Hermite's problem
হার্মাইটের সমস্যা 1848 সালে চার্লস হার্মাইট দ্বারা উত্থাপিত গণিতে একটি উন্মুক্ত সমস্যা। তিনি বাস্তব সংখ্যাকে প্রাকৃতিক সংখ্যার ক্রম হিসাবে প্রকাশ করার একটি উপায় চেয়েছিলেন, যাতে মূল সংখ্যাটি যখন একটি ঘন অযৌক্তিক হয় তখন ক্রমটি শেষ পর্যন্ত সুনির্দিষ্টভাবে পর্যায়ক্রমিক হয়। বাস্তব সংখ্যা লেখার একটি আদর্শ উপায় হল তাদের দশমিক উপস্থাপনা, যেমনঃ যেখানে a0 একটি পূর্ণসংখ্যা, x-এর পূর্ণসংখ্যা অংশ এবং a1, a2, a3.0 এবং 9-এর মধ্যে পূর্ণসংখ্যা। প্রকৃত সংখ্যা x একটি মূলদ সংখ্যা যদি এর দশমিক সম্প্রসারণ পরিশেষে পর্যায়ক্রমিক হয়, অর্থাৎ যদি প্রাকৃতিক সংখ্যা N এবং p থাকে যাতে প্রতিটি n ≤ N-এর ক্ষেত্রে an + p = an হয়। সংখ্যা প্রকাশ করার আরেকটি উপায় হল এগুলিকে অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা, যেমনঃ যেখানে a0 একটি পূর্ণসংখ্যা এবং a1, a2, a3. প্রাকৃতিক সংখ্যা। এই উপস্থাপনা থেকে আমরা x পুনরুদ্ধার করতে পারি কারণ যদি x একটি মূলদ সংখ্যা হয় তবে ক্রম (an) সীমাবদ্ধভাবে অনেক পদের পরে শেষ হয়। অন্যদিকে, অয়লার প্রমাণ করেছেন যে অযৌক্তিক সংখ্যাগুলিকে অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করার জন্য একটি অসীম ক্রম প্রয়োজন। উপরন্তু, এই ক্রমটি শেষ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক হয় (আবার, যাতে প্রাকৃতিক সংখ্যা N এবং p এমন হয় যে প্রতিটি n ≤ N-এর জন্য আমাদের একটি + p = an থাকে), যদি এবং শুধুমাত্র যদি x একটি দ্বিঘাত অযৌক্তিক হয়। হারমাইটের প্রশ্ন যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা হল বীজগাণিতিক সংখ্যা যা ডিগ্রি 1-এর একটি বহুপদীকে সন্তুষ্ট করে, অন্যদিকে দ্বিঘাত অযৌক্তিক হল বীজগাণিতিক সংখ্যা যা ডিগ্রি 2-এর একটি বহুপদীকে সন্তুষ্ট করে। এই উভয় সংখ্যার সেটের জন্য আমাদের কাছে প্রাকৃতিক সংখ্যার (অ) একটি ক্রম তৈরি করার একটি উপায় রয়েছে যাতে প্রতিটি ক্রম একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যা দেয় এবং এই বাস্তব সংখ্যাটি সংশ্লিষ্ট সেটের অন্তর্গত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ক্রমটি শেষ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক হয়। 1848 সালে, চার্লস হার্মাইট কার্ল গুস্তাভ জ্যাকব জ্যাকোবিকে একটি চিঠি লিখে জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে এই পরিস্থিতিকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে কিনা, অর্থাৎ প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা x-এর জন্য প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি ক্রম নির্ধারণ করা যেতে পারে যাতে ক্রমটি শেষ পর্যন্ত সুনির্দিষ্টভাবে পর্যায়ক্রমিক হয় যখন x একটি ঘন অযৌক্তিক, অর্থাৎ 3 মাত্রার একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা? অথবা, আরও সাধারণভাবে, প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা d-এর জন্য প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা x-এর জন্য প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি ক্রম নির্ধারণ করার একটি উপায় আছে যা বেছে নিতে পারে যখন x ডিগ্রি d-এর বীজগাণিতিক হয়? যে ক্রমগুলি হার্মাইটের সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করে সেগুলিকে প্রায়শই বহুমাত্রিক অব্যাহত ভগ্নাংশ বলা হয়। জ্যাকোবি নিজেই একটি প্রাথমিক উদাহরণ নিয়ে এসেছিলেন, প্রতিটি জোড় বাস্তব সংখ্যার (x, y) সাথে সম্পর্কিত একটি ক্রম খুঁজে পেয়েছিলেন যা অব্যাহত ভগ্নাংশের উচ্চ-মাত্রিক এনালগ হিসাবে কাজ করেছিল। তিনি আশা করেছিলেন যে (x, y)-এর সাথে সংযুক্ত ক্রমটি শেষ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি x এবং y উভয়ই একটি ঘন সংখ্যা ক্ষেত্রের অন্তর্গত হয়, তবে তা করতে অক্ষম হন এবং এই বিষয়টি অমীমাংসিত থাকে কিনা। 2015 সালে, প্রথমবারের মতো, যে কোনও ঘন অযৌক্তিকের জন্য একটি পর্যায়ক্রমিক উপস্থাপনা ত্রৈমাসিক অব্যাহত ভগ্নাংশের মাধ্যমে সরবরাহ করা হয়েছে, অর্থাৎ, যৌক্তিক বা পূর্ণসংখ্যা সংখ্যার পর্যায়ক্রমিক ক্রম হিসাবে ঘন অযৌক্তিক লেখার সমস্যা সমাধান করা হয়েছে। যাইহোক, পর্যায়ক্রমিক উপস্থাপনা সমস্ত বাস্তব সংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত একটি অ্যালগরিদম থেকে উদ্ভূত হয় না এবং এটি কেবল ঘন অযৌক্তিকের ন্যূনতম বহুপদের জ্ঞান থেকে শুরু হয়। অব্যাহত ভগ্নাংশগুলিকে সাধারণীকরণের পরিবর্তে, সমস্যার আরেকটি পদ্ধতি হল মিনকোভস্কির প্রশ্ন চিহ্ন ফাংশনকে সাধারণীকরণ করা। এই ফাংশন? : [0,1] → [0,1] এছাড়াও দ্বিঘাত অযৌক্তিক সংখ্যা বেছে নেয়? (x) যুক্তিসঙ্গত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি x হয় যুক্তিসঙ্গত বা একটি দ্বিঘাত অযৌক্তিক সংখ্যা, এবং উপরন্তু x যুক্তিসঙ্গত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি? (x) একটি দ্বিঘাত যুক্তিসঙ্গত, সুতরাং x একটি দ্বিঘাত অযৌক্তিক ঠিক কখন? (x) একটি অ-ডায়্যাডিক মূলদ সংখ্যা। একক বর্গ [0,1] × [0,1] অথবা দ্বি-মাত্রিক সিম্পলেক্সে এই ফাংশনের বিভিন্ন সাধারণীকরণ করা হয়েছে, যদিও কোনওটিই এখনও হার্মাইটের সমস্যার সমাধান করতে পারেনি। 2021 সালে ওলেগ কার্পেনকভ ঘন ভেক্টরের পর্যায়ক্রমিক প্রতিনিধি খুঁজে বের করার জন্য দুটি বিয়োগাত্মক অ্যালগরিদম প্রস্তাব করেছিলেন। প্রথম (অ্যালগরিদম) শুধুমাত্র সম্পূর্ণ বাস্তব ক্ষেত্রে কাজ করে। অ্যালগরিদমের জন্য ইনপুট হল ঘন ভেক্টরের তিনগুণ। একটি ঘন ভেক্টর হল যে কোনও ভেক্টর যা 3 ডিগ্রি এক্সটেনশন তৈরি করে। এই ক্ষেত্রে ঘন ভেক্টরগুলি কনজুগেট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি অ্যালগরিদমের আউটপুট পর্যায়ক্রমিক হয়। দ্বিতীয়টি (এইচএপিডি অ্যালগরিদম) সমস্ত ক্ষেত্রে (জটিল ঘন ভেক্টর সহ) এবং সমস্ত মাত্রার জন্য কাজ করে বলে অনুমান করা হয়। রেফারেন্স অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব সংখ্যা তত্ত্বে অমীমাংসিত সমস্যা