Ddbar lemma
ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಲೆಮ್ಮಾ (ಡಿಡಿಬಾರ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂದು ಉಚ್ಚರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಂಬುದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಗಣಿತದ ಲೆಮ್ಮೆಯಾಗಿದೆ. - ಲೆಮ್ಮಾವು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತುಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು-ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ಆಪರೇಟರ್ನ ಬಳಕೆಯಿಂದಾಗಿ, ಎರಡು ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಹೀಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಡಿ ರ್ಯಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಬೈಡ್ಗ್ರೀ (ಪಿ, ಕ್ಯೂ) (ವಿತ್) ನ ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬೈಡ್ಗ್ರೀ (ಪಿ-1, ಕ್ಯೂ-1) ನ ಒಂದು ರೂಪವಿದೆ ಎಂದು ಲೆಮ್ಮಾ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ. ಡಿಡಿಬಾರ್ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಈ ರೂಪವನ್ನು-ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಶದ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಅದು ನಿಜವಾದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ನೈಜ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಹಾಗೆಯೇ. ಈ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ನಿಖರವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡಿ ರ್ಯಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕೆ-ಫಾರ್ಮ್ (ಯಾವುದೇ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ) ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ-ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ (ಅಥವಾ ಕೇವಲ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೆಲವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ (ಕೆ-1)-ಫಾರ್ಮ್ಗೆ, ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಲ್ಲಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲು ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವರ್ಗವನ್ನು ನೀಡಲು ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುವುದರಿಂದ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ-ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು-ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ಗೆ ಪರಿಷ್ಕರಿಸುವುದರಿಂದ-ಲೆಮ್ಮಾ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ-ಲೆಮ್ಮಾವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಾಡ್ಜ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಯಾವುದೇ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅವರ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ನೀಡಿದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಹಾಡ್ಜ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಈ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂರು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಿಭಜನೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಜನೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯೆಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಿಭಜನೆಗಳ ಲ್ಯಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ನರು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಡುವೆ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ, ಇದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು-ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆ. ಮೇಲಿನ ವಿಭಜನೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಪುರಾವೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ (p, q)-ರೂಪವಾಗಿರಲಿ. ಇದು (ಡಿ) ಎಂದರೆ (ಎ), (ಬಿ), ಮತ್ತು (ಸಿ) ಎಂದು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೇಲಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಿಭಜನೆಗಳು (ಎ), (ಬಿ), ಅಥವಾ (ಸಿ) ಯಾವುದಾದರೂ (ಇ) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, (ಇ) ಎಂದರೆ (ಡಿ) ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯ ತೊಂದರೆಯಾಗಿದೆ. ಆ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಅದು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ. ಏಕೆಂದರೆ-ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಇದು-ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ). ಈ ಮೊತ್ತವು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಬಂದಿದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಮತ್ತು. ಹೀಗಾಗಿ ಈ ರೀತಿ ಆಗಿದೆ. ಇದು ನಮಗೆ ಕೆಲವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಹಾಡ್ಜ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು, ಎಲ್ಲಿ-ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್, ಮತ್ತು. ಸಮಾನತೆಯು ಸಹ-ಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ. ಹೀಗಾಗಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು-ಮುಚ್ಚಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು-ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ನಂತರ ಮೇಲಿನ ರೀತಿಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಕೆಹ್ಲರ್ ಗುರುತನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್-ಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯು-ಲೆಮ್ಮಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಹಾಡ್ಜ್ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಮನವಿ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಅಥವಾ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ-ಲೆಮ್ಮಾವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಲೆಮ್ಮಾಗಳು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪುರಾವೆಯು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಲೆಮ್ಮಾಗಳಿಂದ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕೆಲವರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದಾದರೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಮತ್ತು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ,-ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಒಂದು ರೂಪವಿದೆ. ಈಗ ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ರೂಪಗಳ ದ್ವಿಗುಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದು ಅದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಗಾತ್ರವು ಬಹುಶಃ ಕುಗ್ಗಿದ ನಂತರ, ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಮತ್ತು (ಎರಡನೆಯದು ಏಕೆಂದರೆ) ಸ್ಥಳೀಯ ರೂಪಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಇದು ಎಲ್ಲಿ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಬಾಟ್-ಚೆರ್ನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಎಂಬುದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು-ಲೆಮ್ಮಾ ಎಷ್ಟು ಮಟ್ಟಿಗೆ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಒಂದು ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಬಾಟಲ್-ಚೆರ್ನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯು ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಬಾಟ್-ಚೆರ್ನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಎರಡೂ ಮತ್ತು-ಮುಚ್ಚಿದ-ಮುಚ್ಚಿದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಿಂದ, ಬಾಟ್-ಚೆರ್ನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆ ಇದೆ. ಮತ್ತು ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆಗಳಿವೆ. ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್-ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಾಟ್-ಚೆರ್ನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಿಂದ ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಮೇಲಿನ ನಕ್ಷೆಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಬಾಟ್-ಚೆರ್ನ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಿಂದ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ನಕ್ಷೆಯು ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ,-ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ನಕ್ಷೆಗಳ ಕರ್ನಲ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲು ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಬೈಡ್ಗ್ರೀನ್ (1,1) ನ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವು ಬೈಡ್ಗ್ರೀನ್ (1,1) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ-ಲೆಮ್ಮಾದ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಪರಿಣಾಮವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿಖರವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವು ಒಂದು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾದ-ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಲೆಮ್ಮಾ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಕೆಹ್ಲರ್ ರೂಪವು ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸಣ್ಣ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ (ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಲೆಮ್ಮಾದ ಸ್ಥಳೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ), ಅಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಪಾಯಿನ್ಕೆರೆ ಲೆಮ್ಮಾ ಇದು ನಿಖರವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವಾದ ಕೆಹ್ಲರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಹ್ಲರ್ ರೂಪವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಒಂದೇ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಕೆಹ್ಲರ್ ರೂಪಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡಿ ರಾಮ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ-ಲೆಮ್ಮಾ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಪ್ಲುರಿಸುಫಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಹ್ಲರ್ ರೂಪಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ಲುರಿಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅನೇಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಾಧನಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು-ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಹ್ಲರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಮಾಂಗೆ-ಆಂಪಿಯರ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಡಿಬಾರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಕೆಹ್ಲರ್ ಅಲ್ಲ ಆದರೆ ಇನ್ನೂ-ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫುಜಿಕಿ ವರ್ಗ ಸಿ ಆಗಿರುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು-ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಅವು ಕಹ್ಲರ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಪೊಯಿನ್ಕೇರ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಡಾಲ್ಬೆಲ್ಟ್-ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.