Complex vector bundle
গণিতে, একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিল হল একটি ভেক্টর বান্ডিল যার তন্তুগুলি জটিল ভেক্টর স্পেস। স্কেলারের সীমাবদ্ধতার মাধ্যমে যে কোনও জটিল ভেক্টর বান্ডিলকে একটি বাস্তব ভেক্টর বান্ডিল হিসাবে দেখা যেতে পারে। বিপরীতভাবে, যে কোনও বাস্তব ভেক্টর বান্ডিল E-কে একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিল-এ উন্নীত করা যেতে পারে, জটিলকরণ যার তন্তুগুলি হল Ex. R. C। একটি প্যারাকম্প্যাক্ট স্থানের উপর যে কোনও জটিল ভেক্টর বান্ডিল একটি হার্মিটিয়ান মেট্রিক গ্রহণ করে। একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিলের মৌলিক অপরিবর্তনীয় হল একটি চেরন শ্রেণী। একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিল ক্যানোনিকাল ভিত্তিক; বিশেষ করে, কেউ তার ইউলার শ্রেণী নিতে পারে। একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিল হল একটি হোলোমরফিক ভেক্টর বান্ডিল যদি এক্স একটি জটিল ম্যানিফোল্ড হয় এবং যদি স্থানীয় তুচ্ছকরণগুলি বাইহোলোমরফিক হয়। জটিল কাঠামো একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিলকে একটি অতিরিক্ত কাঠামো, জটিল কাঠামো সহ একটি বাস্তব ভেক্টর বান্ডিল হিসাবে ভাবা যেতে পারে। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি জটিল কাঠামো হল একটি বাস্তব ভেক্টর বান্ডিল E এবং নিজের মধ্যে একটি বান্ডিল মানচিত্রঃ যেমন J তন্তুর উপর −1 এর বর্গমূল i হিসাবে কাজ করেঃ যদি ফাইবার-স্তরের মানচিত্র হয়, তবে একটি রৈখিক মানচিত্র হিসাবে। যদি E একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিল হয়, তবে জটিল কাঠামো J কে স্কেলার গুণ হিসাবে সেট করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। বিপরীতভাবে, যদি E একটি জটিল কাঠামো J সহ একটি বাস্তব ভেক্টর বান্ডিল হয়, তবে E সেটিং দ্বারা একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিলে পরিণত করা যেতে পারেঃ যে কোনও বাস্তব সংখ্যার জন্য a, b এবং একটি বাস্তব ভেক্টর v একটি ফাইবার এক্স, উদাহরণস্বরূপঃ একটি বাস্তব বহুগুণ M এর স্পর্শক বান্ডিলের উপর একটি জটিল কাঠামোকে সাধারণত প্রায় জটিল কাঠামো বলা হয়। নিউল্যান্ডার এবং নিরেনবার্গের একটি উপপাদ্য বলে যে একটি প্রায় জটিল কাঠামো J এই অর্থে "ইন্টিগ্রেবল" যে এটি একটি জটিল বহুগুণের কাঠামো দ্বারা প্ররোচিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি J-এর সাথে জড়িত একটি নির্দিষ্ট টেনসর অদৃশ্য হয়ে যায়। কনজুগেট বান্ডিল E যদি একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিল হয়, তবে E-এর কনজুগেট বান্ডিলটি সংখ্যার জটিল কনজুগেটগুলির মাধ্যমে কাজ করে জটিল সংখ্যা দ্বারা প্রাপ্ত হয়। সুতরাং, অন্তর্নিহিত বাস্তব ভেক্টর বান্ডিলগুলির পরিচয় মানচিত্রঃ কনজুগেট-রৈখিক, এবং ই এবং এর কনজুগেট বাস্তব ভেক্টর বান্ডিল হিসাবে সমরূপ। এর কে-তম চেরন শ্রেণী দ্বারা দেওয়া হয়। বিশেষ করে, ই এবং সাধারণভাবে সমরূপ নয়। যদি E-এর একটি হার্মিটিয়ান মেট্রিক থাকে, তবে কনজুগেট বান্ডিলটি মেট্রিকের মাধ্যমে দ্বৈত বান্ডিলের সমতুল্য হয়, যেখানে আমরা তুচ্ছ জটিল লাইন বান্ডিলের জন্য লিখেছিলাম। যদি E একটি বাস্তব ভেক্টর বান্ডিল হয়, তাহলে E-এর জটিলকরণের অন্তর্নিহিত বাস্তব ভেক্টর বান্ডিল হল E-এর দুটি অনুলিপির সরাসরি যোগফলঃ (যেহেতু কোনও বাস্তব ভেক্টর স্থান V-এর জন্য V-RC = V-iV।) যদি একটি জটিল ভেক্টর বান্ডিল E একটি বাস্তব ভেক্টর বান্ডিল E-এর জটিলকরণ হয়, তাহলে E-কে E-এর বাস্তব রূপ বলা হয় (একাধিক বাস্তব রূপ থাকতে পারে) এবং E-কে বাস্তব সংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি E-এর একটি বাস্তব রূপ থাকে, তাহলে E তার কনজুগেটের সমতুল্য (যেহেতু তারা উভয়ই একটি বাস্তব রূপের দুটি অনুলিপির সমষ্টি), এবং ফলস্বরূপ E-এর বিজোড় চেরন শ্রেণীর ক্রম 2 রয়েছে। আরও দেখুন হলমর্ফিক ভেক্টর বান্ডিল কে-তত্ত্ব রেফারেন্স ভেক্টর বান্ডিল