Subnet (mathematics)
ಟೋಪೋಲಜಿ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ, ಸಬ್ನೆಟ್ ಎಂಬುದು ಬಲೆಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಂತರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ನೆಟ್ಗಳಿಗೆ "ಸಿಕ್ವೆಸೆನ್ಸ್" ನ ಸಾದೃಶ್ಯವು "ಸಬ್ನೆಟ್" ನ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೇರವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಂತರದ ಸಂಗತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ನೆಟ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡಲು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. "ಸಬ್ನೆಟ್" ಗೆ ಮೂರು ಸಮಾನವಲ್ಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ. ಸಬ್ನೆಟ್ನ ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು 1955 ರಲ್ಲಿ ಜಾನ್ ಎಲ್. ಕೆಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ, ಸ್ಟೀಫನ್ ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ 1970 ರಲ್ಲಿ ಕೆಲ್ಲಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ತಮ್ಮದೇ ಆದ (ಸಮಾನವಲ್ಲದ) ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲ್ಲಿಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳು "ಸಬ್ನೆಟ್" ನ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಾಗಿವೆ ಆದರೆ ಅವು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ "ಅಧೀನ ಫಿಲ್ಟರ್" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಇದು ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ "ನಂತರದ" ಪ್ರತಿರೂಪವಾಗಿದೆ (ಅವುಗಳ ಫಿಲ್ಟರ್/ಅಧೀನ-ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ನೆಟ್/ಸಬ್ನೆಟ್ ಸಂಬಂಧದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗದ ಅಧೀನ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ). ಸ್ಮೈಲಿ (1957), ಆರ್ನೆಸ್ ಮತ್ತು ಆಂಡನೀಸ್ (1972), ಮುರ್ಡೇಶ್ವರ್ (1983) ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯಶಃ ಇತರರು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ "ಸಬ್ನೆಟ್" ನ ಮೂರನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು (ಕೆಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ ನೀಡಿದವುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲ) ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಆದರೂ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಲೇಖನವು ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ನಿಂದಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ (ಇತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು topology#Subnets ನಲ್ಲಿರುವ ಲೇಖನ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ). ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು "ಸಬ್ನೆಟ್" ಗೆ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನವು 1970 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಟೀಫನ್ ವಿಲ್ಲರ್ಡ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ಸೆಟ್ಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ನೆಟ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಎ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇರುವಂತಹ ಮೊನೊಟೋನ್ ಅಂತಿಮ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇದ್ದರೆ (ಅಥವಾ ಎ) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಬೇಕಾದರೂ ಮತ್ತು ಅದರ ಇಮೇಜ್ ಕೋಫೈನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ (ಅಂದರೆ, ಅಂತಹ) ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು a ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಅಂಗೀಕೃತವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳಂತಹ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮವು ಸಬ್ನೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ಕ್ರಮ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಚಿತ್ರವು ಅದರ ಕೋಡೋಮೈನ್ನಲ್ಲಿ ಕೋಫೈನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಸಬ್ನೆಟ್ಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಆದರೆ ನಂತರದ ಕ್ರಮವಲ್ಲ. ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳು ನಿವ್ವಳದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನೇಕ ಬಾರಿ ಬಳಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸಬ್ನೆಟ್ನ ಇಂಡೆಕ್ಸಿಂಗ್ ಸೆಟ್ ಹೆಚ್ಚು ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ನಮಗೆ ಏಕತಾನತೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮದ ಸಬ್ನೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಅದರ ಪದಗಳನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಮರುಕ್ರಮಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಒಂದು ಸರಣಿಯಲ್ಲದ ಸರಣಿಯ ಸಬ್ನೆಟ್ ಒಂದು ಸರಣಿಯ ಸಬ್ನೆಟ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಕ್ರಮದಿಂದ ನಿರ್ದೇಶಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ಸೀಲಿಂಗ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಥೆನ್ ಒಂದು ಕ್ರಮ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ) ಇದರ ಚಿತ್ರವು ಅದರ ಕೋಡೊಮೈನ್ನ ಸಹ-ಅಂತಿಮ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಅನುಕ್ರಮ) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಇರಲಿ (ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇರಲಿ). ಈ ನಿವ್ವಳವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಡೊಮೇನ್ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಅನುಕ್ರಮದ ಸಬ್ನೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ) ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ಒಂದು ಸಬ್ನೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸೇರ್ಪಡೆ ನಕ್ಷೆಯು (ಕಳುಹಿಸುವ) ಒಂದು ಕ್ರಮ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಚಿತ್ರವು ಅದರ ಕೋಡೋಮೈನ್ನ ಸಹ-ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ) ಪರಸ್ಪರರ ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಒಂದು ಅನಂತ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ ಅದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ನಿವ್ವಳ ಸಹ ಒಂದು ಸಬ್ನೆಟ್ ಆಗಿದೆ (ಸೇರ್ಪಡೆ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ). ಈ ಸಬ್ನೆಟ್ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೂ ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ಲೆಟ್). ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಅನಂತ ಉಪವಿಭಾಗವು ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಸಬ್ನೆಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಬ್ನೆಟ್ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಲ್ಲ. ಅನ್ವಯಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ನಿವ್ವಳವು ಒಂದು ನಿವ್ವಳಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಬ್ನೆಟ್ ಒಂದು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಸಬ್ನೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಿವ್ವಳವು ಒಮ್ಮುಖವಾದ ಸಬ್ನೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಪುರಾವೆಗಾಗಿ ನಿವ್ವಳವನ್ನು ನೋಡಿ). "ಸಬ್ನೆಟ್" ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿನ ನಕ್ಷೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು a ನ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಸಹ-ಅಂತಿಮ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಸಮರ್ಪಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಸಹ-ಅಂತಿಮ ಸಬ್ನೆಟ್ಗಳಿಗೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ ಮೇಲಿನ ಎರಡನೇ ಪ್ರಮೇಯವು ಟೈಚೋನೋಫ್ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ಗೆ ವಿಫಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲೋಸರ್ ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನಿವ್ವಳವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಉಪಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ನಿವ್ವಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಬಿಂದುವು ಆ ಗುಂಪಿನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗೆ ಸೇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿವ್ವಳದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಒಳಗೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕ್ಲಸ್ಟರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಪ್ರತಿ ಕನ್ವರ್ಜೆನ್ಸ್ ವರ್ಸಸ್ ಕ್ಲಸ್ಟರಿಂಗ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ನಿವ್ವಳದ ಸಮೂಹ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮೂಹಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅವು ಒಗ್ಗೂಡುವ ಒಂದು ಉಪಗುಂಡಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಉಪಗುಂಡಿಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನೆರೆಹೊರೆಯ ಶೋಧಕವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಬಹುದುಃ ನಂತರ ಅದನ್ನು ಘೋಷಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗುಂಪನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ನಕ್ಷೆಯು ಏಕಸ್ವರದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಉಪಗುಂಡಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಚಿತ್ರವು ಸಹ-ಅಂತಿಮ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿವ್ವಳದ ಸಮೂಹ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದು, ಅದು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಉಪಗುಂಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನೋಡಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟೋಪೋಲಜಿ