Vector fields on spheres
গণিতে, গোলকের উপর ভেক্টর ক্ষেত্রের আলোচনা ডিফারেনশিয়াল টপোলজির একটি ধ্রুপদী সমস্যা ছিল, যা হেয়ার বল উপপাদ্য থেকে শুরু হয়েছিল এবং বিভাজন বীজগণিতের শ্রেণিবিন্যাসের প্রাথমিক কাজ ছিল। বিশেষত, প্রশ্ন হল-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানে একটি গোলকের উপর কতগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন মসৃণ কোথাও-শূন্য ভেক্টর ক্ষেত্র তৈরি করা যেতে পারে। 1962 সালে ফ্রাঙ্ক অ্যাডামস একটি সুনির্দিষ্ট উত্তর দিয়েছিলেন। ক্লিফোর্ড অ্যালজেব্রা ব্যবহার করে সরাসরি নির্মাণের মাধ্যমে এটি ইতিমধ্যে জানা গিয়েছিল যে কমপক্ষে এই ধরনের ক্ষেত্র ছিল (নীচের সংজ্ঞাটি দেখুন)। অ্যাডামস হোমোটপি তত্ত্ব এবং টপোলজিকাল কে-তত্ত্ব প্রয়োগ করে প্রমাণ করেন যে আর কোনও স্বাধীন ভেক্টর ক্ষেত্র পাওয়া যায় না। সুতরাং এটি একটি ()-মাত্রিক গোলকে বিদ্যমান বিন্দুভিত্তিক রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টর ক্ষেত্রের সঠিক সংখ্যা। প্রযুক্তিগত বিবরণ বিস্তারিতভাবে, প্রশ্নটি 'বৃত্তাকার গোলক' এবং তাদের স্পর্শক বান্ডিলগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হয়ঃ প্রকৃতপক্ষে যেহেতু সমস্ত বহিরাগত গোলকের সমরূপীয় স্পর্শক বান্ডিল রয়েছে, তাই রেডন-হারউইটস সংখ্যাগুলি যে কোনও সমস্থানিক গোলকের স্পর্শক বান্ডিলের রৈখিকভাবে স্বাধীন বিভাগগুলির সর্বাধিক সংখ্যা নির্ধারণ করে। বিজোড়ের ক্ষেত্রে পয়েনকারে-হপফ সূচক উপপাদ্য দ্বারা যত্ন নেওয়া হয় (হেয়ারি বল উপপাদ্য দেখুন), তাই কেস ইভেন তার একটি সম্প্রসারণ। অ্যাডামস দেখিয়েছেন যে, ()-গোলকের বিন্দুভিত্তিক রৈখিক-স্বাধীন ভেক্টর ক্ষেত্রগুলির সর্বাধিক সংখ্যা হল অবিরত (মসৃণ এখানে ভিন্ন হবে না)। ক্ষেত্রগুলির নির্মাণ প্রকৃত ক্লিফোর্ড অ্যালজেব্রার সাথে সম্পর্কিত, যা একটি পর্যায়ক্রমিক মডুলো 8 সহ একটি তত্ত্ব যা এখানেও প্রদর্শিত হয়। গ্রাম-শ্মিট প্রক্রিয়া দ্বারা, (পয়েন্টওয়াইজ) রৈখিক স্বাধীনতা বা প্রতিটি বিন্দুতে একটি অর্থোনরমাল ভিত্তি প্রদান করে এমন ক্ষেত্রগুলির জন্য জিজ্ঞাসা করা একই। রাডন-হারউইৎজ সংখ্যা রাডন-হারউইৎজ সংখ্যাগুলি জোহান রাডন (1922) এবং অ্যাডলফ হারউইৎজ (1923)-এর পূর্ববর্তী কাজগুলিতে দ্বিঘাত আকারে হারউইৎজ সমস্যার উপর পাওয়া যায়। একটি বিজোড় সংখ্যা এবং দুটির ঘাতের গুণফল হিসাবে লেখার জন্য, লিখুন। তারপর। এর প্রথম কয়েকটি মান হল (থেকে): 2,4,2,8,2,4,2,9,2,4,2,8,2,4,2,10,। বিজোড়ের জন্য, ফাংশনের মান এক। এই সংখ্যাগুলি অন্যান্য, সম্পর্কিত ক্ষেত্রগুলিতেও দেখা যায়। ম্যাট্রিক্স তত্ত্বে, রেডন-হারউইৎজ সংখ্যা প্রকৃত ম্যাট্রিক্সের একটি রৈখিক সাবস্পেসের সর্বাধিক আকার গণনা করে, যার জন্য প্রতিটি অ-শূন্য ম্যাট্রিক্স একটি সাদৃশ্য রূপান্তর, অর্থাৎ। একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স এবং একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্সের গুণফল। দ্বিঘাত আকারে, হারউইটজ সমস্যাটি দ্বিঘাত রূপগুলির মধ্যে গুণিতক পরিচয়ের জন্য জিজ্ঞাসা করে। 1952 সালে বেনো একম্যান ধ্রুপদী ফলাফলগুলি পুনর্বিবেচনা করেছিলেন। এগুলি এখন কোডিং তত্ত্ব এবং তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান সহ ক্ষেত্রগুলিতে প্রয়োগ করা হয়। রেফারেন্স ডিফারেনশিয়াল টপোলজি টপোলজিতে উপপাদ্য