Alternating group
গণিতে, একটি বিকল্প গ্রুপ হল একটি সসীম সেটের জোড় বিন্যাসের গ্রুপ। উপাদানগুলির একটি সেটের বিকল্প গ্রুপকে বলা হয় ডিগ্রির বিকল্প গ্রুপ, বা অক্ষরের উপর বিকল্প গ্রুপ এবং দ্বারা চিহ্নিত বা মৌলিক বৈশিষ্ট্য কারণ, গ্রুপ এ হল সূচক 2 সহ প্রতিসম গ্রুপ এসএন-এর বিনিময়কারী উপগোষ্ঠী এবং তাই এর এন!/2 উপাদান রয়েছে। এটি প্রতিসম গোষ্ঠীর অধীনে ব্যাখ্যা করা স্বাক্ষর গোষ্ঠী সমরূপতার কার্নেল। গ্রুপ এন আবেলিয়ান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং সহজ যদি এবং শুধুমাত্র যদি বা। A5 হল ক্ষুদ্রতম অ-আবেলিয়ান সরল গোষ্ঠী, যার ক্রম 60, এবং ক্ষুদ্রতম অ-সমাধানযোগ্য গোষ্ঠী। গ্রুপ এ4-এর একটি যথাযথ স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী হিসাবে ক্লেইন চার-গ্রুপ ভি রয়েছে, যথা আইডেন্টিটি এবং ডাবল ট্রান্সপজিশন, যা এ4-এর উপরে উত্থানের কার্নেল। আমাদের সঠিক ক্রম আছে। গ্যালোয়া তত্ত্বে, এই মানচিত্র, বা বরং সংশ্লিষ্ট মানচিত্র, ল্যাগ্রাঞ্জ দ্রাবক ঘনকে একটি কোয়ার্টিকের সাথে সংযুক্ত করার সাথে মিলে যায়, যা লোডোভিকো ফেরারি দ্বারা প্রতিষ্ঠিত কোয়ার্টিক বহুপদকে র্যাডিকেল দ্বারা সমাধান করার অনুমতি দেয়। সংযোগের শ্রেণীগুলি প্রতিসম গোষ্ঠীর মতো, 'এ'-এর যে কোনও দুটি উপাদান যা 'এ'-এর একটি উপাদান দ্বারা সংযুক্ত থাকে, তাদের অবশ্যই একই চক্রের আকৃতি থাকতে হবে। যাইহোক, বিপরীতটি অবশ্যই সত্য নয়। যদি চক্রের আকৃতিটি শুধুমাত্র বিজোড় দৈর্ঘ্যের চক্র নিয়ে গঠিত হয় যার কোনও দুটি চক্র একই দৈর্ঘ্যের না হয়, যেখানে দৈর্ঘ্যের একটির চক্র চক্রের ধরণে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে এই চক্রের আকৃতির জন্য ঠিক দুটি সংযুক্তি শ্রেণী রয়েছে। উদাহরণস্বরূপঃ দুটি বিন্যাস (123) এবং (132) এ3-তে সংযুক্ত নয়, যদিও তাদের চক্রের আকৃতি একই, এবং তাই এস3-তে সংযুক্ত। ক্রমানুবর্তিতা (123) (45678) A8-এ তার বিপরীত (132) (48765)-এর সাথে সংযুক্ত নয়, যদিও দুটি ক্রমানুবর্তিতার একই চক্র আকৃতি রয়েছে, তাই তারা S8-এ সংযুক্ত। প্রতিসম গোষ্ঠীর সঙ্গে সম্পর্ক দেখুন প্রতিসম গোষ্ঠী। যেহেতু সসীম প্রতিসম গোষ্ঠীগুলি সসীম উপাদানগুলির সাথে একটি সেটের সমস্ত বিন্যাসের গোষ্ঠী, এবং বিকল্প গোষ্ঠীগুলি জোড় বিন্যাসের গোষ্ঠী, বিকল্প গোষ্ঠীগুলি সসীম প্রতিসম গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠী। জেনারেটর এবং সম্পর্ক n ≤ 3-এর জন্য, একটি 3-চক্র দ্বারা উত্পন্ন হয়, যেহেতু 3-চক্র জোড়া স্থানান্তরের সংমিশ্রণে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। এই জেনারেটিং সেটটি প্রায়শই প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয় যে অ্যান এর জন্য সহজ। অটোমর্ফিজম গ্রুপ কারণ, ব্যতীত, এন-এর অটোমর্ফিজম গ্রুপ হল প্রতিসম গ্রুপ এস. এন, অভ্যন্তরীণ অটোমর্ফিজম গ্রুপ এন এবং বাইরের অটোমর্ফিজম গ্রুপ জেড 2 সহ; বাইরের অটোমর্ফিজম একটি বিজোড় বিন্যাস দ্বারা সংমিশ্রণ থেকে আসে। এবং 2-এর জন্য, অটোমরফিজম গ্রুপটি তুচ্ছ। অটোমরফিজম গ্রুপের জন্য Z2, তুচ্ছ অভ্যন্তরীণ অটোমরফিজম গ্রুপ এবং বাইরের অটোমরফিজম গ্রুপ Z2 সহ। এ6-এর বাইরের অটোমরফিজম গ্রুপ হল ক্লেইন চার-গ্রুপ, এবং এস6-এর বাইরের অটোমরফিজমের সাথে সম্পর্কিত। এ6-এর অতিরিক্ত বাইরের অটোমরফিজম 3-চক্রকে (যেমন (123)) 32 (যেমন) আকৃতির উপাদানগুলির সাথে অদলবদল করে। ব্যতিক্রমী সমরূপতা কিছু ছোট বিকল্প গোষ্ঠী এবং লাই ধরনের ছোট গোষ্ঠীর মধ্যে কিছু ব্যতিক্রমী সমরূপতা রয়েছে, বিশেষ করে প্রজেক্টিভ বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী। এগুলি হলঃ এ4 হল পিএসএল2 (3)-এর সমতুল্য এবং কাইরাল টেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্যের প্রতিসাম্য গোষ্ঠী। এ5 পিএসএল2 (4), পিএসএল2 (5) এবং কাইরাল আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্যের প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর সমরূপ। (ক্রম 60-এর সহজ গোষ্ঠীগুলির শ্রেণিবিন্যাস ব্যবহার করার একটি পরোক্ষ সমরূপতা দেখুন, এবং এখানে একটি সরাসরি প্রমাণের জন্য)। এ6 পিএসএল2 (9) এবং পিএসপি4 (2) '-এর সমতুল্য। এ8 পিএসএল4 (2)-এর সমতুল্য। আরও স্পষ্টতই, A3 চক্রাকার গ্রুপ Z3-এর সমরূপ, এবং A0, A1, এবং A2 তুচ্ছ গ্রুপের সমরূপ (যা যে কোনও q-এর জন্যও)। উদাহরণ S4 এবং A4 3-স্থান আবর্তনের একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে উদাহরণ A5 হল 3-স্থানের একটি ডোডেকাহেড্রনের আইসোমেট্রিগুলির গ্রুপ, তাই একটি উপস্থাপনা রয়েছে। এই ছবিতে পলিহেড্রার শীর্ষগুলি গোষ্ঠীর উপাদানগুলির প্রতিনিধিত্ব করে, গোলকের কেন্দ্রটি পরিচয় উপাদানটির প্রতিনিধিত্ব করে। প্রতিটি শীর্ষবিন্দু রেডিয়ানে, উৎপত্তিস্থল থেকে দূরত্বের সমান কোণ দ্বারা, কেন্দ্র থেকে সেই শীর্ষে নির্দেশিত অক্ষের চারপাশে একটি আবর্তনের প্রতিনিধিত্ব করে। একই পলিহেড্রনের ভার্টিসগুলি একই কনজুগেসি শ্রেণীতে থাকে। যেহেতু A5-এর জন্য কনজুগেসি শ্রেণীর সমীকরণ হল, তাই আমরা চারটি স্বতন্ত্র (অ-তুচ্ছ) পলিহেড্রা পাই। প্রতিটি পলিহেড্রনের শীর্ষগুলি তার কনজুগেসি শ্রেণীর উপাদানগুলির সাথে বাইজেক্টিভ যোগাযোগে থাকে, (2,2)-চক্রের কনজুগেসি শ্রেণীর ব্যতীত, যা বাইরের পৃষ্ঠে একটি আইকোসিডোডেকাহেড্রন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যার অ্যান্টিপোডাল শীর্ষগুলি একে অপরের সাথে চিহ্নিত করা হয়। এই অপ্রয়োজনীয়তার কারণ হল সংশ্লিষ্ট ঘূর্ণনগুলি রেডিয়ান দ্বারা হয় এবং তাই দুটি দিকের যে কোনও একটিতে দৈর্ঘ্যের ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। এইভাবে (2,2)-চক্রের শ্রেণীতে 15টি উপাদান রয়েছে, যেখানে আইকোসিডোডেকাহেড্রনের 30টি শীর্ষ রয়েছে। এ5-এ বারোটি 5-চক্রের দুটি সংযুক্তি শ্রেণী যথাক্রমে 2/5 এবং 4/5 ব্যাসার্ধের দুটি আইকোসাহেড্রা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। অ-তুচ্ছ বাহ্যিক অটোমরফিজম এই দুটি শ্রেণী এবং সংশ্লিষ্ট আইকোসাহেড্রাকে বিনিময় করে। উদাহরণস্বরূপঃ 15 টি ধাঁধা এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে 15 টি ধাঁধা, স্লাইডিং ধাঁধার একটি বিখ্যাত উদাহরণ, বিকল্প গ্রুপ এ 15 দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, কারণ 15 টি ধাঁধার সংমিশ্রণ 3-চক্র দ্বারা তৈরি করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, সমান আকারের বর্গাকার টাইল সহ যে কোনও স্লাইডিং ধাঁধা A2k−1 দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। উপগোষ্ঠী এ4 হল সবচেয়ে ছোট গোষ্ঠী যা দেখায় যে ল্যাগ্রাঞ্জের উপপাদ্যের বিপরীতটি সাধারণভাবে সত্য নয়ঃ একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী জি এবং এর একটি বিভাজক ডি দেওয়া হলে, ডি ক্রম সহ জি-এর একটি উপগোষ্ঠী অপরিহার্যভাবে বিদ্যমান নেইঃ 12 ক্রমের গোষ্ঠীর 6 ক্রমের কোনও উপগোষ্ঠী নেই। তিনটি উপাদানের একটি উপগোষ্ঠী (তিনটি বস্তুর একটি চক্রাকার ঘূর্ণন দ্বারা উত্পন্ন) যে কোনও স্বতন্ত্র অ-তুচ্ছ উপাদান সহ পুরো গোষ্ঠী তৈরি করে। সবকিছুর জন্য, অ্যান-এর কোনও অ-তুচ্ছ (অর্থাৎ, যথাযথ) স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী নেই। সুতরাং, আন হল সকলের জন্য একটি সহজ গ্রুপ। A5 হল সবচেয়ে ছোট অ-সমাধানযোগ্য গ্রুপ। গ্রুপ হোমোলজি পর্যায়ক্রমিক গোষ্ঠীগুলির গ্রুপ হোমোলজি স্থিতিশীলতা প্রদর্শন করে, যেমন স্থিতিশীল হোমোটপি তত্ত্বেঃ পর্যাপ্ত বড় এন-এর জন্য, এটি ধ্রুবক। তবে, কিছু নিম্ন-মাত্রিক ব্যতিক্রমী সমরূপতা রয়েছে। লক্ষ্য করুন যে প্রতিসম গোষ্ঠীর সমরূপতা অনুরূপ স্থিতিশীলতা প্রদর্শন করে, তবে নিম্ন-মাত্রিক ব্যতিক্রম (অতিরিক্ত সমরূপতা উপাদান) ছাড়া। এইচ1: আবেলিয়ানাইজেশন প্রথম সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীটি আবেলিয়ানাইজেশনের সাথে মিলে যায় এবং (যেহেতু উদ্ধৃত ব্যতিক্রমগুলি ব্যতীত এন নিখুঁত) এইভাবেঃ এইচ1 (এন, জেড) = জেড1 জন্য এন = 0,1,2; এইচ1 (এ3, জেড) = এ = এ3 = জেড3; এইচ1 (এ4, জেড) = এ = জেড3; এইচ1 (এন, জেড) = জেড1 জন্য এন ≤5। এটি সহজেই সরাসরি দেখা যায়, নিম্নরূপ। একটি 3-চক্র দ্বারা উৎপন্ন হয়-তাই শুধুমাত্র অ-তুচ্ছ আবেলিয়ানাইজেশন মানচিত্রগুলি হল যেহেতু ক্রম-3 উপাদানগুলিকে অবশ্যই ক্রম-3 উপাদানগুলির সাথে মানচিত্র করতে হবে-এবং সমস্ত 3-চক্রের জন্য সংযুগ্ম, তাই তাদের আবেলিয়ানাইজেশনে একই উপাদানের সাথে মানচিত্র তৈরি করতে হবে, যেহেতু আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলিতে সংমিশ্রণ তুচ্ছ। সুতরাং (123)-এর মতো একটি 3-চক্রকে অবশ্যই তার বিপরীত (321) হিসাবে একই উপাদানের সাথে মানচিত্র তৈরি করতে হবে, তবে এইভাবে অবশ্যই পরিচয়ের সাথে মানচিত্র তৈরি করতে হবে, কারণ এর পরে অবশ্যই 2 এবং 3 কে ভাগ করার ক্রম থাকতে হবে, তাই আবেলিয়ানাইজেশনটি তুচ্ছ। কারণ, অ্যান হল তুচ্ছ, এবং তাই এর তুচ্ছ অবিলিয়ানাইজেশন রয়েছে। এ3 এবং এ4-এর জন্য কেউ সরাসরি আবেলিয়ানাইজেশন গণনা করতে পারে, উল্লেখ করে যে 3-চক্র দুটি কনজুগেসি ক্লাস গঠন করে (সমস্ত কনজুগেট হওয়ার পরিবর্তে) এবং অ-তুচ্ছ মানচিত্র রয়েছে (আসলে একটি আইসোমরফিজম) এবং। H2: শুর মাল্টিপ্লায়ার বিকল্প গ্রুপগুলির শুর মাল্টিপ্লায়ার একটি (যেখানে n কমপক্ষে 5 হয়) হল ক্রম 2-এর চক্রাকার গ্রুপ, যেখানে n হয় 6 বা 7, এই ক্ষেত্রে একটি ট্রিপল কভারও থাকে। এই ক্ষেত্রে, শুর গুণক হল ক্রম 6-এর (চক্রাকার গোষ্ঠী)। এগুলি প্রথমে গণনা করা হয়েছিল। n = 1,2,3-এর জন্য H2 (an, Z) = Z1; n = 4,5-এর জন্য H2 (an, Z) = Z2; n = 6,7-এর জন্য H2 (an, Z) = Z6; n ≤ 8-এর জন্য H2 (an, Z) = Z2। বিবরণ বাহ্যিক লিঙ্ক সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী বিন্যাস গোষ্ঠী