Ring (mathematics)
গণিতে, বলয়গুলি বীজগাণিতিক কাঠামো যা ক্ষেত্রগুলিকে সাধারণীকরণ করেঃ গুণন বিনিময়যোগ্য হওয়ার প্রয়োজন নেই এবং গুণিতক বিপরীতগুলির অস্তিত্বের প্রয়োজন নেই। অন্য কথায়, একটি বলয় হল দুটি বাইনারি ক্রিয়াকলাপে সজ্জিত একটি সেট যা পূর্ণসংখ্যার যোগ এবং গুণের অনুরূপ বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে। রিং উপাদানগুলি পূর্ণসংখ্যা বা জটিল সংখ্যার মতো সংখ্যা হতে পারে, তবে এগুলি বহুপদী, বর্গ ম্যাট্রিক্স, ফাংশন এবং পাওয়ার সিরিজের মতো অ-সংখ্যাসূচক বস্তুও হতে পারে। আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি বলয় হল একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠী যার ক্রিয়াকলাপকে যোগ বলা হয়, যার দ্বিতীয় বাইনারি ক্রিয়াকলাপকে বলা হয় গুণন যা সহযোগী, যোগ ক্রিয়াকলাপের উপর বিতরণমূলক এবং এর একটি গুণনীয়ক পরিচয় উপাদান রয়েছে। (কিছু লেখক এই শেষ প্রয়োজনীয়তা বাদ দেওয়া আরও সাধারণ কাঠামোকে বোঝাতে "অনুপস্থিত" আই "শব্দটি ব্যবহার করেন; দেখুন।) একটি বলয় বিনিময়যোগ্য কিনা (অর্থাৎ, যে ক্রমে দুটি উপাদানকে গুণ করা হয় তা ফলাফল পরিবর্তন করতে পারে কিনা) তার আচরণের উপর গভীর প্রভাব ফেলে। বিনিময়যোগ্য বীজগণিত, বিনিময়যোগ্য বলয়ের তত্ত্ব, বলয় তত্ত্বের একটি প্রধান শাখা। এর বিকাশ বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতির সমস্যা এবং ধারণাগুলি দ্বারা ব্যাপকভাবে প্রভাবিত হয়েছে। সবচেয়ে সহজ বিনিময়যোগ্য বলয়গুলি হল সেগুলি যা অ-শূন্য উপাদান দ্বারা বিভাজন স্বীকার করে; এই ধরনের বলয়গুলিকে ক্ষেত্র বলা হয়। বিনিময়যোগ্য বলয়ের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে তাদের আদর্শ যোগ এবং গুণ সহ পূর্ণসংখ্যার সেট, তাদের যোগ এবং গুণ সহ বহুপদগুলির সেট, একটি অ্যাফিন বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের স্থানাঙ্ক বলয় এবং একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার বলয়। অ-বিনিময়যোগ্য বলয়ের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে বাস্তব বর্গ ম্যাট্রিক্সের বলয়, উপস্থাপনা তত্ত্বে গ্রুপ বলয়, কার্যকরী বিশ্লেষণে অপারেটর অ্যালজেব্রা, ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের বলয় এবং টপোলজিতে কোহোমোলজি বলয়। 1870-এর দশক থেকে 1920-এর দশক পর্যন্ত রিং-এর ধারণাটি ডেডেকিন্ড, হিলবার্ট, ফ্রেনকেল এবং নোইথারের মূল অবদান সহ বিস্তৃত ছিল। সংখ্যা তত্ত্বে ঘটে যাওয়া ডেডেকাইন্ড ক্ষেত্র এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতি ও অপরিবর্তনীয় তত্ত্বে ঘটে যাওয়া বহুপদী বলয় ও অপরিবর্তনীয় বলয়ের সাধারণীকরণ হিসাবে রিংকে প্রথম আনুষ্ঠানিক করা হয়েছিল। এগুলি পরে গণিতের অন্যান্য শাখায় যেমন জ্যামিতি এবং বিশ্লেষণে কার্যকর প্রমাণিত হয়। সংজ্ঞা একটি বলয় হল দুটি বাইনারি ক্রিয়াকলাপ + (সংযোজন) এবং ⋅ (গুণন) দিয়ে সজ্জিত একটি সেট যা নিম্নলিখিত তিনটি স্বতঃসিদ্ধ সেটকে সন্তুষ্ট করে, যাকে রিং স্বতঃসিদ্ধ বলা হয় যোগের অধীনে একটি আবেলিয়ান গ্রুপ, যার অর্থঃ সকলের জন্য (অর্থাৎ, সহযোগী)। সকলের জন্য (অর্থাৎ, বিনিময়যোগ্য)। এর মধ্যে এমন একটি উপাদান রয়েছে যা সকলের জন্য (অর্থাৎ, যোগাত্মক পরিচয়)। প্রত্যেকটির মধ্যে এমন কিছু থাকে যা (অর্থাৎ, এর যোগাত্মক বিপরীত)। গুণনের অধীনে একটি মনোয়েড, যার অর্থঃ সকলের জন্য (অর্থাৎ, সহযোগী)। এর মধ্যে এমন একটি উপাদান রয়েছে যা এবং সকলের জন্য (অর্থাৎ, গুণিতক পরিচয়)। যোগের ক্ষেত্রে গুণন হল বন্টনশীল, যার অর্থঃ সকলের জন্য (বামে বন্টনশীলতা)। সকলের জন্য (সঠিক বিতরণ)। এই নিবন্ধের পরিভাষায়, একটি বলয়ের একটি গুণিতক পরিচয় রয়েছে বলে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেখানে একই স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা সহ কিন্তু গুণনীয়ক পরিচয়ের প্রয়োজনীয়তা ছাড়াই একটি কাঠামোকে পরিবর্তে rng (IPA:) বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, স্বাভাবিক + এবং ⋅ সহ জোড় পূর্ণসংখ্যার সেটটি একটি rng, তবে একটি রিং নয়। নীচে যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, অনেক লেখক গুণগত পরিচয়ের প্রয়োজন ছাড়াই "রিং" শব্দটি প্রয়োগ করেন। গুণন প্রতীক সাধারণত বাদ দেওয়া হয়; উদাহরণস্বরূপ, মানে। যদিও রিং সংযোজন বিনিময়যোগ্য, রিং গুণন বিনিময়যোগ্য হওয়ার প্রয়োজন নেইঃ অগত্যা সমান হওয়ার প্রয়োজন নেই। যে রিংগুলি গুণনের জন্য বিনিময়শীলতাকে সন্তুষ্ট করে (যেমন পূর্ণসংখ্যার রিং) সেগুলিকে বিনিময়যোগ্য রিং বলা হয়। বিনিময়যোগ্য বীজগণিত বা বীজগাণিতিক জ্যামিতির বইগুলি প্রায়শই এই প্রথাটি গ্রহণ করে যে রিং মানে বিনিময়যোগ্য রিং, পরিভাষাকে সহজতর করার জন্য। একটি রিংয়ে, গুণিতক বিপরীতগুলির অস্তিত্বের প্রয়োজন হয় না। একটি শূন্যেতর বিনিময়যোগ্য বলয় যেখানে প্রতিটি শূন্যেতর উপাদানের গুণিতক বিপরীত থাকে তাকে ক্ষেত্র বলা হয়। একটি রিংয়ের অ্যাডিটিভ গ্রুপ হল অন্তর্নিহিত সেট যা শুধুমাত্র সংযোজনের ক্রিয়াকলাপে সজ্জিত। যদিও সংজ্ঞাটির জন্য প্রয়োজন যে অ্যাডিটিভ গ্রুপটি আবেলিয়ান হবে, তবে এটি অন্যান্য রিং স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুমান করা যেতে পারে। প্রমাণটি "" ব্যবহার করে এবং rng-এ কাজ করে না। (একটি আর. এন. জি-এর জন্য, যোগের বিনিময়শীলতার স্বতঃসিদ্ধটি বাদ দিলে এটি অবশিষ্ট আর. এন. জি অনুমানগুলি থেকে কেবলমাত্র পণ্য উপাদানগুলির জন্য অনুমানযোগ্য হয়ে যায়ঃ) যদিও বেশিরভাগ আধুনিক লেখক এখানে সংজ্ঞায়িত হিসাবে "রিং" শব্দটি ব্যবহার করেন, তবে এমন কয়েকজন আছেন যারা এই শব্দটি আরও সাধারণ কাঠামোকে বোঝাতে ব্যবহার করেন যেখানে গুণনের সহযোগী হওয়ার কোনও প্রয়োজন নেই। এই লেখকদের জন্য, প্রতিটি বীজগণিত একটি "রিং"। একটি বলয়ের সবচেয়ে পরিচিত উদাহরণ হল সংখ্যার সমন্বয়ে গঠিত সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সমষ্টি একটি বলয়ের স্বতঃসিদ্ধগুলি পূর্ণসংখ্যার যোগ এবং গুণনের পরিচিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাধারণীকরণ হিসাবে বিশদভাবে বর্ণনা করা হয়েছিল। কিছু বৈশিষ্ট্য একটি বলয়ের কিছু মৌলিক বৈশিষ্ট্য স্বতঃসিদ্ধ থেকে অবিলম্বে অনুসরণ করেঃ যোগাত্মক পরিচয় অনন্য। প্রতিটি উপাদানের যোগাত্মক বিপরীতটি অনন্য। গুণগত পরিচয় অনন্য। একটি বলয়ের যে কোনও উপাদানের জন্য, একটিতে রয়েছে (শূন্য গুণনের ক্ষেত্রে একটি শোষণকারী উপাদান) এবং। যদি একটি রিং (বা আরও সাধারণভাবে, একটি একক উপাদান) হয়, তবে কেবল একটি উপাদান থাকে এবং এটিকে শূন্য রিং বলা হয়। যদি একটি রিংয়ে একটি সাব রিং হিসাবে শূন্য রিং থাকে, তবে এটি নিজেই শূন্য রিং। দ্বিপদী সূত্রটি যে কোনও এবং সন্তোষজনকের জন্য প্রযোজ্য। উদাহরণস্বরূপঃ ইন্টিজার মডুলো 4 সেটটিকে নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপগুলির সাথে সজ্জিত করেঃ যোগফল হল অবশিষ্টাংশ যখন পূর্ণসংখ্যাটি 8 দ্বারা ভাগ করা হয় (যেমন সর্বদা 8 এর চেয়ে ছোট, এই অবশিষ্টাংশ হয় বা)। উদাহরণস্বরূপ, এবং গুণফল হল অবশিষ্টাংশ যখন পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এবং তারপর একটি বলয়ঃ প্রতিটি স্বতঃসিদ্ধ স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করা হয় যদি একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, 4 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্টাংশকে একটি উপাদান হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং এই উপাদানটিকে প্রায়শই দ্বারা চিহ্নিত করা হয় বা যা এর স্বরলিপির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, 2-বাই-2 ম্যাট্রিক্স একটি ক্ষেত্রে এন্ট্রি সহ 2-বাই-2 বর্গ ম্যাট্রিক্সের সেট ম্যাট্রিক্স সংযোজন এবং ম্যাট্রিক্স গুণনের ক্রিয়াকলাপের সাথে, উপরের রিং স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে। উপাদানটি হল বলয়ের গুণিতক পরিচয়। যদি এবং তারপর এই উদাহরণটি দেখায় যে রিংটি অ-বিনিময়যোগ্য। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও রিং, বিনিময়যোগ্য বা না, এবং যে কোনও অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, একটি রিং আকারে এন্ট্রি সহ মাত্রার বর্গ ম্যাট্রিক্সঃ ম্যাট্রিক্স রিং দেখুন। ডিডেকাইন্ডের ইতিহাস বহুপদী বলয়ের তত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার তত্ত্ব থেকে বলয়ের অধ্যয়নের সূত্রপাত। 1871 সালে রিচার্ড ডেডেকিন্ড একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার বলয়ের ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করেন। এই প্রসঙ্গে, তিনি "আদর্শ" (আর্নস্ট কামারের আদর্শ সংখ্যার ধারণা দ্বারা অনুপ্রাণিত) এবং "মডিউল" শব্দগুলি প্রবর্তন করেন এবং তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করেন। ডেডেকিন্ড "রিং" শব্দটি ব্যবহার করেননি এবং একটি সাধারণ পরিবেশে রিংয়ের ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করেননি। হিলবার্ট "জালরিং" (নম্বর রিং) শব্দটি 1892 সালে ডেভিড হিলবার্ট তৈরি করেছিলেন এবং 1897 সালে প্রকাশিত হয়েছিল। ঊনবিংশ শতাব্দীর জার্মানিতে, "রিং" শব্দের অর্থ "সমিতি" হতে পারে, যা আজও ইংরেজিতে সীমিত অর্থে ব্যবহৃত হয় (উদাহরণস্বরূপ, গুপ্তচর চক্র), তাই যদি এটি ব্যুৎপত্তি হত তবে এটি "সম্পর্কিত জিনিসগুলির সংগ্রহ"-এর জন্য একটি অ-প্রযুক্তিগত শব্দ হয়ে "গোষ্ঠী" যেভাবে গণিতে প্রবেশ করেছিল তার অনুরূপ হত। হার্ভি কোনের মতে, হিলবার্ট এমন একটি বলয়ের জন্য শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন যার নিজস্ব একটি উপাদানের (সমতুল্য অর্থে) "সরাসরি পিছনে বৃত্তাকার" বৈশিষ্ট্য ছিল। বিশেষত, বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার একটি বলয়ে, একটি বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার সমস্ত উচ্চ শক্তিকে নিম্ন শক্তির একটি নির্দিষ্ট সেটের অবিচ্ছেদ্য সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং এইভাবে শক্তিগুলি "চক্র ফিরে" যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি তারপরঃ এবং তাই; সাধারণভাবে, এবং এর একটি অবিচ্ছেদ্য রৈখিক সংমিশ্রণ হতে চলেছে। ফ্র্যাঙ্কেল এবং নোইথার 1915 সালে অ্যাডলফ ফ্র্যাঙ্কেল একটি বলয়ের প্রথম স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা দিয়েছিলেন, তবে তাঁর স্বতঃসিদ্ধগুলি আধুনিক সংজ্ঞার তুলনায় কঠোর ছিল। উদাহরণস্বরূপ, তিনি প্রতিটি অ-শূন্য-বিভাজকের একটি গুণিতক বিপরীত থাকতে চেয়েছিলেন। 1921 সালে, এমি নোইথার বিনিময়যোগ্য বলয়ের (1 সহ এবং ছাড়া) একটি আধুনিক স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা দেন এবং তাঁর গবেষণাপত্র আইডিয়ালথিওরি ইন রিংবেরিচেনে বিনিময়যোগ্য বলয়ের তত্ত্বের ভিত্তি তৈরি করেন। গুণগত পরিচয় এবং একটি "রিং"-এর জন্য "রিং" ফ্রেঙ্কেলের স্বতঃসিদ্ধ শব্দটিতে একটি গুণগত পরিচয় অন্তর্ভুক্ত ছিল, যেখানে নোইথারের ছিল না। প্রায় 1960 সাল পর্যন্ত বীজগণিতের উপর বেশিরভাগ বা সমস্ত বই নোইথারের "রিং"-এর জন্য a-এর প্রয়োজন না হওয়ার প্রথা অনুসরণ করেছিল। 1960-এর দশক থেকে শুরু করে, "রিং"-এর সংজ্ঞায় 1-এর অস্তিত্ব সহ বইগুলি দেখা ক্রমশ সাধারণ হয়ে ওঠে, বিশেষত আর্টিন, বোরবাকি, আইজেনবড এবং ল্যাং-এর মতো উল্লেখযোগ্য লেখকদের উন্নত বইগুলিতে। 2022 সালের শেষের দিকে প্রকাশিত এমন বইও রয়েছে যা একটি শব্দের প্রয়োজন ছাড়াই শব্দটি ব্যবহার করে। গার্ডনার এবং উইগান্ড্ট জোর দিয়ে বলেন যে, বলয়ের বিভাগে বেশ কয়েকটি বস্তুর সাথে কাজ করার সময় (একটি নির্দিষ্ট বলয়ের সাথে কাজ করার বিপরীতে), যদি একজনের সমস্ত বলয়ের একটি থাকা প্রয়োজন হয়, তবে কিছু পরিণতির মধ্যে রয়েছে অসীম সরাসরি যোগফলের অস্তিত্বের অভাব বলয়ের, এবং বলয়ের সঠিক সরাসরি যোগফলগুলি সাব-রিং নয়। তারা এই উপসংহারে পৌঁছেছে যে "রিং তত্ত্বের অনেক, সম্ভবত বেশিরভাগ শাখায় একটি ঐক্য উপাদানের অস্তিত্বের প্রয়োজনীয়তা বোধগম্য নয়, এবং তাই অগ্রহণযোগ্য"। পুনেন পাল্টা যুক্তি দেখান যে বলয়ের স্বাভাবিক ধারণাটি সরাসরি যোগফলের পরিবর্তে সরাসরি গুণফল। তিনি আরও যুক্তি দেন যে গুণিতক পরিচয় ব্যতীত বলয়গুলি সম্পূর্ণরূপে সংযুক্ত নয় (খালি ক্রম সহ বলয় উপাদানগুলির কোনও সীমাবদ্ধ ক্রমের গুণফল সু-সংজ্ঞায়িত, ক্রিয়াকলাপের ক্রম থেকে স্বাধীন) এবং লিখেছেন যে "সহযোগীতার প্রাকৃতিক সম্প্রসারণ দাবি করে যে বলয়গুলিতে একটি খালি গুণফল থাকা উচিত, তাই বলয়গুলির 1 থাকা স্বাভাবিক।" যে লেখকরা "রিং" শব্দটি ব্যবহারের জন্য যে কোনও একটি প্রথা অনুসরণ করেন, তাঁরা নিম্নলিখিত শব্দগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করতে পারেন অন্য রীতিকে সন্তুষ্ট করে এমন বস্তুগুলিকে বোঝাতেঃ একটি গুণনীয়ক পরিচয়ের প্রয়োজনীয়তা অন্তর্ভুক্ত করতেঃ "একক বলয়", "একক বলয়", "একক বলয়", "একক বলয়", "একক বলয়", "পরিচয় সহ বলয়", "একক সহ বলয়", বা "1 সহ বলয়"। একটি গুণগত পরিচয়ের প্রয়োজনীয়তা বাদ দিতেঃ "rng" বা "সিউডো-রিং", যদিও পরেরটি বিভ্রান্তিকর হতে পারে কারণ এর অন্যান্য অর্থও রয়েছে। মৌলিক উদাহরণ কমিউটেটিভ রিং প্রোটোটাইপিক্যাল উদাহরণ হল যোগ এবং গুণনের দুটি ক্রিয়াকলাপ সহ পূর্ণসংখ্যার রিং। যুক্তিসঙ্গত, বাস্তব এবং জটিল সংখ্যাগুলি হল ক্ষেত্র নামক এক ধরনের বিনিময়যোগ্য বলয়। একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর একটি একক সহযোগী বীজগণিত নিজেই একটি বলয়ের পাশাপাশি একটি-মডিউল। কিছু উদাহরণ হলঃ সহগ সহ বহুপদগুলির বীজগণিত। সহগ সহ আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজের বীজগণিত। বাস্তব রেখার উপর সংজ্ঞায়িত সমস্ত অবিচ্ছিন্ন বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের সেট একটি বিনিময়যোগ্য-বীজগণিত গঠন করে। ক্রিয়াকলাপগুলি হল পয়েন্টওয়াইজ সংযোজন এবং ফাংশনের গুণন। একটি সেট হতে দিন, এবং একটি রিং হতে দিন। তারপর থেকে সমস্ত ফাংশনের সেট একটি রিং গঠন করে, যা বিনিময়যোগ্য হলে বিনিময়যোগ্য। চতুর্ভুজ পূর্ণসংখ্যার বলয়, একটি চতুর্ভুজ সম্প্রসারণে এর অবিচ্ছেদ্য বন্ধ সমস্ত বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যার বলয়ের একটি উপ-বলয়। অসীম পূর্ণসংখ্যার বলয়টি সমস্ত মৌলিক সংখ্যার উপর-অ্যাডিক পূর্ণসংখ্যার বলয়ের (অসীম) গুণফলকে পূর্ণ করে। হেক রিং, হেক অপারেটরদের দ্বারা তৈরি রিং। যদি একটি সেট হয়, তবে এর পাওয়ার সেটটি একটি রিং হয়ে যায় যদি আমরা যোগকে সেটগুলির প্রতিসম পার্থক্য এবং ছেদ হিসাবে গুণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি। এটি বুলিয়ান বলয়ের একটি উদাহরণ। যে কোনও বলয় এবং যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য, সমস্ত বর্গ-বাই-ম্যাট্রিক্সের সেট থেকে এন্ট্রি সহ, ম্যাট্রিক্স সংযোজন এবং ম্যাট্রিক্স গুণন সহ একটি বলয় গঠন করে। কারণ, এই ম্যাট্রিক্স রিংটি নিজেই আইসোমরফিক। (এবং শূন্য বলয়ের জন্য নয়), এই ম্যাট্রিক্স বলয়টি অ-বিনিময়যোগ্য। যদি জি একটি আবেলিয়ান গ্রুপ হয়, তবে জি-এর এন্ডোমর্ফিজমগুলি একটি রিং গঠন করে, জি-এর এন্ডোমর্ফিজম রিং। এই রিংয়ের ক্রিয়াকলাপগুলি এন্ডোমর্ফিজমের সংযোজন এবং গঠন। আরও সাধারণভাবে, যদি একটি বলয়ের উপর একটি বাম মডিউল থাকে, তবে সমস্ত-রৈখিক মানচিত্রের সেট একটি বলয় গঠন করে, যাকে এন্ডোমর্ফিজম বলয়ও বলা হয় এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার এন্ডোমর্ফিজম রিং। এটি একটি বিনিময়যোগ্য বলয় যদি উপবৃত্তাকার বক্ররেখাটি শূন্যের একটি ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি একটি গ্রুপ হয় এবং একটি রিং হয়, তবে জি ওভারের গ্রুপ রিংটি ভিত্তি হিসাবে জি থাকার উপর একটি মুক্ত মডিউল। গুণন এই নিয়ম দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যে যাতায়াতের উপাদানগুলি উপাদানগুলির সাথে মিলিত হয় এবং গোষ্ঠীতে যেমন হয় তেমনি গুণিত হয়। ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের রিং (প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে)। প্রকৃতপক্ষে, বিশ্লেষণে প্রদর্শিত অনেক বলয় অপরিবর্তনীয়। উদাহরণস্বরূপ, বেশিরভাগ বানাচ অ্যালজেব্রা অ-বিনিময়যোগ্য। নন-রিং স্বাভাবিক ক্রিয়াকলাপ সহ প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট একটি রিং নয়, কারণ এটি এমনকি একটি গ্রুপও নয় (যোগের ক্ষেত্রে সমস্ত উপাদানগুলি বিপরীতমুখী নয়-উদাহরণস্বরূপ, এমন কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা নেই যা 3-এর সাথে যোগ করা যেতে পারে এবং ফলস্বরূপ 0 পেতে পারে)। পূর্ণসংখ্যার বলয় তৈরি করার জন্য ঋণাত্মক সংখ্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত করে এটিকে একটি বলয়ে বড় করার একটি প্রাকৃতিক উপায় রয়েছে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি (0 সহ) একটি বীজগাণিতিক কাঠামো গঠন করে যা সেমিয়ারিং নামে পরিচিত (যার একটি যোগাত্মক বিপরীত বাদে একটি বলয়ের সমস্ত স্বতঃসিদ্ধ রয়েছে)। বাস্তব রেখার উপর সমস্ত অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের সেট হতে দিন যা ফাংশনের উপর নির্ভর করে একটি সীমাবদ্ধ ব্যবধানের বাইরে অদৃশ্য হয়ে যায়, যথারীতি যোগ সহ কিন্তু কনভোলিউশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত গুণের সাথেঃ তারপর একটি rng, কিন্তু একটি রিং নয়ঃ ডিরাক ডেল্টা ফাংশনের একটি গুণিতক পরিচয়ের বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে এটি একটি ফাংশন নয় এবং তাই এর একটি উপাদান নয়। মৌলিক ধারণাগুলি পণ্য এবং ক্ষমতা প্রতিটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, উপাদানগুলির একটি ক্রম দেওয়া হলে, কেউ পণ্যটিকে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারেঃ যাক এবং যাক। একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, একটি বলয়ের একটি উপাদানের অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার শক্তিকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ এবং এর জন্য। তারপর সবার জন্য। একটি বলয়ের উপাদান একটি বলয়ের বাম শূন্য বিভাজক হল বলয়ের এমন একটি উপাদান যার একটি অ-শূন্য উপাদান রয়েছে। একটি ডান শূন্য বিভাজক একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি নিলপোটেন্ট উপাদান এমন একটি উপাদান যা কারো কারো জন্য। নিলপোটেন্ট উপাদানের একটি উদাহরণ হল নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স। একটি অ-শূন্য বলয়ের একটি নিলপোটেন্ট উপাদান অবশ্যই একটি শূন্য বিভাজক। একটি আইডেম্পোটেন্ট এমন একটি উপাদান। একটি আইডেম্পোটেন্ট উপাদানের একটি উদাহরণ হল রৈখিক বীজগণিতে একটি অভিক্ষেপ। একটি একক হল এমন একটি উপাদান যার গুণিতক বিপরীত থাকে; এই ক্ষেত্রে বিপরীতটি অনন্য, এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি বলয়ের একক সমূহ হল বলয়ের গুণনের অধীনে একটি গোষ্ঠী; এই গোষ্ঠীটি বা বা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ক্ষেত্রের উপর আকারের সমস্ত বর্গ ম্যাট্রিক্সের বলয় হয়, তবে এটি আকারের সমস্ত বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্সের সেট নিয়ে গঠিত এবং এটিকে সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী বলা হয়। একটি উপসেটকে সাব রিং বলা হয় যদি নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলির মধ্যে কোনও একটি থাকেঃ একই গুণিতক পরিচয় সহ একটি রিং তৈরির ক্রিয়াকলাপ দেওয়ার জন্য সীমাবদ্ধতার যোগ এবং গুণ। এবং সকলের জন্য, উপাদানগুলি, এবং ভিতরে রয়েছে। এটিকে এমন একটি বলয় তৈরি করার জন্য ক্রিয়াকলাপে সজ্জিত করা যেতে পারে যে অন্তর্ভুক্তি মানচিত্রটি একটি বলয় সমরূপতা। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যার বলয় হল বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের একটি উপ-বলয় এবং বহুপদী বলয়ের একটি উপ-বলয় (উভয় ক্ষেত্রেই 1 থাকে, যা বৃহত্তর বলয়ের গুণিতক পরিচয়)। অন্যদিকে, জোড় পূর্ণসংখ্যার উপসেটে পরিচয় উপাদান থাকে না এবং এইভাবে একটি সাব রিং হিসাবে যোগ্যতা অর্জন করে না যাকে একটি সাবআরএনজি বলা যেতে পারে। সাব রিং-এর একটি ছেদ হল একটি সাব রিং। এর একটি উপসেট দেওয়া হলে, ধারণকারী ক্ষুদ্রতম সাব রিং হল ধারণকারী সমস্ত সাব রিংয়ের ছেদ, এবং এটিকে দ্বারা উত্পন্ন সাব রিং বলা হয়। একটি বলয়ের জন্য, এর ক্ষুদ্রতম সাব রিংকে এর চরিত্রগত সাব রিং বলা হয়। এটি এবং এর অনুলিপি যোগ করার মাধ্যমে তৈরি করা যেতে পারে। এটা সম্ভব যে (সময়) শূন্য হতে পারে। যদি ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাটি এমন হয় যে এটি ঘটে, তবে এটিকে এর বৈশিষ্ট্য বলা হয়। কিছু বলয়ে, কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য কখনই শূন্য হয় না এবং এই বলয়গুলির বৈশিষ্ট্য শূন্য বলে মনে করা হয়। একটি রিং দেওয়া হলে, সমস্ত উপাদানের সেটকে এমনভাবে নির্দেশ করা যাক যা প্রতিটি উপাদানের সাথে যাতায়াত করেঃ যে কোনও ইন-এর জন্য। তারপর একটি সাব রিং হয়, যাকে সেন্টার অফ বলা হয়। আরও সাধারণভাবে, একটি উপসেট দেওয়া হলে, প্রতিটি উপাদান সহ সেই যাতায়াতের সমস্ত উপাদানের সেট হতে দিন। তারপর একটি সাব রিং হয়, যাকে সেন্ট্রালাইজার (বা কমিউট্যান্ট) বলা হয়। কেন্দ্রটি পুরো রিংয়ের কেন্দ্রীয়কারী। কেন্দ্রের উপাদান বা উপসেটগুলি কেন্দ্রীয় বলে মনে করা হয়; তারা (প্রতিটি পৃথকভাবে) কেন্দ্রের একটি উপ-রিং তৈরি করে। আদর্শ একটি আংটি হতে দিন। এর একটি বাম আদর্শ হল এমন একটি অ-খালি উপসেট যা যে কোনও উপাদানের জন্য এবং ভিতরে থাকে। একইভাবে, একটি ডান আদর্শ হল এমন একটি উপসেট যাতে একটি উপসেটকে দ্বিমুখী আদর্শ বলা হয় বা কেবল আদর্শ বলা হয় যদি এটি বাম আদর্শ এবং ডান আদর্শ উভয়ই হয়। একটি একতরফা বা দ্বিমুখী আদর্শ হল এর একটি যোগাত্মক উপগোষ্ঠী। যদি এর একটি উপসেট হয়, তবে এটি একটি বাম আদর্শ, যার দ্বারা উত্পন্ন বাম আদর্শ বলা হয়; এটি সবচেয়ে ছোট বাম আদর্শ ধারণকারী। একইভাবে, একটি উপসেট দ্বারা উত্পন্ন সঠিক আদর্শ বা দ্বিমুখী আদর্শ বিবেচনা করা যেতে পারে। যদি থাকে, তাহলে এবং যথাক্রমে বাম আদর্শ এবং ডান আদর্শ; এগুলিকে প্রধান বাম আদর্শ এবং ডান আদর্শ বলা হয়। প্রধান আদর্শ হিসাবে লেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, সমস্ত ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক গুণিতকগুলির সমষ্টি পূর্ণসংখ্যার একটি আদর্শ গঠন করে এবং এই আদর্শটি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা উৎপন্ন হয়। প্রকৃতপক্ষে, পূর্ণসংখ্যার বলয়ের প্রতিটি আদর্শ প্রধান। একটি গ্রুপের মতো, একটি বলয়কে সরল বলা হয় যদি এটি অ-শূন্য হয় এবং এর কোনও যথাযথ অ-শূন্য দ্বিমুখী আদর্শ না থাকে। একটি বিনিময়যোগ্য সরল বলয় হল সুনির্দিষ্টভাবে একটি ক্ষেত্র। রিংগুলি প্রায়শই তাদের আদর্শের উপর নির্ধারিত বিশেষ শর্তের সাথে অধ্যয়ন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যে বলয়ে বাম আদর্শের কোনও কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান অসীম শৃঙ্খল নেই তাকে বাম নোথেরিয়ান বলয় বলা হয়। একটি বলয় যেখানে বাম আদর্শের কোনও কঠোরভাবে হ্রাসমান অসীম শৃঙ্খল নেই, তাকে বাম আর্টিনিয়ান বলয় বলা হয়। এটি কিছুটা বিস্ময়কর সত্য যে একটি বাম আর্টীনীয় বলয় নোথেরিয়ান (হপকিন্স-লেভিৎস্কি উপপাদ্য) রেখে গেছে। তবে, পূর্ণসংখ্যাগুলি একটি নোথেরিয়ান বলয় গঠন করে যা আর্টিনিয়ান নয়। বিনিময়যোগ্য বলয়ের জন্য, আদর্শগুলি বিভাজ্যতার শাস্ত্রীয় ধারণাকে সাধারণীকরণ করে এবং বীজগণিতে একটি পূর্ণসংখ্যার মৌলিক সংখ্যায় পচন ঘটায়। একটি যথাযথ আদর্শকে মৌলিক আদর্শ বলা হয় যদি আমাদের যে কোনও উপাদানের জন্য যা উভয় বা সমতুল্যভাবে বোঝায়, তা মৌলিক হয় যদি আমাদের যে কোনও আদর্শের জন্য যা উভয়কেই বোঝায় বা এই পরবর্তী সূত্রটি আদর্শের ধারণাকে উপাদানগুলির সাধারণীকরণ হিসাবে চিত্রিত করে। সমরূপতা একটি বলয় থেকে একটি বলয় পর্যন্ত সমরূপতা এমন একটি ফাংশন যা বলয়ের ক্রিয়াকলাপগুলি সংরক্ষণ করে; যথা, নিম্নলিখিত পরিচয়গুলির মধ্যে সকলের জন্যঃ যদি কেউ rngs নিয়ে কাজ করে, তবে তৃতীয় শর্তটি বাদ দেওয়া হয়। একটি রিং সমরূপতাকে একটি সমরূপতা বলা হয় যদি একটি বিপরীত সমরূপতা বিদ্যমান থাকে (অর্থাৎ, একটি রিং সমরূপতা যা একটি বিপরীত ফাংশন)। যে কোনও বাইজেক্টিভ রিং সমরূপতা একটি রিং সমরূপতা। দুটি বলয়কে আইসোমরফিক বলা হয় যদি তাদের মধ্যে একটি আইসোমরফিজম থাকে এবং সেই ক্ষেত্রে একজন লেখে যে একই বলয়ের মধ্যে একটি রিং হোমোমরফিজমকে এন্ডোমরফিজম বলা হয় এবং একই বলয়ের মধ্যে একটি আইসোমরফিজমকে অটোমরফিজম বলা হয়। উদাহরণস্বরূপঃ যে ফাংশনটি প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে তার অবশিষ্ট মডুলো 4 (একটি সংখ্যা)-এর সাথে ম্যাপ করে তা হল রিং থেকে ভাগফল রিং পর্যন্ত একটি সমরূপতা ("ভাগফল রিং" নীচে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে)। যদি একটি বলয়ের একক উপাদান হয়, তবে এটি একটি বলয়ের সমরূপতা, যাকে এর অভ্যন্তরীণ স্বয়ংক্রিয়তা বলা হয়। ধরা যাক মৌলিক বৈশিষ্ট্যের একটি বিনিময়যোগ্য বলয়। তারপর একটি রিং এন্ডোমর্ফিজম যা ফ্রোবেনিয়াস হোমোমর্ফিজম নামে পরিচিত। একটি ক্ষেত্র সম্প্রসারণের গ্যালোইস গ্রুপ হল সমস্ত অটোমরফিজমের সেট যার সীমাবদ্ধতা হল পরিচয়। যে কোনও বলয়ের জন্য একটি অনন্য বলয় সমরূপতা এবং একটি অনন্য বলয় সমরূপতা রয়েছে। বলয়ের একটি এপিমরফিজম (অর্থাৎ, ডান-বাতিলযোগ্য মরফিজম) সার্জেক্টিভ হওয়ার দরকার নেই। উদাহরণস্বরূপ, অনন্য মানচিত্রটি একটি এপিমরফিজম। একটি-বীজগণিত থেকে একটি ভেক্টর স্পেসের এন্ডোমর্ফিজম বীজগণিতে একটি বীজগণিত সমরূপতাকে বীজগণিতের উপস্থাপনা বলা হয়। একটি রিং সমরূপতার পরিপ্রেক্ষিতে, 0 দ্বারা ম্যাপ করা সমস্ত উপাদানের সেটকে এর কার্নেল বলা হয়। কার্নেল একটি দ্বিমুখী আদর্শ। অন্যদিকে, এর চিত্র সর্বদা একটি আদর্শ নয়, তবে এটি সর্বদা এর একটি উপ-রিং। একটি বিনিময়যোগ্য বলয় থেকে কেন্দ্রে থাকা চিত্র সহ একটি বলয়কে সমরূপতা দেওয়া একটি বীজগণিতর কাঠামো দেওয়ার সমতুল্য (যা বিশেষত একটি-মডিউলের কাঠামো দেয়)। ভাগফল বলয় ভাগফল বলয়ের ধারণাটি একটি ভাগফল গোষ্ঠীর ধারণার অনুরূপ। একটি রিং এবং একটি দ্বিমুখী আইডিয়াল দেওয়া হলে, এর সাবগ্রুপ হিসাবে দেখুন; তারপর ভাগফল রিং হল সবগুলির জন্য ক্রিয়াকলাপের সাথে একসাথে কোসেটগুলির সেট। এই বলয়টিকে ফ্যাক্টর বলয়ও বলা হয়। একটি ভাগফল গোষ্ঠীর মতো, একটি ক্যানোনিকাল সমরূপতা রয়েছে, যা দ্বারা দেওয়া হয়েছে এটি সার্জেক্টিভ এবং নিম্নলিখিত সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করেঃ যদি একটি রিং সমরূপতা এমন হয় যে, তবে একটি অনন্য সমরূপতা রয়েছে যে কোনও রিং সমরূপতার জন্য, সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যকে আহ্বান করে একটি সমরূপতা তৈরি করে যা এর চিত্র থেকে একটি সমরূপতা দেয়। মডিউল একটি বলয়ের উপর একটি মডিউলের ধারণা একটি ক্ষেত্রের উপাদানগুলির সাথে ভেক্টরের গুণন (স্কেলার গুণন) থেকে একটি বলয়ের উপাদানগুলির সাথে গুণনে সাধারণীকরণের মাধ্যমে একটি ভেক্টর স্পেসের (একটি ক্ষেত্রের উপর) ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, একটি রিং দেওয়া হলে, একটি-মডিউল হল একটি আবেলিয়ান গ্রুপ যা একটি অপারেশন (একটি উপাদান এবং একটি উপাদানের প্রতিটি জুটির সাথে একটি উপাদান সংযুক্ত করে) দিয়ে সজ্জিত যা নির্দিষ্ট স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে। এই ক্রিয়াকে সাধারণত জক্সটাপজিশন দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং গুণ বলা হয়। মডিউলগুলির স্বতঃসিদ্ধগুলি নিম্নরূপঃ সকলের জন্য এবং সকলের জন্য, যোগের অধীনে একটি আবেলিয়ান গ্রুপ। যখন রিংটি অপরিবর্তনীয় হয় তখন এই স্বতঃসিদ্ধগুলি বাম মডিউলগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে; ডান মডিউলগুলি এর পরিবর্তে লেখার মাধ্যমে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি কেবল স্বরলিপির পরিবর্তন নয়, কারণ ডান মডিউলের শেষ স্বতঃসিদ্ধ (অর্থাৎ) হয়ে যায়, যদি ডান মডিউলের জন্য বাম গুণন (রিং উপাদান দ্বারা) ব্যবহার করা হয়। মডিউলগুলির মৌলিক উদাহরণগুলি হল রিং সহ আদর্শ। যদিও একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, মডিউলগুলির তত্ত্ব ভেক্টর স্পেসের তুলনায় অনেক বেশি জটিল, মূলত, কারণ ভেক্টর স্পেসের বিপরীতে, মডিউলগুলি একক অপরিবর্তনীয় (ভেক্টর স্পেসের মাত্রা) দ্বারা চিহ্নিত করা হয় না। বিশেষ করে, সমস্ত মডিউলের একটি ভিত্তি থাকে না। মডিউলগুলির স্বতঃসিদ্ধগুলি বোঝায় যে, যেখানে প্রথম বিয়োগটি রিংয়ের যোগাত্মক বিপরীতকে বোঝায় এবং দ্বিতীয় বিয়োগটি মডিউলের যোগাত্মক বিপরীতকে বোঝায়। এটি ব্যবহার করে এবং একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ দ্বারা পুনরাবৃত্ত সংযোজন নির্দেশ করলে পূর্ণসংখ্যার বলয়ের উপর মডিউল সহ আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলি সনাক্ত করা যায়। যে কোনও রিং সমরূপতা একটি মডিউলের কাঠামোকে প্ররোচিত করেঃ যদি একটি রিং সমরূপতা হয়, তবে গুণ দ্বারা একটি বাম মডিউল হয়ঃ যদি বিনিময়যোগ্য হয় বা এর কেন্দ্রে থাকে, তবে বলয়টিকে-বীজগণিত বলা হয়। বিশেষ করে, প্রতিটি বলয় পূর্ণসংখ্যার উপর একটি বীজগণিত। নির্মাণ সরাসরি পণ্য হতে দিন এবং রিং হতে দিন। তারপর পণ্যটি নিম্নলিখিত প্রাকৃতিক বলয়ের কাঠামো দিয়ে সজ্জিত করা যেতে পারেঃ ভিতরে এবং ভিতরে সকলের জন্য। যোগ এবং গুণনের উপরের ক্রিয়াকলাপ এবং গুণগত পরিচয় সহ বলয়টিকে সঙ্গে-এর সরাসরি গুণফল বলা হয়। একই গঠন বলয়ের একটি স্বেচ্ছাচারী পরিবারের জন্যও কাজ করেঃ যদি একটি সেট দ্বারা সূচকযুক্ত বলয় হয়, তবে এটি উপাদানগত যোগ এবং গুণ সহ একটি বলয়। আসুন একটি বিনিময়যোগ্য বলয় হয়ে উঠি এবং যে কোনও সময় আদর্শ হয়ে উঠি। তারপর চীনা অবশিষ্টাংশ উপপাদ্য বলে যে একটি ক্যানোনিকাল রিং আইসোমরফিজম রয়েছেঃ একটি "সসীম" সরাসরি গুণফলকে আদর্শের সরাসরি যোগফল হিসাবেও দেখা যেতে পারে। অর্থাৎ, রিং হতে দিন, চিত্রগুলির সাথে অন্তর্ভুক্তি (বিশেষত রিং যদিও সাব রিং নয়)। তারপর আবেলিয়ান গোষ্ঠীর সরাসরি যোগফল হিসাবে আদর্শগুলি রয়েছে (কারণ আবেলিয়ান গোষ্ঠীর জন্য সীমাবদ্ধ পণ্যগুলি সরাসরি যোগফলের সমান)। স্পষ্টতই এই ধরনের আদর্শের সরাসরি যোগফল বলয়ের সমতুল্য বলয়ের গুণফলকেও সংজ্ঞায়িত করে। সমতুল্যভাবে, উপরেরটি কেন্দ্রীয় আইডেম্পোট্যান্টের মাধ্যমে করা যেতে পারে। ধরে নিন যে এর উপরের পচন রয়েছে। তারপর আমরা লিখতে পারি বাই দ্য কন্ডিশনস অন ওয়ান হ্যাজস সেন্ট্রাল আইডেম্পোটেন্টস এবং, (অর্থোগোনাল)। আবার, কেউ নির্মাণটি বিপরীত করতে পারে। অর্থাৎ, যদি একজনকে অর্থোগোনাল সেন্ট্রাল আইডেম্পোটেন্টে 1-এর একটি পার্টিশন দেওয়া হয়, তবে যা দ্বিমুখী আদর্শ। যদি প্রতিটি অর্থোগোনাল কেন্দ্রীয় আইডেম্পোটেন্টের সমষ্টি না হয়, তবে তাদের সরাসরি যোগফল সমরূপ। একটি অসীম প্রত্যক্ষ পণ্যের একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হল বলয়ের একটি প্রক্ষিপ্ত সীমা নির্মাণ (নীচে দেখুন)। আরেকটি প্রয়োগ হল বলয়ের একটি পরিবারের একটি সীমাবদ্ধ পণ্য (সিএফ। অ্যাডেল রিং)। বহুপদী বলয় একটি প্রতীক (যাকে পরিবর্তনশীল বলা হয়) এবং একটি বিনিময়যোগ্য বলয় দেওয়া হলে, বহুপদীগুলির সেট স্বাভাবিক যোগ এবং গুণন সহ একটি বিনিময়যোগ্য বলয় গঠন করে, যা একটি উপবলয় হিসাবে থাকে। একে বলা হয় পলিনোমিয়াল রিং ওভার। আরও সাধারণভাবে, চলকগুলিতে সমস্ত বহুপদীর সেট একটি বিনিময়যোগ্য বলয় গঠন করে, যা সাব-রিং হিসাবে থাকে। যদি একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেইন হয়, তবে এটি একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেইন; এর ভগ্নাংশের ক্ষেত্রটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের ক্ষেত্র। যদি একটি নোথেরিয়ান রিং হয়, তবে এটি একটি নোথেরিয়ান রিং। যদি একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন হয়, তবে এটি একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন। পরিশেষে, একটি ক্ষেত্র যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি প্রধান আদর্শ ক্ষেত্র হয়। বিনিময়যোগ্য বলয় হতে দিন। এর একটি উপাদান দেওয়া হলে, কেউ রিং সমরূপতা (অর্থাৎ, প্রতিস্থাপন) বিবেচনা করতে পারে। যদি এবং তারপর। এই কারণে, বহুপদীকে প্রায়শই দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়। মানচিত্রের চিত্রটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়; এটি এবং দ্বারা উত্পন্ন সাব রিংয়ের মতো একই জিনিস। উদাহরণস্বরূপঃ সমরূপতার চিত্রকে বোঝায় অন্য কথায়, এটি এবং দ্বারা উত্পন্ন উপ-বীজগণিত। উদাহরণস্বরূপঃ ধরা যাক একটি চলকের মধ্যে একটি বহুপদী, অর্থাৎ একটি বহুপদী বলয়ের একটি উপাদান। তারপর একটি উপাদান এবং সেই রিং দ্বারা বিভাজ্য। শূন্যকে ইন-এ প্রতিস্থাপনের ফলাফল হল, এট-এর ডেরিভেটিভ। প্রতিস্থাপন একটি বহুপদী বলয়ের সার্বজনীন বৈশিষ্ট্যের একটি বিশেষ ঘটনা। বৈশিষ্ট্যটি বলেঃ একটি রিং সমরূপতা দেওয়া এবং সেখানে একটি উপাদান একটি অনন্য রিং সমরূপতা বিদ্যমান যেমন এবং সীমাবদ্ধ। উদাহরণস্বরূপ, একটি ভিত্তি নির্বাচন করলে, একটি প্রতিসম বীজগণিত সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে এবং একটি বহুপদী বলয়ও তাই। একটি উদাহরণ দেওয়ার জন্য, ধরা যাক সমস্ত ফাংশনের রিং নিজে থেকে; যোগ এবং গুণ হল ফাংশনের। আইডেন্টিটি ফাংশন হতে দিন। প্রতিটি ইন একটি ধ্রুবক ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে, যা সমরূপতার জন্ম দেয়। সর্বজনীন বৈশিষ্ট্যটি বলে যে এই মানচিত্রটি অনন্যভাবে (মানচিত্র থেকে) প্রসারিত যেখানে দ্বারা সংজ্ঞায়িত বহুপদী ফাংশন। ফলস্বরূপ মানচিত্রটি ইনজেকটিভ হয় যদি এবং শুধুমাত্র অসীম হয়। একটি অ-ধ্রুবক মনিক পলিনোমিয়াল দেওয়া হলে, এমন একটি বলয় বিদ্যমান থাকে যা রৈখিক কারণগুলির একটি গুণফল। বীজগাণিতিকভাবে একটি বদ্ধ ক্ষেত্র ধরা যাক। হিলবার্টের নলস্টেলেনস্যাটজ (শূন্যের উপপাদ্য) বলে যে সমস্ত মৌলিক আদর্শের সেট এবং এর বদ্ধ উপ-বৈচিত্র্যের সেটের মধ্যে একটি প্রাকৃতিক এক-থেকে-এক যোগাযোগ রয়েছে। বিশেষ করে, বীজগাণিতিক জ্যামিতির অনেক স্থানীয় সমস্যা একটি বহুপদী বলয়ের একটি আদর্শের উৎপাদকের অধ্যয়নের মাধ্যমে আক্রান্ত হতে পারে। (সিএফ। গ্রবনার ভিত্তি।) আরও কিছু সম্পর্কিত নির্মাণ রয়েছে। একটি ফর্মাল পাওয়ার সিরিজ রিং গুণ এবং সংযোজন সহ ফর্মাল পাওয়ার সিরিজ নিয়ে গঠিত যা কনভার্জেন্ট সিরিজের অনুকরণ করে। এটি একটি সাব রিং হিসাবে রয়েছে। একটি আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ রিংয়ের একটি বহুপদী রিংয়ের সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য নেই; একটি প্রতিস্থাপনের পরে একটি সিরিজ একত্রিত নাও হতে পারে। একটি বহুপদী বলয়ের উপর একটি আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ বলয়ের গুরুত্বপূর্ণ সুবিধা হল এটি স্থানীয় (প্রকৃতপক্ষে, সম্পূর্ণ)। ম্যাট্রিক্স রিং এবং এন্ডোমর্ফিজম রিং ধরা যাক একটি রিং (অগত্যা বিনিময়যোগ্য নয়)। প্রবেশ-ভিত্তিক সংযোজন এবং স্বাভাবিক ম্যাট্রিক্স গুণন সহ সমস্ত বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের সেট একটি রিং গঠন করে। এটিকে ম্যাট্রিক্স রিং বলা হয় এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি ডান-মডিউল দেওয়া হলে, সমস্ত-রৈখিক মানচিত্রের সেটটি নিজেই একটি রিং গঠন করে যা ফাংশন এবং গুণনের যোগফল যা ফাংশনের গঠনের হয়; এটিকে এন্ডোমর্ফিজম রিং বলা হয় এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। রৈখিক বীজগণিতে, একটি ম্যাট্রিক্স বলয়কে এন্ডোমর্ফিজম বলয় হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারেঃ এটি নিম্নলিখিত বিষয়টির একটি বিশেষ ক্ষেত্রেঃ যদি একটি-রৈখিক মানচিত্র হয়, তবে এটি একটি ম্যাট্রিক্স হিসাবে লেখা যেতে পারে যার মধ্যে এন্ট্রি থাকে, যার ফলে বলয়টি আইসোমরফিজম হয়ঃ যে কোনও বলয় সমরূপতা প্ররোচিত করে। শুর-এর লেম্মা বলে যে যদি একটি সাধারণ ডান-মডিউল হয়, তবে এটি একটি বিভাজন বলয়। যদি সরল-মডিউলগুলির-অনুলিপিগুলির সরাসরি যোগফল হয় তবে আর্টিন-ওয়েডারবার্ন উপপাদ্যটি যে কোনও অর্ধ-সরল বলয় (সিএফ। নীচে) এই ফর্মের। একটি রিং এবং এর উপর ম্যাট্রিক্স রিং মোরিটা সমতুল্যঃ এর ডান মডিউলগুলির বিভাগটি ডান মডিউলগুলির বিভাগের সমতুল্য। বিশেষত, দ্বিমুখী আদর্শ এক-থেকে-এক থেকে দ্বিমুখী আদর্শের সাথে মিলে যায়। বলয়ের সীমা এবং কলিমিটগুলি এমন একটি বলয়ের ক্রম হতে হবে যা সকলের জন্য একটি সাব-রিং। তারপরে এর ইউনিয়ন (বা ফিল্টার করা কলিমিট) কে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ এটি সকলের মডুলোর সমতুল্য সম্পর্কের বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন যদি এবং কেবল যদি যথেষ্ট বড় হয়। কলিমিটের উদাহরণগুলিঃ অসীম সংখ্যক চলকের মধ্যে একটি বহুপদী বলয়ঃ একই বৈশিষ্ট্যের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির বীজগাণিতিক বন্ধ একটি ক্ষেত্রের উপর আনুষ্ঠানিক লরেন্ট সিরিজের ক্ষেত্রঃ (এটি আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ বলয়ের ভগ্নাংশের ক্ষেত্র) একটি ক্ষেত্রের উপর একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের ফাংশন ক্ষেত্র হল যেখানে সীমাটি খালি না হওয়া খোলা উপসেটগুলির সমস্ত স্থানাঙ্ক বলয়ের উপর দিয়ে যায় (আরও সংক্ষেপে এটি সাধারণ বিন্দুতে কাঠামোর শিফের ডাল।) যেকোনও বিনিময়যোগ্য বলয় হল পরিমিতভাবে উৎপন্ন উপ-বলয়ের কলিমিট। বলয়ের একটি প্রজেক্টিভ সীমা (বা একটি ফিল্টার করা সীমা) নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ধরুন আমাদের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, বলুন, এবং রিং সমরূপতার উপর চলমান বলয়ের একটি পরিবার দেওয়া হয়েছে, যেমন সমস্ত পরিচয় এবং যখনই হয়। তারপরে এমন একটি সমন্বিত সাব রিং রয়েছে যা নীচের দিকে মানচিত্র করে। একটি প্রজেক্টিভ সীমার উদাহরণের জন্য, দেখুন। স্থানীয়করণ স্থানীয়করণ একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেনের ভগ্নাংশের ক্ষেত্রকে একটি নির্বিচারে বলয় এবং মডিউলগুলির জন্য সাধারণীকরণ করে। একটি (অপরিহার্যভাবে বিনিময়যোগ্য নয়) বলয় এবং এর একটি উপসেট দেওয়া হলে, বলয় সমরূপতার সাথে একত্রে একটি বলয় বিদ্যমান থাকে যা "বিপরীতমুখী" হয়; অর্থাৎ, সমরূপতা একক উপাদানগুলিতে উপাদানগুলির মানচিত্র তৈরি করে এবং উপরন্তু, যে কোনও বলয় সমরূপতা সেই "বিপরীতমুখী" থেকে অনন্যভাবে কারণগুলির মধ্য দিয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বিনিময়যোগ্য বলয় এবং একটি উপাদান হয়, তবে স্থানীয়করণটি ফর্মের উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত (সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে) স্থানীয়করণটি প্রায়শই একটি মৌলিক আদর্শের (বা মৌলিক আদর্শের মিলন) পরিপূরকের সাপেক্ষে একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। সেক্ষেত্রে একজন প্রায়শই সর্বাধিক আদর্শ সহ একটি স্থানীয় বলয়ের জন্য লেখেন এটি "স্থানীয়করণ" পরিভাষার কারণ। একটি ইন্টিগ্রাল ডোমেইনের ভগ্নাংশের ক্ষেত্র হল মৌলিক আদর্শ শূন্যের স্থানীয়করণ। যদি একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের মৌলিক আদর্শ হয়, তবে ভগ্নাংশের ক্ষেত্রটি স্থানীয় বলয়ের অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্রের সমান হয় এবং যদি একটি বাম-মডিউল হয়, তবে সাপেক্ষে এর স্থানীয়করণটি বলয়ের পরিবর্তন দ্বারা দেওয়া হয়। স্থানীয়করণের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলি নিম্নরূপঃ কখন একটি বিনিময়যোগ্য বলয় এবং গুণগতভাবে বন্ধ উপসেট হল বিচ্ছিন্ন সমস্ত মৌলিক আদর্শের সেট এবং বিভাজ্যতা দ্বারা প্রদত্ত আংশিক ক্রম সহ উপাদানগুলির উপর চলমান সমস্ত মৌলিক আদর্শের সেটের মধ্যে একটি বাইজেকশন। স্থানীয়করণটি সঠিকঃ যখনই সঠিকভাবে শেষ হয় তখনই সঠিকভাবে শেষ হয়। বিপরীতভাবে, যদি কোনও সর্বাধিক আদর্শের জন্য সঠিক হয় তবে সঠিক। একটি মন্তব্যঃ স্থানীয়করণ বিশ্বব্যাপী অস্তিত্ব প্রমাণ করতে কোনও সাহায্য করে না। এর একটি উদাহরণ হল যে যদি দুটি মডিউল সমস্ত মৌলিক আদর্শের ক্ষেত্রে সমরূপ হয়, তবে এটি অনুসরণ করে না যে তারা সমরূপ। (এটি ব্যাখ্যা করার একটি উপায় হল যে স্থানীয়করণ একটি মডিউলকে মৌলিক আদর্শের উপর একটি শেফ হিসাবে দেখার অনুমতি দেয় এবং একটি শেফ সহজাতভাবে একটি স্থানীয় ধারণা।) বিভাগ তত্ত্বে, একটি বিভাগের স্থানীয়করণ কিছু অঙ্গসংস্থান সমরূপতা তৈরির সমান। একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের একটি উপাদানকে যে কোনও-মডিউলের এন্ডোমর্ফিজম হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সুতরাং, সুনির্দিষ্টভাবে, এর একটি উপসেট সম্পর্কিত স্থানীয়করণ হল-মডিউল বিভাগ থেকে নিজের কাছে একটি ফাংক্টর যা অটোমরফিজমগুলিতে এন্ডোমর্ফিজম হিসাবে দেখা উপাদানগুলি প্রেরণ করে এবং এই বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রে সর্বজনীন। (অবশ্যই, তারপর-মডিউল থেকে-মডিউল পর্যন্ত মানচিত্র তৈরি করা হয়।) সমাপ্তি একটি বিনিময়যোগ্য বলয় হতে হবে, এবং এর একটি আদর্শ হতে হবে। এট-এর সমাপ্তি হল প্রজেক্টিভ সীমা এটি একটি বিনিময়যোগ্য বলয়। পরবর্তী সমরূপতা ইনজেকটিভ যদি একটি নোথেরিয়ান ইন্টিগ্রাল ডোমেন হয় এবং একটি যথাযথ আদর্শ হয়, অথবা ক্রুলের ছেদ উপপাদ্য অনুসারে সর্বাধিক আদর্শ সহ একটি নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয় হয়। নির্মাণটি বিশেষভাবে কার্যকর হয় যখন এটি সর্বাধিক আদর্শ হয়। মৌলিক উদাহরণ হল একটি মৌলিক সংখ্যা দ্বারা উৎপন্ন প্রধান আদর্শের সমাপ্তি; এটিকে-অ্যাডিক পূর্ণসংখ্যার বলয় বলা হয় এবং এটি চিহ্নিত করা হয় এই ক্ষেত্রে সমাপ্তিটি-অ্যাডিক পরম মান থেকেও তৈরি করা যেতে পারে। এটি একটি দূরত্ব ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে এবং একটি মেট্রিক স্পেস হিসাবে সমাপ্তির দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এটি আবার একটি ক্ষেত্র যেহেতু ক্ষেত্রের ক্রিয়াকলাপগুলি সমাপ্তি পর্যন্ত প্রসারিত। একইভাবে, আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ রিং হল অ্যাটের সমাপ্তি (হেনসেলের লেম্মাও দেখুন) একটি সম্পূর্ণ রিংয়ের একটি বিনিময়যোগ্য রিংয়ের তুলনায় অনেক সহজ কাঠামো রয়েছে। এটি কোহেন কাঠামো উপপাদ্যের মালিকানাধীন, যা মোটামুটিভাবে বলে যে, একটি সম্পূর্ণ স্থানীয় বলয় একটি আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ বলয় বা এর একটি ভাগফলের মতো দেখায়। অন্যদিকে, ইন্টিগ্রাল ক্লোজার এবং সমাপ্তির মধ্যে মিথস্ক্রিয়া সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ দিকগুলির মধ্যে রয়েছে যা নোইথারের মতো উন্নত ধ্রুপদী থেকে আধুনিক বিনিময়যোগ্য বলয় তত্ত্বকে আলাদা করে। নাগাতার পাওয়া প্যাথোলজিক্যাল উদাহরণগুলি নোথেরিয়ান বলয়ের ভূমিকার পুনর্বিবেচনার দিকে পরিচালিত করে এবং অন্যান্য বিষয়ের মধ্যে, চমৎকার বলয়ের সংজ্ঞাকে অনুপ্রাণিত করে। জেনারেটর এবং সম্পর্কের সাথে রিং একটি রিং নির্মাণের সবচেয়ে সাধারণ উপায় হল জেনারেটর এবং সম্পর্ক নির্দিষ্ট করা। ধরা যাক একটি মুক্ত বলয় (অর্থাৎ, পূর্ণসংখ্যার উপর মুক্ত বীজগণিত) চিহ্নগুলির সেট সহ, অর্থাৎ, নন-কমিউটিং ভেরিয়েবলগুলিতে অবিচ্ছেদ্য সহগ সহ বহুপদ নিয়ে গঠিত যা এর উপাদান। একটি মুক্ত বলয় সার্বজনীন বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করেঃ সেট থেকে রিং ফ্যাক্টর পর্যন্ত যে কোনও ফাংশন যাতে অনন্য রিং সমরূপতা হয়। ঠিক যেমন গ্রুপ ক্ষেত্রে, প্রতিটি রিংকে একটি মুক্ত রিংয়ের ভাগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এখন, আমরা একটি ভাগফল গ্রহণ করে প্রতীকগুলির মধ্যে সম্পর্ক আরোপ করতে পারি। স্পষ্টতই, যদি এর একটি উপসেট হয়, তবে দ্বারা উত্পন্ন আদর্শ দ্বারা ভাগফল বলয়কে জেনারেটর এবং সম্পর্কের সাথে বলয় বলা হয়। যদি আমরা একটি রিং ব্যবহার করি, ধরুন, এর পরিবর্তে একটি বেস রিং হিসাবে, তাহলে ফলস্বরূপ রিংটি শেষ হয়ে যাবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি ফলস্বরূপ বলয়টি স্বাভাবিক বহুপদী বলয় হবে যার সহগগুলি চলকের উপাদানগুলির মধ্যে থাকবে (এটি প্রতীক সহ প্রতিসম বীজগণিতের মতোই।) বিভাগ-তাত্ত্বিক পরিভাষায়, গঠনটি রিংয়ের বিভাগ থেকে সেট পর্যন্ত ভুলে যাওয়া ফাংক্টরের বাম সংলগ্ন ফাংক্টর (এবং এটিকে প্রায়শই ফ্রি রিং ফাংক্টর বলা হয়)। একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর বীজগণিত হতে দিন। তারপর-মডিউলগুলির টেনসর গুণফল হল একটি-বীজগণিত যার গুণন বিশেষ ধরনের বলয় দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি শূন্যেতর বলয় যার কোনও শূন্যেতর শূন্য-বিভাজক নেই তাকে ডোমেন বলা হয়। একটি বিনিময়যোগ্য ডোমেনকে ইন্টিগ্রাল ডোমেন বলা হয়। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অবিচ্ছেদ্য ডোমেনগুলি হল প্রধান আদর্শ ডোমেন, সংক্ষিপ্তের জন্য পিআইডি এবং ক্ষেত্র। একটি প্রধান আদর্শ ক্ষেত্র হল একটি অবিচ্ছেদ্য ক্ষেত্র যেখানে প্রতিটি আদর্শ প্রধান। পিআইডি ধারণকারী অবিচ্ছেদ্য ডোমেনের একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী হল একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন (ইউএফডি), একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেন যেখানে প্রতিটি অ-একক উপাদান মৌলিক উপাদানগুলির একটি গুণফল (একটি উপাদান মৌলিক হয় যদি এটি একটি মৌলিক আদর্শ তৈরি করে।) বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের মৌলিক প্রশ্নটি হল একটি সংখ্যা ক্ষেত্রে (সাধারণীকৃত) পূর্ণসংখ্যার বলয়, যেখানে একটি "আদর্শ" মৌলিক গুণনফলকে স্বীকার করে, তা পি. আই. ডি হতে ব্যর্থ হয়। একটি পি. আই. ডি সম্পর্কিত উপপাদ্যগুলির মধ্যে, সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হল একটি প্রধান আদর্শ ডোমেনের উপর সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলির জন্য কাঠামো উপপাদ্য। উপপাদ্যটি রৈখিক বীজগণিতে নিম্নলিখিত প্রয়োগ দ্বারা চিত্রিত করা যেতে পারে। ধরা যাক একটি ক্ষেত্রের উপর একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্থান এবং ন্যূনতম বহুপদী সহ একটি রৈখিক মানচিত্র। তারপর, যেহেতু একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশন ডোমেন, স্বতন্ত্র অপরিবর্তনীয় বহুপদের (অর্থাৎ, মৌলিক উপাদান) শক্তিতে ফ্যাক্টরঃ আসুন আমরা একটি-মডিউল তৈরি করি। স্ট্রাকচার থিওরেমটি তখন বলে যে এটি সাইক্লিক মডিউলগুলির একটি সরাসরি যোগফল, যার প্রতিটি ফর্মের মডিউলটির সমরূপ। এখন, যদি এই ধরনের একটি সাইক্লিক মডিউলের (ফর) একটি ভিত্তি থাকে যেখানে জর্ডান ম্যাট্রিক্স দ্বারা সীমাবদ্ধতার প্রতিনিধিত্ব করা হয়। সুতরাং, যদি, ধরুন, বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ থাকে, তবে সমস্তগুলি ফর্মের এবং উপরের পচনটি জর্ডানের ক্যানোনিকাল ফর্মের সাথে মিলে যায়। বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, মসৃণতার কারণে ইউ. এফ. ডি দেখা দেয়। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, একটি বৈচিত্র্যের একটি বিন্দু (একটি নিখুঁত ক্ষেত্রের উপর) মসৃণ হয় যদি বিন্দুর স্থানীয় বলয়টি একটি নিয়মিত স্থানীয় বলয় হয়। একটি নিয়মিত স্থানীয় বলয় হল একটি ইউ. এফ. ডি। নিম্নলিখিত শ্রেণী অন্তর্ভুক্তির একটি শৃঙ্খল যা রিং, ডোমেন এবং ক্ষেত্রগুলির মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করেঃ বিভাগ রিং একটি বিভাজন রিং এমন একটি রিং যাতে প্রতিটি অ-শূন্য উপাদান একটি একক হয়। একটি বিনিময়যোগ্য বিভাজন বলয় হল একটি ক্ষেত্র। একটি বিভাজন বলয়ের একটি বিশিষ্ট উদাহরণ যা একটি ক্ষেত্র নয় তা হল চতুর্ভুজের বলয়। ডিভিশন রিংয়ের যে কোনও সেন্ট্রালাইজারও একটি ডিভিশন রিং। বিশেষ করে, একটি বিভাজন বলয়ের কেন্দ্র হল একটি ক্ষেত্র। দেখা গেল যে প্রতিটি সসীম ক্ষেত্র (বিশেষ করে সসীম বিভাজন বলয়ে) একটি ক্ষেত্র; বিশেষ করে বিনিময়যোগ্য (ওয়েডারবার্নের ক্ষুদ্র উপপাদ্য)। একটি বিভাজন বলয়ের উপর প্রতিটি মডিউল একটি মুক্ত মডিউল (একটি ভিত্তি রয়েছে); ফলস্বরূপ, রৈখিক বীজগণিতের বেশিরভাগ অংশ একটি ক্ষেত্রের পরিবর্তে একটি বিভাজন বলয়ের উপর সঞ্চালিত করা যেতে পারে। বিভাজনের বলয়ের ধ্রুপদী তত্ত্বে কনজুগেসি শ্রেণীর অধ্যয়ন বিশিষ্টভাবে চিত্রিত হয়; উদাহরণস্বরূপ, কার্টান-ব্রাউয়ার-হুয়া উপপাদ্য দেখুন। এল. ই. ডিকসন দ্বারা প্রবর্তিত একটি চক্রাকার বীজগণিত হল একটি চতুর্ভুজ বীজগণিতের সাধারণীকরণ। একটি আধা-সহজ মডিউল হল সহজ মডিউলগুলির সরাসরি যোগফল। একটি আধা-সরল বলয় হল এমন একটি বলয় যা একটি বাম মডিউল (বা ডান মডিউল) হিসাবে অর্ধ-সরল। উদাহরণস্বরূপ একটি বিভাজন বলয় অর্ধ-সরল (এবং সহজ)। যে কোনও বিভাজন বলয় এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য, ম্যাট্রিক্স বলয়টি অর্ধ-সরল (এবং সহজ)। একটি ক্ষেত্র এবং সসীম গোষ্ঠীর জন্য, গ্রুপ রিংটি আধা-সরল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর বৈশিষ্ট্যটি (মাস্কের উপপাদ্য) এর ক্রমকে বিভক্ত না করে। ক্লিফোর্ড অ্যালজেব্রা আধা-সহজ। একটি ক্ষেত্রের উপর ওয়েল বীজগণিত একটি সহজ বলয়, তবে এটি অর্ধ-সহজ নয়। অনেক চলকের ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের বলয়ের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। বৈশিষ্ট্য একটি অর্ধ-সরল বলয়ের উপর যে কোনও মডিউল অর্ধ-সহজ। (প্রমাণঃ একটি অর্ধ-সরল বলয়ের উপর একটি মুক্ত মডিউল অর্ধ-সহজ এবং যে কোনও মডিউল একটি মুক্ত মডিউলের একটি ভাগফল।) একটি রিংয়ের জন্য, নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্যঃ আধা-সহজ। এটি আর্টিনিয়ান এবং সেমিপ্রিমিটিভ। একটি সসীম প্রত্যক্ষ গুণফল যেখানে প্রতিটি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং প্রতিটি একটি বিভাজন বলয় (আর্টিন-ওয়েডারবার্ন উপপাদ্য)। সেমি সিমপ্লিসিটি পৃথকীকরণের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। একটি ক্ষেত্রের উপর একটি একক সহযোগী বীজগণিতকে পৃথকযোগ্য বলা হয় যদি প্রতিটি ক্ষেত্র সম্প্রসারণের জন্য ভিত্তি সম্প্রসারণ আধা-সহজ হয়। যদি একটি ক্ষেত্র হয়, তবে এটি ক্ষেত্র তত্ত্বের সাধারণ সংজ্ঞার সমতুল্য (সিএফ। পৃথকযোগ্য এক্সটেনশন।) একটি ক্ষেত্রের জন্য, একটি-বীজগণিত কেন্দ্রীয় হয় যদি এর কেন্দ্র হয় এবং সরল হয় যদি এটি একটি সাধারণ বলয় হয়। যেহেতু একটি সরল-বীজগণিতের কেন্দ্র একটি ক্ষেত্র, তাই যে কোনও সরল-বীজগণিত তার কেন্দ্রের উপর একটি কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিত। এই বিভাগে, একটি কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিতের সসীম মাত্রা রয়েছে বলে ধরে নেওয়া হয়। এছাড়াও, আমরা বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই ভিত্তি ক্ষেত্র স্থির করি; সুতরাং, একটি বীজগণিত একটি-বীজগণিতকে বোঝায়। একটি বলয়ের উপর আকারের ম্যাট্রিক্স বলয় দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। স্কোলেম-নোইথার উপপাদ্য বলে যে কোনও কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিতে যে কোনও স্বরূপতা অভ্যন্তরীণ। দুটি কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিত এবং পূর্ণসংখ্যা থাকলে তাদের অনুরূপ বলা হয় এবং যেহেতু সাদৃশ্য একটি সমতুল্য সম্পর্ক। গুণনের সাথে সাদৃশ্য শ্রেণীগুলি একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠী গঠন করে যাকে ব্রাউয়ার গোষ্ঠী বলা হয় এবং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। আর্টিন-ওয়েডারবার্ন উপপাদ্য অনুসারে, একটি কেন্দ্রীয় সরল বীজগণিত হল একটি বিভাজন বলয়ের ম্যাট্রিক্স বলয়; সুতরাং, প্রতিটি সাদৃশ্য শ্রেণী একটি অনন্য বিভাজন বলয় দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সসীম ক্ষেত্র বা একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্র হয় (আরও সাধারণভাবে আধা-বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্র; cf। সেনের উপপাদ্য)। এর ক্রম 2 রয়েছে (ফ্রোবেনিয়াসের উপপাদ্যের একটি বিশেষ কেস)। পরিশেষে, যদি একটি নন-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্র হয় (উদাহরণস্বরূপ, তাহলে অপরিবর্তনীয় মানচিত্রের মাধ্যমে। এখন, যদি একটি ক্ষেত্রের এক্সটেনশন হয়, তাহলে বেস এক্সটেনশন প্ররোচিত হয়। এর কার্নেল দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি এমন একটি ম্যাট্রিক্স রিং নিয়ে গঠিত (অর্থাৎ, দ্বারা বিভক্ত)। যদি এক্সটেনশনটি সসীম এবং গ্যালোইস হয়, তবে ক্যানোনিক্যালি আজুমায়া অ্যালজেব্রাগুলির সমতুল্য কেন্দ্রীয় সরল অ্যালজেব্রাগুলির ধারণাকে একটি বিনিময়যোগ্য স্থানীয় বলয়ে সাধারণীকরণ করে। ভ্যালুয়েশন রিং যদি একটি ক্ষেত্র হয়, একটি ভ্যালুয়েশন হল গুণিতক গ্রুপ থেকে সম্পূর্ণরূপে ক্রমযুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপে এমন একটি গ্রুপ সমরূপতা যাতে, শূন্যেতর যে কোনওটির জন্য, এর ভ্যালুয়েশন রিং হল শূন্য এবং সমস্ত শূন্যেতর সমন্বিত সাব রিং। উদাহরণস্বরূপঃ একটি ক্ষেত্রের উপর আনুষ্ঠানিক লরেন্ট সিরিজের ক্ষেত্রটি এমন মূল্যায়নের সাথে আসে যা একটি অ-শূন্য পদের সর্বনিম্ন ডিগ্রি; এর মূল্যায়নের বলয়টি হল আনুষ্ঠানিক পাওয়ার সিরিজ বলয়। এটি কনভোলিউশন দ্বারা প্রদত্ত গুণ সহ একটি ক্ষেত্রঃ এটি মূল্যায়নের সাথেও আসে যা এর সমর্থনে সর্বনিম্ন উপাদান। সীমাবদ্ধ সমর্থন সহ উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত সাব-রিংকে গ্রুপ রিং বলা হয় (যা বিনিময়যোগ্য না হলেও অর্থবহ)। যদি পূর্ণসংখ্যার বলয় হয়, তাহলে আমরা পূর্ববর্তী উদাহরণটি পুনরুদ্ধার করি (যে সিরিজের-তম সহগ হল তার সাথে চিহ্নিত করে)। অতিরিক্ত কাঠামো সহ রিং একটি রিংকে একটি আবেলিয়ান গ্রুপ হিসাবে দেখা যেতে পারে (সংযোজন অপারেশন ব্যবহার করে), অতিরিক্ত কাঠামো সহঃ যথা, রিং গুণন। একইভাবে, অন্যান্য গাণিতিক বস্তু রয়েছে যা অতিরিক্ত কাঠামো সহ বলয় হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপঃ একটি সহযোগী বীজগণিত হল একটি বলয় যা একটি ক্ষেত্রের উপর একটি ভেক্টর স্থানও হয় যাতে স্কেলার গুণন বলয়ের গুণনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। উদাহরণস্বরূপ, বাস্তব ক্ষেত্রের উপর-বাই-ম্যাট্রিক্সের সেটের একটি বাস্তব ভেক্টর স্থান হিসাবে মাত্রা রয়েছে। একটি বলয় হল একটি টপোলজিক্যাল বলয় যদি তার উপাদানগুলির সেটকে একটি টপোলজি দেওয়া হয় যা সংযোজন মানচিত্র () এবং গুণন মানচিত্র উভয়কেই টপোলজিকাল স্থানগুলির মধ্যে মানচিত্র হিসাবে অবিচ্ছিন্ন করে তোলে (যেখানে পণ্য টপোলজি বা বিভাগের অন্য কোনও পণ্য উত্তরাধিকার সূত্রে পাওয়া যায়)। উদাহরণস্বরূপ, বাস্তব সংখ্যার উপর-দ্বারা-ম্যাট্রিক্সকে ইউক্লিডীয় টপোলজি বা জারিস্কি টপোলজি দেওয়া যেতে পারে এবং উভয় ক্ষেত্রেই একটি টপোলজিকাল বলয় পাওয়া যেতে পারে। একটি λ-রিং হল-তম বাহ্যিক শক্তির মতো ক্রিয়াকলাপ সহ একটি বিনিময়যোগ্য রিংঃ উদাহরণস্বরূপ, দ্বিপদী সহগ সহ একটি λ-রিং। এই ধারণাটি রিম্যান-রক উপপাদ্যের বীজগাণিতিক পদ্ধতির একটি কেন্দ্রীয় নিয়মের ভূমিকা পালন করে। একটি সম্পূর্ণরূপে অর্ডার করা রিং হল একটি রিং যার মোট অর্ডারিং রিং অপারেশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। বলয়ের সর্বব্যাপীতার কিছু উদাহরণ বিভিন্ন ধরনের গাণিতিক বস্তু কিছু সম্পর্কিত বলয়ের পরিপ্রেক্ষিতে ফলপ্রসূভাবে বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। একটি টপোলজিকাল স্থানের কোহোমোলজি বলয় যে কোনও টপোলজিকাল স্থানের সাথে তার অবিচ্ছেদ্য কোহোমোলজি বলয়কে একটি শ্রেণীবদ্ধ বলয়ের সাথে যুক্ত করতে পারে। একটি স্থানের সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীও রয়েছে এবং প্রকৃতপক্ষে এগুলিকে প্রথমে গোলক এবং তোরির মতো নির্দিষ্ট জোড়া টপোলজিকাল স্থানের মধ্যে পার্থক্য করার জন্য একটি দরকারী সরঞ্জাম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল, যার জন্য বিন্দু-সেট টপোলজির পদ্ধতিগুলি উপযুক্ত নয়। কোহোমোলজি গ্রুপগুলিকে পরে হোমোলজি গ্রুপের পরিপ্রেক্ষিতে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল যা ভেক্টর স্পেসের দ্বৈতের সাথে মোটামুটি সাদৃশ্যপূর্ণ। সর্বজনীন সহগ উপপাদ্যের কারণে প্রতিটি পৃথক ইন্টিগ্রাল হোমোলজি গ্রুপকে জানা মূলত প্রতিটি পৃথক ইন্টিগ্রাল কোহোমোলজি গ্রুপকে জানার মতোই। যাইহোক, কোহোমোলজি গ্রুপগুলির সুবিধা হল যে একটি প্রাকৃতিক পণ্য রয়েছে, যা এই পর্যবেক্ষণের অনুরূপ যে একটি ()-মাল্টিলিনিয়ার ফর্ম পেতে একটি-মাল্টিলিনিয়ার ফর্ম এবং একটি-মাল্টিলিনিয়ার ফর্মকে পয়েন্টওয়াইজ গুণ করতে পারে। কোহোমোলজিতে বলয়ের কাঠামো ফাইবার বান্ডিলের চরিত্রগত শ্রেণী, ম্যানিফোল্ড এবং বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের উপর ছেদ তত্ত্ব, শুবার্ট ক্যালকুলাস এবং আরও অনেক কিছুর ভিত্তি প্রদান করে। একটি গোষ্ঠীর বার্নসাইড রিং যে কোনও গোষ্ঠীর সাথে তার বার্নসাইড রিং যুক্ত থাকে যা একটি রিং ব্যবহার করে একটি সীমাবদ্ধ সেটের উপর গোষ্ঠীটি বিভিন্ন উপায়ে কাজ করতে পারে তা বর্ণনা করে। বার্নসাইড রিংয়ের অ্যাডিটিভ গ্রুপ হল মুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপ যার ভিত্তি হল গ্রুপের ট্রানজিটিভ ক্রিয়াগুলির সেট এবং যার সংযোজন হল ক্রিয়ার বিচ্ছিন্ন মিলন। ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে একটি ক্রিয়া প্রকাশ করা মানে একটি ক্রিয়াকে তার ক্ষণস্থায়ী উপাদানগুলিতে বিভক্ত করা। গুণটি সহজেই উপস্থাপনা বলয়ের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়ঃ বার্নসাইড বলয়ের গুণটি দুটি বিন্যাস মডিউলের টেনসর গুণফলকে বিন্যাস মডিউল হিসাবে লিখে গঠিত হয়। রিং কাঠামোটি একটি ক্রিয়াকে অন্য ক্রিয়া থেকে বাদ দেওয়ার একটি আনুষ্ঠানিক উপায়ের অনুমতি দেয়। যেহেতু বার্নসাইড বলয়টি উপস্থাপনা বলয়ের একটি সীমাবদ্ধ সূচক উপ-বলয় হিসাবে রয়েছে, তাই পূর্ণসংখ্যা থেকে মূলদ সংখ্যায় সহগগুলি প্রসারিত করে সহজেই এক থেকে অন্যটিতে যেতে পারে। একটি গ্রুপ রিং-এর প্রতিনিধিত্ব বলয় যে কোনও গ্রুপ রিং বা হপফ বীজগণিতে তার প্রতিনিধিত্ব বলয় বা "সবুজ বলয়"-এর সঙ্গে যুক্ত থাকে। রিপ্রেজেন্টেশন রিংয়ের অ্যাডিটিভ গ্রুপ হল মুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপ যার ভিত্তি হল ইনডিকম্পোজেবল মডিউল এবং যার সংযোজন সরাসরি যোগফলের সাথে মিলে যায়। বেসিসের পরিপ্রেক্ষিতে একটি মডিউল প্রকাশ করা হল মডিউলটির একটি অপরিবর্তনীয় পচন খুঁজে বের করা। গুণন হল টেনসরের গুণফল। বীজগণিত যখন আধা-সরল হয়, তখন উপস্থাপনা বলয়টি অক্ষর তত্ত্বের অক্ষর বলয় মাত্র, যা কমবেশি একটি বলয়ের কাঠামো দেওয়া গ্রোথেন্ডিক গোষ্ঠী। একটি অপরিবর্তনীয় বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের ফাংশন ক্ষেত্র যে কোনও অপরিবর্তনীয় বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের সাথে তার ফাংশন ক্ষেত্র সম্পর্কিত। একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের বিন্দুগুলি ফাংশন ক্ষেত্রে থাকা মূল্যায়ন বলয়ের সাথে মিলে যায় এবং স্থানাঙ্ক বলয় ধারণ করে। বীজগাণিতিক জ্যামিতি অধ্যয়নে রিং-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যের পরিপ্রেক্ষিতে জ্যামিতিক ধারণাগুলি অধ্যয়নের জন্য বিনিময়যোগ্য বীজগণিতের ব্যাপক ব্যবহার করা হয়। বিরেশনাল জ্যামিতি ফাংশন ক্ষেত্রের সাব-রিংয়ের মধ্যে মানচিত্র অধ্যয়ন করে। একটি সরল জটিলতার মুখের বলয় প্রতিটি সরল জটিলতার একটি সংশ্লিষ্ট মুখের বলয় থাকে, যাকে স্ট্যানলি-রেইজনার বলয়ও বলা হয়। এই বলয়টি সরল জটিলের অনেকগুলি সমন্বিত বৈশিষ্ট্য প্রতিফলিত করে, তাই এটি বীজগাণিতিক সংমিশ্রণে বিশেষ আগ্রহের বিষয়। বিশেষত, স্ট্যানলি-রেইজনার বলয়ের বীজগাণিতিক জ্যামিতি ব্যবহার করা হয়েছিল সরল পলিটোপগুলির প্রতিটি মাত্রায় মুখের সংখ্যা চিহ্নিত করতে। বিভাগ-তাত্ত্বিক বিবরণ প্রতিটি বলয়কে আব-এ একটি মনোয়েড হিসাবে ভাবা যেতে পারে, যা আবেলিয়ান গোষ্ঠীর বিভাগ (-মডিউলগুলির টেনসর পণ্যের অধীনে একটি মনোইডাল বিভাগ হিসাবে ভাবা হয়)। একটি আবেলিয়ান গ্রুপের উপর একটি বলয়ের মনোয়েড ক্রিয়া কেবল একটি-মডিউল। মূলত, একটি-মডিউল একটি ভেক্টর স্থানের ধারণার একটি সাধারণীকরণ-যেখানে একটি ক্ষেত্রের উপর ভেক্টর স্থানের পরিবর্তে, একটি "একটি বলয়ের উপর ভেক্টর স্থান" থাকে। ধরা যাক একটি আবেলিয়ান গ্রুপ এবং এর এন্ডোমর্ফিজম রিং (উপরে দেখুন)। লক্ষ্য করুন যে, মূলত, সমস্ত মরফিজমের সেট, যেখানে যদি থাকে এবং যেখানে থাকে, নিম্নলিখিত নিয়মগুলি গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এবংঃ যেখানে যেমন যোগ করা হয়, এবং ফাংশন রচনা ডান থেকে বাম দিকে চিহ্নিত করা হয়। অতএব, যে কোনও আবেলিয়ান গোষ্ঠীর সাথে যুক্ত, একটি বলয়। বিপরীতভাবে, যে কোনও রিং দেওয়া হলে, এটি একটি আবেলিয়ান গ্রুপ। উপরন্তু, প্রতিটি ইন, ডান (বা বাম) গুণ দ্বারা, ডান (বা বাম) বিতরণ দ্বারা একটি রূপবাদের জন্ম দেয়। যাক। সেই এন্ডোমর্ফিজমগুলি বিবেচনা করুন, যেগুলির ডান (বা বাম) গুণনের মাধ্যমে "ফ্যাক্টর"। অন্য কথায়, সমস্ত মরফিজমের সেট হতে দিন, যার সম্পত্তি রয়েছে। এটি দেখা গেছে যে প্রতিটি ইন একটি রূপবাদের জন্ম দেয়ঃ দ্বারা সঠিক গুণ। এটি প্রকৃতপক্ষে সত্য যে, থেকে থেকে একটি ফাংশন হিসাবে, যে কোনও উপাদানের, একটি অঙ্গসংস্থানের সাথে এই সংযোগটি বলয়ের একটি সমরূপতা। এই অর্থে, তাই, যে কোনও বলয়কে কিছু আবেলিয়ান-গোষ্ঠীর এন্ডোমর্ফিজম বলয় হিসাবে দেখা যেতে পারে (দ্বারা-গোষ্ঠী, এটি তার অপারেটরগুলির সেট সহ একটি গোষ্ঠী বোঝায়)। সংক্ষেপে, একটি বলয়ের সবচেয়ে সাধারণ রূপ হল কিছু আবেলিয়ান-গ্রুপের এন্ডোমর্ফিজম গ্রুপ। যে কোনও বলয়কে একটি একক বস্তুর সাথে একটি প্রিঅ্যাডিটিভ বিভাগ হিসাবে দেখা যেতে পারে। তাই নির্বিচারে প্রিঅ্যাডিটিভ বিভাগগুলিকে বলয়ের সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করা স্বাভাবিক। এবং প্রকৃতপক্ষে, রিংয়ের জন্য মূলত দেওয়া অনেক সংজ্ঞা এবং উপপাদ্য এই আরও সাধারণ প্রসঙ্গে অনুবাদ করা যেতে পারে। প্রিঅ্যাডিটিভ বিভাগগুলির মধ্যে অ্যাডিটিভ ফাংক্টরগুলি রিং সমরূপতার ধারণাকে সাধারণীকরণ করে এবং অ্যাডিটিভ বিভাগগুলিতে আদর্শগুলিকে যুক্তির অধীনে এবং নির্বিচারে মরফিজমের সাথে গঠনের অধীনে বন্ধ মরফিজমের সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সাধারণীকরণ বীজগণিতবিদরা কিছু বলয়ের স্বতঃসিদ্ধকে দুর্বল বা বাদ দিয়ে বলয়ের চেয়ে আরও সাধারণ কাঠামোকে সংজ্ঞায়িত করেছেন। আর. এন. জি. এ. আর. এন. জি একটি বলয়ের মতোই, তবে গুণগত পরিচয়ের অস্তিত্ব অনুমান করা হয় না। একটি অ-সহযোগী বলয় হল একটি বীজগাণিতিক কাঠামো যা সহযোগী বৈশিষ্ট্য এবং একটি গুণিতক পরিচয়ের অস্তিত্ব ব্যতীত সমস্ত বলয়ের স্বতঃসিদ্ধতাকে সন্তুষ্ট করে। একটি উল্লেখযোগ্য উদাহরণ হল লাই বীজগণিত। এই ধরনের অ্যালজেব্রার জন্য কিছু কাঠামো তত্ত্ব রয়েছে যা লাই অ্যালজেব্রা এবং সহযোগী অ্যালজেব্রার অনুরূপ ফলাফলকে সাধারণীকরণ করে। সেমিয়ারিং এ সেমিয়ারিং (কখনও কখনও রিগ) একটি বিনিময়মূলক মনোয়েড অনুমানের সাথে একটি আবেলিয়ান গ্রুপ অনুমানকে দুর্বল করে এবং স্বতঃসিদ্ধ যোগ করে পাওয়া যায় যে সকলের জন্য এ ইন (যেহেতু এটি আর অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করে না)। উদাহরণস্বরূপঃ সাধারণ যোগ এবং গুণ সহ অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা; ক্রান্তীয় সেমিয়ারিং। অন্যান্য বলয়ের মতো বস্তু একটি বিভাগে রিং অবজেক্ট ধরা যাক সীমাবদ্ধ পণ্য সহ একটি বিভাগ। (একটি খালি পণ্য)-এর একটি টার্মিনাল অবজেক্টকে পিটি বোঝানো যাক। রিং অবজেক্ট হল এমন একটি বস্তু যা মরফিজম (সংযোজন), (গুণ), (যোগাত্মক পরিচয়), (যোগাত্মক বিপরীত) এবং (গুণাত্মক পরিচয়) দিয়ে সজ্জিত যা স্বাভাবিক রিং স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে। সমতুল্যভাবে, একটি রিং অবজেক্ট এমন একটি বস্তু যা রিংয়ের বিভাগের মাধ্যমে পয়েন্টগুলির ফাংক্টরের ফ্যাক্টরাইজেশনে সজ্জিত থাকেঃ রিং স্কিম বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, একটি বেস স্কিমের উপর একটি রিং স্কিম-স্কিমের বিভাগে একটি রিং অবজেক্ট। একটি উদাহরণ হল রিং স্কিম ওভার, যা যে কোনও বিনিময়যোগ্য রিংয়ের জন্য দৈর্ঘ্যের-আইসোটাইপিক উইট ভেক্টরের রিং প্রদান করে। বীজগাণিতিক টপোলজিতে, একটি রিং স্পেকট্রাম হল একটি বর্ণালী যার গুণন এবং গোলক বর্ণালী থেকে একটি একক মানচিত্র রয়েছে, যাতে রিং স্বতঃসিদ্ধ চিত্রগুলি সমস্থানিক পর্যন্ত যাতায়াত করে। বাস্তবে, প্রতিসম বর্ণালীর মতো বর্ণালীর একটি ভাল বিভাগে একটি রিং বর্ণালীকে একটি মনোয়েড বস্তু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা সাধারণ। আরও দেখুন অ্যালজেব্রা ওভার এ কমিউটেটিভ রিং ক্যাটাগরি অফ রিং গ্লোসারি অফ রিং থিওরি নন-অ্যাসোসিয়েটিভ রিং রিং অফ সেটস সেমিয়ারিং স্পেকট্রাম অফ এ রিং সিমপ্লিসিয়াল কমিউটেটিভ রিং বিশেষ ধরনের রিংঃ বুলিয়ান রিং ডেডেকাইন্ড রিং ডিফারেনশিয়াল রিং এক্সপোনেন্সিয়াল রিং ফাইনাইট রিং লাই রিং স্থানীয় রিং নোথেরিয়ান এবং আর্টিনিয়ান রিং অর্ডারড রিং পয়সন রিং রিডিউসড রিং নিয়মিত রিং রিং অফ পিরিয়ড এসবিআই রিং ভ্যালুয়েশন রিং এবং বিচ্ছিন্ন ভ্যালুয়েশন রিং নোটস সাইটেশনস রেফারেন্স [সংশোধিত 5ম মুদ্রণ] সাধারণ রেফারেন্স বিশেষ রেফারেন্স প্রাথমিক উৎস ঐতিহাসিক রেফারেন্স ব্রনশটেন, আই. এন. এবং সেমেন্ডিয়েভ, কে. এ। (2004) হ্যান্ডবুক অফ ম্যাথমেটিক্স, 4র্থ সংস্করণ। নিউ ইয়র্কঃ স্প্রিংগার-ভার্লাগ। ম্যাকটুটার আর্কাইভ ফেইথ-এ রিং তত্ত্বের ইতিহাস, কার্ল (1999) রিংস অ্যান্ড থিংস অ্যান্ড এ ফাইন অ্যারে অফ বিংশ শতাব্দীর সহযোগী বীজগণিত। গাণিতিক জরিপ এবং মনোগ্রাফ, 65। আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি। ইটো, কে. এডিটর (1986) "রিংস"। § 368 ইন এনসাইক্লোপেডিক ডিকশনারি অফ ম্যাথমেটিক্স, 2য় সংস্করণ, খণ্ড। 2. কেমব্রিজ, এমএঃ এমআইটি প্রেস। বীজগাণিতিক কাঠামো বলয় তত্ত্ব