Polar action
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಧ್ರುವೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ಮೇಲೆ ಲೈ ಗ್ರೂಪ್ ಜಿ ಯ ಸರಿಯಾದ ಮತ್ತು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ σ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ವಿಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಿಭಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಧ್ರುವೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಾಗಗಳು ಪ್ರೇರಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೈಪರ್ಪೋಲಾರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಧ್ರುವ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಧ್ರುವೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಧ್ರುವೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಡಡೋಕ್ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಧ್ರುವೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳದ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಂತೆಯೇ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವನ ವರ್ಗೀಕರಣದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬರ್ನ್ಡ್, ಜೆ; ಓಲ್ಮೋಸ್, ಸಿ; ಕನ್ಸೋಲ್, ಎಸ್. (2003). "ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಹೋಲೋನಮಿ", ಚಾಪ್ಮನ್ & ಹಾಲ್/ಸಿಆರ್ಸಿ, ರಿಸರ್ಚ್ ನೋಟ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, 434, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ