Word (group theory)
ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪದವು ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳ ಯಾವುದೇ ಲಿಖಿತ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x, y ಮತ್ತು z ಗಳು G ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, xy, z − 1xz ಮತ್ತು y − 1zx − 1yz − 1 ಗಳು {x, y, z} ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳಾಗಿವೆ. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪದಗಳು Gಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದು. ಮುಕ್ತ ಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪದಗಳು ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನದ ಕೇಂದ್ರ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಜಿ ಒಂದು ಗುಂಪು ಆಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಎಸ್ ಜಿ ಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ. ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪದವು ಎಸ್ 1,., ಎಸ್ಎನ್ ಎಸ್ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದು, ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರೂಪದ ಯಾವುದೇ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ εi ಯು ± 1 ಆಗಿದೆ. n ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪದದ ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. S ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು G ಯ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಸಂಪ್ರದಾಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಅನನ್ಯ ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಖಾಲಿ ಪದದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಇದು ಶೂನ್ಯ ಉದ್ದದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪದವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೇತ ಪದಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ಘಾತೀಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಂಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪದವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಈ ಎರಡನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಪದವಲ್ಲ-ಇದು ಕೇವಲ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಉದ್ದವಾದ ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವಾಗ, ಎಸ್ನ ಅಂಶಗಳ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಓವರ್ಲೈನ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಸಹಾಯಕವಾಗಬಹುದು. ಓವರ್ಲೈನ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೇಲಿನ ಪದವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳು ಜನರೇಟರ್ ತನ್ನದೇ ಆದ ವಿಲೋಮದ (xx−1 ಅಥವಾ x−1x) ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಅನಗತ್ಯ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕಡಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಪದದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಗುಂಪು ಅಂಶವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಕಡಿತಗಳನ್ನು ಗುಂಪು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳೆಂದು (ಕೆಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ) ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಕಡಿಮೆ ಪದವು ಯಾವುದೇ ಅನಗತ್ಯ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಪದವಾಗಿದೆ. ಕಡಿತಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಪದಕ್ಕೆ ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕಡಿತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಪದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆವರ್ತಕ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಪದವನ್ನು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪದಗಳ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಎರಡು ಪದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿದರೂ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪದದ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅದರ ವಿಲೋಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪದದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಖಾಲಿ ಪದಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದುಃ ನೀವು ಒಂದು ಪದದ ಆರಂಭದಿಂದ ಕೊನೆಯವರೆಗೆ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸಂಯೋಗದ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸಬಹುದುಃ G ಗುಂಪಿನ A ಉಪಗುಂಪು S ಅನ್ನು ರಚಿಸುವ ಗುಂಪನ್ನು G ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು S ನಲ್ಲಿನ ಪದದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. S G ಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ, S ನಲ್ಲಿನ ಪದಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು G ಯ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು S ನಿಂದ ರಚಿಸಲಾದ G ಯ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಎಸ್ ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಜಿ ಯ ಅತ್ಯಂತ ಚಿಕ್ಕ ಉಪಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಗಳು ಸೆಟ್ ಎಸ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಜಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವೆಂದರೆ ಜಿ ಯ ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ಪದದ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ 1, ಐ, ಜೆ, ಐಜ್ ಪದಗಳು ಕ್ಲೈನ್ ನಾಲ್ಕು-ಗುಂಪಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು, 1 ಖಾಲಿ ಪದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಗುಂಪಿನ ಗುರುತಿನ ಅಂಶ). 1, r, r2,., rn-1, s, sr,., srn-1 ಎಂಬ ಪದಗಳು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪಿನ ಡಿಹ್ನ್ ವಿತ್} ಮತ್ತು ಮೇಲಿನಂತೆ 1ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ. xmyn ರೂಪದ ಪದಗಳ ಸಮೂಹವು m, n bul Z ಗಾಗಿ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪುಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಮತ್ತು} ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಎಸ್ ನಲ್ಲಿನ ಕಡಿಮೆ ಪದಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳು. ಎಸ್ ಎಂಬುದು ಜಿ ಗುಂಪಿಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಬಂಧವು ಜಿ ಯ ಅದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಎಸ್ ನಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ. ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. Gಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಬಂಧವು ಗುಂಪಿಗೆ ಆಧಾರಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸಿದರೆ ಸಂಬಂಧಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪು Gಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. G ಗಾಗಿ ಒಂದು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಒಂದು ಜೋಡಿಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ S ಎಂಬುದು G ಗಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಂಬಂಧಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ಲೈನ್ ನಾಲ್ಕು-ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಇಲ್ಲಿ 1 ಖಾಲಿ ಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಗುರುತಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಉಚಿತ ಗುಂಪುಗಳು ಎಸ್ ಯಾವುದೇ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಉಚಿತ ಗುಂಪು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪು. ಅಂದರೆ, ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ಎಸ್ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಂಬಂಧಗಳಿಲ್ಲ. ಮುಕ್ತ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಪದವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಪದ ಸಮಸ್ಯೆ (ಗಣಿತ) ಪದ ಸಮಸ್ಯೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಸಂಯೋಜಿತ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪದಗಳ ಮೇಲಿನ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸಂಯೋಜನೆ