Small cancellation theory
ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿಯೇ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಪರಸ್ಪರ "ಸಣ್ಣ ಅತಿಕ್ರಮಣಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಗುಂಪಿನ ಬೀಜಗಣಿತ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ಬಲವಾದ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳು ಪದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ರಾಕ್ಷಸರನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತು ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ವಿಚಾರಗಳು 1910 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಡೆಹ್ನ್ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಕುಲಗಳ ಮುಚ್ಚಿದ ದಿಕ್ಕಿನ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪುಗಳು ಈಗ ಡೆಹ್ನ್ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಲ್ಲವು ಎಂದು ಡೆಹ್ನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಗುಂಪಿನ ಕೇಲಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕೇಲಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಲೂಪ್ಗಾಗಿ ಗಾಸ್-ಬಾನೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ವಕ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದು, ಅಂತಹ ಲೂಪ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಂಬಂಧದ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗವನ್ನು (ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು) ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುವುದು ಅವರ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. 1949ರ ಟಾರ್ಟಾಕೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧವು ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ತಕ್ಷಣದ ಪೂರ್ವಸೂಚಕವಾಗಿತ್ತುಃ ಈ ಪ್ರಬಂಧವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸಿತು, ಅಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಪ್ರಕಾರದ ಊಹೆಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸಿದವು. ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು, ಇಂದು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿರುವಂತೆ, ಮಾರ್ಟಿನ್ ಗ್ರೀನ್ಡ್ಲಿಂಗರ್ ಅವರು 1960 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅವರು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ "ಮೆಟ್ರಿಕ್" ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, C′ (1/6) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳು ಡೆಹ್ನ್ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಪದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಗ್ರೀನ್ಡ್ಲಿಂಗರ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಲಿಂಡನ್, ಷಪ್ ಮತ್ತು ಲಿಂಡನ್-ಷಪ್ ಅವರ ನಂತರದ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು, ಅವರು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಉಚಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಎಚ್ಎನ್ಎನ್-ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು, ಅವರು ಸಿದ್ಧಾಂತದ "ಶ್ರೇಣೀಕೃತ" ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಶೋಧನೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದರ್ಜೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ರಿಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಉನ್ನತ ದರ್ಜೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ರಿಲೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ದೊಡ್ಡ ಅತಿಕ್ರಮಣವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಓಲ್ಶಾಸ್ಕಿಯು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ದೈತ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿವಿಧ "ದೈತ್ಯಾಕಾರದ" ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಬೆಸ ಘಾತಾಂಕದ ಮುಕ್ತ ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ ಗುಂಪುಗಳು ಅನಂತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಹೊಸ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿದರು (ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಆಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ನೊವಿಕೋವ್ ಅವರು 1968 ರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು). ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿತು, ಇದನ್ನು ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರು 1987 ರ ಮೂಲಭೂತ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ "ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು" ನಲ್ಲಿ ಮಂಡಿಸಿದರು. ಮುಖ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಕೆಳಗಿನ ವಿವರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ Ch ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಲಿಂಡನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಪ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದ ವಿ. ತುಣುಕುಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಆರ್ ಷ್ ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ಎಂಬುದು ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಪದಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಆರ್ ಅನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾದ ಪದ ಯು ಅನ್ನು (ಆರ್) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ತುಂಡು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆರ್ ನಲ್ಲಿ ಆರ್ 1, ಆರ್ 2 ಎಂಬ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದು ಯು ಅನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರಂಭಿಕ ಭಾಗವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ರಿಲೇಟರ್ಗಳು S ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ S ನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ R ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ R, S ಮತ್ತು S−1 ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಆರ್ ಅನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಜಿ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತುಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿದೆ 0 <λ <1 ಆಗಿರಲಿ. ಮೇಲಿನಂತೆ ಪ್ರಸ್ತುತಿ (ಱ್ಱಂ) ಯು (ಱ್ಱಂ) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು ತುಣುಕು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯು ಕೆಲವು r ωR ನ ಉಪಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ |u | <λ |r | ಅನ್ನು C′ (λ) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ |v | ಎಂಬುದು ಪದದ ಉದ್ದ v. C′ (λ) ಎಂಬ ಷರತ್ತನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಮಾಲ್ ಕ್ಯಾನ್ಸಲೇಷನ್ ಷರತ್ತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತುಗಳು p ± 3 ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಮೇಲಿನಂತೆ ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿ (ಱ್ಱಂ) ಅನ್ನು ಸಿ (ಪಿ) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವಾಗ r ω ಆರ್ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಯುಐ ತುಣುಕುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿರುವಂತೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದರೆ, m ω p. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ರಿಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪಿ ತುಣುಕುಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಕಡಿಮೆ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. q ± 3 ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. 3 ≤ t <q ಮತ್ತು r1,.., rt, R ನಲ್ಲಿ r1 ≤ r2 − 1,., rt ≤ r1 − 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನಂತೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿ (ಱ್ಱಂ) T (q) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನ r1r2,., rt − 1rt, rt1 ಅನ್ನು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಷರತ್ತು ಟಿ (ಕ್ಯೂ) ಎಂದರೆ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಡಿ (ಱ್ಱಂ) ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ವ್ಯಾನ್ ಕಾಂಪೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಡಿ ಯ ಪ್ರತಿ ಆಂತರಿಕ ಶೃಂಗವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗೆ ಕೇವಲ ತುಣುಕುಗಳು 1 ಉದ್ದದ ಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ರೂಪವು C (4)-T (4) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ 1> λ> 1/4 ಗೆ C′ (λ) ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲಿ k ≤ 2, ಕುಲದ k ನ ಮುಚ್ಚಿದ ಓರಿಯೆಂಟಬಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಕೇವಲ 1 ಉದ್ದದ ಪದಗಳು ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಯು C′ (1/7) ಮತ್ತು C (8) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿಡಿ. ನಂತರ, ವಿಲೋಮದವರೆಗೆ, ಈ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆವೃತ್ತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುಣುಕು, ಬಯಾಬ್ಜ್ ಅಥವಾ ಬಿಐ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ 0 ≤ ಐ, ಜೆ ≤ 100. ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಯು C′ (1/20) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು C′ (1/m) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅದು C (m) ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಶಕ್ತಿಯಿಲ್ಲದ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಪದವಾಗಲಿ ಮತ್ತು ಎನ್ ω2 ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು C (2n) ಮತ್ತು C′ (1/n) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಗ್ರಾಂಡ್ಲಿಂಗರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮುಖ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ (Ch ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ 4.4 ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ವಿ ಆಫ್) ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರೀನ್ಡ್ಲಿಂಗರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ 0 ≤ λ ≤ 1/6 ಇರುವ C′ (λ) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮೇಲಿನಂತೆ ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಒಂದು ಉಪಪದವಾದ vಯನ್ನು ಮತ್ತು r ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ರಿಲೇಟರ್ r ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ v ಸಹ rನ ಉಪಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು λ ≤ 1/6 ಎಂಬ ಊಹೆಯು (1−3λ) ≤ 1/2 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ w ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ರಿಲೇಟರ್ಗಳ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಪಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರೀನ್ಡ್ಲಿಂಗರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹೇಳಿಕೆಯ ಪೂರಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆಃ ಗ್ರೀನ್ಡ್ಲಿಂಗರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಡಿ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಂತಹ ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಗಡಿ ಲೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ (ಱ್ಱಂ) ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ವ್ಯಾನ್ ಕ್ಯಾಂಪೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಡಿ1 ಮತ್ತು ಡಿ2 ಎಂಬ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರದೇಶಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ ಜೆ = 1,2 ಗೆ ಡಿಜೆ ಪ್ರದೇಶವು ಡಿ ಯ ಬೌಂಡರಿ ಸೈಕಲ್ ಅನ್ನು ಸರಳ ಚಾಪದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಉದ್ದವು (1−3λ) | ಡಿಎಂಜೆ | ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ D ಗೆ ಎರಡು ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ವಕ್ರತೆಯ ಸಂಯೋಜಿತ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ (ಇದು, ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಊಹೆಗಳ ಮೂಲಕ, ಪ್ರತಿ ಆಂತರಿಕ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಬ್ಬರು ಗಾಸ್-ಬಾನೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಯೋಜಿತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಗ್ರೀನ್ಡ್ಲಿಂಗರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಯು ಮೇಲ್ಮೈ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡೆಹ್ನ್ರ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಯ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತದೆ. ಡೆಹ್ನ್ 'ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಮೂರ್ತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಡೆಹ್ನ್' ಸ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ X ±1 ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾದ ಪದವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾದ ಪದಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ W = W0, W1, W2. ಡಬ್ಲ್ಯೂಜೆ ಅನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅದು ಖಾಲಿ ಪದವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, |v |> |r |// 2 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಕೆಲವು ರಿಲೇಟರ್ r = vu ωR ನ ಉಪಪದವೂ ಆಗಿರುವಂತೆ, wj ಒಂದು ಉಪಪದ v ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಔಟ್ಪುಟ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂಜೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸಿ. ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ವಿ ಅನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂಜೆಯಲ್ಲಿ ಯು-1 ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ನಂತರ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಪದವನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂಜೆ + 1 ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಮುಂದಿನ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ. ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ |w 0 |> |w1 |> |w 2 |> ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠ |w | ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು Wj ಎಂಬುದು G ಯ ಒಂದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಖಾಲಿ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಂಡರೆ, ನಂತರ W ಎಂಬುದು G ಯ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹೇಳುವಂತೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ ಡೆಹ್ನ್ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ G ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ, ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ F (X) ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಪದಕ್ಕೆ ಈ ಪದವು G ಯ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಡೆಹ್ನ್ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, W ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ, ಖಾಲಿ ಪದದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಂಡರೆ ಮಾತ್ರ. ಗ್ರೀನ್ಡ್ಲಿಂಗರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವು ಸಿ ′ (1/6) ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ ಡೆಹ್ನ್ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು C′ (1/6) ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ X ಮತ್ತು R ಎರಡೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ), ಡೆಹ್ನ್ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ನಿರ್ಣಾಯಕವಲ್ಲದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, (ಱ್ಱಂ) ಒಂದು ಅನಂತ C′ (1/6) ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಡೆಹ್ನ್ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಜನರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಪದ X ± 1 G ಯ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ r ಮತ್ತು s ಗಳು S ನ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, r ಎಂಬುದು s ± 1 ರ ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯಲ್ಲ ಮತ್ತು G ಯ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗೆ Y ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ (ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 13.3 ಇಂಚು), ಮೇಲಿನ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, Y ಎಂಬುದು G ಗೆ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ G = π1 (Y) ಮತ್ತು Y ಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಜಿ ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾನ್ ಕ್ಯಾಂಪೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಳೀಯ "ವಕ್ರತೆಯನ್ನು"-ಬಹಳ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ-ಸರಾಸರಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಇದು, ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಟ್ಟು 2 ಆಗಿರಬೇಕು) ಮತ್ತು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ (ಅಥವಾ-ಇನ್ನೂ ಉತ್ತಮ-ಋಣಾತ್ಮಕ) ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ವಕ್ರತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿರಬೇಕು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂಬ ಪದದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದೇ ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ "ಸಣ್ಣ" ಪ್ರದೇಶವಿರುವಂತಹ ಯಾವುದೇ "ಪ್ರದೇಶಗಳ" ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಗಮನವನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸಬಹುದು. ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಗುಂಪುಗಳ ಇತರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು C′ (1/6) ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ Gಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಅಂಶವು n> 1 ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು F (X) ನಲ್ಲಿ r = sn ರೂಪದ Rಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ರಿಲೇಟರ್ r ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು gಯನ್ನು Gಯಲ್ಲಿ sಗೆ ಸಂಯೋಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, Rಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು F (X) ನಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲದಿದ್ದರೆ G ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಱ್ಱಂ) ಒಂದು ಸೀಮಿತ C′ (1/6) ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, G ಗುಂಪು ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಆರ್ ಮತ್ತು ಎಸ್ ಗಳು ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ನ ಸೀಮಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡೂ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಿ ′ (1/6) ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಆರ್ = ಎಸ್. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಸಿ ′ (1/6), ಸಿ ′ (1/4)-ಟಿ (4), ಸಿ (6), ಸಿ (4)-ಟಿ (4), ಸಿ (3)-ಟಿ (6) ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಜಿ ಗುಂಪು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಪದ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಯೋಗ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಸಿ ′ (1/6) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಗುಂಪುಗಳು ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಡೆಹ್ನ್ರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಮಾನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ತುಣುಕು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಸಿ (4)-ಟಿ (4) ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳು ಸಿಎಟಿ (0) ಗುಂಪುಗಳ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆಃ ಅಂತಹ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಹೊದಿಕೆಯು ಸಿಎಟಿ (0) ಚದರ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆರಂಭಿಕ ಅನ್ವಯಗಳು ವಿವಿಧ ಎಂಬೆಡೆಬಿಲಿಟಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒಂದು-ರಿಲೇಟರ್ ಗುಂಪು ಎಸ್. ಕ್ಯೂ.-ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 1974ರ ಸ್ಯಾಕರ್ಡೋಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಪ್ನ ಕಾಗದ ಮತ್ತು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಕ್ರಮದ ಅಂಶದಿಂದ ರಚಿಸಲಾದ ಸರಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 1976ರ ಸ್ಕಪ್ನ ಕಾಗದವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿವೆ. ಎಲಿಯಾಹು ರಿಪ್ಸ್ನಿಂದಾಗಿ ರಿಪ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರಚನೆಯು ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ವಿವಿಧ ಉಪಗುಂಪು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸಮೃದ್ಧ ಮೂಲವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆಃ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪು Q ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ರಚನೆಯು ಒಂದು ಸಣ್ಣ ನಿಖರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ K ಎರಡು-ರಚಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ G ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ C′ (1/6)-ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ G ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ). ಉಪಗುಂಪು ಸದಸ್ಯತ್ವ ಸಮಸ್ಯೆ, ಪೀಳಿಗೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಈ ನಿರ್ಮಾಣವು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಕೆಲವು ವಿನಾಯಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ, ರಿಪ್ಸ್ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕೆ ಗುಂಪು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಸುಸಂಬದ್ಧವಾಗಿರದ ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ದೈತ್ಯಾಕಾರದ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ "ದೈತ್ಯಾಕಾರದ" ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಬೆಸ ಘಾತಾಂಕದ ಮುಕ್ತ ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ ಗುಂಪುಗಳು ಅನಂತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆ ನೀಡಲು ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿಯು ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು (ಅನಂತ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳಿಗಾಗಿ) ಬಳಸಿದರು (ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂಲತಃ ಆಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ನೊವಿಕೋವ್ ಅವರು 1968 ರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಯೋಜಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು). ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿಯು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಕೆಲವು ಇತರ "ದೈತ್ಯಾಕಾರದ" ಗುಂಪುಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಅನಂತ ಸರಳ ನೊಥೇರಿಯನ್ ಗುಂಪು; ಪ್ರತಿ ಸರಿಯಾದ ಉಪಗುಂಪು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುವ ಅನಂತ ಗುಂಪು; ಪ್ರತಿ ಸರಿಯಾದ ಉಪಗುಂಪು ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಅಸಂಘಟಿತ ಗುಂಪು; ಮತ್ತು ಇತರ. ಎರಡು-ಜನರೇಟರ್ ಗುಂಪುಗಳ ಅನೇಕ ಅರೆ-ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಪ್ರಕಾರಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬೌಡಿಚ್ ಅನಂತ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಥಾಮಸ್ ಮತ್ತು ವೆಲಿಕೋವಿಕ್ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿ ಎರಡು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಕೋನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾದ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಹೀಗೆ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಿದರು. ಮೆಕ್ಕಾಮೊಂಡ್ ಮತ್ತು ವೈಸ್ ಅವರು ರಿಪ್ಸ್ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿವಾರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಗುಂಪುಗಳ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು (ಅಲ್ಲಿಯೇ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು, ಇದಲ್ಲದೆ, ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ (ಅಲ್ಲಿಯೇ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಕ್ವಾಸಿಕೋನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ). "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಅಥವಾ "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ" ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳ ವಿವಿಧ ಮಾದರಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ವಿಧಾನಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ (ನೋಡಿ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ m ≤ 2 ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ t ≤ 1 ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ λ <1 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ m-ಜನರೇಟರ್ t-ರಿಲೇಟರ್ ಗುಂಪಿಗೆ C′ (λ) ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ (2m−1) εn ಆಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆಯಾದರೂ (ಇಲ್ಲಿ ε "ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ" ಗುಂಪುಗಳ ಗ್ರೊಮೊವ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದ್ದ ಎಲ್ಲಿದೆ), ε-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗುಂಪು ε <1/12 ಒದಗಿಸಿದ C′ (1/6) ಷರತ್ತನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅನಂತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (ಸೂಕ್ತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) "ಒಳಗೊಂಡಿರುವ" ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ನೊವಿಕೋವ್ ಊಹೆಗೆ ಪ್ರತಿ-ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ನಿರ್ದೇಶನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಏಕೈಕ). ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಥರ್ಸ್ಟನ್ನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಡೆಹ್ನ್ ಶಸ್ತ್ರಚಿಕಿತ್ಸೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಓಸಿನ್ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಏಕೀಕರಣಗೊಂಡ ಉಚಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಎಚ್. ಎನ್. ಎನ್. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಭಾಗಶಃ ಗುಂಪುಗಳಿಗಾಗಿ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸ್ಯಾಕರ್ಡೋಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಪ್ನ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಲಿಂಡನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಪ್ನ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ರಿಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ "ಶ್ರೇಣೀಕೃತ" ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ರಿಲೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸ್ತರಗಳ ಆರೋಹಣ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪ್ರತಿ ಸ್ತರವು ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸ್ತರಗಳಿಂದ ರಿಲೇಟರ್ r ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ತರದಿಂದ ರಿಲೇಟರ್ s ಗೆ ಅವುಗಳ ಅತಿಕ್ರಮಣವು |s | ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬೇಕು ಆದರೆ |r | ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿಗೆ ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ದೈತ್ಯ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ "ದೈತ್ಯಾಕಾರದ" ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಬೆಸ ಘಾತಾಂಕದ ಮುಕ್ತ ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ ಗುಂಪುಗಳು ಅನಂತವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಹೊಸ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಡೆಲ್ಜಾಂಟ್ ನಂತರ ಪದ-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಿಗಾಗಿ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಮೆಕ್ಕಾಮಂಡ್ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಕ್ಕ್ಯಾಮಂಡ್ ಮತ್ತು ವೈಸ್ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾನ್ ಕ್ಯಾಂಪೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ (ಗ್ರೀನ್ಡ್ಲಿಂಗರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾದಂತಹ) ಮೂಲ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಮುನ್ನಡೆಸಿದರು. ಗ್ರೊಮೊವ್ ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅನಂತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು (ಸೂಕ್ತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) "ಒಳಗೊಂಡಿರುವ" ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಓಸಿನ್ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಕ್ವೋಟಿಯನ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರು ಮತ್ತು ಥರ್ಸ್ಟನ್ನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಡೆಹ್ನ್ ಸರ್ಜರಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಮೂಲಭೂತ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರೋಜರ್ ಲಿಂಡನ್ ಮತ್ತು ಪಾಲ್ ಷುಪ್, ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ. 1977ರ ಆವೃತ್ತಿಯ ಮರುಮುದ್ರಣ. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ಸ್. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ಬರ್ಲಿನ್, 2001. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಯು. ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿ, ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಜ್ಯಾಮಿತಿ. 1989ರ ರಷ್ಯನ್ ಮೂಲದಿಂದ ಯು ಇದನ್ನು ಭಾಷಾಂತರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಎ. ಬಖ್ತುರಿನ್. ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳು (ಸೋವಿಯತ್ ಸರಣಿ), 70. ಕ್ಲೂವರ್ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್ ಗ್ರೂಪ್, ಡೋರ್ಡ್ರೆಕ್ಟ್, 1991. ರಾಲ್ಫ್ ಸ್ಟ್ರೆಬೆಲ್, ಅನುಬಂಧ. ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಗುಂಪುಗಳು. ಸುರ್ ಲೆಸ್ ಗ್ರೂಪ್ಸ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಡಿ 'ಅಪ್ರೆಸ್ ಮಿಖೇಲ್ ಗ್ರೊಮೊವ್ (ಬರ್ನ್, 1988), ಪು. 227-273, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿ, 83, ಬಿರ್ಖೌಸರ್ ಬೋಸ್ಟನ್, ಬೋಸ್ಟನ್, ಮ್ಯಾಸಚೂಸೆಟ್ಸ್, 1990. ಮಿಲೆ ಕ್ರಾಜ್ಸೆವ್ಸ್ಕಿ, ಟಿಲಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಪ್ಲೇನ್, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ರದ್ದತಿ ಷರತ್ತುಗಳು. ಮೆಮೋಯಿರ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ, ಸಂಪುಟ. 154 (2001), ನಂ. 733. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ವರ್ಡ್-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ದೈತ್ಯಾಕಾರದ ಗುಂಪು ಬರ್ನ್ಸೈಡ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಗುಂಪು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವರ್ಡ್ ಸಮಸ್ಯೆ ವ್ಯಾನ್ ಕ್ಯಾಂಪೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪದಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ