Ordinary differential equation
গণিতে, একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (ODE) হল একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (DE) যা শুধুমাত্র একটি স্বাধীন চলকের উপর নির্ভরশীল। অন্যান্য ডিই-এর মতো, এর অজানা (গুলি) এক (বা একাধিক) ফাংশন (গুলি) নিয়ে গঠিত এবং সেই ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভস জড়িত। "সাধারণ" শব্দটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিপরীতে ব্যবহৃত হয় যা একটি স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে হতে পারে। একটি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হল একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা অজানা ফাংশন এবং তার ডেরিভেটিভগুলিতে একটি রৈখিক বহুপদী দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, এটি সেই ফর্মের একটি সমীকরণ যেখানে,, এবং নির্বিচারে ডিফারেনশিয়াল ফাংশন যা রৈখিক হওয়ার প্রয়োজন নেই, এবং চলকের অজানা ফাংশনের ধারাবাহিক ডেরিভেটিভ। সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির মধ্যে, রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি বিভিন্ন কারণে একটি বিশিষ্ট ভূমিকা পালন করে। পদার্থবিজ্ঞান এবং ফলিত গণিতে সম্মুখীন হওয়া বেশিরভাগ প্রাথমিক এবং বিশেষ ফাংশনগুলি রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান (হলোনমিক ফাংশন দেখুন)। যখন ভৌত ঘটনাগুলিকে অ-রৈখিক সমীকরণের সাথে মডেল করা হয়, তখন সেগুলি সাধারণত একটি সহজ সমাধানের জন্য রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা আনুমানিক হয়। স্পষ্টভাবে সমাধান করা যেতে পারে এমন কয়েকটি অ-রৈখিক ও. ডি. ই সাধারণত সমীকরণটিকে সমতুল্য রৈখিক ও. ডি. ই-তে রূপান্তরিত করে সমাধান করা হয় (দেখুন, উদাহরণস্বরূপ রিকাটি সমীকরণ)। কিছু ও. ডি. ই-কে পরিচিত ফাংশন এবং ইন্টিগ্রালের পরিপ্রেক্ষিতে স্পষ্টভাবে সমাধান করা যেতে পারে। যখন তা সম্ভব হয় না, তখন সমাধানগুলির টেলর সিরিজ গণনা করার জন্য সমীকরণটি কার্যকর হতে পারে। প্রয়োগকৃত সমস্যাগুলির জন্য, সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি সমাধানের একটি আনুমানিক পরিমাণ সরবরাহ করতে পারে। পটভূমি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (ওডিই) গণিত এবং সামাজিক ও প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের অনেক প্রসঙ্গে উদ্ভূত হয়। পরিবর্তনের গাণিতিক বর্ণনায় ডিফারেনশিয়াল এবং ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয়। বিভিন্ন ডিফারেনশিয়াল, ডেরিভেটিভ এবং ফাংশন সমীকরণের মাধ্যমে সম্পর্কিত হয়ে ওঠে, যেমন একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এমন একটি ফলাফল যা গতিশীলভাবে পরিবর্তিত ঘটনা, বিবর্তন এবং বৈচিত্র্য বর্ণনা করে। প্রায়শই, পরিমাণগুলি অন্যান্য পরিমাণের পরিবর্তনের হার (উদাহরণস্বরূপ, সময়ের সাপেক্ষে স্থানচ্যুতির ব্যুৎপত্তি), বা পরিমাণের গ্রেডিয়েন্ট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা তারা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রবেশ করে। নির্দিষ্ট গাণিতিক ক্ষেত্রগুলির মধ্যে রয়েছে জ্যামিতি এবং বিশ্লেষণাত্মক বলবিজ্ঞান। বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্রগুলির মধ্যে রয়েছে পদার্থবিজ্ঞান এবং জ্যোতির্বিজ্ঞান (মহাজাগতিক বলবিজ্ঞান), আবহাওয়াবিজ্ঞান (আবহাওয়ার মডেলিং), রসায়ন (প্রতিক্রিয়ার হার), জীববিজ্ঞান (সংক্রামক রোগ, জিনগত বৈচিত্র্য), বাস্তুসংস্থান এবং জনসংখ্যার মডেলিং (জনসংখ্যার প্রতিযোগিতা), অর্থনীতি (শেয়ারের প্রবণতা, সুদের হার এবং বাজারের ভারসাম্য মূল্য পরিবর্তন)। অনেক গণিতবিদ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ অধ্যয়ন করেছেন এবং এই ক্ষেত্রে অবদান রেখেছেন, যার মধ্যে নিউটন, লাইবনিজ, বার্নৌলি পরিবার, রিকাটি, ক্লেয়ারট, ডি 'আলেমবার্ট এবং ইউলার রয়েছেন। একটি সহজ উদাহরণ হল নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র-F বলের অধীনে কোনও বস্তুর স্থানচ্যুতি x এবং সময় t-এর মধ্যে সম্পর্ক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয় যা ধ্রুবক ভর m-এর একটি কণার গতিকে সীমাবদ্ধ করে। সাধারণভাবে, F হল t সময়ে কণার x (t) অবস্থানের একটি ফাংশন। অজানা ফাংশন x (t) ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উভয় পাশে উপস্থিত হয় এবং F (x (t) স্বরলিপিতে নির্দেশিত হয়। নিম্নলিখিত সংজ্ঞাগুলিতে, y হল একটি নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল যা স্বাধীন পরিবর্তনশীল x-এর একটি অজানা ফাংশনকে উপস্থাপন করে। পৃথকীকরণের জন্য স্বরলিপি লেখকের উপর নির্ভর করে এবং কোন স্বরলিপি হাতে থাকা কাজের জন্য সবচেয়ে কার্যকর তার উপর নির্ভর করে। এই প্রসঙ্গে, লাইবনিজের স্বরলিপি পৃথকীকরণ এবং সংহতকরণের জন্য আরও কার্যকর, যেখানে ল্যাগ্রাঞ্জের স্বরলিপি উচ্চ-ক্রমের ব্যুৎপত্তিগুলিকে সংক্ষিপ্তভাবে উপস্থাপন করার জন্য আরও কার্যকর, এবং নিউটনের স্বরলিপি প্রায়শই পদার্থবিজ্ঞানে সময়ের সাপেক্ষে নিম্ন ক্রমের ব্যুৎপত্তিগুলির প্রতিনিধিত্ব করার জন্য ব্যবহৃত হয়। সাধারণ সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে F, x, y এর একটি ফাংশন এবং y এর ডেরিভেটিভ। তারপর ফর্মের একটি সমীকরণকে বলা হয় ক্রম n-এর একটি সুস্পষ্ট সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। আরও সাধারণভাবে, ক্রম n-এর একটি অন্তর্নিহিত সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এই রূপ নেয়ঃ আরও শ্রেণিবিন্যাস রয়েছেঃ ODE-এর সিস্টেম বেশ কয়েকটি সংযুক্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমীকরণের একটি সিস্টেম গঠন করে। যদি y একটি ভেক্টর হয় যার উপাদানগুলি ফাংশন হয়; y (x) = [y1 (x), y2 (x),., ym (x)], এবং F হল y এবং তার ডেরিভেটিভের একটি ভেক্টর-মূল্যবান ফাংশন, তাহলে n ক্রম এবং মাত্রার m এর সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সুস্পষ্ট ব্যবস্থা। কলাম ভেক্টর আকারেঃ এগুলি অগত্যা রৈখিক নয়। অন্তর্নিহিত সাদৃশ্যটি হলঃ যেখানে 0 = (0,0,., 0) হল শূন্য ভেক্টর। ম্যাট্রিক্স আকারে ফর্মের একটি সিস্টেমের জন্য, কিছু উৎসের জন্য জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সকে অ-সিঙ্গুলার হওয়া প্রয়োজন যাতে এটি একটি অন্তর্নিহিত ODE [সিস্টেম] বলা যায়; একটি অন্তর্নিহিত ODE সিস্টেম যা এই জ্যাকোবিয়ান অ-সিঙ্গুলারিটি শর্তকে সন্তুষ্ট করে একটি স্পষ্ট ODE সিস্টেমে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। একই উৎসে, একবচন জ্যাকোবিয়ান সহ অন্তর্নিহিত ও. ডি. ই সিস্টেমগুলিকে ডিফারেনশিয়াল বীজগাণিতিক সমীকরণ (ডি. এ. ই) বলা হয়। এই পার্থক্যটি কেবল একটি পরিভাষা নয়; ডিএইগুলির মৌলিকভাবে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং সাধারণত (ননসিঙ্গুলার) ওডিই সিস্টেমের তুলনায় সমাধান করার জন্য বেশি জড়িত। সম্ভবত অতিরিক্ত ব্যুৎপত্তিগুলির জন্য, হেসিয়ান ম্যাট্রিক্স ইত্যাদি এই পরিকল্পনা অনুসারে অ-একক বলে ধরে নেওয়া হয়, যদিও লক্ষ্য করুন যে একের চেয়ে বড় ক্রমের যে কোনও ও. ডি. ই প্রথম ক্রমের ও. ডি. ই সিস্টেম হিসাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে (এবং সাধারণত করা হয়), যা জ্যাকোবিয়ান এককত্বের মানদণ্ডকে এই শ্রেণীবিন্যাসের জন্য সমস্ত ক্রমে ব্যাপক হওয়ার জন্য যথেষ্ট করে তোলে। ও. ডি. ই-র একটি পদ্ধতির আচরণ একটি পর্যায়ের প্রতিকৃতি ব্যবহারের মাধ্যমে দৃশ্যমান করা যেতে পারে। সমাধান একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দেওয়া হলে, একটি ফাংশন, যেখানে I একটি ব্যবধান, তাকে F-এর জন্য সমাধান বা অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা বলা হয়, যদি u, I-এর উপর n-গুণ ডিফারেনশিয়াল হয়, এবং দুটি সমাধান দেওয়া হয় এবং, u-কে v-এর এক্সটেনশন বলা হয় যদি এবং A সমাধান যার কোনও এক্সটেনশন নেই তাকে ম্যাক্সিমাল সমাধান বলা হয়। সমস্ত আর-এর উপর সংজ্ঞায়িত একটি সমাধানকে বৈশ্বিক সমাধান বলা হয়। একটি n-ক্রমের সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান হল এমন একটি সমাধান যার মধ্যে n স্বেচ্ছাচারী ইন্টিগ্রেশনের স্বাধীন ধ্রুবক রয়েছে। একটি নির্দিষ্ট সমাধান সাধারণ সমাধান থেকে নির্দিষ্ট মানগুলিতে ধ্রুবক নির্ধারণ করে উদ্ভূত হয়, যা প্রায়শই সেট 'প্রাথমিক শর্ত বা সীমানা শর্ত' পূরণ করার জন্য বেছে নেওয়া হয়। একক সমাধান হল এমন একটি সমাধান যা সাধারণ সমাধানে স্বেচ্ছাচারী ধ্রুবকগুলিকে নির্দিষ্ট মান নির্ধারণ করে পাওয়া যায় না। রৈখিক ও. ডি. ই-এর প্রসঙ্গে, পরিভাষা নির্দিষ্ট সমাধানটি ও. ডি. ই-এর যে কোনও সমাধানকেও বোঝাতে পারে (প্রাথমিক শর্তগুলি সন্তোষজনক নয়), যা তারপর সমজাতীয় সমাধানে (সমজাতীয় ও. ডি. ই-এর একটি সাধারণ সমাধান) যোগ করা হয়, যা তারপর মূল ও. ডি. ই-এর একটি সাধারণ সমাধান গঠন করে। এই নিবন্ধে অনুমান পদ্ধতি বিভাগে ব্যবহৃত পরিভাষাটি হল, এবং অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি এবং পরামিতিগুলির বৈচিত্র্য নিয়ে আলোচনা করার সময় প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। সসীম সময়কালের সমাধান অ-রৈখিক স্বায়ত্তশাসিত ও. ডি. ই-গুলির জন্য কিছু শর্তে সসীম সময়কালের সমাধান তৈরি করা সম্ভব, যার অর্থ এখানে তার নিজস্ব গতিবিদ্যা থেকে, সিস্টেমটি শেষ সময়ে শূন্যের মান পৌঁছাবে এবং তারপর চিরকাল শূন্যের মধ্যে থাকবে। এই সীমাবদ্ধ-সময়কালের সমাধানগুলি সম্পূর্ণ বাস্তব রেখার বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হতে পারে না এবং যেহেতু তারা তাদের শেষ সময়ে অ-লিপস্কিটজ ফাংশন হবে, তাই তারা লিপস্কিটজ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের অনন্যতা উপপাদ্যের অন্তর্ভুক্ত নয়। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণঃ সীমাবদ্ধ সময়কালের সমাধান স্বীকার করেঃ তত্ত্বগুলি একক সমাধান সাধারণ এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একক সমাধানের তত্ত্ব লাইবনিজের সময় থেকে গবেষণার বিষয় ছিল, তবে কেবল উনিশ শতকের মাঝামাঝি থেকে এটি বিশেষ মনোযোগ পেয়েছে। এই বিষয়ে একটি মূল্যবান কিন্তু স্বল্প-পরিচিত কাজ হল হাউটেইনের (1854)। ডারবাউক্স (1873 সাল থেকে) এই তত্ত্বের একজন নেতা ছিলেন এবং এই সমাধানগুলির জ্যামিতিক ব্যাখ্যায় তিনি বিভিন্ন লেখক, বিশেষত ক্যাসোরাটি এবং কেলির দ্বারা কাজ করা একটি ক্ষেত্র চালু করেছিলেন। দ্বিতীয়টির জন্য (1872) 1900 সালের দিকে গৃহীত প্রথম ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একক সমাধানের তত্ত্বটি প্রাপ্য। চতুর্ভুজে হ্রাস ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি নিয়ে কাজ করার আদিম প্রচেষ্টার পরিপ্রেক্ষিতে চতুর্ভুজে হ্রাস করা হয়েছিল। যেহেতু অষ্টাদশ শতাব্দীর বীজগণিতবিদদের আশা ছিল যে, নবম মাত্রার সাধারণ সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি পদ্ধতি খুঁজে বের করবেন, তাই বিশ্লেষকদের আশা ছিল যে কোনও ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে একীভূত করার জন্য একটি সাধারণ পদ্ধতি খুঁজে বের করবেন। গাউস (1799) অবশ্য দেখিয়েছেন যে, জটিল অবকল সমীকরণের জন্য জটিল সংখ্যা প্রয়োজন। অতএব, বিশ্লেষকরা ক্রিয়াগুলির অধ্যয়নের বিকল্প হিসাবে কাজ শুরু করেন, যার ফলে একটি নতুন এবং উর্বর ক্ষেত্র উন্মুক্ত হয়। কচিই প্রথম এই দৃষ্টিভঙ্গির গুরুত্ব উপলব্ধি করেছিলেন। এরপরে, আসল প্রশ্নটি আর ছিল না যে পরিচিত ফাংশন বা তাদের ইন্টিগ্রালের মাধ্যমে কোনও সমাধান সম্ভব কিনা, তবে একটি প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ স্বাধীন পরিবর্তনশীল বা ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সংজ্ঞার জন্য যথেষ্ট কিনা এবং যদি তা হয় তবে বৈশিষ্ট্যগুলি কী কী। ফুচসিয়ান তত্ত্ব ফুচসের দুটি স্মৃতিকথা একটি অভিনব পদ্ধতিকে অনুপ্রাণিত করেছিল, যা পরবর্তীকালে থম এবং ফ্রোবেনিয়াস দ্বারা বিশদভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছিল। 1869 খ্রিষ্টাব্দের শুরুতে কোলেট একজন বিশিষ্ট অবদানকারী ছিলেন। একটি অ-রৈখিক ব্যবস্থাকে একীভূত করার জন্য তাঁর পদ্ধতি 1868 সালে বার্ট্রান্ডকে জানানো হয়েছিল। ক্লেবশ (1873) তাঁর আবেলিয়ান ইন্টিগ্রাল তত্ত্বের সমান্তরালে তত্ত্বটিকে আক্রমণ করেছিলেন। যেহেতু পরেরটিকে মৌলিক বক্ররেখার বৈশিষ্ট্য অনুসারে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে যা একটি যুক্তিসঙ্গত রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে, ক্লেবশ যুক্তিসঙ্গত এক-থেকে-এক রূপান্তরের অধীনে সংশ্লিষ্ট পৃষ্ঠ f = 0 এর অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্য অনুসারে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত অতীন্দ্রিয় ফাংশনগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করার প্রস্তাব করেছিলেন। 1870 সাল থেকে, সোফাস লাই-এর কাজ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বকে আরও ভাল ভিত্তির উপর স্থাপন করে। তিনি দেখিয়েছেন যে পুরনো গণিতবিদদের ইন্টিগ্রেশন তত্ত্বগুলি লাই গ্রুপ ব্যবহার করে একটি সাধারণ উৎস হিসাবে উল্লেখ করা যেতে পারে এবং সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি যা একই অসীম রূপান্তরগুলি স্বীকার করে তুলনীয় ইন্টিগ্রেশন অসুবিধা উপস্থাপন করে। তিনি যোগাযোগের রূপান্তরের বিষয়টির উপরও জোর দিয়েছিলেন। মিথ্যার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের গ্রুপ তত্ত্বটি প্রত্যয়িত হয়েছে, যথাঃ (1) এটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের জন্য পরিচিত অনেক অ্যাডহক পদ্ধতিগুলিকে একত্রিত করে এবং (2) এটি সমাধান খুঁজে বের করার শক্তিশালী নতুন উপায় সরবরাহ করে। সাধারণ এবং আংশিক অবকল সমীকরণ উভয়ের ক্ষেত্রেই এই তত্ত্বের প্রয়োগ রয়েছে। একটি সাধারণ সমাধান পদ্ধতি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রতিসাম্য বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, যা সমাধানের সমাধানের ক্রমাগত অসীম রূপান্তর (মিথ্যা তত্ত্ব)। অবিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী তত্ত্ব, লাই অ্যালজেব্রা এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি সমন্বিত সমীকরণ তৈরির জন্য রৈখিক এবং অ-রৈখিক (আংশিক) ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কাঠামো বোঝার জন্য, এর ল্যাক্স জোড়া, পুনরাবৃত্তি অপারেটর, ব্যাক্লুন্ড রূপান্তর এবং অবশেষে ডিই-এর সঠিক বিশ্লেষণাত্মক সমাধান খুঁজে বের করার জন্য ব্যবহৃত হয়। গণিত, পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং অন্যান্য শাখায় উদ্ভূত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিতে প্রতিসাম্য পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়েছে। স্টর্ম-লিউভিল তত্ত্ব হল একটি বিশেষ ধরনের দ্বিতীয় ক্রমের রৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্ব। তাদের সমাধানগুলি দ্বিতীয়-ক্রমের সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত রৈখিক অপারেটরদের আইগেনভ্যালু এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনফাংশনের উপর ভিত্তি করে তৈরি। সমস্যাগুলি স্টর্ম-লিউভিল প্রবলেম (এসএলপি) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে এবং জে. সি. এফ-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে। স্টর্ম এবং জে. লিউভিল, যারা 1800-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে তাদের অধ্যয়ন করেছিলেন। এসএলপি-র অসীম সংখ্যক আইগেনভ্যালু রয়েছে এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনফাংশানগুলি একটি সম্পূর্ণ, অর্থোগোনাল সেট গঠন করে, যা অর্থোগোনাল সম্প্রসারণকে সম্ভব করে তোলে। ফলিত গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশলের ক্ষেত্রে এটি একটি মূল ধারণা। নির্দিষ্ট কিছু আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিশ্লেষণেও এসএলপি কার্যকর। সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা এমন বেশ কয়েকটি উপপাদ্য রয়েছে যা স্থানীয় এবং বিশ্বব্যাপী ও. ডি. ই-গুলির সাথে জড়িত প্রাথমিক মূল্য সমস্যার সমাধানের অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা প্রতিষ্ঠা করে। দুটি প্রধান উপপাদ্য হল {। শ্রেণী = "উইকিটেবল"।-! উপপাদ্য! অনুমান! উপসংহার।-|Peano অস্তিত্ব উপপাদ্য। |F অবিচ্ছিন্ন। |local অস্তিত্ব শুধুমাত্র।-|Picard-Lindelöf উপপাদ্য। |F Lipschitz অবিচ্ছিন্ন। |local অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা।-। তাদের মৌলিক আকারে এই উভয় উপপাদ্যই কেবল স্থানীয় ফলাফলের নিশ্চয়তা দেয়, যদিও পরেরটিকে বিশ্বব্যাপী ফলাফল দেওয়ার জন্য প্রসারিত করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যদি গ্রনওয়ালের বৈষম্যের শর্তগুলি পূরণ করা হয়। উপরের লিপস্কিটজের মতো স্বতন্ত্রতা উপপাদ্যগুলি ডিএই ব্যবস্থার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়, যার একাধিক সমাধান শুধুমাত্র তাদের (অ-রৈখিক) বীজগাণিতিক অংশ থেকে উদ্ভূত হতে পারে। স্থানীয় অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা উপপাদ্য সরলীকৃত উপপাদ্যটি সহজভাবে নিম্নরূপ বলা যেতে পারে। সমীকরণ এবং প্রাথমিক মান সমস্যার জন্যঃ যদি x-y সমতলে একটি বদ্ধ আয়তক্ষেত্রে F এবং ষ্ণ F/ষ্ণ y অবিচ্ছিন্ন হয়, যেখানে a এবং b বাস্তব (প্রতীকীভাবেঃ) এবং কার্টেসিয়ান গুণফলকে নির্দেশ করে, বর্গাকার বন্ধনীগুলি বদ্ধ ব্যবধানকে নির্দেশ করে, তবে কিছু কিছুর জন্য একটি ব্যবধান রয়েছে যেখানে উপরের সমীকরণ এবং প্রাথমিক মান সমস্যার সমাধান পাওয়া যেতে পারে। অর্থাৎ, একটি সমাধান রয়েছে এবং এটি অনন্য। যেহেতু F-এর রৈখিক হওয়ার কোনও সীমাবদ্ধতা নেই, তাই এটি অ-রৈখিক সমীকরণগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যা F (x, y) রূপ নেয় এবং এটি সমীকরণের সিস্টেমেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। বিশ্বব্যাপী অনন্যতা এবং সমাধানের সর্বাধিক ক্ষেত্র যখন পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্যের অনুমানগুলি সন্তুষ্ট হয়, তখন স্থানীয় অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা একটি বিশ্বব্যাপী ফলাফল পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। আরও সুনির্দিষ্টভাবেঃ প্রতিটি প্রাথমিক শর্তের (x0, y0) জন্য একটি অনন্য সর্বাধিক (সম্ভবত অসীম) উন্মুক্ত ব্যবধান রয়েছে যাতে যে কোনও সমাধান যা এই প্রাথমিক শর্তটি সন্তুষ্ট করে তা সমাধানের একটি সীমাবদ্ধতা যা ডোমেনের সাথে এই প্রাথমিক শর্তটি সন্তুষ্ট করে। এই ক্ষেত্রে, সীমাবদ্ধ সময়ে ঠিক দুটি সম্ভাবনার বিস্ফোরণ রয়েছেঃ সংজ্ঞার ক্ষেত্রটি ছেড়ে দেয়ঃ যেখানে ω হল খোলা সেট যেখানে F সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এবং এটি তার সীমানা। মনে রাখবেন যে সমাধানের সর্বাধিক ডোমেন সর্বদা একটি ব্যবধান (স্বতন্ত্রতা থাকার জন্য) নির্দিষ্ট পছন্দের (x0, y0) উপর নির্ভর করে ছোট হতে পারে। উদাহরণ। এর অর্থ হল যে F (x, y) = y2, যা C1 এবং তাই স্থানীয়ভাবে লিপস্কিটজ কন্টিনিউয়াস, যা পিকার্ড-লিন্ডেলফ উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে। এমনকি এই ধরনের সহজ পরিবেশেও, সমাধানের সর্বাধিক ক্ষেত্র সম্পূর্ণ হতে পারে না কারণ সমাধানটির সর্বাধিক ক্ষেত্র রয়েছেঃ এটি স্পষ্টভাবে দেখায় যে সর্বাধিক ব্যবধান প্রাথমিক অবস্থার উপর নির্ভর করতে পারে। y-এর ডোমেনটিকে অস্তিত্ব হিসাবে নেওয়া যেতে পারে তবে এটি এমন একটি ডোমেনের দিকে পরিচালিত করবে যা কোনও ব্যবধান নয়, যাতে প্রাথমিক অবস্থার বিপরীত দিকটি প্রাথমিক শর্ত থেকে বিচ্ছিন্ন হয়ে যায় এবং তাই এটি দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় না। সর্বাধিক ডোমেনটি এই কারণে নয় যে উপরের উপপাদ্য অনুসারে দুটি সম্ভাব্য ক্ষেত্রে এটি একটি। সমীকরণের ক্রম হ্রাস করা গেলে সাধারণত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করা সহজ হয়। প্রথম-ক্রম ব্যবস্থায় হ্রাস n ক্রমের যে কোনও সুস্পষ্ট অবকল সমীকরণকে, i = 1,2,.., n-এর জন্য অজানা ফাংশনের একটি নতুন পরিবারকে সংজ্ঞায়িত করে n প্রথম-ক্রম অবকল সমীকরণের একটি ব্যবস্থা হিসাবে লেখা যেতে পারে। প্রথম-ক্রম সংযুক্ত অবকল সমীকরণের n-মাত্রিক ব্যবস্থা তখন ভেক্টর স্বরলিপিতে আরও সংক্ষিপ্তভাবে থাকেঃ যেখানে সঠিক সমাধানের সারসংক্ষেপ কিছু অবকল সমীকরণের সমাধান রয়েছে যা সঠিক এবং বন্ধ আকারে লেখা যেতে পারে। এখানে বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ক্লাস দেওয়া হয়েছে। নীচের সারণিতে,,,, এবং, এর যে কোনও ইন্টিগ্রেবল ফাংশন রয়েছে; এবং বাস্তব প্রদত্ত ধ্রুবক; নির্বিচারে ধ্রুবক (সাধারণভাবে জটিল)। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি তাদের সমতুল্য এবং বিকল্প আকারে থাকে যা ইন্টিগ্রেশনের মাধ্যমে সমাধানের দিকে পরিচালিত করে। ইন্টিগ্রাল সমাধানগুলিতে, λ এবং ε হল ইন্টিগ্রেশনের ডামি ভেরিয়েবল (যোগফলের সূচকগুলির কন্টিনিউয়াম অ্যানালগ), এবং স্বরলিপির অর্থ হল, ইন্টিগ্রেশন বিকল্পের পরে, ধ্রুবক যোগ না করে (স্পষ্টভাবে বর্ণিত)। বিভাজক সমীকরণ সাধারণ প্রথম-ক্রমের সমীকরণ সাধারণ দ্বিতীয়-ক্রমের সমীকরণগুলি nতম ক্রমের সমীকরণগুলির সাথে রৈখিক অনুমান পদ্ধতি যখন কোনও ODE সমাধানের জন্য অন্যান্য সমস্ত পদ্ধতি ব্যর্থ হয়, বা যে ক্ষেত্রে কোনও DE-এর সমাধানটি দেখতে কেমন হতে পারে সে সম্পর্কে আমাদের কিছু অন্তর্দৃষ্টি থাকে, তখন কখনও কখনও কেবল সমাধানটি অনুমান করে এবং এটি সঠিক বলে যাচাই করে একটি DE সমাধান করা সম্ভব হয়। এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করার জন্য, আমরা কেবল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সমাধান অনুমান করি এবং তারপরে সমাধানটি সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে কিনা তা যাচাই করার জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে যুক্ত করি। যদি তা হয় তবে আমাদের কাছে ডিই-এর একটি নির্দিষ্ট সমাধান রয়েছে, অন্যথায় আমরা আবার শুরু করি এবং অন্য অনুমান করার চেষ্টা করি। উদাহরণস্বরূপ, আমরা অনুমান করতে পারি যে একটি ডিই-এর সমাধানের রূপ রয়েছেঃ যেহেতু এটি একটি খুব সাধারণ সমাধান যা শারীরিকভাবে সাইনোসয়েডাল উপায়ে আচরণ করে। প্রথম ক্রমের ODE-এর ক্ষেত্রে যা অ-সমজাতীয়, আমাদের প্রথমে DE-এর সমজাতীয় অংশের একটি DE সমাধান খুঁজে বের করতে হবে, অন্যথায় চরিত্রগত সমীকরণ হিসাবে পরিচিত, এবং তারপর অনুমান করে সমগ্র অ-সমজাতীয় সমীকরণের একটি সমাধান খুঁজে বের করতে হবে। পরিশেষে, আমরা ODE-এর মোট সমাধান পেতে এই দুটি সমাধান একসাথে যোগ করি, অর্থাৎঃ ODE সমাধানের জন্য সফ্টওয়্যার ম্যাক্সিমা, একটি ওপেন-সোর্স কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেম। সি. ও. পি. এ. এস. আই, ও. ডি. ই-গুলির সংহতকরণ এবং বিশ্লেষণের জন্য একটি বিনামূল্যে (শৈল্পিক লাইসেন্স 2) সফ্টওয়্যার প্যাকেজ। ম্যাটল্যাব, একটি প্রযুক্তিগত কম্পিউটিং অ্যাপ্লিকেশন (ম্যাট্রিক্স ল্যাবরেটরি) জি. এন. ইউ অক্টেভ, একটি উচ্চ-স্তরের ভাষা, যা প্রাথমিকভাবে সংখ্যাসূচক গণনার উদ্দেশ্যে তৈরি। সাইল্যাব, সংখ্যাসূচক গণনার জন্য একটি ওপেন সোর্স অ্যাপ্লিকেশন। ম্যাপেল, প্রতীকী গণনার জন্য একটি মালিকানাধীন অ্যাপ্লিকেশন। ম্যাথমেটিকা, প্রাথমিকভাবে প্রতীকী গণনার উদ্দেশ্যে একটি মালিকানাধীন অ্যাপ্লিকেশন। সিমপাই, একটি পাইথন প্যাকেজ যা ও. ডি. ই-কে প্রতীকীভাবে জুলিয়া (প্রোগ্রামিং ভাষা) সমাধান করতে পারে, প্রাথমিকভাবে সংখ্যাসূচক গণনার উদ্দেশ্যে একটি উচ্চ-স্তরের ভাষা। SageMath, একটি ওপেন সোর্স অ্যাপ্লিকেশন যা গণিতের বিভিন্ন শাখায় বিস্তৃত ক্ষমতার বিস্তৃত পরিসর সহ একটি পাইথনের মতো বাক্য গঠন ব্যবহার করে। সাইপাই, একটি পাইথন প্যাকেজ যার মধ্যে একটি ওডিই ইন্টিগ্রেশন মডিউল রয়েছে। চেবফুন, একটি ওপেন সোর্স প্যাকেজ, যা ম্যাটল্যাবে লেখা, 15-সংখ্যার নির্ভুলতার সাথে ফাংশনগুলির সাথে কম্পিউটিংয়ের জন্য। জি. এন. ইউ. আর, একটি মুক্ত উৎস গণনামূলক পরিবেশ যা প্রাথমিকভাবে পরিসংখ্যানের উদ্দেশ্যে তৈরি করা হয়েছে, যার মধ্যে ও. ডি. ই সমাধানের জন্য প্যাকেজ রয়েছে। এছাড়াও বাউন্ডারি ভ্যালু প্রবলেম দেখুন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদাহরণ ল্যাপ্লাস ট্রান্সফর্ম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রয়োগ করা হয় গতিশীল সিস্টেম এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তালিকা ম্যাট্রিক্স ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ অনির্ধারিত সহগের পদ্ধতি পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক নোট রেফারেন্স। পলিয়ানিন, এ. ডি. এবং ভি. এফ. জাইৎসেভ, হ্যান্ডবুক অফ এক্স্যাক্ট সলিউশনস ফর অর্ডিনারি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস (2য় সংস্করণ), চ্যাপম্যান অ্যান্ড হল/সিআরসি প্রেস, বোকা রেটন, 2003। বিব্লিওগ্রাফি ডব্লিউ. জনসন, এ ট্রিটাইজ অন অর্ডিনারি অ্যান্ড পার্শিয়াল ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস, জন উইলি অ্যান্ড সন্স, 1913, ইউনিভার্সিটি অফ মিশিগান হিস্টরিকাল ম্যাথ কালেকশন উইটোল্ড হিউরিউইজ, লেকচারস অন অর্ডিনারি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস, ডোভার পাবলিকেশনস,। এ. ডি. পোলিয়ানিন, ভি. এফ. জাইৎসেভ, এবং এ. মুসিয়াক্স, হ্যান্ডবুক অফ ফার্স্ট অর্ডার পার্শিয়াল ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস, টেলর অ্যান্ড ফ্রান্সিস, লন্ডন, 2002। ডি. জুয়িলিঙ্গার, হ্যান্ডবুক অফ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস (3য় সংস্করণ), অ্যাকাডেমিক প্রেস, বস্টন, 1997। বাহ্যিক সংযোগসমূহ EqWurld: দ্য ওয়ার্ল্ড অফ ম্যাথমেটিকাল ইকুয়েশন, তাদের সমাধান সহ সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি তালিকা ধারণ করে। পল ডকিন্স, লামার বিশ্ববিদ্যালয়ের অনলাইন নোট/ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, এস. ও. এস। গণিত। হোলিস্টিক নিউমেরিকাল মেথডস ইনস্টিটিউট, ইউনিভার্সিটি অফ সাউথ ফ্লোরিডা থেকে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিশ্লেষণাত্মক সমাধানের একটি প্রাইমার। সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং ডাইনামিকাল সিস্টেম বক্তৃতা জেরাল্ড টেশলের নোট। নোটস অন ডিফি কিউএসঃ ইঞ্জিনিয়ারদের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ ইউআইইউসি-র জিরি লেবলের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উপর একটি প্রারম্ভিক পাঠ্যপুস্তক। স্কাইল্যাব ব্যবহার করে ও. ডি. ই-এর সাথে মডেলিং ওপেনিয়ারিং টিম দ্বারা স্কাইল্যাব স্ট্যান্ডার্ড প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজ ব্যবহার করে ও. ডি. ই দ্বারা বর্ণিত একটি শারীরিক সিস্টেমের মডেল কিভাবে তৈরি করা যায় সে সম্পর্কে একটি টিউটোরিয়াল। Wolfram|Alpha ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা হচ্ছে