Gibbs measure
গণিতে, গিবস পরিমাপ, যা জোসিয়াহ উইলার্ড গিবসের নামে নামকরণ করা হয়েছে, একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ যা প্রায়শই সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞানের অনেক সমস্যায় দেখা যায়। এটি অসীম সিস্টেমে ক্যানোনিকাল এনসেম্বলের একটি সাধারণীকরণ। ক্যানোনিকাল এনসেম্বল সিস্টেম এক্স-এর x অবস্থায় থাকার সম্ভাবনা দেয় (সমতুল্যভাবে, র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স-এর মান x) যেমন এখানে, অবস্থার স্থান থেকে বাস্তব সংখ্যা পর্যন্ত একটি ফাংশন; পদার্থবিজ্ঞানের প্রয়োগগুলিতে, x কনফিগারেশনের শক্তি হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়। প্যারামিটারটি একটি মুক্ত প্যারামিটার; পদার্থবিজ্ঞানে, এটি বিপরীত তাপমাত্রা। স্বাভাবিককরণ ধ্রুবক হল পার্টিশন ফাংশন। যাইহোক, অসীম সিস্টেমে, মোট শক্তি আর একটি সীমাবদ্ধ সংখ্যা নয় এবং একটি ক্যানোনিকাল এনসেম্বলের সম্ভাব্যতা বিতরণের ঐতিহ্যগত নির্মাণে ব্যবহার করা যাবে না। পরিসংখ্যানগত পদার্থবিজ্ঞানে ঐতিহ্যবাহী পদ্ধতিগুলি নিবিড় বৈশিষ্ট্যের সীমা অধ্যয়ন করে যখন একটি সসীম ব্যবস্থার আকার অনন্তের (তাপগতিবিদ্যার সীমা) কাছে পৌঁছায়। যখন শক্তি ফাংশনকে এমন পদগুলির সমষ্টি হিসাবে লেখা যেতে পারে যা প্রতিটি একটি সীমাবদ্ধ সাবসিস্টেম থেকে শুধুমাত্র পরিবর্তনশীলকে জড়িত করে, তখন গিবস পরিমাপের ধারণাটি একটি বিকল্প পদ্ধতি প্রদান করে। গিবসের পরিমাপগুলি ডোব্রুশিন, ল্যানফোর্ড এবং রুয়েলের মতো সম্ভাব্যতা তাত্ত্বিকদের দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল এবং সীমাবদ্ধ ব্যবস্থার সীমা নেওয়ার পরিবর্তে অসীম ব্যবস্থাগুলি সরাসরি অধ্যয়নের জন্য একটি কাঠামো সরবরাহ করেছিল। একটি পরিমাপ হ 'ল গিবস পরিমাপ যদি প্রতিটি সসীম উপ-ব্যবস্থায় এটি যে শর্তাধীন সম্ভাব্যতা প্ররোচিত করে তা একটি ধারাবাহিকতার শর্ত পূরণ করেঃ যদি সসীম উপ-ব্যবস্থার বাইরে সমস্ত ডিগ্রি অফ ফ্রিডম হিমায়িত হয়, তবে এই সীমানা শর্ত সাপেক্ষে উপ-ব্যবস্থার জন্য ক্যানোনিকাল এনসেম্বল গিবস পরিমাপের সম্ভাবনার সাথে মিলিত হয় যা ফ্রোজেন ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের উপর শর্তাধীন। হ্যামারসলে-ক্লিফফোর্ড উপপাদ্যটি বোঝায় যে কোনও সম্ভাব্যতা পরিমাপ যা একটি মার্কভ বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে (স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত) শক্তি ফাংশনের উপযুক্ত পছন্দের জন্য একটি গিবস পরিমাপ। অতএব, গিবস পরিমাপ পদার্থবিজ্ঞানের বাইরে ব্যাপক সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যেমন হপফিল্ড নেটওয়ার্ক, মার্কভ নেটওয়ার্ক, মার্কভ লজিক নেটওয়ার্ক এবং গেম থিওরি ও অর্থনীতিতে সীমাবদ্ধভাবে যুক্তিসঙ্গত সম্ভাব্য গেম। স্থানীয় (সীমাবদ্ধ-পরিসীমা) মিথস্ক্রিয়া সহ একটি সিস্টেমে একটি গিবস পরিমাপ প্রদত্ত প্রত্যাশিত শক্তির ঘনত্বের জন্য এনট্রপি ঘনত্বকে সর্বাধিক করে; অথবা, সমতুল্যভাবে, এটি মুক্ত শক্তির ঘনত্বকে হ্রাস করে। একটি অসীম সিস্টেমের গিবস পরিমাপ অগত্যা অনন্য নয়, একটি সীমাবদ্ধ সিস্টেমের ক্যানোনিকাল এনসেম্বলের বিপরীতে, যা অনন্য। একাধিক গিবস পরিমাপের অস্তিত্ব পরিসংখ্যানগত ঘটনা যেমন প্রতিসাম্য ভাঙ্গা এবং পর্যায় সহাবস্থানের সাথে যুক্ত। পরিসংখ্যানগত পদার্থবিজ্ঞান একটি সিস্টেমে গিবসের পরিমাপের সেট সর্বদা উত্তল হয়, তাই হয় একটি অনন্য গিবস পরিমাপ রয়েছে (এই ক্ষেত্রে সিস্টেমটিকে "এরগোডিক" বলা হয়), অথবা অসীম সংখ্যক রয়েছে (এবং সিস্টেমটিকে "নন-এরগোডিক" বলা হয়)। নন-অর্গডিক ক্ষেত্রে, গিবস পরিমাপগুলিকে "বিশুদ্ধ অবস্থা" নামে পরিচিত অনেক কম সংখ্যক বিশেষ গিবস পরিমাপের উত্তল সংমিশ্রণের সেট হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে (কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে বিশুদ্ধ অবস্থার সম্পর্কিত কিন্তু স্বতন্ত্র ধারণার সাথে বিভ্রান্ত হবেন না)। ভৌত প্রয়োগগুলিতে, হ্যামিল্টনিয়ান (শক্তি ফাংশন)-এর সাধারণত কিছু স্থানীয়তার ধারণা থাকে এবং বিশুদ্ধ অবস্থার গুচ্ছ পচন বৈশিষ্ট্য থাকে যা "দূর-বিচ্ছিন্ন উপ-ব্যবস্থা" স্বাধীন। বাস্তবে, শারীরিকভাবে বাস্তবসম্মত ব্যবস্থা এই বিশুদ্ধ অবস্থার একটিতে পাওয়া যায়। যদি হ্যামিল্টনিয়ানের একটি প্রতিসাম্য থাকে, তবে একটি অনন্য (অর্থাৎ। এরগোডিক) গিবস পরিমাপ অবশ্যই প্রতিসাম্যের অধীনে অপরিবর্তনীয় হবে। কিন্তু একাধিক ক্ষেত্রে (অর্থাৎ। গিবস পরিমাপ করেন, হ্যামিল্টনিয়ান প্রতিসাম্যের অধীনে বিশুদ্ধ অবস্থা সাধারণত অপরিবর্তনীয় নয়। উদাহরণস্বরূপ, সংকট তাপমাত্রার নিচে অসীম ফেরোম্যাগনেটিক আইসিং মডেলে, দুটি বিশুদ্ধ অবস্থা রয়েছে, "বেশিরভাগ-উপরে" এবং "বেশিরভাগ-নিচে" অবস্থা, যা মডেলের প্রতিসাম্যের অধীনে বিনিময় করা হয়। মার্কভ সম্পত্তির একটি উদাহরণ আইসিং মডেলের গিবস পরিমাপে দেখা যায়। একটি প্রদত্ত ঘূর্ণনের সম্ভাবনা নীতিগতভাবে সিস্টেমের অন্যান্য সমস্ত ঘূর্ণনের অবস্থার উপর নির্ভর করতে পারে। সুতরাং, আমরা সম্ভাব্যতাকে এভাবে লিখতে পারি। যাইহোক, শুধুমাত্র সীমাবদ্ধ-পরিসরের মিথস্ক্রিয়া সহ একটি আইসিং মডেলে (উদাহরণস্বরূপ, নিকটতম-প্রতিবেশী মিথস্ক্রিয়া), আমাদের আসলে আছে, যেখানে সাইটের একটি প্রতিবেশী রয়েছে। অর্থাৎ, সাইটে সম্ভাব্যতা শুধুমাত্র একটি সীমাবদ্ধ পাড়ায় ঘূর্ণনের উপর নির্ভর করে। এই শেষ সমীকরণটি একটি স্থানীয় মার্কভ বৈশিষ্ট্যের আকারে রয়েছে। এই বৈশিষ্ট্যযুক্ত পরিমাপগুলিকে কখনও কখনও মার্কভ র্যান্ডম ক্ষেত্র বলা হয়। আরও দৃঢ়ভাবে, বিপরীতটিও সত্যঃ মার্কভ বৈশিষ্ট্যযুক্ত যে কোনও ধনাত্মক সম্ভাব্যতা বন্টনকে (সর্বত্র অ-শূন্য ঘনত্ব) একটি উপযুক্ত শক্তি ফাংশনের জন্য গিবস পরিমাপ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এটি হ্যামারসলে-ক্লিফোর্ড উপপাদ্য। জালকের উপর আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা যা নিম্নরূপ তা হল জালকের উপর একটি এলোমেলো ক্ষেত্রের বিশেষ ক্ষেত্রে একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা। গিবস পরিমাপের ধারণাটি অবশ্য এর চেয়ে অনেক বেশি সাধারণ। একটি জালকের উপর গিবস র্যান্ডম ক্ষেত্রের সংজ্ঞার জন্য কিছু পরিভাষা প্রয়োজনঃ জালঃ একটি গণনাযোগ্য সেট। একক-স্পিন স্থানঃ একটি সম্ভাব্যতা স্থান। কনফিগারেশন স্পেসঃ, কোথায় এবং। একটি কনফিগারেশন এবং একটি উপসেট দেওয়া, এর সীমাবদ্ধতা হল। যদি এবং, তাহলে কনফিগারেশন হল সেই কনফিগারেশন যার সীমাবদ্ধতা যথাক্রমে এবং এবং। এর সমস্ত সীমাবদ্ধ উপসেটগুলির সেট। প্রতিটি উপসেটের জন্য, ফাংশনের পরিবার দ্বারা উত্পন্ন-বীজগণিত, যেখানে। এই-অ্যালজেব্রাগুলির সংযোগটি পরিবর্তিত হয় জালকের উপর সিলিন্ডার সেটগুলির বীজগণিত। সম্ভাব্যতাঃ ফাংশনের একটি পরিবার যেমন প্রত্যেকটির জন্য-পরিমাপযোগ্য, যার অর্থ এটি কেবল সীমাবদ্ধতার উপর নির্ভর করে (এবং পরিমাপযোগ্যভাবে তা করে)। সকলের জন্য এবং, নিম্নলিখিত সিরিজটি বিদ্যমান রয়েছেঃ আমরা সসীম সেট এ-এর সমস্ত বিন্দুর মধ্যে মিথস্ক্রিয়ার সাথে যুক্ত মোট শক্তির (হ্যামিল্টনিয়ান) অবদান হিসাবে ব্যাখ্যা করি। তারপর সমস্ত সসীম সেট এ-এর মিলিত মোট শক্তির অবদান হিসাবে। লক্ষ্য করুন যে মোট শক্তি সাধারণত অসীম, কিন্তু যখন আমরা প্রত্যেকটির "স্থানীয়করণ" করি তখন এটি সীমাবদ্ধ হতে পারে, আমরা আশা করি। সীমানা শর্ত সহ হ্যামিল্টনিয়ান, সম্ভাবনার জন্য, কোথায় দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। সীমানা শর্ত এবং বিপরীত তাপমাত্রার সাথে পার্টিশন ফাংশন (সম্ভাবনার জন্য এবং) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে পণ্য পরিমাপ একটি সম্ভাব্যতা-গ্রহণযোগ্য যদি সকলের জন্য সীমাবদ্ধ হয় এবং। একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ হল-গ্রহণযোগ্য সম্ভাবনার জন্য একটি গিবস পরিমাপ যদি এটি সকলের জন্য ডোব্রুশিন-ল্যানফোর্ড-রুয়েল (ডিএলআর) সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। একটি উদাহরণ উপরের সংজ্ঞাগুলি বুঝতে সাহায্য করার জন্য, নিকটতম-প্রতিবেশী মিথস্ক্রিয়া (সংযুক্তি ধ্রুবক) এবং একটি চৌম্বক ক্ষেত্র () সহ আইসিং মডেলের গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণে এখানে সংশ্লিষ্ট পরিমাণগুলি রয়েছেঃ জালটি সহজ। একক-স্পিন স্থান হল সম্ভাব্যতা বোল্টজম্যান ডিস্ট্রিবিউশন এক্সপোনেনশিয়াল পরিবার গিবস অ্যালগরিদম গিবস স্যাম্পলিং ইন্টারঅ্যাক্টিং পার্টিকেল সিস্টেম সম্ভাব্যতা খেলা সফ্টম্যাক্স স্টোকাস্টিক সেলুলার অটোমাটা রেফারেন্স আরও পড়া পরিমাপ (পরিমাপ তত্ত্ব) পরিসংখ্যানগত বলবিজ্ঞান খেলা তত্ত্ব ভারসাম্য ধারণা দ্বারা দেওয়া হয়।