Partial-wave analysis
ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭಾಗಶಃ-ತರಂಗ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು, ಪ್ರತಿ ತರಂಗವನ್ನು ಅದರ ಘಟಕವಾದ ಕೋನೀಯ-ಆವೇಗದ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿವರಣೆಯು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಅಂಗೀಕೃತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕಣಗಳ ಸ್ಥಿರ ಕಿರಣವು ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಿಂದ ಚದುರುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಡಿಮೆ-ವ್ಯಾಪ್ತಿಯದ್ದಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ದೊಡ್ಡ ದೂರಕ್ಕೆ, ಕಣಗಳು ಮುಕ್ತ ಕಣಗಳಂತೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಕಣವನ್ನು ತರಂಗ ಪ್ಯಾಕೆಟ್ನಿಂದ ವಿವರಿಸಬೇಕು, ಆದರೆ ನಾವು ಬದಲಿಗೆ z ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಚಲಿಸುವ ಸಮತಲ ತರಂಗದ ಚದುರುವಿಕೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ತರಂಗ ಪ್ಯಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಮತಲ ತರಂಗಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಚದುರುವಿಕೆಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಕಣಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಕಿರಣವನ್ನು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಆನ್ ಮಾಡಲಾಗುವುದರಿಂದ, ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ ಕಣ ಕಿರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕುಃ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆಃ ಒಳಬರುವ ಸಮತಲ ತರಂಗ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಮೂಲ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವ ಚದುರಿದ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಇದು ಆಸಕ್ತಿಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ರೂಪವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರದ ಬಳಿ ವೀಕ್ಷಣೆಗಳು (ಉದಾ. ಪರಮಾಣು ನ್ಯೂಕ್ಲಿಯಸ್) ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕಣಗಳ ಪತ್ತೆಯು ಮೂಲದಿಂದ ದೂರದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ದೊಡ್ಡ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಕಣಗಳು ಮುಕ್ತ ಕಣಗಳಂತೆ ವರ್ತಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮುಕ್ತ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರಬೇಕು. ಇದು ಭೌತಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥಹೀನ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟು, ಸಮತಲ ತರಂಗಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಸಮತಲ-ತರಂಗ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆಃ ಗೋಳಾಕಾರದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಇದು ಹೊರಹೋಗುವ ಮತ್ತು ಒಳಬರುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ತರಂಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಚದುರಿದ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಹೊರಹೋಗುವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ದೊಡ್ಡ ದೂರದಲ್ಲಿ ನಿರೀಕ್ಷಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಚದುರಿದ ಅಲೆಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ರೂಪವನ್ನು ಚದುರುವಿಕೆಯ ವೈಶಾಲ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎತ್ತರದ ಕೋನ ಮತ್ತು ಶಕ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಭಾಗಶಃ-ತರಂಗ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಚದುರುವಿಕೆಯ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಅಜಿಮುತಲ್ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಅವಲಂಬನೆ ಇಲ್ಲ): ಪ್ರಮಾಣಿತ ಚದುರುವಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ, ಒಳಬರುವ ಕಿರಣವು ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಮತಲ ತರಂಗದ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಬಹುಪದಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲ-ತರಂಗ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಭಾಗಶಃ ತರಂಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಕಿರಣದ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೇಡಿಯಲ್ ಭಾಗವು ಕೇವಲ ಗೋಳಾಕಾರದ ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಎರಡು ಗೋಳಾಕಾರದ ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಇದು ಭೌತಿಕ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ (ಅಂದರೆ. ದೊಡ್ಡದಕ್ಕಾಗಿ) ಹೀಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊರಹೋಗುವ ತರಂಗವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಒಳಬರುವ ತರಂಗವಾಗಿದೆ. ಒಳಬರುವ ತರಂಗವು ಚದುರುವಿಕೆಯಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಹೊರಹೋಗುವ ತರಂಗವನ್ನು ಭಾಗಶಃ-ತರಂಗ ಎಸ್-ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅಂಶದಿಂದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ನಿಜವಾದ ತರಂಗ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೇಡಿಯಲ್ ಘಟಕ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಚದುರುವಿಕೆಯ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಈ ಹಂತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಫ್ಲಕ್ಸ್ ಕಳೆದುಹೋಗದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಹಂತದ ಬದಲಾವಣೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಹೀರಿಕೊಳ್ಳುವ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಇತರ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಮಾರ್ಗಗಳಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ನಷ್ಟವನ್ನು ಅನುಕರಿಸಲು ವಿದ್ಯಮಾನಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೂರ್ಣ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯವಕಲನವು ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಹೊರಹೋಗುವ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಗೋಳಾಕಾರದ ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ದೀರ್ಘಾವಧಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಿಗೆ (ಕೂಲಂಬ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳಂತಹ), ಮೇಲಿನ ಸಂಕಲನವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವು ಕೂಲಂಬ್ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಲ್ಪಾವಧಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕೂಲಂಬ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಲಂಬ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಂಕೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಡಮ್ಮೀಸ್ಗಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ತರಂಗ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಸ್ಕ್ಯಾಟರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಗಶಃ ತರಂಗ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ