Maschke's theorem
গণিতে, মাস্কের উপপাদ্য, যা হেনরিচ মাস্কের নামে নামকরণ করা হয়েছে, হল গোষ্ঠী উপস্থাপনা তত্ত্বের একটি উপপাদ্য যা একটি সসীম গোষ্ঠীর উপস্থাপনাকে অপরিবর্তনীয় অংশে বিভক্ত করার বিষয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। মাস্কের উপপাদ্যটি প্রকৃতপক্ষে গণনা না করে একটি সীমাবদ্ধ গ্রুপ জি-এর উপস্থাপনা সম্পর্কে সাধারণ সিদ্ধান্ত নেওয়ার অনুমতি দেয়। এটি সমস্ত উপস্থাপনাকে শ্রেণীবদ্ধ করার কাজকে অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করার আরও পরিচালনাযোগ্য কাজে হ্রাস করে, যেহেতু যখন উপপাদ্যটি প্রযোজ্য হয়, তখন যে কোনও উপস্থাপনা অপরিবর্তনীয় টুকরোগুলির (উপাদান) সরাসরি যোগফল হয়। উপরন্তু, এটি জর্ডান-হল্ডার উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে যে, যদিও অপরিবর্তনীয় উপ-উপস্থাপনার সরাসরি যোগফলের মধ্যে পচন অনন্য নাও হতে পারে, অপরিবর্তনীয় টুকরোগুলির সুনির্দিষ্ট গুণ রয়েছে। বিশেষত, বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি ক্ষেত্রের উপর একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর উপস্থাপনা তার চরিত্র দ্বারা আইসোমরফিজম পর্যন্ত নির্ধারিত হয়। গঠন মাস্কের উপপাদ্যটি প্রশ্নটিকে সম্বোধন করেঃ কখন একটি সাধারণ (সসীম-মাত্রিক) উপস্থাপনা সরাসরি যোগফল অপারেশন ব্যবহার করে অপরিবর্তনীয় উপ-উপস্থাপনা থেকে নির্মিত হয়? এই প্রশ্নটি (এবং এর উত্তর) গোষ্ঠী প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের বিভিন্ন দৃষ্টিকোণের জন্য ভিন্নভাবে প্রণয়ন করা হয়েছে। গ্রুপ-তাত্ত্বিক মাস্কের উপপাদ্যটি সাধারণত নিম্নলিখিত ফলাফলের উপপাদ্য হিসাবে প্রণয়ন করা হয়ঃ তারপর উপপাদ্যটি হল একটি গোষ্ঠীর জটিল-মূল্যবান শ্রেণী ফাংশনের ভেক্টর স্থানের একটি প্রাকৃতিক-অপরিবর্তনীয় অভ্যন্তরীণ পণ্য কাঠামো রয়েছে, যা শুর অর্থোগোনালিটি সম্পর্ক প্রবন্ধে বর্ণিত হয়েছে। মাস্কের উপপাদ্যটি মূলত এই অভ্যন্তরীণ গুণফলের অধীনে অর্থোগোনাল পরিপূরক হিসাবে গঠন করে উপস্থাপনের ক্ষেত্রে প্রমাণিত হয়েছিল। মডিউল-তাত্ত্বিক সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির উপস্থাপনার একটি পদ্ধতি হল মডিউল তত্ত্বের মাধ্যমে। একটি গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্বগুলি তার গোষ্ঠী বীজগণিতের উপর মডিউল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় (সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, এবং এর প্রতিনিধিত্বের বিভাগের মধ্যে বিভাগগুলির একটি সমরূপতা রয়েছে)। অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনাগুলি সহজ মডিউলগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। মডিউল-তাত্ত্বিক ভাষায়, মাস্কের উপপাদ্য জিজ্ঞাসা করেঃ একটি নির্বিচারে মডিউল কি আধা-সহজ? এই প্রসঙ্গে, উপপাদ্যটি নিম্নরূপ পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারেঃ এই ফলাফলের গুরুত্ব অর্ধ-সরল বলয়ের সু-বিকশিত তত্ত্ব থেকে উদ্ভূত, বিশেষত, ওয়েডারবার্ন-আর্টিন উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত তাদের শ্রেণিবিন্যাস। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র কখন হয়, এটি দেখায় যে বীজগণিত জটিল ম্যাট্রিক্স অ্যালজেব্রার বেশ কয়েকটি অনুলিপির গুণফল, প্রতিটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার জন্য একটি। যদি ক্ষেত্রটির বৈশিষ্ট্যগত শূন্য থাকে, তবে বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ না হয়, উদাহরণস্বরূপ যদি বাস্তব বা মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্র হয়, তবে কিছুটা জটিল বিবৃতিটি ধারণ করেঃ গ্রুপ বীজগণিত হল বিভাজনের বলয়ের উপর ম্যাট্রিক্স অ্যালজেব্রার একটি গুণফল। যোগফলগুলি ওভারের অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার সাথে মিলে যায়। বিভাগ-তাত্ত্বিক আধা-সহজ বিভাগগুলির ভাষায় সংস্কার করা হয়েছে, মাস্কের উপপাদ্যটি প্রমাণ করে যে গ্রুপ-তাত্ত্বিক ধরা যাক ইউ ডাব্লু এর ভি পরিপূরকের একটি সাবস্পেস। সংজ্ঞায়িত করুন, যেখানে ডাব্লু এবং ভি-তে জি-এর প্রতিনিধিত্ব সহ একটি সংক্ষিপ্ত রূপ। তারপর, প্রতিনিধিত্বের অধীনে জি দ্বারা সংরক্ষণ করা হয়ঃ যে কোনও জন্য, তাই বোঝায় যে। সুতরাং অন-এর সীমাবদ্ধতাও একটি প্রতিনিধিত্ব। সংজ্ঞা অনুসারে, যে কোনও জন্য, তাই, এবং যে কোনও জন্য। সুতরাং, এবং। অতএব, মডিউল-তাত্ত্বিক ধরা যাক V একটি K [G]-উপ-মডিউল। আমরা প্রমাণ করব যে, V একটি সরাসরি যোগফল। ধরা যাক π হল V-এর উপর K [G]-এর যেকোনও K-রৈখিক অভিক্ষেপ। মানচিত্রটি বিবেচনা করুন তারপর φ আবার একটি অভিক্ষেপঃ এটি স্পষ্টভাবে K-রৈখিক, K [G] থেকে V-এর মানচিত্র তৈরি করে এবং V-এর উপর পরিচয়কে প্ররোচিত করে (অতএব, K [G]-কে V-এর উপর মানচিত্র তৈরি করে)। তাছাড়া আমাদের আছে তাই φ আসলে K [G]-রৈখিক। বিভাজিত লেম্মা দ্বারা,। এটি প্রমাণ করে যে প্রতিটি উপ-মডিউল একটি সরাসরি যোগফল, অর্থাৎ, কে [জি] আধা-সরল। বিপরীত বিবৃতি উপরের প্রমাণটি নির্ভর করে এই সত্যের উপর যে কে-তে #G বিপরীতমুখী। এটি একজনকে জিজ্ঞাসা করতে পরিচালিত করতে পারে যে মাস্কের উপপাদ্যের বিপরীতটিও কি ধারণ করেঃ যদি কে-এর বৈশিষ্ট্যটি জি-এর ক্রমকে বিভক্ত করে, তবে এটি কি অনুসরণ করে যে কে [জি] আধা-সহজ নয়? উত্তর হল হ্যাঁ। প্রমাণ। সংজ্ঞায়িত করার জন্য। যাক। তারপর I হল একটি K [G]-উপ-মডিউল। আমরা প্রমাণ করব যে K [G]-এর প্রতিটি অ-তুচ্ছ উপ-মডিউল V-এর জন্য,। V দেওয়া হোক, এবং V-এর যে কোনও অ-শূন্য উপাদান দেওয়া হোক। যদি, দাবিটি তাৎক্ষণিক হয়। অন্যথায়, যাক। তারপর তাই এবং তাই এটি I এবং V উভয়েরই একটি অ-শূন্য উপাদান। এটি প্রমাণ করে যে V সমস্ত V-এর জন্য I-এর সরাসরি পরিপূরক নয়, তাই K [G] আধা-সরল নয়। উদাহরণহীন উপপাদ্যটি সেই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হতে পারে না যেখানে G অসীম, অথবা যখন K ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি #G কে ভাগ করে। উদাহরণস্বরূপ, অসীম গোষ্ঠী এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত উপস্থাপনাটি বিবেচনা করুন। ধরা যাক, দ্বারা বিস্তৃত একটি 1-মাত্রিক সাবস্পেস। তারপর W-এর উপর সীমাবদ্ধতা হল এর একটি তুচ্ছ উপ-উপস্থাপনা। যাইহোক, এমন কোনও ইউ নেই যা ডাব্লু, ইউ উভয়েরই উপ-উপস্থাপনা এবংঃ এই জাতীয় যে কোনও ইউ-কে 1-মাত্রিক হতে হবে, তবে যে কোনও 1-মাত্রিক সাবস্পেস দ্বারা সংরক্ষিত একটি আইগেনভেক্টর দ্বারা প্রসারিত হতে হবে এবং এর জন্য একমাত্র আইগেনভেক্টর হল। একটি মৌলিক সংখ্যা p, এবং গোষ্ঠী, ক্ষেত্র এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত উপস্থাপনা বিবেচনা করুন। সহজ গণনাগুলি দেখায় যে এখানে শুধুমাত্র একটি আইগেনভেক্টর রয়েছে, তাই একই যুক্তি দ্বারা, এর 1-মাত্রিক উপ-উপস্থাপনা অনন্য, এবং দুটি 1-মাত্রিক উপ-উপস্থাপনের সরাসরি যোগফলের মধ্যে বিভক্ত করা যায় না। লক্ষ্য করুন তথ্যসূত্র সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব গোষ্ঠী তত্ত্বে উপপাদ্য উপস্থাপনা তত্ত্বে উপপাদ্য