Compass equivalence theorem
ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಮತ್ತು ನೇರ ಅಂಚಿನ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಲೇಟೋ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಸಾಧನವು ವಿಭಜಕ ಅಥವಾ ಕುಸಿಯುವ ದಿಕ್ಸೂಚಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ದಿಕ್ಸೂಚಿಯನ್ನು ಪುಟದಿಂದ ಎತ್ತಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ "ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ", ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ದೂರವನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅದರ ಸ್ಥಿರವಾದ ದ್ಯುತಿರಂಧ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಧುನಿಕ ದಿಕ್ಸೂಚಿಯನ್ನು ದೂರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಶಕ್ತಿಯುತವಾದ ಸಾಧನವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು "ಆಧುನಿಕ ದಿಕ್ಸೂಚಿ" ಯ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಕುಸಿಯುತ್ತಿರುವ ದಿಕ್ಸೂಚಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕುಸಿಯುತ್ತಿರುವ ದಿಕ್ಸೂಚಿಯೊಂದಿಗೆ, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸಮತಲದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಸಮಾನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮತ್ತೊಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ಪುಸ್ತಕ Iರ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ II ಆಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಒಂದು ಏರಿಳಿತದ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ರಚನೆ ಮತ್ತು ನಿಖರತೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ತನ್ನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂಚನೆಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳುವಾಗ ಮಾಡಿದ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳು, ಮತ್ತು, ತ್ರಿಜ್ಯದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ (ಅಂದರೆ, ಘನ ಹಸಿರು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ). ಅದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ (ಕೆಂಪು ವೃತ್ತಗಳು). ಅವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಹಿಂದಿನದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಛೇದನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. (ನೀಲಿ ವೃತ್ತ) ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಹಿಂದಿನದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಛೇದನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. (ಚುಕ್ಕೆಗಳಿರುವ ಹಸಿರು ವೃತ್ತ) ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು ಅವರು ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,. ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,. ನೇರ ಅಂಚು ಇಲ್ಲದ ಪರ್ಯಾಯ ನಿರ್ಮಾಣ ನೇರ ಅಂಚಿನ ಬಳಕೆಯಿಲ್ಲದೆ ದಿಕ್ಸೂಚಿಯ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದು ಮೊಹ್ರ್-ಮಾಸ್ಚೆರೋನಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳಲ್ಲಿ "ಸ್ಥಿರ ದಿಕ್ಸೂಚಿ" ಚಲನೆಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು (ಬೇರೆ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು) ಸಮರ್ಥಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನೇರ ಅಂಚು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಸೂಚಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ದಿಕ್ಸೂಚಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳು, ಮತ್ತು, ತ್ರಿಜ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ, ಕೇವಲ ಕುಸಿಯುತ್ತಿರುವ ದಿಕ್ಸೂಚಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ನೇರ ಅಂಚು ಇಲ್ಲ. ಅದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ (ನೀಲಿ ವೃತ್ತಗಳು). ಅವು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು. ಮತ್ತು (ಕೆಂಪು ವೃತ್ತಗಳು) ಕೇಂದ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅವರ ಇತರ ಛೇದಕವನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಿ. ಕೇಂದ್ರವು ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತವನ್ನು (ಹಸಿರು ವೃತ್ತ) ಎಳೆಯಿರಿ. ಇದು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ರಚನೆಯ ನಿಖರತೆಗೆ ಹಲವಾರು ಪುರಾವೆಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಓದುಗರಿಗೆ ಅಭ್ಯಾಸವಾಗಿ ಬಿಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಆಧುನಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ರೇಖೆಯು ಅದರ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ. ಹೀಗೆ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ, ಇದು ತ್ರೂ ಲೈನ್ನ ಪ್ರತಿಬಿಂಬವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಫಲನವು ಒಂದು ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಬಯಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಂಪಾಸ್ ಮತ್ತು ನೇರ ಅಂಚಿನ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು