Stack (mathematics)
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅಥವಾ 2-ಶೀಫ್, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಟ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಶೀಫ್ ಆಗಿದೆ. ಇಳಿಜಾರಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರದಿದ್ದಾಗ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್, ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು (ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳಂತಹವು) ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಧಾರದ ನಿರ್ಬಂಧದೊಳಗೆ "ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸಬಹುದಾದ" ಸನ್ನಿವೇಶಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಸೆಂಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಫೈಬರ್ ವರ್ಗಗಳು ಅಂತಹ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲು ಉತ್ತಮ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಅದು ಫೈಬರ್ ವರ್ಗವಾಗಿದ್ದು, "ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಗ್ಲೂಯಿಂಗ್ಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ". ಗ್ಲೂಯಿಂಗ್ಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟತೆಗೆ ಗ್ಲೂಯಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಕವರ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಹೊದಿಕೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಷೆಯು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ಬೇಸ್ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಫೈಬ್ರೆಡ್ ವರ್ಗವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಫೈಬ್ರೆಡ್ ವರ್ಗವು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೆಲವು ಗ್ಲೂಯಿಂಗ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸುವ ಕೆಲವು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು (ಆರ್ಟಿನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ) ಮತ್ತು ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಯೋಜನೆಗಳು ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಸೇರ್ಪಡೆಗಳಿವೆಃ ಯೋಜನೆಗಳು-ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳು-ಡೆಲಿಗ್ನೇ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು-ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು (ಆರ್ಟಿನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು)-ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು. ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ವಿವರಗಳನ್ನು ನೀಡಿ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಪರಿಚಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿ, ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರಿದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೇರಣೆ ಮತ್ತು ಇತಿಹಾಸ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಸಂತತಿಯ ದತ್ತಾಂಶದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ. 1959ರಲ್ಲಿ ಸೆರ್ರೆಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ, ಉತ್ತಮ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮೂಲಭೂತ ಅಡಚಣೆಯೆಂದರೆ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಎಂದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಗಮನಿಸಿದರು. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರೇರಣೆಯೆಂದರೆ, ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದಾಗಿ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊದಲು, ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಗುಂಪನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು "ಸ್ಟ್ಯಾಕ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಮೂಲ ಫ್ರೆಂಚ್ ಪದ "ಚಾಂಪ್" ಅಂದರೆ "ಕ್ಷೇತ್ರ" ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಅವರು ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಅವರು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆದರು, ಆದರೂ "ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್" ಎಂಬ ಪದವು ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಆರ್ಟಿನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಂದ ಯೋಜನೆಗಳ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ, ಅಂಶವು ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಾಗಿರುವುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಲವು ಅಂಕಗಳು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಯೋಜನೆಗಳ ನಡುವೆ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಅಂಶವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳು, ವಾಹಕ ಕಟ್ಟುಗಳು ಅಥವಾ ಇತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯೋಜನೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಎಂದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊದಲು ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಿ ದೊಡ್ಡ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಅತಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗಿರುವ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮೂಲಕ ಭಾಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಅಮೂರ್ತ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಒಂದು ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಫಂಕ್ಟರ್ ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ವರ್ಗವನ್ನು ಫೈಬರ್ಡ್ ವರ್ಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರದ ಯಾವುದೇ ವಸ್ತುವಿಗೆ (ಫಂಕ್ಟರ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ), ಬೈ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಇದ್ದರೆ. ಇದರರ್ಥ ಚಿತ್ರದೊಂದಿಗಿನ ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಫಿಸಂನಿಂದ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಆಫ್ ಅಲಾಂಗ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ವರ್ಗ ಸಿ ಅನ್ನು ಸಿ ಮೇಲೆ ಫೈಬರ್ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದರೆ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗ ಸಿ ಮೇಲೆ ಪ್ರಿಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವಸ್ತು ಯು ಸಿ ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ x, y ಯು ಯು ಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಿ, ಎಫ್ಃ ವಿ → ಯು ಟು ಹೋಮ್ (ಎಫ್ * ಎಕ್ಸ್, ಎಫ್ * ವೈ) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ವರ್ಗ ಸಿ/ಯು ನಿಂದ ಫಂಕ್ಟರ್ ಒಂದು ಕೋಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯು ಸೀವ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲಃ ಪ್ರಿಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಪ್ರೀಸ್ವೀವ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಪ್ರೀಸ್ವೀವ್ಗಳ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಇದನ್ನು ಪ್ರಿಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಆಸ್ತಿಯಾಗಿ ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ವರ್ಗ ಸಿ ಅನ್ನು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ವರ್ಗ ಸಿ ಮೇಲೆ ಸ್ಟಾಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಿ ಮೇಲೆ ಪ್ರಿಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅವರೋಹಣ ದತ್ತಾಂಶವು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಅವರೋಹಣ ದತ್ತಾಂಶವು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಒಂದು ಕುಟುಂಬ ವಿ ಯಿಂದ C ಯ ವಸ್ತುವಿನ V ಯ ಹೊದಿಕೆ, ವಿ ಯಿಂದ ಫೈಬರ್ನಲ್ಲಿರುವ xi ಅಂಶಗಳು, ಮತ್ತು xi ಮತ್ತು xj ಯಿಂದ ವಿಜ್ = ವಿಐ × ವಿವಿಜೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳ ನಡುವಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ fki = fkjfj. xi ಅಂಶಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ವಿ ಚಿತ್ರವಿರುವ x ಅಂಶದ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅವರೋಹಣ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಫೈಬರ್ ಮಾಡಲಾಗಿದ್ದರೆ (2,1)-ಶೀಫ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಫೈಬರ್ಗಳು (ಸಿ ವಸ್ತುಗಳ ವಿಲೋಮ ಚಿತ್ರಗಳು) ಗ್ರೂಪೊಯಿಡ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು "ಸ್ಟ್ಯಾಕ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಗ್ರೂಪೋಯ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಅಥವಾ ಆರ್ಟಿನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಎಂಬುದು ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್. ಸೈಟ್ನ ಮೇಲಿರುವ ಗುಂಪುಗಳು ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದು ಎಕ್ಸ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಿಂದ (ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್) ಎಕ್ಸ್ಗೆ ಮೃದುವಾದ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಒಂದು ಮಾರ್ಫಿಸಂ Y X ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ಸ್ಕೀಮ್ನಿಂದ (ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ) X ಗೆ ಪ್ರತಿ ಮಾರ್ಫಿಸಂ S X ಗೆ, ಫೈಬರ್ ಉತ್ಪನ್ನ Y × X S ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಗಕ್ಕೆ (ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ) ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಫೈಬರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು 2-ಕಮ್ಯುಟ್ ಮಾಡುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಗಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಾಶಿಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕರ್ಣದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರೇರಣೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಿಗೆ, ಅವುಗಳ ಫೈಬರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಕರ್ಣ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ X ಆಗಿದ್ದು, ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಿಂದ X ಗೆ ಎಟೇಲ್ ಸರ್ಜೆಕ್ಷನ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳ ವಸ್ತುಗಳು ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಸ್ಥಳೀಯ ರಚನೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಪ್ರಾರಂಭದಿಂದಲೂ ಅವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ ರೂಪದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿತ್ತು. ಇದು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆಃ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಅರೆ-ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕಗಳು ಅಫೈನ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ರಿಡಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಟೆಬಿಲೈಸರ್ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಮೃದುವಾದ ಮತ್ತು ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಜಿಐಟಿ ಅಂಶದ ಎಟೇಲ್ ಕವರ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕ ಗುಂಪುಗಳ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಎಟೇಲ್ ಮಾರ್ಫಿಸ್ಮ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಶವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ವಸ್ತುವಿಗೆ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಬದಲಿಗೆ ಒಂದು ಗುಂಪು ಇರುತ್ತದೆ, ಅದರ ವಸ್ತುಗಳು ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಬಾಣಗಳು ಗುರುತಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರ, ಈ ಫಂಕ್ಟರ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ವಸ್ತುವು ಒಂದು ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶವು ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಮರೆತುಹೋಗುವ ಫಂಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ, ವರ್ಗವು ಫೈಬರ್ ಮಾಡಲಾದ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸ್ಕೀಮ್ ಇನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕಾಂಟ್ರಾವೇರಿಯೆಂಟ್ ಫಂಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಫೈಬರ್ ವರ್ಗವು. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಪ್ರಿಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು) ಈ ನಿರ್ಮಾಣದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅರೆ-ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಕರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಯೋಜನೆಯು ಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಎ ಗ್ರೂಪ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್. ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಃ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ವರ್ಗ V → S ಎಂಬುದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ S. V → S ನಿಂದ W → T ವರೆಗಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂ S ನಿಂದ T ವರೆಗೆ ಮತ್ತು V ನಿಂದ W ವರೆಗೆ (ಫೈಬರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖೀಯ) ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಫೈಬರ್ಡ್ ವರ್ಗ ಎಂಬ ಷರತ್ತು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಮತ್ತು ಡಿಸೆಂಟ್ ಡೇಟಮ್ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಷರತ್ತು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ತೆರೆದ ಕವರ್ನ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಯೋಜನೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಹೊದಿಕೆಗಳ ರಾಶಿಯು (ಎಫ್ಪಿಕ್ಯುಸಿ-ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಮೂಲ ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಗಳ ರಾಶಿಯು (ಮತ್ತೆ ಎಫ್ಪಿಕ್ಯುಸಿ ಟೋಪೋಲಜಿ ಅಥವಾ ದುರ್ಬಲವಾದದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಕ್ವೋಟಿಯೆಂಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ರಚನೆಗಳು ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೃದುವಾದ ಅಫೈನ್ ಗುಂಪು ಯೋಜನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಭಾಗಶಃ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಾಶಿಯು ಇರುತ್ತದೆ, ಇದು-ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ-ಸಮಾನವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳೊಂದಿಗೆ-ಟಾರ್ಸರ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು-ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಜಾಗವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು (ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಹೇಳುವುದಾದರೆ) ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಸಮೂಹಕ್ಕೆ ಜಾಗವನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ-ಸಮಾನವಾದ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಮತ್ತು ಪ್ರಧಾನ-ಬಂಡಲ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ವರ್ಗದ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಕೇವಲ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಾಗಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಾಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಾಣಗಳು ಪ್ರಧಾನ-ಕಟ್ಟುಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳಾಗಿವೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಎಕ್ಸ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗ ಇದರ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವು ಸ್ಮೂತ್ ಅಫೈನ್ ಗ್ರೂಪ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಜಿ ಯ ವರ್ಗೀಕರಣ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಬಿಜಿ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವರ್ಗ, ವೈ ಮೇಲೆ ಫೈಬರ್, ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರಧಾನ-ಕಟ್ಟುಗಳ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇದು ವೈ ಮೇಲೆ ಪ್ರಧಾನ ಜಿ-ಬಂಡಲ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉಪ-ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಪ್ರಧಾನ-ಕಟ್ಟುಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್. ಪ್ರಧಾನ-ಬಂಡಲ್ನ ದತ್ತಾಂಶವು ಶ್ರೇಣಿಯ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ನ ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಶ್ರೇಣಿಯ ವಾಹಕ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಪ್ರಧಾನ-ಬಂಡಲ್ಗೆ ಕ್ಯಾನೊನಿಕ್ ಆಗಿ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಂಬಂಧಿತ ರೇಖೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೇಖೆಯ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯ ವಿಭಾಗದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಪ್ರಧಾನ-ಕಟ್ಟು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ, ಸಂಬಂಧಿತ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ ಅನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಜರ್ಬ್ಸ್ ಎ ಜರ್ಬ್ ಎಂಬುದು ಯಾವಾಗಲೂ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ವರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರೂಪೋಯ್ಡ್ಗಳ ಒಂದು ರಾಶಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಯೋಜನೆಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಜರ್ಬ್, ಕೆಲವು ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಧಾನ-ಕಟ್ಟುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ರಿಲೇಟಿವ್ ಸ್ಪೆಕ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜ್ ಒಂದು ಸ್ಕೀಮ್ ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಕೋಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂವಹನ ರಿಂಗ್ ಎ ಯ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಸ್ಪೆಕ್ (ಎ) ರಚನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಸ್ಪೆಕ್ (ಎ) ಇರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪೆಕ್ (ಎ) ಯ ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಎಸ್-ಸ್ಕೀಮ್ ಟಿ, ಎಕ್ಸ್ (ಟಿ) ಯ ಒಂದು ವಸ್ತು, ಮತ್ತು ಟಿ ಯ ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ರಿಂಗ್ ಒ (ಟಿ) ಗೆ ಎಕ್ಸ್ * (ಎ) ಯಿಂದ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪೊರೆಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎ ಒಂದು ಸ್ಕೀಮ್ ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟಾಕ್ ಎಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಪೊರೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ರಿಂಗ್ ಎ ಯ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಕೀಮ್ ಪ್ರೊಜ್ (ಎ) ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಪ್ರೊಜ್ (ಎ) ಇರುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಮಾಡ್ಯುಲಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಎಂ1,1 ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಗುಂಪು ಕ್ರಮ 12 ರ ಆವರ್ತಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲದ ಅಂಶವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುಲದ ನಯವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕುಟುಂಬವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗವು ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮೃದುವಾದ ಕುಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಉತ್ತಮ ಪರ್ಯಾಯವಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಇದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಕುಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಅಥವಾ ಅಥವಾ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪುಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ) ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಸ್ಥಿರವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮತ್ತು) ಇದು ಸ್ಪೆಕ್ Z ಗಿಂತ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪಿನ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆ ಇದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಯೋಜನೆಗಳಿಗಿಂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.) ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ವರ್ಗವೆಂದರೆ ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳು, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾದ ಜಾತಿಯ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ನಡುವೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಚಿತ್ರವು ಸ್ಥಿರ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ವರ್ಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾಡು ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು, ಅವುಗಳ ಘಟಕಗಳು ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗದಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಲಾದ ನಯವಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಜಾಗದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ, ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಕ್ಷೀಣಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ತಳಪಾಯದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಒಂದು ಕುಲದ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಒಂದು ಕುಲದ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಯು ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಕುಲದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಕುಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದರ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಆಯಾಮದ ಆಯ್ಕೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ಗಡಿ ಘಟಕವು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇತರ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಪಿಕಾರ್ಡ್ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪು ಕಾನೂನುಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಔಪಚಾರಿಕ ಗುಂಪು ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕ ಯೋಜನೆಯಂತಹ ಇಂಡ್-ಸ್ಕೀಮ್ ಒಂದು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂನಲ್ಲಿ ಶ್ಟುಕಾಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಶ್ಟುಕಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ.) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ತೂಕದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ತೂಕದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯನ್ನು-ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕ್ರಿಯೆಯು ಟುಪ್ಲೆಂಡ್ ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗವು ತೂಕದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ ಇದನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅಂಶವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ತೂಕದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ pg 30 ಎಂದರೆ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ತೂಕದ ಬಹುಪದದ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಲೋಕಸ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸ್ಟ್ಯಾಕಿ ತೂಕದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ವೈವಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಕಿ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು, ಅಥವಾ ಆರ್ಬಿಕರ್ವ್ಗಳನ್ನು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಕವರ್ನ ಮೊನೊಡ್ರೊಮಿ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅಂಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಟೇಲ್ ಆಗಿದೆ. ಡೊಮೇನ್ನ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಅಂಶವು-ಚಾರ್ಟ್ನಲ್ಲಿನ ಏಕತೆಯ ಐದನೇ ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಸ್ಟೆಬಿಲೈಸರ್ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಟ್ಯಾಕಿ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಕಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇವು ಕವರ್ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ನಾನ್-ಅಫೈನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎರಡು ಸ್ಟ್ಯಾಕಿ ಮೂಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಧ-ಸಾಲಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಎರಡು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳ ಕೊಲಿಮಿಟ್ ಆಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಹೊದಿಕೆಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಹೊದಿಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಹೊದಿಕೆಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಹೊದಿಕೆಗಳ ವರ್ಗವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಕೋಶವು ಸರಿಸುಮಾರು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಕೋಶದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. "ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ" ಎಂದರೆ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆಃ ಇದು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಂಭಾವ್ಯ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿಲ್ಲ. ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಲವಾಗಿರಬೇಕು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಈ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಯೋಜನೆಗಳು ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸೆರ್ರೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದಂತೆ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಇದು ಉತ್ತಮ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಇಟೇಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಬ್ಬರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇವುಗಳಿಗೆ ಇಟೇಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ನಯವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮೃದುವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಿಗೆ ಈಟೇಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಸಾಕಷ್ಟು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಿ ಒಂದು ನಯವಾದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಬಿಜಿಯ ಏಕೈಕ ಈಟೇಲ್ ಕವರ್ಗಳು ಬಿಜಿಯ ಪ್ರತಿಗಳ ಒಕ್ಕೂಟಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ಕ್ವಾಸಿಕೋಹರೆಂಟ್ ಸೀವ್ಗಳ ಸರಿಯಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಿಗೆ ನಯವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಬದಲು, ಅದರ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಲಿಸ್-ಎಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಲಿಸ್ಸೆ-ಎಟೇಲ್ಗೆ ಚಿಕ್ಕದುಃ ಲಿಸ್ಸೆ ಎಂಬುದು ನಯವಾದ ಫ್ರೆಂಚ್ ಪದವಾಗಿದೆ), ಇದು ನಯವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಂತೆಯೇ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದರೆ ತೆರೆದ ಕವರ್ಗಳನ್ನು ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಇಟೇಲ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಸೀವ್ಗಳ ಸಮಾನ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಬಳಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಇಟೇಲ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಲಿಸ್-ಎಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ತಾಂತ್ರಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ಟೋಪೋಯಿಗಳ ನಡುವೆ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ನೀಡುವುದಿಲ್ಲ. (ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಟೋಪೋಯಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಪಕ್ಕದ ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಾದ ಎಫ್ *, ಎಫ್ * ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಫಂಕ್ಟರ್ ಎಫ್ * ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಪ್ರಕಟಿತ ಪತ್ರಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ದೋಷಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿದೆ ಎಂದು ಕುಖ್ಯಾತವಾಗಿದೆ). ಇದರರ್ಥ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ವಾಸಿಕೋಹರೆಂಟ್ ಕೋಶದ ಪುಲ್ಬ್ಯಾಕ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಯತ್ನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಸಮಂಜಸವಾದ "ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ" ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳು ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧವಾದ ಸೀವ್ಗಳ ಸಮಾನ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡದಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಟೋಪೋಲಜಿಗಳನ್ನು ಅವು ಸಾಕಷ್ಟು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರೆಗೆ ಬಳಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೊಡ್ಡ ಎಫ್. ಪಿ. ಪಿ. ಎಫ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಲಿಸ್-ಎಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಂತೆಯೇ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಹೊದಿಕೆಗಳ ಅದೇ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಈ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಒಎಕ್ಸ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಸುಸಂಬದ್ಧ ಹೊದಿಕೆಗಳ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯು ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ (ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವುದಿಲ್ಲ). ಇತರ ರೀತಿಯ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅಫೈನ್ ಯೋಜನೆಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವರ್ಗವನ್ನು ನಯವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಅಥವಾ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ವರ್ಗದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎನ್-ಶೀಫ್ ಅಥವಾ ಎನ್-1 ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಎನ್-1 ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಶೀಫ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ಹಲವಾರು ಅಸಮಾನ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. 1-ಶೀವ್ಗಳು ಶೀವ್ಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು 2-ಶೀವ್ಗಳು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹೈಯರ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕವಲ್ಲದ ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದು ಬಹಳ ಹೋಲುವ ಮತ್ತು ಸದೃಶವಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಜಾಗವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವರ್ಣಪಟಲವಾಗಿದೆ). ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸ್ಟಾಕಿ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಡಿರೈವ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು (ಅಥವಾ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜಾಕೋಬ್ ಲೂರಿಯವರ ನಿರ್ಮಾಣ ಹಂತದಲ್ಲಿರುವ ಪುಸ್ತಕ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಅವರು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟಾಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಒಂದು ವಲಯಾಕಾರದ-ಟೋಪೋಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಒಂದು ಇ-ರಿಂಗ್ನ-ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಆಗಿದೆ (ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಶೂನ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಯೋಜನೆಯನ್ನೇ ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.) ಸೆಟ್-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಡಿಪಾಯದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ಸೆಟ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆಃ ಒಬ್ಬರು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದುಃ ಒಂದು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ನಂತರ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ವರ್ಗಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ಫಂಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ದೊಡ್ಡ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ನ್ಯೂನತೆಯೆಂದರೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಮೂಲ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಫಂಕ್ಟರ್ಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಬ್ಬರು ಬಳಸುವ ವಿವಿಧ ಸೆಟ್ಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದರೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಇದು ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬದಲಿಗೆ ದಣಿದ ಲೆಕ್ಕಪತ್ರ ನಿರ್ವಹಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಸೆಟ್ಗಳ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ZFC ಯ ಸೂತ್ರಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ತುಣುಕಿನ ಸೆಟ್ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುವ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲನ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಕೇವಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಬಹುದು. ಇದು ಅನೇಕ ಲೇಖಕರು ಅನುಸರಿಸಿದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಡೆಲಿಗ್ನೆ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಚೌ ಗುಂಪನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಪದಕೋಶ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳನ್ನು ಹಿಂಬಾಲಿಸುವುದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನ ಅನುಪಾತದ ಜಾಗ ಮಾಡ್ಯುಲರ್ ರೂಪಗಳ ರಿಂಗ್ ಸರಳವಾದ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಟಾರಿಕ್ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಲೇಖನವಾಗಿದೆ. ಸಾಹಿತ್ಯಕ್ಕೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳು https://maths-people.anu.edu.au ~ ಆಲ್ಪರ್ಜ್/ಪೇಪರ್ಸ್/ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳು-guide.pdf http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0 ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ಗಳ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳು ಲಿಸ್ಸೆ-ಎಟೇಲ್ ಟೋಪೋಯಿಯ ಮಾರ್ಫಿಸಂಗಳನ್ನು ಪ್ರಚೋದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬ ತಪ್ಪಾದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ದೋಷಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು "ಬೀಜಗಣಿತದ ರಾಶಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಉತ್ತಮ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು?" ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ