Feuerbach hyperbola
ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ, ಫೆಯೆರ್ಬ್ಯಾಕ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್, ಗೆರ್ಗೋನ್ ಪಾಯಿಂಟ್, ನಾಗೆಲ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಶಿಫ್ಲರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ನಂತಹ ಪ್ರಮುಖ ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಕೇಂದ್ರವು ಫ್ಯೂರ್ಬಾಕ್ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಳ ವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣ ಇದು ತ್ರಿಕೋನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಆಯಾ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಬೇರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವಾಗಿದೆ). ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇತರ ಆಯತಾಕಾರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳಂತೆ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನದ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಈ ರೇಖೆಯು ಈ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ. OI ಯ ಐಸೊಗೊನಲ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಐಸೊಗೊನಲ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸುತ್ತಳತೆ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಪ್ರಚೋದಕವನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಈ ಸತ್ಯವು ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಮೇಲೆ ತಮ್ಮ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ನಾಗೆಲ್ ಬಿಂದುವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಸಂಯೋಗವು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಮಿಕ್ಸ್ಟಿಲೀನಿಯರ್ ಇನ್ಸರ್ಕಲ್ ಟಚ್ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳನ್ನು ಸೇರುವ ರೇಖೆಗಳ ಏಕಕಾಲೀನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಇದು ಒಳವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆಯ ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಗೆರ್ಗೋನ್ ಬಿಂದುವು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಸಂಯೋಗವು ಒಳವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಪೂರ್ವ-ಹೋಲಿಕೆಯಾಗಿದೆ. ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಪೆಡಲ್ ವೃತ್ತವು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಕೇಂದ್ರವಾದ ಫೆಯರ್ಬ್ಯಾಕ್ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಕರಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುವ ಒಳವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ. ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಹೀಗಿರಲಿ. ನಂತರ, ರೇಖೆಗಳು ಫ್ಯೂರ್ಬಾಕ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಕರಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಸುದೀರ್ಘ ಇತಿಹಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಆಗಸ್ಟೆ ಬೌಟಿನ್ ಮತ್ತು ವಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ರಿಟಾಲಿ., ಆದರೆ ಇದು ಕರಿಯಾ ಅವರ ಪತ್ರಿಕೆಯ ನಂತರವೇ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಯಿತು. ಆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಈ ಫಲಿತಾಂಶದ ಅನೇಕ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಫೆಯೂರ್ಬಾಕ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದ ನಿರ್ಮಾಣಕ್ಕೆ ಕರಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಲೆಮೋಯಿನ್ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಕರಿಯಾ ಪ್ರಮೇಯ ಎರಡೂ ಜಾಕೋಬಿಯ ಪ್ರಮೇಯದ ವಿಶೇಷ ನಿದರ್ಶನಗಳಾಗಿವೆ. ಇತರ ಆಯತಾಕಾರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವಿಶಿಷ್ಟ ಕೋನಿಕ್, ಅದರ ಕೇಂದ್ರಕ ಮತ್ತು ಅದರ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಜೆರಾಬೆಕ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು, ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿರುವ ಆಯತಾಕಾರದ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಗಳು ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಸುತ್ತಳತೆ, ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವಾರು ಗಮನಾರ್ಹ ಕೇಂದ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ.