Water retention on random surfaces
ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಲ್ಲಿ ನೀರಿನ ಧಾರಣವು ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಲರಿಯಂತಹ ನಿಯಮಿತ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಎತ್ತರದ ಕೋಶಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಕೊಳಗಳಲ್ಲಿ ನೀರನ್ನು ಹಿಡಿಯುವ ಅನುಕರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋಶದ ಮೇಲೆ ನೀರನ್ನು ಸುರಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಡಿಗಳು ತೆರೆದಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ನೀರು ಹೊರಹೋಗಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ನೀರು ಕೊಳಗಳಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಕೊಳಗಳು ಅವುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಎತ್ತರಕ್ಕೆ ತುಂಬುತ್ತವೆ, ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನೀರು ಸೋರಿಕೆ ಮಾರ್ಗಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಡಿಗಳ ಹೊರಗೆ ಹರಿಯುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಿಕ್ಕಿಬಿದ್ದ ಅಥವಾ ಉಳಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ನೀರಿನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗಾಗಿ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಧಾರಣ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಎತ್ತರಗಳ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸ್ಥಳದ ಕೊಳೆತಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಕೋಶವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಗ್ರಾಫ್ ಅಥವಾ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿರುವ ತಾಣಕ್ಕೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೊಳೆತ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅನೇಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ಥಳದಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ದ್ರವವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಆಕ್ರಮಣದ ಕೊಳೆತ ಮಾದರಿಗೆ ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಜಲವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಹರಿವು ಮತ್ತು ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳ ರಚನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ವಿವಿಧ ಒಳಚರಂಡಿ ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳ (ಉತ್ತರ ಅಮೆರಿಕಾದಲ್ಲಿನ ಜಲಾನಯನ ಪ್ರದೇಶಗಳು) ನಡುವಿನ ಗಡಿಯು ಸುಮಾರು 1.22 ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಒಳಚರಂಡಿ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಧಾರಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಪರ್ಕೋಲೇಶನ್ಗೆ ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಐದು ಸಮಾನ ಸಂಭವನೀಯ ಮಟ್ಟಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾದ ಆರ್5 ನೀರಿನ ಪ್ರಮಾಣವು ಎರಡು-ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿರುವ ನೀರಿನ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಆರ್2 (ಪಿ) ಕಡಿಮೆ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪಿ ಮಟ್ಟಗಳ ವಿವಿಧ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆಃ ಆರ್5 = ಆರ್2 (1/5) + ಆರ್2 (2/5) + ಆರ್2 (3/5) + ಆರ್2 (4/5) ಪಿ = 0.2,0.4,0.6,0.8 ರೊಂದಿಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಎರಡು-ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು 1,2 ಅನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ (ನೀಲಿಃ ಆರ್ದ್ರ, ಹಸಿರುಃ ಒಣ, ಹಳದಿಃ ಆರ್ದ್ರ ತಾಣಗಳ ಗಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸೋರಿಕೆ ಮಾರ್ಗಗಳು). ಐದು ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿವ್ವಳ ಧಾರಣವು ಈ ಎಲ್ಲದರ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಮಟ್ಟವು ಯಾವುದೇ ನೀರನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಚದರ ಜಾಲರಿ, 0.592746 ಗೆ ಪರ್ಕ್ಯುಲೇಷನ್ ಮಿತಿಗಿಂತ ತುಂಬಾ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಎರಡು-ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರ್2 (ಪಿ) ಅನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಂದರೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗಡಿಯನ್ನು ಮುಟ್ಟದ ಕೊಳಗಳಿಗೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ನೀರಿನ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. p ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕೊಳೆತ ಮಿತಿ p c ಗಿಂತ ಮೇಲಿರುವಾಗ, ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಭೇಟಿ ನೀಡುವ ಕೊಳೆತ ಸಮೂಹ ಅಥವಾ ಕೊಳ ಇರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಪರ್ಕೋಲೇಟಿಂಗ್ ಅಥವಾ "ಅನಂತ" ಸಮೂಹಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಪರ್ಕೋಲೇಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ P ≤ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು R2 (p) ನಿಂದ R2 (p)/L2 = p − P ≤ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ L ಎಂಬುದು ಚೌಕದ ಗಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಬಹು ಹಂತದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯು ಪರ್ಕಲೇಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು. ಧಾರಣವನ್ನು ಅಳೆಯಲು, ಪ್ರವಾಹದ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದಂತೆ ಅತಿ ಕಡಿಮೆ ಸೋರಿಕೆ ಮಾರ್ಗದ ಮೂಲಕ ಗಡಿಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರವಾಹಗಳಿಂದ ನೀರನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುವಿಕೆಯು ಕೇವಲ ನೀರಿನ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದು, ಒಂದು ತಾಣವು ಪ್ರವಾಹಕ್ಕೆ ಒಳಗಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗಿರುವ ಭೂಪ್ರದೇಶದ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಟ್ಟಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಹೊರತಾಗಿ, ಭೂಪ್ರದೇಶದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು 0 ರಿಂದ 1 ರವರೆಗೆ ನಿರಂತರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಂತೆಯೇ, ಮೇಲ್ಮೈ ಎತ್ತರವನ್ನು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಪರ್ಕೋಲೇಷನ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಉಳಿದಿದೆ. ಒಂದು ಕುತೂಹಲಕಾರಿ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ, n ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಮಟ್ಟಗಳ ಚೌಕಾಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಕ್ರಮವಾದ L> L * ಗೆ n + 1 ಮಟ್ಟಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ನೀರನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಈ ನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರ್ಕೋಲೇಷನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಇದನ್ನು L * ≈ (p − pc) − ν ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ν = 4/3, p = i */n ಅಲ್ಲಿ i * ಎಂಬುದು i ನ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ i/n <pc, ಮತ್ತು pc = 0.592746 ಎಂಬುದು ಚದರ ಜಾಲರಿಯ ಸೈಟ್ ಪರ್ಕೋಲೇಷನ್ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಳು ಎಲ್ * ನ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಇವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎಕ್ಸ್ಟ್ರಾಪೋಲೇಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, L ≤ 51ಕ್ಕೆ R2 <R3, ಆದರೆ L ≤ 52ಕ್ಕೆ R2> R3: n ದೊಡ್ಡದಾಗುತ್ತಿದ್ದಂತೆ, ದಾಟುವಿಕೆಯು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ದಾಟುವಿಕೆಯು ಸಂಭವಿಸುವ L * ನ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ n ನ ಏಕತಾನತೆಯ ಕಾರ್ಯವಲ್ಲ. ಮೇಲ್ಮೈ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರದಿದ್ದಾಗ ಆದರೆ ಹರ್ಸ್ಟ್ ಘಾತಾಂಕ H ನೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಧಾರಣವನ್ನು ಶ್ರೆಂಕ್ ಮತ್ತು ಇತರರಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು https://commons.wikimedia.org/wiki/Category: ಅಸೋಸಿಯೇಟಿವ್ _ ಮ್ಯಾಜಿಕ್ _ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಸ್ _ ಆಫ್ _ ಆರ್ಡರ್ _ 4 ಹ್ಯೂಗೋ ಪಫೋರ್ಟ್ನರ್. , ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಚಿತ್ರಗಳಾದ ಹ್ಯೂಗೋ ಪಫೋರ್ಟ್ನರ್ರ ಕೊಂಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ. ಅಲ್ ಝಿಮ್ಮರ್ಮ್ಯಾನ್ನ ಪ್ರೊಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸ್ಪರ್ಧೆಗಳ ಚರ್ಚೆಯ ತಾಣ ಫ್ಯೂಟಿಲಿಟಿ ಕ್ಲೋಸೆಟ್-ಪಾಲಿಮಿನೋ ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಸರೋವರದ ಮಾದರಿಗಳ ವಿಷಯ-ಮಾದರಿಯನ್ನು 2ಡಿ ಯಿಂದ 3ಡಿ ನೇಚರ್ 2018 ಗೆ ಅಪ್ಗ್ರೇಡ್ ಮಾಡಿ ವಾಟರ್ ರಿಟೆನ್ಷನ್ ಹಿಸ್ಟೋಗ್ರಾಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ http://oeis.org/A331507 ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೊಳಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನಿರ್ಣಾಯಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಕೊಳೆತ ಸಿದ್ಧಾಂತ