Finite promise games and greedy clique sequences
ಸೀಮಿತ ಭರವಸೆಯ ಆಟಗಳು 2009 ರಲ್ಲಿ ಅಮೇರಿಕನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹಾರ್ವೆ ಫ್ರೀಡ್ಮನ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಗಣಿತದ ಆಟಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದ್ದು, ಇವುಗಳನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದುರಾಸೆಯ ಗುಂಪಿನ ಅನುಕ್ರಮವು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು 2010 ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೀಡ್ಮನ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು. ಝೆಡ್ಎಫ್ಸಿ ಪ್ಲಸ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, "ಬಲವಾಗಿ-ಮಹ್ಲೋ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಇದೆ", ಮತ್ತು ಝೆಡ್ಎಫ್ಸಿ ಪ್ಲಸ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ "ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಬಲವಾಗಿ-ಮಹ್ಲೋ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಇದೆ". ಝೆಡ್ಎಫ್ಸಿ ಪ್ಲಸ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, "ಒಂದು-ಸ್ಥಾಯಿ ರಾಮ್ಸೇ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಇದೆ", ಮತ್ತು ಝೆಡ್ಎಫ್ಸಿ ಪ್ಲಸ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ "ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಬಲವಾದ-ಸ್ಥಾಯಿ ರಾಮ್ಸೇ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಇದೆ". ಝೆಡ್ಎಫ್ಸಿ ಪ್ಲಸ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, "ಒಂದು-ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಇದೆ", ಮತ್ತು ಝೆಡ್ಎಫ್ಸಿ ಪ್ಲಸ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ "ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಬಲವಾದ-ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಇದೆ". ಸೀಮಿತ ಭರವಸೆಯ ಆಟಗಳು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಟವೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇಬ್ಬರು ಆಟಗಾರರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಬ್). ಪ್ರತಿ ತಿರುವಿನಲ್ಲೂ, ಆಲಿಸ್ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು (ಒಂದು ಕೊಡುಗೆ) ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾಳೆ ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ತನ್ನ ಭವಿಷ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯ ಚಲನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಭರವಸೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೀಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಬ್ ತನ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಭರವಸೆಗಳನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಲ್ಲಾ ಪಂದ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಬ್ ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಕ್ಷರಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುಣುಕುಗಳ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿವಿಧ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದರೆ ನಕ್ಷೆಯು ಪೀಸ್ವೈಸ್ ಲೀನಿಯರ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಪೀಸ್ವೈಸ್ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ, ಒಂದು-ವಿಲೋಮವು ಅಂತಹ ಕೆಲವು. ನಂತರ ನಾವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಆಟವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸುತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ನಡುವೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ಆಟದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಆಲಿಸ್ ತನ್ನ ಕೊಡುಗೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಆಟವನ್ನು ಆಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಹಿಂದೆ ಬಾಬ್ ಆಡಿದ ರೂಪ ಅಥವಾ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಬಾಬ್ ಎರಡೂ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಆ ಮೂಲಕ ಆಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ಇದುವರೆಗೆ ಆಡಿದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ-ವಿಲೋಮ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭರವಸೆ ನೀಡಬೇಕು. ಈ ಭರವಸೆಯು ಆಟದ ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂದಿನ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಭವಿಷ್ಯದ ಆಟಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ, ಆ ಮೂಲಕ ಬಾಬ್ ಎಂದಿಗೂ ಆಡದ-ಇನ್ವರ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಭರವಸೆಯನ್ನು ಪ್ಲೇ ಮಾಡಿ. ಆರ್ಸಿಎ0ನಲ್ಲಿ, ಬಾಬ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ಆಟಕ್ಕೆ ಗೆಲ್ಲುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಆಟವು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಬಾಬ್ ಆಲಿಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಬ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಾಗಿ ಗೆಲ್ಲುವ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ತುಣುಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದು, ಬಾಬ್ ಅಂತಹ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಗೆಲ್ಲಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಡಿಮೆಃ (ಡೊಮೇನ್) ಫೈನೈಟ್ ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಕಾಪಿ/ಇನ್ವರ್ಟ್ ಆಟಗಳಲ್ಲಿನ ಅಫೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ತುಣುಕುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಒಂದು ವಿಶೇಷ-ವಿಲೋಮವು ಅಂತಹದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಆಟವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಿವೆ. ಇದು ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ಅವರ ಪರ್ಯಾಯ ನಾಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆಟದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಆಲಿಸ್ ಈ ಹಿಂದೆ ಬಾಬ್ ಆಡಿದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಆಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬಾಬ್ ನಂತರ ಎರಡೂ ಸ್ವೀಕರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಆ ಮೂಲಕ ಆಡುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ಇದುವರೆಗೆ ಆಡಿದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವಿಶೇಷ-ಅಥವಾ-ವಿಲೋಮ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭರವಸೆ ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಈ ಭರವಸೆಯು ಆಟದ ಎಲ್ಲಾ ಹಿಂದಿನ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಮತ್ತು ಭವಿಷ್ಯದ ಆಟಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ, ಆ ಮೂಲಕ ಬಾಬ್ ಎಂದಿಗೂ ಆಡದ ವಿಶೇಷ-ಅಥವಾ-ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ಭರವಸೆಯನ್ನು ಆಡುತ್ತಾರೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿರಲಿ. ಆರ್ಸಿಎ0ನಲ್ಲಿ, ಬಾಬ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ಆಟಕ್ಕೆ ಗೆಲ್ಲುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಬಾಬ್ ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ, ಅಲ್ಲಿಯೇ ಬಾಬ್ ಆಲಿಸ್ ನೀಡುವ ಎಲ್ಲಾ ಡಬಲ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲು ಒತ್ತಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ತುಣುಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದು, ಬಾಬ್ ಅಂತಹ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಗೆಲ್ಲಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಡಿಮೆಃ (ಬಹುಪದಗಳ ಡೊಮೇನ್) ಗುಣಾಂಕಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ರೇಖೀಯ ನಕಲು/ವಿಲೋಮ ಆಟಗಳು. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು, ಆಲಿಸ್ ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ನಡುವೆ ಪರ್ಯಾಯ ಸುತ್ತುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಟವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಟದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಆಲಿಸ್ ಈ ಹಿಂದೆ ಬಾಬ್ ಆಡಿದ ರೂಪದ ಅಥವಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಆಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಬಾಬ್ ಈ ಎರಡನ್ನೂ ಸ್ವೀಕರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಸ್ವೀಕರಿಸಿ, ಆ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ಆಟವಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಭರವಸೆ ನೀಡುವುದು, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವರಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಬ್ ಆಡುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ತಿರಸ್ಕರಿಸಿ, ಆ ಮೂಲಕ ಆಡುವುದು, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇದು ಕೆಲವರಿಗೆ ಪೂರಕವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬಾಬ್ ಎಂದಿಗೂ ಆಡದ ಭರವಸೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಆರ್ಸಿಎ0ನಲ್ಲಿ, ಬಾಬ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದೇ ಆಟಕ್ಕೆ ಗೆಲ್ಲುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಬಾಬ್ ಗೆಲ್ಲುತ್ತಾನೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಾಬ್ ಆಲಿಸ್ ನೀಡಿದ ಎಲ್ಲಾ ಫ್ಯಾಕ್ಟರಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಇದನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ತುಣುಕಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದು, ಬಾಬ್ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದವುಗಳಿಗೆ ಗೆಲ್ಲಬಹುದು, ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕಡಿಮೆಃ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ವಾಹಕದ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಫ್ರೀಡ್ಮ್ಯಾನ್ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಮೂರು ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮತ್ತು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿವೆ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರವಾದ ತುಣುಕಿನಲ್ಲಿ (ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ZFC ಆಗಿದೆ) ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವು ಗಣನೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ದುರಾಸೆಯ ಗುಂಪಿನ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಟುಪಲ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಟುಪಲ್ಗಳಾಗಿ (1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ) ಮತ್ತು ಟುಪಲ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಕೋನ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲು ನಾವು ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. .. ಕೊಟ್ಟಿರುವಂತೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳಿಗೆ 1 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೇಲಿನ ಶಿಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೊಟ್ಟರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಅವು ಒಂದೇ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಐಎಫ್ಎಫ್ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವುಗಳನ್ನು ಆರ್ಡರ್ ಸಮಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಎಲ್ಲಾ ಆರ್ಡರ್ ಸಮಾನ ಮತ್ತು, ಗೆ ಆರ್ಡರ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಐಎಫ್ಎಫ್ ಆಗಿದೆ. ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಚಿನಲ್ಲೂ, ಅವುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಇರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಆರ್ಡರ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಆರ್ಡರ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಯಾವಾಗ ಕ್ರಮವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅನಂತ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು (ಅಥವಾ ಮೇಲಿನ ಶಿಫ್ಟ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಡಿಗ್ರ್ಯಾಫ್, ದುರಾಸೆಯಿಂದ ಕೆಳಗಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಅನುಕ್ರಮಗಳು) ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಟುಪಲ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಟುಪಲ್ ಅಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ಟುಪಲ್ಗಳ ಟುಪಲ್ ಆಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ, ಇದು ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮೇಲಿನ ಶಿಫ್ಟ್ ದುರಾಸೆಯ ಗುಂಪಿನ ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ಅಥವಾ ನಾವು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ಬಿಡಿ. ನಂತರ, ಇದು ಒಂದು ಅಂಚು ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು. ಇದು ಒಂದು ಗುಂಪು, ಅಂದರೆ. ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಅಂಚಿನಂತೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ದುರಾಸೆಯ ಗುಂಪಿನ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಶಿಫ್ಟ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ಅಥವಾ ನಾವು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ಬಿಡಿ. ನಂತರ, ಅಥವಾ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಚು ಅಲ್ಲ; ಮತ್ತು. ಇದು ಡೌನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು, ಇದು ಒಂದು ತುದಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ದುರಾಸೆಯ ಗುಂಪಿನ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾದ ಮೇಲಿನ ಶಿಫ್ಟ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಕೇವಲ ಶೂನ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ, ಅಥವಾ ನಾವು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಮತ್ತು ಬಿಡಿ. ನಂತರ, ಅಥವಾ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಚು ಅಲ್ಲ; ಮತ್ತು. ಹಾಗಿದ್ದರೆ. ಹಾಗಿದ್ದರೆ. ಇಫ್ ಅಂಡ್, ನಂತರ ದಿ ಥ್ರೆಡ್ ಆಫ್ ನಲ್ಲಿ ಡೌನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಅನ್ನು ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿ ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಒಂದು ಥ್ರೆಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದು ಓಪನ್ ಇಫ್ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಾರ್ವೆ ಫ್ರೀಡ್ಮನ್ ಮೂರು ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆಃ ಪ್ರತಿ ಸರಳ, ಕ್ರಮದ ಅಸ್ಥಿರ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ತೆರೆದ ದಾರದೊಂದಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದದ ಮೇಲಿನ ಶಿಫ್ಟ್ ದುರಾಸೆಯ ಗುಂಪಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಕ್ರಮದ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಡಿಗ್ರ್ಯಾಫ್ ತೆರೆದ ದಾರದೊಂದಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದದ ಮೇಲಿನ ಶಿಫ್ಟ್ ದುರಾಸೆಯ ಕೆಳಗಿನ ಗುಂಪಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಆರ್ಡರ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಡಿಗ್ರ್ಯಾಫ್ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದು, ತೆರೆದ ದಾರದೊಂದಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದದ ಮೇಲಿನ ಶಿಫ್ಟ್ ಅತ್ಯಾಕರ್ಷಕ ಡೌನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವು ಸ್ವತಃ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಸಾಧಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದು ಸ್ವತಃ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತದ ಆಟಗಳು ಗಣಿತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು