Complete intersection
গণিতে, প্রজেক্টিভ স্পেসে একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য V একটি সম্পূর্ণ ছেদ, যদি V-এর আদর্শটি ঠিক কোডিম V উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয়। অর্থাৎ, যদি V-এর মাত্রা m থাকে এবং প্রজেক্টিভ স্পেস Pn-এ থাকে, তবে n − m সমজাতীয় বহুপদী থাকা উচিতঃ সমজাতীয় স্থানাঙ্কে Xj, যা V-তে অদৃশ্য হয়ে যাওয়া অন্যান্য সমস্ত সমজাতীয় বহুপদী তৈরি করে। জ্যামিতিকভাবে, প্রতিটি Fi একটি হাইপারসার্ফেসকে সংজ্ঞায়িত করে; এই হাইপারসার্ফেসগুলির ছেদটি V হওয়া উচিত। হাইপারসার্ফেসগুলির ছেদটি সর্বদা কমপক্ষে m মাত্রা থাকবে, ধরে নেওয়া যায় যে স্কেলারের ক্ষেত্রটি জটিল সংখ্যার মতো একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্র। প্রশ্নটি মূলত হল, আমরা কি ছেদস্থলে কোনও অতিরিক্ত বিন্দু ছাড়াই মাত্রাটি m-এ নামাতে পারি? কোডিমেনশনের সাথে সাথে এই অবস্থাটি পরীক্ষা করা মোটামুটি কঠিন। তখন V স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি হাইপারসার্ফেস হয়ে যায় এবং প্রমাণ করার মতো কিছুই থাকে না। উদাহরণ সম্পূর্ণ ছেদগুলির সহজ উদাহরণগুলি হাইপারসার্ফেস দ্বারা দেওয়া হয় যা একটি একক বহুপদের বিলুপ্ত লোকাস দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি কুইন্টিক তিনগুণের উদাহরণ দেওয়া হয়েছে। দুই বা ততোধিক সুস্পষ্ট উদাহরণ (বেস্টিয়ারি) ব্যবহার করে উচ্চ মাত্রিক জাতের সম্পূর্ণ ছেদনের স্পষ্ট উদাহরণ খুঁজে পাওয়া কঠিন হতে পারে, তবে, অ-উদাহরণযুক্ত টুইস্টেড কিউবিক দ্বারা প্রদত্ত 3-গুণ প্রকারের একটি স্পষ্ট উদাহরণ রয়েছে স্থানীয় সম্পূর্ণ ছেদ নির্মাণের জন্য একটি পদ্ধতি হল একটি প্রজেক্টিভ সম্পূর্ণ ছেদ বৈচিত্র্য গ্রহণ করা এবং এটিকে একটি উচ্চ মাত্রিক প্রজেক্টিভ স্পেসে এম্বেড করা। এর একটি সর্বোত্তম উদাহরণ হল বাঁকানো ঘনক্ষেত্রঃ এটি একটি মসৃণ স্থানীয় সম্পূর্ণ ছেদ যার অর্থ যে কোনও চার্টে এটি দুটি বহুপদের বিলুপ্ত লোকাস হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, তবে বিশ্বব্যাপী এটি দুটিরও বেশি বহুপদের বিলুপ্ত লোকাস দ্বারা প্রকাশ করা হয়। আমরা এটি তৈরি করতে পারি খুব প্রশস্ত লাইন বান্ডিল ব্যবহার করে নোট দ্বারা এম্বেডিং দেওয়ার উপর। যদি আমরা এম্বেডিংকে নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি দিতে দিইঃ অতএব বাঁকানো ঘন হল প্রজেক্টিভ স্কিম বিভিন্ন প্রকারের সংমিশ্রণ যা মাত্রায় ভিন্ন, একটি অ-সম্পূর্ণ ছেদ তৈরি করার আরেকটি সুবিধাজনক উপায়, যা কখনই একটি স্থানীয় সম্পূর্ণ ছেদ হতে পারে না, তা হল দুটি ভিন্ন জাতের মিলন গ্রহণ করা যেখানে তাদের মাত্রা একমত নয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি বিন্দুতে ছেদ করা একটি রেখা এবং একটি সমতলের মিলন এই ঘটনার একটি সর্বোত্তম উদাহরণ। এটি মাল্টিডিগ্রীন স্কিম দ্বারা দেওয়া হয় একটি সম্পূর্ণ সংযোগস্থলে একটি মাল্টিডিগ্রীন থাকে, যা হাইপারসার্ফেস সংজ্ঞায়িত করার মাত্রার টুপল (সঠিকভাবে যদিও একটি মাল্টিসেট) হিসাবে লেখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, আবার পি3-তে চতুর্ভুজ গ্রহণ করলে, (2,2) হল তাদের দুটির সম্পূর্ণ ছেদনের বহু-দ্রাঘিমাংশ, যা যখন তারা সাধারণ অবস্থানে থাকে তখন একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা হয়। জটিল মসৃণ সম্পূর্ণ ছেদগুলির হজ সংখ্যা কুনিহিকো কোডাইরা তৈরি করেছিলেন। সাধারণ অবস্থান আরও পরিমার্জিত প্রশ্নের জন্য, ছেদটির প্রকৃতি আরও ঘনিষ্ঠভাবে সমাধান করতে হবে। একটি ট্রান্সভার্স্যালিটি অবস্থা পূরণ করার জন্য হাইপারসার্ফেসগুলির প্রয়োজন হতে পারে (যেমন তাদের স্পর্শক স্থানগুলি ছেদ বিন্দুতে সাধারণ অবস্থানে থাকে)। ছেদটি স্কিম-তাত্ত্বিক হতে পারে, অন্য কথায় এখানে ফাই (এক্স0,., এক্সএন) দ্বারা উত্পন্ন সমজাতীয় আদর্শটি ভি-এর সংজ্ঞায়িত আদর্শ হতে পারে, এবং কেবল সঠিক র্যাডিকেল নয়। বিনিময়যোগ্য বীজগণিতে, সম্পূর্ণ ছেদ শর্তটি নিয়মিত ক্রম পদে অনুবাদ করা হয়, যা স্থানীয় সম্পূর্ণ ছেদ সংজ্ঞার অনুমতি দেয়, অথবা কিছু স্থানীয়করণের পরে একটি আদর্শ নিয়মিত ক্রম সংজ্ঞায়িত করে। টপোলজি হোমোলজি যেহেতু মাত্রার সম্পূর্ণ ছেদগুলি হাইপারপ্লেন বিভাগগুলির ছেদ, তাই আমরা এর জন্য অনুমান করতে লেফশেটস হাইপারপ্লেন উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি। উপরন্তু, সার্বজনীন সহগ উপপাদ্য ব্যবহার করে এটি পরীক্ষা করা যেতে পারে যে সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীগুলি সর্বদা টর্জন-মুক্ত। এর থেকে বোঝা যায় যে, মধ্য সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীটি স্থানটির অয়লার বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়। অয়লারের বৈশিষ্ট্য হিরজেব্রুচ বহু-মাত্রার সমস্ত সম্পূর্ণ ছেদগুলির মাত্রা গণনা করে একটি উৎপাদনকারী ফাংশন দিয়েছেন। এটি উদ্ধৃতি রেফারেন্সগুলি পড়ে বাহ্যিক লিঙ্কগুলি ম্যানিফোল্ড অ্যাটলাস বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে কমিউটেটিভ বীজগণিতে সম্পূর্ণ ছেদ