Kepler's equation
অরবিটাল মেকানিক্সে, কেপলারের সমীকরণ একটি কেন্দ্রীয় বলের সাপেক্ষে একটি বস্তুর কক্ষপথের বিভিন্ন জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত। 1609 খ্রিষ্টাব্দে জোহানেস কেপলার তাঁর অ্যাস্ট্রোনোমিয়া নোভা-র 60তম অধ্যায়ে এই সমীকরণটি উদ্ভাবন করেন এবং তাঁর এপিটোম অফ কোপারনিকাস অ্যাস্ট্রোনমি (1621) বইটিতে কেপলার এই সমীকরণের একটি পুনরাবৃত্তিমূলক সমাধানের প্রস্তাব দেন। এই সমীকরণ এবং এর সমাধান, তবে, প্যারালাক্সের সমস্যা সম্পর্কিত 9ম শতাব্দীর হাবাস আল-হাসিব আল-মারওয়াজির কাজে প্রথম আবির্ভূত হয়েছিল। সমীকরণটি পদার্থবিজ্ঞান এবং গণিত উভয়ের ইতিহাসে, বিশেষত ধ্রুপদী মহাজাগতিক বলবিজ্ঞানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছে। সমীকরণ কেপলারের সমীকরণ হল যেখানে গড় অসঙ্গতি, উৎকেন্দ্রিক অসঙ্গতি, এবং উৎকেন্দ্রিকতা। 'উৎকেন্দ্রিক অসঙ্গতি' কেপলেরিয়ান কক্ষপথে চলমান একটি বিন্দুর অবস্থান গণনা করতে কার্যকর। উদাহরণস্বরূপ, যদি বস্তুটি স্থানাঙ্কে পেরিয়াস্ট্রন অতিক্রম করে, তবে যে কোনও সময়ে বস্তুটির অবস্থান খুঁজে বের করার জন্য, আপনি প্রথমে সময় থেকে গড় অসঙ্গতি এবং সূত্র দ্বারা গড় গতি গণনা করুন, তারপরে পেতে উপরের কেপলার সমীকরণটি সমাধান করুন, তারপরে স্থানাঙ্কগুলি পানঃ যেখানে আধা-প্রধান অক্ষ, আধা-ক্ষুদ্র অক্ষ। কেপলারের সমীকরণ একটি অতীন্দ্রিয় সমীকরণ কারণ সাইন একটি অতীন্দ্রিয় ফাংশন, যার অর্থ এটি বীজগাণিতিকভাবে সমাধান করা যায় না। মূল্যায়নের জন্য সাধারণত সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ এবং সিরিজ সম্প্রসারণের প্রয়োজন হয়। কেপলারের সমীকরণের বিভিন্ন রূপ রয়েছে। প্রতিটি রূপ একটি নির্দিষ্ট ধরনের কক্ষপথের সঙ্গে যুক্ত। আদর্শ কেপলার সমীকরণটি উপবৃত্তাকার কক্ষপথের () জন্য ব্যবহৃত হয়। হাইপারবোলিক কেপলার সমীকরণ হাইপারবোলিক ট্র্যাজেক্টরি ()-র জন্য ব্যবহৃত হয়। রেডিয়াল কেপলার সমীকরণটি রৈখিক (রেডিয়াল) গতিপথের জন্য ব্যবহৃত হয়। বার্কারের সমীকরণটি প্যারাবলিক ট্র্যাজেক্টরি ()-র জন্য ব্যবহৃত হয়। যখন, কক্ষপথটি বৃত্তাকার হয়। বৃদ্ধি বৃত্তটিকে উপবৃত্তাকার করে তোলে। যখন, তিনটি সম্ভাবনা থাকেঃ একটি প্যারাবলিক ট্র্যাজেক্টোরি, আকর্ষণের কেন্দ্র থেকে নির্গত একটি অসীম রশ্মি বরাবর বা বাইরে যাওয়ার একটি ট্র্যাজেক্টোরি, অথবা একটি ট্র্যাজেক্টোরি যা আকর্ষণের কেন্দ্র থেকে কিছু দূরত্বে একটি বিন্দুতে একটি রেখা বিভাগ বরাবর পিছনে পিছনে যায়। 1-এর উপরে সামান্য বৃদ্ধির ফলে 180 ডিগ্রির ঠিক নিচে বাঁকানো কোণ সহ একটি হাইপারবোলিক কক্ষপথ তৈরি হয়। আরও বৃদ্ধি বাঁকানো কোণকে হ্রাস করে এবং অনন্তের দিকে যাওয়ার সাথে সাথে কক্ষপথটি অসীম দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখায় পরিণত হয়। হাইপারবোলিক কেপলার সমীকরণ হাইপারবোলিক কেপলার সমীকরণটি হলঃ হাইপারবোলিক উৎকেন্দ্রিক অসঙ্গতি কোথায়। এই সমীকরণটি উপবৃত্তাকার সমীকরণের ডান দিকের −1 গুণের বর্গমূল হিসাবে M কে নতুন করে সংজ্ঞায়িত করে উদ্ভূত হয়েছেঃ (যা এখন কাল্পনিক) এবং তারপর দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। রেডিয়াল কেপলার সমীকরণঃ রেডিয়াল কেপলার সমীকরণটি হল যেখানে সময়ের সাথে আনুপাতিক এবং রশ্মি বরাবর আকর্ষণের কেন্দ্র থেকে দূরত্বের সাথে আনুপাতিক। এই সমীকরণটি কেপলারের সমীকরণকে 1/2 দ্বারা গুণ করে এবং সেটিং 1: দিয়ে তৈরি করা হয় এবং তারপর প্রতিস্থাপনের বিপরীত সমস্যা তৈরি করা হয়। যাইহোক, কখন দেওয়া হয় তার সমাধান করা যথেষ্ট বেশি চ্যালেঞ্জিং হতে পারে। কোনও বদ্ধ-ফর্ম সমাধান নেই। কেপলারের সমীকরণের সমাধানের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জ ইনভার্সন ব্যবহার করে একটি অসীম সিরিজের অভিব্যক্তি লেখা যেতে পারে, তবে সিরিজটি এবং এর সমস্ত সংমিশ্রণের জন্য একত্রিত হয় না (নীচে দেখুন)। কেপলারের সমীকরণের সমাধানযোগ্যতা নিয়ে বিভ্রান্তি চার শতাব্দী ধরে সাহিত্যে অব্যাহত রয়েছে। কেপলার নিজেই একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা নিয়ে সন্দেহ প্রকাশ করেছেনঃ বেসেল ফাংশন ব্যবহার করে ফুরিয়ার সিরিজের সম্প্রসারণ (সম্পর্কিত) হল একটি ক্যাপ্টেন সিরিজ। বিপরীত কেপলার সমীকরণ বিপরীত কেপলার সমীকরণ হল সমস্ত বাস্তব মানগুলির জন্য কেপলারের সমীকরণের সমাধানঃ এই ফলনগুলি মূল্যায়ন করাঃ এই সিরিজগুলি ইনভার্স সিরিজ ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে গণিতে পুনরুত্পাদন করা যেতে পারে। ইনভার্স সিরিজ [সিরিজ [এম-সিন [এম], {এম, 0,10}] ইনভার্স সিরিজ [সিরিজ [এম-ই সিন [এম], {এম, 0,10}]] এই ফাংশনগুলি সাধারণ ম্যাকলাউরিন সিরিজ। অতীন্দ্রিয় ফাংশনের এই ধরনের টেলর সিরিজের উপস্থাপনাগুলিকে সেই ফাংশনের সংজ্ঞা হিসাবে বিবেচনা করা হয়। অতএব, এই সমাধানটি বিপরীত কেপলার সমীকরণের একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা। যাইহোক, একটি প্রদত্ত অ-শূন্যের একটি সম্পূর্ণ ফাংশন নয়। প্রকৃতপক্ষে, জটিল সংখ্যার একটি অসীম সেটে অন্তরজ শূন্যে যায় যখন শূন্যের নিকটতম বিন্দুটি এই দুটি বিন্দুতে থাকে (যেখানে বিপরীত কোষকে ধনাত্মক হিসাবে নেওয়া হয়), এবং এর এই মানগুলিতে অনন্ততায় যায়। এর মানে হল যে ম্যাকলাউরিন সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধ হল এবং এর চেয়ে বড় মানের জন্য সিরিজটি একত্রিত হবে না। এই সিরিজটি হাইপারবোলিক ক্ষেত্রেও ব্যবহার করা যেতে পারে, যে ক্ষেত্রে অভিসারের ব্যাসার্ধটি কখন একত্রিত হয় তার জন্য সিরিজ। যদিও এই সমাধানটি একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক অর্থে সবচেয়ে সহজ, তবে অন্যান্য সমাধানগুলি বেশিরভাগ প্রয়োগের জন্য পছন্দসই। বিকল্পভাবে, কেপলারের সমীকরণটি সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করা যেতে পারে। 1968 সালে কার্ল স্টাম্পফ এর সমাধান খুঁজে পেয়েছিলেন, কিন্তু এর তাৎপর্য স্বীকৃত ছিল না। একজন ম্যাকলাউরিন সিরিজও লিখতে পারেন। এই সিরিজটি লাপ্লাস সীমার (প্রায় 0.66) চেয়ে বড় হলে একত্রিত হয় না, এর মান নির্বিশেষে (যদি না এর গুণিতক হয়), তবে ল্যাপ্লাস সীমার চেয়ে কম হলে এটি সকলের জন্য একত্রিত হয়। সিরিজের সহগগুলি, প্রথমটি (যা সহজ) ব্যতীত, পর্যায়ক্রমিক উপায়ে সময়ের উপর নির্ভর করে। বিপরীত রেডিয়াল কেপলার সমীকরণ () কে এইভাবেও লেখা যেতে পারেঃ এই ফলনকে মূল্যায়ন করাঃ গণিত ব্যবহার করে এই ফলাফলটি পেতেঃ বিপরীত সিরিজ [সিরিজ [আর্কসিন [এসকিউআরটি [টি]]-এসকিউআরটি [(1-টি) টি], {টি, 0,15}] নিউটন পদ্ধতির বিপরীত সমস্যার সংখ্যাসূচক অনুমান বেশিরভাগ প্রয়োগের জন্য, বিপরীত সমস্যাটি ফাংশনের মূল খুঁজে বের করে সংখ্যাসূচকভাবে গণনা করা যেতে পারেঃ এটি নিউটনের পদ্ধতির মাধ্যমে পুনরাবৃত্তভাবে করা যেতে পারেঃ লক্ষ্য করুন যে এবং এই গণনায় রেডিয়ানের এককে রয়েছে। কাঙ্ক্ষিত নির্ভুলতা না পাওয়া পর্যন্ত এই পুনরাবৃত্তি পুনরাবৃত্তি করা হয় (যেমন। যখন <কাঙ্ক্ষিত নির্ভুলতা)। বেশিরভাগ উপবৃত্তাকার কক্ষপথের জন্য একটি প্রাথমিক মান যথেষ্ট। সঙ্গে কক্ষপথের জন্য, একটি প্রাথমিক মান ব্যবহার করা যেতে পারে। অসংখ্য কাজ সঠিক (তবে আরও জটিল) অনুমান শুরু করে। যদি অভিন্নভাবে 1 হয়, তবে নিউটনের পদ্ধতির হরের অন্তরজ শূন্যের কাছাকাছি যেতে পারে, যা নিউটন-রাফসন, সেক্যান্ট বা রেগুলা ফলসির মতো অন্তরজ-ভিত্তিক পদ্ধতিগুলিকে সংখ্যাসূচকভাবে অস্থির করে তোলে। সেক্ষেত্রে, দ্বিখণ্ডন পদ্ধতি নিশ্চিত অভিসরণ প্রদান করবে, বিশেষত যেহেতু সমাধানটি একটি ছোট প্রাথমিক বিরতিতে আবদ্ধ করা যেতে পারে। আধুনিক কম্পিউটারে 17 থেকে 18টি পুনরাবৃত্তিতে 4 বা 5 অঙ্কের নির্ভুলতা অর্জন করা সম্ভব। কেপলারের সমীকরণের হাইপারবোলিক রূপের জন্যও অনুরূপ পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি প্যারাবলিক ট্র্যাজেক্টোরির ক্ষেত্রে, বার্কারের সমীকরণ ব্যবহার করা হয়। স্থির-বিন্দু পুনরাবৃত্তি একটি সম্পর্কিত পদ্ধতি এটি লক্ষ্য করে শুরু হয়। ডানদিকের অভিব্যক্তিটির পরিবর্তে ডানদিকের অভিব্যক্তিটি বারবার প্রতিস্থাপন করলে মূল্যায়নের জন্য একটি সহজ স্থির-বিন্দু পুনরাবৃত্তি অ্যালগরিদম পাওয়া যায়। এই পদ্ধতিটি কেপলারের 1621 সমাধানের অনুরূপ। ফাংশন E (e, M, n) E = M k = 1 থেকে n E = M + e * sin E পরবর্তী k রিটার্ন E এর জন্য পুনরাবৃত্তির সংখ্যা, এর মানের উপর নির্ভর করে। হাইপারবোলিক রূপটিও একই রকম। এই পদ্ধতিটি উপরের নিউটনের পদ্ধতির সমাধানের সাথে সম্পর্কিত যা অল্প পরিমাণে প্রথম ক্রমে এবং,। আরও দেখুন কেপলারের গ্রহগত গতির নিয়ম কেপলার সমস্যা সাধারণ আপেক্ষিকতায় কেপলার সমস্যা রেডিয়াল ট্র্যাজেক্টোরি রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক কেপলারের সমীকরণ উলফ্রাম ম্যাথওয়ার্ল্ড-এ পদার্থবিজ্ঞানের জোহানেস কেপলার অরবিটস-এর সমনাম সমীকরণ