Schubert calculus
গণিতে, শ্যুবার্ট ক্যালকুলাস হল বীজগাণিতিক জ্যামিতির একটি শাখা যা ঊনবিংশ শতাব্দীতে হারমান শ্যুবার্ট দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, যাতে প্রজেক্টিভ জ্যামিতির বিভিন্ন গণনা সমস্যা (গণনামূলক জ্যামিতির অংশ) সমাধান করা যায়। এটি আরও বেশ কয়েকটি আধুনিক তত্ত্বের অগ্রদূত ছিল, উদাহরণস্বরূপ চরিত্রগত শ্রেণী এবং বিশেষত এর অ্যালগরিদমিক দিকগুলি এখনও বর্তমান আগ্রহের বিষয়। শুবার্ট ক্যালকুলাস শব্দটি কখনও কখনও ভেক্টর স্পেসের রৈখিক সাবস্পেসের গণনামূলক জ্যামিতি বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, যা প্রায় গ্রাসমানিয়ানদের কোহোমোলজি রিং বর্ণনা করার সমতুল্য। কখনও কখনও এটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের আরও সাধারণ গণনামূলক জ্যামিতি বোঝাতে ব্যবহৃত হয় যা সাধারণ লাই গ্রুপের সমজাতীয় স্থান। আরও সাধারণভাবে, শুবার্ট ক্যালকুলাস প্রায়শই সাধারণ কোহোমোলজি তত্ত্বগুলিতে অনুরূপ প্রশ্নের অধ্যয়নকে অন্তর্ভুক্ত করে বলে বোঝা যায়। শুবার্ট দ্বারা প্রবর্তিত বস্তুগুলি হল শুবার্ট কোষ, যা একটি প্রদত্ত পতাকার সাথে প্রজেক্টিভ স্পেসে একটি রৈখিক সাবস্পেসের আপতন অবস্থার দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি গ্রাসমানিয়ানের স্থানীয়ভাবে বন্ধ সেট। আরও বিশদ বিবরণের জন্য শুবার্ট ভ্যারাইটি দেখুন। এই কোষগুলির ছেদ তত্ত্ব, যা সংশ্লিষ্ট কোহোমোলজি শ্রেণীর গ্রাসম্যানিয়ানের কোহোমোলজি রিংয়ের পণ্য কাঠামো হিসাবে দেখা যেতে পারে, নীতিগতভাবে এমন ক্ষেত্রে ভবিষ্যদ্বাণী করার অনুমতি দেয় যেখানে কোষগুলির ছেদগুলির ফলে একটি সীমাবদ্ধ পয়েন্টের সেট হয়, যা সম্ভাব্যভাবে সংখ্যাসূচক প্রশ্নের সুনির্দিষ্ট উত্তর। একটি মূল ফলাফল হল যে শুবার্ট কোষগুলি (বা বরং, তাদের জারিস্কি বন্ধের শ্রেণী, শুবার্ট চক্র বা শুবার্ট জাতগুলি) পুরো কোহোমোলজি বলয় জুড়ে বিস্তৃত। সম্মিলিত দিকগুলি মূলত শুবার্ট চক্রের গণনামূলক ছেদগুলির ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়। গ্রাসমানিয়ান, যা একটি সমজাতীয় স্থান, তার উপর কাজ করে এমন সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠীতে উত্থিত, অনুরূপ প্রশ্নগুলি ব্রুহাত পচন এবং প্যারাবোলিক উপগোষ্ঠীর শ্রেণিবিন্যাসে (ব্লক ট্রায়িংুলার ম্যাট্রিক্স হিসাবে) জড়িত। শুবার্টের ব্যবস্থাকে কঠোর অবস্থানে রাখা ছিল হিলবার্টের পঞ্চদশ সমস্যা। নির্মাণ শুবার্ট ক্যালকুলাস গ্রাসমানিয়ানের চৌ বলয় ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে, যেখানে উৎপাদনকারী চক্রগুলি জ্যামিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত তথ্য দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। একটি নির্দিষ্ট-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসে-প্লেনের গ্রাসমানিয়ানকে চিহ্নিত করুন, এবং এর চৌ রিংকে হিসাবে চিহ্নিত করুন। লক্ষ্য করুন যে গ্রাসমানিয়ানকে কখনও কখনও চিহ্নিত করা হয় যদি ভেক্টর স্থানটি স্পষ্টভাবে দেওয়া না হয় বা যেন পরিবেষ্টিত স্থান এবং এর-মাত্রিক উপস্থানগুলি তাদের প্রক্ষেপণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। পূর্ণসংখ্যার প্রতিটি দুর্বলভাবে হ্রাসমান-টুপলের জন্য একটি (নির্বিচারে) সম্পূর্ণ পতাকা বেছে নেওয়া, যেখানে অর্থাৎ, ওজনের প্রতিটি বিভাজনের জন্য যার তরুণ চিত্রটি আয়তক্ষেত্রাকারের সাথে খাপ খায়, আমরা একটি শুবার্ট বৈচিত্র্য (বা শুবার্ট চক্র) সংযুক্ত করি, যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এটি শুবার্ট কোষের জারিস্কি টপোলজিতে, যা চৌ রিংয়ের পরিবর্তে সেলুলার সমরূপতা বিবেচনা করার সময় ব্যবহৃত হয়। পরেরটি হ 'ল বিচ্ছিন্ন অ্যাফিন স্পেস, মাত্রার, যার মিলন হল। যেহেতু হোমোলজি শ্রেণী, যাকে শুবার্ট শ্রেণী বলা হয়, সম্পূর্ণ পতাকার পছন্দের উপর নির্ভর করে না, তাই এটি এভাবে লেখা যেতে পারে যে এই শ্রেণীগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং চৌ বলয়কে তাদের রৈখিক স্প্যান হিসাবে তৈরি করে। সংশ্লিষ্ট ছেদ তত্ত্বকে বলা হয় শুবার্ট ক্যালকুলাস। শুবার্ট শ্রেণীর সাথে একটি প্রদত্ত ক্রমের জন্য সাধারণত কেবল চিহ্নিত করা হয়। একটি একক পূর্ণসংখ্যা (অর্থাৎ, একটি অনুভূমিক বিভাজন) দ্বারা প্রদত্ত শুবার্ট শ্রেণীগুলিকে বিশেষ শ্রেণী বলা হয়। নীচের গিয়ামবেল্লি সূত্রটি ব্যবহার করে, এই বিশেষ শ্রেণীগুলি থেকে সমস্ত শুবার্ট শ্রেণী তৈরি করা যেতে পারে। অন্যান্য নোটেশনাল কনভেনশন কিছু উৎসে, শুবার্ট কোষ এবং শুবার্ট জাতগুলিকে যথাক্রমে এবং ভিন্নভাবে চিহ্নিত করা হয়, যেখানে পরিপূরক বিভাজনটি, অংশগুলির সাথে, যার তরুণ চিত্রটি আয়তক্ষেত্রাকারের মধ্যে একটির পরিপূরক (বিপরীত, অনুভূমিক এবং উল্লম্ব উভয়ই)। এবং এর জন্য আরেকটি লেবেলিং কনভেনশন হল এবং, যথাক্রমে, যেখানে মাল্টি-ইনডেক্স দ্বারা বা, বিকল্পভাবে, দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। ব্যাখ্যা সংজ্ঞাটি ব্যাখ্যা করার জন্য একটি সাধারণ-তল বিবেচনা করুন। এটির জন্য শুধুমাত্র একটি শূন্য ছেদ থাকবে, যেখানে উদাহরণস্বরূপ, একটি-সমতলে পাঁচটি স্বাধীন সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান স্থান। এই সমীকরণগুলি সাধারণভাবে প্রসারিত হবে যখন একটি সাবস্পেসে সীমাবদ্ধ থাকবে, সেক্ষেত্রে সমাধান স্থান (এর ছেদ) শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টর নিয়ে গঠিত হবে। যাইহোক, যদি, এবং অবশ্যই অ-শূন্য ছেদ থাকবে। উদাহরণস্বরূপ, এবং এর ছেদনের প্রত্যাশিত মাত্রা হল, এবং এর ছেদ এবং প্রত্যাশিত মাত্রা রয়েছে, ইত্যাদি। একটি শুবার্ট বৈচিত্র্যের সংজ্ঞায় বলা হয়েছে যে সঙ্গে-এর প্রথম মানটি সাধারণভাবে প্যারামিটার দ্বারা প্রত্যাশিত মানের চেয়ে ছোট। এই সীমাবদ্ধতাগুলি দ্বারা প্রদত্ত সমতলগুলি তারপর এর বিশেষ উপপ্রকারগুলি সংজ্ঞায়িত করে। বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্তি সমস্ত-টুপলগুলিতে একটি আংশিক ক্রম রয়েছে যেখানে প্রত্যেকের জন্য যদি। এটি শুবার্ট জাতের অন্তর্ভুক্তি দেখায় যে সূচকগুলির বৃদ্ধি উপজাতির আরও বৃহত্তর বিশেষীকরণের সাথে মিলে যায়। মাত্রার সূত্র একটি শুবার্ট বৈচিত্র্যের মাত্রা বিভাজনের ওজনের সমান। বিকল্পভাবে, উপরে নির্দেশিত নোটেশনাল কনভেনশনে, এর কোডিমেনশন হল ডাইমেনশনাল আয়তক্ষেত্রাকার ইয়ং ডায়াগ্রামে পরিপূরক বিভাজনের ওজন। এটি গ্রাসম্যানিয়ানদের অন্তর্ভুক্তির অধীনে স্থিতিশীল। অর্থাৎ, অন্তর্ভুক্তি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, কারণ, বৈশিষ্ট্য এবং অন্তর্ভুক্তি প্রতিটি সমতলে অতিরিক্ত ভিত্তি উপাদান যোগ করে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, একটি সমতল প্রদান করে, পাশাপাশি ছেদ পণ্য করে। ছেদ পণ্যটি প্রথমে পিয়েরি এবং গিয়াম্বেলি সূত্র ব্যবহার করে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। পিয়েরি সূত্র বিশেষ ক্ষেত্রে, একটি স্বেচ্ছাচারী শুবার্ট শ্রেণীর সাথে গুণফলের একটি স্পষ্ট সূত্র রয়েছে যেখানে, বিভাজনের ওজন। একে বলা হয় পিয়েরি সূত্র, এবং গিয়াম্বেলি সূত্রের সাথে মিলিত হলে যে কোনও দুটি শুবার্ট শ্রেণীর ছেদ গুণফল নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এবং যে কোনও দৈর্ঘ্যের বিভাজনের জন্য গিয়াম্বেলি সূত্র শুবার্ট শ্রেণীগুলিকে একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে যার বিশেষ শ্রেণীগুলি এন্ট্রি হিসাবে রয়েছে। এটি গিয়াম্বেলি সূত্র নামে পরিচিত। এটির প্রথম জ্যাকোবি-ট্রুডি পরিচয়ের মতো একই রূপ রয়েছে, যা সম্পূর্ণ প্রতিসম ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে নির্ধারক হিসাবে নির্বিচারে শুর ফাংশন প্রকাশ করে। উদাহরণস্বরূপ, এবং সাধারণ ক্ষেত্রে শুবার্ট শ্রেণীর যে কোনও জুটির মধ্যে ছেদ গুণফলটি লিটলউড-রিচার্ডসন সহগগুলির দ্বারা দেওয়া হয়। পিয়েরি সূত্রটি এর একটি বিশেষ উদাহরণ, যখন দৈর্ঘ্য থাকে। চেরন শ্রেণীর সাথে সম্পর্ক দুটি প্রাকৃতিক ভেক্টর বান্ডিলের চেরন শ্রেণী ব্যবহার করে গ্রাসমানিয়ানের কোহোমোলজি রিং বা চাউ রিংয়ের একটি সহজ বর্ণনা রয়েছে। আমাদের কাছে ভেক্টর বান্ডিলগুলির সঠিক ক্রম রয়েছে যেখানে টাউটোলজিকাল বান্ডিল রয়েছে যার ফাইবার, যে কোনও উপাদানের উপর সাবস্পেস নিজেই, র্যাঙ্কের তুচ্ছ ভেক্টর বান্ডিল, ফাইবার হিসাবে এবং র্যাঙ্কের ভাগফল ভেক্টর বান্ডিল, ফাইবার হিসাবে। বান্ডিলগুলির চেরন শ্রেণীগুলি এবং যেখানে সেই বিভাজনটি রয়েছে যার তরুণ চিত্রটি দৈর্ঘ্যের একটি একক কলাম নিয়ে গঠিত এবং স্বতঃস্ফূর্ত ক্রমটি চৌ রিংয়ের উপস্থাপনা দেয় কারণ বিশ্লেষণ করা শাস্ত্রীয় উদাহরণগুলির মধ্যে একটি হল গ্রাসমানিয়ান কারণ এটি রেখাগুলিকে পরামিতি করে। চৌ রিং ব্যবহার করে, শুবার্ট ক্যালকুলাস একটি ঘন পৃষ্ঠের ঘন পৃষ্ঠের রেখার সংখ্যা গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। চাউ বলয়ের উপস্থাপনা রয়েছে এবং একটি শ্রেণীবদ্ধ আবেলিয়ান গোষ্ঠী হিসাবে এটি একটি ঘন পৃষ্ঠের রেখা দ্বারা দেওয়া হয় মনে রাখবেন যে একটি রেখা একটি মাত্রাকে দুটি সাবস্পেস দেয়, তাই এর একটি উপাদান। এছাড়াও, একটি রেখার সমীকরণ একটি বিভাগ হিসাবে দেওয়া যেতে পারে। যেহেতু একটি ঘন পৃষ্ঠকে একটি সাধারণ সমজাতীয় ঘন বহুপদী হিসাবে দেওয়া হয়, তাই এটি একটি সাধারণ বিভাগ হিসাবে দেওয়া হয়। একটি লাইন হল যদি এবং শুধুমাত্র যদি বিভাগটি অদৃশ্য হয়ে যায় তার একটি উপ-বৈচিত্র্য। অতএব, ইউলার শ্রেণীকে একত্রিত করা যেতে পারে যাতে জেনেরিক বিভাগটি অদৃশ্য হয়ে যায় এমন পয়েন্টের সংখ্যা পাওয়া যায়। অয়লার শ্রেণী পেতে, চেরন শ্রেণীর মোট সংখ্যা গণনা করতে হবে, যা বিভাজন সূত্র হিসাবে দেওয়া হয়, তারপর আনুষ্ঠানিক সমীকরণ হিসাবে পড়ে যেখানে এবং আনুষ্ঠানিক লাইন বান্ডিলগুলির জন্য। বিভাজন সমীকরণটি সম্পর্ক এবং দেয়। যেহেতু আনুষ্ঠানিক লাইন বান্ডিলগুলির সরাসরি যোগফল হিসাবে দেখা যেতে পারে যার মোট চেরন শ্রেণীটি এই সত্যটি ব্যবহার করে যে এবং যেহেতু শীর্ষ শ্রেণী, তাই ইন্টিগ্রালটি তখন হয়। আরও দেখুন গণনামূলক জ্যামিতি চৌ রিং ছেদ তত্ত্ব গ্রাসমানিয়ান গিয়ামবেলির সূত্র পিয়েরির সূত্র চেরন ক্লাস কুইন্টিক তিনগুণ মিরর প্রতিসাম্য অনুমান রেফারেন্স সামার স্কুল নোটস http://homepages.math.uic.edu ~ কোস্কুন/পোল্যান্ড. এইচটিএমএল ফিলিপ গ্রিফিথস এবং জোসেফ হ্যারিস (1978), বীজগাণিতিক জ্যামিতির নীতি, অধ্যায় 1.5 ডেভিড আইজেনবড এবং জোসেফ হ্যারিস (2016), "3264 এবং অল দ্যাটঃ বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে একটি দ্বিতীয় কোর্স"। বীজগাণিতিক জ্যামিতি সমজাতীয় স্থানের টপোলজি