Macbeath surface
ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ವಕ್ರರೇಖೆ ಅಥವಾ ಫ್ರಿಕೆ-ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ವಕ್ರರೇಖೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು 7-ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಕುಲದ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು 504 ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸರಳ ಗುಂಪು ಪಿಎಸ್ಎಲ್ (2,8) ಆಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿನ ನಿರ್ಮಾಣ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಫ್ಯೂಷಿಯನ್ ಗುಂಪನ್ನು (2,3,7) ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಮುಖ ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಪ್ರಮುಖ ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸೂಕ್ತ ಗೋಪುರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯನ್ ಕ್ರಮದ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಗುಂಪು ಪುಟದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಲಯದಲ್ಲಿನ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಧಾನ ಏಕರೂಪದ ಉಪಗುಂಪು 7ನೇ ಕುಲದ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಸಿಸ್ಟೋಲ್ ಸುಮಾರು 5.796 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆರ್. ವೋಗೆಲರ್ ಅವರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸಿಸ್ಟೊಲಿಕ್ ಲೂಪ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 126 ಆಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನಗಳಿಲ್ಲದೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿ ಗ್ರಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕ ಟಿಪ್ಪಣಿ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಮೂಲತಃ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಮುರ್ರೆ ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದನು, ಆದರೆ ಅದೇ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ನಂತರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಮರುಶೋಧನೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಅವನ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಯಿತು. ಫ್ರಿಕೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು "ಅಭ್ಯಂಕರ್ಗೆ ಬರೆದ 24.vii.1990 ಪತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೆರ್ರೆ ಮೊದಲು ಗಮನಿಸಿರಬಹುದು" ಎಂದು ಎಲ್ಕೀಸ್ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಕ್ವಾರ್ಟಿಕ್ ಫಸ್ಟ್ ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ತ್ರಿವಳಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ. .. .. .. .. .. ಮಾಸ್ಕೋ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಅನುವಾದ. ಗಣಿತ. ಬುಲ್. 44 (1989), ನಂ. 5, 37-40. .. .. .. ಕೊರಿಜೆಂಡಮ್, ಸಂಪುಟ. 28, ಇಲ್ಲ. 2, 1986, ಪುಟ 241,. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ರೀಮಾನಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತ ಸಿಸ್ಟೋಲಿಕ್ ರೇಖಾಗಣಿತ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತ