Bauer–Fike theorem
গণিতে, বাউয়ার-ফাইক উপপাদ্যটি একটি জটিল-মূল্যবান তির্যক ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু-এর বিশৃঙ্খলা তত্ত্বের একটি আদর্শ ফলাফল। এর পদার্থে, এটি সঠিক ম্যাট্রিক্সের সঠিকভাবে নির্বাচিত আইগেনভ্যালু থেকে একটি বিচলিত ম্যাট্রিক্স আইগেনভ্যালু-এর বিচ্যুতির জন্য একটি পরম উপরের সীমা উল্লেখ করে। অনানুষ্ঠানিকভাবে বলতে গেলে, এটি যা বলে তা হল আইগেনভ্যালুগুলির সংবেদনশীলতা আইগেনভেক্টরের ম্যাট্রিক্সের শর্ত সংখ্যা দ্বারা অনুমান করা হয়। এই উপপাদ্যটি 1960 সালে ফ্রেডরিক এল. বাউয়ার এবং সি. টি. ফাইক দ্বারা প্রমাণিত হয়। সেটআপ নিম্নরূপ আমরা ধরে নিই যেঃ একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স; অ-একক আইগেনভেক্টর ম্যাট্রিক্স এমন যে, একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স কোথায়। যদি বিপরীতমুখী হয়, তবে-নিয়মে এর শর্ত সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ বাউয়ার-সদৃশ উপপাদ্য বাউয়ার-সদৃশ উপপাদ্য। এর একটি আইগেনভ্যালু ধরা যাক। তারপর এমন কিছু থাকেঃ প্রমাণ। আমরা অনুমান করতে পারি, অন্যথায় নিতে পারি এবং ফলাফলটি তখন থেকে তুচ্ছভাবে সত্য। যেহেতু এটি একটি আইগেনভ্যালু, আমাদের আছে এবং তাই, তবে আমাদের অনুমান, বোঝায় যেঃ এবং তাই আমরা লিখতে পারিঃ এটি একটি আইগেনভ্যালু হিসাবে প্রকাশ করে যেহেতু সমস্ত-নর্মগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্স নিয়ম, আমাদের যেখানে একটি আইগেনভ্যালু রয়েছে। এই উদাহরণে এটি আমাদের দেয়ঃ কিন্তু এটি একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স, যার-আদর্শ সহজেই গণনা করা যায়ঃ যেখান থেকেঃ একটি বিকল্প গঠন উপপাদ্যটিকে আরও ভালভাবে সংখ্যাসূচক পদ্ধতির সাথে খাপ খাইয়ে নেওয়ার জন্যও পুনর্গঠন করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, বাস্তব আইগেনসিস্টেম সমস্যাগুলির সাথে মোকাবিলা করার জন্য, একজনের প্রায়শই একটি সঠিক ম্যাট্রিক্স থাকে, তবে কেবল একটি আনুমানিক আইগেনভ্যালু-আইগেনভেক্টর দম্পতি জানে এবং ত্রুটিটি আবদ্ধ করা প্রয়োজন। নিম্নলিখিত সংস্করণটি সাহায্য করে। বাউয়ার-সদৃশ উপপাদ্য (বিকল্প সূত্র)। ধরা যাক একটি আনুমানিক আইগেনভ্যালু-আইগেনভেক্টর দম্পতি, এবং। তারপর এমন কিছু থাকেঃ প্রমাণ। আমরা অনুমান করতে পারি, অন্যথায় নিতে পারি এবং ফলাফলটি তখন থেকে তুচ্ছভাবে সত্য। তাই বিদ্যমান, তাই আমরা লিখতে পারিঃ যেহেতু তির্যক; উভয় পক্ষের-আদর্শ গ্রহণ করে, আমরা পাইঃ তবে এটি একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স এবং এর-আদর্শ সহজেই গণনা করা যায়ঃ যেখান থেকেঃ একটি আপেক্ষিক সীমা বা বাউয়ার-ফিক উপপাদ্যের উভয় সূত্রই একটি পরম সীমা প্রদান করে। যখনই আপেক্ষিক বন্ধনের প্রয়োজন হয় তখন নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি কার্যকর হয়ঃ ধরুন এটি ইনভার্টিবল এবং এটি একটি আইগেনভ্যালু। তারপর এমন কিছু আছে যাঃ লক্ষ্য করুন। এর আপেক্ষিক বৈচিত্র হিসাবে আনুষ্ঠানিকভাবে দেখা যেতে পারে, ঠিক যেমন এর আপেক্ষিক বৈচিত্র্য। প্রমাণ। যেহেতু এটি একটি আইগেনভ্যালু এবং, বাম থেকে গুণ করলে আমাদের আছেঃ যদি আমরা সেট করিঃ তাহলে আমাদের আছেঃ যার অর্থ এটি একটি আইগেনভ্যালু, একটি আইগেনভেক্টর হিসাবে। এখন, এর আইগেনভ্যালুগুলি হল, যখন এটির একই আইগেনভেক্টর ম্যাট্রিক্স রয়েছে। আইগেনভ্যালুতে বাউয়ার-ফাইক উপপাদ্য প্রয়োগ করলে আমাদের পাওয়া যায়ঃ সাধারণ ম্যাট্রিসের কেস যদি স্বাভাবিক হয়, তবে এটি একটি একক ম্যাট্রিক্স, তাইঃ যাতে। বাওয়ার-ফাইক উপপাদ্যটি তখন হয়ে ওঠেঃ অথবা বিকল্প গঠনেঃ যা একটি হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্স হলে স্পষ্টতই সত্য থাকে। এই ক্ষেত্রে, তবে, একটি আরও শক্তিশালী ফলাফল রয়েছে, যা আইগেনভ্যালুগুলির উপর ওয়েইলের উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত। হার্মিশিয়ান ক্ষেত্রে কেউ বাওয়ার-ফাইক উপপাদ্যটিকে এই আকারে পুনর্বিবেচনা করতে পারে যে একটি ম্যাট্রিক্সকে তার বর্ণালীতে ম্যাপ করা মানচিত্রটি এর কম্প্যাক্ট উপসেটগুলির সেটে হাউসডর্ফ দূরত্বের সাপেক্ষে একটি অ-বিস্তৃত ফাংশন। তথ্যসূত্র বর্ণালী তত্ত্ব বিশ্লেষণে উপপাদ্য প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ