Invariant decomposition
ಅಸ್ಥಿರ ವಿಭಜನೆಯು ಗುಂಪುಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಮ್ಯುಟಿಂಗ್ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡುವುದು. ಇದು ಅವುಗಳ ಉಪಗುಂಪುಗಳಲ್ಲಿಯೂ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಸೂಡೋ-ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್, ಕನ್ಫಾರ್ಮಲ್ ಮತ್ತು ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಗುಂಪುಗಳು. ಪಿನ್ ಗುಂಪುಗಳ ಅಂಶಗಳು ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಡಿಕಂಪೊಸಿಷನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರತಿ-ರಿಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಮ್ಯುಟಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ಅಂಶಗಳು-ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಅಸ್ಥಿರ ವಿಭಜನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವೆಂದರೆ ಚಾಸ್ಲೆಸ್ನ ಪ್ರಮೇಯ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸುತ್ತಲೂ ತಿರುಗಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅಥವಾ ಅದಕ್ಕೂ ಮೊದಲು ಒಂದೇ ಸಾಲಿನ ಅನುವಾದವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಅನುವಾದ ಎರಡೂ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತವೆಃ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ಭಾಷಾಂತರದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಕ್ಷ. ತಿರುಗುವಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಅನುವಾದಗಳು ಎರಡೂ ಬೈರ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯದ ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತ ಹೇಳಿಕೆಯು "ಪ್ರತಿ ಕ್ವಾಡ್ರೆಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ಕಮ್ಯುಟಿಂಗ್ ಬೈರ್ಫ್ಲೆಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು" ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಹೇಳಿಕೆಯು ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಸಮಯದ ಬೀಜಗಣಿತ, ಅಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಲೊರೆಂಟ್ಜ್ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರಯಾಣದ ತಿರುಗುವಿಕೆ ಮತ್ತು ವರ್ಧನೆಯಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ವಿಭಜನೆ ಒಟ್ಟು ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಮ್ಯುಟಿಂಗ್ ಸರಳ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತರುವಾಯ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವರ್ಗಾಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಹುಪದಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಮಾರ್ಸೆಲ್ ರೀಸ್ನ ಪ್ರತಿ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ಅಸ್ಥಿರ ವಿಭಜನೆಗೆ ಈ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದ ಪರಿಹಾರವು 1 ರ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಐಗನ್ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅವನತಿಗೆ, ಅಸ್ಥಿರವಾದ ವಿಭಜನೆಯು ಇನ್ನೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪದ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಘಾತೀಯ ನಕ್ಷೆ ಎ-ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಅಪವರ್ತನೀಯತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ ಅಸ್ಥಿರ ವಿಭಜನೆಯು ಘಾತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮುಚ್ಚಿದ ರೂಪ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಚೌಕಗಳು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗೆ ಹೋಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆಃ ಮಿತಿಯನ್ನು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುವುದು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಅನುವಾದಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೋಟರ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್-ಪ್ರತಿಫಲನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಫ್ಯಾಕ್ಟರೈಸೇಶನ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು. ಈ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಮೇಲಿನ ದ್ರಾವಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರೇಡ್ ಭಾಗವನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಕಾಣಬಹುದು. ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ, ನೇರವಾಗಿ ಪ್ರಧಾನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಇಂಟು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದ ನಂತರ, ಪ್ರತಿ ಸರಳ ರೋಟರ್ನ ಪ್ರಧಾನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪಿನ್ ಗುಂಪಿನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಾಗದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು a-ಪ್ರತಿಫಲನಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು, ವಾಹಕದ ಭಾಗವು ಈಗಾಗಲೇ-ಪ್ರತಿಫಲನದೊಂದಿಗೆ ಚಲಿಸುವ ಒಂದು ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು-ಪ್ರತಿಫಲನಕ್ಕೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ವೇರಿಯಂಟ್ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುವುದರಿಂದ ಅವು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಗುಂಪು ಸಂಯೋಜನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿರುವಂತೆ ಚಾಸ್ಲೆಸ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದಾಗ, 3D ನಲ್ಲಿನ ಸ್ಕ್ರೂ ಚಲನೆಯು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಗದೆ ಬಿಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು ದಿಗಂತದ ಮೇಲಿನ ಅನುವಾದದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಡೀ ಜಾಗವು ಸ್ಕ್ರೂ ಚಲನೆಗೆ ಒಳಗಾಗುತ್ತದೆಯಾದರೂ, ಈ ಎರಡು ಅಕ್ಷಗಳು ಅದರಿಂದ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತವೆ. ಇತಿಹಾಸ ಬದಲಾಗದ ವಿಭಜನೆಯು ಮಾರ್ಸೆಲ್ ರೀಸ್ ಅವರು ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀಡಿದ ಹೇಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆಃ ಯಾವುದೇ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸರಳ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನೇರ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ವಿಭಜನೆ ಮಾಡಬಹುದೇ? ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ, ಇದರರ್ಥ ಆಯಾಮದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗೆ, ಗರಿಷ್ಠ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಎಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ಗೆ ವರ್ಗವಾಗಬೇಕು. ಮಾರ್ಸೆಲ್ ರೀಸ್ಜ್ ಈ ಊಹೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರು, ಆದರೆ ಒಂದು (ತೋರಿಕೆಯ) ವ್ಯತಿರಿಕ್ತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನೂ ನೀಡಿದರು. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತಗಳಲ್ಲಿನ ಊಹೆಗೆ ಮೊದಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಡೇವಿಡ್ ಹೆಸ್ಟೆನೆಸ್ ಮತ್ತು ಗ್ಯಾರೆಟ್ ಸೊಬ್ಜಿಕ್ ನೀಡಿದರು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳಿಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿತ್ತು. 2011 ರಲ್ಲಿ (3ಡಿಸಿಜಿಎ) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಲಿಯೋ ಡಾರ್ಸ್ಟ್ ಮತ್ತು ರಾಬರ್ಟ್ ಜಾನ್ ವಾಲ್ಕೆನ್ಬರ್ಗ್ ಅವರು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದು ಲೊರೆಂಟ್ಜಿಯಾನ್ ಸಹಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. 2011 ರಲ್ಲಿ, ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಗನ್ ಅವರು ಕ್ಷೀಣಿಸಿದ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ನಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡಿದ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. ಇದು ತತ್ವವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬ ಮೊದಲ ನೋಟವನ್ನು ನೀಡಿತು. ನಂತರ, 2021 ರಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮತ್ತು ಆಯಾಮ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಫಾರ್ಮ್ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮಾರ್ಟಿನ್ ರೋಲ್ಫ್ಸ್ ಅವರು ತಮ್ಮ ಪಿಎಚ್ಡಿ ಪ್ರಬಂಧದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರು. ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಬೈವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಲೈ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವುದರಿಂದ, ಪ್ರಬಂಧವು ಗುಂಪುಗಳ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಮ್ಯುಟಿಂಗ್ ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಿದ ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಯೂಲರ್ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಗುಂಪುಗಳಿಗೆ ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಫಾರ್ಮ್ ಘಾತೀಯ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ತರುವಾಯ ಮಾರ್ಟಿನ್ ರೋಲ್ಫ್ಸ್ ಮತ್ತು ಸ್ಟೀವನ್ ಡಿ ಕೆನಿನ್ಕ್ ಅವರ ಪ್ರಬಂಧವೊಂದರಲ್ಲಿ, ಬದಲಾಗದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗದ ಅಂಶಗಳ ನೇರ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ