Petr–Douglas–Neumann theorem
ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಪೆಟ್ರ್-ಡಗ್ಲಸ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವು (ಅಥವಾ ಪಿಡಿಎನ್-ಪ್ರಮೇಯ) ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಮತಲೀಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಹುಭುಜಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದಾಗ ಯಾವಾಗಲೂ ಆರಂಭಿಕ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಷ್ಟೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1908 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರೇಗ್ನ ಕರೇಲ್ ಪೆಟ್ರ್ (1868-1950) ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು 1940ರಲ್ಲಿ ಜೆಸ್ಸಿ ಡೌಗ್ಲಾಸ್ (1897-1965) ಮತ್ತು 1941ರಲ್ಲಿ ಬಿ. ಎಚ್. ನ್ಯೂಮನ್ (1909-2002) ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಮರುಶೋಧಿಸಿದರು. ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪೆಟ್ರ್-ಡಗ್ಲಸ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪಿಡಿಎನ್-ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದು ಹೆಸರಿಡುವುದು ಸ್ಟೀಫನ್ ಬಿ ಗ್ರೇ ಅವರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಡೌಗ್ಲಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯ, ಡೌಗ್ಲಾಸ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯ, ನೆಪೋಲಿಯನ್-ಡಗ್ಲಾಸ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಪೆಟ್ರ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿಡಿಎನ್-ಪ್ರಮೇಯವು ನೆಪೋಲಿಯನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಪೆಟ್ರ್-ಡಗ್ಲಸ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. 2kπ/n ಶೃಂಗ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ n-ಗನ್ A0 ನ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮುಕ್ತ ಅಕ್ಷಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ n-ಗನ್ನಿಂದ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಆದರೆ k ನ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು 1 ≤ k ≤ n − 2 ಅನ್ನು ಬಳಸುವವರೆಗೆ (ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ), ನಂತರ ನಿಯಮಿತ n-ಗನ್ An − 2 ರಚನೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರಕವು A0 ನ ಕೇಂದ್ರಕದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷತೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, nನ ಮೌಲ್ಯವು 3 ಮತ್ತು n−2ನ ಮೌಲ್ಯವು 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ k ಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ 1. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷೀಕರಣವು ತ್ರಿಕೋನ A1 ಒಂದು ನಿಯಮಿತ 3-ಗನ್, ಅಂದರೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. A0 ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮೇಲೆ 2π/3 ಶೃಂಗ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಶಿಖರಗಳಿಂದ A1 ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. A1 ನ ಶೃಂಗಗಳು A0 ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಪಿಡಿಎನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷತೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದುಃ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ, ಮೂರು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮಬಾಹು ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ನೆಪೋಲಿಯನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷತೆ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, n ನ ಮೌಲ್ಯವು 4 ಮತ್ತು n-2 ರ ಮೌಲ್ಯವು 2 ಆಗಿದೆ. k ಗೆ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ 1 ಮತ್ತು 2, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ತುದಿ ಕೋನಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆಃ (2 × 1 × π)/4 = π/2 = 90° (k = 1 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ) (2 × 2 × π)/4 = π = 180° (k = 2 ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ). ಪಿಡಿಎನ್-ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎ2 ಒಂದು ನಿಯಮಿತ 4-ಗನ್, ಅಂದರೆ ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಚದರ ಎ 2 ಅನ್ನು ನೀಡುವ ಎರಡು ಹಂತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಡೆಸಬಹುದು. (XY ರೇಖಾಖಂಡದ ಮೇಲೆ π ಶೃಂಗ ಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ XY ರೇಖಾಖಂಡದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.) ಅಪೆಕ್ಸ್ ಕೋನ π/2 ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು A1 ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಅಪೆಕ್ಸ್ ಕೋನ π ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು A2 ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ A1 ನ ಶೃಂಗಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ A0 ನ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ π/2 ಶೃಂಗ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮುಕ್ತ ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿವೆ. ಚತುರ್ಭುಜ A2 ನ ಶೃಂಗಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ A1 ನ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಪಿಡಿಎನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಎ2 ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ. ಚತುರ್ಭುಜ A1 ನ ಶೃಂಗಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ A0 ನ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಚೌಕಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿವೆ. ಚತುರ್ಭುಜ A2 ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು A1ನ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿವೆ ಎಂಬ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ನಂತರದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಪಿಡಿಎನ್-ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಪೆಕ್ಸ್ ಕೋನ π ಬಳಸಿ A1 ಅನ್ನು ಮತ್ತು ಅಪೆಕ್ಸ್ ಕೋನ π/2 ಬಳಸಿ A2 ಅನ್ನು ರಚಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ A1 ನ ಶೃಂಗಗಳು ಚತುರ್ಭುಜ A0 ನ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು A2 ನ ಶೃಂಗಗಳು A1 ನ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ π/2 ಶೃಂಗ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಪಿಡಿಎನ್-ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಎ2 ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಚತುರ್ಭುಜಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಚಿತ್ರಗಳು ಪೆಂಟಗನ್ಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷತೆ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು n = 5 ಮತ್ತು n − 2 = 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ k ಗೆ ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಿವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ 1,2 ಮತ್ತು 3, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಮೂರು ಸಂಭವನೀಯ ತುದಿ ಕೋನಗಳಿವೆಃ (2 × 1 × π)/5 = 2π/5 = 72° (2 × 2 × π)/5 = 4π/5 = 144° (2 × 3 × π)/5 = 6π/5 = 216° PDN-ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, A3 ಒಂದು ನಿಯಮಿತ ಪಂಚಭುಜವಾಗಿದೆ. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ತುದಿ ಕೋನಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಕ್ರಮವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನಿಯಮಿತ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎ3 ರಚನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಮೂರು ಹಂತದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಆರು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಎನ್-ಗೋನ್ನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪಟ್ಟಿಯಿಂದ ಎನ್-ಗೋನ್ ಅನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪುರಾವೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು n-ಆಯಾಮದ ಸಂಕೀರ್ಣ ರೇಖೀಯ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ Cn ನಲ್ಲಿ ವಾಹಕವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಒಂದು n-ಗನ್ A ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ A = (a1, a2,., an) ನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಿ. ಎ ನ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಇದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮುಕ್ತ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಬಿ ರೂಪುಗೊಳ್ಳಲಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ವಾಹಕ ಬಿ = (ಬಿ1, ಬಿ2,., ಬಿಎನ್) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಿ. ನಂತರ ನಾವು α (ar−br) = ar + 1−br ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ α = exp (iθ) ಕೆಲವು θ ಗೆ (ಇಲ್ಲಿ i ಎಂಬುದು −1 ರ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ). ಇದು ಬಿಆರ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಬಿಆರ್ = (1 − α) −1 (ಆರ್ + 1 − αಆರ್). ಒಂದು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸುವ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ S: Cn → Cn ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು B = (1 − α) −1 (S − αI) A ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ I ಐಡೆಂಟಿಟಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ತೋರಿಸಬೇಕಾದ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ An−2 ಅನ್ನು A0 ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ (1−ωk) −1 (S−ωkI) k = 1,2,., n−2, ಅಲ್ಲಿ ω = exp (2πi/n). P ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯನ್ನು 2π/n ಕೋನದ ಮೂಲಕ ತಿರುಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, p + 1 − p = ω (p + 2 − p + 1) ಆಗಿದ್ದರೆ, P = (p1, p2,., pn) ಎಂಬ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ನಿಯಮಿತ n-ಗನ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಷರತ್ತನ್ನು S ನ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದುಃ (S−I) (I−ωS) P = 0. ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ (S−I) (S−ωn−1I) P = 0, ಏಕೆಂದರೆ ωn = 1. ಪೆಟ್ರ್-ಡಗ್ಲಸ್-ನ್ಯೂಮನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. (S−I) (S−ωn−1I) an−2 = (S−I) (S−ωn−1I) (1−ω) −1 (S−ωI) (1−ω2) −1 (S−ω2I). (1−ωn−2) −1 (S−ωn−2I) A0 = (1−ω) −1 (1−ω2) −1. (1−ωn−2) −1 (S−I) (S−ωI) (S−ωI) (S−ω2I). (S−ωn−1I) A0 = (1−ωn−1)