Ross–Fahroo lemma
ಐ. ಮೈಕೆಲ್ ರಾಸ್ ಮತ್ತು ಎಫ್. ಫಹ್ರೂ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾದ ರಾಸ್-ಫಹ್ರೂ ಲೆಮ್ಮಾವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆ ಮತ್ತು ವಿವೇಚನಾಧಿಕಾರವು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಿನಿಮಯಶೀಲವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕೋವೆಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ತತ್ವವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತನೀಯವಾಗಿಸಬಹುದು. ಸಿದ್ಧಾಂತದ ವಿವರಣೆ ನಿರಂತರ-ಸಮಯದ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮಾಹಿತಿಯಿಂದ ಸಮೃದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಪಾಂಟ್ರಿಯಾಗಿನ್ರ ಕನಿಷ್ಠ ತತ್ವ ಅಥವಾ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಜಾಕೋಬಿ-ಬೆಲ್ಮನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ತಮ್ಮ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ವಿವೇಚಿಸಿದಾಗ, ಮಾಹಿತಿಯ ಮೂಲಭೂತ ನಷ್ಟವಿದೆ ಎಂದು ರಾಸ್-ಫಹ್ರೂ ಲೆಮ್ಮಾ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾಹಿತಿಯ ಈ ನಷ್ಟವು ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ನಿಯಂತ್ರಣದ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸಮಯದ ದಿಗಂತದಲ್ಲಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ನ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಡ್ಯುಯಲ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಪ್ರೈಮಲ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಮಾಹಿತಿಯ ನಷ್ಟವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ರಾಸ್ ಮತ್ತು ಫಹ್ರೂ ಮುಚ್ಚುವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಇದು ತಿಳಿದಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯ ನಷ್ಟವನ್ನು ಮತ್ತೆ ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕೋವೆಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ತತ್ವದ ಅನ್ವಯದಿಂದ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೂಡೊಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಆಪ್ಟಿಮಲ್ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಗಳು ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯಂತ್ರಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿವೇಚಿಸಲು ಸೂಡೊಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ರಾಸ್-ಫಹ್ರೂ ಲೆಮ್ಮಾದ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕೋವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವರ್ಗಾವಣೆಯಿಂದ ವಿವೇಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಕೋವೆಕ್ಟರ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ತತ್ವವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ಅದು ಪಕ್ಕದ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸರಿಯಾದ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರದ ಅನ್ವಯವು ರಾಸ್-ಫಹ್ರೂ ಸೂಡೋಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ರಾಸ್ ಅವರ π ಲೆಮ್ಮಾ ರಾಸ್-ಫಹ್ರೂ ಸೂಡೋಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಧಾನಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.