Differential calculus
গণিতে, ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস হল ক্যালকুলাসের একটি উপক্ষেত্র যা পরিমাণের পরিবর্তনের হার অধ্যয়ন করে। এটি ক্যালকুলাসের দুটি ঐতিহ্যবাহী বিভাগের মধ্যে একটি, অন্যটি অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস-একটি বক্ররেখার নীচের এলাকার অধ্যয়ন। ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসে অধ্যয়নের প্রাথমিক বিষয়গুলি হল একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ, সম্পর্কিত ধারণা যেমন ডিফারেনশিয়াল এবং তাদের প্রয়োগ। একটি নির্বাচিত ইনপুট মূল্যে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ সেই ইনপুট মানের কাছাকাছি ফাংশনের পরিবর্তনের হার বর্ণনা করে। একটি অন্তরজ খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াকে ডিফারেনশিয়েশন বলা হয়। জ্যামিতিকভাবে, একটি বিন্দুতে ডেরিভেটিভ হল সেই বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক রেখার ঢাল, তবে শর্ত থাকে যে ডেরিভেটিভ বিদ্যমান এবং সেই বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি একক বাস্তব চলকের একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের জন্য, একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের অন্তরজ সাধারণত সেই বিন্দুতে ফাংশনের সেরা রৈখিক আনুমানিক নির্ধারণ করে। ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য দ্বারা সংযুক্ত, যা বলে যে ডিফারেনশিয়েশন হল ইন্টিগ্রেশনের বিপরীত প্রক্রিয়া। প্রায় সমস্ত পরিমাণগত শাখায় পৃথকীকরণের প্রয়োগ রয়েছে। পদার্থবিজ্ঞানে, সময়ের সাপেক্ষে একটি গতিশীল বস্তুর স্থানচ্যুতির ব্যুৎপত্তি হল বস্তুর বেগ, এবং সময়ের সাপেক্ষে বেগের ব্যুৎপত্তি হল ত্বরণ। সময়ের সাপেক্ষে একটি বস্তুর ভরবেগের ব্যুৎপত্তি বস্তুর উপর প্রয়োগ করা বলের সমান; এই ব্যুৎপত্তিগত বিবৃতিটি পুনর্বিন্যাস করা নিউটনের দ্বিতীয় গতির আইনের সাথে সম্পর্কিত বিখ্যাত সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে। একটি রাসায়নিক বিক্রিয়ার বিক্রিয়ার হার একটি ব্যুৎপত্তি। অপারেশন গবেষণায়, ডেরিভেটিভগুলি উপকরণ এবং নকশা কারখানাগুলির পরিবহনের সবচেয়ে কার্যকর উপায় নির্ধারণ করে। কোনও ফাংশনের ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা খুঁজে বের করতে প্রায়শই ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয়। ব্যুৎপত্তি জড়িত সমীকরণগুলিকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয় এবং প্রাকৃতিক ঘটনা বর্ণনা করার ক্ষেত্রে এগুলি মৌলিক। জটিল বিশ্লেষণ, কার্যকরী বিশ্লেষণ, ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি, পরিমাপ তত্ত্ব এবং বিমূর্ত বীজগণিতের মতো গণিতের অনেক ক্ষেত্রে ডেরিভেটিভ এবং তাদের সাধারণীকরণ দেখা যায়। বিন্দুতে এর ডেরিভেটিভ হল স্পর্শকের ঢাল। এর জন্য একটি অন্তর্দৃষ্টি অর্জনের জন্য, প্রথমে একটি রৈখিক সমীকরণের ঢাল খুঁজে বের করার সাথে পরিচিত হতে হবে, যা আকারে লেখা। একটি সমীকরণের ঢাল হল তার স্টিপনেস। যে কোনও দুটি পয়েন্ট বাছাই করে এবং পরিবর্তনের দ্বারা পরিবর্তনকে ভাগ করে এটি খুঁজে পাওয়া যায়, যার অর্থ হল যে। কারণ, গ্রাফের একটি ঢাল রয়েছে, যা নীচের চিত্রটিতে দেখানো হয়েছেঃ সংক্ষিপ্ততার জন্য, প্রায়শই গ্রীক অক্ষর ডেল্টা হিসাবে লেখা হয়, যার অর্থ 'পরিবর্তন'। একটি রৈখিক সমীকরণের ঢাল ধ্রুবক, যার অর্থ স্টিপনেস সর্বত্র একই। যাইহোক, অনেক গ্রাফ যেমন তাদের স্টিপনেসে পরিবর্তিত হয়। এর মানে হল যে আপনি আর কোনও দুটি নির্বিচারে পয়েন্ট বেছে নিতে পারবেন না এবং ঢাল গণনা করতে পারবেন না। পরিবর্তে, গ্রাফের ঢালটি স্পর্শক রেখা বিবেচনা করে গণনা করা যেতে পারে-একটি রেখা যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুকে 'কেবল স্পর্শ করে'। একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি বক্ররেখার ঢাল সেই বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালের সমান। উদাহরণস্বরূপ, এট-এর একটি ঢাল রয়েছে কারণ সেই বিন্দুতে স্পর্শক রেখার ঢাল সমানঃ একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ তখন কেবল এই স্পর্শক রেখার ঢাল। যদিও স্পর্শক রেখাটি স্পর্শক বিন্দুতে শুধুমাত্র একটি বিন্দু স্পর্শ করে, তবে এটি দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখা দ্বারা আনুমানিক করা যেতে পারে। এটি সিক্যান্ট লাইন নামে পরিচিত। যদি সিক্যান্ট রেখাটি যে দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় তা কাছাকাছি হয়, তবে সিক্যান্ট রেখাটি স্পর্শক রেখার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ এবং ফলস্বরূপ, এর ঢালটিও খুব অনুরূপঃ একটি সিক্যান্ট রেখা ব্যবহার করার সুবিধা হল যে এর ঢাল সরাসরি গণনা করা যেতে পারে। গ্রাফের দুটি বিন্দু বিবেচনা করুন এবং, যেখানে একটি ছোট সংখ্যা। আগের মতোই, এই দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখার ঢাল সূত্র দিয়ে গণনা করা যেতে পারে। এটি দেয় যতই কাছাকাছি আসে, সেক্যান্ট লাইনের ঢাল স্পর্শক রেখার ঢালের আরও কাছাকাছি চলে আসে। এটি আনুষ্ঠানিকভাবে এইভাবে লেখা হয় উপরের অভিব্যক্তিটির অর্থ 'যতই 0-এর কাছাকাছি আসে, সেক্যান্ট লাইনের ঢাল একটি নির্দিষ্ট মানের কাছাকাছি এবং কাছাকাছি হয়'। যে মানটির কাছে যাওয়া হচ্ছে তা এর ডেরিভেটিভ; এটি হিসাবে লেখা যেতে পারে। যদি, ব্যুৎপত্তিটিকে অসীম পরিবর্তনের প্রতিনিধিত্বকারী হিসাবেও লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, x-এ একটি অসীম পরিবর্তনকে উপস্থাপন করে। সংক্ষেপে, যদি, তবে এর ডেরিভেটিভটি এই ধরনের একটি সীমা বিদ্যমান। এইভাবে আমরা একটি ফাংশনের অন্তরজকে সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করতে সফল হয়েছি, যার অর্থ হল 'স্পর্শক রেখার ঢাল'-এর এখন একটি সুনির্দিষ্ট গাণিতিক অর্থ রয়েছে। উপরের সংজ্ঞাটি ব্যবহার করে কোনও ফাংশনকে আলাদা করা প্রথম নীতিগুলির থেকে পার্থক্য হিসাবে পরিচিত। প্রথম নীতিগুলি থেকে পার্থক্য ব্যবহার করে এখানে একটি প্রমাণ দেওয়া হয়েছে যে, এর ব্যুৎপত্তিটি হলঃ যতই এগিয়ে আসে, ততই এগিয়ে যায়। অতএব, এই প্রমাণকে সাধারণীকরণ করে দেখানো যেতে পারে যে, যদি এবং স্থির থাকে। এটি ক্ষমতার নিয়ম হিসাবে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ,। যাইহোক, অন্যান্য অনেক ফাংশনকে বহুপদী ফাংশনের মতো সহজে আলাদা করা যায় না, যার অর্থ কখনও কখনও কোনও ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য আরও কৌশল প্রয়োজন হয়। এই কৌশলগুলির মধ্যে রয়েছে শৃঙ্খলের নিয়ম, পণ্যের নিয়ম এবং ভাগফলের নিয়ম। অন্যান্য ফাংশনগুলিকে একেবারেই আলাদা করা যায় না, যা ডিফারেনশিবিলিটির ধারণার জন্ম দেয়। একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত একটি ধারণা হল এর ডিফারেনশিয়াল। কখন এবং কখন বাস্তব চলক, এট-এর অন্তরজ হল এট-এর গ্রাফের স্পর্শক রেখার ঢাল। যেহেতু এর উৎস এবং লক্ষ্য এক-মাত্রিক, তাই এর অন্তরজ একটি বাস্তব সংখ্যা। যদি ভেক্টর হয় এবং হয়, তবে গ্রাফের সর্বোত্তম রৈখিক অনুমান নির্ভর করে কিভাবে একবারে বিভিন্ন দিকে পরিবর্তিত হয়। একক দিকে সর্বোত্তম রৈখিক আনুমানিক গ্রহণ একটি আংশিক অন্তরজ নির্ধারণ করে, যা সাধারণত চিহ্নিত করা হয়। একবারে সমস্ত দিকের রৈখিককরণকে মোট অন্তরজ বলা হয়। পার্থক্যের ইতিহাস স্পর্শক রেখার অর্থে একটি ব্যুৎপত্তিগত ধারণাটি খুব পুরানো, যা ইউক্লিড (আনুমানিক 300 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ), আর্কিমিডিস (আনুমানিক 287-212 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ) এবং পেরগার অ্যাপোলোনিয়াসের (আনুমানিক 262-190 খ্রিষ্টপূর্বাব্দ) মতো প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদদের কাছে পরিচিত। আর্কিমিডিস অবিভাজ্যগুলিও ব্যবহার করেছিলেন, যদিও এগুলি প্রাথমিকভাবে ব্যুৎপত্তি এবং স্পর্শকের পরিবর্তে ক্ষেত্র এবং আয়তন অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হত (যান্ত্রিক উপপাদ্যের পদ্ধতি দেখুন)। পরিবর্তনের হার গণনা করার জন্য অসীমের ব্যবহার দ্বিতীয় ভাস্কর (1114-1185) দ্বারা উল্লেখযোগ্যভাবে বিকশিত হয়েছিল; প্রকৃতপক্ষে, এটি যুক্তি দেওয়া হয়েছে যে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের অনেকগুলি মূল ধারণা তাঁর কাজে পাওয়া যেতে পারে, যেমন "রোলের উপপাদ্য"। গণিতবিদ, শরাফ আল-দিন আল-তুসি (1135-1213), সমীকরণের উপর তাঁর গবেষণাপত্রে, উপযুক্ত ঘন বহুপদের সর্বাধিকতা খুঁজে বের করে কিছু ঘন সমীকরণের সমাধানের জন্য শর্ত স্থাপন করেছিলেন। উদাহরণস্বরূপ, তিনি পেয়েছিলেন যে ঘনক্ষেত্রের সর্বাধিক (ধনাত্মকের জন্য) তখনই ঘটে যখন সমীকরণটির ঠিক একটি ধনাত্মক সমাধান থাকে যখন, এবং যখনই দুটি ধনাত্মক সমাধান থাকে। বিজ্ঞানের ইতিহাসবিদ রোশদি রাশেদ যুক্তি দিয়েছেন যে আল-তুসি অবশ্যই এই ফলাফল পাওয়ার জন্য ঘনক্ষেত্রের ব্যুৎপত্তি ব্যবহার করেছেন। রাশেদের উপসংহারের বিরোধিতা করেছেন অন্যান্য পণ্ডিতরা, যারা যুক্তি দেন যে তিনি অন্যান্য পদ্ধতির মাধ্যমে ফলাফল অর্জন করতে পারতেন যা ফাংশনের ডেরিভেটিভ জানার প্রয়োজন হয় না। ক্যালকুলাসের আধুনিক বিকাশের কৃতিত্ব সাধারণত আইজাক নিউটন (1643-1727) এবং গটফ্রিড উইলহেম লেইবনিজ (1646-1716)-কে দেওয়া হয়, যারা পার্থক্য এবং ব্যুৎপত্তিগুলির ক্ষেত্রে স্বাধীন এবং একীভূত পন্থা প্রদান করেছিলেন। যাইহোক, মূল অন্তর্দৃষ্টি যা তাদের এই কৃতিত্ব অর্জন করেছিল, তা হল পৃথকীকরণ এবং সংহতকরণ সম্পর্কিত ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যঃ এটি ক্ষেত্র এবং ভলিউম গণনা করার জন্য বেশিরভাগ পূর্ববর্তী পদ্ধতিগুলিকে অপ্রচলিত করে তুলেছিল। ব্যুৎপত্তি সম্পর্কে তাদের ধারণার জন্য, নিউটন এবং লাইবনিজ উভয়ই পিয়েরে ডি ফার্মাট (1607-1665), আইজাক ব্যারো (1630-1677), রেনে ডেসকার্টেস (1596-1650), ক্রিস্টিয়ান হিউজেন্স (1629-1695), ব্লেইজ পাস্কাল (1623-1662) এবং জন ওয়ালিস (1616-1703)-এর মতো গণিতবিদদের উল্লেখযোগ্য পূর্ববর্তী কাজের উপর ভিত্তি করে তৈরি করেছিলেন। ফার্মাটের প্রভাব সম্পর্কে নিউটন একবার একটি চিঠিতে লিখেছিলেন যে, "ফার্মাটের স্পর্শক আঁকার পদ্ধতি থেকে আমি এই পদ্ধতির [প্রবাহের] ইঙ্গিত পেয়েছিলাম এবং এটিকে বিমূর্ত সমীকরণে সরাসরি ও উল্টোভাবে প্রয়োগ করে আমি এটিকে সাধারণ করে তুলেছিলাম।" আইজাক ব্যারোকে সাধারণত ডেরিভেটিভের প্রাথমিক বিকাশের জন্য কৃতিত্ব দেওয়া হয়। তবুও, নিউটন এবং লাইবনিজ পৃথকীকরণের ইতিহাসে মূল ব্যক্তিত্ব হিসাবে রয়ে গেছেন, কারণ নিউটনই প্রথম তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে পৃথকীকরণ প্রয়োগ করেছিলেন, যেখানে লাইবনিজ পদ্ধতিগতভাবে আজও ব্যবহৃত বেশিরভাগ স্বরলিপির বিকাশ করেছিলেন। 17শ শতাব্দী থেকে অনেক গণিতবিদ পৃথকীকরণের তত্ত্বে অবদান রেখেছেন। 19 শতকে অগাস্টিন লুই কাউচি (1789-1857), বার্নহার্ড রিম্যান (1826-1866) এবং কার্ল ওয়েয়ারস্ট্রাসের (1815-1897) মতো গণিতবিদরা ক্যালকুলাসকে আরও কঠোর অবস্থানে রেখেছিলেন। এই সময়কালেই ইউক্লিডীয় স্থান এবং জটিল সমতলে পার্থক্যকে সাধারণীকরণ করা হয়েছিল। বিংশ শতাব্দী আমাদের বর্তমান বোঝাপড়া এবং ব্যুৎপত্তি অনুশীলনের দিকে দুটি প্রধান পদক্ষেপ নিয়ে এসেছিলঃ লেবস্গু ইন্টিগ্রেশন, আরও অনেক ফাংশনে অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস প্রসারিত করার পাশাপাশি, পরম ধারাবাহিকতার ধারণার সাথে ব্যুৎপত্তি এবং একীকরণের মধ্যে সম্পর্ককে স্পষ্ট করেছে। পরে বন্টন তত্ত্ব (লরেন্ট শোয়ার্জ-এর পরে) সাধারণীকৃত ফাংশনে (যেমন, কোয়ান্টাম মেকানিক্সে পূর্বে প্রবর্তিত ডিরাক ডেল্টা ফাংশন) ব্যুৎপত্তি প্রসারিত করে এবং বর্তমানে প্রয়োগকৃত বিশ্লেষণের জন্য মৌলিক হয়ে ওঠে, বিশেষ করে আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দুর্বল সমাধান ব্যবহার করে। ডেরিভেটিভস অপ্টিমাইজেশনের প্রয়োগগুলি যদি একটি ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন হয় (বা একটি উন্মুক্ত ব্যবধান) এবং একটি স্থানীয় সর্বাধিক বা স্থানীয় ন্যূনতম হয়, তবে এট-এর ডেরিভেটিভ শূন্য হয়। যে বিন্দুগুলিকে সমালোচনামূলক বিন্দু বা স্থির বিন্দু বলা হয় (এবং অ্যাটের মানকে সমালোচনামূলক মান বলা হয়)। যদি সর্বত্র ডিফারেনশিয়েবল বলে ধরে না নেওয়া হয়, তবে যে পয়েন্টগুলিতে এটি ডিফারেনশিয়েবল হতে ব্যর্থ হয় সেগুলিকেও সমালোচনামূলক পয়েন্ট হিসাবে মনোনীত করা হয়। যদি দ্বিগুণ ডিফারেনশিয়াল হয়, তবে বিপরীতভাবে, এর একটি সমালোচনামূলক বিন্দু দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বিবেচনা করে বিশ্লেষণ করা যেতে পারেঃ যদি এটি ধনাত্মক হয়, তবে একটি স্থানীয় ন্যূনতম; যদি এটি ঋণাত্মক হয়, তবে একটি স্থানীয় সর্বাধিক; যদি এটি শূন্য হয়, তবে একটি স্থানীয় ন্যূনতম, একটি স্থানীয় সর্বাধিক, বা উভয়ই হতে পারে না। (উদাহরণস্বরূপ, এটিতে একটি সমালোচনামূলক বিন্দু রয়েছে, তবে সেখানে এটির সর্বাধিক বা ন্যূনতম নেই, যেখানে সেখানে যথাক্রমে ন্যূনতম এবং সর্বাধিক একটি সমালোচনামূলক বিন্দু রয়েছে।) একে দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তিগত পরীক্ষা বলা হয়। একটি বিকল্প পদ্ধতি, যাকে প্রথম ব্যুৎপত্তিগত পরীক্ষা বলা হয়, তাতে সমালোচনামূলক বিন্দুর প্রতিটি পাশের চিহ্ন বিবেচনা করা হয়। ডেরিভেটিভ নেওয়া এবং সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলির জন্য সমাধান করা প্রায়শই স্থানীয় মিনিমা বা ম্যাক্সিমা খুঁজে বের করার একটি সহজ উপায়, যা অপ্টিমাইজেশনে কার্যকর হতে পারে। চরম মান উপপাদ্য অনুসারে, একটি বদ্ধ ব্যবধানের একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনকে কমপক্ষে একবার তার ন্যূনতম এবং সর্বোচ্চ মান অর্জন করতে হবে। যদি ফাংশনটি ডিফারেনশিয়েবল হয়, তবে মিনিমা এবং ম্যাক্সিমা শুধুমাত্র সমালোচনামূলক বিন্দু বা শেষ বিন্দুতে ঘটতে পারে। গ্রাফ স্কেচিং-এও এর প্রয়োগ রয়েছেঃ একবার একটি ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের স্থানীয় মিনিমা এবং ম্যাক্সিমা পাওয়া গেলে, এই পর্যবেক্ষণ থেকে গ্রাফের একটি মোটামুটি প্লট পাওয়া যায় যে এটি সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলির মধ্যে বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে। উচ্চতর মাত্রায়, একটি স্কেলার মূল্যবান ফাংশনের একটি সমালোচনামূলক বিন্দু হল এমন একটি বিন্দু যেখানে গ্রেডিয়েন্ট শূন্য। দ্বিতীয় ব্যুৎপত্তিগত পরীক্ষাটি এখনও সমালোচনামূলক বিন্দুতে ফাংশনের দ্বিতীয় আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলির হেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু বিবেচনা করে সমালোচনামূলক বিন্দুগুলি বিশ্লেষণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি সমস্ত আইগেনভ্যালু পজিটিভ হয়, তবে পয়েন্টটি একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন; যদি সবগুলিই নেগেটিভ হয়, তবে এটি একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ। যদি কিছু ধনাত্মক এবং কিছু ঋণাত্মক আইগেনভ্যালু থাকে, তবে সমালোচনামূলক বিন্দুটিকে "স্যাডল পয়েন্ট" বলা হয় এবং যদি এই ক্ষেত্রে কোনওটিই ধরে না থাকে (অর্থাৎ, কিছু আইগেনভ্যালু শূন্য হয়) তবে পরীক্ষাটি অমীমাংসিত বলে বিবেচিত হয়। বৈচিত্র্যের হিসাব একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যার একটি উদাহরণ হলঃ একটি পৃষ্ঠের দুটি বিন্দুর মধ্যে সংক্ষিপ্ততম বক্ররেখা খুঁজে বের করুন, ধরে নিন যে বক্ররেখাটিও অবশ্যই পৃষ্ঠের উপর থাকতে হবে। যদি পৃষ্ঠটি সমতল হয়, তবে সংক্ষিপ্ততম বক্ররেখা হল একটি রেখা। কিন্তু যদি পৃষ্ঠটি, উদাহরণস্বরূপ, ডিম-আকৃতির হয়, তবে সংক্ষিপ্ততম পথটি অবিলম্বে পরিষ্কার হয় না। এই পথগুলিকে ভূগণিত বলা হয় এবং বৈচিত্র্যের গণনার সবচেয়ে মৌলিক সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হল ভূগণিতের সন্ধান করা। আরেকটি উদাহরণ হলঃ মহাকাশে একটি বদ্ধ বক্ররেখার মধ্যে ভরাট করা ক্ষুদ্রতম এলাকা পৃষ্ঠটি খুঁজে বের করুন। এই পৃষ্ঠকে ন্যূনতম পৃষ্ঠ বলা হয় এবং এটিও বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস ব্যবহার করে পাওয়া যায়। পদার্থবিজ্ঞানে ক্যালকুলাস অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণঃ অনেক ভৌত প্রক্রিয়া ব্যুৎপত্তিগত সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়, যাকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়। পদার্থবিজ্ঞান বিশেষত সময়ের সাথে সাথে পরিমাণের পরিবর্তন এবং বিকাশের সাথে সম্পর্কিত এবং "সময় অন্তরজ"-সময়ের সাথে পরিবর্তনের হার-এর ধারণাটি বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণার সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞার জন্য প্রয়োজনীয়। বিশেষত, নিউটনীয় পদার্থবিজ্ঞানে কোনও বস্তুর অবস্থানের সময় অন্তরজগুলি তাৎপর্যপূর্ণঃ বেগ হল কোনও বস্তুর স্থানচ্যুতির (মূল অবস্থান থেকে দূরত্ব) অন্তরজ (সময়ের সাপেক্ষে) ত্বরণ হল কোনও বস্তুর বেগের অন্তরজ (সময়ের সাপেক্ষে), অর্থাৎ কোনও বস্তুর অবস্থানের দ্বিতীয় অন্তরজ (সময়ের সাপেক্ষে)। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও রেখার উপর কোনও বস্তুর অবস্থান দেওয়া হয় তবে বস্তুটির বেগ হল এবং বস্তুটির ত্বরণ হল যা ধ্রুবক। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল ফাংশনের সংগ্রহ এবং তাদের ডেরিভেটিভের মধ্যে একটি সম্পর্ক। একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা একটি চলকের ফাংশনকে সেই চলকের সাপেক্ষে তাদের ডেরিভেটিভের সাথে সম্পর্কিত করে। একটি পার্শিয়াল ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন হল একটি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন যা একাধিক চলকের ফাংশনকে তাদের পার্শিয়াল ডেরিভেটিভের সাথে সম্পর্কিত করে। ভৌত বিজ্ঞান, গাণিতিক মডেলিং এবং গণিতের মধ্যেই স্বাভাবিকভাবেই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদ্ভব হয়। উদাহরণস্বরূপ, নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র, যা ত্বরণ এবং বলের মধ্যে সম্পর্ককে বর্ণনা করে, তাকে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে একটি স্পেস ভেরিয়েবলের তাপ সমীকরণ, যা বর্ণনা করে যে কীভাবে একটি সোজা রডের মাধ্যমে তাপ বিচ্ছুরিত হয়, তা হল আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। গড় মূল্য উপপাদ্য গড় মূল্য উপপাদ্যটি উদ্ভূত মান এবং মূল ফাংশনের মানগুলির মধ্যে একটি সম্পর্ক প্রদান করে। যদি একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন হয় এবং এবং এর সাথে সংখ্যা হয়, তবে গড় মান উপপাদ্যটি বলে যে হালকা অনুমানের অধীনে, দুটি বিন্দুর মধ্যে ঢাল এবং এবং এর মধ্যে কোনও বিন্দুতে স্পর্শক রেখার ঢালের সমান। অন্য কথায়, বাস্তবে, গড় মান উপপাদ্য যা করে তা হল একটি ফাংশনকে তার ডেরিভেটিভের পরিপ্রেক্ষিতে নিয়ন্ত্রণ করা। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন প্রতিটি বিন্দুতে এর অন্তরজ শূন্যের সমান। এর অর্থ হল এর স্পর্শক রেখা প্রতিটি বিন্দুতে অনুভূমিক, তাই ফাংশনটিও অনুভূমিক হওয়া উচিত। গড় মান উপপাদ্য প্রমাণ করে যে এটি অবশ্যই সত্য হতে হবেঃ এর গ্রাফের যে কোনও দুটি বিন্দুর মধ্যে ঢাল অবশ্যই এর স্পর্শক রেখার একটির ঢালের সমান হতে হবে। এই সমস্ত ঢাল শূন্য, তাই গ্রাফের এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দু পর্যন্ত যে কোনও লাইনেরও ঢাল শূন্য থাকবে। কিন্তু এটি বলে যে ফাংশনটি উপরে বা নিচে সরানো হয় না, তাই এটি অবশ্যই একটি অনুভূমিক রেখা হতে হবে। ডেরিভেটিভের উপর আরও জটিল পরিস্থিতি মূল ফাংশন সম্পর্কে কম সুনির্দিষ্ট কিন্তু এখনও অত্যন্ত দরকারী তথ্যের দিকে পরিচালিত করে। টেলর পলিনোমিয়াল এবং টেলর সিরিজ ডেরিভেটিভ একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি ফাংশনের সর্বোত্তম সম্ভাব্য রৈখিক অনুমান দেয়, তবে এটি মূল ফাংশনের থেকে খুব আলাদা হতে পারে। আনুমানিক উন্নতি করার একটি উপায় হল একটি দ্বিঘাত আনুমানিক গ্রহণ করা। অর্থাৎ, বিন্দুতে একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের রৈখিককরণ একটি রৈখিক বহুপদী, এবং একটি দ্বিঘাত বহুপদী বিবেচনা করে আরও ভাল অনুমান পাওয়া সম্ভব হতে পারে। আরও ভাল হতে পারে একটি ঘন বহুপদী, এবং এই ধারণাটি নির্বিচারে উচ্চ মাত্রার বহুপদীগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। এই বহুপদগুলির প্রত্যেকটির জন্য, সহগগুলির একটি সর্বোত্তম সম্ভাব্য পছন্দ থাকা উচিত,,, এবং এটি আনুমানিককে যতটা সম্ভব ভাল করে তোলে। আশেপাশে, সর্বোত্তম সম্ভাব্য পছন্দ সর্বদা হয়, এবং সর্বোত্তম সম্ভাব্য পছন্দ সর্বদা হয়। , এবং উচ্চতর-ডিগ্রি সহগের জন্য, এই সহগগুলি এর উচ্চতর ডেরিভেটিভ দ্বারা নির্ধারিত হয়। সর্বদা হওয়া উচিত এবং সর্বদা হওয়া উচিত। এই সহগগুলি ব্যবহার করলে এর টেলর বহুপদ পাওয়া যায়। ডিগ্রির টেলর পলিনোমিয়াল হল ডিগ্রির পলিনোমিয়াল যা সর্বোত্তমভাবে আনুমানিক হয় এবং এর সহগগুলি উপরের সূত্রগুলির সাধারণীকরণের মাধ্যমে পাওয়া যায়। টেলরের উপপাদ্যটি আনুমানিক কতটা ভাল তার একটি সুনির্দিষ্ট সীমা দেয়। যদি ডিগ্রির কম বা সমান একটি বহুপদী হয়, তবে ডিগ্রির টেলর বহুপদী সমান হয়। টেলর পলিনোমিয়ালের সীমা হল টেলর সিরিজ নামে একটি অসীম সিরিজ। টেইলর সিরিজ প্রায়শই মূল ফাংশনের একটি খুব ভাল আনুমানিক। যে ফাংশনগুলি তাদের টেলর সিরিজের সমান, সেগুলিকে বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন বলা হয়। বিচ্ছিন্নতা বা তীক্ষ্ণ কোণ সহ ফাংশনগুলির জন্য বিশ্লেষণাত্মক হওয়া অসম্ভব; উপরন্তু, এমন মসৃণ ফাংশন রয়েছে যা বিশ্লেষণাত্মকও নয়। অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য কিছু প্রাকৃতিক জ্যামিতিক আকৃতি, যেমন বৃত্ত, কোনও ফাংশনের গ্রাফ হিসাবে আঁকা যায় না। উদাহরণস্বরূপ, যদি, তাহলে বৃত্তটি হল সমস্ত জোড়ার সেট। এই সেটটিকে শূন্য সেট বলা হয়, এবং এর গ্রাফের মতো নয়, যা একটি প্যারাবোলয়েড। অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য সম্পর্কগুলিকে ফাংশনে রূপান্তরিত করে। এটি বলে যে যদি ক্রমাগত ডিফারেনশিয়েবল হয়, তবে বেশিরভাগ পয়েন্টের চারপাশে, শূন্য সেটটি একসাথে আটকানো ফাংশনের গ্রাফের মতো দেখায়। যে বিন্দুগুলিতে এটি সত্য নয় সেগুলি এর ডেরিভেটিভের উপর একটি শর্ত দ্বারা নির্ধারিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, দুটি ফাংশনের গ্রাফ থেকে বৃত্তটি একসঙ্গে আটকানো যেতে পারে। এবং ব্যতীত বৃত্তের প্রতিটি বিন্দুর আশেপাশে, এই দুটি ফাংশনের মধ্যে একটির একটি গ্রাফ রয়েছে যা বৃত্তের মতো দেখায়। (এই দুটি ফাংশন মিলিত হয় এবং, কিন্তু এটি অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য দ্বারা নিশ্চিত করা হয় না।) অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্যটি বিপরীত ফাংশন উপপাদ্যের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যা বলে যে যখন কোনও ফাংশন একসাথে আটকানো বিপরীতমুখী ফাংশনের গ্রাফের মতো দেখায়। আরও দেখুন ডিফারেনশিয়াল (ক্যালকুলাস) সংখ্যাসূচক ডিফারেনশিয়েশন টেকনিকস ফর ডিফারেনশিয়েশন তালিকা ক্যালকুলাস বিষয়ের তালিকা নোটশন ফর ডিফারেনশিয়েশন নোটস রেফারেন্স সাইটেশনস ওয়ার্কস উদ্ধৃত অন্যান্য উৎস বোমান, ইউজিন এবং রবার্ট রজার্স। ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসঃ অনুশীলন থেকে তত্ত্ব পর্যন্ত। 2022, personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf। ক্যালকুলাস