Common graph
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಕ್ಷೇತ್ರವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಏಕರೂಪತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳಲ್ಲಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ತೀವ್ರ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಶಾಖೆಗೆ ಸೇರಿವೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಒಟ್ಟು ಪ್ರತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪೂರಕವು ಒಂದೇ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರತಿಗಳ ದೊಡ್ಡ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ, "ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ" ಉಪಗ್ರಾಫ್ನಂತೆ ಕಂಡುಬಂದರೆ ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, ಕೆಲವು ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಸರಿದೂಗಿಸಲು ಅದರ ಪೂರಕವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಇತರ ಗ್ರಾಫ್ ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಿಡೋರೆಂಕೊ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಅಸಮಾನತೆಯು ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫಾನ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಗ್ರಾಫ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಂಚುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯಾಗಿದೆ. ಅಸಮಾನತೆಯು ಬಿಗಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಗ್ರಾಫಾನ್ ಇರುವಾಗ ಕೆಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ತಲುಪಲಾಗುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಗ್ರಾಫ್ಗಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಗ್ರಾಫನ್ಗಾಗಿ, ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಗ್ರಾಫನ್ ಆಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಹತ್ತಿರದ ಅಂದಾಜು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಹಳ ಅನೌಪಚಾರಿಕ ಅಂತಃಪ್ರಜ್ಞೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರರ್ಥ ಏನೇ ಇರಲಿ, ಮತ್ತು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ "ಅಂದಾಜು" ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿನ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಪ್ರತಿಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ ನೋಡಿ. ನಂತರ, ನಾವು ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಊಹಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಇನ್ ಮತ್ತು ನ ಒಟ್ಟು ಪ್ರತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಇದರರ್ಥ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳಲ್ಲದವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಗ್ರಾಫ್ನ ಅಂಚುಗಳ 2-ಬಣ್ಣ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರತಿಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ಭಾಗವು ಏಕವರ್ಣದ್ದಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರ್ಡೋಸ್-ರೇನಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಚಿತ್ರಿಸಲಾದ ಪ್ರತಿ ಅಂಚಿನೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರತಿ ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಏಕರೂಪತೆಯು ಏಕವರ್ಣದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಒಂದು ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅಲ್ಲಿ ಅದು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಏಕವರ್ಣದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿ ತನ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನೋಟವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಏಕರೂಪತೆ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ, ಎಲ್ಲಾ ಸಿಡೋರೆಂಕೊ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತಿಳಿದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಿಡೋರೆಂಕೊ ಗ್ರಾಫ್ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ, ಸಮ ಉದ್ದದ ಚಕ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಸಿಡೋರೆಂಕೊ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇವು ಸೀಮಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿವೆ. ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. 4 ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ತುದಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆದ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಃ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದವರೆಗೆ ನಂಬಲಾಗಿತ್ತು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದರೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಲ್ಲ. ಪ್ರೂಫ್ಗಳು ಸಿಡೋರೆಂಕೊ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫಾನ್ಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಯಾದರೆ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿಡೋರೆಂಕೊ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ,. ಇದಲ್ಲದೆ, ಇದು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಜೆನ್ಸನ್ ಅವರ ಅಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದುಃ ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ಗೆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿಃ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಸಣ್ಣ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಏಕರೂಪತೆಯ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರಃ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಉಭಯಪಕ್ಷೀಯ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆಃ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮ್ಮಿತಿಗೆ ಧನ್ಯವಾದಗಳು ಮತ್ತುಃ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಕೊನೆಯ ಹಂತವು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿಃ ಈ ಪುರಾವೆಯನ್ನು "ಯಾವುದೇ ಪಕ್ಷದ ಪರಿಚಯಸ್ಥರು ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರ ಸೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ" ಪ್ರಮೇಯ 1 ರ ನಿರಂತರ ಸಾದೃಶ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು ಸಿಡೋರೆಂಕೊ ಅವರ ಊಹಾತ್ಮಕ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಕುಟುಂಬಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.