Mellin inversion theorem
গণিতে, মেলিন বিপরীত সূত্র (জালমার মেলিন-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে) আমাদের এমন অবস্থার কথা বলে যার অধীনে বিপরীত মেলিন রূপান্তর, বা সমতুল্য বিপরীত দ্বিমুখী ল্যাপ্লাস রূপান্তর, সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং রূপান্তরিত ফাংশনটি পুনরুদ্ধার করা হয়। পদ্ধতিটি যদি স্ট্রিপটিতে বিশ্লেষণাত্মক হয়, এবং যদি এটি a এবং b-এর মধ্যে যে কোনও বাস্তব মান c-এর জন্য সমানভাবে শূন্য হতে থাকে, এবং এই ধরনের একটি রেখা বরাবর তার ইন্টিগ্রালটি সম্পূর্ণরূপে রূপান্তরিত হয়, তবে যদি আমাদের কাছে এটি বিপরীতভাবে থাকে, তবে ধরুন ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার উপর পিসওয়াইজ কন্টিনিউয়াস, যে কোনও লাফ বিচ্ছিন্নতায় সীমা মানগুলির মধ্যে অর্ধেক মান গ্রহণ করে, এবং ধরুন যখন ইন্টিগ্রালটি সম্পূর্ণরূপে অভিসারী হয়। তারপর তার মেলিন রূপান্তর থেকে বিপরীত মেলিন রূপান্তরের মাধ্যমে পুনরুদ্ধারযোগ্য। এই ফলাফলগুলি ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের মাধ্যমে মেলিন রূপান্তরকে ফুরিয়ার রূপান্তরের সাথে সম্পর্কিত করে এবং তারপরে ফুরিয়ার বিপরীত উপপাদ্যের একটি উপযুক্ত সংস্করণ প্রয়োগ করে পাওয়া যেতে পারে। বাউন্ডনেস কন্ডিশন ক্রমাগত থাকলে বাউন্ডনেস কন্ডিশন শক্তিশালী করা যেতে পারে। যদি স্ট্রিপটিতে বিশ্লেষণাত্মক হয়, এবং যদি, যেখানে K একটি ধনাত্মক ধ্রুবক হয়, তবে বিপরীত অবিচ্ছেদ্য দ্বারা সংজ্ঞায়িত হিসাবে বিদ্যমান এবং অবিচ্ছিন্ন; উপরন্তু এর মেলিন রূপান্তর কমপক্ষে হয়। অন্যদিকে, যদি আমরা একটি মূল গ্রহণ করতে ইচ্ছুক হই যা একটি সাধারণীকৃত ফাংশন, তবে আমরা সীমাবদ্ধতার শর্তটি শিথিল করতে পারি যাতে এটি খোলা ফিতে থাকা যে কোনও বদ্ধ ফিতে বহুপদী বৃদ্ধির হয়। আমরা এই উপপাদ্যের একটি বানাচ স্পেস সংস্করণও সংজ্ঞায়িত করতে পারি। যদি আমরা ধনাত্মক বাস্তবগুলির উপর জটিল মূল্যবান ফাংশনের ওজনযুক্ত এল. পি স্থান দ্বারা কল করি যে যেখানে ν এবং p স্থির বাস্তব সংখ্যা, তারপর যদি সঙ্গে থাকে, তাহলে এর সাথে এবং এখানে ফাংশনগুলির অন্তর্গত, শূন্য পরিমাপের একটি সেট ব্যতীত সর্বত্র অভিন্ন, চিহ্নিত করা হয়। যেহেতু দ্বিমুখী ল্যাপ্লাস রূপান্তরকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে কারণ এই উপপাদ্যগুলি অবিলম্বে এটিতেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। আরও দেখুন মেলিন ট্রান্সফর্ম নাচবিনের উপপাদ্য রেফারেন্স এক্সটার্নাল লিঙ্ক টেবিলস অফ ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্মস অ্যাট ইক্যুওয়ার্ল্ডঃ দ্য ওয়ার্ল্ড অফ ম্যাথমেটিকাল ইকুয়েশন। ইন্টিগ্রাল জটিল বিশ্লেষণে উপপাদ্যগুলিকে রূপান্তরিত করে ল্যাপ্লাস রূপান্তর