Sum of four cubes problem
ನಾಲ್ಕು ಘನಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವು ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ನಾಲ್ಕು ಘನಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವೇ ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಉತ್ತರವು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಊಹೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಕೆಲವು ಘನಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಘನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಬಗೆಗಿನ ವಾರಿಂಗ್ನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಅವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು. ಬದಲಿಗಳು, ಮತ್ತು ಐಡೆಂಟಿಟಿಯು ಐಡೆಂಟಿಟಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು 6 ರ ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಗುಣಾಕಾರವು ನಾಲ್ಕು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. (ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅದೇ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರತಿ ಉಂಗುರದಲ್ಲಿ 6ರ ಪ್ರತಿ ಗುಣಾಕಾರವು ನಾಲ್ಕು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.) ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ತನ್ನದೇ ಆದ ಕ್ಯೂಬ್ ಮಾಡ್ಯುಲೋ 6ಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಐದು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. 1966ರಲ್ಲಿ, 4 ಅಥವಾ-4 ಮಾಡ್ಯುಲೋ 9ಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರದ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನಾಲ್ಕು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಅವರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರುಃ ಮತ್ತು ಈ ಗುರುತುಗಳು (ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಂದ ವಿರುದ್ಧಕ್ಕೆ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದವುಗಳು) 4 ಅಥವಾ-4 ಮಾಡ್ಯುಲೋ 9 ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರದ ಮತ್ತು 2 ಅಥವಾ-2 ಮಾಡ್ಯುಲೋ 18 ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರದ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ನಾಲ್ಕು ಘನಗಳ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ಷ್ಮವಾದ ತರ್ಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, 2 ಅಥವಾ −2 ಮಾಡ್ಯುಲೋ 18 ಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಸಹ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನಾಲ್ಕು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಡೆಮ್ಜಾನೆಂಕೊ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು 4 ಅಥವಾ −4 ಮಾಡ್ಯುಲೋ 9ಕ್ಕೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ, ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ನಾಲ್ಕು ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದೇ ಎಂಬುದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. 18x ± 2 ಪ್ರಕರಣ ಡೆಮ್ಜಾನೆಂಕೊ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧದ ಹೆನ್ರಿ ಕೋಹೆನ್ ಅವರ ಅನುವಾದದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಗುರುತುಗಳು ತಮ್ಮ ಪೂರಕ ಗುರುತುಗಳೊಂದಿಗೆ 108x ± 38 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಬಿಟ್ಟು, ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ಆತ ತನ್ನ ಪತ್ರಿಕೆಯಲ್ಲಿ 108x±38 ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಸಹ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮೂರು ಘನಗಳ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನೂ ಸಹ ನೋಡಿ ಡಯೋಫಂಟೈನ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು