Fermion doubling
জাল ক্ষেত্র তত্ত্বে, ফার্মিয়ন দ্বিগুণ হয় যখন সরলভাবে একটি জালের উপর ফার্মিয়নিক ক্ষেত্র স্থাপন করা হয়, যার ফলে প্রত্যাশার চেয়ে বেশি ফার্মিয়নিক অবস্থা হয়। ইউক্লিডীয় মাত্রায় সরলভাবে বিচ্ছিন্ন ডিরাক ফার্মিওনের জন্য, প্রতিটি ফার্মিওনিক ক্ষেত্রের ফলে অভিন্ন ফার্মিওন প্রজাতি দেখা যায়, যা ফার্মিওনের বিভিন্ন স্বাদ হিসাবে উল্লেখ করা হয়। ফার্মিওন দ্বিগুণ সমস্যাটি নিলসেন-নিনোমিয়া উপপাদ্য দ্বারা কাইরাল ইনভ্যারিয়েন্সের সাথে অবিশ্বাস্যভাবে যুক্ত। সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত বেশিরভাগ কৌশলের জন্য পরিবর্তিত ফার্মিয়ন ব্যবহার করা প্রয়োজন যা শুধুমাত্র ধারাবাহিকতার সীমার মধ্যে ডিরাক ফার্মিয়নে হ্রাস পায়। সরলতার জন্য আমরা একটি মুক্ত ফার্মিয়নের একটি চার-মাত্রিক তত্ত্ব বিবেচনা করব, যদিও ফার্মিয়ন দ্বিগুণ সমস্যাটি নির্বিচারে মাত্রায় থাকে এবং এমনকি যদি মিথস্ক্রিয়া অন্তর্ভুক্ত থাকে। জাল ক্ষেত্র তত্ত্ব সাধারণত ইউক্লিডীয় স্থানকালে সঞ্চালিত হয় যা উইক ঘূর্ণনের পরে মিনকোভস্কি স্থানকাল থেকে এসেছিল, যেখানে কন্টিনিউয়াম ডিরাক ক্রিয়াটি রূপ নেয় এটি জালের ব্যবধান এবং পূর্ণসংখ্যার ভেক্টর দ্বারা সূচকযুক্ত পয়েন্ট সহ একটি জাল প্রবর্তন করে বিচ্ছিন্ন করা হয়। ইন্টিগ্রালটি সমস্ত ল্যাটিস পয়েন্টের সমষ্টি হয়ে ওঠে, যেখানে ফার্মিয়নিক ক্ষেত্রগুলি এবং দ্বারা চিহ্নিত প্রতিটি ল্যাটিস সাইটে চার-উপাদান গ্রাসম্যান ভেরিয়েবল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। ব্যবহৃত ডেরিভেটিভ ডিসক্রেটাইজেশন হল প্রতিসম ডেরিভেটিভ ডিসক্রেটাইজেশন, যেখানে ভেক্টরগুলি দিকের একক ভেক্টর। এই পদক্ষেপগুলি নিষ্ক্রিয় মুক্ত ফার্মিয়ন ক্রিয়া দেয় এই ক্রিয়াটি ধারাবাহিক সীমাতে ধারাবাহিক ডাইরাক ক্রিয়ায় হ্রাস পায়, তাই এটি একটি একক ফার্মিয়নের তত্ত্ব বলে আশা করা হয়। যাইহোক, এটি পরিবর্তে ষোলটি অভিন্ন ফার্মিয়ন বর্ণনা করে, প্রতিটি ফার্মিয়নের একটি ভিন্ন স্বাদ রয়েছে বলে বলা হয়, কণা পদার্থবিজ্ঞানে কণাগুলির বিভিন্ন স্বাদ রয়েছে। পনেরোটি অতিরিক্ত ফার্মিয়নকে প্রায়শই ডবলার হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এই বর্ধিত কণার বিষয়বস্তু প্রতিসাম্য বা জাল তত্ত্বের পারস্পরিক সম্পর্ক বিশ্লেষণ করে দেখা যেতে পারে। দ্বিগুণ প্রতিসাম্য নিষ্ক্রিয় ফার্মিয়ন ক্রিয়ার একটি নতুন স্বাদ-বিনিময় প্রতিসাম্য রয়েছে যা ফার্মিয়ন ক্ষেত্রগুলিতে কাজ করা ধারাবাহিক তত্ত্বে পাওয়া যায় না যেখানে ভেক্টরগুলি দ্বারা নির্দিষ্ট অ-শূন্য এন্ট্রি সহ ষোলটি ভেক্টর। উদাহরণস্বরূপ,,, এবং। প্রতিসাম্যের মধ্যে ডিরাক কাঠামো একইভাবে কোথায় এবং এর সূচক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়; উদাহরণস্বরূপ সঙ্গে। এই ষোলটি প্রতিসাম্য রূপান্তরের উপস্থিতি কেবল একটির পরিবর্তে ষোলটি অভিন্ন ফার্মিয়ন অবস্থার অস্তিত্বকে বোঝায়। একটি ফার্মিয়ন ক্ষেত্র থেকে শুরু করে, প্রতিসাম্য এটিকে অন্য একটি ক্ষেত্রের সাথে চিহ্নিত করে। ফুরিয়ার এটিকে রূপান্তরিত করে দেখায় যে এর গতিবেগ হিসাবে স্থানান্তরিত হয়েছে। অতএব, ব্রিলউইন অঞ্চলের কেন্দ্রের কাছাকাছি ভরবেগযুক্ত একটি ফার্মিয়নকে তার এক কোণে ম্যাপ করা হয় এবং একটি কোণের ফার্মিয়ন কেন্দ্রের ফার্মিয়নকে প্রতিস্থাপন করতে আসে, যা দেখায় যে রূপান্তরটি ফার্মিয়নের স্বাদ বিনিময় করতে কাজ করে। যেহেতু এটি ক্রিয়ার একটি প্রতিসাম্য, তাই বিভিন্ন স্বাদের অবশ্যই একে অপরের থেকে শারীরিকভাবে অপ্রতিরোধ্য হতে হবে। এখানে ক্ষুদ্রের জন্য ব্রিলউইন ভরবেগ কণার ভৌত ভরবেগ নয়, বরং তা হল। পরিবর্তে একটি অতিরিক্ত কোয়ান্টাম সংখ্যা হিসাবে কাজ করে যা একটি ফার্মিয়নের স্বাদ নির্দিষ্ট করে। এই শব্দটি ডাবলারের-ম্যাট্রিসের প্রতিনিধিত্বকে পরিবর্তন করার জন্য দায়ী, যা ম্যাট্রিসের চিহ্নগুলিকে পরিবর্তন করার প্রভাব ফেলে। যেহেতু এই ধরনের যে কোনও চিহ্ন পরিবর্তনের ফলে ম্যাট্রিক্সের একটি সেট এখনও ডিরাক বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করে, ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সগুলি একটি বৈধ উপস্থাপনা গঠন করে। এটি এমন একটি শব্দ যা এবং দ্বারা প্রদত্ত ডবলারগুলির তরঙ্গ ফাংশনে প্রবেশ করে, যেখানে এবং ভরবেগ সহ সাধারণ ডিরাক সমীকরণ সমাধান। প্রোপাগেটর এবং বিচ্ছুরণ সম্পর্ক ধারাবাহিক তত্ত্বে, ডিরাক প্রোপাগেটরের একটি একক মেরু রয়েছে কারণ তত্ত্বটি শুধুমাত্র একটি কণার বর্ণনা দেয়। যাইহোক, সরল ক্রিয়া থেকে প্রোপাগেটর গণনা করলে গতিবেগ সহ একটি ফার্মিয়নের জন্য ফলাফল পাওয়া যায়। নিম্ন মুহুর্তের জন্য এটিতে এখনও প্রত্যাশিত মেরু রয়েছে, তবে যখন পনেরোটি অতিরিক্ত মেরু থাকে। এগুলির প্রত্যেকটি একটি নতুন ফার্মিয়ন প্রজাতি যা দ্বিগুণিত হয় কারণ ফাংশনের পরিসরে দুটি মেরু রয়েছে। এটি বিভিন্ন ঘূর্ণনের কণাগুলিকে বিচ্ছিন্ন করা হলে যা ঘটে তার বিপরীতে। উদাহরণস্বরূপ, স্কেলারগুলি একটি অনুরূপ রূপ গ্রহণকারী প্রোপাগেটর অর্জন করে ব্যতীত, যার ভরবেগ সীমার উপরে কেবল একটি একক মেরু রয়েছে এবং তাই তত্ত্বটি দ্বিগুণিত সমস্যায় ভুগছে না। ফার্মিয়ন দ্বিগুণ করার প্রয়োজনীয়তা এই সত্য থেকে অনুমান করা যেতে পারে যে ভরহীন ফার্মিয়ন প্রোপাগেটরটি উৎপত্তির চারপাশে অদ্ভুত। অর্থাৎ, ধারাবাহিক সীমাতে এটি আনুপাতিক, যা এখনও ছোট ভরবেগ সীমার জালের ক্ষেত্রে অবশ্যই হতে হবে। কিন্তু যেহেতু যে কোনও স্থানীয় জাল তত্ত্ব যা তৈরি করা যেতে পারে তার অবশ্যই একটি অবিচ্ছিন্ন এবং পর্যায়ক্রমিক প্রচারক থাকতে হবে, তাই এটিকে কমপক্ষে আরও একবার শূন্য অক্ষ অতিক্রম করতে হবে, যা ব্রিলউইন জোনের কোণে ঘটে যেখানে সরল ফার্মিয়ন প্রচারক। এটি বোসনিক প্রোপাগেটরের বিপরীতে যা উৎপত্তির চারপাশে দ্বিঘাত এবং তাই এই ধরনের কোনও সমস্যা নেই। দ্বিগুণকরণ এড়ানো যেতে পারে যদি একটি বিচ্ছিন্ন প্রচারক ব্যবহার করা হয়, তবে এটি একটি অ-স্থানীয় তত্ত্বের ফলস্বরূপ। ডাবলারের উপস্থিতি ফার্মিয়ন বিচ্ছুরণ সম্পর্কেও প্রতিফলিত হয়। যেহেতু এটি ফার্মিয়নের শক্তি এবং তার ভরবেগের মধ্যে একটি সম্পর্ক, তাই এটির জন্য একটি বিপরীত উইক রূপান্তর সম্পাদন করা প্রয়োজন, যা প্রোপাগেটরের মেরু থেকে উদ্ভূত বিচ্ছুরণ সম্পর্ক সহ এই বিচ্ছুরণ সম্পর্কের শূন্যগুলি স্থানীয় শক্তি মিনিমা যার চারপাশে উত্তেজনা বিভিন্ন কণা প্রজাতির সাথে মিলে যায়। তিনটি স্থানিক দিকে দ্বিগুণ হওয়ার কারণে উপরোক্ত আটটি ভিন্ন প্রজাতি রয়েছে। ইউক্লিডীয় সাময়িক দিকের আরেকটি দ্বিগুণ হওয়ার কারণে বাকি আটটি দ্বিগুণ ঘটে, যা হারিয়ে গেছে বলে মনে হয়। কিন্তু এটি বিপরীত উইক রূপান্তরের একটি সরল প্রয়োগের কারণে হয়। তত্ত্বটির একটি বাধা রয়েছে যা সহজ প্রতিস্থাপনের অনুমতি দেয় না এবং পরিবর্তে সম্পূর্ণ কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন সম্পাদন করা প্রয়োজন। অবস্থান স্থান প্রসারকের জন্য এটি করার ফলে দুটি পৃথক পদ পাওয়া যায়, যার প্রত্যেকটির আটটি ফার্মিয়ন প্রজাতির একই বিচ্ছুরণ সম্পর্ক রয়েছে, যা মোট ষোলটি দেয়। মিনকোভস্কি এবং ইউক্লিডীয় সরল ফার্মিওন জাল তত্ত্বের মধ্যে বাধা ঘটে কারণ মিনকোভস্কির সাময়িক দিকে দ্বিগুণ হয় না, তাই দুটি তত্ত্ব তাদের কণার বিষয়বস্তুতে পৃথক হয়। ফার্মিওন দ্বিগুণ করার রেজোলিউশন হল নিলসেন-নিনোমিয়া উপপাদ্য নামে পরিচিত জাল ক্ষেত্র তত্ত্বের একটি নো-গো উপপাদ্যের ফল। এতে বলা হয়েছে যে কোনও জোড় মাত্রিক স্থানীয়, হার্মিশিয়ান, অনুবাদগতভাবে অপরিবর্তনীয়, দ্বিমাত্রিক ফার্মিয়নিক তত্ত্বের সর্বদা একই সংখ্যক বাঁ-হাতি এবং ডান-হাতি ওয়েল ফার্মিয়ন থাকে, যখন তাদের অভাব থাকে তখন অতিরিক্ত ফার্মিয়ন তৈরি করে। উপপাদ্যটি বলে না যে কতগুলি দ্বিগুণ উদ্ভূত হবে, তবে উপপাদ্যটির অনুমানগুলি ভঙ্গ না করে, সর্বদা কমপক্ষে একটি দ্বিগুণ থাকবে, সরল বিচক্ষণতার সাথে পনেরোটি থাকবে। উপপাদ্যটির একটি পরিণতি হল যে কাইরাল অসঙ্গতি কাইরালিতে অপরিবর্তনীয় তত্ত্বগুলির সাথে অনুকরণ করা যায় না কারণ এটি তুচ্ছভাবে অদৃশ্য হয়ে যায়। ফার্মিয়ন দ্বিগুণকরণের সাথে জাল ক্ষেত্র তত্ত্বগুলি অনুকরণ করা দ্বিগুণের কারণে ভুল ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে, এই সমস্যাটি কাটিয়ে ওঠার জন্য অনেক কৌশল তৈরি করা হয়েছে। যদিও দ্বিগুণকারীদের একটি মুক্ত তত্ত্বে উপেক্ষা করা যেতে পারে কারণ সেখানে বিভিন্ন স্বাদ বিচ্ছিন্ন হয়, তবে একটি মিথস্ক্রিয়া তত্ত্বে তাদের উপেক্ষা করা যায় না যেখানে মিথস্ক্রিয়া বিভিন্ন স্বাদের মিশ্রণ করে, কারণ গতিবেগ শুধুমাত্র মডুলো পর্যন্ত সংরক্ষিত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, দুটি স্বাদের ফার্মিয়ন গতিবেগ সংরক্ষণ লঙ্ঘন না করে দুটি স্বাদের ফার্মিয়ন তৈরি করতে একটি অত্যন্ত ভার্চ্যুয়াল গেজ বোসোনের বিনিময়ের মাধ্যমে ছড়িয়ে পড়তে পারে। অতএব, ফার্মিয়ন দ্বিগুণ সমস্যা কাটিয়ে উঠতে, একজনকে অবশ্যই নিলসেন-নিনোমিয়া উপপাদ্যের এক বা একাধিক অনুমান লঙ্ঘন করতে হবে, যা বহু প্রস্তাবিত রেজোলিউশনের জন্ম দেয়ঃ ডোমেন প্রাচীর ফার্মিয়নঃ স্পষ্টভাবে কাইরাল প্রতিসাম্য লঙ্ঘন করে, স্থানিক মাত্রা বৃদ্ধি করে। জিনস্পার্গ-উইলসন ফার্মিয়নঃ স্পষ্টভাবে কাইরাল প্রতিসাম্য লঙ্ঘন করে। ওভারল্যাপ ফার্মিয়নঃ স্পষ্টভাবে কাইরাল প্রতিসাম্য লঙ্ঘন করে (জিনস্পার্গ-উইলসন ফার্মিয়নের প্রকার)। নিখুঁত জাল ফার্মিয়নঃ অ-স্থানীয় গঠন। এস. এল. এ. সি ফার্মিয়নঃ অ-স্থানীয় গঠন। স্টেসি ফার্মিয়নঃ অ-স্থানীয় গঠন। স্তরীভূত ফার্মিয়ন (কোগুট-সাসকাইন্ড ফার্মিয়ন): স্পষ্টভাবে ট্রান্সলেশনাল ইনভ্যারিয়েন্স লঙ্ঘন করে, ডবলারের সংখ্যা হ্রাস করে। প্রতিসম ভর উৎপাদনঃ এই পদ্ধতিটি ফার্মিয়ন-বিলিনিয়ার মডেলের বাইরে চলে যায় এবং অ-বিশৃঙ্খল মিথস্ক্রিয়া প্রভাব প্রবর্তন করে। আইকটেন-প্রিস্কিল মডেলের উপর ভিত্তি করে একটি উপলব্ধি একটি ভেক্টর-প্রতিসম ফার্মিয়ন মডেল থেকে শুরু হয় যেখানে কাইরাল ফার্মিয়ন এবং আয়না ফার্মিয়ন দুটি ক্ষেত্রের দেয়ালে উপলব্ধি করা হয়। প্রতিসম ভর উৎপাদন ব্যবহার করে আয়না ফার্মিয়নকে আটকানোর ফলে কম শক্তিতে কাইরাল ফার্মিয়ন তৈরি হয় যার ফলে ফার্মিয়ন দ্বিগুণ হয় না। বাঁকানো ভর ফার্মিয়নঃ স্পষ্টভাবে কাইরাল প্রতিসাম্য লঙ্ঘন করে (উইলসন ফার্মিয়নের প্রকার)। উইলসন ফার্মিয়নঃ স্পষ্টভাবে কাইরাল প্রতিসাম্য লঙ্ঘন করে। এই ফার্মিয়ন গঠনের প্রত্যেকটির নিজস্ব সুবিধা এবং অসুবিধা রয়েছে। এগুলি যে গতিতে সিমুলেটেড করা যায়, তাদের বাস্তবায়নের সহজ এবং ব্যতিক্রমী কনফিগারেশনের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতিতে পৃথক হয়। এগুলির মধ্যে কয়েকটিতে একটি অবশিষ্ট কাইরাল প্রতিসাম্য রয়েছে যা অক্ষীয় অসঙ্গতিগুলি অনুকরণ করতে দেয়। তারা কতগুলি ডাবলারকে বাদ দেয় তার মধ্যেও পার্থক্য থাকতে পারে, যার মধ্যে কয়েকটি ডাবল্ট বা ফার্মিয়নের একটি চৌকিদার সমন্বয়ে গঠিত। এই কারণে বিভিন্ন সমস্যার জন্য বিভিন্ন ফার্মিওন সূত্র ব্যবহার করা হয়। দ্বৈতকরণ সমস্যার আরেকটি সম্ভাব্য যদিও অবাস্তব সমাধান হল সরল ফার্মিয়ন ক্রিয়ায় ব্যবহৃত প্রতিসম পার্থক্যের থেকে আলাদা একটি ব্যুৎপত্তিগত বিচ্যুতি গ্রহণ করা। পরিবর্তে ফরওয়ার্ড ডিফারেন্স বা ব্যাকওয়ার্ড ডিফারেন্স ডিসক্রেটিজেশন ব্যবহার করা সম্ভব। দ্বিগুণ হওয়ার উপর ব্যুৎপত্তিগত বিচ্যুতির প্রভাব এর আইগেনসোলুশনগুলি খুঁজে বের করার এক-মাত্রিক খেলনা সমস্যা বিবেচনা করে দেখা যায়। ধারাবাহিকতায় এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি একক সমাধান রয়েছে। যাইহোক, প্রতিসম পার্থক্য ডেরিভেটিভ বাস্তবায়নের ফলে দুটি স্বতন্ত্র আইগেনসোলুশনের উপস্থিতি ঘটে, যেখানে একটি সামনের বা পিছনের পার্থক্য ডেরিভেটিভের একটি আইগেনসোলুশন থাকে। এই প্রভাব ফার্মিয়ন ক্রিয়ায় এগিয়ে নিয়ে যায় যেখানে ফার্মিয়ন দ্বিগুণকরণ সামনের বা পিছনের বিচ্যুতির সাথে অনুপস্থিত। এই কণার বিষয়বস্তুর বৈষম্যের কারণ হল প্রতিসম পার্থক্য ডেরিভেটিভ কন্টিনিউয়াম অপারেটরের হার্মিটিসিটি বৈশিষ্ট্য বজায় রাখে, যেখানে সামনের এবং পিছনের বিচ্যুতিগুলি তা করে না। এই পরবর্তী বিচ্যুতিগুলি নন-হার্মিসিয়ান ক্রিয়াগুলির দিকে পরিচালিত করে, নিলসেন-নিনোমিয়া উপপাদ্যের অনুমানগুলি ভেঙে দেয় এবং তাই ফার্মিয়ন দ্বিগুণ সমস্যা এড়ায়। একটি অ-হার্মিসিয়ান ডেরিভেটিভ বিচ্ছিন্নকরণের সাথে একটি মিথস্ক্রিয়া তত্ত্বের বিকাশ ফার্মিয়ন স্ব-শক্তি এবং ভার্টেক্স ফাংশনে অ-কোভ্যারিয়েন্ট অবদান সহ একটি তত্ত্বের দিকে পরিচালিত করে, যা তত্ত্বটিকে অ-পুনর্নবীকরণযোগ্য এবং এর সাথে কাজ করা কঠিন করে তোলে। এই কারণে ফার্মিয়ন দ্বিগুণ করার সমস্যার এই ধরনের সমাধান সাধারণত বাস্তবায়িত হয় না। আরও দেখুন অ্যাকোস্টিক এবং অপটিক্যাল ফোননঃ কঠিন অবস্থার স্ফটিকগুলিতে একটি অনুরূপ ঘটনা রেফারেন্স ল্যাটিস ক্ষেত্র তত্ত্ব ফার্মিয়ন