Quantum t-design
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವು ಶುದ್ಧ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅಥವಾ ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಡಿಗ್ರಿ ಟಿ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಹಾರ್ ಅಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿನ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ಡಿಗ್ರಿ t ಯ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯದ ಸರಾಸರಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಹಾರ್ ಅಳತೆಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಹಾರ್ ಅಳತೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಏಕೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿನ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಇದು ಪ್ರಯೋಗಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ವಿಧದ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳೆಂದರೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಮತ್ತು ಏಕೀಕೃತ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು. ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿನ್ಯಾಸವು ಏಕಕೋಶೀಯ ಗೋಳದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸೀಮಿತ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಗೋಳಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು 1970ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಡೆಲ್ಸಾರ್ಟ್, ಗೋಥಲ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸೀಡೆಲ್ ಅವರ ಕೃತಿಗಳಿಂದ ತಮ್ಮ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿವೆ, ಆದರೆ ಈ ವಸ್ತುಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವಾರು ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ವಹಿಸಿವೆ. ಈ ವಸ್ತುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗೂಢಲಿಪೀಕರಣ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿವೆ. ಏಕೀಕೃತ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಅವು ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಗ್ರಹದ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಗೇಟ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಮರ್ಥ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲೆಬಲ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ 2006 ರಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ 2-ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಅಂದಿನಿಂದ ಏಕೀಕೃತ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಾಲವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವೆಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿಯ ಮಾಹಿತಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸದವರೆಗೆ ತಲುಪುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯುನಿಟರಿ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆದರ್ಶ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತಾರೆ. ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಸರಾಸರಿ ಮಾಡುವಾಗ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಗುಂಪು ಎಸ್ಯು (ಡಿ) ಆಗಿದೆ, ಇದು ಆಯಾಮದ ವಿಶೇಷ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪು ಡಿ. ಹಾರ್ ಅಳತೆಯು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುಂಪು-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಏಕಮಾನಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬದಲಾಗದ ಸರಾಸರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸ್ಪಿನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗುಂಪು ಎಸ್ಯು (2) ಆಗಿದೆ, ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ 2x2 ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಯು (2) ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಪರೇಟರ್ ಬ್ಲೋಚ್ ಗೋಳದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಬ್ಲೋಚ್ ಗೋಳದ ಎಲ್ಲಾ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಿನ್-1/2 ಕಣಗಳ ಹಾರ್ ಅಳತೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಹರ್ ಅಳತೆಯು ಬ್ಲೋಚ್ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಬದಲಾಗದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗವೆಂದರೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮಾಹಿತಿಯುಕ್ತವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕ್ರಮಗಳು ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಗಳು, ಇವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ 2-ವಿನ್ಯಾಸಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ 2-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, SIC-POVM ಕನಿಷ್ಠ ಗಾತ್ರದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ 2-ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಗೋಳಾಕಾರದ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇವು ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳ ಗೋಳಾಕಾರದ 2t-ವಿನ್ಯಾಸಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಹುದುಗಿದಾಗ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸ ಎಂದು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇಲ್ಲಿ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ನಿಖರವಾದ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಹಾರ್ ಅಳತೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಟಿ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಅಂದಾಜು ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದಾಗಿ ಅವು ಹೆಚ್ಚು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಅಂದರೆ. ಸಮಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ ವಿತರಿಸಲಾದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ಸಮರ್ಥ ನಿರ್ಮಾಣವು ನಿರ್ವಾಹಕರ ಪಿಒವಿಎಂ ಅನ್ನು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜು ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸದ ತಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆಃ ಇಫ್ ಅಂಡ್ ಥೆರ್ ಒಂದು-ಸಮೀಪದ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಬಹುಶಃ ಅಸಮರ್ಥವಾಗಿದ್ದರೂ, ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಟಿಗೆ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ-ಸಮೀಪದ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಡಿ ಅನ್ನು 2 ರ ಶಕ್ತಿಯೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ d ಗೆ {0,., d-1} {0,., d-1} ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ {0,., d-1} ಗೆ f ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರ, ಅಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹರ್ ಅಳತೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಮತ್ತು ಅವಕಾಶದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆಃ ಬೆಸ ಜೆ ಮತ್ತು ಸಮ ಜೆ ಗೆ. ಇದನ್ನು ಮತ್ತು ಗಾಸಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಅಂದಾಜು ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಏಕೀಕೃತ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಗೋಲಾಕಾರದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಸಂಗ್ರಹದ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಗೇಟ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳನ್ನು ನಿರ್ಣಯಿಸಲು ಸಮರ್ಥ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲೆಬಲ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ 2006 ರಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ 2-ವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಅಂದಿನಿಂದ ಏಕೀಕೃತ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ವಿಶಾಲವಾಗಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕಪ್ಪು ಕುಳಿ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವೆಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಯುನಿಟರಿ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆದರ್ಶ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತಾರೆ. ಏಕೀಕೃತ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸದ ಅಂಶಗಳು ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ, ಯು (ಡಿ), ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪು. ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವು ರಾಜ್ಯಗಳ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಏಕೀಕೃತ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ (ಅಂದರೆ. ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಒಂದು ಗುಂಪು). ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಶುದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಇರಲಿ. ನಂತರ ಯಾವಾಗಲೂ ರಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯು ನ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಜಾಗವು ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಅವಲೋಕನವು ಏಕೀಕೃತ ವಿನ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಏಕೀಕೃತ ಸಂಕೇತಗಳ ನಡುವಿನ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಏಕೀಕೃತ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸ, ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದರ ಒಂದು ನೇರ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ, X ಒಂದು t-ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ. 1 ಮತ್ತು 2-ವಿನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ವಿವರಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು X, |X | ನ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ವಿನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಮಿತಿಗಳು ಡಿಗ್ರಿ t ಇಂಚಿನ ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ t ಇಂಚಿನ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂಃ ಆಗ X ಒಂದು ಏಕೀಕೃತ t-ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಮತ್ತು ಆನ್ ಅನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗದ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು. ಇದು ಎಕ್ಸ್ ಒಂದು ಏಕೀಕೃತ ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ. X ಒಂದು ಟಿ-ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೇಲಿನವುಗಳಿಂದ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದು ಏಕೀಕೃತ ವಿನ್ಯಾಸದ ಗಾತ್ರದ ಮೇಲೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ವಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬಂಧವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿನ್ಯಾಸದ ಬಲ ಅಥವಾ ಸಂಕೇತದ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪು X ನಲ್ಲಿರುವ ದೂರಗಳಲ್ಲ. ಏಕಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತವು ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಕೆಲವು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, X ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಏಕೀಕೃತ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯು ಮತ್ತು ಎಂ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆಃ ಗೋಳಾಕಾರದ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಈಕ್ವಿಯಾಂಗ್ಯುಲರ್ ರೇಖೆಗಳು ವೆಲ್ಚ್ ಬೌಂಡ್ಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ವಿಜ್ಞಾನ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ