The Erdős Distance Problem
ಎರ್ಡೋಸ್ ದೂರ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಎರ್ಡೋಸ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ದೂರಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧವಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಸ್ಥಳವು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತವೆ? ಇದನ್ನು ಜೂಲಿಯಾ ಗರಿಬಾಲ್ಡಿ, ಅಲೆಕ್ಸ್ ಐಯೋಸೆವಿಚ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೀವನ್ ಸೆಂಗರ್ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 2011 ರಲ್ಲಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯಿಂದ ಸ್ಟೂಡೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲೈಬ್ರರಿಯ 56 ನೇ ಸಂಪುಟವಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ಆಫ್ ಅಮೆರಿಕಾದ ಬೇಸಿಕ್ ಲೈಬ್ರರಿ ಲಿಸ್ಟ್ ಸಮಿತಿಯು ಇದನ್ನು ಪದವಿಪೂರ್ವ ಗಣಿತ ಗ್ರಂಥಾಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲು ಸೂಚಿಸಿದೆ. ವಿಷಯಗಳು ಎರ್ಡೋಸ್ ದೂರದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹನ್ನೆರಡು ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಅನುಬಂಧಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ದೂರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಕನಿಷ್ಠ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪೌಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ಎರ್ಡೋಸ್ ಅವರ ಪುರಾವೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಅಧ್ಯಾಯದ ನಂತರ, ಮುಂದಿನ ಆರು ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸತತ ಸುಧಾರಣೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅವರು ಪರಸ್ಪರ ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು 7ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆ, ದಾಟುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸಮಾನತೆ, ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಘಟನೆಗಳ ಕುರಿತಾದ ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ-ಟ್ರಾಟರ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಇತರ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ. ನಂತರದ ಅಧ್ಯಾಯಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತವೆಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳು, ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇತರ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ವಿಭಿನ್ನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬರುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಸದೃಶ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಪ್ರೇಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಸ್ವಾಗತ ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸ್ವಾವಲಂಬಿಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಇದು ಮುಂದುವರಿದ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ಮಟ್ಟದ ಗಣಿತದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ವಿಶೇಷ ಕೋರ್ಸ್ಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವಾಗಿ ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಮರ್ಶಕ ಮೈಕೆಲ್ ವೈಸ್ ಈ ಪುಸ್ತಕವು "ಗಣಿತದ ಅನುಭವದ ವಿವಿಧ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಓದುಗರನ್ನು" ತಲುಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದರ ಲೇಖಕರು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಆ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಅದರ ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಲಭ್ಯತೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ಗಣಿತದ ದೋಷಗಳ ಬಗ್ಗೆಯೂ ವೈಸ್ ದೂರು ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಅವು ಅದರ ಒಟ್ಟಾರೆ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಅಡ್ಡಿಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಆವೃತ್ತಿಯ ಪುಸ್ತಕದ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಷಯವು ಅದರ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ನಂತರ ಲ್ಯಾರಿ ಗುತ್ ಮತ್ತು ನೆಟ್ಸ್ ಕಾಟ್ಜ್ ಅವರ ಹೊಸ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಅವರು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದೂರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಮರ್ಶಕ ವಿಲಿಯಂ ಗ್ಯಾಸಾರ್ಚ್ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಓದುಗರಿಗೆ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿಸಬೇಕು, ಕಡಿಮೆ ಅಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಗುತ್ ಮತ್ತು ಕಾಟ್ಜ್ ತಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಜಯಿಸಬೇಕಾದ ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪುಸ್ತಕವು ವಿವರಿಸುವ ತಂತ್ರಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕಗಳು 2011 ಕಾಲ್ಪನಿಕವಲ್ಲದ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ