Tight binding
কঠিন-অবস্থা পদার্থবিজ্ঞানে, টাইট-বাইন্ডিং মডেল (বা টিবি মডেল) হল প্রতিটি পারমাণবিক স্থানে অবস্থিত বিচ্ছিন্ন পরমাণুর জন্য তরঙ্গ ফাংশনের সুপারপজিশনের উপর ভিত্তি করে তরঙ্গ ফাংশনের আনুমানিক সেট ব্যবহার করে বৈদ্যুতিন ব্যান্ড কাঠামোর গণনার একটি পদ্ধতি। পদ্ধতিটি রসায়নে ব্যবহৃত এল. সি. এ. ও পদ্ধতির (পারমাণবিক কক্ষপথ পদ্ধতির রৈখিক সংমিশ্রণ) সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। টাইট-বাইন্ডিং মডেলগুলি বিভিন্ন ধরনের কঠিন পদার্থের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। মডেলটি অনেক ক্ষেত্রে ভাল গুণগত ফলাফল দেয় এবং অন্যান্য মডেলের সাথে মিলিত হতে পারে যা টাইট-বাইন্ডিং মডেলটি ব্যর্থ হলে আরও ভাল ফলাফল দেয়। যদিও টাইট-বাইন্ডিং মডেলটি একটি এক-ইলেকট্রন মডেল, তবে মডেলটি আরও উন্নত গণনার জন্য একটি ভিত্তি সরবরাহ করে যেমন পৃষ্ঠের অবস্থার গণনা এবং বিভিন্ন ধরণের বহু-দেহ সমস্যা এবং অর্ধ-কণা গণনার প্রয়োগ। ভূমিকা এই বৈদ্যুতিন ব্যান্ড কাঠামো মডেলের "টাইট বাইন্ডিং" নামটি থেকে বোঝা যায় যে এই কোয়ান্টাম যান্ত্রিক মডেলটি কঠিন পদার্থে শক্তভাবে আবদ্ধ ইলেকট্রনের বৈশিষ্ট্যগুলি বর্ণনা করে। এই মডেলের ইলেকট্রনগুলি যে পরমাণুর সাথে সম্পর্কিত তার সাথে শক্তভাবে আবদ্ধ হওয়া উচিত এবং কঠিনের আশেপাশের পরমাণুগুলির অবস্থা এবং সম্ভাবনার সাথে তাদের সীমিত মিথস্ক্রিয়া হওয়া উচিত। ফলস্বরূপ, ইলেক্ট্রনের তরঙ্গ ফাংশনটি মুক্ত পরমাণুর পারমাণবিক কক্ষপথের অনুরূপ হবে যার সাথে এটি সম্পর্কিত। ইলেকট্রনের শক্তিও মুক্ত পরমাণু বা আয়নে ইলেক্ট্রনের আয়নীকরণ শক্তির কাছাকাছি থাকবে কারণ পার্শ্ববর্তী পরমাণুতে সম্ভাব্যতা এবং অবস্থার সাথে মিথস্ক্রিয়া সীমিত। যদিও এক-কণা টাইট-বাইন্ডিং হ্যামিল্টনিয়ানের গাণিতিক সূত্রটি প্রথম নজরে জটিল বলে মনে হতে পারে, তবে মডেলটি মোটেও জটিল নয় এবং স্বজ্ঞাতভাবে বেশ সহজেই বোঝা যায়। মাত্র তিন ধরনের ম্যাট্রিক্স উপাদান রয়েছে যা তত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এই তিন ধরনের উপাদানের মধ্যে দুটি শূন্যের কাছাকাছি হওয়া উচিত এবং প্রায়শই অবহেলিত হতে পারে। মডেলের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উপাদানগুলি হল আন্তঃপরমাণবিক ম্যাট্রিক্স উপাদান, যা কেবল একজন রসায়নবিদ দ্বারা বন্ধন শক্তি বলা হবে। সাধারণভাবে এই মডেলে বেশ কয়েকটি পারমাণবিক শক্তির স্তর এবং পারমাণবিক কক্ষপথ জড়িত রয়েছে। এটি জটিল ব্যান্ড কাঠামোর দিকে নিয়ে যেতে পারে কারণ অরবিটালগুলি বিভিন্ন বিন্দু-গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্বের অন্তর্গত। পারস্পরিক জাল এবং ব্রিলউইন অঞ্চল প্রায়শই কঠিন স্ফটিকের চেয়ে আলাদা স্পেস গ্রুপের অন্তর্গত। ব্রিলউইন অঞ্চলের উচ্চ-প্রতিসাম্য বিন্দুগুলি বিভিন্ন বিন্দু-গোষ্ঠীর প্রতিনিধিত্বের অন্তর্গত। যখন উপাদানগুলির জাল বা সাধারণ যৌগগুলির মতো সহজ পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করা হয় তখন বিশ্লেষণাত্মকভাবে উচ্চ-প্রতিসাম্য বিন্দুতে আইগেনস্টেট গণনা করা প্রায়শই খুব কঠিন হয় না। সুতরাং যারা গোষ্ঠী তত্ত্ব সম্পর্কে আরও জানতে চান তাদের জন্য টাইট-বাইন্ডিং মডেলটি চমৎকার উদাহরণ প্রদান করতে পারে। টাইট-বাইন্ডিং মডেলটির একটি দীর্ঘ ইতিহাস রয়েছে এবং এটি বিভিন্ন উপায়ে এবং বিভিন্ন উদ্দেশ্য এবং বিভিন্ন ফলাফলের সাথে প্রয়োগ করা হয়েছে। মডেলটি নিজে থেকে দাঁড়ায় না। মডেলের কিছু অংশ প্রায়-মুক্ত ইলেক্ট্রন মডেলের মতো অন্যান্য ধরনের গণনা এবং মডেল দ্বারা পূরণ বা প্রসারিত করা যেতে পারে। মডেল নিজেই, বা এর কিছু অংশ, অন্যান্য গণনার ভিত্তি হিসাবে কাজ করতে পারে। পরিবাহী পলিমার, জৈব অর্ধপরিবাহী এবং আণবিক ইলেকট্রনিক্সের অধ্যয়নে, উদাহরণস্বরূপ, টাইট-বাইন্ডিং-এর মতো মডেল প্রয়োগ করা হয় যেখানে মূল ধারণায় পরমাণুর ভূমিকা সংযুক্ত ব্যবস্থার আণবিক কক্ষপথ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় এবং যেখানে আন্তঃআণবিক ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি আন্তঃ-বা আন্তঃআণবিক হপিং এবং টানেলিং পরামিতি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। এই পরিবাহীগুলির প্রায় সবগুলিরই খুব অ্যানিসোট্রপিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং কখনও কখনও প্রায় নিখুঁতভাবে এক-মাত্রিক হয়। ঐতিহাসিক পটভূমি 1928 সালের মধ্যে, একটি আণবিক কক্ষপথের ধারণা রবার্ট মুলিকেন দ্বারা উন্নত হয়েছিল, যিনি ফ্রেডরিখ হান্ডের কাজ দ্বারা যথেষ্ট প্রভাবিত হয়েছিলেন। আণবিক কক্ষপথ আনুমানিক করার জন্য এল. সি. এ. ও পদ্ধতি 1928 সালে বি. এন. ফিঙ্কলেস্টিন এবং জি. ই. হোরোভিটস দ্বারা চালু করা হয়েছিল, অন্যদিকে কঠিন পদার্থের জন্য এল. সি. এ. ও পদ্ধতিটি 1928 সালে ফেলিক্স ব্লচ তাঁর ডক্টরাল গবেষণামূলক প্রবন্ধের অংশ হিসাবে এল. সি. এ. ও-এম. ও পদ্ধতির সাথে একযোগে এবং স্বাধীনভাবে তৈরি করেছিলেন। বৈদ্যুতিন ব্যান্ড কাঠামো আনুমানিক করার জন্য একটি অনেক সহজ ইন্টারপোলেশন স্কিম, বিশেষত ট্রানজিশন ধাতুগুলির ডি-ব্যান্ডগুলির জন্য, 1954 সালে জন ক্লার্ক স্লেটার এবং জর্জ ফ্রেড কোস্টার দ্বারা পরিকল্পিত প্যারামিটারাইজড টাইট-বাইন্ডিং পদ্ধতি, যা কখনও কখনও এসকে টাইট-বাইন্ডিং পদ্ধতি হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এসকে টাইট-বাইন্ডিং পদ্ধতিতে, একটি কঠিন পদার্থের উপর বৈদ্যুতিন ব্যান্ড কাঠামোর গণনা মূল ব্লচের উপপাদ্যের মতো সম্পূর্ণ কঠোরতার সাথে সম্পন্ন করার প্রয়োজন নেই, বরং, প্রথম-নীতিগুলির গণনা শুধুমাত্র উচ্চ-প্রতিসাম্য বিন্দুতে করা হয় এবং ব্যান্ড কাঠামোটি এই বিন্দুগুলির মধ্যে ব্রিলউইন জোনের অবশিষ্ট অংশে ইন্টারপোলেট করা হয়। এই পদ্ধতিতে, বিভিন্ন পারমাণবিক স্থানের মধ্যে মিথস্ক্রিয়াকে বিশৃঙ্খলা হিসাবে বিবেচনা করা হয়। বিভিন্ন ধরনের মিথস্ক্রিয়া রয়েছে যা আমাদের অবশ্যই বিবেচনা করতে হবে। স্ফটিক হ্যামিল্টনিয়ান হল বিভিন্ন স্থানে অবস্থিত পারমাণবিক হ্যামিল্টনিয়ানদের সমষ্টি এবং পারমাণবিক তরঙ্গ ফাংশনগুলি স্ফটিকের সংলগ্ন পারমাণবিক স্থানগুলিকে ওভারল্যাপ করে এবং তাই সঠিক তরঙ্গ ফাংশনের সঠিক উপস্থাপনা নয়। পরবর্তী বিভাগে কিছু গাণিতিক অভিব্যক্তি সহ আরও ব্যাখ্যা রয়েছে। দৃঢ়ভাবে পরস্পর সম্পর্কিত উপাদান সম্পর্কে সাম্প্রতিক গবেষণায় টাইট বাইন্ডিং পদ্ধতিটি মৌলিক আনুমানিক কারণ 3-ডি ট্রানজিশন ধাতব ইলেকট্রনের মতো অত্যন্ত স্থানীয় ইলেকট্রনগুলি কখনও কখনও দৃঢ়ভাবে পরস্পর সম্পর্কিত আচরণ প্রদর্শন করে। এই ক্ষেত্রে, বহু-বস্তু পদার্থবিজ্ঞানের বিবরণ ব্যবহার করে ইলেক্ট্রন-ইলেকট্রন মিথস্ক্রিয়ার ভূমিকা অবশ্যই বিবেচনা করা উচিত। টাইট-বাইন্ডিং মডেলটি সাধারণত স্থির ব্যবস্থায় বৈদ্যুতিন ব্যান্ড কাঠামো এবং ব্যান্ড ফাঁকগুলির গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়। যাইহোক, র্যান্ডম ফেজ এপ্রোক্সিমেশন (আরপিএ) মডেলের মতো অন্যান্য পদ্ধতির সংমিশ্রণে, সিস্টেমগুলির গতিশীল প্রতিক্রিয়াও অধ্যয়ন করা যেতে পারে। 2019 সালে, ব্যানওয়ার্থ এবং অন্যান্যরা। প্রাথমিকভাবে কাঠামো এবং অ-সমযোজী মিথস্ক্রিয়া শক্তির গণনার জন্য জি. এফ. এন2-এক্স. টি. বি পদ্ধতি চালু করা হয়। গাণিতিক সূত্র আমরা পারমাণবিক অরবিটালগুলি প্রবর্তন করি, যা একটি একক বিচ্ছিন্ন পরমাণুর হ্যামিল্টনিয়ানের আইগেন ফাংশন। যখন পরমাণুটি একটি স্ফটিকের মধ্যে স্থাপন করা হয়, তখন এই পারমাণবিক তরঙ্গ ফাংশনটি সংলগ্ন পারমাণবিক স্থানগুলিকে ওভারল্যাপ করে এবং তাই স্ফটিক হ্যামিল্টনিয়ানের সত্যিকারের আইগেন ফাংশন নয়। ইলেকট্রনগুলি শক্তভাবে আবদ্ধ হলে ওভারল্যাপ কম হয়, যা বর্ণনাকারী "টাইট-বাইন্ডিং"-এর উৎস। সিস্টেমের প্রকৃত হ্যামিল্টনিয়ান পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় পারমাণবিক সম্ভাবনার যে কোনও সংশোধনকে ছোট বলে ধরে নেওয়া হয়ঃ যেখানে স্ফটিক জালের সাইটে অবস্থিত একটি পরমাণুর পারমাণবিক সম্ভাব্যতা বোঝায়। সময়-স্বাধীন একক ইলেক্ট্রন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের একটি সমাধান তখন পারমাণবিক কক্ষপথের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে আনুমানিক হয়ঃ, যেখানে m-th পারমাণবিক শক্তি স্তরকে বোঝায়। অনুবাদমূলক প্রতিসাম্য এবং স্বাভাবিককরণ ব্লচ উপপাদ্য বলে যে একটি স্ফটিকের তরঙ্গ ফাংশন শুধুমাত্র একটি ফেজ ফ্যাক্টর দ্বারা অনুবাদের অধীনে পরিবর্তিত হতে পারেঃ তরঙ্গ ফাংশনের তরঙ্গ ভেক্টর কোথায়। ফলস্বরূপ, সহগগুলি সন্তুষ্ট হয় প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে, আমরা খুঁজে পাই (যেখানে আর. এইচ. এস-এ আমরা ডামি সূচককে প্রতিস্থাপন করেছি) বা তরঙ্গ ফাংশনকে একতায় স্বাভাবিককরণ করিঃ তাই স্বাভাবিকীকরণ সেট করে যেখানে αm (Rp) পারমাণবিক ওভারল্যাপ ইন্টিগ্রাল, যা প্রায়শই অবহেলিত হয় যার ফলে এবং টাইট বাইন্ডিং হ্যামিল্টনিয়ান তরঙ্গ ফাংশনের জন্য টাইট বাইন্ডিং ফর্ম ব্যবহার করে, এবং কেবলমাত্র m-th পারমাণবিক শক্তি স্তরটি m-th শক্তি ব্যান্ডের জন্য গুরুত্বপূর্ণ বলে ধরে নেওয়া হয়, ব্লক শক্তিগুলি এই ফর্মের। শক্তিটি তখন হয়ে যায় যেখানে এম হল এম-তম পারমাণবিক স্তরের শক্তি, এবং, এবং নীচে আলোচিত টাইট বাইন্ডিং ম্যাট্রিক্স উপাদান। টাইট বাইন্ডিং ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি হল পার্শ্ববর্তী পরমাণুর সম্ভাবনার কারণে পারমাণবিক শক্তি স্থানান্তর। এই শব্দটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে তুলনামূলকভাবে ছোট। যদি এটি বড় হয় তবে এর অর্থ হল পার্শ্ববর্তী পরমাণুর সম্ভাব্যতা কেন্দ্রীয় পরমাণুর শক্তির উপর একটি বড় প্রভাব ফেলে। পরবর্তী শ্রেণীর পদগুলি হল সংলগ্ন পরমাণুতে পারমাণবিক কক্ষপথ m এবং l-এর মধ্যে আন্তঃপরমাণবিক ম্যাট্রিক্স উপাদান। এটিকে বন্ধন শক্তি বা দুটি কেন্দ্রের অবিচ্ছেদ্যও বলা হয় এবং এটি টাইট বাইন্ডিং মডেলের প্রভাবশালী শব্দ। শেষ শ্রেণীর পদগুলি পার্শ্ববর্তী পরমাণুতে পারমাণবিক অরবিটাল m এবং l-এর মধ্যে ওভারল্যাপ ইন্টিগ্রালগুলি নির্দেশ করে। এগুলিও সাধারণত ছোট হয়; যদি না হয়, তাহলে কেন্দ্রীয় পরমাণুর শক্তির উপর পাউলি বিকর্ষণের একটি অ-নগণ্য প্রভাব রয়েছে। ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির মূল্যায়ন আগে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে-ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির মান আয়নীকরণ শক্তির তুলনায় এত বড় নয় কারণ কেন্দ্রীয় পরমাণুতে প্রতিবেশী পরমাণুর সম্ভাব্যতা সীমিত। যদি তুলনামূলকভাবে ছোট না হয় তবে এর অর্থ হল কেন্দ্রীয় পরমাণুতে পার্শ্ববর্তী পরমাণুর সম্ভাব্যতাও কম নয়। সেক্ষেত্রে এটি একটি ইঙ্গিত যে টাইট বাইন্ডিং মডেলটি কোনও কারণে ব্যান্ড কাঠামোর বর্ণনার জন্য খুব ভাল মডেল নয়। আন্তঃপরমাণবিক দূরত্ব খুব কম হতে পারে বা জালের পরমাণু বা আয়নগুলির উপর আধানগুলি উদাহরণস্বরূপ ভুল। আন্তঃপরমাণবিক ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি সরাসরি গণনা করা যেতে পারে যদি পারমাণবিক তরঙ্গ ফাংশন এবং সম্ভাব্যতা বিস্তারিতভাবে জানা থাকে। বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই এমনটা হয় না। এই ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির জন্য পরামিতিগুলি পাওয়ার অসংখ্য উপায় রয়েছে। রাসায়নিক বন্ধন শক্তির তথ্য থেকে পরামিতি পাওয়া যেতে পারে। ব্রিলউইন অঞ্চলের কিছু উচ্চ প্রতিসাম্য বিন্দুর উপর শক্তি এবং আইগেনস্টেটগুলি মূল্যায়ন করা যেতে পারে এবং ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির মান ইন্টিগ্রালগুলি অন্যান্য উৎস থেকে ব্যান্ড কাঠামোর তথ্যের সাথে মিলিত করা যেতে পারে। আন্তঃপরমাণবিক ওভারল্যাপ ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি বরং ছোট বা অবহেলিত হওয়া উচিত। যদি এগুলি বড় হয় তবে এটি আবার একটি ইঙ্গিত যে টাইট বাইন্ডিং মডেলটি কিছু উদ্দেশ্যে সীমিত মূল্যের। উদাহরণস্বরূপ, খুব ছোট আন্তঃপারমাণবিক দূরত্বের জন্য বড় ওভারল্যাপ একটি ইঙ্গিত। ধাতু এবং রূপান্তর ধাতুতে ব্রড এস-ব্যান্ড বা এস. পি-ব্যান্ডকে পরবর্তী-নিকটতম-প্রতিবেশী ম্যাট্রিক্স উপাদান এবং ওভারল্যাপ ইন্টিগ্রাল প্রবর্তনের মাধ্যমে বিদ্যমান ব্যান্ড কাঠামো গণনার জন্য আরও ভালভাবে লাগানো যেতে পারে তবে এটি এমনভাবে ফিট করে যা কোনও ধাতুর বৈদ্যুতিন তরঙ্গ ক্রিয়াকলাপের জন্য খুব দরকারী মডেল দেয় না। ঘন পদার্থের প্রশস্ত ব্যান্ডগুলি প্রায় মুক্ত ইলেক্ট্রন মডেল দ্বারা আরও ভালভাবে বর্ণনা করা হয়। টাইট বাইন্ডিং মডেল বিশেষত সেই ক্ষেত্রে ভাল কাজ করে যেখানে ব্যান্ডের প্রস্থ ছোট এবং ইলেকট্রনগুলি দৃঢ়ভাবে স্থানীয়করণ করা হয়, যেমন ডি-ব্যান্ড এবং এফ-ব্যান্ডের ক্ষেত্রে। হীরা বা সিলিকনের মতো খোলা স্ফটিক কাঠামোর ক্ষেত্রেও মডেলটি ভাল ফলাফল দেয়, যেখানে প্রতিবেশীদের সংখ্যা কম। মডেলটি সহজেই একটি হাইব্রিড এন. এফ. ই-টিবি মডেলের প্রায় মুক্ত ইলেক্ট্রন মডেলের সাথে মিলিত হতে পারে। ওয়ানিয়ার ফাংশনের সাথে সংযোগ ব্লক ফাংশন একটি পর্যায়ক্রমিক স্ফটিক জালিতে বৈদ্যুতিন অবস্থার বর্ণনা দেয়। ব্লচ ফাংশনগুলিকে একটি ফুরিয়ার সিরিজ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যেখানে Rn একটি পর্যায়ক্রমিক স্ফটিক জালিতে একটি পারমাণবিক সাইটকে বোঝায়, k হল ব্লচের ফাংশনের তরঙ্গ ভেক্টর, r হল ইলেক্ট্রন অবস্থান, m হল ব্যান্ড সূচক, এবং যোগফল সমস্ত N পারমাণবিক সাইটের উপর হয়। ব্লচের ফাংশনটি একটি শক্তির এম (কে)-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ পর্যায়ক্রমিক স্ফটিক সম্ভাবনায় একটি ইলেক্ট্রনের তরঙ্গ ফাংশনের জন্য একটি সঠিক আইগেনসোলিউশন এবং এটি পুরো স্ফটিক আয়তনে ছড়িয়ে থাকে। ফুরিয়ার রূপান্তর বিশ্লেষণ ব্যবহার করে, একাধিক ব্লচের ফাংশন থেকে m-th শক্তি ব্যান্ডের জন্য একটি স্থানিকভাবে স্থানীয় তরঙ্গ ফাংশন তৈরি করা যেতে পারেঃ এই বাস্তব স্থান তরঙ্গ ফাংশনগুলিকে ওয়ানিয়ার ফাংশন বলা হয় এবং পারমাণবিক সাইট Rn-এর সাথে মোটামুটি ঘনিষ্ঠভাবে স্থানীয়করণ করা হয়। অবশ্যই, যদি আমাদের সঠিক ওয়ানিয়ার ফাংশন থাকে, তবে ইনভার্স ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে সঠিক ব্লক ফাংশন পাওয়া যেতে পারে। তবে সরাসরি ব্লক ফাংশন বা ওয়ানিয়ার ফাংশন গণনা করা সহজ নয়। কঠিন পদার্থের বৈদ্যুতিন কাঠামো গণনার জন্য একটি আনুমানিক পদ্ধতির প্রয়োজন। যদি আমরা বিচ্ছিন্ন পরমাণুর চরম অবস্থা বিবেচনা করি, তাহলে ওয়ানিয়ার ফাংশন একটি বিচ্ছিন্ন পারমাণবিক কক্ষপথে পরিণত হবে। এই সীমাটি তথাকথিত টাইট বাইন্ডিং আনুমানিক, ওয়ানিয়ার ফাংশনের আনুমানিক রূপ হিসাবে একটি পারমাণবিক তরঙ্গ ফাংশনের পছন্দের পরামর্শ দেয়। দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজেশন টি-জে মডেল এবং হাবার্ড মডেলের মতো বৈদ্যুতিন কাঠামোর আধুনিক ব্যাখ্যাগুলি টাইট বাইন্ডিং মডেলের উপর ভিত্তি করে। দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজেশন ফর্মালিজমের অধীনে কাজ করে টাইট বাইন্ডিং বোঝা যায়। পারমাণবিক অরবিটালকে একটি ভিত্তি অবস্থা হিসাবে ব্যবহার করে, টাইট বাইন্ডিং কাঠামোতে দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজেশন হ্যামিল্টনিয়ান অপারেটরকে এইভাবে লেখা যেতে পারেঃ,-সৃষ্টি এবং বিনাশ অপারেটর-স্পিন মেরুকরণ-হপিং ইন্টিগ্রাল-নিকটতম প্রতিবেশী সূচক-অন্য শব্দগুলির হার্মিটিয়ান কনজুগেট (গুলি) এখানে, হপিং ইন্টিগ্রাল টাইট বাইন্ডিং মডেলে স্থানান্তর ইন্টিগ্রালের সাথে মিলে যায়। এর চরম ঘটনা বিবেচনা করে, একটি ইলেক্ট্রনের পক্ষে পার্শ্ববর্তী স্থানে ঝাঁপ দেওয়া অসম্ভব। এই কেসটি হল বিচ্ছিন্ন পারমাণবিক ব্যবস্থা। যদি হপিং শব্দটি চালু করা হয় () ইলেকট্রনগুলি তাদের গতিশক্তি হ্রাস করে উভয় স্থানেই থাকতে পারে। দৃঢ়ভাবে পরস্পর সম্পর্কিত ইলেক্ট্রন সিস্টেমে, ইলেক্ট্রন-ইলেক্ট্রন মিথস্ক্রিয়া বিবেচনা করা প্রয়োজন। এই শব্দটি হ্যামিল্টনিয়ান মিথস্ক্রিয়ায় সরাসরি কুলম্ব মিথস্ক্রিয়া শক্তি এবং ইলেকট্রনগুলির মধ্যে মিথস্ক্রিয়া শক্তি বিনিময় অন্তর্ভুক্ত। এই ইলেক্ট্রন-ইলেকট্রন মিথস্ক্রিয়া শক্তি থেকে অনুপ্রাণিত বেশ কয়েকটি অভিনব পদার্থবিজ্ঞান রয়েছে, যেমন ধাতু-নিরোধক রূপান্তর (এম. আই. টি), উচ্চ-তাপমাত্রার অতিপরিবাহীতা এবং বেশ কয়েকটি কোয়ান্টাম পর্যায় রূপান্তর। উদাহরণস্বরূপঃ এক-মাত্রিক এস-ব্যান্ড এখানে শক্ত বাঁধাই মডেলটি পারমাণবিক স্থানগুলির মধ্যে a এবং σ বন্ধনের ব্যবধান সহ একটি সরলরেখায় একক এস-অরবিটাল সহ পরমাণুর একটি স্ট্রিংয়ের জন্য একটি এস-ব্যান্ড মডেল দিয়ে চিত্রিত করা হয়েছে। হ্যামিল্টনিয়ানের আনুমানিক আইগেনস্টেট খুঁজে বের করার জন্য, আমরা পারমাণবিক কক্ষপথের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ ব্যবহার করতে পারি যেখানে এন = মোট স্থানের সংখ্যা এবং এর সাথে একটি বাস্তব পরামিতি। (এই তরঙ্গ ফাংশনটি প্রধান ফ্যাক্টর 1/√N দ্বারা একতায় স্বাভাবিক করা হয় যদি পারমাণবিক তরঙ্গ ফাংশনগুলির ওভারল্যাপ উপেক্ষা করা হয়।) শুধুমাত্র নিকটতম প্রতিবেশী ওভারল্যাপ ধরে নিলে, হ্যামিল্টনিয়ানের একমাত্র অ-শূন্য ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে শক্তি এই হল নির্বাচিত পারমাণবিক কক্ষপথের সাথে সম্পর্কিত আয়নীকরণ শক্তি এবং ইউ হল প্রতিবেশী পরমাণুর সম্ভাবনার ফলস্বরূপ কক্ষপথের শক্তি স্থানান্তর। উপাদানগুলি, যা স্লেটার এবং কোস্টার আন্তঃআণবিক ম্যাট্রিক্স উপাদান, হল বন্ধন শক্তি। এই এক-মাত্রিক এস-ব্যান্ড মডেলে আমাদের কেবল বন্ধন শক্তির সাথে এস-অরবিটালের মধ্যে-বন্ধন রয়েছে। পার্শ্ববর্তী পরমাণুর অবস্থার মধ্যে ওভারল্যাপ হল এস। আমরা উপরের সমীকরণটি ব্যবহার করে অবস্থার শক্তি অর্জন করতে পারিঃ যেখানে, উদাহরণস্বরূপ, এবং এইভাবে এই অবস্থার শক্তিকে শক্তির বিচ্ছুরণের পরিচিত আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ কারণ শক্তি হল এবং অবস্থাটি সমস্ত পারমাণবিক কক্ষপথের সমষ্টি নিয়ে গঠিত। এই অবস্থাকে বন্ধন অরবিটালের একটি শৃঙ্খল হিসাবে দেখা যেতে পারে। শক্তির জন্য হল এবং অবস্থাটি পারমাণবিক কক্ষপথের সমষ্টি নিয়ে গঠিত যা একটি আউট অফ ফেজ ফ্যাক্টর। এই অবস্থাকে অ-বন্ধন অরবিটালের একটি শৃঙ্খল হিসাবে দেখা যেতে পারে। পরিশেষে শক্তির জন্য হল এবং অবস্থাটি পারমাণবিক কক্ষপথের একটি পর্যায়ক্রমিক যোগফল নিয়ে গঠিত। এই অবস্থাকে অ্যান্টি-বন্ডিং অরবিটালের একটি শৃঙ্খল হিসাবে দেখা যেতে পারে। এই উদাহরণটি সহজেই তিনটি মাত্রায় প্রসারিত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, কেবলমাত্র n a এর জায়গায় নিকটতম প্রতিবেশী ভেক্টর অবস্থানগুলি প্রবর্তন করে একটি দেহ-কেন্দ্রিক ঘন বা মুখ-কেন্দ্রিক ঘন জাল পর্যন্ত। একইভাবে, প্রতিটি স্থানে একাধিক ভিন্ন পারমাণবিক অরবিটাল ব্যবহার করে পদ্ধতিটি একাধিক ব্যান্ডে প্রসারিত করা যেতে পারে। উপরের সাধারণ সূত্রটি দেখায় যে কীভাবে এই সম্প্রসারণগুলি সম্পন্ন করা যেতে পারে। আন্তঃপরমাণবিক ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির তালিকা 1954 সালে জে. সি. স্লেটার এবং জি. এফ. কোস্টার প্রকাশ করেছিলেন, মূলত রূপান্তর ধাতব ডি-ব্যান্ডগুলির গণনার জন্য, আন্তঃপরমাণবিক ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির একটি সারণী যা ঘন হারমোনিক অরবিটালগুলি থেকেও সরাসরি উদ্ভূত করা যেতে পারে। টেবিলটি ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলিকে সংলগ্ন পরমাণুতে দুটি ঘন হারমোনিক অরবিটাল, i এবং j-এর মধ্যে এলসিএও দ্বি-কেন্দ্র বন্ধন ইন্টিগ্রালের ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করে। বন্ড ইন্টিগ্রালগুলি উদাহরণস্বরূপ, এবং সিগমা, পাই এবং ডেল্টা বন্ডের জন্য (লক্ষ্য করুন যে এই ইন্টিগ্রালগুলি পরমাণুর মধ্যে দূরত্বের উপরও নির্ভর করা উচিত, অর্থাৎ। এর একটি ফাংশন, যদিও এটি প্রতিবার স্পষ্টভাবে বলা হয় না।) আন্তঃপরমাণবিক ভেক্টরটি এমনভাবে প্রকাশ করা হয় যেখানে d হল পরমাণুর মধ্যে দূরত্ব এবং l, m এবং n হল পার্শ্ববর্তী পরমাণুর দিকের কোসাইন। সমস্ত আন্তঃপরমাণবিক ম্যাট্রিক্স উপাদান স্পষ্টভাবে তালিকাভুক্ত নয়। এই টেবিলে তালিকাভুক্ত নয় এমন ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি টেবিলের অন্যান্য ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির সূচক এবং কোসাইন দিকগুলির বিন্যাস দ্বারা তৈরি করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে অরবিটাল সূচকগুলি অদলবদল করার অর্থ গ্রহণ করা, অর্থাৎ। । উদাহরণস্বরূপ,। আরও দেখুন বৈদ্যুতিন ব্যান্ড কাঠামো প্রায়-মুক্ত ইলেক্ট্রন মডেল ব্লকের উপপাদ্য ক্রনিগ-পেনি মডেল ফার্মি সারফেস ওয়ানিয়ার ফাংশন হাবার্ড মডেল টি-জে মডেল কার্যকরী ভর অ্যান্ডারসনের নিয়ম প্রতিসরণের গতিশীল তত্ত্ব পারমাণবিক কক্ষপথের আণবিক কক্ষপথ পদ্ধতির রৈখিক সংমিশ্রণ (এলসিএও) হলস্টাইন-হেরিং পদ্ধতি পিয়ারল প্রতিস্থাপন হাকেল পদ্ধতি রেফারেন্স এন. ডব্লিউ. অ্যাশক্রফ্ট এবং এন. ডি. মারমিন, সলিড স্টেট ফিজিক্স (থমসন লার্নিং, টরন্টো, 1976)। স্টিফেন ব্লান্ডেল ম্যাগনেটিসম ইন কনডেন্সড ম্যাটার (অক্সফোর্ড, 2001)। S.Maekawa এবং অন্যান্য। ট্রানজিশন মেটাল অক্সাইডের পদার্থবিজ্ঞান (স্প্রিংগার-ভার্লাগ বার্লিন হাইডেলবার্গ, 2004)। জন সিঙ্গলটন ব্যান্ড থিওরি অ্যান্ড ইলেকট্রনিক প্রোপার্টিজ অফ সলিডস (অক্সফোর্ড, 2001)। আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্কগুলি ক্রিস্টাল-ফিল্ড থিওরি, টাইট-বাইন্ডিং মেথড, এবং ই. পাভারিনী, ই. কোচ, এফ. অ্যান্ডার্স এবং এম. জারেল (সংস্করণ। ): সহ-সম্পর্কিত ইলেকট্রনঃ মডেল থেকে উপাদান পর্যন্ত, জুলাই 2012, টাইট-বাইন্ডিং স্টুডিওঃ টাইট-বাইন্ডিং হ্যামিল্টনিয়ান ইলেকট্রনিক কাঠামো পদ্ধতির পরামিতিগুলি খুঁজে বের করার জন্য একটি প্রযুক্তিগত সফ্টওয়্যার প্যাকেজ বৈদ্যুতিন ব্যান্ড কাঠামো