End (graph theory)
ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಒಂದು ತುದಿಯು, ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಅನಂತದವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಎಂಡ್ಗಳನ್ನು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಅನ್ವೇಷಣೆ-ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಆಟಗಳ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಧಾಮಗಳಾಗಿ ಅಥವಾ (ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಗ್ರಾಫ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ತುದಿಗಳಾಗಿ. ನಿಖರವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗುಂಪುಗಳ ತುದಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ತುದಿಗಳನ್ನು (ಕೇಲೆ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ) ಬಳಸಬಹುದು. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳು ಒಂದು, ಎರಡು, ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳ ತುದಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಲಿಂಗ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನಂತ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಎ ಎಂಬುದು ಅರೆ-ಅನಂತ ಸರಳ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ; ಅಂದರೆ, ಇದು ಶೃಂಗಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆಯಾದರೂ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸತತ ಶೃಂಗಗಳು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಅಂಚಿನ ಎರಡು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಹ್ಯಾಲಿನ್ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಎರಡು ಕಿರಣಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಕಿರಣವಿದ್ದರೆ (ಇದು ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಕಿರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬಹುದು) ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರತಿ ಕಿರಣವು ತನ್ನಷ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಎರಡು ಕಿರಣಗಳ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಕ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಕಿರಣಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಲಿನ್ ಈ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎಂದು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಒಂದೇ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧದ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗಿದೆಃ ಎರಡು ಕಿರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಶೃಂಗಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಹ್ಯಾಲಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಃ ಹ್ಯಾಲಿನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕಿರಣವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಯಾವುದೇ ವಿಭಜಕವು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಾರದು, ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಬಾರಿ ಪರ್ಯಾಯವಾದ ಮಾರ್ಗವು ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಸೀಮಿತ ವಿಭಜಕವನ್ನು ರೂಪಿಸಬೇಕು. ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವೇಷಣೆ-ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಆಟಗಳಿಗೆ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಸ್ವರ್ಗಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಎಂಡ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚು ದೃಢವಾದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಆಟದಲ್ಲಿ, ದರೋಡೆಕೋರನು ಅದರ ಅಂಚುಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಶೃಂಗದಿಂದ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪೊಲೀಸರ ಗುಂಪಿನಿಂದ ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾನೆ. ಪೊಲೀಸರು ಹೆಲಿಕಾಪ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಆದಾಗ್ಯೂ ದರೋಡೆಕೋರನು ಪೊಲೀಸರು ಬರುವುದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೆಲಿಕಾಪ್ಟರ್ಗಳು ಇಳಿಯುವ ಮೊದಲು ಮುಂದೆ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಬೇಕೆಂದು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೆವೆನ್ ಎನ್ನುವುದು ಪ್ರತಿ ಗುಂಪಿನ ಪೊಲೀಸ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಅಳಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಲಾದ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ; ದರೋಡೆಕೋರನು ಆಟದ ಪ್ರತಿ ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಈ ಘಟಕದೊಳಗಿನ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪೊಲೀಸರನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಬಹುದು. ಹಾವೆನ್ಸ್ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು (ದರೋಡೆಕೋರನು ಪೊಲೀಸರು ಈಗಾಗಲೇ ಇಳಿದಿರುವ ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಚಲಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅವಶ್ಯಕತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ): ಇದು ಉಪಗುಂಪು ಆಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪೊಲೀಸ್ ಗುಂಪಿಗೆ ಮಾನ್ಯವಾದ ಸ್ಥಳಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸೂಪರ್ಸೆಟ್ ಆಗಿರಬೇಕು. ತಪ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಪೊಲೀಸ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಶೃಂಗಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಶೃಂಗಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಅದರ ಘಟಕಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಿದರೆ ಅದು ಕ್ರಮವನ್ನು (ಚಿಕ್ಕ ಅಲೆಫ್ ಸಂಖ್ಯೆ) ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಿರಣವು ಕ್ರಮದ ಸ್ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಕಾರ್ಯ; ಇದು ಕಿರಣದ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನನ್ಯ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾಮವನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಿರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಎರಡು ಕಿರಣಗಳು ಒಂದೇ ಧಾಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ತುದಿಗಳು ಅದರ ಕ್ರಮದ ಧಾಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಕಿರಣವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಕಿರಣ ಉಪ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅದರ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಎಲ್ಲಾ ಕಿರಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಅರಣ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಚಕ್ರಗಳಿಲ್ಲದ ರೇಖಾಚಿತ್ರ), ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕಿರಣಗಳ ಛೇದನವು ಒಂದು ಮಾರ್ಗ ಅಥವಾ ಒಂದು ಕಿರಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಅವುಗಳ ಛೇದನವು ಒಂದು ಕಿರಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಕಿರಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕದಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಶೃಂಗವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿ ತುದಿಯು ಮೂಲ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಿರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಈ ಅಂಗೀಕೃತ ಕಿರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇರಿಸಬಹುದು. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಅರಣ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೇವಲ ಒಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಮರವು ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅನಂತ ಗ್ರಿಡ್ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಅನೇಕ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾದ ಶೃಂಗ-ವಿಭಜನೆಯ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಸ್ವರ್ಗಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ತುದಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದುಃ ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಅನಂತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕವನ್ನು ಬಿಡುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸ್ವರ್ಗವಿದೆ (ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಅನನ್ಯ ಅನಂತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಘಟಕಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಒಂದು). ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ತುದಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಬಿಂದು-ಸೆಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಅಂತ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅದೇ ರೀತಿಯದ್ದಲ್ಲ, ಇದು ಬಹಳ ಹಿಂದಿನದು. ಒಂದು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಮುಚ್ಚಬಹುದಾದರೆ, ಜಾಗದ ಅಂತ್ಯವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಪೂರಕಗಳ ಘಟಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೆಟ್ಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲಃ ಅಂತಹ ಒಂದು ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ತುದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಇರಿಸಬಹುದು. ಅನಂತ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಆದರೆ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿ ಮಾಡಬಹುದುಃ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರತಿ ತುದಿಯನ್ನು ತೆರೆದ ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ತುದಿಯೊಂದಿಗಿನ ಪ್ರತಿ ಛೇದನವು ಏಕಮಾನದ ಮಧ್ಯಂತರದ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದ್ದಾಗಲೆಲ್ಲಾ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ತೆರೆದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಅಲ್ಲದ ಜಾಗವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೆಟ್ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅದರ ಶೃಂಗವು ಸೇರಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಚು ಅದರ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವು ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟಾಗಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಹೌಸ್ಡಾರ್ಫ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ತುದಿಗಳ ಸೀಮಿತವಾದ ಅನೇಕ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಸರಿಯಾದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳು. ಹೀಗಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಕ್ಷೆಯು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸೆಟ್ಗಳ ಸಮೂಹದ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಮುಚ್ಚಬಹುದು. ಒಂದು ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಂಪರ್ಕಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸಾಂದ್ರವಾದ ಕವರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ ಕೆಲವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಆರಂಭಿಕ ಶೃಂಗದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಧಾಮವು ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ಸ್ಥಳದ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗದ ಅಂತ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಧಾಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಸಂಪರ್ಕಿತ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ, ಸ್ಥಳವಿಜ್ಞಾನದ ತುದಿಗಳು ರೇಖಾಚಿತ್ರ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ತುದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿರದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ, ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಅದರ ತುದಿಗಳಿಂದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಜಾಗವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇನ್ನೂ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅಂಚು ಪೂರ್ವಜ-ವಂಶಸ್ಥ ಜೋಡಿಯನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವಂತಹ ಬೇರೂರಿರುವ ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಮರವನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಈ ಜಾಗವನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಮರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಪ್ರತಿ ತುದಿಯು ಮರದಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಅನಂತ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ತುದಿಗಳು ಮುಕ್ತ ತುದಿಗಳು ಗ್ರಾಫ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ತುದಿಗಳಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಶೃಂಗಗಳ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಮುಕ್ತ ತುದಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. (ಅಂದರೆ, ಸ್ವರ್ಗಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುದಿಯಿಂದಲೂ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.) ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತುದಿಯೂ ಮುಕ್ತವಾಗಿರಬೇಕು. ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಒಂದೋ ಮುಕ್ತವಾಗಿರದ ಒಂದು ಅಂತ್ಯವಿದೆ, ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರಂಭಿಕ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಡುವ ಅನಂತ ಕಿರಣಗಳ ಕುಟುಂಬವಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ದಪ್ಪ ತುದಿಗಳು ಗ್ರಾಫ್ನ ದಪ್ಪ ತುದಿಯು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಜೋಡಿ-ಬೇರ್ಪಡುವ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ತುದಿಯಾಗಿದೆ. ಹ್ಯಾಲಿನ್ರ ಗ್ರಿಡ್ ಪ್ರಮೇಯವು ದಪ್ಪ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಅವು ನಿಖರವಾಗಿ ಷಟ್ಕೋಣ ಟೈಲಿಂಗ್ನ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಉಪಗ್ರಾಫ್ನಂತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ. ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಮಮಿತಿಯ ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಸಮಮಿತಿಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು "ಬಹುತೇಕ ಸಮಮಿತಿಯ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಒಂದು ಶೃಂಗ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಇತರ ಶೃಂಗಕ್ಕೂ, ಗ್ರಾಫ್ನ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅದರ ಚಿತ್ರವು ಅಂತರದಲ್ಲಿದೆ; ಸಮಾನವಾಗಿ, ಅದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಕಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಬಹುತೇಕ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವರು ತೋರಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸ್ಥಳೀಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾದ ಬಹುತೇಕ-ಸಮಮಿತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ, ತುದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಗರಿಷ್ಠ ಎರಡು ಅಥವಾ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲ; ಅದು ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ತುದಿಗಳು ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಗುಂಪಿನ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚೀಗರ್ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಮೋಹರ್ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಖಾಲಿ ಇಲ್ಲದ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಅನೇಕ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುತೇಕ-ಸಮಮಿತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೇವಲ ಎರಡು ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುತೇಕ-ಸಮಮಿತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ,. ಕೇಲೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು ಗುಂಪಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪೊಂದು ಕೇಲೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಶೃಂಗಗಳು ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳು ಜನರೇಟರ್ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಜೋಡಿಗಳಾಗಿವೆ. ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾದ ಗುಂಪಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಂಪಿನ ತುದಿಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಕೇಲೆಯ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ತುದಿಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ; ಜನರೇಟರ್ಗಳ ಆಯ್ಕೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸೀಮಿತ ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಎರಡು ಕೇಲೆಯ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ತುದಿಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಉಚಿತ ಗುಂಪು ಕೇಲೆಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು (ಅದರ ಉಚಿತ ಉತ್ಪಾದಕಗಳಿಗಾಗಿ) ಹೊಂದಿದೆ, ಅದು ಮರವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಜನರೇಟರ್ನಲ್ಲಿನ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ಎರಡು ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅದರ ಕೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ನಂತೆ ದ್ವಿಗುಣ ಅನಂತ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇತರ ಮುಕ್ತ ಗುಂಪು ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅನಂತ ಗುಂಪು 1,2, ಅಥವಾ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳ ತುದಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ಟ್ಯಾಲಿಂಗ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪುಗಳ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆಃ ಸೀಮಿತ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಆವರ್ತಕ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅನಂತ ಗುಂಪು 2 ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅನಂತ ಗುಂಪು, ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಪವಲ್ಲದ ಮುಕ್ತ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಸೀಮಿತ ಸಂಯೋಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಚ್. ಎನ್. ಎನ್-ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅನಂತ ಗುಂಪುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ತುದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಸ್ತುಗಳು ಅನಂತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು