Darboux's theorem
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, গণিতের একটি ক্ষেত্র, ডারবাক্সের উপপাদ্য হল একটি উপপাদ্য যা ফ্রোবেনিয়াস ইন্টিগ্রেশন উপপাদ্যকে আংশিকভাবে সাধারণীকরণ করে ডিফারেনশিয়াল 1-ফর্মের বিশেষ শ্রেণীর জন্য একটি স্বাভাবিক রূপ প্রদান করে। এটি জিন গ্যাস্টন ডারবাউক্সের নামে নামকরণ করা হয়েছে যিনি এটিকে ফাফ সমস্যার সমাধান হিসাবে প্রতিষ্ঠিত করেছিলেন। এটি বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে একটি মৌলিক ফলাফল, যার মধ্যে প্রধান হল সিমপ্লেক্টিক জ্যামিতি। প্রকৃতপক্ষে, এর অনেকগুলি পরিণতির মধ্যে একটি হল যে একই মাত্রার যে কোনও দুটি সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ড একে অপরের সাথে স্থানীয়ভাবে সিমপ্লেক্টমর্ফিক। অর্থাৎ, প্রতিটি-মাত্রিক সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডকে তার ক্যানোনিকাল সিমপ্লেক্টিক ফর্ম সহ স্থানীয়ভাবে রৈখিক সিমপ্লেক্টিক স্পেসের মতো দেখতে তৈরি করা যেতে পারে। যোগাযোগ জ্যামিতিতে প্রয়োগ করা উপপাদ্যটির একটি অনুরূপ পরিণতিও রয়েছে। বিবৃতি ধরুন এটি একটি-মাত্রিক ম্যানিফোল্ডের উপর একটি ডিফারেনশিয়াল 1-ফর্ম, যার ধ্রুবক র্যাঙ্ক রয়েছে। তারপর যদি সর্বত্র হয়, তবে স্থানাঙ্কের একটি স্থানীয় ব্যবস্থা রয়েছে যেখানে যদি সর্বত্র হয়, তবে স্থানাঙ্কের একটি স্থানীয় ব্যবস্থা রয়েছে যেখানে ডারবাক্সের মূল প্রমাণ ইন্ডাকশন ব্যবহার করে এবং এটি বিতরণ বা ডিফারেনশিয়াল আদর্শের ক্ষেত্রে সমতুল্যভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। ফ্রোবেনিয়াসের উপপাদ্য ডারবাক্সের উপপাদ্য নিশ্চিত করে যে কোনও 1-ফর্ম যেমন কোনও স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় লেখা যেতে পারে। এটি ডিফারেনশিয়াল ফর্মের পরিপ্রেক্ষিতে ফ্রোবেনিয়াস উপপাদ্যের একটি গঠন পুনরুদ্ধার করেঃ যদি ডিফারেনশিয়াল আদর্শ দ্বারা উত্পন্ন হয়, তবে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার অস্তিত্ব বোঝায় যেখানে আসলে দ্বারা উত্পন্ন হয়। সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডের জন্য ডারবাক্সের উপপাদ্য ধরুন এটি একটি-মাত্রিক ম্যানিফোল্ডের উপর একটি সিমপ্লেক্টিক 2-ফর্ম। প্রতিটি বিন্দুর আশেপাশে, পয়েনকারে লেম্মা দ্বারা, এর সাথে একটি 1-ফর্ম রয়েছে। উপরন্তু, ডারবাক্সের উপপাদ্যের অনুমানের প্রথম সেটকে সন্তুষ্ট করে, এবং তাই স্থানীয়ভাবে একটি স্থানাঙ্ক চার্ট রয়েছে যার কাছাকাছি একটি বাহ্যিক ডেরিভেটিভ নেওয়া এখন দেখায় চার্টটিকে চারপাশে একটি ডারবাক্স চার্ট বলা হয়। বহুগুণ এই ধরনের চার্ট দ্বারা আচ্ছাদিত করা যেতে পারে। এটি ভিন্নভাবে বলার জন্য, লেট দিয়ে চিহ্নিত করুন। যদি একটি ডারবাক্স চার্ট হয়, তবে স্ট্যান্ডার্ড সিমপ্লেক্টিক ফর্মের পুলব্যাক হিসাবে লেখা যেতে পারেঃ 1-ফর্মের উপর ডারবাক্সের সাধারণ বিবৃতি ব্যবহার না করে এই ফলাফলের একটি আধুনিক প্রমাণ মোজারের কৌশল ব্যবহার করে করা হয়। সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডের জন্য রিম্যানিয়ান জ্যামিতির সাথে তুলনা ডারবাক্সের উপপাদ্য থেকে বোঝা যায় যে সিমপ্লেক্টিক জ্যামিতিতে কোনও স্থানীয় অপরিবর্তনীয় নেইঃ একটি ডারবাক্স ভিত্তি সর্বদা নেওয়া যেতে পারে, যে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুর কাছাকাছি বৈধ। এটি রিম্যানিয়ান জ্যামিতির পরিস্থিতির স্পষ্ট বিপরীতে যেখানে বক্রতা একটি স্থানীয় অপরিবর্তনীয়, মেট্রিকের জন্য একটি বাধা স্থানীয়ভাবে স্থানাঙ্কের পার্থক্যের বর্গের সমষ্টি। পার্থক্যটি হ 'ল ডারবাক্সের উপপাদ্যটি বলে যে চারপাশের পুরো পাড়ায় আদর্শ রূপটি নেওয়া যেতে পারে। রিম্যানিয়ান জ্যামিতিতে, মেট্রিক সর্বদা যে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুতে আদর্শ রূপ নিতে পারে, তবে সর্বদা সেই বিন্দুর আশেপাশের অঞ্চলে নয়। ডারবাক্সের কন্টাক্ট ম্যানিফোল্ডের উপপাদ্য আরেকটি নির্দিষ্ট কেস পুনরুদ্ধার করা হয় যখন; যদি সর্বত্র, তাহলে একটি কন্টাক্ট ফর্ম হয়। একটি সহজ প্রমাণ দেওয়া যেতে পারে, যেমন সিমপ্লেক্টিক কাঠামোর ক্ষেত্রে, মোজারের কৌশল ব্যবহার করে। ডারবাক্স-ওয়েইনস্টেইন উপপাদ্য অ্যালান ওয়েইনস্টেইন দেখিয়েছেন যে সিমপ্লেটিক ম্যানিফোল্ডের জন্য ডারবাক্সের উপপাদ্যকে একটি সাবম্যানিফোল্ডের আশেপাশে ধরে রাখার জন্য শক্তিশালী করা যেতে পারেঃ আসুন দুটি সিমপ্লেক্টিক ফর্ম সহ একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড এবং একটি বদ্ধ সাবম্যানিফোল্ড হতে দিন। যদি, তাহলে একটি নেবারহুড এবং একটি ডিফিয়োমরফিজম রয়েছে। স্ট্যান্ডার্ড ডারবাক্স উপপাদ্যটি পুনরুদ্ধার করা হয় যখন একটি বিন্দু হয় এবং একটি স্থানাঙ্ক চার্টে স্ট্যান্ডার্ড সিমপ্লেক্টিক কাঠামো হয়। এই উপপাদ্যটি অসীম-মাত্রিক বানাচ ম্যানিফোল্ডের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। এছাড়াও এই উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ ক্যারাথিওডোরি-জ্যাকোবি-লাই উপপাদ্য দেখুন। মোজারের ট্রিক সিমপ্লেক্টিক বেসিস রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক জি. ডারবাউক্স, "অন দ্য ফাফ প্রবলেম", অনুবাদ। ডি. এইচ. ডেলফেনিচ জি. ডারবাউক্সের লেখা "অন দ্য ফাফ প্রবলেম"। ), "অনুবাদ। ডি. এইচ. ডেলফেনিচ-এর ডিফারেনশিয়াল সিস্টেম সিমপ্লেক্টিক জ্যামিতি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে সমন্বিত সিস্টেম ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে উপপাদ্য গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান