Probabilistic numerics
ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರವು ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ, ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಗಣನೆಯಲ್ಲಿನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುವ ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯ ಅಧ್ಯಯನ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯಗಳಾದ ಏಕೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ, ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಮತ್ತು ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ ಮತ್ತು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ, ಸಂಭವನೀಯ ಅಥವಾ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಾಗಿ ನೋಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನವು ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಒಂದು ಕ್ರಮಾವಳಿಯಾಗಿದೆ (ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರ, ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ, ಬಹುಪರಿವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯದ ಕನಿಷ್ಠ). ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಯಲ್ಲಿ, ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು, ತೀರ್ಮಾನ ಅಥವಾ ಕಲಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯ ತೀರ್ಮಾನದ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಆದರೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಅಲ್ಲ, ಬಯೇಸಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನ). ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಇದರರ್ಥ ಗಣನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸೆಟಪ್ ಅನ್ನು ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹಾಕುವುದು, ಗಣಕದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು (ಉದಾ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರಗಳು, ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳು, ಇಂಟೆಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ) ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರಮಾಣ (ರೇಖೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರ, ಕನಿಷ್ಠ, ಅವಿಭಾಜ್ಯ, ಪರಿಹಾರ ವಕ್ರರೇಖೆ), ಮತ್ತು ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಔಟ್ಪುಟ್ ಆಗಿ ಹಿಂದಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಆಂತರಿಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಿರ್ಧಾರಗಳನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಕ್ರಿಯ ಕಲಿಕೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯವಾದ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳನ್ನು ಸಂಭವನೀಯ ಚೌಕಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಮರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಇದು ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಗಳ ವಿಧಾನ, ನಾರ್ಡಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳು, ಗಾಸಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಅರೆ-ನ್ಯೂಟನ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ವಿಧಾನವು ಗೌಸಿಯನ್ ಪೂರ್ವ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗುವ ಹಿಂಭಾಗದ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಬಹುದಾದ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಕನಿಷ್ಠ-ಚದರ ಅಂದಾಜನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಗೌಸಿಯನ್ ಹಿಂಭಾಗದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ನಂತರ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ದೋಷದ ಕೆಟ್ಟ-ಕೇಸ್ ಅಂದಾಜಿನೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ, ಬಿಂದು-ಅಂದಾಜು ಆಧಾರಿತ ಅಂದಾಜು ತಂತ್ರಗಳಿಗಿಂತ ಹಲವಾರು ಪರಿಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕ ಪ್ರಯೋಜನಗಳನ್ನು ಭರವಸೆ ನೀಡುತ್ತವೆಃ ಅವು ರಚನಾತ್ಮಕ ದೋಷ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತವೆ (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಜಂಟಿ ಹಿಂಭಾಗದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯ, ಅಂದರೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ನಿಜವಾದ ಅಜ್ಞಾತ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಅನೇಕ ವಾಸ್ತವಿಕ ಊಹೆಗಳು) ಪ್ರತಿ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಹೊಸ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮರು-ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಬದಲು, ಅಂತಹ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಹೈಪರ್ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೈಲಿಯಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಯಂತ್ರಿಸಲು ಶ್ರೇಣೀಕೃತ ಬಯೇಸಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಗಣನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಗುರಿ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಸ್ಪಷ್ಟ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನುಮತಿಸುತ್ತವೆ, ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಲ್ಲದ, ಪಕ್ಷಪಾತದ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ವಿಧಾನಗಳು ಬೇರೆಡೆ "ಸಂಭವನೀಯತೆ-ಮುಕ್ತ" ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುವ ಗಣನೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಹ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಬಹುದು ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾ ವಿಧಾನಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ದತ್ತಾಂಶ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ-ಸಂಭವನೀಯತೆ ಕ್ರಮಗಳು-ಇನ್ಪುಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ಔಟ್ಪುಟ್ಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ-ಪ್ರಮಾಣದ, ಸಂಯೋಜಿತ ಗಣನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹರಡಲು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಚೈನ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮಾಹಿತಿಯ ಅನೇಕ ಮೂಲಗಳಿಂದ ಮೂಲಗಳು (ಉದಾ. ಬೀಜಗಣಿತದ, ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದ ಬಗೆಗಿನ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪಥದ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು) ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಒಳಗಿನ ಲೂಪ್ ಒಳಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು, ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾದ ನೆಸ್ಟೆಡ್ ಲೂಪ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಈ ಪ್ರಯೋಜನಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದು-ಅಂದಾಜುಗಳಿಗಿಂತ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ವಿಧಾನಗಳು ಆನಂದಿಸುವ, ಅನ್ವಯಿಸುವ ಅಥವಾ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಪ್ರಯೋಜನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಏಕೀಕರಣ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣದ ಸಮಸ್ಯೆಗಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಏಕೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಅಳತೆಗಳ ವಿರುದ್ಧ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಹಲವಾರು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡೀಷನಿಂಗ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿನ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಯ್ಕೆಯು ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಮೇಲೆ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಹಿಂಭಾಗದ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಮಗೆ ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಏಕರೂಪದ ಗೌಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ದುಬಾರಿಯಾದಾಗ ಮತ್ತು ದತ್ತಾಂಶದ ಆಯಾಮವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮಧ್ಯಮವಾದಾಗ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜವು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಗಣಿತದ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ಗಾಗಿ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಆ ಕಾರ್ಯದ (ಬಹುಶಃ ಗದ್ದಲದ ಅಥವಾ ಪರೋಕ್ಷ) ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾದ ಕೆಲವು ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಗರಿಷ್ಠವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಈ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಗಮನಾರ್ಹವಾದ ಪ್ರಯತ್ನವೆಂದರೆ ಬಯೇಸಿಯನ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್, ಇದು ಬಯೇಸಿಯನ್ ತೀರ್ಮಾನದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಬಯೇಸಿಯನ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಸಂಭವನೀಯ ನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ; ಇದು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅವಲೋಕನಗಳ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ವನಿಯೋಜಿತವಾದ ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಈ ನಂಬಿಕೆಯು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುನ್ನಡೆಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿರುವ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಲ್ಲಿ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಗೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಯೇಸಿಯನ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ನೀತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಂತರದ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಗ್ಗದ, ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಸ್ವಾಧೀನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸತತ ವೀಕ್ಷಣೆಯ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಗರಿಷ್ಠಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಅನುಕ್ರಮ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿನ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಮಾದರಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್, ಸೂಕ್ತವಾದ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚು ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಅವಲೋಕನಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ ಸ್ವಾಗತಾರ್ಹ ಅಡ್ಡಪರಿಣಾಮವೆಂದರೆ, ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿನ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು, ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯ ನಂಬಿಕೆಯಿಂದ ಅಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟಂತೆ, ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಎಕ್ಸ್ಪ್ಲೋರೇಶನ್ ವರ್ಸಸ್ ಎಕ್ಸ್ಪ್ಲೋಟೇಶನ್ ಟ್ರೇಡ್ಆಫ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ನೀತಿಗೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಳೀಯ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಆಳವಾದ ಕಲಿಕೆಗಾಗಿ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಕಲಿಕೆಯ ದರ ಟ್ಯೂನಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಲೈನ್ ಸರ್ಚ್ಗಳು, ಬ್ಯಾಚ್-ಸೈಜ್ ಆಯ್ಕೆ, ಆರಂಭಿಕ ನಿಲುಗಡೆ, ಸಮರುವಿಕೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಹುಡುಕಾಟ ನಿರ್ದೇಶನಗಳಂತಹ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು. ಈ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಉದ್ದೇಶವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಡೇಟಾಸೆಟ್ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ರೂಪದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪಾಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಅನುಗುಣವಾದ ಇನ್ಪುಟ್ನಿಂದ ಗುರಿಯನ್ನು ಊಹಿಸುವಲ್ಲಿ ನಿಯತಾಂಕಗೊಳಿಸಿದ ಮುನ್ಸೂಚಕ ಮಾದರಿಯು ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುವ ನಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಡೇಟಾಸೆಟ್ ಗಾತ್ರವು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದಾಗ ಮತ್ತು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಸ್ಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ ಸಾಂಕ್ರಾಮಿಕ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ನಷ್ಟದ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಅದರ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ನಂತಹ ಸ್ಥಳೀಯ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು (ಕೆಲವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ) ಸಮಂಜಸವಾದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ದತ್ತಾಂಶದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಉಪವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅಂದಾಜುಗಾರರನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಿನಿ-ಬ್ಯಾಚಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಈ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ನಿರ್ಧಾರಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುತ್ತವೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮತ್ತು ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಗಣನೆಯ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿವೆ. ವಿಧಾನಗಳ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ವರ್ಗವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸ್ವರೂಪದ್ದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿವಿಧ ವಾಹಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್-ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ (ಹುಸಿ-) ವಿಲೋಮದ ಮೇಲೆ ನಂಬಿಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂತಹ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಧಾರಿತ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು. ನಂಬಿಕೆಯ ನವೀಕರಣವು ಊಹಿಸಲಾದ ವಸ್ತುವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗುಣಾಕಾರಗಳಿಗೆ ಅಥವಾ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಎಂದು ಬಳಸುತ್ತದೆ. ವಿಧಾನಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ರೇಖೀಯ ಅವಲೋಕನಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆಯಿಂದಾಗಿ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಊಹಿಸುತ್ತವೆ. ಕಲ್ಪನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೂ, ಈ ಎರಡು ದೃಷ್ಟಿಕೋನಗಳು ಗಣನೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕ ಹೊಂದಿವೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ದೊಡ್ಡ ದತ್ತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಅಳೆಯಲು ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ದಿನಚರಿಗಳನ್ನು ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವು ಸಂಯೋಜಿತ ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂಭಾಗಕ್ಕೆ ಅಂದಾಜು ದೋಷದ ನಿಖರವಾದ ಪ್ರಸರಣವನ್ನು ಸಕ್ರಿಯಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಗಮನಿಸಿದ ದತ್ತಾಂಶದ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ ಗಣನೆಯ ಸೀಮಿತ ಪ್ರಮಾಣ ಎರಡರಿಂದಲೂ ಉಂಟಾಗುವ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲಾದ ಅನೇಕ ವಿಭಿನ್ನ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇವುಗಳನ್ನು ವಿಶಾಲವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದುಃ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ-ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪ್ರಮಾಣಿತ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗೊಂದಲಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒನ್-ಸ್ಟೆಪ್ ಇಂಟಿಗ್ರೇಟರ್ಗಳ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ಷುಬ್ಧತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಅವುಗಳ ಸಮಯ-ಹಂತವನ್ನು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಮಾದರಿ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಳತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂಜರಿತದ ವಿಧಾನಗಳು ಕೈಯಲ್ಲಿರುವ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂಜರಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿವೆ, ಬಲಭಾಗದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಗಳನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ದತ್ತಾಂಶವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ತಂತ್ರಗಳು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಕ್ಯೂಬೇಚರ್ ಅನ್ನು ಹೋಲುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ವಿಭಿನ್ನ ಮತ್ತು ಆಗಾಗ್ಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವೀಕ್ಷಣಾ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ. ಅದರ ಶೈಶವಾವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ, ಈ ವರ್ಗದ ವಿಧಾನಗಳು ನಿಷ್ಕಪಟವಾದ ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ್ದವು. ಇದನ್ನು ನಂತರ (ದಕ್ಷ ಗಣನೆಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ) ಸಂಭವನೀಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ರೂಪಿಸಲಾದ ಗಾಸ್ ಮಾರ್ಕೋವ್ ಪ್ರಿಯರ್ಗಳ ಪರವಾಗಿ ಸುಧಾರಿಸಲಾಯಿತು, ಅಲ್ಲಿ-ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್ ಮಾಡೆಲಿಂಗ್ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ-ಆಯಾಮದ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಕಲ್ಮನ್ ಫಿಲ್ಟರಿಂಗ್ ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಈ ಎರಡು ವರ್ಗಗಳ ನಡುವಿನ ಗಡಿರೇಖೆಯು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ದತ್ತಾಂಶದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂಜರಿತ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ರೀಮಾನಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಸುಪ್ತ ಬಲ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಿಂಪ್ಲೆಕ್ಟಿಟಿಯಂತಹ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹಲವಾರು ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತೆಯೇ, ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿಶಾಲವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲವು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಸೀಮಿತ-ಅಂಶದ ಜಾಲರಿ ಮತ್ತು ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂಜರಿತವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಪರಿಹಾರಕಗಳು ಕೆಲವು ಆದ್ಯತೆಗಳಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಗಳ ಮೇಲೆ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಮರುಪಡೆಯುತ್ತವೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಸರಾಸರಿ ತೂಕದ ಉಳಿದ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್ ವಿಧಾನಗಳು, ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಣಪಟಲದ ವಿಧಾನಗಳು ಸೇರಿವೆ. ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳ ಸರಾಸರಿ-ಪ್ರಕರಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಮಾಹಿತಿ ಆಧಾರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ, ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ನಿರ್ಧಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹಲವಾರು ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿದೆ. ಈಗ "ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ" ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪೂರ್ವಗಾಮಿಗಳನ್ನು 19ನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು 20ನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಸಂಭಾವ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲವನ್ನು ಹೆನ್ರಿ ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲ್ ಡೆಸ್ ಪ್ರೋಬಾಬಿಲಿಟ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಬಹುಪದೀಯ ಅಂತರ್ವೇಶನಕ್ಕೆ ಸಂಭವನೀಯ ವಿಧಾನಗಳ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಆಧುನಿಕ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಔಪಚಾರಿಕ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಗಾಸಿಯನ್ ಪೂರ್ವ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಪಾಯಿನ್ಕೇರ್ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಮೊದಲು ನೀಡಿದ "ಸಂಭವನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು" ಮತ್ತು ಅದರ ಅವಲೋಕನಗಳನ್ನು ಕೇಳಿದರು. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ನಂತರದ ಮೂಲಭೂತ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ಆಲ್ಬರ್ಟ್ ಸುಲ್ಡಿನ್ ಅವರು ಏಕರೂಪದ ಚತುರ್ಭುಜದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒದಗಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಸುಲ್ಡಿನ್ ಪರಿಗಣಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯದ ಅಂದಾಜು, ಮೊದಲು ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಅಟ್ ನೋಡ್ಗಳ ಬಿಂದುವಾರ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ನೀಡಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನೋಡ್ಗಳಿಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸರಾಸರಿ ಸ್ಕ್ವೇರ್ಡ್ ದೋಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರೇಚರ್ ನಿಯಮವು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯ್ಡಲ್ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸುಲ್ಡಿನ್ ತೋರಿಸಿದರು; ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಕನಿಷ್ಠ ದೋಷವು ಇಂಟರ್-ನೋಡ್ ಅಂತರಗಳ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಸಮಾನ-ಅಂತರದ ನೋಡ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯ್ಡಲ್ ನಿಯಮವನ್ನು ಕೆಲವು ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವೆಂದು ನೋಡಬಹುದು-ಇದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನದ ಸರಾಸರಿ-ಕೇಸ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಆರಂಭಿಕ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸುಲ್ಡಿನ್ ಅವರ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವನ್ನು ನಂತರ ಮೈಕ್ ಲಾರ್ಕಿನ್ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು. ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ನ ಮೇಲೆ ಸುಲ್ಡಿನ್ ಅವರ ಬ್ರೌನಿಯನ್ ಚಲನೆಯು ಗಾಸಿಯನ್ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಬುದ್ಧಿವಂತ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಎರಡೂ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಗಾಸಿಯನ್ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಆಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಮನಿಸಿದ ಬಿಂದುವಾರ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಕಂಡೀಷನಿಂಗ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿತರಣೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಸರಾಸರಿ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡಲ್ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಕೋನವು ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಬಹಳ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ, ಚತುರ್ಭುಜ ವಿಧಾನದ ಔಟ್ಪುಟ್ ಅನ್ನು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಅಂದಾಜಾಗಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅದರ ಸ್ವಂತ ಬಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ವಿತರಣೆಯಾಗಿಯೂ ನೋಡುತ್ತದೆ. ಹೌಮನ್ ಓವಾದಿ ಮತ್ತು ಸಹಯೋಗಿಗಳು ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ತೀರ್ಮಾನದ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಪಲಾಸ್ಟಿ ಮತ್ತು ರೆನಿ, ಸಾರ್ದ್, ಕಿಮೆಲ್ಡಾರ್ಫ್ ಮತ್ತು ವಾಹ್ಬಾ (ಬೇಯೇಶಿಯನ್ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ಸ್ಪ್ಲೈನ್ ಸ್ಮೂಥಿಂಗ್/ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಮೇಲೆ) ಮತ್ತು ಲಾರ್ಕಿನ್ (ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಹಿಂಜರಿತ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂದಾಜಿನ ನಡುವಿನ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಮೇಲೆ) ವರೆಗೆ ಪತ್ತೆಹಚ್ಚಬಹುದು. ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ಮಾದರಿಯಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ವಿಧಾನವು ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಮಾಹಿತಿ ಆಧಾರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ (ಐಬಿಸಿ) ಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು, ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಷ್ಠಾನಕ್ಕೆ ಭಾಗಶಃ ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಗಣನೆಯ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅವಲೋಕನದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನಲ್ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ಶಾಖೆ. ಐಬಿಸಿ ಯಲ್ಲಿ, ಅಪೂರ್ಣ ಮಾಹಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಷಮತೆಯನ್ನು ಕಳಪೆ-ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಕಳೆದುಹೋದ ಮಾಹಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸರಾಸರಿ-ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ಯಾಕೆಲ್ ಗಮನಿಸಿದಂತೆ, ಮಿಶ್ರ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ) ತಂತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಮಿನ್ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ (ಕೆಟ್ಟ-ಪ್ರಕರಣ) ಮಿನ್ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಎತ್ತುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಕೂಲ ಆಟದಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ಕೇಸ್ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಈ ಅವಲೋಕನವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಂದಾಜು ಮತ್ತು ವಾಲ್ಡ್ನ ನಿರ್ಧಾರ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ನಡುವಿನ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಾನ್ ನ್ಯೂಮನ್ರ ಆಟದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಪ್ರಭಾವಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಪರ್ಕವನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಮಿಚೆಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ರಿವ್ಲಿನ್ನ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಚೇತರಿಕೆ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಆ ಕಾರ್ಯದ ಮೇಲೆ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೇಖೀಯ ಅಳತೆಗಳಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಚೇತರಿಕೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಶೂನ್ಯ-ಮೊತ್ತದ ಆಟವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾ, ಅಲ್ಲಿ ಆಟಗಾರ I ಅಜ್ಞಾತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಆಟಗಾರ II ಅದರ ಅಂದಾಜನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ, ಮತ್ತು ನಷ್ಟಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಚತುರ್ಭುಜ ಮಾನದಂಡದಲ್ಲಿ ಸಂಬಂಧಿತ ದೋಷಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾನೆ, ಅಂತಹ ಆಟಗಳಿಗೆ ಗೌಸಿಯನ್ ಪ್ರಿಯರ್ಗಳು ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿಶ್ರ ತಂತ್ರಗಳಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಗೌಸಿಯನ್ ಆದ್ಯತೆಯ ಕೋವೇರಿಯನ್ಸ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಚೇತರಿಕೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಬಳಸುವ ಚತುರ್ಭುಜ ಮಾನದಂಡದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಪ್ರೋಬ್ನಂಃ ಪೈಥಾನ್ನಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರ. ProbNumDiffEq.jl: ಜೂಲಿಯಾದಲ್ಲಿ ಅಳವಡಿಸಲಾದ ಶೋಧನೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಂಭವನೀಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ODE ಪರಿಹಾರಗಳು. ಎಮುಕಿಟ್ಃ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧಾರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಪೈಥಾನ್ ಟೂಲ್ಬಾಕ್ಸ್. ಬ್ಯಾಕ್ಪ್ಯಾಕ್ಃ ಪೈಟೋರ್ಚ್ನ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದು ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಇತರ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸರಾಸರಿ-ಪ್ರಕರಣ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮಾಹಿತಿ-ಆಧಾರಿತ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಪ್ರಮಾಣೀಕರಣ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಅನ್ವಯಿಕ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆ ಅನ್ವಯಿಕ ಗಣಿತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.