Multidimensional sampling
ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ, ಬಹುಆಯಾಮದ ಮಾದರಿಯು ಬಹುಆಯಾಮದ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ಅಳೆಯುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಲೇಖನವು ಪಿಟರ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಮಿಡಲ್ಟನ್ ಅವರ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಅಲೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಅಳತೆಗಳಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾದ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸುವ ಷರತ್ತುಗಳ ಮೇಲೆ ಮೂಲ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಪೀಟರ್ಸನ್-ಮಿಡಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು, ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಒಂದು-ಆಯಾಮದ ಬ್ಯಾಂಡ್-ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಮಾಡಲು ನಿಕ್ವಿಸ್ಟ್-ಶ್ಯಾನನ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಪೀಟರ್ಸನ್-ಮಿಡಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯವು, ಜಾಲಕವು ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ-ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಅನಂತ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ನಿಕ್ವಿಸ್ಟ್-ಶಾನ್ನನ್ ಸ್ಯಾಂಪ್ಲಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯದಂತೆಯೇ, ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯ ಆದರ್ಶೀಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಊಹಿಸುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಅನಂತ ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ಮಾದರಿ ಮಾಡಲಾದ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರ್ಶ ಮಾದರಿಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ನೈಜ-ಪ್ರಪಂಚದ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ತಂತ್ರಗಳಿಗೆ ಕೇವಲ ಅಂದಾಜು ಮಾತ್ರ, ಆದರೆ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ತುಂಬಾ ಒಳ್ಳೆಯದು. ಒಂದು ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಬ್ಯಾಂಡ್-ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆ-ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕಾರ್ಯದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿಃ ಇಲ್ಲಿ x ಮತ್ತು φ ಗಳು ಎನ್-ಆಯಾಮದ ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಕಾರ್ಯವು ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಒಂದು-ಆಯಾಮದಲ್ಲಿ ಏಕರೂಪದ ಅಂತರದ ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಜಾಲರಿಯಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಜಾಲರಿಯು {v1,., vn} ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ರೂಪದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ವಾಹಕಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕಾಲಮ್ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ, ಆಗ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮಾದರಿ ಜಾಲರಿಯ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಚಿತ್ರ 1ರಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಷಟ್ಕೋಣ ಜಾಲರಿಯಾಗಿದೆ. ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 2ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಲರಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಜಾಲಿಯು ಮತ್ತೊಂದು ಚೌಕಾಕಾರದ ಜಾಲಿಯಾಗಿದೆ. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಮುಖ-ಕೇಂದ್ರಿತ ಘನ (ಎಫ್ಸಿಸಿ) ಜಾಲರಿಯ ಪರಸ್ಪರ ಜಾಲರಿಯು ದೇಹ-ಕೇಂದ್ರಿತ ಘನ (ಬಿಸಿಸಿ) ಜಾಲಿಯಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪರಸ್ಪರ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪೀಟರ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಮಿಡಲ್ಟನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವು, ಒಂದು ಸೆಟ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಅಳತೆಗಳಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸೆಟ್ ಅದರ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳಾಂತರಗೊಂಡ ಆವೃತ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ ಶಿಫ್ಟ್ x ಪರಸ್ಪರ ಜಾಲರಿಯ ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದರ ಅಳತೆಗಳಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಪುನಾರಚನೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಿಗೆ ಪಾಯ್ಸನ್ ಸಂಕಲನ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ಮಾದರಿಗಳು ಕಾರ್ಯದ ಆವರ್ತಕ ಸಂಕಲನವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆಃ ಇಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳು {v1,., vn} ರಚಿಸಿದ ಸಮಾನಾಂತರರೇಖೆಯ ಪರಿಮಾಣವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಆವರ್ತಕ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾದರಿ ವರ್ಣಪಟಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ-ಸಮಯದ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರದ (ಡಿಟಿಎಫ್ಟಿ) ಸಾದೃಶ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಮೂಲ ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆ-ಸೀಮಿತ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ಸೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಬೆಂಬಲಿಸಿದರೆ, ಪರಸ್ಪರ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾದ ಆವರ್ತಕ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬೆಂಬಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪೀಟರ್ಸನ್-ಮಿಡಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ನಿಖರವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಕ್ಷೇತ್ರವು ಮೂಲ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗುಂಪಿನ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ವಿಲೋಮ ಫೋರಿಯರ್ ರೂಪಾಂತರವು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಈ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಸೂತ್ರವು ವಿಟ್ಟೇಕರ್-ಶಾನನ್ ಅಂತರ್ವೇಶನ ಸೂತ್ರದ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಅದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಡಿಸ್ಕ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಪೀಟರ್ಸನ್-ಮಿಡಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಯಾವಾಗ ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಬೆಂಬಲವನ್ನು ಚಿತ್ರ 3 ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವರ್ಣಪಟಲದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮೂಲ ವರ್ಣಪಟಲವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಮರುಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಪರಿಣಾಮಗಳು ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಮಾದರಿಯ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕಾಗಿ ಮಾದರಿ ಜಾಲರಿಗಳ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪೀಟರ್ಸನ್-ಮಿಡಲ್ಟನ್ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಷ್ಟು ಜಾಲರಿಗಳು ಸರಿಯಾಗಿ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಾದರಿಗಳಿಂದ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಅಲಿಯಾಸ್ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಡಿಸ್ಕ್ ಇರುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪೀಟರ್ಸನ್-ಮಿಡಲ್ಟನ್ ಷರತ್ತುಗಳು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ, ಮಾದರಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ಬೆಂಬಲವು ಚಿತ್ರ 4ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ಪುನರಾವರ್ತನೆಗಳು ಅತಿಕ್ರಮಿಸಿ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣದಲ್ಲಿ ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಕಡಿಮೆ-ರೆಸಲ್ಯೂಶನ್ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ನ ಸರಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಬೂದು-ಪ್ರಮಾಣದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ದ್ವಿ-ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ನ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಚಿತ್ರ 5ರಲ್ಲಿರುವ ಇಟ್ಟಿಗೆ ಮಾದರಿಗಳ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮಾದರಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಯಾಗದಿದ್ದಾಗ ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ನ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರವು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪಿಕ್ಸೆಲ್ಗಳ ಜಾಲರಿಯು ದೃಶ್ಯಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಉತ್ತಮವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪಡೆದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಮೋಯಿರ್ ಮಾದರಿಯ ನೋಟದಿಂದ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿರುವಂತೆ ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ದೃಶ್ಯದ ನಯವಾದ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಅದೇ ಜಾಲರಿಯೊಂದಿಗೆ ಮಾದರಿ ಮಾಡಿದಾಗ ಚಿತ್ರ 6ರಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳು ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಅಲಿಯಾಸಿಂಗ್ ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಗರಿಷ್ಠ ಮಾದರಿ ಜಾಲರಿಗಳು ತರಂಗ ಸಂಖ್ಯೆ-ಸೀಮಿತ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಮಾದರಿ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂರಚನೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರತಿ ಯೂನಿಟ್ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಪರಿಮಾಣಕ್ಕೆ ಮಾದರಿ ಬಿಂದುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೆಚ್ಚವು ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಆಯತಾಕಾರದ ಜಾಲರಿಯ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡುವುದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳನ್ನು ಸ್ಯಾಂಪಲ್ ಮಾಡುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಮಾದರಿ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೂಕ್ತವಾದ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪೀಟರ್ಸನ್ ಮತ್ತು ಮಿಡಲ್ಟನ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಮಾದರಿ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಜಾಲರಿಯು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಡಿಸ್ಕ್ಗೆ ಸೀಮಿತವಾದ ತರಂಗಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಷಟ್ಕೋಣ ಜಾಲರಿಯನ್ನು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೆಕ್ಸಾಗೋನಲ್ ಲ್ಯಾಟಿಸ್ಗಳನ್ನು ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಮಾದರಿಗಾಗಿ ಆದ್ಯತೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಾದರಿ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಗೋಳದ ಪ್ಯಾಕಿಂಗ್ ಜಾಲರಿಗಳು ನಯವಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಗೋಳದ ಹೊದಿಕೆ ಜಾಲರಿಗಳು ಒರಟಾದ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮಾದರಿಗಳಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಜಾಲರಿಗಳು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಕಾರಣ, ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಮತ್ತು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲು ಟೆನ್ಸರ್-ಉತ್ಪನ್ನವಲ್ಲದ (ಅಂದರೆ, ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ) ಫಿಲ್ಟರ್ ವಿನ್ಯಾಸ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ. ಬಾಕ್ಸ್ ಸ್ಪ್ಲೈನ್ಗಳು ಅಂತಹ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಎಫ್. ಐ. ಆರ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರತಿ ಜಾಲಕಕ್ಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಸರಿಹೊಂದಿಸಬಹುದು. ಹೆಕ್ಸ್-ಸ್ಪ್ಲೈನ್ಗಳು 2-ಡಿ ಷಟ್ಕೋಣ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಬಿ-ಸ್ಪ್ಲೈನ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, 3-ಡಿ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ, ವೊರೊನೊಯಿ ಸ್ಪ್ಲೈನ್ಗಳು ಬಿ-ಸ್ಪ್ಲೈನ್ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತವೆ, ಇದನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದ ಎಫ್ಐಆರ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇವು ಸೂಕ್ತವಾದ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯಾವುದೇ ಜಾಲರಿಗೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ಆದರ್ಶ ಲೋ-ಪಾಸ್ ಫಿಲ್ಟರ್ಗಳ (ಅಂದರೆ, ಸಿಂಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ನಿರ್ಮಾಣವು ಈ ಜಾಲರಿಗಳ (ಅಂದರೆ, ಮೇಲಿನ) ಬ್ರಿಲ್ಲೋಯಿನ್ ವಲಯಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದರ ಮೂಲಕ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಮಾದರಿ ಜಾಲರಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಜಾಲರಿಗಳಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ-ರೂಪದ ಸ್ಪಷ್ಟ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರ್ಮಾಣವು ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಜಾಲರಿಗಳಿಗಾಗಿ ಬಹುಆಯಾಮದ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ಗೆ 1-ಡಿ ಯಲ್ಲಿ ಲ್ಯಾನ್ಜೋಸ್ ಫಿಲ್ಟರ್ನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಭೂಕಂಪನ ಸಮೀಕ್ಷೆಗಳು, ಪರಿಸರ ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಶ್ರವ್ಯ-ಕ್ಷೇತ್ರ ಮಾಪನಗಳಂತಹ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳ ಮಾಪನವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿ ದಕ್ಷ ಸಂವೇದಕ ನಿಯೋಜನೆ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಲು ಪೀಟರ್ಸನ್-ಮಿಡಲ್ಟನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಡಿಜಿಟಲ್ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿನ ಬಹುಆಯಾಮದ ಸಿಗ್ನಲ್ ಪ್ರೊಸೆಸಿಂಗ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು