Beta prime distribution
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানে, বিটা প্রাইম ডিস্ট্রিবিউশন (যা ইনভার্টেড বিটা ডিস্ট্রিবিউশন বা দ্বিতীয় ধরনের বিটা ডিস্ট্রিবিউশন নামেও পরিচিত) একটি সম্পূর্ণ অবিচ্ছিন্ন সম্ভাব্যতা বিতরণ। যদি বিটা ডিস্ট্রিবিউশন থাকে, তাহলে বিটা প্রাইম ডিস্ট্রিবিউশন থাকে। সংজ্ঞা বিটা প্রাইম ডিস্ট্রিবিউশনকে দুটি পরামিতি α এবং β দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যার সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন রয়েছেঃ যেখানে বি হল বিটা ফাংশন। ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশন হল যেখানে I হল নিয়মিত অসম্পূর্ণ বিটা ফাংশন। বিতরণের প্রত্যাশিত মান, বৈচিত্র্য এবং অন্যান্য বিবরণ সাইডবক্সে দেওয়া হয়েছে; কারণ, অতিরিক্ত কুর্টোসিস হল যখন সম্পর্কিত বিটা বিতরণ একটি সম্ভাব্যতা হিসাবে প্রকাশিত বার্নৌলি বিতরণের পরামিতিগুলির সংযুক্ত পূর্ববর্তী বিতরণ, বিটা প্রাইম বিতরণ হল একটি বার্নৌলি বিতরণের প্যারামিটারের সংযুক্ত পূর্ববর্তী বিতরণ যা প্রতিকূলতায় প্রকাশিত হয়। বিতরণটি একটি পিয়ারসন টাইপ VI বিতরণ। একটি ভেরিয়েট X-এর মোড যেমন আছে তেমন বিতরণ করা হয়। এর গড় হল যদি (যদি গড় অসীম হয়, অন্য কথায় এর কোনও সুনির্দিষ্ট গড় নেই) এবং এর বৈকল্পিকতা হল যদি। এর জন্য, কে-তম মুহূর্তটি দ্বারা দেওয়া হয় কারণ এর সাথে সিডিএফকে সহজতর করা হয় যেখানে গাউসের হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন 2F1 লেখা যেতে পারে। বিকল্প প্যারামিটারাইজেশন বিটা প্রাইম ডিস্ট্রিবিউশনকে তার গড় μ> 0 এবং নির্ভুলতা ν> 0 প্যারামিটার (পৃ. 36)-এর পরিপ্রেক্ষিতেও পুনরায় প্যারামিটারাইজ করা যেতে পারে। প্যারামিটারাইজেশন বিবেচনা করুন μ = α/(β-1) এবং ν = β-2, অর্থাৎ, α = μ (1 + ν) এবং β = 2 + ν। এই পরিমাপের অধীনে E [Y] = μ এবং Var [Y] = μ (1 + μ)/ν। সাধারণীকরণ সাধারণীকৃত বিটা মৌলিক বন্টন গঠনের জন্য আরও দুটি পরামিতি যুক্ত করা যেতে পারেঃ সম্ভাব্য ঘনত্ব ফাংশন সহ আকৃতি (বাস্তব) স্কেল (বাস্তব): গড় এবং মোড সহ মনে রাখবেন যে যদি পি = কিউ = 1 হয় তবে সাধারণীকৃত বিটা মৌলিক বন্টন স্ট্যান্ডার্ড বিটা মৌলিক বন্টনে হ্রাস পায়। এই সাধারণীকরণটি নিম্নলিখিত বিপরীতমুখী রূপান্তরের মাধ্যমে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। যদি এবং জন্য, তারপর। যৌগিক গামা বন্টন যৌগিক গামা বন্টন হল বিটা মৌলিকের সাধারণীকরণ যখন স্কেল পরামিতি, q যোগ করা হয়, কিন্তু যেখানে p = 1। এটির নামকরণ করা হয়েছে কারণ এটি দুটি গামা বিতরণকে যৌগিক করে গঠিত হয়েছেঃ আকৃতি এবং বিপরীত স্কেল সহ গামা পিডিএফ কোথায়। উপরের ইনফোবক্সে মোড এবং মিনকে q দ্বারা এবং ভেরিয়েন্সকে q2 দ্বারা গুণ করে যৌগিক গামার মোড, গড় এবং বৈকল্পিকতা পাওয়া যেতে পারে। যৌগিককরণ প্রকাশ করার আরেকটি উপায় হল যদি এবং, তারপর। (এটি যৌগিক গামা, বা বিটা প্রাইম ডিস্ট্রিবিউশনের সাথে এলোমেলো বৈচিত্র্য তৈরি করার একটি উপায় দেয়। আরেকটি হল স্বাধীন গামা বৈচিত্র্যের অনুপাত, যা নীচে দেখানো হয়েছে।) বৈশিষ্ট্য যদি তাই হয়। যদি, এবং, তারপর। যদি তাই হয়। যদি এবং দুটি আই. আই. ডি ভ্যারিয়েবল, তাহলে এবং, বিটা প্রাইম ডিস্ট্রিবিউশন হিসাবে অসীমভাবে বিভাজ্য। আরও সাধারণভাবে, আই. আই. ডি ভেরিয়েবলগুলি একই বিটা প্রাইম ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করে, অর্থাৎ। , তারপর এবং এর সঙ্গে যোগফল। সম্পর্কিত বন্টন যদি একটি এফ-বন্টন থাকে, তাহলে, বা সমতুল্যভাবে,। যদি তাই হয়। যদি তাই হয়। গামা বণ্টনের প্যারামিট্রাইজেশনের জন্য I: যদি স্বাধীন হয়, তাহলে। নোট হল তাদের নিজ নিজ বিতরণের জন্য সমস্ত স্কেল প্যারামিটার। গামা বণ্টনের জন্য দ্বিতীয় পরামিতিঃ যদি স্বাধীন হয়, তাহলে। এগুলি হল রেট প্যারামিটার, যেখানে এটি একটি স্কেল প্যারামিটার। যদি এবং তারপর। এগুলি গামা বিতরণের জন্য হারের পরামিতি, তবে বিটা প্রাইমের জন্য স্কেল পরামিতি। ডাগুম বিতরণ সিং-মাদালা বিতরণ। লগ লজিস্টিক বিতরণ। বিটা প্রাইম ডিস্ট্রিবিউশন হল টাইপ 6 পিয়ারসন ডিস্ট্রিবিউশনের একটি বিশেষ কেস। যদি X-এর ন্যূনতম এবং আকৃতির পরামিতি সহ একটি পারেটো বন্টন থাকে, তাহলে। যদি X-এর একটি লোম্যাক্স ডিস্ট্রিবিউশন থাকে, যা একটি পারেটো টাইপ II ডিস্ট্রিবিউশন নামেও পরিচিত, আকৃতি পরামিতি এবং স্কেল পরামিতি সহ, তাহলে। যদি X-এর আকৃতি পরামিতি এবং অসমতা পরামিতি সহ একটি আদর্শ পারেটো টাইপ IV বন্টন থাকে, তাহলে, বা সমতুল্যভাবে। ইনভার্টেড ডিরিচলেট ডিস্ট্রিবিউশন হল বিটা প্রাইম ডিস্ট্রিবিউশনের একটি সাধারণীকরণ। যদি, তাহলে একটি সাধারণ লজিস্টিক ডিস্ট্রিবিউশন আছে। আরও সাধারণভাবে, যদি, তাহলে একটি স্কেল এবং স্থানান্তরিত সাধারণ লজিস্টিক ডিস্ট্রিবিউশন রয়েছে। জনসন, এন. এল., কোটজ, এস., বালাকৃষ্ণন, এন. (1995)। কন্টিনিউয়াস ইউনিভারিয়েট ডিস্ট্রিবিউশনস, ভলিউম 2 (2য় সংস্করণ), উইলি। ম্যাথওয়ার্ল্ড নিবন্ধ অবিচ্ছিন্ন বিতরণ চক্রবৃদ্ধি সম্ভাব্যতা বিতরণ