Bernoulli quadrisection problem
ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಬರ್ನೌಲಿ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮಸ್ಯೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಎರಡು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ-ಪ್ರದೇಶದ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ ಹೇಗೆ ವಿಭಜಿಸುವುದು ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲಿ ಅವರು 1687ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಲಿಯೊನ್ಹಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ 1779ರಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರು. ಯೂಲರ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ, ಸ್ಕೇಲೆನ್ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಈ ರೂಪದ ಉಪವಿಭಾಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಇದರಿಂದಾಗಿ ರೇಖೆಗಳ ನಾಲ್ಕು ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನವು ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯದ ತುದಿಯಲ್ಲಿದೆ, ಆ ತುದಿಯಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಮೂರು ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜಗಳಾಗಿ ಬಿಡುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಮೂರು ಅಂಚುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಎರಡು ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳೊಂದಿಗೆ; ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎರಡು ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ಗಳು ಉದ್ದವಾದ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಇರಲು ಎಂದಿಗೂ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ಅದರ ತುದಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ತಳದ ಉದ್ದದ 8/9 ರಷ್ಟು ಎತ್ತರವಿರುವ ತ್ರಿಕೋನವು ನಿಖರವಾಗಿ ಎರಡು ಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಎರಡರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮಮಿತಿ ಅಕ್ಷವನ್ನು ಎರಡು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿ ಬಳಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೊಂದು ಎರಡು ಇಳಿಜಾರಿನ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತಳ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ದಾಟುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಈ ಉಪವಿಭಾಗವು ರಿಚರ್ಡ್ ಕೋರಂಟ್ ಮತ್ತು ಹರ್ಬರ್ಟ್ ರಾಬಿನ್ಸ್ ಅವರ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಯಾವುದೇ ಸಮತಲ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಎರಡು ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಇದರ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹ್ಯಾಮ್ ಸ್ಯಾಂಡ್ವಿಚ್ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಚತುರ್ಭುಜವು ಕಡಿಮೆ-ಮಟ್ಟದ ಬಹುಪದಗಳ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೂ, ಕುರಾಂಟ್ ಮತ್ತು ರಾಬಿನ್ಗಳ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಚತುರ್ಭುಜವು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಗಣಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಆಕಾರಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ, ಅದರ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಬಹುಪದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ದೋಷದೊಳಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು, ಅದರ ರಚನೆಯು ಅನನ್ಯವಾದ ಲಂಬ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 2022ರಲ್ಲಿ, ಐರಿಷ್ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿಜ್ಞಾನ ಸ್ಪರ್ಧೆಯಾದ ಯಂಗ್ ಸೈಂಟಿಸ್ಟ್ ಅಂಡ್ ಟೆಕ್ನಾಲಜಿ ಎಕ್ಸಿಬಿಷನ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದ ಆದಿತ್ಯ ಜೋಶಿ ಮತ್ತು ಆದಿತ್ಯ ಕುಮಾರ್ ಅವರು ಬರ್ನೌಲಿ ಕ್ವಾಡ್ರಿಸೆಕ್ಷನ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಮೆಟಾಹೆರಿಯಿಸ್ಟಿಕ್ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯೋಜನೆಗೆ ಹೋದರು. ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಪ್ರದೇಶ ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ