Jet (mathematics)
গণিতে, জেট এমন একটি অপারেশন যা একটি ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন f নেয় এবং তার ডোমেনের প্রতিটি বিন্দুতে একটি বহুপদী, f এর কাটা টেলর বহুপদী তৈরি করে। যদিও এটি একটি জেটের সংজ্ঞা, জেটের তত্ত্ব এই বহুপদগুলিকে বহুপদী ফাংশনের পরিবর্তে বিমূর্ত বহুপদী হিসাবে বিবেচনা করে। এই নিবন্ধটি প্রথমে একটি বাস্তব চলকের মধ্যে একটি প্রকৃত মূল্যবান ফাংশনের জেটের ধারণাটি অন্বেষণ করে, তারপরে বেশ কয়েকটি বাস্তব চলকের সাধারণীকরণের আলোচনা করে। এরপরে এটি ইউক্লিডীয় স্থানগুলির মধ্যে জেট এবং জেট স্থানগুলির একটি কঠোর নির্মাণ দেয়। এটি ম্যানিফোল্ডগুলির মধ্যে জেটগুলির বিবরণ এবং কীভাবে এই জেটগুলি অভ্যন্তরীণভাবে তৈরি করা যেতে পারে তার সাথে শেষ হয়। এই আরও সাধারণ প্রসঙ্গে, এটি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বের জন্য জেটের কিছু প্রয়োগের সংক্ষিপ্তসার দেয়। ইউক্লিডীয় স্থানগুলির মধ্যে ফাংশনের জেট একটি জেটের কঠোর সংজ্ঞা দেওয়ার আগে, কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে পরীক্ষা করা দরকারী। এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে ধরুন এটি একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন যার বিন্দুর কাছাকাছি U-তে কমপক্ষে k + 1 ডেরিভেটিভ রয়েছে। তারপর টেলরের উপপাদ্য অনুসারে, যেখানে এই বিন্দুতে f-এর k-জেটকে বহুপদী জেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, সাধারণত z চলকের বিমূর্ত বহুপদী হিসাবে বিবেচিত হয়, সেই চলকের প্রকৃত বহুপদী ফাংশন হিসাবে নয়। অন্য কথায়, জেড একটি অনির্দিষ্ট পরিবর্তনশীল যা জেটগুলির মধ্যে বিভিন্ন বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে দেয়। এটি আসলে সেই ভিত্তি-বিন্দু যা থেকে জেটগুলি তাদের কার্যকরী নির্ভরতা অর্জন করে। সুতরাং, বেস-পয়েন্ট পরিবর্তন করে, একটি জেট প্রতিটি বিন্দুতে সর্বাধিক k ক্রমে একটি বহুপদী উৎপন্ন করে। এটি জেট এবং কাটা টেলর সিরিজের মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগত পার্থক্য চিহ্নিত করেঃ সাধারণত একটি টেলর সিরিজকে তার বেস-পয়েন্টের পরিবর্তে তার পরিবর্তনশীলের উপর কার্যকরীভাবে নির্ভরশীল হিসাবে বিবেচনা করা হয়। অন্যদিকে, জেটস টেলর সিরিজের বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে তাদের কার্যকরী বৈশিষ্ট্য থেকে পৃথক করে। এই পৃথকীকরণের কারণ ও প্রয়োগগুলি নিয়ে আমরা পরে প্রবন্ধে আলোচনা করব। একটি ইউক্লিডীয় স্থান থেকে অন্য একটি স্থানে ম্যাপিং ধরুন এটি একটি ইউক্লিডীয় স্থান থেকে অন্য একটি স্থানে একটি ফাংশন যার কমপক্ষে (কে + 1) ডেরিভেটিভ রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, টেলরের উপপাদ্যটি দাবি করে যে f-এর k-জেটকে তারপর যেখানে বহুপদী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। জেটগুলির বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্য জেটগুলি বহন করতে পারে এমন দুটি মৌলিক বীজগাণিতিক কাঠামো রয়েছে। প্রথমটি হল একটি পণ্য কাঠামো, যদিও শেষ পর্যন্ত এটি সবচেয়ে কম গুরুত্বপূর্ণ বলে প্রমাণিত হয়। দ্বিতীয়টি হল জেটগুলির গঠনের কাঠামো। যদি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের একটি জোড়া হয়, তবে আমরা তাদের জেটগুলির গুণফলকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি এখানে আমরা অনির্দিষ্ট z কে দমন করেছি, যেহেতু এটি বোঝা যায় যে জেটগুলি আনুষ্ঠানিক বহুপদী। এই গুণফলটি z, মডুলোর সাধারণ বহুপদের গুণফল মাত্র। অন্য কথায়, এটি বলয়ের গুণন, যেখানে বহুপদ দ্বারা উৎপন্ন আদর্শটি ≤k + 1 ক্রমের সমজাতীয়। আমরা এখন জেটগুলির গঠনে চলে যাই। অপ্রয়োজনীয় প্রযুক্তিগততা এড়ানোর জন্য, আমরা এমন অনেকগুলি ফাংশন বিবেচনা করি যা উৎসের মানচিত্র তৈরি করে। যদি এবং f (0) = 0 এবং g (0) = 0 দিয়ে, তাহলে। জেটগুলির গঠন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় এটি সহজেই যাচাই করা হয়, চেইন নিয়ম ব্যবহার করে, যে এটি উৎপত্তিস্থলে জেটগুলির স্থানে একটি সহযোগী অ-বিনিময়মূলক অপারেশন গঠন করে। প্রকৃতপক্ষে, কে-জেটের গঠন বহুপদ মডুলোর গঠন ছাড়া আর কিছুই নয়, যা ক্রমের সমজাতীয় বহুপদের আদর্শ। উদাহরণস্বরূপঃ একটি মাত্রায়, এবং। তারপর এবং ইউক্লিডীয় স্থানের একটি বিন্দুতে জেটসঃ কঠোর সংজ্ঞা বিশ্লেষণাত্মক সংজ্ঞা নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি জেট এবং জেট স্পেস সংজ্ঞায়িত করতে গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে ধারণাগুলি ব্যবহার করে। এটি বানাচ স্পেসের মধ্যে মসৃণ ফাংশন, বাস্তব বা জটিল ডোমেনের মধ্যে বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন, পি-এডিক বিশ্লেষণ এবং বিশ্লেষণের অন্যান্য ক্ষেত্রগুলিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। মসৃণ ফাংশনের ভেক্টর স্থান হিসাবে ধরা যাক। ধরা যাক k একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং p একটি বিন্দু। আমরা এই স্থানে একটি সমতুল্য সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে ঘোষণা করি যে দুটি ফাংশন f এবং g অর্ডার k-এর সমতুল্য যদি f এবং g-এর p-তে একই মান থাকে এবং তাদের সমস্ত আংশিক ডেরিভেটিভস তাদের k-তম-অর্ডার ডেরিভেটিভস পর্যন্ত (এবং সহ) সম্মত হয়। সংক্ষেপে, আই. এফ. এফ থেকে কে-তম ক্রম। পি-তে কে-থ-অর্ডার জেট স্পেসকে সমতুল্য শ্রেণীর সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি মসৃণ ফাংশনের পি-তে কে-থ-অর্ডার জেটকে এফ-এর সমতুল্য শ্রেণী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অ্যালজেব্রো-জ্যামিতিক সংজ্ঞা নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি একটি জেট এবং একটি জেট স্পেসের ধারণা প্রতিষ্ঠার জন্য বীজগাণিতিক জ্যামিতি এবং বিনিময়যোগ্য বীজগণিত থেকে ধারণাগুলি ব্যবহার করে। যদিও এই সংজ্ঞাটি বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে ব্যবহারের জন্য বিশেষভাবে উপযুক্ত নয়, যেহেতু এটি মসৃণ বিভাগে ঢালাই করা হয়েছে, এটি সহজেই এই ধরনের ব্যবহারের উপযোগী করা যেতে পারে। একটি বিন্দু p-এ মসৃণ ফাংশনের জীবাণুগুলির ভেক্টর স্থান হিসাবে ধরা যাক। ফাংশনের জীবাণুগুলির সমন্বয়ে গঠিত আদর্শটি হতে দিন যা পি-তে অদৃশ্য হয়ে যায় (এটি স্থানীয় বলয়ের জন্য সর্বাধিক আদর্শ।) তারপর আদর্শটি সমস্ত ফাংশন জীবাণু নিয়ে গঠিত যা p-তে k ক্রমানুসারে অদৃশ্য হয়ে যায়। আমরা এখন p-এ জেট স্পেসকে p দ্বারা সংজ্ঞায়িত করতে পারি। যদি একটি মসৃণ ফাংশন হয়, আমরা p-এ f-এর k-জেটকে সেটিং দ্বারা উপাদান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। এটি আরও সাধারণ গঠন। একটি-স্পেসের জন্য, কাঠামোর শেফের ডাল হতে দিন এবং স্থানীয় বলয়ের সর্বোচ্চ আদর্শ হতে দিন। kth জেট স্থানটিকে বলয় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (আদর্শের গুণফল)। টেলরের উপপাদ্য সংজ্ঞা নির্বিশেষে, টেলরের উপপাদ্য এবং এর মধ্যে ভেক্টর স্পেসের একটি ক্যানোনিকাল আইসোমরফিজম প্রতিষ্ঠা করে। সুতরাং ইউক্লিডীয় প্রসঙ্গে, জেটগুলি সাধারণত এই সমরূপতার অধীনে তাদের বহুপদী প্রতিনিধিদের সাথে চিহ্নিত করা হয়। একটি বিন্দু থেকে একটি বিন্দু পর্যন্ত জেট স্পেস আমরা একটি বিন্দুতে জেটের স্থান সংজ্ঞায়িত করেছি। এর সাবস্পেস f ফাংশনের জেট নিয়ে গঠিত যাতে f (p) = q দুটি ম্যানিফোল্ডের মধ্যে ফাংশনের জেট দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যদি M এবং N দুটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড হয়, তাহলে আমরা কীভাবে একটি ফাংশনের জেট সংজ্ঞায়িত করব? আমরা সম্ভবত এম এবং এন-এর উপর স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে এই ধরনের জেটকে সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করতে পারি। এর অসুবিধা হল জেটগুলিকে এইভাবে একটি অপরিবর্তনীয় পদ্ধতিতে সংজ্ঞায়িত করা যায় না। জেটগুলি টেনসর হিসাবে রূপান্তরিত হয় না। পরিবর্তে, দুটি ম্যানিফোল্ডের মধ্যে ফাংশনের জেটগুলি একটি জেট বান্ডেলের অন্তর্গত। বাস্তব রেখা থেকে বহুগুণ পর্যন্ত ফাংশনের জেট ধরা যাক যে, এম একটি মসৃণ বহুগুণ যার একটি বিন্দু পি রয়েছে। আমরা পি-এর মধ্য দিয়ে বক্ররেখার জেটগুলি সংজ্ঞায়িত করব, যার দ্বারা আমরা এখন থেকে মসৃণ ফাংশন বোঝাতে চাই যেমন f (0) = p। নিম্নরূপ একটি সমতুল্য সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করুন। ধরা যাক f এবং g হল p এর মধ্য দিয়ে এক জোড়া বক্ররেখা। তারপর আমরা বলব যে f এবং g হল p তে k ক্রমের সমতুল্য, যদি p এর কিছু প্রতিবেশী U থাকে, যেমন, প্রতিটি মসৃণ ফাংশনের জন্য,। লক্ষ্য করুন যে এই জেটগুলি যৌগিক ফাংশনগুলির থেকে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত এবং আসল লাইন থেকে নিজের কাছে কেবল ম্যাপিং। এই সমতুল্য সম্পর্ককে কখনও কখনও p-তে বক্ররেখার মধ্যে k-তম-ক্রমের যোগাযোগ বলা হয়। আমরা এখন f থেকে p-এর মধ্যে একটি বক্ররেখার k-জেটকে f-এর সমতুল্য শ্রেণী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি, চিহ্নিত বা। কে-থ-অর্ডার জেট স্পেস তখন পি-তে কে-জেটের সেট হয়। যেহেতু পি এম-এর উপর পরিবর্তিত হয়, এম-এর উপর একটি ফাইবার বান্ডিল গঠন করেঃ কে-থ-অর্ডার স্পর্শক বান্ডিল, যা প্রায়শই সাহিত্যে টি কে এম দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (যদিও এই স্বরলিপি মাঝে মাঝে বিভ্রান্তির কারণ হতে পারে)। k = 1-এর ক্ষেত্রে, প্রথম-ক্রমের স্পর্শক বান্ডিলটি হল সাধারণ স্পর্শক বান্ডিলঃ T1M = TM। টি. কে. এম আসলে একটি তন্তুর বান্ডিল তা প্রমাণ করার জন্য, স্থানীয় স্থানাঙ্কের বৈশিষ্ট্যগুলি পরীক্ষা করা শিক্ষণীয়। ধরা যাক (xi) = (x1,., xn) একটি স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা যা M-এর জন্য p-এর U-এর আশেপাশে। স্বরলিপির সামান্য অপব্যবহার করে, আমরা (xi)-কে একটি স্থানীয় ডিফিয়োমরফিজম হিসাবে বিবেচনা করতে পারি। দাবি জানান। দুটি বক্ররেখা f এবং g থেকে p সমতুল্য মডুলো হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি। প্রকৃতপক্ষে, একমাত্র যদি অংশটি পরিষ্কার হয়, যেহেতু প্রতিটি n ফাংশন x1,., xn হল M থেকে M পর্যন্ত একটি মসৃণ ফাংশন। সুতরাং সমতুল্য সম্পর্কের সংজ্ঞা অনুসারে, দুটি সমতুল্য বক্ররেখা অবশ্যই থাকতে হবে। বিপরীতভাবে, ধরুন যে; হল p-এর আশেপাশে M-এর উপর একটি মসৃণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন। যেহেতু প্রতিটি মসৃণ ফাংশনের একটি স্থানীয় স্থানাঙ্ক অভিব্যক্তি থাকে, তাই আমরা স্থানাঙ্কে একটি ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করতে পারি। বিশেষত, যদি q হল p-এর কাছাকাছি M-এর একটি বিন্দু, তবে n বাস্তব চলকের কিছু মসৃণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের জন্য। সুতরাং, দুটি বক্ররেখার জন্য f এবং g থেকে p, আমাদের কাছে রয়েছে চেইন রুল এখন দাবির যদি অংশটি প্রতিষ্ঠা করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি f এবং g প্রকৃত পরিবর্তনশীল t-এর ফাংশন হয়, তবে যা f-এর পরিবর্তে g-এর বিপরীতে মূল্যায়ন করার সময় একই অভিব্যক্তিটির সমান, স্মরণ করে যে f (0) = g (0) = p এবং f এবং g স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় (xi) k-তম-ক্রমের সংস্পর্শে রয়েছে। তাই আপাতদৃষ্টিতে ফাইবারের বান্ডিল টি. কে. এম প্রতিটি সমন্বিত পাড়ায় একটি স্থানীয় তুচ্ছকরণ স্বীকার করে। এই মুহুর্তে, প্রমাণ করার জন্য যে এই আপাত ফাইবারের বান্ডিলটি আসলে একটি ফাইবারের বান্ডিল, এটি প্রতিষ্ঠিত করার জন্য যথেষ্ট যে স্থানাঙ্ক পরিবর্তনের অধীনে এটির অ-একক রূপান্তর ফাংশন রয়েছে। ধরা যাক একটি ভিন্ন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা এবং ইউক্লিডীয় স্থানের স্থানাঙ্ক ডিফিয়োমরফিজমের সম্পর্কিত পরিবর্তন। এর একটি অ্যাফিন রূপান্তরের মাধ্যমে, আমরা সাধারণতা না হারিয়ে ধরে নিতে পারি যে ρ (0) = 0। এই অনুমানের সাথে, এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে জেট গঠনের অধীনে এটি একটি বিপরীতমুখী রূপান্তর। (জেট গ্রুপগুলিও দেখুন।) কিন্তু যেহেতু ρ একটি ডিফিয়োমরফিজম, তাই এটি একটি মসৃণ ম্যাপিংও। সুতরাং, যা প্রমাণ করে যে এটি অ-একক। উপরন্তু, এটি মসৃণ, যদিও আমরা এখানে সেই সত্যটি প্রমাণ করি না। স্বজ্ঞাতভাবে, এর অর্থ হল যে আমরা একটি বক্ররেখার জেটকে তার টেলর সিরিজের পরিপ্রেক্ষিতে এম-এর স্থানীয় স্থানাঙ্কে প্রকাশ করতে পারি। স্থানীয় স্থানাঙ্কে উদাহরণস্বরূপঃ পূর্বে যেমন নির্দেশিত হয়েছে, পি-এর মধ্য দিয়ে একটি বক্ররেখার 1-জেট একটি স্পর্শক ভেক্টর। পি-তে একটি স্পর্শক ভেক্টর হল একটি প্রথম-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল অপারেটর যা পি-তে মসৃণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের উপর কাজ করে। স্থানীয় স্থানাঙ্কে, প্রতিটি স্পর্শক ভেক্টরের রূপ থাকে এই ধরনের একটি স্পর্শক ভেক্টর দেওয়া হলে, ধরা যাক xi স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্রদত্ত বক্ররেখা হল f। যদি φ, φ (p) = 0 সহ p এর আশেপাশে একটি মসৃণ ফাংশন হয়, তবে একটি চলকের একটি মসৃণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন যার দ্বারা 1-জেট দেওয়া হয় যা প্রমাণ করে যে কেউ স্বাভাবিকভাবেই সেই বিন্দুর মধ্য দিয়ে 1-জেট বক্ররেখা সহ একটি বিন্দুতে স্পর্শক ভেক্টর সনাক্ত করতে পারে। একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে 2-জেট বক্ররেখার স্থান। একটি স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় xi একটি বিন্দু p-কে কেন্দ্র করে, আমরা একটি বক্ররেখা f (t)-এর দ্বিতীয় ক্রমের টেলর বহুপদীকে p দ্বারা প্রকাশ করতে পারি। একটি বিন্দুতে স্পর্শক ভেক্টরগুলির (বক্ররেখার 1-জেট) মতো, বক্ররেখার 2-জেটগুলি স্থানাঙ্ক রূপান্তর ফাংশনের প্রয়োগের উপর একটি রূপান্তর আইন মেনে চলে। ধরা যাক (yi) আরেকটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা। শৃঙ্খল নিয়ম অনুসারে, তাই, এই দুটি অভিব্যক্তি t = 0-এ মূল্যায়ন করে রূপান্তর সূত্রটি দেওয়া হয়। লক্ষ্য করুন যে 2-জেটের জন্য রূপান্তর আইনটি স্থানাঙ্ক রূপান্তর ফাংশনে দ্বিতীয় ক্রম। একটি ম্যানিফোল্ড থেকে একটি ম্যানিফোল্ড পর্যন্ত ফাংশনের জেট আমরা এখন একটি ফাংশনের জেটকে ম্যানিফোল্ড থেকে ম্যানিফোল্ড পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করতে প্রস্তুত। ধরুন, এম এবং এন দুটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড। ধরা যাক 'পি' হল 'এম'-এর একটি বিন্দু। 'পি'-এর আশেপাশে সংজ্ঞায়িত মসৃণ মানচিত্রের সমন্বয়ে গঠিত স্থানটি বিবেচনা করুন। আমরা নিম্নরূপ একটি সমতুল্য সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করি। দুটি মানচিত্র f এবং g-কে সমতুল্য বলা হয় যদি, γ থেকে p পর্যন্ত প্রতিটি বক্ররেখার জন্য (মনে রাখবেন যে আমাদের নিয়মাবলী অনুসারে এটি এমন একটি মানচিত্র), আমাদের 0-এর কিছু আশেপাশে থাকে। জেট স্থানটি তখন সমতুল্য সম্পর্কের মডুলোর সমতুল্য শ্রেণীর সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। লক্ষ্য করুন যে, যেহেতু লক্ষ্য স্থান N-এর কোনও বীজগাণিতিক কাঠামো থাকার প্রয়োজন নেই, তাই এই ধরনের কাঠামো থাকারও প্রয়োজন নেই। প্রকৃতপক্ষে, এটি ইউক্লিডীয় স্থানগুলির ক্ষেত্রে একটি তীব্র বৈপরীত্য। যদি p-এর কাছাকাছি একটি মসৃণ ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে আমরা p-এ f-এর k-জেটকে f মডুলোর সমতুল্য শ্রেণী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি। মাল্টিজেট জন ম্যাথার মাল্টিজেটের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন। আলগাভাবে বলতে গেলে, একটি মাল্টিজেট হল বিভিন্ন বেস-পয়েন্টের উপর জেটগুলির একটি সীমাবদ্ধ তালিকা। ম্যাথার মাল্টিজেট ট্রান্সভার্স্যালিটি উপপাদ্যটি প্রমাণ করেছিলেন, যা তিনি তাঁর স্থিতিশীল ম্যাপিং অধ্যয়নে ব্যবহার করেছিলেন। ধার্য করুন যে, ই একটি বহুগুণিত এম-এর উপর প্রজেকশন সহ একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক মসৃণ ভেক্টর বান্ডিল। তারপর E-এর বিভাগগুলি মসৃণ ফাংশন যেমন M-এর আইডেন্টিটি অটোমরফিজম। একটি বিন্দু p-এর আশেপাশে একটি বিভাগের জেট হল p-এ M থেকে E পর্যন্ত এই মসৃণ ফাংশনের জেট। p-এ বিভাগের জেটগুলির স্থান দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যদিও এই স্বরলিপি দুটি ম্যানিফোল্ডের মধ্যে ফাংশনের আরও সাধারণ জেট স্পেসের সাথে বিভ্রান্তির সৃষ্টি করতে পারে, তবে প্রসঙ্গটি সাধারণত এই ধরনের কোনও অস্পষ্টতা দূর করে। একটি ম্যানিফোল্ড থেকে অন্য ম্যানিফোল্ডে ফাংশনের জেটগুলির বিপরীতে, পি-তে বিভাগগুলির জেটগুলির স্থানগুলি ভেক্টর স্পেস স্ট্রাকচার থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে প্রাপ্ত একটি ভেক্টর স্পেসের কাঠামো বহন করে। যেহেতু এম-এর উপর পি পরিবর্তিত হয়, জেট স্পেসগুলি এম-এর উপর একটি ভেক্টর বান্ডিল গঠন করে, ই-এর কে-থ-অর্ডার জেট বান্ডিল, যা জে কে (ই) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপঃ স্পর্শক বান্ডিলের প্রথম-ক্রমের জেট বান্ডিল। আমরা একটি বিন্দুতে স্থানীয় স্থানাঙ্কে কাজ করি এবং আইনস্টাইনের স্বরলিপি ব্যবহার করি। এম-এ পি-এর আশেপাশে একটি ভেক্টর ক্ষেত্র বিবেচনা করুন। ভেক্টর ক্ষেত্রের সহগগুলির প্রথম ক্রমের টেলর বহুপদী গ্রহণ করে ভি-এর 1-জেট পাওয়া যায়ঃ এক্স স্থানাঙ্কে, একটি বিন্দুতে 1-জেটকে বাস্তব সংখ্যার তালিকা দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। একইভাবে যে কোনও বিন্দুতে একটি স্পর্শক ভেক্টরকে তালিকা (vi) দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যা স্থানাঙ্ক পরিবর্তনের অধীনে একটি নির্দিষ্ট রূপান্তর আইনের সাপেক্ষে, আমাদের জানতে হবে যে তালিকাটি কীভাবে একটি রূপান্তর দ্বারা প্রভাবিত হয়। সুতরাং অন্য স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় যাওয়ার ক্ষেত্রে রূপান্তর আইনটি বিবেচনা করুন। ধরা যাক wk হল y স্থানাঙ্কে ভেক্টর ক্ষেত্র v-এর সহগ। তারপর y স্থানাঙ্কে, v-এর 1-জেট হল বাস্তব সংখ্যার একটি নতুন তালিকা। যেহেতু এটি অনুসরণ করে তাই একটি টেলর সিরিজ দ্বারা প্রসারিত, আমাদের মনে রাখতে হবে যে রূপান্তর আইনটি স্থানাঙ্ক রূপান্তর ফাংশনে দ্বিতীয় ক্রম। ভেক্টর বান্ডিলগুলির মধ্যে ডিফারেনশিয়াল অপারেটর আরও দেখুন জেট গ্রুপ জেট বান্ডিল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সিস্টেম রেফারেন্স ক্রাসিল 'শচিক, আই. এস., ভিনোগ্রাদভ, এ. এম., [এবং অন্যান্য। ], গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য প্রতিসাম্য এবং সংরক্ষণ আইন, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি, প্রভিডেন্স, আরআই, 1999,। কোলার, আই., মিচর, পি., স্লোভাক, জে., ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে প্রাকৃতিক ক্রিয়াকলাপ। স্প্রিংগার-ভার্লাগঃ বার্লিন হাইডেলবার্গ, 1993। সান্ডার্স, ডি. জে., দ্য জ্যামিতি অফ জেট বান্ডেলস, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1989, ওলভার, পি. জে., ইকুইভ্যালেন্স, ইনভ্যারিয়েন্টস অ্যান্ড সিমেট্রি, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1995, সারদানাসভিলি, জি., অ্যাডভান্সড ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি ফর থিওরেটিসিয়ানসঃ ফাইবার বান্ডেলস, জেট ম্যানিফোল্ডস অ্যান্ড ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান থিওরি, ল্যামবার্ট অ্যাকাডেমিক পাবলিশিং, 2013,; ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি স্মুথ ফাংশন সিঙ্গুলারিটি থিওরি