Homeomorphism group
গণিতে, বিশেষত টপোলজিতে, একটি টপোলজিকাল স্পেসের হোমিওমরফিজম গ্রুপ হল সেই গ্রুপ যা গ্রুপ অপারেশন হিসাবে ফাংশন গঠন সহ স্পেস থেকে নিজের মধ্যে সমস্ত হোমিওমরফিজম নিয়ে গঠিত। সমরূপতা গোষ্ঠীগুলি টপোলজিকাল স্পেসের তত্ত্বে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং সাধারণভাবে অটোমরফিজম গোষ্ঠীর উদাহরণ। হোমিওমরফিজম গ্রুপগুলি এই অর্থে টপোলজিকাল অপরিবর্তনীয় যে হোমিওমরফিক টপোলজিকাল স্পেসের হোমিওমরফিজম গ্রুপগুলি গ্রুপ হিসাবে আইসোমরফিক। বৈশিষ্ট্য এবং উদাহরণ সেই স্থানের সমরূপতা গোষ্ঠীর একটি প্রাকৃতিক গোষ্ঠী ক্রিয়া রয়েছে। ধরা যাক একটি টপোলজিকাল স্পেস এবং বাই-এর হোমিওমরফিজম গ্রুপকে নির্দেশ করে। ক্রিয়াটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ এটি একটি গোষ্ঠী ক্রিয়া কারণ সকলের জন্য, যেখানে গোষ্ঠী ক্রিয়াকে বোঝায় এবং (যা পরিচয় ফাংশন) এর পরিচয় উপাদান নিজেদের কাছে পয়েন্ট পাঠায়। যদি এই ক্রিয়াটি ক্ষণস্থায়ী হয়, তবে স্থানটিকে সমজাতীয় বলা হয়। টপোলজি টপোলজিকাল স্পেসের মধ্যে মানচিত্রের অন্যান্য সেটের মতো, হোমিওমরফিজম গ্রুপকে একটি টপোলজি দেওয়া যেতে পারে, যেমন কম্প্যাক্ট-ওপেন টপোলজি। নিয়মিত, স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট স্পেসের ক্ষেত্রে গ্রুপ গুণন তারপর অবিচ্ছিন্ন হয়। যদি স্থানটি কম্প্যাক্ট এবং হাউসডর্ফ হয়, তবে বিপরীতটিও অবিচ্ছিন্ন এবং একটি টপোলজিকাল গ্রুপে পরিণত হয়। যদি হাউসডর্ফ হয়, তবে স্থানীয়ভাবে কমপ্যাক্ট এবং স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত এটিও ধরে রাখে। তবে স্থানীয়ভাবে সংহত পৃথক মেট্রিক স্পেস রয়েছে যার জন্য বিপরীত মানচিত্রটি অবিচ্ছিন্ন নয় এবং তাই একটি টপোলজিকাল গ্রুপ নয়। সমরূপতা সহ টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগে, গোষ্ঠী বস্তুগুলি ঠিক সমরূপতা গোষ্ঠী। ম্যাপিং ক্লাস গ্রুপ জ্যামিতিক টপোলজিতে বিশেষত, আইসোটোপি দ্বারা ভাগফল দ্বারা প্রাপ্ত ভাগফল গ্রুপকে বিবেচনা করা হয়, যাকে ম্যাপিং ক্লাস গ্রুপ বলা হয়ঃ এমসিজিকে 0 তম হোমোটপি গ্রুপ হিসাবেও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। এটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম প্রদান করেঃ কিছু প্রয়োগে, বিশেষত পৃষ্ঠতলগুলিতে, সমরূপতা গোষ্ঠীটি এই সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমের মাধ্যমে অধ্যয়ন করা হয়, এবং প্রথমে ম্যাপিং শ্রেণী গোষ্ঠী এবং সমস্থানিকভাবে তুচ্ছ সমরূপতা গোষ্ঠী এবং তারপরে (কখনও কখনও) সম্প্রসারণ অধ্যয়ন করে। আরও দেখুন ম্যাপিং ক্লাস গ্রুপ রেফারেন্স গ্রুপ তত্ত্ব টপোলজি টপোলজিকাল গ্রুপ