Modern Hopfield network
ಆಧುನಿಕ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲಗಳು (ಡೆನ್ಸ್ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಮೆಮೊರೀಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಇನ್ಪುಟ್ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸಿದ ನೆನಪುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮುರಿಯುತ್ತದೆ. ಬಲವಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ನರಕೋಶಗಳ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ) ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಸೂಪರ್-ಲೀನಿಯರ್ (ಘಾತೀಯ) ಮೆಮೊರಿ ಶೇಖರಣಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಲಬಂಧಕ್ಕೆ ಇನ್ನೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಪ್ತ ನರಕೋಶಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಆಧುನಿಕ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲಗಳ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ನರಕೋಶದ ಸಂರಚನೆಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾದ ನೆನಪುಗಳ ಸುತ್ತ ಹೆಚ್ಚು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಉತ್ತುಂಗಕ್ಕೇರಿದ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ನವೀಕರಣ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲಗಳು ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ನರ ಜಾಲಗಳಾಗಿದ್ದು, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪಥಗಳು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಆಕರ್ಷಣೀಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಮಾದರಿಯ ನರಕೋಶದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ನರಕೋಶದ ಭವಿಷ್ಯದ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ನರಕೋಶಗಳ ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಸ್ತುತ ಅಥವಾ ಹಿಂದಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಗಣಿತವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾದರಿಯು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಮೆಮೊರಿಯ ಮೂಲ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಬೈನರಿ ಆಗಿದ್ದವು, ಮತ್ತು ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯ ಒಂದು-ಒಂದು-ಬಾರಿ ನವೀಕರಣದಿಂದ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎನರ್ಜಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನರಕೋಶದ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಹಾಗೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಒಟ್ಟು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದೇ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನರಕೋಶದ ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ನಿರಂತರ ಚಲಪರಿವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಇನ್ಪುಟ್ ಪ್ರವಾಹದ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು. ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ "ಶಕ್ತಿ" ಯಾವಾಗಲೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ದ್ವಿಮಾನ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪದವು ಲಾಭದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ನರಕೋಶದ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯ) ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಮೆಮೊರಿಯ ಅನೇಕ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಈ ಎರಡೂ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಣ್ಣ ಮೆಮೊರಿ ಶೇಖರಣಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದ ಬಳಲುತ್ತವೆ, ಇದು ಇನ್ಪುಟ್ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅಳೆಯುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಆಧುನಿಕ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲದ ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಮಾದರಿ ನರಕೋಶದ ಸಕ್ರಿಯ ಮತ್ತು ನಿಷ್ಕ್ರಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬೈನರಿ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ತೂಕಗಳು ಮೆಮೊರಿ ವಾಹಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ (ಸೂಚ್ಯಂಕವು ವಿಭಿನ್ನ ನೆನಪುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕವು-th ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ನರಕೋಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರತಿ ಸ್ಮರಣೆಯ ವಿಷಯವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳಿಗೆ (ಅಸಿಂಕ್ರೋನಸ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ) ನವೀಕರಣ ನಿಯಮವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಇದು-th ನ್ಯೂರಾನ್ನ ನವೀಕೃತ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಸಲುವಾಗಿ ಜಾಲವು ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತದೆಃ-th ನ್ಯೂರಾನ್ನೊಂದಿಗೆ ಜಾಲದ ಶಕ್ತಿಯು ಆನ್ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ನ್ಯೂರಾನ್ನ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಆಫ್ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿರುವ-th ನ್ಯೂರಾನ್ನೊಂದಿಗೆ ಜಾಲದ ಶಕ್ತಿಯು. - th ನರಕೋಶದ ನವೀಕರಿಸಿದ ಸ್ಥಿತಿಯು ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವು ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದ್ದಾಗ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪರಿಚಿತ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬೈನರಿ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲದ ನವೀಕರಣ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತವೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಬೈನರಿ ಮಾದರಿಗಳಿಗಾಗಿ ಈ ಜಾಲಗಳ ಮೆಮೊರಿ ಶೇಖರಣಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಪವರ್ ಎನರ್ಜಿ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಾಗಿ ದೋಷಗಳಿಲ್ಲದೆ ಈ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ನಿಂದ ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಮರುಪಡೆಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೆಮೊರಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಘಾತೀಯ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮೆಮೊರಿ ಶೇಖರಣಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು. ಆಧುನಿಕ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳು ಅಥವಾ ದಟ್ಟವಾದ ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ ಮೆಮೊರಿಗಳನ್ನು ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ನಿರಂತರ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. Fig.1 ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಜಾಲಬಂಧದ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಮತ್ತು ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಸ್ಥಿತಿಯ ವಿಕಾಸದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಪ್ರವಾಹಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೆಮೊರಿ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಪ್ರವಾಹಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಗುಪ್ತ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳು ಅಥವಾ ಮೆಮೊರಿ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಸಿನಾಪ್ಟಿಕ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಲ್ಲ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ನರಕೋಶದಿಂದ ಮೆಮೊರಿ ನರಕೋಶಕ್ಕೆ ಸಿನಾಪ್ಸಸ್ಗಳ ಬಲವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿನಾಪ್ಸಸ್ಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ಮೌಲ್ಯವು ಮೆಮೊರಿ ನ್ಯೂರಾನ್ನಿಂದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ನ್ಯೂರಾನ್ಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಭೌತಿಕ ಸಿನಾಪ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಮೆಮೊರಿ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರವಾಹಗಳ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳು ಆ ಪದರದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಪ್ರವಾಹಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂರಾನ್ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳ ಸಮಯ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಚಾಲಿತವಾಗಬಹುದಾದ ಜಾಲಕ್ಕೆ ಇನ್ಪುಟ್ ಪ್ರವಾಹವಾಗಿದೆ. ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅನೇಕ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಡವಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಅದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದವುಗಳ ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲಗಳಿಗೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಹಾಗಲ್ಲ-ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪಥಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಆಕರ್ಷಣೀಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಗುಣವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಚೌಕಾಕಾರದ ಆವರಣಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಲಾದ ಪದಗಳು ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯದ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಲ್ಯಾಗ್ರ್ಯಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪಥದಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಈ ಗುಣವು ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಆಕರ್ಷಣೀಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಗುಪ್ತ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಸಮಯದ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದ () ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳ ಮೂಲಕ ಗುಪ್ತ ಘಟಕಗಳ ಪ್ರವಾಹಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು () ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ನವೀಕರಣ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು Fig.2 ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಲಾಗ್-ಸಮ್-ಎಕ್ಸ್ಪೊನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ನವೀಕರಣ ನಿಯಮವು (ಒಮ್ಮೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ) ಅನೇಕ ಆಧುನಿಕ AI ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಗಮನ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವಾಗಿದೆ (ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ನೋಡಿ. ನಿರಂತರ ಸಮಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಾಗಿ). ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ನಿರಂತರ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದು ಗುಪ್ತ ಪದರದೊಂದಿಗೆ ಆಧುನಿಕ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲಗಳ ವಿಶೇಷ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕರಣವೆಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರವಾದ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಈ ಮಾದರಿಯು ಮಾದರಿಗಳ ವರ್ಗದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಮಾದರಿಗಳು ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ (), ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ () ಇದು ಲಕ್ಷಣ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳಿಗೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ () ನಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಪದವು ವಿಲೋಮ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪಾಂತರವು ಪರಸ್ಪರರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಎರಡು ಪದಗಳು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನೋಡಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು. ಎರಡೂ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಂಯೋಜಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ನಿರಂತರ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲವು ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ () ಆಧುನಿಕ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲದ () ವಿಶೇಷ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಆಧುನಿಕ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಜೈವಿಕ ನರ ಜಾಲಗಳು ವಿವಿಧ ಜೀವಕೋಶದ ಪ್ರಕಾರಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ವಿಭಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಆಧುನಿಕ ಹಾಪ್ಫೀಲ್ಡ್ ಜಾಲದ ಗಣಿತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ವಿಪರೀತ ಮಟ್ಟದ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನರಕೋಶವೂ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ನರಕೋಶವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಚಲನೆಯ ಸಮಯದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಾಲವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ನರಕೋಶವು ತೂಕ, ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇತರ ನರಕೋಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಜಾಲದಲ್ಲಿನ ವಿವಿಧ ನರಕೋಶಗಳನ್ನು ಎಣಿಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ನೋಡಿ Fig.3. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಜಾಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನರಕೋಶಗಳ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲಕ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು. ಪ್ರತಿ ನರಕೋಶದ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆ ನರಕೋಶದ ಚಟುವಟಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ವಿಭಿನ್ನ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಕವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಆ ನ್ಯೂರಾನ್ನ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಾದ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಯೋಜಕವಲ್ಲದ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ಗಳಿಗೆ ಈ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವು ನರಕೋಶಗಳ ಗುಂಪಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ (ಸಾಫ್ಟ್ಮ್ಯಾಕ್ಸ್) ಅಥವಾ ವಿಭಜಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನರಕೋಶದ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಿಕಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣವು ನರವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಫೈರಿಂಗ್ ರೇಟ್ ಮಾಡೆಲ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮಾದರಿಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನ್ಯೂರಾನ್ ಎಲ್ಲಾ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳಿಂದ ಆಕ್ಸೋನಲ್ ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಿನಾಪ್ಟಿಕ್ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ತೂಕ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ಚಟುವಟಿಕೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವಿಕಸನವು ಸಮಯದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ನರಕೋಶಕ್ಕೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಈ ಜಾಲವು ಜಾಗತಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳು ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಪ್ರವಾಹಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯದ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಶಕ್ತಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು (ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ ನೋಡಿ) ಚಲನಾತ್ಮಕ ಪಥಗಳ ಮೇಲೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅಥವಾ ಅದರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಭಾಗ) ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಆಕರ್ಷಣೀಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು ಖಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಜಾಲಬಂಧವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಇದು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿವಿಧ ಆಯ್ಕೆಗಳು ಮತ್ತು ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ವಾಸ್ತುಶಿಲ್ಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರಯೋಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆ ಎಲ್ಲಾ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲಿನ ಕೆಳ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಸಹಾಯಕ ಮೆಮೊರಿ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳನ್ನು ಪದರಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಘಟಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪದರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನ್ಯೂರಾನ್ ಒಂದೇ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದೇ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮಯದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪದರದೊಳಗೆ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ನಡುವೆ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಲ್ಲ (ಪಾರ್ಶ್ವ ಸಂಪರ್ಕಗಳು) ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸ್ಕಿಪ್-ಲೇಯರ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಜಾಲಬಂಧವು (), () Fig.4 ನಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಸ್ಥಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಪದರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಜಾಲದ ಪದರಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಆ ಪದರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪದರದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನರಕೋಶಗಳ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಪದರವು ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಈ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳು ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಪದರಗಳಲ್ಲಿನ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ಪದರಗಳಲ್ಲಿ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ತೂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ತೂಕದ ಮೇಲಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಕ್ರಮವು ಕೆಳಗಿನ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದರರ್ಥ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಪದರದಲ್ಲಿನ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಪದರದಲ್ಲಿನ ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ). ಫೀಡ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ತೂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ತೂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನ್ಯೂರಾನ್ಗಳ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಫೀಡ್ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಗಳಿಂದ ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಎರಡನೇ ಪದದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪದರಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ. ಈ ಮೇಲಿನ-ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತಗಳು ಕೆಳ ಪದರಗಳಲ್ಲಿನ ನರಕೋಶಗಳಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಪ್ರಚೋದಕಗಳಿಗೆ ಅವುಗಳ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾಕವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ-th ಗುಪ್ತ ಪದರಕ್ಕೆ ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಆ ಪದರದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ನರಕೋಶಗಳ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಪದರದಲ್ಲಿನ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ (ಲಿಯಾಪುನೋವ್) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು, ಪ್ರತಿ ಪದರದ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ನರು ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆ ಶಕ್ತಿಯು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯದ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಪದರದ ಜಾಲವು ನಿಜಕ್ಕೂ ಜಾಗತಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಕರ್ಷಕ ಜಾಲವಾಗಿದೆ. ಈ ಜಾಲಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರತಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗೂ ಕಲಿಯಬಹುದಾದ ಸಿನಾಪ್ಟಿಕ್ ತೂಕಗಳ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನರ ಜಾಲಗಳು