Functional (mathematics)
গণিতে, একটি কার্যকরী হল একটি নির্দিষ্ট ধরনের ফাংশন। শব্দটির সঠিক সংজ্ঞা উপক্ষেত্রের (এবং কখনও কখনও এমনকি লেখকের) উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়। রৈখিক বীজগণিতে, এটি একটি রৈখিক রূপের সমার্থক, যা একটি ভেক্টর স্থান থেকে তার স্কেলারের ক্ষেত্রে একটি রৈখিক ম্যাপিং (অর্থাৎ, এটি দ্বৈত স্থানের একটি উপাদান) কার্যকরী বিশ্লেষণ এবং সম্পর্কিত ক্ষেত্রগুলিতে, এটি আরও সাধারণভাবে একটি স্থান থেকে বাস্তব বা জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে ম্যাপিংকে বোঝায়। কার্যকরী বিশ্লেষণে, শব্দটি রৈখিক রূপের সমার্থক; অর্থাৎ, এটি একটি স্কেলার-মূল্যবান রৈখিক মানচিত্র। লেখকের উপর নির্ভর করে, এই ধরনের ম্যাপিং রৈখিক বলে ধরে নেওয়া যেতে পারে বা নাও নেওয়া যেতে পারে, বা সমগ্র স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে কম্পিউটার বিজ্ঞানে, এটি একটি উচ্চ-ক্রমের ফাংশনের সমার্থক, যা এমন একটি ফাংশন যা এক বা একাধিক ফাংশনকে আর্গুমেন্ট হিসাবে নেয় বা তাদের ফেরত দেয়। এই নিবন্ধটি মূলত দ্বিতীয় ধারণার সাথে সম্পর্কিত, যা 18 শতকের গোড়ার দিকে বৈচিত্র্যের গণনার অংশ হিসাবে উদ্ভূত হয়েছিল। প্রথম ধারণাটি, যা আরও আধুনিক এবং বিমূর্ত, একটি পৃথক নিবন্ধে রৈখিক নামে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে। তৃতীয় ধারণাটি কম্পিউটার বিজ্ঞানের নিবন্ধে উচ্চতর ক্রমের ফাংশন সম্পর্কে বিস্তারিতভাবে বলা হয়েছে। যেখানে স্থানটি ফাংশনের একটি স্থান, সেখানে কার্যকরী হল একটি "ফাংশনের ফাংশন", এবং কিছু বয়স্ক লেখক প্রকৃতপক্ষে "ফাংশনের ফাংশন" বোঝাতে "কার্যকরী" শব্দটিকে সংজ্ঞায়িত করেন। যাইহোক, ফাংশনগুলির একটি স্থান গাণিতিকভাবে অপরিহার্য নয়, তাই এই পুরানো সংজ্ঞাটি আর প্রচলিত নেই। শব্দটি বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস থেকে উদ্ভূত, যেখানে একজন এমন একটি ফাংশন অনুসন্ধান করে যা একটি প্রদত্ত কার্যকরীকে ন্যূনতম (বা সর্বাধিক) করে। পদার্থবিজ্ঞানে একটি বিশেষ গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হল এমন একটি সিস্টেমের অবস্থা অনুসন্ধান করা যা ক্রিয়াকে ন্যূনতম (বা সর্বাধিক) করে, বা অন্য কথায় ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের সময় অবিচ্ছেদ্য। বিবরণ দ্বৈততা ম্যাপিং হল একটি ফাংশন, যেখানে একটি ফাংশনের একটি যুক্তি একই সময়ে, একটি ফাংশনের ম্যাপিং একটি বিন্দুতে ফাংশনের মানের সাথে একটি কার্যকরী; এখানে, একটি পরামিতি। যদি এটি একটি ভেক্টর স্থান থেকে অন্তর্নিহিত স্কেলার ক্ষেত্র পর্যন্ত একটি রৈখিক ফাংশন হয়, তবে উপরের রৈখিক মানচিত্রগুলি একে অপরের সাথে দ্বৈত, এবং কার্যকরী বিশ্লেষণে উভয়কেই রৈখিক কার্যকারিতা বলা হয়। নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ইন্টিগ্রালগুলি যেমন কার্যকারিতার একটি বিশেষ শ্রেণী গঠন করে। তারা একটি ফাংশনকে একটি বাস্তব সংখ্যায় ম্যাপ করে, যদি তা বাস্তব-মূল্যবান হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি সেটের উপর একটি ফাংশনের ধনাত্মক ফাংশন আদর্শের গ্রাফের নীচের এলাকা, 2-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে একটি বক্ররেখার আর্ক্লেন্থ, অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান দেওয়া হয়েছে একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান এবং একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত মানচিত্রটি একটি রৈখিক কার্যকরী। শূন্যের মতো ভেক্টরের সেট হল একটি ভেক্টর সাবস্পেস যাকে বলা হয় নাল স্পেস বা কার্যকারিতার কার্নেল, বা চিহ্নিত অর্থোগোনাল পরিপূরক। উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট ফাংশন সহ অভ্যন্তরীণ পণ্যটি নিলে হিলবার্ট স্পেসে একটি (রৈখিক) কার্যকরীকে সংজ্ঞায়িত করা হয় বর্গক্ষেত্রের ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের স্থানীয়তার উপর। যদি কোনও কার্যকারিতার মান ইনপুট বক্ররেখার ছোট অংশগুলির জন্য গণনা করা যায় এবং তারপরে মোট মান খুঁজে বের করার জন্য সংক্ষিপ্ত করা যায়, তবে কার্যকারিতাকে স্থানীয় বলা হয়। অন্যথায় এটিকে অ-স্থানীয় বলা হয়। উদাহরণস্বরূপঃ স্থানীয় হলেও অ-স্থানীয়। এটি সাধারণত ঘটে যখন একটি সমীকরণের সংখ্যা এবং হর যেমন ভর কেন্দ্রের গণনায় ইন্টিগ্রালগুলি আলাদাভাবে ঘটে। কার্যকরী সমীকরণ প্রচলিত ব্যবহারটি প্রযোজ্য হয় যখন কেউ একটি কার্যকরী সমীকরণ সম্পর্কে কথা বলে, যার অর্থ কার্যকরীগুলির মধ্যে একটি সমীকরণঃ কার্যকরীগুলির মধ্যে একটি সমীকরণকে 'সমাধান করার সমীকরণ' হিসাবে পড়া যেতে পারে, যার সমাধানগুলি নিজেই কার্যকরী। এই ধরনের সমীকরণে পরিবর্তনশীল অজানাগুলির বেশ কয়েকটি সেট থাকতে পারে, যেমন যখন বলা হয় যে একটি যোগাত্মক মানচিত্র কাউচির কার্যকরী সমীকরণকে সন্তুষ্ট করেঃ ডেরিভেটিভ এবং ইন্টিগ্রেশন ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞানে কার্যকরী ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয়। এগুলি কার্যকারিতার ব্যুৎপত্তি; অর্থাৎ, যখন ইনপুট ফাংশনটি অল্প পরিমাণে পরিবর্তিত হয় তখন কীভাবে একটি কার্যকরী পরিবর্তন হয় সে সম্পর্কে তারা তথ্য বহন করে। রিচার্ড ফাইনম্যান কোয়ান্টাম মেকানিক্সের ইতিহাস গঠনের উপর তাঁর যোগফলের কেন্দ্রীয় ধারণা হিসাবে কার্যকরী ইন্টিগ্রালগুলি ব্যবহার করেছিলেন। এই ব্যবহারটি কিছু ফাংশন স্থানের উপর একটি অবিচ্ছেদ্য গ্রহণকে বোঝায়। আরও দেখুন রেফারেন্স প্রকারের ফাংশন