Discriminant of an algebraic number field
গণিতে, একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্রের বৈষম্য একটি সংখ্যাসূচক অপরিবর্তনীয় যা, শিথিলভাবে বলতে গেলে, বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্রের (পূর্ণসংখ্যার বলয়) আকার পরিমাপ করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, এটি পূর্ণসংখ্যার বলয়ের মৌলিক ডোমেনের বর্গ আয়তনের সাথে আনুপাতিক, এবং এটি কোন মৌলিক সংখ্যাগুলিকে বিভক্ত করা হয় তা নিয়ন্ত্রণ করে। ডিস্ক্রিমিন্যান্ট একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের সবচেয়ে মৌলিক অপরিবর্তনীয়গুলির মধ্যে একটি, এবং বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ বিশ্লেষণাত্মক সূত্রে যেমন কে-এর ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশনের কার্যকরী সমীকরণ এবং কে-এর জন্য বিশ্লেষণাত্মক শ্রেণী সংখ্যা সূত্রে দেখা যায়। হার্মাইটের একটি উপপাদ্য বলে যে সীমাবদ্ধ ডিস্ক্রিমিন্যান্টের কেবলমাত্র সীমিত সংখ্যক ক্ষেত্র রয়েছে, তবে এই পরিমাণ নির্ধারণ করা এখনও একটি উন্মুক্ত সমস্যা এবং বর্তমান গবেষণার বিষয়। সংখ্যা ক্ষেত্রের একটি এক্সটেনশন K/L-এর আপেক্ষিক বৈষম্যকারী থেকে আলাদা করার জন্য K-এর বৈষম্যকারীকে K-এর পরম বৈষম্যকারী হিসাবে উল্লেখ করা যেতে পারে। পরেরটি এল-এর পূর্ণসংখ্যার বলয়ে একটি আদর্শ, এবং পরম বৈষম্যের মতো এটি নির্দেশ করে যে কে/এল-এ কোন মৌলিক সংখ্যাগুলি বিভক্ত করা হয়েছে। এটি পরম বৈষম্যের একটি সাধারণীকরণ যা এল-কে কিউ-এর চেয়ে বড় হতে দেয়; প্রকৃতপক্ষে, যখন এল = কিউ, তখন কে/কিউ-এর আপেক্ষিক বৈষম্য হল কে-এর পরম বৈষম্য দ্বারা উত্পন্ন জেড-এর প্রধান আদর্শ। ধরা যাক b1,., bn হল OK-এর একটি অবিচ্ছেদ্য ভিত্তি (অর্থাৎ। একটি Z-মডিউল হিসাবে একটি ভিত্তি), এবং ধরা যাক {σ1,., σn} জটিল সংখ্যার মধ্যে K এর এম্বেডিংয়ের সেট (অর্থাৎ। ইনজেকটিভ রিং সমরূপতা K → C)। K-এর বৈষম্যকারী হল n দ্বারা n ম্যাট্রিক্স B-এর নির্ধারকের বর্গ যার (i, j)-এন্ট্রি হল σi (bj)। প্রতীকীভাবে, সমতুল্যভাবে, কে থেকে কিউ পর্যন্ত ট্রেস ব্যবহার করা যেতে পারে। বিশেষত, ট্রেস ফর্মটিকে ম্যাট্রিক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যার (i, j)-এন্ট্রি হল TrK/Q (bibj)। এই ম্যাট্রিক্সটি বি. টি. বি-র সমান, তাই কে-এর ডিস্ক্রিমিন্যান্টের বর্গ এই ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক। অবিচ্ছেদ্য ভিত্তি b1,., bn সহ K-তে একটি ক্রমের বৈষম্যকারীকে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ চতুর্ভুজ সংখ্যা ক্ষেত্রঃ ধরা যাক d একটি বর্গ-মুক্ত পূর্ণসংখ্যা, তারপর এর বৈষম্যকারী হল একটি দ্বিঘাত সংখ্যা ক্ষেত্রের বৈষম্যকারী হিসাবে ঘটে এমন একটি পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক বৈষম্যকারী বলা হয়। সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রঃ ধরা যাক n> 2 একটি পূর্ণসংখ্যা, ধরা যাক ζn ঐক্যের একটি আদিম nতম মূল, এবং ধরা যাক Kn = Q (ζn) nতম সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্র। Kn-এর ডিস্ক্রিমিন্যান্ট দেওয়া হয় যেখানে অয়লারের টোটিয়েন্ট ফাংশন, এবং হরের গুণফলটি মৌলিক সংখ্যা p-এর উপর n-কে ভাগ করে। পাওয়ার বেসঃ যে ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যার বলয়ের একটি পাওয়ার ইন্টিগ্রাল ভিত্তি থাকে, অর্থাৎ ওকে = Z [α] হিসাবে লেখা যেতে পারে, K-এর ডিস্ক্রিমিন্যান্ট α-এর ন্যূনতম বহুপদের ডিস্ক্রিমিন্যান্টের সমান। এটি দেখার জন্য, b1 = 1, b2 = α, b3 = α2,., bn = αn−1 হতে OK-এর অবিচ্ছেদ্য ভিত্তি বেছে নেওয়া যেতে পারে। তারপর, সংজ্ঞার ম্যাট্রিক্স হল αi = σi (α)-এর সাথে যুক্ত ভ্যান্ডারমন্ডে ম্যাট্রিক্স, যার নির্ধারক বর্গ যা ন্যূনতম বহুপদের বৈষম্যের সংজ্ঞা। ধরা যাক, কে = কিউ (α) হল বহুপদী x3 − x2 − 2x − 8-এর একটি মূল α সংলগ্ন করে প্রাপ্ত সংখ্যা ক্ষেত্র। এটি রিচার্ড ডেডেকিন্ডের একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের মূল উদাহরণ যার পূর্ণসংখ্যার বলয়টির কোনও শক্তি ভিত্তি নেই। একটি অবিচ্ছেদ্য ভিত্তি {1, α, α (α + 1)/2} দ্বারা দেওয়া হয় এবং K এর বৈষম্য −503 হয়। পুনরাবৃত্ত বৈষম্যঃ একটি দ্বিঘাত ক্ষেত্রের বৈষম্যকারী এটিকে অনন্যভাবে চিহ্নিত করে, তবে এটি সাধারণভাবে, উচ্চ-ডিগ্রি সংখ্যার ক্ষেত্রগুলির জন্য সত্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, ডিস্ক্রিমিন্যান্ট 3969-এর দুটি অ-আইসোমরফিক ঘনক্ষেত্র রয়েছে। এগুলি যথাক্রমে পলিনোমিয়ালের একটি মূল সংলগ্ন করে পাওয়া যায়। মৌলিক ফলাফল ব্রিলের উপপাদ্যঃ ডিস্ক্রিমিন্যান্টের চিহ্ন হল (−1) r2 যেখানে r2 হল K-এর জটিল স্থানের সংখ্যা। স্টিকেলবার্গারের উপপাদ্যঃ মিনকোভস্কির বাউন্ডঃ ধরা যাক n কে/কিউ সম্প্রসারণের ডিগ্রি এবং r2 কে জটিল স্থানের সংখ্যা নির্দেশ করে, তারপর মিনকোভস্কির উপপাদ্যঃ যদি কে কিউ না হয়, তবে |ΔK।> 1 (এটি সরাসরি মিনকোভস্কি বাউন্ড থেকে অনুসরণ করে)। হারমাইট-মিনকোভস্কি উপপাদ্যঃ ধরা যাক এন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। কেবলমাত্র সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি (সমরূপতা পর্যন্ত) বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র K রয়েছে যার সাথে |ΔK। <N। আবার, এটি মিঙ্কোভস্কি থেকে হার্মাইটের উপপাদ্যের সাথে আবদ্ধ (যে নির্ধারিত বৈষম্য সহ কেবলমাত্র সীমাবদ্ধভাবে অনেক বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র রয়েছে)। 1871 সালে ডেডেকিন্ড একটি সাধারণ বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র, কে-এর বৈষম্যের সংজ্ঞা দিয়েছিলেন। এই মুহুর্তে, তিনি ইতিমধ্যে বৈষম্য এবং প্রভাবের মধ্যে সম্পর্কটি জানতেন। হার্মাইটের উপপাদ্যটি 1857 সালে চার্লস হার্মাইটের একটি প্রমাণ প্রকাশের সাথে বৈষম্যের সাধারণ সংজ্ঞার পূর্ববর্তী। 1877 সালে, আলেকজান্ডার ভন ব্রিল বৈষম্যের চিহ্ন নির্ধারণ করেছিলেন। লিওপোল্ড ক্রোনেকার 1882 সালে প্রথম মিনকোভস্কির উপপাদ্যটি উল্লেখ করেছিলেন, যদিও 1891 সালে হারমান মিনকোভস্কি প্রথম প্রমাণ দিয়েছিলেন। একই বছরে, মিনকোভস্কি বৈষম্যমূলক বিষয়ে তাঁর বাউন্ড প্রকাশ করেন। ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে, লুডভিগ স্টিকলবার্গার ডিস্ক্রিমিন্যান্ট মডুলো ফোর-এর অবশিষ্টাংশের উপর তাঁর উপপাদ্য অর্জন করেন। আপেক্ষিক বৈষম্যকারী উপরে সংজ্ঞায়িত বৈষম্যকারীকে কখনও কখনও K এর পরম বৈষম্যকারী হিসাবে উল্লেখ করা হয় যাতে এটি K/L সংখ্যা ক্ষেত্রের সম্প্রসারণের আপেক্ষিক বৈষম্যকারী ΔK/L থেকে আলাদা করা যায়, যা OL-এ একটি আদর্শ। আপেক্ষিক বৈষম্যকে পরম বৈষম্যের মতো একটি পদ্ধতিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে OL-এর আদর্শগুলি প্রধান নাও হতে পারে এবং OK-এর কোনও OL ভিত্তি নাও থাকতে পারে। ধরা যাক {σ1,., σn} হল C-তে K-এর এম্বেডিংয়ের সেট যা L-এর আইডেন্টিটি। যদি b1,., bn হল L-এর উপর K-এর যে কোনও ভিত্তি, ধরা যাক d (b1,., bn) হল n দ্বারা n ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বর্গ যার (i, j)-এন্ট্রি হল σi (bj)। তারপর, K/L-এর আপেক্ষিক বৈষম্যকারী হল d (b1,., bn) দ্বারা উৎপন্ন আদর্শ, কারণ {b1,., bn} K/L-এর সমস্ত অবিচ্ছেদ্য ভিত্তির উপর পরিবর্তিত হয়। (অর্থাৎ। এই বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে যা সমস্ত i-এর জন্য ω ঠিক আছে।) বিকল্পভাবে, কে/এল-এর আপেক্ষিক বৈষম্য হল কে/এল-এর পার্থক্যের আদর্শ। যখন L = Q হয়, আপেক্ষিক বৈষম্যকারী αK/Q হল পরম বৈষম্যকারী αK দ্বারা উত্পন্ন Z-এর প্রধান আদর্শ। ক্ষেত্রের একটি টাওয়ারে K/L/F আপেক্ষিক বৈষম্যগুলি যেখানে আপেক্ষিক আদর্শকে বোঝায় তার দ্বারা সম্পর্কিত। রমিফিকেশন আপেক্ষিক বৈষম্য ক্ষেত্র সম্প্রসারণ কে/এল-এর রমিফিকেশন ডেটা নিয়ন্ত্রণ করে। L-এর একটি মৌলিক আদর্শ p কে-তে বিভক্ত হয় যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, এটি আপেক্ষিক বৈষম্যকারী ΔK/L-কে বিভক্ত করে। একটি এক্সটেনশন আনরামাইফাইড হয় যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, বৈষম্যকারী একক আদর্শ হয়। উপরের বাঁধা মিনকোভস্কি দেখায় যে কিউ-এর কোনও অ-তুচ্ছ আনরেমিফাইড এক্সটেনশন নেই। Q-এর চেয়ে বড় ক্ষেত্রগুলিতে অনির্দিষ্ট এক্সটেনশন থাকতে পারেঃ উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও ক্ষেত্রের জন্য যার শ্রেণী সংখ্যা একের বেশি, তার হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্রটি একটি অ-তুচ্ছ অনির্ধারিত এক্সটেনশন। মূল বৈষম্যকারী একটি ডিগ্রি n সংখ্যা ক্ষেত্র K-এর মূল বৈষম্যকারীকে সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় ক্ষেত্রের একটি টাওয়ারে আপেক্ষিক বৈষম্যকারীদের মধ্যে সম্পর্ক দেখায় যে মূল বৈষম্যকারী একটি অনির্ধারিত সম্প্রসারণে পরিবর্তিত হয় না। অ্যাসিম্পটোটিক নিম্ন সীমা প্রদত্ত অ-ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা ρ এবং σ, উভয়ই 0 নয়, এবং একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n যাতে জোড়া (r, 2s) = (ρn, σn) Z × 2Z-এ থাকে, ধরা যাক αn (ρ, σ) rdK-এর অসীম হবে কারণ K r বাস্তব এম্বেডিং এবং 2s জটিল এম্বেডিং সহ ডিগ্রি n সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর পরিসীমা, এবং ধরা যাক α (ρ, σ) = laminfn → αn (ρ, σ)। তারপর, এবং সাধারণীকৃত রিম্যান হাইপোথিসিস শক্তিশালী বন্ধনকে বোঝায় একটি নিম্ন সীমাও রয়েছে যা সমস্ত মাত্রায় ধরে রাখে, কেবল অ্যাসিম্পটোটিকভাবে নয়ঃ সম্পূর্ণ বাস্তব ক্ষেত্রের জন্য, মূল বৈষম্যকারী হল> 14,1229 ব্যতিক্রম সহ। অপরদিকে, একটি অসীম শ্রেণীর ফিল্ড টাওয়ারের অস্তিত্ব α (ρ, σ)-এর মানের উপর ঊর্ধ্বসীমা দিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, m = 3·5·7·11·19 সহ Q ()-এর উপর অসীম শ্রেণীর ফিল্ড টাওয়ারটি মূল বৈষম্যমূলক 2 ≈ 296.276 সহ নির্বিচারে বড় মাত্রার ক্ষেত্র তৈরি করে, তাই α (0,1) <296.276। হাজির এবং মায়ার সমানভাবে বিস্তৃত টাওয়ার ব্যবহার করে দেখিয়েছেন যে α (1,0) <954.3 এবং α (0,1) <82.2, যা মার্টিনেটের পূর্ববর্তী সীমার তুলনায় উন্নতি করছে। অন্যান্য পরিমাণের সাথে সম্পর্ক যখন সংযুক্ত করা হয়, তখন ওকে-এর মৌলিক ডোমেনের আয়তন হয় (কখনও কখনও একটি ভিন্ন পরিমাপ ব্যবহার করা হয় এবং প্রাপ্ত আয়তন হয়, যেখানে r2 হল কে-এর জটিল স্থানের সংখ্যা)। এই ভলিউমে উপস্থিতির কারণে, ডিস্ক্রিমিন্যান্টটি কে-এর ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশনের কার্যকরী সমীকরণে এবং তাই বিশ্লেষণাত্মক শ্রেণী সংখ্যা সূত্র এবং ব্রাউয়ার-সিগেল উপপাদ্যতেও উপস্থিত হয়। কে/এল-এর আপেক্ষিক বৈষম্যকারী হল কে/এল-এর গ্যালোইস গোষ্ঠীর নিয়মিত প্রতিনিধিত্বের আর্টিন পরিবাহী। এটি কে/এল-এর গ্যালোয়া গোষ্ঠীর অক্ষরগুলির আর্টিন পরিবাহীদের সাথে একটি সম্পর্ক প্রদান করে, যাকে পরিবাহী-বৈষম্য সূত্র বলা হয়। বিবরণ প্রাথমিক উৎস গৌণ উৎস আরও পড়া বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব