Cusp neighborhood
গণিতে, একটি কুস্প প্রতিবেশীকে একটি কুস্প এককত্বের কাছাকাছি বিন্দুর একটি সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি রিম্যান পৃষ্ঠের জন্য কুস্প প্রতিবেশী একটি হাইপারবোলিক রিম্যান পৃষ্ঠের জন্য কুস্প প্রতিবেশীকে তার ফুচসিয়ান মডেলের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ধরুন, ফুচসিয়ান গ্রুপ জি-তে একটি প্যারাবলিক উপাদান রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, উপাদান টি ω SL (2, Z) যেখানে একটি প্যারাবলিক উপাদান। লক্ষ্য করুন যে এসএল (2, সি)-এর সমস্ত প্যারাবলিক উপাদান এই উপাদানটির সাথে সংযুক্ত। অর্থাৎ, যদি g ω SL (2, Z) প্যারাবোলিক হয়, তবে কিছু h ω SL (2, Z) এর জন্য। যে সেটটিতে H হল উপরের অর্ধ-তল যেখানে যে কোনও জায়গায় রয়েছে তার অর্থ g দ্বারা উত্পন্ন গ্রুপ। অর্থাৎ, γ U-এর উপর সঠিকভাবে বিচ্ছিন্নভাবে কাজ করে। এই কারণে, এটি দেখা যায় যে H/G-এর উপর U-এর অভিক্ষেপ এইভাবে হয়। এখানে, E-কে বলা হয় g-এর সাথে সম্পর্কিত কুস্পের প্রতিবেশী। লক্ষ্য করুন যে E-এর হাইপারবোলিক এলাকা ঠিক 1, যখন ক্যানোনিকাল পয়েনকারে মেট্রিক ব্যবহার করে গণনা করা হয়। এটি উদাহরণ দ্বারা সবচেয়ে সহজেই দেখা যায়ঃ মডুলার গ্রুপের মৌলিক ডোমেনের সাথে উপরে সংজ্ঞায়িত U-এর ছেদ বিবেচনা করুন, যা প্যারাবলিক উপাদান হিসাবে T-কে বেছে নেওয়ার জন্য উপযুক্ত হবে। ভলিউম উপাদানের উপর একত্রিত করা হলে ফলাফলটি তুচ্ছভাবে 1 হয়। সংমিশ্রণের অধীনে এলাকার অপরিবর্তিতা দ্বারা সমস্ত কুস্প পাড়ার অঞ্চলগুলি এর সমান। তথ্যসূত্র হাইপারবোলিক জ্যামিতি রিমান পৃষ্ঠতল