Acyclic model
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದೊಳಗಿನ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಮಾದರಿಗಳ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಸೌಂಡರ್ಸ್ ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ವಿವಿಧ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಸಾಮ್ಯತೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ನಂತರ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಇದನ್ನು ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಜಿಲ್ಬರ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು; ಇದು ಮಾದರಿ ವರ್ಗದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಉಂಗುರಗಳ ಮೇಲೆ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ. ಅಂತಹ ಕೋವೇರಿಯಂಟ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿರಲಿಃ ಫಾರ್. ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹವುಗಳಿವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಉಚಿತ ಫಂಕ್ಟರ್ ಕೂಡ ಇದೆ. ಈ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ-ಮತ್ತು-ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮರ್ಥನೆಗಳು ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತವೆಃ ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಪಳಿ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು, ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಪಳಿ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ, ಮತ್ತು ನಡುವೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಪಳಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಇರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸರಪಳಿ ನಕ್ಷೆಯು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸರಪಳಿ ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮತ್ತು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಮೇಲಿನದು ಪ್ರಮೇಯದ ಆರಂಭಿಕ ಆವೃತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯು ಹೋಮೋಟಾಪಿಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾದ ಸರಪಳಿ ನಕ್ಷೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಫಂಕ್ಟರ್ ವರ್ಗವನ್ನು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ ಇದು ಬಹುತೇಕ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪರಿಣತಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮುಕ್ತ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಆ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಸ್ತುಗಳು. ಫಂಕ್ಟರ್ ವರ್ಗದ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸರಪಳಿ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಮೋಟೋಪಿಗಳು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿವೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ, ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುವುದು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾದ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮೇಲಿನ ಆವೃತ್ತಿಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಫ್ರೀ ಫಂಕ್ಟರ್ ಮೂಲತಃ ಕೇವಲ ಉಚಿತ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್) ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುವುದು (ಕೇವಲ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಇದೆ) ಎಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೇನೂ ಇಲ್ಲ. ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ವರ್ಗಗಳು ಮೇಲಿನ ಎರಡನ್ನೂ ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮೇಯವಿದೆ. ಒಂದು ಅಬೆಲಿಯನ್ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಥವಾ). ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವನ್ನು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದುಃ 0 ಸಂಕೀರ್ಣವು ಇದೆ. ಅಮಾನತು ಮಾಡಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಸೇರಿದಂತಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಕೀರ್ಣವು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಡಬಲ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳು ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದರ ಒಟ್ಟು ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಮೂರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇತರರು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದರಲ್ಲಿ ಸಂದೇಹವಿಲ್ಲ. ಮೊದಲನೆಯದು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಒಪ್ಪಂದದ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು. ಎರಡನೆಯದು ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು. ಫಂಕ್ಟರ್ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ (ಉದಾ. ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ವರ್ಗ), ಪ್ರತಿ ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವಿದೆ, ಆದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಸಂಕೋಚನಗಳನ್ನು ನೀಡದಿರಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಮತ್ತೆ ಫಂಕ್ಟರ್ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಆದರೆ ಈ ಬಾರಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳು ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಕೋನ್ ಇರುವ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಪಳಿ ನಕ್ಷೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಇದು ಬಲ ಅಥವಾ ಎಡ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಬಾಣಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದುರ್ಬಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವರ್ಧಿತ ಎಂಡೋಫಂಕ್ಟರ್ ಆನ್ ಆಗಿರಲಿ, ಅಂದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆನ್). ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಸೇರಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಬೌಂಡರಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವರ್ಧಿತ ಚೈನ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗೆ ಸೇರಿದರೆ ಚೈನ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಟರ್-ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರಮೇಯ. ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ವರ್ಗ ಮತ್ತು ಬಾಣಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ. ಅದು-ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು-ಅಸಿಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರವು ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಚೈನ್ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೂಪಾಂತರಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಚೈನ್ ಹೋಮೋಟೋಪಿಗಳವರೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅದು-ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದಾದ, ಅಂದರೆ-ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್, ಮತ್ತು ಅದು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಅದು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿರುವ ಈ ಕೊನೆಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿನ ವರ್ಗವಾಗಿರಲಿ. ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಚೈನ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಚೈನ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ ಜಾಗಕ್ಕೂ ಜಾಗವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಾಹಕರಾಗಿರಲಿ. ಇಲ್ಲಿ,-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಇದೆ ಮತ್ತು ಈ ಫಂಕ್ಟರ್ ನಕ್ಷೆಗಳಿರುವಂತೆ ಪ್ರತಿ-ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ನ ಅನೇಕ ಪ್ರತಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ವರ್ಧನೆ ಇದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಎರಡೂ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು (ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಪುರಾವೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೇರವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸರಳ ಉಪವಿಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಅಡ್ಡದಾರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಹ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು). ವರ್ಗವು ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಮಾನತೆಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಏಕವಚನ ಮತ್ತು ಸರಳ ಹೋಮೋಲಜಿಗಳು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಸ್ಕೋನ್, ಆರ್. "ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡೆಲ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಎಕ್ಸಿಷನ್" ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರೊ. ಅಮೀರ್. ಗಣಿತ. ಎಸ್. ಸಿ. 59 (1) (1976) pp.167--168. ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು