Filter (set theory)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಶೋಧಕವು ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆಃ ಮತ್ತು ಇಫ್ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಇಫ್, ಮತ್ತು, ನಂತರ ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಶೋಧಕವು "ದೊಡ್ಡ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹ" ವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಶೋಧಕ. ಶೋಧಕಗಳು ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಹುಟ್ಟುವ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಫಿಲ್ಟರ್ನ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಯು ಒಂದು ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ. 1937ರಲ್ಲಿ ಹೆನ್ರಿ ಕಾರ್ಟನ್ ಅವರು ಶೋಧಕಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿನ ಶೋಧಕಗಳಿಗೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ತರುವಾಯ ನಿಕೋಲಸ್ ಬರ್ಬಾಕಿ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪುಸ್ತಕ ಟೋಪೋಲಾಜಿ ಜೆನೆರಲ್ನಲ್ಲಿ 1922ರಲ್ಲಿ ಇ. ಎಚ್. ಮೂರ್ ಮತ್ತು ಹರ್ಮನ್ ಎಲ್. ಸ್ಮಿತ್ ಅವರು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಜಾಲದ ಸಂಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಬಳಸಿದರು. ಆರ್ಡರ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಭಾಗಶಃ ಆರ್ಡರ್ ಮಾಡಲಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿನ ಫಿಲ್ಟರ್ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಸರಿಯಾದ ಆರ್ಡರ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ ಸೆಟ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರಿಲಿಮಿನರಿಗಳು, ಸಂಕೇತಗಳು ಮತ್ತು ಮೂಲಭೂತ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರಗಳ ರೋಮನ್ ಅಕ್ಷರಗಳು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ (ಆದರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸದ ಹೊರತು ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಪವರ್ ಸೆಟ್ನ ಎ ಉಪವಿಭಾಗದ ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ,) ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಅಕ್ಷರದ ಕ್ಯಾಲಿಗ್ರಫಿ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಊಹೆಗಳು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, ಅದು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲ ಮತ್ತು ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು. "ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್" ಮತ್ತು "ಫಿಲ್ಟರ್ ಬೇಸ್" ಎಂಬ ಪದಗಳು ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಪದಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಲೇಖಕರು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇವುಗಳು "ಫಿಲ್ಟರ್" ನಂತಹ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಒಂದೇ ಪದದ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಅತಿಕ್ರಮಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಶೋಧಕಗಳ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸ್ವರೂಪದಿಂದಾಗಿ (ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್-ಸೆಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿ), ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಲ್ಲಿನ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಅನೇಕವೇಳೆ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಬೀರುತ್ತವೆ. ಗಣಿತದ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಓದುವಾಗ, ಶೋಧಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಲೇಖಕರು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಓದುಗರು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕೆಂದು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ಲೇಖನವು ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದಂತೆಯೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಶೋಧಕಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಕೇತಗಳು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಸಂಕೇತಗಳು ಸಾಹಿತ್ಯದಾದ್ಯಂತ ಬಹಳವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳ ಗುಂಪಿನ ಸಂಕೇತ) ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಲೇಖನವು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ವಯಂ ವಿವರಿಸುವ ಅಥವಾ ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಶೋಧಕಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಈ ಲೇಖನವು ಪ್ರೋಲಿಕ್ಸ್ ಆಗುವುದನ್ನು ತಡೆಯಲು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡಲು ಈಗ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಅವುಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಂತರ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ಸ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬದ ದಿ ಅಥವಾ ಇನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ದಿ ಆಫ್ ಈಸ್ ಎಬೌಲ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ನೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಬಾಲಗಳು ಎ ಎಂಬುದು ಪೂರ್ವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು (ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸದ ಹೊರತು) ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು () ಆಗುತ್ತದೆ; ಇದರರ್ಥ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಕೆಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಯಾವುದೇ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅರ್ಥ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಅದು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಎ ಎಂಬುದು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಒಂದು ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಈ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಡೊಮೇನ್ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿವ್ವಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಫ್ ಒಂದು ನಿವ್ವಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಇದು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕುಟುಂಬವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದನ್ನು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗುವುದನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ (ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ). ಇದು ಬದಲಿಗೆ ಅಥವಾ ಸಮ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು (ಪ್ರಮುಖ) ಕಾರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬಲೆಯ ಬಾಲಗಳ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ ಶೋಧಕಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ, "ಸರಿಯಾದ" ಮತ್ತು "ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ" ನಂತಹ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಪದಗಳನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದು ಐಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. "ಫಿಲ್ಟರ್ ಆನ್" ನಂತಹ "ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ" ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬೇಕು. ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳಿಲ್ಲ (ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಯುತವಾದ ಬಲೆಗಳಿಲ್ಲ), ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಈ ಲೇಖನವು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೇಖಕರಂತೆ, ಈ ಊಹೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಾಗ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯಿಲ್ಲದೆ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಿಂಗಲಟನ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ದಿ ಅಥವಾ ಇಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪ್ರತಿ ಫಿಲ್ಟರ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇದು ಏಕೈಕ ಡ್ಯುಯಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೇಲೆ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಲ.................................................................................................... ಎ) ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ (ರೆಸ್ಪ್. ಇದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಆಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಫಿಲ್ಟರ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಉಪಕುಟುಂಬವು ಎರಡೂ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಫಿಲ್ಟರ್ ಬೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ರಚಿಸಲಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಒರಟಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳಿಗೆ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಬಾಲಗಳ ಶೋಧಕವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಧಾನ ಶೋಧಕವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅನಂತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಫೈನೈಟ್ ಶೋಧಕವೂ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅನುಕ್ರಮ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಛೇದನವು ಮತ್ತೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಕೋಫೈನೈಟ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸೆಟ್ (ಅಂದರೆ ಅದರ ಪೂರಕವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಆ ಸೆಟ್ಗಳು) ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ) ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದಿ ಅಥವಾ ಆನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಲದ ಡ್ಯುಯಲ್ ಐಡಿಯಲ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಪೂರಕಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬದಂತೆಯೇ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಫಿಲ್ಟರ್ನ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಛೇದಕವು ಸ್ವತಃ ಫಿಲ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಇರುವುದರಿಂದ, ಈ ಛೇದಕವು ಎಂದಿಗೂ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅತ್ಯುತ್ತಮ/ಅತಿದೊಡ್ಡ (ಸಂಬಂಧಿತ) ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನಂತ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಅನಂತ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬದಂತೆ, ಅದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಟರ್ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅಥವಾ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ, ಈ ಕುಟುಂಬವು ಉಪವಿಭಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಫಿಲ್ಟರ್ನಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ (ಸಂಬಂಧಿತ) ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅಥವಾ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಫಿಲ್ಟರ್, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಉಪವಿಭಾಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಚಿಕ್ಕ (ಸಂಬಂಧಿತ) ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ (ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ) ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಶೋಧಕಗಳ ಛೇದಕಕ್ಕೂ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕನಿಷ್ಠ 2 ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಇರುವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದರ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಡ್ಯುಯಲ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಸರ್ವೋನ್ನತೆಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ (ಇದು ಡಿಜೆನೆರೇಟ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ). ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿದ್ದರೆ (ರೆಸ್ಪ್. ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಆನ್ ಮಾಡಿ) ನಂತರ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ (ರೆಸ್ಪ್. ಒಂದು ಫಿಲ್ಟರ್) ಅದು ಕ್ಷೀಣಿಸದಿದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದರೆ, ಜಾಲರಿ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ), ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಒರಟಾದ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು (ರೆಸ್ಪ್) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡಕ್ಕಿಂತಲೂ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ (ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಮೇಲಿನ (ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಒರಟಾದ ಫಿಲ್ಟರ್ ಎಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ (ರೆಸ್ಪ್) ಇದ್ದರೆ. ಯಾವುದೇ ಫಿಲ್ಟರ್) ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಖಾಲಿ ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಡ್ಯುಯಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಿಯಮಿತ ಲೆಕ್ಕಕ್ಕೆ ಸಿಗದ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ನ ಕ್ಲಬ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಒಂದು ಕ್ಲಬ್ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಇದು ಕರ್ಣೀಯ ಛೇದಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ-ಪೂರ್ಣ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಲೆಟ್ ಅಂಡ್ ಲೆಟ್ ಇದು ಸೀಮಿತ ಛೇದಕಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿರದ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕ ಮತ್ತು ಶೋಧಕ ಉಪ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ, ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವು-ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ-ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವು ಸೆಟ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಛೇದಕಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಿಜನರೇಟ್ ಅಲ್ಲದ, ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್, ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್, ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ) ನಂತರ ಅದೇ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥಳವು ಬೈರ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಛೇದಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಂದು-ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಜೊತೆಗೆ) ನಂತರ ಸೀಮಿತವಾದ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲದರ ಗುಂಪನ್ನು ಸರಿಯಾದ-ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳ ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಫಿಲ್ಟರ್ ಉಪ ನೆಲೆಗಳ ಒಂದು ವಿಲಕ್ಷಣ ವರ್ಗವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ರಚಿತವಾದ-ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪದ ಸೆಟ್ಗಳೆಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ರಚಿತವಾದ-ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಸ್ಥಿರಗಳು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,) ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಯಾವಾಗಲೂ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳೋಣ, ಆದ್ದರಿಂದ ಊಹೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಆದರೆ ಪ್ರಿ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ-ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನನ್ಯವಾದ ಚಿಕ್ಕ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಆನ್ ಆಗಿದೆ (ಇದು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೂ ಇದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಆಗಿದೆ) ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಟರ್ನ ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಆ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಸಿಂಗಲಟನ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಕುಟುಂಬವು ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಸೀಮಿತ ಛೇದಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯವು ಆಲ್ಫ್ರೆಡ್ ಟಾರ್ಸ್ಕಿ (1930) ಅವರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಛೇದನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಝೆರ್ಮೆಲೋ-ಫ್ರಾಂಕೆಲ್ (ZF) ನ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಆಯ್ಕೆಯ ಆಧಾರಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಝೋರ್ನ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ) ಆದರೆ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದುರ್ಬಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಲೆಮ್ಮಾವು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗಾಗಿ ಟೈಚೋನೋಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಸಬ್ಬೇಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ) ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ (ಹಾನ್-ಬನಾಚ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ) ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು (ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಕೋರ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎದುರಾದಂತೆ) ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು; ಆಯ್ಕೆಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಶಕ್ತಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ಇತರ ಕುಟುಂಬಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಕರ್ನಲ್ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಆಗ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕರ್ನಲ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್ ಸಹ-ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ (1) (2)-ಸಿಸ್ಟಮ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (3) ಇಫ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ವೈಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಮಾನವಾದ ಕುಟುಂಬಗಳು ಸಮಾನ ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಕುಟುಂಬಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ; ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಕರ್ನಲ್ಗಳಿಂದ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು), ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದ ಸೆಟ್, ಅಥವಾ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗೆ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಡ್ಯುಯಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ವೈಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಈ ಡ್ಯುಯಲ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಅದು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಮುಕ್ತ (ಕ್ಷೀಣಿಸದ) ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳು ಒಂದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಮುಕ್ತವಾಗಿಲ್ಲ); ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸೀಮಿತ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಸೀಮಿತ ಛೇದಕ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿರಬೇಕು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತ ಛೇದಕಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮುಕ್ತ ಶೋಧಕ ಉಪ ನೆಲೆಗಳಿಲ್ಲ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮುಕ್ತ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳಿಲ್ಲ), ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳು ಪ್ರಧಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಶೋಧಕಗಳು ಅವುಗಳ (ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ) ಕರ್ನಲ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರಧಾನ ಶೋಧಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಫಿಲ್ಟರ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸೀಮಿತ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಏಕೈಕ ಸೀಮಿತ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾದ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿವೆ (ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವು ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ). ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾತ್ರ ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಸೆಟ್ ಪ್ರಧಾನ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಛೇದಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೂಪರ್ಸೆಟ್ (ಅಲ್ಲಿ) ಸಹ ಪ್ರಧಾನ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ). ಸ್ಥಿರ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವುದು ಸೆಟ್ಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಿದರೆ (ಅಂದರೆ,) ಅದರ ಕೆಲವು ಅಂಶವು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಧಾನ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಧಾನ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಪ್ರಧಾನವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಅದು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅದು ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರಮುಖ ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ. ಫೈನರ್/ಒರಟಾದ, ಅಧೀನತೆ ಮತ್ತು ಮೆಶಿಂಗ್ ಈ ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಪೂರ್ವ ಕ್ರಮವು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳ (ಮತ್ತು ಶೋಧಕಗಳ) ಬಳಕೆಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಪೂರ್ವ ಕ್ರಮವನ್ನು "ಅನುಕ್ರಮ" ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ "" ಅನ್ನು "ಅದರ ಅನುಕ್ರಮ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು (ಆದ್ದರಿಂದ "ಅಧೀನ" ವು "ಅನುಕ್ರಮ" ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ). ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಜಾಲರಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಮೂಹ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ಗಳ ಎರಡು ಕುಟುಂಬಗಳು ಮತ್ತು ಇವೆ, ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಲರಿಯು, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅದರ ಕುಟುಂಬವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಇದನ್ನು ನೋಡಲು, ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರಲಿ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿರಲಿ) ಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್ ಕೆಲವು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದಾಗ) ಮತ್ತು ಸಮ-ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ) ಎಡಗೈ ಭಾಗವು ಬಲಗೈ ಭಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಬಾಲವು (ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ) ಬಲಗೈ ಫಿಲ್ಟರ್ಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಎಡಗೈ ಫಿಲ್ಟರ್ಗೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಕುಟುಂಬವಿದ್ದರೆ ಅದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದಲ್ಲದೆ, ಅದು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರಡೂ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಛೇದನವು ಖಾಲಿಯಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಜಾಲರಿ. ಪ್ರತಿ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ-ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮತ್ತು ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಎರಡಕ್ಕಿಂತಲೂ ಒರಟಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕುಟುಂಬಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಕುಟುಂಬವು ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅನಿವಾರ್ಯವಾಗಿ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಅಲ್ಟ್ರಾ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ಕುಟುಂಬವು ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಎರಡೂ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರಬೇಕು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಕೂಡ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರದ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಆದರೆ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರಲು ಇನ್ನೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಅಧೀನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದನ್ನು ಪೂರ್ವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. : ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಬಂಧವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೆಟ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. : ಕನ್ವರ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದರೆ ಅದು ಹಿಡಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ). ಎರಡು ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆನ್ ಅಥವಾ ಆನ್ ಆಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಎರಡೂ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆದರೆ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸೆಟ್ಗಳ ಸಮಾನ ಕುಟುಂಬಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಾನ ಷರತ್ತುಗಳು ಇದ್ದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ವ ಕ್ರಮವು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆಗ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಮಾನ ಕುಟುಂಬಗಳ ನಡುವೆ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಸಮಾನ ವರ್ಗದ ಅಂಶ) ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನ ವರ್ಗಕ್ಕೂ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದುವೇಳೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ (ಇದು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ), ನಂತರ ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹೇಳಿಕೆಗಳು/ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ, ಅದು ನಿಜವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅದು ತಪ್ಪಾಗಿರಬಹುದುಃ ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲ (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಅಂಶವಲ್ಲ) ಇದಲ್ಲದೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳುವ ಕುಟುಂಬಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಮೇಲ್ಮುಖ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಏಕೈಕ ಉಪವಿಭಾಗವು ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಫಿಲ್ಟರ್, ಟ್ರಿವಿಯಲ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯ ಈ ತೀರ್ಮಾನವು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಶೋಧಕಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಒಂದು ವಿನಾಯಿತಿಯೆಂದರೆ ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳು ಶೋಧಕಗಳಾಗಿದ್ದಾಗ). ಮೇಲಿನ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಪದವು "ಫಿಲ್ಟರ್" ಎಂಬ ಪದವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ಗಳ ಸಮಾನತೆ ಒಂದು ವೇಳೆ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕುಟುಂಬಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆಃ-ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ-ವ್ಯವಸ್ಥೆ; ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಫಿಲ್ಟರ್; ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ, ಈ ಮೂರು ಕುಟುಂಬಗಳು ಒಂದೇ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ, ಈ ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವು ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಶೋಧಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಒಂದೇ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಫಿಲ್ಟರ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಫಿಲ್ಟರ್ (ಅಂದರೆ, ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ನ ಮೇಲ್ಮುಖ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ). ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗದ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅದು ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಅಂಶಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ (ಅಥವಾ ಫಿಲ್ಟರ್) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವು ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಶೋಧಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳನ್ನು ಅವು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಶೋಧಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಶೋಧಕ ಉಪ ನೆಲೆಗಳು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರತಿ ಫಿಲ್ಟರ್ ಒಂದು-ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳ ರಿಂಗ್ ಎರಡೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆ/ಸಮಾನತೆಯಿಲ್ಲದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ (ಅಥವಾ ಸೆಟ್) ಸೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸೆಟ್ಗಳು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ಗಳಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಯಾವುದೂ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಛೇದಕಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ). ಉಚಿತವಾಗಿರುವಾಗ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ (ಹೊರತು). ಅವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಈ ಎರಡು ಕುಟುಂಬಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ; ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಮೂರು ಶೋಧಕ ಉಪ ನೆಲೆಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಶೋಧಕಗಳು ಸಮಾನ/ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಅವು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ-ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು. ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ-ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಇದು ಅವುಗಳ ರಚಿತವಾದ-ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ರಚಿತವಾದ ಶೋಧಕಗಳು) ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ. ಬದಲಾಗಿ ಇದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಕುಟುಂಬಗಳು ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ರಚಿತವಾದ-ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಅವು ಒಂದೇ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಿಲ್ಟರ್ ಇನ್ನೂ ಸೆಟ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ಮಾಣಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಒರಟಾಗಿರುತ್ತದೆ ಟ್ರೇಸ್ ಮತ್ತು ಮೆಶಿಂಗ್ ಇಫ್ ಒಂದು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ (ರೆಸ್ಪ್. ಫಿಲ್ಟರ್) ನಂತರ ಅದರ ಕುಟುಂಬದ ಕುರುಹು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ (ರೆಸ್ಪ್) ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಫಿಲ್ಟರ್) ಮತ್ತು ಜಾಲರಿ (ಅಂದರೆ,) ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜಾಡಿನ ಕುರುಹು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೆಶ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಟ್ರೇಸ್ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಒಂದು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್, ಒಂದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್) ನಂತರ ಇದು ಎರಡಕ್ಕೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಲುವಾಗಿ ಅಗತ್ಯಗಳಿಂದ ಸೂಕ್ತವಾಗಿರಬೇಕು (ಅಂದರೆ, ಇದು "ಜಾಲರಿ" ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಪ್ರೇರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ (ರೆಸ್ಪ್. ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್) ಇದು ಎರಡಕ್ಕೂ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಹೇಳಿದರೆ, ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮೆಶ್ ಆಗುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಧೀನತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ "ಜಾಲರಿ" ಯ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ,): ಎರಡು ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳು (ರೆಸ್ಪ್. ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ಗಳು) ಜಾಲರಿ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ (ರೆಸ್ಪ್) ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್) ಮತ್ತು ಎರಡು ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಈ ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ವಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ಹೊಂದಿರಬಹುದಾದ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆಗಳ ಚಿತ್ರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ; ಗಮನಾರ್ಹ ವಿನಾಯಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿರುವುದು, ಸೀಮಿತ ಛೇದಕಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿರುವುದು ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುವುದು ಸೇರಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಹ ಅವಶ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹೊರತು ಬಹುಶಃ ಕೋಡೊಮೈನ್ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ): ಫಿಲ್ಟರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಃ ಅಲ್ಟ್ರಾ, ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್, ಫಿಲ್ಟರ್, ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್, ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್, ಡ್ಯುಯಲ್ ಐಡಿಯಲ್, ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಸರಿಯಾದ/ಡಿಜೆನರೇಟ್ ಅಲ್ಲ. ಆದರ್ಶ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಃ ಆದರ್ಶ, ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾ ಸೆಟ್ನ ನಕ್ಷೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಅಲ್ಟ್ರಾವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಹಾಗೆಯೇ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೋಡೋಮೈನ್ನಲ್ಲಿರುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಶೋಧಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅದರ ಮೇಲ್ಮುಖ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮೇಲ್ಮುಖವಾದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಫಿಲ್ಟರ್) ಆಗ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಸರಳೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ನಂತರ ಸೇರ್ಪಡೆ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ (ರೆಸ್ಪ್) ಅನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್, ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್) ಸಹ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ (ರೆಸ್ಪ್) ಆಗಿದೆ. ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್, ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್) ಇದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿಃ ಇದು ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ (ರೆಸ್ಪ್) ಆಗಿದೆ. ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್,-ಸಿಸ್ಟಮ್, ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಸರಿಯಾದ) ಇದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ) ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೂ (ಇದು ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ), ಆದಾಗ್ಯೂ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಅಥವಾ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ ನೋಡಿ). ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಜಾಡಿನ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್,-ಸಿಸ್ಟಮ್, ಪ್ರೊಪರ್) ಇದು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, (ಅಗತ್ಯವಾಗಿ) ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅಲ್ಲದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಇದು ಈ ಉಪವಿಭಾಗದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ). ಒಂದು ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಅದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ ಅದು ಕ್ಷೀಣಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯೂ ಇದೆ. ಮುಂದಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅವನತಿಯು ಏಕೈಕ ಅಡಚಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆಃ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ; ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ; ಮೆಶ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ, ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಹಾಗೆಯೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜೆಕ್ಷನ್ಗಳು, ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳು ಮತ್ತು ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ಗಳು ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬೀಜೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ (ರೆಸ್ಪ್) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾ, ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್, ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ನಲ್ಲಿ ಫಿಲ್ಟರ್,-ಸಿಸ್ಟಮ್, ಐಡಿಯಲ್ ಆನ್ ಇತ್ಯಾದಿ) ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಇಂಜೆಕ್ಷನ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗಳ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಕುಟುಂಬದ ಚಿತ್ರಣವು ಅಲ್ಟ್ರಾ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಕ್ಷೆಯು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಪ್ರೀಫಿಲ್ಟರ್ ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಕ್ಷೆಯು ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಲೆಮ್ಮಾದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ). ಅಧೀನತೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬಗಳ ಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಚಿತ್ರಗಳೆರಡರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ, ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಗುಂಪುಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯು ಇರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕುಟುಂಬಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಪ್ರತಿ ಕುಟುಂಬಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಮೂಲ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಇವೆಲ್ಲವೂ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ). ಅಂದರೆ, ಎರಡೂ ಸಂಕೇತಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಮತ್ತು ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ವಿನಾಯಿತಿಗಳಿವೆ (ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ ಯಾವುದಕ್ಕೂ). ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಬ್ ಬೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ವ್ಯವಕಲನದಲ್ಲಿ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಲು ವಿಫಲವಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಕರ್ನಲ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಸೆಟ್ ಮಾಡಿ. ಆದರ್ಶಗಳು ಮತ್ತು ದ್ವಂದ್ವ ಆದರ್ಶಗಳ ನಡುವೆ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಒಂದು ದ್ವಂದ್ವ ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ, ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಇವೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಾಗಿ, ಒಂದು ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರಲು ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಛೇದಕಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಖಾಲಿಯಾಗಿರಲು ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿರದಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ ನೋಡಿ). ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸದಿದ್ದರೂ, ಕೆಳಮುಖವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದರೆ (ರೆಸ್ಪ್. ಸೀಮಿತ ಒಕ್ಕೂಟಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಆದರ್ಶ) ನಂತರ ಆದರ್ಶಗಳು ಮತ್ತು ದ್ವಂದ್ವ ಆದರ್ಶಗಳ ನಡುವಿನ ದ್ವಂದ್ವತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಶೋಧಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಫಿಲ್ಟರ್ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಇಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಡುಯಲ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಒಂದು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸ್ಥಳದ ಎಲ್ಲಾ ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಮೂಹವು ಸರಿಯಾದ-ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ. ಜಾಗವು ಬೈರ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ, ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಛೇದಕಗಳ ಸಮೂಹವು ಒಂದು-ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಿಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದೆಃ ಸೀಮಿತ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವು ಸರಿಯಾದ-ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕವು ಎಲ್ಲಾ ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಬೈರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸೆಟ್ಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಛೇದಕವು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಕಮೆಗರ್ ಮತ್ತು ನಾನ್-ಮೀಜರ್ ಸಹ) ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಂಶಗಳ ಛೇದಕಗಳ ಸೆಟ್ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕ ಮತ್ತು-ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ; ಇದು ಶೋಧಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಲೆಗಳಿಗಿಂತ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮನಾಗಿಲ್ಲ ಈ ವಿಭಾಗವು ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಲೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಹಳ ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ವಿವರಗಳು ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತಿವೆ-ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಜಾಲಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ವೈಸ್ ಪದ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವಲ್ಲಿ-ಮತ್ತು ಉಪನೆಟ್ಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಂತರ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಅವುಗಳ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ) ಒಂದು ನಕ್ಷೆ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ನಿವ್ವಳವಾಗಿದ್ದರೆ, ಜಾಲಗಳಿಗೆ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳು ಎ ಎಂಬುದು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ, ಈ ಪೂರ್ವ ಆದೇಶವು ಅಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಘೋಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೊನಚಾದ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವ ಆದೇಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ; ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಅಂಶಗಳ ಸಮೂಹವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಶ್ರೇಷ್ಠವಾದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಇದು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ) ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ "ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ನಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ನಿವ್ವಳ" ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ತಕ್ಷಣದ ಆಯ್ಕೆಯು ಇಫ್ ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಇನ್ ಟು ಬದಲಾಗಿ ಸಿಂಗಲ್ಟನ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗ ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬಾಲಗಳ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಮೂಲ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಿಂತ ಪ್ರಧಾನ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದರರ್ಥ ಸಮಾನತೆಯು, ಆದ್ದರಿಂದ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ಸ್ ಸ್ಟಿಲ್ನಿಂದ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ನಲ್ಲಿರುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಫಿಲ್ಟರ್ ಬದಲಿಗೆ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಅಲ್ಟ್ರಾಫಿಲ್ಟರ್) ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಟ್ರಾನೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಪ್ರತಿ ಉಪವಿಭಾಗವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಅದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ನಿವ್ವಳವನ್ನು ಆನ್ ಅಥವಾ ಇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಲಾದ ಜಾಲದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಟ್ರಾನೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ನಿವ್ವಳ ಡೊಮೇನ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಪ್ರಿಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, 1955 ರಲ್ಲಿ ಬ್ರನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಮಿತ್ ಅವರು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ನೆಟ್ಗೆ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಿಸಿದ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು; ಇದನ್ನು 1970 ರಲ್ಲಿ ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ವಿಲಾನ್ಸ್ಕಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮರುಶೋಧಿಸಿದರು. ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಗಳ ನಿಘಂಟಿನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೋಲುವ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮದ ನಿರ್ಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಪರಿವರ್ತನಶೀಲ ಮತ್ತು ಅಪರಿವರ್ತನೀಯ ಸಂಬಂಧ) ಯಾವುದೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವೈಂಡಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಘೋಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾದ-ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಲ್ಲದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಅವು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಉಪಗುಂಪಿನಿಂದ ನಿಯೋಜನೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಿಃ ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ, ಆರಂಭದ ಬಾಲವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ................... ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮವು ಸಹ ದಟ್ಟವಾದ ಕ್ರಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಬ್ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳು ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ "ಅಧೀನವಾಗಿದೆ" (ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ) ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯು ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ "ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ". ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಾಲಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರದ (ಎಲ್ಲಿ) ಬಾಲಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ (ಅಂದರೆ,) ನಿಜ ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಳ್ಳು. ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಧೀನ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಸಮಾನತೆ ಇಲ್ಲದಿರುವುದು ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಕೆಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದರ ಬಾಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ; ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಕೆಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ (ಅಂದರೆ,). ಅಂತಿಮ ಸೆಟ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಖಾಲಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಪೂರಕವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಮಾತ್ರ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಕ್ಷೆಯು ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲ್ಲಿಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳು "ಸಬ್ನೆಟ್" ನ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ. ಸಬ್ನೆಟ್ನ ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು 1955ರಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ಎಲ್. ಕೆಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಸ್ಟೀಫನ್ ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ 1970ರಲ್ಲಿ ಕೆಲ್ಲಿಯ ಸಬ್ನೆಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ತನ್ನದೇ ಆದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಸ್ಮೈಲಿ (1957), ಆರ್ನೆಸ್ ಮತ್ತು ಆಂಡನೀಸ್ (1972), ಮತ್ತು ಮುರ್ಡೇಶ್ವರ್ (1983) ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಎಎ-ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು; ಆರ್ನೆಸ್ ಮತ್ತು ಆಂಡನೀಸ್ ಎಎ-ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳನ್ನು ಬಹಳ ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕೆಲ್ಲಿಗೆ ನಕ್ಷೆಯು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎಎ-ಸಬ್ನೆಟ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎರಡು ಬಲೆಗಳ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ-ಬಲೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋಡೊಮೈನ್ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ವಿಲ್ಲರ್ಡ್-ಸಬ್ನೆಟ್ ಒಂದು ಕೆಲ್ಲಿ-ಸಬ್ನೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಎಎ-ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಲ್ಲರ್ಡ್-ಸಬ್ನೆಟ್ ಅಥವಾ ಅದರ ಕೆಲ್ಲಿ-ಸಬ್ನೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಉದಾಹರಣೆಃ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ, ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಆನ್ ನಲ್ಲಿರುವ ನೆಟ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದರ ಅರ್ಥವೇನೆಂದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಎಎ-ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆಃ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಎಎ-ಸಬ್ನೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ "ಎಎ-ಸಬ್ನೆಟ್" ಅನ್ನು "ವಿಲ್ಲರ್ಡ್-ಸಬ್ನೆಟ್" ಅಥವಾ "ಕೆಲ್ಲಿ-ಸಬ್ನೆಟ್" ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಆಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಳ್ಳಾಗಿದೆಃ ಹೇಳಿಕೆಃ ಪ್ರತಿ ವಿಲ್ಲರ್ಡ್-ಸಬ್ನೆಟ್ ಒಂದು ಕೆಲ್ಲಿ-ಸಬ್ನೆಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, "ಕೆಲ್ಲಿ-ಸಬ್ನೆಟ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು "ವಿಲ್ಲರ್ಡ್-ಸಬ್ನೆಟ್" ಎಂದು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸುಳ್ಳಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. : ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಇದು ಸರಿಯಾದ-ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಕುಟುಂಬಗಳು ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳಾಗಿರುವಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ವ ಶೋಧಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ ಆದರ್ಶಪ್ರಾಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಸಬ್ನೆಟ್ ಆಗಿರಬೇಕು............................................... ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾದ ಸೆಟ್ ಸಹ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಅಂತಹ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ) ಆದರೆ ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಶದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಅಂತಿಮಗೊಳಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು (ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ) ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅಂಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಸಲುವಾಗಿ ಒಂದು ನಕ್ಷೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಇರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅದರಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಯಾವುದು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. "ಸಬ್ನೆಟ್" ಅನ್ನು ವಿಲ್ಲರ್ಡ್-ಸಬ್ನೆಟ್ ಅಥವಾ ಕೆಲ್ಲಿ-ಸಬ್ನೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಜಾಲಗಳು ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಫಿಲ್ಟರ್-ಸಬ್ (ಆರ್ಡಿನೇಟ್) ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಂಬಂಧಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರೇರಿತ ಜಾಲಗಳ ನಡುವೆ ನಿವ್ವಳ-ಸಬ್ನೆಟ್ ಸಂಬಂಧದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಲ್ಲಿ-ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಲ್ಲರ್ಡ್-ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳು ಅಧೀನ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಲ್ಲವು ಎಂಬುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. "ಸಬ್ನೆಟ್" ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ "ಸಬ್ನೆಟ್" ಅನ್ನು ಎಎ-ಸಬ್ನೆಟ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದವು ಎಂದು ಹೇಳುವುದು ಸರಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಕೆಲ್ಲಿ ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಎಎ-ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಪುರಾವೆಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ (ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಶೋಧಕಗಳ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ವಿಮರ್ಶೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ.) ಜನರಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಆರ್ಡರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ