Uniform 4-polytope
জ্যামিতিতে, একটি অভিন্ন 4-পলিটোপ (বা অভিন্ন পলিকোরন) হল একটি 4-মাত্রিক পলিটোপ যা ভার্টেক্স-ট্রানজিটিভ এবং যার কোষগুলি অভিন্ন পলিহেড্রা এবং মুখগুলি নিয়মিত বহুভুজ। 47টি অ-প্রিজম্যাটিক উত্তল ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ রয়েছে। উত্তল প্রিজম্যাটিক ফর্মের দুটি অসীম সেট রয়েছে, পাশাপাশি উত্তল ইউনিফর্ম পলিহেড্রার প্রিজম হিসাবে উদ্ভূত 17 টি কেস রয়েছে। অ-উত্তল নক্ষত্রের একটি অজানা সংখ্যাও রয়েছে। আবিষ্কারের ইতিহাস কনভেক্স রেগুলার পলিটোপসঃ 1852: লুডভিগ শ্লাফলি তাঁর পাণ্ডুলিপি থিওরি ডার ভিয়েলফাচেন কন্টিনিউইটে প্রমাণ করেছেন যে 4 টি মাত্রায় ঠিক 6 টি নিয়মিত পলিটোপ রয়েছে এবং 5 বা তার বেশি মাত্রায় মাত্র 3 টি রয়েছে। নিয়মিত তারা 4-পলিটোপ (তারা পলিহেড্রন কোষ এবং/অথবা শীর্ষ আকৃতি) 1852: লুডভিগ শ্লাফলি 10টি নিয়মিত তারা 4-পলিটোপগুলির মধ্যে 4টি খুঁজে পেয়েছেন, যা কোষ বা শীর্ষ আকৃতি {5/2,5} এবং {5,5/2} সহ 6টি ছাড় দিয়েছে। 1883: এডমন্ড হেস তাঁর বইয়ে (জার্মান ভাষায়) আইনলাইটুং ইন ডাই লেহরে ভন ডার কুগেল্টিলুং মিট বেসন্ডেরার বেরুকসিচটিগং ইহরার আনওয়েন্ডুং আউফ ডাই থিওরি ডের গ্লিইচফ্ল্যাচিগেন উন্ড ডার গ্লিচেকিজেন পলিডার-এ ননকনভেক্স নিয়মিত 4-পলিটোপগুলির 10টির তালিকা সম্পূর্ণ করেন। কনভেক্স সেমিরেগুলার পলিটোপসঃ (কক্সেটারের ইউনিফর্ম বিভাগের আগে বিভিন্ন সংজ্ঞা) 1900: থোরোল্ড গসেট তাঁর অন দ্য রেগুলার অ্যান্ড সেমি-রেগুলার ফিগারস ইন স্পেস অফ এন ডাইমেনশনস প্রকাশনাতে নিয়মিত কোষ (প্লেটোনিক সলিড) সহ ননপ্রিসম্যাটিক সেমিরেগুলার কনভেক্স পলিটোপগুলির তালিকা গণনা করেছেন। চারটি মাত্রায়, এটি সংশোধিত 5-কোষ, সংশোধিত 600-কোষ এবং স্নব 24-কোষ দেয়। 1910: অ্যালিসিয়া বুল স্টট, তার প্রকাশনা জ্যামিতিক ডিডাকশন অফ সেমিরেগুলার থেকে রেগুলার পলিটোপ এবং স্পেস ফিলিংস, আর্কিমিডিয়ান সলিড এবং প্রিজম কোষগুলিকে অনুমতি দিয়ে সংজ্ঞাটি প্রসারিত করেছিলেন। এই নির্মাণে 45টি অর্ধ-নিয়ন্ত্রক 4-বহুভুজ গণনা করা হয়েছে, যা নীচে তালিকাভুক্ত অ-প্রিজম্যাটিক রূপগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। স্নব 24-সেল এবং গ্র্যান্ড অ্যান্টিপ্রিজম তার তালিকা থেকে অনুপস্থিত ছিল। 1911: পিটার হেন্ড্রিক স্কাউটে নিয়মিত পলিটোপ থেকে প্রাপ্ত পলিটোপগুলির বিশ্লেষণাত্মক চিকিত্সা প্রকাশ করেন, বুল-স্টটের স্বরলিপি অনুসরণ করে, 5-কোষ, 8-কোষ/16-কোষ এবং 24-কোষের উপর ভিত্তি করে প্রতিসাম্য দ্বারা উত্তল অভিন্ন পলিটোপগুলি গণনা করেন। 1912: ই. এল. এল্টে স্বাধীনভাবে গোসেটের তালিকায় প্রসারিত হন দ্য সেমিরেগুলার পলিটোপ অফ দ্য হাইপারস্পেস প্রকাশনা, এক বা দুই ধরনের সেমিরেগুলার দিক সহ পলিটোপ। কনভেক্স ইউনিফর্ম পলিটোপসঃ 1940: এইচ. এস. এম দ্বারা অনুসন্ধান পদ্ধতিগতভাবে প্রসারিত হয়েছিল। কক্সেটার তাঁর নিয়মিত এবং আধা-নিয়মিত পলিটোপ প্রকাশনাতে। কনভেক্স ইউনিফর্ম 4-পলিটোপসঃ 1965: অবশেষে উত্তল রূপের সম্পূর্ণ তালিকা জন হর্টন কনওয়ে এবং মাইকেল গাই দ্বারা গণনা করা হয়েছিল, তাদের প্রকাশনা ফোর-ডাইমেনশনাল আর্কিমিডিয়ান পলিটোপসে, যা কম্পিউটার বিশ্লেষণ দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল, শুধুমাত্র একটি অ-উইথোফিয়ান উত্তল 4-পলিটোপ, গ্র্যান্ড অ্যান্টিপ্রিজম যোগ করে। 1966 নরম্যান জনসন তাঁর পিএইচডি সম্পন্ন করেন। উপদেষ্টা কক্সেটারের অধীনে ইউনিফর্ম পলিটোপ এবং হানিকম্বের তত্ত্ব, 4 এবং তার বেশি মাত্রার জন্য ইউনিফর্ম পলিটোপগুলির মৌলিক তত্ত্ব সম্পূর্ণ করে। 1986 সালে কক্সেটার একটি গবেষণাপত্র রেগুলার এবং সেমি-রেগুলার পলিটোপ II প্রকাশ করেন যার মধ্যে অনন্য স্নব 24-কোষ কাঠামোর বিশ্লেষণ এবং ব্যতিক্রমী গ্র্যান্ড অ্যান্টিপ্রিজমের প্রতিসাম্য অন্তর্ভুক্ত ছিল। 1998-2000: নরম্যান জনসন পদ্ধতিগতভাবে 4-টি বহুবৃত্তের নামকরণ করেছিলেন এবং জর্জ ওলশেভস্কির অনলাইন সূচীভুক্ত গণনা (এই তালিকার ভিত্তি হিসাবে ব্যবহৃত) দ্বারা দেওয়া হয়েছিল। জনসন গ্রীক মূল পলি ("অনেক") এবং কোরোস ("রুম" বা "স্পেস") থেকে 4-পলিপ্টোপের নামকরণ করেছেন পলিকোরা, যেমন 3-পলিপ্টোপের জন্য পলিহেড্রা। ইউনিফর্ম পলিকোরার নামগুলি কক্সেটার চিত্রের বলয়ের উপর ভিত্তি করে উপসর্গ সহ 6টি নিয়মিত পলিকোরা দিয়ে শুরু হয়েছিল; ছাঁটাই t0,1, ক্যান্টেলেশন, t0,2, রানসিনেশন t0,3, একক রিংযুক্ত ফর্ম সহ যাকে রেক্টিফায়েড বলা হয়, এবং প্রথম রিংটি দ্বিতীয় বা তৃতীয় নোডে থাকাকালীন দ্বি, ত্রি-উপসর্গ যুক্ত করা হয়। 2004: কনওয়ে-গাই সেটটি সম্পূর্ণ হওয়ার একটি প্রমাণ মার্কো মোলার তাঁর গবেষণামূলক প্রবন্ধ, ভিয়ারডিমেনশনাল আর্কিমিডিস পলিটোপ-এ প্রকাশ করেছিলেন। মোলার তার তালিকায় জনসনের নামকরণ পদ্ধতি পুনরুত্পাদন করেছেন। 2008: দ্য সিমেট্রিজ অফ থিংস জন এইচ কনওয়ে দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল এবং এতে কক্সেটার গ্রুপ পরিবার দ্বারা উত্তল ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ এবং উচ্চতর মাত্রিক পলিটোপগুলির প্রথম মুদ্রণ-প্রকাশিত তালিকা রয়েছে, প্রতিটি রিংযুক্ত কক্সেটার ডায়াগ্রামের জন্য সাধারণ ভার্টেক্স ফিগার ডায়াগ্রাম সহ-স্নব, গ্র্যান্ড অ্যান্টিপ্রিজম এবং ডুওপ্রিজম-যা তিনি পণ্য প্রিজমের জন্য প্রোপ্রিজম বলেছিলেন। তিনি কাটা এবং বিট্রাঙ্কেশনের বাইরে সূচকযুক্ত রিং বিন্যাসের জন্য তাঁর নিজস্ব ইজক-অ্যাম্বো নামকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেন এবং জনসনের সমস্ত নাম বইয়ের সূচকে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছিল। অনিয়মিত ইউনিফর্ম স্টার 4-পলিটোপসঃ (ননকনভেক্স ইউনিফর্ম পলিহেড্রার অনুরূপ) 1966: জনসন তাঁর গবেষণাপত্রে 4-স্পেসে তিনটি ননকনভেক্স ইউনিফর্ম অ্যান্টিপ্রিজম বর্ণনা করেছেন। 1990-2006: একটি সহযোগিতামূলক অনুসন্ধানে, 2005 সাল পর্যন্ত জোনাথন বোয়ার্স এবং জর্জ ওলশেভস্কি দ্বারা মোট 1845 ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ (উত্তল এবং অ-উত্তল) চিহ্নিত করা হয়েছিল, 2006 সালে মোট 1849 এর জন্য অতিরিক্ত চারটি আবিষ্কৃত হয়েছিল। এই গণনায় 75টি অ-প্রিজম্যাটিক ইউনিফর্ম পলিহেড্রার 74টি প্রিজম অন্তর্ভুক্ত রয়েছে (যেহেতু এটি একটি সীমাবদ্ধ সেট-ঘন প্রিজম বাদ দেওয়া হয়েছে কারণ এটি টেসরাক্টকে নকল করে), তবে ডুওপ্রিজম বা অ্যান্টিপ্রিজমের প্রিজমের অসীম বিভাগগুলি নয়। 2020-2023:342টি নতুন পলিকোরা পাওয়া গেছে, যা পরিচিত ইউনিফর্ম 4-পলিটোপগুলির মোট সংখ্যা 2191-এ নিয়ে এসেছে। তালিকাটি সম্পূর্ণ প্রমাণিত হয়নি। নিয়মিত 4-পলিটোপ হল অভিন্ন 4-পলিটপের একটি উপসেট, যা অতিরিক্ত প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে। নিয়মিত 4-পলিটোপগুলি শ্লাফলি প্রতীক {p, q, r} দিয়ে প্রকাশ করা যেতে পারে যার কোষের ধরন {p, q}, মুখের ধরন {p}, প্রান্তের চিত্র {r} এবং শীর্ষের চিত্র {q, r}। একটি নিয়মিত 4-পলিটোপ {p, q, r}-এর অস্তিত্ব নিয়মিত পলিহেড্রা {p, q}-এর অস্তিত্ব দ্বারা সীমাবদ্ধ যা কোষে পরিণত হয় এবং {q, r} যা শীর্ষে পরিণত হয়। একটি সীমাবদ্ধ 4-বহুপদী হিসাবে অস্তিত্ব একটি বৈষম্যের উপর নির্ভরশীলঃ 16টি নিয়মিত 4-বহুপদী, যার বৈশিষ্ট্য হল যে সমস্ত কোষ, মুখ, প্রান্ত এবং শীর্ষগুলি সর্বসমঃ 6টি নিয়মিত উত্তল 4-বহুপদীঃ 5-কোষ {3,3,3}, 8-কোষ {4,3,3}, 16-কোষ {3,3,4}, 24-কোষ {3,4,3}, 120-কোষ {5,3,3}, এবং 600-কোষ [3,3,5]। 10টি নিয়মিত তারা 4-বহুপদঃ আইকোসাহেড্রাল 120-কোষ, ছোট স্টেলেটেড 120-কোষ, গ্র্যান্ড 120-কোষ, গ্র্যান্ড 120-কোষ, গ্র্যান্ড 120-কোষ, গ্র্যান্ড 120-কোষ, গ্র্যান্ড স্টেলেটেড 120-কোষ, গ্র্যান্ড স্টেলেটেড 120-কোষ, গ্র্যান্ড গ্র্যান্ড 120-কোষ, গ্র্যান্ড গ্র্যান্ড 120-কোষ, গ্র্যান্ড গ্র্যান্ড 120-কোষ, গ্র্যান্ড আইকোসাহেড্রাল 120-কোষ, গ্র্যান্ড 600-কোষ, গ্র্যান্ড 600-কোষ, গ্র্যান্ড আইডি 6। কনভেক্স ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ চারটি মাত্রায় ইউনিফর্ম 4-পলিটপের প্রতিসাম্য 4-মাত্রায় 5টি মৌলিক আয়না প্রতিসাম্য বিন্দু গোষ্ঠী পরিবার রয়েছেঃ A4 =, B4 =, D4 =, F4 =, H4 =। এছাড়াও 3টি প্রিজম্যাটিক গ্রুপ A3A1 =, B3A1 =, H3A1 =, এবং ডুওপ্রিজম্যাটিক গ্রুপ রয়েছেঃ I2 (p) × I2 (q) =। প্রতিটি গোষ্ঠী মিরর প্লেন দ্বারা আবদ্ধ একটি গোরস্যাট টেট্রাহেড্রন মৌলিক ডোমেন দ্বারা সংজ্ঞায়িত। প্রতিটি প্রতিফলিত অভিন্ন 4-পলিটোপ একটি উইথফ নির্মাণ দ্বারা 4 মাত্রায় এক বা একাধিক প্রতিফলিত বিন্দু গোষ্ঠীতে তৈরি করা যেতে পারে, যা একটি কক্সেটার রেখাচিত্রে নোডের বিন্যাসের চারপাশে বলয় দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। মিরর হাইপারপ্লেনগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে, যেমন রঙিন নোড দ্বারা দেখা যায়, জোড়-শাখা দ্বারা পৃথক করা হয়। [a, b, a] ফর্মের প্রতিসাম্য গোষ্ঠীগুলির একটি বর্ধিত প্রতিসাম্য রয়েছে, [a, b, a], যা প্রতিসাম্য ক্রমকে দ্বিগুণ করে। এর মধ্যে রয়েছে [3,3,3], [3,4,3], এবং [p, 2, p]। প্রতিসম বলয় সহ এই গোষ্ঠীর অভিন্ন পলিটোপগুলিতে এই বর্ধিত প্রতিসাম্য থাকে। যদি একটি প্রদত্ত রঙের সমস্ত আয়না একটি প্রদত্ত ইউনিফর্ম পলিটোপে আনরিঞ্জড (নিষ্ক্রিয়) হয়, তবে সমস্ত নিষ্ক্রিয় আয়না অপসারণ করে এটির একটি নিম্ন প্রতিসাম্য গঠন থাকবে। যদি একটি প্রদত্ত রঙের সমস্ত নোড রিং (সক্রিয়) হয়, তবে একটি বিকল্প অপারেশন কাইরাল প্রতিসাম্য সহ একটি নতুন 4-পলিটোপ তৈরি করতে পারে, যা "খালি" বৃত্তাকার নোড হিসাবে দেখানো হয়, তবে জ্যামিতি সাধারণত অভিন্ন সমাধান তৈরি করার জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। গণনা 6টি নিয়মিত উত্তল 4-পলিটোপ সহ 64টি উত্তল অভিন্ন 4-পলিটোপ রয়েছে, এবং ডুওপ্রিজম এবং অ্যান্টিপ্রিসম্যাটিক প্রিজমের অসীম সেটগুলি বাদ দিয়ে। 5টি হল প্লেটোনিক কঠিন পদার্থের উপর ভিত্তি করে পলিহেড্রাল প্রিজম (1টি নিয়মিতের সাথে ওভারল্যাপ করে যেহেতু একটি ঘন হাইপারপ্রিজম একটি টেসরাক্ট) 13টি আর্কিমিডিয়ান কঠিন পদার্থের উপর ভিত্তি করে পলিহেড্রাল প্রিজম 9টি স্ব-দ্বৈত নিয়মিত এ4 [3,3,3] গোষ্ঠীর (5-কোষ) পরিবারের অন্তর্গত। 9টি স্ব-দ্বৈত নিয়মিত এফ4 [3,4,3] গোষ্ঠী (24-কোষ) পরিবারের অন্তর্গত। (স্নব 24-কোষ বাদে) 15টি নিয়মিত বি4 [3,3,4] গোষ্ঠীর (টেসরাক্ট/16-কোষ) পরিবারের (3টি 24-কোষ পরিবারের সাথে ওভারল্যাপ) 15টি নিয়মিত এইচ4 [3,3,5] গোষ্ঠীর (120-কোষ/600-কোষ) পরিবারের। [3,4,3] গোষ্ঠীর (24-কোষ) পরিবারের 1টি বিশেষ স্নব ফর্ম। 1টি বিশেষ অ-উইথোফিয়ান 4-পলিটোপ, গ্র্যান্ড অ্যান্টিপ্রিজম। মোটঃ 68−4 = 64 এই 64টি ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ নীচে জর্জ ওলশেভস্কি দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়েছে। পুনরাবৃত্ত প্রতিসাম্য রূপগুলি বন্ধনীতে সূচীভুক্ত করা হয়। উপরের 64টি ছাড়াও, 2টি অসীম প্রিজম্যাটিক সেট রয়েছে যা অবশিষ্ট সমস্ত উত্তল রূপ তৈরি করেঃ অভিন্ন অ্যান্টিপ্রিসম্যাটিক প্রিজমের সেট-sr {p, 2} × {}-দুটি অ্যান্টিপ্রিসমের পলিহেড্রাল প্রিজম। অভিন্ন ডুওপ্রিজমের সেট-{p} × {q}-দুটি বহুভুজের একটি কার্টেসিয়ান পণ্য। এ4 পরিবার 5-কোষের দ্বিগুণ পেন্টাচোরিক [3,3,3] প্রতিসাম্য রয়েছে, 120 ক্রমের, পাঁচটি উপাদানের বিন্যাসের সমরূপ, কারণ সমস্ত জোড়া শীর্ষগুলি একইভাবে সম্পর্কিত। মুখগুলি (কোষ) দেওয়া হয়, নির্দিষ্ট নোডগুলি সরিয়ে তাদের কক্সেটার চিত্রের অবস্থানে গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়। একটি তারকাচিহ্ন, * দ্বারা চিহ্নিত তিনটি অভিন্ন 4-বহুপদের আকারে 240 ক্রমের উচ্চতর বর্ধিত পেন্টাকোরিক প্রতিসাম্য রয়েছে, কারণ অন্তর্নিহিত 5-কোষের যে কোনও উপাদানের সাথে সম্পর্কিত উপাদানটি তার দ্বৈত উপাদানের সাথে সম্পর্কিত উপাদানগুলির মধ্যে একটির সাথে বিনিময় করা যেতে পারে। একটি ছোট সূচক উপগোষ্ঠী [3,3,3] +, ক্রম 60, বা এর দ্বিগুণ +, ক্রম 120 রয়েছে, যা একটি সর্বজনীন 5-কোষকে সংজ্ঞায়িত করে যা সম্পূর্ণতার জন্য তালিকাভুক্ত, কিন্তু অভিন্ন নয়। বি4 পরিবার এই পরিবারের দ্বিগুণ হেক্সাডেকাকোরিক প্রতিসাম্য রয়েছে, [4,3,3], 24 × 16 = 384:4! = চারটি অক্ষের 24টি বিন্যাস, প্রতিটি অক্ষের প্রতিফলনের জন্য 24 = 16। 3টি ছোট সূচক উপগোষ্ঠী রয়েছে, যার মধ্যে প্রথম দুটি ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ তৈরি করে যা অন্যান্য পরিবারেও পুনরাবৃত্তি করা হয়, [1 +, 4,3,3], [4, (3,3) +], এবং [4,3,3] +, সমস্ত ক্রম 192। টেসরাক্ট ছাঁটাই 16-কোষ ছাঁটাই (*) ঠিক যেমন টেট্রাহেড্রন সংশোধন করে অক্টা-হেড্রন তৈরি হয়, 16-কোষ সংশোধন করে 24-কোষ তৈরি হয়, যা পরবর্তী পরিবারের নিয়মিত সদস্য। সম্পূর্ণতার জন্য স্নব 24-কোষটি এই পরিবারে পুনরাবৃত্তি করা হয়। এটি অর্ধ প্রতিসাম্য গোষ্ঠী [(3,3) +, 4] সহ ক্যান্টিট্রানকেটেড 16-কোষ বা কাটা 24-কোষের একটি বিকল্প। কাটা অষ্টতল কোষগুলি আইকোসাহেড্রায় পরিণত হয়। কিউবগুলি টেট্রাহেড্রায় পরিণত হয় এবং সরানো শীর্ষগুলি থেকে ফাঁকগুলিতে 96 টি নতুন টেট্রাহেড্র তৈরি হয়। এফ4 পরিবার এই পরিবারে 24 × 48 = 1152 ক্রমের ডিপ্লয়েড আইকোসিটেট্রাকোরিক প্রতিসাম্য, [3,4,3] রয়েছেঃ 24টি কোষের প্রত্যেকটির জন্য অষ্টতলকের 48টি প্রতিসাম্য। 3টি ছোট সূচক উপগোষ্ঠী রয়েছে, যার মধ্যে প্রথম দুটি আইসোমরফিক জোড়া অভিন্ন 4-পলিটোপ তৈরি করে যা অন্যান্য পরিবারেও পুনরাবৃত্তি করা হয়, [3 +, 4,3], [3,4,3 +], এবং [3,4,3] +, সমস্ত ক্রম 576। (†) এখানে স্নব 24-কোষ, তার সাধারণ নাম সত্ত্বেও, স্নব কিউব-এর অনুরূপ নয়; বরং, এটি কাটা 24-কোষের একটি বিকল্প দ্বারা উদ্ভূত হয়। এর প্রতিসাম্য সংখ্যা মাত্র 576, (আয়নিক হ্রাসপ্রাপ্ত আইকোসিটেট্রাকোরিক গ্রুপ, [3 +, 4,3])। 5-কোষের মতো, 24-কোষটি স্ব-দ্বৈত, এবং তাই নিম্নলিখিত তিনটি রূপের দ্বিগুণ প্রতিসাম্য রয়েছে, যা তাদের মোট 2304-এ নিয়ে আসে (বর্ধিত আইকোসিটেট্রাকোরিক প্রতিসাম্য)। এই পরিবারে 120 ডোডেকাহেড্রার প্রত্যেকটির জন্য 120 × 120 = 24 × 600 = 14400:120 ক্রমের দ্বিগুণ হেক্সাকোসিকোরিক প্রতিসাম্য রয়েছে, অথবা 600 টেট্রাহেড্রার প্রত্যেকটির জন্য 24। একটি ছোট সূচক উপগোষ্ঠী রয়েছে [5,3,3] +, সবগুলিই 7200 ক্রমের। 120-কোষের ছাঁটাই 600-কোষের ছাঁটাই ডি4 পরিবার এই ডেমিটেসেরাক্ট পরিবার, [31,1,1], কোনও নতুন ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ প্রবর্তন করে না, তবে এই বিকল্প নির্মাণগুলির পুনরাবৃত্তি করা উপযুক্ত। এই পরিবারের চারটি অক্ষের ক্রম 12 × 16 = 192:4!/2 = 12টি বিন্যাস রয়েছে, যার অর্ধেক পর্যায়ক্রমে, প্রতিটি অক্ষের প্রতিফলনের জন্য 24 = 16। একটি ছোট সূচক উপগোষ্ঠী রয়েছে যা অভিন্ন 4-পলিটোপ তৈরি করে, [31,1,1] +, ক্রম 96। যখন 3টি দ্বিখণ্ডিত শাখা নোডগুলি একইভাবে রিং করা হয়, তখন প্রতিসাম্য 6 দ্বারা বৃদ্ধি করা যেতে পারে, যেমন [3 [31,1,1] = [3,4,3], এবং এইভাবে এই পলিটোপগুলি 24-কোষ পরিবার থেকে পুনরাবৃত্তি করা হয়। এখানে আবার স্নব 24-কোষ, এবার প্রতিসাম্য গোষ্ঠী [31,1,1] + সহ, মুছে ফেলা শীর্ষগুলির অবস্থানে 96 টি নতুন টেট্রাহেড্রা তৈরি করে কাটা 24-কোষের একটি বিকল্প ছাঁটাইকে উপস্থাপন করে। পূর্ববর্তী গোষ্ঠীগুলির মধ্যে আংশিকভাবে স্নবড 4-পলিটোপ হিসাবে এর উপস্থিতির বিপরীতে, শুধুমাত্র এই প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর মধ্যে এটির কেপলার স্নবগুলির সাথে সম্পূর্ণ সাদৃশ্য রয়েছে, অর্থাৎ। স্নব কিউব এবং স্নব ডোডেকাহেড্রন। গ্র্যান্ড অ্যান্টিপ্রিজম একটি অ-উইথোফিয়ান ইউনিফর্ম উত্তল 4-পলিটোপ রয়েছে, যা গ্র্যান্ড অ্যান্টিপ্রিজম নামে পরিচিত, 20 টি পঞ্চভুজাকার অ্যান্টিপ্রিজম নিয়ে গঠিত যা 300 টি টেট্রাহেড্রা দ্বারা যুক্ত দুটি লম্ব বলয় গঠন করে। এটি ত্রিমাত্রিক অ্যান্টিপ্রিজমের অনুরূপ, যা ত্রিভুজের একটি ব্যান্ড দ্বারা যুক্ত দুটি সমান্তরাল বহুভুজ নিয়ে গঠিত। যাইহোক, তাদের বিপরীতে, গ্র্যান্ড অ্যান্টিপ্রিজম ইউনিফর্ম পলিটোপগুলির একটি অসীম পরিবারের সদস্য নয়। এর প্রতিসাম্য হল আয়নিক হ্রাসপ্রাপ্ত কক্সেটার গ্রুপ, [10,2 +, 10], ক্রম 400। প্রিজম্যাটিক ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ একটি প্রিজম্যাটিক পলিটোপ হল নিম্ন মাত্রার দুটি পলিটপের একটি কার্টেসিয়ান পণ্য; পরিচিত উদাহরণ হল ত্রিমাত্রিক প্রিজম, যা একটি বহুভুজ এবং একটি রেখা বিভাগের পণ্য। প্রিজম্যাটিক ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ দুটি অসীম পরিবার নিয়ে গঠিতঃ পলিহেড্রাল প্রিজমঃ একটি লাইন বিভাগের পণ্য এবং একটি ইউনিফর্ম পলিহেড্রন। এই পরিবারটি অসীম কারণ এতে ত্রিমাত্রিক প্রিজম এবং অ্যান্টিপ্রিজমের উপর নির্মিত প্রিজম রয়েছে। ডুওপ্রিজমঃ দুটি বহুভুজের পণ্য। কনভেক্স পলিহেড্রাল প্রিজম প্রিজম্যাটিক 4-পলিটোপগুলির সবচেয়ে সুস্পষ্ট পরিবার হল পলিহেড্রাল প্রিজম, অর্থাৎ। একটি লাইন বিভাগ সহ একটি পলিহেড্রনের পণ্য। এই ধরনের 4-পলিটোপ কোষগুলি সমান্তরাল হাইপারপ্লেনে (বেস কোষ) অবস্থিত দুটি অভিন্ন অভিন্ন পলিহেড্রা এবং তাদের (পার্শ্বীয় কোষ) সাথে যুক্ত প্রিজমের একটি স্তর। এই পরিবারে 75টি অ-প্রিজম্যাটিক ইউনিফর্ম পলিহেড্রার প্রিজম রয়েছে (যার মধ্যে 18টি উত্তল; এর মধ্যে একটি, কিউব-প্রিজম, উপরে টেসরাক্ট হিসাবে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে)। 5টি প্লেটোনিক কঠিন পদার্থ এবং 13টি আর্কিমিডিয়ান কঠিন পদার্থের পাশাপাশি ত্রিমাত্রিক প্রিজম এবং অ্যান্টিপ্রিজমের অসীম পরিবারের জন্য 18টি উত্তল পলিহেড্রাল প্রিজম তৈরি করা হয়েছে। একটি পলিহেড্রাল প্রিজমের প্রতিসাম্য সংখ্যা বেস পলিহেড্রনের দ্বিগুণ। টেট্রাহেড্রাল প্রিজমঃ A3 × A1 এই প্রিজম্যাটিক টেট্রাহেড্রাল প্রতিসাম্য হল [3,3,2], ক্রম 48। দুটি সূচক 2 উপগোষ্ঠী রয়েছে, [(3,3) +, 2] এবং [3,3,2] +, কিন্তু দ্বিতীয়টি একটি অভিন্ন 4-পলিটোপ তৈরি করে না। অক্টা-হেড্রাল প্রিজমঃ বি3 × এ1 এই প্রিজম্যাটিক অক্টা-হেড্রাল পারিবারিক প্রতিসাম্য হল [4,3,2], ক্রম 96। সূচক 2, ক্রম 48-এর 6টি উপগোষ্ঠী রয়েছে যা নীচের পর্যায়ক্রমে 4-পলিটোপগুলিতে প্রকাশ করা হয়েছে। প্রতিসাম্যগুলি হল [(4,3) +, 2], [1 +, 4,3,2], [4,3,2 +], [4,3 +, 2], [4, (3,2) +], এবং [4,3,2] +। আইকোসাহেড্রাল প্রিজমঃ এইচ3 × এ1 এই প্রিজম্যাটিক আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য হল [5,3,2], ক্রম 240। দুটি সূচক 2 উপগোষ্ঠী রয়েছে, [(5,3) +, 2] এবং [5,3,2] +, কিন্তু দ্বিতীয়টি একটি অভিন্ন পলিকোরন তৈরি করে না। ডুওপ্রিজমঃ [p] × [q] দ্বিতীয়টি হল অভিন্ন ডুওপ্রিজমের অসীম পরিবার, যা দুটি নিয়মিত বহুভুজের গুণফল। একটি ডুওপ্রিজমের কক্সেটার-ডিনকিন রেখাচিত্র হল। এর শীর্ষ আকৃতি একটি ডিসফেনয়েড টেট্রাহেড্রন। এই পরিবারটি প্রথমটির সাথে ওভারল্যাপ করেঃ যখন দুটি "ফ্যাক্টর" বহুভুজের মধ্যে একটি বর্গক্ষেত্র হয়, তখন গুণফলটি একটি হাইপারপ্রিজমের সমতুল্য যার ভিত্তি একটি ত্রিমাত্রিক প্রিজম। একটি ডুওপ্রিজমের প্রতিসাম্য সংখ্যা যার কারণগুলি হল একটি p-গন এবং একটি q-গন (a "p, q-ডুওপ্রিজম") হল 4pq যদি p ≤ q হয়; যদি কারণগুলি উভয়ই p-গন হয়, তবে প্রতিসাম্য সংখ্যাটি 8p2 হয়। টেসরাক্টকে 4,4-ডুওপ্রিজম হিসাবেও বিবেচনা করা যেতে পারে। {p} × {q}-এর বর্ধিত f-ভেক্টর হল (p, p, 1) * (q, q, 1) = (pq, 2pq, pq + p + q, p + q)। কোষঃ পি কিউ-গনাল প্রিজম, পি পি-গনাল প্রিজম মুখঃ পি কিউ স্কোয়ার, পি কিউ-গন, পি পি-গন প্রান্তঃ 2 পি কিউ ভার্টিসেসঃ পি কিউ ত্রিমাত্রিক অ্যান্টিপ্রিজমের অসীম পরিবারের চারটি মাত্রায় কোনও অভিন্ন সাদৃশ্য নেই। পি-কিউ ডুওপ্রিজমের অসীম সেট-পি-কিউ-গোনাল প্রিজম, কিউ-পি-গোনাল প্রিজমঃ বিকল্পগুলি সম্ভব। = ডুয়ান্টিপ্রিজমের পরিবার দেয়, তবে তাদের সাধারণত অভিন্ন করা যায় না। p = q = 2 হল একমাত্র উত্তল কোষ যা অভিন্ন করা যেতে পারে, যা নিয়মিত 16-কোষ প্রদান করে। পি = 5, কিউ = 5/3 হল একমাত্র নন-কনভেক্স কেস যা ইউনিফর্ম করা যেতে পারে, যা তথাকথিত গ্রেট ডুয়ান্টিপ্রিজম প্রদান করে। এটি পি-2কিউ-গনাল প্রিজম্যান্টিপ্রিসময়েড (2পি-4কিউ ডুওপ্রিজমের একটি প্রান্ত-বিকল্প) দেয়, তবে এটি কোনও ক্ষেত্রেই অভিন্ন করা যায় না। পলিগোনাল প্রিজম্যাটিক প্রিজমঃ [পি] × [] × [] ইউনিফর্ম প্রিজম্যাটিক প্রিজমের অসীম সেট 4-পি ডুওপ্রিজমের সাথে ওভারল্যাপ করেঃ (পি ≤ 3)-- পি কিউব এবং 4 পি-গনাল প্রিজম-(সবগুলিই 4-পি ডুওপ্রিজমের মতো) সিরিজের দ্বিতীয় পলিটোপ হল নিয়মিত টেসরাক্টের একটি নিম্ন প্রতিসাম্য, {4} × {4}। পলিগোনাল অ্যান্টিপ্রিসম্যাটিক প্রিজমঃ [পি] × [] × [] অভিন্ন অ্যান্টিপ্রিসম্যাটিক প্রিজমের অসীম সেট দুটি সমান্তরাল অভিন্ন অ্যান্টিপ্রিসাম থেকে তৈরি করা হয়): (পি ≤ 2)-- 2 পি-গনাল অ্যান্টিপ্রিসাম, 2 পি-গনাল প্রিজম এবং 2 পি ত্রিভুজাকার প্রিজম দ্বারা সংযুক্ত। একটি পি-গনাল অ্যান্টিপ্রিসম্যাটিক প্রিজমের 4পি ত্রিভুজ, 4পি বর্গক্ষেত্র এবং 4পি-গন মুখ থাকে। এটির 10পি প্রান্ত এবং 4পি শীর্ষ রয়েছে। নন-ইউনিফর্ম বিকল্প কক্সেটার র্যাঙ্ক 4 কক্সেটার গ্রুপের জন্য কেবল দুটি অভিন্ন সমাধান দেখিয়েছেন যেখানে সমস্ত রিং পর্যায়ক্রমে রয়েছে (খালি বৃত্ত নোডের সাথে দেখানো হয়েছে)। প্রথমটি হল, s {21,1,1} যা একটি সূচক 24 উপগোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্ব করে (প্রতিসাম্য [2,2,2] +, ক্রম 8) ডেমাইটেসরাক্টের রূপ, h {4,3,3} (প্রতিসাম্য [1 +, 4,3,3] = [31,1,1], ক্রম 192)। দ্বিতীয়টি হল, s {31,1,1}, যা স্নব 24-কোষের একটি সূচক 6 উপগোষ্ঠী (প্রতিসাম্য [31,1,1] +, ক্রম 96), s {3,4,3}, (প্রতিসাম্য [3 +, 4,3], ক্রম 576)। অন্যান্য বিকল্পগুলি, যেমন, সর্বব্যাপী টেসরাক্ট থেকে বিকল্প হিসাবে, অভিন্ন করা যায় না কারণ সমান প্রান্তের দৈর্ঘ্যের জন্য সমাধান সাধারণত অতিরিক্ত নির্ধারিত হয় (ছয়টি সমীকরণ রয়েছে তবে কেবল চারটি চলক রয়েছে)। পূর্ণ বৃত্তাকার আকৃতির শীর্ষগুলির দুটি অর্ধ সেটের মধ্যে একটি অপসারণের মাধ্যমে এই ধরনের অভিন্ন বিকল্প চিত্রগুলি শীর্ষ-ক্ষণস্থায়ী 4-বহুপদী হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে, তবে এর প্রান্তের দৈর্ঘ্য অসম হবে। অভিন্ন পরিবর্তনের মতো, তাদের অভিন্ন চিত্রের প্রতিসাম্যের অর্ধেক থাকবে, যেমন [4,3,3] +, ক্রম 192, বিকল্প সর্বজনীন টেসরাক্টের প্রতিসাম্য। বিকল্পগুলির সাথে উইথফ গঠনগুলি শীর্ষ-ক্ষণস্থায়ী চিত্র তৈরি করে যা সমবাহু করা যেতে পারে, তবে অভিন্ন নয় কারণ বিকল্প ফাঁকগুলি (সরানো শীর্ষগুলির চারপাশে) এমন কোষ তৈরি করে যা নিয়মিত বা আধা-নিয়ন্ত্রক নয়। এই ধরনের চিত্রের একটি প্রস্তাবিত নাম হল ক্যালিফর্ম পলিটোপ। এই বিভাগটি কোষ হিসাবে জনসন কঠিন পদার্থের একটি উপসেটকে অনুমতি দেয়, উদাহরণস্বরূপ ত্রিভুজাকার কুপোলা। একটি জনসন কঠিন পদার্থের মধ্যে প্রতিটি শীর্ষ বিন্যাস অবশ্যই শীর্ষ আকৃতির মধ্যে থাকতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গাকার পিরামিডের দুটি শীর্ষ বিন্যাস রয়েছেঃ ভিত্তির চারপাশে 3.3.4 এবং শীর্ষে 3.3.3.3। প্রতিটি শীর্ষের চারপাশে কোষের একটি তালিকা সহ চারটি উত্তল সমবাহু কেসের জাল এবং শীর্ষের চিত্র নীচে দেওয়া হয়েছে। 46টি অ-প্রিজম্যাটিক উইথোফিয়ান ইউনিফর্ম পলিকোরার জন্য জ্যামিতিক ব্যুৎপত্তি 46টি উইথোফিয়ান 4-পলিপ্টোপের মধ্যে ছয়টি উত্তল নিয়মিত 4-পলিপ্টোপ রয়েছে। অন্যান্য চল্লিশটি জ্যামিতিক ক্রিয়াকলাপ দ্বারা নিয়মিত পলিকোরা থেকে উদ্ভূত হতে পারে যা তাদের বেশিরভাগ বা সমস্ত প্রতিসাম্য সংরক্ষণ করে এবং তাই তাদের সাধারণ প্রতিসাম্য গোষ্ঠী দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। নিয়মিত 4-পলিটোপ থেকে 40টি অভিন্ন 4-পলিটোপ প্রাপ্ত জ্যামিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি হল ছাঁটাই ক্রিয়াকলাপ। একটি 4-পলিটোপ শীর্ষে, প্রান্তে বা মুখে কাটা যেতে পারে, যার ফলে সেই উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কিত কোষগুলি যুক্ত হতে পারে, যেমন নীচের টেবিলের কলামে দেখানো হয়েছে। কক্সেটার-ডাইঙ্কিন রেখাচিত্রটি উইথোফিয়ান ক্যালিডোস্কোপের চারটি আয়নাকে নোড হিসাবে দেখায় এবং নোডগুলির মধ্যে প্রান্তগুলি একটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যা আয়নার মধ্যে কোণ দেখায় (π/n রেডিয়ান বা 180/n ডিগ্রি)। বৃত্তাকার নোডগুলি দেখায় যে প্রতিটি রূপের জন্য কোন আয়না সক্রিয়; একটি আয়না একটি শীর্ষের সাপেক্ষে সক্রিয় থাকে যা তার উপর থাকে না। আরও দেখুন উত্তল অভিন্ন মধুচক্র, যার মধ্যে কয়েকটি নিয়মিত ঘন মধুচক্রের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা এই ক্রিয়াকলাপগুলি চিত্রিত করে। যদি দুটি পলিটোপ একে অপরের দ্বৈত হয় (যেমন টেসরাক্ট এবং 16-কোষ, বা 120-কোষ এবং 600-কোষ), তবে বিটরাঙ্কেটিং, রানসিনেটিং বা সর্বব্যাপীকরণ হয় অন্যটির সাথে একই ক্রিয়াকলাপের মতো একই চিত্র তৈরি করে। সুতরাং যেখানে শুধুমাত্র অংশগ্রহণকারী টেবিলে উপস্থিত হয় সেখানে এটি উভয় পিতামাতার ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য বলে বোঝা উচিত। বর্ধিত প্রতিসাম্য দ্বারা নির্মাণের সারসংক্ষেপ A4, B4, F4, H4 প্রতিসাম্য থেকে নির্মিত 46টি অভিন্ন পলিকোরা এই টেবিলে তাদের সম্পূর্ণ বর্ধিত প্রতিসাম্য এবং কক্সেটার রেখাচিত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে। ডি4 প্রতিসাম্যও অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যদিও এটি শুধুমাত্র প্রতিলিপি তৈরি করে। বিকল্পগুলি তাদের কাইরাল প্রতিসাম্য দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। সমস্ত বিকল্প দেওয়া হয়, যদিও স্নব 24-কোষ, বিভিন্ন পরিবার থেকে তার 3 টি গঠন সহ একমাত্র অভিন্ন। বন্ধনীতে গণনা হয় পুনরাবৃত্তি বা অভিন্ন নয়। কক্সেটার রেখাচিত্রগুলি 1 থেকে 46 পর্যন্ত সাবস্ক্রিপ্ট সূচক সহ দেওয়া হয়েছে। 3-3 এবং 4-4 ডুওপ্রিসম্যাটিক পরিবার অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, দ্বিতীয়টি বি4 পরিবারের সাথে এর সম্পর্কের জন্য। ইউনিফর্ম স্টার পলিকোরা পূর্বোক্ত অসীম ডুওপ্রিজম এবং অ্যান্টিপ্রিজম প্রিজম পরিবারগুলি ছাড়াও, যার অসীম সংখ্যক ননকনভেক্স সদস্য রয়েছে, অনেক ইউনিফর্ম স্টার পলিকোরা আবিষ্কৃত হয়েছে। 1852 সালে, লুডভিগ শ্লাফলি চারটি নিয়মিত তারা পলিকোরা আবিষ্কার করেনঃ {5,3,5 2}, {5/2,3,5}, {3,3,5 2}, এবং {5/2,3,3}। 1883 সালে এডমন্ড হেস অন্য ছয়টি খুঁজে পানঃ {3,5,5 2}, {5/2,5,3}, {5,5/2,5}, {5/2,5,5/2}, {5,5/2,3}, এবং {3,5/2,5}। নরম্যান জনসন 1966 সালে তাঁর ডক্টরাল গবেষণাপত্রে তিনটি অভিন্ন অ্যান্টিপ্রিজম-সদৃশ স্টার পলিকোরার বর্ণনা দিয়েছেনঃ এগুলি নিয়মিত ডোডেকাহেড্রনের প্রান্ত এবং শীর্ষগুলি ভাগ করে নেওয়া তিনটি ডাইট্রিগনাল পলিহেড্রার উপর ভিত্তি করে তৈরি। তারপর থেকে জোনাথন বোয়ার্স এবং জর্জ অলশেভস্কি সহ অন্যান্য গবেষকরা আরও অনেক কিছু খুঁজে পেয়েছেন, যা বর্তমানে মোট 2125 টি পরিচিত অভিন্ন তারা বহুভুজ তৈরি করেছে (তারা বহুভুজের উপর ভিত্তি করে ডুওপ্রিজমের অসীম সেট গণনা করে না)। বর্তমানে সেটটির সম্পূর্ণতার কোনও প্রমাণ নেই। আরও দেখুন ইউক্লিডীয় 3-স্পেসে 4-স্পেস কনভেক্স ইউনিফর্ম মধুচক্র-সম্পর্কিত অসীম 4-পলিটোপগুলির পরিমিত নিয়মিত তির্যক পলিহেড্রা। হাইপারবোলিক স্পেসে কনভেক্স ইউনিফর্ম মধুচক্র-হাইপারবোলিক 3-স্পেসে সম্পর্কিত অসীম 4-পলিটোপ। প্যারাকম্প্যাক্ট ইউনিফর্ম মধুচক্র রেফারেন্স এ. বুল স্টটঃ নিয়মিত পলিটোপ এবং স্পেস ফিলিং থেকে সেমিরেগুলারের জ্যামিতিক ডিডাকশন, কোনিঙ্কলিজকে একাডেমির ভারহ্যান্ডেলিং ভ্যান ওয়েটেনশ্যাপেন প্রস্থ ইউনিট আমস্টারডাম, এরস্টে সেক্টি 11,1, আমস্টারডাম, 1910 বি। গ্রুনবাম কনভেক্স পলিটোপ, নিউ ইয়র্ক; লন্ডনঃ স্প্রিংগার, সি 2003। । দ্বিতীয় সংস্করণটি তৈরি করেছেন ভলকার কাইবেল, ভিক্টর ক্লি এবং গুন্টার এম জিগলার। এইচ এস এম। কক্সেটারঃ এইচ. এস. এম। কক্সেটার, এম. এস. লঙ্গুয়েট-হিগিন্স এবং জে. সি. পি। মিলারঃ ইউনিফর্ম পলিহেড্রা, লন্ডনের রয়্যাল সোসাইটির দার্শনিক লেনদেন, 1954 এইচ. এস. এম। কক্সেটার, রেগুলার পলিটোপ, 3য় সংস্করণ, ডোভার নিউ ইয়র্ক, 1973 ক্যালিডোস্কোপসঃ সিলেক্টেড রাইটিংস অফ এইচ. এস. এম। কক্সেটার, সম্পাদনা করেছেন এফ. আর্থার শের্ক, পিটার ম্যাকমুলেন, অ্যান্থনি সি. থম্পসন, এশিয়া আইভিক ওয়েইস, উইলি-ইন্টারসায়েন্স পাবলিকেশন, 1995, (পেপার 22) এইচ. এস. এম। কক্সেটার, নিয়মিত এবং আধা নিয়মিত পলিটোপ I, [গণিত। জেইট। 46 (1940) 380-407, এমআর 2,10] (পেপার 23) এইচ. এস. এম। কক্সেটার, নিয়মিত এবং আধা-নিয়মিত পলিটোপ II, [গণিত। জেইট। 188 (1985) 559-591] (কাগজ 24) এইচ. এস. এম। কক্সেটার, নিয়মিত এবং আধা-নিয়মিত পলিটোপ III, [গণিত। জেইট। 200 (1988) এইচ. এস. এম। কক্সেটার এবং ডব্লিউ. ও. জে. মোজার। জেনারেটরস অ্যান্ড রিলেশনস ফর ডিসক্রিট গ্রুপস 4র্থ সংস্করণ, স্প্রিংগার-ভার্লাগ। নিউইয়র্ক। 1980 পৃষ্ঠা 92, পৃষ্ঠা 122। জন এইচ কনওয়ে, হেইডি বার্গিয়েল, চেইম গুডম্যান-স্ট্রস, দ্য সিমেট্রি অফ থিংস 2008, (অধ্যায় 26) জন এইচ কনওয়ে এবং এম. জে. টি। গাইঃ ফোর-ডাইমেনশনাল আর্কিমিডিয়ান পলিটোপ, প্রোসিডিংস অফ দ্য কলোকিয়াম অন কনভেক্সিটি অ্যাট কোপেনহেগেন, পৃষ্ঠা 38 এবং 39,1965 এন. ডব্লিউ। জনসনঃ দ্য থিওরি অফ ইউনিফর্ম পলিটোপস অ্যান্ড হানিকম্বস, পিএইচডি ডিসারটেশন, ইউনিভার্সিটি অফ টরন্টো, 1966 এন. ডব্লিউ। জনসনঃ জ্যামিতি এবং রূপান্তর, (2015) অধ্যায় 11: সীমাবদ্ধ প্রতিসাম্য গোষ্ঠী রিচার্ড ক্লিটজিং, স্নবস, বিকল্প দিক, এবং স্টট-কক্সিটার-ডাইঙ্কিন রেখাচিত্র, প্রতিসাম্যঃ সংস্কৃতি এবং বিজ্ঞান, খণ্ড। 21, নং 4,329-344, (2010) গুগলবুক, 370-381 বাহ্যিক লিঙ্ক কনভেক্স ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ ইউনিফর্ম, চার মাত্রায় কনভেক্স পলিটোপ, মার্কো মোলার। জোনাথন বোয়ার্স, জর্জ অলশেভস্কি এবং নরম্যান জনসন সহ এই ব্যক্তিত্বদের বিকল্প নাম অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। নিয়মিত এবং আধা-নিয়মিত উত্তল পলিটোপ একটি সংক্ষিপ্ত ঐতিহাসিক সংক্ষিপ্ত বিবরণ জাভা3ডি অ্যাপলেট উৎস সহ ননকনভেক্স ইউনিফর্ম 4-পলিটোপ ইউনিফর্ম পলিচোরা জোনাথন বোয়ার্স স্টেলা4ডি স্টেলা (সফ্টওয়্যার) 64টি উত্তল রূপ এবং অসীম প্রিজম্যাটিক পরিবার সহ পরিচিত ইউনিফর্ম পলিচোরার ইন্টারেক্টিভ ভিউ তৈরি করে। কোয়াটারনিয়ন্স ইন্টারন্যাশনাল জার্নাল অফ জিওমেট্রিক মেথডস ইন মডার্ন ফিজিক্স, ভলিউম দ্বারা প্রতিনিধিত্বকৃত 4ডি-পলিটোপ এবং কক্সেটার গ্রুপ ডব্লিউ (এ4)-এর তাদের দ্বৈত পলিটোপ। 9, নং। 4 (2012) মেহমেট কোকা, নাজিফে ওজদেস কোকা, মুধাহির আল-আজমি (2012) 4-পলিটোপ