Generalized Jacobian
বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে একটি সাধারণীকৃত জ্যাকোবিয়ান হল একটি বিনিময়যোগ্য বীজগাণিতিক গোষ্ঠী যা একটি বিভাজক সহ একটি বক্ররেখার সাথে যুক্ত, যা একটি সম্পূর্ণ বক্ররেখার জ্যাকোবিয়ান বৈচিত্র্যকে সাধারণীকরণ করে। এগুলি 1954 সালে ম্যাক্সওয়েল রোজেনলিক্ট দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং আবেলিয়ান গ্যালোইস গ্রুপের সাথে একটি বক্ররেখার বিস্তৃত আবরণ অধ্যয়ন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি বক্ররেখার সাধারণীকৃত জ্যাকোবিয়ানরা একটি বিনিময়যোগ্য অ্যাফিন বীজগাণিতিক গোষ্ঠী দ্বারা বক্ররেখার জ্যাকোবিয়ানের সম্প্রসারণ, যা চেভালির কাঠামো উপপাদ্যের অ-তুচ্ছ উদাহরণ দেয়। সংজ্ঞা ধরা যাক, সি একটি সম্পূর্ণ অ-এককাকার বক্ররেখা, সি-এর উপর এম একটি কার্যকরী বিভাজক, এস হল এম-এর সমর্থন, এবং পি হল সি-এর উপর একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি বিন্দু যা এস-এ নেই। সাধারণীকৃত জ্যাকোবিয়ান জে. এম হল একটি বিনিময়যোগ্য বীজগাণিতিক গোষ্ঠী যার সি থেকে জে. এম পর্যন্ত একটি যুক্তিসঙ্গত মানচিত্র রয়েছে যাতেঃ এফ পি-কে জে. এম-এর পরিচয়ে নিয়ে যায়। f হল S. f (D) = 0-এর বাইরে নিয়মিত, যখনই D হল C-এর উপর যুক্তিসঙ্গত ফাংশন g-এর বিভাজক, যেমন g ষ্ণ 1 মড মি। উপরন্তু Jm হল এই বৈশিষ্ট্যগুলি সহ সর্বজনীন গোষ্ঠী, এই অর্থে যে C থেকে Jm-এর মাধ্যমে এককভাবে উপরের বৈশিষ্ট্যগুলি সহ কোনও গোষ্ঠীতে যে কোনও যুক্তিসঙ্গত মানচিত্র। গ্রুপ Jm বেস পয়েন্ট P-এর পছন্দের উপর নির্ভর করে না, যদিও P পরিবর্তন করে একটি অনুবাদ দ্বারা f-এর মানচিত্র পরিবর্তন করে। সাধারণীকৃত জ্যাকোবিয়ানের কাঠামো m = 0-এর জন্য সাধারণীকৃত জ্যাকোবিয়ান Jm হল সাধারণ জ্যাকোবিয়ান J, যা g মাত্রার একটি আবেলিয়ান বৈচিত্র, যা C-এর গণ। সুতরাং আমাদের একটি সঠিক ক্রম আছে 0 → এল. এম. → জে. এম. → জে. এম. গ্রুপটি হল অন্তর্নিহিত ক্ষেত্রের গুণিতক গ্রুপ জি. এম দ্বারা গ্রুপ রি-এর গুণফলের একটি ভাগফল 0 → জি. এম. → পি. ইউ. পি. আই (এন. আই) → এল. এম. → 0। পণ্যটি এম-এর সমর্থনে পাই বিন্দুর উপর দিয়ে যায় এবং ইউপিআই (এনআই) গ্রুপটি স্থানীয় রিং মডুলোর বিপরীতমুখী উপাদানগুলির গ্রুপ যা 1 মোড পিনি। ইউ. পি. আই (এন. আই) গোষ্ঠীর মাত্রা নি, যা এম-এ যতবার পি. আই ঘটে তার সংখ্যা। এটি গুণক গোষ্ঠী জি. এম-এর গুণফল যা নি-1 মাত্রার একক-ক্ষমতাসম্পন্ন গোষ্ঠীর গুণফল, যা 0-এর বৈশিষ্ট্যে নি-1 যোগাত্মক গোষ্ঠীর গুণফলের সমরূপ। জটিল সাধারণীকৃত জ্যাকোবিয়ান জটিল সংখ্যার উপর, সাধারণীকৃত জ্যাকোবিয়ানের বীজগাণিতিক কাঠামো সাধারণীকৃত জ্যাকোবিয়ানের একটি বিশ্লেষণাত্মক কাঠামো নির্ধারণ করে যা এটিকে একটি জটিল লাই গ্রুপে পরিণত করে। সাধারণীকৃত জ্যাকোবিয়ানের অন্তর্নিহিত বিশ্লেষণাত্মক উপগোষ্ঠীটি নিম্নরূপ বর্ণনা করা যেতে পারে। (এটি সর্বদা বীজগাণিতিক কাঠামো নির্ধারণ করে না কারণ দুটি অ-সমরূপ বিনিময়যোগ্য বীজগাণিতিক গোষ্ঠী বিশ্লেষণাত্মক গোষ্ঠী হিসাবে সমরূপ হতে পারে।) ধরুন, C হল একটি বক্ররেখা যার একটি কার্যকর বিভাজক m রয়েছে যার সমর্থন S। জটিল ভেক্টর স্পেসের সমতুল্য গ্রুপ H1 (C−S) থেকে দ্বৈত ω (−m) * পর্যন্ত একটি প্রাকৃতিক মানচিত্র রয়েছে ω (−m) (m-এর উপর মেরু সহ 1-রূপ) যা একটি 1-চক্রের উপর 1-ফর্মের অবিচ্ছেদ্য দ্বারা প্ররোচিত হয়। বিশ্লেষণাত্মক সাধারণীকৃত জ্যাকোবিয়ান তখন ভাগফল গ্রুপ ω (−m) */H1 (C −S) হয়। তথ্যসূত্র বীজগাণিতিক গোষ্ঠী বীজগাণিতিক বক্ররেখা