Erdős–Diophantine graph
ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗಣಿತದ ವಿಷಯದ ಒಂದು ವಸ್ತುವಾಗಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೂರದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಚದರ ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಎಲ್ಲಾ ಪರಸ್ಪರ ದೂರಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಗ್ರಿಡ್ ಬಿಂದುಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಿಯೋಫಂಟೈನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರಿಯಾದ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ಡಿಯೋಫಾಂಟಸ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಅವು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಂಪಿನ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ (ಯುನಿಟ್ ದೂರ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು). ಹೀಗಾಗಿ, ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ, ಅದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಎರ್ಡೋಸ್-ಆನ್ನಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಅನಂತ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂಕಿಗಳು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ತಲುಪಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪನ್ನು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಗುಂಪನ್ನು ಒಂದೇ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂರು ನೋಡ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂರು ನೋಡ್ಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಹುಡುಕಾಟದ ಮೂಲಕ, ಮೂರು-ನೋಡ್ ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿವೆ. ಚಿಕ್ಕದಾದ ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ತ್ರಿಕೋನವು ಅಂಚಿನ ಉದ್ದ 2066,1803, ಮತ್ತು 505 ರಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಮುಂದಿನ ದೊಡ್ಡ ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಿಯೋಫಂಟೈನ್ ತ್ರಿಕೋನವು 2549,2307 ಮತ್ತು 1492ರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಅಂಚು-ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣವು ಎಲ್ಲಾ ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬ್ರಾಂಚೆವಾ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಮಾರ್ಗದ ಒಟ್ಟು ಉದ್ದವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. 4 ಮತ್ತು 3 ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಆಯತದ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ನಾಲ್ಕು ನೋಡ್ಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನಿಂದ 4-ನೋಡ್ ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತ ವಿವಿಕ್ತ ರೇಖಾಗಣಿತ ರೇಖಾಗಣಿತ ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು