Probability bounds analysis
ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಿತಿಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (ಪಿಬಿಎ) ಯು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳ ನಡುವೆಯೂ ಗುಣಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಸರಣದ ವಿಧಾನಗಳ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೂಲಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಭಾಗಶಃ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಇನ್ಪುಟ್ಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಖಚಿತವಾದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡಿ, ಮೊತ್ತ, ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯದ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ನಿಶ್ಚಿತ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಚಿತ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ (ಸಾಂದ್ರತೆಗಳು ಅಥವಾ ಸಾಮೂಹಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಿಂತ). ಈ ಮಿತಿಯ ವಿಧಾನವು ವಿಶ್ಲೇಷಕರಿಗೆ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆ ಅಥವಾ ವಿತರಣಾ ಆಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ಅತಿಯಾದ ನಿಖರವಾದ ಊಹೆಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಧಾನಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಕೇವಲ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯ ಮಾಹಿತಿಯು ಲಭ್ಯವಿರುವಾಗ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಮಾಡುವಂತೆಯೇ ಅದೇ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇನ್ಪುಟ್ ವಿತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅವಲಂಬನೆಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲು ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿಯು ಹೇರಳವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನಂತೆಯೇ ಇದು ಅದೇ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಇದು ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎರಡರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇನ್ಪುಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅವುಗಳ ಅವಲಂಬನೆಗಳು ಅಥವಾ ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದ್ದಾಗ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ವಿಧಾನಗಳು ಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಇನ್ಪುಟ್ ಪಿ-ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ತಮ್ಮ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವುದು ಖಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಔಟ್ಪುಟ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಖಾತರಿಯಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಸಂಭವನೀಯ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸದೆ ಗಡಿಗಳು ಕಠಿಣವಾಗಿರಬಾರದು ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಪಿ-ಬಾಕ್ಸ್ ಸಹ ಉತ್ತಮ-ಸಾಧ್ಯ. ಪಿ-ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೇವಲ ಸಂಭವನೀಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಮಿತಿಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮಿತಿಗಳು ಅನೇಕವೇಳೆ ಸ್ವತಃ ಸಾಧ್ಯವಾಗದ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಸುತ್ತುವರೆದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು (ನಿಖರವಾದ) ವಿತರಣೆಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಊಹೆಯಿಲ್ಲದೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗಬಹುದಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊತ್ತಕ್ಕಾಗಿ ಗಣಿಸಲಾದ ಪಿ-ಬಾಕ್ಸ್ನಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣೆಗಳ ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಇನ್ಪುಟ್ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಅವಲಂಬನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸಲಾಗದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಪಿ-ಬಾಕ್ಸ್ನೊಳಗೆ ವಿತರಣೆಗಳಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇನ್ಪುಟ್ ಪಿ-ಬಾಕ್ಸ್ಗಳು ಅವುಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವುದು ಖಚಿತವಾಗಿರುವವರೆಗೆ, ಔಟ್ಪುಟ್ ಪಿ-ಬಾಕ್ಸ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಪಾಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಬಂಧಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಇತಿಹಾಸ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಇತಿಹಾಸದುದ್ದಕ್ಕೂ ಬಂಧಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಬಹಳ ಸುದೀರ್ಘ ಸಂಪ್ರದಾಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, 1854 ರಲ್ಲಿ ಜಾರ್ಜ್ ಬೂಲ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ದಿ ಲಾಸ್ ಆಫ್ ಥಾಟ್ ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮೇಲೆ ಮಧ್ಯಂತರ ಮಿತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದರು. 19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಉತ್ತರಾರ್ಧದಿಂದಲೂ, ಚೆಬಿಶೇವ್ಗೆ ಕಾರಣವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿರುವಾಗ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮಾರ್ಕೊವ್ಗೆ ಕಾರಣವಾದ ಸಂಬಂಧಿತ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸರಾಸರಿ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿರುವಾಗ ಧನಾತ್ಮಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದೆ. ಕೈಬರ್ಗ್ ಅವರು ಮಧ್ಯಂತರ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರು ಮತ್ತು 20ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕೀನ್ಸ್ ಅವರು ಒಲವು ತೋರಿದ ಹೋಲಿಸಲಾಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ವಿಚಾರಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಿದರು. ಅವಲಂಬನೆ ಊಹೆಗಳಿಲ್ಲದೆ ಒಟ್ಟು ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯ 1930 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಚೆಟ್ನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿಯಾಗಿದೆ. ಬೌಂಡಿಂಗ್ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳು ಇಂದಿನವರೆಗೂ ಮುಂದುವರೆದಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಾಲಿಯ ನಿಖರವಲ್ಲದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ). ಅಪಾಯದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದಲ್ಲಿ ವಾಡಿಕೆಯಂತೆ ಬಳಸಬಹುದಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಿತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು 1980ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಹೈಲ್ಪೆರಿನ್ ಅವರು ಬೂಲೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ತಾರ್ಕಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸ್ವತಂತ್ರತೆಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸುರುಳಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಯಾಗರ್ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸುಮಾರು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಮಕರೋವ್ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ, ರುಶೆನ್ಡಾರ್ಫ್ ಮೂಲತಃ ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಮಂಡಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದರು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ, ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ವಿತರಣೆಗಳು, ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಫ್ರಾಂಕ್ ಮತ್ತು ಇತರರು. ಮಕರೋವ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಕೋಪುಲಾಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದರು. ಅಂದಿನಿಂದ, ಮೊತ್ತಗಳ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಅನುಪಾತಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಅವಳಿ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳು, ವ್ಯವಕಲನಗಳು, ಗುಣಾಕಾರಗಳು, ವಿಭಾಗಗಳು, ಕನಿಷ್ಠ, ಗರಿಷ್ಠ, ಶಕ್ತಿಗಳು, ಘಾತಾಂಕಗಳು, ಲಾಗರಿದಮ್ಗಳು, ವರ್ಗಮೂಲಗಳು, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮುಂತಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಪಾಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎನ್ನುವುದು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ಈ ಪದವನ್ನು ಇತರ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳ (ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು, ಅನುಪಾತಗಳು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು) ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಗಬಹುದಾದ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇತರ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಇನ್ಪುಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವಿಧ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳಿವೆ. ಗಣಿತದ ವಿವರಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ, ಪಿ-ಬಾಕ್ಸ್ ಒಂದು ಕ್ವಿಂಟುಪಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅಲ್ಲಿ ನೈಜ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಕ್ವಿಂಟುಪಲ್ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ಪಿ-ಬಾಕ್ಸ್ನೊಳಗೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪಿ-ಬಾಕ್ಸ್ನ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಿರುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಕ್ಷಣಗಳು ಅಥವಾ ವಿತರಣಾ ಕುಟುಂಬದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಮಾಹಿತಿಯಿಲ್ಲ. ನಂತರ p-ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಕ್ವಿಂಟುಪಲ್ ಅನ್ನು [B1, B2] ಎಂದು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳು ಬಿಂದುಗಳ ಬದಲಿಗೆ ವಿತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಈ ಸಂಕೇತವು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತವು ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ ನಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲ್ಪಡುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಪಿ-ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲು ಟಿಲ್ಡೆ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸೋಣ. X ಒಂದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಚಲಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲು ನಾವು X ~ B ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವು B ಒಳಗೆ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ X ~ F ωB ಅನ್ನು X ~ B ಗೆ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು. X ಮತ್ತು Y ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ F ಮತ್ತು G ವಿತರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, X + Y = Z ~ H ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು F ಮತ್ತು G ಮೇಲೆ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. X ಮತ್ತು Y ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, Z = X + Y ನ ವಿತರಣೆಯು p-ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯೊಳಗೆ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, X ಮತ್ತು Y ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡದೆಯೇ Z = X + Y ಮೊತ್ತಗಳ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಿಂತ ಸುಲಭ. ಈ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಫ್ರೆಚೆಟ್-ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ ಕಾಪುಲಾ ಗಡಿಗಳು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಮಕರೋವ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಗಣಿತದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. X ಮತ್ತು Y ಧನಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಮಧ್ಯಂತರ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವುದು ಸುಲಭ, ಹಾಗೆಯೇ X ಮತ್ತು Y ನಡುವಿನ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಋಣಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ತೀವ್ರ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್. ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ವಿಭಜನೆ ಮುಂತಾದ ಇತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, p-ಬಾಕ್ಸ್ ವ್ಯವಕಲನ A − B ಅನ್ನು A + (−B) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ p-ಬಾಕ್ಸ್ B = [B1, B2] ನ ಋಣಾತ್ಮಕವು [B2 (−x), B1 (−x)] ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ತಾರ್ಕಿಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ತಾರ್ಕಿಕ ಅಥವಾ ಬೂಲಿಯನ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಸಂಯೋಜನೆಗಳು (ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು), ವಿಭಜನೆಗಳು (ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು), ವಿಶೇಷ ವಿಭಜನೆಗಳು, ಸಮಾನತೆಗಳು, ಷರತ್ತುಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅಪಾಯದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ದೋಷದ ಮರಗಳು ಮತ್ತು ಘಟನೆಯ ಮರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಇತರರಲ್ಲಿ ಬೂಲ್ ಮತ್ತು ಕೀನ್ಸ್ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಿದರೆ, ಈ ಬೈನರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು P (A) = a = [0.2,0.25] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು B ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು P (B) = b = [0.1,3] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸಂಯೋಗದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ P (A & B) = a × b = [0.2,0.25] × [0.1,0.3] = [0.2 × 0.1,0.25 × 0.3] = [0.02,0.075] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಅವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಇನ್ನೂ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಬಂಧಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಜಂಟಿ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಪಿ (ಎ ಮತ್ತು ಬಿ) = ಎನ್ಇವಿ (ಗರಿಷ್ಠ (0, ಎ + ಬಿ-1), ಕನಿಷ್ಠ (ಎ, ಬಿ)) = ಎನ್ಇವಿ (ಗರಿಷ್ಠ (0, [0,0,0.25] + [0.1,0.3]-1), ಕನಿಷ್ಠ ([0,0,0.25], [0.1,0.3]) = ಎನ್ಇವಿ ([ಗರಿಷ್ಠ (0,0 + 0.1-1), ಗರಿಷ್ಠ (0,0.25 + 0.3-1)], [ಕನಿಷ್ಠ (0.2,0.1), ಕನಿಷ್ಠ (0.25,0.3)]) = ಎನ್ಇವಿ ([0,0], [0.1,0.25] ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿಭಜನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಪಿ (ಎ ವಿ ಬಿ) = ಎ + ಬಿ − ಎ × ಬಿ = 1 − (1 − ಎ) × (1 − ಬಿ) = 1 − (1 − [0.2,0.25]) × (1 − [0.1,0.3]) = 1 − [0.75,0.8] × [0.7,0.9] = 1 − [0.525,0.72] = [0.28,0.475] ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಅವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಪಿ (ಎ ವಿ ಬಿ) = ಎನ್ಇವಿ (ಗರಿಷ್ಠ (ಎ, ಬಿ), ಕನಿಷ್ಠ (1, ಎ + ಬಿ)) = ಎನ್ಇವಿ (ಗರಿಷ್ಠ ([0.2,0.25], [0.1,0.3]), ಕನಿಷ್ಠ (1, [0.2,0.25] + [0.1,0.3]) = ಎನ್ಇವಿ ([0.2,0.3], [0.3,0.55]) = [0.2,0.55]. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನಡುವಿನ ಅವಲಂಬನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಇತರ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಗ ಅಥವಾ ವಿಭಜನೆಯ ಮೇಲಿನ ಮಧ್ಯಂತರದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮಧ್ಯಂತರವು ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸುವ ಉತ್ತರದಷ್ಟು ಬಿಗಿಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಆದರೆ ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಉತ್ತರಕ್ಕಿಂತ ಕಠಿಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಇತರ ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ನಿರಾಕರಣೆ, ಎಕ್ಸ್ಕ್ಲೂಸಿವ್ ಡಿಸ್ಜಂಕ್ಷನ್ ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಬೂಲಿಯನ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದಾಗ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೇಲೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಗಣಿತದ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಬಹುದು. ಸಂಭವನೀಯ ತರ್ಕದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗೆರ್ಲಾ 1994 ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಘಟನೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಪಿ-ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದ್ದರೆ, ವಿತರಣೆಯ ಅಥವಾ ಪಿ-ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೇಲಿನ ಘಟನೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಸದೃಶ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಪರಿಮಾಣದ ಹೋಲಿಕೆಗಳು ಪಿ-ಬಾಕ್ಸ್ ಡಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅನಿಶ್ಚಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಮಧ್ಯಂತರವಾದ ಪಿಆರ್ (ಡಿ <0) = [ಎಫ್ (0), ಎಫ್ಎನ್ (0)] ಆಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಎಫ್ಎನ್ (0) ಸಂಭವನೀಯತೆ ಬಾಕ್ಸ್ ಡಿ ಮತ್ತು ಎಫ್ (0) ನ ಎಡ ಬಂಧವಾಗಿದೆ, ಇವೆರಡನ್ನೂ ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲ್ಪಡುವ ಎರಡು ಅನಿಶ್ಚಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದುಃ A <B = Pr (A − B <0), A> B = Pr (B − A <0), A ≤ B = Pr (A − B ≤ 0), ಮತ್ತು A ≤ B = Pr (B − A ≤ 0). ಹೀಗಾಗಿ A ಯು B ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಅವುಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು A <B ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ತಾರ್ಕಿಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಂತೆ, ಈ ಪ್ರಮಾಣದ ಹೋಲಿಕೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನಡುವಿನ ಸಂಭವನೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯವಕಲನವು ಆ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸಬೇಕು. ಅವುಗಳ ಅವಲಂಬನೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಫ್ರೆಚೆಟ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವುದೇ ಊಹೆಯನ್ನು ಮಾಡದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಮಾದರಿ-ಆಧಾರಿತ ಗಣನೆ ಕೆಲವು ವಿಶ್ಲೇಷಕರು ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಹೈಪರ್ಕ್ಯೂಬ್ ವಿಧಾನಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಮಾದರಿ-ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಈ ವಿಧಾನಗಳು ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ವಿಧಾನಗಳು ಅಂದಾಜುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಕೃತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಗಣಿತದ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅಥವಾ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಮಾದರಿ-ಆಧಾರಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಆಗಿ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಅಥವಾ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾಗಿರುವ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಾದರಿ ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳು ಬಹಳ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೂಲಕ ಮಧ್ಯಂತರ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹರಡುವಲ್ಲಿ ಆಯಾಮದ ಶಾಪವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಕೌಚಿ-ವಿಚಲನ ಮಾದರಿಯ ಬಳಕೆಯು ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇತರ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪ್ರಸರಣ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ಪಿಬಿಎ ವಿಧಾನಗಳ ಒಂದು ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ, ಇದು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಅಲಿಯಾಟೋರಿಕ್ ಮತ್ತು ಎಪಿಸ್ಟೆಮಿಕ್ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ನಿಖರವಾದ ಸಂಭವನೀಯತೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಪಿಬಿಎ ಎಂಬುದು ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗುವಂತಹ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಎರಡರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಪಿಬಿಎಯು ದೃಢವಾದ ಬೇಯ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬೇಯೇಸಿಯನ್ ಸೆನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿಬಿಎ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಬಾಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ರೋಬಸ್ಟ್ ಬೇಯ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಇಂಪ್ರೆಸೈಸ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಸೆಕೆಂಡ್-ಆರ್ಡರ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಮಾಂಟೆ ಕಾರ್ಲೊ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಮಧ್ಯಂತರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಥಿಯರಿ ರಿಸ್ಕ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮತ್ತಷ್ಟು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪರಿಸರ ಅಪಾಯದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಬೌಂಡ್ಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳು ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಯೋಜನೆ ದಿ ಸೊಸೈಟಿ ಫಾರ್ ಇಂಪ್ರೆಸೈಸ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿಃ ಥಿಯರೀಸ್ ಅಂಡ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್