Multiplicative digital root
ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತಳದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗುಣಾಕಾರದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲವನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಇರುವ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಒಂದೇ-ಅಂಕಿಯ ಅವಶೇಷಗಳವರೆಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಗುಣಾಕಾರದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲಗಳೆಂದರೆಃ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,2,4,6,8,0,3,6,9,2,5,8,2,8,0. ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ಗಳು ಡಿಜಿಟಲ್ ರೂಟ್ಗಳಿಗೆ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಆಧಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಅಂಕಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪ್ರತಿ ಅಂಕಿಯ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಗುಣಾಕಾರದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೇಸ್ನಲ್ಲಿ, 0 ಎಂಬುದು 9876ರ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಏಕೆಂದರೆ, ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಗುಣಾಕಾರದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಚಕ್ರಗಳಿಲ್ಲ. ಗುಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಿರತೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗುಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಿರತೆಯಾಗಿದೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಿರತೆಯು ಎಂದಿಗೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ತಲುಪದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇಸ್ 10ರಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಿರತೆಯಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿಜವೆಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. 0, 1,. ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದರೆಃ 0,10,25,39,77,679,6788,687889,26888999,3777888999,2777778888899. ಈ ದಾಖಲೆ ಮುರಿಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಶಮಾಂಶ ಅಂಕೆಗಳ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ವೇಗಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕೆಗಳು 7,8 ಅಥವಾ 9 ಆಗಿರಬೇಕು. ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳಿವೆ. ಈ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಮುರಿಯುವ ಸ್ಥಿರತೆಯೊಂದಿಗೆ-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಭ್ಯರ್ಥಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಭಾಗವಾದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೇಲಿನ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಕಾಣೆಯಾದ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗುಣಾಕಾರದ ಸ್ಥಿರತೆ> 11 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ 20,000 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಸಹಿ-ಅಂಕಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಉದಾಹರಣೆ ಪೈಥಾನ್ನಲ್ಲಿ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ಡಿಜಿಟಲ್ ಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ ನಿರಂತರತೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದ ಅಂಕಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಡೆಫ್ ಡಿಜಿಟ್ _ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ (x: int, b: int)-> int: x = = 0 ಆಗಿದ್ದರೆಃ ರಿಟರ್ನ್ 0 ಒಟ್ಟು = 1 ಆದರೆ x> 1: x% b = = 0 ಆಗಿದ್ದರೆಃ ರಿಟರ್ನ್ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ x% b> 1: ಟೋಟಲ್ = ಟೋಟಲ್ * (x% b) x = x// b ರಿಟರ್ನ್ ಟೋಟಲ್ ಡೆಫ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ _ ಡಿಜಿಟಲ್ _ ರೂಟ್ (x: int, b: int)-> int: ಸೀಡ್ = [] ಆದರೆ x ನೋಡಿಲ್ಲಃ seen.append (x) x = ಡಿಜಿಟ್ _ ಪ್ರಾಡಕ್ಟ್ (x, b) ರಿಟರ್ನ್ x ಡೆಫ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲಿಕೇಟಿವ್ _ ಪರ್ಸಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ (x: int, b: int)-> int: ಸೀಡ್ = [] ಆದರೆ x ಕಾಣಿಸಲಿಲ್ಲಃ seen.append (x) x = ಡಿಜಿಟ್