The Fifty-Nine Icosahedra
ದಿ ಫಿಫ್ಟಿ-ನೈನ್ ಇಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾವು ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ಪಿ. ಡು ವಾಲ್, ಎಚ್. ಟಿ. ಫ್ಲಾದರ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಎಫ್. ಪೆಟ್ರಿ ಬರೆದ ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಿದ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಜೆ. ಸಿ. ಪಿ. ಮಿಲ್ಲರ್ ಮಂಡಿಸಿದ ನಿಯಮಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಪ್ಲಾಟೋನಿಕ್ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಕೆಲವು ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. 1938 ರಲ್ಲಿ ಟೊರೊಂಟೊ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯವು ಮೊದಲು ಪ್ರಕಟಿಸಿತು, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್ ಅವರ ಎರಡನೇ ಆವೃತ್ತಿಯ ಮರುಮುದ್ರಣವು 1982 ರಲ್ಲಿ ನಡೆಯಿತು. ಟಾರ್ಕ್ವಿನ್ರ 1999ರ ಮೂರನೇ ಆವೃತ್ತಿಯು ಕೆ. ಮತ್ತು ಡಿ. ಕ್ರೆನ್ನೆಲ್ ಅವರ ಹೊಸ ಉಲ್ಲೇಖ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು. ಮಿಲ್ಲರ್ ಅವರು ಪುಸ್ತಕಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಕೊಡುಗೆ ನೀಡದಿದ್ದರೂ, ಅವರು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಮತ್ತು ಪೆಟ್ರಿಯ ನಿಕಟ ಸಹೋದ್ಯೋಗಿಯಾಗಿದ್ದರು. ಯಾವ ನಕ್ಷತ್ರಪುಂಜದ ರೂಪಗಳನ್ನು "ಸರಿಯಾಗಿ ಮಹತ್ವದ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಅವರ ನಿಯಮಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಅವರ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಅಮರಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆಃ (i) ಮುಖಗಳು ಇಪ್ಪತ್ತು ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಗಡಿ ಸಮತಲಗಳು. (ii) ಮುಖಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳು ಪ್ರತಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರಬೇಕು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡಿರಬಹುದು. (iii) ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಭಾಗಗಳು ಪ್ರತಿಫಲನವಿಲ್ಲದೆ ಅಥವಾ ಅದರೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಘನಕ್ಕೆ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಭದ್ರಪಡಿಸುತ್ತದೆ. (iv) ಯಾವುದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಘನದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ. ಅವರು "ಹೊರಭಾಗದಲ್ಲಿ" ಇರಬೇಕು. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಹೊರಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಲು ಅಗಾಧ ಗಾತ್ರದ ಮಾದರಿಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಾತ್ರದ ಮಾದರಿಯೊಂದಿಗೆ, "ಹೊರಗಿನ" ಕೆಲವು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕ್ರಾಲ್ ಮಾಡುವ ಕೀಟದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವೇಷಿಸಬಹುದು). (v) ಭಾಗಗಳನ್ನು ಎರಡು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣನೆಯಿಂದ ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಕೃತಿಯಷ್ಟೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಎನಾನ್ಷಿಯೋಮಾರ್ಫಸ್ ಜೋಡಿಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತೇವೆ (ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ). ನಿಯಮಗಳು (i) ರಿಂದ (iii) ಮುಖದ ಸಮತಲಗಳಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ನಿಯಮ (iv) ಸಮಾಧಿ ಮಾಡಿದ ರಂಧ್ರಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯಮ (ವಿ) ಸರಳವಾದ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಪರ್ಕ ಕಡಿತಗೊಂಡ ಸಂಯುಕ್ತವನ್ನು ತಡೆಯುತ್ತದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಈ ಕೆಲಸದ ಹಿಂದಿನ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರೇರಕ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರು. ಅವರು ಮಿಲ್ಲರ್ ಅವರ ನಿಯಮಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮೂಲ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಿದರು, ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ಹಲವಾರು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು, ಅದರ ಬಳಕೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ ನವೀನವಾಗಿತ್ತು. ನಕ್ಷತ್ರಪುಂಜದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅನೇಕ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದರು. ನಂತರ ಅವರು ಮಿಲ್ಲರ್ ಅವರ ನಿಯಮಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅನುಮತಿಸಲಾದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಲು ಪಕ್ಕದ ಸಮತಲ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಇಲ್ಲಿ ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲಾದ ಅವರ ಗ್ರಾಫ್, ನಕ್ಷತ್ರಪುಂಜದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ವಿವಿಧ ಮುಖಗಳ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). ಗ್ರೀಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಸಂಭಾವ್ಯ ಪರ್ಯಾಯಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆಃ λ 3 ಅಥವಾ 4 μ 7 ಅಥವಾ 8 ν 11 ಅಥವಾ 12 ಆಗಿರಬಹುದು ಡು ವ್ಯಾಲ್ ಡು ವ್ಯಾಲ್ ಅವರು ಮೂಲ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಸುತ್ತಲೂ "ಚಿಪ್ಪುಗಳಲ್ಲಿ" ಇರುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಕೋಶಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂಕೇತವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು. ಇದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅವರು ಮಿಲ್ಲರ್ ಅವರ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಿದರು, ಇದು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಅವರ ಹೆಚ್ಚು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ದೃಢಪಡಿಸಿತು. ಫ್ಲಾದರ್ ಫ್ಲಾದರ್ ಅವರ ಕೊಡುಗೆ ಪರೋಕ್ಷವಾಗಿತ್ತುಃ ಅವರು ಎಲ್ಲಾ 59 ಕಾರ್ಡ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ಅವರು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ರನ್ನು ಭೇಟಿಯಾದಾಗ ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಕೆಲವು "ಮಿಲ್ಲರ್ ಅಲ್ಲದ" ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅನೇಕ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದರು. ಅವರು ಇಂಗ್ಲೆಂಡ್ನ ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಗಣಿತ ಗ್ರಂಥಾಲಯದಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿರುವ ಐವತ್ತೊಂಬತ್ತು ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು. ಗ್ರಂಥಾಲಯವು ಕೆಲವು ಮಿಲ್ಲರ್ ಅಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಇವುಗಳನ್ನು ಫ್ಲಾದರ್ ಅಥವಾ ಮಿಲ್ಲರ್ನ ನಂತರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಯಾರಿಸಿದ್ದಾರೆಯೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಪೆಟ್ರಿ ಜಾನ್ ಫ್ಲಿಂಡರ್ಸ್ ಪೆಟ್ರಿ ಅವರು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಅವರ ಜೀವಮಾನದ ಸ್ನೇಹಿತರಾಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು. ಆತ ಮತ್ತು ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಅನೇಕ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ್ದರು. ಐವತ್ತೊಂಬತ್ತು ಐಕೋಸಾಹೆದ್ರಕ್ಕೆ ಅವರ ನೇರ ಕೊಡುಗೆಯು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಸೊಗಸಾದ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಪ್ರಕಟಿತ ಕೃತಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಕರ್ಷಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ದಿ ಕ್ರೆನ್ನೆಲ್ಸ್ ಫಾರ್ ದಿ ಥರ್ಡ್ ಎಡಿಷನ್, ಕೇಟ್ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಕ್ರೆನ್ನೆಲ್ ಪಠ್ಯವನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಮರುರೂಪಿಸಿದರು. ಅವರು ಕೆಲವು ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಮಾದರಿಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಉಲ್ಲೇಖ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಹ ಸೇರಿಸಿದರು (ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇವೆಲ್ಲವೂ ಫ್ಲಾದರ್ನದ್ದೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿತ್ತು). ಈ ಆವೃತ್ತಿಯ ತಿದ್ದುಪಡಿಗಳನ್ನು ಆನ್ಲೈನ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ಗಿಂತ ಮೊದಲು ಐವತ್ತೊಂಬತ್ತು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ, ಬ್ರಕ್ನರ್ ಮತ್ತು ವೀಲರ್ ಮಾತ್ರ ಯಾವುದೇ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸಿದ್ದರು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಗ್ರೇಟ್ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನಂತಹ ಕೆಲವು ದೀರ್ಘಾವಧಿಯವರೆಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದ್ದವು. ದಿ 59 ರ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ನಂತರ, ವೆನ್ನಿಂಗರ್ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುವ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು; ಅವರ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ ಸಂಖ್ಯಾ ವಿಧಾನವು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಆದರೂ ಅವರು ಕೆಲವು ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ದಾಖಲಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿರುವ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳದ ಹೊರತು ಕ್ರೆನ್ನೆಲ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆಃ ಕ್ರೆನ್ನೆಲ್ ಕ್ರೆನ್ನೆಲ್ಗಳಿಂದ ಮೂರನೇ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ 32 ರೂಪಗಳು (ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು 1-32) ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮಾದರಿಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ 27 (ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳು 33-59) ಕೇವಲ ಬಲಗೈ ರೂಪಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಕೈರಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇದು ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ವರ್ಣಮಾಲೆಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿರುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಡು ವ್ಯಾಲ್ನ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಶೆಲ್ಅನ್ನು ದಪ್ಪ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿರುವ a, b, c,., h ಆಗಿ ಹೊರಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಚಿಪ್ಪುಗಳು ಎರಡು ವಿಧದ ಜೀವಕೋಶಗಳಾಗಿ ಉಪವಿಭಾಗಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ e ಯು e1 ಮತ್ತು e2 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಎಫ್ 1 ಅನ್ನು ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡಗೈ ರೂಪಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಎಫ್ 1 (ಸರಳ ಪ್ರಕಾರ) ಮತ್ತು ಎಫ್ 1 (ಇಟಾಲಿಕ್). ನಕ್ಷತ್ರಪುಂಜವು ಹೊರಗಿನ ಚಿಪ್ಪಿನೊಳಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕೋಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಲ್ಲಿ, ಹೊರಗಿನ ಚಿಪ್ಪನ್ನು ದೊಡ್ಡಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ a + b + c + e1 ಅನ್ನು Ce1 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಖಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಣ್ಣಗಳು ನಕ್ಷತ್ರಪುಂಜದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ, ಅವು ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಸಂಭವಿಸಬೇಕು. ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅಂತಹ 13 ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕೈರಲ್ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ಉಪವಿಭಾಗಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ (ತೋರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ), ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯಲ್ಲ. ಟೇಬಲ್ನಲ್ಲಿ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಕಾಣುವ ಮುಖಗಳನ್ನು ಅಪಾಸ್ಟ್ರಫಿಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 3. ವೆನ್ನಿಂಗರ್ ಅವರ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಮಾದರಿಗಳು ಎಂಬ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವಂತೆ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ವೆನ್ನಿಂಗರ್ ಅವರ ಪ್ರಕಾಶಕರು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಹಂಚಿಕೊಂಡರು ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಅವರ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳು ಮಾತ್ರ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾದವು. ಅವನ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ". ಆಫ್ ದಿ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್" ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ. ವೀಲರ್ ನಕ್ಷತ್ರಪುಂಜದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ತನ್ನ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅಥವಾ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ "ರೂಪಗಳನ್ನು" ಕಂಡುಕೊಂಡನು. ಅವರು ಇದನ್ನು ಕೆಪ್ಲರ್ನ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಜೋಡಣೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಿದರು. ಕಾಕ್ಸೆಟರ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳು ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದರು. ಬ್ರೂಕ್ನರ್ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಬ್ರೂಕ್ನರ್ ಅನೇಕ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾಗಳ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ತೆಗೆದರು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಮಾತ್ರ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾಗಳಾಗಿದ್ದವು. ತಾಫ್. ಇದು ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಟಾಫೆಲ್ನ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ನಂ. 8 ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ಪೈನಿ ಆಂಟಿಯೇಟರ್ ಅಥವಾ ಎಕಿಡ್ನಾಗೆ ಕಲ್ಪಿತ ಹೋಲಿಕೆಯ ನಂತರ ಎಕಿಡ್ನಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬಳಕೆಯು ಕೆಪ್ಲರ್ ತನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಕ್ಷತ್ರ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ತನ್ನ ಎಕಿಡ್ನೆ ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಐವತ್ತೊಂಬತ್ತು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಾದ ಕೋಷ್ಟಕ ಕೆಲವು ಚಿತ್ರಗಳು ಕನ್ನಡಿ-ಚಿತ್ರಣದ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನನ್ನು ಎಫ್1 ಕೋಶದ ಬದಲಿಗೆ ಎಫ್1ನೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ವೆನ್ನಿಂಗರ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಮಾದರಿಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ-ವೆನ್ನಿಂಗರ್ ಅವರ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಮಾದರಿಗಳು ಈ 21 ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಘನವಸ್ತುಗಳು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬ್ರೂಕ್ನರ್, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ (1900). ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ವಿಷಯಗಳು. ಲೀಪ್ಜಿಗ್ಃ ಬಿ. ಜಿ. ಟ್ರೆಬ್ನರ್. .. ವರ್ಲ್ಡ್ಕ್ಯಾಟ್ ಇಂಗ್ಲಿಷ್ಃ ಪಾಲಿಗನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಃ ಥಿಯರಿ ಮತ್ತು ಹಿಸ್ಟರಿ. ಮಾದರಿಗಳ ಛಾಯಾಚಿತ್ರಗಳುಃ ಟಫೆಲ್ VIII (ಪ್ಲೇಟ್ VIII), ಇತ್ಯಾದಿ. ಹೈ ರೆಸ್. ಸ್ಕ್ಯಾನ್. ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಮ್. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, ಪ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ ಡು ವಾಲ್, ಎಚ್. ಟಿ. ಫ್ಲಾದರ್, ಜೆ. ಎಫ್. ಪೆಟ್ರಿ (1938) ದಿ ಫಿಫ್ಟಿ-ನೈನ್ ಇಕೋಸಾಹೆಡ್ರ, ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಟೊರೊಂಟೊ ಸ್ಟಡೀಸ್, ಗಣಿತದ ಸರಣಿ 6:1-26. ಮೂರನೇ ಆವೃತ್ತಿ (1999) ಟಾರ್ಕ್ವಿನ್ ವೆನ್ನಿಂಗರ್, ಮ್ಯಾಗ್ನಸ್ ಜೆ. (1983) ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಮಾದರಿಗಳು; ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಪೇಪರ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆವೃತ್ತಿ (2003). .. ಎ. ಎಚ್. ವೀಲರ್ (1924) "ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಕೆಲವು ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನ", ಪ್ರೊಸೀಡಿಂಗ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್, ಟೊರೊಂಟೊ, ಸಂಪುಟ. 1, pp 701-708. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಉದಾಹರಣೆ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳು ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳ ಐವತ್ತೊಂಬತ್ತು ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳು ಜಾರ್ಜ್ ಹಾರ್ಟ್, ಐಕೋಸಾಹೆಡ್ರನ್ನ 59 ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ಗಳು-ವಿಆರ್ಎಂಎಲ್ 3ಡಿ ಕಡತಗಳು. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಶನ್ ಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕಗಳು