History of the Church–Turing thesis
ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರಬಂಧದ ("ಪ್ರಬಂಧ") ಇತಿಹಾಸವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ವರೂಪದ ಅಧ್ಯಯನದ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ; ಅಥವಾ, ಹೆಚ್ಚು ಆಧುನಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕ್ರಮಾವಳಿಯಂತೆ ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಕಯಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಲೊಂಜೊ ಚರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. "ಗಣನೆ" ಮತ್ತು "ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ" ಅರ್ಥದ ಚರ್ಚೆ ಮತ್ತು ಆವಿಷ್ಕಾರವು ಸುದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ವಿವಾದಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನವು 1889 ರಲ್ಲಿ ಪೀನೋ ಅವರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಂದ "ಸಿದ್ಧಾಂತ" ದ ಅರ್ಥದ ಇತ್ತೀಚಿನ ಚರ್ಚೆಯ ಮೂಲಕ ಆ ಚರ್ಚೆ ಮತ್ತು ಆವಿಷ್ಕಾರದ ವಿವರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಪೀನೋ ಅವರ ಅಂಕಗಣಿತದ ಒಂಬತ್ತು ಸೂತ್ರಗಳು 1889 ರಲ್ಲಿ, ಗ್ಯೂಸೆಪ್ಪೆ ಪೀನೋ ಅವರು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ನ ಕೃತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಹೊಸ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಅಂಕಗಣಿತದ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. "ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನಕ್ಕಿಂತ ಮುಂಚೆಯೇ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದರೂ", ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ "ಮೂಲವು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪೀನೋದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು ಎಂದು ಸೋರೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ 1888 ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅವರು ಅದನ್ನು m + n, m x n, ಮತ್ತು mn ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ನ ಈ ಕೃತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಪೀನೋ 1889 ಮತ್ತು 1891 ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಿತವಾದ ಐದು [sic] ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಬರೆದರು. ಅವನ ಐದನೇ [sic] ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಗೆ ಒಡನಾಡಿಯಾಗಿ, ಪೀನೋ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪೆಟರ್ 1934 ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ 1936 ರಿಂದ). "ಎಂದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪೀನೋದ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳು 9 ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರಸೂತ್ರ 9 ಪುನರಾವರ್ತನೆ/ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಆಧಾರಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. "ತರುವಾಯ 9 ಅನ್ನು 5ಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಯಿತು ಏಕೆಂದರೆ" ಗುರುತಿನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ 2,3,4 ಮತ್ತು 5 ಸೂತ್ರಗಳು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ತರ್ಕಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. ಇದು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ "ಪೀನೋ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಐದು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ. ಪೀನೋ ತನ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ನಿಂದ ಬಂದಿವೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ (1891ಬಿ, ಪುಟ 93). "ಎಂದೆ. 1900 ರಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಿಸ್ನಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್ (ಐಸಿಎಂ) ನಲ್ಲಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಡೇವಿಡ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಅವರ ಬೆಕನ್-ಈಗ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮಂಡಿಸಿದರು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ 2ನೇ ಮತ್ತು 10ನೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ("ನಿರ್ಧಾರದ ಸಮಸ್ಯೆ") ಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದವು. ತಮ್ಮ 2ನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು "ಅಂಕಗಣಿತ" ವು "ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ" ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕೇಳಿದರು. ಕರ್ಟ್ ಗೊಡೆಲ್ ಅವರು 1931 ರಲ್ಲಿ "ಪಿ" (ಇಂದು ಪೀನೋ ಅಂಕಗಣಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಎಂದು ಕರೆಯುವೊಳಗೆ, "ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗದ ವಾಕ್ಯಗಳು [ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು] ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ" ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, "ಪಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪಿ ಯಲ್ಲಿ ಪಿ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ". ಗೊಡೆಲ್ನ ಪುರಾವೆಯು ಅಲೊಂಜೊ ಚರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅವನು ಸ್ವತಃ ಅದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ 10ನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಶ್ನೆಯು ನಿಜವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ದ್ರವ್ಯದ ಹೃದಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿತ್ತುಃ "ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು 'ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದದು' ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿದಾಗ ನಾವು ಏನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ?" ಇದಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವೆಂದರೆಃ "ಯಾಂತ್ರಿಕ ವಿಧಾನದಿಂದ (ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ, ವಿಧಾನ) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ". ಇತ್ತೀಚಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು (ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು) ನಿಖರವಾಗಿ ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲು ಸುಮಾರು 30 ವರ್ಷಗಳ ಕಾಲ ತೇಲುತ್ತಿತ್ತು. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ 10ನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೂಲ ವಿವರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆಃ "10. ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಾರ್ಹತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಸಮೀಕರಣವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು. 1922 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಶ್ನೆಯು ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ "ನಿರ್ಧಾರ ವಿಧಾನ" ದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಿತು. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಡೇವಿಸ್ ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆಃ ನಮಗೆ ಒಂದು "ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಧಾನ" ವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು (1) ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಮತ್ತು (2) ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ತಾರ್ಕಿಕ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ-ಡೇವಿಸ್ "ಫ್ರೆಜ್ ಅವರ ಕಡಿತದ ನಿಯಮಗಳು" (ಅಥವಾ ಬೂಲಿಯನ್ ತರ್ಕದ ಆಧುನಿಕ ಸಮಾನ) ಎಂದು ಕರೆಯುವದರಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಗೊಡೆಲ್ ಅವರ ಡಾಕ್ಟರೇಟ್ ಪ್ರಬಂಧವು ಫ್ರೆಜ್ ಅವರ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. "ಪ್ರತಿ ಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ". ಆ ಉತ್ತೇಜಕ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಆವರಣದಿಂದ ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದೇ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ "ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಧಾನ" ಇರಬಹುದೇ? ಡೇವಿಸ್ ಅಂತಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು "ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಒಂದು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕೂಡ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. "ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, [ದಿ] ಗಾಗಿ ಒಂದು ಕ್ರಮಾವಳಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಮಾನವ ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ವಿವೇಚನಾರಹಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿಬಿಡುತ್ತಿತ್ತು". ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವು "ನಿಜ" ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳಬಹುದಾದ "ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್" ಇದೆಯೇ (ಅಂದರೆ. ಯಾವಾಗಲೂ "ಸತ್ಯ" ಅಥವಾ "ಸುಳ್ಳು" ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನೀಡುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್?) ". ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗಬೇಕು ಎಂಬುದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿತ್ತು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂಟ್ಶೈಡುಂಗ್ಸ್ಪ್ರೊಬ್ಲಮ್ ಸ್ವತಃ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದಂತಿರಬೇಕು ". ವಾಸ್ತವವಾಗಿಃ ನಮ್ಮ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಅದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ, ಅದು ಸ್ವತಃ "ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದೆಯೇ" ಮತ್ತು "ಸತ್ಯವಾದಿಯೇ" ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದೇ (ಅಂದರೆ, ಅದು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ "ವೃತ್ತ" ಅಥವಾ "ಲೂಪ್" ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅದು ತನ್ನದೇ ಆದ ನಡವಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ "ಸತ್ಯ" ಅಥವಾ "ಸುಳ್ಳು" ಎಂಬ ತೀರ್ಪನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ)? ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ 2 ನೇ ಮತ್ತು 10 ನೇ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದ ಮೂರು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು 1928 ರ ಕಾಂಗ್ರೆಸ್ನಲ್ಲಿ [ಇಟಲಿಯ ಬೊಲೊಗ್ನಾದಲ್ಲಿ] ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮೂರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ಬಹಳ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಪರಿಷ್ಕರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸ್ಟೀಫನ್ ಹಾಕಿಂಗ್ ಅವರ ಸಾರಾಂಶ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ "1. ಎಲ್ಲಾ ನಿಜವಾದ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅಂದರೆ, ಗಣಿತದ ಸಂಪೂರ್ಣತೆ. "2. ನಿಜವಾದ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅಂದರೆ, ಗಣಿತದ ಸ್ಥಿರತೆ, ". ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿರ್ಣಾಯಕತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಸತ್ಯ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿರ್ಧಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ. ಗ್ಯಾಬ್ರಿಯಲ್ ಸುಡಾನ್ (1927) ಮತ್ತು ವಿಲ್ಹೆಲ್ಮ್ ಅಕರ್ಮಾನ್ (1928) ರ ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿರುವ ಸರಳ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತವೆಃ "ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಿವೆಯೇ; ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದೇ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯು 1926 ರಲ್ಲಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರ ನಿರಂತರತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಊಹೆಯಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿತು ಮತ್ತು ಅಕರ್ಮನ್ 1928 ರಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಿಸಲಾಯಿತು [ಹೌದುಃ ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಇವೆ]. ನಂತರದ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ರೋಜ್ಸಾ ಪೆಟರ್ (1935) ಆಕರ್ಮನ್ ಅವರ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ("cf. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಬರ್ನೇಸ್ 1934 ") ಮತ್ತು ರಾಫೆಲ್ ರಾಬಿನ್ಸನ್ (1948). ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು (1935) ಪೀಟರ್ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರು. ಪೀಟರ್ (1950) ಮತ್ತು ಅಕರ್ಮನ್ (1940) ಸಹ "ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫೈನೈಟ್ ರಿಕರ್ಷನ್ಸ್" ಅನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಇದು ಕ್ಲೈನ್ಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವನ್ನುಂಟುಮಾಡಿತುಃ ". ನಾವು ಯಾವುದೇ" ರಿಕರ್ಷನ್ "ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ" ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ "ವರ್ಗವನ್ನು ಯಾವುದೇ ನಿಖರವಾದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು. ಎಲ್ಲಾ "ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು" (i) ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ §54 ಔಪಚಾರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಔಪಚಾರಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು (ii) ಗಣಿತದ ಪ್ರಚೋದನೆಯ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕ್ಲೈನ್ ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಗೋಡೆಲ್-ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ "ಎಲ್ಲಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಅವರು ತಕ್ಷಣವೇ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ-1934ರಲ್ಲಿನ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. 1930 ರಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ಗಾಗಿ ಗಣಿತ ಸಭೆ ಮತ್ತು ನಿವೃತ್ತಿ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿದರು. ಅದೃಷ್ಟವಶಾತ್, "ಅದೇ ಸಭೆಯಲ್ಲಿ, ಯುವ ಜೆಕ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಕರ್ಟ್ ಗೊಡೆಲ್, ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಘೋಷಿಸಿದರು, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಉತ್ತರಗಳೂ ಹೌದು ಎಂಬ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿತು". 1928ರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಅವರ ಮೂರು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಎರಡರ ಉತ್ತರ 'ಇಲ್ಲ' ಎಂದು ಅವರು ಘೋಷಿಸಿದರು. ತರುವಾಯ 1931 ರಲ್ಲಿ ಗೊಡೆಲ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಬಂಧವಾದ ಆನ್ ಫಾರ್ಮಲಿ ಅನ್ಡೆಸಿಡೆಬಲ್ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ ಅಂಡ್ ರಿಲೇಟೆಡ್ ಅನ್ನು ಈ ಪ್ರಬಂಧದ ಮುನ್ನುಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮಾರ್ಟಿನ್ ಡೇವಿಸ್ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆಃ "ಓದುಗರಿಗೆ [ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ] ಗೊಡೆಲ್ ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಈಗ ಪ್ರಿಮಿಟಿವ್ ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಬೇಕು. (ಪರಿಷ್ಕೃತ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಕ್ಲೈನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು). "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ" ದ ಗೊಡೆಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಕ್ಲೈನ್ (1952) ಅನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು, "ಎಲ್ಲಾ" ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ "ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೆರ್ಬ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಸಲಹೆಯ ಮೇರೆಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಗೊಡೆಲ್ 1934ರಿಂದ 'ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯ' ದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಯಿತು" (ಕ್ಲೈನ್ 1952:274). ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಎನ್. ಜೆ. ಯ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಸ್ಟಡಿಯಲ್ಲಿ (ಐಎಎಸ್) ಗೊಡೆಲ್ ಸರಣಿ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಡೇವಿಸ್ ಬರೆದ ಮುನ್ನುಡಿಯಲ್ಲಿ ಡೇವಿಸ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, "ಈ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಡಾ. ಗೊಡೆಲ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರಿಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪತ್ರವೊಂದರಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ". ಈ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು "ಅಪೂರ್ಣತೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಹೇಗಾದರೂ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ವಿಶೇಷತೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ" ಎಂಬ ಕಳವಳವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದವು ಎಂದು ಡಾಸನ್ ಹೇಳುತ್ತಾರೆಃ "ಗೊಡೆಲ್ ಅವರು 1934 ರ ಪ್ರಬಂಧದ ಅಂತಿಮ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಕರ್ಮನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಅವರು ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ" ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯ "ದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ; ಆದರೆ ಮೊದಲು ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ 3 ರಲ್ಲಿ, ಅವರು ಈಗಾಗಲೇ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಿದ್ದರು (" ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ತತ್ವ "ಎಂದು). "ಅಂದಿನಿಂದ ಈ ಊಹೆಯು ಬಹಳಷ್ಟು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಾರ್ಟಿನ್ ಡೇವಿಸ್ ಅವರು ಗೊಡೆಲ್ ಅವರ 1934 ರ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು [ಡೇವಿಸ್ 1965:41 ff ನಲ್ಲಿ] ಪ್ರಕಟಿಸಲು ಮುಂದಾದಾಗ ಅವರು ಅದನ್ನು ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧದ ರೂಪಾಂತರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು; ಆದರೆ ಡೇವಿಸ್ಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿ. ಗೊಡೆಲ್ ಇದು "ನಿಜವಲ್ಲ" ಎಂದು ದೃಢವಾಗಿ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಆ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅವರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು "ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು" ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಅವರಿಗೆ "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿರಲಿಲ್ಲ". ಬದಲಿಗೆ, "ಅಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾದ ಊಹೆಯು 'ಸೀಮಿತ (ಗಣನೆ) ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ' ಮತ್ತು 'ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ' ದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳಿದರು. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಗೊಡೆಲ್ ಅವರು ಉಪನ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಪೋಸ್ಟ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಅವರ ಕೃತಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಅವರಿಗೆ ಮನವರಿಕೆ ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. "ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆ ಅಥವಾ λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗಣನೆಯ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿರೂಪಣೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಗೊಡೆಲ್ನ ಹಿಂಜರಿಕೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಲೇಖಕರು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದಾರೆ [ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ 248:" "ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಡೇವಿಸ್ 1982; ಗ್ಯಾಂಡಿ 1980 ಮತ್ತು 1988; ಸೀಗ್ 1994 ನೋಡಿ" "]". ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಗೊಡೆಲ್ನ ಅಥವಾ ಚರ್ಚ್ನ ಔಪಚಾರಿಕತೆಗಳೆರಡೂ ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಂತೆ ಎದ್ದುಕಾಣುವ ಅಥವಾ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಮನವೊಲಿಸುವಂತಿರಲಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಒಮ್ಮತವಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಲ್ಫ್ರೈಡ್ ಸೀಗ್ ಅವರು "ವಿಭಿನ್ನ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಂಗಮ" ದಿಂದ ಒದಗಿಸಲಾದ ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧದ ಪರವಾಗಿ ಸಾಕ್ಷ್ಯವು (ಚರ್ಚ್, ಗೊಡೆಲ್, ಪೋಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಒಂದೇ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶ) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಊಹಿಸಿದ್ದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬಲವಾದದ್ದು ಎಂದು ವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೊಡೆಲ್ನ ಸಹಜ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯ ಹೊರತಾಗಿ, ಅವನ ಸಂಶಯವಾದಕ್ಕೆ ಒಳ್ಳೆಯ ಕಾರಣಗಳಿದ್ದವು. ಆದರೆ, ಅವರು ತಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಮೂಲಕ ಏನನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿದ್ದರು? "ಬದಲಿಗೆ, ಹೆರ್ಬ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ವಿಚಾರಗಳ ಮಾರ್ಪಾಡಿನ ಮೂಲಕ ಗೊಡೆಲ್ ತನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು [ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ವರ್ಗದ] ಪಡೆದರು. ಮತ್ತು ವಿಲ್ಫ್ರೈಡ್ ಸೀಗ್ 1934ರ ಪ್ರಬಂಧದ ಅಂತಿಮ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ಉಪನ್ಯಾಸದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು]" "ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯಾಂತ್ರಿಕ ನಿಯಮಗಳನ್ನು" "ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ" "[ಹೆರ್ಬ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ] ಜ್ಞಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾದ ಪುರಾವೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು" "ಅವರ ನಿಜವಾದ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿತ್ತು ಎಂದು ವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ". ಗೊಡೆಲ್ನ "ಸಾಮಾನ್ಯ" ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದದ್ದು, ಸೀಗ್ ಸೂಚಿಸುವಂತೆ, ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ ಸೀಮಿತ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿತವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರೂಪಿಸಲು ಉದ್ದೇಶಿಸಿತ್ತು [250]. ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಕ್ಲೈನ್ ಮತ್ತು ರೋಸರ್ನಲ್ಲಿನ ಗೊಡೆಲ್ನ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ನಲ್ಲಿ ಗೊಡೆಲ್ನ 1934ರ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನಕಲಿಸಿದವು. ಕ್ಲೈನ್ ತಮ್ಮ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾರೆಃ "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೆರ್ಬ್ರಾಂಡ್ ಅವರು ಗೊಡೆಲ್ಗೆ ಸೂಚಿಸಿದರು, ಮತ್ತು 1934 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ನಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಮಾರ್ಪಾಡಿನೊಂದಿಗೆ ಗೊಡೆಲ್ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು". ಗೊಡೆಲ್ನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಸಂಬಂಧ) ಈಗ ಪ್ರಾಚೀನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯ (ಸಂಬಂಧ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ" ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧದ ಚರ್ಚ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆ (1936) λ-ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಮತ್ತು ಗೊಡೆಲ್-ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಳಗೆ ಎಂಟ್ಚೈಡಂಗ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು; ಇದಲ್ಲದೆ ಚರ್ಚ್ ಕ್ಲೈನ್ನ ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು λ-ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದೆಃ "ಪ್ರಮೇಯ XVI. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವು λ-definable.16 "ಪ್ರಮೇಯ XVII ಆಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು recursive.17 "16 ಆಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಕ್ಲೈನ್ ಪಡೆದರು.. 17 ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಲೇಖಕ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಸಿ. ಕ್ಲೈನ್ ಅವರು ಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪಡೆದರು. ಪತ್ರಿಕೆಯು ಬಹಳ ಉದ್ದವಾದ ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, 3. ಮತ್ತೊಂದು ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ, 9, ಸಹ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಡೇವಿಸ್ ಹೇಳುವಂತೆ, "ಈ ಪ್ರಬಂಧವು ಅದರ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗೆ (ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸೀಮಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು": "3 ಕಾಣಿಸುವಂತೆ, ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಾನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಬಹುದು, (1). λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ. 2). ಪುನರಾವರ್ತಿತ. λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕಲ್ಪನೆಯು ಪ್ರಸ್ತುತ ಲೇಖಕ ಮತ್ತು ಎಸ್. ಸಿ. ಕ್ಲೈನ್ ಅವರ ಜಂಟಿ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಅದರ ಕಡೆಗೆ ಅನುಕ್ರಮವಾದ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಲೇಖಕರು ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ. 34 (1933), ಪುಟ 863, ಮತ್ತು ಅಮೆರಿಕನ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕ್ಲೈನ್, ಸಂಪುಟ. 57 (1935), ಪುಟ 219. ಕೆಳಗಿನ §4ರ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಕರ್ಟ್ ಗೊಡೆಲ್ಗೆ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಕ್ಲೈನ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಭಾಗಶಃ ಪ್ರಸ್ತುತ ಲೇಖಕ ಮತ್ತು ಜೆ. ಬಿ. ರೋಸರ್. ಈ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವ ಪ್ರಸ್ತಾಪವನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತುತ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ (ಆದರೆ ಕೆಳಗಿನ §7ರ ಮೊದಲ ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ ನೋಡಿ). "ಕ್ಲೈನ್ (ಅಮೇರಿಕನ್ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, 1935) ವಿಧಾನಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಪತ್ರಿಕೆಯ ಪರಿಗಣನೆಗಳು, ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳೊಂದಿಗೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಪ್ರಬಂಧದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಕ್ಲೈನ್ (ಅವರ ಮುಂಬರುವ ಪ್ರಬಂಧ, "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು" ನೋಡಿ) λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಹೋಲಿಕೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಎರಡು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಮತ್ತು (ಲೇಖಕರ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ) ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಾನವಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು, ಅವು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವೆಂದು ನಂಬಲು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಕಾರಣಗಳ ಬಲವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆ. ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ 9, §4 ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿದೆಃ "[" ರಿಕರ್ಸಿವ್ "ನ] ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು, 1934ರ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್, ಎನ್. ಜೆ. ಯಲ್ಲಿನ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳಲ್ಲಿ ಕರ್ಟ್ ಗೊಡೆಲ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಮತ್ತು ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ನ ಅಪ್ರಕಟಿತ ಸಲಹೆಗೆ ಭಾಗಶಃ ಆತ ಮನ್ನಣೆ ನೀಡಿದ್ದಾನೆ. ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಸ್ತುತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಗೊಡೆಲ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ ಎಸ್. ಸಿ. ಕ್ಲೈನ್. "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರ ಮುಂಬರುವ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವೂ ಗೊಡೆಲ್ (1934) ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧ ಆನ್ ಅನ್ಸಾಲ್ವಬಲ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಆಫ್ ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ನಂಬರ್ ಥಿಯರಿ (1936) ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ಮೊದಲು ಗೊಡೆಲ್ ಮತ್ತು ಚರ್ಚ್ ನಡುವೆ "ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್" ಮತ್ತು "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ" ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬ ಬಗ್ಗೆ ಸಂವಾದ ನಡೆಯಿತು. ಚರ್ಚ್ನಲ್ಲಿ (1936) ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, §7 ಅಧ್ಯಾಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಕಲ್ಪನೆ, ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ 18 ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ "18 ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು (ಎರಡು ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಉತ್ತರಿಸಲು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ) ಗೊಡೆಲ್ ಅವರು ಲೇಖಕರೊಂದಿಗಿನ ಸಂಭಾಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಎತ್ತಿದರು. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮತ್ತು λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಲೇಖಕರು ಈ ಹಿಂದೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ್ದರು. ಚರ್ಚ್ ಅನ್ನು "ಗುರುತಿಸುವುದು" ಎಂದರೆ-"ಗುರುತನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು" ಅಲ್ಲ-ಬದಲಿಗೆ "ಒಂದೇ ಆಗಲು ಅಥವಾ ಆಗಲು ಕಾರಣವಾಗುವುದು", (ಆತ್ಮ, ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಅಥವಾ ತತ್ವದಂತೆ) (ವಿಟಿ ರೂಪ), ಮತ್ತು (ವಿಐ ರೂಪ) "ಒಂದೇ ಆಗುವುದು ಅಥವಾ ಆಗುವುದು". "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಕಾನೂನು" ಎಂದು ಪೋಸ್ಟ್ ಮತ್ತು "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ" ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ" ದ ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಪೋಸ್ಟ್ನ ಅನುಮಾನಗಳು, ಜೊತೆಗೆ ಚರ್ಚ್ನ ಪತ್ರಿಕೆಯ ಪ್ರಕಟಣೆಯು, 1936 ರ ಶರತ್ಕಾಲದಲ್ಲಿ "ಮಾನಸಿಕ ನಿಷ್ಠೆ" ಯೊಂದಿಗೆ "ಸೂತ್ರೀಕರಣ" ವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲು ಅವರನ್ನು ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಿಸಿತುಃ ಒಬ್ಬ ಕೆಲಸಗಾರನು ಪ್ರತಿ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ ಯಂತ್ರದಂತಹ "ಪ್ರಾಚೀನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು" ಮಾಡುವ "ಸ್ಥಳಗಳು ಅಥವಾ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳ" ಮೂಲಕ ಚಲಿಸುತ್ತಾನೆ. ಕೆಲಸಗಾರನು "ಸ್ಥಿರವಾದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗದ ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿರುತ್ತಾನೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೂಚನೆಯು ಮೂರು ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ (1) ಗುರುತಿಸುವ ಗುರುತು/ಸಂಖ್ಯೆ, (2) ಒಂದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ, (3) ಮುಂದಿನ ಸೂಚನೆ ಜಿ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸೂಚನೆಯು (ಇ) ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಯವು "ಹೌದು" ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೂಚನೆಯು "ಇಲ್ಲ" ಸೂಚನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ "ಇಲ್ಲ" ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ. "ಪ್ರಾಚೀನ ಕ್ರಿಯೆಗಳು" 5 ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೇವಲ 1 ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆಃ (ಎ) ಅವನು ಇರುವ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾಗದವನ್ನು ಗುರುತು ಮಾಡಿ (ಅಥವಾ ಈಗಾಗಲೇ ಇರುವ ಗುರುತುಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಗುರುತು ಮಾಡಿ), (ಬಿ) ಗುರುತು ಅಳಿಸಿ (ಅಥವಾ ಅತಿಯಾಗಿ ಅಳಿಸಿ), (ಸಿ) ಒಂದು ಕೊಠಡಿಯನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, (ಡಿ) ಒಂದು ಕೊಠಡಿಯನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ, (ಇ) ಕಾಗದವನ್ನು ಗುರುತು ಮಾಡಲಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಕೆಲಸಗಾರನು ಆರಂಭದ ಕೊಠಡಿಯ 1ನೇ ಹಂತದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಸೂಚನೆಗಳು ಅವರಿಗೆ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ. (ಪೋಸ್ಟ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರದಲ್ಲಿ ಇನ್ನಷ್ಟು ನೋಡಿ.) "ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ" ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಈ ವಿಷಯವು ಪೋಸ್ಟ್ ಚರ್ಚ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಲವಾದ ಹೊಡೆತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಕಾರಣವಾಯಿತುಃ "ಪ್ರಸ್ತುತ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಗೊಡೆಲ್-ಚರ್ಚ್ development.7 ನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬರಹಗಾರ ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತಾನೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ಉದ್ದೇಶವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತಾರ್ಕಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಅದರ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮಾನಸಿಕ ನಿಷ್ಠೆಯೂ ಆಗಿದೆ. ನಂತರದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವಿಶಾಲವಾದ ಮತ್ತು ವಿಶಾಲವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಅಂತಹವೆಲ್ಲವೂ ಸೂತ್ರೀಕರಣ 1ಕ್ಕೆ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದಾದವು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ನಮ್ಮ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ಈ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಕಾರ್ಯನಿರತ ಊಹೆಯಾಗಿ ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ, ಚರ್ಚ್ನ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು recursiveness.8 "(ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಇಟಾಲಿಕ್ಸ್) 7 [ಅವರು ಪುರಾವೆಗೆ ಒಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುತ್ತಾರೆ] 8" Cf. ಚರ್ಚ್, ಲಾಕ್. cit, pp. 346, 356-358. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಚರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಈಗಾಗಲೇ ಮಾಡಿದ ಕೆಲಸವು ಈ ಗುರುತನ್ನು ಕಾರ್ಯನಿರತ ಊಹೆಯ ಹಂತವನ್ನು ಮೀರಿ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ. ಆದರೆ ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಗುರುತನ್ನು ಮರೆಮಾಚಲು ಹೋಮೋ ಸೇಪಿಯನ್ಸ್ನ ಗಣಿತದ ಶಕ್ತಿಯ ಮಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರಂತರ ಪರಿಶೀಲನೆಯ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕುರುಡಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಮರೆಮಾಚುತ್ತದೆ ". ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪೋಸ್ಟ್ "ನೀವು ಅದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಅದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹಾಗಾಗುವುದಿಲ್ಲ; ನಿಮ್ಮ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಂತರ್ಜ್ಞಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚೇನೂ ಅಲ್ಲ" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಿದೆ. ಪೋಸ್ಟ್ ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತಿತ್ತುಃ "ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಯಶಸ್ಸು, ನಮಗೆ, ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧತೆಗೆ ಬದಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾಗಾದಾಗ ಮಾತ್ರ, ಗೊಡೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಚರ್ಚ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಂಕೇತಿಕ ತರ್ಕಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತೀರ್ಮಾನಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಬರಹಗಾರರಿಗೆ ತೋರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿವಾದಾತ್ಮಕ ನಿಲುವು ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ 1939 ರಲ್ಲಿ ಅಸಹ್ಯಕರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಗೊಡೆಲ್, ಗ್ಯಾಂಡಿ ಮತ್ತು ಸೀಗ್ ಅವರೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಗಣನೀಯತೆ ಎ. ಎಮ್. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಅವರ ಆನ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಬಲ್ ನಂಬರ್ಸ್, ವಿತ್ ಆನ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಟು ದಿ ಎಂಟ್ಚೈಡುಂಗ್ಸ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಅನ್ನು ನವೆಂಬರ್ 1936 ರಲ್ಲಿ ಲಂಡನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೊಸೈಟಿಗೆ ನೀಡಲಾಯಿತು. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಓದುಗನು ಒಂದು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕುಃ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಬಳಸಿದಂತೆ, "ಕಂಪ್ಯೂಟರ್" ಎಂಬ ಪದವು ಮನುಷ್ಯ, ಮತ್ತು "ಕಂಪ್ಯೂಟರ್" ನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅವರು "ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು "ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ (ಪುಟ 135). ಆದರೆ ಅವರು ತಮ್ಮ ಯಂತ್ರ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ "ಗಣನೆ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು "ಗಣಿಸಬಹುದಾದ" ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ "ಗಣಿಸಬಹುದಾದ" ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ದಶಮಾಂಶವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ನನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಯಂತ್ರದಿಂದ ಬರೆಯಬಹುದಾದರೆ ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ". ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಅವರ "ಯಂತ್ರ" ದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೇನು? ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ, ಮೊದಲನೆಯದು §1 ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು §9ರಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ತನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ §1ಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, "ಮಾನವ ಸ್ಮರಣೆಯು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಸಮರ್ಥನೆ ಇದೆ" ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, ಮತ್ತು ಅವರು "ಎಲ್ಲಾ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸುವುದರೊಂದಿಗೆ ತಮ್ಮ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಯಂತ್ರದ ಬೋಳು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯೊಂದಿಗೆ §1 ಅನ್ನು ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ "ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು [ಟೇಪ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ನಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಅಳಿಸಿ, ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಒಂದು ಚೌಕವನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡಿದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಯಂತ್ರ-ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ] ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಎಂಬುದು ನನ್ನ ವಾದವಾಗಿದೆ". ಮೇಲಿನ ಆವರಣದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಪದದ ಮಹತ್ವವು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿದೆ. §9. I ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅವರು ಯಂತ್ರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲು ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತಾರೆ; ಇದು ಗಣಕಯಂತ್ರದ (ವ್ಯಕ್ತಿಯ) ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುವ ಹೆಚ್ಚು-ಚದರ ರೀತಿಯ ನಡವಳಿಕೆಯಾಗಿದೆಃ "ಯಂತ್ರವು ಗಣಕಯಂತ್ರವು ಗಮನಿಸಿದ ಬಿ ಚೌಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಬಿ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಯಂತ್ರವು ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡಿದ ಚೌಕದ ಮೇಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡಿದ ಯಾವುದೇ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಇತರ ಸ್ಕ್ಯಾನ್ ಮಾಡಿದ ಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಎಲ್ ಚೌಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದೂರದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಮತ್ತೊಂದು ಚೌಕಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಈಗ ವಿವರಿಸಿದ ಯಂತ್ರಗಳು §2 [sic] ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದಂತೆ ಗಣಕ ಯಂತ್ರಗಳಿಗಿಂತ ಬಹಳ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿಯ ಯಾವುದೇ ಯಂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಅದೇ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಗಣಕ ಯಂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಗಣಕದಿಂದ ಗಣಿಸಲಾದ ಅನುಕ್ರಮ. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ §2 ರಲ್ಲಿ "ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಯಂತ್ರ" ವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾ, (i) §1 ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿರುವಂತೆ "ಎ-ಮೆಷಿನ್" ("ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಯಂತ್ರ") ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿರ್ಬಂಧದೊಂದಿಗೆ (ii): (ii) ಇದು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಮುದ್ರಿಸುತ್ತದೆ-ಅಂಕಿಗಳು 0 ಮತ್ತು 1-ಮತ್ತು ಇತರ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. 0 ಮತ್ತು 1 ಅಂಕಿಗಳು "ಯಂತ್ರವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು" ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು "ಗಣನೀಯ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಯಂತ್ರವು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಬೇಕು; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು "ವೃತ್ತಾಕಾರ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು "ವೃತ್ತ-ಮುಕ್ತ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ "ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ವೃತ್ತ-ಮುಕ್ತ ಯಂತ್ರದಿಂದ ಗಣಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು". ಅವರು ಇದನ್ನು ತಮ್ಮ "ಪ್ರಬಂಧ" ಎಂದು ಕರೆಯದಿದ್ದರೂ, ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಅವರ "ಗಣನೀಯತೆ" ಚರ್ಚ್ನ "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ" ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾರೆಃ "ಇತ್ತೀಚಿನ ಪ್ರಬಂಧವೊಂದರಲ್ಲಿ ಅಲೊಂಜೊ ಚರ್ಚ್" ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ "ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದೆ, ಇದು ನನ್ನ" ಗಣನೀಯತೆ "ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಬಹಳ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. "ಗಣನೀಯತೆ" ಮತ್ತು "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ" ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಕಾಗದದ ಅನುಬಂಧದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನುಬಂಧಃ ಗಣನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ; ಅವರು ಇಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವರ ಪ್ರೂಫ್-ಸ್ಕೆಚ್ನಲ್ಲಿ ಅವರ ಯಂತ್ರವು λ-ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ನಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ತಂತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವರ ಯಂತ್ರದ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಮಂಚ್ "ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂರಚನೆಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಯೂ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಯಂತ್ರ-ಗಣನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಯು ಕ್ಲೈನ್ 1943 ಮತ್ತು 1952 ರವರೆಗೆ ಕಾಯಬೇಕುಃ "ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ (λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದಾದ) ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಗಣನೀಯವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯನ್ನು ರೂಪರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಳಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ". ಗ್ಯಾಂಡಿ (1960) ಈ ದಿಟ್ಟವಾದ ಪುರಾವೆ-ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧದೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ; ಕೆಳಗೆ 1960 ಮತ್ತು 1995 ನೋಡಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದುವುದರಿಂದ, §1ರಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಯಂತ್ರದ "ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು" ಯಾವುದೇ ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು §9ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದಂತೆ ಮಾನವನ "ಗಣಕಯಂತ್ರ" ದ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಯಂತ್ರವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತಿದ್ದಾನೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಓದುಗರು ಗಮನಿಸಬಹುದು. ಈ ಅಂಶವನ್ನು 1939ರಲ್ಲಿ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪುನರುಚ್ಚರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಬೃಹತ್ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧವು (ಅಲೋಂಜೋ ಚರ್ಚ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ) ಯಂತ್ರ ಗಣನೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಆಫ್ ಲಾಜಿಕ್ ಬೇಸ್ಡ್ ಆನ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ ಎಂದು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅನ್ವೇಷಣೆಯನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತಾರೆ. "ಯಂತ್ರ ಗಣನೆ" ಮತ್ತು "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ" ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗುರುತಿಸುವ (ಒಂದೇ ರೀತಿ ನಿರೂಪಿಸುವ) ದಪ್ಪಮುಖದ ಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಅವರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾರೆ. "ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದರೆ ಅದನ್ನು" ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು "ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಗ್ರಹಿಕೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾದರೂ, ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ, ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1934 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ನಲ್ಲಿ ಗೊಡೆಲ್ ನೀಡಿದರು. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಗೊಡೆಲ್ "ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ" ಎಂದು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಚರ್ಚ್ ನೀಡಿದೆ. ಅವರು ಅದನ್ನು λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ. ಲೇಖಕರು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ನಿಕಟವಾಗಿ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ (ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ [1], ಪೋಸ್ಟ್ನ [1] ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ). "ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು" ಎಂದು ಮೇಲೆ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರಶಃ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಯಂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಯಂತ್ರಗಳ ರಚನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ವಿಚಾರಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯು ಲೇಖಕರ ಗಣನೆಯ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಯ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಮೂರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವೆಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಸ್ವಲ್ಪ ಶ್ರಮದಾಯಕವಾದರೂ ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. "ಯಂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ನಾವು" ಗಣನಾಯೋಗ್ಯ ಕಾರ್ಯ "ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಈ ಯಾವುದೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ" ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ "ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ನಾವು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತೇವೆ. ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು ನಾವು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನಾವು ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಇದೊಂದು ಬಲವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ. ಏಕೆಂದರೆ "ಏಕರೂಪತೆ" ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯಾಗಿದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, "ಕಾರ್ಯ", "ಯಂತ್ರ", "ಗಣಿಸಬಹುದಾದ" ಮತ್ತು "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ" ಪದಗಳಿಗೆ ಯಾವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಗೆ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಆಕಸ್ಮಿಕತೆಗಳಿಲ್ಲಃ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆಃ "ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಂತ್ರದಿಂದ ಗಣಿಸಬಹುದಾದರೆ" ನಂತರ "ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು" ಮತ್ತು "ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದರೆ" ನಂತರ "ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಯಂತ್ರದಿಂದ ಗಣಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ರೋಸರ್ಃ ರಿಕರ್ಶನ್, λ-ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್, ಮತ್ತು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್-ಮೆಷಿನ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಜೆ. ಬಿ. ರೊಸ್ಸರ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧ ಆನ್ ಇನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಎಕ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ ಆಫ್ ಪ್ರೂಫ್ಸ್ ಆಫ್ ಗೊಡೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಹೇಳುತ್ತದೆಃ "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಧಾನದ ವಿಶೇಷ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತವೂ ನಿಖರವಾಗಿ ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುವುದು ಖಚಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಶೇಷ ಅರ್ಥದೊಂದಿಗೆ, ದಿನಾಂಕ 5ಕ್ಕೆ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಲು ಸರಳವಾದದ್ದು (ಪೋಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ) ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಹೇಳುವಂತೆ, ಒಂದು ಯಂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಅದು ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಮಾನವ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪವಿಲ್ಲದೆ ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (ನಂತರ) ಉತ್ತರವನ್ನು ಓದುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೂರೂ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಯಾವುದೇ ಒಂದರ ನಿಖರತೆಗೆ ಬಹಳ ಬಲವಾದ ವಾದವಾಗಿದೆ. 5 ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಚರ್ಚ್ I [ಅಂದರೆ. ಚರ್ಚ್ 1936 ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆ]. ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಜಾಕ್ವೆಸ್ ಹರ್ಬ್ರಾಂಡ್ ಮತ್ತು ಕರ್ಟ್ ಗೊಡೆಲ್ ಅವರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು I, ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ 3, ಪುಟ 346ರಲ್ಲಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಮೂರನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಎರಡು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ಇ. ಎಲ್. ಪೋಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ಎ. ಎಂ. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಅವರು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಮೊದಲ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು I ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ. ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಮೊದಲ ಎರಡಕ್ಕೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಎ. ಎಮ್. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್, ಕಂಪ್ಯೂಟಬಿಲಿಟಿ ಮತ್ತು λ-ಡೆಫಿನಿಬಿಲಿಟಿ [ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಸಿಂಬಾಲಿಕ್ ಲಾಜಿಕ್, ಸಂಪುಟ. 2 (1937), ಪು. 153-163] ". ಕ್ಲೈನ್ ಮತ್ತು ಥೀಸಿಸ್ ಐ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಬಂಧ ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಪ್ರಿಡಿಕೇಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ಗಳಲ್ಲಿ "ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ" ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು "ಭಾಗಶಃ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕಾರ್ಯ, ಮ್ಯೂ-ಆಪರೇಟರ್, ಇತ್ಯಾದಿಗಳು ತಮ್ಮ ನೋಟವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಆತ §12 ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಥೀಸಿಸ್ I ಅನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು ಅವರು 1952 ರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚ್ನ ಥೀಸಿಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆಃ "ಈ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಸತ್ಯ, ಜೊತೆಗೆ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗೆಗಿನ ಕೆಲವು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಥೀಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೇಳಲು ಚರ್ಚ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಅದೇ ಪ್ರಬಂಧವು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. "ಥೀಸಿಸ್ I. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವೂ (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದಾದ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ. "ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದಾದ) ಪದದ ನಿಖರವಾದ ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು, ಈಗಾಗಲೇ ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡ ತತ್ವದೊಂದಿಗೆ ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರಬಂಧವು ಒಂದು ಊಹೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ಪೋಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ಚರ್ಚ್ 24 ಒತ್ತಿಹೇಳಿದ ಒಂದು ಅಂಶ. 22 ಚರ್ಚ್ [1] [ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆ] 23 ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ [1] [ಕಂಪ್ಯೂಟಬಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ, ಎಂಟ್ಶೈಡಂಗ್ಸ್ಪ್ರೊಬ್ಲಮ್ (1936) ಗೆ ಅನ್ವಯದೊಂದಿಗೆ] 24 ಪೋಸ್ಟ್ [1, ಪುಟ 105], ಮತ್ತು ಚರ್ಚ್ [2] ಕ್ಲೈನ್ಸ್ ಚರ್ಚ್, ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಪ್ರಬಂಧಗಳು ತನ್ನ § 60 ನೇ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ಕ್ಲೈನ್ "ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧ" ವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾನೆಃ ". ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಪುರಾವೆಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಪರಿಗಣನೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲು ಚರ್ಚ್ 1936 ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿದವು. "ಥೀಸಿಸ್ I. ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವೂ (ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದಾದ ಭವಿಷ್ಯವಾಣಿಯ) ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗಿದೆ. "ಈ ಪ್ರಬಂಧವು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ 1936-7 ಮತ್ತು 1936ರ ನಂತರ ರೂಪಿಸಿದ ಗಣಕಯಂತ್ರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲೂ ಸಹ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿದೆ". ಪುಟ 317ರಲ್ಲಿ ಆತ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ "ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆಃ "§62. ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧ. ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧಕ್ಕೆ (ಥೀಸಿಸ್ I § 60) ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದು ಇದರ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಅಧ್ಯಾಯದ ಮುಖ್ಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ "ಸೂತ್ರೀಕರಣ" ದ ಬಗ್ಗೆ, ಕ್ಲೈನ್ ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾರೆಃ "ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧದ (ಸಮಾನ ಪದಗಳಲ್ಲಿ) ಸ್ವತಂತ್ರ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. 1936ರ ನಂತರವೂ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು ". ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ತೋರಿಸಿದ್ದನ್ನು ಕ್ಲೈನ್ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತಾರೆಃ "ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಗಣನೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು (1936-1937) ಒಂದು ರೀತಿಯ ಯಂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಇದು ಅವರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಮಾನವ ಗಣಕಯಂತ್ರವು ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸಲು, ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತ ಸೂಚನೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ". ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಕ್ಲೈನ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆಃ "§70. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧ. ತನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಗಣನೀಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು, ಅಂದರೆ. ಆತನ ಒಂದು ಯಂತ್ರವು, ಪ್ರಮೇಯ XXXರ ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಈ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಮೊದಲು, ಕ್ಲೈನ್ ಪ್ರಮೇಯ XXX ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾನೆಃ "ಪ್ರಮೇಯ XXX (= ಪ್ರಮೇಯಗಳು XXVIII + XXIX). ಭಾಗಶಃ ಕಾರ್ಯಗಳ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವರ್ಗಗಳು ಕೋಎಕ್ಸ್ಟೆನ್ಸಿವ್ ಆಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ (ಎ) ಭಾಗಶಃ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳು, (ಬಿ) ಗಣನಾಯೋಗ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, (ಸಿ) 1/1 ಗಣನಾಯೋಗ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಅಂತೆಯೇ l [ಲೋವರ್-ಕೇಸ್ L] ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಊಹಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು ೇಡಿಬಿ ". ಗೊಡೆಲ್, ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳು, ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಿಕೆ ಅವರ 1931 ರ ಪ್ರಬಂಧವಾದ ಆನ್ ಫಾರ್ಮಲಿ ಅನ್ಡೆಸಿಡಬಲ್ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ಸ್ಗೆ, ಗೊಡೆಲ್ 28 ಆಗಸ್ಟ್ 1963 ರಂದು ಒಂದು ಟಿಪ್ಪಣಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರು, ಇದು "ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ" ಪರ್ಯಾಯ ರೂಪಗಳು/ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರು 1964 ರಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪುನರುಚ್ಚರಿಸುತ್ತಾರೆ (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ): "ಟಿಪ್ಪಣಿ 28 ಆಗಸ್ಟ್ 1963 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಎ. ಎಂ. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ರ ಕೃತಿಯ 69ರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯ ನಿಖರವಾದ ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನಾತೀತವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈಗ ನೀಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ, ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು VI ಮತ್ತು XIರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆವೃತ್ತಿಯು ಈಗ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತವಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. "69 ನೋಡಿ, ಪುಟ 249. "70 ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ" ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ "ಅಥವಾ" ಔಪಚಾರಿಕತೆ "ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಬಳಸಬಾರದು. ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಉಪನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ (1946ರ ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ, ಪುಟ 11 [ಡೇವಿಸ್ 1965, ಪುಟಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. 84-88 [ಅಂದರೆ. ಡೇವಿಸ್ p. 84-88]), ಔಪಚಾರಿಕತೆಗಳ ಕೆಲವು ಅನಂತ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾನು ಸೂಚಿಸಿದ್ದೇನೆ, ಆದರೆ ಇವು ಪದದ ಸರಿಯಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗಿಂತ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಗೊಡೆಲ್ 1964-ಪ್ರಿನ್ಸ್ಟನ್ನಲ್ಲಿನ ಐಎಎಸ್ನಲ್ಲಿ 1934 ರ ತಮ್ಮ ಉಪನ್ಯಾಸದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಿಗೆ ಗೊಡೆಲ್ನ ಪೋಸ್ಟ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟಮ್ನಲ್ಲಿ, ಅವರು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ದಿಟ್ಟ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ಪುನರುಚ್ಚರಿಸುತ್ತಾರೆ, ಚರ್ಚ್ನ λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲ್ಪಟ್ಟಂತೆ ಗಣನೆಯ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಅವರ ಕಡಿಮೆ-ಹೊಳೆಯುವ ಅಭಿಪ್ರಾಯ (ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಬಹುವಚನ "ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ" ಬಳಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಇವೆರಡನ್ನೂ ದೂಷಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ). ಇದು ಮಾರ್ಟಿನ್ ಡೇವಿಸ್ಗೆ ಬರೆದ ಪತ್ರದಲ್ಲಿತ್ತು (ಬಹುಶಃ ಆತ ದಿ ಅನ್ಡೆಸಿಡೆಬಲ್ಅನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತಿದ್ದಾಗ). ಕೆಲವು ಪದವಿನ್ಯಾಸಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆಃ "ನಂತರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಎ. ಎಂ. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ರ ಕೃತಿಯಿಂದಾಗಿ, ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ನಿಖರವಾದ ಮತ್ತು ಪ್ರಶ್ನಾತೀತವಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈಗ ನೀಡಬಹುದು, ನಿರ್ಣಯಿಸಲಾಗದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಅಸಮರ್ಥತೆಯನ್ನು ಈಗ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಮಾಣದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಿರವಾದ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. "ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಕೆಲಸವು" ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ "(ಅಲಿಯಾಸ್" ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ "ಅಥವಾ" ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಪ್ರೊಸೀಜರ್ "ಅಥವಾ" ಫೈನೈಟ್ ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಪ್ರೊಸೀಜರ್ ") ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು "ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರ" ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಯಾಂತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ, ಇದರ ಮೂಲತತ್ವವೆಂದರೆ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಯಾವುದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲದ ಸೀಮಿತ ಯಾಂತ್ರಿಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳಿವೆಯೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯು "ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಮತ್ತು "ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ" ದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಸಮರ್ಪಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. "." "ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ" "ಎಂದರೆ" "ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ" "ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿದರೆ, ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ 3ರಲ್ಲಿ ಎತ್ತಲಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ §9ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿರುವಂತೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ದೃಢವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಇಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿರುವಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ನೋಡಿ ಎಸ್. ಸಿ. ಕ್ಲೈನ್ (1936).)" "* ನೋಡಿ. ಮತ್ತು ಇ. ಎಲ್. ಪೋಸ್ಟ್ (1936) ಬರೆದ ಬಹುತೇಕ ಏಕಕಾಲಿಕ ಪ್ರಬಂಧ". ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಮ್ಮ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಗಣನೆಯ ಹಿಂದಿನ ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಎ ನೋಡಿ. ಚರ್ಚ್ 1936. ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ 3 1934 ರ ಉಪನ್ಯಾಸದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಮುಖ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿದೆಃ "3 ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ (2) ಇತರ ರೂಪಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳನ್ನು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಒಪ್ಪಿಕೊಂಡರೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತತೆಯು ನಿಜವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸೀಮಿತ ಗಣನೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದು ಶೋಧನಾ ತತ್ವವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. "ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವನ [ಗೊಡೆಲ್ನ] ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ [ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ] ಮತ್ತು ಕ್ಲೈನ್ನ [1936] ನಡುವಿನ ಸಮಾನತೆಯು ತುಂಬಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲ" ಎಂದು ಡೇವಿಸ್ ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೂ, ಈ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳ ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ 3 ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲ ". ಗ್ಯಾಂಡಿಃ "ಯಂತ್ರ ಗಣನೆ", ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ, ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಮತ್ತು ಬೆಳಕಿನ ವೇಗದ ಮೂಲಕ "ಸ್ಥಳೀಯ ಕಾರಣ" ಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾದ ರಾಬಿನ್ ಗ್ಯಾಂಡಿಯ ಪ್ರಭಾವಶಾಲಿ ಪ್ರಬಂಧವು ಚರ್ಚ್ನ ಥೀಸಿಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಫಾರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಸಮ್ಸ್ ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯು ಬಾರ್ವೈಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರಚಿಸಲಾದ ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧದ ಅಸಂಭವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಗ್ಯಾಂಡಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆಃ "1. ಪರಿಚಯ "ಈ ಲೇಖನದುದ್ದಕ್ಕೂ ನಾವು ಕೆಲವು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು" ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದಾದ "ಮತ್ತು" ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರದಿಂದ ಗಣಿಸಬಹುದಾದ "ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲು" ಗಣಿಸಬಹುದಾದ "ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ; ಸಹಜವಾಗಿ" ಗಣಿಸಬಹುದಾದ "ಅನೇಕ ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಈಗ ಲಭ್ಯವಿವೆ. "ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧ. ಯಾವುದನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದೋ ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ". .. ಚರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಇಬ್ಬರೂ ಕೆಲವು ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನಗಳನ್ನು (ಕಾಗದ ಮತ್ತು ಪೆನ್ಸಿಲ್ನಂತಹ) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಮೂರ್ತ ಮನುಷ್ಯನಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡಿದ್ದರು "ರಾಬರ್ಟ್ ಸೋರೆ (1995, ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ) ಈ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರು, ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ" ಅಪೆಂಡಿಕ್ಸ್ ಪ್ರೂಫ್ "(1937) ಗೆ ಮೊದಲು ಪ್ರಕಟವಾದ ಚರ್ಚ್ನ ಕಾಗದವನ್ನು (1936) ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಗ್ಯಾಂಡಿ "ಯಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಗೆ ವಾದಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾನೆಃ" ಥೀಸಿಸ್ ಎಂ. ಯಂತ್ರದಿಂದ ಏನನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದೋ ಅದು ಗಣನೀಯವಾಗಿದೆ ". ಗ್ಯಾಂಡಿ "ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಅನಾಲಾಗ್ ಯಂತ್ರಗಳಾಗಿರುವ ಪರಿಗಣನಾ ಸಾಧನಗಳಿಂದ [ಗಳನ್ನು] ಹೊರಗಿಡುತ್ತಾರೆ. ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಡಲಾದ ಭೌತಿಕ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಕಲ್ಪನೆಗಳು (ಕೆಳಗೆ ಸಿಎಫ್ ತತ್ವ IV) ಎಂದರೆ ಸಾಧನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಮಾಣು ಭಾಗದ ರೇಖೀಯ ಆಯಾಮಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಳ ಮಿತಿಯಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬದಲಾವಣೆಯ ಪ್ರಸರಣದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಿರುತ್ತದೆ (ಬೆಳಕಿನ ವೇಗ)". ಆದರೆ ನಂತರ ಅವನು ತನ್ನ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತಾನೆಃ "(2) ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಯಾಂತ್ರಿಕ ಸಾಧನದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಾಧನಗಳು, ಸಡಿಲ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, ಡಿಜಿಟಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ. (3) ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಸಾಧನವು ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಅಂದರೆ, ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದ ನಂತರ ಸಾಧನದ ನಂತರದ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವರು ಈ "ಥೀಸಿಸ್ ಎಂ" ಗಾಗಿ ಒಂದು ವಾದವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ, ಅದನ್ನು ಅವರು ತಮ್ಮ "ಪ್ರಮೇಯ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದ "ತತ್ವ" ಎಂದರೆ "ತತ್ವ IV: ಸ್ಥಳೀಯ ಕಾರಣದ ತತ್ವ": "ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ತತ್ವಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾದುದಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಕ್ರಮವು ದಾಖಲೆಯ ಸೀಮಿತ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು ಮಾನವ ಮಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ನಾವು ಇದನ್ನು ಭೌತಿಕ ಮಿತಿಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದನ್ನು ನಾವು ಸ್ಥಳೀಯ ಕಾರಣದ ತತ್ವ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ಸಮರ್ಥನೆಯು ಪರಿಣಾಮಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೇತಗಳ ಪ್ರಸರಣದ ಸೀಮಿತ ವೇಗದಲ್ಲಿದೆಃ ಸಮಕಾಲೀನ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವು ದೂರದಲ್ಲಿ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸುತ್ತದೆ. 1985ರಲ್ಲಿ "ಥೀಸಿಸ್ ಎಂ" ಅನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಕ್ಕೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್-ಡಾಯ್ಚ ತತ್ವವು ರೂಪುಗೊಂಡಿತು. ಸೋರೆ ಸೋರೆ ಅವರ ಗಣನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರೀಕ್ಷೆಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅವರು ಗಣನೀಯತೆಯ "ಕಡಿಮೆ ಸೂಕ್ತವಾದ" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಗೊಡೆಲ್ನ 1964ರ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನು (ಮೇಲಿನ) ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸುತ್ತಾರೆಃ "ಕ್ಲೈನ್ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ [1981ಬಿ, ಪುಟ 49]", ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಗಣನೀಯತೆಯು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಮನವೊಲಿಸುವಂತಿದೆ "ಆದರೆ" λ-ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಮನವೊಲಿಸುವಂತಲ್ಲ "ಮತ್ತು" ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಅಷ್ಟೇನೂ ಅಲ್ಲ (ಅದರ ಲೇಖಕ ಗೊಡೆಲ್ ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮನವೊಲಿಸಲಿಲ್ಲ). ಇಂದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಜನರು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ "ಸೋರೆ ಅವರ ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿ 7 (1995) ಸಹ ಗ್ಯಾಂಡಿಯ" ಗೊಂದಲ "ವನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಗ್ಯಾಂಡಿ (1988) ವರೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಈ ಗೊಂದಲವು ಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಚಿಂತನೆಯ ಗಂಭೀರ ದೋಷವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವನ ಇಡೀ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮೋಡವಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆಃ "7ಗ್ಯಾಂಡಿ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ" ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು "ಇಲ್ಲಿ ಬರೆದಿರುವಂತೆ" ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಪ್ರಬಂಧ "ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಗ್ಯಾಂಡಿ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಂಡಿದ್ದಾನೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ, ಏಕೆಂದರೆ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ 1936 ರಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನನ್ನೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಿಲ್ಲ". "ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧವಾಗಿ" ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವಾಗ ಬ್ರೆಗರ್ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ, "ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು" ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡಿರಬಹುದು, ಅದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ-ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತನಾಡುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜ್ಞಾನವನ್ನು (ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು) ಹೊಂದಿರುವ ಸಕ್ರಿಯ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯು ಯಾವುದೇ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (ಸಂಭಾವ್ಯ) ಮೂಲಭೂತ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿರಬಹುದುಃ "ಮಾನವನ ಜ್ಞಾನ-ಹೇಗೆ ಎಂಬುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ-ಅದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿಲ್ಲ. .... ಮನುಷ್ಯನು ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿರದೆಯೇ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರವು ಸಂಕೇತಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿರುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ "ಎಂದು ಅವರು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ನನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆಃ" 1905ರಲ್ಲಿ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಉಪನ್ಯಾಸವೊಂದರಲ್ಲಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ತರ್ಕದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೇಳುವ ಮೊದಲು "ಚಿಂತನೆಯ ಸೂತ್ರ" ಅಥವಾ "ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸೂತ್ರ" ವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು "ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಗತ್ಯ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದರು. ಲಿಪಿಯ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ನಂತರ ಸೇರಿಸಿದರುಃ "ತತ್ವಜ್ಞಾನಿಗಳ ಆದ್ಯತೆ". ಅವರು ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಿದರುಃ "ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುವ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು a, b,., x, y, ನಂತಹ ಸರಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ ನನಗೆ ಇದೆ, ಇದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ನನ್ನ ಆಲೋಚನೆಯು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಈ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನನ್ನ ಆಲೋಚನೆಯು ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನನ್ನ ಅವಲೋಕನದಿಂದ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ "[(ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ 1905,219; ಸಹ ನೋಡಿ (ಪೆಕ್ಕೌಸ್ 1990,62ಎಫ್ ಮತ್ತು 227)]. ಗ್ಯೂಸೆಪ್ಪೆ ವೆರೋನೀಸ್ (1891) ಮತ್ತು ಹರ್ಮನ್ ವೇಯ್ಲ್ (1930-1) ಅವರ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬ್ರೆಗರ್ ತನ್ನ ವಾದವನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತಾನೆ. ಅವರು ನಂತರ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೂತ್ರ-ಗುಂಪಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಅಂದರೆ. ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಭಾಷೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಜರ್ಮನ್. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನಷ್ಟು ನೋಡಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಗಣನೆಯ ಹೊರಗೆ ಬಳಸಿದ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುವ ವೀಕ್ಷಕರು ಇರಬೇಕು ಎಂಬ ಸಿಯರ್ಲೆ ಅವರ ಅಭಿಪ್ರಾಯ. ಸೀಗ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು "ಫೆಫರ್ ಫೆಸ್ಟ್" ನಲ್ಲಿ-ಸೊಲೊಮನ್ ಫೆಫರ್ಮಾನ್ ಅವರ 70 ನೇ ಜನ್ಮದಿನದಂದು-ವಿಲ್ಫ್ರೈಡ್ ಸೀಗ್ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಎರಡು ವರ್ಷಗಳ ಹಿಂದೆ ಬರೆದ "ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಶನ್ಸ್ ಬೈ ಮ್ಯಾನ್ ಅಂಡ್ ಮೆಷಿನ್ಃ ಕಾನ್ಸೆಪ್ಚುವಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಲೇಖನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದನ್ನು (ಸೀಗ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. 2002:390-409). ಈ ಹಿಂದೆ ಸೀಗ್ ಅವರು "ಮೆಕ್ಯಾನಿಕಲ್ ಪ್ರೊಸೀಜರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಎಕ್ಸ್ಪೀರಿಯೆನ್ಸ್" ಅನ್ನು (ಜಾರ್ಜ್ 1994, ಪುಟ 71 ಎಫ್ಎಫ್) ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಇದು ರಿಚರ್ಡ್ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ 1950ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೀಫನ್ ಕೋಲ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರ ನಂತರದ ಪ್ರಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ "ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ" ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಫೆಫೆರ್ಫೆಸ್ಟ್ ಪತ್ರಿಕೆಯು ಹಿಂದಿನ ಪತ್ರಿಕೆಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಬಟ್ಟಿ ಇಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ರಾಬಿನ್ ಗ್ಯಾಂಡಿ ಅವರ 1980ರ ಪತ್ರಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಸೀಗ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ "ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಗಣನೀಯತೆ" (ಮಾನವ "ಗಣಕ") ಯನ್ನು ಗ್ಯಾಂಡಿಯ ಸಮಾನಾಂತರ ಯಂತ್ರಗಳಿಗೆ "ಅಕ್ಷರ ಯಂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಗಣನೀಯತೆ" ಯ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತಾನೆ. "ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಮತ್ತು ಉಸ್ಪೆನ್ಸ್ಕಿಯವರ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಕೆಲಸ" ಮತ್ತು (ಡಿ ಪಿಸಾಪಿಯಾ 2000), ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕೆಯು-ಪಾಯಿಂಟರ್ ಯಂತ್ರ-ಮಾದರಿ), ಮತ್ತು ಕೃತಕ ನರ ಜಾಲಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ಇತ್ತೀಚಿನ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸೀಗ್ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತಾರೆಃ "ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ಪ್ರಬಂಧದ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ) ನಿಖರತೆಯು ಎರಡು ಸ್ತಂಭಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿದೆ; ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಗಣಕರಿಗೆ ಮಿತಿಯ ನಿಖರತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು, ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕೇಂದ್ರ ಪ್ರಬಂಧದ ನಿಖರತೆ. ಗಣಕದ ಗಣನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಯಂತ್ರದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಅನುಕರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಎರಡನೆಯದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಾದವು ಎಷ್ಟೇ ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿದ್ದರೂ, ಎರಡು ದೌರ್ಬಲ್ಯಗಳಿವೆಃ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಡಿಲತೆ (ಸಾಂಕೇತಿಕ ಸಂರಚನೆಗಳು ಎಂದರೇನು? ಯಾಂತ್ರಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಪರಿಣಾಮ ಬೀರಬಹುದು?) ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪ್ರಬಂಧದ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆ. ನಾವು ಎಷ್ಟೇ ತಿರುಗಿಕೊಂಡರೂ, ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಇನ್ನೂ ಅತೃಪ್ತಿಕರ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ. "ಎಂದೆ. ಅವರು "ಹೆಚ್ಚು ತೃಪ್ತಿಕರ ನಿಲುವಿನತ್ತ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಸಂರಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು ದೂರವಿರುವುದು" ಎಂದು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ. "ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನನ್ನ ವಿವರಣೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು. 1980ರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ರಾಬಿನ್ ಗ್ಯಾಂಡಿ ಯಂತ್ರ ಗಣನೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿದನು. ಮೇಲಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವೋ ಅಲ್ಲವೋ ಎಂಬುದನ್ನು ಯೋಚಿಸಲು ಓದುಗರಿಗೆ ಬಿಡಲಾಗಿದೆ. ಸೀಗ್ ಗಾಂಡಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತಾನೆ (1980ರ ಮೇಲೆ ನೋಡಿ). ಹಾಗೆ ಮಾಡುವಾಗ ಅವನು "ಗ್ಯಾಂಡಿ ಯಂತ್ರಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಯಂತ್ರಗಳನ್ನು (ಅನುಬಂಧದಲ್ಲಿ ವಿವರವಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ) ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಗ್ಯಾಂಡಿ ಯಂತ್ರಗಳ ಬಗ್ಗೆಃ ". ಗ್ಯಾಂಡಿ ಯಂತ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು" ಅಮೂರ್ತ "ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದ್ದು ಅದು. ಸಮಾನಾಂತರ ಗಣನೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಗ್ಯಾಂಡಿ ಯಂತ್ರಗಳು ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಮೂರ್ತ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಅವು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ವಿಭಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಮೂರನೆಯದಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಗ್ಯಾಂಡಿ ಯಂತ್ರದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷರ ಯಂತ್ರದಿಂದ ಅನುಕರಿಸಬಹುದು, [ಮತ್ತು] ಇದನ್ನು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವೆಂದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. [ಬೋಲ್ಡ್ಫೇಸ್ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ] "ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ ವಿಧಾನವು ಗಣನೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಅಗತ್ಯ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಅಮೂರ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ. ನಾನು ವಿವರಿಸುತ್ತಿರುವ ಎರಡು ರೀತಿಯ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಗಣಕಗಳು ಸ್ಥಿತಿಯ ಒಂದು ಸುತ್ತುವರಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಗ್ಯಾಂಡಿ ಯಂತ್ರಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸುತ್ತುವರಿದ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳ ಮಾದರಿಗಳು ಅವುಗಳ ಅಕ್ಷರ ವೈವಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಯಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಗಣನೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾರ್ವೈಸ್, ಜಾನ್, ಎಚ್. ಜೆ. ಕೀಸ್ಲರ್, ಮತ್ತು ಕೆ. ಕುನೆನ್, ಸಂಪಾದಕರು, 1980, ದಿ ಕ್ಲೈನ್ ಸಿಂಪೋಸಿಯಂ, 426 ಪುಟಗಳು, ನಾರ್ತ್-ಹಾಲೆಂಡ್ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಕಂಪನಿ, ಆಮ್ಸ್ಟರ್ಡ್ಯಾಮ್, ಚರ್ಚ್, ಎ., 1936ಎ, ಇನ್ (ಡೇವಿಸ್ 1965:88 ಎಫ್ಎಫ್), "ಆನ್ ಅನ್ಸಾಲ್ವಬಲ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಆಫ್ ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ನಂಬರ್ ಥಿಯರಿ" ಚರ್ಚ್, ಎ., 1936ಬಿ, ಇನ್ (ಡೇವಿಸ್ 1965:108 ಎಫ್ಎಫ್), "ಎ ನೋಟ್ ಆನ್ ದಿ ಎಂಟ್ಚೈಡುಂಗ್ಸ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್" ಚರ್ಚ್, ಎ., 1938, ದಿ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಿವ್ ಸೆಕೆಂಡ್ ನಂಬರ್ ಕ್ಲಾಸ್, ಬುಲ್. ಅಮೀರ್. ಗಣಿತ. ಎಸ್. ಸಿ. ವಾಲ್ಟ್. 44, ಸಂಖ್ಯೆ 4,1938, ಪು. ಡೇವಿಸ್, ಮಾರ್ಟಿನ್ ಸಂಪಾದಕ, 1965, ದಿ ಅನ್ಡೆಸಿಡೆಬಲ್, ಬೇಸಿಕ್ ಪೇಪರ್ಸ್ ಆನ್ ಅನ್ಡೆಸಿಡೆಬಲ್ ಪ್ರೊಪೊಸಿಷನ್ಸ್, ಅನ್ಸಾಲ್ವಬಲ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್, ರಾವೆನ್ ಪ್ರೆಸ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಗೊಡೆಲ್, ಚರ್ಚ್, ಟ್ಯೂರಿಂಗ್, ರೋಸರ್, ಕ್ಲೈನ್ ಮತ್ತು ಪೋಸ್ಟ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ಡೇವಿಸ್ ಅವರ ಮೌಲ್ಯಯುತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಬಂಧಗಳಿಗೆ ಮುಂಚೂಣಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಡೇವಿಸ್, ಮಾರ್ಟಿನ್, 2001, ಎಂಜಿನ್ಸ್ ಆಫ್ ಲಾಜಿಕ್ಃ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಷಿಯನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ದಿ ಆರಿಜಿನ್ ಆಫ್ ದಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ನಾರ್ಟನ್ & ಕಂಪನಿ, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ಪಿಬಿಕೆ. ಡಾಸನ್, ಜಾನ್ ವಿಲಿಯಂ, ಜೂನಿಯರ್, 1997, ಲಾಜಿಕಲ್ ಡೈಲೆಮಾಸ್ಃ ದಿ ಲೈಫ್ ಅಂಡ್ ವರ್ಕ್ ಆಫ್ ಕರ್ಟ್ ಗೊಡೆಲ್, 361 ಪುಟಗಳು, ಎ. ಕೆ. ಪೀಟರ್ಸ್, ವೆಲ್ಲೆಸ್ಲಿ, ಎಮ್ಎ, QA29.058D39. ಡಾಸನ್, ಜಾನ್ ವಿಲಿಯಂ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ವಿಲಿಯಂ ಡಾಸನ್, ಜೂನಿಯರ್, 2005, ಲಾಜಿಕಲ್ ಡೈಲೆಮಾಸ್ಃ ದಿ ಲೈಫ್ ಅಂಡ್ ವರ್ಕ್ ಆಫ್ ಕರ್ಟ್ ಗೊಡೆಲ್, 362 ಪುಟಗಳು, ಎ. ಕೆ. ಪೀಟರ್ಸ್, ವೆಲ್ಲೆಸ್ಲಿ, ಎಂ. ಎ., ಡಿ ಪಿಸಾಪಿಯಾ, ಎನ್., 2000, ಗ್ಯಾಂಡಿ ಮೆಷೀನ್ಸ್ಃ ಆನ್ ಅಬ್ಸ್ಟ್ರಾಕ್ಟ್ ಮಾಡೆಲ್ ಆಫ್ ಪ್ಯಾರಲಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಫಾರ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಮೆಷೀನ್ಸ್, ದಿ ಗೇಮ್ ಆಫ್ ಲೈಫ್, ಮತ್ತು ಆರ್ಟಿಫಿಶಿಯಲ್ ನ್ಯೂರಲ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್ಸ್, ಎಂ. ಥೀಸಿಸ್, ಕಾರ್ನೆಗೀ ಮೆಲಾನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, ಪಿಟ್ಸ್ಬರ್ಗ್. ಡೆರ್ಶೋವಿಟ್ಜ್, ನಾಚುಮ್ ಮತ್ತು ಗುರೆವಿಚ್, ಯೂರಿ, 2007, ಎ ನ್ಯಾಚುರಲ್ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟೈಸೇಶನ್ ಆಫ್ ಚರ್ಚ್ಸ್ ಥೀಸಿಸ್, http://research.microsoft.com ~ ಗುರೆವಿಚ್/ಒಪೇರಾ/188. ಪಿಡಿಎಫ್ ಗ್ಯಾಂಡಿ, ರಾಬಿನ್, 1978, ಚರ್ಚ್ನ ಥೀಸಿಸ್ ಅಂಡ್ ದಿ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಲ್ಸ್ ಫಾರ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಸಮ್ಸ್, ಇನ್ (ಬಾರ್ವೈಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. 1980:123-148) ಜಾರ್ಜ್, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ (+ ಆವೃತ್ತಿ. ), 1994, ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಮೈಂಡ್, 216 ಪುಟಗಳು, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಗೊಡೆಲ್, ಕೆ., 1930, ಇನ್ (ವ್ಯಾನ್ ಹೈಜೆನೂರ್ಟ್ 1967:592 ಎಫ್ಎಫ್), ಸಂಪೂರ್ಣತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಮೆಟಾಮೆಥೆಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಗೊಡೆಲ್, ಕೆ., 1931ಎ, ಇನ್ (ಡೇವಿಸ್ 1965:4-38), ಆನ್ ಫಾರ್ಮಲಿ ಅನ್ಡೆಸಿಡೆಬಲ್ ಪ್ರಪೋಸಿಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ದಿ ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ ಮತ್ತು ರಿಲೇಟೆಡ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್. ಐ. ಗೊಡೆಲ್, ಕೆ., 1931ಬಿ, ಇನ್ (ವ್ಯಾನ್ ಹೈಜೆನೂರ್ಟ್ 1976:616 ಎಫ್ಎಫ್) ಆನ್ ಕಂಪ್ಲೀಟೆನೆಸ್ ಅಂಡ್ ಕನ್ಸಿಸ್ಟೆನ್ಸಿ ಗೊಡೆಲ್, ಕೆ., 1934, ಇನ್ (ಡೇವಿಸ್ 1965:39-74), ಆನ್ ಅನ್ ಡಿಸಿಡಿಬಲ್ ಪ್ರಪೋಸಿಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಗೊಡೆಲ್, ಕೆ., 1936, ಇನ್ (ಡೇವಿಸ್ 1965:82 ಎಫ್ಎಫ್), ಆನ್ ದಿ ಲೆಂಗ್ತ್ ಆಫ್ ಪ್ರೂಫ್ಸ್, ಎರ್ಗೆನ್ಬಿಸೆ ಐನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಸೆನ್ ಕೊಲೋಕ್ವಿಯಮ್ಸ್, ಹೆಫ್ಟ್ 7 (1936) ಪುಟದ ಮೂಲ ಲೇಖನದಿಂದ ಸಂಪಾದಕರು ಅನುವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. 23-24 ". ಕ್ಲೈನ್ (1952) ಅವರು ಎರ್ಜೆಬನಿಸ್ ಐನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥ್ಸ್ನಲ್ಲಿ "über die Lāange von Beweisen" ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಕೋಲ್, ಇತ್ಯಾದಿ. ಗೊಡೆಲ್, ಕೆ., 1964, ಇನ್ (ಡೇವಿಸ್ 1965:71 ಎಫ್ಎಫ್), ಪೋಸ್ಟ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟಮ್ ಗ್ರೋಶೋಜ್, ಎಮಿಲಿ ಮತ್ತು ಬ್ರೆಗರ್, ಹರ್ಬರ್ಟ್, 2000, ದಿ ಗ್ರೋತ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ನಾಲೆಡ್ಜ್, 416 ಪುಟಗಳು, ಕ್ಲೂವರ್ ಅಕಾಡೆಮಿಕ್ ಪಬ್ಲಿಷರ್ಸ್, ಡೋರ್ಡ್ರೆಕ್ಟ್, ದಿ ನೆದರ್ಲ್ಯಾಂಡ್ಸ್,. ಹಾಕಿಂಗ್, ಸ್ಟೀಫನ್, 2005, ಗಾಡ್ ಕ್ರಿಯೇಟೆಡ್ ದಿ ಇಂಟಿಜರ್ಸ್ಃ ದಿ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಬ್ರೇಕ್ಥ್ರೂಸ್ ದಟ್ ಚೇಂಜ್ಡ್ ಹಿಸ್ಟರಿ, ಎಡಿಟೆಡ್, ವಿತ್ ಕಾಮೆಂಟರಿ ಬೈ ಸ್ಟೀಫನ್ ಹಾಕಿಂಗ್, ರನ್ನಿಂಗ್ ಪ್ರೆಸ್, ಫಿಲಡೆಲ್ಫಿಯಾ, ಹಾಡ್ಜಸ್, ಆಂಡ್ರ್ಯೂ, 1983, ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ಃ ದಿ ಎನಿಗ್ಮಾ, 1 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸೈಮನ್ ಮತ್ತು ಶುಸ್ಟರ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, ಕ್ಲೀನ್, ಎಸ್ಸಿ, 1935, ಇನ್ (ಡೇವಿಸ್ 1965:236 ಎಫ್ಎಫ್) ಜನರಲ್ ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ನ್ಯಾಚುರಲ್ ನಂಬರ್ಸ್ ಕ್ಲೀನ್, ಎಸ್ಸಿ, 1971,1952 (10 ನೇ ಅನಿಸಿಕೆ 1991) ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಮೆಟಾಮೆಥೆಮಾಟಿಕ್ಸ್, 550 ಪುಟಗಳು, ನಾರ್ತ್-ಹಾಲೆಂಡ್ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಕಂಪನಿ (ವೋಲ್ಟರ್ಸ್-ನೂರ್ಧಾಫ್ ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್) ಮೆರಿಯಮ್-ವೆಬ್ಸ್ಟರ್ ಇಂಕ್., 1983 1, ನಂ. 3 (ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್, 1936), ಪುಟಗಳು. 103-105. ರೋಸರ್. ಜೆ. ಬಿ., 1939, ಗೊಡೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಚರ್ಚ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಗಳ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ವಿವರಣೆ, ದಿ ಜರ್ನಲ್ ಆಫ್ ಸಿಂಬಾಲಿಕ್ ಲಾಜಿಕ್. ಸಂಪುಟ. 4. (1939), ಪು. 53-60 ಮತ್ತು (ಡೇವಿಸ್ 1967:223-230) ನಲ್ಲಿ ಮರುಮುದ್ರಣಗೊಂಡಿದೆ. ಸೀಗ್, ವಿಲ್ಫ್ರೈಡ್, ರಿಚರ್ಡ್ ಸೋಮರ್ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾರೋಲಿನ್ ಟಾಲ್ಕಾಟ್ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ), 2002, ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಸ್ ಆನ್ ದಿ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ಃ ಎಸ್ಸೇಸ್ ಇನ್ ಆನರ್ ಆಫ್ ಸೊಲೊಮನ್ ಫೆಫರ್ಮಾನ್, ಲೆಕ್ಚರ್ ನೋಟ್ಸ್ ಇನ್ ಲಾಜಿಕ್ 15,444 ಪುಟಗಳು, ಎ. ಕೆ. ಪೀಟರ್ಸ್, ಲಿಮಿಟೆಡ್, ಸೋರೆ, ರಾಬರ್ಟ್, 1996, ಕಂಪ್ಯೂಟಬಿಲಿಟಿ ಅಂಡ್ ರಿಕರ್ಶನ್, "ಬುಲೆಟಿನ್ ಆಫ್ ಸಿಂಬಾಲಿಕ್ ಲಾಜಿಕ್ 2", ಸಂಪುಟ 2, ಸಂಖ್ಯೆ 3, ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 1996, ಪುಟಗಳು. ಮತ್ತು (ಸಹ ನೋಡಿಃ ಡೇವಿಸ್ 1965:115 ff) ಟ್ಯೂರಿಂಗ್, A., 1939, (ಡೇವಿಸ್ 1965:154 ff), ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಆಫ್ ಲಾಜಿಕ್ ಬೇಸ್ಡ್ ಆನ್ ಆರ್ಡಿನಲ್ಸ್ ವ್ಯಾನ್ ಹೈಜೆನೂರ್ಟ್, ಜೀನ್, 1976, ಫ್ರಮ್ ಫ್ರೆಜ್ ಟು ಗೊಡೆಲ್ಃ ಎ ಸೋರ್ಸ್ ಬುಕ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಲಾಜಿಕ್, 116 ಪುಟಗಳು, 1879-1931,3 ನೇ ಮುದ್ರಣ, ಮೂಲ ಮುದ್ರಣ 1967, ಹಾರ್ವರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಮ್ಯಾಸಚೂಸೆಟ್ಸ್, (pbk.). ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ದಿ ಬುಲೆಟಿನ್ ಆಫ್ ಸಿಂಬಾಲಿಕ್ ಲಾಜಿಕ್ ಆನ್ಲೈನ್ ಪೇಪರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪುಟಗಳಿಗೆ ಕೊಂಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಲೋಂಜೋ ಚರ್ಚ್, 1938, ದಿ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಿವ್ ಸೆಕೆಂಡ್ ನಂಬರ್ ಕ್ಲಾಸ್ "ಸೊಸೈಟಿಯ ಇಂಡಿಯಾನಾಪೊಲಿಸ್ ಸಭೆಯಲ್ಲಿ ಡಿಸೆಂಬರ್ 29,1937 ರಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ರಮ ಸಮಿತಿಯ ಆಹ್ವಾನದ ಮೇರೆಗೆ ನೀಡಿದ ಭಾಷಣ". ಕರ್ಟ್ ಗೊಡೆಲ್, 1931, ಪ್ರಿನ್ಸಿಪಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಅನಿಶ್ಚಿತ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ಮೇಲೆ I. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಹಿರ್ಜೆಲ್ ಅವರು ಭಾಷಾಂತರಿಸಿದ್ದು, 27 ನವೆಂಬರ್ 2000. ಎಮಿಲ್ ಎಲ್. ಪೋಸ್ಟ್, 1946, ಎ ವೇರಿಯೆಂಟ್ ಆಫ್ ಎ ರಿಕರ್ಸಿವ್ಲಿ ಅನ್ಸಾಲ್ವಬಲ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್, ವಿಲ್ಫ್ರೈಡ್ ಸೀಗ್, 2005, ಡಾಗ್ಮಾ ಇಲ್ಲದೆ ಚರ್ಚ್ಃ ಕಂಪ್ಯೂಟಬಿಲಿಟಿಗಾಗಿ ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್, ಕಾರ್ನೆಗೀ ಮೆಲಾನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ವಿಲ್ಫ್ರೈಡ್ ಸೀಗ್, 2000, ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲೇಷನ್ಸ್ ಬೈ ಮ್ಯಾನ್ ಅಂಡ್ ಮೆಷಿನ್ಃ ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಕಾರ್ನೆಗೀ ಮೆಲಾನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ ರಾಬರ್ಟ್ ಐ. ಸೋರೇ, 1995, ಕಂಪ್ಯೂಟಬಿಲಿಟಿ ಅಂಡ್ ರಿಕರ್ಶನ್ ರಾಬರ್ಟ್ ಐ. ಸೋರೇ, 1996, ಕಂಪ್ಯೂಟಬಿಲಿಟಿ ಅಂಡ್ ರಿಕರ್ಶನ್ ಇದು ದಿ ಬುಲೆಟಿನ್ ಆಫ್ ಸಿಂಬಾಲಿಕ್ ಲಾಜಿಕ್, ಸಂಪುಟ 2, ಸಂಪುಟ 2, ಸಂಖ್ಯೆ 3, ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ 1996 ರಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಮಸಕೊ ತಕಾಹಾಶಿ, 2004, ಆನ್ ಜನರಲ್ ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು, ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ವಿಶೇಷವಾಗಿ, ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ನೋಡಿ. ಎ. ಎಮ್. ಟ್ಯೂರಿಂಗ್, 1936, ಆನ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಬಲ್ ನಂಬರ್ಸ್, ವಿತ್ ಆನ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಟು ದಿ ಎನ್ಟ್ಚೈಡುಂಗ್ಸ್ ಪ್ರಾಬ್ಲಮ್ ಚರ್ಚ್-ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಥೀಸಿಸ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ ಅಲನ್ ಟ್ಯೂರಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್