Non-positive curvature
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ಸ್ಥಳಗಳು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ವಕ್ರತೆಯು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ವಕ್ರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಭೌಗೋಳಿಕ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸ್ಥಳದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಹೋಲಿಕೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ) ಸಿಎಟಿ (0) ಸ್ಥಳಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ, ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಏಕರೂಪತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಎರಡೂ, ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರವಾದ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಗಾಸ್-ಬಾನೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರತೆಯ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರತೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ರೀಮಾನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು, ನಿಖರವಾಗಿ ಅವರ ಕುಲವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪತೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಗಾಸ್-ಬಾನೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎರಡನ್ನೂ ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು, ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಅನಂತ ಕುಟುಂಬವಿದೆ, ಆದರೆ ರೀಮನ್ ಗೋಳವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಗಾಸಿಯನ್ ವಕ್ರತೆಯ ಏಕೈಕ ಮುಚ್ಚಿದ, ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ವಕ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಾಸ್-ಬಾನೆಟ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಹೇರಬಹುದಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮಾಪನಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಪ್ರಮುಖ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಟೋರಸ್ (ವಕ್ರತೆಗಾಗಿ) ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಸ್ಯೂಡೋಸ್ಫಿಯರ್ (ವಕ್ರತೆಗಾಗಿ). ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಮಾಪನಗಳು ಮತ್ತು ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಮಾಪನಗಳಾಗಿ ಇರುವ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬಾಗಿದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಮೀರಿ ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಅಥವಾ ಆರ್ಬಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗೀಯ ವಕ್ರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸ್ಥಳದ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಒಬ್ಬರ ಗಮನವನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ. ಮೋಸ್ಟೋ-ಪ್ರಸಾದ್ ಬಿಗಿತ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಪ್ರದೇಶದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಥವಾ ಸಿಎಟಿ (0) ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ಭೌಗೋಳಿಕ ಬದಿಗಳಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ತೆಳುವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ವಕ್ರತೆಯ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅವು ಕೊಬ್ಬಾಗಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಧನಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಗುಲಿಸ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಕ್ರತೆ (ಗಣಿತ) ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.