Stochastic process
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং সম্পর্কিত ক্ষেত্রগুলিতে, একটি স্টোকাস্টিক () বা র্যান্ডম প্রক্রিয়া হল একটি গাণিতিক বস্তু যা সাধারণত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্রম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে ক্রমের সূচকে সময়ের ব্যাখ্যা থাকে। যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়াগুলি পদ্ধতি এবং ঘটনাগুলির গাণিতিক মডেল হিসাবে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় যা এলোমেলোভাবে পরিবর্তিত হয়। উদাহরণের মধ্যে রয়েছে ব্যাকটেরিয়ার জনসংখ্যার বৃদ্ধি, তাপীয় শব্দের কারণে বৈদ্যুতিক প্রবাহের ওঠানামা বা গ্যাস অণুর গতিবিধি। জীববিজ্ঞান, রসায়ন, বাস্তুসংস্থান, স্নায়ুবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান, চিত্র প্রক্রিয়াকরণ, সংকেত প্রক্রিয়াকরণ, নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব, তথ্য তত্ত্ব, কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং টেলিযোগাযোগের মতো অনেক শাখায় স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির প্রয়োগ রয়েছে। উপরন্তু, আর্থিক বাজারে আপাতদৃষ্টিতে এলোমেলো পরিবর্তনগুলি অর্থনীতিতে অপ্রচলিত প্রক্রিয়াগুলির ব্যাপক ব্যবহারকে অনুপ্রাণিত করেছে। প্রয়োগ এবং ঘটনাগুলির অধ্যয়ন পালাক্রমে নতুন যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়াগুলির প্রস্তাবকে অনুপ্রাণিত করেছে। এই ধরনের যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়ার উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে উইনার প্রক্রিয়া বা ব্রাউনিয়ান গতি প্রক্রিয়া, যা লুই ব্যাচেলিয়ার প্যারিস বোর্সের মূল্য পরিবর্তন অধ্যয়নের জন্য ব্যবহার করেছিলেন এবং পয়সন প্রক্রিয়া, যা এ. কে. এরলাং একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে ফোন কলের সংখ্যা অধ্যয়নের জন্য ব্যবহার করেছিলেন। এই দুটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াকে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া তত্ত্বের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং কেন্দ্রীয় হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং ব্যাচেলিয়ার এবং এরলাংয়ের আগে এবং পরে উভয় ক্ষেত্রেই বিভিন্ন সেটিংস এবং দেশে বারবার এবং স্বাধীনভাবে আবিষ্কৃত হয়েছিল। র্যান্ডম ফাংশন শব্দটি একটি স্টোকাস্টিক বা র্যান্ডম প্রক্রিয়া বোঝাতেও ব্যবহৃত হয়, কারণ একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া একটি ফাংশন স্পেসে র্যান্ডম উপাদান হিসাবেও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া এবং এলোমেলো প্রক্রিয়া শব্দগুলি বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহৃত হয়, প্রায়শই এলোমেলো চলকগুলিকে সূচীভুক্ত করে এমন সেটের জন্য কোনও নির্দিষ্ট গাণিতিক স্থান থাকে না। কিন্তু প্রায়শই এই দুটি পদ ব্যবহার করা হয় যখন র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি পূর্ণসংখ্যা বা বাস্তব রেখার একটি ব্যবধান দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়। যদি এলোমেলো চলকগুলি কার্টেসিয়ান সমতল বা কোনও উচ্চ-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়, তবে এলোমেলো চলকগুলির সংগ্রহকে সাধারণত র্যান্ডম ক্ষেত্র বলা হয়। একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়ার মানগুলি সর্বদা সংখ্যা নয় এবং ভেক্টর বা অন্যান্য গাণিতিক বস্তু হতে পারে। তাদের গাণিতিক বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলিকে বিভিন্ন বিভাগে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে, যার মধ্যে রয়েছে এলোমেলো হাঁটা, মার্টিঙ্গেলস, মার্কভ প্রক্রিয়া, লেভি প্রক্রিয়া, গাউসিয়ান প্রক্রিয়া, এলোমেলো ক্ষেত্র, পুনর্নবীকরণ প্রক্রিয়া এবং শাখা প্রক্রিয়া। যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়নে গাণিতিক জ্ঞান এবং সম্ভাব্যতা, ক্যালকুলাস, রৈখিক বীজগণিত, সেট তত্ত্ব এবং টপোলজির কৌশলগুলির পাশাপাশি গাণিতিক বিশ্লেষণের শাখা যেমন বাস্তব বিশ্লেষণ, পরিমাপ তত্ত্ব, ফুরিয়ার বিশ্লেষণ এবং কার্যকরী বিশ্লেষণ ব্যবহার করা হয়। যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া তত্ত্বকে গণিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ অবদান হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং এটি তাত্ত্বিক কারণ এবং প্রয়োগ উভয়ের জন্যই গবেষণার একটি সক্রিয় বিষয় হিসাবে অব্যাহত রয়েছে। একটি যাদৃচ্ছিক বা এলোমেলো প্রক্রিয়াকে এলোমেলো চলকের সংগ্রহ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা কিছু গাণিতিক সেট দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়, যার অর্থ হল যে যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়ার প্রতিটি এলোমেলো চলক সেটের একটি উপাদানের সাথে অনন্যভাবে যুক্ত। র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সূচিবদ্ধ করতে ব্যবহৃত সেটটিকে সূচক সেট বলা হয়। ঐতিহাসিকভাবে, সূচক সেটটি বাস্তব রেখার কিছু উপসেট ছিল, যেমন প্রাকৃতিক সংখ্যা, যা সূচক সেটকে সময়ের ব্যাখ্যা দেয়। সংগ্রহের প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একই গাণিতিক স্থান থেকে মান নেয় যা স্টেট স্পেস নামে পরিচিত। এই অবস্থার স্থান হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা, বাস্তব রেখা বা-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান। একটি বৃদ্ধি হল সেই পরিমাণ যা একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া দুটি সূচক মানের মধ্যে পরিবর্তিত হয়, যা প্রায়শই সময়ের দুটি বিন্দু হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়। একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার যাদৃচ্ছিকতার কারণে অনেক ফলাফল হতে পারে এবং একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একক ফলাফলকে অন্যান্য নামের মধ্যে একটি নমুনা ফাংশন বা উপলব্ধি বলা হয়। শ্রেণীবিভাগ একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া বিভিন্ন উপায়ে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, তার অবস্থা স্থান, তার সূচক সেট, বা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে নির্ভরতা দ্বারা। শ্রেণীবিভাগের একটি সাধারণ উপায় হল সূচক সেট এবং স্টেট স্পেসের কার্ডিনালিটি। সময় হিসাবে ব্যাখ্যা করা হলে, যদি কোনও স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার সূচক সেটের একটি সীমাবদ্ধ বা গণনাযোগ্য সংখ্যক উপাদান থাকে, যেমন সংখ্যার একটি সীমাবদ্ধ সেট, পূর্ণসংখ্যার সেট বা প্রাকৃতিক সংখ্যা, তবে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিকে বিচ্ছিন্ন সময়ে বলা হয়। যদি সূচক সেটটি বাস্তব রেখার কিছু ব্যবধান হয়, তবে সময়কে অবিচ্ছিন্ন বলা হয়। দুই ধরনের স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াকে যথাক্রমে বিচ্ছিন্ন-সময় এবং অবিচ্ছিন্ন-সময় স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হিসাবে উল্লেখ করা হয়। বিচ্ছিন্ন-সময়ের যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়ন করা সহজ বলে মনে করা হয় কারণ অবিচ্ছিন্ন-সময়ের প্রক্রিয়াগুলির জন্য আরও উন্নত গাণিতিক কৌশল এবং জ্ঞানের প্রয়োজন হয়, বিশেষত সূচক সেটটি অগণিত হওয়ার কারণে। যদি সূচক সেটটি পূর্ণসংখ্যা বা তাদের কিছু উপসেট হয়, তবে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিকে র্যান্ডম সিকোয়েন্সও বলা যেতে পারে। যদি স্টেট স্পেসটি পূর্ণসংখ্যা বা প্রাকৃতিক সংখ্যা হয়, তবে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিকে বিচ্ছিন্ন বা পূর্ণসংখ্যা-মূল্যবান স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া বলা হয়। যদি স্টেট স্পেস বাস্তব রেখা হয়, তবে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিকে একটি বাস্তব-মূল্যবান স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া বা অবিচ্ছিন্ন স্টেট স্পেস সহ একটি প্রক্রিয়া হিসাবে উল্লেখ করা হয়। যদি অবস্থার স্থানটি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান হয়, তবে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিকে-মাত্রিক ভেক্টর প্রক্রিয়া বা-ভেক্টর প্রক্রিয়া বলা হয়। ইংরেজিতে স্টোকাস্টিক শব্দটি মূলত "অনুমান সম্পর্কিত" সংজ্ঞা সহ একটি বিশেষণ হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছিল এবং এটি একটি গ্রীক শব্দ থেকে উদ্ভূত হয়েছিল যার অর্থ "একটি চিহ্ন, অনুমানকে লক্ষ্য করা", এবং অক্সফোর্ড ইংরেজি অভিধান 1662 সালকে তার প্রাচীনতম ঘটনা হিসাবে দেয়। জ্যাকব বার্নৌলি 1713 সালে ল্যাটিন ভাষায় প্রকাশিত সম্ভাব্যতা আর্স কনজেক্টান্ডির উপর তাঁর কাজে "আর্স কনজেক্টান্ডি সিভ স্টোকাস্টিস" বাক্যাংশটি ব্যবহার করেছিলেন, যা "অনুমান বা স্টোকাস্টিক্সের শিল্পে" অনুবাদ করা হয়েছে। এই বাক্যাংশটি বার্নৌলির প্রসঙ্গে ল্যাডিস্লাস বোর্টকিউইজ ব্যবহার করেছিলেন, যিনি 1917 সালে জার্মান ভাষায় স্টোকাস্টিক শব্দটি লিখেছিলেন যার অর্থ এলোমেলো। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া শব্দটি ইংরেজিতে প্রথম প্রকাশিত হয় 1934 সালে জোসেফ ডুব-এর একটি গবেষণাপত্রে। শব্দটি এবং একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক সংজ্ঞার জন্য, ডুব 1934 সালের আরেকটি গবেষণাপত্রের উদ্ধৃতি দিয়েছেন, যেখানে স্টোকাস্টিশার প্রজেব শব্দটি জার্মান ভাষায় আলেকজান্ডার খিঞ্চিন ব্যবহার করেছিলেন, যদিও জার্মান শব্দটি আগে ব্যবহার করা হয়েছিল, উদাহরণস্বরূপ, 1931 সালে আন্দ্রেই কোলমোগোরভ দ্বারা। অক্সফোর্ড ইংরেজি অভিধান অনুসারে, বর্তমান অর্থ সহ ইংরেজিতে র্যান্ডম শব্দের প্রাথমিক ঘটনাগুলি, যা সুযোগ বা ভাগ্যের সাথে সম্পর্কিত, 16শ শতাব্দীতে শুরু হয়েছিল, যেখানে এর আগে নথিভুক্ত ব্যবহারগুলি 14শ শতাব্দীতে একটি বিশেষ্য হিসাবে শুরু হয়েছিল যার অর্থ "আবেগপ্রবণতা, দুর্দান্ত গতি, শক্তি বা হিংসা (অশ্বচালনা, দৌড়ানো, আঘাত করা ইত্যাদিতে)"। শব্দটি নিজেই একটি মধ্য ফরাসি শব্দ থেকে এসেছে যার অর্থ "গতি, তাড়াহুড়ো", এবং এটি সম্ভবত একটি ফরাসি ক্রিয়া থেকে উদ্ভূত হয়েছে যার অর্থ "দৌড়ানো" বা "লাফ দেওয়া"। এলোমেলো প্রক্রিয়া শব্দটির প্রথম লিখিত উপস্থিতি প্রাক-তারিখের স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া, যা অক্সফোর্ড ইংরেজি অভিধানও সমার্থক হিসাবে দেয় এবং 1888 সালে প্রকাশিত ফ্রান্সিস এজওয়ার্থের একটি নিবন্ধে ব্যবহৃত হয়েছিল। পরিভাষা একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার সংজ্ঞা পরিবর্তিত হয়, তবে একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া ঐতিহ্যগতভাবে কিছু সেট দ্বারা সূচীভুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংগ্রহ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। র্যান্ডম প্রক্রিয়া এবং স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া শব্দগুলিকে সমার্থক হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং সূচক সেটটি সঠিকভাবে নির্দিষ্ট না করে বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহার করা হয়। "সংগ্রহ" বা "পরিবার" উভয়ই ব্যবহার করা হয় যখন "সূচক সেট"-এর পরিবর্তে কখনও কখনও "পরামিতি সেট" বা "পরামিতি স্থান" শব্দগুলি ব্যবহার করা হয়। র্যান্ডম ফাংশন শব্দটি একটি স্টোকাস্টিক বা র্যান্ডম প্রক্রিয়া বোঝাতেও ব্যবহৃত হয়, যদিও কখনও কখনও এটি কেবল তখনই ব্যবহৃত হয় যখন স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি বাস্তব মান গ্রহণ করে। এই শব্দটি তখনও ব্যবহৃত হয় যখন সূচক সেটগুলি বাস্তব রেখা ব্যতীত অন্য গাণিতিক স্থান হয়, যখন সূচক সেটটিকে সময় হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় তখন সাধারণত যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া এবং এলোমেলো প্রক্রিয়া শব্দগুলি ব্যবহার করা হয় এবং অন্যান্য পদগুলি এলোমেলো ক্ষেত্র হিসাবে ব্যবহৃত হয় যখন সূচক সেটটি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান বা একটি বহুগুণ হয়। একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া অন্যান্য উপায়ের মধ্যে দ্বারা, বা কেবল বা হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যদিও এটি ফাংশন স্বরলিপির অপব্যবহার হিসাবে বিবেচিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, বা সূচকের সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবলকে বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, এবং পুরো স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া নয়। যদি সূচক সেটটি হয়, তবে কেউ লিখতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া বোঝাতে। উদাহরণ বার্নৌলি প্রক্রিয়া সবচেয়ে সহজ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির মধ্যে একটি হল বার্নৌলি প্রক্রিয়া, যা স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ (আই. আই. ডি) র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির একটি ক্রম, যেখানে প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক বা শূন্য মান নেয়, ধরুন সম্ভাব্যতা সহ একটি এবং সম্ভাব্যতা সহ শূন্য। এই প্রক্রিয়াটিকে একটি মুদ্রা বারবার উল্টানোর সঙ্গে যুক্ত করা যেতে পারে, যেখানে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা এক এবং এর মান এক, যেখানে একটি লেজের মান শূন্য। অন্য কথায়, বার্নৌলি প্রক্রিয়া হল আই. আই. ডি বার্নৌলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ক্রম, যেখানে প্রতিটি মুদ্রা উল্টানো বার্নৌলি ট্রায়ালের একটি উদাহরণ। র্যান্ডম ওয়াক হল যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া যা সাধারণত ইউক্লিডীয় স্থানে আই. আই. ডি র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা র্যান্ডম ভেক্টরের সমষ্টি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই এগুলি এমন প্রক্রিয়া যা পৃথক সময়ে পরিবর্তিত হয়। তবে কেউ কেউ এই শব্দটি ক্রমাগত সময়ের সাথে পরিবর্তিত প্রক্রিয়াগুলিকে বোঝাতে ব্যবহার করেন, বিশেষত অর্থনীতিতে ব্যবহৃত উইনার প্রক্রিয়া, যা কিছুটা বিভ্রান্তির সৃষ্টি করেছে, যার ফলে এর সমালোচনা হয়েছে। অন্যান্য বিভিন্ন ধরনের র্যান্ডম ওয়াক রয়েছে, যা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যাতে তাদের স্টেট স্পেসগুলি অন্যান্য গাণিতিক বস্তু হতে পারে, যেমন ল্যাটিস এবং গ্রুপ, এবং সাধারণভাবে এগুলি অত্যন্ত অধ্যয়ন করা হয় এবং বিভিন্ন শাখায় এর অনেক প্রয়োগ রয়েছে। র্যান্ডম ওয়াকের একটি সর্বোত্তম উদাহরণ সাধারণ র্যান্ডম ওয়াক হিসাবে পরিচিত, যা পৃথক সময়ে পূর্ণসংখ্যাগুলিকে স্টেট স্পেস হিসাবে নিয়ে একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া এবং এটি একটি বার্নৌলি প্রক্রিয়ার উপর ভিত্তি করে, যেখানে প্রতিটি বার্নৌলি পরিবর্তনশীল ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মান নেয়। অন্য কথায়, সরল র্যান্ডম ওয়াক পূর্ণসংখ্যার উপর সঞ্চালিত হয়, এবং এর মান সম্ভাবনার সাথে এক দ্বারা বৃদ্ধি পায়, বলুন, বা সম্ভাবনার সাথে এক দ্বারা হ্রাস পায়, তাই এই র্যান্ডম ওয়াকের সূচক সেটটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, যখন এর রাষ্ট্র স্থান পূর্ণসংখ্যা। যদি, এই এলোমেলো হাঁটাটিকে প্রতিসম এলোমেলো হাঁটা বলা হয়। উইনার প্রক্রিয়া উইনার প্রক্রিয়া হল স্থির এবং স্বাধীন বৃদ্ধি সহ একটি অপ্রচলিত প্রক্রিয়া যা সাধারণত বৃদ্ধির আকারের উপর ভিত্তি করে বিতরণ করা হয়। উইনার প্রক্রিয়াটি নরবার্ট উইনারের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি এর গাণিতিক অস্তিত্ব প্রমাণ করেছিলেন, তবে তরল পদার্থে ব্রাউনিয়ান আন্দোলনের মডেল হিসাবে এর ঐতিহাসিক সংযোগের কারণে এই প্রক্রিয়াটিকে ব্রাউনিয়ান গতি প্রক্রিয়া বা কেবল ব্রাউনিয়ান গতিও বলা হয়। সম্ভাব্যতা তত্ত্বে একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে, উইনার প্রক্রিয়াটি প্রায়শই সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং অধ্যয়ন করা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হিসাবে বিবেচিত হয়, অন্যান্য স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সাথে সংযোগ সহ। এর সূচক সেট এবং অবস্থা স্থান যথাক্রমে অ-ঋণাত্মক সংখ্যা এবং বাস্তব সংখ্যা, তাই এটির অবিচ্ছিন্ন সূচক সেট এবং অবস্থার স্থান উভয়ই রয়েছে। কিন্তু প্রক্রিয়াটিকে আরও সাধারণভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যাতে এর অবস্থার স্থান-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান হতে পারে। যদি কোনও বৃদ্ধির গড় শূন্য হয়, তবে ফলস্বরূপ উইনার বা ব্রাউনিয়ান গতি প্রক্রিয়াকে শূন্য প্রবাহ বলা হয়। যদি সময়ের যে কোনও দুটি বিন্দুর বৃদ্ধির গড় কিছু ধ্রুবক দ্বারা গুণিত সময়ের পার্থক্যের সমান হয়, যা একটি বাস্তব সংখ্যা, তবে ফলস্বরূপ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিকে ড্রিফ্ট বলা হয়। প্রায় নিশ্চিতভাবেই, উইনার প্রক্রিয়ার একটি নমুনা পথ সর্বত্র অবিচ্ছিন্ন কিন্তু কোথাও পার্থক্যযোগ্য নয়। এটিকে সহজ এলোমেলো হাঁটার একটি অবিচ্ছিন্ন সংস্করণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। প্রক্রিয়াটি অন্যান্য যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়াগুলির গাণিতিক সীমা হিসাবে উদ্ভূত হয় যেমন নির্দিষ্ট র্যান্ডম ওয়াক পুনরুদ্ধার করা হয়, যা ডনস্কারের উপপাদ্য বা অপরিবর্তনীয় নীতির বিষয়, যা কার্যকরী কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য নামেও পরিচিত। উইনার প্রক্রিয়াটি মার্কভ প্রক্রিয়া, লেভি প্রক্রিয়া এবং গাউসিয়ান প্রক্রিয়া সহ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ পরিবারের সদস্য। প্রক্রিয়াটির অনেক প্রয়োগ রয়েছে এবং এটি স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাসে ব্যবহৃত প্রধান স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া। এটি পরিমাণগত অর্থায়নে একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে, যেখানে এটি ব্যবহার করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, ব্ল্যাক-স্কোলস-মার্টন মডেলে। এই প্রক্রিয়াটি বেশিরভাগ প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের পাশাপাশি সামাজিক বিজ্ঞানের কিছু শাখা সহ বিভিন্ন ক্ষেত্রেও বিভিন্ন এলোমেলো ঘটনার গাণিতিক মডেল হিসাবে ব্যবহৃত হয়। পয়সন প্রক্রিয়া পয়সন প্রক্রিয়া একটি অসংলগ্ন প্রক্রিয়া যার বিভিন্ন রূপ এবং সংজ্ঞা রয়েছে। এটিকে একটি গণনা প্রক্রিয়া হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া যা কিছু সময় পর্যন্ত এলোমেলো সংখ্যক পয়েন্ট বা ঘটনার প্রতিনিধিত্ব করে। শূন্য থেকে নির্দিষ্ট সময় পর্যন্ত ব্যবধানের মধ্যে অবস্থিত প্রক্রিয়াটির বিন্দুর সংখ্যা একটি পয়সন র্যান্ডম পরিবর্তনশীল যা সেই সময় এবং কিছু পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করে। এই প্রক্রিয়ার স্থিতি স্থান হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং সূচক সেট হিসাবে অ-ঋণাত্মক সংখ্যা রয়েছে। এই প্রক্রিয়াকে পয়সন গণনা প্রক্রিয়াও বলা হয়, কারণ এটিকে গণনা প্রক্রিয়ার উদাহরণ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। যদি একটি পয়সন প্রক্রিয়া একটি একক ধনাত্মক ধ্রুবক দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে প্রক্রিয়াটিকে একটি সমজাতীয় পয়সন প্রক্রিয়া বলা হয়। সমজাতীয় পয়সন প্রক্রিয়াটি মার্কভ প্রক্রিয়া এবং লেভি প্রক্রিয়াগুলির মতো গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণীর স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির একটি সদস্য। সমজাতীয় পয়সন প্রক্রিয়াটিকে বিভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত ও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। এটি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে এর সূচক সেটটি বাস্তব রেখা, এবং এই স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিকে স্থির পয়সন প্রক্রিয়াও বলা হয়। যদি পয়সন প্রক্রিয়ার প্যারামিটার ধ্রুবকটি কিছু অ-ঋণাত্মক ইন্টিগ্রেবল ফাংশন দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, তবে ফলস্বরূপ প্রক্রিয়াটিকে একটি অসমজাতীয় বা অসমজাতীয় পয়সন প্রক্রিয়া বলা হয়, যেখানে প্রক্রিয়াটির বিন্দুর গড় ঘনত্ব আর স্থির থাকে না। সারি তত্ত্বের একটি মৌলিক প্রক্রিয়া হিসাবে কাজ করে, পয়সন প্রক্রিয়া গাণিতিক মডেলগুলির জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রক্রিয়া, যেখানে এটি নির্দিষ্ট সময় উইন্ডোতে এলোমেলোভাবে ঘটে যাওয়া ঘটনাগুলির মডেলগুলির জন্য প্রয়োগ খুঁজে পায়। বাস্তব লাইনে সংজ্ঞায়িত, পয়সন প্রক্রিয়াটিকে অন্যান্য এলোমেলো বস্তুর মধ্যে একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। কিন্তু তারপর এটি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান বা অন্যান্য গাণিতিক স্থানগুলিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে এটি প্রায়শই একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়ার পরিবর্তে একটি এলোমেলো সেট বা এলোমেলো গণনা পরিমাপ হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়। এই প্রেক্ষাপটে, পয়সন প্রক্রিয়া, যাকে পয়সন বিন্দু প্রক্রিয়াও বলা হয়, প্রয়োগ এবং তাত্ত্বিক কারণ উভয়ের জন্যই সম্ভাব্যতা তত্ত্বের অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ বস্তু। তবে এটি মন্তব্য করা হয়েছে যে পয়সন প্রক্রিয়াটি যতটা মনোযোগ দেওয়া উচিত ততটা মনোযোগ পায় না, আংশিকভাবে এটি প্রায়শই কেবল বাস্তব লাইনে বিবেচনা করা হয়, এবং অন্যান্য গাণিতিক স্থানগুলিতে নয়। সংজ্ঞা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া একটি সাধারণ সম্ভাব্যতা স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সংগ্রহ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে একটি নমুনা স্থান, একটি-বীজগণিত, এবং একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ; এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবল, কিছু সেট দ্বারা সূচীভুক্ত, সমস্ত একই গাণিতিক স্থানে মান গ্রহণ করে, যা কিছু-বীজগণিতের সাপেক্ষে পরিমাপযোগ্য হতে হবে। অন্য কথায়, একটি প্রদত্ত সম্ভাব্যতা স্থান এবং একটি পরিমাপযোগ্য স্থানের জন্য, একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া হল-মূল্যবান এলোমেলো চলকগুলির একটি সংগ্রহ, যা এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ ঐতিহাসিকভাবে, প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের অনেক সমস্যায় একটি বিন্দুর সময়ের অর্থ ছিল, তাই একটি এলোমেলো চলক যা সময়ে পর্যবেক্ষণ করা একটি মানকে উপস্থাপন করে। একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াও লেখা যেতে পারে যা প্রতিফলিত করে যে এটি আসলে দুটি চলকের একটি ফাংশন, এবং। একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া বিবেচনা করার অন্যান্য উপায় রয়েছে, উপরের সংজ্ঞাটিকে ঐতিহ্যবাহী হিসাবে বিবেচনা করা হচ্ছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াকে একটি-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবল হিসাবে ব্যাখ্যা বা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে সেট থেকে স্পেসে সমস্ত সম্ভাব্য ফাংশনের স্থান রয়েছে। তবে সাধারণভাবে "ফাংশন-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবল" হিসাবে এই বিকল্প সংজ্ঞাটির জন্য অতিরিক্ত নিয়মিত অনুমানগুলি ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন। সূচক সেট সেটটিকে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার সূচক সেট বা প্যারামিটার সেট বলা হয়। প্রায়শই এই সেটটি বাস্তব রেখার কিছু উপসেট, যেমন প্রাকৃতিক সংখ্যা বা একটি ব্যবধান, যা সেটটিকে সময়ের ব্যাখ্যা দেয়। এই সেটগুলি ছাড়াও, সূচক সেটটি মোট ক্রম বা আরও সাধারণ সেট সহ অন্য একটি সেট হতে পারে, যেমন কার্টেসিয়ান প্লেন বা-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্পেস, যেখানে একটি উপাদান স্থানের একটি বিন্দুকে উপস্থাপন করতে পারে। এটি বলেছিল, অনেক ফলাফল এবং উপপাদ্য শুধুমাত্র একটি সম্পূর্ণ ক্রমযুক্ত সূচক সেট সহ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির জন্য সম্ভব। স্টেট স্পেস একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার গাণিতিক স্থানকে তার স্টেট স্পেস বলা হয়। এই গাণিতিক স্থানটিকে পূর্ণসংখ্যা, বাস্তব রেখা,-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান, জটিল সমতল বা আরও বিমূর্ত গাণিতিক স্থান ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। স্টেট স্পেস এমন উপাদান ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া নিতে পারে এমন বিভিন্ন মান প্রতিফলিত করে। নমুনা ফাংশন একটি নমুনা ফাংশন একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একক ফলাফল, তাই এটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার প্রতিটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একক সম্ভাব্য মান নিয়ে গঠিত হয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, যদি একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হয়, তবে যে কোনও বিন্দুর জন্য, ম্যাপিংকে একটি নমুনা ফাংশন, একটি উপলব্ধি, বা, বিশেষত যখন সময় হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একটি নমুনা পথ বলা হয়। এর মানে হল যে একটি স্থিরের জন্য, একটি নমুনা ফাংশন বিদ্যমান যা সূচক সেটটিকে স্টেট স্পেসে ম্যাপ করে। একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার নমুনা ফাংশনের অন্যান্য নামগুলির মধ্যে রয়েছে ট্র্যাজেক্টোরি, পাথ ফাংশন বা পাথ। বৃদ্ধি একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার বৃদ্ধি হল একই স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার দুটি এলোমেলো চলকের মধ্যে পার্থক্য। একটি সূচক সেট সহ একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার জন্য যা সময় হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, একটি বৃদ্ধি হল একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া কতটা পরিবর্তিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি স্টেট স্পেস এবং ইনডেক্স সেট সহ একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হয়, তবে যে কোনও দুটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য এবং পার্থক্যটি একটি-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবল যা ইনক্রিমেন্ট হিসাবে পরিচিত। যখন বৃদ্ধিগুলিতে আগ্রহী হন, তখন প্রায়শই অবস্থার স্থানটি বাস্তব রেখা বা প্রাকৃতিক সংখ্যা হয়, তবে এটি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান বা বানাচ স্থানগুলির মতো আরও বিমূর্ত স্থান হতে পারে। আরও সংজ্ঞা আইন সম্ভাব্যতা স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার জন্য, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার আইনকে চিত্র পরিমাপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ, প্রতীকটি ফাংশন গঠনকে বোঝায় এবং পরিমাপযোগ্য ফাংশনের প্রাক-চিত্র বা সমতুল্য,-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যেখানে সমস্ত সম্ভাব্য-মূল্যবান ফাংশনের স্থান, তাই স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার আইন একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ। এর একটি পরিমাপযোগ্য উপসেটের জন্য, এর প্রাক-চিত্রটি দেয় যাতে a এর সূত্রটি এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া বা একটি এলোমেলো চলকের সূত্রকে সম্ভাব্যতা সূত্র, সম্ভাব্যতা বিতরণ বা বিতরণও বলা হয়। সীমাবদ্ধ-মাত্রিক সম্ভাব্যতা বন্টন আইনের সাথে একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়ার জন্য, এর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বন্টনকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ এই পরিমাপটি এলোমেলো ভেক্টরের যৌথ বন্টন; এটিকে একটি সীমাবদ্ধ উপসেটে আইনের "অভিক্ষেপ" হিসাবে দেখা যেতে পারে। - ভাঁজ কার্টেসিয়ান শক্তির যে কোনও পরিমাপযোগ্য উপসেটের জন্য, একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণগুলি এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণ দুটি গাণিতিক শর্ত পূরণ করে যা ধারাবাহিকতা শর্ত হিসাবে পরিচিত। স্থিরতা হল একটি গাণিতিক বৈশিষ্ট্য যা একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়ার থাকে যখন সেই যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়ার সমস্ত এলোমেলো চলকগুলি একইভাবে বিতরণ করা হয়। অন্য কথায়, যদি একটি স্থির স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হয়, তবে যে কোনও র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য একই বন্টন রয়েছে, যার অর্থ যে কোনও সূচক সেট মানের সেটের জন্য, সংশ্লিষ্ট র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সকলের একই সম্ভাব্যতা বন্টন রয়েছে। একটি স্থির যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়ার সূচক সেটকে সাধারণত সময় হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়, তাই এটি পূর্ণসংখ্যা বা বাস্তব রেখা হতে পারে। কিন্তু স্থিরতার ধারণাটি বিন্দু প্রক্রিয়া এবং এলোমেলো ক্ষেত্রগুলির জন্যও বিদ্যমান, যেখানে সূচক সেটটিকে সময় হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় না। যখন সূচক সেটটিকে সময় হিসাবে ব্যাখ্যা করা যায়, তখন একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াকে স্থির বলা হয় যদি সময়ের অনুবাদের অধীনে এর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণ অপরিবর্তনীয় হয়। এই ধরনের স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া একটি ভৌত ব্যবস্থাকে বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা স্থির অবস্থায় রয়েছে, তবে এখনও এলোমেলো ওঠানামা অনুভব করে। স্থিরতার পিছনে অন্তর্দৃষ্টি হল যে সময়ের সাথে সাথে স্থির স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার বিতরণ একই থাকে। র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির একটি ক্রম শুধুমাত্র একটি স্থির স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া গঠন করে যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি একইভাবে বিতরণ করা হয়। স্থিরতার উপরের সংজ্ঞা সহ একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া কখনও কখনও কঠোরভাবে স্থির বলে মনে করা হয়, তবে স্থিরতার অন্যান্য রূপও রয়েছে। একটি উদাহরণ হল যখন একটি বিচ্ছিন্ন-সময় বা অবিচ্ছিন্ন-সময় স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটিকে বিস্তৃত অর্থে স্থির বলা হয়, তখন প্রক্রিয়াটির সকলের জন্য একটি সীমাবদ্ধ দ্বিতীয় মুহূর্ত থাকে এবং দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কোভ্যারিয়েন্স থাকে এবং এটি শুধুমাত্র সকলের সংখ্যার উপর নির্ভর করে। খিনচিন বিস্তৃত অর্থে স্থিরতার সম্পর্কিত ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন, যার বিস্তৃত অর্থে কোভ্যারিয়েন্স স্থিরতা বা স্থিরতা সহ অন্যান্য নাম রয়েছে। একটি পরিস্রাবণ হল সিগমা-অ্যালজেব্রার একটি ক্রমবর্ধমান ক্রম যা কিছু সম্ভাব্যতা স্থান এবং একটি সূচক সেটের সাথে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার কিছু মোট ক্রম সম্পর্ক রয়েছে, যেমন সূচক সেটটি বাস্তব সংখ্যার কিছু উপসেট হওয়ার ক্ষেত্রে। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার মোট ক্রম সহ একটি সূচক সেট থাকে, তবে একটি সম্ভাব্যতা স্থানে একটি পরিস্রাবণ হল সিগমা-অ্যালজেব্রার একটি পরিবার যা সকলের জন্য, যেখানে এবং সূচক সেটের মোট ক্রমকে নির্দেশ করে। পরিস্রাবণের ধারণার সাহায্যে, একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়ায় থাকা তথ্যের পরিমাণ অধ্যয়ন করা সম্ভব, যা সময় হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। একটি পরিস্রাবণের পিছনে অন্তর্দৃষ্টি হল যে সময়ের সাথে সাথে, আরও বেশি তথ্য জানা বা উপলব্ধ, যা ক্যাপচার করা হয়, যার ফলে এর সূক্ষ্ম এবং সূক্ষ্ম বিভাজন হয়। পরিবর্তন একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার পরিবর্তন হল আরেকটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া, যা মূল স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া যার একই সূচক সেট, স্টেট স্পেস এবং অন্য স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হিসাবে সম্ভাব্যতা স্থান রয়েছে তা নিম্নলিখিত সমস্ত ধারণাগুলির জন্য যদি একটি পরিবর্তন বলে মনে করা হয়। দুটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া যা একে অপরের পরিবর্তন, তাদের একই সীমাবদ্ধ-মাত্রিক আইন রয়েছে এবং তাদের স্টোকাস্টিকভাবে সমতুল্য বা সমতুল্য বলা হয়। পরিবর্তনের পরিবর্তে, সংস্করণ শব্দটিও ব্যবহার করা হয়, তবে কিছু লেখক সংস্করণ শব্দটি ব্যবহার করেন যখন দুটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একই সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণ থাকে, তবে তাদের বিভিন্ন সম্ভাব্যতা স্থানগুলিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, তাই দুটি প্রক্রিয়া যা একে অপরের পরিবর্তন, পরের অর্থে একে অপরের সংস্করণ, তবে বিপরীত নয়। যদি একটি কন্টিনিউয়াস-টাইম রিয়েল-ভ্যালুড স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া তার বৃদ্ধির উপর নির্দিষ্ট মুহূর্তের শর্ত পূরণ করে, তবে কোলমোগোরভ কন্টিনিউয়িটি উপপাদ্য বলে যে এই প্রক্রিয়ার একটি পরিবর্তন বিদ্যমান যার সম্ভাবনা একটির সাথে অবিচ্ছিন্ন নমুনা পথ রয়েছে, তাই স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একটি অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তন বা সংস্করণ রয়েছে। উপপাদ্যটি এলোমেলো ক্ষেত্রগুলিতেও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে তাই সূচক সেটটি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের পাশাপাশি মেট্রিক স্থানগুলি তাদের স্থিতি স্থান হিসাবে সহ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির জন্য। দুটি অপ্রতিরোধ্য প্রক্রিয়া এবং একই সম্ভাব্যতা স্থানে একই সূচক সেট এবং সেট স্পেস দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি নিম্নলিখিতগুলি ধরে থাকে তবে অবিচ্ছেদ্য বলা হয়। যদি দুটি এবং একে অপরের পরিবর্তন হয় এবং প্রায় অবশ্যই অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে এবং অবিচ্ছেদ্য। বিভক্তি বিভক্তি হল সম্ভাব্যতা পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত তার সূচক সেটের উপর ভিত্তি করে একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একটি বৈশিষ্ট্য। এই বৈশিষ্ট্যটি অনুমান করা হয় যাতে অসংলগ্ন প্রক্রিয়াগুলির কার্যকারিতা বা অগণিত সূচক সেট সহ এলোমেলো ক্ষেত্রগুলি এলোমেলো পরিবর্তনশীল তৈরি করতে পারে। একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া পৃথক হওয়ার জন্য, অন্যান্য শর্ত ছাড়াও, এর সূচক সেটটি অবশ্যই একটি পৃথক স্থান হতে হবে, যার অর্থ হল যে সূচক সেটটিতে একটি ঘন গণনাযোগ্য উপসেট রয়েছে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, সম্ভাব্যতা স্থান সহ একটি বাস্তব-মূল্যবান অবিচ্ছিন্ন-সময় স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া পৃথক করা যায় যদি তার সূচক সেটের একটি ঘন গণনাযোগ্য উপসেট থাকে এবং সম্ভাব্যতা শূন্যের একটি সেট থাকে, যাতে প্রতিটি খোলা সেট এবং প্রতিটি বদ্ধ সেটের জন্য, দুটি ঘটনা এবং এর একটি উপসেটে সর্বাধিক একে অপরের থেকে পৃথক হয়। পৃথকীকরণের সংজ্ঞা অন্যান্য সূচক সেট এবং স্টেট স্পেসের ক্ষেত্রেও বলা যেতে পারে, যেমন এলোমেলো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে, যেখানে সূচক সেটের পাশাপাশি স্টেট স্পেস-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান হতে পারে। জোসেফ ডুব একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার পৃথকীকরণের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন। পৃথকীকরণের অন্তর্নিহিত ধারণাটি হল সূচক সেটের পয়েন্টগুলির একটি গণনাযোগ্য সেট তৈরি করা যা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করে। একটি গণনাযোগ্য সূচক সেট সহ যে কোনও স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া ইতিমধ্যে পৃথকীকরণের শর্ত পূরণ করে, তাই বিচ্ছিন্ন-সময়ের স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলি সর্বদা পৃথকযোগ্য। ডুবের একটি উপপাদ্য, যা কখনও কখনও ডুবের পৃথকীকরণ উপপাদ্য নামে পরিচিত, বলে যে কোনও বাস্তব-মূল্যবান অবিচ্ছিন্ন-সময়ের স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একটি পৃথক পরিবর্তন রয়েছে। এই উপপাদ্যের সংস্করণগুলি বাস্তব রেখা ব্যতীত সূচক সেট এবং স্টেট স্পেস সহ আরও সাধারণ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির জন্যও বিদ্যমান। স্বাধীনতা একই সূচক সেট সহ একই সম্ভাব্যতা স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত দুটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়াকে স্বাধীন বলা হয় যদি সকলের জন্য এবং যুগের প্রতিটি পছন্দের জন্য, এলোমেলো ভেক্টর এবং স্বাধীন হয়। অসম্পর্কতা দুটি অপ্রাসঙ্গিক প্রক্রিয়া এবং তাদের অসম্পর্কিত বলা হয় যদি তাদের ক্রস-কোভ্যারিয়েন্স সব সময়ের জন্য শূন্য হয়। আনুষ্ঠানিক ভাবেঃ স্বাধীনতা সম্পর্কহীনতাকে বোঝায় যদি দুটি অসংলগ্ন প্রক্রিয়া এবং স্বাধীন হয়, তবে সেগুলিও সম্পর্কহীন। অর্থোগোনালিটি দুটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া এবং এগুলিকে অর্থোগোনাল বলা হয় যদি তাদের আন্তঃসম্পর্ক সব সময়ের জন্য শূন্য হয়। আনুষ্ঠানিক ভাবেঃ একটি স্কোরোখোদ স্থান, যা স্কোরোহোদ স্থান হিসাবেও লেখা হয়, হল সমস্ত ফাংশনের একটি গাণিতিক স্থান যা বাম সীমার সাথে ডান-ধারাবাহিক, বাস্তব রেখার কিছু বিরতিতে যেমন বা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং বাস্তব রেখায় বা কিছু মেট্রিক স্থানে মান গ্রহণ করে। এই ধরনের ফাংশনগুলি ক্যাডলাগ বা ক্যাডলাগ ফাংশন হিসাবে পরিচিত, যা ফরাসি বাক্যাংশের সংক্ষিপ্ত রূপ কন্টিনিউ এ ড্রোইট, লিমিট এ গাউচের উপর ভিত্তি করে। আনাতোলি স্কোরোখোদ দ্বারা প্রবর্তিত একটি স্কোরোখোদ ফাংশন স্থানকে প্রায়শই অক্ষর দিয়ে চিহ্নিত করা হয়, তাই ফাংশন স্থানটিকে স্থান হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। এই ফাংশন স্থানের স্বরলিপিতে সেই ব্যবধানটিও অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে যার উপর সমস্ত ক্যাডল্যাগ ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই, উদাহরণস্বরূপ, একক ব্যবধানের উপর সংজ্ঞায়িত ক্যাডল্যাগ ফাংশনের স্থানকে বোঝায়। স্কোরোখোদ ফাংশন স্পেসগুলি প্রায়শই স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির তত্ত্বে ব্যবহৃত হয় কারণ এটি প্রায়শই ধরে নেয় যে অবিচ্ছিন্ন-সময়ের স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির নমুনা ফাংশনগুলি একটি স্কোরোখোদ স্থানের অন্তর্গত। এই ধরনের জায়গাগুলিতে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন থাকে, যা উইনার প্রক্রিয়ার নমুনা ফাংশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। কিন্তু স্থানটির বিচ্ছিন্নতা সহ ফাংশনও রয়েছে, যার অর্থ হল লাফ সহ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির নমুনা ফাংশন, যেমন পয়সন প্রক্রিয়া (বাস্তব লাইনে), এই স্থানের সদস্য। নিয়মিততা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির গাণিতিক নির্মাণের প্রসঙ্গে, নিয়মিততা শব্দটি ব্যবহার করা হয় যখন সম্ভাব্য নির্মাণ সমস্যা সমাধানের জন্য স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার জন্য কিছু শর্ত নিয়ে আলোচনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, অগণিত সূচক সেট সহ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়ন করার জন্য, এটি ধরে নেওয়া হয় যে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি কিছু ধরণের নিয়মিততার শর্ত মেনে চলে যেমন নমুনা ফাংশনগুলি অবিচ্ছিন্ন থাকে। আরও উদাহরণস্বরূপ, মার্কভ প্রক্রিয়া এবং চেইন মার্কভ প্রক্রিয়া হল স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া, ঐতিহ্যগতভাবে বিচ্ছিন্ন বা অবিচ্ছিন্ন সময়ে, যার মার্কভ বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যার অর্থ মার্কভ প্রক্রিয়ার পরবর্তী মান বর্তমান মানের উপর নির্ভর করে, তবে এটি পূর্ববর্তী মানগুলির থেকে শর্তসাপেক্ষভাবে স্বাধীন স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া। অন্য কথায়, প্রক্রিয়াটির বর্তমান অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে, ভবিষ্যতে প্রক্রিয়াটির আচরণ অতীতে তার আচরণ থেকে সম্পূর্ণ স্বাধীন। ব্রাউনিয়ান গতি প্রক্রিয়া এবং পয়সন প্রক্রিয়া (এক মাত্রায়) উভয়ই অবিচ্ছিন্ন সময়ে মার্কভ প্রক্রিয়াগুলির উদাহরণ, যেখানে পূর্ণসংখ্যার উপর এলোমেলো হাঁটা এবং জুয়াড়িদের ধ্বংস সমস্যা পৃথক সময়ে মার্কভ প্রক্রিয়াগুলির উদাহরণ। মার্কভ চেইন হল এক ধরনের মার্কভ প্রক্রিয়া যার হয় বিচ্ছিন্ন অবস্থা স্থান বা পৃথক সূচক সেট থাকে (প্রায়শই সময়কে উপস্থাপন করে), তবে মার্কভ চেইনের সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা পরিবর্তিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি মার্কভ শৃঙ্খলকে গণনাযোগ্য স্থিতি স্থানের সাথে পৃথক বা অবিচ্ছিন্ন সময়ে একটি মার্কভ প্রক্রিয়া হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা সাধারণ (এইভাবে সময়ের প্রকৃতি নির্বিশেষে), তবে একটি মার্কভ শৃঙ্খলকে গণনাযোগ্য বা অবিচ্ছিন্ন অবস্থা স্থানের মধ্যে পৃথক সময় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করাও সাধারণ (এইভাবে অবস্থা স্থান নির্বিশেষে)। এটি যুক্তি দেওয়া হয়েছে যে মার্কভ শৃঙ্খলের প্রথম সংজ্ঞা, যেখানে এটির বিচ্ছিন্ন সময় রয়েছে, এখন ব্যবহার করার প্রবণতা রয়েছে, যদিও দ্বিতীয় সংজ্ঞাটি জোসেফ ডুব এবং কাই লাই চুংয়ের মতো গবেষকরা ব্যবহার করেছেন। মার্কভ প্রক্রিয়াগুলি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী গঠন করে এবং অনেক ক্ষেত্রে এর প্রয়োগ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এগুলি মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো নামে পরিচিত একটি সাধারণ স্টোকাস্টিক সিমুলেশন পদ্ধতির ভিত্তি, যা নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতা বিতরণের সাথে এলোমেলো বস্তুর অনুকরণের জন্য ব্যবহৃত হয় এবং বায়েসিয়ান পরিসংখ্যানে প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে। মার্কভ বৈশিষ্ট্যের ধারণাটি মূলত অবিচ্ছিন্ন এবং বিচ্ছিন্ন সময়ের মধ্যে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির জন্য ছিল, তবে বৈশিষ্ট্যটি-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্থানের মতো অন্যান্য সূচক সেটগুলির জন্য অভিযোজিত হয়েছে, যার ফলে মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্র হিসাবে পরিচিত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সংগ্রহ হয়। একটি মার্টিঙ্গেল হল একটি পৃথক-সময় বা অবিচ্ছিন্ন-সময়ের যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া যার বৈশিষ্ট্য হল যে, প্রতি মুহূর্তে, বর্তমান মান এবং প্রক্রিয়াটির সমস্ত অতীত মানগুলির পরিপ্রেক্ষিতে, প্রতিটি ভবিষ্যতের মানের শর্তাধীন প্রত্যাশা বর্তমান মানের সমান হয়। বিচ্ছিন্ন সময়ে, যদি এই বৈশিষ্ট্যটি পরবর্তী মানের জন্য ধারণ করে, তবে এটি ভবিষ্যতের সমস্ত মানের জন্য ধারণ করে। একটি মার্টিঙ্গেলের সঠিক গাণিতিক সংজ্ঞার জন্য পরিস্রাবণের গাণিতিক ধারণার সাথে আরও দুটি শর্ত প্রয়োজন, যা সময়ের সাথে সাথে উপলব্ধ তথ্য বৃদ্ধির অন্তর্দৃষ্টির সাথে সম্পর্কিত। মার্টিঙ্গেলগুলি সাধারণত বাস্তব-মূল্যবান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে এগুলি জটিল-মূল্যবান বা আরও সাধারণ হতে পারে। একটি প্রতিসম এলোমেলো হাঁটা এবং একটি উইনার প্রক্রিয়া (শূন্য প্রবাহ সহ) উভয়ই পৃথক এবং অবিচ্ছিন্ন সময়ে যথাক্রমে মার্টিঙ্গেলসের উদাহরণ। শূন্য গড় সহ স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বিতরণ করা র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি ক্রমের জন্য, ধারাবাহিক আংশিক যোগফল থেকে গঠিত স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি একটি বিচ্ছিন্ন-সময় মার্টিঙ্গেল। এই দিক থেকে, বিচ্ছিন্ন-সময়ের মার্টিঙ্গেলগুলি স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের আংশিক যোগফলের ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। কিছু উপযুক্ত রূপান্তর প্রয়োগ করে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া থেকেও মার্টিঙ্গেল তৈরি করা যেতে পারে, যা সমজাতীয় পয়সন প্রক্রিয়া (বাস্তব লাইনে) এর ক্ষেত্রে হয় যার ফলে একটি মার্টিঙ্গেল হয় যাকে ক্ষতিপূরণ পয়সন প্রক্রিয়া বলা হয়। অন্যান্য মার্টিঙ্গেল থেকেও মার্টিঙ্গেল তৈরি করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, মার্টিংগেল-উইনার প্রক্রিয়ার উপর ভিত্তি করে মার্টিংগেল রয়েছে, যা কন্টিনিউয়াস-টাইম মার্টিংগেল গঠন করে। মার্টিঙ্গেলস গাণিতিকভাবে একটি ন্যায্য খেলার ধারণাকে আনুষ্ঠানিক করেছেন এবং এগুলি মূলত একটি ন্যায্য খেলা জেতা সম্ভব নয় তা দেখানোর জন্য তৈরি করা হয়েছিল। কিন্তু এখন এগুলি সম্ভাবনার অনেক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যা এগুলি অধ্যয়নের অন্যতম প্রধান কারণ। সম্ভাবনার অনেক সমস্যা সমস্যার মধ্যে একটি মার্টিঙ্গেল খুঁজে বের করে এবং এটি অধ্যয়ন করে সমাধান করা হয়েছে। মার্টিঙ্গেলস তাদের মুহুর্তের কিছু শর্তের পরিপ্রেক্ষিতে একত্রিত হবে, তাই মূলত মার্টিঙ্গেল কনভারজেন্স উপপাদ্যের কারণে এগুলি প্রায়শই কনভারজেন্স ফলাফল পেতে ব্যবহৃত হয়। পরিসংখ্যানে মার্টিঙ্গেলসের অনেক প্রয়োগ রয়েছে, তবে এটি উল্লেখ করা হয়েছে যে এর ব্যবহার এবং প্রয়োগ পরিসংখ্যান, বিশেষত পরিসংখ্যানগত অনুমানের ক্ষেত্রে যতটা বিস্তৃত হতে পারে ততটা নয়। তারা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ক্ষেত্রে যেমন সারি তত্ত্ব এবং পাম ক্যালকুলাস এবং অর্থনীতি ও অর্থের মতো অন্যান্য ক্ষেত্রে প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে। লেভি প্রক্রিয়া লেভি প্রক্রিয়াগুলি হল এক ধরনের যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া যা অবিচ্ছিন্ন সময়ে এলোমেলো হাঁটার সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এই প্রক্রিয়াগুলির অর্থ, তরল বলবিজ্ঞান, পদার্থবিজ্ঞান এবং জীববিজ্ঞানের মতো ক্ষেত্রে অনেক প্রয়োগ রয়েছে। এই প্রক্রিয়াগুলির প্রধান সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্যগুলি হল তাদের স্থিতিশীলতা এবং স্বাধীনতা বৈশিষ্ট্য, তাই এগুলি স্থির এবং স্বাধীন বৃদ্ধি সহ প্রক্রিয়া হিসাবে পরিচিত ছিল। অন্য কথায়, একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া হল একটি লেভি প্রক্রিয়া যদি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য, সংশ্লিষ্ট ইনক্রিমেন্টগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীন হয় এবং প্রতিটি ইনক্রিমেন্টের বন্টন শুধুমাত্র সময়ের পার্থক্যের উপর নির্ভর করে। একটি লেভি প্রক্রিয়াকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে এর স্থিতি স্থানটি কিছু বিমূর্ত গাণিতিক স্থান, যেমন একটি বানাচ স্থান, তবে প্রক্রিয়াগুলি প্রায়শই সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে তারা ইউক্লিডীয় স্থানে মান গ্রহণ করে। সূচক সেট হল অ-ঋণাত্মক সংখ্যা, তাই, যা সময়ের ব্যাখ্যা দেয়। গুরুত্বপূর্ণ স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া যেমন উইনার প্রক্রিয়া, সমজাতীয় পয়সন প্রক্রিয়া (এক মাত্রায়) এবং অধস্তন প্রক্রিয়াগুলি হল সমস্ত লেভি প্রক্রিয়া। একটি এলোমেলো ক্ষেত্র হল একটি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান বা কিছু বহুগুণ দ্বারা সূচিবদ্ধ এলোমেলো চলকগুলির একটি সংগ্রহ। সাধারণভাবে, একটি এলোমেলো ক্ষেত্রকে একটি যাদৃচ্ছিক বা এলোমেলো প্রক্রিয়ার উদাহরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে সূচক সেটটি অপরিহার্যভাবে বাস্তব রেখার একটি উপসেট নয়। কিন্তু একটি প্রথা রয়েছে যে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সূচকযুক্ত সংগ্রহকে র্যান্ডম ফিল্ড বলা হয় যখন সূচকটির দুই বা ততোধিক মাত্রা থাকে। যদি একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার নির্দিষ্ট সংজ্ঞার জন্য সূচক সেটটিকে বাস্তব রেখার একটি উপসেট হতে হয়, তবে এলোমেলো ক্ষেত্রটিকে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। বিন্দু প্রক্রিয়া একটি বিন্দু প্রক্রিয়া হল কিছু গাণিতিক স্থান যেমন বাস্তব রেখা,-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান বা আরও বিমূর্ত স্থানের উপর এলোমেলোভাবে অবস্থিত বিন্দুর একটি সংগ্রহ। কখনও কখনও বিন্দু প্রক্রিয়া শব্দটি পছন্দ করা হয় না, কারণ ঐতিহাসিকভাবে শব্দ প্রক্রিয়াটি সময়ের সাথে কিছু ব্যবস্থার বিবর্তনকে বোঝায়, তাই একটি বিন্দু প্রক্রিয়াকে এলোমেলো বিন্দু ক্ষেত্রও বলা হয়। একটি বিন্দু প্রক্রিয়ার বিভিন্ন ব্যাখ্যা রয়েছে, যেমন একটি এলোমেলো গণনা পরিমাপ বা একটি এলোমেলো সেট। কিছু লেখক একটি বিন্দু প্রক্রিয়া এবং স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াকে দুটি ভিন্ন বস্তু হিসাবে বিবেচনা করেন যেমন একটি বিন্দু প্রক্রিয়া একটি এলোমেলো বস্তু যা একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া থেকে উদ্ভূত হয় বা তার সাথে যুক্ত হয়, যদিও এটি মন্তব্য করা হয়েছে যে বিন্দু প্রক্রিয়া এবং স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির মধ্যে পার্থক্য স্পষ্ট নয়। অন্যান্য লেখকরা একটি বিন্দু প্রক্রিয়াকে একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া হিসাবে বিবেচনা করেন, যেখানে প্রক্রিয়াটি অন্তর্নিহিত স্থানের সেট দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয় যার উপর এটি সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেমন বাস্তব রেখা বা-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান। অন্যান্য যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া যেমন পুনর্নবীকরণ এবং গণনা প্রক্রিয়া বিন্দু প্রক্রিয়া তত্ত্বের মধ্যে অধ্যয়ন করা হয়। প্রাথমিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বের উৎপত্তি সুযোগের খেলা থেকে, যার একটি দীর্ঘ ইতিহাস রয়েছে, কিছু খেলা হাজার হাজার বছর আগে খেলা হয়েছিল, কিন্তু সম্ভাবনার দিক থেকে তাদের উপর খুব কম বিশ্লেষণ করা হয়েছিল। 1654 সালকে প্রায়শই সম্ভাব্যতা তত্ত্বের জন্ম হিসাবে বিবেচনা করা হয় যখন ফরাসি গণিতবিদ পিয়েরে ফার্মাট এবং ব্লেইজ পাস্কাল একটি জুয়া সমস্যা দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে সম্ভাবনার উপর একটি লিখিত চিঠিপত্র রেখেছিলেন। তবে জুয়া খেলার সম্ভাব্যতা নিয়ে এর আগে গাণিতিক কাজ করা হয়েছিল যেমন জেরোলামো কার্ডানো রচিত লিবার ডি লুডো আলে, যা 16 শতকে লেখা হয়েছিল কিন্তু পরে 1663 সালে মরণোত্তর প্রকাশিত হয়েছিল। কার্ডানোর পরে, জ্যাকব বার্নৌলি আরস কনজেক্টান্ডি লিখেছিলেন, যা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ইতিহাসে একটি গুরুত্বপূর্ণ ঘটনা হিসাবে বিবেচিত হয়। বার্নৌলির বইটি 1713 সালে মরণোত্তর প্রকাশিত হয় এবং অনেক গণিতবিদকে সম্ভাব্যতা অধ্যয়নে অনুপ্রাণিত করে। কিন্তু পিয়েরে-সাইমন ল্যাপলেস, আব্রাহাম ডি মইভ্রে, কার্ল গাউস, সাইমন পয়সন এবং পাফনুটি চেবিশেভের মতো কিছু বিখ্যাত গণিতবিদ সম্ভাব্যতা তত্ত্বে অবদান রাখলেও, বেশিরভাগ গাণিতিক সম্প্রদায় 20 শতকের আগে পর্যন্ত সম্ভাব্যতা তত্ত্বকে গণিতের অংশ হিসাবে বিবেচনা করেনি। পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান 19শ শতাব্দীতে বিজ্ঞানীরা পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানের শাখা গড়ে তোলেন, যেখানে গ্যাস ভরা ধারকগুলির মতো ভৌত ব্যবস্থাগুলিকে গাণিতিকভাবে অনেক গতিশীল কণার সংগ্রহ হিসাবে বিবেচনা বা বিবেচনা করা যেতে পারে। যদিও রুডলফ ক্লসিয়াসের মতো কিছু বিজ্ঞানী পরিসংখ্যানগত পদার্থবিজ্ঞানে এলোমেলোভাবে অন্তর্ভুক্ত করার চেষ্টা করেছিলেন, তবে বেশিরভাগ কাজেরই খুব কম বা কোনও এলোমেলোতা ছিল না। 1859 সালে এটি পরিবর্তিত হয় যখন জেমস ক্লার্ক ম্যাক্সওয়েল এই ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য অবদান রাখেন, আরও নির্দিষ্টভাবে, গ্যাসের গতি তত্ত্বের ক্ষেত্রে, যেখানে তিনি ধরে নিয়েছিলেন যে গ্যাসের কণাগুলি এলোমেলো গতিতে এলোমেলো দিকে চলে। 19 শতকের দ্বিতীয়ার্ধে গ্যাস এবং পরিসংখ্যানগত পদার্থবিজ্ঞানের গতি তত্ত্বের বিকাশ অব্যাহত ছিল, প্রধানত ক্লসিয়াস, লুডভিগ বোল্টজম্যান এবং জোসিয়া গিবস দ্বারা কাজ করা হয়েছিল, যা পরে ব্রাউনিয়ান আন্দোলনের জন্য আলবার্ট আইনস্টাইনের গাণিতিক মডেলের উপর প্রভাব ফেলবে। পরিমাপ তত্ত্ব এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্ব 1900 সালে প্যারিসে গণিতবিদদের আন্তর্জাতিক কংগ্রেসে ডেভিড হিলবার্ট গাণিতিক সমস্যাগুলির একটি তালিকা উপস্থাপন করেছিলেন, যেখানে তাঁর ষষ্ঠ সমস্যাটি পদার্থবিজ্ঞান এবং সম্ভাব্যতা সম্পর্কিত একটি গাণিতিক চিকিত্সার জন্য জিজ্ঞাসা করেছিল। বিংশ শতাব্দীর শুরুতে, গণিতবিদরা পরিমাপ তত্ত্ব তৈরি করেছিলেন, গাণিতিক ফাংশনের ইন্টিগ্রাল অধ্যয়নের জন্য গণিতের একটি শাখা, যেখানে প্রতিষ্ঠাতাদের মধ্যে দুজন ছিলেন ফরাসি গণিতবিদ, হেনরি লেবস্গু এবং এমিল বোরেল। 1925 সালে আরেকজন ফরাসি গণিতবিদ পল লেভি প্রথম সম্ভাব্যতা বই প্রকাশ করেন যা পরিমাপ তত্ত্ব থেকে ধারণাগুলি ব্যবহার করে। 1920-এর দশকে সোভিয়েত ইউনিয়নে সের্গেই বার্নস্টাইন, আলেকজান্ডার খিনচিন এবং আন্দ্রেই কোলমোগোরভের মতো গণিতবিদরা সম্ভাব্যতা তত্ত্বে মৌলিক অবদান রেখেছিলেন। 1929 সালে কোলমোগোরভ সম্ভাব্যতা তত্ত্বের জন্য পরিমাপ তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে একটি গাণিতিক ভিত্তি উপস্থাপনের প্রথম প্রচেষ্টা প্রকাশ করেন। 1930-এর দশকের গোড়ার দিকে খিনচিন এবং কোলমোগোরভ সম্ভাব্যতা সেমিনার স্থাপন করেছিলেন, যেখানে ইউজিন স্লুটস্কি এবং নিকোলাই স্মিরনভের মতো গবেষকরা উপস্থিত ছিলেন এবং খিনচিন প্রকৃত রেখা দ্বারা সূচীভুক্ত এলোমেলো চলকগুলির একটি সেট হিসাবে একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার প্রথম গাণিতিক সংজ্ঞা দিয়েছিলেন। আধুনিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বের জন্ম 1933 সালে আন্দ্রেই কোলমোগোরভ জার্মান ভাষায় গ্রান্ডবেগ্রিফ ডার ওয়াহরশেইনলিচকিটস্রেচনুং শিরোনামে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ভিত্তির উপর তাঁর বই প্রকাশ করেন, যেখানে কোলমোগোরভ সম্ভাব্যতা তত্ত্বের জন্য একটি স্বতঃসিদ্ধ কাঠামো বিকাশের জন্য পরিমাপ তত্ত্ব ব্যবহার করেছিলেন। এই বইটির প্রকাশনাকে এখন ব্যাপকভাবে আধুনিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বের জন্ম হিসাবে বিবেচনা করা হয়, যখন সম্ভাব্যতা এবং যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়াগুলির তত্ত্বগুলি গণিতের অংশ হয়ে ওঠে। কোলমোগোরভের বইটি প্রকাশের পরে, সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির উপর আরও মৌলিক কাজ করেছিলেন খিনচিন এবং কোলমোগোরভের পাশাপাশি অন্যান্য গণিতবিদ যেমন জোসেফ ডুব, উইলিয়াম ফেলার, মরিস ফ্রেচেট, পল লেভি, ওল্ফগ্যাং ডোবলিন এবং হ্যারাল্ড ক্র্যামার। কয়েক দশক পরে ক্র্যামার 1930-এর দশককে "গাণিতিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বীরত্বপূর্ণ সময়কাল" হিসাবে উল্লেখ করেছিলেন। দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধ সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বিকাশে ব্যাপকভাবে ব্যাঘাত ঘটায়, যার ফলে, উদাহরণস্বরূপ, সুইডেন থেকে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে ফেলারের অভিবাসন এবং ডোবলিন-এর মৃত্যু, যাকে এখন স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির অগ্রদূত হিসাবে বিবেচনা করা হয়। দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের পর অপ্রচলিত প্রক্রিয়াগুলি দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধের পর সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং অপ্রচলিত প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়ন গণিতবিদদের কাছ থেকে আরও বেশি মনোযোগ আকর্ষণ করে, সম্ভাব্যতা এবং গণিতের অনেক ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য অবদানের পাশাপাশি নতুন ক্ষেত্র তৈরি করে। 1940-এর দশক থেকে শুরু করে, কিয়োসি ইতো স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাসের ক্ষেত্রের উন্নয়নমূলক গবেষণাপত্র প্রকাশ করেছিলেন, যার মধ্যে উইনার বা ব্রাউনিয়ান গতি প্রক্রিয়ার উপর ভিত্তি করে স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল এবং স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ রয়েছে। 1940-এর দশক থেকে শুরু করে, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া, বিশেষত মার্টিঙ্গেলস এবং সম্ভাব্য তত্ত্বের গাণিতিক ক্ষেত্রের মধ্যে সংযোগ তৈরি করা হয়েছিল, শিজুও কাকুতানির প্রাথমিক ধারণাগুলি এবং পরে জোসেফ ডুব দ্বারা কাজ করা হয়েছিল। 1950-এর দশকে গিলবার্ট হান্ট মার্কভ প্রক্রিয়া এবং সম্ভাব্য তত্ত্বকে সংযুক্ত করে আরও কাজ করেছিলেন, যা লেভি প্রক্রিয়া তত্ত্বের উপর উল্লেখযোগ্য প্রভাব ফেলেছিল এবং ইটো দ্বারা বিকশিত পদ্ধতির সাথে মার্কভ প্রক্রিয়া অধ্যয়নে আরও আগ্রহের সৃষ্টি করেছিল। 1953 সালে ডুব তাঁর বই স্টোকাস্টিক প্রসেস প্রকাশ করেন, যা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া তত্ত্বের উপর একটি শক্তিশালী প্রভাব ফেলেছিল এবং সম্ভাব্যতায় পরিমাপ তত্ত্বের গুরুত্বের উপর জোর দিয়েছিল। পল-আন্দ্রে মেয়ারের উল্লেখযোগ্য অবদানের মাধ্যমে ডুব প্রধানত মার্টিঙ্গেলস তত্ত্বের বিকাশ ঘটান। এর আগে সের্গেই বার্নস্টাইন, পল লেভি এবং জিন ভিল দ্বারা কাজ করা হয়েছিল, পরেরটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার জন্য মার্টিঙ্গেল শব্দটি গ্রহণ করেছিল। বিভিন্ন সম্ভাব্যতা সমস্যা সমাধানের জন্য মার্টিঙ্গেলস তত্ত্বের পদ্ধতিগুলি জনপ্রিয় হয়ে ওঠে। মার্কভ প্রক্রিয়া অধ্যয়নের জন্য কৌশল এবং তত্ত্ব তৈরি করা হয়েছিল এবং তারপরে মার্টিঙ্গেলসের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছিল। বিপরীতভাবে, মার্কভ প্রক্রিয়াগুলির চিকিৎসার জন্য মার্টিঙ্গেলস তত্ত্ব থেকে পদ্ধতিগুলি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। সম্ভাবনার অন্যান্য ক্ষেত্রগুলি বিকশিত হয়েছিল এবং স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হয়েছিল, যার মধ্যে একটি প্রধান পদ্ধতি হল বড় বিচ্যুতির তত্ত্ব। অন্যান্য ক্ষেত্রের মধ্যে পরিসংখ্যানগত পদার্থবিজ্ঞানে এই তত্ত্বের অনেক প্রয়োগ রয়েছে এবং কমপক্ষে 1930-এর দশকের মূল ধারণাগুলি রয়েছে। পরে 1960 এবং 1970-এর দশকে সোভিয়েত ইউনিয়নে আলেকজান্ডার ওয়েন্টজেল এবং মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে মনরো ডি. ডনস্কার এবং শ্রীনিবাস বরধন মৌলিক কাজ করেছিলেন, যার ফলস্বরূপ বরধন 2007 সালে আবেল পুরস্কার জিতেছিলেন। 1990 এবং 2000-এর দশকে শ্র্যাম-লোয়েনার বিবর্তন এবং রুক্ষ পথের তত্ত্বগুলি প্রবর্তন করা হয়েছিল এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মধ্যে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া এবং অন্যান্য গাণিতিক বস্তু অধ্যয়নের জন্য উন্নত করা হয়েছিল, যার ফলস্বরূপ যথাক্রমে 2008 সালে ওয়েন্ডেলিন ওয়ার্নার এবং 2014 সালে মার্টিন হেয়ারারকে ফিল্ড পদক প্রদান করা হয়েছিল। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির তত্ত্ব এখনও গবেষণার কেন্দ্রবিন্দুতে রয়েছে, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির বিষয়ে বার্ষিক আন্তর্জাতিক সম্মেলনের মাধ্যমে। নির্দিষ্ট স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির আবিষ্কার যদিও খিঞ্চিন 1930-এর দশকে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির গাণিতিক সংজ্ঞা দিয়েছিলেন, তবে নির্দিষ্ট স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলি ইতিমধ্যে বিভিন্ন সেটিংসে আবিষ্কৃত হয়েছিল, যেমন ব্রাউনিয়ান গতি প্রক্রিয়া এবং পয়সন প্রক্রিয়া। কিছু পরিবার যেমন বিন্দু প্রক্রিয়া বা পুনর্নবীকরণ প্রক্রিয়াগুলির দীর্ঘ এবং জটিল ইতিহাস রয়েছে, যা বহু শতাব্দী ধরে প্রসারিত। বার্নৌলি প্রক্রিয়া, যা একটি পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রা উল্টানোর জন্য একটি গাণিতিক মডেল হিসাবে কাজ করতে পারে, সম্ভবত প্রথম স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া যা অধ্যয়ন করা হয়েছে। প্রক্রিয়াটি স্বাধীন বার্নৌলি ট্রায়ালের একটি ক্রম, যা জ্যাকব বার্নৌলি-র নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি এগুলিকে সুযোগের খেলা অধ্যয়নের জন্য ব্যবহার করেছিলেন, যার মধ্যে ক্রিস্টিয়ান হুইজেন্স দ্বারা প্রস্তাবিত এবং অধ্যয়ন করা সম্ভাব্যতা সমস্যাগুলিও রয়েছে। বার্নৌলি প্রক্রিয়া সহ বার্নৌলি-র কাজ 1713 সালে তাঁর বই আর্স কনজেক্টান্ডিতে প্রকাশিত হয়। 1905 সালে কার্ল পিয়ারসন বিমানে এলোমেলো হাঁটার বর্ণনা দেওয়ার সময় এলোমেলো হাঁটা শব্দটি তৈরি করেছিলেন, যা জীববিজ্ঞানের একটি প্রয়োগ দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিল, তবে এলোমেলো হাঁটার সাথে জড়িত এই জাতীয় সমস্যাগুলি ইতিমধ্যে অন্যান্য ক্ষেত্রে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। জুয়ার কিছু সমস্যা যা বহু শতাব্দী আগে অধ্যয়ন করা হয়েছিল তা এলোমেলো হাঁটার সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, জুয়াড়িদের ধ্বংসাবশেষ নামে পরিচিত সমস্যাটি একটি সাধারণ এলোমেলো হাঁটার উপর ভিত্তি করে তৈরি এবং এটি শোষণকারী বাধা সহ এলোমেলো হাঁটার একটি উদাহরণ। প্যাসকেল, ফার্মাট এবং হিউয়েন্স সকলেই তাদের পদ্ধতির বিশদ বিবরণ ছাড়াই এই সমস্যার সংখ্যাসূচক সমাধান দিয়েছিলেন এবং তারপরে জ্যাকব বার্নৌলি এবং আব্রাহাম ডি মইভ্রে আরও বিস্তারিত সমাধান উপস্থাপন করেছিলেন। - মাত্রিক পূর্ণসংখ্যা জালিতে এলোমেলো হাঁটার জন্য, জর্জ পলিয়া 1919 এবং 1921 সালে একটি কাজ প্রকাশ করেছিলেন, যেখানে তিনি জালের পূর্ববর্তী অবস্থানে ফিরে আসা একটি প্রতিসম এলোমেলো হাঁটার সম্ভাবনা অধ্যয়ন করেছিলেন। পলিয়া দেখিয়েছেন যে একটি প্রতিসম এলোমেলো হাঁটা, যার জালকের যে কোনও দিকে অগ্রসর হওয়ার সমান সম্ভাবনা রয়েছে, জালকের পূর্ববর্তী অবস্থানে এক এবং দুই মাত্রায় এক সম্ভাবনা সহ অসীম সংখ্যক বার ফিরে আসবে, তবে তিন বা ততোধিক মাত্রায় শূন্য সম্ভাবনা সহ। উইনার প্রক্রিয়া উইনার প্রক্রিয়া বা ব্রাউনিয়ান গতি প্রক্রিয়ার উৎপত্তি পরিসংখ্যান, অর্থ এবং পদার্থবিজ্ঞান সহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে। 1880 সালে, ড্যানিশ জ্যোতির্বিজ্ঞানী থরভাল্ড থিয়েল ক্ষুদ্রতম বর্গের পদ্ধতির উপর একটি গবেষণাপত্র লিখেছিলেন, যেখানে তিনি সময়-সিরিজ বিশ্লেষণে একটি মডেলের ত্রুটিগুলি অধ্যয়ন করার জন্য প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করেছিলেন। এই কাজটি এখন কালমান ফিল্টারিং নামে পরিচিত পরিসংখ্যানগত পদ্ধতির প্রাথমিক আবিষ্কার হিসাবে বিবেচিত হয়, তবে কাজটি মূলত উপেক্ষা করা হয়েছিল। মনে করা হয় যে থিয়েলের গবেষণাপত্রের ধারণাগুলি এতটাই উন্নত ছিল যে সেই সময়ে বৃহত্তর গাণিতিক ও পরিসংখ্যানগত সম্প্রদায় তা বুঝতে পারেনি। ফরাসি গণিতবিদ লুই ব্যাচেলিয়ার তার 1900 সালের গবেষণাপত্রে একটি উইনার প্রক্রিয়া ব্যবহার করেছিলেন যাতে থিয়েলের কাজ না জেনেই প্যারিস বোর্স, একটি স্টক এক্সচেঞ্জে মূল্য পরিবর্তনের মডেল তৈরি করা যায়। অনুমান করা হয় যে ব্যাচেলিয়ার জুলস রেগনল্টের র্যান্ডম ওয়াক মডেল থেকে ধারণাগুলি আঁকেন, তবে ব্যাচেলিয়ার তাকে উদ্ধৃত করেননি এবং ব্যাচেলিয়ারের থিসিসটি এখন আর্থিক গণিতের ক্ষেত্রে অগ্রণী হিসাবে বিবেচিত হয়। সাধারণত মনে করা হয় যে ব্যাচেলিয়ারের কাজটি সামান্য মনোযোগ আকর্ষণ করেছিল এবং 1950-এর দশকে লিওনার্ড স্যাভেজ দ্বারা এটি পুনরায় আবিষ্কৃত না হওয়া পর্যন্ত কয়েক দশক ধরে ভুলে গিয়েছিল এবং 1964 সালে ব্যাচেলিয়ারের থিসিস ইংরেজিতে অনুবাদ হওয়ার পরে আরও জনপ্রিয় হয়ে ওঠে। কিন্তু গাণিতিক সম্প্রদায়ের মধ্যে এই কাজটি কখনই ভুলে যাওয়া হয়নি, কারণ ব্যাচেলিয়ার 1912 সালে তাঁর ধারণাগুলির বিশদ বিবরণ দিয়ে একটি বই প্রকাশ করেছিলেন, যা ডুব, ফেলার এবং কোলমোগোরভ সহ গণিতবিদরা উদ্ধৃত করেছিলেন। বইটি উদ্ধৃত হতে থাকে, কিন্তু তারপর 1960-এর দশক থেকে ব্যাচেলিয়ারের মূল থিসিস তাঁর বইয়ের চেয়ে বেশি উদ্ধৃত হতে শুরু করে যখন অর্থনীতিবিদরা ব্যাচেলিয়ারের কাজ উদ্ধৃত করতে শুরু করেন। 1905 সালে আলবার্ট আইনস্টাইন একটি গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন যেখানে তিনি গ্যাসের গতি তত্ত্ব থেকে ধারণাগুলি ব্যবহার করে তরলগুলিতে কণাগুলির আপাতদৃষ্টিতে এলোমেলো গতিবিধি ব্যাখ্যা করার জন্য ব্রাউনিয়ান গতি বা গতির শারীরিক পর্যবেক্ষণ অধ্যয়ন করেন। স্থানের একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলে একটি কণা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা বর্ণনা করার জন্য আইনস্টাইন একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তৈরি করেছিলেন, যা ডিফিউশন সমীকরণ নামে পরিচিত। ব্রাউনিয়ান আন্দোলনের উপর আইনস্টাইনের প্রথম গবেষণাপত্রের অল্প সময়ের মধ্যেই, মারিয়ান স্মোলুচোভস্কি আইনস্টাইনের উদ্ধৃতি দিয়ে কাজ প্রকাশ করেছিলেন, তবে লিখেছিলেন যে তিনি স্বাধীনভাবে একটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমতুল্য ফলাফল অর্জন করেছেন। আইনস্টাইনের কাজ, সেইসাথে জিন পেরিন দ্বারা প্রাপ্ত পরীক্ষামূলক ফলাফল, পরে 1920-এর দশকে নরবার্ট উইনারকে পার্সি ড্যানিয়েল দ্বারা বিকশিত এক ধরনের পরিমাপ তত্ত্ব এবং ফুরিয়ার বিশ্লেষণ ব্যবহার করে একটি গাণিতিক বস্তু হিসাবে উইনার প্রক্রিয়ার অস্তিত্ব প্রমাণ করতে অনুপ্রাণিত করে। পয়সন প্রক্রিয়া পয়সন বিতরণের সাথে জড়িত সংজ্ঞার কারণে পয়সন প্রক্রিয়াটি সাইমন পয়সনের নামে নামকরণ করা হয়েছে, তবে পয়সন কখনও প্রক্রিয়াটি অধ্যয়ন করেননি। পয়সন প্রক্রিয়ার প্রাথমিক ব্যবহার বা আবিষ্কারের জন্য বেশ কয়েকটি দাবি রয়েছে। বিংশ শতাব্দীর শুরুতে পয়সন প্রক্রিয়াটি বিভিন্ন পরিস্থিতিতে স্বাধীনভাবে উদ্ভূত হত। 1903 সালে সুইডেনে ফিলিপ লুন্ডবার্গ একটি গবেষণামূলক প্রবন্ধ প্রকাশ করেন, যা এখন মৌলিক এবং অগ্রগামী বলে বিবেচিত, যেখানে তিনি একটি সমজাতীয় পয়সন প্রক্রিয়া সহ বীমা দাবির মডেল করার প্রস্তাব দেন। 1909 সালে ডেনমার্কে আরেকটি আবিষ্কার ঘটে যখন এ. কে. একটি নির্দিষ্ট সময়ের ব্যবধানে আগত ফোন কলের সংখ্যার জন্য একটি গাণিতিক মডেল তৈরি করার সময় এরলাং পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন উদ্ভূত করেছিলেন। এরলাং সেই সময়ে পয়সনের আগের কাজ সম্পর্কে অবগত ছিলেন না এবং ধরে নিয়েছিলেন যে প্রতিটি সময়ের ব্যবধানে আসা ফোন কলগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীন ছিল। তারপরে তিনি সীমাবদ্ধ কেসটি খুঁজে পান, যা কার্যকরভাবে দ্বিপদী বিতরণের সীমা হিসাবে পয়সন বিতরণকে পুনর্বিবেচনা করছে। 1910 সালে আর্নেস্ট রাদারফোর্ড এবং হ্যান্স গিগার আলফা কণা গণনার উপর পরীক্ষামূলক ফলাফল প্রকাশ করেন। তাদের কাজের দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে হ্যারি বেটম্যান গণনা সমস্যা অধ্যয়ন করেন এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি পরিবারের সমাধান হিসাবে পয়সন সম্ভাব্যতা অর্জন করেন, যার ফলে পয়সন প্রক্রিয়াটি স্বাধীনভাবে আবিষ্কৃত হয়। এই সময়ের পরে পয়সন প্রক্রিয়ার অনেক গবেষণা এবং প্রয়োগ হয়েছিল, তবে এর প্রাথমিক ইতিহাস জটিল, যা জীববিজ্ঞানী, পরিবেশবিদ, প্রকৌশলী এবং বিভিন্ন শারীরিক বিজ্ঞানীদের দ্বারা অসংখ্য ক্ষেত্রে প্রক্রিয়াটির বিভিন্ন প্রয়োগ দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে। মার্কভ মার্কভ প্রক্রিয়াগুলি প্রক্রিয়া করে এবং মার্কভ চেইনগুলি আন্দ্রে মার্কভের নামে নামকরণ করা হয়েছে যিনি 20 শতকের গোড়ার দিকে মার্কভ চেইনগুলি অধ্যয়ন করেছিলেন। মার্কভ স্বাধীন র্যান্ডম সিকোয়েন্সের একটি সম্প্রসারণ অধ্যয়নে আগ্রহী ছিলেন। 1906 সালে প্রকাশিত মার্কভ চেইনের উপর তাঁর প্রথম গবেষণাপত্রে মার্কভ দেখিয়েছিলেন যে নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে মার্কভ চেইনের গড় ফলাফলগুলি মানগুলির একটি নির্দিষ্ট ভেক্টরে রূপান্তরিত হবে, তাই স্বাধীনতা অনুমান ছাড়াই বড় সংখ্যার একটি দুর্বল সূত্র প্রমাণ করে, যা সাধারণত এই ধরনের গাণিতিক সূত্র ধরে রাখার জন্য একটি প্রয়োজনীয়তা হিসাবে বিবেচিত হত। মার্কভ পরে আলেকজান্ডার পুশকিনের লেখা ইউজিন ওনেগিনে স্বরবর্ণের বিতরণ অধ্যয়নের জন্য মার্কভ চেইন ব্যবহার করেছিলেন এবং এই ধরনের চেইনের জন্য একটি কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য প্রমাণ করেছিলেন। 1912 সালে পয়েনকারে কার্ডের অদলবদল অধ্যয়নের লক্ষ্যে সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির উপর মার্কভ চেইনগুলি অধ্যয়ন করেছিলেন। মার্কভ চেইনের অন্যান্য প্রাথমিক ব্যবহারের মধ্যে রয়েছে 1907 সালে পল এবং তাতিয়ানা এহরেনফেস্ট দ্বারা প্রবর্তিত একটি বিস্তার মডেল এবং মার্কভের কাজের আগে 1873 সালে ফ্রান্সিস গ্যাল্টন এবং হেনরি উইলিয়াম ওয়াটসন দ্বারা প্রবর্তিত একটি শাখা প্রক্রিয়া। গ্যাল্টন এবং ওয়াটসনের কাজের পরে, এটি পরে প্রকাশিত হয়েছিল যে তাদের শাখা প্রক্রিয়াটি প্রায় তিন দশক আগে ইরিনি-জুলেস বিয়েনায়েমে স্বাধীনভাবে আবিষ্কার ও অধ্যয়ন করেছিলেন। 1928 সাল থেকে মরিস ফ্রেচেট মার্কভ চেইনের প্রতি আগ্রহী হয়ে ওঠেন, যার ফলে তিনি 1938 সালে মার্কভ চেইনের উপর একটি বিস্তারিত গবেষণা প্রকাশ করেন। আন্দ্রেই কোলমোগোরভ 1931 সালের একটি গবেষণাপত্রে অবিচ্ছিন্ন-সময় মার্কভ প্রক্রিয়াগুলির প্রাথমিক তত্ত্বের একটি বড় অংশ তৈরি করেছিলেন। কোলমোগোরভ আংশিকভাবে শেয়ার বাজারের ওঠানামা নিয়ে লুই ব্যাচেলিয়ারের 1900 সালের কাজ এবং আইনস্টাইনের ব্রাউনীয় আন্দোলনের মডেল নিয়ে নরবার্ট উইনারের কাজ দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছিলেন। তিনি মার্কভ প্রক্রিয়াগুলির একটি নির্দিষ্ট সেট প্রবর্তন ও অধ্যয়ন করেছিলেন যা বিচ্ছুরণ প্রক্রিয়া নামে পরিচিত, যেখানে তিনি প্রক্রিয়াগুলি বর্ণনা করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সেট তৈরি করেছিলেন। কোলমোগোরভের কাজ থেকে স্বাধীন, সিডনি চ্যাপম্যান 1928 সালের একটি গবেষণাপত্রে ব্রাউনীয় আন্দোলন অধ্যয়ন করার সময় কোলমোগোরভের তুলনায় গাণিতিকভাবে কম কঠোর উপায়ে একটি সমীকরণ, যা এখন চ্যাপম্যান-কোলমোগোরভ সমীকরণ নামে পরিচিত, তৈরি করেছিলেন। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে এখন কোলমোগোরভ সমীকরণ বা কোলমোগোরভ-চ্যাপম্যান সমীকরণ বলা হয়। মার্কভ প্রক্রিয়াগুলির ভিত্তির ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য অবদান রাখা অন্যান্য গণিতবিদদের মধ্যে রয়েছেন 1930-এর দশকে শুরু হওয়া উইলিয়াম ফেলার এবং পরে 1950-এর দশকে শুরু হওয়া ইউজিন ডাইনকিন। লেভি প্রক্রিয়া লেভি প্রক্রিয়া যেমন উইনার প্রক্রিয়া এবং পয়সন প্রক্রিয়া (আসল লাইনে) পল লেভির নামে নামকরণ করা হয়েছে যিনি 1930-এর দশকে এগুলি অধ্যয়ন শুরু করেছিলেন, তবে 1920-এর দশকে অসীম বিভাজ্য বিতরণের সাথে তাদের সংযোগ রয়েছে। 1932 সালের একটি গবেষণাপত্রে কোলমোগোরভ লেভি প্রক্রিয়াগুলির সাথে যুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য একটি চরিত্রগত ফাংশন বের করেছেন। এই ফলাফলটি পরে 1934 সালে লেভি দ্বারা আরও সাধারণ শর্তে উদ্ভূত হয়েছিল এবং তারপর 1937 সালে স্বাধীনভাবে খিঞ্চিন এই চরিত্রগত ফাংশনের জন্য একটি বিকল্প রূপ দিয়েছিলেন। লেভি, খিনচিন এবং কোলোমোগ্রভ ছাড়াও, লেভি প্রক্রিয়া তত্ত্বের প্রাথমিক মৌলিক অবদান ব্রুনো ডি ফিনেটি এবং কিয়োসি ইতো দ্বারা করা হয়েছিল। গাণিতিক গঠন গণিতে, গাণিতিক বস্তুর গঠন প্রয়োজন, যা স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির ক্ষেত্রেও, প্রমাণ করার জন্য যে তারা গাণিতিকভাবে বিদ্যমান। একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া নির্মাণের জন্য দুটি প্রধান পদ্ধতি রয়েছে। একটি পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে ফাংশনের একটি পরিমাপযোগ্য স্থান বিবেচনা করা, সম্ভাব্যতা স্থান থেকে ফাংশনের এই পরিমাপযোগ্য স্থান পর্যন্ত একটি উপযুক্ত পরিমাপযোগ্য ম্যাপিং সংজ্ঞায়িত করা এবং তারপরে সংশ্লিষ্ট সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণগুলি বের করা। আরেকটি পদ্ধতির মধ্যে নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণের জন্য র্যান্ডম ভেরিয়েবলের একটি সংগ্রহকে সংজ্ঞায়িত করা এবং তারপরে একটি সংশ্লিষ্ট স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া বিদ্যমান প্রমাণ করার জন্য কোলমোগোরভের অস্তিত্ব উপপাদ্য ব্যবহার করা জড়িত। এই উপপাদ্যটি, যা অসীম পণ্য স্থানের পরিমাপের জন্য একটি অস্তিত্ব উপপাদ্য, বলে যে যদি কোনও সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণ দুটি শর্ত পূরণ করে, যা ধারাবাহিকতা শর্ত হিসাবে পরিচিত, তবে সেই সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণগুলির সাথে একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া বিদ্যমান। অবিচ্ছিন্ন-সময়ের অসংলগ্ন প্রক্রিয়া তৈরি করার সময় কিছু গাণিতিক সমস্যা দেখা দেয়, অগণিত সূচক সেটের কারণে, যা বিচ্ছিন্ন-সময়ের প্রক্রিয়াগুলিতে ঘটে না। একটি সমস্যা হ 'ল একই সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণ সহ একাধিক স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া থাকা সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, একটি পয়সন প্রক্রিয়ার বাম-ক্রমাগত পরিবর্তন এবং ডান-ক্রমাগত পরিবর্তন উভয়েরই একই সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বিতরণ রয়েছে। এর মানে হল যে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার বিতরণ, অগত্যা, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার নমুনা ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্যগুলি অনন্যভাবে নির্দিষ্ট করে না। আরেকটি সমস্যা হল যে অবিচ্ছিন্ন-সময় প্রক্রিয়ার কার্যকারিতা যা সূচক সেটের অগণিত সংখ্যক পয়েন্টের উপর নির্ভর করে তা পরিমাপযোগ্য নাও হতে পারে, তাই নির্দিষ্ট কিছু ঘটনার সম্ভাব্যতা ভালভাবে সংজ্ঞায়িত নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া বা এলোমেলো ক্ষেত্রের সর্বোচ্চতা অগত্যা একটি সু-সংজ্ঞায়িত এলোমেলো পরিবর্তনশীল নয়। একটি অবিচ্ছিন্ন-সময়ের স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার জন্য, সূচক সেটের অগণিত সংখ্যক বিন্দুর উপর নির্ভরশীল অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে রয়েছেঃ একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একটি নমুনা ফাংশন হল একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন; একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একটি নমুনা ফাংশন হল একটি সীমাবদ্ধ ফাংশন; এবং একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একটি নমুনা ফাংশন হল এর একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন। এই দুটি সমস্যা কাটিয়ে ওঠার জন্য, বিভিন্ন অনুমান এবং পন্থা সম্ভব। নির্মাণ সংক্রান্ত সমস্যাগুলির সমাধান জোসেফ ডুব দ্বারা প্রস্তাবিত স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির গাণিতিক নির্মাণ সংক্রান্ত সমস্যাগুলি এড়ানোর জন্য একটি পদ্ধতি হল স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াটি পৃথকযোগ্য বলে ধরে নেওয়া। পৃথকীকরণ নিশ্চিত করে যে অসীম-মাত্রিক বিতরণগুলি নমুনা ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করে যে নমুনা ফাংশনগুলি মূলত সূচক সেটের ঘন গণনাযোগ্য পয়েন্টের সেটের উপর তাদের মান দ্বারা নির্ধারিত হয়। উপরন্তু, যদি একটি যাদৃচ্ছিক প্রক্রিয়া পৃথক করা যায়, তবে সূচক সেটের অগণিত সংখ্যক বিন্দুর কার্যকারিতা পরিমাপযোগ্য এবং তাদের সম্ভাব্যতা অধ্যয়ন করা যেতে পারে। আরেকটি পদ্ধতি সম্ভব, যা মূলত আনাতোলি স্কোরোখোদ এবং আন্দ্রেই কোলমোগোরভ দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল, যে কোনও মেট্রিক স্থানকে তার রাষ্ট্রীয় স্থান হিসাবে অবিচ্ছিন্ন-সময়ের স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার জন্য। এই ধরনের স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া নির্মাণের জন্য, এটি ধরে নেওয়া হয় যে স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার নমুনা ফাংশনগুলি কিছু উপযুক্ত ফাংশন স্পেসের অন্তর্গত, যা সাধারণত স্কোরোখোদ স্পেস যা বাম সীমা সহ সমস্ত ডান-ধারাবাহিক ফাংশন নিয়ে গঠিত। এই পদ্ধতিটি এখন পৃথকীকরণ অনুমানের চেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়, তবে এই পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে এই ধরনের একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া স্বয়ংক্রিয়ভাবে পৃথকযোগ্য হবে। যদিও কম ব্যবহৃত হয়, পৃথকীকরণের অনুমানটি আরও সাধারণ হিসাবে বিবেচিত হয় কারণ প্রতিটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়ার একটি পৃথক সংস্করণ থাকে। এটি তখনও ব্যবহৃত হয় যখন স্কোরোখোদ স্থানে একটি স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া নির্মাণ করা সম্ভব হয় না। উদাহরণস্বরূপ, এলোমেলো ক্ষেত্র তৈরি এবং অধ্যয়ন করার সময় পৃথকীকরণ অনুমান করা হয়, যেখানে এলোমেলো চলকের সংগ্রহ এখন-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের মতো বাস্তব রেখা ব্যতীত অন্য সেট দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়। আরও দেখুন নোটস রেফারেন্স আরও পড়া নিবন্ধ বই বহিরাগত লিঙ্ক স্টোকাস্টিক মডেল পরিসংখ্যানগত তথ্যের প্রকার