Classical probability density
ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಳದ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಕಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ತತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಒಳನೋಟವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿರುವ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಿತಿಯ ನಡುವೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಿವೆ. ಗಣಿತದ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಸರಳವಾದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವೈಶಾಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹಗುರವಾದ ಧಾರಕದೊಳಗೆ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು ಒಳಗೆ ಏನು ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದರ ಸ್ನ್ಯಾಪ್ಶಾಟ್ ಅನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ಯಾಮೆರಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಸ್ನ್ಯಾಪ್ಶಾಟ್ ಅದರ ಪಥದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಆಂದೋಲಕವನ್ನು ನೋಡುವ ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಯಾವ ಸ್ಥಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಧ್ಯತೆ, ಕಡಿಮೆ ಸಾಧ್ಯತೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಮುಂತಾದವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಆಂದೋಲಕವು ಕಂಡುಬರುವ ಸ್ಥಾನಗಳು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಯವನ್ನು ಕಳೆಯುವ ಸ್ಥಾನಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಆ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಕಳೆದ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆಂದೋಲಕವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ-ಮೌಲ್ಯದ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಮಯವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಆ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಇರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆಂದೋಲಕದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲವು ಸಂಪ್ರದಾಯಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯು ಸೀಮಿತ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಚಲನೆಯು ಕೆಲವು ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ-ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯ-ಮೌಲ್ಯದ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಭವನೀಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡೋಲಾಯಿಸುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಈ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅದರ ಅರ್ಧಾವಧಿಯಲ್ಲಿ ಆವರಿಸಿರುವುದರಿಂದ (ಪೂರ್ಣ ಅವಧಿಯು ಅಲ್ಲಿಂದ ಹಿಂತಿರುಗಿ ಹೋಗುತ್ತದೆ) ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಓವರ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ಉಳಿಯುವ ಎತ್ತರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇಡಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ನಮ್ಮ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅದರ ಸ್ಥಾನದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಆಂದೋಲಕದ ವೇಗವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದು ಆಗುತ್ತದೆ. (ವೇಗವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡೂ ಅರ್ಧ ಅವಧಿಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.) ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಪಡೆಯಲು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ, ವೇಗವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಲನ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯಿಂದಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಎಲ್ಲಿದೆ, ವೇಗವನ್ನು ಇಳುವರಿಗಾಗಿ ನಮ್ಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವುದು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಭೌತಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಶಕ್ತಿಗಾಗಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಮೇಲಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಉದಾಹರಣೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ಸ್ಪ್ರಿಂಗ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಆಸಿಲೇಟರ್ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕೋನೀಯ ಆವರ್ತನವಾಗಿದೆ. ತಿರುವು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಆಂದೋಲಕದ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಇಳುವರಿಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವುದು ಈ ಕಾರ್ಯವು ತಿರುವು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಲಂಬ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ತಿರುವು ಬಿಂದುಗಳು ಆಂದೋಲಕವು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುವ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಅನಂತದ ಕಡೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇನ್ನೂ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕೆಳಗಿರುವ ಪ್ರದೇಶದಿಂದಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯಲ್ಲ. ಪುಟಿಯುವ ಚೆಂಡು ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದ ಪುಟಿಯುವ ಚೆಂಡಿಗೆ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯು ಚೆಂಡು ತಲುಪುವ ಗರಿಷ್ಠ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ಹೊರಗಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಬಳಸಿದ ಇಳುವರಿಯಲ್ಲಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವುದು. ಈ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ (ಚೆಂಡು ನೆಲದ ಮೂಲಕ ಬೀಳುವುದಿಲ್ಲ), ಆದ್ದರಿಂದ ವಿತರಣೆಯು ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ನಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೆ, ತಿರುವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಲಂಬವಾದ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟ್ ಇದೆ. ಮೊಮೆಂಟಮ್-ಸ್ಪೇಸ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಸ್ಥಾನದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅದರ ಆವೇಗದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಹ ಇದು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಾದವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಕಣದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾನದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಬಲವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದು ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೂಲಕ ಆವೇಗದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇಡಬೇಕು. ಸರಳ ಸ್ವರಮೇಳದ ಆಂದೋಲಕ ಮೇಲಿನ ಸರಳ ಸ್ವರಮೇಳದ ಆಂದೋಲಕದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಸಂಭಾವ್ಯ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಬಲವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಆವೇಗವೆಂದು ಗುರುತಿಸುವುದು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಥಾನ-ಸ್ಥಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸರಳ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಬೌನ್ಸಿಂಗ್ ಬಾಲ್ ಬೌನ್ಸಿಂಗ್ ಚೆಂಡಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬಲವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಚೆಂಡಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಆವೇಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಷಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯವಾಗಿವೆ. ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆ ಕಾರ್ಯ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ತತ್ವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಿತಿ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.