Equilateral pentagon
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮಬಾಹು ಪಂಚಭುಜವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ಉದ್ದದ ಐದು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಐದು ಶೃಂಗ ಕೋನಗಳು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಪೆಂಟಗನ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ನಿಯಮಿತ ಪಂಚಭುಜವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಮಬಾಹು ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಇದು ಸಮಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (ಅದರ ಐದು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ; ಅಳತೆ 108 ಡಿಗ್ರಿಗಳು). ಮುಚ್ಚಿದ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ನಾಲ್ಕು ಛೇದಿಸುವ ಸಮಾನ ವಲಯಗಳು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಮಬಾಹು ಪಂಚಭುಜವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಉಳಿದ ಶೃಂಗವನ್ನು ಸರಪಳಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ವೃತ್ತದ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಮಬಾಹು ಪಂಚಭುಜದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸಮಬಾಹು ಪಂಚಭುಜವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳಾಗಿ (ಕಿತ್ತಳೆ ಮತ್ತು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದ ತ್ರಿಕೋನಗಳು) ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದ ತ್ರಿಕೋನ). ನಮಗೆ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸೈನ್ಗಳ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಹಸಿರು ಮತ್ತು ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಕಿತ್ತಳೆ ಮತ್ತು ಹಸಿರು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಕೊಸೈನ್ಗಳ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, δನ ಕೊಸೈನ್ಅನ್ನು ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೋಡಬಹುದುಃ ಸರಳೀಕೃತವಾಗಿ, δಅನ್ನು α ಮತ್ತು βಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಪಂಚಭುಜದ ಉಳಿದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ ಕಿತ್ತಳೆ ಮತ್ತು ನೀಲಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಉಳಿದ ಕೋನಗಳು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕೋನಗಳು 180° ಮೊತ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಮತ್ತು ಹಸಿರು ತ್ರಿಕೋನದ ಉಳಿದ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಪಂಚಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 540°, ಹಸಿರು ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180°, ಕೋನವು ಅದರ ಮೂರು ಘಟಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೋನವು ಅದರ ಎರಡು ಘಟಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಆವರ್ತಕ ಪಂಚಭುಜವು ಸಮಾನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮಭುಜಾಕೃತಿಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪಂಚಭುಜವು ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮಬಾಹು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಟೈಲಿಂಗ್ ಸಮತಲವನ್ನು ಟೈಲ್ ಮಾಡುವ ಸಮಬಾಹು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳ ಎರಡು ಅನಂತ ಕುಟುಂಬಗಳಿವೆ, ಒಂದು ಪಕ್ಕದ ಎರಡು ಪೂರಕ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಪಕ್ಕದ ಪೂರಕವಲ್ಲದ ಎರಡು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಟೈಲ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸಮತಲವನ್ನು ಟೈಲ್ ಮಾಡಬಲ್ಲ ಆದರೆ ಆ ಎರಡು ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸೇರದ ಸಮಬಾಹು ಪೆಂಟಗನ್ಗೆ ಒಂದು ವಿರಳ ಉದಾಹರಣೆ ಇದೆ; ಅದರ ಕೋನಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು 89°16 ', 144°32.5', 70°55 ', 135°22', ಮತ್ತು 99°54.5 ', ಎರಡು ಪೂರಕಗಳಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ನಕ್ಷೆಯು ಸಮಬಾಹು ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು ತಮ್ಮನ್ನು ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ, ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ, ಎರಡು ಬಾರಿ ಅಥವಾ ಐದು ಬಾರಿ ಛೇದಿಸಬಹುದು. ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಛೇದಿಸದವುಗಳನ್ನು ಸರಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಕಾನ್ಕೇವ್ ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಅಥವಾ ಐದು ಬಾರಿ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಛೇದಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಪದಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ "ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಮ್ಮೆ ಛೇದಿಸುವ ಸಮಬಾಹು ಪೆಂಟಗನ್ಗಳನ್ನು ನಾವು ತಳ್ಳಿಹಾಕುತ್ತೇವೆ. ಒಮ್ಮೆ ತಮ್ಮನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳನ್ನು ನಾವು ತಳ್ಳಿಹಾಕುವುದರಿಂದ, ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ನಾವು ಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು (α, β) ಸಮತಲದ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಪಂಚಭುಜಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ. α ಮತ್ತು β ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಿಯತಕಾಲಿಕತೆ ಮತ್ತು α ≤ β ≤ δ ಷರತ್ತು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. α ಮತ್ತು β ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, α = β ಸಮೀಕರಣವು ಸಮತಲವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಿತ್ತಳೆ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ದಕ್ಷಿಣ ಗಡಿ). ಸಮೀಕರಣ δ = β ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿ ಸಮತಲವನ್ನು ವಿವಿಧ ವಿಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ (ಉತ್ತರದ ಗಡಿಯನ್ನು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ). ಎರಡೂ ಗಡಿಗಳು ಸಮತಲದ ನಿರಂತರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿವೆ, ಅದರ ಬಿಂದುಗಳು ಅನನ್ಯ ಸಮಬಾಹು ಪೆಂಟಗನ್ಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಪ್ರದೇಶದ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ-ಅಂದರೆ, ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಫಲಿಸಿದಾಗ ಈಗಾಗಲೇ ವಿವರಿಸಿದ ಇತರರಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬಲ್ಲ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು. ಆ ಗಡಿಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅನನ್ಯ ನಕ್ಷೆಗಳ ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಮೂರು ವಿಧದ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳಿವೆಃ ಹೊಸ ಗಡಿಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್, ಕಾನ್ಕೇವ್ ಮತ್ತು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್. ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು ಇತರರಿಂದ ಛೇದಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿ. ಒಂದು ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯು ಸ್ಟೆಲ್ಲೆಟ್ ಅಥವಾ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯು 2α + β ≤180° ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ, ರೇಖೆ 2α + β = 180° (ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಕಿತ್ತಳೆ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ) ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಅಲ್ಲದ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಡುವಿನ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ. ಈ ಗಡಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕಾನ್ಕೇವ್ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು 180° ಗಿಂತ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಅಲ್ಲದ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳಾಗಿವೆ. 180° ಗಿಂತ ಅಗಲವಾಗಿ ತೆರೆಯುವ ಮೊದಲ ಕೋನವು γ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ γ = 180° (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಹಸಿರು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾದ ಗಡಿ) ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಗಡಿಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಗಡಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಸತತ ಬದಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಉದ್ದದ ಬದಿಯಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಪಂಚಭುಜವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ಃ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು ತಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಕೋನಗಳನ್ನು 180° ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಕೋನಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಬದಿಗಳಿಲ್ಲ. ಈ ರೀತಿಯ ಪಂಚಭುಜಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ನಿಯಮಿತ ಪಂಚಭುಜ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ವಿಧಗಳು