Hardy field
গণিতে, হার্ডি ক্ষেত্র হল এমন একটি ক্ষেত্র যা অনন্ততায় বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের জীবাণু নিয়ে গঠিত যা পৃথকীকরণের অধীনে বন্ধ থাকে। ইংরেজ গণিতবিদ জি. এইচ. হার্ডির নামে এগুলির নামকরণ করা হয়েছে। সংজ্ঞা প্রাথমিকভাবে, হার্ডি ক্ষেত্রগুলি অসীমের প্রকৃত ক্রিয়াকলাপের জীবাণুগুলির পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। বিশেষত আমরা H ফাংশনের একটি সংগ্রহ বিবেচনা করি যা সমস্ত বড় বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থাৎ যে ফাংশনগুলি f-এর উপর নির্ভর করে কিছু বাস্তব সংখ্যার জন্য বাস্তব সংখ্যা R-এর সাথে (u, ≤) মানচিত্র করে। এখানে এবং নিবন্ধের বাকি অংশে আমরা বলি যে একটি ফাংশনের একটি সম্পত্তি "শেষ পর্যন্ত" থাকে যদি এটির সমস্ত পর্যাপ্ত বড় x-এর সম্পত্তি থাকে, তাই উদাহরণস্বরূপ আমরা বলি যে H-এ একটি ফাংশন f শেষ পর্যন্ত শূন্য হয় যদি কোনও বাস্তব সংখ্যা U থাকে যাতে সমস্ত x ≤ U-এর জন্য f (x) = 0 হয়। আমরা H-এর উপর একটি সমতুল্য সম্পর্ক তৈরি করতে পারি এই বলে যে f হল g-এর সমতুল্য যদি f − g শেষ পর্যন্ত শূন্য হয়। এই সম্পর্কের সমতুল্য শ্রেণীগুলিকে অনন্তকালে জীবাণু বলা হয়। যদি H ফাংশনের স্বাভাবিক যোগ এবং গুণনের অধীনে একটি ক্ষেত্র গঠন করে তবে H মডুলো প্ররোচিত সংযোজন এবং গুণন ক্রিয়াকলাপের অধীনে এই সমতুল্য সম্পর্কটি তৈরি করবে। উপরন্তু, যদি H-এর প্রতিটি ফাংশন অবশেষে ডিফারেনশিয়েবল হয় এবং H-এর যে কোনও ফাংশনের ডেরিভেটিভও H-এ থাকে তবে H মডুলো উপরের সমতুল্য সম্পর্ককে হার্ডি ক্ষেত্র বলা হয়। একটি হার্ডি ক্ষেত্রের উপাদানগুলি এইভাবে সমতুল্য শ্রেণী এবং এগুলিকে বোঝানো উচিত, বলুন, [f] φ এমন ফাংশনের শ্রেণীকে বোঝাতে যা শেষ পর্যন্ত প্রতিনিধি ফাংশন f-এর সমান। যাইহোক, বাস্তবে উপাদানগুলি সাধারণত শুধুমাত্র প্রতিনিধিদের দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তাই [f] φ-এর পরিবর্তে কেউ কেবল f লিখবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি F হল R-এর একটি উপক্ষেত্র হয় তবে আমরা F-এর উপাদানগুলিকে ধ্রুবক ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করে এটিকে একটি হার্ডি ক্ষেত্র হিসাবে বিবেচনা করতে পারি, অর্থাৎ F-এর α সংখ্যাকে ধ্রুবক ফাংশন fα হিসাবে বিবেচনা করে যা R থেকে α-এর প্রতিটি x-কে ম্যাপ করে। এটি একটি ক্ষেত্র যেহেতু F হল, এবং যেহেতু এই ক্ষেত্রের প্রতিটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ 0 যা অবশ্যই F তে থাকতে হবে এটি একটি হার্ডি ক্ষেত্র। হার্ডি ক্ষেত্রের একটি কম তুচ্ছ উদাহরণ হল R-এর উপর যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের ক্ষেত্র, যা R (x) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি পি (এক্স)/কিউ (এক্স) ফর্মের ফাংশনের সেট যেখানে পি এবং কিউ বাস্তব সহগ সহ বহুপদী। যেহেতু বহুপদী Q-এর বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য দ্বারা শুধুমাত্র সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি শূন্য থাকতে পারে, তাই এই ধরনের মূলদ ফাংশনটি সমস্ত পর্যাপ্ত বড় x-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হবে, বিশেষ করে Q-এর বৃহত্তম বাস্তব মূলের চেয়ে বড় সমস্ত x-এর জন্য। যুক্তিসঙ্গত ফাংশন যোগ করা এবং গুণ করা আরও যুক্তিসঙ্গত ফাংশন দেয়, এবং ভাগফলের নিয়ম দেখায় যে যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের ডেরিভেটিভ আবার একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন, তাই R (x) একটি হার্ডি ক্ষেত্র গঠন করে। আরেকটি উদাহরণ হল ফাংশনের ক্ষেত্র যা স্ট্যান্ডার্ড গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ, সূচক এবং লগারিদম ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং ফর্মের কিছু বিরতিতে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ধরনের ফাংশনগুলিকে কখনও কখনও হার্ডি এল-ফাংশন বলা হয়। অনেক বড় হার্ডি ক্ষেত্রগুলি (যা একটি উপক্ষেত্র হিসাবে হার্ডি এল-ফাংশন ধারণ করে) ট্রান্স সিরিজ ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। বৈশিষ্ট্য একটি হার্ডি ক্ষেত্রের প্রতিটি উপাদান শেষ পর্যন্ত কঠোরভাবে ধনাত্মক, কঠোরভাবে ঋণাত্মক বা শূন্য হয়। এটি এই তথ্য থেকে মোটামুটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে একটি হার্ডি ক্ষেত্রের উপাদানগুলি শেষ পর্যন্ত পৃথকীকরণযোগ্য এবং তাই অবিচ্ছিন্ন এবং শেষ পর্যন্ত হয় গুণিতক বিপরীত বা শূন্য হয়। এর অর্থ হল হার্ডি ক্ষেত্রে সাইন এবং কোসাইন ফাংশনের মতো পর্যায়ক্রমিক ফাংশন বিদ্যমান থাকতে পারে না। পর্যায়ক্রমিক ফাংশন এড়ানোর অর্থ হল হার্ডি ক্ষেত্রের প্রতিটি উপাদানের অনন্ততায় একটি (সম্ভবত অসীম) সীমা থাকে, তাই যদি f, H-এর একটি উপাদান হয়, তবে R ≤ {− ≤, + ≤}-এ বিদ্যমান থাকে। এর অর্থ হ 'ল আমরা f <g বলে H-এর উপর একটি অর্ডার দিতে পারি যদি g − f শেষ পর্যন্ত কঠোরভাবে ধনাত্মক হয়। লক্ষ্য করুন যে, এটি f <g বলার সমতুল্য নয়, যদি f-এর সীমা g-এর সীমার চেয়ে কম হয়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি আইডেন্টিটি ফাংশন f (x) = x এবং এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন g (x) = ex-এর জীবাণু বিবেচনা করি, তাহলে যেহেতু g (x) − f (x)> 0 সমস্ত x-এর জন্য আমাদের সেই g> f রয়েছে। কিন্তু উভয়ই অসীমের দিকে ঝোঁক রাখে। এই অর্থে ক্রমটি আমাদের বলে যে সমস্ত সীমাহীন ফাংশনগুলি কত দ্রুত অনন্তের দিকে সরে যায়। এমনকি সসীম সীমার সমান হওয়াও যথেষ্ট নয়ঃ f (x) = 1/x এবং g (x) = 0 বিবেচনা করুন। মডেল তত্ত্বে হার্ডি ক্ষেত্রগুলির আধুনিক তত্ত্ব বাস্তব ফাংশনের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়, বরং নির্দিষ্ট কাঠামোতে সংজ্ঞায়িত প্রকৃত বদ্ধ ক্ষেত্রগুলিকে প্রসারিত করে। প্রকৃতপক্ষে, যদি R একটি ক্ষেত্রের ও-ন্যূনতম সম্প্রসারণ হয়, তবে R-এ সমস্ত পর্যাপ্ত বড় উপাদানের জন্য সংজ্ঞায়িত একক সংজ্ঞায়িত ফাংশনের সেট একটি হার্ডি ক্ষেত্র গঠন করে যা H (R) চিহ্নিত করে। বাস্তব পরিবেশে হার্ডি ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি এখনও এই আরও সাধারণ পরিবেশে রয়েছে। তথ্যসূত্র উপসর্গহীন বিশ্লেষণ মডেল তত্ত্ব ক্ষেত্র (গণিত) বীজগাণিতিক কাঠামো