Coherent states in mathematical physics
সুসঙ্গত অবস্থাগুলি একটি ভৌত প্রসঙ্গে প্রবর্তিত হয়েছে, প্রথমে কোয়ান্টাম মেকানিক্সে আধা-ধ্রুপদী অবস্থা হিসাবে, তারপর কোয়ান্টাম অপটিক্সের মেরুদণ্ড হিসাবে এবং সেগুলি সুসঙ্গত অবস্থা নিবন্ধে সেই চেতনায় বর্ণনা করা হয়েছে (আরও দেখুন)। যাইহোক, তারা একটি বিশাল বৈচিত্র্যময় সাধারণীকরণ তৈরি করেছে, যা গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে প্রচুর পরিমাণে সাহিত্যের দিকে পরিচালিত করেছে। এই নিবন্ধে, আমরা এই লাইনে গবেষণার প্রধান দিকগুলি স্কেচ করি। আরও বিশদ বিবরণের জন্য, আমরা বেশ কয়েকটি বিদ্যমান সমীক্ষার কথা উল্লেখ করছি। একটি সাধারণ সংজ্ঞা ধরা যাক একটি জটিল, পৃথকযোগ্য হিলবার্ট স্থান, একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট স্থান এবং একটি পরিমাপ। প্রতিটি ইন-এর জন্য, একটি ভেক্টর নির্দেশ করুন। ধরে নিন যে ভেক্টরগুলির এই সেটটি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির অধিকারীঃ ম্যাপিং দুর্বলভাবে অবিচ্ছিন্ন, অর্থাৎ, প্রতিটি ভেক্টরের জন্য, ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন (এর টপোলজিতে)। হিলবার্ট স্পেসে আইডেন্টিটির রেজোলিউশন দুর্বল অর্থে ধারণ করে, অর্থাৎ, যে কোনও দুটি ভেক্টরের জন্য, নিম্নলিখিত সমতা ধারণ করেঃ উপরের দুটি বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে এমন ভেক্টরের একটি সেটকে সাধারণীকৃত সুসঙ্গত অবস্থার পরিবার বলা হয়। ক্যানোনিকাল বা স্ট্যান্ডার্ড সুসঙ্গত অবস্থার (সিসিএস) পূর্ববর্তী সংজ্ঞা (নিবন্ধ সুসঙ্গত অবস্থায় দেওয়া) পুনরুদ্ধার করার জন্য, জটিল সমতল গ্রহণ করা যথেষ্ট এবং কখনও কখনও পরিচয় অবস্থার রেজোলিউশন একটি দুর্বল অবস্থা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, ভেক্টরগুলি কেবল একটি মোট সেট তৈরি করে এবং ফাংশনগুলি, যেমন চলছে, একটি পুনরুত্পাদনকারী কার্নেল হিলবার্ট স্থান গঠন করে। উভয় ক্ষেত্রেই উদ্দেশ্য হল একটি স্বেচ্ছাচারী ভেক্টরকে এই ভেক্টরগুলির রৈখিক (অবিচ্ছেদ্য) সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশযোগ্য করা। প্রকৃতপক্ষে, পরিচয়ের সমাধান অবিলম্বে বোঝায় যে কোথায়। এই ভেক্টরগুলি বর্গাকার ইন্টিগ্রেবল, অবিচ্ছিন্ন ফাংশন এবং পুনরুত্পাদন বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে যেখানে পুনরুত্পাদনকারী কার্নেল, যা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে কিছু উদাহরণ আমরা এই বিভাগে উপরে দেওয়া সাধারণ কাঠামোর চিত্র হিসাবে আরও সাধারণভাবে ব্যবহৃত কিছু ধরণের সুসঙ্গত অবস্থা উপস্থাপন করি। অরৈখিক সুসঙ্গত অবস্থা সিসিএস-এর সাধারণীকরণের একটি বড় শ্রেণী তাদের বিশ্লেষণাত্মক কাঠামোর একটি সহজ পরিবর্তনের মাধ্যমে প্রাপ্ত হয়। ধনাত্মক সংখ্যা ()-এর একটি অসীম ক্রম ধরা যাক। কনভেনশন সেট দ্বারা সংজ্ঞায়িত করুন। একই ফকের জায়গায় যেখানে সিসিএস বর্ণনা করা হয়েছিল, আমরা এখন সম্প্রসারণ দ্বারা সম্পর্কিত বিকৃত বা অরৈখিক সুসঙ্গত অবস্থাগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টরটি বেছে নেওয়া হয় যাতে। এই সাধারণীকৃত সুসঙ্গত অবস্থাগুলি ফক স্পেসে অতিরিক্ত সম্পূর্ণ এবং ব্যাসার্ধের জটিল সমতলে একটি খোলা ডিস্ক হিসাবে পরিচয়ের একটি রেজোলিউশনকে সন্তুষ্ট করে, সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধ (সিসিএসের ক্ষেত্রে,)। পরিমাপটি সাধারণভাবে (জন্য) ফর্মের, যেখানে মুহূর্তের অবস্থার মাধ্যমে সম্পর্কিত। আরও একবার, আমরা দেখতে পাই যে ফক স্পেসে একটি নির্বিচারে ভেক্টরের জন্য, ফাংশনটি ফর্মের, যেখানে ডোমেনে একটি বিশ্লেষণমূলক ফাংশন রয়েছে। এই সুসঙ্গত অবস্থার সঙ্গে যুক্ত পুনরুৎপাদনকারী কার্নেল হল বারুট-গিরার্ডেলো সুসঙ্গত অবস্থা সিসিএস মামলার সাথে সাদৃশ্য রেখে, ভেক্টর এবং তার সংলগ্ন অপারেটরের উপর তার ক্রিয়া দ্বারা একটি সাধারণীকৃত অ্যানিহিলেশন অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ফকের অবস্থার উপর এই কাজগুলি পরিমাণের সঠিক মানের উপর নির্ভর করে, এই দুটি অপারেটর, পরিচয় এবং তাদের সমস্ত বিনিময়কারী সহ, বিভিন্ন ধরনের বিকৃত কোয়ান্টাম অ্যালজেব্রা সহ বিস্তৃত আলজেব্রা তৈরি করতে পারে। 'অরৈখিক' শব্দটি, যা প্রায়শই এই সাধারণীকৃত সুসঙ্গত অবস্থার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়, আবার কোয়ান্টাম অপটিক্স থেকে এসেছে যেখানে বিকিরণ ক্ষেত্র এবং পরমাণুর মধ্যে মিথস্ক্রিয়া অধ্যয়নে এই ধরনের অনেক অবস্থার পরিবার ব্যবহার করা হয়, যেখানে মিথস্ক্রিয়ার শক্তি নিজেই নির্ভর করে বিকিরণের কম্পাঙ্কের উপর। অবশ্যই, এই সুসঙ্গত অবস্থার সাধারণভাবে সি. সি. এস-এর গ্রুপ তাত্ত্বিক বা ন্যূনতম অনিশ্চয়তার বৈশিষ্ট্য থাকবে না (আরও সাধারণ বৈশিষ্ট্য থাকতে পারে)। উপরে সংজ্ঞায়িত সাধারণ ধরনের অপারেটররা ল্যাডার অপারেটর নামেও পরিচিত। যখন এই ধরনের অপারেটরগুলি লাই অ্যালজেব্রার প্রতিনিধিত্বের জেনারেটর হিসাবে উপস্থিত হয়, তখন এর আইগেনভেক্টরগুলিকে সাধারণত বারুট-গিরার্ডেলো সুসঙ্গত অবস্থা বলা হয়। ফক স্পেসে এস. ইউ (1,1)-এর লাই বীজগণিতের উপস্থাপনা থেকে একটি সাধারণ উদাহরণ পাওয়া যায়। গ্যাজিউ-ক্লাউডার সুসঙ্গত অবস্থা অ-রৈখিক সুসঙ্গত অবস্থার উপরের অভিব্যক্তির একটি অ-বিশ্লেষণাত্মক সম্প্রসারণ প্রায়শই বিশুদ্ধ বিন্দু বর্ণালীযুক্ত শারীরিক হ্যামিল্টনিয়ানদের সাথে সম্পর্কিত সাধারণ সুসঙ্গত অবস্থাগুলিকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়। এই সুসঙ্গত অবস্থাগুলি, যা গ্যাজিউ-ক্লাউডার সুসঙ্গত অবস্থা নামে পরিচিত, ক্রিয়া-কোণ চলক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ধরুন যে আমাদের শারীরিক হ্যামিল্টনিয়ান দেওয়া হয়েছে, যার সাথে, অর্থাৎ, এটির শক্তি আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর রয়েছে, যা আমরা হিলবার্ট স্পেসের অবস্থার জন্য একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি গঠন করে বলে ধরে নিই। আসুন আমরা আইগেনভ্যালুগুলিকে এইভাবে বিন্যাসিত মাত্রাবিহীন পরিমাণের ক্রম প্রবর্তন করে লিখিঃ তারপর, সকলের জন্য এবং, গ্যাজিউ-ক্লাউডার সুসঙ্গত অবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে আবার একটি স্বাভাবিককরণ ফ্যাক্টর, যা শুধুমাত্র নির্ভরশীল বলে প্রমাণিত হয়। এই সুসঙ্গত অবস্থাগুলি সাময়িক স্থিতিশীলতা শর্ত এবং ক্রিয়া পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে, যদিও এই সাধারণীকৃত সুসঙ্গত অবস্থাগুলি একটি সম্পূর্ণ সেট গঠন করে, তবে পরিচয়ের রেজোলিউশন সাধারণত উপরের মতো একটি অবিচ্ছেদ্য সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয় না, বরং বোরের অর্থে একটি অবিচ্ছেদ্য দ্বারা দেওয়া হয়, যেমন এটি প্রায় পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়। আসলে গ্যাজিউ-ক্লাউডার সি. এস-এর নির্মাণ ভেক্টর সি. এস এবং অবক্ষয়িত বর্ণালী সহ হ্যামিল্টনিয়ানদের মধ্যে প্রসারিত করা যেতে পারে, যেমনটি আলী এবং বাগারেলো দেখিয়েছেন। তাপ কার্নেল সুসঙ্গত অবস্থা আরেকটি ধরনের সুসঙ্গত অবস্থা দেখা দেয় যখন এমন একটি কণার কথা বিবেচনা করা হয় যার বিন্যাস স্থান একটি কম্প্যাক্ট লাই গ্রুপের গ্রুপ ম্যানিফোল্ড কে. হল সুসঙ্গত অবস্থার প্রবর্তন করেন যেখানে ইউক্লিডীয় স্থানের সাধারণ গাউসিয়ান কে-এর তাপ কার্নেল দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এই সুসঙ্গত অবস্থার পরিচয়ের একটি সমাধান রয়েছে যা জটিলতার উপর একটি সেগাল-বার্গম্যান স্থানের দিকে নিয়ে যায়। হলের ফলাফলগুলি স্টেনজেল দ্বারা গোলক সহ কম্প্যাক্ট প্রতিসম স্থানে প্রসারিত করা হয়েছিল। এই ক্ষেত্রে, থিমান এবং তাঁর সহযোগীরা কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণ তত্ত্বে তাপ কার্নেলের সুসঙ্গত অবস্থার প্রয়োগ করেছেন। যদিও নির্মাণে দুটি ভিন্ন লাই গ্রুপ জড়িত রয়েছে, তাপ কার্নেল সুসঙ্গত অবস্থা পেরেলোমভ ধরনের নয়। গ্রুপ-তাত্ত্বিক পদ্ধতি গিলমোর এবং পেরেলোমভ স্বাধীনভাবে উপলব্ধি করেছিলেন যে সুসঙ্গত অবস্থার নির্মাণকে কখনও কখনও একটি গ্রুপ তাত্ত্বিক সমস্যা হিসাবে দেখা যেতে পারে। এটি দেখার জন্য, আসুন আমরা কিছু সময়ের জন্য সিসিএস-এর ক্ষেত্রে ফিরে যাই। সেখানে, প্রকৃতপক্ষে, স্থানচ্যুতি অপারেটর হাইজেনবার্গ গ্রুপের একটি উপাদানের (যাকে ওয়েল-হাইজেনবার্গ গ্রুপও বলা হয়) ফক স্পেসে প্রতিনিধি ছাড়া আর কিছুই নয়, যার লাই বীজগণিত এবং দ্বারা উত্পন্ন হয়। যাইহোক, সিসিএস নিয়ে এগিয়ে যাওয়ার আগে, প্রথমে সাধারণ মামলাটি নিন। একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট গ্রুপ হতে দিন এবং ধরুন যে একক অপারেটরদের দ্বারা হিলবার্ট স্পেসে এটির একটি অবিচ্ছিন্ন, অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা রয়েছে। এই উপস্থাপনাকে বর্গ ইন্টিগ্রেবল বলা হয় যদি একটি অ-শূন্য ভেক্টর বিদ্যমান থাকে যার জন্য ইন্টিগ্রাল একত্রিত হয়। এখানে বাম অপরিবর্তনীয় হার পরিমাপ রয়েছে। একটি ভেক্টর যার জন্য গ্রহণযোগ্য বলা হয়, এবং এটি দেখানো যেতে পারে যে এই ধরনের একটি ভেক্টরের অস্তিত্ব এই ধরনের ভেক্টরের একটি সম্পূর্ণ ঘন সেটের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয়। উপরন্তু, যদি গ্রুপটি একক হয়, অর্থাৎ, যদি বাম এবং ডান অপরিবর্তনীয় পরিমাপগুলি মিলে যায়, তবে একটি গ্রহণযোগ্য ভেক্টরের অস্তিত্ব বোঝায় যে প্রতিটি ভেক্টর গ্রহণযোগ্য। একটি বর্গাকার সমন্বিত উপস্থাপনা এবং একটি গ্রহণযোগ্য ভেক্টর দেওয়া হলে, আসুন আমরা ভেক্টরগুলি সংজ্ঞায়িত করি এই ভেক্টরগুলি হাইজেনবার্গ গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্বের পরিপ্রেক্ষিতে লিখিত ক্যানোনিকাল সুসঙ্গত অবস্থার অনুরূপ (তবে, নীচে গিলমোর-পেরেলোমভ সিএস-এর বিভাগটি দেখুন)। এরপরে, এটি দেখানো যেতে পারে যে পরিচয়ের রেজোলিউশন ধরে রাখে। সুতরাং, ভেক্টরগুলি সাধারণীকৃত সুসঙ্গত অবস্থার একটি পরিবার গঠন করে। সমস্ত ভেক্টরের জন্য ফাংশনগুলি পরিমাপ এবং এই ধরনের ফাংশনের সেটের সাপেক্ষে বর্গাকার ইন্টিগ্রেবল, যা প্রকৃতপক্ষে এর টপোলজিতে অবিচ্ছিন্ন, এর একটি বদ্ধ সাবস্পেস গঠন করে। উপরন্তু, ম্যাপিং হল এবং এর মধ্যে একটি রৈখিক আইসোমেট্রি এবং এই আইসোমেট্রি-র অধীনে উপস্থাপনাটি অন-এর বাম নিয়মিত উপস্থাপনার একটি উপ-উপস্থাপনায় ম্যাপ করা হয়। একটি উদাহরণ-ওয়েভলেটস উপরের নির্মাণের একটি সাধারণ উদাহরণ লাইনের অ্যাফিন গ্রুপ দ্বারা সরবরাহ করা হয়। এটি এই ধরনের সমস্ত 2 × 2 ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ, এবং এর সাথে বাস্তব সংখ্যা। আমরা প্রদত্ত ক্রিয়া সহ লিখবো। এই গোষ্ঠীটি অ-এককাকার, বাম অপরিবর্তনীয় পরিমাপ দ্বারা দেওয়া হয় (ডান অপরিবর্তনীয় পরিমাপ হচ্ছে)। হিলবার্ট স্পেসে অ্যাফিন গ্রুপের একটি একক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা রয়েছে। ভেক্টরগুলি প্রকৃত চলকের পরিমাপযোগ্য ফাংশন এবং এই প্রতিনিধিত্বের (একক) অপারেটররা তাদের উপর এইভাবে কাজ করে যে যদি এমন একটি ফাংশন হয় যাতে এর ফুরিয়ার রূপান্তর (গ্রহণযোগ্যতা) শর্তটি সন্তুষ্ট করে তবে এটি একটি গ্রহণযোগ্য ভেক্টর হিসাবে দেখানো যেতে পারে, অর্থাৎ, উপরে বর্ণিত সাধারণ গঠন অনুসরণ করে, ভেক্টরগুলি সাধারণীকৃত সুসঙ্গত অবস্থার একটি পরিবারকে সংজ্ঞায়িত করে এবং একজনের উপর পরিচয়ের রেজোলিউশন থাকে। সংকেত বিশ্লেষণ সাহিত্যে, উপরের গ্রহণযোগ্যতার শর্ত পূরণকারী ভেক্টরকে মাদার ওয়েভলেট বলা হয় এবং সাধারণীকৃত সুসঙ্গত অবস্থাগুলিকে ওয়েভলেট বলা হয়। সংকেতগুলি তখন ভেক্টরের সাথে চিহ্নিত করা হয় এবং ফাংশনটিকে সংকেতের অবিচ্ছিন্ন তরঙ্গ রূপান্তর বলা হয়। এই ধারণাটি দুটি মাত্রায় প্রসারিত করা যেতে পারে, গোষ্ঠীটি সমতলের তথাকথিত সাদৃশ্য গোষ্ঠী দ্বারা প্রতিস্থাপিত হচ্ছে, যা সমতল অনুবাদ, ঘূর্ণন এবং বিশ্বব্যাপী বিস্তার নিয়ে গঠিত। ফলস্বরূপ 2ডি তরঙ্গ এবং তাদের কিছু সাধারণীকরণ চিত্র প্রক্রিয়াকরণে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। গিলমোর-পেরেলোমভ সুসঙ্গত বিবৃতি দিয়েছেন যে উপরে বর্ণিত গোষ্ঠী উপস্থাপনা ব্যবহার করে সুসঙ্গত অবস্থার নির্মাণ যথেষ্ট নয়। ইতিমধ্যে এটি সিসিএস অর্জন করতে পারে না, কারণ এগুলি হাইজেনবার্গ গোষ্ঠীর উপাদানগুলির দ্বারা সূচীভুক্ত হয় না, বরং তার কেন্দ্র দ্বারা পরেরটির ভাগফলের পয়েন্ট দ্বারা, যে ভাগফলটি সঠিকভাবে হয়। মূল পর্যবেক্ষণটি হ 'ল হাইজেনবার্গ গোষ্ঠীর কেন্দ্রটি ভ্যাকুয়াম ভেক্টরকে একটি পর্যায় পর্যন্ত অপরিবর্তনীয় রাখে। এই ধারণাকে সাধারণীকরণ করে, গিলমোর এবং পেরেলোমভ একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট গ্রুপ এবং হিলবার্ট স্পেসে একটি একক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা বিবেচনা করেন, অগত্যা বর্গাকার ইন্টিগ্রেবল নয়। একটি ভেক্টরকে একক নিয়মে স্থির করুন এবং সমস্ত উপাদানের সমন্বয়ে গঠিত উপগোষ্ঠী দ্বারা নির্দেশ করুন যা এটিকে একটি পর্যায় পর্যন্ত অপরিবর্তনীয় রাখে, অর্থাৎ, যেখানে এর একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন। বাম কোসেট স্পেস এবং একটি নির্বিচারে উপাদান হতে দিন। একটি কোসেট প্রতিনিধি নির্বাচন করে, প্রতিটি কোসেটের জন্য, আমরা ভেক্টরগুলি সংজ্ঞায়িত করি কোসেট প্রতিনিধির নির্দিষ্ট পছন্দের উপর এই ভেক্টরগুলির নির্ভরতা কেবল একটি পর্যায়ের মাধ্যমে হয়। প্রকৃতপক্ষে, যদি এর পরিবর্তে, আমরা একই কোসেটের জন্য একটি ভিন্ন প্রতিনিধি নিই, তবে কারো কারো জন্য, আমরা তা করতাম। অতএব, কোয়ান্টাম যান্ত্রিকভাবে, উভয়ই একই ভৌত অবস্থার প্রতিনিধিত্ব করে এবং বিশেষ করে, প্রজেকশন অপারেটর শুধুমাত্র কোসেটের উপর নির্ভর করে। এইভাবে সংজ্ঞায়িত ভেক্টরগুলিকে গিলমোর-পেরেলোমভ সুসঙ্গত অবস্থা বলা হয়। যেহেতু এটি অপরিবর্তনীয় বলে মনে করা হয়, তাই এই সমস্ত ভেক্টরের সেটটি ঘন হয়। সাধারণীকৃত সুসঙ্গত অবস্থার এই সংজ্ঞায়, পরিচয়ের কোনও রেজোলিউশন অনুমান করা হয় না। যাইহোক, যদি একটি অপরিবর্তনীয় পরিমাপ বহন করে, প্রাকৃতিক ক্রিয়ার অধীনে, এবং যদি আনুষ্ঠানিক অপারেটরকে সীমাবদ্ধ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে এটি অবশ্যই পরিচয়ের একটি গুণিতক এবং পরিচয়ের একটি রেজোলিউশন আবার পুনরুদ্ধার করা হয়। গিলমোর-পেরেলোমভ সুসঙ্গত অবস্থাকে কোয়ান্টাম গ্রুপে সাধারণীকরণ করা হয়েছে, তবে এর জন্য আমরা সাহিত্যের কথা উল্লেখ করি। আরও সাধারণীকরণঃ কোসেট স্পেসের উপর সুসঙ্গত অবস্থা পেরেলোমভ গঠন যে কোনও স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট গ্রুপের জন্য সুসঙ্গত অবস্থা সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অন্যদিকে, বিশেষত গিলমোর-পেরেলোমভ নির্মাণের ব্যর্থতার ক্ষেত্রে, গোষ্ঠী উপস্থাপনা ব্যবহার করে সাধারণীকৃত সুসঙ্গত অবস্থার অন্যান্য গঠন রয়েছে, যা গোষ্ঠীর সমজাতীয় স্থানগুলিতে বর্গক্ষেত্রের সংহতকরণের ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। সংক্ষেপে, এই পদ্ধতিতে কেউ একটি একক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা দিয়ে শুরু করে এবং একটি ভেক্টর, একটি উপগোষ্ঠী এবং এমন একটি বিভাগ খুঁজে বের করার চেষ্টা করে যেখানে, একটি আবদ্ধ, ধনাত্মক অপারেটর যার সাথে আবদ্ধ বিপরীত এবং একটি আধা-অপরিবর্তনীয় পরিমাপ। এটি ধরে নেওয়া হয় না যে ক্রিয়ার অধীনে একটি পর্যায় পর্যন্ত অপরিবর্তনীয় এবং স্পষ্টতই, সর্বোত্তম পরিস্থিতি হল যখন আইডেন্টিটির গুণিতক হয়। যদিও কিছুটা প্রযুক্তিগত, এই সাধারণ গঠনটি এই ধরনের আধা-সরাসরি পণ্য গোষ্ঠীর জন্য প্রচুর বহুমুখিতা রয়েছে, যেখানে এর একটি বদ্ধ উপগোষ্ঠী রয়েছে। সুতরাং, এটি অনেক শারীরিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ গোষ্ঠীর জন্য দরকারী, যেমন পয়েনকারে গোষ্ঠী বা ইউক্লিডীয় গোষ্ঠী, যাদের পূর্ববর্তী সংজ্ঞার অর্থে বর্গাকার সমন্বিত উপস্থাপনা নেই। বিশেষত, অপারেটরকে সংজ্ঞায়িত করার অবিচ্ছেদ্য শর্তটি নিশ্চিত করে যে যে কোনও ভেক্টরকে সাধারণীকৃত সুসঙ্গত অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে, যা যে কোনও ধরনের সুসঙ্গত অবস্থার প্রাথমিক লক্ষ্য। সুসঙ্গত অবস্থাঃ একটি পরিমাপ সেটের পরিমাণ নির্ধারণের জন্য একটি বায়েসিয়ান নির্মাণ আমরা এখন আদর্শ পরিস্থিতি থেকে সরে এসে সুসঙ্গত অবস্থা নির্মাণের একটি সাধারণ পদ্ধতি উপস্থাপন করি, কিছু স্ব-সংযুক্ত অপারেটরের আইগেনস্টেটের সুপারপজিশন হিসাবে এই বস্তুর কাঠামোর উপর কয়েকটি পর্যবেক্ষণ থেকে শুরু করে, যেমন স্ট্যান্ডার্ড সিএস-এর জন্য সুরেলা দোলক হ্যামিল্টনিয়ান ছিল। এটি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের সারমর্ম যে এই সুপারপজিশনটির একটি সম্ভাব্য স্বাদ রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, আমরা লক্ষ্য করি যে ক্যানোনিকাল সুসঙ্গত অবস্থার সম্ভাব্য কাঠামোতে দুটি সম্ভাব্যতা বিতরণ জড়িত যা তাদের নির্মাণের ভিত্তি। এক ধরনের দ্বৈততায়, কোয়ান্টাম সিস্টেমটি যখন সুসঙ্গত অবস্থায় থাকে তখন উত্তেজনা সনাক্ত করার সম্ভাবনাকে নিয়ন্ত্রণ করে একটি পয়সন ডিস্ট্রিবিউশন এবং জটিল পরামিতিগুলির সেটে একটি গামা ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে, আরও সঠিকভাবে রেডিয়াল ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রের পরিসরে। সাধারণীকরণ সেই দ্বৈত পরিকল্পনা অনুসরণ করে। ধরা যাক একটি পরিমাপ এবং তার সাথে যুক্ত জটিল-মূল্যবান ফাংশনের হিলবার্ট স্পেস দিয়ে সজ্জিত পরামিতিগুলির একটি সেট, বর্গক্ষেত্রের সাপেক্ষে ইন্টিগ্রেবল। আসুন আমরা একটি সীমাবদ্ধ বা গণনাযোগ্য অর্থোনরমাল সেট বেছে নিইঃ অসীম গণনার ক্ষেত্রে, এই সেটটিকে অবশ্যই (গুরুত্বপূর্ণ) সীমাবদ্ধতার শর্ত মেনে চলতে হবেঃ এর উপাদানগুলির সাথে এক-থেকে-এক যোগাযোগে অর্থোনরমাল ভিত্তিতে একটি পৃথকযোগ্য জটিল হিলবার্ট স্পেস হতে দিন। উপরের দুটি শর্ত বোঝায় যে স্বাভাবিক সুসঙ্গত অবস্থার পরিবার, যা সনাক্তকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ এই ধরনের সম্পর্ক আমাদের এমন একটি ফাংশনের সাথে সংযুক্ত করে পরামিতিগুলির সেটের একটি সুসঙ্গত অবস্থা বা ফ্রেম কোয়ান্টাইজেশন বাস্তবায়ন করতে দেয় যা নিম্নলিখিত অপারেটরকে উপযুক্ত শর্তগুলি সন্তুষ্ট করেঃ অপারেটরটি যদি বাস্তব-মূল্যবান হয় তবে প্রতিসম, এবং এটি স্ব-সংযুক্ত (দ্বিঘাত রূপ হিসাবে) যদি বাস্তব এবং আধা-সীমাবদ্ধ হয়। মূলটি অপারেটরের জন্য একটি উপরের প্রতীক, সাধারণত অ-অনন্য। এটিকে পরিবারের সাপেক্ষে ধ্রুপদী পর্যবেক্ষণযোগ্য বলা হবে যদি তথাকথিত নিম্ন প্রতীকটির, হিসাবে সংজ্ঞায়িত হালকা কার্যকরী বৈশিষ্ট্যগুলি মূল সেটকে প্রদত্ত আরও টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য অনুসারে সুনির্দিষ্ট করা হয়। কোয়ান্টাম অবস্থার স্থানের এই নির্মাণের একটি শেষ বিন্দু তার পরিসংখ্যানগত দিকগুলি নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। দুটি সম্ভাব্যতা বিতরণের মধ্যে প্রকৃতপক্ষে একটি আন্তঃক্রিয়া রয়েছেঃ আরও দেখুন সুসঙ্গত অবস্থা লাইব অনুমান গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান