The Symmetries of Things
ದಿ ಸಿಮೆಟ್ರೀಸ್ ಆಫ್ ಥಿಂಗ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಗಣಿತದ ಸಮ್ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಕುರಿತಾದ ಒಂದು ಪುಸ್ತಕವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಅನೇಕ ಹಂತಗಳ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ. ಇದನ್ನು ಜಾನ್ ಹಾರ್ಟನ್ ಕಾನ್ವೇ, ಹೈಡಿ ಬರ್ಗಿಯಲ್ ಮತ್ತು ಚೈಮ್ ಗುಡ್ಮ್ಯಾನ್-ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಅವರು ಅನೇಕ ವರ್ಷಗಳ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು 2008ರಲ್ಲಿ ಎ. ಕೆ. ಪೀಟರ್ಸ್ ಅವರು ಇದನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದರು. ಅದರ ವಿಮರ್ಶಾತ್ಮಕ ಸ್ವಾಗತವು ಮಿಶ್ರವಾಗಿತ್ತು, ಕೆಲವು ವಿಮರ್ಶಕರು ಅದರ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣವಾದ ವಿಧಾನಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಅನೇಕ ಸ್ಪೂರ್ತಿದಾಯಕ ವಿವರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಹೊಗಳಿದರು, ಮತ್ತು ಇತರರು ಅದರ ಅಸಮಂಜಸವಾದ ಮಟ್ಟದ ತೊಂದರೆ, ಹೊಸ ಪದಗಳ ಅತಿಯಾದ ಬಳಕೆ, ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸುವಲ್ಲಿ ವೈಫಲ್ಯ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ದೋಷಗಳ ಬಗ್ಗೆ ದೂರು ನೀಡಿದರು. ವಿಷಯಗಳು ದಿ ಸಿಮೆಟ್ರೀಸ್ ಆಫ್ ಥಿಂಗ್ಸ್ ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಅವುಗಳನ್ನು 26 ಅಧ್ಯಾಯಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ವಿಭಾಗವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ವಸ್ತುಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಫ್ರೇಜ್ ಮಾದರಿಗಳು ಮತ್ತು ಟೆಸೆಲ್ಲೇಷನ್ಗಳಂತಹ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಅನಂತ ರಚನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಮತ್ತು ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಮುರ್ರೆ ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಅವರ ಕೃತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಹೊಸ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಲೇಖಕರು ರೀಮನ್-ಹರ್ವಿಟ್ಜ್ ಸೂತ್ರದ ಸರಳೀಕೃತ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದಾರೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇತರ ವಿಷಯಗಳು ಯೂಲರ್ನ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ. ಎಂ. ಸಿ. ಎಸ್ಚರ್ ಮತ್ತು ಬಾತ್ಷೆಬಾ ಗ್ರಾಸ್ಮನ್ ಅವರ ಕಲೆಯಂತಹ ಈ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸುವ ಕಲಾಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ವಸ್ತುಗಳು ಮತ್ತು ಕಸ್ಟಮ್ ಸಾಫ್ಟ್ವೇರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೇಖಕರು ರಚಿಸಿದ ಹೊಸ ವಿವರಣೆಗಳೆರಡರಿಂದಲೂ ಇದನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಬಣ್ಣದ ವಸ್ತುಗಳ ಬಣ್ಣ-ಸಂರಕ್ಷಿಸುವ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು, ಆರ್ಬಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾದ ಟೋಪೋಲಾಜಿಕಲ್ ಸ್ಪೇಸ್ಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗುಂಪುಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತಿಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾದ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಮೂರ್ತ ರೂಪಗಳೆರಡನ್ನೂ ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪುಸ್ತಕದ ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗವು ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅಮೂರ್ತವಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಂಯೋಜಿತವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಭಾಗವು 2009ರವರೆಗಿನ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಸೀಮಿತ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಪುಸ್ತಕದ ಮೂರನೇ ವಿಭಾಗವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಗುಂಪುಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ ಮತ್ತು ವೈರ್-ಫೆಲಾನ್ ರಚನೆಯಂತಹ ಜೇನುಗೂಡುಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಡಿಮೆ ಪರಿಚಿತ ಜ್ಯಾಮಿತಿಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆಃ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಸ್ಥಳಗಳು, ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಸ್ಥಳಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳು. ಡ್ರಮ್ನ ಆಕಾರವನ್ನು ಕೇಳುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಹೊಸ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಗುಂಪುಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು 1965 ರಲ್ಲಿ ಕಾನ್ವೇ ಮತ್ತು ರಿಚರ್ಡ್ ಕೆ. ಗೈ ಘೋಷಿಸಿದ ನಾಲ್ಕು ಆಯಾಮದ ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಏಕರೂಪದ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಮೊದಲ ಪ್ರಕಟಿತ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಮತ್ತು ಪುಸ್ತಕದ ಪ್ರಕಟಣೆಯ ಸ್ವಲ್ಪ ಸಮಯದ ಮೊದಲು ಗ್ರಿಗೊರಿ ಪೆರೆಲ್ಮನ್ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ವಿಲಿಯಂ ಥರ್ಸ್ಟನ್ನ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ಊಹೆಯ ಚರ್ಚೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರಕಾರ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ಗಳನ್ನು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳಗಳಾಗಿ ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಜಾರನ್ ಲಾನಿಯರ್ ವಿಷಾದಿಸಿದ ಒಂದು ಲೋಪವೆಂದರೆ 11-ಕೋಶಗಳಂತಹ ನಿಯಮಿತ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಟಿವ್ ಪಾಲಿಟೋಪ್ಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಪ್ರೇಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಸ್ವಾಗತ ವಿಮರ್ಶಕ ಡ್ಯಾರೆನ್ ಗ್ಲಾಸ್ ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ, ಪುಸ್ತಕದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡಿವೆ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ "ಅನೇಕ ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ಮೆಚ್ಚುಗೆ ಪಡೆಯಬಹುದಾದ ಅದ್ಭುತ ಪುಸ್ತಕ" ಮತ್ತು ಜನಪ್ರಿಯ ಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕಕ್ಕೆ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಮಟ್ಟದ ಆಳವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರ ಮೊದಲ ವಿಭಾಗವು, ಕಡಿಮೆ-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಥಳಗಳ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳ ಮೇಲೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರಿಗೆ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಭಾಗವು ಪದವಿಪೂರ್ವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಂದ ನಿರೀಕ್ಷಿಸಿದಂತೆ ಗುಂಪು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ತಿಳುವಳಿಕೆಯನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಚಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಭಾಗವು, ಹೆಚ್ಚು ತಾಂತ್ರಿಕವಾದದ್ದು, ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಈ ವಿಷಯಗಳ ಸಂಶೋಧಕರನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ಇನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿನವು ಪದವಿಪೂರ್ವ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಲಭ್ಯವಿವೆ. ಇದು ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗುವಂತೆ ಮಾಡುವ ವ್ಯಾಯಾಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರ ಬಣ್ಣದ ವಿವರಣೆಯ ಭಾರೀ ಬಳಕೆಯು ಅದನ್ನು ಕಾಫಿ ಟೇಬಲ್ ಪುಸ್ತಕವಾಗಿ ಸೂಕ್ತವಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ವಿಮರ್ಶಕರಾದ ರಾಬರ್ಟ್ ಮೋಯರ್ ಅವರು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವಿವಿಧ ಹಂತದ ತೊಂದರೆಗಳಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅದರ ಆಯ್ಕೆಯಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ, ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರೇಕ್ಷಕರಿಗೆ, ಪುಸ್ತಕದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗವು ಓದಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿನ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಷಯವು ಹೊಸದು, ಅಥವಾ ಈ ಹಿಂದೆ ತಜ್ಞರನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ತಾಂತ್ರಿಕ ಪ್ರಕಟಣೆಗಳ ಮೂಲಕ ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಹಿಂದೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿಷಯವನ್ನು ಹೊಸ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ನಾಮಕರಣದಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಪುಸ್ತಕಗಳಿದ್ದರೂ, ವಿಮರ್ಶಕ ಎನ್. ಜಿ. ಮ್ಯಾಕ್ಲಿಯೋಡ್ ಇದು "ಅನೇಕ ವರ್ಷಗಳವರೆಗೆ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯಾಗಬಹುದು" ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಜಾರನ್ ಲಾನಿಯರ್ ಇದನ್ನು "ಒಂದು ಆಟಿಕೆ, ಓದುಗರಿಗೆ ಮೆದುಳಿನ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷಯವಾದ ವ್ಯಾಯಾಮ, ಕಲೆಯ ಕೆಲಸ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಸಂಸ್ಕೃತಿ ಹೇಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದರ ದಿಟ್ಟ ಹೇಳಿಕೆ" ಮತ್ತು "ಒಂದು ಮೇರುಕೃತಿ" ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಈ ಸಕಾರಾತ್ಮಕ ವಿಮರ್ಶೆಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಸ್ವತಃ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರ ಹೊಂದಿರುವ ಬ್ರಾಂಕೊ ಗ್ರುನ್ಬಾಮ್, ಪುಸ್ತಕವು "ಕೆಲವು ಗಂಭೀರ ನ್ಯೂನತೆಗಳನ್ನು" ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾ ಕಡಿಮೆ ಉತ್ಸಾಹವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಸುಸ್ಥಾಪಿತ ಪರಿಭಾಷೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಿಗೆ "ಮುದ್ದಾದ" ಹೊಸ ಪದಗಳ ಅನಗತ್ಯ ಬಳಕೆ, ಪುಸ್ತಕದ ಸಂಕೇತಕ್ಕೆ ಮ್ಯಾಕ್ಬೀತ್ ಮತ್ತು ಆಂಡ್ರಿಯಾಸ್ ಡ್ರೆಸ್ ಅವರ ಕೊಡುಗೆಗಳ ಅಸಮರ್ಪಕ ಚಿಕಿತ್ಸೆ, ಕೆಲವು ವಾದಗಳಲ್ಲಿ ಅವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ತಾರ್ಕಿಕತೆ, ನವೀನತೆಯ ತಪ್ಪಾದ ಹಕ್ಕುಗಳು ಮತ್ತು ಬಣ್ಣದ ಸಮತಲ ಮಾದರಿಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಹಿಂದಿನ ಕೆಲಸಕ್ಕೆ ಮನ್ನಣೆ ನೀಡುವಲ್ಲಿ ವೈಫಲ್ಯ, ಈ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಾಣೆಯಾದ ಪ್ರಕರಣಗಳು, ಇತರ ತಾಂತ್ರಿಕ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷಗಳು, ಕಳಪೆ ನಕಲು ಮಾಡುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಕೊರತೆಯು ಅಂತಹ ಕೇಂದ್ರ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಏಕೆ ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ಒದಗಿಸದೆ ವೃತ್ತದ ಸಮ್ಮಿತಿಗಳು. ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ಜನಪ್ರಿಯ ಗಣಿತ ಪುಸ್ತಕಗಳು 2008 ಕಾಲ್ಪನಿಕವಲ್ಲದ ಪುಸ್ತಕಗಳು ಸಿಮೆಟ್ರಿ