Ore condition
গণিতে, বিশেষ করে বীজগণিতের ক্ষেত্রে, যা বলয় তত্ত্ব নামে পরিচিত, আকরিক অবস্থা হল একটি শর্ত যা অয়েস্টিন আকরিক দ্বারা প্রবর্তিত হয়, যা বিনিময়যোগ্য বলয়ের বাইরে প্রসারিত হওয়ার প্রশ্ন, ভগ্নাংশের একটি ক্ষেত্রের নির্মাণ, বা আরও সাধারণভাবে একটি বলয়ের স্থানীয়করণের সাথে সম্পর্কিত। একটি বলয় R-এর গুণিতক উপসেট S-এর জন্য সঠিক আকরিক শর্ত হল এবং, ছেদ। একটি (অ-বিনিময়যোগ্য) ডোমেন যার জন্য অ-শূন্য উপাদানগুলির সেট সঠিক আকরিক শর্তকে সন্তুষ্ট করে তাকে ডান আকরিক ডোমেন বলা হয়। বাম কেসটি একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। সাধারণ ধারণা লক্ষ্য হল একটি গুণিতক উপসেট S-এর সাপেক্ষে ভগ্নাংশ R [S−1]-এর ডান বলয় তৈরি করা। অন্য কথায়, আমরা ফর্মের উপাদানগুলিকে −1 হিসাবে নিয়ে কাজ করতে চাই এবং সেট R [S−1]-এর উপর একটি বলয়ের কাঠামো রাখতে চাই। সমস্যাটি হল যে গুণফলের কোনও সুস্পষ্ট ব্যাখ্যা নেই (−1 হিসাবে) (bt−1); প্রকৃতপক্ষে, আমাদের একটি পদ্ধতির প্রয়োজন যা s−1 কে b এর পাশ দিয়ে "সরাতে" পারে। এর মানে হল যে আমাদের একটি গুণফল b1s1−1 হিসাবে s−1b পুনর্লিখন করতে সক্ষম হতে হবে। ধরুন তারপর বামদিকে s দ্বারা এবং ডানদিকে s1 দ্বারা গুণ করলে আমরা পাই। তাই আমরা একটি প্রদত্ত a এবং s-এর জন্য a1 এবং s1-এর অস্তিত্বের প্রয়োজনীয়তা দেখতে পাই। যেহেতু এটি সর্বজনবিদিত যে প্রতিটি ইন্টিগ্রাল ডোমেন ভগ্নাংশের একটি ক্ষেত্রের (একটি এম্বেডিংয়ের মাধ্যমে) একটি সাব রিং যাতে প্রতিটি উপাদান rs−1 এবং s ননজিরো আকারে থাকে, তাই একই গঠন একটি নন-কমিউটেটিভ ডোমেন নিতে পারে এবং একই বৈশিষ্ট্যের সাথে একটি ডিভিশন রিং (একটি নন-কমিউটেটিভ ফিল্ড) সংযুক্ত করতে পারে কিনা তা জিজ্ঞাসা করা স্বাভাবিক। দেখা যাচ্ছে যে উত্তরটি কখনও কখনও "না" হয়, অর্থাৎ এমন কিছু ডোমেন রয়েছে যার অনুরূপ "ভগ্নাংশের ডান বিভাজন বলয়" নেই। প্রতিটি ডান আকরিক ক্ষেত্র আর-এর জন্য, একটি অনন্য (প্রাকৃতিক আর-আইসোমরফিজম পর্যন্ত) বিভাজন বলয় ডি রয়েছে যা আর-কে একটি উপ-বলয় হিসাবে ধারণ করে যাতে ডি-এর প্রতিটি উপাদান আর-এ r-এর জন্য rs − 1 এবং আর-এ s অ-শূন্য আকারে থাকে। এই ধরনের বিভাজন বলয় ডি-কে আর-এর ডান ভগ্নাংশের বলয় বলা হয়, এবং আর-কে ডি-তে ডান ক্রম বলা হয়। বাম ভগ্নাংশ এবং বাম ক্রমের বলয়ের ধারণাকে অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে ডি-এর উপাদানগুলি s − 1r আকারে থাকে। এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে, 'ডি'-তে 'আর'-এর সঠিক ক্রমের সংজ্ঞার মধ্যে এই শর্তটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যে, 'ডি'-কে অবশ্যই সম্পূর্ণরূপে 'আরএস-1' ফর্মের উপাদানগুলির সমন্বয়ে গঠিত হতে হবে। আকরিক শর্তগুলির মধ্যে যে কোনও একটিকে সন্তুষ্ট করে এমন কোনও ডোমেনকে একটি বিভাজন বলয়ের একটি উপ-রিং হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, তবে এর অর্থ স্বয়ংক্রিয়ভাবে এই নয় যে ডি-তে আর একটি বাম ক্রম, কারণ এটি সম্ভব যে ডি-এর এমন একটি উপাদান রয়েছে যা এস-1আর ফর্মের নয়। সুতরাং, আর-এর পক্ষে ডান-না-বাম-আকরিক ক্ষেত্র হওয়া সম্ভব। স্বজ্ঞাতভাবে, D-এর সমস্ত উপাদান rs−1 আকারে থাকার শর্তটি বলে যে R হল D-এর একটি "বড়" R-উপ-মডিউল। প্রকৃতপক্ষে শর্তটি নিশ্চিত করে যে আরআর হল ডি. আর-এর একটি অপরিহার্য উপ-মডিউল। সবশেষে, একটি বিভাজন বলয়ে এমন একটি ডোমেনের উদাহরণও রয়েছে যা উভয়ই আকরিক শর্তকে সন্তুষ্ট করে না (নীচের উদাহরণগুলি দেখুন)। আরেকটি স্বাভাবিক প্রশ্ন হলঃ "কখন একটি বিভাজন বলয়ের একটি সাব রিং ঠিক আকরিক হয়?" একটি বৈশিষ্ট্য হল যে একটি ডিভিশন রিং ডি-এর একটি সাব-রিং আর একটি ডান আকরিক ডোমেন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ডি একটি সমতল বাম আর-মডিউল হয়। আকরিক অবস্থার একটি ভিন্ন, শক্তিশালী সংস্করণ সাধারণত সেই ক্ষেত্রে দেওয়া হয় যেখানে R একটি ডোমেন নয়, যথা একটি সাধারণ একাধিক c = au = bv থাকা উচিত u এর সাথে, v শূন্য বিভাজক নয়। এই ক্ষেত্রে, ওরের উপপাদ্যটি একটি ওভার-রিংয়ের অস্তিত্বের নিশ্চয়তা দেয় যা (ডান বা বাম) কোটিয়েন্টের শাস্ত্রীয় রিং নামে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ কমিউটেটিভ ডোমেইনগুলি স্বয়ংক্রিয়ভাবে ওর ডোমেইন হয়, যেহেতু ননজিরো এ এবং বি-এর জন্য, অ্যাব ননজিরো হয়। সঠিক নোথেরিয়ান ডোমেন, যেমন সঠিক প্রধান আদর্শ ডোমেন, সঠিক আকরিক ডোমেন হিসাবেও পরিচিত। আরও সাধারণভাবে, আলফ্রেড গোল্ডি প্রমাণ করেছিলেন যে একটি ডোমেন আর সঠিক আকরিক যদি এবং কেবলমাত্র আরআর-এর সীমাবদ্ধ অভিন্ন মাত্রা থাকে। এটিও সত্য যে ডান বেজআউট ক্ষেত্রগুলি হল ডান ওর। একটি বিভাজন বলয়ের একটি উপ-ক্ষেত্র যা ডান বা বাম ওর নয়ঃ যদি F কোনও ক্ষেত্র হয়, এবং দুটি চিহ্ন x এবং y-এর উপর মুক্ত মনোয়েড হয়, তবে মনোয়েড বলয়টি কোনও আকরিক শর্ত পূরণ করে না, তবে এটি একটি মুক্ত আদর্শ বলয় এবং এইভাবে প্রকৃতপক্ষে একটি বিভাজন বলয়ের একটি উপ-বলয়। মাল্টিপ্লিকেটিভ সেট আকরিক শর্তটি অন্যান্য মাল্টিপ্লিকেটিভ সাবসেটগুলিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে এবং এবং-এ পাঠ্যপুস্তক আকারে উপস্থাপন করা হয়। একটি বলয় R-এর একটি উপসেট S-কে ডান বিভাজক সেট বলা হয় যদি এটি প্রতিটি a, b, R-এ এবং s, t, S-এ নিম্নলিখিত তিনটি শর্ত পূরণ করেঃ S-এ st; (সেট S গুণিতকভাবে বন্ধ থাকে।) aS θ sR খালি নয়; (সেট S সঠিক পারম্যুটেবল।) যদি, তাহলে এস-এ কিছু ইউ থাকে; (সেট এস ঠিক বিপরীতমুখী।) যদি এস একটি ডান বিভাজক সেট হয়, তবে কেউ বিনিময়যোগ্য ক্ষেত্রে একইভাবে ডান ভগ্নাংশ আরএস-1 এর বলয় তৈরি করতে পারে। যদি S কে নিয়মিত উপাদানগুলির সমষ্টি হিসাবে ধরা হয় (R-এ a উপাদানগুলি এমন হয় যে R-এ b যদি শূন্যে নয়, তবে ab এবং b শূন্যে নয়), তবে সঠিক আকরিক শর্তটি কেবলমাত্র প্রয়োজন যে S একটি সঠিক বিভাজক সেট হতে হবে। বিনিময়মূলক স্থানীয়করণের অনেক বৈশিষ্ট্য এই আরও সাধারণ পরিবেশে ধারণ করে। যদি S একটি বলয় R-এর জন্য একটি ডান বিভাজক সেট হয়, তবে বাম R-মডিউল আরএস-1 সমতল। উপরন্তু, যদি এম একটি ডান আর-মডিউল হয়, তবে এস-টর্জন, একটি আর-সাব-মডিউল সমরূপ, এবং মডিউলটি স্বাভাবিকভাবেই একটি মডিউল এমএস-1 এর সমরূপ যা বিনিময়যোগ্য ক্ষেত্রে "ভগ্নাংশ" নিয়ে গঠিত। উদ্ধৃতি রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক প্ল্যানেটম্যাথ পেজ অন ওর কন্ডিশন প্ল্যানেটম্যাথ পেজ অন ওর 'স থিওরেম প্ল্যানেটম্যাথ পেজ অন ক্লাসিকাল রিং অফ কোটিয়েন্টস রিং থিওরি