Banach–Mazur compactum
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಬನಾಚ್-ಮಜೂರ್ ಅಂತರವು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ದೂರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಈ ಅಂತರದೊಂದಿಗೆ,-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳಗಳ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ವರ್ಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬನಾಚ್-ಮಜೂರ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಒಂದೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಂತಹ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಇದು ವಾಹಕಗಳನ್ನು "ಉದ್ದಗೊಳಿಸುವ" ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಬನಾಚ್-ಮಜೂರ್ ಅಂತರವನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ δ ಯಿಂದ ಸಜ್ಜುಗೊಂಡ,-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳಗಳ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ವರ್ಗಗಳ ಸ್ಥಳವು ಬನಾಚ್-ಮಜೂರ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವಾಗುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು ಗುಣಾಕಾರದ ಬನಾಚ್-ಮಜೂರ್ ಅಂತರದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಫ್. ಜಾನ್ ಅವರ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ದೇಹದಲ್ಲಿರುವ ಗರಿಷ್ಠ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಂದಾಜನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಸ್ಥಳಗಳ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ, ವ್ಯಾಸದ ಈ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಅಂತರವು (ಕೇವಲ) ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ (ಆಯಾಮದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಗುಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಿರಾಂಕದವರೆಗೆ). ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನೆಯೆಂದರೆ ಇ. ಗ್ಲುಸ್ಕಿನ್, ಅವರು 1981 ರಲ್ಲಿ ಬಾನಾಚ್-ಮಜೂರ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಮ್ನ (ಗುಣಾಕಾರ) ವ್ಯಾಸವು ಕೆಲವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗ್ಲುಸ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸ್ಥಳಗಳು ಯುನಿಟ್ ಬಾಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವು ಮತ್ತು ಮಾನದಂಡವು ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ). ಪ್ರಮಾಣಿತ ಜಾಗದ ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರತಿಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಅಂದಾಜು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕ್ಯೂಬ್ಗೆ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ https://planetmath.org/BanachMazurCompactum ಕ್ಯೂಬ್ಗೆ ಬನಾಚ್-ಮಜೂರ್ ಅಂತರದ ಬಗೆಗಿನ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಬನಾಚ್-ಮಜೂರ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಮ್ ಎಂಬುದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಕ್ಯೂಬ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಾಫ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಆಗಿದೆ.