Liouville number
সংখ্যা তত্ত্বে, একটি লিউভিল সংখ্যা হল একটি বাস্তব সংখ্যা যার বৈশিষ্ট্য হল, প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, এমন এক জোড়া পূর্ণসংখ্যা রয়েছে যার সাথে লিউভিল সংখ্যাগুলি "প্রায় যুক্তিসঙ্গত", এবং এইভাবে যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার ক্রম দ্বারা "বেশ ঘনিষ্ঠভাবে" অনুমান করা যেতে পারে। সুনির্দিষ্টভাবে, এগুলি হল অতীন্দ্রিয় সংখ্যা যা যে কোনও বীজগাণিতিক অযৌক্তিক সংখ্যার তুলনায় মূলদ সংখ্যা দ্বারা আরও ঘনিষ্ঠভাবে অনুমান করা যেতে পারে। 1844 সালে, জোসেফ লিউভিল দেখিয়েছিলেন যে সমস্ত লিউভিল সংখ্যা অতীন্দ্রিয়, এইভাবে প্রথমবারের জন্য অতীন্দ্রিয় সংখ্যার অস্তিত্ব প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। এটি জানা যায় যে এবং লিউভিল সংখ্যা নয়। লিউভিল সংখ্যার (লিউভিলের ধ্রুবক) অস্তিত্ব একটি স্পষ্ট গঠন দ্বারা দেখানো যেতে পারে। যে কোনও পূর্ণসংখ্যা এবং পূর্ণসংখ্যার যে কোনও ক্রমের জন্য যেমন সকলের জন্য এবং অসীম অনেকের জন্য, সংখ্যাটি সংজ্ঞায়িত করুন বিশেষ ক্ষেত্রে যখন, এবং সকলের জন্য, ফলস্বরূপ সংখ্যাটিকে লিউভিলের ধ্রুবক বলা হয়ঃ L = 0.11000100000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001। এটি এই সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে এর ভিত্তি-প্রতিনিধিত্ব হল যেখানে তম পদটি তম স্থানে রয়েছে। যেহেতু এই ভিত্তি-উপস্থাপনাটি পুনরাবৃত্ত নয়, তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা নয়। অতএব, যে কোনও মূলদ সংখ্যার জন্য,। এখন, যে কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য, এবং নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ তাহলে, অতএব, এই ধরনের যে কোনও একটি লিউভিল সংখ্যা। প্রমাণের উপর নোট অসমতা অনুসরণ করে যেহেতু সমস্ত k-এর জন্য ak ± {0,1,2,., b−1}, তাই সর্বাধিক ak = b−1। সর্বাধিক সম্ভাব্য যোগফল ঘটবে যদি পূর্ণসংখ্যার ক্রম (a1, a2,.) হয় (b−1, b−1,.), অর্থাৎ। সমস্ত k-এর জন্য ak = b − 1, এইভাবে এই বৃহত্তম সম্ভাব্য যোগফলের চেয়ে কম বা সমান হবে। শক্তিশালী অসমতা সিরিজটিকে এমন একটি সিরিজে হ্রাস করার মাধ্যমে নির্মূল করার প্রেরণা থেকে অনুসরণ করে যার জন্য একটি সূত্র জানা যায়। এখন পর্যন্ত প্রমাণের মধ্যে, #1-এ অসমতা প্রবর্তনের উদ্দেশ্যটি অন্তর্দৃষ্টি থেকে আসে যে (জ্যামিতিক সিরিজ সূত্র); অতএব, যদি একটি অসমতা পাওয়া যায় যা সংখ্যায় (b−1) সহ একটি সিরিজ প্রবর্তন করে এবং যদি হর পদটি আরও হ্রাস করা যায়, পাশাপাশি সিরিজ সূচকগুলিকে 0 থেকে স্থানান্তরিত করা যায়, তবে সিরিজ এবং (b−1) উভয় পদই বাদ দেওয়া হবে, যা ফর্মের একটি ভগ্নাংশের কাছাকাছি চলে যাবে, যা প্রমাণের শেষ লক্ষ্য। এই অনুপ্রেরণাটি এখানে যোগফল থেকে এখন একটি আংশিক যোগফল নির্বাচন করে বাড়ানো হয়েছে। লক্ষ্য করুন যে, যে কোনও শব্দের জন্য, যেহেতু b ≤ 2, তারপর, সমস্ত k-এর জন্য (যখন n = 1 ব্যতীত)। অতএব, (যেহেতু, n = 1 হলেও, পরবর্তী সমস্ত পদগুলি ছোট)। সূচকগুলি পরিচালনা করার জন্য যাতে k 0 থেকে শুরু হয়, আংশিক যোগফল ভিতর থেকে নির্বাচন করা হবে (মোট মানের চেয়েও কম কারণ এটি একটি সিরিজ থেকে আংশিক যোগফল যার সমস্ত পদ ধনাত্মক)। k = (n + 1) থেকে শুরু করে গঠিত আংশিক যোগফলটি বেছে নিন! যা k = 0 সহ একটি নতুন সিরিজ লেখার অনুপ্রেরণা থেকে অনুসরণ করে, যথা এটি লক্ষ্য করে। চূড়ান্ত বৈষম্যের জন্য, এই নির্দিষ্ট বৈষম্যকে বেছে নেওয়া হয়েছে (সত্য কারণ b ≤ 2, যেখানে সমতা অনুসরণ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি n = 1 হয়) কারণ রূপের কিছুতে হেরফের করার ইচ্ছা। এই বিশেষ বৈষম্য (এন + 1) নির্মূল করার অনুমতি দেয়! এবং সংখ্যা, যে বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করে (এন + 1)! - না! = (এন! ) এন, এইভাবে প্রতিস্থাপনের জন্য হরটিকে আদর্শ আকারে রাখা। অযৌক্তিকতা এখানে প্রমাণ দেখাবে যে সংখ্যাটি যেখানে এবং পূর্ণসংখ্যা এবং একটি লিউভিল সংখ্যাকে সংজ্ঞায়িত করে এমন অসমতা পূরণ করতে পারে না। যেহেতু প্রতিটি মূলদ সংখ্যাকে এভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, তাই প্রমাণ দেখাবে যে কোনও লিউভিল সংখ্যাই যৌক্তিক হতে পারে না। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এই প্রমাণটি দেখায় যে [সমতুল্যভাবে, যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য] যথেষ্ট বড় যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, কোনও জোড়া পূর্ণসংখ্যা বিদ্যমান নেই যা একই সাথে বন্ধনী বৈষম্যের জুটিকে সন্তুষ্ট করে যদি দাবিটি সত্য হয়, তবে কাঙ্ক্ষিত উপসংহারটি অনুসরণ করে। তারপর, যদি এর অর্থ হয় যে এই ধরনের পূর্ণসংখ্যার জোড়া লিউভিল সংখ্যার সংজ্ঞায় প্রথম বৈষম্য লঙ্ঘন করবে, যাই হোক না কেন। যদি, অন্যদিকে, তারপর থেকে, যেহেতু এটি একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই আমরা আরও তীক্ষ্ণ অসমতা দাবি করতে পারি। অতএব, উপসংহারে বলা যায়, এমন কোনও পূর্ণসংখ্যা নেই যা লিউভিল সংখ্যার মতো যোগ্য হবে। অতএব, একটি লিউভিল সংখ্যা বিদ্যমান থাকলে তা যুক্তিসঙ্গত হতে পারে না। (লিউভিলের ধ্রুবকের বিভাগটি প্রমাণ করে যে লিউভিল সংখ্যার অস্তিত্ব একটির গঠন প্রদর্শন করে। এই বিভাগে প্রদত্ত প্রমাণ থেকে বোঝা যায় যে এই সংখ্যাটি অবশ্যই অযৌক্তিক হতে হবে।) উদাহরণস্বরূপ, গণনাযোগ্যতা বিবেচনা করুন, 3.1400010000000000000000050000.3,14 (3 শূন্য) 1 (17 শূন্য) 5 (95 শূন্য) 9 (599 শূন্য) 2 (4319 শূন্য) 6. যেখানে n অবস্থান ব্যতীত সংখ্যাগুলি শূন্য! যেখানে অঙ্কটি এর দশমিক সম্প্রসারণে দশমিক বিন্দুর পরে nতম অঙ্কের সমান। লিউভিল সংখ্যার অস্তিত্বের বিভাগে যেমন দেখানো হয়েছে, এই সংখ্যাটি, সেইসাথে অন্য যে কোনও অ-সমাপ্তি দশমিক যার অ-শূন্য সংখ্যা একইভাবে অবস্থিত, একটি লিউভিল সংখ্যার সংজ্ঞাকে সন্তুষ্ট করে। যেহেতু নন-নাল সংখ্যার সমস্ত ক্রমের সেটের ধারাবাহিকতার কার্ডিনালিটি রয়েছে, তাই সমস্ত লিউভিল সংখ্যার সেটের ক্ষেত্রেও একই ঘটনা ঘটে। উপরন্তু, লিউভিল সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার সেটের একটি ঘন উপসেট গঠন করে। লিউভিল সংখ্যা এবং পরিমাপ পরিমাপ তত্ত্বের দৃষ্টিকোণ থেকে, সমস্ত লিউভিল সংখ্যার সেট ছোট। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, এর লেবস্গু পরিমাপ শূন্য। প্রদত্ত প্রমাণটি জন সি অক্সটোবির কিছু ধারণাকে অনুসরণ করে। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং সেটের জন্যঃ তারপর লক্ষ্য করুন যে প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য এবং তারপর থেকে এবং তারপর এখন এবং এটি অনুসরণ করে যে প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, লেবস্গু পরিমাপ শূন্য রয়েছে। ফলস্বরূপ, তাই হয়েছে। এর বিপরীতে, সমস্ত বাস্তব অতীন্দ্রিয় সংখ্যার সেটের লেবস্গু পরিমাপ অসীম (যেহেতু বীজগাণিতিক সংখ্যার সেটটি একটি নাল সেট)। লিউভিল সংখ্যার সেটের কাঠামো প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, সেট সমস্ত লিউভিল সংখ্যার সেটকে এইভাবে লেখা যেতে পারে যে প্রতিটি একটি খোলা সেট; যেহেতু এর বন্ধে সমস্ত মূলদ (প্রতিটি ছিদ্রযুক্ত ব্যবধান থেকে) রয়েছে, এটি বাস্তব রেখার একটি ঘন উপসেটও। যেহেতু এটি গণনাযোগ্যভাবে এই ধরনের অনেক খোলা ঘন সেটের ছেদ, তাই এটি কমগ্র, অর্থাৎ এটি একটি ঘন জিডি সেট। অযৌক্তিকতা পরিমাপ একটি বাস্তব সংখ্যার লিউভিল-রথ অযৌক্তিকতা পরিমাপ (অযৌক্তিকতা সূচক, আনুমানিক সূচক, বা লিউভিল-রথ ধ্রুবক) একটি পরিমাপ যে এটিকে যৌক্তিকতা দ্বারা কতটা "ঘনিষ্ঠভাবে" অনুমান করা যেতে পারে। লিউভিল সংখ্যার সংজ্ঞাকে সাধারণীকরণ করে, এর শক্তিতে কোনওটিকে অনুমতি দেওয়ার পরিবর্তে, আমরা এমন কোনওটির জন্য সর্বাধিক সম্ভাব্য মান খুঁজে পাই যা অসীম সংখ্যক সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা জোড়া দ্বারা সন্তুষ্ট হয়। এর এই সর্বাধিক মানটিকে অযৌক্তিকতা পরিমাপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই উচ্চ সীমার চেয়ে কম যে কোনও মানের জন্য, উপরের বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে এমন সমস্ত যুক্তিসঙ্গতগুলির অসীম সেট একটি আনুমানিক ফলাফল দেয়। বিপরীতভাবে, যদি উপরের সীমার চেয়ে বড় হয়, তবে সর্বাধিক সীমাবদ্ধভাবে এমন অনেকগুলি রয়েছে যা বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে; সুতরাং, এর সমস্ত বৃহত্তর মানগুলির জন্য বিপরীত বৈষম্য রয়েছে। অন্য কথায়, একটি বাস্তব সংখ্যার অযৌক্তিকতা পরিমাপের পরিপ্রেক্ষিতে, যখনই একটি যুক্তিসঙ্গত অনুমান, সঠিক দশমিক সংখ্যা প্রদান করে, তারপরে যে কোনও ক্ষেত্রে, সর্বাধিক সংখ্যক "ভাগ্যবান" জোড়া ব্যতীত। ডিরিচলেটের আনুমানিক উপপাদ্যের ফলস্বরূপ প্রতিটি অযৌক্তিক সংখ্যার অযৌক্তিকতা পরিমাপ কমপক্ষে 2। অন্যদিকে, বোরেল-ক্যান্টেলি লেম্মার একটি প্রয়োগ দেখায় যে প্রায় সমস্ত সংখ্যার 2-এর সমান অযৌক্তিকতা পরিমাপ রয়েছে। নীচে নির্দিষ্ট সংখ্যার অযৌক্তিকতা পরিমাপের জন্য পরিচিত উপরের এবং নীচের সীমার একটি সারণী রয়েছে। অযৌক্তিকতার ভিত্তি হল অযৌক্তিকতার একটি পরিমাপ যা জে. সন্ডো লিউভিল সংখ্যার জন্য অযৌক্তিকতার পরিমাপ হিসাবে প্রবর্তন করেছিলেন। এটিকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ ধরা যাক একটি অযৌক্তিক সংখ্যা। যদি এই বৈশিষ্ট্যের সঙ্গে একটি বাস্তব সংখ্যা বিদ্যমান থাকে যে কোনওটির জন্য এমন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা থাকে, যাকে এর অযৌক্তিকতা ভিত্তি বলা হয় এবং যদি এমন কোনও অস্তিত্ব না থাকে তবে তাকে সুপার লিউভিল সংখ্যা বলা হয়। উদাহরণস্বরূপঃ সিরিজটি একটি সুপার লিউভিল নম্বর, যেখানে সিরিজটি অযৌক্তিকতা বেস 2 সহ একটি লিউভিল নম্বর। (টেট্রেশনকে বোঝায়।) একটি প্রদত্ত সংখ্যাকে একটি লিউভিল সংখ্যা হিসেবে প্রতিষ্ঠিত করা একটি প্রদত্ত সংখ্যাকে অতীন্দ্রিয় প্রমাণ করার জন্য একটি দরকারী হাতিয়ার প্রদান করে। যাইহোক, প্রতিটি অতীন্দ্রিয় সংখ্যা একটি লিউভিল সংখ্যা নয়। প্রতিটি লিউভিল সংখ্যার অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সম্প্রসারণের পদগুলি সীমাহীন; একটি গণনা যুক্তি ব্যবহার করে, কেউ তখন দেখাতে পারে যে অগণিত অনেক অতীন্দ্রিয় সংখ্যা থাকতে হবে যা লিউভিল নয়। ই-এর সুস্পষ্ট অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে, কেউ দেখাতে পারে যে ই একটি অতীন্দ্রিয় সংখ্যার উদাহরণ যা লিউভিল নয়। 1953 সালে মাহলার প্রমাণ করেন যে এটি এমনই আরেকটি উদাহরণ। প্রমাণটি প্রথমে অযৌক্তিক বীজগাণিতিক সংখ্যার একটি বৈশিষ্ট্য স্থাপন করে এগিয়ে যায়। এই বৈশিষ্ট্যটি মূলত বলে যে অযৌক্তিক বীজগাণিতিক সংখ্যাগুলি মূলদ সংখ্যা দ্বারা ভালভাবে অনুমান করা যায় না, যেখানে বৃহত্তর হরগুলির জন্য "ভালভাবে আনুমানিক" শর্তটি আরও কঠোর হয়ে ওঠে। একটি লিউভিল সংখ্যা অযৌক্তিক কিন্তু এর এই বৈশিষ্ট্য নেই, তাই এটি বীজগাণিতিক হতে পারে না এবং অবশ্যই অতীন্দ্রিয় হতে হবে। নিম্নলিখিত লেম্মাটি সাধারণত লিউভিলের উপপাদ্য (ডায়োফ্যান্টাইন আনুমানিকতার উপর) নামে পরিচিত, লিউভিলের উপপাদ্য নামে পরিচিত বেশ কয়েকটি ফলাফল রয়েছে। নীচে, প্রমাণটি দেখাবে যে কোনও লিউভিল সংখ্যা বীজগাণিতিক হতে পারে না। লেমাঃ যদি α একটি অযৌক্তিক সংখ্যা হয় যা পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ n> 0 মাত্রার একটি অপরিবর্তনীয় বহুপদী f-এর মূল হয়, তবে একটি বাস্তব সংখ্যা A> 0 এমনভাবে বিদ্যমান যে, q> 0 সহ সমস্ত পূর্ণসংখ্যা p, q-এর জন্য, লেম্মার প্রমাণঃ ধরা যাক M হল |f ′ (x)। (f-এর অন্তরালের পরম মান) এর সর্বোচ্চ মান [α−1, α + 1]। ধরা যাক α1, α2,., αm হল f-এর স্বতন্ত্র মূল যা α থেকে পৃথক। A> 0 সন্তোষজনক কিছু মান নির্বাচন করুন এখন ধরে নিন যে কিছু পূর্ণসংখ্যা p, q রয়েছে যা লেম্মার বিরোধিতা করে। তারপর p/q ব্যবধান [α−1, α + 1]-এ থাকে; এবং p/q {α1, α2,., αm}-এ থাকে না, তাই p/q হল f-এর মূল নয়; এবং α এবং p/q-এর মধ্যে f-এর কোনও মূল নেই। গড় মান উপপাদ্য অনুসারে, p/q এবং α-এর মধ্যে এমন একটি x0 বিদ্যমান যে যেহেতু α হল f-এর একটি মূল কিন্তু p/q নয়, তাই এটি |f ′ (x0)।> 0 অনুসরণ করে এবং পুনর্বিন্যাস করতে পারেঃ এখন, f হল ci xi আকারে যেখানে প্রতিটি ci একটি পূর্ণসংখ্যা; তাই |f (p/q)। কে N. B হিসাবে প্রকাশ করা হয়। শেষ বৈষম্যটি ধারণ করে কারণ p/q হল f-এর মূল নয় এবং ci হল পূর্ণসংখ্যা। সুতরাং, |f (p/q)। ≤1/qn। যেহেতু M-এর সংজ্ঞা অনুসারে |f ′ (x0)। ≤ M, এবং A-এর সংজ্ঞা অনুসারে 1/M> A, তাহলে যা একটি দ্বন্দ্ব; অতএব, এমন কোনও p, q বিদ্যমান নেই; লেম্মাকে প্রমাণ করে। দাবির প্রমাণঃ এই ধারণার ফলস্বরূপ, x কে একটি লিউভিল সংখ্যা হিসাবে ধরা যাক; যেমন নিবন্ধের পাঠ্যে উল্লেখ করা হয়েছে, x তখন অযৌক্তিক। যদি x বীজগাণিতিক হয়, তবে লেম্মা দ্বারা, কিছু পূর্ণসংখ্যা n এবং কিছু ধনাত্মক বাস্তব A রয়েছে যাতে সমস্ত p, q এর জন্য r একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় যেমন 1/(2r) ≤ A। যদি m = r + n হয়, এবং যেহেতু x একটি লিউভিল সংখ্যা হয়, তাহলে a, b, যেখানে b> 1 এমন পূর্ণসংখ্যা রয়েছে যা লেম্মার বিরোধিতা করে। সুতরাং একটি লিউভিল সংখ্যা বীজগাণিতিক হতে পারে না, এবং তাই অবশ্যই অতীন্দ্রিয় হতে হবে। আরও দেখুন ব্রজুনো সংখ্যা ডায়োফ্যান্টাইন আনুমানিক তথ্যসূত্র বাহ্যিক যোগসূত্র ডায়োফ্যান্টাইন আনুমানিক গাণিতিক ধ্রুবকের সূচনা বাস্তব অতীন্দ্রিয় সংখ্যা অযৌক্তিক সংখ্যার প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ