Zero to the power of zero
শূন্যের শক্তিতে শূন্য, দ্বারা চিহ্নিত, একটি গাণিতিক অভিব্যক্তি যা প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে হয় 1 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় বা অনির্ধারিত রেখে দেওয়া হয়। বীজগণিত এবং সংমিশ্রণে, একটি সাধারণত সংজ্ঞায়িত করে। গাণিতিক বিশ্লেষণে, অভিব্যক্তিটি কখনও কখনও অনির্ধারিত রেখে দেওয়া হয়। কম্পিউটার প্রোগ্রামিং ভাষা এবং সফ্টওয়্যারেরও এই অভিব্যক্তিটি পরিচালনা করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। বিচ্ছিন্ন সূচক প্রাকৃতিক-সংখ্যা সূচক জড়িত অনেক ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত সূত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত তিনটি ব্যাখ্যা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য ঠিক ততটাই অর্থবহঃ একটি খালি গুণফল হিসাবে এর ব্যাখ্যা এটিকে মান প্রদান করে। এর সমন্বিত ব্যাখ্যা হল একটি-উপাদান সেট থেকে উপাদানগুলির 0-টুপলের সংখ্যা; ঠিক একটি 0-টুপল রয়েছে। এর সেট-তাত্ত্বিক ব্যাখ্যা হল খালি সেট থেকে একটি-উপাদান সেট পর্যন্ত ফাংশনের সংখ্যা; ঠিক এই ধরনের একটি ফাংশন রয়েছে, যথা, খালি ফাংশন। এই তিনজনই দান করার ক্ষেত্রে বিশেষজ্ঞ। পলিনোমিয়াল এবং পাওয়ার সিরিজ পলিনোমিয়ালগুলি মূল্যায়ন করার সময়, হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা সুবিধাজনক। একটি (বাস্তব) বহুপদী হল ফর্মের একটি অভিব্যক্তি, যেখানে একটি অনির্দিষ্ট, এবং সহগগুলি বাস্তব সংখ্যা। বহুপদগুলি পর্যায়ক্রমে যোগ করা হয় এবং বিভাজক আইন এবং সূচকগুলির জন্য স্বাভাবিক নিয়ম প্রয়োগ করে গুণ করা হয়। এই ক্রিয়াকলাপগুলির সাথে, বহুপদগুলি একটি বলয় গঠন করে। এর গুণিতক পরিচয় হল পলিনোমিয়াল; অর্থাৎ, যে কোনও পলিনোমিয়ালের গুণ ন্যায্য। এছাড়াও, পলিনোমিয়ালগুলি একটি বাস্তব সংখ্যার সাথে বিশেষায়িত করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, যে কোনও বাস্তব সংখ্যার জন্য একটি অনন্য একক-বীজগণিত সমরূপতা রয়েছে। কারণ এটি ঐক্যবদ্ধ। অর্থাৎ, 0 সহ প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য। যে কোনও রিং দ্বারা প্রতিস্থাপিত হওয়ার ক্ষেত্রেও একই যুক্তি প্রযোজ্য। অনেক বহুপদী পরিচয়ের জন্য সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিপদী উপপাদ্য শুধুমাত্র যদি থাকে। একইভাবে, সমস্ত বিশেষত্বের জন্য পাওয়ার সিরিজের বলয়গুলিকে 1 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, আইডেন্টিটি শুধুমাত্র যদি এর জন্য পছন্দ করে এবং ধরে রাখে। পলিনোমিয়ালের একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার জন্য, একজনকে অবশ্যই সংজ্ঞায়িত করতে হবে। ক্যালকুলাসে, ক্ষমতার নিয়ম শুধুমাত্র যদি-এর জন্য বৈধ। অবিচ্ছিন্ন সূচক বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপের সাথে জড়িত সীমাবদ্ধতাগুলি প্রায়শই উপ-অভিব্যক্তিগুলিকে তাদের সীমা দ্বারা প্রতিস্থাপন করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে; যদি ফলস্বরূপ অভিব্যক্তিটি মূল সীমা নির্ধারণ না করে, তবে অভিব্যক্তিটি একটি অনির্দিষ্ট রূপ হিসাবে পরিচিত। অভিব্যক্তিটি একটি অনির্দিষ্ট রূপঃ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন দেওয়া এবং (যেমন একটি বাস্তব সংখ্যার কাছে পৌঁছায় বা) সঙ্গে, এর সীমা যে কোনও অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা হতে পারে বা এবং এর উপর নির্ভর করে এটি বিচ্ছিন্ন হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নীচের প্রতিটি সীমার সাথে একটি ফাংশন জড়িত থাকে (একটি একতরফা সীমা), তবে তাদের মানগুলি ভিন্নঃ সুতরাং, দ্বি-পরিবর্তনশীল ফাংশনটি, সেটে অবিচ্ছিন্ন হলেও, একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনে প্রসারিত করা যাবে না, যাই হোক না কেন কেউ সংজ্ঞায়িত করতে পছন্দ করে। অন্যদিকে, যদি এবং কোনও সংখ্যার একটি উন্মুক্ত পাড়ায় বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হয়, তবে যে কোনও দিক থেকে ইতিবাচক দিকটি আসে। ফাংশনের সীমাবদ্ধ আচরণ অধ্যয়ন করে এই এবং আরও সাধারণ ফলাফল পাওয়া যেতে পারে। জটিল সূচক জটিল ডোমেনে, একটি শাখা নির্বাচন করে এবং হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে অ-শূন্যের জন্য ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এটি সংজ্ঞায়িত করে না কারণ এট-এর কোনও শাখা নেই, এর আশেপাশে থাকা যাক। ইতিহাস একটি মান হিসাবে 1752 সালে, অয়লার অ্যানালাইসিস ইনফিনিটোরামে ইন্ট্রোডাক্টিওতে এটি লিখেছিলেন এবং স্পষ্টভাবে উল্লেখ করেছিলেন। ইউলারের বই ইনস্টিটিউশন ক্যালকুলি ডিফারেনশিয়ালের 1787 সালের সংস্করণে মাসচেরোনির একটি টীকা "ন্যায্যতা" এবং আরও একটি যুক্তিসঙ্গত ন্যায্যতা প্রদান করে। 1830-এর দশকে, লিব্রি এই দাবির ন্যায্যতা প্রমাণের চেষ্টা করে আরও বেশ কয়েকটি যুক্তি প্রকাশ করেছিলেন, যদিও এগুলি বিশ্বাসযোগ্য ছিল না, এমনকি সেই সময়ের কঠোরতার মান দ্বারাও। একটি সীমাবদ্ধ ফর্ম হিসাবে অয়লার, সেটিং করার সময় উল্লেখ করেছিলেন যে ফলস্বরূপ ফাংশনের মানগুলি একটি "বিশাল লাফ" নেয়, জন্য, থেকে এ, থেকে জন্য। 1814 সালে, ফাফ এটি প্রমাণ করার জন্য একটি স্কুইজ উপপাদ্য যুক্তি ব্যবহার করেছিলেন। অন্যদিকে, 1821 সালে কাউচি ব্যাখ্যা করেছিলেন যে কেন ধনাত্মক সংখ্যা এবং পদ্ধতির সীমা কিছু নির্দিষ্ট সম্পর্ক দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকাকালীন এবং যথাযথভাবে সম্পর্কটি বেছে নেওয়ার মাধ্যমে যে কোনও মান ধরে নেওয়া যেতে পারে। তিনি অনুমান করেছিলেন যে একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতা ছাড়াই পূর্ণ দুই-পরিবর্তনশীল ফাংশনের সীমা "অনির্দিষ্ট"। এই ন্যায্যতার সাথে, তিনি অনির্দিষ্ট রূপের একটি টেবিলের মতো অভিব্যক্তিগুলির সাথে তালিকাভুক্ত করেছিলেন। আপাতদৃষ্টিতে কাউচির কাজ সম্পর্কে অজ্ঞ, 1834 সালে মোবিয়াস, ফাফের যুক্তির উপর ভিত্তি করে, ভুলভাবে দাবি করেছিলেন যে যখনই কোনও সংখ্যার কাছে পৌঁছায় (সম্ভবত এর থেকে দূরে ধনাত্মক বলে ধরে নেওয়া হয়)। মোবিয়াস ক্ষেত্রে হ্রাস করেছিলেন, কিন্তু তারপর অনুমান করার ভুল করেছিলেন যে প্রতিটি এবং কিছু অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের জন্য অদৃশ্য হয়ে যাওয়া এবং কিছু অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে, যা বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের জন্য সত্য, তবে সাধারণভাবে নয়। একজন বেনামী ভাষ্যকার অন্যায্য পদক্ষেপের দিকে ইঙ্গিত করেছিলেন; তারপর অন্য একজন ভাষ্যকার যিনি তাঁর নাম কেবল "এস" হিসাবে স্বাক্ষর করেছিলেন তিনি স্পষ্ট পাল্টা উদাহরণ সরবরাহ করেছিলেন এবং লিখে পরিস্থিতি প্রকাশ করেছিলেন যে "অনেকগুলি ভিন্ন মান থাকতে পারে"। বর্তমান পরিস্থিতি কিছু লেখক সংজ্ঞায়িত করেছেন কারণ এটি অনেক উপপাদ্য বিবৃতি সহজতর করে। বেনসনের (1999) মতে, "সংজ্ঞায়িত করা হবে কি না তা পছন্দ সুবিধার উপর ভিত্তি করে, সঠিকতার উপর নয়। আমরা যদি সংজ্ঞায়িত করা থেকে বিরত থাকি, তাহলে কিছু দাবি অপ্রয়োজনীয়ভাবে বিশ্রী হয়ে ওঠে। । ঐকমত্য হল সংজ্ঞাটি ব্যবহার করা, যদিও এমন কিছু পাঠ্যপুস্তক রয়েছে যা সংজ্ঞায়িত করা থেকে বিরত থাকে। নুথ (1992) আরও দৃঢ়ভাবে দাবি করেন যে "হতে হবে"; তিনি মান, যা সমান হওয়া উচিত, এবং সীমাবদ্ধ রূপের (যেখানে একটি সীমার জন্য একটি সংক্ষিপ্ত রূপ) মধ্যে একটি পার্থক্য আঁকেন, যা একটি অনির্দিষ্ট রূপঃ "কচি এবং লিব্রি উভয়ই সঠিক ছিল, কিন্তু লিব্রি এবং তার সমর্থকরা বুঝতে পারেনি কেন সত্য তাদের পক্ষে ছিল।" অন্যান্য লেখকরা অনির্ধারিত রেখে দেন কারণ এটি একটি অনির্দিষ্ট রূপঃ বোঝায় না। 1 ছাড়া অন্য কোনও নির্দিষ্ট মান নির্ধারণকারী কোনও লেখক রয়েছেন বলে মনে হয় না। কম্পিউটারে চিকিৎসা আই. ই. ই. ই ভাসমান-বিন্দু মান আই. ই. ই. <আই. ডি. 1> ভাসমান-বিন্দু মান বেশিরভাগ ভাসমান-বিন্দু গ্রন্থাগারের নকশায় ব্যবহৃত হয়। এটি একটি শক্তি গণনা করার জন্য বেশ কয়েকটি ক্রিয়াকলাপের সুপারিশ করেঃ পাউন (যার সূচক একটি পূর্ণসংখ্যা) হিসাবে বিবেচনা করে; দেখুন। পাউ (যার অভিপ্রায় হল একটি অ-এনএএন ফলাফল ফেরত দেওয়া যখন সূচকটি একটি পূর্ণসংখ্যা, পাউনের মতো) হিসাবে বিবেচিত হয়। অনিশ্চিত রূপের কারণে পাউর NaN (একটি সংখ্যা নয়) হিসাবে বিবেচনা করে; দেখুন। পাউ ভ্যারিয়েন্টটি মূলত সামঞ্জস্যের জন্য সি99-এর পাউ ফাংশন দ্বারা অনুপ্রাণিত। এটি মূলত একটি একক পাওয়ার ফাংশন সহ ভাষাগুলির জন্য দরকারী। পাওয়ার ফাংশনগুলির পরস্পরবিরোধী ব্যবহার এবং বিভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গির (উপরে বর্ণিত) কারণে পাউন এবং পাউর রূপগুলি চালু করা হয়েছে। প্রোগ্রামিং ভাষাগুলি সি এবং সি + + মানগুলি এর ফলাফল নির্দিষ্ট করে না (একটি ডোমেন ত্রুটি ঘটতে পারে)। কিন্তু সি-এর জন্য, সি99 হিসাবে, যদি আদর্শিক সংযোজন এফ সমর্থিত হয়, তবে প্রকৃত ভাসমান-বিন্দু প্রকারের ফলাফল হতে হবে কারণ এমন উল্লেখযোগ্য প্রয়োগ রয়েছে যার জন্য এই মানটি এন. এ. এন-এর চেয়ে বেশি কার্যকর (উদাহরণস্বরূপ, বিচ্ছিন্ন সূচকগুলির সাথে); জটিল প্রকারের ফলাফল নির্দিষ্ট করা হয় না, এমনকি তথ্যমূলক সংযোজন জি সমর্থিত হলেও। জাভা স্ট্যান্ডার্ড,. NET ফ্রেমওয়ার্ক পদ্ধতি System.Math.Pow, জুলিয়া এবং পাইথনকেও হিসাবে বিবেচনা করা হয়। কিছু ভাষা নথিভুক্ত করে যে তাদের সূচক ক্রিয়া সি গাণিতিক গ্রন্থাগারের পাউ ফাংশনের সাথে মিলে যায়; লুয়া এবং পার্লের * * অপারেটরের ক্ষেত্রে এটি ঘটে (যেখানে এটি স্পষ্টভাবে উল্লেখ করা হয়েছে যে 0 * * 0 এর ফলাফল প্ল্যাটফর্ম-নির্ভর)। গাণিতিক এবং বৈজ্ঞানিক সফ্টওয়্যার এপিএল, আর, স্টাটা, সেজম্যাথ, ম্যাটল্যাব, ম্যাগমা, জিএপি, সিঙ্গুলার, প্যারি/জিপি এবং জিএনইউ অক্টেভ এর মূল্যায়ন করে। গণিত এবং ম্যাক্সিমা কোনও সীমাবদ্ধতা না থাকলেও সরলীকরণ করে; তবে, যদি সরাসরি প্রবেশ করা হয় তবে এটি একটি ত্রুটি বা অনির্দিষ্ট হিসাবে বিবেচিত হয়। সেজম্যাথ সরলীকরণ করে না। ম্যাপেল, ম্যাথমেটিকা এবং পি. এ. আর. আই/জি. পি পূর্ণসংখ্যা এবং ভাসমান-বিন্দুর মানগুলির মধ্যে আরও পার্থক্য করেঃ যদি সূচকটি পূর্ণসংখ্যা প্রকারের শূন্য হয়, তবে তারা ভিত্তির প্রকারের একটি ফেরত দেয়; শূন্য মানের ভাসমান-বিন্দু সূচকের সাথে সূচককে অনির্ধারিত, অনির্ধারিত বা ত্রুটি হিসাবে বিবেচনা করা হয়। আরও দেখুন 0/0 রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক sci.math এফএকিউঃ কি? (শূন্য থেকে শূন্য শক্তি) কিসের সমান? AskAMathematician.com এক্সপোনেনশিয়াল গাণিতিক বিশ্লেষণ কম্পিউটার গাণিতিক কম্পিউটার ত্রুটি 0 (সংখ্যা) সফ্টওয়্যার অসঙ্গতি 1 (সংখ্যা)