Probability space
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, সম্ভাব্যতা স্থান বা সম্ভাব্যতা ট্রিপল হল একটি গাণিতিক গঠন যা একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া বা "পরীক্ষা"-এর একটি আনুষ্ঠানিক মডেল প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি সম্ভাব্যতা স্থান সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা একটি নিক্ষেপের মডেল তৈরি করে। একটি সম্ভাব্যতা স্থান তিনটি উপাদান নিয়ে গঠিতঃ একটি নমুনা স্থান, যা সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সমষ্টি। একটি ইভেন্ট স্পেস, যা ইভেন্টগুলির একটি সেট, একটি ইভেন্ট নমুনা স্পেসে ফলাফলের একটি সেট। একটি সম্ভাব্যতা ফাংশন, যা ইভেন্ট স্পেসে প্রতিটি ইভেন্টকে একটি সম্ভাব্যতা বরাদ্দ করে, যা 0 এবং 1 এর মধ্যে একটি সংখ্যা। সম্ভাবনার একটি বোধগম্য মডেল সরবরাহ করার জন্য, এই উপাদানগুলিকে অবশ্যই এই নিবন্ধে বিস্তারিতভাবে বেশ কয়েকটি স্বতঃসিদ্ধকে সন্তুষ্ট করতে হবে। একটি স্ট্যান্ডার্ড ডাই নিক্ষেপের উদাহরণে, আমরা নমুনা স্থানটি গ্রহণ করব। ইভেন্ট স্পেসের জন্য, আমরা কেবল নমুনা স্পেসের সমস্ত উপসেটগুলির সেটটি ব্যবহার করতে পারি, যার মধ্যে তখন ("5-এ ডাই ল্যান্ড") এর মতো সহজ ঘটনাগুলির পাশাপাশি জটিল ঘটনাগুলি যেমন ("একটি জোড় সংখ্যায় ডাই ল্যান্ড") থাকবে। পরিশেষে, সম্ভাব্যতা ফাংশনের জন্য, আমরা প্রতিটি ইভেন্টকে সেই ইভেন্টের ফলাফলের সংখ্যার সাথে 6 দ্বারা ভাগ করে ম্যাপ করব-তাই উদাহরণস্বরূপ, ম্যাপ করা হবে, এবং ম্যাপ করা হবে। যখন একটি পরীক্ষা পরিচালিত হয়, তখন আমরা কল্পনা করি যে "প্রকৃতি" নমুনা স্থান থেকে একটি একক ফলাফল "নির্বাচন" করে। ইভেন্ট স্পেসে নির্বাচিত ফলাফল ধারণকারী সমস্ত ইভেন্টকে "ঘটেছে" বলা হয়। এই "নির্বাচন" এমনভাবে ঘটে যে যদি পরীক্ষাটি বহুবার পুনরাবৃত্তি করা হয়, তবে প্রতিটি ঘটনার ঘটনার সংখ্যা, মোট পরীক্ষার সংখ্যার একটি ভগ্নাংশ হিসাবে, সম্ভবত সম্ভাব্যতা ফাংশন দ্বারা সেই ঘটনাকে নির্ধারিত সম্ভাবনার দিকে ঝুঁকবে। সোভিয়েত গণিতবিদ আন্দ্রে কোলমোগোরভ 1930-এর দশকে সম্ভাবনার অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধগুলির সাথে সম্ভাব্যতা স্থানের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন। আধুনিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বে স্বতঃসিদ্ধকরণের জন্য বেশ কয়েকটি বিকল্প পদ্ধতি রয়েছে-উদাহরণস্বরূপ, এলোমেলো চলকের বীজগণিত। একটি সম্ভাব্যতা স্থান একটি গাণিতিক ত্রয়ী যা বাস্তব-বিশ্বের পরিস্থিতির একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর জন্য একটি মডেল উপস্থাপন করে। অন্যান্য মডেলের মতো, এর লেখক শেষ পর্যন্ত কোন উপাদানগুলি, এবং ধারণ করবে তা নির্ধারণ করে। নমুনা স্থান হল সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সমষ্টি। একটি ফলাফল হল মডেলটির একক সম্পাদনের ফলাফল। ফলাফল হতে পারে প্রকৃতির অবস্থা, সম্ভাবনা, পরীক্ষামূলক ফলাফল ইত্যাদি। বাস্তব-জগতের পরিস্থিতির প্রতিটি দৃষ্টান্ত (বা পরীক্ষা চালানোর) অবশ্যই ঠিক একটি ফলাফল তৈরি করতে হবে। একটি পরীক্ষার বিভিন্ন পর্যায়ের ফলাফল যদি গুরুত্বপূর্ণ যে কোনও উপায়ে ভিন্ন হয়, তবে সেগুলি স্বতন্ত্র ফলাফল। কোন পার্থক্যগুলি গুরুত্বপূর্ণ তা নির্ভর করে আমরা কী ধরনের বিশ্লেষণ করতে চাই তার উপর। এটি নমুনা স্থানের বিভিন্ন পছন্দের দিকে পরিচালিত করে। σ-বীজগণিত হল সমস্ত ঘটনার একটি সংগ্রহ যা আমরা বিবেচনা করতে চাই। এই সংগ্রহে প্রতিটি প্রাথমিক ঘটনা অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে। এখানে, একটি "ইভেন্ট" হল শূন্য বা তার বেশি ফলাফলের একটি সেট; অর্থাৎ, নমুনা স্থানের একটি উপসেট। একটি পরীক্ষা চলাকালীন একটি ঘটনা "ঘটেছে" বলে মনে করা হয় যখন পরেরটির ফলাফল ঘটনার একটি উপাদান হয়। যেহেতু একই ফলাফল অনেক ঘটনার সদস্য হতে পারে, তাই একটি ফলাফল দিলে অনেক ঘটনা ঘটতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যখন ট্রায়ালে দুটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়, তখন 7 পিপের সমষ্টি সহ সমস্ত ফলাফলের সেট একটি ইভেন্ট গঠন করতে পারে, যেখানে বিজোড় সংখ্যক পিপের ফলাফল অন্য ইভেন্ট গঠন করতে পারে। যদি ফলাফলটি প্রথম ডাইতে দুটি পিপস এবং দ্বিতীয়টিতে পাঁচটি পিপসের প্রাথমিক ইভেন্টের উপাদান হয়, তবে "7 পিপস" এবং "বিজোড় সংখ্যক পিপস" উভয় ইভেন্টই ঘটেছে বলে বলা হয়। সম্ভাব্যতা পরিমাপ হল একটি সেট ফাংশন যা কোনও ঘটনার সম্ভাব্যতা ফিরিয়ে দেয়। একটি সম্ভাব্যতা হল শূন্যের মধ্যে একটি বাস্তব সংখ্যা (অসম্ভব ঘটনাগুলির সম্ভাব্যতা শূন্য থাকে, যদিও সম্ভাব্যতা-শূন্য ঘটনাগুলি অগত্যা অসম্ভব নয়) এবং এক (ঘটনাটি প্রায় নিশ্চিতভাবে ঘটে, প্রায় সম্পূর্ণ নিশ্চিততার সাথে)। এইভাবে একটি ফাংশন সম্ভাব্যতা পরিমাপ ফাংশনকে অবশ্যই দুটি সহজ প্রয়োজনীয়তা পূরণ করতে হবেঃ প্রথমত, পারস্পরিক একচেটিয়া ঘটনার গণনাযোগ্য মিলনের সম্ভাবনা অবশ্যই এই প্রতিটি ঘটনার সম্ভাবনার গণনাযোগ্য যোগফলের সমান হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, পারস্পরিক একচেটিয়া ঘটনাগুলির মিলনের সম্ভাবনা এবং একটি মুদ্রা টস করার এলোমেলো পরীক্ষায়,, এর জন্য সম্ভাবনা এবং সম্ভাবনার যোগফল। দ্বিতীয়ত, নমুনা স্থানের সম্ভাবনা অবশ্যই 1-এর সমান হতে হবে (যা এই সত্যের জন্য দায়ী যে, মডেলটি কার্যকর করার ক্ষেত্রে, কিছু ফলাফল অবশ্যই ঘটতে হবে)। পূর্ববর্তী উদাহরণে ফলাফলের সেটের সম্ভাবনা অবশ্যই একটির সমান হতে হবে, কারণ এটি সম্পূর্ণ নিশ্চিত যে ফলাফলটি একটি একক মুদ্রা টস-এ হবে বা (মডেলটি অন্য কোনও সম্ভাবনাকে উপেক্ষা করে)। নমুনা স্থানের প্রতিটি উপসেটকে অবশ্যই একটি ঘটনা হিসাবে বিবেচনা করা উচিত নয়ঃ কিছু উপসেট কেবল আগ্রহের বিষয় নয়, অন্যগুলি "পরিমাপ" করা যায় না। কয়েন টস-এর মতো ক্ষেত্রে এটি এতটা স্পষ্ট নয়। একটি ভিন্ন উদাহরণে, জ্যাভলিন নিক্ষেপের দৈর্ঘ্য বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে ইভেন্টগুলি সাধারণত "60 থেকে 65 মিটারের মধ্যে" এবং এই ধরনের ব্যবধানের ইউনিয়নগুলির মতো ব্যবধান, তবে "60 থেকে 65 মিটারের মধ্যে অযৌক্তিক সংখ্যা" এর মতো সেট নয়। সংজ্ঞা সংক্ষেপে, সম্ভাব্যতা স্থান হল একটি পরিমাপ স্থান যাতে সমগ্র স্থানের পরিমাপ একটির সমান হয়। সম্প্রসারিত সংজ্ঞাটি নিম্নরূপঃ একটি সম্ভাব্যতা স্থান একটি তিনগুণ সমন্বিত হয়ঃ নমুনা স্থান-একটি নির্বিচারে অ-খালি সেট, σ-বীজগণিত (যাকে σ-ক্ষেত্রও বলা হয়)-উপসেটগুলির একটি সেট, যাকে ঘটনা বলা হয়, যেমনঃ নমুনা স্থান রয়েছেঃ, পরিপূরকের অধীনে বন্ধ করা হয়ঃ যদি, তবে, গণনাযোগ্য ইউনিয়নগুলির অধীনেও বন্ধ করা হয়ঃ যদি জন্য হয়, তবে পূর্ববর্তী দুটি বৈশিষ্ট্য এবং ডি মরগানের সূত্রটিও গণনাযোগ্য ছেদগুলির অধীনে বন্ধ করা হয়ঃ যদি জন্য হয়, তবে সম্ভাব্যতা পরিমাপ-এমন একটি ফাংশন যাতেঃ পি গণনাযোগ্য যোগাত্মক (যাকে σ-সংযোজনও বলা হয়): যদি জোড়া ভিত্তিক বিচ্ছিন্ন সেটগুলির একটি গণনাযোগ্য সংগ্রহ হয়, তবে ডিসক্রিট কেস ডিসক্রিট সম্ভাব্যতা তত্ত্ব শুধুমাত্র সর্বাধিক গণনাযোগ্য নমুনা স্থানগুলিতে প্রয়োজন। সম্ভাব্যতা এমন সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন দ্বারা পয়েন্টগুলির সাথে যুক্ত করা যেতে পারে। এর সমস্ত উপসেটকে ঘটনা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে (সুতরাং, এটি পাওয়ার সেট)। সম্ভাব্যতা পরিমাপ সহজ রূপ নেয় সর্বশ্রেষ্ঠ σ-বীজগণিত সম্পূর্ণ তথ্য বর্ণনা করে। সাধারণভাবে, একটি σ-বীজগণিত একটি সীমাবদ্ধ বা গণনাযোগ্য বিভাজনের সাথে মিলে যায়, যা একটি ঘটনার সাধারণ রূপ। উদাহরণগুলিও দেখুন। কেসটি সংজ্ঞা দ্বারা অনুমোদিত, কিন্তু খুব কমই ব্যবহৃত হয়, যেহেতু এই ধরনের নমুনা স্থান থেকে নিরাপদে বাদ দেওয়া যেতে পারে। সাধারণ ক্ষেত্রে যদি অগণিত হয়, তবুও, এটি ঘটতে পারে যে কারো কারো ক্ষেত্রে; এগুলিকে পরমাণু বলা হয়। এগুলি সর্বাধিক গণনাযোগ্য (সম্ভবত খালি) সেট, যার সম্ভাব্যতা সমস্ত পরমাণুর সম্ভাবনার সমষ্টি। যদি এই যোগফল 1 এর সমান হয় তবে অন্যান্য সমস্ত পয়েন্ট নিরাপদে নমুনা স্থান থেকে বাদ দেওয়া যেতে পারে, যা আমাদের বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে ফিরিয়ে দেয়। অন্যথায়, যদি সমস্ত পরমাণুর সম্ভাবনার সমষ্টি 0 এবং 1 এর মধ্যে হয়, তবে সম্ভাব্যতা স্থানটি একটি বিচ্ছিন্ন (পারমাণবিক) অংশে (সম্ভবত খালি) এবং একটি অ-পারমাণবিক অংশে বিভক্ত হয়ে যায়। অ-পারমাণবিক ক্ষেত্রে যদি সকলের জন্য (এই ক্ষেত্রে, ω অবশ্যই অগণিত হতে হবে, কারণ অন্যথায় সন্তুষ্ট করা যায় না), তবে সমীকরণ () ব্যর্থ হয়ঃ একটি সেটের সম্ভাব্যতা অগত্যা তার উপাদানগুলির সম্ভাবনার সমষ্টি নয়, কারণ যোগফল শুধুমাত্র গণনাযোগ্য সংখ্যক উপাদানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি সম্ভাব্যতা স্থান তত্ত্বকে অনেক বেশি প্রযুক্তিগত করে তোলে। যোগফলের চেয়ে শক্তিশালী একটি সূত্র, পরিমাপ তত্ত্ব প্রযোজ্য। প্রাথমিকভাবে সম্ভাব্যতা কিছু "জেনারেটর" সেটের জন্য দায়ী করা হয় (উদাহরণ দেখুন)। তারপরে একটি সীমাবদ্ধ পদ্ধতি সেটগুলিতে সম্ভাব্যতা নির্ধারণের অনুমতি দেয় যা জেনারেটর সেটগুলির ক্রমের সীমা, বা সীমার সীমা ইত্যাদি। এই সমস্ত সেট হল σ-বীজগণিত। প্রযুক্তিগত বিবরণের জন্য ক্যারাথিওডোরির সম্প্রসারণ উপপাদ্য দেখুন। এর অন্তর্গত সেটগুলিকে পরিমাপযোগ্য বলা হয়। সাধারণভাবে এগুলি জেনারেটর সেটের তুলনায় অনেক বেশি জটিল, তবে অ-পরিমাপযোগ্য সেটের তুলনায় অনেক ভাল। সম্পূর্ণ সম্ভাব্যতা স্থান একটি সম্ভাব্যতা স্থানকে একটি সম্পূর্ণ সম্ভাব্যতা স্থান বলা হয় যদি সকলের জন্য এবং সকলের কাছে থাকে। প্রায়শই, সম্ভাব্যতা স্থানগুলির অধ্যয়ন সম্পূর্ণ সম্ভাব্যতা স্থানগুলির মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে। উদাহরণ বিচ্ছিন্ন উদাহরণ উদাহরণ 1 যদি পরীক্ষাটি একটি ন্যায্য মুদ্রার মাত্র একটি উল্টানো নিয়ে গঠিত হয়, তবে ফলাফল হয় মাথা বা লেজ হয়ঃ σ-বীজগণিতে ঘটনা রয়েছে, যথাঃ ("মাথা"), ("লেজ"), ("মাথা বা লেজ নয়"), এবং ("মাথা বা লেজ নয়"); অন্য কথায়,। মাথা নাড়ানোর পঞ্চাশ শতাংশ সম্ভাবনা এবং লেজের জন্য পঞ্চাশ শতাংশ সম্ভাবনা রয়েছে, তাই এই উদাহরণে সম্ভাব্যতা পরিমাপ হল,,,। উদাহরণ 2 ন্যায্য মুদ্রাটি তিনবার নিক্ষেপ করা হয়। 8টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছেঃ (উদাহরণস্বরূপ এখানে "এইচটিএইচ"-এর অর্থ হল প্রথমবার মুদ্রাটি শীর্ষে অবতরণ করে, দ্বিতীয়বার লেজ এবং শেষবার আবার শীর্ষে অবতরণ করে)। সম্পূর্ণ তথ্যটি ঘটনাগুলির σ-বীজগণিত দ্বারা বর্ণনা করা হয়, যেখানে প্রতিটি ঘটনা ω এর একটি উপসেট। অ্যালিস কেবল দ্বিতীয় টসের ফলাফল জানে। এইভাবে তার অসম্পূর্ণ তথ্য বিভাজন দ্বারা বর্ণনা করা হয়, যেখানে ′ হল বিচ্ছিন্ন মিলন, এবং সংশ্লিষ্ট σ-বীজগণিত। ব্রায়ান কেবল মোট লেজের সংখ্যা জানেন। তাঁর বিভাজনে চারটি অংশ রয়েছেঃ সেই অনুযায়ী, তাঁর σ-বীজগণিতে 24 = 16টি ঘটনা রয়েছে। দুটি σ-বীজগণিত অতুলনীয়ঃ না বা; উভয়ই 2 ওহমের উপ-σ-বীজগণিত। উদাহরণ 3 ক্যালিফোর্নিয়ার সমস্ত ভোটারদের মধ্যে থেকে যদি এলোমেলোভাবে 100 জন ভোটারকে বাছাই করা হয় এবং জিজ্ঞাসা করা হয় যে তারা কাকে গভর্নরকে ভোট দেবে, তাহলে ক্যালিফোর্নিয়ার 100 জন ভোটারের সমস্ত ক্রমের সেট হবে নমুনা স্থান। আমরা ধরে নিই যে প্রতিস্থাপন ছাড়াই নমুনা ব্যবহার করা হয়ঃ শুধুমাত্র 100 জন ভিন্ন ভোটারের ক্রম অনুমোদিত। সরলতার জন্য একটি অর্ডার করা নমুনা বিবেচনা করা হয়, অর্থাৎ একটি ক্রম (অ্যালিস, ব্রায়ান) (ব্রায়ান, অ্যালিস) থেকে আলাদা। আমরা এটাও মেনে নিই যে, প্রতিটি সম্ভাব্য ভোটার ঠিক তার ভবিষ্যৎ পছন্দ জানে, অর্থাৎ সে এলোমেলোভাবে নির্বাচন করে না। অ্যালিস কেবল জানে যে আর্নল্ড শোয়ার্জেনেগার কমপক্ষে 60টি ভোট পেয়েছেন কি না। তার অসম্পূর্ণ তথ্য σ-বীজগণিত দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে যার মধ্যে রয়েছেঃ (1) ω-এর সমস্ত ক্রমের সেট যেখানে কমপক্ষে 60 জন লোক শোয়ার্জেনেগারকে ভোট দেয়; (2) সমস্ত ক্রমের সেট যেখানে 60 টিরও কম শোয়ার্জেনেগারকে ভোট দেয়; (3) পুরো নমুনা স্থান ω; এবং (4) খালি সেট। ব্রায়ান জানেন ঠিক কতজন ভোটার শোয়ার্জনেগারকে ভোট দিতে যাচ্ছেন। তাঁর অসম্পূর্ণ তথ্য সংশ্লিষ্ট বিভাজন দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে এবং σ-বীজগণিত 2101টি ঘটনা নিয়ে গঠিত। এই ক্ষেত্রে অ্যালিসের σ-বীজগণিত হল ব্রায়ানের একটি উপসেটঃ ব্রায়ানের σ-বীজগণিত হল ঘটনাগুলির সমন্বয়ে গঠিত অনেক বড় "সম্পূর্ণ তথ্য" σ-বীজগণিত 2 ওহমের একটি উপসেট, যেখানে n হল ক্যালিফোর্নিয়ার সমস্ত সম্ভাব্য ভোটারদের সংখ্যা। অ-পারমাণবিক উদাহরণ উদাহরণ 4 0 এবং 1 এর মধ্যে একটি সংখ্যা এলোমেলোভাবে, অভিন্নভাবে বেছে নেওয়া হয়। এখানে ω = [0,1], হল ω-এর উপর বোরেল সেটের σ-বীজগণিত, এবং P হল [0,1]-এর উপর লেবস্গু পরিমাপ। এই ক্ষেত্রে ফর্মের খোলা ব্যবধানগুলি, যেখানে, জেনারেটর সেট হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। এই ধরনের প্রতিটি সেটকে এর সম্ভাব্যতা হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যা [0,1]-এর উপর লেবস্গু পরিমাপ এবং ω-এর উপর বোরেল σ-বীজগণিত তৈরি করে। উদাহরণ 5 একটি ন্যায্য মুদ্রা অবিরাম নিক্ষেপ করা হয়। এখানে কেউ নিতে পারে ω = {0,1} φ, যা 0 এবং 1 সংখ্যার সমস্ত অসীম ক্রমের সেট। সিলিন্ডার সেটগুলি জেনারেটর সেট হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ধরনের প্রতিটি সেট এমন একটি ঘটনা বর্ণনা করে যেখানে প্রথম এন টসগুলির ফলে একটি নির্দিষ্ট ক্রম হয় এবং বাকি ক্রমটি নির্বিচারে হতে পারে। এই ধরনের প্রতিটি ঘটনাকে স্বাভাবিকভাবেই 2−n সম্ভাবনা দেওয়া যেতে পারে। এই দুটি অ-পারমাণবিক উদাহরণ ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিতঃ একটি ক্রম সংখ্যার দিকে নিয়ে যায়। এটি {0,1} φ এবং [0,1] এর মধ্যে এক-থেকে-এক যোগাযোগ নয় তবে এটি একটি আইসোমরফিজম মডুলো শূন্য, যা দুটি সম্ভাব্যতা স্থানকে একই সম্ভাব্যতা স্থানের দুটি রূপ হিসাবে বিবেচনা করার অনুমতি দেয়। প্রকৃতপক্ষে, সমস্ত অ-প্যাথোলজিকাল অ-পারমাণবিক সম্ভাব্যতা স্থান এই অর্থে একই। এগুলি তথাকথিত স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা স্থান। সম্ভাব্যতা স্থানগুলির মৌলিক প্রয়োগগুলি মানসম্মততার প্রতি সংবেদনশীল নয়। যাইহোক, নন-ডিসক্রিট কন্ডিশনিং স্ট্যান্ডার্ড সম্ভাব্যতা জায়গাগুলিতে সহজ এবং প্রাকৃতিক, অন্যথায় এটি অস্পষ্ট হয়ে যায়। সম্পর্কিত ধারণাগুলি সম্ভাব্যতা বিতরণ যে কোনও সম্ভাব্যতা বিতরণ একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপকে সংজ্ঞায়িত করে। র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল X হল একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন X: ω → S নমুনা স্থান ω থেকে অন্য পরিমাপযোগ্য স্থান S-এ যা স্টেট স্পেস নামে পরিচিত। যদি 'এ' এস 'হয়, তাহলে' পিআর '(এক্স' এ ') স্বরলিপিটি সাধারণত' এ '-এর জন্য ব্যবহৃত হয়। নমুনা স্থানের পরিপ্রেক্ষিতে ইভেন্টগুলি সংজ্ঞায়িত করা যদি ω গণনাযোগ্য হয় তবে আমরা প্রায় সবসময় ω এর পাওয়ার সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি, অর্থাৎ। যা তুচ্ছভাবে একটি σ-বীজগণিত এবং সবচেয়ে বড় যা আমরা ω ব্যবহার করে তৈরি করতে পারি। তাই আমরা সম্ভাব্যতা স্থান নির্ধারণ করতে বাদ দিতে পারি এবং কেবল (ω, P) লিখতে পারি। অন্যদিকে, যদি ω অগণিত হয় এবং আমরা ব্যবহার করি তবে আমরা আমাদের সম্ভাব্যতা পরিমাপ P সংজ্ঞায়িত করতে সমস্যায় পড়ি কারণ এটি খুব "বড়", অর্থাৎ। প্রায়শই এমন সেট থাকবে যেখানে একটি অনন্য পরিমাপ নির্ধারণ করা অসম্ভব হবে। এই ক্ষেত্রে, আমাদের একটি ছোট σ-বীজগণিত ব্যবহার করতে হবে, উদাহরণস্বরূপ ω এর বোরেল বীজগণিত, যা সবচেয়ে ছোট σ-বীজগণিত যা সমস্ত খোলা সেটকে পরিমাপযোগ্য করে তোলে। শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা কোলমোগোরভের সম্ভাব্যতা স্থানের সংজ্ঞা শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার প্রাকৃতিক ধারণার জন্ম দেয়। অ-শূন্য সম্ভাব্যতা (অর্থাৎ,) সহ প্রতিটি সেট স্থানটিতে আরেকটি সম্ভাব্যতা পরিমাপকে সংজ্ঞায়িত করে। এটি সাধারণত "বি প্রদত্ত এ-এর সম্ভাবনা" হিসাবে উচ্চারিত হয়। যে কোনও ঘটনার জন্য, সমস্ত ঘটনার জন্য সংজ্ঞায়িত ফাংশন নিজেই একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ। স্বাধীনতা দুটি ঘটনা, এ এবং বি-কে স্বাধীন বলা হয় যদি। দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল, এবং, স্বাধীন বলে মনে করা হয় যদি এর পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত কোনও ঘটনা এর পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত কোনও ঘটনা থেকে স্বাধীন হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, তারা স্বাধীন σ-বীজগণিত তৈরি করে, যেখানে দুটি σ-বীজগণিত এবং, যা এর উপসেট, যদি এর কোনও উপাদান এর কোনও উপাদান থেকে স্বাধীন হয় তবে স্বাধীন বলে মনে করা হয়। পারস্পরিক একচেটিয়া দুটি ঘটনা, এবং বলা হয় পারস্পরিক একচেটিয়া বা বিচ্ছিন্ন যদি একটির ঘটনা অন্যটির অ-ঘটনা বোঝায়, অর্থাৎ, তাদের ছেদটি খালি। তাদের ছেদ শূন্য হওয়ার সম্ভাবনার তুলনায় এটি একটি শক্তিশালী অবস্থা। যদি এবং তা বিচ্ছিন্ন ঘটনা হয়, তাহলে। এটি ঘটনাগুলির একটি (সীমাবদ্ধ বা গণনাযোগ্যভাবে অসীম) ক্রম পর্যন্ত প্রসারিত। যাইহোক, একটি অগণিত ঘটনার সংযোগের সম্ভাবনা তাদের সম্ভাবনার সমষ্টি নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সাধারণভাবে বিতরণ করা এলোমেলো পরিবর্তনশীল হয়, তবে যে কোনওটির জন্য 0, কিন্তু। ঘটনাটিকে "এ এবং বি" এবং ঘটনাটিকে "এ বা বি" হিসাবে উল্লেখ করা হয়। আরও দেখুন স্থান (গণিত) পরিমাপ স্থান অস্পষ্ট পরিমাপ তত্ত্ব ফিল্টার করা সম্ভাব্যতা স্থান তালাগ্র্যান্ডের ঘনত্ব বৈষম্য রেফারেন্স গ্রন্থপঞ্জি পিয়েরে সাইমন ডি ল্যাপলেস (1812) সম্ভাবনার বিশ্লেষণাত্মক তত্ত্ব সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সাথে ক্যালকুলাসের মিশ্রণ প্রথম প্রধান গ্রন্থ, মূলত ফরাসি ভাষায়ঃ থিওরি অ্যানালিটিক ডেস প্রোবাবিলিটেস। আন্দ্রেই নিকোলাজেভিচ কোলমোগোরভ (1950) সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ভিত্তি সম্ভাব্যতা তত্ত্বের আধুনিক পরিমাপ-তাত্ত্বিক ভিত্তি; মূল জার্মান সংস্করণ (গ্রান্ডবেগ্রিফ ডার ওয়াহরশেইনলিচকেইট্রেচনুং) 1933 সালে প্রকাশিত হয়েছিল। হ্যারল্ড জেফ্রিজ (1939) সম্ভাব্যতা তত্ত্ব একজন অভিজ্ঞতাসম্পন্ন, সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ভিত্তির প্রতি বায়েসিয়ান দৃষ্টিভঙ্গি। এডওয়ার্ড নেলসন (1987) র্যাডিক্যালি এলিমেন্টারি প্রোবেবিলিটি থিওরি নন-স্ট্যান্ডার্ড বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ভিত্তি। ডাউনলোড করা যায়। http://www.math.princeton.edu ~ নেলসন/বই. এইচটিএমএল প্যাট্রিক বিলিংসলেঃ সম্ভাব্যতা এবং পরিমাপ, জন উইলি অ্যান্ড সন্স, নিউ ইয়র্ক, টরন্টো, লন্ডন, 1979। হেঙ্ক টিজমস (2004) সম্ভাব্যতা বোঝা নতুনদের জন্য সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একটি প্রাণবন্ত ভূমিকা, কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়। প্রেস করুন। ডেভিড উইলিয়ামস (1991) মার্টিঙ্গেলসের সাথে সম্ভাব্যতা পরিমাপ-তাত্ত্বিক সম্ভাবনার একটি স্নাতক ভূমিকা, কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়। প্রেস করুন। বাহ্যিক লিঙ্ক পাশার সম্ভাব্যতা স্থান প্রদর্শনকারী অ্যানিমেশন সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যানে ভার্চ্যুয়াল ল্যাবরেটরিজ (প্রধান লেখক কাইল সিগ্রিস্ট), বিশেষত, সম্ভাব্যতা স্থান সিটিজেনডিয়াম সম্পূর্ণ সম্ভাব্যতা স্থান পরীক্ষা (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব) স্থান (গণিত)