Tverberg's theorem
বিচ্ছিন্ন জ্যামিতিতে, টেভারবার্গের উপপাদ্য, যা 1966 সালে হেলজ টেভারবার্গ প্রথম বলেছিলেন, তার ফলস্বরূপ ডি-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের পর্যাপ্ত সংখ্যক বিন্দুকে উত্তল কাঠামো ছেদ করে উপসমুহে বিভক্ত করা যেতে পারে। বিশেষত, যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা d, r এবং যে কোনও বিন্দুর সেটের জন্য একটি বিন্দু x (প্রদত্ত বিন্দুর মধ্যে একটি নয়) এবং প্রদত্ত বিন্দুগুলিকে r উপসেটগুলিতে এমনভাবে ভাগ করা হয়, যাতে x সমস্ত উপসেটগুলির উত্তল কাঠামোর অন্তর্গত হয়। এই উপপাদ্য থেকে প্রাপ্ত বিভাজনটি টেভারবার্গ পার্টিশন নামে পরিচিত। বিশেষ ক্ষেত্রে r = 2 এর আগে রেডনের দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল এবং এটি রেডনের উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত। উদাহরণ d = 1 ক্ষেত্রে বলা হয়েছে যে বাস্তব রেখার যে কোনও 2r-1 বিন্দুকে ছেদকারী উত্তল কাঠামো সহ r উপসেটে ভাগ করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, যদি বিন্দুগুলি x1 <x2 <. <x2r <x2r-1 হয়, তবে 1,., r-এ i-এর জন্য এআই = {xi, x2r-i}-এ বিভাজন এই শর্তটি সন্তুষ্ট করে (এবং এটি অনন্য)। r = 2-এর জন্য, টেভারবার্গের উপপাদ্য বলে যে কোনও d + 2 বিন্দুকে উত্তল কাঠামো ছেদ করে দুটি উপসমুহে বিভক্ত করা যেতে পারে। এটি রেডনের উপপাদ্য নামে পরিচিত। এই ক্ষেত্রে, সাধারণ অবস্থানে থাকা পয়েন্টগুলির জন্য, পার্টিশনটি অনন্য। r = 3 এবং d = 2 ক্ষেত্রে বলা হয়েছে যে সমতলের যে কোনও সাতটি বিন্দুকে ছেদকারী উত্তল কাঠামো সহ তিনটি উপসেটে বিভক্ত করা যেতে পারে। চিত্রটি একটি উদাহরণ দেখায় যেখানে সাতটি বিন্দু একটি নিয়মিত অষ্টকোণের শীর্ষবিন্দু। যেমন উদাহরণটি দেখায়, একই পয়েন্টের সেটের অনেকগুলি ভিন্ন ভিন্ন টেভারবার্গ পার্টিশন থাকতে পারে; এই সাতটি পয়েন্টকে সাতটি ভিন্ন উপায়ে ভাগ করা যেতে পারে যা একে অপরের ঘূর্ণন দ্বারা পৃথক হয়। টপোলজিক্যাল টেভারবার্গ উপপাদ্য টেভারবার্গের উপপাদ্যের সমতুল্য সূত্রটি হলঃ ধরা যাক d, r ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং ধরা যাক N: = (d + 1) (r-1)। যদি f একটি N-মাত্রিক সিম্প্লেক্স থেকে Rd পর্যন্ত কোনও অ্যাফিন ফাংশন হয়, তবে ΔN-এর r জোড়া-বিচ্ছিন্ন মুখ রয়েছে যার চিত্রগুলি f ছেদ করে। অর্থাৎঃ এফ1,., এফ. আর. এর মুখ রয়েছে যেমন এবং। এগুলি সমতুল্য কারণ একটি সিমপ্লেক্সের যে কোনও অ্যাফিন ফাংশন তার শীর্ষগুলির চিত্র দ্বারা অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, ধরা যাক f হল একটি অ্যাফিন ফাংশন ΔN থেকে Rd পর্যন্ত। ধরা যাক ΔN-এর শীর্ষগুলি, এবং তাদের চিত্রগুলি f-এর নিচে হতে দিন। মূল সূত্র দ্বারা, r বিচ্ছিন্ন উপসেটগুলিতে বিভক্ত করা যেতে পারে, যেমন। ((xi) i আজ-এ) j [r]-এ ওভারল্যাপিং উত্তল কাঠামো সহ। যেহেতু f হল অ্যাফিন, তাই আজ-এ (xi) i-এর উত্তল কাঠামো হল [r]-এর সমস্ত j-এর জন্য আজ-এ (vi) i শীর্ষ দ্বারা বিস্তৃত মুখের চিত্র। এই মুখগুলি যুগ্মভাবে-বিচ্ছিন্ন, এবং এফ ছেদ করার অধীনে তাদের চিত্রগুলি-নতুন সূত্র দ্বারা দাবি করা হয়েছে। টপোলজিক্যাল টেভারবার্গ উপপাদ্য এই বিন্যাসকে সাধারণীকরণ করে। এটি f-কে যে কোনও অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হতে দেয়-অগত্যা এফাইন নয়। কিন্তু, বর্তমানে এটি শুধুমাত্র সেই ক্ষেত্রে প্রমাণিত হয় যেখানে r একটি মৌলিক ঘাতঃ ধরা যাক d একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং ধরা যাক r একটি মৌলিক সংখ্যার ঘাত। ধরা যাক N: = (d + 1) (r-1)। যদি f একটি N-মাত্রিক সিম্প্লেক্স থেকে Rd পর্যন্ত কোনও অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয়, তবে ΔN-এর r জোড়া-বিচ্ছিন্ন মুখ রয়েছে যার চিত্রগুলি f ছেদ করে। অর্থাৎঃ F1,., Fr of ΔN-এর মুখ রয়েছে যেমন এবং। প্রমাণ টপোলজিক্যাল টেভারবার্গ উপপাদ্যটি বারানি, শ্লোসম্যান এবং সজুক্স দ্বারা মৌলিক r-এর জন্য প্রমাণিত হয়েছিল। মাতৌসেক মুছে ফেলা জয়েন ব্যবহার করে একটি প্রমাণ উপস্থাপন করেন। এই উপপাদ্যটি ওজাইদিন এবং পরে ভোলোভিকভ এবং সরকারিয়া দ্বারা একটি মৌলিক শক্তির জন্য প্রমাণিত হয়েছিল। আরও দেখুন রোটার বেসিস কনজেকচার টেভারবার্গ-টাইপ উপপাদ্য এবং ফ্র্যাকশনাল হেলি সম্পত্তি। রেফারেন্স উত্তল জ্যামিতিতে উপপাদ্য বিচ্ছিন্ন জ্যামিতিতে উপপাদ্য জ্যামিতিক আড়াআড়ি তত্ত্ব উত্তল কাঠামো