Complete lattice
গণিতে, একটি সম্পূর্ণ জাল হল একটি আংশিক ক্রমযুক্ত সেট যেখানে সমস্ত উপসেটগুলির একটি সুপ্রিমাম (জয়েন) এবং একটি অসীম (মিট) উভয়ই থাকে। একটি জাল যা এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটিকে সন্তুষ্ট করে তা শর্তাধীনভাবে সম্পূর্ণ জাল হিসাবে পরিচিত। তুলনার জন্য, একটি সাধারণ জালিতে, শুধুমাত্র এক জোড়া উপাদানের একটি সর্বোচ্চ এবং একটি অসীম থাকা প্রয়োজন। প্রতিটি অ-খালি সসীম জাল সম্পূর্ণ, তবে অসীম জাল অসম্পূর্ণ হতে পারে। গণিত এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের অনেক প্রয়োগে সম্পূর্ণ জাল দেখা যায়। জালকের একটি বিশেষ উদাহরণ হওয়ায় এগুলি ক্রম তত্ত্ব এবং সর্বজনীন বীজগণিত উভয় ক্ষেত্রেই অধ্যয়ন করা হয়। সম্পূর্ণ ল্যাটিসগুলি সম্পূর্ণ আংশিক অর্ডার (সি. পি. ও)-এর সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয়, যা আংশিকভাবে অর্ডার করা সেটগুলির একটি কঠোরভাবে আরও সাধারণ শ্রেণী গঠন করে। আরও সুনির্দিষ্ট সম্পূর্ণ জালগুলি হল সম্পূর্ণ বুলিয়ান বীজগণিত এবং সম্পূর্ণ হেইটিং বীজগণিত। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি আংশিকভাবে সাজানো সেট (এল, ≤) হল একটি সম্পূর্ণ জাল, যদি এল-এর প্রতিটি উপসেট এ-এর একটি সর্বশ্রেষ্ঠ নিম্ন সীমা (অসীম, যাকে মিলিতও বলা হয়) এবং (এল, ≤)-এর মধ্যে একটি সর্বনিম্ন উপরের সীমা (সর্বোচ্চ, যাকে যোগও বলা হয়) উভয়ই থাকে। মিলনকে দ্বারা এবং যোগদানকে দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে এ হল খালি সেট, সেখানে এ-এর মিলন হবে এল-এর সবচেয়ে বড় উপাদান। একইভাবে, খালি সেটের যোগ সবচেয়ে কম উপাদান দেয়। যেহেতু সংজ্ঞাটি বাইনারি মিলিত এবং সংযুক্তির অস্তিত্বের আশ্বাস দেয়, তাই সম্পূর্ণ জালগুলি এইভাবে আবদ্ধ জালগুলির একটি বিশেষ শ্রেণী গঠন করে। ক্রম তত্ত্বে সম্পূর্ণতার বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত নিবন্ধে উপরের সংজ্ঞাটির আরও প্রভাব নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। সম্পূর্ণ সেমিল্যাটিস ক্রম তত্ত্বে, নির্বিচারে মিলিত হওয়া নির্বিচারে সংযুক্তির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং তদ্বিপরীত (বিস্তারিত জানার জন্য, সম্পূর্ণতা (ক্রম তত্ত্ব) দেখুন)। ফলস্বরূপ, এর অর্থ হল সমস্ত সম্পূর্ণ জালের শ্রেণী প্রাপ্ত করার জন্য সমস্ত মিলিত বা সমস্ত সংযুক্তির অস্তিত্বের প্রয়োজন। ফলস্বরূপ, কিছু লেখক সম্পূর্ণ মিলিত-সামঞ্জস্য বা সম্পূর্ণ সংযুক্ত-সামঞ্জস্য শব্দগুলি সম্পূর্ণ জালগুলিকে বোঝানোর আরেকটি উপায় হিসাবে ব্যবহার করেন। বস্তুর ক্ষেত্রে একই রকম হলেও, পদগুলি সমরূপতার বিভিন্ন ধারণাকে বোঝায়, যা নীচের বিভাগে মরফিজম সম্পর্কে ব্যাখ্যা করা হবে। অন্যদিকে, কিছু লেখকের মরফিজমের এই পার্থক্যের কোনও ব্যবহার নেই (বিশেষত যেহেতু "সম্পূর্ণ সেমিল্যাটিস মরফিজম"-এর উদীয়মান ধারণাগুলি সাধারণ পরিভাষায়ও নির্দিষ্ট করা যেতে পারে)। ফলস্বরূপ, সম্পূর্ণ মিট-সেমিলেটিসগুলিকে সেই মিট-সেমিলেটিস হিসাবেও সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যা সম্পূর্ণ আংশিক অর্ডারও। এই ধারণাটি যুক্তিযুক্তভাবে একটি মিলিত-সামঞ্জস্যের "সবচেয়ে সম্পূর্ণ" ধারণা যা এখনও একটি জাল নয় (আসলে, শুধুমাত্র শীর্ষ উপাদানটি অনুপস্থিত থাকতে পারে)। এই আলোচনাটি সেমিলেটিস সম্পর্কিত নিবন্ধেও পাওয়া যায়। সম্পূর্ণ সাবল্যাটিস একটি সম্পূর্ণ ল্যাটিস এল-এর একটি সাবল্যাটিস এম-কে বলা হয় এল-এর একটি সম্পূর্ণ সাবল্যাটিস যদি এম-এর প্রতিটি উপসেট এ-এর জন্য উপাদানগুলি এবং এল-এ সংজ্ঞায়িত হিসাবে প্রকৃতপক্ষে এম-এ থাকে। যদি উপরের প্রয়োজনীয়তাটি কেবল খালি না হওয়ার জন্য হ্রাস করা হয় এবং এম-এ যুক্ত হয়, তবে সাবল্যাটিস এম-কে এল-এর একটি বদ্ধ সাবল্যাটিস বলা হয়। শর্তসাপেক্ষভাবে সম্পূর্ণ ল্যাটিস একটি ল্যাটিসকে "শর্তসাপেক্ষভাবে সম্পূর্ণ" বলা হয় যদি এটি নিম্নলিখিত উভয় বা উভয় বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করেঃ উপরে আবদ্ধ যে কোনও উপসেটের সর্বনিম্ন উপরের সীমা থাকে। একটি প্রদত্ত সেটের পাওয়ার সেট, যা অন্তর্ভুক্তি দ্বারা অর্ডার করা হয়। সর্বোচ্চতা ইউনিয়ন দ্বারা এবং অসীম উপসেটগুলির ছেদ দ্বারা দেওয়া হয়। একক ব্যবধান [0,1] এবং বর্ধিত বাস্তব সংখ্যা রেখা, পরিচিত মোট ক্রম এবং সাধারণ সর্বোচ্চ এবং অসীম সহ। প্রকৃতপক্ষে, একটি সম্পূর্ণরূপে ক্রমবদ্ধ সেট (তার ক্রম টপোলজি সহ) একটি টপোলজিকাল স্পেস হিসাবে কম্প্যাক্ট হয় যদি এটি একটি জাল হিসাবে সম্পূর্ণ হয়। অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, বিভাজ্যতা দ্বারা ক্রমবদ্ধ। এই জালের সর্বনিম্ন উপাদান হল 1 নম্বর, কারণ এটি অন্য কোনও সংখ্যাকে ভাগ করে। সম্ভবত আশ্চর্যজনকভাবে, সবচেয়ে বড় উপাদানটি হল 0, কারণ এটি অন্য যে কোনও সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে। সসীম সেটগুলির সর্বোচ্চতা সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক দ্বারা এবং সর্বাধিক সাধারণ বিভাজক দ্বারা অসীম দেওয়া হয়। অসীম সেটের জন্য, সর্বোচ্চ সর্বদা 0 হবে এবং অসীম 1 এর চেয়ে বেশি হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত জোড় সংখ্যার সেটের বৃহত্তম সাধারণ বিভাজক হিসাবে 2 রয়েছে। যদি এই কাঠামো থেকে 0 সরানো হয় তবে এটি একটি জাল হিসাবে রয়ে যায় তবে সম্পূর্ণ হওয়া বন্ধ করে দেয়। অন্তর্ভুক্তির অধীনে যে কোনও প্রদত্ত গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠী। (যদিও এখানে অসীম হল সাধারণ সেট-তাত্ত্বিক ছেদ, উপগোষ্ঠীর একটি সেটের সর্বোচ্চ হল উপগোষ্ঠীর সেট-তাত্ত্বিক মিলন দ্বারা উত্পন্ন উপগোষ্ঠী, সেট-তাত্ত্বিক মিলন নিজেই নয়।) যদি ই হল জি-এর পরিচয় হয়, তবে তুচ্ছ গোষ্ঠী {ই} হল জি-এর সর্বনিম্ন উপগোষ্ঠী, যেখানে সর্বাধিক উপগোষ্ঠী হল গ্রুপ জি নিজেই। একটি মডিউলের সাব-মডিউল, যা অন্তর্ভুক্তি দ্বারা ক্রমবদ্ধ করা হয়। সর্বোত্তমটি উপ-মডিউলগুলির যোগফল দ্বারা এবং অসীমটি ছেদ দ্বারা দেওয়া হয়। একটি বলয়ের আদর্শ, যা অন্তর্ভুক্তি দ্বারা ক্রমবদ্ধ করা হয়। আদর্শের সমষ্টি দ্বারা সর্বোচ্চ এবং ছেদ দ্বারা অসীম দেওয়া হয়। একটি টপোলজিকাল স্থানের খোলা সেট, অন্তর্ভুক্তি দ্বারা আদেশিত। উন্মুক্ত সেটগুলির মিলন দ্বারা সর্বোচ্চ এবং ছেদটির অভ্যন্তর দ্বারা অসীম দেওয়া হয়। একটি বাস্তব বা জটিল ভেক্টর স্থানের উত্তল উপসেট, যা অন্তর্ভুক্তি দ্বারা ক্রমযুক্ত। অসীমটি উত্তল সেটগুলির ছেদ এবং ইউনিয়নের উত্তল হুল দ্বারা সর্বোচ্চ দ্বারা দেওয়া হয়। একটি সেটে টপোলজি, অন্তর্ভুক্তি দ্বারা ক্রমবদ্ধ। টপোলজির ছেদ দ্বারা অসীম এবং টপোলজির মিলন দ্বারা উত্পন্ন টপোলজি দ্বারা সর্বোচ্চ দেওয়া হয়। একটি সেটে সমস্ত ক্ষণস্থায়ী সম্পর্কের জাল। একটি মাল্টিসেটের সমস্ত উপ-মাল্টিসেটের জাল। একটি সেটের সমস্ত সমতুল্য সম্পর্কের জাল; সমতুল্য সম্পর্ক ~ কে ≈ এর চেয়ে ছোট (বা "সূক্ষ্ম") হিসাবে বিবেচনা করা হয় যদি x ~ y সর্বদা x ≈ y বোঝায়। ভন নিউম্যান বীজগণিতের স্ব-সংযুক্ত অভিক্ষেপের জাল (অর্থোগোনাল অভিক্ষেপ নামেও পরিচিত)। স্থানীয়ভাবে সসীম সম্পূর্ণ জাল একটি সম্পূর্ণ জাল L কে স্থানীয়ভাবে সসীম বলা হয় যদি কোনও অসীম উপসেটের সর্বোচ্চতা 1 এর সমান হয়, বা সমতুল্যভাবে, সেটটি যে কোনওটির জন্য সসীম হয়। জালটি (এন,।) স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ। এই জালিতে, সাধারণত "0" চিহ্নিত উপাদানটি আসলে 1 এবং তদ্বিপরীত। সম্পূর্ণ জালের অঙ্গসংস্থান সম্পূর্ণ জালের মধ্যে প্রচলিত অঙ্গসংস্থানগুলি হল সম্পূর্ণ সমরূপতা (বা সম্পূর্ণ জাল সমরূপতা)। এগুলি এমন ফাংশন হিসাবে চিহ্নিত করা হয় যা সমস্ত সংযোগ এবং সমস্ত মিলিত সংরক্ষণ করে। স্পষ্টতই, এর অর্থ হল যে দুটি সম্পূর্ণ ল্যাটিস এল এবং এম-এর মধ্যে একটি ফাংশন f: L → M একটি সম্পূর্ণ সমরূপতা যদি এবং, এল-এর সমস্ত উপসেট এ-এর জন্য। এই ধরনের ফাংশনগুলি স্বয়ংক্রিয়ভাবে একঘেয়ে হয়, তবে সম্পূর্ণ সমরূপতা হওয়ার শর্ত আসলে অনেক বেশি নির্দিষ্ট। এই কারণে, অঙ্গসংস্থানের দুর্বল ধারণাগুলি বিবেচনা করা দরকারী হতে পারে, যা কেবল সমস্ত সংযোগ (একটি বিভাগ সুপার প্রদান) বা সমস্ত পূরণ (একটি বিভাগ ইনফ প্রদান) সংরক্ষণের জন্য প্রয়োজন, যা প্রকৃতপক্ষে অসম শর্ত। এই ধারণাকে যথাক্রমে সম্পূর্ণ মিলিত-সমস্থানিক বা সম্পূর্ণ সংযুক্ত-সমস্থানিকগুলির সমরূপতা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। গ্যালোয়া সংযোগ এবং সংলগ্নতা উপরন্তু, যে অঙ্গসংস্থানগুলি সমস্ত সংযোগগুলি সংরক্ষণ করে সেগুলি সমতুল্যভাবে একটি অনন্য গ্যালোয়া সংযোগের নিম্ন সংলগ্ন অংশ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। যে কোনও জোড়া প্রিঅর্ডার পি এবং কিউ-এর জন্য, এগুলি f এবং g একজোড়া মনোটোন ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় যাতে যেখানে f-কে নিম্ন সংলগ্ন বলা হয় এবং g-কে উপরের সংযুক্ত বলা হয়। অ্যাডজয়েন্ট ফাঙ্কটর উপপাদ্য অনুসারে, যে কোনও জোড়া প্রি-অর্ডারের মধ্যে একটি মনোটোন মানচিত্র সমস্ত সংযোগ সংরক্ষণ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি নিম্ন সংলগ্ন হয়, এবং সংরক্ষণ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি উপরের সংলগ্ন হয়। এইভাবে, প্রতিটি সংযুক্তি-সংরক্ষণকারী অঙ্গসংস্থান বিপরীত দিকে একটি অনন্য উপরের সংলগ্নতা নির্ধারণ করে যা সমস্ত মিলিত স্থান সংরক্ষণ করে। অতএব, সম্পূর্ণ সেমিল্যাটিস মরফিজম সহ সম্পূর্ণ ল্যাটিসগুলি বিবেচনা করা গ্যালোইস সংযোগগুলিকে মরফিজম হিসাবে বিবেচনা করার জন্য ফোটে। এটি এই অন্তর্দৃষ্টিও দেয় যে প্রবর্তিত মরফিজমগুলি মূলত সম্পূর্ণ ল্যাটিসের মাত্র দুটি ভিন্ন বিভাগকে বর্ণনা করেঃ একটি সম্পূর্ণ সমরূপতা সহ এবং একটি মিলিত-সংরক্ষণ ফাংশন (উপরের সংলগ্ন) সহ, সংযুক্ত-সংরক্ষণকারী ম্যাপিং (নীচের সংলগ্ন) সহ দ্বৈত। একটি বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ কেস হল উপসেট পি (এক্স) এবং পি (ওয়াই)-এর জাল এবং এক্স থেকে ওয়াই পর্যন্ত একটি ফাংশনের জন্য। এই ক্ষেত্রে, পাওয়ার সেটগুলির মধ্যে সরাসরি চিত্র এবং বিপরীত চিত্র মানচিত্রগুলি যথাক্রমে একে অপরের উপরের এবং নীচের সংলগ্ন। মুক্ত নির্মাণ এবং সমাপ্তি মুক্ত "সম্পূর্ণ সেমিলেটিস" যথারীতি, মুক্ত বস্তুর নির্মাণ নির্বাচিত শ্রেণীর মরফিজমের উপর নির্ভর করে। আসুন প্রথমে এমন ফাংশনগুলি বিবেচনা করি যা সমস্ত সংযোগগুলি সংরক্ষণ করে (অর্থাৎ। গ্যালোইস সংযোগের নিম্ন সংলগ্ন), যেহেতু এই ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ সমরূপতার পরিস্থিতির চেয়ে সহজ। পূর্বোক্ত পরিভাষাটি ব্যবহার করে, এটিকে একটি মুক্ত সম্পূর্ণ জয়েন-সেমিলেটিস বলা যেতে পারে। সার্বজনীন বীজগণিত থেকে স্ট্যান্ডার্ড সংজ্ঞা ব্যবহার করে, একটি উৎপাদনকারী সেট S-এর উপর একটি মুক্ত সম্পূর্ণ জাল হল একটি সম্পূর্ণ জাল যার সাথে একটি ফাংশন i: S → L রয়েছে, যাতে S থেকে কোনও সম্পূর্ণ জাল M-এর অন্তর্নিহিত সেট পর্যন্ত যে কোনও ফাংশন f-কে L থেকে M পর্যন্ত একটি অঙ্গসংস্থান f°-এর মাধ্যমে অনন্যভাবে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে। ভিন্নভাবে বলা যায়, S-এর প্রতিটি উপাদান s-এর জন্য আমরা দেখতে পাই যে f (s) = f° (i (s) এবং সেই f° হল এই বৈশিষ্ট্যের সাথে একমাত্র অঙ্গসংস্থান। এই শর্তগুলি মূলত সেট এবং ফাংশনের বিভাগ থেকে সম্পূর্ণ ল্যাটিস এবং জয়েন-প্রিজারভিং ফাংশনের বিভাগে একটি ফাংক্টর রয়েছে যা সম্পূর্ণ ল্যাটিস থেকে তাদের অন্তর্নিহিত সেটগুলিতে ভুলে যাওয়া ফাংক্টরের সাথে সংযুক্ত থাকে। এই অর্থে মুক্ত সম্পূর্ণ জালগুলি খুব সহজেই তৈরি করা যেতে পারেঃ কিছু সেট এস দ্বারা উত্পন্ন সম্পূর্ণ জালটি কেবল পাওয়ারসেট 2 এস, অর্থাৎ। এস-এর সমস্ত উপসেটগুলির সেট, উপসেট অন্তর্ভুক্তি দ্বারা ক্রমবদ্ধ। প্রয়োজনীয় একক i: S → 2S, S-এর যেকোনও উপাদান s-কে সিঙ্গেলটন সেট {s}-এর সাথে ম্যাপ করে। উপরের মতো একটি মানচিত্র f দেওয়া হলে, f°: 2S → M ফাংশনটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। তারপর f° সংযোগগুলিকে সুপারমায় রূপান্তরিত করে এবং এইভাবে সংযোগগুলি সংরক্ষণ করে। আমাদের বিবেচনাগুলি অঙ্গসংস্থানগুলির জন্য একটি মুক্ত গঠনও দেয় যা সংযোগের পরিবর্তে পূরণগুলি সংরক্ষণ করে (অর্থাৎ। গ্যালোইস সংযোগের উপরের প্রান্তগুলি)। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের কেবল উপরে যা বলা হয়েছিল তা দ্বিগুণ করতে হবেঃ মুক্ত বস্তুগুলি বিপরীত অন্তর্ভুক্তি দ্বারা অর্ডার করা পাওয়ারসেট হিসাবে দেওয়া হয়, যেমন সেট ইউনিয়ন মিট অপারেশন সরবরাহ করে এবং ফাংশন f° যোগের পরিবর্তে মিট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই নির্মাণের ফলাফলকে মুক্ত সম্পূর্ণ মিলন-সামঞ্জস্য বলা যেতে পারে। একজনকে আরও লক্ষ্য করতে হবে যে কীভাবে এই মুক্ত নির্মাণগুলি বিনামূল্যে সেমিল্যাটিসগুলি পেতে ব্যবহৃত হয় সেগুলিকে প্রসারিত করে, যেখানে আমাদের কেবল সীমাবদ্ধ সেটগুলি বিবেচনা করতে হবে। মুক্ত সম্পূর্ণ জাল সম্পূর্ণ সমরূপতা সহ সম্পূর্ণ জালের পরিস্থিতি স্পষ্টতই আরও জটিল। প্রকৃতপক্ষে, মুক্ত সম্পূর্ণ জাল সাধারণত বিদ্যমান থাকে না। অবশ্যই, ল্যাটিসের ক্ষেত্রে শব্দের সমস্যার অনুরূপ একটি শব্দ সমস্যা তৈরি করা যেতে পারে, তবে এই ক্ষেত্রে সমস্ত সম্ভাব্য শব্দের (বা "পদ") সংগ্রহ একটি যথাযথ শ্রেণী হবে, কারণ নির্বিচারে মিলিত হওয়া এবং যুক্ত হওয়া প্রতিটি মূল বিষয়ের যুক্তি-সেটগুলির জন্য ক্রিয়াকলাপ নিয়ে গঠিত। এই বৈশিষ্ট্যটি নিজেই কোনও সমস্যা নয়ঃ যেমন উপরের মুক্ত সম্পূর্ণ সেমিলেটিসের ক্ষেত্রে দেখা যায়, এটি ভাল হতে পারে যে সমস্যা শব্দের সমাধান শুধুমাত্র সমতুল্য শ্রেণীর একটি সেট ছেড়ে যায়। অন্য কথায়, এটি সম্ভব যে সমস্ত শব্দের শ্রেণীর যথাযথ শ্রেণীর একই অর্থ রয়েছে এবং এইভাবে মুক্ত নির্মাণে চিহ্নিত করা হয়। যাইহোক, সম্পূর্ণ জালের সমস্যা শব্দের সমতুল্য শ্রেণীগুলি "খুব ছোট", যেমন মুক্ত সম্পূর্ণ জালটি এখনও একটি যথাযথ শ্রেণী হবে, যা অনুমোদিত নয়। এখন কেউ এখনও আশা করতে পারে যে কিছু দরকারী কেস রয়েছে যেখানে জেনারেটরের সেটটি একটি মুক্ত সম্পূর্ণ জালের অস্তিত্বের জন্য যথেষ্ট ছোট। দুর্ভাগ্যবশত, আকারের সীমা খুব কম এবং আমাদের নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি রয়েছেঃ তিনটি জেনারেটরের উপর মুক্ত সম্পূর্ণ জাল বিদ্যমান নেই; এটি একটি যথাযথ শ্রেণী। এই বক্তব্যের একটি প্রমাণ জনস্টোন দিয়েছেন; মূল যুক্তিটি আলফ্রেড ডব্লিউ. হেলসকে দায়ী করা হয়েছে; ফ্রি ল্যাটিস সম্পর্কিত নিবন্ধটিও দেখুন। সমাপ্তি উপরে বিবেচিত জেনারেটরের সেটের জায়গায় ব্যবহৃত একটি প্রদত্ত পজিট থেকে যদি একটি সম্পূর্ণ জাল অবাধে তৈরি করা হয়, তবে একজন পজিটের সমাপ্তির কথা বলে। এই অপারেশনের ফলাফলের সংজ্ঞা মুক্ত বস্তুর উপরের সংজ্ঞার অনুরূপ, যেখানে "সেট" এবং "ফাংশন" "পজিটস" এবং "মনোটোন ম্যাপিং" দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। একইভাবে, সমাপ্তি প্রক্রিয়াটিকে মনোটোন ফাংশনের সাথে পজিটের বিভাগ থেকে উপযুক্ত মরফিজম সহ সম্পূর্ণ ল্যাটিসের কিছু বিভাগে একটি ফাংক্টর হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে যা বিপরীত দিকে ভুলে যাওয়া ফাংক্টরের পাশে রেখে দেওয়া হয়। যতক্ষণ পর্যন্ত কেউ মিলিত-বা সংযুক্ত-সংরক্ষণ ফাংশনগুলিকে মরফিজম হিসাবে বিবেচনা করে, এটি তথাকথিত ডেডেকাইন্ড-ম্যাকনিল সমাপ্তির মাধ্যমে সহজেই অর্জন করা যেতে পারে। এই প্রক্রিয়ার জন্য, পোজেটের উপাদানগুলিকে (ডেডেকাইন্ড-) কাটগুলিতে ম্যাপ করা হয়, যা তারপরে উপরের সেট এবং মুক্ত সম্পূর্ণ (আধা-) ল্যাটিসের মতো একইভাবে নির্বিচারে সম্পূর্ণ ল্যাটিসের অন্তর্নিহিত পজিটে ম্যাপ করা যেতে পারে। মুক্ত সম্পূর্ণ জালের অস্তিত্ব না থাকার পূর্বোক্ত ফলাফলটি বোঝায় যে একটি অবস্থান থেকে একটি মুক্ত নির্মাণও সম্ভব নয়। এটি সহজেই একটি পৃথক ক্রম সহ পজিটস বিবেচনা করে দেখা যায়, যেখানে প্রতিটি উপাদান শুধুমাত্র নিজের সাথে সম্পর্কিত। এগুলি একটি অন্তর্নিহিত সেটের ঠিক মুক্ত অবস্থান। পোজেট থেকে সম্পূর্ণ জালের একটি মুক্ত নির্মাণ হবে, তাহলে উভয় নির্মাণ রচনা করা যেতে পারে, যা উপরের নেতিবাচক ফলাফলের বিরোধিতা করে। উপস্থাপনা ইতিমধ্যেই জি. বারখফের ল্যাটিস থিওরি বইটিতে একটি খুব দরকারী উপস্থাপনা পদ্ধতি রয়েছে। এটি সম্পর্ক থেকে একটি গ্যালোইস সংযোগ তৈরি করে দুটি সেটের মধ্যে যে কোনও বাইনারি সম্পর্কের সাথে একটি সম্পূর্ণ জালকে যুক্ত করে, যা তারপর দুটি দ্বৈত আইসোমরফিক ক্লোজার সিস্টেমের দিকে পরিচালিত করে। ক্লোজার সিস্টেমগুলি সেটগুলির ছেদ-বন্ধ পরিবার। যখন উপসেট সম্পর্ক দ্বারা আদেশ দেওয়া হয়, তখন সেগুলি সম্পূর্ণ জাল। বারখফের নির্মাণের একটি বিশেষ উদাহরণ একটি নির্বিচারে অবস্থান (পি, ≤) থেকে শুরু হয় এবং পি এবং নিজের মধ্যে ক্রম সম্পর্ক ≤ থেকে গ্যালোইস সংযোগ তৈরি করে। ফলস্বরূপ সম্পূর্ণ জালটি হল ডেডেকাইন্ড-ম্যাকনিল সমাপ্তি। যখন এই সমাপ্তিটি এমন একটি পজিটে প্রয়োগ করা হয় যা ইতিমধ্যে একটি সম্পূর্ণ জাল, তখন ফলাফলটি মূলটির সমতুল্য হয়। এইভাবে আমরা অবিলম্বে দেখতে পাই যে আইসোমরফিজম পর্যন্ত প্রতিটি সম্পূর্ণ জাল বারখফের পদ্ধতি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। গঠনটি আনুষ্ঠানিক ধারণা বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়, যেখানে একটি বাইনারি সম্পর্ক দ্বারা বাস্তব-শব্দের তথ্য উপস্থাপন করে (যাকে আনুষ্ঠানিক প্রসঙ্গ বলা হয়) এবং তথ্য বিশ্লেষণের জন্য সম্পর্কিত সম্পূর্ণ জাল ব্যবহার করে (যাকে ধারণা জাল বলা হয়)। আনুষ্ঠানিক ধারণা বিশ্লেষণের পিছনে গণিত হল সম্পূর্ণ জালের তত্ত্ব। আরেকটি উপস্থাপনা নিম্নরূপ পাওয়া যায়ঃ একটি সম্পূর্ণ জালের একটি উপসেট নিজেই একটি সম্পূর্ণ জাল (যখন প্ররোচিত ক্রমের সাথে অর্ডার করা হয়) যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি ক্রমবর্ধমান এবং আদর্শ (তবে অগত্যা বিস্তৃত নয়) স্ব-মানচিত্রের চিত্র হয়। আইডেন্টিটি ম্যাপিং-এ স্পষ্টতই এই দুটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এইভাবে সমস্ত সম্পূর্ণ জাল তৈরি হয়। আরও ফলাফল পূর্ববর্তী উপস্থাপনা ফলাফল ছাড়াও, আরও কিছু বিবৃতি রয়েছে যা সম্পূর্ণ জাল সম্পর্কে করা যেতে পারে, বা যা এই ক্ষেত্রে বিশেষভাবে সহজ রূপ নেয়। একটি উদাহরণ হল নাস্টার-টার্সকি উপপাদ্য, যা বলে যে একটি সম্পূর্ণ জালকের উপর একটি মনোটোন ফাংশনের স্থির বিন্দুর সেট আবার একটি সম্পূর্ণ জাল। এটি সহজেই ক্রমবর্ধমান এবং আইডেম্পোটেন্ট ফাংশনের চিত্র সম্পর্কে উপরের পর্যবেক্ষণের একটি সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যায়, কারণ এগুলি উপপাদ্যের উদাহরণ। রেফারেন্স ক্লোজার অপারেটর ল্যাটিস তত্ত্ব