Church encoding
গণিতে, চার্চ এনকোডিং হল ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে ডেটা এবং অপারেটরদের প্রতিনিধিত্ব করার একটি মাধ্যম। চার্চের সংখ্যাগুলি ল্যাম্বডা স্বরলিপি ব্যবহার করে প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে। পদ্ধতিটি অ্যালনজো চার্চের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি প্রথম এইভাবে ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে তথ্য এনকোড করেছিলেন। যে শব্দগুলিকে সাধারণত অন্যান্য স্বরলিপিতে আদিম বলে মনে করা হয় (যেমন পূর্ণসংখ্যা, বুলিয়ান, জোড়া, তালিকা এবং ট্যাগ করা ইউনিয়ন) সেগুলিকে চার্চ এনকোডিংয়ের অধীনে উচ্চ-ক্রমের ফাংশনে ম্যাপ করা হয়। চার্চ-টুরিং থিসিস দাবি করে যে কোনও গণনাযোগ্য অপারেটর (এবং এর অপারেন্ডগুলি) চার্চ এনকোডিংয়ের অধীনে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। টাইপ না করা ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে একমাত্র আদিম তথ্য প্রকার হল ফাংশন। চার্চ এনকোডিং-এর একটি সোজাসুজি বাস্তবায়ন কিছু অ্যাক্সেস ক্রিয়াকলাপকে ধীর করে দেয়, যেখানে ডেটা কাঠামোর আকার, চার্চ এনকোডিংকে অবাস্তব করে তোলে। গবেষণায় দেখা গেছে যে এটি লক্ষ্যযুক্ত অপ্টিমাইজেশনের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে, তবে বেশিরভাগ কার্যকরী প্রোগ্রামিং ভাষাগুলি বীজগাণিতিক ডেটা প্রকার ধারণ করার জন্য তাদের মধ্যবর্তী উপস্থাপনাগুলিকে প্রসারিত করে। তা সত্ত্বেও চার্চ এনকোডিং প্রায়শই তাত্ত্বিক যুক্তিতে ব্যবহৃত হয়, কারণ এটি আংশিক মূল্যায়ন এবং উপপাদ্য প্রমাণের জন্য একটি স্বাভাবিক উপস্থাপনা। অপারেশনগুলি উচ্চতর র্যাঙ্কের ধরন ব্যবহার করে টাইপ করা যেতে পারে এবং আদিম পুনরাবৃত্তি সহজেই অ্যাক্সেসযোগ্য। এই ধারণা যে ফাংশনগুলি একমাত্র আদিম তথ্য প্রকার যা অনেক প্রমাণকে সহজতর করে। চার্চ এনকোডিং সম্পূর্ণ কিন্তু শুধুমাত্র প্রতিনিধিত্বমূলক। মানুষের কাছে প্রদর্শনের জন্য উপস্থাপনাটিকে সাধারণ ডেটা প্রকারগুলিতে অনুবাদ করার জন্য অতিরিক্ত ফাংশন প্রয়োজন। চার্চের উপপাদ্য থেকে সমতুল্যতার অনিশ্চিততার কারণে দুটি ফাংশন সম্প্রসারণগতভাবে সমান কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া সাধারণভাবে সম্ভব নয়। অনুবাদটি যে মানটি উপস্থাপন করে তা পুনরুদ্ধারের জন্য কোনওভাবে ফাংশনটি প্রয়োগ করতে পারে, অথবা আক্ষরিক ল্যাম্বডা শব্দ হিসাবে এর মানটি দেখতে পারে। ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসকে সাধারণত তীব্র সমতা ব্যবহার হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়। সমতার তীব্র ও বিস্তৃত সংজ্ঞার মধ্যে পার্থক্যের কারণে ফলাফলের ব্যাখ্যায় সম্ভাব্য সমস্যা রয়েছে। চার্চ সংখ্যা হল চার্চ এনকোডিংয়ের অধীনে প্রাকৃতিক সংখ্যার উপস্থাপনা। উচ্চ-ক্রমের ফাংশন যা প্রাকৃতিক সংখ্যা n-কে উপস্থাপন করে তা এমন একটি ফাংশন যা যে কোনও ফাংশনকে তার n-ভাঁজ গঠনের সাথে ম্যাপ করে। সহজ কথায়, সংখ্যার "মান" ফাংশনটি তার যুক্তিটি কতবার আবদ্ধ করে তার সমতুল্য। সমস্ত চার্চ সংখ্যা এমন ফাংশন যা দুটি পরামিতি নেয়। চার্চ সংখ্যা 0,1,2,., ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। 0 দিয়ে শুরু করে ফাংশনটি মোটেও প্রয়োগ না করে, 1 বার ফাংশনটি প্রয়োগ করে, 2 বার ফাংশনটি প্রয়োগ করে, 3 বার তিনবার ফাংশনটি প্রয়োগ করে ইত্যাদি দিয়ে এগিয়ে যান। : চার্চ সংখ্যা 3 কোনও প্রদত্ত ফাংশনকে একটি মানের তিনবার প্রয়োগ করার ক্রিয়াকে উপস্থাপন করে। সরবরাহকৃত ফাংশনটি প্রথমে একটি সরবরাহকৃত পরামিতি এবং তারপর ক্রমানুসারে তার নিজস্ব ফলাফলে প্রয়োগ করা হয়। শেষ ফলাফলটি সংখ্যা 3 নয় (যদি না সরবরাহকৃত পরামিতিটি 0 হয় এবং ফাংশনটি একটি উত্তরসূরি ফাংশন না হয়)। ফাংশন নিজেই, এবং এর শেষ ফলাফল নয়, চার্চ সংখ্যা 3। গির্জার সংখ্যা 3-এর অর্থ হল যে কোনও কিছু তিনবার করা। এটি "তিনবার" বলতে কী বোঝায় তার একটি আড়ম্বরপূর্ণ প্রদর্শন। গির্জার সংখ্যার সঙ্গে গণনা সংখ্যার গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি গির্জার সংখ্যার ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। এই ফাংশনগুলি ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, বা বেশিরভাগ কার্যকরী প্রোগ্রামিং ভাষায় প্রয়োগ করা যেতে পারে (ল্যাম্বডা এক্সপ্রেশনগুলিকে ফাংশনে রূপান্তর করা দেখুন)। সংযোজন ফাংশন আইডেন্টিটি ব্যবহার করে। উত্তরসূরি ফাংশনটি β-এর সমতুল্য। গুণন ফাংশন আইডেন্টিটি ব্যবহার করে। চার্চ সংখ্যার সংজ্ঞা দ্বারা সূচক ফাংশন দেওয়া হয়। পেতে বিকল্প সংজ্ঞায় এবং, যা ল্যাম্বডা অভিব্যক্তি দেয়, ফাংশনটি বোঝা আরও কঠিন। একটি চার্চ সংখ্যা একটি ফাংশন n বার প্রয়োগ করে। পূর্ববর্তী ফাংশনকে অবশ্যই এমন একটি ফাংশন ফেরত দিতে হবে যা তার প্যারামিটার n-1 বার প্রয়োগ করে। এটি f এবং x এর চারপাশে একটি ধারক তৈরি করে অর্জন করা হয়, যা এমনভাবে শুরু করা হয় যা প্রথমবার ফাংশনের প্রয়োগ বাদ দেয়। আরও বিস্তারিত ব্যাখ্যার জন্য পূর্বসূরি দেখুন। বিয়োগ ফাংশনটি পূর্ববর্তী ফাংশনের উপর ভিত্তি করে লেখা যেতে পারে। চার্চ সংখ্যার উপর ফাংশনের সারণী পূর্ববর্তী ফাংশনের উৎপত্তি চার্চ এনকোডিংয়ে ব্যবহৃত পূর্ববর্তী ফাংশন হল,। পূর্বসূরি তৈরি করতে আমাদের 1 কম সময় ফাংশন প্রয়োগ করার একটি উপায় প্রয়োজন। একটি সংখ্যা ফাংশনের সময়কে প্রয়োগ করে। পূর্ববর্তী ফাংশনকে অবশ্যই ফাংশন সময় প্রয়োগ করতে সংখ্যা ব্যবহার করতে হবে। পূর্ববর্তী ফাংশনটি বাস্তবায়নের আগে, এখানে একটি স্কিম রয়েছে যা একটি ধারক ফাংশনে মানটি মোড়িয়ে দেয়। আমরা এবং, কল এবং এর জায়গায় ব্যবহার করার জন্য নতুন ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করব। ধারক ফাংশন বলা হয়। টেবিলের বাম দিকটি এবং-এর উপর প্রয়োগ করা একটি সংখ্যা দেখায়। সাধারণ পুনরাবৃত্তির নিয়মটি হল, যদি ধারক (যাকে বলা হয়) থেকে মান পুনরুদ্ধারের জন্যও কোনও ফাংশন থাকে, তবে ফাংশনটিকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, ফাংশনটি অভ্যন্তরীণভাবে কার্যকর নয়। যাইহোক, প্রতিনিধিরা যখন এর ধারক যুক্তিটির প্রতি আহ্বান জানাচ্ছেন, তখন আমরা ব্যবস্থা করতে পারি যে প্রথম আবেদনে একটি বিশেষ ধারক পাওয়া যায় যা এর যুক্তি উপেক্ষা করে প্রথম প্রয়োগটি এড়িয়ে যাওয়ার অনুমতি দেয়। এই নতুন প্রাথমিক পাত্রে কল করুন। উপরের টেবিলের ডান দিকটি এর সম্প্রসারণ দেখায়। তারপরে ফাংশনের অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করে আমরা পূর্ববর্তী ফাংশনটি পাই, যেমনটি ফাংশনের নীচে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, এবং এটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা ল্যাম্বডা অভিব্যক্তি দেয়, প্রিড প্রিড সংজ্ঞায়িত করার আরেকটি উপায়ও জোড়া ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ এটি একটি সহজ সংজ্ঞা, তবে প্রিডের জন্য আরও জটিল অভিব্যক্তি নিয়ে আসে। এর জন্য বিস্তারঃ প্রাকৃতিক সংখ্যার বিভাজন বিভাগ দ্বারা প্রয়োগ করা যেতে পারে, গণনা অনেক বিটা হ্রাস নেয়। হাত দিয়ে হ্রাস না করা পর্যন্ত, এটি ততটা গুরুত্বপূর্ণ নয়, তবে এই গণনাটি দুবার না করাই শ্রেয়। পরীক্ষার সংখ্যার জন্য সবচেয়ে সহজ পূর্বাভাস হল ইসজিরো, তাই শর্তটি বিবেচনা করুন। কিন্তু এই শর্তটি সমতুল্য, নয়। যদি এই অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করা হয় তবে উপরে প্রদত্ত বিভাজনের গাণিতিক সংজ্ঞাটি চার্চ সংখ্যার ফাংশনে অনুবাদ করা হয়, যেমন পছন্দসই, এই সংজ্ঞাটির একটি একক কল রয়েছে। তবে ফলাফল হল যে এই সূত্রটি এর মান দেয়। বিভাজনের আগে এন-এ 1 যোগ করে এই সমস্যাটি সংশোধন করা যেতে পারে। বিভাজনের সংজ্ঞাটি হল, বিভাজন 1 একটি পুনরাবৃত্তিমূলক সংজ্ঞা। পুনরাবৃত্তি বাস্তবায়নের জন্য ওয়াই কম্বিনেটর ব্যবহার করা যেতে পারে। ডিভি বাই নামে একটি নতুন ফাংশন তৈরি করুন; বাম দিকে ডান দিকে পেতে, তারপর, যেখানে, দেয়, বা টেক্সট হিসাবে, ব্যবহার করে, ডিভাইড = (\n. ((\f। (\x. xx) (\x. f (xx))) (\c. \n. \m. \f. \x. (\d। (\n. n (\x। (\a. \b. b)) (\a. \b. a)) d (((\f. \x. x) fx) (f (\m. \n. n (\n. \f. \x. n (\g. \h. h (gf)) (\u. x) (\u. x) m) nm) ((\n. \f. \x। f (n f x)) n)) উদাহরণস্বরূপ, 9/3 কে ভাগ (\f. \x. f (f (f (f (f (f (f (f))))))) (\f. \x. f (f (f (x)))) দ্বারা উপস্থাপন করা হয়। \f. \x. f (f (f (x))) স্বাক্ষরিত সংখ্যা চার্চ সংখ্যাকে স্বাক্ষরিত সংখ্যায় প্রসারিত করার একটি সহজ পদ্ধতি হল একটি চার্চ জোড়া ব্যবহার করা, যার মধ্যে চার্চ সংখ্যাগুলি ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক মান উপস্থাপন করে। পূর্ণসংখ্যার মান হল দুটি চার্চ সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য। একটি স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা একটি স্বাক্ষরিত সংখ্যায় রূপান্তরিত হয়, মানগুলি অদলবদল করে নেতিবাচকতা সঞ্চালিত হয়। জোড়ের একটি শূন্য হলে পূর্ণসংখ্যার মান আরও স্বাভাবিকভাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। ওয়ান জিরো ফাংশন এই শর্তটি অর্জন করে, পুনরাবৃত্তিটি ওয়াই কম্বিনেটর ব্যবহার করে প্রয়োগ করা যেতে পারে, প্লাস এবং বিয়োগ সংযোজনটি জোড়ের উপর গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, শেষ অভিব্যক্তিটি ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে অনুবাদ করা হয়, একইভাবে বিয়োগকে সংজ্ঞায়িত করা হয়, দেওয়া, গুণ করা এবং গুণকে ভাগ করা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, শেষ অভিব্যক্তিটি ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে অনুবাদ করা হয়, বিভাজনের জন্য এখানে অনুরূপ সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে, এই সংজ্ঞা ব্যতীত, প্রতিটি জোড়ার একটি মান অবশ্যই শূন্য হতে হবে (উপরে ওয়ান জিরো দেখুন)। ডিভিজেড ফাংশন আমাদের শূন্য উপাদানযুক্ত মানটিকে উপেক্ষা করার অনুমতি দেয়। তারপর নিম্নলিখিত সূত্রে ডিভজেড ব্যবহার করা হয়, যা গুণনের জন্য একই, কিন্তু মাল্টি দিয়ে ডিভজেড দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। যুক্তিসঙ্গত এবং বাস্তব সংখ্যা যুক্তিসঙ্গত এবং গণনাযোগ্য বাস্তব সংখ্যাগুলিও ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে এনকোড করা যেতে পারে। যুক্তিসঙ্গত সংখ্যাগুলি স্বাক্ষরিত সংখ্যার জোড়া হিসাবে এনকোড করা যেতে পারে। গণনাযোগ্য বাস্তব সংখ্যাগুলি একটি সীমিত প্রক্রিয়া দ্বারা এনকোড করা যেতে পারে যা নিশ্চিত করে যে প্রকৃত মান থেকে পার্থক্য একটি সংখ্যা দ্বারা পৃথক হয় যা আমাদের প্রয়োজন হিসাবে ছোট করা যেতে পারে। প্রদত্ত রেফারেন্সগুলি এমন সফ্টওয়্যার বর্ণনা করে যা তত্ত্বগতভাবে ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে অনুবাদ করা যেতে পারে। একবার বাস্তব সংখ্যা সংজ্ঞায়িত হয়ে গেলে, জটিল সংখ্যাগুলি স্বাভাবিকভাবেই বাস্তব সংখ্যার জোড়া হিসাবে এনকোড করা হয়। উপরে বর্ণিত ডেটা প্রকার এবং ফাংশনগুলি দেখায় যে কোনও ডেটা প্রকার বা গণনা ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে এনকোড করা যেতে পারে। এটি চার্চ-টুরিং থিসিস। অন্যান্য উপস্থাপনা সহ অনুবাদ বেশিরভাগ বাস্তব-বিশ্বের ভাষাগুলিতে মেশিন-নেটিভ পূর্ণসংখ্যার জন্য সমর্থন রয়েছে; চার্চ এবং আনচার্চ ফাংশনগুলি অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা এবং তাদের সংশ্লিষ্ট চার্চ সংখ্যার মধ্যে রূপান্তরিত হয়। ফাংশনগুলি এখানে হাস্কেলে দেওয়া হয়েছে, যেখানে λ ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের λ এর সাথে মিলে যায়। অন্যান্য ভাষায় প্রয়োগগুলি একই রকম। চার্চ a = (a-> a)-> a-> একটি গির্জা টাইপ করুনঃ পূর্ণসংখ্যা-> চার্চ ইন্টিজার চার্চ 0 = \f-> \x-> x চার্চ n = \f-> \x-> f (চার্চ (n-1) f x) আনচার্চঃঃ চার্চ ইন্টিজার-> ইন্টিজার আনচার্চ cn = cn (+ 1) 0 চার্চ বুলিয়ান চার্চ বুলিয়ান হল বুলিয়ান মানগুলির চার্চ এনকোডিং যা সত্য এবং মিথ্যা। কিছু প্রোগ্রামিং ভাষা বুলিয়ান গাণিতিক প্রয়োগের মডেল হিসাবে এগুলি ব্যবহার করে; উদাহরণ হল স্মলটক এবং পিকো। বুলিয়ান লজিককে একটি পছন্দ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সত্য এবং মিথ্যার চার্চ এনকোডিং দুটি পরামিতিগুলির ফাংশনঃ সত্য প্রথম পরামিতিটি বেছে নেয়। ফাল্স দ্বিতীয় প্যারামিটারটি বেছে নেয়। এই দুটি সংজ্ঞা চার্চ বুলিয়ান নামে পরিচিতঃ এই সংজ্ঞাটি ভবিষ্যদ্বাণী করার অনুমতি দেয় (অর্থাৎ। লজিক্যাল মান ফেরত দেওয়া ফাংশন) সরাসরি যদি-ধারা হিসাবে কাজ করে। একটি বূলিয়ান ফেরত দেওয়া ফাংশন, যা তারপর দুটি পরামিতিগুলিতে প্রয়োগ করা হয়, প্রথম বা দ্বিতীয় পরামিতিটি প্রদান করেঃ যদি প্রেডিকেট-x-কে সত্য বলে মূল্যায়ন করা হয়, এবং যদি প্রেডিকেট-x-কে মিথ্যা বলে মূল্যায়ন করা হয়, তাহলে অন্য-ধারার মূল্যায়ন করা হয়। যেহেতু সত্য এবং মিথ্যা প্রথম বা দ্বিতীয় প্যারামিটারটি বেছে নেয়, তাই লজিক অপারেটর সরবরাহ করতে তাদের একত্রিত করা যেতে পারে। মনে রাখবেন যে না-এর একাধিক সম্ভাব্য বাস্তবায়ন রয়েছে। কিছু উদাহরণ-পূর্বাভাস একটি পূর্বাভাস এমন একটি ফাংশন যা একটি বুলিয়ান মান প্রদান করে। সবচেয়ে মৌলিক ভবিষ্যদ্বাণীটি হল, যা ফিরে আসে যদি এর যুক্তিটি চার্চ সংখ্যা হয়, এবং যদি এর যুক্তিটি অন্য কোনও চার্চ সংখ্যা হয়ঃ নিম্নলিখিত ভবিষ্যদ্বাণীটি প্রথম যুক্তিটি দ্বিতীয়টির চেয়ে কম-বা-সমান-কিনা তা পরীক্ষা করেঃ, পরিচয়ের কারণে, সমতার জন্য পরীক্ষাটি প্রয়োগ করা যেতে পারে, চার্চ জোড়া চার্চ জোড়া হল জোড়া (দুই-টুপল) ধরনের চার্চ এনকোডিং। এই জুটিকে এমন একটি ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করা হয় যা একটি ফাংশন যুক্তি গ্রহণ করে। যখন এর যুক্তি দেওয়া হবে তখন এটি যুক্তিটিকে জুটির দুটি উপাদানের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করবে। ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের সংজ্ঞা হল, উদাহরণস্বরূপ, তালিকা এনকোডিং তালিকা নোড থেকে একটি (অপরিবর্তনীয়) তালিকা তৈরি করা হয়। তালিকার মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলি হল; আমরা নীচের তালিকার চারটি ভিন্ন উপস্থাপনা দিচ্ছিঃ দুটি জোড়া থেকে প্রতিটি তালিকা নোড তৈরি করুন (খালি তালিকার অনুমতি দেওয়ার জন্য)। একটি জোড়া থেকে প্রতিটি তালিকা নোড তৈরি করুন। ডান ভাঁজ ফাংশন ব্যবহার করে তালিকাটি উপস্থাপন করুন। স্কটের এনকোডিং ব্যবহার করে তালিকাটি উপস্থাপন করুন যা ম্যাচ এক্সপ্রেশনের ক্ষেত্রে আর্গুমেন্ট হিসাবে নেয় তালিকা নোড হিসাবে দুটি জোড়া একটি নন-এম্প্টি তালিকা একটি চার্চ জোড়া দ্বারা প্রয়োগ করা যেতে পারে; প্রথমে মাথা রয়েছে। দ্বিতীয়টিতে লেজ রয়েছে। তবে এটি খালি তালিকার প্রতিনিধিত্ব দেয় না, কারণ কোনও "নাল" পয়েন্টার নেই। শূন্যকে উপস্থাপন করার জন্য, এই জুটিকে অন্য জোড়ায় মোড়ানো যেতে পারে, যা তিনটি মান দেয়ঃ প্রথম-শূন্য নির্দেশক (খালি তালিকা)। Second.First-এ হেড রয়েছে। Second.Second-এ লেজ রয়েছে। এই ধারণাটি ব্যবহার করে মৌলিক তালিকা ক্রিয়াকলাপগুলি এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ একটি শূন্য নোডে সেকেন্ড কখনই অ্যাক্সেস করা যায় না, তবে শর্ত থাকে যে হেড এবং লেজ কেবল খালি তালিকাগুলিতে প্রয়োগ করা হয়। তালিকা নোড হিসাবে একটি জোড়া বিকল্পভাবে, সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে শেষ সংজ্ঞাটি সাধারণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে ডান ভাঁজ ব্যবহার করে তালিকাটি উপস্থাপন করুন চার্চ জোড়া ব্যবহার করে এনকোডিংয়ের বিকল্প হিসাবে, একটি তালিকা তার ডান ভাঁজ ফাংশন দিয়ে চিহ্নিত করে এনকোড করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, x, y এবং z তিনটি উপাদানের একটি তালিকা একটি উচ্চতর-ক্রম ফাংশন দ্বারা এনকোড করা যেতে পারে যা যখন একটি সংযোজক c এবং একটি মান n-এ প্রয়োগ করা হয় তখন c x (c y (c z n)) প্রদান করে। এই তালিকার উপস্থাপনাটি সিস্টেম এফ-এ টাইপ করা যেতে পারে। স্কট এনকোডিং ব্যবহার করে তালিকার প্রতিনিধিত্ব করুন একটি বিকল্প উপস্থাপনা হল স্কট এনকোডিং, যা ধারাবাহিকতার ধারণাটি ব্যবহার করে এবং সহজ কোডের দিকে নিয়ে যেতে পারে। (আরও দেখুন মোগেনসেন-স্কট এনকোডিং)। এই পদ্ধতিতে, আমরা এই সত্যটি ব্যবহার করি যে প্যাটার্ন ম্যাচিং এক্সপ্রেশন ব্যবহার করে তালিকাগুলি পর্যবেক্ষণ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, স্কালা নোটেশন ব্যবহার করে, যদি তালিকা খালি তালিকা নীল এবং কনস্ট্রাক্টর কনস (এইচ, টি) সহ টাইপ লিস্টের একটি মান নির্দেশ করে তবে আমরা তালিকাটি পরিদর্শন করতে পারি এবং তালিকাটি খালি থাকলে এবং তালিকাটি খালি না থাকলে নিলকোড গণনা করতে পারিঃ লিস্ট ম্যাচ {কেস নিল => নিলকোড কেস কনস (এইচ, টি) => কনসকোড (এইচ, টি)} এটি কীভাবে কাজ করে তার দ্বারা দেওয়া হয় এবং। সুতরাং আমরা একটি তালিকাকে এমন একটি ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি যা এই জাতীয় এবং আর্গুমেন্ট হিসাবে গ্রহণ করে, যাতে উপরের প্যাটার্ন মিলনের পরিবর্তে আমরা কেবল লিখতে পারিঃ আসুন আমরা সংশ্লিষ্ট প্যারামিটার দ্বারা এবং সংশ্লিষ্ট প্যারামিটার দ্বারা চিহ্নিত করি। খালি তালিকাটি শূন্য যুক্তি প্রদান করেঃ মাথা এবং লেজ সহ অ-খালি তালিকাটি দ্বারা দেওয়া হয় আরও সাধারণভাবে, বিকল্প সহ একটি বীজগাণিতিক তথ্য প্রকার পরামিতি সহ একটি ফাংশন হয়ে ওঠে। যখন th কনস্ট্রাক্টরের আর্গুমেন্ট থাকে, তখন এনকোডিংয়ের সংশ্লিষ্ট প্যারামিটারও আর্গুমেন্ট নেয়। স্কট এনকোডিং টাইপবিহীন ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসে করা যেতে পারে, যেখানে প্রকারের সাথে এর ব্যবহারের জন্য পুনরাবৃত্তি এবং টাইপ পলিমরফিজম সহ একটি টাইপ সিস্টেমের প্রয়োজন হয়। এই উপস্থাপনায় উপাদান টাইপ ই সহ একটি তালিকা যা টাইপ সি-এর মান গণনা করতে ব্যবহৃত হয় তার নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তিমূলক প্রকারের সংজ্ঞা থাকবে, যেখানে '=>' ফাংশন প্রকারকে বোঝায়ঃ টাইপ তালিকা = সি =>// নিল আর্গুমেন্ট (ই => তালিকা => সি) =>// কনস আর্গুমেন্ট সি// প্যাটার্ন মিলনের ফলাফল একটি তালিকা যা নির্বিচারে প্রকার গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে তার একটি প্রকার থাকবে যা সি-এর উপর পরিমাপ করে। ই-তে একটি তালিকা জেনেরিক ই-কে টাইপ আর্গুমেন্ট হিসাবেও গ্রহণ করবে। আরও দেখুন টাইপ করা ক্যালকুলাসে চার্চ সংখ্যার জন্য ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস সিস্টেম এফ মোগেনসেন-স্কট এনকোডিং ভন নিউম্যান অর্ডিনালগুলির সংজ্ঞা-প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি এনকোড করার আরেকটি উপায়ঃ সেট হিসাবে রেফারেন্সগুলি চার্চ এবং অন্যান্য অনুরূপ এনকোডিং সম্পর্কে সমস্ত, কীভাবে সেগুলি বের করা যায় এবং তাদের উপর ক্রিয়াকলাপ সহ, প্রথম নীতিগুলি থেকে চার্চ সংখ্যার কিছু ইন্টারেক্টিভ উদাহরণ ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস লাইভ টিউটোরিয়ালঃ বুলিয়ান বীজগণিত ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস