Bernstein–Sato polynomial
গণিতে, বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদী হল ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের সাথে সম্পর্কিত একটি বহুপদী, যা এবং দ্বারা স্বাধীনভাবে প্রবর্তিত হয়। এটি বি-ফাংশন, বি-পলিনোমিয়াল এবং বার্নস্টাইন পলিনোমিয়াল নামেও পরিচিত, যদিও এটি আনুমানিক তত্ত্বে ব্যবহৃত বার্নস্টাইন পলিনোমিয়ালের সাথে সম্পর্কিত নয়। এককত্ব তত্ত্ব, মনোড্রোমি তত্ত্ব এবং কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের ক্ষেত্রে এর প্রয়োগ রয়েছে। একটি প্রাথমিক ভূমিকা দেয়, এবং আরও উন্নত বিবরণ দেয়। সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্যগুলি যদি বেশ কয়েকটি চলকের মধ্যে একটি বহুপদী হয়, তবে একটি অ-শূন্য বহুপদী এবং বহুপদী সহগ সহ একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর থাকে যেমন বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদী হল এই ধরনের বহুপদগুলির মধ্যে ক্ষুদ্রতম ডিগ্রির মনিক বহুপদী। হোলোনমিক ডি-মডিউলের ধারণা ব্যবহার করে এর অস্তিত্ব দেখানো যেতে পারে। এটি প্রমাণ করে যে বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদের সমস্ত মূল ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা। বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদীকে বেশ কয়েকটি বহুপদীর ক্ষমতার গুণফলের জন্যও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে এটি যুক্তিসঙ্গত সহগ সহ রৈখিক কারণগুলির একটি গুণফল। বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদীকে নির্বিচারে জাতগুলিতে সাধারণীকরণ করা হয়েছে। লক্ষ্য করুন যে, বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদী অ্যালগরিদমিকভাবে গণনা করা যেতে পারে। তবে, এই ধরনের গণনা সাধারণভাবে কঠিন। কম্পিউটার বীজগণিত ব্যবস্থায় আর. আই. এস. এ/আসির, ম্যাকালে 2 এবং সিঙ্গুলার সম্পর্কিত অ্যালগরিদমগুলির বাস্তবায়ন রয়েছে। কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমে একক বাস্তবায়নের সাথে একটি অ্যাফিন বৈচিত্র্যের বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদী গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম উপস্থাপন করা হয়েছে। কম্পিউটার দ্বারা বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদী গণনার জন্য কিছু অ্যালগরিদম বর্ণনা করেছেন। উদাহরণস্বরূপ, যদি তাই হয়, তাহলে বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদী হল x2 + y3-এর বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদী হল যদি টিজ n2 চলক হয়, তবে ডেট (টিজ)-এর বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদীটি দেওয়া হয় যার দ্বারা অনুসরণ করা হয় যেখান থেকে ω হল কেলির ওমেগা প্রক্রিয়া, যা ক্যাপেলি পরিচয় থেকে অনুসরণ করা হয়। প্রয়োগগুলি যদি একটি অ-ঋণাত্মক বহুপদী হয় তবে, প্রাথমিকভাবে অ-ঋণাত্মক বাস্তব অংশ সহ s-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, কার্যকরী সমীকরণটি বারবার ব্যবহার করে s-এর একটি মেরোমর্ফিক বিতরণ-মূল্যবান ফাংশনে বিশ্লেষণাত্মকভাবে অব্যাহত রাখা যেতে পারে যখনই b (s + n) একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য শূন্য হয় তখন এর মেরু থাকতে পারে। যদি f (x) একটি বহুপদী হয়, অভিন্নভাবে শূন্য না হয়, তবে এর একটি বিপরীত g থাকে যা একটি বিতরণ; অন্য কথায়, fg = 1 বিতরণ হিসাবে। যদি f (x) অ-ঋণাত্মক হয় তবে s = −1-এ f (x) s-এর লরেন্ট সম্প্রসারণের ধ্রুবক পদ গ্রহণ করে বার্নস্টাইন-স্যাটো বহুপদী ব্যবহার করে বিপরীতটি তৈরি করা যেতে পারে। স্বেচ্ছাচারী f (x)-এর জন্য মালগ্রাঞ্জ-এহরেনপ্রেইস উপপাদ্যের বিপরীতটি বলে যে ধ্রুবক সহগ সহ প্রতিটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের একটি সবুজ ফাংশন থাকে। ফুরিয়ার রূপান্তরগুলি গ্রহণ করার মাধ্যমে এটি এই সত্য থেকে আসে যে প্রতিটি বহুপদের একটি বিতরণমূলক বিপরীত থাকে, যা উপরের অনুচ্ছেদে প্রমাণিত হয়। বিশাল ইউক্লিডীয় ক্ষেত্রে, কীভাবে বার্নস্টাইন বহুপদীকে মাত্রাগত নিয়মিতকরণকে কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত করতে হয় তা দেখানো হয়েছে। বার্নস্টাইন-স্যাটো কার্যকরী সমীকরণটি কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে ঘটে যাওয়া আরও কিছু জটিল ধরনের একক ইন্টিগ্রালের গণনায় ব্যবহৃত হয়। প্রাথমিক কণা পদার্থবিজ্ঞানে নির্ভুল পরিমাপের জন্য এই ধরনের গণনার প্রয়োজন হয় যেমন উদাহরণস্বরূপ সিইআরএন-এ অনুশীলন করা হয় (উদ্ধৃত কাগজপত্র দেখুন)। যাইহোক, সবচেয়ে আকর্ষণীয় ক্ষেত্রে দুটি বহুপদীর গুণফলের জন্য বার্নস্টাইন-সাটো কার্যকরী সমীকরণের একটি সহজ সাধারণীকরণের প্রয়োজন হয়, যেখানে x-এর 2-6টি স্কেলার উপাদান এবং 2 ও 3 ক্রমের বহুপদের জোড়া থাকে। দুর্ভাগ্যবশত, সংশ্লিষ্ট ডিফারেনশিয়াল অপারেটরদের একটি ব্রুট ফোর্স নির্ধারণ এবং এই ধরনের ক্ষেত্রে এখনও পর্যন্ত নিষিদ্ধভাবে জটিল প্রমাণিত হয়েছে। ব্রুট ফোর্স অ্যালগরিদমের সমন্বিত বিস্ফোরণকে বাইপাস করার উপায়গুলি এই ধরনের প্রয়োগগুলিতে অত্যন্ত মূল্যবান হবে। নোটস রেফারেন্স (প্রিন্সটন, এনজে, 1996/1997) বহুপদী ডিফারেনশিয়াল অপারেটর