Breather surface
ಭೇದಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಉಸಿರಾಟದ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾದ ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಉಸಿರಾಟದ ಪರಿಹಾರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅವು ಸ್ಥಿರವಾದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಕ್ರತೆಯು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇದು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಹುಸಿಗೋಳಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಹಿನ್ನೆಲೆ ಸೂಡೋಸ್ಫಿಯರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರತೆಯ-1 ರ ಹುದುಗಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಮತ್ತು ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳ ನಡುವೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ. ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸೂಡೋಸ್ಫಿಯರ್ನ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾದ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟ್ರಾಯ್ಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವಿಶೇಷ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ, ಗೌಸ್-ಕೋಡಾಜ್ಜಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸ್ಥಿರತೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿದ್ದು, ನಿಗದಿತ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಿದಾಗ, ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಯುತ್ತವೆ. ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿ, ಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ದ್ರಾವಣದ ಸ್ಥಿರ 1-ಸಾಲಿಟನ್ ದ್ರಾವಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ನ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದಾಗಿ, ಹೊಸ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸ್ಥಿರ ದ್ರಾವಣಕ್ಕೆ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ಬೂಸ್ಟ್ಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದುಃ ಸೂಡೋಸ್ಪಿಯರ್ ಬದಿಯಲ್ಲಿ, ಇವುಗಳನ್ನು ಲೈ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟ್ರಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ಡಿನಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ವಿರೂಪಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ಯಾಕ್ಲಂಡ್ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಧಾನವು ಬಹು-ಸೋಲಿಟಾನ್ ಪರಿಹಾರಗಳಾದ ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2-ಸೋಲಿಟಾನ್ ಕುವೆನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಅನಂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಉಸಿರಾಟದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಲ್ಲ. ಬದಲಿಗೆ ಬ್ರೀದರ್ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣದ ವಿಲೋಮ ಚದುರುವಿಕೆಯ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಅವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಆದರೆ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಆಂದೋಲನಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸೈನ್-ಗಾರ್ಡನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ಗಾಸ್-ಕೊಡಾಝಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯವು ನಂತರ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಮೂಲಭೂತ ರೂಪಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುವ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೇಲ್ಮೈ ಇದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ನಿಯತಾಂಕವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದನ ಮತ್ತು ಕಸ್ಪ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಹುಸಿಗೋಳವನ್ನು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ (ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ, ಅಂದರೆ ಕಸ್ಪ್ಸ್ ಇಲ್ಲದೆ) ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಮಾಪನ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳಾದ ಕ್ಸಾ ಲೀ ವೆಬ್-ಸರ್ಫೇಸ್ ಗ್ಯಾಲರಿ ಬ್ರೀದರ್ ಸರ್ಫೇಸ್ ಇನ್ ವರ್ಚುವಲ್ ಮ್ಯಾಥ್ ಮ್ಯೂಸಿಯಂನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.