Coefficient of determination
পরিসংখ্যানে, নির্ধারণের সহগ, যা R2 বা r2 দ্বারা চিহ্নিত এবং "R বর্গ" উচ্চারিত হয়, তা নির্ভরশীল চলকের পরিবর্তনের অনুপাত যা স্বাধীন চলক (গুলি) থেকে অনুমানযোগ্য। এটি পরিসংখ্যানগত মডেলের প্রসঙ্গে ব্যবহৃত একটি পরিসংখ্যান যার মূল উদ্দেশ্য হয় ভবিষ্যতের ফলাফলের পূর্বাভাস দেওয়া বা অন্যান্য সম্পর্কিত তথ্যের ভিত্তিতে অনুমানের পরীক্ষা করা। এটি মডেল দ্বারা ব্যাখ্যা করা ফলাফলের মোট বৈচিত্র্যের অনুপাতের উপর ভিত্তি করে মডেল দ্বারা কতটা ভালভাবে পর্যবেক্ষণ করা ফলাফলগুলি প্রতিলিপি করা হয় তার একটি পরিমাপ প্রদান করে। R2-এর বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা রয়েছে যা কেবল কখনও কখনও সমতুল্য হয়। এই ধরনের ক্ষেত্রে একটি শ্রেণীর মধ্যে রয়েছে সরল রৈখিক প্রতিগমন যেখানে R2-এর পরিবর্তে r2 ব্যবহার করা হয়। যখন শুধুমাত্র একটি বাধা অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তখন r2 কেবল পর্যবেক্ষিত ফলাফল এবং পর্যবেক্ষিত ভবিষ্যদ্বাণীকারী মানগুলির মধ্যে নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের (অর্থাৎ, r) বর্গ। যদি অতিরিক্ত রিগ্রেসারগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয়, R2 হল একাধিক পারস্পরিক সম্পর্কের সহগের বর্গ। এই উভয় ক্ষেত্রেই, নির্ধারণের সহগ সাধারণত 0 থেকে 1 পর্যন্ত হয়। এমন কিছু ঘটনা রয়েছে যেখানে R2-এর মান ঋণাত্মক হতে পারে। এটি তখন উদ্ভূত হতে পারে যখন সংশ্লিষ্ট ফলাফলের সাথে তুলনা করা ভবিষ্যদ্বাণীগুলি সেই তথ্যগুলি ব্যবহার করে একটি মডেল-ফিটিং পদ্ধতি থেকে উদ্ভূত হয়নি। এমনকি যদি একটি মডেল-ফিটিং পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, তবুও R2 নেতিবাচক হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ যখন কোনও বাধা অন্তর্ভুক্ত না করে রৈখিক রিগ্রেশন পরিচালিত হয়, অথবা যখন একটি অ-রৈখিক ফাংশন ডেটা ফিট করার জন্য ব্যবহার করা হয়। নেতিবাচক মানগুলি উদ্ভূত হওয়ার ক্ষেত্রে, তথ্যের গড় এই নির্দিষ্ট মানদণ্ড অনুসারে ফিট করা ফাংশন মানগুলির তুলনায় ফলাফলের জন্য আরও ভাল ফিট সরবরাহ করে। রিগ্রেশন বিশ্লেষণ মূল্যায়নে নির্ধারণের সহগটি এম. এ. ই, এম. এ. পি. ই, এম. এস. ই এবং আর. এম. এস. ই-এর চেয়ে বেশি (স্বজ্ঞাতভাবে) তথ্যমূলক হতে পারে, কারণ প্রথমটিকে শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেখানে পরের পরিমাপের নির্বিচারে পরিসীমা রয়েছে। নিবন্ধে পরীক্ষার ডেটাসেটগুলিতে এসএমএপিই-এর তুলনায় এটি দুর্বল ফিটগুলির জন্য আরও শক্তিশালী প্রমাণিত হয়েছে। সিমুলেটেড (Ypred) বনাম পরিমাপ করা (Yobs) মানগুলির উপযুক্ততার মূল্যায়ন করার সময়, রৈখিক রিগ্রেশন (অর্থাৎ, Yobs = m·Ypred + b)-এর R2-এর উপর ভিত্তি করে এটি করা উপযুক্ত নয়। R2 ইয়োবস এবং ইয়প্রেডের মধ্যে যে কোনও রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্কের মাত্রা পরিমাপ করে, যেখানে গুডনেস-অফ-ফিট মূল্যায়নের জন্য শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট রৈখিক পারস্পরিক সম্পর্ক বিবেচনা করা উচিতঃ ইয়োবস = 1 · ইয়প্রেড + 0 (অর্থাৎ, 1:1 লাইন)। সংজ্ঞা একটি ডেটা সেটের y1,., yn চিহ্নিত n মান রয়েছে (সমষ্টিগতভাবে yi হিসাবে বা ভেক্টর y = [y1,., yn] T হিসাবে পরিচিত), প্রতিটি একটি ফিট (বা মডেল করা, বা পূর্বাভাস) মান f1,., fn (ফাই হিসাবে পরিচিত, বা কখনও কখনও একটি ভেক্টর f হিসাবে) এর সাথে যুক্ত। অবশিষ্টাংশগুলিকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করুন যে, এই = এই − ফাই (একটি ভেক্টর ই গঠন করে)। যদি পর্যবেক্ষিত তথ্যের গড় হয়ঃ তবে ডেটা সেটের পরিবর্তনশীলতা দুটি বর্গ সূত্রের সমষ্টি দিয়ে পরিমাপ করা যেতে পারেঃ অবশিষ্টাংশের বর্গের সমষ্টি, যাকে অবশিষ্টাংশের সমষ্টিও বলা হয়ঃ বর্গের মোট যোগফল (তথ্যের বৈচিত্র্যের সাথে আনুপাতিক): নির্ধারণের সহগের সর্বাধিক সাধারণ সংজ্ঞা হল সর্বোত্তম ক্ষেত্রে, মডেল করা মানগুলি পর্যবেক্ষিত মানগুলির সাথে ঠিক মেলে, যার ফলাফল হয় এবং। একটি বেসলাইন মডেল থাকবে, যা সবসময় ভবিষ্যদ্বাণী করে। এই বেসলাইনের চেয়ে খারাপ ভবিষ্যদ্বাণী রয়েছে এমন মডেলগুলির একটি নেতিবাচক থাকবে। একটি সাধারণ আকারে, R2 কে অব্যক্ত বৈচিত্র্যের ভগ্নাংশের (FVU) সাথে সম্পর্কিত হতে দেখা যায়, যেহেতু দ্বিতীয় পদটি মোট বৈচিত্র্যের (তথ্যের) সাথে অব্যক্ত বৈচিত্র্যের (মডেলের ত্রুটির বৈচিত্র্য) তুলনা করেঃ যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে বৈকল্পিকতা ধরুন R2 = 0.49। এর থেকে বোঝা যায় যে ডেটা সেটে নির্ভরশীল চলকের পরিবর্তনশীলতার 49 শতাংশ হিসাব করা হয়েছে এবং অবশিষ্ট 51 শতাংশ পরিবর্তনশীলতার এখনও হিসাব করা হয়নি। রিগ্রেশন মডেলগুলির জন্য, বর্গগুলির রিগ্রেশন যোগফল, যাকে বর্গগুলির ব্যাখ্যাকৃত যোগফলও বলা হয়, এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কিছু ক্ষেত্রে, সরল রৈখিক রিগ্রেশন হিসাবে, বর্গগুলির মোট যোগফল উপরে সংজ্ঞায়িত অন্যান্য দুটি বর্গের যোগফলের সমান হয়ঃ সাধারণ ওএলএস মডেলে পার্টিশনিং দেখুন একটি ক্ষেত্রে যেখানে সম্পর্কটি ধারণ করে। যখন এই সম্পর্কটি ধরে থাকে, তখন R2-এর উপরের সংজ্ঞাটি সমতুল্য যেখানে n হল চলকগুলির উপর পর্যবেক্ষণের সংখ্যা (কেস)। এই রূপে R2-কে মোট বৈকল্পিকতা (নির্ভরশীল চলকের নমুনা বৈকল্পিকতা, যা SStot/n)-এর সাথে বর্ণিত বৈকল্পিকতা (মডেলের ভবিষ্যদ্বাণীগুলির বৈচিত্র্য, যা এসএসআরইজি/এন)-এর অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা হয়। বর্গের যোগফলের এই বিভাজনটি উদাহরণস্বরূপ ধারণ করে যখন মডেলের মানগুলি রৈখিক রিগ্রেশন দ্বারা প্রাপ্ত হয়। একটি হালকা পর্যাপ্ত শর্ত নিম্নরূপঃ মডেলটির এমন একটি রূপ রয়েছে যেখানে qi হল নির্বিচারে মান যা i বা অন্যান্য মুক্ত পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করতে পারে বা নাও করতে পারে (সাধারণ পছন্দ qi = xi কেবল একটি বিশেষ ক্ষেত্রে), এবং সহগ অনুমান এবং অবশিষ্ট বর্গের যোগফলকে ন্যূনতম করে প্রাপ্ত করা হয়। শর্তগুলির এই সেটটি একটি গুরুত্বপূর্ণ সেট এবং ফিট করা অবশিষ্টাংশ এবং মডেল করা মানগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য এর বেশ কয়েকটি প্রভাব রয়েছে। বিশেষত, এই শর্তগুলির অধীনেঃ বর্গাকার পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ হিসাবে রৈখিক সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্রের একটি আনুমানিক বাধা পদ সহ একাধিক প্রতিগমনে, R2 নির্ভরশীল চলকের পর্যবেক্ষিত এবং মডেলযুক্ত (পূর্বাভাস) ডেটা মানগুলির মধ্যে পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের বর্গের সমান। একটি একক ব্যাখ্যাকারী সহ রৈখিক সর্বনিম্ন বর্গ প্রতিগমনে কিন্তু একটি বাধা শব্দ ছাড়াই, এটি নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল এবং ব্যাখ্যামূলক পরিবর্তনশীলের বর্গযুক্ত পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের সমান। এটি দুটি ব্যাখ্যামূলক পরিবর্তনশীলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয়, যেখানে দুটি সহগ অনুমানের মধ্যে সহপরিবর্তন, পাশাপাশি তাদের মানক বিচ্যুতি, সহগ অনুমানের সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্স থেকে প্রাপ্ত হয়। আরও সাধারণ মডেলিং পরিস্থিতিতে, যেখানে পূর্বাভাসকৃত মানগুলি রৈখিক ন্যূনতম বর্গ রিগ্রেশন থেকে ভিন্ন একটি মডেল থেকে তৈরি করা যেতে পারে, একটি R2 মান মূল এবং মডেলযুক্ত ডেটা মানগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের বর্গ হিসাবে গণনা করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, মানটি সরাসরি মডেল করা মানগুলি কতটা ভাল তার একটি পরিমাপ নয়, বরং মডেল করা মানগুলি থেকে একটি ভবিষ্যদ্বাণীকারী কতটা ভাল তৈরি করা যেতে পারে তার একটি পরিমাপ (α + βfi ফর্মের একটি সংশোধিত ভবিষ্যদ্বাণীকারী তৈরি করে)। এভরিটের মতে, এই ব্যবহারটি বিশেষভাবে "নির্ধারণের সহগ" শব্দটির সংজ্ঞাঃ দুটি (সাধারণ) চলকের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের বর্গ। ব্যাখ্যা আর2 হল একটি মডেলের উপযুক্ততার গুণের একটি পরিমাপ। রিগ্রেশন-এ, নির্ধারণের R2 সহগ হল একটি পরিসংখ্যানগত পরিমাপ যে রিগ্রেশন ভবিষ্যদ্বাণীগুলি প্রকৃত ডেটা পয়েন্টগুলিকে কতটা ভালভাবে অনুমান করে। 1-এর একটি আর2 নির্দেশ করে যে রিগ্রেশন ভবিষ্যদ্বাণীগুলি তথ্যের সাথে পুরোপুরি খাপ খায়। 0 থেকে 1 পরিসরের বাইরে R2-এর মানগুলি ঘটে যখন মডেলটি সম্ভাব্য সবচেয়ে খারাপ সর্বনিম্ন-বর্গ পূর্বাভাসকারীর (পর্যবেক্ষিত তথ্যের গড়ের সমান উচ্চতায় একটি অনুভূমিক হাইপারপ্লেনের সমতুল্য) চেয়ে খারাপ ডেটা ফিট করে। এটি ঘটে যখন একটি ভুল মডেল বেছে নেওয়া হয়, বা ভুলবশত অযৌক্তিক সীমাবদ্ধতা প্রয়োগ করা হয়। যদি কোভালসেথের সমীকরণ 1 ব্যবহার করা হয় (এটি প্রায়শই ব্যবহৃত সমীকরণ), তবে R2 শূন্যের চেয়ে কম হতে পারে। যদি কোভালসেথের সমীকরণ 2 ব্যবহার করা হয়, তবে R2 একের চেয়ে বড় হতে পারে। সমস্ত ক্ষেত্রে যেখানে আর2 ব্যবহার করা হয়, পূর্বাভাসকারীদের সাধারণ ন্যূনতম-বর্গ রিগ্রেশন দ্বারা গণনা করা হয়ঃ অর্থাৎ, এস. এস. আর ন্যূনতম করে। এই ক্ষেত্রে, মডেলটিতে চলকের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে R2 বৃদ্ধি পায় (R2 হল চলকের সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত হওয়ার সাথে সাথে এক স্বর বৃদ্ধি-এটি কখনই হ্রাস পাবে না)। এটি আর2-এর একটি সম্ভাব্য ব্যবহারের একটি ত্রুটি চিত্রিত করে, যেখানে কেউ আর2 মান বাড়ানোর জন্য পরিবর্তনশীল (রান্নাঘরের সিঙ্ক রিগ্রেশন) যোগ করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কেউ গাড়ির গ্যাস মাইলেজ, মূল্য এবং ইঞ্জিনের শক্তি থেকে গাড়ির মডেলের বিক্রির পূর্বাভাস দেওয়ার চেষ্টা করে, তবে মডেলের নামের প্রথম অক্ষর বা গাড়ির নকশা করা প্রধান ইঞ্জিনিয়ারের উচ্চতার মতো অপ্রাসঙ্গিক কারণগুলি অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে কারণ পরিবর্তনশীল যুক্ত হওয়ার সাথে সাথে আর 2 কখনই হ্রাস পাবে না এবং সম্ভবত শুধুমাত্র সুযোগের কারণে বৃদ্ধি পাবে। এটি সমন্বিত R2 দেখার বিকল্প পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। এই পরিসংখ্যানের ব্যাখ্যা প্রায় আর2-এর মতোই তবে এটি পরিসংখ্যানকে শাস্তি দেয় কারণ অতিরিক্ত চলকগুলি মডেলে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। সাধারণ ন্যূনতম বর্গ দ্বারা ফিট করা ছাড়া অন্য ক্ষেত্রে, R2 পরিসংখ্যান উপরে হিসাবে গণনা করা যেতে পারে এবং এখনও একটি দরকারী পরিমাপ হতে পারে। যদি ফিটিং ওজনযুক্ত ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র বা সাধারণীকৃত ন্যূনতম বর্গক্ষেত্র দ্বারা হয়, তবে R2-এর বিকল্প সংস্করণগুলি সেই পরিসংখ্যানগত কাঠামোর জন্য উপযুক্ত হিসাবে গণনা করা যেতে পারে, যখন "কাঁচা" R2 এখনও কার্যকর হতে পারে যদি এটি আরও সহজে ব্যাখ্যা করা হয়। যে কোনও ধরনের ভবিষ্যদ্বাণীমূলক মডেলের জন্য R2-এর মান গণনা করা যেতে পারে, যার পরিসংখ্যানগত ভিত্তি থাকার প্রয়োজন নেই। একাধিক রৈখিক মডেলে একাধিক ব্যাখ্যামূলক পরিবর্তনশীল সহ একটি রৈখিক মডেল বিবেচনা করুন, যেখানে, ith ক্ষেত্রে, প্রতিক্রিয়া পরিবর্তনশীল, p রিগ্রেসার, এবং একটি গড় শূন্য ত্রুটি শব্দ। পরিমাণগুলি অজানা সহগ, যার মানগুলি সর্বনিম্ন বর্গ দ্বারা অনুমান করা হয়। R2 নির্ধারণের সহগ হল মডেলটির বৈশ্বিক যোগ্যতার একটি পরিমাপ। বিশেষত, R2 হল [0,1]-এর একটি উপাদান এবং Yi-তে পরিবর্তনশীলতার অনুপাতকে উপস্থাপন করে যা X-এ রিগ্রেসরগুলির (ব্যাখ্যামূলক চলক) কিছু রৈখিক সংমিশ্রণের জন্য দায়ী হতে পারে। R2-কে প্রায়শই মডেলের রিগ্রেসরদের দ্বারা "ব্যাখ্যা করা" প্রতিক্রিয়া পরিবর্তনের অনুপাত হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়। সুতরাং, R2 = 1 নির্দেশ করে যে ফিট করা মডেলটি সমস্ত পরিবর্তনশীলতা ব্যাখ্যা করে, যেখানে R2 = 0 কোনও 'রৈখিক' সম্পর্ক নির্দেশ করে না (সরলরেখার রিগ্রেশন-এর জন্য, এর অর্থ হল যে সরলরেখার মডেলটি একটি ধ্রুবক রেখা (ঢাল = 0, ইন্টারসেপ্ট =) প্রতিক্রিয়া পরিবর্তনশীল এবং রিগ্রেসারের মধ্যে)। R2 = 0.7-এর মতো একটি অভ্যন্তরীণ মানকে নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা যেতে পারেঃ "প্রতিক্রিয়া চলকের বিচ্যুতির সত্তর শতাংশ ব্যাখ্যামূলক চলক দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। বাকি ত্রিশ শতাংশ অজানা, লুকিয়ে থাকা পরিবর্তনশীল বা সহজাত পরিবর্তনশীলতার জন্য দায়ী করা যেতে পারে। পারস্পরিক সম্পর্ক এবং সংযোগের অন্যান্য পরিসংখ্যানগত বিবরণের ক্ষেত্রে আর2-এর ক্ষেত্রে যে সতর্কতা প্রযোজ্য তা হল "পারস্পরিক সম্পর্ক কার্যকারণকে বোঝায় না"। অন্য কথায়, যদিও পারস্পরিক সম্পর্কগুলি কখনও কখনও চলকগুলির মধ্যে কার্যকারণ সম্পর্ক উন্মোচন করার ক্ষেত্রে মূল্যবান সূত্র সরবরাহ করতে পারে, তবে দুটি চলকের মধ্যে একটি অ-শূন্য আনুমানিক সম্পর্ক নিজেই প্রমাণ করে না যে একটি চলকের মান পরিবর্তন করার ফলে অন্যান্য চলকগুলির মান পরিবর্তিত হবে। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাচ বহন করার অনুশীলন (বা লাইটার) ফুসফুসের ক্যান্সারের ঘটনার সাথে সম্পর্কযুক্ত, তবে ম্যাচ বহন করা ক্যান্সারের কারণ হয় না ("কারণ" এর আদর্শ অর্থে)। ন্যূনতম বর্গ দ্বারা লাগানো একটি একক রিগ্রেসরের ক্ষেত্রে, R2 হল রিগ্রেসর এবং প্রতিক্রিয়া পরিবর্তনশীল সম্পর্কিত পিয়ারসন পণ্য-মুহুর্ত পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের বর্গ। আরও সাধারণভাবে, R2 হল নির্মিত ভবিষ্যদ্বাণীকারী এবং প্রতিক্রিয়া পরিবর্তনশীলের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের বর্গ। একাধিক রিগ্রেসরের সাথে, R2 কে একাধিক নির্ধারণের সহগ হিসাবে উল্লেখ করা যেতে পারে। R2-এর মুদ্রাস্ফীতি সাধারণ তথ্য ব্যবহার করে কমপক্ষে বর্গক্ষেত্রের পশ্চাদগমনে, মডেলটিতে পশ্চাদগামীর সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে R2 কমপক্ষে দুর্বলভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে। যেহেতু রিগ্রেসরের সংখ্যা বৃদ্ধি আর2-এর মান বৃদ্ধি করে, তাই একা আর2-কে খুব ভিন্ন সংখ্যক স্বাধীন চলকযুক্ত মডেলের অর্থপূর্ণ তুলনা হিসাবে ব্যবহার করা যায় না। দুটি মডেলের মধ্যে অর্থপূর্ণ তুলনার জন্য, গ্রেঞ্জার কার্যকারণের এফ-পরীক্ষার মতো অবশিষ্ট বর্গের যোগফলের উপর একটি এফ-পরীক্ষা করা যেতে পারে, যদিও এটি সর্বদা উপযুক্ত নয়। এর একটি অনুস্মারক হিসাবে, কিছু লেখক R2 কে Rq2 দ্বারা নির্দেশ করেন, যেখানে q হল X-এর কলামের সংখ্যা (ধ্রুবক সহ ব্যাখ্যাকারীদের সংখ্যা)। এই বৈশিষ্ট্যটি প্রদর্শন করার জন্য, প্রথমে মনে রাখবেন যে ন্যূনতম বর্গ রৈখিক রিগ্রেশন-এর উদ্দেশ্য হল যেখানে xi হল কেস i এবং b-এর জন্য ব্যাখ্যামূলক ভেরিয়েবলের মানগুলির একটি সারি ভেক্টর যা xi-এর সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সহগের একটি কলাম ভেক্টর। উদ্দেশ্যটির সর্বোত্তম মান দুর্বলভাবে ছোট কারণ আরও ব্যাখ্যামূলক চলকগুলি যুক্ত করা হয় এবং তাই (ব্যাখ্যামূলক ডেটা ম্যাট্রিক্স যার ith সারি হল xi) এর অতিরিক্ত কলামগুলি যুক্ত করা হয়, এই সত্য দ্বারা যে কম সীমাবদ্ধ ন্যূনতমকরণ একটি সর্বোত্তম ব্যয়ের দিকে পরিচালিত করে যা আরও সীমাবদ্ধ ন্যূনতমকরণের তুলনায় দুর্বলভাবে ছোট। পূর্ববর্তী উপসংহারের পরিপ্রেক্ষিতে এবং শুধুমাত্র y-এর উপর নির্ভর করে উল্লেখ করে, R2-এর অ-হ্রাসকারী বৈশিষ্ট্য সরাসরি উপরের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে। একটি অতিরিক্ত ব্যাখ্যামূলক চলক ব্যবহার করে R2-কে কম করা যায় না তার স্বজ্ঞাত কারণটি হলঃ ন্যূনতম করা হল R2-কে সর্বাধিক করার সমতুল্য। যখন অতিরিক্ত পরিবর্তনশীলকে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তখন তথ্যের কাছে সর্বদা এটিকে শূন্যের আনুমানিক সহগ দেওয়ার বিকল্প থাকে, যার ফলে পূর্বাভাসকৃত মান এবং R2 অপরিবর্তিত থাকে। অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি একটি অ-শূন্য সহগ দেবে এমন একমাত্র উপায় হল যদি এটি করা R2-এর উন্নতি করে। ক্যাভিটস আর2 নির্দেশ করে না যেঃ স্বাধীন চলকগুলি নির্ভরশীল চলকের পরিবর্তনের কারণ; বাদ দেওয়া-চলক পক্ষপাত বিদ্যমান; সঠিক রিগ্রেশন ব্যবহার করা হয়েছে; স্বাধীন চলকগুলির সবচেয়ে উপযুক্ত সেট বেছে নেওয়া হয়েছে; ব্যাখ্যামূলক চলকগুলির ডেটাতে কোলিনিয়ারিটি উপস্থিত রয়েছে; স্বাধীন চলকগুলির বিদ্যমান সেটের রূপান্তরিত সংস্করণগুলি ব্যবহার করে মডেলটি উন্নত করা যেতে পারে; একটি কঠিন উপসংহার করার জন্য পর্যাপ্ত ডেটা পয়েন্ট রয়েছে। এক্সটেনশন অ্যাডজাস্টেড আর2 একটি অ্যাডজাস্টেড আর2-এর ব্যবহার (একটি সাধারণ স্বরলিপি হল, "আর বার বর্গ" উচ্চারিত হয়; অন্যটি হল বা) মডেলটিতে অতিরিক্ত ব্যাখ্যামূলক চলক যোগ করা হলে স্বয়ংক্রিয়ভাবে আর2-এর ক্রমবর্ধমান ঘটনার হিসাব করার একটি প্রচেষ্টা। () সামঞ্জস্য করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। এখন পর্যন্ত সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত যেটিকে সাধারণত কেবল অ্যাডজাস্টেড আর হিসাবে উল্লেখ করা হয়, তা হল মর্দখয় ইজেকিয়েল দ্বারা প্রস্তাবিত সংশোধন। সমন্বিত R2 কে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে dfres হল মডেলের চারপাশে জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের অনুমানের স্বাধীনতার মাত্রা, এবং dftot হল গড়ের চারপাশে জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের অনুমানের স্বাধীনতার মাত্রা। নমুনা আকার n এবং মডেলে চলকের সংখ্যা p-এর পরিপ্রেক্ষিতে dfres দেওয়া হয়, dfres = n − p. dftot একইভাবে দেওয়া হয়, তবে p গড়ের একক, অর্থাৎ। dftot = n − 1। স্বাধীনতার মাত্রা সন্নিবেশ করানো এবং R2-এর সংজ্ঞা ব্যবহার করে, এটিকে এভাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারেঃ যেখানে p হল মডেলের ব্যাখ্যামূলক চলকের মোট সংখ্যা, এবং n হল নমুনা আকার। সমন্বিত R2 ঋণাত্মক হতে পারে এবং এর মান সর্বদা R2 এর চেয়ে কম বা সমান হবে। R2-এর বিপরীতে, সামঞ্জস্যপূর্ণ R2 তখনই বৃদ্ধি পায় যখন R2-এর বৃদ্ধি (একটি নতুন ব্যাখ্যামূলক পরিবর্তনশীল অন্তর্ভুক্তির কারণে) একের চেয়ে বেশি হয় যা কাকতালীয়ভাবে দেখার আশা করা যায়। যদি গুরুত্বের একটি পূর্বনির্ধারিত শ্রেণিবিন্যাস সহ ব্যাখ্যামূলক চলকগুলির একটি সেট প্রতিবার সামঞ্জস্যপূর্ণ R2 গণনা সহ একটি সময়ে একটি রিগ্রেশনে চালু করা হয়, তবে যে স্তরে সামঞ্জস্যপূর্ণ R2 সর্বাধিক পৌঁছায় এবং পরে হ্রাস পায়, তা হবে অতিরিক্ত/অপ্রয়োজনীয় পদ ছাড়াই সেরা ফিট থাকার আদর্শ সংমিশ্রণ সহ রিগ্রেশন। সমন্বিত R2-কে R2 জনসংখ্যার কম পক্ষপাতদুষ্ট প্রাক্কলনকারী হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যেখানে পর্যবেক্ষিত নমুনা R2 জনসংখ্যার মূল্যের একটি ইতিবাচক পক্ষপাতদুষ্ট প্রাক্কলন। মডেল ফিটের মূল্যায়ন করার সময় এবং মডেল নির্মাণের বৈশিষ্ট্য নির্বাচন পর্যায়ে বিকল্প মডেলগুলির তুলনা করার সময় সামঞ্জস্যপূর্ণ আর2 আরও উপযুক্ত। সমন্বিত R2 পরিসংখ্যানের পিছনের নীতিটি সাধারণ R2 কে যথাক্রমে আনুমানিক অবশিষ্টাংশ এবং নির্ভরশীল চলকের নমুনা বৈচিত্র্য হিসাবে পুনর্লিখন করে দেখা যেতে পারে, যা ত্রুটি এবং নির্ভরশীল চলকের জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের পক্ষপাতদুষ্ট অনুমান হিসাবে দেখা যেতে পারে। এই অনুমানগুলি পরিসংখ্যানগতভাবে নিরপেক্ষ সংস্করণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়ঃ এবং। ত্রুটি এবং নির্ভরশীল চলকের জনসংখ্যার বৈচিত্র্যের জন্য নিরপেক্ষ প্রাক্কলনকারী ব্যবহার করা সত্ত্বেও, সমন্বিত R2 জনসংখ্যার R2-এর নিরপেক্ষ প্রাক্কলনকারী নয়, যার ফলস্বরূপ ত্রুটি এবং নির্ভরশীল চলকের জনসংখ্যার বৈচিত্র্যগুলি অনুমান করার পরিবর্তে ব্যবহার করা হয়। ইনগ্রাম ওলকিন এবং জন ডব্লিউ. প্র্যাট জনসংখ্যার আর2-এর জন্য ন্যূনতম-বৈচিত্র্য নিরপেক্ষ প্রাক্কলনকারী উদ্ভাবন করেছেন, যা ওলকিন-প্র্যাট প্রাক্কলনকারী নামে পরিচিত। R2 সামঞ্জস্য করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতির তুলনা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে যে বেশিরভাগ পরিস্থিতিতে (ইজেকিয়েল) সামঞ্জস্যকৃত R2-এর চেয়ে ওলকিন-প্র্যাট প্রাক্কলনকারীর একটি আনুমানিক সংস্করণ বা সঠিক ওলকিন-প্র্যাট প্রাক্কলনকারীকে অগ্রাধিকার দেওয়া উচিত। আংশিক নির্ধারণের সহগ আংশিক নির্ধারণের সহগকে পরিবর্তনের অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা একটি হ্রাসকৃত মডেলে ব্যাখ্যা করা যায় না, তবে একটি পূর্ণ (ইআর) মডেলে নির্দিষ্ট ভবিষ্যদ্বাণীকারীদের দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। এই সহগটি আরও সম্পূর্ণরূপে নির্দিষ্ট রিগ্রেশন মডেলে এক বা একাধিক অতিরিক্ত ভবিষ্যদ্বাণীকারী কার্যকর হতে পারে কিনা সে সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করতে ব্যবহৃত হয়। দুটি মডেল অনুমান করার পরে এবং তাদের জন্য এ. এন. ও. ভি. এ টেবিল তৈরি করার পরে আংশিক আর2-এর গণনা তুলনামূলকভাবে সহজবোধ্য। আংশিক R2-এর জন্য গণনা হল যা নির্ধারণের স্বাভাবিক সহগের অনুরূপঃ R2-কে সাধারণীকরণ এবং অপঘটিত করা উপরে বর্ণিত হিসাবে, মডেল নির্বাচন হিউরিস্টিক্স যেমন অ্যাডজাস্টেড ক্রাইটেরিয়ন এবং F-টেস্ট পরীক্ষা করে যে মোট পর্যাপ্ত পরিমাণে বৃদ্ধি পেয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য একটি নতুন রিগ্রেসার মডেলটিতে যুক্ত করা উচিত কিনা। যদি মডেলটিতে একটি রিগ্রেসার যুক্ত করা হয় যা ইতিমধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা অন্যান্য রিগ্রেসারগুলির সাথে অত্যন্ত সম্পর্কযুক্ত, তবে নতুন রিগ্রেসার প্রাসঙ্গিক হলেও মোট সংখ্যা খুব কমই বৃদ্ধি পাবে। ফলস্বরূপ, ক্রস-কোরিলেশন বেশি হলে উপরে উল্লিখিত হিউরিস্টিক্স প্রাসঙ্গিক রিগ্রেসারগুলিকে উপেক্ষা করবে। বিকল্পভাবে, একটি অনুমান থেকে বিচ্যুত হওয়ার প্রাসঙ্গিকতা পরিমাপ করার জন্য একটি সাধারণ সংস্করণকে বিচ্ছিন্ন করা যেতে পারে। হুর্নওয়েগ (2018) যেমন দেখিয়েছে, বেশ কিছু সংকোচন প্রাক্কলনকারী-যেমন বায়েসিয়ান লিনিয়ার রিগ্রেশন, রিজ রিগ্রেশন এবং (অভিযোজিত) লাসো-এই পচনকে ব্যবহার করে যখন তারা ধীরে ধীরে অনিয়ন্ত্রিত ওএলএস সমাধান থেকে অনুমান করা মানগুলির দিকে পরামিতিগুলি সঙ্কুচিত করে। আসুন প্রথমে রৈখিক রিগ্রেশন মডেলটিকে সংজ্ঞায়িত করি কারণ এটি ধরে নেওয়া হয় যে ম্যাট্রিক্সটি জেড-স্কোর দিয়ে প্রমিত করা হয়েছে এবং কলাম ভেক্টরটি শূন্যের গড়ের জন্য কেন্দ্রিক। কলাম ভেক্টরকে অনুমান করা রিগ্রেশন প্যারামিটারগুলি উল্লেখ করতে দিন এবং কলাম ভেক্টরকে আনুমানিক প্যারামিটারগুলি নির্দেশ করতে দিন। তারপরে আমরা 75 শতাংশের একটি সংজ্ঞায়িত করতে পারি যার অর্থ হল অনুমান করা মানগুলির পরিবর্তে ডেটা-অপ্টিমাইজড সমাধানগুলি ব্যবহার করা হলে নমুনার নির্ভুলতা 75 শতাংশ বৃদ্ধি পায়। বিশেষ ক্ষেত্রে যা শূন্যের ভেক্টর, আমরা আবার ঐতিহ্যগতটি পাই। একটি অনুমান থেকে বিচ্যুত হওয়ার উপর পৃথক প্রভাব ('আর-আউটার') দিয়ে গণনা করা যেতে পারে। এই সময়ের ম্যাট্রিক্স কোথায় দ্বারা দেওয়া হয়। এর তির্যক উপাদানগুলি ঠিক যোগ করে। যদি রিগ্রেসারগুলি অসংলগ্ন হয় এবং শূন্যের ভেক্টর হয়, তবে এর তির্যক উপাদানটি কেবল এবং এর মধ্যে মানের সাথে মিলে যায়। যখন রিগ্রেসার এবং পরস্পর সম্পর্কিত হয়, তখন হ্রাসের মূল্যে বৃদ্ধি হতে পারে। ফলস্বরূপ, এর তির্যক উপাদানগুলি 0-এর চেয়ে ছোট হতে পারে এবং আরও ব্যতিক্রমী ক্ষেত্রে 1-এর চেয়ে বড় হতে পারে। এই ধরনের অনিশ্চয়তা মোকাবেলা করার জন্য, অনেক সংকোচন প্রাক্কলনকারী একটি অনুমানকৃত মান থেকে বিচ্যুত হওয়ার প্রাসঙ্গিকতা পরিমাপ করার জন্য অন্তর্নিহিতভাবে তির্যক উপাদানগুলির একটি ওজনযুক্ত গড় গ্রহণ করে। একটি উদাহরণের জন্য লাসোতে ক্লিক করুন। লজিস্টিক রিগ্রেশন-এ R2 লজিস্টিক রিগ্রেশন-এর ক্ষেত্রে, সাধারণত সর্বাধিক সম্ভাবনার সাথে মানানসই, সিউডো-R2-এর বেশ কয়েকটি বিকল্প রয়েছে। একটি হল মূলত কক্স অ্যান্ড স্নেল দ্বারা প্রস্তাবিত সাধারণ R2, এবং স্বাধীনভাবে ম্যাগি দ্বারাঃ যেখানে শুধুমাত্র ইন্টারসেপ্ট সহ মডেলটির সম্ভাবনা, আনুমানিক মডেলের সম্ভাবনা (অর্থাৎ, প্যারামিটার অনুমানের একটি প্রদত্ত সেট সহ মডেল) এবং n হল নমুনা আকার। এটি সহজেই পুনর্লিখন করা হয়ঃ যেখানে ডি হল সম্ভাব্যতা অনুপাত পরীক্ষার পরীক্ষার পরিসংখ্যান। নিকো নাগেলকার্কে উল্লেখ করেছেন যে এটির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি রয়েছেঃ যখন উভয়ই গণনা করা যায় তখন এটি নির্ধারণের ধ্রুপদী সহগের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ; একটি মডেলের সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমান দ্বারা এর মান সর্বাধিক করা হয়; এটি নমুনা আকারের থেকে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে স্বাধীন; ব্যাখ্যাটি মডেল দ্বারা ব্যাখ্যা করা বৈচিত্র্যের অনুপাত; মানগুলি 0 এবং 1 এর মধ্যে থাকে, 0 দিয়ে বোঝায় যে মডেলটি কোনও বৈচিত্র্য ব্যাখ্যা করে না এবং 1 নির্দেশ করে যে এটি পর্যবেক্ষণ করা বৈচিত্র্যকে নিখুঁতভাবে ব্যাখ্যা করে; এর কোনও একক নেই। যাইহোক, একটি লজিস্টিক মডেলের ক্ষেত্রে, যেখানে 1 এর বেশি হতে পারে না, সেখানে R2 0 এবং: এর মধ্যে থাকে, তাই নাগেলকার্কে একটি স্কেল করা R2 কে R2/R2ম্যাক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করার সম্ভাবনার পরামর্শ দেন। অবশিষ্টাংশের আদর্শের সাথে তুলনা মাঝে মাঝে, অবশিষ্টাংশের আদর্শটি উপযুক্ততার গুণগত মান নির্দেশ করার জন্য ব্যবহৃত হয়। এই শব্দটি অবশিষ্টাংশের বর্গের যোগফলের বর্গমূল হিসাবে গণনা করা হয়ঃ R2 এবং অবশিষ্টাংশের আদর্শ উভয়েরই আপেক্ষিক গুণ রয়েছে। ন্যূনতম বর্গ বিশ্লেষণের জন্য R2 0 এবং 1 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, বড় সংখ্যাগুলি আরও ভাল ফিট নির্দেশ করে এবং 1 একটি নিখুঁত ফিট উপস্থাপন করে। অবশিষ্টাংশের মান 0 থেকে অনন্ত পর্যন্ত পরিবর্তিত হয় যেখানে ছোট সংখ্যাগুলি আরও ভাল ফিট নির্দেশ করে এবং শূন্য একটি নিখুঁত ফিট নির্দেশ করে। R2-এর একটি সুবিধা এবং অসুবিধা হল এই শব্দটি মানকে স্বাভাবিক করার কাজ করে। যদি সমস্ত yi মান একটি ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা হয়, অবশিষ্টাংশের মানও সেই ধ্রুবক দ্বারা পরিবর্তিত হবে কিন্তু R2 একই থাকবে। একটি মৌলিক উদাহরণ হিসাবে, রৈখিক সর্বনিম্ন বর্গগুলি তথ্যের সেটের সাথে খাপ খায়ঃ R2 = 0.998, এবং অবশিষ্টাংশের আদর্শ = 0.302। যদি y-এর সমস্ত মান 1000 দ্বারা গুণ করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, একটি এস. আই উপসর্গ পরিবর্তনে), তবে R2 একই থাকে, তবে অবশিষ্টাংশের মান = 302। ফিটের আরেকটি একক-পরামিতি সূচক হল অবশিষ্টাংশের আর. এম. এস. ই, বা অবশিষ্টাংশের মানক বিচ্যুতি। উপরের উদাহরণের জন্য এটির মান 0.135 হবে কারণ একটি অপ্রয়োজনীয় বাধা সহ ফিটটি রৈখিক ছিল। নির্ধারণের সহগ তৈরির জন্য জিনতত্ত্ববিদ সিওয়াল রাইটকে দায়ী করা হয়েছে এবং এটি 1921 সালে প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল। আরও দেখুন আনসকম্বের চতুষ্কোণ ভগ্নাংশ ভিন্নতার অব্যক্ত উপকারিতা ন্যাশ-সাটক্লিফ মডেল দক্ষতা গুণাঙ্ক (জলবিদ্যুৎ প্রয়োগ) পিয়ারসন পণ্য-মুহুর্তের পারস্পরিক সম্পর্ক গুণাঙ্ক ক্ষতির ক্ষেত্রে আনুপাতিক হ্রাস রিগ্রেশন মডেল বৈধতা মূল গড় বর্গ বিচ্যুতি ধাপে ধাপে রিগ্রেশন নোট আরও পড়া রিগ্রেশন ডায়াগনস্টিক পরিসংখ্যানগত অনুপাত সর্বনিম্ন বর্গ