Expected value of including uncertainty
সিদ্ধান্ত তত্ত্ব এবং পরিমাণগত নীতি বিশ্লেষণে, অনিশ্চয়তা অন্তর্ভুক্তির (ই. ভি. আই. ইউ) প্রত্যাশিত মান হল একটি সম্ভাব্য বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে একটি সিদ্ধান্তের মূল্যের প্রত্যাশিত পার্থক্য বনাম একটি বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে একটি সিদ্ধান্ত যা অনিশ্চয়তাকে উপেক্ষা করে। অনিশ্চয়তার সর্বব্যাপী উপস্থিতিতে প্রতিদিন সিদ্ধান্ত নিতে হবে। বেশিরভাগ দৈনন্দিন সিদ্ধান্তের জন্য, অনিশ্চয়তার উপস্থিতিতে যুক্তিসঙ্গতভাবে কাজ করার জন্য বিভিন্ন অনুসন্ধান ব্যবহার করা হয়, প্রায়শই এর উপস্থিতি সম্পর্কে খুব কম চিন্তাভাবনা করা হয়। যাইহোক, অত্যন্ত জনসাধারণের পরিস্থিতিতে বৃহত্তর উচ্চ-অংশীদারিত্বের সিদ্ধান্ত বা সিদ্ধান্তের জন্য, সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীরা প্রায়শই তাদের সিদ্ধান্তের সমস্যার আরও পদ্ধতিগত চিকিত্সা থেকে উপকৃত হতে পারে, যেমন পরিমাণগত বিশ্লেষণ বা সিদ্ধান্ত বিশ্লেষণের মাধ্যমে। একটি পরিমাণগত সিদ্ধান্ত মডেল তৈরি করার সময়, একজন মডেল নির্মাতা বিভিন্ন প্রাসঙ্গিক কারণগুলি চিহ্নিত করেন এবং এগুলিকে ইনপুট ভেরিয়েবল হিসাবে এনকোড করেন। এই ইনপুটগুলি থেকে, অন্যান্য পরিমাণ, যাকে ফলাফলের চলক বলা হয়, গণনা করা যেতে পারে; এগুলি সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর জন্য তথ্য সরবরাহ করে। উদাহরণস্বরূপ, নীচের বিশদ উদাহরণে, সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীকে অবশ্যই সিদ্ধান্ত নিতে হবে যে কোনও বিমানের নির্ধারিত প্রস্থানের আগে তাকে কত তাড়াতাড়ি বিমানবন্দরের উদ্দেশ্যে রওনা হতে হবে (সিদ্ধান্ত)। একটি ইনপুট পরিবর্তনশীল হল বিমানবন্দর পার্কিং গ্যারেজে গাড়ি চালাতে কত সময় লাগে। এই এবং অন্যান্য ইনপুটগুলি থেকে, মডেলটি গণনা করতে পারে যে সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী কতটা ফ্লাইটটি মিস করবে এবং বিভিন্ন সিদ্ধান্তের জন্য নিট খরচ (মিনিটের মধ্যে) কত হবে। একটি সিদ্ধান্তে পৌঁছানোর জন্য, একটি খুব সাধারণ অনুশীলন হল অনিশ্চয়তাকে উপেক্ষা করা। প্রতিটি ইনপুট ভেরিয়েবলের জন্য কেবল একটি সেরা অনুমান (একক মান) ব্যবহার করে পরিমাণগত বিশ্লেষণ এবং মডেল নির্মাণের মাধ্যমে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়। তারপর গণনাকৃত পয়েন্ট অনুমানের ভিত্তিতে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়। অনেক ক্ষেত্রে, অনিশ্চয়তাকে উপেক্ষা করা খুব খারাপ সিদ্ধান্তের দিকে নিয়ে যেতে পারে, ফলাফলের চলকগুলির জন্য অনুমানগুলি প্রায়শই সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীকে বিভ্রান্ত করে। পরিমাণগত সিদ্ধান্তের মডেলগুলিতে অনিশ্চয়তাকে উপেক্ষা করার বিকল্প হল মডেলের অংশ হিসাবে অনিশ্চয়তাকে স্পষ্টভাবে এনকোড করা। এই পদ্ধতির মাধ্যমে, একটি একক সেরা অনুমানের পরিবর্তে প্রতিটি ইনপুট পরিবর্তনশীলের জন্য একটি সম্ভাব্যতা বন্টন প্রদান করা হয়। সেই বণ্টনের বৈচিত্র্য ইনপুট পরিমাণে বিষয়গত অনিশ্চয়তার (বা জ্ঞানের অভাব) মাত্রা প্রতিফলিত করে। সফ্টওয়্যার সরঞ্জামগুলি তখন মন্টে কার্লো বিশ্লেষণের মতো পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে ফলাফলের চলকগুলিতে অনিশ্চয়তা প্রচার করতে, যাতে একজন সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী তার সিদ্ধান্তগুলির উপর অনিশ্চয়তার প্রভাবের একটি স্পষ্ট চিত্র অর্জন করতে পারে এবং অনেক ক্ষেত্রে ফলস্বরূপ আরও ভাল সিদ্ধান্ত নিতে পারে। দুটি পদ্ধতির তুলনা করার সময়-অনিশ্চয়তা বনাম মডেলিং অনিশ্চয়তাকে স্পষ্টভাবে উপেক্ষা করা-স্বাভাবিক প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করা হয় যে এটি আসলে সিদ্ধান্তের মানের সাথে কতটা পার্থক্য তৈরি করে। 1960-এর দশকে, রোনাল্ড এ. হাওয়ার্ড এই ধরনের একটি পরিমাপের প্রস্তাব করেছিলেন, নিখুঁত তথ্যের প্রত্যাশিত মান (ই. ভি. পি. আই), যা সমস্ত অনিশ্চিত ইনপুট ভেরিয়েবলের জন্য "সত্য" মানগুলি শেখার জন্য কতটা মূল্যবান হবে তার একটি পরিমাপ। অনিশ্চয়তার প্রতি সংবেদনশীলতার একটি অত্যন্ত দরকারী পরিমাপ প্রদান করার সময়, ই. ভি. পি. আই অনিশ্চয়তা সম্পর্কে স্পষ্টভাবে প্রতিনিধিত্ব এবং যুক্তি থেকে প্রাপ্ত সিদ্ধান্তগুলির প্রকৃত উন্নতি সরাসরি ধারণ করে না। এর জন্য, ম্যাক্স হেনরিয়ন তাঁর পিএইচডি থিসিসে, এই নিবন্ধের বিষয় অনিশ্চয়তা (ইভিআইইউ) অন্তর্ভুক্ত করার প্রত্যাশিত মূল্য প্রবর্তন করেছেন। আনুষ্ঠানিককরণ আসুন অনিশ্চয়তা অন্তর্ভুক্ত না করলে, সর্বোত্তম সিদ্ধান্তটি শুধুমাত্র অনিশ্চিত পরিমাণের প্রত্যাশিত মান ব্যবহার করে পাওয়া যায়। অতএব, অনিশ্চয়তাকে উপেক্ষা করে সিদ্ধান্তটি দেওয়া হয়ঃ অনিশ্চয়তাকে বিবেচনায় নিয়ে সর্বোত্তম সিদ্ধান্তটি হল বায়েসের আদর্শ সিদ্ধান্ত যা প্রত্যাশিত উপযোগিতাকে সর্বাধিকতর করেঃ ই. ভি. আই. ইউ হল এই দুটি সিদ্ধান্তের মধ্যে প্রত্যাশিত উপযোগিতার পার্থক্যঃ অনিশ্চিত পরিমাণ x এবং সিদ্ধান্ত পরিবর্তনশীল d প্রতিটি অনেক স্কেলার ভেরিয়েবল নিয়ে গঠিত হতে পারে, এই ক্ষেত্রে এক্স এবং ডি স্থানগুলি প্রতিটি ভেক্টর স্পেস। উদাহরণ ডানদিকের চিত্রটি বিমানবন্দরে ফ্লাইট ধরার জন্য সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর কত তাড়াতাড়ি বাড়ি ছেড়ে যাওয়া উচিত তা নির্ধারণের জন্য একটি প্রভাব রেখাচিত্র। সবুজ আয়তক্ষেত্রের একক সিদ্ধান্তটি হল বিমানের প্রস্থানের সময়ের আগে একজন কত মিনিটের জন্য রওনা হওয়ার সিদ্ধান্ত নেবে। সায়ান ওভালে চারটি অনিশ্চিত পরিবর্তনশীল চিত্র দেখা যায়ঃ বাড়ি থেকে বিমানবন্দরের পার্কিং গ্যারেজে গাড়ি চালানোর জন্য প্রয়োজনীয় সময় (মিনিটের মধ্যে), পার্কিং গ্যারেজ থেকে গেটে যাওয়ার জন্য সময় (মিনিটের মধ্যে), প্রস্থানের আগে একজনকে অবশ্যই গেটে থাকতে হবে এবং ফ্লাইটটি মিস করলে যে ক্ষতি (মিনিটের মধ্যে) হয়। এই নোডগুলির প্রত্যেকটিতে একটি সম্ভাব্যতা বন্টন রয়েছে, যেমনঃ টাইম _ টু _ ড্রাইভ _ টু _ এয়ারপোর্টঃ = লগনরমাল (মধ্যবর্তীঃ 60, জিএসডিইভঃ 1.3) টাইম _ ফ্রম পার্কিং _ টু _ গেটঃ = লগনরমাল (মধ্যবর্তীঃ 10, জিএসডিইভঃ 1.3) গেট _ টাইম _ বিফোর _ ডিপারচারঃ = ত্রিভুজাকার (সর্বনিম্নঃ 20, মোডঃ 30, সর্বোচ্চঃ 40) লস _ ইফ _ মিস _ দ্য প্লেনঃ = লগনরমাল (মধ্যবর্তীঃ 400, স্টডিডিইভঃ 100) এই বিতরণগুলির প্রত্যেকটিকে পরিসংখ্যানগতভাবে স্বাধীন বলে মনে করা হয়। প্রথম অনিশ্চিত পরিবর্তনশীল, টাইম-টু-ড্রাইভ-টু-এয়ারপোর্টের সম্ভাব্যতা বন্টন, মধ্যমা 60 এবং জ্যামিতিক মান বিচ্যুতি 1.3 সহ, এই গ্রাফে চিত্রিত করা হয়েছেঃ মডেলটি প্লেনে সফলভাবে আরোহণের জন্য ব্যয় করা মিনিটের সংখ্যা (বা মিনিটের সমতুল্য) হিসাবে খরচ (লাল ষড়ভুজাকার পরিবর্তনশীল) গণনা করে। যদি কেউ খুব দেরি করে পৌঁছায়, তবে একজন তার বিমানটি মিস করবে এবং পরবর্তী বিমানের জন্য অপেক্ষা করার জন্য বড় ক্ষতি (নেতিবাচক উপযোগিতা) বহন করবে। যদি কেউ খুব তাড়াতাড়ি পৌঁছয়, তবে বিমানের জন্য অযথা দীর্ঘ অপেক্ষার খরচ বহন করতে হয়। যে মডেলগুলি ই. ভি. আই. ইউ ব্যবহার করে তারা একটি ইউটিলিটি ফাংশন ব্যবহার করতে পারে, অথবা সমতুল্যভাবে তারা একটি লস ফাংশন ব্যবহার করতে পারে, যে ক্ষেত্রে ইউটিলিটি ফাংশনটি লস ফাংশনের ঋণাত্মক মাত্র। উভয় ক্ষেত্রেই, ই. ভি. আই. ইউ ইতিবাচক হবে। প্রধান পার্থক্যটি হ 'ল লস ফাংশনের ক্ষেত্রে, উপযোগিতা সর্বাধিক করার পরিবর্তে ক্ষতি হ্রাস করে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়। এখানে উদাহরণটি একটি লস ফাংশন, কস্ট ব্যবহার করে। গণনা করা প্রতিটি চলকের সংজ্ঞা নিম্নরূপঃ টাইম _ ফ্রম _ হোম _ টু _ গেটঃ = টাইম _ টু _ ড্রাইভ _ টু _ এয়ারপোর্ট + টাইম _ ফ্রম _ পার্কিং _ টু _ গেট + লস _ ইফ _ মিস _ দ্য _ প্লেন ভ্যালু _ পার _ মিনিট _ অ্যাট _ হোমঃ = 1 খরচঃ = ভ্যালু _ পার _ মিনিট _ অ্যাট _ হোম * টাইম _ আই _ লিভ _ হোম + (যদি টাইম _ আই _ লিভ _ হোম <টাইম _ ফ্রম _ হোম _ টু _ গেট তারপর লস _ ইফ _ মিস _ দ্য _ প্লেন অন্য 0) নিম্নলিখিত গ্রাফটি অনিশ্চয়তাকে বিবেচনায় নিয়ে প্রত্যাশিত মানটি প্রদর্শন করে (মসৃণ নীল বক্ররেখা) অনিশ্চয়তাকে উপেক্ষা করে প্রত্যাশিত উপযোগের জন্য, সিদ্ধান্ত চলকের একটি ফাংশন হিসাবে অঙ্কিত। যখন অনিশ্চয়তা উপেক্ষা করা হয়, তখন কেউ এমন আচরণ করে যেন ফ্লাইটটি নিশ্চিতভাবে করা হবে যতক্ষণ না কেউ ফ্লাইটের কমপক্ষে 100 মিনিট আগে ছেড়ে যায় এবং এর চেয়ে পরে কেউ ছেড়ে গেলে নিশ্চিতভাবে ফ্লাইটটি মিস করবে। যেহেতু একজন এমন আচরণ করে যেন সবকিছু নিশ্চিত, সর্বোত্তম পদক্ষেপটি হল উড়ানের ঠিক 100 মিনিট (বা 100 মিনিট, 1 সেকেন্ড) আগে চলে যাওয়া। যখন অনিশ্চয়তা বিবেচনা করা হয়, তখন প্রত্যাশিত মানটি মসৃণ হয়ে যায় (নীল বক্ররেখা), এবং সর্বোত্তম পদক্ষেপটি হল উড়ানের 140 মিনিট আগে ছেড়ে যাওয়া। উড়ানের 100 মিনিট আগে একটি সিদ্ধান্ত সহ প্রত্যাশিত মূল্য বক্ররেখা, 313.7 মিনিটের অনিশ্চয়তাকে উপেক্ষা করার সময় প্রত্যাশিত খরচ দেখায়, যখন কেউ উড়ানের 140 মিনিট আগে ছেড়ে গেলে প্রত্যাশিত খরচ হয় 151 মিনিট। এই দুটির মধ্যে পার্থক্য হল ই. ভি. আই. ইউঃ অন্য কথায়, সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময় যদি অনিশ্চয়তা স্পষ্টভাবে বিবেচনা করা হয়, তাহলে <আই. ডি1> মিনিটের গড় সঞ্চয় উপলব্ধি করা হবে। লিনিয়ার-কোয়াড্রাটিক নিয়ন্ত্রণ কেন্দ্রীভূত লিনিয়ার-কোয়াড্রাটিক নিয়ন্ত্রণের প্রসঙ্গে, বিবর্তনের সমীকরণে যোগাত্মক অনিশ্চয়তা থাকলেও সেই সমীকরণে সহগ মান সম্পর্কে কোনও অনিশ্চয়তা না থাকায়, অনিশ্চয়তাকে বিবেচনায় নিয়ে নিয়ন্ত্রণ চলকগুলির সর্বোত্তম সমাধান অনিশ্চয়তাকে উপেক্ষা করে সমাধানের মতোই। এই বৈশিষ্ট্য, যা অনিশ্চয়তা সহ একটি শূন্য প্রত্যাশিত মান দেয়, তাকে নিশ্চিত সমতুল্য বলা হয়। নিখুঁত তথ্যের প্রত্যাশিত মূল্যের সাথে সম্পর্ক (ই. ভি. পি. আই) ই. ভি. আই. ইউ এবং ই. ভি. পি. আই উভয়ই বায়েসের সিদ্ধান্তের প্রত্যাশিত মূল্যকে অনিশ্চয়তা ছাড়াই নেওয়া আরেকটি সিদ্ধান্তের সাথে তুলনা করে। ই. ভি. আই. ইউ-এর জন্য এই অন্য সিদ্ধান্তটি নেওয়া হয় যখন অনিশ্চয়তা উপেক্ষা করা হয়, যদিও এটি রয়েছে, অন্যদিকে ই. ভি. পি. আই-এর জন্য এই অন্য সিদ্ধান্তটি x সম্পর্কে নিখুঁত তথ্য পাওয়ার মাধ্যমে অনিশ্চয়তা অপসারণের পরে নেওয়া হয়। ই. ভি. পি. আই হল এক্স সম্পর্কে অনিশ্চিত হওয়ার প্রত্যাশিত খরচ, অন্যদিকে ই. ভি. আই. ইউ হল একটি নিশ্চিত বলে ধরে নেওয়ার অতিরিক্ত প্রত্যাশিত খরচ। ই. ভি. আই. ইউ, ই. ভি. পি. আই-এর মতো, ইউটিলিটি ফাংশনের ইউনিটের পরিপ্রেক্ষিতে প্রত্যাশিত মান দেয়। আরও দেখুন নমুনা তথ্যের প্রত্যাশিত মূল্য বাল্ক ডিসপ্যাচ ল্যাপস রেফারেন্স প্রত্যাশিত ইউটিলিটি গেম তত্ত্ব