Serre spectral sequence
গণিতে, বীজগাণিতিক টপোলজির একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার হল সেরে বর্ণালী ক্রম (কখনও কখনও লেরে বর্ণালী ক্রমে জিন লেরের পূর্ববর্তী কাজকে স্বীকৃতি দেওয়ার জন্য লেরে-সের বর্ণালী ক্রম)। এটি হোমোলজিকাল বীজগণিতের ভাষায়, বেস স্পেস বি এবং ফাইবার এফ-এর (কো) হোমোলজির পরিপ্রেক্ষিতে একটি (সের) ফাইব্রেশনের মোট স্পেস এক্স-এর একক (কো) হোমোলজি প্রকাশ করে। ফলাফলটি জিন-পিয়ের সেরের ডক্টরেট গবেষণাপত্রে। কোহোমোলজি বর্ণালী ক্রম ধরা যাক টপোলজিকাল স্পেসের একটি সের ফাইব্রেশন, এবং ধরা যাক F হল (পথ-সংযুক্ত) ফাইবার। সের কোহোমোলজি বর্ণালী ক্রমটি নিম্নরূপঃ এখানে, অন্তত মানক সরলীকরণ অবস্থার অধীনে,-পদের সহগ গ্রুপটি হল এফ-এর q-তম অবিচ্ছেদ্য কোহোমোলজি গ্রুপ, এবং বাইরের গ্রুপটি সেই গ্রুপের সহগগুলির সাথে বি-এর একক কোহোমোলজি। কঠোরভাবে বলতে গেলে, যা বোঝানো হয় তা হল বিভিন্ন তন্তুগুলির কোহোমোলজি দ্বারা প্রদত্ত বি-এর স্থানীয় সহগ ব্যবস্থার সাপেক্ষে কোহোমোলজি। উদাহরণস্বরূপ ধরে নেওয়া যায় যে, বি সহজভাবে সংযুক্ত, এটি স্বাভাবিক কোহোমোলজিতে ভেঙে যায়। একটি পথ সংযুক্ত ভিত্তির জন্য, সমস্ত বিভিন্ন তন্তু সমস্থানিক সমতুল্য। বিশেষ করে, তাদের কোহোমোলজি আইসোমরফিক, তাই "দ্য" ফাইবারের পছন্দ কোনও অস্পষ্টতা দেয় না। আবুটমেন্ট মানে মোট স্থান X-এর অবিচ্ছেদ্য কোহোমোলজি। এই বর্ণালী ক্রমটি জুটির কোহোমোলজির দীর্ঘ সঠিক ক্রম থেকে নির্মিত একটি সঠিক জোড়া থেকে উদ্ভূত হতে পারে, যেখানে বি-এর পি-কঙ্কালের উপর তন্তুবন্ধনের সীমাবদ্ধতা রয়েছে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এই স্বরলিপি ব্যবহার করে, f-কে প্রতিটি অংশকে সীমাবদ্ধ করে সংজ্ঞায়িত করা হয়, g-কে জোড়ের দীর্ঘ সঠিক ক্রমে কোবাউন্ডারি মানচিত্র ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং h-কে সীমাবদ্ধ করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। হোমোলজি বর্ণালী ক্রম একইভাবে কোহোমোলজি বর্ণালী ক্রমের জন্য, হোমোলজির জন্য একটি রয়েছেঃ যেখানে স্বরলিপিগুলি উপরেরগুলির সাথে দ্বৈত। উদাহরণ গণনা হপফ ফাইব্রেশন মনে রাখবেন যে হপফ ফাইব্রেশন দ্বারা দেওয়া হয়। লেরে-সের স্পেকট্রাল সিকোয়েন্সের-পৃষ্ঠায় লেখা আছে ডিফারেনশিয়াল নিচে এবং ডানদিকে যায়। সুতরাং একমাত্র পার্থক্য যা অপরিহার্যভাবে নয়, কারণ বাকিদের ডোমেন বা কোডোমেন 0 রয়েছে (যেহেতু তারা E2-পৃষ্ঠায় রয়েছে)। বিশেষ করে, এই ক্রমটি E2 = E ≤ এ অবনমিত হয়। ই3-পৃষ্ঠায় লেখা আছে বর্ণালী ক্রম অর্থাৎ। আকর্ষণীয় অংশগুলিতে মূল্যায়ন করলে, আমাদের আছে এবং উভয়ের কোহোমোলজি জানা শূন্য, তাই ডিফারেনশিয়ালটি একটি আইসোমরফিজম। একটি জটিল প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্যের উপর গোলক বান্ডিল একটি জটিল এন-ডাইমেনশনাল প্রজেক্টিভ বৈচিত্র্যের পরিপ্রেক্ষিতে এম্বেডিং থেকে আসার জন্য লাইন বান্ডিলগুলির একটি ক্যানোনিকাল পরিবার রয়েছে। এটি বিশ্বব্যাপী বিভাগগুলি দ্বারা দেওয়া হয় যা পাঠায় যদি আমরা একটি র্যাঙ্ক ভেক্টর বান্ডিল তৈরি করি যা ভেক্টর বান্ডিলগুলির একটি সীমাবদ্ধ হুইটনি যোগফল হয় তবে আমরা একটি গোলক বান্ডিল তৈরি করতে পারি যার তন্তুগুলি গোলক। তারপর, আমরা এর ইন্টিগ্রাল কোহোমোলজি গণনা করতে অয়লার ক্লাসের সাথে সের বর্ণালী ক্রম ব্যবহার করতে পারি। - পৃষ্ঠা দ্বারা দেওয়া হয়। আমরা দেখতে পাই যে শুধুমাত্র অ-তুচ্ছ পার্থক্যগুলি-পৃষ্ঠায় দেওয়া হয়েছে এবং ইউলার শ্রেণীর সাথে কাপিং দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এই ক্ষেত্রে এটি শীর্ষ চেরন শ্রেণী দ্বারা দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি কে3 পৃষ্ঠের জন্য ভেক্টর বান্ডিল বিবেচনা করুন। তারপর, বর্ণালী ক্রমটি পড়ে 'দ্য ডিফারেনশিয়াল ফর' হল লেফশেৎজ শ্রেণীর বর্গ। এই ক্ষেত্রে, একমাত্র নন-ট্রিভিয়াল ডিফারেনশিয়াল হল তারপর আমরা এই গণনাটি শেষ করতে পারি শুধুমাত্র নন-ট্রিভিয়াল কোহোমোলজি গ্রুপগুলি হল বেসিক পাথস্পেস ফাইব্রেশন আমরা প্রথমে একটি মৌলিক উদাহরণ দিয়ে শুরু করি; পাথ স্পেস ফাইব্রেশন বিবেচনা করুন আমরা বেস এবং মোট স্পেসের সমসংস্থান জানি, তাই আমাদের অন্তর্দৃষ্টি আমাদের বলে যে সের বর্ণালী ক্রমটি আমাদের লুপ স্পেসের সমসংস্থান বলতে সক্ষম হওয়া উচিত। এটি এমন একটি উদাহরণ যেখানে আমরা E2 পৃষ্ঠায় কী ঘটতে পারে তা নিয়ন্ত্রণ করতে E ≤ পৃষ্ঠা (মোট স্থানের সমরূপতা) ব্যবহার করে একটি ফাইব্রেশনের সমরূপতা অধ্যয়ন করতে পারি। সুতরাং মনে রাখবেন যে এইভাবে আমরা জানি যখন q = 0, আমরা কেবল নিয়মিত পূর্ণসংখ্যা মূল্যবান সমসংস্থান গোষ্ঠী Hp (Sn + 1)-এর দিকে তাকিয়ে আছি যার মান 0 এবং n + 1 মাত্রায় এবং মান 0 সর্বত্র রয়েছে। যাইহোক, যেহেতু পথের স্থানটি সঙ্কুচিত হয়, তাই আমরা জানি যে ক্রমটি E φ-তে পৌঁছানোর সময়, p = q = 0-এ গ্রুপটি ছাড়া সবকিছুই 0 হয়ে যায়। এটি ঘটার একমাত্র উপায় হল যদি অন্য গ্রুপ থেকে আইসোমরফিজম থাকে। যাইহোক, একটি গ্রুপ শূন্য নয় এমন স্থানগুলি হল p = 0 বা p = n + 1 কলামে তাই এই সমরূপতা অবশ্যই কোডোমেইনের সাথে এন + 1 পৃষ্ঠায় ঘটতে হবে তবে, এই গ্রুপে a রাখার অর্থ অবশ্যই Hn + 1 (Sn + 1; Hn (F)) এ থাকতে হবে। প্ররোচিতভাবে এই প্রক্রিয়াটির পুনরাবৃত্তি দেখায় যে হাই (ωSn + 1)-এর মান n এবং 0-এর পূর্ণসংখ্যার গুণকগুলিতে সর্বত্র রয়েছে। জটিল প্রজেক্টিভ স্পেসের কোহোমোলজি রিং আমরা ফাইব্রেশন ব্যবহার করার কোহোমোলজি গণনা করিঃ এখন, E2 পৃষ্ঠায়, 0,0 স্থানাঙ্কে আমাদের রিংয়ের পরিচয় রয়েছে। 0, 1 স্থানাঙ্কে, আমাদের একটি উপাদান i রয়েছে যা উৎপন্ন করে তবে, আমরা জানি যে সীমা পৃষ্ঠায়, 2n + 1 মাত্রায় কেবল অ-তুচ্ছ জেনারেটর থাকতে পারে যা আমাদের বলে যে জেনারেটর i কে অবশ্যই 2,0 স্থানাঙ্কে কিছু উপাদান x অতিক্রম করতে হবে। এখন, এটি আমাদের বলে যে 2,1 স্থানাঙ্কে অবশ্যই একটি উপাদান ix থাকতে হবে। তারপরে আমরা দেখি যে লিবনিজ নিয়ম দ্বারা d (ix) = x2 আমাদের বলে যে 4,0 স্থানাঙ্ক অবশ্যই x2 হতে হবে কারণ 2n + 1 ডিগ্রি পর্যন্ত কোনও অ-তুচ্ছ সমরূপতা থাকতে পারে না। 2n + 1 না হওয়া পর্যন্ত এই যুক্তিটির পুনরাবৃত্তি করলে 2n স্থানাঙ্কে ixn পাওয়া যায়, যা অবশ্যই সেই মাত্রার একমাত্র উৎপাদক হতে হবে এবং এইভাবে আমাদের বলতে হবে যে 2n + 1,0 স্থানাঙ্ক অবশ্যই 0 হতে হবে। বর্ণালী অনুক্রমের অনুভূমিক নীচের সারিটি পড়া আমাদের কোহোমোলজি রিং দেয় এবং এটি আমাদের বলে যে উত্তরটি হল অসীম জটিল প্রজেক্টিভ স্পেসের ক্ষেত্রে, সীমা নেওয়া উত্তর দেয় তিন-গোলকের চতুর্থ হোমোটপি গ্রুপ একটি সের বর্ণালী অনুক্রমের আরও পরিশীলিত প্রয়োগ হল গণনা এই বিশেষ উদাহরণটি একটি পদ্ধতিগত কৌশলকে চিত্রিত করে যা গোলকের উচ্চতর হোমোটপি গ্রুপ সম্পর্কে তথ্য বের করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত ফাইব্রেশনটি বিবেচনা করুন যা একটি আইলেনবার্গ-ম্যাকলেনের স্থানের সমরূপতা। তারপরে আমরা মানচিত্রটিকে একটি ফাইব্রেশনে রূপান্তরিত করি; এটি সাধারণ জ্ঞান যে পুনরাবৃত্ত ফাইবারটি বেস স্পেসের লুপ স্পেস তাই আমাদের উদাহরণে আমরা পাই যে ফাইবারটি হল কিন্তু আমরা জানি যে এখন আমরা কোহোমোলজিকাল সেরে বর্ণালী ক্রমটি দেখিঃ আমরা ধরে নিই যে আমাদের কাছে ডিগ্রি 3 কোহোমোলজির জন্য একটি জেনারেটর রয়েছে, যাকে বলা হয়। যেহেতু মোট কোহোমোলজিতে ডিগ্রি 3-এ কিছুই নেই, তাই আমরা জানি যে এটি অবশ্যই একটি আইসোমরফিজম দ্বারা হত্যা করা উচিত। কিন্তু একমাত্র উপাদান যা এটির মানচিত্র তৈরি করতে পারে তা হল কোহোমোলজি রিংয়ের জেনারেটর a, তাই আমাদের আছে। সুতরাং কাপ পণ্য কাঠামো দ্বারা, 4 ডিগ্রি জেনারেটর, 2 দ্বারা গুণ দ্বারা জেনারেটরের মানচিত্র তৈরি করে এবং 6 ডিগ্রি কোহোমোলজির জেনারেটর 3 দ্বারা গুণ দ্বারা মানচিত্র তৈরি করে, ইত্যাদি। কিন্তু এখন যেহেতু আমরা পুনরাবৃত্ত ফাইব্রেশন ব্যবহার করে এক্স-এর নিম্ন সমস্থানিক গোষ্ঠীগুলিকে (অর্থাৎ, 4-এর কম মাত্রার গোষ্ঠীগুলি) ধ্বংস করেছি, তাই আমরা জানি যে হিউরিউইজ উপপাদ্য দ্বারা, আমাদের বলা হচ্ছে যে করোলারিঃ প্রুফঃ হপফ ফাইব্রেশনের জন্য সমস্থানিক গোষ্ঠীর দীর্ঘ সঠিক ক্রম নিন। আরও দেখুন গাইসিন সিকোয়েন্স রেফারেন্স সের বর্ণালী সিকোয়েন্স বীজগাণিতিক টপোলজি সম্পর্কিত বেশিরভাগ পাঠ্যপুস্তকে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, যেমন। অ্যালেন হ্যাচার, স্পেকট্রাল সিকোয়েন্সেস এডউইন স্প্যানিয়ার, বীজগাণিতিক টপোলজি, স্প্রিংগার এছাড়াও জেমস ডেভিস, পল কার্ক, বীজগাণিতিক টপোলজির লেকচার নোটগুলি সের বর্ণালী অনুক্রমের অনেক সুন্দর প্রয়োগ দেয়। আন্দ্রেয়াস ড্রেস, জুর স্পেকট্রালসিকুয়েঞ্জ ইইনার ফাসেরুং, ইনভেনশনস ম্যাথমেটিকা 3 (1967), 172-178, ইইউডিএমএল-এর কারণে একটি মার্জিত নির্মাণ হয়েছে। সরল সেটগুলির ক্ষেত্রে পল গোয়ার্স, রিক জার্ডিন, সরল হোমোটপি তত্ত্ব, বারখাউসার বীজগাণিতিক টপোলজি স্পেকট্রাল সিকোয়েন্সে চিকিত্সা করা হয়।