Enriques–Kodaira classification
গণিতে, এনরিকস-কোডাইরা শ্রেণিবিন্যাস হল জটিল পৃষ্ঠগুলিকে দশটি শ্রেণীতে শ্রেণীবদ্ধ করা। এই ক্লাসগুলির প্রত্যেকটির জন্য, ক্লাসের পৃষ্ঠগুলি একটি মডুলি স্পেস দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা যেতে পারে। বেশিরভাগ শ্রেণীর জন্য মডুলি স্পেসগুলি ভালভাবে বোঝা যায়, তবে সাধারণ ধরণের পৃষ্ঠের শ্রেণীর জন্য মডুলি স্পেসগুলি স্পষ্টভাবে বর্ণনা করা খুব জটিল বলে মনে হয়, যদিও কিছু উপাদান জানা যায়। ম্যাক্স নোইথার বীজগাণিতিক পৃষ্ঠতলের নিয়মতান্ত্রিক অধ্যয়ন শুরু করেন এবং গুইডো ক্যাস্টেলনুভো শ্রেণীবিভাগের গুরুত্বপূর্ণ অংশ হিসাবে প্রমাণিত হন। জটিল প্রজেক্টিভ পৃষ্ঠের শ্রেণিবিন্যাস বর্ণনা করেছেন। পরে অ-বীজগাণিতিক কম্প্যাক্ট পৃষ্ঠগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য শ্রেণীবিভাগটি প্রসারিত করা হয়। ধনাত্মক বৈশিষ্ট্যযুক্ত পৃষ্ঠগুলির অনুরূপ শ্রেণিবিন্যাস দ্বারা শুরু হয়েছিল এবং দ্বারা সম্পন্ন হয়েছিল; এটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত 0 প্রজেক্টিভ কেসের অনুরূপ, ব্যতীত একটি বৈশিষ্ট্য 2-এ একক এবং সুপারসিঙ্গুলার এনরিক পৃষ্ঠ এবং 2 এবং 3 বৈশিষ্ট্যযুক্ত আধা-উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ পায়। শ্রেণিবিন্যাসের বিবৃতি কম্প্যাক্ট জটিল পৃষ্ঠগুলির এনরিকস-কোডাইরা শ্রেণিবিন্যাসে বলা হয়েছে যে প্রতিটি ননসিঙ্গুলার ন্যূনতম কম্প্যাক্ট জটিল পৃষ্ঠ এই পৃষ্ঠায় তালিকাভুক্ত 10 প্রকারের মধ্যে ঠিক একটি; অন্য কথায়, এটি যুক্তিসঙ্গত, শাসিত (জেনাস> 0), টাইপ VII, K3, এনরিকস, কোডাইরা, টরিক, হাইপারেলিপটিক, সঠিকভাবে আধা-উপবৃত্তাকার বা সাধারণ ধরনের পৃষ্ঠগুলির মধ্যে একটি। সাধারণ প্রকার ব্যতীত 9 শ্রেণীর পৃষ্ঠতলের জন্য, সমস্ত পৃষ্ঠতল দেখতে কেমন হয় তার মোটামুটি সম্পূর্ণ বিবরণ রয়েছে (যা সপ্তম শ্রেণীর জন্য বিশ্বব্যাপী গোলাকার শেল অনুমানের উপর নির্ভর করে, যা এখনও 2009 সালে অপ্রমাণিত)। সাধারণ ধরনের পৃষ্ঠতলের জন্য তাদের স্পষ্ট শ্রেণিবিন্যাস সম্পর্কে খুব বেশি কিছু জানা যায় না, যদিও অনেক উদাহরণ পাওয়া গেছে। ধনাত্মক বৈশিষ্ট্য (,)-এ বীজগাণিতিক পৃষ্ঠগুলির শ্রেণীবিভাগ বৈশিষ্ট্য 0-এ বীজগাণিতিক পৃষ্ঠগুলির অনুরূপ, ব্যতীত কোনও কোডাইরা পৃষ্ঠ বা টাইপ VII-এর পৃষ্ঠ নেই, এবং বৈশিষ্ট্য 2-এ এনরিক পৃষ্ঠের কিছু অতিরিক্ত পরিবার রয়েছে, এবং বৈশিষ্ট্য 2 এবং 3-এ হাইপারেলিপটিক পৃষ্ঠ রয়েছে, এবং 2 এবং 3-এ কোডাইরা মাত্রা 1-এ অর্ধ-উপবৃত্তাকার তন্তুগুলিকেও অনুমতি দেয়। এই অতিরিক্ত পরিবারগুলি নিম্নরূপ বোঝা যেতে পারেঃ বৈশিষ্ট্য 0-এ এই পৃষ্ঠগুলি সসীম গোষ্ঠী দ্বারা পৃষ্ঠের অনুপাত, তবে সসীম বৈশিষ্ট্যগুলিতে সসীম গোষ্ঠী পরিকল্পনা দ্বারা অনুপাত নেওয়াও সম্ভব যা étale নয়। অস্কার জারিস্কি ইতিবাচক বৈশিষ্ট্যযুক্ত কিছু পৃষ্ঠ তৈরি করেছেন যা অবিচ্ছেদ্য সম্প্রসারণ (জারিস্কি পৃষ্ঠ) থেকে উদ্ভূত কিন্তু যুক্তিসঙ্গত নয়। ইতিবাচক বৈশিষ্ট্যে সেরে দেখিয়েছেন যে এটি এর থেকে আলাদা হতে পারে, এবং ইগুসা দেখিয়েছেন যে তারা সমান হলেও তারা অনিয়মিততার (পিকার্ড বৈচিত্র্যের মাত্রা) চেয়ে বেশি হতে পারে। পৃষ্ঠতলের পরিবর্তনশীল হজ সংখ্যা এবং কোডাইরা মাত্রা শ্রেণীবিন্যাসে ব্যবহৃত একটি কম্প্যাক্ট জটিল পৃষ্ঠের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পরিবর্তনশীল বিভিন্ন সুসঙ্গত শেফ কোহোমোলজি গ্রুপের মাত্রার পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া যেতে পারে। মৌলিক সংখ্যাগুলি হল প্লুরিজেনেরা এবং হজ সংখ্যাগুলি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ কে হল ক্যানোনিকাল লাইন বান্ডিল যার বিভাগগুলি হল হোলোমর্ফিক 2-ফর্ম। এগুলিকে প্লুরিজেনেরা বলা হয়। এগুলি জন্মগত অপরিবর্তনীয়, অর্থাৎ, ফুঁ দেওয়ার অধীনে অপরিবর্তনীয়। সাইবার্গ-উইটেন তত্ত্ব ব্যবহার করে রবার্ট ফ্রিডম্যান এবং জন মরগান দেখিয়েছেন যে জটিল ম্যানিফোল্ডের জন্য তারা কেবল অন্তর্নিহিত মসৃণ 4-ম্যানিফোল্ডের উপর নির্ভর করে। নন-কেলার পৃষ্ঠের জন্য প্লুরিজেনা মৌলিক গোষ্ঠী দ্বারা নির্ধারিত হয়, তবে কেলার পৃষ্ঠের জন্য এমন পৃষ্ঠের উদাহরণ রয়েছে যা হোমিওমরফিক তবে বিভিন্ন প্লুরিজেনা এবং কোডাইরা মাত্রা রয়েছে। পৃথক প্লুরিজেনা প্রায়শই ব্যবহার করা হয় না; তাদের সম্পর্কে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল তাদের বৃদ্ধির হার, কোডাইরা মাত্রা দ্বারা পরিমাপ করা হয়। এটি কোডাইরা মাত্রাঃ এটি (কখনও কখনও-1 লেখা হয়) যদি প্লুরিজেনারার সবগুলিই 0 হয়, এবং অন্যথায় এটি সবচেয়ে ছোট সংখ্যা (পৃষ্ঠের জন্য 0,1, বা 2) যেমন আবদ্ধ। এনরিকস এই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করেননি, পরিবর্তে তিনি এবং-এর মানগুলি ব্যবহার করেছিলেন। এগুলি নিম্নলিখিত চিঠিপত্রের পরিপ্রেক্ষিতে কোডাইরা মাত্রা নির্ধারণ করেঃ হলোমর্ফিক আই-ফর্মগুলির শিফ কোথায়, হজ সংখ্যাগুলি, যা প্রায়শই হজ হীরে সাজানো থাকেঃ সের দ্বৈততা এবং হজ দ্বারা একটি জটিল পৃষ্ঠের সংখ্যা শুধুমাত্র পৃষ্ঠের ওরিয়েন্টেড রিয়েল কোহোমোলজি রিংয়ের উপর নির্ভর করে, এবং একটি বিন্দু উড়িয়ে দেওয়ার অধীনে 1 দ্বারা বৃদ্ধি ব্যতীত জন্মগত রূপান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয়। যদি পৃষ্ঠটি কেলার হয় এবং সেখানে মাত্র তিনটি স্বাধীন হজ সংখ্যা থাকে। যদি পৃষ্ঠটি কম্প্যাক্ট হয় তবে হজ সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত সমতুল্য বা অপরিবর্তনীয় অনেকগুলি অপরিবর্তনীয় রয়েছে যা (অন্তত জটিল পৃষ্ঠের জন্য) হজ সংখ্যার রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে, নিম্নরূপঃ বেট্টি সংখ্যাঃ দ্বারা সংজ্ঞায়িত p> 0 বৈশিষ্ট্যে বেট্টি সংখ্যাগুলি l-adic কোহোমোলজি ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এই সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করার প্রয়োজন হয় না। অয়লার বৈশিষ্ট্য বা অয়লার সংখ্যাঃ অনিয়মিততাকে পিকার্ড বৈচিত্র্য এবং আলবানিজ বৈচিত্র্যের মাত্রা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং q দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। জটিল পৃষ্ঠগুলির জন্য (তবে সর্বদা প্রধান বৈশিষ্ট্যযুক্ত পৃষ্ঠগুলির জন্য নয়) জ্যামিতিক গণঃ গাণিতিক গণঃ তুচ্ছ বান্ডিলের হোলোমর্ফিক অয়লার বৈশিষ্ট্য (সাধারণত উপরে সংজ্ঞায়িত অয়লার সংখ্যা ই থেকে পৃথক): নোইথারের সূত্র অনুসারে এটি টড বংশের সমান জটিল পৃষ্ঠগুলির জন্য দ্বিতীয় কোহোমোলজি গ্রুপের স্বাক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়ঃ এর সর্বাধিক ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক নির্দিষ্ট উপস্থানগুলির মাত্রা হলঃ c2 = e এবং চেরন সংখ্যা, যা বহুগুণের উপর চেরন শ্রেণীর বিভিন্ন বহুপদীর ইন্টিগ্রাল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অন্যান্য অপরিবর্তনীয় কম্প্যাক্ট জটিল পৃষ্ঠগুলির আরও অপরিবর্তনীয় রয়েছে যা শ্রেণিবিন্যাসে এত বেশি ব্যবহৃত হয় না। এর মধ্যে রয়েছে বীজগাণিতিক অপরিবর্তনীয় যেমন বিভাজকের মডুলো রৈখিক সমতুল্যতার পিকার্ড গ্রুপ পিক (এক্স), এর ভাগফল পিকার্ড সংখ্যা ρ সহ নেরন-সেভেরি গ্রুপ এনএস (এক্স), মৌলিক গ্রুপ π1 এবং ইন্টিগ্রাল হোমোলজি এবং কোহোমোলজি গ্রুপের মতো টপোলজিকাল অপরিবর্তনীয় এবং অন্তর্নিহিত মসৃণ 4-ম্যানিফোল্ডের অপরিবর্তনীয় যেমন সাইবার্গ-উইটেন অপরিবর্তনীয় এবং ডোনাল্ডসন অপরিবর্তনীয়। ন্যূনতম মডেল এবং উড়ন্ত যে কোনও পৃষ্ঠ একটি অ-সিঙ্গুলার পৃষ্ঠের জন্য দ্বি-যৌক্তিক, তাই বেশিরভাগ উদ্দেশ্যে এটি অ-সিঙ্গুলার পৃষ্ঠগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করার জন্য যথেষ্ট। একটি পৃষ্ঠের যে কোনও বিন্দুর পরিপ্রেক্ষিতে, আমরা এই বিন্দুটিকে উড়িয়ে দিয়ে একটি নতুন পৃষ্ঠ তৈরি করতে পারি, যার মোটামুটি অর্থ হল আমরা এটিকে প্রজেক্টিভ লাইনের একটি অনুলিপি দ্বারা প্রতিস্থাপন করি। এই নিবন্ধের উদ্দেশ্যে, একটি অ-এককাকার পৃষ্ঠকে ন্যূনতম বলা হয় যদি এটি একটি বিন্দু উড়িয়ে দিয়ে অন্য অ-এককাকার পৃষ্ঠ থেকে প্রাপ্ত করা না যায়। ক্যাসেলনুভোর সংকোচন উপপাদ্য অনুসারে, এটি বলার সমতুল্য যে এক্স-এর কোনও (−1)-বক্ররেখা নেই (স্ব-ছেদ সংখ্যা −1 সহ মসৃণ মূলদ বক্ররেখা)। (ন্যূনতম মডেল প্রোগ্রামের আরও আধুনিক পরিভাষায়, একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ পৃষ্ঠ এক্সকে ন্যূনতম বলা হবে যদি এর ক্যানোনিকাল লাইন বান্ডিল কেএক্স এনইএফ হয়। একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ পৃষ্ঠের সেই শক্তিশালী অর্থে একটি ন্যূনতম মডেল থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর কোডাইরা মাত্রা অ-নেতিবাচক হয়।) প্রতিটি পৃষ্ঠ এক্স একটি ন্যূনতম অ-সিঙ্গুলার পৃষ্ঠের জন্য দ্বি-মাত্রিক, এবং এই ন্যূনতম অ-সিঙ্গুলার পৃষ্ঠটি অনন্য যদি এক্স-এর কোডাইরা মাত্রা কমপক্ষে 0 হয় বা বীজগাণিতিক না হয়। কোডাইরা মাত্রার বীজগাণিতিক পৃষ্ঠগুলি একাধিক ন্যূনতম অ-একক পৃষ্ঠের জন্য দ্বি-মাত্রিক হতে পারে, তবে এই ন্যূনতম পৃষ্ঠগুলির মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করা সহজ। উদাহরণস্বরূপ, পি1 × পি1 একটি বিন্দুতে বিস্ফোরিত হলে পি2-এর সমরূপ দুইবার বিস্ফোরিত হয়। সুতরাং সমস্ত কম্প্যাক্ট জটিল পৃষ্ঠগুলিকে জন্মগত আইসোমরফিজম পর্যন্ত শ্রেণীবদ্ধ করার জন্য এটি (কমবেশি) ন্যূনতম অ-সিঙ্গুলারগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করার জন্য যথেষ্ট। কোডাইরা মাত্রার পৃষ্ঠতলকে নিম্নরূপ শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে। যদি q> 0 হয় তবে আলবানিজ জাতের মানচিত্রে তন্তু রয়েছে যা প্রজেক্টিভ লাইন (যদি পৃষ্ঠটি ন্যূনতম হয়) তাই পৃষ্ঠটি একটি শাসিত পৃষ্ঠ। যদি q = 0 হয় তবে এই যুক্তিটি কাজ করে না কারণ আলবানিজ বৈচিত্র্য একটি বিন্দু, তবে এই ক্ষেত্রে ক্যাসেলনুভোর উপপাদ্য বোঝায় যে পৃষ্ঠটি যুক্তিসঙ্গত। অ-বীজগাণিতিক পৃষ্ঠতলের জন্য কোডাইরা টাইপ VII নামে একটি অতিরিক্ত শ্রেণীর পৃষ্ঠতল খুঁজে পেয়েছে, যা এখনও ভালভাবে বোঝা যায় না। যুক্তিসঙ্গত পৃষ্ঠের যুক্তিসঙ্গত পৃষ্ঠের অর্থ হল জটিল প্রজেক্টিভ সমতল পি2-এর পৃষ্ঠ দ্বি-যুক্তিসঙ্গত। এগুলি সবই বীজগাণিতিক। ন্যূনতম যুক্তিসঙ্গত পৃষ্ঠগুলি হল পি2 এবং হিরজেব্রাচ পৃষ্ঠগুলি হল এন = 0 বা এন ≤ 2-এর জন্য এসএন। (Hirzebruch পৃষ্ঠটি হল O (0) + O (n) শিফের সাথে যুক্ত P1-এর উপর P1 বান্ডিল। পৃষ্ঠের পৃষ্ঠটি পি1 × পি1-এর সমরূপ, এবং পি1 একটি বিন্দুতে উড়ে যাওয়া পি2-এর সমরূপ, তাই এটি ন্যূনতম নয়।) ইনভ্যারিয়েন্টসঃ প্লুরিজেনারার সবগুলিই 0 এবং মৌলিক গ্রুপটি তুচ্ছ। হজ হীরাঃ উদাহরণস্বরূপঃ পি2, পি1 × পি1 = এসইউ0, হিরজেব্রাচ পৃষ্ঠতল এসইএন, চতুর্ভুজ, ঘন পৃষ্ঠতল, ডেল পেজো পৃষ্ঠতল, ভেরোনী পৃষ্ঠতল। এই উদাহরণগুলির মধ্যে অনেকগুলি অ-ন্যূনতম। জি বংশের> 0 বংশের শাসিত পৃষ্ঠতলের জি বংশের একটি বক্ররেখার মসৃণ অঙ্গসংস্থান রয়েছে যার তন্তুগুলি পি1 রেখা। এগুলি সবই বীজগাণিতিক। (0 বংশের প্রজাতিগুলি হিরজেব্রুচের পৃষ্ঠতল এবং যুক্তিসঙ্গত।) যে কোনও শাসিত পৃষ্ঠ একটি অনন্য বক্ররেখা সি-এর জন্য পি1 ×সি-এর দ্বি-তাত্ত্বিক সমতুল্য, তাই দ্বি-তাত্ত্বিক সমতুল্যতা পর্যন্ত শাসিত পৃষ্ঠগুলির শ্রেণিবিন্যাস মূলত বক্ররেখার শ্রেণিবিন্যাসের মতোই। পি1 × পি1-এর সমতুল্য নয় এমন একটি শাসিত পৃষ্ঠের একটি অনন্য নিয়ম রয়েছে (পি1 × পি1-এর দুটি রয়েছে)। ইনভ্যারিয়েন্টসঃ প্লুরিজেনারার সবগুলোই 0। হজ ডায়মন্ডঃ উদাহরণস্বরূপঃ পি1 সহ> 0 বংশের যে কোনও বক্ররেখার গুণফল। সপ্তম শ্রেণীর পৃষ্ঠতল এই পৃষ্ঠতলগুলি কখনই বীজগাণিতিক বা কেলার নয়। b2 = 0 সহ ন্যূনতমগুলি বোগোমোলভ দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে এবং হপফ পৃষ্ঠতল বা ইনোউ পৃষ্ঠতল হয়। ধনাত্মক দ্বিতীয় বেট্টি সংখ্যার উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে ইনোউ-হিরজেব্রাচ পৃষ্ঠতল, এনোকি পৃষ্ঠতল এবং আরও সাধারণভাবে কাটো পৃষ্ঠতল। বিশ্বব্যাপী গোলাকার শেল অনুমান থেকে বোঝা যায় যে ধনাত্মক দ্বিতীয় বেটি সংখ্যা সহ সমস্ত ন্যূনতম সপ্তম শ্রেণীর পৃষ্ঠগুলি কাটো পৃষ্ঠতল, যা কমবেশি সপ্তম প্রকারের পৃষ্ঠতলের শ্রেণিবিন্যাস সম্পূর্ণ করবে। পরিবর্তনশীলঃ q = 1, h1,0 = 0। সমস্ত প্লুরিজেনা 0 হয়। হজ ডায়মন্ডঃ কোডাইরা মাত্রার পৃষ্ঠতল 0 এই পৃষ্ঠগুলিকে নোইথারের সূত্র দিয়ে শুরু করে শ্রেণীবদ্ধ করা হয় কোডাইরা মাত্রার জন্য 0, কে-এর নিজের সাথে শূন্য ছেদ সংখ্যা রয়েছে, তাই আমরা এখানে পৌঁছাতে পারিঃ তদুপরি যেহেতু κ = 0 আমাদের রয়েছেঃ এটিকে পূর্ববর্তী সমীকরণের সাথে একত্রিত করলে পাওয়া যায়ঃ সাধারণভাবে 2h0,1 ≤ b1, তাই বাম দিকের তিনটি পদ অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং এই সমীকরণের কয়েকটি সমাধান রয়েছে। বীজগাণিতিক পৃষ্ঠের জন্য 2h0,1 − b1 হল 0 এবং 2pg এর মধ্যে একটি জোড় পূর্ণসংখ্যা। কম্প্যাক্ট জটিল পৃষ্ঠের জন্য 2h0,1 − b1 = 0 বা 1। কেলারের জন্য পৃষ্ঠতল 2h0,1 − b1 = 0 এবং h1,0 = h0,1। এই অবস্থার বেশিরভাগ সমাধান পৃষ্ঠতলের শ্রেণীর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যেমন নিম্নলিখিত সারণিতে রয়েছেঃ কে3 পৃষ্ঠতল এগুলি কোডাইরা মাত্রা 0-এর ন্যূনতম কম্প্যাক্ট জটিল পৃষ্ঠতল যা q = 0 এবং তুচ্ছ ক্যানোনিকাল লাইন বান্ডিল সহ। এগুলি সবই কেলার ম্যানিফোল্ড। সমস্ত কে3 পৃষ্ঠগুলি ডিফিয়োমরফিক, এবং তাদের ডিফিয়োমরফিজম শ্রেণী একটি মসৃণ ঘূর্ণনের একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ যা কেবল 4-ম্যানিফোল্ড সংযুক্ত। ইনভ্যারিয়েন্টসঃ দ্বিতীয় কোহোমোলজি গ্রুপ এইচ2 (এক্স, জেড) 22 মাত্রার এবং স্বাক্ষর −16-এর অনন্য এমনকি ইউনিমোডুলার ল্যাটিস II3,19-এর সমরূপ। হজ ডায়মন্ডঃ উদাহরণস্বরূপঃ পি3 (সি) কামার পৃষ্ঠে ডিগ্রি 4 হাইপারসার্ফেস। এগুলি একটি আবেলিয়ান পৃষ্ঠকে অটোমরফিজম দ্বারা ভাগ করে এবং তারপর 16টি একক বিন্দুকে উড়িয়ে দিয়ে পাওয়া যায়। একটি চিহ্নিত K3 পৃষ্ঠ হল II3,19 থেকে H2 (X, Z) পর্যন্ত সমরূপতা সহ একটি K3 পৃষ্ঠ। চিহ্নিত কে3 পৃষ্ঠের মডুলি স্থানটি 20 মাত্রার অ-হাউজডর্ফ মসৃণ বিশ্লেষণাত্মক স্থানের সাথে সংযুক্ত। বীজগাণিতিক কে3 পৃষ্ঠগুলি এর 19-মাত্রিক উপ-বৈচিত্র্যের একটি গণনাযোগ্য সংগ্রহ গঠন করে। আবেলিয়ান পৃষ্ঠ এবং দ্বিমাত্রিক জটিল তোরি দ্বিমাত্রিক জটিল তোরির মধ্যে আবেলিয়ান পৃষ্ঠ রয়েছে। এক-মাত্রিক জটিল তোরি কেবল উপবৃত্তাকার বক্ররেখা এবং সমস্তই বীজগাণিতিক, কিন্তু রিম্যান আবিষ্কার করেন যে মাত্রা 2-এর সবচেয়ে জটিল তোরি বীজগাণিতিক নয়। বীজগাণিতিকগুলি ঠিক দ্বিমাত্রিক আবেলিয়ান জাত। তাদের বেশিরভাগ তত্ত্ব উচ্চ-মাত্রিক তোরি বা আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের তত্ত্বের একটি বিশেষ উদাহরণ। ঊনবিংশ শতাব্দীতে দুটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার (আইসোজেনি পর্যন্ত) গুণফল হিসেবে মানদণ্ড নিয়ে একটি জনপ্রিয় গবেষণা হয়েছিল। ইনভ্যারিয়েন্টসঃ প্লুরিজেনারার সবগুলোই 1। পৃষ্ঠটি S1 × S1 × S1 × S1 থেকে ভিন্ন, তাই মৌলিক গ্রুপটি হল Z4। হজ ডায়মন্ডঃ উদাহরণস্বরূপঃ দুটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার একটি পণ্য। একটি 2 বংশের বক্ররেখার জ্যাকোবিয়ান। একটি জাল দ্বারা C2-এর যে কোনও ভাগফল। কোডাইরা পৃষ্ঠতল এগুলি কখনই বীজগাণিতিক নয়, যদিও এগুলির অ-ধ্রুবক মেরোমর্ফিক ফাংশন রয়েছে। এগুলি সাধারণত দুটি উপপ্রকারে বিভক্ত করা হয়ঃ প্রাথমিক কোডাইরা পৃষ্ঠতল যা তুচ্ছ ক্যানোনিকাল বান্ডিল সহ, এবং গৌণ কোডাইরা পৃষ্ঠতল যা 2,3,4, বা 6 ক্রমের সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী দ্বারা এগুলির সমতুল্য এবং যার অ-তুচ্ছ ক্যানোনিকাল বান্ডিল রয়েছে। গৌণ কোডাইরা পৃষ্ঠগুলির প্রাথমিক পৃষ্ঠগুলির সাথে একই সম্পর্ক রয়েছে যা এনরিক পৃষ্ঠগুলির কে 3 পৃষ্ঠের সাথে থাকে, বা উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠগুলির আবেলিয়ান পৃষ্ঠগুলির সাথে থাকে। পরিবর্তনশীলঃ যদি পৃষ্ঠটি k = 1,2,3,4,6 ক্রমের একটি গ্রুপ দ্বারা একটি প্রাথমিক কোডাইরা পৃষ্ঠের ভাগফল হয়, তবে প্লুরিজেনা Pn 1 হয় যদি n কে দ্বারা বিভাজ্য হয় এবং অন্যথায় 0 হয়। হজ ডায়মন্ডঃ উদাহরণস্বরূপঃ একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার উপর একটি অ-তুচ্ছ রেখার বান্ডিল নিন, শূন্য অংশটি সরিয়ে ফেলুন, তারপর Z দ্বারা তন্তুগুলিকে ভাগ করুন যা কিছু জটিল সংখ্যা z এর শক্তি দ্বারা গুণ হিসাবে কাজ করে। এটি একটি প্রাথমিক কোডাইরা পৃষ্ঠ দেয়। এনরিক পৃষ্ঠতল এগুলি এমন জটিল পৃষ্ঠতল যা q = 0 এবং ক্যানোনিকাল লাইন বান্ডিলটি অ-তুচ্ছ, তবে এর বর্গক্ষেত্র তুচ্ছ। এনরিক পৃষ্ঠগুলি সমস্ত বীজগাণিতিক (এবং তাই কেলার)। এগুলি ক্রম 2-এর একটি গোষ্ঠী দ্বারা কে3 পৃষ্ঠতলের ভাগফল এবং তাদের তত্ত্ব বীজগাণিতিক কে3 পৃষ্ঠতলের অনুরূপ। অপরিবর্তনীয়ঃ n জোড় হলে প্লুরিজেনা Pn হয় 1 এবং n বিজোড় হলে 0 হয়। মৌলিক গোষ্ঠীর ক্রম 2 রয়েছে। দ্বিতীয় কোহোমোলজি গ্রুপ H2 (X, Z) হল 10 মাত্রার এবং স্বাক্ষর −8 এবং ক্রম 2-এর একটি গ্রুপের অনন্য এমনকি এককাকার জাল II1,9-এর যোগফলের সমরূপ। হজ ডায়মন্ডঃ চিহ্নিত এনরিকস পৃষ্ঠতল একটি সংযুক্ত 10-মাত্রিক পরিবার গঠন করে, যা স্পষ্টভাবে বর্ণনা করা হয়েছে। বৈশিষ্ট্য 2-এ এনরিক্স পৃষ্ঠতলের কিছু অতিরিক্ত পরিবার রয়েছে যাকে একবচন এবং সুপারসিঙ্গুলার এনরিক্স পৃষ্ঠতল বলা হয়; বিস্তারিত জানার জন্য এনরিক্স পৃষ্ঠতলের নিবন্ধটি দেখুন। অতি উপবৃত্তাকার (বা উপবৃত্তাকার) পৃষ্ঠতল জটিল সংখ্যার উপরে এগুলি অটোমরফিজমের একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী দ্বারা দুটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার গুণফলের ভাগফল। সীমাবদ্ধ গ্রুপটি হতে পারে Z/2Z, Z/2Z + Z/2Z, Z/3Z, Z/3Z + Z/3Z, Z/4Z, Z/4Z + Z/2Z, অথবা Z/6Z, যা এই ধরনের পৃষ্ঠের সাতটি পরিবার প্রদান করে। বৈশিষ্ট্য 2 বা 3-এর ক্ষেত্রগুলিতে কিছু অতিরিক্ত পরিবার রয়েছে যা একটি নন-ইটেল গ্রুপ স্কিম দ্বারা কোটিয়েন্ট গ্রহণ করে দেওয়া হয়েছে; বিস্তারিত জানার জন্য হাইপারেলিপটিক পৃষ্ঠের নিবন্ধটি দেখুন। হজ ডায়মন্ডঃ কোডাইরা মাত্রার পৃষ্ঠতল 1 একটি উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ একটি উপবৃত্তাকার তন্তু দিয়ে সজ্জিত একটি পৃষ্ঠ (একটি বক্ররেখার জন্য একটি সার্জেক্টিভ হোলোমরফিক মানচিত্র যাতে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি তন্তু ব্যতীত সমস্তই 1 বংশের মসৃণ অপরিবর্তনীয় বক্ররেখা)। এই ধরনের তন্তুতে জেনেরিক ফাইবার হল বি-এর কার্য ক্ষেত্রের উপর 1 বংশের একটি বক্ররেখা। বিপরীতভাবে, একটি বক্ররেখার কার্য ক্ষেত্রের উপর 1 বংশের একটি বক্ররেখা দেওয়া হলে, এর আপেক্ষিক ন্যূনতম মডেল হল একটি উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ। কোডাইরা এবং অন্যান্যরা সমস্ত উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠের মোটামুটি সম্পূর্ণ বিবরণ দিয়েছেন। বিশেষ করে, কোডাইরা সম্ভাব্য একক তন্তুগুলির একটি সম্পূর্ণ তালিকা দিয়েছেন। উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠতলের তত্ত্বটি বিচ্ছিন্ন মূল্যায়ন বলয়ের (যেমন, পি-অ্যাডিক পূর্ণসংখ্যার বলয়) এবং ডেডেকাইন্ড ডোমেনের (যেমন, একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের পূর্ণসংখ্যার বলয়) উপর উপবৃত্তাকার বক্ররেখার সঠিক নিয়মিত মডেলের তত্ত্বের অনুরূপ। সসীম বৈশিষ্ট্য 2 এবং 3-এ কেউ অর্ধ-উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠও পেতে পারে, যার তন্তুগুলি প্রায় সমস্তই একটি একক নোডের সাথে যুক্তিসঙ্গত বক্ররেখা হতে পারে, যা "ডিজেনারেট উপবৃত্তাকার বক্ররেখা"। কোডাইরা মাত্রা 1-এর প্রতিটি পৃষ্ঠ একটি উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ (বা 2 বা 3 বৈশিষ্ট্যের একটি অর্ধ-উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ), তবে বিপরীতটি সত্য নয়ঃ একটি উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠের কোডাইরা মাত্রা 0 বা 1 থাকতে পারে। সমস্ত এনরিক পৃষ্ঠ, সমস্ত হাইপারেলিপটিক পৃষ্ঠ, সমস্ত কোডাইরা পৃষ্ঠ, কিছু কে3 পৃষ্ঠ, কিছু আবেলিয়ান পৃষ্ঠ এবং কিছু যুক্তিসঙ্গত পৃষ্ঠ উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ এবং এই উদাহরণগুলির কোডাইরা মাত্রা 1 এর চেয়ে কম। একটি উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ যার বেস বক্ররেখা কমপক্ষে 2 বংশের হয় তার সর্বদা কোডাইরা মাত্রা 1 থাকে, তবে কোডাইরা মাত্রা 0 বা 1 বংশের বি সহ কিছু উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠের জন্যও 1 হতে পারে। পরিবর্তনশীলঃ উদাহরণস্বরূপঃ যদি ই একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা হয় এবং বি কমপক্ষে 2 বংশের একটি বক্ররেখা হয়, তবে ই × বি কোডাইরা মাত্রা 1-এর একটি উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ। কোডাইরা মাত্রা 2-এর পৃষ্ঠতল (সাধারণ ধরনের পৃষ্ঠতল) এগুলি সবই বীজগাণিতিক এবং কিছু অর্থে বেশিরভাগ পৃষ্ঠতল এই শ্রেণীর। গিজেকার দেখিয়েছেন যে সাধারণ ধরনের পৃষ্ঠতলের জন্য একটি মোটা মডুলি স্কিম রয়েছে; এর অর্থ হল যে চেরন সংখ্যা সি এবং সি 2-এর যে কোনও নির্দিষ্ট মানের জন্য, সেই চেরন সংখ্যার সাথে সাধারণ ধরনের পৃষ্ঠতলকে শ্রেণীবদ্ধ করে একটি আধা-অভিক্ষিপ্ত স্কিম রয়েছে। তবে এই স্কিমগুলি স্পষ্টভাবে বর্ণনা করা একটি খুব কঠিন সমস্যা, এবং চেরন সংখ্যার খুব কম জোড়া রয়েছে যার জন্য এটি করা হয়েছে (স্কিমটি খালি থাকলে ছাড়া!) পরিবর্তনশীলঃ সাধারণ ধরনের ন্যূনতম জটিল পৃষ্ঠের চেরন সংখ্যাকে অবশ্যই পূরণ করতে হবে এমন বেশ কয়েকটি শর্ত রয়েছেঃ (বোগোমোলভ-মিয়াওকা-ইউ বৈষম্য) (নোইথার বৈষম্য) এই শর্তগুলি পূরণকারী বেশিরভাগ জোড়া পূর্ণসংখ্যা হল সাধারণ ধরনের কিছু জটিল পৃষ্ঠের জন্য চেরন সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপঃ সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হল কমপক্ষে 2 বংশের দুটি বক্ররেখার গুণফল এবং পি3-তে কমপক্ষে 5 মাত্রার একটি অতিপৃষ্ঠ। আরও অনেকগুলি নির্মাণ রয়েছে যা জানা যায়। যাইহোক, এমন কোনও জ্ঞাত নির্মাণ নেই যা বড় চেরন সংখ্যার জন্য সাধারণ ধরনের "সাধারণ" পৃষ্ঠ তৈরি করতে পারে; প্রকৃতপক্ষে সাধারণ ধরনের "সাধারণ" পৃষ্ঠের কোনও যুক্তিসঙ্গত ধারণা আছে কিনা তাও জানা যায় না। বেশিরভাগ হিলবার্ট মডুলার পৃষ্ঠতল, নকল প্রজেক্টিভ প্লেন, বার্লো পৃষ্ঠতল ইত্যাদি সহ আরও অনেক উদাহরণ পাওয়া গেছে। আরও দেখুন বীজগাণিতিক পৃষ্ঠতলের তালিকা রেফারেন্স-কম্প্যাক্ট জটিল পৃষ্ঠতলের জন্য স্ট্যান্ডার্ড রেফারেন্স বই; (সফ্টকভার)-শ্রেণীবিভাগের আরও প্রাথমিক ভূমিকা সহ বাহ্যিক লিঙ্ক লে সুপারফিস আলজেব্রিচ হ 'ল পিটার বেলম্যানস এবং জোহান কমেলিন কমপ্লেক্স দ্বারা এনরিক্স-কোডাইরা শ্রেণিবিন্যাসের একটি ইন্টারেক্টিভ ভিজ্যুয়ালাইজেশন।