Mason–Stothers theorem
ম্যাসন-স্টোথার্স উপপাদ্য, বা কেবল ম্যাসনের উপপাদ্য, বহুপদ সম্পর্কে একটি গাণিতিক উপপাদ্য, যা পূর্ণসংখ্যার জন্য এ. বি. সি অনুমানের অনুরূপ। এর নামকরণ করা হয়েছে ওয়াল্টার উইলসন স্টোথার্সের নামে, যিনি 1981 সালে এটি প্রকাশ করেছিলেন এবং আর. সি. মেসন, যিনি এর পরেই এটি পুনরায় আবিষ্কার করেছিলেন। উপপাদ্যটি বলেঃ ধরা যাক, এবং এমন একটি ক্ষেত্রের উপর তুলনামূলকভাবে মৌলিক বহুপদী হতে হবে যাতে তাদের সকলের বিলুপ্ত অন্তরজ না থাকে। তারপর এখানে এর স্বতন্ত্র অপরিবর্তনীয় কারণগুলির গুণফল রয়েছে। বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রগুলির জন্য এটি ন্যূনতম ডিগ্রির বহুপদী যার মূল একই; এই ক্ষেত্রে এর স্বতন্ত্র মূলের সংখ্যা দেয়। উদাহরণস্বরূপ, বৈশিষ্ট্য 0-এর ক্ষেত্রগুলির উপর এই শর্তটি যে, এবং সবগুলিরই অদৃশ্য হয়ে যাওয়া ডেরিভেটিভ নেই, এই শর্তের সমতুল্য যে তারা সকলেই ধ্রুবক নয়। বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রগুলিতে এটি ধরে নেওয়া যথেষ্ট নয় যে সেগুলি সব স্থির নয়। উদাহরণস্বরূপ, বৈশিষ্ট্য p-এর কিছু ক্ষেত্রের উপর বহুপদী হিসাবে বিবেচিত, আইডেন্টিটি একটি উদাহরণ দেয় যেখানে তিনটি বহুপদীর সর্বাধিক ডিগ্রি (এবং বাম দিকে এবং ডান দিকে সমষ্টি হিসাবে) হয়, তবে র্যাডিকেলের ডিগ্রি শুধুমাত্র। একটি উদাহরণ নেওয়া এবং দেওয়া যেখানে সমতা ম্যাসন-স্টথার্স উপপাদ্য ধারণ করে, যা দেখায় যে বৈষম্য কিছু অর্থে সর্বোত্তম সম্ভাব্য। ম্যাসন-স্টোথার্স উপপাদ্যের একটি উপপাদ্য হল ফাংশন ক্ষেত্রের জন্য ফার্মাটের শেষ উপপাদ্যের সাদৃশ্যঃ যদি, বৈশিষ্ট্যগত ক্ষেত্রের উপর তুলনামূলকভাবে মৌলিক বহুপদগুলিকে ভাগ না করা হয় এবং তারপরে কমপক্ষে একটি, বা 0 হয় বা সেগুলি সবই ধ্রুবক হয়। প্রুফ ম্যাসন-স্টথার্স উপপাদ্যের নিম্নলিখিত প্রাথমিক প্রমাণ দিয়েছেন। ধাপ 1। শর্তটি বোঝায় যে ব্রোন্স্কিয়ানরা, এবং সকলেই সমান। তাদের সাধারণ মূল্যের জন্য লিখুন। ধাপ 2। শর্তটি যে কমপক্ষে একটি ডেরিভেটিভ, বা অ-শূন্য এবং সেটি, এবং সহমৌলিক তা অ-শূন্য দেখানোর জন্য ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি তাই হয় (যেমন এবং সহমৌলিক হয়) তাই (যদি না ধ্রুবক হয়)। ধাপ 3. প্রতিটি সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক দ্বারা বিভাজ্য, এবং। যেহেতু এগুলি সহমৌলিক, তাই এটি তাদের গুণফল দ্বারা বিভাজ্য, এবং যেহেতু শূন্য নয়, তাই আমরা ধাপ 4 পাই। অসমতা − (স্বতন্ত্র মূলের সংখ্যা) − (স্বতন্ত্র মূলের সংখ্যা) − (স্বতন্ত্র মূলের সংখ্যা) (যেখানে মূলগুলি কিছু বীজগাণিতিক বন্ধে নেওয়া হয়) প্রতিস্থাপন করে আমরা দেখতে পাই যে আমাদের যা প্রমাণ করার প্রয়োজন ছিল। সাধারণীকরণ একটি প্রাকৃতিক সাধারণীকরণ রয়েছে যেখানে বহুপদের বলয়টি একটি এক-মাত্রিক ফাংশন ক্ষেত্র দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। ধরা যাক 0 বৈশিষ্ট্যের একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্র, গণের একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ বক্ররেখা হতে দিন, সন্তুষ্টির উপর যুক্তিসঙ্গত ফাংশন হতে দিন, এবং এবং এর সমস্ত শূন্য এবং মেরু ধারণ করার জন্য পয়েন্টগুলির একটি সেট হতে দিন। তারপর এখানে একটি ফাংশনের ডিগ্রি হল মানচিত্রের ডিগ্রি যা এটি P1 থেকে প্ররোচিত করে। একই বছর জে. এইচ. সিলভারম্যান দ্বারা প্রকাশিত একটি বিকল্প সংক্ষিপ্ত প্রমাণের মাধ্যমে ম্যাসন এটি প্রমাণ করেছিলেন। জে. এফ. ভোলোচ এবং ডব্লিউ. ডি. ব্রাউনওয়েল এবং ডি. ডব্লিউ. ম্যাসারের স্বাধীনভাবে আরও একটি সাধারণীকরণ রয়েছে, যা-পরিবর্তনশীল-একক সমীকরণের জন্য একটি ঊর্ধ্বসীমা প্রদান করে, তবে শর্ত থাকে যে এর কোনও উপসেট-রৈখিকভাবে নির্ভরশীল নয়। এই অনুমানের অধীনে, তারা প্রমাণ করে যে রেফারেন্স এক্সটার্নাল ম্যাসন-স্টথার্স উপপাদ্য এবং এবিসি কনজেকচার, বিশাল লামাকে সংযুক্ত করে। ল্যাং-এর বই থেকে প্রমাণের একটি পরিষ্কার সংস্করণ। বহুপদী সম্পর্কে উপপাদ্য