Stone–Čech compactification
সাধারণ টপোলজির গাণিতিক শাখায়, স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন (বা চেক-স্টোন কম্প্যাক্টিফিকেশন) একটি টপোলজিকাল স্পেস এক্স থেকে একটি কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেস βX পর্যন্ত একটি সর্বজনীন মানচিত্র নির্মাণের একটি কৌশল। একটি টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এর স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন βX হল এক্স দ্বারা "উত্পন্ন" বৃহত্তম, সবচেয়ে সাধারণ কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেস, এই অর্থে যে এক্স থেকে একটি কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেস ফ্যাক্টরগুলিতে βX-এর মাধ্যমে যে কোনও অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র (একটি অনন্য উপায়ে)। যদি এক্স একটি টাইচোনোফ স্থান হয় তবে এক্স থেকে তার চিত্রের βX-এর মানচিত্রটি একটি সমরূপতা, তাই এক্সকে βX-এর (ঘন) সাবস্পেস হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে; প্রতিটি অন্যান্য কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্থান যা ঘনভাবে এক্স ধারণ করে তা βX-এর একটি ভাগফল। সাধারণ টপোলজিকাল স্পেস X-এর জন্য, X থেকে βX পর্যন্ত মানচিত্রটি ইনজেকটিভ হওয়ার প্রয়োজন নেই। পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের একটি রূপ প্রমাণ করার জন্য প্রয়োজন যে প্রতিটি টপোলজিকাল স্পেসে একটি স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন রয়েছে। এমনকি বেশ সহজ স্পেস এক্স-এর জন্যও, βX-এর একটি অ্যাক্সেসযোগ্য কংক্রিট বিবরণ প্রায়শই অধরা থেকে যায়। বিশেষত, যে প্রমাণগুলি βX\X খালি নয় সেগুলি βX\X-এ কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুর স্পষ্ট বিবরণ দেয় না। স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন একটি কাগজে অন্তর্নিহিতভাবে ঘটে এবং এবং দ্বারা স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়েছিল। ইতিহাস আন্দ্রে নিকোলায়েভিচ তিখোনভ 1930 সালে সম্পূর্ণ নিয়মিত স্থান প্রবর্তন করেছিলেন যাতে হাউসডর্ফ স্থানগুলির প্যাথোলজিকাল পরিস্থিতি এড়ানো যায় যার একমাত্র অবিচ্ছিন্ন বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনগুলি ধ্রুবক মানচিত্র। 1930 সালের একই নিবন্ধে যেখানে টাইচোনফ সম্পূর্ণ নিয়মিত স্থানকে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন, সেখানে তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে প্রতিটি টাইচোনফ স্থান (অর্থাৎ। হাউসডর্ফের সম্পূর্ণ নিয়মিত স্থান) একটি হাউসডর্ফ কম্প্যাক্টিফিকেশন রয়েছে (এই একই নিবন্ধে, তিনি টাইকনোফের উপপাদ্যও প্রমাণ করেছেন)। 1937 সালে, চেচ টাইচোনফের কৌশলকে প্রসারিত করেন এবং এই কম্প্যাক্টিফিকেশনের জন্য βX স্বরলিপি চালু করেন। স্টোন 1937 সালের একটি নিবন্ধে βX নির্মাণ করেছিলেন, যদিও একটি খুব ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন। টাইকনোফের নিবন্ধটি স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশনের বিষয়ে প্রথম কাজ হওয়া সত্ত্বেও এবং টাইকনোফের নিবন্ধটি স্টোন এবং চেচ উভয়ের দ্বারা উল্লেখ করা সত্ত্বেও, টাইকনোফের নাম খুব কমই βX-এর সাথে যুক্ত। সর্বজনীন সম্পত্তি এবং কার্যকরীতা টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এর স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন হল একটি কম্প্যাক্ট হাউজডর্ফ স্পেস βX এবং একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র iX: X → βX যার নিম্নলিখিত সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ যে কোনও অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র f: X → K, যেখানে K একটি কম্প্যাক্ট হাউজডর্ফ স্পেস, একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রে অনন্যভাবে প্রসারিত βf: βX → K, অর্থাৎ। (βf) iX = f। সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য যথারীতি, এই সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যটি সমরূপতা পর্যন্ত βX-কে চিহ্নিত করে। নীচে বর্ণিত হিসাবে, কেউ প্রমাণ করতে পারে (পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে) যে প্রতিটি টপোলজিকাল স্পেস X-এর জন্য এই ধরনের স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন iX: X → βX বিদ্যমান। উপরন্তু, চিত্র iX (X) βX-এ ঘন। কিছু লেখক এই ধারণাটি যুক্ত করেছেন যে প্রারম্ভিক স্থান X টাইকনোফ (বা এমনকি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ) হবে, নিম্নলিখিত কারণগুলির জন্যঃ X থেকে βX-এ তার চিত্রের মানচিত্রটি একটি সমরূপতা যদি এবং শুধুমাত্র যদি X টাইকনোফ হয়। এক্স থেকে বিটাএক্স-এ তার চিত্রের মানচিত্রটি একটি উন্মুক্ত সাবস্পেসের সমরূপতা যদি এবং শুধুমাত্র যদি এক্স স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হয়। স্টোন-চেক নির্মাণটি আরও সাধারণ স্পেস এক্স-এর জন্য করা যেতে পারে, তবে সেই ক্ষেত্রে মানচিত্র এক্স-এর চিত্রের জন্য এক্স-এর সমরূপতার প্রয়োজন হয় না (এবং কখনও কখনও এমনকি ইনজেকটিভও হয় না)। এই ধরনের সার্বজনীন নির্মাণের ক্ষেত্রে যেমন স্বাভাবিক, এক্সটেনশন সম্পত্তি β কে টপ (টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগ) থেকে চৌস (কমপ্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের বিভাগ) পর্যন্ত একটি ফাংক্টর করে তোলে। উপরন্তু, যদি আমরা U কে Chaus থেকে Top পর্যন্ত অন্তর্ভুক্তি সহায়ক হতে দিই, তাহলে βX থেকে K পর্যন্ত মানচিত্রগুলি (Chaus-এ K-এর জন্য) X থেকে UK পর্যন্ত মানচিত্রের সাথে দ্বিমুখীভাবে মিলে যায় (X-এ তাদের সীমাবদ্ধতা বিবেচনা করে এবং βX-এর সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে)। অর্থাৎ। হোম (βX, K) হোম (X, UK), যার অর্থ হল β কে U এর পাশে রেখে দেওয়া হয়েছে। এর থেকে বোঝা যায় যে চৌস হল প্রতিফলক β সহ শীর্ষের একটি প্রতিফলিত উপবিভাগ। উদাহরণস্বরূপ, যদি এক্স একটি কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেস হয়, তবে এটি তার স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশনের সাথে মিলে যায়। অন্যান্য বেশিরভাগ স্টোন-চেচ কম্প্যাক্টিফিকেশনের সুনির্দিষ্ট বিবরণের অভাব রয়েছে এবং এগুলি অত্যন্ত অপ্রয়োজনীয়। ব্যতিক্রমগুলির মধ্যে রয়েছেঃ অর্ডার টপোলজির সাথে প্রথম অগণিত অর্ডিনালের স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন হল অর্ডিনাল। মুছে ফেলা টাইচোনফ প্ল্যাঙ্কের স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন হল টাইচোনফ প্ল্যাঙ্ক। পণ্য ব্যবহার করে নির্মাণ এক্স-এর স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন নির্মাণের একটি প্রচেষ্টা হল এক্স-এর চিত্রটি বন্ধ করে দেওয়া যেখানে পণ্যটি এক্স থেকে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেস কে পর্যন্ত সমস্ত মানচিত্রে রয়েছে (অথবা, সমতুল্যভাবে, এক্স-এর চিত্রটি ডান কান দ্বারা কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের আইডেন্টিটি ফাঙ্কটরের এক্সটেনশন এবং সাধারণ টপোলজিকাল স্পেসের শীর্ষে চসের অন্তর্ভুক্তি ফাঙ্কটর সহ)। টাইকনোফের উপপাদ্য অনুসারে কম্প্যাক্ট স্পেসের এই গুণফলটি কম্প্যাক্ট, এবং এই স্পেসে এক্স-এর ক্লোজারও তাই কম্প্যাক্ট। এটি স্বজ্ঞাতভাবে কাজ করে কিন্তু প্রযুক্তিগত কারণে ব্যর্থ হয় যে এই ধরনের সমস্ত মানচিত্রের সংগ্রহ একটি সেটের পরিবর্তে একটি যথাযথ শ্রেণী। এই ধারণাটি কার্যকর করার জন্য বেশ কয়েকটি উপায় রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ, কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেস কে-কে অন্তর্নিহিত সেট পি (পি (এক্স)) (এক্স-এর পাওয়ার সেটের পাওয়ার সেট) সীমাবদ্ধ করা যেতে পারে, যা যথেষ্ট বড় যে এটির কার্ডিনালিটি কমপক্ষে প্রতিটি কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের সমান, যেখানে এক্স-কে ঘন চিত্র দিয়ে ম্যাপ করা যেতে পারে। একক ব্যবধান ব্যবহার করে নির্মাণ βX নির্মাণের একটি উপায় হল C কে X থেকে [0,1] পর্যন্ত সমস্ত অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের সেট হতে দেওয়া এবং মানচিত্রটি বিবেচনা করা যেখানে এটি তার চিত্রের উপর একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র হিসাবে দেখা যেতে পারে, যদি [0,1] C কে পণ্য টপোলজি দেওয়া হয়। টাইকনোফের উপপাদ্য অনুসারে আমাদের কাছে [0,1] সি কম্প্যাক্ট যেহেতু [0,1]। ফলস্বরূপ, [0,1] সি-তে এক্স-এর ক্লোজার হল এক্স-এর কম্প্যাক্টিফিকেশন। প্রকৃতপক্ষে, এই বন্ধটি হল স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন। এটি যাচাই করার জন্য, আমাদের কেবল যাচাই করতে হবে যে বন্ধটি যথাযথ সার্বজনীন বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। আমরা প্রথমে K = [0,1]-এর জন্য এটি করি, যেখানে f: X → [0,1]-এর কাঙ্ক্ষিত এক্সটেনশনটি [0,1] C-তে f স্থানাঙ্কের উপর শুধুমাত্র অভিক্ষেপ। তারপর সাধারণ কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ K-এর জন্য এটি পেতে আমরা উপরেরটি ব্যবহার করে লক্ষ্য করি যে K-কে কিছু ঘনে এম্বেড করা যেতে পারে, প্রতিটি স্থানাঙ্ক ফাংশন প্রসারিত করতে পারে এবং তারপর এই এক্সটেনশনগুলির গুণফল নিতে পারে। এই নির্মাণের জন্য প্রয়োজনীয় একক ব্যবধানের বিশেষ বৈশিষ্ট্য হল যে এটি কমপ্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের বিভাগের একটি সহ-উৎপাদকঃ এর অর্থ হল যে যদি এ এবং বি কমপ্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেস হয়, এবং এফ এবং জি এ থেকে বি পর্যন্ত স্বতন্ত্র মানচিত্র হয়, তবে একটি মানচিত্র এইচঃ বি → [0,1] রয়েছে যাতে এইচএফ এবং এইচজি স্বতন্ত্র হয়। এই নির্মাণে অন্য যে কোনও কোজেনারেটর (বা কোজেনারেটিং সেট) ব্যবহার করা যেতে পারে। আল্ট্রাফিল্টার ব্যবহার করে নির্মাণ বিকল্পভাবে, যদি বিচ্ছিন্ন হয়, তবে প্রধান আল্ট্রাফিল্টারগুলির সাথে সম্পর্কিত উপাদানগুলির সাথে সমস্ত আল্ট্রাফিল্টারগুলির সেট হিসাবে নির্মাণ করা সম্ভব। আল্ট্রাফিল্টারগুলির সেটের টপোলজি, যা দ্য নামে পরিচিত, একটি উপসেটের জন্য ফর্মের সেট দ্বারা উত্পন্ন হয় আবার আমরা সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যটি যাচাই করিঃ কারণ কমপ্যাক্ট হাউসডর্ফ এবং একটি আল্ট্রাফিল্টার দিয়ে আমাদের একটি আল্ট্রাফিল্টার বেস রয়েছে এর পুশ ফরোয়ার্ডে এর একটি অনন্য সীমা রয়েছে কারণ কমপ্যাক্ট হাউসডর্ফ, বলুন এবং আমরা সংজ্ঞায়িত করি এটি সমতুল্যভাবে একটি অবিচ্ছিন্ন এক্সটেনশন হিসাবে যাচাই করা যেতে পারে, কেউ স্টোন-ইকো কম্প্যাক্টিফিকেশন হিসাবে সমস্ত উপসেটগুলির সম্পূর্ণ বুলিয়ান বীজগণিতের স্টোন স্পেস নিতে পারে। এটি আসলে একই গঠন, কারণ এই বুলিয়ান বীজগণিতের স্টোন স্পেস হল বুলিয়ান বীজগণিতের অতি ফিল্টারগুলির (বা সমতুল্য মৌলিক আদর্শ, বা 2টি উপাদান বুলিয়ান বীজগণিতের সমরূপতা) সেট, যা অতি ফিল্টারগুলির সেটের মতোই। (যদি জায়গাটি স্বাভাবিক থাকে তবে বন্ধ সেটের ফিল্টারগুলি যথেষ্ট।) সি *-অ্যালজেব্রা ব্যবহার করে নির্মাণ স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন স্বাভাবিকভাবেই সিবি (এক্স) বর্ণালীর সমরূপ। এখানে সিবি (এক্স) সুপার-নর্ম সহ এক্স-এর উপর সমস্ত অবিচ্ছিন্ন আবদ্ধ জটিল-মূল্যবান ফাংশনের সি *-বীজগণিতকে বোঝায়। লক্ষ্য করুন যে, Cb (X) হল C0 (X)-এর গুণক বীজগণিতে সমরূপ। প্রাকৃতিক সংখ্যার স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন যেখানে এক্স স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হয়, যেমন। এন বা আর, এক্স-এর চিত্রটি βX-এর একটি উন্মুক্ত উপসেট গঠন করে, বা প্রকৃতপক্ষে যে কোনও কম্প্যাক্টিফিকেশনের, (এটি একটি প্রয়োজনীয় শর্ত, কারণ একটি কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের একটি উন্মুক্ত উপসেট স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হয়)। এই ক্ষেত্রে একজন প্রায়শই অবশিষ্ট স্থান, βX\X অধ্যয়ন করে। এটি βX-এর একটি বদ্ধ উপসেট, এবং তাই কম্প্যাক্ট। আমরা এন-কে তার বিচ্ছিন্ন টপোলজি দিয়ে বিবেচনা করি এবং লিখি βN\N = N * (তবে এটি সাধারণ এক্স-এর জন্য আদর্শ স্বরলিপি বলে মনে হয় না)। উপরে যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, কেউ βN-কে N-এর উপর অতি ফিল্টারগুলির সেট হিসাবে দেখতে পারে, যার মধ্যে U-এর জন্য ফর্মের সেট দ্বারা উত্পন্ন টপোলজি N-এর একটি উপসেট। সেট N প্রধান অতি ফিল্টারগুলির সেটের সাথে মিলে যায় এবং সেট N * মুক্ত অতি ফিল্টারগুলির সেটের সাথে মিলে যায়। βN এবং বিশেষত N *-এর অধ্যয়ন আধুনিক সেট-তাত্ত্বিক টপোলজির একটি প্রধান ক্ষেত্র। এটিকে অনুপ্রাণিত করার প্রধান ফলাফলগুলি হল পারোভিচেঙ্কোর উপপাদ্য, যা মূলত ধারাবাহিক অনুমানের অনুমানের অধীনে এর আচরণকে চিহ্নিত করে। এই অবস্থাঃ ওজনের প্রতিটি কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্থান (আলেফ সংখ্যা দেখুন) হল এন *-এর অবিচ্ছিন্ন চিত্র (এর জন্য ধারাবাহিক অনুমানের প্রয়োজন নেই, তবে এর অনুপস্থিতিতে কম আকর্ষণীয়)। যদি কন্টিনিউয়াম হাইপোথিসিসটি ধরে থাকে তবে N * হল আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য প্যারোভিচেঙ্কো স্পেস। এগুলি মূলত বুলিয়ান অ্যালজেব্রা বিবেচনা করে এবং পাথরের দ্বৈততা প্রয়োগ করে প্রমাণিত হয়েছিল। জ্যান ভ্যান মিল βN-কে "তিন মাথার দৈত্য" হিসাবে বর্ণনা করেছেন-তিনটি মাথা একটি হাসিখুশি এবং বন্ধুত্বপূর্ণ মাথা (ধারাবাহিক অনুমানের অনুমানের অধীনে আচরণ), স্বাধীনতার কুৎসিত মাথা যা ক্রমাগত আপনাকে বিভ্রান্ত করার চেষ্টা করে (সেট তত্ত্বের বিভিন্ন মডেলে কী আচরণ সম্ভব তা নির্ধারণ করে), এবং তৃতীয় মাথাটি সবচেয়ে ছোট (যা আপনি ZFC-তে প্রমাণ করতে পারেন)। তুলনামূলকভাবে সম্প্রতি দেখা গেছে যে এই বৈশিষ্ট্যটি একেবারে সঠিক নয়-প্রকৃতপক্ষে βN-এর একটি চতুর্থ শীর্ষ রয়েছে, যেখানে জোরপূর্বক স্বতঃসিদ্ধ এবং রামসে ধরনের স্বতঃসিদ্ধগুলি βN-এর বৈশিষ্ট্যগুলি দেয় যা ধারাবাহিক অনুমানের অধীনে প্রায় সম্পূর্ণ বিপরীত, প্রকৃতপক্ষে N * থেকে খুব কম মানচিত্র দেয়। এই স্বতঃসিদ্ধগুলির উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে মার্টিনের স্বতঃসিদ্ধ এবং উন্মুক্ত রঙিন স্বতঃসিদ্ধের সংমিশ্রণ যা, উদাহরণস্বরূপ, প্রমাণ করে যে (এন *) 2 ষ্ণ এন *, যেখানে ধারাবাহিক অনুমান বিপরীত বোঝায়। একটি প্রয়োগঃ রিয়েলগুলির সীমাবদ্ধ ক্রমের স্থানের দ্বৈত স্থান স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন βN ব্যবহার করা যেতে পারে (স্কেলার ক্ষেত্র আর বা সি-তে সমস্ত সীমাবদ্ধ ক্রমের বানাচ স্থান, সর্বোচ্চ আদর্শ সহ) এবং এর দ্বৈত স্থান। একটি সীমাবদ্ধ ক্রমের পরিপ্রেক্ষিতে স্কেলার ক্ষেত্রে একটি বদ্ধ বল 'বি' বিদ্যমান থাকে যাতে 'এ'-এর চিত্র থাকে. তারপর 'এ' হল 'এন' থেকে 'বি' পর্যন্ত একটি ফাংশন। যেহেতু এন বিচ্ছিন্ন এবং বি কম্প্যাক্ট এবং হাউসডর্ফ, এ অবিচ্ছিন্ন। সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য অনুসারে, একটি অনন্য এক্সটেনশন বিদ্যমান βa: βN → B। এই এক্সটেনশনটি আমরা যে বল বি বিবেচনা করি তার উপর নির্ভর করে না। আমরা আবদ্ধ স্কেলার মূল্যবান ক্রমের স্থান থেকে βN-এর উপর অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের স্থান পর্যন্ত একটি এক্সটেনশন মানচিত্র সংজ্ঞায়িত করেছি। এই মানচিত্রটি বাইজেক্টিভ কারণ সি (βN)-এর প্রতিটি ফাংশনকে অবশ্যই আবদ্ধ হতে হবে এবং তারপর একটি সীমাবদ্ধ স্কেলার ক্রমের মধ্যে সীমাবদ্ধ করা যেতে পারে। যদি আমরা সুপার নর্ম সহ উভয় স্থান বিবেচনা করি তবে এক্সটেনশন মানচিত্রটি একটি আইসোমেট্রি হয়ে যায়। প্রকৃতপক্ষে, উপরের নির্মাণে যদি আমরা সম্ভাব্য সবচেয়ে ছোট বল বি নিই, তবে আমরা দেখতে পাই যে বর্ধিত ক্রমের সুপার নর্ম বৃদ্ধি পায় না (যদিও বর্ধিত ফাংশনের চিত্রটি বড় হতে পারে)। সুতরাং, সি (βN) দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। এটি আমাদেরকে রিয়েজ উপস্থাপনা উপপাদ্য ব্যবহার করতে এবং খুঁজে বের করতে সাহায্য করে যে এর দ্বৈত স্থানটি βN-এর উপর সীমাবদ্ধ বোরেল পরিমাপের স্থানের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। পরিশেষে, এটি লক্ষ্য করা উচিত যে এই কৌশলটি একটি স্বেচ্ছাচারী পরিমাপ স্থান X-এর L φ স্থানে সাধারণীকরণ করে। যাইহোক, এক্স-এর উপর অতি ফিল্টারগুলির স্থান βX বিবেচনা করার পরিবর্তে, এই গঠনকে সাধারণীকরণের সঠিক উপায় হল এক্স-এর পরিমাপ বীজগণিতে স্টোন স্পেস ওয়াই বিবেচনা করাঃ স্পেস সি (ওয়াই) এবং এল (এক্স) সি *-অ্যালজেব্রা হিসাবে আইসোমরফিক যতক্ষণ না এক্স একটি যুক্তিসঙ্গত সীমাবদ্ধতার শর্ত পূরণ করে (যে কোনও ধনাত্মক পরিমাপের সেটটিতে সীমাবদ্ধ ধনাত্মক পরিমাপের একটি উপসেট থাকে)। প্রাকৃতিক সংখ্যার স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশনের উপর একটি মনোয়েড অপারেশন যোগের অধীনে একটি মনোয়েড গঠন করে। দেখা যাচ্ছে যে এই অপারেশনটি βN-এ প্রসারিত করা যেতে পারে (সাধারণত একাধিক উপায়ে, তবে অনন্যভাবে আরও একটি শর্তের অধীনে), এই স্থানটিকেও একটি মনোয়েডে পরিণত করে, যদিও আশ্চর্যজনকভাবে একটি অ-বিনিময়যোগ্য। যে কোনও উপসেট, N-এর A এবং N-এর একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য, আমরা সংজ্ঞায়িত করি দুটি অতি-ফিল্টার F এবং N-এর উপর G দেওয়া হলে, আমরা তাদের যোগফলকে সংজ্ঞায়িত করি যে এটি আবার একটি অতি-ফিল্টার, এবং অপারেশন + βN-এর উপর সহযোগী (কিন্তু বিনিময়যোগ্য নয়) এবং N-এর উপর সংযোজন প্রসারিত করে; 0 βN-এর উপর + অপারেশনের জন্য একটি নিরপেক্ষ উপাদান হিসাবে কাজ করে। অপারেশনটিও সঠিক-ধারাবাহিক, এই অর্থে যে প্রতিটি আল্ট্রাফিল্টার এফ-এর জন্য, মানচিত্রটি অবিচ্ছিন্ন। আরও সাধারণভাবে, যদি এস পৃথক টপোলজি সহ একটি সেমিগ্রুপ হয়, তবে এস-এর ক্রিয়াকলাপ βS পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে, যা একটি ডান-ধারাবাহিক সহযোগী ক্রিয়াকলাপ পায়। আরও দেখুন একটি জায়গার কোরোনা সেট, যা স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশনে এর চিত্রের পরিপূরক। দ্রষ্টব্য তথ্যসূত্র বাইরের লিঙ্কগুলি প্ল্যানেট ম্যাথে স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন ড্রর বার-নাটান, আল্ট্রা ফিল্টার, কম্প্যাক্টনেস এবং স্টোন-চেক কম্প্যাক্টিফিকেশন জেনারেল টপোলজি কম্প্যাক্টিফিকেশন (গণিত)