Proof that π is irrational
1760ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಜೋಹಾನ್ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು, ಅಂದರೆ ಇದನ್ನು ಭಿನ್ನಾಂಶವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. 19ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಹರ್ಮೈಟ್ ಮೂಲಭೂತ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಮೀರಿದ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಪುರಾವೆಯ ಮೂರು ಸರಳೀಕರಣಗಳು ಮೇರಿ ಕಾರ್ಟ್ರೈಟ್, ಇವಾನ್ ನಿವೇನ್ ಮತ್ತು ನಿಕೋಲಸ್ ಬರ್ಬಾಕಿ ಅವರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿವೆ. ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ನ ಪುರಾವೆಯ ಸರಳೀಕರಣವಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆಯು ಮಿಕ್ಲೋಸ್ ಲ್ಯಾಕ್ಜ್ಕೋವಿಚ್ನಿಂದಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಪುರಾವೆಗಳಾಗಿವೆ. 1882ರಲ್ಲಿ, ಫರ್ಡಿನ್ಯಾಂಡ್ ವಾನ್ ಲಿಂಡೆಮನ್ ಇದು ಕೇವಲ ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅತೀಂದ್ರಿಯವೂ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ನ ಪುರಾವೆ 1761ರಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಈ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಮೊದಲು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರುಃ ನಂತರ ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೂ ಆಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ನ ಪುರಾವೆಯ ಸರಳೀಕರಣವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಪುರಾವೆಯು 1873 ರಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿತು, ಈ ಪುರಾವೆಯು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಅರ್ಧವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವೇಚನಾರಹಿತತೆಯ ಅನೇಕ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ಇದು ವಿರೋಧಾಭಾಸದ ಪುರಾವೆಯಾಗಿದೆ. ನೈಜ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಇವುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಮಟ್ಟವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಮುಚ್ಚಿದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡಿತು, ಅಂದರೆ ಅವರು ಈ ಸಮರ್ಥನೆಯನ್ನು ಸಮರ್ಥಿಸಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು, ಇಂಡಕ್ಟಿವ್ ಹಂತಕ್ಕೆ, ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಹರ್ಮೈಟ್ ತನ್ನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಅಂತ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದರ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ತನ್ನ ಹುಡುಕಾಟದ ನಂತರದ ಆಲೋಚನೆಯಾಗಿ ಅವರು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಚರ್ಚಿಸಿದರು. ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂ-ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ವಿವಿಧ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ (ಕಾರ್ಟ್ರೈಟ್ನ, ಬೌರ್ಬಾಕಿಯ ಅಥವಾ ನಿವೇನ್ರ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ), ಇದನ್ನು ಹರ್ಮೈಟ್ ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು (ಅವನು ತನ್ನ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ). ಇದಲ್ಲದೆ, ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಪುರಾವೆಯು ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ನ ಪುರಾವೆಗೆ ತೋರುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕಾರ್ಟ್ರೈಟ್ನ ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ನ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗದ "ಅವಶೇಷ" (ಅಥವಾ "ಉಳಿದ") ಹೆರಾಲ್ಡ್ ಜೆಫ್ರೀಸ್ ಈ ಪುರಾವೆಯನ್ನು 1945 ರಲ್ಲಿ ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಮೇರಿ ಕಾರ್ಟ್ರೈಟ್ ಅವರು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಇರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಅವರು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ. ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಐಎ ಕೋರ್ಸ್ಗಾಗಿ ಇದು ಇಂದಿಗೂ 4ನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಿರುವ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಭಾಗಗಳ ಎರಡು ಏಕೀಕರಣಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ನಂತರ ಬಲಭಾಗವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಮಧ್ಯಂತರವು ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯು ಹರ್ಮೈಟ್ನ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯಗಳ ಪ್ರೇರಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅವಿಭಾಜ್ಯವೆಂದು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿವೆನ್ ಅವರ ಪುರಾವೆ ಈ ಪುರಾವೆಯು ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಶೂನ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಅದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ಕೆಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳದೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಎರಡೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಮತ್ತು, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಕ್ಲೈಮ್ 1: ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆಃ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ, ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುವ ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಸಹ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಸಹ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಹಕ್ಕು 2: ಪುರಾವೆಃ ಇದು ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು sin '= cos ಮತ್ತು cos' = − sin ನಿಂದ ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿಯಮವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು (ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ), ಕ್ಲೈಮ್ 2 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ತೀರ್ಮಾನಃ ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಫಾರ್ (ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸೈನ್ ಕಾರ್ಯದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಧನಾತ್ಮಕ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ), ಹಕ್ಕುಗಳು 1 ಮತ್ತು 2 ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದರ ಮೂಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಕ್ಲೈಮ್ 2 ರ ಮೂಲಕ ಇವುಗಳಿಗೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಇದು ಅಸಾಧ್ಯ ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದ ಮೂಲ ಊಹೆಯು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಪುರಾವೆಯು ಪಾಲಿಶ್ ಮಾಡಲಾದ ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಭಾಗಗಳ ಏಕೀಕರಣದಿಂದ ಪಡೆಯುವ ಸೂತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸರಳವಾಗಿ ಇಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹಕ್ಕು 2 ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಳಕೆಯು ಭಾಗಗಳಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಮರೆಮಾಡುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಶೂನ್ಯ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ. ಹಕ್ಕು 1 ಉಳಿದ ಮೊತ್ತವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿವೇನ್ರ ಪುರಾವೆಯು ಕಾರ್ಟ್ರೈಟ್ನ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹರ್ಮೈಟ್ನ) ಪುರಾವೆಗೆ ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲೇ ಕಾಣಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರ್ಯಾಯವು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಪುರಾವೆಗಳ ನಡುವಿನ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಬಂಧವು ಹರ್ಮೈಟ್ ಈಗಾಗಲೇ ಇಫ್ ಒಂದು ಬಹುಪದೀಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅದು ಬೌರ್ಬಾಕಿಯ ಪುರಾವೆ ಬೌರ್ಬಾಕಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅವನ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಗ್ರಂಥದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ b ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಇತರರಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಜೊತೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಭಾಗಗಳಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಏಕೀಕರಣವು ನಮಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಈ ಕೊನೆಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಶೂನ್ಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ) ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯವು (ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ವಿಷಯವು ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುವುದರಿಂದ, ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಅದಕ್ಕಿಂತಲೂ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬೇಕು. ಆದರೆ ಅದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ಆ ಮೂಲಕ ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಹ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಈ ಪುರಾವೆಯು ನಿವೇನ್ ಅವರ ಪುರಾವೆಗೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಕ್ಜ್ಕೋವಿಚ್ನ ಪುರಾವೆ ಮಿಕ್ಲೋಸ್ ಲ್ಯಾಕ್ಜ್ಕೋವಿಚ್ನ ಪುರಾವೆಯು ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ನ ಮೂಲ ಪುರಾವೆಯ ಸರಳೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ದಾವೆ 1ರ ಹೊರತಾಗಿ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ದಾವೆ 2ರ ಶಕ್ತಿಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದುಃ ಪ್ರತಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಪುರಾವೆಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹಾಗಾದರೆ ದಾವೆ 3: ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಪುರಾವೆಃ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಏಕೆ ಎಂದು ನೋಡಲು, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಈಗ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಕ್ಲೈಮ್ 2 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲದರ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಹಕ್ಕು 3ರ ಮತ್ತೊಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಅದು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ. ಲ್ಯಾಕ್ಜ್ಕೋವಿಚ್ನ ಪುರಾವೆಯು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಇದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಗೌಸ್ ಅದರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೈಪರ್ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಇದು ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಿರಂತರ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಕಾರ್ಯವು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ಹೊಸ ಮತ್ತು ಸರಳ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಲ್ಯಾಕ್ಜ್ಕೋವಿಚ್ಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಲ್ಯಾಕ್ಜ್ಕೋವಿಚ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, (ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ). ಆದ್ದರಿಂದ ಲ್ಯಾಕ್ಜ್ಕೋವಿಚ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಇ ಎಂಬುದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಪುರಾವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, ಅದು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪೈ ಲೇಖನ ಪುರಾವೆಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.