List of Mersenne primes and perfect numbers
ಮರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಳವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಫ್ರೈಯರ್ ಮರಿನ್ ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆಯ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು, ಕೆಲವು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಒಂದು ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಮೆರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸ್ವತಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು, ಆದಾಗ್ಯೂ ಎಲ್ಲಾ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮೆರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವುದಿಲ್ಲ-ಉದಾಹರಣೆಗೆ,. ಏತನ್ಮಧ್ಯೆ, ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅವುಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಸರಿಯಾದ ಭಾಜಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಅವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಭಾಜಕಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದರ ಸರಿಯಾದ ಭಾಜಕಗಳು, ಮತ್ತು, ಮತ್ತು. ಮರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಮ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧವಿದೆ. ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಸಾಬೀತಾದ ಮತ್ತು ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ನಿಂದ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ಯೂಕ್ಲಿಡ್-ಯೂಲರ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆಃ ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ ಮಾತ್ರ ಅವು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಮ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆ ರೂಪಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,, ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆಯೇ ಎಂಬುದು ಪ್ರಸ್ತುತ ಮುಕ್ತ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಆವರ್ತನವು ಲೆನ್ಸ್ಟ್ರಾ-ಪೊಮೆರೆನ್ಸ್-ವ್ಯಾಗ್ಸ್ಟಾಫ್ ಊಹೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ನಿರೀಕ್ಷಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನೀಡಲಾದ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ನ ಸಂಖ್ಯೆ, ಯೂಲರ್ನ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಬೆಸ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆಯೇ ಎಂಬುದು ಸಹ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ; ಸಂಭವನೀಯ ಬೆಸ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ವಿವಿಧ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಿತಿಯೂ ಸೇರಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಮೆರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ, ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. , 51 ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮೆರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿವೆ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು), ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿದೊಡ್ಡ 17 ಅನ್ನು ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಟೆಡ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಗ್ರೇಟ್ ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಮೆರ್ಸೆನ್ ಪ್ರೈಮ್ ಸರ್ಚ್ ಅಥವಾ ಜಿಐಎಂಪಿಎಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಹೊಸ ಮೆರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು ಲ್ಯೂಕಾಸ್-ಲೆಹ್ಮರ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು (ಎಲ್ಎಲ್ಟಿ) ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಇದು ಬೈನರಿ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳಿಗೆ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾದ ಮೆರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರೀಕ್ಷೆಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾದ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ಪ್ರಸ್ತುತ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸೇರಿವೆ; ಚಿಕ್ಕದಾದವುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದರೆ ಶ್ರೇಯಾಂಕಗಳು ಬದಲಾಗಬಹುದು. ಜಿಐಎಂಪಿಎಸ್ ಪ್ರಕಾರ, 48 ನೇ ವರ್ಕಿಂಗ್ ಘಾತಾಂಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಯುಕ್ಲಿಡ್-ಯೂಲರ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುವುದರಿಂದ, ಆವಿಷ್ಕಾರದ ವರ್ಷ ಮತ್ತು ಶೋಧಕರು ಮೆರ್ಸೆನ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯದವರಾಗಿದ್ದಾರೆ. "ಜಿ. ಐ. ಎಂ. ಪಿ. ಎಸ್/ಹೆಸರು" ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಶೋಧಕರು ಆ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಳಸುವ ಯಂತ್ರಾಂಶದೊಂದಿಗೆ ಜಿ. ಐ. ಎಂ. ಪಿ. ಎಸ್ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಂತರದ ನಮೂದುಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಉದ್ದವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಆರು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ತಿಳಿದಿರುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನೇಕವೇಳೆ ಮರ್ಸೆನ್ನೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಜಿ. ಐ. ಎಂ. ಪಿ. ಎಸ್. ನಲ್ಲಿರುವ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಮೆರ್ಸೆನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಇತಿಹಾಸದ ಕುರಿತಾದ ಒಂದು ತಾಂತ್ರಿಕ ವರದಿ, ಗೈ ಹಾವೊರ್ತ್ ಗಣಿತ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಗಣಿತ-ಸಂಬಂಧಿತ ಪಟ್ಟಿಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಪಟ್ಟಿ