Infinite compositions of analytic functions
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ (ಐ. ಸಿ. ಎ. ಎಫ್.) ಅನಂತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು, ಸರಣಿಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಅನಂತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಪರ್ಯಾಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಂದ ವಿಕಸನಗೊಳ್ಳುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಒಮ್ಮುಖ/ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ಬೆಳಕು ಚೆಲ್ಲುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅನಂತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ನೇರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅನಂತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಐಸಿಎಎಫ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಥಳವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯದ ಅನಂತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಇಟರೇಟೆಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ನೋಡಿ. ಈ ಲೇಖನದ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅನಂತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಹಲವಾರು ಸಂಕೇತಗಳಿವೆಃ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳುಃ ಹಿಂದುಳಿದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳುಃ ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಸೆಟ್ ಮತ್ತು. ಅನೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದುಃ ಸಂಕುಚಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನಂತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಸರಳವಾಗಿ-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಡೊಮೇನ್ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ ಎನ್, ಎಫ್ಎನ್ (ಎಸ್) ಱ್ಹೋಮ್ಗೆ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸೆಟ್ ω ಎಸ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಎರಡು ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ತನಿಖೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯವು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಥಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹಿಂದುಳಿದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ನೋಡಿ. ಹಿಂದುಳಿದ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಉದಾಹರಣೆ f2n (z) = 1/2 ಮತ್ತು s = {z: |z | <1} ಗೆ f2n −1 (z) = −1/2 ಸರಳವಾಗಿ ಸಂಕೋಚನದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಸಮರ್ಪಕತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮುಂದಕ್ಕೆ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಪ್ರಮೇಯ. ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಲಿಪ್ಸಿಟ್ಜ್ ಷರತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆಃ ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅನಂತ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಸಂಕೋಚನವಲ್ಲದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿಃ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಉದಾಹರಣೆ ಜಿಎಫ್1: ಉದಾಹರಣೆ ಜಿಎಫ್2: ರೇಖೀಯ ಭಾಗಶಃ ರೂಪಾಂತರಗಳು ರೇಖೀಯ ಭಾಗಶಃ (ಮೋಬಿಯಸ್) ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಅನಂತ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ, ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಫಲಿತಾಂಶವು (ವರ್ಪಿಟ್ಸ್ಕಿ ವೃತ್ತ *) ಪ್ರಮೇಯದ (ಎ) ಅನ್ವಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆಃ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ |ζ <1 ಮತ್ತು |z | <ಆರ್ <1 ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿ. ನಂತರ 0 <r <1,, |z | <1 ಗಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಆರ್ = 1/2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆ.] ಉದಾಹರಣೆ. ಒಂದು ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದುವಿನ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ ರೂಪ (ಒಂದೇ ಚಲಪರಿಮಾಣ). ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ನೇರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಉದಾಹರಣೆ 1. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣಃ ಉದಾಹರಣೆ 2. ಉದಾಹರಣೆ 3. ಉದಾಹರಣೆ 4. ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದುಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (ಬಿ) ಅನಂತ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆಃ ಉದಾಹರಣೆ FP1. |ζ | ≤1 ಗಾಗಿ, α = G (α) ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಮೊದಲು ನಾವು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ನಂತರ ζ = 1 ರೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ, ಅದು ಹತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ನಂತರ ಹತ್ತು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ α = 0.087118118 ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ವಿಕಾಸದ ಕಾರ್ಯಗಳು I = [0,1] ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು, z ನ ನಿರಂತರ ಚಲನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ICAF ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ "ಕ್ಷಣ" ದಲ್ಲಿ ಚಲನೆಯು ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಝೆನೊನ ಬಾಣವನ್ನು ನೋಡಿ): n ಸಮಾನ ಉಪ-ಮಧ್ಯಂತರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ, 1 ≤ k ≤ n ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ-S ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ, S ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ k ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ z ಗೆ, ಮತ್ತು. ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಪರಿಹಾರ z (t) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಧಾನ ಉದಾಹರಣೆ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು "ವರ್ಚುವಲ್" ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ.] ಉದಾಹರಣೆ. ಲೆಟ್ಃ ಮುಂದೆ, ಸೆಟ್ ಮತ್ತು Tn (z) = Tn, n (z). ಆ ಮಿತಿ ಇದ್ದಾಗ ಇರಲಿ. {Tn (z)} ಅನುಕ್ರಮವು ವಾಹಕ ಕ್ಷೇತ್ರ f (z) ನ ಹರಿವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳನ್ನು γ = γ (cn, z) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಆಕರ್ಷಕ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು α ಇದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ |f (z) − α | ≤ ρ |z −α | 0 ≤ ρ <1 ಗೆ, ನಂತರ Tn (z) → T (z) ಷ್ಣ α ಜೊತೆಗೆ γ = γ (cn, z), ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ). cn ಷ್ಣ c> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, Tn (z) → T (z), ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದು γ = γ (c, z). ಈ ಮಿತಿಗಳು ಯಾವಾಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಯೂಲರ್ ವಿಧಾನದ ಸರಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ ಸ್ವಯಂ-ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಸರಣಿಗಳು fn (z) = z + gn (z) ನಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸರಣಿಯು ಮೊದಲ n−1 ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ n ನೇ ಪದವನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (GF3) ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ fn ಅನ್ನು |z | <M ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, |Gn (z) | <M ಅನ್ನು |fn (z) − z | = |gn (z) | ≤ Cβn ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊದಲು ಅನುಸರಿಸಬೇಕು. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಬಂಧವು ಈ ಉದ್ದೇಶವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ Gn (z) → G (z). ಉದಾಹರಣೆ (ಎಸ್1). ಸೆಟ್ ಮತ್ತು M = ρ2. ನಂತರ R = ρ2 − (π/6)> 0. ನಂತರ, S ನಲ್ಲಿ z ಎಂದರೆ |Gn (z) | <M ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯವು (GF3) ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ (S2): ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಉತ್ಪನ್ನವು ನೋಟವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಜಿ. ಎಫ್. 3 ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಮಿತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ಬೆಂಬಲಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆ (ಪಿ1). ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಂತರ, |z | ≤ 1/4 ಎಂದರೆ |Gn (z) | <0.27 ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ (ಪಿ2). ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆ (ಸಿ. ಎಫ್. 1): ಸ್ವಯಂ-ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಮುಂದುವರಿದ ಭಿನ್ನರಾಶಿ. ಉದಾಹರಣೆ (ಸಿ. ಎಫ್. 2): ಸ್ವಯಂ-ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ರಿವರ್ಸ್ ಯೂಲರ್ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ ಎಂದು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸ್ಥಿರ-ಬಿಂದು ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಲ್ಗಾರಿದಮಿಕ್ ಆರ್ಟ್ ಎಮರ್ಜೆನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.