Papoulis-Marks-Cheung Approach
ಪಾಪೌಲಿಸ್-ಮಾರ್ಕ್ಸ್-ಚೆಯುಂಗ್ ವಿಧಾನವು ಬಹುಆಯಾಮದ ಶಾನನ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಬ್ಯಾಂಡ್-ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಬೆಂಬಲಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಥಾನಾಸಿಯೋಸ್ ಪಾಪೌಲಿಸ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಹುಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತಾ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ರಾಬರ್ಟ್ ಜೆ. ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಮಾರ್ಕ್ಸ್ II ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಗ್ ಫೈ ಚೆಯುಂಗ್. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು "ಸೊಗಸಾದ", "ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ" ಮುಚ್ಚಿದ "ಮತ್ತು" ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ "ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ, ಅಥವಾ ಆವರ್ತನ ವರ್ಣಪಟಲವು, ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆವರ್ತನಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವ ಉದ್ದಗಳು, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆವರ್ತನವು ಪ್ರತಿ ಏಕಮಾನದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಚಕ್ರಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಿಲೀ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಹಾಫ್ ಪಾಪೌಲಿಸ್-ಮಾರ್ಕ್ಸ್-ಚೆಯುಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ತಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುವಲ್ಲಿ, ಮಾರ್ಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಚೆಯುಂಗ್ ಅವರು ಪಾಪೌಲಿಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾದರಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದರು. ವಿವರಣೆ ಪಾಪೌಲಿಸ್-ಮಾರ್ಕ್ಸ್-ಚೆಯುಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯ ಮೂಲಕ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 1 ರಿಂದ ಬಲ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಅರ್ಧ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಂಕೇತದ ವರ್ಣಪಟಲವು, ಅರ್ಧ ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ, ವರ್ಣಪಟಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಅರ್ಧ-ವೃತ್ತವು, ಏಕಮಾನ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ, (ಪ್ರತಿ ಏಕಮಾನದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಚಕ್ರಗಳು) ಚದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಪೌಲಿಸ್-ಮಾರ್ಕ್ಸ್-ಚೆಯುಂಗ್ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಚಿತ್ರದ ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪಾಪೌಲಿಸ್-ಮಾರ್ಕ್ಸ್-ಚೆಯುಂಗ್ ವಿಧಾನವು ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 1 ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅರ್ಧ ವೃತ್ತದ ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ರತಿಕೃತಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಚಿತ್ರ 2 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಿದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಬಹುಆಯಾಮದ ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಂಕೇತದ ಮಾದರಿಯು ಫೋರಿಯರ್ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿಕೃತಿಗಳು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣದ ಪ್ರಯತ್ನವು ಇಮೇಜ್ ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ವರ್ಣಪಟಲದ ಪ್ರತಿಕೃತಿಯ ಆಯತಾಕಾರದ ಜಾಲರಿ ಕೋಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಆಯತದ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು (ಪ್ರತಿ ಏಕಮಾನದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಚಕ್ರಗಳು) ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 2ರಿಂದ ದೃಢೀಕರಿಸಿದಂತೆ, ವರ್ಣಪಟಲದ ಪ್ರತಿಕೃತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ. ಪಾಪೌಲಿಸ್-ಮಾರ್ಕ್ಸ್-ಚೆಯುಂಗ್ ವಿಧಾನವು ಈ ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಅರ್ಧ ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಕಡಿತವು ಹೇಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು, ಆಯತಾಕಾರದ ಜಾಲರಿ ಕೋಶವನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿರುವ ಚಿತ್ರ 3ನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಎರಡು ಚೌಕಗಳು ವರ್ಣಪಟಲದ ಪ್ರತಿಕೃತಿಯು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಚೌಕಗಳು ತಿಳಿ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ಛಾಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚೌಕಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೇತಗಳ ವರ್ಣಪಟಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ತಿಳಿ ಹಸಿರು ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಕೇತಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮಾದರಿಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಹಸಿರು ಚೌಕಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ. ಈ ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ (ಅವೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ), ಒಟ್ಟಾರೆ ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಡಿತವನ್ನು ಚಿತ್ರ 4ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದೇ ಕೋಶವನ್ನು ಮಬ್ಬಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಡಿತವನ್ನು ಚಿತ್ರ 4ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದೇ ಕೋಶವನ್ನು ಮಬ್ಬಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜೀವಕೋಶದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯು, ಚಿತ್ರ 3ರಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಹಸಿರು ಚೌಕಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಿಂದಲೂ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರ 3ರಲ್ಲಿರುವ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಮುಚ್ಚಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಮಾದರಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ವರ್ಣಪಟಲದ ಬೆಂಬಲಕ್ಕೆ ಅಂದರೆ ವರ್ಣಪಟಲವು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪಾಪೌಲಿಸ್-ಮಾರ್ಕ್ಸ್-ಚೆಯುಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿಕೃತಿ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಆಯತಾಕಾರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಮತ್ತು ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಗಳಂತಹ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮತಲವನ್ನು ಟೈಲ್ ಮಾಡುವ ಯಾವುದೇ ಆಕಾರವಾಗಿರಬಹುದು. ಪಾಪೌಲಿಸ್-ಮಾರ್ಕ್ಸ್-ಚೆಯುಂಗ್ ವಿಧಾನದ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯು ಮಾರ್ಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಚೆಯುಂಗ್ ಅವರ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು