Liouville field theory
পদার্থবিজ্ঞানে, লিউভিল ক্ষেত্র তত্ত্ব (বা কেবল লিউভিল তত্ত্ব) একটি দ্বি-মাত্রিক সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্র তত্ত্ব যার গতির শাস্ত্রীয় সমীকরণ লিউভিলের সমীকরণের একটি সাধারণীকরণ। লিউভিল তত্ত্বটি তার ভিরাসোরো প্রতিসাম্য বীজগণিতের কেন্দ্রীয় চার্জের সমস্ত জটিল মানগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তবে এটি কেবলমাত্র যদি একক হয়, এবং এর শাস্ত্রীয় সীমা হল। যদিও এটি একটি অবিচ্ছিন্ন বর্ণালী সহ একটি মিথস্ক্রিয়া তত্ত্ব, লিউভিল তত্ত্বটি সমাধান করা হয়েছে। বিশেষ করে, গোলকের উপর এর তিন-বিন্দু ফাংশন বিশ্লেষণাত্মকভাবে নির্ধারণ করা হয়েছে। ভূমিকা লিউভিল তত্ত্ব লিউভিল ক্ষেত্র নামে একটি ক্ষেত্রের গতিবিদ্যা বর্ণনা করে, যা একটি দ্বি-মাত্রিক স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি সূচকীয় সম্ভাবনার উপস্থিতির কারণে এই ক্ষেত্রটি একটি মুক্ত ক্ষেত্র নয় যেখানে পরামিতিটিকে কাপলিং ধ্রুবক বলা হয়। একটি মুক্ত ক্ষেত্র তত্ত্বে, শক্তি আইগেনভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন, এবং গতিবেগ মিথস্ক্রিয়ায় সংরক্ষিত থাকে। লিউভিল তত্ত্বে, গতিবেগ সংরক্ষিত হয় না। উপরন্তু, বিভব শক্তি আইগেনভেক্টরদের পৌঁছানোর আগে প্রতিফলিত করে, এবং দুটি আইগেনভেক্টর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল যদি তাদের ভরবেগ প্রতিফলন দ্বারা সম্পর্কিত হয় যেখানে পটভূমি চার্জ হয়। যদিও সূচকীয় বিভব গতিবেগ সংরক্ষণকে ভেঙে দেয়, এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রতিসাম্যকে ভেঙে দেয় না, এবং লিউভিল তত্ত্বটি কেন্দ্রীয় চার্জ সহ একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্র তত্ত্ব। সামঞ্জস্যপূর্ণ রূপান্তরের অধীনে, ভরবেগ সহ একটি শক্তি আইগেনভেক্টর দ্বৈততার অধীনে সামঞ্জস্যপূর্ণ মাত্রা সহ একটি প্রাথমিক ক্ষেত্র হিসাবে রূপান্তরিত হয়। লিউভিল তত্ত্বের এই কোয়ান্টাম প্রতিসাম্যগুলি অবশ্য ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গঠনে প্রকাশ পায় না, বিশেষত দ্বৈততার অধীনে সূচকীয় সম্ভাব্যতা অপরিবর্তনীয় নয়। বর্ণালী এবং পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশন বর্ণালী লিউভিল তত্ত্বের বর্ণালী হল ভিরাসোরো বীজগণিতের ভার্মা মডিউলগুলির একটি তির্যক সংমিশ্রণ, যেখানে এবং একই ভার্মা মডিউলকে নির্দেশ করে, যা যথাক্রমে বাম এবং ডানদিকে চলমান ভিরাসোরো বীজগণিতের প্রতিনিধিত্ব হিসাবে দেখা হয়। মোমেন্টার পরিপ্রেক্ষিতে, এর সাথে মিলে যায়। প্রতিফলন সম্পর্ক একটি মুক্ত তত্ত্বের জন্য একটি পূর্ণ লাইনের পরিবর্তে অর্ধ-লাইনে ভরবেগ গ্রহণের মানগুলির জন্য দায়ী। লিউভিল তত্ত্ব এককেন্দ্রিক যদি এবং শুধুমাত্র যদি। লিউভিল তত্ত্বের বর্ণালীতে ভ্যাকুয়াম অবস্থা অন্তর্ভুক্ত নয়। একটি ভ্যাকুয়াম অবস্থা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, তবে এটি অপারেটর পণ্য সম্প্রসারণে অবদান রাখে না। ক্ষেত্র এবং প্রতিফলন সম্পর্ক লিউভিল তত্ত্বে, প্রাথমিক ক্ষেত্রগুলি সাধারণত তাদের সামঞ্জস্যপূর্ণ মাত্রার পরিবর্তে তাদের ভরবেগ দ্বারা পরামিতি করা হয় এবং চিহ্নিত করা হয়। উভয় ক্ষেত্র এবং প্রতিনিধিত্বের প্রাথমিক অবস্থার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং প্রতিফলন সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিত যেখানে প্রতিফলন সহগ হয় (চিহ্নটি যদি এবং অন্যথায় হয়, এবং স্বাভাবিকীকরণ পরামিতিটি নির্বিচারে হয়)। কোরিলেশন ফাংশন এবং ডি. ও. জেড. জেড সূত্র তিন-বিন্দু কাঠামো ধ্রুবক ডি. ও. জেড. জেড সূত্র (ডর্ন-ওটো এবং জামোলোডচিকোভ-জামোলোডচিকোভের জন্য) দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে বিশেষ ফাংশনটি এক ধরনের একাধিক গামা ফাংশন। কারণ, তিন-বিন্দু কাঠামো ধ্রুবক হল যেখানে গোলকের উপর-বিন্দু ফাংশনগুলি তিন-বিন্দু কাঠামো ধ্রুবক এবং কনফরমাল ব্লকের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। একটি-বিন্দু ফাংশনের বিভিন্ন অভিব্যক্তি থাকতে পারেঃ তারা একমত যে চার-বিন্দু ফাংশনের প্রতিসাম্য অতিক্রম করার সমতুল্য, যা সংখ্যাসূচকভাবে পরীক্ষা করা হয়েছে এবং বিশ্লেষণাত্মকভাবে প্রমাণিত হয়েছে। লিউভিল তত্ত্ব কেবল গোলকের উপরই নয়, বংশের যে কোনও রিম্যান পৃষ্ঠের উপরও বিদ্যমান। প্রযুক্তিগতভাবে, এটি টরাস এক-বিন্দু ফাংশনের মডুলার ইনভারিয়েন্সের সমতুল্য। কনফরমাল ব্লক এবং কাঠামোর ধ্রুবকগুলির উল্লেখযোগ্য পরিচয়ের কারণে, এই মডুলার ইনভ্যারিয়েন্স বৈশিষ্ট্যটি গোলকের চার-বিন্দু ফাংশনের প্রতিসাম্য অতিক্রম করে অনুমান করা যেতে পারে। লিউভিল তত্ত্বের স্বতন্ত্রতা কনফরমাল বুটস্ট্র্যাপ পদ্ধতির ব্যবহার করে, লিউভিল তত্ত্বকে অনন্য কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্ব হিসাবে দেখানো যেতে পারে যে বর্ণালীটি একটি ধারাবাহিকতা, যার একটির চেয়ে বেশি গুণক নেই, পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনগুলি বিশ্লেষণাত্মকভাবে নির্ভর করে এবং মোমেন্টা, ডিজেনেরেট ক্ষেত্রগুলি বিদ্যমান। ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান সূত্র ক্রিয়া এবং গতির সমীকরণ লিউভিল তত্ত্বটি স্থানীয় ক্রিয়া দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে দ্বিমাত্রিক স্থানের মেট্রিক যার উপর তত্ত্বটি প্রণয়ন করা হয়, সেই স্থানের রিচি স্কেলার এবং এটি লিউভিল ক্ষেত্র। প্যারামিটার, যাকে কখনও কখনও মহাজাগতিক ধ্রুবক বলা হয়, সেই প্যারামিটারের সাথে সম্পর্কিত যা কোরিলেশন ফাংশনে প্রদর্শিত হয়। এই ক্রিয়ার সঙ্গে যুক্ত গতির সমীকরণটি হল ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটর। যদি ইউক্লিডীয় মেট্রিক হয়, তবে এই সমীকরণটি হ্রাস পায় যা লিউভিলের সমীকরণের সমতুল্য। একবার একটি সিলিন্ডারে সংকুচিত হয়ে গেলে, লিউভিল ক্ষেত্র তত্ত্বকে বিশ্বরেখা তত্ত্ব হিসাবে সমতুল্যভাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে। একটি জটিল স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা এবং একটি ইউক্লিডীয় মেট্রিক ব্যবহার করে, শক্তি-ভরবেগ টেনসরের উপাদানগুলি মেনে চলে অ-বিলুপ্ত উপাদানগুলি হল এই দুটি উপাদানের প্রত্যেকটি কেন্দ্রীয় আধান সহ একটি বিরাসোরো বীজগণিত তৈরি করে। এই উভয় ভিরাসোরো অ্যালজেব্রার জন্য, একটি ক্ষেত্র হল একটি প্রাথমিক ক্ষেত্র যার সামঞ্জস্যপূর্ণ মাত্রা রয়েছে। তত্ত্বটির সামঞ্জস্যপূর্ণ অপরিবর্তিতা থাকার জন্য, ক্রিয়ায় যে ক্ষেত্রটি উপস্থিত হয় তা অবশ্যই প্রান্তিক হতে হবে, অর্থাৎ। সামঞ্জস্যপূর্ণ মাত্রা আছে। এটি ব্যাকগ্রাউন্ড চার্জ এবং কাপলিং কনস্ট্যান্টের মধ্যে সম্পর্কের দিকে পরিচালিত করে। যদি এই সম্পর্কটি মেনে চলা হয়, তবে এটি আসলে ঠিক প্রান্তিক, এবং তত্ত্বটি সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে অপরিবর্তনীয়। প্রাথমিক ক্ষেত্রগুলির একটি-বিন্দু পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনের পথ অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা হল এই পথ অবিচ্ছেদ্যকে সংজ্ঞায়িত করা এবং গণনা করা কঠিন। অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনার পথে, এটি স্পষ্ট নয় যে লিউভিল তত্ত্বের সঠিক সামঞ্জস্যপূর্ণ অপরিবর্তিতা রয়েছে এবং এটি স্পষ্ট নয় যে পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনগুলি প্রতিফলন সম্পর্কের অধীনে অপরিবর্তনীয় এবং মেনে চলে। তা সত্ত্বেও, কুলম্ব গ্যাস ফর্মালিজমে ডটসেনকো-ফাতেভ ইন্টিগ্রাল হিসাবে তাদের কিছু মেরুতে পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনের অবশিষ্টাংশ গণনা করার জন্য পাথ ইন্টিগ্রাল উপস্থাপনা ব্যবহার করা যেতে পারে এবং এভাবেই 1990-এর দশকে ডিওজেড সূত্রটি প্রথম অনুমান করা হয়েছিল। শুধুমাত্র 2010-এর দশকে পাথ ইন্টিগ্রালের একটি কঠোর সম্ভাবনাময় নির্মাণ পাওয়া যায়, যার ফলে ডিওজেড সূত্র এবং কনফরমাল বুটস্ট্র্যাপের প্রমাণ পাওয়া যায়। অন্যান্য সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্র তত্ত্বের সাথে সম্পর্ক লিউভিল তত্ত্বের কিছু সীমা যখন কেন্দ্রীয় আধান এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ মাত্রা প্রাসঙ্গিক বিচ্ছিন্ন মানগুলিতে পাঠানো হয়, তখন লিউভিল তত্ত্বের পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনগুলি তির্যক (এ-সিরিজ) ভিরাসোরো ন্যূনতম মডেলের পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনে হ্রাস পায়। অন্যদিকে, যখন কেন্দ্রীয় আধান একটিতে পাঠানো হয় যখন সামঞ্জস্যপূর্ণ মাত্রা অবিচ্ছিন্ন থাকে, তখন লিউভিল তত্ত্বটি রাঙ্কেল-ওয়াটস তত্ত্বের দিকে ঝুঁকে পড়ে, যা একটি অবিচ্ছিন্ন বর্ণালী সহ একটি অ-তুচ্ছ সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষেত্র তত্ত্ব (সি. এফ. টি) যার তিন-বিন্দু ফাংশন মোমেন্টার ফাংশন হিসাবে বিশ্লেষণাত্মক নয়। রাঙ্কেল-ওয়াটস তত্ত্বের সাধারণীকরণ লিউভিল তত্ত্ব থেকে প্রকারের সীমা নিয়ে প্রাপ্ত হয়। সুতরাং, একই বর্ণালী সহ দুটি স্বতন্ত্র সি. এফ. টি জানা যায়ঃ লিউভিল তত্ত্ব, যার তিন-বিন্দু ফাংশন বিশ্লেষণাত্মক, এবং একটি অ-বিশ্লেষণাত্মক তিন-বিন্দু ফাংশন সহ আরেকটি সি. এফ. টি। ডাব্লুজেডডাব্লু মডেল লিউভিল তত্ত্ব ওয়েস-জুমিনো-উইটেন মডেল থেকে একটি কোয়ান্টাম ড্রিনফেল্ড-সোকোলভ হ্রাস দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে। উপরন্তু, মডেলের পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশন (ডাব্লুজেডডাব্লু মডেলের ইউক্লিডিয়ান সংস্করণ) লিউভিল তত্ত্বের পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। এটি 2ডি ব্ল্যাকহোল কোসেট মডেলের পারস্পরিক সম্পর্কের ক্ষেত্রেও সত্য। উপরন্তু, এমন তত্ত্ব রয়েছে যা ক্রমাগত লিউভিল তত্ত্ব এবং মডেলের মধ্যে অন্তর্বর্তী হয়। প্রচলিত টোডা তত্ত্ব লিউভিল তত্ত্ব হল কার্টান ম্যাট্রিক্সের সাথে যুক্ত টোডা ক্ষেত্র তত্ত্বের সহজতম উদাহরণ। আরও সাধারণ সামঞ্জস্যপূর্ণ টোডা তত্ত্বগুলিকে লিউভিল তত্ত্বের সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে, যার ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানরা একটি বোসোনের পরিবর্তে বেশ কয়েকটি বোসনকে জড়িত করে এবং যার প্রতিসাম্য বীজগণিতগুলি ভিরাসোরো বীজগণিতর পরিবর্তে ডাব্লু-অ্যালজেব্রা। সুপারসিমেট্রিক লিউভিল তত্ত্ব লিউভিল তত্ত্ব দুটি ভিন্ন সুপারসিমেট্রিক এক্সটেনশন গ্রহণ করে যা সুপারসিমেট্রিক লিউভিল তত্ত্ব এবং সুপারসিমেট্রিক লিউভিল তত্ত্ব নামে পরিচিত। সমন্বিত মডেলের সাথে সম্পর্ক সিন-গর্ডন মডেল সমতল স্থানে, সিন-গর্ডন মডেলটি স্থানীয় ক্রিয়া দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ গতির সংশ্লিষ্ট শাস্ত্রীয় সমীকরণ হল সিন-গর্ডন সমীকরণ। মডেলটিকে লিউভিল তত্ত্বের একটি বিশৃঙ্খলা হিসাবে দেখা যেতে পারে। মডেলটির সঠিক এস-ম্যাট্রিক্স দুর্বল কাপলিং ব্যবস্থায় পরিচিত, এবং এটি নীচে আনুষ্ঠানিকভাবে অপরিবর্তনীয়। তবে, এটি যুক্তি দেওয়া হয়েছে যে মডেলটি নিজেই অপরিবর্তনীয় নয়। প্রয়োগ লিউভিল মাধ্যাকর্ষণ দুটি মাত্রায়, আইনস্টাইন সমীকরণগুলি লিউভিলের সমীকরণে হ্রাস পায়, তাই লিউভিল তত্ত্ব মাধ্যাকর্ষণের একটি কোয়ান্টাম তত্ত্ব সরবরাহ করে যাকে লিউভিল মাধ্যাকর্ষণ বলা হয়। এটি সিজিএইচএস মডেল বা জ্যাকিউ-টাইটেলবোইম মাধ্যাকর্ষণের সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয়। স্ট্রিং তত্ত্ব লিউভিল তত্ত্ব স্ট্রিং তত্ত্বের প্রসঙ্গে প্রদর্শিত হয় যখন পথ অবিচ্ছেদ্য গঠনে তত্ত্বের একটি অ-সমালোচনামূলক সংস্করণ গঠনের চেষ্টা করা হয়। এই তত্ত্বটি রৈখিক ডাইলেটন এবং ট্যাকিওন পটভূমি সহ দুটি স্থানকাল মাত্রায় বোসনিক স্ট্রিং তত্ত্বের বর্ণনা হিসাবেও উপস্থিত হয়। রৈখিক ডাইলেটনের পটভূমিতে গতির ট্যাকিয়ন ক্ষেত্র সমীকরণের জন্য এটির একটি সূচকীয় সমাধান প্রয়োজন। এই পটভূমিতে পলিয়াকভ ক্রিয়াটি তখন লিউভিল ক্ষেত্র তত্ত্বের অনুরূপ, যেখানে রৈখিক ডাইলেটনটি পটভূমি চার্জ পদের জন্য দায়ী এবং ট্যাকিয়নটি সূচকীয় সম্ভাব্যতায় অবদান রাখে। এলোমেলো শক্তির মডেল লিউভিল তত্ত্ব এবং নির্দিষ্ট কিছু লগ-সম্পর্কিত এলোমেলো শক্তির মডেলের মধ্যে একটি সঠিক মানচিত্র রয়েছে। এই মডেলগুলি একটি যাদৃচ্ছিক সম্ভাব্যতায় একটি তাপীয় কণার বর্ণনা দেয় যা লগারিদমিকভাবে পরস্পর সম্পর্কিত। দুটি মাত্রায়, এই ধরনের সম্ভাব্যতা গাউসিয়ান মুক্ত ক্ষেত্রের সাথে মিলে যায়। সেক্ষেত্রে, লিউভিল তত্ত্বের প্রাথমিক ক্ষেত্রগুলির মধ্যে নির্দিষ্ট পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনগুলি কণার গিবস পরিমাপের পারস্পরিক সম্পর্ক ফাংশনের সাথে ম্যাপ করা হয়। দ্বিমাত্রিক গাউসিয়ান মুক্ত ক্ষেত্রের চরম মূল্য পরিসংখ্যানে এর প্রয়োগ রয়েছে এবং লগ-সহসংযুক্ত এলোমেলো শক্তি মডেলগুলির (দুটি মাত্রা এবং তার বাইরেও) নির্দিষ্ট সার্বজনীন বৈশিষ্ট্যগুলির পূর্বাভাস দেওয়ার অনুমতি দেয়। অন্যান্য প্রয়োগ লিউভিল তত্ত্ব পদার্থবিজ্ঞান এবং গণিতের অন্যান্য বিষয়ের সাথে সম্পর্কিত, যেমন নেতিবাচকভাবে বাঁকানো জায়গাগুলিতে ত্রিমাত্রিক সাধারণ আপেক্ষিকতা, রিম্যান পৃষ্ঠের অভিন্নকরণ সমস্যা এবং কনফরমাল ম্যাপিংয়ের অন্যান্য সমস্যা। এটি এজিটি চিঠিপত্র দ্বারা একটি নির্দিষ্ট চার-মাত্রিক সুপারকন্ফর্মাল গেজ তত্ত্বের ইনস্ট্যান্টন পার্টিশন ফাংশনের সাথেও সম্পর্কিত। লিউভিল তত্ত্বের জন্য বিভ্রান্তির নামকরণ প্রথম টাইমলাইক লিউভিল তত্ত্ব নামে সময়-নির্ভর স্ট্রিং তত্ত্বের একটি মডেল হিসাবে আবির্ভূত হয়েছিল। এটিকে সাধারণীকৃত ন্যূনতম মডেলও বলা হয়। এটিকে প্রথম লিউভিল তত্ত্ব বলা হয়েছিল যখন এটি প্রকৃতপক্ষে বিদ্যমান এবং টাইমলাইকের পরিবর্তে স্পেসেলাইক বলে মনে করা হয়েছিল। 2022 সালের হিসাবে, এই তিনটি নামের মধ্যে একটিও সর্বজনীনভাবে গৃহীত হয়নি। রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক গণিতবিদরা কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণের 2 ডি সংস্করণ প্রমাণ করেছেন সত্যিই কাজ করে, চার্লি উডের কোয়ান্টা ম্যাগাজিনের নিবন্ধ, জুন 2021। অ্যান ইন্ট্রোডাকশন টু লিউভিল থিওরি, টক অ্যাট ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডি বাই অ্যান্টি কুপিয়েনেন, মে 2018। কনফরমাল ফিল্ড থিওরি স্ট্রিং থিওরি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি