Negative binomial distribution
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানে, ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন হল একটি পৃথক সম্ভাব্যতা বন্টন যা একটি নির্দিষ্ট (অ-এলোমেলো) সাফল্যের সংখ্যা (চিহ্নিত) হওয়ার আগে স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা বার্নৌলি পরীক্ষার ক্রমানুসারে ব্যর্থতার সংখ্যাকে মডেল করে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি ডাই-তে 6 রোলিং-কে সাফল্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি, এবং অন্য কোনও সংখ্যাকে ব্যর্থতা হিসাবে রোলিং করতে পারি, এবং জিজ্ঞাসা করতে পারি যে তৃতীয় সাফল্য () দেখার আগে কতগুলি ব্যর্থতা রোল ঘটবে। এই ক্ষেত্রে, ব্যর্থতার সংখ্যার সম্ভাব্যতা বন্টন একটি ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন হবে। একটি বিকল্প সূত্র হল মোট পরীক্ষার সংখ্যা (ব্যর্থতার সংখ্যার পরিবর্তে) মডেল করা। প্রকৃতপক্ষে, একটি নির্দিষ্ট (অ-এলোমেলো) সাফল্যের সংখ্যার জন্য (r), ব্যর্থতার সংখ্যা (n − r) এলোমেলো কারণ মোট পরীক্ষা (n) এলোমেলো। উদাহরণস্বরূপ, আমরা ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট যন্ত্রের কাজ ভেঙে যাওয়ার আগে (r দ্বারা নির্দিষ্ট) দিনের সংখ্যা n (এলোমেলো) মডেল করতে পারি। প্যাসকেল বন্টন (ব্লেইজ পাস্কেলের পরে) এবং পোলিয়া বন্টন (জর্জ পোলিয়ার জন্য) হল ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টনের বিশেষ ক্ষেত্রে। প্রকৌশলী, জলবায়ুবিদ এবং অন্যান্যদের মধ্যে একটি প্রচলিত প্রথা হল একটি পূর্ণসংখ্যা-মূল্যবান স্টপিং-টাইম প্যারামিটার ()-এর ক্ষেত্রে "ঋণাত্মক দ্বিপদী" বা "প্যাসকেল" ব্যবহার করা এবং বাস্তব-মূল্যবান ক্ষেত্রে "পোলিয়া" ব্যবহার করা। টর্নেডোর প্রাদুর্ভাবের মতো সম্পর্কিত বিচ্ছিন্ন ঘটনাগুলির জন্য, পোলিয়া বিতরণগুলি পয়সনের বিপরীতে গড় এবং বৈচিত্র্যকে আলাদা করার অনুমতি দিয়ে পয়সন বিতরণের চেয়ে আরও সঠিক মডেল দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের একটি বৈচিত্র্য রয়েছে, যার বন্টন একটি প্রদত্ত গড়ের সীমার মধ্যে পয়সনের অনুরূপ হয়ে ওঠে (অর্থাৎ। যখন ব্যর্থতা ক্রমবর্ধমান বিরল হয়)। এটি বিতরণকে পয়সন বিতরণের একটি দরকারী অতিরিক্ত বিচ্ছুরিত বিকল্প করে তুলতে পারে, উদাহরণস্বরূপ পয়সন রিগ্রেশন-এর একটি শক্তিশালী পরিবর্তনের জন্য। এপিডেমিওলজিতে, এটি সংক্রামক রোগের জন্য রোগ সংক্রমণ মডেল করতে ব্যবহৃত হয়েছে যেখানে পরবর্তী সংক্রমণের সম্ভাব্য সংখ্যা ব্যক্তি থেকে ব্যক্তিতে এবং সেটিং থেকে সেটিং পর্যন্ত উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হতে পারে। আরও সাধারণভাবে, এটি উপযুক্ত হতে পারে যেখানে ঘটনাগুলির ইতিবাচকভাবে পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত ঘটনাগুলি একটি ইতিবাচক কোভ্যারিয়েন্স শব্দের কারণে ঘটনাগুলি স্বাধীন হওয়ার চেয়ে বৃহত্তর বৈচিত্র্য সৃষ্টি করে। "ঋণাত্মক দ্বিপদী" শব্দটি সম্ভবত এই কারণে যে, বিভাজনের সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের সূত্রে প্রদর্শিত একটি নির্দিষ্ট দ্বিপদী সহগকে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে আরও সহজভাবে লেখা যেতে পারে। সংজ্ঞাগুলি স্বাধীন বার্নৌলি পরীক্ষার একটি ক্রম কল্পনা করুনঃ প্রতিটি পরীক্ষার দুটি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে যাকে "সাফল্য" এবং "ব্যর্থতা" বলা হয়। প্রতিটি পরীক্ষায় সাফল্য এবং ব্যর্থতার সম্ভাবনা থাকে। পূর্বনির্ধারিত সংখ্যক সাফল্য না হওয়া পর্যন্ত আমরা এই ক্রমটি পালন করি। তারপর পর্যবেক্ষিত ব্যর্থতার এলোমেলো সংখ্যা, ঋণাত্মক দ্বিপদী (বা প্যাসকেল) বন্টন অনুসরণ করেঃ সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টনের সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন যেখানে r হল সাফল্যের সংখ্যা, k হল ব্যর্থতার সংখ্যা, এবং p হল প্রতিটি পরীক্ষায় সাফল্যের সম্ভাবনা। এখানে, বন্ধনীর পরিমাণ দ্বিপদী সহগ, এবং এর সমান k + r এর পরিবর্তে k + r − 1 ট্রায়াল থেকে k ব্যর্থতা বেছে নেওয়া হয়েছে কারণ k + r ট্রায়ালগুলির মধ্যে শেষটি সংজ্ঞা অনুসারে একটি সাফল্য। এই পরিমাণটি বিকল্পভাবে নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে লেখা যেতে পারে, "ঋণাত্মক দ্বিপদী" নামটি ব্যাখ্যা করেঃ লক্ষ্য করুন যে শেষ অভিব্যক্তি এবং দ্বিপদী সিরিজ দ্বারা, প্রত্যেকের জন্য এবং, তাই সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের পদগুলি প্রকৃতপক্ষে নীচের হিসাবে একটিতে যোগ হয়। সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের উপরের সংজ্ঞাটি বোঝার জন্য, লক্ষ্য করুন যে r সাফল্য এবং k ব্যর্থতার প্রতিটি নির্দিষ্ট ক্রমের সম্ভাবনা হল, কারণ k + r পরীক্ষার ফলাফলগুলি স্বাধীনভাবে হওয়ার কথা। যেহেতু ষষ্ঠ সাফল্য সর্বদা সর্বশেষে আসে, তাই অবশিষ্ট k + r−1 ট্রায়ালগুলির মধ্যে ব্যর্থতার সাথে k ট্রায়ালগুলি বেছে নেওয়া বাকি থাকে। উপরের দ্বিপদী সহগটি, তার সমন্বিত ব্যাখ্যার কারণে, k + r−1 দৈর্ঘ্যের এই সমস্ত ক্রমের সঠিক সংখ্যা দেয়। ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন ক্রমবর্ধমান অসম্পূর্ণ বিটা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন প্রকাশ করা যেতে পারেঃ (এই সূত্রটি নিবন্ধের টেবিলের মতো একই পরামিতি ব্যবহার করছে, সাফল্যের সংখ্যা এবং গড় সহ।) এটি দ্বিপদী বন্টনের ক্রমবর্ধমান বন্টনের ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতেও প্রকাশ করা যেতে পারেঃ বিকল্প সূত্র কিছু উৎস ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টনের সংজ্ঞা এখানে প্রাথমিক বন্টনের থেকে সামান্য ভিন্নভাবে দিতে পারে। সবচেয়ে সাধারণ বৈচিত্রগুলি হল যেখানে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্স বিভিন্ন জিনিস গণনা করছে। এই বৈচিত্রগুলি এখানে সারণিতে দেখা যাবেঃ ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের চারটি সংজ্ঞার প্রত্যেকটিকে সামান্য ভিন্ন কিন্তু সমতুল্য উপায়ে প্রকাশ করা যেতে পারে। প্রথম বিকল্প সূত্রটি কেবল দ্বিপদী সহগের সমতুল্য রূপ, অর্থাৎঃ দ্বিতীয় বিকল্প সূত্রটি এই অভিব্যক্তিটিকে কিছুটা সহজ করে তোলে যে মোট পরীক্ষার সংখ্যা কেবল সাফল্য এবং ব্যর্থতার সংখ্যা, অর্থাৎঃ এই দ্বিতীয় সূত্রগুলি বোঝার জন্য আরও স্বজ্ঞাত হতে পারে, তবে এগুলি সম্ভবত কম ব্যবহারিক কারণ তাদের আরও বেশি পদ রয়েছে। যে সংজ্ঞায় এক্স হল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক আর সাফল্যের জন্য ঘটে যাওয়া এন পরীক্ষার সংখ্যা প্রাথমিক সংজ্ঞার অনুরূপ, ব্যতীত ব্যর্থতার সংখ্যার পরিবর্তে পরীক্ষার সংখ্যা দেওয়া হয়। এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মান r যোগ করে, এর সমর্থন এবং গড় পরিবর্তন করে। সংজ্ঞাটি যেখানে এক্স হ 'ল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক আর ব্যর্থতার জন্য ঘটে যাওয়া কে সাফল্যের (বা এন ট্রায়াল) সংখ্যা এই নিবন্ধে ব্যবহৃত প্রাথমিক সংজ্ঞার অনুরূপ, ব্যতীত কী গণনা করা হচ্ছে এবং কী দেওয়া হয়েছে তা বিবেচনা করার সময় ব্যর্থতা এবং সাফল্যের সংখ্যা পরিবর্তন করা হয়। তবে লক্ষ্য করুন যে, 'পি' এখনও 'সাফল্যের' সম্ভাবনাকে বোঝায়। ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের সংজ্ঞাটি এমন ক্ষেত্রে প্রসারিত করা যেতে পারে যেখানে পরামিতি r একটি ধনাত্মক বাস্তব মান গ্রহণ করতে পারে। যদিও "ব্যর্থতা"-র একটি অ-পূর্ণসংখ্যা সংখ্যা কল্পনা করা অসম্ভব, তবুও আমরা তার সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের মাধ্যমে বিতরণকে আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। সংজ্ঞাটি বাস্তব-মূল্যবান (ধনাত্মক) r-এ প্রসারিত করার সমস্যাটি গামা ফাংশনের উপর ভিত্তি করে দ্বিপদী সহগকে তার বাস্তব-মূল্যবান প্রতিরূপে প্রসারিত করার জন্য ফোটেঃ মূল সংজ্ঞায় এই অভিব্যক্তিটি প্রতিস্থাপনের পরে, আমরা বলি যে X-এর একটি ঋণাত্মক দ্বিপদী (বা পোলিয়া) বন্টন রয়েছে যদি এর একটি সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন থাকেঃ এখানে r একটি বাস্তব, ধনাত্মক সংখ্যা। ঋণাত্মক দ্বিপদী প্রতিগমনে, বন্টনটি তার গড়ের পরিপ্রেক্ষিতে নির্দিষ্ট করা হয়, যা তারপর রৈখিক প্রতিগমন বা অন্যান্য সাধারণীকৃত রৈখিক মডেলের মতো ব্যাখ্যামূলক চলকের সাথে সম্পর্কিত। গড় m-এর অভিব্যক্তি থেকে, এবং পাওয়া যায়। তারপর, যখন r বাস্তব-মূল্যবান হয় তখন সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের জন্য এই অভিব্যক্তিগুলিকে প্রতিস্থাপিত করলে, m এর পরিপ্রেক্ষিতে সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের এই পরামিতিটি পাওয়া যায়ঃ তারপরে বৈকল্পিকতা হিসাবে লেখা যেতে পারে। কিছু লেখক সেট করতে পছন্দ করেন, এবং পার্থক্য হিসাবে প্রকাশ করেন। এই প্রসঙ্গে, এবং লেখকের উপর নির্ভর করে, প্যারামিটার r বা এর পারস্পরিক α কে "ডিসপারশন প্যারামিটার", "শেপ প্যারামিটার" বা "ক্লাস্টারিং কোএফিশিয়েন্ট", বা "হেটেরোজেনিটি" বা "এগ্রিগেশন" প্যারামিটার হিসাবে উল্লেখ করা হয়। "সমষ্টি" শব্দটি বিশেষ করে বাস্তুতন্ত্রে ব্যবহৃত হয় যখন পৃথক পৃথক জীবের সংখ্যা বর্ণনা করা হয়। শূন্যের দিকে একত্রীকরণ পরামিতি r-এর হ্রাস জীবের ক্রমবর্ধমান একত্রীকরণের সাথে মিলে যায়; অনন্তের দিকে r-এর বৃদ্ধি একত্রীকরণের অনুপস্থিতির সাথে মিলে যায়, যা পয়সন রিগ্রেশন দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। বিকল্প প্যারামিটারাইজেশন কখনও কখনও বিতরণটি তার গড় μ এবং বৈকল্পিকতা σ2-এর পরিপ্রেক্ষিতে প্যারামিটারাইজ করা হয়ঃ উদাহরণস্বরূপ হাসপাতালে থাকার দৈর্ঘ্য হাসপাতালে থাকার দৈর্ঘ্য বাস্তব-বিশ্বের তথ্যের একটি উদাহরণ যা নেতিবাচক দ্বিপদী রিগ্রেশন-এর মাধ্যমে নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণের সাথে ভালভাবে মডেল করা যেতে পারে। ষষ্ঠ শ্রেণীর মাঠ ভ্রমণের জন্য অর্থ সংগ্রহের জন্য ক্যান্ডি বার বিক্রি করার জন্য ক্যান্ডি প্যাট কলিস বিক্রি করা প্রয়োজন। পাঁচটি ক্যান্ডি বার বিক্রি না হওয়া পর্যন্ত প্যাটের (কিছুটা কঠোরভাবে) বাড়ি ফেরার কথা নয়। তাই শিশুটি ঘরে ঘরে গিয়ে ক্যান্ডি বার বিক্রি করে। প্রতিটি বাড়িতে একটি ক্যান্ডি বার বিক্রি হওয়ার সম্ভাবনা 0.6 এবং কিছুই বিক্রি না হওয়ার সম্ভাবনা 0.40। নবম বাড়িতে শেষ ক্যান্ডি বারটি বিক্রি করার সম্ভাবনা কত? পর্যাপ্ত পরিমাণে সফলভাবে ক্যান্ডি বিক্রি করা আমাদের থামার মানদণ্ডকে সংজ্ঞায়িত করে (এটি বিক্রি করতে ব্যর্থ হওয়ার বিপরীতে), তাই এই ক্ষেত্রে কে ব্যর্থতার সংখ্যাকে উপস্থাপন করে এবং আর সাফল্যের সংখ্যাকে উপস্থাপন করে। মনে রাখবেন যে নেগবিন (আর, পি) বন্টন শেষ ট্রায়ালে সাফল্যের সাথে কে + আর বার্নৌলি (পি) ট্রায়ালগুলিতে কে ব্যর্থতা এবং আর সাফল্যের সম্ভাবনা বর্ণনা করে। পাঁচটি ক্যান্ডি বার বিক্রি করার অর্থ হল পাঁচটি সাফল্য পাওয়া। বিচারের সংখ্যা (অর্থাৎ। আমরা যে এলোমেলো চলকের প্রতি আগ্রহী তা হল বাড়ির সংখ্যা, তাই আমরা k = n−5 কে একটি নেগবিন (5,<unk><unk> 0.4<unk><unk>) ভর ফাংশনে প্রতিস্থাপন করি এবং ঘরগুলির বণ্টনের নিম্নলিখিত ভর ফাংশনটি পাই (n ≤ 5 এর জন্য): প্যাট দশম ঘরে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা কত? প্যাট অষ্টম ঘরে বা তার আগে শেষ করার সম্ভাবনা কত? অষ্টম ঘরে বা তার আগে শেষ করতে, প্যাটকে অবশ্যই পঞ্চম, ষষ্ঠ, সপ্তম বা অষ্টম ঘরে শেষ করতে হবে। এই সম্ভাবনার যোগসূত্রঃ প্যাটের আশেপাশে দাঁড়িয়ে থাকা 30টি বাড়ির সবকটিকে নিঃশেষ করে দেওয়ার সম্ভাবনা কত? এটি এই সম্ভাবনা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যে প্যাট ত্রিশতম হাউসের মধ্য দিয়ে পঞ্চম স্থানে শেষ করবে নাঃ প্যাট প্রতিটি বাড়িতে (60 শতাংশ) বিক্রি করবে এমন উচ্চ সম্ভাবনার কারণে, তার অনুসন্ধানটি পূরণ না করার সম্ভাবনা খুব কম। বৈশিষ্ট্য প্রত্যাশা r সাফল্য দেখার জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার প্রত্যাশিত মোট সংখ্যা হল। সুতরাং, ব্যর্থতার প্রত্যাশিত সংখ্যা হবে এই মান, বিয়োগ সাফল্যঃ সাফল্যের প্রত্যাশা পরামিতি সহ একটি ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনে ব্যর্থতার প্রত্যাশিত মোট সংখ্যা হল r (1−p)/p। এটি দেখার জন্য, কল্পনা করুন যে নেতিবাচক দ্বিপদী অনুকরণ করে একটি পরীক্ষা বহুবার করা হয়। অর্থাৎ, সাফল্য না পাওয়া পর্যন্ত পরীক্ষার একটি সেট সঞ্চালিত হয়, তারপর পরীক্ষার আরেকটি সেট, এবং তারপর আরেকটি ইত্যাদি। প্রতিটি পরীক্ষায় সঞ্চালিত পরীক্ষার সংখ্যা লিখুনঃ এবং সেট করুন। এখন আমরা মোট সাফল্যের আশা করব। ধরুন পরীক্ষাটি বার বার করা হয়েছিল। তারপর সব মিলিয়ে সাফল্য আসে। সুতরাং আমরা তাই আশা করব। দেখুন যে এটি প্রতি পরীক্ষায় পরীক্ষার গড় সংখ্যা মাত্র। এটাই আমরা "প্রত্যাশা" বলতে চাই। প্রতি পরীক্ষায় ব্যর্থতার গড় সংখ্যা হল। এটি এই পৃষ্ঠার ডানদিকের বাক্সে দেওয়া গড়ের সাথে একমত। ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টনকে অপেক্ষার সময়ের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করে একটি কঠোর ব্যুৎপত্তি করা যেতে পারে। আসুন কনভেনশনটি সাফল্যের সম্ভাবনা সহ সাফল্যের আগে পর্যবেক্ষণ করা ব্যর্থতার সংখ্যাকে উপস্থাপন করে। এবং সাফল্য দেখার আগে ব্যর্থতার সংখ্যাকে প্রতিনিধিত্ব করতে দিন। আমরা দশম এবং দশম সাফল্যের মধ্যে অপেক্ষার সময় (ব্যর্থতার সংখ্যা) হিসাবে ভাবতে পারি। সুতরাং গড় হল যা সত্য থেকে অনুসরণ করে। r-তম সাফল্যের আগে ব্যর্থতার সংখ্যা গণনা করার সময়, বৈকল্পিকতা হল r (1−p)/p2। আর-তম ব্যর্থতার আগে সাফল্যের সংখ্যা গণনা করার সময়, যেমন উপরের বিকল্প গঠনে (3), বৈকল্পিকতা হল আরপি/(1−পি) 2। দ্বিপদী উপপাদ্যের সঙ্গে সম্পর্ক ধরা যাক, Y হল একটি এলোমেলো চলক যার n এবং p পরামিতি সহ দ্বিপদী বন্টন রয়েছে। ধরে নিন, p + q = 1, p, q ≤ 0 সহ, তারপর নিউটনের দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে, এটিকে সমানভাবে এভাবে লেখা যেতে পারেঃ যেখানে যোগফলের উপরের সীমা অসীম। এই ক্ষেত্রে, দ্বিপদী সহগ সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন n একটি বাস্তব সংখ্যা, শুধুমাত্র একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার পরিবর্তে। কিন্তু আমাদের দ্বিপদী বণ্টনের ক্ষেত্রে এটি শূন্য যখন k> n। তারপর আমরা বলতে পারি, উদাহরণস্বরূপ এখন ধরুন r> 0 এবং আমরা একটি ঋণাত্মক সূচক ব্যবহার করিঃ তারপর সমস্ত পদ ধনাত্মক হয়, এবং শব্দটি কেবল সম্ভাব্যতা যে r তম সাফল্যের আগে ব্যর্থতার সংখ্যা k এর সমান, যদি r একটি পূর্ণসংখ্যা হয়। (যদি r একটি ঋণাত্মক অ-পূর্ণসংখ্যা হয়, যাতে সূচকটি একটি ধনাত্মক অ-পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে উপরের যোগফলের কিছু পদ ঋণাত্মক হয়, তাই সমস্ত অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেটে আমাদের সম্ভাব্যতা বন্টন নেই।) এখন আমরা r-এর অ-পূর্ণসংখ্যার মানগুলিকেও অনুমতি দিই। তারপর আমাদের একটি যথাযথ ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন রয়েছে, যা প্যাসকেল বন্টনের একটি সাধারণীকরণ, যা যখন r একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় তখন প্যাসকেল বন্টনের সাথে মিলে যায়। উপর থেকে স্মরণ করুন যে, p প্যারামিটারের জন্য একই মান সহ স্বাধীন ঋণাত্মক-দ্বিপদীভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল r1 এবং r2-এর যোগফল ঋণাত্মক-দ্বিপদীভাবে একই p দিয়ে বিতরণ করা হয় কিন্তু r-মান r1 + r2 দিয়ে। এই বৈশিষ্ট্যটি বজায় থাকে যখন সংজ্ঞাটি এইভাবে সাধারণীকরণ করা হয়, এবং এটি একটি দ্রুত উপায় প্রদান করে যে ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন অসীমভাবে বিভাজ্য। পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তি সম্পর্কগুলি ধারণ করেঃ সম্ভাব্যতা ভর ফাংশনের জন্য মুহূর্তের জন্য সঞ্চয়ী সম্পর্কিত বন্টনের জন্য জ্যামিতিক বন্টন ({0,1,2,3,.}-এ) ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টনের সাথে পৃথক পর্যায়-প্রকার বন্টনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন হল বিচ্ছিন্ন যৌগ পয়সন বন্টনের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে। পয়সন বন্টন ঋণাত্মক দ্বিপদী র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ক্রম বিবেচনা করুন যেখানে স্টপিং প্যারামিটার r অনন্তের দিকে যায়, যেখানে প্রতিটি পরীক্ষায় সাফল্যের সম্ভাবনা p একটির দিকে যায়, যাতে বন্টনের গড় বজায় থাকে (অর্থাৎ। ব্যর্থতার প্রত্যাশিত সংখ্যা) ধ্রুবক। এই গড়কে λ হিসাবে চিহ্নিত করলে, প্যারামিটার p হবে p = r/(r + λ) এই প্যারামিট্রাইজেশনের অধীনে সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন হবে। অন্য কথায়, বিকল্পভাবে প্যারামিটারাইজড নেতিবাচক দ্বিপদী বন্টন পয়সন বন্টনে একত্রিত হয় এবং r পয়সন থেকে বিচ্যুতি নিয়ন্ত্রণ করে। এটি ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টনকে পয়সনের একটি শক্তিশালী বিকল্প হিসাবে উপযুক্ত করে তোলে, যা বড় r-এর জন্য পয়সনের কাছে পৌঁছায়, তবে ছোট r-এর জন্য পয়সনের চেয়ে বড় বৈচিত্র্য রয়েছে। গামা-পয়সন মিশ্রণ ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন পয়সনের বন্টনের অবিচ্ছিন্ন মিশ্রণ হিসাবেও উদ্ভূত হয় (অর্থাৎ। একটি যৌগিক সম্ভাব্যতা বন্টন) যেখানে পয়সন হারের মিশ্রণ বন্টন একটি গামা বন্টন। অর্থাৎ, আমরা ঋণাত্মক দ্বিপদীকে একটি বন্টন হিসাবে দেখতে পারি, যেখানে λ নিজেই একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল, যা r আকৃতি এবং স্কেল θ = বা অনুরূপ হার β = সহ একটি গামা বন্টন হিসাবে বিতরণ করা হয়। এই বিবৃতির পিছনের অন্তর্দৃষ্টি প্রদর্শন করতে, দুটি স্বাধীন পয়সন প্রক্রিয়া, "সাফল্য" এবং "ব্যর্থতা" বিবেচনা করুন, যার তীব্রতা p এবং 1-p। একসাথে, সাফল্য এবং ব্যর্থতা প্রক্রিয়া তীব্রতা 1-এর একক পয়সন প্রক্রিয়ার সমতুল্য, যেখানে প্রক্রিয়াটির একটি ঘটনা সফল হয় যদি একটি সংশ্লিষ্ট স্বাধীন মুদ্রা টস সম্ভাব্যতা p-এর সাথে মাথা উপরে আসে; অন্যথায়, এটি একটি ব্যর্থতা। যদি r একটি গণনা সংখ্যা হয়, তবে মুদ্রা টসগুলি দেখায় যে r তম ব্যর্থতার আগে সাফল্যের গণনা r এবং p পরামিতি সহ একটি ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন অনুসরণ করে। তবে, গণনাটিও ব্যর্থতা পয়সন প্রক্রিয়ায় r তম ঘটনার এলোমেলো সময় টি-তে সাফল্য পয়সন প্রক্রিয়াটির গণনা। সাফল্য গণনা গড় pT সহ একটি পয়সন বণ্টনের অনুসরণ করে, যেখানে T হল 1−p তীব্রতার একটি পয়সন প্রক্রিয়ায় r ঘটনার জন্য অপেক্ষার সময়, অর্থাৎ, T হল আকৃতি পরামিতি r এবং তীব্রতা 1−p সহ গামা-বণ্টিত। সুতরাং, ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের মান গড় pT সহ পয়সন বণ্টনের সমতুল্য, যেখানে এলোমেলো বৈচিত্র্য T হল আকৃতি পরামিতি r এবং তীব্রতার সাথে গামা-বণ্টিত। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদটি অনুসরণ করে, কারণ λ = pT আকৃতি পরামিতি r এবং তীব্রতার সাথে গামা-বিতরণ করা হয়। নিম্নলিখিত আনুষ্ঠানিক ব্যুৎপত্তি (যা r একটি গণনা সংখ্যা হওয়ার উপর নির্ভর করে না) অন্তর্দৃষ্টিকে নিশ্চিত করে। এই কারণে, ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন গামা-পয়সন (মিশ্রণ) বন্টন নামেও পরিচিত। ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন মূলত গামা-পয়সন বন্টনের একটি সীমিত ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়েছিল। জ্যামিতিকভাবে বণ্টিত এলোমেলো চলকের যোগফলের বন্টন যদি Yr একটি এলোমেলো চলক যা r এবং p পরামিতি সহ ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের অনুসরণ করে এবং {0,1,2,.} সমর্থন করে, তাহলে Yr হল p পরামিতি সহ জ্যামিতিক বণ্টনের ({0,1,2,.}-এ) অনুসরণ করে r স্বাধীন চলকের সমষ্টি। কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের ফলস্বরূপ, Yr (সঠিকভাবে স্কেল করা এবং স্থানান্তরিত) তাই যথেষ্ট বড় r-এর জন্য প্রায় স্বাভাবিক। উপরন্তু, যদি Bs + r একটি এলোমেলো চলক হয় যা s + r এবং p পরামিতি সহ দ্বিপদী বণ্টনের অনুসরণ করে, তাহলে এই অর্থে ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের "বিপরীত" হয়। p প্যারামিটারের জন্য একই মান সহ স্বাধীন ঋণাত্মক-দ্বিপদীভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবল r1 এবং r2-এর যোগফল ঋণাত্মক-দ্বিপদীভাবে একই p দিয়ে বিতরণ করা হয় তবে r-মান r1 + r2 দিয়ে। ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন অসীমভাবে বিভাজ্য, অর্থাৎ, যদি Y-এর ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন থাকে, তবে যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য, স্বাধীনভাবে বিতরণকৃত এলোমেলো চলক Y1, Yn রয়েছে, যার যোগফলের Y-এর সমান বন্টন রয়েছে। যৌগিক পয়সন বন্টন হিসাবে উপস্থাপনা ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন এন. বি (আর, পি)-কে যৌগিক পয়সন বন্টন হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ আসুন স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা এলোমেলো চলকগুলির একটি ক্রমকে বোঝাই, যার প্রত্যেকটির লগারিদমিক সিরিজ বন্টন লগ (পি) রয়েছে, সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন সহ ধরা যাক এন একটি এলোমেলো চলক, ক্রম থেকে স্বাধীন, এবং ধরুন যে এন-এর গড় সহ একটি পয়সন বন্টন রয়েছে। তারপর এলোমেলো যোগফল হল এন. বি (আর, পি)-বিতরণ। এটি প্রমাণ করার জন্য, আমরা এক্স-এর সম্ভাব্যতা উৎপাদনকারী ফাংশন জিএক্স গণনা করি, যা সম্ভাব্যতা উৎপাদনকারী ফাংশন জিএন এবং জিওয়াই1-এর গঠন। ব্যবহার করে এবং আমরা এনবি (আর, পি) বিতরণের সম্ভাব্যতা তৈরির ফাংশনটি পাই। নিম্নলিখিত সারণিতে ড্রয়ের ক্রমানুসারে সাফল্যের সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত চারটি বন্টন বর্ণনা করা হয়েছেঃ (a, b, 0) বন্টনের শ্রেণী ঋণাত্মক দ্বিপদী, পয়সন এবং দ্বিপদী বন্টনের সাথে, বন্টনের (a, b, 0) শ্রেণীর সদস্য। এই তিনটি বিতরণই পাঞ্জের বিতরণের বিশেষ ক্ষেত্রে। তারা একটি প্রাকৃতিক সূচকীয় পরিবারেরও সদস্য। পরিসংখ্যানগত অনুমান প্যারামিটার অনুমান পি-এর জন্য এম. ভি. ইউ. ই ধরুন পি অজানা এবং একটি পরীক্ষা পরিচালিত হয় যেখানে সময়ের আগে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় যে নমুনা সংগ্রহ অব্যাহত থাকবে যতক্ষণ না আর সাফল্য পাওয়া যায়। পরীক্ষার জন্য একটি পর্যাপ্ত পরিসংখ্যান হল k, ব্যর্থতার সংখ্যা। p অনুমান করার ক্ষেত্রে, ন্যূনতম বৈচিত্র্য নিরপেক্ষ প্রাক্কলনকারী হল সর্বাধিক সম্ভাব্যতা প্রাক্কলন যখন r জানা যায়, তখন p-এর সর্বাধিক সম্ভাব্যতা প্রাক্কলন হয় কিন্তু এটি একটি পক্ষপাতদুষ্ট প্রাক্কলন। তবে এর বিপরীত (r + k)/r, 1/p এর একটি নিরপেক্ষ অনুমান। যখন r অজানা থাকে, তখন p এবং r এর জন্য সর্বাধিক সম্ভাব্যতা প্রাক্কলনকারী শুধুমাত্র সেই নমুনাগুলির জন্য বিদ্যমান যার জন্য নমুনা বৈকল্পিকতা নমুনা গড়ের চেয়ে বড়। এন. আই. আই. ডি পর্যবেক্ষণের (কে1,., কে. এন) সম্ভাব্যতা ফাংশন হল যেখান থেকে আমরা লগ-লাইকিহুড ফাংশন গণনা করি সর্বাধিক খুঁজে বের করার জন্য আমরা আর এবং পি-এর সাপেক্ষে আংশিক ব্যুৎপত্তি গ্রহণ করি এবং সেগুলিকে শূন্যের সমান স্থাপন করিঃ এবং দিগাম্মা ফাংশন কোথায়। p-এর জন্য প্রথম সমীকরণটি সমাধান করলে পাওয়া যায়ঃ দ্বিতীয় সমীকরণে এটি প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়ঃ এই সমীকরণটি বন্ধ আকারে r-এর জন্য সমাধান করা যাবে না। যদি একটি সংখ্যাসূচক সমাধান পছন্দ করা হয়, তবে নিউটনের পদ্ধতির মতো একটি পুনরাবৃত্তিমূলক কৌশল ব্যবহার করা যেতে পারে। বিকল্পভাবে, প্রত্যাশা-সর্বাধিককরণ অ্যালগরিদম ব্যবহার করা যেতে পারে। বার্নৌলি প্রক্রিয়ায় ঘটনা এবং প্রয়োগ অপেক্ষা সময় বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে r একটি পূর্ণসংখ্যা, ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন প্যাসকেল বন্টন হিসাবে পরিচিত। এটি স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা বার্নৌলি পরীক্ষার একটি সিরিজে নির্দিষ্ট সংখ্যক ব্যর্থতা এবং সাফল্যের সম্ভাব্যতা বিতরণ। সাফল্যের সম্ভাবনা p সহ k + r বার্নৌলি পরীক্ষার জন্য, নেতিবাচক দ্বিপদী k সাফল্য এবং r ব্যর্থতার সম্ভাবনা দেয়, শেষ পরীক্ষায় ব্যর্থতার সাথে। অন্য কথায়, ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন হল একটি বার্নৌলি প্রক্রিয়ায় ষষ্ঠ ব্যর্থতার আগে সাফল্যের সংখ্যার সম্ভাব্যতা বন্টন, প্রতিটি পরীক্ষায় সাফল্যের সম্ভাব্যতা পি সহ। একটি বার্নৌলি প্রক্রিয়া একটি পৃথক সময় প্রক্রিয়া, এবং তাই পরীক্ষা, ব্যর্থতা এবং সাফল্যের সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা। নিচের উদাহরণটি বিবেচনা করুন। ধরুন আমরা বারবার একটি ডাই নিক্ষেপ করি এবং 1 কে ব্যর্থতা হিসাবে বিবেচনা করি। প্রতিটি ট্রায়ালে সাফল্যের সম্ভাবনা 5/6। তৃতীয় ব্যর্থতার আগে সাফল্যের সংখ্যা অসীম সেটের অন্তর্গত {0,1,2,3,.}। সাফল্যের সেই সংখ্যাটি একটি ঋণাত্মক-দ্বিপদীভাবে বিতরণকৃত এলোমেলো পরিবর্তনশীল। যখন r = 1 হয় তখন আমরা প্রথম ব্যর্থতার আগে সাফল্যের সংখ্যার সম্ভাব্যতা বন্টন পাই (অর্থাৎ। (কে + 1) প্রথম ট্রায়ালে প্রথম ব্যর্থতার সম্ভাবনা, যা একটি জ্যামিতিক বিতরণঃ অতিরিক্ত বিচ্ছুরিত পয়সন ঋণাত্মক দ্বিপদী বিতরণ, বিশেষত উপরে বর্ণিত বিকল্প পরামিতিগুলিতে, পয়সন বিতরণের বিকল্প হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি একটি সীমাহীন ধনাত্মক পরিসীমার উপর বিচ্ছিন্ন তথ্যের জন্য বিশেষভাবে কার্যকর, যার নমুনা বৈচিত্র্য নমুনা গড় অতিক্রম করে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, একটি পয়সন বণ্টনের ক্ষেত্রে পর্যবেক্ষণগুলি অতিরিক্তভাবে ছড়িয়ে দেওয়া হয়, যার জন্য গড় বৈচিত্র্যের সমান। তাই পয়সন বন্টন একটি উপযুক্ত মডেল নয়। যেহেতু ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টনের পয়সনের চেয়ে আরও একটি পরামিতি রয়েছে, তাই দ্বিতীয় পরামিতিটি গড় থেকে স্বাধীনভাবে বৈকল্পিকতা সামঞ্জস্য করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। কিছু বিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বিতরণের সমষ্টি দেখুন। এর একটি প্রয়োগ হল উত্তর আটলান্টিকে গ্রীষ্মমন্ডলীয় ঘূর্ণিঝড়ের বার্ষিক গণনা বা ইউরোপে শীতকালীন অতিরিক্ত গ্রীষ্মমন্ডলীয় ঘূর্ণিঝড়ের মাসিক থেকে 6-মাসিক গণনা, যার জন্য পার্থক্য গড়ের চেয়ে বেশি। পরিমিত মাত্রাতিরিক্ত বিচ্ছুরণের ক্ষেত্রে, এটি একটি অতিরিক্ত বিচ্ছুরিত পয়সন বিতরণের মতো উল্লেখযোগ্যভাবে অনুরূপ ফলাফল তৈরি করতে পারে। নেতিবাচক দ্বিপদী বন্টন সাধারণত উচ্চ-থ্রুপুট আর. এন. এ এবং ডি. এন. এ সিকোয়েন্সিং পরীক্ষা থেকে বিচ্ছিন্ন সিকোয়েন্স রিড কাউন্টের আকারে তথ্য মডেল করতে ব্যবহৃত হয়। বহুত্ব পর্যবেক্ষণ (পদার্থবিজ্ঞান) ঋণাত্মক দ্বিপদী বন্টন কণার সংঘর্ষ পরীক্ষায় বহুত্ব পর্যবেক্ষণের বিস্তৃত পরিসরের জন্য সবচেয়ে কার্যকর পরিসংখ্যানগত মডেল, উদাহরণস্বরূপ, (একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ দেখুন), এবং পদার্থের একটি স্কেল-অপরিবর্তনীয় সম্পত্তি হিসাবে যুক্তি দেওয়া হয়, যা জ্যোতির্বিজ্ঞান পর্যবেক্ষণের জন্য সর্বোত্তম উপযুক্ত, যেখানে এটি স্থানের একটি অঞ্চলে ছায়াপথের সংখ্যা পূর্বাভাস দেয়। 1973 সালে তাদের প্রথম পর্যবেক্ষণের পর থেকে এই প্রসঙ্গে ঋণাত্মক দ্বিপদী বণ্টনের কার্যকারিতার জন্য ঘটনাতাত্ত্বিক যৌক্তিকতা পঞ্চাশ বছর ধরে অজানা ছিল। 2023 সালে, প্রথম নীতিগুলি থেকে একটি প্রমাণ অবশেষে স্কট ভি তেজলাফ দ্বারা প্রদর্শিত হয়েছিল, যেখানে এটি দেখানো হয়েছিল যে মিঙ্কোভস্কি স্পেসে কণাগুলির একটি ক্যানোনিকাল এনসেম্বলের গতিশীল সমীকরণের প্রতিসাম্য থেকে নেতিবাচক দ্বিপদী বিতরণ উদ্ভূত হয়। মোটামুটিভাবে, প্রত্যাশিত সংখ্যক পরীক্ষা এবং প্রত্যাশিত সংখ্যক সাফল্যের পরিপ্রেক্ষিতে, যেখানে সমীকরণের একটি সমরূপ সেটকে বিশাল কণাগুলির ক্যানোনিকাল এনসেম্বলের আপেক্ষিক বর্তমান ঘনত্বের পরামিতিগুলির সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যেখানে বিশ্রাম ঘনত্ব, আপেক্ষিক গড় বর্গ ঘনত্ব, আপেক্ষিক গড় বর্গ বর্তমান ঘনত্ব, এবং, যেখানে কণার এনসেম্বলের গড় বর্গ গতি এবং আলোর গতি-যাতে কেউ নিম্নলিখিত উদ্দেশ্যমূলক মানচিত্রটি স্থাপন করতে পারেঃ উপরের চিঠিপত্রের একটি কঠোর বিকল্প প্রমাণও কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মাধ্যমে ফেনম্যান পাথ ইন্টিগ্রালের মাধ্যমে প্রদর্শিত হয়েছে। ইতিহাস এই বিতরণটি প্রথম 1713 সালে পিয়েরে রেমন্ড ডি মন্টমর্ট তাঁর প্রবন্ধ ডি 'অ্যানালাইস সুর লেস জেউক্স ডি হ্যাজার্ডে অধ্যয়ন করেছিলেন, একটি পরীক্ষায় প্রদত্ত সংখ্যক সাফল্য অর্জনের জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যার বিতরণ হিসাবে। এর আগে পাস্কাল এটি উল্লেখ করেছিলেন। আরও দেখুন কুপন সংগ্রাহকের সমস্যা বিটা নেতিবাচক দ্বিপদী বন্টন বর্ধিত নেতিবাচক দ্বিপদী বন্টন নেতিবাচক বহু-দ্বিপদী বন্টন দ্বিপদী বন্টন পয়সন বন্টন যৌগিক পয়সন বন্টন বৈপরীত্য পরিবার নেতিবাচক দ্বিপদী রিগ্রেশন ভেক্টর সাধারণীকৃত রৈখিক মডেল তথ্যসূত্র বিচ্ছিন্ন বন্টন বৈপরীত্য পরিবার বন্টন যৌগিক সম্ভাব্যতা বন্টন ফ্যাক্টরিয়াল এবং দ্বিপদী বিষয় অসীমভাবে বিভাজ্য সম্ভাব্যতা বন্টন