Heat kernel signature
ಹೀಟ್ ಕರ್ನಲ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ (ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್) ವಿರೂಪಗೊಳಿಸಬಹುದಾದ ಆಕಾರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಒಂದು ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ವಿವರಣಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವರ್ಣಪಟಲದ ಆಕಾರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ವಿಧಾನಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಆಕಾರದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ, HKS ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳೀಯ ಮತ್ತು ಜಾಗತಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಅದರ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ವಾಹಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜನೆ, ವರ್ಗೀಕರಣ, ರಚನೆಯ ಆವಿಷ್ಕಾರ, ಆಕಾರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರ ಮರುಪಡೆಯುವಿಕೆ ಸೇರಿವೆ. 2009ರಲ್ಲಿ ಜಿಯಾನ್ ಸನ್, ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಒವ್ಸ್ಜಾನಿಕೋವ್ ಮತ್ತು ಲಿಯೋನಿಡಾಸ್ ಗೈಬಾಸ್ ಅವರು ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್. ಅನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇದು ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಇದು ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾದ ಅನೇಕ ಆಕಾರ ವಿವರಣಕಾರರಲ್ಲಿ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಆಕಾರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಆಕಾರಗಳ ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಡಿಜಿಟಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3ಡಿ ವಸ್ತುಗಳು. ಅನೇಕ ಆಕಾರ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ (ಆಕಾರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ/ಮರುಪಡೆಯುವಿಕೆಯಂತಹ), ಆಕಾರದ ಸಂಪೂರ್ಣ 3D ಮಾದರಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಬದಲು ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ವಿವರಣೆಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಅವಶ್ಯಕತೆಯೆಂದರೆ ಅವು ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸುವ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ವಿವರಣಾತ್ಮಕಗಳು ಆಕಾರದ ಸಂದರ್ಭ, ಸ್ಪಿನ್ ಚಿತ್ರಗಳು, ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಪರಿಮಾಣ ವಿವರಣಾತ್ಮಕಗಳು ಮತ್ತು ಬಹು-ಪ್ರಮಾಣದ ಸ್ಥಳೀಯ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. HKS ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಶಾಖ ಪ್ರಸರಣದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಆರಂಭಿಕ ಶಾಖದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ ಕಾಲದಿಂದ ಕಾಲಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾವಣೆಯಾಗುವ ಶಾಖದ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಗೆ ಸಣ್ಣ ಅಡಚಣೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯವರೆಗಿನ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಆಕಾರದ ಜಾಗತಿಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಡೊಮೇನ್ನ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್. ಕೇವಲ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕೇವಲ ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್. ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆನುವಂಶಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿವರಗಳು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ (ಪ್ರಾಯಶಃ ಗಡಿಯೊಂದಿಗೆ) ಮೇಲಿನ ಶಾಖ ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶಾಖದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ನ ಐಗನ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಟ್ ಕರ್ನಲ್ ಒಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯವರೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವುದೇ ಸರ್ಜೆಕ್ಟಿವ್ ನಕ್ಷೆಗೆ ಮತ್ತು, ಅದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ. ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ವಿವರಣೆಗಾಗಿ, HKS ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ತಾತ್ಕಾಲಿಕ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತದೆ, HKS, ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ನಂತೆಯೇ, ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗದ ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕಟ್ಆಫ್ ಆವರ್ತನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪದಗಳನ್ನು ಲೋ-ಪಾಸ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಬ್ಯಾಂಕ್ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪರಿಗಣನೆಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಅನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ವಸ್ತುವಿನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಬಹುಗುಣವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣದ ವಿವಿಕ್ತ ಸಾದೃಶ್ಯಕ್ಕೆ ವಿವಿಕ್ತ ಅಂದಾಜನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಜಾಲರಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಲಭ್ಯವಿದ್ದರೆ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ ವಿರಳವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಜಾಲರಿಯಲ್ಲಿನ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ನಮೂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಅರೆ-ನಿಶ್ಚಿತ ತೂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಆರೋಹಣ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ ಅನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂಶಗಳು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ ಮತ್ತು ಸಮಯದ ನಂತರ ಶಾಖದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಅನ್ನು ನಂತರ ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ನಮೂದುಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಮಯದ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರಂತರ ಕೇಸ್ನಂತೆಯೇ, ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಶಬ್ದಕ್ಕೆ ದೃಢವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಿತಿಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿಸದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗದಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯವರೆಗೆ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುವ ಕೆಲವು ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿವೆ (ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ). ಅಂತಹ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಗೋಳವು ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮಯದ ನಿಯತಾಂಕ ಆಯ್ಕೆ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ನಲ್ಲಿನ ಸಮಯದ ನಿಯತಾಂಕವು ಜಾಗತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಮಾಣಕ್ಕೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮಯದ ವಿವೇಚನೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಯಾವುದೇ ನೇರ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ವಿಧಾನವು ಸಮಯದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಆಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮಯದ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಗ್ಯಾರಂಟಿಗಳಿಲ್ಲದ ಹ್ಯೂರಿಸ್ಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಶಾಖದ ಕರ್ನಲ್ಗೆ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಜೆಂಡೆಕಂಪೊಸಿಷನ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನ ಜಾಲರಿಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಐಜೆಂಡೆ-ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ದುಬಾರಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿದೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಮೇಲಿನ ವಿಲೋಮ ಘಾತೀಯ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಣ್ಣ (100ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ) ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಮಾತ್ರ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್. ನ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು ಪಡೆಯಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್. ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯ ಖಾತರಿಗಳು ನಿಜವಾದ ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೈಜ ಆಕಾರಗಳ ವಿರೂಪಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮುಷ್ಟಿಯನ್ನು ಮುಚ್ಚುವುದು, ಅಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬೆರಳುಗಳ ನಡುವಿನ ಭೌಗೋಳಿಕ ಅಂತರವು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗಿನ ವಕ್ರತೆಯ ಸಂಬಂಧ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ, ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ (ನಿರಂತರ) ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ವಕ್ರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಅನ್ನು ಅಳತೆಯ ವಕ್ರತೆಯೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ತರಂಗ ಕರ್ನಲ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ (ಡಬ್ಲ್ಯುಕೆಎಸ್) ಡಬ್ಲ್ಯುಕೆಎಸ್ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್. ಗೆ ಹೋಲುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಶ್ರೋಡಿಂಗರ್ ತರಂಗ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ತರಂಗ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಣವನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಸರಾಸರಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು, ಆರಂಭಿಕ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಶಕ್ತಿಯ ವಿತರಣೆಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಡಬ್ಲ್ಯುಕೆಎಸ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್. ಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಕೆ. ಎಸ್. ಅನ್ನು ಉತ್ತಮ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಬ್ಯಾಂಡ್-ಪಾಸ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಡಬ್ಲ್ಯುಕೆಎಸ್ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ (ಅವುಗಳನ್ನು ಫಿಲ್ಟರ್ ಮಾಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ) ಆಕಾರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ಕಳಪೆ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗ್ಲೋಬಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ (ಜಿಪಿಎಸ್) ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ನಂತೆಯೇ, ಜಿಪಿಎಸ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಜಿಪಿಎಸ್ ಎಂಬುದು ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಬೆಲ್ಟ್ರಾಮಿ ಆಪರೇಟರ್ನ ಅಳತೆಯ ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಜಿಪಿಎಸ್ ಒಂದು ಜಾಗತಿಕ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಶಾಖ ಪ್ರಸರಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಮಯದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ನ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಅನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಆಕಾರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು ಆದರೆ ಜಿಪಿಎಸ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಗ್ರಾಫ್ ವೇವ್ಲೆಟ್ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ (ಎಸ್ಜಿಡಬ್ಲ್ಯೂಎಸ್) ಎಸ್ಜಿಡಬ್ಲ್ಯೂಎಸ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಫಿಲ್ಟರ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಎಸ್ಜಿಡಬ್ಲ್ಯೂಎಸ್ ಬಹು-ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಲೋಕಲ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಂಡ್-ಪಾಸ್ ಮತ್ತು ಲೋ-ಪಾಸ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ ಅನುಕೂಲಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಸ್ಕೇಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಅನೇಕ ಮಾಪಕಗಳಲ್ಲಿ ಆಕಾರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಇದು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೂರ್ವ-ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಿಲ್ಲದೆ ಆಕಾರ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಕೇಲ್ಡ್ ಆವೃತ್ತಿಗೆ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಒಂದೇ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಸ್ಕೇಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಅನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ಸರಳ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಆಕಾರವನ್ನು ಒಂದೇ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಲು ಪೂರ್ವ-ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ ಮಾಡುವುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ. 1). ಮೇಲಿನ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಇದರ ಅರ್ಥಃ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸ್ಕೇಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ನ ಸ್ಕೇಲ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಸ್ಕೇಲ್-ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ, ಸ್ಕೇಲ್ಡ್ ಆಕಾರದ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಂಶದವರೆಗಿನ ಅನುವಾದಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ನ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಸಮಯ-ಅನುವಾದವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರದ ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುವಾದದ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. .. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದಂತೆ ಸ್ಕೇಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮೂಲಕ ಅದರ ರಚನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರ್ಯಾಯ ಸ್ಕೇಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದು. ವಾಲ್ಯೂಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್. ಅನ್ನು 3ಡಿ ಆಕಾರದ ಗಡಿ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು 2ಡಿ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಡಿಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುವ ಬದಲು, 3ಡಿ ಆಕಾರದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್. ನ ಗಾತ್ರದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಮಾಣದ ಮೇಲಿನ ಶಾಖ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (3-ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿ) ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಆಕಾರದ 2-ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಗಡಿಯ ಮೇಲೆ ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಾಲ್ಯೂಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಾಲ್ಯೂಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್. ಒಂದು ವಾಲ್ಯೂಮ್ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಯವರೆಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಬೌಂಡರಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ನಿಷ್ಠೆಯಿಂದ ನೈಜ 3ಡಿ ವಸ್ತುಗಳ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆಕಾರದ ಹುಡುಕಾಟ ಸ್ಕೇಲ್-ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಎಚ್. ಕೆ. ಎಸ್ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಆಕಾರದ ಮರುಪಡೆಯುವಿಕೆ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ಬ್ಯಾಗ್-ಆಫ್-ಫೀಚರ್ ಮಾದರಿಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪದಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು (ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಪದಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ಆಕಾರಗಳನ್ನು ವಾಕ್ಯಗಳಾಗಿ ಬಳಸುವುದಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ). ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಬೈನರಿ ಕೋಡ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಆಕಾರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಸೂಚ್ಯಂಕದಲ್ಲಿನ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಬಹುಶಃ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪಾಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋಡ್ನ ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ದೂರವನ್ನು ಸಾಮೀಪ್ಯ-ಅಳತೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಿಂಪಡೆಯಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಚಿತ್ರ ಸಂಸ್ಕರಣೆ ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆ ಡಿಜಿಟಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಟೋಪೋಲಜಿ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ