Chaotic scattering
ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಚದುರುವಿಕೆಯು ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಬಲವಾದ ಸಂವೇದನೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಚದುರುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಚದುರುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಭಾವದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ಬಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಣವನ್ನು ಚದುರಿಸುವ ಯಂತ್ರಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಣವು ಅನಂತದ ಕಡೆಗೆ ನಿರ್ಗಮಿಸಿದಾಗ ಇದು ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ಗಮನ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, y. ಕಣವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ವಿಳಂಬದ ಸಮಯವೂ ಇರಬಹುದು, ಟಿ-ಕಣವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸಲು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಸಮಯ-ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಎಸ್. ಕೆಲವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ (ಉದಾ. "ಬಿಲಿಯರ್ಡ್ ತರಹದ" ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಣವು ಗಟ್ಟಿಯಾದ, ಸ್ಥಿರವಾದ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಷ್ಟವಿಲ್ಲದ ಘರ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ) ಇವೆರಡೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ-ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ. ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ಚದುರುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಭಾವದ ನಿಯತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ಬದಲಾವಣೆಯು ನಿರ್ಗಮನದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಗ್ಯಾಸ್ಪರ್ಡ್-ರೈಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಒಂದು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ "ಗ್ಯಾಸ್ಪರ್ಡ್-ರೈಸ್" (ಜಿಆರ್) ಚದುರುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ-ಇದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ "ಮೂರು-ಡಿಸ್ಕ್" ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ-ಇದು ಸರಳ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಮತ್ತು ಅನುಕರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿರುವಾಗ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆಃ ನಾವು ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಮೂರು ಹಾರ್ಡ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಒಂದು ಬಿಂದು ಕಣವನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅನಂತದ ಕಡೆಗೆ ನಿರ್ಗಮಿಸುವವರೆಗೆ ಪರಿಪೂರ್ಣ, ಸ್ಥಿತಿಸ್ಥಾಪಕ ಘರ್ಷಣೆಗಳಿಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ, ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಬಿಂದುಗಳ ಸುತ್ತ ಸಮಾನ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಾನ ಗಾತ್ರದ ಡಿಸ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜಿಆರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರ 1 ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 2 ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಪಥಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಿರ್ಗಮಿಸುವ ಮೊದಲು ಪಥಗಳು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸುತ್ತಲೂ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ಪುಟಿಯುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೊದಲು ಗಮನಿಸಿ. ಗಮನಿಸಿ, ನಾವು ಪ್ರಭಾವದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಮತಲ ರೇಖೆಗಳ ಪ್ರಾರಂಭವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ (ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಲ್ಲದುಃ ನಿರ್ಗಮನ ಬಿಂದುವು ಪ್ರವೇಶ ಬಿಂದುವೂ ಆಗಿರಬಹುದು), ಎರಡು ಪಥಗಳು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಅವರು ನಿರ್ಗಮಿಸುವ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ಅವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಬಲವಾದ ಸೂಕ್ಷ್ಮತೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಲೇಖನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಪರಿಣಾಮದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಣಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ, ಅವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸುವ ದರವನ್ನು ಕೊಳೆಯುವ ದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅನೇಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ವಿಳಂಬ ಸಮಯದ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಟಿ. ಜಿಆರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ವಿಳಂಬ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಕಣಗಳ ಪಥದ ಉದ್ದವು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ ಆದರೆ ಗುಣಾಕಾರದ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ. ಇಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಆಯ್ಕೆಯು ವೈ-ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪಥದ ಕೋನವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ-ಸಮತಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಕಣವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ, ಆದರೆ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ, ದೂರವನ್ನು ದಾಟಿದ ನಂತರ "ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಿರ್ಗಮಿಸಿದೆ" ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎನ್ (ಟಿ), ಹೀಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಹೀಗಾಗಿ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಎನ್ ಎಂಬುದು ಕಣಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ. ಚಿತ್ರ 3 ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪರಿಣಾಮದ ನಿಯತಾಂಕವಾದ b ಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಒಂದು ದಶಲಕ್ಷ (1e6) ಕಣಗಳ ಅನುಕರಣೆಗಾಗಿ ಪಥ-ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಕಣಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಇಳಿಜಾರಿನ ಅಳವಡಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು (ಸ್ಥಿರ) ವೇಗವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಮಾರ್ಗ-ಉದ್ದ, s, ಕ್ಷಯ ಸಮಯ, T ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಕ್ಯಾಟರ್ಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಒಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಹುಗುಣಿತ ಚಿತ್ರ 4 ಒಂದು ಬಿಂದು ಕಣದ ಬದಲಿಗೆ ಲೇಸರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ಯಾಸ್ಪರ್ಡ್-ರೈಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನಿಜವಾಗಿ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸುವ ಅತ್ಯಂತ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವಲ್ಲ-ಲೇಸರ್ ಕಿರಣವು ಎಲ್ಲಾ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲೂ ಚದುರಿಹೋಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವೀಟ್, ಓಟ್ ಮತ್ತು ಯಾರ್ಕ್ ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಮೂಲಕ ಬಣ್ಣದ ಬೆಳಕನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುವುದು (ಅಥವಾ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಜೋಡಿ ಸಿಲಿಂಡರ್ಗಳಾದ್ಯಂತ ಬಣ್ಣದ ಕಾಗದದ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಟೇಪ್ ಮಾಡುವುದು) ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಅಂತರದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪರ್ಯಾಯ ಬಣ್ಣದ ಪಟ್ಟೆಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಾದರಿಯಾಗಿದೆ, ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಆವೃತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳು 5 ಮತ್ತು 6 ಪ್ರತಿ ಪ್ರಭಾವದ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ, ಬಿ, ಅಂದರೆ, ಬಿ ಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಕಣವು ಯಾವ ಅಂತರದ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಗಮಿಸುತ್ತದೆ? ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಗಡಿಗಳು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಮೂಹವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರವಾದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆಃ ಒಮ್ಮೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾದ ಪಥಗಳು, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಎಂದಿಗೂ ನಿರ್ಗಮಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಸ್ಥಿರ ಸೆಟ್ ಮತ್ತು ಸಾಂಕೇತಿಕ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಅದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆಯೋ ಅಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ, ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 7 ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಚಲಪರಿಮಾಣವು, ಮರುಕಳಿಸುವಿಕೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಸುತ್ತಲಿನ ಕೋನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು, ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಭಾವ/ಮರುಕಳಿಸುವ ಕೋನವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸೆಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವು ತಮ್ಮ ಮೇಲೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಸೆಟ್, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಚಿತ್ರ 8 ಮತ್ತು 9ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಕರ್ಷಣೀಯವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಅಳತೆಯದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸೆಟ್ ಆಕರ್ಷಿಸುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಥಿರ ಗುಂಪಿನ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಆಕರ್ಷಣೀಯವಲ್ಲದ ಸ್ವರೂಪವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತವಾದ ಸ್ಕ್ಯಾಟರರ್ನ ಮತ್ತೊಂದು ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಬದಲಾಗದ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಸಾಂಕೇತಿಕ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ರೂಪಿಸಬಹುದುಃ ಪಥವನ್ನು ಅದು ರೀಬೌಂಡ್ ಮಾಡುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಸಮೂಹವು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಸಮೂಹವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 8 ಮತ್ತು 9ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ನಾಲ್ಕು ಸದಸ್ಯರಿಗೆ, ಸಾಂಕೇತಿಕ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ. 1212121212.. 23232323........................................................................................................................................................................ ಬದಲಾಗದ ಗುಂಪಿನ ಸದಸ್ಯರು ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಎರಡು ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಡುವಿನ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ "ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು" ಎಂದು ನೀವು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಿದ್ದರೆ, ಪಥವು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ನಿರ್ಗಮಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗಡಿಯ ನಡುವೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು "ಬಣ್ಣಗಳ" ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರ್ಯಾಯ ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು. ಅವುಗಳ ಅಸ್ಥಿರ ಸ್ವಭಾವದಿಂದಾಗಿ, ಅಸ್ಥಿರ ಸೆಟ್ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ. ಈ ರೀತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಒಂದೇ ಇಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಬಿ, ನಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಇಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನೇಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ಮೊತ್ತದಿಂದ ತೊಂದರೆಗೊಳಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಡಿಸ್ಕ್ಗಳಿಂದ ರೀಬೌಂಡ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಭಾಗ. ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಎರಡು ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದ್ದರೂ, ಸ್ಥಿರವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಒಂದೇ ಇಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ನಿಯತಾಂಕವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಚಿತ್ರ 10 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ದ್ವಿ ಪ್ರಭಾವದ ನಿಯತಾಂಕದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು. ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ನಡುವಿನ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದಾದ ಸ್ಥಿರ ಬಹುಗುಣವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಗಿದೆ. ಚಿತ್ರ 11 ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಭಾಗವನ್ನು, f ಅನ್ನು, ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ, ಸಿಮ್ಯುಲೇಟೆಡ್ ಗ್ಯಾಸ್ಪರ್ಡ್-ರೈಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅಳವಡಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಬಾಕ್ಸ್-ಎಣಿಕೆಯ ಆಯಾಮವು, ಆಗಿದೆ. ಅಸ್ಥಿರ ಸೆಟ್ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ. ಮುಂದಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಓಡುತ್ತಿರಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಕೇವಲ ಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಕನ್ನಡಿ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಅಸ್ಥಿರ ಗುಂಪಿನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಡಿ _ ಎಸ್ ಮತ್ತು ಡಿ _ ಯು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎನ್ = 2 ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ. ಅಸ್ಥಿರ ಗುಂಪಿನ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವು ಡಿ = 1.24 ಆಗಿದೆ. ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮ, ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣ ಮತ್ತು ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಘಾತಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ ಹಿಂದಿನ ಚರ್ಚೆಯಿಂದ, ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ಪ್ರಮಾಣ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಘಾತಾಂಕಗಳೆಲ್ಲವೂ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದೊಡ್ಡ ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಘಾತಾಂಕವು, ಅಸ್ಥಿರ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿನ ಪಥವು ಅಸ್ತವ್ಯಸ್ತಗೊಂಡರೆ ಎಷ್ಟು ವೇಗವಾಗಿ ಬೇರೆಡೆಗೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮವು ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಕಕ್ಷೆಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ನಮಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಚದುರುವಿಕೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಕೆಳಗಿನ ಊಹೆಯಲ್ಲಿ ಸೆರೆಹಿಡಿಯಲಾದಂತೆ ಇವೆರಡೂ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯ ದರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ಡಿ1 ಮಾಹಿತಿಯ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎಚ್1 ಮತ್ತು ಎಚ್2 ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಲಿಯಾಪುನೋವ್ ಘಾತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಒಂದು ಆಕರ್ಷಣೆಗಾಗಿ, ಮತ್ತು ಇದು ಕಪ್ಲಾನ್-ಯಾರ್ಕ್ ಊಹೆಗೆ ಇಳಿಯುತ್ತದೆ. ಲೇಕ್ಸ್ ಆಫ್ ವಾಡಾ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಘಾತಾಂಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಗ್ಯಾಸ್ಪರ್ಡ್-ರೈಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅನುಕರಿಸುವ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಗ್ಯಾಸ್ಪರ್ಡ್-ರೈಸ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಅನುಕರಣೆ, ಚೋಸ್ ವಿ ನಿಂದಃ ಡುಹೆಮ್ನ ಬುಲ್ ಚೋಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್