Higher-dimensional algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ (ಉನ್ನತ) ವರ್ಗದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತವು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ ರಚನೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವಾಗಿದೆ. ಇದು ನಾನಬೆಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ವರ್ಗಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆ ಉನ್ನತ ವರ್ಗದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ 2-ವರ್ಗದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಎರಡು ವರ್ಗದ ಹೆಚ್ಚು 'ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ' ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವರ್ಗಗಳ ವರ್ಗ ಅಥವಾ ಸೂಪರ್-ವರ್ಗ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವರ್ಗದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉನ್ನತ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ-ಇದನ್ನು ಲಾವೆರೆ ಅವರ ಅಮೂರ್ತ ವರ್ಗಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದ (ಇಟಿಎಸಿ) ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ರಚನೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಸೂಪರ್-ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್-ವರ್ಗವನ್ನು ಮೆಟಾ-ವರ್ಗ, ಬಹು-ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಬಹು-ಗ್ರಾಫ್, ಕೆ-ಪಾರ್ಟೈಟ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅಥವಾ ಬಣ್ಣದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು (ಬಣ್ಣದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡಿ, ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ). ಸೂಪರ್ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1970 ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ತರುವಾಯ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತ) ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಜೈವಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಇತರ ಮಾರ್ಗಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ದ್ವಿ-ವರ್ಗಗಳು, ದ್ವಿ-ವರ್ಗಗಳ ಏಕರೂಪತೆಗಳು, ಬದಲಾಗುವ ವರ್ಗಗಳು (ಸೂಚ್ಯಂಕ ಅಥವಾ ನಿಯತಾಂಕ ವರ್ಗಗಳೆಂದು ಸಹ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ), ಟೋಪೋಯಿ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಂತತಿ, ಮತ್ತು ಸಮೃದ್ಧ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ವರ್ಗಗಳು. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ (ಎಚ್. ಡಿ. ಎ.), ಡಬಲ್ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಎಂಬುದು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರದ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ವಿಲೋಮ ಬಾಣಗಳು ಅಥವಾ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು (ಅಥವಾ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು) ನಂತಹ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲು ಡಬಲ್ ಗ್ರೂಪೋಯ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದರೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಂತೆ ಕಾಣುವ ಸ್ಪೇಸ್, ಆದರೆ ಅದರ ಜಾಗತಿಕ ರಚನೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದದ್ದಾಗಿರಬಹುದು. ಡಬಲ್ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ರೊನಾಲ್ಡ್ ಬ್ರೌನ್ ಅವರು ಡಬಲ್ ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಾಸ್ಡ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಲ್ಲಿ (1976) ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ನಾನ್-ಅಬೆಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ, 'ಡ್ಯುಯಲ್' ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಡಬಲ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯ್ಡ್ನದ್ದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆರ್-ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಯ್ಡ್ನ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ನಾನಾಬೆಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ನೋಡಿ ನಾನಾಬೆಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅನ್ವಯಗಳು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವರ್ಗಗಳಿವೆ. ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಡಬಲ್ ಗ್ರೂಪೋಯ್ಡ್ಗಳು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಡಬಲ್ ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ಗಳನ್ನು 2-ಫಂಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೂಲಭೂತ ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಫಂಡಮೆಂಟಲ್ ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ಗಳ (ಕ್ಯೂಎಫ್ಜಿ) ದೈಹಿಕವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಬೈಕಾಟೆಗರಿ ಸ್ಪ್ಯಾನ್ (ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ಗಳು) ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಯೋಚಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ 2-ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಬೋರ್ಡಿಸಮ್ಗಳಿಗಾಗಿ 2-ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ 2-ಕಾರ್ಯಕಾರಿಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಮೂಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋಬೋರ್ಡಿಜಂಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಗೇಜ್ ಗುಂಪಿನ ಎಸ್ಯು (2) ನೊಂದಿಗೆ, "ವಿಸ್ತರಿತ ಟಿಕ್ಯುಎಫ್ಟಿ, ಅಥವಾ ಇಟಿಕ್ಯೂಎಫ್ಟಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಪೊನ್ಜಾನೋ-ರೆಗ್ಜ್ ಮಾದರಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಹೇಳಲಾಯಿತು; ಅದೇ ರೀತಿ, ಟುರಾವ್-ವೈರೋ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಂತರ ಎಸ್ಯುಕ್ಯೂ (2) ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸ್ಥಿತಿ ಜಾಗವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು-ಅಥವಾ ಅನೇಕ ರೀತಿಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು (ಕ್ಯೂಎಫ್ಟಿಗಳು) ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ, ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೂಪಾಂತರ ಗುಂಪುಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗೇಜ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗೇಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ವರ್ಗಗಳಾದ 2-ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ವರ್ಗಗಳ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಸಹ ನೋಡಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ (ಡೌನ್ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಪಿಡಿಎಫ್ ಲಭ್ಯವಿದೆ) ಇದು ಗುಂಪುಗಳ ಕೆಲವು ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಬ್ರಾಂಡ್ಟ್ನ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು 160 ಉಲ್ಲೇಖಗಳೊಂದಿಗೆ 1987 ರವರೆಗಿನ ನಂತರದ ಕೆಲಸದ ಸೂಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಗ್ರೂಪೋಯ್ಡ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಹೇಗೆ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಗ್ರೂಪೋಯ್ಡ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಅನೇಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವೆಬ್ ಲೇಖನವು, ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗ್ರೂಪ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ ಹಿಂದೆ 1968 ಮತ್ತು 1988ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಪುಸ್ತಕದ ಪರಿಷ್ಕೃತ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಆವೃತ್ತಿ. ಇ-ಆವೃತ್ತಿಯು ಜಾಲತಾಣದಿಂದ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಗ್ಯಾಲೋಯಿಸ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. .. ಉನ್ನತ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ತರ್ಕ ವರ್ಗ ತರ್ಕ ಡಿಃ ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ (ಕ್ಯಾಟೆಗೊರಿಯಂಟಿಯೋರಿ) ಎಸ್ಃ ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ ಎಫ್ಆರ್ಃ ಕ್ಯಾಟೆಗೊರಿ ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ ಕೋಃ ಗ್ರುಪ್ಪೋಯಿಡ್ (ಟಿಯೋರಿಯಾ ಡೆಲ್ಲೆ ವರ್ಗೀಕರಣ) ಪಿಟಿಃ ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ (ಟಿಯೋರಿಯಾ ದಾಸ್ ವರ್ಗೀಕರಣಗಳು)