Thin set (Serre)
গণিতে, সেরের অর্থে একটি পাতলা সেট, যা জিন-পিয়ের সেরের নামে নামকরণ করা হয়েছে, একটি নির্দিষ্ট ধরনের উপসেট যা একটি নির্দিষ্ট অর্থে 'অসম্ভব' অনুমোদিত ক্রিয়াকলাপ দ্বারা প্রদত্ত ক্ষেত্র K-এর উপর বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে নির্মিত। দুটি মৌলিক হল একটি বহুপদী সমীকরণ সমাধান করা যা হতে পারে বা নাও হতে পারে; K-এর মধ্যে এমন একটি বহুপদী সমাধান করা যা সবসময় গুণনীয়ক হয় না। একজনকে সীমাবদ্ধ ইউনিয়ন নেওয়ারও অনুমতি দেওয়া হয়। সূত্র আরও সুনির্দিষ্টভাবে, ধরা যাক V হল K-এর উপর একটি বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য (এখানে অনুমানগুলি হলঃ V হল একটি অপরিবর্তনীয় সেট, একটি আধা-অভিক্ষিপ্ত বৈচিত্র্য, এবং K-এর বৈশিষ্ট্য শূন্য)। প্রথম প্রকারের পাতলা সেট হল ভি (কে)-এর একটি উপসেট যা জারিস্কি-ঘন নয়। এর অর্থ এটি একটি বীজগাণিতিক সেটের মধ্যে অবস্থিত যা ডি-এর চেয়ে কম মাত্রার বীজগাণিতিক বৈচিত্র্যের একটি সীমাবদ্ধ ইউনিয়ন, যা ভি-এর মাত্রা। একটি টাইপ II পাতলা সেট হল একটি বীজগাণিতিক অঙ্গসংস্থানের একটি চিত্র (মূলত একটি বহুপদী ম্যাপিং) φ, যা অন্য কিছু ডি-মাত্রিক বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য ভি '-এর কে-পয়েন্টগুলিতে প্রয়োগ করা হয়, যা মূলত ভি-এর উপর একটি র্যামাইফাইড আবরণ হিসাবে ডিগ্রি ই> 1 দিয়ে ম্যাপ করে। আরও প্রযুক্তিগতভাবে বলতে গেলে, টাইপ II-এর একটি পাতলা সেট হল φ (V′ (K))-এর যে কোনও উপসেট যেখানে V′ একই অনুমানকে সন্তুষ্ট করে যেমন V এবং φ জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে সাধারণভাবে সার্জেক্টিভ। ফাংশন ক্ষেত্রের স্তরে আমাদের তাই আছে [K (V): K (V′)] = e> 1। যদিও V-এর একটি সাধারণ বিন্দু v হল φ (u) এবং u হল V′, K (V)-এ অবস্থিত v থেকে আমরা সাধারণত এই উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে, u-এর স্থানাঙ্কগুলি K-এর উপর একটি ডিগ্রি e সমীকরণ সমাধান করার মাধ্যমে আসে। এটি ধ্রুপদী হিলবার্ট ইরেডিউসিবিলিটি উপপাদ্যকে আরও জ্যামিতিক পরিভাষায় পুনর্বিন্যাস করে। একটি পাতলা সেট, সাধারণভাবে, টাইপ I এবং II এর পাতলা সেটগুলির একটি সীমাবদ্ধ মিলনের একটি উপসেট। পাতলা পরিভাষাটি এই সত্য দ্বারা ন্যায়সঙ্গত হতে পারে যে, যদি A, Q-এর উপর রেখার একটি পাতলা উপসেট হয়, তবে সর্বাধিক H উচ্চতায় A-এর বিন্দুর সংখ্যা হল ′H: সর্বাধিক H উচ্চতায় অবিচ্ছেদ্য বিন্দুর সংখ্যা হল, এবং এই ফলাফলটি সর্বোত্তমভাবে সম্ভব। বড় চালনী পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে এস. ডি. কোহেনের একটি ফলাফল এই ফলাফলকে প্রসারিত করে, উচ্চতা ফাংশন দ্বারা পয়েন্ট গণনা করে এবং একটি দৃঢ় অর্থে দেখায় যে, একটি পাতলা সেট তাদের একটি কম অনুপাত ধারণ করে (এটি মর্ডেল-ওয়েইল উপপাদ্যের উপর সেরের বক্তৃতাগুলিতে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে)। ধরা যাক, 'এ' হল 'কিউ'-এর উপর 'এন'-স্পেসের একটি পাতলা সেট এবং ধরা যাক 'এন' (এইচ) সর্বাধিক এইচ-এ সরল উচ্চতার অবিচ্ছেদ্য বিন্দুর সংখ্যা নির্দেশ করে। তারপর হিলবার্টিয়ান ক্ষেত্র 'এ' হিলবার্টিয়ান 'বৈচিত্র্য' ভি 'হল এমন একটি যার জন্য' ভি '(কে) পাতলা নয়ঃ এটি' ভি '-এর একটি দ্বিবার্ষিক অপরিবর্তনীয়। হিলবার্টিয়ান ক্ষেত্র' কে 'হল এমন একটি যার জন্য' কে '-এর উপর হিলবার্টিয়ান বৈচিত্র্যের ধনাত্মক মাত্রা রয়েছেঃ এই শব্দটি 1962 সালে ল্যাং দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। যদি কে হিলবার্টিয়ান হয় তবে কে-এর উপর প্রজেক্টিভ লাইন হিলবার্টিয়ান হয়, তাই এটি সংজ্ঞা হিসাবে নেওয়া যেতে পারে। যুক্তিসঙ্গত সংখ্যা ক্ষেত্র Q হল হিলবার্টিয়ান, কারণ হিলবার্টের ইরেডিউসিবিলিটি উপপাদ্যের একটি উপপাদ্য হিসাবে রয়েছে যে Q-এর উপর প্রজেক্টিভ লাইন হিলবার্টিয়ানঃ প্রকৃতপক্ষে, যে কোনও বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র হিলবার্টিয়ান, আবার হিলবার্ট ইরেডিউসিবিলিটি উপপাদ্য দ্বারা। আরও সাধারণভাবে হিলবার্টিয়ান ক্ষেত্রের একটি সীমাবদ্ধ ডিগ্রি এক্সটেনশন হল হিলবার্টিয়ান এবং যে কোনও সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন অসীম ক্ষেত্র হল হিলবার্টিয়ান। হিলবার্টিয়ান ক্ষেত্রের স্থায়ীত্বের মানদণ্ডের উপর বেশ কয়েকটি ফলাফল রয়েছে। উল্লেখযোগ্যভাবে হিলবার্টিয়ানিটি সীমাবদ্ধ পৃথকীকৃত সম্প্রসারণ এবং আবেলিয়ান সম্প্রসারণের অধীনে সংরক্ষিত রয়েছে। যদি এন একটি হিলবার্টিয়ান ক্ষেত্রের একটি গ্যালোইস এক্সটেনশন হয়, তবে যদিও এন নিজেই হিলবার্টিয়ান হওয়ার দরকার নেই, ওয়েইসাওয়ারের ফলাফলগুলি দাবি করে যে এন-এর যে কোনও যথাযথ সসীম এক্সটেনশন হিলবার্টিয়ান। এই দিকের সবচেয়ে সাধারণ ফলাফল হল হারানের হীরক উপপাদ্য। এই ফলাফলগুলি এবং আরও অনেক কিছুর উপর একটি আলোচনা ফ্রিড-জার্ডনের ফিল্ড অ্যারিথমেটিক-এ দেখা যায়। হিলবার্টিয়ান হওয়া বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ হওয়া থেকে স্কেলের অন্য প্রান্তে রয়েছেঃ উদাহরণস্বরূপ, জটিল সংখ্যাগুলির সমস্ত সেট পাতলা থাকে। অন্যান্য স্থানীয় ক্ষেত্রের সঙ্গে এগুলি (বাস্তব সংখ্যা, পি-অ্যাডিক সংখ্যা) হিলবার্টিয়ান নয়। ডাব্লুডাব্লুএ বৈশিষ্ট্য একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর বিভিন্ন ভি-এর জন্য ডাব্লুডাব্লুএ বৈশিষ্ট্য (দুর্বল 'দুর্বল আনুমানিক', sic) দুর্বল আনুমানিক (সিএফ। বীজগাণিতিক গোষ্ঠীগুলিতে আনুমানিক), K-এর স্থানগুলির সীমাবদ্ধ সেটগুলির জন্য কিছু প্রদত্ত সীমাবদ্ধ সেট এড়ানো। উদাহরণস্বরূপ, কে = কিউ-এর কথা ধরা যাকঃ মৌলিক সংখ্যা পি-এর সীমাবদ্ধ সেটের উপর সমস্ত পণ্যের জন্য ভি (কিউ)-এর ঘনত্ব Π ভি (কিউপি) হতে হবে, যার মধ্যে কোনও নির্দিষ্ট সেটের (পি1,., পিএম) ঘনত্ব থাকবে না। একেডাল প্রমাণ করেছেন যে, ভি-এর জন্য ডাব্লুডাব্লুএ বোঝায় যে ভি হিলবার্টিয়ান। প্রকৃতপক্ষে কলিওট-থেলেন অনুমান করেছেন যে ডাব্লুডাব্লুএ যে কোনও এককেন্দ্রিক বৈচিত্র্যের জন্য ধারণ করে, যা তাই একটি শক্তিশালী বিবৃতি। এই অনুমান বিপরীত গালোয়া সমস্যার একটি ইতিবাচক উত্তর বোঝাবে। তথ্যসূত্র ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতি ক্ষেত্র (গণিত)