Folded Reed–Solomon code
ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳು ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಕೋಡ್ ವರ್ಡ್ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಮೇಲೆ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳು ಪರ್ವರೇಶ್-ವಾರ್ಡಿ ಸಂಕೇತಗಳ ವಿಶೇಷ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸೂಕ್ತವಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಆರ್ ದರದಲ್ಲಿ ಡಿಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು 1-ಆರ್ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ವಿ. ವೈ. ಅವರು ಕಾಗದದಲ್ಲಿ "ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳು" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಿದರು. ಅನೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ "ಹಂತ ಹಂತದ ಸ್ಫೋಟ" ದೋಷಗಳೊಂದಿಗೆ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಾಚ್ಕೋವ್ಸ್ಕಿ. ಮಡಿಸಿದ ಆರ್ಎಸ್ ಕೋಡ್ಗಳ ಪಟ್ಟಿ-ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅಂತಹ ಹಂತ ಹಂತದ ಸ್ಫೋಟ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಗುರುಸ್ವಾಮಿ-ಸುಡಾನ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸಾಧಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಮೀರಿ ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ದೋಷ ಸರಿಪಡಿಸುವ ಸಂಕೇತಗಳು (ಕೋಡಿಂಗ್) ದರ ಮತ್ತು ದೋಷ-ತಿದ್ದುಪಡಿ ತ್ರಿಜ್ಯದ ನಡುವೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿನಿಮಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುತ್ತಿರುವ ಸವಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದರೂ (ನಾಯ್ಸಿ ಚಾನೆಲ್ ಕೋಡಿಂಗ್ ಥಿಯರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಂದಾಗಿ), ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಅರ್ಧ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿನಿಮಯಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು. ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲು, ಎಲ್ಲಾ ದರಗಳಿಗೆ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ದೋಷ-ತಿದ್ದುಪಡಿ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸಿದವು. ಈ ಮಿತಿಯ ಸುಧಾರಣೆಯನ್ನು ಪರವೇಶ್ ಮತ್ತು ವಾರ್ಡಿ ಸಾಧಿಸಿದರು, ಏಕೆಂದರೆ ಪರವೇಶ್-ವಾರ್ಡಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ದೋಷಗಳ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಡಿಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳು ಈ ಹಿಂದಿನ ನಿರ್ಮಾಣಗಳಲ್ಲಿ ಸುಧಾರಣೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ದೋಷಗಳ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಡಿಕೋಡ್ ಮಾಡಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಆಯಾಮದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ ಮತ್ತು ಮಡಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದು ವಿಭಜನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಈ ರೀತಿಯ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳಿಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ಃ ಎಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಾಚೀನ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಸೂಚಿಸಲಾದ ರೀಡ್ ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತದ ಮಡಿಸಿದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಬ್ಲಾಕ್ ಉದ್ದದ ಸಂಕೇತವಾಗಿದೆ. ಕೇವಲ ರೀಡ್ ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಆರ್ಎಸ್ ಸಂಕೇತಪದಗಳಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮಡಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಸಂದೇಶವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಬಳಸಿ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಿದಾಗ, ಅಟ್, ವೇರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಉದ್ದದ ಸಂಕೇತಪದವನ್ನು ನೀಡಲು 3 ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಗತಿಯೆಂದರೆ, ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲಾದ ಮಡಿಕೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಮೂಲ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತದ ದರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು, ಉದ್ದ, ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಅಂತರದ ರೇಖೀಯ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಮಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಅದನ್ನು ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಮೂಲಕ ದರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಬೌಂಡ್ ಸಿಂಗಲ್ ಟನ್ ಬೌಂಡ್ನ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ಆವೃತ್ತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಕೋಡ್ನ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೂರವು ಕೋಡ್ನ ದರ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೊದಲೇ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವಂತೆ, ದರವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಪೇಕ್ಷ ಅಂತರವು ಸಿಂಗಲಟನ್ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ. ಮಡಿಸುವಿಕೆಯು ಏಕೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಬಹುದು? ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ರೀಡ್ ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಕೇವಲ ದೊಡ್ಡ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಮೇಲೆ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಹೇಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸಲು, ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಡಿಕೋಡ್ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ದೋಷಗಳ ಅದೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ ಬಹುತೇಕ ಒಂದೇ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ತೀವ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆಃ ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ನ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಪದವನ್ನು ತೆರೆದಿಡಬಹುದು, ಅದನ್ನು ಮೂಲ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ನ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಪದವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಚಲಾಯಿಸಬಹುದು. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಈ ಪಟ್ಟಿಯು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಪದದ ಅಂತರದೊಳಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಕೆಲವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳನ್ನು ನಾವು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು. ಅಲ್ಲದೆ, ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಡಿಕೋಡ್ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭದ ಕೆಲಸವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗದಷ್ಟು ದೋಷಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಮೂರನೇ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುವ ದೋಷ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಬೇಕು. ಆದರೆ ಮಡಿಸಿದ ನಂತರ, ಈ ದೋಷ ಮಾದರಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಭ್ರಷ್ಟಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದೋಷ ತಿದ್ದುಪಡಿಯ ಅಗತ್ಯವನ್ನು ನಿವಾರಿಸುತ್ತದೆ. ದೋಷಗಳ ಈ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೀಲಿ ಬಣ್ಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ದೋಷಗಳ ಸ್ಥಿರ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಮಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ದೋಷಗಳನ್ನು ವಿತರಿಸಲು ಚಾನಲ್ನ ನಮ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸರಿಪಡಿಸಬೇಕಾದ ದೋಷ ಮಾದರಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಇಳಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ (ಎಫ್ಆರ್ಎಸ್) ಸಂಕೇತಗಳು ಮತ್ತು ಪರವೇಶ್ ವಾರ್ಡಿ (ಪಿವಿ) ಸಂಕೇತಗಳು ಹೇಗೆ ಮಡಚಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ. ನಾವು ಫೋಲ್ಡೆಡ್ ರೀಡ್ ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳನ್ನು ಪರವೇಶ್ ವಾರ್ಡಿ ಸಂಕೇತಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಬಹುದು, ಇದು ಪದವಿಯ ಬಹುಪದವನ್ನು ಬಹುಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಬಹುಪದವಿದೆ. ಇರ್ರೆಡ್ಯೂಸಿಬಲ್ ಪೊಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಾಗ, ಡಿಗ್ರಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೊಲಿನೋಮಿಯಲ್ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಮೂಲ ಅಂಶವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದರ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡ ಪ್ರತಿರೂಪವಾಗಿದೆ. ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿಗಾಗಿ ನಾವು ಮಡಿಸಿದ ಆರ್ಎಸ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಆರ್ಡರ್ 2 ರ ಪಿವಿ ಕೋಡ್ಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಪಿವಿ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಅದು ಒಮ್ಮೆ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಮಡಿಸಿದ ಎಫ್ಆರ್ಎಸ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಪಿವಿ ಮತ್ತು ಮಡಿಸಿದ ಆರ್ಎಸ್ ಸಂಕೇತಗಳು ಒಂದೇ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಆದರೆ ಎಫ್ಆರ್ಎಸ್ನ ದರವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಂಶದಿಂದ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪಿವಿ ಸಂಕೇತಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡೆಬಿಲಿಟಿಯನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಮಡಿಸಿದ ಆರ್ಎಸ್ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವಿನಿಮಯವು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ. ಎಫ್ಆರ್ಎಸ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಪ್ಲಸ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದರೆ ಅವು ಅನುಗುಣವಾದ ಪಿವಿ ಕೋಡ್ಗಿಂತ ಉತ್ತಮ ದರದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ದೋಷ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪಿವಿ ಕೋಡ್ನ ಸಂಕುಚಿತ ರೂಪಗಳಾಗಿವೆ. ಸರಿಸುಮಾರು ತ್ರಿಜ್ಯದವರೆಗೆ ಡಿಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಪಟ್ಟಿಯ ದರದ ಮಡಿಸಿದ ಆರ್ಎಸ್ ಕೋಡ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪಟ್ಟಿ-ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಅವಲೋಕನ ತ್ರಿಜ್ಯದವರೆಗೆ ಎಫ್ಆರ್ಎಸ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಡಿಕೋಡ್ ಮಾಡಲು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಗುರುಸ್ವಾಮಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಮೂರು ಹಂತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಹಂತ, ಇದರಲ್ಲಿ ವೆಲ್ಚ್ ಬರ್ಲೆಕ್ಯಾಂಪ್ ಶೈಲಿಯ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಟ್ ಮಾಡಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ನಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಡಿಗ್ರಿ ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಮೂರನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪರಿಹಾರದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹತ್ತಿರದ ಸಂಕೇತ ಪದಗಳ ನಿಜವಾದ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ತಿಳಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲೀನಿಯರ್-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಯಿಕ್ ಲಿಸ್ಟ್ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಗುರುಸ್ವಾಮಿ ಅವರು ಲೀನಿಯರ್-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಟೈಮ್ ಲಿಸ್ಟ್ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ, ಇದು ಫೋಲ್ಡೆಡ್ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯದವರೆಗೆ ಡಿಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನಲ್ಲಿ ಮೂರು ಹಂತಗಳಿವೆಃ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಸ್ಟೆಪ್, ರೂಟ್ ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಸ್ಟೆಪ್ ಮತ್ತು ಪ್ರೂನ್ ಸ್ಟೆಪ್. ಇಂಟರ್ಪೊಲೇಷನ್ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇದು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಭ್ಯರ್ಥಿ ಸಂದೇಶದ ಬಹುಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ರೂಟ್ ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಇದು ಮತ್ತೊಂದು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಹಂತವು ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಪರಿಹಾರ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಪ್ರತಿ ಹಂತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿವರಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹಂತ 1: ಅಂತರ್ವೇಶನ ಹಂತ ಇದು ವೆಲ್ಚ್-ಬರ್ಲೆಕ್ಯಾಂಪ್-ಶೈಲಿಯ ಅಂತರ್ವೇಶನವಾಗಿದೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ವೆಲ್ಚ್-ಬರ್ಲೆಕ್ಯಾಂಪ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಯ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು). ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನಾವು-ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಸಂಕೇತದ ಸಂಕೇತಪದವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳು ಆಗಿರುತ್ತವೆ ನಂತರ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಏಕೆಂದರೆ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪದ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲಿನ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಲೆಮ್ಮಾ ಲೆಮ್ಮಾ 1 ಅನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಅಂತರ್ವೇಶನವನ್ನು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು. ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಹಂತವನ್ನು ಹತ್ತಿರದ-ರೇಖೀಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಈ ಲೆಮ್ಮಾವು ನಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸದ್ಯಕ್ಕೆ, ನಾವು ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಪಾಲಿನೋಮಿಯಲ್ಗೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಸಂದೇಶದ ಬಹುಪದಗಳ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವುದು ಉಳಿದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಲೆಮ್ಮಾ 2. ಅಭ್ಯರ್ಥಿಯ ಸಂದೇಶದ ಬಹುಪದವು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾಲಮ್ಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಪದವನ್ನು ಒಪ್ಪಿದರೆ, ಇಲ್ಲಿ "ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ" ಎಂದರೆ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಕೋಡ್ ವರ್ಡ್ನಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು ಎಂದರ್ಥ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಬಹುಪದವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈ ಲೆಮ್ಮಾ ನಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ನಾವು ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಆ ಸಂದೇಶ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಯಾಗಿರಬೇಕು. ಲೆಮ್ಮಾ 2 ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ನಾವು ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮುಂದೆ ನಾವು ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಭಾಗಶಃ ಒಪ್ಪಂದವು ಹಂತ 2: ರೂಟ್-ಫೈಂಡಿಂಗ್ ಹಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲಾ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಂತ 1 ರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು ಬಹುಪದದ ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರಗಳು ಇದರ ಅಫೈನ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಸಂಗತಿಯು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಕ್ರಮಾವಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ-ನಾವು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ದ್ರಾವಣದ ಆಯಾಮವು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕೇಳುವುದು ಸಹಜ. ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯಿದೆಯೇ? ಸಮರ್ಥವಾದ ಲಿಸ್ಟ್ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಲ್ಲಿ ಅಪ್ಪರ್ ಬೌಂಡ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಕೋಡ್ ವರ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಔಟ್ಪುಟ್ ಮಾಡಬಹುದು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಲೆಮ್ಮಾ ವಾದಿಸುತ್ತಾರೆ. ಲೆಮ್ಮಾ 3. ಕ್ರಮವು ಕನಿಷ್ಠವಾಗಿದ್ದರೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಪ್ರಾಚೀನವಾದಾಗ), ಪರಿಹಾರದ ಆಯಾಮವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಲೆಮ್ಮಾವು ದ್ರಾವಣದ ಸ್ಥಳದ ಆಯಾಮದ ಮೇಲಿನ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಮಗೆ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯ ಪ್ರಮೇಯ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಬ್ಲಾಕ್ ಉದ್ದದ ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ರೇಟ್ ಮಾಡಿ. ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ ಪದವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಎಫ್ಆರ್ಎಸ್ ಎನ್ಕೋಡಿಂಗ್ ಕೋಡ್ ವರ್ಡ್ ಸ್ಥಾನಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ ಡಿಗ್ರಿಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಮಟ್ಟದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದೇಶ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಯಾಮದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಆಧಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಯಾವಾಗ, ಇದು ದೋಷಗಳ ಒಂದು ಭಾಗದವರೆಗೆ ವಿಶಿಷ್ಟ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ವಿಶೇಷತೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸಾಧಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣವು ಸುಮಾರು. ದೋಷ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಮೇಯ 1 ನಮಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಉಳಿದಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಯ ಗಾತ್ರವು. ಆದರೆ ನಿಕಟವಾದ ಸಂಕೇತಪದಗಳ ನಿಜವಾದ ಪಟ್ಟಿಯು ಆ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದೊಳಗಿನ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಕಿರಿದಾಗಿಸಲು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ನಮಗೆ ಕೆಲವು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ಸಮರುವಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್ ಚಾಲನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸಮಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸುಧಾರಿಸುವುದು ಎಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ಗಾಗಿ ಪಟ್ಟಿಯ ಗಾತ್ರದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಸುಧಾರಿಸುವುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡಿಗ್ರಿ ಬಹುಪದಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಸಂದೇಶಗಳಾಗಿ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ವಿಷಯಗಳು ಉತ್ತಮಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಪಟ್ಟಿಯ ಗಾತ್ರವು ದರದಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಇದರ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಹಂತ 3: ಕತ್ತರಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಡಿಕೋಡ್ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಹಂತಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಂಡಿಡೇಟ್ ಪರಿಹಾರ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಮತ್ತೊಂದು ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಟ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಔಟ್ಪುಟ್ನ ಪಟ್ಟಿ ಗಾತ್ರದ ಮಿತಿಯು ತುಂಬಾ ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದೆ. ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪದವಿ ಬಹುಪದಗಳ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂದೇಶಗಳಾಗಿ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ, ಪಟ್ಟಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹಂತ 2ರಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ನಮ್ಮ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಗುರಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು, ಗುಣಾಂಕ ವಾಹಕವನ್ನು ವಿಶೇಷ ಉಪವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಇದರ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ, ಇದು ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಃ ಷರತ್ತು 1. ಸೆಟ್ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬೇಕು (). ಇದು ದರವು ಅಂಶದಿಂದ ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದಾಗಿದೆ. ಷರತ್ತು 2. ಸೆಟ್ ಯಾವುದೇ ಆಯಾಮವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಛೇದನವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಉಪಗುಂಪನ್ನು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್-ಎವಾಸಿವ್ ಉಪಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿಯ ಗಾತ್ರಕ್ಕೆ ಮಿತಿಯಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್-ಎವಾಸಿವ್ ಉಪಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಮಿತಿಯನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಹಂತ 2 ರಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಪರಿಹಾರದ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಟ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ (ಪರಿಹಾರದ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ನ ಆಯಾಮ). ಗುರುಸ್ವಾಮಿಯವರ ಕೆಲಸದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ದಿವಿರ್ ಮತ್ತು ಲೊವೆಟ್ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಿದರು, ಇದು ಪಟ್ಟಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಪರಿಹಾರದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮರುವಿಕೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ದಯವಿಟ್ಟು ಗುರುಸ್ವಾಮಿ, ದಿವಿರ್ ಮತ್ತು ಲೊವೆಟ್ರ ಪ್ರಬಂಧಗಳನ್ನು ನೋಡಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖದಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸಾರಾಂಶ ನಾವು ಹಂತ 3 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೆ, ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಸಾರಾಂಶವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸಹ ನೋಡಿ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ದೋಷ ತಿದ್ದುಪಡಿ ಸಿಂಗಲ್ಟನ್ ಬೌಂಡ್ ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅತ್ರಿ ರುದ್ರ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳುಃ ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ಸ್ ಅತ್ರಿ ರುದ್ರ ಅವರ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳುಃ ವೆಂಕಟೇಶನ್ ಗುರುಸ್ವಾಮಿಯವರ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳುಃ ಸಂಕೇತಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮಿತಿಗಳು ವೆಂಕಟೇಶನ್ ಗುರುಸ್ವಾಮಿಯವರ ಉಪನ್ಯಾಸ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳುಃ ಪಟ್ಟಿ ಡಿಕೋಡಿಂಗ್ ಮಡಿಸಿದ ರೀಡ್-ಸೊಲೊಮನ್ ಕೋಡ್ ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ದೋಷ ಪತ್ತೆ ಮತ್ತು ತಿದ್ದುಪಡಿ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ