Point-biserial correlation coefficient
বিন্দু দ্বিস্তরীয় পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ (আরপিবি) হল একটি পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ যখন একটি পরিবর্তনশীল (যেমন। ওয়াই) দ্বৈত; ওয়াই হয় "স্বাভাবিকভাবে" দ্বৈত হতে পারে, যেমন একটি মুদ্রা মাথা বা লেজ অবতরণ করে, বা একটি কৃত্রিমভাবে দ্বৈত পরিবর্তনশীল। বেশিরভাগ পরিস্থিতিতে ভেরিয়েবলগুলিকে কৃত্রিমভাবে দ্বিখণ্ডিত করার পরামর্শ দেওয়া হয় না। যখন একটি নতুন পরিবর্তনশীলকে কৃত্রিমভাবে দ্বৈতকরণ করা হয় তখন নতুন দ্বৈত পরিবর্তনশীলকে একটি অন্তর্নিহিত ধারাবাহিকতা হিসাবে ধারণা করা যেতে পারে। যদি এটি হয়, তবে একটি দ্বি-পারস্পরিক সম্পর্ক আরও উপযুক্ত গণনা হবে। বিন্দু-দ্বিস্তরীয় পারস্পরিক সম্পর্ক গাণিতিকভাবে পিয়ারসন (পণ্য মুহূর্ত) পারস্পরিক সম্পর্কের সমতুল্য; অর্থাৎ, যদি আমাদের একটি ক্রমাগত পরিমাপ করা পরিবর্তনশীল এক্স এবং একটি দ্বিস্তরীয় পরিবর্তনশীল ওয়াই থাকে, rXY = rpb। দ্বৈত চলককে দুটি স্বতন্ত্র সংখ্যাসূচক মান নির্ধারণ করে এটি দেখানো যেতে পারে। গণনা rpb গণনা করতে, ধরে নিন যে দ্বৈত চলক Y-এর দুটি মান 0 এবং 1। যদি আমরা সেট করা তথ্যকে দুটি গ্রুপে ভাগ করি, গ্রুপ 1 যা Y-এর উপর "1" মান পেয়েছে এবং গ্রুপ 2 যা Y-এর উপর "0" মান পেয়েছে, তাহলে পয়েন্ট-বাইসারিয়াল কোরিলেশন কোএফিশিয়েন্টটি নিম্নরূপ গণনা করা হয়ঃ যেখানে জনসংখ্যার প্রতিটি সদস্যের জন্য ডেটা উপলব্ধ হওয়ার সময় ব্যবহৃত স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হলঃ গ্রুপ 1-এর সমস্ত ডেটা পয়েন্টের জন্য অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীল X-এর গড় মান হল M1, এবং গ্রুপ 2-এর সমস্ত ডেটা পয়েন্টের জন্য অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তনশীল X-এর গড় মান হল M0। উপরন্তু, এন1 হল গ্রুপ 1-এ ডেটা পয়েন্টের সংখ্যা, এন0 হল গ্রুপ 2-এ ডেটা পয়েন্টের সংখ্যা এবং এন হল মোট নমুনা আকার। এই সূত্রটি একটি গণনামূলক সূত্র যা গণনার ধাপগুলি হ্রাস করার জন্য rXY-এর সূত্র থেকে উদ্ভূত হয়েছে; rXY-এর তুলনায় গণনা করা সহজ। একটি সমতুল্য সূত্র রয়েছে যা এস. এন-1 ব্যবহার করেঃ যেখানে এস. এন-1 হল স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি যখন শুধুমাত্র জনসংখ্যার একটি নমুনার জন্য তথ্য উপলব্ধ থাকেঃ এস. এন-1 ব্যবহার করে সূত্রের সংস্করণটি কার্যকর হয় যদি কেউ একটি প্রোগ্রামিং ভাষায় বা অন্যান্য উন্নয়ন পরিবেশে পয়েন্ট-বাইসারিয়াল কোরিলেশন সহগ গণনা করে যেখানে এস. এন-1 গণনার জন্য একটি ফাংশন উপলব্ধ থাকে, কিন্তু এস. এন গণনার জন্য কোনও ফাংশন উপলব্ধ নেই। গ্লাস অ্যান্ড হপকিন্সের স্ট্যাটিস্টিক্যাল মেথডস ইন এডুকেশন অ্যান্ড সাইকোলজি (3য় সংস্করণ) বইটিতে পয়েন্ট বাইসারিয়াল সূত্রের একটি সঠিক সংস্করণ রয়েছে। এছাড়াও বিন্দু দ্বিস্তরীয় পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের বর্গটি লেখা যেতে পারেঃ আমরা শূন্য অনুমানটি পরীক্ষা করতে পারি যে জনসংখ্যার মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক শূন্য। একটি সামান্য বীজগণিত দেখায় যে একটি পারস্পরিক সম্পর্ক সহগের তাৎপর্য মূল্যায়নের জন্য স্বাভাবিক সূত্রটি, যখন আরপিবি-তে প্রয়োগ করা হয়, তখন একটি অপ্রচলিত টি-পরীক্ষার সূত্রের মতোই হয় এবং তাই শূন্য অনুমানটি সত্য হলে (এন1 + এন0−2) ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সাথে শিক্ষার্থীর টি-ডিস্ট্রিবিউশন অনুসরণ করে। বিন্দু দ্বি-পার্শ্বীয় সহগের একটি অসুবিধা হল যে, 50/50 থেকে Y-এর বিতরণ যত বেশি হবে, সহগটি যে মান নিতে পারে তার পরিসীমা তত বেশি সীমাবদ্ধ হবে। যদি X কে স্বাভাবিকভাবে বণ্টিত বলে ধরে নেওয়া যায়, তবে দ্বি-পার্শ্বীয় সহগ দ্বারা একটি আরও ভাল বর্ণনামূলক সূচক দেওয়া হয় যেখানে u হল শূন্য গড় এবং একক বৈকল্পিকতা সহ স্বাভাবিক বণ্টনের অর্ডিনেট যা বণ্টনকে n0/n এবং n1/n অনুপাতে বিভক্ত করে। এটি গণনা করা সহজ নয় এবং বাস্তবে দ্বিস্তরীয় সহগ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় না। দ্বিস্তরীয় পারস্পরিক সম্পর্কের একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে ঘটে যেখানে এক্স হল বেশ কয়েকটি দ্বিস্তরীয় চলকের সমষ্টি যার মধ্যে ওয়াই একটি। এর একটি উদাহরণ হল যেখানে এক্স হল এন দ্বৈতভাবে স্কোর করা আইটেমগুলির সমন্বয়ে গঠিত একটি পরীক্ষায় একজন ব্যক্তির মোট স্কোর। আগ্রহের পরিসংখ্যান (যা একটি বৈষম্য সূচক) একটি প্রদত্ত আইটেমের প্রতিক্রিয়া এবং সংশ্লিষ্ট মোট পরীক্ষার স্কোরের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক। ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত তিনটি গণনা রয়েছে, সবগুলিকে পয়েন্ট-বাইসারিয়াল কোরিলেশন বলা হয়ঃ (i) আইটেম স্কোর এবং আইটেম স্কোর সহ মোট পরীক্ষার স্কোরের মধ্যে পিয়ারসন কোরিলেশন, (ii) আইটেম স্কোর এবং আইটেম স্কোর বাদে মোট পরীক্ষার স্কোরের মধ্যে পিয়ারসন কোরিলেশন, এবং (iii) পরীক্ষার স্কোরগুলিতে আইটেম স্কোর অন্তর্ভুক্তির ফলে সৃষ্ট পক্ষপাতের জন্য সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি কোরিলেশন। পারস্পরিক সম্পর্ক (iii) বিন্দুর সামান্য ভিন্ন সংস্করণ দ্বিস্তরীয় সহগ হল দ্বিস্তরীয় র্যাঙ্ক যা ঘটে যেখানে পরিবর্তনশীল এক্স র্যাঙ্ক নিয়ে গঠিত এবং ওয়াই দ্বিস্তরীয়। আমরা গুণাঙ্কটি একইভাবে গণনা করতে পারি যেখানে এক্স অবিচ্ছিন্ন তবে এটির একই অসুবিধা হবে যে এটি যে মানগুলি নিতে পারে তার পরিসীমা আরও সীমাবদ্ধ হয়ে যায় কারণ ওয়াই-এর বিতরণ আরও অসম হয়ে যায়। এটিকে বৃত্তাকার করার জন্য, আমরা লক্ষ্য করি যে সহগের বৃহত্তম মান থাকবে যেখানে ক্ষুদ্রতম র্যাঙ্কগুলি 0-এর বিপরীতে এবং বৃহত্তম র্যাঙ্কগুলি 1-এর বিপরীতে থাকবে। এর ক্ষুদ্রতম মানটি ঘটে যেখানে বিপরীতটি ঘটে। এই মানগুলি যথাক্রমে যোগ এবং বিয়োগ (n1 + n0)/2। তাই আমরা এই মানের পারস্পরিক ব্যবহার করে পর্যবেক্ষিত গড় র্যাঙ্ক থেকে প্লাস ওয়ান থেকে মাইনাস ওয়ান পর্যন্ত ব্যবধানের মধ্যে পার্থক্য পুনরুদ্ধার করতে পারি। ফলাফল হল যেখানে এম1 এবং এম0 যথাক্রমে দ্বৈত চলকের 1 এবং 0 স্কোরের সাথে সম্পর্কিত র্যাঙ্কের মাধ্যম। এই সূত্রটি, যা চুক্তি এবং বিপরীত গণনা থেকে গণনাকে সহজতর করে, জিন ভি গ্লাসের (1966) কারণে। যে জনসংখ্যার থেকে নমুনাটি নেওয়া হয়েছিল সেখানে শূন্য পারস্পরিক সম্পর্কের নাল হাইপোথিসিস পরীক্ষা করার জন্য এটি ব্যবহার করা সম্ভব। যদি rrb উপরের হিসাবে গণনা করা হয় এবং নল হাইপোথিসিসটি সত্য হলে নমুনা আকার n1 এবং n0 সহ ম্যান-হুইটনি ইউ হিসাবে বিতরণ করা হয়। নোটস ম্যাকালাম, রবার্ট সি, এবং অন্যান্য। 2002 সালে। পরিমাণগত ভেরিয়েবলের ডাইকোটোমাইজেশনের অনুশীলন সম্পর্কে। মনস্তাত্ত্বিক পদ্ধতি 7 (1): 19-40। তথ্যসূত্র বাইরের লিঙ্ক পয়েন্ট বাইসারিয়াল কোএফিশিয়েন্ট (কিথ কালকিন্স, 2005) সম্পর্ক সূচক