Unimodality
গণিতে, একত্ববাদ মানে একটি অনন্য পদ্ধতির অধিকারী হওয়া। আরও সাধারণভাবে, এককত্ব মানে কোনও গাণিতিক বস্তুর কেবল একটি একক সর্বোচ্চ মান রয়েছে, যা কোনওভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ইউনিমোডাল সম্ভাব্যতা বন্টন পরিসংখ্যানে, একটি ইউনিমোডাল সম্ভাব্যতা বন্টন বা ইউনিমোডাল বন্টন হল একটি সম্ভাব্যতা বন্টন যার একটি একক শিখর রয়েছে। এই প্রসঙ্গে "মোড" শব্দটি বিতরণের যে কোনও শিখরকে বোঝায়, শুধুমাত্র মোডের কঠোর সংজ্ঞাকে নয় যা পরিসংখ্যানে স্বাভাবিক। যদি একটি একক পদ্ধতি থাকে, তবে বিতরণ ফাংশনটিকে "ইউনিমোডাল" বলা হয়। যদি এটির আরও মোড থাকে তবে এটি "বাইমোডাল" (2), "ট্রাইমোডাল" (3), ইত্যাদি, বা সাধারণভাবে, "মাল্টিমোডাল"। চিত্র 1 স্বাভাবিক বণ্টনের চিত্র তুলে ধরেছে, যা অভিন্ন। ইউনিমোডাল ডিস্ট্রিবিউশনের অন্যান্য উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে কচি ডিস্ট্রিবিউশন, স্টুডেন্টস টি-ডিস্ট্রিবিউশন, চি-স্কোয়ার্ড ডিস্ট্রিবিউশন এবং এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন। বিচ্ছিন্ন বণ্টনের মধ্যে, দ্বিপদী বন্টন এবং পয়সন বন্টনকে একক হিসাবে দেখা যেতে পারে, যদিও কিছু পরামিতিগুলির জন্য তাদের একই সম্ভাব্যতা সহ দুটি সংলগ্ন মান থাকতে পারে। চিত্র 2 এবং চিত্র 3 বাইমোডাল ডিস্ট্রিবিউশন চিত্রিত করে। অন্যান্য সংজ্ঞা ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনে ইউনিমোডালিটির অন্যান্য সংজ্ঞাও বিদ্যমান। অবিচ্ছিন্ন বিতরণে, ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের (সিডিএফ) আচরণের মাধ্যমে একত্বকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যদি সিডিএফ x <m এর জন্য উত্তল এবং x> m এর জন্য অবতল হয়, তবে বন্টনটি একক, m হল মোড। লক্ষ্য করুন যে এই সংজ্ঞার অধীনে অভিন্ন বন্টনটি একক, সেইসাথে অন্য যে কোনও বন্টন যেখানে মানগুলির একটি পরিসরের জন্য সর্বাধিক বন্টন অর্জন করা হয়, যেমন। ট্র্যাপিজয়েডাল বিতরণ। সাধারণত এই সংজ্ঞাটি মোডে একটি বিচ্ছিন্নতার অনুমতি দেয়; সাধারণত একটি অবিচ্ছিন্ন বিতরণে যে কোনও একক মানের সম্ভাবনা শূন্য হয়, যেখানে এই সংজ্ঞাটি মোডে একটি অ-শূন্য সম্ভাব্যতা বা "সম্ভাবনার পরমাণু"-র অনুমতি দেয়। এককত্বের মানদণ্ড বিতরণের চরিত্রগত ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে বা এর ল্যাপ্লাস-স্টিল্টজেস রূপান্তরের মাধ্যমেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একটি একক বিচ্ছিন্ন বণ্টনকে সংজ্ঞায়িত করার আরেকটি উপায় হল সম্ভাবনার পার্থক্যের ক্রমে চিহ্ন পরিবর্তনের ঘটনা। একটি সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন সহ একটি বিচ্ছিন্ন বিতরণকে একক বলা হয় যদি অনুক্রমের ঠিক একটি চিহ্ন পরিবর্তন হয় (যখন শূন্য গণনা করা হয় না)। ব্যবহার এবং ফলাফল বণ্টনের অভিন্নতার গুরুত্বের একটি কারণ হল এটি বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফলের অনুমতি দেয়। নীচে বেশ কয়েকটি অসমতা দেওয়া হয়েছে যা শুধুমাত্র একক বণ্টনগুলির জন্য বৈধ। সুতরাং, একটি প্রদত্ত ডেটা সেট একটি একক বিতরণ থেকে আসে কিনা তা মূল্যায়ন করা গুরুত্বপূর্ণ। মাল্টিমোডাল ডিস্ট্রিবিউশন সম্পর্কিত নিবন্ধে একতার জন্য বেশ কয়েকটি পরীক্ষা দেওয়া হয়েছে। অসমতা গাউসের অসমতা প্রথম গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল হল গাউসের অসমতা। গাউসের অসমতা একটি মান তার মোড থেকে যে কোনও প্রদত্ত দূরত্বের চেয়ে বেশি থাকার সম্ভাবনার উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা দেয়। এই বৈষম্য একতার উপর নির্ভর করে। ভিসোচানস্কি-পেটুনিন বৈষম্য দ্বিতীয়টি হল ভিসোচানস্কি-পেটুনিন বৈষম্য, যা চেবিশেভ বৈষম্যের একটি পরিমার্জন। চেবিশেভ বৈষম্য নিশ্চিত করে যে যে কোনও সম্ভাব্যতা বণ্টনে, "প্রায় সমস্ত" মানগুলি গড় মানের "কাছাকাছি"। ভিসোচানস্কি-পেটুনিন বৈষম্য এটিকে আরও নিকটবর্তী মানগুলিতে পরিমার্জন করে, তবে শর্ত থাকে যে বিতরণ ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন এবং অভিন্ন। সেলকে এবং সেলকে আরও ফলাফল দেখিয়েছেন। মোড, মিডিয়ান এবং মিন গাউস 1823 সালে দেখিয়েছিলেন যে একটি ইউনিমোডাল ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য এবং যেখানে মিডিয়ান হল ν, গড় হল μ এবং ω হল মোড থেকে মূল গড় বর্গ বিচ্যুতি। এটি একটি একক বন্টনের জন্য দেখানো যেতে পারে যে মধ্যমা ν এবং গড় μ একে অপরের (3/5) 1/2 ≈ 0.7746 আদর্শ বিচ্যুতির মধ্যে রয়েছে। প্রতীকে, যেখানে।। । হল পরম মান। 2020 সালে, বার্নার্ড, কাজ্জি এবং ভ্যান্ডাফেল প্রতিসম পরিমাণ গড় এবং গড়ের মধ্যে সর্বাধিক দূরত্ব অর্জন করে পূর্ববর্তী বৈষম্যকে সাধারণীকরণ করেছিলেন, এটি লক্ষণীয় যে সর্বাধিক দূরত্বটি হ্রাস করা হয় (অর্থাৎ, যখন প্রতিসম পরিমাণ গড় সমান হয়), যা প্রকৃতপক্ষে গড়ের জন্য একটি শক্তিশালী প্রাক্কলনকারী হিসাবে মধ্যমাটির সাধারণ পছন্দকে অনুপ্রাণিত করে। উপরন্তু, যখন, সীমা সমান হয়, যা একটি একক বন্টনের মধ্যমা এবং গড়ের মধ্যে সর্বাধিক দূরত্ব। মধ্যমা এবং মোড θ-এর মধ্যে একটি অনুরূপ সম্পর্ক রয়েছেঃ তারা একে অপরের 31/2 ≈ 1.732 মানক বিচ্যুতির মধ্যে রয়েছেঃ এটিও দেখানো যেতে পারে যে গড় এবং মোড একে অপরের 31/2 এর মধ্যে রয়েছেঃ তির্যকতা এবং কুর্টোসিস রোহতগি এবং সজেকলি দাবি করেছেন যে একটি একক বণ্টনের তির্যকতা এবং কুর্টোসিস বৈষম্য দ্বারা সম্পর্কিতঃ যেখানে κ হল কুর্টোসিস এবং γ হল তির্যকতা। ক্লাসেন, মোকভেল্ড এবং ভ্যান এস দেখিয়েছেন যে এটি শুধুমাত্র নির্দিষ্ট সেটিংসে প্রযোজ্য, যেমন ইউনিমোডাল ডিস্ট্রিবিউশনের সেট যেখানে মোড এবং মিন মিলে যায়। তারা একটি দুর্বল অসমতা অর্জন করেছে যা সমস্ত একক বন্টনের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হয়ঃ এই সীমাটি তীক্ষ্ণ, কারণ এটি [0,1]-এ অভিন্ন বন্টনের সমান-ওজনের মিশ্রণ এবং {0}-এ বিচ্ছিন্ন বন্টনের দ্বারা পৌঁছায়। ইউনিমোডাল ফাংশন যেহেতু "মডেল" শব্দটি ডেটা সেট এবং সম্ভাব্যতা বিতরণের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, এবং সাধারণভাবে ফাংশনের ক্ষেত্রে নয়, তাই উপরের সংজ্ঞাগুলি প্রযোজ্য নয়। "ইউনিমোডাল"-এর সংজ্ঞা বাস্তব সংখ্যার ফাংশনেও প্রসারিত করা হয়েছিল। একটি সাধারণ সংজ্ঞা নিম্নরূপঃ একটি ফাংশন f (x) একটি একক ফাংশন যদি কোনও মান m এর জন্য, এটি x ≤ m এর জন্য একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায় এবং x ≤ m এর জন্য একঘেয়েভাবে হ্রাস পায়। সেক্ষেত্রে, f (x) এর সর্বোচ্চ মান হল f (m) এবং অন্য কোনও স্থানীয় ম্যাক্সিমা নেই। অসামঞ্জস্যতা প্রমাণ করা প্রায়শই কঠিন। একটি উপায় হল সেই সম্পত্তির সংজ্ঞা ব্যবহার করা, তবে এটি শুধুমাত্র সহজ ক্রিয়াকলাপের জন্য উপযুক্ত বলে প্রমাণিত হয়। ডেরিভেটিভের উপর ভিত্তি করে একটি সাধারণ পদ্ধতি বিদ্যমান, তবে এর সরলতা সত্ত্বেও এটি প্রতিটি ফাংশনের জন্য সফল হয় না। একক ফাংশনের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে ঋণাত্মক দ্বিঘাত সহগ সহ দ্বিঘাত বহুপদী ফাংশন, তাঁবু মানচিত্র ফাংশন এবং আরও অনেক কিছু। উপরেরটি কখনও কখনও এই সত্যের সাথে সম্পর্কিত যে একঘেয়েমি বোঝানো হয় শক্তিশালী একঘেয়েমি। একটি ফাংশন f (x) একটি দুর্বলভাবে একক ফাংশন যদি একটি মান m বিদ্যমান থাকে যার জন্য এটি x ≤ m এর জন্য দুর্বলভাবে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে এবং x ≤ m এর জন্য দুর্বলভাবে একঘেয়েভাবে হ্রাস পাচ্ছে। সেক্ষেত্রে, x এর মানগুলির একটি অবিচ্ছিন্ন পরিসরের জন্য সর্বাধিক মান f (m) পৌঁছানো যেতে পারে। দুর্বলভাবে একমুখী ফাংশনের একটি উদাহরণ যা দৃঢ়ভাবে একমুখী নয় তা হল প্যাসকেলের ত্রিভুজের প্রতিটি অন্যান্য সারি। প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে, একক ফাংশন এমন একটি ফাংশনকেও বোঝাতে পারে যার সর্বাধিকের পরিবর্তে শুধুমাত্র একটি স্থানীয় ন্যূনতম থাকে। উদাহরণস্বরূপ, স্থানীয় একক নমুনা সংগ্রহ, সংখ্যাসূচক অপ্টিমাইজেশন করার একটি পদ্ধতি, প্রায়শই এই ধরনের একটি ফাংশন দিয়ে প্রদর্শিত হয়। এটি বলা যেতে পারে যে এই এক্সটেনশনের অধীনে একটি ইউনিমোডাল ফাংশন একটি একক স্থানীয় এক্সট্রিমাম সহ একটি ফাংশন। ইউনিমোডাল ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল যে গোল্ডেন সেকশন সার্চ, টার্নারি সার্চ বা ধারাবাহিক প্যারাবলিক ইন্টারপোলেশনের মতো সার্চ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এক্সট্রিমাম খুঁজে পাওয়া যায়। অন্যান্য এক্সটেনশন একটি ফাংশন f (x) হল "S-ইউনিমোডাল" (প্রায়শই "S-ইউনিমোডাল ম্যাপ" হিসাবে উল্লেখ করা হয়) যদি এর শোয়ার্জিয়ান ডেরিভেটিভ সকলের জন্য ঋণাত্মক হয়, তবে সমালোচনামূলক বিন্দুটি কোথায়। গণনামূলক জ্যামিতিতে যদি কোনও ফাংশন একক হয় তবে এটি ফাংশনের চূড়ান্ততা খুঁজে বের করার জন্য দক্ষ অ্যালগরিদমের নকশার অনুমতি দেয়। একটি ভেক্টর ভেরিয়েবল X-এর f (X) ফাংশনের ক্ষেত্রে আরও সাধারণ সংজ্ঞাটি প্রযোজ্য যে, যদি এক-থেকে-এক ডিফারেনশিয়েবল ম্যাপিং X = G (Z) থাকে যাতে f (G (Z)) উত্তল হয়, তাহলে f একক। সাধারণত কেউ চাইবেন যে জি (জেড) ননসিঙ্গুলার জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সের সাথে অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল হোক। কোয়াসিকোভেক্স ফাংশন এবং কোয়াসিকোকেভ ফাংশনগুলি ইউনিমোডালিটির ধারণাকে এমন ফাংশনগুলিতে প্রসারিত করে যার আর্গুমেন্টগুলি উচ্চ-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্পেসের অন্তর্গত। আরও দেখুন বাইমোডাল ডিস্ট্রিবিউশন রেফারেন্স ফাংশন এবং ম্যাপিং গাণিতিক সম্পর্ক সম্ভাব্যতা বিতরণের তত্ত্ব