Falkner–Skan boundary layer
ದ್ರವದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫಾಕ್ನರ್-ಸ್ಕಾನ್ ಗಡಿ ಪದರವು (ವಿ. ಎಮ್. ಫಾಕ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸಿಲ್ವಿಯಾ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಸ್ಕಾನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ) ಬೆಣೆ ಮೇಲೆ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುವ ಸ್ಥಿರವಾದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಲ್ಯಾಮಿನಾರ್ ಗಡಿ ಪದರವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಅಲ್ಲಿ ಫಲಕವು ಹರಿವಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹರಿಯುತ್ತದೆ. ಇದು ಫಲಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹೇರಿದ ಒತ್ತಡದ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಫಲಕದ ಮೇಲಿನ ಹರಿವಿನ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಾಳಿಯ ಸುರಂಗದ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಎದುರಾಗುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಫಲಕವಾದ ಬ್ಲಾಸಿಯಸ್ ಗಡಿ ಪದರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಫಲಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒತ್ತಡದ ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಂಡ್ಟಲ್ನ ಗಡಿ ಪದರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಫಾಕ್ನರ್-ಸ್ಕಾನ್ ವಿಧಾನದ ಆಧಾರವೆಂದರೆ ಪ್ರಾಂಡ್ಟಲ್ನ ಗಡಿ ಪದರದ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಲುಡ್ವಿಗ್ ಪ್ರಾಂಡ್ಟ್ಲ್ ಗೋಡೆಯ (ಬೆಣೆ) ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹರಿಯುವ ದ್ರವದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳಗೊಳಿಸಿದರುಃ ಒಂದು ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯಿಂದ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಡೆಯ ಹತ್ತಿರ, ಮತ್ತು ಈ ಗೋಡೆಯ ಹತ್ತಿರದ ಗಡಿ ಪದರದ ಪ್ರದೇಶದ ಹೊರಗೆ, ದ್ರಾವಣದ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಸುಮಾರು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪದಗಳು ಗೋಡೆಯ ಹತ್ತಿರದ ಗಡಿ ಪದರದ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ (ಫಲಕದ ಮುಂಭಾಗದ ಅಂಚಿನ ಬಳಿ ಇರುವ ಸಣ್ಣ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ನಗಣ್ಯವಾಗಿವೆ. ಈ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರಾಂಡ್ಟ್ಲ್ ಗಡಿ ಪದರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂಕೋಚನಗೊಳ್ಳದ ಹರಿವಿಗೆ, ಇವು ಹೀಗಿವೆಃ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ನಿರಂತರತೆಃ-ಆವೇಗಃ-ಆವೇಗಃ ಇಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹರಿವಿನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಫಲಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಹರಿವಿನ ಕಡೆಗೆ ಸೂಚಿಸುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ, ಮತ್ತು ವೇಗ ಘಟಕಗಳು, ಒತ್ತಡ, ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ಹೋಲಿಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. ಫಾಕ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಾನ್ 1930 ರಲ್ಲಿ ಬೆಣೆ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಲ್ಯಾಮಿನಾರ್ ಹರಿವಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೋಲಿಕೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಹೋಲಿಕೆ ಎಂಬ ಪದವು ಹರಿವಿನ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿನ ವೇಗದ ಪ್ರೊಫೈಲ್ಗಳು ಗಡಿ ಪದರದ ದಪ್ಪದಲ್ಲಿನ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ ಗಡಿ ಪದರದ ವೇಗವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಗುಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುತ್ತವೆ. ಫಾಕ್ನರ್-ಸ್ಕಾನ್ ಸಮೀಕರಣ-ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಗಡಿ ಪದರ ಫಾಕ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಾನ್ ಕೆಲವು ಏಕರೂಪದ ವೇಗ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೆಣೆ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬ್ಲಾಸಿಯಸ್ ಗಡಿ ಪದರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಪ್ರಾಂಡ್ಟ್ಲ್ x-ಆವೇಗ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಒತ್ತಡದ ಇಳಿಜಾರಿನ ಪದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ರೆನಾಲ್ಡ್ಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಬರ್ನೌಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಫಾಕ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಾನ್ನ ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಊಹೆಯಾಗಿತ್ತು. ಹೀಗಾಗಿಃ ಇಲ್ಲಿ ಗಡಿ ಪದರದ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುವ ವೇಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಹೊರಗಿನ ಪ್ರದೇಶದ ಯೂಲರ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್) ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಬರ್ನೌಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಫಾಕ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಾನ್, ಗಡಿ ಪದರದ ದಪ್ಪ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು x ನ ಸರಳ ಶಕ್ತಿ ಕಾರ್ಯಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಿದಾಗ ಹೋಲಿಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರು. ಅಂದರೆ, ವೇಗ ಹೋಲಿಕೆ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಭಾವಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಬೆಣೆ ಉದ್ದ ಮತ್ತು m ಒಂದು ಆಯಾಮರಹಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಫಾಕ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಾನ್ ಅವರು ಗಡಿ ಪದರದ ದಪ್ಪ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಪ್ರಾಂಡ್ಟ್ಲ್ ಆವೇಗದ ಗಡಿ ಪದರದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ ಸಾಮೂಹಿಕ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವೇಗಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದರರ್ಥ ಸ್ಟ್ರೀಮ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಧಾರಿತ ವೇಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ವೇಗದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಯಾಮರಹಿತವಾದ ಪ್ರಾಂಡ್ಟ್ಲ್ x-ಮೊಮೆಂಟಮ್ ಸಮೀಕರಣವು ಫಾಕ್ನರ್-ಸ್ಕಾನ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಡ್ಯಾಶ್ ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಎಫ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದೇ ಬ್ಯಾಕ್-ಔಟ್ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಯಂತೆ ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದುಃ ಕೆಲವು ಕುಶಲತೆಯ ನಂತರ, ಬೆಣೆ ಕೋನವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಕರಣವು ಬ್ಲಾಸಿಯಸ್ ಗಡಿ ಪದರದ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹೈಮೆನ್ಜ್ ಹರಿವಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ, m <0 ಪ್ರತಿಕೂಲ ಒತ್ತಡದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಡಿ ಪದರದ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ) ಆದರೆ m> 0 ಅನುಕೂಲಕರ ಒತ್ತಡದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. 1937ರಲ್ಲಿ, ಫಾಕ್ನರ್-ಸ್ಕಾನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಭೌತಿಕ ಪರಿಹಾರಗಳು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಹಾರ್ಟ್ರಿ ತೋರಿಸಿದರು. m ನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅಂದರೆ, ಬಲವಾದ ಪ್ರತಿಕೂಲ ಒತ್ತಡದ ಇಳಿಜಾರುಗಳಿಗೆ, η = 0 ನಲ್ಲಿ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹಾರಗಳು η ನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ f (η)> 1 ಎಂಬ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಗಡಿ ಪದರದಲ್ಲಿನ ವೇಗವು ಮುಖ್ಯ ಹರಿವಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ವಿಲ್ಕಾಕ್ಸ್ (2007) ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಕೈಯಲ್ಲಿ f ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ದ್ರಾವಣದೊಂದಿಗೆ, ಫಾಕ್ನರ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಾನ್ ವೇಗಗಳು ಆಗುತ್ತವೆಃ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಂಡ್ಟ್ಲ್-ಮೊಮೆಂಟಮ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು-ಒತ್ತಡದ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು,/, (ಇದು = 1 ಮತ್ತು = 2m/(m + 1) ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ) ಅಲ್ಲಿ ಫಾಕ್ನರ್-ಸ್ಕಾನ್ ಪ್ರೊಫೈಲ್ಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ದಪ್ಪವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಬೆಣೆ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಶಿಯರ್ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಸಂಕೋಚಕ ಫಾಕ್ನರ್-ಸ್ಕಾನ್ ಗಡಿ ಪದರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಲ್ಲಿ ಗೋಡೆಯ ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಎಂಥಾಲ್ಪಿಯೊಂದಿಗೆ ಫಾಕ್ನರ್-ಸ್ಕಾನ್ ಗಡಿ ಪದರವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಂದ್ರತೆ, ಸ್ನಿಗ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಉಷ್ಣ ವಾಹಕತೆಯು ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲ. ಕಡಿಮೆ ಮ್ಯಾಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಆವೇಗ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪ್ರತ್ಯಯದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಂಡ್ಟ್ಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಡಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಆಗುತ್ತವೆ. ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳದ ಗಡಿ ಪದರಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ರೂಪಾಂತರವು ಮುಂದುವರಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೋಲಿಕೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ. ಹಾವರ್ಥ್ ರೂಪಾಂತರ ಹಾವರ್ಥ್-ಡೊರೊಡ್ನಿಟ್ಸಿನ್ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲಿಕೆಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಗಾಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು. ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ. ಬ್ಲಾಸಿಯಸ್ ಗಡಿ ಪದರದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಡಿ ಪದರಗಳ ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ