Hellinger distance
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ದೂರವನ್ನು (ಭಟ್ಟಚಾರ್ಯ ಅಂತರಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೂ, ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ) ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಎಫ್-ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರವನ್ನು ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ 1909ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಜೆಫ್ರೀಸ್ ದೂರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅಳತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ದೂರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಸಹಾಯಕ ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಅಳತೆ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಅಂತಹ ಕ್ರಮವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರದ ವರ್ಗವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ಅಂದರೆ. ಮತ್ತು ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂಗಳ ರೇಡಾನ್-ನಿಕೋಡಿಮ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಇದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಎರಡೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ನಡುವಿನ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಂದ್ರತೆಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ದೂರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ನಾವು λ ಅನ್ನು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳತೆ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ dP/dλ ಮತ್ತು dQ/dλ ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ f ಮತ್ತು g ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ದೂರವನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಆಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡನೇ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ದೂರ ಎಚ್ (ಪಿ, ಕ್ಯೂ) ಗುಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ (ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ) ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಗಳು ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ದೂರವನ್ನು ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಲದೆ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ದೂರವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. Q ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೆಟ್ಗೆ P ಸಂಭವನೀಯತೆ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿದಾಗ ಗರಿಷ್ಠ ದೂರ 1 ಅನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮುಂಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಎರಡು ವರ್ಗಮೂಲಗಳವರೆಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ದೂರವು ಭಟ್ಟಾಚಾರ್ಯ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ದೂರಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಇದುಃ ಎರಡು ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಇದು ಎರಡು ಘಾತೀಯ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಇದುಃ ಎರಡು ವೈಬುಲ್ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರ ಮತ್ತು (ಇಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ): ದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರ ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು, ಇದುಃ ಎರಡು ಬೀಟಾ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಇದುಃ ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಎರಡು ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಇದುಃ ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಂತರದೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಹೆಲ್ಲಿಂಗರ್ ದೂರ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ದೂರ (ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದೂರ) ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆಃ ಈ ಅಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ನೀವು ಯಾವ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ (ಅಥವಾ) ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳು 1-ಮಾನದಂಡ ಮತ್ತು 2-ಮಾನದಂಡದ ನಡುವಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಕುಲ್ಬ್ಯಾಕ್-ಲೀಬ್ಲರ್ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಭಟ್ಟಾಚಾರ್ಯ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಟೋಟಲ್ ವೇರಿಯೇಷನ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಫಿಶರ್ ಇನ್ಫರ್ಮೇಷನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫರೆನ್ಸ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಸ್ ಎಫ್-ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಡಿಸ್ಟೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.