Posterior predictive distribution
ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಗಮನಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಗಮನಿಸಲಾಗದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎನ್. ಐ. ಡಿ. ಯ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅವಲೋಕನಗಳು, ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕ ಸ್ಥಳವಿದೆ. ಒಂದೇ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಇದು ಪ್ರಲೋಭನೆಗೆ ಒಳಗಾಗಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮೂಲವನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ತುಂಬಾ ಕಿರಿದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ತೀವ್ರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮುನ್ಸೂಚನೆಗಳು ಅವುಗಳ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ನಂತರದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ನಂತರದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾದ ನಂತರದ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ನೀಡಲಾದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅಂಚಿಗೆ ತಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಇದು ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಗಿಂತ ವಿಶಾಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಒಂದೇ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಪ್ಲಗ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ವ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಪೂರ್ವ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು, ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಸನ್ನಿವೇಶದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುವ ದತ್ತಾಂಶ ಬಿಂದುವಿನ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಮತ್ತು, ನಂತರ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅಂಚಿನ ವಿತರಣೆಯನ್ನು (ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ, ನಿರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು) ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯ ಬದಲು ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಮುಂಚಿನ ವಿತರಣೆಯು ಮೊದಲು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಮುಂಚಿನ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ಅದೇ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಹಿಂದಿನ ವಿತರಣೆಯು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ನಂತರ, ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಹಿಂದಿನ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯಂತೆ ಅದೇ ವಿತರಣೆಯನ್ನು H ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಬದಲಾದ ಹೈಪರ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳ ಹಿಂಭಾಗದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ. ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ದತ್ತಾಂಶದ ಮೇಲಿನ ಅವಲಂಬನೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಗದ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಕೀರ್ಣ ಅಂಶಗಳ ಕೊರತೆಯಿಂದಾಗಿ ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಾಸರಿ μ ಆದರೆ ಅಜ್ಞಾತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ σx2 ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು, σx2 ಮೇಲೆ ಜೋಡಿಸಲಾದ ಪೂರ್ವ ಸ್ಕೇಲ್-ವಿಲೋಮ-ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಹೈಪರ್ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ν ಮತ್ತು σ2. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಯು ನಿಜಕ್ಕೂ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿತರಣೆಯ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಅನುಗುಣವಾದ ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ನವೀಕರಿಸಿದ ಹೈಪರ್ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳು ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಗಳಿಗೆ ಅತ್ಯಂತ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾದ ವಿಭಿನ್ನ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆಗಾಗ್ಗೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸುವ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಿದಂತೆ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ಇರಿಸಲಾಗಿರುವ ಸ್ಕೇಲ್ಡ್-ಇನ್ವರ್ಸ್-ಚಿ-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ವಿತರಣೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ವಿಲೋಮ ಗಾಮಾ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇವೆರಡೂ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಟಿ-ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಇನ್ನೂ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಗೆ ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಹೈಪರ್ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಇನ್ ಮಾಡುವ ಮೊದಲು ಮರುಪರಿಮಾಣಗೊಳಿಸಬೇಕು. ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಬಹುಪಾಲು, ಆದರೆ ಎಲ್ಲವೂ ಅಲ್ಲ, ವಿತರಣೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕುಟುಂಬಗಳು ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬಗಳಾಗಿವೆ. ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಸಂಯೋಜಿತ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತಾರೆ-ಆದರೆ ಇತರ ಕೆಲವೇ ಕೆಲವು ವಿತರಣೆಗಳು ಸಂಯೋಜಿತ ಆದ್ಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಮತ್ತೊಂದು ಉಪಯುಕ್ತ ಲಕ್ಷಣವೆಂದರೆ, ಅದರ ಸಂಯೋಜಿತ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಅಂಚಿನಲ್ಲಿರುವ ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬ ವಿತರಣೆಯ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಯ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ಅದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯತಾಂಕದ ಪ್ರಕಾರ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬದ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಯೋಜನೆಯಂತೆ ವಿತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು (ಸಂಯೋಜನೆಯ ಫಲಿತಾಂಶ) ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯದೊಳಗಿನ ಕಾರ್ಯವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಏಕೀಕರಣದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ ಕಾರ್ಯದ ಪರಸ್ಪರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲದ ಮತ್ತು ಕಾಣಿಸದಂತಹ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. (ಇದು ನಿಯತಾಂಕದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.) ಮತ್ತು ನ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಯ್ಕೆಗಳಿಗಾಗಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯುವ ಬದಲು ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಸಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರಣವೆಂದರೆ ಅದು ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಇವೆರಡೂ ಸಂಯೋಗಗೊಂಡಾಗ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ, ಈ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೇಲೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ, ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣದ ಎರಡು ರೂಪಗಳ "ಸ್ಥಿರಾಂಕ" ದ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ, ಒಂದು ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಬೀಟಾ-ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆಯು ಒಂದು ಉತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ವಿತರಣೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟಬಿಲಿಟಿಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವತಃ ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬದ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು-ನಿಯತಾಂಕಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಟಿ ವಿತರಣೆ, ಬೀಟಾ-ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ಬಹುಪದ ವಿತರಣೆ ಇವೆಲ್ಲವೂ ಘಾತೀಯ-ಕುಟುಂಬದ ವಿತರಣೆಗಳ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಗಳಾಗಿವೆ (ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆ, ದ್ವಿಪದ ವಿತರಣೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದ ವಿತರಣೆ), ಆದರೆ ಯಾವುದೂ ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬದ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯಿಂದಾಗಿ ಇದನ್ನು ಮೇಲೆ ಕಾಣಬಹುದು. ಘಾತೀಯ-ಕುಟುಂಬದ ವಿತರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ವಿಧದ ಗುಣಾಕಾರದ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಬೇಕುಃ (1) ಕೇವಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳು, (2) ಕೇವಲ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂಶಗಳು, ಮತ್ತು (3) ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ಅನ್ನು ಅಪವರ್ತಿಸುವ ಅಂಶಗಳು. "ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುವ" ಕಾರ್ಯವು ಅನುಗುಣವಾದ ವಾದವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸದ ಹೊರತು ಅಥವಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘಾತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬಳಸದ ಹೊರತು ಇದರ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯು ಇದನ್ನು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬಗಳಲ್ಲಿ ನಂತರದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಸಂಯೋಗವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ, ನಂತರದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯು ಹಿಂದಿನ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯ ಅದೇ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕ (ಗಳ) ನಂತರದ ವಿತರಣೆಗಾಗಿ ನವೀಕರಿಸಿದ ಹೈಪರ್ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳನ್ನು ಪ್ಲಗ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಘಾತೀಯ-ಕುಟುಂಬದ ವಿತರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಹಿಂಭಾಗದ ನವೀಕರಣ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು (ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬದ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತವಾದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ), ನಾವು ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಅಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಲೋಕನಗಳ ಸರಣಿಯ ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅವಲೋಕನಗಳು ಮೊದಲು ಸೂಕ್ತವಾದ ಸಂಯೋಗದೊಂದಿಗೆ ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಯತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಯಂತೆಯೇ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅವಲೋಕನಗಳು ಸ್ವತಃ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತವೆ ಇದನ್ನು ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಾಕಷ್ಟು ಅಂಕಿಅಂಶ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಹಿಂಭಾಗದ ಅಥವಾ ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಅವಲೋಕನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಇದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ, ಆ ವಿಷಯಕ್ಕಾಗಿ, ಅವಲೋಕನಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಯಾವುದಾದರೂ ವಿಷಯ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆ). ಜಂಟಿ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಹಂಚಿದ ನಿಯತಾಂಕದ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ವಿತರಿಸಿದ ಮಾದರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಜಂಟಿ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಇದು ವಿವಿಧ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಬರುತ್ತದೆಃ ಅನೇಕ ಹೊಸ ಅವಲೋಕನಗಳ ಪೂರ್ವ ಅಥವಾ ನಂತರದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ವೀಕ್ಷಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು (ಬೇಯೆಸ್ನ ನಿಯಮದಲ್ಲಿನ ಛೇದ). ಮಾದರಿಗಳ ವಿತರಣೆಯು ಘಾತೀಯ ಕುಟುಂಬದಿಂದ ಬಂದಾಗ ಮತ್ತು ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಯು ಟ್ರ್ಯಾಕ್ಟಬಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೀಕ್ಷಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಒಂದು ಗುಂಪಿನ ಜಂಟಿ ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಯು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಂಯುಕ್ತ ವಿತರಣೆಗೆ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶವು ವೆಕ್ಟರ್-ಮೌಲ್ಯದ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಮೇಲೆ ವಿತರಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮಲ್ಟಿವೇರಿಯೇಟ್ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆ. ಗಿಬ್ಸ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ನೊಂದಿಗಿನ ಸಂಬಂಧವು ಕುಸಿದ ಗಿಬ್ಸ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲರ್ನಲ್ಲಿ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಕೊಲ್ಯಾಪ್ ಮಾಡುವುದು ಸಂಯುಕ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಒಂದು ಗುಂಪನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವಿತರಿಸಿದಾಗ (ಅಂದರೆ) ಎಲ್ಲಾ ನೋಡ್ಗಳು ಒಂದೇ ಹಿಂದಿನ ನೋಡ್ ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿವೆ, ಮತ್ತು ಆ ನೋಡ್ ಕುಸಿಯುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಒಂದು ನೋಡ್ನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಇತರರಿಗೆ ಮತ್ತು ಕುಸಿದುಹೋದ ನೋಡ್ನ ಪೋಷಕರಿಗೆ (ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಇತರ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡೀಷನಿಂಗ್ ಇಲ್ಲ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಯಾವುದೇ ಚೈಲ್ಡ್ ನೋಡ್ಗಳು) ಉಳಿದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂದರೆ ಡಿ ಯ ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ನೋಡ್ಗಳು (ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಹಿಂದೆ ಅಂದರೆ. ನೋಡ್ಗಳು, ಕುಸಿಯುವುದರಿಂದ ನೋಡ್ಗಳ ನಡುವೆ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತದೆ). ಅಂದರೆ, ನೋಡ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಪೋಷಕರನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಜೋಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಮಗುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಿಂದಿನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅದರ ಪೋಷಕರಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಹಿಂಭಾಗದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ವಿತರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೋಡ್ನಿಂದ ಕುಸಿಯುವುದನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾದ ನೋಡ್ನ ಮಕ್ಕಳಾಗಿದ್ದ ನೋಡ್ಗಳು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಚರ್ಚೆಗಾಗಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ಜಟಿಲ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಎಚ್ಚರಿಕೆಗಳಿಗಾಗಿ, ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್-ಮಲ್ಟಿನೋಮಿಯಲ್ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಲೇಖನವನ್ನು ನೋಡಿ. ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಕಾಂಪೌಂಡ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ ಫೋರ್ಕಾಸ್ಟಿಂಗ್ ಮಾರ್ಜಿನಲ್ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ರೆಫರೆನ್ಸ್ಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಓದುವಿಕೆ ಪ್ರೋಬಬಿಲಿಟಿ ಡಿಸ್ಟ್ರಿಬ್ಯೂಷನ್ಗಳ ಥಿಯರಿ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಟಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್