Product measure
গণিতে, দুটি পরিমাপযোগ্য স্থান এবং তাদের উপর পরিমাপ দেওয়া হলে, সেই স্থানে একটি পণ্য পরিমাপযোগ্য স্থান এবং একটি পণ্য পরিমাপ পাওয়া যায়। ধারণাগতভাবে, এটি সেটের কার্টেসিয়ান পণ্য এবং দুটি টপোলজিকাল স্পেসের পণ্য টপোলজিকে সংজ্ঞায়িত করার অনুরূপ, তবে পণ্য পরিমাপের জন্য অনেক প্রাকৃতিক পছন্দ থাকতে পারে। ধরা যাক এবং দুটি পরিমাপযোগ্য স্থান, অর্থাৎ, এবং যথাক্রমে সিগমা অ্যালজেব্রা, এবং এই স্থানগুলিতে পরিমাপ করা যাক। ফর্মের উপসেট দ্বারা উত্পন্ন কার্টেসিয়ান প্রোডাক্টের উপর সিগমা বীজগণিত দ্বারা চিহ্নিত করুন, যেখানে এবং এই সিগমা বীজগণিতকে প্রোডাক্ট স্পেসে টেনসর-প্রোডাক্ট σ-বীজগণিত বলা হয়। একটি পণ্য পরিমাপ (অনেক লেখক দ্বারাও চিহ্নিত) পরিমাপযোগ্য স্থানের একটি পরিমাপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা সকলের জন্য বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। (গুণন পরিমাপে, যার মধ্যে কয়েকটি অসীম, আমরা গুণফলকে শূন্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি যদি কোনও গুণক শূন্য হয়।) প্রকৃতপক্ষে, যখন স্থানগুলি-অসীম হয়, তখন পণ্য পরিমাপটি অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং প্রতিটি পরিমাপযোগ্য সেট E-এর জন্য, যেখানে এবং, যা উভয়ই পরিমাপযোগ্য সেট। হান-কোলমোগোরভ উপপাদ্য দ্বারা এই পরিমাপের অস্তিত্ব নিশ্চিত করা হয়েছে। পণ্য পরিমাপের স্বতন্ত্রতা কেবলমাত্র সেই ক্ষেত্রেই নিশ্চিত করা হয় যে উভয়ই σ-অসীম। ইউক্লিডীয় স্থান আরএন-এর বোরেল পরিমাপগুলি বাস্তব রেখা আর-এর বোরেল পরিমাপের এন অনুলিপির গুণফল হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। এমনকি পণ্য স্থানের দুটি উপাদান সম্পূর্ণ পরিমাপ স্থান হলেও, পণ্য স্থান নাও হতে পারে। ফলস্বরূপ, বোরেল পরিমাপকে লেবস্গু পরিমাপে প্রসারিত করার জন্য বা পণ্যের জায়গায় লেবস্গু পরিমাপ দেওয়ার জন্য দুটি লেবস্গু পরিমাপের পণ্য প্রসারিত করার জন্য সমাপ্তি পদ্ধতির প্রয়োজন হয়। দুটি পরিমাপের গুণফল গঠনের বিপরীত গঠন হল বিচ্ছিন্নতা, যা কিছু অর্থে একটি প্রদত্ত পরিমাপকে পরিমাপের একটি পরিবারে "বিভক্ত" করে যা মূল পরিমাপ দেওয়ার জন্য সংহত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দুটি পরিমাপের স্থান দেওয়া হলে, তাদের পণ্যের উপর সর্বদা একটি অনন্য সর্বোচ্চ গুণফল পরিমাপ থাকে, এই বৈশিষ্ট্য সহ যে যদি কোনও পরিমাপযোগ্য সেট এ-এর জন্য ম্যাক্স (এ) সীমাবদ্ধ হয়, তবে যে কোনও পণ্য পরিমাপের জন্য ম্যাক্স (এ) = ম্যাক্স (এ)। বিশেষ করে যে কোনও পরিমাপযোগ্য সেটে এর মান কমপক্ষে অন্য যে কোনও পণ্য পরিমাপের সমান। এটি ক্যারাথিওডোরি এক্সটেনশন উপপাদ্য দ্বারা উত্পাদিত পরিমাপ। কখনও কখনও একটি অনন্য ন্যূনতম পণ্য পরিমাপও থাকে, যা দেওয়া হয় মাইক্রোম্যাক্স (এ) সীমাবদ্ধ মাইক্রোম্যাক্স (এ) দ্বারা, যেখানে এ এবং এস পরিমাপযোগ্য বলে ধরে নেওয়া হয়। এখানে একটি উদাহরণ দেওয়া হল যেখানে একটি পণ্যের একাধিক পণ্য পরিমাপ রয়েছে। গুণফল এক্স × ওয়াই নিন, যেখানে এক্স হল লেবস্গু পরিমাপের একক ব্যবধান, এবং ওয়াই হল গণনা পরিমাপের একক ব্যবধান এবং সমস্ত সেট পরিমাপযোগ্য। তারপর ন্যূনতম পণ্য পরিমাপের জন্য একটি সেটের পরিমাপ হল তার অনুভূমিক বিভাগগুলির পরিমাপের সমষ্টি, যেখানে সর্বাধিক পণ্য পরিমাপের জন্য একটি সেটের পরিমাপ অনন্ত থাকে যদি না এটি এ × বি ফর্মের গণনাযোগ্য সংখ্যক সেটের সংমিশ্রণে থাকে, যেখানে এ-এর লেবসগ পরিমাপ 0 বা বি একটি একক বিন্দু। (এই ক্ষেত্রে পরিমাপ সীমাবদ্ধ বা অসীম হতে পারে।) বিশেষত, তির্যকটিতে ন্যূনতম পণ্য পরিমাপের জন্য পরিমাপ 0 এবং সর্বাধিক পণ্য পরিমাপের জন্য পরিমাপ অনন্ত রয়েছে। আরও দেখুন ফুবিনির উপপাদ্য রেফারেন্স পরিমাপ (পরিমাপ তত্ত্ব) ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস