Conformal welding
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ವೆಲ್ಡಿಂಗ್ (ಹೊಲಿಗೆ ಅಥವಾ ಅಂಟು) ಎಂಬುದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅವುಗಳ ಗಡಿ ವೃತ್ತಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಏಕರೂಪದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳಾದ f, g ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಅದರ ಪೂರಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವವರೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಎರಡೂ ತಮ್ಮ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಗೆ ನಿರಂತರ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಚಿತ್ರಗಳು ಪೂರಕ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಡೊಮೇನ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಅವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ವಾಸಿಸಿಮ್ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣ, ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ರೂಪಾಂತರ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಅಂದಾಜು ತಂತ್ರಗಳು ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಲವಾರು ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ವೆಲ್ಡಿಂಗ್ನ ಮೊದಲ ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಆಕಾರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿ. ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೆಸುಗೆ ಹಾಕುವ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದವರು. ಎಫ್ ವೃತ್ತದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಎಫ್ ಅನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಡಿ ಯ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ si ಎಂಬುದು [0,1] ನಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೃದುವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, 0 ಹತ್ತಿರ 0 ಮತ್ತು 1 ಹತ್ತಿರ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು g (θ + 2π) = g (θ) + 2π. ಎಫ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಆರ್> 1ನೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ದೊಡ್ಡ ಡಿಸ್ಕ್ |z | <ಆರ್ಗೆ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಈಗ |z | ≤1 ಗೆ 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇಡೀ C ಯ ಮೇಲೆ ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ μ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ. ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಸಮೀಕರಣದ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಹಾರವು G ಆಗಿರಲಿಃ |z | ≤1 ಗೆ F1 (z) = G°F−1 (z) ಮತ್ತು |z | ≤1 ಗೆ F2 (z) = G (z) ಆಗಿರಲಿ. ಹೀಗಾಗಿ F1 ಮತ್ತು F2 ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ |z | <1 ಮತ್ತು |z |> 1 ರ ಏಕರೂಪದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಏಕಮಾನ ವೃತ್ತದ ಸಮರೂಪತೆಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ. ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ ಅವು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ವೆಲ್ಡಿಂಗ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆಃ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೆಲ್ಡಿಂಗ್ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ವೆಲ್ಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ರೂಪಾಂತರದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಜಾರ್ಜಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಾದ ಡಿ. ಜಿ. ಅವರು ಸೂಚಿಸಿದರು. 1958ರಲ್ಲಿ ಮಾಂಡ್ಝಾವಿಡ್ಜೆ ಮತ್ತು ಬಿ. ವಿ. ಖ್ವೆಡೆಲಿಡ್ಜೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎಫ್. ಡಿ. ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಗಖೋವ್ ಮತ್ತು ಅವರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮಾನೋಗ್ರಾಫ್ () ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಎನ್ (θ) = ಐನ್ θ ಎಂಬುದು ಎಲ್2 (ಟಿ) ಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಾಗಿರಲಿ. H2 (T) ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ, ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು n ≤0 ನೊಂದಿಗೆ ಎನ್ ವ್ಯಾಪಿಸಿದೆ. ಪಿ ಹಾರ್ಡಿ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಟಿ = 2ಪಿ-ಐ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಆಪರೇಟರ್ H = iT ಎಂಬುದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಏಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ f ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, |z | <1 ಮತ್ತು |z |> 1 ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಎರಡು ಏಕರೂಪದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಲೀಸಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತವೆ, ಜೋರ್ಡಾನ್ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ F ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ f + ನ ನಿರ್ಬಂಧವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿ (ಎಫ್) ಡಿಫಿಯೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಫ್ ನಿಂದ ಪ್ರೇರಿತವಾದ ಎಲ್ 2 ಮೇಲೆ ಬೌಂಡೆಡ್ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಆಪರೇಟರ್ ಸಾಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದನ್ನು ನಯವಾದ ಕರ್ನಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಆಪರೇಟರ್ ನೀಡುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪಿ ಮತ್ತು ಟಿ ಅನ್ನು ಏಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಆಪರೇಟರ್ I − Kf ಸೂಚ್ಯಂಕ ಶೂನ್ಯದ ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಶೂನ್ಯ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಲೋಮವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕರ್ನಲ್ನಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಅಂಶವು ಡಿ ಮತ್ತು ಡಿ. ಸಿ. ಯಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅವು f ನಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಡಿ. ಸಿ. ಯಲ್ಲಿನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವು φ ನಲ್ಲಿ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಈ ಜೋಡಿಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳು ಸಹ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಅವು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು I−Kf ಫ್ರೆಡ್ಹೋಮ್ ಆಪರೇಟರ್ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಎಫ್ ಎಂಬ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದು ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಫ್ ± ಅನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಫ್ ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ನಿಂದ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ, ಎಫ್ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ F ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು z1 ಮತ್ತು z2 ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ a ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಊಹಿಸಿದರೆ, R (z) = (F (z) − a)/(z-z1) (z − z2) ನ ಲಾಗರಿದಮ್ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ಸರ್ಕಲ್ನಲ್ಲಿ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, f ± ನ ಅಗತ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ನಂತರ ವಾದ ತತ್ವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು