Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳ ಘಾತಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಹುಪದಗಳು ಚಲಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿನ ಬಹುಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದ ಘಾತಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ರಚಿಸಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಸ್ಥಿರ ಘಾತಾಂಕ, ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎರಡನ್ನೂ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಅವುಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಘಟಕದಿಂದ ಸ್ಥಿರ ಘಾತಾಂಕವನ್ನು ಮೀರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಹುಪದೀಯ ಚರರಾಶಿಯು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿದ ಸೇರ್ಪಡೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾದಾಗ, ಬಹುಪದೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೂಡ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಅಂದರೆ. ಪೂರಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಬಹುಪದಗಳುಃ ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಈ ಎರಡು ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಕೇವಲ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರದೆ ತರ್ಕಬದ್ಧ, ವಾಸ್ತವಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣವೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಇತಿಹಾಸ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಇತಿಹಾಸವು ಪ್ರಾಚೀನತೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕರಣವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಸರಣಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪಂಥವು ತ್ರಿಕೋನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಂಪರ್ಕಕ್ಕಾಗಿ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ರಕರಣವು ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆಃ ಮೊದಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಹುಪದ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಇತಿಹಾಸದಲ್ಲಿ ಎದುರಾದ ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣಗಳೆಂದರೆಃ ಒಂದು ವರ್ಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲ ಅನುಕ್ರಮ ಆಡ್ಸ್ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಹುಪದ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ನರು ಬಹುಶಃ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವ ಒಂದು ಆಸ್ತಿಯಾಗಿದ್ದು, ಅವರು ತಮ್ಮ ಅಂಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ, ಮುಂದಿನ ಪರಿಪೂರ್ಣ ಚೌಕವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಗ್ನೋಮನ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಹುಪದ. ಆರ್ಕಿಮೆಡಿಸ್ನ ಕೃತಿಯಾದ ಸ್ಪೈರಲ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದ ಗುಣಲಕ್ಷಣ; ಸತತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಹುಪದ. ಗೆರಾಸಾದ ನಿಕೊಮಾಕಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಕರೋಲರಿ. ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ಬಹುಪದಗಳು ಸೇರಿರುವ ಪ್ರಕರಣಗಳ ಎಲ್ 'ಇನ್ಸೈಮ್, ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ಇತರ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಅದರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ವಿವಿಧ ಕೊಡುಗೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಆರ್ಯಭಟ್ಟ, ಅಲ್-ಕರಾಜಿ, ಇಬ್ನ್ ಅಲ್-ಹೈಥಮ್, ಥಾಮಸ್ ಹ್ಯಾರಿಯೋಟ್, ಜೋಹಾನ್ ಫೌಲ್ಹಾಬರ್, ಪಿಯರೆ ಡಿ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಮತ್ತು ಬ್ಲೇಸ್ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಸೇರಿದ್ದಾರೆ, ಅವರು ಹಿಂದಿನವುಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಪದವಿಯ ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಒಂದು ಗುರುತನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಶಕ್ತಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಿದರು. 1713ರಲ್ಲಿ ಜಾಕೋಬ್ ಬರ್ನೌಲಿಯವರ ಕುಟುಂಬವು ಮರಣೋತ್ತರವಾಗಿ ಅವರ "ಆರ್ಟಿಸ್ ಕಾಂಜೆಕ್ಟಾಂಡಿ" ಅನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿತು, ಇದರಲ್ಲಿ ಈ ಅನಂತ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ 10 ಬಹುಪದಗಳು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಬದಲಿಗೆ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಬರ್ನೌಲಿ ಗುರುತಿಸಿದ ಜೋಹಾನ್ ಫೌಲ್ಹಾಬರ್ ಅವರ ಯೋಗ್ಯ ಕೊಡುಗೆಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಲಾಯಿತು. ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಘಾತಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಬಹುಪದಗಳು ಒಂದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವವುಗಳಿಗೆ ಹೋಲುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು. ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ರೂಪದ ಡಿಗ್ರಿಯ ಬಹುಪದಗಳು ಅವು ಆಗುವ ಏಕಪದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಫೌಲ್ಹಾಬರ್ನ ಸೂತ್ರದ ಪುರಾವೆ ಕಾಣೆಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಒಂದು ಶತಮಾನಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯದ ನಂತರ ಕಾರ್ಲ್ ಜಿ. ಜಾಕೋಬಿ ನೀಡಿದರು, ಅವರು ಬರ್ನೌಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉತ್ಪಾದಿಸುವ ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಅನಂತ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಗತಿಯಿಂದ ಪ್ರಯೋಜನ ಪಡೆದರು. ಆಧುನಿಕ ಕಾಲ 1982ರಲ್ಲಿ ಎ. ಡಬ್ಲ್ಯೂ. ಎಫ್. ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್ ಅವರು ಒಂದು ಲೇಖನವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು, ಅದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ಗುರುತನ್ನು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು 'ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಕೊನೆಯ ಅಂಶ' ದಿಂದ ವಂಚಿತವಾಗಿದೆಃ ಉದಾಹರಣೆಯು ಐದನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದುಃ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ವಿಲೋಮದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಬರ್ನೌಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬಳಸದೆ ಬಹುಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ತಲುಪಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್ ನಂತರದ ಇತರ ಲೇಖಕರು ಪವರ್ ಸಮ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ವಾಂಡರ್ಮೊಂಡೆ ವೆಕ್ಟರ್ನಂತಹ ತಮ್ಮ ಲೇಖನಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಾಧನಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಇತರ ಸಂಶೋಧಕರು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಮಾರ್ಗದ ಮೂಲಕ ಅನ್ವೇಷಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ಬಹುಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಇತರ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದ್ದು, ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಅಥವಾ ಸ್ಟಿರ್ಲಿಂಗ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ ಆರ್-ವಿಟ್ನಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡ ಸೂತ್ರಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಮೊತ್ತದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೊತ್ತದ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಹುಪದಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆಃ ತ್ರಿಕೋನ ಕ್ರಮದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲಿನ ಬಹುಪದಿ ಗುಣಾಂಕ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಸೂತ್ರವು 0 ರಿಂದ 3 ರ ಘಾತಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆಃ m (ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು) ನ ವಿವಿಧ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಅಥವಾ ಇದರೊಂದಿಗೆ ಇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಾಂಡರ್ಮೊಂಡೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಕಠಿಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಇಲ್ಲಿದೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಎಂಬುದು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಕಡಿಮೆ ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಕೊನೆಯ ಅಂಶದಿಂದ ವಂಚಿತರಾದ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪುನರುತ್ಪಾದಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಇದರ ಅಂಶಗಳು ಪವರ್ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ನ ಮೊನೊಮಿಯಲ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಡ್ವರ್ಡ್ಸ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾದುದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಬರಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುರುತನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿದ ನಂತರ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡು ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗುಣಿಸುವುದು ಸಾಕು. ಆಡ್ಸ್ ಮೊದಲ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕಾರಣವಾಗಿ ನಾವು ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೊದಲ ಐದು ಬಹುಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು m = 4 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತೇವೆ. ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಾಗ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆಃ ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಮಾಡಿದ ಹಾನಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಃ ಕೊನೆಯ ಸಾಲು () ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ನಂತರ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆಃ 1 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟಿ (1,1) ಇದು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆಃ 0 ರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಟಿ (0,1) ಯುನಿಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಃ ಪ್ರೋಗ್ರೆಸ್ಶನ್-1,3,7,11,15. ಮತ್ತೆ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿ, ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಸಹಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡರುಃ ಫೌಲ್ಹಾಬರ್ನ ಸೂತ್ರದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದರಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಫೌಲ್ಹಾಬರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳೂ ಸಹಃ 0 ರಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳು ಬರ್ನೌಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು 1 ರಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದವುಗಳು ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಅದರ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿದೆ. ಬರ್ನೌಲಿಯ ಬಹುಪದಗಳ ಅನುವಾದದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಫೌಲ್ಹಾಬರ್ ಸೂತ್ರವು ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಇತರಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬಹಳ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳೂ ಇವೆಃ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಸಹ ನೋಡಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಫೌಲ್ಹಾಬರ್ನ ಸೂತ್ರ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ನ ತ್ರಿಕೋನ ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯ ಬರ್ನೌಲಿ ಬಹುಪದಗಳು ಬಹುಪದಗಳು