Reflection principle
গণিতের একটি শাখা, সেট তত্ত্বে, একটি প্রতিফলন নীতি বলে যে কোনও প্রদত্ত বৈশিষ্ট্যের সাপেক্ষে, সমস্ত সেটের শ্রেণীর সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ সেট খুঁজে পাওয়া সম্ভব। "সাদৃশ্য" বলতে ঠিক কী বোঝায় তার উপর নির্ভর করে প্রতিফলন নীতির বিভিন্ন রূপ রয়েছে। প্রতিফলন নীতির দুর্বল রূপগুলি জেডএফ সেট তত্ত্বের উপপাদ্য, যেখানে শক্তিশালী রূপগুলি সেট তত্ত্বের জন্য নতুন এবং খুব শক্তিশালী স্বতঃসিদ্ধ হতে পারে। "প্রতিফলন নীতি" নামটি এই সত্য থেকে এসেছে যে মহাবিশ্বের সমস্ত সেটের বৈশিষ্ট্যগুলি একটি ছোট সেট পর্যন্ত "প্রতিফলিত" হয়। অনুপ্রেরণা প্রতিফলন নীতির একটি সরল সংস্করণ বলে যে "মহাবিশ্বের সমস্ত সেটের যে কোনও বৈশিষ্ট্যের জন্য আমরা একই বৈশিষ্ট্য সহ একটি সেট খুঁজে পেতে পারি"। এটি একটি তাৎক্ষণিক দ্বন্দ্বের দিকে পরিচালিত করেঃ সমস্ত সেটের মহাবিশ্বে সমস্ত সেট রয়েছে, তবে সমস্ত সেটের বৈশিষ্ট্য সহ কোনও সেট নেই। দরকারী (এবং অসঙ্গতিপূর্ণ) প্রতিফলন নীতিগুলি পেতে আমাদের "সম্পত্তি" বলতে আমরা কী বুঝি এবং কোন বৈশিষ্ট্যগুলিকে আমরা অনুমতি দিই সে সম্পর্কে আরও সতর্ক হতে হবে। প্রতিফলন নীতিগুলি এই ধারণাটি প্রণয়নের প্রচেষ্টার সাথে যুক্ত যে কোনও একটি ধারণা, ধারণা বা বিবৃতি সেটগুলির মহাবিশ্ব সম্পর্কে আমাদের পুরো দৃষ্টিভঙ্গিকে ধারণ করতে পারে না। কার্ট গোডেল এটিকে নিম্নরূপ বর্ণনা করেছেনঃ জর্জ ক্যান্টর পরম অনন্ত সম্পর্কে অনুরূপ মতামত প্রকাশ করেছেনঃ সমস্ত কার্ডিনালিটি বৈশিষ্ট্য এই সংখ্যায় সন্তুষ্ট হয়, যা একটি ছোট কার্ডিনাল দ্বারা ধারণ করা হয়। পরস্পরবিরোধী প্রতিফলন নীতিগুলি খুঁজে বের করার জন্য আমরা নিম্নরূপ অনানুষ্ঠানিকভাবে তর্ক করতে পারি। ধরুন আমাদের কাছে সেট গঠনের পদ্ধতির কিছু সংগ্রহ এ রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ, পাওয়ারসেট, সাবসেট, প্রতিস্থাপনের স্বতঃসিদ্ধ ইত্যাদি)। আমরা এই সমস্ত পদ্ধতি বারবার প্রয়োগ করে প্রাপ্ত সমস্ত সেট নেওয়ার কথা কল্পনা করতে পারি এবং এই সেটগুলিকে একটি ক্লাস এক্স-এ গঠন করতে পারি, যা কোনও সেট তত্ত্বের মডেল হিসাবে ভাবা যেতে পারে। কিন্তু এই দৃষ্টিভঙ্গির আলোকে, মুষ্টিমেয় কয়েকটি ক্রিয়াকলাপের দ্বারা V সম্পূর্ণ হতে পারে না, অন্যথায় এটি নীচে থেকে সহজেই বর্ণনা করা যেতে পারে, এই নীতিটি (V-এর) অক্ষয়তা হিসাবে পরিচিত। ফলস্বরূপ, V হল X-এর চেয়ে বড়। সেট X-এ A-তে পদ্ধতিগুলি প্রয়োগ করার ফলে V-এর চেয়ে ছোট একটি সংগ্রহও হবে, কারণ A-তে ক্রিয়াকলাপের অধীনে X-এর চিত্র থেকে V নিষ্ক্রিয় নয়। তারপর আমরা সেট গঠনের জন্য নিম্নলিখিত নতুন নীতিটি প্রবর্তন করতে পারিঃ "'এ' সংগ্রহের সমস্ত পদ্ধতি বারবার প্রয়োগ করে কোনও সেট থেকে প্রাপ্ত সমস্ত সেটের সংগ্রহও একটি সেট।" এই নীতিটি এ-তে যোগ করার পরেও, এই নতুন এ-তে ক্রিয়াকলাপের দ্বারা ভি এখনও শেষ হয় না। এই প্রক্রিয়াটি আরও এবং আরও পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে, সেট এ-তে আরও বেশি অপারেশন যুক্ত করে এবং বড় এবং বড় মডেল এক্স অর্জন করে। প্রতিটি এক্স এই অর্থে ভি-এর অনুরূপ যে এটি এ-তে ক্রিয়াকলাপের অধীনে বন্ধ থাকার সম্পত্তিটি ভি-এর সাথে ভাগ করে নেয়। আমরা এই অনানুষ্ঠানিক যুক্তিটিকে দুটি উপায়ে ব্যবহার করতে পারি। আমরা এটিকে জেডএফ সেট তত্ত্বে আনুষ্ঠানিক করার চেষ্টা করতে পারি; এটি করার মাধ্যমে আমরা জেডএফ সেট তত্ত্বের কিছু উপপাদ্য পাই, যাকে প্রতিফলন উপপাদ্য বলা হয়। বিকল্পভাবে আমরা এই যুক্তিটি সেট তত্ত্বের জন্য নতুন স্বতঃসিদ্ধ প্রবর্তনকে অনুপ্রাণিত করতে ব্যবহার করতে পারি, যেমন কিছু স্বতঃসিদ্ধ বড় কার্ডিনালের অস্তিত্বকে জোর দেয়। জেডএফসি-তে জেডএফ সেট তত্ত্বের পূর্ববর্তী বিভাগের প্রতিফলন নীতির জন্য যুক্তিটিকে আনুষ্ঠানিক করার চেষ্টা করার সময়, এ বৈশিষ্ট্যের সংগ্রহ সম্পর্কে কিছু শর্ত যুক্ত করা প্রয়োজন বলে প্রমাণিত হয় (উদাহরণস্বরূপ, এ সীমাবদ্ধ হতে পারে)। এটি করার ফলে বেশ কয়েকটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত "প্রতিফলন উপপাদ্য" তৈরি হয় যার সবগুলিই বলে যে আমরা এমন একটি সেট খুঁজে পেতে পারি যা প্রায় জেডএফসি-র একটি মডেল। শক্তিশালী প্রতিফলন নীতির বিপরীতে, এগুলি জেডএফসি-তে প্রমাণযোগ্য। জেডএফসি-র জন্য সবচেয়ে সাধারণ প্রতিফলন নীতিগুলির মধ্যে একটি হল একটি উপপাদ্য স্কিমা যা নিম্নরূপ বর্ণনা করা যেতে পারেঃ পরামিতি সহ যে কোনও সূত্রের জন্য, যদি সত্য হয় (সেট-তাত্ত্বিক মহাবিশ্বে), তবে ক্রমবর্ধমান শ্রেণিবিন্যাসের একটি স্তর রয়েছে যেমন। এটি লেভি-মন্টেগ প্রতিফলন নীতি বা লেভি প্রতিফলন নীতি হিসাবে পরিচিত, যা মূলত এবং-এ তদন্ত করা হয়েছে। এই প্রতিফলন নীতির আরেকটি সংস্করণ বলে যে, জেডএফসি-র যে কোনও সীমিত সংখ্যক সূত্রের জন্য আমরা ক্রমবর্ধমান শ্রেণিবিন্যাসে এমন একটি সেট খুঁজে পেতে পারি যাতে সেটের সমস্ত সূত্র পরম হয় (যার অর্থ খুব মোটামুটিভাবে তারা ধরে রাখে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সমস্ত সেটের মহাবিশ্বে ধরে রাখে)। সুতরাং এটি বলে যে সেটটি সমস্ত সেটের মহাবিশ্বের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, অন্তত যতদূর সূত্রগুলির প্রদত্ত সীমাবদ্ধ সংখ্যা সম্পর্কিত। জেডএফসি-র আরেকটি প্রতিফলন নীতি হল একটি উপপাদ্য স্কিমা যা নিম্নরূপ বর্ণনা করা যেতে পারেঃ ধরা যাক সর্বাধিক মুক্ত চলক সহ একটি সূত্র। তারপর জেড. এফ. সি প্রমাণ করে যে যেখানে এর আপেক্ষিকতা বোঝায় (অর্থাৎ, ফর্ম এবং দ্বারা এবং দ্বারা উপস্থিত সমস্ত কোয়ান্টিফায়ার প্রতিস্থাপন করা হয়)। জেড. এফ. সি-তে প্রতিফলন নীতির আরেকটি রূপ বলে যে, জেড. এফ. সি-র স্বতঃসিদ্ধগুলির যে কোনও সীমাবদ্ধ সেটের জন্য আমরা এই স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি গণনাযোগ্য ট্রানজিটিভ মডেল খুঁজে পেতে পারি। (বিশেষত এটি প্রমাণ করে যে, অসঙ্গতিপূর্ণ না হলে, জেডএফসি সীমাবদ্ধভাবে স্বতঃসিদ্ধ নয় কারণ যদি এটি হয় তবে এটি নিজের একটি মডেলের অস্তিত্ব প্রমাণ করবে এবং তাই গোডেলের দ্বিতীয় অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যের বিরোধিতা করে তার নিজস্ব সামঞ্জস্য প্রমাণ করবে।) প্রতিফলন উপপাদ্যের এই সংস্করণটি লোয়েনহেইম-স্কোলেম উপপাদ্যের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। যদি একটি শক্তিশালী অপ্রাপ্য কার্ডিনাল হয়, তবে এর একটি বদ্ধ সীমাহীন উপসেট রয়েছে, যেমন প্রত্যেকের জন্য, আইডেন্টিটি ফাংশনটি একটি প্রাথমিক এম্বেডিং। গাণিতিক প্রতিফলন নীতিগুলি গাণিতিক তত্ত্বগুলির জন্য বিবেচনা করা যেতে পারে যা সাধারণত জেডএফসি-র তুলনায় অনেক দুর্বল। কারণ, একটি-মডেল হল এমন একটি মডেল যার বিবৃতির সঠিক সত্য মান রয়েছে, যেখানে বিশ্লেষণাত্মক শ্রেণিবিন্যাসের তম স্তরে রয়েছে। দ্বিতীয়-ক্রমের গাণিতিক উপ-ব্যবস্থার একটি গণনাযোগ্য মডেল প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটগুলির একটি গণনাযোগ্য সেট নিয়ে গঠিত, যা এর উপসেট হিসাবে এনকোড করা যেতে পারে। তত্ত্বটি একটি-মডেলের অস্তিত্ব প্রমাণ করে, যা a-model.Theorem VII.2.16 নামেও পরিচিত সূত্রগুলির জন্য-মডেল প্রতিফলন নীতি বলে যে কোনও সূত্রের জন্য তার একমাত্র মুক্ত সেট পরিবর্তনশীল হিসাবে, সকলের জন্য, যদি ধরে রাখা হয়, তবে একটি গণনাযোগ্য কোডেড-মডেল রয়েছে যেখানে এমন হয়। নির্ভরশীল পছন্দের একটি স্কিমা দ্বারা একটি এক্সটেনশন স্বতঃসিদ্ধ হয়। যে কোনও ক্ষেত্রে, সিস্টেমটি formulas.Theorem VII.7.6-এর জন্য-প্রতিফলনের সমতুল্য-মডেল প্রতিফলনের সেট-তাত্ত্বিক প্রতিফলনের সাথে সংযোগ রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ দুর্বল সেট তত্ত্ব কেপি-এর উপর,-সূত্রের প্রতিফলনের স্কিমা যুক্ত করে ট্রানজিটিভ সেটগুলিতে (সমস্ত সূত্রের জন্য) একই-সঙ্গতি এবং সূত্রের জন্য-মডেল প্রতিফলনের স্কিমা পাওয়া যায়। নতুন স্বতঃসিদ্ধ বার্ন-এর শ্রেণী তত্ত্ব হিসাবে পল বার্ন সেট তত্ত্বের একটি সংস্করণের স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে একটি প্রতিফলন নীতি ব্যবহার করেছিলেন (ভন নিউম্যান-বার্ন-গডেল সেট তত্ত্ব নয়, যা একটি দুর্বল তত্ত্ব)। তাঁর প্রতিফলন নীতি মোটামুটিভাবে বলেছিল যে যদি কোনও বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি শ্রেণী হয়, তবে কেউ এমন একটি ক্ষণস্থায়ী সেট খুঁজে পেতে পারে যার "মহাবিশ্ব"-এর উপসেট হিসাবে বিবেচিত হলে একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এটি বেশ শক্তিশালী স্বতঃসিদ্ধ এবং অপ্রাপ্য কার্ডিনালদের মতো বেশ কয়েকটি ছোট বড় কার্ডিনালের অস্তিত্বকে বোঝায়। (মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, জেডএফসি-তে সমস্ত অর্ডিনালের শ্রেণীটি একটি অপ্রাপ্য কার্ডিনাল, এটি একটি সেট নয়, এবং প্রতিফলন নীতিটি তখন এটি দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যে এমন একটি সেট রয়েছে যার একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে, অন্য কথায় এটি একটি অপ্রাপ্য কার্ডিনাল।) দুর্ভাগ্যবশত, এটি সরাসরি জেডএফসি-তে স্বতঃসিদ্ধ করা যায় না এবং মোর্স-কেলি সেট তত্ত্বের মতো একটি শ্রেণী তত্ত্ব সাধারণত ব্যবহার করতে হয়। বার্নেসের প্রতিফলন নীতির সামঞ্জস্য একটি ω-এর্ডোস কার্ডিনালের অস্তিত্ব দ্বারা নিহিত। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, বার্নেসের শ্রেণী তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধগুলি হ 'লঃ এক্সটেনশনালিটি শ্রেণী নির্দিষ্টকরণঃ মুক্ত ছাড়া যে কোনও সূত্রের জন্য, উপসেটঃ প্রতিফলনঃ যে কোনও সূত্রের জন্য, ভিত্তি পছন্দ যেখানে পাওয়ারসেটকে বোঝায়। আকিহিরো কানামোরির মতে, 1961 সালের একটি গবেষণাপত্রে, বার্নেস মুক্ত ছাড়া যে কোনও সূত্রের প্রতিফলন স্কিমা বিবেচনা করেছিলেন, যেখানে দাবি করা হয়েছে যে এটি ক্ষণস্থায়ী। এই পর্যবেক্ষণ থেকে শুরু করে যে সেট প্যারামিটারগুলি উপস্থিত হতে পারে এবং কেবল এই স্কিমা প্রতিষ্ঠিত পেয়ারিং, ইউনিয়ন, ইনফিনিটি এবং প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে বার্নেসের মধ্যে ধারা প্রবর্তন করে সেগুলি ধারণ করার প্রয়োজন হতে পারে, ফলস্বরূপ জেডএফ-এর একটি উল্লেখযোগ্য অর্থনৈতিক উপস্থাপনা অর্জন করে। অন্যান্য একারম্যান সেট তত্ত্বের কিছু সূত্র প্রতিফলন নীতি ব্যবহার করে। একারম্যানের স্বতঃসিদ্ধিতে বলা হয়েছে যে, উল্লেখ না করা যে কোনও সূত্রের জন্য, পিটার কোয়েলনার দেখিয়েছেন যে প্রতিফলন নীতিগুলির একটি সাধারণ শ্রেণী যা "অভ্যন্তরীণভাবে ন্যায়সঙ্গত" বলে মনে করা হয় তা হয় অসঙ্গতিপূর্ণ বা দুর্বল, কারণ তারা এরদোস কার্ডিনালের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। যাইহোক, আরও শক্তিশালী প্রতিফলন নীতি রয়েছে, যা বিভিন্ন বড় মূল স্বতঃসিদ্ধের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। প্রায় প্রতিটি পরিচিত বড় মূল স্বতঃসিদ্ধের জন্য একটি পরিচিত প্রতিফলন নীতি রয়েছে যা এটি বোঝায় এবং বিপরীতভাবে সবচেয়ে শক্তিশালী পরিচিত প্রতিফলন নীতিগুলি পরিচিত বড় মূল স্বতঃসিদ্ধ দ্বারা বোঝানো হয়। এর একটি উদাহরণ হল সম্পূর্ণতা স্বতঃসিদ্ধ, যা সমস্ত সীমাবদ্ধ এন-এর জন্য সুপার-এন-বিশাল কার্ডিনালের অস্তিত্বকে বোঝায় এবং এর ধারাবাহিকতা একটি আই3 র্যাঙ্ক-ইন-র্যাঙ্ক কার্ডিনাল দ্বারা বোঝানো হয়। একটি স্বতঃসিদ্ধ উক্তি যোগ করুন যে অর্ড একটি মাহলো কার্ডিনাল-অর্ডিনাল সি-এর প্রতিটি বদ্ধ সীমাহীন শ্রেণীর জন্য (পরামিতি সহ একটি সূত্র দ্বারা সংজ্ঞায়িত), সি-তে একটি নিয়মিত অর্ডিনাল রয়েছে। এটি যে কোনও অর্ডিনালের উপর শক্তিশালী অপ্রাপ্য কার্ডিনাল এবং আরও অনেক কিছুর অস্তিত্ব অর্জন করতে দেয়। তথ্যসূত্র উদ্ধৃতি বাইরের লিঙ্কগুলি মিজোর সিস্টেম প্রমাণঃ http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html গাণিতিক নীতিগুলি নির্ধারণ করুন