Enumerative geometry
গণিতে, গণনামূলক জ্যামিতি হল বীজগাণিতিক জ্যামিতির শাখা যা জ্যামিতিক প্রশ্নের সমাধানের সংখ্যা গণনা করার সাথে সম্পর্কিত, প্রধানত ছেদ তত্ত্বের মাধ্যমে। ইতিহাস গণনামূলক জ্যামিতির প্রাচীনতম উদাহরণগুলির মধ্যে একটি হল অ্যাপোলোনিয়াসের সমস্যা। এই সমস্যাটি তিনটি প্রদত্ত বৃত্ত, বিন্দু বা রেখার স্পর্শক বৃত্তের সংখ্যা এবং গঠনের জন্য জিজ্ঞাসা করে। সাধারণভাবে, তিনটি প্রদত্ত বৃত্তের সমস্যার আটটি সমাধান রয়েছে, যা 23 হিসাবে দেখা যেতে পারে, প্রতিটি স্পর্শকতার শর্ত বৃত্তের স্থানের উপর একটি দ্বিঘাত শর্ত আরোপ করে। যাইহোক, প্রদত্ত বৃত্তগুলির বিশেষ বিন্যাসের জন্য, সমাধানের সংখ্যা 0 (কোনও সমাধান নেই) থেকে ছয় পর্যন্ত যে কোনও পূর্ণসংখ্যা হতে পারে; এমন কোনও ব্যবস্থা নেই যার জন্য অ্যাপোলোনিয়াসের সমস্যার সাতটি সমাধান রয়েছে। মূল সরঞ্জামগুলি প্রাথমিক থেকে আরও উন্নত পর্যন্ত বেশ কয়েকটি সরঞ্জামের মধ্যে রয়েছেঃ বেজাউটের উপপাদ্য স্কুবার্ট ক্যালকুলাস গণনা করার মাত্রা, এবং কোহোমোলজিতে আরও সাধারণভাবে চরিত্রগত শ্রেণী কোহোমোলজির সাথে ছেদ গণনা করার সংযোগ হল পয়েনকারে দ্বৈততা বক্ররেখা, মানচিত্র এবং অন্যান্য জ্যামিতিক বস্তুর মডুলি স্পেসের অধ্যয়ন, কখনও কখনও কোয়ান্টাম কোহোমোলজি তত্ত্বের মাধ্যমে। কোয়ান্টাম কোহোমোলজি, গ্রোমভ-উইটেন অপরিবর্তনীয় এবং আয়না প্রতিসাম্যের অধ্যয়ন ক্লেমেন্সের অনুমানের ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য অগ্রগতি দিয়েছে। গণনামূলক জ্যামিতি ছেদ তত্ত্বের সাথে খুব ঘনিষ্ঠভাবে জড়িত। উনিশ শতকের শেষের দিকে হারমান শুবার্টের হাতে শ্যুবার্ট ক্যালকুলাস এন্যুমারেটিভ জ্যামিতির দর্শনীয় বিকাশ ঘটে। তিনি এই উদ্দেশ্যে শুবার্ট ক্যালকুলাস প্রবর্তন করেছিলেন, যা বিস্তৃত অঞ্চলে মৌলিক জ্যামিতিক এবং ভূতাত্ত্বিক মূল্য প্রমাণ করেছে। গণনামূলক জ্যামিতির নির্দিষ্ট চাহিদাগুলি 1960 এবং 1970-এর দশকে (উদাহরণস্বরূপ স্টিভেন ক্লেইম্যান দ্বারা নির্দেশিত) তাদের দিকে আরও মনোযোগ না দেওয়া পর্যন্ত সমাধান করা হয়নি। ছেদ সংখ্যাগুলি কঠোরভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল (আন্দ্রে ওয়েইল তাঁর মৌলিক প্রোগ্রাম 1942-6-এর অংশ হিসাবে এবং আবার পরবর্তীকালে), তবে এটি গণনামূলক প্রশ্নের সঠিক ক্ষেত্রটি শেষ করে দেয়নি। ফাজ ফ্যাক্টর এবং হিলবার্টের পঞ্চদশ সমস্যা ডাইমেনশন গণনা এবং বেজাউটের উপপাদ্যের নাইভ প্রয়োগ ভুল ফলাফল দেয়, যেমন নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেখায়। এই সমস্যাগুলির প্রতিক্রিয়ায়, বীজগাণিতিক জ্যামিতিগুলি অস্পষ্ট "ফাউজ ফ্যাক্টর" প্রবর্তন করেছিল, যা কয়েক দশক পরে কঠোরভাবে ন্যায়সঙ্গত হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, প্রজেক্টিভ সমতলে প্রদত্ত পাঁচটি রেখার স্পর্শক শঙ্কু বিভাগগুলি গণনা করুন। শঙ্কুগুলি 5 মাত্রার একটি প্রক্ষিপ্ত স্থান গঠন করে, তাদের ছয়টি সহগকে সমজাতীয় স্থানাঙ্ক হিসাবে গ্রহণ করে এবং পাঁচটি বিন্দু একটি শঙ্কু নির্ধারণ করে, যদি বিন্দুগুলি সাধারণ রৈখিক অবস্থানে থাকে, কারণ একটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রৈখিক শর্ত আরোপ করে। একইভাবে, একটি প্রদত্ত রেখা L-এর স্পর্শকতা (স্পর্শকতা হল বহুগুণ দুই-এর সাথে ছেদ) হল একটি দ্বিঘাত অবস্থা, তাই P5-এ একটি চতুর্ভুজ নির্ধারিত হয়। তবে এই ধরনের সমস্ত চতুর্ভুজ নিয়ে গঠিত বিভাজকের রৈখিক ব্যবস্থায় বেস লোকাস নেই। প্রকৃতপক্ষে এই ধরনের প্রতিটি চতুর্ভুজে ভেরোনী পৃষ্ঠ থাকে, যা 'ডাবল লাইন' নামে পরিচিত শঙ্কু (aX + bY + cZ) 2 = 0-কে পরামিতি করে। এর কারণ হল একটি দ্বৈত রেখা সমতলে প্রতিটি রেখাকে ছেদ করে, যেহেতু প্রজেক্টিভ সমতলের রেখাগুলি দ্বিগুণ হওয়ার কারণে বহুগুণ দুই দিয়ে ছেদ করে এবং এইভাবে একটি ননডিজেনারেট শঙ্কু হিসাবে একই ছেদ শর্ত (বহুগুণ দুই-এর ছেদ) সন্তুষ্ট করে যা লাইনের স্পর্শক। সাধারণ বেজাউট উপপাদ্য বলে যে 5-স্থানে 5টি সাধারণ চতুর্ভুজ 32 = 25 পয়েন্টে ছেদ করবে। কিন্তু এখানে প্রাসঙ্গিক চতুর্ভুজগুলি সাধারণ অবস্থানে নেই। 32 থেকে 31 কে অবশ্যই বিয়োগ করতে হবে এবং সঠিক উত্তর (জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে), অর্থাৎ 1 রেখে যাওয়ার জন্য ভেরোনীদের দায়ী করতে হবে। 'অধঃপতিত' ক্ষেত্রে ছেদগুলিকে দায়ী করার এই প্রক্রিয়াটি একটি 'ফাজ ফ্যাক্টর'-এর একটি সাধারণ জ্যামিতিক ভূমিকা। হিলবার্টের পঞ্চদশ সমস্যাটি ছিল এই হস্তক্ষেপগুলির আপাতদৃষ্টিতে স্বেচ্ছাচারী প্রকৃতি কাটিয়ে ওঠা; এই দিকটি নিজেই শুবার্ট ক্যালকুলাসের মৌলিক প্রশ্নের বাইরে। ক্লেমেন্সের অনুমান 1984 সালে এইচ. ক্লেমেন্স একটি কুইন্টিক তিনগুণ যুক্তিসঙ্গত বক্ররেখার সংখ্যা গণনা অধ্যয়ন করেন এবং নিম্নলিখিত অনুমানটিতে পৌঁছান। ধরা যাক একটি সাধারণ কুইন্টিক তিনগুণ, একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাহলে ডিগ্রি অন সহ কেবলমাত্র একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যক মূলদ বক্ররেখা রয়েছে। এই অনুমানটি এই মামলায় সমাধান করা হয়েছে, তবে এখনও উচ্চতর জন্য উন্মুক্ত। 1991 সালে স্ট্রিং তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে কুইন্টিকের উপর আয়না প্রতিসাম্য সম্পর্কে গবেষণাপত্রে সকলের জন্য ডিগ্রি ডি যুক্তিসঙ্গত বক্ররেখার সংখ্যা দেওয়া হয়েছে। এর আগে, বীজগাণিতিক জ্যামিতিগুলি শুধুমাত্র এই সংখ্যাগুলির জন্য গণনা করতে পারত। উদাহরণ বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে গণনার কিছু ঐতিহাসিকভাবে গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণের মধ্যে রয়েছেঃ 2 স্থানে 4টি সাধারণ রেখার সাথে মিলিত রেখার সংখ্যা 8 3টি সাধারণ বৃত্তের স্পর্শক বৃত্তের সংখ্যা (অ্যাপোলোনিয়াসের সমস্যা)। 27 একটি মসৃণ ঘন পৃষ্ঠে রেখার সংখ্যা (সালমন এবং কেলে) 2875 একটি সাধারণ কুইন্টিকের উপর রেখার সংখ্যা তিনগুণ 3264 সাধারণ অবস্থানে 5টি সমতল শঙ্কুতে শঙ্কু স্পর্শকের সংখ্যা (চ্যাসল) 609250 একটি সাধারণ কুইন্টিকের উপর শঙ্কু সংখ্যা তিনগুণ 4407296 8টি সাধারণ চতুর্ভুজ পৃষ্ঠে স্পর্শকের সংখ্যা 666841088 3-স্থান 5819539783680-এ সাধারণ অবস্থানে 9টি প্রদত্ত চতুর্ভুজ পৃষ্ঠে স্পর্শকের চতুর্ভুজ পৃষ্ঠের সংখ্যা 3-স্থান সংযোগ বিচ্ছিন্নতা তত্ত্ব বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে সাধারণ অবস্থানে 12টি প্রদত্ত চতুর্ভুজ পৃষ্ঠে মোচড়যুক্ত ঘন স্পর্শকের সংখ্যা।