Perles configuration
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಪರ್ಲ್ಸ್ ಸಂರಚನೆಯು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ಸಮಾನವಾದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಂಚಭುಜದ ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತಿ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಸಮ್ಮಿತಿ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯ ಕಡಿಮೆ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗದ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಪರ್ಲ್ಸ್ ಸಂರಚನೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಗಳು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. ಪರ್ಲ್ಸ್ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ನಿಯಮಿತ ಪಂಚಭುಜ ಮತ್ತು ಅದರ ಐದು ಕರ್ಣೀಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದು. ಈ ಕರ್ಣೀಯಗಳು ಹೊರಗಿನ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಸಣ್ಣ ಒಳ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಹೊರಗಿನ ಪಂಚಭುಜದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಶೃಂಗವು ಒಳಗಿನ ಪಂಚಭುಜದ ಶೃಂಗದ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿದೆ. ಸಂರಚನೆಯ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಪ್ರತಿ ಪಂಚಭುಜದ ಐದು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಎರಡು ಪಂಚಭುಜಗಳ ಹಂಚಿಕೆಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿ ಪಂಚಭುಜದಿಂದ ಒಂದು. ಸಂರಚನೆಯ ಒಂಬತ್ತು ರೇಖೆಗಳು ಹೊರಗಿನ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಒಳಗಿನ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಐದು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಂದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಜೋಡಿ ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನಾಲ್ಕು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ ಪರ್ಲ್ಸ್ ಸಂರಚನೆಯ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಒಂದೇ ಛೇದಕ ಮಾದರಿಯ ಯಾವುದೇ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಂಚಭುಜದಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಂರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ ಮಾತ್ರ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನೈಜ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಈ ಸಂರಚನೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವು, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೂಪಾಂತರದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಂಚಭುಜದಿಂದ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ನಾಲ್ಕು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವು ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವು ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಂಚಭುಜದಿಂದ ಪಡೆದ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತದಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಈ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳು ಅವುಗಳ ಅಡ್ಡ-ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಚಿನ್ನದ ಅನುಪಾತವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ನಾಲ್ಕು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಬಿಂದುಗಳು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಅಡ್ಡ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪರ್ಲ್ಸ್ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಆದರೆ ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂರಚನೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಬ್ರಾಂಕೊ ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್ ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ; ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಪರ್ಲ್ಸ್ ಸಂರಚನೆಯು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ತರ್ಕಬದ್ಧವಲ್ಲದ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಕಾಂಬಿನೇಟರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಅನ್ವಯವು ಪರ್ಲೆಸ್ ಹನ್ನೆರಡು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಂಟು ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ತನ್ನ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡಿತು, ಅದನ್ನು ಅದೇ ರೀತಿ ನೈಜ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಆದರೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಲ್ಲ. ಸಂರಚನೆಯ ಬಿಂದುಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೂರು ದ್ವಿಗುಣಗೊಂಡವು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ, ಪೆರ್ಲ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ನ ಗೇಲ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ಅನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಸ್ಟೈನಿಟ್ಜ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಆದರೆ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳಿವೆ ಎಂದು ಈಗ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಪೆರ್ಲ್ಸ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ ತಿಳಿದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಕೃತಿ ದಿ ಪರ್ಲ್ಸ್ ಕಾನ್ಫಿಗರೇಶನ್ ಅನ್ನು 1960ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ ಮೈಕಾ ಪರ್ಲ್ಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಇದು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂರಚನೆಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಮೊದಲ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲ. ಎರಡು ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ವಾನ್ ಸ್ಟಾಡ್ಟ್ನ ಎಸೆತಗಳ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ 11-ಅಂಶಗಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಂರಚನೆಗಳು, ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಸೀಮಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನದ ಸುದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸವಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನೇಕ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿ ಅನೇಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂರಚನೆಗಳಂತೆಯೇ ಹೆಸರಿಸಲಾಗಿದ್ದರೂ, ಪರ್ಲ್ಸ್ ಸಂರಚನೆಯು ನಿಯಮಿತವಾಗಿಲ್ಲಃ ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬಿಂದುಗಳು ಮೂರು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಲುಗಳು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳ ಒಂದು ಸಾಲು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂಬತ್ತು ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪಪ್ಪುಸ್ ಸಂರಚನೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೂರು ಅಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಸಂರಚನೆಗಳು (ಜ್ಯಾಮಿತಿ) ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸಂಯೋಜನೆ