Trace (linear algebra)
রৈখিক বীজগণিতে, একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের চিহ্নকে প্রধান তির্যকের (উপরের বাম থেকে নীচের ডানদিকে) উপাদানগুলির যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ট্রেস শুধুমাত্র একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স ()-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রেস হল তার (জটিল) আইগেনভ্যালুগুলির যোগফল (গুণের সাথে গণনা করা হয়)। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে কোনও দুটি ম্যাট্রিক্স এবং উপযুক্ত আকারের জন্য। এর থেকে বোঝা যায় যে অনুরূপ ম্যাট্রিক্সের একই চিহ্ন রয়েছে। ফলস্বরূপ, একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্থানকে নিজের মধ্যে ম্যাপিং করা একটি রৈখিক অপারেটরের ট্রেসকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, কারণ একটি ভিত্তির সাপেক্ষে এই ধরনের অপারেটরকে বর্ণনা করা সমস্ত ম্যাট্রিক্স একই রকম। ট্রেস নির্ধারকের ডেরিভেটিভের সাথে সম্পর্কিত (জ্যাকোবির সূত্র দেখুন)। সংজ্ঞা একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেসকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে এর তম সারি এবং তম কলামের প্রবেশ নির্দেশ করে। এর প্রবেশগুলি বাস্তব সংখ্যা, জটিল সংখ্যা বা আরও সাধারণভাবে একটি ক্ষেত্র এফ-এর উপাদান হতে পারে। অ-বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য ট্রেস সংজ্ঞায়িত করা হয় না। উদাহরণ একটি ম্যাট্রিক্স হতে দিন, তারপর বৈশিষ্ট্য মৌলিক বৈশিষ্ট্য সহ ট্রেস একটি রৈখিক ম্যাপিং। অর্থাৎ, সমস্ত বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং, এবং সমস্ত স্কেলারের জন্য। একটি ম্যাট্রিক্স এবং তার ট্রান্সপোজের একই চিহ্ন রয়েছেঃ এটি এই সত্য থেকে অবিলম্বে অনুসরণ করে যে একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স স্থানান্তর করা মূল তির্যক বরাবর উপাদানগুলিকে প্রভাবিত করে না। একটি পণ্যের চিহ্ন একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের চিহ্ন যা দুটি বাস্তব ম্যাট্রিক্সের গুণফল, তাদের উপাদানগুলির প্রবেশ-ভিত্তিক গুণফলের যোগফল হিসাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে, অর্থাৎ। তাদের হাদামার্ড পণ্যের সমস্ত উপাদানের সমষ্টি হিসাবে। যদি এবং দুটি বাস্তব ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলেঃ যদি কেউ কোনও বাস্তব ম্যাট্রিক্সকে দৈর্ঘ্যের ভেক্টর (ভেক্টরাইজেশন নামে একটি অপারেশন) হিসাবে দেখেন তবে উপরের অপারেশনটি স্ট্যান্ডার্ড ডট প্রোডাক্টের সাথে মিলিত হয়। উপরের অভিব্যক্তি অনুসারে, এটি বর্গের সমষ্টি এবং তাই অ-ঋণাত্মক, শূন্যের সমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি শূন্য হয়। উপরন্তু, উপরের সূত্রে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, এগুলি একটি অভ্যন্তরীণ পণ্যের জন্য প্রয়োজনীয় ধনাত্মক-সংজ্ঞা এবং প্রতিসাম্য প্রদর্শন করে; এবং এর ফ্রোবেনিয়াস অভ্যন্তরীণ পণ্যকে বলা সাধারণ। এটি স্থির মাত্রার সমস্ত বাস্তব ম্যাট্রিক্সের ভেক্টর স্পেসে একটি প্রাকৃতিক অভ্যন্তরীণ গুণফল। এই অভ্যন্তরীণ গুণফল থেকে প্রাপ্ত আদর্শকে বলা হয় ফ্রোবেনিয়াস আদর্শ, এবং এটি একটি উপ-গুণগত বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে, যা কচি-শোয়ার্জ বৈষম্যের সাথে প্রমাণিত হতে পারেঃ যদি এবং একই আকারের বাস্তব ধনাত্মক আধা-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয়। ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলাস এবং পরিসংখ্যানে ফ্রোবেনিয়াসের অভ্যন্তরীণ গুণফল এবং আদর্শ প্রায়শই উদ্ভূত হয়। ফ্রোবেনিয়াসের অভ্যন্তরীণ পণ্যটি একটি নির্দিষ্ট আকারের সমস্ত জটিল ম্যাট্রিক্সের জটিল ভেক্টর স্পেসে একটি হার্মিটিয়ান অভ্যন্তরীণ পণ্য পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে, তার জটিল কনজুগেট দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে। ফ্রোবেনিয়াসের অভ্যন্তরীণ গুণফলের প্রতিসাম্যকে আরও সরাসরি নিম্নরূপ বলা যেতে পারেঃ ফলাফল পরিবর্তন না করেই কোনও পণ্যের ট্রেসের ম্যাট্রিক্সগুলি পরিবর্তন করা যেতে পারে। যদি এবং হয় এবং যথাক্রমে বাস্তব বা জটিল ম্যাট্রিক্স হয়, তবে এটি সাধারণত সমান না হওয়ার জন্য এবং উভয়েরই ট্রেস সাধারণত সমান না হওয়ার জন্য উল্লেখযোগ্য। ট্রেসের সাদৃশ্য-বৈপরীত্য, যার অর্থ যে কোনও বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং একই মাত্রার যে কোনও বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি মৌলিক পরিণতি। নীচের মতো রৈখিক রূপান্তরের চিহ্নগুলি নিয়ে আলোচনা করার জন্য সাদৃশ্যের অপরিবর্তিতা ট্রেসের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য দ্বারা এটি প্রমাণিত হয়। উপরন্তু, বাস্তব কলাম ভেক্টর এবং বাইরের পণ্যের ট্রেস অভ্যন্তরীণ পণ্যের সমতুল্যঃ চক্রাকার বৈশিষ্ট্য আরও সাধারণভাবে, ট্রেস বৃত্তাকার স্থানান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয়, অর্থাৎ, এটি চক্রাকার সম্পত্তি হিসাবে পরিচিত। নির্বিচারে বিন্যাস অনুমোদিত নয়ঃ সাধারণভাবে, তবে, যদি তিনটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের গুণফল বিবেচনা করা হয়, তবে যে কোনও বিন্যাস অনুমোদিত হয়, কারণঃ যেখানে প্রথম সমতা হল কারণ একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রেস এবং তার ট্রান্সপোজ সমান। মনে রাখবেন যে এটি সাধারণভাবে তিনটির বেশি কারণের জন্য সত্য নয়। ক্রোনেকার পণ্যের ট্রেস দুটি ম্যাট্রিক্সের ক্রোনেকার পণ্যের ট্রেস হল তাদের ট্রেসের গুণফলঃ ট্রেসের বৈশিষ্ট্য নিম্নলিখিত তিনটি বৈশিষ্ট্যঃ নিম্নলিখিত অর্থে একটি স্কেলার মাল্টিপল পর্যন্ত ট্রেসকে চিহ্নিত করুনঃ যদি বর্গ ম্যাট্রিক্সের স্থানের উপর একটি রৈখিক কার্যকরী হয় যা তখন সন্তুষ্ট হয় এবং আনুপাতিক হয়। ম্যাট্রিক্সের জন্য, স্বাভাবিককরণ চাপিয়ে দেওয়া ট্রেসের সমান করে তোলে। আইগেনভ্যালুগুলির যোগফল হিসাবে ট্রেস করুন যে কোনও বাস্তব বা জটিল ম্যাট্রিক্স দেওয়া থাকলে, বহুগুণের সাথে গণনা করা আইগেনভ্যালুগুলি রয়েছে। এটি সত্য, যদিও এটি একটি বাস্তব ম্যাট্রিক্স এবং আইগেনভ্যালুগুলির কিছু (বা সমস্ত) জটিল সংখ্যা। এটি উপরে আলোচিত ট্রেসের সাদৃশ্য-বৈচিত্র্যের সাথে জর্ডান ক্যানোনিকাল ফর্মের অস্তিত্বের ফলস্বরূপ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। কমিউটেটরের ট্রেস যখন উভয় এবং ম্যাট্রিক্স হয়, তখন (রিং-তাত্ত্বিক) কমিউটেটরের ট্রেস এবং অদৃশ্য হয়ে যায়ঃ, কারণ এবং রৈখিক। এটিকে "ট্রেস হল অপারেটর থেকে স্কেলার পর্যন্ত লাই অ্যালজেব্রার একটি মানচিত্র" হিসাবে উল্লেখ করা যেতে পারে, কারণ স্কেলারের কমিউটেটরটি তুচ্ছ (এটি একটি আবেলিয়ান লাই বীজগণিত)। বিশেষত, সাদৃশ্য অপরিবর্তিতা ব্যবহার করে, এটি অনুসরণ করে যে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স কখনই কোনও জোড়া ম্যাট্রিক্সের কমিউটেটরের মতো হয় না। বিপরীতভাবে, শূন্য ট্রেস সহ যে কোনও বর্গ ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্সের জোড়া বিনিময়কারীদের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। উপরন্তু, শূন্য ট্রেস সহ যে কোনও বর্গ ম্যাট্রিক্স এককভাবে সমস্ত শূন্য সমন্বিত তির্যক সহ একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের সমতুল্য। বিশেষ ধরনের ম্যাট্রিক্সের চিহ্ন আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের চিহ্ন হল স্থানের মাত্রা, অর্থাৎ। এটি ট্রেস ব্যবহার করে মাত্রার সাধারণীকরণের দিকে পরিচালিত করে। একটি হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্সের চিহ্ন বাস্তব, কারণ তির্যকের উপাদানগুলি বাস্তব। একটি ক্রমবিন্যাস ম্যাট্রিক্সের ট্রেস হল সংশ্লিষ্ট ক্রমবিন্যাসের স্থির বিন্দুর সংখ্যা, কারণ তির্যক পদটি 1 হয় যদি তম বিন্দু স্থির থাকে এবং অন্যথায় 0 হয়। একটি প্রজেকশন ম্যাট্রিক্সের ট্রেস হল লক্ষ্য স্থানের মাত্রা। ম্যাট্রিক্সটি আদর্শ। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও আইডেম্পোটেন্ট ম্যাট্রিক্সের চিহ্ন, অর্থাৎ। এক সঙ্গে, তার নিজস্ব পদমর্যাদার সমান। একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সের চিহ্ন শূন্য। যখন ভিত্তি ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য শূন্য হয়, তখন বিপরীতটিও ধারণ করেঃ যদি সবকিছুর জন্য হয়, তাহলে নিলপোটেন্ট হয়। যখন বৈশিষ্ট্যটি ধনাত্মক হয়, তখন মাত্রায় পরিচয়টি একটি বিপরীত উদাহরণ হয়, যেমন, তবে পরিচয়টি নিলপোটেন্ট নয়। আইগেনভ্যালুগুলির সাথে সম্পর্ক যদি বাস্তব বা জটিল এন্ট্রি সহ একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা একটি রৈখিক অপারেটর হয় এবং যদি এর আইগেনভ্যালুগুলি (তাদের বীজগাণিতিক গুণাবলী অনুসারে তালিকাভুক্ত) হয়, তবে এটি সর্বদা তার জর্ডান ফর্মের অনুরূপ, একটি উপরের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স যা প্রধান তির্যকের উপর থাকে। এর বিপরীতে, এর নির্ধারক হল তার আইগেনভ্যালুগুলির গুণফল; অর্থাৎ, ডেরিভেটিভ সম্পর্ক যদি ছোট এন্ট্রি সহ একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হয় এবং আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সকে নির্দেশ করে, তবে আমাদের প্রায় সুনির্দিষ্টভাবে এর অর্থ হল ট্রেসটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক ফাংশনের ডেরিভেটিভ। জ্যাকোবির সূত্রটি আরও সাধারণ এবং ম্যাট্রিক্সের ট্রেস এবং অ্যাডজুগেটের পরিপ্রেক্ষিতে একটি নির্বিচারে বর্গ ম্যাট্রিক্সে নির্ধারকের ডিফারেনশিয়াল বর্ণনা করে। এর থেকে (অথবা ট্রেস এবং আইগেনভ্যালুগুলির মধ্যে সংযোগ থেকে), ট্রেস ফাংশন, ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন এবং নির্ধারকের মধ্যে একটি সম্পর্ক অর্জন করা যেতে পারেঃ ট্রেসের একটি সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য রৈখিক ভেক্টর ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। একটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া হলে, দ্বারা একটি ভেক্টর ক্ষেত্র সংজ্ঞায়িত করুন। এই ভেক্টর ক্ষেত্রের উপাদানগুলি রৈখিক ফাংশন (এর সারি দ্বারা প্রদত্ত)। এর বিচ্যুতি একটি ধ্রুবক ফাংশন, যার মান এর সমান। বিচ্যুতি উপপাদ্য দ্বারা, কেউ এটিকে প্রবাহের পরিপ্রেক্ষিতে ব্যাখ্যা করতে পারেঃ যদি কোনও স্থানে কোনও তরলের বেগকে উপস্থাপন করে এবং এটি একটি অঞ্চল হয়, তবে তরলটির নিট প্রবাহ দ্বারা দেওয়া হয়, এর আয়তন কোথায়। ট্রেস একটি রৈখিক অপারেটর, তাই এটি ব্যুৎপত্তি সহ যাতায়াত করেঃ একটি রৈখিক অপারেটরের ট্রেস সাধারণভাবে, কিছু রৈখিক মানচিত্র দেওয়া (যেখানে একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্থান), আমরা একটি ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনার ট্রেস বিবেচনা করে এই মানচিত্রের ট্রেস সংজ্ঞায়িত করতে পারি, অর্থাৎ, এই ভিত্তির সাথে সম্পর্কিত একটি ম্যাট্রিক্স হিসাবে একটি ভিত্তি নির্বাচন এবং বর্ণনা করা এবং এই বর্গ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস নেওয়া। ফলাফল নির্বাচিত ভিত্তির উপর নির্ভর করবে না, কারণ বিভিন্ন ভিত্তি অনুরূপ ম্যাট্রিক্সের জন্ম দেবে, যা একটি রৈখিক মানচিত্রের ট্রেসের জন্য একটি ভিত্তি-স্বাধীন সংজ্ঞার সম্ভাবনার অনুমতি দেবে। এই ধরনের সংজ্ঞা এবং এর উপর রৈখিক মানচিত্রের স্থানের মধ্যে ক্যানোনিকাল আইসোমরফিজম ব্যবহার করে দেওয়া যেতে পারে, যেখানে এর দ্বৈত স্থান। ভিতরে প্রবেশ করুন এবং ভিতরে প্রবেশ করুন। তারপর অপরিবর্তনীয় উপাদানটির ট্রেসকে সংজ্ঞায়িত করা হয়; একটি সাধারণ উপাদানের ট্রেসকে রৈখিকতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এর জন্য একটি সুস্পষ্ট ভিত্তি এবং সংশ্লিষ্ট দ্বৈত ভিত্তি ব্যবহার করে, কেউ দেখাতে পারে যে এটি উপরে দেওয়া ট্রেসের একই সংজ্ঞা দেয়। সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদম স্টোকাস্টিক প্রাক্কলনকারী ট্রেসটি "হাচিনসনের কৌশল" দ্বারা নিরপেক্ষভাবে অনুমান করা যেতে পারেঃ যে কোনও ম্যাট্রিক্স দেওয়া, এবং যে কোনও র্যান্ডম সহ, আমাদের আছে। (প্রমাণঃ সরাসরি প্রত্যাশা প্রসারিত করুন। ) সাধারণত, র্যান্ডম ভেক্টর (স্বাভাবিক বন্টন) বা (রেডমেচার বন্টন) থেকে নমুনা নেওয়া হয়। ট্রেসের আরও পরিশীলিত স্টোকাস্টিক প্রাক্কলনকারী তৈরি করা হয়েছে। প্রয়োগঃ যদি একটি 2 x 2 বাস্তব ম্যাট্রিক্সের শূন্য ট্রেস থাকে, তবে এর বর্গটি একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স। মোবিয়াস রূপান্তরগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করতে একটি 2 × 2 জটিল ম্যাট্রিক্সের ট্রেস ব্যবহার করা হয়। প্রথমত, ম্যাট্রিক্সটিকে তার নির্ধারককে একটির সমান করার জন্য স্বাভাবিক করা হয়। তারপর, যদি ট্রেসের বর্গ 4 হয়, তাহলে সংশ্লিষ্ট রূপান্তরটি প্যারাবলিক হয়। যদি বর্গটি ব্যবধানের মধ্যে থাকে তবে এটি উপবৃত্তাকার। পরিশেষে, বর্গক্ষেত্রটি 4-এর চেয়ে বড় হলে, রূপান্তরটি লক্সোড্রোমিক হয়। মোবিয়াস রূপান্তরের শ্রেণীবিভাগ দেখুন। দলের প্রতিনিধিত্বের অক্ষরগুলি সংজ্ঞায়িত করতে ট্রেস ব্যবহার করা হয়। একটি গোষ্ঠীর দুটি উপস্থাপনা সমতুল্য (ভিত্তিতে পরিবর্তন পর্যন্ত) যদি সবার জন্য হয়। চতুর্ভুজ রূপের বিতরণেও ট্রেস একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। লাই বীজগণিত ট্রেস হল লাই বীজগণিতের একটি মানচিত্র যা রৈখিক অপারেটরদের লাই বীজগণিত থেকে একটি-মাত্রিক স্থান (ম্যাট্রিক্স সহ এন্ট্রি সহ) থেকে স্কেলারের লাই বীজগণিত পর্যন্ত; যেমন আবেলিয়ান (লাই বন্ধনী অদৃশ্য হয়ে যায়), এটি যে লাই বীজগণিতের একটি মানচিত্র তা ঠিক এই বিবৃতি যে একটি বন্ধনীটির ট্রেস অদৃশ্য হয়ে যায়ঃ এই মানচিত্রের কার্নেল, একটি ম্যাট্রিক্স যার ট্রেস শূন্য, প্রায়শই বলা হয় বা, এবং এই ম্যাট্রিক্সগুলি সাধারণ লাই বীজগণিত গঠন করে, যা নির্ধারক 1 সহ ম্যাট্রিক্সের বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠীর লাই বীজগণিত। বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠীটি ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত যা আয়তন পরিবর্তন করে না, অন্যদিকে বিশেষ রৈখিক লাই বীজগণিত হল ম্যাট্রিক্স যা অসীম সেটগুলির আয়তন পরিবর্তন করে না। প্রকৃতপক্ষে, ট্রেসলেস অপারেটর/ম্যাট্রিক্স এবং স্কেলার অপারেটর/ম্যাট্রিক্সগুলিতে অপারেটর/ম্যাট্রিক্সের একটি অভ্যন্তরীণ সরাসরি সমষ্টি পচন রয়েছে। স্কেলার অপারেটরদের উপর প্রজেকশন মানচিত্রটি ট্রেসের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে, সুনির্দিষ্টভাবেঃ আনুষ্ঠানিকভাবে, স্কেলারগুলিতে একটি মানচিত্র ম্যাপিং পেতে এবং দ্বারা গুণ করার জন্য "স্কেলার অন্তর্ভুক্তির" একক মানচিত্রের সাথে ট্রেস (কাউন্টি মানচিত্র) রচনা করতে পারে। দ্বারা ভাগ করলে এটি একটি অভিক্ষেপ হয়ে ওঠে, যা উপরের সূত্রটি প্রদান করে। সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমের পরিপ্রেক্ষিতে, লাই গ্রুপের জন্য যা (যেখানে) অনুরূপ। যাইহোক, ট্রেস স্বাভাবিকভাবেই (সময়ের স্কেলারের মাধ্যমে) বিভক্ত হয়, তবে নির্ধারকের বিভাজনটি মূল সময়ের স্কেলারের মতো হবে এবং এটি সাধারণভাবে কোনও ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে না, তাই নির্ধারক বিভক্ত হয় না এবং সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীটি বিচ্ছিন্ন হয় নাঃ দ্বিমাত্রিক গঠন দ্বিমাত্রিক রূপকে (যেখানে, বর্গ ম্যাট্রিক্স) কিলিং ফর্ম বলা হয়, যা লাই অ্যালজেব্রার শ্রেণিবিন্যাসের জন্য ব্যবহৃত হয়। ট্রেস একটি দ্বিমাত্রিক রূপকে সংজ্ঞায়িত করেঃ রূপটি প্রতিসম, অ-ক্ষয়কারী এবং এই অর্থে সহযোগী যেঃ একটি জটিল সহজ লাই বীজগণিতের (যেমন) জন্য, এই ধরনের প্রতিটি দ্বিমাত্রিক রূপ একে অপরের সাথে আনুপাতিক; বিশেষত, কিলিং ফর্মের সাথে। দুটি ম্যাট্রিক্স এবং এগুলিকে ট্রেস অর্থোগোনাল বলা হয় যদি একটি লাই বীজগণিতের সাধারণ উপস্থাপনার জন্য একটি সাধারণীকরণ থাকে, যেমন লাই অ্যালজেব্রার সমরূপতা উপরের ট্রেস ফর্মটি উপরের হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। দ্বি-রৈখিক রূপটি প্রতিসম এবং চক্রীয়তার কারণে অপরিবর্তনীয়। সাধারণীকরণ ম্যাট্রিক্সের ট্রেসের ধারণাটি হিলবার্ট স্পেসে কমপ্যাক্ট অপারেটরদের ট্রেস শ্রেণীতে সাধারণীকরণ করা হয় এবং ফ্রোবেনিয়াস আদর্শের এনালগকে হিলবার্ট-শ্মিট আদর্শ বলা হয়। যদি ট্রেস-ক্লাস অপারেটর হয়, তবে যে কোনও অর্থোনর্মাল ভিত্তির জন্য, ট্রেস দ্বারা দেওয়া হয় এবং এটি সীমাবদ্ধ এবং অর্থোনর্মাল ভিত্তির থেকে স্বাধীন। আংশিক ট্রেস হল ট্রেসের আরেকটি সাধারণীকরণ যা অপারেটর-মূল্যবান। একটি পণ্য স্থানে বসবাসকারী একটি রৈখিক অপারেটরের ট্রেস উপরের আংশিক ট্রেসের সমান এবংঃ আরও বৈশিষ্ট্য এবং আংশিক ট্রেসের সাধারণীকরণের জন্য, ট্রেসড মনোইডাল বিভাগগুলি দেখুন। যদি একটি ক্ষেত্রের উপর একটি সাধারণ সহযোগী বীজগণিত হয়, তবে একটি ট্রেস অনকে প্রায়শই এমন কোনও মানচিত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা কমিউটেটরগুলিতে অদৃশ্য হয়ে যায়। এই ধরনের ট্রেস অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না; এটি সর্বদা কমপক্ষে একটি অ-শূন্য স্কেলার দ্বারা গুণ দ্বারা পরিবর্তিত হতে পারে। একটি সুপারট্রেস হ 'ল সুপারঅ্যালজেব্রার সেটিংয়ে একটি ট্রেসের সাধারণীকরণ। টেনসর সংকোচনের ক্রিয়াকলাপ ট্রেসকে নির্বিচারে টেনসরগুলিতে সাধারণীকরণ করে। টেন্সার পণ্যের ভাষায় চিহ্ন একটি ভেক্টর স্থান দেওয়া হলে, স্কেলারে পাঠানোর মাধ্যমে একটি প্রাকৃতিক দ্বিমাত্রিক মানচিত্র দেওয়া হয়। টেনসর পণ্যের সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য স্বয়ংক্রিয়ভাবে বোঝায় যে এই দ্বিমাত্রিক মানচিত্রটি একটি রৈখিক কার্যকরী দ্বারা প্ররোচিত হয়। একইভাবে, রৈখিক মানচিত্রে পাঠানোর মাধ্যমে একটি প্রাকৃতিক দ্বিমাত্রিক মানচিত্র দেওয়া হয়েছে। টেনসর পণ্যের সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য, ঠিক যেমন আগে ব্যবহৃত হয়েছিল, বলে যে এই দ্বিমাত্রিক মানচিত্রটি একটি রৈখিক মানচিত্র দ্বারা প্ররোচিত হয়। যদি সসীম-মাত্রিক হয়, তাহলে এই রৈখিক মানচিত্রটি একটি রৈখিক সমরূপতা। এই মৌলিক সত্যটি একটি (সীমাবদ্ধ) ভিত্তির অস্তিত্বের একটি সরল পরিণতি, এবং এটিও বলা যেতে পারে যে যে কোনও রৈখিক মানচিত্রকে (সীমাবদ্ধভাবে অনেক) র্যাঙ্ক-ওয়ান রৈখিক মানচিত্রের যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। উপরে প্রাপ্ত রৈখিক কার্যকারিতার সাথে সমরূপতার বিপরীত রচনা একটি রৈখিক কার্যকারিতার ফলাফল দেয়। এই রৈখিক কার্যকারিতা ঠিক ট্রেসের মতোই। তির্যক উপাদানগুলির সমষ্টি হিসাবে ট্রেসের সংজ্ঞা ব্যবহার করে, ম্যাট্রিক্স সূত্রটি প্রমাণ করা সোজা, এবং উপরে দেওয়া হয়েছিল। বর্তমান পরিপ্রেক্ষিতে, একটি লিনিয়ার ম্যাপ বিবেচনা করা হচ্ছে এবং এগুলিকে র্যাঙ্ক-ওয়ান ম্যাপের সমষ্টি হিসাবে দেখা হচ্ছে, যাতে লিনিয়ার ফাংশনাল এবং নন-জিরো ভেক্টর এবং যে কোনও ইন-এর জন্য থাকে। তারপর যেকোনও জন্য। র্যাঙ্ক-ওয়ান রৈখিক মানচিত্রে ট্রেস রয়েছে এবং তাই একই পদ্ধতি অনুসরণ করে এবং বিপরীত, একজন ঠিক একই সূত্র খুঁজে পায়, যা প্রমাণ করে যে এটি সমান। উপরের প্রমাণটিকে টেনসর পণ্যের উপর ভিত্তি করে বিবেচনা করা যেতে পারে, কারণ 'সহ'-এর মৌলিক পরিচয় র্যাঙ্ক-এক রৈখিক মানচিত্রের সমষ্টি হিসাবে যে কোনও রৈখিক মানচিত্রের প্রকাশের সমতুল্য। যেমন, প্রমাণটি টেনসর পণ্যের স্বরলিপিতে লেখা যেতে পারে। তারপর কেউ পাঠানোর মাধ্যমে প্রদত্ত বহু-রৈখিক মানচিত্রটি বিবেচনা করতে পারেন। ট্রেস ম্যাপের সাথে আরও রচনা তারপর ফলাফল দেয়, এবং এটি অপরিবর্তিত থাকে যদি কেউ পরিবর্তে শুরু করে থাকে। রচনাটিতে পাঠিয়ে দেওয়া দ্বিমাত্রিক মানচিত্রটিও বিবেচনা করা যেতে পারে, যা পরে একটি রৈখিক মানচিত্র দ্বারা প্ররোচিত হয়। এটি দেখা যায় যে এটি রৈখিক মানচিত্রের সাথে মিলে যায়। ট্রেস ম্যাপের সাথে গঠনের উপর প্রতিষ্ঠিত প্রতিসাম্য তারপর দুটি ট্রেসের সমতা প্রতিষ্ঠা করে। যে কোনও সীমাবদ্ধ মাত্রিক ভেক্টর স্থানের জন্য, একটি প্রাকৃতিক রৈখিক মানচিত্র রয়েছে; রৈখিক মানচিত্রের ভাষায়, এটি একটি স্কেলারকে রৈখিক মানচিত্র বরাদ্দ করে। কখনও কখনও এটিকে কো-ইভালুয়েশন ম্যাপ বলা হয় এবং ট্রেসকে মূল্যায়ন ম্যাপ বলা হয়। এই কাঠামোগুলি শ্রেণী তত্ত্বের বিমূর্ত বিন্যাসে শ্রেণীবদ্ধ চিহ্নগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য স্বতঃসিদ্ধ করা যেতে পারে। আরও দেখুন মেট্রিক টেনসর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন সম্পর্কিত একটি টেনসরের ট্রেস ফিল্ড ট্রেস গোল্ডেন-থম্পসন অসমতা সিঙ্গুলার ট্রেস স্পেকটের উপপাদ্য ট্রেস ক্লাস ট্রেস আইডেন্টিটি ট্রেস অসমতা ভন নিউম্যানের ট্রেস অসমতা নোটস রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক রৈখিক বীজগণিত ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব ট্রেস তত্ত্ব