Holomorphic Embedding Load-flow method
ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ ವಿಧಾನವು (ಎಚ್ಇಎಲ್ಎಂ) ವಿದ್ಯುತ್ ಶಕ್ತಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯುತ್-ಹರಿವಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದರೆ, ಇದು ನೇರವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಪುನರಾವರ್ತಿತವಲ್ಲದ) ಮತ್ತು ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹುಮೂಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸರಿಯಾದ ಕಾರ್ಯಕಾರಿ ಶಾಖೆಯ ಸ್ಥಿರವಾದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಕುಸಿತದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಆಫ್-ಲೈನ್ ಮತ್ತು ನೈಜ-ಸಮಯದ ಅನ್ವಯಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ (ಅವುಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದಾಗಿ) ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಹೊಸ ರೀತಿಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುವುದರಿಂದಲೂ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿವೆ. ನೈಜ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಕ್ರಿಯಾ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ನಿರ್ಧಾರ-ಬೆಂಬಲ ಸಾಧನಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎಚ್ಇಎಲ್ಎಂ ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಆಂಟೋನಿಯೊ ಟ್ರೈಯಾಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು ಮತ್ತು ಎರಡು ಯು. ಎಸ್ ಪೇಟೆಂಟ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು 2012ರ ಐ. ಇ. ಇ. ಇ. ಪಿ. ಇ. ಎಸ್. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಭೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ತರುವಾಯ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ವಿಧಾನವು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಸಿಟಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮುಂದುವರಿದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಸರಳವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಪಾಡೆ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಗಣನೆಯ ಸೀಮಿತ ಭಾಗವು ಅಡ್ಮಿಟನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯು ಸ್ಥಾಪಿತವಾದ ವೇಗದ-ಡೀಕಪಲ್ಡ್ ಲೋಡ್ಫ್ಲೋಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಕೈಗಾರಿಕಾ-ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ನೈಜ-ಸಮಯ ಮತ್ತು ಆಫ್-ಲೈನ್ ಪ್ಯಾಕೇಜ್ ಮಾಡಲಾದ ಇಎಂಎಸ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹಿನ್ನೆಲೆ ವಿದ್ಯುತ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿದ್ಯುತ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಮತ್ತು ನಿರ್ವಹಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಸಾಧನಗಳಿಗೆ ಇದು ಮೂಲಾಧಾರವಾಗಿದೆ. ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ (ಸಂಕೀರ್ಣ) ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಅಡ್ಮಿಟೆನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಬಸ್ ಷಂಟ್ ಅಡ್ಮಿಟೆನ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ-ವಿದ್ಯುತ್ ಲೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು ಜನರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬಸ್ ಪವರ್ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳಾಗಿವೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಈ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಮೂರು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ತಂತ್ರಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತುಃ ಗೌಸ್-ಸೀಡೆಲ್ ವಿಧಾನ, ಇದು ಕಳಪೆ ಒಮ್ಮುಖದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಆದರೆ ಕಡಿಮೆ ಮೆಮೊರಿ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಸರಳವಾಗಿದೆ; ವೇಗದ (ಚತುರ್ಭುಜ) ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಒಮ್ಮುಖದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪೂರ್ಣ ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ವಿಧಾನ, ಆದರೆ ಇದು ಗಣನೆಗೆ ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆ; ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಫಾಸ್ಟ್ ಡಿಕಪಲ್ಡ್ ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ (ಎಫ್ಡಿಎಲ್ಎಫ್) ವಿಧಾನ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಸರಣ ಜಾಲಗಳಲ್ಲಿ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುವ ಡಿಕಪ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು ಮೂಲಕ ಅದರ ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅನೇಕ ಇತರ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸುಧಾರಣೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅವೆಲ್ಲದರಲ್ಲೂ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ತಂತ್ರವು ಇನ್ನೂ ಗಾಸ್-ಸೀಡೆಲ್ ಅಥವಾ ನ್ಯೂಟನ್ ಪ್ರಕಾರದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪರಿಹಾರಕವಾಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಯೋಜನೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಒಂದೆಡೆ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಗ್ಯಾರಂಟಿ ಇಲ್ಲ; ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಯಾವ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಿದ್ಯುತ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಕುಸಿತದ ಹಂತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ನಕಲಿ ದ್ರಾವಣಗಳು ಸರಿಯಾದ ದ್ರಾವಣಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳ ವಿದ್ಯಮಾನದಿಂದಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಯೋಜನೆಯು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ಆಕರ್ಷಿತವಾಗಬಹುದುಃ ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ, ವಿವಿಧ ದ್ರಾವಣಗಳಿಗೆ ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ (ಬೀಜ) ಆಯ್ದ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುವು ಸರಿಯಾದ ದ್ರಾವಣಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ಬೇರೆ ದ್ರಾವಣಕ್ಕೆ ದಾರಿ ತಪ್ಪುವ ಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅವಕಾಶ ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ. ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಲೋಡ್ ಫ್ಲೋಗಳ ಈ ಮೂಲಭೂತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಮಟ್ಟಿಗೆ ನಿವಾರಿಸುವ ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಮುಂದುವರಿಕೆ ತಂತ್ರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ಆಕರ್ಷಣೆಯ ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಸ್ವರೂಪವು ಎಲ್ಲಾ ವಿದ್ಯುತ್ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಿಗೆ 100% ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ವಿಧಾನವನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಎಚ್ಇಎಲ್ಎಂನ ಪ್ರಮುಖ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮತ್ತು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿದೆಃ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಯಾವಾಗಲೂ ಸರಿಯಾದ ಕಾರ್ಯಕಾರಿ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ (ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಕುಸಿತ) ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚದ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಧಾನವು ಎಫ್ಡಿಎನ್ಆರ್ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಇದು ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಘನವಾದ ಗಣಿತದ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ತರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಿಂದೆ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲದ ಹೊಸ ಒಳನೋಟಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಗಳು ಎಚ್ಇಎಲ್ಎಂ ಕಠಿಣವಾದ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಬಹುದುಃ ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿಯತಾಂಕದ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ (ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್) ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಅಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಒಬ್ಬರಿಗೆ ಮೂಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ವೋಲ್ಟೇಜ್ಗಳಿಗೆ ಯುನಿವೊಕಲಿ ಪವರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಈಗ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯಿಂದ ಸರಿಯಾದ ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಕುಸಿತ). ಎಚ್ಇಎಲ್ಎಂ ಎಲ್ಲಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ ವಿಧಾನಗಳ ದೀರ್ಘಕಾಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಸರಿಯಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ (ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರ). ಇದು ಎಚ್ಇಎಲ್ಎಂ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನೈಜ-ಸಮಯದ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಕಸ್ಮಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಂತಹ ಪರಿಶೋಧನಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಇಎಂಎಸ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ಗೆ ಕಡ್ಡಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಚ್ಚರಿಕೆ ಮತ್ತು ತುರ್ತು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಮಿತಿಗಳ ಉಲ್ಲಂಘನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾ ಯೋಜನೆಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನವನ್ನು ಒದಗಿಸುವ ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಚರ್ಚೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ನಾವು ನಿಯಂತ್ರಣಗಳ ಚಿಕಿತ್ಸೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಈ ವಿಧಾನವು ಎಲ್ಲಾ ರೀತಿಯ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳಿಗೆ ಅವಕಾಶ ಕಲ್ಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯಂತ್ರಣಗಳಿಂದ ವಿಧಿಸಲಾದ ನಿರ್ಬಂಧದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು. ಈ ವಿಧಾನವು ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೂಲಕ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನದಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಘಟಕಾಂಶವೆಂದರೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಬೇಕೆಂಬುದು, ಅಂದರೆ, ವೋಲ್ಟೇಜ್ಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ. ಹೊಸ ಸಂಕೀರ್ಣ ಚಲಪರಿಮಾಣದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ). ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುವುದು ಇದರ ಗುರಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಅಟ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು () ನೋಡಿದಾಗ, ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಅದನ್ನು ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ನ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವು ಸ್ವತಃ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗೆ, ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಗಣನೆಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಈ ರೀತಿಯ ಒಳಸೇರಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಆಯ್ಕೆಯೊಂದಿಗೆ, ಬಲಭಾಗದ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ, (ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ), ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದುಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮತ್ತು ಸರಳ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಎಲ್ಲಾ ವೋಲ್ಟೇಜ್ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಹರಿವಿನ ತೀವ್ರತೆಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಾಗಿ ಈ ಆಯ್ಕೆಯು s = 0 ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈಗ ಬಹುಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ಗಾಗಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ (ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರೋಬ್ನರ್ ಆಧಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು) ಸಮೀಕರಣಗಳು () ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಹೆಚ್ಚು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಗತಿಯು ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ (ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಾಖೆ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ), ಹೀಗಾಗಿ ಲೋಡ್-ಹರಿವಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಹು-ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ವೋಲ್ಟೇಜ್ಗಳ ಪವರ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ (ಆನ್) ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವ ತಂತ್ರವು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಒಮ್ಮೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು () ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮದ ನಂತರ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂದು ಒಬ್ಬರು ಅರಿತುಕೊಂಡರೆ. ಮತ್ತು ಗಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು () ಆಗಿ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆಃ ನಂತರ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು () ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಐಡೆಂಟಿಟಿಯಿಂದ ಪಡೆದ ಸರಳ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿಃ ಇದರಿಂದಾಗಿ () ನಲ್ಲಿನ ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಹಿಂದಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಕೇವಲ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾದ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ರೆಫ್ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯು ಒಮ್ಮೆ ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವ ಸಮಸ್ಯೆಯು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೋಮೋಟೋಪಿಕ್ ಮುಂದುವರಿಕೆಯ ತಂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಏನನ್ನೂ ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬಲವಾಗಿ ಹೇಳಬೇಕು. ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನಿರಂತರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಯವಾದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಇದು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಯಾವಾಗಲೂ ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ವಿಧಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ನ್ಯೂಟನ್-ರಾಫ್ಸನ್ನಂತಹ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿದೆ). ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗತಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಜ್ಞಾನವು (ಕಾರ್ಯದ ಸೂಕ್ಷ್ಮಾಣು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಾಖೆಗಳ ಕಡಿತಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಕಾರ್ಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಡೊಮೇನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಟಾಲ್ನ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಲ್ ಡೊಮೇನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಅಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಶಾಖೆಯ ಕಡಿತಗಳ ಆಯ್ಕೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಡಿತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿತಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಗರಿಷ್ಠ ಮುಂದುವರಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸುಧಾರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಪ್ಯಾಡೆ ಅಪ್ರಾಕ್ಸಿಮಾಂಟ್ಗಳ ಒಮ್ಮುಖದ ಕುರಿತಾದ ಸ್ಟಹ್ಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಅತಿ-ಕರ್ಣೀಯ ಪ್ಯಾಡೆ (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗೆ ಮುಂದುವರಿದ ಭಾಗ ಅಂದಾಜುಗಳು) ಗರಿಷ್ಠ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಅಂದಾಜುಗಳ ಸೊನ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಬಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕವಲೊಡೆದ ಕೊಂಬೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹವಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಲೋಡ್-ಫ್ಲೋ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ವೋಲ್ಟೇಜ್ ಕುಸಿತದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾಗಿ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆಃ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಪರಿಹಾರವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯುತ್-ಹರಿವಿನ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ವಿದ್ಯುತ್ ವಿದ್ಯುತ್ ಉತ್ಪಾದನೆಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಯುನಿಟ್ ಬದ್ಧತೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ವಿದ್ಯುತ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್