Compound of three octahedra
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳು ಅಥವಾ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾನ್ 3-ಸಂಯುಕ್ತಗಳ ಸಂಯುಕ್ತವು ಮೂರು ನಿಯಮಿತ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಆದರೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತಿರುಗುತ್ತವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದರೂ, ಇದನ್ನು ಎಂ. ಸಿ. ಎಸ್ಚರ್ ಅವರು ಮರುಶೋಧಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಜನಪ್ರಿಯಗೊಳಿಸಿದರು, ಅವರು ಇದನ್ನು ತಮ್ಮ 1948 ರ ಮರಗೆಲಸ ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಕೇಂದ್ರ ಚಿತ್ರಣದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದರು. ಘನದ ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಚೌಕಗಳ ಎಂಟು ಅಂಚುಗಳು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಂಟು ಮುಖಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಘನದ ಸುತ್ತ ನಿಯಮಿತ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿಯಬಹುದು. ಮೂರು ಜೋಡಿ ವಿರುದ್ಧ ಘನ ಚೌಕಗಳಿಂದ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳು ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳ ಸಂಯುಕ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಎಂಟು ಘನ ಶೃಂಗಗಳು ಮೂರು ಅಂಚುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ದಾಟುವ ಸಂಯುಕ್ತದಲ್ಲಿನ ಎಂಟು ಬಿಂದುಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ. ಈ ತ್ರಿವಳಿ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಅಂಚುಗಳನ್ನು 1: ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್ನಿಂದ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉಳಿದ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಅಂಚುಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ, ಸಂಯುಕ್ತದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ; ಅವುಗಳ ದಾಟುವಿಕೆಗಳು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆರಂಭಿಕ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂರು ಸಮ್ಮಿತಿ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಸುತ್ತಲೂ ಪ್ರತಿ ಪ್ರತಿಯನ್ನು/4 ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದೇ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ನ ಮೂರು ಪ್ರತಿಗಳಿಂದ ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದ ಸಂಯುಕ್ತವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದ ಒಂದೇ ಸಂಯುಕ್ತದ ಮೂರನೇ ರಚನೆಯು ಮೂರು ಘನಗಳ ಸಂಯುಕ್ತದ ಡ್ಯುಯಲ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಇದು ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಸಂಯುಕ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಅಷ್ಟಭುಜಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಆರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಬಹುದು ಮತ್ತು. ಇತರ ಎರಡು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು x ಅಥವಾ y ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಕ್ಕೆ z ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಈ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಮಮಿತಿಗಳು ಮೂರು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಂಯುಕ್ತವು ಒಂದೇ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಮಮಿತಿ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಡೆಲ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿದೆ, ಇದರರ್ಥ ಅದರ ಮುಖಗಳು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಇದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖವನ್ನು ಇತರ ಮುಖಗಳಿಗೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುವ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಡೆಲ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದ ಒಂದು ಅನಂತ ಕುಟುಂಬವಿದೆ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ 36 ಈ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸೇರುವುದಿಲ್ಲ; ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದ ಸಂಯುಕ್ತವು 36 ವಿರಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿ ಗುಂಪು ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ಪ್ರತಿ ಇತರ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸ್ವತಃ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಸಂಯುಕ್ತವಲ್ಲ. ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳ ಛೇದಕವು 14 ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು 24 ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿದ್ದು, ಕೇಂದ್ರ ಘನದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖಕ್ಕೂ ಕಡಿಮೆ ಚದರ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ಟೆಟ್ರಾಕಿಸ್ ಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರಾನ್ ಆಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂಯುಕ್ತವನ್ನು ಟೆಟ್ರಾಕಿಸ್ ಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರಾನ್ನ ಸಮೂಹವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಕ್ಯೂಬ್ನ ಪ್ರತಿ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಎತ್ತರದ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಟೆಟ್ರಾಕಿಸ್ ಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರಾನ್ನ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪವು ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲದ ಆದರೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನ ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು ಅದು ಮತ್ತೆ ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದ ಮುಖಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಮತಲಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ; ಇದು ತಿಳಿದಿರುವ ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಡೆಲ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಮುಖ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂರನೇ ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಡೆಲ್ಟಾಹೆಡ್ರನ್, ಆರು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾದ ಸಂಯುಕ್ತವನ್ನು ಮೂರು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಂಯುಕ್ತದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖವನ್ನು ಮೂರು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಕ್ಟಾಂಗ್ಯುಲಾಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಬಹುದು. ಒಂದೇ ಮುಖ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಾಲ್ಕನೇ ಐಸೊಹೆಡ್ರಲ್ ಡೆಲ್ಟಾ ಹೆಡ್ರನ್, ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳ ಸಂಯುಕ್ತದ ಕೂಟವೂ ಸಹ, ಟೆಟ್ರಾಕಿಸ್ ಹೆಕ್ಸಾಹೆಡ್ರನ್ನಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಂಯೋಜಿತ ರಚನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದರೆ ಕ್ಯೂಬ್ ಮುಖಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳನ್ನು ಕ್ಯೂಬ್ನ ಹೊರಭಾಗಕ್ಕೆ ಜೋಡಿಸುವ ಬದಲು ಛೇದಿಸುವ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳಾಗಿ ಒಳಮುಖವಾಗಿ ಡೆಂಟ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳನ್ನು ಸುತ್ತುವರಿಯಬಹುದಾದ ಕ್ಯೂಬ್ ಒಂಬತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಸಮತಲಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಮೂರು ಪ್ರತಿಫಲನ ಫಲಕಗಳು ಘನದ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ, ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ನಡುವೆ ಅರ್ಧದಾರಿಯಲ್ಲೇ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ; ಇತರ ಆರು ಘನವು ಅದರ ನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಈ ಒಂಬತ್ತು ಸಮತಲಗಳು ಮೂರು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಂಬತ್ತು ಸಮಭಾಜಕ ಸಮತಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಪಿಯೆರೊ ಡೆಲ್ಲಾ ಫ್ರಾನ್ಸೆಸ್ಕಾ ಬರೆದ 15ನೇ ಶತಮಾನದ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಯಾದ ಡಿ ಕ್ವಿನ್ಕೆ ಕಾರ್ಪೋರಿಬಸ್ ರೆಗ್ಯುಲರಿಬಸ್ನಲ್ಲಿ, ಡೆಲ್ಲಾ ಫ್ರಾನ್ಸೆಸ್ಕಾ ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಘನದ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವರಿದ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಂಟು ಮುಖಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಟು ಘನ ಅಂಚುಗಳಿವೆ. ಒಂದೇ ಘನದ ಸುತ್ತಲೂ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ಮೂರು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯು ಮೂರು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಂಯುಕ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಡೆಲ್ಲಾ ಫ್ರಾನ್ಸೆಸ್ಕಾ ಈ ಸಂಯುಕ್ತವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಂಯುಕ್ತದ ಮುಂದಿನ ನೋಟವು ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಬ್ರೂಕ್ನರ್ ಅವರ 1900 ರ ಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಇದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮಾದರಿಯ ಛಾಯಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಡಚ್ ಕಲಾವಿದ ಎಂ. ಸಿ. ಎಸ್ಚರ್, ತನ್ನ 1948 ರ ಮರಗೆಲಸ ಸ್ಟಾರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಊಸರವಳ್ಳಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ತೇಲುತ್ತಿರುವ ಈ ಆಕಾರದ ಪಂಜರವನ್ನು ಮರಗೆಲಸ ಮಾಡುವ ಕೇಂದ್ರ ವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ. ಎಸ್ಚರ್ ಈ ಆಕಾರವನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮರುಶೋಧಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ ಎಚ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್, "ಎಸ್ಚರ್, ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಜ್ಞಾನವಿಲ್ಲದೆ, ಈ ಹೆಚ್ಚು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಮರುಶೋಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿದೆ" ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜಾರ್ಜ್ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಹಾರ್ಟ್ ಅವರು ಎಸ್ಚರ್ ಅವರು ಬ್ರೂಕ್ನರ್ ಅವರ ಕೆಲಸದ ಬಗ್ಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಅವರು ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಅನೇಕ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಾ ಮತ್ತು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಯುಕ್ತಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ದಾಖಲಿಸಿದ್ದಾರೆ. 1948 ರ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಎಸ್ಚರ್ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಥೀಮ್, ಸ್ಟಡಿ ಫಾರ್ ಸ್ಟಾರ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮರಗೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದರು, ಆದರೆ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದ ಸಂಯುಕ್ತವನ್ನು ಬಳಸುವ ಬದಲು ಅವರು ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಆದರೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಆಕಾರವನ್ನು ಬಳಸಿದರು, ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ರೋಂಬಿಕ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಎಸ್ಚರ್ಸ್ ಸಾಲಿಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ), ಇದನ್ನು ಮೂರು ಚಪ್ಪಟೆಯಾದ ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದ ಸಂಯುಕ್ತವಾಗಿ ರಚಿಸಬಹುದು. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ನ ಈ ರೂಪವು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಡಿಸ್ಡ್ಯಾಕಿಸ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ರೋಂಬಿಕ್ ಮುಖಗಳ ಮೇಲೆ ಚಿಕ್ಕ ಪಿರಮಿಡ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ರೋಂಬಿಕ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು. ಮೂರು ಘನಗಳ ಸಂಯುಕ್ತವಾದ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಂಯುಕ್ತದ ಉಭಯ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ನಂತರದ ಎಸ್ಚರ್ ಮರಗೆಲಸವಾದ ಜಲಪಾತದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಸ್ಟೆಲ್ಲೇಟೆಡ್ ರೋಂಬಿಕ್ ಡೋಡೆಕಾಹೆಡ್ರನ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಂಯುಕ್ತವು ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ ಮತ್ತು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸಿದ ಕೃತಿಯೊಂದಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಹಿತ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಿಯಾಗಿ ಮರು-ಪ್ರವೇಶಿಸಿತು. ಇದನ್ನು ಮತ್ತು ಅವರು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಮೂರು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾದ ಇತರ ಸಂಯುಕ್ತಗಳು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳಾಗಿ ನೋಡಿದಾಗ, ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ಗಳ ಮತ್ತೊಂದು ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಟಿಕ್ ಸಂಯುಕ್ತವು ಡಿ3ಡಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಕ್ರಮ 12. ಪ್ರತಿ ಆಂಟಿಪ್ರಿಸಮ್ ಅನ್ನು 40 ಡಿಗ್ರಿಗಳಷ್ಟು ತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಸಮತಲಗಳು ಸಂಯುಕ್ತ ಎನ್ನೇಗ್ರಾಮ್, {9/3} ಅಥವಾ 3 {3} ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ನಾಲ್ಕು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳ ಸಂಯುಕ್ತ ಐದು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಹತ್ತು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಇಪ್ಪತ್ತು ಆಕ್ಟಾಹೆಡ್ರಾಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಯುಕ್ತಗಳು