Fenchel–Nielsen coordinates
গণিতে, ফেনচেল-নিলসেন স্থানাঙ্ক হল ওয়ার্নার ফেনচেল এবং জ্যাকব নিলসেন দ্বারা প্রবর্তিত টেইচমুলার স্থানের স্থানাঙ্ক। সংজ্ঞা ধরুন যে এস হল জি> 1 গণের একটি কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠ। ফেঞ্চেল-নিলসেন স্থানাঙ্ক নিম্নরূপ এস-এর উপর 6জি-6 বক্ররেখার একটি পছন্দের উপর নির্ভর করে। রিম্যান পৃষ্ঠ এস-কে 3জি-3 বিচ্ছিন্ন সহজ বদ্ধ বক্ররেখা বরাবর কেটে 2জি-2 জোড়া প্যান্টে ভাগ করা যেতে পারে। এই 3g−3 বক্ররেখার γ-এর প্রত্যেকটির জন্য, এটি অতিক্রম করে এমন একটি চাপ বেছে নিন যা γ ধারণকারী সীমানা সহ প্যান্টের জোড়ার অন্যান্য সীমানা উপাদানগুলিতে শেষ হয়। S-এর টেইচমুলার স্থানের একটি বিন্দুর জন্য ফেনচেল-নিলসেন স্থানাঙ্ক 3g−3 ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা নিয়ে গঠিত যাকে দৈর্ঘ্য বলা হয় এবং 3g−3 বাস্তব সংখ্যা যাকে টুইস্ট বলা হয়। টেইচমুলার স্থানের একটি বিন্দু এস-এর উপর একটি হাইপারবোলিক মেট্রিক দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। ফেনচেল-নিলসেন স্থানাঙ্কের দৈর্ঘ্য হল 3জি-3 বিচ্ছিন্ন সহজ বদ্ধ বক্ররেখার ভূগণিত সমস্থানিক দৈর্ঘ্য। ফেঞ্চেল-নিলসেন স্থানাঙ্কের মোড়গুলি নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে। 3জি-3 বিচ্ছিন্ন সরল বদ্ধ বক্ররেখার γ অতিক্রমকারী 3জি-3 বক্ররেখার প্রত্যেকটির জন্য একটি করে মোড় রয়েছে। এগুলির প্রত্যেকটি একটি বক্ররেখার সমস্থানিক যা 3টি ভূগণিত বিভাগ নিয়ে গঠিত, যার মাঝখানে γ-এর ভূগণিত অনুসরণ করে। মোড়টি হল (ধনাত্মক বা ঋণাত্মক) দূরত্ব যা মধ্য অংশটি γ এর ভূগণিত বরাবর ভ্রমণ করে। রেফারেন্স রিম্যান পৃষ্ঠতল