Poynting vector
পদার্থবিজ্ঞানে, পয়েন্টিং ভেক্টর (বা উমভ-পয়েন্টিং ভেক্টর) একটি তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের দিকনির্দেশক শক্তি প্রবাহ (প্রতি একক এলাকা, প্রতি একক সময় শক্তি স্থানান্তর) বা শক্তি প্রবাহকে উপস্থাপন করে। পয়েন্টিং ভেক্টরের এস. আই একক হল প্রতি বর্গমিটারে ওয়াট (ডব্লিউ/এম2); বেস এস. আই এককে কেজি/এস3। এর আবিষ্কারক জন হেনরি পয়েন্টিংয়ের নামে এর নামকরণ করা হয়েছে যিনি 1884 সালে প্রথম এটি আবিষ্কার করেছিলেন। এই ধারণাটি প্রণয়নের কৃতিত্বও নিকোলাই উমভকে দেওয়া হয়। অলিভার হেভিসাইড এটিকে আরও সাধারণ আকারে স্বাধীনভাবে আবিষ্কার করেছিলেন যা সংজ্ঞায় একটি নির্বিচারে ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল যুক্ত করার স্বাধীনতাকে স্বীকৃতি দেয়। পয়েন্টিং ভেক্টরটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ক্ষেত্রগুলিতে শক্তি প্রবাহ গণনা করার জন্য পয়েন্টিংয়ের উপপাদ্য, বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় শক্তির সংরক্ষণ প্রকাশকারী ধারাবাহিকতা সমীকরণের সাথে একত্রে বৈদ্যুতিন চৌম্বকবিদ্যা জুড়ে ব্যবহৃত হয়। সংজ্ঞা পয়েন্টিং-এর মূল গবেষণাপত্রে এবং বেশিরভাগ পাঠ্যপুস্তকে পয়েন্টিং ভেক্টরকে ক্রস প্রোডাক্ট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যেখানে গাঢ় অক্ষরগুলি ভেক্টরকে উপস্থাপন করে এবং ই হল বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের ভেক্টর; এইচ হল চৌম্বক ক্ষেত্রের সহায়ক ক্ষেত্র ভেক্টর বা চৌম্বক ক্ষেত্র। এই অভিব্যক্তিটিকে প্রায়শই আব্রাহাম রূপ বলা হয় এবং এটি সর্বাধিক ব্যবহৃত হয়। পয়েন্টিং ভেক্টরকে সাধারণত এস বা এন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সহজ ভাষায়, পয়েন্টিং ভেক্টর এস স্থানের একটি অঞ্চলে বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ক্ষেত্রের কারণে শক্তির স্থানান্তরের দিক এবং হারকে চিত্রিত করে, যা খালি হতে পারে বা নাও হতে পারে। আরও কঠোরভাবে, পয়েন্টিং-এর উপপাদ্যকে বৈধ করার জন্য এই পরিমাণটি অবশ্যই ব্যবহার করতে হবে। পয়েন্টিং-এর উপপাদ্য মূলত বলে যে, একটি অঞ্চলে প্রবেশকারী তড়িৎচুম্বকীয় শক্তি এবং একটি অঞ্চল থেকে বেরিয়ে আসা তড়িৎচুম্বকীয় শক্তির মধ্যে পার্থক্য অবশ্যই সেই অঞ্চলে রূপান্তরিত বা বিলুপ্ত শক্তির সমান হতে হবে, অর্থাৎ শক্তির একটি ভিন্ন রূপ (প্রায়শই তাপ)-এ পরিণত হতে হবে। সুতরাং যদি কেউ বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় শক্তি স্থানান্তরের পয়েন্টিং ভেক্টর বর্ণনার বৈধতা গ্রহণ করে, তবে পয়েন্টিংয়ের উপপাদ্যটি কেবল শক্তি সংরক্ষণের একটি বিবৃতি। যদি কোনও অঞ্চলের মধ্যে তড়িৎচুম্বকীয় শক্তি অন্য কোনও শক্তি থেকে প্রাপ্ত বা হারিয়ে না যায় (যেমন, যান্ত্রিক শক্তি বা তাপ), তাহলে সেই অঞ্চলের মধ্যে তড়িৎচুম্বকীয় শক্তি স্থানীয়ভাবে সংরক্ষিত থাকে, যা পয়েন্টিং-এর উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে একটি ধারাবাহিকতা সমীকরণ প্রদান করেঃ তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের শক্তির ঘনত্ব কোথায়। এই ঘন ঘন অবস্থাটি নিম্নলিখিত সহজ উদাহরণে রয়েছে যেখানে পয়েন্টিং ভেক্টর গণনা করা হয় এবং একটি বৈদ্যুতিক বর্তনীতে শক্তির স্বাভাবিক গণনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে মনে করা হয়। উদাহরণস্বরূপঃ একটি সমাক্ষ তারের মধ্যে বিদ্যুৎ প্রবাহ যদিও স্বেচ্ছাচারী জ্যামিতি সহ বৈদ্যুতিন চৌম্বকবিদ্যার সমস্যাগুলি সমাধান করা কুখ্যাতভাবে কঠিন, আমরা সহগামী রেখাচিত্রে বর্ণিত নলাকার স্থানাঙ্কে বিশ্লেষণ করা সমাক্ষ তারের একটি অংশের মাধ্যমে বিদ্যুৎ সঞ্চালনের ক্ষেত্রে তুলনামূলকভাবে সহজ সমাধান খুঁজে পেতে পারি। আমরা মডেলের প্রতিসাম্যের সুবিধা নিতে পারিঃ θ (বৃত্তাকার প্রতিসাম্য) বা Z (তারের পাশে অবস্থান)-এর উপর কোনও নির্ভরতা নেই। মডেল (এবং সমাধান) কে কেবল একটি ডিসি সার্কিট হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যার কোনও সময় নির্ভরতা নেই, তবে নিম্নলিখিত সমাধানটি রেডিও ফ্রিকোয়েন্সি পাওয়ার সংক্রমণের ক্ষেত্রে সমানভাবে প্রযোজ্য, যতক্ষণ না আমরা একটি মুহূর্তের সময় বিবেচনা করছি (যার সময় ভোল্টেজ এবং কারেন্ট পরিবর্তন হয় না), এবং তারের যথেষ্ট ছোট অংশে (তরঙ্গদৈর্ঘ্যের তুলনায় অনেক ছোট, যাতে এই পরিমাণগুলি জেড-এর উপর নির্ভরশীল না হয়)। সমাক্ষ তারটিকে R1 ব্যাসার্ধের একটি অভ্যন্তরীণ পরিবাহী এবং একটি বাইরের পরিবাহী হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়েছে যার অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ R2 (R2 এর বাইরে এর পুরুত্ব নিম্নলিখিত বিশ্লেষণকে প্রভাবিত করে না)। আর1 এবং আর2-এর মধ্যে কেবলটিতে আপেক্ষিক পারমিটিভিটি εr-এর একটি আদর্শ ডাইলেক্ট্রিক উপাদান থাকে এবং আমরা এমন কন্ডাক্টরগুলি ধরে নিই যা অ-চৌম্বকীয় (তাই μ = μ0) এবং ক্ষতিহীন (নিখুঁত কন্ডাক্টর), যার সবগুলিই সাধারণ পরিস্থিতিতে বাস্তব-বিশ্বের সমাক্ষ তারের ভাল অনুমান। কেন্দ্রের কন্ডাক্টরটি ভোল্টেজ V-তে ধরে রাখা হয় এবং ডানদিকে একটি বিদ্যুৎ I টানতে থাকে, তাই আমরা বিদ্যুতের মৌলিক আইন অনুসারে P = V·I-এর মোট বিদ্যুৎ প্রবাহ আশা করি। যাইহোক, পয়েন্টিং ভেক্টরের মূল্যায়ন করে আমরা সমাক্ষ তারের অভ্যন্তরে বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বক ক্ষেত্রের পরিপ্রেক্ষিতে বিদ্যুৎ প্রবাহের রূপরেখা সনাক্ত করতে সক্ষম হই। প্রতিটি পরিবাহীর অভ্যন্তরে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র অবশ্যই শূন্য, তবে পরিবাহী ()-এর মধ্যে প্রতিসাম্য নির্দেশ করে যে তারা কঠোরভাবে রেডিয়াল দিকে রয়েছে এবং এটি দেখানো যেতে পারে (গাউসের সূত্র ব্যবহার করে) যে তাদের অবশ্যই নিম্নলিখিত রূপটি মেনে চলতে হবেঃ W-কে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রকে সংহত করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে যা থেকে অবশ্যই ভোল্টেজ V-এর ঋণাত্মক হতে হবেঃ যাতেঃ চৌম্বক ক্ষেত্র, আবার প্রতিসাম্য দ্বারা, শুধুমাত্র θ দিকে অ-শূন্য হতে পারে, অর্থাৎ, R1 এবং R2-এর মধ্যে প্রতিটি ব্যাসার্ধে কেন্দ্র পরিবাহীর চারপাশে লুপিং একটি ভেক্টর ক্ষেত্র। পরিবাহীদের অভ্যন্তরে চৌম্বক ক্ষেত্র শূন্য হতে পারে বা নাও হতে পারে, তবে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র শূন্য হওয়ার কারণে এই অঞ্চলগুলিতে পয়েন্টিং ভেক্টর শূন্য হওয়ার কারণে এটি উদ্বেগের বিষয় নয়। সমগ্র সমাক্ষ তারের বাইরে, চৌম্বক ক্ষেত্রটি অভিন্নভাবে শূন্য কারণ এই অঞ্চলের পথগুলি শূন্যের একটি মোট বিদ্যুৎ প্রবাহকে (কেন্দ্রের পরিবাহীতে + I এবং বাইরের পরিবাহীতে-I) আবদ্ধ করে এবং আবার সেখানে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রটি শূন্য হয়। R1 থেকে R2 পর্যন্ত অঞ্চলে অ্যাম্পিয়ারের সূত্র ব্যবহার করে, যা কেন্দ্রের পরিবাহীতে বিদ্যুৎ + I কে আবদ্ধ করে কিন্তু বাইরের পরিবাহীতে বিদ্যুৎ থেকে কোনও অবদান ছাড়াই, আমরা ব্যাসার্ধে r খুঁজে পাইঃ এখন, রেডিয়াল দিকে একটি বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র থেকে, এবং একটি স্পর্শক চৌম্বক ক্ষেত্র, পয়েন্টিং ভেক্টর, এগুলির ক্রস-প্রোডাক্ট দ্বারা প্রদত্ত, কেবল Z দিকে অ-শূন্য, সমাক্ষ তারের দিক বরাবর, যেমন আমরা আশা করব। আবার শুধুমাত্র r এর একটি ফাংশন, আমরা S (r) মূল্যায়ন করতে পারিঃ যেখানে W কেন্দ্রের পরিবাহী ভোল্টেজ V-এর পরিপ্রেক্ষিতে উপরে দেওয়া হয়েছে। সমাক্ষ তারের নিচে প্রবাহিত মোট শক্তি পরিবাহীদের মধ্যে তারের পুরো ক্রস সেকশন A-এর উপর সংহত করে গণনা করা যেতে পারেঃ ধ্রুবক W-এর জন্য পূর্ববর্তী সমাধানটি প্রতিস্থাপন করে আমরা দেখতে পাইঃ অর্থাৎ, সমাক্ষ তারের একটি ক্রস সেকশনের উপর পয়েন্টিং ভেক্টরকে সংহত করে দেওয়া শক্তি ভোল্টেজ এবং কারেন্টের গুণফলের ঠিক সমান, যেমন বিদ্যুতের মৌলিক আইন ব্যবহার করে প্রদত্ত শক্তির জন্য গণনা করা হত। অন্যান্য রূপ ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের "মাইক্রোস্কোপিক" সংস্করণে, এই সংজ্ঞাটিকে অবশ্যই বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র ই এবং চৌম্বকীয় প্রবাহ ঘনত্ব বি (নিবন্ধে পরে বর্ণিত) এর পরিপ্রেক্ষিতে একটি সংজ্ঞা দ্বারা প্রতিস্থাপিত করতে হবে। পয়েন্টিং ভেক্টরের মিনকোভস্কি রূপ পেতে চৌম্বকীয় প্রবাহ বি-এর সাথে বৈদ্যুতিক স্থানচ্যুতি ক্ষেত্র ডি-কে একত্রিত করাও সম্ভব, অথবা আরও একটি সংস্করণ তৈরি করতে ডি এবং এইচ ব্যবহার করা সম্ভব। পছন্দটি বিতর্কিত হয়েছেঃ ফাইফার এবং অন্যান্যরা। আব্রাহাম এবং মিনকোভস্কি রূপের প্রবক্তাদের মধ্যে শতাব্দীব্যাপী বিরোধের সংক্ষিপ্তসার এবং একটি নির্দিষ্ট পরিমাণে সমাধান করুন (আব্রাহাম-মিনকোভস্কি বিতর্ক দেখুন)। পয়েন্টিং ভেক্টর তড়িৎচুম্বকীয় শক্তির জন্য একটি শক্তি প্রবাহ ভেক্টরের নির্দিষ্ট কেসকে উপস্থাপন করে। যাইহোক, যে কোনও ধরনের শক্তির স্থানের গতির দিক রয়েছে, সেইসাথে তার ঘনত্বও রয়েছে, তাই শক্তি প্রবাহ ভেক্টরকে অন্যান্য ধরনের শক্তির জন্যও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেমন যান্ত্রিক শক্তির জন্য। 1874 সালে নিকোলাই উমভ দ্বারা আবিষ্কৃত উমভ-পয়েন্টিং ভেক্টর সম্পূর্ণ সাধারণ দৃষ্টিতে তরল এবং স্থিতিস্থাপক মাধ্যমের শক্তি প্রবাহকে বর্ণনা করে। ব্যাখ্যা পয়েন্টিং ভেক্টর পয়েন্টিং-এর উপপাদ্য (ব্যুৎপত্তির জন্য সেই নিবন্ধটি দেখুন), একটি শক্তি-সংরক্ষণ আইনঃ যেখানে Jf হল মুক্ত চার্জের বর্তমান ঘনত্ব এবং u হল রৈখিক, অ-বিচ্ছুরিত পদার্থের জন্য বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় শক্তির ঘনত্ব, যেখানে E হল বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র; D হল বৈদ্যুতিক স্থানচ্যুতি ক্ষেত্র; B হল চৌম্বকীয় প্রবাহের ঘনত্ব; H হল চৌম্বকীয় ক্ষেত্র। ডানদিকের প্রথম পদটি তড়িৎচুম্বকীয় শক্তির প্রবাহকে একটি ছোট আয়তনে উপস্থাপন করে, অন্যদিকে দ্বিতীয় পদটি মুক্ত বৈদ্যুতিক স্রোতের উপর ক্ষেত্রের দ্বারা করা কাজকে বিয়োগ করে, যার ফলে তড়িৎচুম্বকীয় শক্তি থেকে অপচয়, তাপ ইত্যাদি হিসাবে বেরিয়ে আসে। এই সংজ্ঞায়, আবদ্ধ বৈদ্যুতিক স্রোতগুলি এই শব্দের অন্তর্ভুক্ত নয় এবং পরিবর্তে এস এবং ইউ-তে অবদান রাখে। রৈখিক, ননডিস্পার্সিভ এবং আইসোট্রপিক (সরলতার জন্য) উপকরণগুলির জন্য, গঠনমূলক সম্পর্কগুলি লেখা যেতে পারে যেখানে ε হল উপাদানটির পারগম্যতা; μ হল উপাদানটির ব্যাপ্তিযোগ্যতা। এখানে ε এবং μ হল স্কেলার, অবস্থান, দিক এবং ফ্রিকোয়েন্সি থেকে স্বাধীন বাস্তব-মূল্যবান ধ্রুবক। নীতিগতভাবে, এটি পয়েন্টিং-এর উপপাদ্যকে ভ্যাকুয়াম এবং ননডিস্পার্সিভ রৈখিক পদার্থের ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ করে। নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে অতিরিক্ত শর্তের বিনিময়ে বিচ্ছুরণকারী উপকরণগুলির একটি সাধারণীকরণ সম্ভব। পয়েন্টিং সূত্রের একটি পরিণতি হল যে বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ক্ষেত্রটি কাজ করার জন্য চৌম্বকীয় এবং বৈদ্যুতিক উভয় ক্ষেত্রই উপস্থিত থাকতে হবে। শুধুমাত্র চৌম্বক ক্ষেত্র বা একা বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র কোনও কাজ করতে পারে না। সমতল তরঙ্গ একটি আইসোট্রপিক ক্ষতিহীন মাধ্যমে প্রচারিত বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় সমতল তরঙ্গে, তাৎক্ষণিক পয়েন্টিং ভেক্টর সর্বদা বিস্তারের দিকে নির্দেশ করে এবং দ্রুত মাত্রায় দোলন করে। এটি সহজভাবে দেখা যায় যে একটি সমতল তরঙ্গে, চৌম্বক ক্ষেত্র H (r, t)-এর মাত্রা বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র ভেক্টর E (r, t)-এর মাত্রা দ্বারা η দ্বারা ভাগ করা হয়, যা সংক্রমণ মাধ্যমের অভ্যন্তরীণ প্রতিবন্ধকতাঃ যেখানে |A। A-এর ভেক্টর আদর্শকে উপস্থাপন করে। যেহেতু E এবং H একে অপরের সমকোণে রয়েছে, তাই তাদের ক্রস প্রোডাক্টের মাত্রা হল তাদের মাত্রার গুণফল। সাধারণতা না হারিয়ে আসুন আমরা এক্স-কে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের দিক এবং ওয়াই-কে চৌম্বক ক্ষেত্রের দিক হিসাবে গ্রহণ করি। E এবং H-এর ক্রস গুণফল দ্বারা প্রদত্ত তাৎক্ষণিক পয়েন্টিং ভেক্টরটি তখন ধনাত্মক Z দিকে থাকবেঃ সমতল তরঙ্গে সময়-গড় শক্তি খুঁজে বের করার জন্য তরঙ্গ সময়ের (তরঙ্গের বিপরীত ফ্রিকোয়েন্সি) গড় প্রয়োজনঃ যেখানে এরমস হল মূল গড় বর্গ বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের প্রশস্ততা। যে গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে ই (টি) শীর্ষ প্রশস্ততা এপিক সহ কিছু ফ্রিকোয়েন্সিতে সাইনোসয়েডিকভাবে পরিবর্তিত হয়, তার আরএমএস ভোল্টেজ গড় পয়েন্টিং ভেক্টর দিয়ে দেওয়া হয়ঃ এটি একটি সমতল তরঙ্গের শক্তি প্রবাহের জন্য সবচেয়ে সাধারণ রূপ, যেহেতু সাইনোসয়েডাল ক্ষেত্রের প্রশস্ততা প্রায়শই তাদের শীর্ষ মানের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয় এবং জটিল সমস্যাগুলি সাধারণত একবারে শুধুমাত্র একটি ফ্রিকোয়েন্সি বিবেচনা করে সমাধান করা হয়। যাইহোক, এআরএমএস ব্যবহার করে অভিব্যক্তিটি সম্পূর্ণ সাধারণ, উদাহরণস্বরূপ, শব্দের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয় যার আরএমএস প্রশস্ততা পরিমাপ করা যেতে পারে তবে যেখানে "শিখর" প্রশস্ততা অর্থহীন। মুক্ত স্থানে অভ্যন্তরীণ প্রতিবন্ধকতা η কেবল মুক্ত স্থানের প্রতিবন্ধকতা η0 ≈ 377 ω দ্বারা দেওয়া হয়। একটি নির্দিষ্ট ডাইলেট্রিক ধ্রুবক εr সহ অ-চৌম্বকীয় ডাইলেক্ট্রিকগুলিতে (যেমন অপটিক্যাল ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে সমস্ত স্বচ্ছ উপকরণ), বা এমন কোনও উপাদান যার প্রতিসরাঙ্ক সহ আলোকবিজ্ঞানে, অভ্যন্তরীণ প্রতিবন্ধকতা পাওয়া যায়ঃ আলোকবিজ্ঞানে, একটি পৃষ্ঠ অতিক্রমকারী বিকিরণ প্রবাহের মান, এইভাবে সেই পৃষ্ঠের স্বাভাবিক দিকে গড় পয়েন্টিং ভেক্টর উপাদান, প্রযুক্তিগতভাবে বিকিরণ হিসাবে পরিচিত, যা প্রায়শই কেবল তীব্রতা (কিছুটা অস্পষ্ট শব্দ) হিসাবে উল্লেখ করা হয়। মাইক্রোস্কোপিক ক্ষেত্রের পরিপ্রেক্ষিতে গঠন ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের "মাইক্রোস্কোপিক" (ডিফারেনশিয়াল) সংস্করণটি উপাদান মাধ্যমের একটি অন্তর্নির্মিত মডেল ছাড়াই শুধুমাত্র মৌলিক ক্ষেত্র E এবং B গ্রহণ করে। শুধুমাত্র ভ্যাকুয়াম পারমিটিভিটি এবং পারগম্যতা ব্যবহার করা হয়, এবং কোনও ডি বা এইচ নেই। যখন এই মডেলটি ব্যবহার করা হয়, তখন পয়েন্টিং ভেক্টরকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে শূন্যস্থান পারগম্যতা হল μ0; ই হল বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের ভেক্টর; বি হল চৌম্বকীয় প্রবাহ। এটি আসলে পয়েন্টিং ভেক্টরের সাধারণ অভিব্যক্তি। পয়েন্টিং-এর উপপাদ্যের সংশ্লিষ্ট রূপটি হল যেখানে J হল মোট বিদ্যুৎ ঘনত্ব এবং শক্তির ঘনত্ব u দেওয়া হয় যেখানে ε0 হল ভ্যাকুয়াম পারমিটিভিটি। এটি সরাসরি ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ থেকে মোট আধান এবং বিদ্যুৎ এবং শুধুমাত্র লরেঞ্জ বল আইনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। পয়েন্টিং ভেক্টরের দুটি বিকল্প সংজ্ঞা ভ্যাকুয়াম বা অ-চৌম্বকীয় পদার্থের ক্ষেত্রে সমান, যেখানে। অন্যান্য সমস্ত ক্ষেত্রে, এগুলির মধ্যে পার্থক্য রয়েছে এবং সংশ্লিষ্ট u সম্পূর্ণরূপে বিকিরণশীল, যেহেতু অপচয় শব্দটি মোট বিদ্যুৎ প্রবাহকে অন্তর্ভুক্ত করে, অন্যদিকে E × H সংজ্ঞায় আবদ্ধ বিদ্যুৎ প্রবাহ থেকে অবদান রয়েছে যা পরে অপচয় শব্দ থেকে বাদ দেওয়া হয়। যেহেতু শুধুমাত্র অণুবীক্ষণিক ক্ষেত্র ই এবং বি এর উৎপত্তি এবং শক্তির ঘনত্বে ঘটে, তাই উপস্থিত কোনও উপাদান সম্পর্কে অনুমান এড়ানো হয়। শক্তি ঘনত্বের জন্য পয়েন্টিং ভেক্টর এবং উপপাদ্য এবং অভিব্যক্তি ভ্যাকুয়াম এবং সমস্ত উপাদানে সর্বজনীনভাবে বৈধ। সময়-গড় পয়েন্টিং ভেক্টর পয়েন্টিং ভেক্টরের উপরের রূপটি তাৎক্ষণিক বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বক ক্ষেত্রের কারণে তাৎক্ষণিক শক্তি প্রবাহের প্রতিনিধিত্ব করে। আরও সাধারণভাবে, বৈদ্যুতিন চৌম্বকবিদ্যার সমস্যাগুলি একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে সাইনোসয়েডালভাবে পরিবর্তিত ক্ষেত্রের পরিপ্রেক্ষিতে সমাধান করা হয়। ফলাফলগুলি তখন আরও সাধারণভাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সিতে এবং ওঠানামাশীল প্রশস্ততা সহ এই ধরনের তরঙ্গগুলির একটি সুপারপজিশন হিসাবে অসঙ্গতিপূর্ণ বিকিরণকে উপস্থাপন করে। সুতরাং আমরা তাৎক্ষণিক এবং উপরে ব্যবহৃত বিবেচনা করব না, বরং প্রত্যেকটির জন্য একটি জটিল (ভেক্টর) প্রশস্ততা বিবেচনা করব যা ফেজার স্বরলিপি ব্যবহার করে একটি সুসঙ্গত তরঙ্গের পর্যায় (পাশাপাশি প্রশস্ততা) বর্ণনা করে। এই জটিল প্রশস্ততা ভেক্টরগুলি সময়ের ফাংশন নয়, কারণ এগুলি সর্বকালের দোলনকে বোঝায় বলে বোঝা যায়। যেমন একটি ফেজার একটি সাইনোসয়েডালভাবে পরিবর্তিত ক্ষেত্রকে বোঝায় যার তাৎক্ষণিক প্রশস্ততা সাইনোসয়েডাল তরঙ্গের (রেডিয়ান) ফ্রিকোয়েন্সি যেখানে বিবেচনা করা হচ্ছে তার বাস্তব অংশকে অনুসরণ করে। টাইম ডোমেইনে দেখা যাবে যে তাৎক্ষণিক বিদ্যুৎ প্রবাহ 2ω ফ্রিকোয়েন্সিতে ওঠানামা করবে। কিন্তু যা সাধারণত আগ্রহের বিষয় তা হল গড় বিদ্যুৎ প্রবাহ যেখানে সেই ওঠানামা বিবেচনা করা হয় না। নীচের গণিতে, এটি একটি সম্পূর্ণ চক্র জুড়ে সংহত করে সম্পন্ন করা হয়। নিম্নলিখিত পরিমাণ, যা এখনও "পয়েন্টিং ভেক্টর" হিসাবে উল্লেখ করা হয়, সরাসরি ফেজারের পরিপ্রেক্ষিতে এভাবে প্রকাশ করা হয়ঃ যেখানে ঱্঱ং জটিল সংমিশ্রণকে বোঝায়। সময়-গড় শক্তি প্রবাহ (উদাহরণস্বরূপ, একটি পূর্ণ চক্রের গড় তাৎক্ষণিক পয়েন্টিং ভেক্টর অনুসারে) তারপর এর বাস্তব অংশ দ্বারা দেওয়া হয়। কাল্পনিক অংশটি সাধারণত উপেক্ষা করা হয়, তবে এটি "প্রতিক্রিয়াশীল শক্তি" বোঝায় যেমন একটি স্থায়ী তরঙ্গ বা অ্যান্টেনার নিকটবর্তী ক্ষেত্রের কারণে হস্তক্ষেপ। একটি একক বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় সমতল তরঙ্গে (একটি স্থায়ী তরঙ্গের পরিবর্তে যা বিপরীত দিকে ভ্রমণকারী দুটি তরঙ্গ হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে), এবং ঠিক পর্যায়ে রয়েছে, তাই উপরের সংজ্ঞা অনুসারে এটি কেবল একটি বাস্তব সংখ্যা। তাৎক্ষণিক পয়েন্টিং ভেক্টরের সময়-গড়ের সমতুল্যতা নিম্নরূপ দেখানো যেতে পারে। সময়ের সাথে সাথে তাৎক্ষণিক পয়েন্টিং ভেক্টর এস-এর গড় নিম্নরূপঃ দ্বিতীয় পদটি হল শূন্যের গড় মান সহ দ্বিগুণ-ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান, তাই আমরা দেখতে পাইঃ কিছু প্রথা অনুসারে, উপরের সংজ্ঞায় 1/2-এর গুণক বাদ দেওয়া যেতে পারে। শক্তির প্রবাহকে সঠিকভাবে বর্ণনা করতে এবং দোলনশীল পরিমাণের সর্বোচ্চ ক্ষেত্রগুলিকে বোঝাতে এক-তৃতীয়াংশ দ্বারা গুণন প্রয়োজন। পরিবর্তে যদি ক্ষেত্রগুলি তাদের মূল গড় বর্গ (আরএমএস) মানের পরিপ্রেক্ষিতে বর্ণনা করা হয় (যা প্রতিটি ফ্যাক্টর দ্বারা ছোট হয়), তবে সঠিক গড় শক্তি প্রবাহ 1/2 দ্বারা গুণ না করেই প্রাপ্ত হয়। প্রতিরোধী অপচয় যদি কোনও পরিবাহীর উল্লেখযোগ্য প্রতিরোধ থাকে, তবে, সেই পরিবাহীর পৃষ্ঠের কাছাকাছি, পয়েন্টিং ভেক্টরটি পরিবাহীর দিকে ঝুঁকে থাকবে এবং তার উপর প্রভাব ফেলবে। একবার পয়েন্টিং ভেক্টর পরিবাহীতে প্রবেশ করলে, এটি এমন একটি দিকে বাঁকানো থাকে যা পৃষ্ঠের প্রায় লম্ব। এটি স্নেলের সূত্র এবং একটি পরিবাহীর ভিতরে আলোর খুব ধীর গতির ফল। একটি পরিবাহীতে আলোর গতির সংজ্ঞা এবং গণনা দেওয়া যেতে পারে। পরিবাহীর অভ্যন্তরে, পয়েন্টিং ভেক্টরটি তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্র থেকে তারের মধ্যে শক্তির প্রবাহের প্রতিনিধিত্ব করে, যা তারের মধ্যে প্রতিরোধী জুল উত্তাপ তৈরি করে। স্নেলের সূত্র থেকে শুরু হওয়া একটি ব্যুৎপত্তির জন্য রিটজ পৃষ্ঠা 454 দেখুন। বিকিরণ চাপ তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের রৈখিক ভরবেগের ঘনত্ব হল S/c2 যেখানে S হল পয়েন্টিং ভেক্টরের মাত্রা এবং c হল মুক্ত স্থানে আলোর গতিবেগ। একটি লক্ষ্যের পৃষ্ঠে একটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় তরঙ্গ দ্বারা প্রদত্ত বিকিরণ চাপ পয়েন্টিং ভেক্টরের অনন্যতা দ্বারা দেওয়া হয় পয়েন্টিং ভেক্টরটি পয়েন্টিংয়ের উপপাদ্যতে কেবল তার বিচ্যুতির মাধ্যমে ঘটে, অর্থাৎ, এটি কেবল প্রয়োজন যে একটি বদ্ধ পৃষ্ঠের চারপাশে পয়েন্টিং ভেক্টরের পৃষ্ঠ অবিচ্ছেদ্য আবদ্ধ আয়তনের মধ্যে বা বাইরে বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় শক্তির নিট প্রবাহ বর্ণনা করে। এর মানে হল যে, S-এর সাথে একটি সোলিনয়েডাল ভেক্টর ক্ষেত্র (শূন্য বিচ্যুতি সহ একটি) যোগ করার ফলে অন্য একটি ক্ষেত্র তৈরি হবে যা পয়েন্টিং-এর উপপাদ্য অনুসারে একটি পয়েন্টিং ভেক্টর ক্ষেত্রের এই প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। যেহেতু যে কোনও কার্লের বিচ্যুতি শূন্য, তাই পয়েন্টিং ভেক্টরে যে কোনও ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল যোগ করা যেতে পারে এবং ফলস্বরূপ ভেক্টর ক্ষেত্র S′ পয়েন্টিংয়ের উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করবে। যদিও পয়েন্টিং ভেক্টরটি মূলত কেবল পয়েন্টিংয়ের উপপাদ্যের জন্য প্রণয়ন করা হয়েছিল যেখানে কেবল তার বিচ্যুতি দেখা যায়, তবে দেখা যায় যে এর রূপের উপরের পছন্দটি অনন্য। নিম্নলিখিত বিভাগটি একটি উদাহরণ দেয় যা ব্যাখ্যা করে যে কেন ই × এইচ স্ট্যাটিক ক্ষেত্রগুলিতে একটি নির্বিচারে সোলিনয়েডাল ক্ষেত্র যুক্ত করা গ্রহণযোগ্য নয় স্ট্যাটিক ক্ষেত্রগুলিতে পয়েন্টিং ভেক্টরের বিবেচনা ম্যাক্সওয়েল সমীকরণগুলির আপেক্ষিক প্রকৃতি দেখায় এবং লরেঞ্জ বলের চৌম্বকীয় উপাদান সম্পর্কে আরও ভাল বোঝার অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, সঙ্গত ছবিটি বিবেচনা করা হয়, যা একটি নলাকার ক্যাপাসিটারে পয়েন্টিং ভেক্টরকে বর্ণনা করে, যা একটি স্থায়ী চুম্বক দ্বারা উত্পন্ন একটি এইচ ক্ষেত্রে (পৃষ্ঠায় নির্দেশ করে) অবস্থিত। যদিও শুধুমাত্র স্থির বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বক ক্ষেত্র রয়েছে, পয়েন্টিং ভেক্টরের গণনাটি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় শক্তির একটি ঘড়ির কাঁটার দিকে বৃত্তাকার প্রবাহ তৈরি করে, যার কোনও শুরু বা শেষ নেই। যদিও প্রবাহিত শক্তির প্রবাহকে অবাস্তব বলে মনে হতে পারে, তবে কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণের জন্য এর অস্তিত্ব প্রয়োজন। মুক্ত স্থানে একটি তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গের গতিবেগ তার শক্তিকে c দ্বারা ভাগ করলে আলোর গতির সমান হয়। অতএব, তড়িৎচুম্বকীয় শক্তির বৃত্তাকার প্রবাহ একটি কৌণিক ভরবেগকে বোঝায়। যদি চার্জ করা ক্যাপাসিটরের দুটি প্লেটের মধ্যে একটি তার সংযুক্ত করা হয়, তবে সেই তারের উপর একটি লরেঞ্জ বল থাকবে যখন ডিসচার্জ কারেন্ট এবং ক্রস করা চৌম্বক ক্ষেত্রের কারণে ক্যাপাসিটরটি নির্গত হচ্ছে; সেই বলটি কেন্দ্রীয় অক্ষের স্পর্শক হবে এবং এইভাবে সিস্টেমে কৌণিক ভরবেগ যোগ করবে। সেই কৌণিক ভরবেগ পয়েন্টিং ভেক্টর দ্বারা প্রকাশিত "লুকানো" কৌণিক ভরবেগের সাথে মেলে, যা ক্যাপাসিটরটি ছেড়ে দেওয়ার আগে সঞ্চালিত হয়। আরও দেখুন তরঙ্গ ভেক্টর রেফারেন্স আরও পড়া বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় বিকিরণ অপটিক্যাল পরিমাণ ভেক্টর (গণিত এবং পদার্থবিজ্ঞান)