Young symmetrizer
গণিতে, একটি তরুণ প্রতিসাম্য হ 'ল প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর গোষ্ঠী বীজগণিতের একটি উপাদান, যা এমনভাবে নির্মিত হয় যে, গোষ্ঠী বীজগণিত থেকে একটি ভেক্টর স্পেসের এন্ডোমর্ফিজমের জন্য সূচকগুলির ক্রমবিকাশ দ্বারা প্রাপ্ত ক্রিয়া থেকে প্রাপ্ত, সেই উপাদান দ্বারা নির্ধারিত এন্ডোমর্ফিজমের চিত্র জটিল সংখ্যার উপর প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার সাথে মিলে যায়। একটি অনুরূপ নির্মাণ যে কোনও ক্ষেত্রে কাজ করে এবং ফলস্বরূপ উপস্থাপনাগুলিকে স্পেকট মডিউল বলা হয়। তরুণ প্রতিসাম্যকারীর নামকরণ করা হয়েছে ব্রিটিশ গণিতবিদ আলফ্রেড ইয়ং-এর নামে। সংজ্ঞা একটি সসীম প্রতিসম গ্রুপ Sn এবং নির্দিষ্ট ইয়াং ট্যাবলো λ দেওয়া হয়েছে যা n-এর একটি সংখ্যাযুক্ত বিভাজনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, এবং এর বাক্সগুলিকে ক্রমবর্ধমান করে প্রদত্ত ক্রিয়াটি বিবেচনা করুন। দুটি ক্রমবিকাশ উপগোষ্ঠী এবং এস. এন-কে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করুনঃ এবং এই দুটি উপগোষ্ঠীর সাথে সামঞ্জস্য রেখে, গোষ্ঠী বীজগণিতে দুটি ভেক্টরকে সংজ্ঞায়িত করুন এবং যেখানে জি-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ একক ভেক্টর, এবং এটি ক্রমবর্ধনের চিহ্ন। গুণফলটি হল ইয়াং ট্যাবলো λ-এর সাথে সম্পর্কিত ইয়াং সিমিট্রিজার। প্রতিটি তরুণ প্রতিসাম্যকারী প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার সাথে মিলে যায় এবং প্রতিটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা একটি সংশ্লিষ্ট তরুণ প্রতিসাম্যকারী থেকে পাওয়া যেতে পারে। (যদি আমরা জটিল সংখ্যাগুলিকে আরও সাধারণ ক্ষেত্র দ্বারা প্রতিস্থাপন করি তবে সংশ্লিষ্ট উপস্থাপনাগুলি সাধারণভাবে অপরিবর্তনীয় হবে না।) গঠন ধরা যাক V জটিল সংখ্যার উপর যে কোনও ভেক্টর স্থান। তারপর টেনসর প্রোডাক্ট ভেক্টর স্পেস (n বার) বিবেচনা করুন। এস. এন-কে সূচকগুলি ক্রমবর্ধমান করে এই টেনসর প্রোডাক্ট স্পেসে কাজ করতে দিন। তারপর একটির উপর একটি প্রাকৃতিক গোষ্ঠী বীজগণিত উপস্থাপনা রয়েছে (অর্থাৎ। একটি সঠিক মডিউল)। n-এর একটি বিভাজন λ দেওয়া হয়েছে, যাতে, তারপর এর চিত্রটি হল উদাহরণস্বরূপ, যদি, এবং, ক্যানোনিকাল ইয়ং ট্যাবলো সহ। তারপরে সংশ্লিষ্টটি দ্বারা দেওয়া হয় আমাদের যে কোনও পণ্য ভেক্টরের জন্য এইভাবে সমস্ত স্পষ্ট স্প্যানের সেট রয়েছে এবং যেহেতু আমরা স্প্যানটি পাই, যেখানে আমরা অনানুষ্ঠানিকভাবে লিখেছি। এছাড়াও লক্ষ্য করুন কিভাবে এই নির্মাণকে নির্মাণ হিসাবে হ্রাস করা যেতে পারে। ধরা যাক আইডেন্টিটি অপারেটর এবং সোয়াপ অপারেটর দ্বারা সংজ্ঞায়িত, এইভাবে এবং। আমাদের কাছে সেই মানচিত্রগুলি রয়েছে, আরও সুনির্দিষ্টভাবে প্রজেক্টরটি রয়েছে। তারপর যা হল প্রজেক্টর। এর চিত্রটি হল যেখানে μ হল λ-এর সংযুক্ত বিভাজন। এখানে, এবং সিমেট্রিক এবং অল্টারনেটিং টেনসর প্রোডাক্ট স্পেস। ইন-এর চিত্রটি এস. এন-এর একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা, যাকে স্পেকট মডিউল বলা হয়। আমরা অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার জন্য লিখি। এর কিছু স্কেলার মাল্টিপল আইডেম্পোটেন্ট, যা কিছু মূলদ সংখ্যার জন্য, বিশেষত, কেউ খুঁজে পায়। বিশেষত, এটি বোঝায় যে প্রতিসম গোষ্ঠীর উপস্থাপনাগুলি মূলদ সংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে; অর্থাৎ, যৌক্তিক গোষ্ঠী বীজগণিতের উপর। উদাহরণস্বরূপ, এস 3 এবং পার্টিশন (2,1) বিবেচনা করুন। যদি ভি একটি জটিল ভেক্টর স্থান হয়, তবে অন স্পেসের চিত্রগুলি মূলত জিএল (ভি)-এর সমস্ত সীমাবদ্ধ-মাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা সরবরাহ করে। নোটস রেফারেন্স উইলিয়াম ফুলটনের প্রতিসম গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বও দেখুন। উপস্থাপনা তত্ত্ব এবং জ্যামিতির প্রয়োগ সহ তরুণ ট্যাবলো। কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1997। ব্রুস ই. সাগানের 4র্থ বক্তৃতা। সিমেট্রিক গ্রুপ। স্প্রিঙ্গার, 2001। সসীম গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব প্রতিসম ফাংশন বিন্যাস