SIC-POVM
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ, ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕ್ರಮಗಳು (ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಗಳು) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾಪನಗಳಾಗಿವೆ (ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ.). ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಗಳು (1) ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವುದು; (2) ಮಾಹಿತಿಯ ಪರಿಪೂರ್ಣತೆಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಮತ್ತು (3) ಹೆಚ್ಚು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವುದು ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯು ಮಾಪನ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಇನ್ಪುಟ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಪಿಒವಿಎಂನ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಯೂಬಿಸಮ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ "ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಪನ" ಕ್ಕೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಟೋಮೋಗ್ರಫಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ SIC-POVMಗಳು ಹಲವಾರು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಹನ್ನೆರಡನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಎನ್ನುವುದು ಗುರುತಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಧನಾತ್ಮಕ-ಅರೆಪರಿಮಿತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆಃ ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸುವ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. (ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಖರವಾದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಐಸಿ-ಪಿಒವಿಎಂಗಳನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿ-1 ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವು, ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಐಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿ ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ನಂತಹ ಶ್ರೇಣಿ-1 ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಮಾನವಾದ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳನ್ನು ಕೇಳುವುದು, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು SIC-POVMಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ; ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಅಂಶಗಳು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೂಪರ್ ಆಪರೇಟರ್ SIC-POVM ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಯಾವ ನಕ್ಷೆಯಂತಹ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಸೂಪರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಗೋಳಾಕಾರದ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಗಳ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಆಪರೇಟರ್ ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಈ ಆಪರೇಟರ್ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಗುರುತನ್ನು ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂನ ಅಂಶಗಳು ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಈ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿಭಜನೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿಂದ, ಎಡ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅರ್ಧ-ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಜ್ಞಾನದಿಂದ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೋಡುವ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಡಿರಾಕ್ ಸಂಕೇತ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಸೂಕ್ತವಾದ ಅರೆ-ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ರಾಜ್ಯದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೈಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಬ್ಲೋಚ್ ಗೋಳದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳನ್ನು, ಮತ್ತು ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಇದು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅತ್ಯಾಧುನಿಕ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅಗತ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರೂಪ್ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಜನರಲ್ ಗ್ರೂಪ್ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಎ. ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಅನ್ನು ಗ್ರೂಪ್ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಗುಂಪು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಗಳ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ವಾಹಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ನಂತರ ಆನ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. Zd × Zd ಪ್ರಕರಣವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ SIC-POVM ಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಗುಂಪಿನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನಾವು ಡಿ-ಆಯಾಮಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಗುಂಪಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಹಲವಾರು ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಬೇಕು. ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ, ನಂತರ ಹಂತದ ಆಪರೇಟರ್ ಏಕತೆಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಈ ಎರಡು ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ವೇಯ್ಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್-ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಇದು ಗುಂಪು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಐ. ಸಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಗಳ ಕೆಲವು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲತಃ ಝೌನರ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ವಾಹಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಊಹೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಆಯಾಮಕ್ಕೂ ಒಂದು SIC-POVM ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ವೇಯ್ಲ್-ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿಯ-ಒನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಕಕ್ಷೆಯಾಗಿವೆ. ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಜಾಕೋಬಿ ಗುಂಪಿನ ಟಿ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಕೇಂದ್ರದ ಮೇಲೆ ಟಿ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮೂರು ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗುಂಪು ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ, ಒಂದು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು SIC-POVM ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಭಾಗಶಃ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮಗಳಿಗಾಗಿ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪುರಾವೆಯು ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು 115 ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಗುಂಪಿನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ದೊಡ್ಡ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಒಂದು ಗೋಳಾಕಾರದ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವು ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹೈಪರ್ಸ್ಪಿಯರ್ನಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಬಹುಪದದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವಾಹಕಗಳ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಟಿ-ಫೋಲ್ಡ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಮತ್ತು ಟಿ-ಫೋಲ್ಡ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಫ್ರೇಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಾಹಕಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಗೋಳಾಕಾರದ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದು ತಕ್ಷಣವೇ ಪ್ರತಿ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ ಅನ್ನು 2-ವಿನ್ಯಾಸವೆಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬೇಸ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದವು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಸ್. ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ವೂಟರ್ಸ್ ಗಮನಸೆಳೆದಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ (ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರೈಮ್ ಪವರ್) ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಫೈನ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ವಿನಿಮಯದ ಪಾತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ನೆಲೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿವೆ. ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ, ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ನಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ನ 9 ವಾಹಕಗಳು, ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ 12 ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಕೋಚೆನ್-ಸ್ಪೆಕರ್ ಪ್ರೂಫ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 6-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, SIC-POVM ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಮಾಪನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ನೆಲೆಗಳು ಪಿಒವಿಎಂ ಕ್ಯೂಬಿಸಂ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಪನ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪ್ಲೇನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಸ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್-ಸಹಾಯಕ ಪುರಾವೆಗಳು