Flag algebra
ಫ್ಲಾಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಗಣನೆಯ ಸಾಧನವಾಗಿದ್ದು, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅನ್ವಯಿಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ, ಅವರು ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಗುಣಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಲು ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಮೂಲತಃ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ರಾಸ್ಬೊರೊವ್ ಅವರು 2007 ರ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಈ ವಿಧಾನವು ನಂತರ ಹಲವಾರು ಕಷ್ಟಕರ, ಹಿಂದೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಗ್ರಾಫ್ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಬಂದಿದೆ. ಇವುಗಳು ಕಾರ್ಯಸಾಧ್ಯವಾದ ಅಂಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಪ್ರದೇಶ, ತ್ರಿಕೋನ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಜೋಡಿಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಮುಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿನ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೆಂಟಗನ್ಗಳ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರೇರಣೆಯು ಜಾನ್ ಆಡ್ರಿಯನ್ ಬಾಂಡಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಸೆಟ್ಟಾ-ಹ್ಯಾಗ್ಕ್ವಿಸ್ಟ್ ಊಹೆಯ ಕುರಿತಾದ ಅವರ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಸಲ್ಲುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅವರು ತಮ್ಮ ಮುಖ್ಯ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಮೂಲಕ ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸುವಾಸನೆಯ ಪುರಾವೆಯ ಮೂಲಕ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಈ ಪುರಾವೆಯು ಎರಡು ಎಣಿಕೆಯ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಂಟೆಲ್ನ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಪುರಾವೆಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ, ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಪದವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಸಂಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಷ್ಟು ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಎನ್ಕೋಡ್ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ (ಮ್ಯಾಂಟೆಲ್): ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಂಚಿನ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ತ್ರಿಕೋನ-ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, 3 ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವೆ, ಅವು ಸ್ವತಂತ್ರ ಸೆಟ್, ಒಂದೇ ಪ್ರೇರಿತ ಅಂಚು ಅಥವಾ ಉದ್ದ 2 ರ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಸಬ್ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರೇರಿತ ಸಾಂದ್ರತೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಡಬಲ್ ಎಣಿಕೆ ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ, a ಕೇವಲ ಎರಡು s ಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಜೋಡಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಮತ್ತು 3 ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನ ನಡುವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೃಂಗವನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲು 3 ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಪ್ರಚೋದಿತ sಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಅದರ ಶೃಂಗಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಲೆಟಿಂಗ್, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಅದರ ಮಧ್ಯದ ಶೃಂಗವನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಉದ್ದ 2 ರ ಮಾರ್ಗ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಶೃಂಗವನ್ನು ಬಳಸುವ ನಿರ್ಬಂಧಕ್ಕೆ ಒಳಪಟ್ಟು sಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಶೃಂಗವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ಅದನ್ನು ಸರಿಯಾದ ಪ್ರೇರಿತ ಉಪಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ, ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ ಶೃಂಗಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಎರಡು s ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವ ಸಂಭವನೀಯತೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಕಠಿಣವಾಗಿರಲು, ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮಿತಿ, ಆದ್ದರಿಂದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ನಿಜವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಈ ಕಲ್ಪನೆಯು ಮುಖ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಮುಗಿಸಲು, ಇದನ್ನು ನಮ್ಮ ಮೂಲ ಸಂಬಂಧಕ್ಕೆ ಮರಳಿ ತರಲು ಕೌಚಿ-ಶ್ವಾರ್ಜ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಊಹಿಸಿದ್ದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಫ್ಲಾಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುವ ಈ ಪುರಾವೆಯ ಪ್ರಮುಖ ವಿಚಾರಗಳೆಂದರೆ, ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ಬಳಕೆ, ಸಾಂದ್ರತೆಯ "ಮಿತಿ ಪ್ರಕರಣ" ವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಕೌಚಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ನಿಷೇಧಿತ ಉಪ-ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ ಮತ್ತು-ಮುಕ್ತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈಗ, ಒಂದು ರೀತಿಯ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಗಾತ್ರ 0 ರ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು-ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಭಾಗಶಃ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದು ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ನಿರ್ಣಾಯಕವಾಗಿದೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ ಎ-ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಎಂಬುದು ಒಂದು ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ, ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ,-ಮುಕ್ತ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ, ಆದರೆ ಶೀರ್ಷಿಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. - ಧ್ವಜಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮತ್ತು-ಧ್ವಜಗಳ ಗಾತ್ರದ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಮ್ಯಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯಿಂದ ಒಂದು-ಧ್ವಜವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಶೃಂಗಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಗಾತ್ರ 1 ರ ಪ್ರಕಾರವಾಗಿದೆ. - ಧ್ವಜಗಳು ತೃಪ್ತಿಕರವಾಗಿರಲು, ನಾವು-ಧ್ವಜಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದುಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಃ-ಧ್ವಜಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಹುದುಗುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು-ಧ್ವಜವು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿರುವ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. - ಧ್ವಜಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಮೊದಲು ಗಾತ್ರದ-ಧ್ವಜದಲ್ಲಿ ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ನಂತರ ಎಂಬೆಡ್ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಇದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಇದನ್ನು-ಧ್ವಜಗಳ ಸೆಟ್ಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ ಸರಪಳಿ ನಿಯಮವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ ಪ್ರಮೇಯ (ಸರಪಳಿ ನಿಯಮ):-ಧ್ವಜಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಅವು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುವಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿವೆ, ಗಾತ್ರದ ಧ್ವಜದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರದ ಧ್ವಜವು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಮಾಂಟೆಲ್ನ ಹಿಂದಿನ ಪುರಾವೆಯು ರೂಪದ ಪದಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಂಬಂಧಿತ ವಿಚಾರಗಳು ಅನಂತತೆಯತ್ತ ಒಲವು ತೋರುವಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದವು, ಆದರೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಕೆಲವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಂತಹ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಿತಿ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ಈಗ, ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ s ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಪದವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು-ಧ್ವಜಗಳ ಔಪಚಾರಿಕ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈಗ ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಲವು ಧ್ವಜಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಗಳ ನಡುವೆ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಕೇವಲ ಸೀಮಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವಾಗ ಪೂರ್ಣ ಜಾಗವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ವ್ಯರ್ಥವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಚೈನ್ ರೂಲ್ ಯಾವಾಗಲೂ ನಿಜವೆಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಕರ್ನಲ್ನ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ಬದಲು, ಮೇಲಿನ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು (ಅಂದರೆ. ಒಂದೇ-ಧ್ವಜದೊಂದಿಗೆ ಚೈನ್ ರೂಲ್ನಿಂದ ಪಡೆದವುಗಳು) ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಅಂತಿಮ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಒಗ್ಗೂಡಿ ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆಃ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ (ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾಸ್): ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ದ್ವಿ ರೇಖೀಯ ಆಪರೇಟರ್ ಹೊಂದಿರುವ-ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾದವು ಗಾತ್ರದ-ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಜೋಡಿಯು ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೆ (ಇದನ್ನು ಚೈನ್ ರೂಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು) ಅದರ ಆಯ್ಕೆಯು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಹಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ ಆಪರೇಟರ್ ಅಂಶವನ್ನು ಗೌರವಿಸುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಬಯಸಿದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತಾನೆ. ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಗೌರವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಿತಿಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಗೆ, ಗುರುತು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಂಟೆಲ್ನ ನಮ್ಮ ಪುರಾವೆಯಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ಒಂದು ಉಪಸಂಹಾರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಗಳು ಎಂದರ್ಥ. ಕೆಳಮುಖವಾದ ನಿರ್ವಾಹಕ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು-ಧ್ವಜಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಲು ಚೌಕಟ್ಟನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡಲಾದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಯ, ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಅಥವಾ-ಧ್ವಜಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲಿನಿಂದ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಗಲು, ಕೆಳಮುಖವಾದ ಆಪರೇಟರ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಕೆಳಮುಖವಾದ ನಿರ್ವಾಹಕವನ್ನು ಅತ್ಯಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಃ ಒಂದು-ಧ್ವಜವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಗುರುತುಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಮರೆತ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅದು-ಧ್ವಜವಾಗಲಿ. ಈಗ,-ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ಗಳು ಮತ್ತು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ನಡುವೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು, ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಚುಚ್ಚುಮದ್ದಿನ ನಕ್ಷೆಯು ಚಿತ್ರ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದರಿಂದ ಮಾನ್ಯವಾದ ರೇಖೀಯ ನಕ್ಷೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇದು-ಧ್ವಜಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ ಧ್ವಜಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಗೆ ಕಳುಹಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಫಲಿತಾಂಶವೆಂದರೆ ಅದರ ಸರಾಸರಿ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,-ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಮತ್ತು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ, ನಂತರ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಆನ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಫ್ಲಾಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳೊಂದಿಗಿನ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಬೀಜಗಣಿತದ ಏಕರೂಪತೆಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ-ಧ್ವಜವು ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎಂದು ಹೇಳಿ. ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಏಕರೂಪತೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಗುಂಪಿನ ನಂತರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಮಾನ್ಯವಾದ ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಇದು ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಇದು ನಿಜವೆಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಶಬ್ದಾರ್ಥದ ಕೋನ್ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಇದು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಹೆಚ್ಚು ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕೆಳಮುಖವಾದ ಆಪರೇಟರ್ಗೆ ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್ ಮಾಡುವ ಗುಣವಿದೆ, ಮತ್ತು ಕೆಳಭಾಗದ ಚಿತ್ರವು ಅದರ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಶಬ್ದಾರ್ಥದ ಕೋನ್ ಪ್ರಕಾರದ ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೇಬಲ್ ಮಾಡದ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಕೇವಲ ನಿಷ್ಕಪಟವಾಗಿ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕುಶಲತೆಯಿಂದ ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಶಬ್ದಾರ್ಥ ಕೋನ್ ನ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದರ ಅಂಶಗಳು-ಧ್ವಜಗಳಿಗೆ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇದರ ಅಂಶಗಳ ಯಾವುದೇ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಇದರ ಅಂಶವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಹುಶಃ ಹೆಚ್ಚು ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ, ಅಂಶಗಳ ಚೌಕಗಳ ಯಾವುದೇ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಶಬ್ದಾರ್ಥದ ಕೋನ್ ಅಂಶವನ್ನು ಸಹ ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಕ್ಷುಲ್ಲಕವಲ್ಲದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಧ್ವಜಗಳ ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದರೂ, ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತಗೊಳಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಫ್ಲಾಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳಿಗೆ ಬಹುಪದಗಳಿಗೆ ಸಮ-ಆಫ್-ಸ್ಕ್ವೇರ್ಸ್ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ನಲ್ಲಿ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅತಿದೊಡ್ಡ ಫ್ಲಾಗ್ ಎಂದು ವೆಕ್ಟರ್ನ ಮಟ್ಟವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಕನಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವಾಗಿರಲಿ. ಅಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸ್ವತಃ ಕಳುಹಿಸುವ ಕ್ಯಾನೊನಿಕಲ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಫ್ಲ್ಯಾಗ್-ಆಲ್ಜಿಬ್ರಾ ಸಾದೃಶ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆಃ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂತಹ ಧನಾತ್ಮಕ ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಇದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲವರಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ, ಗ್ರಾಫ್ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ಗಳಾಗಿ ಸಡಿಲಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಂಟೆಲ್ನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅಂತಹ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂದು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಾಧಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ, ಆದರೆ ವಾಹಕಗಳ-ಧ್ವಜಗಳು ಮತ್ತು ಚೌಕಗಳ ಕೋನಿಕ್ ಸಂಯೋಜನೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಬದಲಿಗೆ ಅರೆ-ಸೀಮಿತ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ,-ಧ್ವಜಗಳ ಕೋನಿಕ್ ಸಂಯೋಜನೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ನಿರ್ಬಂಧದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿ. ಈ ಹೊಸ ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸೆಮಿಡಿಫೈನೈಟ್-ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳು ಫ್ಲಾಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ವಿಧಾನವು ಹಲವಾರು ಗ್ರಾಫ್ ತರಹದ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ. ರಾಸ್ಬೊರೊವ್ ತನ್ನ ಮೂಲ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ಬರೆದಂತೆ, ಧ್ವಜಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದೊಂದಿಗೆ ವಿವರಿಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಬದಲಿಗೆ, ಕೆಲವು ಆನುವಂಶಿಕವಲ್ಲದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಪ್ರಥಮ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಬಂಧದ ಸಹಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಪೂರ್ವಭಾವಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಳಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ನ ನಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮಾದರಿಯು ಗ್ರೌಂಡ್ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ, ಉಪ-ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಮಾದರಿ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳನ್ನು ಉಪಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ ಎಂಬೆಡಿಂಗ್ಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು, ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಭಾಷೆಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಅನುವಾದಿಸಬಹುದು. ಫ್ಲಾಗ್ ಆಲ್ಜೆಬ್ರಾಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದರೆ ಅದನ್ನು ಸರಳ ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ, ನಿರ್ದೇಶಿತ ಗ್ರಾಫ್ಗಳು ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳಂತಹ ಇದೇ ರೀತಿಯ ರಚನೆಗಳನ್ನೂ ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ