Boundary particle method
ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಬೌಂಡರಿ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ಮೆಥಡ್ (ಬಿಪಿಎಂ) ಒಂದು ಬೌಂಡರಿ-ಓನ್ಲಿ ಮೆಷ್ಲೆಸ್ (ಮೆಶ್ಫ್ರೀ) ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಬಿಪಿಎಂ ವರ್ಣಪಟಲದ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಯೋಗಗಳು ತೋರಿಸುತ್ತವೆ. ಇದರ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರಬಹುದು. ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಇತ್ತೀಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಇತ್ತೀಚಿನ ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ, ಡ್ಯುಯಲ್ ರೆಸಿಪ್ರೊಸಿಟಿ ಮೆಥಡ್ (ಡಿಆರ್ಎಂ) ಮತ್ತು ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ರೆಸಿಪ್ರೊಸಿಟಿ ಮೆಥಡ್ (ಎಂಆರ್ಎಂ) ಗಳು ಬೌಂಡರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ಮೆಥಡ್ (ಬಿಇಎಂ) ನಂತಹ ಬೌಂಡರಿ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ತಂತ್ರಗಳ ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಭರವಸೆಯ ತಂತ್ರಗಳಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಡಿಆರ್-ಬಿಇಎಂ ಮತ್ತು ಎಂಆರ್-ಬಿಇಎಂ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಬಿಇಎಂ ತಂತ್ರಗಳು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಡಿಆರ್ಎಂ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಡಿಆರ್ಎಮ್ಗೆ ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಕಾರಣ ಎಂಆರ್ಎಂ ಡಿಆರ್ಎಂಗಿಂತ ಒಂದು ಪ್ರಯೋಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಡಿಆರ್ಎಂಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಎಂಆರ್ಎಂ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ದುಬಾರಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿನಾಶ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಹೈ-ಆರ್ಡರ್ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಬಳಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿವಾರಿಸಲು ರಿಕರ್ಸಿವ್ ಕಾಂಪೋಸಿಟ್ ಮಲ್ಟಿಪಲ್ ರೆಸಿಪ್ರೋಸಿಟಿ ವಿಧಾನವನ್ನು (ಆರ್ಸಿ-ಎಂಆರ್ಎಂ) ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸಿಯನ್ ಆಪರೇಟರ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಯೋಜಿತ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಆಪರೇಟರ್ಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವುದು ಆರ್ಸಿ-ಎಂಆರ್ಎಂನ ಪ್ರಮುಖ ಉದ್ದೇಶವಾಗಿದೆ. ಆರ್ಸಿ-ಎಂಆರ್ಎಂ ಗಣನೆಯ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಎಂಆರ್ಎಂ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ಬೌಂಡರಿ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ವಿಧಾನವು (ಬಿಪಿಎಂ) ಆರ್ಸಿ-ಎಂಆರ್ಎಂ ಅನ್ನು ಬಲವಾದ-ರೂಪದ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ಬೌಂಡರಿ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಯೋಜನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಏಕರೂಪದ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಬೌಂಡರಿ-ಮಾತ್ರ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಆಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನ (ಎಂಎಫ್ಎಸ್), ಬೌಂಡರಿ ನಾಟ್ ವಿಧಾನ (ಬಿಕೆಎಂ), ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಿದ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನ (ಆರ್ಎಂಎಂ), ಏಕವಚನ ಗಡಿ ವಿಧಾನ (ಎಸ್ಬಿಎಂ), ಮತ್ತು ಟ್ರೆಫ್ಟ್ಜ್ ವಿಧಾನ (ಟಿಎಂ). ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಂವಹನ-ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣದಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬಿಪಿಎಂ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಿಪಿಎಂ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ತರಂಗಗಳ ಸರಣಿಯದ್ದಾಗಿದೆ. ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್, ಪಾಯ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಪ್ಲೇಟ್ ಬಾಗುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬಿಪಿಎಂ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು, ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ, ಹಾರ್ಮೋನಿಕ್ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಟ್ರೆಫ್ಟ್ಜ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು (ಟಿ-ಕಂಪ್ಲೀಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬರ್ಗರ್, ವಿಂಕ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಕಂಪನ ತೆಳುವಾದ ಪ್ಲೇಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಪಾಯ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಹೆಲ್ಮ್ಹೋಲ್ಟ್ಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿಲೋಮ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮತ್ತಷ್ಟು ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಗಳು ಬಿಪಿಎಂ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸುಗಮವಲ್ಲದ, ದೊಡ್ಡ-ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಳತೆಯ ದತ್ತಾಂಶದ ಸೆಟ್. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆಃ (1) ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಳತೆ ಮಾಡಲಾದ ದತ್ತಾಂಶಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಬಹುಪದ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋಣಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯ ಸರಣಿಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಮಾಡಬಹುದು. ನಂತರ, ಆರ್. ಸಿ.-ಎಂ. ಆರ್. ಎಂ. ಏಕರೂಪವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗಡಿ-ಮಾತ್ರ ವಿವೇಚನೆಯಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಿ. ಪಿ. ಎಂ. ಅನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು. (2) ದೊಡ್ಡ-ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಬಿಪಿಎಂ ಗಡಿ-ಮಾತ್ರ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಡೊಮೇನ್ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಮೆಶ್ಫ್ರೀ ವಿಧಾನ ರೇಡಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಬೌಂಡರಿ ಎಲಿಮೆಂಟ್ ವಿಧಾನ ಟ್ರೆಫ್ಟ್ಜ್ ವಿಧಾನ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನ ಬೌಂಡರಿ ನಾಟ್ ವಿಧಾನ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಬೌಂಡರಿ ವಿಧಾನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಬೌಂಡರಿ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ವಿಧಾನ ಉಚಿತ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಕೋಡ್ಗಳು ವಿಂಕರ್ ಪ್ಲೇಟ್ ಬೆಂಡಿಂಗ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಬಿಪಿಎಂ ಟೂಲ್ಬಾಕ್ಸ್ ಫಾರ್ ಇನ್ವರ್ಸ್ ಕೌಚಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು