Rotation system
সমন্বিত গণিতে, ঘূর্ণন ব্যবস্থা (যাকে সমন্বিত এম্বেডিং বা সমন্বিত মানচিত্রও বলা হয়) প্রতিটি শীর্ষের চারপাশে একটি গ্রাফের প্রান্তের বৃত্তাকার ক্রম বর্ণনা করে অভিমুখযোগ্য পৃষ্ঠে গ্রাফের এম্বেডিংকে এনকোড করে। একটি ঘূর্ণন ব্যবস্থার আরও আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞায় জোড়া বিন্যাস জড়িত থাকে; এই ধরনের জোড়া একটি মাল্টিগ্রাফ, একটি পৃষ্ঠ এবং পৃষ্ঠে মাল্টিগ্রাফ-এর একটি 2-কোষ এম্বেডিং নির্ধারণ করার জন্য যথেষ্ট। প্রতিটি ঘূর্ণন পরিকল্পনা একটি বদ্ধ ভিত্তিক পৃষ্ঠের (অভিযোজন-সংরক্ষণকারী টপোলজিকাল সমতুল্যতা পর্যন্ত) একটি সংযুক্ত মাল্টিগ্রাফির একটি অনন্য 2-কোষ এম্বেডিংকে সংজ্ঞায়িত করে। বিপরীতভাবে, একটি সংযুক্ত মাল্টিগ্রাফ জি-এর যে কোনও এম্বেডিং একটি ওরিয়েন্টেড বদ্ধ পৃষ্ঠে একটি অনন্য ঘূর্ণন ব্যবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করে যার অন্তর্নিহিত মাল্টিগ্রাফ হিসাবে জি রয়েছে। ঘূর্ণন ব্যবস্থা এবং 2-কোষ-এম্বেডিংয়ের মধ্যে এই মৌলিক সমতুল্যতা 1890-এর দশকে লোথার হেফটার দ্বারা দ্বৈত আকারে প্রথম স্থির করা হয়েছিল এবং 1950-এর দশকে রিঙ্গেল দ্বারা ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছিল। স্বাধীনভাবে, এডমন্ডস উপপাদ্যটির প্রাথমিক রূপ দিয়েছিলেন এবং তাঁর গবেষণার বিশদ বিবরণ ইয়ংস দ্বারা জনপ্রিয় করা হয়েছে। গ্রস এবং আলপার্ট মাল্টিগ্রাফের সাধারণীকরণ উপস্থাপন করেছিলেন। ঘূর্ণন ব্যবস্থা রিঙ্গোল্ড এট আল দ্বারা ব্যবহৃত ঘূর্ণন মানচিত্রের সাথে সম্পর্কিত, তবে একই নয়। (2002) গ্রাফের জিগ-জ্যাগ পণ্য সংজ্ঞায়িত করতে। একটি ঘূর্ণন ব্যবস্থা প্রতিটি শীর্ষের চারপাশে প্রান্তগুলির একটি বৃত্তাকার ক্রম নির্দিষ্ট করে, যেখানে একটি ঘূর্ণন মানচিত্র প্রতিটি শীর্ষে প্রান্তগুলির একটি (অ-বৃত্তাকার) বিন্যাস নির্দিষ্ট করে। উপরন্তু, যে কোনও গ্রাফের জন্য ঘূর্ণন ব্যবস্থাকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে রেইনগোল্ড এবং অন্যান্য হিসাবে। তাদের সংজ্ঞায়িত করুন ঘূর্ণন মানচিত্রগুলি নিয়মিত গ্রাফের মধ্যে সীমাবদ্ধ। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি ঘূর্ণন ব্যবস্থাকে একটি জোড়া (σ, θ) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে σ এবং θ একই স্থল সেট B-এর উপর ক্রিয়াশীল বিন্যাস, θ একটি নির্দিষ্ট-বিন্দু-মুক্ত প্রবণতা, এবং σ এবং θ দ্বারা উৎপন্ন <σ, θ> গ্রুপটি B-এর উপর ক্ষণস্থায়ীভাবে কাজ করে। একটি ওরিয়েন্টেড পৃষ্ঠে একটি সংযুক্ত মাল্টিগ্রাফ জি-এর 2-সেল এম্বেডিং থেকে একটি ঘূর্ণন ব্যবস্থা অর্জন করতে, ধরা যাক বি-তে জি-এর ডার্ট (বা ফ্ল্যাগ, বা অর্ধ-প্রান্ত) রয়েছে; অর্থাৎ, জি-এর প্রতিটি প্রান্তের জন্য আমরা বি-এর দুটি উপাদান গঠন করি, প্রান্তের প্রতিটি শেষ বিন্দুর জন্য একটি করে। এমনকি যখন একটি প্রান্তের উভয় প্রান্তবিন্দুতে একই শীর্ষ থাকে, তখনও আমরা সেই প্রান্তের জন্য দুটি ডার্ট তৈরি করি। আমরা θ (b) কে b এর মতো একই প্রান্ত থেকে গঠিত অন্য ডার্ট হতে দিই; এটি স্পষ্টতই কোনও নির্দিষ্ট বিন্দু সহ একটি ইনভোলুশন। আমরা σ (b) কে একই শীর্ষে আপতিত প্রান্তের চক্রাকার ক্রমে b থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ডার্ট হতে দিই, যেখানে "ঘড়ির কাঁটার দিকে" পৃষ্ঠের অভিযোজন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি একটি মাল্টিগ্রাফ একটি অভিমুখী কিন্তু অভিমুখী নয় এমন পৃষ্ঠের উপর এম্বেড করা থাকে, তবে এটি সাধারণত দুটি ঘূর্ণন ব্যবস্থার সাথে মিলে যায়, যা পৃষ্ঠের দুটি অভিমুখের প্রত্যেকটির জন্য একটি করে। এই দুটি ঘূর্ণন ব্যবস্থার একই ইনভোলুশন θ রয়েছে, তবে একটি ঘূর্ণন ব্যবস্থার জন্য ক্রমবিকাশ σ হল অন্য ঘূর্ণন ব্যবস্থার জন্য সংশ্লিষ্ট ক্রমবিকাশটির বিপরীত। ঘূর্ণন ব্যবস্থা থেকে এম্বেডিং পুনরুদ্ধার একটি ঘূর্ণন ব্যবস্থা থেকে একটি মাল্টিগ্রাফ পুনরুদ্ধার করতে, আমরা σ এর প্রতিটি কক্ষপথের জন্য একটি শীর্ষ এবং θ এর প্রতিটি কক্ষপথের জন্য একটি প্রান্ত গঠন করি। একটি শীর্ষ একটি প্রান্তের সাথে আপতিত হয় যদি এই দুটি কক্ষপথের একটি খালি ছেদ থাকে। সুতরাং, প্রতি শীর্ষে ঘটনার সংখ্যা হল কক্ষপথের আকার এবং প্রতি প্রান্তে ঘটনার সংখ্যা হল ঠিক দুটি। যদি একটি ঘূর্ণন ব্যবস্থা একটি সংযুক্ত মাল্টিগ্রাফ জি-এর 2-কোষ এম্বেডিং থেকে উদ্ভূত হয়, তবে ঘূর্ণন ব্যবস্থা থেকে উদ্ভূত গ্রাফটি জি-এর সমরূপ। একটি ঘূর্ণন ব্যবস্থা থেকে উদ্ভূত গ্রাফটি একটি পৃষ্ঠে এম্বেড করার জন্য, σθ-এর প্রতিটি কক্ষপথের জন্য একটি ডিস্ক তৈরি করুন এবং যখনই ই-এর সাথে সম্পর্কিত দুটি ডার্ট এই ডিস্কগুলির সাথে সম্পর্কিত দুটি কক্ষপথের অন্তর্গত হয় তখন একটি প্রান্ত ই বরাবর দুটি ডিস্ককে আঠালো করুন। ফলাফল হল উদ্ভূত মাল্টিগ্রাফির একটি 2-কোষ এম্বেডিং, যার মধ্যে দুটি কোষ হল σθ এর কক্ষপথের সাথে সম্পর্কিত ডিস্ক। এই এম্বেডিংয়ের পৃষ্ঠটি এমনভাবে ওরিয়েন্টেড হতে পারে যে প্রতিটি শীর্ষের চারপাশে প্রান্তগুলির ঘড়ির কাঁটার দিকে ক্রমটি σ দ্বারা প্রদত্ত ঘড়ির কাঁটার দিকে ক্রমের মতোই। এম্বেডিংয়ের পৃষ্ঠের বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করে অয়লার সূত্র অনুসারে আমরা ঘূর্ণন ব্যবস্থা দ্বারা সংজ্ঞায়িত বদ্ধ ওরিয়েন্টেবল পৃষ্ঠের জেনাস জি অনুমান করতে পারি (অর্থাৎ, যে পৃষ্ঠের উপর অন্তর্নিহিত মাল্টিগ্রাফটি 2-সেল এম্বেডেড)। লক্ষ্য করুন যে, এবং। আমরা দেখতে পাই যে কোথায় বিন্যাসের কক্ষপথের সেটকে বোঝায়। আরও দেখুন সমন্বিত মানচিত্র নোটস রেফারেন্স। টপোলজিক্যাল গ্রাফ তত্ত্ব