Homogeneous relation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, X ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧವು (ಎಂಡೋರೆಲೇಷನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) X ಮತ್ತು ಅದರ ನಡುವಿನ ಅವಳಿ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ "ಎ ರಿಲೇಷನ್ ಆನ್ ಎಕ್ಸ್" ಅಥವಾ "ಎ (ಬೈನರಿ) ರಿಲೇಷನ್ ಓವರ್ ಎಕ್ಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ರಕ್ತಸಂಬಂಧದ ಸಂಬಂಧ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧವು ಜನರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಎಂಡೋರೆಲೇಷನ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆದೇಶಗಳು, ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಕ್ರಮ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಶೇಷ ಅಧ್ಯಯನಗಳು ಎಂಡೋರೆಲೇಶನ್ಗಳ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿವೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ವಿವರಣೆಗಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ (ನಿರ್ದೇಶಿಸದ) ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂಡೋರೆಲೇಷನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಂಡೋರೆಲೇಷನ್ ಆರ್ 0s ಮತ್ತು 1s ನ ತಾರ್ಕಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ xRy ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ನಡುವಿನ ಅಂಚಿಗೆ ಮತ್ತು R ನ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ 1 ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧಗಳು X ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧಗಳು (ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ,) ಹೀಗಿವೆಃ ಖಾಲಿ ಸಂಬಂಧ; ಅಂದರೆ, ಎಂದಿಗೂ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ; ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಂಬಂಧ; ಅಂದರೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಗುರುತಿನ ಸಂಬಂಧ (ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ)}; ಅಂದರೆ, ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಭೂಮಿಯ ಹೊರಪದರದ ಹದಿನೈದು ದೊಡ್ಡ ಭೂಪ್ರದೇಶದ ಫಲಕಗಳು ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕಿಸುತ್ತವೆ. ಸಂಬಂಧವನ್ನು 1 ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 0 ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಾರ್ಕಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧವು ಹೊಂದಿರಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ,. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ω ಒಂದು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಆದರೆ> ಅಲ್ಲ. (ಅಥವಾ) ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,> ಒಂದು ಇರರ್ಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ω ಅಲ್ಲ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯು ತನ್ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವು ಕೋರ್ಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವು ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಮತ್ತು ಕೋರ್ಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಸಂಬಂಧಗಳೆರಡಕ್ಕೂ ಏಕೈಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಕೋರ್ಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಸಂಬಂಧವು ಗುರುತಿನ ಸಂಬಂಧದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ನಂತರ ಮತ್ತು. ಒಂದು ಸಂಬಂಧವು ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡೂ ಕಡೆಗಳಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಅರೆ-ಪ್ರತಿಫಲಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ 6 ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಸಮಗ್ರವಾಗಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅವಳಿ ಸಂಬಂಧವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು, ಆದರೆ ಅಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇದು ಇರರ್ಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್, ಕೋರ್ಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್, ಅಥವಾ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ನಂತರದ ಎರಡು ಸಂಗತಿಗಳು (ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯ) ಅರೆ-ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಸಹ ತಳ್ಳಿಹಾಕುತ್ತವೆ. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಈಸ್ ಎ ಬ್ಲಡ್ ರಿಲೇಟಿವ್ ಆಫ್" ಒಂದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಇಫ್ ಮತ್ತು ಇಫ್ ಮಾತ್ರ ರಕ್ತದ ಸಂಬಂಧಿಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ನಂತರ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ± ಒಂದು ಅಸಮಮಿತಿವಿರೋಧೀ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ; ಹಾಗೆಯೇ>, ಆದರೆ ನಿರ್ವಾತವಾಗಿ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ತಪ್ಪಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಒಂದು ಸಂಬಂಧವು ಆಂಟಿಸೆಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಇರ್ಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಅಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,> ಒಂದು ಅಸಮ್ಮಿತ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ± ಅಲ್ಲ. ಮತ್ತೆ, ಹಿಂದಿನ 3 ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಸಮಗ್ರವಾಗಿಲ್ಲ; ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಬಂಧವು ಸಮ್ಮಿತೀಯವೂ ಅಲ್ಲ, ಅಸಮಮಿತಿಯೂ ಅಲ್ಲ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ನಂತರ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂಬಂಧವು ಅಸಮಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಈಸ್ ಪೂರ್ವಜ" ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪರಿವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದ್ದರೆ, "ಈಸ್ ಪೇರೆಂಟ್ ಆಫ್" ಎಂಬುದು ಅಲ್ಲ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ನಂತರ ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಂದಿಗೂ. ಆರ್ ನ ಪೂರಕವು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿದ್ದರೆ. ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ವೇಳೆ, ನಂತರ ಅಥವಾ. ಇದನ್ನು ರಚನಾತ್ಮಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಹುಸಿ-ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಆದರೆ ಇಲ್ಲ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲ, ನಂತರ ಆದರೆ ಇಲ್ಲ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ದುರ್ಬಲ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ, ಹಿಂದಿನ 5 ಪರ್ಯಾಯಗಳು ಸಮಗ್ರವಾಗಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಬಂಧವು (ಅಥವಾ) ಈ ಯಾವುದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದಿದ್ದರೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಖಾಲಿ ಸಂಬಂಧವು ಅವರೆಲ್ಲರನ್ನೂ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ, ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಇದನ್ನು ದಟ್ಟವಾದ ಆದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ನಂತರ ಅಥವಾ. ಈ ಗುಣವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಒಟ್ಟು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ "ಎಡ/ಬಲ-ಒಟ್ಟು" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಅಥವಾ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಒಟ್ಟು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ "ಎಡ/ಬಲ-ಒಟ್ಟು" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು, ಅಥವಾ ಹಿಡಿತಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,> ಎಂಬುದು ಟ್ರೈಕೋಟೋಮಸ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ "ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವು ಅಲ್ಲ. (ಅಥವಾ ಕೇವಲ) ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ವೇಳೆ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, = ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ನಂತರ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸುಸ್ಥಿರತೆಯು ಅವರೋಹಣ ಸರಪಳಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ಸರಪಳಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ). ಅವಲಂಬಿತ ಆಯ್ಕೆಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಊಹಿಸಿದರೆ, ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವಳಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದುಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಒಂದು ಗುಂಪಿನಂತಹ ಎಲ್ಲದರ ವರ್ಗ. (ಸರಿಯಾದ ವರ್ಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ.) ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ವೇಳೆ ಮತ್ತು ನಂತರ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ವೇಳೆ ಮತ್ತು ನಂತರ. (ಲೆಫ್ಟ್-ಟೋಟಲ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ. ಈ ಗುಣವು ಸಂಪರ್ಕಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ (ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಇದನ್ನು ಒಟ್ಟು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ). (ರೈಟ್-ಟೋಟಲ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಎಲ್ಲರಿಗೂ, xRy ಅಂತಹ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ. ಎ ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಎ, ಅಥವಾ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಪರಿವರ್ತನಶೀಲ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಎ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಅಸಮಮಿತಿವಿರೋಧೀ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿದೆ. ಎ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಂಬಂಧವು ಇರ್ರೆಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್, ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿದೆ. ಎ, ಅಥವಾ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ರಿಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್, ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್, ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಎ, ಅಥವಾ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಇರ್ರೆಫ್ಲೆಕ್ಸಿವ್, ಆಂಟಿಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್, ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಎ ಎಂಬುದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿಫಲಿತ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ, ಪರಿವರ್ತನಶೀಲ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಒಂದು ಸೆಟ್ X ಮೇಲೆ R ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ X ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆಃ, R = ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ R ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ X ಮೇಲೆ ಚಿಕ್ಕ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು R, R ≤ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಥವಾ R, R + ನಲ್ಲಿರುವ X ಮೇಲೆ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅಸ್ಥಿರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಸಂಬಂಧಗಳ ಛೇದನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು R ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ X ಮೇಲೆ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಪರಿವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು R, R * ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧಗಳ ಛೇದನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಕಾಣಬಹುದು. {| ವರ್ಗ = "ವಿಕಿ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದಾದ" ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಮಧ್ಯ;" | + ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧಗಳು |-! ! ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆ! ಸಮ್ಮಿತಿ! ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ! ಸಂಪರ್ಕ! ಸಂಕೇತ! ಉದಾಹರಣೆ |-! ನಿರ್ದೇಶನದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ | | | | | | | |-! ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ | | | | | | | |-! ಅವಲಂಬನೆ | | | | | | |-! ಪಂದ್ಯಾವಳಿ | | | | | ಪೆಕ್ಕಿಂಗ್ ಆರ್ಡರ್ |-! ಪೂರ್ವ ಆದೇಶ | | | | | | | | ಆದ್ಯತೆ |-! ಒಟ್ಟು ಪೂರ್ವ ಆದೇಶ | | | | | ≤ | |-! ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮ | | | | | ≤ | ಉಪಗುಂಪು |-! ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮ | | | | | | | | | ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಉಪಗುಂಪು |-! ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮ | | | | | ≤ | ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಕ್ರಮ |-! ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಒಟ್ಟು ಕ್ರಮ | | | | | | | | ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಕ್ರಮ |-! ಭಾಗಶಃ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ | | | | | | |-! ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧ | | | |, ಷ್ಣ | ಸಮಾನತೆ |} ಎಣಿಕೆ X ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅದರ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದರೊಂದಿಗೆ ವರ್ಧಿತವಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದು ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ರಿಲೇಷನ್ ಆಗಿರುವ ಇನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ನೊಂದಿಗೆ ಮೊನಾಯ್ಡ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು n-ಅಂಶದ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವಿಭಿನ್ನ ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆಃ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳುಃ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು (ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಪರಿವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧಗಳು) ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದುರ್ಬಲ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಟ್ಟು ಪೂರ್ವ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಆದೇಶಗಳು ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಗಳಾಗಿದ್ದು, ಅವು ಕೂಡ ಒಟ್ಟು ಪೂರ್ವ ಆದೇಶಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶವಾಗಲೀ ಅಥವಾ ಒಟ್ಟು ಪೂರ್ವ ಆದೇಶವಾಗಲೀ ಇಲ್ಲದ ಪೂರ್ವ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು, ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು, ಭಾಗಶಃ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು, ಭಾಗಶಃ ಒಟ್ಟು ಪೂರ್ವ ಆದೇಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು, ಜೊತೆಗೆ ಒಟ್ಟು ಆದೇಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 0,0,0,3, ಮತ್ತು 85 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಬೆಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ. ಏಕರೂಪದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು (ಸಂಬಂಧ, ಪೂರಕ), ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಅದರದೇ ಆದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ. ಸಮಮಿತಿಯಲ್ಲದವುಗಳನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು (ಸಂಬಂಧ, ಪೂರಕ, ವಿಲೋಮ, ವಿಲೋಮ ಪೂರಕ). ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಆದೇಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಆರ್ಡರ್ ಸಂಬಂಧಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಃ ಸಮಾನತೆ ಸಂಬಂಧಗಳ (ಸಮಾನವಾಗಿ) ಉಪಗುಂಪಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುವುದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಸಮಾನತೆಯು (ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ) ಸಮಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ "ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಇಕ್ವಿಪೊಲೆಂಟ್ ಲೈನ್ ಸೆಗ್ಮೆಂಟ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೈಜೆಕ್ಷನ್ನಲ್ಲಿದೆ ಸಹಿಷ್ಣುತೆ ಸಂಬಂಧ, ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧಃ ಅವಲಂಬನೆ ಸಂಬಂಧ, ಸೀಮಿತ ಸಹಿಷ್ಣುತೆ ಸಂಬಂಧ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯ ಸಂಬಂಧ, ಕೆಲವು ಅವಲಂಬನೆ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪೂರಕ ಸಂಬಂಧ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧವು ಏಕರೂಪವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಇದನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್ಗಳಾದ X ಮತ್ತು Y ಗೆ R × X × Y ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪರಿಮಿತ ಸಂಬಂಧವು ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಉಪಗುಂಪು R-X1 ×. × Xn ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೆಟ್ಗಳು X1,., Xn, ಇದನ್ನು n-ಆರಿ ಸಂಬಂಧ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬೈನರಿ ಸಂಬಂಧಗಳು