Weierstrass factorization theorem
গণিতে, এবং বিশেষ করে জটিল বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে, ওয়েয়ারস্ট্রাস ফ্যাক্টরাইজেশন উপপাদ্য দাবি করে যে প্রতিটি সম্পূর্ণ ফাংশনকে তার শূন্যের সাথে জড়িত একটি (সম্ভবত অসীম) গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। উপপাদ্যটিকে বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের একটি সম্প্রসারণ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা দাবি করে যে প্রতিটি বহুপদকে রৈখিক ফ্যাক্টরগুলিতে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে, প্রতিটি মূলের জন্য একটি। কার্ল ওয়েয়ারস্ট্রাসের নামে নামকরণ করা এই উপপাদ্যটি একটি দ্বিতীয় ফলাফলের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত যে অনন্তের দিকে প্রবণ প্রতিটি ক্রমের সেই ক্রমের সুনির্দিষ্ট বিন্দুতে শূন্যের সাথে একটি সম্পর্কিত সম্পূর্ণ ফাংশন রয়েছে। উপপাদ্যটির একটি সাধারণীকরণ এটিকে মেরোমর্ফিক ফাংশনে প্রসারিত করে এবং একটি প্রদত্ত মেরোমর্ফিক ফাংশনকে তিনটি কারণের গুণফল হিসাবে বিবেচনা করার অনুমতি দেয়ঃ ফাংশনের শূন্য এবং মেরুর উপর নির্ভরশীল পদ এবং একটি সম্পর্কিত অ-শূন্য হোলোমর্ফিক ফাংশন। অনুপ্রেরণা এটি স্পষ্ট যে জটিল সমতলে যে কোনও সীমাবদ্ধ বিন্দুর সেটের একটি সম্পর্কিত বহুপদী রয়েছে যার শূন্যগুলি সঠিকভাবে সেই সেটের বিন্দুতে থাকে। বিপরীতটি বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের একটি পরিণতিঃ জটিল সমতলে যে কোনও বহুপদী ফাংশনের একটি ফ্যাক্টরাইজেশন থাকে যেখানে এটি একটি অ-শূন্য ধ্রুবক এবং এর শূন্যের সেট। ওয়েয়ারস্ট্রাস ফ্যাক্টরাইজেশন উপপাদ্যের দুটি রূপকে উপরের সমস্ত ফাংশনের সম্প্রসারণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। পণ্যটিতে অতিরিক্ত পদের প্রয়োজনীয়তা প্রদর্শিত হয় যখন কেউ বিবেচনা করে যে কোথায় ক্রমটি সীমাবদ্ধ নয়। এটি কখনই একটি সম্পূর্ণ ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে না, কারণ অসীম গুণফল একত্রিত হয় না। সুতরাং, সাধারণভাবে, কেউ নির্ধারিত শূন্যের ক্রম থেকে একটি সম্পূর্ণ ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে না বা বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য দ্বারা প্রাপ্ত অভিব্যক্তিগুলি ব্যবহার করে তার শূন্য দ্বারা একটি সম্পূর্ণ ফাংশনকে উপস্থাপন করতে পারে না। প্রশ্নযুক্ত অসীম গুণফলের একত্রীকরণের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল যে প্রতিটি z-এর জন্য, গুণকগুলিকে অবশ্যই 1-এর কাছাকাছি পৌঁছাতে হবে। সুতরাং এটি যুক্তিসঙ্গত যে একজনের এমন একটি ফাংশন সন্ধান করা উচিত যা একটি নির্ধারিত বিন্দুতে 0 হতে পারে, তবে সেই সময়ে না থাকলে 1 এর কাছাকাছি থাকা উচিত এবং উপরন্তু নির্ধারিতগুলির চেয়ে বেশি শূন্য প্রবর্তন করা উচিত নয়। ওয়েয়ারস্ট্রাসের প্রাথমিক কারণগুলির এই বৈশিষ্ট্যগুলি রয়েছে এবং উপরের কারণগুলির মতো একই উদ্দেশ্য সাধন করে। প্রাথমিক কারণগুলি ফর্মের কার্যকারিতা বিবেচনা করে। এ, তারা মূল্যায়ন করে এবং পর্যন্ত একটি সমতল ঢাল থাকে। এর ঠিক পরে, তারা তীব্রভাবে কিছু ছোট ইতিবাচক মানের দিকে নেমে যায়। বিপরীতে, সেই ফাংশনটি বিবেচনা করুন যার কোনও সমতল ঢাল নেই কিন্তু, এ, ঠিক শূন্যে মূল্যায়ন করে। এছাড়াও মনে রাখবেন যে, [ফাইলঃ First_5_Weierstrass_factors_on_the_unit_interval.svg |thumb |right |alt = একক ব্যবধানের প্রথম 5টি ওয়েয়ারস্ট্রাস ফ্যাক্টর. |Plot এর জন্য n = 0,., 4 এবং x-এর জন্য [-1,1]] প্রাথমিক কারণগুলি, যা প্রাথমিক কারণ হিসাবেও উল্লেখ করা হয়, সেই ফাংশনগুলি যা শূন্য ঢাল এবং শূন্য মানের বৈশিষ্ট্যগুলিকে একত্রিত করে (গ্রাফিক দেখুন): এবং, কেউ এটিকে হিসাবে প্রকাশ করতে পারে এবং সেই বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে প্রয়োগ করা হয় তা পড়তে পারে। প্রাথমিক কারণগুলির উপযোগিতা নিম্নলিখিত সংজ্ঞাগুলির মধ্যে রয়েছেঃ লেম্মা (15.8, রুডিন) এর জন্য, উপপাদ্যটির দুটি রূপ নির্দিষ্ট শূন্য সহ সমগ্র ফাংশনের অস্তিত্ব ধরা যাক অ-শূন্য জটিল সংখ্যার একটি ক্রম যাতে। যদি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার কোনও ক্রম এমন হয় যে সকলের জন্য, তবে ফাংশনটি শুধুমাত্র বিন্দুতে শূন্য সহ সম্পূর্ণ হয়। যদি একটি সংখ্যা ক্রমানুসারে সঠিক সময়ে ঘটে, তবে ফাংশনের গুণগত মান শূন্য হয়। উপপাদ্যের বিবৃতির ক্রম সর্বদা বিদ্যমান থাকে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা সবসময় কনভারজেন্স নিতে এবং রাখতে পারি। এই ধরনের ক্রম অনন্য নয়ঃ সীমাবদ্ধ সংখ্যক অবস্থানে এটি পরিবর্তন করা, বা অন্য কোনও ক্রম গ্রহণ করা, অভিসরণকে ভেঙে দেবে না। উপপাদ্যটি নিম্নলিখিতগুলিকে সাধারণীকরণ করেঃ রিমান গোলকের উন্মুক্ত উপসেটগুলিতে (এবং তাই অঞ্চলগুলিতে) ক্রমগুলির সংশ্লিষ্ট ফাংশন রয়েছে যা সেই উপসেটগুলিতে হোলোমরফিক এবং ক্রমের বিন্দুতে শূন্য রয়েছে। এছাড়াও বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত কেসটি এখানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। যদি ক্রমটি সীমাবদ্ধ হয় তবে আমরা নিতে এবং পেতে পারিঃ ওয়েইয়ারস্ট্রাস ফ্যাক্টরাইজেশন উপপাদ্যটি ধরা যাক একটি সম্পূর্ণ ফাংশন, এবং গুণিতক অনুসারে পুনরাবৃত্তির অ-শূন্য হতে দিন; ধরুন এটিরও একটি শূন্য ক্রমানুসারে রয়েছে। তারপর একটি সম্পূর্ণ ফাংশন এবং পূর্ণসংখ্যার একটি ক্রম বিদ্যমান যেমন ফ্যাক্টরাইজেশনের উদাহরণ ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সাইন এবং কোসাইনের ফ্যাক্টরাইজেশন রয়েছে যেখানে গামা ফাংশনের ফ্যাক্টরাইজেশন রয়েছে যেখানে ইউলার-মাসচেরোনি ধ্রুবক। কোসাইন আইডেন্টিটিকে ফর-এর বিশেষ কেস হিসাবে দেখা যেতে পারে। হ্যাডামার্ড ফ্যাক্টরাইজেশন উপপাদ্য হ্যাডামার্ড ক্যানোনিকাল ফ্যাক্টরগুলি সংজ্ঞায়িত করুন সসীম ক্রমের সমস্ত ফাংশনের হ্যাডামার্ডের ক্যানোনিকাল উপস্থাপনা রয়েছেঃ যেখানে সেই মূলগুলি শূন্য () নয়, এটি শূন্যের ক্রম (কেসটিকে অর্থ হিসাবে নেওয়া হচ্ছে), একটি বহুপদী (যার ডিগ্রি আমরা ডাকব), এবং এটি ক্ষুদ্রতম অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা যাতে সিরিজটি একত্রিত হয়। অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে সমগ্র ফাংশনের গণ বলা হয়। এই স্বরলিপিতে, অন্য কথায়ঃ যদি ক্রমটি একটি পূর্ণসংখ্যা না হয়, তবে এটি এর পূর্ণসংখ্যা অংশ। যদি ক্রমটি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে দুটি সম্ভাবনা রয়েছেঃ বা। উদাহরণস্বরূপ, এবং গণের সম্পূর্ণ ফাংশন। এছাড়াও মিট্টাগ-লেফলারের উপপাদ্য ওয়ালিস পণ্য দেখুন, যা সাইন ফাংশনে প্রয়োগ করা এই উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত হতে পারে।