State-population monotonicity
ರಾಜ್ಯ-ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕತಾನತೆಯು ಹಂಚಿಕೆಯ ವಿಧಾನಗಳ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಇವು ಸಂಯುಕ್ತ ರಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಸತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹಂಚುವ ವಿಧಾನಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ರಾಜ್ಯದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಇತರ ರಾಜ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಬಾರದು ಎಂದು ಆಸ್ತಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ವಿಫಲವಾದ ಹಂಚಿಕೆಯ ವಿಧಾನವು ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಂಗಡಣಾ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಗುಣವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕತಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, "ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕತಾನತೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪನ್ಮೂಲ-ಹಂಚಿಕೆ ನಿಯಮಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸಂಪನ್ಮೂಲ ಹಂಚಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಆಸ್ತಿಯು ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವ ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಎಂದರೆ ಈ ಹಿಂದೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು ಕಡಿಮೆ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಅರ್ಹರಾಗಿರುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಆಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಾಯಿಗಳಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ನೋಡಿ. ಹಂಚಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಆಸ್ತಿಯು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರಾಜ್ಯದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ರಾಜ್ಯದ ಅರ್ಹತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳ ಎಂದರೆ ಒಂದು ರಾಜ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಅರ್ಹವಾಗಿದೆ ಎಂದರ್ಥ. ನ್ಯಾಯೋಚಿತ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ಗುಣವನ್ನು ತೂಕದ ಏಕತಾನತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಏಜೆಂಟ್ನ "ತೂಕ" (-ಅರ್ಹತೆ) ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ, ಅವನ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಾರದು. ರಾಜ್ಯ-ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಏಕತಾನತೆಯ (ಪಿ. ಎಂ.) ಹಲವಾರು ರೂಪಾಂತರಗಳಿವೆ; ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳಿಗಾಗಿ ಹಂಚಿಕೆಯ ಗಣಿತವನ್ನು ನೋಡಿ. ಎರ್ಲಾಂಗ್ ಪಿ. ಎಂ. ಪ್ರಧಾನ ಮಂತ್ರಿಯ ಸರಳವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ, ಒಂದು ರಾಜ್ಯದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ ಮತ್ತು ಇತರ ರಾಜ್ಯಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅರ್ಹತೆ ಮತ್ತು ಇತರ ರಾಜ್ಯಗಳ ಅರ್ಹತೆಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ), ನಂತರ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 1907 ರಲ್ಲಿ ಅಗ್ನರ್ ಕ್ರಾರುಪ್ ಎರ್ಲಾಂಗ್ ಅವರು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು 1978 ರಲ್ಲಿ ಆನುಂಡ್ ಹೈಲ್ಯಾಂಡ್ ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ರಾಜ್ಯಗಳ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅವು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತವೆ. ರಾಜ್ಯದ ಅರ್ಹತೆಯು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ (ಅಂದರೆಃ ಅದರ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಜನಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರೆ), ಪಿ. ಎಂ. ನ ಬಲವಾದ ರೂಪಾಂತರವು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೂಪಾಂತರವು ತುಂಬಾ ಪ್ರಬಲವಾಗಿದೆಃ ಕನಿಷ್ಠ 3 ರಾಜ್ಯಗಳು ಇದ್ದಾಗ, ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ರಾಜ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ, ಯಾವುದೇ ಭಾಗಶಃ ಹಂಚಿಕೆಯ ವಿಧಾನವು (= ನಿಗದಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಾನಗಳಿಗೆ ಹಂಚಿಕೆಯ ವಿಧಾನ) ಬಲವಾಗಿ-ಪಿ. ಎಂ. ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪುರಾವೆಃ ಭಾಗಶಃ ಹಂಚಿಕೆಯು ಬಲವಾಗಿ-ಪಿ. ಎಂ. ಆಗಿದೆ ಎಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಭಾವಿಸೋಣ. ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ-ಕೇವಲ ಒಂದು ಆಸನವಿದೆ. ಎರಡು ಅರ್ಹತೆಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಹತೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮೂಲಕ, ಕೆಲವು ರಾಜ್ಯಗಳು 1 ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಮತ್ತು ಇತರರು 0 ಅನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸಬೇಕು. ಕೆಲವು ಎರಡು ರಾಜ್ಯಗಳ ಹಕ್ಕುಗಳು ಇದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಪ್ರಬಲ ಪ್ರಧಾನಿಯಾದರೆ ಇಬ್ಬರೂ ಕನಿಷ್ಠ 1 ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು, ಆದರೆ ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ. - ರಾಜ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಥಾನಗಳಿವೆ. ಮೂರು ಅರ್ಹತೆಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಮೊದಲ ರಾಜ್ಯಗಳ ಅರ್ಹತೆಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮತ್ತು ರಾಜ್ಯದ ಅರ್ಹತೆಯು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಾಹಕ. ಅಂತಹ ವಾಹಕದ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಿ. ಮೊದಲ ರಾಜ್ಯಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಹಕ್ಕುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರಾಜ್ಯದ ಅರ್ಹತೆ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಬಲವಾದ ಪಿಎಂ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದ ಮೊದಲ ರಾಜ್ಯಗಳು ಯಾವುದೇ ಹಂಚಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಇದಕ್ಕೆ ಕನಿಷ್ಠ ಆಸನಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾದರೆ ಅದು ಅಸಾಧ್ಯ. ಹಾಗಿದ್ದರೂ, ಅದು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಮಾತ್ರ. ಇದರರ್ಥ ಅರ್ಹತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ರಾಜ್ಯವು ಗರಿಷ್ಠ 1 ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅರ್ಹತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ರಾಜ್ಯವು 0 ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. [ಫಾರ್]: ರಾಜ್ಯ 1ರ ಅರ್ಹತೆ ಇದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ರಾಜ್ಯಗಳ ಅರ್ಹತೆಗಳು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿವೆ. ನಂತರ, 1ನೇ ಸ್ಥಿತಿಯ ಅನುಪಾತವು 0 ಆಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಇತರ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಅನುಪಾತವು 0 ಆಗಿರಬೇಕು. ಆದರೆ ನಂತರ ಹಂಚಿಕೆಯ ಮೊತ್ತವು ಸ್ಥಾನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ-ಇದು ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸವಾಗಿದೆ. - ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ-ರಾಜ್ಯಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಾನಗಳಿವೆ. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಬಲವಾದ-ಪಿಎಂ ನಿಯಮಗಳಿವೆ. ಜನಸಂಖ್ಯೆ-ಜೋಡಿ ಏಕತಾನತೆ ಎರಡು ರಾಜ್ಯಗಳ ಅರ್ಹತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪಾತವು ಹೆಚ್ಚಾದರೆ, ರಾಜ್ಯವು ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಾಗ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಾರದು. ಈ ಗುಣವನ್ನು ಮತ-ಅನುಪಾತ ಏಕತಾನತೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ ಆ ಪುಟವನ್ನು ನೋಡಿ. ಮತದಾರರ ಏಕತಾನತೆ ಮತದಾರರ ಏಕತಾನತೆಯು ಜೋಡಿಯಾಗಿ-ಪಿ. ಎಂ. ಗಿಂತ ದುರ್ಬಲವಾದ ಗುಣವಾಗಿದೆ. ಪಕ್ಷವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮತದಾರರನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸಿದರೆ, ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಪಕ್ಷಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮತದಾರರನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪಕ್ಷವು ಒಂದು ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಬಾರದು ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮತದಾರರ ಏಕತಾನತೆಯ ವೈಫಲ್ಯವನ್ನು ನೋ-ಶೋ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮತದಾರರು ಮತ ಚಲಾಯಿಸದಿರುವ ಮೂಲಕ ತಮ್ಮ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು. ಡ್ರೂಪ್ ಕೋಟಾದೊಂದಿಗಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ-ಉಳಿಯುವ ವಿಧಾನವು ಮತದಾರರ ಏಕತಾನತೆಯನ್ನು ವಿಫಲಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ದುರ್ಬಲ ಜನಸಂಖ್ಯೆ-ಏಕತಾನತೆ ("ಸಾಮರಸ್ಯ") ದುರ್ಬಲ ಜನಸಂಖ್ಯೆ-ಏಕತಾನತೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮರಸ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದೆಃ ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಾಜ್ಯವು ಸಣ್ಣ ಹಂಚಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಾರದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ. ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿಂಗಡಣಾ ವಿಧಾನಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಸರಾಸರಿ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಉಳಿದ ವಿಧಾನಗಳೆರಡೂ ಏಕರೂಪವಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ವಿಭಾಜಕ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಉತ್ತಮ ಬಿಂದುವಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವಿಭಾಜಕ ಅನುಕ್ರಮವು 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಡಮ್ಸ್ ಹಂಚಿಕೆಯ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಹಂಚಿಕೆಯು 0 ಆಗಿರುವ ಪ್ರತಿ ಏಜೆಂಟ್ನ ಅಂಶವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ವಸ್ತುಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಆಡಮ್ಸ್ ವಿಧಾನವು, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ, ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ನಿಯೋಜಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಸಣ್ಣ ಹಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಜೆಂಟ್ಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮನ್ವಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ವಿರಳವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಆಡಮ್ಸ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಏಜೆಂಟ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ವಿಂಗಡಣಾ ವಿಧಾನದ ಮಾನದಂಡಗಳು