Degree of a continuous mapping
টপোলজিতে, একই মাত্রার দুটি কম্প্যাক্ট ওরিয়েন্টেড ম্যানিফোল্ডের মধ্যে একটি অবিচ্ছিন্ন ম্যাপিংয়ের মাত্রা হল এমন একটি সংখ্যা যা ম্যাপিংয়ের অধীনে ডোমেন ম্যানিফোল্ডটি কতবার রেঞ্জ ম্যানিফোল্ডের চারপাশে আবৃত করে তা উপস্থাপন করে। ডিগ্রি সর্বদা একটি পূর্ণসংখ্যা, তবে অভিমুখের উপর নির্ভর করে ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। একটি মানচিত্রের ডিগ্রি প্রথম ব্রাউয়ার দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল, যিনি দেখিয়েছিলেন যে ডিগ্রিটি হোমোটপি অপরিবর্তনীয় (হোমোটপিগুলির মধ্যে অপরিবর্তনীয়), এবং এটি ব্রাউয়ার স্থির বিন্দু উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করেছিলেন। আধুনিক গণিতে, মানচিত্রের মাত্রা টপোলজি এবং জ্যামিতিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। পদার্থবিজ্ঞানে, একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের ডিগ্রি (উদাহরণস্বরূপ স্থান থেকে কোনও ক্রম পরামিতি সেটের একটি মানচিত্র) একটি টপোলজিকাল কোয়ান্টাম সংখ্যার একটি উদাহরণ। এস. এন থেকে এস. এন পর্যন্ত ডিগ্রির সংজ্ঞা সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হল-গোলক থেকে নিজের মধ্যে একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের ডিগ্রি (এই ক্ষেত্রে, এটিকে ঘূর্ণায়মান সংখ্যা বলা হয়): আসুন একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র হতে দিন। তারপর একটি সমরূপতা প্ররোচিত করে, যেখানে হোমোলজি গ্রুপ। এই বিষয়টি বিবেচনা করে, আমরা দেখতে পাই যে এটি অবশ্যই কিছু স্থিরের জন্য ফর্মের হতে হবে। এটাকে তখন ডিগ্রি বলা হয়। বহুগুণের মধ্যে বীজগাণিতিক টপোলজি ধরা যাক এক্স এবং ওয়াই বন্ধ সংযুক্ত ভিত্তিক এম-ডাইমেনশনাল ম্যানিফোল্ড। একটি ম্যানিফোল্ডের অভিযোজনযোগ্যতা বোঝায় যে এর শীর্ষ সমতুল্য গোষ্ঠীটি Z-এর সমতুল্য। একটি অভিযোজন বেছে নেওয়ার অর্থ হল শীর্ষ সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীর একটি জেনারেটর বেছে নেওয়া। একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র f: X → Y, Hm (X) থেকে Hm (Y) পর্যন্ত একটি সমরূপতা f ি঱কে প্ররোচিত করে। ধরা যাক [এক্স], রেসপ। [Y] এইচএম (এক্স), রেসপির নির্বাচিত জেনারেটর হতে হবে। এইচএম (ওয়াই) (অথবা এক্স, ওয়াই-এর মৌলিক শ্রেণী)। তারপর f এর মাত্রা f * ([X]) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। অন্য কথায়, যদি ওয়াই-তে ওয়াই এবং এফ-1 (ওয়াই) একটি সীমাবদ্ধ সেট হয়, তবে এফ-1 (ওয়াই)-এর প্রতিটি বিন্দুতে এক্স-এর এম-তম স্থানীয় সমসংস্থান গোষ্ঠী বিবেচনা করে এফ-এর ডিগ্রি গণনা করা যেতে পারে। ডিফারেনশিয়াল টপোলজি ডিফারেনশিয়াল টপোলজির ভাষায়, একটি মসৃণ মানচিত্রের মাত্রা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ যদি f একটি মসৃণ মানচিত্র হয় যার ডোমেন একটি কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ড এবং p একটি নিয়মিত মান হয়, তবে সসীম সেটটি বিবেচনা করুন। ডাইফোমর্ফিজমগুলি অভিযোজন সংরক্ষণ বা অভিযোজন বিপরীতমুখী হতে পারে। ধরা যাক r হল xi বিন্দুর সংখ্যা যেখানে f হল অভিযোজন সংরক্ষণ এবং s হল সেই সংখ্যা যেখানে f হল অভিযোজন বিপরীতমুখী। যখন f-এর কোডোমেইন সংযুক্ত থাকে, তখন r − s সংখ্যাটি p-এর পছন্দ থেকে স্বাধীন থাকে (যদিও n নয়!) এবং একটি f-এর মাত্রাকে r − s হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে। এই সংজ্ঞাটি উপরের বীজগাণিতিক টপোলজিকাল সংজ্ঞার সাথে মিলে যায়। একই সংজ্ঞা সীমানা সহ কম্প্যাক্ট ম্যানিফোল্ডের জন্য কাজ করে কিন্তু তারপর f-এর উচিত X-এর সীমানা Y-এর সীমানায় পাঠানো। ডিগ্রি মডুলো 2 (ডি. জি. 2 (এফ))-কে আগের মতোই সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে কিন্তু জেড2 সমতাত্ত্বিক মৌলিক শ্রেণী গ্রহণ করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে ডিইজি2 (এফ) হল জেড2-এর একটি উপাদান (দুটি উপাদান সহ ক্ষেত্র), ম্যানিফোল্ডগুলি অভিমুখী হওয়ার প্রয়োজন নেই এবং যদি এন আগের মতো পি-এর প্রি-ইমেজের সংখ্যা হয় তবে ডিইজি2 (এফ) হল এন মডুলো 2। ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলির ইন্টিগ্রেশন (সি ≤-) সিঙ্গুলার হোমোলজি এবং ডি রাম কোহোমোলজির মধ্যে একটি জুটি দেয়ঃ, যেখানে একটি চক্র দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা একটি হোমোলজি ক্লাস এবং একটি ডি রাম কোহোমোলজি ক্লাসের প্রতিনিধিত্বকারী একটি বদ্ধ ফর্ম। একটি মসৃণ মানচিত্রের জন্য f: X → Y ওরিয়েন্টেবল m-ম্যানিফোল্ডের মধ্যে, যেখানে f ≤ এবং f ≤ যথাক্রমে চেইন এবং ফর্মের উপর প্রেরিত মানচিত্র রয়েছে। যেহেতু f ি঱ [X] = ডিগ্রি f· [Y], তাই Y-তে যে কোনও m-ফর্মের জন্য ω রয়েছে। বদ্ধ অঞ্চল থেকে মানচিত্র যদি একটি আবদ্ধ অঞ্চল হয়, মসৃণ, এবং এর একটি নিয়মিত মান হয়, তবে ডিগ্রিটি সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে জ্যাকোবিয়ান ম্যাট্রিক্সটি রয়েছে। ডিগ্রির এই সংজ্ঞাটি স্বাভাবিকভাবেই অ-নিয়মিত মানগুলির জন্য প্রসারিত হতে পারে যেমন যেখানে একটি বিন্দু কাছাকাছি। ডিগ্রিটি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ যদি, তাহলে এমন কিছু থাকে। সবার জন্য। ডিকম্পোজিশন বৈশিষ্ট্যঃ যদি এবং এর বিচ্ছিন্ন অংশ হয়। হোমোটোপি ইনভ্যারিয়েন্সঃ যদি এবং একটি হোমোটপির মাধ্যমে সমতুল্য হয় এবং তারপর ফাংশনটি স্থানীয়ভাবে স্থির থাকে এই বৈশিষ্ট্যগুলি ডিগ্রিটিকে অনন্যভাবে চিহ্নিত করে এবং ডিগ্রিটি তাদের দ্বারা একটি স্বতঃসিদ্ধ উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। একইভাবে, আমরা সীমানা সহ কম্প্যাক্ট ওরিয়েন্টেড ম্যানিফোল্ডের মধ্যে একটি মানচিত্রের মাত্রা নির্ধারণ করতে পারি। একটি মানচিত্রের মাত্রা একটি সমস্থানিক অপরিবর্তনীয়; উপরন্তু গোলক থেকে নিজের কাছে অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের জন্য এটি একটি সম্পূর্ণ সমস্থানিক অপরিবর্তনীয়, অর্থাৎ। দুটি মানচিত্র সমস্থানিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি। অন্য কথায়, ডিগ্রি হল এবং এর মধ্যে একটি সমরূপতা। অধিকন্তু, হপফ উপপাদ্যটি বলে যে, যে কোনও-মাত্রিক বদ্ধমুখী ম্যানিফোল্ড এম-এর জন্য, দুটি মানচিত্র সমস্থানিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এন-গোলকের একটি স্ব-মানচিত্র এন + 1-বল থেকে এন-গোলক পর্যন্ত একটি মানচিত্রে প্রসারিত করা যায় যদি এবং শুধুমাত্র যদি। (এখানে ফাংশন F এই অর্থে f প্রসারিত করে যে f হল F থেকে এর সীমাবদ্ধতা।) ডিগ্রি গণনা একটি n-মাত্রিক বাক্স B (n ব্যবধানের গুণফল) থেকে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f-এর টপোলজিকাল ডিগ্রি ডিগ্ (f, B, 0) গণনা করার জন্য একটি অ্যালগরিদম রয়েছে, যেখানে f গাণিতিক অভিব্যক্তি আকারে দেওয়া হয়। অ্যালগরিদমের একটি বাস্তবায়ন টপডেগে পাওয়া যায়-ডিগ্রি গণনা করার জন্য একটি সফ্টওয়্যার সরঞ্জাম (এলজিপিএল-3)। এছাড়াও কভারিং নম্বর দেখুন, যা একই নামের একটি শব্দ। লক্ষ্য করুন যে এটি ঘূর্ণায়মান সংখ্যাকে সাধারণীকরণ করে না তবে বল দ্বারা একটি সেটের কভার বর্ণনা করে ঘনত্ব (পলিটোপ), একটি পলিহেড্রাল অ্যানালগ টপোলজিকাল ডিগ্রি তত্ত্ব নোটস রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক আসুন ম্যাপিং ডিগ্রির সাথে পরিচিত হই, রেড টি জিভালজেভিক দ্বারা। বীজগাণিতিক টপোলজি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল টপোলজি তত্ত্ব