Projective range
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಏಕೀಕೃತ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರವಾಗಿರಬಹುದು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ರೇಖೆಗಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕತೆಯು ಒಂದು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಎರಡು ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬಹುದು. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಸಂಯೋಗಗಳ ಸಂಬಂಧದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ನಾಲ್ಕನೇಯದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ನಾಲುಗಕ್ಕೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕತೆಯ ಅನ್ವಯವು ಸ್ವರಮೇಳದ ಸಂಬಂಧದಂತೆಯೇ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ವರಮೇಳದ ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. 1940 ರಲ್ಲಿ ಜೂಲಿಯನ್ ಕೂಲಿಡ್ಜ್ ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದನು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದನುಃ ಬಿಂದು ಶ್ರೇಣಿಗಳು, ರೇಖೆಗಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್ಗಳು ಅಥವಾ ಸಮತಲಗಳಂತಹ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ರೂಪಗಳನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳ ಸದಸ್ಯರು ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಸ್ವರಮೇಳದ ಸೆಟ್. ಇನ್ನೊಂದರ ಸ್ವರಮೇಳದ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. .. ಎರಡು ಏಕ-ಆಯಾಮದ ರೂಪಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದನಗಳ ರೈಲುಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಸ್ವರಮೇಳದ ಅಂಶಗಳು ಸ್ವರಮೇಳದ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ವಾನ್ ಸ್ಟಾಡ್ಟ್ನ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೋನಿಕ್ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವ್ಯಾಪ್ತಿಗೆ ಕೋನಿಕ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ, ಮತ್ತು ಕೋನಿಕ್ ಮೇಲಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂಲವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದಾಗ, ನಂತರ ಬಿಂದುಗಳ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿರಲಿ (ಕೋನಿಕ್) ಮತ್ತು ಎಬಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. L ಯು E ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು AB ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಲಿ. "ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಬಿಂದುಗಳ ಮೊತ್ತ", ಎ + ಬಿ, ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ ನ ಛೇದನವಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಕೋನಿಕ್ನ ನಿದರ್ಶನಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಕೋನಗಳ ಸಂಕಲನವನ್ನು "ಬಿಂದುಗಳ ಮೊತ್ತ" ವಿಧಾನದಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು, ಒದಗಿಸಿದ ಬಿಂದುಗಳು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಮೇಲಿನ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಮ್. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ (1955) ದಿ ರಿಯಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ಲೇನ್, ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಟೊರೊಂಟೊ ಪ್ರೆಸ್, ಸಾಲುಗಾಗಿ ಪುಟ 20, ಕೋನಿಕ್ಗಾಗಿ ಪುಟ 101. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೇಖಾಗಣಿತ