Hecke character
সংখ্যা তত্ত্বে, একটি হেক অক্ষর একটি ডিরিচলেট অক্ষরের সাধারণীকরণ, যা ডিরিচলেট এল-ফাংশনগুলির চেয়ে বড় এল-ফাংশনগুলির একটি শ্রেণী তৈরি করার জন্য এরিক হেক দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং ডেডেকিন্ড জিটা-ফাংশনগুলির জন্য একটি প্রাকৃতিক সেটিং এবং কিছু অন্যান্য যার রিম্যান জিটা-ফাংশনের অনুরূপ কার্যকরী সমীকরণ রয়েছে। কখনও কখনও হেক চরিত্রের জন্য ব্যবহৃত একটি নাম হল জার্মান শব্দ গ্রসেনচার্যাক্টর (প্রায়শই গ্রসেনচার্যাক্টর, গ্রসেনচার্যাক্টর ইত্যাদি লেখা হয়)। আইডেল ব্যবহার করে সংজ্ঞা একটি হেক অক্ষর হল একটি সংখ্যা ক্ষেত্র বা গ্লোবাল ফাংশন ক্ষেত্রের আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর একটি চরিত্র। এটি আদর্শ গোষ্ঠীর একটি চরিত্রের সাথে অনন্যভাবে মিলে যায় যা প্রজেকশন মানচিত্রের সাথে রচনার মাধ্যমে প্রধান আইডেলে তুচ্ছ। এই সংজ্ঞাটি একটি অক্ষরের সংজ্ঞার উপর নির্ভর করে, যা লেখকদের মধ্যে সামান্য পরিবর্তিত হয়ঃ এটিকে অ-শূন্য জটিল সংখ্যার সমরূপতা (যাকে "কোয়াসিকার্যাক্টর" ও বলা হয়), অথবা সি-তে একক বৃত্তের সমরূপতা ("একক") হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। (আদর্শ শ্রেণীর গোষ্ঠীর) যে কোনও কোয়াসিচার্যাক্টরকে একক অক্ষর গুণিত আদর্শের প্রকৃত শক্তি হিসাবে অনন্যভাবে লেখা যেতে পারে, তাই দুটি সংজ্ঞার মধ্যে কোনও বড় পার্থক্য নেই। একটি হেক অক্ষরের কন্ডাক্টর χ হল সবচেয়ে বড় আদর্শ m যাতে χ হল একটি হেক অক্ষরের মোড m। এখানে আমরা বলি যে χ হল একটি হেক অক্ষরের মোড m যদি χ (আদর্শ গোষ্ঠীর একটি অক্ষর হিসাবে বিবেচিত হয়) সীমাবদ্ধ আইডেলের গোষ্ঠীতে তুচ্ছ হয় যার প্রতিটি v-adic উপাদান 1 + mOv-তে থাকে। আদর্শ ব্যবহার করে সংজ্ঞা একটি হেক অক্ষরের মূল সংজ্ঞা, হেকের কাছে ফিরে যাওয়া, ভগ্নাংশ আদর্শের উপর একটি অক্ষরের পরিপ্রেক্ষিতে ছিল। একটি সংখ্যা ক্ষেত্র K-এর জন্য, ধরা যাক m = mfm ≤ একটি K-মডুলাস, mf সহ, "সীমাবদ্ধ অংশ", K এবং m ≤-এর একটি অবিচ্ছেদ্য আদর্শ, "অসীম অংশ", যা K-এর বাস্তব স্থানগুলির একটি (আনুষ্ঠানিক) গুণফল। ধরা যাক আমি K-এর ভগ্নাংশ আদর্শগুলির গোষ্ঠীকে বোঝাই যা তুলনামূলকভাবে mf-এর মৌলিক এবং Pm প্রধান ভগ্নাংশ আদর্শগুলির উপগোষ্ঠীকে বোঝায় (a) যেখানে a তার গুণকগুলির গুণিতক অনুসারে m-এর প্রতিটি স্থানে 1-এর কাছাকাছি থাকেঃ mf-এ প্রতিটি সীমাবদ্ধ স্থান v-এর জন্য, অর্ডভি (a−1) কমপক্ষে mf-এ v-এর সূচকের সমান বড় এবং প্রতিটি বাস্তব এম্বেডিংয়ের অধীনে a ধনাত্মক হয়। মডুলাস m সহ একটি হেক অক্ষর হল একটি গ্রুপ সমরূপতা যা Im থেকে অ-শূন্য জটিল সংখ্যার মধ্যে এমনভাবে থাকে যে, আদর্শের (a) Pm-এ তার মান K-এর সমস্ত আর্কিমিডিয়ান সম্পূর্ণতার গুণিতক গোষ্ঠীর গুণফল থেকে অ-শূন্য জটিল সংখ্যার একটি অবিচ্ছিন্ন সমরূপতার মানের সমান, যেখানে সমরূপতার প্রতিটি স্থানীয় উপাদানের একই বাস্তব অংশ (সূচকে) থাকে। (এখানে আমরা কে-এর বিভিন্ন আর্কিমিডিয়ান স্থানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এম্বেডিং ব্যবহার করে কে-এর আর্কিমিডিয়ান সমাপ্তির গুণফলের মধ্যে একটি এম্বেড করি।) এইভাবে একটি হেক অক্ষর রে ক্লাস গ্রুপ মডুলো এম-এ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা ভাগফল আইএম/পিএম। কঠোরভাবে বলতে গেলে, হেক একটি সম্পূর্ণ ইতিবাচক জেনারেটর গ্রহণকারীদের জন্য প্রধান আদর্শের উপর আচরণ সম্পর্কে শর্ত তৈরি করেছিলেন। সুতরাং, উপরে প্রদত্ত সংজ্ঞার পরিপ্রেক্ষিতে, তিনি প্রকৃতপক্ষে শুধুমাত্র মডুলির সাথে কাজ করেছিলেন যেখানে সমস্ত বাস্তব স্থান উপস্থিত হয়েছিল। অসীম অংশ এম-এর ভূমিকা এখন একটি অনন্ত-প্রকারের ধারণার অধীনে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। সংজ্ঞাগুলির মধ্যে সম্পর্ক আদর্শ সংজ্ঞাটি আইডালিক সংজ্ঞার তুলনায় অনেক বেশি জটিল, এবং তাঁর সংজ্ঞার জন্য হেকের অনুপ্রেরণা ছিল এল-ফাংশন তৈরি করা (কখনও কখনও হেকে এল-ফাংশন হিসাবে উল্লেখ করা হয়) যা একটি ডিরিচলেট এল-ফাংশনের ধারণাকে যৌক্তিক থেকে অন্যান্য সংখ্যা ক্ষেত্রে প্রসারিত করে। একটি হেক অক্ষর χ-এর জন্য, এর এল-ফাংশনকে ডিরিচলেট সিরিজ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা হেক অক্ষরের মডুলাস m-এর তুলনায় অবিচ্ছেদ্য আদর্শের উপর সঞ্চালিত হয়। এন (আই) স্বরলিপির অর্থ হল আদর্শ আদর্শ। উপগোষ্ঠী পি. এম-এ হেক অক্ষরগুলির আচরণ পরিচালনাকারী সাধারণ বাস্তব অংশের শর্তটি বোঝায় যে এই ডিরিচলেট সিরিজগুলি কোনও ডান অর্ধ-সমতলে একেবারে অভিসারী। হেক প্রমাণ করেছেন যে এই এল-ফাংশনগুলির সমগ্র জটিল সমতলে একটি মেরোমর্ফিক ধারাবাহিকতা রয়েছে, বিশ্লেষণাত্মক হওয়া ছাড়া s = 1-এ 1 ক্রমের একটি সাধারণ মেরু ব্যতীত যখন অক্ষরটি তুচ্ছ হয়। আদিম হেক অক্ষরের জন্য (আদিম ডিরিচলেট অক্ষরের মতো মডুলাসের সাপেক্ষে সংজ্ঞায়িত), হেক দেখিয়েছেন যে এই এল-ফাংশনগুলি একটি অক্ষরের এল-ফাংশনের মান এবং তার জটিল কনজুগেট অক্ষরের এল-ফাংশন সম্পর্কিত একটি কার্যকরী সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর একটি অক্ষর বিবেচনা করুন, যা একক বৃত্তের একটি মানচিত্র হিসাবে নেওয়া হয়েছে যা প্রধান আইডেলে 1 এবং সমস্ত অসীম স্থান ধারণকারী একটি ব্যতিক্রমী সসীম সেট এস। তারপর λ আদর্শ গ্রুপ IS-এর একটি অক্ষর χ তৈরি করে, S-এ নয় এমন মৌলিক আদর্শের উপর মুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপ। S-এ নয় এমন প্রতিটি মৌলিক p-এর জন্য একটি অভিন্ন উপাদান π নিন এবং প্রতিটি p-কে আদর্শ শ্রেণীর সাথে ম্যাপ করে IS থেকে আদর্শ শ্রেণীর জন্য একটি মানচিত্র Π সংজ্ঞায়িত করুন যা p স্থানাঙ্কে π এবং অন্য সর্বত্র 1। ধরা যাক χ হল Π এবং si এর সংমিশ্রণ। তারপর χ আদর্শ গোষ্ঠীর একটি অক্ষর হিসাবে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বিপরীত দিকে, আইএস-এর একটি গ্রহণযোগ্য অক্ষর χ দেওয়া হলে একটি অনন্য আদর্শ শ্রেণীর অক্ষর si-এর সাথে মিলে যায়। এখানে গ্রহণযোগ্য সেট S-এর উপর ভিত্তি করে একটি মডুলাস m-এর অস্তিত্বকে বোঝায় যাতে 1 মড m আদর্শের উপর χ অক্ষরটি 1 হয়। অক্ষরগুলি এই অর্থে 'বড়' যে অসীম-প্রকারটি যখন অ-তুচ্ছভাবে উপস্থিত থাকে তখন এর অর্থ এই যে এই অক্ষরগুলি সীমাবদ্ধ ক্রমের নয়। সীমাবদ্ধ-ক্রমের হেক অক্ষরগুলি এক অর্থে শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব দ্বারা হিসাব করা হয়ঃ তাদের এল-ফাংশনগুলি আর্টিন এল-ফাংশন, যেমন আর্টিন পারস্পরিকতা দেখায়। কিন্তু এমনকি গাউসিয়ান ক্ষেত্রের মতো সহজ একটি ক্ষেত্রেও হেক অক্ষর রয়েছে যা একটি গুরুতর উপায়ে সীমাবদ্ধ ক্রমের বাইরে যায় (নীচের উদাহরণটি দেখুন)। জটিল গুণন তত্ত্বের পরবর্তী উন্নয়নগুলি ইঙ্গিত দেয় যে 'বড়' অক্ষরগুলির সঠিক স্থান ছিল বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের (এমনকি উদ্দেশ্য) একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণীর জন্য হাস-ওয়েইল এল-ফাংশন সরবরাহ করা। বিশেষ ক্ষেত্রে একটি ডিরিচলেট অক্ষর হল সসীম ক্রমের একটি হেক অক্ষর। এটি সম্পূর্ণ ধনাত্মক প্রধান আদর্শের সেটের মান দ্বারা নির্ধারিত হয় যা কিছু মডুলাস m-এর সাপেক্ষে 1। হিলবার্ট অক্ষর হল পরিবাহী 1-এর একটি ডিরিচলেট অক্ষর। হিলবার্ট অক্ষরের সংখ্যা হল ক্ষেত্রের শ্রেণী গোষ্ঠীর ক্রম। শ্রেণীক্ষেত্র তত্ত্ব হিলবার্ট শ্রেণীক্ষেত্রের গ্যালোয়া গোষ্ঠীর চরিত্রগুলির সাথে হিলবার্ট অক্ষরগুলিকে চিহ্নিত করে। উদাহরণস্বরূপ, যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার ক্ষেত্রের জন্য, আদর্শ শ্রেণীর গোষ্ঠীটি p-adic পূর্ণসংখ্যার সমস্ত একক গোষ্ঠীর সাথে ধনাত্মক বাস্তব R + এর গুণফলের সমরূপ। সুতরাং একটি কোয়াসিচার্যাক্টরকে একটি ডিরিচলেট অক্ষর সহ আদর্শের শক্তির গুণফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। পরিবাহী 1-এর গাউসীয় পূর্ণসংখ্যার একটি হেক অক্ষর χ হল χ ((a)) = |a |s (a/|a।) s-এর জন্য 4n কাল্পনিক এবং n একটি পূর্ণসংখ্যা, যেখানে a হল আদর্শ (a)-এর একটি উৎপাদক। একমাত্র একক হল i-এর ঘাত, তাই সূচকের 4-এর গুণক নিশ্চিত করে যে অক্ষরটি আদর্শের উপর ভালভাবে সংজ্ঞায়িত। টেটের থিসিস L (s, χ)-এর জন্য কার্যকরী সমীকরণের হেকের মূল প্রমাণ একটি স্পষ্ট থিটা-ফাংশন ব্যবহার করেছে। এমিল আর্টিনের তত্ত্বাবধানে লেখা জন টেটের 1950 সালের প্রিন্সটন ডক্টরাল গবেষণামূলক প্রবন্ধ, যে কোনও বিশেষ ফাংশনের প্রয়োজনীয়তা অপসারণের জন্য পদ্ধতিগতভাবে পন্ট্রিয়াজিন দ্বৈততা প্রয়োগ করেছিল। কেনকিচি ইওয়াসাওয়া স্বাধীনভাবে একটি অনুরূপ তত্ত্ব তৈরি করেছিলেন যা তাঁর 1950 সালের আইসিএম বক্তৃতার বিষয় ছিল। একটি বোরবাকি সেমিনারে একটি পরবর্তী সংস্কার দেখায় যে টেটের প্রমাণের কিছু অংশ বিতরণ তত্ত্ব দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারেঃ একটি প্রদত্ত χ দ্বারা আইডেলের ক্রিয়ার অধীনে রূপান্তরিত K-এর অ্যাডেল গ্রুপের বিতরণের স্থান (শোয়ার্জ-ব্রুহাট পরীক্ষা ফাংশনের জন্য) মাত্রা 1 রয়েছে। বীজগাণিতিক হেক অক্ষর একটি বীজগাণিতিক হেক অক্ষর যা বীজগাণিতিক মান গ্রহণ করেঃ এগুলি 1947 সালে ওয়েল দ্বারা টাইপ এ0 নামে চালু করা হয়েছিল। এই ধরনের অক্ষর শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং জটিল গুণন তত্ত্বে দেখা যায়। প্রকৃতপক্ষে E কে একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা হিসাবে ধরা যাক যা F সংখ্যার ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্র K দ্বারা জটিল গুণন সহ, এবং ধরুন যে K F-এ রয়েছে। তারপর F-এর জন্য একটি বীজগাণিতিক হেক অক্ষর χ রয়েছে, ব্যতিক্রমী সেট S সহ অসীম স্থানগুলির সাথে E-এর খারাপ হ্রাসের মৌলিক সংখ্যার সেট। এই অক্ষরটির বৈশিষ্ট্য হল যে ভাল হ্রাসের একটি মৌলিক আদর্শ p-এর জন্য, χ (p) মানটি ফ্রোবেনিয়াস এন্ডোমর্ফিজমের চরিত্রগত বহুপদের মূল। ফলস্বরূপ, E-এর জন্য হাস-ওয়েইল জিটা ফাংশন দুটি ডিরিচলেট সিরিজের একটি গুণফল, χ এবং এর জটিল কনজুগেটের জন্য। নোটস রেফারেন্স জে. টেট, সংখ্যা ক্ষেত্রে ফুরিয়ার বিশ্লেষণ এবং হেকের জিটা ফাংশন (টেটের 1950 সালের থিসিস), বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব সংস্করণ জে. ডব্লিউ. এস. ক্যাসেলস, এ. ফ্রোলিচ (1967)-এ পুনঃমুদ্রিত। সংখ্যা তত্ত্ব জিটা এবং এল-ফাংশন