Three-dimensional space
জ্যামিতিতে, একটি ত্রিমাত্রিক স্থান (3ডি স্থান, 3-স্থান বা, খুব কমই, ত্রি-মাত্রিক স্থান) হল একটি গাণিতিক স্থান যেখানে একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ধারণের জন্য তিনটি মান (স্থানাঙ্ক) প্রয়োজন হয়। সর্বাধিক সাধারণভাবে, এটি ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান, n = 3 মাত্রার ইউক্লিডীয় n-স্থান যা ভৌত স্থানের মডেল তৈরি করে। আরও সাধারণ ত্রিমাত্রিক স্থানগুলিকে 3-ম্যানিফোল্ড বলা হয়। এই শব্দটি কথোপকথনে স্থানের একটি উপসেট, একটি ত্রিমাত্রিক অঞ্চল (বা থ্রিডি ডোমেন), একটি কঠিন চিত্রকেও বোঝাতে পারে। প্রযুক্তিগতভাবে, সংখ্যার একটি টুপলকে একটি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে একটি অবস্থানের কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক হিসাবে বোঝা যেতে পারে। এই-টুপলগুলির সেট সাধারণত চিহ্নিত করা হয় এবং একটি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান এবং একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা দ্বারা গঠিত জুটির সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। যখন, এই স্থানটিকে ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান বলা হয় (অথবা প্রসঙ্গ স্পষ্ট হলে কেবল "ইউক্লিডীয় স্থান")। এটি ভৌত মহাবিশ্বের একটি মডেল হিসাবে কাজ করে (যখন আপেক্ষিকতা তত্ত্ব বিবেচনা করা হয় না), যেখানে সমস্ত পরিচিত পদার্থ বিদ্যমান। যদিও এই স্থানটি অভিজ্ঞতার সাথে বিশ্বকে মডেল করার সবচেয়ে আকর্ষণীয় এবং দরকারী উপায় হিসাবে রয়ে গেছে, এটি 3-ম্যানিফোল্ড নামে তিনটি মাত্রায় বিশাল বৈচিত্র্যের স্থানের একটি উদাহরণ মাত্র। এই ধ্রুপদী উদাহরণে, যখন তিনটি মান বিভিন্ন দিকে (স্থানাঙ্ক) পরিমাপকে বোঝায়, তখন যে কোনও তিনটি দিক বেছে নেওয়া যেতে পারে, তবে শর্ত থাকে যে এই দিকগুলির ভেক্টরগুলি একই 2-স্থান (সমতল)-এ থাকে না। উপরন্তু, এই ক্ষেত্রে, এই তিনটি মান প্রস্থ/প্রস্থ, উচ্চতা/গভীরতা এবং দৈর্ঘ্য পদগুলি থেকে নির্বাচিত তিনটির যে কোনও সংমিশ্রণ দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে। ইউক্লিডের এলিমেন্টস-এর একাদশ থেকে ত্রয়োদশ বই ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি নিয়ে কাজ করে। একাদশ বইটি রেখা এবং সমতলের অর্থোগোনালিটি এবং সমান্তরালতার ধারণাগুলি বিকাশ করে এবং সমান্তরাল পাইপ, পিরামিড, প্রিজম, গোলক, অক্টেহেড্রা, আইকোসাহেড্রা এবং ডোডেকাহেড্রা সহ কঠিন পদার্থগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে। দ্বাদশ বইটি কঠিন পদার্থের সাদৃশ্য সম্পর্কে ধারণা তৈরি করে। ত্রয়োদশ বইটি একটি গোলকে পাঁচটি নিয়মিত প্লেটোনিক কঠিন পদার্থের গঠন বর্ণনা করে। 17 শতকে, ত্রি-মাত্রিক স্থানকে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের সাথে বর্ণনা করা হয়েছিল, রেনে ডেসকার্টেস তাঁর কাজ লা জিওমেট্রি এবং পিয়েরে ডি ফার্মাট দ্বারা বিকশিত বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির আবির্ভাবের সাথে পাণ্ডুলিপি অ্যাড লোকোস প্ল্যানোস এট সলিডোস ইসাগোগে (প্লেন এবং সলিড লোসির ভূমিকা), যা ফার্মাট-এর জীবদ্দশায় অপ্রকাশিত ছিল। তবে, শুধুমাত্র ফারমাটের কাজ ত্রিমাত্রিক স্থান নিয়ে কাজ করে। ঊনবিংশ শতাব্দীতে, উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টনের চতুর্ভুজগুলির বিকাশের সাথে ত্রিমাত্রিক স্থানের জ্যামিতির বিকাশ ঘটে। প্রকৃতপক্ষে, হ্যামিল্টনই স্কেলার এবং ভেক্টর শব্দগুলি তৈরি করেছিলেন এবং কোয়াটারনিয়নের জন্য তাঁর জ্যামিতিক কাঠামোর মধ্যে সেগুলি প্রথম সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল। ত্রিমাত্রিক স্থান তখন কোয়াটারনিয়ন দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে যার স্কেলর উপাদান অদৃশ্য হয়ে গেছে, অর্থাৎ। যদিও হ্যামিল্টন স্পষ্টভাবে অধ্যয়ন করেননি, এটি পরোক্ষভাবে ভিত্তির ধারণাগুলি প্রবর্তন করেছিল, এখানে কোয়াটারনিয়ন উপাদানগুলির পাশাপাশি ডট প্রোডাক্ট এবং ক্রস প্রোডাক্ট দ্বারা দেওয়া হয়েছে, যা স্কেলার অংশ এবং দুটি ভেক্টর কোয়াটারনিয়নের গুণফলের ভেক্টর অংশের (ঋণাত্মক) সাথে মিলে যায়। জোসিয়াহ উইলার্ড গিবসের আগে এই দুটি পণ্যকে তাদের নিজস্ব অধিকারে চিহ্নিত করা হয়েছিল এবং ডট এবং ক্রস পণ্যের জন্য আধুনিক স্বরলিপি তাঁর শ্রেণিকক্ষের শিক্ষণ নোটে চালু করা হয়েছিল, যা এডউইন বিডওয়েল উইলসনের লেখা 1901 সালের পাঠ্যপুস্তক ভেক্টর অ্যানালাইসিস-এও পাওয়া যায়। এছাড়াও 19শ শতাব্দীতে ভেক্টর স্পেসের বিমূর্ত আনুষ্ঠানিকতার বিকাশ ঘটে, হারমান গ্রাসম্যান এবং জুসেপ্পে পিনোর কাজের সাথে, যার মধ্যে পরেরটি প্রথম বীজগাণিতিক কাঠামো হিসাবে ভেক্টর স্পেসের আধুনিক সংজ্ঞা দেয়। ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে সমন্বয় পদ্ধতিতে গণিতে, বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি (কার্টেসিয়ান জ্যামিতি নামেও পরিচিত) ত্রিমাত্রিক স্থানের প্রতিটি বিন্দুকে তিনটি স্থানাঙ্কের মাধ্যমে বর্ণনা করে। তিনটি স্থানাঙ্ক অক্ষ দেওয়া হয়েছে, প্রতিটি উৎপত্তিস্থলে অন্য দুটির লম্ব, যে বিন্দুতে তারা অতিক্রম করে। এগুলি সাধারণত চিহ্নিত করা হয়, এবং। এই অক্ষগুলির সাথে সম্পর্কিত, ত্রিমাত্রিক স্থানে যে কোনও বিন্দুর অবস্থান বাস্তব সংখ্যার একটি ক্রমযুক্ত তিনগুণ দ্বারা দেওয়া হয়, প্রতিটি সংখ্যা প্রদত্ত অক্ষ বরাবর পরিমাপ করা মূল থেকে সেই বিন্দুর দূরত্ব দেয়, যা অন্য দুটি অক্ষ দ্বারা নির্ধারিত সমতল থেকে সেই বিন্দুর দূরত্বের সমান। ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি বিন্দুর অবস্থান বর্ণনা করার অন্যান্য জনপ্রিয় পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে নলাকার স্থানাঙ্ক এবং গোলাকার স্থানাঙ্ক, যদিও অসীম সংখ্যক সম্ভাব্য পদ্ধতি রয়েছে। আরও তথ্যের জন্য ইউক্লিডীয় স্থান দেখুন। নীচে উপরে উল্লিখিত ব্যবস্থাগুলির ছবি দেওয়া হল। রেখা এবং সমতল দুটি স্বতন্ত্র বিন্দু সর্বদা একটি (সরল) রেখা নির্ধারণ করে। তিনটি স্বতন্ত্র বিন্দু হয় সমরেখার অথবা একটি অনন্য সমতল নির্ধারণ করে। অন্যদিকে, চারটি স্বতন্ত্র বিন্দু হয় কলিনিয়ার, কোপ্ল্যানার বা পুরো স্থান নির্ধারণ করতে পারে। দুটি স্বতন্ত্র রেখা হয় ছেদ করতে পারে, সমান্তরাল হতে পারে অথবা তির্যক হতে পারে। দুটি সমান্তরাল রেখা বা দুটি ছেদকারী রেখা একটি অনন্য সমতলে থাকে, তাই তির্যক রেখাগুলি এমন রেখাগুলি যা মিলিত হয় না এবং একটি সাধারণ সমতলে থাকে না। দুটি স্বতন্ত্র সমতল একটি সাধারণ রেখায় মিলিত হতে পারে বা সমান্তরাল হতে পারে (অর্থাৎ, মিলিত হয় না)। তিনটি স্বতন্ত্র সমতল, যার কোনও জোড়া সমান্তরাল নয়, হয় একটি সাধারণ রেখায় মিলিত হতে পারে, একটি অনন্য সাধারণ বিন্দুতে মিলিত হতে পারে, অথবা এর কোনও মিল নেই। শেষ ক্ষেত্রে, প্রতিটি জোড়া সমতলের ছেদকারী তিনটি রেখা পারস্পরিক সমান্তরাল। একটি রেখা একটি প্রদত্ত সমতলে থাকতে পারে, সেই সমতলকে একটি অনন্য বিন্দুতে ছেদ করতে পারে বা সমতলের সমান্তরাল হতে পারে। শেষ ক্ষেত্রে, সমতলে এমন রেখাগুলি থাকবে যা প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল। একটি হাইপারপ্লেন হল পূর্ণ স্থানের মাত্রার চেয়ে কম মাত্রার একটি সাবস্পেস। একটি ত্রিমাত্রিক স্থানের হাইপারপ্লেনগুলি হল দ্বি-মাত্রিক সাবস্পেস, অর্থাৎ প্লেন। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে, একটি হাইপারপ্লেনের বিন্দুগুলি একটি একক রৈখিক সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, তাই এই 3-স্থানের সমতলগুলি রৈখিক সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়। একটি রেখাকে স্বাধীন রৈখিক সমীকরণের একটি জোড়া দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে-প্রতিটি একটি সমতলকে প্রতিনিধিত্ব করে যার এই রেখাটি একটি সাধারণ ছেদ হিসাবে রয়েছে। ভ্যারিননের উপপাদ্য বলে যে, R3-এর যে কোনও চতুর্ভুজের মধ্যবিন্দুগুলি একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজ গঠন করে এবং তাই এগুলি সহ-গ্রহ। গোলক এবং বল 3-স্থানের একটি গোলক (2-গোলকও বলা হয় কারণ এটি একটি 2-মাত্রিক বস্তু) একটি কেন্দ্রীয় বিন্দু থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে 3-স্থানের সমস্ত বিন্দুর সেট নিয়ে গঠিত। গোলক দ্বারা বেষ্টিত কঠিন বলকে বলা হয় (বা, আরও সুনির্দিষ্টভাবে 3-বল)। বলের আয়তন এবং গোলকের পৃষ্ঠ এলাকা দ্বারা দেওয়া হয় আরেকটি ধরনের গোলক একটি 4-বল থেকে উদ্ভূত হয়, যার ত্রিমাত্রিক পৃষ্ঠটি 3-গোলকঃ ইউক্লিডীয় স্থানের উৎপত্তির সমদূরত্বে অবস্থিত বিন্দু। যদি একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক থাকে, তবে উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্রিক একক 3-গোলকের সেই বিন্দুগুলিকে চিহ্নিত করে। এই 3-গোলকটি 3-ম্যানিফোল্ডের একটি উদাহরণ-একটি স্থান যা 3-ডি স্থানের মতো 'স্থানীয়ভাবে দেখায়'। সুনির্দিষ্ট টপোলজিকাল পরিভাষায়, 3-গোলকের প্রতিটি বিন্দুর একটি প্রতিবেশী রয়েছে যা 3-ডি স্থানের একটি উন্মুক্ত উপসেটের সমরূপ। পলিটোপ তিনটি মাত্রায় নয়টি নিয়মিত পলিটোপ রয়েছেঃ পাঁচটি উত্তল প্লেটোনিক কঠিন পদার্থ এবং চারটি অ-উত্তল কেপলার-পয়েনসট পলিহেড্রা। একটি সমতলীয় বক্ররেখাকে তার সমতলে একটি নির্দিষ্ট রেখাকে ঘিরে একটি অক্ষ হিসাবে ঘোরানোর ফলে সৃষ্ট পৃষ্ঠকে বিপ্লবের পৃষ্ঠ বলা হয়। সমতল বক্ররেখাকে ভূপৃষ্ঠের জেনারেটিক্স বলা হয়। পৃষ্ঠের একটি অংশ, যা অক্ষের সাথে লম্ব (অর্থোগোনাল) সমতলের সাথে পৃষ্ঠকে ছেদ করে তৈরি করা হয়, একটি বৃত্ত। সাধারণ উদাহরণগুলি ঘটে যখন জেনারেট্রিক্স একটি রেখা হয়। যদি জেনারেট্রিক্স রেখাটি অক্ষরেখাকে ছেদ করে, তবে ঘূর্ণনের পৃষ্ঠটি একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কু যার শীর্ষবিন্দু (শীর্ষ) ছেদ বিন্দু। যাইহোক, যদি জেনারেটিক্স এবং অক্ষ সমান্তরাল হয়, তবে ঘূর্ণনের পৃষ্ঠটি একটি বৃত্তাকার সিলিন্ডার। চতুর্ভুজ পৃষ্ঠতল শঙ্কু বিভাগের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণভাবে, বিন্দুগুলির সেট যার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি দ্বিতীয় ডিগ্রির সাধারণ সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, যথা, যেখানে এবং বাস্তব সংখ্যা এবং সমস্ত নয় এবং শূন্য, একটি চতুর্ভুজ পৃষ্ঠ বলা হয়। ছয় ধরনের অ-অবক্ষয়িত চতুর্ভুজ পৃষ্ঠ রয়েছেঃ একটি শীটের উপবৃত্তাকার হাইপারবোলয়েড দুটি শীটের হাইপারবোলয়েড উপবৃত্তাকার শঙ্কু উপবৃত্তাকার হাইপারবোলয়েড অবক্ষয়িত চতুর্ভুজ পৃষ্ঠগুলি হল খালি সেট, একটি একক বিন্দু, একটি একক রেখা, একটি একক সমতল, এক জোড়া সমতল বা একটি চতুর্ভুজ সিলিন্ডার (একটি সমতলে একটি অ-অবক্ষয়িত শঙ্কু বিভাগ এবং সেই শঙ্কু দিয়ে যাওয়া সমস্ত রেখা যা স্বাভাবিক)। উপবৃত্তাকার শঙ্কুগুলিকে কখনও কখনও অধঃপতিত চতুর্ভুজ পৃষ্ঠ হিসাবেও বিবেচনা করা হয়। একটি শীটের হাইপারবোলয়েড এবং হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েড উভয়ই নিয়ন্ত্রিত পৃষ্ঠতল, যার অর্থ তারা সরলরেখার একটি পরিবার থেকে তৈরি করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি পরিবারের লাইন তৈরির দুটি পরিবার রয়েছে, প্রতিটি পরিবারের সদস্যরা বিচ্ছিন্ন এবং প্রতিটি সদস্য একটি পরিবার ছেদ করে, কেবল একটি ব্যতিক্রম ছাড়া, অন্য পরিবারের প্রতিটি সদস্য। প্রতিটি পরিবারকে রেগুলেস বলা হয়। রৈখিক বীজগণিতে ত্রিমাত্রিক স্থান দেখার আরেকটি উপায় রৈখিক বীজগণিতে পাওয়া যায়, যেখানে স্বাধীনতার ধারণাটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। স্থানের তিনটি মাত্রা রয়েছে কারণ একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থ বা প্রস্থ থেকে স্বাধীন। রৈখিক বীজগণিতের প্রযুক্তিগত ভাষায়, স্থান ত্রিমাত্রিক কারণ স্থানের প্রতিটি বিন্দুকে তিনটি স্বাধীন ভেক্টরের রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে। বিন্দু গুণফল, কোণ এবং দৈর্ঘ্য একটি ভেক্টরকে তীর হিসাবে চিত্রিত করা যেতে পারে। ভেক্টরের মাত্রা হল এর দৈর্ঘ্য, এবং এর দিক হল তীরের দিক। একটি ভেক্টরকে বাস্তব সংখ্যার ক্রমযুক্ত তিনগুণ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। এই সংখ্যাগুলিকে ভেক্টরের উপাদান বলা হয়। দুটি ভেক্টরের বিন্দু গুণফলকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ একটি ভেক্টরের মাত্রা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একটি ভেক্টরের বিন্দু গুণফল যা ভেক্টরের ইউক্লিডীয় দৈর্ঘ্যের সূত্র দেয়। ভেক্টরগুলির উপাদানগুলির উল্লেখ ছাড়াই, দুটি অ-শূন্য ইউক্লিডীয় ভেক্টরের বিন্দু গুণফল এবং এবং এর মধ্যে কোণটি কোথায় তা দ্বারা দেওয়া হয়। ক্রস প্রোডাক্ট বা ভেক্টর প্রোডাক্ট হল ত্রিমাত্রিক স্থানে দুটি ভেক্টরের উপর একটি বাইনারি অপারেশন এবং এটি × চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এ এবং বি ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট এ × বি একটি ভেক্টর যা উভয়ের লম্ব এবং তাই তাদের ধারণকারী সমতলে স্বাভাবিক। গণিত, পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশল ক্ষেত্রে এর অনেক প্রয়োগ রয়েছে। ফাংশন ভাষায়, ক্রস প্রোডাক্ট হল একটি ফাংশন। লেভি-সিভিটা প্রতীকটি যেখানে রয়েছে, সেখানে আইনস্টাইনের সম্মশন কনভেনশন ব্যবহার করে ক্রস প্রোডাক্টের উপাদানগুলি হল এবং উপাদানগুলিতেও লেখা যেতে পারে। তার সেই সম্পত্তি রয়েছে। স্থান এবং গুণফল একটি ক্ষেত্রের উপর একটি বীজগণিত গঠন করে, যা বিনিময়যোগ্য বা সহযোগী নয়, তবে এটি একটি লাই বীজগণিত যার ক্রস গুণফলটি লাই বন্ধনী। বিশেষত, গুণফলের সাথে স্থানটি ত্রিমাত্রিক আবর্তনের লাই বীজগণিতে সমতুল্য, যা চিহ্নিত করা হয়। একটি মিথ্যা বীজগণিতের স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করার জন্য, সহযোগীতার পরিবর্তে ক্রস প্রোডাক্ট জ্যাকোবি পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে। যে কোনও তিনটি ভেক্টরের জন্য এবং একটি n মাত্রায় ভেক্টরের গুণফল নিয়ে তাদের সকলের লম্বভাবে একটি ভেক্টর তৈরি করতে পারে। কিন্তু যদি পণ্যটি ভেক্টর ফলাফল সহ অ-তুচ্ছ বাইনারি পণ্যের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, তবে এটি শুধুমাত্র তিন এবং সাত মাত্রায় বিদ্যমান। বিমূর্ত বিবরণ ত্রিমাত্রিক স্থানকে বাস্তব সংখ্যার উপর ত্রিমাত্রিক ভেক্টর স্থান হিসাবে বর্ণনা করা কার্যকর হতে পারে। এটি একটি সূক্ষ্ম উপায়ে থেকে আলাদা। সংজ্ঞা অনুসারে, এর একটি ভিত্তি রয়েছে। এটি এবং এর মধ্যে একটি আইসোমরফিজমের সাথে মিলে যায়ঃ আইসোমরফিজমের গঠন এখানে পাওয়া যায়। তবে, এর জন্য কোনও 'পছন্দসই' বা 'প্রামাণিক ভিত্তি' নেই। অন্যদিকে, এর জন্য একটি পছন্দসই ভিত্তি রয়েছে, যা এর প্রতিলিপির একটি কার্টেসিয়ান পণ্য হিসাবে বর্ণনা করার কারণে, অর্থাৎ। এটি ক্যানোনিকাল প্রজেকশনগুলির সংজ্ঞা দেয়, যেখানে। উদাহরণস্বরূপ,। এটি তখন ক্রোনেকার ব-দ্বীপ কোথায় তা দ্বারা সংজ্ঞায়িত মানক ভিত্তির সংজ্ঞা দেয়। সম্পূর্ণরূপে লিখিত, আদর্শ ভিত্তি হল তাই বিমূর্ত ভেক্টর স্থান হিসাবে দেখা যেতে পারে, ভিত্তির একটি পছন্দের অতিরিক্ত কাঠামোর সাথে। বিপরীতভাবে, কার্টেসিয়ান পণ্য কাঠামো দিয়ে শুরু করে এবং 'ভুলে' গিয়ে বা সমতুল্যভাবে ভিত্তির মানক পছন্দ দিয়ে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। একটি সাধারণ ভেক্টর স্থানের বিপরীতে, স্থানটিকে কখনও কখনও একটি স্থানাঙ্ক স্থান হিসাবে উল্লেখ করা হয়। শারীরিকভাবে, বিমূর্ত আনুষ্ঠানিকতা ব্যবহার করা ধারণাগতভাবে কাম্য যাতে এটি একটি নির্দিষ্ট সমস্যার পরামিতি দ্বারা প্রদত্ত না হলে যতটা সম্ভব সামান্য কাঠামো ধরে নেওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের একটি সমস্যায়, ত্রিমাত্রিক স্থানের আরও সুনির্দিষ্ট বিবরণের সাথে কাজ করা একটি বেসের পছন্দ ধরে নেয়, যা অক্ষের একটি সেটের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। কিন্তু ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের ক্ষেত্রে, অক্ষের একটি সেটকে বলা পছন্দ করার কোনও কারণ নেই, অক্ষের একই সেট যা নির্বিচারে ঘোরানো হয়েছে। অন্যভাবে বলা যায়, অক্ষগুলির একটি পছন্দসই পছন্দ ভৌত স্থানের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যকে ভেঙে দেয়। গণনামূলকভাবে, সুনির্দিষ্ট গণনা করার জন্য আরও সুনির্দিষ্ট বিবরণ নিয়ে কাজ করা প্রয়োজন। অ্যাফিন বিবরণ একটি আরও বিমূর্ত বিবরণ এখনও বাস্তব সংখ্যার উপর ত্রিমাত্রিক অ্যাফিন স্থান হিসাবে ভৌত স্থানকে মডেল করা। এটি অ্যাফিন আইসোমরফিজম পর্যন্ত অনন্য। এটিকে কখনও কখনও ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান হিসাবে উল্লেখ করা হয়। ঠিক যেমন ভেক্টর স্থানের বিবরণ 'পছন্দের ভিত্তি ভুলে যাওয়া' থেকে এসেছে, তেমনি অ্যাফিন স্থানের বিবরণ ভেক্টর স্থানের 'উৎস ভুলে যাওয়া' থেকে এসেছে। ইউক্লিডীয় ভেক্টর স্পেস থেকে আলাদা করার জন্য ইউক্লিডীয় স্পেসগুলিকে কখনও কখনও ইউক্লিডীয় অ্যাফিন স্পেস বলা হয়। এটি শারীরিকভাবে আকর্ষণীয় কারণ এটি ভৌত স্থানের অনুবাদকে অপরিবর্তনীয় করে তোলে। একটি পছন্দসই উৎস ট্রান্সলেশনাল ইনভ্যারিয়েন্সকে ভেঙে দেয়। ইনার প্রোডাক্ট স্পেস উপরের আলোচনায় ডট প্রোডাক্ট জড়িত নয়। বিন্দু পণ্য একটি অভ্যন্তরীণ পণ্যের একটি উদাহরণ। ভৌত স্থানকে একটি ভেক্টর স্থান হিসাবে মডেল করা যেতে পারে যার অতিরিক্ত একটি অভ্যন্তরীণ পণ্যের কাঠামো রয়েছে। অভ্যন্তরীণ গুণফল দৈর্ঘ্য এবং কোণের ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করে (এবং তাই বিশেষ করে অর্থোগোনালিটির ধারণা)। যে কোনও অভ্যন্তরীণ পণ্যের জন্য, এমন ভিত্তি রয়েছে যার অধীনে অভ্যন্তরীণ পণ্য বিন্দু পণ্যের সাথে একমত হয়, তবে আবার, অনেকগুলি বিভিন্ন সম্ভাব্য ভিত্তি রয়েছে, যার কোনওটিই পছন্দ করা হয় না। তারা একটি ঘূর্ণন দ্বারা একে অপরের থেকে পৃথক, ঘূর্ণন গোষ্ঠীর একটি উপাদান SO (3)। ক্যালকুলাস গ্রেডিয়েন্ট, ডাইভারজেন্স এবং কার্ল একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, একটি (ডিফারেনশিয়েবল) ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট দ্বারা দেওয়া হয় এবং সূচক স্বরলিপিতে লেখা হয় একটি (ডিফারেনশিয়েবল) ভেক্টর ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স F = U i + V j + W k, অর্থাৎ একটি ফাংশন, স্কেলার-মূল্যবান ফাংশনের সমানঃ সূচক স্বরলিপিতে, আইনস্টাইনের সমষ্টি নিয়মাবলীর সাথে এটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে প্রসারিত হয় (গোলাকার এবং নলাকার স্থানাঙ্ক উপস্থাপনার জন্য নলাকার এবং গোলাকার স্থানাঙ্কে ডেল দেখুন), কার্ল × F হল [Fx, Fy, Fz] দ্বারা গঠিত F-এর জন্যঃ যেখানে i, j এবং k হল একক ভেক্টর। এটি নিম্নরূপ প্রসারিত হয়ঃ সূচক স্বরলিপিতে, আইনস্টাইনের সমষ্টি নিয়মাবলীর সাথে এটি সম্পূর্ণ প্রতিসম প্রতীক, লেভি-সিভিটা প্রতীক। রেখা, পৃষ্ঠ এবং আয়তনের সমাকলন কিছু স্কেলার ক্ষেত্রের জন্য f: U rn → R, একটি পিসওয়াইজ মসৃণ বক্ররেখা বরাবর লাইন ইন্টিগ্রাল C r কে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে r: [a, b] → C হল বক্ররেখা C-এর একটি নির্বিচারে বাইজেক্টিভ প্যারামিট্রাইজেশন যাতে r (a) এবং r (b) C এবং এর শেষ বিন্দু দেয়। একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের জন্য F: U-Rn → Rn, r-এর দিকে একটি পিসওয়াইজ মসৃণ বক্ররেখা C-U বরাবর লাইন ইন্টিগ্রালকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে · বিন্দু গুণফল এবং r: [a, b] → C হল বক্ররেখা C-এর একটি বাইজেক্টিভ প্যারামিট্রাইজেশন যাতে r (a) এবং r (b) C-এর শেষ বিন্দু দেয়। একটি পৃষ্ঠ ইন্টিগ্রাল হল পৃষ্ঠের উপর ইন্টিগ্রেশনের জন্য একাধিক ইন্টিগ্রালের একটি সাধারণীকরণ। এটিকে লাইন ইন্টিগ্রালের ডাবল ইন্টিগ্রাল অ্যানালগ হিসাবে ভাবা যেতে পারে। পৃষ্ঠ অবিচ্ছেদের জন্য একটি স্পষ্ট সূত্র খুঁজে বের করার জন্য, একটি গোলকের অক্ষাংশ এবং দ্রাঘিমাংশের মতো এস-এর উপর বক্ররেখা স্থানাঙ্কের একটি ব্যবস্থা বিবেচনা করে আমাদের আগ্রহের পৃষ্ঠ, এস-কে পরামিতি করতে হবে। এই ধরনের প্যারামিটারাইজেশন x (s, t) হতে দিন, যেখানে সমতলের কিছু অঞ্চল T-তে (s, t) পরিবর্তিত হয়। তারপরে, পৃষ্ঠ অবিচ্ছেদ্যটি দেওয়া হয় যেখানে ডান দিকের বারগুলির মধ্যে অভিব্যক্তিটি x (s, t) এর আংশিক ডেরিভেটিভের ক্রস প্রোডাক্টের মাত্রা, এবং এটি পৃষ্ঠ উপাদান হিসাবে পরিচিত। S-এর উপর একটি ভেক্টর ক্ষেত্র দেওয়া হয়েছে, যা এমন একটি ফাংশন যা S-এর প্রতিটি x-কে একটি ভেক্টর v (x) বরাদ্দ করে, একটি স্কেলার ক্ষেত্রের পৃষ্ঠ অবিচ্ছেদের সংজ্ঞা অনুযায়ী পৃষ্ঠ অবিচ্ছেদ্যকে উপাদান-ভিত্তিক সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে; ফলাফল হল একটি ভেক্টর। একটি আয়তন অবিচ্ছেদ্য একটি ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্র বা অঞ্চলের উপর একটি অবিচ্ছেদ্য। যখন ইন্টিগ্র্যান্ডটি তুচ্ছ (একক) হয়, তখন ভলিউম ইন্টিগ্রালটি কেবল অঞ্চলের আয়তন হয়। এটি একটি ফাংশনের R3-তে একটি অঞ্চল D-এর মধ্যে একটি ট্রিপল ইন্টিগ্রাল বোঝাতে পারে এবং সাধারণত এইভাবে লেখা হয়ঃ লাইন ইন্টিগ্রালের মৌলিক উপপাদ্য লাইন ইন্টিগ্রালের মৌলিক উপপাদ্যটি বলে যে একটি গ্রেডিয়েন্ট ক্ষেত্রের মাধ্যমে একটি লাইন ইন্টিগ্রাল বক্ররেখার শেষ বিন্দুতে মূল স্কেলার ক্ষেত্রের মূল্যায়ন করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে। যাক। তারপর স্টোকস 'উপপাদ্য স্টোকস' উপপাদ্য ইউক্লিডীয় ত্রি-স্থানের একটি পৃষ্ঠের উপর একটি ভেক্টর ক্ষেত্র F-এর কার্লের পৃষ্ঠ অবিচ্ছেদ্যকে তার সীমানার উপর ভেক্টর ক্ষেত্রের লাইন অবিচ্ছেদ্যের সাথে সম্পর্কিত করেঃ ডাইভারজেন্স উপপাদ্য ধরুন (3D স্থানে একটি আয়তনের প্রতিনিধিত্ব করার ক্ষেত্রে) এর একটি উপসেট যা কম্প্যাক্ট এবং একটি পিসওয়াইজ মসৃণ সীমানা রয়েছে (এর সাথেও নির্দেশিত)। যদি একটি অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথকীকরণযোগ্য ভেক্টর ক্ষেত্রের আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে বিচ্যুতি উপপাদ্যটি বলেঃ বাম দিকটি আয়তনের উপর একটি আয়তনের অবিচ্ছেদ্য, ডান দিকটি আয়তনের সীমানার উপর পৃষ্ঠের অবিচ্ছেদ্য। ক্লোজড ম্যানিফোল্ডটি সাধারণত বাই ওরিয়েন্টেড বাই আউটওয়ার্ড-পয়েন্টিং নর্মালগুলির সীমানা এবং এটি সীমানার বাইরের দিকে নির্দেশকারী একক স্বাভাবিক ক্ষেত্র। (এর জন্য শর্টহ্যান্ড হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে।) টপোলজিতে ত্রিমাত্রিক স্থানের বেশ কয়েকটি টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এটিকে অন্যান্য মাত্রার সংখ্যার স্থান থেকে আলাদা করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি সুতায় একটি গিঁট বাঁধার জন্য কমপক্ষে তিনটি মাত্রার প্রয়োজন হয়। ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে সাধারণ ত্রিমাত্রিক স্থানগুলি 3-ম্যানিফোল্ড, যা স্থানীয়ভাবে সাদৃশ্যপূর্ণ। সসীম জ্যামিতিতে মাত্রার অনেক ধারণা সসীম জ্যামিতি দিয়ে পরীক্ষা করা যেতে পারে। সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হল পি. জি (3,2), যার 2-মাত্রিক সাবস্পেস হিসাবে ফ্যানো প্লেন রয়েছে। এটি গ্যালোইস জ্যামিতির একটি উদাহরণ, যা সসীম ক্ষেত্র ব্যবহার করে প্রজেক্টিভ জ্যামিতির একটি অধ্যয়ন। সুতরাং, যে কোনও গ্যালোয়া ক্ষেত্র জিএফ (কিউ)-এর জন্য, তিনটি মাত্রার একটি প্রজেক্টিভ স্পেস পিজি (3, কিউ) রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, পিজি (3, কিউ)-এর যে কোনও তিনটি তির্যক রেখা ঠিক একটি নিয়ামকের মধ্যে রয়েছে। এছাড়াও দেখুন ত্রিমাত্রিক আবর্তনের আনুষ্ঠানিকতা ত্রিমাত্রিক বিশ্লেষণ একটি বিন্দু থেকে একটি সমতলে দূরত্ব চার-মাত্রিক স্থান ত্রিমাত্রিক গ্রাফ কঠিন জ্যামিতি দ্বি-মাত্রিক স্থান উল্লেখ আর্ফকেন, জর্জ বি এবং হান্স জে ওয়েবার। পদার্থবিদদের জন্য গাণিতিক পদ্ধতি, একাডেমিক প্রেস; 6 সংস্করণ (21 জুন, 2005)। । বাহ্যিক সংযোগ প্রাথমিক রৈখিক বীজগণিত-অধ্যায় 8: কুইন্সল্যান্ড বিশ্ববিদ্যালয় থেকে ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি কিথ ম্যাথিউস, 1991 বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি বহুমাত্রিক জ্যামিতি ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা 3 (সংখ্যা) স্থান