Kobayashi metric
গণিত এবং বিশেষত জটিল জ্যামিতিতে, কোবায়শি মেট্রিক একটি ছদ্মবেশী মেট্রিক যা যে কোনও জটিল বহুগুণের সাথে অন্তর্নিহিতভাবে যুক্ত। এটি 1967 সালে শোশিচি কোবায়শি দ্বারা চালু করা হয়েছিল। কোবায়শি হাইপারবোলিক ম্যানিফোল্ডগুলি জটিল ম্যানিফোল্ডের একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী, যা কোবায়শি সিউডোমেট্রিক একটি মেট্রিক বৈশিষ্ট্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি জটিল বহুগুণ এক্স-এর কোবায়শি হাইপারবোলিসিটি বোঝায় যে জটিল রেখা সি থেকে এক্স পর্যন্ত প্রতিটি হোলোমরফিক মানচিত্র ধ্রুবক। সংজ্ঞা জটিল বিশ্লেষণে এই ধারণার উৎপত্তি শোয়ার্জের লেম্মায় রয়েছে। অর্থাৎ, যদি জটিল সংখ্যা সি-তে খোলা একক ডিস্ক ডি-তে f একটি হোলোমরফিক ফাংশন হয় যাতে f (0) = 0 এবং D-তে সমস্ত z-এর জন্য |f (z)। <1 হয়, তবে ডেরিভেটিভ f '(0)-এর পরম মান সর্বাধিক 1। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও হোলোমর্ফিক মানচিত্রের জন্য ডি থেকে নিজের কাছে (অগত্যা 0 থেকে 0 প্রেরণ না করে), ডি-এর যে কোনও বিন্দুতে এফ-এর ডেরিভেটিভের জন্য আরও জটিল উপরের সীমা রয়েছে। তবে, বাউন্ডের পয়েনকারে মেট্রিকের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সহজ সূত্র রয়েছে, যা বক্রতা-1 (হাইপারবোলিক প্লেনের আইসোমেট্রিক) সহ ডি-এর উপর একটি সম্পূর্ণ রিমানিয়ান মেট্রিক। যথাঃ ডি থেকে নিজের প্রতি প্রতিটি হোলোমর্ফিক মানচিত্র ডি-এর পয়েনকারে মেট্রিকের সাপেক্ষে দূরত্ব-হ্রাস করছে। এটি জটিল বিশ্লেষণ এবং ঋণাত্মক বক্রতার জ্যামিতির মধ্যে একটি শক্তিশালী সংযোগের সূচনা। যে কোনও জটিল স্থান এক্স-এর জন্য (উদাহরণস্বরূপ একটি জটিল বহুগুণ), কোবায়শি সিউডোমেট্রিক ডিএক্স-কে এক্স-এর বৃহত্তম সিউডোমেট্রিক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে, একক ডিস্ক ডি থেকে এক্স পর্যন্ত সমস্ত হোলোমরফিক মানচিত্রের জন্য, যেখানে ডি-এর পয়েনকারে মেট্রিকের দূরত্ব বোঝায়। এক অর্থে, এই সূত্রটি সমস্ত জটিল স্থানের জন্য শোয়ার্জের লেম্মাকে সাধারণীকরণ করে; তবে এটি এই অর্থে শূন্য হতে পারে যে কোবায়শি সিউডোমেট্রিক ডিএক্স একইভাবে শূন্য হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যখন এক্স জটিল রেখা সি হয় তখন এটি একইভাবে শূন্য হয়। (এটি ঘটে কারণ সি-তে নির্বিচারে বড় ডিস্ক থাকে, হোলোমর্ফিক মানচিত্রের চিত্রগুলি f (z) = az দ্বারা প্রদত্ত f (z) = az দ্বারা প্রদত্ত।) একটি জটিল স্থান X-কে কোবায়শি হাইপারবোলিক বলা হয় যদি কোবায়শি সিউডোমেট্রিক dX একটি মেট্রিক হয়, যার অর্থ হল X-এর সমস্ত x ষ্ণ y-এর জন্য dX (x, y)> 0। অনানুষ্ঠানিকভাবে, এর অর্থ হল যে এক্স-এর মধ্যে হোলোমরফিকভাবে ম্যাপিং করা ডিস্কের আকারের উপর একটি প্রকৃত সীমা রয়েছে। এই শর্তাবলীতে, শোয়ার্জের লেম্মা বলে যে একক ডিস্ক ডি কোবায়শি হাইপারবোলিক, এবং আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে ডি-এর উপর কোবায়শি মেট্রিক ঠিক পয়েনকারে মেট্রিক। কোবায়শি হাইপারবোলিক ম্যানিফোল্ডের আরও উদাহরণ পাওয়া গেলে তত্ত্বটি আরও আকর্ষণীয় হয়ে ওঠে। (একটি কোবায়শি হাইপারবোলিক ম্যানিফোল্ড এক্স-এর জন্য, কোবায়শি মেট্রিক একটি মেট্রিক যা এক্স-এর জটিল কাঠামো দ্বারা অভ্যন্তরীণভাবে নির্ধারিত হয়; এটি কখনই হওয়া উচিত তা মোটেও স্পষ্ট নয়। ইতিবাচক মাত্রার একটি বাস্তব বহুগুণের এই অর্থে কখনই একটি অভ্যন্তরীণ মেট্রিক থাকে না, কারণ এর ডিফিয়োমোর্ফিজম গ্রুপটি অনুমতি দেওয়ার জন্য খুব বড়।) উদাহরণস্বরূপ, জটিল স্থানের প্রতিটি হোলোমরফিক মানচিত্র f: X → Y, X এবং Y-এর কোবায়শি সিউডোমেট্রিক্সের সাপেক্ষে দূরত্ব হ্রাস করছে। এটি অনুসরণ করে যে, যদি একটি জটিল স্থান Y-এর দুটি বিন্দু p এবং q-কে হোলোমর্ফিক মানচিত্রের একটি শৃঙ্খল দ্বারা সংযুক্ত করা যায়, তাহলে dY (p, q) = 0, সেই dC ব্যবহার করে অভিন্নভাবে শূন্য। এটি জটিল ম্যানিফোল্ডের অনেক উদাহরণ দেয় যার জন্য কোবায়শি সিউডোমেট্রিক অভিন্নভাবে শূন্যঃ জটিল প্রজেক্টিভ লাইন সিপি1 বা আরও সাধারণভাবে জটিল প্রজেক্টিভ স্পেস সিপিএন, সি − {0} (সূচকীয় ফাংশন সি → সি − {0} ব্যবহার করে), একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা, বা আরও সাধারণভাবে একটি কম্প্যাক্ট জটিল টরাস। কোবায়শি হাইপারবোলিসিটি খোলা উপসেট বা বন্ধ জটিল সাবস্পেসে উত্তরণের অধীনে সংরক্ষিত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, এটি অনুসরণ করে যে সি. এন-এর যে কোনও সীমাবদ্ধ ডোমেন হাইপারবোলিক। একটি জটিল স্থান কোবায়শি হাইপারবোলিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর সর্বজনীন আচ্ছাদন স্থান কোবায়শি হাইপারবোলিক হয়। এটি হাইপারবোলিক জটিল বক্ররেখার অনেক উদাহরণ দেয়, যেহেতু ইউনিফর্মাইজেশন উপপাদ্যটি দেখায় যে বেশিরভাগ জটিল বক্ররেখার (যাকে রিমান পৃষ্ঠও বলা হয়) ডিস্ক ডি-এর সার্বজনীন আবরণ আইসোমরফিক রয়েছে। বিশেষত, কমপক্ষে 2 বংশের প্রতিটি কম্প্যাক্ট জটিল বক্ররেখা হাইপারবোলিক, যেমন সি-তে 2 বা তার বেশি বিন্দুর পরিপূরক। মৌলিক ফলাফল একটি কোবায়শি হাইপারবোলিক স্পেস এক্স-এর জন্য, প্রতিটি হোলোমরফিক মানচিত্র সি-এক্স ধ্রুবক, কোবায়শি সিউডোমেট্রিকের দূরত্ব-হ্রাসকারী বৈশিষ্ট্য দ্বারা। এটি প্রায়শই হাইপারবোলিসিটির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি। উদাহরণস্বরূপ, সি বিয়োগ 2 পয়েন্ট হাইপারবোলিক হওয়ার বিষয়টি পিকার্ডের উপপাদ্যকে বোঝায় যে কোনও অ-ধ্রুবক পুরো ফাংশন সি → সি-এর চিত্র সি-এর সর্বাধিক একটি বিন্দুতে অনুপস্থিত থাকে। নেভানলিনা তত্ত্ব পিকার্ডের উপপাদ্যের আরও পরিমাণগত বংশধর। ব্রডির উপপাদ্য বলে যে একটি কম্প্যাক্ট কমপ্লেক্স স্পেস X হল কোবায়শি হাইপারবোলিক যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি হোলোমর্ফিক মানচিত্র C → X ধ্রুবক হয়। একটি প্রয়োগ হল যে সংহত জটিল স্থানগুলির পরিবারের জন্য হাইপারবোলিসিটি একটি উন্মুক্ত অবস্থা (ইউক্লিডীয় টপোলজিতে)। মার্ক গ্রিন ব্রডির যুক্তি ব্যবহার করে একটি কম্প্যাক্ট জটিল টরাসের বদ্ধ জটিল সাবস্পেস এক্স-এর জন্য হাইপারবোলিসিটি চিহ্নিত করেনঃ এক্স হাইপারবোলিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এতে কোনও ধনাত্মক-মাত্রিক সাবটোরাসের কোনও অনুবাদ না থাকে। যদি একটি জটিল বহুগুণিত X-এর একটি হার্মিশিয়ান মেট্রিক থাকে যার উপরে একটি ঋণাত্মক ধ্রুবক দ্বারা বেষ্টিত হলোমর্ফিক বিভাগীয় বক্রতা থাকে, তাহলে X হল কোবায়শি হাইপারবোলিক। মাত্রা 1-এ, এটিকে আহলফর্স-শোয়ারজ লেম্মা বলা হয়। গ্রিন-গ্রিফিথ-ল্যাং অনুমান উপরের ফলাফলগুলি একটি সম্পূর্ণ বিবরণ দেয় যে কোন জটিল ম্যানিফোল্ডগুলি জটিল মাত্রা 1-এ কোবায়শি হাইপারবোলিক। চিত্রটি উচ্চতর মাত্রায় কম স্পষ্ট। একটি কেন্দ্রীয় উন্মুক্ত সমস্যা হল গ্রিন-গ্রিফিথস-ল্যাং অনুমানঃ যদি এক্স সাধারণ ধরনের একটি জটিল প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য হয়, তবে একটি বদ্ধ বীজগাণিতিক উপসেট ওয়াই থাকা উচিত যা এক্স-এর সমান নয় যাতে প্রতিটি অ-ধ্রুবক হোলোমরফিক মানচিত্র সি → এক্স ওয়াই-তে ম্যাপ করে। ক্লেমেন্স এবং ভয়েসিন দেখিয়েছেন যে কমপক্ষে 2-এর জন্য, সিপিএন + 1 ডিগ্রি ডি-তে একটি খুব সাধারণ হাইপারসার্ফেস এক্স-এর বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে এক্স-এর প্রতিটি বদ্ধ উপ-বৈচিত্র্য সাধারণ ধরণের। ("অতি সাধারণ" অর্থ হল এই ধরনের সমস্ত অতিপৃষ্ঠের প্রক্ষিপ্ত স্থানের নিম্ন-মাত্রিক বীজগাণিতিক উপসেটগুলির গণনাযোগ্য মিলনের বাইরে ডিগ্রি ডি-এর সমস্ত অতিপৃষ্ঠের জন্য বৈশিষ্ট্যটি ধারণ করে।) ফলস্বরূপ, গ্রিন-গ্রিফিথ-ল্যাং অনুমানটি বোঝায় যে কমপক্ষে 2n + 1 ডিগ্রির একটি খুব সাধারণ হাইপারসার্ফেস কোবায়শি হাইপারবোলিক। লক্ষ্য করুন যে একটি নির্দিষ্ট মাত্রার সমস্ত মসৃণ হাইপারসার্ফেসগুলি হাইপারবোলিক হওয়ার আশা করা যায় না, উদাহরণস্বরূপ কারণ কিছু হাইপারসার্ফেসগুলিতে রেখা থাকে (সিপি1-এর সমতুল্য)। এই ধরনের উদাহরণগুলি গ্রিন-গ্রিফিথ-ল্যাং অনুমানের উপসেট ওয়াই-এর প্রয়োজনীয়তা দেখায়। জেট ডিফারেনশিয়ালের কৌশল ব্যবহার করে সিউ, ডিমাইলি এবং অন্যান্যদের একাধিক অগ্রগতির জন্য হাইপারবোলিসিটির অনুমান যথেষ্ট উচ্চ মাত্রার হাইপারসার্ফেসগুলির জন্য পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ, ডাইভেরিও, মার্কার এবং রুশো দেখিয়েছেন যে সিপিএন + 1 ডিগ্রি কমপক্ষে 2এন5-এর একটি সাধারণ অতিপৃষ্ঠ সবুজ-গ্রিফিথ-ল্যাং অনুমানকে সন্তুষ্ট করে। ("সাধারণ" অর্থ হল এই ধরনের সমস্ত অতিপৃষ্ঠের প্রক্ষিপ্ত স্থানের নিম্ন-মাত্রিক বীজগাণিতিক উপসেটগুলির একটি সীমাবদ্ধ মিলনের বাইরে প্রদত্ত মাত্রার সমস্ত অতিপৃষ্ঠের জন্য এটি প্রযোজ্য।) 2016 সালে, ব্রোটবেক ব্রোনস্কিয়ান ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে উচ্চ মাত্রার সাধারণ হাইপারসার্ফেসগুলির হাইপারবোলিসিটির জন্য কোবায়শি অনুমানের প্রমাণ দিয়েছিলেন; স্পষ্ট ডিগ্রি সীমানা তখন ইয়া ডেং এবং ডিমাইলি দ্বারা নির্বিচারে মাত্রায় প্রাপ্ত হয়েছে, যেমন। [(এন) 2এন + 2/3] পরেরটির দ্বারা। ডিগ্রির জন্য আরও ভাল সীমানা কম মাত্রায় জানা যায়। ম্যাককুইলান সাধারণ ধরনের প্রতিটি জটিল প্রজেক্টিভ পৃষ্ঠের জন্য গ্রিন-গ্রিফিথ-ল্যাং অনুমান প্রমাণ করেছিলেন যার চেরন সংখ্যা c12> c2 কে সন্তুষ্ট করে। সাধারণ ধরনের একটি স্বেচ্ছাচারী বৈচিত্র্য X-এর জন্য, ডেমেল্লি দেখিয়েছেন যে প্রতিটি হোলোমরফিক মানচিত্র C → X কিছু (প্রকৃতপক্ষে, অনেক) বীজগাণিতিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। বিপরীত দিকে, কোবায়শি অনুমান করেছিলেন যে কোবায়শি সিউডোমেট্রিক ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ডের জন্য অভিন্নভাবে শূন্য। কে3 পৃষ্ঠের ক্ষেত্রে এটি সত্য, প্রতিটি প্রজেক্টিভ কে3 পৃষ্ঠ উপবৃত্তাকার বক্ররেখার একটি পরিবার দ্বারা আবৃত থাকে। আরও সাধারণভাবে, ক্যাম্পানা একটি সুনির্দিষ্ট অনুমান দিয়েছিলেন যে কোন জটিল প্রজেক্টিভ জাত এক্স-এর কোবায়শি সিউডোমেট্রিক শূন্যের সমান। অর্থাৎ, এটি এক্স-এর বিশেষ হওয়ার সমতুল্য হওয়া উচিত এই অর্থে যে সাধারণ ধরনের ধনাত্মক-মাত্রিক কক্ষপথের উপর এক্স-এর কোনও যুক্তিসঙ্গত তন্তু নেই। সংখ্যা তত্ত্বের সাথে সামঞ্জস্য একটি প্রক্ষিপ্ত বৈচিত্র্য X-এর জন্য, হোলোমর্ফিক মানচিত্রের অধ্যয়নের সাথে X-এর যুক্তিসঙ্গত বিন্দুগুলির অধ্যয়নের কিছু সাদৃশ্য রয়েছে, যা সংখ্যা তত্ত্বের একটি কেন্দ্রীয় বিষয়। এই দুটি বিষয়ের মধ্যে সম্পর্ক নিয়ে বেশ কয়েকটি অনুমান রয়েছে। বিশেষত, একটি সংখ্যা ক্ষেত্র k-এর উপর X-কে একটি প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য হিসাবে ধরা যাক। তারপর ল্যাং অনুমান করেন যে জটিল বহুগুণ X (C) কোবায়শি হাইপারবোলিক যদি এবং কেবলমাত্র যদি X-এর প্রতিটি সীমাবদ্ধ এক্সটেনশন ক্ষেত্র F-এর জন্য কেবলমাত্র সীমিতভাবে অনেকগুলি F-যুক্তিসঙ্গত পয়েন্ট থাকে। এটি যুক্তিসঙ্গত পয়েন্টের উপর জ্ঞাত ফলাফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, বিশেষত আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের উপ-বৈচিত্র্যের উপর ফ্যাল্টিংসের উপপাদ্য। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, X কে একটি সংখ্যা ক্ষেত্র k-এর উপর সাধারণ ধরনের একটি প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য হিসাবে ধরা যাক। ব্যতিক্রমী সেট Y কে সমস্ত অ-ধ্রুবক হোলোমরফিক মানচিত্রের চিত্রগুলির মিলনের জারিস্কি ক্লোজার হিসাবে ধরা যাক। গ্রিন-গ্রিফিথ-ল্যাং অনুমান অনুসারে, ওয়াই-কে এক্স-এর একটি যথাযথ বদ্ধ উপসেট হওয়া উচিত (এবং, বিশেষ করে, এক্স-এর সমান হওয়া উচিত নয়)। শক্তিশালী ল্যাং অনুমানটি ভবিষ্যদ্বাণী করে যে, কে-এর উপর ওয়াই-কে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং কে-এর প্রতিটি সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ ক্ষেত্র এফ-এর জন্য এক্স-ওয়াই-এর কেবলমাত্র সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি এফ-যুক্তিসঙ্গত পয়েন্ট রয়েছে। একই অর্থে, একটি সংখ্যা ক্ষেত্র কে-এর উপর একটি প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য এক্স-এর জন্য (বা, আরও সাধারণভাবে, বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন ক্ষেত্র কে), ক্যাম্পানা অনুমান করেছিলেন যে এক্স (সি)-এর কোবায়শি সিউডোমেট্রিক একইভাবে শূন্য হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি এক্স-এর সম্ভাব্য ঘন যৌক্তিক বিন্দু থাকে, যার অর্থ হল কে-এর একটি সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ ক্ষেত্র এফ থাকে যাতে এফ-যুক্তিসঙ্গত বিন্দুর সেট এক্স (এফ) এক্স-এ জারিস্কি ঘন হয়। ভেরিয়েন্টগুলি ক্যারাথিওডোরি মেট্রিক জটিল ম্যানিফোল্ডগুলিতে আরেকটি অভ্যন্তরীণ সিউডোমেট্রিক। কোবায়শি অসীম সিউডোমেট্রিক হল একটি ফিন্সলার সিউডোমেট্রিক যার সম্পর্কিত দূরত্ব ফাংশনটি উপরে সংজ্ঞায়িত হিসাবে কোবায়শি সিউডোমেট্রিক। কোবায়শি-আইজেনম্যান ছদ্ম-ভলিউম ফর্মটি একটি জটিল এন-ভাঁজ উপর একটি অভ্যন্তরীণ পরিমাপ, এন-মাত্রিক পলিডিস্ক থেকে এক্স পর্যন্ত হোলোমরফিক মানচিত্রের উপর ভিত্তি করে। এটি কোবায়শি সিউডোমেট্রিকের চেয়ে ভাল বোঝা যায়। বিশেষত, সাধারণ ধরনের প্রতিটি প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্য পরিমাপ-হাইপারবোলিক, যার অর্থ কোবায়শি-আইজেনম্যান ছদ্ম-ভলিউম ফর্মটি একটি নিম্ন-মাত্রিক বীজগাণিতিক উপসেটের বাইরে ধনাত্মক। ফ্ল্যাট অ্যাফিন এবং প্রজেক্টিভ কাঠামোর পাশাপাশি আরও সাধারণ প্রজেক্টিভ সংযোগ এবং কনফরমাল সংযোগের জন্য অ্যানালগাস সিউডোমেট্রিক্স বিবেচনা করা হয়েছে। বিবরণ বীজগাণিতিক জ্যামিতি জটিল বহুগুণিত