Ahlfors theory
ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರತಿರೂಪವಾಗಿ ಲಾರ್ಸ್ ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. 1936ರಲ್ಲಿ ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕಾಗಿ ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ಗೆ ಎರಡು ಮೊದಲ ಫೀಲ್ಡ್ಸ್ ಪದಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಇದನ್ನು ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅವು ಕೆಲವು ಉತ್ತಮ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿತ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ "ಬಹುತೇಕ ಹೊದಿಕೆಗಳು" ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ರೀಮಾನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈ Xಅನ್ನು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಪ್ರದೇಶವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಗಡಿಯು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬೇರ್ಪಡುವ ಜೋರ್ಡಾನ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ತುಣುಕು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಈ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳಿವೆ, ಇದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ; ಇದನ್ನು ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಉದ್ದದ ಅಂಶ ಡಿಎಸ್ ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಸ್ಥಳೀಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಡಿಎಸ್ = ρ (ಝಡ್) |dz | ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ρ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಯವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯಗಳು ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸ್ಮೂತ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದ್ದದ ಅಂಶವು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ನಂತರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಉದ್ದದ ಅನಂತ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸಂಕೇತ X ಮತ್ತು Y ಎರಡು ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು Y ಯು ಮೃದುವಾದ (ಗಡಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ) ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ σ (z) dz ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. f ಅನ್ನು X ನಿಂದ Y ವರೆಗಿನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕ್ಷೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ X ಮೇಲೆ ಪುಲ್-ಬ್ಯಾಕ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಇದನ್ನು X ಈ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದಾಗ, f ಸ್ಥಳೀಯ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂದರೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದವು ಅದರ ಚಿತ್ರದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. X ಮತ್ತು Y ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಈ ಎರಡು ಮಾಪನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. f ಯು X ನ ಗಡಿಯನ್ನು Y ನ ಗಡಿಗೆ ಕಳುಹಿಸಿದರೆ, f ಒಂದು ವಿಸ್ತಾರವಾದ ಹೊದಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಎ) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ಒಂದೇ (ಸೀಮಿತ) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೂರ್ವಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಬಹುಗುಣವನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಹೊದಿಕೆಯ ಮಟ್ಟವಾಗಿದೆ. ಬಿ) ರೀಮನ್-ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರವು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, Xನ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ Yನ ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಡಿಗ್ರಿ ಆಗಿದೆ. ಈಗ X ನ ಗಡಿಯ ಕೆಲವು ಭಾಗವನ್ನು Y ನ ಒಳಭಾಗಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಗಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. L ಈ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಗಡಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿರಲಿ. ಮೊದಲ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯ ಸರಾಸರಿ ಕವರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕವರಿಂಗ್ನ ಡಿಗ್ರಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಪ್ರತಿ ನಿಯಮಿತ ವಕ್ರರೇಖೆ γ ಮತ್ತು Yಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರದೇಶ Dಗೆ ಸರಾಸರಿ ಆವರಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಮೊದಲ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಿಯಮಿತ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ, ಇಲ್ಲಿ L ಎಂಬುದು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಗಡಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು k ಎಂಬುದು Y, σ, D ಮತ್ತು γಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇದು f ಮತ್ತು X ಗಳಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಎಲ್ = 0 ಆಗಿರುವಾಗ ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಆವರಣಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣ ಎ) ನ ದುರ್ಬಲ ಪ್ರತಿರೂಪವಾಗುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಯೂಲರ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಋಣಾತ್ಮಕ ρ ಆಗಿರಲಿ (ಆದ್ದರಿಂದ m ರಂಧ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಳಕ್ಕೆ ρ = 2m−2). ನಂತರ ಇದು ρ (Y)> 0 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ Y ಮೂರು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ) ರಂಧ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಳವಾಗಿದ್ದಾಗ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಿ) ಆವರಣಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ಗಳು ಈಗ Z ಒಂದು ತೆರೆದ ರೀಮನ್ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲ ಅಥವಾ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್, ಮತ್ತು Z ಒಂದು ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ds ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. (ಝಡ್, ಡಿಎಸ್) ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಖಾಲಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಅವುಗಳ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಝಡ್ ನಲ್ಲಿರುವ ಗಡಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಡಿಜೆ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಯೂನಿಯನ್ ಝಡ್ ನಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲವು ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಖಾಲಿಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ಈ ಸಂಗತಿಯು, ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಿಕಾರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಎರಡನೇ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿಕಾರ್ಡ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಇತರ ಅನೇಕ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ (ಆಂಡ್ರೆ ಬ್ಲೋಚ್ ಈ ಹಿಂದೆ ಊಹಿಸಿದಂತೆ) ಫೈವ್ ಐಲ್ಯಾಂಡ್ ಪ್ರಮೇಯ. ಐದು-ದ್ವೀಪಗಳ ಪ್ರಮೇಯವು ಡಿ1,., ಡಿ5 ರೀಮನ್ ಗೋಳದ ಮೇಲೆ ಐದು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಈ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕ c ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ f ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಹ ಮೆರೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಇದು ನಾಲ್ಕು ಪ್ರದೇಶಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ f (z) = χ (Kz) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ, ಅಲ್ಲಿ K> 0 ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು χ ವಿಭೇದಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ವೀಯರ್ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ನ ಮೂಲ ಜರ್ನಲ್ ಪತ್ರಿಕೆಯ ಹೊರತಾಗಿ, ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳೀಕೃತ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ಟೋಕಿ ಮತ್ತು ಡಿ ಥೆಲಿನ್ನ ಪ್ರಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಅಹ್ಲ್ಫೋರ್ಸ್ನ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸದ ಐದು ದ್ವೀಪ ಪ್ರಮೇಯದ ಸರಳ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬರ್ಗ್ವೀಲರ್ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು