Flat (geometry)
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಅಥವಾ ಅಫೈನ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು ಅಫೈನ್ ಜಾಗದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ, ಅದು ಸ್ವತಃ ಅಫೈನ್ ಜಾಗವಾಗಿದೆ (ಸಮಾನ ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಆಯಾಮದ). ಮೂಲ ಸ್ಥಳವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಫ್ಲಾಟ್ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಅಂತರದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಸಮತಟ್ಟುಗಳು (ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗ) ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲವೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ; ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಟ್ಟುಗಳು ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು, ಸಮತಲಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಳವೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, 0 ರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಆಯಾಮದ-ಫ್ಲಾಟ್ಗಳು ಇರುತ್ತವೆ; ಮೂಲ ಸ್ಥಳಕ್ಕಿಂತ ಒಂದು ಆಯಾಮ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು,-ಫ್ಲಾಟ್ಗಳನ್ನು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫ್ಲಾಟ್ಗಳು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಹಾರ ಸೆಟ್ಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಫ್ಲಾಟ್ ಒಂದು ಬಹುಗುಣ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಇತರ ಬಹುಗುಣ ಅಥವಾ ಪ್ರಭೇದಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ರೇಖೀಯ ಬಹುಗುಣ ಅಥವಾ ರೇಖೀಯ ವೈವಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದೇ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸಮತಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದೇ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ, ಆದರೆ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದು ಜೋಡಿ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಛೇದನವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆಯಾಮದ ಸಮತಟ್ಟನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕ ಸಮತಟ್ಟನ್ನು ರೇಖೀಯ ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದಲೂ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಸಮತಲದ ವಿವರಣೆಗೆ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆಯಾಮದ ಸಮತಟ್ಟನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸುವುದಕ್ಕೆ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಟಿಂಗ್, ಪ್ಯಾರಲಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ಯೂ ಫ್ಲಾಟ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳು ಫ್ಲಾಟ್ಗಳ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಫ್ಲಾಟ್ ಅಥವಾ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಫ್ಲಾಟ್ನಿಂದ ಬರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೆಯೂ ಮತ್ತೊಂದು ಫ್ಲಾಟ್ನಿಂದ ಬರುವ ಒಂದು ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಎರಡು ಫ್ಲಾಟ್ಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದೇ ಆಯಾಮದ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಟ್ಟುಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅವು ಅವುಗಳ ಬಲಗೈ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಫ್ಲಾಟ್ಗಳು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಫ್ಲಾಟ್ನಿಂದ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು ಎರಡನೇ ಫ್ಲಾಟ್ನಿಂದ ಒಂದು ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ಇವು ವಕ್ರ ಫ್ಲಾಟ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳ ಆಯಾಮಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸುತ್ತುವರಿದ ಜಾಗದ ಆಯಾಮಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಾಧ್ಯ. ಆಯಾಮಗಳ ಎರಡು ಫ್ಲಾಟ್ಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಫ್ಲಾಟ್ ಇರುತ್ತದೆ, ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಗಾತ್ರದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸಮತಟ್ಟುಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಆಯಾಮವು ಛೇದನದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಮಾಡಲು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು (ಮೀಟ್ ಅಂಡ್ ಜಾಯಿನ್ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ) ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್-ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಫ್ಲಾಟ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಜಾಲರಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಫ್ಲಾಟ್ಗಳಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಇದು ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಡ್ಯುಯಲ್ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಅಥವಾ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಮತಲಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಫ್ಲಾಟ್ಗಳ ಜಾಲರಿಯು ವಿತರಣಾ ಜಾಲಿಯಲ್ಲ. ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅದು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಎರಡೂ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ವಿತರಣೆಯು ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಸಂಗತಿಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ (ಅಂದರೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ) ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸರಿಯಾಗಿವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿಃ ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಡುವಿನ ಅಂತರವಿದೆ. (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ದೂರ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು ನೋಡಿ.) ಎರಡು ಫ್ಲಾಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವಿದೆ, ಅವು ಛೇದಿಸಿದರೆ 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ನೋಡಿ (ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು. ಎರಡು ಸಮತಟ್ಟುಗಳ ನಡುವೆ ಕೋನವಿದೆ, ಇದು 0 ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನದ ನಡುವಿನ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ. (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನವನ್ನು ನೋಡಿ (ಎರಡು ಸಮತಲಗಳ ನಡುವೆ). ಫ್ಲಾಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ.) ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಮ್ಯಾಟ್ರಾಯಿಡ್ ಕೋಪ್ಲಾನಾರಿಟಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಗುಗೆನ್ಹೈಮರ್ (1977) ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಪುಟ 7, ಕ್ರೀಗರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್. ಮೂಲ ಸ್ಟ್ಯಾನ್ಫೋರ್ಡ್ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧದಿಂದ, ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ಸ್ ಫಾರ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ, ಡಿಇಸಿ ಎಸ್ಆರ್ಸಿ ರಿಸರ್ಚ್ ರಿಪೋರ್ಟ್ 36 ಆಗಿ ಲಭ್ಯವಿದೆ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಅಫೈನ್ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಬೀಜಗಣಿತ fr: ಹೈಪರ್ಪ್ಲಾನ್