Enriques surface
গণিতে, এনরিক পৃষ্ঠতলগুলি বীজগাণিতিক পৃষ্ঠতল যেমন অনিয়মিততা q = 0 এবং ক্যানোনিকাল লাইন বান্ডিল K অ-তুচ্ছ তবে তুচ্ছ বর্গক্ষেত্র রয়েছে। এনরিক পৃষ্ঠগুলি সমস্ত প্রক্ষিপ্ত (এবং তাই জটিল সংখ্যার উপর কেলার) এবং 0 বংশের উপবৃত্তাকার পৃষ্ঠ। 2 নয় এমন বৈশিষ্ট্যযুক্ত ক্ষেত্রগুলিতে এগুলি স্থির বিন্দু ছাড়াই কাজ করে এমন ক্রম 2-এর একটি গোষ্ঠী দ্বারা কে3 পৃষ্ঠের ভাগফল এবং তাদের তত্ত্ব বীজগাণিতিক কে3 পৃষ্ঠের অনুরূপ। q = pg = 0 সহ একটি পৃষ্ঠ অপরিহার্যভাবে যুক্তিসঙ্গত কিনা তা নিয়ে আলোচনা করা একটি প্রশ্নের উত্তর হিসাবে এনরিক্স পৃষ্ঠগুলি প্রথম বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছিল, যদিও আগে দ্বারা প্রবর্তিত কিছু রেই কংগ্রুয়েন্সও এনরিক্স পৃষ্ঠের উদাহরণ। এনরিক পৃষ্ঠগুলি অন্যান্য ক্ষেত্রের উপরও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। 2 ব্যতীত অন্যান্য বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রগুলিতে, দেখানো হয়েছে যে তত্ত্বটি জটিল সংখ্যার অনুরূপ। বৈশিষ্ট্য 2-এর ক্ষেত্রগুলিতে সংজ্ঞাটি সংশোধন করা হয়েছে এবং দুটি নতুন পরিবার রয়েছে, যাকে একবচন এবং সুপারসিঙ্গুলার এনরিকস পৃষ্ঠতল বলা হয়, যা দ্বারা বর্ণিত হয়েছে। এই দুটি অতিরিক্ত পরিবার বৈশিষ্ট্য 2-এর ক্রম 2-এর দুটি অ-বিচ্ছিন্ন বীজগাণিতিক গোষ্ঠী পরিকল্পনার সাথে সম্পর্কিত। জটিল এনরিক পৃষ্ঠের ইনভ্যারিয়েন্ট প্লুরিজেনা পিএন হল 1 যদি এন জোড় হয় এবং 0 যদি এন বিজোড় হয়। মৌলিক গোষ্ঠীর ক্রম 2 রয়েছে। দ্বিতীয় কোহোমোলজি গ্রুপ H2 (X, Z) হল 10 মাত্রার এবং স্বাক্ষর-8 এবং ক্রম 2-এর একটি গ্রুপের অনন্য এমনকি এককাকার জাল II1,9-এর যোগফলের সমরূপ। হজ ডায়মন্ডঃ চিহ্নিত এনরিক পৃষ্ঠগুলি একটি সংযুক্ত 10-মাত্রিক পরিবার গঠন করে, যা যুক্তিসঙ্গত দেখায়। বৈশিষ্ট্য 2 বৈশিষ্ট্য 2-এ এনরিক্স পৃষ্ঠতলের কিছু নতুন পরিবার রয়েছে, যাকে কখনও কখনও কোয়াসি এনরিক্স পৃষ্ঠতল বা অ-ধ্রুপদী এনরিক্স পৃষ্ঠতল বা (সুপার) একবচন এনরিক্স পৃষ্ঠতল বলা হয়। ("একবচন" শব্দের অর্থ এই নয় যে পৃষ্ঠের এককত্ব রয়েছে, তবে এর অর্থ হল যে পৃষ্ঠটি কোনওভাবে "বিশেষ"।) বৈশিষ্ট্য 2-এ এনরিকস পৃষ্ঠতলের সংজ্ঞা পরিবর্তন করা হয়েছেঃ এগুলিকে ন্যূনতম পৃষ্ঠতল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যার ক্যানোনিকাল শ্রেণী কে সংখ্যাসূচকভাবে 0-এর সমতুল্য এবং যার দ্বিতীয় বেট্টি সংখ্যা 10। (2 ব্যতীত অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলিতে এটি সাধারণ সংজ্ঞার সমতুল্য।) এখন এনরিক পৃষ্ঠতলের 3টি পরিবার রয়েছেঃ ধ্রুপদীঃ ডিম (এইচ1 (ও)) = 0। এটি বোঝায় 2K = 0 কিন্তু K অ-শূন্য, এবং পিকটি হল Z/2Z। এই পৃষ্ঠটি গ্রুপ স্কিম μ2 দ্বারা হ্রাসকৃত একক গোরেনস্টাইন পৃষ্ঠের একটি ভাগফল। সিঙ্গুলারঃ ডিম (এইচ1 (ও)) = 1 এবং ফ্রোবেনিয়াস এন্ডোমর্ফিজম দ্বারা অ-তুচ্ছভাবে কাজ করা হয়। এর অর্থ হল K = 0, এবং পিকটি হল μ2। গ্রুপ স্কিম Z/2Z দ্বারা পৃষ্ঠটি একটি K3 পৃষ্ঠের একটি ভাগফল। সুপারসিঙ্গুলারঃ ডিম (এইচ1 (ও)) = 1 এবং ফ্রোবেনিয়াস এন্ডোমর্ফিজম দ্বারা তুচ্ছভাবে কাজ করা হয়। এর অর্থ হল K = 0, এবং পিকটি হল α2। পৃষ্ঠটি গ্রুপ স্কিম α2 দ্বারা হ্রাসকৃত একবচন গোরেনস্টাইন পৃষ্ঠের একটি ভাগফল। সমস্ত এনরিক পৃষ্ঠগুলি উপবৃত্তাকার বা আধা উপবৃত্তাকার। উদাহরণস্বরূপ, একটি রেই কংগ্রুয়েন্স হল পি3-তে প্রদত্ত ত্রিমাত্রিক রৈখিক পদ্ধতির কমপক্ষে 2টি চতুর্ভুজে থাকা রেখার পরিবার। যদি রৈখিক ব্যবস্থাটি সাধারণ হয় তবে রেই কংগ্রুয়েন্স একটি এনরিকস পৃষ্ঠ। এগুলি এনরিকস পৃষ্ঠতলের প্রাচীনতম উদাহরণ হিসাবে পাওয়া গেছে এবং হতে পারে। একটি টেট্রাহেড্রনের প্রান্ত বরাবর দ্বৈত রেখা সহ ত্রিমাত্রিক প্রজেক্টিভ স্পেসে ডিগ্রি 6-এর একটি পৃষ্ঠ নিন, যেমন ডিগ্রি 2-এর কিছু সাধারণ সমজাতীয় বহুপদী Q-এর জন্য। তারপর এর স্বাভাবিককরণ একটি এনরিকস পৃষ্ঠ। এটি পাওয়া উদাহরণের পরিবার। একটি নির্দিষ্ট বিন্দু মুক্ত ইনভোলুশন দ্বারা একটি কে3 পৃষ্ঠের ভাগফল হল একটি এনরিকস পৃষ্ঠ, এবং 2 ছাড়া অন্যান্য বৈশিষ্ট্যযুক্ত সমস্ত এনরিকস পৃষ্ঠকে এভাবে তৈরি করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি এস হল কে3 পৃষ্ঠের ডাব্লু4 + এক্স4 + ওয়াই4 + জেড4 = 0 এবং টি হল ক্রম 4 অটোমরফিজম যা (ডাব্লু, এক্স, ওয়াই, জেড) থেকে (ডাব্লু, আইক্স,-ওয়াই,-আইজ) নিয়ে যায় তবে টি2-এর আটটি স্থির বিন্দু রয়েছে। এই আটটি বিন্দুকে উড়িয়ে দেওয়া এবং T2 দ্বারা ভাগফল গ্রহণ করা একটি নির্দিষ্ট-বিন্দু-মুক্ত ইনভলুশন T সহ একটি K3 পৃষ্ঠ দেয় এবং T দ্বারা এর ভাগফল একটি এনরিকস পৃষ্ঠ। বিকল্পভাবে, 4 অটোমরফিজম টি ক্রম দ্বারা মূল পৃষ্ঠের ভাগফল নিয়ে এবং ভাগফলের আটটি একক বিন্দুর সমাধান করে এনরিকস পৃষ্ঠ তৈরি করা যেতে পারে। আরেকটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে পাই (ইউ, ভি, ডাব্লু) + কি (এক্স, ওয়াই, জেড) = 0 ফর্মের 3টি চতুর্ভুজের ছেদ গ্রহণ করে এবং (ইউঃ ভিঃ ডাব্লুঃ এক্সঃ ওয়াইঃ জেড) থেকে (-এক্সঃ-ওয়াইঃ-জেডঃ ইউঃ ভিঃ ডাব্লু) গ্রহণ করে ভাগফলটি গ্রহণ করে। সাধারণ চতুর্ভুজের জন্য এই ইনভোলুশন একটি কে3 পৃষ্ঠের একটি নির্দিষ্ট-বিন্দু-মুক্ত ইনভোলুশন, তাই ভাগফল একটি এনরিকস পৃষ্ঠ। আরও দেখুন বীজগাণিতিক পৃষ্ঠতলের তালিকা এনরিকস-কোডাইরা শ্রেণীবিভাগ সুপারসিঙ্গুলার বৈচিত্র্য রেফারেন্স কম্প্যাক্ট কমপ্লেক্স পৃষ্ঠতল উলফ পি বার্থ, ক্লাউস হুলেক, ক্রিস এ. এম. পিটার্স, অ্যান্টোনিয়াস ভ্যান ডি ভেন দ্বারা রচিত এটি কম্প্যাক্ট জটিল পৃষ্ঠতলের জন্য আদর্শ রেফারেন্স বই। জটিল পৃষ্ঠতল জৈব জ্যামিতি বীজগাণিতিক পৃষ্ঠতল