Special linear Lie algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, n ಕ್ರಮದ (ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಥವಾ) ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಟ್ರೇಸ್ ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಇತರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಲೈ ಗುಂಪು ವಿಶೇಷ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ಸೂಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಯ ಅಧ್ಯಯನದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದೆಃ ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸ್ಪಿನರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ವಿಶೇಷ ಸಾಪೇಕ್ಷತೆಯ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಗುಂಪು ಎಸ್ಒ (3,1) ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಅವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತವು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೋಬಿಯಸ್ ಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯ ಸರಳವಾದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ; ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ 3-ಆಯಾಮದ ಚೆಂಡಿನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಇದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವೆಂದರೆ ಇದು ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು. ಇದು ಕಾರ್ಟನ್-ವೇಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಇದು ಶೂನ್ಯ ಜಾಡಿನೊಂದಿಗೆ ಎರಡು-ಬೈ-ಎರಡು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ,,. ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಅಥವಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅದರ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದರಲ್ಲಿ, ಪ್ರಚೋದನೆಯಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ, ಅಧಿಕಾರಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳೆಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲ. ಮೊದಲ ಮೂಲಭೂತ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ (ಮೇಲಿನ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ): ಈ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ-ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಇತರರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಒಂದು-ತೂಕದ ವಾಹಕ ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಅದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ; ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು, ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ-ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆರಂಭಿಕ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ. ಉಪ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದು ರೂಪದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು; ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಊಹಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, v ನ-ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ,-ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅದು ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಸುಂದರವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು "ಎಚ್" (ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತ), "ಇ", ಮತ್ತು "ಎಫ್" ಎಂಬ ಮೂರು ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವು ಸರಿಸುಮಾರು ಅವುಗಳ ಹೆಸರಿನಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂದರೆ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು "h" ನ "ಅತ್ಯುನ್ನತ" ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ "e" ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಧಾರವು "ಎಚ್" ನ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ "ಎಫ್" ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯುನ್ನತ ತೂಕದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಎಸ್. ಎಲ್. ಎನ್. ಸಿ. ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು, ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಜಾಗಕ್ಕೆ, ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಟೆನ್ಸರ್ ಶಕ್ತಿಯ ಉಪ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಟ್ರಾಸ್ಲೆಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದು ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರವೇಶದಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಹೊಂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಒಂದು ಆಧಾರವನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಇದು ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸಂಕೇತದ ದುರುಪಯೋಗವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಆಧಾರದ ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕಾರ್ಟನ್-ವೇಯ್ಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದು, ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ವ್ಯಾಪಿಸಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಮತ್ತು, ಒಂದು ವೇಳೆ, ಅವು ಧನಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೂಲಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಬೇರುಗಳ ಆಧಾರವನ್ನು ಫಾರ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಟಿಂಗೋಫ್, ಪಾವೆಲ್. "ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕುರಿತು ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು". ಎ. ಎಲ್. ಒನಿಷಿಕ್, ಇ. ಬಿ. ವಿನ್ಬರ್ಗ್, ವಿ. ವಿ. ಗೋರ್ಬಟ್ಸೆವಿಚ್, ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಆಫ್ ಲೈ ಗ್ರೂಪ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್. ಲೈ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು, III. ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೇಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್, 41. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ಬರ್ಲಿನ್, 1994. IV + 248 pp. (ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅನುವಾದ. ಮೂಲಭೂತ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು. ಸಂಪುಟ. 41, ಅಕಾಡ್. ನೌಕ್ ಎಸ್. ಎಸ್. ಎಸ್. ಆರ್, ವ್ಸೆಸೊಯುಜ್. ಇನ್ಸ್ಟಾಗ್ರಾಂ. ನೌಚ್ನ್. ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ. ಇನ್ಫಾರ್ಮ್., ಮಾಸ್ಕೋ, 1990. ವಿ. ಮಿನಾಚಿನ್ ಅವರ ಅನುವಾದ. ಎ. ಎಲ್. ಒನಿಷಿಕ್ ಮತ್ತು ಇ. ಬಿ. ವಿನ್ಬರ್ಗ್ ಸಂಪಾದಿಸಿದ ಅನುವಾದ) ವಿ. ಎಲ್. ಪೊಪೊವ್, ಇ. ಬಿ. ವಿನ್ಬರ್ಗ್, ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಥಿಯರಿ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ. IV. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪುಗಳು. ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೇಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್, 55. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ಬರ್ಲಿನ್, 1994. vi + 284 pp. (ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅನುವಾದ. 4, ಅಕಾಡ್. ನೌಕ್ ಎಸ್. ಎಸ್. ಎಸ್. ಆರ್ ವ್ಸೆಸೊಯುಜ್. ಇನ್ಸ್ಟಾಗ್ರಾಂ. ನೌಚ್ನ್. ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ. ಇನ್ಫಾರ್ಮ್., ಮಾಸ್ಕೋ, 1989. ಅನುವಾದವನ್ನು ಎ. ಎನ್. ಪಾರ್ಶಿನ್ ಮತ್ತು ಐ. ಆರ್. ಷಫರೆವಿಚ್ ಅವರು ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ). ಅಫೈನ್ ವೇಯ್ಲ್ ಗ್ರೂಪ್ ಫೈನೈಟ್ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಗ್ರೂಪ್ ಹ್ಯಾಸ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಲೀನಿಯರ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಆರ್ಬಿಟ್ ರೂಟ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಸ್ಎಲ್2-ಟ್ರಿಪಲ್ ವೇಯ್ಲ್ ಗ್ರೂಪ್ ಲೈ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.