Associahedron
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಅಕ್ಷರಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ತೆರೆಯುವ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚುವ ಆವರಣಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಸೇರಿಸುವ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿ ನಿಯಮದ ಏಕ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಶೃಂಗಗಳು ಬದಿಗಳಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಅಂಚಿನ ತಿರುವುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ಒಂದೇ ಕರ್ಣೀಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರೆ ಕರ್ಣೀಯದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. 1960 ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಡೋವ್ ತಮಾರಿ ಅವರ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸದ ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಮರುಶೋಧಿಸಿದ ಜಿಮ್ ಸ್ಟ್ಯಾಶೆಫ್ನ ಕೆಲಸದ ನಂತರ ಅಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಶೆಫ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ K3 ಮೂರು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಎರಡು ಆವರಣಗಳನ್ನು ((xy) z) ಮತ್ತು (x (yz)) ಅಥವಾ ಚೌಕದ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ರೇಖೆ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಕೆ4 ನಾಲ್ಕು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಐದು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ನಿಯಮಿತ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಐದು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸ್ವತಃ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕಭುಜಾಕೃತಿಯ ವರ್ಗದ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ತ್ರಿ-ಆಯಾಮದ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಕೆ5 ಒಂಬತ್ತು ಮುಖಗಳು (ಮೂರು ಬೇರ್ಪಡುವ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಮತ್ತು ಆರು ಪೆಂಟಗನ್ಗಳು) ಮತ್ತು ಹದಿನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎನ್ನೇಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ದ್ವಿಗುಣವು ತ್ರಿಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಆಗಿದೆ. ಅರಿವಿನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಜಿಮ್ ಸ್ಟ್ಯಾಶೆಫ್ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದರು. ತರುವಾಯ, ಅವುಗಳಿಗೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು; ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ಪರಿಚಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ದ್ವಿತೀಯಕ ಪಾಲಿಟೋಪ್. ಈ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ, n + 1 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವು (n + 1)-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಇದರ ith ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ith ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಒಟ್ಟು ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕಾಂಕ ಚೌಕದ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (1,1/2,1,1/2) ಮತ್ತು (1/2,1/2,1) ಎರಡು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹಲ್ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಕೆ 3 ಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವಾಗಿದೆ. ಇದು 4-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅದು ಆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಭಾಗವನ್ನು (1-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್) ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ K4 ಅನ್ನು ಐದು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಯಮಿತ ಪಂಚಭುಜವಾಗಿ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದರ ಶೃಂಗ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ನ (1,2 + φ, 1,1 + φ, 1 + φ) ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ φ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಷಟ್ಕೋಣದೊಳಗಿನ ಸಂಭಾವ್ಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ K5 ಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (ಆರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ) ನೀಡಲು ಬಳಸಬಹುದು; ಆದಾಗ್ಯೂ (K4 ಈಗಾಗಲೇ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ) ಈ ರಚನೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಜೀನ್-ಲೂಯಿಸ್ ಲೋಡೇ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವು, ಎನ್-ಲೀಫ್ ಬೇರೂರಿರುವ ಬೈನರಿ ಮರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಶೃಂಗಗಳ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ (ಎನ್-2)-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಲೋಡೆಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದ ಐಥ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವು ಐಬಿ ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಐ ಎಂದರೆ ಮರದ ಐಥ್ ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ನ ಎಡ ಚೈಲ್ಡ್ನ ಎಲೆ ವಂಶಸ್ಥರ ಸಂಖ್ಯೆ (ಎಡದಿಂದ ಬಲ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಬಿಐ ಎಂದರೆ ಬಲ ಚೈಲ್ಡ್ನ ಎಲೆ ವಂಶಸ್ಥರ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮುಖದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು 0, + 1, ಅಥವಾ-1 ಇರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಆಗಿ (n−2)-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಕೆ5 ಕೇವಲ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದರಲ್ಲಿ 3 ಅಂಚುಗಳು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬರುತ್ತವೆ, ಇದು ಹೈಡ್ರೋಕಾರ್ಬನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಬರಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಹೈಡ್ರೋಕಾರ್ಬನ್ಗಳಂತೆಯೇ) ಇದರ ರಾಸಾಯನಿಕ ರಚನೆಯನ್ನು ಕೆ5ನ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರವು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ "ಅಸೋಸಿಯಾಹೇಡ್ರನ್" C14H14 ಸ್ಮೈಲ್ಸ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78. ಇದರ ಅಂಚುಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು ಸಮಾನ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಮುಖದ ಶೃಂಗಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೆ5 ಒಂದು ಮಿಸ್ ಜಾನ್ಸನ್ ಘನವಾಗಿದೆಃ ಚೌಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳಿಂದ ತಯಾರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತಿದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಅಲ್ಲ. ಒಂದೋ ಶೃಂಗಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಮುಖಗಳನ್ನು ನಿಯಮಿತತೆಯಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ದೂರದಲ್ಲಿ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. k-ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ n (Kn + 1) ಕ್ರಮದ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ನ (n − k)-ಆಯಾಮದ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ತ್ರಿಭುಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (n, k) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. Kn + 1ರಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು n-th ಕೆಟಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಬಲ ಕರ್ಣ). ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ 2-ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಮುಖವು ತಮಾರಿ ಜಾಲರಿ Tn ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ n ವಸ್ತುಗಳ 2-ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, Kn + 1 (n ≤ 2) ನಲ್ಲಿನ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು n-ನೇ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೈನಸ್ ಒನ್ (ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಕಾಲಮ್) ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಆಯಾಮಗಳ ಮುಖಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು (ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಅನ್ನು ಮುಖವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ಆದರೆ ಖಾಲಿ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ) ಶ್ರೋಡರ್-ಹಿಪ್ಪಾರ್ಕಸ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ (ತ್ರಿಕೋನದ ಸಾಲು ಮೊತ್ತಗಳು). 1980ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಂತರದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಡೇನಿಯಲ್ ಸ್ಲೀಟರ್, ರಾಬರ್ಟ್ ಟಾರ್ಜನ್ ಮತ್ತು ವಿಲಿಯಂ ಥರ್ಸ್ಟನ್, n-ಆಯಾಮದ ಅಸೊಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ Kn + 2ನ ವ್ಯಾಸವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ nಗಳಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ 2n−4 ಮತ್ತು nನ ಎಲ್ಲಾ "ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ" ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಅವರು n ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಬಿಗಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು ಮತ್ತು "ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದು" ಎಂದರೆ "ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ 9ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು" ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು 2012ರಲ್ಲಿ ಲಿಯೋನೆಲ್ ಪೋರ್ನಿನ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಚದುರಿದ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳು 2017ರಲ್ಲಿ, ಮಿಝೆರಾ ಮತ್ತು ಅರ್ಕಾನಿ-ಹಮೆದ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ದ್ವಿ-ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಚದುರುವಿಕೆಯ ವೈಶಾಲ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಚದುರುವಿಕೆಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಮರದ ಮಟ್ಟದ ಚದುರುವಿಕೆಯ ವೈಶಾಲ್ಯವು ಡ್ಯುಯಲ್ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ತಂತಿಗಳ ಚದುರುವಿಕೆಯ ವೈಶಾಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಹ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸೈಕ್ಲೋಹೆಡ್ರಾನ್ ಎಂಬ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಆವರಣಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಫ್ಲಿಪ್ ಗ್ರಾಫ್, ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ನ 1-ಅಸ್ಥಿಪಂಜರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಪರ್ಮುಟೊಹೆಡ್ರಾನ್, ಒಂದು ಪಾಲಿಟೋಪ್, ಇದನ್ನು ಸಂವಹನದಿಂದ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವಿಟಿಯ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರಾನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರ್ಮುಟೊಅಸ್ಸೊಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್, ಒಂದು ಪಾಲಿಟೋಪ್, ಇದರ ಶೃಂಗಗಳು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಮಾಡಿದ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಾಗಿವೆ. ತಮಾರಿ ಜಾಲರಿ, ಅದರ ಗ್ರಾಫ್ ಅಸ್ಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸ್ಟ್ರೇಂಜ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ಸ್-ಅಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರನ್ ಕುರಿತು ಅಸೋಸಿಯಾಹೆಡ್ರ ಝೀಗ್ಲರ್ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸದ ಬಗ್ಗೆ ಎಎಂಎಸ್ ಅಂಕಣ. 2009ರಲ್ಲಿ ಬಾರ್ಸಿಲೋನಾ ಸ್ವಾಯತ್ತ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಗುಂಟರ್ ಜೀಗ್ಲರ್ ಅವರು ನೀಡಿದ ಉಪನ್ಯಾಸದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. ಅಸೋಸಿಯಹೆಡ್ರಾ ಮತ್ತು ಸೈಕ್ಲೋಹೆಡ್ರಾ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸ. ಎಂ. ಎಸ್. ಆರ್. ಐ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು. ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳು