3 31 honeycomb
7-ಆಯಾಮದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, 331 ಜೇನುಗೂಡು ಏಕರೂಪದ ಜೇನುಗೂಡುಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಸ್ಕ್ಲಾಫ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು 321 ಮತ್ತು 7-ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಸುತ್ತಲೂ ಕ್ರಮವಾಗಿ 56 ಮತ್ತು 576 ಅಂಶಗಳಿವೆ. 7 ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ 8 ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಕನ್ನಡಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವೈಥಾಫ್ ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಇದನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮುಖದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅದರ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಸಣ್ಣ ಶಾಖೆಯ ಮೇಲೆ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ 6-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಂಶವು ಹೊರಬರುತ್ತದೆಃ 3-ಉದ್ದದ ಶಾಖೆಯ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ 321 ಅಂಶವು ಹೊರಬರುತ್ತದೆಃ ರಿಂಗ್ಡ್ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನೆರೆಯ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 239 ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನೆರೆಯ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಂಚಿನ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 6-ಡೆಮಿಕ್ಯೂಬ್ (131) ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ರಿಂಗ್ಡ್ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನೆರೆಯ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮುಖದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸರಿಪಡಿಸಿದ 5-ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು (031) ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮುಖದ ಆಕೃತಿಯ ರಿಂಗ್ಡ್ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನೆರೆಯ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ರಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಜೀವಕೋಶದ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಅನ್ನು {} × {3,3} ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಚುಂಬನ ಸಂಖ್ಯೆ ಈ ಟೆಸಿಲೇಷನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವು 7 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ದಟ್ಟವಾದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ನಲ್ಲಿರುವ 6-ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ; ಅದರ ಚುಂಬನ ಸಂಖ್ಯೆ 126 ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶೃಂಗದ ಅಂಕಿಗಳ ಅಂಕಿಗಳ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇ7 ಜಾಲರಿ 331 ಜೇನುಗೂಡಿನ ಶೃಂಗದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಇ7 ಜಾಲರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೂಚ್ಯಂಕ 144ರ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇವೆರಡನ್ನೂ ವಿವಿಧ ನೋಡ್ಗಳಿಂದ ಅಫೈನ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ E7 ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಎರಡು A7 ಜಾಲರಿಗಳ ಶೃಂಗಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿಯೂ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು A72: = ≤ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. E7 * ಜಾಲರಿಯ ವೊರೊನೊಯಿ ಜೀವಕೋಶವು 132 ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವೊರೊನೊಯಿ ಟೆಸೆಲ್ಲೇಷನ್ 133 ಜೇನುಗೂಡು. E7 * ಜಾಲರಿಯನ್ನು E7 ಜಾಲರಿಯ ಶೃಂಗಗಳ 2 ಪ್ರತಿಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರತಿ ಉದ್ದದ ಶಾಖೆಯಿಂದ ಒಂದು, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು A74 ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ನಾಲ್ಕು A7 * ಜಾಲರಿಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಸಂಬಂಧಿತ ಜೇನುಗೂಡುಗಳು ಇದು ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು ಮತ್ತು ಜೇನುಗೂಡುಗಳ ಆಯಾಮದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ 3k1 ಸರಣಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ 4-ಆಯಾಮದ ಕೇಸ್ 3-ಗೋಳದ ಟೈಲಿಂಗ್, ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಹೋಸೋಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. 8-ಪಾಲಿಟೋಪ್ 133 ಜೇನುಗೂಡಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ರೆಗ್ಯುಲರ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್, 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಡೋವರ್ ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1973 ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ದಿ ಬ್ಯೂಟಿ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಃ ಟ್ವಲ್ವೆಲ್ ಎಸ್ಸೇಸ್, ಡೋವರ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್, 1999, (ಚಾಪ್ಟರ್ 3: ವೈಥಾಫ್ಸ್ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ ಫಾರ್ ಯೂನಿಫಾರ್ಮ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್) ಕ್ಯಾಲಿಡೋಸ್ಕೋಪ್ಸ್ಃ ಸೆಲೆಕ್ಟೆಡ್ ರೈಟಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ಎಫ್. ಆರ್ಥರ್ ಶೇರ್ಕ್, ಪೀಟರ್ ಮೆಕ್ಮುಲ್ಲೆನ್, ಆಂಥೋನಿ ಸಿ. ಥಾಂಪ್ಸನ್, ಏಷ್ಯಾ ಐವಿಕ್ ವೈಸ್, ವಿಲೇ-ಇಂಟರ್ಸೈನ್ಸ್ ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್, 1995, ಗೂಗಲ್ ಬುಕ್ (ಪೇಪರ್ 24) ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ನಿಯಮಿತ ಮತ್ತು ಅರೆ-ನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ III, [ಮಠ. ಜೀತ್. 200 (1988) ಆರ್. ಟಿ. ವರ್ಲಿ, ದಿ ವೊರೊನೊಯಿ ರೀಜನ್ ಆಫ್ ಇ7 *. ಸಿಯಾಮ್ ಜೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಮ್ಯಾಥ್., 1.1 (1988), 134-141. ಪಿ 124-125,8.2 7-ಡಿಮೆನ್ಸಿನೋಲ್ ಜಾಲರಿಗಳುಃ ಇ7 ಮತ್ತು ಇ7 * 8-ಬಹುಪದಗಳು