Hesse configuration
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯು 9 ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು 12 ರೇಖೆಗಳ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ರೇಖೆಗೆ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಾಲ್ಕು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಕಾಲಿನ್ ಮ್ಯಾಕ್ಲಾರಿನ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಅವರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಯಂಗ್ನ ರೇಖಾಗಣಿತ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮೇಲೆ ಜಾನ್ ವೆಸ್ಲೆ ಯಂಗ್ನ ನಂತರದ ಕೃತಿಯ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ. ವಿವರಣೆ ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯು 3 ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲಿನ ಅಫೈನ್ ಸಮತಲದ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಂತೆಯೇ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಪತನ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂದರೆ, ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 3 ರೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಸಂರಚನೆಯ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂರು ಪಟ್ಟುಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಸಂರಚನೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಟಿಕ್-ಟಾಕ್-ಟೋ ಬೋರ್ಡ್ನ ಚೌಕಗಳಿಂದ ಗುರುತಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಬೋರ್ಡ್ನ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಮುರಿದ ಕರ್ಣೀಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ನಾಲ್ಕು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸೇರಿದೆಃ ರಚನೆಯ ಟಿಕ್ ಟಾಕ್ ಟೋ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಸಮತಲವಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಲಂಬವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡು ಕರ್ಣೀಯ ಅಥವಾ ಮುರಿದ ಕರ್ಣೀಯಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ಮೂರು ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಂರಚನೆಗಳ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯು 94123 ಸಂಕೇತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ 9 ಅಂಕಗಳು, 4 ಸಾಲುಗಳು, 12 ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿಗೆ 3 ಅಂಕಗಳಿವೆ. ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯು 216 ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಅದರ ಆಟೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಗುಂಪು 216 ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ). ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಗುಂಪು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಸಂರಚನೆಗಳು ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅದರ ನಾಲ್ಕು ಆಪಾದಿತ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ 8383 ಪ್ರಕಾರದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೋಬಿಯಸ್-ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯಲ್ಲಿ, 12 ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ (ಛೇದಿಸದ) ರೇಖೆಗಳ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿವಳಿಗಳಾಗಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸಬಹುದು. ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದರಿಂದ ಒಂದೇ ತ್ರಿವಳಿಗೆ ಸೇರಿದ ಮೂರು ಸಾಲುಗಳು 9393 ಪ್ರಕಾರದ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಪಪ್ಪಸ್ ಸಂರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು, ಪ್ರತಿ ಮೂರು ಛೇದಿಸದ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು, ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಹೊಸ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಒಂದು ಸಾಲು, 134134 ಪ್ರಕಾರದ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಮೂರು-ಅಂಶಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಸೆಟ್. ಗ್ರಹಿಸುವಿಕೆ ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಂಡಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆಯ 9 ವಿಭಜನಾ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಮತ್ತು 12 ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮೂರು ವಿಭಜನಾ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಒಂಬತ್ತು ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪೊಂದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರರೇಖೆ C ಯ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು C ಯಿಂದ ಮತ್ತು C ಯ ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ವಕ್ರರೇಖೆ, ಹೆಸ್ಸೆ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಪೆನ್ಸಿಲ್ನಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಹೆಸ್ಸಿಯನ್ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯು ಮೋಬಿಯಸ್-ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಸಂರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗುಣವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸಾಕಾರಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂರಚನೆಯ ಒಂದು ರೇಖೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ (ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣ) ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ರೇಖೆಯೂ ಮೂರನೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಪ್ರತಿ ಸೀಮಿತ ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಅದರ ರೇಖೆಯು ಗುಂಪಿನ ಯಾವುದೇ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ; ಇದು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದೆ. ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆಯು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅವಿಧೇಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸಾಕ್ಷಾತ್ಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಕ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಈ ಉದಾಹರಣೆಯು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ, ಹೆಸ್ಸೆ ಸಂರಚನೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಗಲ್ಲೈ ಸಂರಚನೆಗಳು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಸಂರಚನೆಗಳು (ಜ್ಯಾಮಿತಿ) ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು