Symbolic integration
ক্যালকুলাসে, প্রতীকী ইন্টিগ্রেশন হল একটি প্রদত্ত ফাংশন f (x)-এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ বা অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের জন্য একটি সূত্র খুঁজে বের করার সমস্যা, অর্থাৎ। একটি পার্থক্যযোগ্য ফাংশন খুঁজে বের করার জন্য এফ (এক্স) এটিও বোঝানো হয় আলোচনা প্রতীকী শব্দটি ব্যবহার করা হয় এই সমস্যাটিকে সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন থেকে আলাদা করার জন্য, যেখানে এফ-এর মান এফ-এর সাধারণ সূত্রের পরিবর্তে একটি নির্দিষ্ট ইনপুট বা ইনপুটগুলির সেটে চাওয়া হয়। উভয় সমস্যাই ডিজিটাল কম্পিউটারের সময়ের অনেক আগে ব্যবহারিক এবং তাত্ত্বিক গুরুত্বের বলে মনে করা হত, তবে এখন এগুলি সাধারণত কম্পিউটার বিজ্ঞানের ক্ষেত্র হিসাবে বিবেচিত হয়, কারণ বর্তমানে কম্পিউটারগুলি প্রায়শই পৃথক উদাহরণগুলি মোকাবেলা করার জন্য ব্যবহৃত হয়। একটি এক্সপ্রেশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা একটি সহজ প্রক্রিয়া যার জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করা সহজ। ইন্টিগ্রাল খুঁজে বের করার বিপরীত প্রশ্নটি অনেক বেশি কঠিন। অনেক অভিব্যক্তি যা তুলনামূলকভাবে সহজ তার ইন্টিগ্রাল নেই যা বদ্ধ আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে। আরও বিশদ বিবরণের জন্য অ্যান্টিডেরিভেটিভ এবং ননলিমেন্টারি ইন্টিগ্রাল দেখুন। রিশ অ্যালগরিদম নামে একটি পদ্ধতি বিদ্যমান যা নির্ধারণ করতে সক্ষম যে একটি প্রাথমিক ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য (চারটি প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে সংমিশ্রণ এবং সংমিশ্রণের মাধ্যমে সীমাবদ্ধ সংখ্যক সূচকীয়, লগারিদম, ধ্রুবক এবং nth মূল থেকে নির্মিত ফাংশন) প্রাথমিক এবং যদি তা হয় তবে তা ফেরত দেয়। এর মূল আকারে, রিশ অ্যালগরিদম সরাসরি বাস্তবায়নের জন্য উপযুক্ত ছিল না এবং এর সম্পূর্ণ বাস্তবায়নে দীর্ঘ সময় লেগেছিল। বিশুদ্ধভাবে অতীন্দ্রিয় ফাংশনের ক্ষেত্রে এটি প্রথম রিডিউস-এ প্রয়োগ করা হয়েছিল; বিশুদ্ধ বীজগাণিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে জেমস এইচ. ডেভেনপোর্ট দ্বারা রিডিউস-এ সমাধান ও প্রয়োগ করা হয়েছিল; সাধারণ ক্ষেত্রে ম্যানুয়েল ব্রনস্টাইন দ্বারা সমাধান করা হয়েছিল, যিনি প্রায় সমস্তই অ্যাক্সিওমে প্রয়োগ করেছিলেন, যদিও আজ অবধি রিসচ অ্যালগরিদমের কোনও বাস্তবায়ন নেই যা এর সমস্ত বিশেষ ক্ষেত্রে এবং শাখাগুলির সাথে মোকাবিলা করতে পারে। যাইহোক, রিশ অ্যালগরিদম শুধুমাত্র অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যেখানে পদার্থবিদ, তাত্ত্বিক রসায়নবিদ এবং প্রকৌশলীদের আগ্রহের বেশিরভাগ ইন্টিগ্রাল নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল যা প্রায়শই ল্যাপ্লাস ট্রান্সফর্ম, ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম এবং মেলিন ট্রান্সফর্মের সাথে সম্পর্কিত। একটি সাধারণ অ্যালগরিদমের অভাবে, কম্পিউটার বীজগণিত ব্যবস্থার বিকাশকারীরা প্যাটার্ন-ম্যাচিং এবং বিশেষ ফাংশনগুলির শোষণের উপর ভিত্তি করে হিউরিস্টিক্স প্রয়োগ করেছেন, বিশেষ করে অসম্পূর্ণ গামা ফাংশন। যদিও এই পদ্ধতিটি অ্যালগরিদমিকের পরিবর্তে অনুসন্ধানমূলক, তবুও এটি ব্যবহারিক প্রকৌশল প্রয়োগের সম্মুখীন অনেক নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল সমাধানের জন্য একটি কার্যকর পদ্ধতি। ম্যাক্সিমার মতো পূর্ববর্তী সিস্টেমে একটি লুক-আপ টেবিলের মধ্যে বিশেষ ফাংশন সম্পর্কিত কয়েকটি নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল ছিল। তবে এই নির্দিষ্ট পদ্ধতিটি, এর পরামিতি, পরিবর্তনশীল রূপান্তর, প্যাটার্ন ম্যাচিং এবং অন্যান্য কারসাজির ক্ষেত্রে বিশেষ ফাংশনের পার্থক্যের সাথে জড়িত, ম্যাপেল সিস্টেমের বিকাশকারীদের দ্বারা অগ্রগামী হয়েছিল এবং পরে ম্যাথমেটিকা, অ্যাক্সিওম, মুপাড এবং অন্যান্য সিস্টেম দ্বারা অনুকরণ করা হয়েছিল। সাম্প্রতিক অগ্রগতি প্রতীকী সংহতকরণের ধ্রুপদী পদ্ধতির প্রধান সমস্যা হল, যদি কোনও ফাংশনকে বদ্ধ আকারে উপস্থাপন করা হয়, তবে সাধারণভাবে, এর অ্যান্টিডেরিভেটিভের অনুরূপ উপস্থাপনা নেই। অন্য কথায়, বন্ধ আকারে উপস্থাপিত হতে পারে এমন ফাংশনের শ্রেণীটি অ্যান্টিডেরিভেশন-এর অধীনে বন্ধ করা হয় না। হোলোনমিক ফাংশনগুলি একটি বড় শ্রেণীর ফাংশন, যা অ্যান্টিডেরিভেশন-এর অধীনে বন্ধ থাকে এবং ইন্টিগ্রেশন এবং ক্যালকুলাসের অন্যান্য অনেক ক্রিয়াকলাপের কম্পিউটারে অ্যালগরিদমিক বাস্তবায়নের অনুমতি দেয়। আরও স্পষ্টভাবে বলতে গেলে, একটি হোলোনমিক ফাংশন হল বহুপদী সহগ সহ একটি সমজাতীয় রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান। হোলোনমিক ফাংশনগুলি সংযোজন এবং গুণন, উৎপত্তি এবং অ্যান্টিডেরিভেশন-এর অধীনে বন্ধ থাকে। এগুলির মধ্যে রয়েছে বীজগাণিতিক ফাংশন, সূচকীয় ফাংশন, লগারিদম, সাইন, কোসাইন, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, বিপরীত হাইপারবোলিক ফাংশন। এগুলির মধ্যে রয়েছে সবচেয়ে সাধারণ বিশেষ ফাংশন যেমন এয়ার ফাংশন, এরর ফাংশন, বেসেল ফাংশন এবং সমস্ত হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন। হোলোনমিক ফাংশনের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল যে কোনও সময়ে তাদের টেলর সিরিজের সহগগুলি বহুপদী সহগগুলির সাথে একটি রৈখিক পুনরাবৃত্তির সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে এবং এই পুনরাবৃত্তির সম্পর্কটি ফাংশনের সংজ্ঞায়িত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে গণনা করা যেতে পারে। বিপরীতভাবে একটি পাওয়ার সিরিজের সহগগুলির মধ্যে এই ধরনের পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক দেওয়া হলে, এই পাওয়ার সিরিজটি একটি হোলোনমিক ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে যার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ অ্যালগরিদমিকভাবে গণনা করা যেতে পারে। এই পুনরাবৃত্তি সম্পর্কটি টেলর সিরিজের একটি দ্রুত গণনার অনুমতি দেয়, এবং এইভাবে একটি নির্বিচারে ছোট প্রত্যয়িত ত্রুটি সহ যে কোনও সময়ে ফাংশনের মান। এটি ক্যালকুলাসের বেশিরভাগ ক্রিয়াকলাপকে অ্যালগরিদমিক করে তোলে, যখন হোলোনমিক ফাংশনের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, যা তাদের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং প্রাথমিক শর্ত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে। এর মধ্যে রয়েছে অ্যান্টিডেরিভেটিভ এবং নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের গণনা (এটি ইন্টিগ্রেশনের ব্যবধানের শেষ বিন্দুতে অ্যান্টিডেরিভেটিভের মূল্যায়ন করার সমান)। এর মধ্যে রয়েছে অনন্ততায় ফাংশনের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের গণনা, এবং এইভাবে সীমাহীন বিরতিতে নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালগুলি। এই সমস্ত ক্রিয়াকলাপ ম্যাপেলের জন্য অ্যালগোলিব গ্রন্থাগারে প্রয়োগ করা হয়। এছাড়াও ডায়নামিক ডিকশনারি অফ ম্যাথমেটিকাল ফাংশন দেখুন। উদাহরণস্বরূপঃ একটি অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের জন্য একটি প্রতীকী ফলাফল (এখানে সি ইন্টিগ্রেশনের একটি ধ্রুবক), একটি নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের জন্য একটি প্রতীকী ফলাফল, এবং একই নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের জন্য একটি সংখ্যাসূচক ফলাফল। আরও দেখুন রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক ওল্ফ্রাম ইন্টিগ্রেটর-গণিত কম্পিউটার বীজগণিতের সাথে বিনামূল্যে অনলাইন প্রতীকী সংহতকরণ ডিফারেনশিয়াল বীজগণিত