Dense submodule
ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಘಟಕವು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಉಪಘಟಕದ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯಾಗಿದೆ. N ಎಂಬುದು Mನ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ "N′M ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಘಟಕಗಳು ನಾನ್ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ವೋಶಿಯೆಂಟ್ಗಳ ಉಂಗುರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮೊದಲು, ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗದ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಘಟಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಘಟಕವು ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೊಂದಿರುವ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಗಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಈ ಲೇಖನವು ಮತ್ತು ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತದೆ. R ಒಂದು ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು M ಒಂದು ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ N ನೊಂದಿಗೆ ರೈಟ್ R ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿರಲಿ. M ನ ಒಂದು ಅಂಶಕ್ಕೆ y ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, y−1 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಕೇವಲ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್-ಎಲಿಮೆಂಟ್ y ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದೆಂದು ಹೇಳುವುದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಂಕೇತವು y−1N ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ y−1N ಯಾವಾಗಲೂ R ನ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. M ನ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ N ಅನ್ನು ದಟ್ಟವಾದ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಘಟಕವು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ. M ಒಂದು ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, M ನಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ N ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಅಗತ್ಯವಾದ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ದಟ್ಟವಾದ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ರಿಂಗ್ ರೈಟ್ ನಾನ್ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. N ಮತ್ತು N 'ಗಳು M ನ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಘಟಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ರೀತಿ N θ N' ಆಗಿರುತ್ತದೆ. N ದಟ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು N ಕೆ ಎಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, K ಕೂಡ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. B ಯು R ನಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, R ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ y ಗೆ y − 1B ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. R ನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ x ಒಂದು ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಜಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, xR ಯು R ನ ದಟ್ಟವಾದ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. I ಯು R ನ ದ್ವಿಮುಖ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, I ನ ಎಡ ಸರ್ವನಾಶಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ I ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ, ದಟ್ಟವಾದ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿಷ್ಠಾವಂತ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಬಲ ಆರ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಗರಿಷ್ಠ ಅಗತ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾದ ಇ (ಎಂ) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹಲ್ ಆಗಿದೆ. ಗರಿಷ್ಠ ದಟ್ಟವಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಾದೃಶ್ಯದ ನಿರ್ಮಾಣವು ಇ (ಎಂ) ನ ಉಪಘಟಕವಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಹಲ್ (ಎಂ) ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸರಿಯಾದ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದಾಗ, ಆದ್ದರಿಂದ ′ (M) = M, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ ಸರಿಯಾಗಿಯೇ ನಾನ್ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಹಜವಾಗಿ ′ (ಎಂ) = ಇ (ಎಂ) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ಹೊದಿಕೆಯೊಳಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. S = ಎಂಡ್ಆರ್ (E (M)) ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹಲ್ನ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹಲ್ನ ಒಂದು ಅಂಶ x ಅನ್ನು S ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ನಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದು M ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಹಲ್ನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, M ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು M ನಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಕೆಲವು x ಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ S ನಲ್ಲಿನ ನಕ್ಷೆಗಳು ಇರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅಂತಹ x ತರ್ಕಬದ್ಧ ಹಲ್ನಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅನುಪಾತಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಬಲ ವರ್ತುಲವು ಅನುಪಾತಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಬಲ ವರ್ತುಲವನ್ನು ಆರ್ ನ ದಟ್ಟವಾದ ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ′ (ಆರ್) ಅನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ರಿಂಗ್ಗೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವರ್ತುಲದ ರಚನೆಯನ್ನು ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗೆ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ′ (ಆರ್) ಅನ್ನು ವರ್ತುಲ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅನುಪಾತಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಬಲ ವರ್ತುಲದೊಂದಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಅನುಪಾತಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಬಲ ವರ್ತುಲವನ್ನು ಆರ್ ನಿಂದ ಆರ್ ಗೆ ದಟ್ಟವಾದ ಬಲ ಆದರ್ಶಗಳಿಂದ ಏಕರೂಪತೆ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ಆರ್ ನ ದಟ್ಟವಾದ ಬಲ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ