆಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಚೆಸ್-ಸಂಬಂಧಿತ ಪಟ್ಟಿಗಳು