Unit interval
গণিতে, একক ব্যবধান হল বদ্ধ ব্যবধান, অর্থাৎ, সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট যা 0 এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 1 এর চেয়ে কম বা সমান। এটি প্রায়শই চিহ্নিত করা হয় (বড় হাতের অক্ষর)। বাস্তব বিশ্লেষণে এর ভূমিকা ছাড়াও, একক ব্যবধানটি টপোলজির ক্ষেত্রে হোমোটপি তত্ত্ব অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হয়। সাহিত্যে, "একক ব্যবধান" শব্দটি কখনও কখনও অন্যান্য আকারের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয় যা 0 থেকে 1 পর্যন্ত ব্যবধান নিতে পারেঃ,, এবং। তবে, স্বরলিপিটি সাধারণত বদ্ধ ব্যবধানের জন্য সংরক্ষিত থাকে। একক ব্যবধান হল একটি সম্পূর্ণ মেট্রিক স্থান, যা বর্ধিত বাস্তব সংখ্যা রেখার সমরূপ। একটি টপোলজিকাল স্থান হিসাবে, এটি সংক্ষিপ্ত, সংকুচিত, পথ সংযুক্ত এবং স্থানীয়ভাবে পথ সংযুক্ত। হিলবার্ট কিউব একক ব্যবধানের গণনাযোগ্যভাবে অনেকগুলি অনুলিপির একটি টপোলজিকাল পণ্য গ্রহণ করে প্রাপ্ত হয়। গাণিতিক বিশ্লেষণে, একক ব্যবধান হল একটি এক-মাত্রিক বিশ্লেষণাত্মক বহুগুণ যার সীমানা দুটি বিন্দু 0 এবং 1 নিয়ে গঠিত। এর স্ট্যান্ডার্ড অভিযোজন 0 থেকে 1 পর্যন্ত যায়। একক ব্যবধানটি একটি সম্পূর্ণ ক্রমযুক্ত সেট এবং একটি সম্পূর্ণ জাল (একক ব্যবধানের প্রতিটি উপসেটের একটি সর্বোচ্চ এবং একটি অসীম থাকে)। কার্ডিনালিটি একটি সেটের আকার বা কার্ডিনালিটি হল এতে থাকা উপাদানগুলির সংখ্যা। একক ব্যবধান হল বাস্তব সংখ্যার একটি উপসেট। যাইহোক, এটির পুরো সেটের মতো একই আকার রয়েছেঃ ধারাবাহিকতার কার্ডিনালিটি। যেহেতু বাস্তব সংখ্যাগুলি একটি অসীম দীর্ঘ রেখা বরাবর বিন্দুগুলির প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, তাই এটি বোঝায় যে 1 দৈর্ঘ্যের একটি রেখা বিভাগের, যা সেই রেখার একটি অংশ, পুরো রেখার সমান সংখ্যক বিন্দু রয়েছে। উপরন্তু, এর আয়তন 1 বর্গক্ষেত্র, আয়তন 1 ঘনক্ষেত্র এবং এমনকি সীমাহীন এন-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের সমান সংখ্যক বিন্দু রয়েছে (স্পেস ফিলিং কার্ভ দেখুন)। উপরে উল্লিখিত সমস্ত সেটের উপাদানের সংখ্যা (বাস্তব সংখ্যা বা বিন্দু) অগণিত, কারণ এটি স্বাভাবিক সংখ্যার সংখ্যার চেয়ে কঠোরভাবে বেশি। অভিমুখীকরণ একক ব্যবধান হল একটি বক্ররেখা। মুক্ত ব্যবধান (0,1) হল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার একটি উপসেট এবং তাদের থেকে একটি অভিযোজন উত্তরাধিকার সূত্রে পাওয়া যায়। যখন 1 থেকে ব্যবধানটি প্রবেশ করা হয় তখন অভিযোজনটি বিপরীত হয়, যেমন ব্যবধানটিতে x-এর জন্য প্রাকৃতিক লগারিদম সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত ইন্টিগ্রালে, এইভাবে এই ধরনের x-এর লগারিদমের জন্য ঋণাত্মক মান প্রদান করে। প্রকৃতপক্ষে, এই ইন্টিগ্রালটি একটি স্বাক্ষরিত এলাকা হিসাবে মূল্যায়ন করা হয় যা সেখানে বিপরীত অভিযোজনের কারণে একক ব্যবধানের উপর ঋণাত্মক এলাকা প্রদান করে। সাধারণীকরণ ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক একক দ্বারা চিহ্নিত দৈর্ঘ্য দুই সহ ব্যবধানটি ঘন ঘন ঘটে, যেমন ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সাইন এবং কোসাইন এবং হাইপারবোলিক ফাংশন টান। এই ব্যবধানটি বিপরীত ফাংশনের ডোমেনের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কখন এই ব্যবধানের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে এবং সেখানে আর্ক্সাইন সংজ্ঞায়িত করা হয়। কখনও কখনও, "একক ব্যবধান" শব্দটি সেই বস্তুগুলিকে বোঝাতে ব্যবহৃত হয় যা হোমোটপি তত্ত্বের ভূমিকার অনুরূপ গণিতের বিভিন্ন শাখায় ভূমিকা পালন করে। উদাহরণস্বরূপ, কুইভার্স তত্ত্বে, একক ব্যবধান হল সেই গ্রাফ যার ভার্টেক্স সেট হল এবং যার একটি একক প্রান্ত e রয়েছে যার উৎস 0 এবং যার লক্ষ্য 1। তারপরে কেউ ক্রমাগত মানচিত্রের মধ্যে সমস্থানিক ধারণার অনুরূপ কুইভার সমরূপতার মধ্যে সমস্থানিকতার একটি ধারণা সংজ্ঞায়িত করতে পারে। যুক্তিতে, একক ব্যবধানকে বুলিয়ান ডোমেইন {0,1}-এর সাধারণীকরণ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যে ক্ষেত্রে শুধুমাত্র 0 বা 1 মান নেওয়ার পরিবর্তে, 0 এবং 1 সহ যে কোনও মান অনুমান করা যেতে পারে। বীজগাণিতিকভাবে, নেতিবাচকতা (NOT) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়; সংযোগ (AND) গুণন () দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়; এবং ডি মরগানের সূত্র অনুসারে বিচ্ছিন্নতা (OR) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই মানগুলিকে যৌক্তিক সত্য মান হিসাবে ব্যাখ্যা করলে একটি বহু-মূল্যবান যুক্তি পাওয়া যায়, যা অস্পষ্ট যুক্তি এবং সম্ভাব্য যুক্তির ভিত্তি তৈরি করে। এই ব্যাখ্যাগুলিতে, একটি মানকে সত্যের "মাত্রা" হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়-একটি প্রস্তাব কতটা সত্য, বা প্রস্তাবটি সত্য হওয়ার সম্ভাবনা। আরও দেখুন ইন্টারভাল নোটেশন ইউনিট স্কোয়ার, কিউব, সার্কেল, হাইপারবোলা এবং গোলক ইউনিট ইমপালস ইউনিট ভেক্টর রেফারেন্স রবার্ট জি বার্টল, 1964, দ্য এলিমেন্টস অফ রিয়েল অ্যানালাইসিস, জন উইলি অ্যান্ড সন্স। বাস্তব সংখ্যার সেট 1 (সংখ্যা) টপোলজি