Morass (set theory)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಭಾಗವಾದ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕಣಜವು ಅನಂತ ಸಂಯೋಜನೆಯ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು "ಸಣ್ಣ" ಸಂಖ್ಯೆಯ "ಸಣ್ಣ" ಅಂದಾಜುಗಳಿಂದ "ದೊಡ್ಡ" ರಚನೆಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ವರ್ಗಾವಣೆ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ರಚನಾತ್ಮಕತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ರೊನಾಲ್ಡ್ ಜೆನ್ಸನ್ ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಸರಳೀಕೃತ ಮೊರಾಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕಡಿಮೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಆದರೆ ಸಮಾನವಾದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವೆಲ್ಲೆಮ್ಯಾನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಈಗ ಈ ಸರಳ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ಮೊರಾಸ್ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವಲೋಕನ ಎನ್> 1 ಗೆ ಗ್ಯಾಪ್-ಎನ್ ಮೊರಾಸ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೂ, ಅವು ಎಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆಯೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಗಮನವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ಯಾಪ್-1 ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. "ಅಂತರ" ವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಬಳಸಿದ "ಸಣ್ಣ ಅಂದಾಜುಗಳ" ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ರಚನೆಯ ಗಾತ್ರದ ನಡುವಿನ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಎ (ಗ್ಯಾಪ್-1) ಕಣಜವು ಎಣಿಸಲಾಗದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ κ (a (κ, 1)-ಕಣಜ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಮೇಲೆ κ + 1 ಎತ್ತರದ ಮರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಮಟ್ಟವು κ +-ಅನೇಕ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮರದ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ನೋಡ್ಗಳ ಆರ್ಡಿನಲ್ ರಚನೆಯು ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿನ ಆರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ನೇರ ಮಿತಿಯಾಗಿ ನಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಆ ನೋಡ್ಗೆ "ನಿರ್ಮಿಸಲ್ಪಡಬೇಕು", ಆದ್ದರಿಂದ ಕೆಳಮಟ್ಟದ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು (ದೊಡ್ಡ) ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ನೋಡ್ಗೆ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಇದು ವಿಶೇಷವಾಗಿ "ಒಳ್ಳೆಯ" ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುವಂತೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸುದೀರ್ಘ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ವಿಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಗಳಾದ ವೆಲ್ಲೆಮನ್ ಮತ್ತು ಶೆಲಾ ಮತ್ತು ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮೊರಾಸ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಬಲವಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ತಜ್ಞರಲ್ಲದವರಿಗೆ ಅವುಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ ಹೋಗಿ, ವೆಲ್ಲೆಮ್ಯಾನ್ ಅವರು ಕೊಳೆಗೇರಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸರಳೀಕೃತ ಕೊಳೆಗೇರಿಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಅವು ಅತ್ಯಂತ ಸರಳವಾದ ರಚನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗೊಡೆಲ್ನ ರಚನಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿ ಸರಳೀಕೃತ ಕೊಳೆಗೇರಿಯ ಏಕೈಕ ರಚನೆಯು ಕೊಳೆಗೇರಿಗಳ ಮೂಲಕವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆಯು ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಕೊಳೆಗೇರಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಇತರ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ, ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕೊಳೆಗೇರಿಗಳು ಸೇರಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಕೊಳೆಗೇರಿಗಳ ಶಾಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮ್ಯಾಂಗ್ರೋವ್ಗಳು, ಇವು ಪ್ರತಿ ಶಾಖೆಯು ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದ ಮಟ್ಟಗಳಾಗಿ (ಮಂಗಲ್ಗಳು) ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕೊಳೆಗೇರಿಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಕ್ವಾಗ್ಮೈರ್ಗಳು. ಸರಳೀಕೃತ ಮೊರಾಸ್ ವೆಲ್ಲೆಮನ್, ಗ್ಯಾಪ್-1 ಮೊರಾಸ್ಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾದ ಗ್ಯಾಪ್-1 ಸರಳೀಕೃತ ಮೊರಾಸ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಗ್ಯಾಪ್-1 ಮೊರಾಸ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಗ್ಯಾಪ್-1 ಸರಳೀಕೃತ ಮೊರಾಸ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ a (κ, 1)-ಸರಳೀಕೃತ ಮೊರಾಸ್ M = <φ →, F ಂಡಲವು φ → = <φβ: β ≤ κ> ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ φβ <κ ಮತ್ತು φκ = κ + ಗೆ φβ <κ, ಮತ್ತು ಡಬಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ F ಂಡಲ = <Fα, β: α <β ≤ κ> ಅಲ್ಲಿ Fα, β ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಸುಲಭ ಆದರೆ ಪ್ರಮುಖ) ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ α <β ≤ κ ಗಾಗಿ φα ನಿಂದ φβ ಗೆ ಮೊನೊಟೋನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳಾಗಿವೆ. ವೆಲ್ಲೆಮ್ಯಾನ್ನ ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅವನು ZFCಯಲ್ಲಿ (ω0,1) ಸರಳೀಕೃತ ಕಲ್ಲುಮಣ್ಣುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದನು. ಅವರು ಅಂತರ-2 ಸರಳೀಕೃತ ಕೊಳೆಗೇರಿಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸರಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಮತ್ತು ಅವರು ZFC ಯಲ್ಲಿ (ω0,2) ಸರಳೀಕೃತ ಕೊಳೆಗೇರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಮೋರ್ಗನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಜಾಲ್ಕಾಯ್ ಅವರು ಯಾವುದೇ n ±1 ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂತರದ ಸರಳೀಕೃತ ಕೊಳೆಗೇರಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ a (κ, n + 1)-ಸರಳೀಕೃತ ಮೊರಾಸ್ (ಸ್ಜಾಲ್ಕೈನ) M = <M →, F ುಣ> ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ M → = <Mβ: β ≤ κ> (<κ, n)-ಸರಳೀಕೃತ ಮೊರಾಸ್ ರೀತಿಯ ರಚನೆಗಳು β <κ ಮತ್ತು Mκ a (κ +, n)-ಸರಳೀಕೃತ ಮೊರಾಸ್, ಮತ್ತು ಡಬಲ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ F ುಣ = <Fα, β: α <β ≤ κ> ಅಲ್ಲಿ Fα, β ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ α <β ≤ κ ಗಾಗಿ Mα ನಿಂದ Mβ ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳಾಗಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮರಗಳು (ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ)