Thomson problem
থমসন সমস্যার উদ্দেশ্য হল একটি একক গোলকের পৃষ্ঠে সীমাবদ্ধ ইলেকট্রনগুলির ন্যূনতম তড়িৎস্থায়ী সম্ভাব্য শক্তি বিন্যাস নির্ধারণ করা যা কুলম্বের সূত্র দ্বারা প্রদত্ত বল দিয়ে একে অপরকে প্রতিহত করে। পদার্থবিজ্ঞানী জে. জে. থমসন 1904 সালে একটি পারমাণবিক মডেল প্রস্তাব করার পরে সমস্যাটি উত্থাপন করেছিলেন, যা পরে প্লাম পুডিং মডেল নামে পরিচিত, নিরপেক্ষভাবে চার্জ করা পরমাণুর মধ্যে নেতিবাচকভাবে চার্জ করা ইলেকট্রনের অস্তিত্ব সম্পর্কে তাঁর জ্ঞানের উপর ভিত্তি করে। সম্পর্কিত সমস্যাগুলির মধ্যে রয়েছে ন্যূনতম শক্তির বিন্যাসের জ্যামিতি অধ্যয়ন এবং ন্যূনতম শক্তির বৃহৎ আচরণের অধ্যয়ন। গাণিতিক বিবৃতি সমান আধানের (একটি ইলেক্ট্রনের প্রাথমিক আধান সহ) প্রতিটি জোড়া ইলেকট্রনের মধ্যে ঘটে যাওয়া স্থির তড়িৎসংক্রান্ত মিথস্ক্রিয়া শক্তি কুলম্বের সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে বৈদ্যুতিক ধ্রুবক এবং ভেক্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত গোলকের বিন্দুতে অবস্থিত প্রতিটি জোড়া ইলেকট্রনের মধ্যে দূরত্ব। এবং (কুলম্ব ধ্রুবক)-এর সরলীকৃত এককগুলি সাধারণতা না হারিয়ে ব্যবহার করা হয়। তারপর, প্রতিটি এন-ইলেকট্রন বিন্যাসের মোট স্থিতিস্থাপক সম্ভাব্য শক্তিকে তারপর সমস্ত জোড়া-ভিত্তিক মিথস্ক্রিয়া শক্তির সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এন স্বতন্ত্র বিন্দুর সমস্ত সম্ভাব্য বিন্যাসের বিশ্বব্যাপী ন্যূনতমকরণ সাধারণত সংখ্যাসূচক ন্যূনতমকরণ অ্যালগরিদম দ্বারা পাওয়া যায়। থমসন-এর সমস্যাটি গণিতবিদ স্টিভ স্মেলের প্রস্তাবিত আঠারোটি অমীমাংসিত গণিত সমস্যার মধ্যে সপ্তমটির সাথে সম্পর্কিত-"2-গোলকের উপর বিন্দুর বিতরণ"। প্রধান পার্থক্যটি হল যে স্মেলের সমস্যায় সর্বনিম্ন করার ফাংশনটি তড়িৎস্থায়ী সম্ভাব্যতা নয় বরং একটি লগারিদমিক সম্ভাব্যতা দ্বারা প্রদত্ত একটি দ্বিতীয় পার্থক্য হল যে স্মেলের প্রশ্নটি মোট সম্ভাবনার অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ সম্পর্কে যখন বিন্দুর সংখ্যা এন অসীমের দিকে যায়, এন এর কংক্রিট মানগুলির জন্য নয়। উদাহরণ দুটি ইলেকট্রনের জন্য থমসন সমস্যার সমাধান তখন পাওয়া যায় যখন উভয় ইলেকট্রন উৎপত্তির বিপরীত দিকে যতটা সম্ভব দূরে থাকে, বা জানা সঠিক সমাধান গাণিতিকভাবে সঠিক ন্যূনতম শক্তি কনফিগারেশনগুলি মাত্র কয়েকটি ক্ষেত্রে কঠোরভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে। N = 1-এর জন্য, সমাধানটি তুচ্ছ। একক ইলেকট্রন একক গোলকের পৃষ্ঠের যে কোনও বিন্দুতে থাকতে পারে। বিন্যাসের মোট শক্তিকে শূন্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় কারণ চার্জের অন্যান্য উৎসের কারণে ইলেকট্রনের চার্জ কোনও বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের সাপেক্ষে নয়। এন = 2-এর জন্য, সর্বোত্তম বিন্যাসটি অ্যান্টিপোডাল বিন্দুতে ইলেকট্রন নিয়ে গঠিত। এটি প্রথম এক-মাত্রিক সমাধানের প্রতিনিধিত্ব করে। N = 3-এর জন্য, ইলেকট্রনগুলি যে কোনও বড় বৃত্তের চারপাশে একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষে থাকে। বৃহৎ বৃত্তটি প্রায়শই গোলক সম্পর্কে একটি বিষুবরেখা সংজ্ঞায়িত করে বলে মনে করা হয় এবং সমতলের লম্ব দুটি বিন্দুকে প্রায়শই বহু-এন ইলেক্ট্রন সমাধানের তড়িৎস্থায়ী বিন্যাস সম্পর্কে আলোচনায় সহায়তা করার জন্য মেরু হিসাবে বিবেচনা করা হয়। এছাড়াও, এটি প্রথম দ্বিমাত্রিক সমাধানের প্রতিনিধিত্ব করে। এন = 4-এর জন্য, ইলেকট্রনগুলি একটি নিয়মিত টেট্রাহেড্রনের শীর্ষে থাকে। আগ্রহের বিষয় হল, এটি প্রথম ত্রিমাত্রিক সমাধানের প্রতিনিধিত্ব করে। এন = 5-এর জন্য, 2010 সালে একটি গাণিতিকভাবে কঠোর কম্পিউটার-সহায়ক সমাধান রিপোর্ট করা হয়েছিল যেখানে একটি ত্রিভুজাকার ডিপিরামিডের শীর্ষে ইলেকট্রন থাকে। আগ্রহের বিষয় হল, পাঁচ বা ততোধিক ইলেকট্রন সহ কোনও এন সমাধানের পক্ষে সমস্ত জোড়া ইলেকট্রনের মধ্যে বিশ্বব্যাপী সমান দূরত্ব প্রদর্শন করা অসম্ভব। এন = 6-এর জন্য, ইলেকট্রনগুলি একটি নিয়মিত অষ্টতলকের শীর্ষে থাকে। এই বিন্যাসটি চারটি ইলেকট্রন হিসাবে কল্পনা করা যেতে পারে যা বিষুবরেখার চারপাশে একটি বর্গক্ষেত্রের কোণে থাকে এবং বাকি দুটি মেরুতে থাকে। এন = 12-এর জন্য, ইলেকট্রনগুলি একটি নিয়মিত আইকোসাহেড্রনের শীর্ষে থাকে। এন = 4,6 এবং 12 ইলেকট্রনের জন্য থমসন সমস্যার জ্যামিতিক সমাধানগুলি হল প্লেটোনিক কঠিন পদার্থ, যার সমস্ত মুখই সর্বব্যাপী সমবাহু ত্রিভুজ। N = 8 এবং 20-এর সংখ্যাসূচক সমাধানগুলি অবশিষ্ট দুটি প্লেটোনিক কঠিন পদার্থের নিয়মিত উত্তল পলিহেড্রাল বিন্যাস নয়, যার মুখগুলি যথাক্রমে বর্গাকার এবং পঞ্চভুজাকার। সাধারণীকরণ নির্বিচারে সম্ভাবনার সাথে মিথস্ক্রিয়া করা কণাগুলির স্থল অবস্থাও জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে। গাণিতিকভাবে সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, ধরা যাক f একটি হ্রাসমান বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন, এবং শক্তির কার্যকারিতাকে সংজ্ঞায়িত করুন ঐতিহ্যগতভাবে, একজনকে রিজ-কার্নেল নামেও পরিচিত বলে মনে করা হয়। ইন্টিগ্রেবল রিজ কার্নেলের জন্য ল্যান্ডকোফের 1972 সালের কাজ দেখুন। অবিচ্ছেদ্য রিজ কার্নেলের জন্য, পপি-বীজ ব্যাগেল উপপাদ্য ধারণ করে, হার্ডিন এবং স্যাফের 2004 সালের কাজ দেখুন। উল্লেখযোগ্য ঘটনাগুলির মধ্যে রয়েছেঃ α = φ, ট্যামস সমস্যা (প্যাকিং); α = 1, থমসন সমস্যা; α = 0, দূরত্বের গুণফলকে সর্বাধিক করার জন্য, যা পরে হোয়েটের সমস্যা হিসাবে পরিচিত; α = −1: সর্বাধিক গড় দূরত্ব সমস্যা। উচ্চতর মাত্রার একটি গোলকের উপর N বিন্দুর বিন্যাসও বিবেচনা করা যেতে পারে। গোলাকার নকশা দেখুন। সমাধান অ্যালগরিদম এই সমস্যার জন্য বেশ কয়েকটি অ্যালগরিদম প্রয়োগ করা হয়েছে। সহস্রাব্দ থেকে শক্তি ক্রিয়াকলাপে প্রয়োগ করা স্থানীয় অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতির উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করা হয়েছে, যদিও এলোমেলো হাঁটা তাদের চেহারা তৈরি করেছেঃ সীমাবদ্ধ বিশ্বব্যাপী অপ্টিমাইজেশন (আল্টশুলার এট আল। 1994), স্টিপেস্ট ডিসেন্ট (ক্ল্যাক্সটন এবং বেনসন 1966, এরবার এবং হকনি 1991), র্যান্ডম ওয়াক (ওয়েইনরাচ এট আল। 1990), জেনেটিক অ্যালগরিদম (মরিস এট আল। 1996) যদিও উদ্দেশ্য হল প্রতিটি এন-ইলেকট্রন ক্ষেত্রে বৈশ্বিক স্থিতিশীল সম্ভাব্য শক্তি হ্রাস করা, বেশ কয়েকটি অ্যালগরিদমিক প্রারম্ভিক ক্ষেত্রে আগ্রহের বিষয়। অবিচ্ছিন্ন গোলাকার আধান তার পৃষ্ঠ জুড়ে বিতরণ করা আধানের একটি অবিচ্ছিন্ন গোলাকার আধানের শক্তি দ্বারা দেওয়া হয় এবং সাধারণভাবে, প্রতিটি থমসন সমস্যা সমাধানের শক্তির চেয়ে বেশি। দ্রষ্টব্যঃ এখানে এন একটি অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীল হিসাবে ব্যবহৃত হয় যা গোলাকার শেল জুড়ে বিতরণ করা অসীম বিভাজ্য চার্জ, কিউকে উপস্থাপন করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি গোলাকার আধান সমগ্র আধান জুড়ে একটি একক ইলেকট্রনের আধানের অভিন্ন বণ্টনের প্রতিনিধিত্ব করে। এলোমেলোভাবে বণ্টিত বিন্দু আধান গোলকের পৃষ্ঠ জুড়ে সম্পূর্ণরূপে এলোমেলোভাবে বণ্টিত ইলেকট্রনগুলির একটি সিস্টেমের বৈশ্বিক শক্তি দ্বারা দেওয়া হয় এবং সাধারণভাবে, প্রতিটি থমসন সমস্যা সমাধানের শক্তির চেয়ে বেশি। এখানে, এন একটি পৃথক পরিবর্তনশীল যা সিস্টেমে ইলেকট্রনের সংখ্যা গণনা করে। পাশাপাশি,। চার্জ-কেন্দ্রিক বন্টন থমসন সমস্যার প্রতিটি Nth সমাধানের জন্য একটি th বিন্যাস রয়েছে যার মধ্যে গোলকের উৎসে একটি ইলেক্ট্রন রয়েছে যার শক্তি কেবল Nth সমাধানের শক্তিতে N যোগ করা। অর্থাৎ, যদি সঠিকভাবে জানা যায়, তাহলে সঠিকভাবে জানা যায়। সাধারণভাবে, এর চেয়ে বড়, কিন্তু এবং এর চেয়ে প্রতিটি থমসন সমাধানের উল্লেখযোগ্যভাবে কাছাকাছি। অতএব, চার্জ-কেন্দ্রিক বন্টন অন্য দুটি চার্জ কনফিগারেশন দিয়ে শুরু হওয়া অ্যালগরিদমের তুলনায় প্রতিটি থমসন সমস্যার সমাধানে পৌঁছানোর জন্য একটি ছোট "শক্তির ব্যবধান" উপস্থাপন করে। অন্যান্য বৈজ্ঞানিক সমস্যার সঙ্গে সম্পর্ক থমসন সমস্যাটি জে. জে. থমসনের প্লাম পুডিং মডেলের অভিন্ন ধনাত্মক ব্যাকগ্রাউন্ড চার্জের অনুপস্থিতিতে একটি স্বাভাবিক পরিণতি। যদিও পরীক্ষামূলক প্রমাণগুলি সম্পূর্ণ পারমাণবিক মডেল হিসাবে থমসনের প্লাম পুডিং মডেলকে পরিত্যাগ করার দিকে পরিচালিত করেছিল, থমসন সমস্যার সংখ্যাসূচক শক্তি সমাধানগুলিতে দৃশ্যমান অনিয়মগুলি উপাদানগুলির পর্যায়ক্রমিক সারণী জুড়ে প্রাকৃতিকভাবে উপস্থিত পরমাণুগুলিতে ইলেক্ট্রন শেল-ফিলিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে দেখা গেছে। থমসন সমস্যাটি বহু-ইলেকট্রন বুদ্বুদ এবং পল ট্র্যাপগুলিতে সীমাবদ্ধ তরল ধাতব ফোঁটাগুলির পৃষ্ঠ ক্রম সহ অন্যান্য ভৌত মডেলগুলির অধ্যয়নেও ভূমিকা পালন করে। উদাহরণস্বরূপ, গোলাকার ভাইরাসের কোষ নিয়ে গঠিত প্রোটিন সাবইউনিটের বিন্যাস নির্ধারণে সাধারণ থমসন সমস্যা দেখা দেয়। এই প্রয়োগের "কণাগুলি" একটি খোলের উপর সাজানো প্রোটিন সাবইউনিটের গুচ্ছ। অন্যান্য উপলব্ধির মধ্যে রয়েছে কলয়েডোসোমে কোলয়েড কণাগুলির নিয়মিত বিন্যাস, সক্রিয় উপাদান যেমন ওষুধ, পুষ্টি বা জীবন্ত কোষ, কার্বন পরমাণুর ফুলেরিন নিদর্শন এবং ভি. এস. ই. পি. আর তত্ত্বের জন্য প্রস্তাবিত। দীর্ঘ-পরিসীমা লগারিদমিক মিথস্ক্রিয়ার একটি উদাহরণ অ্যাব্রিকোসভ ভোর্টিস দ্বারা সরবরাহ করা হয় যা কেন্দ্রে একটি বড় মনোপোল সহ একটি অতিপরিবাহী ধাতব শেলের মধ্যে কম তাপমাত্রায় গঠিত হয়। ক্ষুদ্রতম পরিচিত শক্তির বিন্যাস নিম্নলিখিত সারণিতে একটি বিন্যাসে বিন্দুর (আধান) সংখ্যা, শক্তি, প্রতিসাম্যের ধরন স্কনফ্লাইস স্বরলিপিতে দেওয়া হয়েছে (তিনটি মাত্রায় বিন্দু গোষ্ঠী দেখুন), এবং আধানগুলির অবস্থান। বেশিরভাগ প্রতিসাম্য প্রকারের অবস্থানের ভেক্টর যোগফল (এবং এইভাবে বৈদ্যুতিক দ্বিমেরু মুহূর্ত) শূন্য হতে হবে। বিন্দুগুলির উত্তল কাঠামো দ্বারা গঠিত পলিহেড্রনকেও বিবেচনা করা প্রথাগত। সুতরাং, যেখানে প্রদত্ত প্রান্তের সংখ্যা মিলিত হয়, সেখানে শীর্ষগুলির সংখ্যা হল মোট প্রান্তের সংখ্যা, ত্রিভুজাকার মুখের সংখ্যা, চতুর্ভুজ মুখের সংখ্যা, এবং নিকটতম চার্জ জুটির সাথে যুক্ত ভেক্টর দ্বারা উপস্থাপিত ক্ষুদ্রতম কোণ। লক্ষ্য করুন যে প্রান্তের দৈর্ঘ্য সাধারণত সমান হয় না। সুতরাং, এন = 2,3,4,6,12 এবং জিওডেসিক পলিহেড্রা ব্যতীত, উত্তল কাঠামো শুধুমাত্র শেষ কলামে তালিকাভুক্ত চিত্রের সমতুল্য। একটি অনুমান অনুসারে, যদি p হল m বিন্দুর উত্তল কাঠামো দ্বারা গঠিত পলিহেড্রন, q হল p-এর চতুর্ভুজ মুখের সংখ্যা, তাহলে m ইলেকট্রনের সমাধান হল f (m):। রেফারেন্স নোট। । কনফিগারেশনগুলি পুনরায় মুদ্রিত হয়েছে। এই ওয়েবপেজে পুনরুত্পাদন করা কনফিগারেশনে সর্বনিম্ন পরিচিত শক্তি সহ আরও অনেক ইলেক্ট্রন কনফিগারেশন রয়েছেঃ https://www.hars.us। ইলেকট্রোস্ট্যাটিক্স ইলেক্ট্রন সার্কেল গণিতের অমীমাংসিত সমস্যাগুলির প্যাকিং