Orthogonal polynomials
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದ ಅನುಕ್ರಮವು ಬಹುಪದಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದು, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಹುಪದಗಳು ಕೆಲವು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅತ್ಯಂತ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳೆಂದರೆ ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಲಾಗ್ಯುರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು. ಗೆಜೆನ್ಬೌರ್ ಬಹುಪದಗಳು ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ; ಅವು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರವು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪಿ. ಎಲ್. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಎ. ಮಾರ್ಕೋವ್ ಮತ್ತು ಟಿ. ಜೆ. ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್. ಅವು ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆಃ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಚತುರ್ಭುಜ ನಿಯಮಗಳು), ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವಸ್ತುಗಳ), ಸಂಖ್ಯಾ ಸಂಯೋಜನೆ, ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಯೋಜನೆ, ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ). ), ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಕೆಲವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಬೋರ್ ಸ್ಜೆಗೋ, ಸೆರ್ಗೆಯ್ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್, ನೌಮ್ ಅಖಿಯೆಜರ್, ಆರ್ಥರ್ ಎರ್ಡೆಲಿ, ಯಾಕೋವ್ ಜೆರೋನಿಮಸ್, ವೋಲ್ಫ್ಗ್ಯಾಂಗ್ ಹಾನ್, ಥಿಯೋಡೋರ್ ಸಿಯೋ ಚಿಹಾರಾ, ಮೌರಾದ್ ಇಸ್ಮಾಯಿಲ್, ವಲೀದ್ ಅಲ್-ಸಲಾಮ್, ರಿಚರ್ಡ್ ಅಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ರೆಹುವೆಲ್ ಲೋಬಟ್ಟೊ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ. ನೈಜ ಅಳತೆಗೆ 1-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕೇಸ್ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು f ಕಾರ್ಯದ ಲೆಬೆಸ್ಗು-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳು f ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು f ಮತ್ತು g ಬಹುಪದಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಮೇಲೆ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳು ಅವುಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು 1, x, x2, ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗ್ರಾಮ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಗಿರಬೇಕು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ನಿರಂತರ ಪ್ರಕರಣ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಾವು ನೈಜ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ (ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ). ಅಂತಹ ಎ ಅನ್ನು ತೂಕದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಳತೆಯು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನಂತೆ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ನೈಜ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಳತೆಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆಃ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು (ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು, ಲಗುರೆ ಬಹುಪದಗಳು, ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾದ ಗೆಜೆನ್ಬಾಯರ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳು). ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ವಿಲ್ಸನ್ ಬಹುಪದಿಗಳು. ಅವು ಅನೇಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೀಕ್ಸ್ನರ್-ಪೊಲಾಕ್ಜೆಕ್ ಬಹುಪದಿಗಳು, ನಿರಂತರ ಹಾನ್ ಬಹುಪದಿಗಳು, ನಿರಂತರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಹಾನ್ ಬಹುಪದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಕಿ ಯೋಜನೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬಹುಪದಿಗಳು. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಕೆಲವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅಳತೆಯು ಸೀಮಿತ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಿಂತ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರಾಕಾ ಬಹುಪದಿಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಹಾನ್ ಬಹುಪದಿಗಳು ಮತ್ತು ಡ್ಯುಯಲ್ ಹಾನ್ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ, ಇವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಮೀಕ್ಸ್ನರ್ ಬಹುಪದಿಗಳು, ಕ್ರಾಚೌಕ್ ಬಹುಪದಿಗಳು ಮತ್ತು ಚಾರ್ಲಿಯರ್ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಮೀಕ್ಸ್ನರ್ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಶೆಫರ್ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಹರ್ಮೈಟ್, ಲಗುರ್ರೆ, ಚಾರ್ಲಿಯರ್, ಮೀಕ್ಸ್ನರ್ ಮತ್ತು ಮೀಕ್ಸ್ನರ್-ಪೊಲಾಕ್ಜೆಕ್ ಮಾತ್ರ ಇವೆ. ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾವ್ಟ್ಚೌಕ್ ಕೂಡ ಈ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕು, ಆದರೆ ಅವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಆರು ಕುಟುಂಬಗಳು ಎನ್ಇಎಫ್-ಕ್ಯೂವಿಎಫ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಲೆವಿ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾರ್ಟಿಂಗಲ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಸೀವೆಡ್ ಅಲ್ಟ್ರಾಸ್ಪೆರಿಕಲ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಸೀವೆಡ್ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಸೀವೆಡ್ ಪೊಲಾಕ್ಜೆಕ್ ಬಹುಪದಗಳಂತಹ ಸೀವೆಡ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ (ನೈಜ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಏಕಕ ವೃತ್ತವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಇದು ರೋಜರ್ಸ್-ಸ್ಜೆಗೋ ಬಹುಪದಗಳಂತಹ ಏಕಕ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಅಥವಾ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಂತಹ ಸಮತಲ ಪ್ರದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಕೆಲವು ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಜಾಕೋಬಿ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಝರ್ನೈಕ್ ಬಹುಪದಗಳು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದಗಳ ವಿವಿಧ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ನಡುವಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಫ್ರೀಕ್ವೆನ್ಸಿ ಡಿವಿಷನ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೆಕ್ಸಿಂಗ್ (ಜಿ. ಎಫ್. ಡಿ. ಎಂ) ರಚನೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಯ-ಆವರ್ತನ ಜಾಲರಿಯ ಪ್ರತಿ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಯ್ಯಬಹುದು. ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಳತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಒಂದು ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳಾದ Pn ಅನ್ನು ಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು cn ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ (Pn ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ). ಇದು ಏಕನಾಮಗಳಿಗೆ ಗ್ರಾಮ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಬರುತ್ತದೆ, ಹಿಂದಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿ ಬಹುಪದವನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಹೇರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಹಿಂದೆ ನೀಡಲಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಧಾರಕದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಕಾಣಬಹುದಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದ ಪ್ರಿಸ್ಕ್ರೈಬ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧ ಬಹುಪದಗಳು ಪಿ. ಎನ್. ಒಂದು ರೂಪದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೂಪವು 0 ಅಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದುದೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ; ಫೇವರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್-ಡಾರ್ಬೌಕ್ಸ್ ಸೂತ್ರ ಶೂನ್ಯಗಳು ಅಳತೆ dα ಅನ್ನು [a, b] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲಿಸಿದರೆ, Pn ನ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯಗಳು [a, b] ನಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸೊನ್ನೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂತರ್ಸಂಪರ್ಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ m <n ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪಿಎಂನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೊನ್ನೆಗಳ ನಡುವೆ ಪಿಎನ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯಗಳ ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಸ್ಟಾಟಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. 1980ರ ದಶಕದಿಂದ, ಎಕ್ಸ್. ಜಿ. ವಿಯನ್ನಾಟ್, ಜೆ. ಲೇಬಲ್, ವೈ. ಎನ್. ಯೆಹ್, ಡಿ. ಫೋಟಾ ಮತ್ತು ಇತರರ ಕೃತಿಯೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಕಂಡುಬಂದವು. ಇತರ ರೀತಿಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಬಹುವಿಧದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳು ಅಫೈನ್ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಜ್ಯಾಕ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಹಾಲ್-ಲಿಟ್ಲ್ವುಡ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಹೆಕ್ಮನ್-ಆಪ್ಡಮ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮತ್ತು ಕೂರ್ನ್ವಿಂಡರ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಬಹುವಿಧದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅನೇಕ ಇತರ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಅಸ್ಕಿ-ವಿಲ್ಸನ್ ಬಹುಪದಗಳು 1ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್ ಬಹುಪದಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅನೇಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಒಂದು ಚರರಾಶಿಯಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವು ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಸೊಬೋಲೆವ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಇವು ಸೊಬೋಲೆವ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ದೊಡ್ಡ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬೀರುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಕೆಲವು ಉತ್ತಮ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿರುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳ ಅಪೆಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಅಸ್ಕಿ ಸ್ಕೀಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಫೇವರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಕಾರದ ಬಹುಪದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಬಯೊರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ ಸೆಕೆಂಡರಿ ಅಳತೆ ಶೆಫರ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಉಂಬ್ರಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್-ರೋಟಾಕ್ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಿ. ಚಾನ್, ಎ. ಮಿರೊನೊವ್, ಎ. ಮೊರೊಜೊವ್, ಎ. ಸ್ಲೆಪ್ಟ್ಸೊವ್,. ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು