Direct image functor
গণিতে, ডাইরেক্ট ইমেজ ফাঙ্কটর হল শিফ তত্ত্বের একটি গঠন যা আপেক্ষিক ক্ষেত্রে গ্লোবাল সেকশন ফাঙ্কটরকে সাধারণীকরণ করে। টপোলজি এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে এর মৌলিক গুরুত্ব রয়েছে। একটি টপোলজিকাল স্পেস X-এ সংজ্ঞায়িত একটি শিফ F এবং একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র f: X → Y দেওয়া হলে, আমরা Y-এর উপর একটি নতুন শিফ f ≤ F সংজ্ঞায়িত করতে পারি, যাকে ডাইরেক্ট ইমেজ শিফ বা f বরাবর F-এর পুশ ফরোয়ার্ড শিফ বলা হয়, যেমন f ≤ F-এর গ্লোবাল সেকশনগুলি F-এর গ্লোবাল সেকশন দ্বারা দেওয়া হয়। এই অ্যাসাইনমেন্টটি X-এর শিভের বিভাগ থেকে Y-এর শিভের বিভাগে একটি ফাঙ্কটর f ≤-এর জন্ম দেয়, যা ডাইরেক্ট ইমেজ ফাঙ্কটর হিসাবে পরিচিত। অনুরূপ গঠন অন্যান্য অনেক বীজগাণিতিক এবং জ্যামিতিক প্রসঙ্গে বিদ্যমান, যার মধ্যে একটি পরিকল্পনার উপর আধা-সুসঙ্গত শেভ এবং এটেল শেভ রয়েছে। সংজ্ঞা ধরা যাক f: X → Y টপোলজিকাল স্পেসের একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র, এবং Sh (-) একটি টপোলজিকাল স্পেসে আবেলিয়ান গ্রুপের শেভের বিভাগকে নির্দেশ করে। ডাইরেক্ট ইমেজ ফাঙ্কটর X-এর উপর একটি শিফ F পাঠায় তার ডাইরেক্ট ইমেজ প্রিশিফে Y-এর উপর, যা U এবং Y-এর খোলা উপসেটগুলিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এটি Y-এর উপর একটি শিফ হিসাবে পরিণত হয় এবং এটিকে ডাইরেক্ট ইমেজ শিফ বা f বরাবর F-এর পুশ ফরোয়ার্ড শিফ বলা হয়। যেহেতু শিভ φ: F → G-এর একটি মরফিজম X-এর উপর একটি সুস্পষ্ট উপায়ে Y-এর উপর শিভ f ≤ (φ): f ≤ (F) → f ≤ (G)-এর একটি মরফিজমের জন্ম দেয়, আমাদের কাছে প্রকৃতপক্ষে f ≤ একটি ফাংক্টর রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি Y একটি বিন্দু হয়, এবং f: X → Y অনন্য অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র হয়, তবে Sh (Y) আবেলিয়ান গোষ্ঠীর অ্যাব বিভাগ, এবং সরাসরি চিত্র ফাংক্টর f ≤: Sh (X) → Ab গ্লোবাল সেকশন ফাংক্টরের সমান। বৈচিত্র্য যদি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর শেভের পরিবর্তে সেটের শেভ নিয়ে কাজ করা হয়, তবে একই সংজ্ঞা প্রযোজ্য। একইভাবে, যদি f: (X, OX) → (Y, OY) রিং স্পেসের একটি রূপায়ন হয়, তাহলে আমরা OX-মডিউলগুলির শেভ বিভাগ থেকে OY-মডিউলগুলির শেভ বিভাগ থেকে একটি সরাসরি চিত্র ফাংক্টর f ≤: Sh (X, OX) → Sh (Y, OY) পাই। উপরন্তু, যদি f এখন আধা-সঙ্গতিপূর্ণ এবং আধা-বিচ্ছিন্ন স্কিমগুলির একটি রূপায়ন হয়, তবে f ≤ আধা-সঙ্গতিপূর্ণ হওয়ার বৈশিষ্ট্য সংরক্ষণ করে, তাই আমরা আধা-সঙ্গতিপূর্ণ শেভের বিভাগগুলির মধ্যে সরাসরি ইমেজ ফাংক্টর পাই। একটি অনুরূপ সংজ্ঞা টোপোইয়ের উপর শেভের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যেমন étale শেভ। সেখানে, উপরের প্রিমেজ f−1 (U)-এর পরিবর্তে, Y-এর উপর U এবং X-এর ফাইবার পণ্য ব্যবহার করা হয়। শিফ বিভাগ গঠনকারী বৈশিষ্ট্য এবং ডাইরেক্ট ইমেজ ফাংক্টর নিজেই টপোলজিকাল স্পেসের বিভাগ থেকে বিভাগগুলির বিভাগে একটি ফাংক্টরকে সংজ্ঞায়িত করেঃ অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র f: X → Y এবং g: Y → Z দেওয়া হলে, আমাদের (gf) ি঱ = g ি঱ f ি঱ রয়েছে। ডাইরেক্ট ইমেজ ফাঙ্কটরটি বিপরীত ইমেজ ফাঙ্কটরের ঠিক সংলগ্ন, যার অর্থ হল যে কোনও অবিচ্ছিন্ন এবং শেভের জন্য যথাক্রমে এক্স, ওয়াই-তে একটি প্রাকৃতিক সমরূপতা রয়েছেঃ যদি f একটি বদ্ধ সাবস্পেস X-Y-এর অন্তর্ভুক্তি হয় তবে f ≤ সঠিক। প্রকৃতপক্ষে, এই ক্ষেত্রে x-এর উপর শেভের বিভাগ এবং X-এর উপর সমর্থিত Y-এর উপর শেভের বিভাগের মধ্যে একটি সমতুল্য। এর ফলে এর ডাল যদি হয় এবং অন্যথায় শূন্য হয় (এখানে Y-তে X-এর বদ্ধতা ব্যবহার করা হয়)। যদি f একটি রিং সমরূপতা দ্বারা নির্ধারিত অ্যাফিন স্কিমগুলির অঙ্গসংস্থান হয়, তবে অর্ধ-সুসঙ্গত শেভগুলির উপর সরাসরি চিত্র ফাংক্টর f ≤ কে φ বরাবর স্কেলার ফাংক্টরের সীমাবদ্ধতার সাথে চিহ্নিত করা হয়। উচ্চতর সরাসরি চিত্র সরাসরি চিত্রের ফাংক্টরটি সঠিকভাবে ছেড়ে দেওয়া হয়, তবে সাধারণত সঠিকভাবে সঠিক হয় না। তাই সরাসরি চিত্রের সঠিক উদ্ভূত ফাংক্টরগুলি বিবেচনা করা যেতে পারে। এগুলিকে উচ্চতর সরাসরি চিত্র বলা হয় এবং Rq f ≤ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। কেউ দেখাতে পারে যে উচ্চতর সরাসরি চিত্রগুলির জন্য উপরের মতো একটি অনুরূপ অভিব্যক্তি রয়েছেঃ এক্স-এর উপর একটি শিফ এফ-এর জন্য, শিফ আরকিউ এফ ≤ (এফ) হল প্রিশিফের সাথে যুক্ত শিফ, যেখানে এইচকিউ শিফ কোহোমোলজিকে বোঝায়। বীজগাণিতিক জ্যামিতির প্রসঙ্গে এবং আধা-সংক্ষিপ্ত এবং আধা-বিচ্ছিন্ন পরিকল্পনার একটি অঙ্গসংস্থানের প্রেক্ষাপটে, একইভাবে অর্ধ-সঙ্গতিপূর্ণ শেভের (সীমাহীন) উদ্ভূত বিভাগগুলির মধ্যে একটি ফাংক্টর হিসাবে সঠিক উদ্ভূত ফাংক্টর রয়েছে। এই পরিস্থিতিতে, সর্বদা একটি সঠিক সংযোজন স্বীকার করে। এটি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, তবে সাধারণত ব্যতিক্রমী বিপরীত চিত্র ফাংশনের সমতুল্য নয়, যদি না এটিও সঠিক হয়। আরও দেখুন যথাযথ ভিত্তি পরিবর্তন উপপাদ্য রেফারেন্স, বিশেষ করে। দ্বিতীয় বিভাগ 4 শেফ তত্ত্ব অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের তত্ত্ব