Grassmann number
গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে, একটি গ্রাসম্যান সংখ্যা, যা হারমান গ্রাসম্যানের নামে নামকরণ করা হয়েছে (যাকে অ্যান্টিকমিউটিং সংখ্যা বা সুপারনাম্বারও বলা হয়), জটিল সংখ্যার উপর বাহ্যিক বীজগণিতের একটি উপাদান। একটি 1-মাত্রিক বীজগণিতের বিশেষ কেস একটি দ্বৈত সংখ্যা হিসাবে পরিচিত। গ্রাসম্যান সংখ্যাগুলি পদার্থবিজ্ঞানে ফার্মিওনিক ক্ষেত্রগুলির জন্য একটি পথ অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা প্রকাশ করার জন্য একটি প্রাথমিক ব্যবহার দেখেছিল, যদিও এগুলি এখন সুপারস্পেসের ভিত্তি হিসাবে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, যার উপর সুপারসিমেট্রি নির্মিত হয়। অনানুষ্ঠানিক আলোচনা গ্রাসম্যান সংখ্যা অ্যান্টি-কমিউটিং উপাদান বা বস্তু দ্বারা উত্পন্ন হয়। অ্যান্টি-কমিউটিং বস্তুর ধারণাটি গণিতের একাধিক ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয়ঃ এগুলি সাধারণত ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে দেখা যায়, যেখানে ডিফারেনশিয়াল রূপগুলি অ্যান্টি-কমিউটিং। ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলি সাধারণত একটি ম্যানিফোল্ডে ডেরিভেটিভের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়; তবে, কেউ এমন পরিস্থিতি বিবেচনা করতে পারে যেখানে কেউ কোনও অন্তর্নিহিত ম্যানিফোল্ডের অস্তিত্বকে "ভুলে যায়" বা "উপেক্ষা করে", এবং "ভুলে যায়" বা "উপেক্ষা করে" যে ফর্মগুলিকে ডেরিভেটিভ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল, এবং পরিবর্তে, কেবল এমন একটি পরিস্থিতি বিবেচনা করুন যেখানে একজনের এমন বস্তু রয়েছে যা কমিউট বিরোধী, এবং অন্য কোনও পূর্ব-সংজ্ঞায়িত বা পূর্ব-অনুমান বৈশিষ্ট্য নেই। এই ধরনের বস্তুগুলি একটি বীজগণিত গঠন করে, এবং বিশেষ করে গ্রাসম্যান বীজগণিত বা বাহ্যিক বীজগণিত। গ্রাসম্যান সংখ্যাগুলি সেই বীজগণিতর উপাদান। "সংখ্যা"-র আবেদনটি এই সত্য দ্বারা ন্যায্য বলে মনে করা হয় যে তারা "সাধারণ" সংখ্যার মতো আচরণ করে নাঃ তাদের যোগ করা, গুণ করা এবং ভাগ করা যেতে পারেঃ তারা প্রায় একটি ক্ষেত্রের মতো আচরণ করে। আরও কিছু করা যেতে পারেঃ গ্রাসম্যান সংখ্যার বহুপদ বিবেচনা করা যেতে পারে, যা হলোমরফিক ফাংশনের ধারণার দিকে পরিচালিত করে। কেউ এই ধরনের ফাংশনের ডেরিভেটিভ নিতে পারে, এবং তারপরে অ্যান্টি-ডেরিভেটিভগুলিও বিবেচনা করতে পারে। এই ধারণাগুলির প্রত্যেকটিকে সতর্কতার সাথে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং সাধারণ গণিতের সমতুল্য ধারণাগুলির সাথে যুক্তিসঙ্গতভাবে ভালভাবে মিলে যায়। সাদৃশ্যটি এখানেই থেমে থাকে নাঃ একজনের সুপারম্যাথেম্যাটিক্সের একটি সম্পূর্ণ শাখা রয়েছে, যেখানে ইউক্লিডীয় স্থানের এনালগটি সুপারস্পেস, একটি ম্যানিফোল্ডের এনালগটি একটি সুপারম্যানিফোল্ড, একটি লাই বীজগণিতের এনালগটি একটি লাই সুপারঅ্যালজেব্রা ইত্যাদি। গ্রাসম্যান সংখ্যা হল অন্তর্নিহিত গঠন যা এই সমস্তকে সম্ভব করে তোলে। অবশ্যই, কেউ অন্য যে কোনও ক্ষেত্র বা এমনকি রিংয়ের জন্য অনুরূপ প্রোগ্রাম অনুসরণ করতে পারে এবং এটি প্রকৃতপক্ষে গণিতে ব্যাপকভাবে এবং সাধারণভাবে করা হয়। যাইহোক, পদার্থবিজ্ঞানে সুপারম্যাথেম্যাটিক্স একটি বিশেষ তাৎপর্য বহন করে, কারণ অ্যান্টি-কমিউটিং আচরণকে ফার্মিয়নের কোয়ান্টাম-মেকানিক্যাল আচরণের সাথে দৃঢ়ভাবে চিহ্নিত করা যেতে পারেঃ অ্যান্টি-কমিউটেশন হল পাউলি এক্সক্লুশন নীতির। সুতরাং, গ্রাসম্যান সংখ্যা এবং অতিমানববিজ্ঞানের অধ্যয়ন, সাধারণভাবে, পদার্থবিজ্ঞানে তাদের উপযোগিতা দ্বারা দৃঢ়ভাবে চালিত হয়। বিশেষত, কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বে, বা আরও সংকীর্ণভাবে, দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজেশনে, একটি ল্যাডার অপারেটরদের সাথে কাজ করে যা বহু-কণা কোয়ান্টাম অবস্থা তৈরি করে। ফার্মিয়নের জন্য ল্যাডার অপারেটররা ফিল্ড কোয়ান্টা তৈরি করে যার অবশ্যই অ্যান্টি-সিমেট্রিক তরঙ্গ ফাংশন থাকতে হবে, কারণ এটি পাউলি বর্জন নীতি দ্বারা বাধ্য করা হয়। এই পরিস্থিতিতে, একটি গ্রাসম্যান সংখ্যা অবিলম্বে এবং সরাসরি একটি তরঙ্গ ফাংশনের সাথে মিলে যায় যার মধ্যে কিছু (সাধারণত অনির্দিষ্ট) সংখ্যক ফার্মিয়ন থাকে। যখন ফার্মিয়নের সংখ্যা স্থির এবং সীমাবদ্ধ হয়, তখন স্পিন গ্রুপের মাধ্যমে অ্যান্টিকমিউটেশন সম্পর্ক এবং স্পিনোরের মধ্যে একটি স্পষ্ট সম্পর্ক দেওয়া হয়। এই গোষ্ঠীটিকে ক্লিফোর্ড বীজগণিতে একক-দৈর্ঘ্যের ভেক্টরের উপসেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং স্বাভাবিকভাবেই অ্যান্টি-কমিউটিং ওয়েইল স্পিনরে পরিণত হয়। স্পিন গ্রুপের জন্য অ্যান্টি-কমিউটেশন এবং স্পিনোর হিসাবে অভিব্যক্তি উভয়ই স্বাভাবিকভাবে উদ্ভূত হয়। সংক্ষেপে, গ্রাসম্যান সংখ্যাকে স্পিন থেকে উদ্ভূত সম্পর্কগুলিকে পরিত্যাগ করা এবং শুধুমাত্র অ্যান্টি-কমিউটেশনের কারণে সম্পর্কগুলি বজায় রাখা হিসাবে ভাবা যেতে পারে। সাধারণ বর্ণনা এবং বৈশিষ্ট্য গ্রাসম্যান সংখ্যা হল গ্রাসম্যান ভেরিয়েবল বা গ্রাসম্যান দিকনির্দেশ বা সুপারচার্জের একটি সেট দ্বারা উত্পন্ন বাহ্যিক বীজগণিতের পৃথক উপাদান বা বিন্দু, যা সম্ভবত অসীম। "গ্রাসম্যান ভেরিয়েবল" শব্দটির ব্যবহার ঐতিহাসিক; এগুলি পরিবর্তনশীল নয়, এগুলি একটি একক বীজগণিতের ভিত্তি উপাদান হিসাবে আরও ভালভাবে বোঝা যায়। পরিভাষাটি এই সত্য থেকে আসে যে একটি প্রাথমিক ব্যবহার হল ইন্টিগ্রালগুলি সংজ্ঞায়িত করা, এবং ইন্টিগ্রেশনের পরিবর্তনশীলটি গ্রাসম্যান-মূল্যবান, এবং এইভাবে, ভাষার অপব্যবহার দ্বারা, গ্রাসম্যান পরিবর্তনশীল বলা হয়। একইভাবে, দিকনির্দেশনার ধারণাটি সুপারস্পেসের ধারণা থেকে এসেছে, যেখানে সাধারণ ইউক্লিডীয় স্থানটি অতিরিক্ত গ্রাসম্যান-মূল্যবান "দিকনির্দেশ" দিয়ে প্রসারিত করা হয়। আধানের আবেদন পদার্থবিজ্ঞানে আধানের ধারণা থেকে আসে, যা ভৌত প্রতিসাম্যের উৎপাদকের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (নোইথারের উপপাদ্যের মাধ্যমে)। অনুভূত প্রতিসাম্যটি হ 'ল একক গ্রাসম্যান চলক দ্বারা গুণ ফার্মিয়ন এবং বোসোনের মধ্যে গ্রেডিংকে অদলবদল করে; এটি নীচে আরও বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে। গ্রাসম্যান চলকগুলি একটি ভেক্টর স্থানের (মাত্রার) ভিত্তি ভেক্টর। এগুলি একটি ক্ষেত্রের উপর একটি বীজগণিত গঠন করে, যেখানে ক্ষেত্রটিকে সাধারণত জটিল সংখ্যা হিসাবে নেওয়া হয়, যদিও বাস্তব ক্ষেত্রের মতো অন্যান্য ক্ষেত্রগুলি বিবেচনা করা যেতে পারে। বীজগণিত একটি একক বীজগণিত, এবং জেনারেটরগুলি অ্যান্টি-কমিউটিংঃ যেহেতু এগুলি জটিল সংখ্যার উপর একটি ভেক্টর স্পেসের উপাদান, তাই সংজ্ঞা অনুসারে, এগুলি জটিল সংখ্যার সাথে কমিউট করে। অর্থাৎ, জটিলের জন্য, জেনারেটরের বর্গগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়ঃ যেহেতু অন্য কথায়, একটি গ্রাসম্যান চলক হল শূন্যের অ-শূন্য বর্গমূল। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আনুষ্ঠানিকভাবে, ভিত্তি সহ একটি-মাত্রিক জটিল ভেক্টর স্থান হতে দিন। গ্রাসম্যান বীজগণিত যার গ্রাসম্যান চলকগুলি এর বাহ্যিক বীজগণিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যথা যেখানে বাহ্যিক গুণফল এবং সরাসরি যোগফল। এই বীজগণিতে পৃথক উপাদানগুলিকে তখন গ্রাসম্যান সংখ্যা বলা হয়। সংজ্ঞাটি প্রতিষ্ঠিত হওয়ার পরে গ্রাসম্যান সংখ্যা লেখার সময় ওয়েজ প্রতীকটি বাদ দেওয়া আদর্শ। একটি সাধারণ গ্রাসম্যান সংখ্যাকে এমনভাবে লেখা যেতে পারে যেখানে কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে-র্যাঙ্কের জটিল, সম্পূর্ণ অ্যান্টিসিমেট্রিক টেনসর সহ টুপল। আবার, এবং (সাপেক্ষে), এবং বৃহত্তর সীমাবদ্ধ পণ্যগুলি, এখানে এর সাবস্পেসগুলির একটি বেসিস ভেক্টরের ভূমিকা পালন করতে দেখা যায়। রৈখিকভাবে স্বাধীন গ্রাসম্যান ভেরিয়েবল দ্বারা উত্পন্ন গ্রাসম্যান বীজগণিতে মাত্রা রয়েছে; এটি উপরের যোগফলের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা দ্বিপদী উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে এবং এই সত্য যে উপরের অ্যান্টি-কমিউটেশন সম্পর্কের দ্বারা ভেরিয়েবলের-ভাঁজ গুণফল অবশ্যই অদৃশ্য হয়ে যেতে হবে। এর মাত্রা নির্বাচিত দ্বিপদী সহগ দ্বারা দেওয়া হয়। এর বিশেষ কেসটিকে দ্বৈত সংখ্যা বলা হয় এবং 1873 সালে উইলিয়াম ক্লিফোর্ড এটি প্রবর্তন করেছিলেন। যদি অসীম-মাত্রিক হয়, তবে উপরের সিরিজটি শেষ হয় না এবং একটি সংজ্ঞায়িত করে সাধারণ উপাদানটি এখন যেখানে কখনও কখনও দেহ এবং অতিসংখ্যার আত্মা হিসাবে উল্লেখ করা হয়। বৈশিষ্ট্যগুলি সসীম-মাত্রিক ক্ষেত্রে (একই পরিভাষা ব্যবহার করে) আত্মা নিলপোটেন্ট, অর্থাৎ। কিন্তু অসীম-মাত্রিক ক্ষেত্রে এটি অগত্যা তাই নয়। যদি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক হয়, তাহলে এবং যদি অসীম-মাত্রিক সীমিত বনাম গণনাযোগ্য জেনারেটরের সেট হয় তবে সাহিত্যে সাধারণত দুটি স্বতন্ত্র ধরনের সুপারনাম্বার দেখা যায়ঃ যাদের সীমিত সংখ্যক জেনারেটর থাকে, সাধারণত = 1,2,3 বা 4, এবং যাদের গণনাযোগ্য-অসীম সংখ্যক জেনারেটর থাকে। এই দুটি পরিস্থিতি প্রাথমিকভাবে যতটা মনে হতে পারে ততটা সম্পর্কহীন নয়। প্রথমত, একটি সুপারম্যানফোল্ডের সংজ্ঞায়, একটি বৈকল্পিক গণনাযোগ্য-অসীম সংখ্যক জেনারেটর ব্যবহার করে, তবে তারপরে একটি টপোলজি নিযুক্ত করে যা কার্যকরভাবে মাত্রাটিকে একটি ছোট সীমাবদ্ধ সংখ্যায় হ্রাস করে। অন্য ক্ষেত্রে, একটি সীমিত সংখ্যক জেনারেটর দিয়ে শুরু করা যেতে পারে, কিন্তু দ্বিতীয় কোয়ান্টাইজেশনের সময়, অসীম সংখ্যক জেনারেটরের প্রয়োজন দেখা দেয়ঃ একটি ফার্মিয়ন বহন করতে পারে এমন প্রতিটি সম্ভাব্য ভরবেগের জন্য একটি করে। সংমিশ্রণ, ক্ষেত্রের পছন্দ জটিল সংখ্যাগুলি সাধারণত বাস্তব সংখ্যার বিপরীতে গ্রাসম্যান সংখ্যার সংজ্ঞার জন্য ক্ষেত্র হিসাবে বেছে নেওয়া হয়, কারণ এটি একটি সংমিশ্রণ বা সংমিশ্রণ প্রবর্তনের সময় কিছু অদ্ভুত আচরণ এড়ায়। গ্রাসম্যান সংখ্যার উপর একটি অপারেটর * প্রবর্তন করা সাধারণ যেঃ কখন একটি জেনারেটর, এবং এমন যে কেউ তখন গ্রাসম্যান সংখ্যা z বিবেচনা করতে পারে যার জন্য, এবং এগুলিকে (অতি) বাস্তব বলে অভিহিত করতে পারে, যেখানে যারা মেনে চলে তাদের (অতি) কাল্পনিক বলা হয়। যদিও গ্রাসম্যান সংখ্যাগুলি বাস্তব সংখ্যাগুলিকে ভিত্তি ক্ষেত্র হিসাবে ব্যবহার করে, তবুও এই সংজ্ঞাগুলি ঠিকঠাক বহন করে; তবে, এই ক্ষেত্রে, জেনারেটরের সংখ্যা 4-এর কম হলে অনেক সহগ অদৃশ্য হতে বাধ্য হয়। সুতরাং, প্রচলিত নিয়ম অনুসারে, গ্রাসম্যান সংখ্যাগুলি সাধারণত জটিল সংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়। অন্যান্য কনভেনশনগুলি সম্ভব; উপরেরটি কখনও কখনও ডিউইট কনভেনশন হিসাবে উল্লেখ করা হয়; রজার্স আক্রমণের জন্য নিয়োগ করেন। এই নিয়মে, প্রকৃত সুপারনাম্বারগুলির সর্বদা বাস্তব সহগ থাকে; যেখানে ডিউইট নিয়মে, প্রকৃত সুপারনাম্বারগুলির বাস্তব এবং কাল্পনিক উভয় সহগ থাকতে পারে। তা সত্ত্বেও, ডিউইট সম্মেলনের সঙ্গে কাজ করা সাধারণত সবচেয়ে সহজ। বিজোড় সংখ্যক গ্রাসম্যান ভেরিয়েবলের বিশ্লেষণ পণ্য একে অপরের সাথে অ্যান্টি-কমিউট; এই ধরনের পণ্যকে প্রায়শই এ-নম্বর বলা হয়। জোড় সংখ্যক গ্রাসম্যান ভেরিয়েবলের পণ্যগুলি যাতায়াত করে (সমস্ত গ্রাসম্যান সংখ্যা সহ); এগুলিকে প্রায়শই সি-নম্বর বলা হয়। পরিভাষার অপব্যবহার করে, একটি এ-নম্বরকে কখনও কখনও অ্যান্টিকমিউটিং সি-নম্বর বলা হয়। জোড় এবং বিজোড় সাবস্পেসে এই পচন বীজগণিতে একটি গ্রেডিং প্রদান করে; এইভাবে গ্রাসম্যান অ্যালজেব্রা হল সুপারকমিউটেটিভ অ্যালজেব্রার প্রোটোটাইপিক্যাল উদাহরণ। লক্ষ্য করুন যে সি-সংখ্যাগুলি একটি উপ-বীজগণিত গঠন করে, কিন্তু এ-সংখ্যাগুলি তা করে না (তারা একটি উপস্থান, একটি উপ-বীজগণিত নয়)। গ্র্যাসম্যান সংখ্যার সংজ্ঞা জটিল সংখ্যার বিশ্লেষণের সাদৃশ্য হিসাবে গাণিতিক বিশ্লেষণ করার অনুমতি দেয়। অর্থাৎ, কেউ সুপারহোলোমর্ফিক ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারে, ডেরিভেটিভগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারে, পাশাপাশি ইন্টিগ্রালগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারে। দ্বৈত সংখ্যার নিবন্ধে কিছু মৌলিক ধারণা আরও বিস্তারিতভাবে তৈরি করা হয়েছে। একটি সাধারণ নিয়ম হিসাবে, অসীম সংখ্যক জেনারেটর সহ গ্রাসম্যান সংখ্যার সাথে কাজ করে সাধারণ গাণিতিক সত্তার অতি-প্রতিসম সাদৃশ্যগুলি সংজ্ঞায়িত করা সাধারণত সহজঃ বেশিরভাগ সংজ্ঞা সোজা হয়ে যায় এবং সংশ্লিষ্ট বোসনিক সংজ্ঞা থেকে নেওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি একক গ্রাসম্যান সংখ্যাকে এক-মাত্রিক স্থান তৈরি করা বলে মনে করা যেতে পারে। একটি ভেক্টর স্পেস,-মাত্রিক সুপারস্পেস, তারপর এই এক-মাত্রিক কার্টেসিয়ান পণ্যের-ভাঁজ হিসাবে প্রদর্শিত হয় এটি দেখানো যেতে পারে যে এটি মূলত জেনারেটর সহ একটি বীজগণিতের সমতুল্য, তবে এর জন্য কাজ প্রয়োজন। স্পিনোর স্থান স্পিনোর স্থানকে ওয়েল স্পিনোর (এবং অ্যান্টি-স্পিনোর) স্থানের গ্রাসম্যান বা বাহ্যিক বীজগণিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যাতে n ফার্মিয়নের তরঙ্গ ফাংশনগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকে। গ্রাসমান সংখ্যার উপর ইন্টিগ্রেশন ইন্টিগ্রালগুলি বেরেজিন ইন্টিগ্রাল নামে পরিচিত (কখনও কখনও গ্রাসমান ইন্টিগ্রাল বলা হয়)। একটি ফার্মি ক্ষেত্রের জন্য পাথ ইন্টিগ্রাল পুনরুত্পাদন করার জন্য, গ্রাসম্যান ইন্টিগ্রেশনের সংজ্ঞাটির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি থাকতে হবেঃ রৈখিকতা আংশিক ইন্টিগ্রেশন সূত্র অধিকন্তু, যে কোনও ফাংশনের টেলর সম্প্রসারণ দুটি পদের পরে শেষ হয় কারণ, এবং কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের অতিরিক্তভাবে ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবলের স্থানান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয়তার প্রয়োজন হয় যাতে এই শর্তটি সন্তুষ্ট করার একমাত্র রৈখিক ফাংশনটি একটি ধ্রুবক (প্রচলিতভাবে 1) বার, তাই বেরেজিন সংজ্ঞায়িত করেছেন এটি একটি গ্রাসম্যান পরিমাণের ইন্টিগ্রেশনের জন্য নিম্নলিখিত নিয়মগুলিতে ফলাফল দেয়ঃ সুতরাং আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে একটি গ্রাসম্যান সংখ্যার ইন্টিগ্রেশন এবং পৃথকীকরণের ক্রিয়াকলাপগুলি অভিন্ন। কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের পথ অবিচ্ছেদ্য গঠনে ফার্মিওনিক অ্যান্টিকমিউটিং ক্ষেত্রের জন্য গ্রাসম্যান পরিমাণের নিম্নলিখিত গাউসিয়ান অবিচ্ছেদ্য প্রয়োজন, যার মধ্যে এ একটি এন × এন ম্যাট্রিক্সঃ কনভেনশন এবং জটিল ইন্টিগ্রেশন একাধিক গ্রাসম্যান সংখ্যার উপর ইন্টিগ্রেট করার সময় একটি অস্পষ্টতা দেখা দেয়। কিছু লেখক অপারেটরদের হার্মিশিয়ান সংমিশ্রণের মতো জটিল সংমিশ্রণকেও সংজ্ঞায়িত করেন, অতিরিক্ত সম্মেলনের সাথে আমরা স্বাধীন গ্রাসম্যান সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করতে পারি এবং গ্রহণ করতে পারি। সুতরাং একটি গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল মূল্যায়ন করে এবং একটি সাধারণ গাউসিয়ানের মতো একটি ফ্যাক্টরকে কার্যকরভাবে প্রবর্তন করে, এককত্ব প্রমাণ করার পরে, আমরা আইগেনভ্যালু সহ একটি হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্সের সাথে জড়িত একটি সাধারণ গাউসিয়ান ইন্টিগ্রাল মূল্যায়ন করতে পারি, ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা গ্রাসম্যান সংখ্যাগুলি ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দুটি গ্রাসম্যান সংখ্যা এবং দ্বারা উত্পন্ন গ্রাসম্যান বীজগণিত বিবেচনা করুন। এই গ্রাসম্যান সংখ্যাগুলি 4 × 4 ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারেঃ সাধারণভাবে, n জেনারেটরের উপর একটি গ্রাসম্যান বীজগণিত 2n × 2n বর্গ ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। ভৌতভাবে, এই ম্যাট্রিক্সগুলিকে পেশা সংখ্যার ভিত্তিতে n অভিন্ন ফার্মিয়নের হিলবার্ট স্পেসে কাজ করা উত্থাপক অপারেটর হিসাবে ভাবা যেতে পারে। যেহেতু প্রতিটি ফার্মিয়নের দখল সংখ্যা 0 বা 1, তাই 2n সম্ভাব্য ভিত্তি অবস্থা রয়েছে। গাণিতিকভাবে, এই ম্যাট্রিক্সগুলিকে গ্র্যাসম্যান বীজগণিতে বাম বাহ্যিক গুণনের সাথে সম্পর্কিত রৈখিক অপারেটর হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। সাধারণীকরণ গ্রাসম্যান সংখ্যার কিছু সাধারণীকরণ রয়েছে। এগুলির জন্য N চলকের পরিপ্রেক্ষিতে নিয়মের প্রয়োজন হয় যেমনঃ যেখানে সূচকগুলি সমস্ত বিন্যাসের উপর যোগ করা হয় যাতে ফলস্বরূপঃ কিছু N> 2-এর জন্য। এগুলি এন-টেনসরের হাইপারডিটারমিনেন্ট গণনা করার জন্য কার্যকর যেখানে এন> 2 এবং 2 এর চেয়ে বড় শক্তির জন্য বহুপদের বৈষম্য গণনা করার জন্যও কার্যকর। এছাড়াও একটি সীমাবদ্ধ কেস রয়েছে কারণ এন অনন্তের দিকে ঝোঁক রাখে যে ক্ষেত্রে কেউ সংখ্যার উপর বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এন = 3-এর ক্ষেত্রে একটি একক গ্রাসম্যান সংখ্যা ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারেঃ যাতে। দুটি গ্রাসম্যান সংখ্যার জন্য ম্যাট্রিক্সের আকার হবে 10 × 10। উদাহরণস্বরূপ, দুটি গ্রাসম্যান ভেরিয়েবল সহ এন = 3-এর নিয়মগুলি বোঝায়ঃ যাতে এটি দেখানো যায় যে এবং তাই যা একটি 2 × 2 × 2 টেনসরের হাইপারডিটারমিনেন্টের জন্য একটি সংজ্ঞা দেয় যেমন গ্রাসম্যানিয়ান হারমান গ্রাসম্যান (ভাষাবিদ এবং গণিতবিদ) সুপারস্পেস এক্সটেরিওর বীজগণিত নোটস রেফারেন্স হাইপারকম্প্লেক্স সংখ্যা সুপারসিমেট্রি কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব