Union (set theory)
সেট তত্ত্বে, সেটের একটি সংগ্রহের ইউনিয়ন (≤ দ্বারা চিহ্নিত) হল সংগ্রহের সমস্ত উপাদানের সেট। এটি মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলির মধ্যে একটি যার মাধ্যমে সেটগুলিকে একত্রিত করা যায় এবং একে অপরের সাথে সম্পর্কিত করা যায়। A বলতে শূন্য () সেটের মিলনকে বোঝায় এবং সংজ্ঞা অনুসারে এটি খালি সেটের সমান। এই নিবন্ধে ব্যবহৃত প্রতীকগুলির ব্যাখ্যার জন্য, গাণিতিক প্রতীকগুলির তালিকাটি দেখুন। দুটি সেটের মিলন A এবং B দুটি সেটের মিলন হল উপাদানগুলির সেট যা A, B, বা A এবং B উভয় ক্ষেত্রেই রয়েছে। সেট-বিল্ডার নোটেশনে,। উদাহরণস্বরূপ, যদি A = {1,3,5,7} এবং B = {1,2,4,6,7} হয় তবে A ≤ B = {1,2,3,4,5,6,7}। আরও একটি বিস্তৃত উদাহরণ (দুটি অসীম সেটের সাথে জড়িত) হলঃ A = {x হল 1-এর চেয়ে বড় জোড় পূর্ণসংখ্যা} B = {x হল 1-এর চেয়ে বড় একটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা] আরেকটি উদাহরণ হিসাবে, 9 সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যার সেট {2,3,5,7,11,.} এবং জোড় সংখ্যার সেট {2,4,6,8,10,.}-এর সংযোগে অন্তর্ভুক্ত নয়, কারণ 9টি মৌলিক বা জোড় নয়। সেটগুলিতে ডুপ্লিকেট উপাদান থাকতে পারে না, তাই সেটগুলির মিলন {1,2,3} এবং {2,3,4} হল {1,2,3,4}। অভিন্ন উপাদানগুলির একাধিক ঘটনা একটি সেট বা তার বিষয়বস্তুর প্রধানত্বের উপর কোনও প্রভাব ফেলে না। বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্য বাইনারি ইউনিয়ন একটি সহযোগী ক্রিয়া; অর্থাৎ, যে কোনও সেটের জন্য। সুতরাং, বন্ধনীগুলি অস্পষ্টতা ছাড়াই বাদ দেওয়া যেতে পারেঃ উপরের যে কোনও একটি হিসাবে লেখা যেতে পারে। ফাঁকা সেটটি ইউনিয়ন পরিচালনার জন্য একটি পরিচয় উপাদান। অর্থাৎ, যে কোনও সেটের জন্য, ইউনিয়ন অপারেশনটি আদর্শঃ এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য যৌক্তিক বিচ্ছিন্নতা সম্পর্কে অনুরূপ তথ্য থেকে অনুসরণ করে। ছেদটি সংযোগের উপর বিতরণ করে এবং সংযোগটি ছেদটির উপর বিতরণ করে সংযোগ, ছেদ এবং পরিপূরক দ্বারা প্রদত্ত ক্রিয়াকলাপগুলির সাথে একটি সেটের পাওয়ার সেট হল একটি বুলিয়ান বীজগণিত। এই বুলিয়ান বীজগণিতে, সংযোগটি ছেদ এবং পরিপূরকের পরিপ্রেক্ষিতে সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে সুপারস্ক্রিপ্ট সর্বজনীন সেট ফাইনাইট ইউনিয়নগুলিতে পরিপূরককে বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, তিনটি সেট এ, বি এবং সি-এর সংমিশ্রণে এ-এর সমস্ত উপাদান, বি-এর সমস্ত উপাদান এবং সি-এর সমস্ত উপাদান রয়েছে এবং অন্য কিছু নয়। সুতরাং, x হল A ≤ B ≤ C-এর একটি উপাদান যদি এবং শুধুমাত্র যদি x কমপক্ষে A, B এবং C-এর একটিতে থাকে। একটি সসীম মিলন হল সসীম সংখ্যক সেটের মিলন; বাক্যাংশটি বোঝায় না যে ইউনিয়ন সেটটি একটি সসীম সেট। আর্বিট্রারি ইউনিয়ন সবচেয়ে সাধারণ ধারণা হল সেটগুলির একটি নির্বিচারে সংগ্রহের মিলন, যাকে কখনও কখনও একটি অসীম ইউনিয়ন বলা হয়। যদি M একটি সেট বা শ্রেণী হয় যার উপাদানগুলি সেট হয়, তবে x হল M-এর মিলনের একটি উপাদান যদি এবং শুধুমাত্র যদি M-এর কমপক্ষে একটি উপাদান A থাকে যাতে x হল A-এর একটি উপাদান। প্রতীকেঃ এই ধারণাটি পূর্ববর্তী বিভাগগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে-উদাহরণস্বরূপ, A ≤ B ≤ C হল {A, B, C} সংগ্রহের মিলন। এছাড়াও, যদি এম খালি সংগ্রহ হয়, তবে এম এর মিলন হল খালি সেট। নোটেশন সাধারণ ধারণার জন্য নোটেশন উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হতে পারে। সেটগুলির একটি সীমাবদ্ধ মিলনের জন্য একজন প্রায়শই বা লেখেন। নির্বিচারে সংযোগের জন্য বিভিন্ন সাধারণ স্বরলিপির মধ্যে রয়েছে, এবং। এই স্বরলিপির মধ্যে শেষটি সংগ্রহের সংযোগকে বোঝায়, যেখানে I একটি সূচক সেট এবং প্রত্যেকটির জন্য একটি সেট। যদি সূচক সেট I প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট হয়, তবে একটি স্বরলিপি ব্যবহার করে, যা সিরিজের অসীম যোগফলের অনুরূপ। যখন প্রতীক "¥" অন্যান্য প্রতীকগুলির আগে স্থাপন করা হয় (তাদের মধ্যে পরিবর্তে), এটি সাধারণত একটি বড় আকার হিসাবে রেন্ডার করা হয়। নোটেশন এনকোডিং ইউনিকোডে, ইউনিয়ন অক্ষর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। টেক্স-এ, কাপ থেকে রেন্ডার করা হয় এবং বিগকাপ থেকে রেন্ডার করা হয়। আরও দেখুন-সেট তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ সূত্র থেকে আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণিত প্রোভেনম্যাথ ডি মরগানের সূত্রগুলিতে বাহ্যিক সংযোগগুলি অসীম ইউনিয়ন এবং ছেদ। বুলিয়ান বীজগণিত সেট তত্ত্বে মৌলিক ধারণাগুলি সেট তত্ত্বে ক্রিয়াকলাপ সেট তত্ত্ব