Plancherel measure
গণিতে, প্ল্যানচেরেল পরিমাপ হল একটি পরিমাপ যা স্থানীয়ভাবে সংক্ষিপ্ত গোষ্ঠীর অপরিবর্তনীয় একক উপস্থাপনার সেটের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা বর্ণনা করে যে নিয়মিত উপস্থাপনাটি কীভাবে অপরিবর্তনীয় একক উপস্থাপনায় বিভক্ত হয়। কিছু ক্ষেত্রে প্ল্যানচেরেল পরিমাপ শব্দটি বিশেষভাবে প্রয়োগ করা হয় এই প্রসঙ্গে যে গোষ্ঠীটি সীমাবদ্ধ প্রতিসম গোষ্ঠী-নীচে দেখুন। প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বে তাঁর কাজের জন্য সুইস গণিতবিদ মিশেল প্ল্যানচেরেলের নামে এর নামকরণ করা হয়েছে। সসীম গোষ্ঠীগুলির সংজ্ঞা একটি সসীম গোষ্ঠী হিসাবে ধরা যাক, আমরা এর অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলির সেটকে দ্বারা নির্দেশ করি। সেটের উপর সংশ্লিষ্ট প্ল্যানচেরেল পরিমাপ কোথায় দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার মাত্রা নির্দেশ করে। প্রতিসম গোষ্ঠীর সংজ্ঞা একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ কেস হল সসীম প্রতিসম গ্রুপের ক্ষেত্রে, যেখানে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এই গোষ্ঠীর জন্য, অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার সেটটি এর পূর্ণসংখ্যা বিভাজনের সেটের সাথে প্রাকৃতিক বাইজেকশনে থাকে। একটি পূর্ণসংখ্যা বিভাজনের সাথে যুক্ত একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার জন্য, এর মাত্রাটি আকৃতির স্ট্যান্ডার্ড ইয়ং ট্যাবলোগুলির সংখ্যার সমান হিসাবে পরিচিত, তাই এই ক্ষেত্রে প্ল্যানচেরেল পরিমাপকে প্রায়শই প্রদত্ত ক্রম n-এর পূর্ণসংখ্যা বিভাজনের সেটের একটি পরিমাপ হিসাবে বিবেচনা করা হয়। অ্যাপ্লিকেশন প্ল্যানচেরেল পরিমাপ স্বাভাবিকভাবেই সমন্বিত এবং সম্ভাব্য সমস্যাগুলিতে উপস্থিত হয়, বিশেষত একটি এলোমেলো বিন্যাসের দীর্ঘতম ক্রমবর্ধমান পরবর্তী অধ্যয়নের ক্ষেত্রে। সেই ক্ষেত্রে এর গুরুত্বের ফলস্বরূপ, অনেক বর্তমান গবেষণা পত্রে প্ল্যানচেরেল পরিমাপ শব্দটি প্রায় একচেটিয়াভাবে প্রতিসম গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে বোঝায়। দীর্ঘতম ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রম রবিনসন-শেনস্টেড চিঠিপত্রের সাথে সম্পর্কিত তরুণ ট্যাবলোগুলির আকারকে বোঝানো যাক। তারপর নিম্নলিখিত পরিচয়টি থাকেঃ যেখানে এর প্রথম সারির দৈর্ঘ্য বোঝায়। উপরন্তু, রবিনসন-শেনস্টেড চিঠিপত্রটি যে দ্বি-উদ্দেশ্যমূলক তা থেকে এটি অনুসরণ করা হয় যে এর বিতরণ ঠিক প্ল্যানচেরেল পরিমাপ। সুতরাং, এর আচরণ বোঝার জন্য, প্ল্যানচেরেল পরিমাপ অনুযায়ী নির্বাচিত হওয়া স্বাভাবিক, কারণ এই দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একই সম্ভাব্যতা বন্টন রয়েছে। প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য পয়সোনাইজড প্ল্যানচেরেল পরিমাপ প্ল্যানচেরেল পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করা হয়। অ্যাস-এর অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের বিভিন্ন গবেষণায়, পরিমাপকে সমস্ত পূর্ণসংখ্যা বিভাজনের সেটে পয়সোনাইজড প্ল্যানচেরেল পরিমাপ নামে একটি পরিমাপে প্রসারিত করা কার্যকর প্রমাণিত হয়েছে। যে কোনও ক্ষেত্রে, সেটের প্যারামিটার সহ পয়সোনাইজড প্ল্যানচেরেল পরিমাপ সকলের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্ল্যানচেরেল বৃদ্ধি প্রক্রিয়া প্ল্যানচেরেল বৃদ্ধি প্রক্রিয়া হল তরুণ চিত্রগুলির একটি এলোমেলো ক্রম যাতে প্রতিটি ক্রমের একটি এলোমেলো তরুণ চিত্র যার সম্ভাব্যতা বন্টন হল nতম প্ল্যানচেরেল পরিমাপ, এবং প্রতিটি ধারাবাহিকতা তার পূর্বসূরি থেকে একটি একক বাক্স যোগ করে প্রাপ্ত হয়, যে কোনও প্রদত্ত তরুণ চিত্রের এবং যথাক্রমে n−1 এবং n আকারের রূপান্তর সম্ভাবনা অনুসারে। সুতরাং, প্ল্যানচেরেল বৃদ্ধি প্রক্রিয়াটিকে সমস্ত প্রতিসম গোষ্ঠীর বিভিন্ন প্ল্যানচেরেল পরিমাপের একটি প্রাকৃতিক সংযোগ হিসাবে দেখা যেতে পারে, অথবা বিকল্পভাবে ইয়ং-এর জালের উপর একটি এলোমেলো হাঁটা হিসাবে দেখা যেতে পারে। এটা দেখানো কঠিন নয় যে এই হাঁটার সম্ভাব্যতা বন্টন প্ল্যানচেরেল পরিমাপের সাথে মিলে যায়। কম্প্যাক্ট গ্রুপ কম্প্যাক্ট গ্রুপের জন্য প্ল্যানচেরেল পরিমাপ সসীম গোষ্ঠীর জন্য একই রকম, তবে পরিমাপ সসীম হওয়ার প্রয়োজন নেই। একক দ্বৈত হল সসীম-মাত্রিক উপস্থাপনার একটি বিচ্ছিন্ন সেট, এবং একটি অপরিবর্তনীয় সসীম-মাত্রিক উপস্থাপনার প্ল্যানচেরেল পরিমাপ তার মাত্রার সাথে আনুপাতিক। আবেলিয়ান গোষ্ঠী স্থানীয়ভাবে সংহত আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একক দ্বৈত আরেকটি স্থানীয়ভাবে সংহত আবেলিয়ান গোষ্ঠী, এবং প্ল্যানচেরেল পরিমাপ দ্বৈত গোষ্ঠীর হার পরিমাপের সাথে আনুপাতিক। সেমি-সিম্পল লাই গ্রুপ হরিশ-চন্দ্র অর্ধ-সিম্পল লাই গ্রুপের জন্য প্ল্যানচেরেল পরিমাপ আবিষ্কার করেছিলেন। সমর্থন হ 'ল টেম্পার্ড উপস্থাপনাগুলির সেট, এবং বিশেষত সমস্ত একক উপস্থাপনা সমর্থনে ঘটে না। তথ্যসূত্র উপস্থাপনা তত্ত্ব