Multivariate random variable
সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানে, একটি মাল্টিভ্যারিয়েট র্যান্ডম ভেরিয়েবল বা র্যান্ডম ভেক্টর হল গাণিতিক ভেরিয়েবলের একটি তালিকা বা ভেক্টর যার প্রতিটি মান অজানা, কারণ হয় মানটি এখনও ঘটেনি বা এর মান সম্পর্কে অসম্পূর্ণ জ্ঞান রয়েছে। একটি র্যান্ডম ভেক্টরের পৃথক ভেরিয়েবলগুলি একসাথে গোষ্ঠীভুক্ত করা হয় কারণ তারা সকলেই একটি একক গাণিতিক ব্যবস্থার অংশ-প্রায়শই তারা একটি পৃথক পরিসংখ্যানগত ইউনিটের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন করে। উদাহরণস্বরূপ, একজন প্রদত্ত ব্যক্তির একটি নির্দিষ্ট বয়স, উচ্চতা এবং ওজন থাকলেও, একটি গোষ্ঠীর মধ্যে থেকে একজন অনির্দিষ্ট ব্যক্তির এই বৈশিষ্ট্যগুলির উপস্থাপনা একটি র্যান্ডম ভেক্টর হবে। সাধারণত একটি র্যান্ডম ভেক্টরের প্রতিটি উপাদান একটি বাস্তব সংখ্যা। র্যান্ডম ভেক্টরগুলি প্রায়শই বিভিন্ন ধরণের সমষ্টিগত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অন্তর্নিহিত বাস্তবায়ন হিসাবে ব্যবহৃত হয়, যেমন র্যান্ডম ম্যাট্রিক্স, র্যান্ডম ট্রি, র্যান্ডম সিকোয়েন্স, স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়া ইত্যাদি। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি মাল্টিভ্যারিয়েট র্যান্ডম ভেরিয়েবল হল একটি কলাম ভেক্টর (বা এর ট্রান্সপোজ, যা একটি সারি ভেক্টর) যার উপাদানগুলি একে অপরের মতো একই সম্ভাব্যতা স্থানে স্কেলার-মূল্যবান র্যান্ডম ভেরিয়েবল, যেখানে নমুনা স্থান, সিগমা-বীজগণিত (সমস্ত ঘটনার সংগ্রহ), এবং সম্ভাব্যতা পরিমাপ (প্রতিটি ঘটনার সম্ভাব্যতা ফেরত দেওয়ার একটি ফাংশন)। সম্ভাব্যতা বন্টন প্রতিটি এলোমেলো ভেক্টর অন্তর্নিহিত সিগমা-বীজগণিত হিসাবে বোরেল বীজগণিতের সাথে একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপের জন্ম দেয়। এই পরিমাপটি যৌথ সম্ভাব্যতা বন্টন, যৌথ বন্টন, বা এলোমেলো ভেক্টরের মাল্টিভ্যারিয়েট বন্টন নামেও পরিচিত। প্রতিটি উপাদানের র্যান্ডম ভেরিয়েবলের বিতরণকে প্রান্তিক বিতরণ বলা হয়। প্রদত্ত শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা বন্টন হল একটি নির্দিষ্ট মান হিসাবে পরিচিত হওয়ার সম্ভাব্যতা বন্টন। একটি র্যান্ডম ভেক্টরের ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনকে কোথায় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এলোমেলো ভেক্টরের উপর ক্রিয়াকলাপগুলি এলোমেলো ভেক্টরের মতো একই ধরনের বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপের সাপেক্ষে হতে পারেঃ যোগ, বিয়োগ, একটি স্কেলার দ্বারা গুণ এবং অভ্যন্তরীণ পণ্য গ্রহণ। অ্যাফিন রূপান্তর একইভাবে, একটি নতুন র্যান্ডম ভেক্টরকে একটি র্যান্ডম ভেক্টরে অ্যাফিন রূপান্তর প্রয়োগ করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ, যেখানে একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি কলাম ভেক্টর। যদি একটি বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স হয় এবং একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন থাকে, তবে এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব হল। ইনভার্টিবল ম্যাপিং আরও সাধারণভাবে আমরা র্যান্ডম ভেক্টরের ইনভার্টিবল ম্যাপিং অধ্যয়ন করতে পারি। একটি খোলা উপসেট থেকে একটি উপসেটে এক-থেকে-এক ম্যাপিং হতে দিন, আসুন অবিচ্ছিন্ন আংশিক ডেরিভেটিভস রাখি এবং জ্যাকোবিয়ান নির্ধারককে শূন্য হতে দিন। ধরে নিন যে রিয়েল র্যান্ডম ভেক্টরের একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন রয়েছে এবং এটি সন্তুষ্ট করে। তারপর র্যান্ডম ভেক্টরটি সম্ভাব্যতা ঘনত্বের যেখানে সূচক ফাংশনকে নির্দেশ করে এবং সেট এর সমর্থনকে নির্দেশ করে। প্রত্যাশিত মান একটি র্যান্ডম ভেক্টরের প্রত্যাশিত মান বা গড় হল একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর যার উপাদানগুলি সংশ্লিষ্ট র্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত মান। কোভ্যারিয়েন্স এবং ক্রস-কোভ্যারিয়েন্স সংজ্ঞা একটি র্যান্ডম ভেক্টরের কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স (যাকে সেকেন্ড সেন্ট্রাল মোমেন্ট বা ভ্যারিয়েন্স-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সও বলা হয়) হল একটি ম্যাট্রিক্স যার (i, j) তম উপাদান হল i তম এবং j তম র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে কোভ্যারিয়েন্স। কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হল ম্যাট্রিক্সের প্রত্যাশিত মান, উপাদান দ্বারা উপাদান, হিসাবে গণনা করা হয়, যেখানে সুপারস্ক্রিপ্ট টি নির্দেশিত ভেক্টরের ট্রান্সপোজকে বোঝায়ঃ এক্সটেনশন দ্বারা, দুটি র্যান্ডম ভেক্টর এবং (উপাদান সহ এবং উপাদান সহ) এর মধ্যে ক্রস-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হল ম্যাট্রিক্স যেখানে আবার ম্যাট্রিক্সের প্রত্যাশার উপাদান-দ্বারা-উপাদান নেওয়া হয়। এখানে (i, j) তম উপাদানটি হল এর i তম উপাদান এবং এর j তম উপাদানের মধ্যে সহপরিবর্তন। বৈশিষ্ট্য সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্স হল একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ। । কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হল একটি ধনাত্মক সেমিডিফাইনাইট ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ। । ক্রস-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হল ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ, অর্থাৎ। । অসংলগ্নতা দুটি র্যান্ডম ভেক্টর এবং যদি তাদের অসংলগ্ন বলা হয়। যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের ক্রস-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স শূন্য হয় তবে তারা সম্পর্কহীন। কোরিলেশন এবং ক্রস-কোরিলেশন সংজ্ঞা একটি র্যান্ডম ভেক্টরের কোরিলেশন ম্যাট্রিক্স (যাকে সেকেন্ড মোমেন্টও বলা হয়) হল একটি ম্যাট্রিক্স যার (i, j) তম উপাদান হল i তম এবং j তম র্যান্ডম ভেরিয়েবলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক। কোরিলেশন ম্যাট্রিক্স হল ম্যাট্রিক্সের প্রত্যাশিত মান, উপাদান অনুসারে উপাদান, যেখানে সুপারস্ক্রিপ্ট টি নির্দেশিত ভেক্টরের ট্রান্সপোজকে বোঝায়ঃ এক্সটেনশন দ্বারা, দুটি র্যান্ডম ভেক্টর এবং (উপাদান সহ এবং উপাদান সহ) এর মধ্যে ক্রস-কোরিলেশন ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্স বৈশিষ্ট্য। একইভাবে ক্রস-কোরিলেশন ম্যাট্রিক্স এবং ক্রস-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের জন্যঃ অর্থোগোনালিটি একই আকারের দুটি র্যান্ডম ভেক্টর এবং যদি হয় তবে তাদের অর্থোগোনাল বলা হয়। স্বাধীনতা দুটি র্যান্ডম ভেক্টর এবং তাদের বলা হয় স্বাধীন যদি সকলের জন্য এবং কোথায় এবং এবং এর ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনকে নির্দেশ করে এবং তাদের যৌথ ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশনকে নির্দেশ করে। এবং এর স্বাধীনতা প্রায়শই দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। লিখিত উপাদান-ভিত্তিক, এবং যদি সকলের জন্য হয় তবে স্বাধীন বলা হয়। বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন উপাদান সহ একটি র্যান্ডম ভেক্টরের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যা প্রতিটি ভেক্টরকে একটি জটিল সংখ্যার সাথে ম্যাপ করে। দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। আরও বৈশিষ্ট্য একটি দ্বিঘাত রূপের প্রত্যাশা র্যান্ডম ভেক্টরে একটি দ্বিঘাত রূপের প্রত্যাশা নিম্নরূপ গ্রহণ করা যেতে পারেঃ যেখানে একটি ম্যাট্রিক্সের সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্স এবং একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রেসকে বোঝায়-অর্থাৎ, তার প্রধান তির্যকের উপাদানগুলির যোগফল (উপরের বাম থেকে নীচের ডানদিকে)। যেহেতু দ্বিঘাত রূপটি একটি স্কেলার, তাই এর প্রত্যাশাও তাই। প্রমাণঃ এবং সহ একটি র্যান্ডম ভেক্টর হতে দিন এবং একটি নন-স্টোকাস্টিক ম্যাট্রিক্স হতে দিন। তারপর কোভ্যারিয়েন্সের সূত্রের উপর ভিত্তি করে, যদি আমরা নির্দেশ করি এবং, আমরা দেখতে পাই যেঃ অতএব যা আমাদের দেখানোর জন্য ছেড়ে দেয় যে এটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে কেউ চূড়ান্ত ফলাফল পরিবর্তন না করে একটি ট্রেস নেওয়ার সময় চক্রাকারভাবে ম্যাট্রিক্সগুলি পারমিউট করতে পারে (যেমন। :)। আমরা দেখতে পাই যে এবং যেহেতু একটি স্কেলার, তারপর তুচ্ছভাবে। বিন্যাস ব্যবহার করে আমরা পাইঃ এবং এটিকে মূল সূত্রে যুক্ত করে আমরা পাইঃ দুটি ভিন্ন দ্বিঘাত রূপের গুণফলের প্রত্যাশা একটি শূন্য-অর্থ গাউসিয়ান র্যান্ডম ভেক্টরে দুটি ভিন্ন দ্বিঘাত রূপের গুণফলের প্রত্যাশা নিম্নরূপ নিতে পারেনঃ যেখানে আবার এর কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স। আবার, যেহেতু উভয় দ্বিঘাত রূপই স্কেলার এবং তাই তাদের গুণফল একটি স্কেলার, তাই তাদের গুণফলের প্রত্যাশাও একটি স্কেলার। অ্যাপ্লিকেশন পোর্টফোলিও তত্ত্ব অর্থের ক্ষেত্রে পোর্টফোলিও তত্ত্বে, একটি উদ্দেশ্য প্রায়শই ঝুঁকিপূর্ণ সম্পদের একটি পোর্টফোলিও বেছে নেওয়া হয় যাতে এলোমেলো পোর্টফোলিও রিটার্নের বিতরণে কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য থাকে। উদাহরণস্বরূপ, একজন প্রদত্ত প্রত্যাশিত মূল্যের জন্য সর্বনিম্ন বৈকল্পিকতা সহ পোর্টফোলিও রিটার্ন বেছে নিতে চাইতে পারেন। এখানে র্যান্ডম ভেক্টর হল পৃথক সম্পদের উপর র্যান্ডম রিটার্নের ভেক্টর, এবং পোর্টফোলিও রিটার্ন পি (একটি র্যান্ডম স্কেলার) হল র্যান্ডম রিটার্নের ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ গুণফল যা পোর্টফোলিও ওজনের একটি ভেক্টর ডাব্লু-সংশ্লিষ্ট সম্পদের মধ্যে রাখা পোর্টফোলিওর ভগ্নাংশ। যেহেতু পি = ডাব্লুটি, তাই পোর্টফোলিও রিটার্নের প্রত্যাশিত মান হল ডাব্লুটিই () এবং পোর্টফোলিও রিটার্নের বৈচিত্র্য ডাব্লুটিসিডাব্লু হিসাবে দেখানো যেতে পারে, যেখানে সি হল এর কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স। রিগ্রেশন তত্ত্ব রৈখিক রিগ্রেশন তত্ত্বে, প্রতিটি k স্বাধীন চলক xj-এর উপর নির্ভরশীল চলক y এবং n পর্যবেক্ষণের উপর n পর্যবেক্ষণের তথ্য রয়েছে। নির্ভরশীল চলকের উপর পর্যবেক্ষণগুলি একটি কলাম ভেক্টর y-তে স্ট্যাক করা হয়; প্রতিটি স্বাধীন চলকের উপর পর্যবেক্ষণগুলিও কলাম ভেক্টরগুলিতে স্ট্যাক করা হয় এবং এই পরবর্তী কলাম ভেক্টরগুলি স্বাধীন চলকের উপর পর্যবেক্ষণের একটি ডিজাইন ম্যাট্রিক্স X (এই প্রসঙ্গে একটি র্যান্ডম ভেক্টরকে বোঝায় না)-এ একত্রিত করা হয়। তারপর নিম্নলিখিত রিগ্রেশন সমীকরণটি তথ্য তৈরি করা প্রক্রিয়ার বিবরণ হিসাবে অনুমান করা হয়ঃ যেখানে β হল k প্রতিক্রিয়া সহগের একটি স্বীকার্য স্থির কিন্তু অজানা ভেক্টর, এবং e হল একটি অজানা র্যান্ডম ভেক্টর যা নির্ভরশীল চলকের উপর এলোমেলো প্রভাব প্রতিফলিত করে। সাধারণ ন্যূনতম বর্গের মতো কিছু নির্বাচিত কৌশল দ্বারা, একটি ভেক্টরকে β-এর অনুমান হিসাবে বেছে নেওয়া হয় এবং ভেক্টর e-এর অনুমান, চিহ্নিত করা হয়, হিসাবে গণনা করা হয় তারপর পরিসংখ্যানবিদকে অবশ্যই এবং-এর বৈশিষ্ট্যগুলি বিশ্লেষণ করতে হবে, যা এলোমেলো ভেক্টর হিসাবে দেখা হয় কারণ পর্যবেক্ষণ করার জন্য n ক্ষেত্রে এলোমেলোভাবে ভিন্ন নির্বাচনের ফলে তাদের জন্য বিভিন্ন মান হতে পারে। ভেক্টর টাইম সিরিজ সময়ের মধ্য দিয়ে একটি কে × 1 র্যান্ডম ভেক্টরের বিবর্তনকে ভেক্টর অটোরেগ্রেশন (ভিএআর) হিসাবে মডেল করা যেতে পারেঃ যেখানে আই-পিরিয়ড-ব্যাক ভেক্টর পর্যবেক্ষণকে আই-থ ল্যাগ বলা হয়, সি একটি কে × 1 ভেক্টর ধ্রুবক (ইন্টারসেপ্ট), এআই একটি সময়-অপরিবর্তনীয় কে × কে ম্যাট্রিক্স এবং ত্রুটি পদগুলির একটি কে × 1 র্যান্ডম ভেক্টর। তথ্যসূত্র আরও পড়া বহুবিধ পরিসংখ্যান এলোমেলো চলকের বীজগণিতঃ ডিঃ Zufallsvariable#Mehrdimensionale জুফালসভারেবল প্লঃ জিমিয়েনা losowa#Uogólnienia