Small stellated dodecahedron
জ্যামিতিতে, ছোট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রন একটি কেপলার-পয়েনসট পলিহেড্রন, যা আর্থার কেলি দ্বারা নামকরণ করা হয়েছে এবং শ্ল্যাফলি প্রতীক {, 5} সহ। এটি চারটি নন-কনভেক্স নিয়মিত পলিহেড্রার মধ্যে একটি। এটি 12টি পেন্টাগ্রামিক মুখ নিয়ে গঠিত, প্রতিটি শীর্ষে পাঁচটি পেন্টাগ্রাম মিলিত হয়। এটি উত্তল নিয়মিত আইকোসাহেড্রনের মতো একই শীর্ষ বিন্যাস ভাগ করে। এটি গ্রেট আইকোসাহেড্রনের সাথে একই প্রান্তের বিন্যাসও ভাগ করে নেয়, যার সাথে এটি একটি অবক্ষয়িত অভিন্ন যৌগিক চিত্র গঠন করে। এটি ডোডেকাহেড্রনের চারটি স্তবকের মধ্যে দ্বিতীয় (মূল ডোডেকাহেড্রন সহ)। ছোট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রনটি মূল পলিটোপের প্রান্তগুলির (1-মুখ) সম্প্রসারণের মাধ্যমে পেন্টাগ্রামের অনুরূপভাবে তৈরি করা যেতে পারে যতক্ষণ না তারা যেখানে ছেদ করে সেখানে পৌঁছায়। টপোলজি যদি পেন্টাগ্রামিক মুখগুলিকে 5টি ত্রিভুজাকার মুখ হিসাবে বিবেচনা করা হয়, তবে এটি পেন্টাকিস ডোডেকাহেড্রনের মতো একই পৃষ্ঠের টপোলজি ভাগ করে নেয়, তবে অনেক লম্বা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ মুখের সাথে, পঞ্চভুজাকার পিরামিডের উচ্চতা সামঞ্জস্য করে যাতে পেন্টাগ্রামের পাঁচটি ত্রিভুজ কোপ্ল্যানারে পরিণত হয়। সমালোচনামূলক কোণটি ডোডেকাহেড্রন মুখের উপরে অ্যাটান (2)। যদি আমরা এটিকে মুখ হিসাবে 12 টি পেন্টাগ্রাম হিসাবে বিবেচনা করি, এই পেন্টাগ্রামগুলি 30 টি প্রান্ত এবং 12 টি শীর্ষে মিলিত হয়, তবে আমরা ইউলারের সূত্র ব্যবহার করে এর গণ গণনা করতে পারি এবং উপসংহারে আসতে পারি যে ছোট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রনের গণ 4 রয়েছে। লুই পয়েনসট দ্বারা করা এই পর্যবেক্ষণটি প্রাথমিকভাবে বিভ্রান্তিকর ছিল, কিন্তু ফেলিক্স ক্লেইন 1877 সালে দেখিয়েছিলেন যে ছোট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রনকে প্রতিটি পেন্টাগ্রামের কেন্দ্রে শাখা বিন্দু সহ 4 নং গণের রিম্যান পৃষ্ঠ দ্বারা রিম্যান গোলকের একটি শাখাযুক্ত আবরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে এই রিমান পৃষ্ঠ, যাকে ব্রিঙ্গের বক্ররেখা বলা হয়, 4 নং বংশের যে কোনও রিমান পৃষ্ঠের তুলনায় সর্বাধিক সংখ্যক প্রতিসাম্য রয়েছেঃ প্রতিসাম্য গোষ্ঠীটি অটোমরফিজম হিসাবে কাজ করে চিত্র শিল্পে একটি ছোট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রন সেন্ট মার্কের ব্যাসিলিকা, ভেনিসের একটি মেঝে মোজাইকের মধ্যে দেখা যায় যা প্রায় 1430 সালে পাওলো উচেল্লো দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। একই আকৃতি এম. সি. এসচারের দুটি লিথোগ্রাফের কেন্দ্রবিন্দুঃ কনট্রাস্ট (অর্ডার অ্যান্ড ক্যাওস) (1950) এবং গ্র্যাভিটেশন (1952)। সম্পর্কিত পলিহেড্রা এর উত্তল কাঠামো হল নিয়মিত উত্তল আইকোসাহেড্রন। এটি গ্রেট আইকোসাহেড্রনের সাথে তার প্রান্তগুলিও ভাগ করে নেয়; উভয়ের সাথে যৌগটি হল গ্রেট কমপ্লেক্স আইকোসিডোডেকাহেড্রন। চারটি সম্পর্কিত ইউনিফর্ম পলিহেড্রা রয়েছে, যা কেটে ফেলার মাত্রা হিসাবে নির্মিত। দ্বৈত একটি দুর্দান্ত ডোডেকাহেড্রন। ডোডেকাডেকাহেড্রন একটি সংশোধন, যেখানে প্রান্তগুলি পয়েন্টগুলিতে কাটা হয়। কাটা ছোট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রনকে একটি ডিজেনারেট ইউনিফর্ম পলিহেড্রন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে কারণ প্রান্ত এবং শীর্ষগুলি মিলে যায়, তবে এটি সম্পূর্ণতার জন্য অন্তর্ভুক্ত করা হয়। দৃশ্যত, এটি পৃষ্ঠে একটি নিয়মিত ডোডেকাহেড্রনের মতো দেখায়, তবে ওভারল্যাপিং জোড়ায় এটির 24টি মুখ রয়েছে। স্পাইকগুলি কেটে ফেলা হয় যতক্ষণ না তারা তাদের নীচে পেন্টাগ্রামের সমতলে পৌঁছায়। 24টি মুখ হল কাটা শীর্ষ থেকে 12টি পেন্টাগন এবং 12টি ডিকাগন যা প্রথম 12টি পেন্টাগনকে ওভারল্যাপ করে দ্বিগুণ ক্ষতযুক্ত পেন্টাগনের রূপ নেয়। পরের মুখগুলি মূল পেন্টাগ্রামগুলি কেটে তৈরি করা হয়। যখন একটি-গন কেটে ফেলা হয়, তখন এটি একটি-গন হয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, একটি কাটা পঞ্চভুজ একটি ডেকাগনে পরিণত হয়, তাই একটি পেন্টাগ্রাম কাটা দ্বিগুণ ক্ষতবিশিষ্ট পঞ্চভুজে পরিণত হয় (10 এবং 2 এর মধ্যে সাধারণ ফ্যাক্টর মানে আমরা বহুভুজটি সম্পূর্ণ করতে প্রতিটি শীর্ষে দুবার যাই)। আরও দেখুন ছোট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রন এবং গ্রেট ডোডেকাহেড্রন রেফারেন্সের যৌগ আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক পলিহেড্রাল স্টেলেশন নিয়মিত পলিহেড্র কেপলার-পয়েনসট পলিহেড্র