Stein's method
ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮಾಪನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಟೈನ್ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅವಲಂಬಿತ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ (ಏಕರೂಪ) ಮೆಟ್ರಿಕ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ನಡುವಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಆದರೆ ನೀಡಲಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಒಮ್ಮುಖದ ದರಗಳ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದನ್ನು 1972 ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಸ್ಟೀನ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. 1960ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಆಗಿನ ತಿಳಿದಿರುವ ಪುರಾವೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಸ್ಟೀನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಉಪನ್ಯಾಸಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಹೊಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಅವರ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು 1970 ರಲ್ಲಿ ಆರನೇ ಬರ್ಕ್ಲಿ ವಿಚಾರ ಸಂಕಿರಣದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ನಂತರ, ಅವರ ಪಿಎಚ್ಡಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಲೂಯಿಸ್ ಚೆನ್ ಹ್ಸಿಯಾವೊ ಯುನ್ ಅವರು ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಅಂದಾಜು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ವಿಧಾನವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದರು; ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಅಂದಾಜಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ ಸ್ಟೈನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಟೈನ್-ಚೆನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಗಳೆಂದರೆ ಸ್ಟೀನ್ (1986) ಅವರ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ತಮ್ಮ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿನಿಮಯಸಾಧ್ಯ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮತ್ತು ಜನರೇಟರ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಬಾರ್ಬರ್ (1988) ಮತ್ತು ಗೊಟ್ಜೆ (1991) ಅವರ ಲೇಖನಗಳು, ಇದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಇತರ ಅನೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು. ಕಾಂಬಿನೇಟೋರಿಯಲ್ ಸೆಂಟ್ರಲ್ ಲಿಮಿಟ್ ಥಿಯೋರೆಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಗ್ಗೆ ಬೋಲ್ಥೌಸೆನ್ (1984) ಬರೆದ ಲೇಖನವೂ ಸಹ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಯಾಗಿದೆ. 1990ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿವಿಧ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಾರ್ಬರ್ನಿಂದ ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು (1990), ಎಹ್ಮ್ನಿಂದ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ (1991), ಬಾರ್ಬರ್ ಮತ್ತು ಬ್ರೌನ್ನಿಂದ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು (1992), ಲುಕ್ನಿಂದ ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆ (1994), ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ. ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಟೀನ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ನಂತರ, 2010 ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕಾ ಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಜನಪ್ರಿಯತೆಯನ್ನು ಗಳಿಸಿತು. ಸ್ಟೈನ್ ಅವರ ವಿಧಾನವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಿ, ಮತ್ತು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಳೆಯಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ (ಏಕರೂಪ) ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅರ್ಧ-ಸಾಲಿನ ಸೂಚಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ (ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಾಸ್ಸೆರ್ಸ್ಟೈನ್; ಕ್ಯಾಂಟೊರೊವಿಚ್) ಮೆಟ್ರಿಕ್, ಅಲ್ಲಿ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಜಾಗವು ಸ್ವತಃ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್-ಸ್ಥಿರಾಂಕ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್-ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರತಿ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು (1.1) ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವಲಂಬಿತ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ವಿತರಣೆ), ಇದನ್ನು ನಾವು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾದ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ). ಸ್ಟೈನ್ ಆಪರೇಟರ್ ವಿತರಣೆಯು ಸ್ಥಿರ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ; ಕೆಳಗಿನವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ನಮಗೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಇದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು 'ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ ನಾವು ಅಂತಹ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಟೀನ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಾಗಿ, ಸ್ಟೀನ್ನ ಲೆಮ್ಮಾವು ಅಂತಹ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಅಂತಹ ಅನೇಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ, ಯಾವುದನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅನೇಕ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ (2.3) ನಂತಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಒಳ್ಳೆಯದೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಸ್ಟೀನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿವಿಧ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. (1.1) ನಲ್ಲಿನ ನಿರೀಕ್ಷೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 0 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸ್ಟೀನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಆಪರೇಟರ್ ಅದೇ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗ ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಆಶಾದಾಯಕವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ. ನಾವು (3.1) ಸ್ಟೀನ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯುವಂತಹ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈಗ (3.2) ನ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಬಲಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಸಾರ್ಥಕವಾಗುತ್ತವೆ. ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ನಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಾವು (2.3) ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಆಗ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಟೀನ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆ ಕ್ಯೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾದ (ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ) ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು q ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸ್ಟೀನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3.3) ಸುಲಭವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದುಃ ಜನರೇಟರ್ ವಿಧಾನ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಜನರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಬಾರ್ಬರ್ (1988), ಗೊಟ್ಜೆ (1991) ನೋಡಿ), ನಂತರ (3.2) ಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತಿರುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರ (4.2) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಇನ್ನೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸ್ಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು (ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು) ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳ (ಅಥವಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು) ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಥವಾ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ, ಸ್ಟೈನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ರೂಪವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ) ರೂಪದ ಅಸಮಾನತೆಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಟೀನ್ ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (4.1) ರ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಮಿತಿಯು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸರ್ವೋನ್ನತ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು (ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್-ನಿರಂತರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಥವಾ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ!). ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಂದ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ (5.1) ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಾಪನಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಫಾರ್ಮ್ನ ಮಿತಿಗಳು (5.1) ಈಗಾಗಲೇ ಲಭ್ಯವಿದ್ದರೆ (ಇದು ಅನೇಕ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ), ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಮುಂದಿನ ಹಂತದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಅಂದಾಜು ಪ್ರಮೇಯ ನಾವು ಈಗ (3.1) ನ ಎಡಭಾಗವನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಹಂತವು ಸ್ಟೀನ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪ್ಲಗ್ ಇನ್ ಮಾಡಬಹುದು, ಅದನ್ನು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಹಲವುವೇಳೆ ಫಲಪ್ರದವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದಂತಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಒಂದು ಸೆಟ್ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈ ಗುಂಪನ್ನು 'ನೆರೆಹೊರೆ' ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ ಎಲ್ಲರೂ ಎಲ್ಲರಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ನೆರೆಹೊರೆಯ ನೆರೆಹೊರೆಯವರಂತೆ ಯೋಚಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಮಾತನಾಡಲು. ಒಂದು ಸೆಟ್ಗೆ ಈಗ ಮೊತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಟೇಲರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಗಮನಿಸಿ, ನಾವು ಈ ವಾದದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, (5.2) ನ ಮೂರನೇ ಅಸಮಾನತೆಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನಾವು (1.1) ಬಂಧಿಸಬಹುದು (ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸ್ಥಗಿತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಲ್). ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ (6.1) ಗೆ ಹೋಲುವ ಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮತ್ತು ವಾದವು ಹೆಚ್ಚು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವು (6.1) ಅಷ್ಟು ಸರಳವಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯ ಎ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಇದ್ದರೆ, ನಾವು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಗೆ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ (1.1) ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಡಿ, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್-ನಿರಂತರ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್-ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು (6.1) ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಬೌಂಡ್ (5.2) ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಥಳೀಯ ಅವಲಂಬನೆ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ನಡುವಿನ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್-ಅಂತರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು, ನಾವು ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೂರನೇ ಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯ ನಾವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ ಎ ಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಮತ್ತು. ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಟೀನ್ಸ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಪಕ್ಷಪಾತ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಎ ಯಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಲಿಂಡ್ಬರ್ಗ್ನ ಸಾಧನದ ಇತರ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಗಳು. ಲಿಂಡೆಬರ್ಗ್ (1922) ಒಂದು ಸಾಧನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹಂತ-ಹಂತದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಟಿಖೋಮಿರೋವ್ ಅವರ ವಿಧಾನ. ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ (1.1) ಮತ್ತು (3.1) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಧಾನವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಟಿಖೋಮಿರೋವ್ (1980) ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಮತ್ತು (2.3) ನಂತಹ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮೂಲ ಅವಲೋಕನವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವು ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವಂತಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಟಿಖೋಮಿರೋವ್ ತನ್ನ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ತಾನು ಸ್ಟೀನ್ನ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಿಂದ ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪಠ್ಯವು ಮುಂದುವರಿದದ್ದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣದ ಸಮಗ್ರ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತೊಂದು ಮುಂದುವರಿದ ಪುಸ್ತಕ, ಆದರೆ ಕೆಲವು ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಸ್ಟೈನ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಹಳಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಓದುವಲ್ಲಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸ್ವಲ್ಪ ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಅದರ ವಯಸ್ಸಿನ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸ್ಟೀನ್ನ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಇತ್ತೀಚಿನ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು ಸ್ಟೀನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಒಂದು ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು (ಅಧ್ಯಾಯ 2) ಹೊಂದಿದೆಃ ಈ ಪುಸ್ತಕವು ಪಾಯ್ಸನ್ ಅಂದಾಜಿನ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಜನರೇಟರ್ ವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪಾಯ್ಸನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಅಂದಾಜಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವು ಸ್ಟೈನ್ ಅವರ ಪಾಯ್ಸನ್ ಅಂದಾಜಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಒಂದು ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು (ಅಧ್ಯಾಯ 10) ಹೊಂದಿದೆಃ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ದೂರ ಸಿದ್ಧಾಂತ.