Erdős–Szekeres theorem
গণিতে, এরডস-সেকেরেস উপপাদ্যটি দাবি করে যে, r, s দেওয়া হলে, কমপক্ষে (r−1) (s−1) + 1 দৈর্ঘ্যের স্বতন্ত্র বাস্তব সংখ্যার যে কোনও ক্রমে দৈর্ঘ্যের r এর একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান এটি একটি চূড়ান্ত ফলাফল যা রামসের উপপাদ্যের সুনির্দিষ্ট উপপাদ্যগুলির মধ্যে একটি। যদিও রামসের উপপাদ্য প্রমাণ করা সহজ করে তোলে যে স্বতন্ত্র বাস্তব সংখ্যার প্রতিটি অসীম ক্রমে একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান অসীম ধারাবাহিকতা বা একঘেয়েভাবে হ্রাসমান অসীম ধারাবাহিকতা রয়েছে, পল এরদোস এবং জর্জ সেকেরেস দ্বারা প্রমাণিত ফলাফলটি আরও এগিয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, r = 3 এবং s = 2-এর জন্য, সূত্রটি আমাদের বলে যে তিনটি সংখ্যার যে কোনও বিন্যাসে তিন দৈর্ঘ্যের ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রম সংখ্যার ছয়টি বিন্যাসের মধ্যে 1,2,3:1,2,3-এর ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমবর্ধমান ক্রমব বিকল্প ব্যাখ্যা জ্যামিতিক ব্যাখ্যা ইউক্লিডীয় সমতলে সংখ্যার অবস্থানকে x-স্থানাঙ্ক হিসাবে এবং সংখ্যাগুলিকে y-স্থানাঙ্ক হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে; বিপরীতভাবে, সমতলে যে কোনও বিন্দুর জন্য, তাদের x-স্থানাঙ্ক দ্বারা ক্রমবদ্ধ বিন্দুর y-স্থানাঙ্কগুলি সংখ্যার একটি ক্রম গঠন করে (যদি না দুটি বিন্দুর সমান x-স্থানাঙ্ক না থাকে)। ক্রম এবং বিন্দু সেটগুলির মধ্যে এই অনুবাদের মাধ্যমে, এরডস-সেকেরেস উপপাদ্যটি ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে কমপক্ষে rs − r − s + 2 বিন্দুর যে কোনও সেটে আমরা r − 1 ধনাত্মক-ঢাল প্রান্ত বা s − 1 ঋণাত্মক-ঢাল প্রান্তের একটি বহুভুজ পথ খুঁজে পেতে পারি। বিশেষত (r = s গ্রহণ করে), কমপক্ষে n বিন্দুর যে কোনও সেটে আমরা একই-চিহ্ন ঢাল সহ কমপক্ষে θ θ প্রান্তের একটি বহুভুজ পথ খুঁজে পেতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, r = s = 5 গ্রহণ করলে, কমপক্ষে 17টি বিন্দুর যে কোনও সেটের একটি চার প্রান্তের পথ থাকে যেখানে সমস্ত ঢালের একই চিহ্ন থাকে। এই ধরনের পথ ছাড়া rs − r − s + 1 বিন্দুর একটি উদাহরণ, যা দেখায় যে এই সীমাটি আঁটসাঁট, একটি (r − 1) বাই (s − 1) গ্রিডে একটি ছোট ঘূর্ণন প্রয়োগ করে তৈরি করা যেতে পারে। ক্রমবর্ধমান প্যাটার্নের ব্যাখ্যা এরডস-সেকেরেস উপপাদ্যটি ক্রমবর্ধমান প্যাটার্নের ভাষায়ও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে কমপক্ষে rs + 1 দৈর্ঘ্যের প্রতিটি ক্রমবর্ধমান 1,2,3,., r + 1 বা প্যাটার্ন s + 1, s,., 2,1 থাকতে হবে। প্রমাণ এরদোস-সেকেরেস উপপাদ্যটি বিভিন্ন উপায়ে প্রমাণ করা যেতে পারে; এরদোস-সেকেরেস উপপাদ্যের ছয়টি ভিন্ন প্রমাণ জরিপ করে, যার মধ্যে নিম্নলিখিত দুটি রয়েছে। স্টিল দ্বারা জরিপ করা অন্যান্য প্রমাণগুলির মধ্যে রয়েছে এরদোস এবং সেকেরেস এবং সেইসাথে, এবং এর মূল প্রমাণ। পায়রা ছিদ্রের নীতি দৈর্ঘ্য (r−1) (s−1) + 1-এর একটি ক্রম দেওয়া হলে, প্রতিটি সংখ্যাকে জোড় (এআই, বি)-এর সাথে ক্রমানুসারে চিহ্নিত করুন, যেখানে এআই হল দীর্ঘতম একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান ধারাবাহিকতার দৈর্ঘ্য যা এনআই দিয়ে শেষ হয় এবং বি হল দীর্ঘতম একঘেয়েভাবে হ্রাস পাওয়া ধারাবাহিকতার দৈর্ঘ্য যা এনআই দিয়ে শেষ হয়। অনুক্রমের প্রতিটি দুটি সংখ্যাকে আলাদা জোড়া দিয়ে চিহ্নিত করা হয়ঃ যদি এবং তারপর, এবং অন্যদিকে যদি হয়। কিন্তু শুধুমাত্র (r−1) (s−1) সম্ভাব্য লেবেল থাকে যদি এআই সর্বাধিক r−1 হয় এবং বিআই সর্বাধিক s−1 হয়, তাই পায়রা ছিদ্র নীতি অনুসারে অবশ্যই আই-এর একটি মান থাকতে হবে যার জন্য এআই বা বি এই সীমার বাইরে। যদি এআই সীমার বাইরে থাকে তবে এনআই কমপক্ষে আর দৈর্ঘ্যের ক্রমবর্ধমান ক্রমের অংশ, এবং যদি বিআই সীমার বাইরে থাকে তবে এনআই কমপক্ষে এস দৈর্ঘ্যের ক্রমহ্রাসমান ক্রমের অংশ। এই প্রমাণটিকে এক পৃষ্ঠার কাগজের কৃতিত্ব দেয় এবং এটিকে তার সমীক্ষার প্রমাণগুলির মধ্যে "সবচেয়ে চটপটে এবং পদ্ধতিগত" বলে অভিহিত করে। দিলওয়ার্থের উপপাদ্য আরেকটি প্রমাণ আংশিক ক্রমে চেইন ডিকম্পোজিশনের উপর দিলওয়ার্থের উপপাদ্য বা তার সহজ দ্বৈত (মিরস্কির উপপাদ্য) ব্যবহার করে। উপপাদ্যটি প্রমাণ করার জন্য, ক্রমের সদস্যদের উপর একটি আংশিক ক্রম নির্ধারণ করুন, যেখানে আংশিক ক্রমে x, y এর চেয়ে কম বা সমান হয় যদি x ≤ y সংখ্যা হিসাবে এবং x ক্রমটিতে y এর চেয়ে পরে না হয়। এই আংশিক ক্রমে একটি শৃঙ্খল হল একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান ধারাবাহিকতা, এবং একটি অ্যান্টিচেইন হল একঘেয়েভাবে হ্রাসমান ধারাবাহিকতা। মিরস্কির উপপাদ্য অনুসারে, হয় দৈর্ঘ্য r-এর একটি শৃঙ্খল রয়েছে, অথবা ক্রমটিকে সর্বাধিক r-1 অ্যান্টিচেইনে বিভক্ত করা যেতে পারে; কিন্তু সেই ক্ষেত্রে অ্যান্টিচেইনের বৃহত্তমটিকে অবশ্যই দৈর্ঘ্যের সাথে একটি হ্রাসমান ধারাবাহিকতা গঠন করতে হবে, বিকল্পভাবে, দিলওয়ার্থের উপপাদ্য অনুসারে, হয় দৈর্ঘ্য s-এর একটি অ্যান্টিচেইন রয়েছে, অথবা ক্রমটিকে সর্বাধিক s-1 শৃঙ্খলে বিভক্ত করা যেতে পারে, যার দীর্ঘতমটির দৈর্ঘ্য কমপক্ষে r হতে হবে। রবিনসন-শেন্সটেড চিঠিপত্রের প্রয়োগ রবিনসন-শেন্সটেড চিঠিপত্রের উপসংহার হিসাবেও ফলাফল পাওয়া যেতে পারে। মনে রাখবেন যে রবিনসন-শেনস্টেড চিঠিপত্র প্রতিটি ক্রমের সাথে একটি তরুণ ট্যাবলো পি যুক্ত করে যার এন্ট্রিগুলি ক্রমের মান। ট্যাবলো পি-র নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি রয়েছেঃ দীর্ঘতম ক্রমবর্ধমান পরবর্তী অংশের দৈর্ঘ্য পি-এর প্রথম সারির দৈর্ঘ্যের সমান। দীর্ঘতম ক্রমহ্রাসমান পরবর্তী অংশের দৈর্ঘ্য পি-এর প্রথম কলামের দৈর্ঘ্যের সমান। এখন, আকারের (আর-1) (এস-1) (এস-1) বর্গাকার বাক্সে (আর-1) (এস-1) + 1 এন্ট্রি ফিট করা সম্ভব নয়, যাতে প্রথম সারির দৈর্ঘ্য কমপক্ষে আর হয় বা শেষ সারির দৈর্ঘ্য কমপক্ষে এস হয়। আরও দেখুন দীর্ঘতম ক্রমবর্ধমান পরবর্তী সমস্যা রেফারেন্সগুলি বাহ্যিক সংযোগগুলি রামসে তত্ত্ব ক্রমাঙ্কন প্যাটার্নগুলি পৃথক জ্যামিতিতে উপপাদ্যগুলি পৃথক গণিতে উপপাদ্যগুলি সেজের উপপাদ্যের প্রমাণ ধারণ করে