Regiomontanus' angle maximization problem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ರೆಜಿಯೋಮಾಂಟನಸ್ನ ಆಂಗಲ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು 15ನೇ ಶತಮಾನದ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೋಹಾನ್ಸ್ ಮುಲ್ಲರ್ (ರೆಜಿಯೋಮಾಂಟನಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಒಡ್ಡಿದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಒಂದು ವರ್ಣಚಿತ್ರವು ಗೋಡೆಗೆ ತೂಗುಹಾಕಿದೆ. ವೀಕ್ಷಕರ ಕಣ್ಣಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲಿರುವ ವರ್ಣಚಿತ್ರದ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಕೆಳಭಾಗದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ವರ್ಣಚಿತ್ರದ ಕೆಳಗಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಕರ ಕಣ್ಣಿನಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ವೀಕ್ಷಕನು ಗೋಡೆಯಿಂದ ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲಬೇಕು? ವೀಕ್ಷಕನು ಗೋಡೆಗೆ ತುಂಬಾ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಗೋಡೆಯಿಂದ ತುಂಬಾ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಕೋನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ; ಅದರ ನಡುವೆ ಎಲ್ಲೋ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ರಗ್ಬಿಯಲ್ಲಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಒದೆಯಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದೇ ವಿಧಾನವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆ ವಿಷಯಕ್ಕಾಗಿ, ಚಿತ್ರದ ಜೋಡಣೆಯು ಸಮಕೋಣೆಯಲ್ಲಿರುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲಃ ನಾವು ಪಿಸಾದ ಬಾಗಿದ ಗೋಪುರದ ಕಿಟಕಿಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೇಲ್ಛಾವಣಿಯಲ್ಲಿ ಆಕಾಶ-ಬೆಳಕಿನ ಅನುಕೂಲಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುವ ರಿಯಾಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೋಡುತ್ತಿರಬಹುದು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರ ವರ್ಣಚಿತ್ರದ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಕೆಳಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ವೃತ್ತವಿದೆ ಮತ್ತು ಕಣ್ಣಿನ ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ವೀಕ್ಷಕರ ಸ್ಥಾನವು ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸಬೇಕಾದರೆ, ವರ್ಣಚಿತ್ರದಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಕೋನವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಕಣ್ಣಿನ ಮಟ್ಟದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಾನಗಳು ವೃತ್ತದ ಹೊರಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವರ್ಣಚಿತ್ರವು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಕೋನವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. a = ಕಣ್ಣಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲಿನ ವರ್ಣಚಿತ್ರದ ಕೆಳಭಾಗದ ಎತ್ತರ; b = ಕಣ್ಣಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲಿನ ವರ್ಣಚಿತ್ರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಎತ್ತರ; ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ, ಚಿತ್ರದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರದ ಕೆಳಭಾಗದಿಂದ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಉದ್ದ a + (b-a)/2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡು ಕಾಲುಗಳ ಉದ್ದವು ಗೋಡೆಯಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ದೂರ ಮತ್ತು (b-a)/2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಗೋಡೆಯಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ಅಂತರವು, ಅಂದರೆ ವರ್ಣಚಿತ್ರದ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಕೆಳಭಾಗದ ಎತ್ತರಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ. ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರ ಇಂದಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅನೇಕ ಪ್ರಥಮ ವರ್ಷದ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ಟೀವರ್ಟ್ ಅವರ) ಒಂದು ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. a = ಕಣ್ಣಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲಿನ ವರ್ಣಚಿತ್ರದ ಕೆಳಭಾಗದ ಎತ್ತರ; b = ಕಣ್ಣಿನ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಮೇಲಿನ ವರ್ಣಚಿತ್ರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಎತ್ತರ; x = ಗೋಡೆಯಿಂದ ವೀಕ್ಷಕರ ದೂರ; α = ವೀಕ್ಷಕರ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ವರ್ಣಚಿತ್ರದ ಕೆಳಭಾಗದ ಎತ್ತರದ ಕೋನ; β = ವೀಕ್ಷಕರ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಕಂಡುಬರುವ ವರ್ಣಚಿತ್ರದ ಮೇಲ್ಭಾಗದ ಎತ್ತರದ ಕೋನ. ನಾವು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಬಯಸುವ ಕೋನವು β − α ಆಗಿದೆ. ಕೋನವು ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ b − a ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x 0 ರಿಂದ 0 ಗೆ ಹೋದಂತೆ ಕೋನವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು x ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ x =, a ಮತ್ತು b ಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಾಸರಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರ ಇದು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ ಇದು ಪರಸ್ಪರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಮಾನವಾಗಿದೆಃ ಈ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ವರ್ಗವು 0 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು x = ಆಗಿದ್ದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವೃತ್ತಗಳು ಗಣನೆಯ ಇತಿಹಾಸ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು