Arithmetic zeta function
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಯೋಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ರೀಮನ್ ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಅಂಕಗಣಿತದ ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೀಮನ್ ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಯೂಲರ್ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಯೋಜನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನವಾಗಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಳಿದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವರ್ಣಪಟಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ X ಗೆ, ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್ನ ಜಾಡಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ತಿಳಿದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಬಹುಪದಗಳ ಅಂಶ). ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ X ಮತ್ತು Y ಎಂಬ ಎರಡು ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಿಟ್ ವಾಹಕಗಳ ವಲಯದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದರ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ತುಲದ ವರ್ಣಪಟಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ರೀಮನ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯೆ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಉಂಗುರದ ವರ್ಣಪಟಲವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಯೋಜನೆಯ ಮೇಲೆ ಅಫೈನ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದು ಯೋಜನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲಿನದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಅದು ಯಾವುದೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಮತ್ತು ತೆರೆದ ಸಬ್ಶೀಮ್ನ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅನಂತ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಒಕ್ಕೂಟಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಜೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಮಾಡ್ಯುಲೋ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಕಡಿತದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ ಪ್ರತಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಯೂಲರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಶವನ್ನು ಯೂಲರ್ ಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಸಕ್ತಿಯ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಜೆನೆರಿಕ್ ಫೈಬರ್ ಮೃದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಮಾತ್ರ ಏಕವಚನವಾಗಿರುತ್ತವೆ (ಕೆಟ್ಟ ಕಡಿತ). ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅಂದರೆ ಉತ್ತಮ ಕಡಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಯೂಲರ್ ಅಂಶವು ಹ್ಯಾಸ್-ವೆಯಿಲ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಒಪ್ಪುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳು ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಮುಖ್ಯ ಊಹೆಗಳು ನಿಯಮಿತ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಈಕ್ವಿಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ಸ್ಕೀಮ್ನ (ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ) ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ನಡವಳಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಊಹೆಗಳಿವೆ. ಈ ಅನೇಕ ಊಹೆಗಳು (ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಅಲ್ಲ) ಯೂಲರ್-ರೀಮನ್-ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಯೋಜನೆಯು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಕೆಲವರ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಕಾರದ ಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಈ ಅನೇಕ ಊಹಾಪೋಹಗಳು (ಬಿರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಿನ್ನರ್ಟನ್-ಡೈಯರ್ ಊಹಾಪೋಹಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಅಂದರೆ. ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನವು ತಿಳಿದಿದೆ). ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮತ್ತು ಎರಡು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹಾಸ್ಸೆ ಮತ್ತು ವೆಯಿಲ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಯಾಮ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣಗಳಿರುವಾಗ ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಮೇರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮುಂದುವರಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದು ವೆಯಿಲ್ ಊಹೆಗಳ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಅದರ ಭಾಗವಾದ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ರೀಮನ್ ಊಹೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ರೀಮನ್ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ಶೂನ್ಯಗಳು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಟ್ಟಿಯೊಳಗೆ ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಟ್ಟಿಯೊಳಗಿನ ಧ್ರುವಗಳು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು (ಎಮಿಲ್ ಆರ್ಟಿನ್, ಹೆಲ್ಮಟ್ ಹಸ್ಸೆ, ಆಂಡ್ರೆ ವೆಯಿಲ್, ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಗ್ರೊಥೆಂಡಿಕ್, ಪಿಯರೆ ಡೆಲಿಗ್ನೆ) ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣವೆಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಸಮತಟ್ಟಾದ ಯಾವುದೇ ಯೋಜನೆಗೆ ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿಲ್ಲ. ರೀಮನ್ ಊಹೆಯು ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ 2ರ ಭಾಗಶಃ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಧ್ರುವದ ಕ್ರಮಗಳು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮುಂದುವರಿಕೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟು, ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಧ್ರುವದ ಕ್ರಮ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪಟ್ಟಿಯೊಳಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಅವಶೇಷಗಳನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಕಗಣಿತದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ನೋಥರ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸೆರ್ರಿನಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ವಾದವು ಅದರ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವು ಧ್ರುವವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕ್ರಮವು ಗರಿಷ್ಠ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಘಟಕಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಧ್ರುವದ ಕ್ರಮವನ್ನು ವಿಲೋಮ ನಿಯಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪುಗಳ ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಪಿಕಾರ್ಡ್ ಗುಂಪಿನಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಟೇಟ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಬಿರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಿನ್ನರ್ಟನ್-ಡೈಯರ್ ಊಹೆಯು ಈ ಊಹೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಟೇಟ್ನ ಈ ಊಹೆಯು ಬಿರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಿನ್ನರ್ಟನ್-ಡೈಯರ್ ಅವರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೋಲೆ ಊಹಿಸಿದಂತೆ ಬಲಭಾಗವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಡಮ್ಸ್ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ಬಾಸ್ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಈ ಊಹೆಗಳು ಯಾವಾಗ, ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಂಗುರಗಳು ಮತ್ತು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿರುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಬಿರ್ಚ್ ಮತ್ತು ಸ್ವಿನ್ನರ್ಟನ್-ಡೈಯರ್ ಊಹೆಯ ಭಾಗಶಃ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಬೀತಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಲಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಊಹೆಯು ಮುಕ್ತವಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿದೆ. ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು ಕ್ರೋನೆಕರ್ ಆಯಾಮದ ನಿಯಮಿತ ಸಂಪರ್ಕಿತ ಸಮಾನ ಆಯಾಮದ ಅಂಕಗಣಿತ ಯೋಜನೆಯ ಅಂಕಗಣಿತದ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ-ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಅಪವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ,-ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಶೂನ್ಯ ಮತ್ತು 2 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಕಗಣಿತದ ಯೋಜನೆಗಳ-ಅಂಶಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಬಹಳ ಕಡಿಮೆ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಾಬೀತಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿವೆ. ಇವಾನ್ ಫೆಸೆಂಕೊ ಅಂಕಗಣಿತದ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ-ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡದೆ ನೇರವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದರು. ಇದು ಟೇಟ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಡೆಲೆ ಗುಂಪುಗಳು, ಹೆಚ್ಚಿನ ಝೀಟಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ವರ್ಗದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಬರುವ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸರಿಯಾದ ನಿಯಮಿತ ಮಾದರಿಗಳ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಗಡಿ ಕಾರ್ಯದ ಸರಾಸರಿ-ಆವರ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಎಂ. ಸುಜುಕಿ ಮತ್ತು ಜಿ. ರಿಕೊಟ್ಟಾ ಅವರೊಂದಿಗಿನ ಅವರ ಜಂಟಿ ಕೆಲಸದಲ್ಲಿ, ಘಾತೀಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಸುಗಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ-ನಿಯತಕಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಲ್ಯಾಂಗ್ಲ್ಯಾಂಡ್ನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಫೆಸೆಂಕೊನ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಇತರ ಎರಡು ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳು ಜಾಗತಿಕ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಸರಿಯಾದ ಮಾದರಿಗಳ ಝೀಟಾ ಕಾರ್ಯದ ಧ್ರುವಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನ ವಿಶೇಷ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮೂಲಗಳು ಝೀಟಾ ಮತ್ತು ಎಲ್-ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ