Kansa method
ಕಾನ್ಸಾ ವಿಧಾನವು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಳಸುವ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಇದು ಸೀಮಿತ ಅಂಶದ ವಿಧಾನಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಯೋಜನವೆಂದರೆ ಇದು ಬಹು ಅಸ್ಥಿರ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. 3 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪೇಸ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್ಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ ಸೀಮಿತ ಅಂಶದ ವಿಧಾನವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಕಂಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ಬಾಲ್ ಅಂಕಣಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅನೇಕ ದೀಪಗಳನ್ನು ಸೀಲಿಂಗ್ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ತೂಗುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಪ್ರತಿ ಬಲ್ಬ್ನ ಹೊಳಪಿಗಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೀರಿ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಬಲ್ಬ್ನ ಕೆಳಗಿರುವ ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ಬಾಲ್ ಅಂಕಣದ ನೆಲದ ಮೇಲೆ ನೇರವಾಗಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಬೆಳಕಿನ ತೀವ್ರತೆಯು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ಬಾಲ್ ಅಂಕಣವು ಅದರ ಮೇಲೆ 100 ಬಲ್ಬ್ಗಳನ್ನು ತೂಗುಹಾಕಿದರೆ, ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ಬಾಲ್ ಅಂಕಣದ ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಬೆಳಕಿನ ತೀವ್ರತೆಯು ಬೆಳಕಿನ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ, ಅದು ಬ್ಯಾಸ್ಕೆಟ್ಬಾಲ್ ಅಂಕಣದ ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಸರಳ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಪ್ರತಿ ಬಲ್ಬ್ನ ಹೊಳಪಿಗಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ತೂಕದ ಅವಶೇಷಗಳು (ಗ್ಯಾಲರ್ಕಿನ್), ಏಕೀಕರಣ ಅಥವಾ ಸುಧಾರಿತ ಗಣಿತದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇ. ಜೆ. ಕಂಸನು 1990ರ ದಶಕದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ರೇಡಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ (ಆರ್ಬಿಎಫ್) ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮೊದಲ ಪ್ರಯತ್ನವನ್ನು ಮಾಡಿದನು, ಅದು ನಂತರ ಚದುರಿದ ದತ್ತಾಂಶ ಸಂಸ್ಕರಣೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಅಂದಾಜಿನಲ್ಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಜನಪ್ರಿಯವಾಗಿತ್ತು, ಬಲವಾದ-ರೂಪ ಕೊಲೋಕೇಷನ್ ಸೂತ್ರೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ. ಅವರ ಆರ್. ಬಿ. ಎಫ್ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ವಿಧಾನವು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ, ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಲಿಯಲು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ, ಈ ವಿಧಾನವು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಮುದಾಯದಲ್ಲಿ ಕಂಸ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಹೆಸರಾಯಿತು. ಆರ್ಬಿಎಫ್ ಆಯಾಮವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ಕಂಸ ವಿಧಾನವು ಆಸಕ್ತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಆಯಾಮ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ವಿಧಾನವು ಡೊಮೇನ್-ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಬೌಂಡರಿ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಬೌಂಡರಿಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಆಡಳಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು ಡೊಮೇನ್ನ ಒಳಗೂ ವಿವೇಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ತದ್ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರದ ವಿಧಾನ, ಗಡಿ ಗಂಟು ವಿಧಾನ, ಏಕವಚನ ಗಡಿ ವಿಧಾನ, ಗಡಿ ಕಣ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಿದ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನಗಳಂತಹ ಗಡಿ-ರೀತಿಯ ಆರ್ಬಿಎಫ್ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ಆರ್ಬಿಎಫ್ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ವಿಧಾನಗಳಿವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಕರ್ನಲ್ ಕಾರ್ಯ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಆಧಾರ ಕಾರ್ಯಗಳು ಆಡಳಿತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರ ಅಥವಾ ಆಡಳಿತ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೇವಲ ಬೌಂಡರಿ ಡಿಸ್ಕ್ರಿಟೈಸೇಶನ್ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಕಂಸ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಆರ್ಬಿಎಫ್ ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಆರ್ಬಿಎಫ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸ್ವಾತಂತ್ರ್ಯವಿದೆ. ಕಂಸ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಜನಪ್ರಿಯವಾದ ಆರ್ಬಿಎಫ್ ಎಂದರೆ ಮಲ್ಟಿಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ (ಎಂಕ್ಯೂ), ಇದು ಸೂಕ್ತವಾದ ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವರ್ಣಪಟಲದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿವರಣೆ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಎಂಕ್ಯೂ ಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ಎಂಕ್ಯೂ ಕೊಲೋಕೇಷನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುವ ಕಂಸ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಎಂಕ್ಯೂ ಅಂತರ್ವೇಶನದಿಂದ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು. ಈ ವಿಧಾನದ ದಕ್ಷತೆ ಮತ್ತು ಅನ್ವಯಿಕತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಡಿ-ರೀತಿಯ ಆರ್. ಬಿ. ಎಫ್ ಕೊಲೋಕೇಷನ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ಕನ್ಸ ವಿಧಾನವು ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವ್ಯಾಪಕವಾದ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಡಿ-ಆಯಾಮದ ಭೌತಿಕ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು (ಬಿವಿಪಿ) ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅಲ್ಲಿ ಎಲ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಆಯಾಮವಾಗಿದೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಡಿರಿಚ್ಲೆಟ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಮನ್ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು. ಕಂಸ ವಿಧಾನವು ಆರ್. ಬಿ. ಎಫ್. ನ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆಃ ಎಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು, ಎಂ. ಕ್ಯೂ. ನಂತಹ ಆರ್. ಬಿ. ಎಫ್. ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರದ ಅನನ್ಯತೆಯನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಒಂದು ಬಹುಪದ ಪದವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೇರಿಸಬಹುದುಃ ಬಹುಪದ ಎಲ್ಲಿದೆ. ಆರ್. ಬಿ. ಎಫ್. ಅಂತರ್ವೇಶನ (4) ಮತ್ತು (5) ಎರಡನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಅದರ ಕಠಿಣ ಮತ್ತು ದೃಢವಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ, ಆದರೆ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಬಳಕೆದಾರರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸುಲಭ ಮತ್ತು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. Eq ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. (4) ಅಥವಾ (5) Eqs. (1-3) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಅಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು Eq ನಿಂದ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. (4) ಅಥವಾ (5) ಇತಿಹಾಸ ಮತ್ತು ಇತ್ತೀಚಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳು ಪಿಡಿಇಗಳ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವಿಧಾನ (ಎಫ್ಡಿಎಂ), ಸೀಮಿತ ಅಂಶ ವಿಧಾನ (ಎಫ್ಇಎಂ) ಅಥವಾ ಗಡಿ ಅಂಶ ವಿಧಾನ (ಬಿಇಎಂ) ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಫ್. ಡಿ. ಎಂ. ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಯತಾಕಾರದ ಗ್ರಿಡ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವುದರಿಂದ ಅನಿಯಮಿತ ಡೊಮೇನ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಎಫ್ಇಎಂ ಹೆಚ್ಚು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವ ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದಾದರೂ, ಮೆಶಿಂಗ್ ಮತ್ತು ರೀಮೆಶಿಂಗ್ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲ. ಬಿಇಎಂ ಕೆಲವು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಿಲೋಮ, ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಡೊಮೇನ್ ಮತ್ತು ತೆಳುವಾದ ಗೋಡೆಯ ರಚನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರದ ಲಭ್ಯತೆಯಿಂದ ಅದರ ಅನ್ವಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ. ಇತ್ತೀಚಿನ ಹಲವಾರು ದಶಕಗಳಲ್ಲಿ, "ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ" ಅಥವಾ "ಅಂಶ-ಮುಕ್ತ" ವಿಧಾನಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತವೆ. ದೃಶ್ಯದ ಹಿಂದಿನ ಪ್ರೇರಕ ಶಕ್ತಿಯೆಂದರೆ, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಎಫ್ಇಎಂ ಮತ್ತು ಬಿಇಎಂನಂತಹ ಜಾಲರಿ-ಆಧಾರಿತ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ, ಚಲಿಸುವ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ-ಆಕಾರದ ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವಲ್ಲಿ ನಿಷೇಧಿತ ಗಣನೆಯ ಪ್ರಯತ್ನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ. ಕಂಸ ವಿಧಾನವು ಆರ್ಬಿಎಫ್ಗಳನ್ನು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಎಂಕ್ಯೂಗಳನ್ನು, ಜಾಲರಿ ಅಥವಾ ಅಂಶಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದೇ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ನೇರವಾಗಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ನಿಜವಾದ ಜಾಲರಿಯಿಲ್ಲದ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಯತ್ನದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಕಂಸ ವಿಧಾನದ ಪರಿಹಾರಾರ್ಹತೆಯ ಕಠಿಣ ಗಣಿತದ ಪುರಾವೆ ಇನ್ನೂ ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಮಿಶ್ರ ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅದರ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತವೆ. ರೆಫ್. ಪರಿಹಾರಾರ್ಹತೆಯ ಉತ್ತಮ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಹರ್ಮೈಟ್ ಆರ್. ಬಿ. ಎಫ್ ಕೊಲೊಕೇಷನ್ ಯೋಜನೆಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಂಸ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಹರ್ಮೈಟ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿನ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ, ಗಡಿಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮಧ್ಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಒಂದರಿಂದ ಎರಡು ಕ್ರಮಗಳ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತವೆ. ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಕೊಲೋಕೇಶನ್ ಆನ್ ದಿ ಬೌಂಡರಿ (ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಸಿ. ಬಿ) ಈ ಕೊರತೆಯನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರಕ್ಕೆ ಗಡಿಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಡೊಮೇನ್ನ ಒಳಗೆ ಅಥವಾ ಹೊರಗೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನೋಡ್ಗಳ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ನೋಡ್ಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸ್ಥಾಪನೆಯು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಬಹು-ಸಂಪರ್ಕಿತ ಡೊಮೇನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಅನುಕರಣೆಯಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆದಾಯಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿ. ಡಿ. ಇ. ಸಿ. ಬಿ. ಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅನುಮೋದನೆಯೂ ಇಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯತಂತ್ರವನ್ನು ಸಹ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಂದೇ ಗಡಿ ನೋಡ್ಗಳಲ್ಲಿ ಆಡಳಿತ ಮತ್ತು ಗಡಿ ಸಮೀಕರಣಗಳೆರಡನ್ನೂ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಧಾನವು ಅಸಮಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೂ ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಹಸಿರು ಎರಡನೇ ಗುರುತನ್ನು ಬಳಸುವ ಮೂಲಕ, ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ದೌರ್ಬಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಕಂಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಎಂಕ್ಯೂಗೆ, ಅದರ ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕವು ಅದರ ಅಂತರ್ವೇಶನ ದೋಷವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ. ಮಲ್ಟಿಕ್ವಾಡ್ರಿಕ್ ರೇಡಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಗಣಿತದ ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಆಕಾರದ ನಿಯತಾಂಕದ ಆಯ್ಕೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕೆಲವು ಸಲಹೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಗಣನೆಯ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ಯಾರಾಬೊಲಿಕ್, ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಮತ್ತು ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಂಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾನ್ಸ ವಿಧಾನವನ್ನು ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ವಿವಿಧ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಪಿಡಿಇಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅಂಗಾಂಶ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ದ್ವಿ-ಒತ್ತಡದ ಮತ್ತು ತ್ರಿ-ಒತ್ತಡದ ಮಿಶ್ರಣ ಮಾದರಿಗಳು, ಆಘಾತ ತರಂಗದೊಂದಿಗೆ 1ಡಿ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಬರ್ಗರ್ನ ಸಮೀಕರಣ, ಉಬ್ಬರವಿಳಿತ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಿಮ್ಯುಲೇಶನ್ಗಾಗಿ ಆಳವಿಲ್ಲದ ನೀರಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಶಾಖ ವರ್ಗಾವಣೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು, ಮುಕ್ತ ಗಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಪ್ರಸರಣ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸೇರಿವೆ. ರೇಡಿಯಲ್ ಬೇಸಿಸ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಹಾರಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ ಬೌಂಡರಿ ನಾಟ್ ವಿಧಾನ ಬೌಂಡರಿ ಪಾರ್ಟಿಕಲ್ ವಿಧಾನ ಸಿಂಗ್ಯುಲರ್ ಬೌಂಡರಿ ವಿಧಾನ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಕಂಸ ವಿಧಾನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಭಾಗಶಃ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು