Étale fundamental group
এটেল বা বীজগাণিতিক মৌলিক গোষ্ঠী হল বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে, পরিকল্পনার জন্য, টপোলজিকাল স্পেসের সাধারণ মৌলিক গোষ্ঠীর একটি অনুরূপ। টপোলজিক্যাল অ্যানালগ/অনানুষ্ঠানিক আলোচনা বীজগাণিতিক টপোলজিতে, একটি পয়েন্টযুক্ত টপোলজিকাল স্পেসের মৌলিক গোষ্ঠীকে হোমোটপি শ্রেণীর লুপগুলির গ্রুপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই সংজ্ঞাটি বাস্তব এবং জটিল ম্যানিফোল্ডের মতো স্থানগুলির জন্য ভাল কাজ করে, তবে জারিস্কি টপোলজির সাথে একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের জন্য অবাঞ্ছিত ফলাফল দেয়। আচ্ছাদন স্থানগুলির শ্রেণিবিন্যাসে, এটি দেখানো হয়েছে যে মৌলিক গোষ্ঠীটি ঠিক সর্বজনীন আচ্ছাদন স্থানের ডেক রূপান্তরগুলির গোষ্ঠী। এটি আরও আশাব্যঞ্জকঃ বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের সীমাবদ্ধ ইটাল মরফিজমগুলি টপোলজিকাল স্পেসের আচ্ছাদন স্পেসের উপযুক্ত এনালগ। দুর্ভাগ্যবশত, একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য প্রায়শই একটি "সর্বজনীন আবরণ" রাখতে ব্যর্থ হয় যা সীমাবদ্ধ, তাই একজনকে অবশ্যই এর সীমাবদ্ধ étale আবরণের পুরো বিভাগটি বিবেচনা করতে হবে। এরপরে কেউ étale মৌলিক গোষ্ঠীকে সীমাবদ্ধ অটোমরফিজম গোষ্ঠীর বিপরীত সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি সংযুক্ত এবং স্থানীয়ভাবে নোথেরিয়ান স্কিম হতে দিন, একটি জ্যামিতিক বিন্দু হতে দিন এবং জোড়ার বিভাগ হতে দিন যা একটি স্কিম থেকে একটি সীমাবদ্ধ étale মরফিজম এই বিভাগে মরফিজমগুলি স্কিম হিসাবে এই বিভাগের সেটগুলির বিভাগে একটি প্রাকৃতিক ফাংক্টর রয়েছে, যথা জ্যামিতিকভাবে ফাংক্টর এটি ওভারের ফাইবার এবং বিমূর্তভাবে এটি উপরের স্কিমগুলির বিভাগে প্রতিনিধিত্ব করা ইয়োনেডা ফাংক্টর। ফাংক্টর সাধারণত প্রতিনিধিত্বযোগ্য নয়; যাইহোক, এটি প্রকৃতপক্ষে গ্যালোইস প্রচ্ছদ দ্বারা প্রতিনিধিত্বযোগ্য। এর মানে হল যে আমাদের একটি প্রজেক্টিভ সিস্টেম রয়েছে, যা একটি নির্দেশিত সেট দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়েছে যেখানে গ্যালোইস কভারগুলি, অর্থাৎ, সীমাবদ্ধ étale স্কিমগুলি এরকম। এর অর্থ হ 'ল আমরা ফাংশনের একটি সমরূপতা প্রদান করেছি। বিশেষ করে, আমাদের কাছে প্রজেক্টিভ সিস্টেমের একটি চিহ্নিত বিন্দু রয়েছে। এই ধরনের দুটির জন্য মানচিত্রটি একটি গ্রুপ সমরূপতাকে প্ররোচিত করে যা প্রজেক্টিভ সিস্টেম থেকে অটোমরফিজম গ্রুপের একটি প্রজেক্টিভ সিস্টেম তৈরি করে। এরপরে আমরা নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি তৈরি করিঃ এটের étale মৌলিক গোষ্ঠীটি বিপরীত সীমা টপোলজির সাথে বিপরীত সীমা। ফাংক্টর এখন সসীম এবং অবিচ্ছিন্ন-সেটের বিভাগ থেকে একটি ফাংক্টর, এবং সসীম এবং অবিচ্ছিন্ন-সেটের বিভাগের মধ্যে বিভাগগুলির একটি সমতা প্রতিষ্ঠা করে। উদাহরণ এবং উপপাদ্য এর সবচেয়ে মৌলিক উদাহরণ হল, একটি ক্ষেত্রের étale মৌলিক গোষ্ঠী। মূলত সংজ্ঞা অনুসারে, এর মৌলিক গোষ্ঠীটিকে পরম গ্যালোইস গোষ্ঠীর সমতুল্য হিসাবে দেখানো যেতে পারে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, একটি জ্যামিতিক বিন্দুর পছন্দ একটি পৃথকভাবে বদ্ধ সম্প্রসারণ ক্ষেত্র দেওয়ার সমতুল্য, এবং সেই মূল বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত étale মৌলিক গোষ্ঠীটি গ্যালোইস গোষ্ঠীর সাথে চিহ্নিত হয়। গ্যালোয়া গোষ্ঠীর এই ব্যাখ্যাটি গ্রোথেন্ডিয়েকের গ্যালোয়া তত্ত্ব নামে পরিচিত। আরও সাধারণভাবে, একটি ক্ষেত্রের উপর যে কোনও জ্যামিতিকভাবে সংযুক্ত বৈচিত্র্যের জন্য (অর্থাৎ, এমন যেটি সংযুক্ত) বৈশিষ্ট্য শূন্য ক্ষেত্রের উপর অসীম গোষ্ঠীগুলির একটি সঠিক ক্রম রয়েছে একটি সীমাবদ্ধ প্রকারের স্কিমের জন্য, জটিল সংখ্যার উপর, জটিল বিশ্লেষণাত্মক স্থানের সাথে সংযুক্ত সাধারণ, টপোলজিকাল, মৌলিক গোষ্ঠীর মধ্যে একটি ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে। বীজগাণিতিক মৌলিক গোষ্ঠী, যা সাধারণত এই ক্ষেত্রে বলা হয়, হল এর অসীম সমাপ্তি। এটি রিমান অস্তিত্ব উপপাদ্যের একটি পরিণতি, যা বলে যে সমস্ত সীমাবদ্ধ étale আবরণ এর থেকে উদ্ভূত হয়। বিশেষত, যেহেতু মসৃণ বক্ররেখার মৌলিক গোষ্ঠী (অর্থাৎ, উন্মুক্ত রিমান পৃষ্ঠতল) ভালভাবে বোঝা যায়; এটি বীজগাণিতিক মৌলিক গোষ্ঠী নির্ধারণ করে। আরও সাধারণভাবে, বৈশিষ্ট্য শূন্যের যে কোনও বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের উপর একটি সঠিক পরিকল্পনার মৌলিক গোষ্ঠীটি জানা যায়, কারণ বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলির একটি সম্প্রসারণ সমরূপ মৌলিক গোষ্ঠীগুলিকে প্ররোচিত করে। ধনাত্মক বৈশিষ্ট্যের একটি ক্ষেত্র এবং নিয়ন্ত্রিত মৌলিক গোষ্ঠীর উপর পরিকল্পনা ধনাত্মক বৈশিষ্ট্যের একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ ক্ষেত্রের জন্য, ফলাফলগুলি ভিন্ন, কারণ এই পরিস্থিতিতে আর্টিন-শ্রেয়ার আবরণ বিদ্যমান। উদাহরণস্বরূপ, অ্যাফিন রেখার মৌলিক গোষ্ঠীটি টপোলজিক্যালি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হয় না। কিছু স্কিম ইউ-এর টেম মৌলিক গ্রুপটি স্বাভাবিক মৌলিক গ্রুপের একটি ভাগফল, যার মধ্যে কেবলমাত্র সেই কভারগুলি বিবেচনা করা হয় যা টেমলি র্যামিফাইড হয়, যেখানে কিছু কম্প্যাক্টিফিকেশন হয় এবং এটি ইন-এর পরিপূরক। উদাহরণস্বরূপ, অ্যাফিন লাইনের টেম মৌলিক গ্রুপটি শূন্য। বৈশিষ্ট্যযুক্ত পি-এর একটি ক্ষেত্রের উপর অ্যাফিন স্কিমগুলি দেখা যায় যে প্রতিটি অ্যাফিন স্কিম একটি-স্পেস, এই অর্থে যে ইটেল হোমোটপি প্রকারটি সম্পূর্ণরূপে তার ইটেল হোমোটপি গ্রুপ দ্বারা নির্ধারিত হয়। লক্ষ্য করুন যেখানে একটি জ্যামিতিক বিন্দু রয়েছে। আরও বিষয় একটি বিভাগ-তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে, মৌলিক গোষ্ঠীটি একটি ফাংক্টর {পয়েন্টেড বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য} → {প্রোফাইনাইট গ্রুপ}। বিপরীত গালোয়া সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করে যে মৌলিক গোষ্ঠী (বা ক্ষেত্র সম্প্রসারণের গালোয়া গোষ্ঠী) হিসাবে কোন গোষ্ঠীগুলি উদ্ভূত হতে পারে। অ্যানাবেলিয়ান জ্যামিতি, উদাহরণস্বরূপ গ্রোথেন্ডিয়েকের বিভাগ অনুমান, তাদের মৌলিক গোষ্ঠী দ্বারা নির্ধারিত জাতের শ্রেণীগুলি সনাক্ত করার চেষ্টা করে। একটি পরিকল্পনার এটেল হোমোটপি প্রকারের মাধ্যমে উচ্চতর এটেল হোমোটপি গোষ্ঠীগুলি অধ্যয়ন করে। প্রো-এটেল মৌলিক গোষ্ঠীটি প্রো-এটেল মৌলিক গোষ্ঠী নামে পরিচিত এটেল মৌলিক গোষ্ঠীর একটি বৈকল্পিক প্রবর্তন করেছে। এটি সীমাবদ্ধ étale আবরণের পরিবর্তে, মানচিত্রগুলি বিবেচনা করে নির্মিত হয় যা étale এবং যথাযথতার মূল্যগত মানদণ্ডকে সন্তুষ্ট করে। জ্যামিতিকভাবে একক শাখা পরিকল্পনার জন্য (যেমন, সাধারণ পরিকল্পনা), দুটি পদ্ধতি একমত, তবে সাধারণভাবে প্রো-এটেল মৌলিক গোষ্ঠীটি একটি সূক্ষ্ম অপরিবর্তনীয়ঃ এর অসীম সমাপ্তি হল এটেল মৌলিক গোষ্ঠী। আরও দেখুন étale মরফিজম মৌলিক গোষ্ঠী নোটস রেফারেন্স স্কিম তত্ত্ব বীজগাণিতিক জ্যামিতির টপোলজিকাল পদ্ধতি