Ptolemy's theorem
ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে, টলেমির উপপাদ্যটি একটি চক্রাকার চতুর্ভুজের (একটি চতুর্ভুজ যার শীর্ষগুলি একটি সাধারণ বৃত্তে অবস্থিত) চারটি দিক এবং দুটি তির্যকের মধ্যে একটি সম্পর্ক। এই উপপাদ্যটি গ্রীক জ্যোতির্বিজ্ঞানী এবং গণিতবিদ টলেমির (ক্লডিয়াস টলেমিউস) নামে নামকরণ করা হয়েছে। টলেমি এই উপপাদ্যটি তাঁর কর্ডের টেবিল তৈরি করতে সহায়তা হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন, একটি ত্রিকোণমিতিক টেবিল যা তিনি জ্যোতির্বিজ্ঞানে প্রয়োগ করেছিলেন। যদি চক্রাকার চতুর্ভুজের শীর্ষগুলি ক্রমানুসারে এ, বি, সি এবং ডি হয়, তবে উপপাদ্যটি বলে যেঃ এই সম্পর্কটি মৌখিকভাবে নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যদি একটি চতুর্ভুজ চক্রাকার হয় তবে তার তির্যকগুলির দৈর্ঘ্যের গুণফল বিপরীত পক্ষের জোড়াগুলির দৈর্ঘ্যের গুণফলের যোগফলের সমান। অধিকন্তু, টলেমির উপপাদ্যের বিপরীতটিও সত্যঃ একটি চতুর্ভুজে, যদি তার দুই জোড়া বিপরীত পক্ষের দৈর্ঘ্যের গুণফলের যোগফল তার তির্যকগুলির দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান হয়, তবে চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তে খোদাই করা যেতে পারে অর্থাৎ। এটি একটি চক্রাকার চতুর্ভুজ। লিখিত বহুভুজ সমবাহু ত্রিভুজ টলেমির উপপাদ্য একটি বৃত্তের মধ্যে খোদাই করা একটি সমবাহু ত্রিভুজ সম্পর্কে একটি সুন্দর উপপাদ্য প্রদান করে। একটি বৃত্তের উপর একটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং বৃত্তের উপর একটি বিন্দু খোদাই করা থাকে। ত্রিভুজের বিন্দু থেকে সবচেয়ে দূরবর্তী শীর্ষে দূরত্ব হল বিন্দু থেকে দুটি নিকটবর্তী শীর্ষে দূরত্বের সমষ্টি। প্রমাণঃ টলেমির উপপাদ্য থেকে অবিলম্বে অনুসরণ করা হয়ঃ যে কোনও বর্গক্ষেত্র এমন একটি বৃত্তে খোদাই করা যেতে পারে যার কেন্দ্রটি বর্গক্ষেত্রের কেন্দ্র। যদি এর চারটি দিকের সাধারণ দৈর্ঘ্য সমান হয় তবে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে তির্যকের দৈর্ঘ্য সমান হয় এবং টলেমির সম্পর্ক স্পষ্টতই ধরে রাখে। আয়তক্ষেত্র আরও সাধারণভাবে, যদি চতুর্ভুজটি a এবং b বাহু এবং তির্যক d সহ একটি আয়তক্ষেত্র হয় তবে টলেমির উপপাদ্যটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যতে হ্রাস পায়। এই ক্ষেত্রে বৃত্তের কেন্দ্রটি তির্যকগুলির ছেদ বিন্দুর সাথে মিলে যায়। তখন তির্যকগুলির গুণফল হল d2, টলেমির সম্পর্কের ডানদিকের যোগফল হল a2 + b2। কোপারনিকাস-যিনি তাঁর ত্রিকোণমিতি রচনায় টলেমির উপপাদ্যটি ব্যাপকভাবে ব্যবহার করেছিলেন-এই ফলাফলটিকে 'পোরিজম' বা স্ব-স্পষ্ট উপপাদ্য হিসাবে উল্লেখ করেছেনঃ উপরন্তু এটি স্পষ্ট (ম্যানিফেস্টাম ইস্ট) যে যখন একটি চাপকে জমা দেওয়া কর্ডটি দেওয়া হয়েছে, তখন সেই কর্ডটিও পাওয়া যেতে পারে যা অর্ধবৃত্তের বাকি অংশকে প্রসারিত করে। পেন্টাগন একটি আরও আকর্ষণীয় উদাহরণ হল একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের 5টি কর্ডের পাশের দৈর্ঘ্য a এবং (সাধারণ) দৈর্ঘ্য b-এর মধ্যে সম্পর্ক। বর্গটি সম্পূর্ণ করার মাধ্যমে, সম্পর্কটি সুবর্ণ অনুপাত অর্জন করেঃ দশকোণের দিক যদি এখন ব্যাস এএফ ডিসি-কে দ্বিখণ্ডিত করে টানা হয় যাতে ডিএফ এবং সিএফ একটি খোদাই করা দশকোণের দিক সি হয়, তাহলে টলেমির উপপাদ্যটি আবার প্রয়োগ করা যেতে পারে-এবার ঘূর্ণায়মান চতুর্ভুজ এ. ডি. এফ. সি-তে যার ব্যাস ডি তার একটি তির্যক হিসাবেঃ যেখানে সুবর্ণ অনুপাত। যেখান থেকে খোদাই করা ডেকাগনের পাশটি বৃত্তের ব্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে পাওয়া যায়। পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি ডান ত্রিভুজ এ. এফ. ডি-তে প্রয়োগ করা হলে ব্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে "বি" পাওয়া যায় এবং "এ" পঞ্চভুজের দিকটি পরে গণনা করা হয় যেমন কোপার্নিকাস (টলেমির পরে) লিখেছেন, "একটি বৃত্তের ব্যাস দেওয়া হচ্ছে, ত্রিভুজ, টেট্রাগন, পঞ্চভুজ, ষড়ভুজ এবং ডেকাগনের দিকগুলিও দেওয়া হয়েছে, যা একই বৃত্তটি পরিবেষ্টিত করে।" প্রুফস ভিজ্যুয়াল প্রুফ এখানে অ্যানিমেশন ডেরিক অ্যান্ড হার্স্টাইনের (2012) উপর ভিত্তি করে টলেমির উপপাদ্যের একটি দৃশ্যমান প্রদর্শন দেখায়। ত্রিভুজের সাদৃশ্য প্রমাণ ABCD একটি চক্রাকার চতুর্ভুজ হতে দিন। বিসি কর্ডের উপর, খোদাই করা কোণগুলি  anth BAC =  anth BDC, এবং এবি-তে,  anth ADB =  anth ACB। এসি-তে কে-কে এমনভাবে গঠন করুন যাতে  anth ABK =  anth CBD; যেহেতু  anth ABK +  anth CBK =  anth ABC =  anth CBD +  anth ABD,  anth CBK =  anth ABD। এখন, সাধারণ কোণ দ্বারা τ ABK হল τ DBC-এর অনুরূপ, এবং একইভাবে τ ABD হল τ KBC-এর অনুরূপ। এইভাবে একে/এবি = সিডি/বিডি, এবং সিকে/বিসি = ডিএ/বিডি; সমতুল্যভাবে, একে. বিডি = এবি. সিডি, এবং সিকে. বিডি = বিসি. ডিএ। দুটি সমতা যোগ করে আমাদের কাছে রয়েছে AK ⋅ BD + CK ⋅ BD = AB ⋅ CD + BC ⋅ DA, এবং এটিকে ফ্যাক্টরাইজ করলে (AK + CK) · BD = AB ⋅ CD + BC ⋅ DA পাওয়া যায়। কিন্তু এ কে + সিকে = এসি, তাই এসি ⋅ বিডি = এবি ⋅ সিডি + বিসি ⋅ ডিএ, কিউ. ই. ডি। লিখিত প্রমাণ শুধুমাত্র সাধারণ চক্রাকার চতুর্ভুজের জন্য বৈধ। যদি চতুর্ভুজটি স্ব-ক্রসিং হয় তবে কে লাইন সেগমেন্ট এসি-র বাইরে অবস্থিত হবে। কিন্তু এই ক্ষেত্রে, এ কে − সিকে = ±এসি, প্রত্যাশিত ফলাফল প্রদান করে। ত্রিকোণমিতি পরিচয়ের দ্বারা প্রমাণ ধরা যাক খোদাই করা কোণগুলি যথাক্রমে, এবং এবং, এবং, এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ, তারপর আমাদের আছে,,, এবং, এবং প্রমাণিত মূল সমতা রূপান্তরিত হয় যা থেকে সমীকরণের উভয় পক্ষকে ভাগ করে ফ্যাক্টরটি অদৃশ্য হয়ে গেছে। এখন যোগফল সূত্র ব্যবহার করে, এবং, এটি দেখানো তুচ্ছ যে উপরের সমীকরণের উভয় দিকই কিউ. ই. ডি-র সমান। এখানে প্রাথমিক ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করে আরেকটি, সম্ভবত আরও স্বচ্ছ প্রমাণ রয়েছে। একই বৃত্তে খোদাই করা একটি নতুন চতুর্ভুজ সংজ্ঞায়িত করুন, যেখানে একই কর্ডের উপর অবস্থিত, এবং, দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। তারপর, একই প্রান্তের দৈর্ঘ্য থাকে, এবং ফলস্বরূপ একই খোদাই করা কোণগুলি সংশ্লিষ্ট প্রান্তগুলি দ্বারা কেবল একটি ভিন্ন ক্রমে থাকে। অর্থাৎ, এবং, জন্য, এবং যথাক্রমে। এছাড়াও, এবং একই এলাকা আছে। তারপর, কিউ. ই. ডি। বিপরীতমুখী প্রমাণ ডি-কে কেন্দ্র করে ব্যাসার্ধের একটি সহায়ক বৃত্ত বেছে নিন যার সাপেক্ষে এ. বি. সি. ডি-র বৃত্তটি একটি রেখায় উল্টে যায় (চিত্র দেখুন)। তারপর তারপর এবং যথাক্রমে হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। প্রতিটি শব্দকে গুণ করলে এবং ব্যবহার করলে টলেমির সমতা পাওয়া যায়। কিউ. ই. ডি. লক্ষ্য করুন যে চতুর্ভুজটি যদি চক্রীয় না হয় তবে এ ', বি' এবং সি 'একটি ত্রিভুজ গঠন করে এবং তাই এ' বি '+ বিসি'> এসি ', যা আমাদের টলেমির বৈষম্যের একটি খুব সহজ প্রমাণ দেয় যা নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে। জটিল সংখ্যা ব্যবহার করে প্রমাণ চারটি স্বতন্ত্র বিন্দু হিসাবে চিহ্নিত করে এ. বি. সি. ডি সন্নিবেশ করান। ক্রস অনুপাত নির্ধারণ করুন। তারপর সমতার সঙ্গে যদি এবং শুধুমাত্র যদি। এটি সাধারণত টলেমির বৈষম্যকে প্রমাণ করে, কারণ এটি শুধুমাত্র একটি বৃত্তের উপর ধারাবাহিকভাবে সাজানো থাকে (সম্ভবত অসীম ব্যাসার্ধের, অর্থাৎ। একটি লাইন) যদি এবং শুধুমাত্র যদি। একটি জটিল সংখ্যার মেরু রূপ থেকে, এটি শেষ সমতা ধারণের সাথে অনুসরণ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এ. বি. সি. ডি চক্রীয় হয়, যেহেতু একটি চতুর্ভুজ চক্রীয় হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি বিপরীত কোণগুলির যোগফল হয়। কিউ. ই. ডি. লক্ষ্য করুন যে এই প্রমাণটি সমতুল্যভাবে পর্যবেক্ষণ করে তৈরি করা হয়েছে যে এ. বি. সি. ডি-এর চক্রিকতা, অর্থাৎ। সম্পূরকতা এবং, শর্তের সমতুল্য; বিশেষত একটি ঘূর্ণন রয়েছে যার মধ্যে এটি 0 (অর্থাৎ। তিনটি গুণফলই ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা), এবং যার দ্বারা টলেমির উপপাদ্যটি সরল বীজগাণিতিক পরিচয় থেকে সরাসরি প্রতিষ্ঠিত হয় উপপাদ্য একক ব্যাসের একটি বৃত্তের ক্ষেত্রে যে কোনও চক্রীয় চতুর্ভুজ এ. বি. সি. ডি-র দিকগুলি সংখ্যাসূচকভাবে কোণগুলির সাইনগুলির সমান এবং যা তারা জমা করে। একইভাবে তির্যকগুলি যে কোনও জোড়া কোণের যোগফলের সাইন-এর সমান। এরপর আমরা নিম্নলিখিত ত্রিকোণমিতি আকারে টলেমির উপপাদ্যটি লিখতে পারিঃ নিম্নোক্ত কোণগুলিতে নির্দিষ্ট কিছু শর্ত প্রয়োগ করা এবং উপরেরটিকে আমাদের প্রারম্ভিক বিন্দু হিসাবে ব্যবহার করে বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য আহরণ করা সম্ভব। এরপরে যা ঘটে তা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে কোণগুলির যোগফল। করোলারি 1। পিথাগোরাসের উপপাদ্য যাক এবং। তারপর (যেহেতু একটি চক্রাকার চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরিপূরক)। তারপরঃ করোলারি 2। কোসাইনের আইন যাক। করোলারি 1-এর আয়তক্ষেত্রটি এখন সমান তির্যক এবং সমান দিকের একটি জোড়া সহ একটি প্রতিসম ট্র্যাপিজিয়াম। সমান্তরাল দিকগুলি একক দ্বারা দৈর্ঘ্যে পৃথক হয় যেখানেঃ এই ক্ষেত্রে টলেমির উপপাদ্যের আদর্শ বিবৃতিতে ফিরে আসা সহজ হবেঃ ত্রিভুজ ABC-এর জন্য কোসাইন নিয়ম। করোলারি 3। যৌগিক কোণ সাইন (+) ধরা যাক তারপর, সুতরাং, যৌগিক কোণ সাইন (+)-এর সূত্র। করোলারি 4। যৌগিক কোণ sine (−) ধরা যাক। তারপর। অতএব, যৌগিক কোণের সূত্র সাইন (−)। এই ব্যুৎপত্তিটি আলমাজেস্টে টলেমির পরে কোপার্নিকাস দ্বারা বর্ণিত তৃতীয় উপপাদ্যের সাথে মিলে যায়। বিশেষ করে যদি একটি পঞ্চভুজের পার্শ্ব (পরিধিতে 36° হ্রাস) এবং একটি ষড়ভূজের (পরিধিতে 30° হ্রাস) দেওয়া হয়, তবে 6° হ্রাস একটি কর্ড গণনা করা যেতে পারে। কর্ডের টেবিল গণনা করার প্রাচীন পদ্ধতিতে এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপ ছিল। করোলারি 5। যৌগিক কোণ কোসাইন (+) এই উপপাদ্যটি পঞ্চম উপপাদ্যের মূল অংশ যা আলমাজেস্টে টলেমির পরে কোপার্নিকাস দ্বারা লিপিবদ্ধ করা হয়েছে। যাক। তারপর। সুতরাং যৌগিক কোণের সূত্র কোসাইন (+) আমাদের আধুনিক ত্রিকোণমিতি স্বরলিপির দক্ষতার অভাব থাকা সত্ত্বেও, উপরের উপপাদ্যগুলি থেকে এটা স্পষ্ট হওয়া উচিত যে টলেমির উপপাদ্য (বা আরও সহজভাবে দ্বিতীয় উপপাদ্য)-এ প্রাচীন বিশ্বের একটি অত্যন্ত নমনীয় এবং শক্তিশালী ত্রিকোণমিতি সরঞ্জাম ছিল যা সেই সময়ের কোগনোসেন্টিকে কর্ডগুলির সঠিক সারণী (সাইনগুলির সারণির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ) আঁকতে এবং মহাবিশ্বকে বোঝার এবং মানচিত্র করার প্রচেষ্টায় এগুলি ব্যবহার করতে সক্ষম করেছিল। যেহেতু টলেমির তিন শতাব্দী আগে হিপার্কাস কর্ডের টেবিল তৈরি করেছিলেন, তাই আমাদের অবশ্যই ধরে নিতে হবে যে তিনি 'দ্বিতীয় উপপাদ্য' এবং এর ব্যুৎপত্তি সম্পর্কে জানতেন। প্রাচীন জ্যোতির্বিজ্ঞানীদের পথ অনুসরণ করে, ইতিহাস আলেকজান্দ্রিয়ার টিমোচারিসের নক্ষত্র তালিকা নথিভুক্ত করে। যদি, সম্ভবত, এই ধরনের ক্যাটালগগুলির সংকলনের জন্য 'দ্বিতীয় উপপাদ্য' বোঝার প্রয়োজন হয়, তবে পরেরটির প্রকৃত উৎস প্রাচীনকালের কুয়াশার মধ্যে অদৃশ্য হয়ে যায় তবে এটি অনুমান করা অযৌক্তিক হতে পারে না যে প্রাচীন মিশরের জ্যোতির্বিজ্ঞানী, স্থপতি এবং নির্মাণ প্রকৌশলীদের এটি সম্পর্কে কিছু জ্ঞান থাকতে পারে। টলেমির অসমতা টলেমির উপপাদ্যের সমীকরণটি অ-চক্রীয় চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে কখনই সত্য নয়। টলেমির অসমতা এই সত্যের একটি সম্প্রসারণ, এবং এটি টলেমির উপপাদ্যের আরও সাধারণ রূপ। এটি বলে যে, একটি চতুর্ভুজ এ. বি. সি. ডি দেওয়া হলে, যেখানে সমতা বজায় থাকে যদি এবং কেবলমাত্র চতুর্ভুজটি চক্রীয় হয়। এই বিশেষ কেসটি টলেমির উপপাদ্যের সমতুল্য। টলেমির উপপাদ্যটি তির্যকগুলির অনুপাত সম্পর্কে সম্পর্কিত উপপাদ্যটি পার্শ্বগুলি জেনে তির্যকগুলির (একটি চক্রাকার চতুর্ভুজের) গুণফল দেয়, নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি তির্যকগুলির অনুপাতের জন্য একই ফল দেয়। প্রমাণঃ এটি জানা যায় যে ব্যাসের একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলঃ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলকে একই পরিবেষ্টিত বৃত্ত ভাগ করে নেওয়া দুটি ত্রিভুজের যোগফল হিসাবে লিখে, আমরা প্রতিটি পচনের জন্য দুটি সম্পর্ক পাই। সমতুল্য করে, আমরা ঘোষিত সূত্রটি পাই। ফলস্বরূপঃ তির্যকগুলির গুণফল এবং অনুপাত উভয়ই জেনে আমরা তাদের তাৎক্ষণিক অভিব্যক্তিগুলি অনুমান করতে পারিঃ ক্যাসির উপপাদ্য গ্রীক গণিতের নোটস রেফারেন্স কক্সেটার, এইচ. এস. এম এবং এস. এল. গ্রেইজার (1967) টলেমির উপপাদ্য এবং এর সম্প্রসারণগুলি দেখুন। জ্যামিতি রিভিজিটেড-এ § 2.6, ম্যাথমেটিকাল অ্যাসোসিয়েশন অফ আমেরিকা পৃষ্ঠা। 42-43। কোপার্নিকাস (1543) ডি রেভোলিউশনিবাস অরবিয়াম কোলেস্টিয়াম, স্টিফেন হকিং সম্পাদিত অন দ্য শোল্ডার্স অফ জায়ান্টস (2002)-এ পাওয়া ইংরেজি অনুবাদ, পেঙ্গুইন বুকস অমরাসিংহে, জি. ডব্লিউ. আই. এস. (2013) টলেমির উপপাদ্যের জন্য একটি সংক্ষিপ্ত প্রাথমিক প্রমাণ, গ্লোবাল জার্নাল অফ অ্যাডভান্সড রিসার্চ অন ক্লাসিক্যাল অ্যান্ড মডার্ন জ্যামিতিজ (জিজেএআরসিএমজি) 2 (1): 20-25 (পিডিএফ)। বাহ্যিক সংযোগগুলি চক্রাকার চতুর্ভুজ গণিতের জন্য টলেমির উপপাদ্যের প্রমাণ-টলেমির উপপাদ্য টলেমির উপপাদ্য কাট-দ্য-গিঁট যৌগিক কোণ প্রমাণ কাট-দ্য-গিঁট টলেমির উপপাদ্য গ্রহের উপর ম্যাথওয়ার্ল্ড ডি রেভোলিউশনিবাস অরবিয়াম কোলেস্টিয়ামের উপর ম্যাথ ম্যাথ টলেমির বৈষম্য। ডিপ সিক্রেটসঃ দ্য গ্রেট পিরামিড, দ্য গোল্ডেন রেশিও অ্যান্ড দ্য রয়্যাল কিউবিট টলেমি 'স থিওরেম বাই জে ওয়ারেনডর্ফ, দ্য ওল্ফ্রাম ডেমন্সট্রেশন প্রজেক্ট। ইউক্লিডের উপাদান উপপাদ্যের ত্রয়োদশ বই চতুর্ভুজ এবং বৃত্ত সম্পর্কে উপপাদ্য উপপাদ্য ইউক্লিডীয় সমতল জ্যামিতির প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ