Spectral submanifold
ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ವರ್ಣಪಟಲದ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ (ಎಸ್. ಎಸ್. ಎಂ) ಅನನ್ಯವಾದ ನಯವಾದ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಆಗಿದ್ದು, ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವರ್ಣಪಟಲದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಎಸ್ಎಸ್ಎಮ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಅಸ್ಥಿರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಯಾವಾಗ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಯಾಮದ ಕಡಿತದಲ್ಲಿ ಎಸ್ಎಸ್ಎಮ್ಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಸ್ಥಿರವಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ರೂಪದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮತ್ತು ನಯವಾದ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಎಲ್ಲಾ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅಂದರೆ, ಮೂಲವು ಲಕ್ಷಣರಹಿತವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾದ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಈಗ ಐಗನ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ. ನಂತರ, ಐಜೆನ್ಸ್ಪೇಸ್ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸ್ಥಿರವಾದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ ರೇಖೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಾಗಿ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಈ ಬದಲಾಗದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳಲ್ಲಿ, ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ನಯವಾದದ್ದನ್ನು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಸ್ಥಿರ ಎಸ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಖಾತರಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ಅನುರಣನವಲ್ಲದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಮ್ನಲ್ಲಿನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ತೃಪ್ತಿಯಾಗುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಬ್ಸ್ಪೇಸ್ನ ಹೊರಗಿನ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯು ಇರಬಾರದು. ಅಂತಹ ಬಾಹ್ಯ ಅನುರಣನವಿದ್ದರೆ, ಅನುರಣನ ಕ್ರಮವನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ವರ್ಣಪಟಲದ ಉಪಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಎಸ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಗೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಸ್ವಾಯತ್ತವಲ್ಲದ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಅರೆಕಾಲಿಕ ಒತ್ತಾಯ ಪದದೊಂದಿಗೆ ರೂಪದ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸ್ವಾಯತ್ತವಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಿಗ್ನಿಫಿಕೆನ್ಸ್ ಸ್ಪೆಕ್ಟ್ರಲ್ ಸಬ್ಮನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಠಿಣ ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಆಯಾಮದ ಕಡಿತಕ್ಕೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿವೆ. ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಹಂತದ ಜಾಗವನ್ನು ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಬಹುದ್ವಾರಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ ಲಕ್ಷಣರಹಿತ ನಡವಳಿಕೆಯ ನಿಖರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಮುಖ ಸರಳೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು. ತಿಳಿದಿರುವ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ, ಇನ್ವೇರಿಯನ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಎಸ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ಒತ್ತಡಕ್ಕೆ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಎಸ್. ಎಸ್. ಎಂ. ಗಳ ಮೇಲೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾದ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ ಈ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಯಂತ್ರ ಕಲಿಕೆಯ ಕ್ರಮಾವಳಿಗಳ ಬಳಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪಥದ ದತ್ತಾಂಶದಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಹೊರತೆಗೆಯಬಹುದು. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ನಾನ್ ಲೀನಿಯರ್ ಡೈಮೆನ್ಷನಾಲಿಟಿ ರಿಡಕ್ಷನ್ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ ಕೊಹೆರೆಂಟ್ ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸ್ವಯಂಚಾಲಿತ ಎಸ್ಎಸ್ಎಂ ಕಂಪ್ಯೂಟೇಶನ್ ಡೈನಾಮಿಕಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಳಿಗಾಗಿ ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳ ಸಾಧನವನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.