Derivation of the Schwarzschild solution
শোয়ার্জসচাইল্ড সমাধান একটি বিশাল, অ-ঘূর্ণায়মান, গোলাকার প্রতিসম বস্তুর প্রভাবে স্থানকাল বর্ণনা করে। কেউ কেউ এটিকে আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণের অন্যতম সহজ এবং সবচেয়ে দরকারী সমাধান হিসাবে বিবেচনা করেন। অনুমান এবং স্বরলিপি যথাক্রমে 1 থেকে 4 লেবেলযুক্ত স্থানাঙ্ক সহ একটি স্থানাঙ্ক চার্টে কাজ করে, আমরা মেট্রিকটি তার সবচেয়ে সাধারণ আকারে (10 টি স্বাধীন উপাদান, যার প্রতিটি 4 টি চলকের একটি মসৃণ ফাংশন) দিয়ে শুরু করি। সমাধানটি গোলাকারভাবে প্রতিসম, স্থির এবং শূন্য বলে ধরে নেওয়া হয়। এই নিবন্ধের উদ্দেশ্যে, এই অনুমানগুলি নিম্নরূপ বলা যেতে পারে (সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞাগুলির জন্য প্রাসঙ্গিক লিঙ্কগুলি দেখুন): একটি গোলাকার প্রতিসম স্থানকাল এমন একটি যা আবর্তনের অধীনে অপরিবর্তনীয় এবং আয়নার চিত্র গ্রহণ করে। একটি স্থির স্থানকাল হল এমন একটি সময় যেখানে সমস্ত মেট্রিক উপাদান সময় স্থানাঙ্ক (যাতে) থেকে স্বাধীন থাকে এবং স্থানকালের জ্যামিতি একটি সময়-বিপরীতের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে। একটি ভ্যাকুয়াম সমাধান হল এমন একটি সমাধান যা সমীকরণটিকে সন্তুষ্ট করে। আইনস্টাইন ক্ষেত্র সমীকরণ থেকে (শূন্য মহাজাগতিক ধ্রুবক সহ), এটি বোঝায় যে যেহেতু ফলন সংকুচিত হচ্ছে। এখানে ব্যবহৃত মেট্রিক স্বাক্ষর হল (+, +, +, −)। মেট্রিককে তির্যক করা প্রথম সরলীকরণটি হল মেট্রিককে তির্যক করা। স্থানাঙ্ক রূপান্তরের অধীনে, সমস্ত মেট্রিক উপাদান একই থাকা উচিত। মেট্রিক উপাদানগুলি () এই রূপান্তরের অধীনে পরিবর্তিত হয়ঃ () কিন্তু, আমরা যেমন আশা করি (মেট্রিক উপাদানগুলি একই থাকে), এর অর্থ হলঃ () একইভাবে, স্থানাঙ্ক রূপান্তরগুলি এবং যথাক্রমে দেয়ঃ () () এই সমস্তগুলি একসাথে রাখলে পাওয়া যায়ঃ () এবং তাই মেট্রিকটি অবশ্যই এই আকারের হতে হবেঃ যেখানে চারটি মেট্রিক উপাদান সময় স্থানাঙ্ক (স্থির অনুমান দ্বারা) থেকে স্বাধীন। ধ্রুবক, ধ্রুবক এবং ধ্রুবক (অর্থাৎ, প্রতিটি রেডিয়াল লাইনের উপর) প্রতিটি অতিপৃষ্ঠের উপর উপাদানগুলির সরলীকরণ শুধুমাত্র (গোলাকার প্রতিসাম্য দ্বারা) নির্ভর করা উচিত। সুতরাং এটি একটি একক চলকের ফাংশনঃ একটি অনুরূপ যুক্তি প্রয়োগ করা হয় যা দেখায় যেঃ ধ্রুবক এবং ধ্রুবকের অতিপৃষ্ঠের উপর, মেট্রিকটি 2-গোলকের হওয়া প্রয়োজনঃ এই অতিপৃষ্ঠগুলির মধ্যে একটি বেছে নিলে (ব্যাসার্ধ সহ একটি, বলুন), এই অতিপৃষ্ঠের মধ্যে সীমাবদ্ধ মেট্রিক উপাদানগুলি (যা আমরা এবং দ্বারা বোঝাই) এবং (আবার, গোলাকার প্রতিসাম্য দ্বারা) আবর্তনের অধীনে অপরিবর্তিত থাকা উচিত। এই অতিপৃষ্ঠে মেট্রিকের রূপগুলির তুলনা করলে পাওয়া যায়ঃ যা অবিলম্বে ফল দেয়ঃ এবং কিন্তু প্রতিটি অতিপৃষ্ঠকে ধরে রাখতে এটি প্রয়োজন; অতএব, এবং এটি দেখার একটি বিকল্প স্বজ্ঞাত উপায় হল যে একটি স্থিতিস্থাপক উপাদানকে গোলাকারভাবে প্রতিসম পদ্ধতিতে (রেডিয়ালভাবে) প্রসারিত বা সংকুচিত করা দুটি বিন্দুর মধ্যে কৌণিক দূরত্ব পরিবর্তন করবে না। সুতরাং, মেট্রিককে এই রূপে রাখা যেতে পারেঃ এর সঙ্গে এবং এখনও পর্যন্ত অনির্ধারিত ফাংশন। লক্ষ্য করুন যে কোনও সময়ে যদি শূন্যের সমান হয় বা হয়, তবে সেই সময়ে মেট্রিকটি একবচন হবে। উপরের মেট্রিক ব্যবহার করে, আমরা ক্রিস্টোফেল প্রতীকগুলি খুঁজে পাই, যেখানে সূচকগুলি রয়েছে। চিহ্নটি একটি ফাংশনের মোট ব্যুৎপত্তি বোঝায়। A (r) এবং B (r) খুঁজে বের করার জন্য ক্ষেত্র সমীকরণগুলি ব্যবহার করে শূন্যক্ষেত্র সমীকরণগুলি নির্ধারণ করা হয়ঃ অতএবঃ যেখানে একটি কমা ব্যবহার করা হয় ব্যুৎপত্তির জন্য ব্যবহৃত সূচকটি সেট অফ করার জন্য। প্রদত্ত স্থানাঙ্কে রিচি বক্রতা তির্যকঃ যেখানে মৌলিক অর্থ ফাংশনের r ব্যুৎপত্তি। ক্ষেত্র সমীকরণগুলির মধ্যে মাত্র তিনটি তুচ্ছ নয় এবং সরলীকরণের পরে যথাক্রমে হয়ে যায়ঃ (চতুর্থ সমীকরণটি তৃতীয় সমীকরণের মাত্র গুণ)। প্রথম এবং দ্বিতীয় সমীকরণগুলি বিয়োগ করলে উৎপন্ন হয়ঃ যেখানে একটি অ-শূন্য বাস্তব ধ্রুবক। দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করলে এবং পরিষ্কার করলে পাওয়া যায়ঃ যার সাধারণ সমাধান রয়েছেঃ কিছু অ-শূন্য বাস্তব ধ্রুবকের জন্য। অতএব, একটি স্থির, গোলাকার প্রতিসম ভ্যাকুয়াম সমাধানের মেট্রিক এখন এই রূপে রয়েছেঃ লক্ষ্য করুন যে উপরের মেট্রিক দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা স্থানকাল অ্যাসিম্পটোটিকভাবে সমতল, অর্থাৎ। যেমন, মেট্রিকটি মিনকোভস্কি মেট্রিকের কাছাকাছি চলে আসে এবং স্পেসটাইম ম্যানিফোল্ডটি মিনকোভস্কি স্পেসের অনুরূপ। কে এবং এস খুঁজে বের করার জন্য দুর্বল-ক্ষেত্রের আনুমানিক ব্যবহার মেট্রিকের ভূগণিত অবশ্যই, কিছু সীমার মধ্যে (যেমন, আলোর অসীম গতির দিকে), নিউটনীয় গতির সমাধানের সাথে একমত হতে হবে (যেমন, ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ দ্বারা প্রাপ্ত)। (মেট্রিকটি অবশ্যই মিনকোভস্কি স্পেসে সীমাবদ্ধ থাকতে হবে যখন এটি যে ভরকে উপস্থাপন করে তা অদৃশ্য হয়ে যায়।) (যেখানে গতিশক্তি এবং মাধ্যাকর্ষণের কারণে সম্ভাব্য শক্তি) ধ্রুবক এবং সম্পূর্ণরূপে এই পদ্ধতির কিছু বৈকল্পিক দ্বারা নির্ধারিত হয়; দুর্বল-ক্ষেত্রের আনুমানিক থেকে একটি ফলাফল আসেঃ যেখানে মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, মহাকর্ষীয় উৎসের ভর এবং আলোর গতি। এটি পাওয়া গেছে যেঃ এবং তাইঃ এবং সুতরাং, শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিকটি অবশেষে এই আকারে লেখা যেতে পারেঃ লক্ষ্য করুন যেঃ ভরের একটি বস্তুর জন্য শোয়ার্জসচাইল্ড ব্যাসার্ধের সংজ্ঞা, তাই শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিকটি বিকল্প আকারে পুনর্লিখন করা যেতে পারেঃ যা দেখায় যে মেট্রিকটি ঘটনা দিগন্তের (অর্থাৎ,) কাছাকাছি একক হয়ে ওঠে। মেট্রিক এককত্ব একটি ভৌত নয় (যদিও একটি প্রকৃত ভৌত এককত্ব রয়েছে), যা একটি উপযুক্ত স্থানাঙ্ক রূপান্তর ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে (যেমন। ক্রুস্কাল-সেকেরেস সমন্বয় ব্যবস্থা)। বিশেষ ক্ষেত্রে পরিচিত পদার্থবিজ্ঞান ব্যবহার করে বিকল্প ব্যুৎপত্তি একটি বৃত্তাকার কক্ষপথ এবং অস্থায়ীভাবে স্থির বিন্দু ভরের জন্য পরিচিত পদার্থবিজ্ঞান ব্যবহার করে শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিকও প্রাপ্ত করা যেতে পারে। মেট্রিক দিয়ে শুরু করুন এমন সহগগুলির সাথে যা অজানা সহগগুলিরঃ এখন চাপ দৈর্ঘ্যের ইন্টিগ্রালে ইউলার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ প্রয়োগ করুন যেহেতু ধ্রুবক, ইন্টিগ্র্যান্ডটি প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে কারণ যদি ইন্টিগ্র্যান্ডটি কোনও ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা হয় তবে E-L সমীকরণটি ঠিক একই। একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে তাই উপরের প্রথম ই-এল সমীকরণটি কেপলারের গতির তৃতীয় সূত্রের সমতুল্য একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে, পিরিয়ড সমান বোঝায় যেহেতু বিন্দু ভর কেন্দ্রীয় বস্তুর ভরের তুলনায় নগণ্য তাই এই ফলনকে সংহত করা যেখানে ইন্টিগ্রেশনের একটি অজানা ধ্রুবক। মূল মেট্রিক সমীকরণটি হয়ে যায় এবং উপরের প্রথম ই-এল সমীকরণটি হয়ে যায় যখন বিন্দু ভরটি অস্থায়ীভাবে স্থির থাকে, এটি মাধ্যাকর্ষণের ত্বরণ, তাই আইসোট্রপিক স্থানাঙ্কে বিকল্প রূপ মেট্রিকের মূল গঠনে অ্যানিসোট্রপিক স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা হয় যেখানে রেডিয়াল এবং আড়াআড়ি দিকে আলোর বেগ একই থাকে না। আর্থার এডিংটন আইসোট্রপিক স্থানাঙ্কে বিকল্প রূপ দিয়েছেন। আইসোট্রপিক গোলাকার স্থানাঙ্কের জন্য,, স্থানাঙ্ক এবং অপরিবর্তিত, এবং তারপর (প্রদত্ত), এবং তারপর আইসোট্রপিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কের জন্য,,, তারপর মেট্রিক হয়ে যায়, আইসোট্রপিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কেঃ স্থির অনুমানের সাথে বিতরণ-বারখফের উপপাদ্য শোয়ার্জসচাইল্ড মেট্রিক প্রাপ্ত করার সময়, এটি ধরে নেওয়া হয়েছিল যে মেট্রিকটি ভ্যাকুয়াম, গোলাকারভাবে প্রতিসম এবং স্থির ছিল। স্থির অনুমানটি অপ্রয়োজনীয়, কারণ বারখফের উপপাদ্য বলে যে আইনস্টাইনের ক্ষেত্র সমীকরণের যে কোনও গোলাকার প্রতিসম ভ্যাকুয়াম সমাধান স্থির; তাই শোয়ার্জসচাইল্ড সমাধানটি অনুসরণ করে। বারখফের উপপাদ্যের ফলস্বরূপ যে কোনও স্পন্দিত তারা যা গোলাকারভাবে প্রতিসম থাকে তা মহাকর্ষীয় তরঙ্গ তৈরি করে না, কারণ তারার বাইরের অঞ্চলটি স্থির থাকে। আরও দেখুন কার্ল শোয়ার্জসচাইল্ড কের মেট্রিক রেইসনার-নর্ডস্ট্রম মেট্রিক রেফারেন্স সাধারণ আপেক্ষিকতায় সঠিক সমাধান