Adjunction formula
গণিতে, বিশেষত বীজগাণিতিক জ্যামিতি এবং জটিল ম্যানিফোল্ড তত্ত্বের ক্ষেত্রে, সংযোজন সূত্রটি বৈচিত্র্যের ক্যানোনিকাল বান্ডিল এবং সেই বৈচিত্র্যের অভ্যন্তরে একটি হাইপারসার্ফেস সম্পর্কিত। এটি প্রায়শই প্রজেক্টিভ স্পেসের মতো ভাল আচরণের জায়গাগুলিতে এম্বেড করা বৈচিত্র্য সম্পর্কে তথ্য অনুমান করতে বা আনয়ন দ্বারা উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়। মসৃণ জাতের জন্য সংযোজন একটি মসৃণ উপ-বৈচিত্র্যের জন্য সূত্র ধরা যাক এক্স একটি মসৃণ বীজগাণিতিক বৈচিত্র্য বা মসৃণ জটিল বহুগুণ এবং ওয়াই এক্স-এর একটি মসৃণ উপ-বৈচিত্র্য। অন্তর্ভুক্তির মানচিত্রকে আই দ্বারা এবং এক্স-এ ওয়াই-এর আদর্শ আবরণকে বাই দ্বারা চিহ্নিত করুন। i-এর জন্য স্বাভাবিক সঠিক ক্রম হল যেখানে ω একটি কোট্যাঞ্জেন্ট বান্ডিলকে বোঝায়। এই সঠিক ক্রমের নির্ধারক হল একটি প্রাকৃতিক সমরূপতা যেখানে একটি লাইন বান্ডিলের দ্বৈতকে বোঝায়। একটি মসৃণ বিভাজকের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে মনে করুন যে ডি এক্স-এর উপর একটি মসৃণ বিভাজক। এর স্বাভাবিক বান্ডিল এক্স-এর উপর একটি লাইন বান্ডিল পর্যন্ত প্রসারিত, এবং ডি-এর আদর্শ আবরণ তার দ্বৈতের সাথে মিলে যায়। প্রচলিত বান্ডিলটি, যা উপরের সূত্রের সাথে মিলিত হয়ে দেয় ক্যানোনিকাল ক্লাসের পরিপ্রেক্ষিতে, এটি বলে যে এই দুটি সূত্রকেই সংযোজন সূত্র বলা হয়। উদাহরণ ডিগ্রি ডি হাইপারসার্ফেস একটি মসৃণ ডিগ্রি হাইপারসার্ফেস দেওয়া হলে আমরা সংযোজন সূত্র ব্যবহার করে এর ক্যানোনিকাল এবং অ্যান্টি-ক্যানোনিকাল বান্ডিলগুলি গণনা করতে পারি। এটি সমতুল্য হিসাবে পড়ে। সম্পূর্ণ ছেদ ডিগ্রিগুলির একটি মসৃণ সম্পূর্ণ ছেদনের জন্য, কনরমাল বান্ডিলটি সমরূপ, তাই নির্ধারক বান্ডিলটি এবং এর দ্বৈতটি, এটি সমস্ত সম্পূর্ণ ছেদগুলির জন্য একই পদ্ধতিতে সাধারণীকরণ করে। একটি চতুর্ভুজ পৃষ্ঠের বক্ররেখা একটি অ-একক প্রতিসম ম্যাট্রিক্স থেকে আসা একটি চতুর্ভুজ বহুপদের বিলুপ্ত লোকাস দ্বারা প্রদত্ত চতুর্ভুজ পৃষ্ঠ হিসাবে এম্বেড করা হয়। এরপর আমরা বক্ররেখার প্রতি আমাদের মনোযোগ সীমাবদ্ধ রাখতে পারি। আমরা প্রতিটি কোট্যাঞ্জেন্ট বান্ডিলের সরাসরি যোগফল ব্যবহার করে কোট্যাঞ্জেন্ট বান্ডিল গণনা করতে পারি, তাই এটি হয়। তারপর, ক্যানোনিকাল শিফ দ্বারা দেওয়া হয়, যা ভেক্টর বান্ডিলের সরাসরি যোগফলের ওয়েজগুলির পচন ব্যবহার করে পাওয়া যায়। তারপর, সংযোজন সূত্র ব্যবহার করে, একটি বিভাগের অদৃশ্য লোকাস দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি বক্ররেখা, পয়েনকারে অবশিষ্টাংশ হিসাবে গণনা করা যেতে পারে এই সীমাবদ্ধতা মানচিত্রকে পয়েনকারে অবশিষ্টাংশ বলা হয়। ধরুন, এক্স একটি জটিল বহুগুণ। তারপর বিভাগগুলিতে, পয়েনকারে অবশিষ্টাংশ নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারে। একটি খোলা সেট U স্থির করুন যার উপর একটি ফাংশন f-এর বিলুপ্তির মাধ্যমে D দেওয়া হয়। U-এর উপর যে কোনও বিভাগকে s/f হিসাবে লেখা যেতে পারে, যেখানে s হল U-এর উপর একটি হোলোমরফিক ফাংশন। ধরা যাক η হল ωX-এর U-এর উপর একটি বিভাগ। পয়েনকারে অবশিষ্টাংশ হল সেই মানচিত্র, যা আয়তনের আকারে η ভেক্টর ক্ষেত্র প্রয়োগ করে গঠিত হয়, তারপর হোলোমর্ফিক ফাংশন s দ্বারা গুণ করা হয়। যদি U স্থানীয় স্থানাঙ্ক z1,., zn স্বীকার করে যাতে কিছু i, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, ষ্ণ, পয়েনকারে অবশিষ্টাংশ হল সেই মানচিত্র যা ωD-এর একটি অংশ এবং এর একটি অংশের পাঁজরের গুণফল গ্রহণ করে। সংযোজনটির বিপরীতকরণ সংযোজন সূত্রটি মিথ্যা হয় যখন স্বাভাবিক সঠিক ক্রমটি একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম নয়। যাইহোক, এই ব্যর্থতা ব্যবহার করে এক্স-এর এককত্বকে ডি-এর এককত্বের সাথে সম্পর্কিত করা সম্ভব। এই ধরনের উপপাদ্যগুলিকে সংযোজন বিপরীত বলা হয়। এগুলি আধুনিক জন্মগত জ্যামিতিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার। একটি সমতল বক্ররেখার ক্যানোনিকাল বিভাজক ধরা যাক একটি মসৃণ সমতল বক্ররেখা যা একটি ডিগ্রি সমজাতীয় বহুপদী দ্বারা কাটা হয়। আমরা দাবি করি যে ক্যানোনিকাল বিভাজক হল যেখানে হাইপারপ্লেন বিভাজক রয়েছে। প্রথমে এফাইন চার্টে কাজ করুন। সমীকরণটি যেখানে এবং হয়ে যায়। আমরা স্পষ্টভাবে ডিফারেনশিয়ালের বিভাজক গণনা করব যে কোনও সময়ে হয় এটি একটি স্থানীয় পরামিতি বা তাই একটি স্থানীয় পরামিতি। উভয় ক্ষেত্রেই বিন্দুতে অদৃশ্য হওয়ার ক্রম শূন্য। এইভাবে বিভাজকের সমস্ত অবদান অসীমের রেখায় থাকে। এখন লাইনের দিকে তাকান। ধরে নিন যে এটি স্থানাঙ্ক এবং সহ চার্টে দেখার জন্য যথেষ্ট। বক্ররেখার সমীকরণটি বিলুপ্তির ক্রমের সাথে তাই হয়ে যায়। তাই যা সংযোজন সূত্রের সাথে একমত। বক্ররেখার প্রয়োগ সমতল বক্ররেখার জন্য জিন-ডিগ্রি সূত্রটি সংযোজন সূত্র থেকে অনুমান করা যেতে পারে। ধরা যাক সি ওয়াই পি 2 ডিগ্রি ডি এবং জেনাস জি-এর একটি মসৃণ সমতল বক্ররেখা। ধরা যাক এইচ পি 2-এর একটি হাইপারপ্লেনের শ্রেণী, অর্থাৎ একটি রেখার শ্রেণী। P2-এর ক্যানোনিকাল শ্রেণী হল −3H। ফলস্বরূপ, সংযোজন সূত্রটি বলে যে সি-এর সীমাবদ্ধতা সি-এর ক্যানোনিকাল শ্রেণীর সমান। এই সীমাবদ্ধতা সি-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ ছেদ পণ্যের সমান, এবং তাই সি-এর ক্যানোনিকাল শ্রেণীর মাত্রা হল। রিমান-রক উপপাদ্য অনুসারে, g−1 = (d−3) d−g + 1, যা সূত্রকে বোঝায় একইভাবে, যদি C চতুর্ভুজ পৃষ্ঠের উপর একটি মসৃণ বক্ররেখা হয় P1 × P1 সঙ্গে দ্বিগুণিত (d1, d2) (যার অর্থ d1, d2 হল P1-এর প্রতিটি অভিক্ষেপের একটি তন্তু সহ তার ছেদ ডিগ্রি), যেহেতু P1 × P1-এর ক্যানোনিকাল শ্রেণীর দ্বিগুণিত (−2, −2) রয়েছে, সংযোজন সূত্রটি দেখায় যে C-এর ক্যানোনিকাল শ্রেণী হল দ্বিগুণিত (d1, d2) এবং (d1 −2, d2 −2)-এর বিভাজকের ছেদ গুণফল। পি1 × পি1-এর ছেদ রূপটি দ্বিগুণ এবং দ্বিমাত্রিকতার সংজ্ঞা দ্বারা হয়, তাই রিমান-রক প্রয়োগ করলে পাওয়া যায় বা একটি বক্ররেখা সি-এর গণ যা পি3-তে দুটি পৃষ্ঠতল ডি এবং ই-এর সম্পূর্ণ ছেদও সংযোজন সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে। ধরুন, d এবং e যথাক্রমে D এবং E-এর ডিগ্রি। D-এর সাথে সংযোজন সূত্রটি প্রয়োগ করলে দেখা যায় যে এর ক্যানোনিকাল বিভাজক হল, যা এবং D-এর ছেদ গুণফল। E-এর সাথে আবার এটি করা, যা সম্ভব কারণ C একটি সম্পূর্ণ ছেদ, এটি দেখায় যে ক্যানোনিকাল বিভাজক C হল গুণফল, অর্থাৎ এর ডিগ্রি রয়েছে। রিমান-রক উপপাদ্য অনুসারে, এটি বোঝায় যে সি-এর গণ আরও সাধারণভাবে, যদি সি পিএন-এ মাত্রার অতিপৃষ্ঠের সম্পূর্ণ ছেদ হয়, তবে একটি সূচক গণনা দেখায় যে সি-এর ক্যানোনিকাল শ্রেণী হল। রিমান-রক উপপাদ্যটি বোঝায় যে এই বক্ররেখার গণটি হল নিম্ন মাত্রিক টপোলজিতে ধরা যাক এস একটি জটিল পৃষ্ঠ (বিশেষত একটি 4-মাত্রিক ম্যানিফোল্ড) এবং একটি মসৃণ (অ-একক) সংযুক্ত জটিল বক্ররেখা। তারপর সি-এর গণ কোথায়, যা স্ব-ছেদকে নির্দেশ করে এবং ক্রোনেকার জুটিকে নির্দেশ করে। আরও দেখুন লগারিদমিক ফর্ম পয়েনকেয়ার রেসিডিউ থম কনজেকচার রেফারেন্স ইন্টারসেকশন থিওরি 2য় সংস্করণ, উইলিয়াম ফুলটন, স্প্রিংগার, উদাহরণ 3.2.12। বীজগাণিতিক জ্যামিতির নীতি, গ্রিফিথস এবং হ্যারিস, উইলি ক্লাসিক লাইব্রেরি, পৃষ্ঠা 146-147। বীজগাণিতিক জ্যামিতি, রবিন হার্টশোর্ন, স্প্রিংগার জিটিএম 52, প্রস্তাবনা II.8.20। বীজগাণিতিক জ্যামিতি