Morley rank
গাণিতিক যুক্তিতে, মর্লি র্যাঙ্ক, দ্বারা প্রবর্তিত, একটি তত্ত্বের একটি মডেলের উপসেটের আকার পরিমাপের একটি মাধ্যম, যা বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে মাত্রার ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। সংজ্ঞা একটি মডেল এম দিয়ে একটি তত্ত্ব ঠিক করুন। একটি সূত্রের মর্লি র্যাঙ্ক φ একটি সংজ্ঞায়িত (পরামিতি সহ) উপসেট এম এর এস কে সংজ্ঞায়িত করে একটি অর্ডিনাল বা −1 বা φ, যা প্রথমে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সংজ্ঞায়িত করে যে কোনও সূত্রের জন্য কোনও অর্ডিনাল α এর জন্য কমপক্ষে α মর্লি র্যাঙ্ক থাকার অর্থ কী। যদি এস খালি না থাকে তবে মর্লি র্যাঙ্ক কমপক্ষে 0 হয়। α একটি উত্তরসূরি অর্ডিনালের জন্য, মর্লি র্যাঙ্ক কমপক্ষে α হয় যদি M এর কিছু প্রাথমিক এক্সটেনশন N-এ, সেট S-এর গণনাযোগ্যভাবে অসীমভাবে অনেকগুলি বিচ্ছিন্ন সংজ্ঞায়িত উপসেট রয়েছে, প্রতিটি র্যাঙ্ক কমপক্ষে α−1। α একটি অ-শূন্য সীমা অর্ডিনালের জন্য, মর্লি র্যাঙ্ক কমপক্ষে α হয় যদি এটি α এর চেয়ে কম সমস্ত β এর জন্য কমপক্ষে β হয়। মর্লি র্যাঙ্ককে তখন α হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি এটি কমপক্ষে α হয় তবে কমপক্ষে α + 1 না হয়, এবং যদি এটি সমস্ত অর্ডিনাল α-এর জন্য কমপক্ষে α হয় তবে φ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং যদি S খালি থাকে তবে −1 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি মডেল এম-এর একটি সংজ্ঞায়িত উপসেটের জন্য (একটি সূত্র φ দ্বারা সংজ্ঞায়িত) মর্লি র্যাঙ্ককে এম-এর যে কোনও α0-স্যাচুরেটেড প্রাথমিক সম্প্রসারণে φ-এর মর্লি র্যাঙ্ক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বিশেষত α0-স্যাচুরেটেড মডেলের জন্য একটি উপসেটের মর্লি র্যাঙ্ক হল উপসেটকে সংজ্ঞায়িত করে এমন যে কোনও সূত্রের মর্লি র্যাঙ্ক। যদি φ সংজ্ঞায়িত S-এর র্যাঙ্ক α থাকে, এবং S র্যাঙ্ক α-এর n <ω উপসেটগুলিতে বিভক্ত না হয়, তবে φ-কে মর্লি ডিগ্রি n বলা হয়। একটি সীমাবদ্ধ সেটকে সংজ্ঞায়িত করার একটি সূত্রে মর্লি র্যাঙ্ক 0 থাকে। মর্লি র্যাঙ্ক 1 এবং মর্লি ডিগ্রি 1 সহ একটি সূত্রকে দৃঢ়ভাবে ন্যূনতম বলা হয়। একটি দৃঢ় ন্যূনতম কাঠামো হল যেখানে x = x-এর তুচ্ছ সূত্রটি দৃঢ়ভাবে ন্যূনতম। মর্লি র্যাঙ্ক এবং দৃঢ়ভাবে ন্যূনতম কাঠামো হল মর্লি-র শ্রেণীবিভাগ উপপাদ্যের প্রমাণ এবং মডেল তাত্ত্বিক স্থায়িত্ব তত্ত্বের বৃহত্তর ক্ষেত্রে মূল সরঞ্জাম। উদাহরণস্বরূপ, খালি সেটটিতে মর্লি র্যাঙ্ক −1 রয়েছে এবং বিপরীতভাবে মর্লি র্যাঙ্ক −1-এর যে কোনও কিছুই খালি। একটি উপসেটের মর্লি র্যাঙ্ক 0 থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সীমাবদ্ধ এবং অ-খালি হয়। যদি V একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্র K-এর জন্য K-তে একটি বীজগাণিতিক সেট হয়, তবে V-এর মর্লি র্যাঙ্ক তার স্বাভাবিক ক্রুল মাত্রার মতোই। ভি-এর মর্লি ডিগ্রি হল সর্বাধিক মাত্রার অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির সংখ্যা; এটি বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে এর ডিগ্রির সমান নয়, যখন এর সর্বাধিক মাত্রার উপাদানগুলি রৈখিক স্থান হয়। একটি ক্রমবদ্ধ সেট হিসাবে বিবেচিত মূলদ সংখ্যাগুলির মর্লি র্যাঙ্ক φ রয়েছে, কারণ এতে সংজ্ঞায়িত উপসেটগুলির একটি গণনাযোগ্য বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন রয়েছে। আরও দেখুন চেরলিন-জিলবার কনজেকচার গ্রুপ অফ ফাইনাইট মর্লি র্যাঙ্ক ইউ-র্যাঙ্ক রেফারেন্স আলেকজান্ডার বরোভিক, আলি নেসিন, "গ্রুপ অফ ফাইনাইট মর্লি র্যাঙ্ক", অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়। প্রেস (1994) বি. হার্ট স্ট্যাবিলিটি থিওরি অ্যান্ড ইটস ভ্যারিয়েন্টস (2000) পৃষ্ঠা। 131-148 মডেল তত্ত্ব, বীজগণিত এবং জ্যামিতিতে, ডি. হাস্কেল এট আল দ্বারা সম্পাদিত, গণিত। বিজ্ঞান. রেস। ইনস্টাগ্রাম। প্রকাশক। 39, কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়। প্রেস, নিউ ইয়র্ক, 2000। এতে মর্লি পদমর্যাদার একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা রয়েছে। ডেভিড মার্কার মডেল থিওরি অফ ডিফারেনশিয়াল ফিল্ডস (2000) পৃষ্ঠা। 53-63 মডেল তত্ত্ব, বীজগণিত এবং জ্যামিতিতে, ডি. হাস্কেল এট আল দ্বারা সম্পাদিত, গণিত। বিজ্ঞান. রেস। ইনস্টাগ্রাম। প্রকাশক। 39, কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়। প্রেস, নিউ ইয়র্ক, 2000। মডেল তত্ত্ব