Koenigs function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೊಯಿನಿಗ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. 1884ರಲ್ಲಿ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಗಾಬ್ರಿಯೇಲ್ ಕೊಯೆನಿಗ್ಸ್ ಅವರು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿರುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಏಕರೂಪದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಅರೆಗುಂಪಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕೊಯಿನಿಗ್ಸ್ ಕಾರ್ಯದ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಡಿ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಆಗಿರಲಿ. ಡಿ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಬಿಂದುವನ್ನು 0 ಅನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದೇ ರೀತಿ 0 ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಡಿ ಯ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಎಸ್ಯು (1,1) ನಲ್ಲಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೋಬಿಯಸ್ ರೂಪಾಂತರ. ಡೆನ್ಜೋಯ್-ವೋಲ್ಫ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ ಡಿಸ್ಕ್ |z | <r ಮತ್ತು ಅದರ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದಲ್ಲಿ 0 ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆಃ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ 0 <<1, |z | ≤ r ಮತ್ತು M (r) <1. ಇದಲ್ಲದೆ '(0) = 0 ನೊಂದಿಗೆ <| | <1. ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಚ್ ಇದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು, ಇದನ್ನು ಕೊಯಿನಿಗ್ಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ (0) = 0,' (0) = 1 ಮತ್ತು ಶ್ರೋಡರ್ ಸಮೀಕರಣವು ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಾದ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ,. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮಾನವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಹಾಗೆಯೇ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಯಾವಾಗ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ) ಸಮಾನವಲ್ಲದ್ದಾಗ, ಅದನ್ನು ಓಪನ್ ಡೊಮೇನ್ನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಈ ಏಕರೂಪದ ಗುರುತಿನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಯು ಒಂದು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವಾಗುತ್ತದೆ. ಅನನ್ಯತೆಯ ಪುರಾವೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವಿದ್ದರೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ, k = h 0ರ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಸಾಕು. 0ರ ಹತ್ತಿರ ಬರಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ H (0) = 0, H "(0) = 1 ಮತ್ತು, |z | ಸ್ಮಾಲ್ಗೆ, ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ಅದು 0 ರ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ 0.Existence ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ gn ಯು ಯುನಿವಲೆನ್ಸ್ನಿಂದ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ M-ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ |z | ≤ r ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರತಿ gn ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂದರೆ. 0 ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳ ಮಿತಿಯೂ ಸಹ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ. ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನ ಕೊಯಿನಿಗ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಏಕರೂಪದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಆಗಿರಲಿ, 0 ಅನ್ನು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ> 0 ಜಂಟಿಯಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು> 0 ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಒಂದೇ ಕೊಯಿನಿಗ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, cf. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, h ಎಂಬುದು ಕೊಯಿನಿಗ್ಸ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಶ್ರೋಡರ್ ಅವರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು h ಗೆ ಅನುಪಾತವಾಗಿದೆ. ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಅರೆಗುಂಪುಗಳ ರಚನೆ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ, ನಕ್ಷೆಗಳು ನಿರಂತರ ಅರೆಗುಂಪುಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ Re <0 ನೊಂದಿಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಪರಿಹಾರ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಇದು ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು 0 ರಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಬಲ್ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು v (0) = 0 ಮತ್ತು {{math|v '(0)}} = ನೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಲಿ. ನಂತರ ಅದು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಹರಿವಿನ ಸಮೀಕರಣ. 0 <λ <1 ರೊಂದಿಗೆ ಕೇಸ್ಗೆ ನಿರ್ಬಂಧಿಸುವುದರಿಂದ, h (D ") ನಕ್ಷತ್ರದಂತೆಯೇ ಇರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶವು ಪರಸ್ಪರ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳೊಂದಿಗೆ ASIN: B0006BTAC2 ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಸ್ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳು