Gosper's algorithm
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬಿಲ್ ಗೋಸ್ಪರ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಗೋಸ್ಪರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್, ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆಃ ಒಂದು (1) +. + a (n) = S (n) −S (0) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ S (n) ಒಂದು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, S (n + 1)/S (n) ಎಂಬುದು n ನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ); ಆಗ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ a (n) ಸ್ವತಃ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು a (n) ಗೋಸ್ಪರ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅದು S (n) ಗೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಕ್ರಮಾವಳಿಯ ರೂಪರೇಖೆ ಹಂತ 1: b (n) = a (n)/p (n) ಅನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, b (n)/b (n − 1) ಅನುಪಾತವು q (n)/r (n) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ q ಮತ್ತು r ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ q (n), r (n + j) ನೊಂದಿಗೆ j = 0,1,2,. (ಸರಣಿಯು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿರಲಿ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಲಿ, ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯ.) ಹಂತ 2: S (n) = q (n + 1)/p (n) f (n) a (n) ನಂತಹ ಬಹುಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಸರಣಿಯು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದಾದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣದೊಂದಿಗೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯ f ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ; ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿರಬೇಕು, ಮತ್ತು ಅದರ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. f ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು (ಅಥವಾ ಅಂತಹ f ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು) ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ವಿಲ್ಫ್-ಝೀಲ್ಬರ್ಗರ್ ಜೋಡಿಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿಲ್ಫ್-ಝೀಲ್ಬರ್ಗರ್ ಜೋಡಿಗಳು ಎಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಗೋಸ್ಪರ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಎಫ್ (ಎನ್ + 1, ಕೆ) − ಎಫ್ (ಎನ್, ಕೆ) = ಜಿ (ಎನ್, ಕೆ + 1) − ಜಿ (ಎನ್, ಕೆ) ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ ತಿಳಿದಿದೆ ಆದರೆ ಜಿ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ a (k): = F (n + 1, k) −F (n, k) ಅನ್ನು ಗೋಸ್ಪರ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಫೀಡ್ ಮಾಡಿ. (ಇದನ್ನು k ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ n ನ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ; ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲವೂ ಈ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು S (k) ಅನ್ನು S (k) − S (k − 1) = a (k) ನೊಂದಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಇದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾದ G. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ G ಇಲ್ಲ. ಡೆಫಿನಿಟ್ ವರ್ಸಸ್ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಕಲನ ಗೊಸ್ಪರ್ನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ (ಸಾಧ್ಯವಾದಲ್ಲಿ) ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದಗಳ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ n, ಅಥವಾ n ನ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸ್ವತಃ ಬೇರೆ ಯಾವುದೋ ಚರರಾಶಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, a (n, k) ಎಂಬುದು n ಮತ್ತು k ಎರಡರಲ್ಲೂ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಅಂದರೆ, a (n, k)/a (n−1, k) ಮತ್ತು a (n, k)/a (n, k−1) ಗಳು n ಮತ್ತು k ನ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಬಿಲ್ ಗೋಸ್ಪರ್ 1970ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಸೇಲ್ ಮತ್ತು ಎಂಐಟಿಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಈ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು