1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಯೂಲರ್ ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸಿದ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಪವರ್ತನೀಯಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೂ, ಇದನ್ನು ಬೋರೆಲ್ ಸಂಕಲನದಿಂದ ಸರಿಸುಮಾರು 0.596347 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದು. ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಬೋರೆಲ್ ಸಂಕಲನ ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಯೂಲರ್ ಪರಿಗಣಿಸಿದರು, ಅವರು ಸರಣಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಲು ಸಂಕಲನ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುವ ಅಥವಾ ಕಳೆಯಲಾಗುವ ಅಪವರ್ತನೀಯ ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಭಿನ್ನ ಸರಣಿಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಬೋರೆಲ್ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು, ಅಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣವನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ (ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ), ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆಃ ಚದರ ಆವರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಕಲನವು ಯಾವಾಗ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಆ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಕ್ಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖ ಅವಿಭಾಜ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ E1 (z) ಘಾತೀಯ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಸರಣಿಯ ಬೋರೆಲ್ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುಗಳು t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯುಗ್ಮ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸ್ಥಿರ ಸಮತೋಲನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಹಾರವು t → φ ನಲ್ಲಿ y (t) = ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಔಪಚಾರಿಕ ಸರಣಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯನ್ನು x (t) ಗೆ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಮರುಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕ ಸರಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎರಡೂ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿವರಿಸುವುದರಿಂದ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಯೂಲರ್ ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ (ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ).