Join (topology)
টপোলজিতে, গণিতের একটি ক্ষেত্র, দুটি টপোলজিকাল স্পেসের সংযোগ এবং, প্রায়শই বা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, একটি টপোলজিকাল স্পেস যা দুটি স্পেসের বিচ্ছিন্ন মিলন গ্রহণ করে এবং প্রতিটি বিন্দুতে প্রতিটি বিন্দুকে সংযুক্ত করে লাইন বিভাগগুলিকে সংযুক্ত করে গঠিত হয়। নিজের সাথে একটি স্থানের সংযোগ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যোগসূত্রটি বিভিন্ন প্রসঙ্গে জ্যামিতিক সেটগুলিতে সামান্য ভিন্ন উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি এবং ইউক্লিডীয় স্থানের উপসেট হয়, তাহলেঃ, অর্থাৎ, একটি বিন্দু এবং একটি বিন্দুর মধ্যে সমস্ত রেখা-বিভাগের সেট। কিছু লেখক সংজ্ঞাটিকে সংযুক্তযোগ্য উপসেটগুলিতে সীমাবদ্ধ করেছেনঃ যে কোনও দুটি ভিন্ন লাইন-বিভাগ, যা এ-এর একটি বিন্দুকে বি-এর একটি বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে, সর্বাধিক একটি সাধারণ শেষ বিন্দুতে মিলিত হয় (অর্থাৎ, তারা তাদের অভ্যন্তরে ছেদ করে না)। প্রতিটি দুটি উপসেটকে "সংযুক্তযোগ্য" করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি ভিতরে থাকে এবং ভিতরে থাকে, তাহলে এবং যোগদানযোগ্য। উপরের চিত্রটি m = n = 1-এর জন্য একটি উদাহরণ দেখায়, যেখানে এবং লাইন-সেগমেন্ট। উদাহরণ দুটি সরলীকরণের যোগসূত্র হল একটি সিম্প্লেক্সঃ একটি এন-মাত্রিক এবং একটি এম-মাত্রিক সিম্প্লেক্সের যোগসূত্র হল একটি (এম + এন + 1)-মাত্রিক সিম্প্লেক্স। কিছু বিশেষ ক্ষেত্রেঃ দুটি বিচ্ছিন্ন বিন্দুর সংযোগ একটি ব্যবধান (m = n = 0)। একটি বিন্দু এবং একটি ব্যবধানের সংযোগ হল একটি ত্রিভুজ (m = 0, n = 1)। দুটি রেখার অংশের সংযোগ একটি কঠিন টেট্রাহেড্রন বা ডিসফেনয়েডের সমরূপ, যা উপরের ডানদিকের চিত্রে (m = n = 1) চিত্রিত করা হয়েছে। একটি বিন্দু এবং একটি (এন-1)-মাত্রিক সিমপ্লেক্সের সংযোগ হল একটি এন-মাত্রিক সিমপ্লেক্স। একটি বিন্দু এবং একটি বহুভুজ (বা যে কোনও বহুভুজ)-এর সংযোগ একটি পিরামিড, যেমন একটি বিন্দু এবং বর্গক্ষেত্রের সংযোগ একটি বর্গাকার পিরামিড। একটি বিন্দু এবং একটি ঘনক্ষেত্রের সংযোগ হল একটি ঘন পিরামিড। একটি বিন্দু এবং একটি বৃত্তের সংযোগ একটি শঙ্কু, এবং একটি বিন্দু এবং একটি গোলকের সংযোগ একটি হাইপারকোন। টপোলজিক্যাল স্পেসগুলি যদি এবং হয়, তবেঃ যেখানে সিলিন্ডারটি মূল স্থানগুলির সাথে এবং সিলিন্ডারের মুখগুলির প্রাকৃতিক অনুমানগুলির সাথে সংযুক্ত থাকেঃ সাধারণত এটি অন্তর্নিহিতভাবে ধরে নেওয়া হয় যে এবং খালি নয়, এই ক্ষেত্রে সংজ্ঞাটি প্রায়শই কিছুটা ভিন্নভাবে ফ্রেজ করা হয়ঃ সিলিন্ডারের মুখগুলি স্পেসগুলির সাথে সংযুক্ত করার পরিবর্তে এবং, এই মুখগুলি কেবল সংযুক্তি অনুমানগুলির দ্বারা প্রস্তাবিত উপায়ে ধসে পড়েঃ আমরা ভাগফল স্থান গঠন করি যেখানে সমতুল্য সম্পর্ক তৈরি হয়। যদি এবং ইউক্লিডীয় স্থানের আবদ্ধ উপসেট হয়, এবং এবং, কোথায় এমন বিচ্ছিন্ন উপস্থান রয়েছে যে তাদের অ্যাফিন হুলের মাত্রা হল (যেমন। দুটি অ-ছেদকারী অ-সমান্তরাল রেখা), তারপর টপোলজিক্যাল সংজ্ঞাটি জ্যামিতিক সংজ্ঞায় হ্রাস পায়, অর্থাৎ, "জ্যামিতিক জয়েন" হল "টপোলজিকাল জয়েন"-এর সমরূপঃ বিমূর্ত সরল জটিল যদি এবং কোনও বিমূর্ত সরল জটিল হয়, তবে তাদের জয়েন একটি বিমূর্ত সরল জটিল যা নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ ভার্টেক্স সেট হল এবং-এর একটি বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন। এর সরলতা হ 'ল একটি সিম্প্লেক্সের সমস্ত বিচ্ছিন্ন ইউনিয়নগুলির একটি সিম্প্লেক্স সহঃ (বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে এবং বিচ্ছিন্ন, জয়েনটি সহজ)। উদাহরণস্বরূপ ধরুন এবং, অর্থাৎ, একটি বিন্দু সহ দুটি সেট। তারপর, যা একটি লাইন-সেগমেন্টের প্রতিনিধিত্ব করে। লক্ষ্য করুন যে, এ এবং বি-এর ভার্টেক্স সেটগুলি বিচ্ছিন্ন; অন্যথায়, আমাদের উচিত ছিল সেগুলিকে বিচ্ছিন্ন করা। উদাহরণস্বরূপ, যেখানে a1 এবং a2 হল V (A)-এর একক উপাদানের দুটি প্রতিলিপি। টপোলজিক্যালি, ফলাফল একই-একটি লাইন-সেগমেন্ট। ধরুন এবং। তারপর, যা একটি ত্রিভুজকে উপস্থাপন করে। ধরুন এবং, অর্থাৎ, দুটি বিচ্ছিন্ন বিন্দু সহ দুটি সেট। তারপর দিক সহ একটি জটিল, যা একটি "বর্গক্ষেত্র" উপস্থাপন করে। সংমিশ্রণগত সংজ্ঞাটি নিম্নলিখিত অর্থে টপোলজিকাল সংজ্ঞার সমতুল্যঃ প্রতিটি দুটি বিমূর্ত সরল জটিলতার জন্য এবং, সমরূপ, যেখানে জটিলটির যে কোনও জ্যামিতিক উপলব্ধি বোঝায়। মানচিত্র দুটি মানচিত্র দেওয়া হয়েছে এবং, তাদের জয়েনকে জয়েনের প্রতিটি বিন্দুর উপস্থাপনার উপর ভিত্তি করে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, কিছু ক্ষেত্রেঃ বিশেষ ক্ষেত্রে একটি টপোলজিকাল স্পেসের শঙ্কু, চিহ্নিত, একটি একক বিন্দু সহ একটি জয়েন। একটি টপোলজিকাল স্পেসের সাসপেনশন, যা চিহ্নিত করা হয়, তা হল (0-মাত্রিক গোলক, বা, দুটি বিন্দু সহ বিচ্ছিন্ন স্থান)। বৈশিষ্ট্য বিনিময়যোগ্যতা দুটি স্থানের সংযোগ সমরূপতা পর্যন্ত বিনিময়যোগ্য, অর্থাৎ। । অ্যাসোসিয়েটিভিটি এটি সত্য নয় যে উপরে সংজ্ঞায়িত জয়েন অপারেশনটি নির্বিচারে টপোলজিকাল স্পেসের জন্য হোমিওমরফিজম পর্যন্ত সহযোগী। যাইহোক, স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের জন্য আমাদের কাছে রয়েছে অতএব, কেউ নিজের সাথে একটি স্পেসের কে-টাইমস জয়েন (কে-টাইমস) সংজ্ঞায়িত করতে পারে। একটি ভিন্ন জয়েন অপারেশনকে সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব যা একই অন্তর্নিহিত সেটকে একটি ভিন্ন টপোলজি হিসাবে ব্যবহার করে এবং এই অপারেশনটি সমস্ত টপোলজিকাল স্পেসের জন্য সহযোগী। স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের জন্য এবং, সংযুক্ত এবং মিলিত হয়। সমস্থানিক সমতুল্য যদি এবং সমস্থানিক সমতুল্য হয়, তাহলে এবং সমস্থানিক সমতুল্যও। প্রদত্ত বেসপয়েন্টেড সিডব্লিউ কমপ্লেক্স এবং "রিডিউসড জয়েন" স্ম্যাশ প্রোডাক্টের হ্রাসকৃত সাসপেনশনের সমরূপ। ফলস্বরূপ, যেহেতু সঙ্কুচিত, তাই একটি সমস্থানিক সমতুল্যতা রয়েছে এই সমতুল্যতা সমরূপতা প্রতিষ্ঠা করে। সমস্থানিক সংযোগ দুটি ত্রিভুজ স্থানের পরিপ্রেক্ষিতে, তাদের সংযোগের সমস্থানিক সংযোগ () কমপক্ষে এর অংশগুলির সংযোগের সমষ্টিঃ উদাহরণস্বরূপ, দুটি বিচ্ছিন্ন বিন্দুর একটি সেট ধরা যাক। পয়েন্টগুলির মধ্যে একটি 1-মাত্রিক গর্ত রয়েছে, তাই। জয়েনটি একটি বর্গক্ষেত্র, যা একটি বৃত্তের সমরূপ, যার একটি দ্বিমাত্রিক গর্ত রয়েছে। তৃতীয় অনুলিপি সহ এই বর্গক্ষেত্রের সংযোগটি হল একটি অক্টা-হেড্রন, যা সমরূপ, যার গর্তটি ত্রিমাত্রিক। সাধারণভাবে, এর n অনুলিপিগুলির সংযোগ এবং এর সমরূপ। মুছে ফেলা যোগসূত্র একটি বিমূর্ত জটিল A-এর মুছে ফেলা যোগসূত্র হল একটি বিমূর্ত জটিল যা A-এর বিচ্ছিন্ন মুখগুলির সমস্ত বিচ্ছিন্ন সংযোগ ধারণ করেঃ উদাহরণস্বরূপ ধরুন (একটি একক বিন্দু)। তারপর, অর্থাৎ, দুটি বিচ্ছিন্ন বিন্দু সহ একটি বিচ্ছিন্ন স্থান (মনে রাখবেন যে = একটি ব্যবধান)। ধরুন (দুই পয়েন্ট)। তারপর দিকগুলি (দুটি বিচ্ছিন্ন প্রান্ত) সহ একটি জটিল। ধরুন (একটি প্রান্ত)। তারপর দিক (একটি বর্গক্ষেত্র) সহ একটি জটিল। মনে রাখবেন যে এটি একটি কঠিন টেট্রাহেড্রনের প্রতিনিধিত্ব করে। ধরুন A একটি (n-1)-মাত্রিক সিম্প্লেক্স (n শীর্ষ সহ) উপস্থাপন করে। তারপর জয়েনটি একটি (2n-1)-মাত্রিক সিম্প্লেক্স (2n শীর্ষ সহ): এটি অ-ঋণাত্মক স্থানাঙ্ক সহ সমস্ত বিন্দুর (x1,., x2n) সেট যা x1 +. + x2n = 1। মুছে ফেলা জয়েনকে এই সিমপ্লেক্সের একটি উপসেট হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারেঃ এটি সেই সিমপ্লেক্সের সমস্ত বিন্দুর (x1,., x2n) সেট, যেমন শুধুমাত্র অ-শূন্য স্থানাঙ্কগুলি x1,., xn-এ কিছু k স্থানাঙ্ক এবং xn + 1,., x2n-এ পরিপূরক n-k স্থানাঙ্ক। বৈশিষ্ট্য মুছে ফেলা জয়েন অপারেশনটি জয়েনের সাথে যাতায়াত করে। অর্থাৎ, প্রতি দুটি বিমূর্ত কমপ্লেক্স এ এবং বি-র জন্যঃ প্রমাণ। বাম দিকের কমপ্লেক্সের প্রতিটি সিমপ্লেক্সের আকৃতি, কোথায়, এবং বিচ্ছিন্ন। একটি বিচ্ছিন্ন মিলনের বৈশিষ্ট্যের কারণে, পরের শর্তটি সমতুল্যঃ বিচ্ছিন্ন এবং বিচ্ছিন্ন। ডানদিকের কমপ্লেক্সের প্রতিটি সিমপ্লেক্সের আকৃতি, যেখানে, এবং বিচ্ছিন্ন এবং বিচ্ছিন্ন। সুতরাং উভয় পক্ষের সরলীকরণের সেটগুলি ঠিক একই। বিশেষত, এন-ডাইমেনশনাল সিম্প্লেক্সের নিজের সাথে মুছে ফেলা সংযোগটি হল এন-ডাইমেনশনাল ক্রসপলিটোপ, যা এন-ডাইমেনশনাল গোলকের সমরূপ। সাধারণীকরণ একটি সরল জটিল A-এর n-ভাঁজ k-ভিত্তিক মুছে ফেলা সংযোগকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ যেখানে "k-ভিত্তিক বিচ্ছিন্ন" মানে হল যে k-এর প্রতিটি উপসেটে একটি খালি intersection.In নির্দিষ্ট থাকে, n-ভাঁজ n-ভিত্তিক মুছে ফেলা সংযোগে n মুখের সমস্ত বিচ্ছিন্ন সংযোগ থাকে যার ছেদ খালি, এবং n-ভাঁজ 2-ভিত্তিক মুছে ফেলা সংযোগটি ছোটঃ এতে কেবল n মুখের বিচ্ছিন্ন সংযোগ রয়েছে যা জোড়-ভিত্তিক-বিচ্ছিন্ন। 2-গুণিত 2-ভিত্তিক মুছে ফেলা জয়েনটি কেবল উপরে সংজ্ঞায়িত সহজ মুছে ফেলা জয়েন। এম পয়েন্ট সহ একটি বিচ্ছিন্ন স্থানের এন-ভাঁজ 2-ভিত্তিক মুছে ফেলা সংযোগকে (এম, এন)-চেচবোর্ড কমপ্লেক্স বলা হয়। আরও দেখুন ডিসস্পেনশন রেফারেন্স হ্যাচার, অ্যালেন, বীজগাণিতিক টপোলজি। কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, কেমব্রিজ, 2002. xii + 544 পিপি। এবং ব্রাউন, রোনাল্ড, টপোলজি এবং গ্রুপয়েডস বিভাগ 5.7 যোগ দেয়। কাঠামোর উপর বীজগাণিতিক টপোলজি অপারেশন