Hitchin's equations
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮತ್ತು ಮಾಪಕ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಹಿಗ್ಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅಥವಾ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು 1987 ರಲ್ಲಿ ನಿಗೆಲ್ ಹಿಚಿನ್ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ರಚನೆಯ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಮಮಿತಿಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದೊಳಗೆ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮರಸ್ಯದ ನಕ್ಷೆಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವು ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಿಂದ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಆಯಾಮದ ಕಡಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಹಿಗ್ಸ್ ಕಟ್ಟುಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅನುಗುಣವಾದ ಹಿಗ್ಸ್ ಬಂಡಲ್ನ ಸ್ಥಿರತೆ ಅಥವಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸಂಪರ್ಕದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನಾನಾಬೆಲಿಯನ್ ಹಾಡ್ಜ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಸರಳ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಜಾಗವನ್ನು ಹಿಚಿನ್ ಅವರು ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದು ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಹೈಪರ್ಕಹ್ಲರ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಹಾಡ್ಜ್ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಇದು ಹಿಗ್ಸ್ ಬಂಡಲ್ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸಂಪರ್ಕಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಿಗ್ಸ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿವರಣೆಯಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಹಿಗ್ಸ್ ಬಂಡಲ್ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳದ ಮೇಲೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಹಿಚಿನ್ ಹಿಚಿನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮಗ್ರವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ತಿರುಚಿದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಎನ್ಗೋ ಬಾವೊ ಚೌ ಅವರು ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿನ ಮೂಲಭೂತ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರಿಗೆ 2010 ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಪದಕವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅಥವಾ ಪ್ರಧಾನ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿನ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಎರಡು ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾದವು. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಧಾನ ಕಟ್ಟುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಹಿಚಿನ್ ಅವರ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರಿಯಲ್ ಲೈ ಗುಂಪಿಗೆ ಪ್ರಧಾನ-ಬಂಡಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ ನಾವು ವಿಶೇಷ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪು ಅಥವಾ ವಿಶೇಷ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಸಂಪರ್ಕವು ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಫೈಬರ್ನೊಂದಿಗೆ ಪಕ್ಕದ ಬಂಡಲ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಇದೆ. ಅಂದರೆ, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ-ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸಹಾಯಕ ಹಿಗ್ಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹಿಗ್ಸ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿಗೆ, ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ವಕ್ರತೆಯ ರೂಪ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಪಕ್ಕದ ಬಂಡಲ್ನ ಮೇಲೆ ಪ್ರೇರಿತ ಸಂಪರ್ಕದ-ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತ-ಮೌಲ್ಯದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೂಪಗಳ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ-ಮೌಲ್ಯದ ಒಂದು-ರೂಪಗಳ ಸಂವಹನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು-ಘಟಕ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತವೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ಡಾಲ್ಬೀಲ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆನ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಂಡಲ್ಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಅದು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್-ಮೌಲ್ಯದ-ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂಡೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್-ಮೌಲ್ಯದ-ರೂಪದೊಂದಿಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಹಿಗ್ಸ್ ಬಂಡಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಪರಿಹಾರವು ಹಿಗ್ಸ್ ಬಂಡಲ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಿಂದ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಆಯಾಮದ ಕಡಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮುಖ್ಯ-ಬಂಡಲ್ ಓವರ್ ಮೇಲೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ನಾಲ್ಕು ಕಾರ್ಯಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಫಾರ್ಮ್ಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಯಾಂಗ್-ಮಿಲ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣ, ಅಲ್ಲಿ ವಕ್ರತೆಯ ಎರಡು-ರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆಯಾಮವಾಗಿ ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಲು, ಸಂಪರ್ಕ ರೂಪಗಳು ಮೇಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಒಂದು ವಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಘಟಕಗಳು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಬಂಡಲ್ ಮೇಲೆ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ರಿಲೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇವು ಸಹಾಯಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಒಬ್ಬರು ಈಗ ಬರೆದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ-ರೂಪ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಆಗ ಮೇಲಿನ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಹಿಚಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬದಲಾಗದ ಕಾರಣ, ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಮತಲದ ಏಕರೂಪದ ಸಂಕೋಚನದಲ್ಲಿ ಅವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ