Half-integer
গণিতে, একটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা হল সেই ফর্মের একটি সংখ্যা যেখানে একটি সম্পূর্ণ সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, সবগুলিই অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা। "অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা" নামটি সম্ভবত বিভ্রান্তিকর, কারণ সেটটিতে 1 (পূর্ণসংখ্যা 2-এর অর্ধেক)-এর মতো সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করার জন্য ভুল বোঝাবুঝি হতে পারে। "পূর্ণসংখ্যা-যোগ-অর্ধ"-এর মতো একটি নাম আরও সঠিক হতে পারে, তবে আক্ষরিক অর্থে সত্য না হলেও, "অর্ধ পূর্ণসংখ্যা" হল প্রচলিত শব্দ। গণিত এবং কোয়ান্টাম মেকানিক্সে অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা ঘন ঘন ঘটে যে একটি স্বতন্ত্র শব্দ সুবিধাজনক। মনে রাখবেন যে একটি পূর্ণসংখ্যার অর্ধেক করা সবসময় একটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা তৈরি করে না; এটি শুধুমাত্র বিজোড় পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রেই সত্য। এই কারণে, অর্ধ-পূর্ণসংখ্যাকে কখনও কখনও অর্ধ-অদ্ভুত-পূর্ণসংখ্যাও বলা হয়। অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা হল দ্বৈত যুক্তিসঙ্গতগুলির একটি উপসেট (একটি পূর্ণসংখ্যাকে দুই ঘাত দ্বারা ভাগ করে উৎপাদিত সংখ্যা)। স্বরলিপি এবং বীজগাণিতিক কাঠামো সমস্ত অর্ধ-পূর্ণসংখ্যার সেটকে প্রায়শই চিহ্নিত করা হয় পূর্ণসংখ্যা এবং অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা একসাথে সংযোজন ক্রিয়াকলাপের অধীনে একটি গ্রুপ গঠন করে, যা চিহ্নিত করা যেতে পারে তবে, এই সংখ্যাগুলি একটি রিং গঠন করে না কারণ দুটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যার গুণফল অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা নয়; যেমন। এগুলি ধারণকারী সবচেয়ে ছোট বলয়টি হল ডায়্যাডিক যুক্তিসঙ্গত বলয়। বৈশিষ্ট্য অর্ধ-পূর্ণসংখ্যার যোগফল একটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি বিজোড় হয়। এর মধ্যে রয়েছে যেহেতু শূন্য যোগফল 0 অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা নয়। একটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যার ঋণাত্মক হল একটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা। অর্ধ-পূর্ণসংখ্যার সেটের কার্ডিনালিটি পূর্ণসংখ্যার সমান। এটি পূর্ণসংখ্যা থেকে অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা পর্যন্ত একটি বিভাজনের অস্তিত্বের কারণেঃ, যেখানে একটি পূর্ণসংখ্যা ব্যবহার গোলক প্যাকিং চারটি মাত্রায় একক গোলকের ঘনতম জাল প্রতিটি বিন্দুতে একটি গোলক স্থাপন করে যার স্থানাঙ্ক হয় সমস্ত পূর্ণসংখ্যা বা সমস্ত অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা। এই প্যাকিংটি হারউইৎজ পূর্ণসংখ্যার সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিতঃ কোয়াটারনিয়ন যার প্রকৃত সহগগুলি হয় সমস্ত পূর্ণসংখ্যা বা সমস্ত অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা। পদার্থবিজ্ঞানে, পাউলি বর্জন নীতিটি ফার্মিয়নগুলির সংজ্ঞা থেকে পাওয়া যায় যেগুলির অর্ধ-পূর্ণসংখ্যাযুক্ত ঘূর্ণন রয়েছে। কোয়ান্টাম হারমোনিক দোলকের শক্তির মাত্রা অর্ধ-পূর্ণাংশে ঘটে এবং তাই এর সর্বনিম্ন শক্তি শূন্য নয়। গোলকের আয়তন যদিও ফ্যাক্টরিয়াল ফাংশন শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা আর্গুমেন্টের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে এটি গামা ফাংশন ব্যবহার করে ভগ্নাংশ আর্গুমেন্টে প্রসারিত করা যেতে পারে। অর্ধ-পূর্ণসংখ্যার জন্য গামা ফাংশন ব্যাসার্ধের একটি-মাত্রিক বলের আয়তনের সূত্রের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ, অর্ধ-পূর্ণসংখ্যার উপর গামা ফাংশনের মানগুলি পাইয়ের বর্গমূলের পূর্ণসংখ্যার গুণিতকঃ যেখানে দ্বৈত ফ্যাক্টরিয়ালকে বোঝায়। তথ্যসূত্র যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা প্রাথমিক সংখ্যা তত্ত্ব সমতা (গণিত)