Minimal coupling
ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಜೋಡಣೆಯು ಕೇವಲ ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಜ್ ವಿತರಣೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಹುಧ್ರುವ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕನಿಷ್ಠ ಜೋಡಣೆಯು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪಾಲಿ ಜೋಡಣೆಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ನೇರವಾಗಿ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನಲ್ಲಿ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನ್ನ ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಜೋಡಣೆಯು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕಣಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ಷಣಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಜೋಡಣೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಪೇಕ್ಷವಲ್ಲದ ಆವೇಶದ ಕಣ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷವಲ್ಲದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕಣದ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ (ಎಸ್. ಐ. ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ): ಕಣದ ವಿದ್ಯುತ್ ಚಾರ್ಜ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಮತ್ತು ಇವೆಲ್ಲವೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿಸಬಹುದಾದ ಆಯಸ್ಕಾಂತೀಯ ವಾಹಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್, ಯೂಲರ್-ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿ, ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬಲ ನಿಯಮವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಜೋಡಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ವಾಹಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸ್ವತಃ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ಸಮಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇನ್ನೂ ಅದೇ ಯೂಲರ್-ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮೊಮೆಂಟಾಗಳು ಗೇಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಅಳೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮೊಮೆಂಟಾಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೈನೆಟಿಕ್ ಮೊಮೆಂಟಾಗಳು ಗೇಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದಾದವು. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್, ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅಲ್ಲಿ f (r, t) ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್, ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಮೊಮೆಂಟಾ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಇನ್ನೂ ಅದೇ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವು ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ U (1) ಗುಂಪು ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಭೌತಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸ್ಥಳೀಯ U (1) ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವೇಶದ ಕಣ ಒಂದು ಕಣಕ್ಕೆ (ಉಳಿದ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಜ್) ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವೇಶದ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ ಕಣದ ಅಂಗೀಕೃತ ಆವೇಗವು ಅಂದರೆ, ಚಲನೆಯ ಆವೇಗ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಆವೇಗದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆಃ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ (ಚಲನಶೀಲ) ಆವೇಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಇದು ಚಲನಶೀಲ ಆವೇಗವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಳೆಯಬಹುದು ಆದರೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಆವೇಗವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ (ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿ) ಅನ್ನು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಶಕ್ತಿಯ (ಚಲನ ಶಕ್ತಿ + ವಿಶ್ರಾಂತಿ), ಜೊತೆಗೆ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹಣದುಬ್ಬರವು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಹಣದುಬ್ಬರದ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕನಿಷ್ಠ ಜೋಡಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಇನ್ಫ್ಲಾಟನ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಗೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿಲ್ಲ. ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಗೆ ಅದರ ಏಕೈಕ ಜೋಡಣೆಯು ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ (ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ) ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆಗೆ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಗೇಜ್ ಕೋವೆರಿಯಂಟ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್