Singular integral
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಏಕವಚನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸ್ವರಮೇಳದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅಧ್ಯಯನದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಏಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದರ ಕರ್ನಲ್ ಕಾರ್ಯ K: Rn × Rn → R ಕರ್ಣ x = y ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಏಕತ್ವವು |K (x, y) | ಗಾತ್ರವು |x −y | −n ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ |x −y | → 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರದ ಕಾರಣ, ಕಠಿಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅವುಗಳನ್ನು |y −x |> ε ಮೇಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮಿತಿ ಎಂದು ε → 0 ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು, ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ತಾಂತ್ರಿಕತೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎಲ್ಪಿ (ಆರ್ಎನ್) ಮೇಲೆ ಅವುಗಳ ಮಿತಿಯಂತಹ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಊಹೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ರೂಪಾಂತರವು ಮೂಲರೂಪದ ಏಕಾಂಗಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ನಿರ್ವಾಹಕ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ರೂಪಾಂತರ H ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕರ್ನಲ್ K (x) = 1/(πx) ವಿರುದ್ಧ R ನಲ್ಲಿನ x ಗೆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ನೇರವಾದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳು ರೀಸ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು K (x) = 1/x ಅನ್ನು i = 1,., n ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು Rn ನಲ್ಲಿನ x ನ i-th ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಲ್ಪಿ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ-ರೀತಿಯ (1,1) ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತಾರೆ. ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ಗಳು ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಪ್ರಕಾರದ ಏಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಕರ್ನಲ್ K ಯೊಂದಿಗೆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ T ಆಗಿದ್ದು ಅದು Rn\ {0} ನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕರ್ನಲ್ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ K ಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಮೇಲಿನ ಗಾತ್ರದ ಸ್ಥಿತಿ ಮೃದುತ್ವದ ಸ್ಥಿತಿಃ ಕೆಲವು C> 0 ಗೆ, ನಂತರ T ಅನ್ನು Lp (Rn) ನಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲ-ಪ್ರಕಾರದ (1,1) ಅಂದಾಜನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 1. ಆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ () ಅನ್ನು ಟೆಂಪರ್ಡ್ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಪಿ. ವಿ. ಪ್ರಧಾನ ಮೌಲ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯದಿಂದ ನೀಡಲಾದ K ಯು L2 ಮೇಲೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ. 1. ಅಥವಾ 2. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆರಡೂ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಸುಲಭವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಒಬ್ಬರು ರದ್ದುಗೊಳಿಸುವ ಷರತ್ತನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ, ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆ ಒಂದು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು 2. ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಗಾತ್ರದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅದನ್ನು 1. ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ನಯತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ 2. ಅನ್ನು ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ, ಕರ್ನಲ್ K ಯ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ರೀಸ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಈ ಷರತ್ತುಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಆ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅಲ್ಲದ ವಿಧದ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳು ಇವು ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಮ್ಮ ಊಹೆಗಳು ತುಂಬಾ ದುರ್ಬಲವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಎಲ್ಪಿ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಿತರಾಗಿರುವುದು ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಕ್ಯಾಲ್ಡೆರಾನ್-ಜಿಗ್ಮಂಡ್ ಕರ್ನಲ್ಗಳು C> 0 ಮತ್ತು δ> 0 ಎಂಬ ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕ್ಯಾಲ್ಡೆರಾನ್-ಜಿಗ್ಮಂಡ್ ಕರ್ನಲ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ನಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡುವ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅಲ್ಲದ ವಿಧವಾದ ಟಿ ಯ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಇಂಟಿಗ್ರಲ್ಗಳನ್ನು ಕಾಲ್ಡೆರಾನ್-ಝಿಗ್ಮಂಡ್ ಕರ್ನಲ್ ಕೆ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅಲ್ಲದ ಪ್ರಕಾರದ ಏಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಎಲ್ಪಿ ಕಾಲ್ಡೆರಾನ್-ಜಿಗ್ಮಂಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಕಾಲ್ಡೆರಾನ್-ಜಿಗ್ಮಂಡ್ ಕರ್ನಲ್ ಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅಲ್ಲದ ವಿಧದ ಟಿ ಯ ಏಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ 2 ನಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಿದಾಗ ಕಾಲ್ಡೆರಾನ್-ಜಿಗ್ಮಂಡ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಿ> 0 ಇದೆ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಮೂತ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಗಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ನಿರ್ವಾಹಕರು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಎಲ್ಪಿಗಳಲ್ಲಿ 1 <p <φ ಯೊಂದಿಗೆ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಟಿ (ಬಿ) ಪ್ರಮೇಯವು ಏಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಕಾಲ್ಡೆರಾನ್-ಜಿಗ್ಮಂಡ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಕಾಲ್ಡೆರಾನ್-ಜಿಗ್ಮಂಡ್ ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಏಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಎಲ್ 2 ಮೇಲೆ ಬಂಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೇಳಲು ನಾವು ಮೊದಲು ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಬಂಪ್ ಎಂಬುದು ತ್ರಿಜ್ಯ 1 ರ ಚೆಂಡಿನಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿರುವ Rn ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯ φ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬಹು-ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ |α | ≤ n + 2 ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ. Rn ಮತ್ತು r> 0ರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ xಗಳಿಗೆ τx (φ) (y) = φ (y−x) ಮತ್ತು φr (x) = r−nφ (x/r) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉಬ್ಬುಗಳು φ ಮತ್ತು si ಗೆ ಸ್ಥಿರವಾದ C ಇದ್ದರೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿ> 0 ಸ್ಥಿರಾಂಕವಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಕ್ರೆಟಿವ್ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಆರ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ Re (b) (x) ≤ c. b ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು Mb ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ. ಟಿ (ಬಿ) ಪ್ರಮೇಯವು ಕ್ಯಾಲ್ಡೆರಾನ್-ಝಿಗ್ಮಂಡ್ ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಏಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ, ಕೆಲವು ಸೀಮಿತ ಅಕ್ರೆಟಿವ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಬಿ1 ಮತ್ತು ಬಿ2 ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಎಲ್2 ಮೇಲೆ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ದುರ್ಬಲವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ; ಬಿಎಂಒನಲ್ಲಿದೆ; ಬಿಎಂಒನಲ್ಲಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಟಿಟಿ ಟಿ ಯ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. .. .. (ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ). .. , (ಯುರೋಪಿಯನ್ ಆವೃತ್ತಿಃ). ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಸಾಮರಸ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ನೈಜ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ