Categorification
গণিতে, শ্রেণীবিভাগ হল সেট-তাত্ত্বিক উপপাদ্যগুলিকে বিভাগ-তাত্ত্বিক সাদৃশ্য দিয়ে প্রতিস্থাপনের প্রক্রিয়া। শ্রেণীবিভাগ, যখন সফলভাবে করা হয়, তখন সেটগুলিকে বিভাগগুলির সাথে, ফাংক্টরগুলির সাথে ফাংশনগুলি এবং অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন ফাংক্টরগুলির প্রাকৃতিক আইসোমরফিজমগুলির সাথে সমীকরণগুলি প্রতিস্থাপন করে। শব্দটি লুই ক্রেন দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল। শ্রেণীবিভাগের বিপরীতটি হল শ্রেণীবিভাগের প্রক্রিয়া। শ্রেণীবিন্যাস একটি নিয়মতান্ত্রিক প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে একটি বিভাগের সমরূপ বস্তুগুলিকে সমান হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। যেখানে শ্রেণীবিন্যাস একটি সহজবোধ্য প্রক্রিয়া, শ্রেণীবিন্যাস সাধারণত অনেক কম সহজবোধ্য। লাই অ্যালজেব্রার উপস্থাপনা তত্ত্বে, নির্দিষ্ট অ্যালজেব্রার উপর মডিউলগুলি অধ্যয়নের প্রধান বিষয় এবং এই ধরনের মডিউলের শ্রেণিবিন্যাস কী হওয়া উচিত তার জন্য বেশ কয়েকটি কাঠামো রয়েছে, যেমন, তথাকথিত (দুর্বল) আবেলিয়ান শ্রেণিবিন্যাস। শ্রেণীবিভাগ এবং শ্রেণীবিভাগ সুনির্দিষ্ট গাণিতিক পদ্ধতি নয়, বরং সম্ভাব্য সাদৃশ্যের একটি শ্রেণী। এগুলি 'সাধারণীকরণ'-এর মতো শব্দের মতো একইভাবে ব্যবহৃত হয়, এবং 'শেফিফিকেশন'-এর মতো নয়। উদাহরণ শ্রেণীবিভাগের একটি রূপ সেটের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণিত একটি কাঠামো গ্রহণ করে এবং সেটগুলিকে একটি বিভাগের বস্তুর আইসোমরফিজম শ্রেণী হিসাবে ব্যাখ্যা করে। উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটকে সসীম সেটের কার্ডিনালিটিগুলির সেট হিসাবে দেখা যেতে পারে (এবং একই কার্ডিনালিটি সহ যে কোনও দুটি সেট আইসোমরফিক)। এই ক্ষেত্রে, প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের ক্রিয়াকলাপ, যেমন যোগ এবং গুণ, সীমাবদ্ধ সেটের বিভাগের সহ-পণ্য এবং পণ্য সম্পর্কে তথ্য বহনকারী হিসাবে দেখা যেতে পারে। কম বিমূর্তভাবে, এখানে ধারণাটি হ 'ল প্রকৃত বস্তুর সেটগুলি পরিচালনা করা এবং সহজাত পণ্য (একটি ইউনিয়নে দুটি সেটের সংমিশ্রণ) বা পণ্যগুলি (তাদের বিপুল সংখ্যক ট্র্যাক রাখার জন্য জিনিসগুলির অ্যারে তৈরি করা) প্রথমে আসে। পরে, সেটগুলির সুনির্দিষ্ট কাঠামো বিমূর্ত করা হয়েছিল-গাণিতিক বিমূর্ত তত্ত্ব তৈরি করার জন্য "শুধুমাত্র আইসোমরফিজম পর্যন্ত" নেওয়া হয়েছিল। এটি একটি "শ্রেণীবিভাগ"-শ্রেণীবিভাগ এই পদক্ষেপকে বিপরীত করে। অন্যান্য উদাহরণের মধ্যে রয়েছে টপোলজিতে সমতাত্ত্বিক তত্ত্ব। এমি নোইথার বেটি সংখ্যার ধারণাকে শ্রেণীবদ্ধ করে নির্দিষ্ট মুক্ত আবেলিয়ান গোষ্ঠীর পদমর্যাদা হিসাবে সমবিজ্ঞানের আধুনিক সূত্রকে দিয়েছেন। গাঁট তত্ত্বের একটি গাঁট অপরিবর্তনীয় হিসাবে খোভানভ সমসংস্থানও দেখুন। সসীম গোষ্ঠী তত্ত্বের একটি উদাহরণ হল যে, প্রতিসম ফাংশনের বলয়কে প্রতিসম গোষ্ঠীর উপস্থাপনার বিভাগ দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। শ্রেণীবিভাগের মানচিত্রটি পার্টিশন দ্বারা সূচীভুক্ত স্পেকট মডিউলকে একই পার্টিশন দ্বারা সূচীভুক্ত শুর ফাংশনে পাঠায়, মূলত সংশ্লিষ্ট গ্রোথেন্ডিক গ্রুপের পছন্দের ভিত্তি থেকে প্রতিসম ফাংশনের বলয়ের প্রতিনিধিত্ব-তাত্ত্বিক পছন্দের ভিত্তিতে অক্ষরের মানচিত্র অনুসরণ করে। এই মানচিত্রটি প্রতিফলিত করে যে কাঠামোগুলি কীভাবে একই রকম; উদাহরণস্বরূপ, তাদের নিজ নিজ ভিত্তির উপর একই পচন সংখ্যা রয়েছে, উভয়ই লিটলউড-রিচার্ডসন সহগ দ্বারা প্রদত্ত। আবেলিয়ান শ্রেণীবিভাগ একটি বিভাগের জন্য, ধরা যাক এর গ্রোথেন্ডিয়াক গ্রুপ। ধরা যাক একটি বলয় যা একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠী হিসাবে মুক্ত, এবং এর একটি ভিত্তি হতে হবে যাতে গুণটি ধনাত্মক হয়, অর্থাৎ। একটি-মডিউল হতে দিন। তারপর একটি (দুর্বল) আবেলিয়ান শ্রেণিবিন্যাস একটি আবেলিয়ান বিভাগ, একটি আইসোমরফিজম এবং সঠিক এন্ডো ফাংক্টর নিয়ে গঠিত যাতে ফাংক্টর মডিউলের ক্রিয়াটি তুলে নেয়, অর্থাৎ। , এবং আইসোমরফিজম রয়েছে, অর্থাৎ। মূল উপাদানগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে পণ্যটি যেভাবে বিচ্ছিন্ন হয়, রচনাটি ঠিক সেভাবেই উৎপাদকগুলির সরাসরি যোগফল হিসাবে বিচ্ছিন্ন হয়। সেট-থিওরেটিক অ্যানালগ দ্বারা সংখ্যা তাত্ত্বিক উপপাদ্য প্রতিস্থাপনের প্রক্রিয়া, কম্বিনেটোরিয়াল প্রুফ দেখুন। উচ্চতর বিভাগ তত্ত্ব উচ্চ-মাত্রিক বীজগণিত শ্রেণীবদ্ধ বলয়ের উল্লেখ আরও পড়া উপরের লেখকদের মধ্যে একজনের একটি ব্লগ পোস্ট (বায়েজ): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html। বিভাগ তত্ত্ব বীজগাণিতিক টপোলজি