Taylor's theorem
ক্যালকুলাসে, টেলরের উপপাদ্য একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর চারপাশে একটি-গুণ ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের একটি আনুমানিক মাত্রা দেয়, যা-তম-ক্রমের টেলর বহুপদী নামে পরিচিত। একটি মসৃণ ফাংশনের জন্য, টেলর পলিনোমিয়াল হল ফাংশনের টেলর সিরিজের ক্রমানুসারে ছাঁটাই। প্রথম-ক্রমের টেলর বহুপদী হল ফাংশনের রৈখিক আনুমানিক মান এবং দ্বিতীয়-ক্রমের টেলর বহুপদীকে প্রায়শই দ্বিঘাত আনুমানিক মান হিসাবে উল্লেখ করা হয়। টেলরের উপপাদ্যের বেশ কয়েকটি সংস্করণ রয়েছে, কেউ কেউ এর টেলর বহুপদী দ্বারা ফাংশনের আনুমানিক ত্রুটির স্পষ্ট অনুমান দেয়। টেলরের উপপাদ্যটি গণিতবিদ ব্রুক টেলরের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি 1715 সালে এর একটি সংস্করণ উল্লেখ করেছিলেন, যদিও ফলাফলের একটি পূর্ববর্তী সংস্করণ ইতিমধ্যে 1671 সালে জেমস গ্রেগরি দ্বারা উল্লেখ করা হয়েছিল। টেলরের উপপাদ্যটি প্রারম্ভিক স্তরের ক্যালকুলাস কোর্সে শেখানো হয় এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের কেন্দ্রীয় প্রাথমিক সরঞ্জামগুলির মধ্যে একটি। এটি এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন এবং ত্রিকোণমিতি ফাংশনের মতো অনেক অতীন্দ্রিয় ফাংশনের মান সঠিকভাবে গণনা করার জন্য সহজ গাণিতিক সূত্র দেয়। এটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন অধ্যয়নের সূচনা বিন্দু, এবং গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে, পাশাপাশি সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ এবং গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে মৌলিক। টেলরের উপপাদ্যটি মাল্টিভ্যারিয়েট এবং ভেক্টর মূল্যবান ফাংশনগুলিকেও সাধারণীকরণ করে। অনুপ্রেরণা যদি একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন বিন্দুতে ডিফারেনশিয়েবল হয়, তবে এই বিন্দুর কাছাকাছি এটির একটি রৈখিক অনুমান রয়েছে। এর মানে হল যে একটি ফাংশন h1 (x) বিদ্যমান যে এখানে a বিন্দুর কাছাকাছি x-এর রৈখিক অনুমান, যার গ্রাফটি গ্রাফের স্পর্শক রেখা। আনুমানিকতার ত্রুটিটি হ 'লঃ যেহেতু x a-এর দিকে ঝুঁকে থাকে, এই ত্রুটিটি অনেক দ্রুত শূন্যে চলে যায়, যা একটি দরকারী অনুমান তৈরি করে। এর আরও ভাল অনুমানের জন্য, আমরা একটি রৈখিক ফাংশনের পরিবর্তে একটি দ্বিঘাত বহুপদী যুক্ত করতে পারিঃ এট-এর একটি অন্তরজ মিলানোর পরিবর্তে, এই বহুপদের একই প্রথম এবং দ্বিতীয় অন্তরজ রয়েছে, যা পৃথকীকরণের উপর স্পষ্ট হয়। টেলরের উপপাদ্যটি নিশ্চিত করে যে চতুর্ভুজ আনুমানিক, যথেষ্ট ছোট পাড়ায়, রৈখিক আনুমানিকের চেয়ে বেশি নির্ভুল। বিশেষত, এখানে অনুমানের ত্রুটিটি হল যা, এর সীমাবদ্ধ আচরণের পরিপ্রেক্ষিতে, x-এর a-এর প্রবণতার তুলনায় দ্রুত শূন্যে যায়। একইভাবে, আমরা যদি উচ্চতর মাত্রার পলিনোমিয়াল ব্যবহার করি তবে আমরা f-এর আরও ভাল অনুমান পেতে পারি, তারপর থেকে আমরা নির্বাচিত বেস পয়েন্টে f-এর সাথে আরও বেশি ডেরিভেটিভের মিল করতে পারি। সাধারণভাবে, ডিগ্রি k-এর একটি বহুপদী দ্বারা একটি ফাংশনকে আনুমানিক করার ত্রুটি x-এর a-এর তুলনায় অনেক দ্রুত শূন্যে চলে যাবে। যাইহোক, এমন কিছু ফাংশন রয়েছে, এমনকি অসীমভাবে পৃথকীকরণযোগ্যও, যার জন্য আনুমানিক বহুপদের মাত্রা বৃদ্ধি করা আনুমানিকতার নির্ভুলতা বৃদ্ধি করে নাঃ আমরা বলি যে এই ধরনের একটি ফাংশন x = a-তে বিশ্লেষণাত্মক হতে ব্যর্থ হয়ঃ এটি (স্থানীয়ভাবে) এই মুহুর্তে তার অন্তরজ দ্বারা নির্ধারিত হয় না। টেলরের উপপাদ্যটি অ্যাসিম্পটোটিক প্রকৃতিরঃ এটি কেবল আমাদের বলে যে a-th অর্ডার টেলর পলিনোমিয়াল Pk দ্বারা আনুমানিক ত্রুটির প্রবণতা যে কোনও নন-জিরো-th ডিগ্রি পলিনোমিয়ালের তুলনায় দ্রুত শূন্য হয়। এটি আমাদের বলে না যে সম্প্রসারণ কেন্দ্রের কোনও সুনির্দিষ্ট পাড়ায় ত্রুটিটি কতটা বড়, তবে এই উদ্দেশ্যে অবশিষ্ট পদের (নীচে দেওয়া) জন্য স্পষ্ট সূত্র রয়েছে যা f-এর উপর কিছু অতিরিক্ত নিয়মিত অনুমানের অধীনে বৈধ। টেলরের উপপাদ্যের এই বর্ধিত সংস্করণগুলি সাধারণত সম্প্রসারণ কেন্দ্রের একটি ছোট পাড়ায় আনুমানিক ত্রুটির জন্য অভিন্ন অনুমানের দিকে পরিচালিত করে, তবে অনুমানগুলি খুব বড় পাড়াগুলির জন্য অগত্যা ধারণ করে না, এমনকি যদি f ফাংশনটি বিশ্লেষণাত্মক হয়। সেই পরিস্থিতিতে মূল ফাংশনের নির্ভরযোগ্য টেলর-অ্যাপ্রক্সিমেশন পেতে বিভিন্ন সম্প্রসারণ কেন্দ্র সহ বেশ কয়েকটি টেলর বহুপদ নির্বাচন করতে হতে পারে (ডানদিকে অ্যানিমেশন দেখুন।) অবশিষ্ট পদটি আমরা বিভিন্ন উপায়ে ব্যবহার করতে পারিঃ একটি প্রদত্ত ব্যবধানের (a-r, a + r) উপর অনুমান করে k মাত্রার একটি বহুপদী Pk (x)-এর জন্য ত্রুটি অনুমান করুন। (ব্যবধান এবং মাত্রার পরিপ্রেক্ষিতে, আমরা ত্রুটি খুঁজে পাই।) প্রদত্ত ব্যবধান (a − r, a + r)-এ প্রদত্ত ত্রুটি সহনশীলতার মধ্যে বহুপদী Pk (x)-এর আনুমানিক সর্বনিম্ন ডিগ্রি k খুঁজে বের করুন। (ব্যবধান এবং ত্রুটি সহনশীলতার পরিপ্রেক্ষিতে, আমরা মাত্রাটি খুঁজে পাই।) প্রদত্ত ত্রুটি সহনশীলতার মধ্যে সবচেয়ে বড় ব্যবধান (a − r, a + r) খুঁজে বের করুন যার উপর Pk (x) আনুমানিক। (মাত্রা এবং ত্রুটি সহনশীলতার পরিপ্রেক্ষিতে, আমরা ব্যবধানটি খুঁজে পাই।) একটি বাস্তব পরিবর্তনশীল তত্ত্বে টেলরের উপপাদ্য টেলরের উপপাদ্যের সবচেয়ে মৌলিক সংস্করণের সুনির্দিষ্ট বিবৃতিটি নিম্নরূপঃ টেলরের উপপাদ্যতে উপস্থিত বহুপদীটি হল a বিন্দুতে f ফাংশনের-তম ক্রমের টেলর বহুপদী। টেলর পলিনোমিয়াল হল অনন্য "অ্যাসিম্পটোটিক বেস্ট ফিট" পলিনোমিয়াল এই অর্থে যে যদি একটি ফাংশন এবং a-th অর্ডার পলিনোমিয়াল p থাকে যাতে p = Pk হয়। টেলরের উপপাদ্য অবশিষ্ট পদের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ বর্ণনা করে যা তার টেলর বহুপদের সাথে আনুমানিক f অনুমান করার সময় আনুমানিক ত্রুটি। সামান্য-ও স্বরলিপি ব্যবহার করে, টেলরের উপপাদ্যের বিবৃতিটি অবশিষ্টাংশের জন্য সুস্পষ্ট সূত্র হিসাবে পড়ে f-এর উপর শক্তিশালী নিয়মিততার অনুমানের অধীনে টেলর বহুপদীর অবশিষ্ট পদ Rk-এর জন্য বেশ কয়েকটি সুনির্দিষ্ট সূত্র রয়েছে, যার মধ্যে সবচেয়ে সাধারণ হল নিম্নলিখিতগুলি। টেলরের উপপাদ্যের এই সংশোধনগুলি সাধারণত গড় মান উপপাদ্য ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়, যেখান থেকে নামটি এসেছে। উপরন্তু, লক্ষ্য করুন যে এটি সঠিকভাবে গড় মান উপপাদ্য যখন। এছাড়াও অন্যান্য অনুরূপ অভিব্যক্তি পাওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি G (t) বদ্ধ ব্যবধানের উপর অবিচ্ছিন্ন হয় এবং এবং এর মধ্যে খোলা ব্যবধানের উপর একটি অ-বিলুপ্ত ডেরিভেটিভের সাথে ডিফারেনশিয়েবল হয়, তবে এবং এর মধ্যে কিছু সংখ্যার জন্য। এই সংস্করণটি অবশিষ্টাংশের ল্যাগ্রাঞ্জ এবং কাউচি রূপগুলিকে বিশেষ ক্ষেত্রে অন্তর্ভুক্ত করে এবং কাউচির গড় মান উপপাদ্য ব্যবহার করে নীচে প্রমাণিত হয়। ল্যাগ্রাঞ্জ ফর্মটি নেওয়ার মাধ্যমে প্রাপ্ত হয় এবং কচি ফর্মটি নেওয়ার মাধ্যমে প্রাপ্ত হয়। অবশিষ্টাংশের অবিচ্ছেদ্য রূপের বিবৃতিটি পূর্ববর্তীগুলির তুলনায় আরও উন্নত, এবং সম্পূর্ণ সাধারণতার জন্য লেবস্গু ইন্টিগ্রেশন তত্ত্বের বোঝার প্রয়োজন। যাইহোক, এটি রিমান ইন্টিগ্রালের অর্থেও ধারণ করে যদি f-এর (k + 1) তম ডেরিভেটিভটি বন্ধ ব্যবধান [a, x]-এ অবিচ্ছিন্ন থাকে। এবং-এর মধ্যে বদ্ধ বিরতিতে f-এর পরম ধারাবাহিকতার কারণে, এর অন্তরজ f একটি L-ফাংশন হিসাবে বিদ্যমান, এবং ফলাফলটি ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য এবং অংশ দ্বারা একীকরণ ব্যবহার করে একটি আনুষ্ঠানিক গণনা দ্বারা প্রমাণিত হতে পারে। অবশিষ্টাংশের জন্য অনুমান এটি প্রায়শই একটি সঠিক সূত্র থাকার পরিবর্তে টেলর আনুমানিকতায় উপস্থিত অবশিষ্ট পদটি অনুমান করতে সক্ষম হওয়া অনুশীলনে কার্যকর। ধরুন, a ধারণকারী I ব্যবধানের মধ্যে f হল-বার অবিচ্ছিন্নভাবে অবকলনযোগ্য। ধরুন, q এবং Q-এর বাস্তব ধ্রুবক এমন যে, I জুড়ে। তারপর অবশিষ্ট পদটি বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে যদি, এবং একটি অনুরূপ অনুমান যদি। এটি অবশিষ্টাংশের ল্যাগ্রাঞ্জ রূপের একটি সহজ পরিণতি। দ্বিতীয় অসমতাটিকে একটি অভিন্ন অনুমান বলা হয়, কারণ এটি ব্যবধানের সমস্ত x-এর জন্য সমানভাবে থাকে উদাহরণস্বরূপ মনে করুন যে আমরা ব্যবধানের উপর ফাংশনের আনুমানিক মান খুঁজে পেতে চাই এবং নিশ্চিত করতে চাই যে আনুমানিক ত্রুটির পরিমাণ 10−5-এর বেশি নয়। এই উদাহরণে আমরা ভান করি যে আমরা কেবল সূচকীয় ফাংশনের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি জানিঃ এই বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে এটি সকলের জন্য এবং বিশেষত, অনুসরণ করে। সুতরাং এট-এর-তম ক্রমের টেলর বহুপদী এবং ল্যাগ্রাঞ্জ আকারে এর অবশিষ্ট পদটি 0 এবং x এর মধ্যে কিছু সংখ্যা দ্বারা দেওয়া হয়। যেহেতু এক্স () দ্বারা বৃদ্ধি পাচ্ছে, তাই আমরা কেবল সাব-ইন্টারভ্যালে অবশিষ্টাংশ অনুমান করতে ব্যবহার করতে পারি। অবশিষ্টাংশের জন্য একটি উচ্চ সীমা পেতে, আমরা দ্বিতীয় ক্রম টেলর সম্প্রসারণ ব্যবহার করে অনুমান করার জন্য সম্পত্তিটি ব্যবহার করি। তারপরে আমরা এক্স-এর জন্য সমাধান করি যে এটি কেবলমাত্র সংখ্যাসূচককে সর্বাধিক করে এবং হরকে ন্যূনতম করে। এক্স-এর জন্য এই অনুমানগুলি একত্রিত করে আমরা দেখতে পাই যে তাই প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা অবশ্যই পৌঁছেছে, যখন (ফ্যাক্টোরিয়াল দেখুন বা মানগুলি হাতে গণনা করুন এবং)। উপসংহার হিসাবে, টেলরের উপপাদ্যটি আনুমানিকতার দিকে নিয়ে যায় উদাহরণস্বরূপ, এই আনুমানিক একটি দশমিক অভিব্যক্তি প্রদান করে, যা পাঁচটি দশমিক স্থান পর্যন্ত সঠিক। বিশ্লেষণের সাথে সম্পর্ক বাস্তব বিশ্লেষণমূলক ফাংশনের টেলর সম্প্রসারণ একটি উন্মুক্ত ব্যবধান হতে দিন। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি ফাংশন f: I → R বাস্তব বিশ্লেষণাত্মক হয় যদি এটি স্থানীয়ভাবে একটি অভিসারী শক্তি সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এর মানে হল যে প্রতিটি a ω I-এর জন্য কিছু r> 0 এবং সহগগুলির একটি ক্রম বিদ্যমান যেমন এবং সাধারণভাবে, একটি শক্তি সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধ কচি-হ্যাডামার্ড সূত্র থেকে গণনা করা যেতে পারে এই ফলাফলটি একটি জ্যামিতিক সিরিজের সাথে তুলনার উপর ভিত্তি করে, এবং একই পদ্ধতি দেখায় যে যদি কোনও b ω R-এর জন্য একটি শক্তির সিরিজের উপর ভিত্তি করে, তবে এটি অবশ্যই বন্ধ ব্যবধানের উপর অভিন্নভাবে একত্রিত হতে হবে, যেখানে। এখানে শুধুমাত্র পাওয়ার সিরিজের অভিসরণ বিবেচনা করা হয়, এবং এটি হতে পারে যে f-এর ডোমেন I-এর বাইরে প্রসারিত। a-তে প্রকৃত বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন f-এর টেলর বহুপদগুলি কেবল তার স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত পাওয়ার সিরিজের সীমাবদ্ধ ছাঁটাই, এবং সংশ্লিষ্ট অবশিষ্ট পদগুলি স্থানীয়ভাবে বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়। এখানে ফাংশনগুলিও বিশ্লেষণাত্মক, কারণ তাদের সংজ্ঞায়িত পাওয়ার সিরিজের মূল সিরিজের মতো অভিসারের ব্যাসার্ধ রয়েছে। ধরে নেওয়া যাক যে, আই এবং আর <আর, এই সমস্ত সিরিজ সমানভাবে একত্রিত হয়। স্বাভাবিকভাবেই, বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের ক্ষেত্রে সম্প্রসারণের কেন্দ্রে f′ (a) ব্যুৎপত্তিগুলির অনুক্রমের লেজ দ্বারা অবশিষ্ট পদটি অনুমান করা যেতে পারে, তবে জটিল বিশ্লেষণ ব্যবহার করেও আরেকটি সম্ভাবনা দেখা দেয়, যা নীচে বর্ণনা করা হয়েছে। টেইলরের উপপাদ্য এবং টেইলর সিরিজের অভিসরণ f-এর টেইলর সিরিজ কিছু ব্যবধানের মধ্যে একত্রিত হবে যেখানে এর সমস্ত ডেরিভেটিভ আবদ্ধ থাকে এবং k অনন্তের দিকে যাওয়ার সাথে সাথে খুব দ্রুত বৃদ্ধি পায় না। (যাইহোক, টেলর সিরিজ একত্রিত হলেও, এটি f তে একত্রিত নাও হতে পারে, যেমন নীচে ব্যাখ্যা করা হয়েছে; f কে তখন অ-বিশ্লেষণাত্মক বলা হয়।) একটি অসীম বহুগুণ ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন f: R → R-এর টেলর সিরিজকে a-তে তার "অসীম ক্রম টেলর পলিনোমিয়াল" হিসাবে মনে করা যেতে পারে। এখন অবশিষ্টাংশের জন্য অনুমানগুলি বোঝায় যে, যদি কোনও r-এর জন্য, f-এর ডেরিভেটিভগুলি (a − r, a + r)-এর উপর আবদ্ধ বলে জানা যায়, তবে যে কোনও ক্রম k-এর জন্য এবং যে কোনও r> 0-এর জন্য এমন একটি ধ্রুবক বিদ্যমান যে প্রতিটি x ω (a − r, a + r)-এর জন্য। কখনও কখনও স্থিরাংকগুলি এমনভাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে যা স্থির r এবং সমস্ত k-এর জন্য উপরে আবদ্ধ থাকে। তারপর f-এর টেলর সিরিজটি কোনও বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনে অভিন্নভাবে একত্রিত হয় (যতক্ষণ না এটি ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায় ততক্ষণ উপরে আবদ্ধ না হলেও একটি অভিসরণ পায়।) সংজ্ঞা অনুসারে সীমা ফাংশনটি সর্বদা বিশ্লেষণাত্মক, তবে এটি অপরিহার্যভাবে মূল ফাংশন f-এর সমান নয়, এমনকি যদি f অসীমভাবে ডিফারেনশিয়েবল হয়। এই ক্ষেত্রে, আমরা বলি যে f একটি অ-বিশ্লেষণাত্মক মসৃণ ফাংশন, উদাহরণস্বরূপ একটি সমতল ফাংশনঃ গাণিতিক আবেশ দ্বারা চেইন নিয়মটি বারবার ব্যবহার করে, একটি দেখায় যে কোনও ক্রম k-এর জন্য, ডিগ্রি 2 (k−1)-এর কিছু বহুপদী pk-এর জন্য। ফাংশনটি যে কোনও বহুপদীর তুলনায় দ্রুত শূন্য হতে থাকে, তাই f অসীমভাবে অনেক গুণ ডিফারেনশিয়েবল এবং প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা k-এর জন্য। উপরের ফলাফলগুলি এই ক্ষেত্রে ধরে রাখেঃ f-এর টেলর সিরিজটি শূন্য ফাংশন Tf (x) = 0-এ অভিন্নভাবে একত্রিত হয়, যা শূন্যের সমান সমস্ত সহগগুলির সাথে বিশ্লেষণাত্মক। এই টেলর সিরিজের সাথে f ফাংশন অসম, এবং তাই অ-বিশ্লেষণাত্মক। যে কোনও ক্রমানুসারে k ωN এবং r> 0 ব্যাসার্ধের জন্য Mk, r> 0 বিদ্যমান যা উপরের অবশিষ্টাংশকে সন্তুষ্ট করে। যাইহোক, স্থির r-এর জন্য k বাড়লে, Mk, r-এর মান rk-এর চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পায় এবং ত্রুটি শূন্যে যায় না। জটিল বিশ্লেষণে টেলরের উপপাদ্যটি f: C → C ফাংশনে সাধারণীকরণ করে যা জটিল সমতলে একটি উন্মুক্ত উপসেট URC-তে জটিল পৃথকীকরণযোগ্য। যাইহোক, জটিল বিশ্লেষণে অন্যান্য সাধারণ উপপাদ্য দ্বারা এর উপযোগিতা বামন হয়ে যায়। অর্থাৎ, কৌচির ইন্টিগ্রাল সূত্র ব্যবহার করে জটিল ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন f: U → C-এর জন্য সম্পর্কিত ফলাফলের শক্তিশালী সংস্করণগুলি অনুমান করা যেতে পারে। ধরা যাক r> 0 এমনভাবে যাতে বদ্ধ ডিস্ক B (z, r) ≤S (z, r) U-তে থাকে। তারপর S (z, r) বৃত্তের ধনাত্মক প্যারামিট্রাইজেশন সহ কাউচির ইন্টিগ্রাল সূত্রটি দেয় এখানে সমস্ত ইন্টিগ্র্যান্ডগুলি S (z, r) বৃত্তের উপর অবিচ্ছিন্ন, যা ইন্টিগ্রাল চিহ্নের অধীনে পার্থক্যকে ন্যায্য করে। বিশেষ করে, যদি খোলা সেট U-তে f একবার জটিল অবকলনীয় হয়, তবে এটি আসলে U-তে অসীমভাবে অনেক গুণ জটিল অবকলনীয়। যে কোনও z ωU এবং r> 0-এর জন্য কাউচির অনুমানও পাওয়া যায় যাতে B (z, r) ωS (c, r) ωU হয়। এই অনুমানগুলি বোঝায় যে f-এর জটিল টেলর সিরিজটি যে কোনও খোলা ডিস্কে কিছু ফাংশন Tf-এর সাথে অভিন্নভাবে একত্রিত হয়। উপরন্তু, f (c) ডেরিভেটিভের জন্য কনট্যুর ইন্টিগ্রাল সূত্র ব্যবহার করে, তাই একটি খোলা সেট U ঱্সি-তে যে কোনও জটিল ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন প্রকৃতপক্ষে জটিল বিশ্লেষণাত্মক। এখানে প্রকৃত বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের জন্য যা বলা হয়েছে তা জটিল বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের জন্যও প্রযোজ্য, যার মুক্ত ব্যবধান I একটি উন্মুক্ত উপসেট U ωC দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে এবং a-কেন্দ্রিক ব্যবধানগুলি (a − r, a + r) c-কেন্দ্রিক ডিস্ক B (c, r) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে। বিশেষত, টেলর সম্প্রসারণ এমন আকারে ধারণ করে যেখানে অবশিষ্ট শব্দ আর. কে জটিল বিশ্লেষণাত্মক। জটিল বিশ্লেষণের পদ্ধতিগুলি টেলর সম্প্রসারণ সম্পর্কিত কিছু শক্তিশালী ফলাফল প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ, কোনও অঞ্চলের সীমানা পরামিতি করে এমন যে কোনও ধনাত্মক অভিমুখী জর্ডান বক্ররেখার জন্য কাউচির অবিচ্ছেদ্য সূত্র ব্যবহার করে, কেউ উপরের মতো ডেরিভেটিভের জন্য অভিব্যক্তি অর্জন করে এবং গণনার সামান্য পরিবর্তন করে সঠিক সূত্রে পৌঁছায়। একইভাবে, অবশিষ্টাংশের জন্য সিরিজ অভিব্যক্তিতে কাউচির অনুমান প্রয়োগ করে, একজন অভিন্ন অনুমান পায় উদাহরণ ফাংশনটি বাস্তব বিশ্লেষণাত্মক, অর্থাৎ, স্থানীয়ভাবে তার টেলর সিরিজ দ্বারা নির্ধারিত হয়। এই ফাংশনটি উপরে এই সত্যটি ব্যাখ্যা করার জন্য প্লট করা হয়েছিল যে সম্প্রসারণ কেন্দ্রের আশেপাশে কিছু প্রাথমিক ফাংশন টেলর বহুপদী দ্বারা আনুমানিক করা যায় না যা খুব বড়। জটিল বিশ্লেষণের কাঠামোতে এই ধরনের আচরণ সহজেই বোঝা যায়। অর্থাৎ, সংহত জটিল সমতলে f ফাংশনটি একটি মেরোমর্ফিক ফাংশনে প্রসারিত হয়। এটিতে এবং এ সহজ খুঁটি রয়েছে এবং এটি অন্যত্র বিশ্লেষণাত্মক। এখন z0-এ কেন্দ্রিক এর টেলর সিরিজ যে কোনও ডিস্ক B (z0, r)-এ r <|z −z0।-এর সাথে একত্রিত হয়, যেখানে একই টেলর সিরিজ z ωC-তে একত্রিত হয়। অতএব, 0-এ কেন্দ্রিক f-এর টেলর সিরিজ B (0,1)-এর সাথে মিলিত হয় এবং এটি i এবং −i-এর মেরুগুলির কারণে |z।> 1-এর সাথে কোনও z ωC-এর জন্য একত্রিত হয় না। একই কারণে 1-এ কেন্দ্রীভূত f-এর টেলর সিরিজটি একত্রিত হয় এবং কোনও z ωC-এর সাথে মিলিত হয় না। টেলরের উপপাদ্যের সাধারণীকরণ উচ্চ-ক্রমের ডিফারেনশিবিলিটি একটি ফাংশন f: Rn → R একটি ωRn-এ ডিফারেনশিয়েবল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি রৈখিক কার্যকরী L: Rn → R এবং একটি ফাংশন h: Rn → R থাকে যাতে যদি এটি হয়, তবে a বিন্দুতে f-এর (অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত) ডিফারেনশিয়াল হয়। উপরন্তু, তারপর f-এর আংশিক ব্যুৎপত্তি a-তে বিদ্যমান এবং a-তে f-এর ডিফারেনশিয়াল দ্বারা দেওয়া হয় α ω Nn এবং x ω Rn-এর জন্য মাল্টি-ইনডেক্স নোটেশন প্রবর্তন করুন। যদি এর সমস্ত-তম ক্রমের আংশিক ব্যুৎপত্তি অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে ক্লেয়ারোটের উপপাদ্য অনুসারে, কেউ মিশ্র ব্যুৎপত্তিগুলির ক্রমকে a-তে পরিবর্তন করতে পারে, তাই এই পরিস্থিতিতে উচ্চতর ক্রমের আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলির জন্য স্বরলিপিটি ন্যায্য। একই কথা প্রযোজ্য যদি f-এর সমস্ত (k−1)-তম ক্রমের আংশিক ব্যুৎপত্তি a-এর আশেপাশে বিদ্যমান থাকে এবং a-তে ডিফারেনশিয়েবল হয়। তারপর আমরা বলি যে a বিন্দুতে f হল k গুণ ডিফারেনশিয়েবল। মাল্টিভ্যারিয়েট ফাংশনের জন্য টেলরের উপপাদ্য পূর্ববর্তী বিভাগের স্বরলিপি ব্যবহার করে, একটির নিম্নলিখিত উপপাদ্য রয়েছে। যদি ফাংশনটি k + 1 গুণ কিছু বন্ধ বলের জন্য অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল হয়, তবে এই পাড়ায় f-এর অর্ডার পার্শিয়াল ডেরিভেটিভের পরিপ্রেক্ষিতে অবশিষ্টাংশের জন্য একটি সঠিক সূত্র পাওয়া যেতে পারে। অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে, কম্প্যাক্ট সেট বি-তে (কে + 1)-তম ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভের ধারাবাহিকতার কারণে, একজন অবিলম্বে অভিন্ন অনুমান অর্জন করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি মসৃণ ফাংশনের তৃতীয় ক্রমের টেলর পলিনোমিয়াল হল, একটি বাস্তব চলকের মধ্যে টেলরের উপপাদ্যের প্রমাণ। মনে রাখবেন যে, প্রত্যেকের জন্য। সুতরাং সংখ্যার প্রথম ব্যুৎপত্তিগুলির প্রত্যেকটি এ অদৃশ্য হয়ে যায়, এবং হরের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। এছাড়াও, যেহেতু একটি বিন্দুতে ফাংশনটি গুণগতভাবে ডিফারেনশিয়েবল হওয়ার শর্তটি উক্ত বিন্দুর আশেপাশে ক্রম পর্যন্ত ডিফারেনশিয়েবিলিটির প্রয়োজন (এটি সত্য, কারণ ডিফারেনশিয়েবিলিটির জন্য একটি বিন্দুর পুরো আশেপাশে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন), সংখ্যা এবং এর ডেরিভেটিভগুলি এর আশেপাশে ডিফারেনশিয়েবল। স্পষ্টতই, বিভাজকটিও উক্ত শর্তটি সন্তুষ্ট করে এবং অতিরিক্তভাবে, অদৃশ্য হয়ে যায় না যদি না ল 'হোপিটালের নিয়মের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত শর্ত পূরণ হয় এবং এর ব্যবহার ন্যায়সঙ্গত হয়। সুতরাং যেখানে দ্বিতীয় থেকে শেষ সমতা এ ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা অনুসরণ করে। একটি বাস্তব চলকের মধ্যে টেলরের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ ধরা যাক যে কোনও বাস্তব-মূল্যবান অবিচ্ছিন্ন ফাংশন টেলর বহুপদী দ্বারা আনুমানিক। ধাপ 1: ফাংশন হতে দিন। ধাপ 2 সেট করুন এবং হতে হবেঃ এবং এর বৈশিষ্ট্যঃ একইভাবে, ধাপ 3: কৌচি গড় মান উপপাদ্য ব্যবহার করুন এবং অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হতে দিন। তাই আমরা ব্যবধান নিয়ে কাজ করতে পারি। আসুন এবং পার্থক্যযোগ্য হতে দিন। সকলের জন্য অনুমান করুন। তারপর এমন কিছু আছে যা নোটঃ ইন এবং তাই কারো কারো জন্য। এটি কারো কারো জন্যও করা যেতে পারে। এটি অব্যাহত রাখা যেতে পারে। এটি সেট সহঃ ধাপ 4: পাওয়ার রুল দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন, এর পুনরাবৃত্ত ডেরিভেটিভগুলি, সুতরাংঃ এটি এই দিকে পরিচালিত করেঃ পুনর্বিন্যাসের মাধ্যমে, আমরা পাইঃ বা কারণ শেষ পর্যন্তঃ অবশিষ্টাংশের গড় মান রূপগুলির জন্য ডেরিভেশন জি কোনও বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন হতে পারে, এবং এবং এর মধ্যে খোলা ব্যবধানের মধ্যে একটি অ-অদৃশ্য ডেরিভেটিভের সাথে অবিরত এবং ডিফারেনশিয়েবল এবং এর জন্য সংজ্ঞায়িত করুন। তারপর, কাউচির গড় মান উপপাদ্য অনুসারে, এবং এর মধ্যে খোলা ব্যবধানের জন্য। লক্ষ্য করুন যে এখানে সংখ্যাটি টেইলর পলিনোমিয়ালের ঠিক অবশিষ্টাংশ। এটিকে ()-এ গণনা করুন এবং পদগুলি পুনর্বিন্যাস করুন যাতে দেখা যায় যে এটি টেলরের উপপাদ্যের প্রকৃত বিবৃতির পরে উল্লিখিত অবশিষ্ট পদের রূপ এবং অবশিষ্টাংশ গড় মান আকারে রয়েছে। অবশিষ্টাংশের ল্যাগ্রাঞ্জ রূপটি বেছে নেওয়ার মাধ্যমে এবং কচি রূপটি বেছে নেওয়ার মাধ্যমে পাওয়া যায়। মন্তব্য করুন। এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে কেউ বেছে নিয়ে অবশিষ্টাংশের অবিচ্ছেদ্য রূপটিও পুনরুদ্ধার করতে পারে তবে গড় মান উপপাদ্য ব্যবহারের জন্য প্রয়োজনীয় f-এর প্রয়োজনীয়তাগুলি খুব শক্তিশালী, যদি কেউ এই দাবিটি প্রমাণ করার লক্ষ্য রাখে যে f কেবলমাত্র সম্পূর্ণ অবিচ্ছিন্ন। তবে, যদি কেউ লেবস্গু ইন্টিগ্রালের পরিবর্তে রিম্যান ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করে, তবে অনুমানগুলিকে দুর্বল করা যাবে না। অবশিষ্টাংশের অবিচ্ছেদ্য রূপের জন্য উৎপত্তি এবং এর অন্তরালের মধ্যে বদ্ধ ব্যবধানের পরম ধারাবাহিকতার কারণে একটি-ফাংশন হিসাবে বিদ্যমান, এবং আমরা ক্যালকুলাস এবং অংশ দ্বারা একীকরণের মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি। এই একই প্রমাণ রিমান ইন্টিগ্রালের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, এই ধরে নিয়ে যে এটি বদ্ধ ব্যবধানের উপর অবিচ্ছিন্ন এবং এবং এর মধ্যে খোলা ব্যবধানের উপর ডিফারেনশিয়েবল, এবং এটি গড় মান উপপাদ্য ব্যবহার করার চেয়ে একই ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে। ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি বলে যে এখন আমরা অংশ দ্বারা সংহত করতে পারি এবং ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি আবার ব্যবহার করে দেখতে পারি যে এটি ঠিক টেলরের উপপাদ্য এবং ক্ষেত্রে অবিচ্ছেদ্য আকারে অবশিষ্টাংশ। সাধারণ বিবৃতিটি ইন্ডাকশন ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়। মনে করুন যে অবশিষ্ট পদটিকে অংশ দ্বারা সংহত করে আমরা এটিকে সূত্রে প্রতিস্থাপনে পৌঁছেছি যা দেখায় যে এটি যদি মানের জন্য ধরে রাখে তবে এটি অবশ্যই মানের জন্য ধরে রাখতে হবে। অতএব, যেহেতু এটি ধরে রাখে, তাই এটি অবশ্যই প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য ধরে রাখতে হবে। মাল্টিভ্যারিয়েট টেলর পলিনোমিয়ালের অবশিষ্টাংশের জন্য ডেরিভেশন আমরা বিশেষ ক্ষেত্রে প্রমাণ করি, যেখানে কেন্দ্রের সাথে কিছু বদ্ধ বলে ক্রম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে। প্রমাণের কৌশলটি হল টেলরের উপপাদ্যের এক-পরিবর্তনশীল কেসটি সংলগ্ন রেখা বিভাগের সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা এবং। আমরা ফাংশনে টেলরের উপপাদ্যের এক-পরিবর্তনশীল সংস্করণটি প্রয়োগ করিঃ বেশ কয়েকটি চলকের জন্য চেইন নিয়ম প্রয়োগ করলে পাওয়া যায় যে মাল্টিনোমিয়াল সহগ কোথায়। যেহেতু, আমরা পাইঃ পাদটীকার তথ্যসূত্রও দেখুন। । । । । । । । । । । বাহ্যিক লিঙ্কগুলি টেলর সিরিজ কাট-দ্য-নট ট্রাইগোনোমেট্রিক টেলর এক্সপেনশন ইন্টারেক্টিভ ডেমন্স্ট্রেটিভ অ্যাপলেট টেলর সিরিজ রিভিজিটেড অ্যাট হোলিস্টিক নিউমেরিকাল মেথডস ইনস্টিটিউট বাস্তব বিশ্লেষণে ক্যালকুলাস উপপাদ্যের উপপাদ্য সম্বলিত নিবন্ধ