Heteroskedasticity-consistent standard errors
ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮತ್ತು ಸಮಯ ಸರಣಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಸ್ಥಿರ (ಎಚ್ಸಿ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳ ವಿಷಯವು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ರೀಡ್ಹೆಲ್ಮ್ ಐಕರ್, ಪೀಟರ್ ಜೆ. ಹ್ಯೂಬರ್ ಮತ್ತು ಹಾಲ್ಬರ್ಟ್ ವೈಟ್ ಅವರ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಇವುಗಳನ್ನು ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ರಬ್ಸ್ಟ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳು (ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ದೃಢವಾದ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳು), ಐಕರ್-ಹ್ಯೂಬರ್-ವೈಟ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳು (ಹ್ಯೂಬರ್-ವೈಟ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳು ಅಥವಾ ವೈಟ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳು) ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮತ್ತು ಟೈಮ್-ಸೀರೀಸ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಗಳ ಮೂಲ ರೂಪಗಳು ದೋಷಗಳು ಅಥವಾ ಅಡಚಣೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ವೀಕ್ಷಣಾ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಸಂಭವಿಸದಿದ್ದಾಗ, ದೋಷಗಳನ್ನು ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ನಡವಳಿಕೆಯು ಅಳವಡಿಸಲಾದ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾದ ಅವಶೇಷಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಉಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಅಳವಡಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡಲು ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್-ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮೊದಲ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹ್ಯೂಬರ್ (1967) ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಕ್ರಾಸ್-ಸೆಕ್ಷನಲ್ ಡೇಟಾ, ಟೈಮ್-ಸೀರೀಸ್ ಡೇಟಾ ಮತ್ತು GARCH ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ ಮತ್ತಷ್ಟು ಸುಧಾರಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳು ಮಾದರಿಯ ತಪ್ಪಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಈ ತಪ್ಪಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪಕ್ಷಪಾತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಕ್ಲಸ್ಟರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳು ಅಥವಾ ಎಚ್ಎಸಿ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳಂತಹ ಇತರ ರೀತಿಯ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗಳನ್ನು ಎಚ್ಸಿ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಸ್ಥಿರವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಫ್ರೀಡ್ಹೆಲ್ಮ್ ಐಕರ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಹಾಲ್ಬರ್ಟ್ ವೈಟ್ ಅವರು ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು. ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಲ್ಲಿ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ (ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳು) ಕೆ x 1 ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್, ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬೇಕಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕೆ × 1 ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಉಳಿದಿರುವ ದೋಷವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳು (ಒಎಲ್ಎಸ್) ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಿಕೆಯು ವೀಕ್ಷಣೆಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ದೋಷಗಳು ಸಮಾನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ಅಂದಾಜು ನೀಲಿ (ಅತ್ಯುತ್ತಮ ರೇಖೀಯ ಪಕ್ಷಪಾತವಿಲ್ಲದ ಅಂದಾಜುದಾರ) ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹಿಂಜರಿತದ ಅವಶೇಷಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಅಂದಾಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೋಷ ಪದಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದಾಗ (ಅಂದರೆ, ಊಹೆಯು ಸುಳ್ಳು), ಒಎಲ್ಎಸ್ ಅಂದಾಜುಗಾರನು ಅದರ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈಗ ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಇಲ್ಲಿ ಒಎಲ್ಎಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಂದಾಜುದಾರ ಪಕ್ಷಪಾತರಹಿತವಾಗಿದ್ದರೂ, ಕನಿಷ್ಠ ಸರಾಸರಿ ವರ್ಗ ದೋಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇದು "ಉತ್ತಮ" ಅಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಒಎಲ್ಎಸ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಂದಾಜುದಾರನು ಒಎಲ್ಎಸ್ ಅಂದಾಜುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಯಾವುದೇ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಲಾಗಿಟ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೋಬಿಟ್ ಮಾದರಿಗಳು), ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯು ಹೆಚ್ಚು ತೀವ್ರವಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳು ಪಕ್ಷಪಾತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಜ್ಞಾತ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ), ಜೊತೆಗೆ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯ ನಿಖರವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸದ ಹೊರತು). ಗ್ರೀನ್ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, "ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಅಂದಾಜುಗಾರನಿಗೆ ದೃಢವಾದ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಅದು ವಿಮೋಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ". ಪರಿಹಾರವು ಹಿಂಜರಿತ ದೋಷಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ವೈಟ್ನ (1980) ಅಂದಾಜುದಾರನನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಚ್ಸಿಇ (ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ಸ್ಥಿರ ಅಂದಾಜುಗಾರ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನಂತೆ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜುಗಾರನನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವಿಧಾನದ ಕ್ಷಣಗಳ (ಜಿಎಂಎಂ) ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವ (ವೈಟ್ನ ಕಾಗದವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ)-ಸ್ಥಿರವಾದ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ವಿತರಣೆಯ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಯಾವ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕಾಳಜಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಕ್ಕಿನ್ನಾನ್ & ವೈಟ್ (1985) ನಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ಅಂದಾಜುಗಾರರನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿಭಿನ್ನ ಹತೋಟಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಹಿಂಜರಿತದ ಅವಶೇಷಗಳ ಅಸಮಾನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವೈಟ್ನ ಅಂದಾಜುಗಾರನಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ದತ್ತಾಂಶವು ಹೋಮೋಸೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಅವರ ಅಂದಾಜುದಾರರು ನಿಷ್ಪಕ್ಷಪಾತವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಲಭ್ಯವಿರುವ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಆಯ್ಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಚ್ಸಿ0-ಎಚ್ಸಿ3 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಚ್ಸಿ3 ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಯು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಎಚ್ಸಿ3 ಅಂದಾಜು ಯಂತ್ರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ, ಇದು ಉತ್ತಮ ಶಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಉದ್ದೇಶಿತ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ. ಮಾದರಿಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಅಂದಾಜುದಾರರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಚಿಕ್ಕದಾಗುತ್ತದೆ. ವೈಲ್ಡ್ ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರಾಪ್ನಂತಹ ಮರುಸಾಮ್ಪ್ಲಿಂಗ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷದಿಂದ ಮರುಸಾಮ್ಪಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಬೂಟ್ಸ್ಟ್ರ್ಯಾಪ್, ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ-ರೋಬ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ದೋಷಗಳು ಆದಾಗ್ಯೂ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ದೋಷಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಬದಲು, ಹೆಚ್ಚಿನ ರೇಖೀಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೋಮೋಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ದೋಷ ಪದಗಳ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು (ದೋಷ ಪದವು ರಚನೆಯಿಂದ ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ರೇಖೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ತೂಕದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಇದು ಸುಧಾರಿತ ದಕ್ಷತೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಡೆಲ್ಟಾ ವಿಧಾನದ ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಲೀಸ್ಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಸ್ ಜನರಲೈಸ್ಡ್ ಎಸ್ಟಿಮೇಟಿಂಗ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೋಡಿ, ತೂಕದ ಲೀಸ್ಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಸ್, ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ವೈಟ್ ಟೆಸ್ಟ್-ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಸಿಟಿ ಇದೆಯೇ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪರೀಕ್ಷೆ. ನ್ಯೂಯಿ-ವೆಸ್ಟ್ ಅಂದಾಜುಗಾರ ಅರೆ-ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜು ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಇವಿ ವ್ಯೂಸ್ಃ ಇವಿ ವ್ಯೂಸ್ ಆವೃತ್ತಿ 8 ದೃಢವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಎಂ-ಅಂದಾಜು (ಹ್ಯೂಬರ್, 1973), ಎಸ್-ಅಂದಾಜು (ರೂಸೀವ್ ಮತ್ತು ಯೋಹೈ, 1984), ಮತ್ತು ಎಂಎಂ-ಅಂದಾಜು (ಯೋಹೈ 1987). ಜೂಲಿಯಾಃ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಹೆಟೆರೊಸ್ಕೆಡಾಸ್ಟಿಕ್ ದೃಢವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ಃ ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಟೂಲ್ಬಾಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಚ್ಎಸಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಪೈಥಾನ್ಃ ಸ್ಟ್ಯಾಟ್ಸ್ ಮಾಡೆಲ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ವಿವಿಧ ದೃಢವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ statsmodels.regression.linear_model.RegressionResults ಅನ್ನು ನೋಡಿಃ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ನಿಂದ ಆರ್ಃ vcovHC () ಆಜ್ಞೆ. RATS: ಆಯ್ಕೆಯು ಅನೇಕ ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಮತ್ತು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕಮಾಂಡ್ಗಳಲ್ಲಿ (,, ಇತ್ಯಾದಿ) ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಸ್ಥಿತಿಃ ಅನೇಕ ಹುಸಿ-ಜೀವನೋಪಾಯ ಆಧಾರಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ದೃಢವಾದ ಆಯ್ಕೆ. ಗ್ರೆಟ್ಲ್ಃ ಕ್ರಾಸ್-ಸೆಕ್ಷನಲ್ ಡೇಟಾಸೆಟ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅಂದಾಜು ಆಜ್ಞೆಗಳಿಗೆ (ಓಎಲ್ಎಸ್ನಂತಹ) ಆಯ್ಕೆಯು ದೃಢವಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಬುಜಾ, ಆಂಡ್ರಿಯಾಸ್, ಮತ್ತು ಇತರರು ಓದಿದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. "ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿ ಮಾದರಿಗಳು-ಹಿಂಜರಿತದಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೀರ್ಮಾನದ ವಿರುದ್ಧ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಹಿಂಜರಿತಗಳು ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಪಿತೂರಿ". ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸ್ (2015): 1. ರಿಗ್ರೆಷನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಏಕಕಾಲಿಕ ಸಮೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳು (ಎಕನಾಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳು ಸಮಯ ಸರಣಿಯ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ರಿಗ್ರೆಷನ್