Bennett's inequality
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, বেনেটের অসমতা এই সম্ভাবনার উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা প্রদান করে যে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের যোগফল তার প্রত্যাশিত মান থেকে যে কোনও নির্দিষ্ট পরিমাণের চেয়ে বেশি বিচ্যুত হয়। 1962 সালে নিউ সাউথ ওয়েলস বিশ্ববিদ্যালয়ের জর্জ বেনেট বেনেটের বৈষম্য প্রমাণ করেন। বিবৃতি ধরা যাক সীমাবদ্ধ বৈকল্পিকতা সহ স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল। আরও অনুমান করুন প্রায় নিশ্চিতভাবে সকলের জন্য, এবং সংজ্ঞায়িত করুন এবং তারপর যে কোনওটির জন্য, যেখানে এবং লগ প্রাকৃতিক লগারিদমকে বোঝায়। সাধারণীকরণের জন্য ফ্রিডম্যান (1975) এবং ফ্যান, গ্রাম এবং লিউ (2012) যথাক্রমে বেনেটের অসমতা এবং এর উন্নতির একটি মার্টিঙ্গেল সংস্করণ দেখুন। হোফডিং-এর অসমতা শুধুমাত্র ধরে নেয় যে যোগফলগুলি প্রায় নিশ্চিতভাবে সীমাবদ্ধ, অন্যদিকে বেনেটের অসমতা কিছুটা উন্নতি প্রদান করে যখন যোগফলগুলির পার্থক্যগুলি তাদের প্রায় নিশ্চিত সীমার তুলনায় ছোট হয়। যাইহোক, হোফডিংয়ের বৈষম্য উপ-গাউসিয়ান লেজকে অন্তর্ভুক্ত করে, যেখানে সাধারণভাবে বেনেটের বৈষম্যের পয়সোনীয় লেজ রয়েছে। বেনেটের বৈষম্য বার্নস্টাইনের বৈষম্যের সাথে সবচেয়ে বেশি মিল, যার মধ্যে প্রথমটি বৈচিত্র্যের দিক থেকেও মনোযোগ দেয় এবং পৃথক শর্তাবলীর উপর প্রায় নিশ্চিতভাবে আবদ্ধ। বেনেটের বৈষম্য এই সীমার চেয়ে শক্তিশালী, তবে গণনা করা আরও জটিল। উভয় বৈষম্যের ক্ষেত্রে, কিছু অন্যান্য অসমতা বা সীমাবদ্ধ উপপাদ্যের বিপরীতে, উপাদান চলকগুলির অভিন্ন বা অনুরূপ বিতরণের কোনও প্রয়োজনীয়তা নেই। উদাহরণ হিসেবে ধরা যাক, প্রতিটি সম্ভাব্যতা সহ একটি স্বাধীন বাইনারি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল। তারপর বেনেটের অসমতা বলে যেঃ জন্য, তাই জন্য। বিপরীতে, হোফডিং-এর অসমতা একটি সীমা দেয় এবং প্রথম বার্নস্টাইনের অসমতা একটি সীমা দেয়। কারণ, হোফডিং-এর অসমতা দেয়, বার্নস্টাইন দেয় এবং বেনেট দেয়। আরও দেখুন ঘনত্বের বৈষম্য-এলোমেলো চলকের উপর লেজ-সীমানার একটি সারসংক্ষেপ। তথ্যসূত্র সম্ভাব্য বৈষম্য