Smooth completion
ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಮೃದುವಾದ ಅಫೈನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ (X) ನಯವಾದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು (ಅಥವಾ ನಯವಾದ ಸಂಕೋಚನ) X ಅನ್ನು ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ನಯವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ನಯವಾದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಹೈಪರ್ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಫೈನ್ ರೂಪವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು () ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ 5 ಡಿಗ್ರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು. ಸೇರಿಸಲಾದ ಅನನ್ಯ ಅನಂತ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅಫೈನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಜಾರಿಸ್ಕಿ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯು ಏಕವಚನವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಫೈನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರ ಸ್ಮೂತ್ ಕಂಪ್ಲೀಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹುದುಗಿಸಬಹುದು. ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವು ಸಮ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅನಂತದಲ್ಲಿನ ಏಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ 2 ರಿಂದ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 1 ರಿಂದ 1 (ಆದರೆ ವಿಂಗಡಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸುಗಮ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಎಕ್ಸ್-ಕೋಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಬಳಸಿ ಅಫೈನ್ ರೇಖೆಗೆ ಅಫೈನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಯೋಜಿಸಿ. ಅಫೈನ್ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೇಖೆಯೊಳಗೆ ಹುದುಗಿಸಿ, ನಂತರ ಅಫೈನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ g ಎಂಬುದು ನಯವಾದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯ ಕುಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು r ಎಂಬುದು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣ 0 ರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮುಚ್ಚಿದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ, r> 0 ಆಗಿದ್ದರೆ X ನ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಜನರೇಟರ್ಗಳಿಂದ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. (ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ನ ಏಕಮಾನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾದೃಶ್ಯ) X ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ನಯವಾದ ಸಂಪರ್ಕಿತ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ X ಮೇಲೆ ನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ O (X) ಉಂಗುರದ ಘಟಕಗಳು r-1 ಶ್ರೇಣಿಯ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ನಿರ್ಮಾಣ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಯಾವುದೇ ಅಫೈನ್ ವಕ್ರರೇಖೆ X ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ (ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ) ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು (ಅಥವಾ ಏಕತ್ವಗಳನ್ನು ಸ್ಫೋಟಿಸುವುದು) ನಂತರ X ಅನ್ನು ಸುಗಮವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಅಂಕಗಳು ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ಮಾಣದ ಮೂಲಕ, ನಯವಾದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಒಂದು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ದಟ್ಟವಾದ ತೆರೆದ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸೇರಿಸಲಾದ ಹೊಸ ಬಿಂದುಗಳು ನಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ (ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್) ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಯವಾದ ಅಫೈನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಸುಗಮ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ನಾವು ನಿಯಮಿತವಾದ ಅಫೈನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರೆ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಯಮಿತವಾದ ಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ (ನಯವಾದ ಪ್ರಭೇದಗಳು ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತವೆ). ನಿಯಮಿತವಾದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತತೆಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನದ ಮಾನದಂಡದಿಂದ, ಅಫೈನ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಫಿಸಂ ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. X ಒಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾಗಟದ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವು X ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ X ನಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರವು 0 ಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಹಿರೋನಾಕದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ X ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ನಯವಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ವೈವಿಧ್ಯದ ಮುಕ್ತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಬಹುದು, ಗಡಿಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ದಾಟುವ ಭಾಜಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. X ಅರೆ-ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸುಗಮವಾದ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸುಗಮ ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಅನನ್ಯತೆ ಇಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಅದು ಅಂಗೀಕೃತವೂ ಅಲ್ಲ. ಹೈಪೆರೇಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕರ್ವ್ ಬೊಲ್ಜಾ ಮೇಲ್ಮೈ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಗ್ರಂಥಸೂಚಿಗಳನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ (ಅಧ್ಯಾಯ 4 ನೋಡಿ). ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ತರುತ್ತಾನೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಬೈರೇಷನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ