Oscillator representation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆಸಿಲೇಟರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಇರ್ವಿಂಗ್ ಸೆಗಲ್, ಡೇವಿಡ್ ಶೇಲ್ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ ಅವರು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿದರು. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಂಕೋಚನ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಅರೆಗುಂಪಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು 1988ರಲ್ಲಿ ರೋಜರ್ ಹೋವ್ ಅವರು ಆಸಿಲೇಟರ್ ಅರೆಗುಂಪಿ ಎಂದು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆ ಇತರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದರು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ 1960 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಬೆರೆಜಿನ್. ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಎಸ್ಯು (1,1) ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಸ್ತರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮೊಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಎಸ್ಯು (1,1) ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ನ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ತನ್ನೊಳಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ನಲ್ಲಿನ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನ ಸಂಕೋಚನ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸಂಕೋಚನ ನಿರ್ವಾಹಕರು, ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಾರೆ, ಗೌಸಿಯನ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ಅನಂತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಅರೆಗುಂಪನ್ನು ಸೂ (1,1) ನ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕೋನ್ ನಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಬೆಳಕಿನ ಕೋನ್ ನಿಂದ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಅದೇ ಚೌಕಟ್ಟು ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಎಸ್ಯು (1,1) ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವೆರ್ನರ್ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಎರ್ವಿನ್ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಅವರು ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಗಣಿತದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು ಮೂಲತಃ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿತ್ತು. ಸ್ಥಾನ ಮತ್ತು ಆವೇಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂಲಭೂತ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಈ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಸಹ ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ಗೆ ಕಠಿಣವಾದ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸಲು 1920 ಮತ್ತು 1930 ರ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಮಾಣದ ಆಪರೇಟರ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ನಿರ್ವಾಹಕರ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪುಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಯಿತು, ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಹರ್ಮನ್ ವೇಯ್ಲ್, ಮಾರ್ಷಲ್ ಸ್ಟೋನ್ ಮತ್ತು ಜಾನ್ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಅವರ ಕೊಡುಗೆಗಳ ಮೂಲಕ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಳಗೆ ವಿಲೀನಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು 1933ರ ನಾರ್ಬರ್ಟ್ ವೀನರ್ರ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು, ಅವರು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗೆ ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಿದಂತೆ ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ನಂತರ ಗುಂಪು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಳಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಯಿತು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಜಾರ್ಜ್ ಮ್ಯಾಕೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಪ್ರೇರಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಎಸ್ಯು (1,1) ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗಿದೆ. ಇರ್ವಿಂಗ್ ಸೆಗಲ್ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಶೇಲ್ ಈ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು-ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬೋಸೋನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೆಗಲ್ ಮತ್ತು ಶೇಲ್ ಅವರು ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಕ್ವಾಂಟೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದನ್ನು ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಬಾಹ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. 1 + 1 ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಆವೃತ್ತಿಗಳು "ಬೋಸನ್-ಫೆರ್ಮಿಯನ್ ಕರೆಸ್ಪಾಂಡೆನ್ಸ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೂಲಕ ಸಮಾನವಾಗುತ್ತವೆ. ಬೋಸೋನಿಕ್ ಮತ್ತು ಫೆರ್ಮಿಯೋನಿಕ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಇರುವ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಶೃಂಗ ನಿರ್ವಾಹಕ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲೂ ಇದು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ವೆರ್ಟೆಕ್ಸ್ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಮೂಲತಃ 1960 ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹುಟ್ಟಿದರು. ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್ ನಂತರ ಈ ರಚನೆಯನ್ನು p-adic ಲೈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು, ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಮೂಹ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಹಲವಾರು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಶಾಖ ಕರ್ನಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಎಸ್ಯು (1,1) ನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರುಃ ಇದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ಅಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರೆಗುಂಪು. ಈ ಅರೆಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ನಲ್ಲಿರುವ ಅರೆಗುಂಪುಗಳು ಗುಂಪುಃ ಇದು ಜಿ. ಸಿ. = ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ನ ಉಪಗುಂಪು, ಇದು ನಿರ್ಣಾಯಕ 1 ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪು. G1 = SL (2, R) ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರವು ಕೇಲೆ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಗುಂಪನ್ನು ಕೆಳ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಗುಂಪಾಗಿ ಮತ್ತು ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಉಪಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ವಾಹಕದ ಕಕ್ಷೆಯು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರ್ 2 ಎಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಜಿ 1 ರಲ್ಲಿ ವಿ ಯ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕವು ಈ ಉಪಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಯು (1,1) ನ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಅದೇ ಸೂತ್ರವು ಜಿ. ಸಿ. ಯ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಎರಡು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಟ್ರೇಸ್ ಸೊನ್ನೆ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ −1 ≤ m, n ≤ 1 ಗೆ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ವಿಭಜನೆ ಇದೆ, ಅಲ್ಲಿ σ ಮತ್ತು-1 ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ನ + 1 ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ ಇದೆ. X ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಗಮನಿಸಿ ಕೋನ್ C ಅನ್ನು ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಜಿ ಯಿಂದ ಸಂಯೋಗದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಜಿ ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ಎರಡು ಘಟಕಗಳನ್ನು x> 0 ಮತ್ತು x <0 ಅಸ್ಥಿರತೆಯಿಂದ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಗುಂಪು ಜಿ. ಸಿ. ಯು ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಸಬ್ ಗ್ರೂಪ್ ಜಿ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಡಿ ಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಜಿ. ಸಿ ಯ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಎಚ್ ಅನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಕೋನ್ ಸಿ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದುಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಜಿ ಅಂಶದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, g H ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದು ಮುಚ್ಚಿದ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಸಣ್ಣ ಮುಚ್ಚಿದ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ. ಜಿ ಅಂಶದಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವ ಸಣ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಕೇಂದ್ರ 0 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ನಂತರ ಸೂಕ್ತವಾದ y ಗೆ, ಅಂಶವು D ಅನ್ನು ತನ್ನ ಮೇಲೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ G ನಲ್ಲಿದೆ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಾದವು H ನ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ಒಂದು ಅರೆಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಸ್ಯು (1,1) ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನೀಡುವ H ಅನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ. ಸಂಯೋಗದ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತೊಂದು ಫಲಿತಾಂಶವು Hನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವು Dಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು Gನ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಗದ ಮೂಲಕ 0 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ H ನ ಅಂಶವು ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಂತಹ ಕೆಳ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೆಟ್ H ನ ಉಪಗುಂಪು H0 ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ H0 ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ H0 ನಲ್ಲಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ನಿಂದ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ H ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಅರೆಗುಂಪು S (t) ಅದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು D ಯಲ್ಲಿ ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ G ಯ ಅಂಶದಿಂದ H0 ನಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು-ನಿಯತಾಂಕದ ಅರೆಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಇದು H0 ನಲ್ಲಿ S0 (t) ಕರ್ಣದಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ M ಇದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ H0 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ N ಇದೆ, ಅಂದರೆ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ H0 ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಕೆಳ ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಉಪಗುಂಪು L ಅನ್ನು ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ 1 ರೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ (ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ §0 ನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ). ಅದರ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವು ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವಾದ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಎಕ್ಸ್. ಪಿ. ಟಿ. ಝಡ್. ಎಲ್ಲಾ t> 0 ಗೆ H0 ನಲ್ಲಿದೆ. ಇದು H ನ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ಅಥವಾ ನೇರವಾಗಿ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆಯು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ, ಇದು ಇಡೀ ಗುಂಪು L ನಲ್ಲಿ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ವರ್ಗ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು H ನಲ್ಲಿ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ಅಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೂಲ ಅಂಶವು 0 ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಅಂಶದ ವರ್ಗವು 0 ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು H0 ನಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. |α | <1 ನೊಂದಿಗೆ α ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು a = α2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ H0 ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮುಚ್ಚಿದ ಅರೆಗುಂಪು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ಅರೆಗುಂಪು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ಆಗಿರಬೇಕು. ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಗಣನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅರೆಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಸಂಕೋಚನ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಎಂದು ಗುರುತಿಸದೆ, ಅವರು ಗರಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರು. ಸಂಕೋಚನ ಅರೆಗುಂಪು ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಹೊಸ ಭಾಗಶಃ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಗರಿಷ್ಠತೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ಎರಡು ಡಿಸ್ಕ್ಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಡಿಸ್ಕ್ ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅವು ಬೇರೆಯಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಇದು ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ ಅಥವಾ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 1 ರ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇಡೀ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ನಂತರ ಡಿಸ್ಕ್ ಡಿಸಿ, |z |> 1 ಗೆ ಡಿ ಅನ್ನು ಕಳುಹಿಸುವ ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಜಿ ಇದೆ ಎಂದು ಮೊದಲು ತೋರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗರಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಮತ್ತೊಂದು ನೇರವಾದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಡಿಸ್ಕ್ ಡಿ1 ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಡಿ. ಸಿ ಯಲ್ಲಿ xD1 ಇರುತ್ತದೆ. ನಂತರ H ನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು h ಗೆ, D1 = hD. ಅಂತೆಯೇ H ನಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು y ಗೆ yxD1 = Dc. ಆದ್ದರಿಂದ g = yxh S ನಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು D ಅನ್ನು Dc ಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಜಿ 2 ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಡಿ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸ್ಯು (1,1) ನಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ g − 1 ಎಂಬುದು S ನಲ್ಲಿದೆ. t ಯು H ನಲ್ಲಿದೆ ಎಂದಾದರೆ tgD ಯು gD ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ t − 1 S ನಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ S 1 ರ ತೆರೆದ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎಸ್ = ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ). ಮುಚ್ಚಿದ ಏಕಮಾನದ ಗೋಳವನ್ನು | |x | | ≤1 ಅನ್ನು ತೆರೆದ ಏಕಮಾನದ ಗೋಳಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ Rn ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಅರೆಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ವಾದವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಎಲ್ಲಾ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸರಿಯಾದ ಅರೆಗುಂಪಾಗಿದೆ. n = 1 ಆಗಿದ್ದಾಗ, ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು [-1,1] ತನ್ನೊಳಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಎಚ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಜಿ ಯಿಂದ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ಮತ್ತೊಂದು ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಜಿ ಮೇಲಿನ ವಿಲೋಮವು ಎಚ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಕ್ಸ್ ಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ನ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ ಆಂಟಿಯೋಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ G1 ಅನ್ನು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ಪ್ C1 ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು G1 ನಲ್ಲಿನ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ಗೆ ಹೋಲುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೈಸೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ವೇಯ್ಲ್ ಅವರ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಆರ್ ಮೇಲೆ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ. ಇದು ಆರ್ ಮೇಲೆ ಚದರ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಲ್ 2 (ಆರ್) ನಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, "ಆವೇಗ" ಆಪರೇಟರ್ ಪಿ ಮತ್ತು "ಸ್ಥಾನ" ಆಪರೇಟರ್ ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪುಗಳಾದ U (s) ಮತ್ತು V (t) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ L2 (R) ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಗುಂಪುಗಳಾದ U ಮತ್ತು V ಗಳು ವೇಯ್ಲ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅದರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕಾಗಿ ತನ್ನದೇ ಆದ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಯ ಏಕೀಕರಣವು ಕಾರ್ಯವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು, ಇದು ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಕ್ಯೂ (ಮತ್ತು ಪಿ) ಎರಡರೊಂದಿಗೂ ಸಂವಹನದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಒಳಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಫೋರಿಯರ್ ವಿಲೋಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ಯೂಬಿನಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ವಿಲೋಮ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಿದಾಗ ಇದು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ತನ್ನದೇ ಆದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದಂತೆ, ಸಾಂದ್ರತೆಯಿಂದ ಇದು L2 (R) ಮೇಲಿನ ಏಕಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವು U (s) ಮತ್ತು V (t) ಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೇಯ್ಲ್ ಕಮ್ಯುಟೇಷನ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಏಕೀಕೃತ ಗುಂಪುಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಫ್ಡಿಎಸ್ ಮತ್ತು ಜಿಡಿಟಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಕ್ರಮಗಳ ಬೆಂಬಲವು 0 ಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ ಸ್ಮೀಯರ್ಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಬಲವಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಾರೆ. ಯು (ಎಫ್) ವಿ (ಜಿ) ಯು ಟಿ (ಎಫ್) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅವನತಿಯು ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಎಲ್2 (ಆರ್) ನಲ್ಲಿ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಯಾವಾಗ, ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ (ಎಫ್) ಅನ್ನು ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೇಲೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಕರ್ನಲ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಲೀನಿಯರ್ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಒಂದು ದೃಢವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ವೇಯ್ಲ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಇದು ಕರ್ನಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ *-ಬೀಜಗಣಿತದ ಕ್ಷೀಣಿಸದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮೇಲಿನಂತೆ ಪ್ರತಿ ಪ್ರತಿಯ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ 2 (ಆರ್) ನ ಪ್ರತಿಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನೇರ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಎನ್ × ಎನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಸಿ. ಎನ್ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಂಗತಿಯ ನೇರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಪುರಾವೆಯು ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪುಗಳಾದ U ಮತ್ತು V ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತವೆ, ಇದು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವೇಯ್ಲ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅನನ್ಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ವೇಯ್ಲ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದ ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, g ಎಂಬುದು ಬಿ ರೂಪವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಆರ್2ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನ ಒಂದು ಅಂಶ, ನಂತರ ಎಲ್ 2 (ಆರ್) ಮೇಲೆ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಏಕಾತ್ಮಕ π (ಜಿ) ಇರುತ್ತದೆ. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. ಕೆ ಎ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕರ್ನಲ್ಗಳು ನೀಡಿದ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಿಲಿಟಿ. ಇವು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು ಸೀಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು π ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ 2-ಕೋಸಿಕಲ್ ±1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಮೇಲಿನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದುಃ ಜನರೇಟರ್ಗಳು ಜಿಐ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಬೃಹತ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಗುಂಪನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆಃ ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಇದು ಕೋಸಿಕಲ್ ±1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಸ್ಪಷ್ಟ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಕಲ್ಪನಾ ವಿವರಣೆ ಇದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲ ಎಚ್ ಮೇಲೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಆಗ ಕಾರ್ಯವು 1-ಕೋಸಿಕಲ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಜಿ ಗೆ, ಎಂ (ಜಿ, ಝಡ್) ಕಾರ್ಯವು ಎಚ್ ಮೇಲೆ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪನ್ನು ಗುಂಪು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಇದು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಅಂಶ g ಗೆ 1-ಕೋಸಿಕಲ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ m (g, z) 1/2 ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಎಲ್ 2 ನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನಲ್ಲಿ ಜಿ ಯಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನ ಒಂದೇ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿವೆ (2, ಆರ್) ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಜಿ ಎಂಪಿ (2, ಆರ್) ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಇದು ಜಿ ಮತ್ತು ಎಚ್ಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೂ ಸಹ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸೂತ್ರವು ಜಿಟಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇವು ಜನರೇಟರ್ಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಶವು (1,-1) ಎಲ್2 (ಆರ್) ಮೇಲೆ-1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಮೇಲಿನ ಕೋಸಿಕಲ್ ±1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ, ±1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಮೇಲಿನ 2-ಕೋಸಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳಾದ ಯು, ವಿ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆರ್ 3 ಮೇಲಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪದ ಸಹಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದು ವಾಹಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಉಪಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಅದರ ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಎರಡು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳು-1,0 ಮತ್ತು + 1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಯು ಮತ್ತು ವಿ ಬಿ (ಯು, ವಿ) = 1 ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂ = ಅಉ + ಬಿವಿ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಮಾಸ್ಲೋವ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಅಬ್ = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೈನಸ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಕೋಸಿಕಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ±1ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ 2-ಕೋಸಿಕಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು 2-ಕೋಸಿಕಲ್ನ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳಾದ u, v ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, u ಮತ್ತು v ಯು = λv ಆಗಿದ್ದರೆ λ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ f (u, v) ಅನ್ನು B (u, v) ಚಿಹ್ನೆಯ i ಪಟ್ಟು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಹಾಗಾದರೆ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳು π (g) ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ 2-ಕೋಸಿಕಲ್ ω ಅನ್ನು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಸೆಗಲ್-ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಅನ್ನು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ f (z) C ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯದ ಪವರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಈ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ C ಯಲ್ಲಿ z ಗೆ ಆದ್ದರಿಂದ z ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನವು ಅದರ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಿ ಯಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಇನ್ ಮತ್ತು ಝಡ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ನಂತರ ಇದು ವೇಯ್ಲ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈಗ ಇದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ Ea ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯವು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗಬೇಕು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವುಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. P ಯು W (z) ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, f = PE0 ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಏಕೈಕ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ λ = 0 ಅಥವಾ 1. E0 ಆವರ್ತಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು P = 0 ಅಥವಾ I ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಎಲ್2 (ಆರ್) ನಿಂದ ಒಂದು ಏಕಾತ್ಮಕ ನಿರ್ವಾಹಕವಿದೆ, ಇದು ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ವೇಯ್ಲ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಎರಡು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಣೆದುಕೊಂಡಿದೆ. ಶೂರ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ ಮತ್ತು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್-ನೈಮಾರ್ಕ್ ರಚನೆಯಿಂದ, ಯಾವುದೇ ವಾಹಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಂಕವು ವಾಹಕವನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ನವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. F = E0 ಮತ್ತು f = H0 ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಏಕತ್ವವನ್ನು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ L2 (R) ನಲ್ಲಿ f ಗೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸೆಗಲ್-ಬರ್ಗ್ಮನ್ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು B ಅನ್ನು ಬರ್ಗ್ಮನ್ ಕರ್ನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಸ್ಯು (1,1) ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಸ್ಯು (1,1) ನ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿ (ಜಿ, γ) ಮತ್ತು ಇಫ್ ಜಿ = ಜಿ1ಜಿ2 ಆಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ನಂತರ |z | <1 ಗಾಗಿ (1 + ಝಡ್) 1/2 ರ ಪವರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಈ ಗುಂಪಿನ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ π (g, γ) ಆಗಿದ್ದು, ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪುನರುತ್ಪಾದಕ ಕರ್ನಲ್ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ T ಅದರ ಎರಡು ವಾದಗಳ ಪವರ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ವೇಳೆ F ಇದ್ದರೆ, ಆಗ ಕರ್ನಲ್ನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕತೆಯು S = π (g, γ) ಗೆ, ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರ C. ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಡಬಲ್ ಕವರ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ E0 ನ ಕಕ್ಷೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ಗಾಗಿ, |w | <1 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ನಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ F0 = 1 = E0. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅದೇ ರೀತಿ zFw ಕಾರ್ಯಗಳು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆಃ (Fw, E0) = 1 ರಿಂದ, E0 = 1 ಕಾರ್ಯದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಎರಡು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಅಥವಾ, ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಕೇಲೆ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿ. ಸಮ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಾದ ಎಫ್ + ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಾದ ಎಫ್-ಗೆ ಬೆಸ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಧ್ರುವೀಕೃತ ರೂಪಗಳು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಗುಂಪಿನ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಇಡೀ ಗುಂಪಿಗೆ C ≤ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ನೇರ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅನಂತ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಮೊತ್ತವು ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಆ ಕ್ರಿಯೆಯು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮರೂಪತೆಯನ್ನು ಗೆಲ್ಫಾಂಡ್-ನೈಮಾರ್ಕ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರೂಪಣೆಗಳಲ್ಲಿ 1 ಮತ್ತು z ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ನಕ್ಷೆಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀಡಿದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಗಳು ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಣೆದುಕೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು zn ಅನ್ನು wn ನ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತವೆ. ಯು ± ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವುದರಿಂದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಮೇಲಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ L0 ಧನಾತ್ಮಕ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ-ಎಸ್ಯು (1,1) ನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ-ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅವುಗಳ ಮೂರನೇ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವು ವರ್ಗ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕ ಮತ್ತು ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು L2 (R) ನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ X ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ವಿನಾಶ ನಿರ್ವಾಹಕ ಮತ್ತು Y ಅನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿ ನಿರ್ವಾಹಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಅವು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್, ಡಿ ಯ ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಃ ಮುಂದೆ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಇದು n = 0 ಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಇಳುವರಿಯ ಮೇಲಿನ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧ n ನೇ ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು pn ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಇದನ್ನು n ನೇ ಹರ್ಮೈಟ್ ಬಹುಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಪಿ, ಕ್ಯೂ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ಎ, ಎ * ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಾದದಿಂದ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೀಕೃತ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, Z ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ಜಾಗವನ್ನು C [z] ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು, A ಮತ್ತು A * ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಹುಪದ p (z) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, A * ನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ನಂತರ A ನ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ, ಅದು ಎಲ್ಲಾ zn ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ Fn ಅನ್ನು zn ನ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ಗೆ ಕಳುಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್ D ಅನ್ನು ಲೆಟ್ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ A * ಒಂದೇ ಬೋಸನ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು L0 ಶಕ್ತಿಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು 1/2,1,3/2, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗುಣಾಕಾರದ ಒಂದು. ಅಂತಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, L0 ಹೊಂದಿರುವ ಲೈ ಬ್ರಾಕೆಟ್ A, A * ಮತ್ತು I ನಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನಂತ ಆವೃತ್ತಿಯು C [z] ಮೇಲಿನ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು L0 = A * A + 1/2 ಹೊಂದಿರುವ ಈ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅನನ್ಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪಾಸಿಟಿವ್ ಎನರ್ಜಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಎ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎ * ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯ ವಾಹಕ v ಅನ್ನು A ಯಿಂದ ನಾಶಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಘಟಕವು v ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ A * ನ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಖಾಲಿಯಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು C [z] ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯ ಮೂಲಕ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಈ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ತೃಪ್ತಿಪಡುವಂತೆಃ ಮತ್ತು A, A * ಮತ್ತು I ನಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲಿ. ಅವು ಎಸ್ಯು (1,1) ನ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನಂತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಗ್ರಾಮ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು xn exp-x2/2 ನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯು ಬರ್ಗ್ಮನ್ ರೂಪಾಂತರವು ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾಕ್ ಜಾಗದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಎನ್ (ಝಡ್) ಅನ್ನು ಎಚ್ಎನ್ (ಎಕ್ಸ್) ಮೇಲೆ ಒಯ್ಯುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ಗೆ ಶಾಖ ನಿರ್ವಾಹಕವು ಕರ್ಣೀಯ ನಿರ್ವಾಹಕ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ L2 (R) ಮೇಲಿನ ನಿರ್ವಾಹಕವಾಗಿದೆ ಇದು ಮೆಹ್ಲರ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಶಾಖ ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆಃ ಇದು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಗಮನಿಸಿ s = σ2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಟೇಲರ್ನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಹೀಗೆ Fσ, x ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೇರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದಾದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಮೆಹ್ಲರ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟಿ 0 ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಎಲ್ 2 (ಆರ್) ನಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಇತರ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಸೊಬೊಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಹರ್ಮೈಟ್-ಸೊಬೊಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸೊಬೊಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಎಚ್ಎಸ್ ಅನ್ನು ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಎಫ್ ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮಾನದಂಡಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದ ಸಿ. ಎಸ್. ಗೆ, ಎಚ್. ಎಸ್. ಮತ್ತು ಎಚ್. ಎಸ್. ಗಳು ಜೋಡಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಎಚ್ಎನ್ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಸೃಷ್ಟಿ ಮತ್ತು ವಿನಾಶ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ದ್ವಂದ್ವತೆಯಿಂದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ s ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, P ಮತ್ತು Q ನಲ್ಲಿನ ಚತುರ್ಭುಜ ಬಹುಪದ R ಗೆ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವುದೇ k ≤ 0 ಗೆ s> 1/2: ನೊಂದಿಗೆ Hs ನಲ್ಲಿ f ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ k ಯ ಫಲಿತಾಂಶವು qkf ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ k = 0 ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆ = 0 ಗೆ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಲೋಮ ಸೂತ್ರವು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಡಿ ಯ ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪವಾದ ಇಫ್ ಎಸ್ <ಟಿ, ಎಚ್ಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಚ್ ಟಿ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ (ರೆಲ್ಲಿಚ್ನ ಲೆಮ್ಮಾ). ಇದು ಸೊಬೋಲೆವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಚ್ಎಸ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಛೇದನವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಹರ್ಮೈಟ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ತ್ವರಿತ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಯು ಅವುಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಜಾಗವು ನಿರ್ವಾಹಕರು W (z) ಮತ್ತು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಾದಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, g ಗುರುತಿಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸಾಕು. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಡಿ + ಎ ಯಿಂದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದೇ ರೀತಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಒಟ್ಟು ಡಿಗ್ರಿ ಕೆ ಯು (ಎಸ್) ವಿ (ಟಿ) ಎಫ್ ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಸ್-ಕೆ/2 ಕ್ರಮದ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, f ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾದ 2k ಕ್ರಮದ P ಮತ್ತು Q ನಲ್ಲಿನ ಏಕಪದವು Hs-k ನಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು 0 ನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲಾದ ಡಿಗ್ರಿ ≤ 2k ಯ U (s) V (t) f ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ನಯವಾದ ವಾಹಕಗಳು ವೇಯ್ಲ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳಿಗೆ ನಯವಾದ ವಾಹಕಗಳು L2 (R) ನಲ್ಲಿರುವ u ಆಗಿದ್ದು, ನಕ್ಷೆಯು ಸುಗಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಂಕವು (W (z) u, v) ಮೃದುವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅಗತ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವಾಹಕವು ಅದರೊಳಗೆ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಕಷ್ಟಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಅಗತ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಮೃದುತ್ವವು W (z) u ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು L2 (R) ನಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ k ಗೆ ಡಿಕು ಸಹ. ಆದ್ದರಿಂದ u Hk ನ ಛೇದಕದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿಗೆ ನಯವಾದ ವಾಹಕಗಳು ಸಹ ನಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಒಂದು ವಾಹಕವು ಎಸ್ಯು (1,1) ನ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಮೃದುವಾದ ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದು ಇರುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಾಹಕಗಳು Π (t) ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಏಕಾತ್ಮಕ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು f ಗೆ Π (f) ω ವಾಹಕಗಳು Π ಗೆ ಮೃದುವಾದ ವಾಹಕಗಳ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ v = Π (fε) ಬ್ನುಗಳು ε ಯಿಂದ 0 ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾದಾಗ ಬ್ನುಗಳಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇದು t ಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದು C ಯ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತರಂಗ ನಿರ್ವಾಹಕವನ್ನು ನಿರ್ವಾಹಕವು ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿದ್ದು, ಹರ್ಮೈಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಹೆಚ್ಎನ್ ಅನ್ನು ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಇದು ಡಿ ಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವುದರಿಂದ, ಇದು ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹರ್ಮೈಟ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ವಾಹಕವು ಯು (ಎಸ್) ವಿ (ಟಿ) ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಆರ್ 2 ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನಕ್ಷೆಯು ಸಿ 2 ನಲ್ಲಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ನಕ್ಷೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇವು ಯು (ಎಸ್) ವಿ (ಟಿ) ಗಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಾಹಕಗಳ ದಟ್ಟವಾದ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ; ಇದನ್ನು ಮೆಹ್ಲರ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. U (s) V (t) ಗೆ ನಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಥಳಗಳು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಹರ್ಮೈಟ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ W (x, y) ಅನ್ನು R2 ನಿಂದ C2 ಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಾಗಿ ಮಾಡೋಣ, ಆಗ W ಸಂಪೂರ್ಣ ವಾಹಕಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಎಚ್ನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಇದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಎಸ್ಯು (1,1) ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಜೋಡಿಗಳಿಂದ (g, γ) ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ g ಎಂಬುದು H ಅಥವಾ ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು γ ಎಂಬುದು a ಯ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಆಯ್ಕೆಯು |z | <1 ರ ವಿಶಿಷ್ಟ ಶಾಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ನಲ್ಲಿನ ಜಿ ಗೆ ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕರು π (ಜಿ) ಯು ಸಿ 2 ನಲ್ಲಿ ಯು ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ಯ ಒಂದು ಅಂಶವಾದ ಜಿ ಅನ್ನು, ಅದು ಮತ್ತು ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ವಾಹಕವು ಸಂಪೂರ್ಣ ವಾಹಕಗಳ ಜಾಗವನ್ನು ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಾಗಿ ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ, ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವೆರಡೂ ದಟ್ಟವಾದ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಿ 2 ನಲ್ಲಿ ಯು ಗೆ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸುವ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಅಂಶಗಳು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರೆಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, t> 0 ಗಾಗಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಲ್ಫ್-ಅಡ್ಜಾಯಿಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಎಕ್ಸ್ ಸಿ 1 ನಲ್ಲಿ ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿ ಅರೆಗುಂಪು ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಜಾರಿಗೆ ತರುತ್ತದೆ. ಓಲ್ಶಾಂಕಿ ಅರೆಗುಂಪಿನ ಗರಿಷ್ಠತೆಯು ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ಯ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಸಿ) ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಟಿ> 0 ಗಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ ಎಸ್0 (ಟಿ) ನ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಿಲಿಟಿಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ t> 0 ಗಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ S0 (t) ಅನ್ನು ಮೆಹ್ಲರ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಸಂಕೋಚನ ನಿರ್ವಾಹಕರು, ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸ್ಕ್ಯಾಟನ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತವೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಲ್ಲೂ ಇದೇ ಸೂತ್ರವು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಅನುಷ್ಠಾನಗೊಳಿಸುವ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದೆಂದು ಫಾಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವರು ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಎಚ್ ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸಂಕೋಚನ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಅನುಗುಣವಾದ ಅರೆಗುಂಪನ್ನು ಆಸಿಲೇಟರ್ ಅರೆಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ W (u) ನೊಂದಿಗೆ ಸೆಮಿಡೈರೆಕ್ಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ವಿಸ್ತೃತ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಪ್ರತಿ ಸ್ಕ್ಯಾಟನ್ ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಡಬ್ಲ್ಯೂಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತಾರೆ. ವಿಭಜನೆಯು ನಿರ್ವಾಹಕ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಧ್ರುವ ವಿಭಜನೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, H ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ H ಅಥವಾ H−1 ನಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಪರೇಟರ್ S0 (t) ನೊಂದಿಗೆ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಅರ್ಧ-ಹೋಲುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇದು ಸರಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅದೇ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಫಾಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಓಲ್ಶಾಂಕಿ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಎಚ್ನ ಅಂಶ g ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು γ ಎಂಬುದು a ಯ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ. ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ H ನಲ್ಲಿ g ಗಾಗಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು π (g, γ) ನಿಖರವಾಗಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಆಪರೇಟರ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೂಪದ ಕರ್ನಲ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವಿಸ್ತರಿತ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನಲ್ಲಿನ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ರೇಖೀಯ ಪದಗಳು z ಮತ್ತು w ನಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಎರಡು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಘಟಕಗಳ ಡಿಸ್ಕ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಅನುಗುಣವಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ H ನಲ್ಲಿ g ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಕೋಚನ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಈ ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕವೇ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು L2 (R) ನಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸ್ಪಷ್ಟ ಕುಟುಂಬವಾಗಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣ 2x2 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೀಗಲ್ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿಃ ಮತ್ತು L2 (R) ನಲ್ಲಿ f ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಆಪರೇಟರ್ನೊಂದಿಗೆ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ನಂತರ ನೇರ ಗಣನೆಯು ಎಲ್ಲಿ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೆಹ್ಲರ್ ಅವರ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು B ≤ 0 ನೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಿಂದ, ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ವರ್ಗಮೂಲದ ಆಯ್ಕೆಯು ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ SZ ಓಲ್ಶಾಂಕಿ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ H ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, SZ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸಂಕೋಚನವಾಗಿದೆಃ ಇದು ವೇಯ್ಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ R2 = C ಯ ಮೇಲೆ a (x, y) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂತಹ ಎರಡು ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಟ್ವಿಸ್ಟೆಡ್ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಅಥವಾ ಮೋಯಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನೀಡುವ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಟಿ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಅವು ಪ್ರತಿ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಜಾಗವನ್ನು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್2 (ಆರ್) ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ ಈ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ. ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ, ಮೋಯಲ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೇಯ್ಲ್ ಸಾಂಕೇತಿಕ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುವಾದಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, a ಮತ್ತು b ಯ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಇದು ಅನುಸರಿಸುವ ಸ್ಥಳಕ್ಕಿಂತ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ b ಯು ಪಾಲೆ-ವೀನರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ C2 ಮೇಲಿನ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬೇಕು. ಈ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ವಿಶಾಲ ವರ್ಗದ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸರಳವಾದುದೆಂದರೆ ಒಂದು ವರ್ಗದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ವಿತರಣೆಗಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಟಿ + ಎಸ್ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಟಿ ಎಂಬುದು 0ರಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ಏಕವಚನ ಬೆಂಬಲದೊಂದಿಗೆ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ನ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಎಸ್ ಒಂದು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ವರ್ಗವು ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ ಪಿ, ಕ್ಯೂ ಮತ್ತು ಡಿ1/2 ಮತ್ತು ಡಿ −1/2 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಡಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. m ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಎಸ್ಎಂ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ α ಗೆ ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಸ್ಮೂತ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ a ಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು si (a) ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಎ ಎಸ್ಎಂನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು χ ಯು 0 ರ ಹತ್ತಿರ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೆಂಬಲದ ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮೇಲಿನಂತೆ ಟಿ ಮತ್ತು ಎಸ್ನೊಂದಿಗೆ. ಈ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ; ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ೇಡಿಬಿಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಡಿ ೇಡಿಬಿಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳುಃ ಶೂನ್ಯ ಕ್ರಮದ ಚಿಹ್ನೆಯು ಎಲ್ 2 (ಆರ್) ನಲ್ಲಿ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ R = R * ನಯವಾಗಿದ್ದರೆ, D + R ಯು (D + R) fn = λnfn ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು λn ಯು n ನಂತೆ ≈ ಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ. D1/2 ೇಡಿಬಿಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ D−1/2 ೇಡಿಬಿಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ D−1/2 = D1/2 · D−1 ೇಡಿಬಿಎಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಇರುತ್ತವೆ, ೇಡಿಬಿಎಸ್ನಲ್ಲಿ s> 1 ಗಾಗಿ ಟ್ರೇಸ್-ಕ್ಲಾಸ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ೇಡಿಬಿಎಸ್ನಲ್ಲಿ Hm ಅನ್ನು Hm-k ಗೆ ಸಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಯ ಪುರಾವೆಯು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆಃ ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಲ್ಲಿ. ಆದ್ದರಿಂದ F ಅನ್ನು |z | ≤ R ನಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ D−1 ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಡಿ-1ಟಿ ನಯವಾಗುತ್ತಿರುವುದರಿಂದ ಇದು ೇಡಿಬಿ-2 ನಲ್ಲಿದೆ. ಡಿ-ಬಿ4 ಒಂದು ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿರುವಂತಹ ನೈಜ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಬಿ ಅನ್ನು ೇಡಿಬಿ1/2 ರಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಡಿ1/2 ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಡಿ1/2-ಬಿ2 ಒಂದು ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಸೂಡೋಡಿಫೆರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಆಲ್ಬರ್ಟೊ ಕಾಲ್ಡೆರಾನ್ ಮತ್ತು ರೆಮಿ ವೈಲನ್ಕೋರ್ಟ್ನ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು. ಫೋರಿಯರ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನ್ವಯವಾಗುವ ಪರ್ಯಾಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಅವರು ನೀಡಿದರು. ಅಂತಹ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನ ಮೇಲೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಾಟ್ಲರ್-ಸ್ಟೀನ್ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಔಪಚಾರಿಕತೆ ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾದ ಆರ್ ನಿಂದ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗಮನಿಸಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪುಗಳು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪುರಾವೆಗಳು ಆರ್ಗೆ ಪುರಾವೆಗಳ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಥವಾ ಸರಳೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಎ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಬರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಟಿ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಎ ಮೇಲೆ ಅವನತಿ ಹೊಂದದ ಚತುರ್ಭುಜ ರೂಪವಾಗಿರಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಎ ಮೇಲೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ದ್ವಿ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ರೂಪವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅವನತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎ ಮತ್ತು ಅದರ ಉಭಯ ಗುಂಪು ಎ * = ಹೋಮ್ (ಎ, ಟಿ) ನಡುವೆ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ Aಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ. Vಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು x ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, Aಯಲ್ಲಿ y. ನಂತರ U (x) ಮತ್ತು V (y) ಗಳು ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ A ಮತ್ತು V ಯ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. G ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ G = A × A ಮತ್ತು z = (x, y) ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಅಲ್ಲಿ Gಯ ಮೇಲೆ ವಿಕೃತಿಕರಣಗೊಳ್ಳದ ಪರ್ಯಾಯ ದ್ವಿ-ರೇಖೀಯ ರೂಪವಿದ್ದರೆ, ಮೇಲಿನ ಅನನ್ಯತೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸೂಚಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ, W (z) ಯು Gಯನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುವ ಏಕಮಾನಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಹಂತದವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾದ ಏಕಮಾನದ U ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ Tಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು λ (z) ಗೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ g ಎಂಬುದು Bಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ Gಯ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಏಕಮಾನದ π (g) ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತತೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು Bಯ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು π ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ Vಯ ಮೇಲೆ Gಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆ Z =-I ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ Z ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು G ಯ ಈ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು Vಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆಃ ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ μ ಎಂಬುದು Tಯಲ್ಲಿದೆ. ನೇರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತದ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ನಿಯಮಗಳಿಂದ μಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎಚ್-1 ರಲ್ಲಿ) ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಝಡ್) ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದ ವಿತರಣೆಗಳ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳವಿದೆ ಮತ್ತು ಎ = ಝಡ್/ಎನ್ಝೆಡ್ ಇರುವ ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ m> 0 ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು N = 2m ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸೋಣ. M ನಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು y ಹೊಂದಿರುವ U (x), V (y) ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಮಾಡಲಿ ಮತ್ತು M1 ನಲ್ಲಿ b ಯೊಂದಿಗೆ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸ್ಥಿರ ವಾಹಕಗಳ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ χb ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೊತ್ತವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು M1/M ನಲ್ಲಿನ b ವರ್ಗದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ U (x) ಮತ್ತು V (y) ಗಳು M1 ನಲ್ಲಿ x, y ನೊಂದಿಗೆ M ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಆಪರೇಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ A = M1 ಗುಂಪು V0 ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು A ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ N-ಆಯಾಮದ ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ V ಮೇಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ನಿರ್ವಾಹಕರು π (R) ಮತ್ತು π (S) M ಮತ್ತು M1 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ U ಮತ್ತು V ನಿರ್ವಾಹಕರ ಎರಡು ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದ, ಅವು V0 ಅನ್ನು ಅಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತವೆ ಮತ್ತು V0 ನಲ್ಲಿ A ಯ ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿರಬೇಕು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. R ನಿಂದ ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಬರುತ್ತದೆ, ಇದು S ಗೆ ಇದು ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಮತ್ತು U) x) ಮತ್ತು V (y) ನಿರ್ವಾಹಕರೊಂದಿಗಿನ ಸಂವಹನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. a> 0 ಮತ್ತು f ನಲ್ಲಿ f ಎಂಬುದು a ಅವಧಿಯೊಂದಿಗೆ R ಮೇಲೆ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾದ ಮತ್ತು ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸೂತ್ರವು S ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ Aಯಲ್ಲಿನ ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. Aಯನ್ನು Z/2mZನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ n ಮಾಡ್ಯುಲೋ 2mಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದಂತೆ, ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ Hಯಲ್ಲಿ τ ಮತ್ತು Cಯಲ್ಲಿ zಗೆ |q | <1. ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಜಾಕೋಬಿ-ರೀಮನ್ ಥೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಅವು H × C ಮೇಲೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. fτ ಕಾರ್ಯದ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ವಿತರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ತಕ್ಷಣವೇ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಚತುರ್ಭುಜ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿಯಮದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಏಕೆಂದರೆ L2 (R) ಮೇಲಿನ ನಿರ್ವಾಹಕರು π (S), π (R) ಮತ್ತು π (J) ಯಾವುದೇ m ಆಯ್ಕೆಗೆ V0 ಮೇಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, m = 1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕೋಸಿಕಲ್ಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು 2-ಆಯಾಮದದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು L2 (R) ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ V0 ಮೇಲೆ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗ್ರೌಂಡ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎಕ್ಸ್ಪ್-x2/2 ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, m ≤1 ಗೆ ಗಾಸ್ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬಹುದುಃ m ಬೆಸಕ್ಕೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ m ಬೆಸವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಹಿಂದಿನ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಿದರೆ, m 1 ಮಾಡ್ 4 ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು i m1/2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ G (1, m) m1/2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. p ಒಂದು ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು c ಅನ್ನು p ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದಿದ್ದರೆ, c ಒಂದು ಚದರ ಮಾಡ್ p ಆಗಿದ್ದರೆ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಚಿಹ್ನೆ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು-1 ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, p ಮತ್ತು q ವಿಭಿನ್ನ ಬೆಸ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, G (1, p) ಮತ್ತು ಈ ಸಂಬಂಧದ ಸೂತ್ರದಿಂದ, ಚತುರ್ಭುಜ ಅನ್ಯೋನ್ಯತೆಯ ನಿಯಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಇರುತ್ತದೆಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆರ್ ನಿಂದ ಆರ್ಎನ್ ಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು, ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಎಸ್ ಪಿ (2 ಎನ್, ಆರ್) ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ನೇರವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ n-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣವು n ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆಃ L2 (Rn) ನ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾದ Rn ಮೇಲೆ ಶ್ವಾರ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ. Rn ನಲ್ಲಿ s, t ಗಾಗಿ, U (s) ಮತ್ತು V (t) ಅನ್ನು ಮತ್ತು L2 (R) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ದಿ ಫೋರಿಯರ್ ಇನ್ವರ್ಷನ್ ಸೂತ್ರವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ 2 (ಆರ್ಎನ್) ನ ಏಕೀಕೃತ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗೆ (ಪ್ಲ್ಯಾಂಚೆರೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ) ವಿಸ್ತರಿಸಿರುವ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಅನನ್ಯ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಪ್ರತಿಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. U ಮತ್ತು Vಗಳು ವೇಯ್ಲ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ನಂತರ Wಯು ಕೋಸಿಕಲ್ನೊಂದಿಗೆ R2nನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ Bಯು R2nನ ಮೇಲೆ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು g ಗೆ L2 (R) ಮೇಲೆ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಏಕಾತ್ಮಕ π (g) ಇರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿನಿಧಿಗಳನ್ನು π (g) ಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು Sp (2n, R) ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ 2-ಕೋಸಿಕಲ್ ±1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, Sp (n, R) ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು 2n × 2n ನೈಜ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು g ತೃಪ್ತಿಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ Sp (2n, R) ಅನ್ನು ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಮೇಲಿನ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಇದು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು Sp (2n, R) ನ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಆಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಸ್ ಪಿ (ಎನ್, ಆರ್) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸೀಗಲ್ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲ ಎಚ್ ಎನ್ ಮೇಲೆ ಮೊಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎನ್ × ಎನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಝಡ್ ಅನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗದಿಂದ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಅದು L2 ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ, ಅದು ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ Sp (2n) ನ ಒಂದೇ ಕಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, g ಯು Mp (2n, R) ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ Sp (2n, R) ನಲ್ಲಿರುವ ಕೋಸಿಕಲ್ ±1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂಬುದು Cnಯಲ್ಲಿ f (z) ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಸೀಮಿತ ಮಾನದಂಡದ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು α ಒಂದು ಬಹುಪದಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. Cn ನಲ್ಲಿ f ಮತ್ತು z ಗೆ, ನಿರ್ವಾಹಕರು ವೇಯ್ಲ್ ಸಂವಹನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಯೂನಿಟಾರಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸ್ಟೋನ್-ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, L2 (Rn) ನಿಂದ ಎರಡು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಣೆದುಕೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಏಕೀಕೃತ ನಿರ್ವಾಹಕವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಬರ್ಗ್ಮನ್ ರೂಪಾಂತರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅದರ ಪಕ್ಕವಾದ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸೊಬೋಲೆವ್ ಸ್ಥಳಗಳು, ನಯವಾದ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಆಂದೋಲಕದ n ಪ್ರತಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ sp (2n, C) ಅನ್ನು ಅದೇ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎ, ಬಿ, ಸಿ ಮತ್ತು ಡಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸೀಗಲ್ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವನ್ನು ತನ್ನೊಳಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಗುಂಪು ಅಂಶಗಳ ಉಪಗುಂಪು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಡಬಲ್ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. L2 (Rn) ಮೇಲೆ Mp (2n, R) ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ನಲ್ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಕೋಚನ ನಿರ್ವಾಹಕರು ಈ ಅರೆಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಅಗತ್ಯವಿದ್ದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ). ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಎಂ. ಪಿ. ಯ (2n, R) ಕ್ರಿಯೆಯು ಈ ದೊಡ್ಡ ಅರೆಸಮೂಹದಲ್ಲಿನ ನಿರ್ವಾಹಕರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. 1-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, ಎಸ್ಎಲ್ (2, ಆರ್) ಗುಂಪು ಕೇಲೆ ರೂಪಾಂತರದ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿರೂಪವಾದ ಎಸ್ಯು (1,1) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲವನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರತಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, C ಯು ಏಕಾತ್ಮಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, C Sp (2n) C−1 ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಸೀಗೆಲ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮೇಲಿನ ಅರ್ಧ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ Z ಬಿಂದುಗಳ ಕೇಲೆ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ g, Dn ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು, ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಪರಿವರ್ತನಶೀಲವಾಗಿದೆ. 0ರ ಸ್ಥಿರೀಕಾರಕ ಉಪಗುಂಪು A ಏಕಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು B = 0 ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. Dn ನಲ್ಲಿನ W ಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾಕ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಅಂತಹ ಎರಡು ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. Sp (2n) ಅನ್ನು Sp (2 (n + 1)) ನಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಗುರುತಿಸುವಿಕೆಯು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿರ್ವಾಹಕರ ಡಬ್ಲ್ಯೂ (ಝಡ್) ಕ್ರಿಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರೆಗುಂಪು ಶಿಲೊವ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಗಡಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅರೆಗುಂಪಿಗೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಂಕೋಚಕ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಗರಿಷ್ಠ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ತತ್ವವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅರೆಗುಂಪು ನಿರ್ವಾಹಕರು ಪಕ್ಕದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಲ್ಪಟ್ಟಿದ್ದಾರೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಎರಡು ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾದ S, T ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುವುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮೊತ್ತವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿ S ಮತ್ತು T ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಅವು ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಟೋಪ್ಲಿಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳು S ಅನ್ನು Cn ನಲ್ಲಿನ ಏಕಕ ಗೋಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ H2 (S) ಅನ್ನು L2 (S) ನಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು z1,., zn ನಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳ ನಿರ್ಬಂಧದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಪಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ. m (f) ಎಂಬುದು S ಮೇಲೆ f ಎಂಬ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಕಮ್ಯುಟೇಟರ್ [P, m (f)] ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ನಿಂದ ಟೊಪ್ಲಿಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದರಿಂದ, ಟಿ (ಎಫ್ಜಿ)-ಟಿ (ಎಫ್) ಟಿ (ಜಿ) ನಿರಂತರ ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಗೆ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಮತ್ತು ಜಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅದೇ ಇರುತ್ತದೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಟೊಪ್ಲಿಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಎಚ್ 2 (ಎಸ್) ನಲ್ಲಿ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎಫ್ ಎಂಬುದು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಎಸ್ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಟಿ (ಎಫ್) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದನ್ನು ನಂತರ ಹೋವೆ ಸರಳೀಕರಿಸಿದರು. ಅವುಗಳ ಪುರಾವೆಯು ಎಫ್ ನಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಸೂಚ್ಯಂಕವನ್ನು ಮೆಕ್ಕೀನ್ ಮತ್ತು ಸಿಂಗರ್ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆಃ ಟೋಪ್ ಲಿಟ್ಜ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಹೊತ್ತ H2 (S) ಮತ್ತು L2 (Rn) ನಡುವೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಏಕೀಕೃತ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೆಕ್ಕೀನ್-ಸಿಂಗರ್ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿನ ಕುರುಹುಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವೇಯ್ಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಇದು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಪ್ರಮೇಯದ ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಚ್ಯಂಕ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಲೈನ್ ಕಾನ್ನೆಸ್ ಅವರು ಆವರ್ತಕ ಕೋಹೋಮೋಲಜಿಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನೊಳಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಇರ್ವಿಂಗ್ ಸೆಗಲ್ ಮತ್ತು ಡೇವಿಡ್ ಶೇಲ್ ಅವರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ. ಲೂಪ್ ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಿನ ಗಣಿತದ ಕಠಿಣ ರಚನೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಗ್ರೇಮ್ ಸೆಗಲ್ ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದರು. ಅನಂತ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ನಿರ್ಮಾಣ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ಕಾಕ್-ಮೂಡಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿರಾಸೊರೊ ಬೀಜಗಣಿತ, ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಡ್ಯುಯಲ್ ರೆಸೋನೆನ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ನಯವಾದ ನಕ್ಷೆಗಳ ಲೂಪ್ ಗುಂಪು LU (1) ಅನ್ನು U (1) = T ಆಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನೆರೆಟಿನ್ ಮತ್ತು ಸೆಗಲ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ ಆಸಿಲೇಟರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್, ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಏಕರೂಪದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ಗೆ ಸಂಕೋಚನ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ವೃತ್ತದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪು ಎಸ್ಯು (1,1) ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಇದು ಎಲ್2 (ಆರ್) ಮೇಲಿನ ಆಂದೋಲಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಮತ್ತು ಓಲ್ಶಾನ್ಸ್ಕಿ ಅರೆಗುಂಪಿಗೆ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಂವಹನದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು Cn (ಅಥವಾ ಅದರ ಡ್ಯುಯಲ್ ಸ್ಪೇಸ್) ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ H ನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಸ್. ಕೆ. (ಎಚ್) ಅನ್ನು ಎಸ್. ಕೆ. ಯ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು ಬೀಜಗಣಿತದ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಇದು ಎಚ್. ಕೆ. ಯಿಂದ ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಎಸ್. ಕೆ. (ಎಚ್) ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಸ್. (ಎಚ್) ಅನ್ನು ಈ ನೇರ ಮೊತ್ತದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಕಂಪ್ಲೀಷನ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಅವುಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು S (H) ನಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ, n ವಿಭಿನ್ನ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು H ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದಾಗ, S (H) ಅನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ H * ಗೆ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಾಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ Sk (H) ಕೇವಲ H * ಮೇಲೆ ಡಿಗ್ರಿ k ನ ಏಕರೂಪದ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಸ್ (ಎಚ್) ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸೀಮಿತ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನೇರ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ನ ಅನಂತ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು S0 (ಹಾಯ್) ನಲ್ಲಿ 1 ಉಲ್ಲೇಖ ಘಟಕ ವಾಹಕದೊಂದಿಗೆ ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೋಚನ ಆಪರೇಟರ್ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಫಾಕ್ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಕೋಚನ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್ (ಎಚ್) ಮೇಲಿನ ಏಕೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, S (H) ಮೇಲೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಏಕಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ U ಇರುವಂತಹ ಯಾವುದೇ ನಿಯೋಜನೆಗಾಗಿ, ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇದು ಏಕೀಕೃತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಿಗೆ W (x) ಅನ್ನು H ನಲ್ಲಿ x ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆಃ ಇದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಈ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಏಕಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲೆ Wನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯು ಇಡೀ S (H) ನಲ್ಲಿ Wನ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. W ಅನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ತರಂಗ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪನ್ನು ಅನಂತ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಎಚ್ಆರ್ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪ ಮತ್ತು ನೈಜ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ ಎಚ್ನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ನೈಜ ವಾಹಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿರಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ನಂತರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಎಚ್ಆರ್ನಲ್ಲಿ ಎ ಬೌಂಡೆಡ್ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ರಿಯಲ್ ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್ ಟಿ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮವು ಬಿ ಅನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಃ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪನ್ನು, ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪನ್ನು ರೂಪಿಸುವಂತಹ ಏಕೀಕೃತ π (T) ಇದ್ದರೆ ಆಪರೇಟರ್ T ಅನ್ನು S (H) ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಷುರ್ 'ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, π (T) ಅನ್ನು Tಯಲ್ಲಿನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ π ಈ ಉಪಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಏಕಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸೆಗಲ್-ಶೇಲ್ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಾನದಂಡವು ಟಿ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದೆಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಕಮ್ಯೂಟೇಟರ್ ಟಿಜೆ-ಜೆಟಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇದು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಎತ್ತುವ π ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ ಅದು ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ ಗುಣಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. (ಕೆಳಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ವೃತ್ತದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು.) ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, H ನ ನೈಜ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು, ಅದರಲ್ಲಿ H ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಾಗಿದೆ, H ನ ಯಾವುದೇ ಆಪರೇಟರ್ T ಗೆ T ಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಎಸ್ಯು (1,1) ನ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಸಾದೃಶ್ಯವು gKg * = K ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ). ಬಿ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಇವು ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರುತ್ತವೆ. ಈ ಗುಂಪು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್-ಷ್ಮಿಡ್ಟ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು W ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೀಗಲ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಅನಲಾಗ್ D ≈ ಮೇಲೆ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಅವು ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಆಪರೇಟರ್ ಮಾನದಂಡದೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಸ್ಥಿತಿಗಳಾದ fWಅನ್ನು ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಬಹುದುಃ ಘಟಕ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ μ (ζ) = ζ/|ζ | ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಮೊದಲಿನಂತೆಯೇ ಇದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು, g3 = g1g2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೋಸಿಕಲ್ ಅನ್ನು ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಅರೆಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಕೋಚನ ನಿರ್ವಾಹಕರನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದೇ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆ ವಾದದಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಅವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಸಂಕೋಚನಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಹ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆ, ಸರಾಸರಿ 0 ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನೈಜ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವನ್ನು HR ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು n> 0 ಗೆ sin (nθ) ಮತ್ತು cos (nθ) ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಒಂದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ರೂಪಾಂತರವು ಮಾನವ ಸಂಪನ್ಮೂಲದ ಮೇಲೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಜೆ ಅನ್ನು ಸಹ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ n = ±1 ಚಿಹ್ನೆಯು n ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ φ ವೃತ್ತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಂತರ Tφ ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ರೂಪವು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಎಫ್ ಸ್ಮೂತ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಡಬ್ಲ್ಯೂ (ಎಫ್) ನಿರ್ವಾಹಕರು ವೃತ್ತದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಗುಂಪಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲೂಪ್ ಗ್ರೂಪ್ ಎಲ್ಟಿ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ನ ಉಪಗುಂಪಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನಂತ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಅವು ವಿರಾಸೊರೊ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಕೋಸಿಕಲ್ ±1 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮೆಟಾಪ್ಲೆಕ್ಟಿಕ್ ಗ್ರೂಪ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಕೋನ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫರೆನ್ಸಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಥಿಯರಿ ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ರೆಪ್ರೆಸೆಂಟೇಶನ್ ಥಿಯರಿ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಮೆಕ್ಯಾನಿಕ್ಸ್ ಥೀಟಾ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನೂ ನೋಡಿ.