Duflo isomorphism
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಡುಫ್ಲೋ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಎಂಬುದು ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ ಅವರು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಪಾಯಿಂಕೇರ್-ಬಿರ್ಕಾಫ್-ವಿಟ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಬಹುಪದೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಿಂದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸುತ್ತುವರಿದ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ನಕ್ಷೆಯು ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಯಲ್ಲ. ಈ ಸ್ಥಳಗಳ ಮೇಲಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಂಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ನಾಶವಾದ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡೂ ಮತ್ತು ವಿನಿಮಯಶೀಲ ಉಪಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿದ್ದು, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅದರ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಇನ್ನೂ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಯಲ್ಲ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಕ್ಷೆಯೊಂದಿಗೆ ರಚಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಡುಫ್ಲೋ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ನಂತರ, ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ ಔಪಚಾರಿಕತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ ತೋರಿಸಿದರು. ಕ್ಯಾಲಾಕ್ ಮತ್ತು ರೊಸ್ಸಿಯ ನಂತರ, ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಕಳುಹಿಸುವ ನಕ್ಷೆಯು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ನಾವು ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ, ಆ ವಿಷಯಕ್ಕಾಗಿ, ದೊಡ್ಡ ಜಾಗದ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಎರಡೂ ಎಂದು ಕರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವು ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಾಗಿವೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಟೆನ್ಸರ್ ಉತ್ಪನ್ನವೂ ಸಹ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಫಾರ್ಮಲ್ ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಫಾರ್ಮಲ್ ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ನ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಹೀಗೆ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರ ಆಯಾಮವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹೀಗೆ ಎಂದು ಯೋಚಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಟಾಡ್ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈಗ, ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಅನುವಾದ-ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡುವುದರಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಆನ್ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ನಾವು ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇಡೀ ರಚನೆಯು ಬದಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅರೆ ಸರಳ ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಡುಫ್ಲೋ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹರೀಶ್-ಚಂದ್ರ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲೈ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್