Lafforgue's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು, ಲಾರೆಂಟ್ ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ನ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವೆಯಿಲ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿಎಲ್1ಗಾಗಿ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಊಹೆಗಳು ಜಿಎಲ್1 (ಕೆ) ಗಾಗಿ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಊಹೆಗಳು ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ (ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ) ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಆರ್ಟಿನ್ ನಕ್ಷೆಯು ಆದರ್ಶ ವರ್ಗದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವೈಲ್ ಗುಂಪಿನ ಅಬೆಲಿಯನೈಸೇಶನ್ಗೆ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಜಿಎಲ್ಎನ್ (ಎಫ್) ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಜಿಎಲ್ಎನ್ (ಎಫ್) ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಜಿಎಲ್ಎನ್ (ಎಫ್) ಗಾಗಿ ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಇಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಪಿ ಯ ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ ಎಂಬುದು ಪಿ ಗೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ನಡುವೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ σ ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಜಿಎಲ್ಎನ್ (ಎಫ್) ನ ಕಸ್ಪಿಡಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಮಾನತೆ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಎಫ್ ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಳದಲ್ಲೂ ಎಲ್-ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಎಫ್ ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ n ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಲ್-ಆಡಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಮಾನತೆ ವರ್ಗಗಳು σ (π). ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರತಿ ಕಸ್ಪಿಡಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ σ (π) ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡುವ ಉದ್ದೇಶವು ಎಲ್ಲಾ N ಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಮಟ್ಟದ N ರಚನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯ n ನ ಶ್ಟುಕಾಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ l-adic ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡುವುದು. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಸೀಮಿತ ರೀತಿಯದ್ದಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಅಸಾಧಾರಣವಾದ ತಾಂತ್ರಿಕ ತೊಂದರೆಗಳಿವೆ. ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ರಾಮಾನುಜನ್-ಪೀಟರ್ಸನ್ ಅವರ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಜಿಎಲ್ಎನ್ (ಎಫ್) ಗೆ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ರೂಪವು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮದ ಕೇಂದ್ರ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಳದಲ್ಲೂ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಕೆ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮದ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪಿನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಫೈನೈಟ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಎಲ್-ಅಡಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು 0 ತೂಕದ ಶುದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಲೋಕಲ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಕನ್ಜೆಕ್ಚರ್ಸ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್, ಲಾರೆಂಟ್ (2002), "ಚ್ಟೌಕಾಸ್ ಡಿ ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್, ಫಾರ್ಮ್ಯುಲ್ ಡೆಸ್ ಟ್ರೇಸಸ್ ಡಿ ಆರ್ಥರ್-ಸೆಲಬರ್ಗ್ ಎಟ್ ಕರಸ್ಪಾಂಡೆನ್ಸ್ ಡಿ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್" ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. (ಡ್ರಿನ್ಫೆಲ್ಡ್ ಶ್ಟುಕಾಸ್, ಆರ್ಥರ್-ಸೆಲಬರ್ಗ್ ಟ್ರೇಸ್ ಫಾರ್ಮುಲಾ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಕರೆಸ್ಪಾಂಡೆನ್ಸ್) ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. I (ಬೀಜಿಂಗ್, 2002), 383-400, ಹೈಯರ್ ಎಡ್. ಪ್ರೆಸ್, ಬೀಜಿಂಗ್, 2002. ಗೆರಾರ್ಡ್ ಲೌಮನ್ (2002), "ದಿ ವರ್ಕ್ ಆಫ್ ಲಾರೆಂಟ್ ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್", ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಐಸಿಎಂ, ಬೀಜಿಂಗ್ 2002, ಸಂಪುಟ. 1, 91-97, ಜಿ. ಲೌಮನ್ (2000), "ಲಾ ಕರೆಸ್ಪಾಂಡೆನ್ಸ್ ಡಿ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಸುರ್ ಲೆಸ್ ಕಾರ್ಪ್ಸ್ ಡಿ ಫಾಂಕ್ಷನ್ಗಳು (ಡಿ 'ಅಪ್ರೆಸ್ ಲಾರೆಂಟ್ ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್)" (ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ (ಲಾರೆಂಟ್ ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ ಪ್ರಕಾರ)), ಸೆಮಿನೈರ್ ಬೌರ್ಬಾಕಿ, 52e ಅನ್ನಿ, 1999-2000, ನಂ. 873 ಆಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಲ್ಯಾಫೋರ್ಗ್ನ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳು ದಿ ವರ್ಕ್ ಆಫ್ ರಾಬರ್ಟ್ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಥೀರಂಸ್ ಇನ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ನಂಬರ್ ಥಿಯರಿ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ಊಹೆಗಳು ವರ್ಗ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಥೀರಂಸ್ ಇನ್ ರೆಪ್ರೆಸೆಂಟೇಶನ್ ಥಿಯರಿ