Machine epsilon
মেশিনের এপসাইলন বা মেশিনের নির্ভুলতা হল ভাসমান বিন্দু গণিতে বৃত্তাকার হওয়ার কারণে আপেক্ষিক আনুমানিক ত্রুটির উপরের সীমা। এই মানটি গাণিতিক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে এবং গণনামূলক বিজ্ঞানের ক্ষেত্রে সম্প্রসারিত করে কম্পিউটার গাণিতিককে চিহ্নিত করে। এই পরিমাণটিকে মাচেপসও বলা হয় এবং এর গ্রীক এপসাইলন প্রতীক রয়েছে। দুটি প্রচলিত সংজ্ঞা রয়েছে। সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণে, মেশিন এপসাইলন ব্যবহৃত বৃত্তাকার প্রকারের উপর নির্ভরশীল এবং এটিকে ইউনিট রাউন্ডঅফও বলা হয়, যার গাঢ় রোমান ইউ প্রতীক রয়েছে। যাইহোক, একটি কম আনুষ্ঠানিক, কিন্তু আরও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত সংজ্ঞা দ্বারা, মেশিন এপসাইলন বৃত্তাকার পদ্ধতি থেকে স্বাধীন এবং u বা 2u এর সমতুল্য হতে পারে। স্ট্যান্ডার্ড হার্ডওয়্যার গাণিতিকের মান নিম্নলিখিত সারণিতে স্ট্যান্ডার্ড ফ্লোটিং-পয়েন্ট ফরম্যাটের জন্য মেশিন এপসাইলন মান তালিকাভুক্ত করা হয়েছে। প্রতিটি বিন্যাসে বৃত্তাকার থেকে নিকটবর্তী ব্যবহার করা হয়। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা রাউন্ডিং হল একটি ভাসমান বিন্দু সংখ্যা ব্যবস্থায় একটি বাস্তব সংখ্যার উপস্থাপনা বেছে নেওয়ার একটি পদ্ধতি। একটি সংখ্যা পদ্ধতি এবং একটি বৃত্তাকার পদ্ধতির জন্য, মেশিন এপসাইলন নির্বাচিত বৃত্তাকার পদ্ধতির সর্বাধিক আপেক্ষিক ত্রুটি। এই সংজ্ঞা থেকে একটি মান নির্ধারণ করার জন্য কিছু পটভূমি প্রয়োজন। একটি ভাসমান বিন্দু সংখ্যা ব্যবস্থা একটি র্যাডিক্স দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যাকে বেসও বলা হয়, এবং নির্ভুলতা দ্বারা, অর্থাৎ। তাৎপর্যের মূল অঙ্কের সংখ্যা (যে কোনও প্রধান অন্তর্নিহিত বিট সহ)। একই সূচক সহ সমস্ত সংখ্যার ব্যবধান রয়েছে,। যে সংখ্যাগুলির নিখুঁত ক্ষমতা রয়েছে সেগুলির মধ্যে ব্যবধান পরিবর্তিত হয়; বৃহত্তর মাত্রার পাশের ব্যবধানটি ছোট মাত্রার পাশের ব্যবধানের চেয়ে কয়েকগুণ বড়। যেহেতু মেশিন এপসাইলন আপেক্ষিক ত্রুটির জন্য একটি আবদ্ধ, তাই সূচক সহ সংখ্যা বিবেচনা করা যথেষ্ট। ধনাত্মক সংখ্যা বিবেচনা করাও যথেষ্ট। সাধারণ বৃত্তাকার থেকে নিকটতম ধরনের বৃত্তাকারের জন্য, পরম বৃত্তাকার ত্রুটি সর্বাধিক অর্ধেক ব্যবধান, বা। এই মানটি আপেক্ষিক ত্রুটির জন্য সবচেয়ে বড় সম্ভাব্য সংখ্যা। আপেক্ষিক ত্রুটির বিভাজক হল সংখ্যাটি বৃত্তাকার করা, যা আপেক্ষিক ত্রুটিকে বড় করার জন্য যতটা সম্ভব ছোট হওয়া উচিত। সবচেয়ে খারাপ আপেক্ষিক ত্রুটি তখন ঘটে যখন এবং এর মধ্যে থাকা ফর্মের সংখ্যার উপর বৃত্তাকার প্রয়োগ করা হয়। এই সমস্ত সংখ্যা আপেক্ষিক ত্রুটির সাথে বৃত্তাকার হয়। সর্বাধিক তখনই ঘটে যখন এটি তার সীমার উপরের প্রান্তে থাকে। হরের মধ্যে সংখ্যাটির তুলনায় নগণ্য, তাই এটি সুবিধাজনকতার জন্য ছেড়ে দেওয়া হয়, এবং কেবল মেশিন এপসাইলন হিসাবে নেওয়া হয়। যেমনটি এখানে দেখানো হয়েছে, আপেক্ষিক ত্রুটিটি বৃত্তাকার সংখ্যার জন্য সবচেয়ে খারাপ, তাই মেশিন এপসাইলনকে ইউনিট রাউন্ডঅফও বলা হয় যার অর্থ মোটামুটিভাবে "একক মানের সাথে বৃত্তাকার করার সময় যে সর্বাধিক ত্রুটি ঘটতে পারে"। সুতরাং, একটি স্বাভাবিক ভাসমান বিন্দু সংখ্যা এবং একটি সংলগ্ন স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে সর্বাধিক ব্যবধান হল। গাণিতিক মডেল গাণিতিক বিশ্লেষণ বৃত্তাকার ত্রুটির প্রভাবগুলি অধ্যয়ন করতে মেশিন এপসাইলন ব্যবহার করে। মেশিন গাণিতিকের প্রকৃত ত্রুটিগুলি সরাসরি অধ্যয়ন করা খুব জটিল, তাই পরিবর্তে, নিম্নলিখিত সহজ মডেলটি ব্যবহার করা হয়। আই. ই. ই. ই গাণিতিক মান বলে যে সমস্ত ভাসমান-বিন্দু ক্রিয়াকলাপ এমনভাবে করা হয় যেন অসীম-নির্ভুলতা ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা সম্ভব হয় এবং তারপরে, ফলাফলটি একটি ভাসমান-বিন্দু সংখ্যায় বৃত্তাকার হয়। ধরুন (1) হল ভাসমান-বিন্দু সংখ্যা, (2) হল যোগ বা গুণনের মতো ভাসমান-বিন্দু সংখ্যার উপর একটি গাণিতিক ক্রিয়া, এবং (3) হল অসীম নির্ভুল ক্রিয়া। মান অনুযায়ী, কম্পিউটার গণনা করেঃ মেশিন এপসাইলনের অর্থ অনুসারে, বৃত্তাকারের আপেক্ষিক ত্রুটি সর্বাধিক মেশিন এপসাইলন মাত্রায় হয়, তাইঃ যেখানে পরম মাত্রায় সর্বাধিক বা u হয়। রেফারেন্সগুলিতে ডেমেল এবং হিগামের বইগুলির পরামর্শ নেওয়া যেতে পারে যে এই মডেলটি কীভাবে গাউসিয়ান নির্মূলের ত্রুটিগুলি বিশ্লেষণ করতে ব্যবহৃত হয়। বৈচিত্র্য সংজ্ঞা আই. ই. ই. ই মান মেশিন এপসাইলন এবং ইউনিট রাউন্ডঅফ শব্দগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে না, তাই এই পদগুলির বিভিন্ন সংজ্ঞা ব্যবহার করা হয়, যা কিছু বিভ্রান্তি সৃষ্টি করতে পারে। মেশিন এপসাইলনের আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাটি অধ্যাপক জেমস ডেমেল বক্তৃতা স্ক্রিপ্ট, ল্যাপ্যাক রৈখিক বীজগণিত প্যাকেজ, সংখ্যাসূচক গবেষণা পত্র এবং কিছু বৈজ্ঞানিক কম্পিউটিং সফ্টওয়্যারে ব্যবহার করেছেন। বেশিরভাগ সংখ্যাসূচক বিশ্লেষক এই অর্থের সাথে মেশিন এপসাইলন এবং ইউনিট রাউন্ডঅফ শব্দগুলি বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহার করেন। এই বিকল্প সংজ্ঞাটি একাডেমিয়ার বাইরে অনেক বেশি বিস্তৃতঃ মেশিন এপসাইলন হল 1 এবং পরবর্তী বৃহত্তর ভাসমান বিন্দু সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য। এই সংজ্ঞা অনুসারে, 1, অর্থাৎ 1-এর সাপেক্ষে শেষ স্থানে থাকা এককটির মান সমান। (যেখানে ফ্লোটিং পয়েন্ট সিস্টেমের ভিত্তি এবং নির্ভুলতা) এবং একক রাউন্ডঅফ হল ইউ, রাউন্ড-টু-নিয়ারস্ট মোড ধরে নেওয়া, এবং ইউ, রাউন্ড-বাই-চপ ধরে নেওয়া। এই সংজ্ঞাটির বিস্তার অন্যান্য প্রোগ্রামিং ভাষায় ভাসমান-বিন্দু প্রকার এবং সংশ্লিষ্ট ধ্রুবক সম্পর্কিত ধ্রুবকগুলির জন্য আইএসও সি স্ট্যান্ডার্ডে এর ব্যবহারের মধ্যে নিহিত। এটি বৈজ্ঞানিক কম্পিউটিং সফ্টওয়্যার এবং সংখ্যা এবং কম্পিউটিং সাহিত্যেও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। মেশিন এপসাইলন কীভাবে নির্ধারণ করা যায় যেখানে স্ট্যান্ডার্ড লাইব্রেরিগুলি পূর্ব-সংগণিত মান সরবরাহ করে না (যেমন <float.h সি-এর জন্য FLT _ EPSILON, DBL _ EPSILON এবং LDBL _ EPSILON-এর সাথে করে এবং <সীমা> সি + +-এ std:: numeric _ حدود <T>:: epsilon ()-এর সাথে করে), মেশিন এপসাইলন নির্ধারণের সর্বোত্তম উপায় হল উপরের টেবিলটি উল্লেখ করা এবং উপযুক্ত শক্তি সূত্র ব্যবহার করা। কম্পিউটিং মেশিন এপসাইলন প্রায়শই একটি পাঠ্যপুস্তক অনুশীলন হিসাবে দেওয়া হয়। নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি একক বৃত্তাকারের পরিবর্তে 1-এ ভাসমান বিন্দু সংখ্যার ব্যবধানের অর্থে মেশিন এপসাইলন গণনা করে। লক্ষ্য করুন যে ফলাফলগুলি ব্যবহৃত নির্দিষ্ট ভাসমান-বিন্দু বিন্যাসের উপর নির্ভর করে, যেমন ফ্লোট, ডাবল, লং ডাবল, বা প্রোগ্রামিং ভাষা, কম্পাইলার এবং প্রকৃত প্ল্যাটফর্মের জন্য রানটাইম লাইব্রেরি দ্বারা সমর্থিত অনুরূপ। প্রসেসর দ্বারা সমর্থিত কিছু বিন্যাস নির্বাচিত কম্পাইলার এবং অপারেটিং সিস্টেম দ্বারা সমর্থিত নাও হতে পারে। কিছু ভাষা এবং গ্রন্থাগারে উপলব্ধ নির্বিচারে-নির্ভুল গাণিতিক সহ রানটাইম লাইব্রেরি দ্বারা অন্যান্য বিন্যাসগুলি অনুকরণ করা যেতে পারে। কঠোর অর্থে মেশিন এপসাইলন শব্দের অর্থ প্রসেসর (বা কোপ্রোসেসর) দ্বারা সরাসরি সমর্থিত নির্ভুলতা, কোনও নির্দিষ্ট অপারেটিং সিস্টেমের জন্য নির্দিষ্ট সংকলক দ্বারা সমর্থিত কিছু নির্ভুলতা নয়, যদি না এটি সেরা বিন্যাস ব্যবহার করার জন্য পরিচিত হয়। আই. ই. ই. ই 754 ভাসমান-বিন্দু বিন্যাসে এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে, যখন একই প্রস্থের দুইটির পরিপূরক পূর্ণসংখ্যা হিসাবে পুনরায় ব্যাখ্যা করা হয়, তখন তারা ধনাত্মক মানের উপর একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায় এবং ঋণাত্মক মানের উপর একঘেয়েভাবে হ্রাস পায় (32 বিট ফ্লোটের বাইনারি উপস্থাপনা দেখুন)। তাদের সেই বৈশিষ্ট্যও রয়েছে যা, এবং (যেখানে পূর্বোক্ত পূর্ণসংখ্যার পুনর্বিবেচনা করা হয়েছে)। যে ভাষাগুলি টাইপ পেনিংয়ের অনুমতি দেয় এবং সর্বদা আই. ই. ই. ই <আই. ডি1> ব্যবহার করে, আমরা স্থির সময়ে একটি মেশিন এপসাইলন গণনা করতে এটি কাজে লাগাতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, সি-তেঃ টাইপেডেফ ইউনিয়ন {দীর্ঘ দীর্ঘ আই64; ডাবল ডি64;} ডিবিএল 64; ডাবল মেশিন এপ্সিলন = ফাঙ্ক (মেশিন এপ্সিলন)/ফাঙ্ক (2) যদি একটি ইতিবাচক ফলাফল সর্বদা কাঙ্ক্ষিত হয়, তাহলে মেশিন _ ই. পি. এস-এর রিটার্ন স্টেটমেন্টটি রিটার্ন (s.i64 <0?) দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। মান-s.d64: s.d64-মান); 64-বিট দ্বিগুণ 2.220446e-16 দেয়, যা প্রত্যাশিত হিসাবে 2−52। আনুমানিক-নিম্নলিখিত সহজ অ্যালগরিদমটি একটি রৈখিক অনুসন্ধান ব্যবহার করে মেশিন এপসাইলনকে তার প্রকৃত মানের দুটি (মাত্রার একটি ক্রম) গুণকের মধ্যে আনুমানিক করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এপসাইলন = 1; যেখানে (1 + 0.5 * এপসাইলন) ≤ 1: এপসাইলন = 0.5 * এপসাইলন যন্ত্রের এপসাইলন, মান্টিসার জন্য ব্যবহৃত বিটের সংখ্যার ঋণাত্মক শক্তির দুই হিসাবেও গণনা করা যেতে পারে। পরম আপেক্ষিক ত্রুটির সাথে সম্পর্ক যদি কোনও সংখ্যার মেশিন উপস্থাপনা হয় তবে উপস্থাপনায় পরম আপেক্ষিক ত্রুটি হল প্রমাণ নিম্নলিখিত প্রমাণটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং রাউন্ড-বাই-চপ ব্যবহার করে মেশিন উপস্থাপনের মধ্যে সীমাবদ্ধ। যদি আমরা একটি ধনাত্মক সংখ্যা উপস্থাপন করতে চাই, তবে এটি নীচের একটি মেশিন নম্বর এবং উপরের একটি মেশিন নম্বরের মধ্যে থাকবে। যদি, তাৎপর্যের মাত্রার জন্য ব্যবহৃত বিটের সংখ্যা কোথায় হয়, তাহলেঃ যেহেতু এর উপস্থাপনা হবে অথবা, যদিও এই প্রমাণটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং রাউন্ড-বাই-চপের মধ্যে সীমাবদ্ধ, একই পদ্ধতিটি নেতিবাচক সংখ্যা এবং রাউন্ড-টু-নিকটতম মেশিন উপস্থাপনের ক্ষেত্রে বৈষম্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। আরও দেখুন ফ্লোটিং পয়েন্ট, সর্বশেষ স্থানে ফ্লোটিং পয়েন্ট গাণিতিক ইউনিটে নির্ভুলতার বিষয়গুলির সাধারণ আলোচনা (ইউএলপি) নোট এবং রেফারেন্স অ্যান্ডারসন, ই; ল্যাপ্যাক ব্যবহারকারীদের গাইড, সোসাইটি ফর ইন্ডাস্ট্রিয়াল অ্যান্ড অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিক্স (সিয়াম), ফিলাডেলফিয়া, পিএ, তৃতীয় সংস্করণ, 1999। কোডি, উইলিয়াম জে.; মাচারঃ এ সৌব্রাউটিন টু ডায়নামিক্যালি ডিটারমাইন মেশিন প্যারামিটার, এসিএম ট্রানজেকশনস অন ম্যাথমেটিকাল সফ্টওয়্যার, খণ্ড। 14 (4), 1988,303-311। বেসেট, ডিডিয়ার এইচ.; অবজেক্ট-ওরিয়েন্টেড ইমপ্লিমেন্টেশন অফ নিউমেরিকাল মেথডস, মরগান অ্যান্ড কাউফম্যান, সান ফ্রান্সিসকো, সিএ, 2000। ডেমেল, জেমস ডব্লিউ., অ্যাপ্লায়েড নিউমেরিকাল লিনিয়ার অ্যালজেব্রা, সোসাইটি ফর ইন্ডাস্ট্রিয়াল অ্যান্ড অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিক্স (সিয়াম), ফিলাডেলফিয়া, পিএ, 1997। হাইয়াম, নিকোলাস জে.; নির্ভুলতা এবং সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদমের স্থিতিশীলতা, সোসাইটি ফর ইন্ডাস্ট্রিয়াল অ্যান্ড অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিক্স (এসআইএএম), ফিলাডেলফিয়া, পিএ, দ্বিতীয় সংস্করণ, 2002। প্রেস, উইলিয়াম এইচ.; টিউকোলস্কি, সল এ.; ভেটারলিং, উইলিয়াম টি.; এবং ফ্ল্যানারি, ব্রায়ান পি.; নিউমেরিকাল রেসিপিজ ইন ফোরট্রান 77,2য় সংস্করণ, চ্যাপ। 20. 2, পৃ. 881-886 ফোরসিথে, জর্জ ই.; ম্যালকম, মাইকেল এ.; মোলার, ক্লিভ বি.; "গাণিতিক গণনার জন্য কম্পিউটার পদ্ধতি", প্রেন্টিস-হল, 1977 বাহ্যিক লিঙ্ক MACHAR, একটি রুটিন (সি এবং ফোরট্রানে) "গতিশীলভাবে মেশিন ধ্রুবক গণনা" (এসিএম অ্যালগরিদম 722) ভাসমান বিন্দু গণনার নির্ভুলতা নির্ণয়, কম্পোনেন্ট প্যাসকেল এবং ওবেরনে MACHAR-এর প্রয়োগ সংখ্যাসূচক রেসিপিগুলিতে প্রকাশিত MACHAR-এর ফোরট্রান 77 সংস্করণের উপর ভিত্তি করে (প্রেস এট আল, 1992)। উদাহরণস্বরূপ সি সহ কম্পিউটার গাণিতিক নিবন্ধগুলি এটিকে কোড করেঃ এপসাইলন ডি ম্যাচিনা