Semidirect product
গণিতে, বিশেষ করে গোষ্ঠী তত্ত্বে, একটি অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যের ধারণা হল একটি প্রত্যক্ষ পণ্যের সাধারণীকরণ। সেমিডাইরেক্ট পণ্যের দুটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত ধারণা রয়েছেঃ একটি অভ্যন্তরীণ সেমিডাইরেক্ট পণ্য একটি নির্দিষ্ট উপায় যেখানে একটি গোষ্ঠী দুটি উপগোষ্ঠী নিয়ে গঠিত হতে পারে, যার মধ্যে একটি হল একটি সাধারণ উপগোষ্ঠী। একটি বাইরের সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্ট হল কার্টেসিয়ান প্রোডাক্টকে একটি সেট এবং একটি নির্দিষ্ট গুণন অপারেশন হিসাবে ব্যবহার করে দুটি প্রদত্ত গ্রুপ থেকে একটি নতুন গ্রুপ গঠনের একটি উপায়। প্রত্যক্ষ পণ্যগুলির মতো, অভ্যন্তরীণ এবং বাইরের অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যগুলির মধ্যে একটি প্রাকৃতিক সমতা রয়েছে এবং উভয়কেই সাধারণত অর্ধ-পরোক্ষ পণ্য হিসাবে উল্লেখ করা হয়। সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির জন্য, শুর-জ্যাসেনহাউস উপপাদ্যটি একটি অর্ধ-পরোক্ষ পণ্য (বিভাজন সম্প্রসারণ নামেও পরিচিত) হিসাবে একটি পচন অস্তিত্বের জন্য একটি পর্যাপ্ত শর্ত প্রদান করে। অভ্যন্তরীণ আধা-পরোক্ষ পণ্যের সংজ্ঞা পরিচয় উপাদান, একটি উপগোষ্ঠী এবং একটি সাধারণ উপগোষ্ঠী সহ একটি গোষ্ঠী দেওয়া হলে, নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি সমতুল্যঃ উপগোষ্ঠীর গুণফল, এবং এই উপগোষ্ঠীগুলির তুচ্ছ ছেদ রয়েছেঃ প্রত্যেকের জন্য, অনন্য এবং এরকম কিছু আছে। প্রত্যেকের জন্য, অনন্য এবং এরকম কিছু আছে। প্রাকৃতিক অভিক্ষেপের সাথে প্রাকৃতিক এম্বেডিংয়ের গঠন হল ভাগফল গোষ্ঠীর মধ্যে একটি সমরূপতা। একটি সমরূপতা বিদ্যমান যা হল পরিচয় এবং যার কার্নেল হল। অন্য কথায়, গোষ্ঠীগুলির একটি বিভক্ত সঠিক ক্রম রয়েছে (যা গ্রুপ এক্সটেনশন অফ বাই নামেও পরিচিত)। যদি এই বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনওটি ধারণ করে (এবং তাই তারা সকলেই তাদের সমতুল্যতার দ্বারা ধরে রাখে), আমরা বলি এবং এর অর্ধ-পরোক্ষ গুণফল, লিখিত বা বা যা বিভক্ত হয়; একজন আরও বলে যে এটি একটি অর্ধ-পরোক্ষ গুণফল, বা এমনকি এবং এর একটি অর্ধ-পরোক্ষ গুণফল। অস্পষ্টতা এড়ানোর জন্য, কোনটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী তা নির্দিষ্ট করার পরামর্শ দেওয়া হয়। যদি, তাহলে একটি গ্রুপ সমরূপতা দেওয়া আছে, এবং জন্য, আমাদের আছে। অভ্যন্তরীণ এবং বাইরের অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যগুলি আসুন প্রথমে অভ্যন্তরীণ অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যটি বিবেচনা করা যাক। এই ক্ষেত্রে, একটি গোষ্ঠীর জন্য, তার স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী এবং উপগোষ্ঠী বিবেচনা করুন (অগত্যা স্বাভাবিক নয়)। ধরে নিন যে উপরের তালিকার শর্তগুলি প্রযোজ্য। আসুন সমস্ত অটোমরফিজমের গ্রুপকে বোঝাই, যা রচনার অধীনে একটি গ্রুপ। ভিতরে এবং ভিতরে সকলের জন্য সংমিশ্রণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি গ্রুপ সমরূপতা তৈরি করুন। এইভাবে আমরা ইন এবং ইন হিসাবে সংজ্ঞায়িত গ্রুপ অপারেশন সহ একটি গ্রুপ তৈরি করতে পারি। উপগোষ্ঠীগুলি এবং আইসোমরফিজম পর্যন্ত নির্ধারণ করে, যেমনটি আমরা পরে দেখাব। এইভাবে, আমরা তার উপগোষ্ঠী থেকে গোষ্ঠী গঠন করতে পারি। এই ধরনের নির্মাণকে অভ্যন্তরীণ অর্ধ-পরোক্ষ পণ্য বলা হয় (যা অভ্যন্তরীণ অর্ধ-পরোক্ষ পণ্য নামেও পরিচিত)। আসুন এখন বাইরের সেমিডাইরেক্ট পণ্যটি বিবেচনা করা যাক। যে কোনও দুটি গোষ্ঠী এবং একটি গোষ্ঠী সমরূপতার পরিপ্রেক্ষিতে, আমরা একটি নতুন গোষ্ঠী তৈরি করতে পারি, যাকে এবং এর সাপেক্ষে বাইরের অর্ধ-পরোক্ষ গুণফল বলা হয়, যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ এটি এমন একটি গোষ্ঠীকে সংজ্ঞায়িত করে যেখানে পরিচয় উপাদানটি এবং উপাদানটির বিপরীতটি হল। জোড়াগুলি একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী সমরূপ গঠন করে, যেখানে জোড়াগুলি একটি উপগোষ্ঠী সমরূপ গঠন করে। পূর্বে প্রদত্ত অর্থে পূর্ণ গোষ্ঠী হল সেই দুটি উপগোষ্ঠীর একটি আধা-পরোক্ষ গুণফল। বিপরীতভাবে, ধরুন যে আমাদের একটি সাধারণ উপগোষ্ঠী এবং একটি উপগোষ্ঠী সহ একটি গোষ্ঠী দেওয়া হয়েছে, যাতে প্রতিটি উপাদান যেখানে রয়েছে এবং যেখানে রয়েছে সেই আকারে অনন্যভাবে লেখা যেতে পারে। সকলের জন্য প্রদত্ত সমরূপতা (লিখিত) ধরা যাক। তারপর সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্টের সমরূপ। আইসোমরফিজমটি পচনের স্বতন্ত্রতার কারণে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এর মধ্যে, আমাদের আছে এইভাবে, জন্য এবং আমরা অর্জন করি যা প্রমাণ করে যে এটি একটি সমরূপতা। যেহেতু এটি স্পষ্টতই একটি এপিমরফিজম এবং মনোমরফিজম, তাই এটি প্রকৃতপক্ষে একটি আইসোমরফিজম। এটি গুণনের নিয়মের সংজ্ঞাও ব্যাখ্যা করে। প্রত্যক্ষ পণ্য হল অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যের একটি বিশেষ কেস। এটি দেখার জন্য, আসুন তুচ্ছ সমরূপতা (অর্থাৎ, প্রতিটি উপাদানকে আইডেন্টিটি অটোমরফিজমে পাঠানো) তাহলে সরাসরি গুণফল। গোষ্ঠীগুলির জন্য বিভক্তকরণ লেম্মার একটি সংস্করণে বলা হয়েছে যে একটি গোষ্ঠী দুটি গোষ্ঠীর একটি আধা-পরোক্ষ গুণফলের সমতুল্য এবং যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম এবং একটি গোষ্ঠী সমরূপতা বিদ্যমান থাকে যাতে, পরিচয় মানচিত্রটি চালু থাকে। এই ক্ষেত্রে, দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে উদাহরণ ডাইহেড্রাল গ্রুপ উপাদান সহ ডাইহেড্রাল গ্রুপটি চক্রাকার গোষ্ঠীর একটি আধা-পরোক্ষ পণ্যের সমতুল্য এবং। এখানে, অ-পরিচয় উপাদানটি বিপরীত উপাদান দ্বারা কাজ করে; এটি একটি অটোমরফিজম যেহেতু এটি আবেলিয়ান। এই গোষ্ঠীর জন্য উপস্থাপনাটি হ 'লঃ চক্রাকার গোষ্ঠী আরও সাধারণভাবে, জেনারেটর এবং জেনারেটর সহ যে কোনও দুটি চক্রাকার গোষ্ঠীর একটি আধা-পরোক্ষ পণ্য একটি অতিরিক্ত সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয়, সহ এবং সহমৌলিক, এবং; অর্থাৎ, উপস্থাপনাঃ যদি এবং সহমৌলিক হয়, তবে একটি জেনারেটর এবং, তাই উপস্থাপনাঃ একটি গ্রুপকে পূর্ববর্তীটির সমরূপ দেয়। একটি গোষ্ঠীর হলমর্ফ আধা-প্রত্যক্ষ পণ্য হিসাবে প্রকাশিত একটি গোষ্ঠীর একটি ক্যানোনিকাল উদাহরণ হল একটি গোষ্ঠীর হলমর্ফ। এটিকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যে কোনও গোষ্ঠীর অটোমরফিজম গ্রুপ কোথায় এবং স্ট্রাকচার ম্যাপটি অন-এর সঠিক ক্রিয়া থেকে আসে। উপাদানগুলির গুণনের ক্ষেত্রে, এটি গোষ্ঠী কাঠামোকে ক্লেইন বোতলের মৌলিক গোষ্ঠী দেয় ক্লেইন বোতলের মৌলিক গোষ্ঠীটি আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে এবং তাই এটি পূর্ণসংখ্যার গোষ্ঠীর একটি আধা-পরোক্ষ পণ্য। সংশ্লিষ্ট সমরূপতা দ্বারা দেওয়া হয়। উচ্চ ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স অ-শূন্য নির্ধারক সহ উপরের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ, যা তির্যকের উপর অ-শূন্য এন্ট্রি সহ, অর্ধ-পরোক্ষ গুণফলের মধ্যে একটি পচন রয়েছে যেখানে ম্যাট্রিক্সের উপগোষ্ঠীটি কেবল তির্যকের উপর রয়েছে, যাকে উপরের একক ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স গ্রুপ বলা হয় এবং এটি তির্যক ম্যাট্রিক্সের উপগোষ্ঠী। অন-এর গ্রুপ অ্যাকশন ম্যাট্রিক্স গুণ দ্বারা প্ররোচিত হয়। যদি আমরা সেট করি এবং তারপর তাদের ম্যাট্রিক্স গুণফল হল এটি প্ররোচিত গ্রুপ অ্যাকশন দেয় একটি ম্যাট্রিক্সকে এবং ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। তাই তো। সমতলে আইসোমেট্রিগুলির গ্রুপ সমতলের সমস্ত অনমনীয় গতির (আইসোমেট্রি) ইউক্লিডীয় গ্রুপ (মানচিত্রগুলি এমন যে ইউক্লিডীয় দূরত্ব এবং এর মধ্যে এবং সকলের জন্য এবং মধ্যে দূরত্বের সমান) আবেলিয়ান গ্রুপ (যা অনুবাদগুলি বর্ণনা করে) এবং অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্সের গ্রুপের (যা ঘূর্ণন এবং প্রতিফলনগুলি বর্ণনা করে যা উত্সকে স্থির রাখে) একটি আধা-পরোক্ষ পণ্যের সমরূপ। একটি অনুবাদ প্রয়োগ করা এবং তারপরে একটি ঘূর্ণন বা প্রতিফলন প্রয়োগ করা প্রথমে ঘূর্ণন বা প্রতিফলন প্রয়োগ করার মতো একই প্রভাব ফেলে এবং তারপরে ঘূর্ণিত বা প্রতিফলিত অনুবাদ ভেক্টর (অর্থাৎ। মূল অনুবাদের সংমিশ্রণ প্রয়োগ করা)। এটি দেখায় যে অনুবাদের গোষ্ঠীটি ইউক্লিডীয় গোষ্ঠীর একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী, যে ইউক্লিডীয় গোষ্ঠীটি অনুবাদ গোষ্ঠীর একটি আধা-পরোক্ষ গুণফল এবং সংশ্লিষ্ট সমরূপতা ম্যাট্রিক্স গুণ দ্বারা দেওয়া হয়ঃ অর্থোগোনাল গ্রুপ ও (এন) সমস্ত অর্থোগোনাল বাস্তব ম্যাট্রিক্সের অর্থোগোনাল গ্রুপ (স্বজ্ঞাতভাবে সমস্ত ঘূর্ণন এবং-মাত্রিক স্থানের প্রতিফলনের সেট যা উৎসকে স্থির রাখে) গ্রুপের একটি আধা-পরোক্ষ পণ্যের সমরূপ (নির্ণায়ক সহ সমস্ত অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত, স্বজ্ঞাতভাবে-মাত্রিক স্থানের ঘূর্ণন) এবং। যদি আমরা ম্যাট্রিক্সের গুণিতক গোষ্ঠী হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করি, যেখানে-মাত্রিক স্থানের একটি প্রতিফলন যা উৎসকে স্থির রাখে (অর্থাৎ, একটি নির্ধারক সহ একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স যা একটি ইনভোলিউশনের প্রতিনিধিত্ব করে), তবে সমস্ত এইচ-এর জন্য দেওয়া হয়। অ-তুচ্ছ ক্ষেত্রে (পরিচয় নয়) এর অর্থ হল প্রতিফলন দ্বারা ক্রিয়াকলাপের সংমিশ্রণ (ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি ঘূর্ণন অক্ষ এবং ঘূর্ণনের দিকটি তাদের "মিরর ইমেজ" দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়)। অর্ধ-রৈখিক রূপান্তর একটি ক্ষেত্রের উপর ভেক্টর স্পেসে অর্ধ-রৈখিক রূপান্তরের গোষ্ঠী, যা প্রায়শই চিহ্নিত করা হয়, রৈখিক গোষ্ঠীর (একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী) একটি অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যের সমরূপ, এবং এর স্বয়ংক্রিয়তা গোষ্ঠী। স্ফটিকলিপিতে, একটি স্ফটিকের স্থান গোষ্ঠী বিন্দু গোষ্ঠী এবং অনুবাদ গোষ্ঠীর আধা-পরোক্ষ পণ্য হিসাবে বিভক্ত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি স্থান গোষ্ঠীটি প্রতিসম হয়। অ-সমরূপ স্থান গোষ্ঠীগুলির বিন্দু গোষ্ঠী রয়েছে যা স্থান গোষ্ঠীর উপসেট হিসাবেও অন্তর্ভুক্ত নয়, যা তাদের বিশ্লেষণের বেশিরভাগ জটিলতার জন্য দায়ী। অ-উদাহরণ অবশ্যই, কোনও সাধারণ গোষ্ঠীকে আধা-প্রত্যক্ষ পণ্য হিসাবে প্রকাশ করা যায় না (কারণ তাদের অ-তুচ্ছ স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী নেই), তবে একটি অ-তুচ্ছ স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী ধারণকারী গোষ্ঠীগুলির কয়েকটি সাধারণ পাল্টা উদাহরণ রয়েছে যা তবুও একটি আধা-সরাসরি পণ্য হিসাবে প্রকাশ করা যায় না। লক্ষ্য করুন যে যদিও প্রতিটি গোষ্ঠীকে দ্বারা বিভক্ত সম্প্রসারণ হিসাবে প্রকাশ করা যায় না, তবে এটি প্রমাণিত হয় যে সর্বজনীন এম্বেডিং উপপাদ্য দ্বারা এই জাতীয় গোষ্ঠীকে মালা পণ্যের মধ্যে এম্বেড করা যেতে পারে। Z4 চক্রাকার গ্রুপটি একটি সহজ গ্রুপ নয় কারণ এটির ক্রম 2-এর একটি উপগোষ্ঠী রয়েছে, যথা একটি উপগোষ্ঠী এবং তাদের ভাগফল হল, তাই একটি এক্সটেনশন রয়েছে. যদি এক্সটেনশনটি বিভক্ত করা হয়, তবে গ্রুপটি সমতুল্য হবে। প্রশ্ন 8 আটটি চতুর্ভুজের গোষ্ঠী যেখানে এবং, একটি গোষ্ঠীর আরেকটি উদাহরণ যার অ-তুচ্ছ স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী রয়েছে যা এখনও বিভক্ত হয়নি। উদাহরণস্বরূপ, দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠীটি সমরূপ এবং স্বাভাবিক। এর দ্বারা সৃষ্ট ক্রমের একটি উপগোষ্ঠীও রয়েছে। এর অর্থ হ 'ল গোষ্ঠীগুলির নিম্নলিখিত অনুমানমূলক সঠিক ক্রমের মধ্যে একটি বিভক্ত সম্প্রসারণ হতে হবেঃ, তবে এই জাতীয় সঠিক ক্রম বিদ্যমান নেই। এটি কোহেফিসিয়েন্ট সহ প্রথম গ্রুপ কোহোমোলজি গ্রুপ গণনা করে দেখানো যেতে পারে, তাই এবং এই এক্সটেনশনগুলির মধ্যে দুটি গ্রুপকে লক্ষ্য করা যায় এবং ডাইহেড্রাল গ্রুপ। কিন্তু, যেহেতু এই গ্রুপগুলির কোনওটিই সমতুল্য নয়, তাই কোয়াটারনিয়ন গ্রুপটি বিভক্ত নয়। আইসোমরফিজমের এই অস্তিত্বহীনতা পরীক্ষা করা যেতে পারে এই বলে যে তুচ্ছ এক্সটেনশনটি আবেলিয়ান এবং অ-আবেলিয়ান, এবং শুধুমাত্র স্বাভাবিক উপগোষ্ঠীগুলি হল এবং, তবে এর তিনটি উপগোষ্ঠী রয়েছে। বৈশিষ্ট্য যদি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী এবং উপগোষ্ঠীর আধা-পরোক্ষ গুণফল হয়, এবং উভয়ই এবং সীমাবদ্ধ হয়, তবে এর ক্রম এবং এর ক্রমের গুণফলের সমান। এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করা হয় যে এটি এবং এর বাইরের আধা-পরোক্ষ পণ্যের মতো একই ক্রমের, যার অন্তর্নিহিত সেটটি কার্টেসিয়ান পণ্য। প্রত্যক্ষ পণ্যের সঙ্গে সম্পর্ক ধরুন এটি সাধারণ উপগোষ্ঠী এবং উপগোষ্ঠীর একটি আধা-পরোক্ষ পণ্য। যদি এটিও স্বাভাবিক হয়, বা সমতুল্য হয়, যদি একটি সমরূপতা বিদ্যমান থাকে যা কার্নেলের সাথে আইডেন্টিটি হয়, তবে এটি এবং এর সরাসরি গুণফল। দুটি গোষ্ঠীর প্রত্যক্ষ গুণফল এবং এটিকে সকলের ক্ষেত্রে অর্ধ-পরোক্ষ গুণফল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে একটি সরাসরি উৎপাদনে, উপাদানগুলির ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়, কারণ এটি সমতুল্য। সেমিডাইরেক্ট পণ্যের ক্ষেত্রে এটি হয় না, কারণ দুটি কারণ বিভিন্ন ভূমিকা পালন করে। উপরন্তু, একটি অ-তুচ্ছ সমরূপতার মাধ্যমে একটি (যথাযথ) অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যের ফলাফল কখনই একটি আবেলিয়ান গ্রুপ হয় না, এমনকি যদি ফ্যাক্টর গ্রুপগুলি আবেলিয়ান হয়। অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যের অদ্বিতীয়তা (এবং আরও উদাহরণ) প্রত্যক্ষ পণ্যের ক্ষেত্রে বিপরীত, দুটি গোষ্ঠীর একটি অর্ধ-পরোক্ষ পণ্য সাধারণভাবে অনন্য নয়; যদি এবং দুটি গোষ্ঠী উভয়ই একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী এবং একটি উপগোষ্ঠী হিসাবে সমরূপ অনুলিপি ধারণ করে এবং উভয়ই এবং এর একটি অর্ধ-পরোক্ষ পণ্য হয়, তবে এটি অনুসরণ করে না এবং সমরূপ হয় কারণ অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যটি অন এর ক্রিয়ার পছন্দের উপরও নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, ক্রম 16-এর চারটি অ-সমরূপী গোষ্ঠী রয়েছে যা এবং-এর আধা-পরোক্ষ গুণফল; এই ক্ষেত্রে, এটি অবশ্যই একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী কারণ এর সূচক 2 রয়েছে। এই চারটি আধা-পরোক্ষ পণ্যের মধ্যে একটি হল প্রত্যক্ষ পণ্য, অন্য তিনটি হল অ-আবেলিয়ান গোষ্ঠীঃ ক্রমের ডাইহেড্রাল গোষ্ঠী 16 ক্রমের কোয়াসিডিহেড্রাল গোষ্ঠী 16 ক্রমের ইওয়াসাওয়া গোষ্ঠী 16 যদি একটি প্রদত্ত গোষ্ঠী একটি আধা-পরোক্ষ পণ্য হয়, তবে এই পচন অনন্য হওয়ার কোনও গ্যারান্টি নেই। উদাহরণস্বরূপ, অর্ডার 24-এর একটি গ্রুপ রয়েছে (অর্ডার 4-এর ছয়টি উপাদান এবং অর্ডার 6-এর ছয়টি উপাদান রয়েছে) যা নিম্নলিখিত উপায়ে সেমিডাইরেক্ট পণ্য হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ অস্তিত্ব সাধারণভাবে, গোষ্ঠীতে অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যের অস্তিত্বের জন্য কোনও পরিচিত বৈশিষ্ট্য (অর্থাৎ, একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত) নেই। তবে, কিছু পর্যাপ্ত শর্ত জানা আছে, যা নির্দিষ্ট কিছু ক্ষেত্রে অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির জন্য, শুর-জ্যাসেনহাউস উপপাদ্যটি একটি আধা-পরোক্ষ পণ্যের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয় যখন স্বাভাবিক উপগোষ্ঠীর ক্রম ভাগফল গোষ্ঠীর ক্রমের সাথে সহমৌলিক হয়। উদাহরণস্বরূপ, শুর-জ্যাসেনহাউস উপপাদ্যটি ক্রম 6-এর গোষ্ঠীগুলির মধ্যে একটি আধা-প্রত্যক্ষ পণ্যের অস্তিত্বকে বোঝায়; এই ধরনের দুটি পণ্য রয়েছে, যার মধ্যে একটি সরাসরি পণ্য এবং অন্যটি একটি ডাইহেড্রাল গ্রুপ। এর বিপরীতে, শুর-জ্যাসেনহাউস উপপাদ্য উদাহরণস্বরূপ ক্রম 4-এর গোষ্ঠী বা ক্রম 8-এর গোষ্ঠী সম্পর্কে কিছু বলে না। সাধারণীকরণ গোষ্ঠী তত্ত্বের মধ্যে, অর্ধ-পরোক্ষ পণ্যগুলির নির্মাণকে আরও অনেক এগিয়ে নিয়ে যাওয়া যেতে পারে। গোষ্ঠীগুলির জাপ্পা-সেপ পণ্যটি একটি সাধারণীকরণ যা তার অভ্যন্তরীণ সংস্করণে ধরে নেয় না যে কোনও উপগোষ্ঠীই স্বাভাবিক। রিং তত্ত্বের একটি গঠনও রয়েছে, যা রিংয়ের ক্রস প্রোডাক্ট। এটি গোষ্ঠীর একটি আধা-পরোক্ষ পণ্যের জন্য গ্রুপ রিং থেকে প্রাকৃতিক উপায়ে তৈরি করা হয়। রিং-তাত্ত্বিক পদ্ধতিকে লাই অ্যালজেব্রার অর্ধ-পরোক্ষ যোগফলের ক্ষেত্রে আরও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। জ্যামিতির জন্য, একটি টপোলজিকাল স্পেসে গ্রুপ ক্রিয়াগুলির জন্য একটি ক্রস প্রোডাক্টও রয়েছে; দুর্ভাগ্যবশত, গ্রুপটি আবেলিয়ান হলেও এটি সাধারণভাবে অ-বিনিময়যোগ্য। এই প্রসঙ্গে, সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্ট হল গ্রুপ ক্রিয়ার কক্ষপথের স্থান। পরের পদ্ধতিটি প্রচলিত টপোলজিকাল কৌশলগুলির বিকল্প হিসাবে অ্যালেন কনস দ্বারা সমর্থিত হয়েছে; সি. এফ। অ-বিনিময়যোগ্য জ্যামিতি। সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্ট হল বিভাগ তত্ত্বে গ্রোথেন্ডিয়াক নির্মাণের একটি বিশেষ কেস। বিশেষত, অন-এর একটি ক্রিয়া (গোষ্ঠীকে সম্মান করা, বা এমনকি কেবল মনোয়েড কাঠামো) এইচ-এর সাথে যুক্ত গ্রুপয়েড থেকে একটি ফাংক্টরের মতো একই জিনিস (যার একটি একক বস্তু * রয়েছে, যার এন্ডোমর্ফিজমগুলি এইচ) এমন বিভাগগুলির বিভাগে রয়েছে যাতে অনন্য বস্তুটিকে ম্যাপ করা হয়। এই ফাঙ্কটরের গ্রোথেন্ডিয়াক গঠন সেমিডাইরেক্ট পণ্যের (গ্রুপয়েড সম্পর্কিত) সমতুল্য। গ্রুপয়েড আরেকটি সাধারণীকরণ হল গ্রুপয়েডের জন্য। এটি টপোলজিতে ঘটে কারণ একটি গ্রুপ যদি একটি স্পেসে কাজ করে তবে এটি স্পেসের মৌলিক গ্রুপয়েডের উপরও কাজ করে। সেমিডাইরেক্ট পণ্যটি কক্ষপথের স্থানের মৌলিক গ্রুপয়েড খুঁজে বের করার জন্য প্রাসঙ্গিক। সম্পূর্ণ বিবরণের জন্য নীচে উল্লিখিত বইয়ের 11 অধ্যায়টি দেখুন, এবং এনক্যাটল্যাবের সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্টের কিছু বিবরণও দেখুন। আবেলিয়ান বিভাগগুলি অ-তুচ্ছ আধা-পরোক্ষ পণ্যগুলি আবেলিয়ান বিভাগে উদ্ভূত হয় না, যেমন মডিউলগুলির বিভাগ। এই ক্ষেত্রে, বিভাজনকারী লেম্মা দেখায় যে প্রতিটি অর্ধ-পরোক্ষ পণ্য একটি প্রত্যক্ষ পণ্য। এইভাবে আধা-পরোক্ষ পণ্যের অস্তিত্ব অবিলিয়ান হওয়ার ক্ষেত্রে বিভাগের ব্যর্থতাকে প্রতিফলিত করে। স্বরলিপি সাধারণত একটি গোষ্ঠীর উপর কাজ করা একটি গোষ্ঠীর আধা-পরোক্ষ পণ্য (বেশিরভাগ ক্ষেত্রে একটি সাধারণ গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠী হিসাবে সংমিশ্রণ দ্বারা) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যাইহোক, কিছু উৎস এই প্রতীকটি বিপরীত অর্থের সাথে ব্যবহার করতে পারে। যদি পদক্ষেপটি স্পষ্ট করা উচিত হয়, তবে কেউ লিখেও দেয়। প্রতীক সম্পর্কে চিন্তা করার একটি উপায় হল সাধারণ উপগোষ্ঠী ()-এর প্রতীক এবং পণ্যের প্রতীক ()-এর সংমিশ্রণ। ব্যারি সাইমন তাঁর গ্রুপ রিপ্রেজেন্টেশন থিওরি বইয়ে সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্টের জন্য অস্বাভাবিক স্বরলিপি ব্যবহার করেছেন। ইউনিকোডে চারটি রূপ তালিকাভুক্ত করা হয়েছেঃ {। শ্রেণী = "উইকিতেবল"! ! ! মূল্যবোধ! ! ম্যাথএমএল! ! ইউনিকোড বিবরণ।-।। ইউ + 22সি9।। এলটাইমস।। লেফট নর্মাল ফ্যাক্টর সেমিডায়ারেক্ট প্রোডাক্ট।-। ইউ + 22সিএ।। আরটাইমস।। রাইট নর্মাল ফ্যাক্টর সেমিডায়ারেক্ট প্রোডাক্ট।-।। ইউ + 22সিবি।। এল থ্রি।। লেফট সেমিডায়ারেক্ট প্রোডাক্ট।-। ইউ + 22সিসি।। আর থ্রি। রাইট সেমিডায়ারেক্ট প্রোডাক্ট। ল্যাটেক্স-এ, 'টাইমস' এবং 'টাইমস' কমান্ডগুলি সংশ্লিষ্ট অক্ষর তৈরি করে। এ. এম. এস প্রতীক প্যাকেজটি লোড হওয়ার সাথে সাথে, \leftthriettymes উৎপন্ন করে এবং \reftthriettymes উৎপন্ন করে। আরও দেখুন অ্যাফিন লাই বীজগণিত গ্রোথেন্ডিয়াক নির্মাণ, একটি শ্রেণীবদ্ধ নির্মাণ যা অর্ধ-পরোক্ষ পণ্য হলমর্ফ লাই বীজগণিত অর্ধ-পরোক্ষ যোগ উপ-পরোক্ষ পণ্য মালা পণ্য জাপ্পা-সেপ পণ্য ক্রস্ড পণ্য নোটস রেফারেন্স গ্রুপ পণ্যগুলিকে সাধারণীকরণ করে।