Erdős–Anning theorem
ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು ಎಂದು ಎರ್ಡೋಸ್-ಆನ್ನಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. 1945ರಲ್ಲಿ ಇದರ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡೋಸ್ ಮತ್ತು ನಾರ್ಮನ್ ಎಚ್. ಆನ್ನಿಂಗ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಸಮಗ್ರತೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಅನಂತ ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ ಇರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಅಂತರಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುವ ಅನಂತ ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3-4-5 ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ತೀಕ್ಷ್ಣ ಕೋನದಿಂದ ಪದೇ ಪದೇ ತಿರುಗುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಏಕಕ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. (ಇನ್ನೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ) ಎರ್ಡೋಸ್-ಉಲಾಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಇಡೀ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪರಸ್ಪರ ತರ್ಕಬದ್ಧ ದೂರದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದೇ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಎರ್ಡೋಸ್ ಪ್ರಕಾರ, ಎರ್ಡೋಸ್-ಆನ್ನಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಎರ್ಡೋಸ್ನಿಂದ ಕೇಳಿದ ನಂತರ ಸ್ಟಾನಿಸ್ಲಾ ಉಲಾಮ್ ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಕೇಳಲು ಸ್ಫೂರ್ತಿ ಪಡೆದರು. ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ S ಗೆ, S ನಲ್ಲಿನ ಅಂತರಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದದ ಅಂಶದಿಂದ S ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪರಸ್ಪರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೂರದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ರಚನೆಯ ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳ ಸೀಮಿತ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, S ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಂಶವು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ರಚನೆಯು ತರ್ಕಬದ್ಧ ದೂರದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೂರದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಬಿಂದುಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಅನುಮತಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎರ್ಡೋಸ್-ಆನ್ನಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, ಎರ್ಡೋಸ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸರಳವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಿದರು. ಪುರಾವೆಯು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಎರಡು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ದಾಟುವಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೂರವಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದು ರೇಖೆಯಲ್ಲಿಲ್ಲ, ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹೈಪರ್ಬೋಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಾದದ ಮೂಲಕ, ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೇಲೆ ಕೂಡ ಇರಬೇಕು. ಎರಡು ಹೈಪರ್ಬೋಲೆಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವು ಛೇದಿಸುವ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬೇಕು. ಬೆಜೌಟ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳ ಆಯ್ಕೆಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಈ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನೀಡಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಅದೇ ಪುರಾವೆಯು, ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಂತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ವ್ಯಾಸವು ಇದ್ದಾಗ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಬೌಂಡ್ನ ಚತುರ್ಭುಜ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲೆಯ ಕುಟುಂಬಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದುಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೂರ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂತರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲಃ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಅಂತರದೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸೆಟ್ಗಳಿವೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಸೆಟ್ಗಳು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಳುವ ಪರ್ಯಾಯ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ನಾನ್-ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೊದಲು, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೂರಗಳೆರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್, ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವಾಗ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಇದು ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎರ್ಡೋಸ್-ಆನ್ನಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಎರ್ಡೋಸ್-ಡಿಯೋಫಂಟೈನ್ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದುಃ ಕೇವಲ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾದ ಹೈಪರ್ಬೋಲೆಯ ಎಲ್ಲಾ ದಾಟುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಿಂದುಗಳು ಸಹ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಆನ್ನಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯ