Dual polygon
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಡ್ಯುಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಶೃಂಗಗಳು ಇನ್ನೊಂದರ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಐಸೋಗೋನಲ್ (ಶೃಂಗ-ಸಂಕ್ರಮಣಶೀಲ) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ದ್ವಿಗುಣವು ಒಂದು ಐಸೊಟಾಕ್ಸಲ್ (ಅಂಚು-ಸಂಕ್ರಮಣಶೀಲ) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, (ಐಸೊಗೋನಲ್) ಆಯತ ಮತ್ತು (ಐಸೊಟಾಕ್ಸಲ್) ರಾಂಬಸ್ಗಳು ಡ್ಯುಯಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಆವರ್ತಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ, ಉದ್ದವಾದ ಬದಿಗಳು ದ್ವಿಗುಣದಲ್ಲಿರುವ ದೊಡ್ಡ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳಿಗೆ (ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ) ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕದಾದ ಬದಿಗಳು ಸಣ್ಣ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೂಲ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಏಕರೂಪದ ಬದಿಗಳು ದ್ವಂದ್ವದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಕೋನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅತ್ಯಂತ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ದ್ವಿಗುಣವು ಸ್ಥೂಲವಾದ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಡೋರ್ಮನ್ ಲ್ಯೂಕ್ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ, ಉಭಯ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖವು ಅನುಗುಣವಾದ ಶೃಂಗದ ಆಕೃತಿಯ ಉಭಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪಾರ್ಶ್ವ-ಕೋನದ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ನಾವು ಆವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಐಸೊಸೆಲ್ಸ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಅನ್ನು ಗಾಳಿಪಟಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದಾಗ ಈ ದ್ವಂದ್ವತೆಯು ಬಹುಶಃ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಸರಿಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ವಿಧಗಳು ಉಭಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸರಳವಾದ ಗುಣಾತ್ಮಕ ರಚನೆಯು ಒಂದು ಸರಿಪಡಿಸುವಿಕೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಮೂಲ ಅಂಚಿನ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಹೊಸ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ ಹೊಸ ಅಂಚುಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂಲ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಹೋಲುವುದಿಲ್ಲ. ಧ್ರುವೀಯ ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯ ಉಭಯ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದಂತೆ, ಒಬ್ಬರು ವೃತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು (ಅದು ಕೆತ್ತಿದ ವೃತ್ತವಾಗಿರಬಹುದು, ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತವಾಗಿರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯ ವೃತ್ತವಾಗಿರಬಹುದು) ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಧ್ರುವೀಯ ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ದ್ವಂದ್ವತೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ದ್ವಂದ್ವತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ದ್ವಂದ್ವವು ಒಂದು ರೇಖೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ರೇಖೆಯ ದ್ವಂದ್ವವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ-ಹೀಗಾಗಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ದ್ವಂದ್ವವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಮೂಲ ಅಂಚುಗಳು ದ್ವಂದ್ವದ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉಭಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗೆ ದ್ವಿಗುಣ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ದ್ವಿಗುಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದೇ ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಬದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ-ಹೀಗಾಗಿ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಉಭಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಆ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ "ಸ್ಪರ್ಶಕ ರೇಖೆಗಳು" ಎರಡು ಅಂಚುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ-ಈ ರೇಖೆಗಳ ಉಭಯ ಬಿಂದುಗಳು ನಂತರ ಉಭಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅಂಚುಗಳಾಗಿವೆ. ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ, ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪು, ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಆಪತನ ಸಂಬಂಧ (ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳು ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಅಂಚುಗಳು ಒಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉಭಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಶೃಂಗಗಳು {A, B, C} ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು (AB, BC, CA) ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಉಭಯ ತ್ರಿಕೋನವು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು (AB, BC, CA) ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು (B, C, A) ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ B, AB ಮತ್ತು BC ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಫಲಪ್ರದ ಮಾರ್ಗವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಒಂದೇ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಿದೆ (ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ); ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದ್ವೈತತೆಯು ಹೆಚ್ಚು ವೈವಿಧ್ಯಮಯವಾಗಿದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಂಯೋಜಿತ ದ್ವಿಮುಖ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೂ ಸಹ. ಡ್ಯುಯಲ್ ಕರ್ವ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಸ್ವಯಂ-ಡ್ಯುಯಲ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಡಾನ್ ಹ್ಯಾಚ್ ಪಾಲಿಗನ್ಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ ಪಾಲಿಗನ್ ಆಪ್ಲೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.