Loewner differential equation
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಲೋವ್ನರ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಲೋವ್ನರ್ ಸಮೀಕರಣವು 1923 ರಲ್ಲಿ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಲೋವ್ನರ್ ಅವರು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮೂಲತಃ ಸ್ಲಿಟ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು (ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ತೆರೆದ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು 0 ರಿಂದ φ ಅನ್ನು ಸೇರುವ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗಿದೆ), ಲೋವ್ನರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಂತರ 1943 ರಲ್ಲಿ ರಷ್ಯಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪಾವೆಲ್ ಪರ್ಫೆನೆವಿಚ್ ಕುಫರೆವ್ (1909-1968) ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಡೊಮೇನ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಕುಟುಂಬವು ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಇಡೀ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತಾ ಲೋವ್ನರ್ ಸರಪಳಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಗಳ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಲೋವ್ನರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಏಕರೂಪದ ಸ್ವಯಂ-ನಕ್ಷೆಗಳ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿರುವ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಸಮಯ ಅವಲಂಬಿತ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಲೋವ್ನರ್ ಅರೆಗುಂಪು ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಅರೆಗುಂಪು ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಲೋವ್ನರ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು 1985 ರಲ್ಲಿ ಲೂಯಿಸ್ ಡಿ ಬ್ರಾಂಜಸ್ ಅವರ ಬೀಬರ್ಬಾಚ್ ಊಹೆಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರ ವಹಿಸಿದೆ. ಲೋವ್ನರ್ ಸ್ವತಃ 1923 ರಲ್ಲಿ ಮೂರನೇ ಗುಣಾಂಕದ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ತನ್ನ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರು. 1990ರ ದಶಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಓಡೆಡ್ ಶ್ರಾಮ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಲೋವ್ನರ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾದ ಶ್ರಾಮ್-ಲೋವ್ನರ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಕನ್ಫರ್ಮಲ್ ಫೀಲ್ಡ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧೀನಗೊಳಿಸಿ, ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿರಲಿ. ಒಂದು ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅದು ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ಸರಿಹೊಂದಿಸಿಕೊಂಡರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಅಧೀನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ನಕ್ಷೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಅಗತ್ಯತೆಯು ತಕ್ಷಣದದ್ದಾಗಿದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಇದನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ φ ಎಂಬುದು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಸ್ವಯಂ-ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತಹ ನಕ್ಷೆಯು ಪ್ರತಿ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅದರೊಂದಿಗೆ, ಅದು ಅದನ್ನು ಮತ್ತು ಲೋವ್ನರ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ರೀಮನ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯವು ನೀಡಿದ ಅನನ್ಯ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಗಳು ಅದರ ಸಾಂದ್ರವಾದ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ನಿರಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಕಾರ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಲೋವನರ್ ಸರಪಳಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ರಿಪರಾಮೆಟ್ರಿಜೇಷನ್ ಮೂಲಕ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಸರಪಳಿಯ ಜ್ಞಾನವು ತೆರೆದ ಸೆಟ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕೋಯೆಬೆ ವಿರೂಪತೆಯ ಪ್ರಮೇಯವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಲೋವ್ನರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಒಂದು ಲೋವ್ನರ್ ಸರಪಳಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಡಿಸ್ಕ್ ಫಿಕ್ಸಿಂಗ್ನ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಏಕರೂಪದ ಸ್ವಯಂ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಇರುವುದರಿಂದ, ಅನನ್ಯತೆಯಿಂದ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆಃ ಫಾರ್. ಅವರು ಲೋವ್ನರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಸ್ವಯಂ-ನಕ್ಷೆಗಳು ಲೋವ್ನರ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಮೇಲೆ ನಿರಂತರವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಲೋವ್ನರ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಲೋವ್ನರ್ ಅರೆಗುಂಪಿಗೆ ಅಥವಾ ಲೋವ್ನರ್ ಸರಪಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ಗೆ, ನಂತರ ಫಾರ್ ಜೊತೆ ಇರಲಿ. ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಲೋವ್ನರ್ ಸರಪಳಿಯಿಂದ ತೃಪ್ತಿಯಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಅದು ಆರಂಭಿಕ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪಿಕಾರ್ಡ್-ಲಿಂಡೆಲೋಫ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿವೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಲೋವ್ನರ್ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ಲೋವ್ನರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ನಿಂದ ಮಿತಿಗೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದುಃ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ಸ್ವಯಂ-ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್, ಫಿಕ್ಸಿಂಗ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಲೋವ್ನರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಅಂದಾಜುಗಳಿಂದ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವಾದವನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ಲಿಟ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳು ಹೋಲೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹರ್ಗ್ಲೋಟ್ಜ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಅಳತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿನ ಏಕರೂಪದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸ್ಲಿಟ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಇವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಚಾಪದೊಂದಿಗಿನ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿದ್ದು, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿ ಕರ್ನಲ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಘಟಕ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಜೋರ್ಡಾನ್ ಚಾಪದಿಂದ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದು. ಆಯ್ದ ಬಿಂದುವಿನ ಒಂದು ಬದಿಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಭಾಗವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಏಕರೂಪದ ನಕ್ಷೆಗಳು ಸಾಂದ್ರ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ. ಲೋವ್ನರ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ಲಿಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾದ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಚಾಪವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ನಕ್ಷೆಯ ಅಸಮಾನವಾದ ನಕ್ಷೆಯು ನಿರಂತರವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಿರಂತರವಾಗಿರಲಿ. ಇದು ಲೋವ್ನರ್ ಸರಪಳಿ ಮತ್ತು ಲೋವ್ನರ್ ಸೆಮಿಗ್ರೂಪ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ನಿರಂತರ ನಕ್ಷೆ ಇರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ಗಡಿಯವರೆಗೆ ಜೋರ್ಡಾನ್ ಚಾಪದೊಂದಿಗೆ ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ ಅನ್ನು ಯುನಿಟ್ ಡಿಸ್ಕ್ನಲ್ಲಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಅದು ಗಡಿಯನ್ನು ಮುಟ್ಟುವ ಬಿಂದುವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕಕ ವೃತ್ತದಿಂದ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಯೋಗವು (ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ): ಸಮಾನವಾಗಿ, ಕ್ಯಾರಾಥಿಯೋಡರಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಮುಚ್ಚಿದ ಘಟಕ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ನಿರಂತರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಚಾಲನಾ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಪ್ರತಿ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಲಿಟ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ನಿಂದ ಬರುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಿರಂತರ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಇದು ನಿಜವೆಂದು ಕುಫರೆವ್ ತೋರಿಸಿದರು. bieberbach ಊಹೆಗೆ ಅನ್ವಯವು, ಸಮಾನವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯದ ಮೂರನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕಾಗಿ bieberbach ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸ್ಲಿಟ್ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಗಳಿಗಾಗಿ ತನ್ನ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿತು. ನಂತರ ನಿರಂತರ. ಲೋವ್ನರ್ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಬೀಬರ್ಬಾಚ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳ ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ