Lipschitz continuity
গাণিতিক বিশ্লেষণে, লিপস্কিটজ ধারাবাহিকতা, জার্মান গণিতবিদ রুডলফ লিপস্কিটজের নামে নামকরণ করা হয়েছে, এটি ফাংশনের জন্য অভিন্ন ধারাবাহিকতার একটি শক্তিশালী রূপ। স্বজ্ঞাতভাবে, একটি লিপস্কিটজ অবিচ্ছিন্ন ফাংশন কত দ্রুত পরিবর্তিত হতে পারে তার মধ্যে সীমাবদ্ধঃ একটি বাস্তব সংখ্যা রয়েছে যে, এই ফাংশনের গ্রাফের প্রতিটি জোড়া বিন্দুর জন্য, তাদের সংযুক্তকারী রেখার ঢালের পরম মান এই বাস্তব সংখ্যার চেয়ে বেশি নয়; এই ধরনের ক্ষুদ্রতম বন্ধনকে ফাংশনের লিপস্কিটজ ধ্রুবক বলা হয় (এবং এটি অভিন্ন ধারাবাহিকতার মডুলাসের সাথে সম্পর্কিত)। উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি ফাংশন যা একটি ব্যবধানের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং প্রথম ডেরিভেটিভকে আবদ্ধ করে থাকে তা হল লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বে, লিপস্কিটজ ধারাবাহিকতা হল পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্যের কেন্দ্রীয় শর্ত যা একটি প্রাথমিক মান সমস্যার সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতার নিশ্চয়তা দেয়। একটি বিশেষ ধরনের লিপস্কিটজ ধারাবাহিকতা, যাকে সংকোচন বলা হয়, বানাচ স্থির-বিন্দু উপপাদ্যতে ব্যবহৃত হয়। আমাদের কাছে বাস্তব রেখার একটি বদ্ধ এবং আবদ্ধ অ-তুচ্ছ ব্যবধানের উপর ফাংশনের জন্য কঠোর অন্তর্ভুক্তির নিম্নলিখিত শৃঙ্খল রয়েছেঃ অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস-হোল্ডার কন্টিনিউয়াস, যেখানে। আমাদের কাছে লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস ঱্হো একেবারে কন্টিনিউয়াস ঱্হো অভিন্নভাবে কন্টিনিউয়াস রয়েছে। সংজ্ঞাগুলি দুটি মেট্রিক স্পেস (এক্স, ডিএক্স) এবং (ওয়াই, ডিওয়াই) দেওয়া হয়েছে, যেখানে ডিএক্স সেট এক্স-এর মেট্রিককে বোঝায় এবং ডিওয়াই সেট ওয়াই-এর মেট্রিক, একটি ফাংশন f: এক্স → ওয়াই-কে লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস বলা হয় যদি একটি বাস্তব ধ্রুবক K ≤ 0 থাকে যাতে, এক্স-এর সমস্ত x1 এবং x2-এর জন্য, এই ধরনের যে কোনও কে-কে f এবং f ফাংশনের জন্য লিপস্কিটজ ধ্রুবক হিসাবে উল্লেখ করা হয়, কে-লিপস্কিটজ হিসাবেও উল্লেখ করা যেতে পারে। ক্ষুদ্রতম ধ্রুবকটিকে কখনও কখনও f-এর (সেরা) লিপস্কিটজ ধ্রুবক বা f-এর বিস্তার বা বিস্তার বলা হয়। যদি K = 1 ফাংশনটিকে একটি সংক্ষিপ্ত মানচিত্র বলা হয়, এবং যদি 0 ≤ K <1 এবং f একটি মেট্রিক স্থানকে নিজের সাথে ম্যাপ করে, তবে ফাংশনটিকে সংকোচন বলা হয়। বিশেষত, একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন f: R → R কে বলা হয় লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস যদি একটি ধনাত্মক বাস্তব ধ্রুবক K থাকে, যাতে সমস্ত বাস্তব x1 এবং x2-এর জন্য, এই ক্ষেত্রে, Y হল বাস্তব সংখ্যা R-এর সেট যার আদর্শ মেট্রিক dY (y1, y2) = |y1 − y2।, এবং X হল R-এর একটি উপসেট। সাধারণভাবে, অসমতা (তুচ্ছভাবে) সন্তুষ্ট হয় যদি x1 = x2 হয়। অন্যথায়, একটি ফাংশনকে সমতুল্যভাবে লিপস্কিটজ অবিচ্ছিন্ন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি ধ্রুবক K ≤ 0 বিদ্যমান থাকে, যাতে সমস্ত x1 ≤ x2-এর জন্য, বেশ কয়েকটি বাস্তব চলকের বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের জন্য, এটি কেবল তখনই ধরে রাখা হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি সমস্ত বিচ্ছিন্ন রেখার ঢালের পরম মান K দ্বারা আবদ্ধ থাকে। একটি ফাংশনকে স্থানীয়ভাবে লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস বলা হয় যদি এক্স-এর প্রতিটি এক্স-এর জন্য এমন একটি প্রতিবেশী ইউ থাকে যা ইউ-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে এবং লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস হয়। সমতুল্যভাবে, যদি এক্স একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট মেট্রিক স্পেস হয়, তবে এফ স্থানীয়ভাবে লিপস্কিটজ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি এক্স-এর প্রতিটি কম্প্যাক্ট উপসেটে ক্রমাগত থাকে। স্থানীয়ভাবে কমপ্যাক্ট নয় এমন জায়গাগুলিতে, এটি একটি প্রয়োজনীয় কিন্তু পর্যাপ্ত শর্ত নয়। আরও সাধারণভাবে, X-এ সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন f-কে হোল্ডার কন্টিনিউয়াস বলা হয় বা X-এ α> 0 ক্রমের একটি হোল্ডার শর্ত পূরণ করতে বলা হয় যদি এমন একটি ধ্রুবক থাকে যা X-এ সমস্ত x এবং y-এর জন্য থাকে। কখনও কখনও α ক্রমের একটি হোল্ডার শর্তকে α> 0 ক্রমের ইউনিফর্ম লিপস্কিটজ শর্তও বলা হয়। একটি বাস্তব সংখ্যা K ± 1-এর জন্য, যদি f-কে কে-বিলিপ্সচিটস বলা হয় (কে-বি-লিপস্কিটসও লেখা হয়)। আমরা বলি যে f হল বিলিপ্সচিৎজ বা বাই-লিপস্কিটজ যার অর্থ এই ধরনের একটি কে রয়েছে। একটি বিলিপ্সচিৎজ ম্যাপিং ইনজেকটিভ, এবং প্রকৃতপক্ষে এটি তার চিত্রের উপর একটি সমরূপতা। একটি বিলিপস্কিটজ ফাংশন একটি ইনজেকটিভ লিপস্কিটজ ফাংশন হিসাবে একই জিনিস যার বিপরীত ফাংশনও লিপস্কিটজ। উদাহরণ Lipschitz অবিচ্ছিন্ন ফাংশন যা সর্বত্র ডিফারেনশিয়েবল Lipschitz অবিচ্ছিন্ন ফাংশন যা সর্বত্র ডিফারেনশিয়েবল নয় Lipschitz অবিচ্ছিন্ন ফাংশন যা সর্বত্র ডিফারেনশিয়েবল কিন্তু ক্রমাগত ডিফারেনশিয়েবল নয় ক্রমাগত ফাংশন যা (বিশ্বব্যাপী) Lipschitz অবিচ্ছিন্ন ফাংশন যা (স্থানীয়ভাবে) Lipschitz অবিচ্ছিন্ন বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন যা (বিশ্বব্যাপী) Lipschitz অবিচ্ছিন্ন বৈশিষ্ট্য নয়। বিশেষত, যে কোনও অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথকীকরণযোগ্য ফাংশন স্থানীয়ভাবে লিপশিটজ, কারণ অবিচ্ছিন্ন ফাংশনগুলি স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ তাই এর গ্রেডিয়েন্টও স্থানীয়ভাবে আবদ্ধ। একটি লিপস্কিটজ ফাংশন g: R → R একেবারে অবিচ্ছিন্ন এবং তাই প্রায় সর্বত্রই অবকলনীয়, অর্থাৎ, লেবসেগ পরিমাপ শূন্যের একটি সেটের বাইরে প্রতিটি বিন্দুতে অবকলনীয়। এর অন্তরজ মূলত লিপস্কিটজ ধ্রুবক দ্বারা মাত্রায় আবদ্ধ, এবং a <b-এর জন্য, পার্থক্য g (b) −g (a) ব্যবধান [a, b]-এ অন্তরজ g′-এর অবিচ্ছেদ্যের সমান। বিপরীতভাবে, যদি f: I → R সম্পূর্ণরূপে অবিচ্ছিন্ন হয় এবং এইভাবে প্রায় সর্বত্রই পৃথকীকরণযোগ্য হয়, এবং I-এর প্রায় সমস্ত x-এর জন্য |f ′ (x)। ≤ K-কে সন্তুষ্ট করে, তাহলে f হল সর্বাধিক K-তে লিপস্কিটজ ধ্রুবকের সাথে অবিচ্ছিন্ন লিপস্কিটজ। আরও সাধারণভাবে, র্যাডেমাচারের উপপাদ্য ইউক্লিডীয় স্থানগুলির মধ্যে লিপস্কিটজ ম্যাপিংয়ে পৃথকীকরণের ফলাফল প্রসারিত করেঃ একটি লিপস্কিটজ মানচিত্র f: U → Rm, যেখানে U হল Rn-এ একটি উন্মুক্ত সেট, প্রায় সর্বত্রই পৃথকীকরণযোগ্য। অধিকন্তু, যদি K হল f-এর সেরা লিপশিৎজ ধ্রুবক হয়, তবে যখনই মোট ব্যুৎপত্তি Df বিদ্যমান থাকে। একটি পার্থক্যযোগ্য লিপশিৎজ মানচিত্রের জন্য বৈষম্য সর্বোত্তম লিপশিৎজ ধ্রুবকের জন্য ধারণ করে। যদি ডোমেনটি উত্তল হয় তবে আসলে। ধরুন যে {fn} দুটি মেট্রিক স্পেসের মধ্যে লিপশিৎজ অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিংয়ের একটি ক্রম, এবং সমস্ত fn-এর লিপশিৎজ ধ্রুবক কিছু K দ্বারা আবদ্ধ থাকে। যদি fn অভিন্নভাবে একটি ম্যাপিং f-এ রূপান্তরিত হয়, তবে f-ও লিপশিৎজ, লিপশিৎজ ধ্রুবক একই K দ্বারা আবদ্ধ। বিশেষত, এটি বোঝায় যে লিপশিৎজ ধ্রুবকের জন্য একটি নির্দিষ্ট বাউন্ড সহ একটি কম্প্যাক্ট মেট্রিক স্পেসে বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের সেটটি টানা ফাংশনের বানাচ স্পেসের একটি বদ্ধ এবং উত্তল উপসেট। এই ফলাফলটি সেই ক্রমগুলির জন্য প্রযোজ্য নয় যেখানে ফাংশনগুলির সীমাহীন লিপশিটজ ধ্রুবক থাকতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, একটি কম্প্যাক্ট মেট্রিক স্পেসে সমস্ত লিপস্কিটজ ফাংশনের স্থান হল অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের বানাচ স্পেসের একটি উপ-বীজগণিত, এবং এইভাবে এতে ঘনত্ব, যা স্টোন-ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্যের একটি প্রাথমিক পরিণতি (বা ওয়েয়ারস্ট্রাস আনুমানিক উপপাদ্যের ফলস্বরূপ, কারণ প্রতিটি বহুপদী স্থানীয়ভাবে লিপস্কিটজ অবিচ্ছিন্ন)। প্রতিটি লিপশিটজ অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন, এবং তাই একটি ফোর্টিওরি অবিচ্ছিন্ন। আরও সাধারণভাবে, আবদ্ধ লিপস্কিটজ ধ্রুবক সহ ফাংশনের একটি সেট একটি সমান্তরাল সেট গঠন করে। আরজেলা-আসকোলি উপপাদ্য থেকে বোঝা যায় যে, যদি {fn} আবদ্ধ লিপশিৎজ ধ্রুবক সহ ফাংশনের একটি অভিন্নভাবে আবদ্ধ ক্রম হয়, তবে এর একটি অভিসারী ক্রমক্রম রয়েছে। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের ফলস্বরূপ, সীমা ফাংশনটিও লিপস্কিটজ, লিপস্কিটজ ধ্রুবকের জন্য একই আবদ্ধ। বিশেষ করে একটি কম্প্যাক্ট মেট্রিক স্পেস এক্স-এ সমস্ত বাস্তব-মূল্যবান লিপশিটজ ফাংশনের সেট যার লিপশিটজ ধ্রুবক ≤ কে রয়েছে তা বানাচ স্পেস সি (এক্স)-এর একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট উত্তল উপসেট। লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস ফাংশনের একটি পরিবারের জন্য সাধারণ ধ্রুবক সহ fα, ফাংশন (এবং) একই লিপস্কিটজ ধ্রুবক সহ লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস, যদি এটি কমপক্ষে একটি বিন্দুতে একটি সীমাবদ্ধ মান ধরে নেয়। যদি U মেট্রিক স্পেস M-এর একটি উপসেট হয় এবং f: U → R একটি লিপস্কিটজ অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয়, তবে সর্বদা লিপস্কিটজ অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র M → R বিদ্যমান থাকে যা f প্রসারিত করে এবং f-এর মতো একই লিপস্কিটজ ধ্রুবক থাকে (এছাড়াও কিরসব্রুন উপপাদ্য দেখুন)। একটি এক্সটেনশন প্রদান করা হয় যেখানে কে একটি লিপস্কিটজ ধ্রুবক যেখানে এফ-এর জন্য ইউ. লিপস্কিটজ ম্যানিফোল্ড একটি টপোলজিকাল ম্যানিফোল্ডের উপর একটি লিপস্কিটজ কাঠামো চার্টের একটি অ্যাটলাস ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার রূপান্তর মানচিত্রগুলি বিলিপস্কিটজ হয়; এটি সম্ভব কারণ বিলিপস্কিটজ মানচিত্রগুলি একটি ছদ্ম গোষ্ঠী গঠন করে। এই ধরনের কাঠামো একজনকে এই ধরনের ম্যানিফোল্ডের মধ্যে স্থানীয়ভাবে লিপশিৎজ মানচিত্র সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়, একইভাবে কেউ মসৃণ ম্যানিফোল্ডের মধ্যে মসৃণ মানচিত্রকে সংজ্ঞায়িত করেঃ যদি এবং লিপশিৎজ ম্যানিফোল্ড হয়, তবে একটি ফাংশন স্থানীয়ভাবে লিপশিৎজ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি জোড়া স্থানাঙ্ক চার্টের জন্য এবং, যেখানে এবং সংশ্লিষ্ট ইউক্লিডীয় স্থানগুলিতে খোলা সেট হয়, রচনাটি স্থানীয়ভাবে লিপশিৎজ হয়। এই সংজ্ঞাটি বা-এর উপর একটি মেট্রিক সংজ্ঞায়িত করার উপর নির্ভর করে না। এই কাঠামোটি একটি পিসওয়াইজ-লিনিয়ার ম্যানিফোল্ড এবং একটি টপোলজিক্যাল ম্যানিফোল্ডের মধ্যে মধ্যবর্তীঃ একটি পিএল কাঠামো একটি অনন্য লিপস্কিটজ কাঠামোর জন্ম দেয়। লিপস্কিটজ ম্যানিফোল্ডগুলি টপোলজিক্যাল ম্যানিফোল্ডের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত হলেও, রাডেমাচারের উপপাদ্যটি বিশ্লেষণ করার অনুমতি দেয়, যার ফলে বিভিন্ন প্রয়োগ পাওয়া যায়। এক-পার্শ্বীয় লিপশিটজ ধরা যাক F (x) হল x-এর একটি উপরের আধা-ধারাবাহিক ফাংশন, এবং F (x) হল সমস্ত x-এর জন্য একটি বদ্ধ, উত্তল সেট। তারপর কিছু সি-এর জন্য এবং সমস্ত এক্স1 এবং এক্স2-এর জন্য এফ হল একতরফা লিপশিটজ। এটা সম্ভব যে F ফাংশনের একটি খুব বড় লিপশিৎজ ধ্রুবক থাকতে পারে তবে একটি মাঝারি আকারের বা এমনকি নেতিবাচক, একতরফা লিপশিৎজ ধ্রুবকও থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটির লিপস্কিটজ ধ্রুবক K = 50 এবং একমুখী লিপস্কিটজ ধ্রুবক C = 0 রয়েছে। একটি উদাহরণ যা একতরফা লিপস্কিটজ কিন্তু লিপস্কিটজ অবিচ্ছিন্ন নয় তা হল F (x) = e − x, C = 0 সহ। আরও দেখুন ডিনি কন্টিনিউয়িটি মডুলাস অফ কন্টিনিউয়িটি-কোয়াসি-আইসোমেট্রি জনসন-লিন্ডেনস্ট্রাস লেম্মা-যে কোনও পূর্ণসংখ্যা n ≤ 0, যে কোনও সসীম উপসেট X ≤ Rn, এবং যে কোনও বাস্তব সংখ্যা 0 <ε <1-এর জন্য, একটি (1 + ε)-বাই-লিপস্কিটজ ফাংশন রয়েছে যেখানে রেফারেন্স স্ট্রাকচারগুলি ম্যানিফোল্ডের উপর রয়েছে।