Feferman–Vaught theorem
ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಫೆಫರ್ಮಾನ್-ವೋಟ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಸೊಲೊಮನ್ ಫೆಫರ್ಮಾನ್ ಮತ್ತು ರಾಬರ್ಟ್ ಲಾಸನ್ ವೋಟ್ ಅವರ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿದ್ದು, ಇದು ಕ್ರಮಾವಳಿಯ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ರಚನೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಂಶಗಳ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಹೇಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಿದ್ಧಾಂತಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೇಲೆ ಆಂಡ್ರೆಜ್ ಮೊಸ್ಟೋವ್ಸ್ಕಿಯ ಹಿಂದಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಗಳು (ಗುರುತುಗಳು) ಬೀಜಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ (ಇದು ಬಿರ್ಖೋಫ್ನ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ದಿಕ್ಕಿನ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ) ಸಾಗಿಸುವ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣವನ್ನು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ (ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪರಿಮಾಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ). ಉತ್ಪನ್ನ ರಚನೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕೆಲವು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಸೆಟ್ I ಗೆ ಎಲ್-ರಚನೆಗಳ ಕುಟುಂಬವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ರಚನೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್-ರಚನೆಯೂ ಆಗಿದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಿಂದುವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಂಬಂಧಾತ್ಮಕ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ರಚನೆಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದು ಕಾರ್ಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಂಬಂಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನೂ ಸಹ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ ನಲ್ಲಿನ ವಾದಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧದ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆ ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿಗ್ನೇಚರ್ ಎಲ್ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ತರ್ಕ ಸೂತ್ರಕ್ಕಾಗಿ, ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಫೆಫರ್ಮಾನ್-ವೋಟ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕ್ರಮಾವಳಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ತಗ್ಗಿಸುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತದೆಃ ಸೂತ್ರವು ಆದ್ದರಿಂದ ಮುಕ್ತ ಸೆಟ್ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೆಟ್ಗಳ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊದಲ-ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ. ಆರಂಭಿಕ ಸೂತ್ರದ ರಚನೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಪ್ರೂಫ್ ಐಡಿಯಾ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಯಾವಾಗ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲಿನ ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೆಟ್ಗಳ (ಸಮಾನವಾಗಿ, ಸೆಟ್ಗಳ ಕ್ಷೇತ್ರ) ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರಮಾಣೀಕೃತ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದನ್ನು ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ನ ಒಂದು ರೂಪವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಕ್ವಾಂಟಿಫಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಉಪಗುಂಪುಗಳ ಮೇಲೆ ಕ್ವಾಂಟಿಫಿಕೇಶನ್ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನೇರ ಉತ್ಪನ್ನ ರಚನೆಯ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ಗೆ ಸೇರಿದ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಸೂಚ್ಯಂಕ ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಮೇಲೆ ಷರತ್ತು ಎಂದು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಸ್ಥಿರವಾದ ಆದರೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿ ಅನೇಕ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಂಶಗಳ ಉಪ-ರಚನೆಯಾಗಿದೆ. ಎಲ್ ಭಾಷೆಯು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸೀಮಿತವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಪ್ರಮೇಯವು ನಂತರ ಅಂತಹ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ನಲ್ಲಿನ ಸತ್ಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸೆಟ್ಗಳ ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಇಳಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಸೆಟ್ಗಳು ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದು ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಆ ಉಪ-ರಚನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು, ಅಲ್ಲಿ ಸೆಟ್ಗಳು ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ಕೆಲವು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ (ಪವರ್ ಸೆಟ್ ಸೆಟ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಉಪವಿಭಾಗ), ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಬ್ಸ್ಟ್ರಕ್ಚರ್ ಗ್ಲೂಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಗ್ಲೂಯಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮುಚ್ಚುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆಃ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಂಶಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಬೂಲಿಯನ್ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂಶವಾಗಿದ್ದರೆ, "ಗ್ಲೂಯಿಂಗ್" ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅಂಶವೂ ಹೀಗೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರಃ ಪರಿಣಾಮಗಳು ಫೆಫರ್ಮಾನ್-ವೋಟ್ ಪ್ರಮೇಯವು ಪ್ರಿಸ್ಬರ್ಗರ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ರಚನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನ (ಶಕ್ತಿ) ಯಾಗಿ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರಚನೆಯನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಕೋಲೆಮ್ ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿರ್ಣಾಯಕತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಮಾದರಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಉಲ್ಲೇಖಗಳು