Population balance equation
ಆಧುನಿಕ ವಿಜ್ಞಾನದ ಹಲವಾರು ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ರಾಸಾಯನಿಕ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಕಣಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಜನಸಂಖ್ಯಾ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು (ಪಿಬಿಇ) ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಫಟಿಕೀಕರಣ, ಸೋರಿಕೆ (ಲೋಹಶಾಸ್ತ್ರ), ದ್ರವ-ದ್ರವ ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆ, ನೀರಿನ ವಿದ್ಯುದ್ವಿಭಜನೆಯಂತಹ ಅನಿಲ-ದ್ರವ ಪ್ರಸರಣಗಳು, ದ್ರವ-ದ್ರವ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಸಂವಹನ, ಏರೋಸಾಲ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ (ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟಕಗಳು ಅವುಗಳ ಗಾತ್ರ ಅಥವಾ ಅಂತರ್ಜೀವಕೋಶದ ಪ್ರೋಟೀನ್ಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಜೀವಕೋಶಗಳಾಗಿವೆ), ಪಾಲಿಮರೀಕರಣ ಮುಂತಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮತೋಲನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಣಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸುವ ಸ್ಮೋಲುಚೋವ್ಸ್ಕಿ ಹೆಪ್ಪುಗಟ್ಟುವಿಕೆಯ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಸ್ತರಣೆಯೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಪಿಬಿಇಗಳು, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಘಟಕಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೇಗೆ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ಸಮಗ್ರ-ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಸ್ಥಳೀಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಕಣದ ನಡವಳಿಕೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಕಣಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ-ಕ್ಷೇತ್ರ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕಣಗಳ ಜನನ ಮತ್ತು ಮರಣವು ಕಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಅಥವಾ ಇಳಿಕೆಗೆ (ಗೋಳಾಕಾರದ ಕಣಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು) ಕಾರಣವಾಗುವ ಉಪಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾದ ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯೇಷನ್, ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವಿಕೆ, ಒಡೆಯುವಿಕೆ ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಳೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು (ದ್ರವ ದ್ರಾವಣದಿಂದ ಘನದ ರಚನೆ) ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮತೋಲನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರಾಜ್ಯದ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಸಮತೋಲನವಲ್ಲದೆ ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ (ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಗಾತ್ರ). ಪಿ. ಬಿ. ಇ. ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಕಣ ಸ್ಥಿತಿ ವಾಹಕದಿಂದ (x, r) ಸೂಚಿಸಲಾದ ಕಣಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಣಗಳ ಸರಾಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಇಲ್ಲಿ x ಗಾತ್ರ, ಸಾಂದ್ರತೆ ಮುಂತಾದ ಕಣಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆಂತರಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮತ್ತು, r ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸ್ಥಾನ ಅಥವಾ ಬಾಹ್ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ) ಒಂದು ಹಂತದ ವಾಹಕ Y (r, t) ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಿರಂತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಹರಡುತ್ತದೆ (ಇದು ಮತ್ತೆ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಹಂತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ) ಇದನ್ನು f (x, r, t) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಕಣಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. h (x, r, Y, t) ಕಣ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜಾಗದ ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪರಿಮಾಣದ ಕಣಗಳ ಜನನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಪಿಬಿಇ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರ, ವಿವೇಚನಾ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಷಣ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಯ್ಕೆಯು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಮೂಲಸೌಕರ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ