Automatic basis function construction
ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ (ಅಥವಾ ಬೇಸಿಸ್ ಡಿಸ್ಕವರಿ) ಎನ್ನುವುದು ಕಾರ್ಯ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಗಣಿತದ ವಿಧಾನವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಆಧಾರ ನಿರ್ಮಾಣವು ಡೊಮೇನ್ನ ಪೂರ್ವ ಜ್ಞಾನದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ತಜ್ಞ-ನಿರ್ಮಿತ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಕಷ್ಟವಾದ ಅಥವಾ ಅಸಾಧ್ಯವಾದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬಲವರ್ಧನೆ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ (ಆರ್ಎಲ್), ಹೆಚ್ಚಿನ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಮಾರ್ಕೊವ್ ನಿರ್ಧಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ (ಎಂಡಿಪಿ) ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ದೊಡ್ಡ ಅಥವಾ ನಿರಂತರ ಸ್ಥಿತಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಅಂದಾಜು ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮೇಟರ್ಗಳನ್ನು (ಎಲ್ಎಫ್ಎಗಳು) ಅವುಗಳ ಕಡಿಮೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗಾಗಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜುಗಾಗಿ ಎರಡು ಉಪ-ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆಃ ತೂಕದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮತ್ತು ಆಧಾರ ನಿರ್ಮಾಣ. ಎರಡನೇ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ವಿಶೇಷ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವುದು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಡೊಮೇನ್ಗಳಿಗೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ವಿಶಾಲವಾದ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಆಧಾರ ನಿರ್ಮಾಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ನೀತಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾರ್ಕೊವ್ ನಿರ್ಧಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು 5-ಟುಪಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸ್ಥಳ, ಸೀಮಿತ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸ್ಥಳ, ಪ್ರತಿಫಲ ಕಾರ್ಯ, ರಿಯಾಯಿತಿ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮಾದರಿ ಸೇರಿವೆ. ಬೆಲ್ಮನ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೋಷ್ಟಕ ರೂಪವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡದಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ನಿನ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮೂಲಕ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಾಲಿಗೆ ಒಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ವಾಹಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ n ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತೂಕದ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಬೇಸಿಸ್ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ ಮೌಲ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಉತ್ತಮ ಬೇಸಿಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತದೆ. ಉತ್ತಮ ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಧಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕುಃ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ನಡುವಿನ ಸಣ್ಣ ದೋಷ ಮಿತಿಗಳು ಮೌಲ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವೇಗವಾಗಿ ಒಗ್ಗೂಡಿಸಿ ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಧಾನಗಳು ಮೂಲ-ಮೌಲ್ಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಹದೇವನ್ ಈ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ರಾಜ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಗ್ರಾಫ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಒಂದು ಅಡೆಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಸ್ಥಿರ ನೀತಿ ಎಂಡಿಪಿಯ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಗ್ರಾಫ್ (ಎನ್, ಇ) ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿ ಎಂಬುದು ನೋಡ್ಗಳ ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿವೆಯೇ ಎಂದು ಸರಳವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಡಿ ಅನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನಿರಂತರ ಸ್ಥಿತಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ನ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಕ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಫ್ರೇಮ್ವರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಮೌಲ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಅಂದಾಜು (ವಿಎಫ್ಎ) ಗೆ ಬಳಸಬಹುದು. ಸ್ಥಿರ ನೀತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಅಂಚಿನ ತೂಕವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸುಗಮ ಮೌಲ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು, ಪ್ರಸರಣ ತರಂಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಲೋವ್ ಬೇಸಿಸ್ ಕ್ರಿಲೋವ್ ಬೇಸಿಸ್ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಕ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಬದಲಿಗೆ ನಿಜವಾದ ಟ್ರಾನ್ಸಿಶನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಊಹೆ ಎಂದರೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮಾದರಿ ಪಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲ ಆರ್ ಲಭ್ಯವಿವೆ. ನ್ಯೂಮನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಕ್ರಿಲೋವ್ ಜಾಗವು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು m ಎಂಬುದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದದ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಬಹುಪದವು, ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗ್ಮೆಂಟೆಡ್ ಕ್ರಿಲೋವ್ ವಿಧಾನವು ಪಿ ಯ ಉನ್ನತ ನೈಜ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿದ್ದು, ನಂತರ ಮಾಡಿದರೆ; ಎಂಡ್ ಇಫ್ ಫಾರ್ ಡು ಎಂಡ್ ಫಾರ್ ಇಫ್ ನಂತರ ಬ್ರೇಕ್; ಎಂಡ್ ಇಫ್ ಎಂಡ್ ಫಾರ್ ಕೆಃ ಬೇಸಿಸ್ ಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಃ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ ಬೆಲ್ಮನ್ ಎರರ್ ಬೇಸಿಸ್ ಬೆಲ್ಮನ್ ಎರರ್ (ಅಥವಾ ಬಿಇಬಿಎಫ್) ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಸಡಿಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬೆಲ್ಮನ್ ದೋಷವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬಿಇಬಿಎಫ್ನ ಅನುಕ್ರಮವು ವಾಸ್ತವಿಕ ಮೌಲ್ಯದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ಬೇಸಿಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಹೀಗಾಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಇಬಿಎಫ್ಗಳೊಂದಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಿಇಬಿಎಫ್ ಹಂತದ ಹಂತ i = 1,; ಪ್ರಸ್ತುತ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ ತೂಕದ ವಾಹಕವನ್ನು ಹಂತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ; ಹೊಸ ಬೆಲ್ಮ್ಯಾನ್ ದೋಷವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ; ಹೊಸ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಬೆಲ್ಮ್ಯಾನ್ ದೋಷವನ್ನು ಸೇರಿಸಿಃ; ಎನ್ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ":" ಎಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಅಥವಾ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದು. ಬೆಲ್ಮನ್ ಸರಾಸರಿ ರಿವಾರ್ಡ್ ಬೇಸ್ಗಳು (ಅಥವಾ ಬಿ. ಎ. ಆರ್. ಬಿಗಳು) ಕ್ರಿಲೋವ್ ಬೇಸ್ಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ರಿವಾರ್ಡ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಾಸರಿ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಬಿ. ಇ. ಬಿ. ಎಫ್. ಗಳಿಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬಿ. ಎ. ಆರ್. ಬಿ. ಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು 1ರ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಕ್ರಿಲೋವ್ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಬಿ. ಎ. ಆರ್. ಬಿ. ಗಳ ಹಂತದ ಹಂತ i = 1,; ಪ್ರಸ್ತುತ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ ತೂಕದ ವಾಹಕವನ್ನು ಹಂತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ; ಹೊಸ ಆಧಾರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿಃ, ಮತ್ತು ಹೊಸ ಬೇಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅದನ್ನು ಸೇರಿಸಿ; ಎನ್ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವವರೆಗೆ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ":" ಎಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಅಥವಾ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವುದು. ಚರ್ಚೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ರೀತಿಯ ಆಧಾರ ನಿರ್ಮಾಣ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಕ್ರಿಲೋವ್ ಮತ್ತು ಬಿಇಬಿಎಫ್ಗಳಂತಹ ಮೊದಲ ವಿಧದ ವಿಧಾನಗಳು ಬಹುಮಾನ-ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾಗಿವೆ; ಅವು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮೂಲಕ ಬಹುಮಾನದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹಿಗ್ಗಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ರಿಯಾಯಿತಿ ಅಂಶವು 1ಕ್ಕೆ ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ, ಕ್ರಿಲೋವ್ ಮತ್ತು ಬಿಇಬಿಎಫ್ಗಳು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಕ್ರಿಲೋವ್ ಆಧಾರಿತ ದೋಷ ವಿಧಾನಗಳು ಚೆಬಿಶೇವ್ ಬಹುಪದ ಬಂಧದಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧಿತವಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಬಿ. ಎ. ಆರ್. ಬಿಗಳಂತಹ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಿ. ಎ. ಆರ್. ಬಿಗಳು ಡ್ರಾಜಿನ್ ಬೇಸ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡದಾದಾಗ ಕ್ರಿಲೋವ್ ಮತ್ತು ಬಿ. ಇ. ಬಿ. ಎಫ್ಗಳಿಗಿಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಲ್ಯಾಪಲೇಸಿಯನ್ ನಿಂದ ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಫಲ-ಸೂಕ್ಷ್ಮವಲ್ಲದ ಮೂಲ ಮೌಲ್ಯದ ಆಧಾರದ ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪಕ್ಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಮಾಣವು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಡೈನಾಮಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಬೆಲ್ಮನ್ ಸಮೀಕರಣ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ನಿಯಂತ್ರಣ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು UMASS ALL ಲ್ಯಾಬ್ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ನಿರ್ಧಾರಗಳು ಡೈನಾಮಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಿಯಂತ್ರಣ