Rayleigh–Plesset equation
ದ್ರವ ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ರೇಲೇ-ಪ್ಲೆಸೆಟ್ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಬೆಸೆಂಟ್-ರೇಲೇ-ಪ್ಲೆಸೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳ್ಳದ ದ್ರವದ ಅನಂತ ದೇಹದಲ್ಲಿ ಗೋಳಾಕಾರದ ಗುಳ್ಳೆಯ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ನಿಯಂತ್ರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸುತ್ತಲಿನ ದ್ರವದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಗುಳ್ಳೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ದ್ರವದ ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಗುಳ್ಳೆ-ದ್ರವ ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ, ಗುಳ್ಳೆಯೊಳಗಿನ ಒತ್ತಡವು ಏಕರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗುಳ್ಳೆಯಿಂದ ಅನಂತ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಾಹ್ಯ ಒತ್ತಡವಾಗಿದೆ. ರೇಲೇ-ಪ್ಲೆಸೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗೋಳಾಕಾರದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಚ್. ಬೆಸೆಂಟ್ ಅವರು ತಮ್ಮ 1859 ರ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗಳಿಂದ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸದ ಏಕರೂಪದ ಅಸಂಪೀಡನಶೀಲ ದ್ರವದ ಅನಂತ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದ್ರವದ ಗೋಳಾಕಾರದ ಭಾಗವು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ನಾಶವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪಡೆದರು; ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒತ್ತಡದ ತತ್ಕ್ಷಣದ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಕುಹರವನ್ನು ತುಂಬುವ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಅನಂತ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಒತ್ತಡವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಬೇಕು (ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಬೆಸೆಂಟ್ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕೇಂಬ್ರಿಡ್ಜ್ ಸೆನೆಟ್-ಹೌಸ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು 1847 ರ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ). ಆರಂಭಿಕ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಖಾಲಿ ಕುಹರವನ್ನು ತುಂಬಲು ಬೇಕಾದ ಸಮಯವನ್ನು ಬೆಸೆಂಟ್ ಭವಿಷ್ಯ ನುಡಿದಿದ್ದರು, ಲಾರ್ಡ್ ರೇಲೇ ಅವರು ಶಕ್ತಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಳ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ಒಳನುಗ್ಗುವ ದ್ರವದ ಚಲನ ಶಕ್ತಿಯು ಶೂನ್ಯದ ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿನ ದ್ರವದ ರೇಡಿಯಲ್ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಅನಂತದಲ್ಲಿ ದ್ರವವು ಒತ್ತುವುದರಿಂದ ಮಾಡುವ ಕೆಲಸವು, ಮತ್ತು ಈ ಎರಡು ಶಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಚಲಪರಿಮಾಣಗಳ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವಿಕೆಯು ಬೆಸೆಂಟ್ನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಗಾಮಾ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು (ಯೂಲರ್ನ ಬೀಟಾ ಕಾರ್ಯ) ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ರೇಲೇ ಬೆಸೆಂಟ್ಗಿಂತ ಮುಂದೆ ಹೋದರು. ಅನಿಲವನ್ನು ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸುವ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಆದರ್ಶ ಅನಿಲದಿಂದ (ಗುಳ್ಳೆ) ತುಂಬಿದ ಕುಹರದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರೇಲೇ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು. ಸಂಪೂರ್ಣ ಖಾಲಿ ಶೂನ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಜ್ಯದಲ್ಲಿರುವ ದ್ರವದ ಒತ್ತಡವನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ರೇಲೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿದರು. ಶೂನ್ಯವು ಅದರ ಆರಂಭಿಕ ಪರಿಮಾಣದ ಕನಿಷ್ಠ ಕಾಲು ಭಾಗವಾಗಿದ್ದಾಗ, ಒತ್ತಡವು ಅನಂತದಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಶೂನ್ಯವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಕುಗ್ಗಿದಂತೆ ಗರಿಷ್ಠ ಒತ್ತಡವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತಾ ಶೂನ್ಯದ ಮೇಲೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ 1949ರಲ್ಲಿ ಮಿಲ್ಟನ್ ಎಸ್. ಪ್ಲೆಸೆಟ್ ಅವರು ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡದ ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಗುಳ್ಳೆಗಳ ಸಂಚಾರಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರು. ಬಬಲ್ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಲೇ-ಪ್ಲೆಸೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮೊದಲ ತತ್ವಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಸಮಯ-ಅವಲಂಬಿತ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಗೋಳಾಕಾರದ ಗುಳ್ಳೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಸಮಯ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಗುಳ್ಳೆಯು ಏಕರೂಪದ ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡದೊಂದಿಗೆ ಏಕರೂಪವಾಗಿ ವಿತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಆವಿ/ಅನಿಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಗುಳ್ಳೆಯ ಹೊರಗೆ ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯೊಂದಿಗೆ ದ್ರವದ ಅನಂತ ಡೊಮೇನ್ ಇರುತ್ತದೆ. ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡವು ಗುಳ್ಳೆಯಿಂದ ದೂರವಿರಲಿ. ತಾಪಮಾನವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗುಳ್ಳೆಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಒತ್ತಡ, ತಾಪಮಾನ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಹೊರಗಿನ ವೇಗದಂತಹ ದ್ರವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಈ ದ್ರವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗುಳ್ಳೆಯ ಹೊರಗೆ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಮೂಲಕ, ವಿಲೋಮ-ಚದರ ನಿಯಮವು ತ್ರಿಜ್ಯದ ಹೊರಗಿನ ವೇಗವು ಮೂಲದಿಂದ (ಗುಳ್ಳೆಯ ಕೇಂದ್ರ) ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಯದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿರಲಿ, ಗುಳ್ಳೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಸಾಗಣೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇಂಟರ್ಫೇಸ್ನಲ್ಲಿನ ವೇಗವು ಅದು ಸಾಮೂಹಿಕ ಸಾಗಣೆ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಗುಳ್ಳೆಯೊಳಗಿನ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ದರವನ್ನು ಗುಳ್ಳೆಯ ಪರಿಮಾಣದೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗುಳ್ಳೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದ್ರವದ ವೇಗವು ಇದ್ದರೆ, ಗುಳ್ಳೆಯನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸುವ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯನ್ನು ಗುಳ್ಳೆಯ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಯ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಮೂಲಕ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ದ್ರವದ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಆವಿಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಮೂಲ ಶೂನ್ಯ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ವರ್ಗಾವಣೆ ರೂಪದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯು ದ್ರವವು ನ್ಯೂಟೋನಿಯನ್ ದ್ರವವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ರೇಡಿಯಲ್ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಚಲನೆಗೆ ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಕೋಚನಗೊಳ್ಳದ ನೇವಿಯರ್-ಸ್ಟೋಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ಚಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಿಕೆಯು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ಸಂರಕ್ಷಣಾ ಇಳುವರಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಗುಳ್ಳೆಯ ಗಡಿಯಿಂದ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರಿಂದ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಗುಳ್ಳೆಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಹೊರಕ್ಕೆ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುವ ದ್ರವದಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ಒತ್ತಡವಾಗಿರಲಿ. ಗೋಳಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ಸ್ಥಿರ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಸ್ಥಿರ ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದ್ರವಕ್ಕೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಳ್ಳೆಯ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಕೆಲವು ಸಣ್ಣ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಲ್ಯಾಮಿನಾದ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವ ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶದ ನಿವ್ವಳ ಬಲವು ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡವಾಗಿದೆ. ಗಡಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ ಯಾವುದೇ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ ವರ್ಗಾವಣೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಪ್ರತಿ ಘಟಕ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಈ ಬಲವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಆವೇಗದ ಸಂರಕ್ಷಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮತ್ತು ಬಿಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ರೇಲೇ-ಪ್ಲೆಸೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಸಮಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು ಡಾಟ್ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಲೇ-ಪ್ಲೆಸೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಕ್ಯಾಪಿಲ್ಲಾರಿಟಿಯ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಂದಾಗಿ ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡವು ಇರುವ ಸಂದರ್ಭವನ್ನೂ ಸಹ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಯಿತು. ಅಲ್ಲದೆ, ಮೇಲ್ಮೈ ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಸ್ನಿಗ್ಧತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉನ್ನತ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಥಿರವಾದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರೇಲೇ-ಪ್ಲೆಸೆಟ್ ಸಮೀಕರಣವು ಸರಳಗೊಳಿಸಿ, ಯಂಗ್-ಲ್ಯಾಪ್ಲೇಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಗುಳ್ಳೆಯ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡದಲ್ಲಿನ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ, ಆರ್ಪಿ ಸಮೀಕರಣವು ಗುಳ್ಳೆಯ ಆಂದೋಲನದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಆವರ್ತನದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ ದ್ರವ ಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು