Multipole radiation
মাল্টিপোল বিকিরণ হল দূরবর্তী উৎসগুলির সময়-নির্ভর বিতরণ থেকে বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় বা মহাকর্ষীয় বিকিরণের বর্ণনার জন্য একটি তাত্ত্বিক কাঠামো। এই সরঞ্জামগুলি বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের স্কেলে ঘটে যাওয়া শারীরিক ঘটনাগুলিতে প্রয়োগ করা হয়-ছায়াপথের সংঘর্ষের কারণে মহাকর্ষীয় তরঙ্গ থেকে শুরু করে পারমাণবিক ক্ষয়ের ফলে গামা বিকিরণ পর্যন্ত। মাল্টিপোল বিকিরণ একই ধরনের মাল্টিপোল সম্প্রসারণ কৌশল ব্যবহার করে বিশ্লেষণ করা হয় যা স্থির উৎস থেকে ক্ষেত্রগুলি বর্ণনা করে, তবে বিশ্লেষণের বিবরণে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য রয়েছে কারণ মাল্টিপোল বিকিরণ ক্ষেত্রগুলি স্থির ক্ষেত্রগুলির থেকে বেশ আলাদা আচরণ করে। এই নিবন্ধটি প্রাথমিকভাবে তড়িৎচুম্বকীয় বহুধ্রুবীয় বিকিরণের সাথে সম্পর্কিত, যদিও মহাকর্ষীয় তরঙ্গের চিকিৎসা একই রকম। তড়িৎচুম্বকীয় বিকিরণ বৈদ্যুতিক চার্জ এবং বৈদ্যুতিক প্রবাহের উৎস ব্যবস্থার কাঠামোগত বিবরণের উপর নির্ভর করে। সরাসরি বিশ্লেষণ জটিল হতে পারে যদি কাঠামোটি অজানা বা জটিল হয়। মাল্টিপোল বিশ্লেষণ বিকিরণকে ক্রমবর্ধমান জটিলতার মুহুর্তে পৃথক করার একটি উপায় প্রদান করে। যেহেতু তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্র উচ্চ-ক্রমের মুহুর্তের তুলনায় নিম্ন-ক্রমের মুহুর্তের উপর বেশি নির্ভর করে, তাই কাঠামোটি বিস্তারিতভাবে না জেনেই তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রটি আনুমানিক করা যেতে পারে। যেহেতু ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণগুলি রৈখিক, তাই বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র এবং চৌম্বক ক্ষেত্র উৎস বিতরণের উপর রৈখিকভাবে নির্ভর করে। রৈখিকতা বিভিন্ন বহু-মেরু মুহুর্তের ক্ষেত্রগুলিকে স্বাধীনভাবে গণনা করতে এবং সিস্টেমের মোট ক্ষেত্র দেওয়ার জন্য একসাথে যুক্ত করার অনুমতি দেয়। এটি সুপারপজিশন-এর সুপরিচিত নীতি। মাল্টিপোল মোমেন্টের উৎপত্তি নির্ভরতা মাল্টিপোল মোমেন্টগুলি একটি নির্দিষ্ট সম্প্রসারণ বিন্দুর সাপেক্ষে গণনা করা হয় যা একটি প্রদত্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উৎস হিসাবে ধরা হয়। উৎপত্তির অনুবাদ প্রথম অ-বিলুপ্ত মুহূর্ত বাদে সিস্টেমের বহু-মেরু মুহুর্তগুলিকে পরিবর্তন করে। উদাহরণস্বরূপ, আধানের মনোপোল মুহূর্তটি কেবল সিস্টেমের মোট আধান। উৎপত্তির পরিবর্তন এই মুহূর্তে কখনই বদলাবে না। যদি মনোপোল মুহূর্তটি শূন্য হয় তবে সিস্টেমের দ্বিমেরু মুহূর্তটি ট্রান্সলেশন অপরিবর্তনীয় হবে। যদি মনোপোল এবং দ্বিমেরু মুহুর্ত উভয়ই শূন্য হয় তবে চতুর্ভুজ মুহুর্তটি অনুবাদ অপরিবর্তনীয়, ইত্যাদি। যেহেতু উচ্চ-ক্রমের মুহূর্তগুলি উৎপত্তির অবস্থানের উপর নির্ভর করে, সেগুলিকে সিস্টেমের অপরিবর্তনীয় বৈশিষ্ট্য হিসাবে বিবেচনা করা যায় না। দূরত্বের উপর ক্ষেত্রের নির্ভরতা একটি বহু-মেরু মুহূর্ত থেকে ক্ষেত্রটি মূল থেকে দূরত্ব এবং স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাপেক্ষে মূল্যায়ন বিন্দুর কৌণিক অভিযোজন উভয়ের উপর নির্ভর করে। বিশেষত, একটি স্থির-মেরু স্কেল থেকে তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রের রেডিয়াল নির্ভরতা। অর্থাৎ, বৈদ্যুতিক মনোপোল থেকে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রটি বিপরীত দূরত্ব বর্গ হিসাবে স্কেল করে। একইভাবে, বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু মুহূর্ত একটি ক্ষেত্র তৈরি করে যা বিপরীত দূরত্ব ঘন হিসাবে স্কেল করে, ইত্যাদি। দূরত্ব বাড়ার সাথে সাথে উচ্চ-ক্রমের মুহুর্তগুলির অবদান নিম্ন-ক্রমের মুহুর্তগুলির অবদানের তুলনায় অনেক ছোট হয়ে যায়, তাই গণনা সহজ করার জন্য উচ্চ-ক্রমের মুহুর্তগুলিকে উপেক্ষা করা যেতে পারে। বিকিরণ তরঙ্গের রেডিয়াল নির্ভরতা স্থির ক্ষেত্রের থেকে আলাদা কারণ এই তরঙ্গগুলি সিস্টেম থেকে শক্তি বহন করে। যেহেতু শক্তি অবশ্যই সংরক্ষণ করতে হবে, সাধারণ জ্যামিতিক বিশ্লেষণ দেখায় যে গোলাকার বিকিরণ, ব্যাসার্ধের শক্তির ঘনত্ব অবশ্যই হিসাবে পরিমাপ করতে হবে। একটি গোলাকার তরঙ্গ প্রসারিত হওয়ার সাথে সাথে তরঙ্গের স্থির শক্তি অবশ্যই পৃষ্ঠের আয়তনের একটি প্রসারিত গোলকের উপর ছড়িয়ে পড়তে হবে। তদনুসারে, প্রতিটি সময়-নির্ভর বহু-মেরু মুহুর্তে অবশ্যই উজ্জ্বল শক্তির ঘনত্বের অবদান রাখতে হবে যা মুহূর্তের ক্রম নির্বিশেষে স্কেল করে। অতএব, উচ্চ-ক্রমের মুহূর্তগুলি স্ট্যাটিক ক্ষেত্রে যত সহজে বাতিল করা যায় না। তা সত্ত্বেও, একটি সিস্টেমের মাল্টিপোল সহগগুলি সাধারণত ক্রমবর্ধমান ক্রমের সাথে হ্রাস পায়, তাই বিকিরণ ক্ষেত্রগুলি এখনও উচ্চ-ক্রমের মুহুর্তগুলি কেটে আনুমানিক করা যেতে পারে। সময়-নির্ভর তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্র উৎস সময়-নির্ভর উৎস বিতরণ ফুরিয়ার বিশ্লেষণ ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে। এটি পৃথক ফ্রিকোয়েন্সিগুলিকে স্বাধীনভাবে বিশ্লেষণ করার অনুমতি দেয়। সুবিধার জন্য, এই বিন্দু থেকে শুধুমাত্র একটি কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি ω বিবেচনা করা হয়; এইভাবে একাধিক ফ্রিকোয়েন্সির জন্য ফলাফলকে সাধারণীকরণ করতে সুপারপজিশন নীতি প্রয়োগ করা যেতে পারে। ভেক্টরের পরিমাণ গাঢ় আকারে প্রদর্শিত হয়। ভৌত পরিমাণের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য জটিল পরিমাণের প্রকৃত অংশ নেওয়ার মানক প্রথা ব্যবহার করা হয়। প্রাথমিক কণাগুলির অভ্যন্তরীণ কৌণিক ভরবেগ (স্পিন (পদার্থবিজ্ঞান) দেখুন) কিছু উৎস উপাদান থেকে বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় বিকিরণকেও প্রভাবিত করতে পারে। এই প্রভাবগুলি বিবেচনা করার জন্য, সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ চুম্বকায়নকে বিবেচনায় নিতে হবে। তবে সরলতার জন্য, এই প্রভাবগুলি সাধারণীকৃত বহু-মেরু বিকিরণের আলোচনায় পিছিয়ে দেওয়া হবে। সম্ভাব্যতা সময়-নির্ভর বৈদ্যুতিক সম্ভাব্যতা এবং চৌম্বকীয় সম্ভাব্যতা যথাক্রমে φ এবং A অর্জনের জন্য উৎস বিতরণগুলি সংহত করা যেতে পারে। সূত্রগুলি এস. আই ইউনিটে লরেঞ্জ গেজে প্রকাশ করা হয়। এই সূত্রগুলিতে c হল শূন্যস্থানে আলোর গতি, এটি ডিরাক ডেল্টা ফাংশন, এবং এটি উৎস বিন্দু x′ থেকে মূল্যায়ন বিন্দু x পর্যন্ত ইউক্লিডীয় দূরত্ব। উৎপাদনের উপরে সময়-নির্ভর উৎস বিতরণকে একত্রিত করা। এই সূত্রগুলি বহু-মেরু বিকিরণ বিশ্লেষণের ভিত্তি প্রদান করে। নিকটবর্তী ক্ষেত্রে বহু-মেরু সম্প্রসারণ নিকটবর্তী ক্ষেত্র হল এমন একটি উৎসের চারপাশের অঞ্চল যেখানে তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রকে আধা-স্থিতিশীলভাবে মূল্যায়ন করা যেতে পারে। যদি মাল্টিপোল উত্স থেকে লক্ষ্য দূরত্ব বিকিরণ তরঙ্গদৈর্ঘ্যের তুলনায় অনেক কম হয়, তাহলে। ফলস্বরূপ, এই অঞ্চলে সূচকীয়কে আনুমানিক হিসাবে অনুমান করা যেতে পারেঃ টেলর সম্প্রসারণ দেখুন। এই আনুমানিক ব্যবহার করে, অবশিষ্ট নির্ভরতা একটি স্ট্যাটিক সিস্টেমের জন্য একই, একই বিশ্লেষণ প্রযোজ্য। মূলত, একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে নিকটবর্তী ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতা মূল্যায়ন করা যেতে পারে কেবল সিস্টেমের একটি স্ন্যাপশট নিয়ে এবং এটিকে স্থির বলে মনে করে-তাই এটিকে আধা-স্থিতিশীল বলা হয়। নিকটবর্তী এবং দূরবর্তী ক্ষেত্র এবং বহু-মেরু সম্প্রসারণ দেখুন। বিশেষত, বিপরীত দূরত্বটি গোলাকার হারমোনিক্স ব্যবহার করে প্রসারিত করা হয় যা গোলাকার বহুধ্রুবীয় সহগ পাওয়ার জন্য আলাদাভাবে সংহত করা হয়। দূরবর্তী ক্ষেত্রে বহু-মেরু বিস্তারঃ বহু-মেরু বিকিরণ একটি উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি উৎস থেকে বড় দূরত্বে, নিম্নলিখিত অনুমানগুলি ধারণ করেঃ যেহেতু শুধুমাত্র প্রথম-ক্রমের পদটি বড় দূরত্বে তাৎপর্যপূর্ণ, তাই সম্প্রসারণগুলি একত্রিত হয়ে একটি ভিন্ন বহু-মেরু মুহুর্তের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রতিটি শক্তি দেয়। প্রথম কয়েকটি মুহূর্ত সরাসরি নীচে মূল্যায়ন করা হয়। বৈদ্যুতিক মনোপোল বিকিরণ, অস্তিত্বহীন শূন্য ক্রম শব্দটি, স্কেলার সম্ভাব্যতায় প্রয়োগ করা হয় যেখানে মোট চার্জটি ফ্রিকোয়েন্সিতে দোলনকারী বৈদ্যুতিক মনোপোল মুহূর্ত। চার্জ সংরক্ষণের প্রয়োজন যেহেতু সিস্টেমটি বন্ধ থাকলে মোট চার্জ ওঠানামা করতে পারে না যার অর্থ দোলন প্রশস্ততা q অবশ্যই শূন্য হতে হবে। তাই,। সংশ্লিষ্ট ক্ষেত্র এবং তেজস্ক্রিয় শক্তিও অবশ্যই শূন্য হতে হবে। বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু বিকিরণ বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু সম্ভাব্য বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু বিকিরণ ভেক্টর সম্ভাব্যতায় শূন্য-ক্রম শব্দটি প্রয়োগ করে উদ্ভূত করা যেতে পারে। অংশের ফলন এবং আধানের ধারাবাহিকতা সমীকরণ দ্বারা সংহতকরণ দেখায় যে এটি অনুসরণ করে যে স্কেলার সম্ভাব্যতায় প্রথম-ক্রম শব্দটি প্রয়োগ করে অনুরূপ ফলাফল পাওয়া যেতে পারে। সিস্টেমের বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু মুহুর্তের প্রশস্ততা হল, যা সম্ভাব্যতাগুলিকে বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু ক্ষেত্র হিসাবে প্রকাশ করতে দেয় একবার সময়-নির্ভর সম্ভাব্যতা বোঝা গেলে, সময়-নির্ভর বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র এবং চৌম্বক ক্ষেত্র স্বাভাবিক উপায়ে গণনা করা যেতে পারে। অর্থাৎ, বা, স্থানের একটি উৎস-মুক্ত অঞ্চলে, চৌম্বক ক্ষেত্র এবং বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের মধ্যে সম্পর্কটি মুক্ত স্থানের প্রতিবন্ধকতা কোথায় তা পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উপরের সম্ভাবনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বক ক্ষেত্রগুলি গোলাকার বিকিরণ তরঙ্গের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। বিশুদ্ধ বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু শক্তি শক্তির ঘনত্ব, প্রতি একক এলাকা প্রতি একক সময় শক্তি, পয়েন্টিং ভেক্টর দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এটি অনুসরণ করে যে সময় গড় শক্তি ঘনত্ব প্রতি একক কঠিন কোণ দ্বারা দেওয়া হয় নির্গমনের মাত্রা নিষ্কাশন সহ বিন্দু পণ্য এবং 1/2 এর ফ্যাক্টর সময়ের সাথে গড় থেকে আসে। উপরে যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, এটি বিকিরণ শক্তির ঘনত্বের রেডিয়াল নির্ভরতা বাতিল করে। একটি বিশুদ্ধ বৈদ্যুতিক দ্বিমেরুতে প্রয়োগ যেখানে θ এর সাপেক্ষে পরিমাপ করা হয়। একটি গোলকের উপর সংহতকরণ মোট বিকিরণ শক্তি উৎপন্ন করেঃ চৌম্বকীয় দ্বিমেরু বিকিরণ চৌম্বকীয় দ্বিমেরু সম্ভাব্যতা ভেক্টর সম্ভাব্যতায় প্রয়োগ করা প্রথম-ক্রম শব্দটি চৌম্বকীয় দ্বিমেরু বিকিরণ এবং বৈদ্যুতিক চতুর্ভুজ বিকিরণ দেয়। ইন্টিগ্র্যান্ডকে J এবং x′-এ প্রতিসম এবং প্রতিসম-বিরোধী অংশে বিভক্ত করা যেতে পারে দ্বিতীয় পদটিতে কারেন্টের কারণে কার্যকর চৌম্বকায়ন রয়েছে এবং ইন্টিগ্রেশন চৌম্বকীয় দ্বিমেরু মুহূর্ত দেয়। লক্ষ্য করুন যেটির অনুরূপ রূপ রয়েছে। তার মানে একটি চৌম্বক দ্বিমেরু থেকে চৌম্বক ক্ষেত্র একটি বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু থেকে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের অনুরূপ আচরণ করে। একইভাবে, একটি চৌম্বক দ্বিমেরু থেকে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র একটি বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু থেকে চৌম্বক ক্ষেত্রের মতো আচরণ করে। পূর্ববর্তী ফলাফলের উপর রূপান্তরগুলি গ্রহণ করলে চৌম্বকীয় দ্বিমেরু ফলাফল পাওয়া যায়। চৌম্বকীয় দ্বিমেরু ক্ষেত্র বিশুদ্ধ চৌম্বকীয় দ্বিমেরু শক্তি চৌম্বকীয় দ্বিমেরু দ্বারা প্রতি একক কঠিন কোণে বিকিরিত গড় শক্তি যেখানে চৌম্বকীয় দ্বিমেরু সাপেক্ষে θ পরিমাপ করা হয়। মোট বিকিরিত শক্তি হলঃ বৈদ্যুতিক চতুর্ভুজ বিকিরণ বৈদ্যুতিক চতুর্ভুজ বিভব পূর্ববর্তী বিভাগ থেকে সমন্বয়ের প্রতিসম অংশটি বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু বিকিরণের মতো অংশ এবং চার্জ ধারাবাহিকতা সমীকরণ দ্বারা সংহতকরণ প্রয়োগ করে সমাধান করা যেতে পারে। এটি ট্রেসলেস বৈদ্যুতিক চতুর্ভুজ মুহূর্ত টেনসরের সাথে মিলে যায়। দ্বিতীয় সূচকটিকে স্বাভাবিক ভেক্টরের সাথে সংকুচিত করলে ভেক্টর সম্ভাব্যতাকে বৈদ্যুতিক চতুর্ভুজ ক্ষেত্র হিসাবে প্রকাশ করা যায় ফলস্বরূপ চৌম্বক এবং বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রগুলি হলঃ বিশুদ্ধ বৈদ্যুতিক চতুর্ভুজ শক্তি একটি বৈদ্যুতিক চতুর্ভুজ দ্বারা প্রতি একক কঠিন কোণে বিকিরণ করা গড় শক্তি যেখানে চৌম্বক দ্বিমেরু সাপেক্ষে θ পরিমাপ করা হয়। মোট বিকিরিত শক্তি হলঃ সাধারণীকৃত বহু-মেরু বিকিরণ একটি উৎস বন্টনের বহু-মেরু মুহূর্ত বাড়ার সাথে সাথে, এখন পর্যন্ত নিযুক্ত সরাসরি গণনাগুলি চালিয়ে যাওয়া খুব জটিল হয়ে পড়ে। উচ্চতর মুহূর্তের বিশ্লেষণের জন্য আরও সাধারণ তাত্ত্বিক যন্ত্রের প্রয়োজন। ঠিক আগের মতোই, একটি একক উৎস ফ্রিকোয়েন্সি বিবেচনা করা হয়। সুতরাং চার্জ, কারেন্ট এবং অভ্যন্তরীণ চৌম্বকায়ন ঘনত্ব যথাক্রমে দ্বারা দেওয়া হয়। ফলস্বরূপ বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বক ক্ষেত্রগুলি উৎসগুলির মতো একই সময়-নির্ভরতা ভাগ করে নেয়। এই সংজ্ঞাগুলি এবং ধারাবাহিকতা সমীকরণ ব্যবহার করে ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণগুলি লেখা যায় এই সমীকরণগুলি শেষ সমীকরণগুলির কার্ল নিয়ে এবং পরিচয় প্রয়োগ করে একত্রিত করা যেতে পারে। এটি অ-সমজাতীয় হেল্মহোল্টজ সমীকরণের ভেক্টর রূপ দেয়। তরঙ্গ সমীকরণের সমাধান একটি উৎস-মুক্ত অঞ্চলে ফ্রিকোয়েন্সি সহ বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় বিকিরণ বর্ণনা করে এমন সমজাতীয় তরঙ্গ সমীকরণগুলির রূপ রয়েছে। তরঙ্গ ফাংশনকে ভেক্টর গোলাকার হারমোনিক্সের সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে স্বাভাবিক ভেক্টর গোলাকার হারমোনিক্স এবং গোলাকার হ্যাঙ্কেল ফাংশন রয়েছে। গোলাকার বেসেল ফাংশন দেখুন। ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হল বৈশিষ্ট্য সহ কৌণিক ভরবেগ অপারেটর। সহগ এবং যথাক্রমে প্রসারিত এবং সংকুচিত তরঙ্গের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। তাই বিকিরণের জন্য। অন্যান্য সহগ নির্ধারণ করতে, তরঙ্গ সমীকরণের জন্য সবুজ ফাংশন প্রয়োগ করা হয়। যদি উৎস সমীকরণটি হয় তবে সমাধানটি হলঃ সবুজ ফাংশনটি ভেক্টর গোলাকার হারমোনিক্সের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে এটি একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর যা সোর্স ফাংশনে কাজ করে। সুতরাং, তরঙ্গ সমীকরণের সমাধানটি হলঃ বৈদ্যুতিক বহুধ্রুবীয় ক্ষেত্র বৈদ্যুতিক বহুধ্রুবীয় তরঙ্গ সমীকরণের উপরের সমাধানটি প্রয়োগ করলে চৌম্বক ক্ষেত্রের সমাধান পাওয়া যায়ঃ বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রটি হলঃ ইন্টিগ্র্যান্ডে পরিচয়গুলি প্রয়োগ করে সূত্রটি সরলীকৃত করা যেতে পারে, যার ফলস্বরূপ গ্রীনের উপপাদ্য এবং অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন সূত্রটিকে ম্যানিপুলেট করে। শুধুমাত্র সর্বনিম্ন ক্রমের পদগুলি ধরে রাখার ফলে বৈদ্যুতিক মাল্টিপোল সহগগুলির জন্য সরলীকৃত রূপ পাওয়া যায়ঃ স্ট্যাটিক ক্ষেত্রে বৈদ্যুতিক মাল্টিপোল মুহুর্তের মতোই যদি এটি স্ট্যাটিক চার্জ বিতরণে প্রয়োগ করা হয় তবে উৎস উপাদানটির অভ্যন্তরীণ চুম্বকায়ন থেকে একটি প্ররোচিত বৈদ্যুতিক মাল্টিপোল মুহুর্তের সাথে মিলে যায়। চৌম্বকীয় বহু-মেরু ক্ষেত্র চৌম্বকীয় বহু-মেরু তরঙ্গ সমীকরণের উপরের সমাধানটি প্রয়োগ করলে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের সমাধান পাওয়া যায়ঃ চৌম্বক ক্ষেত্রটি হলঃ আগের মতোই, ফোরামুলাটি সহজতর করেঃ শুধুমাত্র সর্বনিম্ন ক্রমের পদগুলি ধরে রাখার ফলে চৌম্বকীয় বহু-মেরু সহগগুলির জন্য সরলীকৃত রূপ পাওয়া যায়ঃ কার্যকর চৌম্বকায়ন থেকে চৌম্বকীয় বহু-মেরু মুহূর্তটি অভ্যন্তরীণ চৌম্বকায়নের সাথে মিলে যায়। সাধারণ সমাধান বৈদ্যুতিক এবং চৌম্বকীয় বহু-মেরু ক্ষেত্রগুলি একত্রিত হয়ে মোট ক্ষেত্রগুলি দেয়ঃ লক্ষ্য করুন যে রেডিয়াল ফাংশনটি দূরবর্তী ক্ষেত্রের সীমাতে সরলীকৃত করা যেতে পারে। এইভাবে বিকিরণের রেডিয়াল নির্ভরতা পুনরুদ্ধার করা হয়। আরও দেখুন মাল্টিপোল সম্প্রসারণ গোলাকার হারমোনিক্স ভেক্টর গোলাকার হারমোনিক্স কাছাকাছি এবং দূরবর্তী ক্ষেত্র চতুর্ভুজ সূত্র তথ্যসূত্র বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় বিকিরণ