Random sequence
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানে একটি র্যান্ডম সিকোয়েন্সের ধারণা অপরিহার্য। ধারণাটি সাধারণত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রমের ধারণার উপর নির্ভর করে এবং অনেক পরিসংখ্যানগত আলোচনা "X1,., Xn স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল হোক" শব্দগুলি দিয়ে শুরু হয়। তবুও ডি. এইচ. লেহমার 1951 সালে বলেছিলেনঃ "একটি এলোমেলো ক্রম একটি অস্পষ্ট ধারণা. যেখানে প্রতিটি শব্দ অনভিজ্ঞদের কাছে অপ্রত্যাশিত এবং যাদের সংখ্যা পরিসংখ্যানবিদদের সাথে ঐতিহ্যগতভাবে নির্দিষ্ট সংখ্যক পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়।" স্বতঃসিদ্ধ সম্ভাব্যতা তত্ত্ব ইচ্ছাকৃতভাবে একটি এলোমেলো অনুক্রমের সংজ্ঞা এড়িয়ে চলে। ঐতিহ্যগত সম্ভাব্যতা তত্ত্ব কোনও নির্দিষ্ট ক্রম এলোমেলো কিনা তা বলে না, তবে সাধারণত এলোমেলোতার কিছু সংজ্ঞা ধরে নিয়ে এলোমেলো চলক এবং স্টোকাস্টিক ক্রমের বৈশিষ্ট্যগুলি নিয়ে আলোচনা করতে এগিয়ে যায়। বোরবাকি স্কুল এই বিবৃতিটিকে "আসুন আমরা একটি এলোমেলো ক্রম বিবেচনা করি" ভাষার অপব্যবহার হিসাবে বিবেচনা করে। প্রাথমিক ইতিহাস এমিল বোরেল ছিলেন প্রথম গণিতবিদদের মধ্যে একজন যিনি 1909 সালে এলোমেলো বিষয়টিকে আনুষ্ঠানিকভাবে সম্বোধন করেছিলেন। 1919 সালে রিচার্ড ভন মিসেস অ্যালগরিদমিক র্যান্ডমনেসের প্রথম সংজ্ঞা দিয়েছিলেন, যা বড় সংখ্যার সূত্র দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল, যদিও তিনি র্যান্ডম সিকোয়েন্সের পরিবর্তে সমষ্টিগত শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন। জুয়া পদ্ধতির অসম্ভবতার ধারণাটি ব্যবহার করে, ভন মিসেস শূন্য এবং একের একটি অসীম ক্রমকে এলোমেলো হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন যদি এটি ফ্রিকোয়েন্সি স্থায়িত্ব বৈশিষ্ট্য দ্বারা পক্ষপাতদুষ্ট না হয়। শূন্যের ফ্রিকোয়েন্সি এক-তৃতীয়াংশে যায় এবং নির্বাচনের "যথাযথ" পদ্ধতি দ্বারা আমরা এটি থেকে নির্বাচন করতে পারি এমন প্রতিটি উপ-ক্রমও পক্ষপাতদুষ্ট নয়। ভন মিসেস দ্বারা আরোপিত উপ-ক্রম নির্বাচনের মানদণ্ডটি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ যদিও 0101010101. পক্ষপাতদুষ্ট নয়, বিজোড় অবস্থানগুলি নির্বাচন করে আমরা 000000 পাই. যা এলোমেলো নয়। ভন মিসেস কখনই উপ-অনুক্রমের জন্য যথাযথ নির্বাচনের নিয়মের সংজ্ঞাটি সম্পূর্ণরূপে আনুষ্ঠানিক করেননি, তবে 1940 সালে অ্যালনজো চার্চ এটিকে যে কোনও পুনরাবৃত্তিমূলক ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন যা অনুক্রমের প্রথম এন উপাদানগুলি পড়ে সিদ্ধান্ত নেয় যে এটি উপাদান সংখ্যা এন + 1 নির্বাচন করতে চায় কিনা। চার্চ গণনাযোগ্য ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে অগ্রণী ছিলেন এবং তিনি যে সংজ্ঞা দিয়েছিলেন তা গণনার জন্য চার্চ টুরিং থিসিসের উপর নির্ভরশীল ছিল। এই সংজ্ঞাটিকে প্রায়শই মিসেস-চার্চ র্যান্ডমনেস বলা হয়। বিংশ শতাব্দীতে এলোমেলো ক্রম সংজ্ঞায়িত করার জন্য বিভিন্ন প্রযুক্তিগত পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছিল এবং এখন তিনটি স্বতন্ত্র দৃষ্টান্ত চিহ্নিত করা যেতে পারে। 1960-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে, এ. এন. কোলমোগোরভ এবং ডি. ডব্লিউ. লাভল্যান্ড স্বাধীনভাবে আরও অনুমতিমূলক নির্বাচনের নিয়মের প্রস্তাব দেন। তাদের দৃষ্টিতে চার্চের পুনরাবৃত্তিমূলক ক্রিয়াকলাপের সংজ্ঞাটি খুব সীমাবদ্ধ ছিল কারণ এটি উপাদানগুলিকে ক্রমানুসারে পড়ে। পরিবর্তে তারা আংশিকভাবে গণনাযোগ্য প্রক্রিয়ার উপর ভিত্তি করে একটি নিয়মের প্রস্তাব দেয় যা অনুক্রমের যে কোনও এন উপাদান পড়ার পরে, সিদ্ধান্ত নেয় যে এটি অন্য কোনও উপাদান নির্বাচন করতে চায় যা এখনও পড়া হয়নি। এই সংজ্ঞাটিকে প্রায়শই কোলমোগোরভ-লাভল্যান্ড স্টোকাস্টিসিটি বলা হয়। কিন্তু এই পদ্ধতিটি আলেকজান্ডার শেন দ্বারা খুব দুর্বল বলে বিবেচিত হয়েছিল যিনি দেখিয়েছিলেন যে একটি কোলমোগোরভ-লাভল্যান্ড স্টোকাস্টিক ক্রম রয়েছে যা এলোমেলোতার সাধারণ ধারণার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। 1966 সালে পার মার্টিন-লোফ একটি নতুন ধারণা চালু করেন যা এখন সাধারণত অ্যালগরিদমিক র্যান্ডমনেসের সবচেয়ে সন্তোষজনক ধারণা হিসাবে বিবেচিত হয়। তাঁর মূল সংজ্ঞায় পরিমাপ তত্ত্ব অন্তর্ভুক্ত ছিল, তবে পরে এটি দেখানো হয়েছিল যে এটি কোলমোগোরভের জটিলতার পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। কোলমোগোরভের র্যান্ডম স্ট্রিংয়ের সংজ্ঞা ছিল যে, সর্বজনীন টুরিং মেশিনের মাধ্যমে যদি নিজের চেয়ে ছোট কোনও বর্ণনা না থাকে তবে এটি র্যান্ডম হয়। এলোমেলো ক্রম নিয়ে কাজ করার জন্য তিনটি মৌলিক দৃষ্টান্ত এখন আবির্ভূত হয়েছেঃ ফ্রিকোয়েন্সি/পরিমাপ-তাত্ত্বিক পদ্ধতি। এই পদ্ধতিটি রিচার্ড ভন মিসেস এবং অ্যালনজো চার্চের কাজ দিয়ে শুরু হয়েছিল। 1960-এর দশকে পার মার্টিন-লোফ লক্ষ্য করেন যে এই ধরনের ফ্রিকোয়েন্সি-ভিত্তিক স্টোকাস্টিক বৈশিষ্ট্য কোডিং সেটগুলি একটি বিশেষ ধরনের পরিমাপ শূন্য সেট এবং সমস্ত কার্যকরভাবে শূন্য সেট পরিমাপ বিবেচনা করে আরও সাধারণ এবং মসৃণ সংজ্ঞা পাওয়া যেতে পারে। জটিলতা/সংকোচনযোগ্যতা পদ্ধতি। লিওনিড লেভিন এবং গ্রেগরি চাইটিন-এর অবদানের পাশাপাশি এ. এন. কোলমোগোরভ এই দৃষ্টান্তকে সমর্থন করেছিলেন। সীমাবদ্ধ ক্রমের জন্য, কোলমোগোরভ n দৈর্ঘ্যের একটি বাইনারি স্ট্রিংয়ের এলোমেলো অবস্থাকে এনট্রপি (বা কোলমোগোরভ জটিলতা) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেন যা n দৈর্ঘ্য দ্বারা স্বাভাবিক করা হয়। অন্য কথায়, যদি স্ট্রিংয়ের কোলমোগোরভ জটিলতা n এর কাছাকাছি হয় তবে এটি খুব এলোমেলো হয়; যদি জটিলতা n এর অনেক নিচে থাকে তবে এটি এত এলোমেলো নয়। যাদৃচ্ছিকতার দ্বৈত ধারণাটি সংকোচনযোগ্যতা-একটি ক্রম যত বেশি এলোমেলো হয়, তত কম সংকোচনযোগ্য এবং তদ্বিপরীত। পূর্বাভাসের পদ্ধতি। এই দৃষ্টান্তটি ক্লজ পি. স্নোরের কারণে এবং ঐতিহ্যবাহী সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ব্যবহৃত মার্টিঙ্গেলসের তুলনায় গঠনমূলক মার্টিঙ্গেলসের সামান্য ভিন্ন সংজ্ঞা ব্যবহার করে। স্নোর দেখিয়েছেন যে কীভাবে একটি নির্বাচিত বাজি কৌশলের অস্তিত্ব পক্ষপাতদুষ্ট উপ-অনুক্রমের জন্য একটি নির্বাচন নিয়মের অস্তিত্বকে বোঝায়। যদি কোনও ক্রমানুসারে গঠনমূলকভাবে সফল হওয়ার পরিবর্তে কোনও ক্রমানুসারে সফল হওয়ার জন্য শুধুমাত্র একটি পুনরাবৃত্তিমূলক মার্টিঙ্গেলের প্রয়োজন হয়, তবে কেউ পুনরাবৃত্তিমূলক এলোমেলোতার ধারণাটি পায়। ইয়ংগে ওয়াং দেখিয়েছেন যে পুনরাবৃত্তিমূলক র্যান্ডমনেস ধারণাটি স্নোরের র্যান্ডমনেস ধারণা থেকে আলাদা। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, তিনটি দৃষ্টান্ত (প্রায়শই সমতুল্য) সম্পর্কিত উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে। আরও দেখুন র্যান্ডমনেসের ইতিহাস র্যান্ডম নম্বর জেনারেটর র্যান্ডমনেসের সাতটি অবস্থা পরিসংখ্যানগত র্যান্ডমনেস রেফারেন্স সার্জিও বি ভলচান র্যান্ডম সিকোয়েন্স কী? দ্য আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল মান্থলি, খণ্ড। 109, 2002, পৃ. 46-63 নোটস এক্সটার্নাল লিঙ্ক ফ্রিকোয়েন্সি স্থিতিশীলতার উপর ভিডিও। মানুষ কেন টেরি রিটার সিকোয়েন্স এবং সিরিজ স্ট্যাটিস্টিক্যাল র্যান্ডমনেস দ্বারা এলোমেলোভাবে র্যান্ডমনেস পরীক্ষা "অনুমান" করতে পারে না