Intrinsic dimension
ದತ್ತಾಂಶ ಗುಂಪಿನ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ದತ್ತಾಂಶದ ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಬಹುಆಯಾಮದ ಸಂಕೇತಗಳ ಸಂಕೇತ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಕೇತದ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವು ಸಂಕೇತದ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವಾಗ, ಬಹುಪಾಲು ಆಯಾಮವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಶಾಲವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಅಂತಹ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳು ದತ್ತಾಂಶ ಗುಂಪಿನ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಬಲ್ಲವು. ಇದನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಆಯಾಮ ಕಡಿತದ ಮೂಲಕ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಯಾವ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬುದರ ಕೆಳ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ದತ್ತಾಂಶ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಸಿಗ್ನಲ್ನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿಯೂ ಬಳಸಬಹುದು. ಡೇಟಾ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಎನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಸಿಗ್ನಲ್ಗೆ, ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮ ಎಂ 0 ≤ ಎಂ ≤ ಎನ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅಂದಾಜುದಾರರು ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ ಎರಡು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಅಥವಾ ಸಿಗ್ನಲ್) ಆಗಿರಲಿ, ಇದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರದ ಕೆಲವು ಒಂದು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ g ಗೆ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ f, g ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಚಲಪರಿಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ಅಥವಾ ಮೊದಲ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಎರಡನೇ ಚಲಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ f ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. f ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮೊದಲನೆಯ ಚರರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಎರಡು-ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವು ಒಂದಾಗಿದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಉದಾಹರಣೆ. f ಇನ್ನೂ ಆಂತರಿಕ ಏಕ-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನೋಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ನೀಡುತ್ತದೆ. f ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಒಂದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ y1 ನಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವು ಒಂದಾಗಿದೆ. ಎಫ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಯಾವುದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ f ನ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಒಂದಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ, ಅದು ಎರಡು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ, ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮ ಶೂನ್ಯ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಇರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಐ0ಡಿ, ಐ1ಡಿ ಅಥವಾ ಐ2ಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಎನ್-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ಗಾಗಿ, ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎನ್-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ x: ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಕೆಲವು ಎಂ-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಾದ g ಮತ್ತು M × N ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಗೆ, ಎಲ್ಲಾ x ಗೆ; M ಎಂಬುದು f ಮತ್ತು g ನಡುವಿನ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, f ನ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವು M ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವು ಕೆಲವು f, g ಮತ್ತು A ಗೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅದೇ f ಮತ್ತು g′ ಮತ್ತು A′ ಗೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ B ಯು ಏಕವಚನವಲ್ಲದ M × M ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮದ ಸಂಕೇತಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂ <ಎನ್ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎನ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಈ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಅದೇ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರಚೋದನೆಯಂತೆ (ಸ್ಥಿರತೆಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ) ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ f ಅನ್ನು ಎರಡು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅದು i1D ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಒಂದು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ g ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಎಫ್ ನ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ (ಎರಡೂ ಎರಡು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಅದು ಹಾಗಿರಬೇಕು. ಇಲ್ಲಿ G ಎಂಬುದು g ನ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ (ಎರಡೂ ಒಂದು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು), δ ಎಂಬುದು ಡಿರಾಕ್ ಇಂಪಲ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು m ಎಂಬುದು n ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ ಆವರ್ತನ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು m ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ F ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ F G ಯ ಪ್ರಕಾರ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ f ಎಂಬುದು ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮ M ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ N-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, M-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಕಾರ್ಯ g ಮತ್ತು M × N ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಅದರ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಫ್ ಅನ್ನು ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ಎಂ ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಫ್ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎಫ್ ಜಿ ಪ್ರಕಾರ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಜಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕಾರವು ಎಫ್ ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಎಂ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಎನ್-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಫ್ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಎನ್ ಮತ್ತು ಎಂ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ರೇಖೆಗಳು, ಸಮತಲಗಳು ಅಥವಾ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಫ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಂ ಕಾರ್ಯಗಳು a1, a2, aM ಮತ್ತು ಎಂ-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇದ್ದರೆ ಎಫ್ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮ M ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವು (ಎಲ್ಐಡಿ) ದತ್ತಾಂಶದ ಹತ್ತಿರದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ ದತ್ತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, y ಯು 0 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ (ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನೊಂದಿಗೆ) ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, y ಯು 1 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಎರಡು-ಆಯಾಮದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು y ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ (ವೇರಿಯೇಬಲ್ x + y ನೊಂದಿಗೆ) ಮತ್ತೆ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ದತ್ತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಥಳೀಯ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ಹತ್ತಿರದ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಡಿ-ಗೋಳದ ಪರಿಮಾಣವು ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವುದರಿಂದ, ಹುಡುಕಾಟದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಂತೆ ಹೊಸ ನೆರೆಹೊರೆಯವರು ಕಂಡುಬರುವ ದರವನ್ನು ಸ್ಥಳೀಯ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಜಿಇಡಿ ಅಂದಾಜು). ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂದಾಜಿನ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕೋನ-ಆಧಾರಿತ ಅಂದಾಜು. ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮ ಅಂದಾಜು ಡೇಟಾ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಡೇಟಾ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. 2016ರ ಒಂದು ವಿಮರ್ಶೆ. ಎರಡು-ಹತ್ತಿರದ ನೆರೆಹೊರೆಯವರು (ಟುಎನ್ಎನ್) ವಿಧಾನವು ಮುಳುಗಿದ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಚದುರಿಸಿ. ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅಳತೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಎರಡು ಹತ್ತಿರದ ನೆರೆಹೊರೆಯವರ ಅಂತರಗಳು ಎಲ್ಲಿವೆ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಿ. ಡಿ. ಎಫ್. ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಹಿಂತಿರುಗಿ. 1950ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಬಹುಆಯಾಮದ ದತ್ತಾಂಶ ಸಮೂಹಗಳನ್ನು ಅನ್ವೇಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ "ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್" ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. 1962ರಲ್ಲಿ ಶೆಪರ್ಡ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಬಹು-ಆಯಾಮದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ನಂತರ, ಬಹು-ಆಯಾಮದ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ (ಎಮ್. ಡಿ. ಎಸ್) ನೊಳಗಿನ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಶೋಧನಾ ಕ್ಷೇತ್ರವೆಂದರೆ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮದ ಅಂದಾಜು. ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲೂ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು, 1965ರಲ್ಲಿ ಬೆನೆಟ್ ಅವರು "ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ಬರೆದರು. 1970ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮದ ಅಂದಾಜು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಯಿತು, ಅದು ಎಂ. ಡಿ. ಎಸ್. ನಂತಹ ಆಯಾಮದ ಕಡಿತಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರಲಿಲ್ಲಃ ಸ್ಥಳೀಯ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ದೂರ ವಿತರಣೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಮತ್ತು ಇತರ ಆಯಾಮ-ಅವಲಂಬಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸೆಟ್ಗಳ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದನ್ನು 1980ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ (ವಿಚಿತ್ರ) ಆಕರ್ಷಕರ ಆಯಾಮಗಳು ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿವೆ. ವಿಚಿತ್ರ ಆಕರ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಬಹುದ್ವಾರಿ ಊಹೆ ಇಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅಳೆಯುವ ಆಯಾಮವು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮದ ಕೆಲವು ಆವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ-ಇದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದದ್ದೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಬಹುದ್ವಾರಿ ಆಯಾಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. 2000 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು "ಆಯಾಮದ ಶಾಪ" ವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಐ1ಡಿ ಎಂಬ ಎರಡು-ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ನ ಪ್ರಕರಣವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಳೀಯ ಚಿತ್ರ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಪ್ರದೇಶಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಸುದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯು ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವವರೆಗೂ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು, ಆದರೂ ಹೆಸರು ಬದಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಆಯಾಮ 1 ಅಥವಾ ಐ1ಡಿ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಚಿತ್ರ ನೆರೆಹೊರೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಟ್ಸನ್ (1982) 1-ಆಯಾಮದ, ಬಿಗನ್ ಮತ್ತು ಗ್ರ್ಯಾನ್ಲಂಡ್ (1987) ರೇಖೀಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಗ್ರ್ಯಾನ್ಲಂಡ್ ಮತ್ತು ನಟ್ಸನ್ (1995) ನಲ್ಲಿ ಸರಳ ನೆರೆಹೊರೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿ ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.