Wirtinger's inequality for functions
ওয়ার্টিংজারের নামে নামকরণ করা অন্যান্য বৈষম্যের জন্য, ওয়ার্টিংজারের বৈষম্য দেখুন। বিশ্লেষণের গাণিতিক ক্ষেত্রে, ওয়ার্টিংার অসমতা একটি একক চলকের ফাংশনের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ অসমতা, যা উইলহেলম ওয়ার্টিংারের নামে নামকরণ করা হয়েছে। সমতলে বক্ররেখার জন্য আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যের একটি নতুন প্রমাণ দিতে 1901 সালে অ্যাডলফ হারউইটস এটি ব্যবহার করেছিলেন। ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত বিভিন্ন ফলাফল আজ ওয়ার্টিংারের বৈষম্য হিসাবে পরিচিত, যার সবকটিই পয়েনকারে বৈষম্যের নির্দিষ্ট রূপ হিসাবে দেখা যেতে পারে। উপপাদ্য ওয়ার্টিংার বৈষম্যের বেশ কয়েকটি অসম সংস্করণ রয়েছেঃ গড় মান শূন্য এবং সহ ব্যবধানের উপর একটি অবিচ্ছিন্ন এবং পার্থক্যযোগ্য ফাংশন হতে দিন। তারপর এবং সমতা থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি কিছু সংখ্যার জন্য এবং। সঙ্গে ব্যবধানের উপর একটি অবিচ্ছিন্ন এবং ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন হতে দিন। তারপর এবং সমতা বজায় থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি কিছু সংখ্যার জন্য হয়। গড় মান শূন্য সহ ব্যবধানের উপর একটি অবিচ্ছিন্ন এবং ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন হতে দিন। তারপর এবং সমতা বজায় থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি কিছু সংখ্যার জন্য হয়। তাদের পার্থক্য থাকা সত্ত্বেও, এগুলি একে অপরের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যা বর্ণালী জ্যামিতির পরিপ্রেক্ষিতে নীচে দেওয়া বিবরণ থেকে দেখা যায়। এগুলিকে পয়েনকারে বৈষম্যের বিভিন্ন রূপের বিশেষ কেস হিসাবেও বিবেচনা করা যেতে পারে, সর্বোত্তম পয়েনকারে ধ্রুবকটি স্পষ্টভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। মধ্য সংস্করণটিও ফ্রেডরিখের বৈষম্যের একটি বিশেষ উদাহরণ, আবার সর্বোত্তম ধ্রুবক চিহ্নিত করা হয়েছে। প্রমাণ ওয়ার্টিংজার বৈষম্যের তিনটি সংস্করণই বিভিন্ন উপায়ে প্রমাণ করা যেতে পারে। উপরে দেওয়া তিনটি ওয়ার্টিংার বৈষম্যের প্রত্যেকটির জন্য একটি ভিন্ন ধরনের প্রমাণ দ্বারা এটি নিম্নলিখিতগুলিতে চিত্রিত করা হয়েছে। প্রতিটি ক্ষেত্রে, জড়িত ইন্টিগ্রালগুলিতে চলকগুলির একটি রৈখিক পরিবর্তনের দ্বারা, শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট পছন্দের জন্য উপপাদ্যটি প্রমাণ করার ক্ষেত্রে সাধারণতার কোনও ক্ষতি হয় না। ফুরিয়ার সিরিজ উপরে প্রদত্ত প্রথম ওয়ার্টিঞ্জার বৈষম্য বিবেচনা করুন। হয়ে উঠুন। যেহেতু ডিরিচলেটের শর্তগুলি পূরণ করা হয়েছে, তাই আমরা লিখতে পারি এবং এর গড় মান শূন্য হওয়ার অর্থ হল যে। পার্সেভালের পরিচয়ের দ্বারা, এবং এবং যেহেতু সমস্ত যোগফল অ-নেতিবাচক, তাই ওয়ার্টিংজার বৈষম্য প্রমাণিত হয়। উপরন্তু দেখা যায় যে সমতা যদি এবং শুধুমাত্র যদি সকলের জন্য থাকে, যা বলা যায়। এটি ত্রিকোণমিতি সংযোজন সূত্র ব্যবহার করে বর্ণিত অবস্থার সমতুল্য। অংশ দ্বারা সংহতকরণ উপরে প্রদত্ত দ্বিতীয় ওয়ার্টিঞ্জার বৈষম্য বিবেচনা করুন। হয়ে উঠুন। যে কোনও ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করে আইডেন্টিটি ইন্টিগ্রেশনকে সন্তুষ্ট করে এবং সীমানা শর্তগুলি দেখায় এটি ওয়ার্টিংজার বৈষম্যকে প্রমাণ করে, যেহেতু দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটি স্পষ্টভাবে অ-নেতিবাচক। উপরন্তু, ওয়ার্টিংার বৈষম্যের সমতা সমতুল্য হিসাবে দেখা হয়, যার সাধারণ সমাধান (চলকগুলির পৃথকীকরণ দ্বারা গণনা করা হয়) একটি নির্বিচারে সংখ্যার জন্য। ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যের উপরের প্রয়োগে একটি সূক্ষ্মতা রয়েছে, কারণ এটি এমন নয় যা প্রতিটি ফাংশনের জন্য অবিচ্ছিন্নভাবে প্রসারিত হয়। এটি নিম্নরূপ সমাধান করা হয়। এটি হল্ডার অসমতা থেকে অনুসরণ করে এবং যা দেখায় যে যতক্ষণ সীমাবদ্ধ, ততক্ষণ শূন্যের সাথে মিলিত হওয়ার সীমা শূন্য। যেহেতু এর ছোট ধনাত্মক মানগুলির জন্য, এটি স্কুইজ উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে যা শূন্যে রূপান্তরিত হয়ে শূন্যে রূপান্তরিত হয়। ঠিক একইভাবে, এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে এটি শূন্যে রূপান্তরিত হয়। কার্যকরী বিশ্লেষণ উপরে প্রদত্ত তৃতীয় ওয়ার্টিঞ্জার বৈষম্য বিবেচনা করুন। হয়ে উঠুন। গড় মান শূন্যের একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন দেওয়া হলে, ধরা যাক যে ফাংশনের গড় মান শূন্য, এবং এবং এর সাথে। ধ্রুবক সহগ সহ সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মৌলিক বিশ্লেষণ থেকে, এর আইগেনভ্যালুগুলি অ-শূন্য পূর্ণসংখ্যার জন্য, যার মধ্যে সবচেয়ে বড়টি হল। যেহেতু এটি একটি আবদ্ধ এবং স্ব-সংযুক্ত অপারেটর, তাই এটি সমস্ত গড় মান শূন্যের জন্য অনুসরণ করে, যেখানে সমতা অংশ দ্বারা একীকরণের কারণে হয়। পরিশেষে, গড় মান শূন্যের উপর যে কোনও অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথকীকরণযোগ্য ফাংশনের জন্য, আসুন সংহতভাবে সমর্থিত অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথকীকরণযোগ্য ফাংশনের একটি ক্রম হতে হবে যার উপর একত্রিত হয়। তারপর সংজ্ঞায়িত করুন তারপর প্রত্যেকটির গড় মান শূন্য, যা ফলস্বরূপ বোঝায় যে গড় মান শূন্য। সুতরাং উপরের বৈষম্যের প্রয়োগ বৈধ এবং এটি দেখায় যে দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা সম্ভব, এবং এর মাধ্যমে ওয়ার্টিংার বৈষম্য প্রমাণ করা সম্ভব, যত তাড়াতাড়ি এটি যাচাই করা হয় যে এটি একত্রিত হয়। হল্ডার বা জেনসেন বৈষম্যগুলি লিখে এবং প্রয়োগ করে এটি একটি আদর্শ পদ্ধতিতে যাচাই করা হয়। এটি ওয়ার্টিংারের বৈষম্যকে প্রমাণ করে। যদি এটি এমন একটি ফাংশন যার জন্য ওয়ার্টিংার বৈষম্যের সমতা থাকে, তবে বৈচিত্র্যের গণনায় একটি আদর্শ যুক্তি বলে যে এটি অবশ্যই ইউলার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণের একটি দুর্বল সমাধান হতে হবে এবং এই ধরনের সমীকরণগুলির নিয়মিততা তত্ত্ব, ধ্রুবক সহগ সহ সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির স্বাভাবিক বিশ্লেষণ অনুসরণ করে, কিছু সংখ্যার জন্য তা দেখায়। এই যুক্তিটিকে সম্পূর্ণরূপে আনুষ্ঠানিক এবং সুনির্দিষ্ট করার জন্য, প্রশ্নযুক্ত ফাংশন স্পেস সম্পর্কে আরও সতর্ক হওয়া প্রয়োজন। বর্ণালী জ্যামিতি বর্ণালী জ্যামিতির ভাষায়, উপরের ওয়ার্টিংার বৈষম্যের তিনটি সংস্করণকে বিভিন্ন এক-মাত্রিক রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের উপর ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম আইগেনভ্যালু এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনফাংশনের উপপাদ্য হিসাবে পুনর্ব্যবহার করা যেতে পারেঃ রিম্যানিয়ান বৃত্তের দৈর্ঘ্যের উপর ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম আইগেনভ্যালু হল, এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনফাংশানগুলি হল দুটি স্থানাঙ্ক ফাংশনের রৈখিক সংমিশ্রণ। ব্যবধানের উপর ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম ডিরিচলেট আইগেন ভ্যালু হল এবং সংশ্লিষ্ট আইগেন ফাংশনগুলি নির্বিচারে অ-শূন্য সংখ্যার জন্য দেওয়া হয়। ব্যবধানের উপর ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম নিউম্যান আইগেন ভ্যালু হল এবং সংশ্লিষ্ট আইগেন ফাংশনগুলি নির্বিচারে অ-শূন্য সংখ্যার জন্য দেওয়া হয়। এগুলি উচ্চ-মাত্রিক স্থান সম্পর্কে বিবৃতিগুলিতেও প্রসারিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, রিমানীয় বৃত্তকে একটি গোলক, বাস্তব প্রজেক্টিভ স্পেস বা টরাস (নির্বিচারে মাত্রার) এর এক-মাত্রিক সংস্করণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। এখানে প্রদত্ত প্রথম সংস্করণে ওয়ার্টিঞ্জার বৈষম্যকে নিম্নলিখিত যে কোনও একটির ক্ষেত্রে দেখা যেতে পারেঃ একক-ব্যাসার্ধ-মাত্রিক গোলকের উপর ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম আইগেনভ্যালু হল, এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনফাংশানগুলি স্থানাঙ্ক ফাংশনের রৈখিক সংমিশ্রণ। - মাত্রিক বাস্তব প্রজেক্টিভ স্পেসে ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম আইগেন ভ্যালু হল (একক-ব্যাসার্ধ গোলক থেকে আচ্ছাদন মানচিত্র দ্বারা প্রদত্ত স্বাভাবিককরণ সহ), এবং সংশ্লিষ্ট আইগেন ফাংশনগুলি হল একক গোলকের (এবং তারপর বাস্তব প্রজেক্টিভ স্পেসে) সমজাতীয় চতুর্ভুজ বহুপদের সীমাবদ্ধতা। - মাত্রিক টরাসের উপর ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম আইগেনভ্যালু হল (নিজের সাথে দৈর্ঘ্যের বৃত্তের-ভাঁজ গুণফল হিসাবে দেওয়া হয়েছে), এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনফাংশানগুলি বৃত্তের আইগেনফাংশনের-ভাঁজ গুণফলের নির্বিচারে রৈখিক সংমিশ্রণ। ওয়ার্টিংজার বৈষম্যের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সংস্করণটি ইউক্লিডীয় স্থানে মেট্রিক বলের উপর ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম ডিরিচলেট এবং নিউম্যান আইগেনভ্যালু সম্পর্কে বিবৃতিগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারেঃ একক বলের উপর ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম ডিরিচলেট আইগেনভ্যালু হল প্রথম ধরনের বেসেল ফাংশনের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক শূন্যের বর্গ। একক বলের উপর ল্যাপ্লাস-বেলট্রামি অপারেটরের প্রথম নিউম্যান আইগেন ভ্যালু হল প্রথম ধরনের বেসেল ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক শূন্যের বর্গ। আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যের প্রয়োগ উপরে দেওয়া প্রথম রূপে, ওয়ার্টিংার বৈষম্যকে সমতলে বক্ররেখার জন্য আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা 1901 সালে অ্যাডলফ হারউইটস আবিষ্কার করেছিলেন। ধরা যাক সমতলে বৃত্তের একটি ডিফারেনশিয়েবল এম্বেডিং। বৃত্তটিকে এমনভাবে পরামিতি করা যাতে স্থির গতি থাকে, বক্ররেখার দৈর্ঘ্য দ্বারা দেওয়া হয় এবং বক্ররেখা দ্বারা বেষ্টিত এলাকা দ্বারা দেওয়া হয় (স্টোকস উপপাদ্যের কারণে) যেহেতু ইন্টিগ্রাল সংজ্ঞার ইন্টিগ্র্যান্ডটি ধ্রুবক বলে ধরে নেওয়া হয়, তাই এমন কিছু রয়েছে যা পুনরায় লেখা যেতে পারে প্রথম ইন্টিগ্রালটি স্পষ্টভাবে অ-নেতিবাচক। বক্ররেখার ক্ষেত্রফল বা দৈর্ঘ্য পরিবর্তন না করে, কিছু সংখ্যার জন্য প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে, যাতে গড় মান শূন্য হয়। তারপরে ওয়ার্টিংার অসমতা প্রয়োগ করা যেতে পারে এটি দেখার জন্য যে দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটিও অ-নেতিবাচক, এবং তাই যা আইসোপেরিমেট্রিক অসমতা। উপরন্তু, আইসোপেরিমেট্রিক বৈষম্যের সমতা ওয়ার্টিংার বৈষম্যের সমতা এবং সমতা উভয়কেই বোঝায়, যা নির্বিচারে সংখ্যার জন্য এবং তারপরে। এই সমীকরণগুলির অর্থ হল যে এর চিত্রটি সমতলে একটি বৃত্তাকার বৃত্ত। তথ্যসূত্র ফুরিয়ার বিশ্লেষণ বৈষম্য বিশ্লেষণে উপপাদ্য