Hypergraph regularity method
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ವಿಧಾನವು ವಿಪರೀತ ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಬಲವಾದ ಸಾಧನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಲೆಮ್ಮಾ ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಿತ ಎಣಿಕೆಯ ಲೆಮ್ಮಾದ ಸಂಯೋಜಿತ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ವಿಧಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಎಣಿಕೆಯ ಲೆಮ್ಮಾಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬಹಳ ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ರೆಗ್ಯುಲಾರಿಟಿ ಲೆಮ್ಮಾವು ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ರೀತಿಯ ವಸ್ತುವಾಗಿ ಸೀಮಿತ ಭಾಗಗಳೊಂದಿಗೆ (ಸೂಕ್ತವಾದ ಮಿತತೆ ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ ಕಲ್ಪನೆಗಳೊಂದಿಗೆ) ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಎಣಿಕೆಯ ಲೆಮ್ಮಾವು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ-ರೀತಿಯ ಭಾಗಗಳ ಕೆಲವು ಸಂಗ್ರಹಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ವರ್ಗದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಇದು ಯಾವುದೇ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿಯ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಲೆಮ್ಮಾದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿದ್ದು, ಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂಚುಗಳು ಬಹುತೇಕ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಎಣಿಕೆ ಲೆಮ್ಮಾವು ಗ್ರಾಫ್ ಎಣಿಕೆ ಲೆಮ್ಮಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸ್ಥಿರ ಗ್ರಾಫ್ನ ಪ್ರತಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದೊಡ್ಡ ಗ್ರಾಫ್ನ ಉಪಗ್ರಾಫ್ನಂತೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಧಾನದ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳಿವೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ರಿಮೂವಲ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಮತ್ತು ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿಯ ಪ್ರಮೇಯದಂತಹ ಹಲವಾರು ಇತರ ಪ್ರಬಲ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಲವು ಬಹುಆಯಾಮದ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರೀಕರಣಗಳು ವಿ. ರಾಡ್ಲ್, ಬಿ. ನಾಗ್ಲೆ, ಜೆ. ಸ್ಕೋಕನ್, ಎಮ್. ಸ್ಕಚ್ಟ್, ಮತ್ತು ವೈ. ಕೊಹಾಯಕಾವಾ ಕಾರಣವಾಗಿವೆ, ಪರ್ಯಾಯ ಆವೃತ್ತಿಗಳಿಗಾಗಿ ಟಾವೊ (2006), ಮತ್ತು ಗೋವರ್ಸ್ (2007) ನೋಡಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಲೆಮ್ಮಾಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಎಣಿಸುವ ಸಲುವಾಗಿ, ಹುಸಿ-ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆ (ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ-ಸಮಾನತೆ) ಮತ್ತು ಮಿತಿಯ ಸೂಕ್ತ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕ-ರೀತಿಯ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನಾವು ಹಲವಾರು ತಾಂತ್ರಿಕ ಪದಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಸಂಕೇತವು ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಶೃಂಗ ವಿಭಾಗದ ಮೇಲೆ-ಪಾರ್ಟೈಟ್-ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು ಗುಂಪಿನೊಳಗೆ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ ಎಲ್ಲಾ-ಅಂಶಗಳ ಶೃಂಗಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಇದು ಕಂಪ್ಲೀಟ್-ಪಾರ್ಟೈಟ್-ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿರುವ-ಅಂಚುಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಪಿಸಿರುವ-ಅಂಚುಗಳ ಭಾಗವನ್ನು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯಾವಾಗ, ಪ್ರಮಾಣವು 3-ಅಂಚುಗಳಿರುವ ಸಬ್ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ 2-ಅಂಚುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ [ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಾಂದ್ರತೆ]. ಏಕೆಂದರೆ, ಕೆಲವು ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಿ. ಇದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇಂಡ್ಯೂಸ್ಡ್-ಪಾರ್ಟೈಟ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಬ್ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಾಂದ್ರತೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ವಿಧಾನವು ಬಳಸುವ ಸೂಡೊರಾಂಡಮ್ನೆಸ್ನ ಸೂಕ್ತ ಕಲ್ಪನೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿದೆ. ಅನೌಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಿಂದ,-ಅಂಚುಗಳು ()-ಅಂಚುಗಳ () ಮೇಲೆ ಸ್ವಲ್ಪ ನಿಯಂತ್ರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇದು ದೊಡ್ಡ ಸಬ್ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಚುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಬ್ಬರು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವಂತೆಯೇ ಇರುವ ಸೆಟ್ಟಿಂಗ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ [()-ನಿಯಮಿತತೆ]. ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ವರ್ಗಗಳ ಯಾವುದೇ ಆಯ್ಕೆ ಮತ್ತು ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ ಉಪ-ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳ ಯಾವುದೇ ಸಂಗ್ರಹಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಇದು ()-ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ. ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಲೆಮ್ಮಾವು ಯಾವುದೇ ಸಾಕಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜನೆ ಮಾಡುವ ಸೂಡೋರಾಂಡಮ್ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯಲ್ಲಿ, 2-ತುದಿಗಳನ್ನು 1-ತುದಿಗಳ (ಶೃಂಗಗಳು) ವಿರುದ್ಧ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲಿ,-ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು-ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಕ್ರಮಬದ್ಧಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಇದು-ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಎಂಬ ನಿಯಮಿತ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ನ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ-ಅಂಚಿನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಎಲ್ಲಾ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಅಂಚುಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3-ಅಂಚು ಇದ್ದರೆ, ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣದಲ್ಲಿ 2-ಅಂಚುಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, 2-ಅಂಚುಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭಾವ್ಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮೇಲೆ 3-ಅಂಚುಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯು subhypergraphs.Definition [-ರೆಗ್ಯುಲರ್-ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್] ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲೂ ಸರಿಸುಮಾರು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಒಂದು-ಸಂಕೀರ್ಣವು ತೃಪ್ತಿಕರವಾದ-ವಿಭಜಿತ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಸಾಂದ್ರತೆಯೊಂದಿಗೆ-ನಿಯಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ-ಸಂಕೀರ್ಣವು-ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, is ()-ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಲೆಮ್ಮಾವು ಪ್ರೇರೇಪಿಸುವ ಸಮಾನವಾದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ. ವಿಭಜನೆಯ ಎ-ಸಮಾನ ಕುಟುಂಬವು 1-ತುದಿಗಳು (ಶೃಂಗಗಳು), 2-ತುದಿಗಳು (ಜೋಡಿಗಳು), 3-ತುದಿಗಳು (ತ್ರಿವಳಿಗಳು), ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ವಿಭಾಗಗಳ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಇದು ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿಯ ನಿಯಮಿತ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಪಡೆದ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಕೇವಲ ಶೃಂಗ ವಿಭಜನೆಯು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಎಣಿಕೆಯ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ನಿಯಮಿತತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಬಲವಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗೋವರ್ಸ್ ತೋರಿಸಿದರು. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ [-ಸಮಾನವಾದ ವಿಭಾಗ]. ಒಂದು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ, ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಲಿ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ವಾಸ್ತವಗಳ ವಾಹಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ವಾಹಕವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದು-ಅಂಶದ ಶೃಂಗ ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ. ವಿಭಜನೆಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ-ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆಃ ಇದು ಸಮಾನವಾದ ಶೃಂಗ ವಿಭಜನೆಯಾಗಿದೆ. ಅದು. ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇವೆಲ್ಲವೂ ಸದಸ್ಯರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಹೆಚ್ಚಿನ-ಟುಪಲ್ಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ-ನಿಯಮಿತ-ಸಂಕೀರ್ಣವಿದೆ, ಅದು ಸದಸ್ಯರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಭಾಗ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುವುದು ಎಂದರೇನು ಎಂಬುದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಲೆಮ್ಮಾ bellow.Definition [ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ] ಯ ಉತ್ಪಾದನೆಯನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ವಿಭಾಗಗಳ ಕುಟುಂಬಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಂದು-ಗ್ರಾಫ್ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಂಚುಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ-ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದು ನಿಯಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ರೆಗ್ಯುಲಾರಿಟಿ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಲ್ಲಾ ಧನಾತ್ಮಕ ನೈಜ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗೆ, ವಿಭಾಗಗಳ ಒಂದು ಕುಟುಂಬ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ, ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು ವಿಭಾಗಗಳ ಸಮಾನವಾದ ಕುಟುಂಬವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ. ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿಯಮಿತವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಎಣಿಕೆಯ ಲೆಮ್ಮಾವು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆಃ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಜೊತೆಗೆ, ಮತ್ತು, ಇದ್ದರೆ-ಶೃಂಗ ವಿಭಜನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಯಮಿತ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ. ಅನ್ವಯಗಳು ಹೆಚ್ಚಿನ ಇತರರು ಅನುಸರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಅನ್ವಯವೆಂದರೆ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ರಿಮೂವಲ್ ಲೆಮ್ಮಾ, ಇದು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಮತ್ತು ದೊಡ್ಡ ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕೆಲವು ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಕೆಲವು ಹೈಪರ್ ಎಡ್ಜ್ಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹೇಳಲು, ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ರಿಮೂವಲ್ ಲೆಮ್ಮಾ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರಿಗೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಏಕರೂಪದ ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳ ಮೇಲೆ ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರತಿಗಳು ಇದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಲು ಹೈಪರ್ ಎಡ್ಜ್ಗಳನ್ನು ಅಳಿಸಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆಯ ವಿಧಾನದ ಮೂಲ ಪ್ರೇರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾದ ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು, ಇದು ಪ್ರತಿ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಉದ್ದದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಲೆಮ್ಮಾದ ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸರಳವಾದ ಅನ್ವಯದಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವು 3 ರ ಉದ್ದದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಹೈಪರ್ಗ್ರಾಫ್ ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಲೆಮ್ಮಾವು ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ಆವೃತ್ತಿಯ ಉನ್ನತ-ಆಯಾಮದ ಮತ್ತು ರಿಂಗ್ ಸಾದೃಶ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಮೂಲತಃ ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಕಾಟ್ಜ್ನೆಲ್ಸನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ವಿಧಾನವು ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಮೊದಲ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ ಮಿತಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ದಟ್ಟವಾದ ಉಪವಿಭಾಗವು ಯಾವುದೇ ಸೀಮಿತ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವಾಗ ಮತ್ತು ಮಾದರಿಯು ಸ್ವಲ್ಪ ಉದ್ದದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಾಗಿದ್ದು ಅದು ಸ್ಜೆಮೆರೆಡಿಯ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಫರ್ಸ್ಟನ್ಬರ್ಗ್ ಮತ್ತು ಕಾಟ್ಜ್ನೆಲ್ಸನ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ನೀಡಲಿ. ನಂತರ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಉಪವಿಭಾಗವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಅದರ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ನಕಲನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. (ಅಂದರೆ. ರೂಪದ ಸೆಟ್, ಕೆಲವರಿಗೆ ಮತ್ತು) ಇದಲ್ಲದೆ, ಕೆಲವರಿಗೆ, ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತಹವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಲೆಮ್ಮಾದಿಂದ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದರೆ ಆಯಾಮವನ್ನು ಬೆಳೆಯಲು ಅನುಮತಿಸಿದಾಗ. ಟೆಂಗನ್, ಟೋಕುಶಿಗೆ, ರಾಡ್ಲ್ ಮತ್ತು ಸ್ಕಚ್ಟ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಒಂದು ಸೀಮಿತ ವರ್ತುಲವಾಗಿರಲಿ. ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ, ಅಂತಹ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗವು ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ನಕಲಿನ (ಎಡ-ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಆಗಿ) ಕೋಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಇವೆ, ಅಲ್ಲಿ, ಚುಚ್ಚುಮದ್ದು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ