Alexiewicz norm
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಏಕೀಕರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ-ಅಲೆಕ್ಸಿವಿಕ್ಜ್ ಮಾನದಂಡವು ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಿವಿಕ್ಜ್ ಮಾನದಂಡವು ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಬ್ಯಾರೆಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಆದರೆ ಪೂರ್ಣವಾಗಿರದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲೆಕ್ಸಿವಿಕ್ಜ್ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ 1948ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಪೋಲಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಆಂಡ್ರೆಜ್ ಅಲೆಕ್ಸಿವಿಕ್ಜ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ HK (R) ಸೀಮಿತ ಹೆನ್ಸ್ಟಾಕ್-ಕುರ್ಜ್ವೀಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು HK (R) ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ; ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸಮಾನವಾದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು-ಇರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದರೆ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸಮಾನತೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದಿಂದ HK (R) ನ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. (ಸ್ಥಿರವಾದ ಶೂನ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯವು f: R → R ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.) ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಲೆಕ್ಸಿವಿಕ್ಜ್ ಮಾನದಂಡವು HK (R) ಅನ್ನು ಬೇರೆಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಆದರೆ ಅಪೂರ್ಣವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಅಲೆಕ್ಸಿವಿಕ್ಜ್ ಮಾನದಂಡವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಲೆಕ್ಸಿವಿಕ್ಜ್ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ HK (R) ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ A (R) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸೌಮ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಜಾಗದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಜಾಗದ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, A (R) ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿತರಣಾ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾದ ಟೆಂಪರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, f (R) ಒಂದು ಟೆಂಪರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ F ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ C (φ: R) ಟೆಸ್ಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುವಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಅಲೆಕ್ಸಿವಿಕ್ಜ್ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, f ω HK (R) ಮತ್ತು x ω R ಗೆ f ಅನ್ನು x ನಿಂದ ಅನುವಾದಿಸುವ Txf ಅನ್ನು ಆಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ನಿಯಮಗಳಿಂದ (ಗಣಿತ) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.