Concentration inequality
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, ঘনত্বের বৈষম্যগুলি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল কীভাবে কিছু মান (সাধারণত, তার প্রত্যাশিত মান) থেকে বিচ্যুত হয় তার সীমা প্রদান করে। বহু সংখ্যক ধ্রুপদী সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সূত্রটি বলে যে স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সমষ্টি, খুব হালকা পরিস্থিতিতে, একটি বড় সম্ভাবনার সাথে তাদের প্রত্যাশার কাছাকাছি। এই ধরনের যোগফলগুলি তাদের গড়ের চারপাশে কেন্দ্রীভূত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের সবচেয়ে মৌলিক উদাহরণ। সাম্প্রতিক ফলাফলগুলি দেখায় যে এই ধরনের আচরণ স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের অন্যান্য ফাংশন দ্বারা ভাগ করা হয়। ঘনত্বের বৈষম্যগুলি ব্যবহার করার জন্য এলোমেলো পরিবর্তনশীল সম্পর্কে কতটা তথ্য প্রয়োজন তার উপর নির্ভর করে সাজানো যেতে পারে। মার্কভের অসমতা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা অ-নেতিবাচক (প্রায় নিশ্চিতভাবে)। তারপরে, প্রতিটি ধ্রুবকের জন্য, মার্কভের বৈষম্যের নিম্নলিখিত সম্প্রসারণটি লক্ষ্য করুনঃ যদি এটি একটি কঠোরভাবে ক্রমবর্ধমান এবং অ-নেতিবাচক ফাংশন হয়, তবে চেবিশেভের বৈষম্য চেবিশেভের বৈষম্যের জন্য একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল সম্পর্কে নিম্নলিখিত তথ্য প্রয়োজনঃ প্রত্যাশিত মানটি সীমাবদ্ধ। বৈচিত্র্য সীমাবদ্ধ। তারপর, প্রতিটি ধ্রুবকের জন্য, বা সমতুল্য, এর আদর্শ বিচ্যুতি কোথায়। চেবিশেভের বৈষম্যকে র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা সাধারণ মার্কভের বৈষম্যের একটি বিশেষ উদাহরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। ভিসোচানস্কিজ-পেটুনিন অসমতা ধরা যাক এক্স একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যার একক বন্টন, গড় μ এবং সসীম, অ-শূন্য বৈকল্পিকতা σ2। তারপর, যেকোনও (তুলনামূলকভাবে প্রাথমিক প্রমাণের জন্য দেখুন। )। এক-পার্শ্বীয় ভিসোচানস্কিজ-পেটুনিন অসমতা একটি একক র্যান্ডম চলকের জন্য এবং, একতরফা ভিসোচানস্কিজ-পেটুনিন অসমতা নিম্নরূপ ধারণ করেঃ প্যালি-জাইগমন্ড অসমতা ক্যান্টেলির অসমতা গাউসের অসমতা চেরনোফ সীমানা জেনেরিক চেরনোফ বাউন্ডের জন্য মুহূর্ত তৈরির ফাংশন প্রয়োজন, এটি সর্বদা বিদ্যমান হিসাবে সংজ্ঞায়িত, তবে অসীম হতে পারে। মার্কভের অসমতা থেকে, প্রত্যেকের জন্যঃ এবং প্রত্যেকের জন্যঃ বিভিন্ন বিতরণ এবং পরামিতিগুলির বিভিন্ন মানের জন্য বিভিন্ন চেরনোফ সীমা রয়েছে। আরও ঘনত্বের বৈষম্যের একটি সংকলন দেখুন। স্বাধীন বাউন্ডেড ভেরিয়েবলের যোগফলের সীমা ধরা যাক স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল যেমন, সমস্ত i এর জন্যঃ প্রায় নিশ্চিত। তাদের যোগফল, তার প্রত্যাশিত মূল্য এবং তার বৈচিত্র্য ধরা যাকঃ যোগফল এবং তার প্রত্যাশিত মূল্যের মধ্যে পার্থক্য বেঁধে রাখা প্রায়শই আকর্ষণীয়। বিভিন্ন অসমতা ব্যবহার করা যেতে পারে। 1. হোফডিং-এর অসমতা বলে যেঃ র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি মার্টিঙ্গেলের একটি বিশেষ কেস, এবং। অতএব, আজুমার বৈষম্যের সাধারণ রূপটিও ব্যবহার করা যেতে পারে এবং এটি একটি অনুরূপ সীমা প্রদান করেঃ এটি হোফডিংয়ের একটি সাধারণীকরণ কারণ এটি অন্যান্য ধরনের মার্টিঙ্গেল, পাশাপাশি সুপারমার্টিঙ্গেল এবং সাবমার্টিঙ্গেল পরিচালনা করতে পারে। ফ্যান এবং অন্যান্যদের দেখুন। (2015)। লক্ষ্য করুন যে, যদি আজুমার বৈষম্যের সহজতর রূপটি ব্যবহার করা হয়, তবে সীমানার সূচকটি 4 গুণক দ্বারা আরও খারাপ হয়। 3. যোগফল হল n চলকের একটি ফাংশনের একটি বিশেষ কেস। এই ফাংশনটি একটি সীমাবদ্ধ উপায়ে পরিবর্তিত হয়ঃ যদি পরিবর্তনশীল i পরিবর্তন করা হয়, তবে f এর মান সর্বাধিক পরিবর্তিত হয়। অতএব, ম্যাকডিয়ারমিডের অসমতাও ব্যবহার করা যেতে পারে এবং এটি একটি অনুরূপ সীমা প্রদান করেঃ এটি হোফডিংয়ের একটি ভিন্ন সাধারণীকরণ কারণ এটি সমষ্টি ফাংশন ছাড়াও অন্যান্য ফাংশন পরিচালনা করতে পারে, যতক্ষণ না তারা একটি সীমাবদ্ধ উপায়ে পরিবর্তিত হয়। 4. বেনেটের অসমতা হোফডিংয়ের তুলনায় কিছুটা উন্নতি দেখায় যখন যোগফলের বৈচিত্র্য তাদের প্রায়-নিশ্চিত সীমা সি-এর তুলনায় ছোট হয়। এটি বলে যেঃ যেখানে 5। বার্নস্টাইনের অসমতাগুলির মধ্যে প্রথমটি বলে যেঃ এটি হোফডিং-এর একটি সাধারণীকরণ কারণ এটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলিকে কেবল প্রায়-নিশ্চিত আবদ্ধ নয়, প্রায়-নিশ্চিত আবদ্ধ এবং বৈচিত্র্য আবদ্ধ উভয়ই পরিচালনা করতে পারে। 6টি। স্বাধীন চলকের যোগফলের ক্ষেত্রে চেরনোফ সীমার একটি বিশেষ সহজ রূপ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন ভেরিয়েবলগুলি সন্তুষ্ট করে। তারপরে আমাদের নিম্ন লেজের বৈষম্য রয়েছেঃ যদি সন্তুষ্ট হয় তবে আমাদের উপরের লেজের বৈষম্য রয়েছেঃ যদি তা হয়, এবং এর বৈপরীত্য হয়, চেরনফ বৈষম্যের একটি সাধারণ সংস্করণ হলঃ 7। অনুরূপ সীমা পাওয়া যেতে পারেঃ রাডেমাকার distribution#Bounds সমষ্টি এফ্রন-স্টেইন বৈষম্য এফ্রন-স্টেইন বৈষম্য (বা প্রভাব বৈষম্য, বা এমজি বৈচিত্র্যের উপর আবদ্ধ) একটি সাধারণ ফাংশনের বৈচিত্র্যকে সীমাবদ্ধ করে। ধরুন, এগুলি স্বাধীন এবং সকলের জন্য একই বন্টন রয়েছে। তাহলে একটি প্রমাণ পাওয়া যেতে পারে যেমন,। ব্রেটাগনোল-হিউবার-ক্যারোল বৈষম্য ব্রেটাগনোল-হিউবার-ক্যারোল বৈষম্য বহুমাত্রিকভাবে বিতরণকৃত র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ভেক্টর এবং প্রত্যাশিত মানের ভেক্টরের মধ্যে পার্থক্যকে সীমাবদ্ধ করে। একটি সহজ প্রমাণ (পরিশিষ্ট বিভাগে) প্রদর্শিত হয়। যদি একটি র্যান্ডম ভেক্টর পরামিতিগুলির সাথে বহুমাত্রিকভাবে বিতরণ করা হয় এবং সন্তুষ্ট হয় তবে এই অসমতা মোট বৈচিত্র্য দূরত্বকে আবদ্ধ করতে ব্যবহৃত হয়। ম্যাসন এবং ভ্যান জোয়েট বৈষম্য বহুনামযুক্ত র্যান্ডম ভেক্টরের জন্য ম্যাসন এবং ভ্যান জোয়েট বৈষম্য শাস্ত্রীয় চি-বর্গ পরিসংখ্যানের সামান্য পরিবর্তন নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করে। র্যান্ডম ভেক্টরকে প্যারামিটারগুলির সাথে বহুমাত্রিকভাবে বিতরণ করা যাক এবং যাতে প্রত্যেকের জন্য এমন ধ্রুবক থাকে যা সকলের জন্য সন্তোষজনক এবং আমাদের কাছে ডোভরেটজকি-কিফার-ওল্ফোভিটস অসমতা রয়েছে ডোভরেটজকি-কিফার-ওল্ফোভিটস অসমতা বাস্তব এবং অভিজ্ঞতামূলক ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনের মধ্যে পার্থক্যকে সীমাবদ্ধ করে। একটি স্বাভাবিক সংখ্যা দেওয়া হলে, ধরা যাক বাস্তব-মূল্যবান স্বাধীন এবং ক্রমবর্ধমান বন্টন ফাংশন F (·) সহ অভিন্নভাবে বণ্টিত এলোমেলো চলক। সুতরাং একটি একক র্যান্ডম ভেরিয়েবল এর চেয়ে ছোট হওয়ার সম্ভাবনা, এবং র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গড় সংখ্যা যা এর চেয়ে ছোট। তারপর অ্যান্টি-কনসেনট্রেশন অসমতা অ্যান্টি-কনসেনট্রেশন অসমতা, অন্যদিকে, একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল একটি পরিমাণের চারপাশে কতটা মনোনিবেশ করতে পারে তার উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ, রাও এবং ইয়েহুদায়ফ দেখান যে এমন কিছু রয়েছে যা হাইপারকিউবের বেশিরভাগ দিকের জন্য, নিম্নলিখিতটি সত্যঃ যেখানে যথেষ্ট বড় আকারের উপসেট থেকে অভিন্নভাবে আঁকা হয়। যোগাযোগ জটিলতা (যেমন, ফাঁক হ্যামিং সমস্যার প্রমাণ) এবং গ্রাফ তত্ত্ব সহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে এই ধরনের বৈষম্যের গুরুত্ব রয়েছে। প্যালি-জাইগমন্ড এবং খিনচিন বৈষম্য ব্যবহার করে স্বাধীন র্যাডেমাকার র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ওজনযুক্ত যোগফলের জন্য একটি আকর্ষণীয় অ্যান্টি-কনসেন্ট্রেশন বৈষম্য পাওয়া যেতে পারে। বাহ্যিক তথ্যসূত্রগুলি কার্তিক শ্রীধরনকে সংযুক্ত করে, "কেন্দ্রীকরণ বৈষম্যের একটি মৃদু ভূমিকা"-কর্নেল বিশ্ববিদ্যালয় সম্ভাবনাময় বৈষম্য