Group Hopf algebra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವು ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಗುಂಪು ಹೋಪ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವಿರೂಪಗಳು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಜಿ ಒಂದು ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಕೆ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಂಪಿನ G ಓವರ್ k ಅನ್ನು kG (ಅಥವಾ k [G]) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು G ಓವರ್ k ಮೇಲಿನ ಮುಕ್ತ ಸದಿಶ ಸ್ಥಳದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಸದಿಶ ಸ್ಥಳ). ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ, ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು G ನಲ್ಲಿನ ಗುಂಪಿನ ಸಂಯೋಜನೆಯ ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಗುಣಾಕಾರದ ಘಟಕವು G ನಲ್ಲಿನ ಗುರುತನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಅನಂತ ಗುಂಪಿಗೆ ಇವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತವು, ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ; ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ (ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು), ಇವು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು-G ಗುಣಿತ k ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿವರ್ತಕ ಬೀಜಗಣಿತವು ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆಃ ಗುಂಪು ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಮತ್ತು ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಈ ಜೋಡಿಯು k ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಇದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆ ನಾವು ಜಿ ಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಕ್ಷೆಗಳ ರೇಖೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿ ಕೋಪ್ರೊಡಕ್ಟ್, ಕೌನಿಟ್ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಪೋಡ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೆ. ಜಿ. ಗೆ ಕೋಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆಃ ಅಗತ್ಯವಾದ ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆ. ಜಿ. ಯ ಗುಂಪಿನಂತಹ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು), ನಿಖರವಾಗಿ ಜಿ. ಗುಂಪು ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಜಿ ಒಂದು ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. X ಮೇಲೆ G ಯ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಿಯೆಯು ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ F (X) ಎಂಬುದು K-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೂಕ್ತವಾದ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್-ನೈಮಾರ್ಕ್ ಬೀಜಗಣಿತ. ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು, ಫಾರ್, ಮತ್ತು ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ, ಜಿ ಯ ಅಂಶಗಳು, ಮತ್ತು, ಇದು ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಗುಂಪಿನಂತಹ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಳಗೆ ವಿವರಿಸಲಾದ ಪ್ರಮುಖ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೋಪ್ಫ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಹೋಪ್ಫ್ ಸ್ಮ್ಯಾಶ್ ಉತ್ಪನ್ನ H ಒಂದು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ. ಎ (ಎಡ) ಹೋಪ್ ಎಚ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಎ ಒಂದು ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಎಚ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ (ಎಡ) ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ, ಮತ್ತು ಸ್ವೀಡ್ಲರ್ ಸಂಕೇತದಲ್ಲಿ. ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಾಗ, ಇದು ಎಫ್ (ಎಕ್ಸ್) ಅನ್ನು ಎಡ ಹೋಪ್ಫ್ ಕೆಜಿ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರಚನೆಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. H ಒಂದು ಹೋಪ್ಫ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು A ಎಡ ಹೋಪ್ಫ್ H-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿರಲಿ. ಸ್ಮ್ಯಾಶ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತವು ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಮ್ಮ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು, ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಮ್ಯಾಶ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಪ್ ಸ್ಮ್ಯಾಶ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಆವರ್ತಕ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಮ್ಯಾಶ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-- ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗಬಾರದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೋಪ್ಫ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುಂಪುಗಳು