Cartan's criterion
গণিতে, কার্টানের মানদণ্ডটি 0 বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি লাই বীজগণিতকে সমাধানযোগ্য হওয়ার শর্ত দেয়, যা লাই বীজগণিতকে আধা-সহজ হওয়ার জন্য একটি সম্পর্কিত মানদণ্ডকে বোঝায়। এটি কিলিং ফর্মের ধারণার উপর ভিত্তি করে, সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি প্রতিসম দ্বিমাত্রিক ফর্ম যেখানে ট্রে একটি রৈখিক অপারেটরের ট্রেসকে বোঝায়। মানদণ্ডটি দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। সমাধানযোগ্যতার জন্য কার্টেনের মানদণ্ড কার্টেনের সমাধানযোগ্যতার মানদণ্ড বলেঃ বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি ক্ষেত্রের উপর একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের এন্ডোমর্ফিজমের একটি লাই সাবঅ্যালজেব্রা সমাধানযোগ্য হয় যদি এবং কেবল তখনই যদি সমাধানযোগ্য ক্ষেত্রে লাইয়ের উপপাদ্যটি অনুসরণ করে যা স্থল ক্ষেত্রের বীজগাণিতিক বন্ধের উপর উপরের ত্রিভুজাকার আকারে রাখে (ট্রেসটি স্থল ক্ষেত্র প্রসারিত করার পরে গণনা করা যেতে পারে)। জর্ডান-চেভালি পচনের উপর ভিত্তি করে নিলপোটেন্সি মানদণ্ড থেকে বিপরীতটি অনুমান করা যেতে পারে (প্রমাণের জন্য, লিঙ্কটি অনুসরণ করুন)। সংলগ্ন উপস্থাপনায় কার্টানের মানদণ্ড প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়ঃ বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি ক্ষেত্রের উপর একটি সসীম-মাত্রিক লাই বীজগণিত সমাধানযোগ্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি (যেখানে K হল হত্যাকারী রূপ)। অর্ধ-সরলীকরণের জন্য কার্টেনের মানদণ্ড অর্ধ-সরলীকরণের জন্য কার্টেনের মানদণ্ড বলেঃ বৈশিষ্ট্য শূন্যের একটি ক্ষেত্রের উপর একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক লাই বীজগণিত অর্ধ-সরল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি কিলিং ফর্মটি অ-অবনমিত হয়। তিনি একটি খুব সংক্ষিপ্ত প্রমাণ দিয়েছেন যে, যদি একটি সসীম-মাত্রিক লাই বীজগণিতে (যে কোনও বৈশিষ্ট্যে) একটি অ-অধঃপতিত অপরিবর্তনীয় দ্বিমাত্রিক রূপ থাকে এবং কোনও অ-শূন্য আবেলিয়ান আদর্শ না থাকে, এবং বিশেষত যদি এর কিলিং ফর্ম অ-অধঃপতিত হয়, তবে এটি সহজ লাই অ্যালজেব্রার সমষ্টি। বিপরীতভাবে, এটি সমাধানযোগ্যতার জন্য কার্টানের মানদণ্ড থেকে সহজেই অনুসরণ করে যে একটি আধা-সহজ বীজগণিতের (বৈশিষ্ট্য 0-এ) একটি অ-ক্ষয়কারী হত্যাকারী রূপ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, কার্টানের মানদণ্ড বৈশিষ্ট্যগতভাবে ব্যর্থ হয়; উদাহরণস্বরূপঃ লাই বীজগণিত সহজ হয় যদি k-এর বৈশিষ্ট্য 2 না থাকে এবং এর অদৃশ্য হয়ে যাওয়া কিলিং ফর্ম থাকে, যদিও এর দ্বারা প্রদত্ত একটি অ-শূন্য অপরিবর্তনীয় দ্বিমাত্রিক রূপ থাকে। লাই বীজগণিতের ভিত্তি এবং বন্ধনী [এআই, এজে] = (আই-জে) এআই + জে এর জন্য সহজ তবে এর কোনও অ-শূন্য অপরিবর্তনীয় দ্বিমাত্রিক রূপ নেই। যদি k-এর বৈশিষ্ট্য 2 থাকে তবে অর্ধ-পরোক্ষ গুণফল gl2 (k). k2 একটি সমাধানযোগ্য লাই বীজগণিত, তবে কিলিং ফর্মটি তার উদ্ভূত বীজগণিত sl2 (k). k2-এ একইভাবে শূন্য নয়। যদি একটি সসীম-মাত্রিক লাই বীজগণিত নিলপোটেন্ট হয়, তবে কিলিং ফর্মটি অভিন্নভাবে শূন্য হয় (এবং আরও সাধারণভাবে কিলিং ফর্মটি যে কোনও নিলপোটেন্ট আদর্শের উপর অদৃশ্য হয়ে যায়)। বিপরীতটি মিথ্যাঃ নন-নিলপোটেন্ট লাই অ্যালজেব্রা রয়েছে যার কিলিং ফর্ম অদৃশ্য হয়ে যায়। একটি উদাহরণ একটি আবেলিয়ান লাই বীজগণিত V-এর আধা-পরোক্ষ গুণফল দ্বারা দেওয়া হয় যার একটি 1-মাত্রিক লাই বীজগণিত V-এর উপর এন্ডোমর্ফিজম b হিসাবে কাজ করে যাতে b নিলপোটেন্ট নয় এবং Tr (b2) = 0 হয়। বৈশিষ্ট্য 0-এ, প্রতিটি হ্রাসকারী লাই বীজগণিতে (যা আবেলিয়ান এবং সাধারণ লাই বীজগণিতের সমষ্টি) একটি অ-অবনমিত অপরিবর্তনীয় প্রতিসম দ্বিমাত্রিক রূপ থাকে। তবে বিপরীতটি ভুলঃ একটি অ-অবনমিত অপরিবর্তনীয় প্রতিসম দ্বিমাত্রিক ফর্ম সহ একটি লাই বীজগণিত সহজ এবং আবেলিয়ান লাই অ্যালজেব্রার সমষ্টি হতে হবে না। একটি সাধারণ পাল্টা উদাহরণ হল জি = এল [টি]/টিএনএল [টি] যেখানে এন> 1, এল একটি দ্বিমাত্রিক ফর্ম (,) সহ একটি সহজ জটিল লাই বীজগণিত, এবং জি-তে দ্বিমাত্রিক ফর্মটি এল-এর ফর্ম দ্বারা প্ররোচিত জি-এর উপর সি [টি]-মূল্যবান দ্বিমাত্রিক ফর্মের টিএন-1 এর সহগ গ্রহণ করে দেওয়া হয়। দ্বিমাত্রিক ফর্মটি অ-ক্ষয়প্রাপ্ত, তবে লাই বীজগণিতটি সহজ এবং আবেলিয়ান লাই অ্যালজেব্রার সমষ্টি নয়। আরও দেখুন মডুলার লাই বীজগণিত লাই অ্যালজেব্রা