Fréchet distance
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಫ್ರೆಚೆಟ್ ದೂರವು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಮಾರಿಸ್ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ತಮ್ಮ ನಾಯಿಯನ್ನು ಒಂದು ಪಟ್ಟಿಯ ಮೇಲೆ ನಡೆದುಕೊಂಡು ಹೋಗುವಾಗ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಬಾಗಿದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವುದನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ನಾಯಿಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸೀಮಿತ ಬಾಗಿದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪಟ್ಟಿಯು ಸಡಿಲವಾಗಿರಲು ತಮ್ಮ ವೇಗವನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಎರಡೂ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವು ಆರಂಭದಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ತಮ್ಮ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಹಾದುಹೋಗಲು ಸಾಕಾಗುವಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಪಟ್ಟಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ-ನಾಯಿ ತನ್ನ ಮಾಲೀಕನೊಂದಿಗೆ ನಡೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ, ಅಂದರೆ, ನಿರಂತರವಾದ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ರಿಪರಾಮೆಟರೈಸೇಶನ್ ಎಂಬುದು ನಿರಂತರ, ಕಡಿಮೆಯಾಗದ, ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ರಿಪಾರಮೆಟರೈಸೇಶನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಂತ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂತರಗಳ ಮೇಲೆ ಗರಿಷ್ಠ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಫ್ರೆಚೆಟ್ ದೂರವು ಎಲ್ಲಿ ದೂರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ನಾವು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು "ಸಮಯ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ನಂತರ, ಇದು ನಾಯಿಯ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದು ನಾಯಿಯ ಮಾಲೀಕರ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ). ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಪಟ್ಟಿಯ ಉದ್ದವು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ರಿಪರಾಮೆಟ್ರಿಜೇಷನ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಗರಿಷ್ಠ ಹಿಡಿತದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಡೆಯಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಬಂಧವು ಕಡಿಮೆಯಾಗದಿರುವುದು ಎಂದರೆ ನಾಯಿಯಾಗಲಿ ಅಥವಾ ಅದರ ಮಾಲೀಕರಾಗಲಿ ಹಿಂದೆ ಸರಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಹರಿವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಅಂತರವು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡುವ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿಗಳು ಆಯಾ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರಂತರವಾಗಿ ತಿರುಗುತ್ತವೆ. ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಂತರದಂತಹ ಪರ್ಯಾಯಗಳಿಗಿಂತ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ದೂರವನ್ನು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಉತ್ತಮ ಹೋಲಿಕೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸಣ್ಣ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ದೂರವನ್ನು ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಅದರ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮಾರ್ಫಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕೈಬರಹದ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಹಿಡಿದು ಪ್ರೋಟೀನ್ ರಚನೆಯ ಜೋಡಣೆಯವರೆಗೆ ಹಲವಾರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ನಿಯತಾಂಕ ಹುಡುಕಾಟದ ತತ್ವದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಆಲ್ಟ್ ಮತ್ತು ಗೊಡೌ ಮೊದಲಿಗರು. ಅವುಗಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಯವು m ಮತ್ತು n ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಆಗಿದೆ. ಫ್ರೀ-ಸ್ಪೇಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನವೆಂದರೆ ಫ್ರೀ-ಸ್ಪೇಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ, ಇದನ್ನು ಆಲ್ಟ್ ಮತ್ತು ಗೊಡೌ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂತರದ ಮಿತಿ ε ಗೆ ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಮುಕ್ತ-ಸ್ಥಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ನಿಯತಾಂಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಗರಿಷ್ಠ ε ದೂರದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಮುಕ್ತ-ಸ್ಥಳ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕೆಳಗಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಿಂದ ಮೇಲಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಗೆ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವು ಗರಿಷ್ಠ ε ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಲಂಬ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಏಕತಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿ (ಎಫ್. ಐ. ಡಿ. ಸ್ಕೋರ್) ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ದೂರವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಸಾಧನಗಳು ಮತ್ತು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಎರಡು ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಈ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವು. ಈ ದೂರವು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಆರಂಭದ ದೂರಕ್ಕೆ (ಎಫ್. ಐ. ಡಿ.) ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಉತ್ಪಾದಕ ಪ್ರತಿಕೂಲ ಜಾಲದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತರಬೇತಿಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾದ ನೈಜ ಚಿತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದುರ್ಬಲ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರದ ಒಂದು ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದು, ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ತಮ್ಮ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಚಲಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ-ನಾಯಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾಲೀಕರಿಗೆ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಹಿಡಿತವನ್ನು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಡಲು ಹಿಂತಿರುಗಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರಿಡ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಮಿನಿಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ದುರ್ಬಲ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸರಳವಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಆಲ್ಟ್ ಮತ್ತು ಗೊಡೌ ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಜೋಡಣೆ ದೂರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ದೂರವು, ಐಟರ್ ಮತ್ತು ಮನ್ನಿಲಾದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನ ಅಂದಾಜು ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ದೂರವು ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ಇರುವ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ಅಂಚಿನ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ವಿಶೇಷ ರಚನೆಯು ಸರಳವಾದ ಡೈನಾಮಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮೂಲಕ ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ದೂರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಿದಾಗ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಭೂಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆಲವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದ ಎಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಟ್ಟಿಯು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ದೂರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕುಕ್ ಮತ್ತು ವೆಂಕ್ ಬಹುಪದೀಯ-ಸಮಯದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಲೀಶ್ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಚಲಿಸಬೇಕು ಎಂದು ನಮಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಪಟ್ಟಿಯು ಒಂದು ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪಟ್ಟಿಯು ಅಡೆತಡೆಗಳನ್ನು ದಾಟಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದು ಸಾಕಷ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಭೂಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಪರ್ವತವನ್ನು ಅಪ್ಪಳಿಸಬಹುದು. ಪಟ್ಟಿಯ ಚಲನೆಯು ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಚೇಂಬರ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವನ್ನು ಅಡೆತಡೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಹುಪದ-ಸಮಯದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ವೃತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಂತರವು ಮಾಲೀಕರು ನಿಶ್ಚಲವಾಗಿ ನಿಂತಾಗ ಮತ್ತು ನಾಯಿ ವೃತ್ತದ ಎದುರು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದಾಗ (), ಮತ್ತು ಮಾಲೀಕರು ಮತ್ತು ನಾಯಿ ಇಬ್ಬರೂ ವೃತ್ತದ ಸುತ್ತ ಸ್ಥಿರವಾದ ಕೋನೀಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುವಾಗ () ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಹಿಡಿತದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿನ್ಯಾಸದ ತತ್ವವಾದ ದೃಶ್ಯ ಶ್ರೇಣಿವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ದೂರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಆರಂಭದ ಅಂತರ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಎಂದರೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ದೂರ ಟೋಪೋಲಜಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು