Nonelementary integral
গণিতে, একটি প্রদত্ত প্রাথমিক ফাংশনের একটি ননলিমেন্টারি অ্যান্টিডেরিভেটিভ হল একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ (বা অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল) যা নিজেই একটি প্রাথমিক ফাংশন নয় (অর্থাৎ। একটি ফাংশন যা ক্ষেত্রের ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করে ধ্রুবক, বীজগাণিতিক, সূচকীয়, ত্রিকোণমিতিক এবং লগারিদমিক ফাংশনের সীমাবদ্ধ সংখ্যক অনুপাত থেকে নির্মিত)। 1835 সালে লিউভিলের একটি উপপাদ্য প্রথম প্রমাণ প্রদান করে যে ননলিমেন্টারি অ্যান্টিডেরিভেটিভস বিদ্যমান। এই উপপাদ্যটি কোন প্রাথমিক ফাংশনের প্রাথমিক অ্যান্টিডেরিভেটিভ রয়েছে তা নির্ধারণের জন্য (কঠিনতার সাথে) রিশ অ্যালগরিদমের জন্য একটি ভিত্তিও সরবরাহ করে। নন-এলিমেন্টারি অ্যান্টিডেরিভেটিভ সহ ফাংশনের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছেঃ (উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রাল) (লগারিদমিক ইন্টিগ্রাল) (ত্রুটি ফাংশন, গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল) এবং (ফ্রেন্সেল ইন্টিগ্রাল) (সাইন ইন্টিগ্রাল, ডিরিচলেট ইন্টিগ্রাল) (এক্সপোনেনশিয়াল ইন্টিগ্রাল) (এক্সপোনেনশিয়াল ইন্টিগ্রালের পরিপ্রেক্ষিতে) (লগারিদমিক ইন্টিগ্রালের পরিপ্রেক্ষিতে) (অসম্পূর্ণ গামা ফাংশন); অ্যান্টিডেরিভেটিভের জন্য এক্সপোনেনশিয়াল ইন্টিগ্রালের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে; ত্রুটি ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে; যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, অ্যান্টিডেরিভেটিভ এলিমেন্টারি। কিছু সাধারণ অ-উপাদানগত অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনকে নাম দেওয়া হয়, তথাকথিত বিশেষ ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে এবং এই নতুন ফাংশনগুলির সাথে জড়িত সূত্রগুলি অ-উপাদানগত অ্যান্টিডেরিভেটিভের একটি বৃহত্তর শ্রেণী প্রকাশ করতে পারে। উপরের উদাহরণগুলি বন্ধনীতে সংশ্লিষ্ট বিশেষ ফাংশনগুলির নাম দেয়। অনুপূরক অ্যান্টিডেরিভেটিভের বৈশিষ্ট্যগুলি প্রায়শই টেলর সিরিজ ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে। এমনকি যদি কোনও ফাংশনের কোনও প্রাথমিক অ্যান্টিডেরিভেটিভ না থাকে, তবে এর টেলর সিরিজকে পলিনোমিয়ালের মতো টার্ম-বাই-টার্ম ইন্টিগ্রেট করা যেতে পারে, যা একই ব্যাসার্ধের সাথে টেলর সিরিজের মতো অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন দেয়। যাইহোক, ইন্টিগ্র্যাণ্ডের একটি অভিসারী টেলর সিরিজ থাকলেও, এর সহগের ক্রমের প্রায়শই কোনও প্রাথমিক সূত্র থাকে না এবং ইন্টিগ্রাল টেলর সিরিজের জন্য একই সীমাবদ্ধতা সহ পদ অনুসারে মূল্যায়ন করা আবশ্যক। এমনকি প্রাথমিক পরিভাষায় একটি অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল (অ্যান্টিডেরিভেটিভ) মূল্যায়ন করা সম্ভব না হলেও, কেউ সর্বদা সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেশন দ্বারা একটি সংশ্লিষ্ট নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল আনুমানিক করতে পারে। এমন ক্ষেত্রেও রয়েছে যেখানে কোনও প্রাথমিক অ্যান্টিডেরিভেটিভ নেই, তবে নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালগুলি (প্রায়শই সীমাহীন ব্যবধানের উপর অনুপযুক্ত ইন্টিগ্রালগুলি) প্রাথমিক পরিভাষায় মূল্যায়ন করা যেতে পারেঃ সর্বাধিক বিখ্যাত গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল প্রাথমিক ফাংশনের সেটের ইন্টিগ্রেশনের অধীনে ক্লোজার হল লিউভিলিয়ান ফাংশনের সেট। আরও দেখুন রেফারেন্স ইন্টিগ্রেশন অফ ননলিমেন্টারি ফাংশন, এস. ও. এস. MATHematics.com; অ্যাক্সেস করা হয়েছে 7 ডিসেম্বর 2012। আরও পড়ুন উইলিয়ামস, ডানা পি., ননলেমেন্টারি অ্যান্টিরাইভেটিভস, 1 ডিসেম্বর 1993। 24শে জানুয়ারী, 2014-এ প্রবেশ করা হয়েছে। ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস ইন্টিগ্রাল