Mixtilinear incircles of a triangle
ಸಮತಲ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನವೊಂದರ ಮಿಶ್ರ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ಒಳವೃತ್ತವು ಅದರ ಎರಡು ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಅದರ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಮಿಶ್ರ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ಒಳವೃತ್ತವನ್ನು-ಮಿಶ್ರ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ಒಳವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ಮೂರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಮಿಶ್ರ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ಒಳವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗಕ್ಕೂ ಅನುಗುಣವಾದ ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಪುರಾವೆ ತ್ರಿಕೋನದ-ವೃತ್ತವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ ವಿಲೋಮದ ಸಂಯೋಜನೆ ಮತ್ತು ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಫಲನದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿರಲಿ. ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಫಲನವು ಬೈಜೆಕ್ಟಿವ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುವುದರಿಂದ, ಅದು ಹಾಗೆಯೇ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಕೆಳಗಿರುವ-ವೃತ್ತದ ಚಿತ್ರಣವು ಬದಿಗಳಿಗೆ ಆಂತರಿಕವಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ, ಅಂದರೆ-ಮಿಶ್ರಾಕಾರದ ಒಳವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,-ಮಿಕ್ಸ್ಟಿಲೀನಿಯರ್ ಇನ್ಸರ್ಕಲ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ವಾದವು ಮತ್ತು ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಮಿಕ್ಸ್ಟಿಲೀನಿಯರ್ ಇನ್ಸರ್ಕಲ್ಗಳಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳ ಅನುಕ್ರಮದೊಂದಿಗೆ ಮಿಶ್ರ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ಒಳವೃತ್ತವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಕೋನ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಚೋದಕವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ, ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಇವು ಮಿಶ್ರರೇಖೀಯ ವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಿ. ಇದು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವು ಮಿಶ್ರರೇಖೆಯ ಒಳವೃತ್ತವಾಗಿದೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ ಈ ರಚನೆಯು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆಃ ಲೆಮ್ಮಾ ಪ್ರಚೋದಕವು ಎರಡು ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಿಶ್ರರೇಖೆಯ ಒಳವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆ ತ್ರಿಕೋನದ ವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು-ಮಿಶ್ರ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ಒಳವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರಲಿ. ಅದರೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನವಾಗಲಿ ಮತ್ತು ಅದರೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನವಾಗಲಿ. ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುವ ಹೋಮೋಥೆಟಿ ಮತ್ತು ಅವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಮಾನುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆತ್ತಿದ ಕೋನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳಾಗಿವೆ. ಷಟ್ಕೋಣದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಅವು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಜ್ಯದ ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವು ಒಳ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ-ಮಿಶ್ರ-ರೇಖಾತ್ಮಕ ಒಳ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತದೆಃ ಕೋನದ ಪ್ರಮಾಣ ಎಲ್ಲಿದೆ? ವೃತ್ತದ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಾಪದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವು ರೇಖೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಚತುರ್ಭುಜವು ಸ್ವರಮೇಳವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೇಲೆ ಸಿಂಮೀಡಿಯನ್ ಆಗಿದೆ. ಸುತ್ತಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಆವರ್ತಕ ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾಗಿವೆ. ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಹೋಲಿಕೆಗಳು ಸುರುಳಿಯಾಕಾರದ ಹೋಲಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ನಕ್ಷೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಮೂರು ಮಿಶ್ರರೇಖೀಯ ಒಳವೃತ್ತಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಮಿಶ್ರರೇಖೀಯ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆಗಳು ಸುತ್ತಳತೆಯ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಶೃಂಗವನ್ನು ಸೇರುವ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ಮಿಶ್ರರೇಖೀಯ ಒಳ ವೃತ್ತವು ಒಳ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆಯ ಸಮಾನತೆಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೇಂದ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಧಿಸುತ್ತವೆ. ಆನ್ಲೈನ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಸೆಂಟರ್ಸ್ ಈ ಅಂಶವನ್ನು X (56) ಎಂದು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದೆ. ಇದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ಯಾರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ರಾಡಿಕಲ್ ಸೆಂಟರ್ ಮೂರು ಮಿಶ್ರಣ-ರೇಖೀಯ ಒಳವೃತ್ತಗಳ ರಾಡಿಕಲ್ ಕೇಂದ್ರವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಪ್ರಚೋದಕ, ತ್ರಿಜ್ಯ, ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆಯ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿ