Modern triangle geometry
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತ ಅಥವಾ ಹೊಸ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದ ಆರಂಭದಿಂದ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಪತ್ತೆಯಾದ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಜ್ಞಾನದ ಸಮೂಹವಾಗಿದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತನಿಖೆಯ ವಿಷಯವಾಗಿದ್ದವು. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ನ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಾಲ್ಕು ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ-ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್, ಇನ್ಸೆಂಟರ್, ಸರ್ಕಂಸೆಂಟರ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್. ಹದಿನೇಳನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ಮತ್ತು ಸೆವಾ, ಹದಿನೆಂಟನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಫ್ಯೂರ್ಬಾಕ್ ಮತ್ತು ಇತರ ಅನೇಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ತ್ರಿಕೋನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಆವಿಷ್ಕಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದರೂ ಸಹ, 1873 ರಲ್ಲಿ ಎಮಿಲ್ ಲೆಮೋಯಿನ್ (1840-1912) ಅವರು "ತ್ರಿಕೋನದ ಗಮನಾರ್ಹ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಪ್ರಬಂಧವು ನಾಥನ್ ಆಲ್ಟ್ಸ್ಚಿಲ್ಲರ್-ಕೋರ್ಟ್ನ ಪ್ರಕಾರ, "ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಆಧುನಿಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು foundations.of ಹಾಕಿತು". ದಿ ಅಮೆರಿಕನ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಮಂತ್ಲಿ, ಇದರಲ್ಲಿ ಲೆಮೋಯಿನ್ ಅವರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಲಾಗಿದೆ, "ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಈ ಚಲನೆಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಗೌರವವು ಎಮಿಲ್-ಮೈಕೆಲ್-ಹಯಾಸಿಂಥೆ ಲೆಮೋಯಿನ್ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಯಾವುದೇ [ರೇಖಾಗಣಿತಗಳಿಗೆ] ಇಲ್ಲ" ಎಂದು ಘೋಷಿಸಿತು. ಈ ಪ್ರಬಂಧದ ಪ್ರಕಟಣೆಯು ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯ ತ್ರೈಮಾಸಿಕದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭಿಕ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಏರಿಕೆಗೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು. 1914ರಲ್ಲಿ ಕ್ಲೈನ್ನ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಸೈನ್ಸಸ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕುರಿತ ನೂರು ಪುಟಗಳ ಲೇಖನವು ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಆಸಕ್ತಿಯ ಈ ಏರಿಕೆಗೆ ಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ, "ಹೊಸ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತ" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಲೆಮೋಯಿನ್ ಬಿಂದು, ಲೆಮೋಯಿನ್ ವೃತ್ತ, ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಲೆಮೋಯಿನ್ ರೇಖೆಯಂತಹ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಸ್ತುಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮಾತ್ರ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ವಿವಿಧ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಗೆ ಸುಸಂಬದ್ಧತೆಯನ್ನು ನೀಡಲು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾದ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಯಿತು. ಅದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯೊಂದಿಗೆ, "ಹೊಸ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತ" ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ಗಮನಾರ್ಹ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ವರ್ಗೀಕರಿಸಲು ಬಳಸುವ ವಿಧಾನಗಳನ್ನೂ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. 1887 ರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಹೀಗಿದೆಃ "ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು M ಅನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅನಂತವಾದ ನಡವಳಿಕೆಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಲ್ಪಿತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಎರಡನೇ ಬಿಂದು M 'ಅನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು; ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅವುಗಳ ಸರಳತೆಯು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸುವ ಕಾನೂನಿನ ಅದೃಷ್ಟದ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಕಡಿಮೆ ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ನಿಯಮವು ಪರಿವರ್ತನೆಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಉಳಿದಿದೆ". (2009ರಲ್ಲಿ ಪೌಲಿನ್ ರೊಮೆರಾ-ಲೆಬ್ರೆಟ್ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ "ಹತ್ತೊಂಬತ್ತನೇ ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಚೀನ ವ್ಯಕ್ತಿತ್ವದೊಂದಿಗೆ ಹೊಸ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬೋಧಿಸುವುದುಃ ಯುರೋಪ್ ಮತ್ತು ಯುಎಸ್ಎ (1888-1952) ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಹೊಸ ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಸಮಾವೇಶದ ಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ನೋಡಿ.) ಆದಾಗ್ಯೂ, ಆಸಕ್ತಿಯ ಈ ಹೆಚ್ಚಳವು ಶೀಘ್ರದಲ್ಲೇ ಕುಸಿಯಿತು ಮತ್ತು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯ ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಲಾಯಿತು. ತನ್ನ "ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್" ನಲ್ಲಿ, ಎರಿಕ್ ಟೆಂಪಲ್ ಬೆಲ್ 1940 ರಲ್ಲಿ ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ತನ್ನ ತೀರ್ಪನ್ನು ಹೀಗೆ ನೀಡುತ್ತಾನೆಃ "20 ನೇ ಶತಮಾನದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳು ಬಹಳ ಹಿಂದೆಯೇ ಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಪತ್ತನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವಸ್ತುಸಂಗ್ರಹಾಲಯಕ್ಕೆ ಪವಿತ್ರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಿವೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇತಿಹಾಸದ ಧೂಳು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಅವುಗಳ ಹೊಳಪನ್ನು ಮಸುಕಾಗಿಸಿದೆ". (ದಿ ಡೆವಲಪ್ಮೆಂಟ್ ಆಫ್ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕ್ಸ್, ಪುಟ 323) ಫಿಲಿಪ್ ಡೇವಿಸ್ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಆಸಕ್ತಿಯ ಕುಸಿತಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ಕಾರಣಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇವುಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆಃ ವಿಷಯವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆ ವೃತ್ತಿಪರ ಸ್ಥಾನಮಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ಭಾವನೆ. ಅದರ ಕ್ರಮಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳ ಬಳಲಿಕೆಯು. ವಿಷಯದ ಆಳವಾದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ದೃಶ್ಯ ಸಂಕೀರ್ಣತೆ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಪರವಾಗಿ ದೃಶ್ಯವನ್ನು ಕೆಳಮಟ್ಟಕ್ಕಿಳಿಸುವುದು. ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕದ ಕೊರತೆ. ಟೆಸೆಲೇಷನ್ಗಳು, ಫ್ರ್ಯಾಕ್ಟಲ್ಗಳು, ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮುಂತಾದ ಬಲವಾದ ದೃಶ್ಯ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಇತರ ವಿಷಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಧೆ. ಆಧುನಿಕ ಎಲೆಕ್ಟ್ರಾನಿಕ್ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನ ಆಗಮನದೊಂದಿಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ಮತ್ತಷ್ಟು ಪುನರುಜ್ಜೀವನವು ಸಾಕ್ಷಿಯಾಯಿತು. ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಮೀಸಲಾದ ರೇಖಾಗಣಿತಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನಡೆಸಲ್ಪಟ್ಟ ಸಂಶೋಧನೆಯ ಸಕ್ರಿಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಈ ಪುನರುಜ್ಜೀವನದ ಸಾರಾಂಶವಾಗಿ, "ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸುಮಾರು 50,000 ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳ ವಿಶ್ವಕೋಶದ ಕ್ಲಾರ್ಕ್ ಕಿಂಬರ್ಲಿಂಗ್ ಅವರ ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು 1200 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ತ್ರಿಕೋನ ಘನಗಳ ಹಲವಾರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನ ಘನಗಳ ಪಟ್ಟಿಯ ಸಂಕಲನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. 2001ರಲ್ಲಿ ಫ್ಲೋರಿಡಾ ಅಟ್ಲಾಂಟಿಕ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯದ ಪೌಲ್ ಯಿಯು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ ಓಪನ್ ಆಕ್ಸೆಸ್ ಜರ್ನಲ್ ಫೋರಂ ಜಿಯೋಮೆಟ್ರೋರಮ್ ಸಹ ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಈ ಹೊಸ ಉತ್ಸಾಹವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು ಪ್ರಚಂಡ ಪ್ರಚೋದನೆಯನ್ನು ನೀಡಿತು. ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, 2019 ರಿಂದ, ಜರ್ನಲ್ ಸಲ್ಲಿಕೆಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಿಲ್ಲವಾದರೂ ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಆನ್ಲೈನ್ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಲೆಮೋಯಿನ್ ರೇಖಾಗಣಿತ ಲೆಮೋಯಿನ್ ಬಿಂದುವು ಕೇಂದ್ರಕ Gಯೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ABC ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ, ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಸಿಂಮೀಡಿಯನ್ ಎನ್ನುವುದು A ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯ AGಯ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಮೂರು ಸಿಂಮೀಡಿಯನ್ಗಳಿವೆ. ಮೂರು ಸಿಂಮೀಡಿಯನ್ಗಳು ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕೆ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವ ಏಕಕಾಲೀನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಲೆಮೋಯಿನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಥವಾ ಸಿಂಮೀಡಿಯನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಯ ಗ್ರೇಬ್ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದಗಳು a, b, c ಆಗಿದ್ದರೆ, ಲೆಮೋಯಿನ್ ಬಿಂದುವಿನ ಬ್ಯಾರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು a2: b2: c2 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದನ್ನು "ಆಧುನಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಕಿರೀಟ ಆಭರಣಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ" ಎಂದು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಈ ಅಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ಹಲವಾರು ಹಿಂದಿನ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಿವೆ, ಅದರ ವಿವರಗಳು ಜಾನ್ ಮ್ಯಾಕೆ ಅವರ ಹಿಸ್ಟರಿ ಆಫ್ ದಿ ಸಿಂಮೀಡಿಯನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಿಂಮೀಡಿಯನ್ನರ ಏಕಕಾಲೀನತೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಫಲಿತಾಂಶದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿದೆಃ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಪಿ ಗೆ, ಎಪಿ, ಬಿಪಿ, ಸಿಪಿ ರೇಖೆಗಳ ಐಸೊಗೋನಲ್ಗಳು ಏಕಕಾಲಿಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಎಪಿ ಯ ಐಸೊಗೋನಲ್ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಿಪಿ, ಸಿಪಿ) ಕೋನ ಎ (ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಬಿ, ಸಿ) ನ ದ್ವಿಭಾಜಕದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೆಯ ಎಪಿ ಪ್ರತಿಫಲನವಾಗಿದೆ. ಏಕಕಾಲೀನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಿ ಯ ಐಸೋಗೋನಲ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಲೆಮೋಯಿನ್ ಬಿಂದುವು ಕೇಂದ್ರಕದ ಐಸೋಗೋನಲ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ ಆಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಯ ಲೆಮೋಯಿನ್ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳು ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಯ ಮೊದಲ ಲೆಮೋಯಿನ್ ವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. ಮೊದಲ ಲೆಮೋಯಿನ್ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತಳತೆ ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಲೆಮೋಯಿನ್ ಬಿಂದುವಿನ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದೆ, ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಯ ಲೆಮೋಯಿನ್ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳು ಎರಡನೇ ಲೆಮೋಯಿನ್ ವೃತ್ತ ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಯ ಕೊಸೈನ್ ವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತವೆ. "ಕೊಸೈನ್ ವೃತ್ತ" ಎಂಬ ಹೆಸರು ಎರಡನೇ ಲೆಮೋಯಿನ್ ವೃತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣದಿಂದಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ ವೃತ್ತವು ಅಡ್ಡಿಪಡಿಸುವ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಬದಿಗಳಿಗೆ ಎದುರಾಗಿರುವ ಕೋನಗಳ ಕೊಸೈನ್ಗಳಿಗೆ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೇ ಲೆಮೋಯಿನ್ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಲೆಮೋಯಿನ್ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಸ್ಪರ್ಶಕ ತ್ರಿಕೋನವು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಅಕ್ಷವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಯ ಲೆಮೋಯಿನ್ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಯ ಸಿಂಮೀಡಿಯನ್ ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಕೋನ ಧ್ರುವವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಯ ಸುತ್ತಳತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕೆ ಯ ಧ್ರುವವಾಗಿದೆ. ಆರಂಭಿಕ ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತ ಲೆಮೋಯಿನ್ನ ಪ್ರಬಂಧದ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ನಂತರ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿಯ ಉತ್ತುಂಗದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದ ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಪ್ರಪಂಚದ ತ್ವರಿತ ನೋಟವನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ 1910ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ವಿಲಿಯಂ ಗಲ್ಲಾಟ್ಲಿಯವರ ಪುಸ್ತಕ ಮತ್ತು 1929ರಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಪ್ರಕಟವಾದ ರೋಜರ್ ಎ ಜಾನ್ಸನ್ಸ್ ಅವರ ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಪೊರೆಸ್ಟಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಒಳ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಸುತ್ತ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪೊರೆಸ್ಟಿಕ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರ O ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ R ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ I ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ r ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತೊಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ವೃತ್ತ O (R) ಸುತ್ತಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ABCಯ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿವೆ ಮತ್ತು I (r) ವೃತ್ತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸರಂಧ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿ ಸೆಂಟ್ರಾಯ್ಡ್ನಂತಹ ಕೆಲವು ವಿಶೇಷ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವು ವಿಭಿನ್ನ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ವೃತ್ತಗಳು ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಿಂಸನ್ ರೇಖೆ ABC ತ್ರಿಕೋನದ ವೃತ್ತದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳವರೆಗೆ P ಯಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪಾದಗಳು ಕೊಲೀನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಕೊಲೀನಿಯಾರಿಟಿ ರೇಖೆಯು P. ಪೆಡಲ್ ಮತ್ತು ಆಂಟಿಪೆಡಲ್ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸಿಂಸನ್ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. P ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಿಗೆ P ಯಿಂದ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಪಾದಗಳು D, E, F ಆಗಿರಲಿ. DEF ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು P ಯ ಪೆಡಲ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. P ಯ ಆಂಟಿಪೆಡಲ್ ತ್ರಿಕೋನವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ PA, PB, PC ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ A, B, C ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ರೂಪುಗೊಂಡ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ಪಿ ಯ ಪೆಡಲ್ ತ್ರಿಕೋನವು ಕ್ಯೂ ನ ಆಂಟಿಪೆಡಲ್ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ನ ಪೆಡಲ್ ತ್ರಿಕೋನವು ಪಿ ಯ ಆಂಟಿಪೆಡಲ್ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಹೋಮೋಥೆಟಿಕ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕೌಂಟರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಆರ್ಥೋಪೋಲ್ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುವ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಸಾಹಿತ್ಯವಿದೆ. ಬ್ರೊಕಾರ್ಡ್ ಬಿಂದುಗಳು ABC ತ್ರಿಕೋನದ BC, CA, AB ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಬಾಹ್ಯ ಭಾಗಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ C, A, B ಮತ್ತು B, C, A ಕೋನಗಳ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಕೋನಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವೃತ್ತಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಯ ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಿ ಮೊದಲ ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ (ಇದು ವೃತ್ತಗಳ ಮೊದಲ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ) ಆಗ ಪಿಬಿಸಿ, ಪಿಸಿಎ ಮತ್ತು ಪಿಎಬಿ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೋನವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಯ ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ಕೋನವನ್ನು ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಬ್ರೋಕಾರ್ಡ್ ಕೋನಗಳು ಹಲವಾರು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಕೆಲವು ಚಿತ್ರಗಳು ಸಮಕಾಲೀನ ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರದ ಕೇಂದ್ರವು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿನ ಆಸಕ್ತಿಯ ಪುನರುಜ್ಜೀವನದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ವಿಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರದ ಕಲ್ಪನೆಯಾಗಿದೆ. 1994ರಲ್ಲಿ ಕ್ಲಾರ್ಕ್ ಕಿಂಬರ್ಲಿಂಗ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ವಿಶೇಷ ಮತ್ತು ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಕಲ್ಪನೆಯಲ್ಲಿ ಒಗ್ಗೂಡಿಸಿತು. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಚಯವಾದಾಗಿನಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಫಲಿತಾಂಶದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಚರ್ಚೆಯು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೇಗೆ ಸಂಪರ್ಕಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಕುರಿತು ಚರ್ಚೆಯಿಲ್ಲದೆ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿಲ್ಲ. ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ a, b, c ಎಂಬ ಮೂರು ನೈಜ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಒಂದು ನೈಜ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯ f ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದುಃ ಏಕರೂಪತೆಃ f (ta, tb, tc) = tn f (a, b, c) ಕೆಲವು ಸ್ಥಿರಾಂಕ n ಗೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ t> 0 ಗೆ. ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ದ್ವಿಗುಣತೆಃ f (a, b, c) = f (a, c, b). ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ f ಈ ಎರಡೂ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರದ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. f ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು a, b, c ಒಂದು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಪಾರ್ಶ್ವ-ಉದ್ದಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು f (a, b, c): f (b, c, a): f (c, a, b) ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ಲಾರ್ಕ್ ಕಿಂಬರ್ಲಿಂಗ್ ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳ ಸಂಕಲನಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ಜಾಲತಾಣವನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಸೆಂಟರ್ಸ್ ಎಂಬ ಜಾಲತಾಣವು ಸುಮಾರು 50,000 ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೇಂದ್ರ ರೇಖೆ ಸಮಕಾಲೀನ ಆಧುನಿಕ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಮತ್ತೊಂದು ಏಕೀಕೃತ ಕಲ್ಪನೆಯೆಂದರೆ ಕೇಂದ್ರ ರೇಖೆ. ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಹಲವಾರು ವಿಶೇಷ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಗ್ಗೂಡಿಸುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರ ರೇಖೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರದ ಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಕೇಂದ್ರ ರೇಖೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ABC ಒಂದು ಸಮತಟ್ಟಾದ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು (x: y: z) ತ್ರಿಕೋನ ABCಯ ಸಮತಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿರಲಿ. ತ್ರಿಕೋನ ABCಯ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ನೇರ ರೇಖೆಯ ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮೀಕರಣವು f (a, b, c) x + g (a, b, c) y + h (a, b, c) z = 0 ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುವು (f (a, b, c): g (a, b, c): h (a, b, c) ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ, ಇದು ತ್ರಿಕೋನ ABCಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ತ್ರಿಕೋನ ABCಯ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಕೇಂದ್ರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಕೇಂದ್ರ ರೇಖೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರಚನೆಯು ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರಲಿ. AX, BX ಮತ್ತು CX ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ A, B, C ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳ ಆಂತರಿಕ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳಲ್ಲಿ ಎಳೆಯಿರಿ. ಪ್ರತಿಫಲಿತ ರೇಖೆಗಳು ಏಕಕಾಲೀನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಗದ ಬಿಂದುವು X ನ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಕಾಂಜುಗೇಟ್ Y ಆಗಿದೆ. ಸೆವಿಯನ್ನರು AY, BY, CY ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ A ', B', C 'ನಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ABCಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸಂಧಿಸೋಣ. A 'B' C 'ತ್ರಿಕೋನವು Y ಯ ಸೀವಿಯನ್ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ಎಬಿಸಿ ಮತ್ತು ಸೀವಿಯನ್ ತ್ರಿಕೋನ ಎ 'ಬಿ' ಸಿ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಡಿಇಎಫ್ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದ ಅಕ್ಷವಾಗಿರಲಿ. ಡಿಇಎಫ್ ರೇಖೆಯು ವೈ ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಕೋನ ಧ್ರುವವಾಗಿದೆ. ಡಿಇಎಫ್ ರೇಖೆಯು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರ ಎಕ್ಸ್. ತ್ರಿಕೋನ ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕೇಂದ್ರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನ ಕೋನಿಕ್ ಎಂಬುದು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಿಕ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತಳತೆ ಮತ್ತು ಒಳವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನ ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗಳಾಗಿವೆ. ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಸ್ಟೈನರ್ ಎಲಿಪ್ಸ್, ಇದು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೇಂದ್ರಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರವಾಗಿದೆ, ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು ಮತ್ತು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಟ್ಜ್ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗಳಾಗಿವೆ. ಇತ್ತೀಚೆಗೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನ ಕೋನಿಕ್ಸ್ಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಫ್ಸ್ಟಾಡರ್ ಎಲಿಪ್ಸ್ ಮತ್ತು ವೈಎಫ್ಎಫ್ ಕೋನಿಕ್ಸ್ ಸೇರಿವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನ ಕೋನಿಕ್ ಪರಿಭಾಷೆಗೆ ಯಾವುದೇ ಔಪಚಾರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಲ್ಲ; ಅಂದರೆ, ಕೋನಿಕ್ ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಕೋನಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಅರ್ಹತೆ ಪಡೆಯಲು ಉಲ್ಲೇಖ ತ್ರಿಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿರಬೇಕಾದ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ವೋಲ್ಫ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಥ್ ವರ್ಲ್ಡ್ "ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಕೋನಿಕ್ಸ್" ಎಂಬ ಶೀರ್ಷಿಕೆಯ ಪುಟವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಇದು ತ್ರಿಕೋನ ಕೋನಿಕ್ಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡದೆ 42 ವಸ್ತುಗಳ ಪಟ್ಟಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ (ಅವೆಲ್ಲವೂ ಕೋನಿಕ್ಸ್ ಅಲ್ಲ). ತ್ರಿಕೋನ ಘನಗಳ ಘನ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ P ಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಳವು, ABC ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ P ಯ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳು PA, Pb, Pc ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ APA, BPb ಮತ್ತು CPc ರೇಖೆಗಳು ಏಕಕಾಲೀನವಾಗಿದ್ದರೆ ನ್ಯುಬರ್ಗ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ ಎಂಬ ಘನ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದು ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ಗಿಲ್ಬರ್ಟ್ನ ಕ್ಯಾಟಲಾಗ್ ಆಫ್ ಟ್ರಯಾಂಗಲ್ ಕ್ಯೂಬಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಮೊದಲ ಘನವಾಗಿದೆ. ಈ ಕ್ಯಾಟಲಾಗ್ 1200 ಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚು ತ್ರಿಕೋನ ಘನಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಬ್ಯಾರಿಸೆಂಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳು, ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಲೋಕಸ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು. ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಗಣಕಯಂತ್ರಗಳು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳ ಪ್ರವೇಶವು ಇಪ್ಪತ್ತನೇ ಶತಮಾನದ ಕೊನೆಯ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಸಕ್ತ ಶತಮಾನದ ಆರಂಭಿಕ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಕ್ಷಿಯಾದ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿನ ಆಸಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಹಾದಿಯ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಪ್ರಭಾವವನ್ನು ಬೀರಿತು. ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳು ಈ ಕೋರ್ಸ್ನ ಮೇಲೆ ಪ್ರಭಾವ ಬೀರಿದ ಕೆಲವು ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಫಿಲಿಪ್ ಡೇವಿಸ್ ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. 2015ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಸಮೀಕ್ಷೆಯ ಲೇಖನವು "ಡಿರ್ಕೋವೆರರ್" ಎಂಬ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಹೊಸ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ವಿವರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳ ಮಾದರಿಯು ಡಿಸ್ಕವರರ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ಹೊಸ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಪರಿಮಳವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 6.1 ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರಲಿ, ಅವು ತ್ರಿಕೋನ ಎ. ಬಿ. ಸಿ. ಯ ಸೈಡ್ಲೈನ್ನಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಎಬಿಸಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯೂ ಐಸೊಗೋನಲ್ ಸಂಯುಗ್ಮಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಪೂರಕಗಳ ಸೆವಾ ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೀಪರ್ಟ್ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾದಲ್ಲಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯ 9.1. Yff ಕೇಂದ್ರವು ಇನ್ಸೆಂಟರ್ನ ಪೆಡಲ್ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಒಳ ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಸುತ್ತಳತೆಯ ಹೋಲಿಕೆಯ ಆಂತರಿಕ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಲೆಸ್ಟರ್ ವೃತ್ತವು ಸುತ್ತಳತೆ ಕೇಂದ್ರ, ಒಂಬತ್ತು-ಬಿಂದು ಕೇಂದ್ರ ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಮತ್ತು ಒಳಗಿನ ಫೆರ್ಮಾಟ್ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲೆಸ್ಟರ್ ವೃತ್ತವು ಕನಿಷ್ಠ ನಾಲ್ಕು ತ್ರಿಕೋನ ಕೇಂದ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಡಿಸ್ಕವರರ್ ಹಲವಾರು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಲೆಸ್ಟರ್ ವಲಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದೆ. ಸಾವಾ ಗ್ರೋಜ್ದೇವ್, ಹಿರೋಷಿ ಒಕುಮುರಾ, ಡೆಕೊ ಡೆಕೊವ್ ಅವರು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ಕಂಡುಹಿಡಿದ ವಿಶ್ವಕೋಶಕ್ಕೆ ಮೀಸಲಾಗಿರುವ ವೆಬ್ ಪೋರ್ಟಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಓದುವಿಕೆ ತ್ರಿಕೋನ ರೇಖಾಗಣಿತ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಇತಿಹಾಸ