Catalan's triangle
ಸಂಯೋಜಿತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆಟಲಾನ್ನ ತ್ರಿಕೋನವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ನಮೂದುಗಳು n X ಮತ್ತು k Y ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ತಂತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನ ಯಾವುದೇ ಆರಂಭಿಕ ಭಾಗವು X ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು Y ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದು ಕೆಟಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಯುಜೀನ್ ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಕೆಟಲಾನ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಬೈಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆಃ .. .. ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಡಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಕ್ಕೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿನ ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂತ್ರ 3 ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. 1800ರಲ್ಲಿ ಲೂಯಿಸ್ ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ಆಂಟೊಯಿನ್ ಅರ್ಬೊಗಾಸ್ಟ್ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲಸ್ ಕುರಿತ ಗ್ರಂಥದ 214ನೇ ಪುಟದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ ತ್ರಿಕೋನದ ಆರಂಭಿಕ ನೋಟವಿದೆ. ಶಪಿರೊ ಮತ್ತೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತಾನೆ, ಅದನ್ನು ಅವನು ಇಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದ ಕೆಟಲಾನ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾನೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸೋ ವೆನ್ ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕರ್ಣೀಯವು-th ಕೆಟಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಹಾಕಿ-ಸ್ಟಿಕ್ ಗುರುತು ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು,-th ಸಾಲಿನ ಸಾಲು ಮೊತ್ತವು-th ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" ಶೈಲಿ = "ಟೆಕ್ಸ್ಟ್-ಅಲೈನ್ಃ ರೈಟ್;" |-! ! ಅಗಲ = "50" | 0! ಅಗಲ = "50" | 1! ಅಗಲ = "50" | 2! ಅಗಲ = "50" | 3! ಅಗಲ = "50" | 4! ಅಗಲ = "50" | 5! ಅಗಲ = "50" | 6! ಅಗಲ = "50" | 7! ಅಗಲ = "50" | 8 |-! 0 | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 1 | 1 | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 2 | 1 | | 2 | | 2 | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 3 | 1 | | 3 | | 5 | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 4 | 1 | | 4 | | 9 | | 14 | | | | | | | | | | | | | |-! 5 | 1 | | 5 | | 14 | | 28 | | 42 | | 42 | | | | | | | | |-! 6 | 1 | | 6 | | 20 | | 48 | | 90 | | 132 | | 132 | | | | |-! 7 | 1 | | 7 | | 27 | | 75 | | 165 | | 297 | | 429 | | 429 | | |-! 8 | 1 | | 8 | | 35 | | 110 | | 275 | | 572 | | 1001 | | 1430 | | 1430 |} ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಸೂತ್ರ 3 ಅನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಎರಡನ್ನೂ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ s ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ. - th ಮೌಲ್ಯದ ಸಂಯೋಜಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಭಾಗವು ಅದರ ಸೂಚ್ಯಂಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರುವಂತಹ ಗರಿಷ್ಠ ಭಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಿಖರವಾದ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಣಿಕೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ನ ಟ್ರಾಪೆಜೋಯಿಡ್ಗಳು ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಟ್ರಾಪೆಜೋಯಿಡ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಕೆಟಲಾನ್ನ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯ್ಡ್ ಆಫ್ ಆರ್ಡರ್ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ನಮೂದುಗಳು X-s ಮತ್ತು Y-s ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ತಂತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆರಂಭಿಕ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ Y-s ಸಂಖ್ಯೆಯು X-s ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನದನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ನ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಕ್ರಮವು ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ನ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ನ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಆಫ್ ಆರ್ಡರ್ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" ಶೈಲಿ = "ಟೆಕ್ಸ್ಟ್-ಅಲೈನ್ಃ ರೈಟ್;" |-! ! ಅಗಲ = "50" | 0! ಅಗಲ = "50" | 1! ಅಗಲ = "50" | 2! ಅಗಲ = "50" | 3! ಅಗಲ = "50" | 4! ಅಗಲ = "50" | 5! ಅಗಲ = "50" | 6! ಅಗಲ = "50" | 7! ಅಗಲ = "50" | 8 |-! 0 | 1 | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 1 | 1 | | 2 | | 2 | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 2 | 1 | | 3 | | 5 | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 3 | 1 | | 4 | | 9 | | 14 | | | | | | | | | | | | | |-! 4 | 1 | | 5 | | 14 | | 28 | | 42 | | 42 | | | | | | | | |-! 5 | 1 | | 6 | | 20 | | 48 | | 90 | | 132 | | 132 | | | | |-! 6 | 1 | | 7 | | 27 | | 75 | | 165 | | 297 | | 429 | | 429 | | |-! 7 | 1 | | 8 | | 35 | | 110 | | 275 | | 572 | | 1001 | | 1430 | | | 1430 | | ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ನ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಕ್ರಮದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು {| ಕ್ಲಾಸ್ = "ವಿಕಿಟೇಬಲ್" ಶೈಲಿ = "ಪಠ್ಯ-ಜೋಡಣೆಃ ಬಲ;" |-! ! ಅಗಲ = "50" | 0! ಅಗಲ = "50" | 1! ಅಗಲ = "50" | 2! ಅಗಲ = "50" | 3! ಅಗಲ = "50" | 4! ಅಗಲ = "50" | 5! ಅಗಲ = "50" | 6! ಅಗಲ = "50" | 7! ಅಗಲ = "50" | 8! ಅಗಲ = "50" | 9 |-! 0 | 1 | | 1 | | 1 | | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 1 | 1 | | 2 | | 3 | | | | | | | | | | | | | | | | | |-! 2 | 1 | | 3 | | 6 | | 9 | | 9 | | | | | | | | | | | | | |-! 3 | 1 | | 4 | | 10 | | 19 | | 28 | | 28 | | | | | | | | | | | |-! 4 | 1 | | 5 | | 15 | | 34 | | 62 | | 90 | | 90 | | | | | | | | |-! 5 | 1 | | 6 | | 21 | | 55 | | 117 | | 207 | | 297 | | | | | | | |-! 6 | 1 | | 7 | | 28 | | 83 | | 200 | | 407 | | 704 | | 1001 | | 1001 | | |-! 7 | 1 | | 8 | | 36 | | 119 | | 319 | | 726 | | 1430 | | 2431 | | 3432 | | 3432 |} ಮತ್ತೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶವು ಮೇಲಿನ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು (,,) ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರೂಫ್ 1 ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದ ಪುರಾವೆಗಳು ಈ ಪುರಾವೆಯು ಕ್ಯಾಟಲಾನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಕರ್ಣೀಯಗಳಿಗೆ ಬಳಸಿದಂತೆ ಆಂಡ್ರೆನ ಪ್ರತಿಫಲನ ವಿಧಾನದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ದಾಟುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಕೆಳಗಿನ ಎಡದಿಂದ ಮೇಲಿನ ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮಾರ್ಗವೂ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ದಾಟದ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನಾವು ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆಃ (1) ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ದಾಟಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿದ್ದಾಗ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಮಾರ್ಗಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ. .. (2) ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಮೀರದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾದಾಗ, ಅಂದರೆ. .. (3) ಯಾವಾಗ, 'ಕೆಂಪು' ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ದಾಟುವ 'ಹಳದಿ' ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೈನಸ್ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. .. ಆದ್ದರಿಂದ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ದಾಟದ ಮಾರ್ಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗವಾದ "ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ" ದ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪುರಾವೆ 2 ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮೊದಲನೆಯದು Xಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವ XY ಸಂಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು Yಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವವುಗಳಿಗೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೊದಲ ಗುಂಪು ಮಾನ್ಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರಿಹಾರವು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಗಾಗಿ ಆರಂಭಿಕ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರೂಫ್ 2 ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ತ್ರಿಕೋನಗಳು