Infinity Laplacian
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ (ಅಥವಾ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್) ಆಪರೇಟರ್ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಕಣ್ಮರೆಯಾದಾಗ ಸಂಭವಿಸುವ ಏಕತ್ವವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿಯು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಆರ್ಡರ್ ಶೂನ್ಯದ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಾತಿನಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿಯು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೂ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ) ಪರಿಹಾರಗಳು ಎರಡು ಬಾರಿ ಭೇದಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಆರನ್ಸನ್ ಪರಿಹಾರವು ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸರಿಯಾದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಅನಂತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಿನಿಮೈಸರ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪಿ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮಿತಿಯಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ತೀರಾ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ, ಅನಂತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಟಗ್-ಆಫ್-ವಾರ್ ಆಟಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸುಧಾರಿಸಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆವೃತ್ತಿ ಮತ್ತು ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಾಮಾನ್ಯ-ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಅದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮಿನಿ ಬದಲಿಗೆ ಸೂಪ್ ಮತ್ತು ಇನ್ಫನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಗ್ರಾಫ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು): ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ ಯಾವಾಗ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಅಡಗಿದೆ. ನಯವಾದ ಬೌಂಡರಿ ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೌಂಡೆಡ್ ಓಪನ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. - ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಣ್ಣ ಜಾಲರಿಯ ಗಾತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, 2d ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಅಂದಾಜನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಂತರ V ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ f ನಿಂದ D ಯ ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಂದಾಜು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು-ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಬದಲಿಗೆ, ಅದು ಬದಲಾದಂತೆ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಉದ್ದದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರಂತರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈಗ, ಫ್ರಮ್ ಟು ನ-ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೋಡುವ ಸಂಭವನೀಯ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಸರಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಎಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಹೊಡೆಯುವ ಸಮಯವಾಗಿದೆ. - ಕೇಸ್ಗಾಗಿ, ನಮಗೆ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಒಂದು ಟೋಕನ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರಿದ್ದಾರೆ, ಪ್ರತಿ ತಿರುವಿನಲ್ಲೂ ಅವರು ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ನಾಣ್ಯವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ವಿಜೇತರು ಟೋಕನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಥಳದ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯವರಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು. ಟೋಕನ್ ಕೆಲವು ಸಮಯ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ ಆಟವು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನಿಂದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಎರಡನೇ ಆಟಗಾರನು ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತಾನೆ. ಇಬ್ಬರೂ ಆಟಗಾರರು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ಆಡಿದರೆ (ಇದು ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ, ಮೊದಲ ಆಟಗಾರನಿಗೆ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಪ್ರತಿಫಲವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಅನಂತ ಸಾಮರಸ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪಿ-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ಗೆ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನವೂ ಇದೆ, ಇದು ಸರಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಹಗ್ಗಜಗ್ಗಾಟದ ಆಟದ ನಡುವೆ ಅಂತರ್ವೇಶನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮೂಲಗಳು. ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಭಾಗಶಃ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು