Matsubara frequency
ಉಷ್ಣ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ಆವರ್ತನ ಸಂಕಲನವು (ಟೇಕೊ ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ) ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಕಲನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿಲೋಮ ತಾಪಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಜೊತೆಗೆ): ಬೋಸೋನಿಕ್ ಆವರ್ತನಗಳುಃ ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಆವರ್ತನಗಳುಃ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ 0 ಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಅದಕ್ಕಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಸಂಯೋಗವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೋಸೋನಿಕ್ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಕಲನವನ್ನು (ಜೊತೆ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೇಲೆ (ಜೊತೆ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಉಷ್ಣ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜೊತೆಗೆ, ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ಆವರ್ತನ ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನವು ಘನ-ಸ್ಥಿತಿಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಸಹ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಸೀಮಿತ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಮೊತ್ತದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾರಾಂಶ ಔಪಚಾರಿಕತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಔಪಚಾರಿಕತೆ ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ಆವರ್ತನ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ತಂತ್ರವೆಂದರೆ ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವಾದ hη (z) ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಅದು ಸರಳ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಬೋಸನ್ ಪ್ರಕರಣ η = + 1 ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಪ್ರಕರಣ η = −1 ರಲ್ಲಿ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ತೂಕದ ಕಾರ್ಯದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ನಂತರ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. ತೂಕದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಸಂಕಲನವನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ. 1, ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು (ಕೆಂಪು ಶಿಲುಬೆಗಳನ್ನು) ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಈ ಧ್ರುವಗಳ ಶೇಷವನ್ನು ಎತ್ತಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸೋಮರ್ಫೆಲ್ಡ್-ವ್ಯಾಟ್ಸನ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. g (z) ನ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿಯಲು ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ರೇಖೆಗಳ ವಿರೂಪದಿಂದ (ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಸಿರು ಅಡ್ಡ. 2), g (z) ನ ಎಲ್ಲಾ ಧ್ರುವಗಳ ಮೇಲೆ g (z) hη (z) ನ ಶೇಷವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಸುತ್ತುವಂತೆ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯನ್ನು ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಋಣಾತ್ಮಕ ಅವಶೇಷಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯದ ಆಯ್ಕೆ ಬೋಸನ್ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಳ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಯಾವ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಬೇಕೆಂಬುದನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಎಡ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (Re z <0) ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಲ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (Re z> 0) ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಬೋಸ್-ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಆವರ್ತನಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಎರಡು ರೀತಿಯ ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಇದು ಎಡ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (Re z <0) ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಸರಳ ಧ್ರುವಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಲ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ (Re z> 0) ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಫೆರ್ಮಿ-ಡಿರಾಕ್ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಗ್ರೀನ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅನ್ವಯದಲ್ಲಿ, g (z) ಯಾವಾಗಲೂ 0 <τ <β ನೀಡಿದ ಎಡ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬೇರೆಯಾಗುವ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು, ಮೊದಲ ಪ್ರಕಾರದ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ಸಂಕಲನವು ಬೇರೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯದ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಯು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ಆವರ್ತನ ಸಂಕಲನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವು ಕೆಲವು ಸರಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ g (z) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. η = ±1 ಎಂಬ ಚಿಹ್ನೆಯು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಬೋಸನ್ಗಳಿಗೆ + 1 ಮತ್ತು ಫರ್ಮಿಯಾನ್ಗಳಿಗೆ-1 ಆಗಿದೆ. [1] ಸಂಕಲನವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗದ ಕಾರಣ, ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. [2] (1 * 2) ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ 1 ಮತ್ತು 2 ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯಗೊಂಡಿದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳು ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನದ ಮಿತಿ ಈ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ಆವರ್ತನ ಸಂಕಲನವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಆವರ್ತನದ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆವರ್ತನ ಕಡಿತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಬೇಕು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಭಾಗವನ್ನು (-ಅವಲಂಬಿತ) ಕಳೆಯಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಲಾಗರಿದಮ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ, ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿಯು ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನದಲ್ಲಿ ಹಂತ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0, β) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ G (τ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಆವರ್ತನವು 2/β ಅಂತರದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತನದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಯು G (τ) ಕಾರ್ಯದ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, G (τ) ಎಂದರೆ ಹಸಿರು ಕಾರ್ಯದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಯದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ, ಇದು ಬೋಸನ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಆವರ್ತಕ ಗಡಿ ಷರತ್ತು G (τ + β) = G (τ) ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯು ಆವರ್ತನ-ವಿರೋಧಿ G (τ + β) = −G (τ) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾದ G (iω) ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಯದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾದ G (τ) ಅನ್ನು ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ಆವರ್ತನ ಸಂಕಲನದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬೇಕಾದ ಬೋಸನ್ ಅಥವಾ ಫರ್ಮಿಯಾನ್ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ G (τ) ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, τ ಅನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (0, β) ನಿರ್ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಮುಖ್ಯ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಜಿ (τ) ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಗಡಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪದೇ ಪದೇ ಬಳಸುವ ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಸ್ವಿಚಿಂಗ್ ಎಫೆಕ್ಟ್ ಸಣ್ಣ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಯವು ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಮಯವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಕ್ರಮವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ τ = 0 ರಲ್ಲಿ ಗ್ರೀನ್ನ ಕಾರ್ಯ G (τ) ನ ಸ್ಥಗಿತದಿಂದಾಗಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಜಟಿಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕಲನವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ತೂಕದ ಕಾರ್ಯದ ಎರಡೂ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ನಾವು G (τ) ಅನ್ನು τ = 0 ಯಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ದೂರ ತಳ್ಳಿದರೆ ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಂತರ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು, ನಾವು, ಮತ್ತು ಗಾಗಿ ತೂಕದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಬೋಸನ್ಸ್ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಸ್ ಫ್ರೀ ಎನರ್ಜಿ ಬೋಸನ್ಸ್ ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಎದುರಾಗುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಸಿಂಗಲ್ ಮೋಡ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಮೂಲಕ ಬಹು ಮೋಡ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು. ಫೆರ್ಮಿಯಾನ್ ಸ್ವಯಂ ಶಕ್ತಿ ಕಣ-ರಂಧ್ರ ಗುಳ್ಳೆ ಕಣ-ಕಣ ಗುಳ್ಳೆ ಅನುಬಂಧಃ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತವು ಬೋಸ್ (η = + 1) ಅಥವಾ ಫೆರ್ಮಿ (η = − 1) ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಕೇತಗಳಾದ ಎನ್ಬಿ ಮತ್ತು ಎನ್ಎಫ್ ಅನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಬೋಸ್ ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೋಸ್-ಫರ್ಮಿ ಪರಿವರ್ತನೆ ಬೋಸ್ ಮತ್ತು ಫರ್ಮಿ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಆವರ್ತನದಿಂದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಮ್ಯೂಟ್ ಆಗುತ್ತವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಬೋಸೋನಿಕ್ ಆವರ್ತನಗಳಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಃ ಶೂನ್ಯ ತಾಪಮಾನ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮ ಸೂತ್ರ ಪ್ರಕರಣ a = 0 ಪ್ರಕರಣ a → 0 ಪ್ರಕರಣ b → 0 ಕಾರ್ಯ cη ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಬೋಸ್ ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಿ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆಃ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕ ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಮೀರಿದ ಹರಿವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ತಾನ್ಹ್ ಮತ್ತು ಕೋತ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೇಸ್ a = 0 ಕೇಸ್ b = 0 ಕಡಿಮೆ ತಾಪಮಾನ ಮಿತಿ a = 0: b = 0: ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇಮ್ಯಾಜಿನರಿ ಟೈಮ್ ಥರ್ಮಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಥಿಯರಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅಗಸ್ಟಿನ್ ನೀಟೋಃ ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ಆವರ್ತನಗಳ ಮೇಲೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು. arXiv: ಹೆಪ್-ಫ್/9311210 ಗಿಟ್ಹಬ್ ರೆಪೊಸಿಟರಿಃ ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾಸಮ್ ಎ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಫಾರ್ ಮಾಟ್ಸುಬಾರ ಫ್ರೀಕ್ವೆನ್ಸಿ ಸಮ್ಮೇಷನ್. ಎ. ತಹೇರಿದೇಕೋರ್ಡಿ, ಎಸ್. ಕರ್ನೋಯ್, ಜೆ. ಪಿ. ಎಫ್. ಲೆಬ್ಲಾಙ್ಕ್ಃ ಹಬ್ಬಾರ್ಡ್ ತರಹದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಮಾಟ್ಸುಬಾರಾ ಏಕೀಕರಣ. arXiv: ಕಾಂಡ್-ಮ್ಯಾಟ್/1808.05188 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ