Toral subalgebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಟೋರಲ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಲೈ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಅರೆ ಸರಳವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಸಮಾನವಾಗಿ, ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಟೋರಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಟೋರಲ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ, ಅದರ ಅಂಶಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸೆಮಿ ಸಿಂಪಲ್ ಮತ್ತು ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸೆಮಿ ಸಿಂಪಲ್ ಲೈ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಟೋರಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಟೋರಲ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಲೈ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ 0 ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಟೋರಲ್ ಲೈ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಸ್ವಯಂ-ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾದ ಕಿಲ್ಲಿಂಗ್ ರೂಪವು ನಾನ್ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಿಗೆ, ಕಾರ್ಟನ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಗರಿಷ್ಠ ಟೋರಲ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಒಂದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಅರೆ-ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಶೂನ್ಯದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ, ಟೋರಲ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೇವಲ ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ನಿಲ್ಪೊಟೆಂಟ್ (ಎಂಗೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ) ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಕೊಲ್ಲುವ ರೂಪವು ಸಮಾನವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅರೆ-ಸರಳತೆಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅರೆ ಸರಳ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು, x ಎಂದು ಹೇಳಿ; x ನ ರೇಖೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಟೋರಲ್ ಉಪ-ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಲೈ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಲ್ ಟೋರಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು