Local cohomology
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, স্থানীয় কোহোমোলজি হল আপেক্ষিক কোহোমোলজির একটি বীজগাণিতিক এনালগ। আলেকজান্ডার গ্রোথেন্ডিয়াক 1961 সালে হার্ভার্ডের সেমিনারে এটি প্রবর্তন করেছিলেন এবং আই. এইচ. ই. এস-এ এস. জি. এ2-হিসাবে পুনরায় প্রকাশিত হয়েছিল। একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের (বা স্কিম) একটি উন্মুক্ত উপসেটে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন (আরও সাধারণভাবে, একটি কোয়াসিকোহের্যান্ট শিফের একটি বিভাগ) দেওয়া হলে, স্থানীয় কোহোমোলজি সেই ফাংশনটিকে একটি বৃহত্তর ডোমেনে প্রসারিত করার বাধা পরিমাপ করে। উদাহরণস্বরূপ, যুক্তিসঙ্গত ফাংশনটি শুধুমাত্র একটি ক্ষেত্রের উপর অ্যাফাইন লাইনের পরিপূরকের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং পুরো স্থানের একটি ফাংশনে প্রসারিত করা যায় না। স্থানীয় কোহোমোলজি মডিউল (কোঅর্ডিনেট রিং কোথায়) একটি কোহোমোলজি ক্লাসের অ-বিলুপ্তিতে এটি সনাক্ত করে। একইভাবে, এফাইন সমতলে এবং অক্ষ থেকে দূরে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে-অক্ষের পরিপূরক বা শুধুমাত্র-অক্ষের পরিপূরক পর্যন্ত প্রসারিত করা যায় না (বা এটি এই ধরনের ফাংশনের সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা যায় না); এই বাধা স্থানীয় সমস্থানিক মডিউলের একটি অ-শূন্য শ্রেণীর সাথে সুনির্দিষ্টভাবে মিলে যায়। বীজগাণিতিক জ্যামিতির বাইরে, স্থানীয় কোহোমোলজি বিনিময়যোগ্য বীজগণিত, কম্বিনেটরিক্স এবং নির্দিষ্ট ধরনের আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে। সংজ্ঞা তত্ত্বের সর্বাধিক সাধারণ জ্যামিতিক আকারে, বিভাগগুলিকে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি শিফ হিসাবে বিবেচনা করা হয়, একটি টপোলজিকাল স্পেসে, একটি বদ্ধ উপসেটে সমর্থন সহ, স্থানীয় কোহোমোলজি গ্রুপগুলির প্রাপ্ত ফাংক্টর তত্ত্বের বীজগাণিতিক আকারে, স্পেস এক্স হল একটি বিনিময়যোগ্য বলয় আর-এর বর্ণালী স্পেক (আর) (এই নিবন্ধ জুড়ে নোথেরিয়ান বলে ধরে নেওয়া হয়) এবং শিফ এফ হল একটি আর-মডিউল এম-এর সাথে সম্পর্কিত কোয়াসিকোহের্যান্ট শিফ, যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ক্লোজড সাবসিমে Y একটি আদর্শ I দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই পরিস্থিতিতে, ফাংশনের γY (F) আই-টর্জন ফাংশনের সাথে মিলে যায়, যা অ্যানিহিলেটরগুলির একটি ইউনিয়ন, অর্থাৎ M-এর উপাদানগুলি যা I-এর কিছু শক্তি দ্বারা ধ্বংস হয়। একটি সঠিক উদ্ভূত ফাংক্টর হিসাবে, আই-এর সাপেক্ষে স্থানীয় কোহোমোলজি মডিউল হল চেইন কমপ্লেক্সের আইথ কোহোমোলজি গ্রুপ যা মডিউলটির ইনজেকটিভ রেজোলিউশনের আই-টর্জন অংশটি গ্রহণ করে প্রাপ্ত হয়। যেহেতু আর-মডিউল এবং আর-মডিউল সমরূপতা নিয়ে গঠিত, তাই স্থানীয় কোহোমোলজি গোষ্ঠীগুলির প্রত্যেকটির একটি আর-মডিউলের প্রাকৃতিক কাঠামো রয়েছে। আই-টর্জন অংশটি বিকল্পভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে এবং এই কারণে, একটি আর-মডিউল এম-এর স্থানীয় কোহোমোলজি এক্সট মডিউলগুলির একটি সরাসরি সীমার সাথে একমত হয়, এটি এই সংজ্ঞাগুলির যে কোনও একটি থেকে অনুসরণ করে যা একই র্যাডিকেলযুক্ত অন্য কোনও আদর্শ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হলে অপরিবর্তিত থাকবে। এটি আরও অনুসরণ করে যে স্থানীয় কোহোমোলজি I-এর জন্য জেনারেটরের কোনও পছন্দের উপর নির্ভর করে না, এটি একটি সত্য যা চেচ কমপ্লেক্সের সাথে জড়িত নিম্নলিখিত সংজ্ঞায় প্রাসঙ্গিক হয়ে ওঠে। কোসজুল এবং চেচ কমপ্লেক্স ব্যবহার স্থানীয় কোহোমোলজির উদ্ভূত ফাংক্টর সংজ্ঞার জন্য মডিউলটির একটি ইনজেকটিভ রেজোলিউশন প্রয়োজন, যা এটিকে স্পষ্ট গণনায় ব্যবহারের জন্য অ্যাক্সেসযোগ্য করে তুলতে পারে। চেচ কমপ্লেক্সকে নির্দিষ্ট প্রসঙ্গে আরও ব্যবহারিক হিসাবে দেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, বলুন যে তারা স্থানীয় কোহোমোলজির চেচ জটিল সংজ্ঞা উপস্থাপনের আগে "প্রদত্ত মডিউলের জন্য এই [ইনজেকটিভ] ধরণের রেজোলিউশনগুলির মধ্যে যে কোনও একটি তৈরি করার সমস্যা" কে "মূলত উপেক্ষা" করে এবং চেচ কোহোমোলজিকে "একটি পরিকল্পনার উপর আধা-সুসঙ্গত শেভগুলির কোহোমোলজি গণনা করার জন্য একটি ব্যবহারিক পদ্ধতি প্রদান করে" হিসাবে বর্ণনা করে। এবং "গণনার জন্য উপযুক্ত" হিসাবে। চেচ কমপ্লেক্সকে কোসজুল কমপ্লেক্সের একটি কলিমিট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেখানে এটি উৎপন্ন হয়। স্থানীয় কোহোমোলজি মডিউলগুলিকে এইভাবে বর্ণনা করা যেতে পারেঃ কোসজুল কমপ্লেক্সগুলির এমন একটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা একটি চেইন কমপ্লেক্স মরফিজমকে প্ররোচিত করে গুণ করে যা শূন্যের সমস্থানিক, যার অর্থ দ্বারা ধ্বংস হয়। সেটগুলির কলিমিটের একটি অ-শূন্য মানচিত্রে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি কোসজুল কমপ্লেক্সের মানচিত্র রয়েছে এবং যা আদর্শের কোনও উপাদান দ্বারা ধ্বংস হয় না। কোসজুল কমপ্লেক্সের এই কলিমিটটি চেচ কমপ্লেক্সের সমতুল্য, যা নীচে চিহ্নিত করা হয়েছে। যেখানে ith স্থানীয় কোহোমোলজি মডিউলটি উপরের চেইন কমপ্লেক্সের ith কোহোমোলজি গ্রুপের সমতুল্য, সেখানে স্থানীয় কোহোমোলজি মডিউল (বৈশিষ্ট্য শূন্য) গণনার বিস্তৃত বিষয়টি এবং-এ আলোচনা করা হয়েছে। যেহেতু স্থানীয় কোহোমোলজিকে উদ্ভূত ফাংক্টর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই আর-মডিউলগুলির যে কোনও সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমের জন্য, সংজ্ঞা অনুসারে, স্থানীয় কোহোমোলজিতে একটি প্রাকৃতিক দীর্ঘ সঠিক ক্রম রয়েছে। X-এ সংজ্ঞায়িত একটি কোয়াসিকোয়ারেন্ট শিফ F-এর জন্য, এর রূপ রয়েছে যেখানে X একটি অ্যাফাইন স্কিম এবং Y একটি আদর্শ I-এর অদৃশ্য হয়ে যাওয়া সেট, কোহোমোলজি গ্রুপগুলি এর জন্য অদৃশ্য হয়ে যায়। যদি, এটি একটি সঠিক ক্রমের দিকে পরিচালিত করে যেখানে মাঝের মানচিত্রটি বিভাগগুলির সীমাবদ্ধতা। এই সীমাবদ্ধতা মানচিত্রের লক্ষ্যকে আদর্শ রূপান্তর হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। সিএফ কোহোমোলজির সাথে উপরের আইসোমরফিজমের কারণে, স্থানীয় কোহোমোলজি সম্পূর্ণরূপে বীজগাণিতিক পরিভাষায় স্কিমের উপর বেশ কয়েকটি অর্থবহ টপোলজিকাল গঠন প্রকাশ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, মায়ার-ভিয়েটরিস অনুক্রমের স্থানীয় কোহোমোলজিতে একটি প্রাকৃতিক এনালগ রয়েছে যা এক্স-এ এক জোড়া খোলা সেট ইউ এবং ভি-এর সাপেক্ষে, যা যথাক্রমে আদর্শ আই এবং জে-এর একটি জুটির সাথে সম্পর্কিত বদ্ধ সাবসিমেমের পরিপূরক দ্বারা দেওয়া হয়। এই ক্রমের যে কোনও-মডিউলের জন্য ফর্ম রয়েছে। স্থানীয় কোহোমোলজির বিলুপ্তিকে বীজগাণিতিক সেটকে সংজ্ঞায়িত করার জন্য (তাত্ত্বিকভাবে সেট করা) প্রয়োজনীয় ন্যূনতম সংখ্যক সমীকরণকে (গাণিতিক র্যাঙ্ক হিসাবে উল্লেখ করা হয়) আবদ্ধ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি একই র্যাডিকেল থাকে, এবং উপাদান দ্বারা উত্পন্ন হয়, তবে এর জেনারেটরের চেচ কমপ্লেক্সের মাত্রায় কোনও পদ নেই। সমস্ত আদর্শের মধ্যে জেনারেটরের সর্বনিম্ন সংখ্যা যেমন গাণিতিক র্যাঙ্ক, চিহ্নিত করা হয়। যেহেতু স্থানীয় কোহোমোলজি এই ধরনের কোনও আদর্শ ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, তাই এটি এর জন্য অনুসরণ করে। শ্রেণীবদ্ধ স্থানীয় কোহোমোলজি এবং প্রজেক্টিভ জ্যামিতি যখন শ্রেণীবদ্ধ করা হয়, সমজাতীয় উপাদান দ্বারা উত্পন্ন হয় এবং একটি শ্রেণীবদ্ধ মডিউল হয়, তখন স্থানীয় কোহোমোলজি মডিউলে একটি প্রাকৃতিক গ্রেডিং থাকে যা এবং এর গ্রেডিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই নিবন্ধে প্রকাশিত স্থানীয় কোহোমোলজির সমস্ত মৌলিক বৈশিষ্ট্য শ্রেণীবদ্ধ কাঠামোর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যদি পরিমিতভাবে উৎপন্ন হয় এবং ধনাত্মক মাত্রার উপাদানগুলির দ্বারা উৎপন্ন আদর্শ হয়, তবে শ্রেণীবদ্ধ উপাদানগুলি সীমিতভাবে উৎপন্ন হয় এবং যথেষ্ট বড় হওয়ার জন্য অদৃশ্য হয়ে যায়। ধনাত্মক মাত্রার সমস্ত উপাদান (কখনও কখনও অপ্রাসঙ্গিক আদর্শ বলা হয়) দ্বারা উত্পন্ন আদর্শটি প্রক্ষিপ্ত জ্যামিতির সাথে সম্পর্কের কারণে বিশেষভাবে বিশেষ। এই ক্ষেত্রে, একটি আইসোমরফিজম রয়েছে যেখানে প্রজেক্টিভ স্কিমটি যুক্ত, এবং সের টুইস্টকে নির্দেশ করে। এই সমরূপতাকে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়, যা সমস্ত মাত্রায় প্রদান করে। এই আইসোমরফিজম স্থানীয় কোহোমোলজিকে প্রজেক্টিভ স্কিমগুলির গ্লোবাল কোহোমোলজির সাথে সম্পর্কিত করে। উদাহরণস্বরূপ, ক্যাসেলনুভো-মামফোর্ড নিয়মিততা স্থানীয় কোহোমোলজি ব্যবহার করে প্রণয়ন করা যেতে পারে যেখানে সর্বোচ্চ ডিগ্রি বোঝায়। স্থানীয় কোহোমোলজি নিয়মিততা সম্পর্কিত কিছু উচ্চ সীমা ফলাফল প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণ শীর্ষ স্থানীয় কোহোমোলজি চেচ কমপ্লেক্স ব্যবহার করে, যদি স্থানীয় কোহোমোলজি মডিউলটি এবং এর জন্য আনুষ্ঠানিক ভগ্নাংশের চিত্র দ্বারা তৈরি করা হয়। এই ভগ্নাংশটি যদি এবং কেবলমাত্র একটি অ-শূন্য উপাদানের সাথে মিলে যায় যদি এমন কোনও উপাদান না থাকে। উদাহরণস্বরূপ, যদি, তাহলে যদি একটি ক্ষেত্র হয় এবং চলকের উপর একটি বহুপদী বলয় হয়, তবে স্থানীয় কোহোমোলজি মডিউলটিকে ভেক্টর স্পেস হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যার জন্য বিপরীত মনোমিয়ালগুলি (চেচ কোহোমোলজি ক্লাস) দ্বারা প্রদত্ত ভিত্তি সহ। একটি-মডিউল হিসাবে, 1 দ্বারা গুণন হ্রাস পায়, শর্ত সাপেক্ষে কারণ এর উপাদানগুলির সাথে গুণ করে শক্তি বাড়ানো যায় না, তাই মডিউলটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হয় না। এইচ1-এর উদাহরণ যদি জানা যায় (কোথায়), তবে মডিউলটি কখনও কখনও স্পষ্টভাবে ক্রম ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে। যদি এবং, তারপর এবং একটি ভেক্টর স্থান হিসাবে, প্রথম স্থানীয় কোহোমোলজি মডিউলটি হল, দ্বারা উত্পন্ন একটি 1-মাত্রিক ভেক্টর স্থান। যদি এবং, তারপর এবং, তাই একটি অসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস যা মডিউলগুলির অপরিবর্তনীয়তার সাথে ভিত্তি সম্পর্কযুক্ত একটি মডিউলের মাত্রা ডিমআর (এম) (তার সমর্থনের ক্রুল মাত্রা হিসাবে সংজ্ঞায়িত) স্থানীয় কোহোমোলজি মডিউলগুলির জন্য একটি উপরের সীমা প্রদান করেঃ যদি আর স্থানীয় হয় এবং এম সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হয়, তবে এই সীমাটি তীক্ষ্ণ, অর্থাৎ। গভীরতা (একটি নিয়মিত এম-অনুক্রমের সর্বাধিক দৈর্ঘ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত; এম-এর গ্রেড হিসাবেও উল্লেখ করা হয়) একটি তীক্ষ্ণ নিম্ন সীমা প্রদান করে, অর্থাৎ, এটি ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যা এন যাতে এই দুটি সীমা একসাথে স্থানীয় বলয়ের উপর কোহেন-ম্যাকোলে মডিউলগুলির একটি বৈশিষ্ট্য প্রদান করেঃ এগুলি সুনির্দিষ্টভাবে সেই মডিউল যেখানে এক এন ছাড়া সকলের জন্য অদৃশ্য হয়ে যায়। স্থানীয় দ্বৈততা স্থানীয় দ্বৈততা উপপাদ্যটি সের দ্বৈততার একটি স্থানীয় এনালগ। একটি কোহেন-ম্যাকোলে স্থানীয় মাত্রার বলয়ের জন্য যা একটি গোরেনস্টাইন স্থানীয় বলয়ের সমরূপ চিত্র (উদাহরণস্বরূপ, যদি সম্পূর্ণ হয়), এটি বলে যে প্রাকৃতিক জুটি একটি নিখুঁত জুটি, যেখানে এর জন্য একটি দ্বৈতকরণ মডিউল রয়েছে। ম্যাটলিস ডুয়ালিটি ফাংক্টরের পরিপ্রেক্ষিতে, স্থানীয় ডুয়ালিটি উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত আইসোমরফিজম হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। বিবৃতিটি সহজতর হয় যখন, যা গোরেনস্টাইনের অনুমানের সমতুল্য। এই ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, যদি নিয়মিত হয়। প্রয়োগগুলি প্রাথমিক প্রয়োগগুলি ছিল লেফশেৎজ হাইপারপ্লেন উপপাদ্যের অনুরূপ। সাধারণভাবে এই ধরনের উপপাদ্যগুলি বলে যে, কিছু 'ক্ষতি' ছাড়া, যা নিয়ন্ত্রণ করা যেতে পারে, একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের হাইপারপ্লেন বিভাগে সমসংস্থান বা সমস্থানিকবিদ্যা সমর্থিত হয়। এই ফলাফলগুলি বীজগাণিতিক মৌলিক গোষ্ঠী এবং পিকার্ড গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। আরেকটি ধরনের প্রয়োগ হল সংযুক্তি উপপাদ্য যেমন গ্রোথেন্ডিয়েকের সংযুক্তি উপপাদ্য (বার্টিনি উপপাদ্যের একটি স্থানীয় অনুরূপ) বা এবং-এর কারণে ফুলটন-হ্যানসেন সংযুক্তি উপপাদ্য। পরেরটি দাবি করে যে, একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর পিআর-এ দুটি প্রজেক্টিভ জাতের ভি এবং ডাব্লু-এর জন্য, জেড = ভি টু ডাব্লু-এর সংযোগের মাত্রা (অর্থাৎ, জেড-এর একটি বদ্ধ উপসেট টি-এর ন্যূনতম মাত্রা যা জেড থেকে অপসারণ করতে হবে যাতে পরিপূরক জেড টি সংযোগ বিচ্ছিন্ন হয়) সি (জেড) ≤ ম্লান ভি + ম্লান ডাব্লু − আর − 1 দ্বারা আবদ্ধ। উদাহরণস্বরূপ, জেড সংযুক্ত থাকে যদি ডিম ভি + ডিম ডাব্লু> আর হয়। পলিহেড্রাল জ্যামিতিতে, স্ট্যানলির 1975 সালের ম্যাকমুলেনের আপার বাউন্ড উপপাদ্যের সরল রূপের প্রমাণের একটি মূল উপাদানের মধ্যে রয়েছে যে সংশ্লিষ্ট সরল জটিলতার স্ট্যানলি-রেইজনার বলয়টি কোহেন-ম্যাকালে, এবং স্থানীয় কোহোমোলজি এই গণনার একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার, হচস্টারের সূত্রের মাধ্যমে। আরও দেখুন স্থানীয় সমবিদ্যা-একটি স্পেস ফাল্টিংসের অ্যানিহিলেটর উপপাদ্যের শঙ্কু-এর স্থানীয় সমবিদ্যার টপোলজিক্যাল অ্যানালগ এবং গণনা দেয় নোটস প্রারম্ভিক রেফারেন্স হুনেকে, ক্রেইগ; টেলর, অ্যামেলিয়া, লেকচারস অন লোকাল কোহোমোলজি রেফারেন্স বই পর্যালোচনা হার্টশোর্ন শেফ তত্ত্ব বীজগাণিতিক জ্যামিতির টপোলজিকাল পদ্ধতি কোহোমোলজি তত্ত্ব কমিউটেটিভ বীজগণিত দ্বৈততা তত্ত্ব