Vector area
ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি এবং ভেক্টর ক্যালকুলাসে, একটি এলাকা ভেক্টর হল একটি ভেক্টর যা একটি দিকের সাথে একটি এলাকার পরিমাণকে একত্রিত করে, এইভাবে তিনটি মাত্রায় একটি অভিমুখী এলাকার প্রতিনিধিত্ব করে। তিনটি মাত্রায় আবদ্ধ প্রতিটি পৃষ্ঠকে একটি অনন্য এলাকা ভেক্টরের সাথে যুক্ত করা যেতে পারে যাকে ভেক্টর এলাকা বলা হয়। এটি পৃষ্ঠের স্বাভাবিক পৃষ্ঠের অবিচ্ছেদ্য অংশের সমান এবং স্বাভাবিক (স্কেলার) পৃষ্ঠ এলাকা থেকে আলাদা। ভেক্টর এলাকাকে দুটি মাত্রায় স্বাক্ষরিত এলাকার ত্রিমাত্রিক সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। সংজ্ঞা স্কেলার এলাকা এবং একক স্বাভাবিকের একটি সীমাবদ্ধ প্ল্যানার পৃষ্ঠের জন্য, ভেক্টর এলাকাটি এলাকা দ্বারা পরিমাপ করা একক স্বাভাবিক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ সমতল দিকের এলাকার একটি সেট নিয়ে গঠিত একটি অভিমুখী পৃষ্ঠের জন্য, পৃষ্ঠের ভেক্টর এলাকাটি দেওয়া হয় যেখানে এলাকার একক স্বাভাবিক ভেক্টর। আবদ্ধ, অভিমুখী বাঁকা পৃষ্ঠগুলির জন্য যা যথেষ্ট ভাল আচরণ করে, আমরা এখনও ভেক্টর এলাকা সংজ্ঞায়িত করতে পারি। প্রথমে, আমরা পৃষ্ঠকে অসীম উপাদানগুলিতে বিভক্ত করি, যার প্রতিটি কার্যকরভাবে সমতল। ক্ষেত্রফলের প্রতিটি অসীম উপাদানের জন্য, আমাদের একটি ক্ষেত্রফল ভেক্টর রয়েছে, যা অসীমও। যেখানে স্থানীয় একক ভেক্টর লম্ব। সংহতকরণ পৃষ্ঠের জন্য ভেক্টর এলাকা দেয়। বৈশিষ্ট্য একটি পৃষ্ঠের ভেক্টর এলাকা (স্বাক্ষরিত) অভিক্ষিপ্ত এলাকা বা পৃষ্ঠের "ছায়া" হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে সমতলে এটি সবচেয়ে বড়; তার দিকটি সেই সমতলের স্বাভাবিক দ্বারা দেওয়া হয়। একটি বাঁকা বা মুখের জন্য (অর্থাৎ। অ-সমতলীয়) পৃষ্ঠ, ভেক্টর এলাকা প্রকৃত পৃষ্ঠ এলাকার তুলনায় মাত্রায় ছোট। একটি চরম উদাহরণ হিসাবে, একটি বদ্ধ পৃষ্ঠ নির্বিচারে বড় এলাকা ধারণ করতে পারে, তবে এর ভেক্টর এলাকা অবশ্যই শূন্য। যে পৃষ্ঠগুলি একটি সীমানা ভাগ করে নেয় তাদের খুব আলাদা এলাকা থাকতে পারে, তবে তাদের অবশ্যই একই ভেক্টর এলাকা থাকতে হবে-ভেক্টর এলাকা সম্পূর্ণরূপে সীমানা দ্বারা নির্ধারিত হয়। এগুলি স্টোকসের উপপাদ্যের পরিণতি। একটি সমান্তরাল চতুর্ভুজের ভেক্টর এলাকা দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল দ্বারা দেওয়া হয় যা এটিকে প্রসারিত করে; এটি একই ভেক্টর দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের (ভেক্টর) ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ। সাধারণভাবে, যে কোনও পৃষ্ঠের ভেক্টর এলাকা যার সীমানা সরলরেখার অংশগুলির ক্রম নিয়ে গঠিত (দুটি মাত্রায় একটি বহুভুজের অনুরূপ) পৃষ্ঠের ত্রিভুজাকারকরণের সাথে সম্পর্কিত ক্রস পণ্যগুলির একটি সিরিজ ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে। এটি শূলেস সূত্রের তিন মাত্রায় সাধারণীকরণ। উপযুক্তভাবে নির্বাচিত ভেক্টর ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা স্টোকসের উপপাদ্য ব্যবহার করে, ভেক্টর এলাকার জন্য একটি সীমানা অবিচ্ছেদ্য পাওয়া যেতে পারেঃ এর সীমানা কোথায়, অর্থাৎ। এক বা একাধিক অভিমুখী বদ্ধ স্থান বক্ররেখা। এটি গ্রীনের উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রফল গণনার অনুরূপ। অ্যাপ্লিকেশন পৃষ্ঠতল ইন্টিগ্রাল গণনা করার সময় এলাকা ভেক্টর ব্যবহার করা হয়, যেমন একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রবাহ নির্ধারণ করার সময়। ফ্লাক্সটি ক্ষেত্রের ডট প্রোডাক্ট এবং (অসীম) এরিয়া ভেক্টরের অবিচ্ছেদ্য দ্বারা দেওয়া হয়। যখন ক্ষেত্রটি পৃষ্ঠের উপর স্থির থাকে তখন ইন্টিগ্রালটি ক্ষেত্রের বিন্দু গুণফল এবং পৃষ্ঠের ভেক্টর এলাকায় সরল হয়ে যায়। সমতলে ক্ষেত্রের অভিক্ষেপ একটি সমতলে অভিক্ষিপ্ত ক্ষেত্র ভেক্টর এলাকা এস-এর বিন্দু গুণফল এবং লক্ষ্য সমতল একক স্বাভাবিক দ্বারা দেওয়া হয়ঃ উদাহরণস্বরূপ, সমতলে অভিক্ষিপ্ত ক্ষেত্র ভেক্টর এলাকার-উপাদানের সমতুল্য, এবং সমতল স্বাভাবিক এবং-অক্ষের মধ্যে কোণের সমান। আরও দেখুন ডি গুয়ার উপপাদ্যের যে কোনও সংখ্যক মাত্রায় একটি অভিমুখী ক্ষেত্রের প্রতিনিধিত্বকারী বাইভেক্টর, ভেক্টর ক্ষেত্রকে অর্থোগোনাল উপাদানগুলিতে পচনের উপর ক্রশ প্রোডাক্ট সাধারণ পৃষ্ঠ অবিচ্ছেদ্য নোট এলাকা ভেক্টর (গণিত এবং পদার্থবিজ্ঞান) বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি