Tits alternative
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಟಿಟ್ಸ್ನ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವು, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ರಚನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಹೇಳಿಕೆ ಟಿಟ್ಸ್ನಿಂದ ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಗುಂಪು ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ (ಹೀಗಾಗಿ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಊಹೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಿಜವಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ). ಬಹುಪದೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಗುಂಪುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಗ್ರೊಮೊವ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕಾಂಶವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯವು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಗುಂಪುಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ನಿಭಾಯಿಸಬಹುದು). ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, G ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪು H ಗೆ H ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದದ್ದಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ H ಅಬೆಲಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಮುಕ್ತ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕೆಲವು ಆವೃತ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು G ಯ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ) G ಗುಂಪನ್ನು ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳು ವರ್ಗ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು; ಔಟ್ (ಎಫ್ಎನ್); ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಬೈರೇಷನಲ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕೆಲವು ಗುಂಪುಗಳು. ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದ ಗುಂಪುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ಗ್ರಿಗೊರ್ಚುಕ್ ಗುಂಪು; ಥಾಂಪ್ಸನ್ ಅವರ ಗುಂಪು ಎಫ್. ಪ್ರೂಫ್ ಮೂಲ ಟಿಟ್ಸ್ ಪರ್ಯಾಯದ ಪುರಾವೆ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರೆ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಒಬ್ಬರು ಲೆವಿ ಘಟಕದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪಿಂಗ್-ಪಾಂಗ್ ವಾದವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚಿತ್ರದ ಅಂಶಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಏಕತೆಯ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಚಿತ್ರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಅಥವಾ ಒಬ್ಬರು ಪಿಂಗ್-ಪಾಂಗ್ ತಂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಪುರಾವೆಯು ಪಿಂಗ್-ಪಾಂಗ್ ವಾದದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅನಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು