Mean curvature flow
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವಿನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ನಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು). ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಚಲಿಸುವ ವೇಗದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ದುಂಡಗಿನ ಗೋಳವು ಒಳಮುಖವಾಗಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಕುಗ್ಗುವ ಮೂಲಕ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಗೋಳದ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ವಾಹಕವು ಒಳಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ). ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ಏಕತ್ವವನ್ನು ಬೆಳೆಸುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ ಪರಿಮಾಣವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ನಿರ್ಬಂಧದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದ ಹರಿವು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು "ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮೈಕೆಲ್ ಗೇಜ್ ಮತ್ತು ರಿಚರ್ಡ್ ಎಸ್. ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಅವರು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವುಗಳಿಗೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವಾಗಿ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸ್ಮೂತ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಮೂತ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಸ್ಮೂತ್ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅನಂತವಾಗಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಕ್ಷೆ ಇರುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಒಬ್ಬರು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ ಸುಗಮವಾದ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಟಿನ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಏಟಿನ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ವಾಹಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ನಾಲ್ಕು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ, ನಿರ್ಬಂಧವು. ಒಂದು ಆರಂಭಿಕ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ (ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ) ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಕ್ಕಿ ಹರಿವಿನ ಮೇಲೆ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ರ 1982ರ ಯುಗಾವಧಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, 1984ರಲ್ಲಿ ಗೆರ್ಹಾರ್ಡ್ ಹ್ಯೂಸ್ಕೆನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಲು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿಗೆ ಅದೇ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರುಃ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಆಯಾಮವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆಗ ಅದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 'ಆರಂಭಿಕ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್' ನ ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ನ ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪವು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದಲ್ಲದೆ ಒಬ್ಬರು ರಿಮ್ಯಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ನಂತರ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ಗಳು ಸರಾಗವಾಗಿ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರಣವು ದುಂಡಾದ ಗೋಳವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅದು ನಯವಾದ ಮೇಲ್ಮೈ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಗೌಸ್ ನಕ್ಷೆಯು ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಟೋಪೋಲಜಿಯಿಂದ, ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಇಮ್ಮರ್ಶನ್ಗಳು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಮೊದಲಿನಿಂದಲೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ಗೇಜ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ ಅವರು ಹ್ಯೂಸ್ಕೆನ್ ಅವರ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಗ್ರೇಸನ್ (1987) ಯಾವುದೇ ಸುಗಮ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆರಂಭಿಕ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗೇಜ್ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ ಇದು ನಯವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಆರಂಭಿಕ ದತ್ತಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಂತರ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ನಯವಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಇದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಧನಾತ್ಮಕ (ಬಾಹ್ಯ) ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಹ್ಯೂಸ್ಕೆನ್ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಒಬ್ಬರು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳು ಸುಲಭವಾಗಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರವು ದುಂಡಾದ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ತೀವ್ರಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ; ಮಿನಿಮಾ ಐಸೊಪೆರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಹ್ಲರ್-ಐನ್ಸ್ಟೀನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿರುವ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ, ಮೇಲ್ಮೈಯು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಬ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸಬ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವರ್ಗದೊಳಗೆ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹ್ಯೂಸ್ಕೆನ್ನ ಏಕತಾನತೆಯ ಸೂತ್ರವು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿಗೆ ಒಳಗಾಗುವ ಮೇಲ್ಮೈಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಯ-ಹಿಮ್ಮುಖ ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ನ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನ ಏಕತಾನತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಹರಿವುಗಳೆಂದರೆಃ ವಕ್ರ-ಕುಗ್ಗುವ ಹರಿವು, ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿನ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣ ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದ ಹರಿವು ಲಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ವಿಲೋಮ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ಮೂರು-ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸರಾಸರಿ-ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಕ್ರತೆ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೇಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ಥಿರತೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯು ಮಿತಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಸುಮಾರು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯವು z ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವು ರೇಖೀಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕತ್ವವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಓಡುವಾಗ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏಕತ್ವವನ್ನು ತಡೆಯಲು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಹಾಕಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಯವಾದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಇತರ ಏಕತ್ವಗಳಿಲ್ಲದೆ ಸರಾಸರಿ-ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಹಾಗೆ ಮಾಡುವಾಗ ಗೋಳದ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಇದು ಗೆರ್ಹಾರ್ಡ್ ಹ್ಯೂಸ್ಕೆನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ; ಒಂದು ಆಯಾಮದ ವಕ್ರರೇಖೆ-ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಹರಿವಿಗೆ ಇದು ಗೇಜ್-ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಗ್ರೇಸನ್ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗೋಳವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳ ಹುದುಗಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅವು ಏಂಜೆನೆಂಟ್ ಟೋರಸ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಸರಾಸರಿ-ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಸ್ವಯಂ-ಹೋಲುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಃ m-ಆಯಾಮದ ಗೋಳಗಳ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವು ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿನ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ ಸುತ್ತಿನ ಹೈಪರ್ಸ್ಪಿಯರ್ಗಳ ಕುಟುಂಬವು ನೀಡುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಗೋಳದ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯು. ಗೋಳದ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯಿಂದಾಗಿ (ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದಾಗಿ) ಸರಾಸರಿ ವಕ್ರತೆಯ ಹರಿವಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ತ್ರಿಜ್ಯದ ಆರಂಭಿಕ ಗೋಳಕ್ಕೆ, ಈ ODE ಯ ಪರಿಹಾರವು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ), ಇದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ 3a ಮತ್ತು 3b ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಹರಿವಿನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ