Toda lattice
দ্বারা প্রবর্তিত টোডা জাল, কঠিন অবস্থা পদার্থবিজ্ঞানে এক-মাত্রিক স্ফটিকের জন্য একটি সহজ মডেল। এটি বিখ্যাত কারণ এটি একটি অ-রৈখিক সম্পূর্ণরূপে ইন্টিগ্রেবল সিস্টেমের প্রাচীনতম উদাহরণগুলির মধ্যে একটি। এটি নিকটতম প্রতিবেশী মিথস্ক্রিয়া সহ কণাগুলির একটি শৃঙ্খল দ্বারা দেওয়া হয়, যা হ্যামিল্টনিয়ান এবং গতির সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে যেখানে তার ভারসাম্য অবস্থান থেকে-তম কণার স্থানচ্যুতি, এবং তার ভরবেগ (ভর), এবং টোডা সম্ভাব্যতা। সোলিটন দ্রবণ হল একাকী তরঙ্গ যা সময়ের সাথে সাথে তাদের আকৃতি এবং আকারে কোনও পরিবর্তন ছাড়াই ছড়িয়ে পড়ে এবং কণার মতো উপায়ে একে অপরের সাথে মিথস্ক্রিয়া করে। সমীকরণের সাধারণ এন-সোলিটন সমাধান হল কোথায় এবং কোথায়। ইন্টিগ্রেবিলিটি টোডা ল্যাটিস একটি সম্পূর্ণ ইন্টিগ্রেবল সিস্টেমের একটি প্রোটোটাইপিক উদাহরণ। এটি দেখার জন্য ফ্ল্যাশকার ভেরিয়েবল ব্যবহার করা হয় যাতে টোডা ল্যাটিস পড়ে সিস্টেমটি সম্পূর্ণরূপে ইন্টিগ্রেবল দেখানোর জন্য, একটি ল্যাক্স জোড়া খুঁজে বের করা যথেষ্ট, অর্থাৎ বর্গাকার যোগফল ক্রমের হিলবার্ট স্পেসে দুটি অপারেটর এল (টি) এবং পি (টি) যাতে ল্যাক্স সমীকরণ (যেখানে [এল, পি] = এলপি-পিএল হল দুটি অপারেটরের লাই কমিউটেটর) ফ্ল্যাশকার ভেরিয়েবলের সময় অন্তরজ সমতুল্য। যেখানে f (n + 1) এবং f (n-1) শিফ্ট অপারেটর, সেই পছন্দটি বোঝায় যে বিভিন্ন t-এর জন্য অপারেটর L (t) এককভাবে সমতুল্য। ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য হল যে এর আইগেনভ্যালুগুলি সময়ের সাথে অপরিবর্তনীয়। এই আইগেনভ্যালুগুলি গতির স্বাধীন ইন্টিগ্রাল গঠন করে, তাই টোডা জাল সম্পূর্ণরূপে ইন্টিগ্রেবল। বিশেষত, টোডা জালটি জ্যাকোবি অপারেটর এল-এর জন্য বিপরীত বিচ্ছুরণ রূপান্তরের ভিত্তিতে সমাধান করা যেতে পারে। মূল ফলাফলটি বোঝায় যে বড় টি-এর জন্য প্রাথমিক অবস্থাগুলিকে নির্বিচারে (যথেষ্ট দ্রুত) ক্ষয় করে সলিটনের সমষ্টি এবং একটি ক্ষয়শীল বিচ্ছুরিত অংশে বিভক্ত করা হয়। আরও দেখুন ল্যাক্স পেয়ার লাই বাইয়ালজেব্রা পয়সন-লাই গ্রুপ রেফারেন্স ইউজিন গাটকিন, এক্সপোনেনশিয়াল সম্ভাবনার সাথে ইন্টিগ্রেবল হ্যামিল্টনিয়ানস, ফিজিক 16ডি (1985) 398-404। বাইরের লিঙ্ক ই. ডব্লিউ. ওয়েইজস্টাইন, টোডা ল্যাটিস অ্যাট সায়েন্সওয়ার্ল্ড জি. টেসল, দ্য টোডা ল্যাটিস জে ফিজিক টোডা ল্যাটিসের পঞ্চাশ বছরের উপর একটি বিশেষ সংখ্যা ঠিক সমাধানযোগ্য মডেল ইন্টিগ্রেবল সিস্টেমস সলিটনস ল্যাটিস মডেল