Tate module
গণিতে, জন টেটের নামে নামকরণ করা একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি টেট মডিউল হল একটি আবেলিয়ান গ্রুপ এ থেকে নির্মিত একটি মডিউল। প্রায়শই, এই গঠনটি নিম্নলিখিত পরিস্থিতিতে করা হয়ঃ G হল K ক্ষেত্রের উপর একটি বিনিময়যোগ্য গ্রুপ স্কিম, Ks হল K-এর পৃথকীকৃত ক্লোজার, এবং A = G (Ks) (G-এর Ks-মূল্যবান বিন্দু)। এই ক্ষেত্রে, এ-এর টেট মডিউলটি কে-এর পরম গ্যালোইস গ্রুপের একটি ক্রিয়ায় সজ্জিত, এবং এটি জি-এর টেট মডিউল হিসাবে উল্লেখ করা হয়। সংজ্ঞা একটি আবেলিয়ান গ্রুপ এ এবং একটি মৌলিক সংখ্যা পি দেওয়া, এ-এর পি-অ্যাডিক টেট মডিউল যেখানে এ [পিএন] হল এ-এর পিএন টর্জন (অর্থাৎ। গুণন-দ্বারা-পিএন মানচিত্রের কার্নেল), এবং বিপরীত সীমা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এন-এর উপর হয় এবং গুণন-দ্বারা-পি মানচিত্র এ [পিএন + 1] → এ [পিএন] দ্বারা প্রদত্ত রূপান্তর অঙ্গসংস্থান সহ। এইভাবে, টেট মডিউল এ-এর সমস্ত পি-পাওয়ার টর্জনকে এনকোড করে। এটি একটি জেডপি-মডিউলের কাঠামো দিয়ে সজ্জিত উদাহরণ দ্য টেট মডিউল যখন আবেলিয়ান গ্রুপ এ কে-এর একটি পৃথক ক্লোজার কেএস-এ ঐক্যের শিকড়ের গ্রুপ হয়, তখন এ-এর পি-অ্যাডিক টেট মডিউলকে কখনও কখনও টেট মডিউল হিসাবে উল্লেখ করা হয় (যেখানে পি এবং কে-এর পছন্দটি নীরবে বোঝা যায়)। এটি কে-এর পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠী জিকে-এর রৈখিক ক্রিয়া সহ জেডপি-এর উপর একটি মুক্ত র্যাঙ্ক এক মডিউল। সুতরাং, এটি একটি গ্যালোয়া উপস্থাপনা যা কে-এর পি-এডিক সাইক্লোটোমিক চরিত্র হিসাবেও উল্লেখ করা হয়। এটি গুণিতক গোষ্ঠী স্কিম জি. এম, কে ওভার কে-এর টেট মডিউল হিসাবেও বিবেচনা করা যেতে পারে। একটি আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের টেট মডিউল একটি ক্ষেত্র কে-এর উপর একটি আবেলিয়ান বৈচিত্র্য জি দেওয়া হলে, জি-এর কেএস-মূল্যবান পয়েন্টগুলি একটি আবেলিয়ান গ্রুপ। জি-এর পি-এডিক টেট মডিউল টিপি (জি) হল একটি গ্যালোইস উপস্থাপনা (পরম গ্যালোইস গ্রুপ, জিকে, কে-এর)। আবেলিয়ান জাতের ধ্রুপদী ফলাফলগুলি দেখায় যে যদি K-এর বৈশিষ্ট্য শূন্য, বা বৈশিষ্ট্যযুক্ত l থাকে যেখানে মৌলিক সংখ্যা p ≤ l, তবে Tp (G) হল 2d র্যাঙ্কের Zp-এর উপর একটি মুক্ত মডিউল, যেখানে d হল G-এর মাত্রা। অন্য ক্ষেত্রে, এটি এখনও মুক্ত, তবে র্যাঙ্কটি 0 থেকে d পর্যন্ত যে কোনও মান নিতে পারে (উদাহরণস্বরূপ হাস-উইট ম্যাট্রিক্স দেখুন)। যেখানে পি কে-এর বৈশিষ্ট্যের সমান নয়, সেখানে জি-এর পি-অ্যাডিক টেট মডিউলটি এটেল কোহোমোলজির দ্বৈত। টেট অনুমানের একটি বিশেষ কেস টেট মডিউলের পরিপ্রেক্ষিতে শব্দ করা যেতে পারে। ধরুন, K তার মৌলিক ক্ষেত্রের উপর সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন হয় (যেমন। একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র, একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র, একটি গ্লোবাল ফাংশন ক্ষেত্র), যা পি এবং এ এবং বি থেকে আলাদা বৈশিষ্ট্যযুক্ত, কে-এর উপর দুটি আবেলিয়ান জাত। টেট অনুমানটি তখন ভবিষ্যদ্বাণী করে যে যেখানে হোমকে (এ, বি) হল এ থেকে বি পর্যন্ত আবেলিয়ান জাতের মরফিজমের গ্রুপ, এবং ডান দিকটি টিপি (এ) থেকে টিপি (বি) পর্যন্ত জিকে-রৈখিক মানচিত্রের গ্রুপ। 1960-এর দশকে টেট নিজেই প্রমাণ করেছিলেন যে কে একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র। গের্ড ফাল্টিংস তাঁর বিখ্যাত "মর্ডেল পেপার"-এ প্রমাণ করেছেন যে কে একটি সংখ্যার ক্ষেত্র। একটি জ্যাকোবিয়ানের ক্ষেত্রে একটি বক্ররেখা C-এর উপর একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র k থেকে p-এর বৈশিষ্ট্যযুক্ত মৌলিক ক্ষেত্রের উপর, টেট মডিউলটিকে যৌগিক সম্প্রসারণের গ্যালোইস গোষ্ঠীর সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে যেখানে k-এর একটি এক্সটেনশন যা ঐক্যের সমস্ত p-পাওয়ার মূল ধারণ করে এবং A (p) হল এর সর্বাধিক আনরামাইফাইড আবেলিয়ান p-এক্সটেনশন। একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের টেট মডিউল একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর একটি বক্ররেখার ফাংশন ক্ষেত্রের জন্য টেট মডিউলের বিবরণ কেনকিচি ইওয়াসাওয়া দ্বারা প্রবর্তিত একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্রের টেট মডিউলের জন্য একটি সংজ্ঞা প্রস্তাব করে। একটি সংখ্যা ক্ষেত্র কে-এর জন্য আমরা কে. এম-কে একতার পিএম-পাওয়ার শিকড়, কে. এম-এর মিলন এবং এ (পি)-এর সর্বাধিক আনরামিফাইড আবেলিয়ান পি-এক্সটেনশন দ্বারা সম্প্রসারণকে নির্দেশ করি। ধরা যাক তারপর টিপি (কে) একটি প্রো-পি-গ্রুপ এবং তাই একটি জেডপি-মডিউল। শ্রেণীক্ষেত্র তত্ত্ব ব্যবহার করে কেউ টিপিকে (কে) আদর্শের অধীনে কিলোমিটারের শ্রেণী গোষ্ঠী সিএম-এর বিপরীত সীমার সমরূপ হিসাবে বর্ণনা করতে পারেন। ইওয়াসাওয়া Tp (K) কে Zp [[T] সমাপ্তির উপর একটি মডিউল হিসাবে প্রদর্শন করেছিলেন এবং এটি ক্লাস গ্রুপের ক্রম অনুসারে p এর সূচকের জন্য একটি সূত্র বোঝায় Cm ফর্মের ফেরেরো-ওয়াশিংটন উপপাদ্য বলে যে μ শূন্য। আরও দেখুন টেট অনুমান টেট টুইস্ট ইওয়াসাওয়া তত্ত্ব উল্লেখ আবেলিয়ান জাতের ধারা 13