Lonely runner conjecture
ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜಿನ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ಏಕಾಂಗಿ ಓಟಗಾರನ ಊಹೆಯು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಓಟಗಾರರ ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಊಹೆಯಾಗಿದೆ. ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದದ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಓಟಗಾರರು, ಸ್ಥಿರವಾದ ವೇಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಕೆಲವು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿರುತ್ತಾರೆ-ಕನಿಷ್ಠ ಎಲ್ಲಾ ಇತರರಿಗಿಂತ ಯುನಿಟ್ಗಳಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1967 ರಲ್ಲಿ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಜೋರ್ಗ್ ಎಮ್. ವಿಲ್ಸ್ ಅವರು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯಾ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ 1974 ರಲ್ಲಿ ಟಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಕುಸಿಕ್ ಅವರು ಮಂಡಿಸಿದರು; ಇದರ ಸಚಿತ್ರ ಮತ್ತು ಈಗ ಜನಪ್ರಿಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು 1998 ರ ಕಾಲದ್ದಾಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆಯು 7 ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಓಟಗಾರರಿಗೆ ನಿಜವೆಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವು ಬಗೆಹರಿಯದೆ ಉಳಿದಿದೆ. ಊಹೆಯ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಕೆಲವು ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ವರ್ಣಸಂಬಂಧಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಣೆ-ಅಡಚಣೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದದ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ನಲ್ಲಿ ಓಟಗಾರರನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆರಂಭಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಓಟಗಾರರು ಒಂದೇ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಓಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ; ಓಟಗಾರರ ವೇಗಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಎಲ್ಲವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ಒಬ್ಬ ಓಟಗಾರನು ಕನಿಷ್ಠ ಇತರ ಓಟಗಾರರಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ (ವೃತ್ತದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿರುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕಾಂಗಿ ಓಟಗಾರನ ಊಹೆ ಪ್ರತಿ ಓಟಗಾರನು ಕೆಲವು ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿರುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ವೇಗದ ಆಯ್ಕೆಯು ಏನೇ ಇರಲಿ. ಊಹೆಯ ಈ ದೃಶ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1998 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಜೋರ್ಗ್ ಎಮ್. ವಿಲ್ಸ್ ಅವರ ಮೂಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅನೇಕ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಸರಳೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿರಬೇಕಾದ ಓಟಗಾರನು 0ರಲ್ಲಿ (ಶೂನ್ಯ ವೇಗದೊಂದಿಗೆ) ಸ್ಥಿರನಾಗಿರುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಇತರ ಓಟಗಾರರನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಲಿಸುವ ಓಟಗಾರರನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ವೇಗಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಬಂಧಿಸಬಹುದುಃ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ, ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಓಟಗಾರರು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ 0 ರಿಂದ ಒಂದೇ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಓಟಗಾರನಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಎಲ್ಲಾ ಓಟಗಾರರಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಓಟಗಾರರಿಂದ ಅವರ ವೇಗವನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅವರನ್ನು ಶೂನ್ಯ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಬಿಡಬಹುದು. ಧನಾತ್ಮಕ, ವಿಭಿನ್ನ ವೇಗಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ, ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಂತಹ ಕೆಲವು ಸಮಯವಿದೆ ಎಂದು ಊಹೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿದರೆ, ಓಟಗಾರರು ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಓಡುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಮಧ್ಯದ ಪದವು ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲದಿಂದ ಹತ್ತನೇ ಓಟಗಾರನವರೆಗಿನ ದೂರವಾಗಿದ್ದು, ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಈ ಲೇಖನದ ಉಳಿದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ನಿಕಟವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಅಧ್ಯಯನವಾದ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ವಿಲ್ಸ್ನ ಊಹೆಯು ಅವನ ಕೃತಿಯ ಭಾಗವಾಗಿತ್ತು. ಪರಿಣಾಮಗಳು-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ () ಬದಿಯ ಉದ್ದದ-ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅರ್ಧ-ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಮಧ್ಯದ ಪ್ರತಿಯನ್ನು ಇರಿಸಿ. ಮೂಲದಿಂದ ಒಂದು ಕಿರಣವು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು (ಅನಂತ) ಅಂತರವಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪ್ರತಿಯನ್ನು ಹೊಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಏಕಾಂಗಿ ರನ್ನರ್ ಊಹೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ; ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಂತರಗಳಿವೆ ಎಂದು ಊಹೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ, ಬದಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಚೌಕಗಳು ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಅಂತರವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಬದಿಯ ಉದ್ದ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದಾದ ಚೌಕಗಳು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಿರಣವನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತವೆ. ಊಹೆಯು ಈ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆಯಾಮಗಳಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ದೂರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು, ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೂರಗಳ ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಇಫ್ ಮತ್ತು ಓನ್ಲಿ ಇಫ್ ನಡುವೆ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿ ಸತತ ಜೋಡಿಯು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಎರಡು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಹಂತದೊಂದಿಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಎ-ನಿಯಮಿತ ಬಣ್ಣವು ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಮಾಡ್ಯುಲೋದ ಅವಶೇಷದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಣ್ಣವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಣ್ಣವು ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಒಂದೇ ಬಣ್ಣದ್ದಾಗಿರುತ್ತವೆ. ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ, ಲೋನ್ಲಿ ರನ್ನರ್ ಊಹೆಯು ಕೆಲವು ಹಂತದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ-ನಿಯಮಿತ ಬಣ್ಣವನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ನೋಡ್ ಅದರ ಹತ್ತಿರಕ್ಕಿಂತ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ) ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ರಚಿಸಿದ ದೂರದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾದ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. (ಇದನ್ನು ನಿಯಮಿತ ವರ್ಣದ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.) ನಿರ್ದೇಶಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ನೋಡ್ನಿಂದ ಹೊರಗಿನ ಹರಿವು ಒಳಗಿನ ಹರಿವಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಹರಿವು. ಲೋನ್ಲಿ ರನ್ನರ್ ಊಹೆಯು ಸೂಚಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ, ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಿಯೂ-ಶೂನ್ಯ ಹರಿವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಬಹುಶಃ ಕೆಲವು ಕಮಾನುಗಳ ದಿಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ). ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಲೋನ್ಲಿ ರನ್ನರ್ ಊಹೆಯ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪೂರ್ಣ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಓಟಗಾರರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಓಟಗಾರರ ಗರಿಷ್ಠ ಏಕಾಂಗಿತನವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಒಂಟಿತನದ ಅಂತರವು ಓಟಗಾರರೊಂದಿಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು, ಅದು ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹೆಯು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿರಲು ಓಟಗಾರನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವೇಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಅವರು ಇತರ ಎಲ್ಲರಿಗಿಂತ ಘಟಕಗಳಿಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ದೂರವಿರುವ ಸಮಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಈ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸರಳವಾದ ಲೋವರ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಾದದ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಓಟಗಾರರ ವೇಗವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಲು ಊಹೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದುಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಓಟಗಾರರಿಗೆ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೈಜ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಓಟಗಾರರಿಗೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಬಿಗಿಯಾದ ಗಡಿಗಳು ಕೆಳಭಾಗದ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಸುಧಾರಣೆಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ. ಅದು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ಬೇಷರತ್ತಾಗಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಪ್ರಸ್ತುತ ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದೆಃ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ. ಗಾತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವೇಗಗಳ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪೂರ್ಣ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು (ದೊಡ್ಡ O ಸಂಕೇತವನ್ನು ನೋಡಿ). ಈ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಿದ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿರಲು ತುಂಬಾ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಓಟಗಾರರ ವೇಗದ ಬಗ್ಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದರೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವೇಗವು ಸಾಕಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆದರೆ ಊಹೆಯು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕ 22 ಅನ್ನು 33 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಊಹೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಊಹೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತುಗಳಿಲ್ಲದೆ, ಊಹೆಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಊಹೆಯು ಓಟಗಾರರಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿವೆ; ಈ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು 1972ರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು. , ಮತ್ತು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ 1984,2001 ಮತ್ತು 2008ರಲ್ಲಿ ಇತ್ಯರ್ಥಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್-ನೆರವಿನಲ್ಲಿತ್ತು, ಆದರೆ ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವರಿಗೆ, ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಯ ಜೊತೆಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕೈಕ ಉದಾಹರಣೆ (ಶಿಫ್ಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ವರೆಗೆ); ತಿಳಿದಿರುವ ಏಕೈಕ ಉದಾಹರಣೆ; ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು. ಅಂತಹ ವಿರಳ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬವಿದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಮೀಪವಿರುವ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಊಹೆಯ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೇಗಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ, ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಅಥವಾ, ಆ ಸೆಟಪ್ನ ಒಂಟಿತನದ ಅಂತರ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅವರು ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸಿದರು. ಓಟಗಾರನು ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಲು ಎಷ್ಟು ಸಮಯ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಉದ್ದೇಶಿಸಿ ಮಾತನಾಡಿದರು. ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೂ ಧನಾತ್ಮಕ, ವಿಭಿನ್ನ ವೇಗಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ, ರಿಫಫೋರ್ಡ್ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲೂ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆಯೆಂದು ತೋರಿಸುವಂತಹ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಬಲವಾದ ಊಹೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು. ನಂತರದ ಫಲಿತಾಂಶವು (ಫಾರ್) ನಾವು ಆರು ಓಟಗಾರರನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾದ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ವೇಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ನಿಧಾನವಾದ ಸ್ಥಿರವಲ್ಲದ ಓಟಗಾರನ ಮೊದಲ ಎರಡು ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ (ಆದರೆ ಮೊದಲ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ) ಸ್ಥಿರ ಓಟಗಾರನನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಇತರರಿಂದ ದೂರದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ವೇಗಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಬಲವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಃ ಸ್ಥಿರ-ರನ್ನರ್ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಓಟಗಾರರನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಎಂದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಓಟಗಾರರು ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ "ತುಂಬಾ ಏಕಾಂಗಿಯಾಗಿರುತ್ತಾರೆ"-ಹತ್ತಿರದ ಇತರ ಓಟಗಾರರಿಂದ ಸುಮಾರು ಘಟಕಗಳು. "ಒಂಟಿತನ" ವನ್ನು "ಬಹುತೇಕ ಏಕಾಂಗಿತನ" ದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಊಹೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಒಬ್ಬ ಓಟಗಾರನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಓಟಗಾರನೊಳಗೆ ಇರುತ್ತಾನೆ. ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾದೃಶ್ಯಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಕೃತಿಗಳು ಓಪನ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಗಾರ್ಡನ್ ನಂ. 4, 551-562. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ