Egalitarian cake-cutting
ಸಮತಾವಾದಿ ಕೇಕ್-ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯು ಒಂದು ರೀತಿಯ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಕೇಕ್-ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ಮಾನದಂಡವು ಸಮತಾವಾದಿ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಕೇಕ್ ಒಂದು ನಿರಂತರ ಸಂಪನ್ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಭೂಮಿ ಅಥವಾ ಸಮಯದಂತಹ), ಇದನ್ನು ಸಂಪನ್ಮೂಲದ ಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜನರಿಗೆ ಹಂಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಾವಾದಿ ಕೇಕ್ ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯ ಗುರಿಯು ಏಜೆಂಟ್ನ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದು; ಇದಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು, ಮುಂದಿನ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸುವುದು; ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳ ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ಕೇಕ್-ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಾವಾದಿ ಕೇಕ್-ಕತ್ತರಿಸುವಿಕೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಡಬಿನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪಾನಿಯರ್ ಅವರು ವಿವರಿಸಿದರು, ಅವರು ಇದನ್ನು "ಅತ್ಯುತ್ತಮ ವಿಭಜನೆ" ಎಂದು ಕರೆದರು. ಹಂಚಿಕೆಯ ಸೆಟ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರುವಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್-ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಹಂಚಿಕೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹಂಚುವಾಗ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರಂತರ ಏಕರೂಪದ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳನ್ನು ಹಂಚುವಾಗ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ನಿರಂತರ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಸಂಪನ್ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ ("ಕೇಕ್"), ಹಂಚಿಕೆಯ ಸೆಟ್ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಡಬಿನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪಾನಿಯರ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್-ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಕೇಕ್ ಹಂಚಿಕೆಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ಕೇಕ್-ಹಂಚಿಕೆ ನಿಯಮವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಡುಬಿನ್ಸ್-ಸ್ಪೈನಿಯರ್ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸದಿದ್ದಾಗ (ಅಂದರೆ, ವಿವಿಧ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಇಡೀ ಕೇಕ್ಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದು), ಹಂಚಿಕೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಪ್ರೊಫೈಲ್ (ಇಲ್ಲಿ ಅಂಶ i ಕೇವಲ ಏಜೆಂಟ್ i ನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಾಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಬಂಧಿತ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಪ್ರೊಫೈಲ್ (ಇಲ್ಲಿ ಅಂಶ i ಏಜೆಂಟ್ i ನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಜೆಂಟ್ i ನ ಒಟ್ಟು ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ) ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ನಿಯಮವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್-ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಗಿರುವ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ನಿಯಮವು ಸಂಬಂಧಿತ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್-ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಆಗಿರುವ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ನಿಯಮದ ಎರಡೂ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಪ್ಯಾರೆಟೋ-ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಮತ್ತು ಪಾಪ್ಯುಲೇಶನ್ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಆಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವು ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಸಂಪೂರ್ಣ-ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ನಿಯಮವು ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಆದರೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಸಾಪೇಕ್ಷ-ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ನಿಯಮವು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಸಂಪನ್ಮೂಲ-ಮೊನೊಟೋನಿಕ್ ಅಲ್ಲ. ಅಸೂಯೆ-ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದ ಸಂಬಂಧ ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ನಿಯಮದ ಎರಡೂ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತವಲ್ಲದ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಕೇಕ್ 3 ಪ್ರದೇಶಗಳೊಂದಿಗೆ ತುಂಡು ತುಂಡಾಗಿ-ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳು (ಕಾಣೆಯಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಶೂನ್ಯಗಳಾಗಿವೆ): ಎಲ್ಲಾ ಏಜೆಂಟ್ಗಳು ಇಡೀ ಕೇಕ್ ಅನ್ನು 15 ಎಂದು ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ-ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷ-ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಭವನೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವು 5 ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ಹಂಚಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ 5 ಅನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ ಹಕ್ಕನ್ನು ಏಜೆಂಟ್ ಸಿ, ಡಿ, ಇ ನಡುವೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಏಜೆಂಟ್ ಬಿ ಗೆ ನೀಡಬೇಕು. ಆದರೆ ನಂತರ ಎ ಅಸೂಯೆಗಳು ಬಿ. ಡಬಿನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪೈನಿಯರ್, ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯ-ಕ್ರಮಗಳು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಪ್ರತಿ ಸಂಬಂಧಿತ-ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ಹಂಚಿಕೆಯು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ವೆಲ್ಲರ್ ಅಸೂಯೆಯಿಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾದ ಕೇಕ್ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು, ಅದು ಸಾಪೇಕ್ಷ-ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್ ಅಲ್ಲ. ಕೇಕ್ [0,1] ಆಗಿದೆ, ಮೂರು ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯದ ಅಳತೆಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 1/4,1/2 ಮತ್ತು 3/4 ರಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ ವಿತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಹಂಚಿಕೆ ([0,3/8], [3/8,5 8], [5/8,1]) ಯುಟಿಲಿಟಿ ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (3/8,7 16,7/16). ಇದು ಅಸೂಯೆ-ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾರೆಟೋ-ಸಮರ್ಥವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್-ಬೆಟರ್ ಯುಟಿಲಿಟಿ ಪ್ರೊಫೈಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಹಂಚಿಕೆ ([0,5/16], [5/16,11 16], [11/16,1]) ಇದೆ. ಲೆಕ್ಸಿಮಿನ್-ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಗಣನೆಯ ಡಲ್ಲಾಗ್ಲಿಯೋ ಒಂದು ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇಕ್ವಿಟಬಲ್ ಕೇಕ್-ಕಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ಸಮಾನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಹಂಚಿಕೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯ ಹಂಚಿಕೆಯು ಸಮಾನವಾದ ಹಂಚಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯೊಂದಿಗೆ ಏಜೆಂಟ್ನಿಂದ ಸ್ವಲ್ಪ ಕೇಕ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಣ್ಣ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಸಮಾನತಾವಾದಿ ಸಮಾನತೆ-ಏಕರೂಪದ ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಹಂಚಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಮಾನತಾವಾದ ಕೇಕ್ ಕತ್ತರಿಸುವುದು