Mechanics of planar particle motion
ಸಮತಟ್ಟಾದ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಿಂದ ಗಮನಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದ ಆಕರ್ಷಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. (ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲ, ಎರಡು-ದೇಹದ ಸಮಸ್ಯೆ, ಕಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಗ್ರಹಗಳ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.) ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಲ ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದೆ, ಇದು ಕಣಗಳ ಪಥವನ್ನು ನೀಡಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಥಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳ ನಿರ್ಣಯವಾಗಿದೆ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಿಂದ ನೋಡಿದಂತೆ ಚಲಿಸುವ ಕಣದ ಅವಲೋಕನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸ್ಥಳೀಯ ಚೌಕಟ್ಟು (ಚಲಿಸುವ ಕಣಕ್ಕೆ ಅದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಾಣುವಂತೆ ಕಟ್ಟಲಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಹ-ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟು (ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಸ್ಥಿತವಾಗಿರುವ ಆದರೆ ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಕಣವು ಕೇವಲ ರೇಡಿಯಲ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಅಜಿಮುತಲ್ ಚಲನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಕಾಣುವಂತೆ ಮಾಡುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದರ). ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿದ್ಯುತ್ಕಾಂತೀಯ ಶಕ್ತಿಗಳಂತಹ ನೈಜ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಭೌತಿಕ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ನೋಟವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಬಳಕೆಗೆ ಮತ್ತು ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಅವುಗಳ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು (ಜಡತ್ವದ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅಥವಾ ಹುಸಿ-ಪಡೆಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅರ್ನೋಲ್ಡ್ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ನಿಲುವನ್ನು ಇರೋ ಒದಗಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿನ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿಜವಾದ ಪ್ರಭಾವಿತ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಂತಹ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಿಖರವಾದ ಭೌತಿಕ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನ್ಯೂಟನ್ರ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೈಜ ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಟಿಸಿ. "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೈಜ ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು" ಎಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು, ಆ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಮಾಡಿದ ಸಮನ್ವಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ನೈಜ ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆ. ಮುಂದೆ, ಸಮಯ ಬದಲಾಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಜಡತ್ವ ಮತ್ತು ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಯ ಬದಲಾಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ವೀಕ್ಷಕನ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು ಮತ್ತು ಇದು ವೀಕ್ಷಕನ ವಿವರಣೆಯ ಆಯ್ಕೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ. ಫ್ರೇಮ್ ಆಫ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಫ್ರೇಮ್ ಆಫ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಹಳ ವಿಶಾಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ಚರ್ಚೆಗೆ ಅದರ ಅರ್ಥವು ವೀಕ್ಷಕರ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಜಡತ್ವದ ಫ್ರೇಮ್ ಆಫ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಅಥವಾ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಫ್ರೇಮ್ ಆಫ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್. ಯಾವುದೇ ವೀಕ್ಷಕನಿಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಆಯ್ಕೆಗಳು, ಅವುಗಳ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ವಿವಿಧ ಸಂಭವನೀಯ ಆಯ್ಕೆಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು (ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಮತ್ತು "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎರಡು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆಃ ಸಮಯ ಬದಲಾಗುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ನಿಗದಿತ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು, ಅಥವಾ ಅವು ನಿಗದಿತ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು, ಅಥವಾ ಎರಡೂ. ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳು ಮತ್ತು ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಜೋಡಿಸಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಮಯ, ಸ್ಥಳ ಅಥವಾ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಬದಲಾಗುವ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಪಥದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಅಥವಾ ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ನೋಡಬಹುದು. ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ವಿವರಣೆಯು ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾದ ಮತ್ತು ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿರುವ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುವ ಕಣದ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ, ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಕೇಂದ್ರಕ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಶಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ, ಇದು ಶಬ್ದಕೋಶದಲ್ಲಿನ ಈ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಬದಲಾವಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ, ಕಣವು ಚಲನೆಯಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬೇಕಾದ ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೇಳಲಾಗುವ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯೆಂದರೆ, "ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮತಲೀಯ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಣದ ಮೇಲೆ ಕುಳಿತರೆ (ಕೇವಲ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲ), ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಟೋಪಿಗಳ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಯಾವ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ?" ಆ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು, ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ. ಸಮತಲ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಪಥಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಕೇಂದ್ರಕ ಆಂತರಿಕ ಬಲಕ್ಕೆ (ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಯುಎನ್ ಗೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಪಥಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಲವನ್ನು (ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಯುಟಿ), ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ. ಚಿತ್ರ 1ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು, ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಈ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 1ರಲ್ಲಿ, ಚಾಪದ ಉದ್ದವು ಕಣವು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ x (t), y (t) ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ r (t) ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಚಾಪದ ಉದ್ದವನ್ನು s (t) ಬಳಸಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ s ಬಳಕೆಯನ್ನು ನೋಡುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಕಣದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕುಳಿತಿರುವಂತೆ ಯೋಚಿಸುವುದು, ಸ್ಕೈ ರೈಟರ್ ಬಿಟ್ಟುಹೋದ ಹಾದಿಯಂತೆ, ಸಮಯದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಮಾರ್ಗದ ಕೆಲವು ಆರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದರ ಅಂತರವನ್ನು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ds ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ s ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಳಾಂತರದ ಪ್ರಮಾಣವು ds ಆಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಸ್ಥಳಾಂತರವು s ನಲ್ಲಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಆದರೆ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಬಾಹ್ಯ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಈ ವಾಹಕಗಳ ಏಕಮಾನದ ಪ್ರಮಾಣವು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಕಡೆ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ xy-ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಜೋಡಿಸದ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳ ಬಳಕೆಯು ಒಂದು ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಅರ್ಥವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ, ಆ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು s ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಿದ್ದಾನೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಾಹಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕೋನವನ್ನು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ θ, ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಮತ್ತು ವಕ್ರತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ) ಹೀಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆಃ θ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು sin θ ನಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದುಃ ಈಗಃ ಇದರಲ್ಲಿ Eq ಪ್ರಕಾರ ಛೇದವು ಏಕತೆಯಾಗಿದೆ. 1. ಸೈನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ ಈ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ, ವಕ್ರತೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಆಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ರೂಪಗಳ ಸಮಾನತೆಯು Eqನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. 1: s ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾನದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿದ ನಂತರ, ಮತ್ತು ಈ ವಿವರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಮಾರ್ಗದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ t ನಲ್ಲಿ ಕಣದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯ s (t) ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಕಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು s ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಥದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಕಣದ ಮಾರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಘಟಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಜಡತ್ವದ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು s (t) ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ವಿವಿಧ ಸಮಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು s ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ): ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು. ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಲನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪಥಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಬಲವನ್ನು ಕೇಂದ್ರಿಯ ಬಲವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪಥಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಲವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಲವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಮುಂದೆ, ಒಬ್ಬರು ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕು. ಕಣದ ಮೇಲೆ ಕುಳಿತು, ಕಣವು ವಿಶ್ರಾಂತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು (ಶೂನ್ಯ ವೇಗ). ಈ ಚೌಕಟ್ಟು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪಥದ ವಕ್ರತೆಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲನ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ), ಮತ್ತು ಅದರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದರವು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಆ ಮೂಲದ ಬಗ್ಗೆ ಕಣದ ಚಲನೆಯ ಕೋನೀಯ ದರವಾಗಿದೆ. ಈ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟು ಪಥಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕೋನೀಯ ವೇಗವು t ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಕ್ರತೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಕಣದ ಕೋನೀಯ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕೇಂದ್ರಕ ಬಲವನ್ನು ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ದೇಹವು ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲವನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಬಲವಾಗಿ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ವೇಗದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಬಲವು ಕಣವು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ಬಲವನ್ನು ಜಯಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಬಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಬಲವಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕಣವು ಶೂನ್ಯ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಮಾನದಲ್ಲಿದ್ದ ಒಬ್ಬ ಚಾಲಕನಿಗೆ, ಈ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ನೇರ ಅನುಭವದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಕಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಸರಳವಾದ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ, ಅದು ವೃತ್ತದಂತೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಳ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಗುಣಾತ್ಮಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ವಿಮಾನದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒಂದು ವೃತ್ತದ ಚಾಪದಿಂದ ಸೀಮಿತ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಮಯದವರೆಗೆ ವಕ್ರತೆಯ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ಬಲಗಳನ್ನು ಆ ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಲನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು (ವಿಮಾನವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವುದನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ). ಮುಂದೆ, ಸ್ಥಿರ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವ ಉಲ್ಲೇಖ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಣಗಳ ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬದಲಾದಂತೆ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು ಹೇಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ಪದಗಳು ಧ್ರುವೀಯ (ಅಥವಾ ಸಿಲಿಂಡರಾಕಾರದ) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡಾಗ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಧ್ರುವೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಪರಿಭಾಷೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (ಜಡತ್ವ ಅಥವಾ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ) ಫ್ರೇಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಗಮನಿಸಿದ ಕಣದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ): ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಎರಡು ಬಾರಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಪದಗಳು ಯಾವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಧ್ರುವ, ಅಂಡಾಕಾರ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆ). ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ-ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅವಲಂಬಿತ ಪದಗಳನ್ನು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಪದಗಳು ಬಲಗಳಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ವಾಹಕ ರೂಪಾಂತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ" ಎರಡನೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಶಂಕರ್ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಡೆಬ್ರಾಂಡ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಶಃ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದಲೇ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಜೋಡಿಸಲಾದ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಜಡತ್ವ ಅಥವಾ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ವೀಕ್ಷಕರ ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಎರಡು ಪರಿಭಾಷೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು, ಉಲ್ಲೇಖದ ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು, ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು "ಸಮನ್ವಯ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಮತ್ತು "ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲದ ಅವಲಂಬನೆ (ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿರುವಂತೆ) ಮತ್ತು "ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಯಿಂದ ಅದರ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು, ನಿಖರವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಅವಲಂಬನೆಗಳೊಂದಿಗೆ "ಸಮನ್ವಯ" ಆವೃತ್ತಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿ" ಎಂಬ ಪರಿಭಾಷೆಯಿಂದ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಲೇಖನವು ಈ ಎರಡು ವಿಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ("ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ") ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗೆ, ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (ಮೊದಲನೆಯದು) ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನಂತರ (ಎರಡನೆಯದು) ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿ" ಎಂಬ ಪದದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಾಗಿ "ಸಮನ್ವಯ" ಪರಿಭಾಷೆಯು ಹೇಗೆ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿವರಿಸಲು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವಿಷಯಾಂತರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿಧಾನ "ಗಣಿತದ ಅನುಕೂಲತೆ" ಯ ಉಲ್ಲೇಖಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ "ಸಮನ್ವಯ" ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅಥವಾ "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಒಂದು ವಿಷಯಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ {qk} ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನದ ಮೂಲಕ ಈ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಏಕೈಕ ಅವಶ್ಯಕತೆಯೆಂದರೆ ಅವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆಃ ಅವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಕಣಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ (ಆದರೂ ಅವು ಆಗಿರಬಹುದು). ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ರೋಬೋಟ್ ತೋಳಿನಲ್ಲಿನ ಕೊಂಡಿಗಳ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಒಂದು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು N ಕಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು m ಸ್ವತಂತ್ರ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ವಿಧಿಸಿದರೆ, n = 3N-m ಸ್ವತಂತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ (qk) ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನ ಶಕ್ತಿ, ಅದರ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೈನಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ, ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಯೂಲರ್-ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು, ಇದು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್, qi ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವೇಗಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಆವೇಗಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಬಲಗಳು, ಲಗ್ರಾಂಜ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದು ಇಲ್ಲಿ ಉದ್ದೇಶವಲ್ಲ. ಆಸಕ್ತ ಓದುಗರು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಇತರ ಲೇಖನಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ" ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಒಂದೇ ಕಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈಗ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಜೋಡಿಸಬಹುದು. ಮುಂದುವರಿಯಲು, ಒಂದೇ ಕಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು {qk} = (r, θ) ಎಂದು ಪರಿಚಯಿಸಿ. ನಂತರ ಹಿಲ್ಡೆಬ್ರಾಂಡ್ qk = (r, θ) ನೊಂದಿಗೆ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಮೊಮೆಂಟಾ" ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮುನ್ನಡೆಸುವುದುಃ ಕ್ಯೂಆರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಭಾವಿತ ರೇಡಿಯಲ್ ಬಲ. "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬಲಗಳು" ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ಬಲಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ರೂಪವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ "ಕಾಲ್ಪನಿಕ" (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ) ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಿಲ್ಡೆಬ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದುವುದು ಎಂಬ ಪದವು ಅವರು "ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳ" ಪಾತ್ರವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, "[ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿಗಳ] ಉಪಸ್ಥಿತಿ ಅಥವಾ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿ ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಲ, ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಬಹುಶಃ {qk} ನ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವೇಗವರ್ಧನೆಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಾಗೆ), [ವೇಗವರ್ಧಕವಲ್ಲದ] ಪದಗಳನ್ನು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಬಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ) ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಜಡತ್ವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಪ್ರಕಾರವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಲೇಖಕರ ಒತ್ತು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖದ ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದ (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ) ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಚಯವು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬಳಕೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೆಕ್ ಕ್ವಾರಿ ಹಿಲ್ಡೆಬ್ರಾಂಡ್ ಮತ್ತು ವಾನ್ ಶ್ವೆರಿನ್ ನೋಡಿ. ರೋಬೋಟಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಟರ್ಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಈ ಬಳಕೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ರೋಬೋಟ್ ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಟರ್ಗೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು (ಕೆಳಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ): ಇಲ್ಲಿ M ಎಂಬುದು "ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಟರ್ ಜಡತ್ವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್" ಮತ್ತು V ಎಂಬುದು ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯಿಂದಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ), ಮತ್ತು ಜಂಟಿ i ಮೇಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪದಗಳು "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ" ಮತ್ತು "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್" ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಧಿಸೂಚನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ" ಪದವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸದೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಭಾಷೆಯ ಈ ಬಳಕೆಯು ಗೊಂದಲಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು, ಪ್ರಮಾಣಿತ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಉಲ್ಲೇಖದ ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖದ ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕೆಳಗೆ, ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ ಕಣದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಲ್ಲ. ಆ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಈ "ಶಕ್ತಿಗಳ" ವಾಹಕವಲ್ಲದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಡವಳಿಕೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ "ಸಮನ್ವಯ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟೀಕಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಚಲಿಸುವ ಕಣದ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕವಾಗಿರಲಿ. ಇದರ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಘಟಕಗಳು (x, y): ಸಮಯ t ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ r ಮತ್ತು θ. ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಬಾಹ್ಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿಃ ಈ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆಃ ಮತ್ತುಃ ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಾನದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಡಾಟ್-ಓವರ್ಮಾರ್ಕಿಂಗ್ಗಳು ಸಮಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಈ ರೂಪದೊಂದಿಗೆ, ಉಲ್ಲೇಖದ ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವೆಂದರೆಃ ಇಲ್ಲಿ F ಎಂಬುದು ಕಣದ ಮೇಲಿನ ನಿವ್ವಳ ನೈಜ ಬಲವಾಗಿದೆ. ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಎಲ್ಲಾ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹಾಕುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪದಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆ ಮೂಲಕ ಹೀಗೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಅಲ್ಲಿ "ವೇಗವರ್ಧನೆ" ಯ "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದು r ಮತ್ತು θ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಬಲ-ಬದಿಗೆ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಲಾದ ಪದಗಳನ್ನು ಈಗ ಹೆಚ್ಚುವರಿ "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು "ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ" ಮತ್ತು "ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್" ಶಕ್ತಿ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೊಸದಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಈ "ಬಲಗಳು" ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಈ ಹಿಂದೆ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆಯೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಹೊಸದಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಈ ಬಲಗಳನ್ನು "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ" ಬಲಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲು "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಬಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೂಲದ ಬದಲಾವಣೆ ಇಲ್ಲಿ "ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಪದ" ವು ನಿಜವಾದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಒಂದು ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಫ್ರೇಮ್ S ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಣವು ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಮೂಲದಿಂದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿ ದೂರ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಚಿತ್ರ 2ನ್ನು ನೋಡಿ. ನ್ಯೂಟನ್ರ ಮೊದಲ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ ಕಣದ ಮೇಲಿನ ಬಲವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಫ್ರೇಮ್ S 'ನಿಂದ ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡಿದೆ. S 'ನಲ್ಲಿ ಕಣವು ಇನ್ನೂ ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತೆ ಬಲವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಚೌಕಟ್ಟುಗಳಲ್ಲಿ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಫ್ರೇಮ್ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ರೇಡಿಯಲ್ ಚಲನೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕೋನೀಯ ಚಲನೆಯಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವೇಗವರ್ಧನೆಯುಃ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದವು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು. ಫ್ರೇಮ್ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ "ಬಲ" ಇಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಫ್ರೇಮ್ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಜಿಮುತಲ್ ಪದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕೋನೀಯ ಆವೇಗದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರೇಡಿಯಲ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ವೇಗವರ್ಧನೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಮಗೆ ಬೇಕಾಗಿರುವುದುಃ ಬಲಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯವೂ ಅಲ್ಲ, ಶೂನ್ಯವೂ ಅಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ವೇಗವರ್ಧನೆಯಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡರೆ ನಾವು ಶೂನ್ಯ ಬಲವನ್ನು (ಶೂನ್ಯ) ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ನಮಗೆ ಎರಡೂ ಪದಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಸಂಗತಿಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಒಬ್ಬರು ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು "ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲ" ಎಂದು ಹೇಳಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು "ವೇಗವರ್ಧನೆ" ಎಂದು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ (ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದೆ). ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸರಿಯಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಮನ್ವಯ-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ ಈ ನಿರ್ಧಾರವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ? ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಕುರಿತ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ. ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಲು, ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ "ಬಲ" ವನ್ನು ವಾಹಕ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಜೊತೆಗೆಃ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾದ ಏಕ ವಾಹಕ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವಾಹಕದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ವೀಕ್ಷಕನು ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2 ಅನ್ನು ನೋಡಿ), ಆದ್ದರಿಂದ ವಿವಿಧ ಬೀದಿ ಮೂಲೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಒಂದೇ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿರುವ ವೀಕ್ಷಕರು ಅವರು ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿರುವ ನೈಜ ಘಟನೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ವಿಭಿನ್ನ "ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು" ನೋಡುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಭೌತಿಕ ಶಕ್ತಿಯು (ಅದು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿರಲಿ ಅಥವಾ ವಾಸ್ತವವಾಗಿರಲಿ) ಒಂದು ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಲು ಹೇಗೆ ಸಾಧ್ಯ, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ S 'ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಅಡಿ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ? ಫ್ರೇಮ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಬಹಳ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿದ್ದರೂ ಸಹ, ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಕಣದ ನಡವಳಿಕೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಪ್ರತಿ ಫ್ರೇಮ್ನಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು "ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲ" ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲಃ ಅದು ಭೌತಿಕವಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೀರಿ, ನಿಜವಾದ ಪ್ರಭಾವಕ್ಕೊಳಗಾದ ನಿವ್ವಳ ಬಲವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಸ್ಥಿರವಾದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನೇರ-ರೇಖೆಯ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ನಿಜವಾದ ಪ್ರಭಾವಕ್ಕೊಳಗಾದ ಬಲವಿಲ್ಲ). ಒಬ್ಬರು ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು "ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲ" ಎಂದು ಹೇಳಲು ಬಯಸಿದರೆ ಮತ್ತು "ವೇಗವರ್ಧನೆ" ಎಂದು ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಯಸಿದರೆ, ಅಸಂಗತತೆ ಫ್ರೇಮ್ ಎಸ್ 'ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಸ್ಥಿರ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನೇರ-ರೇಖೆಯ ಚಲನೆಗೆ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿವ್ವಳ ಬಲದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಗೊಂದಲವು ಫ್ರೇಮ್ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಫ್ರೇಮ್ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ. ನ ನಡವಳಿಕೆಯು ಅದು ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲವಲ್ಲ, ಆದರೆ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಎರಡು ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ಎರಡು ಪದಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ ಎಂಬ ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಚೌಕಟ್ಟು-ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲವಿದೆ. ಇದು ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್-ಸಿಸ್ಟಮ್ ಇಂಡಿಪೆಂಡೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್, ಪೋಲಾರ್ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಭೌತಿಕ ವಾದಗಳ ಹೊರತಾಗಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಮೇಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು, ರೇಡಿಯಲ್ ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಮುಂದಿನ ಉಪವಿಭಾಗವು ಈ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಪದಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ). ಸಹ-ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟು ಒಂದು ಕಣದ ಸಮತಲೀಯ ಚಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಪದಗಳು ಮೇಲೆ ಕಂಡುಬರುವ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಪದಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಅದು ಬಹಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಸಹ-ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಮುಂದಿನ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ). ಚಿತ್ರ 3ನ್ನು ನೋಡಿ. ಸಹ-ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಮೊದಲು ಕಣಕ್ಕೆ r (t) ದೂರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಣದ ಚಲನೆಯ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಈ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ, ಆಯ್ದ ಕ್ಷಣ t ನಲ್ಲಿ, ಸಹ-ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದರವನ್ನು ಈ ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಕಣದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, dθ/dt. ಸಹ-ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟು ಒಂದು ಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಣವು ಚಲಿಸುವಾಗ ಅದನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮರು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಪದಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ತಿರುಗುವ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮುಂದೆ, ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು (ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ) ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಿರುಗುವ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಎರಡೂ ಒಂದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರದ ದರದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಈ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾಣಬಹುದುಃ ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ರೇಡಿಯಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು r ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ θ 'ಕೋನವು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವುದುಃ ಪ್ರಮುಖ ಎರಡು ಪದಗಳು ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದೇ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಚೌಕಟ್ಟು ತಿರುಗದಿದ್ದರೆ ಅವು ಮಾತ್ರ ಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ, ω = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ω2 r ಎಂಬ ರೇಡಿಯಲ್ ಪದವು ω ದರದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರೇಡಿಯಲ್ ಪದವು ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಬಲದ ರೇಡಿಯಲ್ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ ಕಣದ ವೇಗದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಪದವು ಪ್ರತಿ ಏಕಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗೆ ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಬಲದ ಅಜಿಮುತಲ್ ಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಗೋಳಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳನ್ನು ω ಅನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಚೌಕಟ್ಟು ತಿರುಗುತ್ತಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಲು ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು. ಈ ω-ಅವಲಂಬಿತ ಪದಗಳಿಲ್ಲದೆ ನ್ಯೂಟನ್ನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೀಕ್ಷಕನು ಕಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದಾದರೆ, ವೀಕ್ಷಕನು ω = 0 ಇರುವ ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿದ್ದಾನೆ. ಕಣದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಲ್ಲಿನ ಈ "ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳು" ಈ ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ, ಕೋನೀಯ ದರದಲ್ಲಿ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಶಕ್ತಿಗಳು. ಈ ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಯಾವುವು? ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ನಾವು ನ್ಯೂಟನ್ರ ನಿಯಮದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇರಿಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, "ವೇಗವರ್ಧನೆ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಒಬ್ಬರು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಪದಗಳನ್ನು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಪದಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವು "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಬಲದ ಘಟಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅದು ω = 0 ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೂಲಗಳು ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, "ಸಮನ್ವಯ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಯು "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಯಂತೆಯೇ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಬಲವು ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಣದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಕೋನೀಯ ದರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ω = dθ/dt (ಅಂದರೆ, ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 3 ರ ತತ್ಕ್ಷಣದ, ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಸಹ-ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, dθ '/dt = 0. ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಈ ಸಹ-ತಿರುಗುವ ಜಡತ್ವವಲ್ಲದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಚಲನೆಯಿಂದಾಗಿ ಮಾತ್ರ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರ 3 ರ ಸಹ-ತಿರುಗುವ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಬಗೆಗಿನ ಟೀಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಿದಂತೆ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಬುಲ್ಲೋ ಮತ್ತು ಲೆವಿಸ್ ಅವರನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲುಃ "ಅಸಾಧಾರಣ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗಣಿತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂರಚನೆಯ ಜಾಗವನ್ನು ಬಾಗಿದ ಜಾಗ ಎಂದು ಸಡಿಲವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಬಹುದ್ವಾರಿ ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ, ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಕಣದ ವೇಗವರ್ಧನೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಕೆಳಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖದ ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಕಣದ ಚಲನೆಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ P ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವು (x, y, z) ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ (q1, q2) ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಕ್ಯೂ3). ನಂತರ ಈ ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಃ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. (ಆಯಾಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು.) ಅಂತಹ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಚಾಪದ ಉದ್ದದ ಅಂಶವು ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಚಾಪದ ಉದ್ದದ ಡಿಎಸ್ನ ಅಂಶವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಎಚ್. ಕೆ. ಅನ್ನು ಸ್ಕೇಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. qk ನಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಯು qk ಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸ್ಥಳಾಂತರವನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಪಿ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಯುನಿಟ್ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ವೇರಿಯಬಲ್ qk ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖೆಗೆ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕವನ್ನು ಈ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ, ಪಿ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಟಿ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಚಲಿಸುವ ಕಣ r ನ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕವು ಆಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ qk ಎಂಬುದು r ಮತ್ತು ek ನ ವಾಹಕ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. Pಯಲ್ಲಿರುವ ಕಣದ ವೇಗ vಅನ್ನು Pಯಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ vk ಎಂಬುದು v ಮತ್ತು ekಗಳ ವಾಹಕ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಸಮಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಪ್ರಮಾಣದ ಅಂಶಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಅಥವಾ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದರಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಕೇತಗಳು ಮತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದಾಗ ಚಿಹ್ನೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೂ, ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಟೆನ್ಸರ್ನ ಘಟಕಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಧ್ರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೇಗಕ್ಕಾಗಿಃ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ γ-ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ. ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ವೇಗವರ್ಧನೆಯು ನಂತರ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ, ಮೊದಲ ಸಂಕಲನವು ವೇಗದ ಸಮಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ವೇಗವರ್ಧನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂಕಲನವು (ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ) ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳು ಬದಲಾಗುವ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಮತ್ತು "ಸಮನ್ವಯ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಎರಡು ಪರಿಭಾಷೆಗಳ ನಡುವೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು, ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮನ್ವಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಹುಟ್ಟುವ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು "ಸಮನ್ವಯ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ವೇಗವರ್ಧನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಉಲ್ಲೇಖದ ಜಡತ್ವ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವು ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ F ಎಂಬುದು ಕಣದ ಮೇಲಿನ ನಿವ್ವಳ ನೈಜ ಬಲವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಚೌಕಟ್ಟು ಜಡತ್ವವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ನ್ಯೂಟನ್ರ ನಿಯಮಕ್ಕೆ "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಏಕೈಕ ಪದಗಳಾಗಿ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ಇದು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕಿಂತ ಗಣಿತದ ಅನುಕೂಲತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಆ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಬಲದ ನಿಯಮವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು, ಸಮೀಕರಣದ ಬಲ-ಬದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಹೀಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಈಗ "ವೇಗವರ್ಧನೆ" ಎಂಬ ಸಂಪ್ರದಾಯದೊಂದಿಗೆಃ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣದ ಬಲ-ಬದಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಈಗ "ಬಲಗಳು" ಇದ್ದಂತೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕಲನ ಪದಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಈ "ಸಮನ್ವಯ" ವಿಧಾನದೊಳಗೆ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಈ ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ "ಶಕ್ತಿಗಳು" ಸಂಯೋಜಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಕಲನದ ಪದಗಳನ್ನು "ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು" ಎಂದು ಹೆಸರಿಸುವುದು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಶಕ್ತಿಗಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾದ ಕೊಡುಗೆಗಳಿಗಾಗಿ ಮತ್ತು "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗೊಂದಲವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಈ "ಸಮನ್ವಯ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು "ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ" ಮತ್ತು "ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್" ಪದಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳು "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಪದಗಳಲ್ಲದ ಪದಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಪದಗಳು ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಸಹ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದವುಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ "ಚಲನೆಯ ಸ್ಥಿತಿ" ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲ (ಈ ಲೇಖನದ ವಿಷಯ) ಮತ್ತು ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಬಲವು ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ರೇಮ್ ಜಡತ್ವವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತಿರುಗುವ ಫ್ರೇಮ್ ಆಫ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, "ಸ್ಟೇಟ್-ಆಫ್-ಮೋಷನ್" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೇಲಿನ "ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ" ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಬಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ವೇಗದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ "ವೇಗವರ್ಧನೆ" ಯು ಸಮಯದಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ (qk) ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲದ ಪದಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾದರೆ, ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮಾಂಕವಲ್ಲದ ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಮೀಕರಣದ ಬಲ-ಬದಿಗೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹಿಲ್ಡೆಬ್ರಾಂಡ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫೆಲ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳ "ಸಮನ್ವಯ" ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೋಬೋಟ್ಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಸೆಂಟ್ರಿಫ್ಯೂಗಲ್ ರಿಯಾಕ್ಷನ್ ಫೋರ್ಸ್-ಕೊಲಂಬಿಯಾ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಎಂ. ಅಲೊನ್ಸೊ ಮತ್ತು ಇ. ಜೆ. ನಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ರ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಓದುವುದು. ಫಿನ್, ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಫಿಸಿಕ್ಸ್, ಆಡಿಸನ್-ವೆಸ್ಲಿ ಸೆಂಟ್ರಿಪೇಟಲ್ ಫೋರ್ಸ್ ವರ್ಸಸ್ ಸೆಂಟ್ರಿಫ್ಯೂಗಲ್ ಫೋರ್ಸ್-ಓಸ್ವೆಗೊ ಸಿಟಿ ಸ್ಕೂಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಕ್ಟ್ ಸೆಂಟ್ರಿಫ್ಯೂಗಲ್ ಫೋರ್ಸ್ನ ಆನ್ಲೈನ್ ರೀಜೆಂಟ್ಸ್ ಎಕ್ಸಾಮಿನೇಷನ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ನಿಂದ ಹೈಪರ್ ಫಿಸಿಕ್ಸ್ ಕಾನ್ಸೆಪ್ಟ್ ಸೈಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಪ್ಪು ಕುಳಿ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲದ ಬಳಿ ಒಳಮುಖವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಫಿಸ್ಲೆಟ್ ತಿರುಗುವ ಮತ್ತು ತಿರುಗಿಸದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನೋಡಿದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಎರಡನ್ನೂ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಚಲಿಸುವ ಜಾವಾ ಫಿಸ್ಲೆಟ್ ಅನ್ನು ಬ್ರಿಯಾನ್ ಫೀಡ್ಲರ್ (ಒಕ್ಲಹೋಮ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಸ್ಕೂಲ್ ಆಫ್ ಮೆಟಿಯೋರಾಲಜಿಯಿಂದ) ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಫಿಸ್ಲೆಟ್ ಒಂದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿದಂತೆ ಮತ್ತು ತಿರುಗಿಸದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನೋಡಿದಂತೆ ಎರಡೂ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊರಿಯೊಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವ, ಜಡತ್ವದ ಚೌಕಟ್ಟು ಮತ್ತು ತಿರುಗುವ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟು ಎರಡರಿಂದಲೂ ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಅನಿಮೇಷನ್ ಕ್ಲಿಪ್. ಮ್ಯಾಥ್ಪೇಜ್ಗಳಲ್ಲಿರುವ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲಗಳು ಎಚ್2ಜಿ2ನಲ್ಲಿರುವ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲ ಜಾನ್ ಬೇಜ್ಃ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲವು ಚಂದ್ರನನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹಿಡಿದಿಡುತ್ತದೆಯೇ? ಸಹ ನೋಡಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಚಲನೆ ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಬಲ ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಪರಿಣಾಮ (ಗ್ರಹಿಕೆ) ಸಮಾನತೆಯ ತತ್ವ ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಚೌಕಟ್ಟು ಕೋನದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಚಲನೆಯ ಯೂಲರ್ ಬಲ-ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಕೋಣೀಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ದರವು ಬದಲಾದಾಗ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ಬಲ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲ-ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲ ಕೇಂದ್ರಾಪಗಾಮಿ ಬಲದಿಂದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಒಂದು ಬಲ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಬಲ-ಉಲ್ಲೇಖದ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ಜಿ-ಬಲ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಬಲ ಫ್ರೆನೆಟ್-ಸೆರೆಟ್ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಆಸ್ಕುಲೇಟ್ ಮಾಡುವುದು ವೃತ್ತದ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ (ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ) ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಅನ್ವಯಿಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ)