Padé approximant
গণিতে, একটি প্যাডে আনুমানিক হল প্রদত্ত ক্রমের একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন দ্বারা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর কাছাকাছি একটি ফাংশনের "সেরা" আনুমানিক। এই কৌশলের অধীনে, আনুমানিক পাওয়ার সিরিজটি আনুমানিক ফাংশনের পাওয়ার সিরিজের সাথে একমত হয়। এই কৌশলটি 1890 সালের দিকে হেনরি প্যাডে তৈরি করেছিলেন, তবে জর্জ ফ্রোবেনিয়াসের কাছে ফিরে যান, যিনি এই ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন এবং পাওয়ার সিরিজের যুক্তিসঙ্গত অনুমানের বৈশিষ্ট্যগুলি তদন্ত করেছিলেন। প্যাডে আনুমানিক প্রায়শই তার টেলর সিরিজটি কেটে ফেলার চেয়ে ফাংশনের আরও ভাল অনুমান দেয় এবং এটি এখনও সেখানে কাজ করতে পারে যেখানে টেলর সিরিজ একত্রিত হয় না। এই কারণগুলির জন্য প্যাডে আনুমানিকগুলি কম্পিউটার গণনায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এগুলি ডায়োফ্যান্টাইন আনুমানিক এবং অতীন্দ্রিয় সংখ্যা তত্ত্বে সহায়ক ফাংশন হিসাবেও ব্যবহৃত হয়েছে, যদিও তীক্ষ্ণ ফলাফলের জন্য অ্যাড হক পদ্ধতিগুলি-কিছু অর্থে প্যাডে তত্ত্ব দ্বারা অনুপ্রাণিত-সাধারণত তাদের প্রতিস্থাপন করে। যেহেতু প্যাডে আনুমানিক একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন, তাই একটি কৃত্রিম একক বিন্দু আনুমানিক হিসাবে ঘটতে পারে, তবে বোরেল-প্যাডে বিশ্লেষণের মাধ্যমে এটি এড়ানো যেতে পারে। মাল্টি-পয়েন্ট যোগ পদ্ধতির দৃষ্টিকোণ থেকে প্যাডে আনুমানিক একটি কাটা টেলর সিরিজের চেয়ে ভাল আনুমানিক হওয়ার কারণ স্পষ্ট। যেহেতু এমন অনেক ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে অসীমের অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ 0 বা ধ্রুবক হয়ে যায়, তাই এটিকে "অসম্পূর্ণ দুই-বিন্দু প্যাডে আনুমানিক" হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, যেখানে সাধারণ প্যাডে আনুমানিককরণ একটি টেলর সিরিজ কাটা পদ্ধতির উন্নতি করে। সংজ্ঞা একটি ফাংশন f এবং দুটি পূর্ণসংখ্যা m ≤ 0 এবং n ≤ 1 দেওয়া হলে, ক্রম [m/n]-এর প্যাডে আনুমানিক একটি মূলদ ফাংশন যা f (x)-এর সাথে সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ক্রমে একমত হয়, যা সমতুল্য, যদি একটি ম্যাকলাউরিন সিরিজে (0-এ টেলর সিরিজ) প্রসারিত হয়, তবে এর প্রথম পদগুলি এর প্রথম পদগুলির সমান হবে এবং এইভাবে যখন এটি বিদ্যমান থাকে, প্যাডে আনুমানিক প্রদত্ত m এবং n-এর জন্য একটি আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজ হিসাবে অনন্য। উপরে সংজ্ঞায়িত প্যাডে আনুমানিককে গণনা হিসাবেও চিহ্নিত করা হয় প্রদত্ত x-এর জন্য, প্যাডে আনুমানিক গণনা করা যেতে পারে ওয়াইনের এপসাইলন অ্যালগরিদম এবং এর থেকে অন্যান্য ক্রম রূপান্তরগুলি একটি প্যাডে আনুমানিক গণনা করার একটি উপায় হল বহুপদী সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজকের জন্য বর্ধিত ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদমের মাধ্যমে। সম্পর্কটি এমন কিছু ফ্যাক্টরের অস্তিত্বের সমতুল্য যা বহুপদীর বর্ধিত সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজকের গণনার একটি ধাপের বেজআউট পরিচয় হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং। মনে রাখবেন যে, দুটি বহুপদী p এবং q-এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক গণনা করার জন্য, একটি দীর্ঘ বিভাজনের মাধ্যমে অবশিষ্ট ক্রম k = 1,2,3,. সহ, পর্যন্ত গণনা করে। বর্ধিত সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজকের বেজাউট পরিচয়ের জন্য একজন একই সাথে দুটি বহুপদী ক্রম গণনা করে যাতে প্রতিটি ধাপে বেজাউট পরিচয় পাওয়া যায়। [m/n] আনুমানিকের জন্য, একজন এইভাবে বর্ধিত ইউক্লিডিয়ান অ্যালগরিদম বহন করে এবং শেষ মুহুর্তে এটি বন্ধ করে দেয় যার ডিগ্রি n বা তার কম থাকে। তারপর পলিনোমিয়ালগুলি [m/n] প্যাডে আনুমানিক দেয়। যদি কেউ বর্ধিত সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক গণনার সমস্ত ধাপ গণনা করে, তবে একজন প্যাডে টেবিলের একটি অ্যান্টি-ডায়াগোনাল পাবেন। রিমান-প্যাডে জিটা ফাংশন একটি ডাইভারজেন্ট সিরিজের পুনঃসমর্পণ অধ্যয়ন করতে, বলুন যে এটি প্যাডে বা কেবল যুক্তিসঙ্গত জিটা ফাংশন প্রবর্তন করতে কার্যকর হতে পারে যেখানে f (x) ফাংশনের ক্রমের (m, n) প্যাডে আনুমানিক। s = 0-এ জিটা নিয়মিতকরণের মানটি ডাইভারজেন্ট সিরিজের যোগফল হিসাবে নেওয়া হয়। এই প্যাডে জিটা ফাংশনের কার্যকরী সমীকরণটি হল যেখানে প্যাডে আনুমানিকতার সহগ হল aj এবং bj। সাবস্ক্রিপ্ট '0'-এর অর্থ হল প্যাডে ক্রমানুসারে [0/0] এবং তাই, আমাদের রিমান জিটা ফাংশন রয়েছে। ডি-লগ প্যাডে পদ্ধতি প্যাডে আনুমানিকগুলি ফাংশনের সমালোচনামূলক বিন্দু এবং সূচকগুলি বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। তাপগতিবিজ্ঞানে, যদি একটি ফাংশন f (x) একটি বিন্দু x = r-এর কাছাকাছি অ-বিশ্লেষণাত্মক উপায়ে আচরণ করে, তবে কেউ x = r-কে একটি সমালোচনামূলক বিন্দু এবং p-কে f-এর সম্পর্কিত সমালোচনামূলক সূচক বলে। যদি f-এর সিরিজ সম্প্রসারণের পর্যাপ্ত পদগুলি জানা থাকে, তবে একজন প্রায় প্যাডে আনুমানিকগুলির যথাক্রমে মেরু এবং অবশিষ্টাংশগুলি থেকে সমালোচনামূলক বিন্দু এবং সমালোচনামূলক সূচকগুলি বের করতে পারে, যেখানে। সাধারণীকরণ একটি প্যাডে আনুমানিক একটি চলকের মধ্যে একটি ফাংশনকে আনুমানিক করে। দুটি চলকের আনুমানিককে বলা হয় চিশোল্ম আনুমানিক (জে. এস. আর. চিশোল্মের পরে), একাধিক চলকের মধ্যে ক্যান্টারবারি আনুমানিক (কেন্ট বিশ্ববিদ্যালয়ের গ্রেভস-মরিসের পরে)। দুই-বিন্দু প্যাডে আনুমানিক প্রচলিত প্যাডে আনুমানিক একটি প্রদত্ত ক্রম পর্যন্ত ম্যাকলাউরিন সম্প্রসারণ পুনরুত্পাদন করার জন্য নির্ধারিত হয়। অতএব, সম্প্রসারণ বিন্দু ছাড়াও মূল্যের আনুমানিক মান দুর্বল হতে পারে। এটি 2-পয়েন্ট প্যাডে আনুমানিক দ্বারা এড়ানো হয়, যা এক ধরনের মাল্টিপয়েন্ট যোগ পদ্ধতি। এ, একটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন যে একটি ফাংশন যা অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়ঃ এবং এ, অতিরিক্ত অ্যাসিম্পটোটিক আচরণঃ প্রধান আচরণ নির্বাচন করে, আনুমানিক ফাংশন যেমন একই সাথে প্যাডে আনুমানিক বিকাশের মাধ্যমে অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ পুনরুত্পাদন করা বিভিন্ন ক্ষেত্রে পাওয়া যেতে পারে। ফলস্বরূপ, যে বিন্দুতে, সাধারণ প্যাডে আনুমানিকতার মধ্যে আনুমানিকতার নির্ভুলতা সবচেয়ে খারাপ হতে পারে, সেখানে 2-বিন্দু প্যাডে আনুমানিকের ভাল নির্ভুলতার নিশ্চয়তা দেওয়া হয়। অতএব, 2-বিন্দু প্যাডে আনুমানিক এমন একটি পদ্ধতি হতে পারে যা এর জন্য বিশ্বব্যাপী একটি ভাল অনুমান দেয়। যে ক্ষেত্রে পলিনোমিয়াল বা ঋণাত্মক শক্তির সিরিজ, এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন, লগারিদমিক ফাংশন দ্বারা প্রকাশ করা হয় বা, আমরা 2-পয়েন্ট প্যাডে আনুমানিক প্রয়োগ করতে পারি। উচ্চ নির্ভুলতার সাথে একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আনুমানিক সমাধান দেওয়ার জন্য এটি ব্যবহার করার একটি পদ্ধতি রয়েছে। এছাড়াও, রিমান জিটা ফাংশনের অ-তুচ্ছ শূন্যের জন্য, বাস্তব অক্ষের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণ থেকে কিছু নির্ভুলতার সাথে প্রথম অ-তুচ্ছ শূন্য অনুমান করা যেতে পারে। মাল্টি-পয়েন্ট প্যাডে আনুমানিক 2-পয়েন্ট প্যাডে আনুমানিকের আরও একটি সম্প্রসারণ হল মাল্টি-পয়েন্ট প্যাডে আনুমানিক। এই পদ্ধতিটি একটি ফাংশনের এককত্ব বিন্দুগুলিকে বিবেচনা করে যা আনুমানিক হতে হবে। যখন কোনও ফাংশনের এককত্বগুলি সূচকের সাথে 2-পয়েন্ট প্যাডে আনুমানিক ছাড়াও প্রকাশ করা হয়, যার মধ্যে তথ্য রয়েছে, তখন এই পদ্ধতিটি বিপথগামী হওয়ার বৈশিষ্ট্যকে হ্রাস করার জন্য আনুমানিক। ফলস্বরূপ, যেহেতু ফাংশনের বিশেষত্বের তথ্য ধরা পড়ে, তাই একটি ফাংশনের আনুমানিক মান উচ্চতর নির্ভুলতার সাথে সম্পাদন করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ জ্যাকোবি বেসেল ফ্রেন্সেল এছাড়াও প্যাডে টেবিল দেখুন ভাস্করা 1ম-এর সাইন আনুমানিক সূত্র রেফারেন্সস লিটারেচার বেকার, জি. এ., জুনিয়র; এবং গ্রেভস-মরিস, পি. প্যাডে আনুমানিক। কেমব্রিজ ইউ. পি, 1996। বেকার, জি. এ, জুনিয়র প্যাডে আনুমানিক, স্কলারপিডিয়া, 7 (6): 9756। ব্রেজিনস্কি, সি.; রেডিভো জাগ্লিয়া, এম. এক্সট্রপোলেশন মেথডস। তত্ত্ব এবং অনুশীলন। উত্তর-হল্যান্ড, 1991। ফ্রোবেনিয়াস, জি.;, [জার্নাল ফর ডাই রেইন উন্ড অ্যাঞ্জুয়ান্ডে ম্যাথমেটিক (ক্রেলস জার্নাল)]। খণ্ড 1881, সংখ্যা 90, পৃষ্ঠা 1-17। গ্র্যাগ, ডব্লিউ. বি.; দ্য পেড টেবিল অ্যান্ড ইটস রিলেশন টু সার্টেন অ্যালগরিদমস অফ নিউমেরিকাল অ্যানালাইসিস [সিয়াম রিভিউ], খণ্ড। 14, নং। 1, 1972, পৃ. 1-62। প্যাডে, এইচ.;, থিসিস, [অ্যান। ইকোলও না। (3), 9,1892, পৃ. 1-93 সম্পূরক। । বাহ্যিক সংযোগগুলি প্যাডে এপ্রোক্সিম্যান্টস, ওলেকসান্ডার পাভলিক, দ্য ওল্ফ্রাম ডেমন্সট্রেশন প্রজেক্ট। ডেটা অ্যানালাইসিস ব্রিফবুকঃ পেড অ্যাপ্রক্সিমেশন, রুডলফ কে. বক ইউরোপিয়ান ল্যাবরেটরি ফর পার্টিকল ফিজিক্স, সিইআরএন। সিনওয়েভ, স্কট ড্যাটালো, শেষবার অ্যাক্সেস করা হয়েছে 2010-11-11। সময় বিলম্ব সহ মডেলগুলির প্যাডে আনুমানিককরণের জন্য ম্যাটল্যাব ফাংশন। অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশ সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ যুক্তিসঙ্গত ফাংশন