Donaldson–Thomas theory
গণিতে, বিশেষ করে বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, ডোনাল্ডসন-থমাস তত্ত্ব হল ডোনাল্ডসন-থমাস অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব। একটি ক্যালাবি-ইউ তিনগুণের উপর শেভের একটি কম্প্যাক্ট মডুলি স্থান দেওয়া হলে, এর ডোনাল্ডসন-থমাস অপরিবর্তনীয় হল এর পয়েন্টগুলির ভার্চ্যুয়াল সংখ্যা, অর্থাৎ, ভার্চ্যুয়াল মৌলিক শ্রেণীর বিরুদ্ধে কোহোমোলজি ক্লাস 1-এর অবিচ্ছেদ্য। ডোনাল্ডসন-থমাস অপরিবর্তনীয় হল ক্যাসন অপরিবর্তনীয়ের একটি হোলোমরফিক এনালগ। অপরিবর্তনীয়দের দ্বারা প্রবর্তন করা হয়েছিল। ডোনাল্ডসন-থমাস অপরিবর্তনীয়গুলির বীজগাণিতিক তিন-ভাঁজগুলির গ্রোমভ-উইটেন অপরিবর্তনীয়গুলির সাথে ঘনিষ্ঠ সংযোগ রয়েছে এবং রাহুল পান্ধারীপাণ্ডে এবং থমাসের কারণে স্থিতিশীল জোড়ার তত্ত্ব রয়েছে। ডোনাল্ডসন-থমাস তত্ত্বটি স্ট্রিং এবং গেজ তত্ত্ব 5-এ ঘটে যাওয়া নির্দিষ্ট বিপিএস অবস্থা দ্বারা শারীরিকভাবে অনুপ্রাণিত হয়। এর কারণ হল অপরিবর্তনীয়গুলি অধ্যয়নরত মডুলি স্পেসগুলির উদ্ভূত বিভাগের উপর একটি স্থিতিশীলতার অবস্থার উপর নির্ভর করে। মূলত, এই স্থায়িত্বের শর্তগুলি একটি ক্যালাবি-ইউ ম্যানিফোল্ডের কাহলার মডুলি স্পেসে পয়েন্টগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যা মিরর প্রতিসাম্য হিসাবে বিবেচিত হয় এবং ফলস্বরূপ উপবিভাগটি সংশ্লিষ্ট এস. সি. এফ. টি-র জন্য বিপিএস অবস্থার বিভাগ। সংজ্ঞা এবং উদাহরণ গ্রোমভ-উইটেন অপরিবর্তনীয়ের মূল ধারণা হল রিম্যান পৃষ্ঠ থেকে একটি মসৃণ লক্ষ্যে সিউডোহোলোমর্ফিক মানচিত্র অধ্যয়ন করে একটি স্থানের জ্যামিতি অনুসন্ধান করা। এই ধরনের সমস্ত মানচিত্রের মডুলি স্ট্যাক একটি ভার্চুয়াল মৌলিক শ্রেণীকে স্বীকার করে এবং এই স্ট্যাকের ছেদ তত্ত্ব সংখ্যাসূচক অপরিবর্তনীয় উৎপন্ন করে যা প্রায়শই গণনামূলক তথ্য ধারণ করতে পারে। অনুরূপভাবে, ডোনাল্ডসন-থমাস তত্ত্বের পদ্ধতি হল একটি বীজগাণিতিক বক্ররেখা তাদের সমীকরণ দ্বারা তিনগুণ অধ্যয়ন করা। আরও সঠিকভাবে, একটি জায়গায় আদর্শ শেভ অধ্যয়ন করে। এই মডুলি স্থানটি একটি ভার্চুয়াল মৌলিক শ্রেণীকেও গ্রহণ করে এবং কিছু সংখ্যাসূচক অপরিবর্তনীয় উৎপন্ন করে যা গণনামূলক। যেখানে গ্রোমভ-উইটেন তত্ত্বে, মানচিত্রগুলিকে ডোমেন বক্ররেখার একাধিক আবরণ এবং ধসে পড়া উপাদান হতে দেওয়া হয়, ডোনাল্ডসন-থমাস তত্ত্বটি শেভগুলিতে থাকা নিলপোটেন্ট তথ্যের অনুমতি দেয়, তবে এগুলি পূর্ণসংখ্যা মূল্যবান অপরিবর্তনীয়। দাভেশ মৌলিক, আন্দ্রেই ওকৌনকভ, নিকিতা নেক্রাসভ এবং রাহুল পান্ধারীপাণ্ডের কারণে গভীর অনুমান রয়েছে, যা ক্রমবর্ধমান সাধারণতায় প্রমাণিত হয়েছে যে, গ্রোমভ-উইটেন এবং ডোনাল্ডসন-থমাসের বীজগাণিতিক তিন-ভাঁজ তত্ত্বগুলি আসলে সমতুল্য। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, ভেরিয়েবলগুলির যথাযথ পরিবর্তনের পরে তাদের জেনারেটিং ফাংশনগুলি সমান হয়। ক্যালাবি-ইউ থ্রিফোল্ডের জন্য, ডোনাল্ডসন-থমাস অপরিবর্তনীয়গুলিকে মডুলি স্পেসে ওজনযুক্ত অয়লার বৈশিষ্ট্য হিসাবে প্রণয়ন করা যেতে পারে। এই অপরিবর্তনীয়, মোটিভিক হল বীজগণিত এবং কোয়ান্টাম টরাসের ফাংশনের বলয়ের মধ্যেও সাম্প্রতিক সংযোগ রয়েছে। কুইন্টিক তিনগুণ রেখার মডুলি স্থানটি 2875 পয়েন্টের একটি বিচ্ছিন্ন সেট। বিন্দুর ভার্চুয়াল সংখ্যা হল বিন্দুর প্রকৃত সংখ্যা, এবং তাই এই মডুলি স্থানের ডোনাল্ডসন-থমাস অপরিবর্তনীয় হল পূর্ণসংখ্যা 2875। একইভাবে, কুইন্টিকের উপর শঙ্কুগুলির মডুলি স্থানের ডোনাল্ডসন-থমাস অপরিবর্তনীয় হল 609250। সংজ্ঞা একটি ক্যালাবি-ইউ তিনগুণ এবং একটি নির্দিষ্ট কোহোমোলজি ক্লাসের জন্য চেরন চরিত্রের সাথে সুসঙ্গত শেভগুলির একটি সম্পর্কিত মডুলি স্ট্যাক রয়েছে। সাধারণভাবে, এটি অসীম ধরনের একটি অ-বিচ্ছিন্ন আর্টিন স্ট্যাক যার উপর সংখ্যাসূচক অপরিবর্তনীয় সংজ্ঞায়িত করা কঠিন। পরিবর্তে, এমন সুসঙ্গত শেভগুলির প্যারামিট্রাইজিং খোলা সাবস্ট্যাক রয়েছে যার উপর একটি স্থিতিশীলতা শর্ত আরোপ করা হয়েছে, অর্থাৎ। - স্থিতিশীল শেভ। এই মডুলি স্ট্যাকগুলির অনেক ভাল বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যেমন সীমাবদ্ধ প্রকারের থেকে পৃথক করা। একমাত্র প্রযুক্তিগত অসুবিধা হল একটি নির্দিষ্ট শিফের বিকৃতির বাধাগুলির অস্তিত্বের কারণে তাদের খারাপ এককত্ব থাকতে পারে। বিশেষত এখন যেহেতু ক্যালাবি-ইউ, সের দ্বৈততা বোঝায় যা 0 মাত্রার একটি নিখুঁত বাধা তত্ত্ব দেয়। বিশেষত, এটি সমতাত্ত্বিক মাত্রায় সম্পর্কিত ভার্চুয়াল মৌলিক শ্রেণীকে বোঝায়। তারপরে আমরা ডিটি অপরিবর্তনীয়কে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা স্থিতিশীলতা অবস্থা এবং কোহোমোলজি শ্রেণীর উপর নির্ভর করে। থমাস প্রমাণ করেছিলেন যে একটি মসৃণ পরিবারের জন্য উপরে সংজ্ঞায়িত অপরিবর্তনীয় পরিবর্তন হয় না। শুরুতে গবেষকরা গিজেকার স্থায়িত্বের অবস্থা বেছে নিয়েছিলেন, তবে সাম্প্রতিক বছরগুলিতে অন্যান্য ডিটি-ইনভ্যারিয়েন্টগুলি অন্যান্য স্থায়িত্বের অবস্থার উপর ভিত্তি করে অধ্যয়ন করা হয়েছে, যা প্রাচীর-ক্রসিং সূত্রের দিকে পরিচালিত করে। বাস্তবতা মডুলি স্পেস এম-এর ডোনাল্ডসন-থমাস অপরিবর্তনীয় এম-এর ওজনযুক্ত অয়লার বৈশিষ্ট্যের সমান। ওজন ফাংশন এম-এর প্রতিটি বিন্দুর সাথে যুক্ত হয় যা একটি হাইপারপ্লেন এককত্বের মিলনর সংখ্যার অনুরূপ। শেভের মডুলি স্পেসের পরিবর্তে সাধারণীকরণগুলি উদ্ভূত বিভাগের বস্তুর মডুলি স্পেস বিবেচনা করে। এটি পান্ধারীপাণ্ডে-থমাস অপরিবর্তনীয় দেয় যা ক্যালাবি-ইউ-এর স্থিতিশীল জোড়া 3 গুণ গণনা করে। পূর্ণসংখ্যা মূল্যবান অপরিবর্তনীয়ের পরিবর্তে, কেউ প্রেরক অপরিবর্তনীয় বিবেচনা করে। আরও দেখুন গণনামূলক জ্যামিতি গ্রোমভ-উইটেন অপরিবর্তনীয় হিলবার্ট স্কিম কোয়ান্টাম কোহোমোলজি রেফারেন্স বীজগাণিতিক জ্যামিতি স্ট্রিং তত্ত্ব