Representation up to homotopy
ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಹಲವಾರು ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ 'ಭೌತಿಕ' ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಅಂಶದ ನಿರ್ಣಯದ ಮೇಲೆ ಬಲವಾದ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸದಿರುವಿಕೆಯನ್ನು ಎತ್ತುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿ, ಇದು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋಯಿಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ವಾಹಕ ಕಟ್ಟುಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಇದನ್ನು ಅಬಾದ್ ಮತ್ತು ಕ್ರೇನಿಕ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಒಂದು ಪ್ರೇರಣೆಯಾಗಿ ನಿಯಮಿತ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಡ್ (A, ρ, [.,]) ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. (ನಿಯಮಿತ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಆಂಕರ್ ρ ಸ್ಥಿರ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ರಮವಾಗಿ g (A) = ಕೆರ್ ρ ಮತ್ತು ν (A) = TM/IM ρ ಮೇಲೆ ಎರಡು ನೈಸರ್ಗಿಕ A-ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯ್ಡ್ A ಯ ವಿರೂಪತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ ಇದು ವಿರೂಪಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ಸಮರೂಪತೆಯು (ಇಲ್ಲಿ Hdef ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ) ಎರಡು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾದ g (A) ಮತ್ತು ν (A) ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ρ ಸ್ಥಿರ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು g (A) ಮತ್ತು ν (A) ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಬದಲಿಗೆ ನಾವು 2-ಅವಧಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ A → TM ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಇದು ಇಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಲೆಟ್ (A, ρ, [.,]) ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಮೇಲೆ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಡ್ ಆಗಿರಿ ಮತ್ತು ω (ಎ) ಅದರ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಡ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ E ಎಂಬುದು M ಮೇಲೆ Z-ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ω (A, E) = ω (A) (E) ಅದರ Z-ಶ್ರೇಣೀಕೃತ A-ಕೊಚೈನ್ಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು Eಯಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. Eಯ ಮೇಲೆ Aಯ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ D ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಲೇಬ್ನಿಜ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ. ಡಿ2 = 0. ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಮೇಲೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದಂತೆ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ 1 ಆಪರೇಟರ್, ಅಂದರೆ 0 ಗೆ ವರ್ಗಗಳಿರುವ, ಒಂದು ಎ-ಸಂಪರ್ಕ, ಅಂದರೆ ಒಟ್ಟು ಡಿಗ್ರಿ 1 ರ ಎಂಡ್ (ಇ)-ಮೌಲ್ಯದ ಎ-2-ರೂಪ ω2, ಅಂದರೆ ವಕ್ರತೆಯು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಒಟ್ಟು ಡಿಗ್ರಿ 1 ರ ಎಂಡ್ (ಇ)-ಮೌಲ್ಯದ ಎ-ಪಿ-ರೂಪಗಳನ್ನು ωp ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಅದೇ ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯ್ಡ್ ಎ ಯ ಹೋಮೋಟೋಪಿ (ಇ, ಡಿಇ) ಮತ್ತು (ಎಫ್, ಡಿಎಫ್) ವರೆಗಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಒಂದು ಡಿಗ್ರಿ 0 ಮ್ಯಾಪ್ ಆಗಿದೆಃ φ: ω (ಎ, ಇ) → ω (ಎ, ಎಫ್) ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಈಗ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಹೋಮೋಮೊರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿಯವರೆಗಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ನಾವು ರೆಪ್ ν ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಕೊಕ್ಪೊಸಿಷನ್ ಆಫ್ ಡಿಅನ್ನು ಕೋಚೈನ್ ಮ್ಯಾಪ್, ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕ ρ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ನಾವು φ ಅನ್ನು φ0 + φ1 + ಎಂದು ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಮತ್ತು ನಂತರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಓದುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋಯಿಡ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳು, ಅಂದರೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು p-ರೂಪ ωp ನಿಂದ E = M × R [0] ωR [p] ಮತ್ತು ನಿರ್ವಾಹಕ D = ρ + ωp ಯೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ρ ಎಂಬುದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಬಂಡಲ್ M × R ನಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಂಪರ್ಕವಾಗಿದೆ. ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಡಿ = ಷ್ಣ + ಂಡ್ರ + ω2 + ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗಿನ ಹೊಸ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಗದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. D "'= ಷ್ಣೂ − ρ + ω2 − ω3 + −. ಸಂಯೋಜಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯಿಡ್ (A, ρ, [.,]) ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಮಿಶ್ರ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಈ ವಕ್ರತೆಯು ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟಿಎಂನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಜೋಡಿ ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರೋಯಿಡ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಎ ಯ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಅವಲೋಕನವೆಂದರೆ, ಆಂಕರ್ ನಕ್ಷೆ ρ ನಿಂದ ಅಲಂಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಈ ಪದವು, ತದನುಸಾರವಾಗಿ, ಎರಡೂ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಪದಾರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ರೀತಿ ಹೊಂದಿಸಬಹುದುಃ ಮತ್ತೊಂದು ಅವಲೋಕನವೆಂದರೆ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಆಯ್ದ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಎರಡು ಎ-ಸಂಪರ್ಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಎಂಡ್ (ಇ ") ನಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಎ-1-ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ