Snell's law
স্নেলের সূত্র (স্নেল-ডেস্কার্টের সূত্র, ইবন-শাল সূত্র এবং প্রতিসরণের সূত্র নামেও পরিচিত) হল একটি সূত্র যা আপতন এবং প্রতিসরণের কোণগুলির মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়, যখন আলো বা অন্যান্য তরঙ্গগুলি দুটি ভিন্ন আইসোট্রপিক মাধ্যমের মধ্যে একটি সীমানার মধ্য দিয়ে যায়, যেমন জল, কাচ বা বায়ু। আলোকবিজ্ঞানে, সূত্রটি রশ্মি অনুরেখার ক্ষেত্রে আপতন বা প্রতিসরণের কোণগুলি গণনা করতে এবং পরীক্ষামূলক আলোকবিজ্ঞানে কোনও উপাদানের প্রতিসরণ সূচক খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়। সূত্রটি মেটা-উপাদানগুলিতেও সন্তুষ্ট, যা একটি নেতিবাচক প্রতিসরণ সূচকের সাথে প্রতিসরণের নেতিবাচক কোণে আলোকে "পিছন দিকে" বাঁকানোর অনুমতি দেয়। আইনটি বলে যে, একটি প্রদত্ত জোড়া মাধ্যমের জন্য, আপতন কোণ () এবং প্রতিসরণ কোণ ()-এর সাইনগুলির অনুপাত দ্বিতীয় মাধ্যমের প্রতিসরাঙ্কের সমান যা প্রথম ()-এর সমান যা দুটি মাধ্যমের প্রতিসরাঙ্ক ()-এর অনুপাতের সমান, বা সমতুল্যভাবে, দুটি মাধ্যমের পর্যায় বেগ ()-এর অনুপাতের সমান। আইনটি ফার্মার ন্যূনতম সময়ের নীতি থেকে অনুসরণ করে, যা তরঙ্গ হিসাবে আলোর বিস্তার থেকে অনুসরণ করে। মিশরের আলেকজান্দ্রিয়ায় টলেমি প্রতিসরণ কোণ সম্পর্কিত একটি সম্পর্ক খুঁজে পেয়েছিলেন, তবে ছোট নয় এমন কোণগুলির জন্য এটি সঠিক ছিল না। টলেমি আত্মবিশ্বাসী ছিলেন যে তিনি একটি সঠিক পরীক্ষামূলক আইন খুঁজে পেয়েছেন, আংশিকভাবে তত্ত্বের সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়ার জন্য তাঁর তথ্য সামান্য পরিবর্তনের ফলস্বরূপ (দেখুনঃ নিশ্চিতকরণ পক্ষপাত)। আইনটি শেষ পর্যন্ত স্নেলের নামে নামকরণ করা হয়েছিল, যদিও 984 সালে বাগদাদের দরবারে ফার্সি বিজ্ঞানী ইব্ন সাহল প্রথম এটি আবিষ্কার করেছিলেন। অন বার্নিং মিরর অ্যান্ড লেন্স পাণ্ডুলিপিতে, সাহল লেন্সের আকারগুলি বের করার জন্য আইনটি ব্যবহার করেছিলেন যা কোনও জ্যামিতিক বিচ্যুতি ছাড়াই আলোকে ফোকাস করে। আলহাজেন তাঁর বুক অফ অপটিক্স (1021)-এ প্রতিসরণের নিয়মটি পুনরায় আবিষ্কার করার কাছাকাছি এসেছিলেন, কিন্তু তিনি এই পদক্ষেপ নেননি। 1602 খ্রিষ্টাব্দে টমাস হ্যারিয়ট এই আইনটি পুনরায় আবিষ্কার করেন, যদিও তিনি এই বিষয়ে কেপলারের সঙ্গে যোগাযোগ রেখেও তাঁর ফলাফল প্রকাশ করেননি। 1621 খ্রিষ্টাব্দে ডাচ জ্যোতির্বিজ্ঞানী উইলব্রর্ড স্নেলিয়াস (1580-1626)-স্নেল-একটি গাণিতিক সমতুল্য রূপ উদ্ভাবন করেন, যা তাঁর জীবদ্দশায় অপ্রকাশিত থেকে যায়। রেনে ডেসকার্টেস তাঁর 1637 সালের প্রবন্ধ ডায়োপট্রিক-এ সাইন-এর পরিপ্রেক্ষিতে অনুসন্ধানমূলক গতিবেগ সংরক্ষণ যুক্তি ব্যবহার করে স্বাধীনভাবে আইনটি উদ্ভূত করেছিলেন এবং এটি অপটিক্যাল সমস্যার একটি পরিসীমা সমাধান করতে ব্যবহার করেছিলেন। ডেসকার্টেসের সমাধান প্রত্যাখ্যান করে পিয়েরে ডি ফার্মাট তাঁর ন্যূনতম সময়ের নীতির উপর ভিত্তি করে একই সমাধানে পৌঁছেছিলেন। ডেসকার্টেস ধরে নিয়েছিলেন যে আলোর গতিবেগ অসীম, তবুও স্নেলের সূত্র থেকে তিনি ধরে নিয়েছিলেন যে মাধ্যম যত ঘন হবে, আলোর গতিবেগ তত বেশি হবে। ফার্মাট বিরোধী অনুমানগুলিকে সমর্থন করেছিল, অর্থাৎ, আলোর গতি সীমাবদ্ধ, এবং তার উৎপত্তি নির্ভর করে একটি ঘন মাধ্যমের আলোর গতি ধীর হওয়ার উপর। ফার্মাটের উৎপত্তি ম্যাক্সিমা, মিনিমা এবং স্পর্শক খুঁজে বের করার জন্য তাঁর পর্যাপ্ততার উদ্ভাবন, ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের সমতুল্য একটি গাণিতিক পদ্ধতিও ব্যবহার করেছিল। তাঁর প্রভাবশালী গণিত বই জ্যামিতিতে, ডেসকার্টেস একটি সমস্যার সমাধান করেছেন যা পেরগার অ্যাপোলোনিয়াস এবং আলেকজান্দ্রিয়ার পাপ্পাস দ্বারা কাজ করা হয়েছিল। প্রতিটি লাইনে n লাইন L এবং একটি বিন্দু P (L) দেওয়া হলে, Q পয়েন্টের লোকাস এমনভাবে খুঁজে বের করুন যাতে লাইন সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য QP (L) নির্দিষ্ট শর্ত পূরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, যখন n = 4, a, b, c, এবং d রেখা এবং a-এর উপর একটি বিন্দু A, b-এর উপর একটি বিন্দু ইত্যাদি দেওয়া হয়, তখন Q বিন্দুর অবস্থান এমনভাবে খুঁজে বের করুন যাতে গুণফল QA * QB গুণফল QC * QD-এর সমান হয়। যখন রেখাগুলি সমান্তরাল নয়, তখন পাপ্পাস দেখিয়েছিলেন যে লোকাইগুলি শঙ্কুযুক্ত, কিন্তু যখন ডেসকার্টেস বৃহত্তর এন বিবেচনা করেছিলেন, তখন তিনি ঘন এবং উচ্চতর ডিগ্রি বক্ররেখা অর্জন করেছিলেন। ঘন বক্ররেখা আকর্ষণীয় ছিল তা দেখানোর জন্য, তিনি দেখিয়েছিলেন যে সেগুলি স্নেলের সূত্র থেকে আলোকবিজ্ঞানে প্রাকৃতিকভাবে উদ্ভূত হয়েছিল। ডিজকস্টারহুইসের মতে, "ডি ন্যাচুরা লুসিস এট প্রোপ্রাইটেটে (1662) আইজাক ভোসিয়াস বলেছেন যে ডেসকার্টেস স্নেলের কাগজ দেখেছিলেন এবং নিজের প্রমাণ তৈরি করেছিলেন। আমরা এখন জানি যে এই চার্জটি অযাচিত কিন্তু তারপর থেকে এটি বহুবার গৃহীত হয়েছে। " ফার্মাট এবং হিউজেন্স উভয়ই এই অভিযোগের পুনরাবৃত্তি করেছিলেন যে ডেসকার্টেস স্নেলকে অনুলিপি করেছিলেন। ফরাসি ভাষায়, স্নেলের আইনকে কখনও কখনও "লা লোই ডি ডেসকার্টেস" বা আরও ঘন ঘন "লোই ডি স্নেল-ডেসকার্টেস" বলা হয়। তাঁর 1678 সালের ট্রেইটে দে লা লুমিয়েরে, ক্রিস্টিয়ান হুইজেন্স দেখিয়েছিলেন যে কীভাবে স্নেলের সাইন আইনকে আলোর তরঙ্গ প্রকৃতি দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, বা থেকে উদ্ভূত হতে পারে, যাকে আমরা হুইজেন্স-ফ্রেন্সেল নীতি বলতে এসেছি। আধুনিক আলোকীয় এবং বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় তত্ত্বের বিকাশের সাথে সাথে প্রাচীন স্নেলের সূত্রটি একটি নতুন পর্যায়ে আনা হয়েছিল। 1962 সালে, ব্লুমবার্গেন দেখিয়েছিলেন যে অরৈখিক মাধ্যমের সীমানায় স্নেলের সূত্রটি একটি সাধারণ আকারে লেখা উচিত। 2008 এবং 2011 সালে, প্লাজমোনিক মেটাসার্ফেসগুলি আলোর রশ্মির প্রতিফলন এবং প্রতিসরণের দিক পরিবর্তন করতেও প্রদর্শিত হয়েছিল। ব্যাখ্যা স্নেলের সূত্রটি প্রতিসরণের বিভিন্ন সূচক সহ প্রতিসরণ মাধ্যমের মাধ্যমে আলোর রশ্মির দিক নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়। মাধ্যমের প্রতিসরণের সূচকগুলি, লেবেলযুক্ত ইত্যাদি, সেই উপাদানটির প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয় যার দ্বারা একটি আলোক রশ্মির গতি হ্রাস পায় যখন একটি প্রতিসরাঙ্ক মাধ্যমের মধ্য দিয়ে ভ্রমণ করে, যেমন কাচ বা জল, ভ্যাকুয়ামে তার বেগের বিপরীতে। দুটি মাধ্যমের আপেক্ষিক প্রতিসরাঙ্কের উপর নির্ভর করে আলো যখন মাধ্যমের মধ্যবর্তী সীমানা অতিক্রম করে, তখন আলো হয় কম কোণে বা বৃহত্তর কোণে প্রতিসরাঙ্কিত হবে। এই কোণগুলি স্বাভাবিক রেখার সাপেক্ষে পরিমাপ করা হয়, যা সীমানার লম্বভাবে প্রতিনিধিত্ব করে। বায়ু থেকে জলে প্রবাহিত আলোর ক্ষেত্রে, আলো স্বাভাবিক রেখার দিকে অবাঞ্ছিত হবে, কারণ জলে আলো ধীর হয়ে যায়; জল থেকে বাতাসে ভ্রমণকারী আলো স্বাভাবিক রেখা থেকে দূরে সরে যাবে। দুটি পৃষ্ঠের মধ্যে প্রতিসরণকে বিপরীতমুখী হিসাবেও উল্লেখ করা হয় কারণ যদি সমস্ত শর্ত অভিন্ন হয় তবে বিপরীত দিকে প্রচারিত আলোর জন্য কোণগুলি একই হবে। স্নেলের সূত্রটি সাধারণত শুধুমাত্র আইসোট্রপিক বা স্পেকুলার মিডিয়ার (যেমন কাচ) ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। কিছু স্ফটিকের মতো অ্যানিসোট্রপিক মাধ্যমগুলিতে, বাইরফ্রিনজেন্স প্রতিসরণ রশ্মিটিকে দুটি রশ্মির মধ্যে বিভক্ত করতে পারে, সাধারণ বা ও-রে যা স্নেলের সূত্র অনুসরণ করে এবং অন্য অসাধারণ বা ই-রে যা আপতিত রশ্মির সাথে সহ-সমতলীয় নাও হতে পারে। যখন জড়িত আলো বা অন্যান্য তরঙ্গ একবর্ণ, অর্থাৎ একক কম্পাঙ্কের হয়, তখন স্নেলের সূত্রটি দুটি মাধ্যমের তরঙ্গদৈর্ঘ্যের অনুপাতের পরিপ্রেক্ষিতেও প্রকাশ করা যেতে পারে এবংঃ উৎপত্তি এবং সূত্র স্নেলের সূত্রটি বিভিন্ন উপায়ে উদ্ভূত করা যেতে পারে। ফার্মাটের নীতি স্নেলের সূত্র থেকে উদ্ভূত ফার্মাটের নীতি থেকে উদ্ভূত হতে পারে, যা বলে যে আলো সেই পথে ভ্রমণ করে যা সবচেয়ে কম সময় নেয়। আলোকীয় পথের দৈর্ঘ্যের ব্যুৎপত্তি গ্রহণ করে, স্থির বিন্দুটি আলোর দ্বারা গৃহীত পথ প্রদান করে। (একটি (গোলাকার) আয়নায় প্রতিফলনের মতো, স্বল্পতম সময়ের পথ না নিয়ে আলোর ফারমাটের নীতি লঙ্ঘন করার পরিস্থিতি রয়েছে।) একটি ধ্রুপদী উপাদানে, নিম্ন প্রতিসরাঙ্কের ক্ষেত্রটি সমুদ্র সৈকত দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, সমুদ্র দ্বারা উচ্চতর প্রতিসরাঙ্কের ক্ষেত্র, এবং সমুদ্র সৈকতে একজন উদ্ধারকারীর জন্য সমুদ্রে ডুবে যাওয়া ব্যক্তির কাছে পৌঁছানোর দ্রুততম উপায় হল স্নেলের আইন অনুসরণ করে এমন একটি পথ ধরে দৌড়ানো। ডানদিকের চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে, ধরে নিন মাঝারি 1 এবং মাঝারি 2-এর প্রতিসরাঙ্ক যথাক্রমে এবং। আলো মাঝারি 1 থেকে বিন্দু ও-এর মাধ্যমে মাঝারি 2-এ প্রবেশ করে। এটি আপতন কোণ, যা স্বাভাবিকের সাপেক্ষে প্রতিসরণ কোণ। মাঝারি 1 এবং মাঝারি 2-এ আলোর ফেজ বেগ যথাক্রমে এবং। এটি ভ্যাকুয়ামে আলোর গতি। ধরা যাক, আলোর জন্য Q বিন্দু থেকে O বিন্দু থেকে P বিন্দু পর্যন্ত ভ্রমণের জন্য প্রয়োজনীয় সময় হল T. যেখানে a, b, l এবং x ডান হাতের চিত্রে যেমন চিহ্নিত করা হয়েছে, x হল পরিবর্তিত পরামিতি। এটিকে হ্রাস করার জন্য, কেউ পার্থক্য করতে পারেঃ (স্থির বিন্দু) লক্ষ্য করুন যে এবং অতএব, হিউজেন্সের নীতি থেকে উদ্ভূত বিকল্পভাবে, স্নেলের সূত্রটি উৎস থেকে পর্যবেক্ষক পর্যন্ত আলোর তরঙ্গের সমস্ত সম্ভাব্য পথের হস্তক্ষেপ ব্যবহার করে উদ্ভূত করা যেতে পারে-এর ফলে পর্যায়ের চরম (যেখানে হস্তক্ষেপ গঠনমূলক) ব্যতীত সর্বত্র ধ্বংসাত্মক হস্তক্ষেপ ঘটে-যা প্রকৃত পথে পরিণত হয়। ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ থেকে উদ্ভূত স্নেলের সূত্রটি বের করার আরেকটি উপায় হল তড়িৎচুম্বকীয় বিকিরণ এবং আবেগের জন্য ম্যাক্সওয়েল সমীকরণের সাধারণ সীমানা শর্তগুলির প্রয়োগ। শক্তি এবং ভরবেগ সংরক্ষণ থেকে উদ্ভূত স্নেলের সূত্রটি অর্জনের আরেকটি উপায় হল অনুবাদ প্রতিসাম্য বিবেচনার উপর ভিত্তি করে। উদাহরণস্বরূপ, z দিকের লম্ব একটি সমজাতীয় পৃষ্ঠ আড়াআড়ি ভরবেগ পরিবর্তন করতে পারে না। যেহেতু প্রসারণ ভেক্টর ফোটনের ভরবেগের সাথে আনুপাতিক, তাই উভয় অঞ্চলে আড়াআড়ি প্রসারণের দিক অবশ্যই একই থাকতে হবে। সাধারণতা হ্রাস না করে সমতলে একটি আপতন স্তর ধরে নিন। মাধ্যমের প্রতিসরাঙ্কের উপর তরঙ্গসংখ্যার সুপরিচিত নির্ভরতা ব্যবহার করে, আমরা অবিলম্বে স্নেলের সূত্রটি অর্জন করি। ভ্যাকুয়ামে তরঙ্গ সংখ্যা কোথায়? যদিও পারমাণবিক স্কেলে কোনও পৃষ্ঠই প্রকৃতপক্ষে সমজাতীয় নয়, তবে যখনই আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্যের স্কেলে অঞ্চলটি সমজাতীয় হয় তখন পূর্ণ অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য একটি দুর্দান্ত অনুমান। ভেক্টর ফর্ম একটি স্বাভাবিক আলো ভেক্টর (আলোর উৎস থেকে পৃষ্ঠের দিকে নির্দেশ করে) এবং একটি স্বাভাবিক সমতল স্বাভাবিক ভেক্টর দেওয়া হলে, সাইন মান বা কোনও ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বা কোণ স্পষ্টভাবে ব্যবহার না করে আপতন কোণ এবং প্রতিসরণ কোণের কোসাইনগুলির মাধ্যমে স্বাভাবিক প্রতিফলিত এবং প্রতিসরণিত রশ্মিগুলি বের করা যেতে পারেঃ দ্রষ্টব্যঃ অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে, যা স্বাভাবিক ভেক্টর যদি পৃষ্ঠ থেকে যে দিক থেকে আলো আসছে তার দিকে নির্দেশ করে, সূচক সহ অঞ্চল। যদি ঋণাত্মক হয়, তবে আলো ছাড়াই পাশের দিকে নির্দেশ করুন, তাই এর ঋণাত্মক দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে শুরু করুন। এই প্রতিফলিত দিক ভেক্টর পৃষ্ঠের সেই দিকের দিকে নির্দেশ করে যেখান থেকে আলো এসেছে। এখন প্রতিসরণিত রশ্মির দিকনির্দেশক ভেক্টরের সূত্রটি বের করার জন্য সাইন অনুপাতের সাথে স্নেলের সূত্রটি প্রয়োগ করুনঃ সূত্রটি নতুন নামকরণ করা সহজ মানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে সহজ বলে মনে হতে পারে এবং ট্রাইগ ফাংশনের নাম বা কোণের নামগুলির কোনও উপস্থিতি এড়ানো যেতে পারেঃ উদাহরণস্বরূপঃ ফলস্বরূপ রশ্মির তীব্রতা নির্ধারণের জন্য কোসাইন মানগুলি সংরক্ষণ করা যেতে পারে এবং ফ্রেন্সেল সমীকরণে ব্যবহার করা যেতে পারে। মোট অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন সমীকরণের একটি ঋণাত্মক মূলক দ্বারা নির্দেশিত হয়, যা শুধুমাত্র কম ঘন মাধ্যম () অতিক্রমকারী রশ্মির ক্ষেত্রেই ঘটতে পারে। মোট অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন এবং সমালোচনামূলক কোণ যখন আলো একটি উচ্চতর প্রতিসরাঙ্কযুক্ত মাধ্যম থেকে নিম্ন প্রতিসরাঙ্কযুক্ত মাধ্যমের দিকে যাত্রা করে, তখন স্নেলের সূত্রটি কিছু ক্ষেত্রে (যখন আপতন কোণ যথেষ্ট বড় হয়) প্রয়োজন বলে মনে হয় যে প্রতিসরাঙ্কের কোণের সাইন একটির চেয়ে বেশি হবে। এটি অবশ্যই অসম্ভব, এবং এই ধরনের ক্ষেত্রে আলো সম্পূর্ণরূপে সীমানা দ্বারা প্রতিফলিত হয়, যা মোট অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন নামে পরিচিত। আপতনটির বৃহত্তম সম্ভাব্য কোণ যা এখনও একটি প্রতিসরণ রশ্মির ফলস্বরূপ হয় তাকে সমালোচনামূলক কোণ বলা হয়; এই ক্ষেত্রে প্রতিসরণিত রশ্মি দুটি মাধ্যমের মধ্যে সীমানা বরাবর ভ্রমণ করে। উদাহরণস্বরূপ, 50° আপতন কোণ সহ জল থেকে বাতাসে প্রবাহিত আলোর একটি রশ্মির কথা বিবেচনা করুন। জল এবং বায়ুর প্রতিসরাঙ্কগুলি যথাক্রমে প্রায় 1.333 এবং 1, তাই স্নেলের সূত্র আমাদের এমন সম্পর্ক দেয় যা সন্তুষ্ট করা অসম্ভব। সমালোচনামূলক কোণ θcrit হল θ1-এর মান যার জন্য θ2 সমান 90°: বিচ্ছুরণ অনেক তরঙ্গ-প্রসারণ মাধ্যমে, তরঙ্গের বেগ তরঙ্গের ফ্রিকোয়েন্সি বা তরঙ্গদৈর্ঘ্যের সাথে পরিবর্তিত হয়; ভ্যাকুয়াম ব্যতীত বেশিরভাগ স্বচ্ছ পদার্থে আলোর প্রসারণের ক্ষেত্রে এটি সত্য। এই মাধ্যমগুলিকে ডিসপারসিভ বলা হয়। ফলস্বরূপ স্নেলের সূত্র দ্বারা নির্ধারিত কোণগুলি ফ্রিকোয়েন্সি বা তরঙ্গদৈর্ঘ্যের উপরও নির্ভর করে, যাতে সাদা আলোর মতো মিশ্র তরঙ্গদৈর্ঘ্যের একটি রশ্মি ছড়িয়ে পড়ে বা ছড়িয়ে পড়ে। কাচ বা জলে আলোর এই ধরনের বিচ্ছুরণ রামধনু এবং অন্যান্য আলোকীয় ঘটনার উৎস, যেখানে বিভিন্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য বিভিন্ন রঙ হিসাবে প্রদর্শিত হয়। আলোকীয় যন্ত্রগুলিতে, বিচ্ছুরণ ক্রোমাটিক বিচ্যুতির দিকে পরিচালিত করে; একটি রঙ-নির্ভর অস্পষ্টতা যা কখনও কখনও রেজোলিউশন-সীমাবদ্ধ প্রভাব হয়। বর্ণহীন অবজেক্টিভ লেন্স আবিষ্কারের আগে টেলিস্কোপের প্রতিসরণের ক্ষেত্রে এটি বিশেষভাবে সত্য ছিল। লসি, অ্যাবসর্বিঙ্গ বা কন্ডাক্টিং মিডিয়া একটি কন্ডাক্টিং মিডিয়ামে, পারমিটিভিটি এবং রিফ্রাকশন ইনডেক্স জটিল-মূল্যবান। ফলস্বরূপ, প্রতিসরণ কোণ এবং তরঙ্গ-ভেক্টরও তাই। এটি বোঝায় যে, ধ্রুবক বাস্তব পর্যায়ের পৃষ্ঠগুলি সমতল যেখানে স্বাভাবিকগুলি ইন্টারফেসের সাথে প্রতিসরণ কোণের সমান একটি কোণ তৈরি করে, বিপরীতে ধ্রুবক প্রশস্ততার পৃষ্ঠগুলি ইন্টারফেসের সমান্তরাল সমতল। যেহেতু এই দুটি তল সাধারণত একে অপরের সাথে মিলে যায় না, তাই তরঙ্গটিকে অসমজাতীয় বলা হয়। প্রতিসরাঙ্কের কাল্পনিক উপাদানের সাথে আনুপাতিক সূচক সহ প্রতিসরাঙ্কিত তরঙ্গটি সূচকীয়ভাবে ক্ষীণ হয়। জ্যাকব বার্নৌলি রেফারেন্সের একটি সহজ প্রমাণের জন্যও দেখুন টড রোল্যান্ড কর্তৃক ইব্ন সাহল এবং স্নেলের ল ডিসকভারি অফ দ্য ল অফ রিফ্রাকশন স্নেলের ল অফ রিফ্রাকশন (ওয়েভ ফ্রন্টস)-এর বাহ্যিক লিঙ্ক, শহরের কেন্দ্রস্থল লাইডেন শোর লাইনের প্রভাবের একটি দেওয়ালে ওল্ফ্রাম ডেমন্সট্রেশন প্রজেক্ট স্নেলের আইন জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞানের সমনামযুক্ত আইন