Lagrangian Grassmannian
গণিতে, ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান গ্রাসমানিয়ান হল একটি বাস্তব সিমপ্লেক্টিক ভেক্টর স্পেস V-এর ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান সাবস্পেসের মসৃণ বহুগুণ। এর মাত্রা হল n (n + 1) (যেখানে V-এর মাত্রা 2n)। এটি সমজাতীয় স্থানের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যেখানে একক গ্রুপ এবং অর্থোগোনাল গ্রুপ। ভ্লাদিমির আর্নল্ডকে অনুসরণ করে এটি λ (n) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গ্রাসমানিয়ান হল ভি-এর সাধারণ গ্রাসমানিয়ানের একটি সাব-ম্যানিফোল্ড। একটি জটিল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গ্রাসমানিয়ান হল 2n মাত্রার একটি জটিল সিমপ্লেক্টিক ভেক্টর স্পেস ভি-এর ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবস্পেসের জটিল সমজাতীয় বহুগুণ। এটি জটিল মাত্রা n (n + 1) এর সমজাতীয় স্থানের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে, যেখানে কম্প্যাক্ট সিমপ্লেক্টিক গ্রুপ। একটি সমজাতীয় স্থান হিসাবে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গ্রাসমানিয়ান λ (n)-এর সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে তা দেখতে, লক্ষ্য করুন যে এটি একটি 2n-মাত্রিক বাস্তব ভেক্টর স্থান, তার স্বাভাবিক অভ্যন্তরীণ পণ্যের কাল্পনিক অংশটি এটিকে একটি সিমপ্লেক্টিক ভেক্টর স্পেসে পরিণত করে। এর ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবস্পেসগুলি তখন বাস্তব মাত্রার n-এর প্রকৃত সাবস্পেস যার উপর অভ্যন্তরীণ পণ্যের কাল্পনিক অংশটি অদৃশ্য হয়ে যায়। একটি উদাহরণ দেওয়া যায়। একক গ্রুপটি এই সাবস্পেসগুলির সেটের উপর ক্ষণস্থায়ীভাবে কাজ করে এবং এর স্থিতিশীল হল অর্থোগোনাল গ্রুপ। এটি সমজাতীয় স্থানের তত্ত্ব থেকে অনুসরণ করে যে λ (n) একটি সমজাতীয় স্থান হিসাবে সমরূপ। টপোলজি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গ্রাসমানিয়ান এবং জটিল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গ্রাসমানিয়ানের স্থিতিশীল টপোলজি সম্পূর্ণরূপে বোঝা যায়, কারণ এই স্থানগুলি বট পিরিয়ডিসিটি উপপাদ্যতে দেখা যায়ঃ, এবং-এইভাবে তারা সূচকের পরিবর্তন (মাত্রা) পর্যন্ত স্থিতিশীল অর্থোগোনাল গ্রুপের ঠিক সমস্থানিক গোষ্ঠী। বিশেষ করে, এর মৌলিক গোষ্ঠী হল অসীম চক্রাকার। এর প্রথম সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীটিও তাই অসীম চক্রাকার, যেমন এর প্রথম সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠী, একক বৃত্তের মানচিত্র হিসাবে একটি একক ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের বর্গ দ্বারা প্রদত্ত একটি বিশিষ্ট জেনারেটর সহ। আর্নল্ড দেখিয়েছেন যে এটি ভি. পি. মাসলভ দ্বারা প্রবর্তিত মাসলভ সূচকের বর্ণনার দিকে পরিচালিত করে। V-এর একটি ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ড M-এর জন্য, প্রকৃতপক্ষে, একটি ম্যাপিং রয়েছে যা প্রতিটি বিন্দুতে তার স্পর্শক স্থানকে শ্রেণীবদ্ধ করে (cf. গাউস মানচিত্র)। মাসলভ সূচক হল এই ম্যাপিংয়ের মাধ্যমে বিশিষ্ট জেনারেটরের পুলব্যাক। মাসলভ সূচক একটি সিমপ্লেক্টিক ভেক্টর স্থানের সিমপ্লেক্টমর্ফিজমের একটি পথকে একটি মাসলভ সূচক বরাদ্দ করা যেতে পারে, যা ভি. পি. মাসলভের নামে নামকরণ করা হয়েছে; পথটি যদি একটি লুপ হয় তবে এটি একটি পূর্ণসংখ্যা হবে এবং সাধারণভাবে একটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা হবে। যদি এই পথটি একটি সিমপ্লেক্টিক ম্যানিফোল্ডের উপর একটি হ্যামিল্টনিয়ান ভেক্টর ক্ষেত্রের পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথে সিমপ্লেক্টিক ভেক্টর বান্ডিলকে তুচ্ছকরণ বা একটি যোগাযোগ ম্যানিফোল্ডের উপর রিব ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে উদ্ভূত হয়, তবে এটি কনলি-জেন্ডার সূচক হিসাবে পরিচিত। এটি ফ্লোর হোমোলজিতে উদ্ভূত কচি-রিম্যান-টাইপ অপারেটরগুলির বর্ণালী প্রবাহ গণনা করে। এটি মূলত ডব্লিউ. কে. বি আনুমানিক অধ্যয়নে আবির্ভূত হয়েছিল এবং কোয়ান্টাইজেশন, কোয়ান্টাম বিশৃঙ্খলা ট্রেস সূত্র এবং সিমপ্লেক্টিক জ্যামিতি এবং টপোলজি অধ্যয়নে প্রায়শই উপস্থিত হয়। রৈখিক ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ডের জন্য একটি মাসলভ সূচকের পরিপ্রেক্ষিতে এটি উপরে বর্ণিত হতে পারে। রেফারেন্স ভি. আই. আর্নল্ড, কোয়ান্টাইজেশন কন্ডিশনে প্রবেশ করা চরিত্রগত শ্রেণী, ফাঙ্কসনাল 'নেই আনালিজ আই ইগো প্রিলোজেনিয়া, 1967,1,1,1-14,। ভি. পি. মাসলভ, থিওরি ডেস পারটার্বেশানস এবং মেথোডস অ্যাসিম্পটোটিক্স। 1972 মাসলভ সূচক সম্পর্কিত বিভিন্ন উৎস উপাদান। প্রতীকী জ্যামিতি সমজাতীয় স্থানের টপোলজি গাণিতিক পরিমাণায়ন