Baum–Sweet sequence
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಾಮ್-ಸ್ವೀಟ್ ಅನುಕ್ರಮವು ನಿಯಮದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ 0s ಮತ್ತು 1s ನ ಅನಂತ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆಃ n ನ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಬೆಸ ಉದ್ದದ ಸತತ 0s ನ ಯಾವುದೇ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ bn = 1; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ bn = 0; n ≤ 0 ಗೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, b4 = 1 ಏಕೆಂದರೆ 4 ರ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು 100 ಆಗಿದೆ, ಇದು 2 ರ ಉದ್ದದ ಸತತ 0 ಗಳ ಒಂದು ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಆದರೆ b5 = 0 ಏಕೆಂದರೆ 5 ರ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು 101 ಆಗಿದೆ, ಇದು 1 ರ ಉದ್ದದ ಸತತ 0 ಗಳ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. n = 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಬಾಮ್-ಸ್ವೀಟ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ 1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1. ಈ ಸರಣಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಇ. ಬಾಮ್ ಮತ್ತು ಮೆಲ್ವಿನ್ ಎಮ್. ಸ್ವೀಟ್ ಅವರು 1976ರಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. 1949ರಲ್ಲಿ, ಅದರ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಭಾಗಶಃ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚತುಷ್ಕೋಣೀಯವಲ್ಲದ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಿಂಚಿನ್ ಊಹಿಸಿದರು. ಈ ಊಹೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಉದಾಹರಣೆ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಬಾಮ್ ಮತ್ತು ಸ್ವೀಟ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಅದೇ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಅವರು ಘನ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಅನುಪಾತಗಳು ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. (ಬಾಮ್ ಮತ್ತು ಸ್ವೀಟ್ನ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿನ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯ ಮಟ್ಟವು ಖಿಂಚಿನ್ನ ಊಹೆಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೈಜಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ಷೇತ್ರ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.) ಬೌಮ್ ಮತ್ತು ಸ್ವೀಟ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅದರ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಹೆನ್ಸೆಲ್ ಅವರ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಮೂಲವಿದೆ ಎಂದು ಲೇಖಕರು ತೋರಿಸುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಈ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮೂಲವು ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಭಾಗಶಃ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಂಶಗಳು. ಹಾಗೆ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು, ಅವರು (ಪ್ರಮೇಯ 2, p 598 ರ ನಂತರದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ) ಬೈನರಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯು s ನ ಸಮ ಉದ್ದದ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮೂಲವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಬಾಮ್-ಸ್ವೀಟ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನಾಂಶದ ಭಾಗಶಃ ಅನುಪಾತಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಮಕೌರ್ ಮತ್ತು ಯಾವೊ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭಾಗಶಃ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಮಾರ್ಫಿಸಂನಿಂದ ರಚಿಸಬಹುದು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬಾಮ್-ಸಿಹಿ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು 3-ಸ್ಥಿತಿಯ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಯಂತ್ರದಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಬಾಮ್-ಸ್ವೀಟ್ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ bn ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. n = m·4k ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ m ಅನ್ನು 4 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಅಥವಾ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ), ಆದ್ದರಿಂದ b76 = b9 = b4 = b0 = 1, ಇದನ್ನು 76 ರ ಬೈನರಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು 1001100 ಆಗಿದ್ದು, ಬೆಸ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ 0 ಗಳ ಯಾವುದೇ ಸತತ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಬಾಮ್-ಸ್ವೀಟ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಲಾದ ಬಾಮ್-ಸ್ವೀಟ್ ಪದ 1101100101001001., ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅಥವಾ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಪರ್ಯಾಯ ನಿಯಮಗಳ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ 00 → 0000 01 → 1001 10 → 0100 11 → 1101 ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆಃ 11 → 1101 → 11011001 → 1101100101001001 → 1101100101001001000001001001. ಮಾರ್ಫಿಸಂ ನಿಯಮಗಳಿಂದ, ಬಾಮ್-ಸ್ವೀಟ್ ಪದವು ಯಾವುದೇ ಉದ್ದದ ಅನುಕ್ರಮ 0 ಗಳ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು (5.2k ≤ n <6.2k ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ 2k ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ bn = 0). ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಕೋಬಮ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಬಾಮ್-ಸ್ವೀಟ್ ಪದವನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಕೋಡಿಂಗ್ ಆಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಮತ್ತು ಕೋಡಿಂಗ್ ಆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪದವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೈನರಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು