Riemann invariant
রিম্যান অপরিবর্তনীয় হল সংরক্ষণ সমীকরণের একটি পদ্ধতিতে তৈরি গাণিতিক রূপান্তর যা তাদের আরও সহজে সমাধানযোগ্য করে তোলে। আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের চরিত্রগত বক্ররেখা বরাবর রিম্যান অপরিবর্তনীয় স্থির থাকে যেখানে তারা অপরিবর্তনীয় নামটি পায়। এগুলি প্রথম বার্নহার্ড রিম্যান গ্যাস গতিবিদ্যায় সমতল তরঙ্গের উপর তাঁর কাজে পেয়েছিলেন। গাণিতিক তত্ত্ব সংরক্ষণ সমীকরণের সেট বিবেচনা করুনঃ ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলি কোথায় এবং কোথায় এবং কোথায় ভেক্টরের উপাদান। এটি জিজ্ঞাসা করা হবে যে এই সমীকরণটি পুনর্লিখন করা সম্ভব কিনা তা করার জন্য এই বক্ররেখা ভেক্টর ক্ষেত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত সমতলে চালু করা হবে। বন্ধনীতে থাকা শব্দটি মোট অন্তরজের পরিপ্রেক্ষিতে পুনর্লিখন করা হবে যেখানে আমরা খুঁজে পাওয়া শেষ দুটি সমীকরণের তুলনা হিসাবে প্যারামিট্রাইজ করা হয়েছে যা এখন চরিত্রগত আকারে লেখা যেতে পারে যেখানে আমাদের অবশ্যই শর্ত থাকতে হবে যেখানে প্রয়োজনীয় শর্ত দেওয়ার জন্য বাদ দেওয়া যেতে পারে তাই একটি অ-তুচ্ছ সমাধানের জন্য নির্ধারক রিমান অপরিবর্তনীয়দের জন্য আমরা যখন ম্যাট্রিক্সটি একটি পরিচয় ম্যাট্রিক্স হয় তখন বিষয়টি নিয়ে উদ্বিগ্ন থাকি লক্ষ্য করার জন্য যে ভেক্টর শূন্য হওয়ার কারণে এটি সমজাতীয়। বৈশিষ্ট্যগত আকারে সিস্টেমটি ম্যাট্রিক্সের বাম আইগেনভেক্টর কোথায় এবং ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালুগুলির বৈশিষ্ট্যগত গতি যা সন্তুষ্ট করে এই বৈশিষ্ট্যমূলক সমীকরণগুলিকে সহজতর করার জন্য আমরা রূপান্তরগুলি এমনভাবে তৈরি করতে পারি যা একটি ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর গঠন করে যাতে এটি সংহত করতে সহায়তা করা যায়। সুতরাং সিস্টেমটির এখন চরিত্রগত রূপ রয়েছে যার উপর তির্যক সিস্টেমের সমতুল্য এই সিস্টেমের সমাধান সাধারণীকৃত হোডোগ্রাফ পদ্ধতি দ্বারা দেওয়া যেতে পারে। উদাহরণ ঘনত্ব এবং বেগের পরিপ্রেক্ষিতে লিখিত এক-মাত্রিক অয়লার সমীকরণগুলি বিবেচনা করুন যা শব্দের গতির সাথে আইসেন্ট্রোপিক অনুমানের কারণে প্রবর্তিত হয়। এই পদ্ধতিটি ম্যাট্রিক্স আকারে লিখুন যেখানে আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরের উপরের বিশ্লেষণ থেকে ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করতে হবে। আইগেনভ্যালুগুলি দিতে সন্তুষ্ট হতে দেখা যায় এবং আইগেনভেক্টরগুলি যেখানে রিমান অপরিবর্তনীয় সেখানে পাওয়া যায় (এবং গ্যাস গতিবিদ্যায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত স্বরলিপি)। ধ্রুবক নির্দিষ্ট তাপ সহ নিখুঁত গ্যাসের জন্য, একটি সম্পর্ক রয়েছে, যেখানে নির্দিষ্ট তাপ অনুপাত রয়েছে, যা সমীকরণগুলি দেওয়ার জন্য রিমান অপরিবর্তনীয় দেয় অন্য কথায়, বৈশিষ্ট্যযুক্ত বক্ররেখা কোথায় এবং কোথায়। হোডোগ্রাফ রূপান্তরের মাধ্যমে এটি সমাধান করা যেতে পারে। হোডোগ্রাফিক সমতলে, যদি সমস্ত বৈশিষ্ট্য একটি একক বক্ররেখায় ভেঙে যায়, তবে আমরা সহজ তরঙ্গ পাই। যদি পি. ডি. ই-এর সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স ফর্মটি আকারে থাকে তবে যতক্ষণ ম্যাট্রিক্স নির্ধারক শূন্য না হয় ততক্ষণ বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করা সম্ভব হতে পারে। আরও দেখুন সরল তরঙ্গ রেফারেন্স অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সংরক্ষণ সমীকরণ বার্নহার্ড রিম্যান