Krein–Milman theorem
কার্যকরী বিশ্লেষণের গাণিতিক তত্ত্বে, ক্রেইন-মিলম্যান উপপাদ্যটি স্থানীয়ভাবে উত্তল টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেসে (টিভিএস) কম্প্যাক্ট উত্তল সেট সম্পর্কে একটি প্রস্তাব। এই উপপাদ্যটি অসীম-মাত্রিক স্থানগুলিতে সাধারণীকরণ করে এবং নির্বিচারে সংক্ষিপ্ত উত্তল নিম্নলিখিত মৌলিক পর্যবেক্ষণ সেট করেঃ একটি উত্তল (অর্থাৎ। "ভরা") ত্রিভুজ, যার পরিধি এবং "এর অভ্যন্তরে" এলাকা সহ, তার তিনটি শীর্ষের উত্তল কাঠামোর সমান, যেখানে এই শীর্ষগুলি ঠিক এই আকৃতির চূড়ান্ত বিন্দু। এই পর্যবেক্ষণ সমতলে অন্য যে কোনও উত্তল বহুভুজের জন্যও ধারণ করে বিবৃতি এবং সংজ্ঞা প্রারম্ভিক এবং সংজ্ঞা জুড়ে, একটি বাস্তব বা জটিল ভেক্টর স্থান হবে। যে কোনও উপাদানের জন্য এবং একটি ভেক্টর স্পেসে, সেটটিকে বলা হয় বা এবং এর মধ্যে বন্ধ ব্যবধান বা এবং এর মধ্যে খোলা ব্যবধান যখন এটি সন্তুষ্ট হয় এবং পয়েন্ট এবং এই ব্যবধানগুলির শেষ বিন্দু বলা হয়। একটি ব্যবধানকে সঠিক বা সঠিক বলা হয় যদি এর শেষ বিন্দুগুলি স্বতন্ত্র হয়। অন্তরগুলি এবং সর্বদা তাদের শেষ পয়েন্টগুলি ধারণ করে এবং কখনই তাদের শেষ পয়েন্টগুলির কোনওটিই ধারণ করে না। যদি এবং বাস্তব লাইনে পয়েন্ট হয় তবে উপরের সংজ্ঞাটি একটি বদ্ধ ব্যবধান হিসাবে তার স্বাভাবিক সংজ্ঞার মতোই। যে কোনও বিন্দুর জন্য বলা হয় (কঠোরভাবে) এবং যদি খোলা রেখা বিভাগের অন্তর্গত হয় যদি এটি একটি উপসেট হয় এবং তারপর যদি এটি কোনও দুটি বিন্দুর মধ্যে না থাকে তবে এটিকে একটি চরম বিন্দু বলা হয় অর্থাৎ, যদি বিদ্যমান থাকে এবং এমন এবং এই নিবন্ধে, সমস্ত চরম বিন্দুর সেট দ্বারা চিহ্নিত করা হবে উদাহরণস্বরূপ, সমতলে যে কোনও উত্তল বহুভুজের শীর্ষগুলি সেই বহুভুজের চূড়ান্ত বিন্দু। বদ্ধ একক ডিস্কের চূড়ান্ত বিন্দুগুলি হল একক বৃত্ত। প্রতিটি খোলা ব্যবধান এবং অধঃপতিত বন্ধ ব্যবধানের কোনও চরম বিন্দু থাকে না, যখন কোনও অ-অধঃপতিত বন্ধ ব্যবধানের চরম বিন্দুগুলি হয় এবং একটি সেটকে উত্তল বলা হয় যদি কোনও দুটি বিন্দুর জন্য রেখা বিভাগ থাকে তবে ক্ষুদ্রতম উত্তল সেটকে উত্তল হুল বলা হয় এবং এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় দ্বারা চিহ্নিত একটি সেটের বদ্ধ উত্তল হুল হল ক্ষুদ্রতম বদ্ধ এবং উত্তল সেট যা সমস্ত বদ্ধ উত্তল উপসেটগুলির ছেদনের সমান যা উত্তল হুল ধারণ করে এবং বন্ধ করে; অর্থাৎ, যেখানে ডান দিকটি বন্ধকে বোঝায় যখন বাম দিকটি স্বরলিপি। উদাহরণস্বরূপ, তিনটি স্বতন্ত্র বিন্দুর যে কোনও সেটের উত্তল কাঠামো হয় একটি বদ্ধ রেখার অংশ (যদি সেগুলি সমরেখার হয়) বা অন্যথায় তার পরিধি সহ একটি কঠিন (অর্থাৎ, "ভরাট") ত্রিভুজ গঠন করে। এবং সমতলে একক বৃত্তটি উত্তল কিন্তু বদ্ধ একক ডিস্কটি উত্তল এবং উপরন্তু, এই ডিস্কটি বৃত্তের উত্তল কাঠামোর সমান। সাধারণ নিয়মের সাথে বর্গক্ষেত্র-সমষ্টিগত ক্রমের পৃথকযোগ্য হিলবার্ট স্থান এল. পি. স্থানের একটি কম্প্যাক্ট উপসেট রয়েছে যার উত্তল কাঠামো বন্ধ এবং এইভাবে কম্প্যাক্টও হয়। যাইহোক, সমস্ত সম্পূর্ণ হাউজডর্ফ স্থানীয়ভাবে উত্তল স্থানের মতো, এই কম্প্যাক্ট উপসেটের উত্তল কাঠামোটি সংক্ষিপ্ত হবে। কিন্তু যদি একটি হাউজডর্ফ স্থানীয়ভাবে উত্তল স্থান সম্পূর্ণ না হয় তবে এটি সাধারণভাবে নিশ্চিত যে যখনই হবে তখন এটি সংক্ষিপ্ত হবে; একটি উদাহরণ এমনকি প্রতিটি সংক্ষিপ্ত উপসেট সম্পূর্ণরূপে আবদ্ধ ("প্রাক-সংক্ষিপ্ত" নামেও পরিচিত) এবং একটি হাউজডর্ফ স্থানীয়ভাবে উত্তল স্থানের সম্পূর্ণ আবদ্ধ উপসেটের বদ্ধ উত্তল কাঠামো সম্পূর্ণভাবে আবদ্ধ হওয়ার নিশ্চয়তা দেওয়া হয়। বিবৃতি যে ক্ষেত্রে কম্প্যাক্ট সেটটিও উত্তল হয়, উপরের উপপাদ্যটি পরবর্তী উপপাদ্যের প্রথম অংশ হিসাবে থাকে, যাকে প্রায়শই ক্রেইন-মিলম্যান উপপাদ্যও বলা হয়। চরম বিন্দুর উত্তল কাঠামো একটি উত্তল উপসেট গঠন করে, তাই প্রমাণের প্রধান বোঝা হল এটি দেখানো যে যথেষ্ট চরম বিন্দু রয়েছে যাতে তাদের উত্তল কাঠামো সবকিছুকে আবৃত করে। এই কারণে, উপরের উপপাদ্যটির নিম্নলিখিত উপপাদ্যটিকে প্রায়শই ক্রেইন-মিলম্যান উপপাদ্য বলা হয়। এই উপপাদ্য এবং এর উপসংহারটি কল্পনা করার জন্য, একটি উত্তল বহুভুজ যেখানে নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন। এই ক্ষেত্রে, বহুভুজের আকৃতি পুনরুদ্ধারের জন্য বহুভুজের কোণগুলি (যা তার চরম বিন্দু) প্রয়োজন। উপপাদ্যটির বিবৃতিটি মিথ্যা যদি বহুভুজটি উত্তল না হয়, কারণ তখন কোণ হিসাবে বিন্দু দেওয়া একটি বহুভুজ আঁকার অনেক উপায় রয়েছে। উপপাদ্যটির নিম্নলিখিত শক্তিশালী সাধারণীকরণ সংস্করণটি দেওয়ার জন্য উত্তল সেটটি সংক্ষিপ্ত হওয়ার প্রয়োজনীয়তা দুর্বল করা যেতে পারে। উপরের বৈশিষ্ট্যটিকে কখনও কখনও বা বলা হয়। কম্প্যাক্টনেস উত্তল কম্প্যাক্টনেসকে বোঝায় কারণ একটি টপোলজিকাল স্পেস কম্প্যাক্ট হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সীমাবদ্ধ ছেদ বৈশিষ্ট্য (এফআইপি) সহ বদ্ধ উপসেটগুলির প্রতিটি পরিবারের অ-খালি ছেদ থাকে (অর্থাৎ, এর কার্নেল খালি না হয়)। উত্তল কম্প্যাক্টনেসের সংজ্ঞাটি এফ. আই. পি-র পরিপ্রেক্ষিতে কম্প্যাক্ট স্পেসের এই বৈশিষ্ট্যের অনুরূপ, তবে এটি কেবলমাত্র সেই বদ্ধ উপসেটগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যা উত্তলও হয় (সমস্ত বদ্ধ উপসেটগুলির পরিবর্তে)। আরও সাধারণ সেটিংস পরিবেষ্টিত স্থানের জন্য স্থানীয় উত্তলতার অনুমান প্রয়োজন, কারণ অ-স্থানীয় উত্তল স্থানের জন্য একটি পাল্টা উদাহরণ তৈরি করা হয়েছে যেখানে রৈখিকতাও প্রয়োজন, কারণ সিএটি (0) স্থানগুলিতে দুর্বলভাবে কম্প্যাক্ট উত্তল সেটগুলির জন্য বিবৃতিটি ব্যর্থ হয়, যেমন দ্বারা প্রমাণিত। যাইহোক, প্রমাণিত হয়েছে যে ক্রেইন-মিলম্যান উপপাদ্যটি কম্প্যাক্ট সিএটি (0) স্পেসের জন্য ধারণ করে। সম্পর্কিত ফলাফল পূর্ববর্তী অনুমানের অধীনে যদি একটি উপসেট হয় এবং এর বদ্ধ উত্তল হুল সব হয় তবে প্রতিটি চরম বিন্দু এর বন্ধের অন্তর্গত এই ফলাফলটি ক্রেইন-মিলম্যান উপপাদ্যের (আংশিক) হিসাবে পরিচিত। চকুয়েট-বিশপ-ডি লিউ উপপাদ্যটি বলে যে প্রতিটি বিন্দু পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের সাথে সম্পর্কের চরম পয়েন্টগুলির সেটের উপর সমর্থিত একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপের ব্যারিসেন্টার জার্মেলো-ফ্রেঙ্কেল সেট তত্ত্ব (জেডএফ) স্বতঃসিদ্ধ কাঠামোর অধীনে, পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ (এসি) বিবৃতি কেএম এবং এর সাধারণীকরণ এসকেএম সহ উপরে দেওয়া ক্রেইন-মিলম্যান উপপাদ্যের সমস্ত সংস্করণ প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট। পছন্দের স্বতঃসিদ্ধটিও বোঝায়, কিন্তু বুলিয়ান মৌলিক আদর্শ উপপাদ্যের (বি. পি. আই) সমতুল্য নয়, যা বানাচ-আলাওগ্লু উপপাদ্যের সমতুল্য। বিপরীতভাবে, ক্রেইন-মিলম্যান উপপাদ্য কে. এম এবং বুলিয়ান মৌলিক আদর্শ উপপাদ্য (বি. পি. আই) একসঙ্গে পছন্দের স্বতঃসিদ্ধিকে বোঝায়। সংক্ষেপে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি কেএম এবং বিপিআই উভয়ই ধরে থাকে তবে এসি ধরে রাখে। এটি অনুসরণ করে যে জেডএফ-এর অধীনে, পছন্দের স্বতঃসিদ্ধটি নিম্নলিখিত বিবৃতির সমতুল্যঃ যে কোনও বাস্তব আদর্শ স্থানের অবিচ্ছিন্ন দ্বৈত স্থানের বদ্ধ একক বলের একটি চরম বিন্দু থাকে। উপরন্তু, বাস্তব ভেক্টর স্পেসের (এইচবি) জন্য হান-বানাচ উপপাদ্যের সাথে এসকেএমও পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের সমতুল্য। এটি জানা যায় যে বি. পি. আই এইচ. বি বোঝায়, তবে এটি এর সমতুল্য নয় (ভিন্নভাবে বলা যায়, বি. পি. আই এইচ. বি-এর চেয়ে কঠোরভাবে শক্তিশালী)। ইতিহাস দ্বারা প্রমাণিত মূল বিবৃতিটি এখানে বর্ণিত ফর্মের তুলনায় কিছুটা কম সাধারণ ছিল। এর আগে, প্রমাণ করা হয়েছিল যে যদি ত্রিমাত্রিক হয় তবে এটি তার চরম বিন্দুগুলির সেটের উত্তল কাঠামোর সমান। এই দাবিটি দ্বারা যে কোনও সীমাবদ্ধ মাত্রার ক্ষেত্রে প্রসারিত হয়েছিল। ক্রেইন-মিলম্যান উপপাদ্য এটিকে স্বেচ্ছাচারী স্থানীয়ভাবে উত্তল হিসাবে সাধারণীকরণ করে; তবে, সসীম থেকে অসীম মাত্রিক স্থানগুলিতে সাধারণীকরণের জন্য, ক্লোজার ব্যবহার করা প্রয়োজন। আরও দেখুন উদ্ধৃতি গ্রন্থপঞ্জি এন. কে. নিকোলস্কিজ (এড।)। কার্যকরী বিশ্লেষণ আই. স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, 1992। এইচ. এল. রয়ডেন, রিয়েল অ্যানালাইসিস। প্রেন্টিস-হল, এঙ্গেলউড ক্লিফস, নিউ জার্সি, 1988। কনভেক্স হুলস ওরিয়েন্টেড ম্যাট্রয়েড উত্তল জ্যামিতিতে উত্তলতা উপপাদ্য যুক্ত উপপাদ্য বিচ্ছিন্ন জ্যামিতিতে উপপাদ্য কার্যকরী বিশ্লেষণে টপোলজিকাল ভেক্টর স্পেসের উপপাদ্য