Dirac–Kähler equation
ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇವಾನೆಂಕೊ-ಲ್ಯಾಂಡೌ-ಕಹ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಡಿ ರಾಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಹುಸಿ-ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸ್ಥಳಾವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ನಾಲ್ಕು ಪ್ರತಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಬಾಗಿದ ಸ್ಥಳಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ನಿಜವಲ್ಲ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿವೇಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಜಾಲರಿ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ನಿರಂತರ ಮಿತಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಡಿಮಿಟ್ರಿ ಇವಾನೆಂಕೊ ಮತ್ತು ಲೆವ್ ಲ್ಯಾಂಡೌ ಅವರು 1928 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ 1962 ರಲ್ಲಿ ಎರಿಕ್ ಕೆಹ್ಲರ್ ಅವರು ಮರುಶೋಧಿಸಿದರು. ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಹದಿನಾರು ಆಧಾರ ರೂಪಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಹದಿನಾರು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಒಂದರಿಂದ ನಾಲ್ಕರವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದ ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ ಹಾಡ್ಜ್ ಸ್ಟಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಕೋಡ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಡಿ ರ್ಯಾಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ವರ್ಗಮೂಲವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಡಿರಾಕ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಡಿರಾಕ್ ಸ್ಪಿನರ್ಗಳು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿರುವ ಕ್ಲಿಫೋರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಡುವಿನ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಆಧಾರ ಅಂಶಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಹೊಸ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಲಾಪ್ಲೇಸ್-ಡಿ ರಾಮ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಆಧಾರದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಆಧಾರವನ್ನು ಡಿರಾಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಡಿರಾಕ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಾಲ್ಕು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರತಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಂಕಣದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬೆರೆಸುತ್ತದೆ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಬರೆಯುವುದರಿಂದ ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ನಾಲ್ಕು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಣ್ಣದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿವೆ. ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಸಹ ಬಣ್ಣದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಎತ್ತಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಬಣ್ಣದ ಸ್ಥಳಗಳ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ವಿಟ್ನಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸ್ ಮಾಡಲು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು-ಆಯಾಮದ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಚ್-ಚೈನ್ ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಎಚ್-ಚೈನ್ಗಳು ಎಚ್-ಚೈನ್ನ ಗಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ (ಎಚ್-1)-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬೌಂಡರಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಕೋಬೌಂಡರಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು (ಎಚ್ + 1)-ಸರಪಳಿಯನ್ನು ನೀಡಲು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸರಪಳಿಗಳ ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳು-ಕೊಚೈನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಅವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ಎಚ್-ಚೈನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳು ಕೋಚೈನ್ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಬಾಹ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಕೋಡೆಫೆರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಡ್ಯುಯಲ್ ಬೌಂಡರಿ ಮತ್ತು ಡ್ಯುಯಲ್ ಕೋಬೌಂಡರಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಮೇಲೆ ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆಃ ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿವೇಚಿಸಲಾಗದ ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಆಧಾರದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ನಿರಂತರತೆಯು ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಸ್ಥಗಿತಗೊಂಡ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ನಿರಂತರ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಈ ಹಿಂದೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸ್ಥಳಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ನಾಲ್ಕು ಪ್ರತಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಅರ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಸ್ಪಿನರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಸ್ಪಿನ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಆಂತರಿಕ ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳಿಗಿಂತ ಟೆನ್ಸರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಸ್ಪಿನ್ಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬೆರೆಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಡಿರಾಕ್ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅರ್ಧ-ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಸ್ಪಿನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತಿಲ್ಲ. ಬದಲಾಗಿ ಅವು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸೂಪರ್ಪೋಸಿಷನ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ, ಡಿರಾಕ್-ಕಹ್ಲರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬಾಗಿದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಡಿರಾಕ್-ಕಾಲರ್ ಸಮೀಕರಣವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಾಲ್ಕು ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ ಇದು ಡಿರಾಕ್ ಆಪರೇಟರ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿ ಉಳಿದರೆ ಪಡೆದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಾಗಿದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳದ ಗುಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ವೆಚ್ಚದಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ನಿಗ್ರಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದು, ಕೆಲವು ಬೆಟ್ಟಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕಣ್ಮರೆಯಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಅದರ ಶೂನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ರೂಪಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಂದಿಗೂ ಶೂನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಫೆರ್ಮಿಯನ್ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಕ್ಯೂ. ಸಿ. ಡಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಡಿರಾಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಲೆವ್ ಲ್ಯಾಂಡೌ