Homotopy type theory
ಗಣಿತದ ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಗಣಕಯಂತ್ರ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು (ಅಮೂರ್ತ) ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯು ಅನ್ವಯಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿ ಪ್ರಕಾರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ವಿವಿಧ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಇತರ ಕೃತಿಗಳ ನಡುವೆ, ಅಂತಹ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ವರ್ಗೀಯ ಮಾದರಿಗಳ ನಿರ್ಮಾಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ; ಅಮೂರ್ತ ಏಕರೂಪದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ವರ್ಗದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ತರ್ಕವಾಗಿ (ಅಥವಾ ಆಂತರಿಕ ಭಾಷೆ) ಬಳಸುವುದು; ಪ್ರಕಾರದ-ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಡಿಪಾಯದೊಳಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ (ಹಿಂದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುವ ಹೊಸ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಎರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡಂತೆ); ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೂಫ್ ಅಸಿಸ್ಟೆಂಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನೂ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುವುದು. ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕೃತಿ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಯೋಜನೆಯ ನಡುವೆ ದೊಡ್ಡ ಅತಿಕ್ರಮಣವಿದೆ. ಇವೆರಡನ್ನೂ ನಿಖರವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಮತ್ತು ಪದಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಬಳಕೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ದೃಷ್ಟಿಕೋನ ಮತ್ತು ಒತ್ತುಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಲೇಖನವು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಶೋಧಕರ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸದಿರಬಹುದು. ಕ್ಷೇತ್ರವು ಕ್ಷಿಪ್ರ ಹರಿವಿನಲ್ಲಿರುವಾಗ ಈ ರೀತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇತಿಹಾಸ ಗುಂಪು ಮಾದರಿ ಒಂದು ಕಾಲದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರವಾದ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಟೈಪ್ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಗುಂಪು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯು ಗಣಿತದ ಜಾನಪದ ಕಥೆಯಾಗಿತ್ತು. ಮಾರ್ಟಿನ್ ಹಾಫ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಥಾಮಸ್ ಸ್ಟ್ರೈಚರ್ ಅವರ 1994 ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಯಿತು, "ಗುಂಪು ಮಾದರಿ ಗುರುತಿನ ಪುರಾವೆಗಳ ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುತ್ತದೆ", ಇದರಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತೆಯ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಗುಂಪುಗಳ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಇದು ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೊದಲ ನಿಜವಾದ "ಏಕರೂಪದ" ಮಾದರಿಯಾಗಿತ್ತು, ಆದರೂ ಇದು ಕೇವಲ "1-ಆಯಾಮದ" ಮಾದರಿಯಾಗಿತ್ತು (ಸೆಟ್ಗಳ ವರ್ಗದಲ್ಲಿನ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಮಾದರಿಗಳು ಏಕರೂಪವಾಗಿ 0-ಆಯಾಮದವು). ಅವರ ನಂತರದ ಪ್ರಬಂಧವು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಂತರದ ಹಲವಾರು ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳನ್ನು ಮುನ್ಸೂಚಿಸಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಗ್ರೂಪೋಯ್ಡ್ ಮಾದರಿಯು ಅವರು "ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ವಿಸ್ತಾರತೆ" ಎಂದು ಕರೆಯುವ ನಿಯಮವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದರು, ಇದು ಹತ್ತು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ 1-ವಿಧದ ಸಮಾನತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೇನೂ ಅಲ್ಲ. (ಆದಾಗ್ಯೂ, "ಸಮಾನತೆ" ಯ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಕಲ್ಪನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, 1-ಪ್ರಕಾರಗಳ ಸೂತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ.) ಅವರು "ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಹೊಂದಿರುವ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆ" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ವರ್ಗಗಳಿಗೆ ಒಬ್ಬರು "ಸಮಾನತೆಯೇ ಸಮಾನತೆ" ಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು; ಇದನ್ನು ನಂತರ ಬೆನೆಡಿಕ್ಟ್ ಅಹ್ರೆನ್ಸ್, ಕ್ರಿಜಿಸ್ಟೋಫ್ ಕಪುಲ್ಕಿನ್ ಮತ್ತು ಮೈಕೆಲ್ ಶುಲ್ಮನ್ ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಆರಂಭಿಕ ಇತಿಹಾಸಃ ಮಾದರಿ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಗುಂಪುಗಳು ತೀವ್ರತೆಯ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೊದಲ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸ್ಟೀವ್ ಅವೊಡೆ ಮತ್ತು ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಮೈಕೆಲ್ ವಾರೆನ್ ಅವರು 2005 ರಲ್ಲಿ ಕ್ವಿಲ್ಲೆನ್ ಮಾದರಿ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಎಫ್ಎಂಸಿಎಸ್ 2006ರ ಸಮ್ಮೇಳನದಲ್ಲಿ ಸಾರ್ವಜನಿಕವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು, ಇದರಲ್ಲಿ ವಾರೆನ್ ಅವರು "ಹೋಮೊಟೊಪಿ ಮಾಡೆಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಇಂಟೆನ್ಸಿಷನಲ್ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿ" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಭಾಷಣವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದು ಅವರ ಪ್ರಬಂಧ ಪ್ರಾಸ್ಪೆಕ್ಟಸ್ ಆಗಿಯೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿತು (ಪ್ರಬಂಧ ಸಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅವೊಡೆ, ನಿಕೋಲಾ ಗ್ಯಾಂಬಿನೋ ಮತ್ತು ಅಲೆಕ್ಸ್ ಸಿಂಪ್ಸನ್ ಇದ್ದರು). ಸಾರಾಂಶವು ವಾರೆನ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದ ಪ್ರಾಸ್ಪೆಕ್ಟಸ್ ಸಾರಾಂಶದಲ್ಲಿದೆ. 2006ರಲ್ಲಿ ಉಪ್ಸಾಲಾ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕುರಿತಾದ ನಂತರದ ಕಾರ್ಯಾಗಾರದಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತರವಾದ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಅಪವರ್ತನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧದ ಬಗ್ಗೆ ಎರಡು ಚರ್ಚೆಗಳು ನಡೆದವುಃ ರಿಚರ್ಡ್ ಗಾರ್ನರ್ ಅವರ ಒಂದು, "ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಅಪವರ್ತನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು", ಮತ್ತು ಮೈಕೆಲ್ ವಾರೆನ್ ಅವರ ಒಂದು, "ಮಾದರಿ ವರ್ಗಗಳು ಮತ್ತು ತೀವ್ರತರವಾದ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳು". ಸ್ಟೀವ್ ಅವೊಡೆ, "ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ವರ್ಗಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತ", ಮತ್ತು ಥಾಮಸ್ ಸ್ಟ್ರೈಚರ್, "ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳು ವರ್ಸಸ್ ದುರ್ಬಲ ಒಮೆಗಾ-ಗುಂಪುಗಳುಃ ಕೆಲವು ವಿಚಾರಗಳು, ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು" ಮಾತುಕತೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಯಿತು. ಅದೇ ಸಮ್ಮೇಳನದಲ್ಲಿ ಬೆನೊ ವ್ಯಾನ್ ಡೆನ್ ಬರ್ಗ್ ಅವರು "ದುರ್ಬಲ ಒಮೆಗಾ-ವರ್ಗಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳು" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಭಾಷಣವನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ನಂತರ ರಿಚರ್ಡ್ ಗಾರ್ನರ್ರೊಂದಿಗೆ ಜಂಟಿ ಪ್ರಬಂಧದ ವಿಷಯವಾದ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು. ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಆರಂಭಿಕ ನಿರ್ಮಾಣಗಳು ಅವಲಂಬಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಗಳ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸುಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಅಂತಹ ಒಂದನ್ನು 2009ರಲ್ಲಿ ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿ, ಇನ್ನೊಂದನ್ನು 2010ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾನ್ ಡೆನ್ ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಗಾರ್ನರ್ ನೀಡಿದರು. ವೊಯೆವೊಡ್ಸ್ಕಿಯ ನಿರ್ಮಾಣದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ 2014 ರಲ್ಲಿ ಲುಂಸ್ಡೈನ್ ಮತ್ತು ವಾರೆನ್ ನೀಡಿದರು. 2007ರಲ್ಲಿ ಪಿ. ಎಸ್. ಎಸ್. ಎಲ್. 86ರಲ್ಲಿ ಅವೊಡೆ "ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿ" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಭಾಷಣವನ್ನು ನೀಡಿದರು (ಇದು ಆ ಪದದ ಮೊದಲ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಬಳಕೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಅವೊಡೆ ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು). ಅವೊಡೆ ಮತ್ತು ವಾರೆನ್ ತಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು "ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಮಾಡೆಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಟೈಪ್ಸ್" ಎಂಬ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಿದರು, ಇದನ್ನು 2007ರಲ್ಲಿ ಆರ್ಎಕ್ಸ್ಐವಿ ಪ್ರಿಪ್ರಿಂಟ್ ಸರ್ವರ್ನಲ್ಲಿ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಲಾಯಿತು ಮತ್ತು 2009ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು; 2008ರಲ್ಲಿ ವಾರೆನ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧ "ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಆಸ್ಪೆಕ್ಟ್ಸ್ ಆಫ್ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಿವ್ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿ" ಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. ಸುಮಾರು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ವೊಯೆವೊಡ್ಸ್ಕಿ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಔಪಚಾರಿಕತೆಗಾಗಿ ಭಾಷೆಯ ಹುಡುಕಾಟದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ತನಿಖೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದರು. 2006ರ ಸೆಪ್ಟೆಂಬರ್ನಲ್ಲಿ ಅವರು "ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಕುರಿತ ಒಂದು ಚಿಕ್ಕ ಟಿಪ್ಪಣಿ" ಎಂಬ ಟೈಪ್ಗಳ ಮೇಲಿಂಗ್ ಪಟ್ಟಿಗೆ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಿದರು, ಇದು ಅವಲಂಬಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಮೊತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಕಾನ್ ಸರಳ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಈ ರೀತಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದೆ. ಇದು "ಹೋಮೋಟೋಪಿ λ-ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಒಂದು ಕಾಲ್ಪನಿಕ (ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ) ರೀತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಹೇಳುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು ಮತ್ತು "ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಾನು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ್ದರಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಊಹೆಗಳ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿದೆ" ಎಂದು ಕೊನೆಗೊಂಡಿತು. ಹೋಮೋಟಾಪಿ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಟಿಎಸ್ನ ಮಾದರಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೂ ಸಹ 2009 ರವರೆಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸುಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಟಿಪ್ಪಣಿಯು "ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ" ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು, ಇದನ್ನು ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಪಥ-ಸ್ಥಳಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಆದರೆ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗಾಗಿ ಪರ್ ಮಾರ್ಟಿನ್-ಲೋಫ್ನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಿಲ್ಲ. ಇದು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳನ್ನು ಗಾತ್ರದ ಜೊತೆಗೆ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಆಯಾಮದಿಂದ ಶ್ರೇಣೀಕರಿಸಿತು, ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಯಿತು. ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ಬದಿಯಲ್ಲಿ, ಬೆನೊ ವ್ಯಾನ್ ಡೆನ್ ಬರ್ಗ್ ಅವರು 2006 ರಲ್ಲಿ ತೀವ್ರತರವಾದ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಗೋಪುರವು ಮೈಕೆಲ್ ಬಟಾನಿನ್ನ "ಗೋಳಾಕಾರದ, ಬೀಜಗಣಿತದ" ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ω-ವರ್ಗದ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ω-ಸಮೂಹವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂದು ಊಹಿಸಿದರು. ಇದನ್ನು ನಂತರ ವ್ಯಾನ್ ಡೆನ್ ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಗಾರ್ನರ್ ಅವರು "ಟೈಪ್ಸ್ ಆರ್ ವಲ್ಕ್ ಒಮೆಗಾ-ಗ್ರೂಪಾಯ್ಡ್ಸ್" (2008ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿತ) ಎಂಬ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಪೀಟರ್ ಲುಂಸ್ಡೈನ್ ಅವರು "ವೀಕ್ ω-ಕ್ಯಾಟಗರೀಸ್ ಫ್ರಮ್ ಇಂಟೆನ್ಷನಲ್ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿ" (2009ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿತ) ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅವರ 2010ರ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧ "ಹೈಯರ್ ಕ್ಯಾಟಗರೀಸ್ ಫ್ರಮ್ ಟೈಪ್ ಥಿಯರೀಸ್" ನ ಭಾಗವಾಗಿ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಸಮಾನತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಸಂಶ್ಲೇಷಿತ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಚೋದಕ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಸಮಾನತೆಯ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 2006 ರ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳು, ಖಾಲಿ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿಫಲಿತತೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾರ್ಟಿನ್-ಲೋಫ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳ ಒತ್ತಾಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ, ಈ ಗುರುತಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಏಕರೂಪದ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ವೋವೊಡ್ಸ್ಕಿ 2009 ರವರೆಗೆ ಗುರುತಿಸಲಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಮಾರ್ಟಿನ್-ಲೋಫ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯು 2009ರಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. 2009ರಲ್ಲಿ, ವೋವೊಡ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಕಾನ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವರ್ಗೀಕರಣದ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸುಸಂಬದ್ಧತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕಾನ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಎ. ಕೆ. ಬೌಸ್ಫೀಲ್ಡ್ ಅವರ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ನಾರು ಅಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅವರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರುಃ ನಾರುಗಳ ನಡುವಿನ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಮಾನತೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ನಾರು ತಳದ ಪಥ-ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ನಾರುಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪತೆಯನ್ನು ಒಂದು ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲು, "ಎಫ್ ಒಂದು ಸಮಾನತೆ" ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪ್ರಕಾರವು (ಕಾರ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ) (-1)-ಕಿತ್ತುಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ಅಂದರೆ "ಎಫ್ ಒಂದು ಸಮಾನತೆ" ಎಂಬ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ "ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು" ವಾಕ್ಯರಚನೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ವಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ ಒಪ್ಪಂದಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು). ಇದು ಹಾಫ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟ್ರೈಚರ್ ಅವರ "ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು" ಉನ್ನತ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕರೂಪತೆಯ ವಾಕ್ಯರಚನೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಅವರಿಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಟ್ಟಿತು. ಪ್ರೂಫ್ ಅಸಿಸ್ಟೆಂಟ್ Coq ನಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ "ಸಿಂಥೆಟಿಕ್ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಥಿಯರಿ" ಅನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲು ಅವರು ಸಮಾನತೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಕೋಚನದ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು; ಇದು ನಂತರ "ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್" ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ "ಯೂನಿಮ್ಯಾಥ್" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗ್ರಂಥಾಲಯದ ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸಿತು. ವಿವಿಧ ಎಳೆಗಳ ಏಕೀಕರಣವು ಫೆಬ್ರವರಿ 2010 ರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ನೆಗೀ ಮೆಲಾನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಸಭೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಯಿತು, ಅಲ್ಲಿ ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಕಾನ್ ಸಂಕೀರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅವರ ಕಾಕ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಅವೊಡೆ, ವಾರೆನ್, ಲುಂಸ್ಡೈನ್, ರಾಬರ್ಟ್ ಹಾರ್ಪರ್, ಡಾನ್ ಲಿಕಾಟಾ, ಮೈಕೆಲ್ ಶುಲ್ಮನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ಸೇರಿದಂತೆ ಗುಂಪಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಸಭೆಯು (ವಾರೆನ್, ಲುಂಸ್ಡೈನ್, ಲಿಕಾಟಾ ಮತ್ತು ಶುಲ್ಮನ್ ಅವರಿಂದ) ಪ್ರತಿ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಸಮಾನತೆಯು ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ (ವೊಯೆವೊಡ್ಸ್ಕಿಯ ಉತ್ತಮ ಸುಸಂಬದ್ಧ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ) ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯ ಬಾಹ್ಯರೇಖೆಗಳನ್ನು ತಯಾರಿಸಿತು, ಇದು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಸುಧಾರಿಸುವ ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ನಂತರ, ಸಮಾನತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕಾರ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವು ಮಾರ್ಚ್ 2011 ರಲ್ಲಿ ಒಬರ್ವೋಲ್ಫಾಕ್ನ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ರಿಸರ್ಚ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಟೀವ್ ಅವೊಡೆ, ರಿಚರ್ಡ್ ಗಾರ್ನರ್, ಪರ್ ಮಾರ್ಟಿನ್-ಲೋಫ್ ಮತ್ತು ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ವೊವೊಡ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಆಯೋಜಿಸಿದ್ದ "ದಿ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಇಂಟರ್ಪ್ರಿಟೇಶನ್ ಆಫ್ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಟಿವ್ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿ" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಕಿರು-ಕಾರ್ಯಾಗಾರವಾಗಿತ್ತು. ಈ ಕಾರ್ಯಾಗಾರದ ಕೋಕ್ ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ನ ಭಾಗವಾಗಿ, ಆಂಡ್ರೆಜ್ ಬಾಯರ್ ಅವರು ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿಯ ಆಲೋಚನೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಕೋಕ್ ಗ್ರಂಥಾಲಯವನ್ನು ಬರೆದರು (ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅವರ ಯಾವುದೇ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಬಳಸದೆ); ಇದು ಅಂತಿಮವಾಗಿ "ಹೋಟ್" ಕೋಕ್ ಗ್ರಂಥಾಲಯದ ಮೊದಲ ಆವೃತ್ತಿಯ ಕರ್ನಲ್ ಆಯಿತು (ಮೈಕೆಲ್ ಶುಲ್ಮನ್ ಅವರ ಎರಡನೆಯದರ ಮೊದಲ ಬದ್ಧತೆಯು "ಆಂಡ್ರೆಜ್ ಬಾಯರ್ನ ಕಡತಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ, ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿಯ ಕಡತಗಳಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಅನೇಕ ಆಲೋಚನೆಗಳೊಂದಿಗೆ"). ಒಬರ್ವೋಲ್ಫಾಕ್ ಸಭೆಯಿಂದ ಹೊರಬಂದ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಲುಂಸ್ಡೈನ್, ಶುಲ್ಮನ್, ಬಾಯರ್ ಮತ್ತು ವಾರೆನ್ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರೇರಕ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಮೂಲ ಕಲ್ಪನೆ. ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಪ್ರಮುಖ ಮುಕ್ತ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಸಹ ರೂಪಿಸಿದರು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಏಕರೂಪತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕ್ಯಾನೊನಿಸಿಟಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆಯೇ (ಇನ್ನೂ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ), ಅಸಮಾನತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಪ್ರಮಾಣಿತವಲ್ಲದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ (ಶುಲ್ಮನ್ನಿಂದ ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಉತ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ), ಮತ್ತು (ಅರೆ) ಸರಳವಾದ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು (ಇನ್ನೂ ಎಂ. ಎಲ್. ಟಿ. ಟಿ ಯಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಇದನ್ನು ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿಯ ಹೋಮೊಟೊಪಿ ಟೈಪ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ (ಎಚ್. ಟಿ. ಎಸ್) ನಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು, ಇದು ಎರಡು ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ). ಒಬರ್ವೋಲ್ಫಾಕ್ ಕಾರ್ಯಾಗಾರದ ನಂತರ, ಹೊಮೊಟೊಪಿ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿ ಜಾಲತಾಣ ಮತ್ತು ಬ್ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು, ಮತ್ತು ಈ ವಿಷಯವು ಆ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು. ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಗತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬ್ಲಾಗ್ ಇತಿಹಾಸದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಏಕರೂಪದ ಅಡಿಪಾಯಗಳು "ಏಕರೂಪದ ಅಡಿಪಾಯಗಳು" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಎಲ್ಲರೂ ಒಪ್ಪುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲರೂ ಅದನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮೂಲತಃ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ವೊಯೆವೊಡ್ಸ್ಕಿ ಅವರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಡಿಪಾಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗ್ಗೆ ತಮ್ಮ ದೃಷ್ಟಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಳಸಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮೂಲಭೂತ ವಸ್ತುಗಳು ಏಕರೂಪದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೂಫ್ ಅಸಿಸ್ಟೆಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ವೊವೊಡ್ಸ್ಕಿಯ ಕೆಲಸವು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವ ಇತರ ಸಂಶೋಧಕರ ಸಮುದಾಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಂತೆ, "ಏಕರೂಪದ ಅಡಿಪಾಯಗಳನ್ನು" ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ" ದೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಮತ್ತು ಇತರ ಸಮಯಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅಡಿಪಾಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಾದರಿ-ವರ್ಗೀಯ ಶಬ್ದಾರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಮೆಟಾಥೆರಿಯ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐಎಎಸ್ ವಿಶೇಷ ವರ್ಷದ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧಿಕೃತವಾಗಿ "ಏಕರೂಪದ ಅಡಿಪಾಯಗಳು" ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಅಲ್ಲಿ ಮಾಡಲಾದ ಬಹಳಷ್ಟು ಕೆಲಸಗಳು ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಶಬ್ದಾರ್ಥ ಮತ್ತು ಮೆಟಾಥೆರಿಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿತ್ತು. ಐಎಎಸ್ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದವರು ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಪುಸ್ತಕದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ "ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿಃ ಯುನಿವಲೆಂಟ್ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್"; ಆದಾಗ್ಯೂ ಇದು ಎರಡೂ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಪುಸ್ತಕವು ಎಚ್ಒಟಿಟಿಯನ್ನು ಗಣಿತದ ಅಡಿಪಾಯವಾಗಿ ಮಾತ್ರ ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಸ್ಟಡಿಯ ಸಂಶೋಧಕರು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಸಮಾನ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ವಿಶೇಷ ವರ್ಷವನ್ನು "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಸಮಾನ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ವಿಶೇಷ ವರ್ಷ" ಎಂದು ಆಯೋಜಿಸಿದರು. ಈ ವಿಶೇಷ ವರ್ಷವು ಟೋಪೋಲಜಿ, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ, ವರ್ಗ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತರ್ಕಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಂಶೋಧಕರನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿತು. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಸ್ಟೀವ್ ಅವೊಡೆ, ಥಿಯೆರ್ರಿ ಕೊಕ್ವಾಂಡ್ ಮತ್ತು ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ವೋವೊಡ್ಸ್ಕಿ ಆಯೋಜಿಸಿದ್ದರು. ಕಾರ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ ಪೀಟರ್ ಅಕ್ಸೆಲ್, ಒಂದು ಕಾರ್ಯ ಗುಂಪನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು, ಇದು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಮಾಡುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರಿಗೆ ಹೋಲುವ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ, ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಆದರೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಟೈಪ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿತು. ಆರಂಭಿಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳ ನಂತರ ಇದು ಸಾಧ್ಯ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರಯೋಜನಕಾರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪುಸ್ತಕವನ್ನು (ಎಚ್ಒಟಿಟಿ ಪುಸ್ತಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ) ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಬರೆಯಬೇಕು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು. ಯೋಜನೆಯ ಇತರ ಅನೇಕ ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ನಂತರ ತಾಂತ್ರಿಕ ಬೆಂಬಲ, ಬರವಣಿಗೆ, ಪ್ರೂಫ್ ರೀಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪ್ರಯತ್ನಕ್ಕೆ ಸೇರಿದರು. ಗಣಿತದ ಪಠ್ಯಕ್ಕೆ ಅಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸಹಯೋಗದಿಂದ ಮತ್ತು ಗಿಟ್ಹಬ್ನಲ್ಲಿ ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕ್ರಿಯೇಟಿವ್ ಕಾಮನ್ಸ್ ಪರವಾನಗಿ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬಿಡುಗಡೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಜನರಿಗೆ ಪುಸ್ತಕದ ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಫೋರ್ಕ್ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮುದ್ರಣದಲ್ಲಿ ಖರೀದಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಉಚಿತವಾಗಿ ಡೌನ್ಲೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಿಶೇಷ ವರ್ಷವು ಇಡೀ ವಿಷಯದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ವೇಗವರ್ಧಕವಾಗಿತ್ತು; ಅತ್ಯಂತ ಗೋಚರವಾದರೂ, ಎಚ್ಒಟಿಟಿ ಪುಸ್ತಕವು ಒಂದೇ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿತ್ತು. ವಿಶೇಷ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಅಧಿಕೃತವಾಗಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದವರು ಪೀಟರ್ ಅಕ್ಸೆಲ್ ಬೆನೆಡಿಕ್ಟ್ ಅಹ್ರೆನ್ಸ್ ಥಾರ್ಸ್ಟನ್ ಆಲ್ಟೆನ್ಕಿರ್ಚ್ ಸ್ಟೀವ್ ಅವೊಡೆ ಬ್ರೂನೋ ಬರ್ರಾಸ್ ಆಂಡ್ರೆಜ್ ಬಾಯರ್ ವೈವ್ಸ್ ಬೆರ್ಟೊಟ್ ಮಾರ್ಕ್ ಬೆಜೆಮ್ ಥಿಯೆರ್ರಿ ಕೋಕ್ವಾಂಡ್ ಎರಿಕ್ ಫಿನ್ಸ್ಟರ್ ಡೇನಿಯಲ್ ಗ್ರೇಸನ್ ಹ್ಯೂಗೋ ಹರ್ಬೆಲಿನ್ ಆಂಡ್ರೆ ಜೋಯಲ್ ಡಾನ್ ಲಿಕಾಟಾ ಪೀಟರ್ ಲುಂಸ್ಡೈನ್ ಅಸ್ಸಿಯಾ ಮಹ್ಬೌಬಿ ಪರ್ ಮಾರ್ಟಿನ್-ಲೋಫ್ ಸೆರ್ಗೆ ಮೆಲಿಖೋವ್ ಅಲ್ವಾರೊ ಪೆಲಾಯೋ ಆಂಡ್ರ್ಯೂ ಪೊಲೊನ್ಸ್ಕಿ ಮೈಕೆಲ್ ಶುಲ್ಮನ್ ಮ್ಯಾಥ್ಯೂ ಸೋಜೌ ಸ್ಪಿಟ್ಟರ್ಸ್ ಬೆನ್ನೋ ವ್ಯಾನ್ ಡೆನ್ ಬರ್ಗ್ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿ ಮೈಕೆಲ್ ವಾರೆನ್ ನೊಮ್ ಝೈಲ್ಬರ್ಗರ್ ಎಸಿಎಂ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ರಿವ್ಯೂಸ್ ಈ ಪುಸ್ತಕವನ್ನು "ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ ಆಫ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್" ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 2013 ರ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಕಟಣೆ ಎಂದು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದೆ. ಪ್ರಮುಖ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು "ಪ್ರಪೋಸಿಷನ್ಸ್ ಆಸ್ ಟೈಪ್ಸ್" ಎಚ್ಒಟಿಟಿ ಪ್ರಕಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ "ಪ್ರಪೋಸಿಷನ್ಸ್ ಆಸ್ ಟೈಪ್ಸ್" ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪದಗಳು ನಂತರ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಚ್. ಓ. ಟಿ. ಟಿ. ಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಮಾಣಿತ "ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ" ಭಿನ್ನವಾಗಿ, 'ಕೇವಲ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳು' ವಿಶೇಷ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರಸ್ತಾಪದ ಸಮಾನತೆಯವರೆಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಇವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗಿಂತ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ತಾರ್ಕಿಕ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಪುರಾವೆ-ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿವೆ. ಸಮಾನತೆ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಎಚ್. ಓ. ಟಿ. ಟಿ. ಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರಕಾರವು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮಾರ್ಗಗಳ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ. (ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಪುರಾವೆಯು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೋಗುವ ಮಾರ್ಗದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.) ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರತಿಫಲಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತಲೆಕೆಳಗಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸಬಹುದು. ರೆಸ್ಪ್ ಪ್ರಕಾರದ ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳು. ಇದನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸಬಹುದು, ಇದು ಒಂದು ರೀತಿಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ; ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಪರಿವರ್ತಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಬಹು ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು ಮಾರ್ಗ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಆಸ್ತಿಯ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ "ಸಾಗಿಸಬಹುದು". (ಸಮಾನವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ರೀತಿಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ಒಂದು ರೀತಿಯ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು.) ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಪರ್ಯಾಯ ಆಸ್ತಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಎಚ್. ಓ. ಟಿ. ಟಿ ಮತ್ತು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತದ ನಡುವಿನ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಬರುತ್ತದೆ. ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಮ್ಮೆ ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿರಬಹುದು, ಮತ್ತು ಒಂದು ವಸ್ತುವನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಗಿಸುವುದರಿಂದ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಪರ್ಯಾಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಾಗ, ಯಾವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೇಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಂದು "ಪ್ರತಿಪಾದನೆ" ಯು ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದನೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, ಪ್ರತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪುರಾವೆಯಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.) ಒಂದು ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಕೇವಲ ಒಂದು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಮಾರ್ಗಗಳ ಅಂತರವು ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರಬಹುದು. "ಕೇವಲ ಪ್ರತಿಪಾದನೆ" ಎಂದರೆ ಖಾಲಿ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಕಾರ, ಅಥವಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮಾರ್ಗ ಸ್ಥಳಾವಕಾಶದೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಜನರು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಆ ಮೂಲಕ ಸೂಚ್ಯ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತಾರೆ. ಗುರುತಿನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ. ಎರಡು ವಿಧಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವುಗಳ ನಡುವೆ ಸಮಾನತೆ ಇದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮಾನತೆಯು ಎಡ ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ಬಲ ವಿಲೋಮ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಎರಡೂ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆಃ ಅಂದರೆ. ಇದು ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು "ಎಡ ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ಬಲ ವಿಲೋಮ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ" ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಇನ್ವರ್ಟಿಬಿಲಿಟಿ ಷರತ್ತುಗಳು ಫಂಕ್ಷನ್ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಇವು ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ಕೋಡೊಮೈನ್ನಲ್ಲಿನ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇನ್ವರ್ಟಿಬಿಲಿಟಿಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕಾರಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧತೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಊಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತುಃ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು, ಪ್ರಕಾರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅವು ಸಮಾನತೆಗಳೆಂಬುದರ ಪುರಾವೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನಂತೆ ಸಮಾನತೆಗಳಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಹಾದಿಗಳನ್ನು ತಿರುಗಿಸಲು ಒಂದು ಅಂಗೀಕೃತ ಮಾರ್ಗವಿದೆ ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪ್ರಕಾರಗಳು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಪ್ರಕಾರದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ವತಃ ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಮಾನತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು "ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗುರುತು ಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, 'ಸಮಾನ ಪ್ರಕಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ' ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಹೇಳಬಹುದು. ಏಕರೂಪತೆಯ ಗುಣವು ಮಾರ್ಟಿನ್-ಲೋಫ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ (ಎಂ. ಎಲ್. ಟಿ. ಟಿ) ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಮಾರ್ಟಿನ್ ಹೋಟ್ಜೆಲ್ ಎಸ್ಕಾರ್ಡೋ ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ವಕೀಲರು, ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೂಫ್ ಸಹಾಯಕರಿಗಾಗಿ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗೆ ಅನುವಾದಿಸಲು ಎಚ್ಒಟಿಟಿ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಿಗೆ ಕಠಿಣ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಹಕ್ಕುಗಳನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅನೇಕ ಸಂಶೋಧನಾ ಪ್ರಯತ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ ಸಹಾಯಕರು ಎಚ್ಓಟಿಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದಿಲ್ಲ. ತಾರ್ಕಿಕ-ಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸುವ ಏಕರೂಪದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಎಚ್. ಓ. ಟಿ. ಟಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. "a = b" ನಂತಹ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗಣಿತದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಎರಡು ಆಕಾರಗಳು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು, ಇ. ಟಿ. ಎಚ್. ಜ್ಯೂರಿಚ್ ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಥಿಯೊರೆಟಿಕಲ್ ಸ್ಟಡೀಸ್ ನಿರ್ದೇಶಕ ಜಿಯೋವನ್ನಿ ಫೆಲ್ಡರ್ ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ, ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಗ್ರವಾಗಿದೆಃ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತವು "ಎ ಈಕ್ವಲ್ಸ್ ಬಿ" ಏಕೆ ಎಂದು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಗಣಿತದ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳನ್ನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆಗಳಿಗೆ ಅನುವಾದಿಸುವುದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಕೀಲರು ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ 2015 ರ ಹೊತ್ತಿಗೆ, ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪತೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ತೀವ್ರವಾದ ಸಂಶೋಧನಾ ಕಾರ್ಯವು ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ. ಕ್ಯೂಬಿಕಲ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವಿಷಯವನ್ನು ನೀಡುವ ಒಂದು ಪ್ರಯತ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅರೆ-ಸರಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಂತಹ ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾದ ಸಮಾನತೆಯ ಕೆಲವು ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸದೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿವಿಧ ಎರಡು-ಹಂತದ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಫೈಬ್ರಂಟ್ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಗೌರವಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲದ ಫೈಬ್ರೆಂಟ್ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಕ್ಯೂಬಿಕಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮೊದಲ ಎರಡು-ಹಂತದ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಕ್ಯಾಲಿಕ್ಯುಲಸ್ ಆಫ್ ಕನ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಷನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಕರಿ-ಹೋವರ್ಡ್ ಕರಸ್ಪಾಂಡೆನ್ಸ್ ಇಂಟ್ಯೂಷನಿಸ್ಟಿಕ್ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ ಯುನಿವೆಲೆಂಟ್ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ನೋಟ್ಸ್ ರೆಫೆರೆನ್ಸ್ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ (ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಗಿಟ್ಹಬ್ ಆವೃತ್ತಿ). ಪಿಡಿಎಫ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ. ಪೋಸ್ಟ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ನಂತೆ. ಡೇವಿಡ್ ಕಾರ್ಫೀಲ್ಡ್ (2020), ಮಾಡಲ್ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿಃ ದಿ ಪ್ರಾಸ್ಪೆಕ್ಟ್ ಆಫ್ ಎ ನ್ಯೂ ಲಾಜಿಕ್ ಫಾರ್ ಫಿಲಾಸಫಿ, ಆಕ್ಸ್ಫರ್ಡ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್. ಎಗ್ಬರ್ಟ್ ರಿಜ್ಕೆ (2022), ಇಂಟ್ರೊಡಕ್ಷನ್ ಟು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಟೈಪ್ ಥಿಯರಿ,. ಪರಿಚಯಾತ್ಮಕ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ವಿಕಿ ವ್ಲಾಡಿಮಿರ್ ವೋವೋಡ್ಸ್ಕಿಯ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಅಡಿಪಾಯಗಳ ಕುರಿತಾದ ವೆಬ್ಪುಟ ಸ್ಟೀವ್ ಅವೋಡೆಯವರು ಬರೆದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಅಡಿಪಾಯಗಳು "ರಚನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಟೋಪಿ"-ಇನ್ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಟ್ ಫಾರ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸ್ಡ್ ಸ್ಟಡಿ ಲೈಬ್ರರೀಸ್ ಆಫ್ ಫಾರ್ಮಲೈಸ್ಡ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸ್ಟೀವ್ ಅವೋಡಿಯವರ ವೀಡಿಯೊ ಉಪನ್ಯಾಸ (ಈಗ ಯುನಿಮ್ಯಾಥ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ನಡೆಯುತ್ತದೆ) ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫೌಂಡೇಶನ್ಸ್ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಫಾರ್ಮಲ್ ವಿಧಾನಗಳು ವೀಡಿಯೊ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಲೇಖನಗಳು