Complete set of commuting observables
কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, কমিউটিং অবজারভেবলের একটি সম্পূর্ণ সেট (সি. এস. সি. ও) হল কমিউটিং অপারেটরদের একটি সেট যার সাধারণ আইগেনভেক্টরগুলি যে কোনও কোয়ান্টাম অবস্থা প্রকাশের ভিত্তি হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। বিচ্ছিন্ন বর্ণালী সহ অপারেটরদের ক্ষেত্রে, একটি সি. এস. সি. ও হল যাতায়াতযোগ্য পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলির একটি সেট যার যুগপৎ আইগেনস্পেসগুলি হিলবার্ট স্থান জুড়ে বিস্তৃত, যাতে আইগেনভেক্টরগুলি আইগেনভ্যালুগুলির সংশ্লিষ্ট সেট দ্বারা অনন্যভাবে নির্দিষ্ট করা হয়। যেহেতু সেট কমিউটের প্রতিটি জোড়া পর্যবেক্ষণযোগ্য, তাই পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলি সমস্ত সামঞ্জস্যপূর্ণ যাতে একটি পর্যবেক্ষণযোগ্যের পরিমাপ সেটের অন্য পর্যবেক্ষণযোগ্য পরিমাপের ফলাফলের উপর কোনও প্রভাব না ফেলে। তাই বিভিন্ন পর্যবেক্ষণযোগ্য বস্তুগুলি কোন ক্রমে পরিমাপ করা হয় তা নির্দিষ্ট করার প্রয়োজন নেই। পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলির সম্পূর্ণ সেটের পরিমাপ একটি সম্পূর্ণ পরিমাপ গঠন করে, এই অর্থে যে এটি অপারেটরদের সেট দ্বারা সংজ্ঞায়িত ভিত্তিতে একটি অনন্য এবং পরিচিত ভেক্টরের উপর সিস্টেমের কোয়ান্টাম অবস্থা প্রজেক্ট করে। অর্থাৎ, সম্পূর্ণরূপে নির্দিষ্ট অবস্থা প্রস্তুত করার জন্য, আমাদের যে কোনও অবস্থাকে নির্বিচারে নিতে হবে এবং তারপরে সেটের সমস্ত পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ পরিমাপের একটি ধারাবাহিকতা সম্পাদন করতে হবে, যতক্ষণ না এটি হিলবার্ট স্পেসে (একটি পর্যায় পর্যন্ত) একটি অনন্যভাবে নির্দিষ্ট ভেক্টর হয়ে যায়। সামঞ্জস্যতা উপপাদ্য দুটি পর্যবেক্ষণযোগ্য বিবেচনা করুন, এবং, অপারেটর এবং দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। তারপর নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি সমতুল্যঃ এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ পর্যবেক্ষণযোগ্য। এবং একটি সাধারণ আইগেনবেস রয়েছে। অপারেটর এবং যাতায়াত, অর্থাৎ। প্রমাণ আলোচনা আমরা উপরের দুটি পর্যবেক্ষণযোগ্য এবং। ধরুন কেটের একটি সম্পূর্ণ সেট রয়েছে যার প্রতিটি উপাদান একই সাথে এবং এর একটি আইগেনকেট। তারপর আমরা তা বলি এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ। যদি আমরা যথাক্রমে এবং এর সাথে সম্পর্কিত আইগেনভ্যালুগুলি নির্দেশ করি, আমরা লিখতে পারি যদি সিস্টেমটি আইগেনস্টেটগুলির মধ্যে একটিতে থাকে, ধরুন, তবে উভয়ই একই সাথে নির্ভুলতার যে কোনও নির্বিচারে স্তরে পরিমাপ করা যেতে পারে এবং আমরা যথাক্রমে ফলাফল এবং ফলাফল পাব। এই ধারণাটি দুটিরও বেশি পর্যবেক্ষণে প্রসারিত করা যেতে পারে। সামঞ্জস্যপূর্ণ পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলির উদাহরণ পজিশন অপারেটরের কার্টেসিয়ান উপাদানগুলি হল, এবং। এই সমস্ত উপাদানগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ। একইভাবে, গতিবেগ অপারেটরের কার্টেসিয়ান উপাদানগুলি, অর্থাৎ, এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা পর্যবেক্ষণযোগ্যগুলির একটি সেটকে সি. এস. সি. ও বলা হয় যদিঃ সমস্ত পর্যবেক্ষণযোগ্য জোড়ায় যাতায়াত করে। যদি আমরা সি. এস. সি. ও-তে সমস্ত অপারেটরের আইগেনভ্যালু নির্দিষ্ট করি, তাহলে আমরা সিস্টেমের হিলবার্ট স্পেসে একটি অনন্য আইগেনভেক্টর (একটি পর্যায় পর্যন্ত) চিহ্নিত করি। যদি আমাদের একটি সি. এস. সি. ও দেওয়া হয়, তাহলে আমরা সংশ্লিষ্ট অপারেটরদের সাধারণ আইগেনভেক্টর দিয়ে তৈরি অবস্থার স্থানের জন্য একটি ভিত্তি বেছে নিতে পারি। আমরা প্রতিটি আইগেনভেক্টরকে (একটি পর্যায় পর্যন্ত) তার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আইগেনভ্যালুগুলির সেট দ্বারা অনন্যভাবে চিহ্নিত করতে পারি। আলোচনা আসুন আমরা একটি পর্যবেক্ষণযোগ্য অপারেটর রাখি, যার সমস্ত অ-অবক্ষয়শীল আইগেনভ্যালু রয়েছে। ফলস্বরূপ, প্রতিটি আইগেনভ্যালু সম্পর্কিত একটি অনন্য আইগেনস্টেট রয়েছে, যা আমাদের তাদের নিজ নিজ আইগেনভ্যালু দ্বারা লেবেল করার অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, আইগেনভ্যালু-র সঙ্গে সম্পর্কিত আইগেনস্টেটকে এইভাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। এই ধরনের পর্যবেক্ষণযোগ্য নিজেই একটি স্বয়ংসম্পূর্ণ সিএসসিও। যাইহোক, যদি এর কিছু আইগেনভ্যালু অবক্ষয় হয় (যেমন অবক্ষয়িত শক্তির মাত্রা থাকে), তবে উপরের ফলাফলটি আর ধরে রাখা যায় না। এই ক্ষেত্রে, আমাদের একই আইগেনভ্যালু-র সঙ্গে সম্পর্কিত আইগেনফাংশনের মধ্যে পার্থক্য করতে হবে। এটি করার জন্য, একটি দ্বিতীয় পর্যবেক্ষণযোগ্য প্রবর্তন করা হয় (আসুন আমরা এটি বলি), যা এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। সামঞ্জস্যতা উপপাদ্যটি আমাদের বলে যে এবং এর আইগেনফাংশনের একটি সাধারণ ভিত্তি পাওয়া যেতে পারে। এখন যদি আইগেনভ্যালুগুলির প্রতিটি জোড়া এই ভিত্তির একটি স্টেট ভেক্টরকে অনন্যভাবে নির্দিষ্ট করে, তবে আমরা একটি সিএসসিও গঠন করেছি বলে দাবি করিঃ সেট। অবক্ষয় সম্পূর্ণরূপে অপসারিত হয়। যাইহোক, এটি এমনভাবে ঘটতে পারে যে, অবক্ষয় সম্পূর্ণরূপে দূর হয় না। অর্থাৎ, কমপক্ষে একটি জোড়া রয়েছে যা একটি আইগেনভেক্টরকে অনন্যভাবে সনাক্ত করে না। এই ক্ষেত্রে, আমরা আরেকটি পর্যবেক্ষণযোগ্য যোগ করে উপরের প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করি, যা এবং উভয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যদি সাধারণ আইগেন ফাংশনগুলির ভিত্তি অনন্য হয়, অর্থাৎ আইগেনভ্যালুগুলির সেট দ্বারা অনন্যভাবে নির্দিষ্ট করা হয়, তবে আমরা একটি সি. এস. সি. ও গঠন করেছিঃ যদি তা না হয়, আমরা আরও একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ পর্যবেক্ষণযোগ্য যোগ করি এবং একটি সি. এস. সি. ও প্রাপ্ত না হওয়া পর্যন্ত প্রক্রিয়াটি চালিয়ে যাই। একই ভেক্টর স্পেসে যাতায়াতকারী অপারেটরদের স্বতন্ত্র সম্পূর্ণ সেট থাকতে পারে। ধরুন আমাদের একটি সীমাবদ্ধ সি. এস. সি. ও দেওয়া হয়েছে। তারপরে আমরা হিলবার্ট স্পেসে যে কোনও সাধারণ অবস্থাকে প্রসারিত করতে পারি যেখানে অপারেটরদের আইগেনকেটগুলি রয়েছে এবং একটি বেসিস স্পেস গঠন করতে পারি। অর্থাৎ, ইত্যাদি যদি আমরা অবস্থায় পরিমাপ করি তবে আমরা একই সাথে যে সম্ভাবনা পরিমাপ করি তা দ্বারা দেওয়া হয়। যাতায়াতকারী অপারেটরদের একটি সম্পূর্ণ সেটের জন্য, আমরা একটি একক রূপান্তর খুঁজে পেতে পারি যা একই সাথে তাদের সকলকে তির্যক করে তুলবে। উদাহরণস্বরূপ, ইলেকট্রন বা প্রোটন স্পিন ছাড়া হাইড্রোজেন পরমাণু কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের দুটি উপাদান যাতায়াত করে না, তবে বিনিময় সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করেঃ সুতরাং, যে কোনও সি. এস. সি. ও এর একাধিক উপাদান জড়িত করতে পারে না। এটি দেখানো যেতে পারে যে কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের বর্গ, এর সাথে যাতায়াত করে। এছাড়াও, হ্যামিল্টনিয়ান শুধুমাত্র একটি ফাংশন এবং এর ঘূর্ণনগত পরিবর্তনশীলতা রয়েছে, যেখানে সিস্টেমের হ্রাসকৃত ভর। যেহেতু এর উপাদানগুলি ঘূর্ণনের জেনারেটর, তাই এটি দেখানো যেতে পারে যে, একটি যাতায়াত সেট গঠিত হয়, এর একটি উপাদান (যা হিসাবে নেওয়া হয়) এবং। সমস্যার সমাধান আমাদের বলে যে ইলেকট্রনের ঘূর্ণনকে উপেক্ষা করে সেটটি একটি সি. এস. সি. ও গঠন করে। হাইড্রোজেনিক পরমাণুর হিলবার্ট স্পেসে যে কোনও বেসিস স্টেট ধরা যাক। তারপর, আইগেনভ্যালুগুলির সেট বা আরও সহজভাবে, হাইড্রোজেনিক পরমাণুর একটি অনন্য আইগেনস্টেট সম্পূর্ণরূপে নির্দিষ্ট করে। মুক্ত কণা একটি মুক্ত কণার জন্য, হ্যামিল্টনিয়ান অনুবাদের অধীনে অপরিবর্তনীয়। অনুবাদটি হ্যামিল্টনিয়ানের সাথে বিনিময় করেঃ যাইহোক, যদি আমরা অনুবাদ অপারেটরের ভিত্তিতে হ্যামিল্টনিয়ান প্রকাশ করি, তবে আমরা দেখতে পাব যে আইগেনভ্যালুগুলি দ্বিগুণ অবনমিত হয়েছে। এটি দেখানো যেতে পারে যে এই ক্ষেত্রে সি. এস. সি. ও তৈরি করতে, আমাদের প্যারিটি অপারেটর নামে আরেকটি অপারেটরের প্রয়োজন, যেমন। একটি সি. এস. সি. ও গঠন করে। আবার, আসুন এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালু, অর্থাৎ ডিজেনারেট আইগেনস্টেট হতে দিন। মোমেন্টাম অপারেটর দ্বারা ডিজেনারেসি অপসারণ করা হয়। সুতরাং, একটি সি. এস. সি. ও গঠন করে। কৌণিক ভরবেগের সংযোজন আমরা সংশ্লিষ্ট কৌণিক ভরবেগের অপারেটর এবং 1 এবং 2 দুটি সিস্টেমের ক্ষেত্রে বিবেচনা করি। আমরা এবং হিসাবে এবং হিসাবে আইগেনস্টেট লিখতে পারি। তারপর সম্পূর্ণ সিস্টেমের বেসিস স্টেটগুলি দ্বারা দেওয়া হয় অতএব, সম্পূর্ণ সিস্টেমের জন্য, আইগেনভ্যালুগুলির সেট সম্পূর্ণরূপে একটি অনন্য বেসিস স্টেট নির্দিষ্ট করে এবং একটি সিএসসিও গঠন করে। সমতুল্যভাবে, মোট কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের পরিপ্রেক্ষিতে সিস্টেমের জন্য ভিত্তি অবস্থার আরেকটি সেট বিদ্যমান। এর আইগেনভ্যালুগুলি হল যেখানে মানগুলি গ্রহণ করে, এবং যেগুলি হল যেখানে। অপারেটরদের ভিত্তি অবস্থা এবং হল। সুতরাং আমরা আইগেনভ্যালুগুলির সেট দ্বারা সম্পূর্ণ সিস্টেমের হিলবার্ট স্পেসে একটি অনন্য ভিত্তি অবস্থাও নির্দিষ্ট করতে পারি এবং সংশ্লিষ্ট সিএসসিও হল। আরও দেখুন কোয়ান্টাম সংখ্যা ভাল কোয়ান্টাম সংখ্যা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের গাণিতিক কাঠামো তৈরি করে কোয়ান্টাম মেকানিক্স অপারেটরদের কোয়ান্টাম মেকানিক্স ক্যানোনিকাল কমিউটেশন সম্পর্ক কোয়ান্টাম মেকানিক্সে পরিমাপ তরঙ্গ ফাংশন অ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম (কোয়ান্টাম মেকানিক্স) রেফারেন্সের পতন। আর. পি. ফাইনম্যান, আর. বি. লেইটন এবং এম. স্যান্ডসঃ দ্য ফাইনম্যান লেকচারস অন ফিজিক্স, অ্যাডিসন-ওয়েসলি, 1965 আর শঙ্কর, প্রিন্সিপলস অফ কোয়ান্টাম মেকানিক্স, দ্বিতীয় সংস্করণ, স্প্রিংগার (1994)। জে জে সাকুরাই, মডার্ন কোয়ান্টাম মেকানিক্স, রিভাইজড এডিশন, পিয়ারসন (1994)। বি. এইচ. ব্রান্সডেন এবং সি. জে. জোয়াকাইন, কোয়ান্টাম মেকানিক্স, দ্বিতীয় সংস্করণ, পিয়ারসন এডুকেশন লিমিটেড, 2000। সামঞ্জস্য উপপাদ্যের উপর আলোচনার জন্য, এডিনবার্গ বিশ্ববিদ্যালয়ের স্কুল অফ ফিজিক্স অ্যান্ড অ্যাস্ট্রোনমির লেকচার নোটস। http://www2.ph.ed.ac.uk ~ এলডেলডেব্ব/ডক্স/কিউএম/লেক্ট2. পিডিএফ। মুম্বাইয়ের টাটা ইনস্টিটিউট অফ ফান্ডামেন্টাল রিসার্চের অধ্যাপক এস গুপ্তের বক্তৃতার নোটে সিএসসিও-র একটি স্লাইড। http://theory.tifr.res.in ~ এসগুপ্ত/কোর্স/কিউএম2013/হ্যান্ড3. পিডিএফ মুম্বাইয়ের টাটা ইনস্টিটিউট অফ ফান্ডামেন্টাল রিসার্চের অধ্যাপক এস গুপ্তের বক্তৃতা নোটে মুক্ত কণার উপর একটি বিভাগ। http://theory.tifr.res.in ~ গুপ্ত/কোর্স/কিউএম2013/হ্যান্ড6. পিডিএফ কোয়ান্টাম মেকানিক্স