Eilenberg–Ganea theorem
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ, ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಗಾನಿಯಾ ಪ್ರಮೇಯವು, ಅದರ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ (ಅಂದರೆ) ಕೆಲವು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ರಚಿಸಲಾದ ಗುಂಪು ಜಿಗೆ, ಒಬ್ಬರು ಆಯಾಮ ಎನ್ ನ ಆಸ್ಪೆರಿಕಲ್ ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಂಕೀರ್ಣ ಎಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು ಜಿ. ಈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪೋಲಿಷ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಸ್ಯಾಮ್ಯುಯೆಲ್ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ರೊಮೇನಿಯನ್ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಟ್ಯೂಡರ್ ಗಾನಿಯಾ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1957ರಲ್ಲಿ ಆನ್ನಲ್ಸ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಪ್ರಬಂಧವೊಂದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಯಿತು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಗ್ರೂಪ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಃ ಒಂದು ಗ್ರೂಪ್ ಆಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಮ್ಯಾಕ್ಲೇನ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಚೈನ್ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಗುಂಪು ಉಂಗುರದ ಮೇಲೆ ಮುಕ್ತ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಆಗಿದೆ (ಅಲ್ಲಿ ಒಂದು ಟ್ರಿವಿಯಲ್-ಮಾಡ್ಯೂಲ್): ಯುನಿವರ್ಸಲ್ ಕವರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಏಕವಚನ-ಸರಪಳಿಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಮುಕ್ತ ಅಬೆಲಿಯನ್ ಗುಂಪು ಎಲ್ಲಿದೆ. - ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಂಪಿನ ಗುಂಪು ಸಂಯೋಜನೆಯು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಈ ಸರಪಳಿ ಸಂಕೀರ್ಣದ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮಃ ಒಂದು ಗುಂಪು ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ (ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಸತ್ಯಃ ಗರಿಷ್ಠ ಉದ್ದದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಎಲ್ಲಾ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮಾತ್ರ ಉದ್ದದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮದ ಪರ್ಯಾಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ G ಯ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವು ಚಿಕ್ಕ n (ಪ್ರಾಯಶಃ ಅನಂತ) ಆಗಿದ್ದು, G ಯು n ಉದ್ದದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ, n ಉದ್ದದ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಗನೇಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಗುಂಪಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ. ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮವು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಅಂದರೆ. ನಂತರ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಅಸ್ಪೆರಿಕಲ್ ಸಿ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ ಸಂಕೀರ್ಣವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಮೂಲಭೂತ ಗುಂಪು, ಅಂದರೆ,. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಕನ್ವರ್ಸ್ ಕನ್ವರ್ಸ್ ಸೆಲ್ಯುಲಾರ್ ಹೋಮೋಲಜಿಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಫ್ರೀ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಥೀರಂ): X ಎಂಬುದು π1 (X) = G, ನಂತರ cdZ (G) ≤ n. ಸಂಬಂಧಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಊಹೆಗಳಿರುವ ಒಂದು ಅಸ್ಪೆರಿಕಲ್ n-ಆಯಾಮದ CW ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರಮೇಯ-ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಗುಂಪು ಮುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಗನೇಯ ಕಲ್ಪನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಗನೇಯಾ ಕಾನ್ಸೆಕ್ಟರ್ಃ ಒಂದು ಗುಂಪು ಜಿ ಕೋಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಆಯಾಮ 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರೊಂದಿಗೆ 2-ಆಯಾಮದ ಆಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಸಿಡಬ್ಲ್ಯೂ ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಕ್ಸ್ ಇರುತ್ತದೆ. G ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ, 3-ಆಯಾಮದ ಆಸ್ಫೆರಿಕಲ್ CW ಸಂಕೀರ್ಣ X ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಐಲೆನ್ಬರ್ಗ್-ಗಾನಿಯಾ ಕಾಂಜೆಕ್ಚರ್ ಗ್ರೂಪ್ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿ ಕೊಮೊಮಾಲಜಿಕಲ್ ಡೈಮೆನ್ಷನ್ ಸ್ಟ್ಯಾಲಿಂಗ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ. ಕೆನ್ನೆತ್ ಎಸ್. ಬ್ರೌನ್, ಕೋಹೋಮಾಲಜಿ ಆಫ್ ಗ್ರೂಪ್ಸ್, 1982 ರ ಮೂಲ, ಗ್ರಾಜುಯೇಟ್ ಟೆಕ್ಸ್ಟ್ಸ್ ಇನ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, 87, ಸ್ಪ್ರಿಂಗರ್-ವೆರ್ಲಾಗ್, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್, 1994 ರ ಸರಿಪಡಿಸಿದ ಮರುಮುದ್ರಣ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಟೋಪೋಲಜಿಯಲ್ಲಿ ಹೋಮೋಲಾಜಿಕಲ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು