Plimpton 322
প্লিম্পটন 322 একটি ব্যাবিলনীয় মাটির ফলক, যা ব্যাবিলনীয় গণিতের একটি উদাহরণ হিসাবে উল্লেখযোগ্য। জি. এ-তে এর সংখ্যা 322। কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়ের প্লিম্পটন সংগ্রহ। এই ফলকটি, যা প্রায় 1800 খ্রিষ্টপূর্বাব্দে লেখা হয়েছিল বলে মনে করা হয়, সেই সময়ের কিউনিফর্ম লিপিতে চারটি কলাম এবং 15 সারির সংখ্যার একটি টেবিল রয়েছে। এই সারণিতে তিনটি সংখ্যার মধ্যে দুটি তালিকাভুক্ত করা হয়েছে যাকে এখন পাইথাগোরিয়ান ট্রিপেল বলা হয়, অর্থাৎ, পূর্ণসংখ্যা এবং সন্তোষজনক। আধুনিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এই ধরনের ত্রিগুণ গঠনের একটি পদ্ধতি একটি উল্লেখযোগ্য প্রাথমিক অর্জন, যা গ্রীক এবং ভারতীয় গণিতবিদরা এই সমস্যার সমাধান আবিষ্কার করার অনেক আগে থেকেই জানা ছিল। একই সময়ে, একজনের মনে রাখা উচিত যে ট্যাবলেটটির লেখক একজন পেশাদার গণিতবিদের পরিবর্তে একজন লেখক ছিলেন; এটি পরামর্শ দেওয়া হয়েছে যে তাঁর লক্ষ্যগুলির মধ্যে একটি হতে পারে স্কুল সমস্যার উদাহরণ তৈরি করা। ট্যাবলেটটির প্রকৃতি এবং উদ্দেশ্য নিয়ে উল্লেখযোগ্য পাণ্ডিত্যপূর্ণ বিতর্ক হয়েছে। এই ট্যাবলেটের পাঠযোগ্য জনপ্রিয় চিকিৎসার জন্য গণিতে এক্সপোজিটরি এক্সিলেন্সের জন্য লেস্টার আর. ফোর্ড অ্যাওয়ার্ডের প্রাপক বা আরও সংক্ষেপে দেখুন। একটি বিস্তৃত গ্রন্থপঞ্জি সহ ট্যাবলেটের সংখ্যার ব্যাখ্যার আরও বিশদ এবং প্রযুক্তিগত আলোচনা। প্লিম্পটন 322 আংশিকভাবে ভাঙা, প্রায় 13 সেন্টিমিটার চওড়া, 9 সেন্টিমিটার লম্বা এবং 2 সেন্টিমিটার পুরু। নিউইয়র্কের প্রকাশক জর্জ আর্থার প্লিম্পটন প্রত্নতাত্ত্বিক ব্যবসায়ী এডগার জে-এর কাছ থেকে ট্যাবলেটটি কিনেছিলেন। ব্যাঙ্কস, প্রায় 1922 সালে, এবং 1930-এর দশকের মাঝামাঝি সময়ে কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয়কে তার অবশিষ্ট সংগ্রহের সাথে এটি দান করে। ব্যাঙ্কসের মতে, ট্যাবলেটটি দক্ষিণ ইরাকের প্রাচীন শহর লারসার সাথে সম্পর্কিত একটি স্থান সেনকেরেহ থেকে এসেছে। এই ফলকটি প্রায় 1800 খ্রিষ্টপূর্বাব্দে মধ্য কালানুক্রমিক ব্যবহার করে লেখা হয়েছিল বলে মনে করা হয়, যা আংশিকভাবে এর কিউনিফর্ম লিপির জন্য ব্যবহৃত হাতের লেখার শৈলীর উপর ভিত্তি করেঃ লিখেছেন যে এই হাতের লেখাটি "বহু বছর আগের 4000-3500-এর দক্ষিণ ইরাকের নথির বৈশিষ্ট্য।" আরও সুনির্দিষ্টভাবে, লারসার অন্যান্য ট্যাবলেটগুলির সাথে বিন্যাসের সাদৃশ্যের উপর ভিত্তি করে, যার উপর স্পষ্ট তারিখ লেখা রয়েছে, প্লিম্পটন 322 সম্ভবত 1822-1784 খ্রিস্টপূর্ব সময়ের হতে পারে। রবসন উল্লেখ করেছেন যে প্লিম্পটন 322 সেই সময়ের গাণিতিক নথির পরিবর্তে অন্যান্য প্রশাসনিক নথির মতো একই বিন্যাসে লেখা হয়েছিল। প্লিম্পটন 322-এর মূল বিষয়বস্তু হল ব্যাবিলনীয় সেক্সাজেসিমাল নোটেশনে চারটি কলাম এবং পনেরোটি সারি সহ সংখ্যার একটি টেবিল। চতুর্থ কলামটি কেবল একটি সারি সংখ্যা, 1 থেকে 15 পর্যন্ত। বেঁচে থাকা ট্যাবলেটে দ্বিতীয় এবং তৃতীয় কলামগুলি সম্পূর্ণরূপে দৃশ্যমান। যাইহোক, প্রথম কলামের প্রান্তটি ভেঙে দেওয়া হয়েছে, এবং অনুপস্থিত সংখ্যাগুলি কী হতে পারে তার জন্য দুটি সামঞ্জস্যপূর্ণ এক্সট্রপোলেশন রয়েছে; এই ব্যাখ্যাগুলি কেবলমাত্র প্রতিটি সংখ্যা 1 এর সমান অতিরিক্ত সংখ্যা দিয়ে শুরু হয় কি না তার মধ্যে পৃথক হয়। বন্ধনীতে দেখানো বিভিন্ন বহির্মুখীকরণ, প্রথম ও চতুর্থ কলামের ক্ষতিগ্রস্ত অংশ, যার বিষয়বস্তু তির্যক অক্ষরে দেখানো হয়েছে, এবং নীচের বর্গাকার বন্ধনীতে সাধারণত প্রস্তাবিত সংশোধনের সাথে গাঢ় মুখে দেখানো ছয়টি অনুমিত ত্রুটি সহ, এই সংখ্যাগুলি 15 নং সারিতে সংশোধনের জন্য দুটি সম্ভাব্য বিকল্প দেখানো হয়েছেঃ তৃতীয় কলামের 53 টি তার দ্বিগুণ মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করা উচিত, 1.46, বা দ্বিতীয় কলামের 56 টি তার অর্ধেক মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করা উচিত, 28। এটি সম্ভব যে এই কলামগুলির বাম দিকে ট্যাবলেটের ভাঙা অংশে অতিরিক্ত কলাম উপস্থিত ছিল। ব্যাবিলনীয় সেক্সাজেসিমাল স্বরলিপি প্রতিটি সংখ্যাকে 60 দিয়ে গুণ করার ক্ষমতা নির্দিষ্ট করেনি, যা এই সংখ্যাগুলির ব্যাখ্যাকে অস্পষ্ট করে তোলে। দ্বিতীয় এবং তৃতীয় কলামের সংখ্যাগুলি সাধারণত পূর্ণসংখ্যা হিসাবে নেওয়া হয়। প্রথম কলামের সংখ্যাগুলি শুধুমাত্র ভগ্নাংশ হিসাবে বোঝা যায় এবং তাদের সমস্ত মান 1 এবং 2 এর মধ্যে থাকে (প্রাথমিক 1 উপস্থিত রয়েছে বলে ধরে নেওয়া-যদি এটি অনুপস্থিত থাকে তবে তারা 0 এবং 1 এর মধ্যে থাকে)। এই ভগ্নাংশগুলি সঠিক, ছাঁটাই বা বৃত্তাকার আনুমানিক নয়। এই অনুমানগুলির অধীনে ট্যাবলেটটির দশমিক অনুবাদ নীচে দেখানো হয়েছে। প্রথম কলামের বেশিরভাগ সঠিক সেক্সাজেসিমাল ভগ্নাংশের শেষ দশমিক সম্প্রসারণ নেই এবং সাতটি দশমিক স্থানে বৃত্তাকার করা হয়েছে। * আগের মতোই, সারি 15-এর বিকল্প সম্ভাব্য সংশোধনের দ্বিতীয় কলামে 28টি এবং তৃতীয় কলামে 53টি রয়েছে। সম্ভবত সারি 15 ব্যতীত অন্যান্য সমস্ত সারির মতো নয়, সারি 11-এর দ্বিতীয় এবং তৃতীয় কলামে একটি সাধারণ ফ্যাক্টর রয়েছে। এটা সম্ভব যে 45 এবং 1.15 কে 3/4 এবং 5/4 হিসাবে বোঝা যেতে পারে, যা ব্যাবিলনীয় গণিতে পরিচিত (3,4,5) ডান ত্রিভুজের মান (0.75,1,1.25) স্কেলিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। প্রতিটি সারিতে, দ্বিতীয় কলামের সংখ্যাটিকে একটি সমকোণ ত্রিভুজের ছোট দিক হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং তৃতীয় কলামের সংখ্যাটিকে ত্রিভুজের হাইপোটেনুজ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। সব ক্ষেত্রে, দীর্ঘ দিকটিও একটি পূর্ণসংখ্যা, যা একটি পিথাগোরিয়ান ত্রয়ীর দুটি উপাদান তৈরি করে। প্রথম কলামের সংখ্যাটি হয় ভগ্নাংশ (যদি "1" অন্তর্ভুক্ত না থাকে) অথবা (যদি "1" অন্তর্ভুক্ত থাকে)। প্রতিটি ক্ষেত্রে, লম্বা দিকটি একটি নিয়মিত সংখ্যা, অর্থাৎ 60 এর শক্তির একটি পূর্ণসংখ্যা বিভাজক বা সমতুল্য, 2,3 এবং 5 এর শক্তির গুণফল। এই কারণেই প্রথম কলামের সংখ্যাগুলি সঠিক, কারণ একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি নিয়মিত সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে একটি শেষ হওয়া সেক্সাজেসিমাল সংখ্যা তৈরি হয়। উদাহরণস্বরূপ, সারণির 1ম লাইনকে ছোট দিক 119 এবং হাইপোটেনুজ 169 সহ একটি ত্রিভুজকে বর্ণনা করা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যা দীর্ঘ দিককে বোঝায়, যা একটি নিয়মিত সংখ্যা (23·3·5)। 1 নম্বর কলামে সংখ্যাটি হয় (169/120) 2 অথবা (119/120) 2। কলাম শিরোনাম প্রতিটি কলামে একটি শিরোনাম থাকে, যা আক্কাদীয় ভাষায় লেখা হয়। কিছু শব্দ সুমেরীয় লগোগ্রাম, যা পাঠকদের দ্বারা আক্কাদীয় শব্দের প্রতীক হিসাবে বোঝা যেত। এর মধ্যে রয়েছে ÍB.SI8, আক্কাদিয়ান মিথার্তুমের জন্য ("বর্গক্ষেত্র"), MU.BI.IM, আক্কাদিয়ান সুমসু ("এর রেখা"), এবং SAG, আক্কাদিয়ান পুটুমের জন্য ("প্রস্থ")। চতুর্থ কলামের প্রতিটি সংখ্যার আগে রয়েছে সুমেরোগ্রাম কেআই, যা অনুসারে, "তাদের ক্রমিক সংখ্যার অক্ষর দেয়"। উপরের সেক্সাজেসিমাল টেবিলে, ইটালিক শব্দ এবং শব্দের অংশগুলি পাঠ্যের এমন কিছু অংশকে উপস্থাপন করে যা ট্যাবলেটের ক্ষতি বা অবৈধতার কারণে অপঠনীয় এবং যা আধুনিক পণ্ডিতদের দ্বারা পুনর্নির্মাণ করা হয়েছে। ÍB.SI8 এবং তাকিল্টাম শব্দগুলি অনুবাদ করা হয়নি কারণ তাদের সুনির্দিষ্ট অর্থ সম্পর্কে বিতর্ক চলছে। 2 এবং 3 নম্বর কলামের শিরোনামগুলি "প্রস্থের বর্গক্ষেত্র" এবং "তির্যকের বর্গক্ষেত্র" হিসাবে অনুবাদ করা যেতে পারে, কিন্তু (পৃ. 173-174) যুক্তি দেখান যে ÍB.SI8 শব্দটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বা বর্গক্ষেত্রের পার্শ্বকে বোঝাতে পারে এবং এই ক্ষেত্রে এটিকে 'বর্গক্ষেত্র' বা সম্ভবত 'বর্গমূল' হিসাবে বোঝা উচিত। একইভাবে (পৃ. 526) লক্ষ্য করেছেন যে, এই শব্দটি প্রায়শই সেই সমস্যাগুলির মধ্যে উপস্থিত হয় যেখানে বর্গকে সম্পূর্ণ করা হয় যা এখন দ্বিঘাত সমীকরণ হিসাবে বোঝা যাবে, যে প্রসঙ্গে এটি সম্পূর্ণ বর্গের পাশকে বোঝায়, তবে এটি "যে একটি রৈখিক মাত্রা বা রেখা বিভাগ বোঝানো হয়েছে" তা নির্দেশ করতেও কাজ করতে পারে। (পিপি। 35, 39), অন্যদিকে, এমন উদাহরণ প্রদর্শন করে যেখানে শব্দটি বিভিন্ন গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের ফলাফলকে বোঝায় এবং "প্রস্থের (বা তির্যক) সমাধানের সংখ্যা" অনুবাদের প্রস্তাব দেয়। একইভাবে, (পৃ. 300) "মূল" অনুবাদের প্রস্তাব দেয়। 1ম কলামে, শিরোনামের উভয় লাইনের প্রথম অংশ ক্ষতিগ্রস্ত হয়েছে। প্রথম শব্দটিকে তাকিলতি (তাকিল্টামের একটি রূপ) হিসাবে পুনর্গঠন করা হয়েছে, যা পরবর্তী বেশিরভাগ গবেষকদের দ্বারা গৃহীত হয়েছে। শিরোনামটি সাধারণত অনুবাদযোগ্য নয় বলে মনে করা হত যতক্ষণ না লাইন 2-এর ভাঙা অংশে 1 যুক্ত করার প্রস্তাব দেওয়া হয় এবং অবৈধ চূড়ান্ত শব্দটির অর্থোদ্ধার করতে সফল হয়, যার ফলে উপরের টেবিলে দেওয়া পাঠটি তৈরি হয়। একটি বিস্তারিত ভাষাগত বিশ্লেষণের উপর ভিত্তি করে, রবসন তাকিল্টামকে "হোল্ডিং স্কোয়ার" হিসাবে অনুবাদ করার প্রস্তাব দেন। প্রাচীন ব্যাবিলনীয় গণিতে শব্দের তুলনামূলকভাবে কম পরিচিত ঘটনা জরিপ করুন। যদিও তারা লক্ষ্য করেছেন যে, প্রায় সব ক্ষেত্রেই, এটি বর্গটি সম্পূর্ণ করার প্রক্রিয়ায় একটি চিত্রের সাথে যুক্ত সহায়ক বর্গের রৈখিক মাত্রাকে বোঝায় এবং এটি একটি দ্বিঘাত সমাধানের শেষ ধাপে বিয়োগ করা পরিমাণ, তারা রবসনের সাথে একমত যে এই ক্ষেত্রে এটি একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে বোঝায়। অন্যদিকে, প্রস্তাব করা হয়েছে যে শিরোনামের ভাঙা অংশে তাকিল্টামের আগে আ-শা ("এলাকা") থাকতে পারে। এখন ব্যাপকভাবে একমত যে শিরোনামটি দৈর্ঘ্য (দীর্ঘ দিক) 1 সহ একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (ছোট দিক) এবং তির্যকের বর্গগুলির মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করেঃ তির্যকের বর্গক্ষেত্র থেকে 1 এলাকা বিয়োগ ("ছিঁড়ে ফেলা") প্রস্থের উপর বর্গক্ষেত্রের এলাকা ছেড়ে যায়। ত্রুটিগুলি উপরের সারণিতে যেমন নির্দেশিত হয়েছে, বেশিরভাগ পণ্ডিতরা বিশ্বাস করেন যে ট্যাবলেটে ছয়টি ত্রুটি রয়েছে এবং 15 নং সারিতে দুটি সম্ভাব্য সংশোধন ব্যতীত, সঠিক মানগুলি কী হওয়া উচিত সে সম্পর্কে ব্যাপক একমত রয়েছে। ত্রুটিগুলি কীভাবে ঘটেছিল এবং ট্যাবলেটের গণনার পদ্ধতির ক্ষেত্রে তারা কী বোঝায় সে সম্পর্কে কম একমত রয়েছে। ত্রুটিগুলির একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ নিম্নরূপ। সারি 2, কলাম 1 (অনুপস্থিত 1 এবং 10 এর জন্য 50 এবং 6 এর মধ্যে স্থান ছেড়ে দিতে অবহেলা করা) এবং সারি 9, কলাম 2 (8 এর জন্য 9 লেখা)-এর ত্রুটিগুলি সর্বজনীনভাবে একটি কাজের ট্যাবলেট থেকে অনুলিপি করার ক্ষেত্রে ছোটখাটো ত্রুটি হিসাবে বিবেচিত হয় (বা সম্ভবত টেবিলের আগের অনুলিপি থেকে)। সারি 8, কলাম 1-এর ত্রুটি (দুটি সেক্সাজেসিমাল সংখ্যা 45 14 কে তাদের যোগফল, 59 দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়েছে) ট্যাবলেটের কিছু প্রাথমিক গবেষণাপত্রে লক্ষ্য করা যায়নি বলে মনে হয়। এটি কখনও কখনও একটি কাজের ট্যাবলেট থেকে অনুলিপি করার প্রক্রিয়ায় লেখক দ্বারা করা একটি সাধারণ ভুল হিসাবে বিবেচিত হয় (উদাহরণস্বরূপ)। যাইহোক, বেশ কয়েকজন পণ্ডিত প্রস্তাব করেছেন যে এই ত্রুটিটি সংখ্যার দিকে পরিচালিত গণনার একটি ত্রুটি হিসাবে অনেক বেশি যুক্তিসঙ্গতভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, গুণন করার সময় লেখকের মধ্যবর্তী শূন্য (শূন্য অঙ্কের প্রতিনিধিত্বকারী ফাঁকা স্থান) উপেক্ষা করা। ত্রুটির এই ব্যাখ্যাটি টেবিল নির্মাণের পদ্ধতির জন্য উভয় প্রধান প্রস্তাবের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। (নিচে দেখুন।) বাকি তিনটি ত্রুটি ট্যাবলেটটি যেভাবে গণনা করা হয়েছিল তার উপর প্রভাব ফেলে। সারি 13, কলাম 2-এ 7.12.1 সংখ্যাটি হল সঠিক মানের বর্গ, 2.41। যদি ধরে নেওয়া হয় যে কলাম 2-এর দৈর্ঘ্য সংশ্লিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের বর্গমূল নিয়ে গণনা করা হয়েছে, অথবা দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল একসাথে গণনা করা হয়েছে, তবে এই ত্রুটিটিকে বর্গমূল নিতে অবহেলা করা বা কোনও কাজের ফলক থেকে ভুল সংখ্যা অনুলিপি করা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। যদি সারি 15-এর ত্রুটিটি কলাম 2-এ 28-এর পরিবর্তে 56 লেখা হয়েছে বলে বোঝা যায়, তবে ত্রুটিটি পিছনের অংশের অ্যালগরিদমের অনুপযুক্ত প্রয়োগের ফলস্বরূপ ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যা টেবিলটি পারস্পরিক জোড়ার মাধ্যমে গণনা করা হলে প্রয়োজন নীচে বর্ণিত হিসাবে। এই ত্রুটিটি কলাম 2 এবং 3-এর সংখ্যার সাথে সাধারণ নিয়মিত কারণগুলি অপসারণের জন্য একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি প্রয়োগ করার সমতুল্য-একটি কলামে অনুপযুক্ত সংখ্যক বার। সারি 2, কলাম 3-এর সংখ্যার সাথে সঠিক সংখ্যার কোনও সুস্পষ্ট সম্পর্ক নেই এবং এই সংখ্যাটি কীভাবে প্রাপ্ত হয়েছিল তার সমস্ত ব্যাখ্যা একাধিক ত্রুটি অনুমান করে। পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যে 3.12.01 3.13 এর একটি সাধারণ ভুল অনুলিপি হতে পারে। যদি এটি হয়, তবে ভুল সংখ্যা 3.13-এর ব্যাখ্যাটি সারি 15-এর ত্রুটির ব্যাখ্যার অনুরূপ। সাধারণ ঐকমত্যের একটি ব্যতিক্রম হল, যেখানে, একই লেখকের () পূর্ববর্তী বিশ্লেষণ থেকে বিচ্যুত হয়ে, এটি অনুমান করা হয় যে সারি 15-এর সংখ্যাগুলি ভুল নয়, বরং উদ্দেশ্য অনুযায়ী লেখা হয়েছিল, এবং সারি 2, কলাম 3-এর একমাত্র ত্রুটি ছিল 3.12.01 হিসাবে ভুল লেখা। এই অনুমানের অধীনে, 2য় এবং 3য় কলামকে "সামনের এবং তির্যকের ফ্যাক্টর-হ্রাসকৃত কোর" হিসাবে পুনরায় ব্যাখ্যা করা প্রয়োজন। একটি সংখ্যার ফ্যাক্টর-হ্রাসকৃত মূল হল নিখুঁত-বর্গ নিয়মিত ফ্যাক্টরগুলি অপসারণ করা সংখ্যা; ফ্যাক্টর-হ্রাসকৃত মূল গণনা প্রাচীন ব্যাবিলনীয় গণিতে বর্গমূল গণনা করার প্রক্রিয়ার অংশ ছিল। ফ্রিবার্গের মতে, "প্লিম্পটন 322-এর লেখকের উদ্দেশ্য কখনই ছিল না যে তাঁর স্বাভাবিক তির্যক ত্রিগুণের সিরিজকে (প্রতিটি ত্রিগুণের দৈর্ঘ্য 1-এর সমান) আদিম তির্যক ত্রিভুজগুলির একটি সংশ্লিষ্ট সিরিজে (সামনের, দৈর্ঘ্যের এবং ত্রিভুজটি সাধারণ কারণ ছাড়াই পূর্ণসংখ্যার সমান) হ্রাস করা।" টেবিলের গঠন পণ্ডিতরা এখনও এই সংখ্যাগুলি কীভাবে তৈরি হয়েছিল সে সম্পর্কে ভিন্ন মত পোষণ করেন। এবং উভয়ই টেবিল নির্মাণের পদ্ধতির জন্য দুটি প্রধান প্রস্তাব চিহ্নিত করেঃ জোড়া তৈরির পদ্ধতি, প্রস্তাবিত এবং পারস্পরিক জোড়ার পদ্ধতি, ব্রুইনস দ্বারা প্রস্তাবিত এবং ভয়েলস দ্বারা বিশদভাবে বর্ণিত, এবং ফ্রিবার্গ। জোড় তৈরি করা আধুনিক পরিভাষা ব্যবহার করার জন্য, যদি p এবং q প্রাকৃতিক সংখ্যা হয় যেমন p> q তাহলে (p2 − q2,2pq, p2 + q2) একটি পাইথাগোরিয়ান ট্রিপল গঠন করে। ত্রিভুজটি আদিম, অর্থাৎ তিনটি ত্রিভুজ পক্ষের কোনও সাধারণ গুণক নেই, যদি p এবং q সহমৌলিক হয় এবং উভয়ই বিজোড় না হয়। নিউগেবাউয়ার এবং স্যাক্স প্রস্তাব করেন যে ট্যাবলেটটি p এবং q কে সহমৌলিক নিয়মিত সংখ্যা হিসাবে বেছে নিয়ে তৈরি করা হয়েছিল (তবে উভয়ই বিজোড় হতে পারে-সারি 15 দেখুন) এবং d = p2 + q2, s = p2 − q2, এবং l = 2pq গণনা করে (যাতে l একটি নিয়মিত সংখ্যাও হয়)। উদাহরণস্বরূপ, p = 12 এবং q = 5 নির্ধারণ করে লাইন 1 তৈরি করা হবে। বাক এবং রবসন উভয়ই লক্ষ্য করেছেন যে এই প্রস্তাবে 1 নম্বর কলামের উপস্থিতি রহস্যজনক, কারণ এটি নির্মাণে কোনও ভূমিকা পালন করে না এবং প্রস্তাবটি ব্যাখ্যা করে না যে কেন টেবিলের সারিগুলি যেমন আছে তেমন সাজানো হয়েছে, বলুন, বা এর মান অনুযায়ী, যা এই অনুমানের অধীনে, ট্যাবলেটের ভাঙা অংশে বাম দিকের কলামে তালিকাভুক্ত হতে পারে। রবসন আরও যুক্তি দেন যে প্রস্তাবটি ব্যাখ্যা করে না যে টেবিলের ত্রুটিগুলি কীভাবে যুক্তিসঙ্গতভাবে উদ্ভূত হতে পারে এবং সেই সময়ের গাণিতিক সংস্কৃতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। পারস্পরিক জোড়া পারস্পরিক জোড়া প্রস্তাবনায়, প্রারম্ভিক বিন্দুটি হল একটি একক নিয়মিত সেক্সাজেসিমাল ভগ্নাংশ x এবং তার পারস্পরিক, 1/x। "নিয়মিত সেক্সাজেসিমাল ভগ্নাংশ" মানে হল যে x হল 2,3 এবং 5-এর (সম্ভবত ঋণাত্মক) শক্তির গুণফল। পরিমাণগুলি (x−1/x)/2,1, এবং (x + 1/x)/2 তারপর গঠন করে যা এখন একটি মূলদ পাইথাগোরিয়ান ট্রিপল বলা হবে। উপরন্তু, তিনটি পক্ষেরই সীমাবদ্ধ যৌনগত উপস্থাপনা রয়েছে। এই প্রস্তাবের প্রবক্তারা উল্লেখ করেছেন যে নিয়মিত পারস্পরিক জোড়া (x, 1/x) প্লিম্পটন 322-এর প্রায় একই সময় এবং স্থান থেকে একটি ভিন্ন সমস্যায় প্রদর্শিত হয়, অর্থাৎ 1 আয়তক্ষেত্রের একটি আয়তক্ষেত্রের দিকগুলি খুঁজে বের করার সমস্যা যার দীর্ঘ দিকটি একটি প্রদত্ত দৈর্ঘ্য c দ্বারা তার ছোট দিককে অতিক্রম করে (যা আজকাল দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হিসাবে গণনা করা যেতে পারে)। YBC 6967 ট্যাবলেটটি বিশ্লেষণ করে, যেখানে মধ্যবর্তী মান v1 = c/2, v2 = v12, v3 = 1 + v2, এবং v4 = v 31/2-এর একটি ক্রম গণনা করে এই ধরনের একটি সমস্যার সমাধান করা হয়, যা থেকে কেউ x = v4 + v1 এবং 1/x = v4 − v1 গণনা করতে পারে। যদিও v3-এর বর্গমূল গণনা করার প্রয়োজনীয়তা, সাধারণভাবে এমন উত্তরের ফলস্বরূপ যার সীমাবদ্ধ যৌনগত উপস্থাপনা নেই, YBC 6967-এর সমস্যাটি সেট আপ করা হয়েছিল-যার অর্থ c-এর মান উপযুক্তভাবে বেছে নেওয়া হয়েছিল-একটি সুন্দর উত্তর দেওয়ার জন্য। প্রকৃতপক্ষে, উপরের নির্দিষ্টকরণের উৎস হল যে x একটি নিয়মিত সেক্সাজেসিমাল ভগ্নাংশঃ এইভাবে x নির্বাচন করা নিশ্চিত করে যে x এবং 1/x উভয়েরই সীমাবদ্ধ সেক্সাজেসিমাল উপস্থাপনা রয়েছে। একটি সুন্দর উত্তর দিয়ে একটি সমস্যা তৈরি করতে, সমস্যা নির্ধারককে কেবল এই ধরনের একটি x বেছে নিতে হবে এবং প্রাথমিক উপাত্ত c কে x−1/x এর সমান হতে হবে। পার্শ্বপ্রতিক্রিয়া হিসাবে, এটি একটি যুক্তিসঙ্গত পাইথাগোরিয়ান ট্রিপল তৈরি করে, যার পা ভি1 এবং 1 এবং হাইপোটেনুজ ভি4। এটি উল্লেখ করা উচিত যে YBC 6967-এর সমস্যাটি আসলে সমীকরণটি সমাধান করে, যা উপরের v3-এর অভিব্যক্তিটিকে v3 = 60 + v2 দিয়ে প্রতিস্থাপন করে। একটি যুক্তিসঙ্গত ট্রিপল পাওয়ার পার্শ্বপ্রতিক্রিয়া হারিয়ে যায় কারণ পার্শ্বগুলি v1,, এবং v4 হয়ে যায়। এই প্রস্তাবে এটা ধরে নিতে হবে যে ব্যাবিলনীয়রা সমস্যার উভয় রূপের সঙ্গেই পরিচিত ছিল। রবসন যুক্তি দেন যে প্লিম্পটন 322-এর কলামগুলিকে এইভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারেঃ প্রথম কলামে v3 = ((x + 1/x)/2) 2 = 1 + (c/2) 2, দ্বিতীয় কলামে a·v1 = a· (x−1/x)/2 একটি উপযুক্ত গুণক a-এর জন্য এবং তৃতীয় কলামে a·v4 = a· (x + 1/x)/2। এই ব্যাখ্যায়, x এবং 1/x (বা সম্ভবত v1 এবং v4) প্রথম কলামের বামদিকে ভাঙা অংশে ট্যাবলেটে উপস্থিত হত। কলাম 1-এর উপস্থিতি তাই গণনার একটি মধ্যবর্তী ধাপ হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়, এবং সারিগুলির ক্রম x (বা v1)-এর অবরোহী মান দ্বারা হয়। "ট্রেইলিং পার্ট অ্যালগরিদম"-এর প্রয়োগ থেকে 2 এবং 3 নম্বর কলামের মানগুলি গণনার জন্য যে গুণক a ব্যবহার করা হয়, যেটিকে পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের পুনর্বিন্যাস হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে উভয় মানকে বারবার উভয়ের শেষ সেক্সাজেসিমাল সংখ্যার সাথে সাধারণ যে কোনও নিয়মিত ফ্যাক্টরের পারস্পরিক দ্বারা গুণ করা হয়, যতক্ষণ না এই জাতীয় কোনও সাধারণ ফ্যাক্টর থাকে না। উপরে যেমন আলোচনা করা হয়েছে, ট্যাবলেটের সমস্ত ত্রুটির পারস্পরিক-জোড়া প্রস্তাবে স্বাভাবিক ব্যাখ্যা রয়েছে। অন্যদিকে, রবসন উল্লেখ করেছেন যে কলাম 2 এবং 3-এর ভূমিকা এবং গুণকের প্রয়োজনীয়তা এই প্রস্তাবের দ্বারা অব্যক্ত রয়ে গেছে, এবং পরামর্শ দেয় যে ট্যাবলেটের লেখকের লক্ষ্য ছিল ওয়াইবিসি 6967-এ সমাধান করা ধরণের দ্বিঘাত সমস্যার জন্য নয়, বরং "কিছু ধরণের ডান-ত্রিভুজ সমস্যার জন্য" পরামিতি সরবরাহ করা। তিনি আরও উল্লেখ করেছেন যে টেবিল তৈরি করার জন্য যে পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়েছিল এবং যে ব্যবহারের জন্য এটি তৈরি করা হয়েছিল তা একই হওয়ার দরকার নেই। ট্যাবলেটের সংখ্যাগুলি পারস্পরিক জোড়া ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছিল এই ধারণার জন্য শক্তিশালী অতিরিক্ত সমর্থন দুটি ট্যাবলেট থেকে আসে, এমএস 3052 এবং এমএস 3971, শোয়েন সংগ্রহ থেকে। জারান ফ্রিবার্গ দুটি ফলকের অনুবাদ ও বিশ্লেষণ করেন এবং আবিষ্কার করেন যে উভয়টিতেই প্রারম্ভিক বিন্দু হিসাবে পারস্পরিক জোড়া ব্যবহার করে একটি আয়তক্ষেত্রের তির্যক এবং পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের গণনার উদাহরণ রয়েছে। দুটি ফলকই প্রাচীন ব্যাবিলনীয়, প্লিম্পটন 322-এর প্রায় একই বয়সের, এবং উভয়ই লারসার নিকটবর্তী উরুক থেকে এসেছে বলে মনে করা হয়। দুটি ট্যাবলেটের আরও বিশ্লেষণ করা হয়েছিল। এমএস 3971-এ পাঁচটি সমস্যার একটি তালিকা রয়েছে, যার মধ্যে তৃতীয়টি "পাঁচটি তির্যক দেখার জন্য" দিয়ে শুরু হয় এবং "পাঁচটি তির্যক" দিয়ে শেষ হয়। সমস্যার পাঁচটি অংশের প্রত্যেকটির জন্য প্রদত্ত তথ্য একটি পারস্পরিক জোড়া নিয়ে গঠিত। প্রতিটি অংশের জন্য একটি আয়তক্ষেত্রের তির্যক এবং প্রস্থ (ছোট দিক) উভয়ের দৈর্ঘ্য গণনা করা হয়। দৈর্ঘ্য (দীর্ঘ দিক) উল্লেখ করা হয়নি তবে গণনাটি বোঝায় যে এটি 1 হিসাবে নেওয়া হয়েছে। আধুনিক পরিভাষায়, গণনাটি নিম্নরূপঃ প্রদত্ত x এবং 1/x, প্রথম গণনা (x + 1/x)/2, তির্যক। তারপর প্রস্থ গণনা করুন। পাঁচটি অংশের মধ্যে প্রথম অংশ ধারণকারী ট্যাবলেটের অংশে ক্ষতির কারণে, প্রাথমিক তথ্যের চিহ্ন এবং সমাধান ছাড়াও এই অংশের সমস্যার বিবৃতি হারিয়ে গেছে। বাকি চারটি অংশ বেশিরভাগ অংশ অক্ষত রয়েছে এবং সবকটিতেই খুব অনুরূপ পাঠ্য রয়েছে। তির্যকটিকে পারস্পরিক জুটির যোগফলের অর্ধেক হিসাবে নেওয়ার কারণ অক্ষত পাঠ্যে উল্লেখ করা হয়নি। প্রস্থের গণনা (x−1/x)/2-এর সমতুল্য, তবে গণনার এই আরও সরাসরি পদ্ধতিটি ব্যবহার করা হয়নি, তির্যকের বর্গকে পক্ষের বর্গের যোগফলের সাথে সম্পর্কিত নিয়মটি পছন্দ করা হয়েছে। এমএস 3052-এর দ্বিতীয় সমস্যার পাঠ্যটিও খারাপভাবে ক্ষতিগ্রস্ত হয়েছে, তবে যা অবশিষ্ট রয়েছে তা এমএস 3971, সমস্যা 3-এর পাঁচটি অংশের মতো কাঠামোগত। সমস্যাটিতে একটি চিত্র রয়েছে, যা ফ্রিবার্গের মতে, সম্ভবত একটি "কোনও তির্যকবিহীন আয়তক্ষেত্র"। জোর দিয়ে বলা হয় যে, পাঠ্যের সংরক্ষিত অংশগুলি দৈর্ঘ্যকে স্পষ্টভাবে 1 বলে উল্লেখ করে এবং দৈর্ঘ্যের বর্গ হিসাবে প্রস্থ গণনা করার প্রক্রিয়ায় তির্যকের বর্গ থেকে বিয়োগ হওয়া 1 কে স্পষ্টভাবে গণনা করে। দুটি ট্যাবলেটের ছয়টি সমস্যার প্রাথমিক তথ্য এবং গণনা করা প্রস্থ এবং তির্যক নীচের সারণিতে দেওয়া হয়েছে। ট্যাবলেটের ক্ষতির কারণে এমএস 3971 §3এ-এর পরামিতিগুলি অনিশ্চিত। এমএস 3052 থেকে সমস্যার পরামিতিগুলি স্ট্যান্ডার্ড (3,4,5) ডান ত্রিভুজের পুনর্বিবেচনার সাথে মিলে যায়, যা প্লিম্পটন 322-এর সারি 11 হিসাবে প্রদর্শিত হয়। এমএস 3971-এর সমস্যাগুলির কোনও পরামিতি প্লিম্পটন 322-এর কোনও সারির সাথে মেলে না। নীচে যেমন আলোচনা করা হয়েছে, প্লিম্পটন 322-এর সমস্ত সারিতে x ≤ 9/5 রয়েছে, যেখানে এমএস 3971-এর সমস্ত সমস্যায় x <9/5 রয়েছে। এমএস 3971-এর পরামিতিগুলি অবশ্য ডি সোলা প্রাইসের প্লিম্পটন 322-এর টেবিলের প্রস্তাবিত সম্প্রসারণের সারির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যা নীচেও আলোচনা করা হয়েছে। এটি অবশ্যই জোর দিয়ে বলতে হবে যে ওয়াইবিসি 6967-এর সমস্যায় পারস্পরিক জুটির ভূমিকা এমএস 3052 এবং এমএস 3971-এর (এবং সম্প্রসারণ দ্বারা, প্লিম্পটন 322-এ) থেকে আলাদা। YBC 6967-এর সমস্যায়, পারস্পরিক জুটির সদস্যরা হল 1 আয়তনের একটি আয়তক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য। এমএস 3052 এবং এমএস 3971-এর সমস্যাগুলির বেঁচে থাকা পাঠ্যে এক্স এবং 1/এক্স-এর জ্যামিতিক অর্থ উল্লেখ করা হয়নি। লক্ষ্যটি সসীম যৌনদৈর্ঘ্য প্রস্থ এবং তির্যক আয়তক্ষেত্র তৈরির জন্য একটি পরিচিত পদ্ধতি প্রয়োগ করা ছিল বলে মনে করা হয়। এটিও উল্লেখ করা উচিত যে এই সমস্যাগুলির পার্শ্ব দৈর্ঘ্য পুনর্বিবেচনার জন্য ট্রেইলিং পয়েন্ট অ্যালগরিদম ব্যবহার করা হয়নি। প্রস্তাবগুলির তুলনা পারস্পরিক-জোড়া প্রস্তাবের x পরিমাণ উৎপাদন-জোড়া প্রস্তাবের p/q অনুপাতের সাথে মিলে যায়। প্রকৃতপক্ষে, দুটি প্রস্তাব গণনা পদ্ধতিতে ভিন্ন হলেও, ফলাফলের মধ্যে সামান্য গাণিতিক পার্থক্য রয়েছে কারণ উভয়ই একই ট্রিপল তৈরি করে, যেখানে p এবং q উভয়ই বিজোড় হলে 2 এর সামগ্রিক ফ্যাক্টর ছাড়াও। (দুর্ভাগ্যবশত, ট্যাবলেটে এটি ঘটে এমন একমাত্র স্থান হল সারি 15, যেখানে একটি ত্রুটি রয়েছে এবং তাই প্রস্তাবগুলির মধ্যে পার্থক্য করতে ব্যবহার করা যাবে না।) পারস্পরিক-জোড়া প্রস্তাবের প্রবক্তারা x একটি অন্তর্নিহিত p এবং q থেকে গণনা করা হয়েছিল কিনা তার উপর ভিন্ন, তবে ট্যাবলেট গণনায় ব্যবহৃত p/q এবং q/p সংমিশ্রণগুলির সাথে বা x সরাসরি অন্যান্য উৎস থেকে প্রাপ্ত হয়েছিল কিনা, যেমন পারস্পরিক টেবিল। পরবর্তী অনুমানের একটি অসুবিধা হল যে, x বা 1/x-এর কিছু প্রয়োজনীয় মান হল চার-স্থানের সেক্সাজেসিমাল সংখ্যা, এবং কোনও চার-স্থানের পারস্পরিক সারণী জানা যায় না। প্রকৃতপক্ষে, নিউগেবাউয়ার এবং স্যাক্স তাদের মূল রচনায় পারস্পরিক জোড়া ব্যবহার করার সম্ভাবনা উল্লেখ করেছিলেন এবং এই কারণে এটি প্রত্যাখ্যান করেছিলেন। রবসন অবশ্য যুক্তি দেখান যে প্রাচীন ব্যাবিলনীয় যুগের পরিচিত উৎস এবং গণনামূলক পদ্ধতিগুলি ব্যবহৃত x-এর সমস্ত মানগুলির জন্য দায়ী হতে পারে। নিউগেবাউয়ার এবং স্যাক্স জোড়ার নির্বাচন লক্ষ্য করে যে ট্যাবলেটে ত্রিভুজের মাত্রা প্রায় সমদ্বিবাহু ডান ত্রিভুজ (ছোট পা, 119, দীর্ঘ পায়ের প্রায় সমান, 120) থেকে 30° এবং 60° এর কাছাকাছি তীব্র কোণ সহ একটি সমকোণ ত্রিভুজ পর্যন্ত বিস্তৃত এবং কোণটি প্রায় 1° ধাপে মোটামুটি অভিন্ন পদ্ধতিতে হ্রাস পায়। তারা পরামর্শ দেয় যে p, q জোড়া ইচ্ছাকৃতভাবে এই লক্ষ্যটি মাথায় রেখে বেছে নেওয়া হয়েছিল। জেনারেটিং-পেয়ার কাঠামোর মধ্যে কাজ করে এটি পর্যবেক্ষণ করা হয়েছিল যে, টেবিলের প্রতিটি সারি একটি q দ্বারা উত্পন্ন হয় যা 1 ≤ q <60 কে সন্তুষ্ট করে, অর্থাৎ, q সর্বদা একটি একক-সংখ্যার যৌন সংখ্যা। p/q অনুপাতটি টেবিলের সারি 1-এ তার সর্বাধিক মান, 12/5 = 2.4 গ্রহণ করে এবং তাই সর্বদা এর চেয়ে কম হয়, এমন একটি শর্ত যা নিশ্চিত করে যে p2 − q2 হল দীর্ঘ পা এবং 2pq হল ত্রিভুজের ছোট পা এবং যা, আধুনিক ভাষায়, বোঝায় যে p2 − q2 দৈর্ঘ্যের পায়ের বিপরীত কোণটি 45°-এর চেয়ে কম। 15 নং সারিতে অনুপাতটি সর্বনিম্ন যেখানে প্রায় 31.9° কোণের জন্য p/q = 9/5। উপরন্তু, 9/5 এবং 12/5 এর মধ্যে ঠিক 15 টি নিয়মিত অনুপাত রয়েছে যার মধ্যে q একটি একক-সংখ্যার যৌন সংখ্যা, এবং এগুলি ট্যাবলেটের সারির সাথে এক-থেকে-এক মিল রয়েছে। তিনি আরও উল্লেখ করেছেন যে সংখ্যার জোড় ব্যবধান পরিকল্পিতভাবে নাও হতে পারেঃ এটি কেবল টেবিলে বিবেচিত সংখ্যার পরিসরে নিয়মিত-সংখ্যার অনুপাতের ঘনত্ব থেকেও উদ্ভূত হতে পারে। ডি সোলা প্রাইস যুক্তি দিয়েছিলেন যে অনুপাতের জন্য স্বাভাবিক নিম্ন সীমা হবে 1, যা 0° কোণের সাথে মিলে যায়। তিনি দেখতে পান যে, q-কে একটি একক-সংখ্যার সেক্সাজেসিমাল সংখ্যা হওয়ার প্রয়োজনীয়তা বজায় রেখে, ট্যাবলেট দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা ছাড়াও মোট 38 জোড়া সংখ্যার জন্য 23 জোড়া রয়েছে। তিনি উল্লেখ করেছেন যে ট্যাবলেটের কলামগুলির মধ্যে উল্লম্ব স্কোরিং পিছনের দিকে অব্যাহত রয়েছে, যা ইঙ্গিত করে যে লেখক সম্ভবত টেবিলটি প্রসারিত করতে চেয়েছিলেন। তিনি দাবি করেন যে উপলব্ধ স্থানটি সঠিকভাবে 23টি অতিরিক্ত সারির ব্যবস্থা করবে। পারস্পরিক-জোড়া প্রস্তাবের প্রবক্তারাও এই পরিকল্পনার পক্ষে সওয়াল করেছেন। এই প্রস্তাবটি সরাসরি সম্বোধন করে না, তবে সম্মত হয় যে টেবিলটি "পূর্ণ" ছিল না। তিনি উল্লেখ করেছেন যে পারস্পরিক-জোড়া প্রস্তাবে, ট্যাবলেটে উপস্থাপিত প্রতিটি x সর্বাধিক একটি চার-স্থানের পারস্পরিক সহ সর্বাধিক একটি চার-স্থানের সেক্সাজেসিমাল সংখ্যা, এবং x এবং 1/x একসাথে মোট স্থানের সংখ্যা কখনই 7 এর বেশি হয় না। যদি এই বৈশিষ্ট্যগুলিকে প্রয়োজনীয়তা হিসাবে নেওয়া হয়, তবে ট্যাবলেট থেকে x-এর "অনুপস্থিত"-এর ঠিক তিনটি মান রয়েছে, যা তিনি যুক্তি দেন যে এগুলি বিভিন্ন উপায়ে অপ্রীতিকর হওয়ার কারণে বাদ দেওয়া হতে পারে। তিনি এই পরিকল্পনার "চমকপ্রদ অ্যাড হক" প্রকৃতি স্বীকার করেন, যা মূলত ট্যাবলেটের লেখকের নির্বাচনের মানদণ্ডকে বিভক্ত করার সমস্ত প্রচেষ্টার সমালোচনা করার জন্য একটি অলঙ্কারিক যন্ত্র হিসাবে কাজ করে। উদ্দেশ্য এবং লেখকত্ব একটি সংখ্যা-তাত্ত্বিক ব্যাখ্যার পক্ষে যুক্তি দিয়েছিল, তবে এটিও বিশ্বাস করেছিল যে টেবিলের এন্ট্রিগুলি কিছু নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে কলাম 1-এর মানগুলির মোটামুটি নিয়মিত হ্রাস অর্জনের লক্ষ্যে একটি ইচ্ছাকৃত নির্বাচন প্রক্রিয়ার ফলাফল ছিল। এবং উভয়ই একটি ত্রিকোণমিতি ব্যাখ্যার অস্তিত্বের কথা উল্লেখ করে, যা রবসন বিভিন্ন সাধারণ ইতিহাস এবং অপ্রকাশিত কাজের লেখকদের জন্য দায়ী করেন, তবে যা পর্যবেক্ষণ থেকে উদ্ভূত হতে পারে যে প্রথম কলামের মানগুলিকে প্রতিটি সারি দ্বারা বর্ণিত ডান ত্রিভুজের সংক্ষিপ্ত দিকের বিপরীত কোণের বর্গাকার সেকেন্ড বা স্পর্শক (অনুপস্থিত অঙ্কের উপর নির্ভর করে) হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং সারিগুলি এই কোণগুলি দ্বারা প্রায় এক ডিগ্রি বৃদ্ধিতে সাজানো হয়। অন্য কথায়, আপনি যদি প্রথম কলামে সংখ্যাটি নেন, (1) কে বাদ দিয়ে, এবং এর বর্গমূল অর্জন করেন, এবং তারপর এটিকে দ্বিতীয় কলামে সংখ্যায় ভাগ করেন, তবে ফলাফল হবে ত্রিভুজের দীর্ঘ দিকের দৈর্ঘ্য। ফলস্বরূপ, প্রথম কলামে সংখ্যার বর্গমূলকে (বিয়োগ এক) আমরা আজ সংক্ষিপ্ত দিকের বিপরীত কোণের স্পর্শক বলব। যদি (1) কে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে সেই সংখ্যার বর্গমূল হল সেকেন্ড। ট্যাবলেটের এই পূর্ববর্তী ব্যাখ্যার বিপরীতে, দাবি করা হয়েছে যে ঐতিহাসিক, সাংস্কৃতিক এবং ভাষাগত প্রমাণগুলি সম্ভবত ট্যাবলেটটিকে "নিয়মিত পারস্পরিক জোড়ার একটি তালিকা" থেকে নির্মিত বলে প্রকাশ করে। রবসন ভাষাগত ভিত্তিতে যুক্তি দেন যে ত্রিকোণমিতি তত্ত্বটি "ধারণাগতভাবে অপ্রচলিত": এটি অন্যান্য অনেক ধারণার উপর নির্ভর করে যা সেই সময় থেকে ব্যাবিলনীয় গণিতের নথিতে উপস্থিত ছিল না। 2003 সালে, এম. এ. এ রবসনকে তার কাজের জন্য লেস্টার আর. ফোর্ড পুরস্কারে ভূষিত করে, এই বলে যে "প্লিম্পটন 322-এর লেখক যে পেশাদার বা অপেশাদার গণিতবিদ ছিলেন তার সম্ভাবনা কম। সম্ভবত তিনি একজন শিক্ষক ছিলেন এবং প্লিম্পটন 322 ব্যায়ামের একটি সেট ছিল। রবসন এমন একটি পদ্ধতি গ্রহণ করেন যা আধুনিক পরিভাষায় বীজগাণিতিক হিসাবে চিহ্নিত করা হবে, যদিও তিনি এটিকে সুনির্দিষ্ট জ্যামিতিক পরিভাষায় বর্ণনা করেন এবং যুক্তি দেন যে ব্যাবিলনীয়রাও এই পদ্ধতিকে জ্যামিতিকভাবে ব্যাখ্যা করতেন। সুতরাং, ট্যাবলেটটিকে ওয়ার্কআউট ব্যায়ামের একটি ক্রম হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। এটি সেই সময়ের স্ক্রিবল স্কুলগুলির সাধারণ গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে এবং এটি সেই সময়ের প্রশাসকদের দ্বারা ব্যবহৃত নথির বিন্যাসে লেখা হয়। অতএব, রবসন যুক্তি দেন যে লেখক সম্ভবত একজন লেখক ছিলেন, লারসার একজন আমলা। ট্যাবলেটের পুনরাবৃত্তিমূলক গাণিতিক সেট-আপ এবং বি. এম. 80209-এর মতো অনুরূপ ট্যাবলেটগুলি একজন শিক্ষককে একে অপরের মতো একই বিন্যাসে কিন্তু ভিন্ন তথ্য দিয়ে সমস্যাগুলি সেট করার অনুমতি দিতে কার্যকর হত। আরও দেখুন আইএম 67118 মস্কো গাণিতিক প্যাপিরাস রিন্ড গাণিতিক প্যাপিরাস ওয়াইবিসি 7289 নোটস রেফারেন্স। । । । । । । । । । । । । । বাইরের লিঙ্ক উচ্চমানের ডিজিটাল ছবি সহ কিউনিফর্ম ডিজিটাল লাইব্রেরি ইনিশিয়েটিভ (সিডিএলআই) ক্যাটালগের এন্ট্রিঃ প্লিম্পটন 322, সিডিএলআই উইকি নিবন্ধ ওয়াইবিসি 6967 এমএস 3052 এমএস 3971 আরও পড়ুন। । । প্রদর্শনী "বিফোর পিথাগোরাসঃ দ্য কালচার অফ ওল্ড ব্যাবিলোনিয়ান ম্যাথমেটিক্স", ইনস্টিটিউট ফর দ্য স্টাডি অফ দ্য এনশিয়েন্ট ওয়ার্ল্ড, নিউ ইয়র্ক বিশ্ববিদ্যালয়, নভেম্বর 12-ডিসেম্বর 17,2010। প্লিম্পটন 322-এর ছবি এবং বিবরণ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে)। । প্লিম্পটন 322 নিয়ে বিতর্কের কথা উল্লেখ করে "বিফোর পাইথাগোরাস" প্রদর্শনীর পর্যালোচনা। "জুয়েলস ইন হার ক্রাউনঃ ট্রেজারস ফ্রম দ্য স্পেশাল কালেকশনস অফ কলম্বিয়া 'স লাইব্রেরিজ", রেয়ার বুক অ্যান্ড ম্যানুস্ক্রিপ্ট লাইব্রেরি, কলম্বিয়া ইউনিভার্সিটি, অক্টোবর 8,2004-জানুয়ারি 28,2005। ব্যাবিলনীয় গণিতের পাণ্ডুলিপি ক্লে ট্যাবলেট খ্রিষ্টপূর্ব 18 শতকের 1922 সালে ইরাকে 1922 সালের প্রত্নতাত্ত্বিক আবিষ্কার কলম্বিয়া বিশ্ববিদ্যালয় গ্রন্থাগার ধি কার গভর্নরেট