Law of total cumulance
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং গাণিতিক পরিসংখ্যানে, মোট সঞ্চয়ের সূত্র হল মোট সম্ভাবনার সূত্র, মোট প্রত্যাশার সূত্র এবং মোট বৈচিত্র্যের সূত্র। সময় সিরিজের বিশ্লেষণে এর প্রয়োগ রয়েছে। এটি ডেভিড ব্রিলিঞ্জার দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। শুধুমাত্র একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের জন্য নির্দিষ্ট ক্রমের কিউমুলেন্টের পরিবর্তে যৌথ কিউমুলেন্টের জন্য এটি সবচেয়ে সাধারণ আকারে বলা হলে এটি সবচেয়ে স্বচ্ছ হয়। সাধারণভাবে, আমাদের আছে যেখানে κ (X1,., Xn) হল n র্যান্ডম ভেরিয়েবল X1,., Xn-এর জয়েন্ট ক্যুমুলেন্ট, এবং যোগফলটি সূচকগুলির সেট {1,., n}-এর সমস্ত পার্টিশনের উপর থাকে, এবং "B ω;" মানে B পার্টিশনের "ব্লক"-এর পুরো তালিকা দিয়ে যায়, এবং κ (xi: i ωB। Y) র্যান্ডম ভেরিয়েবল Y-এর মান দেওয়া একটি শর্তাধীন ক্যুমুলেন্ট। অতএব এটি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল-র্যান্ডম ভেরিয়েবল Y-এর একটি ফাংশন। উদাহরণস্বরূপ, শুধুমাত্র একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং n = 2 বা 3-এর বিশেষ ক্ষেত্রে শুধুমাত্র n = 2 বা 3-এর ক্ষেত্রে nতম ক্যুমুলেন্টটি nতম কেন্দ্রীয় মুহুর্তের সমান। n = 2 কেসটি সুপরিচিত (মোট বৈচিত্র্যের আইন দেখুন)। নিচে কেস n = 3 দেওয়া হল। মাইক্রো শব্দের অর্থ হল তৃতীয় কেন্দ্রীয় মুহূর্ত। সাধারণ 4র্থ ক্রমের জয়েন্ট কিউমুলেন্ট সাধারণ 4র্থ ক্রমের কিউমুলেন্টের জন্য, নিয়মটি 15টি শব্দের সমষ্টি দেয়, নিম্নরূপঃ যৌগিক পয়সন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের কিউমুলেন্ট ধরুন Y-এর প্রত্যাশিত মান λ সহ একটি পয়সন বন্টন রয়েছে, এবং X হল W-এর Y অনুলিপিগুলির সমষ্টি যা একে অপরের এবং Y-এর থেকে স্বাধীন। পয়সন বণ্টনের সমস্ত সঞ্চয়ী একে অপরের সমান, এবং তাই এই ক্ষেত্রে λ এর সমান। এছাড়াও মনে রাখবেন যে যদি র্যান্ডম ভেরিয়েবল W1,., Wm স্বাধীন হয়, তবে nth কিউমুলেন্ট যোগাত্মকঃ আমরা X এর 4th কিউমুলেন্ট খুঁজে পাব। আমাদের আছেঃ আমরা পার্টিশনের সমস্ত ব্লকের উপর পণ্যের সেট {1,2,3,4}-এর সমস্ত পার্টিশনের উপর, ব্লকের আকারের সমান ক্রমের W-এর ক্যুমুলেন্টের যোগফল হিসাবে শেষ যোগফলটি স্বীকার করি। এটি ঠিক ডাব্লু-এর 4র্থ কাঁচা মুহূর্ত (এই সত্যটির আরও অবসর আলোচনার জন্য ক্যুমুলেন্ট দেখুন)। অতএব, X-এর সমষ্টিসমূহ হল W-এর λ দ্বারা গুণিত মুহূর্ত। এইভাবে আমরা দেখতে পাই যে প্রতিটি মুহুর্তের ক্রমও একটি ক্রমবর্ধমান ক্রম (বিপরীতটি সত্য হতে পারে না, যেহেতু জোড় ক্রম 4-এর ক্রমবর্ধমান কিছু ক্ষেত্রে ঋণাত্মক হয়, এবং স্বাভাবিক বণ্টনের ক্রমবর্ধমান ক্রম কোনও সম্ভাব্যতা বণ্টনের একটি ক্রম নয়)। একটি বার্নৌলি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের উপর শর্ত আরোপ করা হচ্ছে, ধরুন, সম্ভাব্যতা p সহ Y = 1 এবং সম্ভাব্যতা q = 1-p সহ Y = 0। ধরুন, X-এর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা বন্টন হল F, যদি Y = 1 হয় এবং G, যদি Y = 0 হয়। তারপর আমাদের আছে যেখানে মানে সেটের একটি পার্টিশন {1,., n} যা সবচেয়ে মোটা পার্টিশনের চেয়ে সূক্ষ্ম-যোগফলটি সেই একটি ছাড়া সমস্ত পার্টিশনের উপরে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যদি n = 3 হয়, তাহলে আমাদের কাছে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের রেফারেন্স বীজগণিত রয়েছে সম্ভাব্যতা বিতরণ তত্ত্ব পরিসংখ্যানগত নিয়মে উপপাদ্য