Gottlob Frege
ফ্রেডরিক লুডভিগ গটলব ফ্রেজ (; 8 নভেম্বর 1848-26 জুলাই 1925) একজন জার্মান দার্শনিক, যুক্তিবিদ এবং গণিতবিদ ছিলেন। তিনি জেনা বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতের অধ্যাপক ছিলেন এবং অনেকেই তাঁকে বিশ্লেষণাত্মক দর্শনের জনক বলে মনে করেন, যিনি ভাষা, যুক্তি এবং গণিতের দর্শনে মনোনিবেশ করেন। যদিও তাঁর জীবদ্দশায় তাঁকে ব্যাপকভাবে উপেক্ষা করা হয়েছিল, জুসেপ্পে পিয়ানো (1858-1932), বার্ট্রান্ড রাসেল (1872-1970), এবং কিছুটা হলেও, লুডভিগ উইটজেনস্টাইন (1889-1951) তাঁর কাজকে পরবর্তী প্রজন্মের দার্শনিকদের কাছে পরিচয় করিয়ে দিয়েছিলেন। ফ্রেজকে অ্যারিস্টটলের পর সর্বশ্রেষ্ঠ যুক্তিবিদ এবং গণিতের সর্বকালের অন্যতম গভীর দার্শনিক হিসাবে বিবেচনা করা হয়। তাঁর অবদানের মধ্যে রয়েছে বেগ্রিফস্ক্রিফ্টে আধুনিক যুক্তির বিকাশ এবং গণিতের ভিত্তির কাজ। তাঁর বই দ্য ফাউন্ডেশন্স অফ অ্যারিথমেটিক হল যুক্তিবাদী প্রকল্পের মৌলিক পাঠ্য, এবং মাইকেল ডামেট ভাষাগত মোড়টি কোথায় চিহ্নিত করতে হবে তা উল্লেখ করেছেন। তাঁর দার্শনিক গবেষণাপত্র "অন সেন্স অ্যান্ড রেফারেন্স" এবং "দ্য থট"-ও ব্যাপকভাবে উদ্ধৃত করা হয়েছে। প্রথমটি দুটি ভিন্ন ধরনের অর্থ এবং বর্ণনামূলকতার পক্ষে যুক্তি দেয়। ফাউন্ডেশনস এবং "দ্য থট"-এ, ফ্রেজ যথাক্রমে সংখ্যা এবং প্রস্তাবনা সম্পর্কে মনোবিজ্ঞান বা আনুষ্ঠানিকতার বিরুদ্ধে প্লাটোনিজমের পক্ষে যুক্তি দেন। ফাউন্ডেশনে ফ্রেজের মৌলিক আইন 5-কে মিথ্যা বলে দেখিয়ে রাসেলের প্যারাডক্স যুক্তিবাদী প্রকল্পটিকে দুর্বল করে দিয়েছে। লাইফ চাইল্ডহুড (1848-69) ফ্রেজের জন্ম 1848 সালে উইসমার, মেকলেনবার্গ-শোয়েরিনে (বর্তমানে মেকলেনবার্গ-ফরপোমের্নের অংশ)। তাঁর বাবা কার্ল (কার্ল) আলেকজান্ডার ফ্রেজ (1809-1866) তাঁর মৃত্যুর আগে পর্যন্ত একটি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়ের সহ-প্রতিষ্ঠাতা এবং প্রধান শিক্ষক ছিলেন। কার্লের মৃত্যুর পর, স্কুলটি ফ্রেজের মা অগাস্টে উইলহেলমাইন সোফি ফ্রেজের নেতৃত্বে ছিল (জন্ম বিয়ালোব্লটস্কি, 12 জানুয়ারী 1815-14 অক্টোবর 1898); তার মা ছিলেন অগাস্টে আমালিয়া মারিয়া বলহর্ন, ফিলিপ মেলানচথনের বংশধর এবং তার বাবা ছিলেন জোহান হাইনরিখ সিগফ্রিড বিয়ালোব্লটস্কি, যিনি 17 শতকে পোল্যান্ড ত্যাগ করা এক অভিজাত পরিবারের বংশধর ছিলেন। ফ্রেজ ছিলেন একজন লুথেরান। শৈশবে, ফ্রেজ এমন দর্শনের মুখোমুখি হয়েছিলেন যা তাঁর ভবিষ্যতের বৈজ্ঞানিক কর্মজীবনকে পরিচালিত করবে। উদাহরণস্বরূপ, তাঁর বাবা 9-13 বয়সের শিশুদের জন্য জার্মান ভাষার উপর একটি পাঠ্যপুস্তক লিখেছিলেন, যার শিরোনাম ছিল হুলফসবুচ জুম আনটেরিচটে ইন ডের ডয়েচেন স্প্রাচে ফুর কিন্ডার ভন 9 বিস 13 ইয়ারেন (2য় সংস্করণ, উইসমার 1850; 3য় সংস্করণ, উইসমার এবং লুডউইগস্লাস্টঃ হিনস্টর্ফ, 1862) (9 থেকে 13 বছর বয়সী শিশুদের জার্মান শেখানোর জন্য সহায়তা বই), যার প্রথম বিভাগে ভাষার কাঠামো এবং যুক্তি নিয়ে আলোচনা করা হয়েছিল। ফ্রেজ 1869 সালে পড়াশোনা করেন এবং স্নাতক হন। তাঁর শিক্ষক গুস্তাভ অ্যাডলফ লিও স্যাশ (5 নভেম্বর 1843-1 সেপ্টেম্বর 1909), যিনি একজন কবি ছিলেন, তিনি ফ্রেজের ভবিষ্যতের বৈজ্ঞানিক কর্মজীবন নির্ধারণে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছিলেন, এবং তাঁকে জেনা বিশ্ববিদ্যালয়ে পড়াশোনা চালিয়ে যেতে উৎসাহিত করেছিলেন। বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যয়ন (1869-74) ফ্রেজ 1869 সালের বসন্তে উত্তর জার্মান কনফেডারেশনের নাগরিক হিসাবে জেনা বিশ্ববিদ্যালয়ে ম্যাট্রিক পাস করেন। তাঁর অধ্যয়নের চারটি সেমিস্টারে তিনি প্রায় বিশটি বক্তৃতার কোর্সে অংশ নিয়েছিলেন, যার মধ্যে বেশিরভাগই গণিত এবং পদার্থবিজ্ঞানের উপর ছিল। তাঁর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ শিক্ষক ছিলেন আর্নস্ট কার্ল অ্যাবে (1840-1905; পদার্থবিজ্ঞানী, গণিতবিদ এবং উদ্ভাবক)। আবে মাধ্যাকর্ষণ তত্ত্ব, গ্যালভানিজম এবং তড়িৎগতিবিদ্যা, একটি জটিল চলকের ফাংশনের জটিল বিশ্লেষণ তত্ত্ব, পদার্থবিজ্ঞানের প্রয়োগ, যান্ত্রিকতার নির্বাচিত বিভাগ এবং কঠিন পদার্থের যান্ত্রিকতার উপর বক্তৃতা দিয়েছিলেন। অ্যাবে ফ্রেজের কাছে একজন শিক্ষকের চেয়েও বেশি কিছু ছিলেনঃ তিনি একজন বিশ্বস্ত বন্ধু ছিলেন এবং অপটিক্যাল প্রস্তুতকারক কার্ল জিস এজি-র পরিচালক হিসাবে তিনি ফ্রেজের কর্মজীবনকে এগিয়ে নিয়ে যাওয়ার মতো অবস্থানে ছিলেন। ফ্রেজের স্নাতক হওয়ার পর, তারা ঘনিষ্ঠ যোগাযোগে আসে। তাঁর অন্যান্য উল্লেখযোগ্য বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষক ছিলেন ক্রিশ্চিয়ান ফিলিপ কার্ল স্নেল (1806-86; বিষয়ঃ জ্যামিতিতে অসীম বিশ্লেষণের ব্যবহার, সমতলের বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি, বিশ্লেষণাত্মক বলবিজ্ঞান, আলোকবিজ্ঞান, বলবিজ্ঞানের ভৌত ভিত্তি); হারমান কার্ল জুলিয়াস ট্রাগট শেফার (1824-1900; টেলিগ্রাফ এবং অন্যান্য বৈদ্যুতিন মেশিনে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি, ফলিত পদার্থবিজ্ঞান, বীজগাণিতিক বিশ্লেষণ); এবং দার্শনিক কুনো ফিশার (1824-1907; কান্টিয়ান এবং সমালোচনামূলক দর্শন)। 1871 সালে শুরু করে, ফ্রেজ জার্মান-ভাষী অঞ্চলগুলির গণিতের শীর্ষস্থানীয় বিশ্ববিদ্যালয় গটিঙেনে পড়াশোনা চালিয়ে যান, যেখানে তিনি রুডলফ ফ্রেডরিখ আলফ্রেড ক্লেবশ (1833-72; বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি), আর্নস্ট ক্রিশ্চিয়ান জুলিয়াস শেরিং (1824-97; ফাংশন তত্ত্ব), উইলহেলম এডুয়ার্ড ওয়েবার (1804-91; শারীরিক অধ্যয়ন, ফলিত পদার্থবিজ্ঞান), এডুয়ার্ড রিক (1845-1915; বিদ্যুৎ তত্ত্ব), এবং হারমান লটজের (1817-81; ধর্মের দর্শন) বক্তৃতায় অংশ নেন। পরিপক্ক ফ্রেজের অনেক দার্শনিক মতবাদের লোৎজেতে সমান্তরালতা রয়েছে; লোৎজের বক্তৃতা থেকে উদ্ভূত ফ্রেজের দৃষ্টিভঙ্গির উপর সরাসরি প্রভাব ছিল কি না তা পাণ্ডিত্যপূর্ণ বিতর্কের বিষয় হয়ে দাঁড়িয়েছে। 1873 সালে, ফ্রেজ আর্নস্ট ক্রিশ্চিয়ান জুলিয়াস শেরিংয়ের অধীনে ডক্টরেট ডিগ্রি অর্জন করেন, "উয়েবার এইন জ্যামিতি ডারস্টেলুং ডার ইমাজিনের গেবিল্ড ইন ডার ইবেন" ("অন এ জ্যামিতিক রিপ্রেজেন্টেশন অফ ইমাজিনারি ফর্মস ইন এ প্লেন") শিরোনামে একটি গবেষণামূলক প্রবন্ধের মাধ্যমে, যেখানে তিনি প্রজেক্টিভ জ্যামিতির অসীম দূরবর্তী (কাল্পনিক) পয়েন্টগুলির গাণিতিক ব্যাখ্যা হিসাবে জ্যামিতিতে এই জাতীয় মৌলিক সমস্যাগুলি সমাধান করার লক্ষ্য রেখেছিলেন। ফ্রেজ 1887 সালের 14ই মার্চ মার্গারেট ক্যাথারিনা সোফিয়া আন্না লিয়েসবার্গকে (15ই ফেব্রুয়ারি 1856-25শে জুন 1904) বিয়ে করেন। এই দম্পতির কমপক্ষে দুটি সন্তান ছিল, যারা দুর্ভাগ্যবশত অল্প বয়সে মারা যায়। কয়েক বছর পর তাঁরা আলফ্রেড নামে এক পুত্রকে দত্তক নেন। তবে ফ্রেজের পারিবারিক জীবন সম্পর্কে খুব কমই জানা যায়। যুক্তিবিদ হিসাবে কাজ করুন যদিও তাঁর শিক্ষা এবং প্রাথমিক গাণিতিক কাজ প্রাথমিকভাবে জ্যামিতির উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করেছিল, ফ্রেজের কাজ শীঘ্রই যুক্তিতে পরিণত হয়েছিল। তিনি যুক্তির ইতিহাসে একটি সন্ধিক্ষণ চিহ্নিত করেছিলেন। বেগ্রিফস্ক্রিফ্ট ফাংশন এবং ভেরিয়েবলের ধারণাগুলির কঠোর চিকিত্সা সহ নতুন ভিত্তি ভেঙে দিয়েছে। ফ্রেজের লক্ষ্য ছিল গণিত যে যুক্তির বাইরে বিকশিত হয় তা দেখানো, এবং এটি করার সময়, তিনি এমন কৌশল উদ্ভাবন করেছিলেন যা তাকে অ্যারিস্টটলিয়ান সিলেজিস্টিক থেকে পৃথক করেছিল তবে তাকে স্টোইক প্রস্তাবনা যুক্তির কাছাকাছি নিয়ে গিয়েছিল। ফলস্বরূপ, ফ্রেজ স্বতঃসিদ্ধ প্রেডিকেট লজিক উদ্ভাবন করেছিলেন, যার বড় অংশ তাঁর পরিমাণগত চলকের উদ্ভাবনের জন্য ধন্যবাদ, যা শেষ পর্যন্ত গণিত এবং যুক্তিতে সর্বব্যাপী হয়ে ওঠে এবং যা একাধিক সাধারণতার সমস্যার সমাধান করে। পূর্ববর্তী যুক্তিটি যৌক্তিক ধ্রুবক এবং, বা, যদি., তাহলে., না, এবং কিছু এবং সমস্ত নিয়ে কাজ করেছিল, তবে এই ক্রিয়াকলাপগুলির পুনরাবৃত্তি, বিশেষত "কিছু" এবং "সমস্ত", খুব কমই বোঝা গিয়েছিলঃ এমনকি "প্রতিটি ছেলে কোনও মেয়েকে ভালবাসে" এবং "কোনও মেয়ে প্রতিটি ছেলেকে ভালবাসে" এর মতো বাক্যের মধ্যে পার্থক্যটি কেবল খুব কৃত্রিমভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে ফ্রেজের আনুষ্ঠানিকতার "প্রতিটি ছেলে এমন কোনও মেয়েকে ভালবাসে যে কোনও ছেলেকে ভালবাসে যে কোনও মেয়েকে ভালবাসে" এবং অনুরূপ বাক্যগুলির বিভিন্ন পাঠ প্রকাশ করতে কোনও অসুবিধা হয়নি, তার আচরণের সম্পূর্ণ সমান্তরালে, বলুন, "প্রতিটি ছেলে বোকা"। একটি ঘন ঘন উল্লিখিত উদাহরণ হল যে অ্যারিস্টটলের যুক্তি ইউক্লিডের উপপাদ্যের মতো গাণিতিক বিবৃতি উপস্থাপন করতে অক্ষম, যা সংখ্যা তত্ত্বের একটি মৌলিক বিবৃতি যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। তবে, ফ্রেজের "ধারণাগত স্বরলিপি" এই ধরনের অনুমানের প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। লজিক্যাল ধারণা এবং আনুষ্ঠানিককরণের যন্ত্রপাতির বিশ্লেষণ যা প্রিন্সিপিয়া ম্যাথমেটিকার জন্য প্রয়োজনীয় (3 খণ্ড, 1910-13, বার্ট্রান্ড রাসেল, 1872-1970, এবং আলফ্রেড নর্থ হোয়াইটহেড, 1861-1947), রাসেলের বর্ণনার তত্ত্ব, কার্ট গডেলের (1906-78) অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য এবং আলফ্রেড টার্সকির (1901-83) সত্যের তত্ত্ব, শেষ পর্যন্ত ফ্রেজের কারণে। ফ্রেজের বর্ণিত উদ্দেশ্যগুলির মধ্যে একটি ছিল অনুমানের প্রকৃত যৌক্তিক নীতিগুলিকে পৃথক করা, যাতে গাণিতিক প্রমাণের যথাযথ উপস্থাপনায় কেউ কোনও সময়ে "অন্তর্দৃষ্টির" প্রতি আবেদন করতে না পারে। যদি কোনও স্বজ্ঞাত উপাদান থাকে, তবে এটিকে পৃথক করতে হবে এবং একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে আলাদাভাবে উপস্থাপন করতে হবেঃ সেখান থেকে, প্রমাণটি সম্পূর্ণরূপে যৌক্তিক এবং ফাঁক ছাড়াই হতে হবে। এই সম্ভাবনাটি প্রদর্শন করার পরে, ফ্রেজের বৃহত্তর উদ্দেশ্য ছিল এই দৃষ্টিভঙ্গিকে রক্ষা করা যে পাটিগণিত যুক্তির একটি শাখা, একটি দৃষ্টিভঙ্গি যা যুক্তিবাদ নামে পরিচিতঃ জ্যামিতির বিপরীতে, পাটিগণিতের "অন্তর্দৃষ্টিতে" কোনও ভিত্তি নেই এবং অযৌক্তিক স্বতঃসিদ্ধির কোনও প্রয়োজন নেই। ইতিমধ্যে 1879 সালে বেগ্রিফস্ক্রিফ্টের গুরুত্বপূর্ণ প্রাথমিক উপপাদ্য, উদাহরণস্বরূপ, ট্রাইকোটমির আইনের একটি সাধারণীকৃত রূপ, ফ্রেজ বিশুদ্ধ যুক্তি হিসাবে যা বুঝতে পেরেছিলেন তার মধ্যে উদ্ভূত হয়েছিল। এই ধারণাটি তাঁর দ্য ফাউন্ডেশন্স অফ অ্যারিথমেটিক (ডি গ্রান্ডলাজেন ডার অ্যারিথমেটিক, 1884)-এ অ-প্রতীকী পরিভাষায় প্রণয়ন করা হয়েছিল। পরে, তাঁর গাণিতিক মৌলিক নিয়মাবলীতে (গ্রান্ডগেসেটজে ডার অ্যারিথমেটিক, খণ্ড। 1, 1893; খণ্ড। 2, 1903; খণ্ড। 2 তার নিজের খরচে প্রকাশিত হয়েছিল), ফ্রেজ তার প্রতীকীবাদ ব্যবহার করে, গাণিতিক সমস্ত নিয়মগুলি তার যুক্তিসঙ্গত বলে দাবি করা স্বতঃসিদ্ধ থেকে আহরণ করার চেষ্টা করেছিলেন। এই স্বতঃসিদ্ধগুলির বেশিরভাগই তাঁর বেগ্রিফস্ক্রিফ্ট থেকে নেওয়া হয়েছিল, যদিও কিছু উল্লেখযোগ্য পরিবর্তন ছাড়া নয়। একমাত্র সত্যিকারের নতুন নীতিটি ছিল যা তিনি বলেছিলেনঃ f (x) ফাংশনের "মান-পরিসীমা" g (x) ফাংশনের "মান-পরিসীমা"-র সমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি  কায x [f (x) = g (x)] হয়। আইনের গুরুত্বপূর্ণ কেসটি আধুনিক স্বরলিপিতে নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে। ধরা যাক {x|Fx} প্রেডিকেট Fx-এর এক্সটেনশনকে বোঝায়, অর্থাৎ, সমস্ত Fs-এর সেট, এবং একইভাবে Gx-এর জন্য। তারপর মৌলিক আইন V বলে যে Fx এবং Gx ভবিষ্যদ্বাণীগুলির একই এক্সটেনশন থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি [Fx]। প্রতিটি এফ একটি জি এবং প্রতিটি জি একটি এফ হলে এফ-এর সেট জি-এর সেটের মতোই হয়। (কেসটি বিশেষ কারণ এখানে যাকে একটি প্রেডিকেট বা সেটের এক্সটেনশন বলা হচ্ছে, তা শুধুমাত্র একটি ফাংশনের এক ধরনের "মান-পরিসীমা"।) একটি বিখ্যাত পর্বে, বার্ট্রান্ড রাসেল ফ্রেজকে লিখেছিলেন, ঠিক ভলিউম হিসাবে। গ্রান্ডগেসেটজের 2 1903 সালে সংবাদপত্রে যেতে যাচ্ছিল, যা দেখায় যে রাসেলের প্যারাডক্স ফ্রেজের মৌলিক আইন 5 থেকে উদ্ভূত হতে পারে। ফ্রেজের সিস্টেমে কোনও সেট বা এক্সটেনশনের সদস্যতার সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করা সহজ; রাসেল তখন "x জিনিসের সেটের দিকে দৃষ্টি আকর্ষণ করেছিলেন যা এমন যে x x এর সদস্য নয়"। গ্রান্ডজেসেটজের ব্যবস্থায় বলা হয়েছে যে এইভাবে চিহ্নিত সেটটি নিজের সদস্য এবং নয় উভয়ই, এবং তাই অসঙ্গতিপূর্ণ। ফ্রেজ একটি তাড়াহুড়ো করে, শেষ মুহূর্তের পরিশিষ্ট খণ্ডে লিখেছিলেন। 2, দ্বন্দ্বটি উদ্ভূত করে এবং মৌলিক আইন ভি-কে সংশোধন করে এটিকে নির্মূল করার প্রস্তাব দিয়ে ফ্রেজ ব্যতিক্রমীভাবে সৎ মন্তব্য দিয়ে পরিশিষ্টটি শুরু করেনঃ "কাজ শেষ হওয়ার পরে তাঁর সৌধের একটি ভিত্তি কাঁপানো ছাড়া কোনও বৈজ্ঞানিক লেখকের পক্ষে এর চেয়ে দুর্ভাগ্যজনক আর কিছু হতে পারে না। মিঃ বার্ট্রান্ড রাসেলের একটি চিঠির মাধ্যমে আমি এই অবস্থান নিয়েছিলাম, ঠিক যখন এই খণ্ডের মুদ্রণের কাজ শেষ হতে যাচ্ছিল। (এই চিঠি এবং ফ্রেজের উত্তর 1967 সালে জিন ভ্যান হেইজেনুর্তে অনুবাদ করা হয়েছে।) ফ্রেজের প্রস্তাবিত প্রতিকারটি পরবর্তীকালে দেখানো হয়েছিল যে কথোপকথনের মহাবিশ্বে কেবল একটি বস্তু রয়েছে এবং তাই এটি মূল্যহীন (প্রকৃতপক্ষে, এটি ফ্রেজের সিস্টেমে একটি দ্বন্দ্ব তৈরি করবে যদি তিনি এই ধারণাকে স্বতঃসিদ্ধ করেন, তাঁর আলোচনার মৌলিক, যে সত্য এবং মিথ্যা স্বতন্ত্র বস্তু; উদাহরণস্বরূপ, ডুমেট 1973 দেখুন), তবে সাম্প্রতিক গবেষণায় দেখা গেছে যে গ্রান্ডগেসেটজের প্রোগ্রামের বেশিরভাগ অংশ অন্য উপায়ে উদ্ধার করা যেতে পারেঃ মৌলিক আইন 5 কে অন্য উপায়ে দুর্বল করা যেতে পারে। সর্বাধিক পরিচিত উপায়টি দার্শনিক এবং গাণিতিক যুক্তিবিদ জর্জ বুলোস (1940-1996)-এর কারণে, যিনি ফ্রেজের কাজের বিশেষজ্ঞ ছিলেন। একটি "ধারণা" এফ "হল" ছোট "যদি এফ-এর অধীনে আসা বস্তুগুলিকে কথোপকথনের মহাবিশ্বের সাথে এক-থেকে-এক যোগাযোগে রাখা না যায়, অর্থাৎ, যদি নাঃ এইচ. ই. আর [আর হল 1-থেকে-1 এবং এক্স. ই. এক্স. এইচ. ই. ওয়াই (এক্সআরওয়াই এবং ফাই)]। এখন V কে V * তে দুর্বল করুনঃ একটি "ধারণা" F এবং একটি "ধারণা" G-এর একই "এক্সটেনশন" থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি F বা G উভয়ই ছোট না হয় বা (Fx) হয়। যদি দ্বিতীয়-ক্রমের গাণিতিক হয় এবং দ্বিতীয়-ক্রমের গাণিতিক স্বতঃসিদ্ধ প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট হয় তবে ভি * সামঞ্জস্যপূর্ণ। মৌলিক আইন ভি-কে সহজভাবে হিউমের নীতি দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে, যা বলে যে এফ-এর সংখ্যা জি-এর সংখ্যার সমান যদি এবং শুধুমাত্র যদি এফ-কে জি-এর সাথে এক-থেকে-এক চিঠিতে রাখা যায়। এই নীতিটিও সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি দ্বিতীয় ক্রমের গাণিতিক হয়, এবং দ্বিতীয় ক্রমের গাণিতিক স্বতঃসিদ্ধ প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট। এই ফলাফলকে ফ্রেজের উপপাদ্য বলা হয় কারণ এটি লক্ষ্য করা গেছে যে গাণিতিক বিকাশের ক্ষেত্রে ফ্রেজের মৌলিক সূত্র 5-এর ব্যবহার হিউমের নীতির প্রমাণের মধ্যে সীমাবদ্ধ; এর থেকেই গাণিতিক নীতিগুলি উদ্ভূত হয়। হিউমের নীতি এবং ফ্রেজের উপপাদ্যের উপর, "ফ্রেজের লজিক, উপপাদ্য এবং গাণিতিক ভিত্তিসমূহ" দেখুন। ফ্রেজের যুক্তি, যা এখন দ্বিতীয়-ক্রম যুক্তি হিসাবে পরিচিত, তথাকথিত দ্বিতীয়-ক্রম যুক্তিতে দুর্বল হতে পারে। ভবিষ্যদ্বাণীমূলক দ্বিতীয়-ক্রমের যুক্তি এবং মৌলিক আইন 5 সীমাবদ্ধ বা গঠনমূলক পদ্ধতি দ্বারা প্রমাণিতভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তবে এটি কেবল গাণিতিকের খুব দুর্বল টুকরোগুলি ব্যাখ্যা করতে পারে। 1903 সাল পর্যন্ত যুক্তিতে ফ্রেজের কাজ আন্তর্জাতিক মনোযোগ পায়নি, যখন রাসেল দ্য প্রিন্সিপলস অফ ম্যাথমেটিক্স-এ ফ্রেজের সাথে তার পার্থক্য উল্লেখ করে একটি পরিশিষ্ট লিখেছিলেন। ফ্রেজ যে চিত্রাত্মক স্বরলিপির ব্যবহার করেছিলেন তার কোনও পূর্বসূরী ছিল না (এবং তারপর থেকে এর কোনও অনুকরণকারী ছিল না)। অধিকন্তু, রাসেল এবং হোয়াইটহেডের প্রিন্সিপিয়া ম্যাথমেটিকা পর্যন্ত (3 খণ্ড)। 1910-13-এ আবির্ভূত, গাণিতিক যুক্তির প্রভাবশালী পদ্ধতিটি তখনও ছিল জর্জ বুল (1815-64) এবং তাঁর বুদ্ধিবৃত্তিক বংশধরদের, বিশেষত আর্নস্ট শ্রোডারের (1841-1902)। ফ্রেজের যৌক্তিক ধারণাগুলি তবুও তাঁর ছাত্র রুডলফ কার্নাপ (1891-1970) এবং অন্যান্য অনুরাগীদের, বিশেষত বার্ট্রান্ড রাসেল এবং লুডভিগ উইটজেনস্টাইনের (1889-1951) লেখাগুলির মাধ্যমে ছড়িয়ে পড়ে। দার্শনিক ফ্রেজ বিশ্লেষণাত্মক দর্শনের অন্যতম প্রতিষ্ঠাতা, যার যুক্তি ও ভাষার উপর কাজ দর্শনে ভাষাগত মোড়কে জন্ম দিয়েছে। ভাষার দর্শনে তাঁর অবদানের মধ্যে রয়েছেঃ প্রস্তাবের কার্যকারিতা এবং যুক্তি বিশ্লেষণ; ধারণা এবং বস্তুর মধ্যে পার্থক্য (বেগ্রিফ উন্ড গেগেনস্ট্যান্ড); রচনার নীতি; প্রসঙ্গ নীতি; এবং নাম এবং অন্যান্য অভিব্যক্তিগুলির ইন্দ্রিয় এবং রেফারেন্সের মধ্যে পার্থক্য (সিন উন্ড বেডেউতুং), কখনও কখনও একটি মধ্যস্থ রেফারেন্স তত্ত্ব জড়িত বলে বলা হয়। গণিতের দার্শনিক হিসাবে, ফ্রেজ বাক্যের অর্থের বিচারের বিষয়বস্তুর মানসিক ব্যাখ্যার প্রতি মনস্তাত্ত্বিক আবেদনকে আক্রমণ করেছিলেন। তাঁর মূল উদ্দেশ্য অর্থ সম্পর্কে সাধারণ প্রশ্নের উত্তর দেওয়া থেকে অনেক দূরে ছিল; পরিবর্তে, তিনি গাণিতিক ভিত্তির অন্বেষণ করার জন্য তাঁর যুক্তি তৈরি করেছিলেন, যেমন "একটি সংখ্যা কী?" অথবা "কোন বস্তু সংখ্যা-শব্দ করে ('এক', 'দুই', ইত্যাদি)? উল্লেখ করুন? " কিন্তু এই বিষয়গুলি অনুসরণ করার সময়, তিনি অবশেষে নিজেকে বিশ্লেষণ এবং ব্যাখ্যা করতে দেখেন যে এর অর্থ কী, এবং এইভাবে বেশ কয়েকটি সিদ্ধান্তে পৌঁছেছিলেন যা বিশ্লেষণাত্মক দর্শন এবং ভাষার দর্শনের পরবর্তী কোর্সের জন্য অত্যন্ত ফলস্বরূপ প্রমাণিত হয়েছিল। সেন্স অ্যান্ড রেফারেন্স ফ্রেজের 1892 সালের গবেষণাপত্র, "অন সেন্স অ্যান্ড রেফারেন্স" ("über sinn und Bedeutung"), ইন্দ্রিয় ("sinn") এবং রেফারেন্সের ("Bedeutung", যা "অর্থ" বা "সংজ্ঞা" হিসাবেও অনুবাদ করা হয়েছে) মধ্যে তাঁর প্রভাবশালী পার্থক্যের পরিচয় দেয়। যদিও অর্থের প্রচলিত বিবরণগুলি অভিব্যক্তিগুলিকে কেবল একটি বৈশিষ্ট্য (রেফারেন্স) হিসাবে গ্রহণ করেছিল, ফ্রেজ এই দৃষ্টিভঙ্গি প্রবর্তন করেছিলেন যে অভিব্যক্তিগুলির তাৎপর্যের দুটি ভিন্ন দিক রয়েছেঃ তাদের বোধ এবং তাদের রেফারেন্স। সঠিক নামের ক্ষেত্রে রেফারেন্স (বা "বেডেউতুং") প্রয়োগ করা হয়, যেখানে একটি প্রদত্ত অভিব্যক্তি ("টম" অভিব্যক্তিটি বলুন) কেবল নাম বহনকারী সত্তাকে (টম নামে ব্যক্তি) বোঝায়। ফ্রেজ আরও বলেন যে প্রস্তাবগুলির সাথে তাদের সত্য-মূল্যের একটি উল্লেখমূলক সম্পর্ক রয়েছে (অন্য কথায়, একটি বিবৃতি সত্য-মূল্যকে "বোঝায়")। এর বিপরীতে, একটি সম্পূর্ণ বাক্যের সাথে যুক্ত অর্থ (বা "পাপ") হল সেই চিন্তা যা এটি প্রকাশ করে। একটি অভিব্যক্তির অর্থকে উল্লিখিত বস্তুর "উপস্থাপনার পদ্ধতি" বলা হয় এবং একই রেফারেন্সের জন্য উপস্থাপনের একাধিক পদ্ধতি থাকতে পারে। পার্থক্যটি এইভাবে চিত্রিত করা যেতে পারেঃ তাদের সাধারণ ব্যবহারে, "চার্লস ফিলিপ আর্থার জর্জ মাউন্টব্যাটেন-উইন্ডসর" নামটি, যা যৌক্তিক উদ্দেশ্যে একটি অবিশ্বাস্য সম্পূর্ণ, এবং কার্যকরী অভিব্যক্তি "যুক্তরাজ্যের রাজা", যার মধ্যে উল্লেখযোগ্য অংশ রয়েছে "দ্য কিং অফ স্পিনি" এবং "ইউনাইটেড কিংডম", একই রেফারেন্স রয়েছে, যথা, রাজা তৃতীয় চার্লস হিসাবে সর্বাধিক পরিচিত ব্যক্তি। কিন্তু "ইউনাইটেড কিংডম" শব্দের অর্থ পরবর্তী অভিব্যক্তিটির অর্থের একটি অংশ, তবে রাজা চার্লসের "পূর্ণ নাম" অর্থের কোনও অংশ নয়। এই পার্থক্যগুলি বার্ট্রান্ড রাসেল দ্বারা বিতর্কিত হয়েছিল, বিশেষত তাঁর গবেষণাপত্র "অন ডিনোটিং"-এ; বিতর্কটি বর্তমান পর্যন্ত অব্যাহত রয়েছে, বিশেষত সল ক্রিপকের বিখ্যাত বক্তৃতা "নামকরণ এবং প্রয়োজনীয়তা" দ্বারা জ্বালিয়ে দেওয়া হয়েছে। 1924 সালের ডায়েরি ফ্রেজের প্রকাশিত দার্শনিক লেখাগুলি খুব প্রযুক্তিগত প্রকৃতির ছিল এবং ব্যবহারিক বিষয়গুলি থেকে তালাকপ্রাপ্ত ছিল, এতটাই যে ফ্রেজের পণ্ডিত ডামেট ফ্রেজের ডায়েরি পড়ার সময় আবিষ্কার করে যে তার নায়ক একজন ইহুদি-বিরোধী ছিলেন। জার্মান বিপ্লবের পর তাঁর রাজনৈতিক মতামত আরও আমূল হয়ে ওঠে। তাঁর জীবনের শেষ বছরে, 76 বছর বয়সে, তাঁর ডায়েরিতে সংসদীয় ব্যবস্থা, গণতান্ত্রিক, উদারপন্থী, ক্যাথলিক, ফরাসি এবং ইহুদিদের বিরোধিতা করে রাজনৈতিক মতামত ছিল, যাদের তিনি রাজনৈতিক অধিকার থেকে বঞ্চিত করা উচিত বলে মনে করেছিলেন এবং বিশেষত জার্মানি থেকে বহিষ্কার করা উচিত বলে মনে করেছিলেন। ফ্রেজ স্বীকার করেছিলেন যে "তিনি একসময় নিজেকে একজন উদারপন্থী হিসাবে ভেবেছিলেন এবং বিসমার্কের ভক্ত ছিলেন", কিন্তু তারপর জেনারেল লুডেনডর্ফের প্রতি সহানুভূতি প্রকাশ করেছিলেন। 1924 সালের 5ই মে তারিখে ফ্রেজ হিউস্টন স্টুয়ার্ট চেম্বারলেনের ডয়চল্যান্ডস আর্নিউয়েরুং-এ প্রকাশিত একটি নিবন্ধের সঙ্গে সম্মতি প্রকাশ করেন, যেখানে অ্যাডলফ হিটলারের প্রশংসা করা হয়েছিল। ফ্রেজ এই বিশ্বাসটি লিপিবদ্ধ করেছিলেন যে জার্মানির ইহুদীরা যদি "হারিয়ে যায়, অথবা জার্মানি থেকে অদৃশ্য হয়ে যেতে চায়" তবে সবচেয়ে ভাল হবে। সেই সময় সম্পর্কে কিছু ব্যাখ্যা লেখা হয়েছে। ডায়েরিতে সর্বজনীন ভোটাধিকার এবং সমাজতন্ত্রের সমালোচনা রয়েছে। বাস্তব জীবনে ইহুদিদের সাথে ফ্রেজের বন্ধুত্বপূর্ণ সম্পর্ক ছিলঃ তাঁর ছাত্রদের মধ্যে ছিলেন গের্শম স্কোলেম, যিনি তাঁর শিক্ষাকে অত্যন্ত মূল্যবান বলে মনে করতেন এবং তিনিই ছিলেন যিনি বার্ট্রান্ড রাসেলের সাথে অধ্যয়নের জন্য লুডভিগ উইটজেনস্টাইনকে ইংল্যান্ডে চলে যেতে উৎসাহিত করেছিলেন। 1924 সালের ডায়েরিটি 1994 সালে মরণোত্তর প্রকাশিত হয়। ফ্রেজ স্পষ্টতই তাঁর রাজনৈতিক দৃষ্টিভঙ্গি সম্পর্কে প্রকাশ্যে কখনও কথা বলেননি। ব্যক্তিত্ব ফ্রেজকে তাঁর ছাত্ররা অত্যন্ত অন্তর্মুখী ব্যক্তি হিসাবে বর্ণনা করেছিলেন, যিনি খুব কমই অন্যদের সাথে সংলাপে প্রবেশ করতেন এবং বক্তৃতা দেওয়ার সময় বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ব্ল্যাকবোর্ডের মুখোমুখি থাকতেন। তবে, তিনি তাঁর ক্লাস চলাকালীন মাঝে মাঝে বুদ্ধি এবং এমনকি তিক্ত ব্যঙ্গ প্রদর্শনের জন্য পরিচিত ছিলেন। গুরুত্বপূর্ণ তারিখগুলি 1848 সালের 8ই নভেম্বর উইসমার, মেকলেনবার্গ-শোয়েরিনে জন্মগ্রহণ করেন। 1869-জেনা বিশ্ববিদ্যালয়ে ভর্তি হন। 1871-গটিঙেন বিশ্ববিদ্যালয়ে ভর্তি হন। 1873-পিএইচডি, গণিতে ডাক্তার (জ্যামিতি), গটিঙেন-এ অর্জন করেন। 1874-জেনাতে বাসস্থান; বেসরকারী শিক্ষক। 1879-জেনায় অসেরোর্ড্যান্টলিচার অধ্যাপক। 1896-জেনায় অর্ডেন্টলিচার অনারার প্রফেসর। 1918-অবসর গ্রহণ করেন। 1925 সালের 26শে জুলাই ব্যাড ক্লিনেনে (বর্তমানে মেকলেনবার্গ-ফরপোমের্নের অংশ) মারা যান। গুরুত্বপূর্ণ কাজ লজিক, পাটিগণিতের ভিত্তি বেগ্রিফস্ক্রিফ্টঃ এইন ডার অ্যারিথমেটিসচেন নাচগেবিল্ডিতে ফরমেলস্প্রাচে ডেস রেইন ডেনকেনস (1879), হ্যালি অ্যান ডার সালেঃ ভার্লাগ ভন লুই নেবার্ট (অনলাইন সংস্করণ)। ইংরেজিতেঃ বেগ্রিফস্ক্রিফ্ট, একটি ফর্মুলা ল্যাঙ্গুয়েজ, বিশুদ্ধ চিন্তার জন্য গাণিতিকের উপর মডেল করা, ইনঃ জে ভ্যান হেইজেনর্ট (সংস্করণ। ), ফ্রম ফ্রেজ টু গোডেলঃ এ সোর্স বুক ইন ম্যাথমেটিকাল লজিক, 1879-1931, হার্ভার্ড, এমএঃ হার্ভার্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1967, পৃ. 5-82। ইংরেজিতে (নির্বাচিত বিভাগগুলি আধুনিক আনুষ্ঠানিক স্বরলিপিতে সংশোধিত): আর. এল. মেন্ডেলসন, দ্য ফিলোসফি অফ গটলব ফ্রেজ, কেমব্রিজঃ কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2005: "আধুনিক স্বরলিপিতে পরিশিষ্ট এ. বেগ্রিফস্ক্রিফ্টঃ (1) থেকে (51)" এবং "আধুনিক স্বরলিপিতে পরিশিষ্ট বি. বেগ্রিফস্ক্রিফ্টঃ (52) থেকে (68)"। দ্য গ্রান্ডলাজেন ডার অ্যারিথমেটিকঃ এইন লজিশ-ম্যাথেমেটিস্চে আনটারসুচুং উবের ডেন বেগ্রিফ ডার জাহল (1884), ব্রেসলাউঃ ভার্লাগ ভন উইলহেলম কোয়েবনার (অনলাইন সংস্করণ)। ইংরেজিতেঃ দ্য ফাউন্ডেশন্স অফ অ্যারিথমেটিকঃ এ লজিক-ম্যাথমেটিকাল এনকোয়ারি ইনটু দ্য কনসেপ্ট অফ নাম্বার, জে. এল. অস্টিন, অক্সফোর্ড দ্বারা অনুবাদিতঃ বাসিল ব্ল্যাকওয়েল, 1950। গ্রান্ডগেসেটজে ডার অ্যারিথমেটিক, ব্যান্ড 1 (1893); ব্যান্ড 2 (1903), জেনাঃ ভার্লাগ হারমান পোহল (অনলাইন সংস্করণ)। ইংরেজিতে (নির্বাচিত বিভাগগুলির অনুবাদ), "ট্রান্সলেশন অফ পার্ট অফ ফ্রেজের গ্রান্ডগেসেটজে ডার অ্যারিথমেটিক", অনুবাদ এবং সম্পাদনা পিটার গিচ এবং ম্যাক্স ব্ল্যাক ইন ট্রান্সলেশনস ফ্রম দ্য ফিলোসফিক্যাল রাইটিংস অফ গটলব ফ্রেজ, নিউ ইয়র্ক, এনওয়াইঃ ফিলোসফিক্যাল লাইব্রেরি, 1952, পৃ. 137-158। জার্মান ভাষায় (আধুনিক আনুষ্ঠানিক স্বরলিপিতে সংশোধিত): গ্রান্ডগেসেটজে ডার অ্যারিথমেটিক, কোরপোরা (ডুইসবার্গ-এসেন বিশ্ববিদ্যালয়ের পোর্টাল), 2006: ব্যান্ড 1 এবং ব্যান্ড 2। জার্মান ভাষায় (আধুনিক আনুষ্ঠানিক স্বরলিপিতে সংশোধিত): গ্রান্ডগেসেটজে ডের অ্যারিথমেটিক-বেগ্রিফস্ক্রিফ্টলিচ অ্যাবজেলিটেট। ব্যান্ড আই আন্ড টুঃ ইন মডার্ন ফর্মেলনোটেশন ট্রান্সক্রিবিয়ের্ট আন্ড মিট এইনেম অউসফুহরলিচেন স্যাক্রেজিস্টার শ্লোক, টি. মুলার, বি. শ্রোডার এবং আর. স্টুলম্যান-লেইজ, প্যাডারবর্নঃ মেন্টিস, 2009 দ্বারা সম্পাদিত। ইংরেজিতেঃ গাণিতিক মৌলিক আইন, ফিলিপ এ. ইবার্ট এবং মার্কাস রসবার্গের একটি ভূমিকা সহ অনুবাদ এবং সম্পাদনা করা হয়েছে। অক্সফোর্ডঃ অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2013। দার্শনিক অধ্যয়ন "ফাংশন অ্যান্ড কনসেপ্ট" (1891) মূলঃ "ফাঙ্কশন উন্ড বেগ্রিফ", জেনেইশে গেসেলশাফ্ট ফর মেডিজিন উন্ড ন্যাচারউইসেনশাফ্টের একটি ঠিকানা, জেনা, 9 জানুয়ারী 1891। ইংরেজিতেঃ "ফাংশন অ্যান্ড কনসেপ্ট"। "অন সেন্স অ্যান্ড রেফারেন্স" (1892) অরিজিনালঃ "über sinn und Bedeutung", ইন জেইটস্ক্রিফ্ট ফর ফিলোসফি আন্ড ফিলোসফিশ ক্রিটিক সি (1892): 25-50। ইংরেজিতেঃ "অন সেন্স অ্যান্ড রেফারেন্স", বিকল্পভাবে (পরবর্তী সংস্করণে) "অন সেন্স অ্যান্ড মিনিং" হিসাবে অনুবাদ করা হয়েছে। "কনসেপ্ট অ্যান্ড অবজেক্ট" (1892) অরিজিনালঃ "উয়েবার বেগ্রিফ উন্ড গেগেনস্ট্যান্ড", ভিয়ের্টেলজাহ্রেসক্রিফ্ট ফর উইসেনশাফ্টলিচে ফিলোসফি XVI (1892): 192-205। ইংরেজিতেঃ "ধারণা এবং বস্তু"। "ফাংশন কি?" (1904) অরিজিনালঃ "ওয়াজ ইস্ট এইন ফাঙ্কশন? ", ইন ফেস্টশ্রিফ্ট লুডভিগ বোল্টজম্যান গেউইডমেট জুম সেচজিগস্টেন গেবার্টস্টেজ, 20 ফেব্রুয়ারি 1904, এস. মায়ার (সংস্করণ। ), লিপজিগ, 1904, পৃ. 656-666। ইংরেজিতেঃ "ফাংশন কি?" যৌক্তিক তদন্ত (1918-1923)। ফ্রেজের অভিপ্রায় ছিল যে নিম্নলিখিত তিনটি গবেষণাপত্র একসঙ্গে লজিশে আনটারসুচুঙ্গেন (লজিক্যাল ইনভেস্টিগেশন্স) শিরোনামে একটি বইতে প্রকাশিত হবে। যদিও জার্মান বইটি কখনই প্রকাশিত হয়নি, তবে গবেষণাপত্রগুলি লজিশে আনটারসুচুঙ্গেন, সংস্করণে একসাথে প্রকাশিত হয়েছিল। জি. প্যাটজিগ, ভ্যান্ডেনহোক এবং রুপ্রেক্ট, 1966, এবং ইংরেজি অনুবাদগুলি লজিক্যাল ইনভেস্টিগেশন্স, সংস্করণে একসাথে প্রকাশিত হয়েছিল। পিটার গিচ, ব্ল্যাকওয়েল, 1975। 1918-19। "দের গেডানকেঃ এইন লজিশে আনটারসুচুং" ("চিন্তাঃ একটি যৌক্তিক তদন্ত"), বেইট্রেজ জুর ফিলোসফি ডেস ডয়েচেন আইডিয়ালিসমাস I: 58-77-এ। 1918-19। বেইট্রেজ জুর ফিলোসফি ডেস ডয়েচেন আইডিয়ালিসমাস I: 143-157-এ "ডাই ভার্নিনুং" ("নেতিবাচক")। 1923 সালে। "গেডানকেঙ্গেফুগে" ("যৌগিক চিন্তা"), বেইট্রাগে জুর ফিলোসফি ডেস ডয়েচেন আইডিয়ালিসমাস III: 36-51। জ্যামিতি সম্পর্কিত নিবন্ধ 1903: "গ্রান্ডলাজেন ডার জ্যামিতি"। দ্বিতীয়। জার্মান গণিতবিদ-ভেরিনিগং দ্বাদশ (1903), 368-375। ইংরেজিতেঃ "জ্যামিতির ভিত্তির উপর"। 1967: ক্লাইন শ্রাইফটেন। (আই. অ্যাঞ্জেলেলি, সংস্করণ)। ডার্মস্টাড্টঃ উইসেনশাফ্টলিচে বুচেসেলশাফ্ট, 1967 এবং হিলডেশেইম, জি. ওল্মস্, 1967। "স্মল রাইটিংস", তাঁর বেশিরভাগ লেখার একটি সংগ্রহ (যেমন, পূর্ববর্তী), মরণোত্তর প্রকাশিত হয়েছিল। আরও দেখুন ফ্রেজ সিস্টেম কম্পিউটার বিজ্ঞানের অগ্রগামীদের তালিকা নিও-ফ্রেজনিজম নোটস রেফারেন্স সোর্স প্রাথমিক অনলাইন গ্রন্থপঞ্জি ফ্রেজের কাজ এবং তাদের ইংরেজি অনুবাদ (এডওয়ার্ড এন জাল্টা, স্ট্যানফোর্ড এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ফিলোসফি দ্বারা সংকলিত)। 1879 সালে। প্রথমত, দ্বিতীয়ত, দ্বিতীয়ত, দ্বিতীয়ত, দ্বিতীয়ত, দ্বিতীয়ত, তৃতীয়ত, তৃতীয়ত, তৃতীয়ত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, পঞ্চমত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, পঞ্চমত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, চতুর্থত, পঞ্চমত, চতুর্থত, পঞ্চমত, পঞ্চমত, পঞ্চমত, পঞ্চমত, পঞ্চমত, পঞ্চমত, পঞ্চমত, পঞ্চমত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত, ষষ্ঠত হ্যালি এ. এস.: লুই নেবার্ট। অনুবাদঃ কনসেপ্ট স্ক্রিপ্ট, বিশুদ্ধ চিন্তার একটি আনুষ্ঠানিক ভাষা যা গাণিতিক মডেলের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, এস. বাউয়ার-মেঙ্গেলবার্গের জিন ভ্যান হেইজেনুর্তে, সংস্করণ, 1967। ফ্রম ফ্রেজ টু গোডেলঃ এ সোর্স বুক ইন ম্যাথমেটিকাল লজিক, 1879-1931। হার্ভার্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস। 1884 সালে। গাণিতিক গাণিতিক গাণিতিক গাণিতিক গাণিতিক গাণিতিক গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত গণিত ব্রেসলাউঃ ডব্লিউ কোয়েবনার। অনুবাদঃ জে. এল অস্টিন, 1974। দ্য ফাউন্ডেশন্স অফ অ্যারিথমেটিকঃ এ লজিক-ম্যাথমেটিকাল এনকোয়ারি ইনটু দ্য কনসেপ্ট অফ নাম্বার, 2য় সংস্করণ। ব্ল্যাকওয়েল। 1891 সালে। "ফাংশান অ্যান্ড বেগ্রিফ"। অনুবাদঃ "ফাংশন অ্যান্ড কনসেপ্ট" ইন জিচ অ্যান্ড ব্ল্যাক (1980)। 1892এ। "über sinn und Bedeutung" in Zeatschrift für Philosophy and Philosophische Kritik 100:25-50। অনুবাদঃ "অন সেন্স অ্যান্ড রেফারেন্স" ইন জিচ অ্যান্ড ব্ল্যাক (1980)। 1892 খ্রিষ্টাব্দ। "উয়েবার বেগ্রিফ আন্ড গেগেনস্ট্যান্ড" ভিয়ের্টেলজাহ্রেসক্রিফ্ট ফর উইসেনশাফ্টলিচে ফিলোসফি 16:192-205-তে। অনুবাদঃ "কনসেপ্ট অ্যান্ড অবজেক্ট" ইন জিচ অ্যান্ড ব্ল্যাক (1980)। 1893 সালে। গ্রান্ডগেসেটজে ডার অ্যারিথমেটিক, ব্যান্ড আই. জেনাঃ ভার্লাগ হারমান পোহল। দ্বিতীয় ব্যান্ড, 1903। ব্যান্ড I + II অনলাইন। 1ম খণ্ডের আংশিক অনুবাদঃ মন্টগোমেরি ফার্থ, 1964। গাণিতিকের মৌলিক নিয়ম। বিশ্ববিদ্যালয়। ক্যালিফোর্নিয়া প্রেস। গীচ অ্যান্ড ব্ল্যাক (1980)-এর 2য় খণ্ড থেকে নির্বাচিত অংশগুলির অনুবাদ। উভয় খণ্ডের সম্পূর্ণ অনুবাদঃ ফিলিপ এ. ইবার্ট এবং মার্কাস রসবার্গ, 2013, গাণিতিক মৌলিক নিয়ম। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস। 1904 সালে। "এটা কি ভালো কাজ ছিল না?" মায়ার, এস., সংস্করণ, 1904। ফেস্টশ্রিফ্ট লুডভিগ বোল্টজম্যান গেউইডমেট জুম সেচজিগস্টেন গেবার্টস্টেজ, 20। 1904 সালের ফেব্রুয়ারি। লাইপজিগঃ বার্থঃ 656-666। অনুবাদঃ "ফাংশন কি?" গীচ অ্যান্ড ব্ল্যাক (1980)। 1918-1923। পিটার গিচ (সম্পাদক): লজিক্যাল ইনভেস্টিগেশন্স, ব্ল্যাকওয়েল, 1975। 1924 সালে। গটফ্রিড গ্যাব্রিয়েল, ওল্ফগ্যাং কিয়েনজলার (সম্পাদক): গটলব ফ্রেজেস ট্যাগবুচের রাজনীতি করেন। মধ্যেঃ ডয়চে জিটসক্রিপ্ট ফর ফিলোসফি, খণ্ড। 42, 1994, পৃ. 1057-98। সম্পাদকদের ভূমিকা পৃষ্ঠা 1057-66-এ। এই নিবন্ধটি ইংরেজিতে অনুবাদ করা হয়েছেঃ তদন্ত, খণ্ড। 39, 1996, পৃ. 303-342। পিটার গিচ এবং ম্যাক্স ব্ল্যাক, সংস্করণ এবং ট্রান্স., 1980। গটলব ফ্রেজের দার্শনিক লেখাগুলি থেকে অনুবাদ, 3য় সংস্করণ। ব্ল্যাকওয়েল (1ম সংস্করণ। 1952)। মাধ্যমিক দর্শন বদিউ, অ্যালেন। "অন অ্যা কনটেম্পোরারি ইউসেজ অফ ফ্রেজ", ট্রান্স। জাস্টিন ক্লেমেন্স এবং স্যাম গিলেস্পি। ইউ. এম. বি. আর (এ), নং। 1, 2000, পৃ. 99-115। বেকার, গর্ডন এবং পি. এম. এস হ্যাকার, 1984। ফ্রেজঃ যৌক্তিক খনন। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস। - তীব্র, যদি বিতর্কিত হয়, ফ্রেজের দর্শন এবং ডামেটের মতো প্রভাবশালী সমসাময়িক ব্যাখ্যা উভয়েরই সমালোচনা। কারি, গ্রেগরি, 1982। ফ্রেজঃ তাঁর দর্শনের একটি ভূমিকা। হারভেস্টার প্রেস। ডুমেট, মাইকেল, 1973। ফ্রেজঃ ভাষার দর্শন। হার্ভার্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস। ------, 1981। ফ্রেজের দর্শনের ব্যাখ্যা। হার্ভার্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস। হিল, ক্লেয়ার অর্টিজ, 1991। হুসারল, ফ্রেজ এবং রাসেলের শব্দ এবং বস্তুঃ বিংশ শতাব্দীর দর্শনের মূল। এথেন্স ওএইচঃ ওহিও ইউনিভার্সিটি প্রেস। ------, এবং রোসাডো হ্যাডক, জি. ই., 2000। হুসার্ল বা ফ্রেজঃ অর্থ, উদ্দেশ্য এবং গণিত। ওপেন কোর্ট। - ফ্রেজ-হুসারল-ক্যান্টর ত্রিভুজের উপর। কেনি, অ্যান্টনি, 1995। ফ্রেজ-আধুনিক বিশ্লেষণাত্মক দর্শনের প্রতিষ্ঠাতার একটি ভূমিকা। পেঙ্গুইন বই। - ফ্রেজের দর্শনের চমৎকার অ-প্রযুক্তিগত ভূমিকা এবং সংক্ষিপ্ত বিবরণ। ক্লেমকে, ই. ডি., সংস্করণ, 1968। ফ্রেজের উপর প্রবন্ধ। ইউনিভার্সিটি অফ ইলিনয় প্রেস। - দার্শনিকদের 31টি প্রবন্ধ, তিনটি শিরোনামের অধীনে গোষ্ঠীভুক্তঃ অন্টোলজি; 2। শব্দার্থবিজ্ঞান; এবং 3। গণিতের যুক্তি ও দর্শন। রোসাডো হ্যাডক, গিলারমো ই., 2006। গটলব ফ্রেজের দর্শনের একটি সমালোচনামূলক ভূমিকা। অ্যাশগেট প্রকাশনা। সিস্টি, নিকোলা, 2005। এই প্রোগ্রামটি লজিষ্টিক ডি ফ্রেজ এবং একটি নির্দিষ্ট সময়ের সংজ্ঞা দেয়। ফ্রাঙ্কো অ্যাঞ্জেলি। - ফ্রেজের সংজ্ঞা তত্ত্বের উপর। স্লুগা, হান্স, 1980। গটলব ফ্রেজ। রুটলেজ। নিকলা ভাসালো, 2014, ফ্রেজ অন থিঙ্কিং অ্যান্ড ইটস এপিস্টেমিক সিগ্নিফিকেন্স উইথ পিয়েরানা গারাভাসো, লেক্সিংটন বুকস-রওম্যান অ্যান্ড লিটলফিল্ড, লানহাম, এমডি, ইউএসএ। ওয়েইনার, জোয়ান, 1990। ফ্রেজ ইন পার্সপেক্টিভ, কর্নেল ইউনিভার্সিটি প্রেস। লজিক অ্যান্ড ম্যাথমেটিক্স অ্যান্ডারসন, ডি. জে., এবং এডওয়ার্ড জাল্টা, 2004, "ফ্রেজ, বুলোস, অ্যান্ড লজিক্যাল অবজেক্টস", জার্নাল অফ ফিলোসফিক্যাল লজিক 33:1-26। ব্লাঞ্চেট, প্যাট্রিসিয়া, 2012, ফ্রেজের কনসেপশন অফ লজিক। অক্সফোর্ডঃ অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2012 বার্গেস, জন, 2005। ফ্রিজ ঠিক করা হচ্ছে। প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়। প্রেস করুন। - ফ্রেজের যুক্তিবাদের চলমান পুনর্বাসনের একটি সমালোচনামূলক সমীক্ষা। বুলোস, জর্জ, 1998। লজিক, লজিক এবং লজিক। এমআইটি প্রেস। - ফ্রেজের উপপাদ্য এবং গাণিতিক ভিত্তির প্রতি যুক্তিবাদী পদ্ধতির উপর 12টি গবেষণাপত্র। ডুমেট, মাইকেল, 1991। ফ্রেজঃ গণিতের দর্শন। হার্ভার্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস। ডেমোপোলোস, উইলিয়াম, সংস্করণ, 1995। ফ্রেজের গণিতের দর্শন। হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়। প্রেস করুন। - ফ্রেজের উপপাদ্য এবং ফ্রেজের গাণিতিক ও বুদ্ধিবৃত্তিক পটভূমি অন্বেষণকারী গবেষণাপত্র। ফেরেরা, এফ. এবং ওয়েহমিয়ার, কে., 2002, "অন দ্য কন্সিস্টেন্সি অফ দ্য ডেল্টা-1-সিএ ফ্র্যাগমেন্ট অফ ফ্রেজ 'স গ্রান্ডগেসেটজে", জার্নাল অফ ফিলোসফিক লজিক 31:301-11। গ্র্যাটান-গিনেস, আইভর, 2000। গাণিতিক মূলের জন্য অনুসন্ধান 1870-1940। প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি প্রেস। - গণিতবিদের কাছে ন্যায্য, দার্শনিকের কাছে কম। গিলিজ, ডোনাল্ড এ., 1982। গাণিতিক ভিত্তির উপর ফ্রেজ, ডেডেকিন্ড এবং পেয়ানো। পদ্ধতি ও বিজ্ঞান ফাউন্ডেশন, 2। ভ্যান গর্কম অ্যান্ড কোং, অ্যাসেন, 1982। গিলিজ, ডোনাল্ডঃ যুক্তিতে ফ্রেজিয়ান বিপ্লব। গণিতে বিপ্লব, 265-305, অক্সফোর্ড বিজ্ঞান। প্রকাশনা., অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়। প্রেস, নিউ ইয়র্ক, 1992। আরভিন, অ্যান্ড্রু ডেভিড, 2010, "ফ্রেজ অন নম্বর প্রোপার্টিজ", স্টাডিয়া লজিকা, 96 (2): 239-60। চার্লস পার্সন্স, 1965, "ফ্রেজের সংখ্যা তত্ত্ব"। ডেমোপোলোস (1965)-এ পোস্টস্ক্রিপ্ট দিয়ে পুনঃমুদ্রিতঃ 182-210। ফ্রেজের যুক্তিবাদের চলমান সহানুভূতিশীল পুনর্বিবেচনার সূচনা বিন্দু। গিলিজ, ডোনাল্ডঃ যুক্তিতে ফ্রেজিয়ান বিপ্লব। গণিতে বিপ্লব, 265-305, অক্সফোর্ড বিজ্ঞান। প্রকাশনা., অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়। প্রেস, নিউ ইয়র্ক, 1992। হেক, রিচার্ড কিম্বারলিঃ ফ্রেজের উপপাদ্য। অক্সফোর্ডঃ অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2011 হেক, রিচার্ড কিম্বারলিঃ রিডিং ফ্রেজের গ্রান্ডগেসেটজে। অক্সফোর্ডঃ অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2013 রাইট, ক্রিস্পিন, 1983। বস্তু হিসাবে সংখ্যার ফ্রেজের ধারণা। অ্যাবারডিন ইউনিভার্সিটি প্রেস। - ফ্রেজের গ্রান্ডলাজেন ধারণার একটি নিয়মতান্ত্রিক প্রদর্শনী এবং একটি সুযোগ-সীমাবদ্ধ প্রতিরক্ষা। ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপট বাহ্যিক লিঙ্ক বংশবৃত্তান্ত প্রকল্পে ফ্রেজ ব্রায়ান কার্ভারের ওয়েবে উপলব্ধ ফ্রেজিয়ান উপাদানগুলির একটি বিস্তৃত গাইড। স্ট্যানফোর্ড এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ফিলোসফিঃ "গটলব ফ্রেজ"-এডওয়ার্ড জাল্টা রচিত। "ফ্রেজের যুক্তি, উপপাদ্য এবং গাণিতিক ভিত্তিসমূহ"-এডওয়ার্ড জাল্টা। ইন্টারনেট এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ফিলোসফিঃ গটলব ফ্রেজ-কেভিন সি ক্লেমেন্ট রচিত। ফ্রেজ অ্যান্ড ল্যাঙ্গুয়েজ-ডরোথিয়া লটার। মেটাফিজিক্স রিসার্চ ল্যাবঃ গটলব ফ্রেজ। অস্তিত্ব, অস্তিত্ব এবং সত্যের উপর ফ্রীজ। বেগ্রিফ, ফ্রেজের লজিক নোটেশন টাইপসেট করার জন্য একটি ল্যাটেক্স প্যাকেজ, পূর্ববর্তী সংস্করণ। ফ্রেজের লজিক নোটেশন টাইপসেট করার জন্য একটি ল্যাটেক্স প্যাকেজ, ফ্রেজের গাণিতিক মৌলিক নিয়মের পরিপক্ক সংস্করণ, ওয়েবসাইট, সহ। করিজেন্ডা এবং ল্যাটেক্স টাইপসেটিং টুল-পি. এ. ইবার্ট এবং এম. রসবার্গ। গটলব ফ্রেইজ 1848 জন্ম 1925 মৃত্যু 19শ শতাব্দীর জার্মান পুরুষ লেখক 19শ শতাব্দীর জার্মান গণিতবিদ 19শ শতাব্দীর জার্মান দার্শনিক 20শ শতাব্দীর জার্মান পুরুষ লেখক 20শ শতাব্দীর জার্মান গণিতবিদ 20শ শতাব্দীর জার্মান দার্শনিক 20শ শতাব্দীর জার্মান লেখক 20শ শতাব্দীর পুরুষ লেখক বিশ্লেষক দার্শনিক জ্ঞানতত্ত্ববিদ জার্মান যুক্তিবিদ জার্মান পুরুষ অ-কথাসাহিত্য লেখক ভাষাতত্ত্ববিদ মানুষ উইসমার থেকে গ্র্যান্ড ডাচি মেকলেনবার্গ-শোয়েরিনের মানুষ শিক্ষার দার্শনিক ভাষা যুক্তিবিদদের গণিতের দার্শনিক মনের দার্শনিক প্লাটোনিস্টদের সেট তাত্ত্বিক জেনা বিশ্ববিদ্যালয়