Ideal (set theory)
ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆದರ್ಶವು "ಸಣ್ಣ" ಅಥವಾ "ನಗಣ್ಯ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಆದರ್ಶದ ಅಂಶದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪವಿಭಾಗವೂ ಸಹ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿರಬೇಕು (ಇದು ಆದರ್ಶವು ಚಿಕ್ಕತನದ ಕಲ್ಪನೆ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸುತ್ತದೆ), ಮತ್ತು ಆದರ್ಶದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯೂ ಸಹ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಒಂದು ಸೆಟ್ಗೆ ಒಂದು ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅದು ಅಂತಹ ಪವರ್ಸೆಟ್ನ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆಃ ವೇಳೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮತ್ತು ನಂತರ, ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಸ್ವತಃ ಇಲ್ಲದ ನಾಲ್ಕನೇ ಷರತ್ತನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆ; ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಐಡಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಆರ್ಡರ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಆದರ್ಶಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಅವು ಅಂಡರ್ಲೈನ್ ಸೆಟ್ನ ಪವರ್ ಸೆಟ್ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬೂಲಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಮೇಲಿನ ರಿಂಗ್-ಥಿಯರಿಟಿಕ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಆದರ್ಶಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರ್ಶದ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಯು ಶೋಧಕವಾಗಿದೆ. ಪರಿಭಾಷೆಯು ಆದರ್ಶದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಅಥವಾ, ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಅಥವಾ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗಿದ್ದರೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಫ್ ಒಂದು ಸರಿಯಾದ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಅಥವಾ ನಂತರ a ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಮೂಹಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಆದರ್ಶದ ರೂಪದ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಸೀಮಿತವಾದ ಎಲ್ಲಾ ಆದರ್ಶಗಳು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ, ಶೂನ್ಯ ಅಳತೆಯ ಸೆಟ್ಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಆದರ್ಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಅಳತೆಯ ಜಾಗಕ್ಕೆ, ಸೀಮಿತ ಅಳತೆಯ ಸೆಟ್ಗಳು. ಇದು ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು (ಎಣಿಕೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು) ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಣ್ಣ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಬೋರ್ನಾಲಜಿ ಒಂದು ಆದರ್ಶವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಖಾಲಿ-ಇಲ್ಲದ ಕುಟುಂಬವು ಸರಿಯಾದ ಫಿಲ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಸರಿಯಾದ ಆದರ್ಶವಾಗಿದೆ (ಫಿಲ್ಟರ್ ಅದು ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ). ಪವರ್ ಸೆಟ್ನ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ವತಃ ಆಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಕುಟುಂಬವು ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಡ್ಯುಯಲ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ (ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಸರಿಯಾದ ಫಿಲ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ). ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಫಿನ್ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಮೊತ್ತವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವಂತೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಣ್ಣ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಗವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. (ಅಂದರೆ, ಇದರ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.) ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳು ಎಂದರೆ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವಂತಹ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಅಲ್ಪ ಪ್ರಮಾಣದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಇತರ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಆದರ್ಶಗಳು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಕೋಫೈನಾಲಿಟಿಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಆನ್ ಎಂದರೆ ಸ್ಥಿರ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲದ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಈ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಹ್ಯೂ ವುಡಿನ್ ಅವರು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಆದರ್ಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೇಲೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ, ಅಂದರೆ,-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಅತ್ಯಲ್ಪ ಸಂಗ್ರಹವು-ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿನ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಸ್ಲೈಸ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನದ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅತ್ಯಲ್ಪವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಬಹುಶಃ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದದ್ದುಃ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅನೇಕ-ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಚೂರುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆದರ್ಶದಲ್ಲಿದೆ.) ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಐಡಿಯಲ್, ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಅದರ ಪವರ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ). ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಅನುಪಾತವು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ("ಪಿ ಆಫ್ ಮೋಡ್" ಎಂದು ಓದಿ). ಪ್ರತಿ ಐಡಿಯಲ್ಗೆ ಅದರ ಫಿಲ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅನುಗುಣವಾದ ಫಿಲ್ಟರ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಐಡಿಯಲ್ ಆನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಡ್ಯುಯಲ್ ಫಿಲ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ. (ಇಲ್ಲಿ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಪೂರಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸಂಗ್ರಹ). ಆದರ್ಶಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಆದರ್ಶಗಳಾದರೆ, ಮತ್ತು ಅವು ಒಂದೇ ಆದರ್ಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸಮೂಹಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುನಾಮಕರಣ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ (ನಗಣ್ಯ ಸಮೂಹಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ). ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇಫ್ ಮತ್ತು ಕೀಸ್ಲರ್ನ ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ರುಡಿನ್-ಕೀಸ್ಲರ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಂತೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ ಇರಬೇಕು. ಆದರ್ಶಗಳ ರುಡಿನ್-ಕೀಸ್ಲರ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಅನುಪಾತದ ಬೂಲಿಯನ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ