Hesse pencil
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟೊ ಹೆಸ್ಸೆ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಸಿಝೈಜೆಟಿಕ್ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅಥವಾ ಹೆಸ್ಸೆ ಪೆನ್ಸಿಲ್, ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಘನ ಸಮತಲ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್ (ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಕುಟುಂಬ) ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕುಟುಂಬದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದು ಜೋಡಿ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ () ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎರಡೂ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ) ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಆ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ. ಎರಡನ್ನೂ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸ್ಕೇಲಾರ್ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನಿಂದ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಹಂತದ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು-ನಿಯತಾಂಕ ರೂಪವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಅಥವಾ (ಆದರೆ ಎರಡನ್ನೂ ಅಲ್ಲ) ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಪೆನ್ಸಿಲ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು 0,-1 ರ ಕೆಲವು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆ ಮತ್ತು ಏಕತೆಯ ಘನಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ಏಕತೆಯ ಮೂರು ಬೇರುಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಆರು ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿವೆ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ 18 ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವು ಕೇವಲ ಒಂಬತ್ತು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಈ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ಸ್ನ ಕುಟುಂಬವು ಹೆಸ್ಸೆ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಏಕತೆಯ ಘನಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕ್ಷೇತ್ರದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಹೆಸ್ಸೆ ಪೆನ್ಸಿಲ್ ಅನ್ನು ಈ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಘನಗಳ ಕುಟುಂಬವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಹೆಸ್ಸೆ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ಒಂಬತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳು ಪೆನ್ಸಿಲ್ನಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕ್ಯೂಬಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ; ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಹನ್ನೆರಡು ಸಾಲುಗಳು ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯು ಹೆಸ್ಸೆ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ದ್ವಿಗುಣವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಇದು ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ರೂಪದ ನಿಯತಾಂಕಗಳು () ಮೂಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರದ ವಿಸ್ತರಣಾ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿರಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು