Quartic reciprocity
ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಅಥವಾ ಬೈಕ್ವಾಡ್ರಟಿಕ್ ರೆಸಿಪ್ರೊಸಿಟಿ ಎಂಬುದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದು, ಇದು x4 ಷ್ಣ p (ಮಾಡ್ q) ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ; "ರೆಸಿಪ್ರೊಸಿಟಿ" ಎಂಬ ಪದವು ಈ ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ರೂಪದಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವು x4 ಷ್ಣ p (ಮಾಡ್ q) ಅನ್ನು x4 ಷ್ಣ q (ಮಾಡ್ p) ಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ದ್ವಿಗುಣಾತ್ಮಕ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮೊದಲ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ಗೌಸ್ ಅವರು ದ್ವಿಗುಣಾತ್ಮಕ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ಕುರಿತು ಎರಡು ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಮೊದಲನೆಯದರಲ್ಲಿ (1828) ಅವರು 2 ರ ದ್ವಿಗುಣಾತ್ಮಕ ಪಾತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಯೂಲರ್ ಅವರ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ (1832) ಆತ ಗೌಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಘಾತ ಪಾರಸ್ಪರಿಕತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪೂರಕ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೂರನೇ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ ಬರಲಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳಿದರು, ಆದರೆ ಅದು ಎಂದಿಗೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿಲ್ಲ. ಜಾಕೋಬಿ ತನ್ನ ಕೋನಿಗ್ಸ್ಬರ್ಗ್ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ 1836-37 ನ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಮೊದಲ ಪ್ರಕಟಿತ ಪುರಾವೆಗಳು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅವರಿಂದ ಬಂದವು. ಅಂದಿನಿಂದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ (ಗೌಸಿಯನ್) ಆವೃತ್ತಿಯ ಹಲವಾರು ಇತರ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರ್ಯಾಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. 1970ರ ದಶಕದಿಂದಲೂ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯದ ಕಾನೂನುಗಳಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯ ಸ್ಫೋಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಲೆಮ್ಮರ್ಮೇಯರ್ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಒಂದು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಅಥವಾ ಬೈಕ್ವಾಡ್ರಟಿಕ್ ಶೇಷವು (ಮಾಡ್ ಪಿ) ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ (ಮಾಡ್ ಪಿ) ನಾಲ್ಕನೇ ಘಾತಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. x4 ಷ್ಣ a (ಮಾಡ್ p) ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, a ಎಂಬುದು ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಅಥವಾ ಬೈಕ್ವಾಡ್ರಟಿಕ್ ನಾನ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ (ಮಾಡ್ p) ಆಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಇರುವಂತೆ, ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸುಲಭ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಮಾಡ್ಯುಲಿ p, q, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ, ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ Z ವರ್ತುಲದೊಳಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಮೊದಲ ವಿಷಯವೆಂದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ q ಯು ಷ್ಣ 3 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ದ್ವಿಘಾತ ಅವಶೇಷವಾಗಿದ್ದರೆ (ಮಾಡ್ q) ಮಾತ್ರ r ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಶೇಷವಾಗಿದೆ (ಮಾಡ್ q). ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೆಸಿಪ್ರೊಸಿಟಿಯ ಮೊದಲ ಪೂರಕವು-1 ಒಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ನಾನ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ (ಮಾಡ್ q) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ x ಗೆ, x ಮತ್ತು-x ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ನಾನ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, r ಷ್ಣ a2 (ಮಾಡ್ q) ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಶೇಷವಾಗಿದ್ದರೆ, a ಷ್ಣ b2 ಒಂದು ಶೇಷವಾಗಿದ್ದರೆ, r ಷ್ಣ a2 ಷ್ಣ b4 (ಮಾಡ್ q) ಒಂದು ದ್ವಿಭಾಜಕ ಶೇಷವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು a ಒಂದು ಅವಶೇಷವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, − a ಒಂದು ಶೇಷವಾಗಿದೆ, − a ಷ್ಣ b2, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ, r ಷ್ಣ (−a) 2 ಷ್ಣ b4 (ಮಾಡ್ q) ಒಂದು ದ್ವಿಭಾಜಕ ಶೇಷವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಏಕೈಕ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ p ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4). p ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಶೇಷ ವರ್ಗಗಳನ್ನು (ಮಾಡ್ p) ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ (p−1)/4 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗಾಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. e ಒಂದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ನಾನ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಆಗಿರಲಿ. ಮೊದಲ ಸೆಟ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂಸ್ ಆಗಿದೆ; ಎರಡನೆಯದು ಮೊದಲ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ e ಪಟ್ಟು, ಮೂರನೆಯದು ಮೊದಲ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ e2 ಪಟ್ಟು, ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಮೊದಲ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ e3 ಪಟ್ಟು. ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ g ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲ (ಮಾಡ್ p) ಆಗಿರಲಿ; ನಂತರ ಮೊದಲ ಸೆಟ್ ಈ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಷ್ಣ0 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಎರಡನೇ ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು ಷ್ಣ1 (ಮಾಡ್ 4), ಇತ್ಯಾದಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಶಬ್ದಕೋಶದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸೆಟ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ 4 ರ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ (ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪು Z/pZ ×), ಮತ್ತು ಇತರ ಮೂರು ಅದರ ಕೋಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಮೊದಲ ಸೆಟ್ ಬೈಕಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂಗಳು, ಮೂರನೇ ಸೆಟ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂಗಳಲ್ಲದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂಗಳು, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸೆಟ್ಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ನಾನ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂಗಳಾಗಿವೆ. ಗಾಸ್, p ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 8) ಆಗಿದ್ದರೆ −1 ಎಂಬುದು ದ್ವಿಧ್ರುವೀಯ ಅವಶೇಷವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು p ಷ್ಣ 5 (ಮಾಡ್ 8) ಆಗಿದ್ದರೆ ದ್ವಿಧ್ರುವೀಯ, ಆದರೆ ದ್ವಿಧ್ರುವೀಯವಲ್ಲದ ಅವಶೇಷವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. p ಷ್ಣ ±1 (ಮಾಡ್ 8) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ 2 ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಶೇಷ ಮಾಡ್ p ಆಗಿದೆ. p ಸಹ ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದರರ್ಥ p ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 8). ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದು ಚೌಕ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಚೌಕದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. q = a2 + 2b2 ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 8) ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ ಎಂದು ಗಾಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಒಂದು ಷ್ಣ ±1 (ಮಾಡ್ 8) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 2 ಒಂದು ದ್ವಿಘಾತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ 2 ಒಂದು ದ್ವಿಘಾತ ಅವಶೇಷವಾಗಿದೆ (ಮಾಡ್ q), ಮತ್ತು ಒಂದು ಷ್ಣ ±3 (ಮಾಡ್ 8) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ 2 ಒಂದು ದ್ವಿಘಾತ, ಆದರೆ ದ್ವಿಘಾತವಲ್ಲದ ಅವಶೇಷವಾಗಿದೆ (ಮಾಡ್ q). ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. a ಬೆಸ ಮತ್ತು b ಸಮವಾಗಿರುವಲ್ಲಿ p = a2 + b2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೊದಲ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ, ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕನೇ) ವರ್ಗಕ್ಕೆ 2 ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಗಾಸ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದನು. 2,4, ಅಥವಾ 6) (ಮಾಡ್ 8). ಇದರ ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣವು ಯೂಲರ್ನ ಊಹೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆಃ p = a2 + 64b2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ 2 ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ನ ದ್ವಿಭಾಜಕ ಶೇಷವಾಗಿದೆ. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ p ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಶೇಷ a (ಮಾಡ್ p) ಗಾಗಿ, ಯೂಲರ್ನ ಮಾನದಂಡವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ p ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ p ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಶೇಷ a (ಮಾಡ್ p) ಗಾಗಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಶೇಷ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಂತರ (i2 ಷ್ಣ −1 (ಮಾಡ್ p) ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.) ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, p = a2 + b2 = c2 + 2d2 = e2 − 2f2 ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 8) ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು a ಬೆಸ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಹಾಗಾದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ? 2 ರ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಮೀರಿ, b ಸಮವಾಗಿರುವಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ p = a2 + b2 ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು q ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಪರಸ್ಪರತೆ σ2 ಷ್ಣ p (ಮಾಡ್ q) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ಯೂಲರ್ ಅವರು 2,3 ಮತ್ತು 5ರ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದನ್ನೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ. p ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಇದನ್ನು ಬ್ರೌನ್ ಮತ್ತು ಲೆಹ್ಮರ್ 17 ರಿಂದ 17,73,97, ಮತ್ತು 193 ಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಬರ್ಡೆಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ದ್ವಿಘಾತ ಪಾರಸ್ಪರಿಕತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೇಳಲು ಹಲವಾರು ಸಮಾನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಅವರೆಲ್ಲರೂ p = a2 + b2 ಮತ್ತು q = c2 + d2ಗಳು b ಮತ್ತು d ಸಮವಾಗಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಗೊಸ್ಸೆಟ್ನ ಆವೃತ್ತಿಯು ಲೆಟಿಂಗ್ i2 ಷ್ಣ −1 (ಮಾಡ್ p) ಮತ್ತು j2 ಷ್ಣ −1 (ಮಾಡ್ q) ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ, ಫ್ರೊಲಿಚ್ನ ನಿಯಮವು ಬರ್ಡೆ ಅವರ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಮಿಸೆಲ್ಲಾನಿ p ಷ್ಣ q ಷ್ಣ −1 (ಮಾಡ್ 4) ಅನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಊಹಿಸೋಣ. ನಂತರ e2 = p f2 + q g2 ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು p ಷ್ಣ q ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು p = r2 + q s2 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ p = 1 + 4x2 ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಲಿ, a ಎಂಬುದು x ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಆಗ a * ಎಂಬುದು ದ್ವಿಭಾಜಕ ಶೇಷವಾಗಿದೆ (ಮಾಡ್ p). p = a2 + 4b2 = c2 + 2d2 ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 8) ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ c4 − p a2 ನ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಜಕಗಳು ದ್ವಿಭಾಜಕ ಅವಶೇಷಗಳಾಗಿವೆ (ಮಾಡ್ p). d4 − p b2 ನ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಜಕಗಳಿಗೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಗೌಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆ ದ್ವಿಧ್ರುವೀಯ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ಕುರಿತಾದ ತನ್ನ ಎರಡನೇ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಗೌಸ್ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಸಣ್ಣ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ದ್ವಿಧ್ರುವೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. ಅವನು ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಟೀಕೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ದ್ವಿಧ್ರುವಿ ಅವಶೇಷಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳತೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ಸೌಂದರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಮಿನುಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧವಿಲ್ಲದೆ, a + b ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಧ್ಯಯನದ ವಸ್ತುವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗ ಗೌಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು Z [i] ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. i ಎಂಬುದು 1ರ ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದು ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಘನ ಅವಶೇಷಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ a + bh ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಗಣನೆಯ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ h ಎಂಬುದು h3 = 1 ಸಮೀಕರಣದ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅವಶೇಷಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಇತರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪರಿಚಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕತೆಯ ಘನಮೂಲದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಅವಶೇಷಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ "ಇತರ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಪ್ರಮಾಣಗಳು" ಸೈಕ್ಲೋಟೋಮಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರಗಳಾಗಿವೆ; ಗೌಸಿಯನ್ ಮತ್ತು ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಇವುಗಳಿಗೆ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸತ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಭಾಷೆ ಗಾಸ್ "ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ" ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಘಟಕ, ಸಹವರ್ತಿ, ಮಾನದಂಡ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಎಂಬ ಪದಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಘಟಕಗಳು 1 ಅನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು 1, i, −1, ಮತ್ತು −i. ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ 1 ಮತ್ತು-1 ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವು ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ. ಘಟಕಗಳು i ನ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. λ = a + b ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದರ ಸಂಯುಗ್ಮವು a − b ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಹವರ್ತಿಗಳು ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ λ = + a + b iλ = − b + i − λ = − a − b − iλ = + b − i λ = a + b ಆಗಿದ್ದರೆ, Nλ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾದ λ ನ ಮಾನದಂಡವು a2 + b2 ಆಗಿದೆ. λ ಮತ್ತು μ ಎರಡು ಗೌಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಎನ್ಎಲ್ಎಂಯು = ಎನ್ಎಲ್ಎನ್ಎಂಯು; ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾನದಂಡವು ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯದ ಮಾನದಂಡವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾನದಂಡವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. Nε = 1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ε ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಗೌಸಿಯನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರದ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದ λ ನ ಮಾನದಂಡದ ವರ್ಗಮೂಲವು ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಗೌಸ್ ಝಡ್ [ಐ] ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮೂರು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ 2 ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆಃ 2 = ಐ3 (1 + ಐ) 2. ಇದು Z [i] ನಲ್ಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ವರ್ಗದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಏಕೈಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, 2 ಅನ್ನು Z [i] ನಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. Z ಷ್ಣ 3 (ಮಾಡ್ 4) ನಲ್ಲಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸಹ Z [i] ನಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು Z [i] ನಲ್ಲಿ ಜಡವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. Z ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ನಲ್ಲಿರುವ ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು Z [i] ನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು Z [i] ನಲ್ಲಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಜಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು 3,7,11,19. ಮತ್ತು ವಿಭಜಿತ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯು 5 = (2 + i) × (2−i), 13 = (2 + 3i) × (2−3i), 17 = (4 + i) × (4−i), 29 = (2 + 5i) × (2−5i),. ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸಹವರ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಯೋಗಗಳು ಸಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಜಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ q ನ ಮಾನದಂಡವು Nq = q2 ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಹೀಗಾಗಿ 1 + i ಮತ್ತು ಅದರ ಸಹವರ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಮಾನದಂಡವು ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದೆ. ಗೌಸ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಮಾನದಂಡವು ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ Z [i] ಬೆಸ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾನೆ. ಹೀಗಾಗಿ 1 + i ಮತ್ತು ಅದರ ಸಹವರ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಬೆಸವಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಬೆಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಸಹವರ್ತಿಗಳು ಬೆಸವಾಗಿವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಪವರ್ತನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಳಲು, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಹವರ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ (1 + i) 3) ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಗೌಸ್ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಹವರ್ತಿ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ. a + b ಷ್ಣ a − b ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4); ಅಂದರೆ, a ಷ್ಣ 1 ಮತ್ತು b ಷ್ಣ 0, ಅಥವಾ a ಷ್ಣ 3 ಮತ್ತು b ಷ್ಣ 2 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದ್ದರೆ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ λ = a + b ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಂಯೋಗವು ಸಹ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ. Z [i] ಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದರೆಃ λ §0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≤ 0, π ಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು αs ≤ 1, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಜಕಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು Z [i] ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ Zನಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಘಟಕಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದರಿಂದ, ಏಕರೂಪತೆಯು (ಮಾಡ್ λ) ಸಹ λನ ಯಾವುದೇ ಸಹವರ್ತಿಗೆ ನಿಜವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು GCDಯ ಯಾವುದೇ ಸಹವರ್ತಿ ಕೂಡ GCD ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಅಕ್ಷರವಾದ ಗಾಸ್ ಫೆರ್ಮಾಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ α ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯ π ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ Nπ ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ರಿಂದ, ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಘಟಕ ik ಗೆ. ಈ ಘಟಕವನ್ನು α (ಮಾಡ್ π) ನ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಅಥವಾ ಬೈಕ್ವಾಡ್ರಟಿಕ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂ ಅಕ್ಷರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಯಂತೆಯೇ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಬಾರ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಝಡ್ [ಐ] ನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. π ಮತ್ತು θ ಸಹವರ್ತಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, α ಷ್ಣ β (ಮಾಡ್ π) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಜಾಕೋಬಿ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೇ ದ್ವಿಗುಣಿತ ಅಕ್ಷರವನ್ನು "ಛೇದ" ದಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಸಂಯೋಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ಛೇದ" ವು ಸಂಯುಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದೆಯೇ ಚಿಹ್ನೆಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, a §0, |b |> 1, gcd (a, b) = 1, ಆಗ ಗಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣಾತ್ಮಕ ಪಾರಸ್ಪರಿಕತೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೇಳುತ್ತವೆಃ π ಮತ್ತು θ ಗಳು Z [i] ನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ π ಅಥವಾ θ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ π ಮತ್ತು θ ಎರಡೂ ಷ್ಣ 3 + 2i (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆಯ ಚತುರ್ಭುಜ ಪರಸ್ಪರ ನಿಯಮವು ಜಾಕೋಬಿ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಅವು ಬೆಸ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಘಟಕಗಳಾಗಿರುವುದು ಸಾಕು. ಬಹುಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯೆಂದರೆಃ π ಮತ್ತು θ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲದಿರಲಿ. ನಂತರ ಘಟಕಗಳಿಗೆ ಪೂರಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಧ-ಸಮ ಅವಿಭಾಜ್ಯ 1 + i. π = a + b ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಜಾಕೋಬಿ π = a + b ಅನ್ನು a ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಆಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ, ನಿಯಮವು α = a + ದ್ವಿ ಮತ್ತು β = c + ಡಿ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ a ಷ್ಣ c ಷ್ಣ 1 (ಮಾಡ್ 4) ಮತ್ತು b ಮತ್ತು d ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆವೃತ್ತಿಯು ಗೌಸ್ನ ಅಪ್ರಕಟಿತ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. a ಮತ್ತು c ಬೆಸವಾಗಿರುವಲ್ಲಿ α = a + 2bi ಮತ್ತು β = c + 2di ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲದಿರಲಿ. ನಂತರ ಪ್ರಾಥಮಿಕದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ನಿಯಮವನ್ನು ಹೇಳಬಹುದುಃ λ ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ε (λ) ಯು λ (ಮಾಡ್ (1 + i) 3) ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಅನನ್ಯ ಘಟಕವಾಗಿರಲಿ; ಅಂದರೆ, ε (λ) = ik ಷ್ಣ λ (ಮಾಡ್ 2 + 2i), ಅಲ್ಲಿ 0 ≤ k ≤ 3. ನಂತರ ಬೆಸ ಮತ್ತು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ α ಮತ್ತು β, ಯಾವುದೂ ಒಂದು ಘಟಕವಲ್ಲ, ಬೆಸ λ ಗೆ, ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ ನಂತರ λ ಮತ್ತು μ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಘಟಕಗಳಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಯೂಲರ್, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅವರ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಲೆಮ್ಮರ್ಮೇಯರ್ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿಗಳಿಂದ ನಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನದ ತಯಾರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಯೂಲರ್ ಇದನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ 1748-1750 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿತ್ತು, ಆದರೆ ಮರಣೋತ್ತರವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು; ಇದು ಸಂಪುಟ V, ppಯಲ್ಲಿದೆ. ಗೌಸ್ನ 182-283 ದ್ವಿಗುಣಾತ್ಮಕ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕಟವಾದ ಗೌಸ್ನ ಎರಡು ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಮೊದಲನೆಯದು §§ 1-23 ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು §§ 24-76 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು "ಗಾಸ್, BQ, §n" ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ. ಶೋಧನಾ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವ ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು "ಗಾಸ್, ಡಿ. ಎ, ಆರ್ಟ್" ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ. ಎನ್. " ಇವು ಗೌಸ್ ವರ್ಕ್, ಸಂಪುಟ II, ಪುಟಗಳಲ್ಲಿವೆ. 65-92 ಮತ್ತು 93-148 ಜರ್ಮನ್ ಅನುವಾದಗಳು pp ನಲ್ಲಿವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ 511-533 ಮತ್ತು 534-586, ಇದು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗೆಗಿನ ಡಿಸ್ಕ್ವಿಸಿಶನ್ಸ್ ಅರ್ಥಮೆಟಿಕಾ ಮತ್ತು ಗಾಸ್ ಅವರ ಇತರ ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಐಸೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ಈ ಎಲ್ಲಾ ದಾಖಲೆಗಳು ಆತನ ವರ್ಕೆಯ ಮೊದಲನೇ ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿವೆ. ಇವೆರಡೂ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅವರ ವರ್ಕೆಯ ಮೊದಲ ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿವೆ. ಆಧುನಿಕ ಲೇಖಕರು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಫ್ರಾಂಜ್ ಲೆಮ್ಮರ್ಮೇಯರ್ ಬರೆದ ಈ ಎರಡು ಪ್ರಬಂಧಗಳು ಬರ್ಡೆಯ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ರೆಸಿಪ್ರೋಸಿಟಿ ರೆಶನಲ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ರೆಸಿಪ್ರೋಸಿಟಿ II ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.