Vietoris–Rips complex
ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ವಿಯೆಟೋರಿಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ರಿಪ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್, ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ದೂರದಿಂದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದು, ಗರಿಷ್ಠ δ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ M ಮತ್ತು ದೂರ δ ಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಇದು M ನ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು k ಬಿಂದುಗಳ ಉಪಗುಂಪನ್ನು (k−1)-ಆಯಾಮದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ (ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಚು, ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ, ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್, ಇತ್ಯಾದಿ. ); ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ S ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಗರಿಷ್ಠ δ ಎಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣದಲ್ಲಿ S ಅನ್ನು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಆಗಿ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಮೂಲತಃ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಲಿಯೋಪೋಲ್ಡ್ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್ ಇದನ್ನು ಸರಳ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಂದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಎಲಿಯಾಹು ರಿಪ್ಸ್ ಅದೇ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು, ಅವರು ಇದನ್ನು ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆದರು. ಇದಕ್ಕೆ "ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್" ಎಂಬ ಹೆಸರು ಬಂದಿದೆ. ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಚೆಂಡುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ (ಅಥವಾ ನರ) ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಛೇದಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚೆಂಡುಗಳ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ Yಯಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು δ ಅಂತರಕ್ಕಾಗಿ X ′Yಯು X ನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ Yಯಲ್ಲಿ δ/2 ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, X ನ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು X ನ ಆಂತರಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ಜಾಗಕ್ಕೆ X ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಏಕರೂಪದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ M3 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಪರಸ್ಪರ ಏಕಮಾನದ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. M3ಯ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು, δ = 1ಗಾಗಿ, M3ಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ M3ಗೆ ತ್ರಿಕೋನವೂ ಸೇರಿದೆ. ನಾವು ಎಂ3ಅನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿದರೆ, ಎಂ3ಯ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯ-1/2 ಚೆಂಡುಗಳ ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಇತರ ಎಲ್ಲಾ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಈ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಚೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, M3 ಅನ್ನು ಬದಲಿಗೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಿದರೆ, ಅದು M3 ನ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದ 1/2 ದೂರದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕನೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ತ್ರಿಜ್ಯ-1/2 ಚೆಂಡುಗಳ ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಂ3ಯಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿರ-ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡುಗಳ ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಯಾವ ದೊಡ್ಡ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎಂ3 ಅನ್ನು ಅಳವಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ X ಅನ್ನು ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ Yಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಿದರೆ, δ ಮತ್ತು X ಅಂತರಕ್ಕಾಗಿ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು Yಯಲ್ಲಿ Xನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ δ/2 ತ್ರಿಜ್ಯದ ಚೆಂಡುಗಳ ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂ ನ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಎಂ ನ ಬಿಗಿಯಾದ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಚೆಂಡುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ಲಿಕ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ δ = 1 ರ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದರ 1-ಅಸ್ಥಿಪಂಜರವು ಅದರ ಬಿಂದುಗಳ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಗುಂಪು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಥವಾ ಧ್ವಜ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ G ಯ ಗುಂಪು ಸಂಕೀರ್ಣವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದ್ದು, G ಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದೂರವು G ಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು M ಒಂದು ಮುಚ್ಚಿದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ δ ಯ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು M ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ M ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಸ್ಥಳಗಳು M ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾದ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುವಿನ ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಚಕ್ರವು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳಬಹುದೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತೆಯೇ, ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ವೈರ್ಲೆಸ್ ಸಂವಹನ ಜಾಲಗಳ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ, ಸಂವಹನ ನೋಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ನಿಖರವಾದ ಭೌತಿಕ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳದೆ. ಒಂದು ಅನನುಕೂಲವೆಂದರೆ, ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣವು ಸಂವಹನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಅಂತರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡು ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ನಡುವೆ ಚೆಚ್ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು δ ನ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ನಿವಾರಿಸಬಹುದು. ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನವನ್ನು ಟಿಡಿಎಸ್ಟ್ಯಾಟ್ಸ್ ಆರ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಡಿಜಿಟಲ್ ಚಿತ್ರ ದತ್ತಾಂಶದಲ್ಲಿ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ-ಹೊರತೆಗೆಯುವಿಕೆಗಾಗಿ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ; ಈ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ನಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಕಡಿಮೆ-ಮಟ್ಟದ ಚಿತ್ರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಎಲ್ಲಾ ವಿಯೆಟೋರಿಸ್-ರಿಪ್ಸ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ನಿರಂತರ ಹೋಮೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ರಿಪ್ಸ್ ಫಿಲ್ಟರೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸರಳ ಸೆಟ್ಗಳು