Itô calculus
ইটো ক্যালকুলাস, কিয়োসি ইটোর নামে নামকরণ করা হয়েছে, ক্যালকুলাসের পদ্ধতিগুলি ব্রাউনিয়ান গতির মতো স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলিতে প্রসারিত করে (উইনার প্রক্রিয়া দেখুন)। গাণিতিক অর্থ এবং স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে এর গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছে। কেন্দ্রীয় ধারণাটি হল ইটো স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল, যা বিশ্লেষণে রিম্যান-স্টিল্টজেস ইন্টিগ্রালের একটি স্টোকাস্টিক সাধারণীকরণ। ইন্টিগ্র্যান্ড এবং ইন্টিগ্রেটরগুলি এখন স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াঃ যেখানে এইচ একটি স্থানীয়ভাবে বর্গ-ইন্টিগ্রেবল প্রক্রিয়া যা এক্স দ্বারা উত্পন্ন পরিস্রাবণের সাথে খাপ খাইয়ে নেয়, যা একটি ব্রাউনিয়ান গতি বা আরও সাধারণভাবে, একটি সেমিমার্টিঙ্গেল। ইন্টিগ্রেশনের ফলাফল হল আরেকটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া। সুনির্দিষ্টভাবে, 0 থেকে যে কোনও নির্দিষ্ট t-এর ইন্টিগ্রাল একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি নির্দিষ্ট ক্রমের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ব্রাউনিয়ান গতির পথগুলি ক্যালকুলাসের মানক কৌশল প্রয়োগ করতে সক্ষম হওয়ার প্রয়োজনীয়তা পূরণ করতে ব্যর্থ হয়। সুতরাং ইন্টিগ্র্যাণ্ড একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার সাথে, ইটো স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল একটি ফাংশনের সাপেক্ষে একটি ইন্টিগ্রালের পরিমাণ যা কোনও বিন্দুতে ডিফারেনশিয়েবল নয় এবং প্রতিটি সময়ের ব্যবধানে অসীম বৈচিত্র্য রয়েছে। মূল অন্তর্দৃষ্টিটি হল যে ইন্টিগ্রালটি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যতক্ষণ না ইন্টিগ্র্যান্ড এইচ অভিযোজিত হয়, যা শিথিলভাবে বলার অর্থ হল যে সময় টি-তে এর মান শুধুমাত্র এই সময় পর্যন্ত উপলব্ধ তথ্যের উপর নির্ভর করতে পারে। মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, 0 থেকে t পর্যন্ত ব্যবধানের বিভাজনের একটি ক্রম বেছে নেওয়া হয় এবং রিমান যোগফল তৈরি করা হয়। প্রতিবার যখন আমরা একটি রিমান যোগফল গণনা করছি, তখন আমরা ইন্টিগ্রেটরের একটি নির্দিষ্ট ইনস্ট্যান্টিয়েশন ব্যবহার করছি। ফাংশনের মান গণনা করার জন্য প্রতিটি ছোট ব্যবধানের কোন বিন্দু ব্যবহার করা হয় তা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। বিভাজনের জাল শূন্যে চলে যাওয়ার কারণে তখন সীমাটি সম্ভাব্যতায় নেওয়া হয়। এই সীমাটি বিদ্যমান এবং বিভাজনের নির্দিষ্ট ক্রম থেকে স্বাধীন তা দেখানোর জন্য অসংখ্য প্রযুক্তিগত বিবরণের যত্ন নিতে হবে। সাধারণত, ব্যবধানের বাম প্রান্তটি ব্যবহার করা হয়। ইটো ক্যালকুলাসের গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলগুলির মধ্যে রয়েছে অংশ সূত্র দ্বারা সংহতকরণ এবং ইটো 'স লেম্মা, যা চলক সূত্রের পরিবর্তন। চতুর্ভুজ বৈচিত্র্যের শর্তাবলীর কারণে এগুলি আদর্শ ক্যালকুলাসের সূত্র থেকে পৃথক। গাণিতিক অর্থনীতিতে, ইন্টিগ্রালের বর্ণিত মূল্যায়ন কৌশলটি ধারণা করা হয় যে আমরা প্রথমে সিদ্ধান্ত নিচ্ছি যে কী করতে হবে, তারপর দামের পরিবর্তন পর্যবেক্ষণ করছি। ইন্টিগ্র্যান্ড হল আমাদের কাছে কতটা স্টক রয়েছে, ইন্টিগ্রেটর হল দামের পরিবর্তনের প্রতিনিধিত্ব করে এবং অবিচ্ছেদ্য হল যে কোনও নির্দিষ্ট মুহুর্তে আমাদের স্টকের মূল্য সহ মোট কত টাকা রয়েছে। স্টক এবং অন্যান্য ব্যবসায়িক আর্থিক সম্পদের দামগুলি ব্রাউনিয়ান গতি বা, প্রায়শই, জ্যামিতিক ব্রাউনিয়ান গতি (ব্ল্যাক-স্কোলস দেখুন) এর মতো স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া দ্বারা মডেল করা যেতে পারে। তারপর, ইটো স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল টি সময়ে স্টকের একটি পরিমাণ এইচটি ধরে রাখার সমন্বিত একটি অবিচ্ছিন্ন-সময়ের ট্রেডিং কৌশলের পরিশোধের প্রতিনিধিত্ব করে। এই পরিস্থিতিতে, এইচ অভিযোজিত হওয়ার শর্তটি প্রয়োজনীয় সীমাবদ্ধতার সাথে মিলে যায় যে ট্রেডিং কৌশলটি যে কোনও সময় কেবল উপলব্ধ তথ্য ব্যবহার করতে পারে। এটি দূরদর্শিতার মাধ্যমে সীমাহীন লাভের সম্ভাবনাকে বাধা দেয়ঃ বাজারে প্রতিটি উত্থানের ঠিক আগে স্টক কেনা এবং প্রতিটি পতনের আগে বিক্রি করা। একইভাবে, এইচ যে শর্তে অভিযোজিত হয়েছে তা বোঝায় যে রিম্যান যোগফলের সীমা হিসাবে গণনা করা হলে স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল বিচ্ছিন্ন হবে না। স্বরলিপি Y প্রক্রিয়াটি আগে যেমন সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল এটি নিজেই সময় পরামিতি t সহ একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া, যা কখনও কখনও Y = H·X হিসাবেও লেখা হয়। বিকল্পভাবে, ইন্টিগ্রালটি প্রায়শই ডিফারেনশিয়াল আকারে লেখা হয় dY = H dX, যা Y − Y0 = H·X এর সমতুল্য। যেহেতু ইটো ক্যালকুলাস কন্টিনিউয়াস-টাইম স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সাথে সম্পর্কিত, এটি ধরে নেওয়া হয় যে একটি অন্তর্নিহিত ফিল্টার করা সম্ভাব্যতা স্থান দেওয়া হয়েছে σ-বীজগণিত সময় t পর্যন্ত উপলব্ধ তথ্যকে উপস্থাপন করে এবং একটি প্রক্রিয়া X অভিযোজিত হয় যদি Xt-পরিমাপযোগ্য হয়। একটি ব্রাউনিয়ান গতি বি একটি-ব্রাউনিয়ান গতি হিসাবে বোঝা যায়, যা কেবলমাত্র একটি মানক ব্রাউনিয়ান গতি যার বৈশিষ্ট্যগুলি হল যে বি. টি-পরিমাপযোগ্য এবং বি. টি + এস-বি. টি সমস্ত এস, টি ≤ 0 এর জন্য স্বাধীন। ব্রাউনিয়ান গতির সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেশন ইটো ইন্টিগ্রালকে রিম্যান-স্টিল্টজেস ইন্টিগ্রালের অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা রিম্যান যোগফলের সম্ভাবনার একটি সীমা হিসাবে; এই ধরনের সীমা অবশ্যই পথের দিক দিয়ে বিদ্যমান নয়। ধরুন যে বি একটি উইনার প্রক্রিয়া (ব্রাউনিয়ান গতি) এবং এইচ একটি ডান-ধারাবাহিক (ক্যাডল্যাগ), অভিযোজিত এবং স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ প্রক্রিয়া। যদি জাল শূন্যের দিকে যাওয়া সহ [0, t] বিভাজনের একটি ক্রম হয়, তবে সময় t পর্যন্ত B-এর সাপেক্ষে H-এর Itœ অবিচ্ছেদ্য একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল এটি দেখানো যেতে পারে যে এই সীমাটি সম্ভাবনায় একত্রিত হয়। কিছু প্রয়োগের জন্য, যেমন মার্টিঙ্গেল উপস্থাপনা উপপাদ্য এবং স্থানীয় সময়, অবিচ্ছিন্ন নয় এমন প্রক্রিয়াগুলির জন্য অবিচ্ছেদ্য প্রয়োজন। অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়াগুলি ক্ষুদ্রতম শ্রেণী গঠন করে যা ক্রমের সীমার অধীনে বন্ধ থাকে এবং সমস্ত অভিযোজিত বাম-ধারাবাহিক প্রক্রিয়া ধারণ করে। যদি H এমন কোনও অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়া হয় যাতে প্রতিটি t ≤ 0-এর জন্য ≤0t H2ds <≤ হয়, তাহলে B-এর সাপেক্ষে H-এর ইন্টিগ্রাল সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, এবং H-কে B-ইন্টিগ্রেবল বলা হয়। এই ধরনের যে কোনও প্রক্রিয়া সম্ভাব্যতার অর্থে বাম-ধারাবাহিক, অভিযোজিত এবং স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ প্রক্রিয়াগুলির একটি ক্রম দ্বারা আনুমানিকভাবে অনুমান করা যেতে পারে। তারপর, ইটো ইন্টিগ্রাল হল যেখানে, আবার, সীমাটি সম্ভাব্যতায় একত্রিত হতে দেখানো যেতে পারে। স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল আইটো আইসোমেট্রি-কে সন্তুষ্ট করে যা ধরে রাখে যখন এইচ সীমাবদ্ধ থাকে বা আরও সাধারণভাবে, যখন ডান দিকের ইন্টিগ্রাল সীমাবদ্ধ থাকে। ইট প্রক্রিয়া একটি ইট প্রক্রিয়া একটি অভিযোজিত স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা ব্রাউনিয়ান গতির সাথে সম্পর্কিত একটি অবিচ্ছেদের যোগফল এবং সময়ের সাথে সম্পর্কিত একটি অবিচ্ছেদের সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, এখানে, বি একটি ব্রাউনিয়ান গতি এবং এটি প্রয়োজন যে σ একটি অনুমানযোগ্য বি-ইন্টিগ্রেবল প্রক্রিয়া, এবং μ অনুমানযোগ্য এবং (লেবস্গু) ইন্টিগ্রেবল। অর্থাৎ, প্রতিটি টি-এর জন্য। স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল এই ধরনের আই. টি. ও প্রক্রিয়াগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে, এটি সমস্ত স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ এবং অনুমানযোগ্য ইন্টিগ্র্যান্ডের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। আরও সাধারণভাবে, এইচ. এস. কে বি-ইন্টিগ্রেবল এবং এইচ. এম. কে লেবস্গু ইন্টিগ্রেবল হতে হবে, যাতে এই ধরনের অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়া এইচ-কে এক্স-ইন্টিগ্রেবল বলা হয়। ইটো প্রক্রিয়া অধ্যয়নের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল হল ইটো 'স লেম্মা। এর সহজতম আকারে, উপরে বর্ণিত রিয়েল এবং আইটিও প্রক্রিয়া এক্স-এর উপর যে কোনও দ্বিগুণ অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের জন্য, এটি বলে যে এফ (এক্স) নিজেই একটি আইটিও প্রক্রিয়া যা সন্তুষ্ট করে এটি চলক সূত্র এবং শৃঙ্খল নিয়মের পরিবর্তনের স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস সংস্করণ। এটি f-এর দ্বিতীয় অন্তরজ জড়িত অতিরিক্ত পদের কারণে আদর্শ ফলাফল থেকে পৃথক, যা এই বৈশিষ্ট্য থেকে আসে যে ব্রাউনিয়ান গতির অ-শূন্য দ্বিঘাত বৈচিত্র্য রয়েছে। ইন্টিগ্রেটর হিসাবে সেমিমার্টিঙ্গেলস আই. টি. ও ইন্টিগ্রাল একটি সেমিমার্টিঙ্গেল এক্স-এর সাপেক্ষে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এগুলি এমন প্রক্রিয়া যা একটি স্থানীয় মার্টিঙ্গেল এম এবং সীমাবদ্ধ বৈচিত্র্য প্রক্রিয়া এ-এর জন্য এক্স = এম + এ হিসাবে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে। এই ধরনের প্রক্রিয়াগুলির গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে ব্রাউনিয়ান গতি, যা একটি মার্টিঙ্গেল এবং লেভি প্রক্রিয়া। একটি বাম অবিচ্ছিন্ন, স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ এবং অভিযোজিত প্রক্রিয়া H-এর জন্য অবিচ্ছেদ্য H·X বিদ্যমান, এবং রিমান যোগফলের সীমা হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। ধরা যাক πn হল [0, t]-এর বিভাজনের একটি ক্রম যেখানে জাল শূন্যের দিকে যাচ্ছে, এই সীমাটি সম্ভাব্যতায় একত্রিত হয়। বাম-অবিচ্ছিন্ন প্রক্রিয়াগুলির স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল বেশিরভাগ স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস অধ্যয়নের জন্য যথেষ্ট সাধারণ। উদাহরণস্বরূপ, ইটোর লেম্মার প্রয়োগ, গিরসানভের উপপাদ্যের মাধ্যমে পরিমাপের পরিবর্তন এবং স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ অধ্যয়নের জন্য এটি যথেষ্ট। তবে, অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ বিষয় যেমন মার্টিঙ্গেল উপস্থাপনা উপপাদ্য এবং স্থানীয় সময়ের জন্য এটি অপর্যাপ্ত। ইন্টিগ্রালটি সমস্ত অনুমানযোগ্য এবং স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ ইন্টিগ্র্যান্ডগুলিতে একটি অনন্য উপায়ে প্রসারিত হয়, যেমন আধিপত্যযুক্ত অভিসরণ উপপাদ্যটি ধারণ করে। অর্থাৎ, যদি স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ প্রক্রিয়া জে-এর জন্য এইচ এবং |Hn। ≤ জে হয়, তবে সম্ভাব্যতায়। বাম-ধারাবাহিক থেকে অনুমানযোগ্য ইন্টিগ্র্যাণ্ড পর্যন্ত সম্প্রসারণের অনন্যতা হল মনোটোন শ্রেণীর লেম্মার ফলাফল। সাধারণভাবে, স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল H·X এমন ক্ষেত্রেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়া H স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ নয়। যদি কে = 1/(1 + |H।) হয় তবে কে এবং কেএইচ সীমাবদ্ধ। স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রেশনের অ্যাসোসিয়েটিভিটি বোঝায় যে H হল X-ইন্টিগ্রেবল, ইন্টিগ্রাল H·X = Y সহ, যদি এবং শুধুমাত্র যদি Y0 = 0 এবং K·Y = (KH)·X হয়। এক্স-ইন্টিগ্রেবল প্রক্রিয়াগুলির সেটকে এল (এক্স) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি এবং-এর মতো কাজগুলিতে পাওয়া যেতে পারেঃ স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল একটি ক্যাডল্যাগ প্রক্রিয়া। উপরন্তু, এটি একটি সেমিমার্টিঙ্গেল। স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রালের বিচ্ছিন্নতা ইন্টিগ্রেটরের লাফ দ্বারা ইন্টিগ্র্যান্ড দ্বারা গুণিত হয়। একটি সময় t-তে একটি ক্যাডল্যাগ প্রক্রিয়ার লাফ হল Xt − Xt−, এবং প্রায়শই ΔXt দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই স্বরলিপির সাথে, α (H·X) = H α। এর একটি বিশেষ পরিণতি হল যে একটি অবিচ্ছিন্ন প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে ইন্টিগ্রালগুলি সর্বদা অবিচ্ছিন্ন থাকে। সহযোগীতা। ধরা যাক জে, কে অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়া এবং কে এক্স-ইন্টিগ্রেবল। তারপর, J হল K·X ইন্টিগ্রেবল যদি এবং শুধুমাত্র যদি জেকে এক্স ইন্টিগ্রেবল হয়, এই ক্ষেত্রে ডোমিনেটেড কনভারজেন্স হয়। ধরুন যে, Hn → H এবং |Hn। ≤ J, যেখানে J একটি এক্স-ইন্টিগ্রেবল প্রক্রিয়া। তারপর Hn·X → H·X। প্রতিটি সময় t-তে একত্রীকরণের সম্ভাবনা থাকে। প্রকৃতপক্ষে, এটি সম্ভাবনায় কম্প্যাক্ট সেটগুলিতে অভিন্নভাবে একত্রীকরণ করে। স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল দ্বিঘাত কোভ্যারিয়েশন গ্রহণের ক্রিয়াকলাপের সাথে যাতায়াত করে। যদি X এবং Y সেমিমার্টিঙ্গেল হয় তবে যে কোনও X-ইন্টিগ্রেবল প্রক্রিয়াও হবে [X, Y]-ইন্টিগ্রেবল এবং [H·X, Y] = H· [X, Y]। এর একটি ফল হল যে, একটি স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রালের চতুর্ভুজ বৈচিত্র্য প্রক্রিয়া একটি চতুর্ভুজ বৈচিত্র্য প্রক্রিয়ার একটি অবিচ্ছেদ্য অংশের সমতুল্য, সাধারণ ক্যালকুলাসের মতো, অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাসের একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল। আইটো ইন্টিগ্রালের জন্য অংশ সূত্র দ্বারা ইন্টিগ্রেশন একটি চতুর্ভুজ কোভ্যারিয়েশন শব্দ অন্তর্ভুক্তির কারণে স্ট্যান্ডার্ড ফলাফল থেকে পৃথক। এই শব্দটি এই সত্য থেকে এসেছে যে ইটো ক্যালকুলাস অ-শূন্য দ্বিঘাত বৈচিত্র্য সহ প্রক্রিয়াগুলির সাথে সম্পর্কিত, যা শুধুমাত্র অসীম বৈচিত্র্য প্রক্রিয়াগুলির জন্য ঘটে (যেমন ব্রাউনিয়ান গতি)। যদি এক্স এবং ওয়াই সেমিমার্টিঙ্গেল হয় তবে যেখানে [এক্স, ওয়াই] দ্বিঘাত সহপরিবর্তন প্রক্রিয়া। ফলাফলটি রিম্যান-স্টিল্টজেস ইন্টিগ্রালের জন্য অংশ উপপাদ্য দ্বারা ইন্টিগ্রেশনের অনুরূপ তবে এর একটি অতিরিক্ত দ্বিঘাত বৈচিত্র্য পদ রয়েছে। ইটোর লেম্মা ইটোর লেমা হল চেইন রুল বা ভেরিয়েবল সূত্রের পরিবর্তনের সংস্করণ যা ইটোর ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। এটি স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাসের সবচেয়ে শক্তিশালী এবং প্রায়শই ব্যবহৃত উপপাদ্যগুলির মধ্যে একটি। একটি অবিচ্ছিন্ন n-মাত্রিক সেমিমার্টিঙ্গেল X = (X1,., Xn) এবং Rn থেকে R পর্যন্ত দুইবার অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন f-এর জন্য, এটি বলে যে f (X) একটি সেমিমার্টিঙ্গেল এবং, এটি কোয়্যাড্রাটিক কোভ্যারিয়েশন [Xi, Xj]-এর সাথে জড়িত শব্দের কারণে স্ট্যান্ডার্ড ক্যালকুলাসে ব্যবহৃত চেইন রুল থেকে পৃথক। সূত্রটি একটি স্পষ্ট সময়-নির্ভরতা এবং অন্যান্য উপায়ে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য সাধারণীকরণ করা যেতে পারে (ইটোর লেম্মা দেখুন)। মার্টিঙ্গেল ইন্টিগ্রেটর স্থানীয় মার্টিঙ্গেল ইটোর একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল এটি স্থানীয় মার্টিঙ্গেল সম্পত্তি সংরক্ষণ করে। যদি এম একটি স্থানীয় মার্টিঙ্গেল হয় এবং এইচ একটি স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়া হয় তবে এইচ. এম একটি স্থানীয় মার্টিঙ্গেলও। স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ নয় এমন ইন্টিগ্র্যান্ডগুলির জন্য, এমন উদাহরণ রয়েছে যেখানে এইচ. এম একটি স্থানীয় মার্টিঙ্গেল নয়। তবে, এটি তখনই ঘটতে পারে যখন এম অবিচ্ছিন্ন নয়। যদি এম একটি অবিচ্ছিন্ন স্থানীয় মার্টিঙ্গেল হয় তবে একটি অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়া এইচ এম-ইন্টিগ্রেবল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি টি-এর জন্য, এবং এইচ·এম সর্বদা একটি স্থানীয় মার্টিঙ্গেল হয়। একটি বিচ্ছিন্ন স্থানীয় মার্টিঙ্গেল এম-এর জন্য সবচেয়ে সাধারণ বিবৃতি হল যে যদি (এইচ2· [এম]) 1/2 স্থানীয়ভাবে সমন্বিত হয় তবে এইচ·এম বিদ্যমান এবং এটি একটি স্থানীয় মার্টিঙ্গেল। স্কোয়ার ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেলস বাউন্ডেড ইন্টিগ্র্যাণ্ডের জন্য, ইটো স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল বর্গ ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেলসের স্থান সংরক্ষণ করে, যা ক্যাডলাগ মার্টিঙ্গেলস এম-এর সেট যাতে ই [এমটি2] সমস্ত টি-এর জন্য সীমাবদ্ধ। এই ধরনের যে কোনও বর্গ ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেল এম-এর জন্য, চতুর্ভুজ প্রকরণ প্রক্রিয়া [এম] ইন্টিগ্রেবল, এবং ইটো আইসোমেট্রি বলে যে এই সমতা সাধারণত যে কোনও মার্টিঙ্গেল এম-এর জন্য আরও সাধারণভাবে ধারণ করে যাতে এইচ2· [এম] টি ইন্টিগ্রেবল হয়। আইটো আইসোমেট্রি প্রায়শই স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল নির্মাণের একটি গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ হিসাবে ব্যবহৃত হয়, এইচ. এম. কে একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর সহজ ইন্টিগ্র্যান্ড থেকে সমস্ত সীমাবদ্ধ এবং অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়াগুলিতে এই আইসোমেট্রিটির অনন্য সম্প্রসারণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে। পি-ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেলস যে কোনও পি> 1, এবং সীমাবদ্ধ অনুমানযোগ্য ইন্টিগ্র্যান্ডের জন্য, স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল পি-ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেলসের স্থান সংরক্ষণ করে। এগুলি হল ক্যাডল্যাগ মার্টিঙ্গেলস যাতে E (|Mt |p) সমস্ত t-এর জন্য সীমাবদ্ধ। তবে, যেখানে p = 1, সেখানে এটি সর্বদা সত্য নয়। মার্টিঙ্গেলসের ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়াগুলির ইন্টিগ্রালের উদাহরণ রয়েছে যা নিজেরাই মার্টিঙ্গেল নয়। একটি ক্যাডল্যাগ প্রক্রিয়া এম-এর সর্বাধিক প্রক্রিয়াটিকে এম * টি = স্যুপস ≤ টি |Ms। হিসাবে লেখা হয়। যেকোনও পি ≤1 এবং সীমাবদ্ধ অনুমানযোগ্য ইন্টিগ্র্যান্ডের জন্য, স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল ক্যাডলাগ মার্টিঙ্গেলস এম-এর স্থান এমনভাবে সংরক্ষণ করে যাতে ই [(এম * টি) পি] সমস্ত টি-এর জন্য সীমাবদ্ধ হয়। যদি পি> 1 হয় তবে এটি পি-ইন্টিগ্রাবল মার্টিঙ্গেলসের স্থানের সমান, ডুবের অসমতা দ্বারা। বার্কহোল্ডার-ডেভিস-গন্ডি বৈষম্যগুলি বলে যে, যে কোনও প্রদত্ত পি ± 1-এর জন্য, ধনাত্মক ধ্রুবক সি, সি রয়েছে যা পি-এর উপর নির্ভর করে, তবে এম বা টি-এর উপর নয় যাতে সমস্ত ক্যাডল্যাগ স্থানীয় মার্টিঙ্গেলস এম-এর জন্য এগুলি দেখাতে ব্যবহৃত হয় যে যদি (এম * টি) পি ইন্টিগ্রেবল হয় এবং এইচ একটি সীমাবদ্ধ অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়া হয় এবং ফলস্বরূপ, এইচ·এম একটি পি-ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেল হয়। আরও সাধারণভাবে, এই বিবৃতিটি সত্য যখনই (H2· [M]) p/2 ইন্টিগ্রেবল হয়। ইন্টিগ্রালের অস্তিত্ব প্রমাণ যে আই. টি. ও ইন্টিগ্রালটি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, সাধারণত প্রথমে খুব সহজ ইন্টিগ্র্যান্ডগুলি দেখে এগিয়ে যায়, যেমন পিসওয়াইজ কনস্ট্যান্ট, লেফট কন্টিনিউয়াস এবং অভিযোজিত প্রক্রিয়া যেখানে ইন্টিগ্রালটি স্পষ্টভাবে লেখা যেতে পারে। এই ধরনের সহজ অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়াগুলি হল থামার সময় T এবং FT-পরিমাপযোগ্য র্যান্ডম ভেরিয়েবল A-এর জন্য Ht = A1 {t> T} ফর্মের পদগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ, যার জন্য ইন্টিগ্রাল হল এটি H-এ H·X-এর রৈখিকতা দ্বারা সমস্ত সহজ অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়াগুলিতে প্রসারিত করা হয়। একটি ব্রাউনিয়ান গতি B-এর জন্য, শূন্য গড় এবং ভ্যারিয়েন্স (Bt) = t-এর সাথে স্বাধীন বৃদ্ধি রয়েছে এমন বৈশিষ্ট্যটি সহজ অনুমানযোগ্য ইন্টিগ্র্যাণ্ডগুলির জন্য আইটো আইসোমেট্রি প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, একটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক এক্সটেনশন দ্বারা, ইন্টিগ্রালটি সমস্ত অনুমানযোগ্য ইন্টিগ্র্যাণ্ডগুলিতে অনন্যভাবে প্রসারিত হয় যা আইটো আইসোমেট্রি এখনও ধরে রাখে। এটি স্থানীয়করণের মাধ্যমে সমস্ত বি-ইন্টিগ্রেবল প্রক্রিয়াগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। এই পদ্ধতিটি যে কোনও ইটো প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে ইন্টিগ্রালকে সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়। একটি সাধারণ সেমিমার্টিঙ্গেল এক্স-এর জন্য, স্থানীয় মার্টিঙ্গেল এম-এ এক্স = এম + এ-এর পচন এবং একটি সীমাবদ্ধ বৈচিত্র্য প্রক্রিয়া এ ব্যবহার করা যেতে পারে। তারপর, ইন্টিগ্রালটিকে M এবং A-এর সাপেক্ষে আলাদাভাবে বিদ্যমান দেখানো যেতে পারে এবং X-এর সাপেক্ষে ইন্টিগ্রাল পেতে রৈখিকতা, H·X = H·M + H·A ব্যবহার করে একত্রিত করা যেতে পারে। স্ট্যান্ডার্ড লেবেস্গু-স্টিল্টজেস ইন্টিগ্রাল সসীম বৈচিত্র্য প্রক্রিয়ার সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেশনকে সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়, তাই স্থানীয় মার্টিঙ্গেলসের জন্য যে কোনও নির্মাণ থেকে সেমিমার্টিঙ্গেলসের জন্য ইটো ইন্টিগ্রালের অস্তিত্ব অনুসরণ করা হবে। একটি ক্যাডল্যাগ বর্গ ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেল এম-এর জন্য, আইটো আইসোমেট্রি-র একটি সাধারণীকৃত রূপ ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রথমত, ডুব-মেয়ার পচন উপপাদ্যটি একটি পচন বিদ্যমান দেখানোর জন্য ব্যবহার করা হয়, যেখানে এন একটি মার্টিঙ্গেল এবং শূন্য থেকে শুরু করে একটি ডান-ধারাবাহিক, ক্রমবর্ধমান এবং অনুমানযোগ্য প্রক্রিয়া। এটি অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করে, যা এম এর অনুমানযোগ্য চতুর্ভুজ প্রকরণ হিসাবে উল্লেখ করা হয়। বর্গ ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেলসের জন্য আইটো আইসোমেট্রি তখন হয় যা সহজ অনুমানযোগ্য ইন্টিগ্র্যাণ্ডের জন্য সরাসরি প্রমাণিত হতে পারে। ব্রাউনীয় গতির জন্য উপরের ক্ষেত্রে যেমন, একটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক এক্সটেনশন সন্তোষজনক সমস্ত অনুমানযোগ্য ইন্টিগ্র্যান্ডগুলিতে অনন্যভাবে প্রসারিত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই পদ্ধতিটি স্থানীয়করণের মাধ্যমে সমস্ত স্থানীয় বর্গ ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেলগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। পরিশেষে, ডুব-মেয়ার পচন যে কোনও স্থানীয় মার্টিঙ্গেলকে একটি স্থানীয় বর্গ ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেল এবং একটি সীমাবদ্ধ বৈচিত্র্য প্রক্রিয়ার যোগফলের মধ্যে বিভক্ত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যার ফলে আইটো ইন্টিগ্রাল যে কোনও সেমিমার্টিঙ্গেলের সাপেক্ষে নির্মিত হতে পারে। আরও অনেক প্রমাণ রয়েছে যা একই ধরনের পদ্ধতি প্রয়োগ করে কিন্তু যা ডুব-মেয়ার পচন উপপাদ্য ব্যবহার করার প্রয়োজনীয়তা এড়িয়ে চলে, যেমন আইটো আইসোমেট্রি-তে দ্বিঘাত বৈচিত্র্য [এম]-এর ব্যবহার, সাবমার্টিঙ্গেলসের জন্য ডোলিয়ান পরিমাপের ব্যবহার, অথবা আইটো আইসোমেট্রি-র পরিবর্তে বার্কহোল্ডার-ডেভিস-গুন্ডি বৈষম্যের ব্যবহার। পরেরটি প্রথমে স্কোয়ার ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেল মামলার সাথে মোকাবিলা না করেই সরাসরি স্থানীয় মার্টিঙ্গেলসের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। বিকল্প প্রমাণগুলি শুধুমাত্র এই সত্যটি ব্যবহার করে বিদ্যমান যে এক্স ক্যাডল্যাগ, অভিযোজিত, এবং সেট {H·Xt: |H। ≤1 সহজ পূর্ববর্তী} প্রতিটি সময় t-এর জন্য সম্ভাব্যতায় আবদ্ধ, যা এক্স-এর সেমিমার্টিঙ্গেল হওয়ার জন্য একটি বিকল্প সংজ্ঞা। একটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক এক্সটেনশন সর্বত্র সঠিক সীমা (ক্যাগল্যাড বা এল-প্রক্রিয়া) সহ সমস্ত বাম-অবিচ্ছিন্ন এবং অভিযোজিত ইন্টিগ্র্যাণ্ডের জন্য ইন্টিগ্রাল তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ইটোর লেম্মার মতো কৌশল প্রয়োগ করতে সক্ষম হওয়ার জন্য এটি যথেষ্ট সাধারণ। এছাড়াও, একটি খিনচিন অসমতা প্রভাবশালী অভিসরণ উপপাদ্য প্রমাণ করতে এবং সাধারণ অনুমানযোগ্য ইন্টিগ্র্যান্ডগুলিতে অবিচ্ছেদ্য প্রসারিত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ইটো ক্যালকুলাসে পার্থক্য ইটো ক্যালকুলাসকে প্রথম এবং সর্বাগ্রে উপরে বর্ণিত একটি অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। যাইহোক, ব্রাউনিয়ান গতির ক্ষেত্রে "ডেরিভেটিভ"-এর বিভিন্ন ধারণা রয়েছেঃ মাল্লিয়াভিন ডেরিভেটিভ মাল্লিয়াভিন ক্যালকুলাস উইনার স্পেসে সংজ্ঞায়িত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য পার্থক্যের একটি তত্ত্ব প্রদান করে, যার মধ্যে অংশ সূত্র দ্বারা একটি ইন্টিগ্রেশন রয়েছে। মার্টিঙ্গেল উপস্থাপনা নিম্নলিখিত ফলাফলটি মার্টিঙ্গেলকে ইটো ইন্টিগ্রাল হিসাবে প্রকাশ করার অনুমতি দেয়ঃ যদি এম একটি ব্রাউনীয় গতি বি দ্বারা উত্পন্ন পরিস্রাবণের ক্ষেত্রে একটি সময় বিরতিতে [0, টি] একটি বর্গ-ইন্টিগ্রেবল মার্টিঙ্গেল হয়, তবে একটি অনন্য অভিযোজিত বর্গ ইন্টিগ্রেবল প্রক্রিয়া রয়েছে α উপর [0, টি] যেমন প্রায় নিশ্চিতভাবে, এবং সমস্ত টি ω [0, টি] এর জন্য। এই উপস্থাপনা উপপাদ্যটি আনুষ্ঠানিকভাবে এই বলে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে α হল ব্রাউনিয়ান গতি B-এর সাপেক্ষে M-এর "সময় অন্তরজ", যেহেতু α হল সুনির্দিষ্টভাবে এমন একটি প্রক্রিয়া যা নির্ধারণমূলক ক্যালকুলাসের মতো Mt − M0 পেতে সময় t পর্যন্ত সংহত করতে হবে। পদার্থবিজ্ঞানীদের জন্য ইটো ক্যালকুলাস পদার্থবিজ্ঞানে, সাধারণত স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (এসডিই), যেমন ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণ, স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রালের পরিবর্তে ব্যবহৃত হয়। এখানে একটি ইটো স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন (এসডিই) প্রায়শই তৈরি করা হয় যেখানে গাউসিয়ান হোয়াইট নয়েজ এবং আইনস্টাইনের সম্মশন কনভেনশন ব্যবহার করা হয়। যদি এক্সকে-এর একটি ফাংশন হয়, তবে ইটোর লেম্মা ব্যবহার করতে হবেঃ উপরের মতো একটি ইট এসডিই একটি স্ট্র্যাটোনোভিচ এসডিই-এর সাথেও মিলে যায় যা এসডিইগুলি প্রায়শই স্ট্র্যাটোনোভিচ আকারে পদার্থবিজ্ঞানে ঘটে থাকে, কারণ শব্দ শব্দের পারস্পরিক সম্পর্ক সময় শূন্যের কাছাকাছি হলে রঙিন গোলমাল দ্বারা চালিত স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সীমা। স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিভিন্ন ব্যাখ্যার সাম্প্রতিক চিকিৎসার জন্য উদাহরণস্বরূপ দেখুন। আরও দেখুন স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস ইটোর লেম্মা স্ট্রাটোনোভিচ ইন্টিগ্রাল সেমিমার্টিঙ্গেল উইনার প্রসেস রেফারেন্স হ্যাগেন ক্লেইনার্ট (2004)। পাথ ইন্টিগ্রালস ইন কোয়ান্টাম মেকানিক্স, স্ট্যাটিস্টিক্স, পলিমার ফিজিক্স, অ্যান্ড ফিনান্সিয়াল মার্কেটস, 4র্থ সংস্করণ, ওয়ার্ল্ড সায়েন্টিফিক (সিঙ্গাপুর); পেপারব্যাক। পঞ্চম সংস্করণ অনলাইনে পাওয়া যায়ঃ পিডিএফ-ফাইল, অ-গাউসীয় প্রক্রিয়াগুলির জন্য ইটোর লেম্মার সাধারণীকরণ সহ। টিআই-বেসিক-এ গাণিতিক অর্থায়ন প্রোগ্রামিং, যা টিআই-ক্যালকুলেটরগুলির জন্য ইটো ক্যালকুলাস প্রয়োগ করে। গাণিতিক ইন্টিগ্রেশনের সংজ্ঞা স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস গাণিতিক অর্থ ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস