Complete measure
গণিতে, একটি সম্পূর্ণ পরিমাপ (বা, আরও সুনির্দিষ্টভাবে, একটি সম্পূর্ণ পরিমাপ স্থান) এমন একটি পরিমাপ স্থান যেখানে প্রতিটি নাল সেটের প্রতিটি উপসেট পরিমাপযোগ্য (পরিমাপ শূন্য সহ)। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি পরিমাপ স্থান (এক্স, এস, এমইউ) সম্পূর্ণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র অনুপ্রেরণা সম্পূর্ণতার প্রশ্নগুলি বিবেচনা করার প্রয়োজনীয়তা পণ্য স্থানগুলির সমস্যা বিবেচনা করে চিত্রিত করা যেতে পারে। ধরুন যে আমরা ইতিমধ্যে বাস্তব লাইনে লেবস্গু পরিমাপ তৈরি করেছিঃ এই পরিমাপের স্থানটি দ্বারা নির্দেশ করুন আমরা এখন পণ্য পরিমাপ হিসাবে সমতলে কিছু দ্বি-মাত্রিক লেবস্গু পরিমাপ তৈরি করতে চাই। সরলভাবে, আমরা-বীজগণিতকে ক্ষুদ্রতম-বীজগণিত হিসাবে গ্রহণ করব যার মধ্যে সমস্ত পরিমাপযোগ্য "আয়তক্ষেত্র" রয়েছে। যেহেতু প্রতিটি সিঙ্গেলটন সেটের এক-মাত্রিক লেবস্গু পরিমাপ শূন্য থাকে, তবে এর উপসেটের জন্য, ধরুন এটি বাস্তব রেখার একটি অ-পরিমাপযোগ্য উপসেট, যেমন ভিটালি সেট। তারপর-এর পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করা হয় না কিন্তু এই বৃহত্তর সেটটিতে-পরিমাপ শূন্য থাকে। সুতরাং এই "দ্বি-মাত্রিক লেবস্গু পরিমাপ" যেমনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তা সম্পূর্ণ নয় এবং এক ধরনের সমাপ্তি পদ্ধতির প্রয়োজন। একটি সম্পূর্ণ পরিমাপের নির্মাণ একটি (সম্ভবত অসম্পূর্ণ) পরিমাপের স্থান (এক্স, এস, এমইউ) দেওয়া হলে, এই পরিমাপের স্থানের একটি সম্প্রসারণ (এক্স, এস, এমইউ) রয়েছে যা সম্পূর্ণ। এই ধরনের সবচেয়ে ছোট এক্সটেনশন (অর্থাৎ। ক্ষুদ্রতম σ-বীজগণিতকে পরিমাপ স্থানের সমাপ্তি বলা হয়। সমাপ্তিটি নিম্নরূপ তৈরি করা যেতে পারেঃ ধরা যাক Z হল X-এর শূন্য-μ-পরিমাপের উপসেটগুলির সমস্ত উপসেটগুলির সেট (স্বজ্ঞাতভাবে, Z-এর সেই উপাদানগুলি যা ইতিমধ্যে β-তে নেই সেগুলি সম্পূর্ণতাকে সত্য ধরে রাখতে বাধা দেয়); ধরা যাক β-হল β এবং Z দ্বারা উত্পন্ন σ-বীজগণিত (অর্থাৎ। ক্ষুদ্রতম σ-বীজগণিত যা σ এবং Z-এর প্রতিটি উপাদান ধারণ করে; μ-এর একটি এক্সটেনশন রয়েছে, যা হল μ-এর বাইরের পরিমাপ, যা অসীম পরিমাপ দ্বারা দেওয়া হয়। উপরের নির্মাণে এটি দেখানো যেতে পারে যে, σ0-এর প্রতিটি সদস্য কিছু A ω এবং কিছু B ω Z-এর জন্য A ω B আকারে রয়েছে এবং উদাহরণস্বরূপ বোরেল পরিমাপ যা প্রকৃত রেখার খোলা ব্যবধান দ্বারা উত্পন্ন বোরেল σ-বীজগণিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তা সম্পূর্ণ নয়, এবং তাই সম্পূর্ণ লেবস্গু পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করতে উপরের সমাপ্তি পদ্ধতিটি অবশ্যই ব্যবহার করতে হবে। এটি এই সত্য দ্বারা চিত্রিত হয় যে আসল সেটগুলির উপর সমস্ত বোরেল সেটের আসল সেটগুলির মতো একই কার্ডিনালিটি রয়েছে। যদিও ক্যান্টর সেটটি একটি বোরেল সেট, এর পরিমাপ শূন্য, এবং এর পাওয়ার সেটের কার্ডিনালিটি বাস্তব সেটের তুলনায় কঠোরভাবে বেশি। এইভাবে ক্যান্টর সেটের একটি উপসেট রয়েছে যা বোরেল সেটগুলিতে অন্তর্ভুক্ত নয়। অতএব, বোরেল পরিমাপ সম্পূর্ণ নয়। এন-ডাইমেনশনাল লেবস্গু পরিমাপ হল এক-ডাইমেনশনাল লেবস্গু স্পেসের এন-ফোল্ড প্রোডাক্টের সমাপ্তি। এটি বোরেল পরিমাপের সমাপ্তিও, যেমন এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে। মহারামের উপপাদ্য অনুসারে প্রতিটি সম্পূর্ণ পরিমাপের স্থান অবিচ্ছিন্ন পরিমাপে এবং একটি সীমাবদ্ধ বা গণনাযোগ্য পরিমাপে বিভাজিত হতে পারে। আরও দেখুন রেফারেন্স পরিমাপ (পরিমাপ তত্ত্ব)