Granger causality
গ্রেঞ্জার কার্যকারণ পরীক্ষা হল একটি পরিসংখ্যানগত অনুমান পরীক্ষা যা নির্ধারণ করে যে একটি সময় সিরিজ অন্যটির পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য কার্যকর কিনা, যা 1969 সালে প্রথম প্রস্তাবিত হয়েছিল। সাধারণত, প্রতিগমনগুলি "নিছক" পারস্পরিক সম্পর্ককে প্রতিফলিত করে, তবে ক্লাইভ গ্রেঞ্জার যুক্তি দিয়েছিলেন যে অর্থনীতিতে কার্যকারিতা অন্য সময় সিরিজের পূর্ববর্তী মানগুলি ব্যবহার করে একটি সময় সিরিজের ভবিষ্যতের মানগুলির পূর্বাভাস দেওয়ার ক্ষমতা পরিমাপ করে পরীক্ষা করা যেতে পারে। যেহেতু "প্রকৃত কার্যকারণ"-এর প্রশ্নটি গভীরভাবে দার্শনিক, এবং পোস্ট হক এরগো প্রপটার হক ভ্রান্তির কারণে যে অন্যটির পূর্ববর্তী একটি জিনিস কার্যকারণের প্রমাণ হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে, অর্থনীতিবিদরা দাবি করেন যে গ্রেঞ্জার পরীক্ষাটি কেবল "ভবিষ্যদ্বাণীমূলক কার্যকারণ" খুঁজে পায়। শুধুমাত্র "কার্যকারণ" শব্দটি ব্যবহার করা একটি ভুল নাম, কারণ গ্রেঞ্জার-কার্যকারণকে "অগ্রাধিকার" হিসাবে আরও ভালভাবে বর্ণনা করা হয়েছে, বা, যেমন গ্রেঞ্জার নিজেই পরে 1977 সালে দাবি করেছিলেন, "সাময়িকভাবে সম্পর্কিত"। এক্স ওয়াই-এর কারণ কিনা তা পরীক্ষা করার পরিবর্তে, গ্রেঞ্জার কার্যকারণ পরীক্ষা করে যে এক্স ওয়াই-এর পূর্বাভাস দেয় কিনা। একটি টাইম সিরিজ এক্স-কে গ্রেঞ্জার-কজ ওয়াই বলা হয় যদি এটি দেখানো যায়, সাধারণত টি-পরীক্ষার একটি সিরিজের মাধ্যমে এবং এক্স-এর পিছিয়ে থাকা মানগুলির উপর এফ-পরীক্ষার মাধ্যমে (এবং ওয়াই-এর পিছিয়ে থাকা মানগুলিও অন্তর্ভুক্ত), যে এই এক্স মানগুলি ওয়াই-এর ভবিষ্যতের মান সম্পর্কে পরিসংখ্যানগতভাবে উল্লেখযোগ্য তথ্য সরবরাহ করে। গ্রেঞ্জার আরও জোর দিয়েছিলেন যে অর্থনীতির বাইরের ক্ষেত্রে "গ্রেঞ্জার কার্যকারণ" পরীক্ষা ব্যবহার করে কিছু গবেষণা "হাস্যকর" সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে। নোবেল বক্তৃতায় তিনি বলেন, "অবশ্যই, অনেক হাস্যকর গবেষণাপত্র প্রকাশিত হয়েছে।" যাইহোক, গণনামূলক সরলতার কারণে এটি সময় সিরিজে কার্যকারণ বিশ্লেষণের জন্য একটি জনপ্রিয় পদ্ধতি হিসাবে রয়ে গেছে। গ্রেঞ্জার কার্যকারণের মূল সংজ্ঞাটি সুপ্ত বিভ্রান্তিকর প্রভাবগুলির জন্য দায়ী নয় এবং তাৎক্ষণিক এবং অ-রৈখিক কার্যকারণ সম্পর্কগুলি ধারণ করে না, যদিও এই সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য বেশ কয়েকটি সম্প্রসারণের প্রস্তাব দেওয়া হয়েছে। অন্তর্দৃষ্টি আমরা বলি যে একটি পরিবর্তনশীল X যা সময়ের সাথে সাথে ক্রমবর্ধমান হয়-আরেকটি বিবর্তিত পরিবর্তনশীল Y-এর কারণ হয় যদি তার নিজস্ব অতীত মান এবং X-এর অতীত মানের উপর ভিত্তি করে Y-এর মানের ভবিষ্যদ্বাণী শুধুমাত্র Y-এর নিজস্ব অতীত মানের উপর ভিত্তি করে Y-এর ভবিষ্যদ্বাণীর চেয়ে ভাল হয়। অন্তর্নিহিত নীতি গ্রেঞ্জার দুটি নীতির উপর ভিত্তি করে কার্যকারণ সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করেছেনঃ কারণটি তার প্রভাবের আগে ঘটে। কারণটিতে এর প্রভাবের ভবিষ্যৎ মূল্য সম্পর্কে অনন্য তথ্য রয়েছে। কার্যকারণ সম্পর্কে এই দুটি অনুমানের পরিপ্রেক্ষিতে, গ্রেঞ্জার একটি কার্যকারণ প্রভাব সনাক্ত করার জন্য নিম্নলিখিত অনুমানটি পরীক্ষা করার প্রস্তাব করেছিলেনঃ যেখানে সম্ভাব্যতা বোঝায়, এটি একটি নির্বিচারে অ-খালি সেট, এবং যথাক্রমে সমগ্র মহাবিশ্বের সময় হিসাবে উপলব্ধ তথ্যকে বোঝায়, এবং পরিবর্তিত মহাবিশ্বে যা বাদ দেওয়া হয়েছে। যদি উপরের অনুমানটি গৃহীত হয়, আমরা বলি যে গ্রেঞ্জার-কারণ। পদ্ধতি যদি একটি সময় সিরিজ একটি স্থির প্রক্রিয়া হয়, তবে পরীক্ষাটি দুটি (বা তার বেশি) চলকের স্তর মান ব্যবহার করে করা হয়। যদি চলকগুলি অ-স্থির হয়, তবে পরীক্ষাটি প্রথম (বা উচ্চতর) পার্থক্য ব্যবহার করে করা হয়। অন্তর্ভুক্ত করার জন্য ল্যাগের সংখ্যা সাধারণত একটি তথ্য মানদণ্ড ব্যবহার করে বেছে নেওয়া হয়, যেমন আকাইক তথ্য মানদণ্ড বা শোয়ার্জ তথ্য মানদণ্ড। চলকগুলির মধ্যে একটির যে কোনও নির্দিষ্ট পিছিয়ে থাকা মান রিগ্রেশন-এ ধরে রাখা হয় যদি (1) এটি একটি টি-টেস্ট অনুসারে তাৎপর্যপূর্ণ হয় এবং (2) এটি এবং চলকের অন্যান্য পিছিয়ে থাকা মানগুলি যৌথভাবে একটি এফ-টেস্ট অনুসারে মডেলে ব্যাখ্যামূলক শক্তি যোগ করে। তারপরে কোনও গ্রেঞ্জার কার্যকারণের নাল হাইপোথিসিস প্রত্যাখ্যান করা হয় না যদি এবং কেবলমাত্র যদি কোনও ব্যাখ্যামূলক চলকের কোনও পিছিয়ে থাকা মান রিগ্রেশনে ধরে রাখা না থাকে। বাস্তবে দেখা যেতে পারে যে, কোনও পরিবর্তনশীলই অপরটির কারণ গ্রেঞ্জার নয়, অথবা দুটি পরিবর্তনশীলের প্রতিটিই অপরটির কারণ গ্রেঞ্জার নয়। গাণিতিক বিবৃতি ধরা যাক y এবং x স্থির সময় সিরিজ। শূন্য অনুমানটি পরীক্ষা করার জন্য যে x গ্র্যাঞ্জার-কারণ y করে না, প্রথমে y-এর একটি অভিন্ন স্বয়ংক্রিয় অভিব্যক্তিতে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য y-এর সঠিক পিছিয়ে পড়া মানগুলি খুঁজে পাওয়া যায়ঃ এরপরে, x-এর পিছিয়ে পড়া মানগুলি অন্তর্ভুক্ত করে স্বয়ংক্রিয় অভিব্যক্তিকে বৃদ্ধি করা হয়ঃ একটি এই প্রত্যাবর্তনে x-এর সমস্ত পিছিয়ে পড়া মানগুলি ধরে রাখে যা তাদের টি-পরিসংখ্যান অনুসারে পৃথকভাবে তাৎপর্যপূর্ণ, তবে শর্ত থাকে যে তারা সম্মিলিতভাবে একটি F-পরীক্ষা অনুসারে প্রত্যাবর্তনে ব্যাখ্যামূলক শক্তি যোগ করে (যার শূন্য অনুমান x-এর দ্বারা যৌথভাবে যোগ করা কোনও ব্যাখ্যামূলক শক্তি নয়)। উপরের অগমেন্টেড রিগ্রেশন-এর স্বরলিপিতে, p হল সংক্ষিপ্ততম, এবং q হল দীর্ঘতম, ল্যাগ দৈর্ঘ্য যার জন্য x-এর ল্যাগড মান তাৎপর্যপূর্ণ। শূন্য অনুমান যে x গ্রেঞ্জার-কারণ y করে না তা প্রত্যাখ্যান করা হয় না যদি এবং শুধুমাত্র যদি x এর কোনও পিছিয়ে থাকা মান রিগ্রেশনে ধরে রাখা না হয়। মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণ মাল্টিভ্যারিয়েট গ্রেঞ্জার কার্যকারণ বিশ্লেষণ সাধারণত সময় সিরিজে একটি ভেক্টর অটোরেগ্রেসিভ মডেল (ভিএআর) ফিট করে করা হয়। বিশেষ করে, একটি-মাত্রিক মাল্টিভ্যারিয়েট টাইম সিরিজ হতে দিন। গ্রেঞ্জার কার্যকারণ একটি ভি. এ. আর মডেলকে নিম্নলিখিত সময়সীমার সাথে ফিট করে সঞ্চালিত হয়ঃ যেখানে একটি সাদা গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেক্টর, এবং প্রত্যেকটির জন্য একটি ম্যাট্রিক্স। একটি টাইম সিরিজকে অন্য টাইম সিরিজের গ্রেঞ্জার কারণ বলা হয়, যদি কমপক্ষে একটি উপাদান শূন্যের (পরম মানের) চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে বড় হয়। নন-প্যারামেট্রিক পরীক্ষা গড় হিসাবে গ্রেঞ্জার কার্যকারিতা পরীক্ষার জন্য উপরের রৈখিক পদ্ধতিগুলি উপযুক্ত। তবে তারা উচ্চতর মুহুর্তে গ্রেঞ্জার কার্যকারিতা সনাক্ত করতে সক্ষম হয় না, উদাহরণস্বরূপ, বৈকল্পিকতা। গ্রেঞ্জার কার্যকারিতার জন্য অ-প্যারামেট্রিক পরীক্ষাগুলি এই সমস্যা সমাধানের জন্য তৈরি করা হয়েছে। এই পরীক্ষাগুলিতে গ্রেঞ্জার কার্যকারণের সংজ্ঞাটি সাধারণ এবং এতে কোনও মডেলিং অনুমান জড়িত থাকে না, যেমন একটি রৈখিক স্বয়ংক্রিয় মডেল। গ্রেঞ্জার কার্যকারিতার জন্য নন-প্যারামেট্রিক পরীক্ষাগুলি উচ্চতর অর্ডার মুহূর্ত এবং/অথবা নন-লিনিয়ারিটি সহ আরও ভাল প্যারামেট্রিক মডেল তৈরি করতে ডায়াগনস্টিক সরঞ্জাম হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। সীমাবদ্ধতা যেমন এর নাম থেকে বোঝা যায়, গ্রেঞ্জার কার্যকারিতা অগত্যা সত্যিকারের কার্যকারিতা নয়। প্রকৃতপক্ষে, গ্রেঞ্জার-কার্যকারণ পরীক্ষা শুধুমাত্র কার্যকারণের হিউম্যান সংজ্ঞা পূরণ করে যা ধ্রুবক সংযোগের সাথে কারণ-প্রভাব সম্পর্ককে চিহ্নিত করে। যদি এক্স এবং ওয়াই উভয়ই বিভিন্ন পিছিয়ে থাকা একটি সাধারণ তৃতীয় প্রক্রিয়া দ্বারা চালিত হয়, তবে গ্রেঞ্জার কার্যকারণের বিকল্প অনুমান প্রত্যাখ্যান করতে ব্যর্থ হতে পারে। তবুও, একটি চলকের কারসাজি অন্যটিকে পরিবর্তন করবে না। প্রকৃতপক্ষে, গ্রেঞ্জার-কার্যকারণ পরীক্ষাগুলি ভেরিয়েবলের জোড়া পরিচালনা করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে এবং যখন সত্যিকারের সম্পর্ক তিন বা ততোধিক ভেরিয়েবল জড়িত থাকে তখন বিভ্রান্তিকর ফলাফল তৈরি করতে পারে। এটি বলার পরে, এটি যুক্তি দেওয়া হয়েছে যে কার্যকারণের একটি সম্ভাব্য দৃষ্টিভঙ্গির পরিপ্রেক্ষিতে, গ্রেঞ্জার কার্যকারণকে সেই অর্থে প্রকৃত কার্যকারণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, বিশেষত যখন রেইচেনবাখের সম্ভাব্য কার্যকারণের "স্ক্রিনিং অফ" ধারণাটি বিবেচনায় নেওয়া হয়। পরীক্ষার ফলাফলকে বিভ্রান্ত করার অন্যান্য সম্ভাব্য উৎসগুলি হলঃ (1) যথেষ্ট ঘন ঘন বা খুব ঘন ঘন নমুনা সংগ্রহ না করা, (2) অরৈখিক কার্যকারণ সম্পর্ক, (3) সময় ধারাবাহিকতা এবং অরৈখিকতা এবং (4) যুক্তিসঙ্গত প্রত্যাশার অস্তিত্ব। ভেক্টর অটোরেগ্রেশন সহ আরও ভেরিয়েবল জড়িত একটি অনুরূপ পরীক্ষা প্রয়োগ করা যেতে পারে। এক্সটেনশন গ্রেঞ্জার কার্যকারণের জন্য একটি পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে যা ত্রুটি শব্দটি সাধারণত বিতরণ করা হয় এই ধারণা থেকে বিচ্যুতির প্রতি সংবেদনশীল নয়। এই পদ্ধতিটি আর্থিক অর্থনীতিতে বিশেষভাবে কার্যকর, কারণ অনেক আর্থিক চলক স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হয় না। সম্প্রতি, নেতিবাচক থেকে ইতিবাচক পরিবর্তনের কার্যকারণ প্রভাবকে আলাদা করার জন্য সাহিত্যে অসম কারণগত পরীক্ষার পরামর্শ দেওয়া হয়েছে। প্যানেল ডেটাতে গ্রেঞ্জার (অ-) কার্যকারণ পরীক্ষার একটি সম্প্রসারণও উপলব্ধ। GARCH (সাধারণীকৃত অটো-রিগ্রেসিভ শর্তাধীন হেটেরোসেডাস্টিসিটি) ধরনের পূর্ণসংখ্যা-মূল্যবান সময় সিরিজের মডেলের উপর ভিত্তি করে একটি পরিবর্তিত গ্রেঞ্জার কার্যকারণ পরীক্ষা অনেক ক্ষেত্রে পাওয়া যায়। স্নায়ুবিজ্ঞানে স্নায়বিক ক্রিয়াকলাপ সম্পর্কে একটি দীর্ঘস্থায়ী বিশ্বাস বজায় ছিল যে মস্তিষ্কের বিভিন্ন অঞ্চল নির্দিষ্ট কাজ ছিল; যে একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলের স্থানীয় কাঠামোগত সংযোগ কোনওভাবে সেই অংশের কার্যকারিতা নির্দেশ করে। বহু বছর ধরে সম্পাদিত কাজ সংগ্রহ করে, মস্তিষ্কে তথ্য প্রবাহ বর্ণনা করার জন্য একটি ভিন্ন, নেটওয়ার্ক-কেন্দ্রিক পদ্ধতির দিকে একটি পদক্ষেপ নেওয়া হয়েছে। কার্যকারিতার ব্যাখ্যায় মস্তিষ্কের বিভিন্ন স্তরে এবং বিভিন্ন স্থানে বিদ্যমান নেটওয়ার্কের ধারণাটি অন্তর্ভুক্ত করা শুরু হয়েছে। এই নেটওয়ার্কগুলির আচরণ অ-নির্ধারিত প্রক্রিয়া দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে যা সময়ের সাথে সাথে বিকশিত হচ্ছে। অর্থাৎ, একই ইনপুট উদ্দীপনা দেওয়া হলে, আপনি নেটওয়ার্ক থেকে একই আউটপুট পাবেন না। এই নেটওয়ার্কগুলির গতিবিদ্যা সম্ভাব্যতা দ্বারা পরিচালিত হয় তাই আমরা এগুলিকে স্টোকাস্টিক (এলোমেলো) প্রক্রিয়া হিসাবে বিবেচনা করি যাতে আমরা মস্তিষ্কের বিভিন্ন অঞ্চলের মধ্যে এই ধরনের গতিবিদ্যা ধরতে পারি। অতীতে একটি স্নায়ুকোষ এবং তার আশেপাশের দলগুলির ফায়ারিং ক্রিয়াকলাপ থেকে কিছু পরিমাপ তথ্য প্রবাহ পাওয়ার বিভিন্ন পদ্ধতি অন্বেষণ করা হয়েছে, তবে সেগুলি এমন ধরণের সিদ্ধান্তে সীমাবদ্ধ যা আঁকা যেতে পারে এবং তথ্যের দিকনির্দেশক প্রবাহ, এর প্রভাবের আকার এবং সময়ের সাথে এটি কীভাবে পরিবর্তিত হতে পারে সে সম্পর্কে সামান্য অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে। সম্প্রতি এই সমস্যাগুলির কয়েকটি সমাধানের জন্য গ্রেঞ্জার কার্যকারণ প্রয়োগ করা হয়েছে। স্পষ্টভাবে বলতে গেলে, একটি নিউরনের ভবিষ্যতের সর্বোত্তম ভবিষ্যদ্বাণী কীভাবে করা যায় তা পরীক্ষা করা হয়ঃ একটি নির্দিষ্ট লক্ষ্য নিউরনের ব্যতীত পুরো এনসেম্বল বা পুরো এনসেম্বল ব্যবহার করে। যদি লক্ষ্য স্নায়ুকোষ বাদ দিয়ে ভবিষ্যদ্বাণীটি আরও খারাপ করা হয়, তবে আমরা বলি যে বর্তমান স্নায়ুকোষের সাথে এর একটি "জি-কারণ" সম্পর্ক রয়েছে। পূর্ববর্তী গ্রেঞ্জার-কার্যকারণ পদ্ধতিগুলি শুধুমাত্র অবিচ্ছিন্ন-মূল্যবান ডেটার উপর কাজ করতে পারে তাই নিউরাল স্পাইক ট্রেন রেকর্ডিংয়ের বিশ্লেষণে এমন রূপান্তর জড়িত ছিল যা শেষ পর্যন্ত ডেটার স্টোকাস্টিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে পরিবর্তন করে, পরোক্ষভাবে সিদ্ধান্তের বৈধতা পরিবর্তন করে যা থেকে নেওয়া যেতে পারে। যাইহোক, 2011 সালে, একটি নতুন সাধারণ-উদ্দেশ্য গ্রেঞ্জার-কার্যকারণ কাঠামো প্রস্তাব করা হয়েছিল যা নিউরাল-স্পাইক ট্রেন সহ যে কোনও পদ্ধতিতে সরাসরি কাজ করতে পারে। নিউরাল স্পাইক ট্রেনের তথ্য একটি বিন্দু-প্রক্রিয়া হিসাবে মডেল করা যেতে পারে। একটি সাময়িক বিন্দু প্রক্রিয়া হল বাইনারি ইভেন্টগুলির একটি যাদৃচ্ছিক সময়-সিরিজ যা অবিচ্ছিন্ন সময়ে ঘটে। এটি সময়ের প্রতিটি বিন্দুতে শুধুমাত্র দুটি মান নিতে পারে, যা নির্দেশ করে যে কোনও ঘটনা আসলে ঘটেছে কি না। তথ্যের এই ধরনের বাইনারি-মূল্যবান উপস্থাপনা স্নায়বিক জনসংখ্যার ক্রিয়াকলাপের সাথে মানানসই কারণ একটি একক স্নায়ুকোষের ক্রিয়া সম্ভাবনার একটি সাধারণ তরঙ্গ রূপ রয়েছে। এইভাবে, একটি স্নায়ুকোষ থেকে বেরিয়ে আসা প্রকৃত তথ্য যা বহন করে তা হল একটি "স্পাইক"-এর ঘটনা, সেইসাথে ধারাবাহিক স্পাইকগুলির মধ্যে সময়। এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে কেউ একটি নিউরাল-নেটওয়ার্কে তথ্যের প্রবাহকে একটি পর্যবেক্ষণ সময়ের মধ্যে প্রতিটি নিউরনের জন্য কেবল স্পাইকিং সময় হিসাবে বিমূর্ত করতে পারে। একটি বিন্দু-প্রক্রিয়াকে হয় স্পাইকগুলির সময়, স্পাইকগুলির মধ্যে অপেক্ষার সময়, গণনা প্রক্রিয়া ব্যবহার করে উপস্থাপন করা যেতে পারে, অথবা, যদি প্রতিটি উইন্ডোতে শুধুমাত্র একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা রয়েছে তা নিশ্চিত করার জন্য সময়কে যথেষ্ট বিচক্ষণ করা হয়, অর্থাৎ এক সময়ের বিনটিতে কেবল একটি ইভেন্ট থাকতে পারে, 1s এবং 0s এর সেট হিসাবে, যা বাইনারির অনুরূপ। সবচেয়ে সহজ ধরনের নিউরাল-স্পাইকিং মডেলগুলির মধ্যে একটি হল পয়সন প্রক্রিয়া। তবে এটি সীমাবদ্ধ কারণ এটি স্মৃতিহীন। গুলি চালানোর বর্তমান সম্ভাবনা গণনা করার সময় এটি কোনও স্পাইকিং ইতিহাসের জন্য দায়ী নয়। নিউরনগুলি অবশ্য তার আপেক্ষিক এবং পরম অবাধ্য সময়ের মাধ্যমে একটি মৌলিক (জৈব-প্রাকৃতিক) ইতিহাসের নির্ভরতা প্রদর্শন করে। এটি মোকাবেলা করার জন্য, একটি শর্তাধীন তীব্রতা ফাংশন একটি নিউরন স্পাইকিংয়ের সম্ভাবনার প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়, যা তার নিজস্ব ইতিহাসের উপর শর্তযুক্ত। শর্তাধীন তীব্রতা ফাংশন তাৎক্ষণিক ফায়ারিং সম্ভাব্যতা প্রকাশ করে এবং বিন্দু প্রক্রিয়ার জন্য একটি সম্পূর্ণ সম্ভাব্যতা মডেলকে অন্তর্নিহিতভাবে সংজ্ঞায়িত করে। এটি প্রতি একক সময়ে একটি সম্ভাব্যতা সংজ্ঞায়িত করে। সুতরাং যদি এই একক সময়টি যথেষ্ট কম নেওয়া হয় যাতে নিশ্চিত করা যায় যে সেই সময় উইন্ডোতে কেবল একটি স্পাইক ঘটতে পারে, তবে আমাদের শর্তাধীন তীব্রতা ফাংশনটি একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে প্রদত্ত নিউরন গুলি চালানোর সম্ভাবনা সম্পূর্ণরূপে নির্দিষ্ট করে। কম্পিউটিংয়ে সফ্টওয়্যার প্যাকেজগুলি পাইথন এবং আর-এ "গ্রেঞ্জার কার্যকারিতা" পরিমাপের জন্য তৈরি করা হয়েছেঃ পাইথন প্যাকেজ আর প্যাকেজ আরও দেখুন রেফারেন্স আরও পড়ুন ক্লেইনবার্গ, এস. এবং হ্রিপসাক, জি. (2011) "বায়োমেডিকাল ইনফরম্যাটিক্সের জন্য কার্যকারণ অনুমানের একটি পর্যালোচনা" জে. বায়োমেড ইনফরম্যাটিক্স "মাল্টিভ্যারিয়েট টাইম সিরিজ টাইম সিরিজ পরিসংখ্যানগত পরীক্ষা ডিঃ কৌসালিটা t#Ökonometrie (গ্রেঞ্জার)