Dyadic transformation
ডায়্যাডিক রূপান্তর (ডায়্যাডিক মানচিত্র, বিট শিফট মানচিত্র, 2x মোড 1 মানচিত্র, বার্নৌলি মানচিত্র, দ্বিগুণ মানচিত্র বা করাত দাঁতের মানচিত্র নামেও পরিচিত) হল নিয়ম দ্বারা উত্পাদিত ম্যাপিং (অর্থাৎ, পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক) (যেখানে থেকে ক্রমের সেট)। সমতুল্যভাবে, ডাইডিক রূপান্তরকে পিসওয়াইজ লিনিয়ার ফাংশনের পুনরাবৃত্ত ফাংশন মানচিত্র হিসাবেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে বিট শিফট মানচিত্র নামটি উদ্ভূত হয় কারণ, যদি একটি পুনরাবৃত্তির মান বাইনারি নোটেশনে লেখা হয়, তবে পরবর্তী পুনরাবৃত্তি বাইনারি পয়েন্টটিকে এক বিট ডানদিকে স্থানান্তরিত করে প্রাপ্ত হয়, এবং যদি নতুন বাইনারি পয়েন্টের বাম দিকের বিটটি "এক" হয়, তবে এটিকে শূন্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করে। একটি সাধারণ 1-মাত্রিক মানচিত্র কীভাবে বিশৃঙ্খলার জন্ম দিতে পারে তার একটি উদাহরণ এই দ্বৈত রূপান্তর প্রদান করে। এই মানচিত্রটি সহজেই আরও কয়েকজনের কাছে সাধারণীকরণ করে। একটি গুরুত্বপূর্ণ হল বিটা রূপান্তর, যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এই মানচিত্রটি অনেক লেখক ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করেছেন। এটি 1957 সালে আলফ্রেড রেনি দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং 1959 সালে আলেকজান্ডার গেলফন্ড এবং আবার 1960 সালে বিল প্যারি দ্বারা স্বাধীনভাবে এর জন্য একটি অপরিবর্তনীয় পরিমাপ দেওয়া হয়েছিল। বার্নৌলি প্রক্রিয়ার সঙ্গে সম্পর্ক মানচিত্রটি বার্নৌলি প্রক্রিয়ার সমরূপতা হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। অক্ষর এবং এর সমস্ত আধা-অসীম স্ট্রিংয়ের সেট হতে দিন। এগুলি একটি মুদ্রার উল্টানো, মাথা বা লেজ উপরে আসা হিসাবে বোঝা যেতে পারে। সমতুল্যভাবে, কেউ বাইনারি বিটের সমস্ত (আধা-) অসীম স্ট্রিংয়ের স্থান লিখতে পারে। "অসীম" শব্দটি "সেমি-" দিয়ে যোগ্য, কারণ কেউ সমস্ত দ্বিগুণ-অসীম (দ্বিমুখী) স্ট্রিং নিয়ে গঠিত একটি ভিন্ন স্থানকেও সংজ্ঞায়িত করতে পারে; এটি বেকারের মানচিত্রে নিয়ে যাবে। যোগ্যতা "সেমি-" নীচে বাদ দেওয়া হয়েছে। এই স্থানটির একটি প্রাকৃতিক স্থানান্তর ক্রিয়া রয়েছে, যা বাইনারি সংখ্যার একটি অসীম স্ট্রিং দ্বারা প্রদত্ত। এই ধরনের একটি স্ট্রিং দেওয়া হলে, লিখুন ফলস্বরূপ একক ব্যবধানের একটি বাস্তব সংখ্যা স্থানান্তর একটি সমরূপতা প্ররোচিত করে, যাকে একক ব্যবধানও বলা হয়। যেহেতু কেউ সহজেই দেখতে পায় যে বিটের দ্বিগুণ-অসীম ক্রমের জন্য প্ররোচিত সমরূপতা হল বেকারের মানচিত্র। ডায়্যাডিক ক্রমটি তখন কেবল ক্রমটি হয় অর্থাৎ, দ্য ক্যান্টর সেট নোট করুন যে যোগফলটি ক্যান্টর ফাংশন দেয়, যেমনটি প্রচলিতভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এটি একটি কারণ যে কারণে সেটটিকে কখনও কখনও ক্যান্টর সেট বলা হয়। তথ্য হ্রাসের হার এবং প্রাথমিক অবস্থার উপর সংবেদনশীল নির্ভরতা বিশৃঙ্খল গতিশীলতার একটি বৈশিষ্ট্য হল সিমুলেশন ঘটার সাথে সাথে তথ্যের ক্ষতি। যদি আমরা প্রাথমিক পুনরাবৃত্তির প্রথম s বিটগুলির তথ্য দিয়ে শুরু করি, তবে m সিমুলেটেড পুনরাবৃত্তির (m <s) পরে আমাদের কাছে কেবল s-m বিট তথ্য অবশিষ্ট থাকে। এইভাবে আমরা প্রতি পুনরাবৃত্তিতে এক বিটের সূচকীয় হারে তথ্য হারাই। এস পুনরাবৃত্তির পরে, আমাদের সিমুলেশন নির্দিষ্ট বিন্দু শূন্যে পৌঁছেছে, প্রকৃত পুনরাবৃত্ত মান নির্বিশেষে; এইভাবে আমরা তথ্যের সম্পূর্ণ ক্ষতির সম্মুখীন হয়েছি। এটি প্রাথমিক অবস্থার উপর সংবেদনশীল নির্ভরশীলতাকে চিত্রিত করে-কাটা প্রাথমিক অবস্থা থেকে ম্যাপিং প্রকৃত প্রাথমিক অবস্থা থেকে ম্যাপিং থেকে তাত্পর্যপূর্ণভাবে বিচ্যুত হয়েছে। এবং যেহেতু আমাদের সিমুলেশন একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে পৌঁছেছে, প্রায় সমস্ত প্রাথমিক অবস্থার জন্য এটি গুণগতভাবে সঠিক উপায়ে গতিশীলতাকে বিশৃঙ্খল হিসাবে বর্ণনা করবে না। তথ্য হারানোর ধারণার সমতুল্য হল তথ্য লাভের ধারণা। বাস্তবে কিছু বাস্তব-জগতের প্রক্রিয়া সময়ের সাথে সাথে মানগুলির একটি ক্রম (xn) তৈরি করতে পারে, তবে আমরা কেবল এই মানগুলি কাটা আকারে পর্যবেক্ষণ করতে সক্ষম হতে পারি। উদাহরণস্বরূপ ধরুন যে x0 = 0.1001 101, কিন্তু আমরা শুধুমাত্র কাটা মান 0.1001 পর্যবেক্ষণ করি। x1-এর জন্য আমাদের পূর্বাভাস হল 0.001। যদি আমরা বাস্তব-জগতের প্রক্রিয়াটি প্রকৃত x1 মান 0.0011 01 তৈরি না করা পর্যন্ত অপেক্ষা করি, তাহলে আমরা কাটা মান 0.0011 পর্যবেক্ষণ করতে সক্ষম হব, যা আমাদের পূর্বাভাসকৃত মান 0.001 এর চেয়ে আরও সঠিক। তাই আমরা এক বিট তথ্য লাভ করেছি। তাঁবু মানচিত্র এবং লজিস্টিক মানচিত্রের সাথে সম্পর্ক ডাইডিক রূপান্তরটি একক-উচ্চতা তাঁবু মানচিত্রের সাথে টপোলজিক্যালি আধা-সংযুক্ত। মনে রাখবেন যে একক-উচ্চতা তাঁবু মানচিত্রটি দ্বারা দেওয়া হয়েছে সংযোগটি স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়েছে যাতে, এটি পুনরাবৃত্তির অধীনে স্থিতিশীল, কারণ এটি লজিস্টিক মানচিত্রের বিশৃঙ্খল r = 4 ক্ষেত্রেও সংযুক্ত। লজিস্টিক মানচিত্রের r = 4 কেসটি হল; এটি x দ্বারা পরিবর্তনশীল বিট স্থানান্তর মানচিত্রের সাথে সম্পর্কিত। এখানে, মানচিত্রটি পালাক্রমে পরিমাপ করা কোণকে দ্বিগুণ করে। অর্থাৎ, মানচিত্রটি পর্যায়ক্রমিকতা এবং অ-পর্যায়ক্রমিকতা দ্বারা দেওয়া হয় কারণ গতিবিদ্যার সহজ প্রকৃতির কারণে যখন পুনরাবৃত্তিগুলি বাইনারি স্বরলিপিতে দেখা হয়, তখন প্রাথমিক অবস্থার উপর ভিত্তি করে গতিবিদ্যাকে শ্রেণীবদ্ধ করা সহজঃ যদি প্রাথমিক শর্তটি অযৌক্তিক হয় (একক ব্যবধানের প্রায় সমস্ত পয়েন্টের মতো), তবে গতিবিদ্যা অ-পর্যায়ক্রমিক-এটি একটি অযৌক্তিক সংখ্যার সংজ্ঞা থেকে সরাসরি অনুসরণ করে যা একটি অ-পুনরাবৃত্ত বাইনারি সম্প্রসারণ সহ। এই হল বিশৃঙ্খলার ঘটনা। যদি x0 যুক্তিসঙ্গত হয় তবে x0-এর ছবিতে [0,1]-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ সংখ্যক স্বতন্ত্র মান থাকে এবং x0-এর সামনের কক্ষপথটি অবশেষে পর্যায়ক্রমিক হয়, যার সময়কাল x0-এর বাইনারি সম্প্রসারণের সময়ের সমান। বিশেষত, যদি প্রাথমিক শর্তটি k বিটের সসীম বাইনারি সম্প্রসারণ সহ একটি মূলদ সংখ্যা হয়, তবে k পুনরাবৃত্তির পরে পুনরাবৃত্তিগুলি নির্দিষ্ট বিন্দু 0-এ পৌঁছায়; যদি প্রাথমিক শর্তটি একটি k-বিট ক্ষণস্থায়ী (k ≤ 0) সহ একটি মূলদ সংখ্যা হয় যার পরে একটি q-বিট ক্রম (q> 1) থাকে যা অসীমভাবে পুনরাবৃত্তি করে, তবে k পুনরাবৃত্তির পরে পুনরাবৃত্তিগুলি দৈর্ঘ্য q-এর একটি চক্রে পৌঁছায়। সুতরাং সমস্ত দৈর্ঘ্যের চক্র সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, 11/24 এর সামনের কক্ষপথটি হলঃ যা পর্যায় 2-এর চক্রে পৌঁছেছে। [0,1] এর যে কোনও উপ-ব্যবধানের মধ্যে, যতই ছোট হোক না কেন, তাই অসীম সংখ্যক বিন্দু রয়েছে যার কক্ষপথ অবশেষে পর্যায়ক্রমিক এবং অসীম সংখ্যক বিন্দু রয়েছে যার কক্ষপথ কখনও পর্যায়ক্রমিক হয় না। প্রাথমিক অবস্থার উপর এই সংবেদনশীল নির্ভরতা বিশৃঙ্খল মানচিত্রের একটি বৈশিষ্ট্য। বিট স্থানান্তরের মাধ্যমে পর্যায়ক্রমিকতা পর্যায়ক্রমিক এবং অ-পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথগুলি সরাসরি মানচিত্রের সাথে কাজ করে নয়, বরং ক্যান্টর স্পেসে সংজ্ঞায়িত বিট স্থানান্তর মানচিত্রের সাথে আরও সহজেই বোঝা যায়। অর্থাৎ, সমরূপতা মূলত একটি বিবৃতি যে ক্যান্টর সেটটি রিয়েলগুলিতে ম্যাপ করা যেতে পারে। এটি একটি উদ্বেগের বিষয়ঃ ক্যান্টর সেটটিতে প্রতিটি ডাইডিক যুক্তিসঙ্গত একটি নয়, দুটি স্বতন্ত্র উপস্থাপনা রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এটি বিখ্যাত 0.999. = 1 সমস্যার বাইনারি-স্ট্রিং সংস্করণ। দ্বিগুণ উপস্থাপনাগুলি সাধারণভাবে ধারণ করেঃ দৈর্ঘ্যের যে কোনও প্রদত্ত সসীম-দৈর্ঘ্যের প্রাথমিক ক্রমের জন্য, একটির রয়েছে প্রাথমিক ক্রমটি কক্ষপথের অ-পর্যায়ক্রমিক অংশের সাথে মিলে যায়, যার পরে পুনরাবৃত্তি সমস্ত শূন্যে (সমতুল্য, সমস্ত-এক) স্থির হয়। বিট স্ট্রিং হিসাবে প্রকাশিত, মানচিত্রের পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথগুলি যুক্তিসঙ্গত হিসাবে দেখা যায়। অর্থাৎ, একটি প্রাথমিক "বিশৃঙ্খল" ক্রমের পরে, একটি পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ দৈর্ঘ্যের পুনরাবৃত্ত স্ট্রিংয়ে স্থির হয়। এটা দেখা কঠিন নয় যে এই ধরনের পুনরাবৃত্ত ক্রমগুলি মূলদ সংখ্যার সাথে মিলে যায়। একটি লেখার পরে স্পষ্টভাবে প্রাথমিক অ-পুনরাবৃত্তির ক্রমের উপর ট্যাকিং রয়েছে, স্পষ্টভাবে একটি মূলদ সংখ্যা রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি মূলদ সংখ্যাকে এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ একটি প্রাথমিক "এলোমেলো" ক্রম, তারপরে একটি সাইক্লিং পুনরাবৃত্তি। অর্থাৎ, মানচিত্রের পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথগুলি যুক্তিসঙ্গতগুলির সাথে এক-থেকে-এক মিল রয়েছে। এই ঘটনাটি লক্ষণীয়, কারণ অনেক বিশৃঙ্খল ব্যবস্থায় অনুরূপ কিছু ঘটে। উদাহরণস্বরূপ, কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডের ভূগণিতের পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ থাকতে পারে যা এইভাবে আচরণ করে। যাইহোক, মনে রাখবেন যে যুক্তিসঙ্গতগুলি বাস্তবে শূন্য পরিমাপের একটি সেট। প্রায় সব কক্ষপথ পর্যায়ক্রমিক নয়! অপেরিওডিক কক্ষপথগুলি অযৌক্তিক সংখ্যার সাথে মিলে যায়। এই বৈশিষ্ট্যটি আরও সাধারণ পরিবেশেও সত্য। একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন হল পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের আচরণ সামগ্রিকভাবে সিস্টেমের আচরণকে কতটা সীমাবদ্ধ করে। আর্নল্ড ডিফিউশনের মতো ঘটনাগুলি থেকে বোঝা যায় যে সাধারণ উত্তরটি "খুব বেশি নয়"। ঘনত্ব গঠন মানচিত্রের ক্রিয়ার অধীনে পৃথক বিন্দুর কক্ষপথ দেখার পরিবর্তে, মানচিত্রটি একক ব্যবধানের ঘনত্বকে কীভাবে প্রভাবিত করে তা অন্বেষণ করা সমানভাবে সার্থক। অর্থাৎ, একক বিরতিতে কিছু ধুলো ছিটানোর কথা কল্পনা করুন; এটি কিছু জায়গায় অন্যদের তুলনায় ঘন। পুনরাবৃত্তি হওয়ার সাথে সাথে এই ঘনত্বের কী হয়? এই ঘনত্ব হিসাবে লিখুন, যাতে। এই ঘনত্বের উপরের ক্রিয়াটি পেতে, সমস্ত বিন্দু খুঁজে বের করতে হবে এবং লিখতে হবে উপরের হরটি হল রূপান্তরের জ্যাকোবিয়ান নির্ধারক, এখানে এটি কেবল এবং এর ব্যুৎপত্তি। এছাড়াও, প্রিমেজে স্পষ্টতই কেবল দুটি পয়েন্ট রয়েছে, এগুলি হল এবং এগুলি সব একসাথে রেখে, একটি পায় প্রচলিত নিয়মে, এই ধরনের মানচিত্রগুলি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যাতে এই ক্ষেত্রে, লিখুন মানচিত্রটি একটি রৈখিক অপারেটর, যেমন কেউ সহজেই এটি দেখতে পায় এবং একক ব্যবধানের সমস্ত ফাংশনের জন্য এবং সমস্ত ধ্রুবক। একটি রৈখিক অপারেটর হিসাবে দেখা, সবচেয়ে সুস্পষ্ট এবং চাপের প্রশ্ন হলঃ এর বর্ণালী কি? একটি আইগেনভ্যালু সুস্পষ্টঃ যদি সকলের জন্য হয় তবে স্পষ্টতই একটি থাকে তাই রূপান্তরের অধীনে অভিন্ন ঘনত্ব অপরিবর্তনীয়। এটি আসলে অপারেটরের বৃহত্তম আইগেন ভ্যালু, এটি ফ্রোবেনিয়াস-পেরন আইগেন ভ্যালু। প্রকৃতপক্ষে, অভিন্ন ঘনত্ব ডাইডিক রূপান্তরের অপরিবর্তনীয় পরিমাপ ছাড়া আর কিছুই নয়। এর বর্ণালীকে আরও বিস্তারিতভাবে অন্বেষণ করার জন্য, প্রথমে কাজ করার জন্য একটি উপযুক্ত ফাংশনের জায়গায় (একক ব্যবধানের উপর) নিজেকে সীমাবদ্ধ করতে হবে। এটি হতে পারে লেবস্গু পরিমাপযোগ্য ফাংশনের স্থান, অথবা সম্ভবত বর্গ ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের স্থান, অথবা সম্ভবত শুধুমাত্র বহুপদী। এই জায়গাগুলির যে কোনও একটির সাথে কাজ করা আশ্চর্যজনকভাবে কঠিন, যদিও একটি বর্ণালী পাওয়া যেতে পারে। বোরেল স্থান একটি বিশাল পরিমাণে সরলীকরণের ফলাফল যদি কেউ পরিবর্তে ক্যান্টর স্থান এবং ফাংশনগুলির সাথে কাজ করে তবে কিছু সতর্কতার পরামর্শ দেওয়া হয়, কারণ মানচিত্রটি বাস্তব সংখ্যার লাইনের একক ব্যবধানের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, প্রকৃত সংখ্যার প্রাকৃতিক টপোলজি ধরে নিয়ে। বিপরীতে, মানচিত্রটি ক্যান্টর স্পেসে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা প্রচলিতভাবে একটি খুব ভিন্ন টপোলজি, পণ্য টপোলজি দেওয়া হয়। টপোলজির একটি সম্ভাব্য সংঘর্ষ রয়েছে; কিছু যত্ন নেওয়া আবশ্যক। যাইহোক, উপরে উপস্থাপিত হিসাবে, ক্যান্টর থেকে একটি সমরূপতা রয়েছে যা বাস্তব সেটগুলিতে সেট করা হয়েছে; সৌভাগ্যবশত, এটি খোলা সেটগুলিকে খোলা সেটগুলিতে ম্যাপ করে এবং এইভাবে ধারাবাহিকতার ধারণা সংরক্ষণ করে। ক্যান্টর সেট নিয়ে কাজ করার জন্য, একজনকে অবশ্যই এর জন্য একটি টপোলজি প্রদান করতে হবে; প্রচলিত নিয়ম অনুসারে, এটি হল পণ্য টপোলজি। সেট-কম্প্লিমেন্টগুলি সংলগ্ন করে, এটি একটি বোরেল স্থান, অর্থাৎ একটি সিগমা বীজগণিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। টপোলজি হল সিলিন্ডার সেট। একটি সিলিন্ডার সেটের সাধারণ রূপ থাকে যেখানে স্বেচ্ছাচারী বিট মানগুলি (অগত্যা সমস্ত একই নয়), এবং অসীম বিট-স্ট্রিংয়ে ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকা নির্দিষ্ট বিট-মানগুলির একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা। এগুলি হল টপোলজির উন্মুক্ত সেট। এই জায়গার প্রামাণিক পরিমাপ হল ন্যায্য মুদ্রা-টস-এর জন্য বার্নৌলি পরিমাপ। যদি স্বেচ্ছাচারী অবস্থানের স্ট্রিংয়ে মাত্র একটি বিট নির্দিষ্ট করা থাকে, তবে পরিমাপটি 1/2 হয়। যদি দুটি বিট নির্দিষ্ট করা থাকে, তবে পরিমাপ 1/4, ইত্যাদি। কেউ কল্পনাপ্রবণ হতে পারেঃ একটি বাস্তব সংখ্যা দেওয়া হলে একটি পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যদি ক্রমানুসারে মাথা এবং লেজ থাকে। সঙ্গে পরিমাপ পছন্দ করা হয়, কারণ এটি মানচিত্র দ্বারা সংরক্ষিত হয় সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধানের মানচিত্র এবং ব্যবধানের মানচিত্র এবং এই উভয় ব্যবধানের পরিমাপ 1/2। একইভাবে, যে ব্যবধানটির পরিমাপ এখনও 1/2। অর্থাৎ, উপরের এম্বেডিং পরিমাপ সংরক্ষণ করে। একটি বিকল্প হল যা পরিমাপ সংরক্ষণ করে তা লেখা অর্থাৎ, এটি এমনভাবে মানচিত্র তৈরি করে যাতে একক ব্যবধানের পরিমাপ আবার লেবস্গু পরিমাপ হয়। ফ্রোবেনিয়াস-পেরন অপারেটর ক্যান্টর সেট করা সমস্ত খোলা সেটের সংগ্রহকে নির্দেশ করে এবং সমস্ত নির্বিচারে ফাংশনের সেট বিবেচনা করে স্থানান্তরটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পুশ ফরোয়ার্ডকে প্ররোচিত করে এটি আবার কিছু ফাংশন এইভাবে, মানচিত্রটি সমস্ত ফাংশনের স্থানের উপর অন্য একটি মানচিত্রকে প্ররোচিত করে যা, কিছু দেওয়া, একটি সংজ্ঞায়িত করে এই রৈখিক অপারেটরকে স্থানান্তর অপারেটর বা রুয়েল-ফ্রোবেনিয়াস-পেরন অপারেটর বলা হয়। সবচেয়ে বড় আইগেন ভ্যালু হল ফ্রোবেনিয়াস-পেরন আইগেন ভ্যালু, এবং এই ক্ষেত্রে, এটি 1। সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টর হল অপরিবর্তনীয় পরিমাপঃ এই ক্ষেত্রে, এটি বার্নৌলি পরিমাপ। আবার, যখন স্পেকট্রাম এর বর্ণালী পেতে, একজনকে অবশ্যই স্থানের জন্য একটি উপযুক্ত ভিত্তি ফাংশন সরবরাহ করতে হবে এই ধরনের একটি পছন্দ হল সমস্ত বহুপদীর সেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকা। এই ক্ষেত্রে, অপারেটরের একটি পৃথক বর্ণালী রয়েছে এবং আইগেন ফাংশনগুলি (কৌতূহলোদ্দীপকভাবে) বার্নৌলি বহুপদী! (নামকরণের এই কাকতালীয় ঘটনা সম্ভবত বার্নৌলি জানতেন না।) প্রকৃতপক্ষে, কেউ সহজেই যাচাই করতে পারে যে বার্নৌলি বহুপদগুলি কোথায়। এটি অনুসরণ করে কারণ বার্নৌলি বহুপদগুলি পরিচয় মেনে চলে নোট যে আরেকটি ভিত্তি হার ভিত্তি দ্বারা সরবরাহ করা হয়, এবং স্থান জুড়ে বিস্তৃত ফাংশনগুলি হল হার তরঙ্গ। এই ক্ষেত্রে, জটিল সমতলে একক ডিস্কের সমন্বয়ে একটি অবিচ্ছিন্ন বর্ণালী পাওয়া যায়। একক ডিস্কে দেওয়া, যাতে, ফাংশনগুলি মেনে চলে এটি একটি সম্পূর্ণ ভিত্তি, যাতে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা এই আকারে লেখা যেতে পারে যে বার্নৌলি বহুপদগুলি সেটিং দ্বারা পুনরুদ্ধার করা হয় এবং একটি সম্পূর্ণ ভিত্তি অন্যান্য উপায়েও দেওয়া যেতে পারে; সেগুলি হারউইৎজ জিটা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে। তাকাগি ফাংশন আরেকটি সম্পূর্ণ ভিত্তি প্রদান করে। এটি একটি ফ্র্যাক্টাল, ডিফারেনশিয়েবল-নোহেয়ার ফাংশন। আইগেন ফাংশনগুলি স্পষ্টভাবে ত্রিভুজ তরঙ্গের আকারের। একটিতে, আবার, এই সমস্ত বিভিন্ন ভিত্তিকে এক-অপরের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। এই অর্থে, তারা সমতুল্য। ফ্র্যাক্টাল আইগেন ফাংশনগুলি মডুলার গ্রুপের ফ্র্যাক্টাল গ্রুপয়েডের অধীনে একটি স্পষ্ট প্রতিসাম্য দেখায়; এটি তাকাগি ফাংশন (ব্লাঙ্কমঞ্জ বক্ররেখা) সম্পর্কিত নিবন্ধে আরও বিস্তারিতভাবে বিকশিত হয়েছে। সম্ভবত অবাক হওয়ার মতো কিছু নয়; ক্যান্টর সেটের সমমিতির ঠিক একই সেট রয়েছে (অব্যাহত ভগ্নাংশের মতো)। এরপরে এটি উপবৃত্তাকার সমীকরণ এবং মডুলার ফর্মের তত্ত্বের দিকে সুন্দরভাবে পরিচালিত করে। আইসিং মডেলের সাথে সম্পর্ক পর্যায়ক্রমিক সীমানা শর্ত সহ স্পিনগুলির শূন্য-ক্ষেত্র এক-মাত্রিক আইসিং মডেলের হ্যামিল্টনিয়ানকে লেখা যেতে পারে লেটিং একটি উপযুক্তভাবে নির্বাচিত স্বাভাবিককরণ ধ্রুবক এবং সিস্টেমের জন্য বিপরীত তাপমাত্রা হতে পারে, এই মডেলের জন্য পার্টিশন ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়। এটি করার সময়, কেউ দেখতে পায় যে এটি একটি ছোট সিস্টেমের জন্য পার্টিশন ফাংশনের সাথেও সমান করা যেতে পারে তবে স্পিনগুলি, যদি আমরা প্রতিস্থাপন করি এবং পুনর্নবীকরণকৃত মানগুলির সাথে এবং সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করি তবে ধরুন এখন আমরা জটিল হতে অনুমতি দিই এবং এটি কিছু জন্য। সেক্ষেত্রে আমরা সমীকরণের মাধ্যমে সম্পর্কিত একটি প্যারামিটার প্রবর্তন করতে পারি এবং ফলস্বরূপ পুনর্বিন্যাসের জন্য গোষ্ঠী রূপান্তরটি সঠিকভাবে ডাইডিক মানচিত্র হবেঃ বার্নৌলি প্রক্রিয়া বার্নৌলি স্কিম গিলবার্ট-শ্যানন-রিডস মডেলটিও দেখুন, একক ব্যবধানের উপর অভিন্নভাবে এলোমেলো পয়েন্টের একটি সেটে দ্বিগুণ মানচিত্র প্রয়োগ করে দেওয়া বিন্যাসের উপর একটি এলোমেলো বিতরণ নোটস রেফারেন্স ডিন জে ড্রাইবে, সম্পূর্ণ বিশৃঙ্খল মানচিত্র এবং ভাঙা সময় সমমিতি, (1999) ক্লুয়ার একাডেমিক পাবলিশার্স, ডর্ড্রেক্ট নেদারল্যান্ডস লিনাস ভেপস্টাস, দ্য বার্নৌলি মানচিত্র, গাউস-কুজমিন-ওয়ারসিং অপারেটর এবং রিম্যান জেটা, (2004) বিশৃঙ্খল মানচিত্র