Conformal geometric algebra
ಏಕರೂಪದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವು (ಸಿ. ಜಿ. ಎ.) ನಕ್ಷೆಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಮೂಲ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳವರೆಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿದೆ. ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು, ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನುವಾದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ; ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು, ಸಮತಲಗಳು, ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಗೋಳಗಳು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಗಣನೆಗೆ ಯೋಗ್ಯವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ ಎಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ನಕ್ಷೆಯ ಪರಿಣಾಮವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ. ಶೂನ್ಯ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ)-ಬ್ಲೇಡ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮ್ಯಾಪ್ನಲ್ಲಿರುವ ಗೋಳಗಳು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನ ಅನುವಾದದ (ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಪರಿಣಾಮವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಈ ಜಾಗದ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ವಾಹಕಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಬೀಜಗಣಿತದ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಇದು 3D ಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಹಳ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಆವರ್ತಕಗಳ ಒಂದು ಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ಗೋಳಗಳು, ಸಮತಲಗಳು, ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಎಲ್ಲವೂ ಸಹಪರಿವರ್ತಿತವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವನ್ನು (a-ಗೋಳ) ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳ ಬೆಣೆ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಸಂಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು; ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ವಸ್ತುವನ್ನು ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಾಹಕಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಬೆಣೆ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಕೆಲವು ಛೇದಕ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಅಚ್ಚುಕಟ್ಟಾದ ಬೀಜಗಣಿತದ ರೂಪವನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತವೆಃ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗೆ, ಎರಡು ಗೋಳಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಟೆಟ್ರಾವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಡ್ಯುಯಲ್ಗೆ ಬೆಣೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದರಿಂದ ಅವುಗಳ ಛೇದಕ ವೃತ್ತದ ಟ್ರೈವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದ ಡ್ಯುಯಲ್ ಅನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಯು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಗಣನೆಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಸಾಲ ನೀಡುವುದರಿಂದ, ಇದು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಇನ್ವರ್ಸಿವ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ಪರಿಶೋಧನೆಯನ್ನು ಕಾಂಕ್ರೀಟ್, ಸುಲಭವಾಗಿ ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಕ್ರೂ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಮತ್ತು ಸುಗಮಗೊಳಿಸಲು ಇದನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ರಚನೆಯಾಗಿಯೂ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಸಿಜಿಎಯನ್ನು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ದೈನಂದಿನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗವನ್ನು ಐದು ಆಯಾಮದ ವಾಹಕ ಜಾಗವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ನಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ರೊಬೊಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ ತನಿಖೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಹುಸಿ-ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು-ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮಿನ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ. ಸಿಜಿಎ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಪರಿಭಾಷೆಯ ನಿರ್ಮಾಣ ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಗಮನ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬೀಜಗಣಿತವು ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಗಮನ ಸೆಳೆಯುವ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ; ಇತರ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾಡೆಲ್ ಮಾಡಲಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಅಥವಾ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎಂದು ರೂಪಿಸಲು ಬಳಸುವ ಬೀಜಗಣಿತದ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕರೂಪದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಳದ ರೇಖೀಯ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುಗಳ ಪದಗಳುಃ ಬಿಂದು, ರೇಖೆ, ವೃತ್ತ, ಗೋಳ, ಅರೆ-ಗೋಳ ಇತ್ಯಾದಿ. ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುವನ್ನು ಅಥವಾ ಆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸ್ಥಳದ ಏಕರೂಪದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸದ ಹೊರತು ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ಏಕರೂಪದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಶೂನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಕೆಲವು ಮಾನದಂಡಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೋಲ್ಡ್ಫೇಸ್ ಲೋವರ್ಕೇಸ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನವರೆಗೆ ಸ್ಥಾನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾತಿನಿಧಿಕ ಸ್ಥಳದ ಇತರ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಇಟಾಲಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳು ಬೇಸ್ ಜಾಗವನ್ನು ಆಯ್ದ ಮೂಲದಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರಗಳಿಗೆ ಆಧಾರವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಎರಡು ಬೇಸಿಸ್ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮತ್ತು, ಎಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಬದಲಿಗೆ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಿ ಇದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದುಃ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಬೇಸಿಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇತರ ಬೇಸಿಸ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೇಸಿಸ್ಃ ಫಾರ್ನ ಗುಣಾಂಕವು ಫಾರ್ನ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಮತ್ತು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಜಾಗದ ನಡುವಿನ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು (ಮೂಲದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾದ ಅಫೈನ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನವರೆಗೆ) ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಅಂಶದಿಂದ ಮಾತ್ರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ವಸ್ತುಗಳು ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ವಸ್ತುವಿಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬಯಸಿದಾಗ, ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಸ್ಥಳದಿಂದ ಬೇಸ್ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸರಳ ಹಿಮ್ಮುಖ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅಥವಾ ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಮೊದಲು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ 3-ಗೋಳದ ಘಟಕಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸುವುದು (5-ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಇದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿದೆ); ನಂತರ ಇದನ್ನು ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಎತ್ತುವ ಮೂಲಕ, ಮೂಲದಿಂದ ಒಂದೇ ಕಿರಣದ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು (5-ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಇದು ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿದೆ); ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣದ ಸಮತಲವನ್ನು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮನ್ವಯದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. .. ವಿಲೋಮ ನಕ್ಷೆಯು ಶೂನ್ಯ ಕೋನ್ ಮೇಲಿನ ವಿಲೋಮ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು (Perwass eqn 4.37) ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆಃ ಇದು ಮೊದಲು ಬೆಳಕಿನ ಕೋನ್ ನಿಂದ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಸ್ಟೀರಿಯೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳನ್ನು ದೂರ ಎಸೆಯುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಒಟ್ಟಾರೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವುದು. ಮೂಲ ಮತ್ತು ಅನಂತದಲ್ಲಿ ಬಿಂದು ನಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುವು, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ (ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ) ವಾಹಕ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ, ಆದರೆ ಶೂನ್ಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಾಹಕವು (ವಿಲೋಮ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ) ಅನಂತ ವಾಹಕದ ಚಿತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ ದಿಕ್ಕು ಅನಂತದಲ್ಲಿ (ಕನ್ಫರ್ಮಲ್) ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಬ್ಸ್ಕ್ರಿಪ್ಟ್ಗಳನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲದ ಆಯ್ಕೆಯು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದೆಃ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅಫೈನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಮೂಲವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಅನುವಾದದಂತೆಯೇ, ಮೂಲವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ತಿರುಗುವಿಕೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಇವುಗಳ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ, ಇವು ಬೀಜಗಣಿತದ 32 ಆಧಾರ ಬ್ಲೇಡ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಫ್ಲಾಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲವನ್ನು ಬಾಹ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನವು ಮಿಶ್ರ ದರ್ಜೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. (). ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ, ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಜಾಗದ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬ್ಲೇಡ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ರೂಪದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಜೋಡಿಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿರುವ ವಾಹಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಏಕರೂಪದ 1-ಡಿ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವರ್ಗದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಬ್ಲೇಡ್ ಅನ್ನು ಉಪಯುಕ್ತ ಮಾರ್ಗವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಬ್ಲೇಡ್ಗೆ (ಜಾಗದ ಆಯಾಮಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ) ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಸ್ಕೇಲಾರ್ಃ ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಃ ಒಂದೇ ಬಿಂದು ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಃ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳು ಟ್ರೈವೆಕ್ಟರ್ಃ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವೃತ್ತವು 4-ವೆಕ್ಟರ್ಃ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಗೋಳವು ಇತ್ಯಾದಿ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಧನಾತ್ಮಕ, ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆಯೇ, ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ವಸ್ತುವಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿದೆಯೇ (ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ), ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಪ್ರಕರಣ, ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ (ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಪರಿಹಾರಗಳು ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಎಂಬ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳು (ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ-ಗೋಳಗಳು) ಆಧಾರ ಸ್ಥಳವು ಹುಸಿ-ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಗಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅರೆ-ಗೋಳಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಸಮತಟ್ಟಾದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಅನಂತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ವಸ್ತುವು ರೇಖೆ, ಸಮತಲ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಬ್ಲೇಡ್ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಗ್ರೇಡ್ 3,4, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಸ್ತುವಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಪಡೆದಂತೆ, ಈ ವರ್ಗದ ವಸ್ತುವಿನ ಒಂದನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಬ್ಲೇಡ್ ಅನ್ನು ವಸ್ತುವಿನ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವಾಹಕಗಳ ಹೊರಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಬೇಸ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ, ಈ ರೇಖೀಯ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವು ಇತರ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಸ್ತುವಿನ ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಪ್ರಕಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ನಾಲ್ಕನೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಗೋಳವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ನಾಲ್ಕನೇ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಶೂನ್ಯ ಕೋನ್ ಮೇಲೆ e123 ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಆಡ್ಸ್ ಪಾಯಿಂಟುಗಳು-ನಾವು ಹೊಂದಿಸಿದರೆ ಶೂನ್ಯ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ. ನಾವು ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಇ123 ಎಸ್. ಟಿ. ಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ನಲ್ಲಿ, ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತು ಎ. ಆ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆಃ x. a = 0 => x perp a; x. (a ಱ್ b) = 0 => x ಪರ್ಪ್ a ಮತ್ತು x ಪರ್ಪ್ b x ಱ್ a = 0 => x a ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ; x ಱ್ (a ಱ್ b) = 0 => x a ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಅಥವಾ b ಗೆ (ಅಥವಾ ಕೆಲವು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ) ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. A * = 0 (ಚೆಕ್-x 1-ಡಿಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, A n-1 ಡಿಮ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ) g (x). ಎ = 0 ಎ ಬಿಂದುಃ ಆರ್ 4,1 ರಲ್ಲಿ ಎ ಶೂನ್ಯ ಕೋನ್ ಮೇಲೆ ವಾಹಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಆರ್ 3 ರಲ್ಲಿ x ನ ಲೋಕಸ್ ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. (ಎನ್. ಬಿ. ಇದು ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸ್ಥಳವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಉದ್ದದ ವಾಹಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ g (x). A = 0 ಎಂಬುದು g (x). g (a) = 0 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಗೋಳವುಃ A = S ಆಗಿದ್ದರೆ x ನ ಲೋಕಸ್ ಒಂದು ಗೋಳವಾಗಿದ್ದು, ಶೂನ್ಯ ಕೋನ್ ನಿಂದ ಒಂದು ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಹಾಗಾದರೆ S. X = 0 => ಇವು ಶೂನ್ಯ-ಕೋನ್ ನಿಂದ ಹೊರಗಿರುವ ವಾಹಕ S ಗೆ ಒಂದು ಗೋಳಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಯಾವ ದಿಕ್ಕುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ? (cf ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರ ಪಿಕ್ಸ್) 2 + 1 ಡಿ ಯಲ್ಲಿ, ಎಸ್ (1, ಎ, ಬಿ) ಆಗಿದ್ದರೆ, (ಇ-, {ಇ +, ಐ} ಸಹ-ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ), ಎಸ್ ಗೆ ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಆಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಿಂದುಗಳು (-1, ಎ, ಬಿ)-ಅಂದರೆ, ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ; ಅಥವಾ ಎನ್ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹೈಪರ್ ಪ್ಲೇನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಅಲ್ಲದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮತಲವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ (ಎನ್-2 ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಸರ್ಫೇಸ್), ಮತ್ತು ನಂತರ ಕೋನ್ ಅನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ (ರೆಸ್ಪ್. ಕೆಲವು ರೀತಿಯ ಎನ್-3 ಕೋನಿಕ್ ಮೇಲ್ಮೈ). ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಬಹುಶಃ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಕೋನಿಕ್ ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಇದು g ನ ಕೆಳಗಿರುವ ಗೋಳದ ಚಿತ್ರವಾಗಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟುಃ A = P ಆಗಿದ್ದರೆ x ನ ಲೋಕಸ್ ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿದೆ, ಶೂನ್ಯ ಅಂಶವಿಲ್ಲದ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ವಾಹಕ P, ಮೂಲದಿಂದ ಅನಂತವಾಗಿ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲ ಸಂಖ್ಯೆ = 1ರಲ್ಲಿರುವ ವಾಹಕವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಶೂನ್ಯ ಕೋನ್ನಿಂದ ಅನಂತವಾಗಿ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ), ಆದ್ದರಿಂದ g (x). P = 0 ಅನಂತ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಗೋಳದಲ್ಲಿ xಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಸಮತಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿಃ ಮೂಲದಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ದೂರ α ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ x ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಇದು a ಮತ್ತು b ನಡುವಿನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ a-b ವೃತ್ತಗಳು ಅನಂತ ಬಿಂದು ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲ ರೇಖೆಗಳ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪಾಂತರ ಪ್ರತಿಬಿಂಬಗಳು P g (x) P ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಶೂನ್ಯ-ಕೋನ್, g (x ') ಮೇಲೆ ಹೊಸ ದಿಕ್ಕನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ x' ಎಂಬುದು g (p) ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ R3ಯಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ p ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಪಿ = 0. ಜಿ (x). A = 0 => P g (x). A P = 0 => P g (x) P. ಪಿಎಪಿ (ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಬೆಣೆ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ), ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಎ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಪಿ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್-ಶೈಲಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವು x ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೀತಿಯ ಎ ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ವಲಯಗಳು, ಗೋಳಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಪಿ ನಿಂದ ಜಿ (ಎಕ್ಸ್) ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರತಿಫಲನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುವಾದಗಳು ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದುಃ ಅನುವಾದಗಳು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ಸಮತಲಗಳಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನವು ಒಂದು ಅನುವಾದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು x 'ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮೂಲವನ್ನು 2 θ ಕೋನದಿಂದ ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ θ ಎಂಬುದು a ಮತ್ತು b ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ-- ಈ ರೋಟರ್ ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ x ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಅದೇ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಸಾಮಾನ್ಯ ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಬಿಂದುವನ್ನು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಂತರ ಮೂಲದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಂತರ ಬಿಂದುವನ್ನು ಅದರ ಮೂಲ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಧಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ನಿರ್ವಾಹಕನು ಜಿ (ಎಕ್ಸ್) ಅನ್ನು ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಕ್ರೂ ಅಥವಾ ಮೋಟರ್ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಿಕೆ, ನಂತರ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ಅನುವಾದ) ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಎಂ ಅನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದು (ಚಾಸ್ಲೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯ) ವಿಲೋಮಗಳು ಒಂದು ವಿಲೋಮವು ಗೋಳದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ-ಅಂತಹ ವಿಲೋಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಧಿಸಬಹುದಾದ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಲೋಮ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅನುವಾದ ಮತ್ತು ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಲೋಮದ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಯಾವುದೇ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ-ಅಂದರೆ. ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕವಾಗಿ ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಯಾವುದೇ ನಕ್ಷೆ. (ಲಿಯೋವಿಲ್ಲೆಯ ಪ್ರಮೇಯ). ಒಂದೇ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ವಿಲೋಮಗಳು ಹಿಗ್ಗುವಿಕೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಇತಿಹಾಸ ಸಮ್ಮೇಳನಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಕಾಲಿಕಗಳು ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೋಮಾಂಚಕ ಮತ್ತು ಅಂತರಶಿಕ್ಷಣ ಸಮುದಾಯವಿದೆ. ಈ ವಿಷಯದ ಪ್ರಮುಖ ಸಮ್ಮೇಳನಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅನ್ವಯಗಳು (ಐ. ಸಿ. ಸಿ. ಎ.) ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅನ್ವಯಗಳು (ಎ. ಜಿ. ಎ. ಸಿ. ಎಸ್. ಇ.) ಸರಣಿಯ ಅಂತಾರಾಷ್ಟ್ರೀಯ ಸಮ್ಮೇಳನಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ಜರ್ನಲ್ ಅಡ್ವಾನ್ಸಸ್ ಇನ್ ಅಪ್ಲೈಡ್ ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಸ್ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕಟಣೆಯಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಹೆಸ್ಟೆನೆಸ್ ಮತ್ತು ಇತರರು (2000), ಜಿ. ಸೋಮರ್ ನಲ್ಲಿ (ಆವೃತ್ತಿ. ), ಕ್ಲಿಫರ್ಡ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾದೊಂದಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ವೆರ್ಲಾಗ್. (ಗೂಗಲ್ ಪುಸ್ತಕಗಳು) (http://geocalc.clas.asu.edu/html/UAFCG.html ಹೆಸ್ಟೆನೆಸ್ನ ಜಾಲತಾಣ) Ch. 1: ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕಾಗಿ ಹೊಸ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪಕರಣಗಳು Ch. 2: ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು Ch. 3: ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ಏಕರೂಪದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ Ch. 4: ಎ ಯೂನಿವರ್ಸಲ್ ಮಾಡೆಲ್ ಫಾರ್ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿ ಆಫ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್, ಗೋಳಾಕಾರದ ಮತ್ತು ಡಬಲ್-ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಸ್ಪೇಸಸ್ ಹೆಸ್ಟೆನೆಸ್ (2001), ಇ. ಬೈರೊ-ಕೊರೊಚಾನೊ & ಜಿ. ಸೊಬ್ಜಿಕ್ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ), ಅಡ್ವಾನ್ಸಸ್ ಇನ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ವಿತ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಇನ್ ಸೈನ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ವೆರ್ಲಾಗ್. ಗೂಗಲ್ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಓಲ್ಡ್ ವೈನ್ ಇನ್ ನ್ಯೂ ಬಾಟಲ್ಸ್ (pp. 1-14) ಹೆಸ್ಟೆನೆಸ್ (2010), ಇ. ಬೈರೊ-ಕೊರೋಚಾನೊ ಮತ್ತು ಜಿ. ಶ್ಯೂರ್ಮನ್ (2010), ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಇನ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಂಡ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ವೆರ್ಲಾಗ್. (ಗೂಗಲ್ ಪುಸ್ತಕಗಳು). ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಸ್ಕ್ರೂ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪುನರುಜ್ಜೀವನಕ್ಕಾಗಿ ಹೊಸ ಉಪಕರಣಗಳು ಡೋರನ್, ಸಿ. ಮತ್ತು ಲಾಸೆನ್ಬಿ, ಎ. (2003), ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಪ್ರೆಸ್. 351 ಎಟ್ ಸೆಕ್ ಡಾರ್ಸ್ಟ್, ಎಲ್. ಎಟ್ ಅಲ್ (2007), ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಫಾರ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಸೈನ್ಸ್, ಮೋರ್ಗನ್-ಕೌಫ್ಮನ್. ಅಧ್ಯಾಯ 13; ಪುಟ 355 ಮತ್ತು ಸೆಕ್ ವಿನ್ಸ್, ಜೆ. (2008), ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಫಾರ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ವೆರ್ಲಾಗ್. ಅಧ್ಯಾಯ 11; ಪು. 199 ಎಟ್ ಸೆಕ್ ಪರ್ವಾಸ್, ಸಿ. (2009), ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ವಿತ್ ಅಪ್ಲಿಕೇಷನ್ಸ್ ಇನ್ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ವೆರ್ಲಾಗ್. § 4.3: ಪು. 145 ಎಟ್ ಸೆಕ್ ಬೈರೊ-ಕೊರೋಚಾನೊ, ಇ. ಮತ್ತು ಶ್ಯೂರ್ಮನ್ ಜಿ. (2010, ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ), ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ವೆರ್ಲಾಗ್. ಪಿಪಿ. 3-90 ಬೇಯ್ರೋ-ಕೊರೋಚಾನೊ (2010), ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಫಾರ್ ವೇವ್ಲೆಟ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ಸ್, ರೋಬೋಟ್ ವಿಷನ್, ಲರ್ನಿಂಗ್, ಕಂಟ್ರೋಲ್ ಅಂಡ್ ಆಕ್ಷನ್. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ವೆರ್ಲಾಗ್. ಅಧ್ಯಾಯ 6; ಪು. 149-183 ಡಾರ್ಸ್ಟ್, ಎಲ್. ಮತ್ತು ಲಾಸೆನ್ಬಿ, ಜೆ. (2011, ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ), ಗೈಡ್ ಟು ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಇನ್ ಪ್ರಾಕ್ಟೀಸ್. ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ವೆರ್ಲಾಗ್, ಪುಟಗಳು. 3-252. .. ಆನ್ಲೈನ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳು ವೇರ್ಹ್ಯಾಮ್, ಆರ್. (2006), ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಗ್ರಾಫಿಕ್ಸ್ ಯುಸಿಂಗ್ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧ, ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ, ಪು. 14-26,31-67 ಬ್ರೋಂಬೋರ್ಸ್ಕಿ, A. (2008), ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ಏಕರೂಪದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ (ಆನ್ಲೈನ್ ಸ್ಲೈಡ್ಗಳು) Dell 'Acqua, A. et al (2008), ಬಿಂದುಗಳು, ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮತಲಗಳ ರಚನೆಗಳಿಂದ 3D ಚಲನೆ, ಇಮೇಜ್ ಮತ್ತು ವಿಷನ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್, 26 529-549 ಡೋರ್ಸ್ಟ್, L. (2010), ಟ್ಯುಟೋರಿಯಲ್ಃ ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಚಲನೆಗಳ ರಚನೆ-ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ, ಇ. ಬೈರೊ-ಕೊರೊಚಾನೊ, ಜಿ. ಶ್ಯೂರ್ಮನ್ (ಆವೃತ್ತಿಗಳು. ), ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್ ವೆರ್ಲಾಗ್. ಕೊಲಾಪಿಂಟೊ, ಪಿ. (2011), ವೆರ್ಸರ್ ಸ್ಪೇಷಿಯಲ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ವಿತ್ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ, ಎಂಎಸ್ಸಿ ಥೀಸಿಸ್, ಯೂನಿವರ್ಸಿಟಿ ಆಫ್ ಕ್ಯಾಲಿಫೋರ್ನಿಯಾ ಸಾಂತಾ ಬಾರ್ಬರಾ ಮ್ಯಾಕ್ಡೊನಾಲ್ಡ್, ಎ. (2013), ಎ ಸರ್ವೆ ಆಫ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಅಂಡ್ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್. (ಆನ್ಲೈನ್ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು) § 4.2: ಪುಟ 26 ಮತ್ತು ಸೆಕ್. ಮೋಟಾರು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಆರ್ಎನ್ + 1: ಎಡ್ವರ್ಡೊ ಬೈರೊ ಕೊರೋಚಾನೊ (2001), ಗ್ರಹಿಕೆ ಕ್ರಿಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ಃ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು, ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಮತ್ತು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಅನ್ವಯಗಳು. (ಗೂಗಲ್ ಪುಸ್ತಕಗಳು) ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಏಕರೂಪದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ವಿಲೋಮ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ