Repeated game
গেম থিওরিতে, পুনরাবৃত্ত গেম হল একটি বিস্তৃত ফর্ম গেম যা কিছু বেস গেমের বেশ কয়েকটি পুনরাবৃত্তি নিয়ে গঠিত (যাকে স্টেজ গেম বলা হয়)। মঞ্চের খেলাটি সাধারণত সু-অধ্যয়নরত দুই-ব্যক্তির খেলার মধ্যে একটি। পুনরাবৃত্ত গেমগুলি এই ধারণাটি ধারণ করে যে একজন খেলোয়াড়কে অন্যান্য খেলোয়াড়দের ভবিষ্যতের ক্রিয়াকলাপের উপর তাদের বর্তমান ক্রিয়াকলাপের প্রভাব বিবেচনা করতে হবে; এই প্রভাবকে কখনও কখনও তাদের খ্যাতি বলা হয়। সিঙ্গেল স্টেজ গেম বা সিঙ্গেল শট গেম হল অ-পুনরাবৃত্ত গেমের নাম। পুনরাবৃত্ত খেলার বাস্তব জীবনের উদাহরণের জন্য, দুটি গ্যাস স্টেশন বিবেচনা করুন যা একে অপরের সংলগ্ন। তারা প্রকাশ্যে মূল্য নির্ধারণ করে প্রতিযোগিতা করে এবং তাদের একই এবং ধ্রুবক প্রান্তিক মূল্য সি (পেট্রোলের পাইকারি মূল্য) থাকে। ধরে নিন যে যখন তারা উভয়ই পি = 10 চার্জ করে, তখন তাদের যৌথ মুনাফা সর্বাধিক হয়, যার ফলে প্রত্যেকের জন্য উচ্চ মুনাফা হয়। এটি তাদের জন্য সর্বোত্তম ফলাফল হওয়া সত্ত্বেও, তারা বিচ্যুত হতে অনুপ্রাণিত হয়। পরিমিতভাবে দাম কমানোর মাধ্যমে, যে কেউ তাদের প্রতিযোগীদের সমস্ত গ্রাহকদের চুরি করতে পারে, তাদের আয় দ্বিগুণ করতে পারে (প্রায়)। পি = সি, যেখানে তাদের মুনাফা শূন্য, এই মুনাফার বিচ্যুতি ছাড়া একমাত্র মূল্য। অন্য কথায়, মূল্য নির্ধারণ প্রতিযোগিতার খেলায়, একমাত্র ন্যাশ ভারসাম্য অকার্যকর (গ্যাস স্টেশনগুলির জন্য) যা উভয়ই পি = সি চার্জ করে। এটি একটি ব্যতিক্রমের চেয়ে একটি নিয়মের বেশিঃ একটি পর্যায়ক্রমিক খেলায়, ন্যাশ ভারসাম্য একমাত্র ফলাফল যা কোনও এজেন্ট ধারাবাহিকভাবে একটি মিথস্ক্রিয়ায় অর্জন করতে পারে এবং এটি সাধারণত তাদের জন্য অকার্যকর। এর কারণ হল এজেন্টরা কেবল তাদের ব্যক্তিগত স্বার্থ নিয়ে উদ্বিগ্ন এবং তাদের কাজগুলি প্রতিযোগীদের জন্য যে সুবিধা বা ব্যয় নিয়ে আসে সে সম্পর্কে উদাসীন। অন্যদিকে, কাছাকাছি অন্য একটি গ্যাস স্টেশন থাকলেও গ্যাস স্টেশনগুলি মুনাফা করে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ কারণগুলির মধ্যে একটি হল যে তাদের মিথস্ক্রিয়া একবারে হয় না। এই শর্তটি পুনরাবৃত্ত গেম দ্বারা চিত্রিত করা হয়, যেখানে দুটি গ্যাস স্টেশন অনির্দিষ্ট সময় পরিসীমা t = 0,1,2, জুড়ে মূল্য নির্ধারণের (স্টেজ গেম) জন্য প্রতিদ্বন্দ্বিতা করে। সীমাবদ্ধ বনাম অসীম পুনরাবৃত্ত গেম খেলাটি কতক্ষণ ধরে খেলা হচ্ছে তার উপর নির্ভর করে বিস্তৃতভাবে দুটি শ্রেণীতে বিভক্ত করা যেতে পারে, সীমাবদ্ধ এবং অসীম। সীমাবদ্ধ খেলাগুলি হল সেগুলি যেখানে উভয় খেলোয়াড়ই জানেন যে খেলাটি একটি নির্দিষ্ট (এবং সীমাবদ্ধ) সংখ্যক রাউন্ড খেলা হচ্ছে এবং খেলাটি নিশ্চিতভাবে শেষ হয় যার পরে অনেক রাউন্ড খেলা হয়েছে। সাধারণভাবে, সীমাবদ্ধ গেমগুলি ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। অসীম খেলাগুলি হল সেগুলি যেখানে খেলাটি অসীম সংখ্যক বার খেলা হচ্ছে। অসীম সংখ্যক রাউন্ড সহ একটি খেলাও এমন একটি খেলার সমতুল্য (খেলার কৌশলের দিক থেকে) যেখানে খেলার খেলোয়াড়রা জানেন না যে খেলাটি কত রাউন্ডের জন্য খেলা হচ্ছে। অসীম গেমগুলি (বা যে গেমগুলি অজানা সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা হচ্ছে) ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন দ্বারা সমাধান করা যায় না কারণ ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন শুরু করার জন্য কোনও "শেষ রাউন্ড" নেই। এমনকি যদি প্রতিটি রাউন্ডে খেলা খেলাটি অভিন্ন হয়, তবে সেই খেলাটি একটি সীমাবদ্ধ বা অসীম সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা, সাধারণভাবে, খুব ভিন্ন ফলাফলের (ভারসাম্য) পাশাপাশি খুব ভিন্ন অনুকূল কৌশলের দিকে পরিচালিত করতে পারে। অসীম পুনরাবৃত্ত খেলা সর্বাধিক ব্যাপকভাবে অধ্যয়নরত পুনরাবৃত্ত খেলা হল এমন খেলা যা অসীম সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা হয়। পুনরাবৃত্ত বন্দীদের দ্বিধাদ্বন্দ্বের খেলায় দেখা যায় যে পছন্দের কৌশলটি মঞ্চ খেলার একটি ন্যাশ কৌশল খেলা নয়, বরং সহযোগিতা করা এবং সামাজিকভাবে সর্বোত্তম কৌশল খেলা। অসীম পুনরাবৃত্তিমূলক খেলায় কৌশলগুলির একটি অপরিহার্য অংশ হল এই সহযোগিতামূলক কৌশল থেকে বিচ্যুত খেলোয়াড়দের শাস্তি দেওয়া। শাস্তি হতে পারে এমন একটি কৌশল যা বাকি খেলার জন্য উভয় খেলোয়াড়ের বেতন কমিয়ে দেয় (যাকে ট্রিগার কৌশল বলা হয়)। একজন খেলোয়াড় সাধারণত সামাজিকভাবে সর্বোত্তম কৌশলটি খেলার পরিবর্তে নিজের পুরস্কার বাড়ানোর জন্য স্বার্থপরভাবে কাজ করা বেছে নিতে পারে। তবে, যদি জানা যায় যে অন্য খেলোয়াড় একটি ট্রিগার কৌশল অনুসরণ করছে, তবে খেলোয়াড় এই পর্যায়ে বিচ্যুত হলে ভবিষ্যতে কম বেতন পাওয়ার আশা করে। একটি কার্যকর ট্রিগার কৌশল নিশ্চিত করে যে এখন স্বার্থপর আচরণ করা এবং ভবিষ্যতে অন্য খেলোয়াড়ের শাস্তির মুখোমুখি হওয়ার চেয়ে খেলোয়াড়ের জন্য সহযোগিতা করার আরও বেশি উপযোগিতা রয়েছে। উপপাদ্যগুলিতে অনেক ফলাফল রয়েছে যা পুনরাবৃত্ত খেলায় কীভাবে সামাজিকভাবে সর্বোত্তম ভারসাম্য অর্জন এবং বজায় রাখা যায় তার সাথে সম্পর্কিত। এই ফলাফলগুলিকে সম্মিলিতভাবে "লোক উপপাদ্য" বলা হয়। পুনরাবৃত্তিমূলক খেলার একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল যে পদ্ধতিতে একজন খেলোয়াড়ের পছন্দগুলি মডেল করা যেতে পারে। অসীম পুনরাবৃত্তিমূলক খেলায় পছন্দের সম্পর্ককে মডেল করার অনেকগুলি ভিন্ন উপায় রয়েছে, তবে দুটি মূল উপায় হ 'লঃ উপায়ের সীমা-যদি গেমটি ফলাফলের পথে ফলাফল দেয় এবং প্লেয়ার আই-এর মৌলিক-গেম ইউটিলিটি ফাংশন থাকে, প্লেয়ার আই-এর ইউটিলিটি হ' লঃ ডিসকাউন্টিং-যদি কোনও ছাড়ের ফ্যাক্টরের উপর নির্ভর করে সময়ের সাথে সাথে প্লেয়ার আই-এর গেমের মূল্যায়ন হ্রাস পায়, তবে প্লেয়ার ইউটিলিটি হ 'লঃ পর্যাপ্ত ধৈর্যশীল খেলোয়াড়দের জন্য (যেমন। যাদের যথেষ্ট উচ্চ মান রয়েছে), এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে প্রতিটি কৌশল যার মিনিম্যাক্স পরিশোধের চেয়ে বেশি লভ্যাংশ রয়েছে তা ন্যাশ ভারসাম্য হতে পারে-কৌশলগুলির একটি খুব বড় সেট। সীমিতভাবে পুনরাবৃত্ত খেলা পুনরাবৃত্ত খেলা তাৎক্ষণিক লাভ এবং দীর্ঘমেয়াদী প্রণোদনার মধ্যে মিথস্ক্রিয়া অধ্যয়নের অনুমতি দেয়। একটি চূড়ান্তভাবে পুনরাবৃত্ত খেলা হল এমন একটি খেলা যেখানে একই এক-শট পর্যায়ের খেলাটি বেশ কয়েকটি পৃথক সময়কাল বা রাউন্ডে বারবার খেলা হয়। প্রতিটি সময়কাল 0 <t ≤ T দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয় যেখানে T হল মোট সময়কালের সংখ্যা। একজন খেলোয়াড়ের চূড়ান্ত প্রতিদান হল প্রতিটি রাউন্ড থেকে তাদের প্রতিদানের সমষ্টি। নির্দিষ্ট এবং পরিচিত সংখ্যক সময়কালের পুনরাবৃত্ত গেমগুলির জন্য, যদি স্টেজ গেমটির একটি অনন্য ন্যাশ ভারসাম্য থাকে, তবে পুনরাবৃত্ত গেমটির প্রতিটি রাউন্ডে স্টেজ গেম ভারসাম্য খেলার একটি অনন্য সাবগেম নিখুঁত ন্যাশ ভারসাম্য কৌশল প্রোফাইল রয়েছে। এটি ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশনের মাধ্যমে অনুমান করা যেতে পারে। অনন্য স্টেজ গেম ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়াম অবশ্যই আগের রাউন্ডে যা ঘটেছিল তা নির্বিশেষে শেষ রাউন্ডে খেলতে হবে। এটি জেনে, খেলোয়াড়দের দ্বিতীয় থেকে শেষ রাউন্ডে অনন্য স্টেজ গেম ন্যাশ ভারসাম্য থেকে বিচ্যুত হওয়ার কোনও উত্সাহ নেই এবং তাই এই যুক্তিটি খেলার প্রথম রাউন্ডে প্রয়োগ করা হয়। একটি খেলার শেষ বিন্দু থেকে এই 'উন্মোচন' চেইনস্টোর প্যারাডক্সে লক্ষ্য করা যায়। যদি মঞ্চের খেলায় একাধিক ন্যাশ ভারসাম্য থাকে, তবে পুনরাবৃত্ত খেলায় একাধিক সাবগেম নিখুঁত ন্যাশ ভারসাম্য থাকতে পারে। যদিও একটি ন্যাশ ভারসাম্য অবশ্যই শেষ রাউন্ডে খেলতে হবে, একাধিক ভারসাম্যের উপস্থিতি পুরষ্কার এবং শাস্তির কৌশলগুলির সম্ভাবনা প্রবর্তন করে যা আগের রাউন্ডে স্টেজ গেম ন্যাশ ভারসাম্য থেকে বিচ্যুতি সমর্থন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অন্যদিকে, একটি অজানা বা অনির্দিষ্ট সংখ্যক সময়কালের সাথে সীমিতভাবে পুনরাবৃত্ত খেলাগুলি একটি অসীম পুনরাবৃত্ত খেলা হিসাবে বিবেচিত হয়। এই খেলাগুলিতে ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন প্রয়োগ করা সম্ভব নয়। সীমাবদ্ধভাবে পুনরাবৃত্ত গেমগুলিতে সহযোগিতার উদাহরণ উদাহরণ 1: একাধিক ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়ার সাথে দ্বি-পর্যায়ের পুনরাবৃত্ত গেম উদাহরণ 1 একাধিক বিশুদ্ধ কৌশল ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়ার সাথে একটি দ্বি-পর্যায়ের পুনরাবৃত্ত খেলা দেখায়। যেহেতু এই ভারসাম্য খেলোয়াড় 2-এর জন্য অর্থপ্রদানের ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হয়, তাই খেলোয়াড় 1 খেলার একাধিক পর্যায়ে একটি কৌশল প্রস্তাব করতে পারে যা খেলোয়াড় 2-এর জন্য শাস্তি বা পুরস্কারের সম্ভাবনাকে অন্তর্ভুক্ত করে। উদাহরণস্বরূপ, প্লেয়ার 1 প্রস্তাব করতে পারে যে তারা প্রথম রাউন্ডে (এ, এক্স) খেলবে। যদি প্লেয়ার 2 প্রথম রাউন্ডে মেনে চলে, প্লেয়ার 1 দ্বিতীয় রাউন্ডে ভারসাম্য (এ, জেড) খেলে তাদের পুরস্কৃত করবে, যার ফলে দুটি রাউন্ডে (7,9) মোট বেতন পাওয়া যাবে। যদি খেলোয়াড় 2 সম্মত (এ, এক্স) খেলার পরিবর্তে প্রথম রাউন্ডে (এ, জেড) থেকে বিচ্যুত হয়, তবে খেলোয়াড় 1 দ্বিতীয় রাউন্ডে (বি, ওয়াই) ভারসাম্য খেলে তাদের শাস্তি দেওয়ার হুমকি দিতে পারে। এই পরবর্তী পরিস্থিতি ফল দেয় (5,7), যার ফলে উভয় খেলোয়াড়ের অবস্থা আরও খারাপ হয়। এইভাবে, ভবিষ্যতের পর্যায়ে শাস্তির হুমকি প্রথম পর্যায়ে একটি সহযোগিতামূলক, ভারসাম্যহীন কৌশলকে উৎসাহিত করে। যেহেতু যে কোনও সীমিতভাবে পুনরাবৃত্ত খেলার চূড়ান্ত রাউন্ড, তার প্রকৃতির দ্বারা, ভবিষ্যতের শাস্তির হুমকি সরিয়ে দেয়, শেষ রাউন্ডের সর্বোত্তম কৌশল সর্বদা খেলার ভারসাম্যগুলির মধ্যে একটি হবে। এটি উদাহরণ 1-এ উপস্থাপিত খেলার ভারসাম্যের মধ্যে পরিশোধের পার্থক্য যা একটি শাস্তি/পুরস্কার কৌশলকে কার্যকর করে তোলে (খেলার কৌশলের উপর শাস্তি এবং পুরস্কারের প্রভাব সম্পর্কে আরও জানতে, 'পাবলিক গুডস গেম উইথ পনিশমেন্ট অ্যান্ড ফর রিওয়ার্ড' দেখুন)। উদাহরণ 2: ইউনিক ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়াম সহ টু-স্টেজ রিপিটেড গেম 2 'একটি অনন্য ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়াম সহ একটি দুই-পর্যায়ের পুনরাবৃত্ত খেলা দেখায়। যেহেতু এখানে শুধুমাত্র একটি ভারসাম্য রয়েছে, তাই খেলার দ্বিতীয় রাউন্ডে কোনও খেলোয়াড়ের জন্য শাস্তির হুমকি দেওয়া বা পুরস্কারের প্রতিশ্রুতি দেওয়ার কোনও ব্যবস্থা নেই। এইভাবে, একমাত্র কৌশল যা একটি সাবগেম নিখুঁত ন্যাশ ভারসাম্য হিসাবে সমর্থিত হতে পারে তা হল প্রতিটি রাউন্ডে গেমের অনন্য ন্যাশ ভারসাম্য কৌশল (ডি, এন) খেলা। এই ক্ষেত্রে, এর অর্থ হল দুটি পর্যায়ের (এন = 2) জন্য প্রতিটি পর্যায়ে খেলা (ডি, এন), তবে এটি যে কোনও সীমাবদ্ধ সংখ্যক পর্যায়ের জন্য সত্য হবে। ব্যাখ্যা করার জন্যঃ এই ফলাফলের অর্থ হল একটি পরিচিত, সীমাবদ্ধ সময় দিগন্তের উপস্থিতি খেলার প্রতিটি রাউন্ডে সহযোগিতা নষ্ট করে। পুনরাবৃত্তিমূলক খেলায় সহযোগিতা তখনই সম্ভব যখন রাউন্ডের সংখ্যা অসীম বা অজানা থাকে। পুনরাবৃত্ত খেলা সমাধান করা সাধারণভাবে, লোক উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত কৌশলগুলি ব্যবহার করে পুনরাবৃত্ত খেলা সহজেই সমাধান করা যায়। জটিল পুনরাবৃত্ত গেমগুলি বিভিন্ন কৌশল ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে যার বেশিরভাগই রৈখিক বীজগণিত এবং কাল্পনিক খেলায় প্রকাশিত ধারণাগুলির উপর ব্যাপকভাবে নির্ভর করে। এটি অনুমান করা যেতে পারে যে আপনি অসীম পুনরাবৃত্ত গেমগুলিতে ভারসাম্য পরিশোধের বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করতে পারেন। দুটি পে-অফের মধ্যে পরিবর্তনের মাধ্যমে, ধরুন a এবং f, গড় পে-অফ প্রোফাইল a এবং f এর মধ্যে একটি ওজনযুক্ত গড় হতে পারে। অসম্পূর্ণ তথ্য পুনরাবৃত্ত গেমগুলিতে কিছু অসম্পূর্ণ তথ্য অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে। অসম্পূর্ণ তথ্য সহ পুনরাবৃত্ত গেমগুলি ওমান এবং মাস্লার দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। যদিও এমন একটি পরিস্থিতির মোকাবিলা করা সহজ যেখানে একজন খেলোয়াড়কে অবহিত করা হয় এবং অন্যজনকে না জানানো হয়, এবং যখন প্রতিটি খেলোয়াড়ের দ্বারা প্রাপ্ত তথ্য স্বাধীন হয়, তখন উভয় পক্ষের অসম্পূর্ণ তথ্য এবং স্বাধীন নয় এমন সংকেত সহ শূন্য-সমষ্টি গেমগুলি মোকাবেলা করা সম্ভব। রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক গেম-থিওরিটিক সলিউশন টু পোকার ইউজিং ফিক্টিশিয়াস প্লে গেম থিওরি পুনরাবৃত্ত গেম এবং চেইনস্টোর প্যারাডক্স গেম থিওরি গেম ক্লাসের উপর পুনরাবৃত্ত গেমের নোট