Algebra tile
ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳು ಗಣಿತದ ಕುಶಲತೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಇದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಚಿಂತನೆಯ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಚುಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲೆ, ಮಾಧ್ಯಮಿಕ ಶಾಲೆ, ಪ್ರೌಢಶಾಲೆ ಮತ್ತು ಕಾಲೇಜು ಮಟ್ಟದ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಜೈಲು ಕೈದಿಗಳನ್ನು ಅವರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ (ಜಿಇಡಿ) ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ಸಹ ಅವುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನ ಎರಡನ್ನೂ ಅನುಮತಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಕೇವಲ ಅಮೂರ್ತ ಕುಶಲತೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಿಕ್ಷಕರ ರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಮಂಡಳಿಯು (ಎನ್. ಸಿ. ಟಿ. ಎಂ.) ಬೀಜಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾನದಂಡಗಳಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೇತ ಕುಶಲತೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಒತ್ತು ನೀಡಬೇಕೆಂದು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಎನ್. ಸಿ. ಟಿ. ಎಂ 1989ರ ಮಾನದಂಡಗಳ ಪ್ರಕಾರ "[ಆರ್] ಒಬ್ಬರಿಗೊಬ್ಬರು ಉತ್ಕೃಷ್ಟ ಮಾದರಿಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತವೆ". ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ಕಾಗದದ ತುಂಡಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಟೈಲ್ ಮತ್ತು ಎಂಟು ಋಣಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಆರು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಅಂಚುಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಎರಡೂ ಕಡೆಯವರ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡೂ ಕಡೆಯವರು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಎಂಟು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಶೂನ್ಯ ಜೋಡಿ ಯುನಿಟ್ ಟೈಲ್ಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗದಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಟೈಲ್ ಅನ್ನು ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಲಭಾಗವು 14 ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಟೈಲ್ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಏಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಯುನಿಟ್ ಟೈಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ 10 ಧನಾತ್ಮಕ ಯುನಿಟ್ ಟೈಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಬದಲು, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಇದು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಟೈಲ್ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಟೈಲ್ಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಏಕಪದದಿಂದ ಏಕಪದವನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಮೊದಲು ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕು, ಅಲ್ಲಿ ಆಯತದ ಉದ್ದವು ಒಂದು ಏಕಪದವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಆಯತದ ಅಗಲವು ಇನ್ನೊಂದು ಏಕಪದವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಆಯತದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದ ನಂತರ, ಯಾವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳು ಆಯತದಲ್ಲಿ ತುಂಬುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಬ್ಬರು x × x ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಯತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಏಕೈಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೈಲ್ x2 ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಉತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ದ್ವಿಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಏಕಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಪದಗಳ ಗುಣಾಕಾರವು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲದ ಅಂಶಗಳಿರುವ ಒಂದು ಆಯತವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದೂ ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳಂತೆಯೇ, ಒಬ್ಬರು ಆಯತದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಆಯತವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತಾರೆ. ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರದೇಶ ಮಾದರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಏಕನಾಮಗಳು ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸಲು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ದ್ವಿಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ (2x + 1) × (x + 2) ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೊದಲ ಹಂತವೆಂದರೆ ಒಂದು ಆಯತದ ಉದ್ದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಂಚು ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಈ ಎರಡು ಅಂಚುಗಳ ಸಾಲುಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ತುಂಬಬಹುದಾದ ಆಯತದಂತೆ ಕಾಣುವ ಜಾಗವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆಯತವು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ x2 ಅಂಚುಗಳು, ಐದು ಧನಾತ್ಮಕ x ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನ ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಕೂಡಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಹಾರವು 2x2 + 5x + 2 ಆಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಆಯತವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬೇಕು, ಇದಕ್ಕೆ ಆಯತಾಕಾರದ ಆಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಲು ಶೂನ್ಯ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರಬಹುದು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ x2 ಟೈಲ್, ಮೂರು ಧನಾತ್ಮಕ x ಟೈಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಟೈಲ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮೇಲಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ x2 ಟೈಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದುವ ಮೂಲಕ ಆಯತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾನೆ, ನಂತರ x2 ಟೈಲ್ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು x ಟೈಲ್ಗಳನ್ನು, x2 ಟೈಲ್ನ ಕೆಳಗೆ ಒಂದು x ಟೈಲ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಯುನಿಟ್ ಟೈಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಈ ಆಯತದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಮಗೆ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ x ಟೈಲ್ ಮತ್ತು ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಟೈಲ್ ಮತ್ತು ನಂತರ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ x ಟೈಲ್ ಮತ್ತು ಅಗಲಕ್ಕೆ ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕಮಾನದ ಟೈಲ್ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು. ಒಂದು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇದು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮೂಲಗಳು ಕಿಟ್, ನ್ಯಾನ್ಸಿ ಎ. ಮತ್ತು ಅನ್ನೆಟ್ ರಿಕ್ಸ್ ಲೀಟ್ಜ್. "ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಮನೆಯಲ್ಲಿ ತಯಾರಿಸಿದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೈಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು". ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಶಿಕ್ಷಕ 2000. 462-520. ಸ್ಟೀನ್, ಮೇರಿ ಕೇ ಮತ್ತು ಇತರರು, ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ಸ್-ಆಧಾರಿತ ಗಣಿತ ಸೂಚನೆಯನ್ನು ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸುವುದು. ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ಟೀಚರ್ಸ್ ಕಾಲೇಜ್ ಪ್ರೆಸ್, 2000. ಲಾರ್ಸನ್, ರೊನಾಲ್ಡ್ ಇ., ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ 1. ಇಲಿನಾಯ್ಸ್ಃ ಮೆಕ್ಡೋಗಲ್ ಲಿಟ್ಟೆಲ್, 1998. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ದಿ ನ್ಯಾಷನಲ್ ಲೈಬ್ರರಿ ಆಫ್ ವರ್ಚುವಲ್ ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಟಿವ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮ್ಯಾನಿಪ್ಯುಲೇಟಿವ್ಸ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಎಜುಕೇಶನ್