Abel's identity
গণিতে, আবেলের পরিচয় (আবেলের সূত্র বা আবেলের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পরিচয় নামেও পরিচিত) হল এমন একটি সমীকরণ যা মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি সহগের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সমজাতীয় দ্বিতীয়-ক্রমের রৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দুটি সমাধানের ব্রনস্কিয়ানকে প্রকাশ করে। এই সম্পর্কটিকে নবম-ক্রমের রৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। নরওয়েজিয়ান গণিতবিদ নিলস হেনরিক আবেলের নামে এই পরিচয়ের নামকরণ করা হয়েছে। যেহেতু আবেলের পরিচয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বিভিন্ন রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানের সাথে সম্পর্কিত, তাই এটি অন্যটির থেকে একটি সমাধান খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি সমাধান সম্পর্কিত দরকারী পরিচয় প্রদান করে এবং অন্যান্য কৌশল যেমন পরামিতিগুলির পরিবর্তনের পদ্ধতির অংশ হিসাবেও কার্যকর। এটি বিশেষত বেসেলের সমীকরণের মতো সমীকরণগুলির জন্য দরকারী যেখানে সমাধানগুলির একটি সহজ বিশ্লেষণাত্মক রূপ নেই, কারণ এই ধরনের ক্ষেত্রে ব্রনস্কিয়ান সরাসরি গণনা করা কঠিন। সমজাতীয় রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের প্রথম-ক্রম ব্যবস্থার একটি সাধারণীকরণ লিউভিলের সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে। বিবৃতি বাস্তব-বা জটিল-মূল্যযুক্ত অবিচ্ছিন্ন ফাংশন p এবং q সহ বাস্তব রেখার একটি বিরতি I-এর উপর একটি সমজাতীয় রৈখিক দ্বিতীয়-ক্রমের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন। আবেলের পরিচয় বলে যে দুটি বাস্তব-বা জটিল-মূল্যযুক্ত সমাধানের ব্রনস্কিয়ান এবং এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের, যা নির্ধারক দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফাংশন, প্রতিটি বিন্দুর সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। মন্তব্য বিশেষত, যখন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি বাস্তব-মূল্যবান হয়, তখন ব্রনস্কিয়ান সর্বদা হয় অভিন্নভাবে শূন্য, সর্বদা ধনাত্মক, অথবা প্রতিটি বিন্দুতে সর্বদা ঋণাত্মক হয় (নীচের প্রমাণ দেখুন)। পরের ঘটনাগুলি দুটি সমাধানকে বোঝায় এবং রৈখিকভাবে স্বাধীন (প্রমাণের জন্য ব্রোন্স্কিয়ান দেখুন)। এটি ধরে নেওয়ার প্রয়োজন নেই যে সমাধানগুলির দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ এবং অবিচ্ছিন্ন। আবেলের উপপাদ্যটি বিশেষভাবে কার্যকর যদি, কারণ এটি বোঝায় যে এটি ধ্রুবক। পণ্যের নিয়ম ব্যবহার করে ব্রনস্কিয়ানের পার্থক্যের প্রমাণ দেয় (সংক্ষিপ্ততার জন্য যুক্তিটি লেখা এবং বাদ দেওয়া) মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে সমাধান করার ফলে এই ফলাফলটিকে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ প্রতিস্থাপনের জন্য ব্রনস্কিয়ান ফাংশনের ডেরিভেটিভে প্রতিস্থাপন করা হয় এবং এটি একটি প্রথম-ক্রমের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, এবং এটি দেখাতে থাকে যে আবেলের পরিচয় অনন্য সমাধান দেয়, যা মান অর্জন করে। যেহেতু ফাংশনটি কন্টিনিউয়াস অন, তাই এটি প্রতিটি বদ্ধ এবং আবদ্ধ সাব-ইন্টারভ্যালে আবদ্ধ এবং তাই ইন্টিগ্রেবল, তাই এটি একটি সু-সংজ্ঞায়িত ফাংশন। পণ্যের নিয়ম, চেইন রুল, এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের ডেরিভেটিভ এবং ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করে উভয় পক্ষকে আলাদা করা, এর জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কারণে পাওয়া যায়। অতএব, স্থির থাকতে হবে, কারণ অন্যথায় আমরা গড় মান উপপাদ্যের একটি দ্বন্দ্ব পেতে পারি (জটিল-মূল্যবান ক্ষেত্রে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশে আলাদাভাবে প্রয়োগ করা হয়)। যেহেতু, আবেলের পরিচয় ফর-এর সংজ্ঞাটি সমাধান করে অনুসরণ করে। সাধারণীকরণ একটি ব্যবধানের ফাংশনগুলির ব্রনস্কিয়ান হল নির্ধারক দ্বারা সংজ্ঞায়িত ফাংশন একটি সমজাতীয় রৈখিক সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুনঃ একটি বাস্তব-বা জটিল-মূল্যবান অবিচ্ছিন্ন ফাংশন সহ বাস্তব রেখার একটি ব্যবধানের উপর। ধরা যাক এই n তম ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান দ্বারা। তারপর আবেলের পরিচয়ের সাধারণীকরণ বলে যে এই ব্রোন্স্কিয়ান সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করেঃ প্রতিটি পয়েন্টের জন্য। সরাসরি প্রমাণ সংক্ষিপ্ততার জন্য, আমরা যুক্তিটির পক্ষে লিখি এবং বাদ দিই। এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে ব্রোন্স্কিয়ান প্রথম-ক্রমের রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করে কারণ প্রমাণের অবশিষ্ট অংশটি তখন মামলার সাথে মিলে যায়। এই ক্ষেত্রে আমাদের আছে এবং এর জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি এর সাথে মিলে যায়। অতএব, নিম্নলিখিতগুলি ধরে নিন। ব্রনস্কিয়ানের ব্যুৎপত্তি হল সংজ্ঞায়িত নির্ধারকের ব্যুৎপত্তি। এটি নির্ধারকদের জন্য লাইবনিজ সূত্র থেকে অনুসরণ করা হয় যে এই ব্যুৎপত্তিটি প্রতিটি সারিকে আলাদা করে আলাদা করে গণনা করা যেতে পারে, অতএব, লক্ষ্য করুন যে সম্প্রসারণ থেকে প্রতিটি নির্ধারকে শেষটি ব্যতীত অভিন্ন সারির একটি জোড়া থাকে। যেহেতু রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সারিগুলির নির্ধারকগুলি 0-এর সমান, তাই কেবল একটি শেষটির সাথে অবশিষ্ট থাকেঃ যেহেতু প্রতিটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করে, তাই আমাদের প্রত্যেকটির জন্য রয়েছে। অতএব, উপরের নির্ধারকের শেষ সারিতে তার প্রথম সারির গুণ যোগ করা, তার দ্বিতীয় সারির গুণ যোগ করা, এবং এভাবে যতক্ষণ না তার শেষ সারির পরের গুণ যোগ করা হয়, ততক্ষণ এর অন্তরজের জন্য নির্ধারকের মান অপরিবর্তিত থাকে এবং আমরা লিউভিলের সূত্র ব্যবহার করে প্রমাণ পাই সমাধানগুলি সমজাতীয় রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের-মাত্রিক প্রথম-ক্রম ব্যবস্থার বর্গ-ম্যাট্রিক্স মূল্যবান সমাধান গঠন করে। রেফারেন্স আবেল, এন. এইচ., "প্রেসিস ডি 'উন থিওরি ডেস ফঙ্কশনস উপবৃত্তাকার" জে. রেইন অ্যাঞ্জু। গণিত., 4 (1829) পৃ. 309-348। বয়েস, ডব্লিউ. ই. এবং ডিপ্রিমা, আর. সি. (1986)। প্রাথমিক পার্থক্যমূলক সমীকরণ এবং সীমানা মূল্য সমস্যা, 4র্থ সংস্করণ। নিউ ইয়র্কঃ উইলি। গাণিতিক পরিচয়ের প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নিলস হেনরিক আবেল