Euclidean random matrix
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎನ್ × ಎನ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್ (ಆರ್, ಆರ್ ′) ಮತ್ತು ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದ ವಿ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ ಎನ್ ಬಿಂದುಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಐಜ್ ಅಂಶವು ಎಫ್ (ರಿ, ಆರ್ಜೆ) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಐಜ್ = ಎಫ್ (ರಿ, ಆರ್ಜೆ). ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1999ರಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಯಿತು. ಅವರು f ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಅದು ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆಃ f (r, r′) = f (r-r′) ಮತ್ತು ಅವರು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಭೌತಿಕ ಸಂದರ್ಭದಿಂದ ಪ್ರೇರೇಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳಾದ ಎಐಐ, ಐಜ್ = ಎಫ್ (ರಿ-ಆರ್ಜೆ)-ಯು δijskf (ರಿ-ಆರ್ಕೆ) ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಷರತ್ತನ್ನು ವಿಧಿಸಿದರು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯುಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದ್ದು f (ri-rj) = |ri-rj|2 ಅಥವಾ f (ri-rj) = |ri-rj |. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನೇಕ ಜೈವಿಕ ಜಾಲಗಳಲ್ಲಿ, ಎರಡು ನೋಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಲವು ಆ ನೋಡ್ಗಳ ಭೌತಿಕ ಸಾಮೀಪ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರೆ, ನೋಡ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಾನಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಂಶಗಳು ಐಜ್ ಸಹ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, N × N ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಕೇವಲ N ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು N ′d ನಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಬಲವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು, ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ವಿವಿಧ ಭೌತಿಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಸೂಪರ್ ಕೂಲ್ಡ್ ದ್ರವಗಳು, ಅವ್ಯವಸ್ಥಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಫೋನಾನ್ಗಳು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮಾಧ್ಯಮದಲ್ಲಿ ಅಲೆಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆ 1: k0 = 2π/λ0 ನೊಂದಿಗೆ f (r, r′) = sin (k0|r-r′ |)/(k0|r-r′ |) ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು λ ನೈಜವಾಗಿವೆ. ಬದಿ L ಮತ್ತು ಪರಿಮಾಣ V = L3 ನ ಘನದಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲಾದ N ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ρ = N/V ಬಿಂದುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ρλ03 ≤ 1 ಮತ್ತು 2.8N/(k0L) 2 <1 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ, λ ನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಮಾರ್ಚೆಂಕೊ-ಪಾಸ್ಟರ್ ನಿಯಮದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ನಾನ್-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ದೊಡ್ಡ (ಎನ್. 1) ನಾನ್-ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಐಗನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ಸಾಂದ್ರತೆಗಾಗಿ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಲೇಸರ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆ 2: f (r, r′) = exp (ik0|r-r′ |)/(k0|r-r′ |) ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, k0 = 2π/λ0 ಮತ್ತು f (r = r′) = 0. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹರ್ಮಿಟಿಯನ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅದರ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು λ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ. ρ = N/V ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ρλ03 ≤1 ಮತ್ತು 9N/(8k0R) 2 <1 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ λನ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಗಣಿತ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ