Hard hexagon model
ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮಾದರಿಯು ಅನಿಲದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಲರಿಯ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಣಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಜಾಲರಿಯ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಇರಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕಣಗಳು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರಬಾರದು. ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅವರು ಪರಿಹರಿಸಿದರು, ಅವರು ಇದು ರೋಜರ್ಸ್-ರಾಮಾನುಜನ್ ಗುರುತುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮಾದರಿಯ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವು ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಷಟ್ಕೋಣ ಮಾದರಿಯು ಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಮೂಹದ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ("ಷಟ್ಕೋಣಗಳು") ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಬದಲಾಗಲು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ರಾಸಾಯನಿಕ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ಮತ್ತು ತಾಪಮಾನದ ಅನುಪಾತವು ಮಾತ್ರ ಪ್ರಮುಖ ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ನಿಯಂತ್ರಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಅನುಪಾತದ ಘಾತಾಂಕ, z = exp (μ/(kT)) ಅನ್ನು ಚಟುವಟಿಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ದಟ್ಟವಾದ ಸಂರಚನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎನ್ ತಾಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಜಾಲಕಕ್ಕೆ, ಗ್ರಾಂಡ್ ಪಾರ್ಟಿಷನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದರೆ ಅಲ್ಲಿ g (n, N) ಎಂದರೆ n ಕಣಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಜಾಲಕ ತಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿದೆ. ಕಾರ್ಯ κ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲಾಗ್ (κ) ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ ಸೈಟ್ಗೆ ಉಚಿತ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಕಠಿಣ ಷಟ್ಕೋಣ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ (ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ) z ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ κ ಗೆ ನಿಖರವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ಲ್ಯಾಟಿಸ್ನ ಶೃಂಗಗಳು 1,2 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಯ 3 ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಬರುತ್ತವೆ, ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಜಾಗವನ್ನು ತುಂಬಲು 3 ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. 3 ವರ್ಗದ ತಾಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ 3 ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ρ1, ρ2, ρ3 ಇವೆ. ಚಟುವಟಿಕೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ 3 ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಚಟುವಟಿಕೆಯು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿಗಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವಾಗ ಮೂರು ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕಡಿಮೆ-ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಏಕರೂಪದ ಹಂತವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ-ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಹಂತದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವು ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತ φ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಷಟ್ಕೋಣಗಳು 1ನೇ ವಿಧದ ತಾಣಗಳಲ್ಲಿರುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ದೊಡ್ಡ z> zcಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು (ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಕ್ರಮಿತ ತಾಣಗಳು 1ನೇ ವಿಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ) ರೋಜರ್ಸ್-ರಾಮಾನುಜನ್ ಗುರುತುಗಳಲ್ಲಿ G ಮತ್ತು H ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು Q ಕಾರ್ಯವು ಯೂಲರ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಇಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. x = e2πiτ ಆಗಿದ್ದರೆ, x − 1/60 G (x), x 11/60 H (x), x − 1/24 P (x), z, κ, ρ, ρ1, ρ2, ಮತ್ತು ρ3 ಗಳು τ ಯ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾದರೆ, x 1/24 Q (x) ತೂಕದ 1/2 ರ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು κ, z, R, ρ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪರಸ್ಪರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ (ಸಾಕಷ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎರಿಕ್ ವೈಸ್ಸ್ಟೀನ್ ಕಠಿಣ ಷಟ್ಕೋಣ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಕರೆದ κ (1) ನ ಮೌಲ್ಯವು 1.395485972. () ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಡಿಗ್ರಿ 24 ರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಮಾದರಿಗಳು ಗಟ್ಟಿಯಾದ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಚೌಕ ಮತ್ತು ಜೇನುಗೂಡಿನ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಎರಡೂ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಮತ್ತು ಜೇನುಗೂಡಿನ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಬಿಂದು zc ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ; κ (1) ಸರಿಸುಮಾರು 1.503048082. () ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗೆ ಮತ್ತು 1.546440708. ಜೇನುಗೂಡಿನ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಕ್ಸ್ಟನ್, ಎಚ್. (1983), ಕ್ಯೂ-ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ಃ ಹಾಲ್ಸ್ಟೆಡ್ ಪ್ರೆಸ್, ಚಿಚೆಸ್ಟರ್ಃ ಎಲ್ಲಿಸ್ ಹಾರ್ವುಡ್ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಮಾದರಿಗಳು ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ ಮಾದರಿಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ