Anisohedral tiling
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಆಕಾರವು ಟೈಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ಅದು ಅನಿಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಟೈಲಿಂಗ್ ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ (ಟೈಲ್-ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್) ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಅಂದರೆ, ಆ ಆಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಟೈಲಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಟೈಲಿಂಗ್ನ ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಎರಡು ಟೈಲ್ಗಳಿವೆ. ಅನಿಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಟೈಲ್ನ ಟೈಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಅನಿಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಟೈಲಿಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಹದಿನೆಂಟನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ 3-ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅನಿಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕೇಳಿತು; ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಮತ್ತು ಶೆಫರ್ಡ್ ಅವರು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಟೈಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದರು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. 1928ರಲ್ಲಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಿದ ರೇನ್ಹಾರ್ಡ್, ಅಂತಹ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದನು ಮತ್ತು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಅಂಚುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ತನ್ನ ಪುರಾವೆ ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದನು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೀಶ್ ನಂತರ 1935 ರಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅನಿಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಟೈಲ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಟೈಲ್ಸ್ ರೇನ್ಹಾರ್ಡ್ಟ್ ಈ ಹಿಂದೆ ಅನಿಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದರು, ಇದು ಯಾವುದೇ ಅನಿಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಹೆಕ್ಸಾಗನ್ಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅಂತಹ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮತಲವನ್ನು ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಟೈಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಐದು ರೀತಿಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಕೆರ್ಶ್ನರ್ 1968ರಲ್ಲಿ ಮೂರು ವಿಧದ ಅನಿಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು; ಈ ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು ಅಥವಾ ಗ್ಲೈಡ್ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಿಲ್ಲದ ನೇರ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೀಶ್ ಅವರ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಟೈಲ್ನ ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಆ ಟೈಲ್ನ ಯಾವುದೇ ಟೈಲ್ನಲ್ಲಿನ ಟೈಲ್ಗಳ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಕ್ಷೆಗಳು (ಸಮಾನ ವರ್ಗಗಳು) ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಟೈಲಿಂಗ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಕೆ ಹೊಂದಿರುವ ಟೈಲ್ ಕೆ-ಅನೈಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಆಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ k ಗೆ k-ಅನೈಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಅಂಚುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಯೇ ಎಂದು ಬರ್ಗ್ಲಂಡ್ ಕೇಳಿದರು, k ≤ 4 ಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು (2-ಅನೈಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಮತ್ತು 3-ಅನೈಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಅಂಚುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು, ಆದರೆ ನೀಡಲಾದ 4-ಅನೈಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಟೈಲ್ ಅಂತಹ ಮೊದಲ ಪ್ರಕಟಿತ ಟೈಲ್ ಆಗಿತ್ತು). ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಟೈಲ್ ಅಥವಾ ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪಿನ ನಡವಳಿಕೆಯು ಎಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗುಡ್ಮ್ಯಾನ್-ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಇದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮೈಯರ್ಸ್ನ 10-ಅನೈಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು. ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಮತ್ತು ಶೆಫರ್ಡ್ ಈ ಹಿಂದೆ ಅದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ್ದರು. ಟೈಲ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಅಥವಾ ಯಾವ ಬಣ್ಣಗಳು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಣ್ಣದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಬಣ್ಣಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಟೈಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣಗಳಿಲ್ಲದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಟೈಲ್ಗೆ ಅತಿ ಹೆಚ್ಚು ತಿಳಿದಿರುವ ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 10 ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು 2007 ರಲ್ಲಿ ಸೊಕೊಲರ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಜೋಸೆಫ್ ಮೈಯರ್ಸ್ ಹೆಚ್ಚಿನ ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ 10 (ಅನುವಾದದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ 20 ಕಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ) ಮತ್ತು ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ 9 (ಅನುವಾದದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ 36 ಕಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ) ಹೊಂದಿರುವ ಪಾಲಿಹೆಕ್ಸಗನ್. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಜಾನ್ ಬೆರ್ಗ್ಲಂಡ್, ಅನಿಸೋಹೆಡ್ರಲ್ ಟಿಲಿಂಗ್ಸ್ ಪೇಜ್ ಜೋಸೆಫ್ ಮೈಯರ್ಸ್, ಪಾಲಿಮಿನೊ, ಪಾಲಿಹೆಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಯಾಮಂಡ್ ಟೈಲಿಂಗ್ ಟೆಸಿಲೇಷನ್