Harmonic tensors
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಹುಪದಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅವುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಕ್ಷಣಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ಚಾರ್ಜ್ಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ (ಅಥವಾ ಇತರ ಪ್ರಮಾಣ). ಆಕ್ಟುಪೋಲ್ ಕ್ಷಣವನ್ನು ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಯಮದಂತೆ, ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚದುರುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಘನ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅವು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಹಲವಾರು ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಬಹುಪದೀಯ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಇಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ನಿಯಮಗಳು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೇಗಾದರೂ, ನಾವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣಃ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಕುರುಹು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿಸುವುದು ಮತ್ತು 'ಅಪವರ್ತನೀಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು' ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೆಲವು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಟೆನ್ಸರ್ನ ನಾಲ್ಕು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಳಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಎ. ಟೆನ್ಸರ್ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆಃ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಶ್ರೇಣಿ; ಬಿ. ಟೆನ್ಸರ್ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ; ಸಿ. ಟೆನ್ಸರ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆಃ ಡಿ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಟ್ರೇಸ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ, ಅಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಮೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ ಉಳಿದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ನ ಘಟಕಗಳು ಘನ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಅಂಶದಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯ ವಾಹಕದ ('ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ ಧ್ರುವಗಳು') ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಚಾರ್ಜ್ನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗೆ, ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವಿದೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯ ವಾಹಕದ th ಟೆನ್ಸರ್ ಶಕ್ತಿಗೆ, ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ಗೆ,. ಟೆನ್ಸರ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ಏಕರೂಪದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಕೋಚನವು (ಎರಡು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳು ಆಪರೇಟರ್ ಆದಾಗ) ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸಿದರೆ, ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಏಕರೂಪತೆಯ ಮಟ್ಟದೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಿದ್ಯುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿ-ನಿಯಮ ಸಮಾನ ಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಕೋಚನದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ಷಣಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರಲಿ. ಬಹುಧ್ರುವೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ (ಅಥವಾ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ) ಪವರ್-ಲಾ ಮೊಮೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1. ಕ್ವಾಡ್ರುಪೋಲ್ ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಬದಲಿಗೆ, ಒಬ್ಬರು 'ಸಣ್ಣ' ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಕ್ಷಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಟೆನ್ಸರ್ಗಾಗಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಬಳಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಶೇಷ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಪದವು, ಒಂದು ಬಿಂದು ಚಾರ್ಜ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣುವಂತೆ, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪದೇ ಪದೇ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ನ ಸಮ ಶಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ಈ ರೂಪವು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 2,. ಕೊನೆಯ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಸಮ್ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಭೇದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಮೊತ್ತದ ಸಹಾಯದಿಂದ ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತುಃ ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಶಕ್ತಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು [.] ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಎರಡು ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ಘನ ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಎರಡು ಏಕ ವಾಹಕಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆಃ-ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ವಾಹಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ. ಅವುಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಕೋಚನವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂಕೋಚನಗಳು ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಮೂಲವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೂಲವು ಬಹುಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಟಾರ್ಕ್ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ತೊಡಕಿನದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವಾಗ, ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಸಂಕೋಚನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಜಾಡಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಕಡಿತ ಸೂತ್ರವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆ [m] ಎಲ್ಲಾ ಎಡ (l-2) ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾದೊಂದಿಗೆ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಸೂತ್ರವು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಜಾಡಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಎರಡರಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಟ್ರೇಸ್ ಕೆ ಸಮಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ 4ಡಿ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ 4ಡಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ತನ್ನದೇ ಆದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 4ಡಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಚಾರ್ಜ್ನ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪವರ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಾಯಿಂಟ್-ಚಾರ್ಜ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಮಲ್ಟಿಪೋಲ್ 4D ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆಃ ನ್ಯೂಮಿನೇಟರ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ 3ಡಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುವ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ಸಂಕೋಚನವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬೇಕು. ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು 4-ಡಿ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳನ್ನು, ಇಲ್ಲಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, "ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಪದವು, ನೋಡುವಂತೆ, 3ಡಿ ಟೆನ್ಸರ್ಗಾಗಿ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನವು, ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ,. ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳು 3ಡಿ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಿಗಿಂತ ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿವೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಭಜನೆ ಸಂಕೋಚನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಕೊಳೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮೂರನೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಳ್ಳೆಯದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, l = 6ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯವರೆಗಿನ ಟೆನ್ಸರ್ ಶಕ್ತಿಯ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ,,,,,,,:. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಜಾಡಿನ. ಆಗಿನ ಸೂತ್ರವು ಫಾರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜಾಡಿನ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಮ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಗಳ ಕೊನೆಯ ಪದವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಕೋಚನವು ಸಹ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ರಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವಾಗ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. 4ಡಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಭಜನೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಟೆನ್ಸರ್ ಶಕ್ತಿಗಳ ವಿಭಜನೆಯು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ,,,,,,,:. ನಿಗ್ರಹಿಸಿದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯು, ಆಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಕೋಚನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗಳ ವಿಭಜನೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಲ್ಲ. ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಂದ್ರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಅವು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಆಧಾರವಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ನಿರ್ವಾಹಕರು, ಮನಿ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲಕದ 'ಸೃಷ್ಟಿ' ಮತ್ತು 'ವಿನಾಶ' ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಎಫಿಮೋವ್ನ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಪಾಯಿಂಟ್-ಚಾರ್ಜ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನೇರವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಏಕರೂಪತೆಯ ಮಟ್ಟದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ,. ಏಕತೆಗೆ ಒಂದು-ಮಡಿಕೆ ಅನ್ವಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಈ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸಂಬಂಧವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ವಾಹಕದ ಕೆಲವು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಾಹಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಹಕದೊಂದಿಗೆ ಟೆನ್ಸರ್ನ ಸಂಕೋಚನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ. ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿನ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಏಕತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಟೆನ್ಸರ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ಒಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಸೂತ್ರವೆಂದರೆ, ಎಲ್ಲಿಂದ (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ). ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ 4ಡಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ರೈಸಿಂಗ್ ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಸೂತ್ರವೆಂದರೆ 4ಡಿ ವೆಕ್ಟರ್,,, ಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಅದರ ಮಟ್ಟದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತದೆ. ಭೌತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆಃ ವಿಶೇಷವಾಗಿ,. ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು 3D ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿದೆಃ ಮತ್ತು ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಈಗ ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು 4D ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಪರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಅವು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ರಾಂಜ್-ಲೆನ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಸರಳ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ 3D-ಘಟಕಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ರೈಸಿಂಗ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ನಾಲ್ಕನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ, ಸೂತ್ರಗಳು,. ಟೆನ್ಸರ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ರಾಂಜ್-ಲೆನ್ಜ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಂಗ್ಯುಲರ್ ಮೊಮೆಂಟಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಲ್ಯಾಡರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮಲ್ಟಿಪೋಲಾರ್ ಎಕ್ಸ್ಚೇಂಜ್ ಇಂಟರಾಕ್ಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ರೊಟೇಷನಲ್ ಸಿಮೆಟ್ರಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ