Hp-FEM
ಬದಲಾಗುವ ಗಾತ್ರ (ಎಚ್) ಮತ್ತು ಬಹುಪದ ಪದವಿ (ಪಿ) ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ತುಣುಕು-ಬಹುಪದ ಅಂದಾಜುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನದ (ಎಫ್ಇಎಂ) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಎಚ್ಪಿ-ಎಫ್ಇಎಂ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಯು ಬರ್ನಾ ಎ. ಸ್ಜಾಬೋ ಮತ್ತು ಐವೊ ಬಾಬುಸ್ಕಾ ಅವರ ಆವಿಷ್ಕಾರದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ, ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಎಚ್-ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳನ್ನು (ಅಂಶಗಳನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವುದು) ಮತ್ತು ಪಿ-ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಳನ್ನು (ಅವುಗಳ ಬಹುಪದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು) ಬಳಸಿ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿದಾಗ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ನ ಘಾತೀಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಂಶೋಧಕರು ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಬೀಜಗಣಿತದ ದರದಲ್ಲಿ ಒಗ್ಗೂಡುವ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಗಿಂತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಅನೇಕ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ (ಲೋವರ್ ಆರ್ಡರ್) ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಯ್ಕೆಃ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಉನ್ನತ-ದರ್ಜೆಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರಚಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಗುಂಪಿನ ಆಯ್ಕೆಯು ಬಿಗಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಂಡೀಷನಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಮೇಲೆ ನಾಟಕೀಯವಾಗಿ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಬಹುದು. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಬಾಬುಸ್ಕಾ ಮತ್ತು ಇತರರು ದಾಖಲಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಎಚ್. ಪಿ.-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಃ ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಚ್. ಪಿ.-ಪರಿಷ್ಕರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಉಪವಿಭಜನೆ ಮಾಡದೆ ಅದರ ಬಹುಪದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು, ಅಥವಾ ಅಂಶವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಉಪವಿಭಜನೆ ಮಾಡುವುದು, ಅಲ್ಲಿ ಉಪ-ಅಂಶಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ಬಹುಪದ ಮಟ್ಟಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಅಂಶ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ 100 ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ 1000 ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಲುಪುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ದೋಷದ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಎಚ್ಪಿ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಫ್ಇಎಂನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ). ಪ್ರತಿ ಅಂಶದಲ್ಲಿನ ದೋಷದ ಆಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಉಲ್ಲೇಖ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅಥವಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪರಿಗಣನೆಗಳಂತಹ ಇತರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು. ಜೋಡಣೆ ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರ CPU ಸಮಯಗಳ ಅನುಪಾತಃ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ FEMನಲ್ಲಿ, ಬಿಗಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇದು ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವು ಒಟ್ಟಾರೆ ಗಣನೆಯ ಸಮಯದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ನಲ್ಲಿನ ಬಿಗಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ (ಅದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ) ಅವುಗಳ ಜೋಡಣೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಚತುರ್ಭುಜದ ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚದಿಂದಾಗಿ, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವೇಗದ ಒಮ್ಮುಖ ದರಗಳ ಲಾಭವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಫ್ಇಎಂಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸವಾಲುಗಳುಃ ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಗಿಂತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಂಡಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವಗಳ (ಡಿ. ಎಂ. ಪಿ.)ಂತಹ ಹಲವಾರು ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಊಹೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಪೀಸ್ವೈಸ್-ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಎಫ್ಇಎಂ ಅಂದಾಜು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪಿಡಿಇಗೆ ಹೋಲುವ ಗರಿಷ್ಠ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತವೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಾಂದ್ರತೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಾಂದ್ರತೆ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಯಾವುದೇ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು, ಅಂದಾಜು ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವುದರಿಂದ ಅಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಡಿ. ಎಂ. ಪಿ. ಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಗೆ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಡಿ. ಎಂ. ಪಿ. ಯನ್ನು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸವಾಲುಗಳುಃ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಫ್ಇಎಂ ಕೋಡ್ಗಿಂತ ಎಚ್ಪಿ-ಎಫ್ಇಎಂ ಪರಿಹಾರಕವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸೇರಿವೆ (ಆದರೆ ಇವುಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿಲ್ಲ): ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಚತುರ್ಭುಜ ಸೂತ್ರಗಳು, ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಂಪರ್ಕ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿನ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಲ್ಲೇಖ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಮಾಹಿತಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಫಿಚೆರಾ ಸಮಸ್ಯೆಯು (ಫಿಚೆರಾ ಕಾರ್ನರ್ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಎಫ್ಇಎಂ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಾನದಂಡದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಫ್ಇಎಂ ಮತ್ತು ಎಚ್ಪಿ-ಎಫ್ಇಎಂನ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯಲ್ಲಿನ ನಾಟಕೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಮಸ್ಯೆಯ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಕಾಣೆಯಾದ ಮೂಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಘನವಾಗಿದೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವು ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕ ಏಕ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು (ಅನಂತ ಒತ್ತಡದ ಸಾದೃಶ್ಯ) ಹೊಂದಿದೆ. ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರದ ಜ್ಞಾನವು ಅಂದಾಜು ದೋಷವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವರಣೆಗಾಗಿ, ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಎಫ್ಇಎಂನ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳು, ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಎಚ್ಪಿ-ಎಫ್ಇಎಂ. ಒಮ್ಮುಖದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಅಂದಾಜು ದೋಷವನ್ನು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ (ಡಿ. ಓ. ಎಫ್.) ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಡಿಒಎಫ್ ಅಂದಾಜು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಡಿಒಎಫ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬಿಗಿತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಚ್ಪಿ-ಎಫ್ಇಎಂನ ಒಮ್ಮುಖವು ಇತರ ಎರಡೂ ವಿಧಾನಗಳ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಓದುಗರು ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಅಂತರವು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದು, ರೇಖೀಯ ಎಫ್ಇಎಂ ಒಮ್ಮುಖವಾಗದಿರಬಹುದು (ಸಮಂಜಸವಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಎಫ್ಇಎಂಗೆ ಸುಮಾರು 17,000 ಡಿಒಎಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಧಿಸಿದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ತಲುಪಲು ನೂರಾರು ಸಾವಿರ ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಲಕ್ಷಾಂತರ ಡಿಒಎಫ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅತ್ಯಂತ ನಿಖರವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ನ ಮುಖ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಸಣ್ಣ ಪೀಸ್ವೈಸ್-ಲೀನಿಯರ್ ಅಂಶಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡ ಹೈ-ಆರ್ಡರ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎಚ್ಪಿ-ಎಫ್ಇಎಂ ಸ್ಮೂತ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯ. ಎಡಃ ಎರಡು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಾಲರಿ. ಬಲಃ ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಾಲರಿ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೂ (1 ಡಿ. ಓ. ಎಫ್), ಅನುಗುಣವಾದ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 0.68 ಮತ್ತು 0.20 ಆಗಿವೆ. ಇದರರ್ಥ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅಂದಾಜು ಪೀಸ್ವೈಸ್ ರೇಖೀಯಕ್ಕಿಂತ ಸರಿಸುಮಾರು 3.5 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಒಂದು ಹೆಜ್ಜೆ ಮುಂದೆ ಹೋಗಿ (ಎ) ನಾಲ್ಕು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು (ಬಿ) ಒಂದು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಅಂಶಕ್ಕೆ (ಪಿ = 4) ಹೋಲಿಸಿದಾಗ, ಎರಡೂ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮೂರು ಡಿ. ಓ. ಎಫ್. ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಅಂದಾಜು ಸುಮಾರು 40 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಣ್ಣ ಕಡಿಮೆ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಶಗಳು ದೊಡ್ಡ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಉತ್ತಮವಾದ ಏಕತ್ವಗಳಂತಹ ಸಣ್ಣ-ಪ್ರಮಾಣದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಈ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಘಾತೀಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಘಾತೀಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ದೋಷದ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಿಜ ಜೀವನದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅದೇ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ತಲುಪಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಗಣನೆಯ ಸಮಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆ ಸೂಚಕಕ್ಕಾಗಿ ಎಚ್-ಮತ್ತು ಎಚ್. ಪಿ-ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. (ವೆಬ್ ಆರ್ಕೈವ್ ಲಿಂಕ್) ನಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡಿ. ಎಚ್-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಅನ್ನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮ್ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರಗೊಳಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವಾದ ತಕ್ಷಣ, ಎಚ್. ಪಿ.-ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಒಮ್ಮುಖ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆಯು ಅಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಬಹುದು. ಕೆಲವು ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ತಾಣಗಳು ಎಚ್. ಪಿ.-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯನ್ನು ಎಚ್.-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ (ಅವುಗಳ ಬಹುಪದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು) ಮತ್ತು ಪಿ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ (ಅವುಗಳ ಬಹುಪದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು) ಸಂಯೋಜನೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಚ್. ಪಿ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯು ಎಚ್-ಮತ್ತು ಪಿ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಅಂಶದ ಎಚ್. ಪಿ-ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಪಿ-ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯ ಜೊತೆಗೆ, ಅಂಶವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು (ಎಚ್-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಂತೆ), ಆದರೆ ಉಪ-ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಬಹುಪದ ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಅನೇಕ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತ್ರಿಕೋನ ಅಥವಾ ಚತುರ್ಭುಜ ಅಂಶವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಉಪ-ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಹುಪದ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡರಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ, ಆಗ ಇದು 3/4 = 81 ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಬಹುಪದವಾಗಿ ಅನಿಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಅಂತೆಯೇ, ಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಎಂಟು ಉಪ-ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬಹುಪದ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಇಳುವರಿಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು 3 ^ 8 = 6,561 ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಫ್ಇಎಂ ದೋಷ ಅಂದಾಜುಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಎಚ್ಪಿ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಎಫ್ಇಎಂನಲ್ಲಿ ಗ್ರಿಡ್ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಆಕಾರ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ಶೃಂಗ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ). ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಅನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಎಡ್ಜ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು (ಅಂಶದ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದವು), ಫೇಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು (ಅಂಶದ ಮುಖಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದವು-3ಡಿ ಮಾತ್ರ), ಮತ್ತು ಬಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು (ಅಂಶದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದಗಳು). ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ (ಒಂದೇ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ): ಗಮನಿಸಿಃ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂಶದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಓಪನ್ ಸೋರ್ಸ್ ಎಚ್ಪಿ-ಎಫ್ಇಎಂ ಸಂಕೇತಗಳು Deal.II: Deal.II ಎಂಬುದು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಕ್ತ, ತೆರೆದ ಮೂಲ ಗ್ರಂಥಾಲಯವಾಗಿದೆ. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು-ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಸಿ/ಸಿ + + ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ./ಡಿ. ಜಿ. ಎಫ್. ಇ. ಎಂ./ಬಿ. ಇ. ಎಂ. ಗ್ರಂಥಾಲಯವನ್ನು ಎಸ್. ಎ. ಎಂ., ಇ. ಟಿ. ಎಚ್. ಜ್ಯೂರಿಚ್ (ಸ್ವಿಟ್ಜರ್ಲೆಂಡ್) ಮತ್ತು ಟಿ. ಯು. ಬರ್ಲಿನ್ನಲ್ಲಿ (ಜರ್ಮನಿ) ಕೆ. ಸ್ಮಿತ್ ಅವರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. 2dhp90,3dhp90: ಅಂಡಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಫೋರ್ಟ್ರಾನ್ ಸಂಕೇತಗಳು ಮತ್ತು ಯು. ಟಿ. ಆಸ್ಟಿನ್ನ ಐಸಿಇಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್. ಡೆಮ್ಕೋವಿಕ್ಜ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪಿಎಚ್ಎಎಂಎಲ್ಃ ಸಮಾನಾಂತರ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಅಡಾಪ್ಟಿವ್ ಮಲ್ಟಿ-ಲೆವೆಲ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್. ಅಡಾಪ್ಟಿವ್ ಮೆಶ್ ಪರಿಷ್ಕರಣೆ ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿ-ಗ್ರಿಡ್ ಪರಿಹಾರ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟೆಡ್ ಮೆಮೊರಿ ಪ್ಯಾರಲಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿ-ಕೋರ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ 2ಡಿ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಅಮೆರಿಕದ ನ್ಯಾಷನಲ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಫೈನೈಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹರ್ಮೆಸ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ಃ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಪಿಡಿಇಗಳು ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಪಿಡಿಇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ-ಸಮಯದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಎಚ್ಪಿ-ಎಫ್ಇಎಂ ಪರಿಹಾರಕಗಳ ತ್ವರಿತ ಮೂಲಮಾದರಿಗಾಗಿ ಸಿ/ಸಿ + +/ಪೈಥಾನ್ ಲೈಬ್ರರಿ, ಇದನ್ನು ನೆವಾಡಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, ರೆನೋ (ಯುಎಸ್ಎ), ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಥರ್ಮೋ-ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್, ಪ್ರಾಗ್ (ಜೆಕ್ ರಿಪಬ್ಲಿಕ್), ಮತ್ತು ಪಿಲ್ಸೆನ್ (ಜೆಕ್ ರಿಪಬ್ಲಿಕ್) ನಲ್ಲಿರುವ ವೆಸ್ಟ್ ಬೊಹೆಮಿಯಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ-ಹರ್ಮೆಸ್ ಗ್ರಂಥಾಲಯದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಅಗ್ರೋಸ್ 2 ಡಿ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ನೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಿಎಚ್ಜಿಃ ಪಿಎಚ್ಜಿ ಎಂಬುದು ಸಮಾನಾಂತರ ಅಡಾಪ್ಟಿವ್ ಫೈನೈಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಟೂಲ್ಬಾಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಎಚ್-, ಪಿ-ಮತ್ತು ಎಚ್ಪಿ-ಫೆಮ್ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಪಿಎಚ್ಜಿ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸ್ಟೇಟ್ ಕೀ ಲ್ಯಾಬೊರೇಟರಿ ಆಫ್ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಅಂಡ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್, ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಆಫ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಮತ್ತು ಚೈನೀಸ್ ಅಕಾಡೆಮಿ ಆಫ್ ಸೈನ್ಸಸ್ನ (ಎಲ್ಎಸ್ಇಸಿ, ಸಿಎಎಸ್, ಚೀನಾ) ಸೈಂಟಿಫಿಕ್/ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಹಂತದಲ್ಲಿದೆ. ಪಿಎಚ್ಜಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸ್ಥಳೀಯ ಜಾಲರಿ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಗಾಗಿ ದ್ವಿಭಾಜಕವನ್ನು ಮತ್ತು ಸಂದೇಶ ರವಾನೆಗಾಗಿ ಎಂಪಿಐ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಪಿಎಚ್ಜಿ ವಸ್ತು-ಆಧಾರಿತ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಸಮಾನಾಂತರ ವಿವರಗಳನ್ನು ಮರೆಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಾಲರಿಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಳಕೆದಾರರಿಗೆ ತಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎಂ. ಓ. ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಂಕೇತವಾಗಿದ್ದು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮಟ್ಟದ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಹಂತದ ಜಾಲರಿ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಹು-ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಗಣನೆಗೆ ಹೊಂದುವಂತೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಎಲ್2, ಎಚ್1, ಎಚ್-ಡಿವ್ ಮತ್ತು ಎಚ್-ಕರ್ಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಂದಾಜುಗಳ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವಂತೆ ಇದನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸ್ಪಾರ್ಸೆಲಿಜಾರ್ಡ್ ಎಂಬುದು ಬಹು-ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಎಚ್ಪಿ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ, ಬಳಕೆದಾರ ಸ್ನೇಹಿ, ಮುಕ್ತ-ಮೂಲ ಸಿ + + ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಗ್ರಂಥಾಲಯವಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರಸ್ತುತ ಫಿನ್ಲೆಂಡ್ನ ಟ್ಯಾಂಪೆರೆ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ಗಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಎಚ್1 ಮತ್ತು ಎಚ್-ಕರ್ಲ್ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ 3ಡಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಮತ್ತು 2ಡಿ ತ್ರಿಕೋನ/ಚತುಷ್ಕೋಣ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಜಾಲರಿ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಣಿಜ್ಯ ಎಚ್. ಪಿ.-ಎಫ್. ಇ. ಎಂ. ತಂತ್ರಾಂಶ ಸ್ಟ್ರೆಸ್ ಚೆಕ್ ವಿವರವಾದ ರಚನಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕಡೆಗೆ ಆಧಾರಿತವಾದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸೀಮಿತ ಅಂಶದ ವಿಧಾನ