Mutually unbiased bases
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಿ. ಡಿ. ಯಲ್ಲಿನ ಬೇಸ್ಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತರಹಿತವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಬೇಸ್ಗಳ ಐಗನ್ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದರೆ, ಇತರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾಪನದ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು 1/ಡಿ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1960 ರಲ್ಲಿ ಶ್ವಿಂಗರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ವ್ಯಕ್ತಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿ ನಿರ್ಣಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇವಾನೋವಿಕ್. ಎಂ. ಯು. ಬಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಈಗ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವಿಜ್ಞಾನಗಳ ಹಲವಾರು ಇತರ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ನಿಕಟವಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾದ ಅವತಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂಗಳು, ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ/ಅಫೈನ್ ಸಮತಲಗಳು, ಸಂಕೀರ್ಣ ಹದಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ. [ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನೋಡಿ] ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕೀಲಿಗಳ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸುರಕ್ಷಿತ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕೀಲಿಗಳ ವಿನಿಮಯದಲ್ಲಿ ಎಂ. ಯು. ಬಿಗಳು ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ. ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಅನೇಕ ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ರಾಜ್ಯವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದಾಗ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ದೂರದ ಪಕ್ಷಗಳು ಎರಡು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಲ್ಲದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಂಡಾಗ, ಅಳತೆಗಳ ಮೂಲಕ ಇವುಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಕದ್ದಾಲಿಕೆ ಮಾಡುವವರು ಮಾಡುವ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು. ಅನೇಕ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕ್ರಿಪ್ಟೋಗ್ರಫಿ ಪ್ರೋಟೋಕಾಲ್ಗಳು 1-ಕ್ಯೂಬಿಟ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದ್ದರೂ, ಕುತ್ರಿಟ್ಗಳಂತಹ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಕದ್ದಾಲಿಕೆ ವಿರುದ್ಧ ಉತ್ತಮ ಭದ್ರತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಇತರ ಉಪಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸ್ಥಿತಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ದೋಷ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸಂಕೇತಗಳು, ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಸಿಕ್ಕಿಹಾಕಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವುದು ಮತ್ತು "ಸರಾಸರಿ ರಾಜನ ಸಮಸ್ಯೆ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವುದು ಸೇರಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು ಜೋಡಿ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಬೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಿ. ಡಿ. ಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಬೇಸಿಸ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮಾಣದ ವರ್ಗವು ಆಯಾಮದ ವಿಲೋಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಬೇಸ್ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲಃ ಬೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಬೇಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಳತೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡಿ = 2 ಗೆ ಉದಾಹರಣೆ ಮೂರು ಬೇಸ್ಗಳು ಸಿ 2 ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಬೇಸ್ಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪೌಲಿ ಸ್ಪಿನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕೂಡಿವೆ. ಡಿ = 4 ಗೆ ಉದಾಹರಣೆ, ಡಿ = 4 ಗೆ, ಡಿ + 1 = 5 ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬೇಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಎಂಜೆ, 0 ≤ ಜೆ ≤ 4 ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸಮಸ್ಯೆ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಿಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಡಿ ಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯ-ಶಕ್ತಿಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಡಿ ಯ ಆಯಾಮವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಡಿ + 1 ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ d ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯು ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೀಗೆ, d ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಯಾದಾಗ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ d ಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎಂ. ಯು. ಬಿ. ಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ SIC _ POVM ಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ವೂಟರ್ಸ್ ಗಮನಸೆಳೆದಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ (ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರೈಮ್ ಪವರ್) ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಫೈನ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ವಿನಿಮಯದ ಪಾತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ನೆಲೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿವೆ. ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ, ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದುಃ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಂಪನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಎಸ್. ಐ. ಸಿ-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ನಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ನ 9 ವಾಹಕಗಳು, ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ 12 ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಕೋಚೆನ್-ಸ್ಪೆಕರ್ ಪ್ರೂಫ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 6-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, SIC-POVM ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೂ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನಗಳು ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪು ವಿಧಾನವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸಿಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಹಂತದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಎರಡು ಏಕೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾಗಿರಲಿ. ಏಕತೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮತ್ತುಗಳ ಐಗನ್ಬೇಸ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತರಹಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಐಗನ್ಬೇಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಫೋರಿಯರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದಕ್ಕೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಮತ್ತೊಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಫೋರಿಯರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಇತರ ಬೇಸ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಆಧಾರವನ್ನು ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರಚಿಸಬಹುದು. ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವಾಗ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಆಯಾಮವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಡಿ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಿ + 1 ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ವೇಯ್ಲ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಡಿ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದಾದ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಆಗಿರಬಹುದು. ಡಿ = ಪಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾದಾಗ, ನಾವು ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕತೆಯ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ d + 1 ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಐಗನ್ಬೇಸ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದವುಃ ಬೆಸ d ಗೆ, ಆಪರೇಟರ್ನ t-th ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿ. ಡಿ. ಯ ಗಣನೆಯ ಆಧಾರದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡುತ್ತೇವೆಃ ನಾವು ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಡಿಟಿವ್ ಅಕ್ಷರ ಮತ್ತು ಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು. ನಂತರ ನಾವು ಡಿ + 1 ಸಂಚಾರದ ಏಕೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಜಂಟಿ ಐಗನ್ಬೇಸ್ಗಳು ಇತರ ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದವು. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು d + 1 ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಧಾರವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಈ k + 1 ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. 4-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಡಿ = 6 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಎಂಯುಬಿಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಯಲ್ಲದ ಚಿಕ್ಕ ಆಯಾಮವು ಡಿ = 6 ಆಗಿದೆ. ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಡಿ ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದಾಗ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. d = 6 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ನಾಲ್ಕು ಬೇಸ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗಾಗಿ ಹುಡುಕಾಡಿದಾಗ, ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳೆರಡನ್ನೂ ಬಳಸುವುದು ವಿಫಲವಾಗಿದೆ. ಡಿ = 6ಕ್ಕೆ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಂಬಿಕೆ ಇದೆ. ಎಂಟ್ರೋಪಿಕ್ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಎಂ. ಯು. ಬಿ. ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ನೆಲೆಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿವೆ, ಅದು ಅವುಗಳನ್ನು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂಟ್ರೋಪಿಕ್ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ತತ್ವಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಮಾಸ್ಸೆನ್ ಮತ್ತು ಉಫಿಂಕ್ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತುಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಬೇಸ್ಗಳ ಆಯಾ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ಮತ್ತು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅಳೆಯುವಾಗ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಎಂಟ್ರೋಪಿಕ್ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ತತ್ವಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಬೇಕಾದ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪದವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಿ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಕೀ ವಿತರಣೆಯಂತಹ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅಳತೆಯ ನೆಲೆಗಳನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜ್ಞಾನವು ಇತರ ನೆಲೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಿತಿಯ ಕನಿಷ್ಠ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಳತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಬಲವಾದ ಎಂಟ್ರೋಪಿಕ್ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎರಡು ಬೇಸ್ಗಳಿಗೆ, ಮಾಪನ ಬೇಸ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದಿರುವಾಗ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದ ಮಾಪನದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ, ನಾವುಃ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು. ಈ ಬಂಧವು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿದೆಃ ನಾವು ಒಂದು ಬೇಸ್ನಿಂದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅಳೆಯಿದರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಆ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎಂಟ್ರೊಪಿ 0 ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ಎಂಟ್ರೊಪಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಜಾಗದ ಆಯಾಮವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಡಿ + 1 ಎಂ. ಯು. ಬಿ. ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ನಂತರ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾಸ್ಸೆನ್ ಮತ್ತು ಉಫಿಂಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಂಬಂಧಕ್ಕಿಂತ ಬಲವಾದದ್ದು ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಡಿ + 1 ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳು ಪ್ರಬಲವಾಗಿವೆ. ಎರಡು ಬೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಡಿ + 1 ಬೇಸ್ಗಳ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮತ್ತು ಬೇಸ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಇದು ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಕೇವಲ ಎರಡು ನೆಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಕೇವಲ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದಿರುವುದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೂ ಬಹಳ ಅನಿಶ್ಚಿತವಾದ ಇತರ ಅಳತೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಅನಂತ ಆಯಾಮ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳು ಅನಂತ ಆಯಾಮ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತನಿಖೆ ನಡೆದಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ನಿರಂತರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಬೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ಐಗೆನ್ಸ್ಟೇಟ್ಗಳಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು, k ನ ಮೌಲ್ಯವು ನಿರಂತರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಚರ್ಚೆಗೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ತೀರ್ಮಾನಗಳನ್ನು ತಲುಪುವ ಮೊದಲು ಅವುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಶೋಧನೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸ್ಥಾನ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಆವೇಗದ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ನಿರ್ವಾಹಕರ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಐಗನ್ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ವೈಗರ್ಟ್ ಮತ್ತು ವಿಲ್ಕಿನ್ಸನ್ ಮೊದಲು ಗಮನಿಸಿದರು, ಇದು ಪರಸ್ಪರ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಬೇಸ್ಗಳಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕೆಲವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಯಾವುದೇ ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಮತ್ತು ಪೊಸಿಷನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಯಾವುದೇ ಐಗನ್ ಸ್ಟೇಟ್ (ಡಿರಾಕ್ ಡೆಲ್ಟಾಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಎರಡೂ ಸ್ಥಿತಿಗಳು) ನಡುವಿನ ಅತಿಕ್ರಮವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಮಾಪನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಎಸ್. ಐ. ಸಿ.-ಪಿ. ಓ. ವಿ. ಎಂ. ಕ್ಯೂಬಿಜಂ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮಾಪನ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಇನ್ಸಿಡೆನ್ಸ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪ್ಲೇನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಸ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್-ಸಹಾಯಕ ಪುರಾವೆಗಳು