Grunsky's theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಹೆಲ್ಮಟ್ ಗ್ರನ್ಸ್ಕಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಗ್ರನ್ಸ್ಕಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿನ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವು 0 ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು |z | <r ಅನ್ನು r ≤ ಟಾನಿಹ್ π/4 ಗಾಗಿ ನಕ್ಷತ್ರದಂತಹ ಡೊಮೇನ್ನಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದು ನಿಜವಾಗಿರುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ r ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಟಾರ್ಲಿಕೆನೆಸ್ನ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್ (0) = 0 ಎಂದು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಡಿ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಹೋಲೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ r ≤ ತನ್ಹ π/4 ಗೆ, ಡಿಸ್ಕ್ನ ಚಿತ್ರ |z | <r 0 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಕ್ಷತ್ರದಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು (0,1) ರಲ್ಲಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. Dಯಲ್ಲಿ f (0) = 0ನೊಂದಿಗೆ f (z) ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿದಮ್ನ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಇದು ಎರಡು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ zಗೆ, ಈ ಎರಡೂ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಕೋಯೆಬೆ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ |w | = 1. ಸಾಕ್ಷ್ಯವು ಮೂಲತಃ ಲುಡ್ವಿಗ್ ಬೀಬರ್ಬಾಚ್ನ ವಿಪರೀತ ತಂತ್ರಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿತು. ನಂತರದ ಪುರಾವೆಗಳು, ಲೋವನರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ. ತರುವಾಯ ಗೊಲುಜಿನ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು, ಇದು ಗ್ರನ್ಸ್ಕಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಾಗಿ ಗ್ರನ್ಸ್ಕಿಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ (1939) ಸಮಾನ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ z> 1 ರಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ, ಗೊಲುಜಿನ್ನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಹೇಳುವಂತೆ, zi ಗಳು |zi |> 1 ಮತ್ತು λi ಯೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುವಲ್ಲಿ ಅವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. n = 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ. λ1 =-λ2 = λ ನೊಂದಿಗೆ, ಅಸಮಾನತೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ g ಒಂದು ಬೆಸ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು η =-ζ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದು ಫಲ ನೀಡುತ್ತದೆ. ನೆವಾನ್ಲಿನ್ನಾ ಅವರ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, f ಯು |z | <r ನಲ್ಲಿ ನಕ್ಷತ್ರದಂತೆಯೇ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು |z | <r ಗೆ ಮಾತ್ರ. ಸಮಾನವಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ ಮೇಲಿನ ಗ್ರುನ್ಸ್ಕಿಯ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸಮಾನತೆಯು z ನಲ್ಲಿದ್ದರೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಡಿಸ್ಕ್ |z | <r ನಲ್ಲಿ r ≤ ತನ್ಹ π/4 ನೊಂದಿಗೆ f ನಕ್ಷತ್ರದಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು (ರಷ್ಯನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ) (ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ) (ಜರ್ಮನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ) ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳು