Hamiltonian Monte Carlo
হ্যামিল্টনিয়ান মন্টে কার্লো অ্যালগরিদম (মূলত হাইব্রিড মন্টে কার্লো নামে পরিচিত) একটি মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো পদ্ধতি যা এলোমেলো নমুনার ক্রম প্রাপ্তির জন্য যা একটি লক্ষ্য সম্ভাব্যতা বিতরণ অনুসারে বিতরণ করা হয় যার জন্য সরাসরি নমুনা সংগ্রহ করা কঠিন। এই ক্রমটি লক্ষ্য বণ্টনের (প্রত্যাশিত মান) সাপেক্ষে ইন্টিগ্রালগুলি অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। হ্যামিল্টনিয়ান মন্টে কার্লো মেট্রোপলিস-হেস্টিংস অ্যালগরিদমের একটি উদাহরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, হ্যামিল্টনিয়ান গতিবিদ্যার বিবর্তন একটি সময়-বিপরীতমুখী এবং ভলিউম-সংরক্ষণকারী সংখ্যাসূচক ইন্টিগ্রেটর (সাধারণত লিপফ্রগ ইন্টিগ্রেটর) ব্যবহার করে অনুকরণ করে রাষ্ট্রীয় স্থানের একটি নতুন বিন্দুতে একটি পদক্ষেপের প্রস্তাব দেয়। মেট্রোপলিস-হেস্টিংস অ্যালগরিদমে গাউসিয়ান র্যান্ডম ওয়াক প্রপোসল ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহারের তুলনায়, হ্যামিল্টনিয়ান মন্টে কার্লো দূরবর্তী রাজ্যে পদক্ষেপের প্রস্তাব দিয়ে ধারাবাহিক নমুনাযুক্ত অবস্থার মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক হ্রাস করে যা সিমপ্লেক্টিক ইন্টিগ্রেটর ব্যবহার করার সময় সিমুলেটেড হ্যামিল্টনিয়ান ডায়নামিকের আনুমানিক শক্তি সংরক্ষণের বৈশিষ্ট্যের কারণে গ্রহণযোগ্যতার উচ্চ সম্ভাবনা বজায় রাখে। হ্রাসকৃত পারস্পরিক সম্পর্ক মানে একটি প্রদত্ত মন্টে কার্লো ত্রুটির জন্য লক্ষ্য সম্ভাব্যতা বিতরণের সাপেক্ষে আনুমানিক ইন্টিগ্রালগুলির জন্য কম মার্কভ চেইন নমুনা প্রয়োজন। অ্যালগরিদমটি মূলত 1987 সালে সাইমন ডুয়েন, অ্যান্টনি কেনেডি, ব্রায়ান পেন্ডলটন এবং ডানকান রোয়েথ ল্যাটিস কোয়ান্টাম ক্রোমোডাইনামিক্সের গণনার জন্য প্রস্তাব করেছিলেন। 1996 সালে, র্যাডফোর্ড এম. নিল দেখিয়েছিলেন যে কীভাবে পদ্ধতিটি বিস্তৃত শ্রেণীর পরিসংখ্যানগত সমস্যার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে, বিশেষ করে কৃত্রিম স্নায়ুতন্ত্রের ক্ষেত্রে। যাইহোক, সংশ্লিষ্ট ঘনত্বের গ্রেডিয়েন্ট সরবরাহ করার বোঝা পরিসংখ্যান এবং অন্যান্য পরিমাণগত শাখায় অ্যালগরিদমের ব্যাপক গ্রহণকে বিলম্বিত করেছিল, যতক্ষণ না 2010-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে স্ট্যানের বিকাশকারীরা স্বয়ংক্রিয় পার্থক্যের সংমিশ্রণে এইচএমসি প্রয়োগ করেছিল। অ্যালগরিদম ধরুন নমুনার লক্ষ্য বিতরণ ()-এর জন্য এবং নমুনার একটি শৃঙ্খল প্রয়োজন। হ্যামিল্টনের সমীকরণগুলি হল যেখানে এবং যথাক্রমে অবস্থান এবং ভরবেগ ভেক্টরের তম উপাদান এবং হ্যামিল্টনীয়। ধরা যাক একটি ভর ম্যাট্রিক্স যা প্রতিসম এবং ধনাত্মক নির্দিষ্ট, তারপর হ্যামিল্টনিয়ান যেখানে সম্ভাব্য শক্তি। একটি লক্ষ্যের সম্ভাব্য শক্তি দেওয়া হয় যা বোল্টজম্যান ফ্যাক্টর থেকে আসে। অ্যালগরিদমটির জন্য লাফ ফ্রগ ধাপের সংখ্যার জন্য একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং ধাপের আকারের জন্য একটি ধনাত্মক সংখ্যা প্রয়োজন। ধরুন চেইনটি অ্যাট। যাক। প্রথমত, একটি এলোমেলো গাউসিয়ান ভরবেগ থেকে আঁকা হয়। এরপরে, কণাটি সময়ের জন্য হ্যামিল্টনিয়ান গতিবিদ্যার অধীনে চলবে, এটি লিপ ফ্রগ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে হ্যামিল্টনের সমীকরণগুলি সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করে করা হয়। লিপ ফ্রগ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সময়ের পরে অবস্থান এবং ভরবেগ ভেক্টরগুলি হল এই সমীকরণগুলি প্রয়োগ করতে হবে এবং প্রাপ্ত করার সময় এবং। লিপ ফ্রগ অ্যালগরিদম হল অ-মিথস্ক্রিয়াশীল শাস্ত্রীয় কণাগুলির গতির একটি আনুমানিক সমাধান। সঠিক হলে, সমাধানটি কখনই প্রাথমিক এলোমেলোভাবে উৎপাদিত শক্তির বন্টনকে পরিবর্তন করবে না, কারণ একটি ধ্রুপদী সম্ভাব্য শক্তি ক্ষেত্রের উপস্থিতিতে প্রতিটি কণার জন্য শক্তি সংরক্ষণ করা হয়। একটি তাপগতিবিদ্যার ভারসাম্য বিতরণে পৌঁছানোর জন্য, কণাগুলির অবশ্যই আশেপাশের তাপ স্নানের সাথে কোনও ধরণের মিথস্ক্রিয়া থাকতে হবে, যাতে পুরো সিস্টেমটি বোল্টজম্যান বিতরণ অনুসারে সম্ভাব্যতা সহ বিভিন্ন শক্তি গ্রহণ করতে পারে। সিস্টেমটিকে তাপগতিবিদ্যার ভারসাম্য বণ্টনের দিকে নিয়ে যাওয়ার একটি উপায় হল মেট্রোপলিস-হেস্টিংস অ্যালগরিদম ব্যবহার করে কণাগুলির অবস্থা পরিবর্তন করা। সুতরাং, প্রথমে লাফ ফ্রগ ধাপটি প্রয়োগ করা হয়, তারপর একটি মেট্রোপলিস-হেস্টিংস ধাপ। থেকে রূপান্তর হল যেখানে এটি পাওয়ার জন্য পুনরাবৃত্তি করা হয়। কোনও ইউ-টার্ন স্যাম্পলার নেই কোনও ইউ-টার্ন স্যাম্পলার (এন. ইউ. টি. এস) স্বয়ংক্রিয়ভাবে নিয়ন্ত্রণ করে একটি এক্সটেনশন। টিউনিং সমালোচনামূলক। উদাহরণস্বরূপ, এক মাত্রিক ক্ষেত্রে, সম্ভাব্যতা হল যা একটি সাধারণ সুরেলা দোলকের সম্ভাবনার সাথে মিলে যায়। খুব বড় হলে, কণাটি দোলন করবে এবং এইভাবে গণনার সময় নষ্ট করবে। খুব ছোট হলে, কণাটি এলোমেলো হাঁটার মতো আচরণ করবে। আলগাভাবে, এন. ইউ. টি. এস একটি ইউ-টার্ন শর্ত সন্তুষ্ট না হওয়া পর্যন্ত এলোমেলোভাবে সময়ের সাথে সাথে হ্যামিল্টনীয় গতিবিদ্যাকে সামনের দিকে এবং পিছনের দিকে চালিত করে। যখন এটি ঘটে, তখন পথ থেকে একটি এলোমেলো বিন্দু এম. সি. এম. সি নমুনার জন্য বেছে নেওয়া হয় এবং সেই নতুন বিন্দু থেকে প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করা হয়। বিস্তারিতভাবে, লাফ ব্যাঙের ধাপগুলির পথ খুঁজে বের করার জন্য একটি বাইনারি গাছ তৈরি করা হয়েছে। একটি এম. সি. এম. সি নমুনা তৈরি করতে, একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি পরিচালিত হয়। একটি স্লাইস ভেরিয়েবলের নমুনা নেওয়া হয়। আসুন এবং যথাক্রমে সামনের কণার অবস্থান এবং গতিবেগ হতে দিন। একইভাবে, এবং পশ্চাদগামী কণার জন্য। প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে, বাইনারি ট্রি সময়ের সাথে সাথে সামনের কণাটিকে সামনের দিকে বা পিছনের কণাটিকে পিছনের দিকে সরানোর জন্য এলোমেলোভাবে নির্বাচন করে। এছাড়াও প্রতিটি পুনরাবৃত্তির জন্য, লাফ ব্যাঙের ধাপের সংখ্যা 2 গুণক দ্বারা বৃদ্ধি পায়। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম পুনরাবৃত্তিতে, সামনের কণাটি 1 লাফ ব্যাঙের ধাপ ব্যবহার করে সময়ের সাথে সাথে এগিয়ে যায়। পরবর্তী পুনরাবৃত্তিতে, পশ্চাদগামী কণাটি 2টি লাফ ব্যাঙের ধাপ ব্যবহার করে সময়ের সাথে পিছনে সরে যায়। ইউ-টার্ন শর্ত পূরণ না হওয়া পর্যন্ত পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি অব্যাহত থাকে, অর্থাৎ যখন হ্যামিল্টনিয়ান ভুল হয়ে যায় বা যেখানে, উদাহরণস্বরূপ। একবার ইউ-টার্ন শর্ত পূরণ হয়ে গেলে, পরবর্তী এম. সি. এম. সি নমুনা, বাইনারি ট্রি দ্বারা চিহ্নিত লিপ ফ্রগ পথের সমানভাবে নমুনা সংগ্রহ করে প্রাপ্ত হয় যা সন্তুষ্ট করে এটি সাধারণত সন্তুষ্ট হয় যদি অবশিষ্ট এইচ. এম. সি পরামিতিগুলি বুদ্ধিমান হয়। আরও দেখুন মন্টে কার্লো আণবিক মডেলিংয়ের জন্য ডায়নামিক মন্টে কার্লো পদ্ধতি সফ্টওয়্যার স্ট্যান মেট্রোপলিস-অ্যাডজাস্টেড ল্যাঙ্গেভিন অ্যালগরিদম রেফারেন্স আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক হ্যামিল্টনিয়ান মন্টে কার্লো স্ক্র্যাচ অপ্টিমাইজেশন এবং মন্টে কার্লো পদ্ধতি মন্টে কার্লো পদ্ধতি মার্কভ চেইন মন্টে কার্লো