Lp space
গণিতে, ফাঁকগুলি হল ফাংশন ফাঁক যা সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর ফাঁকগুলির জন্য-আদর্শের প্রাকৃতিক সাধারণীকরণ ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এগুলিকে কখনও কখনও লেবস্গু স্পেস বলা হয়, যা হেনরি লেবস্গুয়ের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যদিও বোরবাকি গোষ্ঠীর মতে এগুলি প্রথম ফ্রিগিয়েস রিজ দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। কার্যকরী বিশ্লেষণে এবং টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেসে বনাচ স্পেসের একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী গঠন করে স্পেস। পরিমাপ এবং সম্ভাব্যতা স্থানগুলির গাণিতিক বিশ্লেষণে তাদের মূল ভূমিকার কারণে, পদার্থবিজ্ঞান, পরিসংখ্যান, অর্থনীতি, অর্থ, প্রকৌশল এবং অন্যান্য শাখার সমস্যাগুলির তাত্ত্বিক আলোচনায়ও লেবস্গু স্থানগুলি ব্যবহার করা হয়। প্রয়োগ পরিসংখ্যান পরিসংখ্যানে, কেন্দ্রীয় প্রবণতা এবং পরিসংখ্যানগত বিচ্ছুরণের পরিমাপ, যেমন গড়, মধ্যমা এবং মানক বিচ্যুতি, পরিমাপের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপকে বৈচিত্র্যময় সমস্যার সমাধান হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। পেনালাইজড রিগ্রেশনে, "এল1 পেনাল্টি" এবং "এল2 পেনাল্টি" বলতে কোনও সমাধানের ভেক্টরের প্যারামিটার মানগুলির (অর্থাৎ। এর পরম মানগুলির সমষ্টি), অথবা এর আদর্শ (এর ইউক্লিডীয় দৈর্ঘ্য)। যে কৌশলগুলি এল1 পেনাল্টি ব্যবহার করে, যেমন লাসো, সমাধানগুলিকে উৎসাহিত করে যেখানে অনেক পরামিতি শূন্য। যে কৌশলগুলি এল2 পেনাল্টি ব্যবহার করে, যেমন রিজ রিগ্রেশন, সমাধানগুলিকে উৎসাহিত করে যেখানে বেশিরভাগ প্যারামিটার মান ছোট। স্থিতিস্থাপক নেট নিয়মিতকরণ একটি পেনাল্টি শব্দ ব্যবহার করে যা আদর্শ এবং প্যারামিটার ভেক্টরের আদর্শের সংমিশ্রণ। হাউজডর্ফ-ইয়ং অসমতা বাস্তব রেখার জন্য ফুরিয়ার রূপান্তর (বা, পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য, ফুরিয়ার সিরিজ দেখুন), যথাক্রমে (বা) মানচিত্র, যেখানে এবং এটি রিসজ-থোরিন ইন্টারপোলেশন উপপাদ্যের একটি পরিণতি, এবং হাউজডর্ফ-ইয়ং অসমতার সাথে সুনির্দিষ্ট করা হয়েছে। বিপরীতে, যদি ফুরিয়ার রূপান্তর হিলবার্ট স্পেসে ম্যাপ না করে তবে হিলবার্ট স্পেস কোয়ান্টাম মেকানিক্স থেকে স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস পর্যন্ত অনেক প্রয়োগের কেন্দ্রবিন্দু। স্থান এবং উভয়ই হিলবার্ট স্থান। প্রকৃতপক্ষে, একটি হিলবার্ট ভিত্তি অর্থাৎ হিলবার্ট স্থানের একটি সর্বাধিক অর্থোনর্মাল উপসেট বা যে কোনও হিলবার্ট স্থান বেছে নেওয়ার মাধ্যমে দেখা যায় যে প্রতিটি হিলবার্ট স্থান আইসোমেট্রিকভাবে সমতুল্য (উপরের মতোই), অর্থাৎ সীমাবদ্ধ মাত্রায় হিলবার্ট স্থানের ধরণ-আদর্শ-মাত্রিক বাস্তব ভেক্টর স্থানে একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য সাধারণত ইউক্লিডীয় আদর্শ দ্বারা দেওয়া হয়ঃ দুটি বিন্দুর মধ্যে ইউক্লিডীয় দূরত্ব এবং এটি দুটি বিন্দুর মধ্যে সরলরেখার দৈর্ঘ্য। অনেক ক্ষেত্রে, ইউক্লিডীয় দূরত্ব একটি নির্দিষ্ট স্থানের প্রকৃত দূরত্ব ধরার জন্য অপর্যাপ্ত। গ্রিড রাস্তার পরিকল্পনায় ট্যাক্সি চালকদের দ্বারা এর একটি উপমা দেওয়া হয়েছে, যাদের দূরত্ব তাদের গন্তব্যের সরলরেখার দৈর্ঘ্যের পরিপ্রেক্ষিতে নয়, বরং আয়তাকার দূরত্বের পরিপ্রেক্ষিতে পরিমাপ করা উচিত, যা বিবেচনা করে যে রাস্তাগুলি হয় অর্থোগোনাল বা একে অপরের সমান্তরাল। আদর্শের শ্রেণী এই দুটি উদাহরণকে সাধারণীকরণ করে এবং গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের অনেক অংশে এর প্রচুর প্রয়োগ রয়েছে। সংজ্ঞা একটি বাস্তব সংখ্যার জন্য-আদর্শ বা-আদর্শ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় পরম মান বারগুলি বাদ দেওয়া যেতে পারে যখন একটি যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা তার হ্রাসকৃত আকারে একটি জোড় সংখ্যা সহ, এবং বাস্তব সংখ্যার সেট বা তার একটি উপসেট থেকে টানা হয়। উপর থেকে ইউক্লিডীয় আদর্শ এই শ্রেণীর মধ্যে পড়ে এবং-আদর্শ, এবং-আদর্শ হল আদর্শ যা আয়তাকার দূরত্বের সাথে মিলে যায়। - আদর্শ বা সর্বাধিক আদর্শ (বা অভিন্ন আদর্শ) হল-আদর্শের সীমা এটি প্রমাণিত হয় যে এই সীমাটি নিম্নলিখিত সংজ্ঞার সমতুল্যঃ-অনন্ত দেখুন। উপরে বর্ণিত সমস্ত-নিয়ম এবং সর্বাধিক নিয়মের জন্য প্রকৃতপক্ষে একটি "দৈর্ঘ্য ফাংশন" (বা আদর্শ)-এর বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করে, যা হ 'লঃ শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্য শূন্য, ভেক্টরের দৈর্ঘ্য একটি স্কেলার (ধনাত্মক সমরূপতা) দ্বারা গুণনের ক্ষেত্রে ধনাত্মক সমজাতীয়, এবং দুটি ভেক্টরের যোগফলের দৈর্ঘ্য ভেক্টরের দৈর্ঘ্যের যোগফলের (ত্রিভুজ বৈষম্য) চেয়ে বড় নয়। বিমূর্তভাবে বলতে গেলে, এর অর্থ হল-নর্মের সাথে একত্রে একটি আদর্শ ভেক্টর স্থান। অধিকন্তু, দেখা যাচ্ছে যে এই স্থানটি সম্পূর্ণ, এইভাবে এটি একটি বানাচ স্থান তৈরি করে। দুটি বিন্দুর মধ্যে গ্রিড দূরত্ব বা আয়তাকার দূরত্ব (কখনও কখনও "ম্যানহাটন দূরত্ব" বলা হয়) তাদের মধ্যে লাইন বিভাগের দৈর্ঘ্যের (ইউক্লিডিয়ান বা "কাক উড়ে যাওয়ার মতো" দূরত্ব) চেয়ে কখনই ছোট হয় না। আনুষ্ঠানিকভাবে, এর অর্থ হল যে কোনও ভেক্টরের ইউক্লিডীয় আদর্শ তার 1-আদর্শ দ্বারা আবদ্ধঃ এই সত্যটি-আদর্শগুলিতে সাধারণীকরণ করে যে কোনও প্রদত্ত ভেক্টরের-আদর্শটি এর সাথে বৃদ্ধি পায় নাঃ বিপরীত দিকের জন্য,-আদর্শ এবং-আদর্শের মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্কটি জানা যায়ঃ এই বৈষম্য অন্তর্নিহিত ভেক্টর স্থানের মাত্রার উপর নির্ভর করে এবং সরাসরি কচি-শোয়ার্জ বৈষম্য থেকে অনুসরণ করে। সাধারণভাবে, ভেক্টরের জন্য যেখানে এটি হল্ডারের বৈষম্যের একটি পরিণতি। যখন সূত্রটির জন্য একটি সম্পূর্ণ সমজাতীয় ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তখন ফলস্বরূপ ফাংশনটি একটি আদর্শকে সংজ্ঞায়িত করে না, কারণ এটি সাবঅ্যাডিটিভ নয়। অন্যদিকে, সূত্রটি পরম সমরূপতা হারানোর মূল্যে একটি উপ-সংযোজনমূলক ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে। এটি একটি এফ-আদর্শকে সংজ্ঞায়িত করে, যদিও, যা ডিগ্রির সমজাতীয় তাই ফাংশনটি একটি মেট্রিককে সংজ্ঞায়িত করে। মেট্রিক স্থানটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যদিও এই মেট্রিকের উৎপত্তির চারপাশে-একক বলটি "অবতল", মেট্রিক দ্বারা সংজ্ঞায়িত টপোলজি হল সাধারণ ভেক্টর স্পেস টপোলজি তাই এটি একটি স্থানীয়ভাবে উত্তল টপোলজিকাল ভেক্টর স্থান। এই গুণগত বিবৃতির বাইরে, উত্তলতার অভাব পরিমাপ করার একটি পরিমাণগত উপায় হল ক্ষুদ্রতম ধ্রুবক দ্বারা চিহ্নিত করা যাতে-ইউনিট বলের স্কেলার মাল্টিপলে উত্তল কাঠামো থাকে যার সমান। যখন একটি আদর্শ এবং অন্য একটি ফাংশন থাকে যাকে "আদর্শ" বলা হয় (উদ্ধৃতি চিহ্ন সহ)। নিয়মটির গাণিতিক সংজ্ঞা বানাচের লিনিয়ার অপারেশন তত্ত্ব দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। ক্রমের স্থানটিতে এফ-আদর্শ দ্বারা প্রদত্ত একটি সম্পূর্ণ মেট্রিক টপোলজি রয়েছে যা মেট্রিক লিনিয়ার স্পেসগুলিতে স্টেফান রোলেউইজ আলোচনা করেছেন। স্বাভাবিক স্থানটি কার্যকরী বিশ্লেষণ, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং সুরেলা বিশ্লেষণে অধ্যয়ন করা হয়। ডেভিড ডোনোহো আরেকটি ফাংশনকে "আদর্শ" বলে অভিহিত করেছিলেন-যার উদ্ধৃতি চিহ্নগুলি সতর্ক করে যে এই ফাংশনটি সঠিক আদর্শ নয়-ভেক্টরের অ-শূন্য এন্ট্রির সংখ্যা অনেক লেখক উদ্ধৃতি চিহ্নগুলি বাদ দিয়ে পরিভাষার অপব্যবহার করেন। এর শূন্য "আদর্শ" সংজ্ঞায়িত করা সমান এটি একটি আদর্শ নয় কারণ এটি সমজাতীয় নয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি ধনাত্মক ধ্রুবক দ্বারা ভেক্টরকে স্কেল করা "আদর্শ" পরিবর্তন করে না। গাণিতিক নিয়ম হিসাবে এই ত্রুটিগুলি সত্ত্বেও, অ-শূন্য গণনা "নিয়ম" বৈজ্ঞানিক গণনা, তথ্য তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানে ব্যবহার করা হয়েছে-উল্লেখযোগ্যভাবে সংকেত প্রক্রিয়াকরণ এবং গণনামূলক সুরেলা বিশ্লেষণে সংকুচিত সংবেদনশীলতায়। একটি আদর্শ না হওয়া সত্ত্বেও, সংশ্লিষ্ট মেট্রিক, যা হ্যামিং দূরত্ব নামে পরিচিত, একটি বৈধ দূরত্ব, যেহেতু দূরত্বের জন্য সমরূপতার প্রয়োজন হয় না। অসীম মাত্রা এবং স্থানগুলিতে-আদর্শ ক্রম স্থান-আদর্শটি এমন ভেক্টরগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে যার অসীম সংখ্যক উপাদান (ক্রম) রয়েছে, যা স্থান দেয় এটি বিশেষ ক্ষেত্রে রয়েছেঃ ক্রমগুলির স্থান যার সিরিজটি একেবারে অভিসারী, বর্গ-সমষ্টিগত ক্রমগুলির স্থান, যা একটি হিলবার্ট স্থান এবং আবদ্ধ ক্রমগুলির স্থান। স্থানাঙ্ক দ্বারা সংযোজন এবং স্কেলার গুণন স্থানাঙ্ক প্রয়োগ করে ক্রমগুলির স্থানের একটি প্রাকৃতিক ভেক্টর স্থান কাঠামো রয়েছে। স্পষ্টতই, বাস্তব (বা জটিল) সংখ্যার অসীম ক্রমের জন্য ভেক্টর যোগফল এবং স্কেলার ক্রিয়াটি নিম্নরূপঃ-নিয়মটি সংজ্ঞায়িত করুনঃ এখানে, একটি জটিলতা দেখা দেয়, যথা ডানদিকের সিরিজটি সর্বদা অভিসারী নয়, তাই উদাহরণস্বরূপ, শুধুমাত্র একটির সমন্বয়ে গঠিত ক্রমটির জন্য একটি অসীম-নিয়ম থাকবে। কেউ পরীক্ষা করে দেখতে পারেন যে, সেটটি যত বাড়বে, সেটটি তত বড় হবে। উদাহরণস্বরূপ, ক্রমটি এর মধ্যে নেই তবে এটি এর জন্য রয়েছে কারণ সিরিজটি (হারমোনিক সিরিজ) এর জন্য বিচ্ছিন্ন হয়, তবে একটির জন্য অভিসারীও সর্বোচ্চ ব্যবহার করে-আদর্শকে সংজ্ঞায়িত করেঃ এবং সমস্ত সীমাবদ্ধ ক্রমের সংশ্লিষ্ট স্থান। দেখা যাচ্ছে যে যদি ডান দিকটি সীমাবদ্ধ হয়, অথবা বাম দিকটি অসীম হয়। সুতরাং, আমরা এইভাবে সংজ্ঞায়িত-আদর্শের জন্য স্থানগুলি বিবেচনা করব যা প্রকৃতপক্ষে একটি আদর্শ, এবং এই আদর্শের সাথে একটি বানাচ স্থান রয়েছে। সম্পূর্ণ সাধারণ স্থানটি পাওয়া যায়-যেমন নীচে দেখা যায়-ভেক্টর বিবেচনা করে, শুধুমাত্র সীমিত বা গণনাযোগ্য-অসীম অনেক উপাদানের সাথে নয়, বরং "নির্বিচারে অনেক উপাদান" সহ; অন্য কথায়, ফাংশন। - নর্ম সংজ্ঞায়িত করতে যোগফলের পরিবর্তে একটি ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করা হয়। সাধারণ এল. পি-স্পেস পূর্ববর্তী সংজ্ঞার সম্পূর্ণ সাদৃশ্য হিসাবে একটি সাধারণ সূচক সেট (এবং)-এর উপর স্থানকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে ডানদিকে অভিসারের অর্থ হল যে শুধুমাত্র গণনাযোগ্যভাবে অনেক যোগফল অ-শূন্য (শর্তহীন অভিসরণও দেখুন)। আদর্শের সাথে স্থানটি একটি বানাচ স্থান হয়ে ওঠে। যেখানে উপাদানগুলির সাথে সীমাবদ্ধ, এই গঠনটি উপরে সংজ্ঞায়িত-আদর্শের সাথে ফল দেয়। যদি গণনাযোগ্যভাবে অসীম হয়, তবে এটি ঠিক উপরে সংজ্ঞায়িত ক্রম স্থান। অগণিত সেটের জন্য এটি একটি অবিচ্ছেদ্য বানাচ স্থান যা-অনুক্রম স্থানগুলির স্থানীয়ভাবে উত্তল সরাসরি সীমা হিসাবে দেখা যেতে পারে। কারণ-নর্ম এমনকি একটি ক্যানোনিকাল অভ্যন্তরীণ পণ্য দ্বারা প্ররোচিত হয় যাকে বলা হয়, যার অর্থ এটি সমস্ত ভেক্টরের জন্য ধারণ করে এই অভ্যন্তরীণ পণ্যটি মেরুকরণ পরিচয় ব্যবহার করে আদর্শের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। এটির উপর সমস্ত বর্গ-ইন্টিগ্রেবল ফাংশন নিয়ে গঠিত একটি পরিমাপের স্থানের সাথে যুক্ত স্থানের জন্য ওয়েল দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, এটি এখন কেসটি বিবেচনা করুন যেখানে সমস্ত সূচক সেটকে পৃথক σ-বীজগণিত এবং গণনা পরিমাপ দিয়ে পরিমাপের স্থানে পরিণত করা যেতে পারে। তারপর স্থানটি আরও সাধারণ-স্থানের একটি বিশেষ কেস (নীচে সংজ্ঞায়িত)। একটি স্থানকে পরিমাপযোগ্য ফাংশনের একটি স্থান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার জন্য পরম মানের-তম শক্তি লেবসগ ইন্টিগ্রেবল, যেখানে প্রায় সর্বত্র একমত ফাংশনগুলি চিহ্নিত করা হয়। আরও সাধারণভাবে, ধরা যাক একটি পরিমাপ স্থান এবং কখন বাস্তব (অর্থাৎ,), সমস্ত পরিমাপযোগ্য ফাংশনের সেট বিবেচনা করুন বা যার পরম মান-তম শক্তিতে উত্থাপিত একটি সীমাবদ্ধ অবিচ্ছেদ্য বা প্রতীক রয়েছেঃ সেটটিকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য মনে রাখবেন যে দুটি ফাংশন এবং সংজ্ঞায়িত করা হয়, লিখিত, যদি সেটটি পরিমাপযোগ্য হয় এবং পরিমাপ শূন্য হয়। একইভাবে, একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন (এবং এর পরম মান) একটি বাস্তব সংখ্যা দ্বারা লেখা হয় (বা), যদি (অপরিহার্যভাবে) পরিমাপযোগ্য সেটের পরিমাপ শূন্য হয়। স্থান হল সমস্ত পরিমাপযোগ্য ফাংশনের সমষ্টি যা প্রায় সর্বত্র (কিছু বাস্তব দ্বারা) আবদ্ধ এবং এই সীমার অসীম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যখন এটি পরম মানের অপরিহার্য সর্বোচ্চের সমান হয়ঃ উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন হয় যা প্রায় সর্বত্র সমান হয় তবে প্রত্যেকের জন্য এবং এইভাবে সকলের জন্য। এই কারণে,-আদর্শের সাথে জড়িত অনেক সূত্র শুধুমাত্র অ-নেতিবাচক বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের জন্য বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ বিবেচনা করুন যে পরিচয়টি যখনই পরিমাপযোগ্য, বাস্তব এবং (এখানে কখন) ধারণ করে। অ-নেতিবাচকতার প্রয়োজনীয়তা প্রতিস্থাপন করে সরানো যেতে পারে যার জন্য বিশেষভাবে নোট দেয় যে যখন সীমাবদ্ধ হয় তখন সূত্রটি-আদর্শকে-আদর্শের সাথে সম্পর্কিত করে। যখন যোগ এবং স্কেলার গুণকে পয়েন্টওয়াইজ সংজ্ঞায়িত করা হয় তখন-তম পাওয়ার ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের সেমিনোর্ম্ড স্পেস ফাংশনের প্রতিটি সেট একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে। দুই-তম পাওয়ার ইন্টিগ্রেবল ফাংশন এবং আবার-তম পাওয়ার ইন্টিগ্রেবলের যোগফলটি অনুসরণ করা হয় যদিও এটি মিনকোভস্কির বৈষম্যের একটি পরিণতি যা প্রতিষ্ঠিত করে যে ত্রিভুজ বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে (ত্রিভুজ বৈষম্য ধরে রাখে না)। যেটি স্কেলার গুণনের অধীনে বন্ধ করা হয় তা একেবারে সমজাতীয় হওয়ার কারণে, যার অর্থ হল যে প্রতিটি স্কেলার এবং প্রতিটি ফাংশনের জন্য পরম সমরূপতা, ত্রিভুজ বৈষম্য এবং অ-নেতিবাচকতা একটি সেমিনোর্মের সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য। এইভাবে একটি সেমিনোর্ম এবং ফাংশনের সাথে-th পাওয়ার ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের সেট একটি সেমিনোর্ম ভেক্টর স্পেসকে সংজ্ঞায়িত করে। সাধারণভাবে, সেমিনর্ম একটি আদর্শ নয় কারণ এমন পরিমাপযোগ্য ফাংশন থাকতে পারে যা সন্তুষ্ট করে কিন্তু সমান নয় (যদি এবং শুধুমাত্র যদি এমন কোনও অস্তিত্ব না থাকে তবে এটি একটি আদর্শ)। - সেমিনোর্মের শূন্য সেট যদি পরিমাপযোগ্য হয় এবং a. e-এর সমান হয়। অন্যদিকে, যদি একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন যার জন্য এমন কিছু বিদ্যমান থাকে যা প্রায় সর্বত্রই থাকে। যখন সসীম হয় তখন এটি কেস এবং উপরে উল্লিখিত সূত্র থেকে অনুসরণ করে। সুতরাং যদি ধনাত্মক হয় এবং কোনও পরিমাপযোগ্য ফাংশন হয়, তবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রায় সর্বত্র হয়। যেহেতু ডান দিক থেকে (অর্থাৎ) এটি উল্লেখ করে না যে সকলের একই শূন্য সেট রয়েছে (এটি নির্ভর করে না)। এই সেটটি প্রতিটি ধনাত্মক ভাগফল ভেক্টর স্থানের জন্য একটি ভেক্টর সাবস্পেস। প্রতিটি সেমিনোর্মের মতো, সেমিনোর্মটি তার ভেক্টর সাবস্পেস দ্বারা ক্যানোনিকাল ভাগফল ভেক্টর স্থানের উপর একটি আদর্শ (শীঘ্রই সংজ্ঞায়িত) প্রবর্তন করে। আমরা ভাগফল ভেক্টর স্থান সংজ্ঞায়িত করে শুরু করি। প্রদত্ত যে কোনও কোসেট সমস্ত পরিমাপযোগ্য ফাংশন নিয়ে গঠিত যা প্রায় সর্বত্র সমান। সমস্ত কোসেটগুলির সেট, সাধারণত ভেক্টর স্পেস দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যখন ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এই নির্দিষ্ট ভাগফল ভেক্টর স্পেস দুটি কোসেট দ্বারা চিহ্নিত করা হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি (বা সমতুল্য,), যা ঘটে যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রায় সর্বত্র ঘটে; যদি এটি হয় তবে এবং ভাগফল স্পেসে চিহ্নিত করা হয়। ভাগফল ভেক্টর স্থানের উপর-আদর্শ কোসেটে সেমিনোর্মের যে কোনও মান ধ্রুবক এবং এই অনন্য মানকে বোঝানোর জন্য সমান যাতেঃ এই অ্যাসাইনমেন্টটি একটি মানচিত্রকে সংজ্ঞায়িত করে, যা ভাগফল ভেক্টর স্থান দ্বারাও চিহ্নিত করা হবে এই মানচিত্রটি একটি আদর্শ যাকে বলা হয়। একটি কোসেটের মান কোসেটকে প্রতিনিধিত্ব করার জন্য নির্বাচিত নির্দিষ্ট ফাংশন থেকে স্বাধীন, যার অর্থ যদি কোনও কোসেট হয় তবে প্রত্যেকের জন্য (প্রতিটি থেকে)। লেবসগ্যু স্থানটি আদর্শ ভেক্টর স্থানকে বলা হয় বা-th পাওয়ার ইন্টিগ্রেবল ফাংশন এবং এটি প্রত্যেকটির জন্য একটি বানাচ স্থান (যার অর্থ এটি একটি সম্পূর্ণ মেট্রিক স্থান, একটি ফলাফল যা কখনও কখনও বলা হয় [[এলপির রিজ-ফিশার theorem#Completeness, 0 <পি ≤ ≤ |Riesz-ফিশার উপপাদ্য]])। যখন অন্তর্নিহিত পরিমাপের স্থানটি বোঝা যায় তখন প্রায়শই সংক্ষিপ্ত করা হয় বা এমনকি কেবল লেখকের উপর নির্ভর করে, সাবস্ক্রিপ্ট নোটেশনটি নির্দেশ করতে পারে বা যদি সেমিনোর্মটি একটি আদর্শ হয় (যা যদি এবং কেবল যদি ঘটে) তবে আদর্শ স্থানটি ক্যানোনিকাল মানচিত্রের মাধ্যমে আদর্শ ভাগফল স্থানের সাথে রৈখিকভাবে আইসোমেট্রিকভাবে আইসোমরফিক হবে (যেহেতু); অন্য কথায়, তারা হবে, একটি রৈখিক আইসোমেট্রি পর্যন্ত, একই আদর্শ স্থান এবং তাই তাদের উভয়কেই "স্থান" বলা যেতে পারে। উপরের সংজ্ঞাগুলি বোচনার স্পেসগুলিতে সাধারণীকরণ করে। সাধারণভাবে, এই প্রক্রিয়াটি বিপরীত করা যায় নাঃ প্রতিটি কোসেটের একটি "ক্যানোনিকাল" প্রতিনিধি সংজ্ঞায়িত করার কোনও সামঞ্জস্যপূর্ণ উপায় নেই। বিশেষ ক্ষেত্রে স্থানগুলির অনুরূপ, স্থানগুলির মধ্যে একমাত্র হিলবার্ট স্থান। জটিল ক্ষেত্রে, অভ্যন্তরীণ পণ্যটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় অতিরিক্ত অভ্যন্তরীণ পণ্য কাঠামো একটি সমৃদ্ধ তত্ত্বের অনুমতি দেয়, উদাহরণস্বরূপ, ফুরিয়ার সিরিজ এবং কোয়ান্টাম মেকানিক্সের প্রয়োগ সহ। ফাংশনগুলিকে কখনও কখনও বর্গ-ইন্টিগ্রেবল ফাংশন, চতুর্ভুজভাবে ইন্টিগ্রেবল ফাংশন বা বর্গ-যোগযোগ্য ফাংশন বলা হয়, তবে কখনও কখনও এই পদগুলি এমন ফাংশনের জন্য সংরক্ষিত থাকে যা অন্য কোনও অর্থে বর্গ-ইন্টিগ্রেবল, যেমন রিম্যান ইন্টিগ্রালের অর্থে। যদি আমরা জটিল-মূল্যবান ফাংশনগুলি ব্যবহার করি, তবে স্থানটি একটি বিনিময়যোগ্য সি *-বীজগণিত যা পয়েন্টওয়াইজ গুণ এবং সংমিশ্রণ সহ। সমস্ত সিগমা-ফাইনাইট সহ অনেক পরিমাপ স্থানের জন্য, এটি আসলে একটি বিনিময়যোগ্য ভন নিউম্যান বীজগণিত। এর একটি উপাদান গুণ দ্বারা যে কোনও স্থানে একটি আবদ্ধ অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করে। আরও সাধারণভাবে, যদি কেউ গণনা পরিমাপের সাথে কোনও সেট বিবেচনা করে, ফলস্বরূপ স্থানটি চিহ্নিত করা হয় উদাহরণস্বরূপ, স্থানটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা সূচীভুক্ত সমস্ত ক্রমের স্থান, এবং এই ধরনের স্থানে-আদর্শ সংজ্ঞায়িত করার সময়, সমস্ত পূর্ণসংখ্যার উপর একটি যোগফল। যে স্থানে উপাদানগুলির সেট রয়েছে, সেটি উপরে বর্ণিত হিসাবে তার-আদর্শের সাথে রয়েছে। যে কোনও হিলবার্ট স্থানের মতো, প্রতিটি স্থান একটি উপযুক্ত স্থানের জন্য রৈখিকভাবে আইসোমেট্রিক যেখানে সেটের কার্ডিনালিটি এলপি স্থানগুলির এই নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য একটি নির্বিচারে হিলবার্টিয়ান ভিত্তির কার্ডিনালিটি। যদি এবং তারপর এবং এই অসমতা, যাকে হল্ডারের অসমতা বলা হয়, কিছু অর্থে সর্বোত্তম কারণ যদি (তাই) এবং এটি একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন যেমন যেখানে সর্বোচ্চকে তখনকার বদ্ধ একক বলের উপর নিয়ে যাওয়া হয় এবং মিনকোভস্কি অসমতা মিনকোভস্কি অসমতা, যা বলে যে ত্রিভুজ অসমতা সন্তুষ্ট করে, সাধারণীকরণ করা যেতে পারেঃ যদি পরিমাপযোগ্য ফাংশনটি অ-নেতিবাচক হয় তবে সমস্ত পারমাণবিক পচনের জন্য যদি প্রতিটি অ-নেতিবাচকের একটি ক্রম থাকে, যার অর্থ হল অ-নেতিবাচক বাস্তব সংখ্যার একটি ক্রম এবং অ-নেতিবাচক ফাংশনের একটি ক্রম রয়েছে, যার সমর্থনগুলি এমন পরিমাপের জোড়া ভিত্তিক বিচ্ছিন্ন সেট যা এবং প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য এবং এবং যেখানে আরও বেশি, ফাংশনের ক্রম কেবল নির্ভর করে (এটির উপর) এই বৈষম্যগুলি নিশ্চিত করে যে সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য যুগ্মভাবে বিচ্ছিন্ন হওয়ার সমর্থনগুলি বোঝায় যে একটি পারমাণবিক পচন স্পষ্টভাবে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য প্রথমে সংজ্ঞায়িত করে দেওয়া যেতে পারে (এই অসীমটি তার দ্বারা অর্জন করা হয়, ধরে রাখে) এবং তারপরে যেখানে সেটের পরিমাপকে বোঝায় এবং সেটের সূচক ফাংশনকে বোঝায়। এর পরিপূরক ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনটি দুর্বল-আদর্শের সংজ্ঞাতেও (নীচে দেওয়া) প্রদর্শিত হয় এবং-আদর্শকে (জন্য) অবিচ্ছেদ্য হিসাবে প্রকাশ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে সংহতকরণটি দ্বৈত স্থানগুলিতে স্বাভাবিক লেবস্গু পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত। )। এই সমরূপতা প্রত্যেকের জন্য সংজ্ঞায়িত কার্যকারিতার সাথে যুক্ত হয় যে সত্যটি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন হল্ডারের অসমতা থেকে অনুসরণ করে। একটি রৈখিক ম্যাপিং যা হল্ডারের বৈষম্যের চরম ক্ষেত্রে একটি আইসোমেট্রি। এটি দেখানোও সম্ভব (উদাহরণস্বরূপ রেডন-নিকোডিম উপপাদ্যের সাথে, দেখুন) যে কোনওটিকে এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ অর্থাৎ, এটি অনটু। যেহেতু এটি অনটু এবং আইসোমেট্রিক, তাই এটি বানাচ স্পেসের একটি আইসোমরফিজম। এই (আইসোমেট্রিক) আইসোমরফিজমের কথা মাথায় রেখে, এটি সহজভাবে বলা স্বাভাবিক যে এর অবিচ্ছিন্ন দ্বৈত স্থান কারণ স্থানটি প্রতিফলিত। ধরা যাক উপরের মত এবং সংশ্লিষ্ট রৈখিক আইসোমেট্রি হতে দিন। বিপরীতের ট্রান্সপোজ (বা সংলগ্ন) দিয়ে রচনা করে প্রাপ্ত মানচিত্রটি বিবেচনা করুন এই মানচিত্রটি তার দ্বিমুখীতে ক্যানোনিকাল এম্বেডিংয়ের সাথে মিলে যায়। উপরন্তু, মানচিত্রটি আইসোমেট্রিগুলির উপর দুটির সংমিশ্রণ হিসাবে রয়েছে এবং এটি প্রতিফলনশীলতা প্রমাণ করে। যদি উপরের পরিমাপ সিগমা-ফাইনাইট হয়, তবে এর দ্বৈতটি আইসোমেট্রিকভাবে আইসোমরফিক হয় (আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এর সাথে সম্পর্কিত মানচিত্রটি একটি আইসোমেট্রি। এর উপাদানগুলি সীমাবদ্ধ স্বাক্ষরিত সীমাবদ্ধ সংযোজনমূলক পরিমাপের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে যা আরও বিশদ বিবরণের জন্য সি বা স্পেসের ক্ষেত্রে একেবারে অবিচ্ছিন্ন। যদি আমরা পছন্দের স্বতঃসিদ্ধটি ধরে নিই, তবে এই স্থানটি কিছু তুচ্ছ ক্ষেত্রে ব্যতীত অনেক বড়। যাইহোক, সাহারন শেলাহ প্রমাণ করেছেন যে জার্মেলো-ফ্রেঙ্কেল সেট তত্ত্বের তুলনামূলকভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ সম্প্রসারণ রয়েছে (জেডএফ + ডিসি + "বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি উপসেটের বেয়ার সম্পত্তি রয়েছে") যেখানে দ্বৈতটি কথ্য ভাষায় এম্বেডিং হয়, যদি তখন আরও স্থানীয়ভাবে একবচন ফাংশন থাকে, তবে এর উপাদানগুলি আরও বিস্তৃত হতে পারে। অর্ধেক লাইনের লেবস্গু পরিমাপের কথা বিবেচনা করুন একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন কাছাকাছি উড়তে পারে তবে অবশ্যই অনন্তের দিকে যথেষ্ট দ্রুত ক্ষয় হতে হবে। অন্যদিকে, অবিচ্ছিন্ন ফাংশনগুলি একেবারেই ক্ষয় হওয়ার প্রয়োজন নেই তবে কোনও ব্লো-আপ অনুমোদিত নয়। সুনির্দিষ্ট প্রযুক্তিগত ফলাফল নিম্নরূপ। ধরুন যে তারপরঃ যদি এবং শুধুমাত্র যদি সসীম কিন্তু নির্বিচারে বড় পরিমাপের সেট না থাকে (উদাহরণস্বরূপ, কোনও সসীম পরিমাপ)। যদি এবং শুধুমাত্র যদি অ-শূন্য কিন্তু নির্বিচারে ছোট পরিমাপের সেট না থাকে (উদাহরণস্বরূপ, গণনা পরিমাপ)। কোনও শর্তই লেবস্গু পরিমাপের সাথে বাস্তব রেখার জন্য প্রযোজ্য নয়, যদিও উভয় শর্তই কোনও সীমাবদ্ধ সেটের গণনা পরিমাপের জন্য প্রযোজ্য। উভয় ক্ষেত্রেই এম্বেডিং অবিচ্ছিন্ন, এতে আইডেন্টিটি অপারেটর প্রথম ক্ষেত্রে এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে একটি সীমাবদ্ধ রৈখিক মানচিত্র। (এটি বদ্ধ গ্রাফ উপপাদ্য এবং স্থানের বৈশিষ্ট্যগুলির একটি পরিণতি।) প্রকৃতপক্ষে, যদি ডোমেনের সসীম পরিমাপ থাকে, তবে হল্ডারের অসমতা ব্যবহার করে নিম্নলিখিত স্পষ্ট গণনা করা যেতে পারে যা উপরের অসমতার মধ্যে ধ্রুবক উপস্থিত হওয়া সর্বোত্তম, এই অর্থে যে পরিচয়ের অপারেটর আদর্শটি সঠিকভাবে যখন-প্রায়-সর্বত্র সমতা অর্জনের ক্ষেত্রে। এই বিভাগ জুড়ে ঘন সাবস্পেসগুলি আমরা ধরে নিই যে একটি পরিমাপ স্থান হতে দিন। একটি ইন্টিগ্রেবল সরল ফাংশন হল এমন একটি ফর্ম যেখানে স্কেলার, সীমাবদ্ধ পরিমাপ রয়েছে এবং সেটের সূচক ফাংশন। ইন্টিগ্রাল নির্মাণের মাধ্যমে, ইন্টিগ্রেবল সরল ফাংশনের ভেক্টর স্থান ঘন হয়। আরও বলা যেতে পারে যখন একটি সাধারণ টপোলজিকাল স্থান এবং এর বোরেল-বীজগণিত, অর্থাৎ, খোলা সেট ধারণকারী উপসেটগুলির ক্ষুদ্রতম-বীজগণিত। মনে করুন একটি উন্মুক্ত সেট এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে প্রতিটি বোরেল সেটের মধ্যে এবং প্রত্যেকের জন্য একটি বদ্ধ সেট এবং একটি খোলা সেট রয়েছে যাতে একটি অবিচ্ছিন্ন ইউরিসোন ফাংশন বিদ্যমান থাকে যা চালু এবং চালু থাকে। একইভাবে, এই স্থানে ইন্টিগ্রেবল স্টেপ ফাংশনের স্থান ঘন হয় যখন আবদ্ধ আয়তক্ষেত্রের সূচক ফাংশনের রৈখিক স্প্যান হয় যখন এবং আরও সাধারণভাবে সীমাবদ্ধ ব্যবধানের গুণফলের ক্ষেত্রে। সাধারণ ফাংশনের বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য প্রথমে অবিচ্ছিন্ন এবং সংক্ষিপ্তভাবে সমর্থিত ফাংশনের জন্য প্রমাণিত হয় (কখনও কখনও ধাপ ফাংশনের জন্য), তারপর সমস্ত ফাংশনে ঘনত্ব দ্বারা প্রসারিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, এটি এইভাবে প্রমাণিত হয় যে অনুবাদগুলি নিম্নলিখিত অর্থে অবিচ্ছিন্নঃ যেখানে ক্লোজড সাবস্পেসগুলি যদি কোনও ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে এটি একটি পরিমাপযোগ্য স্থানের সম্ভাব্যতা পরিমাপ (যাতে), এবং একটি ভেক্টর সাবস্পেস হয়, তবে এটি একটি ক্লোজড সাবস্পেস হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক হয় (স্বাধীনভাবে বেছে নেওয়া হয়)। এই উপপাদ্যটিতে, যা আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়েকের কারণে, ভেক্টর স্পেসের একটি উপসেট হওয়া অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু একটি অসীম-মাত্রিক বদ্ধ ভেক্টর সাবস্পেস তৈরি করা সম্ভব (এটি এমনকি একটি উপসেট), যেখানে একক বৃত্তের উপর লেবস্গু পরিমাপ এবং এটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ যা এটিকে তার ভর দ্বারা ভাগ করার ফলে হয়। যদি তারপর উপরের হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ এটি সেই পরিমাপযোগ্য ফাংশনের ভাগফল ভেক্টর স্থান যেমন আগের মতো, আমরা-আদর্শ প্রবর্তন করতে পারি কিন্তু এই ক্ষেত্রে ত্রিভুজ বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে না, এবং শুধুমাত্র একটি আধা-আদর্শকে সংজ্ঞায়িত করে। এর জন্য বৈধ অসমতা বোঝায় যে এবং তাই ফাংশনটি একটি মেট্রিক ফলস্বরূপ মেট্রিক স্থান সম্পূর্ণ হয়েছে; যাচাইকরণটি পরিচিত ক্ষেত্রে অনুরূপ যখন বলগুলি এই টপোলজির উৎসে একটি স্থানীয় বেস গঠন করে, যেমন ইতিবাচক বাস্তবতার উপর পরিসীমা। এই বলগুলি সমস্ত বাস্তবকে সন্তুষ্ট করে যা বিশেষত দেখায় যে এটি উৎপত্তির একটি সীমাবদ্ধ প্রতিবেশী; অন্য কথায়, এই স্থানটি একটি আদর্শ না হওয়া সত্ত্বেও, প্রতিটি আদর্শ স্থানের মতো স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ। এই সেটিংয়ে একটি বিপরীত মিনকোভস্কি বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে, অর্থাৎ এই ফলাফলটি ক্লার্কসনের বৈষম্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা পরিবর্তে স্থানগুলির অভিন্ন উত্তলতা প্রতিষ্ঠার জন্য ব্যবহৃত হয়। এর জন্য স্থান হল একটি এফ-স্পেসঃ এটি একটি সম্পূর্ণ অনুবাদ-অপরিবর্তনীয় মেট্রিক গ্রহণ করে যার সাপেক্ষে ভেক্টর স্পেস অপারেশনগুলি অবিচ্ছিন্ন। এটি একটি এফ-স্পেসের প্রোটোটাইপিক উদাহরণ যে, বেশিরভাগ যুক্তিসঙ্গত পরিমাপ স্পেসের জন্য, স্থানীয়ভাবে উত্তল নয়ঃ বা ফাংশন ধারণকারী প্রতিটি খোলা উত্তল সেট-আধা-আদর্শের জন্য সীমাহীন; অতএব, ভেক্টর উত্তল আশেপাশের একটি মৌলিক সিস্টেমের অধিকারী নয়। বিশেষত, এটি সত্য যদি পরিমাপের স্থানটিতে সীমাবদ্ধ ধনাত্মক পরিমাপের বিচ্ছিন্ন পরিমাপযোগ্য সেটগুলির একটি অসীম পরিবার থাকে। একমাত্র খালি বহির্মুখী খোলা সেট হল পুরো স্থান। একটি নির্দিষ্ট ফলস্বরূপ, শূন্য স্থানের অবিচ্ছিন্ন দ্বৈত স্থানে কোনও অ-শূন্য অবিচ্ছিন্ন রৈখিক কার্যকারিতা নেই। প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর গণনা পরিমাপের ক্ষেত্রে (ক্রম স্থান তৈরি করে), সীমাবদ্ধ রৈখিক ক্রিয়াকলাপগুলি ঠিক সেগুলি যা যথাক্রমে ক্রম দ্বারা প্রদত্তগুলির উপর আবদ্ধ, যদিও এতে অ-তুচ্ছ উত্তল খোলা সেট থাকে, তবে এটি টপোলজির জন্য একটি ভিত্তি দেওয়ার জন্য যথেষ্ট পরিমাণে থাকতে ব্যর্থ হয়। বিশ্লেষণ করার উদ্দেশ্যে কোনও রৈখিক কার্যকারিতা না থাকার পরিস্থিতি অত্যন্ত অবাঞ্ছিত। লেবেস্গু পরিমাপের ক্ষেত্রে কাজ করার পরিবর্তে যখনই সম্ভব হার্ডি স্পেসের সাথে কাজ করা সাধারণ, কারণ এর বেশ কয়েকটি রৈখিক কার্যকারিতা রয়েছেঃ একে অপরের থেকে পয়েন্টগুলি আলাদা করার জন্য যথেষ্ট। যাইহোক, হান-বানাচ উপপাদ্যটি এখনও ব্যর্থ। পরিমাপযোগ্য ফাংশনের স্থান পরিমাপযোগ্য ফাংশনের (সমতুল্য শ্রেণীর) ভেক্টর স্থান নির্দেশ করা হয়। সংজ্ঞা অনুসারে, এটি সমস্ত ধারণ করে এবং পরিমাপে অভিসারের টপোলজিতে সজ্জিত। যখন একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ (অর্থাৎ,) হয়, তখন এই অভিসরণ পদ্ধতিকে সম্ভাব্যতায় অভিসরণ বলা হয়। বর্ণনাটি যখন সীমাবদ্ধ হয় তখন সহজ হয়। যদি ফাংশনের উপর একটি সীমাবদ্ধ পরিমাপ হয় তবে পরিমাপের জন্য নিম্নলিখিত মৌলিক নেবারহুড সিস্টেমের অভিসরণ স্বীকার করে টপোলজিকে যে কোনও মেট্রিক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে অবিচ্ছিন্ন অবতল এবং কখন এবং কখন হ্রাস না হয় (উদাহরণস্বরূপ, এই ধরনের মেট্রিককে লেভি-মেট্রিক বলা হয় এই মেট্রিকের অধীনে স্থানটি সম্পূর্ণ হয় (এটি আবার একটি এফ-স্পেস)। স্থানটি সাধারণত স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ নয়, এবং স্থানীয়ভাবে উত্তল নয়। অসীম লেবস্গু পরিমাপের জন্য আশেপাশের মৌলিক ব্যবস্থার সংজ্ঞায় নিম্নরূপ পরিবর্তন করা যেতে পারে ফলস্বরূপ স্থানটি যে কোনও ধনাত্মক-অবিচ্ছেদ্য ঘনত্বের জন্য টপোলজিকাল ভেক্টর স্থান হিসাবে মিলে যায় সাধারণীকরণ এবং সম্প্রসারণ দুর্বল আসুন একটি পরিমাপ স্থান হতে দিন, এবং বাস্তব বা জটিল মান সহ একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন। - আদর্শ একটি সত্যিকারের আদর্শ নয়, কারণ ত্রিভুজ বৈষম্য ধরে রাখতে ব্যর্থ হয়। তা সত্ত্বেও, বিশেষত, প্রকৃতপক্ষে, একজনের আছে এবং ক্ষমতায় ওঠা এবং একটিতে সর্বোচ্চতা গ্রহণ করা এই ধারণার অধীনে যে দুটি ফাংশন সমান যদি তারা প্রায় সর্বত্র সমান হয়, তবে স্থানগুলি সম্পূর্ণ হয়। যে কোনও ক্ষেত্রে অভিব্যক্তিটি-নর্মের সাথে তুলনীয়। আরও ক্ষেত্রে এই অভিব্যক্তিটি একটি আদর্শকে সংজ্ঞায়িত করে যদি তাই দুর্বল স্থানগুলির জন্য বানাচ স্থানগুলি হয়। একটি প্রধান ফলাফল যা-স্পেস ব্যবহার করে তা হল মার্সিনকিউইজ ইন্টারপোলেশন উপপাদ্য, যার সুরেলা বিশ্লেষণ এবং একক ইন্টিগ্রাল অধ্যয়নের জন্য বিস্তৃত প্রয়োগ রয়েছে। আগের মতো, একটি পরিমাপযোগ্য স্থান বিবেচনা করুন একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন হতে দিন। - ওজনযুক্ত স্থানকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে রেডন-নিকোডিম ব্যুৎপত্তি দ্বারা সংজ্ঞায়িত পরিমাপের অর্থ বা, এর পরিপ্রেক্ষিতে আদর্শটি স্পষ্টভাবে-স্থান হিসাবে, ওজনযুক্ত স্থানগুলির বিশেষ কিছু নেই, যেহেতু এটি সমান। তবে এগুলি সুরেলা বিশ্লেষণে বেশ কয়েকটি ফলাফলের জন্য প্রাকৃতিক কাঠামো; উদাহরণস্বরূপ, মুকেনহুপ্ট উপপাদ্যতে দেখা যায়ঃ শাস্ত্রীয় হিলবার্ট রূপান্তরটি যেখানে একক বৃত্ত এবং লেবসগ পরিমাপকে বোঝায় তার উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়; (অরৈখিক) হার্ডি-লিটলউড ম্যাক্সিমাল অপারেটর মুকেনহুপ্টের উপপাদ্যের উপর আবদ্ধ ওজন বর্ণনা করে যাতে হিলবার্ট রূপান্তর সীমাবদ্ধ থাকে এবং ম্যানিফোল্ডের স্থানগুলিতে সর্বাধিক অপারেটরও একটি বহুগুণে স্থান সংজ্ঞায়িত করতে পারে। ভেক্টর-মূল্যবান স্থান একটি পরিমাপ স্থান এবং একটি স্থানীয়ভাবে উত্তল স্থান (এখানে সম্পূর্ণ বলে ধরে নেওয়া হয়েছে) দেওয়া হলে,-ইন্টিগ্রেবল-মূল্যবান ফাংশনের স্থানগুলি বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। একটি উপায় হল বোচনার ইন্টিগ্রেবল এবং পেটিস ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের স্থানগুলি সংজ্ঞায়িত করা এবং তারপরে তাদের স্থানীয়ভাবে উত্তল টিভিএস-টপোলজি প্রদান করা যা (প্রতিটি তাদের নিজস্ব উপায়ে) স্বাভাবিক টপোলজির একটি প্রাকৃতিক সাধারণীকরণ। আরেকটি উপায় হল ভেক্টর স্পেসের উপাদানের টপোলজিক্যাল টেনসর পণ্যগুলি হল সহজ টেনসরগুলির সসীম যোগফল যেখানে প্রতিটি সাধারণ টেনসরকে সেই ফাংশনের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে যা পাঠায় এই টেনসর পণ্যটি তখন একটি স্থানীয়ভাবে উত্তল টপোলজি দিয়ে সম্পন্ন করা হয় যা এটিকে একটি টপোলজিকাল টেনসর প্রোডাক্টে পরিণত করে, যার মধ্যে সবচেয়ে সাধারণ হল প্রজেক্টিভ টেনসর পণ্য, যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং ইনজেকটিভ টেনসর পণ্য, যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়াক দেখিয়েছেন যে যখন একটি পারমাণবিক স্থান (একটি ধারণা যা তিনি প্রবর্তন করেছিলেন), তখন এই দুটি নির্মাণ যথাক্রমে, বোচনার এবং পেটিস ইন্টিগ্রাল ফাংশনের স্থানগুলির সাথে যথাক্রমে টিভিএস-আইসোমরফিক হয়; সংক্ষেপে, তারা অবিচ্ছেদ্য। নোটস রেফারেন্সও দেখুন। । । । । । বাহ্যিক লিঙ্কগুলি প্রমাণ করে যে এল. পি স্পেসগুলি সম্পূর্ণ বানাচ স্পেস ফাংশন স্পেস গাণিতিক সিরিজ পরিমাপ তত্ত্ব সাধারণ স্পেস এল. পি স্পেস