Borel set
গণিতে, বোরেল সেট হল একটি টপোলজিকাল স্থানের যে কোনও সেট যা গণনাযোগ্য ইউনিয়ন, গণনাযোগ্য ছেদ এবং আপেক্ষিক পরিপূরকের ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে খোলা সেট (বা সমতুল্যভাবে, বদ্ধ সেট থেকে) থেকে গঠিত হতে পারে। বোরেল সেটের নামকরণ করা হয়েছে এমিল বোরেলের নামে। একটি টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এর জন্য, এক্স-এর উপর সমস্ত বোরেল সেটের সংগ্রহ একটি σ-বীজগণিত গঠন করে, যা বোরেল বীজগণিত বা বোরেল σ-বীজগণিত নামে পরিচিত। X-এর বোরেল বীজগণিত হল ক্ষুদ্রতম σ-বীজগণিত যা সমস্ত উন্মুক্ত সেট (বা, সমতুল্যভাবে, সমস্ত বদ্ধ সেট) ধারণ করে। পরিমাপ তত্ত্বে বোরেল সেটগুলি গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু কোনও স্থানের খোলা সেটগুলিতে বা কোনও স্থানের বদ্ধ সেটগুলিতে সংজ্ঞায়িত যে কোনও পরিমাপ অবশ্যই সেই স্থানের সমস্ত বোরেল সেটগুলিতেও সংজ্ঞায়িত করা উচিত। বোরেল সেটগুলিতে সংজ্ঞায়িত যে কোনও পরিমাপকে বোরেল পরিমাপ বলা হয়। বোরেল সেট এবং সংশ্লিষ্ট বোরেল শ্রেণিবিন্যাসও বর্ণনামূলক সেট তত্ত্বে একটি মৌলিক ভূমিকা পালন করে। কিছু প্রসঙ্গে, বোরেল সেটগুলি খোলা সেটের পরিবর্তে টপোলজিকাল স্পেসের কম্প্যাক্ট সেট দ্বারা উত্পন্ন বলে সংজ্ঞায়িত করা হয়। দুটি সংজ্ঞা সমস্ত হাউজডর্ফ σ-কমপ্যাক্ট স্পেস সহ অনেক ভাল আচরণের জায়গার জন্য সমতুল্য, তবে আরও প্যাথোলজিকাল স্পেসে ভিন্ন হতে পারে। বোরেল বীজগণিত তৈরি করা X একটি মেট্রিক স্পেস হলে, প্রথম অর্থে বোরেল বীজগণিতকে নিম্নরূপ সাধারণভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। X-এর উপসেটগুলির একটি সংগ্রহের জন্য (অর্থাৎ, X-এর পাওয়ার সেট P (X)-এর যে কোনও উপসেটের জন্য), T-এর উপাদানগুলির সমস্ত গণনাযোগ্য ইউনিয়নগুলি T-এর উপাদানগুলির সমস্ত গণনাযোগ্য ছেদ হিসাবে ধরা যাক। যদি i একটি সীমা অর্ডিনাল না হয়, তবে i এর অবিলম্বে পূর্ববর্তী অর্ডিনাল i−1 রয়েছে। ধরা যাক যদি i একটি সীমা অর্ডিনাল হয়, তবে সেট করুন দাবিটি হল যে বোরেল বীজগণিত হল Gω1, যেখানে ω1 হল প্রথম অগণিত অর্ডিনাল সংখ্যা। অর্থাৎ, অপারেশনটিকে প্রথম অগণিত অর্ডিনালে পুনরাবৃত্তি করে খোলা সেটের শ্রেণী থেকে বোরেল বীজগণিত তৈরি করা যেতে পারে। এই দাবি প্রমাণ করার জন্য, একটি মেট্রিক স্পেসে যে কোনও খোলা সেট হল বদ্ধ সেটগুলির ক্রমবর্ধমান ক্রমের মিলন। বিশেষত, সেটগুলির পরিপূরক যে কোনও সীমা অর্ডিনাল মি-এর জন্য জি. এম-কে নিজের মধ্যে মানচিত্র করে; উপরন্তু যদি এম একটি অগণিত সীমা অর্ডিনাল হয়, তবে জি. এম গণনাযোগ্য সংযোগের অধীনে বন্ধ থাকে। প্রতিটি বোরেল সেট বি-এর জন্য, কিছু গণনাযোগ্য অর্ডিনাল αB রয়েছে যাতে αB-এর উপর অপারেশনটি পুনরাবৃত্তি করে বি পাওয়া যায়। যাইহোক, যেহেতু B সমস্ত বোরেল সেটের উপর পরিবর্তিত হয়, αB সমস্ত গণনাযোগ্য অর্ডিনালগুলির উপর পরিবর্তিত হবে এবং এইভাবে প্রথম অর্ডিনাল যেখানে সমস্ত বোরেল সেট পাওয়া যায় তা হল ω1, প্রথম অগণিত অর্ডিনাল। উদাহরণ একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ, বিশেষ করে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ক্ষেত্রে, বাস্তব সংখ্যার সেটের বোরেল বীজগণিত। এটি সেই বীজগণিত যার উপর বোরেল পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি সম্ভাব্যতা স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত একটি বাস্তব র্যান্ডম ভেরিয়েবল দেওয়া হলে, এর সম্ভাব্যতা বন্টনও বোরেল বীজগণিতে একটি পরিমাপ। রিয়েলের বোরেল বীজগণিত হল R-এর ক্ষুদ্রতম σ-বীজগণিত যেখানে সমস্ত ব্যবধান রয়েছে। ট্রান্সফাইনাইট ইন্ডাকশন দ্বারা নির্মাণে, এটি দেখানো যেতে পারে যে, প্রতিটি ধাপে, সেটের সংখ্যা সর্বাধিক, ধারাবাহিকতার মূল বিষয়। সুতরাং, বোরেল সেটের মোট সংখ্যা এর চেয়ে কম বা সমান। প্রকৃতপক্ষে, বোরেল সেট সংগ্রহের প্রধানতা ধারাবাহিকতার সমান (বিদ্যমান লেবসেগ পরিমাপযোগ্য সেটের সংখ্যার সাথে তুলনা করুন, যা কঠোরভাবে বড় এবং সমান)। স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেস এবং কুরাটোভস্কি উপপাদ্য ধরা যাক এক্স একটি টপোলজিকাল স্পেস। এক্স-এর সাথে যুক্ত বোরেল স্থানটি হল জোড়া (এক্স, বি), যেখানে বি হল এক্স-এর বোরেল সেটগুলির σ-বীজগণিত। জর্জ ম্যাকি একটি বোরেল স্থানকে কিছুটা ভিন্নভাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন, লিখেছেন যে এটি "বোরেল সেট নামে পরিচিত উপসেটগুলির একটি বিশিষ্ট σ-ক্ষেত্রের সাথে একত্রিত একটি সেট"। যাইহোক, আধুনিক ব্যবহার হল বিশিষ্ট উপ-বীজগণিতকে পরিমাপযোগ্য সেট এবং এই ধরনের স্থানগুলিকে পরিমাপযোগ্য স্থান বলা। এই পার্থক্যের কারণ হল বোরেল সেটগুলি হল খোলা সেট (একটি টপোলজিকাল স্পেসের) দ্বারা উত্পন্ন σ-বীজগণিত, যেখানে ম্যাকির সংজ্ঞা একটি নির্বিচারে σ-বীজগণিত দিয়ে সজ্জিত একটি সেটকে বোঝায়। অন্তর্নিহিত স্থানে টপোলজির যে কোনও পছন্দের জন্য এমন পরিমাপযোগ্য স্থান রয়েছে যা বোরেল স্থান নয়। পরিমাপযোগ্য স্থানগুলি এমন একটি বিভাগ গঠন করে যেখানে অঙ্গসংস্থানগুলি পরিমাপযোগ্য স্থানগুলির মধ্যে পরিমাপযোগ্য ফাংশন। একটি ফাংশন পরিমাপযোগ্য হয় যদি এটি পরিমাপযোগ্য সেটগুলিকে পিছনে টেনে নেয়, অর্থাৎ, Y-তে সমস্ত পরিমাপযোগ্য সেট B-এর জন্য, সেটটি X-তে পরিমাপযোগ্য। ধরা যাক এক্স একটি পোলিশ স্থান, অর্থাৎ একটি টপোলজিকাল স্থান যাতে এক্স-এর উপর একটি মেট্রিক ডি থাকে যা এক্স-এর টপোলজিকে সংজ্ঞায়িত করে এবং যা এক্স-কে একটি সম্পূর্ণ পৃথকযোগ্য মেট্রিক স্থান করে তোলে। তারপর X একটি বোরেল স্থান হিসাবে R, Z, একটি সীমাবদ্ধ স্থানের সমতুল্য। (এই ফলাফলটি মহারামের উপপাদ্যের কথা মনে করিয়ে দেয়।) বোরেল স্পেস হিসাবে বিবেচিত, বাস্তব রেখা আর, একটি গণনাযোগ্য সেটের সাথে আর-এর মিলন এবং আরএন সমরূপ। একটি আদর্শ বোরেল স্থান হল একটি পোলিশ স্থানের সাথে যুক্ত বোরেল স্থান। একটি স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেস তার কার্ডিনালিটি দ্বারা আইসোমরফিজম পর্যন্ত চিহ্নিত করা হয়, এবং যে কোনও অগণিত স্ট্যান্ডার্ড বোরেল স্পেসে ধারাবাহিকতার কার্ডিনালিটি থাকে। পোলিশ স্থানগুলির উপসেটগুলির জন্য, বোরেল সেটগুলিকে সেই সেট হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যা পোলিশ স্থানগুলিতে সংজ্ঞায়িত অবিচ্ছিন্ন ইনজেকটিভ মানচিত্রের পরিসীমা। তবে লক্ষ্য করুন যে একটি অবিচ্ছিন্ন অ-ইনজেকটিভ মানচিত্রের পরিসীমা বোরেল হতে ব্যর্থ হতে পারে। বিশ্লেষণাত্মক সেট দেখুন। একটি আদর্শ বোরেল স্থানের প্রতিটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ এটিকে একটি আদর্শ সম্ভাব্যতা স্থানে পরিণত করে। অ-বোরেল সেট লুসিনের কারণে অ-বোরেল রিয়েলগুলির একটি উপসেটের উদাহরণ নীচে বর্ণনা করা হয়েছে। এর বিপরীতে, একটি অ-পরিমাপযোগ্য সেটের উদাহরণ প্রদর্শন করা যায় না, যদিও এর অস্তিত্ব প্রমাণিত হতে পারে। প্রতিটি অযৌক্তিক সংখ্যার একটি অসীম অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ দ্বারা একটি অনন্য উপস্থাপনা রয়েছে যেখানে কিছু পূর্ণসংখ্যা এবং অন্যান্য সমস্ত সংখ্যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। সমস্ত অযৌক্তিক সংখ্যার সেট হতে দিন যা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যের সাথে ক্রমের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণঃ একটি অসীম ধারাবাহিকতা রয়েছে যাতে প্রতিটি উপাদান পরবর্তী উপাদানটির বিভাজক হয়। এই সেটটি বোরেল নয়। প্রকৃতপক্ষে, এটি বিশ্লেষণাত্মক, এবং বিশ্লেষণাত্মক সেটের শ্রেণীতে সম্পূর্ণ। আরও বিশদ বিবরণের জন্য দেখুন বর্ণনামূলক সেট তত্ত্ব এবং কেক্রিসের বই, বিশেষ করে 209 পৃষ্ঠায় অনুশীলন (27.2), 169 পৃষ্ঠায় সংজ্ঞা (22.9) এবং 14 পৃষ্ঠায় অনুশীলন (3.4) (ii)। এটি লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে, যদিও জেডএফ-এ নির্মাণ করা যেতে পারে, তবে এটি শুধুমাত্র জেডএফ-এ অ-বোরেল হিসাবে প্রমাণিত হতে পারে না। প্রকৃতপক্ষে, এটি জেডএফ-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যা গণনাযোগ্য সেটগুলির একটি গণনাযোগ্য ইউনিয়ন, যাতে এর যে কোনও উপসেট একটি বোরেল সেট হয়। আরেকটি অ-বোরেল সেট হল একটি অসীম প্যারিটি ফাংশনের বিপরীত চিত্র। যাইহোক, এটি অস্তিত্বের প্রমাণ (পছন্দের স্বতঃসিদ্ধির মাধ্যমে), একটি স্পষ্ট উদাহরণ নয়। পল হ্যালমোসের মতে, স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ টপোলজিকাল স্পেসের একটি উপসেটকে বোরেল সেট বলা হয় যদি এটি সমস্ত কম্প্যাক্ট সেট ধারণকারী ক্ষুদ্রতম σ-রিংয়ের অন্তর্গত হয়। নরবার্গ এবং ভারভাট একটি টপোলজিকাল স্পেসের বোরেল বীজগণিতকে তার উন্মুক্ত উপসেট এবং কম্প্যাক্ট স্যাচুরেটেড উপসেট দ্বারা উত্পন্ন-বীজগণিত হিসাবে নতুন করে সংজ্ঞায়িত করেছেন। এই সংজ্ঞাটি এমন ক্ষেত্রে প্রয়োগের জন্য উপযুক্ত যেখানে হাউসডর্ফ নেই। এটি স্বাভাবিক সংজ্ঞার সাথে মিলে যায় যদি দ্বিতীয় গণনাযোগ্য হয় বা যদি প্রতিটি কম্প্যাক্ট স্যাচুরেটেড উপসেট বন্ধ থাকে (যা বিশেষ করে যদি হাউসডর্ফ হয়)। আরও দেখুন নোটস রেফারেন্স উইলিয়াম আর্ভেসন, অ্যান ইনভিটেশন টু সি *-অ্যালজেব্রা, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, 1981। (পোলিশ টপোলজির একটি চমৎকার ব্যাখ্যার জন্য অধ্যায় 3 দেখুন) রিচার্ড ডাডলি, বাস্তব বিশ্লেষণ এবং সম্ভাব্যতা। ওয়েডসওয়ার্থ, ব্রুকস এবং কোল, 1989 দেখুন বিশেষ করে সেক্ট। 51 "বোরেল সেট এবং বেয়ার সেট"। হ্যালসি রয়ডেন, রিয়েল অ্যানালাইসিস, প্রেন্টিস হল, 1988 আলেকজান্ডার এস. কেক্রিস, ক্লাসিকাল ডিস্ক্রিপটিভ সেট থিওরি, স্প্রিংগার-ভার্লাগ, 1995 (গ্র্যাজুয়েট টেক্সটস ইন ম্যাথ।, ভলিউম। 156) বাহ্যিক সংযোগ মিজোর পদ্ধতিতে বোরেল সেটের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা এবং এটি সম্পর্কে আনুষ্ঠানিকভাবে প্রমাণিত উপপাদ্যগুলির তালিকা। টপোলজি বর্ণনামূলক সেট তত্ত্ব