Minimal ideal
ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ, ರಿಂಗ್ ಆರ್ ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಕನಿಷ್ಠ ಎಡ ಐಡಿಯಲ್ ಎಂಬುದು R ನ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಎಡ ಐಡಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ R ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಎಡ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು R ನ ಕನಿಷ್ಠ ಐಡಿಯಲ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದು, R ನ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ದ್ವಿಮುಖ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ಆದೇಶಿಸಲಾದ R ನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಭಾಗಶಃ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಗುಂಪಿನ (ಪೊಸೆಟ್) ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸನ್ನಿವೇಶದ ಹೊರಗೆ, ಆದರ್ಶಗಳ ಕೆಲವು ಸ್ಥಾನಗಳು ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವು ಆ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಶವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಓದುಗರಿಗೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಉಂಗುರದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶಗಳ ಸ್ಥಾನದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಶೂನ್ಯ ಆದರ್ಶವನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆದರ್ಶವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿರಬಹುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ R ಉಂಗುರದ ಕನಿಷ್ಠ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ N ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ N ಎಂಬುದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು K ಯು R ನ ಸರಿಯಾದ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಥವಾ. ಎನ್ ಒಂದು ಸರಳ ರೈಟ್ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಆದರ್ಶಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಆದರ್ಶಗಳ ದ್ವಂದ್ವ ಕಲ್ಪನೆಗಳಾಗಿವೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಆದರ್ಶಗಳ ಬಗೆಗಿನ ಅನೇಕ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು,,, ಮತ್ತು ಮುಂತಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಪಠ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಏಕತೆಯಿರುವ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ, ಗರಿಷ್ಠ ಸರಿಯಾದ ಆದರ್ಶಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ಏಕತೆಯಿರುವ ವರ್ತುಲದಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಬಲ, ಎಡ ಅಥವಾ ಎರಡು-ಬದಿಯ ಆದರ್ಶಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ರಿಂಗ್ಗಳ ರೈಟ್ ಸಾಕಲ್ ಅನ್ನು ಆರ್ ರಿಂಗ್ಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತಿ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಕನಿಷ್ಠ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವು ನಿಖರವಾಗಿ ಅತ್ಯಗತ್ಯ ರೈಟ್ ಸಾಕಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ರಿಂಗ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ರೈಟ್ ಆರ್ಟಿನಿಯನ್ ರಿಂಗ್ ಅಥವಾ ರೈಟ್ ಕ್ಯಾಸ್ ರಿಂಗ್ ಕನಿಷ್ಠ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಡಿವಿಷನ್ ರಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲದ ಡೊಮೇನ್ಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕತೆಯಿರುವ ಉಂಗುರಗಳಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ಪ್ರಧಾನ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ N ನಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ನಾನ್ಜೀರೋ x ಗೆ, ಸೆಟ್ xR ಎಂಬುದು N ಒಳಗೆ R ನ ನಾನ್ಜೀರೋ ರೈಟ್ ಐಡಿಯಲ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಬ್ರಾವರ್ಸ್ ಲೆಮ್ಮಾಃ R ಉಂಗುರದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಕನಿಷ್ಠ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ N ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ R ನ ಕೆಲವು ಐಡೆಂಪೊಟೆಂಟ್ ಅಂಶ e ಗೆ. N1 ಮತ್ತು N2ಗಳು Rನ ಸಮರೂಪವಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠ ಸರಿಯಾದ ಆದರ್ಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಉತ್ಪನ್ನವು {0} ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. N1 ಮತ್ತು N2ಗಳು ಒಂದು ರಿಂಗ್ Rನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ರಿಂಗ್ ಅರೆ-ಸರಳ ರಿಂಗ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಮಿ ಪ್ರೈಮ್ ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಕನಿಷ್ಠ ಎಡ ಐಡಿಯಲ್ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕನಿಷ್ಠ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಒಂದು ಬಲ ಘಟಕ ಎಂನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಪಘಟಕ ಎನ್ ಅನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಉಪಘಟಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಎಂನ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಪಘಟಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಎನ್ ಎಂಬುದು ಎಂನ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಪಘಟಕವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸರಳ ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಉಪ-ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ ಎನ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಇತರ ಉಪ-ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎಂ ನ ಕನಿಷ್ಠ ಉಪ-ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಬೈಮೋಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಂ ಅನ್ನು ಬಲ ಆರ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್ಆರ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಆರ್ ನ ಕನಿಷ್ಠ ಬಲ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಆರ್ ನ ಕನಿಷ್ಠ ಎಡ ಐಡಿಯಲ್ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಎಡ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆರ್ ನ ಕನಿಷ್ಠ ಉಪ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ರಿಂಗ್ಗಳಂತೆಯೇ, ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಸಬ್ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಗ್ಯಾರಂಟಿ ಇಲ್ಲ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನ ಸಾಕಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಕನಿಷ್ಠ ಉಪ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಆದರ್ಶಗಳು (ವರ್ತುಲ ಸಿದ್ಧಾಂತ)