Banach–Tarski paradox
ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಸೆಟ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘನ ಚೆಂಡನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಚೆಂಡನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇರ್ಪಡುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೂಲ ಚೆಂಡಿನ ಎರಡು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮರು ಜೋಡಣೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಕಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಸುತ್ತಲೂ ಚಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ತಿರುಗಿಸುವುದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ತುಣುಕುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ "ಘನವಸ್ತುಗಳಲ್ಲ", ಆದರೆ ಅನಂತ ಬಿಂದುಗಳ ಚದುರುವಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣವು ಕಡಿಮೆ ಐದು ತುಣುಕುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯದ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವು ಯಾವುದೇ ಎರಡು "ಸಮಂಜಸವಾದ" ಘನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು (ಸಣ್ಣ ಚೆಂಡು ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಚೆಂಡಿನಂತಹ) ನೀಡಿದರೆ, ಒಂದರ ಕತ್ತರಿಸಿದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಮರುಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ "ಬಟಾಣಿಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಸೂರ್ಯನೊಳಗೆ ಪುನಃ ಜೋಡಿಸಬಹುದು" ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು "ಬಟಾಣಿ ಮತ್ತು ಸೂರ್ಯನ ವಿರೋಧಾಭಾಸ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. "ಚೆಂಡನ್ನು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಭಾಷಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಹಿಗ್ಗಿಸುವಿಕೆ, ಬಾಗುವಿಕೆ ಅಥವಾ ಹೊಸ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸದೆಯೇ, ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಸಂಬದ್ಧವಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಂಪುಟಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಪರಿಮಾಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅಳೆಯಲಾಗದ ಸೆಟ್ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳದೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಬಹುದಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು 2005ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲೆರಾಯ್ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ, ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದರೆ ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಅಮೂರ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುವಿಲ್ಲದ ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉಪಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯ ಭಾಗಗಳು ಸ್ಥಳಗಳ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಈ ಕೆಲವು ಛೇದಕಗಳಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಈ ಗುಪ್ತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟು, ಲೋಕಲ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಬ್ಲೋಕೇಲ್ಗಳನ್ನು ಸಹ) ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿ ಅಳೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬನಾಚ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಕಟಣೆ 1924 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಒಂದು ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಸ್ಟೀಫನ್ ಬನಾಚ್ ಮತ್ತು ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಅಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಯುನಿಟ್ ಮಧ್ಯಂತರ ಮತ್ತು ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ರಿಂದ ಗೋಳದ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಗ್ಯೂಸೆಪ್ಪೆ ವಿಟಾಲಿ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ವಿಭಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಲವಾರು ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದೆ. ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಇದು ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಬಲವಾದ ರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇವೆರಡೂ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೇರ್ಪಡುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ವಿಭಜನೆಗಳಿವೆ, (ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ k ಗೆ), ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ (ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಮತ್ತು ನಡುವೆ, ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈಗ ಮೂಲ ಚೆಂಡು ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಚೆಂಡಿನ ಎರಡು ಅನುವಾದಿತ ಪ್ರತಿಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಪ್ರಸ್ತಾಪವು ಎಂದರೆ ನೀವು ಮೂಲ ಚೆಂಡನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತುಣುಕುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಭಾಷಾಂತರಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಬಲವಾದ ರೂಪವು ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಬನಾಚ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಒಂದೆಡೆ 1 ಮತ್ತು 2 ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ 3 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 3 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಚಲನೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಶ್ರೀಮಂತ ರಚನೆಯಿಂದಾಗಿ. ಗುಂಪಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಚಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುವ ಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪುಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅವರು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಒಂದು ರೂಪವನ್ನು ಸಹ ಕಂಡುಕೊಂಡರು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ಗುಂಪುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ದೀರ್ಘಕಾಲದ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಊಹೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು, ಇದನ್ನು 1980ರಲ್ಲಿ ನಿರಾಕರಿಸಲಾಯಿತು. ಔಪಚಾರಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಚೆಂಡನ್ನು ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಸೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮತ್ತು ಮರು ಜೋಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಚಲನೆಗಳ ಗುಂಪು ವಹಿಸಿದ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದರ ಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅದು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಗುಂಪು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ n ಗೆ), ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ, ಅಂತರಗಳನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ರೂಪಾಂತರಗಳು. ಪರಸ್ಪರ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎರಡು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ-ಕ್ರಿಯೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಇವುಗಳನ್ನು-ಈಕ್ವಿಡೆಕೊಂಪೊಸಬಲ್, ಅಥವಾ ಈಕ್ವಿಡೆಕೊಂಪೊಸಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ-ಏಕರೂಪದ ತುಣುಕುಗಳ ಒಂದೇ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಅಂಶಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎರಡು ಬೇರ್ಪಡುವ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮತ್ತು, ಹಾಗೆಯೇ ಮತ್ತು,-ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆಗ ಅದನ್ನು ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದುಃ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಚೆಂಡು ತನ್ನದೇ ಆದ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ರಾಫೆಲ್ ಎಮ್. ರಾಬಿನ್ಸನ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವಿದೆಃ ಚೆಂಡನ್ನು ಐದು ತುಣುಕುಗಳಿಂದ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಐದು ತುಣುಕುಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಬಲವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಖಾಲಿ-ಇಲ್ಲದ ಒಳಾಂಗಣಗಳೊಂದಿಗೆ 3-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸುತ್ತುವರಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸಮಂಜಸವಾಗಿವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದರೂ, ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬನಾಚ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್-ಶ್ರೋಡರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಚೆಂಡಿನ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಸರಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆಗ ಮತ್ತು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಬಲವಾದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಅದು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಆಕಾರದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು. ಜಾರ್ಜ್ ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳು ಸಮಾನ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲು ಗುಂಪನ್ನು ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಖಾಲಿ ಒಳಾಂಗಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೋಲಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕ ಚೆಂಡಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಂಪು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, "ಗಾತ್ರ" ಗಳು ಬದಲಾಗುವ-ಸಮನಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಸೆಟ್ಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತನ್ನದೇ ಆದ ಎರಡು ಪ್ರತಿಗಳಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೇಗಾದರೂ ತಂತ್ರವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದಲ್ಲಿ, ತುಣುಕುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಸಮಾನತೆಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಏಕರೂಪಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೂ, ಹೇಗಾದರೂ, ಅವರು ಚೆಂಡಿನ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ! ಇದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿದ್ದರೂ, ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಕೆಲವು ತುಣುಕುಗಳು ಅಳೆಯಲಾಗದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಮಾಣದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ) ಅವರಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಚಲನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಲಾಗದ ಮೂರು (ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ) ಆಯಾಮಗಳ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೀಮಿತ-ಸಂಯೋಜಕ ಅಳತೆಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಬನಾಚ್ ಅಳತೆ) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ತನ್ನ ನಂತರದ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ತಾರ್ಸ್ಕಿ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸೀಮಿತ-ಸಂಯೋಜಕ ಅಸ್ಥಿರ ಅಳತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ "ಚೆಂಡನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ" ರೂಪದ ಪುರಾವೆಯ ಹೃದಯವು ಗಮನಾರ್ಹ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಿಂದ (ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ಮರುನಾಮಕರಣ), ಒಬ್ಬರು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪನ್ನು (ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಒಂದು ಏಕ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ) ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿ ಇತರ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದು ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ-ಪ್ಯಾರಾಡಾಕ್ಸಿಕಲ್ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಬನಾಚ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿಯವರ ಪುರಾವೆಯು ಕೆಲವು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಸದೃಶವಾದ ಸತ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆಃ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಏಕಕ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಮೂರು ಸೆಟ್ಗಳ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಒಂದು ಕಡೆ, ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮತ್ತು ಒಕ್ಕೂಟದೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಕೃತಿಯೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪಾತ್ರವಾದ ಬನಾಚ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ, ಗ್ಯೂಸೆಪ್ಪೆ ವಿಟಾಲಿ ಅವರ 1905ರ ಅವರ ಹೆಸರಿನ ಸೆಟ್ ನಿರ್ಮಾಣ, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ಸ್ ಪ್ಯಾರಾಡಾಕ್ಸ್ (1914) ಮತ್ತು ಬನಾಚ್ನ ಹಿಂದಿನ (1923) ಕಾಗದವನ್ನು ತಮ್ಮ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಪೂರ್ವಗಾಮಿಗಳೆಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ. ವಿಟಾಲಿ ಮತ್ತು ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ನ ರಚನೆಗಳು ಜೆರ್ಮೆಲೋ ಅವರ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ("ಎಸಿ") ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ, ಇದು ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಕಾಗದಕ್ಕೂ ಸಹ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಎರಡೂ ತಮ್ಮ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಪುರಾವೆಗಾಗಿಃ ಎರಡು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವು ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅವರು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾರೆಃ "ನಮ್ಮ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಹಿಸುವ ಪಾತ್ರವು ನಮಗೆ ಗಮನಕ್ಕೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ) ಎರಡನೇ ಫಲಿತಾಂಶವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಪ್ಪುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅದರ ಪುರಾವೆಯು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಪುರಾವೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗಣನೀಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎಸಿ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ". ಹೀಗಾಗಿ ಬನಾಚ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಎಸಿ ಅನ್ನು ಕೇವಲ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಕಾರಣಕ್ಕೆ ತಿರಸ್ಕರಿಸಬಾರದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ವಾದವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಸಹ ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 1949ರಲ್ಲಿ, ಎ. ಪಿ. ಮೋರ್ಸ್, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಝಡ್ಎಫ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. 1964 ರಲ್ಲಿ, ಪಾಲ್ ಕೋಹೆನ್ ಅವರು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ZF ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು-ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು ZF ನಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ದುರ್ಬಲ ಆವೃತ್ತಿಯು ಅವಲಂಬಿತ ಆಯ್ಕೆಯ, ಡಿ. ಸಿ. ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಡಿಸಿ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಝಡ್ಎಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯವಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಝಡ್ಎಫ್ + ಡಿಸಿ ಅಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಎ. ಸಿ. ಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟಾನ್ ವ್ಯಾಗನ್ ತನ್ನ ಪ್ರಬಂಧದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗಿಂತ ಶುದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಪಾತ್ರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆಃ ಇದು ಸಂಶೋಧನೆಗೆ ಫಲಪ್ರದವಾದ ಹೊಸ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿತು, ಗುಂಪುಗಳ ಅನುಕೂಲತೆ, ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. 1991 ರಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಫೋರ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ವೆಹ್ರುಂಗ್ ಅವರ ಇತ್ತೀಚಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಜಾನುಸ್ಜ್ ಪಾವ್ಲಿಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ZF ಮತ್ತು ಹಾನ್-ಬನಾಚ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹಾನ್-ಬನಾಚ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಎಸಿ ಯ ದುರ್ಬಲ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ZF ಗಿಂತ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದ್ದರೂ, ಪೂರ್ಣ ZFC ಗಿಂತ ದುರ್ಬಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪಾವ್ಲಿಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಪುರಾವೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಬನಾಚ್ ಮತ್ತು ತಾರ್ಸ್ಕಿ ನೀಡಿದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿಲ್ಲ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಚೆಂಡಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ. ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿಗೆ 3-ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆವರ್ತನಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಟೊಳ್ಳಾದ ಘಟಕ ಗೋಳದ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಆ ಗುಂಪಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಗೋಳದ ಈ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಘನ ಏಕಮಾನದ ಚೆಂಡಿನ ವಿಭಜನೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿ. ಈ ಹಂತಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಂತ 1 a ಮತ್ತು b ಎಂಬ ಎರಡು ಉತ್ಪಾದಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು a, a-1, b ಮತ್ತು b-1 ಎಂಬ ನಾಲ್ಕು ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ a-1ರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಯಾವುದೇ a ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು b-1ರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಎರಡು ತಂತಿಗಳನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು "ನಿಷೇಧಿತ" ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಖಾಲಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನಿಂದ ಪದೇ ಪದೇ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ರೀತಿಯ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ ಅಬಾಬ-1ಎ-1 ಅನ್ನು ಅಬಾಬ-1ಎ ಜೊತೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದರೆ ಅಬಾಬ-1ಎ-1ಎ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ, ಇದು ಅ-1ಎ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಬಾಬ-1ಎಬಿ-1ಎಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಿ-1ಬಿ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಆ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಗುರುತಿನ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಖಾಲಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಎಫ್ 2 ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಈ ಗುಂಪನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ "ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಗೊಳಿಸಬಹುದು": S (a) ಎಂಬುದು a ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮತ್ತು S (a−1), S (b) ಮತ್ತು S (b−1) ಅನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಆದರೆ ಸಹ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ aS (a−1) ಎಂಬ ಸಂಕೇತವು S (a−1) ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ತಂತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ a ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಪುರಾವೆಯ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಇರಬಹುದು, ಅದು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಬಾರದ ನಿಯಮದಿಂದಾಗಿ, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ). ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಮತ್ತು ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಎಫ್2 ಗುಂಪನ್ನು ನಾಲ್ಕು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ (ಜೊತೆಗೆ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ {ಇ}), ನಂತರ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಎ ಅಥವಾ ಬಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ "ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸಲಾಗಿದೆ", ನಂತರ ಎರಡು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ "ಮರು ಜೋಡಿಸಿ" ಒಂದು ಪ್ರತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಇತರ ಎರಡನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ನಕಲನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚೆಂಡಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದನ್ನೇ ಮಾಡಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಂತ 2 3D ಜಾಗದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉಚಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅಂದರೆ. ಅದು ಎಫ್2 ಎಂಬ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನಂತೆಯೇ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ "ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ"), ಎರಡು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. x ಮತ್ತು z ಅಕ್ಷಗಳು). ನಂತರ, ಎ ಅನ್ನು ಸುಮಾರು x ಅಕ್ಷದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯೆಂದು ಮತ್ತು ಬಿ ಅನ್ನು ಸುಮಾರು z ಅಕ್ಷದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಕೂಡ ಬಳಸಬಹುದಾದ π ಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಅನೇಕ ಸೂಕ್ತ ಜೋಡಿಗಳಿವೆ). ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪರಿಭ್ರಮಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಚ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು z ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಧನಾತ್ಮಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಎಚ್ ಅಂಶವಾಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ, ಅದರೊಂದಿಗಿನ ರೂಪದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ ಬಿಂದುವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲೋ 3, ಅದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. z ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ಋಣಾತ್ಮಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ x ಅಕ್ಷದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾದಾಗ ಅದೇ ವಾದವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ). ಇದು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪದದಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಆಗ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಚ್ ಗುಂಪು ಒಂದು ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಎಫ್ 2 ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಎರಡು ಆವರ್ತನಗಳು ಎಫ್2 ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಅಂಶಗಳಂತೆಯೇ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆಃ ಈಗ ಎಚ್ ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆ ಇದೆ. ಈ ಹಂತವನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಅಕ್ಷದ ಬಗ್ಗೆ ಎರಡು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಗುಂಪು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವೃತ್ತದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರ್ಯಾಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಯು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಹಂತ 3 ನಮ್ಮ H ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ S2 ಘಟಕ ಗೋಳವನ್ನು ಕಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆಃ H ನಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು ಮೊದಲ ಬಿಂದುವನ್ನು ಎರಡನೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಚಲಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಒಂದೇ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ. (ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಕಕ್ಷೆಯು S2 ನಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.) ಆಯ್ಕೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಕಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು; ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸೆಟ್ M ಆಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ H ನ ಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಕ್ತ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು H ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, H ನಿಂದ M ನಿಂದ ಸರಿಯಾದ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ S2 ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತಲುಪಬಹುದು. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, H ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯು S2 ಅನ್ನು ನಾಲ್ಕು ತುಂಡುಗಳಾಗಿ A1, A2, A3, A4 ಆಗಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಇತರ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ, ಮತ್ತು ನಾವು ಎಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ (F2 ನ ಐದು "ವಿರೋಧಾಭಾಸದ" ಭಾಗಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು M ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಎಂದು ಬಿಡುತ್ತವೆ. (ಬಹುಪಾಲು) ಗೋಳವನ್ನು ಈಗ ನಾಲ್ಕು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಮೊದಲಿಗಿಂತ ದುಪ್ಪಟ್ಟಾಗುತ್ತದೆಃ ಹಂತ 4 ಅಂತಿಮವಾಗಿ, S2 ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ; S2 ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯು ನಂತರ ಘನ ಘಟಕ ಚೆಂಡಿನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮೈನಸ್ ಚೆಂಡಿನ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದು. (ಈ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಳಜಿಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ; ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ.) ಎನ್. ಬಿ. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕೆಲವು ವಿವರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಚ್ ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಬಗ್ಗೆ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ, ಮತ್ತು ಚೆಂಡಿನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಂತೆ, ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾಚ್ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ.) ಕೆಲವು ವಿವರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹಂತ 3ರಲ್ಲಿ, ಗೋಳವನ್ನು ನಮ್ಮ ಗುಂಪಿನ ಎಚ್ ಕಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತಗೊಳಿಸಲು, ಕೆಲವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಯಿತು; ಎಫ್2ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯು ಕೆಲವು ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಸ್ವಲ್ಪ ತೊಂದರೆ ಉಂಟುಮಾಡಬಹುದು. S2 ನ ಯಾವುದೇ ತಿರುಗುವಿಕೆಯು (ಶೂನ್ಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು F2 ಗೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ H ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರಣ, H ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ S2 ನ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ತೋರಿಸಬೇಕಾದದ್ದು ಕ್ಲೈಮ್ಃ S2 − D ಅನ್ನು S2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ. ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಛೇದಿಸದ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ λ ಒಂದು ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ಡಿ ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರಣ ಇದು ಸಾಧ್ಯ. J ಕೋನಗಳ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, α, ಅಂದರೆ ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ, ಮತ್ತು D ಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು P ಗೆ, r (nα) P ಸಹ D ನಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ r (nα) ಎಂಬುದು nα ನ λ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ J ಅನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಜೆ ನಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಕೋನ θ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ρ ಸುಮಾರು λ/θ ತಿರುಗುವಿಕೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಎಸ್ 2 ಮೇಲೆ ρ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ρn (D) ಡಿ ಯಿಂದ ಬೇರ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ m <n ಗೆ, ρn (D) ρm (D) ನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡುತ್ತದೆ. E ಯು n = 0,1,2,.. ಮೇಲೆ ρn (D) ನ ಬೇರ್ಪಡುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ S2 = E ≤ (S2 − E) ~ ρ (E) ≤ (S2 − E) = (E − D) ≤ (S2 − E) = S2 − D, ಅಲ್ಲಿ ~ "ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹಂತ 4ಕ್ಕೆ, ಚೆಂಡು ಮೈನಸ್ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗಾಗಲೇ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ; ಚೆಂಡು ಮೈನಸ್ ಒಂದು ಪಾಯಿಂಟ್ ಚೆಂಡಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಚೆಂಡಿನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೆಂಡಿನೊಳಗಿನ ವೃತ್ತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಹಕ್ಕನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸುವಂತಹ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪೂರ್ಣ ವೃತ್ತವು ಚೆಂಡಿನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವೃತ್ತ ಮೈನಸ್ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು. (ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಪ್ಲಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲು ತಿರುಗಿಸಬಹುದು. ಇದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಕೇವಲ ಎಸ್ಒ (3) ಬದಲಿಗೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ 3-ಜಾಗದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಎ ~ ಬಿ ಮತ್ತು ಬಿ ~ ಸಿ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎ ~ ಸಿ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎ ಅನ್ನು ಬಿ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಬಿ ಅನ್ನು ಸಿ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ತುಣುಕುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎ ಅನ್ನು ಸಿ ಆಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೇಲೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಪುರಾವೆಗೆ 2x4x2 + 8 = 24 ತುಣುಕುಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ-ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು 2 ರ ಅಂಶ, ಹಂತ 1 ರಿಂದ 4 ರ ಅಂಶ, ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮರುಸೃಷ್ಟಿಸಲು 2 ರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಚೆಂಡಿನ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿಗೆ 8. ಆದರೆ ಹಂತ 1 ರಲ್ಲಿ {e} ಮತ್ತು ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ತಂತಿಗಳನ್ನು S (a−1) ಗೆ ಚಲಿಸುವಾಗ, ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಕಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ. ಈ ಕೊನೆಯ ಕಕ್ಷೆಯ {e} ಅನ್ನು ಎರಡನೇ ಚೆಂಡಿನ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸರಿಸಿ. ಇದು ಒಟ್ಟು 16 + 1 ತುಣುಕುಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ, ಹಂತ 1ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸ್ಥಿರ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು 4 ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಇದು 5 ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಎನ್-ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಚೆಂಡಿನ ಕೆ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದ ಎನ್ ≤ 3 ಮತ್ತು ಕೆ ≤ 1, ಅಂದರೆ. ಚೆಂಡನ್ನು ಕೆ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಮೂಲ ಗಾತ್ರದ ಚೆಂಡಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣಿ 2ರ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು F2 ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಶ್ರೇಣಿಯ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪುರಾವೆಯು Sn−1 ಘಟಕ ಗೋಳವನ್ನು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅಸಂಖ್ಯಾತ ತುಣುಕುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು Sn−1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಎರಡು ತುಣುಕುಗಳೊಂದಿಗೆ). ಸಂಪರ್ಕಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಲೈ ಗುಂಪಾದ SO (n) ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, Sn−1 ಗೋಳವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರುವಷ್ಟು (ಅಂದರೆ, ತುಂಡುಗಳು) ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಮತ್ತಷ್ಟು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ತುಂಡು ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು Sn−1 ಗೆ ಎರಡು ತುಂಡುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ನಂತರ ಮೂಲದಿಂದ ವಂಚಿತರಾದ ಯುನಿಟ್ ಚೆಂಡಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. 2010ರಲ್ಲಿ ವಲೇರಿ ಚುರ್ಕಿನ್ ಬರೆದ ಲೇಖನವು ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ನಿರಂತರ ಆವೃತ್ತಿಯ ಹೊಸ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಚಲನೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮನಾದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಎರಡು ಅಂಕಿಗಳು ಒಂದೇ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಏಕರೂಪತೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಕಾರದ ಚೌಕ ಅಥವಾ ಡಿಸ್ಕ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರು ನೀಡಿದರುಃ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಆವರ್ತನಗಳ ಎಸ್. ಓ. (3) ಗುಂಪಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಸಮತಲದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಚಲನೆಗಳ ಇ. (2) ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಇ. (2) ಮತ್ತು ಆರ್. 2 ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ-ಸಂಯೋಜಕ ಅಳತೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಅನುವಾದಗಳು ಮತ್ತು ಆವರ್ತನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಗಳನ್ನು ತಳ್ಳಿಹಾಕುತ್ತದೆ. ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮುಂದಿಟ್ಟರುಃ ಸಮಾನತೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಅಂತಹ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದೇ? ಹೋಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸಮಾನವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇದು ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಸಂಬಂಧದ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಎಸ್. ಎ. 2 ಗುಂಪಿಗೆ ಒಬ್ಬರ ಗಮನವನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಚೌಕದ ಯಾವುದೇ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯು ಚೆಂಡಿನ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿಭಜನೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಸ್ಎ2 ಗುಂಪು ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಅನ್ನು ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಅದರ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಎರಡು ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಎಫ್2 ಮುಕ್ತ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇದು ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನುಕರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯ ತೊಂದರೆಯೆಂದರೆ, ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏಕಮಾನದ ಚೌಕವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯ ಮೂರನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಗುಂಪಿನಿಂದ ಚೌಕಕ್ಕೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಗುಂಪಿನ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳು ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ). ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರು ಅನುವಾದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ದೊಡ್ಡ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎ2 ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅವರು ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ (1929 ರಲ್ಲಿ) ಯುನಿಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಚೌಕದ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬಲಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಖಾಲಿ ಒಳಾಂಗಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸುತ್ತುವರಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಫೈನ್ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆಃ "ಇನ್ಫೋಲ್ಜೆಡೆಸೆನ್ ಗಿಬ್ಟ್ ಎಸ್ ಡೆರ್ ಎಬೆನೆ ಕೀ ನಿಕ್ಟ್ನೆಗೇಟಿವ್ಸ್ ಅಡಿಟಿವ್ಸ್ ಮಾಸ್ (ವೋ ದಾಸ್ ಐನ್ಹೈಟ್ಸ್ಕ್ವಾಡ್ರಾಟ್ ದಾಸ್ ಮಾಸ್ 1 ಹ್ಯಾಟ್), ದಾಸ್ ಜೆಜೆನ್ಯೂಬರ್ ಅಲೆನ್ ಅಬಿಲ್ಡುಂಗೆನ್ ವಾನ್ ಎ 2 ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ವೇರ್". ಇದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಈಗಾಗಲೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜಕ ಅಳತೆ ಇಲ್ಲ (ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಘಟಕ ವರ್ಗವು 1 ರ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ಇದು A2 [ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ] ಸೇರಿದ ಎಲ್ಲಾ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿವರಿಸಲು, ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾದ ಸಂಯೋಜಕ ಅಳತೆ (ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಯಾವ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸೆಟ್ಗಳ ಬನಾಚ್ ಅಳತೆ, ಅನುವಾದಗಳು ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಿದರೂ ಸಹ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಎರಡು ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಇನ್ನೊಂದರಿಂದ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಎರಡೂ ಸೆಟ್ಗಳು ಎರಡು ಹೊಸ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಎ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಬಹುದು. ಹೊಸ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಹಳೆಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎರಡು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸಮೂಹಗಳು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಾರದು (ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಎ ಬಿಂದುಗಳ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ "ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ" ಅಳತೆ ಇಲ್ಲ. ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿದ್ಯಮಾನದ ಅಧ್ಯಯನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನೇಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತುಃ ಇವು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪುಗಳು, ಅಥವಾ ಬದಲಾಗದ ಸರಾಸರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪುಗಳು, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮತೋಲನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಗಳಿಗಾಗಿ ಬಳಸುವ ಗುಂಪು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗದಿದ್ದಾಗ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಪ್ರಗತಿ 2000: ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧವು ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) (ವ್ಯಾಗನ್, ಪ್ರಶ್ನೆ 7.4) ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕಮಾನ ಚೌಕದ ಒಳಭಾಗದ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತೆರೆದಿಟ್ಟಿದೆ. 2000 ರಲ್ಲಿ, ಮಿಕ್ಲೋಸ್ ಲ್ಯಾಕ್ಜ್ಕೋವಿಚ್ ಅಂತಹ ವಿಭಜನೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, 'ಎ' ಎಂಬುದು ಖಾಲಿ ಒಳಾಂಗಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಮೂಲದಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಸುತ್ತುವರಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು 'ಬಿ' ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲಾ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಸಮುಚ್ಚಯಗಳ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದು, ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮೂಲದ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎ ಕುಟುಂಬದ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್)-ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಬಿ ಯಲ್ಲಿನ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ. ಇದು ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. 2003: ಎಸ್. ಎ. 2 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪೂರ್ಣ ಸಮತಲವು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಎ. 2 ನ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಂವಹನ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತುಣುಕುಗಳು ನಾಲ್ಕು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. 2003 ರಲ್ಲಿ ಕೆಂಜಿ ಸಾಟೋ ಅಂತಹ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ನಾಲ್ಕು ತುಣುಕುಗಳು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ದೃಢಪಡಿಸಿದರು. 2011: ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಡಿ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪೀಸ್ವೈಸ್ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ಎಫ್ ಇದ್ದರೆ ಲ್ಯಾಕ್ಜ್ಕೋವಿಚ್ ಅವರ ಕಾಗದವು ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತೆರೆದಿಟ್ಟಿದೆ. ಗ್ರೆಗೊರ್ಜ್ ಟಾಮ್ಕೋವಿಕ್ಜ್ ಅಂತಹ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಇದು ಎ ≈ ಬಿ ≈ ಸಿ ≈ ಬಿ ಯು ಸಿ ಅನ್ನು ಎಫ್ ಮತ್ತು ಡಿ ಮೂಲಕ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. 2017: ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲ H2 ನಲ್ಲಿ H2 ನ ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ ಮತ್ತು ಒಂದು-ನೇ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ E ಇದೆ ಎಂದು ದೀರ್ಘಕಾಲದಿಂದ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. H2 ನ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳಿಂದ ಈ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಯಿತು. ಜಾನ್ ಫ್ರಾಂಕ್ ಆಡಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ಮೈಸಿಯೆಲ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಸಾದೃಶ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದರು, ಅವರು S2 ಘಟಕ ಗೋಳವು E ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಅದು S2 ನ ಅರ್ಧ, ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಆಡಮ್ಸ್ ಮತ್ತು ಮೈಸಿಯೆಲ್ಸ್ಕಿ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಎಸ್ 2 ನಲ್ಲಿರುವ ಅದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಚ್ 2 ನ ಸೆಟ್ ಇ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಗ್ರೆಗೊರ್ಜ್ ಟಾಮ್ಕೋವಿಕ್ಜ್ ತೋರಿಸಿದರು. 2017: ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ರ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದರೆ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಇತರ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಳಗಳೂ ಇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲ H2 ನಲ್ಲಿ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಜಾನ್ ಮೈಸಿಯೆಲ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಗ್ರೆಗೊರ್ಜ್ ಟಾಮ್ಕೋವಿಕ್ಜ್ ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸುಲಭ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಗುಂಪುಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಶ್ರೀಮಂತವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನೂ ಟಾಮ್ಕೋವಿಕ್ಜ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. 2018: 1984 ರಲ್ಲಿ, ಜಾನ್ ಮೈಸಿಯೆಲ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಸ್ಟಾನ್ ವ್ಯಾಗನ್ ಬೋರೆಲ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಪ್ಲೇನ್ ಎಚ್ 2 ನ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು H2ನ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸರಿಯಾಗಿ ನಿಲ್ಲದ ಉಪಗುಂಪಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಗ್ರೆಜ್ಗೊರ್ಜ್ ಟಾಮ್ಕೋವಿಕ್ಜ್ ಅವರು ಪಡೆದರು, ಅವರು ಅಫೈನ್ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎ (3, ಝಡ್) ನ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುವ ಉಪಗುಂಪು ಜಿ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಅಂತಹ ಗುಂಪಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು Z3 ನ ಉಪಗುಂಪು E ಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ Z3 ನ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ F ಗೆ ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಂಶವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. 2019: ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ನಕಲುಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಅನೇಕ ತುಣುಕುಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಒಳಾಂಗಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಅನುವಾದಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಲೆಬ್ಸ್ಗ್ಯೂ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆಃ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಖಾಲಿ ಒಳಾಂಗಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಆರ್. ಎನ್. ನ ಉಪಗುಂಪುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಬ್ಸ್ಗ್ಯೂ ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅವು ಗಣನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಸಮಾನ ಲೆಬ್ಸ್ಗ್ಯೂ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಜಾನ್ ಮೈಸಿಯೆಲ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಗ್ರೆಜ್ಗೊರ್ಜ್ ಟಾಮ್ಕೋವಿಕ್ಜ್ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು, ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡಿವೆ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಾದ ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಕ್ಯಾಸ್ನರ್ ಮತ್ತು ಜೇಮ್ಸ್ ನ್ಯೂಮನ್ (1940) ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ದಿ ಇಮ್ಯಾಜಿನೇಷನ್, pp 205-7, ಸೈಮನ್ & ಶುಸ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಬಾಹ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು ಸ್ಟಾನ್ ವ್ಯಾಗನ್ (ಮ್ಯಾಕಲೆಸ್ಟರ್ ಕಾಲೇಜ್) ಅವರ ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸ, ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಪ್ರದರ್ಶನಗಳ ಯೋಜನೆ. ಅನಿಯಮಿತ ವೆಬ್ಕಾಮಿಕ್! ಡೇವಿಡ್ ಮೋರ್ಗನ್-ಮಾರ್ ಬರೆದ #2339 ಈ ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ತಾಂತ್ರಿಕವಲ್ಲದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದರಿಂದ ಎರಡು ಗೋಳಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ರಚಿಸುವುದು ಎಂಬುದರ ಹಂತ-ಹಂತದ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಅವಲೋಕನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬನಾಚ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ದಿ ಪ್ಯಾರಾಡಾಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಇನ್ಫೈನೈಟ್ ಕ್ಲೋನಿಂಗ್ ನಾಮಸೂಚಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮಾಪನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗಣಿತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯಗಳಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಭಜನೆ 1924 ಪರಿಚಯಗಳು ಅನಂತದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು