McKay graph
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಿನ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೆಕ್ಕೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅದರ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ರಚನೆಯನ್ನು ಸಂಕೇತಿಸುವ ತೂಕದ ಕ್ವಿವರ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೋಡ್ ಅದರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ಘಟಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಒಂದು ಬಾಣವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಬಾಣದ ತೂಕವು ಈ ಘಟಕವು ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಯಾಮದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಸಂಯೋಗ ವರ್ಗದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ವಾಹಕಗಳು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಿದೆ. ಜಾನ್ ಮೆಕ್ಕೇ ಅವರ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೆಕ್ಕೇ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು, ಸರಳ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಎಡಿಇ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ನಡುವೆ ಒಬ್ಬರಿಗೊಬ್ಬರು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಅದರ ಪಾತ್ರದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಯಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಆಗಿರಲಿ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆಃ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ನೋಡ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ತೂಕದಿಂದ ಹಿಡಿದು ತೂಕದವರೆಗಿನ ಬಾಣವಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ ಬಾಣಗಳೆಂದು ಅಥವಾ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಬಾಣಗಳನ್ನು ತೂಕದ ದಿಕ್ಕಿಲ್ಲದ ಅಂಚು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ತೂಕದ ಲೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ. ಅಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲೆ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದುಃ ಅಕ್ಷರಗಳ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪಿನ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸ್ವಯಂ-ದ್ವಂದ್ವವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೆಕ್ಕೇ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಪ್ರಕಾರ, ಎ-ಡಿ-ಇ ಪ್ರಕಾರದ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ. ನಾವು ಕಾರ್ಟನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆಃ ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಕೆಲವು ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪ್ರತಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಕೆಲವು ಟೆನ್ಸರ್ ಪವರ್ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪಿನ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ ಯಾವುದೇ ಸ್ವಯಂ-ಲೂಪ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪಿನ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ನ ಬಾಣಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಂದು ತೂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಂಗೀಕೃತ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಿವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು, ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು, ಅಲ್ಲಿ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ನಡುವೆ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಬಾಣವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಬಾಣವಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಬಾಣವಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ ಬಾಣದ ಮೇಲಿನ ತೂಕವು ಮತ್ತು ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಅನುಗುಣವಾದ ಬಾಣಗಳ ತೂಕದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಫೆಲಿಕ್ಸ್ ಕ್ಲೈನ್ ಅವರು ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಬೈನರಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳು ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು; ಇವೆಲ್ಲವೂ ಮೆಕ್ಕೇ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿವೆ, ಈ ಬೈನರಿ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪುಗಳ ಮೆಕ್ಕೇ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬೈನರಿ ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಲ್ ಗುಂಪು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಏಕತೆಯ ಪ್ರಾಚೀನ ಎಂಟನೇ ಮೂಲವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಕಾಂಜುಗಸಿ ವರ್ಗಗಳಿವೆಃ ಅಕ್ಷರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವು ಇಲ್ಲಿ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಮೆಕ್ಕೇ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ವಿಸ್ತೃತ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್-ಡೈನ್ಕಿನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.