Generic property
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, "ವಿಶಿಷ್ಟ" ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಪದವು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ" ಅಥವಾ "ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ" ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಒಂದು ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಆ ಕಾರ್ಯಗಳ "ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ" ವಿಷಯದಲ್ಲೂ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಜಾಗದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಜಾಗದ "ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ" ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ, "ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವೆ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ". (ಇದು ಸಾರ್ದ್ನ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ.) ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ "ಜೆನೆರಿಕ್" ("ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ" ಎಂದರೇನು) ಎಂಬ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಗಳಿವೆ, "ಬಹುತೇಕ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ" (ನಗಣ್ಯ ಸೆಟ್) ಎಂಬ ಅನುಗುಣವಾದ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ; ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳೆಂದರೆಃ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಜೆನೆರಿಕ್ ಆಸ್ತಿಯು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಡ್ಯುಯಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ "ಸಂಭವನೀಯತೆ 0 ರೊಂದಿಗೆ". ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿದಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಉಭಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಲ್ಪವಾದ ಗುಂಪಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಹಲವಾರು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮೂಹವು ಭೌಗೋಳಿಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಇರುತ್ತದೆ. ದ್ವಂದ್ವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಶೂನ್ಯ ಅಳತೆಯ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುವ ಒಂದು ಘಟನೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಇದು ಸಂಭವನೀಯತೆ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಯಮವು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿಗೆ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷವಾದ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ವಿವಿಕ್ತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳನ್ನು ಕೋಫೈನೈಟ್ (ಎಲ್ಲಾ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ), ಎಣಿಸಬಹುದಾದ (ಎಲ್ಲಾ ಆದರೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದಂತೆ ಅನೇಕ), ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, ಅಥವಾ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿದಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ (ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಛೇದಕ) ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಡ್ಯುಯಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಮುಚ್ಚಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಲ್ಪ ಸೆಟ್ (ಎಲ್ಲಿಯೂ ದಟ್ಟವಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಸೆಟ್ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲು ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಮಾತ್ರ ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪೂರಕಗಳಾದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಪೂರಕ ಎರಡೂ ವಿಶಿಷ್ಟ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಅರ್ಥವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಗಳೆರಡೂ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸೆಟ್ಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಬಲವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧತೆಗಳು ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಒಂದು ಗುಣವು ಉಳಿದಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೂ ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳದಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವುದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿದಿರುವ ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ (ಕಡಿಮೆ ಗುಂಪಿನ ಘಟಕಗಳ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ), ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇವುಗಳು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸಬೇಕಾದ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ ಸಿಆರ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಿಆರ್ ನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸಿಆರ್ ಎಂಬುದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸದಸ್ಯರು ಆರ್ ನಿರಂತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂ ನಿಂದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎನ್ ವರೆಗೆ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಎಂ ಮತ್ತು ಎನ್ ನಡುವಿನ ಸಿಆರ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಸಿಆರ್ (ಎಂ, ಎನ್) ಸ್ಪೇಸ್ ಬೈರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಉಳಿದ ಸೆಟ್ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳು ಒಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದ Xನ ಒಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವು Xನ ಸರಿಯಾದ ಜಾರಿಸ್ಕಿ-ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದು ಖಾಲಿ-ಇಲ್ಲದ ಜಾರಿಸ್ಕಿ-ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮೇಲಿನ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೈವಿಧ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೃದುತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.) ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ನಯವಾಗಿರದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಅವು ನಿಖರವಾಗಿ X ಬಿಂದುವಿನ ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪೂರ್ಣ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದವು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ವೈವಿಧ್ಯದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೂ ನಿಜವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, X ನ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಿತವಲ್ಲದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು X ನ ಸರಿಯಾದ ಜರಿಸ್ಕಿ-ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. f: X → Y ಎರಡು ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಭೇದಗಳ ನಡುವಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿರಲಿ. Yಯ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ, fನ ಫೈಬರ್ನ ಆಯಾಮವನ್ನು yನ ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಅಂದರೆ, ಮಂದ f−1 (y). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ X ಯು Y ಯ ಸ್ಫೋಟ ಮತ್ತು f ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ ಎಂದು ಹೇಳುವುದಾದರೆ, f ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆಯಾಮವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಹಾರಿಹೋದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಮಸುಕಾದ Y-1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಆಸ್ತಿಗಳು ಬಹಳ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಇದರರ್ಥ ನೆಲದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದ್ದು ಮತ್ತು ಸರಿಯಾದ ಜಾರಿಸ್ಕಿ-ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಒಕ್ಕೂಟವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಆಸ್ತಿಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಆಸ್ತಿಯು ದಟ್ಟವಾದ Gδ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ಬಹಳ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಇತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ವೈವಿಧ್ಯದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದ ಬಿಂದುಗಳಿಗಿಂತ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಅಫೈನ್ ಜಾಗದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಸ್ಕೀಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಬಿಂದುಗಳು ಉಪ ಪ್ರಭೇದಗಳಾಗಿರುವಲ್ಲಿ, ವೈವಿಧ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಮುಚ್ಚುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಸಮಂಜಸವಾದ ಆಸ್ತಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಗುಣವು ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಗುಣವು ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ (ತೆರೆದ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿಜ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಇಜಿಎ IV 8ರಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾದ ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಗಳ ಮಿತಿಗಳ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನವು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಬಂಧಿತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನ, ಅದರ ನಿಖರವಾದ ಅರ್ಥವು ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದ ಗುಣವು ಆರ್ 2 ನಲ್ಲಿನ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಸಂರಚನೆಯ ಜಾಗದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುಣವಾಗಿದೆ. ಗಣನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸಿ. ಇ. ಗೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನಂತ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು 1-ಜೆನೆರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್, ಒಂದೋ ಆರಂಭಿಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಡಬ್ಲ್ಯೂ 1-ಜೆನೆರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿಲ್ಲದಂತಹ ಆರಂಭಿಕ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೂಕ್ತವಾದ 1-ಜೆನೆರಿಕ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನೇಕ ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆಃ 1-ಜೆನೆರಿಕ್ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಯಾವುದೇ 1-ಜೆನೆರಿಕ್ ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಅಥವಾ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಕೂಡಿದೆ); ಎಲ್ಲಾ 1-ಜೆನೆರಿಕ್ಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ 1-ಜೆನೆರಿಸಿಟಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ "ಜೆನೆರಿಕ್" ನ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಬೈರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಂತರ, ಒಂದು ಅಂಶವು ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಗುಂಪಿನ ಗಡಿಯಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು 1-ಜೆನೆರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪೂರೈಸಲು 1-ಜೆನೆರಿಕ್ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ (ಆದರೂ ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದುರ್ಬಲವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ 1-ಜೆನೆರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಜೆನೆರಿಸಿಟಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಾರ್ದ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಃ ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎನ್ ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು ಎಫ್ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯವಲ್ಲ-ಎಫ್ ನ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎನ್ ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಜಾಕೋಬಿಯನ್ ಮಾನದಂಡ/ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೃದುತ್ವಃ ವಿಶಿಷ್ಟ ಶೂನ್ಯದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ವೈವಿಧ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವು ಸುಗಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮಯ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಿಯಂತ್ರಣ ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಣೆಯು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಮತ್ತು ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಏಕತ್ವ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ