Branched covering
গণিতে, একটি শাখাযুক্ত আচ্ছাদন হল একটি মানচিত্র যা একটি ছোট সেট ব্যতীত প্রায় একটি আচ্ছাদন মানচিত্র। টপোলজিতে, একটি মানচিত্র হল একটি শাখাযুক্ত আচ্ছাদন, যদি এটি শাখা সেট নামে পরিচিত কোথাও ঘন সেট ব্যতীত সর্বত্র একটি আচ্ছাদন মানচিত্র হয়। উদাহরণস্বরূপ বৃত্তের একটি পাঁজর থেকে একটি একক বৃত্তের মানচিত্র অন্তর্ভুক্ত, যেখানে মানচিত্রটি প্রতিটি বৃত্তের একটি সমরূপতা। বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, শাখাযুক্ত আবরণ শব্দটি একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য থেকে অন্য একটিতে মরফিজম বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়, দুটি মাত্রা একই এবং 0 মাত্রার হওয়ার সাধারণ তন্তু। সেক্ষেত্রে, (জারিস্কি টপোলজির জন্য) একটি খোলা সেট থাকবে যা ঘন হবে, যাতে (থেকে, অর্থাৎ) এর সীমাবদ্ধতা অনির্দিষ্ট হয়। প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে, আমরা এটিকে শক্তিশালী টপোলজির জন্য স্থানীয় সমরূপতা হিসাবে, জটিল সংখ্যার উপর, বা সাধারণভাবে একটি এটেল মরফিজম হিসাবে নিতে পারি (কিছু সামান্য শক্তিশালী অনুমানের অধীনে, সমতলতা এবং পৃথকীকরণের উপর)। সাধারণভাবে, এই ধরনের অঙ্গসংস্থান টপোলজিকাল অর্থে একটি আচ্ছাদন স্থানের অনুরূপ। উদাহরণস্বরূপ, যদি এবং উভয়ই কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠতল হয়, তবে আমাদের কেবলমাত্র তা প্রয়োজন যা হলোমর্ফিক এবং ধ্রুবক নয়, এবং তারপরে পয়েন্টগুলির একটি সীমাবদ্ধ সেট রয়েছে, যার বাইরে আমরা একটি সৎ আবরণ খুঁজে পাই। র্যামিফিকেশন লোকাস ব্যতিক্রমী পয়েন্টগুলির সেটকে র্যামিফিকেশন লোকাস বলা হয় (অর্থাৎ। এটি বৃহত্তম সম্ভাব্য উন্মুক্ত সেটের পরিপূরক)। সাধারণভাবে মনোড্রোমি আবরণের শীটে কাজ করার মৌলিক গোষ্ঠী অনুসারে ঘটে (এই টপোলজিকাল চিত্রটি একটি সাধারণ বেস ক্ষেত্রের ক্ষেত্রেও সুনির্দিষ্ট করা যেতে পারে)। কুমার এক্সটেনশন শাখা আচ্ছাদনগুলি সহজেই কুমার এক্সটেনশন হিসাবে নির্মিত হয়, অর্থাৎ। ফাংশন ক্ষেত্রের বীজগাণিতিক সম্প্রসারণ হিসাবে। হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা হল প্রোটোটাইপিক উদাহরণ। আনরেমিফাইড আচ্ছাদন একটি আনরেমিফাইড আচ্ছাদন তখন একটি খালি র্যামিফিকেশন লোকাসের ঘটনা। উপবৃত্তাকার বক্ররেখার উদাহরণ বক্ররেখার অঙ্গসংস্থানগুলি বিস্তৃত আবরণের অনেক উদাহরণ প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ, আসুন সমীকরণের উপবৃত্তাকার বক্ররেখা হিসাবে ধরা যাক-অক্ষের উপর অভিক্ষেপটি একটি র্যামিফায়েড আবরণ যার দ্বারা র্যামফিকেশন লোকাস দেওয়া হয়েছে এটি কারণ ফাইবারের এই তিনটি মানের জন্য দ্বিগুণ বিন্দু এবং অন্য যে কোনও মানের জন্য, ফাইবার দুটি স্বতন্ত্র বিন্দু (একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর) নিয়ে গঠিত। এই অভিক্ষেপটি ফাংশন ক্ষেত্রগুলির ডিগ্রি দুই-এর একটি বীজগাণিতিক সম্প্রসারণকে প্ররোচিত করেঃ এছাড়াও, আমরা যদি অন্তর্নিহিত বিনিময়যোগ্য বলয়ের ভগ্নাংশ ক্ষেত্রগুলি গ্রহণ করি, তবে আমরা মরফিজম পাই। প্রজেক্টিভ লাইনের সাথে সংশ্লিষ্ট প্রজেক্টিভ উপবৃত্তাকার বক্ররেখার একটি ডিগ্রি 2 শাখাযুক্ত আবরণ তৈরি করতে এটি সমজাতীয় করা যেতে পারে। বিমান বীজগাণিতিক বক্ররেখা পূর্ববর্তী উদাহরণটি নিম্নলিখিত উপায়ে যে কোনও বীজগাণিতিক সমতল বক্ররেখায় সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি সমতল বক্ররেখা ধরা যাক, যেখানে দুটি অনির্ধারিতের মধ্যে একটি পৃথকযোগ্য এবং অপরিবর্তনীয় বহুপদী। যদি এর মাত্রা হয়, তবে ফাইবারটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক মান ব্যতীত স্বতন্ত্র বিন্দু নিয়ে গঠিত। সুতরাং, এই অভিক্ষেপটি ডিগ্রির একটি শাখাযুক্ত আবরণ। এর ব্যতিক্রমী মানগুলি হল ইন এর সহগের মূল, এবং এর সাপেক্ষে ডিস্ক্রিমিন্যান্টের মূল। ডিস্ক্রিমিন্যান্টের একটি মূলের উপরে, কমপক্ষে একটি বিস্তৃত বিন্দু থাকে, যা হয় একটি সমালোচনামূলক বিন্দু বা একটি একক বিন্দু। যদি ইন এর সহগের মূলও হয়, তবে এই র্যামিফাইড বিন্দুটি হল "অসীম"। ইন-এর সহগের মূলের উপরে, বক্ররেখার একটি অসীম শাখা রয়েছে এবং এট-এর তন্তুতে বিন্দুর চেয়ে কম রয়েছে। যাইহোক, যদি কেউ প্রজেকশনটি এবং-অক্ষের প্রজেকটিভ সম্পূর্ণতা পর্যন্ত প্রসারিত করে এবং যদি এটি ডিস্ক্রিমিন্যান্টের মূল না হয়, তবে প্রজেকশনটি এর আশেপাশে একটি আচ্ছাদন হয়ে যায়। এই অভিক্ষেপটি যে ডিগ্রির একটি শাখাযুক্ত আবরণ, তা ফাংশন ক্ষেত্রগুলি বিবেচনা করেও দেখা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, এই অভিক্ষেপটি ডিগ্রি ভেরাইং র্যামিফিকেশনের ক্ষেত্র সম্প্রসারণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আমরা বিভিন্ন র্যামিফিকেশনের ডিগ্রি সহ লাইনের শাখাযুক্ত আবরণগুলিকেও সাধারণীকরণ করতে পারি। ফর্মের একটি বহুপদী বিবেচনা করুন যখন আমরা বিভিন্ন পয়েন্ট বেছে নিই, ফাইবারগুলি পরিবর্তিত হওয়ার অদৃশ্য লোকাস দ্বারা দেওয়া হয়। যে কোনও বিন্দুতে যেখানে ফ্যাক্টরাইজেশনে রৈখিক পদগুলির মধ্যে একটির গুণিতক এক দ্বারা বৃদ্ধি পায়, সেখানে একটি শাখা থাকে। পরিকল্পনা তাত্ত্বিক উদাহরণ উপবৃত্তাকার বক্ররেখা বক্ররেখার অঙ্গসংস্থানগুলি পরিকল্পনার বিস্তৃত আবরণের অনেক উদাহরণ প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি অ্যাফিন উপবৃত্তাকার বক্ররেখা থেকে একটি লাইনে রূপায়ন হল একটি র্যামফিকেশন লোকাস সহ একটি র্যামফাইড কভার। এটি একটি প্রজেক্টিভ উপবৃত্তাকার বক্ররেখার একটি মরফিজম তৈরি করতে সমজাতীয় করা যেতে পারে। হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা একটি হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা একটি বহুপদী দ্বারা সংজ্ঞায়িত অ্যাফিন স্কিম বিবেচনা করে অ্যাফিন লাইনের উপরের ডিগ্রি কভারের একটি সাধারণীকরণ সরবরাহ করে যেখানে অ্যাফিন লাইনের উচ্চতর ডিগ্রি কভারিংয়ের জন্য আমরা পূর্ববর্তী উদাহরণটি সাধারণীকরণ করতে পারি যেখানে কোনও পুনরাবৃত্ত শিকড় নেই। তারপরে, আমরা ভগ্নাংশ ক্ষেত্রগুলির একটি প্ররোচিত মরফিজম পাই যার সাথে লক্ষ্যের একটি-মডিউল আইসোমরফিজম রয়েছে তাই আবরণটি ডিগ্রির। সুপেরেলিপটিক বক্ররেখা হল হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার একটি সাধারণীকরণ এবং উদাহরণগুলির পূর্ববর্তী পরিবারের একটি বিশেষীকরণ কারণ এগুলি বহুপদ থেকে অ্যাফিন স্কিম দ্বারা দেওয়া হয় যেখানে কোনও পুনরাবৃত্ত মূল নেই। প্রজেক্টিভ স্পেসের রামিফাইড আবরণ উদাহরণের আরেকটি দরকারী শ্রেণী প্রজেক্টিভ স্পেসের রামিফাইড আবরণ থেকে আসে। একটি সমজাতীয় বহুপদী দেওয়া হলে আমরা প্রজেক্টিভ স্কিমগুলির মরফিজম বিবেচনা করে র্যামিফিকেশন লোকাসের সাথে একটি র্যামিফাইড আবরণ তৈরি করতে পারি আবার, এটি একটি মাত্রার আবরণ হবে। প্রয়োগ শাখাযুক্ত আবরণগুলি রূপান্তরগুলির একটি প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর সাথে আসে। যেহেতু প্রতিসাম্য গোষ্ঠীর র্যামিফিকেশন লোকাসের বিন্দুতে স্থিতিশীল থাকে, তাই শাখাযুক্ত আবরণগুলি অরবিফোল্ড বা ডেলিগনে-মামফোর্ড স্ট্যাকের উদাহরণ তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আরও দেখুন ইটাল মরফিজম অরবিফোল্ড স্ট্যাক (গণিত) রেফারেন্স কমপ্লেক্স বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য