Fenchel's duality theorem
গণিতে, ফেনচেলের দ্বৈততা উপপাদ্যটি ওয়ার্নার ফেনচেলের নামে নামকরণ করা উত্তল ফাংশন তত্ত্বের একটি ফলাফল। ধরা যাক f হল Rn-এর উপর একটি যথাযথ উত্তল ফাংশন এবং g হল Rn-এর উপর একটি যথাযথ অবতল ফাংশন। তারপর, যদি নিয়মিততার শর্তগুলি পূরণ হয়, যেখানে f * হল f-এর উত্তল সংমিশ্রণ (যা ফেনচেল-লেজেন্ড্রে রূপান্তর হিসাবেও উল্লেখ করা হয়) এবং g * হল g-এর অবতল সংমিশ্রণ। অর্থাৎ, গাণিতিক উপপাদ্য ধরা যাক X এবং Y বানাচ স্পেস, এবং উত্তল ফাংশন এবং একটি সীমাবদ্ধ রৈখিক মানচিত্র হতে হবে। তারপর ফেঞ্চেল সমস্যাঃ দুর্বল দ্বৈততাকে সন্তুষ্ট করা, অর্থাৎ। । লক্ষ্য করুন যেগুলি যথাক্রমে f, g এর উত্তল সংমিশ্রণ এবং সংলগ্ন অপারেটর। এই দ্বৈত সমস্যার জন্য বিশৃঙ্খলা ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়। ধরুন যে f, g, এবং A সন্তুষ্ট করে যে f এবং g নিম্ন অর্ধ-ধারাবাহিক এবং যেখানে বীজগাণিতিক অভ্যন্তর এবং, যেখানে h হল কিছু ফাংশন, সেট, বা যেখানে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন সেই বিন্দুগুলি কোথায়। তারপর দৃঢ় দ্বৈততা থাকে, অর্থাৎ। । যদি তখন সর্বোচ্চতা অর্জন করা যায়। এক-মাত্রিক চিত্র নিম্নলিখিত চিত্রে, সমীকরণের বাম দিকের ন্যূনতমকরণ সমস্যাটি চিত্রিত করা হয়েছে। একটি x-কে এমনভাবে পরিবর্তন করতে চায় যাতে x-এ উত্তল এবং অবতল বক্ররেখার মধ্যে উল্লম্ব দূরত্ব যতটা সম্ভব কম হয়। চিত্রে উল্লম্ব রেখার অবস্থান হল (আনুমানিক) সর্বোত্তম। পরবর্তী চিত্রটি উপরের সমীকরণের ডানদিকে সর্বাধিককরণের সমস্যাটি চিত্রিত করে। দুটি বক্ররেখার প্রতিটিতে স্পর্শকগুলি এমনভাবে টানা হয় যাতে উভয় স্পর্শকের একই ঢাল থাকে। সমস্যাটি হল p-কে এমনভাবে সামঞ্জস্য করা যাতে দুটি স্পর্শক একে অপরের থেকে যতটা সম্ভব দূরে থাকে (আরও সুনির্দিষ্টভাবে, যাতে যে বিন্দুগুলিতে তারা y-অক্ষকে ছেদ করে সেগুলি একে অপরের থেকে যতটা সম্ভব দূরে থাকে)। দুটি স্পর্শককে ধাতব বার হিসাবে কল্পনা করুন যার মধ্যে উল্লম্ব স্প্রিং রয়েছে যা তাদের আলাদা করে এবং দুটি প্যারাবোলার বিরুদ্ধে ঠেলে দেয় যা জায়গায় স্থির থাকে। ফেঞ্চেলের উপপাদ্য বলে যে দুটি সমস্যার সমাধান একই। ন্যূনতম উল্লম্ব পৃথকীকরণের বিন্দুগুলিও সর্বাধিক পৃথক সমান্তরাল স্পর্শকগুলির জন্য স্পর্শক বিন্দু। আরও দেখুন লেজেন্ড্রে রূপান্তর কনভেক্স কনজুগেট মোরোর উপপাদ্য ওল্ফ দ্বৈততা ওয়ার্নার ফেনচেল রেফারেন্স উপপাদ্য বিশ্লেষণ কনভেক্স অপ্টিমাইজেশনে