Integral of the secant function
ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸೆಕೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಅನೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಗುರುತುಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮಾನವೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಈ ಸೂತ್ರವು ವಿವಿಧ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಕಾಂಟ್ ಕ್ಯೂಬ್ಡ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ವಿಶೇಷವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಬರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸೆಕೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ವಿಲೋಮ ಗುಡೆರ್ಮನ್ನಿಯನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ, ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಕೆಲವು ವಾದಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ವಿಲೋಮ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೈನ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ನೈಜ ವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಕಾಂಟ್ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಮೊದಲು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಅದರ ಪ್ರಕಾರದ ಮೊದಲ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದು ಮರ್ಕೆಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ನ ಲಂಬ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾದ ದಿಕ್ಸೂಚಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಗರ ಸಂಚಾರಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನ ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ಗಳು ಸಮಾನವಾದ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ಸೆಕೆಂಟ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪುರಾವೆಃ ನಾವು ಮೂರು ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅರ್ಧ-ಕೋನ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಮರ್ಕೇಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆರ್ಡಿನೆಟ್ನ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಅಕ್ಷಾಂಶವು ಮತ್ತು, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೂಪಗಳ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇತಿಹಾಸ ಸೆಕೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು "ಹದಿನೇಳನೇ ಶತಮಾನದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ", ಇದನ್ನು ಜೇಮ್ಸ್ ಗ್ರೆಗೊರಿ 1668 ರಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಿದರು. ಅವರು ತಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನಾಟಿಕಲ್ ಟೇಬಲ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. 1599ರಲ್ಲಿ, ಎಡ್ವರ್ಡ್ ರೈಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದರು-ಇದನ್ನು ಇಂದು ನಾವು ರೀಮನ್ ಮೊತ್ತಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವರು ನಕ್ಷೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಯಸಿದ್ದರು-ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ಮರ್ಕೇಟರ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು. 1640ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ನ್ಯಾವಿಗೇಷನ್, ಸರ್ವೇಯಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಗಣಿತ ವಿಷಯಗಳ ಶಿಕ್ಷಕನಾದ ಹೆನ್ರಿ ಬಾಂಡ್, ರೈಟ್ನ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಗಣಿಸಲಾದ ಸೆಕೆಂಟ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಲಾಗರಿದಮ್ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಈ ಊಹೆಯು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಯಿತು ಮತ್ತು 1665ರಲ್ಲಿ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ಗೆ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪರ್ಯಾಯದಿಂದ (ಗ್ರೆಗೊರಿಯವರ ವಿಧಾನ) ವಿವಿಧ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಸೆಕೆಂಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನವು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ನಂತರ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಸೆಕಾಂಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಿದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿ ಸೆಕಾಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಮೊತ್ತದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಹೀಗೆ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದದಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪರ್ಯಾಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಜೇಮ್ಸ್ ಗ್ರೆಗೊರಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನದಿಂದ (ಬ್ಯಾರೋ ಅವರ ವಿಧಾನ) ಗ್ರೆಗೊರಿ 1668ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಎಕ್ಸರ್ಸಿಟೇಷನ್ಸ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರೂ, ಆಧುನಿಕ ಓದುಗರಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು; ಐಸಾಕ್ ಬ್ಯಾರೋ, 1670ರ ಲೆಕ್ಷನ್ಸ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ "ಅರ್ಥವಾಗುವ" ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಆದರೂ ಅದು "ಅಂದಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಭಾಷಾವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೂಡಿದ್ದು". ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಾರೋ ಅವರ ಪುರಾವೆಯು ಏಕೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಆರಂಭಿಕ ಬಳಕೆಯಾಗಿದೆ. ಆಧುನಿಕ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡ ಬ್ಯಾರೋ ಅವರ ಪುರಾವೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತುಃ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅರ್ಧ-ಕೋನ ಪರ್ಯಾಯ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅರ್ಧ-ಕೋನ ಪರ್ಯಾಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಆದ್ದರಿಂದ ಸೆಕೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಅಲ್ಲದ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅರ್ಧ-ಕೋನ ಪರ್ಯಾಯದ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಸಹ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು 2013 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ಬದಲಿಃ ಎರಡು ಸತತ ಬದಲಿಗಳಿಂದ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಅನ್ನು ಇಂಟೆಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕವೂ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಎಂದು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಈಗ ಸರಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಕ್-ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಕೋಸೆಕೆಂಟ್, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೋಸೆಕೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು ಇದೇ ರೀತಿಯ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇತರ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೂಪಗಳು ಇತರ ಎರಡು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೂಪಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಮತ್ತೆ ಅನುಕೂಲಕರ ಪದದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕಃ ಅಲ್ಲಿ ಸಬ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟಿಂಗ್, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಸೈನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಅಂತೆಯೇಃ ಪರ್ಯಾಯ,, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಪರ್ಯಾಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದುಃ ಏಕೆಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಏನು ಬೇಕಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸ್ಥಿರ ಪದವನ್ನು ಅದರಲ್ಲಿ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಥೀಟಾ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅದರ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಚಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ನಾವು ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದುಃ ಗುಡೆರ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟಿಯನ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸೆಕೆಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಗುಡೆರ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆಃ ಸೆಕೆಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟಿಯನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಗುಡೆರ್ಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆಃ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎದುರಾಗುತ್ತವೆಃ ರೇಖಾಂಶ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮರ್ಕೇಟರ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಸೆಕೆಂಟ್ ಕ್ಯೂಬ್ಡ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಸಮಗ್ರ ಗಣಕಯಂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ