Fenchel's theorem
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, ফেনচেলের উপপাদ্যটি একটি বদ্ধ মসৃণ স্থান বক্ররেখার মোট পরম বক্রতার উপর একটি অসমতা, যা বলে যে এটি সর্বদা কমপক্ষে থাকে। সমতুল্যভাবে, গড় বক্রতা অন্তত, যেখানে বক্ররেখার দৈর্ঘ্য। এই ধরনের একমাত্র বক্ররেখা যার মোট পরম বক্রতা সমান এবং যার গড় বক্রতা সমতল উত্তল বক্ররেখার সমান। এই উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয়েছে ওয়ার্নার ফেনচেলের নামে, যিনি 1929 সালে এটি প্রকাশ করেছিলেন। ফেঞ্চেল উপপাদ্যটি ফ্যারি-মিলনর উপপাদ্য দ্বারা বর্ধিত করা হয়েছে, যা বলে যে যদি একটি বদ্ধ মসৃণ সরল স্থান বক্ররেখা অ-তুচ্ছভাবে গাঁট বাঁধা হয়, তবে মোট পরম বক্রতা এর চেয়ে বেশি। প্রমাণ একক গতির সাথে একটি বদ্ধ মসৃণ বক্ররেখা দেওয়া হলে, বেগটিও একটি বদ্ধ মসৃণ বক্ররেখা। মোট পরম বক্রতা হল এর দৈর্ঘ্য। বক্ররেখাটি খোলা গোলার্ধে থাকে না। যদি তাই হয়, তাহলে এমন একটি দ্বন্দ্ব রয়েছে। এটি আরও দেখায় যে যদি একটি বদ্ধ গোলার্ধে থাকে, তবে একটি সমতল বক্ররেখাও তাই। এমন একটি বিন্দুর কথা বিবেচনা করুন যা একই দৈর্ঘ্যের এবং বাঁকানো। গোলকটি ঘোরানোর মাধ্যমে, আমরা ধরে নিতে পারি এবং মেরুগুলির মধ্য দিয়ে অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ অনুসারে, দুটি বক্ররেখার মধ্যে অন্তত একটি বিষুবরেখার সঙ্গে কোনও না কোনও সময়ে ছেদ করে। আমরা এই বক্ররেখা দ্বারা চিহ্নিত করি। তারপর। আমরা সমতল জুড়ে প্রতিফলিত করি, এবং উত্তর মেরু, দৈর্ঘ্য সহ অ্যান্টিপোডাল পয়েন্ট সহ একটি বদ্ধ বক্ররেখা গঠন করে। সংযোগকারী একটি বক্ররেখার কমপক্ষে দৈর্ঘ্য থাকে, যা মাঝখানের বড় অর্ধবৃত্তের দৈর্ঘ্য। সুতরাং, এবং যদি সমতা বজায় থাকে তবে বিষুবরেখা অতিক্রম করে না। অতএব, এবং যদি সমতা বজায় থাকে তবে এটি একটি বদ্ধ গোলার্ধে অবস্থিত, এবং এইভাবে এটি একটি সমতল বক্ররেখা। তথ্যসূত্র; বিশেষ করে সমীকরণ 13, পৃষ্ঠা 49 দেখুন ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে উপপাদ্য সমতল জ্যামিতিতে উপপাদ্য বক্ররেখা সম্পর্কে উপপাদ্য (গণিত)