Euler–Rodrigues formula
গণিত এবং বলবিজ্ঞানে, অয়লার-রড্রিগস সূত্রটি তিনটি মাত্রায় একটি ভেক্টরের ঘূর্ণন বর্ণনা করে। এটি রদ্রিগেসের ঘূর্ণন সূত্রের উপর ভিত্তি করে, তবে একটি ভিন্ন পরামিতি ব্যবহার করে। লিওনহার্ড অয়লারের কারণে চারটি অয়লার পরামিতি দ্বারা ঘূর্ণন বর্ণনা করা হয়েছে। রদ্রিগেজ সূত্র (অলিন্ডে রদ্রিগেসের নামে নামকরণ করা হয়েছে), একটি ঘূর্ণিত বিন্দুর অবস্থান গণনা করার একটি পদ্ধতি, কিছু সফ্টওয়্যার অ্যাপ্লিকেশন যেমন ফ্লাইট সিমুলেটর এবং কম্পিউটার গেমগুলিতে ব্যবহৃত হয়। সংজ্ঞা উৎপত্তি সম্পর্কে একটি ঘূর্ণন চারটি বাস্তব সংখ্যা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়,,,, যাতে ঘূর্ণন প্রয়োগ করা হলে, অবস্থানের একটি বিন্দু তার নতুন অবস্থান ভেক্টর গঠনে ঘোরে এই পরামিতিটিকে স্কেলার পরামিতি এবং ভেক্টর পরামিতি বলা যেতে পারে। স্ট্যান্ডার্ড ভেক্টর নোটেশনে, রদ্রিগেজ ঘূর্ণন সূত্রটি প্রতিসাম্য পরামিতিগুলির সংক্ষিপ্ত রূপ নেয় এবং একই ঘূর্ণন বর্ণনা করে। এই প্রতিসাম্য ছাড়াও, চারটি পরামিতিগুলির প্রতিটি সেট ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি অনন্য ঘূর্ণন বর্ণনা করে। ঘূর্ণনের গঠন দুটি ঘূর্ণনের গঠন নিজেই একটি ঘূর্ণন। ধরা যাক এবং দুটি ঘূর্ণনের অয়লার পরামিতি হতে হবে। যৌগিক আবর্তনের মাপকাঠিগুলি (আবর্তনের 1-এর পরে আবর্তনের 2) নিম্নরূপঃ এটি পরীক্ষা করা সহজ, যদিও ক্লান্তিকর। (এটি মূলত অয়লারের চার বর্গাকার পরিচয়, যা রদ্রিগেজও ব্যবহার করেন।) ঘূর্ণন কোণ এবং ঘূর্ণন অক্ষ তিনটি মাত্রায় যে কোনও কেন্দ্রীয় ঘূর্ণন অনন্যভাবে তার ঘূর্ণন অক্ষ (একটি একক ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা) এবং ঘূর্ণন কোণ দ্বারা নির্ধারিত হয়। এই আবর্তনের জন্য অয়লার প্যারামিটারগুলি নিম্নরূপ গণনা করা হয়ঃ লক্ষ্য করুন যে যদি 360 ডিগ্রি পূর্ণ আবর্তনের দ্বারা বৃদ্ধি করা হয়, তবে সাইন এবং কোসাইনের আর্গুমেন্টগুলি কেবল 180 ডিগ্রি বৃদ্ধি পায়। ফলস্বরূপ প্যারামিটারগুলি মূল মানগুলির বিপরীত, তারা একই আবর্তনের প্রতিনিধিত্ব করে। বিশেষত, পরিচয় রূপান্তর (নাল ঘূর্ণন,) প্যারামিটার মানের সাথে মিলে যায়। যে কোনও অক্ষের চারপাশে 180 ডিগ্রি ঘোরার ফলস্বরূপ। চতুর্ভুজের সঙ্গে সংযোগ অয়লার পরামিতিগুলিকে একটি চতুর্ভুজের সহগ হিসাবে দেখা যেতে পারে; স্কেলার পরামিতি হল বাস্তব অংশ, ভেক্টর পরামিতিগুলি হল কাল্পনিক অংশ। সুতরাং আমাদের কোয়াটারনিয়ন রয়েছে যা একক দৈর্ঘ্যের (বা ভার্সর) একটি কোয়াটারনিয়ন যেহেতু সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, আবর্তনের গঠনের জন্য উপরের সমীকরণগুলি সঠিকভাবে কোয়াটারনিয়নগুলির গুণনের সমীকরণ। অন্য কথায়, গুণ সহ একক কোয়াটারনিয়নের গ্রুপ, মডুওলো ঋণাত্মক চিহ্ন, গঠন সহ আবর্তনের গ্রুপের সমরূপ। এস. ইউ (2) স্পিন ম্যাট্রিক্সের সাথে সংযোগ লাই গ্রুপ এস. ইউ (2) জটিল ম্যাট্রিক্সের ত্রিমাত্রিক আবর্তনের প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি আবর্তনের সাথে সম্পর্কিত এস. ইউ (2)-ম্যাট্রিক্স, এর অয়লার পরামিতিগুলির পরিপ্রেক্ষিতে, বিকল্পভাবে, এটি সেই যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে যেখানে পাউলি স্পিন ম্যাট্রিক্সগুলি রয়েছে। সুতরাং, অয়লার প্যারামিটারগুলি স্পিন গ্রুপ (3)-এর একটি উপাদানের সাথে সম্পর্কিত একটি এস. ইউ (2) ম্যাট্রিক্সের বাস্তব এবং কাল্পনিক স্থানাঙ্ক, যা একটি ডবল কভার ম্যাপিং দ্বারা অর্থোগোনাল গ্রুপ এস. ও (3)-এর ঘূর্ণনের সাথে ম্যাপ করে। এটি লাই গ্রুপ এস. ইউ (2) ≈ স্পিন (3)-এর অনন্য ত্রিমাত্রিক অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা হিসাবে উপলব্ধি করে। আরও দেখুন তিন মাত্রায় কোয়াটারনিয়ন এবং স্থানিক ঘূর্ণন সংস্করণে ঘূর্ণন আনুষ্ঠানিকতা তিন মাত্রায় স্পিনার SO (4) 3D ঘূর্ণন গোষ্ঠী রেফারেন্স তিন মাত্রায় ঘূর্ণন ইউক্লিডীয় প্রতিসাম্য লিওনহার্ড অয়লার