Witten conjecture
ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ವಿಟ್ಟೆನ್ ಊಹೆಯು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ವರ್ಗಗಳ ಛೇದಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಊಹೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಎಡ್ವರ್ಡ್ ವಿಟ್ಟೆನ್ ಕಾಗದದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ವಿಟನ್ರ ಮೂಲ ಊಹೆಯನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮ್ ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ ಅವರು ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಕ್ವಾಂಟಮ್ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಮಾದರಿಗಳು ಒಂದೇ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬುದು ಊಹೆಗೆ ವಿಟನ್ರ ಪ್ರೇರಣೆಯಾಗಿತ್ತು. ಈ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ನಲ್ಲಿನ ಛೇದಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದರ ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯವು ಕೆಡಿವಿ ಕ್ರಮಾನುಗತದ τ-ಕಾರ್ಯದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ವಿಭಜನಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದರಿಂದ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆ ಕೆಡಿವಿ ಕ್ರಮಾನುಗತದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬ ವಿಟನ್ರ ಊಹೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎಂಜಿ, ಎನ್ ಎಂಬುದು ಜಿ ಕುಲದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಟ್ಯಾಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ಎನ್ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗುರುತು ಬಿಂದುಗಳಾದ x1,., xn, ಮತ್ತು g, n ಅದರ ಡೆಲಿಗ್ನೇ-ಮಮ್ಫೋರ್ಡ್ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಜಿ, ಎನ್ ಮೇಲೆ ಎನ್ ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ಗಳು ಲಿ ಇವೆ, ಅವುಗಳ ಫೈಬರ್ ಅನ್ನು ಮಾಡುಲಿ ಸ್ಟಾಕ್ನ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕೋಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಜಾಗದಿಂದ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದು xi ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ θτd1,., τdn′ ಎಂಬುದು g, n ಮೇಲೆ Πc1 (Li) ಡಯ ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್ ಸೂಚ್ಯಂಕವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ σdi = ಡಿಮ್ಗ್, n = 3g-3 + n, ಮತ್ತು ಅಂತಹ g ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ 0, ಅಲ್ಲಿ c1 ಲೈನ್ ಬಂಡಲ್ನ ಮೊದಲ ಚೆರ್ನ್ ವರ್ಗವಾಗಿದೆ. ವಿಟ್ಟೆನ್ನ ಉತ್ಪಾದಕ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಛೇದಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳನ್ನು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿ ಸಂಕೇತಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಜನಾ ಕಾರ್ಯ Z = exp F ಎಂಬುದು KdV ಕ್ರಮಾನುಗತಕ್ಕೆ ಒಂದು τ-ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ವಿಟ್ಟೆನ್ರ ಊಹೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಇದು ವಿರಾಸೊರೊ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರೂಫ್ ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ ರಿಬ್ಬನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡ್ಯುಲಿ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಂಯೋಜಿತ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಇಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಮೊತ್ತವು ಸೆಟ್ ಜಿಜಿ, ಎನ್ ರಿಬ್ಬನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಎಕ್ಸ್ನ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಎನ್ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಚುಗಳ ಗುಂಪು e ಮತ್ತು X ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು X0 ಮತ್ತು X1 ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. λ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನಿಜವಾದವರೆಗೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಚಿನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡು ಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ λ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಅಂಚಿನ λ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಿಬ್ಬನ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ತಂತ್ರಗಳಿಂದ, ಇದು ಸೂಚಿಸುವುದೇನೆಂದರೆ, F (t0,.) ಎಂಬುದು λ ಅನಂತಕ್ಕೆ ನೀಡುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ λ ಮತ್ತು χಗಳು N ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಂದ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿಶ್ಚಿತವಾದ N ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ti ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ μ ಅನ್ನು cλ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿರುವುದರ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಅಳತೆಯು ಫೇನ್ಮನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ರಿಬ್ಬನ್ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಫ್ ಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಗುಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರಿಂದ ಆತ ಕೆಡಿವಿ ಕ್ರಮಾನುಗತಕ್ಕೆ ಎಕ್ಸ್ ಎಫ್ ಒಂದು τ-ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರು, ಹೀಗಾಗಿ ವಿಟ್ಟೆನ್ರ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ವಿಟ್ಟೆನ್ ಊಹೆಯು ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ ಪಿಡಿಇಗಳ ಸಮಗ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು 2ಡಿ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ಕೆಲವು ಕುಟುಂಬಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ನಡುವಿನ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಬಂಧದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ (ಕಾಂಟ್ಸೆವಿಚ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾನಿನ್ ಅವರು ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂಸಿದ್ಧ), ಇದನ್ನು ಬಿ. ಡುಬ್ರೊವಿನ್ ಮತ್ತು ವೈ. ಜಾಂಗ್, ಎ. ಗಿವೆಂಟಲ್, ಸಿ. ಟೆಲಿಮ್ಯಾನ್ ಮತ್ತು ಇತರರು ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ಅನ್ವೇಷಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ವಿರಾಸೊರೊ ಊಹೆಯು ವಿಟ್ಟೆನ್ ಊಹೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಮಾಡ್ಯೂಲಿ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯು ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಊಹೆಗಳು