Extensive-form game
গেম থিওরিতে, একটি এক্সটেনসিভ-ফর্ম গেম হল একটি গেমের একটি নির্দিষ্টকরণ যা খেলোয়াড়দের সম্ভাব্য পদক্ষেপের ক্রম, প্রতিটি সিদ্ধান্তের বিন্দুতে তাদের পছন্দ, (সম্ভবত অসম্পূর্ণ) প্রতিটি খেলোয়াড়ের সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় অন্য খেলোয়াড়ের পদক্ষেপ সম্পর্কে তথ্য এবং সমস্ত সম্ভাব্য গেমের ফলাফলের জন্য তাদের পারিশ্রমিকের মতো বেশ কয়েকটি মূল দিকের স্পষ্ট উপস্থাপনের অনুমতি দেয় (যেমন নামটি থেকে বোঝা যায়)। এক্সটেনসিভ-ফর্ম গেমগুলি "প্রকৃতির পদক্ষেপ" হিসাবে মডেল করা আকস্মিক ঘটনাগুলির আকারে অসম্পূর্ণ তথ্যের উপস্থাপনের অনুমতি দেয়। এক্সটেনসিভ-ফর্ম উপস্থাপনাগুলি স্বাভাবিক-ফর্মের থেকে পৃথক যে তারা প্রশ্নযুক্ত গেমটির আরও সম্পূর্ণ বিবরণ সরবরাহ করে, যেখানে স্বাভাবিক-ফর্মটি কেবল গেমটিকে একটি পেঅফ ম্যাট্রিক্সে পরিণত করে। কিছু লেখক, বিশেষ করে প্রারম্ভিক পাঠ্যপুস্তকে, প্রাথমিকভাবে এক্সটেন্সিভ-ফর্ম গেমটিকে কেবল একটি গেম ট্রি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন (কোনও অসম্পূর্ণ বা অসম্পূর্ণ তথ্য নেই), এবং পরবর্তী অধ্যায়গুলিতে অন্যান্য উপাদানগুলিকে পরিমার্জন হিসাবে যুক্ত করেছেন। যদিও এই নিবন্ধের বাকি অংশটি অনুপ্রেরণামূলক উদাহরণ সহ এই মৃদু পদ্ধতির অনুসরণ করে, আমরা এখানে (শেষ পর্যন্ত) নির্মিত সীমাবদ্ধ বিস্তৃত-ফর্ম গেমগুলি সামনে উপস্থাপন করি। এই সাধারণ সংজ্ঞাটি 1953 সালে হ্যারল্ড ডব্লিউ কুন দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, যিনি 1928 সাল থেকে ভন নিউম্যানের একটি পূর্ববর্তী সংজ্ঞা প্রসারিত করেছিলেন। থেকে উপস্থাপনা অনুসরণ করে, একটি এন-প্লেয়ার এক্সটেনসিভ-ফর্ম গেম এইভাবে নিম্নলিখিতগুলি নিয়ে গঠিতঃ এন (যুক্তিসঙ্গত) খেলোয়াড়দের একটি সীমাবদ্ধ সেট একটি শিকড়যুক্ত গাছ, যাকে গেম ট্রি বলা হয় গেম ট্রি-র প্রতিটি টার্মিনাল (লিফ) নোডে অর্থপ্রদানের একটি এন-টুপল থাকে, যার অর্থ প্রতিটি সম্ভাব্য খেলার শেষে প্রতিটি খেলোয়াড়ের জন্য একটি অর্থপ্রদান থাকে এন + 1 উপসেটে গেম ট্রি-র নন-টার্মিনাল নোডগুলির একটি বিভাজন, প্রতিটি (যুক্তিসঙ্গত) খেলোয়াড়ের জন্য একটি, এবং চান্স (বা প্রকৃতি) নামে একটি কাল্পনিক খেলোয়াড়ের জন্য একটি বিশেষ উপসেট সহ। প্রতিটি খেলোয়াড়ের নোডের উপসেটকে "খেলোয়াড়ের নোড" হিসাবে উল্লেখ করা হয়। (সম্পূর্ণ তথ্যের একটি খেলায় এইভাবে চান্স নোডের একটি খালি সেট থাকে।) চান্স প্লেয়ারের প্রতিটি নোডের বহির্গামী প্রান্তের উপর একটি সম্ভাব্যতা বিতরণ রয়েছে। যুক্তিসঙ্গত খেলোয়াড়ের নোডের প্রতিটি সেটকে তথ্য সেটগুলিতে আরও বিভক্ত করা হয়, যা কোনও পদক্ষেপ নেওয়ার সময় খেলোয়াড়ের জন্য নির্দিষ্ট পছন্দগুলিকে অবিচ্ছেদ্য করে তোলে, এই অর্থে যেঃ একই তথ্য সেটের যে কোনও দুটি নোডের বহির্গামী প্রান্তের মধ্যে এক-থেকে-এক যোগাযোগ রয়েছে-এইভাবে একটি তথ্য সেটের সমস্ত বহির্গামী প্রান্তের সেটটি সমতুল্য শ্রেণীতে বিভক্ত করা হয়, প্রতিটি শ্রেণী কোনও সময়ে খেলোয়াড়ের পদক্ষেপের সম্ভাব্য পছন্দের প্রতিনিধিত্ব করে-এবং গাছের মূল থেকে টার্মিনাল নোড পর্যন্ত প্রতিটি (নির্দেশিত) পথ প্রতিটি তথ্য সেটকে অতিক্রম করতে পারে যতবার উপরের পরামিতিগুলি দ্বারা নির্দিষ্ট গেমের সম্পূর্ণ বিবরণ খেলোয়াড়দের মধ্যে সাধারণ জ্ঞান হয়। চান্সের অন্তর্গত যে কোনও নন-টার্মিনাল নোডে, সম্ভাব্যতা বন্টন অনুযায়ী একটি বহির্গামী শাখা বেছে নেওয়া হয়। যে কোনও যুক্তিসঙ্গত খেলোয়াড়ের নোডে, খেলোয়াড়কে অবশ্যই প্রান্তের জন্য সমতুল্য শ্রেণীর মধ্যে একটি বেছে নিতে হবে, যা সুনির্দিষ্টভাবে একটি বহির্গামী প্রান্ত নির্ধারণ করে (সাধারণভাবে) খেলোয়াড় জানে না যে কোনটি অনুসরণ করা হচ্ছে। (একজন বাইরের পর্যবেক্ষক সেই সময় পর্যন্ত প্রতিটি খেলোয়াড়ের পছন্দগুলি জানেন এবং প্রকৃতির পদক্ষেপের উপলব্ধি, সঠিকভাবে প্রান্ত নির্ধারণ করতে পারেন।) একজন খেলোয়াড়ের জন্য একটি বিশুদ্ধ কৌশল এইভাবে একটি নির্বাচন নিয়ে গঠিত-প্রতিটি তথ্য সেটের (তার) জন্য বহির্গামী প্রান্তের সঠিকভাবে একটি শ্রেণী নির্বাচন করা। নিখুঁত তথ্যের খেলায়, তথ্য সেটগুলি একক হয়। চান্স নোডের সাথে গেমগুলিতে কীভাবে অর্থপ্রদানগুলি ব্যাখ্যা করা উচিত তা কম স্পষ্ট। এটি ধরে নেওয়া হয় যে প্রতিটি খেলোয়াড়ের প্রতিটি খেলার ফলাফলের জন্য একটি ভন নিউম্যান-মরগেনস্টার্ন ইউটিলিটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত রয়েছে; এই অনুমানটি বোঝায় যে প্রতিটি যুক্তিসঙ্গত খেলোয়াড় তার প্রত্যাশিত উপযোগিতা দ্বারা একটি প্রাথমিক এলোমেলো ফলাফল মূল্যায়ন করবে। উপরের উপস্থাপনাটি, গেমটি যে গাণিতিক কাঠামোর উপর খেলা হয় তা সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করার সময়, গেমটি কীভাবে খেলা হয় সে সম্পর্কে আনুষ্ঠানিক বিবৃতির আরও প্রযুক্তিগত আলোচনাকে তুলে ধরে যেমন "একজন খেলোয়াড় সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় একই তথ্য সেটের নোডগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে পারে না"। এপিডেমিক মোডাল লজিক ব্যবহার করে এগুলি সুনির্দিষ্ট করা যেতে পারে; বিস্তারিত দেখুন। একটি গেম ট্রি-র উপর একটি নিখুঁত তথ্য দুই খেলোয়াড়ের খেলা (যা কম্বিনেটোরিয়াল গেম থিওরি এবং কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তায় সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে) ফলাফল সহ একটি বিস্তৃত ফর্ম গেম হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে (অর্থাৎ। জয়, পরাজয় অথবা ড্র)। এই ধরনের খেলার উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে টিক-ট্যাক-টো, দাবা এবং অসীম দাবা। ব্যাকগ্যামনের মতো একটি প্রত্যাশিত মিনিম্যাক্স গাছের উপর একটি গেমের কোনও অসম্পূর্ণ তথ্য নেই (সমস্ত তথ্য সেট একক) তবে সুযোগের গতি রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, পোকারে সুযোগের চাল (কার্ডগুলি ডিল করা হচ্ছে) এবং অসম্পূর্ণ তথ্য (অন্যান্য খেলোয়াড়দের দ্বারা গোপনে রাখা কার্ডগুলি) উভয়ই রয়েছে। নিখুঁত এবং সম্পূর্ণ তথ্য একটি সম্পূর্ণ বিস্তৃত-ফর্ম উপস্থাপনা নির্দিষ্ট করেঃ প্রতিটি খেলোয়াড়ের জন্য একটি খেলার খেলোয়াড়দের প্রতিটি সুযোগে প্রতিটি খেলোয়াড় তাদের প্রতিটি পদক্ষেপে যা করতে পারে তা সরাতে হবে যা প্রতিটি খেলোয়াড় জানে প্রতিটি পদক্ষেপের জন্য প্রতিটি খেলোয়াড়ের দ্বারা প্রতিটি সম্ভাব্য সংমিশ্রণের জন্য প্রাপ্ত বেতন। প্রতিটি নন-টার্মিনাল নোডের সংখ্যা নির্দেশ করে যে সেই সিদ্ধান্তের নোডটি কোন খেলোয়াড়ের অন্তর্গত। প্রতিটি টার্মিনাল নোডের সংখ্যা খেলোয়াড়দের প্রতিদানের প্রতিনিধিত্ব করে (যেমন। 2, 1 খেলোয়াড়কে 2 টাকা এবং খেলোয়াড় 2 খেলোয়াড়কে 1 টাকা প্রদান করে। গ্রাফের প্রতিটি প্রান্তের লেবেলগুলি সেই ক্রিয়ার নাম যা প্রান্তটি উপস্থাপন করে। প্রাথমিক নোডটি প্লেয়ার 1-এর অন্তর্গত, যা ইঙ্গিত করে যে প্লেয়ার 1 প্রথমে চলে যায়। গাছ অনুসারে খেলা নিম্নরূপঃ খেলোয়াড় 1 ইউ এবং ডি-এর মধ্যে বেছে নেয়; খেলোয়াড় 2 খেলোয়াড় 1-এর পছন্দ পর্যবেক্ষণ করে এবং তারপর ইউ এবং ডি-এর মধ্যে বেছে নেয়। অর্থপ্রদানগুলি গাছে নির্দিষ্ট করা আছে। গাছের চারটি টার্মিনাল নোড দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা চারটি ফলাফল রয়েছেঃ (ইউ, ইউ '), (ইউ, ডি'), (ডি, ইউ ') এবং (ডি, ডি')। প্রতিটি ফলাফলের সঙ্গে যুক্ত অর্থপ্রদান যথাক্রমে নিম্নরূপ (0,0), (2,1), (1,2) এবং (3,1)। যদি খেলোয়াড় 1 ডি খেলে, খেলোয়াড় 2 তাদের বেতন সর্বাধিক করার জন্য ইউ খেলবে এবং তাই খেলোয়াড় 1 শুধুমাত্র 1 পাবে। যাইহোক, যদি খেলোয়াড় 1 ইউ খেলে, খেলোয়াড় 2 ডি খেলে তাদের বেতন সর্বাধিক করে এবং খেলোয়াড় 1 2 পায়। খেলোয়াড় 1 2 থেকে 1 পছন্দ করে এবং তাই ইউ খেলবে এবং খেলোয়াড় 2 'ডি' খেলবে। এটি সাবগেমের নিখুঁত ভারসাম্য। অসম্পূর্ণ তথ্য এইভাবে খেলার প্রতিনিধিত্ব করার একটি সুবিধা হল খেলার ক্রম কী তা স্পষ্ট। গাছটি স্পষ্টভাবে দেখায় যে খেলোয়াড় 1 প্রথমে চলে যায় এবং খেলোয়াড় 2 এই পদক্ষেপটি পর্যবেক্ষণ করে। তবে, কিছু খেলায় এভাবে খেলা হয় না। একজন খেলোয়াড় সবসময় অন্য খেলোয়াড়ের পছন্দ পর্যবেক্ষণ করে না (উদাহরণস্বরূপ, পদক্ষেপগুলি একযোগে হতে পারে বা একটি পদক্ষেপ লুকিয়ে থাকতে পারে)। একটি তথ্য সেট হল সিদ্ধান্ত নোডের একটি সেট যেমনঃ সেটের প্রতিটি নোড একজন খেলোয়াড়ের অন্তর্গত। যখন গেমটি ইনফরমেশন সেটে পৌঁছায়, যে খেলোয়াড় সরতে চলেছে সে ইনফরমেশন সেটের মধ্যে নোডগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে পারে না; অর্থাৎ। যদি তথ্য সেটটিতে একাধিক নোড থাকে, তবে যে খেলোয়াড়ের সেই সেটটি রয়েছে সে জানে না যে সেটের কোন নোডে পৌঁছেছে। বিস্তৃত আকারে, একটি তথ্য সেট একটি বিন্দুযুক্ত রেখা দ্বারা নির্দেশিত হয় যা সেই সেটের সমস্ত নোডকে সংযুক্ত করে বা কখনও কখনও সেই সেটের সমস্ত নোডের চারপাশে টানা একটি লুপ দ্বারা নির্দেশিত হয়। যদি কোনও খেলায় একাধিক সদস্যের তথ্য সেট থাকে তবে সেই খেলায় অসম্পূর্ণ তথ্য রয়েছে বলে বলা হয়। নিখুঁত তথ্য সহ একটি খেলা এমন যে খেলার যে কোনও পর্যায়ে, প্রতিটি খেলোয়াড় জানেন যে খেলার আগে ঠিক কী ঘটেছিল; অর্থাৎ। প্রতিটি তথ্য সেট একটি সিঙ্গলটন সেট। নিখুঁত তথ্য ছাড়া যে কোনও খেলায় অসম্পূর্ণ তথ্য থাকে। ডানদিকের খেলাটি উপরের খেলার মতোই, তবে 2 নম্বর খেলোয়াড়টি জানে না যে 1 নম্বর খেলোয়াড় যখন খেলতে আসে তখন সে কী করে। বর্ণিত প্রথম খেলায় নিখুঁত তথ্য রয়েছে; ডানদিকে খেলাটি নেই। যদি উভয় খেলোয়াড়ই যুক্তিসঙ্গত হয় এবং উভয়ই জানে যে উভয় খেলোয়াড়ই যুক্তিসঙ্গত এবং যে কোনও খেলোয়াড় যা কিছু জানে তা প্রতিটি খেলোয়াড়ই জানে (অর্থাৎ। খেলোয়াড় 1 জানে যে খেলোয়াড় 2 জানে যে খেলোয়াড় 1 যুক্তিসঙ্গত এবং খেলোয়াড় 2 এটি জানে ইত্যাদি। অসীম হিসাবে), প্রথম খেলায় খেলা হবে নিম্নরূপঃ খেলোয়াড় 1 জানে যে তারা যদি ইউ খেলে তবে খেলোয়াড় 2 'ডি' খেলবে (কারণ খেলোয়াড় 2-এর জন্য 1-এর একটি পে-অফ 0-এর একটি পে-অফের চেয়ে বেশি পছন্দসই) এবং তাই খেলোয়াড় 1 2 পাবে। তবে, যদি খেলোয়াড় 1 'ডি' খেলে, খেলোয়াড় 2 'ইউ' খেলবে (কারণ খেলোয়াড় 2-এর জন্য 1-এর চেয়ে 2-এর বেতন ভালো) এবং খেলোয়াড় 1 1 পাবে। সুতরাং, প্রথম খেলায়, ভারসাম্য হবে (ইউ, ডি ') কারণ খেলোয়াড় 1 2 থেকে 1 পেতে পছন্দ করে এবং তাই ইউ খেলবে এবং তাই খেলোয়াড় 2' ডি 'খেলবে। দ্বিতীয় গেমে এটা কম স্পষ্টঃ 2য় খেলোয়াড় 1ম খেলোয়াড়ের নড়াচড়া পর্যবেক্ষণ করতে পারে না। 1ম খেলোয়াড় 2য় খেলোয়াড়কে বোকা বানাতে চায় এই ভেবে যে তারা যখন আসলে ডি খেলেছে তখন তারা ইউ খেলেছে যাতে 2য় খেলোয়াড় ডি খেলবে এবং 1ম খেলোয়াড় 3 পাবে। প্রকৃতপক্ষে দ্বিতীয় খেলায় একটি নিখুঁত বায়েসিয়ান ভারসাম্য রয়েছে যেখানে খেলোয়াড় 1 খেলবে ডি এবং খেলোয়াড় 2 খেলবে ইউ এবং খেলোয়াড় 2 বিশ্বাস করে যে খেলোয়াড় 1 অবশ্যই খেলবে ডি। এই ভারসাম্যে, প্রতিটি কৌশল যুক্তিসঙ্গত এবং প্রতিটি বিশ্বাস খেলা কৌশলগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। লক্ষ্য করুন কিভাবে তথ্যের অসম্পূর্ণতা খেলার ফলাফলকে পরিবর্তন করে। ন্যাশ ভারসাম্যের জন্য এই খেলাটি আরও সহজে সমাধান করার জন্য, এটি স্বাভাবিক আকারে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। যেহেতু এটি একটি যুগপৎ/ক্রমানুসারে খেলা, তাই খেলোয়াড় এক এবং খেলোয়াড় দুই-এর দুটি করে কৌশল রয়েছে। খেলোয়াড় 1-এর কৌশলঃ {ইউ, ডি} খেলোয়াড় 2-এর কৌশলঃ {ইউ ', ডি'} আমাদের প্রতিটি পদক্ষেপের জন্য একটি অনন্য বেতন সহ দুটি ম্যাট্রিক্স থাকবে। সাধারণ ফর্ম গেমটি ব্যবহার করে, এখন খেলাটি সমাধান করা এবং উভয় খেলোয়াড়ের জন্য প্রভাবশালী কৌশলগুলি চিহ্নিত করা সম্ভব। যদি প্লেয়ার 1 আপ (ইউ) খেলে, প্লেয়ার 2 ডাউন (ডি) খেলতে পছন্দ করে (পেঅফ 1> 0) যদি প্লেয়ার 1 ডাউন (ডি) খেলে, প্লেয়ার 2 আপ (ইউ) খেলতে পছন্দ করে (পেঅফ 2> 1) যদি প্লেয়ার 2 আপ (ইউ) খেলে, প্লেয়ার 1 ডাউন (ডি) খেলতে পছন্দ করে (পেঅফ 1> 0) যদি প্লেয়ার 2 ডাউন (ডি) খেলে, প্লেয়ার 1 ডাউন (ডি) খেলতে পছন্দ করে (3> 2) এই পছন্দগুলি ম্যাট্রিক্সের মধ্যে চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং যে কোনও বাক্স যেখানে উভয় খেলোয়াড়ের পছন্দ রয়েছে তা একটি ন্যাশ ভারসাম্য প্রদান করে। এই নির্দিষ্ট গেমটির একটি একক সমাধান রয়েছে (ডি, ইউ ') যার অর্থমূল্য (1,2)। অসীম অ্যাকশন স্পেস এবং অসম্পূর্ণ তথ্য সহ গেমগুলিতে, অ-সিঙ্গেলটন তথ্য সেটগুলি, যদি প্রয়োজন হয়, উপরে বর্ণিত চাপের পিছনে (অ-নোডাল) প্রান্তবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে একটি বিন্দুযুক্ত রেখা সন্নিবেশ করে বা চাপটিকে নিজেই ড্যাশ করে উপস্থাপন করা হয়। উপরে বর্ণিত স্ট্যাকেলবার্গ প্রতিযোগিতায়, দ্বিতীয় খেলোয়াড় যদি প্রথম খেলোয়াড়ের পদক্ষেপটি লক্ষ্য না করতেন তবে খেলাটি আর স্ট্যাকেলবার্গ মডেলের সাথে খাপ খায় না; এটি হবে কর্নোট প্রতিযোগিতা। অসম্পূর্ণ তথ্য এমনও হতে পারে যে, একজন খেলোয়াড় জানেন না যে, খেলার ফল কী বা তাদের প্রতিপক্ষ কী ধরনের। এই ধরনের খেলায় অসম্পূর্ণ তথ্য রয়েছে। বিস্তৃত আকারে এটি তথাকথিত হরসানাই রূপান্তর ব্যবহার করে সম্পূর্ণ কিন্তু অসম্পূর্ণ তথ্য সহ একটি খেলা হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এই রূপান্তরটি খেলাটিকে প্রকৃতির পছন্দ বা ঈশ্বরের পছন্দের ধারণার সাথে পরিচয় করিয়ে দেয়। একজন নিয়োগকর্তার সমন্বয়ে গঠিত একটি খেলার কথা বিবেচনা করুন যেখানে একজন চাকরির আবেদনকারীকে নিয়োগ করা হবে কি না তা বিবেচনা করা হবে। চাকরির আবেদনকারীর দক্ষতা দুটি জিনিসের মধ্যে একটি হতে পারেঃ উচ্চ বা নিম্ন। তাদের ক্ষমতার স্তর এলোমেলো; তাদের সম্ভাবনা 1/3 সহ কম ক্ষমতা বা সম্ভাবনা 2/3 সহ উচ্চ ক্ষমতা রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, প্রকৃতিকে অন্য ধরনের খেলোয়াড় হিসাবে মডেল করা সুবিধাজনক, যিনি সেই সম্ভাবনা অনুসারে আবেদনকারীর ক্ষমতা বেছে নেন। প্রকৃতিতে অবশ্য কোনও ফল পাওয়া যায় না। গেম ট্রি-তে একটি অ-পূর্ণ নোড দ্বারা প্রকৃতির পছন্দ প্রতিনিধিত্ব করা হয়। প্রকৃতির পছন্দের নোড থেকে আসা প্রান্তগুলি যে ঘটনার প্রতিনিধিত্ব করে তার সম্ভাব্যতা দিয়ে লেবেল করা হয়। বাম দিকের খেলাটি সম্পূর্ণ তথ্যের একটি (সমস্ত খেলোয়াড় এবং বেতন সকলের কাছে পরিচিত) তবে অসম্পূর্ণ তথ্যের (নিয়োগকর্তা জানেন না প্রকৃতির পদক্ষেপ কী ছিল)। প্রাথমিক নোডটি কেন্দ্রে থাকে এবং এটি ভরা হয় না, তাই প্রকৃতি প্রথমে সরে যায়। প্রকৃতি একই সম্ভাবনার সাথে খেলোয়াড় 1-এর ধরন নির্বাচন করে (যা এই খেলায় খেলা সাবগেমে বেতন নির্বাচন করার সমতুল্য), হয় টি1 বা টি2। খেলোয়াড় 1-এর এগুলির জন্য স্বতন্ত্র তথ্য সেট রয়েছে; অর্থাৎ। খেলোয়াড় 1 জানে যে তারা কোন ধরনের (এটি হওয়ার দরকার নেই)। যাইহোক, খেলোয়াড় 2 প্রকৃতির পছন্দ পর্যবেক্ষণ করে না। তারা খেলোয়াড় 1-এর ধরন জানে না; তবে, এই খেলায় তারা খেলোয়াড় 1-এর ক্রিয়া পর্যবেক্ষণ করে; অর্থাৎ। নিখুঁত তথ্য রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, সম্পূর্ণ তথ্যের উপরের সংজ্ঞাটি পরিবর্তন করা এখন উপযুক্তঃ খেলার প্রতিটি পর্যায়ে, প্রতিটি খেলোয়াড় জানে যে অন্য খেলোয়াড়রা কী খেলেছে। ব্যক্তিগত তথ্যের ক্ষেত্রে, প্রতিটি খেলোয়াড় জানে যে প্রকৃতি কী খেলেছে। তথ্য সেটগুলি আগের মতোই ভাঙা রেখা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। এই খেলায়, প্রকৃতি যদি খেলোয়াড় 1-এর ধরন হিসাবে টি1 নির্বাচন করে, তবে খেলাটি বর্ণিত প্রথম খেলার মতোই হবে, তবে খেলোয়াড় 2 এটি জানে না (এবং এটি তাদের তথ্যের মাধ্যমে কেটে গেলে এটি সাবগেমের অবস্থা থেকে অযোগ্য ঘোষণা করে)। একটি পৃথককারী নিখুঁত বায়েসিয়ান ভারসাম্য রয়েছে; অর্থাৎ। একটি ভারসাম্য যেখানে বিভিন্ন প্রকার বিভিন্ন কাজ করে। যদি উভয় প্রকার একই ক্রিয়া (পুলিং) করে, তবে একটি ভারসাম্য বজায় রাখা যায় না। যদি উভয়ই 'ডি' খেলে, তবে খেলোয়াড় 2 শুধুমাত্র এই বিশ্বাস তৈরি করতে পারে যে তারা সম্ভাবনা 1/2 সহ সেট করা তথ্যের যে কোনও নোডে রয়েছে (কারণ এটি যে কোনও প্রকার দেখার সুযোগ)। খেলোয়াড় 2 'ডি' খেলে তাদের বেতন সর্বাধিক করে। তবে, তারা যদি 'ডি' খেলে, তবে টাইপ 2 ইউ খেলতে পছন্দ করবে। এটা কোনো ভারসাম্য হতে পারে না। যদি উভয় প্রকারই ইউ খেলে, খেলোয়াড় 2 আবার বিশ্বাস তৈরি করে যে তারা 1/2 সম্ভাব্যতা সহ উভয় নোডে রয়েছে। এই ক্ষেত্রে খেলোয়াড় 2 'ডি' খেলে, কিন্তু তারপর টাইপ 1 'ডি' খেলতে পছন্দ করে। যদি টাইপ 1 'ইউ' খেলে এবং টাইপ 2 'ডি' খেলে, তবে খেলোয়াড় 2 'ডি' খেলবে যা তারা পর্যবেক্ষণ করে, কিন্তু তারপর টাইপ 1 'ডি' পছন্দ করে। তাই একমাত্র ভারসাম্য হল টাইপ 1 'ডি' খেলে, টাইপ 2 'ইউ' খেলে এবং খেলোয়াড় 2 'ইউ' খেলে যদি তারা 'ডি' পর্যবেক্ষণ করে এবং যদি তারা 'ইউ' পর্যবেক্ষণ করে তবে এলোমেলোভাবে। খেলোয়াড় 1 তাদের ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে খেলোয়াড় 2-কে তাদের প্রকারের সংকেত দিয়েছে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা, বিস্তৃত আকারে একটি সীমাবদ্ধ খেলা হল এমন একটি কাঠামো যেখানেঃ নোডের একটি সেট সহ একটি সীমাবদ্ধ গাছ, একটি অনন্য প্রাথমিক নোড, টার্মিনাল নোডের একটি সেট (ধরা যাক সিদ্ধান্ত নোডের একটি সেট) এবং একটি তাৎক্ষণিক পূর্বসূরি ফাংশন যার উপর খেলার নিয়মগুলি প্রতিনিধিত্ব করা হয়, একটি তথ্য পার্টিশন নামে পরিচিত একটি পার্টিশন, প্রতিটি তথ্য সেটের জন্য উপলব্ধ ক্রিয়াগুলির একটি সেট যা সমস্ত ক্রিয়াগুলির সেটের উপর একটি পার্টিশন গঠন করে। একটি ক্রিয়া বিভাজন যা প্রতিটি নোডকে একটি একক ক্রিয়ার সাথে যুক্ত করে, পূরণ করেঃ, অন-এর সীমাবদ্ধতা একটি বাইজেকশন, যার উত্তরসূরি নোডের সেট রয়েছে। খেলোয়াড়দের একটি সীমাবদ্ধ সেট, (একটি বিশেষ খেলোয়াড় যাকে বলা হয়) প্রকৃতি, এবং তথ্য সেটের একটি প্লেয়ার পার্টিশন। ধরা যাক একজন একক খেলোয়াড় যিনি নোডে একটি পদক্ষেপ নেন। এটি প্রকৃতির ক্রিয়াকলাপের সম্ভাবনার একটি পরিবার এবং এটি একটি পে-অফ প্রোফাইল ফাংশন। অসীম অ্যাকশন স্পেস এটি হতে পারে যে একজন খেলোয়াড়ের একটি নির্দিষ্ট সিদ্ধান্ত নোডে থেকে বেছে নেওয়ার জন্য অসীম সংখ্যক সম্ভাব্য ক্রিয়া রয়েছে। এটির প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত যন্ত্রটি হল একটি চাপ যা দুটি প্রান্তকে যুক্ত করে প্রশ্নযুক্ত সিদ্ধান্ত নোড থেকে বেরিয়ে আসে। যদি ক্রিয়া স্থানটি দুটি সংখ্যার মধ্যে একটি ধারাবাহিকতা হয়, তবে নীচের এবং উপরের সীমানা নির্ধারণকারী সংখ্যাগুলি যথাক্রমে বৃত্তের নীচে এবং শীর্ষে স্থাপন করা হয়, সাধারণত একটি পরিবর্তনশীল সহ যা অর্থ প্রদান প্রকাশ করতে ব্যবহৃত হয়। অসীম সংখ্যক সিদ্ধান্ত নোড যা ফলাফল হতে পারে তা চাপের কেন্দ্রে অবস্থিত একটি একক নোড দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। একটি অনুরূপ যন্ত্র ক্রিয়া স্থানগুলির প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয় যা অসীম না হলেও, প্রতিটি ক্রিয়ার জন্য একটি প্রান্ত দিয়ে প্রতিনিধিত্ব করার জন্য অবাস্তব প্রমাণিত হওয়ার মতো যথেষ্ট বড়। বাম দিকের গাছটি অসীম অ্যাকশন স্পেস (0 এবং 5000 এর মধ্যে যে কোনও বাস্তব সংখ্যা) বা খুব বড় অ্যাকশন স্পেস (সম্ভবত 0 এবং 5000 এর মধ্যে যে কোনও পূর্ণসংখ্যা) সহ এই জাতীয় খেলার প্রতিনিধিত্ব করে। এটি অন্য কোথাও নির্দিষ্ট করা হবে। এখানে, এটি অনুমান করা হবে যে এটি পূর্ববর্তী এবং, সুনির্দিষ্টতার জন্য, এটি স্ট্যাকেলবার্গ প্রতিযোগিতায় নিযুক্ত দুটি সংস্থার প্রতিনিধিত্ব করে বলে মনে করা হবে। সংস্থাগুলির বেতনগুলি বামদিকে প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তাদের গৃহীত কৌশল সহ এবং হিসাবে এবং কিছু ধ্রুবক হিসাবে (এখানে প্রতিটি ফার্মের জন্য প্রান্তিক খরচ)। এই গেমের সাবগেম নিখুঁত ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়া অনুসরণকারীর (ফার্ম 2) স্ট্র্যাটেজি ভেরিয়েবল ()-এর সাপেক্ষে প্রতিটি পেঅফ ফাংশনের প্রথম আংশিক ডেরিভেটিভ নিয়ে এবং এর সেরা প্রতিক্রিয়া ফাংশন খুঁজে বের করে পাওয়া যেতে পারে। নেতার ক্ষেত্রেও একই প্রক্রিয়া করা যেতে পারে, যদি না তার মুনাফা গণনা করার সময়, এটি জানে যে ফার্ম 2 উপরের প্রতিক্রিয়াটি পালন করবে এবং তাই এটি তার সর্বাধিক সমস্যা হিসাবে প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে। এরপরে এটি প্রথম ডেরিভেটিভ, ফলন গ্রহণ করে সমাধান করতে পারে। ফার্ম 2-এর সেরা প্রতিক্রিয়া ফাংশনে এটি খাওয়ানো, এবং এটি সাবগেম নিখুঁত ন্যাশ ভারসাম্য। আরও দেখুন নির্ধারণের স্বতঃসিদ্ধ নিখুঁত তথ্য সমন্বিত গেম তত্ত্ব স্ব-নিশ্চিতকরণ ভারসাম্য গেম সিগন্যালিং সলিউশন ধারণা রেফারেন্স ড্রেসের এম (1961)। কৌশলের খেলার গণিতঃ তত্ত্ব এবং প্রয়োগ (Ch4: বিস্তৃত আকারে খেলা, pp 74-78)। র্যান্ড কর্পোরেশন. ফুডেনবার্গ ডি এবং তিরোল জে। (1991) গেম থিওরি (সিএইচ3 এক্সটেনসিভ ফর্ম গেমস, পিপি 67-106)। এমআইটি প্রেস। । 88 পৃষ্ঠার একটি গাণিতিক ভূমিকা; 4 ও 5 অধ্যায় দেখুন। অনেক বিশ্ববিদ্যালয়ে অনলাইনে বিনামূল্যে। লুস আরডি। এবং রাইফা এইচ. (1957)। খেলা এবং সিদ্ধান্তঃ ভূমিকা এবং সমালোচনামূলক সমীক্ষা। (Ch3: এক্সটেনসিভ অ্যান্ড নরমাল ফর্মস, pp 39-55)। উইলি নিউ ইয়র্ক। অসবর্ন এমজে এবং রুবিনস্টাইন এ। 1994 সালে। গেম তত্ত্বের একটি কোর্স (নিখুঁত তথ্য সহ Ch6 এক্সটেনসিভ গেম, পৃ. 89-115)। এমআইটি প্রেস। । গণনামূলক দৃষ্টিকোণ থেকে একটি বিস্তৃত রেফারেন্স; অধ্যায় 5 দেখুন। অনলাইনে বিনামূল্যে ডাউনলোড করা যায়। আরও পড়া, 6.1, "গেম থিওরিতে বিপর্যয়" এবং 7.2 "পরিমাপযোগ্যতা (সংকল্পের স্বতঃসিদ্ধ)", সীমাবদ্ধ-কেস সংজ্ঞাটি অসীম সংখ্যক বিকল্পে (বা পদক্ষেপে) প্রসারিত করার সমস্যা নিয়ে আলোচনা করে ঐতিহাসিক গবেষণাপত্রে 1952 সাল থেকে প্রিন্সটনে কুনের বক্তৃতা রয়েছে (আনুষ্ঠানিকভাবে পূর্বে অপ্রকাশিত, তবে ফটোকপি হিসাবে প্রচলিত) গেম তত্ত্ব গেম ক্লাস