Principle of permanence
গণিতের ইতিহাসে, স্থায়ীত্বের নীতি বা সমতুল্য রূপগুলির স্থায়ীত্বের সূত্রটি ছিল এই ধারণা যে যোগ এবং গুণনের মতো বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি প্রতিটি সংখ্যা ব্যবস্থায় ধারাবাহিকভাবে আচরণ করা উচিত, বিশেষত যখন প্রতিষ্ঠিত সংখ্যা ব্যবস্থার সম্প্রসারণগুলি বিকাশ করা হয়। আধুনিক গণিতের আবির্ভাব এবং স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির উপর জোর দেওয়ার আগে, স্থায়ীত্বের নীতিটি গাণিতিক যুক্তিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার হিসাবে বিবেচিত হত। আধুনিক গণিতে, যুক্তিসমূহের পরিবর্তে স্বতঃসিদ্ধের উপর নির্মিত কঠোর প্রমাণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে এবং এর পরিবর্তে নীতিটি নতুন বীজগাণিতিক কাঠামো আবিষ্কারের জন্য অনুসন্ধানমূলক হিসাবে ব্যবহৃত হয়। উপরন্তু, নীতিটি স্থানান্তর নীতি নামক উপপাদ্যের একটি শ্রেণীতে আনুষ্ঠানিক করা হয়েছে, যা বলে যে কোনও ভাষার সমস্ত বিবৃতি যা কোনও কাঠামোর জন্য সত্য তা অন্য কাঠামোর জন্য সত্য। জর্জ পিকক তাঁর 'আ ট্রিটাইজ অফ অ্যালজেব্রা' (মূল ভাষায় জোর দেওয়া): 132 বইয়ে এই নীতির বর্ণনা দিয়েছেন। আসুন আমরা আবার সমতুল্য রূপগুলির স্থায়ীত্বের এই নীতি বা আইনে ফিরে আসি এবং সরাসরি এবং বিপরীত অনুপাতের আকারে বলা হলে এটি বিবেচনা করি। "যে রূপই বীজগাণিতিকভাবে অন্যের সমতুল্য হোক না কেন, যখন সাধারণ প্রতীকে প্রকাশ করা হয়, তখন অবশ্যই সত্য হতে হবে, সেই প্রতীকগুলি যাই নির্দেশ করুক না কেন।" বিপরীতভাবে, যদি আমরা গাণিতিক বীজগণিত বা অন্য কোনও অধস্তন বিজ্ঞানে সমতুল্য রূপ আবিষ্কার করি, যখন প্রতীকগুলি আকারে সাধারণ হলেও তাদের প্রকৃতিতে নির্দিষ্ট, তখন একই সমতুল্য রূপ হতে হবে, যখন প্রতীকগুলি তাদের প্রকৃতির পাশাপাশি তাদের আকারেও সাধারণ। নীতিটি পরে হারমান হ্যাঙ্কেল দ্বারা সংশোধিত হয়েছিল এবং জুসেপ্পে পিয়ানো, আর্নস্ট ম্যাক, হারমান শুবার্ট, আলফ্রেড প্রিংশেইম এবং অন্যান্যরা গ্রহণ করেছিলেন। প্রায় একই সময়ে অ্যা ট্রিটাইজ অফ অ্যালজেব্রা, অগাস্টিন-লুই কাউচি কোর্স ডি 'অ্যানালাইস প্রকাশ করেছিলেন, যা ইউলার এবং ল্যাগ্রাঞ্জের মতো 18 শতকের গণিতবিদদের দ্বারা ব্যবহৃত যুক্তির একটি পদ্ধতি বর্ণনা করতে (এবং সমালোচনা করতে) "বীজগণিতের সাধারণতা" শব্দটি ব্যবহার করেছিল যা স্থায়ীত্বের নীতির অনুরূপ ছিল। প্রয়োগ স্থায়ীত্বের নীতির অন্যতম প্রধান ব্যবহার হল এটি দেখানো যে বাস্তব সংখ্যার জন্য একটি কার্যকরী সমীকরণ জটিল সংখ্যার জন্যও প্রযোজ্য। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি সমস্ত বাস্তব সংখ্যা s, t-এর জন্য প্রযোজ্য। দুটি চলকের ফাংশনের স্থায়ীত্বের নীতি অনুসারে, এটি বোঝায় যে এটি সমস্ত জটিল সংখ্যার জন্যও প্রযোজ্য। একটি বিপরীত উদাহরণের জন্য, যোগের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করুনঃ সকলের জন্য, যোগের বাম-বাতিলকারী বৈশিষ্ট্যঃ যদি, তাহলে, সকলের জন্য। উভয় বৈশিষ্ট্যই সমস্ত প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ, বাস্তব এবং জটিল সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য। যাইহোক, যখন, জর্জ ক্যান্টরকে অনুসরণ করে, প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি অনন্তের বাইরে প্রসারিত হয়, তখন এমন কোনও ব্যবস্থা জানা যায় না যা একই সাথে উভয় বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। অর্ডিনাল অ্যারিথমেটিক-এ, সংযোজন বাম-বাতিলকারী, তবে আর বিনিময়যোগ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ,। কার্ডিনাল অ্যারিথমেটিক-এ, সংযোজন বিনিময়যোগ্য, তবে বাম-বাতিলকারী নয়, কারণ যখনই বা অসীম। উদাহরণস্বরূপ, কিন্তু। তাই উভয় ব্যবস্থাই স্থায়ীত্বের নীতি লঙ্ঘন করে। তথ্যসূত্র গণিতের ইতিহাস