Generalized Dirichlet distribution
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯು (ಜಿಡಿ) ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸುಮಾರು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಜಿಡಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಹಕಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಟಸ್ಥವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿ ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು (ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದ್ದರೆ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, k = 4 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಆಗಿದೆ. ಕಾನರ್ ಮತ್ತು ಮೊಸಿಮನ್ ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಪಿಡಿಎಫ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಬೀಟಾ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮೇಲೆ ನಿಯತಾಂಕದಂತೆ ಮಾಡಿ. ವಾಂಗ್ ವಾಂಗ್ ನೀಡಿದ ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪವು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಾಂಗ್ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಮೇಲೆ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾನೆ (ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾನೆ) ಆದರೆ ಕಾನರ್ ಮತ್ತು ಮೊಸಿಮನ್ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಜನರಲ್ ಮೊಮೆಂಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇಫ್, ನಂತರ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಮತ್ತು. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಕಡಿತ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವಿತರಣೆಯ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಮೂಲ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜಿ. ಡಿ. ಡಿ. ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಬಹಳ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರಯೋಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಪದವಾಗಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ). ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಪ್ರಯೋಗಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಗಳು ಹೇಗೆ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ವಾಂಗ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಕಲಶವು ವಿವಿಧ ಬಣ್ಣಗಳ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಆತ ಹೇಳುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರತಿ ಬಣ್ಣದ ಅನುಪಾತವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಕಲಶದಲ್ಲಿರುವ ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಪ್ರಯೋಗ 1. ವಿಶ್ಲೇಷಕ 1 ಇದನ್ನು ನಂಬುತ್ತಾರೆ (ಅಂದರೆ, ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್). ವಿಶ್ಲೇಷಕರು ನಂತರ ಗಾಜಿನ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಬಣ್ಣದ ಅಮೃತಶಿಲೆಗಳನ್ನು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತಾರೆ (ಅವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ). ನಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಕ 1 ಕಲಶದಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತಾನೆ, ಅದರ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತಾನೆ (ಬಣ್ಣ ಎಂದು ಹೇಳಿ) ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತಾನೆ. ಅವರು ಸರಿಯಾದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಪಾರದರ್ಶಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಳಗಿನ ಅಮೃತಶಿಲೆಯ ಬಣ್ಣಗಳು ಗೋಚರಿಸುತ್ತವೆ. ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವವರೆಗೆ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ವಿತರಣೆಯು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಅಮೃತಶಿಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಯೋಗ 2. ವಿಶ್ಲೇಷಕ 2 ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಂಬುತ್ತಾರೆಃ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಕರು ಮರದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಚೆಂಡುಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಮತ್ತು ಅಮೃತಶಿಲೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು. ಚೆಂಡುಗಳು ಬಣ್ಣದವು ಆದರೆ ಅಮೃತಶಿಲೆಗಳು ಬಣ್ಣದವುಗಳಲ್ಲ. ನಂತರ, ಆತ ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅಮೃತಶಿಲೆಗಳನ್ನು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಹಾಕುತ್ತಾನೆ. ನಂತರ ಆತ ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡನ್ನು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಹಾಕುತ್ತಾನೆ. ನಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಕನು ಕಲಶದಿಂದ ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತಾನೆ. ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಮರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಚೆಂಡನ್ನು ಯಾವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಇಡಬೇಕು ಎಂದು ವಿಶ್ಲೇಷಕರಿಗೆ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ (ಮೇಲಿನ ಪ್ರಯೋಗ 1 ರಲ್ಲಿ ಅವರು ಮಾಡಬಹುದಾದಂತೆ); ಅವರು ಕಳಪೆ ಸ್ಮರಣಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಯಾವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬಣ್ಣದ ಚೆಂಡುಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಚೆಂಡನ್ನು ಒಳಗೆ ಹಾಕಲು ಯಾವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯು ಸೂಕ್ತವಾದುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅವರು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅವರು 1ನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಡ್ರಾ ಆದ ಚೆಂಡಿಗೆ ಹೋಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಬಣ್ಣಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಕನು 1ನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಅಮೃತಶಿಲೆಯನ್ನು (sic) ಇರಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು 2ನೇ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯತ್ತ ಸಾಗುತ್ತಾನೆ. ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿರುವ ಚೆಂಡುಗಳು ಡ್ರಾ ಆದ ಚೆಂಡಿಗೆ ಹೊಂದುವವರೆಗೆ ಅವನು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತಾನೆ, ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವನು ಚೆಂಡನ್ನು (sic) ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಬಣ್ಣದ ಇತರ ಚೆಂಡುಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಇಡುತ್ತಾನೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಕನು ನಂತರ ಕಲಶದಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ಚೆಂಡನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಚೆಂಡುಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರತಿ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಚೆಂಡುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಮೃತಶಿಲೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಂಭಾಗವನ್ನು ನಂತರ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಎಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಯೋಗ 2ರಲ್ಲಿ, ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಪ್ರಯೋಗ 1ಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ಬಹುಪದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಲುಕಾಕ್ಸ್ನ ಪ್ರಮಾಣ-ಮೊತ್ತ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳು ಬಹುವಿಧದ ನಿರಂತರ ವಿತರಣೆಗಳು ಹಿಂದಿನ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತವೆ ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬ ವಿತರಣೆಗಳು