Flat cover
ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ M ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹೊದಿಕೆಯು ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ F ನಿಂದ M ಗೆ ಒಂದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ, ಅದು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ. ಉಂಗುರದ ಮೇಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಘಟಕವು (ಅನನ್ಯವಲ್ಲದ) ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹೊದಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಫ್ಲಾಟ್ ಕವರ್ಗಳು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇಂಜೆಕ್ಟಿವ್ ಹಲ್ಗಳಿಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ಗಳು ಮತ್ತು ತಿರುಚು-ಮುಕ್ತ ಕವರ್ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಫ್ → ಎಂ ಅನ್ನು ಎಂನ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹೊದಿಕೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದು ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಫ್ ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ, ಎಫ್ ಮೂಲಕ ಫ್ಲಾಟ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಿಂದ ಎಂ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್, ಮತ್ತು ಎಫ್ ನಿಂದ ಎಫ್ ಗೆ ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಂ ಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆಯು ಎಫ್ ಇತಿಹಾಸದ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಕವರ್ಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಫ್ಲಾಟ್ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹೊದಿಕೆಯ ಊಹೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಈ ಊಹೆಯು ನಿಜವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು, ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಇದಕ್ಕೆ ಮೊದಲು ಪಿ. ಎಕ್ಲೋಫ್, ಜೆ. ತ್ರಿಲಿಫಾಜ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಕ್ಸು ಅವರು ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಕನಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ಗಳು ರಿಂಗ್ನ ಮೇಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ M, ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಮೂಲಕ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ Fn + 1, Fn → Fn−1 ಕರ್ನಲ್ನ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಂ ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಮತಟ್ಟಾದ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಗಿದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪತೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ನಿರ್ಣಯಗಳ ನಡುವಿನ ಏಕರೂಪತೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೂ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ