Regular singular point
গণিতে, জটিল সমতলে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বে, এর বিন্দুগুলিকে সাধারণ বিন্দুতে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়, যেখানে সমীকরণের সহগগুলি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন এবং একক বিন্দু, যেখানে কিছু সহগের এককত্ব থাকে। তারপর একক বিন্দুর মধ্যে, একটি নিয়মিত একক বিন্দুর মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য করা হয়, যেখানে সমাধানের বৃদ্ধি একটি বীজগাণিতিক ফাংশন দ্বারা সীমাবদ্ধ (যে কোনও ছোট সেক্টরে) এবং একটি অনিয়মিত একক বিন্দুর মধ্যে, যেখানে সম্পূর্ণ সমাধান সেটের জন্য উচ্চ বৃদ্ধির হার সহ ফাংশন প্রয়োজন। এই পার্থক্যটি ঘটে, উদাহরণস্বরূপ, তিনটি নিয়মিত একক বিন্দু সহ হাইপারজিওমেট্রিক সমীকরণ এবং বেসেল সমীকরণের মধ্যে যা এক অর্থে সীমিত ক্ষেত্রে, কিন্তু যেখানে বিশ্লেষণাত্মক বৈশিষ্ট্যগুলি যথেষ্ট আলাদা। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা আরও সুনির্দিষ্টভাবে, মেরোমর্ফিক ফাংশন সহ-তম ক্রমের একটি সাধারণ রৈখিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বিবেচনা করুন। সমীকরণটি রিমান গোলকের উপর অধ্যয়ন করা উচিত যাতে একটি সম্ভাব্য একক বিন্দু হিসাবে অনন্ত বিন্দু অন্তর্ভুক্ত করা যায়। প্রয়োজন হলে জটিল সমতলের সীমাবদ্ধ অংশে φ সরানোর জন্য একটি মোবিয়াস রূপান্তর প্রয়োগ করা যেতে পারে, নীচের বেসেল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদাহরণ দেখুন। তারপর সূচক সমীকরণের উপর ভিত্তি করে ফ্রোবেনিয়াস পদ্ধতিটি এমন সম্ভাব্য সমাধান খুঁজে বের করার জন্য প্রয়োগ করা যেতে পারে যা জটিল সমতলে প্রদত্ত যে কোনও কিছুর কাছাকাছি পাওয়ার সিরিজ গুণ জটিল শক্তি যেখানে একটি পূর্ণসংখ্যা হওয়ার প্রয়োজন নেই; এই ফাংশনটি বিদ্যমান থাকতে পারে, তাই, শুধুমাত্র একটি শাখা কাটা থেকে বা চারপাশে কোনও ছিদ্রযুক্ত ডিস্কের রিম্যান পৃষ্ঠের উপর প্রসারিত হওয়ার জন্য ধন্যবাদ। এটি একটি সাধারণ পয়েন্টের জন্য কোনও অসুবিধা উপস্থাপন করে না (লাজারাস ফুচস 1866)। যখন একটি নিয়মিত একক বিন্দু, যার সংজ্ঞা অনুসারে যার সর্বাধিক ক্রমের একটি মেরু রয়েছে, তখন ফ্রোবেনিয়াস পদ্ধতিটিও কাজ করতে এবং কাছাকাছি স্বাধীন সমাধান সরবরাহ করতে পারে। অন্যথায় বিন্দুটি একটি অনিয়মিত এককত্ব। সেই ক্ষেত্রে বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা সমাধান সম্পর্কিত মনোড্রোমি গোষ্ঠীর সাধারণভাবে বলার মতো কম রয়েছে এবং তাদের অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণের ক্ষেত্রে ব্যতীত সমাধানগুলি অধ্যয়ন করা কঠিন। একটি অনিয়মিত এককত্বের অনিয়মিততা পয়েনকারে র্যাঙ্ক () দ্বারা পরিমাপ করা হয়। নিয়মিততার শর্ত হল এক ধরনের নিউটন বহুভুজ অবস্থা, এই অর্থে যে অনুমোদিত মেরুগুলি একটি অঞ্চলে থাকে, যখন এর বিরুদ্ধে অঙ্কন করা হয়, অক্ষের 45° এ একটি রেখা দ্বারা আবদ্ধ থাকে। একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যার একমাত্র একক বিন্দু, যার মধ্যে অনন্ত বিন্দুও নিয়মিত একক বিন্দু, তাকে ফুচসিয়ান সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়। দ্বিতীয় ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উদাহরণ এই ক্ষেত্রে উপরের সমীকরণটি হ্রাস করা হয়ঃ একটি নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে পার্থক্য করেঃ বিন্দু একটি সাধারণ বিন্দু যখন ফাংশন এবং বিশ্লেষণাত্মক হয়। বিন্দু হল একটি নিয়মিত একক বিন্দু যদি একটি মেরু থাকে যা 1-এ ক্রমানুসারে থাকে এবং 2-এ ক্রমানুসারে থাকে। অন্যথায় বিন্দু একটি অনিয়মিত একক বিন্দু। প্রতিস্থাপন এবং সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে আমরা অনন্তের একটি অনিয়মিত একক বিন্দু আছে কিনা তা পরীক্ষা করতে পারিঃ আমরা এইভাবে সমীকরণটিকে একটি সমীকরণে রূপান্তরিত করতে পারি এবং সেখানে কী ঘটে তা পরীক্ষা করতে পারি। যদি এবং এগুলি বহুপদগুলির ভাগফল হয়, তবে অসীম x-এ একটি অনিয়মিত একক বিন্দু থাকবে যদি না এর হরের বহুপদটি তার অংশের ডিগ্রির চেয়ে কমপক্ষে এক ডিগ্রি বেশি হয় এবং এর হরটি তার অংশের ডিগ্রির চেয়ে কমপক্ষে দুই ডিগ্রি বেশি হয়। গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের বেশ কয়েকটি উদাহরণ নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে যার একক বিন্দু এবং পরিচিত সমাধান রয়েছে। বেসেল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এটি দ্বিতীয় ক্রমের একটি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। এটি নলাকার স্থানাঙ্কে ল্যাপলেস সমীকরণের সমাধানে পাওয়া যায়ঃ একটি স্বেচ্ছাচারী বাস্তব বা জটিল সংখ্যার জন্য (বেসেল ফাংশনের ক্রম)। সবচেয়ে সাধারণ এবং গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ কেস হল একটি পূর্ণসংখ্যা কোথায়। এই সমীকরণটিকে x2 দ্বারা ভাগ করলে পাওয়া যায়ঃ এই ক্ষেত্রে প্রথম ক্রমের একটি মেরু আছে। কখন, এ দ্বিতীয় ক্রমের একটি মেরু রয়েছে। সুতরাং এই সমীকরণের 0-এ একটি নিয়মিত এককত্ব রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যখন একজনকে মোবিয়াস রূপান্তর ব্যবহার করতে হয় তখন কী ঘটে তা দেখার জন্য। বীজগণিত সম্পাদন করার পরেঃ এখন এট-এর প্রথম ক্রমের একটি মেরু রয়েছে, তবে চতুর্থ ক্রমের একটি মেরু রয়েছে। সুতরাং, এই সমীকরণের একটি অনিয়মিত এককত্ব রয়েছে যা x-এর সাপেক্ষে φ-তে রয়েছে। কিংবদন্তি অবকল সমীকরণ এটি দ্বিতীয় ক্রমের একটি সাধারণ অবকল সমীকরণ। এটি গোলাকার স্থানাঙ্কে ল্যাপলেস সমীকরণের সমাধানে পাওয়া যায়ঃ বর্গাকার বন্ধনীটি খোলার ফলে পাওয়া যায়ঃ এবং দ্বারা ভাগ করলেঃ এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ±1 এবং φ এ নিয়মিত একক বিন্দু রয়েছে। হারমাইট ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ একটি সুরেলা দোলকের জন্য এক-মাত্রিক সময় স্বাধীন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ সমাধানে এই সাধারণ দ্বিতীয় ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মুখোমুখি হয়। এই ক্ষেত্রে বিভব শক্তি V (x) হলঃ এটি নিম্নলিখিত সাধারণ দ্বিতীয় ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়ঃ এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি অনিয়মিত এককত্ব রয়েছে। এর সমাধানগুলি হল হার্মাইট বহুপদী। হাইপারজিওমেট্রিক সমীকরণ সমীকরণটিকে উভয় পক্ষকে এইভাবে ভাগ করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারেঃ এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নিয়মিত একক বিন্দু 0,1 এবং φ রয়েছে। একটি সমাধান হল হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন। রেফারেন্স ই. টি. কপসন, অ্যান ইন্ট্রোডাকশন টু দ্য থিওরি অফ ফাংশনস অফ এ কমপ্লেক্স ভেরিয়েবল (1935) এ. আর. ফোরসিথ থিওরি অফ ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন খণ্ড। IV: অর্ডিনারি লিনিয়ার ইকুয়েশনস (কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1906) এডওয়ার্ড গোরস্যাট, এ কোর্স ইন ম্যাথমেটিকাল অ্যানালাইসিস, ভলিউম II, পার্ট II: ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস pp. 128 − ff। (জিন অ্যান্ড কো., বস্টন, 1917) ই. এল. ইন্স, অর্ডিনারি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশনস, ডোভার পাবলিকেশনস (1944) টি. এম. ম্যাকরোবার্ট ফাংশনস অফ এ কমপ্লেক্স ভেরিয়েবল পৃষ্ঠা 243 (ম্যাকমিলান, লন্ডন, 1917) ই. টি. হুইটেকার এবং জি. এন. ওয়াটসন এ কোর্স অফ মডার্ন অ্যানালাইসিস পৃষ্ঠা 188-এফ. এফ। (কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1915) সাধারণ অবকল সমীকরণ জটিল বিশ্লেষণ