Clifton–Pohl torus
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಕ್ಲಿಫ್ಟನ್-ಪೋಲ್ ಟೋರಸ್ ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿರದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸಹ ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿದ್ದರೂ (ಹೋಪ್ಫ್-ರಿನೋವ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ), ಅದೇ ಅರ್ಥವು ಹುಸಿ-ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಈ ಸ್ಥಳವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. 1962ರಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ಯೇಟನ್ ಎಚ್. ಕ್ಲಿಫ್ಟನ್ ಮತ್ತು ವಿಲಿಯಂ ಎಫ್. ಪೊಹ್ಲ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇದಕ್ಕೆ ಇಡಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅವರು ತಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೆಟ್ರಿಕ್ನೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಹೋಮೋಥೆಟಿಯು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆಃ ಇದು ರಚಿಸಿದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿ ಗುಂಪಿನ ಉಪಗುಂಪಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸರಿಯಾದ, ನಿರಂತರವಾದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಟೋರಸ್ ಆಗಿರುವ ಅಂಶವು ಲೋರೆಂಜ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದ್ದು ಅದನ್ನು ಕ್ಲಿಫ್ಟನ್-ಪೋಲ್ ಟೋರಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೂಲಕ, ಮೇಲ್ಮೈಯು ಕ್ಲಿಫ್ಟನ್-ಪೋಲ್ ಟೋರಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಅನುಪಾತದ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪತೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾದ ಅಂಶದ ಸೀಮಿತ ಹೊದಿಕೆ ಆಗಿದ್ದರೆ. ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಅಪೂರ್ಣತೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಎಂನ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು (ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ). ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, (ಆದ್ದರಿಂದ) ಇದು ಸಾಂದ್ರವಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ, ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಅಪೂರ್ಣವಾದ ಶೂನ್ಯ ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಶೂನ್ಯ ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ಆನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಅಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಿಫ್ಟನ್-ಪೋಲ್ ಟೋರಸ್ನ ಭೌಗೋಳಿಕ ಅಪೂರ್ಣತೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಅಂಶದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಉಪಗುಂಪಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಇದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಸರಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ. ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ (ಅಂದರೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಮೆಟ್ರಿಕ್) ಓದುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಕ್ಲಿಫ್ಟನ್-ಪೋಲ್ ಸಮತಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೇಲ್ಮೈಯು ಭೌಗೋಳಿಕವಾಗಿ ಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಳದಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಿಫ್ಟನ್-ಪೋಲ್ ಟೋರಿಗಳು ಯಾವುದೇ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳಿಲ್ಲದ ಮೊದಲ ಫ್ಲಾಟ್-ಅಲ್ಲದ ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಟೋರಿ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಕೂಡ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿವೆ. ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಕ್ಲಿಫ್ಟನ್-ಪೋಲ್ ಸಮತಲವು ಬಹಳಷ್ಟು ಜೋಡಿ ಸಂಯುಗ್ಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಗಡಿಯಲ್ಲಿವೆ. "ಇನ್ಫಿನಿಟಿಯಲ್ಲಿ". ಹೋಪ್ಫ್-ರಿನೋವ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಟೋರಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಲೋರೆಂಜ್ ಮೆನಿಫೋಲ್ಡ್ಸ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ