Barratt–Priddy theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಬ್ಯಾರಟ್-ಪ್ರಿಡಿ ಪ್ರಮೇಯವು (ಬ್ಯಾರಟ್-ಪ್ರಿಡಿ-ಕ್ವಿಲೆನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಗೋಳಗಳ ನಕ್ಷೆಯ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು (ಮೈಕೆಲ್ ಬ್ಯಾರಟ್, ಸ್ಟೀವರ್ಟ್ ಪ್ರಿಡಿ ಮತ್ತು ಡೇನಿಯಲ್ ಕ್ವಿಲ್ಲೆನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ) ಕ್ವಿಲ್ಲೆನ್ಸ್ ಪ್ಲಸ್ ರಚನೆಯ ಮೂಲಕ ಸ್ಫಿಯರ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂಬುದು ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖದ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ-ಆಯಾಮದ ಗೋಳದಿಂದ ಸ್ವತಃ ಎಲ್ಲಾ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆಗಳ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ (ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್-ಓಪನ್ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ). ಈ ನಕ್ಷೆಗಳು ಬೇಸ್ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು, ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಲು ಮತ್ತು ಡಿಗ್ರಿ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಜಾಗವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ಯಾರಟ್-ಪ್ರಿಡಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ನಕ್ಷೆಯ ಸ್ಥಳಗಳ ಏಕರೂಪತೆ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಏಕರೂಪತೆಯ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಫ್ರಾಯ್ಡೆಂಥಾಲ್ ಅಮಾನತು ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಹ್ಯುರೆವಿಕ್ಜ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಜಾಗದ th ಹೋಮೋಲಜಿಯು ಆಯಾಮದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಿನ ಒಂಬತ್ತನೇ ಗುಂಪಿನ ಏಕರೂಪತೆಯು ಎಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದೆ. ಇದು ಏಕರೂಪದ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಬ್ಯಾರಟ್-ಪ್ರಿಡಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ "ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳು" ಒಂದೇ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆಃ ಏಕೆಂದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಇದೆ ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಕೆಳಗಿನ ಸುಧಾರಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ). ಉದಾಹರಣೆಃ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿ ಈ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಮೊದಲ ಏಕರೂಪತೆಯು ಆ ಗುಂಪಿನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂವಹನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ, ಏಕೈಕ ಪರಿವರ್ತಕ ಅಂಶವನ್ನು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು, ಕ್ರಮ 2 ರ ಆವರ್ತಕ ಗುಂಪು, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. (ಏಕೆಂದರೆ, ಇದು ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಗುಂಪು.) ಇದು ಆವರಣ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ವೃತ್ತದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸ್ಥಳವು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ. 2-ಗೋಳಕ್ಕೆ, ಮೊದಲ ಹೋಮೋಟಾಪಿ ಗುಂಪು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಜಾಗದ ಮೊದಲ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪು ಎರಡೂ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಾಗಿವೆಃ ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಜನರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಹೋಪ್ಫ್ ಫೈಬ್ರೇಷನ್ನಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಒಮ್ಮೆ, ಎರಡೂ ಕ್ರಮ 2 ರ ಆವರ್ತಕವಾಗಿವೆಃ ಪ್ರಮೇಯದ ಸುಧಾರಣೆ ಅನಂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪು ಸೀಮಿತ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪುಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ನಾಕಾಓಕದ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಗುಂಪಿನ ಏಕರೂಪತೆಯು ಸ್ಥಿರವಾದ ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಫಾರ್,. ಈ ಗುಂಪಿನ ವರ್ಗೀಕರಣ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಳದ ಅದರ ಏಕರೂಪತೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಗುಂಪು ಏಕರೂಪತೆಯಾಗಿದೆಃ ಅದೇ ರೀತಿ ಅಮಾನತುಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಪ್ರಚೋದಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಒಕ್ಕೂಟದಿಂದ ನಾವು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಿಂದಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಲಜಿಯು ಹೋಮೋಲಜಿಯಾಗಿದೆಃ ಏಕೆಂದರೆ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಕ್ಷೆ ಇದೆ; ಈ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಸ್ಥಳದ ಮಾದರಿಯ ಮೂಲಕ. ಬ್ಯಾರಟ್-ಪ್ರಿಡಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಮಾನ ಸೂತ್ರೀಕರಣವೆಂದರೆ ಅದು ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಮಾನತೆ (ಅಥವಾ ಅಸೈಕ್ಲಿಕ್ ನಕ್ಷೆ), ಅಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳೀಯ ಗುಣಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಹೋಮೋಲಜಿ ಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ವಿಲ್ಲನ್ನ ಪ್ಲಸ್ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧ ಬರ್ಯಾಟ್-ಪ್ರಿಡಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಕ್ವಿಲ್ಲನ್ನ ಪ್ಲಸ್ ರಚನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಜಾಗವನ್ನು ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. (ಏಕೆಂದರೆ, ನಕ್ಷೆಯು ಪ್ಲಸ್ ರಚನೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಹೋಮೋಲಜಿ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ತಿಳಿದ ನಂತರ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.) ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ-ಗೋಳದ-ಮಡಿಕೆ ಲೂಪ್ ಸ್ಥಳವಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬ್ಯಾರಟ್-ಪ್ರಿಡಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು ಅಥವಾ ಹೇಳಬಹುದು, ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳು ಗೋಳಗಳ ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿವೆಃ "ಎಫ್ 1 ರ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತ" ಬ್ಯಾರಟ್-ಪ್ರಿಡಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಆಡುಮಾತಿನಲ್ಲಿ "ಎಫ್ 1 ರ ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳು ಗೋಳಗಳ ಸ್ಥಿರ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಗುಂಪುಗಳು" ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾದ ಗಣಿತದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲ, ಆದರೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆ-ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ರೂಪಕವಾಗಿದೆ. "ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ಷೇತ್ರ" ಎಫ್1 ಒಂದು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಲ್ಲ; ಇದು ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜನೆಯ ನಡುವಿನ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕೇಂದ್ರೀಯ ಸಾದೃಶ್ಯವೆಂದರೆ ಅದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಗುಂಪಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆ. ಆರ್ ಉಂಗುರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಆರ್-ಉಂಗುರದ ಕೆ-ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು, ಇದು ಬ್ಯಾರಟ್-ಪ್ರಿಡಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರಃ ಹೋಮೋಟೋಪಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.