Filling radius
ರೀಮಾನಿಯನ್ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ X ನ ಭರ್ತಿ ತ್ರಿಜ್ಯವು X ನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮೂಲತಃ 1983 ರಲ್ಲಿ ಮಿಖಾಯಿಲ್ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವರು ಅಗತ್ಯ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ತಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟೋಲಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಲೋವ್ನರ್ ಅವರ ಟೋರಸ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ನಿಜವಾದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಪು ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅದರ ಆಧುನಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಿಸ್ಟೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಿದರು. ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಸರಳ ಲೂಪ್ ಸಿ ಯ ಭರ್ತಿ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸಿ ಒಳಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ವೃತ್ತದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ತ್ರಿಜ್ಯ, ಆರ್> 0 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೂಲಕ ಡ್ಯುಯಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಫಲಪ್ರದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಡ್ಯುಯಲ್ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗ್ರೊಮೊವ್ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಲೂಪ್ ಸಿ ಯ-ನೆರೆಯವರನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ,-ನೆರೆಯವರು ಲೂಪ್ನ ಒಳಭಾಗವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ನುಂಗುತ್ತಾರೆ. ನುಂಗಬೇಕಾದ ಕೊನೆಯ ಬಿಂದುವು ನಿಖರವಾಗಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಕೆತ್ತಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೂಪ್ ಸಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುವಂತಹ ಅನಂತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮರುರೂಪಿಸಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ E ಎಂದು ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಳಸೇರಿಸಲಾದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ X ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತುಂಬುವ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ನೆರೆಹೊರೆಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ಇದರಲ್ಲಿ X ಅನ್ನು ಸಣ್ಣ ಆಯಾಮದ ಯಾವುದನ್ನಾದರೂ ಏಕರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ಗೆ. ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಏಕರೂಪದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗುಣಾಂಕದ ಉಂಗುರವನ್ನು ಎ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ, ಎಕ್ಸ್ ಓರಿಯಂಟಬಲ್ ಆಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಕ್ಸ್ನ [ಎಕ್ಸ್] ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಮೂಲಭೂತ ವರ್ಗವು ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪಿನ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ಕ್ಲೂಷನ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. X ಒಂದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ g ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಭರ್ತಿ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಗ್ರೊಮೊವ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತಾನೆ. ಒಬ್ಬರು ಕುರಾಟೋವ್ಸ್ಕಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು X ಅನ್ನು ಬನಾಚ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಬೋರೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ X ಮೇಲೆ ಅಳವಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸೂಪ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಡಿ ಎಂಬುದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ದೂರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯು ಬಲವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ನಿಖರವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ದೂರವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. X ಎಂಬುದು ರೀಮಾನಿಯನ್ ವೃತ್ತವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಸುತ್ತುವರಿದ ಜಾಗವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತಹ ಬಲವಾದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ (ವಿರುದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು 2 ಆಗಿರಬಾರದು!). ನಂತರ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ ಭರ್ತಿ ತ್ರಿಜ್ಯವು ವ್ಯಾಸದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕಾಟ್ಜ್, 1983). ಸ್ಥಿರ ವಕ್ರತೆಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳದ ಭರ್ತಿ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಅದರ ರೀಮಾನಿಯನ್ ವ್ಯಾಸದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ, ನೋಡಿ (ಕಾಟ್ಜ್, 1983). ಸಮಾನವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಭರ್ತಿ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸಿಸ್ಟೋಲ್ನ ಆರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ. 2π ಉದ್ದದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ವೃತ್ತದ ತುಂಬುವ ತ್ರಿಜ್ಯ, ಅಂದರೆ. ಪ್ರೇರಿತ ರೀಮಾನಿಯನ್ ದೂರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕಕ ವೃತ್ತವು π/3, ಅಂದರೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದರ ಉದ್ದದ ಆರನೇ ಒಂದು ಭಾಗ. ಇದು ಸಿಸ್ಟೋಲ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ವ್ಯಾಸದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಗ್ರೊಮೊವ್ನ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ (ಗ್ರೊಮೊವ್, 1983) ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂನ ಸಿಸ್ಟೋಲ್ ಅದರ ಭರ್ತಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗರಿಷ್ಠ ಆರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನೋಡಿ (ಗ್ರೊಮೊವ್, 1983). ಮೇಲಿನಂತೆ ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ಸಮಾನತೆಯ ಗಡಿ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅಸಮಾನತೆಯು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಭರ್ತಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಅಗತ್ಯ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಗ್ರೊಮೊವ್ನ ಸಿಸ್ಟೊಲಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡುವ ಪ್ರದೇಶದ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರೊಮೊವ್, ಎಂ.: ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಭರ್ತಿ ಮಾಡುವುದು, ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ 18 (1983), 1-147. ಕಾಟ್ಜ್, ಎಮ್.: ಎರಡು-ಬಿಂದು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಳಗಳ ತುಂಬುವ ತ್ರಿಜ್ಯ. ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ 18, ಸಂಖ್ಯೆ 3 (1983), 505-511. ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಿಸ್ಟೋಲಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ