Erdős–Mordell inequality
ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಎಬಿಸಿ ಒಳಗೆ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಿಗೆ, ಪಿ ಯಿಂದ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತವು ಪಿ ಯಿಂದ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎರ್ಡೋಸ್-ಮೊರ್ಡೆಲ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ಲೂಯಿಸ್ ಮೊರ್ಡೆಲ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು; ಎರಡು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಅವರು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪರಿಹಾರವು ಬಹಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ನಂತರದ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನಂತರ,, ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. ಬ್ಯಾರೋದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಎರ್ಡೋಸ್-ಮೊರ್ಡೆಲ್ ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಲವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಿ ಯಿಂದ ಬದಿಗಳವರೆಗಿನ ದೂರವನ್ನು ಪಿ ಯಿಂದ ಬಿಂದುಗಳವರೆಗಿನ ದೂರಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಎಎನ್ಟಿ ಎಪಿಬಿ, ಎಎನ್ಟಿ ಬಿಪಿಸಿ, ಮತ್ತು ಎಎನ್ಟಿ ಸಿಪಿಎ ಬದಿಗಳನ್ನು ದಾಟುತ್ತವೆ. ಬದಲಾದ ದೂರಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಉದ್ದವಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಇರುವ ದೂರಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನದೊಳಗೆ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು P ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬದಿಗಳವರೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರಲಿ. (ತ್ರಿಕೋನವು ಒರಟಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಲಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದ ಬೇರೆ ಬದಿಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಬೆಂಬಲ ನೀಡುವ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳಬಹುದು.) ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಯು ಪ್ರೂಫ್ ಎಬಿಸಿಯ ಬದಿಗಳು ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರಲಿ; ಪಿಎ = ಪಿ, ಪಿಬಿ = ಕ್ಯೂ, ಪಿಸಿ = ಆರ್, ಡಿಸ್ಟ್ (ಪಿ; ಬಿಸಿ) = ಎಕ್ಸ್, ಡಿಸ್ಟ್ (ಪಿ; ಸಿಎ) = ವೈ, ಡಿಸ್ಟ್ (ಪಿ; ಎಬಿ) = ಝಡ್ ಆಗಿರಲಿ. ಬಲಭಾಗವು ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ, r + z ಕನಿಷ್ಠ ತ್ರಿಕೋನದ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ; ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎಡಭಾಗವು ಬಲಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈಗ ಸಿ ನಲ್ಲಿನ ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕದಲ್ಲಿ ಪಿ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಿ. ಪಿ ಯ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ ನಾವು ಸಿಆರ್ಒಆರ್ಎಐ + ಬಿಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ, bq ≤ az + cx ಮತ್ತು ap ≤ bz + cy. ನಾವು r, q, ಮತ್ತು p ಗೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಮೂರನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಸ್ಪರ ಮೊತ್ತವು ಕನಿಷ್ಠ 2/AM-GM ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮುಗಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಸಮಾನತೆಯು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪಿ ಅದರ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಬಲವರ್ಧಿತ ಆವೃತ್ತಿಯು ಎಬಿಸಿ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ (ಒ) ಕೆತ್ತಲಾದ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಪಿ ಎಬಿಸಿ ಒಳಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. D, E, F ಗಳು BC, CA, AB ಮೇಲೆ P ಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿರಲಿ. M, N, Q ಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ A, B, C ಯಲ್ಲಿ (O) ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಮೇಲೆ P ಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರಃ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಸಮಬಾಹು (;) ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಇರುವ ದೂರ, ಬದಿಗೆ ಇರುವ ದೂರ, ಕೋನದಿಂದ ಅದರ ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಇರುವ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಭಾಗ ಆಗಿರಲಿಃ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಎರ್ಡೋಸ್-ಮೊರ್ಡೆಲ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. .. .. .. .. .. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಬೊಗೊಮೊಲ್ನಿ, "ಎರ್ಡೋಸ್-ಮೊರ್ಡೆಲ್ ಅಸಮಾನತೆ", ಕಟ್-ದಿ-ಗಂಟಿನಿಂದ. ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು