Étale morphism
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, একটি এটেল মরফিজম (τ) হল এমন স্কিমগুলির একটি মরফিজম যা আনুষ্ঠানিকভাবে এটেল এবং স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার। এটি জটিল বিশ্লেষণাত্মক টপোলজিতে স্থানীয় আইসোমরফিজমের ধারণার একটি বীজগাণিতিক এনালগ। এগুলি অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্যের অনুমানগুলিকে সন্তুষ্ট করে, তবে জারিস্কি টপোলজিতে উন্মুক্ত সেটগুলি এত বড় হওয়ার কারণে এগুলি স্থানীয় আইসোমরফিজম নয়। তা সত্ত্বেও, এটেল মানচিত্রগুলি স্থানীয় বিশ্লেষণাত্মক সমরূপতার অনেক বৈশিষ্ট্য ধরে রাখে এবং বীজগাণিতিক মৌলিক গোষ্ঠী এবং এটেল টপোলজিকে সংজ্ঞায়িত করতে কার্যকর। এটেল শব্দটি একটি ফরাসি বিশেষণ, যার অর্থ "শিথিল", যেমন "ধীর জোয়ার", বা, রূপকভাবে, শান্ত, অচল, স্থির হওয়ার জন্য কিছু বাকি। সংজ্ঞা ধরা যাক একটি রিং সমরূপতা। এটি একটি-বীজগণিত তৈরি করে। একটি মনিক পলিনোমিয়াল এবং একটি পলিনোমিয়াল এমনভাবে বেছে নিন যাতে এর ডেরিভেটিভ একটি একক হয়। আমরা বলি যে এটি স্ট্যান্ডার্ড étale যদি এবং বেছে নেওয়া যায় যাতে এটি একটি-বীজগণিত হিসাবে আইসোমরফিক হয় এবং ক্যানোনিকাল মানচিত্র। পরিকল্পনার একটি রূপায়ন করা যাক। আমরা বলি যে এটি étale যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির নিম্নলিখিত সমতুল্য বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে কোনটি থাকেঃ সমতল এবং আনরামাইফাইড। এটি একটি মসৃণ অঙ্গসংস্থান এবং আনরেমিফাইড। সমতল, স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার, এবং প্রতিটি ইন-এর জন্য, ফাইবার হল পয়েন্টগুলির বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন, যার প্রতিটি অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্রের একটি সীমাবদ্ধ পৃথক ক্ষেত্র সম্প্রসারণের বর্ণালী। এটি সমতল, স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার, এবং অবশিষ্ট ক্ষেত্রের প্রতিটি বীজগাণিতিক বন্ধের জন্য, জ্যামিতিক তন্তু হল বিন্দুর বিচ্ছিন্ন মিলন, যার প্রতিটি সমরূপ। এটি আপেক্ষিক মাত্রার শূন্যের একটি মসৃণ অঙ্গসংস্থান। এটি একটি মসৃণ অঙ্গসংস্থান এবং স্থানীয়ভাবে একটি অর্ধ-অসীম অঙ্গসংস্থান। এটি স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার এবং স্থানীয়ভাবে একটি স্ট্যান্ডার্ড étale মরফিজম, অর্থাৎ, প্রত্যেকের জন্য, যাক। তারপরে একটি ওপেন অ্যাফিন নেবারহুড এবং একটি ওপেন অ্যাফিন নেবারহুড রয়েছে যা এতে রয়েছে এবং যাতে রিং সমরূপতা দ্বারা প্ররোচিত হয় স্ট্যান্ডার্ড étale। স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ উপস্থাপনা এবং আনুষ্ঠানিকভাবে étale হয়। স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ উপস্থাপনার এবং স্থানীয় বলয়ের মানচিত্রের জন্য আনুষ্ঠানিকভাবে étale, অর্থাৎঃ একটি স্থানীয় বলয় হতে দিন এবং এর একটি আদর্শ হতে দিন। সেট করুন এবং, এবং ক্যানোনিকাল বদ্ধ নিমজ্জন হতে দিন। এর বদ্ধ বিন্দুটিকে নির্দেশ করা যাক। আসুন এবং সেইরকম মরফিজম হতে দিন। তারপর একটি অনন্য-অঙ্গসংস্থান বিদ্যমান। ধরে নিন যে এটি স্থানীয়ভাবে নোথেরিয়ান এবং f স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ ধরনের। এর জন্য, সম্পূর্ণ স্থানীয় বলয়ের উপর প্রবর্তিত মানচিত্র হতে দিন। তারপর নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্যঃ étale। প্রতিটি ইন-এর জন্য, সম্পূর্ণ স্থানীয় বলয়ের উপর প্রবর্তিত মানচিত্রটি আনুষ্ঠানিকভাবে অ্যাডিক টপোলজির জন্য étale। প্রতিটি ইন-এর জন্য, একটি মুক্ত-মডিউল এবং ফাইবার হল একটি ক্ষেত্র যা অবশিষ্টাংশ ক্ষেত্রের একটি সীমাবদ্ধ পৃথকীকৃত ক্ষেত্র সম্প্রসারণ। (এখানে এর সর্বোচ্চ আদর্শটি রয়েছে।) নিম্নলিখিত অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য সহ স্থানীয় বলয়ের মানচিত্রের জন্য আনুষ্ঠানিকভাবে বলা হয়। স্থানীয় বলয়টি আর্টিনিয়ান বলে ধরে নেওয়া যেতে পারে। যদি এর সর্বাধিক আদর্শ হয়, তবে সন্তুষ্ট বলে ধরে নেওয়া যেতে পারে। পরিশেষে, অবশিষ্ট ক্ষেত্রের অঙ্গসংস্থানকে একটি সমরূপতা বলে ধরে নেওয়া যেতে পারে। যদি উপরন্তু অবশিষ্ট ক্ষেত্রের সমস্ত মানচিত্র আইসোমরফিজম হয়, বা যদি পৃথকভাবে বন্ধ থাকে, তবে এটেল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি ইন-এর জন্য, সম্পূর্ণ স্থানীয় বলয়ের উপর প্ররোচিত মানচিত্রটি একটি আইসোমরফিজম হয়। উদাহরণস্বরূপ যে কোনও উন্মুক্ত নিমজ্জন étale হয় কারণ এটি স্থানীয়ভাবে একটি সমরূপতা। আচ্ছাদন স্থানগুলি এটেল মরফিজমের উদাহরণ গঠন করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি রিংয়ে একটি পূর্ণসংখ্যা বিপরীতমুখী হয় তবে এটি একটি ডিগ্রি এটেল মরফিজম। যে কোনও র্যামফাইড আচ্ছাদনের একটি অরামিফাইড লোকাস থাকে যা étale হয়। সীমাবদ্ধ পৃথকীকৃত ক্ষেত্রের সম্প্রসারণ দ্বারা প্ররোচিত অঙ্গসংস্থানগুলি হল étale-এগুলি দ্বারা প্রদত্ত ডেক রূপান্তরগুলির গোষ্ঠীর সাথে গাণিতিক আচ্ছাদন স্থান গঠন করে। ফর্মের যে কোনও রিং সমরূপতা, যেখানে সমস্ত বহুপদী, এবং যেখানে জ্যাকোবিয়ান নির্ধারক একটি একক, এটি étale হয়। উদাহরণস্বরূপ, মরফিজম ইটেল এবং ডেক রূপান্তরগুলির গোষ্ঠীর সাথে একটি ডিগ্রি আচ্ছাদন স্থানের সাথে মিলে যায়। পূর্ববর্তী উদাহরণের উপর ভিত্তি করে, ধরুন আমাদের মসৃণ জটিল বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের একটি অঙ্গসংস্থান রয়েছে। যেহেতু এটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে, তাই আমরা এটিকে জটিল বহুবিধের মানচিত্র হিসাবে ব্যাখ্যা করতে পারি। যখনই জ্যাকোবিয়ান অফ ননজিরো হয়, তখন অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য দ্বারা জটিল ম্যানিফোল্ডের একটি স্থানীয় সমরূপতা হয়। পূর্ববর্তী উদাহরণ অনুসারে, অ-শূন্য জ্যাকোবিয়ান থাকা étale হওয়ার সমান। ধরা যাক এক্স, ওয়াই স্থানীয়ভাবে নোথেরিয়ান, ইরেডিউসিবল এবং ওয়াই নর্মাল সহ সসীম ধরনের একটি প্রভাবশালী অঙ্গসংস্থান। যদি f আনরামাইফাইড হয়, তবে এটি étale হয়। একটি ক্ষেত্র K-এর জন্য, যে কোনও K-বীজগণিত A অবশ্যই সমতল। অতএব, A একটি ইটাল বীজগণিত যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি আনরামাইফাইড হয়, যা K ক্ষেত্রের পৃথকীকৃত বন্ধের সমতুল্য এবং ডান দিকটি একটি সীমাবদ্ধ সরাসরি যোগফল, যার সমস্ত যোগফল হল। ইটেল কে-আলজেব্রার এই বৈশিষ্ট্যটি ধ্রুপদী গ্যালোয়া তত্ত্বের পুনর্বিবেচনার একটি পদক্ষেপ (গ্রোথেন্ডিয়েকের গ্যালোয়া তত্ত্ব দেখুন)। বৈশিষ্ট্য ইটাল মরফিজমগুলি গঠন এবং ভিত্তি পরিবর্তনের অধীনে সংরক্ষণ করা হয়। ইটাল মরফিজমগুলি উৎসে এবং গোড়ায় স্থানীয়। অন্য কথায়, এটাল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি খোলা সাবসিমেমের প্রতিটি আবরণের জন্য আবরণের প্রতিটি খোলা সাবসিমেমের সীমাবদ্ধতা étale হয়, এবং যদি এবং শুধুমাত্র যদি খোলা সাবসিমেমের প্রতিটি আবরণের জন্য প্রবর্তিত মরফিজমগুলি আবরণের প্রতিটি সাবসিমেমের জন্য étale হয়। বিশেষত, খোলা অ্যাফাইনে étale হওয়ার বৈশিষ্ট্য পরীক্ষা করা সম্ভব। এটেল মরফিজমের একটি সীমাবদ্ধ পরিবারের গুণফল হল এটেল। মরফিজমের একটি সীমাবদ্ধ পরিবারের পরিপ্রেক্ষিতে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি étale হয় তবে বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন étale হয়। ধরা যাক এবং ধরে নেওয়া যাক যে এটি আনরেমিফাইড এবং étale। তারপর হল এটেল। বিশেষত, যদি এবং শেষ হয়ে যায়, তবে এবং এর মধ্যে যে কোনও-রূপান্তরতা শেষ হয়ে যায়। কোয়াশি-কমপ্যাক্ট এটেল মরফিজম কোয়াশি-ফাইনাইট। একটি মরফিজম একটি উন্মুক্ত নিমজ্জন যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি ধাতব এবং রেডিসিয়াল হয়। যদি এটেল এবং সার্জেক্টিভ হয়, তাহলে (সীমাবদ্ধ বা অন্যথায়)। বিপরীত ফাংশন উপপাদ্য ইটাল মরফিজম f: X → Y হল স্থানীয় ডিফিয়োমরফিজমের বীজগাণিতিক প্রতিরূপ। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, মসৃণ জাতগুলির মধ্যে একটি অঙ্গসংস্থান একটি বিন্দুতে étale হয় যদি সংশ্লিষ্ট স্পর্শক স্থানগুলির মধ্যে পার্থক্য একটি সমরূপতা হয়। এই শর্তটি সুনির্দিষ্টভাবে নিশ্চিত করার জন্য প্রয়োজনীয় যে ম্যানিফোল্ডগুলির মধ্যে একটি মানচিত্র একটি স্থানীয় ডিফিয়োমরফিজম, অর্থাৎ। যে কোনও বিন্দু y ω Y-এর জন্য, x-এর একটি উন্মুক্ত প্রতিবেশী U রয়েছে যাতে f থেকে U-এর সীমাবদ্ধতা একটি ডিফিয়োমরফিজম হয়। এই উপসংহারটি বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে ধারণ করে না, কারণ টপোলজি খুব মোটা। উদাহরণস্বরূপ, y-অক্ষে প্যারাবোলা y = x2-এর অভিক্ষেপ f বিবেচনা করুন। এই রূপবাদটি উৎপত্তি (0,0) ব্যতীত প্রতিটি বিন্দুতে étale হয়, কারণ ডিফারেনশিয়ালটি 2x দ্বারা দেওয়া হয়, যা এই বিন্দুগুলিতে অদৃশ্য হয় না। যাইহোক, f এর কোনও (জারিস্কি-) স্থানীয় বিপরীত নেই, কারণ বর্গমূলটি একটি বীজগাণিতিক মানচিত্র নয়, যা বহুপদী দ্বারা দেওয়া হয় না। যাইহোক, এটেল টপোলজি ব্যবহার করে এই পরিস্থিতির একটি প্রতিকার রয়েছে। সুনির্দিষ্ট বিবৃতিটি নিম্নরূপঃ যদি étale এবং সীমাবদ্ধ হয়, তবে Y-তে থাকা যে কোনও বিন্দুর জন্য, তার চিত্রে y ধারণকারী একটি étale মরফিজম V → Y রয়েছে (V কে y-এর একটি étale উন্মুক্ত প্রতিবেশী হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে), যেমন যখন আমরা f-কে V-তে ভিত্তি পরিবর্তন করি, তখন (প্রথম সদস্যটি V-এর প্রাক-চিত্র হবে যদি V একটি জারিস্কি উন্মুক্ত প্রতিবেশী হয়) V-এর উন্মুক্ত উপসেটগুলির একটি সীমাবদ্ধ বিচ্ছিন্ন মিলন। অন্য কথায়, Y-তে étale-স্থানীয়ভাবে, মরফিজম f একটি টপোলজিকাল সীমাবদ্ধ আবরণ। আপেক্ষিক মাত্রা n-এর মসৃণ অঙ্গসংস্থানের জন্য, স্থানীয়ভাবে X এবং Y-তে, f হল একটি অ্যাফিন স্পেসে একটি উন্মুক্ত নিমজ্জন। এটি নিমজ্জনের উপর কাঠামো উপপাদ্যের étale এনালগ সংস্করণ। আরও দেখুন বিশুদ্ধতা (বীজগাণিতিক জ্যামিতি) তথ্যসূত্র গ্রন্থপঞ্জি জে. এস. মিল্নে (2008)। ইটাল কোহোমোলজি মর্ফিজম অফ স্কিমস-এর উপর বক্তৃতা