Parity of a permutation
গণিতে, যখন এক্স কমপক্ষে দুটি উপাদান সহ একটি সসীম সেট হয়, তখন এক্স-এর বিন্যাস (অর্থাৎ। এক্স থেকে এক্স) পর্যন্ত বাইজেক্টিভ ফাংশনগুলি সমান আকারের দুটি শ্রেণীতে বিভক্তঃ জোড় বিন্যাস এবং বিজোড় বিন্যাস। যদি X-এর কোনও মোট ক্রম স্থির থাকে, তবে X-এর ক্রমবিন্যাসের সমতা (অদ্ভুততা বা সমতা) কে σ-এর জন্য বিপরীত সংখ্যার সমতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, অর্থাৎ, X-এর x, y উপাদানগুলির জোড়া যেমন এবং। একটি বিন্যাস σ-এর চিহ্ন, স্বাক্ষর বা সংকেতকে sgn (σ) হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং σ জোড় হলে + 1 এবং σ বিজোড় হলে −1 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। স্বাক্ষরটি প্রতিসম গ্রুপ এস. এন-এর বিকল্প চরিত্রকে সংজ্ঞায়িত করে। ক্রমবিন্যাসের চিহ্নের জন্য আরেকটি স্বরলিপি আরও সাধারণ লেভি-সিভিটা প্রতীক (εσ) দ্বারা দেওয়া হয়, যা X থেকে X পর্যন্ত সমস্ত মানচিত্রের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং অ-উদ্দেশ্যমূলক মানচিত্রের জন্য এর মান শূন্য। একটি ক্রমবিন্যাসের চিহ্ন স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে N (σ) হল σ-তে বিপরীতের সংখ্যা। বিকল্পভাবে, একটি ক্রমবিন্যাসের চিহ্ন σ-কে রূপান্তরের গুণফলের মধ্যে তার পচন থেকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে m হল পচনশীল স্থানান্তরের সংখ্যা। যদিও এই ধরনের পচন অনন্য নয়, সমস্ত পচনগুলিতে স্থানান্তরের সংখ্যার সমতা একই, যা বোঝায় যে একটি বিন্যাসের চিহ্ন ভালভাবে সংজ্ঞায়িত। উদাহরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত সেটের ক্রমবিকাশ σ বিবেচনা করুন এবং এক-লাইন স্বরলিপিতে, এই ক্রমবিকাশকে 34521 হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। এটি তিনটি রূপান্তর দ্বারা পরিচয় বিন্যাস 12345 থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারেঃ প্রথমে 2 এবং 4 সংখ্যা বিনিময় করুন, তারপর 3 এবং 5 বিনিময় করুন, এবং অবশেষে 1 এবং 3 বিনিময় করুন। এটি দেখায় যে প্রদত্ত বিন্যাস σ বিজোড়। চক্র স্বরলিপি নিবন্ধের পদ্ধতি অনুসরণ করে, এটি ডান থেকে বাম দিকে রচনা করে লেখা যেতে পারে, কারণ উদাহরণস্বরূপ, রূপান্তরের রচনা হিসাবে σ লেখার আরও অনেক উপায় রয়েছে, তবে এটিকে জোড় সংখ্যার স্থানান্তরের গুণফল হিসাবে লেখা অসম্ভব। বৈশিষ্ট্য আইডেন্টিটি পারমুটেশন হল একটি জোড় পারমুটেশন। একটি জোড় বিন্যাস একটি জোড় সংখ্যার গঠন এবং দুটি উপাদানের শুধুমাত্র জোড় সংখ্যার বিনিময় (যাকে স্থানান্তর বলা হয়) হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, যেখানে একটি বিজোড় বিন্যাস (শুধুমাত্র) বিজোড় সংখ্যার স্থানান্তর দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে। পূর্ণসংখ্যার সংযোজন সম্পর্কে সংশ্লিষ্ট নিয়মগুলি থেকে সরাসরি নিম্নলিখিত নিয়মগুলি অনুসরণ করা হয়ঃ দুটি জোড় বিন্যাসের গঠন জোড় দুটি বিজোড় বিন্যাসের গঠন জোড় একটি বিজোড়ের গঠন এবং একটি জোড় বিন্যাস বিজোড়। উপরন্তু, আমরা দেখতে পাই যে জোড় বিন্যাসগুলি এস. এন-এর একটি উপগোষ্ঠী গঠন করে। এটি এন অক্ষরের বিকল্প গ্রুপ, যা এন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি সমরূপতা এস. জি. এন-এর কার্নেল। বিজোড় বিন্যাসগুলি একটি উপগোষ্ঠী গঠন করতে পারে না, কারণ দুটি বিজোড় বিন্যাসের সংমিশ্রণ জোড়, তবে তারা একটি (এস. এন-এ) এর একটি কোসেট গঠন করে। যদি, তাহলে Sn-এ যতগুলি বিজোড় বিন্যাস রয়েছে ঠিক ততগুলি জোড় বিন্যাস রয়েছে; ফলস্বরূপ, an-এ n!/2 বিন্যাস রয়েছে। (কারণ হল যদি σ জোড় হয় তবে বিজোড়, এবং যদি σ বিজোড় হয় তবে জোড়, এবং এই দুটি মানচিত্র একে অপরের বিপরীত।) একটি চক্র জোড় হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার দৈর্ঘ্য বিজোড় হয়। এটি সূত্র থেকে অনুসরণ করা হয় যেমন বাস্তবে, প্রদত্ত বিন্যাস জোড় বা বিজোড় কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য, একজন বিন্যাসকে বিচ্ছিন্ন চক্রের গুণফল হিসাবে লেখেন। এই বিন্যাসে জোড় দৈর্ঘ্যের চক্রের একটি বিজোড় সংখ্যা থাকলেই এই বিন্যাসটি বিজোড় হয়। প্রদত্ত বিন্যাস জোড় বা বিজোড় কিনা তা নির্ধারণের আরেকটি পদ্ধতি হল সংশ্লিষ্ট বিন্যাস ম্যাট্রিক্স তৈরি করা এবং তার নির্ধারক গণনা করা। নির্ধারকের মান বিন্যাসের সমতার সমান। বিজোড় ক্রমের প্রতিটি বিন্যাস অবশ্যই জোড় হতে হবে। A4-এর ক্রমাঙ্কন দেখায় যে বিপরীতটি সাধারণভাবে সত্য নয়। দুটি সংজ্ঞার সমতা এই বিভাগটি প্রমাণ উপস্থাপন করে যে একটি ক্রমবিন্যাস σ-এর সমতা দুটি সমতুল্য উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ σ-তে বিপরীত সংখ্যার সমতা হিসাবে (যে কোনও ক্রমের অধীনে); অথবা রূপান্তর সংখ্যার সমতা হিসাবে যা σ-কে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে (যদিও আমরা এটিকে বিচ্ছিন্ন করতে পছন্দ করি)। অন্যান্য সংজ্ঞা এবং প্রমাণ বিন্দুগুলির বিন্যাসের সমতা তার চক্র কাঠামোতেও এনকোড করা হয়। ধরা যাক σ = (i1 i2. ir + 1) (j1 j2. js + 1). (l1 l2. lu + 1) বিচ্ছিন্ন চক্রে σ-এর অনন্য পচন, যা যে কোনও ক্রমে গঠিত হতে পারে কারণ তারা যাতায়াত করে। কে ট্রান্সপজিশন (2-চক্র) রচনা করে পয়েন্ট জড়িত একটি চক্র সর্বদা প্রাপ্ত করা যেতে পারেঃ তাই চক্রের আকার কে কল করুন, এবং লক্ষ্য করুন যে, এই সংজ্ঞার অধীনে, ট্রান্সপজিশনগুলি 1 আকারের চক্র। একটি অপঘটন থেকে m বিচ্ছিন্ন চক্রে আমরা σ-এর রূপান্তরের একটি পচন পেতে পারি, যেখানে q হল ith চক্রের আকার। সংখ্যাটিকে বলা হয় σ-এর বৈষম্যকারী, এবং এটি এমনভাবেও গণনা করা যেতে পারে যেন আমরা σ-এর নির্দিষ্ট বিন্দুগুলিকে 1-চক্র হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করার যত্ন নিই। ধরুন σ বিন্যাসের পরে একটি স্থানান্তর (a b) প্রয়োগ করা হয়। যখন a এবং b σ-এর বিভিন্ন চক্রে থাকে, এবং যদি a এবং b σ-এর একই চক্রে থাকে। উভয় ক্ষেত্রেই, এটি দেখা যায় যে, তাই N ((a b) σ)-এর প্যারিটি N (σ)-এর প্যারিটি থেকে আলাদা হবে। যদি একটি ক্রমাঙ্কন σ-এর স্থানান্তরের মধ্যে একটি নির্বিচারে পচন হয়, তবে t2-এর পরে r স্থানান্তর প্রয়োগ করে. ত্র-এর পরে পরিচয়ের পরে (যার N শূন্য) পর্যবেক্ষণ করুন যে N (σ) এবং r-এর একই সমতা রয়েছে। σ-এর প্যারিটিকে N (σ)-এর প্যারিটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে, একটি জোড় দৈর্ঘ্যের পচন সহ একটি ক্রমবিন্যাস একটি জোড় ক্রমবিন্যাস এবং একটি বিজোড় দৈর্ঘ্যের পচন সহ একটি ক্রমবিন্যাস একটি বিজোড় ক্রমবিন্যাস। মন্তব্য উপরের যুক্তিটির একটি যত্নশীল পরীক্ষা দেখায় যে, এবং যেহেতু σ-এর চক্রগুলিতে যে কোনও পচন যার আকারের যোগফল r-এর রূপান্তরের সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, তাই N (σ) সংখ্যাটি σ-এর পচনশীল চক্রগুলির আকারের সর্বনিম্ন সম্ভাব্য যোগফল, যার মধ্যে সমস্ত চক্রগুলি রূপান্তরিত হয়। এই প্রমাণটি σ কাজ করে এমন পয়েন্টের সেটের মধ্যে একটি (সম্ভবত নির্বিচারে) ক্রম প্রবর্তন করে না। সাধারণীকরণ সমতা কক্সেটার গোষ্ঠীতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারেঃ একটি দৈর্ঘ্য ফাংশন l (v) সংজ্ঞায়িত করে, যা জেনারেটরের পছন্দের উপর নির্ভর করে (প্রতিসম গোষ্ঠী, সংলগ্ন স্থানান্তরের জন্য), এবং তারপর ফাংশনটি একটি সাধারণীকৃত সাইন ম্যাপ দেয়। আরও দেখুন পনেরোটি ধাঁধা একটি ক্লাসিক অ্যাপ্লিকেশন জোলোটারেভের লেম্মা নোটস রেফারেন্স গ্রুপ থিওরি পারমুটেশন প্যারিটি (গণিত) প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ সাইন (গণিত) রুঃ περεστανοβκα #Связанные πρεδελενενία