Sphere–cylinder intersection
ನೈಜ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಗೋಳ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ನಡುವಿನ ಛೇದನದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ವೃತ್ತ, ಬಿಂದು, ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಾಗಿ, ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಅಕ್ಷವು z-ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು (ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ) ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ; ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳು (ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಛೇದನವು ಎರಡೂ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಗೋಳವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆಯಾದರೆ, ವಿರಳ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಗೋಳವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಿಲಿಂಡರ್ನೊಳಗಿರುತ್ತದೆ. ಛೇದಕವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಗೋಳವು ಸಿಲಿಂಡರ್ () ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಗೋಳವು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಛೇದನವು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರವು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಸಿಲಿಂಡರ್ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಛೇದನವು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವೃತ್ತಗಳು ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಛೇದನವು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಂದ ಇದು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, xz-ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಛೇದನದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ; ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾದ ಶೃಂಗವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಛೇದನವು ಎರಡು ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗೋಳ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಛೇದನವು ಎರಡು ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವು ಪರಸ್ಪರರ ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರಗಳು. xy-ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತಗಳಾಗಿವೆ. ಛೇದನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಒಂದು ಕೋನದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆಃ ಛೇದನವು ಒಂದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಗೋಳ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಛೇದನವು ಒಂದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕೋನವನ್ನು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬೇಕು. ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಗೋಳವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಛೇದಕವು ಎಂಟು ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆಃ ಇದು ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ಛೇದಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ನಿಯತಾಂಕವು ಈಗ ಎರಡು ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹೋಗುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಛೇದಕವನ್ನು ವಿವಿಯಾನಿಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ನಿಯತಾಂಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವೆಂದರೆ ಎರಡು ಕಾಯಗಳ ಛೇದನದ ಪರಿಮಾಣ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಿವಿಯಾನಿಯ ಪರಿಮಾಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಿವಿಯಾನಿಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಗೋಳಾಕಾರದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಛೇದನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.