Cluster expansion
ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು (ಹೆಚ್ಚಿನ ತಾಪಮಾನದ ವಿಸ್ತರಣೆ ಅಥವಾ ಜಿಗಿತದ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಒಂದು ಮಾದರಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದ 0-ಆಯಾಮದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ. ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಅವರ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡವು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಂತಲ್ಲದೆ, ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ಅಂತರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ. ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಕೇಸ್ ಜನರಲ್ ಥಿಯರಿ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದ ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಬಳಸಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ಮಾಡದ ಎನ್ ಕಣಗಳಿಗೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಉಷ್ಣಬಲದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಾದ ಎಂಟ್ರೊಪಿ, ಆಂತರಿಕ ಶಕ್ತಿ, ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸಿದಾಗ, ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯದ ನಿಖರವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಡಿಮೆ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ, ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು-ಕಣಗಳ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಈ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ, ವಿಭಜನೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿಯು, ಅಲ್ಲಿ Q ಸಂರಚನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಸಂರಚನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜೋಡಿ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂರಚನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಭಾವ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಮೇಯರ್ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ರೂಪದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಮುಂದೆ, ಮೇಯರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ, ಸಂರಚನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತದೆಃ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಪದಗಳ ಸರಣಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ; ಮೊದಲನೆಯದು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ ಪದವು ಪದಗಳ i ಮತ್ತು j ಮೇಲಿನ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವವರೆಗೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪದವು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ರಮದ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮೊದಲ ಪದವು ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲದ ಪದವಾಗಿದೆ (ಕಣಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿಲ್ಲ), ಎರಡನೇ ಪದವು ಎರಡು-ಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮೂರನೆಯದು 4 ಕಣಗಳ ನಡುವಿನ ಎರಡು-ಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿಲ್ಲ), ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಈ ಭೌತಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಕಾರಣವಾಗಿದೆಃ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಪದವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಣಗಳ ಸಮೂಹಗಳೊಳಗಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸಂರಚನಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಮುಕ್ತ ಶಕ್ತಿಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವ ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಮೀಕರಣವು ವೈರಿಯಲ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಘಟಕಗಳು ವೈರಿಯಲ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೈರಿಯಲ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಒಂದು ಪದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಎರಡು-ಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪದ, ಮೂರು-ಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪದ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ). ಎರಡು-ಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಪದವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು, ಕೆಲವು ಅಂದಾಜುಗಳೊಂದಿಗೆ, ವ್ಯಾನ್ ಡೆರ್ ವಾಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಅನಿಲಗಳು ಮತ್ತು ದ್ರವ ದ್ರಾವಣಗಳ ಮಿಶ್ರಣಗಳಿಗೆ ಮತ್ತಷ್ಟು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು, ಅಧ್ಯಾಯ 9. ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ