Klein paradox
1929 সালে, পদার্থবিজ্ঞানী অস্কার ক্লেইন একটি সম্ভাব্য বাধা থেকে ইলেক্ট্রন বিচ্ছুরণের পরিচিত সমস্যার ক্ষেত্রে ডিরাক সমীকরণ প্রয়োগ করে একটি বিস্ময়কর ফলাফল অর্জন করেন। অ-আপেক্ষিক কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, সূচকীয় ড্যাম্পিং সহ একটি প্রতিবন্ধকতার মধ্যে ইলেক্ট্রন টানেলিং পর্যবেক্ষণ করা হয়। যাইহোক, ক্লেইনের ফলাফল দেখায় যে যদি সম্ভাব্যতা অন্তত ইলেকট্রন ভরের ক্রমের হয়, তবে বাধাটি প্রায় স্বচ্ছ। উপরন্তু, সম্ভাব্যতা অসীমের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে প্রতিফলন হ্রাস পায় এবং ইলেক্ট্রন সর্বদা সঞ্চারিত হয়। নিউট্রন আবিষ্কারের আগে নিউক্লিয়াসের মধ্যে নিরপেক্ষ কণাগুলির জন্য রাদারফোর্ডের প্রোটন-ইলেক্ট্রন মডেলে এই প্যারাডক্সের তাৎক্ষণিক প্রয়োগ ছিল। প্যারাডক্স একটি নিউক্লিয়াসের মধ্যে সীমাবদ্ধ একটি ইলেক্ট্রনের ধারণার প্রতি একটি কোয়ান্টাম যান্ত্রিক আপত্তি উপস্থাপন করেছিল। এই স্পষ্ট এবং সুনির্দিষ্ট বৈপরীত্যটি পরামর্শ দেয় যে কোনও ইলেকট্রনকে কোনও সম্ভাব্য কূপ দ্বারা নিউক্লিয়াসের মধ্যে সীমাবদ্ধ করা যায় না। এই বৈপরীত্যের অর্থ নিয়ে সেই সময়ে তীব্র বিতর্ক হয়েছিল। ভরহীন কণা একটি ভরহীন আপেক্ষিক কণা বিবেচনা করুন যা শক্তি এবং ভরবেগের সাথে উচ্চতার একটি সম্ভাব্য ধাপে পৌঁছেছে। কণার তরঙ্গ ফাংশন, সময়-স্বাধীন ডিরাক সমীকরণ অনুসরণ করেঃ এবং এটি পাউলি ম্যাট্রিক্সঃ যদি ধরে নেওয়া হয় যে কণাটি বাম দিক থেকে প্রসারিত হচ্ছে, আমরা দুটি সমাধান পাই-একটি ধাপের আগে, অঞ্চলে (1) এবং একটি সম্ভাবনার অধীনে, অঞ্চলে (2): যেখানে সহগ এবং জটিল সংখ্যা। আগত এবং প্রেরিত তরঙ্গ ফাংশন উভয়ই ধনাত্মক গ্রুপ বেগের সাথে যুক্ত (Fig.1-এ নীল রেখা), যেখানে প্রতিফলিত তরঙ্গ ফাংশন ঋণাত্মক গ্রুপ বেগের সাথে যুক্ত। (Fig.1-এ সবুজ রেখা) আমরা এখন সংক্রমণ এবং প্রতিফলন সহগ গণনা করতে চাই, তারা সম্ভাব্যতা প্রশস্ততা স্রোত থেকে উদ্ভূত হয়। ডিরাক সমীকরণের সাথে যুক্ত সম্ভাব্যতা কারেন্টের সংজ্ঞাটি হলঃ এই ক্ষেত্রেঃ সংক্রমণ এবং প্রতিফলন সহগগুলি হলঃ তরঙ্গ ফাংশনের ধারাবাহিকতা, ফলনঃ এবং তাই সংক্রমণ সহগ 1 এবং কোনও প্রতিফলন নেই। প্যারাডক্সের একটি ব্যাখ্যা হল যে একটি সম্ভাব্য পদক্ষেপ একটি ভরহীন আপেক্ষিক কণার গ্রুপ বেগের দিকটি বিপরীত করতে পারে না। এই ব্যাখ্যাটি উপরে উল্লিখিত একক কণার সমাধানের জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত। কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের প্রেক্ষাপটে সাহিত্যে আরও জটিল ব্যাখ্যার পরামর্শ দেওয়া হয়েছে, যেখানে সম্ভাব্যতায় কণা-অ্যান্টিপার্টিকাল জুটির অস্তিত্বের কারণে অনিয়ন্ত্রিত টানেলিং ঘটতে দেখা যায়। বিশাল কেসের জন্য, গণনাগুলি উপরেরটির অনুরূপ। ফলাফলগুলি গণহীন মামলার মতোই বিস্ময়কর। সংক্রমণ সহগ সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় হয় এবং সম্ভাব্য ধাপটি অনন্তের দিকে যাওয়ার সাথে সাথে 1-এর কাছে পৌঁছায়। ক্লেইন অঞ্চল কণার শক্তি যদি সীমার মধ্যে থাকে, তাহলে মোট প্রতিফলনের পরিবর্তে আংশিক প্রতিফলন ঘটবে। যদিও প্রচলিত রেজোলিউশন কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের (হ্যানসেন 1981) প্রসঙ্গে কণা-বিরোধী-কণা জোড়া উৎপাদন ব্যবহার করে, একটি সহজ রেজোলিউশন বিদ্যমান যা প্রতিবন্ধকতার অধীনে নেতিবাচক শক্তি সমাধানের বিচ্ছুরণের জন্য শারীরিক জোড়া উৎপাদনকে প্রতিস্থাপন করে (আলহাইদারি 2009)। এই কৌশলটি একটি অসীম বর্গ কূপের জন্য ডিরাক সমীকরণের বিশ্লেষণাত্মক সমাধান পেতেও প্রয়োগ করা হয়েছিল। অন্যান্য ক্ষেত্রে এই ফলাফলগুলি উচ্চতর মাত্রায় এবং অন্যান্য ধরনের সম্ভাব্যতায় প্রসারিত করা হয়েছিল, যেমন একটি রৈখিক ধাপ, একটি বর্গাকার বাধা, একটি মসৃণ সম্ভাব্যতা ইত্যাদি। গ্রাফিন-এ ইলেক্ট্রন পরিবহনের অনেক পরীক্ষা-নিরীক্ষা ভরহীন কণাগুলির জন্য ক্লেইন প্যারাডক্সের উপর নির্ভর করে। আরও দেখুন প্যারাডক্স রেফারেন্সের তালিকা আরও পড়ুন শারীরিক প্যারাডক্স