Method of dominant balance
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಬಲ ಸಮತೋಲನದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವಿಧಾನವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದಾಗ ಇನ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಯಸಿದಷ್ಟು ಪದಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೋಗುತ್ತದೆಃ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ODEಯಲ್ಲಿನ ಯಾವ ಪದಗಳು ಬಡ್ಡಿಯ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳುವಳಿಕೆಯುಳ್ಳ ಊಹೆ ಮಾಡಿ. ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸರಳವಾದ ODE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಪರಿಹಾರವು ಹಂತ 2ಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯ ನಿಯಂತ್ರಕ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬದಲಿಗೆ, ಹಂತ 2 ರಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬೇಕು. ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪದವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳಿಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಃ ಬಹುಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸಣ್ಣ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಾವು ರೂಪದ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವಾಗ, ಸಮೀಕರಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವು 5 ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಈ 4 ಬೇರುಗಳು ಅನಂತಕ್ಕೆ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದು ಪ್ರಬಲ ಸಮತೋಲನ ವಿಧಾನದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸಣ್ಣದಕ್ಕೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು, ನೀಡುವಂತೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ಲಗ್ ಇನ್ ಮಾಡಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಐದು ಮೂಲಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮೂಲವನ್ನು ಪವರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಐದು ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಉದಾಹರಣೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಈ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪರಿಹಾರಗಳು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆಃ ಇದು x → φನಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲ. ನಾವು ದೊಡ್ಡ ಮಿತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು = ಎಕ್ಸ್ಪ್ (ಎಸ್ (ಎಕ್ಸ್)) ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಎಸ್ (ಎಕ್ಸ್) ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಅನ್ನು ಮರು-ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ಮೊದಲು ಈ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗೆ ಪರಿಹಾರವು x → φ ಎಂದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮೇಲಿನ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಮೇಲಿನ ಊಹೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕೈಬಿಟ್ಟ ಪದಗಳು ನಾವು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡ ಪದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಗಣ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗೆ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಪ್ರಬಲ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ, ಎಲ್ಲವೂ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಮ್ಮ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಪ್ರಬಲ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ, ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಸರಣಿಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪೂರ್ಣ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮುಂಭಾಗದಿಂದ ಹೊರಗಿರುವ ಶಕ್ತಿಯಿದೆಯೇ ಎಂದು ನೋಡಲು ನಾವು ಮುಂದಿನ ಹೆಜ್ಜೆ ಇಡಬೇಕು. ಹೊಸ ಸಬ್ಲೀಡಿಂಗ್ ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಿ (ಎಕ್ಸ್) ಗೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಎಸ್ (x) ಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಒ. ಡಿ. ಇ. ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.