Nonparametric skew
ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಾಂದರ್ಭಿಕವಾಗಿ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಅಂಕಿಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಇದು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ವಿತರಣೆಯ ವಕ್ರತೆಯ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ-ಅಂದರೆ, ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ಕಡೆ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ "ಒಲವು" ತೋರುವ ಪ್ರವೃತ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯ ಸ್ವರೂಪದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ-ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕೆಲವು ಅಪೇಕ್ಷಣೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಃ ಯಾವುದೇ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಇದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ; ಇದು ಸ್ಕೇಲ್ ಶಿಫ್ಟ್ನಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿಲ್ಲ; ಮತ್ತು ಇದು ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ-ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ಚೆನ್ನಾಗಿ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮಾದರಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಿಂದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ಗಮನವನ್ನು ಪತ್ತೆಹಚ್ಚುವಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರತೆಯ ಕ್ರಮಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಶಕ್ತಿಯುತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಾಸರಿ (μ), ಮಧ್ಯಮ (ν) ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನ (σ) ಗಳು ತಮ್ಮ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕವಲ್ಲದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಪಿಯರ್ಸನ್ 2 ವಕ್ರತೆಯ ಗುಣಾಂಕದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವಿತರಣೆಗೆ-1 ಮತ್ತು + 1ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯದ ಒಂದು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದ ಈ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ (X) ನ ಅಫೈನ್ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ S ನ ಮೌಲ್ಯವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ a ಷ್ಣ 0 ಮತ್ತು b ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು S (X) ವೇರಿಯೇಬಲ್ Xನ ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ (±1) ಮಿತಿಯನ್ನು ಮಜಿಂದರ್ ಅವರು ತೀಕ್ಷ್ಣಗೊಳಿಸಿದರು, ಅವರು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು X ನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ X ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ, E () ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಆಪರೇಟರ್ ಮತ್ತು Pr () ಘಟನೆಯು ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. p = q = 0.5 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು 1ರಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. p = 0.1 ಮತ್ತು p = 0.01 ರೊಂದಿಗೆ, ಅಂಕಿ ಅಂಶದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 0.6 ಮತ್ತು 0.199 ನಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿ ν0 ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು E (.) ಎಂದು ಸಹ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇದು ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಆಪರೇಟರ್ ಆಗಿದೆ. xq ಎಂಬುದು q ನೇ ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಕ್ವಾಂಟೈಲ್ಗಳು 0 ಮತ್ತು 1ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತವೆಃ ಮೀಡಿಯನ್ (0.5 ಕ್ವಾಂಟೈಲ್) q = 0.5 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವಕ್ರತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಂತರದ ಅಸಮಾನತೆಯು ಮತ್ತಷ್ಟು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿದೆ. ಸೀಮಿತ ಸರಾಸರಿ ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಈ ಕೊನೆಯ ಜೋಡಿಯಲ್ಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ a <b. ಸೀಮಿತ ಮಾದರಿಗಳು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ n ≤ 2 ಅನ್ನು xr ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿರುವ ಸೀಮಿತ ಮಾದರಿಗೆ r ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, m ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು s ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂಗೆ ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, r ಅನ್ನು n/2 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ಮಾದರಿ ಮೀಡಿಯನ್ಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ a ಮಾದರಿ ಮೀಡಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕಲ್ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಹೋಟಲಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸೊಲೊಮನ್ಗಳು ಪರೀಕ್ಷಾ ಅಂಕಿಅಂಶದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ n ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರ, m ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಸರಾಸರಿ, a ಎಂಬುದು ಮಾದರಿ ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು s ಎಂಬುದು ಮಾದರಿಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಡಿ ಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ಶೂನ್ಯ ಊಹೆಯು ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿವೆ. ಗ್ಯಾಸ್ಟ್ವರ್ತ್ n−1/2Dಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಿದರು. ವಿತರಣೆಯು ಏಕರೂಪವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು 0ರ ಸುಮಾರಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 1/4 ಮತ್ತು 1ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಂಪ್ರದಾಯವಾದಿ ಅಂದಾಜನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡರೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು 1ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿ ಇಡುವುದು) ನಾಮಮಾತ್ರ ಮಟ್ಟಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ನಿಜವಾದ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ ಕ್ಯಾಬಿಲಿಯೋ ಮತ್ತು ಮಸಾರೊ ಎಸ್ನ ವಿತರಣೆಯು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ, S ನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 0.5708 ಆಗಿದೆ. ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಮಧ್ಯಮ ಝೆಂಗ್ ಮತ್ತು ಗ್ಯಾಸ್ಟ್ವರ್ತ್ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, n ಮಾದರಿಯ ಗಾತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು t ವಿತರಣೆಯಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಾದ ಆಂಟೋನಿಯೆಟ್ಟಾ ಮೀರಾ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಇಲ್ಲಿ m ಮಾದರಿಯ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು a ಮಧ್ಯಮವಾಗಿದೆ. ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದರೆ γ1 ಸ್ವತಃ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆ ಬಾನ್ಫೆರೋನಿ ಸೂಚಿಸಿದ್ದರು. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು, S ನ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳನ್ನು ಮಿಯಾವೊ, ಜೆಲ್ ಮತ್ತು ಗ್ಯಾಸ್ಟ್ವರ್ತ್ ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಅವರು ತಮ್ಮ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದರು. ಇಲ್ಲಿ xi ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು, | | ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಎಲ್ಲಾ n ಮಾದರಿ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಸ್ಕೇಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು T, ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಶೂನ್ಯದ ಸರಾಸರಿಯೊಂದಿಗೆ ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆಃ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳು = 0.5708. ಮತ್ತು, ಮೂರು ಡಿಗ್ರಿ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯದೊಂದಿಗೆ t ವಿತರಣೆಗೆ, = 0.9689. ವೈಯಕ್ತಿಕ ವಿತರಣೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ವಿತರಣೆಗಳು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೌಲ್ಯವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಸಮಮಿತಿಯ ವಿತರಣೆಗಳು ಇದು ಬಲ ಓರೆಯಾದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎಡ ಓರೆಯಾದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ≤ 0.2 ಗುರುತಿಸಲಾದ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಎಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾಧ್ಯಮದ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದಃ ಅಂತಹ ವಿತರಣೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆ, ವಿಲೋಮ-ಚಿ-ವರ್ಗ ವಿತರಣೆ, ವಿಲೋಮ-ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಅಳತೆಯ ವಿಲೋಮ ಚಿ-ವರ್ಗ ವಿತರಣೆ ಸೇರಿವೆ. S ಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ತಿಳಿದಿವೆಃ ಬೀಟಾ ವಿತರಣೆಃ 1 <α <β ಅಲ್ಲಿ α ಮತ್ತು β ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ, ನಂತರ ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜು 1 <β <α ಆಗಿದ್ದರೆ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ α ಮತ್ತು β ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಹಿಮ್ಮುಖಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. S ಯಾವಾಗಲೂ <0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ-ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ S = 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ S ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಇದು ± ಮಿನಿ {ಗರಿಷ್ಠ {p, 1 − p}, ಲೊಜ್2}/σ ನಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ σ ಎಂಬುದು ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಬರ್ ವಿತರಣೆ-ಬಿರ್ನ್ಬಾಮ್-ಸೌಂಡರ್ಸ್ ವಿತರಣೆ-ಇಲ್ಲಿ α ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು β ಸ್ಥಳದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಃ ಚಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಃ ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಂ (ಕೆ) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಡಾಗಮ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಃ ಘಾತೀಯ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಃ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಃ ಘಾತೀಯ-ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಇಲ್ಲಿ S ಯಾವಾಗಲೂ> 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಲಾದ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಃ n ಮತ್ತು n ಡಿಗ್ರಿ ಆಫ್ ಫ್ರೀಡಮ್ನೊಂದಿಗೆ F ವಿತರಣೆ (n> 4): ಫ್ರೆಚೆಟ್ ವಿತರಣೆ-ಈ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು α> 2ಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಃ ಈ ವಿತರಣೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಸರಾಸರಿ ಮಾಧ್ಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. α ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕವು ≤1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ β> 0 ದರ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ S ಯಾವಾಗಲೂ> 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣಾ ಆವೃತ್ತಿ 2S ಯಾವಾಗಲೂ <0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ವಿತರಣೆ-ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕವು (ಕೆ) <1/2 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಎಸ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಗೆ ಎಸ್ <0 ಆಗಿದೆ. ಗುಂಬಲ್ ವಿತರಣೆಃ ಇಲ್ಲಿ γ ಯೂಲರ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಅರ್ಧ-ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ-ಕುಮಾರಸ್ವಾಮಿಯವರ ವಿತರಣೆ ಲಾಗ್-ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ ವಿತರಣೆ (ಫಿಸ್ಕ್ ವಿತರಣೆ): β ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಈ ವಿತರಣೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿಯನ್ನು β> 2 ಆಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲು b = β/ಆಗಿರಲಿ. ಬಿ> 4.932 (ಸರಿಸುಮಾರು) ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಎಸ್> 0 ಆಗಿದೆ. ಲಾಗ್-ನಾರ್ಮಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಃ ಸರಾಸರಿ (μ) ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ (σ2) ಲಾಗ್-ವೈಬುಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಃ ಲೋಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಃ ಎಸ್ ಅನ್ನು α> 2 ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ವೆಲ್-ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ನಕಗಾಮಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಪ್ಯಾರೆಟೊ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಃ α> 2 ಗೆ α ಎಂಬುದು ವಿತರಣೆಯ ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎಸ್ ಯಾವಾಗಲೂ> 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಯ್ಸನ್ ವಿತರಣೆ-ಇಲ್ಲಿ λ ಎಂಬುದು ವಿತರಣೆಯ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ರೇಲೇ ವಿತರಣೆಃ ವೈಬುಲ್ ವಿತರಣೆಃ ಇಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ವಿತರಣೆಯ ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ S ಯಾವಾಗಲೂ> 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. 1895 ರಲ್ಲಿ ಪಿಯರ್ಸನ್ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ವಕ್ರತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಿದರು, ಅಲ್ಲಿ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿತರಣೆಯ ಸರಾಸರಿ, ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನವು μ, θ ಮತ್ತು σ ಆಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಧಾನದ ಅಂದಾಜುಗಳು ಕಷ್ಟವಾಗಬಹುದು ಆದರೆ ಅನೇಕ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಸುಮಾರು ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಪಿಯರ್ಸನ್ಗೆ ಎರಡನೇ ವಕ್ರತೆಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಇಲ್ಲಿ ν ವಿತರಣೆಯ ಮಧ್ಯಮವಾಗಿದೆ. ಬೌಲಿ 1901ರಲ್ಲಿ ಈ ಸೂತ್ರದಿಂದ 3ನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಕೈಬಿಟ್ಟರು, ಇದು ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರ ಅಂಕಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. ಮಧ್ಯಮ, ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪ್ರಕಾರ III ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವಾಗ ಮೊದಲು ಗಮನಿಸಿದರು. ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಮೋಡ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವಿತರಣೆಗೆ ಮೋಡ್, ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಮ, ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದ ನಡುವಿನ ಕೆಲವು ಸಂಬಂಧಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸಂಬಂಧಗಳು ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮಾಣದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೇರುತ್ತವೆ. ಈ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ n = 10 ಮತ್ತು p = 0.09 ಹೊಂದಿರುವ ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿದಾಗ ಉದ್ದವಾದ ಬಲ ಬಾಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ (0.9) ಮಧ್ಯದ (1) ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಆದರೆ ಮೂರನೇ ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಕ್ಷಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು (0.906) ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು-0.110 ಆಗಿದೆ. ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅವರ ನಿಯಮವು ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ವಿಧಾನದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸರಾಸರಿ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕಿಂತ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ನಿಯಮವು ಪಿಯರ್ಸನ್ ಅವರ ಪ್ರಕಾರ 3 ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವಾಗ ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೋಲುವ ಸ್ವಲ್ಪ ಅಸಮವಾದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವಲ್ಲ. 1895ರಲ್ಲಿ ಪಿಯರ್ಸನ್, ಈಗ ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, θ, ν ಮತ್ತು μ ಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿತರಣೆಯ ವಿಧಾನ, ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಆಗಿರುವ ಸಂಬಂಧವು ದೊಡ್ಡ ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿದರು. ಸೀಮಿತವಾದ ನಾಲ್ಕನೇ ಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಧ್ಯಮವಾಗಿ ಓರೆಯಾದ ವಿತರಣೆಗಳ ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ನಡುವೆ ಮೀಡಿಯನ್ ಇದೆ ಎಂದು 1917 ರಲ್ಲಿ ಡೂಡ್ಸನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಈ ಸಂಬಂಧವು ಎಲ್ಲಾ ಪಿಯರ್ಸನ್ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಎಲ್ಲಾ ವಿತರಣೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉತ್ತಮ ಅಂದಾಜಿನ ವಿತರಣೆಗಳ ಈ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ, θ, ν ಮತ್ತು μ ಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿತರಣೆಯ ಕ್ರಮ, ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಎಂದು ಡೂಡ್ಸನ್ ಗಮನಿಸಿದರು. ಡೂಡಸನ್ರ ಅಂದಾಜನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ ಹಾಲ್ಡೇನ್ ದೃಢಪಡಿಸಿದರು. ಮೂರನೆಯ ಕ್ಯುಮುಲೆಂಟ್ನೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಭೇದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಾದರಿಗಳು ದೊಡ್ಡ ಮಾದರಿ ಗಾತ್ರಗಳಿಗೆ ಪಿಯರ್ಸನ್ನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಮಾದರಿ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ಹಾಲ್ಡೇನ್ ಗಮನಿಸಿದರು. ಎಡ್ಜ್ವರ್ತ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಮೀಡಿಯನ್ ಮತ್ತು ಮೋಡ್ ಎರಡರ ಅನನ್ಯತೆ ಸೇರಿದಂತೆ ಈ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಹಾಲ್ಡೇನ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಷರತ್ತುಗಳು ಬೇಕಾಗಿದ್ದವು. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅವರು ಮೋಡ್ ಮತ್ತು ಮೀಡಿಯನ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮೂರನೇ ಕ್ಷಣದ 1/2 ಮತ್ತು 1/6 ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ದುರ್ಬಲ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹಾಲ್ ದೃಢಪಡಿಸಿದರು. ಡೂಡಸನ್ರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕೆಂಡಾಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟುವರ್ಟ್ ಅವರು ಲಾಗ್-ನಾರ್ಮಲ್ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ಅದಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾದ ನಿಖರವಾದ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ನಿಯಮಿತವಾಗಿ ಬದಲಾಗುವ ಬಾಲಗಳು ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕ α ಹೊಂದಿರುವ ವಿತರಣೆಗೆ ಯುನಿಮೋಡಲ್ ವಿತರಣೆಗಳು ಗಾಸ್ 1823 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದವು ಎಂದು ಹಾಲ್ ತೋರಿಸಿದರು, ಇದು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗೆ ಮತ್ತು ω ಮೋಡ್ನಿಂದ ಮೂಲ ಸರಾಸರಿ ಚದರ ವಿಚಲನವಾಗಿದೆ. ಮೋಡ್ ಅನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಕ್ರವಾಗಿರುವ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗಕ್ಕೆ, ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ ಆ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬೀಳುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಕ್ರವಾಗಿರುವ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಮಧ್ಯಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಮೋಡ್ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಕ್ರವಾದ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ವಕ್ರವಾದ ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ವರ್ಗವು ಪ್ರಮುಖ ಎಫ್, ಬೀಟಾ ಮತ್ತು ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ನಿಯಮವು ಏಕರೂಪದ ವೈಬುಲ್ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳು ತಿಳಿದಿವೆ ಮತ್ತು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿವೆಃ ಇಲ್ಲಿ μ, ν ಮತ್ತು θ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ, ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಗಳಾಗಿವೆ. ಮಧ್ಯದ ಮಿತಿಯು ಏಕರೂಪದ ವಿತರಣೆಯ ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ± 0.775 ಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾನ್ ಝ್ವೆಟ್ ಷರತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯು, ಅಲ್ಲಿ θ, ν ಮತ್ತು μ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ವಿತರಣೆಯ ವಿಧಾನ, ಮಧ್ಯಮ ಮತ್ತು ಸರಾಸರಿ, ಅಲ್ಲಿ F ಎಂಬುದು ವಿತರಣೆಯ ಸಂಚಿತ ವಿತರಣಾ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಿತರಣೆಯು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕ ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 1964ರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾನ್ ಝ್ವೆಟ್ ವಕ್ರತೆಯ ಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಈ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಬೆನ್ಫೋರ್ಡ್ನ ನಿಯಮವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಕೆಗಳ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯೊಂದಿಗಿನ ವಿತರಣೆಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬೌಲಿ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧ ಈ ಅಂಕಿ ಅಂಶವು ಬೌಲಿ ಅವರ ವಕ್ರತೆಯ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕಿ ಎಂಬುದು ವಿತರಣೆಯ ಐಥ್ ಕ್ವಾರ್ಟೈಲ್ ಆಗಿದೆ. 0 ಮತ್ತು 0ರ ನಡುವೆ ಇರುವ ಈ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹಿಂಕ್ಲೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದರು. ಬೌಲಿ ಗುಣಾಂಕವು 0.25 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಗ್ರೋನೆವೆಲ್ಡ್ ಮತ್ತು ಮೀಡೆನ್ ಅದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರು. ಛೇದವು ಪ್ರಸರಣದ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ. ಛೇದವನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಚಲನದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ನಾನ್ಪ್ಯಾರಮೆಟ್ರಿಕ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಾರಾಂಶ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು