Generalized function
গণিতে, সাধারণীকৃত ফাংশন হল ফাংশনের ধারণাকে প্রসারিত করে এমন বস্তু। একাধিক স্বীকৃত তত্ত্ব রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ বিতরণ তত্ত্ব। সাধারণীকৃত ফাংশনগুলি মসৃণ ফাংশনের মতো বিচ্ছিন্ন ফাংশন তৈরি করতে এবং বিন্দু চার্জের মতো বিচ্ছিন্ন শারীরিক ঘটনা বর্ণনা করতে বিশেষভাবে কার্যকর। এগুলি ব্যাপকভাবে প্রয়োগ করা হয়, বিশেষ করে পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশল ক্ষেত্রে। কিছু পদ্ধতির একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য হল যে তারা দৈনন্দিন, সংখ্যাসূচক ফাংশনের অপারেটর দিকগুলির উপর ভিত্তি করে তৈরি করে। প্রাথমিক ইতিহাস কার্যকরী গণনার কিছু ধারণার সাথে যুক্ত, এবং নির্দিষ্ট দিকের আরও সমসাময়িক উন্নয়ন মিকিও সাটোর ধারণার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যাকে তিনি বীজগাণিতিক বিশ্লেষণ বলে অভিহিত করেন। আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্ব এবং গোষ্ঠী প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের প্রযুক্তিগত প্রয়োজনীয়তা এই বিষয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রভাব ফেলেছে। কিছু প্রাথমিক ইতিহাস ঊনবিংশ শতাব্দীর গণিতে, সাধারণীকৃত ফাংশন তত্ত্বের দিকগুলি আবির্ভূত হয়েছিল, উদাহরণস্বরূপ গ্রীনের ফাংশনের সংজ্ঞায়, ল্যাপ্লাস রূপান্তর এবং রিম্যানের ত্রিকোণমিতি সিরিজের তত্ত্বে, যা অপরিহার্যভাবে একটি ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ ছিল না। এগুলি সেই সময়ে গাণিতিক বিশ্লেষণের বিচ্ছিন্ন দিক ছিল। প্রকৌশলের ক্ষেত্রে ল্যাপ্লাস রূপান্তরের নিবিড় ব্যবহারের ফলে প্রতীকী পদ্ধতির অনুসন্ধানমূলক ব্যবহার শুরু হয়, যাকে অপারেশনাল ক্যালকুলাস বলা হয়। যেহেতু বৈচিত্র্যময় সিরিজ ব্যবহার করার যৌক্তিকতা দেওয়া হয়েছিল, তাই বিশুদ্ধ গণিতের দৃষ্টিকোণ থেকে এই পদ্ধতিগুলির একটি খারাপ খ্যাতি ছিল। এগুলি সাধারণীকৃত ফাংশন পদ্ধতির পরবর্তী প্রয়োগের বৈশিষ্ট্য। অপারেশনাল ক্যালকুলাসের উপর একটি প্রভাবশালী বই ছিল অলিভার হেভিসাইডের 1899 সালের বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় তত্ত্ব। যখন লেবস্গু ইন্টিগ্রাল চালু করা হয়েছিল, তখন প্রথমবারের মতো গণিতের কেন্দ্রিক সাধারণীকৃত ফাংশনের ধারণা ছিল। লেবসগের তত্ত্বে একটি ইন্টিগ্রেবল ফাংশন অন্য যে কোনও ফাংশনের সমতুল্য যা প্রায় সর্বত্র একই। তার মানে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে এর মান (এক অর্থে) এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য নয়। কার্যকরী বিশ্লেষণে একটি ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের অপরিহার্য বৈশিষ্ট্যের একটি স্পষ্ট সূত্র দেওয়া হয়, যথা এটি অন্যান্য ফাংশনের উপর একটি রৈখিক কার্যকরী সংজ্ঞায়িত করে। এটি দুর্বল ডেরিভেটিভের একটি সংজ্ঞা দেয়। 1920-এর দশকের শেষের দিকে এবং 1930-এর দশকে ভবিষ্যতের কাজের জন্য আরও পদক্ষেপ নেওয়া হয়েছিল। পল ডিরাক (তাঁর বৈজ্ঞানিক আনুষ্ঠানিকতার একটি দিক) দ্বারা ডিরাক ডেল্টা ফাংশনকে সাহসের সাথে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল; এটি প্রকৃত ফাংশনের মতো ঘনত্ব (যেমন চার্জ ঘনত্ব) হিসাবে বিবেচিত পরিমাপগুলিকে বিবেচনা করার জন্য ছিল। আংশিক অবকল সমীকরণ তত্ত্বে কাজ করা সের্গেই সোবোলেভ আংশিক অবকল সমীকরণের দুর্বল সমাধান নিয়ে কাজ করার জন্য গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সাধারণীকৃত ফাংশনের প্রথম পর্যাপ্ত তত্ত্বকে সংজ্ঞায়িত করেছেন। সেই সময়ে সম্পর্কিত তত্ত্বগুলি প্রস্তাব করা অন্যান্যরা ছিলেন সলোমন বোচনার এবং কার্ট ফ্রেডরিখস। লরেন্ট শোয়ার্জ দ্বারা সোবোলেভের কাজ আরও বর্ধিত আকারে বিকশিত হয়েছিল। এমন একটি ধারণার উপলব্ধি যা অনেক উদ্দেশ্যে নির্দিষ্ট হিসাবে গৃহীত হতে যাচ্ছিল, তা ছিল লরেন্ট শোয়ার্জ দ্বারা বিকশিত বিতরণের তত্ত্ব। টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেসের দ্বৈত তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে এটিকে একটি নীতিগত তত্ত্ব বলা যেতে পারে। প্রয়োগমূলক গণিতে এর প্রধান প্রতিদ্বন্দ্বী হল মসৃণ অনুমানের ক্রম ব্যবহার করা ('জেমস লাইটহিল' ব্যাখ্যা), যা আরও অস্থায়ী। এটি এখন মোলিফায়ার তত্ত্ব হিসাবে তত্ত্বটিতে প্রবেশ করে। এই তত্ত্বটি খুব সফল ছিল এবং এখনও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, তবে প্রধান ত্রুটিটি রয়েছে যে এটি শুধুমাত্র রৈখিক ক্রিয়াকলাপের অনুমতি দেয়। অন্য কথায়, বিতরণগুলি গুণ করা যায় না (খুব বিশেষ ক্ষেত্রে ব্যতীত): বেশিরভাগ শাস্ত্রীয় ফাংশন স্পেসের মতো নয়, এগুলি বীজগণিত নয়। উদাহরণস্বরূপ, ডিরাক ডেল্টা ফাংশনকে বর্গ করা অর্থবহ নয়। প্রায় 1954 সাল থেকে শোয়ার্জ-এর কাজ দেখায় যে এটি একটি অভ্যন্তরীণ সমস্যা ছিল। গুণন সমস্যার কিছু সমাধান প্রস্তাব করা হয়েছে। একটি খুব সহজ এবং স্বজ্ঞাত সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে যা ইউ দ্বারা প্রদত্ত একটি সাধারণ ফাংশন। ভি. এগোরভ (নীচের বইয়ের তালিকায় ডেমিদভের বইয়ে তাঁর নিবন্ধটিও দেখুন) যা সাধারণ ফাংশনের উপর এবং এর মধ্যে নির্বিচারে ক্রিয়াকলাপের অনুমতি দেয়। গুণন সমস্যার আরেকটি সমাধান কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের পথ অবিচ্ছেদ্য গঠন দ্বারা নির্ধারিত হয়। যেহেতু এটি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের শ্রোডিঙ্গার তত্ত্বের সমতুল্য হতে হবে যা স্থানাঙ্ক রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয়, তাই এই বৈশিষ্ট্যটি অবশ্যই পাথ ইন্টিগ্রাল দ্বারা ভাগ করা উচিত। এটি এইচ. ক্লাইনার্ট এবং এ. চেরভিয়াকভ দ্বারা প্রদর্শিত সাধারণকৃত ফাংশনের সমস্ত পণ্যকে স্থির করে। ফলাফলটি মাত্রিক নিয়মিতকরণ থেকে প্রাপ্ত ফলাফলের সমতুল্য। সাধারণীকৃত ফাংশনের অ্যালজেব্রা সাধারণকৃত ফাংশনের অ্যালজেব্রার বেশ কয়েকটি নির্মাণের প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে, অন্যদের মধ্যে ইউ দ্বারা। এম. শিরোকভ এবং ই. রোজিংগার, ওয়াই. এগোরভ এবং আর. রবিনসন। প্রথম ক্ষেত্রে, সাধারণ ফাংশনের কিছু নিয়মিতকরণের মাধ্যমে গুণ নির্ধারণ করা হয়। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, বীজগণিতটি বিতরণের গুণন হিসাবে তৈরি করা হয়। দুটি ক্ষেত্রেই নিচে আলোচনা করা হয়েছে। সাধারণীকৃত ফাংশনের অ-বিনিময়যোগ্য বীজগণিত সাধারণীকৃত ফাংশনের বীজগণিত একটি ফাংশনের মসৃণ এবং একক অংশে অভিক্ষেপের উপযুক্ত পদ্ধতির মাধ্যমে তৈরি করা যেতে পারে। সাধারণীকৃত ফাংশনের গুণফল এবং এই ধরনের একটি নিয়ম প্রধান ফাংশনের স্থান এবং প্রধান ফাংশনের স্থানের উপর কাজ করে এমন অপারেটরদের স্থান উভয়ের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য। গুণনের সহযোগীতা অর্জন করা হয়; এবং ফাংশন সিগনামকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যাতে এর বর্গ সর্বত্র ঐক্য হয় (স্থানাঙ্কের উৎপত্তি সহ)। লক্ষ্য করুন যে একক অংশের গুণফল ()-এর ডান দিকে প্রদর্শিত হয় না; বিশেষ করে,। এই ধরনের আনুষ্ঠানিকতার মধ্যে একটি বিশেষ ক্ষেত্রে সাধারণীকৃত ফাংশনের প্রচলিত তত্ত্ব (তাদের পণ্য ছাড়া) অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। যাইহোক, ফলস্বরূপ বীজগণিতটি অ-বিনিময়যোগ্যঃ সাধারণীকৃত ফাংশন সাইনম এবং ডেল্টা অ্যান্টিকমিউট। বীজগণিতের কয়েকটি প্রয়োগের পরামর্শ দেওয়া হয়েছিল। বিতরণের গুণন বিতরণের গুণনের সমস্যা, যা শোয়ার্জ বিতরণ তত্ত্বের একটি সীমাবদ্ধতা, অ-রৈখিক সমস্যার জন্য গুরুতর হয়ে ওঠে। বর্তমানে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। সবচেয়ে সহজটি ইউ দ্বারা প্রদত্ত সাধারণীকৃত ফাংশনের সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে। ভি. এগোরভ। সহযোগী ডিফারেনশিয়াল অ্যালজেব্রা গঠনের আরেকটি পদ্ধতি জে. এফ. কলম্বিয়ুর গঠনের উপর ভিত্তি করেঃ কলম্বিয়ুর বীজগণিত দেখুন। এগুলি ফাংশনের "মাঝারি" মডুলো "" নগণ্য "জালের ফ্যাক্টর স্পেস, যেখানে" মধ্যমতা "এবং" অবহেলা "পরিবারের সূচকের ক্ষেত্রে বৃদ্ধিকে বোঝায়। উদাহরণস্বরূপঃ কলম্বিয়ু বীজগণিত একটি সহজ উদাহরণ পাওয়া যায় এন-এর উপর বহুপদী স্কেল ব্যবহার করে। তারপর যে কোনও আধা-আদর্শ বীজগণিতের (ই, পি) জন্য, গুণক স্থান হবে বিশেষত, (ই, পি) = (সি,।।) এর জন্য একজন (কলম্বিয়ুর) সাধারণীকৃত জটিল সংখ্যা পায় (যা "অসীম বড়" এবং "অসীমভাবে ছোট" হতে পারে এবং এখনও কঠোর গাণিতিকতার জন্য অনুমতি দেয়, যা অ-মানক সংখ্যার অনুরূপ)। (E, P) = (C ≤ (R), {pk})-এর জন্য (যেখানে k ব্যাসার্ধের বলের উপর k-এর চেয়ে কম বা সমান ক্রমের সমস্ত ব্যুৎপত্তিগুলির সর্বোচ্চ হল pk) কলম্বিয়ুর সরলীকৃত বীজগণিত পাওয়া যায়। শোয়ার্জ ডিস্ট্রিবিউশনের ইনজেকশন এই বীজগণিতে ইনজেকশন জে (টি) = (φn ≤ টি) এন + এন-এর মাধ্যমে ডি-এর সমস্ত ডিস্ট্রিবিউশন টি রয়েছে, যেখানে ≤ হল কনভোলিউশন অপারেশন, এবং φn (x) = n φ (nx)। এই ইনজেকশনটি এই অর্থে অ-ক্যানোনিকাল যে এটি মোলিফায়ারের পছন্দের উপর নির্ভর করে, যা অবিচ্ছেদ্য একটির C φ হওয়া উচিত এবং এর সমস্ত ডেরিভেটিভ 0-এ অদৃশ্য হয়ে যায়। একটি ক্যানোনিকাল ইনজেকশন পেতে, সূচক সেটটি এন × ডি (আর) হিসাবে সংশোধন করা যেতে পারে, ডি (আর)-এর উপর একটি সুবিধাজনক ফিল্টার বেস সহ (অর্ডার কিউ পর্যন্ত অদৃশ্য মুহুর্তের ফাংশন)। যদি (ই, পি) কোনও টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এ আধা-আদর্শ অ্যালজেব্রার একটি (প্রাক-) শেফ হয়, তবে জিএস (ই, পি)-এরও এই বৈশিষ্ট্য থাকবে। এর মানে হল যে সীমাবদ্ধতার ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করা হবে, যা একটি সাধারণীকৃত ফাংশন ডাব্লু. আর. টি-এর সমর্থনকে সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়। একটি সাবশেফ, বিশেষতঃ সাবশেফ {0}-এর জন্য, একজন স্বাভাবিক সমর্থন পায় (বৃহত্তম খোলা উপসেটের পরিপূরক যেখানে ফাংশনটি শূন্য)। সাবশেফ ই-এর জন্য (ক্যানোনিকাল (ধ্রুবক) ইনজেকশন ব্যবহার করে এম্বেড করা), একজনকে সিঙ্গুলার সাপোর্ট বলা হয়, অর্থাৎ মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, সেটের ক্লোজার যেখানে সাধারণীকৃত ফাংশনটি মসৃণ ফাংশন নয় (ই = সি-এর জন্য)। মাইক্রোলোকাল বিশ্লেষণ সংক্ষিপ্তভাবে সমর্থিত সাধারণীকৃত ফাংশনের (উপাদান-ভিত্তিক) জন্য ফুরিয়ার রূপান্তরকে (ভাল-) সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, কেউ বিতরণের জন্য একই গঠন প্রয়োগ করতে পারে এবং সাধারণীকৃত ফাংশনের জন্য লার্স হর্ম্যান্ডারের তরঙ্গের সামনের সেটকেও সংজ্ঞায়িত করতে পারে। এককত্বের প্রচারের বিশ্লেষণে এর একটি বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছে। অন্যান্য তত্ত্বগুলির মধ্যে রয়েছেঃ জান মিকুসিনস্কির কনভোলিউশন ভাগফল তত্ত্ব, যা অবিচ্ছেদ্য ক্ষেত্রের কনভোলিউশন অ্যালজেব্রার ভগ্নাংশের ক্ষেত্রের উপর ভিত্তি করে; এবং বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের সীমানা মানগুলির উপর ভিত্তি করে (তাদের প্রাথমিক ধারণার মধ্যে) হাইপারফাংশনের তত্ত্বগুলি, এবং এখন শিফ তত্ত্বের ব্যবহার। টপোলজিক্যাল গ্রুপ ব্রুহাত পরীক্ষামূলক ফাংশনের একটি শ্রেণী প্রবর্তন করে, যা বর্তমানে পরিচিত শোয়ার্জ-ব্রুহাত ফাংশন, স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট গ্রুপগুলির একটি শ্রেণীতে যা সাধারণ ফাংশন ডোমেনের বহুগুণের বাইরে চলে যায়। প্রয়োগগুলি বেশিরভাগই সংখ্যা তত্ত্বে, বিশেষত অ্যাডেলিক বীজগাণিতিক গোষ্ঠীগুলির ক্ষেত্রে। আন্দ্রে ওয়েইল এই ভাষায় টেটের থিসিসটি পুনরায় লিখেছেন, আদর্শ গোষ্ঠীর উপর জিটা বিতরণকে চিহ্নিত করেছেন; এবং এটি একটি এল-ফাংশনের সুস্পষ্ট সূত্রেও প্রয়োগ করেছেন। সাধারণীকৃত বিভাগ একটি মসৃণ ভেক্টর বান্ডিলের সাধারণীকৃত বিভাগ হিসাবে তত্ত্বটি প্রসারিত করার আরও একটি উপায়। এটি শোয়ার্জ প্যাটার্নে, পরীক্ষার বস্তুর সাথে দ্বৈত বস্তু তৈরি করে, একটি বান্ডিলের মসৃণ বিভাগ যা কম্প্যাক্ট সমর্থন করে। সবচেয়ে উন্নত তত্ত্বটি হল ডি রাম স্রোত, যা দ্বৈত থেকে ডিফারেনশিয়াল রূপ। এগুলি প্রকৃতিতে সমতাত্ত্বিক, যেভাবে ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলি ডি রাম কোহোমোলজির জন্ম দেয়। এগুলি একটি খুব সাধারণ স্টোকসের উপপাদ্য প্রণয়নে ব্যবহার করা যেতে পারে। আরও দেখুন বেপ্পো-লেভি স্পেস ডিরাক ডেল্টা ফাংশন জেনারেলাইজড আইগেনফাংশান ডিস্ট্রিবিউশন (গণিত) সূচকের হাইপারফাংশান ল্যাপলেসিয়ান রিগ্ড হিলবার্ট স্পেস লিমিট অফ এ ডিস্ট্রিবিউশন বুকস ভলিউম। 2. এইচ. কোমাতসু, ডিস্ট্রিবিউশন তত্ত্বের ভূমিকা, দ্বিতীয় সংস্করণ, ইওয়ানামি শটেন, টোকিও, 1983। (অনলাইনে এখানে)। সাধারণীকৃত ফাংশনের পণ্যের জন্য অধ্যায় 11 দেখুন। তথ্যসূত্র