Carnot group
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ನೋಟ್ ಗುಂಪು ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಲೈ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ 1 ಹೊಂದಿರುವ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಂಡಲ್ನ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ನೋಟ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಸಮತಲವಾದ ಸಬ್ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಮಾನದಂಡವು ಕಾರ್ನೋಟ್-ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ನೋಟ್-ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ ಮಾಪನಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಅವು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಗುಂಪುಗಳ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ಗಳು (ಅಲ್ಟ್ರಾಲಿಮಿಟ್ ನೋಡಿ), ಮತ್ತು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು, ಜೊತೆಗೆ ಉಪ-ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕೋನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಕಾರ್ನೋಟ್ (ಅಥವಾ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ) ಹಂತದ ಗುಂಪು ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ, ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ, ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಹಂತ-ಶ್ರೇಣೀಕರಣವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಫಾರ್, ಮತ್ತು ನಂತಹ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮೊದಲ ಸ್ತರವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯು ಮೇಲಿನಿಂದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಘಾತೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬೇಕರ್-ಕ್ಯಾಂಪ್ಬೆಲ್-ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಇದು ನೀಡಿದ ಆಂತರಿಕ ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನೈಜ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪು ಒಂದು ಕಾರ್ನೋಟ್ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಉಪ-ರೀಮಾನಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವಾಗಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಎಂಜೆಲ್ ಗುಂಪು ಕೂಡ ಕಾರ್ನೋಟ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇತಿಹಾಸ ಕಾರ್ನೋಟ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಆ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಜೆರಾಲ್ಡ್ ಫೋಲ್ಯಾಂಡ್ (1975) ಅವರು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಗುಂಪು ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಕಾರ್ನೋಟ್ ಗುಂಪಿನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾದ ಪಾನ್ಸು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.