Matrix Chernoff bound
ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಿಗೆ ಬದ್ಧವಾಗಿರುವ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಚೆರ್ನೋಫ್ಗೆ ಹೋಲುವಂತೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾದ ನಿಯತಾಂಕ t ಗೆ ಹುಡುಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ವಿವಿಧ ಊಹೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಿಸುತ್ತವೆ; ಈ ಊಹೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರತಿರೂಪಗಳಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ ಕೆಳಗೆ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನ್ವಯವಾಗಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಸಂಬಂಧಿತ ಕೃತಿಗಳ ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಾಸಿಯನ್ ಮತ್ತು ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ ಸರಣಿ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಕರಣ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರ, ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ರಕರಣವು ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರ, ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ರಾಡೆಮಾಚರ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ನಂತರ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೆರ್ನೋಫ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಚೆರ್ನೋಫ್ ಮಿತಿಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಾಗಿ ಬಂಧಿಸಲಾದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಸಾದೃಶ್ಯದ ಪ್ರಮೇಯವು ಏಕರೂಪದ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯದ ಬದ್ಧತೆಗೆ ಒಳಪಟ್ಟ ಧನಾತ್ಮಕ-ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೆರ್ನಾಫ್ I ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ, ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೆರ್ನಾಫ್ II ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ, ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸರಾಸರಿ ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ನಂತರ ಬೈನರಿ ಮಾಹಿತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೆನೆಟ್ ಮತ್ತು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಬೆನೆಟ್ ಮತ್ತು ಬರ್ನ್ಸ್ಟೈನ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರ, ಶೂನ್ಯ-ಅರ್ಥ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಬಾಲವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಾದೃಶ್ಯದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯ-ಅರ್ಥ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ಬೌಂಡೆಡ್ ಕೇಸ್ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ, ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ನಂತರ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸರಪಳಿಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಃ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಬ್ಎಕ್ಸ್ಪೊನೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕೇಸ್ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ, ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ನಂತರ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸರಪಳಿಯು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಃ ಆಯತಾಕಾರದ ಪ್ರಕರಣ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ಹಿಡಿತಗಳಿಗೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಜುಮಾ, ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಮೆಕ್ಡಿಯಾರ್ಮಿಡ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಜುಮಾ ಅಜುಮಾದ ಅಸಮಾನತೆಯ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆವೃತ್ತಿಯು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಮೌಲ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಟ್ಟು ಗರಿಷ್ಠ ವರ್ಗ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಿಂದ ನಿಯಂತ್ರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಮತ್ತು ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸ್ಥಿರ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ನಂತರ, ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮಾಹಿತಿ ಲಭ್ಯವಿದ್ದಾಗ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕ 1/8 ಅನ್ನು 1/2 ಕ್ಕೆ ಸುಧಾರಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿ ಸಂಕಲನವು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಒಂದು ಪ್ರಕರಣವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ಊಹೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ ಪ್ಲೇಸಿಂಗ್ ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಜುಮಾದಲ್ಲಿನ ಸಂಕಲನಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯು ಹೋಫ್ಡಿಂಗ್ನ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ, ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಹುತೇಕ ಖಚಿತವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ನಂತರ, ಎಲ್ಲೆಡೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸುಧಾರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತುಃ ಎಲ್ಲೆಡೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬೌಂಡೆಡ್ ಡಿಫರೆನ್ಸ್ (ಮ್ಯಾಕ್ಡಿಯಾರ್ಮಿಡ್) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಕ್ಡಿಯಾರ್ಮಿಡ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಅಜುಮಾದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಡೂಬ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಬಂಧಿಸುವ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅಸಮಾನತೆಯ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ಸ್ವತಂತ್ರ, ಕುಟುಂಬವಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಆಯಾಮಗಳ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿ ಸೂಚ್ಯಂಕದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಸ್ಥಿರ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ನಂತರ, ಎಲ್ಲೆಡೆಗೂ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸುಧಾರಣೆಯನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಯಿತು (ಸಹ ನೋಡಿ): ಎಲ್ಲೆಡೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಮೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮೊದಲ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗೌಸಿಯನ್ ಮತ್ತು ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ ಮಿತಿಗಳಿಗಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿಃ ಆಯಾಮದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರ, ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಥವಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ರಾಡೆಮಾಚೆರ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ, ನಂತರ ಅಲ್ಲಿ ಅಹ್ಲ್ಸ್ವೆಡೆ ಮತ್ತು ವಿಂಟರ್ ಒಂದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಮ್ಯುಟ್ಸ್ ಮತ್ತು; ಅಂದರೆ, ಇದು ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಮೊತ್ತದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು ಅಹ್ಲ್ಸ್ವೆಡೆ-ಚಳಿಗಾಲದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಎಂದಿಗೂ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರಕಾರ), ಆದರೆ ಅದು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅಹ್ಲ್ಸ್ವೆಡೆ-ಚಳಿಗಾಲದ ಫಲಿತಾಂಶಕ್ಕಿಂತ ಕಠಿಣವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಚೆರ್ನೋಫ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸುವ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್-ಟ್ರಾನ್ಸ್ಫಾರ್ಮ್ ವಿಧಾನದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಮುಖ್ಯ ಕೊಡುಗೆಯಾಗಿದೆ (ಚೆರ್ನೋಫ್ bound#Additive ಫಾರ್ಮ್ (ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷ) ಅನ್ನು ನೋಡಿ). ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವಿಧಾನ. ಈ ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಇತ್ತೀಚಿನ ಎಲ್ಲಾ ಕೃತಿಗಳು ಇದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಮುಖ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ನಂತರದ ಹಂತಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ. ಅಹ್ಲ್ಸ್ವೆಡೆ ಮತ್ತು ವಿಂಟರ್ ಮುಂದುವರಿಯಲು ಗೋಲ್ಡನ್-ಥಾಂಪ್ಸನ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಟ್ರೋಪ್ ಲೀಬ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಬಲಭಾಗವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಸರಣಿಯ ಉದ್ದ (ಎನ್) ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ (ಡಿ) ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಒಬ್ಬರು ಬಯಸಿದ್ದರು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ n ಸರಿಸುಮಾರು d ಯ ದಾಖಲೆಯಂತೆ ಬದಲಾಗಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಹಲವಾರು ಪತ್ರಿಕೆಗಳು ಆಯಾಮಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬನೆ ಇಲ್ಲದೆ ಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿವೆ. ರುಡೆಲ್ಸನ್ ಮತ್ತು ವರ್ಶಿನಿನ್ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಹೊರಗಿನ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತಾರೆ. ಕಡಿಮೆ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಆಯಾಮದ ಅವಲಂಬನೆಯಿಲ್ಲದೆ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅಹ್ಲ್ಸ್ವೆಡೆ-ವಿಂಟರ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಹ್ಲ್ಸ್ವೆಡೆ-ವಿಂಟರ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಆಲಿವೇರಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾರ್ಟಿಂಗೇಲ್ಸ್ಗೆ ಅಹ್ಲ್ಸ್ವೆಡೆ-ವಿಂಟರ್ ಚೌಕಟ್ಟಿನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಹ್ಲ್ಸ್ವೆಡೆ-ವಿಂಟರ್ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟ್ರೋಪ್ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಸುಧಾರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ ಅಹ್ಲ್ಸ್ವೆಡೆ ಮತ್ತು ವಿಂಟರ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ರೂಪಾಂತರ ವಾದವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಗಮನಾರ್ಹ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಸರಿಪಡಿಸಿ. ನಂತರ ಎರಡನೆಯ-ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಮಾರ್ಕೋವ್ನ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯು ಅಂದಿನಿಂದಲೂ ಇದೆ. ಎಡ-ಅತಿ ಪ್ರಮಾಣವು ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅನಂತ ಓವರ್ ಅದಕ್ಕೆ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಾಗಿ ಉಳಿದಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಜಾಡು ಮತ್ತು ನಿರೀಕ್ಷೆ ಎರಡೂ ರೇಖೀಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು, ಇದನ್ನು ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜನರೇಟಿಂಗ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯೇ ವಿಧಾನಗಳು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ತಕ್ಷಣವೇ ಮುಂದಿನ ಪ್ರಸ್ತುತಿ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಗೋಲ್ಡನ್-ಥಾಂಪ್ಸನ್ ಅಸಮಾನತೆಯು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ರೇಖಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ. ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ನಂತರ ಇದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ನಾವು ಅನಂತ ಓವರ್ನೊಂದಿಗೆ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಇದನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಹೇಗಾದರೂ, ಅಹ್ಲ್ಸ್ವೆಡೆ-ವಿಂಟರ್ ಬೌಂಡ್ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಹೇಗೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಗೋಲ್ಡನ್-ಥಾಂಪ್ಸನ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ಲೈಬ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವು ಟ್ರೋಪ್ ಅವರ ಪ್ರಮುಖ ಕೊಡುಗೆಯಾಗಿದೆ. ಟ್ರೋಪ್ನ ಪರಿಣಾಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆಃ ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರೂಫ್ಃ ಲೆಟ್. ನಂತರ ಲೈಬ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅದು ಕಾನ್ಕೇವ್ ಎಂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯದೊಳಗೆ ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಸರಿಸಲು ಜೆನ್ಸನ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅಂತಿಮ ಹಂತವಾಗಿದೆಃ ಇದು ನಮಗೆ ಕಾಗದದ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಕಾರ್ಯದ ಲಾಗ್ನ ಸಬ್ಅಡಿಟಿವಿಟಿ. ಲಾಗ್ ಎಂಜಿಎಫ್ನ ಸಬ್ಅಡ್ಡಿಟಿವಿಟಿ ಸ್ವತಂತ್ರ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಸ್ವಯಂ-ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಎಲ್ಲರಿಗೂ, ಪುರಾವೆಃ ಬಿಡಲು ಇದು ಸಾಕು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವಾಗ, ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು, ನಾವು ಒಟ್ಟು ನಿರೀಕ್ಷೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಿರೀಕ್ಷೆಯು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿರಲಿ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ನಾವು ಮಾಸ್ಟರ್ ಟೈಲ್ ಬೌಂಡ್ನೊಂದಿಗೆ ಟ್ರೋಪ್ನ ಕೊರೋಲರಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ ತಕ್ಷಣದವುಃ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಈ ಬೌಂಡ್ನಿಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ; ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಅನಂತವನ್ನು ಬಂಧಿಸಲು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಹಂತಗಳು ನೀಡಲಾದ ಪುರಾವೆಗಳಿಗಿಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ