Kummer configuration
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಅರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಕುಮ್ಮರ್ ಹೆಸರಿನಿಂದ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಕುಮ್ಮರ್ ಸಂರಚನೆಯು 16 ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು 16 ಸಮತಲಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು 6 ಸಮತಲಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಮತಲವು 6 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಸಮತಲಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸಮತಲಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂರಚನೆಯು ಬೈಪ್ಲೇನ್ ಆಗಿದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, 2− (16,6,2) ವಿನ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ಕುಮ್ಮರ್ ಮೇಲ್ಮೈಯ 16 ನೋಡ್ಗಳು ಮತ್ತು 16 ಟ್ರಾಪ್ಗಳು ಕುಮ್ಮರ್ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ 16 ಅಂಶಗಳಿಂದ 16 ವಿಭಿನ್ನ 6-ಸೆಟ್ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅಲ್ಲದ ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ, ಅಂದರೆ ಬೈಪ್ಲೇನ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಮೂರರಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾದದ್ದು ಕುಮ್ಮರ್ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು 16 ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ "ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಬೈಪ್ಲೇನ್" ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೋರ್ಡಾನ್ (1869) ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಆದರೆ ಅಸ್ಸ್ಮಸ್ ಮತ್ತು ಸಾರ್ಡಿ (1981) ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ, 4x4 ಗ್ರಿಡ್ನಲ್ಲಿ 16 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (1 ರಿಂದ 16 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಳಿ) ಜೋಡಿಸಿ. ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೂ, ಅದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಇತರ 3 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದೇ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿರುವ ಇತರ 3 ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು 6-ಸೆಟ್ ಆಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಿ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಅಂಕಕ್ಕೂ ಒಂದು 6-ಅಂಶದ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದೇ ಸಾಲು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆ ಸಾಲು ಅಥವಾ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿ ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿವೆ, ಅವು ಎರಡೂ ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ ಒಂದೇ ಸಾಲು ಅಥವಾ ಅಂಕಣದಲ್ಲಿರದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅವುಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಎರಡು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳೊಂದಿಗೆ ಆಯತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಎಲ್ಲಾ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಆ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಆರಂಭಿಕ ಬಿಂದುಗಳು ಎರಡು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವುದನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. ಅದೇ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಹಿಂದಿರುಗಿಸುವ 16 ಬಿಂದುಗಳ ನಿಖರವಾದ 11520 ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಗಳಿವೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಬ್ಲಾಕ್ ಲೇಬಲ್ಗಳನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ ಲೇಬಲ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಗಾತ್ರ 2ರ ಮತ್ತೊಂದು ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ 23040 ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳು ಉಂಟಾಗುತ್ತವೆ. ಕ್ಲೈನ್ ಸಂರಚನೆಯ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು (ರೇಖಾಗಣಿತ) ಬೀಜಗಣಿತದ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ.