Cardinal characteristic of the continuum
ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಅನಂತ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು ಅದು (ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ) ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ನಡುವೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಅನ್ನು ಅಥವಾ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವಿವಿಧ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಯಾವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿವಿಧ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂರಚನೆಗಳಿಗಾಗಿ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಹಿನ್ನೆಲೆ ಕ್ಯಾಂಟರ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ವಾದವು ಅದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅದಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು (ಅಂದರೆ,) ಗಿಂತ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಕಾಂಟಿನಮ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ನ ಊಹೆಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಕರ್ಟ್ ಗೊಡೆಲ್ ಅವರ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ZFC ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪಾಲ್ ಕೋಹೆನ್ ಅವರಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕಾಂಟಿನಮ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ ವಿಫಲವಾದರೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ, ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮತ್ತು ನಡುವೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಅಳೆಯುವಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ. ಕೆಲವು ಆಸ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಸತತವಾಗಿ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಲೆಕ್ಕವಿಲ್ಲದಷ್ಟು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಬ್ಬರು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನಿರಂತರತೆಯ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾಂಟಿನಮ್ ಹೈಪೋಥೆಸಿಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿರುವಂತೆ, ನಾವು ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಅನಂತ ಆರ್ಡಿನಲ್ನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ; ಇದನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಲೆಬೆಸ್ಗು ಶೂನ್ಯ ಸೆಟ್ಗಳ ಐಡಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಅಲ್ಪ ಸೆಟ್ಗಳ ಐಡಿಯಲ್ನಂತಹ ನೈಜ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿರುವ ಐಡಿಯಲ್ಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ಗಳಾಗಿ ಹಲವಾರು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ನಾನ್ (ಎನ್) ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾದ ನಾನ್ () ಅಳೆಯಲಾಗದ ಗುಂಪಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿದೆ; ಸಮಾನವಾಗಿ, ಇದು ಲೆಬ್ಸ್ಗು ಶೂನ್ಯ ಗುಂಪಿನಲ್ಲದ ಗುಂಪಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿದೆ. ಬೌಂಡಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಹೇಳಿಕೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ. ಬೌಂಡಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಗುಂಪಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕಾರ್ಯವು ಆ ಗುಂಪಿನ ಸದಸ್ಯರಿಂದ (ಅಂದರೆ) ಪ್ರಾಬಲ್ಯ ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಪ್ರಾಬಲ್ಯದ ಸೆಟ್ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕರ್ಣೀಯ ವಾದವು ಅದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ ಇದು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಆದರೆ ಹೆಕ್ಲರ್ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಹೊಂದಿರುವುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವಿಭಜಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕೊಯ್ಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದಕ್ಕೂ, ಎರಡೂ ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಉಪಗುಂಪಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿದ್ದು, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ವಿಭಜನೆಯಾಗುವಂತಹ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳಿವೆ. ಅಂದರೆ, ಕೊಯ್ಯುವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಉಪಗುಂಪಿನ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವು ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ, ಅಲ್ಟ್ರಾ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಫಿಲ್ಟರ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರಧಾನವಲ್ಲದ ಅಲ್ಟ್ರಾ ಫಿಲ್ಟರ್ನ ಫಿಲ್ಟರ್ ಬೇಸ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕುನೆನ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಇದರಲ್ಲಿ ಆದರೆ, ಮತ್ತು ಸ್ಯಾಕ್ಸ್ ಫೋರ್ಸಿಂಗ್ಗಳ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಬೆಂಬಲ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಬೌಮ್ಗಾರ್ಟ್ನರ್ ಮತ್ತು ಲೇವರ್ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರು. ಬಹುತೇಕ ಅಸಂಬದ್ಧತೆ ಸಂಖ್ಯೆ ಎರಡು ಉಪಗುಂಪುಗಳು ಮತ್ತು ಇವುಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಹುತೇಕ ಅಸಂಬದ್ಧವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ಅದರ ಸದಸ್ಯರು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬಹುತೇಕ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ ಬಹುತೇಕ ಅಸಂಬದ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಬಹುತೇಕ ಬೇರ್ಪಡುವ (ಹುಚ್ಚು) ಕುಟುಂಬವು ಬಹುತೇಕ ಬೇರ್ಪಡುವ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದ್ದು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಇಲ್ಲದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಉಪಗುಂಪಿಗೂ, ಬಹುತೇಕ ಬೇರ್ಪಡುವಂತಹ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಇರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳ ಛೇದನವು ಅನಂತವಾಗಿದೆ). ಬಹುತೇಕ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತ ಗರಿಷ್ಠ ಬಹುತೇಕ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆ ಕುಟುಂಬದ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಡಿನಲಿಟಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ಫಲಿತಾಂಶ ಎರಿಕ್ ವ್ಯಾನ್ ಡೌವೆನ್. ದಿ ಇಂಟಿಜರ್ಸ್ ಅಂಡ್ ಟೋಪೋಲಜಿ. ಕೆ. ಕುನೆನ್ ಮತ್ತು ಜೆ. ಇ. ವಾಘನ್ (ಎ. ಡಿ. ಎಸ್) ಹ್ಯಾಂಡ್ಬುಕ್ ಆಫ್ ಸೆಟ್-ಥಿಯೋರೆಟಿಕ್ ಟೋಪೋಲಜಿ. ಉತ್ತರ-ಹಾಲೆಂಡ್, ಆಮ್ಸ್ಟರ್ಡ್ಯಾಮ್, 1984. ಶೇಲಾ ಅವರು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. ಸಿಸೋನ್ನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ರೇಖಾಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದು, ಇದು 10 ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ನಡುವೆ ZFCಯಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲಾ ಜೋಡಿ-ಬುದ್ಧಿವಂತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಟೊಮೆಕ್ ಬಾರ್ಟೋಸ್ಜಿನ್ಸ್ಕಿ ಮತ್ತು ಹೈಮ್ ಜುಡಾಹ್. ನೈಜ ರೇಖೆಯ ರಚನೆಯ ಮೇಲೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ ". ಎ. ಕೆ. ಪೀಟರ್ಸ್, 1995. ಕಾರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು