Bounded set
গাণিতিক বিশ্লেষণ এবং গণিতের সম্পর্কিত ক্ষেত্রগুলিতে, একটি সেটকে আবদ্ধ বলা হয় যদি এটি একটি নির্দিষ্ট অর্থে সীমাবদ্ধ পরিমাপের হয়। বিপরীতভাবে, একটি সেট যা আবদ্ধ নয় তাকে সীমাহীন বলা হয়। সংশ্লিষ্ট মেট্রিক ছাড়া সাধারণ টপোলজিকাল স্পেসে "বাউন্ডেড" শব্দের কোনও অর্থ হয় না। সীমানা একটি স্বতন্ত্র ধারণাঃ উদাহরণস্বরূপ, বিচ্ছিন্নভাবে একটি বৃত্ত একটি সীমাহীন আবদ্ধ সেট, যেখানে অর্ধ সমতল সীমাহীন তবুও একটি সীমানা রয়েছে। একটি আবদ্ধ সেট অপরিহার্যভাবে একটি বদ্ধ সেট নয় এবং তদ্বিপরীত। উদাহরণস্বরূপ, একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় সংজ্ঞায়িত দুটি প্যারাবোলিক বক্ররেখা x2 + 1 এবং x2-1 দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি দ্বিমাত্রিক বাস্তব স্থান R2-এর একটি উপসেট S বক্ররেখা দ্বারা বন্ধ করা হয় তবে আবদ্ধ নয় (তাই সীমাহীন)। বাস্তব সংখ্যার সংজ্ঞা বাস্তব সংখ্যার একটি সেট S-কে উপর থেকে আবদ্ধ বলা হয় যদি কোনও বাস্তব সংখ্যা k থাকে (S-এ অপরিহার্য নয়) যেমন S-এ সমস্ত s-এর জন্য k ≤ s থাকে। একটি সেট এস আবদ্ধ হয় যদি এর উপরের এবং নীচের উভয় সীমা থাকে। অতএব, বাস্তব সংখ্যার একটি সেট সীমাবদ্ধ হয় যদি এটি একটি সীমাবদ্ধ ব্যবধানের মধ্যে থাকে। একটি মেট্রিক স্পেসে সংজ্ঞা একটি মেট্রিক স্পেসের (এম, ডি) একটি উপসেট এস সীমাবদ্ধ থাকে যদি r> 0 থাকে যাতে এস-এ সমস্ত এস এবং টি-এর জন্য আমাদের ডি (এস, টি) <আর থাকে। মেট্রিক স্পেস (এম, ডি) একটি সীমাবদ্ধ মেট্রিক স্পেস (বা একটি সীমাবদ্ধ মেট্রিক) যদি এম নিজেই একটি উপসেট হিসাবে আবদ্ধ থাকে। মোট সীমাবদ্ধতা বোঝায় সীমাবদ্ধতা। আরএন-এর উপসেটগুলির জন্য দুটি সমতুল্য। একটি মেট্রিক স্পেস কম্প্যাক্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সম্পূর্ণ এবং সম্পূর্ণভাবে আবদ্ধ হয়। ইউক্লিডীয় স্থান আরএন-এর একটি উপসেট কম্প্যাক্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি বন্ধ এবং আবদ্ধ থাকে। একে হাইনে-বোরেল উপপাদ্যও বলা হয়। টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেসে সীমানা টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেসে, সীমাবদ্ধ সেটগুলির জন্য একটি ভিন্ন সংজ্ঞা বিদ্যমান যা কখনও কখনও ভন নিউম্যান সীমানা বলা হয়। যদি টপোলজিক্যাল ভেক্টর স্পেসের টপোলজি একটি মেট্রিক দ্বারা প্ররোচিত হয় যা সমজাতীয়, যেমন একটি মেট্রিকের ক্ষেত্রে আদর্শ ভেক্টর স্পেসের আদর্শ দ্বারা প্ররোচিত হয়, তবে দুটি সংজ্ঞা মিলে যায়। ক্রম তত্ত্বে সীমাবদ্ধতা বাস্তব সংখ্যার একটি সেট সীমাবদ্ধ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির একটি উচ্চ এবং নিম্ন সীমা থাকে। এই সংজ্ঞাটি যে কোনও আংশিকভাবে সাজানো সেটের উপসেটগুলিতে প্রসারিত হতে পারে। লক্ষ্য করুন যে সীমাবদ্ধতার এই আরও সাধারণ ধারণাটি "আকার" ধারণার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। আংশিকভাবে সাজানো সেট পি-এর একটি উপসেট এস-কে উপরে আবদ্ধ বলা হয় যদি পি-তে এমন কোনও উপাদান থাকে যা এস-এর সমস্ত এস-এর জন্য কে ≤ এস হয়। (উপরের এবং নীচের সীমানাও দেখুন।) আংশিকভাবে সাজানো সেট পি-এর একটি উপসেট এস-কে আবদ্ধ বলা হয় যদি এর উপরের এবং নীচের উভয় সীমা থাকে, অথবা সমতুল্যভাবে, যদি এটি একটি ব্যবধানের মধ্যে থাকে। লক্ষ্য করুন যে এটি কেবল সেট এস-এর একটি বৈশিষ্ট্য নয়, পি-এর উপসেট হিসাবে সেট এস-এর একটিও। একটি আবদ্ধ পজিট পি (অর্থাৎ, নিজেই, উপসেট হিসাবে নয়) হল এমন একটি যার একটি ন্যূনতম উপাদান এবং একটি বৃহত্তম উপাদান রয়েছে। লক্ষ্য করুন যে সীমাবদ্ধতার এই ধারণার সাথে সীমাবদ্ধ আকারের কোনও সম্পর্ক নেই এবং একটি সীমাবদ্ধ অবস্থানের পি-এর একটি উপসেট এস-এর সাথে পি-এর ক্রমের সীমাবদ্ধতা অপরিহার্যভাবে একটি সীমাবদ্ধ অবস্থান নয়। আরএন-এর একটি উপসেট এস ইউক্লিডীয় দূরত্বের সাপেক্ষে আবদ্ধ থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি পণ্য ক্রমের সাথে আরএন-এর উপসেট হিসাবে আবদ্ধ থাকে। যাইহোক, এস-কে অভিধানগত ক্রমের সাথে আরএন-এর উপসেট হিসাবে আবদ্ধ করা যেতে পারে, তবে ইউক্লিডীয় দূরত্বের সাপেক্ষে নয়। ক্রমিক সংখ্যার একটি শ্রেণীকে সীমাহীন বা কো-ফাইনাল বলা হয়, যখন কোনও ক্রমিক দেওয়া হয়, তখন সর্বদা তার চেয়ে বড় শ্রেণীর কিছু উপাদান থাকে। সুতরাং এই ক্ষেত্রে "সীমাহীন" মানে নিজেই সীমাহীন নয়, বরং সমস্ত ক্রমিক সংখ্যার শ্রেণীর একটি উপশ্রেণী হিসাবে সীমাহীন। আরও দেখুন বাউন্ডেড ডোমেন বাউন্ডেড ফাংশন স্থানীয় বাউন্ডেডনেস অর্ডার তত্ত্ব সম্পূর্ণ বাউন্ডেড রেফারেন্স গাণিতিক বিশ্লেষণ কার্যকরী বিশ্লেষণ অর্ডার তত্ত্ব