Hackenbush
হ্যাকেনবুশ গণিতবিদ জন হর্টন কনওয়ে দ্বারা উদ্ভাবিত একটি দুই খেলোয়াড়ের খেলা। এটি তাদের শেষ বিন্দু এবং একটি "গ্রাউন্ড" লাইনের সাথে একে অপরের সাথে সংযুক্ত রঙিন লাইন সেগমেন্টগুলির যে কোনও কনফিগারেশনে খেলা যেতে পারে। গেমপ্লে খেলোয়াড়রা একটি "গ্রাউন্ড" লাইন (প্রচলিতভাবে, তবে অগত্যা নয়, কাগজের নীচে বা অন্যান্য খেলার এলাকায় একটি অনুভূমিক রেখা) এবং বেশ কয়েকটি লাইন সেগমেন্ট যেমন প্রতিটি লাইন সেগমেন্ট মাটির সাথে সংযুক্ত থাকে, হয় সরাসরি একটি শেষ পয়েন্টে, বা পরোক্ষভাবে, শেষ পয়েন্ট দ্বারা সংযুক্ত অন্যান্য সেগমেন্টের একটি চেইনের মাধ্যমে। যে কোনও সংখ্যক বিভাগ একটি বিন্দুতে মিলিত হতে পারে এবং এইভাবে স্থলভাগে একাধিক পথ থাকতে পারে। তাদের পালাক্রমে, একজন খেলোয়াড় তাদের পছন্দের যে কোনও লাইন সেগমেন্ট "কাট" (মুছে ফেলেন) করেন। প্রতিটি লাইন সেগমেন্ট আর কোনও পথ "ফলস" দ্বারা মাটির সাথে সংযুক্ত থাকে না (অর্থাৎ, মুছে ফেলা হয়)। কম্বিনেটোরিয়াল গেম তত্ত্বের সাধারণ খেলার রীতি অনুসারে, যে প্রথম খেলোয়াড় নড়াচড়া করতে অক্ষম হয় সে হেরে যায়। হ্যাকেনবুশ বোর্ডগুলি সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি (একটি "সীমাবদ্ধ বোর্ড"-এর ক্ষেত্রে) বা অসীমভাবে অনেকগুলি (একটি "অসীম বোর্ড"-এর ক্ষেত্রে) লাইন বিভাগ নিয়ে গঠিত হতে পারে। অসীম সংখ্যক লাইন সেগমেন্টের অস্তিত্ব গেম তত্ত্বের এই ধারণাকে লঙ্ঘন করে না যে গেমটি একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে শেষ করা যেতে পারে, তবে শর্ত থাকে যে কেবলমাত্র সীমিতভাবে অনেকগুলি লাইন সেগমেন্ট সরাসরি মাটিতে "স্পর্শ" করে। একটি অসীম বোর্ডে, বোর্ডের বিন্যাসের উপর ভিত্তি করে খেলাটি চিরকাল চলতে পারে, ধরে নেওয়া যায় যে মাটিতে অসীম সংখ্যক পয়েন্ট স্পর্শ করছে। বৈচিত্র্য হ্যাকেনবুশের মূল লোককাহিনী সংস্করণে, যে কোনও খেলোয়াড়কে যে কোনও প্রান্ত কাটতে দেওয়া হয়ঃ যেহেতু এটি একটি নিরপেক্ষ খেলা, তাই স্প্রেগ-গ্রান্ডি উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি সম্পূর্ণ বিশ্লেষণ দেওয়া তুলনামূলকভাবে সহজ। সুতরাং সমন্বিত খেলা তত্ত্বের প্রতি আগ্রহের হ্যাকেনবুশের সংস্করণগুলি আরও জটিল পক্ষপাতদুষ্ট খেলা, যার অর্থ হল যে একজন খেলোয়াড়ের জন্য উপলব্ধ বিকল্পগুলি (পদক্ষেপগুলি) অন্য খেলোয়াড়ের জন্য উপলব্ধ হবে না যদি একই অবস্থান দেওয়া হলে তাদের সরানোর পালা হয়। এটি দুটি উপায়ে অর্জন করা হয়ঃ মূল হ্যাকেনবুশঃ সমস্ত লাইন সেগমেন্ট একই রঙের এবং যে কোনও খেলোয়াড় দ্বারা কাটা যেতে পারে। এর অর্থ হল বেতনগুলি প্রতিসম এবং প্রতিটি খেলোয়াড়ের বোর্ডে অবস্থানের উপর ভিত্তি করে একই ক্রিয়াকলাপ রয়েছে (এই ক্ষেত্রে অঙ্কনের কাঠামো) নীল-লাল হ্যাকেনবুশঃ প্রতিটি লাইন বিভাগ লাল বা নীল রঙের হয়। একজন খেলোয়াড়কে (সাধারণত প্রথম, বা বাম, খেলোয়াড়) শুধুমাত্র নীল লাইনের অংশগুলি কাটতে দেওয়া হয়, অন্যদিকে অন্য খেলোয়াড়কে (সাধারণত দ্বিতীয়, বা ডান, খেলোয়াড়) শুধুমাত্র লাল লাইনের অংশগুলি কাটতে দেওয়া হয়। নীল-লাল-সবুজ হ্যাকেনবাশঃ প্রতিটি লাইন সেগমেন্ট লাল, নীল বা সবুজ রঙের হয়। নিয়মগুলি নীল-লাল হ্যাকেনবুশের মতোই, অতিরিক্ত শর্ত সহ যে কোনও খেলোয়াড় সবুজ লাইনের অংশগুলি কাটতে পারে। ব্লু-রেড হ্যাকেনবাশ নিছক ব্লু-রেড-গ্রিন হ্যাকেনবাশের একটি বিশেষ কেস, তবে এটি আলাদাভাবে লক্ষণীয়, কারণ এর বিশ্লেষণ প্রায়শই অনেক সহজ। এর কারণ হল ব্লু-রেড হ্যাকেনবাশ একটি তথাকথিত ঠান্ডা খেলা, যার অর্থ, মূলত, প্রথম পদক্ষেপ নেওয়া কখনই কোনও সুবিধা হতে পারে না। বিশ্লেষণ হ্যাকেনবুশ প্রায়শই সমন্বিত গেম তত্ত্বের সংজ্ঞা এবং ধারণাগুলি প্রদর্শনের জন্য একটি উদাহরণ গেম হিসাবে ব্যবহৃত হয়, যা ক্ষেত্রের কিছু প্রতিষ্ঠাতার অন নাম্বারস অ্যান্ড গেমস এবং উইনিং ওয়েজ ফর ইওর ম্যাথমেটিকাল প্লে বইগুলিতে এর ব্যবহার দিয়ে শুরু হয়। বিশেষত নীল-লাল হ্যাকেনবুশকে পরাবাস্তব সংখ্যা তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারেঃ সীমাবদ্ধ নীল-লাল হ্যাকেনবুশ বোর্ডগুলি ডাইডিক মূলদ সংখ্যা তৈরি করতে পারে, যেখানে অসীম নীল-লাল হ্যাকেনবুশ বোর্ডের মানগুলি বাস্তব সংখ্যা, অর্ডিনাল এবং আরও অনেক সাধারণ মানগুলির জন্য দায়ী যা উভয়ই নয়। নীল-লাল-সবুজ হ্যাকেনবাশ অতিরিক্ত গেম নির্মাণের অনুমতি দেয় যার মানগুলি বাস্তব সংখ্যা নয়, যেমন তারা এবং অন্যান্য সমস্ত নিম্বার। বোর্ডকে শীর্ষ এবং প্রান্তের সংগ্রহ হিসাবে বিবেচনা করে এবং মাটিতে অবস্থিত প্রতিটি শীর্ষের পথ পরীক্ষা করে গ্রাফ তত্ত্ব ব্যবহার করে গেমটির আরও বিশ্লেষণ করা যেতে পারে (যা একটি বিশিষ্ট শীর্ষ হিসাবে বিবেচিত হওয়া উচিত-এটি কোনও ক্ষতি করে না সমস্ত স্থল বিন্দু একসাথে সনাক্ত করা-গ্রাফের একটি রেখা হিসাবে নয়)। হ্যাকেনবুশের নিরপেক্ষ সংস্করণে (খেলোয়াড়দের নির্দিষ্ট রঙ ছাড়া), গেমটিকে উল্লম্ব, অভিসারী এবং বৈচিত্র্যময় বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিভক্ত করে নিম গাদা ব্যবহার করার কথা ভাবা যেতে পারে। লাইন সেগমেন্টের উল্লম্ব স্ট্যাকগুলির সাথে একচেটিয়াভাবে খেলা হয়, যা বাঁশের ডাল হিসাবেও উল্লেখ করা হয়, খেলাটি সরাসরি নিম হয়ে যায় এবং সরাসরি বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। বিভিন্ন অংশ বা গাছগুলি খেলায় একটি অতিরিক্ত কুঁচকানো যোগ করে এবং কোলন নীতি ব্যবহার করার প্রয়োজন হয় যাতে বলা হয় যে যখন শাখাগুলি একটি শীর্ষে একত্রিত হয়, তখন কেউ শাখাগুলিকে তাদের নিম যোগফলের সমান দৈর্ঘ্যের একটি শাখাবিহীন ডাল দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারে। এই নীতিটি বাঁশের ডালের আরও মৌলিক সংস্করণে খেলার প্রতিনিধিত্বকে পরিবর্তন করে। গ্রাফগুলির শেষ সম্ভাব্য সেট যা তৈরি করা যেতে পারে তা হল অভিসারী, যা নির্বিচারে মূলযুক্ত গ্রাফ হিসাবেও পরিচিত। ফিউশন নীতি ব্যবহার করে, আমরা বলতে পারি যে কোনও চক্রের সমস্ত শীর্ষগুলি গ্রাফের মান পরিবর্তন না করেই একসাথে সংযুক্ত করা যেতে পারে। অতএব, যে কোনও অভিসারী গ্রাফকে একটি সাধারণ বাঁশের ডালের গ্রাফ হিসাবেও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। তিন ধরনের গ্রাফের সংমিশ্রণের মাধ্যমে আমরা গেমটিতে জটিলতা যোগ করতে পারি, কখনও গেমের নিম যোগফল পরিবর্তন না করে, যার ফলে গেমটি নিমের কৌশলগুলি গ্রহণ করতে পারে। কোলন নীতির প্রমাণ কোলন নীতিতে বলা হয়েছে যে যখন শাখাগুলি একটি শীর্ষে একত্রিত হয়, তখন কেউ শাখাগুলিকে তাদের নিম যোগফলের সমান দৈর্ঘ্যের একটি শাখাবিহীন ডাল দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারে। একটি স্থির কিন্তু স্বেচ্ছাচারী গ্রাফ, জি বিবেচনা করুন এবং জি-তে একটি স্বেচ্ছাচারী শীর্ষ, x নির্বাচন করুন। ধরা যাক এইচ1 এবং এইচ2 স্বেচ্ছাচারী গাছ (বা গ্রাফ) যার একই স্প্রাগ-গ্রান্ডি মান রয়েছে। G1 = Gx: H1 এবং G2 = Gx: H2 এই দুটি গ্রাফ বিবেচনা করুন, যেখানে Gx: Hi গ্রাফের শীর্ষ x-এর সাথে বৃক্ষকে সংযুক্ত করে নির্মিত গ্রাফকে উপস্থাপন করে। কোলন নীতিতে বলা হয়েছে যে G1 এবং G2 দুটি গ্রাফের একই স্প্রাগ-গ্রান্ডি মান রয়েছে। দুটি খেলার সমষ্টি বিবেচনা করুন। জি1 এবং জি2-এর একই স্প্রেগ-গ্রান্ডি মান রয়েছে এই দাবিটি এই দাবির সমতুল্য যে দুটি গেমের যোগফলের স্প্রেগ-গ্রান্ডি মান 0। অন্য কথায়, আমাদের দেখাতে হবে যে G1 + G2 যোগফলটি একটি P-অবস্থান। একজন খেলোয়াড়ের জেতার নিশ্চয়তা থাকে যদি সে জি1 + জি2-এ দ্বিতীয় খেলোয়াড় হয়। যদি প্রথম খেলোয়াড় একটি খেলায় জি-এর একটি প্রান্ত কেটে সরিয়ে নিয়ে যায়, তবে দ্বিতীয় খেলোয়াড় অন্য খেলায় জি-তে একই প্রান্তটি কেটে দেয়। (এই ধরনের এক জোড়া পদক্ষেপ গেম থেকে এইচ1 এবং এইচ2 মুছে ফেলতে পারে, তবে অন্যথায় এইচ1 এবং এইচ2 বিঘ্নিত হয় না।) যদি প্রথম খেলোয়াড় এইচ1 বা এইচ2-এর একটি প্রান্ত কেটে সরে যায়, তবে এইচ1 এবং এইচ2-এর স্প্রাগ-গ্রান্ডি মানগুলি আর সমান থাকে না, যাতে এইচ1 বা এইচ2-এ এমন একটি পদক্ষেপ বিদ্যমান থাকে যা স্প্রাগ-গ্রান্ডি মানগুলিকে একই রাখে। এইভাবে আপনি সর্বদা তার প্রতিটি পদক্ষেপের জবাব পাবেন। এর অর্থ হল আপনি শেষ পদক্ষেপ নেবেন এবং জয়ী হবেন। তথ্যসূত্র জন এইচ. কনওয়ে, অন নাম্বারস অ্যান্ড গেমস, 2য় সংস্করণ, এ কে পিটার্স, 2000। বাহ্যিক লিঙ্ক হ্যাকেনস্ট্রিংস, এবং 0.999 বনাম 1 হ্যাকেনবুশ অন পেন্সিল অ্যান্ড পেপার গেমস ম্যাথমেটিকাল গেমস অ্যাবস্ট্রাক্ট স্ট্র্যাটেজি গেমস কম্বিনেটরিয়াল গেম থিওরি পেপার-অ্যান্ড-পেন্সিল গেমস জন হর্টন কনওয়ে