Goldbach's conjecture
গোল্ডবাখের অনুমান সংখ্যা তত্ত্ব এবং সমস্ত গণিতে প্রাচীনতম এবং সর্বাধিক পরিচিত অমীমাংসিত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি। এটি বলে যে, 2-এর চেয়ে বড় প্রতিটি জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল। অনুমানটি এর চেয়ে কম সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য ধারণ করতে দেখা গেছে, তবে যথেষ্ট প্রচেষ্টা সত্ত্বেও অপ্রমাণিত রয়ে গেছে। 1742 খ্রিষ্টাব্দের 7ই জুন প্রুশিয়ান গণিতবিদ ক্রিশ্চিয়ান গোল্ডবাখ লিওনহার্ড অয়লারকে একটি চিঠি লিখেছিলেন (XLIII অক্ষর), যেখানে তিনি নিম্নলিখিত অনুমানের প্রস্তাব দিয়েছিলেনঃ গোল্ডবাখ 1 কে একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করার এখন-পরিত্যক্ত প্রথা অনুসরণ করছিলেন, যাতে এককের যোগফল মৌলিক সংখ্যার যোগফল হয়। এরপর তিনি তাঁর চিঠির প্রান্তে একটি দ্বিতীয় অনুমানের প্রস্তাব দেন, যা প্রথমটিকে বোঝায়ঃ অয়লার 30শে জুন 1742 তারিখের একটি চিঠিতে উত্তর দিয়েছিলেন এবং গোল্ডবাখকে তাদের আগের কথোপকথনের কথা মনে করিয়ে দিয়েছিলেন, যেখানে গোল্ডবাখ মন্তব্য করেছিলেন যে এই দুটি অনুমানের মধ্যে প্রথমটি বিবৃতি থেকে অনুসরণ করবে। 1742 সালের 30শে জুন তারিখের চিঠিতে অয়লার বলেছিলেনঃ উপরের তিনটি অনুমানের প্রত্যেকটির একটি মৌলিকের আধুনিক সংজ্ঞার পরিপ্রেক্ষিতে একটি প্রাকৃতিক সাদৃশ্য রয়েছে, যার অধীনে 1 বাদ দেওয়া হয়েছে। প্রথম অনুমানের একটি আধুনিক সংস্করণ হলঃ প্রান্তিক অনুমানের একটি আধুনিক সংস্করণ হলঃ এবং গোল্ডবাখের পুরানো অনুমানের একটি আধুনিক সংস্করণ যা অয়লার তাকে মনে করিয়ে দিয়েছিলেনঃ এই আধুনিক সংস্করণগুলি সংশ্লিষ্ট মূল বিবৃতির সম্পূর্ণ সমতুল্য নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি মৌলিক সংখ্যার জন্য 4-এর চেয়ে বড় একটি জোড় পূর্ণসংখ্যা থাকে, যা আধুনিক অর্থে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যায় না, তবে এটি তৃতীয় অনুমানের আধুনিক সংস্করণের বিপরীত উদাহরণ হবে (মূল সংস্করণের বিপরীত উদাহরণ না হয়ে)। আধুনিক সংস্করণটি সম্ভবত আরও শক্তিশালী (তবে এটি নিশ্চিত করার জন্য, একজনকে প্রমাণ করতে হবে যে প্রথম সংস্করণটি, যে কোনও ধনাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে অবাধে প্রয়োগ করা হয়েছে, সম্ভবত এই ধরনের একটি নির্দিষ্ট পাল্টা উদাহরণের অস্তিত্বকে বাতিল করতে পারে না)। যাই হোক না কেন, আধুনিক বিবৃতিগুলির একে অপরের সাথে পুরানো বিবৃতিগুলির মতো একই সম্পর্ক রয়েছে। অর্থাৎ, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় আধুনিক বিবৃতিগুলি সমতুল্য, এবং উভয়ই প্রথম আধুনিক বিবৃতিটিকে বোঝায়। তৃতীয় আধুনিক বিবৃতিটি (দ্বিতীয়টির সমতুল্য) হল সেই রূপ যেখানে অনুমানটি সাধারণত আজ প্রকাশ করা হয়। এটি "শক্তিশালী", "জোড়", বা "বাইনারি" গোল্ডবাখ অনুমান হিসাবেও পরিচিত। দ্বিতীয় আধুনিক বিবৃতির একটি দুর্বল রূপ, যা "গোল্ডবাচের দুর্বল অনুমান", "বিজোড় গোল্ডবাখ অনুমান" বা "ত্রয়ী গোল্ডবাখ অনুমান" নামে পরিচিত, দাবি করে যে দুর্বল অনুমানের জন্য একটি প্রমাণ 2013 সালে হ্যারাল্ড হেলফগট দ্বারা অ্যানালস অফ ম্যাথমেটিক্স স্টাডিজ সিরিজে জমা দেওয়া হয়েছিল। যদিও নিবন্ধটি গৃহীত হয়েছিল, হেলফগট রেফারির প্রস্তাবিত বড় পরিবর্তনগুলি করার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন। বেশ কয়েকটি সংশোধন সত্ত্বেও, হেলফগটের প্রমাণ এখনও পিয়ার-পর্যালোচিত প্রকাশনায় প্রকাশিত হয়নি। দুর্বল অনুমানটি শক্তিশালী অনুমান দ্বারা বোঝানো হয়, যেন দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল, তাহলে তিনটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল। যাইহোক, হেলফগটের প্রমাণ সঠিক হলে বিপরীত প্রভাব এবং এইভাবে শক্তিশালী গোল্ডবাখ অনুমান অপ্রমাণিত থাকবে। যাচাইকৃত ফলাফল এর ছোট মানের জন্য, শক্তিশালী গোল্ডবাখ অনুমান (এবং তাই দুর্বল গোল্ডবাখ অনুমান) সরাসরি যাচাই করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 1938 সালে, নিলস পিপিং শ্রমসাধ্যভাবে অনুমানটি যাচাই করেছিলেন। কম্পিউটারের আবির্ভাবের সাথে, এর আরও অনেক মান পরীক্ষা করা হয়েছে; টি. অলিভিয়েরা ই সিলভা একটি বিতরণকৃত কম্পিউটার অনুসন্ধান চালিয়েছিলেন যা 2013 সাল পর্যন্ত (এবং ডাবল-চেক করা হয়েছে) অনুমানটি যাচাই করেছে। এই অনুসন্ধানের একটি রেকর্ড হল এটি সবচেয়ে ছোট সংখ্যা যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যায় না যেখানে একটি 9781 এর চেয়ে ছোট। কলি-হুগিল এবং ডুডেক রিমান অনুমানের উপর একটি (আংশিক এবং শর্তাধীন) ফলাফল প্রমাণ করেছেনঃ ব্যবধানের মধ্যে দুটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যার যোগফল বিদ্যমান (x, x + 9696 log ^ 2x] সমস্ত x ≤ 2-এর জন্য। মৌলিক সংখ্যার সম্ভাব্য বণ্টনের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করা পরিসংখ্যানগত বিবেচনাগুলি যথেষ্ট বড় পূর্ণসংখ্যার জন্য অনুমানের পক্ষে (দুর্বল এবং শক্তিশালী উভয় আকারে) অনানুষ্ঠানিক প্রমাণ উপস্থাপন করেঃ পূর্ণসংখ্যা যত বেশি হবে, সেই সংখ্যাটিকে অন্য দুই বা তিনটি সংখ্যার যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করার জন্য তত বেশি উপায় পাওয়া যাবে এবং যত বেশি "সম্ভবত" হবে যে এই উপস্থাপনাগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি সম্পূর্ণরূপে মৌলিক সংখ্যা নিয়ে গঠিত। অনুসন্ধানমূলক সম্ভাবনাময় যুক্তির একটি অত্যন্ত অপরিশোধিত সংস্করণ (গোল্ডবাখ অনুমানের শক্তিশালী রূপের জন্য) নিম্নরূপ। মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্যটি দাবি করে যে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত একটি পূর্ণসংখ্যার মোটামুটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। সুতরাং যদি একটি বড় জোড় পূর্ণসংখ্যা হয় এবং 3 এবং এর মধ্যে একটি সংখ্যা হয়, তবে কেউ একই সাথে মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা আশা করতে পারে। যদি কেউ এই অনুসন্ধান অনুসরণ করে, তবে দুটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে একটি বড় জোড় পূর্ণসংখ্যা লেখার মোট উপায়ের সংখ্যা মোটামুটিভাবে হবে বলে আশা করা যেতে পারে যেহেতু, এই পরিমাণটি বাড়ার সাথে সাথে অনন্তের দিকে যায় এবং কেউ আশা করবে যে প্রতিটি বড় জোড় পূর্ণসংখ্যার দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে কেবল একটি উপস্থাপনা নেই, তবে বাস্তবে এই জাতীয় অনেক উপস্থাপনা রয়েছে। এই অনুসন্ধানমূলক যুক্তিটি আসলে কিছুটা ভুল, কারণ এটি ধরে নেয় যে ঘটনা এবং মৌলিক হওয়া পরিসংখ্যানগতভাবে একে অপরের থেকে স্বাধীন। উদাহরণস্বরূপ, যদি বিজোড় হয়, তবে এটিও বিজোড়, এবং যদি জোড় হয়, তবে জোড়, একটি অ-তুচ্ছ সম্পর্ক কারণ, 2 নম্বর ছাড়াও, শুধুমাত্র বিজোড় সংখ্যাগুলি মৌলিক হতে পারে। একইভাবে, যদি 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়, এবং ইতিমধ্যে 3 ব্যতীত অন্য একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে এটিও 3-এর সহমৌলিক হবে এবং এইভাবে একটি সাধারণ সংখ্যার তুলনায় মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কিছুটা বেশি হবে। এই ধরনের বিশ্লেষণ আরও যত্ন সহকারে অনুসরণ করে, জি. এইচ. হার্ডি এবং জন এডনসর লিটলউড 1923 সালে (তাদের হার্ডি-লিটলউড মৌলিক টুপল অনুমানের অংশ হিসাবে) অনুমান করেছিলেন যে যে কোনও স্থিরের জন্য, একটি বড় পূর্ণসংখ্যার প্রতিনিধিত্বের সংখ্যা সহ মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে সমান হওয়া উচিত যেখানে গুণফলটি সমস্ত মৌলিক সংখ্যার উপরে থাকে এবং মডুলার গাণিতিক সমীকরণের সমাধানের সংখ্যা সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে। ইভান মাতভিভিচ ভিনোগ্রাদভের কাজ থেকে এই সূত্রটি অ্যাসিম্পটোটিকভাবে বৈধ বলে কঠোরভাবে প্রমাণিত হয়েছে, তবে এটি এখনও কেবল একটি অনুমান। পরের ক্ষেত্রে, উপরের সূত্রটি সরল হয়ে 0 হয় যখন বিজোড় হয়, এবং কখন জোড় হয়, হার্ডি-লিটলউডের যমজ মৌলিক ধ্রুবক কোথায় এটি কখনও কখনও বর্ধিত গোল্ডবাখ অনুমান হিসাবে পরিচিত। শক্তিশালী গোল্ডবাখ অনুমান আসলে যমজ মৌলিক অনুমানের সাথে খুব মিল, এবং দুটি অনুমান মোটামুটি তুলনীয় কঠিন বলে মনে করা হয়। গোল্ডবাখ পার্টিশন ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যা প্রতিটি জোড় পূর্ণসংখ্যার সাথে যুক্ত করে যে এটিকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফলের মধ্যে বিভক্ত করা যেতে পারে। এর গ্রাফটি একটি ধূমকেতুর মতো দেখায় এবং তাই এটিকে গোল্ডবাচের ধূমকেতু বলা হয়। গোল্ডবাখের ধূমকেতু দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে একটি জোড় সংখ্যার প্রতিনিধিত্বের সংখ্যার উপর কঠোর উপরের এবং নীচের সীমার পরামর্শ দেয় এবং এই উপস্থাপনাগুলির সংখ্যাটি সংখ্যার মডুলো 3 মানের উপর দৃঢ়ভাবে নির্ভর করে। কঠোর ফলাফল শক্তিশালী গোল্ডবাখ অনুমান দুর্বল গোল্ডবাখ অনুমানের চেয়ে অনেক বেশি কঠিন। ভিনোগ্রাদভের পদ্ধতি ব্যবহার করে নিকোলাই চুডাকভ, জোহানেস ভ্যান ডার কর্পুট এবং থিওডর এস্টারম্যান দেখিয়েছেন যে প্রায় সমস্ত জোড় সংখ্যাকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে (এই অর্থে যে জোড় সংখ্যার ভগ্নাংশ যা কিছু পর্যন্ত লেখা যেতে পারে তা বৃদ্ধি হিসাবে 1-এর দিকে থাকে)। 1930 সালে, লেভ স্নাইরেলম্যান প্রমাণ করেছিলেন যে 1-এর চেয়ে বড় যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে, যেখানে কার্যকরভাবে গণনাযোগ্য ধ্রুবক; দেখুন স্নাইরেলম্যান ঘনত্ব। স্নাইরেলম্যানের ধ্রুবক এই বৈশিষ্ট্যের সাথে সর্বনিম্ন সংখ্যা। স্নিরেলম্যান নিজেই তা পেয়েছিলেন। এই ফলাফলটি পরবর্তীকালে অনেক লেখক দ্বারা উন্নত করা হয়েছিল, যেমন অলিভিয়ার রামারে, যিনি 1995 সালে দেখিয়েছিলেন যে প্রতিটি জোড় সংখ্যা আসলে সর্বাধিক 6টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল। বর্তমানে সর্বাধিক পরিচিত ফলাফলটি হ্যারাল্ড হেলফগটের দুর্বল গোল্ডবাখ অনুমানের প্রমাণ থেকে উদ্ভূত, যা সরাসরি বোঝায় যে প্রতিটি জোড় সংখ্যা সর্বাধিক 4টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল। 1924 সালে, হার্ডি এবং লিটলউড সাধারণ রিম্যান অনুমানের অনুমানের অধীনে দেখিয়েছিলেন যে গোল্ডবাখ অনুমান লঙ্ঘন করা পর্যন্ত জোড় সংখ্যার সংখ্যা ছোট সংখ্যার তুলনায় অনেক কম। 1948 সালে, চালনী তত্ত্ব ব্যবহার করে, আলফ্রেড রেনি দেখিয়েছিলেন যে প্রতিটি যথেষ্ট বড় জোড় সংখ্যাকে একটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল এবং বেশিরভাগ গুণক সহ প্রায় মৌলিক সংখ্যা হিসাবে লেখা যেতে পারে। চেন জিংরুন 1973 সালে চালনী তত্ত্বের পদ্ধতি ব্যবহার করে দেখিয়েছিলেন যে প্রতিটি যথেষ্ট বড় জোড় সংখ্যাকে দুটি মৌলিক সংখ্যা বা একটি মৌলিক সংখ্যা এবং একটি অর্ধ মৌলিক সংখ্যার (দুটি মৌলিক সংখ্যার গুণফল) যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। আরও তথ্যের জন্য চেনের উপপাদ্য দেখুন। 1975 সালে হিউ মন্টগোমেরি এবং রবার্ট চার্লস ভন দেখিয়েছিলেন যে "সর্বাধিক" জোড় সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশযোগ্য। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, তারা দেখিয়েছেন যে ধনাত্মক ধ্রুবক রয়েছে এবং এমন যে সমস্ত পর্যাপ্ত বড় সংখ্যার জন্য, প্রতিটি জোড় সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফলের চেয়ে কম, বেশিরভাগ ব্যতিক্রম ছাড়া। বিশেষত, জোড় পূর্ণসংখ্যার যে সেটটি দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল নয় তার ঘনত্ব শূন্য। 1951 সালে, ইউরি লিনিক একটি ধ্রুবকের অস্তিত্ব প্রমাণ করেছিলেন যে প্রতিটি যথেষ্ট বড় জোড় সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল এবং সর্বাধিক 2 এর ঘাত। জানোস পিন্টজ এবং ইমরে রুজা 2020 সালে খুঁজে পেয়েছেন যে এটি কাজ করে। 2002 সালে রজার হিথ-ব্রাউন এবং জ্যান-ক্রিস্টোফ শ্লেজ-পুচটা যেমন দেখিয়েছেন, সাধারণ রিম্যান অনুমানটি ধরে নিলে এটিও কাজ করে। সম্পর্কিত সমস্যা যদিও গোল্ডবাখের অনুমান থেকে বোঝা যায় যে, একের চেয়ে বড় প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে সর্বাধিক তিনটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে, তবে লোভী অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এমন একটি যোগফল খুঁজে পাওয়া সবসময় সম্ভব নয় যা প্রতিটি ধাপে সম্ভাব্য বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ব্যবহার করে। পিল্লাই ক্রমটি তাদের লোভী উপস্থাপনায় সর্বাধিক সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার প্রয়োজনীয়তা অনুসরণ করে। গোল্ডবাখের অনুমানের অনুরূপ সমস্যা রয়েছে যেখানে মৌলিক সংখ্যাগুলি অন্যান্য নির্দিষ্ট সংখ্যার সেট দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যেমন বর্গঃ এটি ল্যাগ্রাঞ্জ দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল যে প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা চারটি বর্গের যোগফল। ওয়ারিং-এর সমস্যা এবং মৌলিক সংখ্যার ক্ষমতার সমষ্টি সম্পর্কিত ওয়ারিং-গোল্ডবাখ সমস্যা দেখুন। হার্ডি এবং লিটলউড তাদের প্রথম অনুমান হিসাবে তালিকাভুক্ত করেছেনঃ "প্রতিটি বড় বিজোড় সংখ্যা () একটি মৌলিক সংখ্যা এবং একটি মৌলিক সংখ্যার দ্বিগুণের যোগফল।" এই অনুমানটি লেমোইনের অনুমান নামে পরিচিত এবং এটিকে লেভির অনুমানও বলা হয়। ব্যবহারিক সংখ্যার জন্য গোল্ডবাখ অনুমান, পূর্ণসংখ্যার একটি মৌলিক-সদৃশ ক্রম, 1984 সালে মার্জেনস্টার্ন দ্বারা বর্ণিত হয়েছিল এবং 1996 সালে মেলফি দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিলঃ প্রতিটি জোড় সংখ্যা দুটি ব্যবহারিক সংখ্যার যোগফল। হার্ভি ডাবনার গোল্ডবাখ অনুমানকে শক্তিশালী করার প্রস্তাব দিয়েছিলেন যাতে বলা হয়েছে যে 4208-এর চেয়ে বড় প্রতিটি জোড় সংখ্যা দুটি যমজ মৌলিক সংখ্যার যোগফল (অগত্যা একই জোড়ের অন্তর্গত নয়)। 4208-এর চেয়ে কম মাত্র 34টি জোড় পূর্ণসংখ্যা দুটি যমজ মৌলিক সংখ্যার যোগফল নয়; ডাবনার গণনামূলকভাবে যাচাই করেছেন যে এই তালিকাটি সম্পূর্ণ। জনপ্রিয় সংস্কৃতিতে গোল্ডবাচের অনুমান হল চীনা গণিতবিদ এবং সংখ্যা তাত্ত্বিক চেন জিংরুনের জীবনীর শিরোনাম, যা জু চি লিখেছেন। গ্রীক লেখক অ্যাপোস্টোলোস ডক্সিয়াডিসের 1992 সালের উপন্যাস আঙ্কেল পেট্রোস অ্যান্ড গোল্ডবাচের কনজেক্চার, আইজাক আসিমভের ছোটগল্প "সিক্সটি মিলিয়ন ট্রিলিয়ন কম্বিনেশনস" এবং 2008 সালের মিশেল রিচমন্ডের রহস্যময় উপন্যাস নো ওয়ান ইউ নো-এর কাহিনীর কেন্দ্রবিন্দু হল এই অনুমান। গোল্ডবাখের অনুমান 2007 সালের স্প্যানিশ চলচ্চিত্র ফার্মাট 'স রুমের প্লটের অংশ। আরও পড়ুন টেরেন্স তাও প্রমাণ করেছেন যে সমস্ত বিজোড় সংখ্যা সর্বাধিক পাঁচটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল। ম্যাথওয়ার্ল্ড-এ গোল্ডবাখ কনজেকচার। ইউলারের কাছে লেখা গোল্ডবাচের মূল চিঠির বাহ্যিক লিঙ্ক-পিডিএফ ফরম্যাট (জার্মান ও ল্যাটিন ভাষায়) গোল্ডবাচের অনুমান, ক্রিস ক্যালডওয়েলের প্রাইম পেজের অংশ। গোল্ডবাখ অনুমান যাচাইকরণ, টমাস অলিভিয়েরা ই সিলভার বিতরণকৃত কম্পিউটার অনুসন্ধান। যোগাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে অনুমান সংখ্যা তত্ত্বে অমীমাংসিত সমস্যা হিলবার্টের সমস্যা