Symmetric product of an algebraic curve
গণিতে, একটি বীজগাণিতিক বক্ররেখা সি-এর এন-ভাঁজ প্রতিসম গুণফল হল n-ভাঁজ কার্টেসিয়ান গুণফল সি × সি × সি বা সিএন-এর ভাগফল স্থান, যা প্রতিসম গ্রুপ এসএন-এর গ্রুপ ক্রিয়া দ্বারা n অক্ষরের উপর গুণকগুলিকে ক্রমবর্ধমান করে। এটি একটি মসৃণ বীজগাণিতিক বৈচিত্র হিসাবে বিদ্যমান যা σnC দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যদি সি একটি কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠ হয়, তাহলে σnC একটি জটিল ম্যানিফোল্ড। বক্ররেখার ধ্রুপদী জ্যামিতির ক্ষেত্রে এর আগ্রহ হল যে এর বিন্দুগুলি ডিগ্রি এন-এর সি-তে কার্যকর বিভাজকের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ বিন্দুর আনুষ্ঠানিক যোগফল। সি-এর জন্য প্রজেক্টিভ লাইন (যেমন রিমান গোলক), এর nতম প্রতিসম গুণফল σnC-কে জটিল প্রজেক্টিভ স্পেসের মাত্রা n দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে। যদি জি-এর গণ g ≤ 1 থাকে তবে σnC-র জাকোবিয়ান জাত J-এর সাথে ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে। আরও সঠিকভাবে n-এর মান g পর্যন্ত নেওয়ার জন্য তারা নীচের থেকে J-এর আনুমানিক ক্রম তৈরি করেঃ J-তে J-তে তাদের চিত্রগুলি J-এর যোগফলের অধীনে থাকে (থিটা-বিভাজক দেখুন) যার মাত্রা n এবং J পূরণ করে, বিশেষ বিভাজক দ্বারা সৃষ্ট কিছু সনাক্তকরণ সহ। g = n-এর জন্য আমাদের আসলে J-এর দ্বি-জন্মগত সমতুল্য σgC রয়েছে; জ্যাকোবিয়ান হল প্রতিসম গুণফলের একটি নিম্নমুখী প্রবাহ। এর মানে হল যে ফাংশন ক্ষেত্রের স্তরে সি এর ফাংশন ক্ষেত্রের রৈখিকভাবে বিচ্ছিন্ন অনুলিপি গ্রহণ করে এবং তাদের সংমিশ্রণের মধ্যে প্রতিসম গোষ্ঠীর নির্দিষ্ট উপক্ষেত্র গ্রহণ করে জে গঠন করা সম্ভব। এটি আন্দ্রে ওয়েইলের 'জন্মগত তথ্য' থেকে বিমূর্ত বৈচিত্র্য হিসাবে জে তৈরি করার কৌশলের উৎস। J গঠনের অন্যান্য উপায়গুলি, উদাহরণস্বরূপ একটি পিকার্ড বৈচিত্র্য হিসাবে, এখন পছন্দ করা হয় তবে এর অর্থ হল যে কোনও যুক্তিসঙ্গত ফাংশন F-এর জন্য CF (x1) +. + F (xg) J-এর উপর একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন হিসাবে অর্থবোধ করে, xi-এর জন্য F-এর মেরু থেকে দূরে থাকা। n> g-এর জন্য যোগ তন্তু দ্বারা σnC থেকে J-এর ম্যাপিং এটিকে J-এর উপর যুক্ত করে; যখন n যথেষ্ট বড় হয় (প্রায় দ্বিগুণ g) এটি একটি প্রজেক্টিভ স্পেস বান্ডেল (পিকার্ড বান্ডেল) হয়ে যায়। এটি বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ কেম্পফ এবং মুকাই দ্বারা। বেটি সংখ্যা এবং প্রতিসাম্য পণ্যের অয়লার বৈশিষ্ট্য ধরা যাক সি জটিল সংখ্যা সি-এর উপর জি গণের একটি মসৃণ প্রজেক্টিভ বক্ররেখা। সমস্ত এন = 0,1,2,-এর জন্য প্রতিসাম্য পণ্যের বেটি সংখ্যা দ্বি (σnC) উৎপন্ন ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয় এবং তাদের অয়লার বৈশিষ্ট্যগুলি e (σnC) উৎপন্ন ফাংশন দ্বারা দেওয়া হয়। বিবরণ বীজগাণিতিক বক্ররেখা প্রতিসম ফাংশন