Monotonic function
গণিতে, একটি মনোটনিক ফাংশন (বা মনোটোন ফাংশন) হল ক্রমযুক্ত সেটগুলির মধ্যে একটি ফাংশন যা প্রদত্ত ক্রমটি সংরক্ষণ করে বা বিপরীত করে। এই ধারণাটি প্রথমে ক্যালকুলাসে উদ্ভূত হয়েছিল এবং পরে অর্ডার তত্ত্বের আরও বিমূর্ত সেটিংয়ে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। ক্যালকুলাস এবং বিশ্লেষণে, ক্যালকুলাসে, বাস্তব মান সহ বাস্তব সংখ্যার উপসেটে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশনকে মনোটোনিক বলা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সম্পূর্ণরূপে বৃদ্ধি না করে, বা সম্পূর্ণরূপে হ্রাস না করে। অর্থাৎ চিত্র অনুযায়ী। 1, একটি ফাংশন যা একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায় তা একচেটিয়াভাবে বৃদ্ধি করতে হবে না, এটি কেবল হ্রাস করা উচিত নয়। একটি ফাংশনকে বলা হয় একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি (এছাড়াও বৃদ্ধি বা অ-হ্রাস) যদি সকলের জন্য এবং যার মধ্যে একটি থাকে, তাই ক্রমটি সংরক্ষণ করে (চিত্র 1 দেখুন)। একইভাবে, একটি ফাংশনকে বলা হয় একঘেয়েভাবে হ্রাস (হ্রাস বা অ-বৃদ্ধি) যদি, যখনই, তখন, তাই এটি ক্রমটি বিপরীত করে (চিত্র 2 দেখুন)। একঘেয়েমির সংজ্ঞার ক্রমটি যদি কঠোর ক্রম দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, তবে একজন আরও শক্তিশালী প্রয়োজনীয়তা অর্জন করে। এই বৈশিষ্ট্য সহ একটি ফাংশনকে কঠোরভাবে বৃদ্ধি (এছাড়াও বৃদ্ধি) বলা হয়। আবার, ক্রম প্রতীকটি উল্টানোর মাধ্যমে, একটি সংশ্লিষ্ট ধারণা পাওয়া যায় যাকে কঠোরভাবে হ্রাস (হ্রাস) বলা হয়। উভয় বৈশিষ্ট্য সহ একটি ফাংশনকে কঠোরভাবে মনোটোন বলা হয়। যে ফাংশনগুলি কঠোরভাবে এক-স্বরে থাকে সেগুলি এক-থেকে-এক হয় (কারণ একঘেয়েমি দ্বারা সমান নয়, হয় বা তাই নয়, হয় বা তাই।) অস্পষ্টতা এড়ানোর জন্য, দুর্বলভাবে একঘেয়ে স্বর, দুর্বলভাবে বৃদ্ধি এবং দুর্বলভাবে হ্রাস শব্দগুলি প্রায়শই অ-কঠোর একঘেয়েমিকে বোঝাতে ব্যবহৃত হয়। "অ-হ্রাস" এবং "অ-বৃদ্ধি" শব্দগুলিকে (অনেক দুর্বল) নেতিবাচক যোগ্যতার "হ্রাস না হওয়া" এবং "বৃদ্ধি না হওয়া"-র সঙ্গে গুলিয়ে ফেলা উচিত নয়। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র 3-এ দেখানো নন-মনোটোনিক ফাংশনটি প্রথমে পড়ে, তারপর বৃদ্ধি পায়, তারপর আবার পড়ে। তাই এটি হ্রাস পাচ্ছে না এবং বৃদ্ধি পাচ্ছে না, তবে এটি হ্রাস পাচ্ছে না বা বৃদ্ধি পাচ্ছে না। একটি ফাংশনকে একটি ব্যবধানের মধ্যে একেবারে একঘেয়ে বলা হয় যদি ব্যবধানের সমস্ত ক্রমের অন্তরজগুলি অ-ঋণাত্মক বা সমস্ত অ-ধনাত্মক হয়। ফাংশনের বিপরীত সমস্ত কঠোরভাবে একমুখী ফাংশনগুলি বিপরীতমুখী কারণ তাদের পরিসীমা থেকে তাদের ডোমেনে এক-থেকে-এক ম্যাপিং থাকার নিশ্চয়তা দেওয়া হয়। যাইহোক, যে ফাংশনগুলি শুধুমাত্র দুর্বলভাবে মনোটোন হয় সেগুলি বিপরীতমুখী নয় কারণ সেগুলি কিছু বিরতিতে স্থির থাকে (এবং তাই এক-থেকে-এক নয়)। একটি ফাংশন সীমিত পরিসরের মানের উপর কঠোরভাবে একঘেয়ে হতে পারে এবং এইভাবে সেই পরিসরে বিপরীত হতে পারে যদিও এটি সর্বত্র কঠোরভাবে একঘেয়ে নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি সীমার উপর কঠোরভাবে বৃদ্ধি করা হয়, তবে এর সীমার উপর একটি বিপরীত রয়েছে। একঘেয়ে শব্দটি কখনও কখনও কঠোরভাবে একঘেয়ে শব্দের পরিবর্তে ব্যবহৃত হয়, তাই একটি সূত্র বলতে পারে যে সমস্ত একঘেয়ে ফাংশনগুলি বিপরীতমুখী যখন তারা সত্যিই বোঝায় যে সমস্ত কঠোরভাবে একঘেয়ে ফাংশনগুলি বিপরীতমুখী। একমুখী রূপান্তর শব্দটি একমুখী রূপান্তর (বা একমুখী রূপান্তর) বিভ্রান্তির কারণ হতে পারে কারণ এটি একটি কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশন দ্বারা রূপান্তরকে বোঝায়। অর্থনীতিতে এটি একটি একমুখী রূপান্তর জুড়ে সংরক্ষিত একটি ইউটিলিটি ফাংশনের ক্রমিক বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রে হয় (আরও দেখুন একমুখী পছন্দ)। এই প্রসঙ্গে, "একঘেয়ে রূপান্তর" শব্দটি একটি ইতিবাচক একঘেয়ে রূপান্তরকে বোঝায় এবং এটিকে একটি "নেতিবাচক একঘেয়ে রূপান্তর" থেকে আলাদা করার উদ্দেশ্যে করা হয়েছে, যা সংখ্যার ক্রমকে বিপরীত করে। কিছু মৌলিক প্রয়োগ এবং ফলাফল একটি একঘেয়ে ফাংশনের জন্য নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সত্যঃ এর ডোমেনের প্রতিটি বিন্দুতে ডান এবং বাম থেকে সীমা রয়েছে; একটি বাস্তব সংখ্যার ধনাত্মক বা ঋণাত্মক অনন্তের () সীমা রয়েছে, অথবা। শুধুমাত্র লাফ বিচ্ছিন্নতা থাকতে পারে; শুধুমাত্র তার ডোমেনে গণনাযোগ্য অনেক বিচ্ছিন্নতা থাকতে পারে। তবে, বিচ্ছিন্নতা অপরিহার্যভাবে বিচ্ছিন্ন বিন্দু নিয়ে গঠিত নয় এবং এমনকি একটি বিরতিতে (এ, বি) ঘন হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ধনাত্মক সংখ্যার যে কোনও যোগফলের ক্রম এবং মূলদ সংখ্যার যে কোনও গণনার জন্য, একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশন প্রতিটি অযৌক্তিক সংখ্যায় ঠিক অবিচ্ছিন্ন থাকে (সিএফ। ছবি)। এটি মূলদ সংখ্যার উপর বিচ্ছিন্ন পরিমাপের ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন, যেখানে এর ওজন। এই বৈশিষ্ট্যগুলি বিশ্লেষণের প্রযুক্তিগত কাজে একঘেয়ে ফাংশনগুলি কার্যকর হওয়ার কারণ। এই ফাংশনগুলির অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে রয়েছেঃ যদি একটি এককেন্দ্রিক ফাংশন একটি ব্যবধানের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে প্রায় সর্বত্রই ডিফারেনশিয়েবল হয়; অর্থাৎ। সংখ্যার যে সেটটি ডিফারেনশিয়েবল নয় তার লেবস্গু পরিমাপ শূন্য। উপরন্তু, এই ফলাফলটি গণনাযোগ্য করা যাবে নাঃ ক্যান্টর ফাংশন দেখুন। যদি এই সেটটি গণনাযোগ্য হয়, তবে একেবারে অবিচ্ছিন্ন হয় যদি একটি ব্যবধানের উপর সংজ্ঞায়িত একঘেয়ে ফাংশন হয়, তবে রিম্যান ইন্টিগ্রেবল। সম্ভাব্যতা তত্ত্বে একবৃত্তীয় ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছে। যদি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয়, তবে এর ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন একটি একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশন। একটি ফাংশন একমুখী হয় যদি এটি একঘেয়েভাবে কিছু বিন্দু (মোড) পর্যন্ত বৃদ্ধি পায় এবং তারপর একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়। যখন একটি কঠোরভাবে একবৃত্তীয় ফাংশন হয়, তখন তার ডোমেনে ইনজেকটিভ হয়, এবং যদি এর পরিসীমা হয়, তবে এর জন্য একটি বিপরীত ফাংশন রয়েছে। এর বিপরীতে, প্রতিটি ধ্রুবক ফাংশন একমুখী, তবে ইনজেকটিভ নয়, এবং তাই এর বিপরীত হতে পারে না। গ্রাফিকটি ছয়টি একঘেয়ে ফাংশন দেখায়। তাদের সহজতম রূপগুলি প্লট এলাকায় দেখানো হয় এবং সেগুলি তৈরি করতে ব্যবহৃত অভিব্যক্তিগুলি y-অক্ষে দেখানো হয়। টপোলজিতে একটি মানচিত্রকে মনোটোন বলা হয় যদি তার প্রতিটি তন্তু সংযুক্ত থাকে; অর্থাৎ, প্রতিটি উপাদানের জন্য (সম্ভবত খালি) সেটটি একটি সংযুক্ত সাবস্পেস। এর একটি উপসেটকে একটি মনোটোন সেট বলা হয় যদি প্রতিটি জোড়া এবং ইন-এর জন্য সেট অন্তর্ভুক্তির অর্থে সমস্ত মনোটোন সেটের মধ্যে সর্বাধিক হয় তবে এটিকে সর্বাধিক মনোটোন বলা হয়। একটি মনোটোন অপারেটরের গ্রাফ হল একটি মনোটোন সেট। একটি মনোটোন অপারেটরকে ম্যাক্সিমাল মনোটোন বলা হয় যদি তার গ্রাফ একটি ম্যাক্সিমাল মনোটোন সেট হয়। অর্ডার তত্ত্বে অর্ডার তত্ত্বটি বাস্তব সংখ্যার সাধারণীকরণ হিসাবে নির্বিচারে আংশিকভাবে সাজানো সেট এবং পূর্বনির্ধারিত সেট নিয়ে কাজ করে। একঘেয়েমির উপরের সংজ্ঞাটি এই ক্ষেত্রেও প্রাসঙ্গিক। যাইহোক, "বৃদ্ধি" এবং "হ্রাস" শব্দগুলি এড়ানো হয়, কারণ তাদের প্রচলিত সচিত্র উপস্থাপনা মোট নয় এমন ক্রমের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। উপরন্তু, কঠোর সম্পর্ক এবং অনেক অ-মোট অর্ডারে খুব কম কাজে লাগে এবং তাই তাদের জন্য কোনও অতিরিক্ত পরিভাষা চালু করা হয় না। লেটিং কোনও আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত সেটের আংশিক ক্রমের সম্পর্ককে বোঝায়, একটি মনোটোন ফাংশন, যাকে আইসোটোনও বলা হয়, বা, সকলের জন্য এবং তার ডোমেনের বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। দুটি মনোটোন ম্যাপিংয়ের সংমিশ্রণটিও মনোটোন। দ্বৈত ধারণাকে প্রায়শই অ্যান্টিটোন, অ্যান্টি-মনোটোন বা অর্ডার-রিভার্সিং বলা হয়। অতএব, একটি অ্যান্টিটোন ফাংশন সকলের জন্য এবং তার ডোমেনের বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। একটি ধ্রুবক ফাংশন হল মনোটোন এবং অ্যান্টিটোন উভয়ই; বিপরীতভাবে, যদি মনোটোন এবং অ্যান্টিটোন উভয়ই হয়, এবং যদি এর ডোমেনটি একটি জাল হয়, তবে অবশ্যই ধ্রুবক হতে হবে। ক্রম তত্ত্বের ক্ষেত্রে মনোটোন ফাংশনগুলি কেন্দ্রীয়। এগুলি এই বিষয়ে বেশিরভাগ নিবন্ধে পাওয়া যায় এবং বিশেষ প্রয়োগের উদাহরণগুলি এই জায়গাগুলিতে পাওয়া যায়। কিছু উল্লেখযোগ্য বিশেষ মনোটোন ফাংশন হল অর্ডার এম্বেডিং (ফাংশন যার জন্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি এবং অর্ডার আইসোমরফিজম (সার্জেক্টিভ অর্ডার এম্বেডিং)। অনুসন্ধান অ্যালগরিদমের প্রসঙ্গে অনুসন্ধান অ্যালগরিদমের প্রসঙ্গে একঘেয়েমি (যাকে ধারাবাহিকতাও বলা হয়) একটি শর্ত যা অনুসন্ধানমূলক ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। একটি হিউরিস্টিক একমুখী হয় যদি, প্রতিটি নোডের জন্য এবং কোনও ক্রিয়া দ্বারা উত্পন্ন প্রতিটি উত্তরসূরির জন্য, থেকে লক্ষ্যে পৌঁছানোর আনুমানিক ব্যয় পৌঁছানোর ধাপ ব্যয় এবং থেকে লক্ষ্যে পৌঁছানোর আনুমানিক ব্যয়ের চেয়ে বেশি হয় না, এটি ত্রিভুজ বৈষম্যের একটি রূপ, সহ, এবং লক্ষ্যের নিকটতম। যেহেতু প্রতিটি একবৃত্তীয় হিউরিস্টিকও গ্রহণযোগ্য, একবৃত্তীয়তা গ্রহণযোগ্যতার চেয়ে কঠোরতর প্রয়োজন। কিছু হিউরিস্টিক অ্যালগরিদম যেমন এ * সর্বোত্তম প্রমাণিত হতে পারে যদি তারা যে হিউরিস্টিক ব্যবহার করে তা একঘেয়ে হয়। বুলিয়ান ফাংশনে বুলিয়ান বীজগণিতে, একটি একবৃত্তীয় ফাংশন এমন একটি ফাংশন যা সকলের জন্য এবং ইন, ইফ,,., (অর্থাৎ। কার্টেসিয়ান পণ্যটি স্থানাঙ্ক অনুসারে সাজানো হয়), তারপর। অন্য কথায়, একটি বুলিয়ান ফাংশন একমুখী হয় যদি, ইনপুটগুলির প্রতিটি সংমিশ্রণের জন্য, একটি ইনপুটকে মিথ্যা থেকে সত্যে পরিবর্তন করলে আউটপুটটি কেবল মিথ্যা থেকে সত্যে পরিবর্তিত হতে পারে এবং সত্য থেকে মিথ্যাতে নয়। গ্রাফিকভাবে, এর অর্থ হল যে একটি-আরি বুলিয়ান ফাংশন একঘেয়ে হয় যখন সত্য মানগুলির সাথে লেবেলযুক্ত-কিউব হিসাবে এর উপস্থাপনাটির সত্য থেকে মিথ্যা পর্যন্ত কোনও ঊর্ধ্বমুখী প্রান্ত থাকে না। (এই লেবেলযুক্ত হাস রেখাচিত্রটি ফাংশনের লেবেলযুক্ত ভেন রেখাচিত্রের দ্বৈত, যা এর জন্য আরও সাধারণ উপস্থাপনা।) একমুখী বুলিয়ান ফাংশনগুলি সুনির্দিষ্টভাবে সেগুলি যা শুধুমাত্র অপারেটর এবং বা (বিশেষত নিষিদ্ধ নয়) ব্যবহার করে ইনপুটগুলির (যা একাধিকবার উপস্থিত হতে পারে) সংমিশ্রণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, "কমপক্ষে দুই, হোল্ড" হল,, এর একটি একঘেয়ে ফাংশন, কারণ এটি উদাহরণস্বরূপ (এবং) বা (এবং) বা (এবং) হিসাবে লেখা যেতে পারে। চলকের উপর এই ধরনের ফাংশনের সংখ্যা ডেডেকাইন্ড সংখ্যা হিসাবে পরিচিত। আরও দেখুন মনোটোন কিউবিক ইন্টারপোলেশন সিউডো-মনোটোন অপারেটর স্পিয়ারম্যানের র্যাঙ্ক কোরিলেশন কোএফিশিয়েন্ট-তথ্যের একটি সেটে একঘেয়েমির পরিমাপ মোট একঘেয়েমি চক্রাকার একঘেয়েমি অপারেটর মনোটোন ফাংশন নোট গ্রন্থপঞ্জি (সংজ্ঞা 9.31) বহিরাগত লিঙ্ক অনিক দেবনাথ এবং থমাস রক্সলো (দ্য হার্কার স্কুল), ওল্ফ্রাম ডেমন্সট্রেশন প্রজেক্ট দ্বারা একটি মনোটোনিক ক্রমের সংমিশ্রণ। কার্যকরী বিশ্লেষণ ক্রম তত্ত্ব বাস্তব বিশ্লেষণ প্রকারের ফাংশন