Locally profinite group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅನಂತವಾದ ಗುಂಪು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನ ಅಂಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೆರೆಹೊರೆಯು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾದ ಗುಂಪು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಎಂಬ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಪ್ರೊಫೈನ್ ಗುಂಪು ಪ್ರೊಫೈನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದು ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು p-adic ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲದವು ನೈಜ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣ ಉಪಗುಂಪು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪು ತೆರೆದ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಬಂದಿವೆ. ಎಫ್ ಒಂದು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಎರಡೂ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿವೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿವೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಪ್ರೊಫೈನೇಟ್ ಗುಂಪಿನ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವೆಯಿಲ್ ಗುಂಪುಃ ಇದು ಅಂತಹ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪು ಪ್ರೊಫೈನೇಟ್ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ) ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾದ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಜಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾದ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆಯು ತೆರೆದ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. G ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿರಲಿ. V ಯು ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ K ಚಲಿಸುವ ಒಂದು ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸುಗಮ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪು K ಗೆ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಣಿಕೆಯಿರುವ ಕಂಬಳಿ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ನಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಯವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನಂತರ ಕಾಂಟ್ರಾಗ್ರೆಡಿಯಂಟ್ ಅಥವಾ ಸ್ಮೂತ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಆಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. G ಯ ನಯವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಸ್ವತಃ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ ನಿಖರವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಜಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿದೆ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಎಣಿಕೆಯ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾದ ಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಲ್ಲದಂತಹ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಸ್ಮೂತ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾದ ಗುಂಪಿನ ಹೆಕ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಎಲ್ಲಾ ತೆರೆದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾದ ಕೆ ಮತ್ತು ಎಡ ಹಾರ್ ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅಪರಿಮಿತವಾದ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಗುಣಾಕಾರದ ರಚನೆಯು ಏಕರೂಪದ ಸಹವರ್ತಿ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಜಿ ಯ ಹೆಕೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳ ಸುಗಮ ನಿರೂಪಣೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ G ಯ ನಯವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು V ಯ ಮೇಲೆ ಹೊಸ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ನಯವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಕ್ಷೀಣಿಸದ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ, "ನಾನ್-ಡಿಜೆನರೇಟ್" ಎಂದರೆ. ನಂತರ ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ಫಂಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕೊರಿನ್ ಬ್ಲಾಂಡೆಲ್, ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪುಗಳು