Discontinuous Galerkin method
ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಗಳು (ಡಿಜಿ ವಿಧಾನಗಳು) ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅವು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಪರಿಮಾಣದ ಚೌಕಟ್ಟಿನ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅನ್ವಯಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್, ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್, ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರ ರೂಪದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಡಿ. ಜಿ. ವಿಧಾನಗಳು ಪ್ರಬಲವಾದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಗಣನೀಯ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಎಲೆಕ್ಟ್ರೋಡೈನಮಿಕ್ಸ್, ಫ್ಲೂಯಿಡ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲಾಸ್ಮಾ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರವಾಗಿ 1970ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಅಸಂಬದ್ಧ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಯಿತು. 1973ರಲ್ಲಿ ರೀಡ್ ಮತ್ತು ಹಿಲ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ನ್ಯೂಟ್ರಾನ್ ಸಾರಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಡಿಜಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಅಂಡಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಡಿಜಿ ವಿಧಾನದ ಮೂಲವನ್ನು ಒಂದೇ ಪ್ರಕಟಣೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಆಧುನಿಕ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಜಂಪ್ ಪೆನಾಲಿಸೇಶನ್ನಂತಹ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಕ್ರಮೇಣ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಕೊಡುಗೆದಾರರಲ್ಲಿ ಬಾಬುಸ್ಕಾ, ಜೆ. ಎಲ್. ಲಯನ್ಸ್, ಜೋಚಿಮ್ ನಿಟ್ಚೆ ಮತ್ತು ಮಿಲೋಸ್ ಝ್ಲಾಮಾಲ್ ಇದ್ದರು. ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ DG ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ 1977 ರಲ್ಲಿ 4 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಗಾರ್ಥ್ ಬೇಕರ್ ಅವರು ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆರ್ನಾಲ್ಡ್, ಬ್ರೆಝಿ, ಕಾಕ್ಬರ್ನ್ ಮತ್ತು ಮಾರಿನಿ ಅವರ ಪ್ರಕಟಣೆಯಲ್ಲಿ ಐತಿಹಾಸಿಕ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ DG ವಿಧಾನಗಳ ಪರಿಚಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಕಾಕ್ಬರ್ನ್, ಕರ್ಣಿಯಾಡಾಕಿಸ್ ಮತ್ತು ಶು ಅವರು ಸಂಪಾದಿಸಿರುವ ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿ ಡಿಜಿ ವಿಧಾನಗಳ ಮೇಲಿನ ಹಲವಾರು ಸಂಶೋಧನಾ ನಿರ್ದೇಶನಗಳು ಮತ್ತು ಸವಾಲುಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ (ಸಿಜಿ) ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ, ನಿರಂತರ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ (ಡಿಜಿ) ವಿಧಾನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ದುರ್ಬಲ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾದ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಸಿಜಿ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಡಿಜಿ ವಿಧಾನವು ತುಂಡು ತುಂಡಾಗಿ ಮಾತ್ರ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉಪ ಸ್ಥಳಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಂತರ್ಗತ ಕಾರ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಮೂಲಗಳು" ಅಥವಾ "ಸಿಂಕ್ಗಳು" ಇಲ್ಲದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತವಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗೆ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಇದರ ಹರಿವು ಎಲ್ಲಿದೆ. ಈಗ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ತುಣುಕುಗಳ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾದ ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿನಾಮಿಯಲ್ಗಳ ಜಾಗಕ್ಕಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಸೀಮಿತ ಅಂಶದ ಆಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನಂತರ ಅದೇ ರೀತಿ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಸೆಮಿಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಡಿಜಿ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಆಗುತ್ತದೆಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಕಾನೂನು ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೇಸ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್-ಸ್ಪೇಸ್ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನಾವು ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಸ್ಥಳವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಅವರು ನೀಡಿದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿವೇಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೋರಿಸಬೇಕು. ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲಿಗೆ ನಾವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಹುಪದ ಆಧಾರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳು, ಅಂದರೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಪರಿಹಾರಗಳ ಆಧಾರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅದನ್ನು ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ಲ್ಯಾನರ್ ತರಹದ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 2-ಡಿ/3-ಡಿ ಸಂಕರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮರ್ಥವಾಗಿವೆ. DG-ಯೋಜನೆ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಾ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ದುರ್ಬಲ ರೂಪವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷಾ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಫ್ಲಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, DG-ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು A ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಸ್ಥಿರ-ಸ್ಥಿತಿ ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ತಾಪಮಾನ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಸ್ಪೇಸ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಮೇಲಿನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಉದ್ದದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ನೋಡ್ನಲ್ಲಿ ಜಂಪ್ ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಸರಾಸರಿಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಆಂತರಿಕ ಪೆನಾಲ್ಟಿ ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ (ಐಪಿಡಿಜಿ) ವಿಧಾನವೆಂದರೆಃ ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರಿಂದ ನಿರಂತರವಲ್ಲದ ದ್ರಾವಣದಲ್ಲಿನ ಜಿಗಿತಗಳು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಪದವನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಂತರಿಕ ಪೆನಾಲ್ಟಿ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ; ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಲ್ಲದ ಆಂತರಿಕ ಪೆನಾಲ್ಟಿ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ನೇರ ನಿರಂತರ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವು ನೇರ ನಿರಂತರ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ (ಡಿಡಿಜಿ) ವಿಧಾನವು ಪ್ರಸರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೊಸ ನಿರಂತರವಲ್ಲದ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. 2009ರಲ್ಲಿ, ಲಿಯು ಮತ್ತು ಯಾನ್ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಡಿಡಿಜಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಈ ವಿಧಾನದ ಪ್ರಯೋಜನಗಳೆಂದರೆ, ನೇರ ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನವು ಮಧ್ಯಂತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸದೆ ಕಾರ್ಯದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಹರಿವನ್ನು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪದವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಸಮಂಜಸವಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಮಾಣವು ಬಹಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಡೈರೆಕ್ಟ್ ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಫೈನೈಟ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನವು ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಗಳ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಘಟಕ ವಿಭಜನೆ, ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ನಿರಂತರ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ದೋಷ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕ-ಆಯಾಮದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಮತ್ತು ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸ್ಪೇಸ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಾವು ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಡಿಗ್ರಿ ಇರುವ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂದಾಜನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಯೋಜನೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಃ : ಸಮೀಕರಣದ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರ. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿ ಇದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದೆ, ಸಮೀಕರಣದ ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿಡಿಜಿ ವಿಧಾನದ ನಿಖರತೆಗೆ ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಹರಿವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಹರಿವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಹರಿವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕುಃ ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಇದು-ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಇದು ವಿಧಾನದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಹರಿವಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿ, ಎರಡು ನೆರೆಯ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಜಿಗಿತವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಗ್ರಿಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಗ್ರಿಡ್ಗಳಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ದೋಷ ಅಂದಾಜುಗಳು ನಿಖರವಾದ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದ ನಡುವಿನ ದೋಷವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ದೋಷವನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು ನಾವು ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಿ. ಎನ್. ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಆರ್ನಾಲ್ಡ್, ಎಫ್. ಬ್ರೆಝಿ, ಬಿ. ಕಾಕ್ಬರ್ನ್ ಮತ್ತು ಎಲ್. ಡಿ. ಮಾರಿನಿ, ಅಂಡಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಗಳ ಏಕೀಕೃತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಿಯಾಮ್ ಜೆ. ನ್ಯೂಮರ್. ಗುದದ್ವಾರ. 39 (5): 1749-1779,2002. ಜಿ. ಬೇಕರ್, ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನಗಳು, ಗಣಿತ. ಕಾಂ. 31 (1977), ನಂ. 137, 45-59. ಎ. ಕಾಂಗಿಯಾನಿ, ಝೆಡ್. ಡಾಂಗ್, ಇ. ಎಚ್. ಜಾರ್ಜೌಲಿಸ್, ಮತ್ತು ಪಿ. ಹೂಸ್ಟನ್, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಮೆಶ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಎಚ್ಪಿ-ಆವೃತ್ತಿ ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಗಳು, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ಬ್ರೀಫ್ಸ್, (ಡಿಸೆಂಬರ್ 2017). ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಮಾಯ್, ಜೆ. ಹು, ಪಿ. ಲಿ, ಮತ್ತು ಎಚ್. ಝಾವೋ, "ಡಿಸ್ಪರ್ಸಿವ್ ಪ್ಯಾರಲಲ್-ಪ್ಲೇಟ್ ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಕಾರದ ಆಂಟಿಪ್ಯಾಡ್ಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ 2-ಡಿ/3-ಡಿ ಹೈಬ್ರಿಡ್ ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ಟೈಮ್-ಡೊಮೇನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ", ಐಇಇಇ ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಮೈಕ್ರೋ. ಥಿಯರಿ ಟೆಕ್., ಸಂಪುಟ. 65, ಇಲ್ಲ. 10, ಪು. 3671-3681, ಅಕ್ಟೋಬರ್ 2017. ಡಬ್ಲ್ಯು. ಮಾಯ್ ಮತ್ತು ಇತರರು, "ತುಲನಾತ್ಮಕ ದೋಷವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುವ 2-ಡಿ/3-ಡಿ ಹೈಬ್ರಿಡ್ ನಿರಂತರ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ಸಮಯ-ಡೊಮೇನ್ ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ ನೇರವಾದ ನವೀಕರಣ ಮಾನದಂಡ", ಐ. ಇ. ಇ. ಇ. ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಮೈಕ್ರೋ. ಥಿಯರಿ ಟೆಕ್., ಸಂಪುಟ. 66, ಇಲ್ಲ. 4, ಪು. 1713-1722, ಏಪ್ರಿಲ್. 2018 ರಲ್ಲಿ. ಬಿ. ಕಾಕ್ಬರ್ನ್, ಜಿ. ಇ. ಕರ್ಣಿಯಾಡಾಕಿಸ್ ಮತ್ತು ಸಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಶು (ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ), ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಗಳು. ಥಿಯರಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಮತ್ತು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು, ಲೆಕ್ಚರ್ ನೋಟ್ಸ್ ಇನ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸೈನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, 11. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ಬರ್ಲಿನ್, 2000. ಪಿ. ಲೆಸೈಂಟ್, ಮತ್ತು ಪಿ. ಎ. ರವಿಯಾರ್ಟ್. "ನ್ಯೂಟ್ರಾನ್ ಸಾರಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸೀಮಿತ ಅಂಶದ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ". ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಅಂಶಗಳ ಗಣಿತದ ಅಂಶಗಳು 33 (1974): 89-123. ಡಿ. ಎ. ಡಿ ಪಿಯೆಟ್ರೊ ಮತ್ತು ಎ. ಎರ್ನ್, ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಆಸ್ಪೆಕ್ಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ಮೆಥಡ್ಸ್. ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಎಟ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್, ಸಂಪುಟ. 69, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ಬರ್ಲಿನ್, 2011. ಜೆ. ಎಸ್. ಹೆಸ್ಟ್ಹಾವೆನ್ ಮತ್ತು ಟಿ. ವಾರ್ಬರ್ಟನ್, ನೋಡಲ್ ಡಿಸ್ಕಂಟಿನ್ಯೂಸ್ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಗಳುಃ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು. ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಪಠ್ಯಗಳು 54. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ವೆರ್ಲಾಗ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 2008. ಬಿ. ರಿವಿಯರ್, ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿರಂತರ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಗಳುಃ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅನುಷ್ಠಾನ. ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಎಸ್. ಐ. ಎ. ಎಂ. ಫ್ರಾಂಟಿಯರ್ಸ್, 2008. ಸಿಎಫ್ಡಿ ವಿಕಿ http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin ಡಬ್ಲ್ಯು. ಎಚ್. ರೀಡ್ ಮತ್ತು ಟಿ. ಆರ್. ನ್ಯೂಟ್ರಾನ್ ಸಾರಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಹಿಲ್, ತ್ರಿಕೋನ ಜಾಲರಿ ವಿಧಾನಗಳು, ಟೆಕ್. ವರದಿ ಲಾ-ಯುಆರ್-73-479, ಲಾಸ್ ಅಲಾಮೋಸ್ ಸೈಂಟಿಫಿಕ್ ಲ್ಯಾಬೊರೇಟರಿ, 1973. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನ