Final value theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು (ಎಫ್. ವಿ. ಟಿ) ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮಯ ಡೊಮೇನ್ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಲು ಬಳಸುವ ಹಲವಾರು ರೀತಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ (ಏಕಪಕ್ಷೀಯ) ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವ ಷರತ್ತುಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ ಅದೇ ರೀತಿ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ (ಏಕಪಕ್ಷೀಯ) ಝಡ್-ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು (ಅಥವಾ) ಸಮಯ-ಡೊಮೇನ್ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಟೌಬೇರಿಯನ್ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು (ಅಥವಾ) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಆವರ್ತನ-ಡೊಮೇನ್ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ (ಅವಿಭಾಜ್ಯ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗಾಗಿ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಟೌಬೇರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿ). ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತವು "0 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ, ಆದರೆ" ಎಂದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ 0 ಅನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಫೈನಲ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧ್ರುವವು ತೆರೆದ ಎಡ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ ಅಥವಾ ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದೇ ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ, ಮತ್ತು. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಃ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಎರಡೂ ಮಿತಿಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದ್ದರೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ. ಸುಧಾರಿತ ಟೌಬೇರಿಯನ್ ಸಂಭಾಷಣೆ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಅದು ಸಹ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಹಾಗಿದ್ದರೆ. ವಿಸ್ತೃತ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧ್ರುವವು ತೆರೆದ ಎಡ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ ಅಥವಾ ಮೂಲದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆಃ ಆಸ್, ಮತ್ತು. ಎಂದು, ಮತ್ತು ಎಂದು. ಎಂದು, ಮತ್ತು ಎಂದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕೇಸ್ 2 ಅಥವಾ 3 ರ ಬಹು ಧ್ರುವವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ). ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಬಿಡಿ. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಎಲ್ಲಿ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಅದನ್ನು ಆನ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಬಿಡಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಲೆಟ್, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹಾಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಏಕೆಂದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಾವು ಈಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಲ್ಲದು-ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಸರಾಸರಿಗಾಗಿ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವಂತಹ ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದು ರೋಗಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ. ಅನಂತಕ್ಕೆ ಬೇರೆಯಾಗುವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿರಲಿ. ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಭೇದಿಸಬಲ್ಲದು, ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ) ಅಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು (ಬಹುಶಃ ಅಸಮರ್ಪಕ) ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಗ್ಗೂಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಇದು ಅಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ಏಕೀಕರಣದ ನಂತರ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿಃ ಏಕೆಂದರೆ, ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಎಡಭಾಗವು ಫಾರ್ ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು, ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಅನೇಕವೇಳೆ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಿರಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಸ್ಟೀಲ್ಟ್ಜೆಸ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ-th ಮೊಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯುವುದು ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವಿಲೋಮವಾಗಿ ಇರಿಸಿ, ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಸಿ. ನಂತರ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್. ವಿ. ಟಿ ಹೊಂದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವರ್ಗಾವಣೆ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಅಂದರೆ, ಸಣ್ಣ ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ತೊಂದರೆಗೊಳಗಾದ ನಂತರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಮರಳುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯುನಿಟ್ ಹಂತದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹಂತದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯು 3 ರ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಘಾತೀಯ ಏರಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವರ್ಗಾವಣೆ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಂತದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಸಮಯ-ಡೊಮೇನ್ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮತ್ತು ಹಂತದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಎರಡೂ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು (ಈ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುವ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುವ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಛೇದದ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೂಲಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಂಬಗಳಿರಬಾರದು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ರೂಲ್ 1 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಇದರಲ್ಲಿ ಛೇದದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು. Z ರೂಪಾಂತರದ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವು ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹಂತ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವೆಂದರೆಃ ಮಾದರಿ-ದತ್ತಾಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅಪೆರಿಯೋಡಿಕ್ ಮಾದರಿ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಎಲ್. ಟಿ. ಐ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮಾದರಿ-ದತ್ತಾಂಶ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹಂತ ಇನ್ಪುಟ್ಗೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಮೂಲ ನಿರಂತರ-ಸಮಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ ಝಡ್-ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಮತ್ತು ಟೌಬೇರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು https://web.archive.org/web/20101225034508/http:// ವಿಕಿಗಳು. ಕಂಟ್ರೋಲ್ಥಿಯೋರಿಪ್ರೊ. ಕಾಮ್/ಇಂಡೆಕ್ಸ್. ಪಿಎಫ್ಪಿ? ಶೀರ್ಷಿಕೆ = ಫೈನಲ್ _ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ _ ಥೀರಂ http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html: ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ಗಾಗಿ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ https://web.archive.org/web/20110719222313/http:// ಡಬ್ಲ್ಯೂಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಂಗರ್. ಐಯುಪುಯಿ. ಇಡು/~ ಸ್ಕೋಸ್ಕಿ/ಇಸಿಇ595ಎಸ್7/ಹ್ಯಾಂಡ್ಔಟ್ಗಳು/ಎಫ್ವಿಟಿ _ ಪ್ರೂಫ್. ಪಿಡಿಎಫ್ಃ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಝಡ್-ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯ ಪುರಾವೆಃ ಟಿಯೋರೆಮಾ ಡೆಲ್ ವ್ಯಾಲೋರ್ ಇನಿಜಿಯಲ್