Imprecise probability
অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা আংশিক সম্ভাব্যতা নির্দিষ্টকরণের অনুমতি দেওয়ার জন্য সম্ভাব্যতা তত্ত্বকে সাধারণীকরণ করে এবং যখন তথ্য দুর্লভ, অস্পষ্ট বা দ্বন্দ্বপূর্ণ হয় তখন প্রযোজ্য হয়, এই ক্ষেত্রে একটি অনন্য সম্ভাব্যতা বিতরণ সনাক্ত করা কঠিন হতে পারে। এইভাবে, তত্ত্বটির লক্ষ্য হল উপলব্ধ জ্ঞানকে আরও সঠিকভাবে উপস্থাপন করা। সুনির্দিষ্টতা বিশেষজ্ঞের বিশ্লেষণের জন্য দরকারী, কারণঃ মানুষের নিজস্ব বিষয়গত সম্ভাবনা নির্ধারণ করার সীমিত ক্ষমতা রয়েছে এবং তারা দেখতে পারে যে তারা কেবল একটি বিরতি প্রদান করতে পারে। যেহেতু একটি বিরতি বিভিন্ন মতামতের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, তাই বিশ্লেষণটি বিভিন্ন মানুষের কাছে আরও বিশ্বাসযোগ্য হওয়া উচিত। ভূমিকা অনিশ্চয়তা ঐতিহ্যগতভাবে একটি সম্ভাব্যতা বন্টন দ্বারা মডেল করা হয়, যেমনটি কোলমোগোরভ, ল্যাপলেস, ডি ফিনেটি, রামসে, কক্স, লিন্ডলি এবং আরও অনেকে তৈরি করেছেন। যাইহোক, এটি বিজ্ঞানী, পরিসংখ্যানবিদ এবং সম্ভাবনাময়দের দ্বারা সর্বসম্মতভাবে গৃহীত হয়নিঃ এটি যুক্তি দেওয়া হয়েছে যে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের কিছু পরিবর্তন বা সম্প্রসারণ প্রয়োজন, কারণ কেউ সর্বদা প্রতিটি ঘটনার জন্য একটি সম্ভাব্যতা প্রদান করতে সক্ষম নাও হতে পারে, বিশেষত যখন খুব কম তথ্য বা তথ্য পাওয়া যায়-এই ধরনের সমালোচনার একটি প্রাথমিক উদাহরণ হল লাপ্লাসের কাজ সম্পর্কে বুলের সমালোচনা-বা যখন আমরা কোনও একক ব্যক্তির পরিবর্তে কোনও গোষ্ঠী সম্মত হওয়ার সম্ভাবনার মডেল তৈরি করতে চাই। সম্ভবত সবচেয়ে সাধারণ সাধারণীকরণ হল একটি একক সম্ভাব্যতা নির্দিষ্টকরণকে একটি ব্যবধান নির্দিষ্টকরণের সাথে প্রতিস্থাপন করা। নিম্ন এবং উচ্চতর সম্ভাব্যতা, এবং দ্বারা চিহ্নিত, বা আরও সাধারণভাবে, নিম্ন এবং উচ্চতর প্রত্যাশা (প্রবণতা), এই ব্যবধানটি পূরণ করার লক্ষ্য রাখে। একটি নিম্ন সম্ভাব্যতা ফাংশন সুপারঅ্যাডিটিভ তবে অগত্যা অ্যাডিটিভ নয়, যেখানে একটি উচ্চ সম্ভাবনা সাবঅ্যাডিটিভ। তত্ত্বটি সাধারণভাবে বোঝার জন্য, বিবেচনা করুনঃ সমস্ত ঘটনার জন্য বিশেষ কেসটি একটি সুনির্দিষ্ট সম্ভাবনার সমতুল্য এবং সমস্ত অ-তুচ্ছ ঘটনার জন্য এর নির্দিষ্টকরণে কোনও বাধা উপস্থাপন করে না। কিছু পদ্ধতি, নন-অ্যাডিটিভ সম্ভাব্যতা নামে সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে, সরাসরি এই সেট ফাংশনগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করে, অন্যটিকে প্রাকৃতিকভাবে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যে, এর পরিপূরক সহ। অন্যান্য সম্পর্কিত ধারণাগুলি মৌলিক সত্তা হিসাবে সমস্ত ঘটনার জন্য সংশ্লিষ্ট ব্যবধানগুলি বোঝে। অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা ব্যবহার করার ধারণার একটি দীর্ঘ ইতিহাস রয়েছে। প্রথম আনুষ্ঠানিক চিকিৎসা কমপক্ষে ঊনবিংশ শতাব্দীর মাঝামাঝি সময়ে জর্জ বুলের দ্বারা শুরু হয়েছিল, যার লক্ষ্য ছিল যুক্তি এবং সম্ভাবনার তত্ত্বগুলির মধ্যে সমন্বয় স্থাপন করা। 1920-এর দশকে, সম্ভাব্যতা সম্পর্কিত একটি নিবন্ধে, কেইনস সম্ভাবনার জন্য একটি স্পষ্ট ব্যবধান অনুমান পদ্ধতির প্রণয়ন ও প্রয়োগ করেছিলেন। বার্নার্ড কুপম্যান, সি. এ. বি-এর গুরুত্বপূর্ণ অবদান সহ বিশ শতক জুড়ে অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা মডেলগুলির উপর কাজ যথাযথভাবে এগিয়ে যায়। স্মিথ, আই. জে গুড, আর্থার ডেম্পস্টার, গ্লেন শেফার, পিটার এম. উইলিয়ামস, হেনরি কিবার্গ, আইজাক লেভি এবং টেডি সেইডেনফেল্ড। 1990-এর দশকের শুরুতে, পিটার ওয়ালির স্ট্যাটিস্টিক্যাল রিজনিং উইথ ইম্প্রিসাইজ প্রবেবিলিটিজ (যেখানে "অস্পষ্ট সম্ভাবনা" শব্দটির উৎপত্তি) বইটি প্রকাশের সাথে সাথে এই ক্ষেত্রটি কিছুটা গতি পেতে শুরু করে। 1990-এর দশকে কুজনেৎসভ এবং ওয়েইসেলবার্গারের গুরুত্বপূর্ণ কাজও দেখা যায়, যারা উভয়েই ব্যবধান সম্ভাব্যতা শব্দটি ব্যবহার করেন। ওয়ালির তত্ত্ব জুয়াখেলার ক্রয় ও বিক্রয়ের মূল্যের মাধ্যমে ঐতিহ্যবাহী বিষয়গত সম্ভাব্যতা তত্ত্বকে প্রসারিত করে, যেখানে ওয়েইসেলবার্গারের দৃষ্টিভঙ্গি কোনও ব্যাখ্যা চাপিয়ে না দিয়ে কোলমোগোরভের স্বতঃসিদ্ধিকে সাধারণীকরণ করে। স্ট্যান্ডার্ড সামঞ্জস্যের শর্তগুলি সম্ভাব্যতা বিতরণের অ-খালি বদ্ধ উত্তল সেটগুলির সাথে উপরের এবং নিম্ন সম্ভাব্যতা বরাদ্দকে সম্পর্কিত করে। অতএব, একটি স্বাগত উপ-পণ্য হিসাবে, তত্ত্বটি শক্তিশালী পরিসংখ্যান এবং অ-প্যারামেট্রিক পরিসংখ্যানে ব্যবহৃত মডেলগুলির জন্য একটি আনুষ্ঠানিক কাঠামোও সরবরাহ করে। চকেট ইন্টিগ্রেশনের উপর ভিত্তি করে ধারণাগুলিও অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, এবং তথাকথিত দুই-এক-স্বর এবং সম্পূর্ণ এক-স্বর ক্ষমতা, যা কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তায় (ডেম্পস্টার-শেফার) বিশ্বাস ফাংশন নামে খুব জনপ্রিয় হয়ে উঠেছে। উপরন্তু, শেফার এবং ভোভকের খেলা-তাত্ত্বিক সম্ভাব্যতা ধারণার সাথে একটি শক্তিশালী সংযোগ রয়েছে। গাণিতিক মডেল "অস্পষ্ট সম্ভাবনা" শব্দটি কিছুটা বিভ্রান্তিকর যে নির্ভুলতাকে প্রায়শই নির্ভুলতার জন্য ভুল করা হয়, যেখানে একটি অস্পষ্ট উপস্থাপনা একটি সুস্পষ্টভাবে সুনির্দিষ্ট উপস্থাপনার চেয়ে আরও নির্ভুল হতে পারে। যাই হোক না কেন, শব্দটি 1990-এর দশকে প্রতিষ্ঠিত হয়েছে বলে মনে হয়, এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বিস্তৃত সম্প্রসারণকে অন্তর্ভুক্ত করে, যার মধ্যে রয়েছেঃ ক্রেডাল সেট, বা সম্ভাব্যতা বিতরণের সেট প্রচলিত এলোমেলো সেট তত্ত্ব ডেম্পস্টার-শেফার প্রমাণ তত্ত্ব নিম্ন এবং উচ্চতর সম্ভাব্যতা, বা ব্যবধান সম্ভাব্যতা বিশ্বাস ফাংশন সম্ভাবনা এবং প্রয়োজনীয়তা পরিমাপ নিম্ন এবং উচ্চতর প্রবণতা তুলনামূলক সম্ভাব্যতা ক্রম আংশিক পছন্দের ক্রম পছন্দসই জুয়ার সেট পি-বক্স শক্তিশালী বায়েস পদ্ধতি অস্পষ্ট সম্ভাবনার ব্যাখ্যা উপরে উল্লিখিত অনেকগুলি অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একীকরণ ওয়ালির দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল, যদিও এটি কোনওভাবেই অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা আনুষ্ঠানিক করার প্রথম প্রচেষ্টা নয়। সম্ভাব্যতা ব্যাখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে, ওয়ালির অস্পষ্ট সম্ভাবনার গঠন সম্ভাবনার বায়েসিয়ান ব্যাখ্যার বিষয়গত বৈকল্পিকের উপর ভিত্তি করে। ওয়ালি উচ্চ এবং নিম্ন সম্ভাব্যতাগুলিকে উচ্চ এবং নিম্ন প্রবৃত্তির বিশেষ ক্ষেত্রে এবং ব্রুনো ডি ফিনেটির দ্বারা উন্নত জুয়া কাঠামো হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন। সহজ কথায় বলতে গেলে, সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর নিম্নতর প্রবণতা হল সর্বোচ্চ মূল্য যেখানে সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী নিশ্চিত যে সে একটি জুয়া কিনবে, এবং সর্বোচ্চ প্রবণতা হল সর্বনিম্ন মূল্য যেখানে সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী নিশ্চিত যে সে জুয়ার বিপরীতটি কিনবে (যা মূল জুয়া বিক্রির সমতুল্য)। যদি উপরের এবং নীচের প্রভিশনগুলি সমান হয়, তবে তারা যৌথভাবে জুয়ার জন্য সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর ন্যায্য মূল্যের প্রতিনিধিত্ব করে, যে দামে সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী জুয়ার উভয় দিক নিতে ইচ্ছুক। ন্যায্য মূল্যের অস্তিত্ব সুনির্দিষ্ট সম্ভাবনার দিকে পরিচালিত করে। নির্ভুলতার জন্য ছাড়, বা সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর উপরের এবং নীচের প্রবণতাগুলির মধ্যে একটি ব্যবধান, সুনির্দিষ্ট এবং অস্পষ্ট সম্ভাব্যতা তত্ত্বগুলির মধ্যে প্রাথমিক পার্থক্য। বাজি বাজারে এই ধরনের ব্যবধান স্বাভাবিকভাবেই দেখা দেয় যা অসম তথ্যের কারণে আর্থিকভাবে তরল হয় না। এই ব্যবধানটি হেনরি কিবার্গ তাঁর ব্যবধানের সম্ভাবনার জন্য বারবার দিয়েছেন, যদিও তিনি এবং আইজাক লেভি বিশ্বাসের অবস্থার প্রতিনিধিত্বকারী ব্যবধান বা বিতরণের সেটগুলির জন্য অন্যান্য কারণও দিয়েছেন। অস্পষ্ট সম্ভাবনার সমস্যাগুলি অস্পষ্ট সম্ভাবনার একটি সমস্যা হল যে একটি বৃহত্তর বা সংকীর্ণ ব্যবধানের পরিবর্তে একটি ব্যবধানের ব্যবহারে প্রায়শই একটি স্বাধীন মাত্রার সতর্কতা বা সাহস থাকে। এটি আত্মবিশ্বাসের মাত্রা, অস্পষ্ট সদস্যতার মাত্রা বা গ্রহণযোগ্যতার সীমা হতে পারে। সম্ভাব্যতা বিতরণের একটি সেট থেকে প্রাপ্ত নিম্ন এবং উপরের সীমার ব্যবধানগুলির জন্য এটি ততটা সমস্যা নয়, উদাহরণস্বরূপ, সেটের প্রতিটি সদস্যের উপর শর্তসাপেক্ষকরণের পরে অগ্রাধিকারগুলির একটি সেট। যাইহোক, এটি এই প্রশ্নের দিকে পরিচালিত করতে পারে যে কেন কিছু বিতরণ অগ্রাধিকারের সেটে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে এবং কিছু নেই। আরেকটি সমস্যা হল কেন একটি একক সংখ্যা, একটি বিন্দু সম্ভাবনার পরিবর্তে দুটি সংখ্যা, একটি নিম্ন সীমা এবং একটি উপরের সীমা সম্পর্কে সুনির্দিষ্ট হতে পারে। এই সমস্যাটি নিছক অলঙ্কারিক হতে পারে, কারণ ব্যবধান সহ একটি মডেলের দৃঢ়তা সহজাতভাবে বিন্দু-মূল্যবান সম্ভাব্যতা সহ একটি মডেলের চেয়ে বেশি। এটি শেষ বিন্দুতে নির্ভুলতার অনুপযুক্ত দাবির পাশাপাশি বিন্দু মানগুলির বিষয়ে উদ্বেগ উত্থাপন করে। আরও ব্যবহারিক সমস্যা হল কী ধরনের সিদ্ধান্ত তত্ত্ব অস্পষ্ট সম্ভাবনার ব্যবহার করতে পারে। অস্পষ্ট পরিমাপের জন্য, রোনাল্ড আর. ইয়াগারের কাজ রয়েছে। উত্তল বিতরণের জন্য, লেভির কাজগুলি শিক্ষামূলক। আরেকটি পদ্ধতি জিজ্ঞাসা করে যে ব্যবধানের সাহস নিয়ন্ত্রণের সীমাটি কেবল গড় গ্রহণ বা হারউইজ সিদ্ধান্তের নিয়ম ব্যবহার করার চেয়ে সিদ্ধান্তের জন্য বেশি গুরুত্বপূর্ণ কিনা। সাহিত্যে অন্যান্য পদ্ধতির উল্লেখ পাওয়া যায়। আরও দেখুন অস্পষ্টতা বিদ্বেষ দৃঢ় সিদ্ধান্ত গ্রহণ অসম্পূর্ণ ডিরিচলেট প্রক্রিয়া রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক অসম্পূর্ণ সম্ভাবনার জন্য সমাজঃ তত্ত্ব এবং প্রয়োগ অসম্পূর্ণ সম্ভাবনার উপর ভিত্তি করে একটি শ্রেণিবিন্যাসের উন্মুক্ত উৎস বাস্তবায়ন আই. ডি. এস. আই. এ স্ট্যানফোর্ড এনসাইক্লোপিডিয়া অফ ফিলোসফিতে অসম্পূর্ণ সম্ভাব্যতা তত্ত্ব পরিসংখ্যানগত আনুমানিকতার উপর নিবন্ধ