Christopher Deninger
ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫರ್ ಡೆನಿಂಗರ್ (ಜನನ 8 ಏಪ್ರಿಲ್ 1958) ಅವರು ಮನ್ಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಡೆನಿಂಗರ್ ಅವರ ಸಂಶೋಧನೆಯು ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಿಜೀವನದ ಡೆನಿಂಗರ್ ಅವರು ಕರ್ಟ್ ಮೆಯೆರ್ ಅವರ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆಯಲ್ಲಿ 1982ರಲ್ಲಿ ಕಲೋನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಿಂದ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪಡೆದರು. 1992ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಮೈಕೆಲ್ ರಾಪೊಪೋರ್ಟ್, ಪೀಟರ್ ಷ್ನೇಯ್ಡರ್ ಮತ್ತು ಥಾಮಸ್ ಜಿಂಕ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಗಾಟ್ಫ್ರೈಡ್ ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಲೆಬ್ನಿಜ್ ಪ್ರಶಸ್ತಿಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಂಡರು. 1998ರಲ್ಲಿ ಬರ್ಲಿನ್ನಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಅವರು ಸಮಗ್ರ ಭಾಷಣಕಾರರಾಗಿದ್ದರು. 2012ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಯ ಫೆಲೋ ಆದರು. ಗಣಿತದ ಕೃತಿ ಆರ್ಟಿನ್-ವರ್ಡಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವ 1984 ಮತ್ತು 1987ರ ನಡುವಿನ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ, ಡೆನಿಂಗರ್ ಅವರು ಆರ್ಟಿನ್-ವರ್ಡಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಣಾಮವಾದ ಆರ್ಟಿನ್-ವರ್ಡಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಪಾಯಿಂಕೇರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಶೀಫ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಾನಾಂತರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ (ವರ್ಣಪಟಲದ) ಉಂಗುರವು 3-ದ್ವಿಗುಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮಜೂರ್ ಅವರ ಕೆಲಸದ ನಂತರ, ಡೆನಿಂಗರ್ (1984) ಆರ್ಟಿನ್-ವರ್ಡಿಯರ್ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಡೆನಿಂಗರ್ ನಂತರ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ತಿರುಚು-ಅಲ್ಲದ ಸೀವ್ಗಳು (1986), ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು (1987), ಜೊತೆಗೆ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು (ವಿಂಗ್ಬರ್ಗ್ನೊಂದಿಗೆ, 1986). ನಂತರದ ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಬ್ಲೋಚ್ನ ಪ್ರೇರಕ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನೋಟವು ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರ ಕೆಲಸದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿತು, ಅವರು ಬ್ಲೋಚ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಯೋಜನೆಗಳ ಮೇಲೆ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳೆಂದು ಗುರುತಿಸಿದರು. ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಡೆನಿಂಗರ್ನ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪು ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ ζ (s), ಇದಕ್ಕಾಗಿ ζ (2) = π2/6 ನಂತಹ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಯೂಲರ್ನಿಂದ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹೆಗ್ಗುರುತು ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು, ಅಂದರೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ದೂರಗಾಮಿ ಊಹೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಬಹಳ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ಯೂ ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಧವಾದ ಎಕ್ಸ್ಗೆ, ಎಕ್ಸ್ನ ಪ್ರೇರಕ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯು ಎಕ್ಸ್ನ ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಊಹೆಗಳು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಎರಡು ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು, ಧ್ರುವದ ಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ (ಎಚ್ಎನ್ (ಎಕ್ಸ್), ಎಸ್) ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬೇಕು. ಎಕ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಎಸ್ = 2 ಹೊಂದಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬ್ಲೋಚ್ ಮತ್ತು ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ಈ ಊಹೆಯ ಅಗತ್ಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಎಚ್1 (ಎಕ್ಸ್) ಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 1988ರಲ್ಲಿ, ಡೆನಿಂಗರ್ ಮತ್ತು ವಿಂಗ್ಬರ್ಗ್ ಆ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. 1989 ಮತ್ತು 1990ರಲ್ಲಿ, ಡೆನಿಂಗರ್ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಶಿಮುರಾ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಕೆಲವು ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಡೆನಿಂಗರ್ ಮತ್ತು ನಾರ್ಟ್ (1995) ಎತ್ತರದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಊಹೆಯ ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕಾಂಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಉದ್ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾ-ಗುಂಪುಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜೋಡಣೆಯಾಗಿದೆ. 1995 ರಲ್ಲಿ, ಡೆನಿಂಗರ್ ಅವರು ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಸ್ಸಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ s = 3 ನಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ L-ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಊಹಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ತರುವಾಯ ಅವರು ದೃಢಪಡಿಸಿದರು. 2018 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಊಹೆ ಇನ್ನೂ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಊಹೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ದಾಳಿಗೊಳಗಾದ ಕೆಲವು ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಡೆನಿನ್ಸರ್ ಅವರ ಕೊಡುಗೆಗಳು ಉಳಿದಿವೆ (ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಡೆನಿನ್ಸರ್ & ಸ್ಕೋಲ್ (1991), ಸೇರಿವೆ). ನಿಯಮಿತಗೊಳಿಸಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಪಿ ಗೆ ಯೂಲರ್ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೀಮನ್ ζ-ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ζ (ಗಳು) ಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಅವುಗಳನ್ನು ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆಃ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಯೂಲರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಎಕ್ಸ್/ಕ್ಯೂ ನ ಎಲ್-ಆಡಿಕ್ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಫ್ರೋಬೀನಿಯಸ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅನಂತ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಯೂಲರ್ ಅಂಶವು ಸೆರ್ರೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಎಕ್ಸ್/ಕ್ಯೂಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಹಾಡ್ಜ್ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಈ γ-ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ-ಕ್ರಿಯೆಯ ಯೂಲರ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಈ ಏಕರೂಪದ ವಿವರಣೆಯು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ p ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಯೂಲರ್ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಯನ್ ಯೂಲರ್ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು Rp ಎಂಬುದು R/log (p) Z ಮೇಲೆ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ಗೆ ಸೀಮಿತ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು R ≤ = R [exp (−2y)]. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಆರ್-ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು θ ಆಗಿದೆ. ಡೆನಿಂಗರ್ (1994) ಸಹ ε-ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರು (ಇದು s ಮತ್ತು 1−s ನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ L-ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ). ಅಂಕಗಣಿತದ ತಾಣ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸ್ಪೆಕ್ ಝೆಡ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ "ಅಂಕಗಣಿತದ ತಾಣ" ವೈ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲು ಡೆನಿಂಗರ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪೈಕಿ, ಈ ತಾಣವು ಆರ್ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಪಿ ಉದ್ದ ಲಾಗ್ (ಪಿ) ನ ಆರ್-ಕ್ರಿಯೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಎಲೆಗಳಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲಿನ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ನಡುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ಈ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಫೋಲಿಯೇಷನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಡೆನಿಂಗರ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ತಾಣವು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ಎಂ ಒಂದು ಉದ್ದೇಶದ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಊಹೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಉದ್ದೇಶಗಳು ಎಚ್ಎನ್ (ಎಕ್ಸ್), ಮತ್ತು ಎಫ್ (ಎಂ) ಅನ್ನು ಎಂ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ವೈ ಮೇಲಿನ ಕೋಶವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಪ್ರಕಾರ, ರೀಮನ್ ಊಹೆಯು ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಕ ಜೋಡಣೆಯ ಸಕಾರಾತ್ಮಕತೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಸೈಟ್ನಲ್ಲಿ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ಈ ಊಹಾತ್ಮಕ ಸೆಟಪ್ನ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಡೆನಿಂಗರ್ (1993) ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. 2010 ರಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಕ್ರಗಳ ಛೇದನ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಬ್ಲೋಚ್ನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಊಹೆಗಳು ಅವರ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಮುಂದಿನ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಡೆನಿಂಗರ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಡೆನಿಂಗರ್ ಅವರು 1992 ರಲ್ಲಿ ಯುರೋಪಿಯನ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, 1998 ರಲ್ಲಿ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಭಾಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕ್ಷೆ ಮಾಡಿದರು. 2002 ರಲ್ಲಿ, ಡೆನಿಂಗರ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲೆಗಳಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಎಫ್ಪಿ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಸರಿಯಾದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಹ್ಯಾಸ್-ವೆಯಿಲ್ ಝೀಟಾ-ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಹಾಚ್ಸ್ಚೈಲ್ಡ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಿದ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಗಂಟುಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಫಲಪ್ರದವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 2018 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ಸ್ಪೆಕ್ ಝೆಡ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಲೆಗಳುಳ್ಳ ಜಾಗದ ನಿರ್ಮಾಣವು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿದೆ. ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಹಕ ಕಟ್ಟುಗಳು ಅನ್ನೆಟ್ ವರ್ನರ್ ಅವರೊಂದಿಗಿನ ಜಂಟಿ ಪತ್ರಿಕೆಗಳ ಸರಣಿಯು ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ವಾಹಕ ಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಮೂಲಾಧಾರವಾದ ನರಸಿಂಹನ್-ಶೇಷಾದ್ರಿ ಪ್ರಮೇಯ. ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು π1 (X) ನ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ಉಂಟಾದರೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈ X ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಡೆನಿಂಗರ್ ಮತ್ತು ವರ್ನರ್ (2005) ನಲ್ಲಿ ಅದರ p-adic ಅನಾಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತುಃ Cp ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಾಗಿ, ಬೇಸ್ ಬದಲಾವಣೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಅವರು ಕೆಲವು ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳ ಮೇಲೆ ಫೈಬರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಇಟೇಲ್ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ π1 (X) ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ 0 ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯವಾಗಿ ಬಲವಾಗಿ ಸೆಮಿಸ್ಟಬಲ್ ಕಡಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. 2005ರ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಅವರು X ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು Xನ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ವಿಧದ ಟೇಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದಾರೆ. 2007 ಮತ್ತು 2010ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಈ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿ, ಅಂತಹ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ಗಳು ತನಾಕಿಯನ್ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಇದು ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಈ ವರ್ಗವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಜಂಟಿ ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ, ಡೆನಿಂಗರ್ ಮತ್ತು ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಸಿಂಘೊಫ್ ಅವರು ಪೂರ್ಣಾಂಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ನಿಂದ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪು ಎಚ್ ನ ಉದ್ಧರಣಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಎಕ್ಸ್ = ಎಚ್/ಜಾತ. 1984 ರಲ್ಲಿ, ಅವರು X ನ ಇ-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ζ (−n) ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದರು, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ಕ್ರಮದ ಗೋಳಗಳ ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. 1988ರಲ್ಲಿ, ಅವರು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯ ಆಯಾಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಹಾಡ್ಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸತ್ಯವೆಂದರೆ, ಕಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿ ವರ್ಗವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಎಲೆಗೊಂಚಲುಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ದುರ್ಬಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮೇಲಿನ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲೆಗೊಂಚಲುಗಳು ಅಂತಹ ಹಾಡ್ಜ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಡೆನಿಂಗರ್ ಮತ್ತು ಸಿಂಘೋಫ್ (2001) ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ. 2001 ರಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಜಂಟಿ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಅವರು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಲೆಫ್ಷೆಟ್ಜ್ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರುಃ ಇದು ಮುಚ್ಚಿದ ಕಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ (ಆರ್-ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಎಲೆಗಳಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ) ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಸ್ಥಳೀಯ ಜಾಡಿನ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಮೇಲೆ ಆಪರೇಟರ್ನ ಜಾಡಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಡೆನಿಂಗರ್ನ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನ ದೃಢೀಕರಣವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮಾಡಿದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲೆಗಳಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಮತ್ತು ಮಾಹ್ಲರ್ ಅಳತೆಗಳು ಡೆನಿಂಗರ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಂಪು, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗುಂಪು, f ಅದರ ಗುಂಪು ಉಂಗುರದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಟೋಪಿ ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಜಿನ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Xf ನ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಮಾಹ್ಲರ್ ಅಳತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೆಲವು ಬಹುಪದಗಳ ಮಾಹ್ಲರ್ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಕೆಲವು L-ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. 1997ರಲ್ಲಿ, ಡೆನಿಂಗರ್ ಮಹ್ಲರ್ ಅಳತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಏಕೀಕರಣವು ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ಊಹೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿದರ್ಶನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅವರು m (f) ಎಂಬುದು ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ನಿಯಂತ್ರಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ {f, t1,., tn} ಚಿಹ್ನೆಯ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ವೈವಿಧ್ಯವು f ನ ಶೂನ್ಯ ಗುಂಪಿನ n-ಆಯಾಮದ ಟೋರಸ್ನಲ್ಲಿ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಮಹ್ಲರ್ ಅಳತೆಗಳಿಗೆ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ವಿವರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಮತ್ತು 2009ರಲ್ಲಿ ಡೆನಿಂಗರ್ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಜಗತ್ತಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ದರು, ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ನಿಯಂತ್ರಕ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಡೆಲಿಗ್ನೆ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ಸಿಂಟೋಮಿಕ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಗೆ ನಿಯಂತ್ರಕ ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ನಿಂದ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರು. 2006 ಮತ್ತು 2007ರಲ್ಲಿ, ಡೆನಿಂಗರ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲಾಸ್ ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಅವರು ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಮತ್ತು ಮಾಹ್ಲರ್ ಅಳತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನಾಂತರವನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಮುನ್ನಡೆಸಿದರು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಉಳಿದಿರುವ ಸೀಮಿತ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳು. ಅವರು ತೋರಿಸಿದಂತೆ, Xfನ ಮೇಲಿನ γ-ಕ್ರಿಯೆಯು, γನ L1-ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ವಿಸ್ತರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎನ್. ಕೆ. ಯು (ಇದು ಝೆಡ್. ಎನ್. ಗೆ ಮಾಹ್ಲರ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫ್ಯೂಗ್ಲೆಡ್-ಕ್ಯಾಡಿಸನ್ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳಾದ ಜೊವಾಕಿಮ್ ಕುಂಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಡೆನಿಂಗರ್ ಅವರು ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರು. 2014 ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಎರಡು ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ, ಅವರು ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ZR ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಉಂಗುರದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರು. ಈ ವಿಧಾನವು ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಆಯ್ದ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಆರ್ಟಿನ್-ವರ್ಡಿಯರ್ ಡ್ಯುಯಾಲಿಟಿ ಎಲ್-ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬೈಲಿನ್ಸನ್ ಅವರ ಊಹೆಯ ಪಿ-ಆಡಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕಟ್ಟುಗಳು ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪು, ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, ಮತ್ತು ಎಲೆಗಳು ಎಂಟ್ರೋಪಿ ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮನ್ಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಜಾಲತಾಣ 1958 ಜನನಗಳು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು 21ನೇ ಶತಮಾನದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಮನ್ಸ್ಟರ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಿಬ್ಬಂದಿ.