Transpositions matrix
ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಟಿಆರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನೀಡಲಾದ ಎನ್-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆಃ, ಇಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು "ಬಿಟ್ವೈಸ್ ಎಕ್ಸ್ಕ್ಲೂಸಿವ್ ಅಥವಾ" (ಎಕ್ಸ್ಒಆರ್) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ Xನ ಅಂಶಗಳ ಕ್ರಮಪಲ್ಲಟನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್ಗಳ ನಡುವೆ n/2 ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ಗಳಿವೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಈಶಾನ್ಯದಿಂದ ನೈಋತ್ಯ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಹ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಿಲ್ಲದೆ ನೀಡಲಾದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಎಲ್ಲಾ n ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಕರ್ಣ ಅಂಶಗಳ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಒಂದೇ ಕಾಲಮ್ q ನಿಂದ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾದ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಒಂದು ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು. "ಟ್ರ್-ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ" ಎಂದು ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಈ ಆಸ್ತಿಯು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಕೆಲವು ನಾಲ್ಕು ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಟಿಆರ್ಎಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ನಾಲ್ಕು ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. [5] ರಲ್ಲಿ TR ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು n-ಆಯಾಮದ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಸಾಲುಗಳನ್ನು (ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮರುಹೊಂದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ TRs ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇಲ್ಲಿಃ "ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎನ್-ಆಯಾಮದ ಗುರುತಿನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಇದು n-ಆಯಾಮದ ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ [4] ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿರುದ್ಧ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪಡೆದ ವಾಹಕವಾಗಿದೆ. 2, 4 ಮತ್ತು 8ನೇ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳ ಆರ್ ಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಯಿತು. ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳ ಆರ್ ಕ್ರಮವು (ಸಿಲ್ವೆಸ್ಟರ್-ಹ್ಯಾಡ್ಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ವಿರುದ್ಧ) ವಾಹಕದ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಇದು [5], ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ. ), ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ (ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ) ಪ್ರತಿಬಿಂಬದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ವಾಹಕಕ್ಕೆ 4ನೇ ಕ್ರಮದ ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ (ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೊಸಿಷನ್ಸ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆಃ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ಪಡೆದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು "" ಎಂಬುದು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹ್ಯಾಡಮಾರ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೋಡಬಹುದಾದಂತೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ಸಾಲು ವರ್ಗಾವಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆ ಬದಲಾವಣೆಯಿಲ್ಲದೆ ವಾಹಕದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ [5] ಮ್ಯಾಟ್ಲ್ಯಾಬ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಡ್ ಅನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು n = 2,4, ಅಥವಾ, 8 ಗಾತ್ರದ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತದೆ. 8ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಮುಕ್ತವಾಗಿ ಕೇಳಿ. ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಪರ್ಸಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಬಾಹ್ಯ ಕೊಂಡಿಗಳು http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ.