Q-Gaussian distribution
কিউ-গাউসিয়ান হল একটি সম্ভাব্যতা বন্টন যা উপযুক্ত সীমাবদ্ধতার অধীনে স্যালিস এনট্রপির সর্বাধিককরণ থেকে উদ্ভূত হয়। এটি সালিস বিতরণের একটি উদাহরণ। কিউ-গাউসিয়ান হল গাউসিয়ানের একটি সাধারণীকরণ, ঠিক যেমন সালিস এনট্রপি হল স্ট্যান্ডার্ড বোল্টজম্যান-গিবস এনট্রপি বা শ্যানন এনট্রপির একটি সাধারণীকরণ। স্বাভাবিক বন্টনটি q → 1 হিসাবে পুনরুদ্ধার করা হয়। পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান, ভূতত্ত্ব, শারীরবিদ্যা, জ্যোতির্বিজ্ঞান, অর্থনীতি, অর্থ এবং মেশিন লার্নিংয়ের ক্ষেত্রে সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে কিউ-গাউসিয়ান প্রয়োগ করা হয়েছে। 1 <q <3-এর জন্য গাউসিয়ানের তুলনায় এই বিতরণটি প্রায়শই এর ভারী লেজের জন্য অনুকূল। কিউ-গাউসিয়ান ডিস্ট্রিবিউশনের জন্য একটি আবদ্ধ এলোমেলো চলকের পিডিএফ। এটি জীববিজ্ঞান এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে কিউ-গাউসিয়ান বিতরণকে গাউসিয়ান বিতরণের চেয়ে বাহ্যিক স্টোকাস্টিসিটির প্রভাব মডেল করার জন্য আরও উপযুক্ত করে তোলে। 2008 সালে ধ্রুপদী কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের একটি সাধারণীকৃত কিউ-অ্যানালগ প্রস্তাব করা হয়েছিল, যেখানে স্বাধীনতার সীমাবদ্ধতা অর্থাৎ ডি। ভ্যারিয়েবলগুলি q প্যারামিটার দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পরিমাণে শিথিল করা হয়, স্বাধীনতা q → 1 হিসাবে পুনরুদ্ধার করা হয়। তবে, এই ধরনের উপপাদ্যের প্রমাণের এখনও অভাব রয়েছে। ভারী লেজ অঞ্চলে, q এবং স্বাধীনতার মাত্রার মধ্যে সরাসরি ম্যাপিং সহ বিতরণটি ছাত্রের টি-বিতরণের সমতুল্য। একজন অনুশীলনকারী এই বিতরণগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করে একই বিতরণকে দুটি ভিন্ন উপায়ে পরিমাপ করতে পারেন। যদি সিস্টেমটি অ-বিস্তৃত হয়, অথবা ছোট নমুনা আকারের সাথে সংযোগের অভাব থাকে তবে কিউ-গাউসিয়ান ফর্মের পছন্দ দেখা দিতে পারে। চরিত্রায়ন সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন আদর্শ q-গাউসিয়ানের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন রয়েছে যেখানে q-এক্সপোনেনশিয়াল এবং স্বাভাবিকীকরণ ফ্যাক্টরটি দেওয়া হয়েছে নোট যে q-গাউসিয়ান বিতরণের জন্য একটি আবদ্ধ এলোমেলো চলকের পিডিএফ। ক্যুমুলেটিভ ডেনসিটি ফাংশন ক্যুমুলেটিভ ডেনসিটি ফাংশনের জন্য যেখানে হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন। যেহেতু হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে কিন্তু x সীমাহীন, তাই প্ফাফ রূপান্তর ব্যবহার করা যেতে পারে। কারণ, এনট্রপি ঠিক যেমন স্বাভাবিক বন্টন হল প্রথম মুহূর্ত এবং দ্বিতীয় মুহূর্তের নির্দিষ্ট মানগুলির জন্য সর্বাধিক তথ্য এনট্রপি বন্টন (স্বাভাবিককরণ অবস্থার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নির্দিষ্ট শূন্য মুহূর্ত সহ), q-গাউসিয়ান বন্টন হল এই তিনটি মুহুর্তের নির্দিষ্ট মানগুলির জন্য সর্বাধিক সালিস এনট্রপি বন্টন। সম্পর্কিত বিতরণ শিক্ষার্থীদের টি-ডিস্ট্রিবিউশন যদিও এটি এনট্রপির একটি আকর্ষণীয় বিকল্প রূপ দ্বারা ন্যায়সঙ্গত হতে পারে, পরিসংখ্যানগতভাবে এটি ছোট-নমুনা পরিসংখ্যান বর্ণনা করার জন্য 1908 সালে ডব্লিউ গসেট দ্বারা প্রবর্তিত শিক্ষার্থীদের টি-ডিস্ট্রিবিউশনের একটি স্কেলড রিপারামেট্রাইজেশন। গোসেটের মূল উপস্থাপনায় ডিগ্রি অফ ফ্রিডম প্যারামিটার ν নমুনা আকারের সাথে সম্পর্কিত একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হিসাবে সীমাবদ্ধ ছিল, তবে এটি সহজেই লক্ষ্য করা যায় যে গোসেটের ঘনত্ব ফাংশন ν এর সমস্ত বাস্তব মানের জন্য বৈধ। স্কেল করা রিপ্যারেমেট্রিজেশন বিকল্প পরামিতি q এবং β প্রবর্তন করে যা ν এর সাথে সম্পর্কিত। যখনই, ফাংশনটি কেবল ছাত্রের টি-ডিস্ট্রিবিউশনের একটি স্কেল করা সংস্করণ হয়, তখন ν ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সাথে ছাত্রের টি-ডিস্ট্রিবিউশনের সমতুল্য q-গাউসিয়ানের বিপরীত থাকে। কখনও কখনও যুক্তি দেওয়া হয় যে, এই বন্টন হল ঋণাত্মক এবং অ-পূর্ণসংখ্যা স্বাধীনতার মাত্রায় ছাত্রের টি-বন্টনের একটি সাধারণীকরণ। যাইহোক, ছাত্রের টি-বিতরণের তত্ত্বটি স্বাধীনতার সমস্ত বাস্তব মাত্রায় তুচ্ছভাবে প্রসারিত হয়, যেখানে ν <0-এর ক্ষেত্রে বিতরণের সমর্থন এখন অসীমের পরিবর্তে সংক্ষিপ্ত। তিন-পরামিতি সংস্করণ শূন্যকে কেন্দ্র করে অনেক বিতরণের মতো, q-গাউসিয়ানকে একটি অবস্থান পরামিতি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য তুচ্ছভাবে প্রসারিত করা যেতে পারে। ঘনত্ব তারপর র্যান্ডম বিচ্যুতি তৈরি করে সংজ্ঞায়িত করা হয় বক্স-মুলার রূপান্তরটি q-গাউসিয়ানদের থেকে র্যান্ডম স্যাম্পলিংয়ের অনুমতি দেওয়ার জন্য সাধারণীকরণ করা হয়েছে। স্ট্যান্ডার্ড বক্স-মুলার কৌশলটি নিম্নলিখিত ফর্মের সমীকরণগুলি থেকে স্বাধীন সাধারণভাবে বিতরণকৃত চলকগুলির জোড়া তৈরি করে। সাধারণ বক্স-মুলার কৌশলটি স্বাধীন নয় এমন কিউ-গাউসিয়ান বিচ্যুতির জোড়া তৈরি করতে পারে। বাস্তবে, অভিন্নভাবে বিতরণকৃত চলকগুলির একটি জোড়া থেকে শুধুমাত্র একটি বিচ্যুতি তৈরি করা হবে। নিম্নলিখিত সূত্রটি নির্দিষ্ট প্যারামিটার q সহ একটি q-গাউসিয়ান থেকে বিচ্যুতি তৈরি করবে এবং যেখানে q-লগারিদম এবং এই বিচ্যুতিগুলি অ্যাপ্লিকেশন ফিজিক্স দ্বারা একটি নির্বিচারে q-গাউসিয়ান থেকে বিচ্যুতি তৈরি করতে রূপান্তরিত করা যেতে পারে এটি দেখানো হয়েছে যে ডিসিপেটিভ অপটিক্যাল ল্যাটিসগুলিতে ঠান্ডা পরমাণুর ভরবেগ বিতরণ একটি q-গাউসিয়ান। কিউ-গাউসিয়ান বন্টন দুটি শক্তির সাপেক্ষে একটি ভরের এক-মাত্রিক গতির অবস্থানের অ্যাসিম্পটোটিক সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হিসাবেও প্রাপ্ত হয়ঃ প্রকারের একটি নির্ধারক বল (একটি অসীম সম্ভাব্য কূপ নির্ধারণ) এবং একটি স্টোকাস্টিক সাদা শব্দ বল, যেখানে একটি সাদা শব্দ। লক্ষ্য করুন যে ওভারড্যাম্পড/স্মল মাস এপ্রোক্সিমেশনে উপরে উল্লিখিত কনভারজেন্স ব্যর্থ হয়, যেমন সম্প্রতি দেখানো হয়েছে। নিউ ইয়র্ক স্টক এক্সচেঞ্জ, নাসডাক এবং অন্যান্য জায়গায় আর্থিক রিটার্ন বিতরণকে কিউ-গাউসিয়ান হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। আরও দেখুন কনস্ট্যান্টিনো সালিস সালিস পরিসংখ্যান সালিস এনট্রপি সালিস ডিস্ট্রিবিউশন কিউ-এক্সপোনেনশিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন কিউ-গাউসিয়ান প্রক্রিয়া নোটস আরও পড়া জুনিপার, জে। (2007), সেন্টার অফ ফুল এমপ্লয়মেন্ট অ্যান্ড ইক্যুইটি, দ্য ইউনিভার্সিটি অফ নিউক্যাসল, অস্ট্রেলিয়া এক্সটার্নাল লিঙ্ক সালিস স্ট্যাটিস্টিক্স, স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স ফর নন-এক্সটেনসিভ সিস্টেমস অ্যান্ড লং-রেঞ্জ ইন্টারঅ্যাকশনস স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেকানিক্স কন্টিনিউয়াস ডিস্ট্রিবিউশনস প্রোবেবিলিটি ডিস্ট্রিবিউশনস উইথ নন-ফাইনাইট ভ্যারিয়েন্স