Square root of a 2 by 2 matrix
2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ನ ವರ್ಗಮೂಲವು ಮತ್ತೊಂದು 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ R ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ M = R2, ಇಲ್ಲಿ R2 ಸ್ವತಃ R ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಶೂನ್ಯ, ಎರಡು, ನಾಲ್ಕು, ಅಥವಾ ಅನಂತವಾದ ವರ್ಗಮೂಲದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಇರಬಹುದು. ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆಲ್-ಝೀರೋಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ರೂಟ್ಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬರುತ್ತವೆಃ R ಎಂಬುದು Mನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದ್ದರೆ, −R ಕೂಡ Mನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ (−R) (−R) = (−1) (−1) (RR) = R2 = M. ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಾಲ್ಕು ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಧನಾತ್ಮಕ-ನಿಶ್ಚಿತ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವು ಬಹುತೇಕ ಯಾವುದೇ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಮತ್ತು ಡಿ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, τ = A + D ಎಂಬುದು M ನ ಕುರುಹಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು δ = AD − BC ಅದರ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿರಲಿ. s ಎಂದರೆ s2 = δ, ಮತ್ತು t ಎಂದರೆ t2 = τ + 2s ಆಗಿರಲಿ. ಅಂದರೆ, ನಂತರ, t ಷ್ಣ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, M ನ ವರ್ಗಮೂಲವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, R ನ ವರ್ಗವು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಮೂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, M ಒಂದು ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ; ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಿರ್ಣಾಯಕ δ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ. ಈ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, δ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು τ2 § 4δ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ s ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು t ಎಂಬುದು s ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು R ಅನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, s ಮತ್ತು t ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಪ್ರತಿ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಒಂದು. ಸೂತ್ರದ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ δ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಜಾಡಿನ τ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು t ನ ಎರಡು ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, t ಎಂಬುದು ಜಾಡಿನ τ ಯ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. δ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸೂತ್ರವು ಕೇವಲ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು τ2 = 4δ (ನಕಲಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ), ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ s ಗೆ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆಯು ಛೇದವನ್ನು ಶೂನ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಮೂಲಗಳೆಂದರೆ s ಎಂಬುದು δಯ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದ್ದು ಅದು τ − 2s ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು t ಎಂಬುದು τ − 2sನ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. δ ಮತ್ತು τ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಫಲಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, D = −A, ಮತ್ತು A2 = −BC ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಜಾಡು ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಂ ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಎ = ಬಿ = ಸಿ = ಡಿ = 0), ನಂತರ ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಹ ಎಂನ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತೆ ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ M ಗೆ ವರ್ಗಮೂಲವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವಿಶೇಷ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂ ಒಂದು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ ಎಂಎಂ = ಎಂ, ಅದು ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಟ್ರೇಸ್ ಅದರ ಶ್ರೇಣಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು (ಶೂನ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) 1 ಆಗಿದೆ. ನಂತರ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವು s = 0 ಮತ್ತು τ = 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, M ಮತ್ತು-M ಅನ್ನು M ನ ಎರಡು ವರ್ಗಮೂಲಗಳಾಗಿ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಘಾತಾಂಕದ ನೈಜ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅದರ ಎರಡು ವರ್ಗಮೂಲಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವರ್ಗಮೂಲವು ನೈಜವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, B = C = 0), ಸರಳೀಕೃತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ a = ± ρA, ಮತ್ತು d = ± ρD. ಇದು, ವಿವಿಧ ಚಿಹ್ನೆ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ, ನಾಲ್ಕು, ಎರಡು, ಅಥವಾ ಒಂದು ವಿಭಿನ್ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು, ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಎ ಮತ್ತು ಡಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದು ನಕಲಿ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, 2x2 ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ತರ್ಕಬದ್ಧ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ಆಫ್-ಡಯಾಗ್ನಲ್ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಎ ಮತ್ತು ಡಿ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಬಳಸಬಹುದು. ಸಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಎ ಮತ್ತು ಡಿ ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್