Proofs of quadratic reciprocity
সংখ্যা তত্ত্বে, পাইথাগোরীয় উপপাদ্যের মতো দ্বিঘাত পারস্পরিকতার সূত্রটি অস্বাভাবিকভাবে বিপুল সংখ্যক প্রমাণকে ধার দিয়েছে। দ্বিঘাত পারস্পরিকতার আইনের কয়েকশ প্রমাণ প্রকাশিত হয়েছে। প্রমাণের সারসংক্ষেপ প্রাথমিক সমন্বিত প্রমাণগুলির মধ্যে দুটি রয়েছে যা দ্বিগুণ গণনার প্রকার প্রয়োগ করে। গথোল্ড আইজেনস্টাইনের একটি ল্যাটিস পয়েন্ট গণনা করে। আরেকটি চীনা অবশিষ্ট উপপাদ্য দ্বারা প্রকাশিত জোলোটারেভের লেম্মাকে প্রয়োগ করে এবং একটি বিন্যাসের স্বাক্ষর গণনা করে। সংক্ষিপ্ততম পরিচিত প্রমাণটি দ্বিগুণ গণনার একটি সরলীকৃত সংস্করণও ব্যবহার করে, যথা দ্বিগুণ গণনার মডুলো একটি নির্দিষ্ট মৌলিক সংখ্যা। আইজেনস্টাইনের প্রমাণ আইজেনস্টাইনের দ্বিঘাত পারস্পরিকতার প্রমাণ হল গাউসের তৃতীয় প্রমাণের সরলীকরণ। এটি জ্যামিতিকভাবে আরও স্বজ্ঞাত এবং এর জন্য কম প্রযুক্তিগত কারসাজি প্রয়োজন। প্রস্থান বিন্দু হল "আইজেনস্টাইনের লেম্মা", যা বলে যে স্বতন্ত্র বিজোড় মৌলিক সংখ্যার জন্য p, q, যেখানে ফ্লোর ফাংশনকে বোঝায় (x এর চেয়ে কম বা সমান বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা), এবং যেখানে যোগফলটি জোড় পূর্ণসংখ্যার উপর নেওয়া হয় u = 2,4,6,, p − 1। উদাহরণস্বরূপ, এই ফলাফলটি গাউসের লেম্মার সাথে খুব মিল, এবং একইভাবে প্রমাণ করা যেতে পারে (নীচে দেওয়া প্রমাণ)। (q/p)-এর এই উপস্থাপনাটি ব্যবহার করে, মূল যুক্তিটি বেশ মার্জিত। নিম্নলিখিত চিত্রটিতে ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরে জোড় x-স্থানাঙ্ক সহ জাল বিন্দুর সংখ্যা গণনা করা হয়েছেঃ যেহেতু প্রতিটি কলামে জোড় সংখ্যক বিন্দু থাকে (যথা q−1 বিন্দু), তাই BCYX অঞ্চলে এই ধরনের জাল বিন্দুর সংখ্যা CZY অঞ্চলে এই ধরনের বিন্দুর সংখ্যার সমান মডুলো 2 হয়ঃ তারপর উভয় অক্ষের মধ্যে রেখাচিত্রটি উল্টিয়ে আমরা দেখতে পাই যে CZY-এর ভিতরে জোড় x-স্থানাঙ্ক সহ বিন্দুর সংখ্যা AXY-এর অভ্যন্তরে বিজোড় x-স্থানাঙ্ক সহ বিন্দুর সংখ্যার সমান। এটি উল্লেখ করে গাণিতিকভাবে এটিকে ন্যায়সঙ্গত করা যেতে পারে। উপসংহারটি হল যেখানে এ. এক্স. ওয়াই-এর অভ্যন্তরে মোট জাল বিন্দুর সংখ্যা হল। পি এবং কিউ পরিবর্তন করলে, একই যুক্তি দেখায় যে যেখানে ν হল ডাব্লুওয়াইএর অভ্যন্তরে জাল বিন্দুর সংখ্যা। যেহেতু AY রেখায় কোনও জাল বিন্দু নেই (কারণ p এবং q তুলনামূলকভাবে মৌলিক), এবং যেহেতু আয়তক্ষেত্র WYXA-তে মোট বিন্দুর সংখ্যা হল আমরা আইজেনস্টাইনের লেম্মার প্রমাণ পাই 1 ≤ u ≤ p − 1 পরিসরে একটি জোড় পূর্ণসংখ্যার জন্য, r (u) দ্বারা q মডুলো p-এর সর্বনিম্ন ধনাত্মক অবশিষ্টাংশকে নির্দেশ করুন। (উদাহরণস্বরূপ, p = 11, q = 7-এর জন্য, আমরা u = 2,4,6,8,10, এবং r (u)-এর সংশ্লিষ্ট মানগুলি 3,6,9,1,4।) সংখ্যাগুলি (−1) r (u) r (u), আবার সর্বনিম্ন ধনাত্মক অবশিষ্টাংশ মডুলো p হিসাবে বিবেচিত হয়, সবগুলিই জোড় (আমাদের চলমান উদাহরণে, তারা 8,6,2,10,4।) উপরন্তু, এগুলি সবই স্বতন্ত্র, কারণ যদি (−1) r (u) r (u) ষ্ণ (−1) r (t) r (t) (মড p) হয়, তাহলে আমরা q দ্বারা ভাগ করে u ষ্ণ ± t (মোড p) পেতে পারি। এটি u ষ্ণ t (মড p)-কে বাধ্য করে, কারণ u এবং t উভয়ই জোড়, যেখানে p বিজোড়। যেহেতু তাদের মধ্যে ঠিক (p−1)/2 রয়েছে এবং তারা স্বতন্ত্র, তাই তাদের অবশ্যই 2,4,., p−1 জোড় পূর্ণসংখ্যার একটি পুনর্বিন্যাস হতে হবে। অন্যদিকে, r (u) এবং ফ্লোর ফাংশনের সংজ্ঞা অনুসারে, এবং যেহেতু p বিজোড় এবং u জোড়, তা বোঝায় যে এবং r (u) সর্বসম মডুলো 2। অবশেষে এটি দেখায় যে আমরা সমাপ্ত কারণ বাম দিকটি (q/p) এর জন্য একটি বিকল্প অভিব্যক্তি মাত্র। লেম্মার সংযোজন এই লেম্মা মূলত বলে যে দ্বিগুণ হওয়ার পরে ন্যূনতম অবশিষ্টাংশের সংখ্যা যা বিজোড় (q/p) এর মান দেয়। এটি গাউসের লেম্মা থেকে সহজেই অনুসরণ করা যায়। এছাড়াও, বোঝায় যে এবং r (u) হয় সর্বব্যাপী মডুলো 2, অথবা অসঙ্গতিপূর্ণ, শুধুমাত্র u এর সমতার উপর নির্ভর করে। এর মানে হল যে অবশিষ্টাংশগুলি সর্বসম, এবং তাই কোথায়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী উদাহরণ ব্যবহার করে, অবশিষ্টাংশগুলি হল এবং মেঝের ফাংশন দেয়। সঙ্গতির প্যাটার্ন হল। চতুর্ভুজ গাউস যোগফল ব্যবহার করে প্রমাণ গাউস যোগফল ব্যবহার করে চতুর্ভুজ পারস্পরিকতার প্রমাণ আরও সাধারণ এবং ক্লাসিক প্রমাণগুলির মধ্যে একটি। এই প্রমাণগুলি দুটি ভিন্ন উপায়ে একক মানের গণনার তুলনা করে কাজ করে, একটি ইউলারের মানদণ্ড ব্যবহার করে এবং অন্যটি দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে। অয়লারের মানদণ্ড কীভাবে ব্যবহার করা হয় তার একটি উদাহরণ হিসাবে, আমরা এটিকে একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা p নির্ধারণের প্রথম সম্পূরক ক্ষেত্রে দ্রুত প্রমাণ দিতে ব্যবহার করতে পারিঃ অয়লারের মানদণ্ড অনুসারে, কিন্তু যেহেতু সমতুল্যতার উভয় দিক ±1 এবং p বিজোড়, তাই আমরা তা অনুমান করতে পারি। দ্বিতীয় সম্পূরক কেস লেট, ঐক্য এবং সেটের একটি আদিম 8ম মূল। সেই থেকে এবং আমরা তা দেখতে পাচ্ছি। কারণ এটি একটি বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যা, যদি p একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা হয় তবে এটি সম্পর্কে কথা বলা যুক্তিসঙ্গত। (আনুষ্ঠানিকভাবে আমরা p দ্বারা উত্পন্ন আদর্শের সাথে বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যাগুলিকে ফ্যাক্টর করে গঠিত বিনিময়যোগ্য বলয়টি বিবেচনা করছি। কারণ এটি একটি বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যা নয়, 1,2,, p এর স্বতন্ত্র উপাদান।) অয়লারের মানদণ্ড ব্যবহার করে, এটি অনুসরণ করা হয় যে আমরা তখন বলতে পারি যে তবে আমরা দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করেও গণনা করতে পারি। যেহেতু দ্বিপদী সম্প্রসারণে ক্রস পদগুলিতে p-এর সমস্ত উপাদান থাকে, তাই আমরা তা দেখতে পাই। আমরা এটিকে দুটি ক্ষেত্রে ভাগ করে আরও সঠিকভাবে মূল্যায়ন করতে পারি। । একটি মৌলিক মডুলো 8-এর জন্য এগুলিই একমাত্র বিকল্প এবং এই উভয় ক্ষেত্রেই সূচকীয় ফর্ম ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে। আমরা সমস্ত বিজোড় মৌলিক সংখ্যার জন্য এটি সংক্ষেপে লিখতে পারি যেমন এই দুটি অভিব্যক্তি একত্রিত করে এবং দ্বারা গুণ করলে আমরা তা খুঁজে পাই। যেহেতু উভয়ই ±1 এবং 2 হল বিপরীতমুখী মডুলো p, তাই আমরা এই উপসংহারে আসতে পারি যে সাধারণ ক্ষেত্রে সাধারণ প্রমাণের ধারণাটি উপরের পরিপূরক কেসটি অনুসরণ করেঃ একটি বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যা খুঁজে বের করুন যা কোনওভাবে p-এর জন্য লেজেন্ড্রে প্রতীকগুলিকে এনকোড করে, তারপরে এই বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যা মডুলো q-এর qth শক্তি দুটি ভিন্ন উপায়ে গণনা করে লেজেন্ড্রে প্রতীকগুলির মধ্যে একটি সম্পর্ক খুঁজে বের করুন, একটি ইউলারের মানদণ্ড ব্যবহার করে অন্যটি দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে। আসুন ঐক্যের একটি আদিম pth মূল কোথায়। এটি একটি চতুর্ভুজ গাউস যোগফল। এই গাউস যোগফলের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল কোথায়। এটিকে পরবর্তী প্রমাণের প্রসঙ্গে রাখার জন্য, গাউস যোগফলের পৃথক উপাদানগুলি সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রে রয়েছে তবে উপরের সূত্রটি দেখায় যে যোগফলটি নিজেই এল-এ থাকা অনন্য দ্বিঘাত ক্ষেত্রের একটি উৎপাদক। আবার, যেহেতু দ্বিঘাত গাউস যোগফল একটি বীজগাণিতিক পূর্ণসংখ্যা, তাই আমরা এর সাথে মডুলার পাটিগণিত ব্যবহার করতে পারি। এই মৌলিক সূত্র এবং অয়লারের মানদণ্ড ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাই যে, অতএব দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা আরও দেখতে পাই যে, যদি আমরা a কে একটি গুণিতক বিপরীত হতে দিই, তবে আমরা এই যোগফলটিকে প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে পুনরায় লিখতে পারি, যা যোগফলের পরিসরকে প্রভাবিত করে না। যেহেতু বিপরীতমুখী মডুলো q, এবং লেজেন্ড্রে প্রতীকগুলি হয় ±1, তাই আমরা এই উপসংহারে আসতে পারি যে বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব ব্যবহার করে প্রমাণ এখানে উপস্থাপিত প্রমাণটি কোনওভাবেই সহজতম নয়; তবে, এটি বেশ গভীর, এই অর্থে যে এটি আর্টিন পারস্পরিকতার কিছু ধারণাকে অনুপ্রাণিত করে। সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের বিন্যাস ধরুন যে p একটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা। এই ক্রিয়াটি সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের অভ্যন্তরে ঘটে যেখানে ζp হল ঐক্যের একটি আদিম pth মূল। সাইক্লোটোমিক ক্ষেত্রের মৌলিক তত্ত্বটি আমাদের জানায় যে একটি ক্যানোনিকাল আইসোমরফিজম রয়েছে যা স্বয়ংক্রিয়তা σa-কে উপাদানটিকে সন্তুষ্ট করে পাঠায় বিশেষত, এই আইসোমরফিজমটি ইনজেকটিভ কারণ একটি ক্ষেত্রের গুণিতক গোষ্ঠী একটি চক্রীয় গোষ্ঠীঃ এখন জি-এর উপাদানগুলির বর্গের উপগোষ্ঠী এইচ-কে বিবেচনা করুন। যেহেতু জি চক্রাকার, তাই জি-তে এইচ-এর সূচক 2 রয়েছে, তাই গ্যালোইস চিঠিপত্রের অধীনে এইচ-এর সাথে সম্পর্কিত উপক্ষেত্রটি অবশ্যই কিউ-এর একটি দ্বিঘাত সম্প্রসারণ হতে হবে। (প্রকৃতপক্ষে এটি এল-এ থাকা কিউ-এর অনন্য দ্বিঘাত সম্প্রসারণ) গাউসিয়ান পিরিয়ড তত্ত্ব নির্ধারণ করে যে কোনটি; এটি কোথায় পরিণত হয়, এই মুহুর্তে আমরা আমাদের কাঠামো থেকে উদ্ভূত দ্বিঘাত পারস্পরিকতার ইঙ্গিত দেখতে শুরু করি। একদিকে, এইচ-এর চিত্রটি নিখুঁতভাবে (অ-শূন্য) দ্বিঘাত অবশিষ্টাংশ মডুলো পি নিয়ে গঠিত। অন্যদিকে, এইচ পি-এর (বা সম্ভবত-পি) বর্গমূল নেওয়ার প্রচেষ্টার সাথে সম্পর্কিত। অন্য কথায়, যদি এখন q একটি মৌলিক সংখ্যা (p থেকে ভিন্ন) হয়, তাহলে আমরা দেখিয়েছি যে ফ্রোবেনিয়াস অটোমরফিজম পূর্ণসংখ্যার বলয়ে, q-এর উপর অবস্থিত যে কোনও অনির্ধারিত মৌলিক আদর্শ β বেছে নিন, এবং β-এর সাথে যুক্ত ফ্রোবেনিয়াস অটোমরফিজম হতে দিন; এর বৈশিষ্ট্য হল যে (এই ধরনের ফ্রোবেনিয়াস উপাদানের অস্তিত্ব বেশ কিছু বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব যন্ত্রের উপর নির্ভর করে)। এই বিষয়ে আমাদের যে মূল তথ্যটি প্রয়োজন তা হল L-এর যে কোনও উপক্ষেত্র K-এর জন্য, প্রকৃতপক্ষে, δ-কে β-এর নিচে (এবং তাই q-এর উপরে) OK-এর যে কোনও আদর্শ হতে দিন। তারপর, যেহেতু যে কোনও ক্ষেত্রে, আমরা দেখতে পাই যে এটি δ-এর জন্য একটি ফ্রোবেনিয়াস। একটি আদর্শ ফলাফল হল যে এর ক্রম সংশ্লিষ্ট জড়ত্বীয় মাত্রার সমান; অর্থাৎ, বাম দিকটি 1-এর সমান হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি φ K-কে স্থির করে, এবং ডান দিকটি একটির সমান হবে যদি এবং শুধুমাত্র q K-তে সম্পূর্ণরূপে বিভক্ত হয়, তাই আমাদের কাজ শেষ। এখন, যেহেতু ঐক্যের pth মূলগুলি স্বতন্ত্র মডুলো β (অর্থাৎ। বহুপদী Xp−1 বৈশিষ্ট্য q)-এ পৃথকযোগ্য, আমাদের অবশ্যই তা থাকতে হবে, যা আগে সংজ্ঞায়িত অটোমরফিজম σq-এর সাথে মিলে যায়। K কে দ্বিঘাত ক্ষেত্র হিসাবে গ্রহণ করে যেখানে আমরা আগ্রহী, আমরা সমতুল্যতা অর্জন করি প্রমাণটি সম্পূর্ণ করে অবশেষে আমাদের অবশ্যই দেখাতে হবে যে একবার আমরা এটি করার পরে, দ্বিঘাত পারস্পরিকতার আইনটি অবিলম্বে এবং এর জন্য পড়ে যায়। শেষ সমতুল্যতা দেখানোর জন্য, প্রথমে ধরে নিন যে এই ক্ষেত্রে, কিছু পূর্ণসংখ্যা x (q দ্বারা বিভাজ্য নয়) রয়েছে যা কিছু পূর্ণসংখ্যা c-এর জন্য বলে। ধরা যাক এবং K-এর আদর্শ বিবেচনা করা যাক। এটি অবশ্যই প্রধান আদর্শকে (q) বিভক্ত করে। এটি (q) এর সমান হতে পারে না, কারণ এটি q দ্বারা বিভাজ্য নয়। এটি একক আদর্শ হতে পারে না, কারণ তখন এটি q দ্বারা বিভাজ্য, যা আবার অসম্ভব। সুতরাং (q) কে অবশ্যই কে-তে বিভক্ত করতে হবে। বিপরীতভাবে, ধরুন যে (q) বিভক্ত হয়, এবং ধরা যাক β, q-এর উপরে K-এর একটি মৌলিক সংখ্যা। তারপর আমরা কিছু বেছে নিতে পারি প্রকৃতপক্ষে, যেহেতু দ্বিঘাত ক্ষেত্রের প্রাথমিক তত্ত্বটি বোঝায় যে K-এর পূর্ণসংখ্যার বলয়টি ঠিক তাই a এবং b-এর হরগুলি 2-এর সমান। যেহেতু q ষ্ণ 2, তাই আমরা নিরাপদে a এবং b কে 2 দ্বারা গুণ করতে পারি এবং ধরে নিতে পারি যে, যেখানে এখন a এবং b Z-এ রয়েছে। এই ক্ষেত্রে আমাদের তাই আছে তবে, q b কে ভাগ করতে পারে না, যেহেতু তখন থেকে q a কে ভাগ করে, যা আমাদের পছন্দের বিরোধিতা করে। প্রাথমিক সংখ্যা তত্ত্বের প্রতিটি পাঠ্যপুস্তকে (এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের বেশ কয়েকটি) দ্বিঘাত পারস্পরিকতার প্রমাণ রয়েছে। দুটি বিশেষভাবে লক্ষণীয়ঃ দ্বিঘাত এবং উচ্চতর-শক্তি পারস্পরিকতা আইন এবং তাদের ইতিহাসের আলোচনার অনেক প্রমাণ (কিছু অনুশীলনে) রয়েছে। এর বিশাল গ্রন্থপঞ্জিতে 196টি বিভিন্ন প্রকাশিত প্রমাণের জন্য সাহিত্যের উদ্ধৃতি রয়েছে। এছাড়াও দ্বিঘাত পারস্পরিকতার অনেক প্রমাণ রয়েছে (এবং অনেক অনুশীলন), এবং ঘন এবং দ্বিখণ্ডিত ক্ষেত্রেও রয়েছে। অনুশীলন 13.26 (পি 202) বলে যে এটি এই বইয়ে এখন পর্যন্ত প্রদত্ত দ্বিঘাত পারস্পরিকতার আইনের প্রমাণের সংখ্যা গণনা করে এবং অন্য একটি উদ্ভাবন করে। বাহ্যিক লিঙ্ক এফ. লেমারমেয়ারের কালানুক্রম এবং চতুর্ভুজ পারস্পরিকতা আইনের প্রমাণের গ্রন্থপঞ্জি (332 প্রমাণ) বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব নিবন্ধ প্রমাণ