Direct linear transformation
ನೇರ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವು (ಡಿ. ಎಲ್. ಟಿ.) ಹೋಲಿಕೆ ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಒಂದು ಕ್ರಮಾವಳಿಃ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ತಿಳಿದಿರುವ ವಾಹಕಗಳು, ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರದವರೆಗೆ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ) ಆಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ದೃಶ್ಯದಲ್ಲಿನ 3ಡಿ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ ಮತ್ತು ಪಿನ್ ಹೋಲ್ ಕ್ಯಾಮೆರಾದ ಚಿತ್ರ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಗ್ರಾಫಿಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಆಯಾ ಕಾಲಮ್ಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮುಗಿದ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಪರಿಹಾರಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ನೇರ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿಸುವ ಅಂಶವೆಂದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳು k ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಕಾರ ಅಂಶದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ, ಹೋಲಿಕೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಹೋಲಿಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ನೇರ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಅಥವಾ ಡಿ. ಎಲ್. ಟಿ ಕ್ರಮಾವಳಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡಿ. ಎಲ್. ಟಿ. ಯ ಶ್ರೇಯಸ್ಸು ಇವಾನ್ ಸದರ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಗೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಎರಡು ಪರಿಚಿತ ವಾಹಕಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ k ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಂಶ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಆಂಟಿ-ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುವ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು; ಇದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಲ ಏಕವಚನ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ನಂತರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಮರುಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಅಜ್ಞಾತ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುವುದರಿಂದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಇದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದದ್ದಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ). ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಶಬ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಹೋಲಿಕೆ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸರಿಸುಮಾರು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ವಾಹಕವು ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಚಿಕ್ಕ ಏಕವಚನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಲ ಏಕವಚನ ವಾಹಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಒಟ್ಟು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು, ಆದರೆ ಹೋಲಿಕೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಎರಡಕ್ಕೂ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಇನ್ನೂ ಈಗ ಇರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು. ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಈಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಆ್ಯಂಟಿ-ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಅಂತರವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಒಂದು-ಆಯಾಮದಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, ಅದು ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಇದರರ್ಥ k ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಎಂ-ಆಯಾಮದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಎಂ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕಾರದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ p = 3 ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಈ ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ವೆಕ್ಟರ್ ಮೌಲ್ಯದ್ದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ; ಎಡಭಾಗವು ಶೂನ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. k ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಅಜ್ಞಾತ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶ್ರೇಣಿ = 2 ಇರುವುದರಿಂದ, ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, m = 1,2. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯು ಇದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ದುರದೃಷ್ಟಕರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, m = 2,3 ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾಳಜಿಯ ವಿಷಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಡುವಿನ ರೇಖೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯು p> 2 ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾಳಜಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಗತ್ಯಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಲು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹೋಮೋಗ್ರಫಿ ಎಲೈನ್ ಡುಬ್ರೊಫ್ಸ್ಕಿಯ ಅಂದಾಜು (§ 2.1 ಸ್ಕೆಚ್ಗಳು "ಬೇಸಿಕ್ ಡಿ. ಎಲ್. ಟಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್") ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಿಯಾಂಗ್-ಜೆನ್ (ಜಾನಿ) ಚೈನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಡಿ. ಎಲ್. ಟಿ. ಪರಿಹಾರಕ