Indecomposable continuum
পয়েন্ট-সেট টপোলজিতে, একটি অপরিবর্তনীয় ধারাবাহিকতা হল এমন একটি ধারাবাহিকতা যা অপরিবর্তনীয়, অর্থাৎ। যা তার যথাযথ দুটি উপ-মহাদেশের মিলন হিসাবে প্রকাশ করা যায় না। 1910 সালে, এল. ই. জে. ব্রাউয়ার প্রথম ব্যক্তি যিনি একটি অপরিবর্তনীয় ধারাবাহিকতা বর্ণনা করেছিলেন। অপরিবর্তনীয় কন্টিনিউয়াকে টপোলজিস্টরা পাল্টা উদাহরণের উৎস হিসাবে ব্যবহার করেছেন। এগুলি গতিশীল ব্যবস্থাতেও ঘটে। সংজ্ঞা একটি কন্টিনিউয়াম হল একটি নন-এম্প্টি কম্প্যাক্ট সংযুক্ত মেট্রিক স্পেস। চাপ, এন-গোলক এবং হিলবার্ট কিউব পথ-সংযুক্ত কন্টিনিউয়ার উদাহরণ; টপোলজিস্টের সাইন বক্ররেখা একটি অ-পথ-সংযুক্ত কন্টিনিউয়ামের উদাহরণ, ওয়ারশ বৃত্ত একটি পথ-সংযুক্ত কন্টিনিউয়াম যা স্থানীয়ভাবে পথ-সংযুক্ত নয়। একটি কন্টিনিউয়ামের একটি সাবকন্টিনিউম হল একটি বদ্ধ, সংযুক্ত উপসেট। একটি স্থান যদি একটি বিন্দুর সমান না হয় তবে তা অ-উৎপন্ন হয়। একটি কন্টিনিউয়াম পচনশীল হয় যদি দুটি সাবকন্টিনুয়া থাকে এবং এরকম যে এবং কিন্তু। এটি অনুসরণ করে এবং অপ্রচলিত। একটি কন্টিনিউয়াম যা ডিকম্পোসেবল নয় তা হল একটি ইনডিকম্পোসেবল কন্টিনিউয়াম। একটি ধারাবাহিকতা যেখানে প্রতিটি সাবকন্টিনিউম অপরিবর্তনীয়, বংশগতভাবে অপরিবর্তনীয় বলে মনে করা হয়। একটি অপরিবর্তনীয় কন্টিনিউয়ামের সংমিশ্রণ হল একটি সর্বাধিক সেট যেখানে যে কোনও দুটি বিন্দু এর কিছু যথাযথ সাবকন্টিনিউমের মধ্যে থাকে। একটি ধারাবাহিকতা এবং যদি এর মধ্যে অপরিবর্তনীয় এবং কোনও যথাযথ সাবকন্টিনিউমে উভয় বিন্দু থাকে না। একটি ননডিজেনারেট ইনডিকম্পোজেবল মেট্রিক কন্টিনিউয়ামের জন্য, একটি অগণিত উপসেট রয়েছে যা এর যে কোনও দুটি বিন্দুর মধ্যে অপরিবর্তনীয়। 1910 সালে এল. ই. জে. ব্রাউয়ার একটি অপরিবর্তনীয় ধারাবাহিকতা বর্ণনা করেছিলেন যা আর্থার মরিৎজ শোয়েনফ্লাইসের করা একটি অনুমানকে অস্বীকার করেছিল যে, যদি এবং খোলা, সংযুক্ত, বিচ্ছিন্ন সেটগুলি এমন হয় যে, তবে অবশ্যই দুটি বন্ধ, সংযুক্ত সঠিক উপসেটগুলির মিলন হতে হবে। জিগমান্ট জানিসজেউস্কি বালতি হ্যান্ডেলের একটি সংস্করণ সহ এই ধরনের আরও অপরিবর্তনীয় কন্টিনিউয়ার বর্ণনা করেছেন। জানিসজেউস্কি অবশ্য এই ধারাবাহিকতার অপরিবর্তনীয়তার দিকে মনোনিবেশ করেছিলেন। 1917 সালে কুনিজো ইয়োনিয়ামা ওয়াদা হ্রদের (টেকো ওয়াদার নামে নামকরণ করা) বর্ণনা করেছিলেন যার সাধারণ সীমানা অবিন্যস্ত। 1920-এর দশকে ওয়ারশ স্কুল অফ ম্যাথমেটিক্স ইন ফান্ডামেন্টা ম্যাথমেটিকা প্যাথোলজিক্যাল কাউন্টারএক্সাম্পল হিসাবে নয়, বরং তাদের নিজস্ব স্বার্থে অবিন্যস্ত কন্টিনিউয়াকে অধ্যয়ন করতে শুরু করে। স্টেফান মাজুরকিউইজ প্রথম অসম্পূর্ণতার সংজ্ঞা দেন। 1922 সালে ব্রনিসল নাস্টার ছদ্ম-খিলানের বর্ণনা দেন, যা বংশগতভাবে অপরিবর্তনীয় ধারাবাহিকতার প্রথম উদাহরণ। বালতি হ্যান্ডেলের উদাহরণ অপরিবর্তনীয় কন্টিনিউয়াকে প্রায়শই নেস্টেড ছেদগুলির ক্রমের সীমা হিসাবে বা (আরও সাধারণভাবে) কন্টিনিউয়ার ক্রমের বিপরীত সীমা হিসাবে তৈরি করা হয়। বকথ্যান্ডেল বা ব্রাউয়ার-জানিসজেউস্কি-নাস্টার কন্টিনিউয়ামকে প্রায়শই একটি অপরিবর্তনীয় কন্টিনিউয়ামের সহজতম উদাহরণ হিসাবে বিবেচনা করা হয় এবং এটি এভাবে তৈরি করা যেতে পারে (উপরের ডানদিকে দেখুন)। বিকল্পভাবে, সমতলে-অক্ষের ব্যবধানের উপর প্রক্ষেপিত ক্যান্টর টার্নারি সেটটি নিন। ধরা যাক-অক্ষের উপরে অর্ধবৃত্তের একটি পরিবার যার কেন্দ্র এবং শেষ বিন্দু (যা এই বিন্দুতে প্রতিসম)। ধরা যাক-অক্ষের নিচে অর্ধবৃত্তের পরিবার যেখানে ব্যবধানের মধ্যবিন্দু কেন্দ্রে এবং শেষবিন্দুতে রয়েছে। ধরা যাক-অক্ষের নিচে অর্ধবৃত্তের পরিবার যেখানে ব্যবধানের মধ্যবিন্দু কেন্দ্রে এবং শেষবিন্দুতে রয়েছে। তারপর এই সমস্ত কিছুর মিলন হল বালতির হাতল। বালতি হ্যান্ডেলটি কোনও বোরেল ট্রান্সভার্সাল গ্রহণ করে না, অর্থাৎ প্রতিটি কম্পোজ্যান্ট থেকে ঠিক একটি পয়েন্ট সম্বলিত কোনও বোরেল সেট নেই। বৈশিষ্ট্য এক অর্থে, 'বেশিরভাগ' কন্টিনিউয়া অপরিবর্তনীয়। ধরা যাক মেট্রিক সহ একটি-কোষ, সমস্ত অ-খালি বদ্ধ উপসেটগুলির সেট এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত হাউজডর্ফ মেট্রিক দিয়ে সজ্জিত সমস্ত সংযুক্ত সদস্যদের হাইপারস্পেস। তারপর ননডিজেনারেট ইনডেকম্পোজেবল সাবকন্টিনুয়ার সেট ঘন হয়। গতিশীল ব্যবস্থায় 1932 সালে জর্জ বারখফ তাঁর "উল্লেখযোগ্য বদ্ধ বক্ররেখা" বর্ণনা করেছিলেন, যা অ্যানুলাসের একটি সমরূপতা যা একটি অপরিবর্তনীয় ধারাবাহিকতা ধারণ করে। মেরি শার্পেনটিয়ার দেখিয়েছেন যে এই ধারাবাহিকতাটি অপরিবর্তনীয়, যা অপরিবর্তনীয় ধারাবাহিকতা থেকে গতিশীল ব্যবস্থার প্রথম যোগসূত্র। একটি নির্দিষ্ট ছোট ঘোড়ার নালের মানচিত্রের অপরিবর্তনীয় সেট হল বালতি হাতল। মার্সি বার্জ এবং অন্যান্যরা গতিশীল সিস্টেমে অপরিবর্তনীয় কন্টিনিউয়াকে ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করেছেন। আরও দেখুন ইনডেকম্পোসেবিলিটি (গঠনমূলক গণিত) লেকস অফ ওয়াডা, সমতলের তিনটি খোলা উপসেট যার সীমানা একটি ইনডেকম্পোসেবল কন্টিনিউয়াম সোলেনয়েড সিয়ারপিনস্কি কার্পেট রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্কগুলি ব্রাউয়ারের তাঁর ইনডেকম্পোসেবল কন্টিনিউয়ামের ছবি ব্যাখ্যা করে যা জার্নালের সামনের প্রচ্ছদে প্রদর্শিত হয়। ধারাবাহিকতা তত্ত্ব