Proto-value function
ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೂಲ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳು (ಪಿವಿಎಫ್ಗಳು) ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕಲಿಯುವ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಕಾರ್ಯ-ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರೆಡಿಟ್ ಅಸೈನ್ಮೆಂಟ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಅವು ಹೊಸ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಚೌಕಟ್ಟು ಮಾರ್ಕೊವ್ ನಿರ್ಧಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು (ಎಂಡಿಪಿ) ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೊಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಹು-ಪ್ರಮಾಣದ ವರ್ಣಪಟಲ ಮತ್ತು ಬಹುಗುಣಿತ ಕಲಿಕಾ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಲಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಲ್ಯಾಪ್ಲಾಸಿಯನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ ಮೂಲ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐ. ಸಿ. ಎಂ. ಎಲ್. 2005ರಲ್ಲಿ ಶ್ರೀಧರ್ ಮಹಾದೇವನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಬಂಧವಾದ ಪ್ರೊಟೊ-ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ಃ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟಲ್ ರೀನ್ಫೋರ್ಸ್ಮೆಂಟ್ ಲರ್ನಿಂಗ್ ನಲ್ಲಿ ಮೂಲ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಬಲವರ್ಧನೆಯ ಕಲಿಕೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ನಿರಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮಾರ್ಕೋವ್ ನಿರ್ಧಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು (ಎಂಡಿಪಿ) ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರೇರಣೆ ಮೌಲ್ಯ ಕಾರ್ಯ ಅಂದಾಜು ಒಂದು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಉತ್ತಮ ಕಾರ್ಯ ಅಂದಾಜು ಯಂತ್ರವು ಬಲವರ್ಧನೆ ಕಲಿಕೆ (ಆರ್ಎಲ್) ಏಜೆಂಟ್ಗೆ ತಾನು ಅನುಭವಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸದೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೀನಿಯರ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ರೇಡಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು, ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಎಮ್ಎಸಿಗಳಂತಹ ಮೌಲ್ಯ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಆಗಾಗ್ಗೆ ಗಮನಾರ್ಹ ಡೊಮೇನ್-ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೈ-ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಡೊಮೇನ್ನ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಬಹುಮುಖಿ ರಚನೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಈ ಅಗತ್ಯವಾದ ಕೈ-ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತವೆ. ಮೂಲ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಕಾರ್ಯ-ಸ್ವತಂತ್ರ ಜಾಗತಿಕ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸ್ಥಿತಿ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಜಾಗವನ್ನು ಒಟ್ಟಾಗಿ ವ್ಯಾಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅವು ಪರಿಸರಕ್ಕೆ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಗೋಡೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ಸ್ಥಿತಿಗಳು) ಬಹುದೂರದ ಅಂತರದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಈ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನಗಳು ವಿಶಾಲವಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಎಂಡಿಪಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ನಲ್ಲಿ ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಎಂದು ಮೌಲ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನರ್ರಚಿಸುವುದರಿಂದ ಮೂಲ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಇದು ಕಲಿತ ನೆಲೆಗಳ ವ್ಯಾಪಕ ಅನ್ವಯಿಕತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೊಸ ವರ್ಗದ ಕಲಿಕೆಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನೀತಿಗಳನ್ನು ಕಲಿಯುತ್ತದೆ. ಗ್ರಾಫ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನಿಂದ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳು ಈ ವಿಧಾನವು ಗ್ರಾಫ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ನ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲಕ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ (ಅಥವಾ ಸಮ್ಮಿತೀಯ) ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಕ್ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಸರಳತೆಗಾಗಿ, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜಾಗವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸದ ಭಾರವಿಲ್ಲದ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಸಂಯೋಜಕ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಅನ್ನು ಆಪರೇಟರ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಡಿಗ್ರಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕರ್ಣೀಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಇದು ಅಡ್ಜಸೆನ್ಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಆಪರೇಟರ್ನ ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜಕ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್, ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಐಗನ್ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ "ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಐಗನ್ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಸಂಯೋಜಿತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮಾತ್ರ ಆಪರೇಟರ್ ಅಲ್ಲ. ಇತರ ಸಂಭಾವ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವಾಕ್ ಗ್ರಾಫ್ ನಿರ್ಮಾಣ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಿತಿಯ ಸ್ಥಳಕ್ಕಾಗಿ ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಪರ್ಕಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸರಳವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ರಾಜ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಸಮಂಜಸವಾದ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿರಂತರ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ನಿರ್ಮಾಣ ನಿರಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜಾಗಕ್ಕಾಗಿ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಬಹಳ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಿತಿಯ ಜಾಗಕ್ಕಾಗಿ, ಸ್ಥಿತಿಯ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿನ ಬಹುಗುಣದಿಂದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಮಾದರಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾದ ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ನಡಿಗೆ ಅಥವಾ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ಅನ್ವೇಷಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾದರಿ ಮಾಡುವುದು ಎರಡು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಬೇಕೇ ಎಂದು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಪಿವಿಎಫ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿದ ನಂತರ, ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಕಾರ್ಯ ಅಂದಾಜು ಚೌಕಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ಅಂದಾಜು. ಪ್ರೋಟೋ-ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ಅಂದಾಜು ಪಿವಿಎಫ್ಗಳ ಆಧಾರ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಐಗನ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಥಿತಿಯ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿರುವ ಗುರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಪಿವಿಎಫ್ಗಳ ಘಟಕವಾರು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರತಿ ನಮೂದು ಕನಿಷ್ಠ ವರ್ಗ ದೋಷವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೆ ಪಿವಿಎಫ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠ-ವರ್ಗ ವಿಧಾನವು ಸಾಧ್ಯ. ಮಾರ್ಕೊವ್ ನಿರ್ಧಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಬಲವರ್ಧನೆ ಕಲಿಕೆ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯ ಐಗನ್ಫಂಕ್ಷನ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.