McShane integral
ಏಕೀಕರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಜೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ರಚಿಸಿದ ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮಾರ್ಪಾಡಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಉಚಿತ ಟ್ಯಾಗ್ ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗವು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಉಚಿತ ಟ್ಯಾಗ್ ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗವು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಟ್ಯಾಗ್ನ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಟ್ಯಾಗ್ಗಳನ್ನು ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಹೊರಗೆ ಇರಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದಲೇ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಉಚಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಏಕೈಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಟ್ಯಾಗ್ ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕಾಗಿ, ಗೇಜ್ ಎ ಧನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗೇಜ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಗೇಜ್ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಅಗಲವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಿದರೆ ಉಚಿತ ಟ್ಯಾಗ್ ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗವು-ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಂತೆಯೇ, ಇದು ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ನೀಡದ ನಮ್ಯತೆಯನ್ನು (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕ ಬಿಂದುಗಳ ಹತ್ತಿರ) ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯವು ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ-ಉತ್ತಮ ಉಚಿತ ಟ್ಯಾಗ್ ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಗೇಜ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಎರಡೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಅದರ ಅನನ್ಯತೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಸಮಗ್ರತೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಈ ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾದ "ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ" ಸೈಟ್ನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 3 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ಕಾರ್ಯವು ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕರೆಸ್ಪಾಂಡೆಂಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಉಚಿತ ಟ್ಯಾಗ್ ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗವನ್ನು, ಫಾರ್, ಫಾರ್, ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲಿ, ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉಚಿತ ಟ್ಯಾಗ್ ಮಾಡಲಾದ-ಫೈನ್ ವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂತರಗಳ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಹೀಗೆ ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ರೀಮನ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 2 ರೀಮನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಲ್ಲಾ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಳತೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ ಯಾವುದೇ-ಫೈನ್ ಫ್ರೀ ಟ್ಯಾಗ್ ಮಾಡಲಾದ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅದರ ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ನಾವು ರಚಿಸುವ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಜೋಡಿಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರದ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹೊರಗಿಡಬಹುದು. ಆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಉಳಿದ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಾರದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಕಾರ್ಯವು ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಒಂದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ, ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಎರಡೂ ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೊಂದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದುವೇಳೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಫ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕೂಡಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸಬಹುದು. ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅದು ಇನ್ಗ್ರೆಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇನ್ಗ್ರೆಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. ಒಂದುವೇಳೆ ಒಗ್ಗೂಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಮತ್ತು, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಗ್ಗೂಡಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಒಗ್ಗೂಡಿಸಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ನಂತರಃ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಎಮ್. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ವರದಿಗಾರರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಸ್ವಲ್ಪ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ (ವಾಶೆಕ್ ಪ್ಫೆಫರ್ [ಸೆಕ್. 6. 1]). ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಎರಡು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮಗ್ರತೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಮಗ್ರತೆಯಂತಹ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದಾಗ ಗ್ರಹಿಸಲಾಗದ ಛಿದ್ರವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ (ನೋಡಿ [Prop.2.2.3 e Th. 6.1.2]). ಪ್ರಮೇಯ 1 (ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಮೇಲೆ) ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯ 2 (ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯ) ಅನ್ನು ಭೇದಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಾವು ಉದಾಹರಣೆ 2.4.12 ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 3 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣಃ ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಮತ್ತು ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 2 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅನ್ನು ನಂತರ 6 ಮತ್ತು 7 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದೇ ಕಾರ್ಯವು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ನಂತರ ಚರರಾಶಿಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಗುಣಲಕ್ಷಣ 5: ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಂತೆ, ನಾವು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆಃ I) ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯ 1 ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ನಿಜವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲ. II) ಪ್ರಮೇಯ 2 ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ. III), ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೆಕ್ಶೇನ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಅಲ್ಲದ ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಮೆಕ್ಶೇನ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗವು ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಉಪವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ನೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಹೆಚ್ಚು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ಘೋಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 3 ಇರಲಿ. ನಂತರ ಮೆಕ್ಶೇನ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಲೆಬ್ಸ್ಗ್ಯೂ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವರದಿಗಾರರ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಸತ್ಯವು ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತದ ಸುತ್ತ ಏಕೀಕರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅಂತಹ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ತಕ್ಷಣದ ಪುರಾವೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ವಾಷೆಕ್ ಪ್ಫೆಫರ್ನಲ್ಲಿ [Ch. 4] ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಮ್ಯಾಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ ರಸ್ಸೆಲ್ ಗಾರ್ಡನ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕಕ್ಕೆ, ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಓದುಗರ ಗಮನವನ್ನು ರಾಬರ್ಟ್ ಮೆಕ್ಲಿಯೋಡ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳತ್ತ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. 8], [Ch. 10] ಮತ್ತು ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಕರ್ಟ್ಜ್ ಮತ್ತು ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಸ್ವಾರ್ಟ್ಜ್. ಮೆಕ್ಶೇನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮತ್ತೊಂದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನವೆಂದರೆ, ಇದನ್ನು ಮೆಷರ್ ಥಿಯರಿಯನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಹೊಸ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು, ಫ್ರಿಗಿಸ್ ರೈಸ್ ಮತ್ತು ಬೇಲಾ ಸ್ಜ್ ಅವರ ಕೋರ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ. ನ್ಯಾಗಿ [Ch.II] ಅಥವಾ ಸರ್ಜ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ [Ch. X, §4 ಅನುಬಂಧ] (ಸಹ ನೋಡಿ). ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ಏಕೀಕರಣದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.