Kelly criterion
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে, কেলি মানদণ্ড (বা কেলি কৌশল বা কেলি বেট) একটি বাজি মাপের জন্য একটি সূত্র। কেলি বেটের আকার সম্পদের লগারিদমের প্রত্যাশিত মানকে সর্বাধিক করে পাওয়া যায়, যা প্রত্যাশিত জ্যামিতিক বৃদ্ধির হারকে সর্বাধিক করার সমতুল্য। এটি ধরে নেয় যে প্রত্যাশিত রিটার্নগুলি জানা এবং এমন একজন বেটারের জন্য সর্বোত্তম যে তাদের সম্পদকে লগারিদমিকভাবে মূল্য দেয়। বেল ল্যাবসের গবেষক জে. এল. কেলি জুনিয়র 1956 সালে এই মানদণ্ডটি বর্ণনা করেন। উল্লিখিত অনুমানের অধীনে, কেলি মানদণ্ড দীর্ঘমেয়াদে অন্য যে কোনও কৌশলের তুলনায় উচ্চতর সম্পদের দিকে পরিচালিত করে (অর্থাৎ, তাত্ত্বিক সর্বাধিক রিটার্ন হিসাবে বেটের সংখ্যা অনন্তের দিকে যায়)। সূত্রটির ব্যবহারিক ব্যবহার জুয়ার জন্য প্রদর্শিত হয়েছে এবং বিনিয়োগ ব্যবস্থাপনায় বৈচিত্র্য ব্যাখ্যা করতে একই ধারণা ব্যবহার করা হয়েছিল। 2000-এর দশকে, কেলি-শৈলীর বিশ্লেষণ মূলধারার বিনিয়োগ তত্ত্বের একটি অংশ হয়ে ওঠে এবং দাবি করা হয় যে ওয়ারেন বাফেট এবং বিল গ্রস সহ সুপরিচিত সফল বিনিয়োগকারীরা কেলি পদ্ধতি ব্যবহার করেন। এছাড়াও ইন্টারটেম্পোরাল পোর্টফোলিও পছন্দ দেখুন। জুয়ার সূত্র যেখানে বাজি হারানোর সাথে পুরো বাজি হারানো জড়িত থাকে, কেলি বাজিটি হলঃ যেখানেঃ বাজি ধরার জন্য বর্তমান ব্যাঙ্করোলে ভগ্নাংশ। এটি একটি জয়ের সম্ভাবনা। এটি ক্ষতির সম্ভাবনা ()। এটি একটি জয়ের সাথে অর্জিত বাজির অনুপাত। উদাহরণস্বরূপ, যদি 2-থেকে-1 প্রতিকূলতার বাজি ধরে 10 ডলার বাজি ধরা হয় (জেতার পরে আপনাকে 30 ডলার ফেরত দেওয়া হবে, আপনাকে 20 ডলার জিততে হবে), তাহলে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও জুয়ায় জেতার 60 শতাংশ সম্ভাবনা থাকে (,), এবং জুয়াড়ি একটি বিজয়ী বাজি ()-তে 1-থেকে-1 প্রতিকূলতা পায়, তাহলে ব্যাঙ্করোলের দীর্ঘমেয়াদী বৃদ্ধির হার সর্বাধিক করতে, জুয়াড়িকে প্রতিটি সুযোগে ব্যাঙ্করোলের 20 শতাংশ বাজি ধরতে হবে ()। যদি জুয়াড়িটির শূন্য প্রান্ত থাকে, অর্থাৎ, যদি, তাহলে মানদণ্ডটি জুয়াড়িটির জন্য কিছুই বাজি না রাখার পরামর্শ দেয়। যদি প্রান্তটি ঋণাত্মক () হয় তবে সূত্রটি একটি ঋণাত্মক ফলাফল দেয়, যা ইঙ্গিত করে যে জুয়াড়িটির বাজিটির অন্য দিকটি নেওয়া উচিত। উদাহরণস্বরূপ, আমেরিকান রুলেটে, বেটারকে লাল রঙে জোড় অর্থ প্রদানের প্রস্তাব দেওয়া হয়, যখন চাকায় 18টি লাল নম্বর এবং 20টি অ-লাল নম্বর থাকে। কেলি বাজি হল, যার অর্থ জুয়াড়িকে তাদের ব্যাঙ্করোলে উনিশতম বাজি ধরতে হবে যে লাল রঙ আসবে না। রুলেটে তুলনামূলক প্রতিকূলতার সাথে কোনও স্পষ্ট অ্যান্টি-রেড বাজি দেওয়া হয় না, তাই একজন কেলি জুয়াড়ি যা করতে পারেন তা হল কিছুই বাজি ধরা নয়। বিনিয়োগ সূত্র কেলি সূত্রের একটি আরও সাধারণ রূপ আংশিক লোকসানের অনুমতি দেয়, যা বিনিয়োগের ক্ষেত্রে প্রাসঙ্গিকঃ যেখানেঃ নিরাপত্তায় প্রয়োগ করার জন্য সম্পদের ভগ্নাংশ। বিনিয়োগের মূল্য বৃদ্ধির সম্ভাবনা। বিনিয়োগের মূল্য () হ্রাস পাওয়ার সম্ভাবনা। একটি ভগ্নাংশ যা একটি নেতিবাচক ফলাফলে হারিয়ে যায়। যদি প্রতিভূতি মূল্য 10 শতাংশ কমে যায়, তাহলে ইতিবাচক ফলাফলে যে ভগ্নাংশ লাভ হয়। যদি নিরাপত্তার মূল্য 10 শতাংশ বৃদ্ধি পায়, তাহলে। মনে রাখবেন যে কেলি মানদণ্ড শুধুমাত্র জ্ঞাত ফলাফল সম্ভাবনার জন্য বৈধ, যা বিনিয়োগের ক্ষেত্রে হয় না। ঝুঁকি-বিরোধী বিনিয়োগকারীদের সম্পূর্ণ কেলি ভগ্নাংশ বিনিয়োগ করা উচিত নয়। সাধারণ ফর্মটি নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে যেখানেঃ জয়-পরাজয় সম্ভাব্যতা (ডাব্লুএলপি) অনুপাত, যা বাজি হারানোর সাথে জয়ের অনুপাত। বাজি ফলাফলের জয়-পরাজয় অনুপাত (ডাব্লুএলআর), যা বিজয়ী তির্যক। এটা স্পষ্ট যে, অন্তত একটি কারণ বা একটি প্রান্ত থাকার জন্য 1 এর চেয়ে বড় হওয়া প্রয়োজন (তাই)। এটি এমনকি সম্ভব যে জয়-পরাজয়ের সম্ভাব্যতা অনুপাত প্রতিকূল, তবে একজনের যতক্ষণ সম্ভব একটি প্রান্ত রয়েছে। কেলি সূত্রটি সহজেই 1 এর চেয়ে বেশি ভগ্নাংশের ফলস্বরূপ হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যখন আকার হ্রাস পায় (এবং এর কারণগুলির সাথে উপরের অভিব্যক্তিটি দেখুন)। এটি কিছুটা বিপরীতমুখীভাবে ঘটে, কারণ কেলি ভগ্নাংশ সূত্রটি বাজিটির বড় আকার দ্বারা ক্ষতিপূরণ দেয়। কিন্তু, বেশিরভাগ বাস্তব পরিস্থিতিতে, কেলি সূত্রে প্রবেশ করা সমস্ত পরামিতি সম্পর্কে বড় অনিশ্চয়তা রয়েছে। 1-এর চেয়ে বেশি কেলি ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, মার্জিনে অতিরিক্ত সিকিউরিটিজ কেনার জন্য লিভারেজ ব্যবহার করা তাত্ত্বিকভাবে সুবিধাজনক। বাজি ধরার উদাহরণ-আচরণগত পরীক্ষা একটি সমীক্ষায়, প্রতিটি অংশগ্রহণকারীকে 25 ডলার দেওয়া হয়েছিল এবং একটি মুদ্রায় জোড়-অর্থের বাজি রাখতে বলা হয়েছিল যা 60 শতাংশ সময় শীর্ষে থাকবে। অংশগ্রহণকারীদের খেলার জন্য 30 মিনিট সময় ছিল, তাই তারা প্রায় 300টি বাজি রাখতে পারত এবং পুরস্কারের পরিমাণ ছিল 250 মার্কিন ডলার। কিন্তু পরীক্ষার বিষয়গুলির আচরণ অনুকূল ছিল নাঃ {{blockquote|Remarkably, অংশগ্রহণকারীদের 28 শতাংশ ব্যর্থ হয়েছিল এবং গড় বেতন ছিল মাত্র 91 ডলার। অংশগ্রহণকারীদের মধ্যে মাত্র 21 শতাংশ সর্বোচ্চ পর্যায়ে পৌঁছেছে। 61 জন অংশগ্রহণকারীর মধ্যে 18 জন এক টসে সবকিছু বাজি ধরে, যখন দুই-তৃতীয়াংশ পরীক্ষার কোনও না কোনও পর্যায়ে লেজের উপর জুয়া খেলে। "বাটনউড", "অযৌক্তিক টসার্স", দ্য ইকোনমিস্ট, 1 নভেম্বর 2016। কেলি মানদণ্ড ব্যবহার করে এবং পরীক্ষার প্রতিকূলতার উপর ভিত্তি করে (250 ডলারের সীমা এবং পরীক্ষার সীমাবদ্ধ সময়কাল উপেক্ষা করে), সঠিক পদ্ধতিটি হবে মুদ্রার প্রতিটি টসে একজনের ব্যাঙ্ক্রোলের 20 শতাংশ বাজি ধরা, যা প্রতিটি রাউন্ডে 2.034% গড় লাভের জন্য কাজ করে। এটি একটি জ্যামিতিক গড়, 4 শতাংশের গাণিতিক হার নয় (r = 0.2 x (0.6-0.4) = 0.14)। 300 রাউন্ডের পরে তাত্ত্বিকভাবে প্রত্যাশিত সম্পদ 10,505 মার্কিন ডলারে পরিণত হয় যদি এটি সীমাবদ্ধ না থাকে। এই নির্দিষ্ট খেলায়, ক্যাপের কারণে, প্রতিটি টসে পটের মাত্র 12 শতাংশ বাজি ধরার কৌশলটির আরও ভাল ফলাফল হতে পারে (ক্যাপ পৌঁছানোর 95 শতাংশ সম্ভাবনা এবং $242.03 এর গড় পরিশোধ)। কেলি মানদণ্ডের প্রমাণ হিউরিস্টিক প্রমাণগুলি সহজবোধ্য। কেলি মানদণ্ড সম্পদের লগারিদমের প্রত্যাশিত মানকে সর্বাধিক করে তোলে (একটি ফাংশনের প্রত্যাশিত মান সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের সমষ্টি দ্বারা দেওয়া হয়, প্রতিটি নির্দিষ্ট ফলাফলের সম্ভাব্যতা সেই ফলাফলের ক্ষেত্রে ফাংশনের মান দ্বারা গুণিত হয়)। আমরা সম্পদের 1 ইউনিট দিয়ে শুরু করি এবং সেই সম্পদের একটি ভগ্নাংশ এমন একটি ফলাফলের উপর বাজি ধরি যা সম্ভাবনার সাথে ঘটে এবং এর প্রতিকূলতার প্রস্তাব দেয়। জেতার সম্ভাবনা হল, এবং সেই ক্ষেত্রে ফলস্বরূপ সম্পদ সমান। হারানোর সম্ভাবনা হল, এবং সেই ক্ষেত্রে ফলস্বরূপ সম্পদ সমান। অতএব, প্রত্যাশিত জ্যামিতিক বৃদ্ধির হার হলঃ আমরা এই বক্ররেখার সর্বাধিক r খুঁজে বের করতে চাই (f এর একটি ফাংশন হিসাবে), যার মধ্যে সমীকরণের অন্তরজ খুঁজে বের করা জড়িত। প্রথমে প্রতিটি পক্ষের লগারিদম নিয়ে এটি আরও সহজে সম্পন্ন করা যায়। ফলস্বরূপ সমীকরণটি হলঃ লগারিদমিক সম্পদ বৃদ্ধি নির্দেশ করে। যে মূল্যের জন্য বৃদ্ধির হার সর্বাধিক করা হয়েছে তা খুঁজে বের করার জন্য, আমরা উপরের অভিব্যক্তিটিকে আলাদা করি এবং এটিকে শূন্যের সমান সেট করি। এটি দেয়ঃ মূল্যের জন্য সমাধান করার জন্য এই সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করা কেলি মানদণ্ড দেয়ঃ লক্ষ্য করুন যে এই অভিব্যক্তিটি সহজ জুয়া সূত্রে হ্রাস পায় যখন, যখন কোনও ক্ষতির ফলে বাজির সম্পূর্ণ ক্ষতি হয়। 1738 সালের একটি নিবন্ধে, ড্যানিয়েল বার্নৌলি পরামর্শ দিয়েছিলেন যে, যখন কারোর কাছে বাজি বা বিনিয়োগের বিকল্প থাকে, তখন তার ফলাফলের সর্বোচ্চ জ্যামিতিক গড় দিয়ে তা বেছে নেওয়া উচিত। এটি গাণিতিকভাবে কেলি মানদণ্ডের সমতুল্য, যদিও অনুপ্রেরণা ভিন্ন (বার্নৌলি সেন্ট পিটার্সবার্গ প্যারাডক্স সমাধান করতে চেয়েছিলেন)। বার্নৌলি নিবন্ধটির একটি ইংরেজি অনুবাদ 1954 সাল পর্যন্ত প্রকাশিত হয়নি, তবে এই কাজটি গণিতবিদ এবং অর্থনীতিবিদদের মধ্যে সুপরিচিত ছিল। শেয়ার বাজারে প্রয়োগ গাণিতিক অর্থনীতিতে, যদি নিরাপত্তা ওজন প্রত্যাশিত জ্যামিতিক বৃদ্ধির হারকে সর্বাধিক করে (যা লগ সম্পদকে সর্বাধিক করার সমতুল্য), তবে একটি পোর্টফোলিও সর্বোত্তম বৃদ্ধি। বৃদ্ধির সর্বোত্তম পোর্টফোলিওগুলির গণনা প্রচুর আবর্জনা বহন করতে পারে, সমস্যাগুলি বর্জ্য করে দিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নীচের ক্ষেত্রে সম্পদের প্রত্যাশিত রিটার্ন এবং কোভ্যারিয়েন্স কাঠামো হিসাবে নেওয়া হয়েছে, তবে এই পরামিতিগুলি সর্বোত্তম অনুমান বা মডেল যা উল্লেখযোগ্য অনিশ্চয়তা রয়েছে। যদি পোর্টফোলিও ওজন মূলত অনুমানের ত্রুটির একটি ফাংশন হয়, তবে একটি বৃদ্ধি-সর্বোত্তম পোর্টফোলিওর এক্স-পোস্ট পারফরম্যান্স এক্স-এন্টে ভবিষ্যদ্বাণী থেকে চমত্কারভাবে পৃথক হতে পারে। প্যারামিটার অনিশ্চয়তা এবং অনুমানের ত্রুটিগুলি পোর্টফোলিও তত্ত্বের একটি বড় বিষয়। অজানা ঝুঁকি প্রতিহত করার একটি পদ্ধতি হল কেলি মানদণ্ডের (যেমন, অর্ধেক) চেয়ে কম বিনিয়োগ করা। মোটামুটি অনুমান এখনও কার্যকর। যদি আমরা অতিরিক্ত রিটার্ন 4 শতাংশ এবং অস্থিরতা 16 শতাংশ নিই, তাহলে বার্ষিক শার্প অনুপাত এবং কেলি অনুপাত 25 শতাংশ এবং 150% হিসাবে গণনা করা হয়। দৈনিক শার্প অনুপাত এবং কেলি অনুপাত হল 1.7% এবং 150%। শার্প অনুপাত পি = (50 শতাংশ + 1.7%/4) এর দৈনিক জয়ের সম্ভাবনাকে বোঝায়, যেখানে আমরা ধরে নিয়েছিলাম যে সম্ভাব্যতা ব্যান্ডউইথ হল। এখন আমরা উপরের জন্য পৃথক কেলি সূত্র প্রয়োগ করতে পারি, এবং আমরা কেলি ভগ্নাংশের জন্য আরেকটি মোটামুটি অনুমান পাই। কেলি ভগ্নাংশের এই দুটি অনুমানই বেশ যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হয়, তবুও একটি বিচক্ষণ পদ্ধতি কেলি অনুপাতের আরও 50 শতাংশ গুণনের পরামর্শ দেয় (অর্থাৎ। অর্ধ-কেলি)। এডওয়ার্ড ও. থর্প এবং একজন সহ-লেখকের একটি বিস্তারিত গবেষণাপত্রে অনুমান করা হয়েছে যে মার্কিন শেয়ার বাজারের এস. পি. 500 সূচকের জন্য কেলি ভগ্নাংশ <আই. ডি. 1>। ইক্যুইটি বাজারের জন্য উল্লেখযোগ্য নেতিবাচক ঝুঁকি হল কেলি ভগ্নাংশকে সরল অনুমান থেকে হ্রাস করার আরেকটি কারণ (উদাহরণস্বরূপ, অর্ধ-কেলিতে হ্রাস করা)। সমালোচনা যদিও কেলি কৌশলের দীর্ঘমেয়াদে অন্য যে কোনও কৌশলের চেয়ে ভাল করার প্রতিশ্রুতি জোরালো বলে মনে হয়, কিছু অর্থনীতিবিদ এর বিরুদ্ধে কঠোরভাবে যুক্তি দিয়েছেন, মূলত কারণ একজন ব্যক্তির নির্দিষ্ট বিনিয়োগের সীমাবদ্ধতা সর্বোত্তম বৃদ্ধির হারের আকাঙ্ক্ষাকে ছাপিয়ে যেতে পারে। প্রচলিত বিকল্পটি হল প্রত্যাশিত ইউটিলিটি তত্ত্ব যা বলে যে ফলাফলের প্রত্যাশিত উপযোগিতা সর্বাধিক করার জন্য বাজি আকারের হওয়া উচিত (লগারিদমিক ইউটিলিটি সহ একজন ব্যক্তির কাছে, কেলি বাজি প্রত্যাশিত উপযোগিতা সর্বাধিক করে, তাই কোনও দ্বন্দ্ব নেই; উপরন্তু, কেলির মূল কাগজ স্পষ্টভাবে জুয়া খেলার ক্ষেত্রে একটি ইউটিলিটি ফাংশনের প্রয়োজনীয়তা উল্লেখ করে যা সীমিতভাবে অনেকবার খেলা হয়)। এমনকি কেলি সমর্থকরাও সাধারণত বিভিন্ন ব্যবহারিক কারণে ভগ্নাংশ কেলির (কেলি দ্বারা প্রস্তাবিত পরিমাণের একটি নির্দিষ্ট ভগ্নাংশ বাজি) পক্ষে তর্ক করেন, যেমন অস্থিরতা কমাতে চাওয়া, বা তাদের সুবিধা (প্রান্ত) গণনায় অ-নির্ধারক ত্রুটি থেকে রক্ষা করা। কথোপকথনের পরিপ্রেক্ষিতে, কেলি মানদণ্ডের জন্য সঠিক সম্ভাব্যতা মান প্রয়োজন, যা বাস্তব-বিশ্বের ঘটনার ফলাফলের জন্য সর্বদা সম্ভব নয়। যখন কোনও জুয়াড়ি তাদের জয়ের প্রকৃত সম্ভাবনাকে অতিরিক্ত মূল্যায়ন করে, তখন গণনা করা মানদণ্ডের মান সর্বোত্তম থেকে বিচ্ছিন্ন হয়ে যাবে, যা ধ্বংসের ঝুঁকি বাড়িয়ে তুলবে। কেলি সূত্রকে 'সময় বৈচিত্র্য' হিসাবে ভাবা যেতে পারে, যা বিভিন্ন ক্রমিক সময়কালে সমান ঝুঁকি নিচ্ছে (সম্পদের বৈচিত্র্যের জন্য বিভিন্ন সম্পদে সমান ঝুঁকি নেওয়ার বিপরীতে)। সময়ের বৈচিত্র্য এবং সম্পদের বৈচিত্র্যের মধ্যে স্পষ্টভাবে একটি পার্থক্য রয়েছে, যা পল এ স্যামুয়েলসন উত্থাপন করেছিলেন। এনসেম্বল-এভারেজিং (ইউটিলিটি গণনা) এবং সময়-এভারেজিং (বাস্তব জীবনে একক সময়ের পথে কেলি মাল্টি-পিরিয়ড বাজি) এর মধ্যেও পার্থক্য রয়েছে। এর্গোডিসিটি ব্রেকিংকে উত্সাহিত করে বিতর্কটি পুনর্নবীকরণ করা হয়েছিল। তবুও এরগোডিসিটি ব্রেকিং এবং নাইটিয়ান অনিশ্চয়তার মধ্যে পার্থক্যকে স্বীকৃতি দেওয়া উচিত। উন্নত গণিত একটি কঠোর এবং সাধারণ প্রমাণের জন্য, কেলির মূল গবেষণাপত্র বা নীচে তালিকাভুক্ত অন্যান্য কিছু রেফারেন্স দেখুন। কিছু সংশোধন প্রকাশিত হয়েছে। সাধারণ ধারণাটি দেখানোর জন্য এবং কিছু অন্তর্দৃষ্টি প্রদানের জন্য আমরা মামলার জন্য নিম্নলিখিত অ-কঠোর যুক্তিটি (একটি 50:50 "এমনকি অর্থ" বাজি) দিচ্ছি। উপরে যেমন দেখানো হয়েছে, একজন কেলি বেটার কখন তাদের প্রাথমিক সম্পদের গুণফলের উপর বাজি ধরে। যদি তারা জিততে পারে, তাহলে তাদের একটার পর একটা বাজি আছে। যদি তারা হেরে যায়, তারা হারবে। ধরুন তারা এই ধরনের বাজি ধরে, এবং এই সিরিজের বাজি থেকে বার বার জয় করে। ফলস্বরূপ সম্পদ হবেঃ মনে রাখবেন যে জয়-পরাজয়ের ক্রম ফলস্বরূপ সম্পদকে প্রভাবিত করে না। ধরুন অন্য একজন বাজি ধরার খেলোয়াড় একটি ভিন্ন পরিমাণের বাজি ধরেছেন, কিছু মূল্যের জন্য (যেখানে ইতিবাচক বা নেতিবাচক হতে পারে)। জয়ের পরে এবং হারের পরেও তারা তা পাবে। কেলি বেটারের মতো জয় এবং পরাজয়ের একই সিরিজের পরে, তাদের থাকবেঃ এর সাথে সম্পর্কিত ডেরিভেটিভটি নিন এবং পানঃ ফাংশনটি সর্বাধিক হয় যখন এই ডেরিভেটিভটি শূন্যের সমান হয়, যা ঘটেঃ যা বোঝায় যে তবে বিজয়ী বেটের অনুপাত অবশেষে বড় সংখ্যার দুর্বল আইন অনুসারেঃ সুতরাং দীর্ঘমেয়াদে, চূড়ান্ত সম্পদ শূন্যে সেট করে সর্বাধিক করা হয়, যার অর্থ কেলি কৌশল অনুসরণ করা। এটি দেখায় যে কেলির একটি নির্ধারক এবং একটি অপ্রচলিত উপাদান উভয়ই রয়েছে। যদি কেউ কে এবং এন জানে এবং প্রতিবার বাজি ধরার জন্য সম্পদের একটি ধ্রুবক ভগ্নাংশ বেছে নিতে চায় (অন্যথায় কেউ প্রতারণা করতে পারে এবং, উদাহরণস্বরূপ, কেথের জয়ের পরে শূন্য বাজি ধরে জানে যে বাকি বাজি হারাবে), যদি একজন বাজি ধরে থাকে তবে সর্বাধিক অর্থ দিয়ে শেষ হবেঃ প্রতিবার। ছোট বা বড় যাই হোক না কেন এটি সত্য। কেলির "দীর্ঘমেয়াদী" অংশটি প্রয়োজনীয় কারণ কে আগে থেকে জানা যায় না, ঠিক যেমন বড় হয়, ততই এগিয়ে আসবে। কেলির চেয়ে বেশি বাজি ধরার কেউ যদি স্ট্রেচের জন্য আরও ভাল করতে পারে; কেলির চেয়ে কম বাজি ধরার কেউ যদি স্ট্রেচের জন্য আরও ভাল করতে পারে, তবে দীর্ঘমেয়াদে, কেলি সর্বদা জিতে যায়। সাধারণ মামলার অনুসন্ধানমূলক প্রমাণ নিম্নরূপ। একটি একক পরীক্ষায়, আপনি যদি আপনার মূলধনের ভগ্নাংশ বিনিয়োগ করেন, যদি আপনার কৌশল সফল হয়, বিচারের শেষে আপনার মূলধন ফ্যাক্টর দ্বারা বৃদ্ধি পায় এবং একইভাবে, যদি কৌশলটি ব্যর্থ হয়, তাহলে আপনি শেষ পর্যন্ত আপনার মূলধন ফ্যাক্টর দ্বারা হ্রাস পাবেন। এইভাবে বিচারের শেষে (সাফল্য এবং ব্যর্থতা সহ), $1-এর প্রারম্ভিক মূলধন সর্বাধিক ফলন দেয় এবং ফলস্বরূপ, কাঙ্ক্ষিত ফলাফলের দিকে নিয়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে এডওয়ার্ড ও. থর্প সাধারণ ক্ষেত্রে এই সূত্রের আরও বিশদ আলোচনা প্রদান করেন। সেখানে, এটি দেখা যায় যে পরীক্ষার সংখ্যার সাথে "সাফল্যের" অনুপাতের প্রতিস্থাপন বোঝায় যে পরীক্ষার সংখ্যা অবশ্যই খুব বড় হতে হবে, যেহেতু এই অনুপাতের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে কারণ পরীক্ষার সংখ্যা অনন্ত পর্যন্ত যায়। সংক্ষেপে, প্রতিবার বাজি ধরা সম্ভবত সম্পদ বৃদ্ধির হারকে সর্বাধিক করে তুলবে শুধুমাত্র সেই ক্ষেত্রে যেখানে বিচারের সংখ্যা খুব বেশি, এবং প্রতিটি বিচারের জন্য একই। বাস্তবে, এটি একই খেলা বারবার খেলার বিষয়, যেখানে জেতার সম্ভাবনা এবং প্রতিদানের প্রতিকূলতা সবসময় একই থাকে। উপরের অনুসন্ধানমূলক প্রমাণ অনুযায়ী, সাফল্য এবং ব্যর্থতা কেবল খুব বড় ক্ষেত্রেই সম্ভব। একাধিক ফলাফল কেলির মানদণ্ডটি ঘোড়ার দৌড়ের মতো অনেক পারস্পরিক একচেটিয়া ফলাফলের উপর জুয়াখেলার উপর সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। ধরুন বেশ কয়েকটি পারস্পরিক একচেটিয়া ফলাফল রয়েছে। - তম ঘোড়াটি রেসটি জেতার সম্ভাবনা হল,-তম ঘোড়ার উপর রাখা মোট বেটের পরিমাণ এবং পরিশোধের প্রতিকূলতা কোথায়। , হল লভ্যাংশের হার যেখানে ট্র্যাক টেক বা ট্যাক্স হয়, ট্র্যাক টেক কেটে নেওয়ার পরে রাজস্বের হার যখন-তম ঘোড়া জিতবে। - তম ঘোড়ার উপর বাজি ধরার জন্য বেটারের তহবিলের ভগ্নাংশ হল। একাধিক পারস্পরিক একচেটিয়া ফলাফলের সাথে জুয়ার জন্য কেলির মানদণ্ড ফলাফলের সর্বোত্তম সেট খুঁজে বের করার জন্য একটি অ্যালগরিদম দেয় যার উপর বাজি ধরা যুক্তিসঙ্গত এবং এটি সর্বোত্তম সেটের অন্তর্ভুক্ত ফলাফলের উপর বাজি ধরার জন্য বেটারের সম্পদের সর্বোত্তম ভগ্নাংশ খুঁজে বের করার জন্য স্পষ্ট সূত্র দেয়। ফলাফলের সর্বোত্তম সেটের জন্য অ্যালগরিদম চারটি ধাপ নিয়ে গঠিতঃ সমস্ত সম্ভাব্য (বা শুধুমাত্র বেশ কয়েকটি আশাব্যঞ্জক) ফলাফলের জন্য প্রত্যাশিত রাজস্ব হার গণনা করুনঃ ফলাফলগুলি পুনরায় সাজান যাতে নতুন ক্রমটি বৃদ্ধি না পায়। তাই এটাই হবে সেরা বাজি। সেট করুন (খালি সেট),। সুতরাং সেরা বাজি প্রথমে বিবেচনা করা হবে। পুনরাবৃত্তি করুনঃ যদি তারপর সেটে-তম ফলাফল সন্নিবেশ করানঃ, সূত্র অনুযায়ী পুনরায় গণনা করুনঃ এবং তারপর সেট করুন, অন্যথায়, সেট করুন এবং পুনরাবৃত্তি বন্ধ করুন। যদি সর্বোত্তম সেটটি খালি থাকে তবে মোটেও বাজি ধরবেন না। যদি সর্বোত্তম ফলাফলের সেটটি খালি না থাকে, তবে-তম ফলাফলের উপর বাজি ধরার জন্য সর্বোত্তম ভগ্নাংশটি এই সূত্র থেকে গণনা করা যেতে পারেঃ কেউ প্রমাণ করতে পারে যে যেখানে ডান দিকটি সংরক্ষিত হার। অতএব, প্রয়োজনীয়তাকে নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা যেতে পারেঃ-সর্বোত্তম ফলাফলের সেটের মধ্যে ফলাফল অন্তর্ভুক্ত করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তার প্রত্যাশিত রাজস্ব হার সংরক্ষিত হারের চেয়ে বেশি হয়। সর্বোত্তম ভগ্নাংশের সূত্রটিকে রিজার্ভ হারের তুলনায়-তম ঘোড়ার প্রত্যাশিত রাজস্ব হারের অতিরিক্ত হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যা ট্র্যাক কেটে নেওয়ার পরে রাজস্ব দ্বারা ভাগ করা হয় যখন-তম ঘোড়া জিতবে বা-তম ঘোড়ার জয়ের পরে ট্র্যাক কেটে নেওয়ার পরে রাজস্ব দ্বারা ভাগ করে রিজার্ভ হারের উপর-তম ঘোড়ার জয়ের সম্ভাবনার অতিরিক্ত হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। দ্বৈত প্রবৃদ্ধির সূচক হল এবং দ্বিগুণ হওয়ার সময় হল সর্বোত্তম বাজি নির্বাচনের এই পদ্ধতিটি তখনই প্রয়োগ করা যেতে পারে যখন সম্ভাব্যতা শুধুমাত্র বেশ কয়েকটি আশাব্যঞ্জক ফলাফলের জন্য জানা থাকে, যখন অবশিষ্ট ফলাফলগুলির জেতার কোনও সুযোগ থাকে না। এই ক্ষেত্রে এটি অবশ্যই এবং হতে হবে। শেয়ার বিনিয়োগ দ্বিতীয়-ক্রমের টেলর বহুপদীকে মূল মানদণ্ডের একটি ভাল আনুমানিক হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রাথমিকভাবে, এটি স্টক বিনিয়োগের জন্য দরকারী, যেখানে বিনিয়োগের জন্য নিবেদিত ভগ্নাংশটি সহজ বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে যা বিদ্যমান ঐতিহাসিক তথ্য থেকে সহজেই অনুমান করা যায়-প্রত্যাশিত মূল্য এবং বৈচিত্র্য। এই অনুমান এমন ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে যা শক্তিশালী এবং মূল মানদণ্ডের মতো একই ফলাফল প্রদান করে। একক সম্পদের জন্য (স্টক, সূচক তহবিল ইত্যাদি)। ), এবং একটি ঝুঁকি-মুক্ত হার, জ্যামিতিক ব্রাউনিয়ান গতির মাধ্যমে বিনিয়োগের জন্য সর্বোত্তম ভগ্নাংশ পাওয়া সহজ। সময় ()-এ একটি লগনর্ম্যালি ডিস্ট্রিবিউটেড অ্যাসেটের বিবর্তন পরিচালনাকারী স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যার সমাধান হল যেখানে একটি উইনার প্রক্রিয়া, এবং (শতাংশ প্রবাহ) এবং (শতাংশ অস্থিরতা) ধ্রুবক। লগারিদমের প্রত্যাশা গ্রহণঃ তারপর প্রত্যাশিত লগ রিটার্ন হল একটি সম্পদ এবং ঝুঁকি-মুক্ত হার প্রদানকারী বন্ড দিয়ে তৈরি একটি পোর্টফোলিও বিবেচনা করুন, যেখানে বন্ডে এবং বন্ডে ভগ্নাংশ বিনিয়োগ করা হয়। পূর্বোক্ত সমীকরণটি অবশ্যই এই ভগ্নাংশ দ্বারা পরিবর্তিত হতে হবে, অর্থাৎ, সংশ্লিষ্ট সমাধানের সাথে প্রত্যাশিত এক-মেয়াদী রিটার্ন দ্বারা দেওয়া হয়। থর্প একই ফলাফলে এসেছিল কিন্তু একটি ভিন্ন ব্যুৎপত্তি দিয়ে। মনে রাখবেন যে এটি অ্যাসেট লগ রিটার্নের থেকে আলাদা। কেলি মানদণ্ড সম্পর্কে কথা বলা ওয়েবসাইট এবং নিবন্ধগুলির দ্বারা এটি বিভ্রান্ত করা একটি সাধারণ ভুল। একাধিক সম্পদের জন্য, অসংলগ্ন রিটার্নের সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত স্টক সহ একটি বাজার এবং রিটার্নের সঙ্গে একটি ঝুঁকিহীন বন্ড বিবেচনা করুন। একজন বিনিয়োগকারী তাদের মূলধনের একটি অংশ বণ্ডে রাখেন এবং বাকি অংশ বণ্ডে বিনিয়োগ করা হয়। সাধারণতা না হারিয়ে ধরে নিন যে বিনিয়োগকারীর প্রারম্ভিক মূলধন 1-এর সমান। কেলি মানদণ্ড অনুসারে একজনকে সর্বাধিক করা উচিত একটি টেলর সিরিজের সাথে এটি প্রসারিত করে আমরা প্রাপ্ত করি সুতরাং আমরা অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটিকে দ্বিঘাত প্রোগ্রামিংয়ে হ্রাস করি এবং অনিয়ন্ত্রিত সমাধানটি হল যেখানে এবং যেখানে অর্থের ভেক্টর এবং অতিরিক্ত রিটার্নের দ্বিতীয় মিশ্র অ-কেন্দ্রীয় মুহুর্তের ম্যাট্রিক্স। ভগ্নাংশ কেলি কৌশলগুলির জন্য একটি সংখ্যাসূচক অ্যালগরিদম রয়েছে এবং কোনও লিভারেজ এবং কোনও স্বল্প বিক্রয় সীমাবদ্ধতার অধীনে সর্বোত্তম সমাধানের জন্য। আরও দেখুন জুয়া এবং তথ্য তত্ত্ব ধ্বংসের ঝুঁকি প্রোবস্টিং-এর প্যারাডক্স মার্টন-এর পোর্টফোলিও সমস্যা রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক সর্বোত্তম সিদ্ধান্ত জুয়া গণিত তথ্য তত্ত্ব বাজি ধরার প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ 1956 পরিচিতি পোর্টফোলিও তত্ত্ব