Least-squares function approximation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ತೂಕದ ಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ತತ್ವವನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜುಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅಂದಾಜಿನ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು; ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜಿನ ಗುಣಮಟ್ಟವನ್ನು ಇವೆರಡರ ನಡುವಿನ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ದತ್ತಾಂಶ ಗುಂಪಿನ ಅಂದಾಜುಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸೆಟ್ಃ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ {} ಆಸಕ್ತಿಯ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸೆಟ್,: ಫೆಜರ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು | | | |2 ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸಲು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಮಾಣ ಅಥವಾ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ '*' ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಮೂಲ ಆಧಾರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ "ಸ್ಪೇಸ್" ಕಲ್ಪನೆಯಾದ ಲೆಬೆಸ್ಗು ಅಳತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲಿಟಿ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ δij ಎಂಬುದು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ n-ಆಯಾಮದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಗುಣಾಂಕಗಳು | |f −Fn | |2 ಅನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿಸುತ್ತವೆಃ n-ಆಯಾಮದ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ನೈಜ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದನ್ನು ಪಾರ್ಸೆವಲ್ನ ಗುರುತು ಅಥವಾ ಪಾರ್ಸೆವಲ್ನ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅಂತಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮುಂದಿನ ಚರ್ಚೆಯು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತೊಂದು ಕಾರ್ಯದ "ಅತ್ಯುತ್ತಮ" ಅಂದಾಜನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಒಂದು ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಆನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲವೂ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ನೊಳಗೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಲ್ಲಿನ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಕಷ್ಟದಿಂದಾಗಿ, ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ಅಂದಾಜು, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾನದಂಡವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಥವಾ, ಸಮಾನವಾಗಿ, ವಾಹಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗಗಳ ಅಂದಾಜು ಎಂಬುದು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದುಃ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಅದರ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿರಲಿ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಅಂದಾಜು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಅಂದಾಜು ಸಿದ್ಧಾಂತ