Finding Ellipses
"ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ಸಂಪರ್ಕಗಳು" ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಅಧ್ಯಯನದ ಇತರ ವಿಷಯಗಳಿಂದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳು ಉದ್ಭವಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮಾರ್ಗಗಳ ಕುರಿತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪುಸ್ತಕವಾದ ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಎಲಿಪ್ಸೆಸ್ಃ ವಾಟ್ ಬ್ಲಾಸ್ಕೆ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ಸ್, ಪೊನ್ಸೆಲೆಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಮೆರಿಕಲ್ ರೇಂಜ್ ನೋ ಎಬೌಟ್ ಎವರ್. ಇದನ್ನು ಉಲ್ರಿಚ್ ಡೇಪ್, ಪಮೇಲಾ ಗಾರ್ಕಿನ್, ಆಂಡ್ರ್ಯೂ ಶಾಫರ್ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಲ್ ವಾಸ್ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 2019 ರಲ್ಲಿ ಅಮೇರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ಆಫ್ ಅಮೆರಿಕಾದಿಂದ ಕಾರಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ಸ್ನ 34 ನೇ ಸಂಪುಟವಾಗಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಗುರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪುಸ್ತಕಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಎಲಿಪ್ಸಸ್ ಎಂಬ ವಿಷಯಗಳು ಬ್ಲಾಸ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಪೊನ್ಸೆಲೆಟ್ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಬ್ಲಾಸ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ನೊಳಗಿನ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪುಸ್ತಕವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬ್ಲಾಸ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪೂರ್ವಚಿತ್ರಗಳ ಈ ತ್ರಿವಳಿಗಳು ಏಕ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು (ಅದು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅವೆಲ್ಲವೂ ಅಂಡಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿಯುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅವು ಎರಡು ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ಅನಂತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಪೊನ್ಸೆಲೆಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ವಿವರಿಸುವ ರೀತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು, ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಿದಾಗ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಶಂಕುವಿನಾಕಾರವನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಅದು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಎರಡೂ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಒಂದು. ಬ್ಲಾಸ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಪೊನ್ಸೆಲೆಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಈ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಪುಸ್ತಕವು ಸಮೀಕ್ಷೆ ಮಾಡಿದ ಸಂಪರ್ಕದ ಮೂರನೇ ಭಾಗವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಈ ಪ್ರದೇಶದೊಳಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶ್ರೇಣಿಯ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅದರ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರ ಕರ್ಣೀಯದಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ, ಈ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು ಪೊನ್ಸೆಲೆಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಅದರ ಏಕೀಕೃತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿಗಳ ಛೇದನವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇವು ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪೊನ್ಸೆಲೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಾಗಿ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಬ್ಲಾಸ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗಣಿತ, ಪೊನ್ಸೆಲೆಟ್ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ನಿಕಟ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವ ಮೊದಲು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪುಸ್ತಕದ ಎರಡನೇ ಭಾಗವು ಈ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬ್ಲಾಸ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ದೊಡ್ಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೆ ಪೊನ್ಸೆಲೆಟ್ ತರಹದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರಿದ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆಃ "ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಥಳಗಳು, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ನಿರ್ವಾಹಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಇನ್ನಷ್ಟು". ಮೂರನೇ ಭಾಗವು ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಮೀರಿ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವೆಬ್ ಆಪ್ಲೆಟ್ಗಳ ಆನ್ಲೈನ್ ಸಂಗ್ರಹವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿನ ರಚನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯೋಗ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ. 'ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಎಲಿಪ್ಸ್' ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಪದವಿಪೂರ್ವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಕೋರ್ಸ್ಗಳ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಕ್ಕಿಂತ ಪದವಿಪೂರ್ವ ಸಂಶೋಧನಾ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಜಂಪಿಂಗ್-ಆಫ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಪುಸ್ತಕದ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪದವಿಪೂರ್ವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಭಾಗವು ಹೆಚ್ಚು ಬೇಡಿಕೆಯಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಮರ್ಶಕ ಬಿಲ್ ಸ್ಯಾಟ್ಜರ್ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, "ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಹ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ ನಿರಾಶೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು". ಅದರ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಇದು "ಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದೆ" ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ವಿಷಯಗಳ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಲೈನ್ ಬಾರಿಬ್ಯೂ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಯೂನುಸ್ ಝೈಟುಂಕು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದು, ಪದವಿಪೂರ್ವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾದ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಆಗಿ ಈ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತರುವ "ಕನಸನ್ನು ಸಾಕಾರಗೊಳಿಸುವ" "ಸಂತೋಷ" ಎಂದು ಕರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕಗಳು 2019 ಕಾಲ್ಪನಿಕವಲ್ಲದ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಪಬ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿ