Order dimension
গণিতে, একটি আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত সেটের (পজিট) মাত্রা হল মোট ক্রমের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যার ছেদ আংশিক ক্রমের জন্ম দেয়। এই ধারণাকে কখনও কখনও আংশিক ক্রমের ক্রম মাত্রা বা দুশনিক-মিলার মাত্রাও বলা হয়। প্রথম অধ্যয়নরত ক্রমের মাত্রা; এখানে প্রদত্ত বিষয়টির চেয়ে এই বিষয়টির আরও বিস্তারিত চিকিৎসার জন্য, দেখুন। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি সসীম অবস্থান P-এর মাত্রা হল সর্বনিম্ন পূর্ণসংখ্যা t যার জন্য P-এর রৈখিক সম্প্রসারণের একটি পরিবার বিদ্যমান যাতে, P-তে প্রতিটি x এবং y-এর জন্য, x, P-তে y-এর আগে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সমস্ত রৈখিক সম্প্রসারণগুলিতে y-এর আগে থাকে। অর্থাৎ, অর্ডার ডাইমেনশনের একটি বিকল্প সংজ্ঞা হল মোট অর্ডারের ন্যূনতম সংখ্যা যাতে পি তাদের পণ্যের মধ্যে কম্পোনেন্টওয়াইজ অর্ডারিং অর্থাৎ এমবেড করে। যদি এবং শুধুমাত্র যদি সকলের জন্য i (,)। রিয়েলাইজার X-এর উপর রৈখিক ক্রমের একটি পরিবারকে একটি পজিট P = (X, <P)-এর রিয়েলাইজার বলা হয়, যদি বলা হয় যে X-এর যে কোনও x এবং y-এর জন্য, x <Py ঠিক যখন x <1y, x <2y, এবং x <ty। সুতরাং, একটি পজিট পি-এর মাত্রার সমতুল্য সংজ্ঞা হল "পি-এর একটি রিয়েলাইজারের সর্বনিম্ন কার্ডিনালিটি"। এটি দেখানো যেতে পারে যে রৈখিক এক্সটেনশনের যে কোনও অ-খালি পরিবার আর একটি সীমাবদ্ধ আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত সেট পি-এর একটি রিয়েলাইজার যদি এবং শুধুমাত্র যদি, পি-এর প্রতিটি সমালোচনামূলক জুটির (x, y) জন্য, আর-এর কোনও ক্রমের জন্য y <ix। উদাহরণস্বরূপ ধরা যাক n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং P-কে এআই এবং বি-এর আংশিক ক্রম হতে দিন (1 ≤ আই ≤ এন-এর জন্য) যেখানে এআই ≤ বিজে যখনই আই ≤ জে হয়, কিন্তু অন্য কোনও জোড়া তুলনীয় হয় না। বিশেষ করে, পি-তে এআই এবং বাই অতুলনীয়; পি-কে একটি মুকুট গ্রাফের একটি ভিত্তিক রূপ হিসাবে দেখা যেতে পারে। চিত্রটি n = 4-এর জন্য এই ধরনের একটি ক্রম দেখায়। তারপর, প্রতিটি আই-এর জন্য, যে কোনও রিয়েলাইজারের অবশ্যই একটি রৈখিক ক্রম থাকতে হবে যা এআই (কিছু ক্রমে) ব্যতীত সমস্ত এজে দিয়ে শুরু হয়, তারপর বি, তারপর এআই অন্তর্ভুক্ত করে এবং বাকি সমস্ত বিজে দিয়ে শেষ হয়। এর কারণ হল, যদি এমন কোনও রিয়েলাইজার থাকে যার মধ্যে এমন কোনও ক্রম অন্তর্ভুক্ত না থাকে, তবে সেই রিয়েলাইজারের আদেশগুলির ছেদস্থলে পূর্ববর্তী বি-আই থাকবে, যা পি-তে আই এবং বি-এর অসামঞ্জস্যতার বিরোধিতা করবে। এবং বিপরীতভাবে, রৈখিক আদেশের যে কোনও পরিবার যার মধ্যে প্রতিটি আই-এর জন্য এই ধরনের একটি ক্রম রয়েছে যার ছেদ হিসাবে পি রয়েছে। সুতরাং, P-এর মাত্রা ঠিক n। প্রকৃতপক্ষে, P-কে n মাত্রার একটি অবস্থানের আদর্শ উদাহরণ হিসাবে জানা যায় এবং সাধারণত Sn দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। অর্ডার ডাইমেনশন দুই অর্ডার ডাইমেনশন সহ আংশিক অর্ডারগুলিকে আংশিক অর্ডার হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যার তুলনামূলক গ্রাফ একটি ভিন্ন আংশিক অর্ডারের তুলনামূলক গ্রাফের পরিপূরক। অর্থাৎ, পি হ 'ল দ্বিতীয় ক্রমের মাত্রা সহ একটি আংশিক ক্রম যদি এবং কেবলমাত্র যদি উপাদানগুলির একই সেটে একটি আংশিক ক্রম Q বিদ্যমান থাকে, যেমন স্বতন্ত্র উপাদানগুলির প্রতিটি জোড়া x, y এই দুটি আংশিক ক্রমের ঠিক একটিতে তুলনীয় হয়। যদি পি দুটি রৈখিক সম্প্রসারণ দ্বারা উপলব্ধি করা হয়, তবে পি-এর পরিপূরক আংশিক ক্রম কিউ দুটি রৈখিক সম্প্রসারণের মধ্যে একটিকে বিপরীত করে উপলব্ধি করা যেতে পারে। অতএব, দ্বিতীয় মাত্রার আংশিক ক্রমের তুলনামূলক গ্রাফগুলি ঠিক ক্রমবিন্যাস গ্রাফ, গ্রাফ যা নিজেরাই তুলনামূলক গ্রাফ এবং তুলনামূলক গ্রাফের পরিপূরক। অর্ডার ডাইমেনশন দুই-এর আংশিক ক্রমের মধ্যে রয়েছে সিরিজ-সমান্তরাল আংশিক ক্রম। এগুলি ঠিক আংশিক ক্রম যার হাস রেখাচিত্রে আধিপত্য অঙ্কন রয়েছে, যা কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক হিসাবে একটি রিয়েলাইজারের দুটি বিন্যাসে অবস্থানগুলি ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। গণনামূলক জটিলতা বহুপদী সময়ে নির্ধারণ করা সম্ভব যে একটি প্রদত্ত সসীম আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত সেটের সর্বাধিক দুটি ক্রম মাত্রা রয়েছে কিনা, উদাহরণস্বরূপ, আংশিক ক্রমের তুলনামূলক গ্রাফটি একটি বিন্যাস গ্রাফ কিনা তা পরীক্ষা করে। যাইহোক, যে কোনও k ≤ 3-এর জন্য, ক্রমের মাত্রা সর্বাধিক k কিনা তা পরীক্ষা করা NP-সম্পূর্ণ। গ্রাফের ঘটনা অবস্থান যে কোনও অনির্দিষ্ট গ্রাফ জি-এর আপতন অবস্থানের উপাদান হিসাবে জি-এর শীর্ষ এবং প্রান্ত রয়েছে; এই অবস্থানে, x ≤ y যদি x = y বা x একটি শীর্ষ হয়, y একটি প্রান্ত, এবং x হল y-এর একটি শেষ বিন্দু। নির্দিষ্ট ধরনের গ্রাফগুলি তাদের আপতন অবস্থানের ক্রম মাত্রা দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারেঃ একটি গ্রাফ একটি পথ গ্রাফ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার আপতন অবস্থানের ক্রম মাত্রা সর্বাধিক দুই হয়, এবং শ্নাইডারের উপপাদ্য অনুসারে এটি একটি সমতলীয় গ্রাফ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার আপতন অবস্থানের ক্রম মাত্রা সর্বাধিক তিন হয়। n শীর্ষে একটি সম্পূর্ণ গ্রাফের জন্য, আপতন অবস্থানের ক্রম মাত্রা হল। এটি অনুসরণ করে যে সমস্ত সাধারণ এন-ভার্টেক্স গ্রাফের ক্রম মাত্রা সহ আপতন অবস্থান রয়েছে। কে-মাত্রা এবং 2-মাত্রা একটি মাত্রার সাধারণীকরণ হল কে-মাত্রা (লিখিত) ধারণা যা সর্বাধিক কে দৈর্ঘ্যের চেইনের ন্যূনতম সংখ্যা যার গুণফলের মধ্যে আংশিক ক্রমটি এম্বেড করা যেতে পারে। বিশেষত, একটি অর্ডারের 2-মাত্রাকে ক্ষুদ্রতম সেটের আকার হিসাবে দেখা যেতে পারে যাতে অর্ডারটি এই সেটে অন্তর্ভুক্তি ক্রমে এম্বেড করে। এছাড়াও ইন্টারভাল ডাইমেনশন রেফারেন্স দেখুন। । । । । । । । । ক্রম তত্ত্ব মাত্রা তত্ত্ব