Multiplication and repeated addition
ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಕಾರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಒಂದು ರೂಪವಾಗಿ ಕಲಿಸಬೇಕೇ ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಚರ್ಚೆ ನಡೆಯುತ್ತಿತ್ತು. ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದವರು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳು, ಶಿಕ್ಷಣಶಾಸ್ತ್ರ, ಕಲಿಕೆ ಮತ್ತು ಸೂಚನಾ ವಿನ್ಯಾಸ, ಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸ, ಗಣಿತದ ತತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಆಧಾರಿತ ಗಣಿತ ಸೇರಿದಂತೆ ಅನೇಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳನ್ನು ತಂದರು. ಚರ್ಚೆಯ ಹಿನ್ನೆಲೆ 1990ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಲೆಸ್ಲಿ ಸ್ಟೆಫ್ ಮಕ್ಕಳು ತಮ್ಮ ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಎಣಿಕೆಯ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದರು. ಜೆರೆ ಕಾನ್ಫ್ರೆ ಎಣಿಕೆಯ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ವಿಭಜನೆಯ ಊಹೆಯೊಂದಿಗೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತಗೊಳಿಸಿದರು. ಎಣಿಕೆ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯು ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಅರಿವಿನ ಪೂರ್ವಭಾವಿಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಕಾನ್ಫ್ರೆ ಸೂಚಿಸಿದರು. ಇದು ಸಮ್ಮೇಳನದ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳು, ಲೇಖನಗಳು ಮತ್ತು ಪುಸ್ತಕ ಅಧ್ಯಾಯಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಚರ್ಚೆಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು. ಆರಂಭಿಕ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್, ಝೂಮ್, ಫೋಲ್ಡಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಳೆಯುವ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಪಕ ಹರಡುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಈ ಚರ್ಚೆಯು ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಎಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸದ ಗುಣಾಕಾರದ ಮಾದರಿಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೆಂಬಲಿಸುತ್ತದೆ. "ಗುಣಾಕಾರವು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯೇ?" ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಸುತ್ತ ಚರ್ಚೆಗಳು ನಡೆಯುತ್ತವೆ. 1990ರ ದಶಕದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪೋಷಕ ಮತ್ತು ಶಿಕ್ಷಕರ ಚರ್ಚಾ ವೇದಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರು. ಕೀತ್ ಡೆವ್ಲಿನ್ ಅವರು "ಇಟ್ ಈಸ್ ನಾಟ್ ನೋ ರಿಪೀಟೆಡ್ ಅಡಿಷನ್" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಅಸೋಸಿಯೇಷನ್ ಆಫ್ ಅಮೆರಿಕಾದ ಅಂಕಣವನ್ನು ಬರೆದರು, ಇದು ಅವರು ಹಿಂದಿನ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ನಂತರ ಶಿಕ್ಷಕರೊಂದಿಗೆ ಇಮೇಲ್ ವಿನಿಮಯವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿತು. ಅಂಕಣವು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಚರ್ಚೆಗಳನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸಿಗಳ ಚರ್ಚೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಜೋಡಿಸಿದೆ. ಇದು ಸಂಶೋಧನಾ ಮತ್ತು ವೃತ್ತಿನಿರತ ಬ್ಲಾಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ವೇದಿಕೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಚರ್ಚೆಗಳನ್ನು ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿತು. ಕೀತ್ ಡೆವ್ಲಿನ್ ಈ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆಯುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸಿದ್ದಾರೆ. ಗಣನೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರದವರೆಗಿನ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋರ್ ಸ್ಟೇಟ್ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ಸ್ ಇನಿಶಿಯೇಟಿವ್ನಂತಹ ವಿಶಿಷ್ಟ ಗಣಿತದ ಪಠ್ಯಕ್ರಮ ಮತ್ತು ಮಾನದಂಡಗಳಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅರ್ಥವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಿ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸರಣಿಯ ಮೂಲಕ ಹೆಜ್ಜೆ ಹಾಕುತ್ತದೆ. ನೈಸರ್ಗಿಕ (ಅಥವಾ ಸಂಪೂರ್ಣ) ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಸಾಧನವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ಒಂದು ಮಗುವನ್ನು ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಸೇರ್ಪಡೆ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಮಗುವಿನ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣದ ಅತ್ಯಂತ ಆರಂಭಿಕ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಸುಧಾರಿತ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಾಮರ್ಥ್ಯಗಳಾಗಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಪ್ರಜ್ಞೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆಯ ಮೇಲೆ ಶಾಶ್ವತವಾದ ಪರಿಣಾಮವನ್ನು ಬೀರುತ್ತವೆ. ಈ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಕೇಳಿದ ತಕ್ಷಣವೇ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆಃ "ತಲಾ 8 ಸೇಬುಗಳ 3 ಚೀಲಗಳಿವೆ. ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಸೇಬುಗಳಿವೆ? ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಮಾಡಬಹುದುಃ ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಈ ವಿಧಾನವು ಹಲವಾರು ವರ್ಷಗಳ ಬೋಧನೆ ಮತ್ತು ಕಲಿಕೆಗೆ ಬೆಂಬಲಿತವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರವು ಕೇವಲ ಸೇರಿಸುವ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಗ್ರಹಿಕೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮೆ 0 ಅನ್ನು ತಂದ ನಂತರ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಬದಲಾವಣೆಯ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಅದು 0 ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಂವಹನ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ನಮ್ಮನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಸಹ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಾಗ ಗುಣಾಕಾರವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬ ನಂಬಿಕೆಗೆ ಮೊದಲ ಸವಾಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಕ್ಷರಶಃ "ಐದು-ಆರರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಮೂರು ಭಾಗ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ನಂತರ ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಪದದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, "ನ" ಎಂಬ ಪದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದಾಗ ಗಣಿತದೊಂದಿಗೆ ಹೆಣಗಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸಮಸ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದಾಗ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸಬೇಕು. ಈ ವಿಷಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಗಣಿತದ ಶಿಕ್ಷಕರು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಮೊದಲು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿ ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಉಲ್ಬಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಕಠಿಣ ಗಣಿತವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಮಾರ್ಪಡಿಸುವುದು ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹವೇ ಎಂದು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸ್ಕೇಲಿಂಗ್ನಿಂದ ಗುಣಾಕಾರದವರೆಗೆ ಕಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಕಾರದ ಒಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಿಶ್ವ ಯುದ್ಧಗಳ ನಡುವೆ ಸೋವಿಯತ್ ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿದ್ದ ವೈಗೋಟ್ಸ್ಕಿ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ರಷ್ಯಾದ ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞರ ಕೆಲಸದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ. ಅವರ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ವಿಭಜನೆಯ ಊಹೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಕಾರದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಮೂರ್ತರೂಪದ ಅರಿವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವವರಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿದೆ, ಇದು ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ರೂಪಕಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ. ಈ ತನಿಖೆಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಚಿಕ್ಕ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ "ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರದ" ಕಾರ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪಠ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸಿವೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆಃ ಎಲಾಸ್ಟಿಕ್ ಸ್ಟ್ರೆಚಿಂಗ್, ಜೂಮ್, ಫೋಲ್ಡಿಂಗ್, ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿಂಗ್ ಷಾಡೋಸ್ ಅಥವಾ ಡ್ರಾಪ್ ಶಾಡೋಸ್. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಣಿಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಪಠ್ಯಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಚರ್ಚೆಯ ವಿಷಯಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ಯಾವುದನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು? ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದಾದ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರುವ ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ದ್ವಿಮಾನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರದ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ವಾಹಕಗಳು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ವಾಟರ್ನಿಯಾನ್ಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಿಕ್ಷಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿ ನೋಡುವುದು ಗುಣಾಕಾರದ ಈ ಅಂಶಗಳ ನಂತರದ ತಿಳುವಳಿಕೆಗೆ ಅಡ್ಡಿಯಾಗಬಹುದು ಎಂದು ಕೆಲವು ಶಿಕ್ಷಣತಜ್ಞರು ನಂಬುತ್ತಾರೆ. ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮಾದರಿಗಳು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಕೆಲವು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಅಗತ್ಯ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಬಿಂಬಿಸುವ ಅಮೂರ್ತ ಗಣಿತದ ವಿಚಾರಗಳ ದೃಢವಾದ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹಲವುವೇಳೆ ಭೌತಿಕ ಅಥವಾ ವರ್ಚುವಲ್ ಮ್ಯಾನಿಪುಲೇಟಿವ್ಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಜೊತೆಗಿನ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಬಗೆಗಿನ ಚರ್ಚೆಯ ಒಂದು ಭಾಗವೆಂದರೆ ವಿವಿಧ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದ ಸಾಮಗ್ರಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆ. ವಿವಿಧ ಮಾದರಿಗಳು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಬೆಂಬಲಿಸದಿರಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹಗಳಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಸೆಟ್ ಮಾದರಿ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನೇಕ ಸೆಟ್ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಅಥವಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ವಿವಿಧ ಮಾದರಿಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನ್ವಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಬಹುದು; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಮತ್ತು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಮಾದರಿಗಳು ಬರುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಣ