Napoleon points
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದುಗಳು ಸಮತಲ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿವೆ. ಈ ಅಂಶಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು 1804ರಿಂದ 1815ರವರೆಗೆ ಫ್ರೆಂಚರ ಚಕ್ರವರ್ತಿಯಾಗಿದ್ದ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬೋನಾಪಾರ್ಟೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದನೆಂದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಂಬಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅನೇಕರು ಈ ನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ಪ್ರಶ್ನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದುಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಕ್ಲಾರ್ಕ್ ಕಿಂಬರ್ಲಿಂಗ್ನ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಸೆಂಟರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ X (17) ಮತ್ತು X (18) ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. "ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದುಗಳು" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಜೋಡಿ ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳಿಗೆ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಐಸೊಡೈನಮಿಕ್ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮೊದಲ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದು ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರಲಿ. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾದ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಂಯೋಗದ ಬಿಂದುವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೊದಲ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದು ಅಥವಾ ಹೊರಗಿನ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೊರಗಿನ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆಪೋಲಿಯನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಾರ್ಕ್ ಕಿಂಬರ್ಲಿಂಗ್ನ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಸೆಂಟರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದುವನ್ನು X (17) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಹೀಗಿವೆಃ ಎರಡನೇ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದುವಿನ ಬೇರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರಲಿ. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಳಮುಖವಾಗಿ ಎಳೆಯಲಾದ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ. ನಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಪಾಯಿಂಟ್, ಅಥವಾ ಆಂತರಿಕ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಪಾಯಿಂಟ್, ಒಮ್ಮತದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಆಂತರಿಕ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆಪೋಲಿಯನ್ನ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಾರ್ಕ್ ಕಿಂಬರ್ಲಿಂಗ್ನ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಸೆಂಟರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ಎರಡನೇ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದುವನ್ನು X (18) ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೆಂದರೆಃ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಫೆರ್ಮಾಟ್-ಟೊರಿಸೆಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು (ಇಟಿಸಿಯ ಎಕ್ಸ್ (13) ಮತ್ತು ಎಕ್ಸ್ (14)). ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯಾ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಬದಲು, ಈಗ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಯಾ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಶಿಖರಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ಹೀಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಮೂರು ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತೆ ಏಕಕಾಲೀನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಒಮ್ಮತದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಫೆರ್ಮಾಟ್-ಟೊರಿಸೆಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫೆರ್ಮಾಟ್ ರೇಖೆಯ (ಅಂದರೆ, ಎರಡು ಫೆರ್ಮಾಟ್-ಟೊರಿಸೆಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆ) ಮತ್ತು ನೆಪೋಲಿಯನ್ ರೇಖೆಯ (ಅಂದರೆ, ಎರಡು ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆ) ಛೇದನವು ತ್ರಿಕೋನದ ಸಿಂಮೀಡಿಯನ್ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಇಟಿಸಿಯ ಎಕ್ಸ್ (6)). ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಅಂಶಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವಾಗ ನಾವು ಅದರ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು/6 (30 ಡಿಗ್ರಿ) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮೂಲ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಶೃಂಗಗಳೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಇತರ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ಏಕಕಾಲೀನ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುತ್ತದೆಃ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗಳಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲ ಕೋನವು ಇದ್ದರೆ, ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಶೃಂಗಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿವೆ. {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" |-! ಮೌಲ್ಯ! ! |-| | |, ಬಿಂದು |-| | |, ವೆಕ್ಟನ್ ಬಿಂದುಗಳ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ |-| | |, ಮೊದಲ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದು X (17) |-| | |, ಎರಡನೇ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬಿಂದು X (18) |-| |, ಮೊದಲ ಫೆರ್ಮಾಟ್-ಟೊರಿಸೆಲ್ಲಿ ಬಿಂದು X (13) |-| |, ಎರಡನೇ ಫೆರ್ಮಾಟ್-ಟೊರಿಸೆಲ್ಲಿ ಬಿಂದು X (14) |-|। ಶೃಂಗ |-| | | | |-| ಶೃಂಗ |-| | | | | | ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೂಲ ಕೋನವು −/2 ಮತ್ತು/2 ರ ನಡುವೆ ಬದಲಾಗುವುದರಿಂದ ಅದರ ಸ್ಥಳವು ಕೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಐದು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮೂರು ರೇಖೆಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿರಲು ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಇದೇ ರೀತಿಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆರ್ಬಿಟ್ರರಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ರೇಖೆಗಳ ಸಮ್ಮತಿಯು ಹೆಚ್ಚು ಶಾಂತವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ರೇಖೆಗಳು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿರಲು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿದರೆ, ರೇಖೆಗಳು ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಏಕಕಾಲೀನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಜಾಕೋಬಿ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಕಾಕ್ಸ್ಸೆಟರ್ ಮತ್ತು ಗ್ರೀಟ್ಜರ್ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತಾರೆಃ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಬೋನಾಪಾರ್ಟೆಯು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞನಾಗಿದ್ದನೆಂದು ಅವರು ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೆಪೋಲಿಯನ್ಗೆ ತನ್ನದೇ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಕಷ್ಟು ರೇಖಾಗಣಿತ ತಿಳಿದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಅವರು ಅನುಮಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. 1825ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ದಿ ಲೇಡೀಸ್ ಡೈರಿಯಲ್ಲಿನ ಲೇಖನವೊಂದರಲ್ಲಿ ನೆಪೋಲಿಯನ್ನ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಅಡಕವಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶದ ಆರಂಭಿಕ ದಾಖಲಿತ ನೋಟವಿದೆ. ದಿ ಲೇಡೀಸ್ ಡೈರಿಯು ವಾರ್ಷಿಕ ನಿಯತಕಾಲಿಕವಾಗಿದ್ದು, ಇದು 1704ರಿಂದ 1841ರವರೆಗೆ ಲಂಡನ್ನಲ್ಲಿ ಚಲಾವಣೆಯಲ್ಲಿತ್ತು. ವುಡ್ಬರ್ನ್, ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ರುದರ್ಫೋರ್ಡ್ ಅವರು ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡಿತು. VII. ಪ್ರಶ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ. (1439); ಶ್ರೀ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ರುದರ್ಫೋರ್ಡ್, ವುಡ್ಬರ್ನ್ ಅವರಿಂದ. ಯಾವುದೇ ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಬದಿಗಳ ಮೇಲೆ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು (ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ಹೊರಕ್ಕೆ ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಒಳಕ್ಕೆ) ವಿವರಿಸಿಃ ನಂತರ ಆ ಮೂರು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರದರ್ಶನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ "ಎಂದು ಹೇಳಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ ನೆಪೋಲಿಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಅಂಶಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಉಲ್ಲೇಖವಿಲ್ಲ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಜರ್ಮನ್ ಇತಿಹಾಸಕಾರರಾದ ಕ್ರಿಸ್ಟೋಫ್ ಜೆ. ಸ್ಕ್ರಿಬ ಅವರು ಹಿಸ್ಟೋರಿಯಾ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಾದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಬಂಧವೊಂದರಲ್ಲಿ ನೆಪೋಲಿಯನ್ಗೆ ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಟ್ರಿಯಾಂಗಲ್ ಸೆಂಟರ್ ಟ್ರಿಯಾಂಗಲ್ ಕೋನಿಕ್ ನೆಪೋಲಿಯನ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ನೆಪೋಲಿಯನ್ನ ಸಮಸ್ಯೆ ವ್ಯಾನ್ ಔಬೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.