Operad
গণিতে, একটি অপারেড এমন একটি কাঠামো যা বিমূর্ত ক্রিয়াকলাপ নিয়ে গঠিত, যার প্রত্যেকটির একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক ইনপুট (আর্গুমেন্ট) এবং একটি আউটপুট রয়েছে, পাশাপাশি এই ক্রিয়াকলাপগুলি কীভাবে রচনা করা যায় তার একটি নির্দিষ্টকরণ রয়েছে। একটি অপারেড দেওয়া হলে, একটি বীজগণিতকে এই সেটের উপর কংক্রিট ক্রিয়াকলাপগুলির সাথে একত্রে একটি সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা এর বিমূর্ত ক্রিয়াকলাপগুলির মতো আচরণ করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি লাই অপের্যাড রয়েছে যাতে উপরের অ্যালজেব্রা সঠিকভাবে লাই অ্যালজেব্রা হয়; এক অর্থে বিমূর্তভাবে সমস্ত লাই অ্যালজেব্রার জন্য সাধারণ ক্রিয়াকলাপগুলিকে এনকোড করে। একটি অপেরাড তার অ্যালজেব্রাগুলির জন্য একটি গোষ্ঠী হিসাবে তার গোষ্ঠী প্রতিনিধিত্বের জন্য। ইতিহাস অপারেডগুলি বীজগাণিতিক টপোলজিতে উদ্ভূত হয়; 1968 সালে জে মাইকেল বোর্ডম্যান এবং রেইনার এম ভগট এবং 1972 সালে জে পিটার মে দ্বারা পুনরাবৃত্ত লুপ স্পেসগুলি চিহ্নিত করার জন্য এগুলি চালু করা হয়েছিল। মার্টিন মার্কেল, স্টিভ স্নাইডার এবং জিম স্ট্যাশেফ তাদের অপেরাড সম্পর্কিত বইয়ে লিখেছেনঃ "অপেরাড নাম এবং আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাটি 1970-এর দশকের গোড়ার দিকে জে পিটার মে-এর" দ্য জিওমেট্রি অফ ইটারেটেড লুপ স্পেস "-এ প্রথম প্রদর্শিত হয়েছিল, তবে এক বছর বা তারও বেশি আগে, বোর্ডম্যান এবং ভগট অ্যাডামস এবং ম্যাক লেনের পিআরওপি এবং পিএসিটি দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে প্রমিত আকারে অপারেটরদের নাম বিভাগের অধীনে একই ধারণাটি বর্ণনা করেছিলেন। প্রকৃতপক্ষে, প্রাগৈতিহাসিকের প্রাচুর্য রয়েছে। ওয়েইবেল [ওয়েই] উল্লেখ করেছেন যে এই ধারণাটি প্রথম এক শতাব্দী আগে এ. এন-এ উদ্ভূত হয়েছিল। 1898 সালে প্রকাশিত হোয়াইটহেডের "এ ট্রিটাইজ অন ইউনিভার্সাল অ্যালজেব্রা"। "অপেরাড" শব্দটি মে দ্বারা "অপারেশনস" এবং "মোনাড" (এবং তার মা একজন অপেরা গায়িকা ছিলেন) এর পোর্টম্যান্টিউ হিসাবে তৈরি করা হয়েছিল। 90-এর দশকের গোড়ার দিকে অপেরাদের প্রতি আগ্রহ উল্লেখযোগ্যভাবে পুনর্নবীকরণ করা হয়েছিল, যখন ম্যাক্সিম কনটসেভিচের প্রাথমিক অন্তর্দৃষ্টির উপর ভিত্তি করে, ভিক্টর গিঞ্জবার্গ এবং মিখাইল কাপরানভ আবিষ্কার করেছিলেন যে যুক্তিসঙ্গত সমস্থানিক তত্ত্বের কিছু দ্বৈত ঘটনা অপেরাদের কোসজুল দ্বৈততা ব্যবহার করে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। অপারেডগুলি তখন থেকে অনেকগুলি প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে, যেমন ম্যাক্সিম কনটসেভিচ এবং থমাস উইলওয়াচারের কাজে পয়সন ম্যানিফোল্ডের বিকৃতি পরিমাপ, ডিলিগনে অনুমান বা গ্রাফ হোমোলজি। অন্তর্দৃষ্টি ধরুন একটি সেট এবং আমাদের সংজ্ঞায়িত করার জন্য, এর অনুলিপিগুলির কার্টেসিয়ান পণ্য থেকে সমস্ত ফাংশনের সেট। আমরা এই ফাংশনগুলি রচনা করতে পারিঃ প্রদত্ত, ফাংশনটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ থেকে প্রদত্ত আর্গুমেন্ট, আমরা তাদের ব্লকে বিভক্ত করি, প্রথমটির আর্গুমেন্ট, দ্বিতীয়টির আর্গুমেন্ট ইত্যাদি, এবং তারপর প্রথম ব্লকে, দ্বিতীয় ব্লকে প্রয়োগ করি, ইত্যাদি। তারপরে আমরা এইভাবে প্রাপ্ত মানগুলির তালিকায় প্রয়োগ করি। আমরা আর্গুমেন্টগুলিকেও পারমিউট করতে পারি, অর্থাৎ। আমাদের কাছে প্রতিসম গোষ্ঠীর একটি সঠিক ক্রিয়া রয়েছে, যার জন্য, এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত। নীচে দেওয়া একটি প্রতিসম অপারেডের সংজ্ঞা এই দুটি ক্রিয়াকলাপের প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করে এবং। সংজ্ঞা অসমমিতিক অপেরাদ একটি অসমমিতিক অপেরাদ (কখনও কখনও বিন্যাস ছাড়া একটি অপেরাদ, বা একটি অ-বা সরল অপেরাদ বলা হয়) নিম্নলিখিতগুলি নিয়ে গঠিতঃ সেটগুলির একটি ক্রম, যার উপাদানগুলিকে-আরি অপারেশন বলা হয়, সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি উপাদান যাকে আইডেন্টিটি বলা হয়, একটি রচনা ফাংশন যা নিম্নলিখিত সঙ্গতি স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ পরিচিতিঃ সাহচর্যঃ সমমিতিক অপেরাদ একটি সমমিতিক অপেরাদ (প্রায়শই কেবল অপেরাদ বলা হয়) উপরে হিসাবে একটি অসমমিতিক অপেরাদ, সমমিতিক গোষ্ঠীর জন্য একটি সঠিক ক্রিয়া সহ, সমীকরণ দ্বারা চিহ্নিত এবং সন্তোষজনকঃ একটি বিন্যাস দেওয়া হয়েছে, (যেখানে ডানদিকে বোঝায়) এই সংজ্ঞায় ক্রমবর্ধমান ক্রিয়াগুলি বেশিরভাগ প্রয়োগের জন্য অত্যাবশ্যক, যার মধ্যে লুপ স্পেসের মূল প্রয়োগও রয়েছে। অঙ্গসংস্থান অপেরাডের একটি অঙ্গসংস্থান একটি ক্রম নিয়ে গঠিত যাঃ পরিচয় সংরক্ষণ করেঃ গঠন সংরক্ষণ করেঃ প্রতিটি এন-এরি অপারেশন এবং ক্রিয়াকলাপের জন্য, বিন্যাস ক্রিয়া সংরক্ষণ করেঃ অপারেডগুলি তাই দ্বারা চিহ্নিত একটি বিভাগ গঠন করে। অন্যান্য বিভাগে এখন পর্যন্ত অপেরাদগুলি শুধুমাত্র সেটের বিভাগে বিবেচনা করা হয়েছে। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও প্রতিসম মনোইডাল বিভাগ সি-তে অপারেডগুলি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। সেক্ষেত্রে, প্রতিটি হল সি-এর একটি বস্তু, গঠনটি সি-তে একটি অঙ্গসংস্থান (যেখানে মনোয়ডাল বিভাগের টেনসর গুণফলকে বোঝায়), এবং প্রতিসম গোষ্ঠীর উপাদানগুলির ক্রিয়া সি-তে আইসোমরফিজম দ্বারা দেওয়া হয়। একটি সাধারণ উদাহরণ হল টপোলজিকাল স্পেস এবং অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের বিভাগ, কার্টেসিয়ান পণ্য দ্বারা প্রদত্ত মনোয়ডাল গুণফল সহ। এই ক্ষেত্রে, একটি টপোলজিকাল অপেরাড স্পেসের ক্রম দ্বারা দেওয়া হয় (সেটের পরিবর্তে)। অপেরাডের কাঠামোর মানচিত্রগুলি (প্রতিসম গোষ্ঠীর গঠন এবং ক্রিয়া) তারপর অবিচ্ছিন্ন বলে ধরে নেওয়া হয়। ফলাফলটিকে টপোলজিকাল অপেরাড বলা হয়। একইভাবে, অপেরাডের একটি রূপবাদের সংজ্ঞায়, এটি ধরে নেওয়া প্রয়োজন যে জড়িত মানচিত্রগুলি অবিচ্ছিন্ন। অপারেডগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য অন্যান্য সাধারণ সেটিংসের মধ্যে রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের উপর মডিউল, চেইন কমপ্লেক্স, গ্রুপয়েড (বা এমনকি বিভাগগুলির বিভাগও), কোলজেব্রা ইত্যাদি। বীজগাণিতিক সংজ্ঞা একটি বিনিময়যোগ্য বলয় আর দেওয়া হলে আমরা আর-এর উপর মডিউলগুলির বিভাগ বিবেচনা করি। আর-এর উপর একটি অপারেডকে কিছু সীমাবদ্ধতার শর্ত পূরণকারী (এটি একটি মোনাড) এন্ডোফাংশনের মনোয়ডাল বিভাগে একটি মনোয়েড বস্তু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, "পলিনোমিয়াল এন্ডোফাংশর" বিভাগের একটি মনোয়েড বস্তু হল একটি অপের্যাড। একইভাবে, একটি প্রতিসম অপারেডকে-অবজেক্টের বিভাগে একটি একক বস্তু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেখানে এর অর্থ একটি প্রতিসম গোষ্ঠী। সমন্বিত প্রজাতির বিভাগে একটি মনোয়েড বস্তু হল সসীম সেটের একটি অপেরাড। উপরের অর্থে একটি অপেরাদকে কখনও কখনও একটি সাধারণীকৃত বলয় হিসাবে বিবেচনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, নিকোলাই দুরভ তার সাধারণীকৃত বলয়গুলিকে ফিল্টার করা কলিমিট সহ সেই যাতায়াতের উপর এন্ডোফাংশনের মনোয়ডাল বিভাগে মনোয়েড বস্তু হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন। এটি একটি বলয়ের সাধারণীকরণ কারণ প্রতিটি সাধারণ বলয় আর একটি মোনাডকে সংজ্ঞায়িত করে যা এক্স দ্বারা উত্পন্ন মুক্ত আর-মডিউলের অন্তর্নিহিত সেটে একটি সেট এক্স পাঠায়। অ্যাসোসিয়েটিভিটি স্বতঃসিদ্ধ "অ্যাসোসিয়েটিভিটি" বোঝার অর্থ হল ক্রিয়াকলাপগুলির গঠন সহযোগী (ফাংশনটি সহযোগী), যা বিভাগ তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধের অনুরূপ; এর অর্থ এই নয় যে ক্রিয়াকলাপগুলি নিজেই ক্রিয়াকলাপ হিসাবে সহযোগী। নীচের সহযোগী অপেরাদের সাথে তুলনা করুন। অপারেড তত্ত্বে সহযোগিতার অর্থ হল যে বাদ দেওয়া রচনাগুলি থেকে অস্পষ্টতা ছাড়াই ক্রিয়াকলাপের সাথে জড়িত অভিব্যক্তিগুলি লেখা যেতে পারে, ঠিক যেমন ক্রিয়াকলাপের জন্য সহযোগীতা বাদ দেওয়া বন্ধনী থেকে অস্পষ্টতা ছাড়াই পণ্যগুলি লেখার অনুমতি দেয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বাইনারি অপারেশন, যা বা হিসাবে লেখা হয়। যাতে এটি সহযোগী হতে পারে বা নাও হতে পারে। তারপর যা সাধারণত লেখা হয় তা দ্ব্যর্থহীনভাবে অপারেডিকভাবে লেখা হয়। এটি পাঠায় (প্রথম দুটিতে প্রয়োগ করুন, এবং তৃতীয়টিতে পরিচয়), এবং তারপর বামদিকে "গুণিত হয়" দ্বারা। এটি আরও স্পষ্ট হয় যখন একটি গাছ হিসাবে চিত্রিত করা হয়ঃ যা একটি 3-এরি অপারেশন দেয়ঃ তবে, অভিব্যক্তিটি একটি প্রাথমিক দ্ব্যর্থহীনঃ এর অর্থ হতে পারে, যদি অভ্যন্তরীণ রচনাগুলি প্রথমে সঞ্চালিত হয়, বা এর অর্থ হতে পারে, যদি বাইরের রচনাগুলি প্রথমে সঞ্চালিত হয় (অপারেশনগুলি ডান থেকে বাম দিকে পড়া হয়)। লেখা, এটি বনাম। অর্থাৎ, গাছটিতে "উল্লম্ব বন্ধনী" অনুপস্থিতঃ যদি ক্রিয়াকলাপের শীর্ষ দুটি সারি প্রথমে তৈরি করা হয় (লাইনে একটি ঊর্ধ্বমুখী বন্ধনী রাখে; অভ্যন্তরীণ গঠনটি প্রথমে করে), নিম্নলিখিত ফলাফলগুলিঃ যা তারপর একটি 4-এরি ক্রিয়াকলাপের জন্য দ্ব্যর্থহীনভাবে মূল্যায়ন করে। একটি টীকাকৃত অভিব্যক্তি হিসাবেঃ যদি ক্রিয়াকলাপের নীচের দুটি সারি প্রথমে রচিত হয় (লাইনে একটি নিম্নমুখী বন্ধনী রাখে; বাইরের রচনাটি প্রথমে করে), নিম্নলিখিত ফলাফলগুলিঃ যা তখন একটি 4-এরি ক্রিয়াকলাপ অর্জনের জন্য দ্ব্যর্থহীনভাবে মূল্যায়ন করেঃ সহযোগীতার অপারেড স্বতঃসিদ্ধ হল যে এগুলি একই ফলাফল দেয় এবং এইভাবে অভিব্যক্তিটি দ্ব্যর্থহীন। পরিচয় স্বতঃসিদ্ধ (একটি বাইনারি ক্রিয়াকলাপের জন্য) একটি গাছে এইভাবে কল্পনা করা যেতে পারেঃ যার অর্থ প্রাপ্ত তিনটি ক্রিয়াকলাপ সমানঃ পরিচয়ের সাথে প্রাক-বা পোস্ট-রচনা কোনও পার্থক্য করে না। বিভাগগুলির ক্ষেত্রে, এটি পরিচয় স্বতঃসিদ্ধের একটি অনুষঙ্গ। উদাহরণ সেট এবং অপেরাড অ্যালজেব্রায় এন্ডোমর্ফিজম অপেরাড সবচেয়ে মৌলিক অপেরাডগুলি উপরের "ইনটুইশন" বিভাগে দেওয়া হয়েছে। যে কোনও সেটের জন্য, আমরা সমস্ত ফাংশন সমন্বিত এন্ডোমর্ফিজম অপারেড পাই। এই অপেরাডগুলি গুরুত্বপূর্ণ কারণ এগুলি অপেরাড অ্যালজেব্রা সংজ্ঞায়িত করতে কাজ করে। যদি একটি অপেরাড হয়, একটি অপেরাড বীজগণিত একটি সেট এবং একটি অপেরাড মরফিজম দ্বারা দেওয়া হয়। স্বজ্ঞাতভাবে, এই ধরনের অঙ্গসংস্থান প্রতিটি "বিমূর্ত" ক্রিয়াকলাপকে সেটের একটি "কংক্রিট"-অ্যারি ক্রিয়াকলাপে পরিণত করে। একটি অপারেড বীজগণিত এইভাবে কংক্রিট অপারেশন সহ একটি সেট নিয়ে গঠিত যা অপারেড দ্বারা বিমূর্তভাবে নির্দিষ্ট নিয়মগুলি অনুসরণ করে। ভেক্টর স্পেস এবং অপারেড বীজগণিতে এন্ডোমর্ফিজম অপারেড যদি k একটি ক্ষেত্র হয়, তবে আমরা k-এর উপর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের বিভাগটি বিবেচনা করতে পারি; এটি k-এর উপর সাধারণ টেনসর পণ্য ব্যবহার করে একটি মনোয়ডাল বিভাগে পরিণত হয়। ধরা যাক V একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্থান। V-এর এন্ডোমর্ফিজম অপারেড = রৈখিক মানচিত্রের স্থান নিয়ে গঠিত, (গঠন) দেওয়া হয়েছে,,,, তাদের গঠন মানচিত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে, (পরিচয়) পরিচয় উপাদানটি হল পরিচয় মানচিত্র, (প্রতিসম গোষ্ঠী ক্রিয়া) টেনসরগুলির উপাদানগুলিকে বিন্যস্ত করে কাজ করে। যদি একটি অপেরাড হয়, তবে একটি কে-লিনিয়ার অপেরাড বীজগণিত একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস V দ্বারা k এবং একটি অপেরাড মরফিজম দ্বারা দেওয়া হয়; এটি V-এর উপর কংক্রিট মাল্টিলিনিয়ার অপারেশন নির্দিষ্ট করার পরিমাণ যা এর ক্রিয়াকলাপের মতো আচরণ করে। (অপেরাড ও অপেরাড অ্যালজেব্রা এবং রিং ও মডিউলগুলির মধ্যে সাদৃশ্য লক্ষ্য করুনঃ একটি রিং আর-এর উপর একটি মডিউল একটি আবেলিয়ান গ্রুপ এম দ্বারা একটি রিং সমরূপতার সাথে দেওয়া হয়।) প্রয়োগের উপর নির্ভর করে, উপরের বৈচিত্র্যগুলি সম্ভবঃ উদাহরণস্বরূপ, বীজগাণিতিক টপোলজিতে, ভেক্টর স্পেস এবং তাদের মধ্যে টেনসর পণ্যের পরিবর্তে, তাদের মধ্যে (যুক্তিসঙ্গত) টপোলজিকাল স্পেস এবং কার্টেসিয়ান পণ্য ব্যবহার করা হয়। "লিটল কিছু" অপারেড লিটল 2-ডিস্ক অপারেড হল একটি টপোলজিকাল অপারেড যেখানে উৎপত্তিস্থলে কেন্দ্রিক একক ডিস্কের ভিতরে এন বিচ্ছিন্ন ডিস্কের ক্রমযুক্ত তালিকা থাকে। প্রতিসম গোষ্ঠীটি ছোট ডিস্কের তালিকা বিন্যাস করে এই ধরনের বিন্যাসে কাজ করে। ছোট ডিস্কগুলির জন্য অপারেডিক রচনাটি ডানদিকে সহগামী চিত্রে চিত্রিত করা হয়েছে, যেখানে একটি উপাদান একটি উপাদান দিয়ে তৈরি করা হয় যা কনফিগারেশনটি সঙ্কুচিত করে এবং এটির জন্য i-th ডিস্কে সন্নিবেশ করে প্রাপ্ত উপাদানটি প্রদান করে। অনুরূপভাবে, একক বলের ভিতরে বিচ্ছিন্ন এন-বলের বিন্যাস বিবেচনা করে ছোট এন-ডিস্ক অপারেডকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। প্রাথমিকভাবে লিটল এন-কিউব অপারেড বা লিটল ইন্টারভাল অপারেড (প্রাথমিকভাবে লিটল এন-কিউব পিআরওপি বলা হত) মাইকেল বোর্ডম্যান এবং রেইনার ভগট দ্বারা একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল, একক হাইপারকিউবের অভ্যন্তরে বিচ্ছিন্ন অক্ষ-সারিবদ্ধ এন-মাত্রিক হাইপারকিউবের (এন-মাত্রিক ব্যবধান) বিন্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে। পরে মে মাসের মধ্যে এটি ছোট উত্তল দেহের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা হয় এবং "ছোট ডিস্ক" হল "ছোট উত্তল দেহ" থেকে উদ্ভূত "লোককাহিনী"। শিকড়যুক্ত গাছ গ্রাফ তত্ত্বে, শিকড়যুক্ত গাছগুলি একটি প্রাকৃতিক অপেরাড গঠন করে। এখানে, n পাতা সহ সমস্ত শিকড়যুক্ত গাছের সেট রয়েছে, যেখানে পাতাগুলি 1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যাযুক্ত। গ্রুপটি পাতার লেবেলগুলি বিন্যস্ত করে এই সেটটিতে কাজ করে। অপারেডিক কম্পোজিশনটি i-th গাছের মূল দ্বারা i-th পাতাকে প্রতিস্থাপন করে দেওয়া হয়, কারণ, এইভাবে n গাছগুলিকে সংযুক্ত করে এবং একটি বড় গাছ গঠন করে, যার মূলটি মূলের সমান বলে মনে করা হয় এবং যার পাতাগুলি ক্রমানুসারে গণনা করা হয়। সুইস-পনির অপেরাদ সুইস-পনির অপেরাদ হল একটি দুই রঙের টপোলজিকাল অপেরাদ যা একটি একক এন-সেমিডিস্ক এবং এন-মাত্রিক সেমিডিস্কের অভ্যন্তরে বিচ্ছিন্ন এন-মাত্রিক ডিস্কের বিন্যাসের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা একক সেমিডিস্কের গোড়ায় কেন্দ্রীভূত এবং এর ভিতরে বসে থাকে। অপারেডিক কম্পোজিশনটি আসে ইউনিট ডিস্কের ভিতরে "ছোট" ডিস্কের গ্লুইং কনফিগারেশন থেকে অন্য ইউনিট সেমিডিস্কে "ছোট" ডিস্কের মধ্যে এবং ইউনিট সেমিডিস্কের ভিতরে "ছোট" ডিস্ক এবং সেমিডিস্কের কনফিগারেশন থেকে অন্য ইউনিট সেমিডিস্কে। সুইস-পনির অপেরাডের সংজ্ঞা দিয়েছিলেন আলেকজান্ডার এ. ভোরোনভ। হচসচাইল্ড কোহোমোলজির উপর ডেলিনের অনুমানের একটি সুইস-পনির সংস্করণ তৈরি করতে ম্যাক্সিম কনটসেভিচ এটি ব্যবহার করেছিলেন। কনটসেভিচের অনুমান আংশিকভাবে পো হু, ইগর ক্রিজ এবং আলেকজান্ডার এ ভোরোনভ এবং তারপর সম্পূর্ণরূপে জাস্টিন থমাস দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। সহযোগী অপারেড অপারেডের আরেকটি উদাহরণ হল সহযোগী অ্যালজেব্রা, বিনিময়যোগ্য অ্যালজেব্রা এবং লাই অ্যালজেব্রার মতো বীজগাণিতিক কাঠামোর কাঠামো ধারণ করা। বাইনারি অপারেশন দ্বারা উত্পন্ন এই তিনটির প্রত্যেকটিতে এগুলির প্রত্যেকটিকে একটি চূড়ান্তভাবে উপস্থাপিত অপেরাড হিসাবে প্রদর্শিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সহযোগী অপারেড একটি বাইনারি অপারেশন দ্বারা উত্পন্ন একটি প্রতিসম অপারেড, শুধুমাত্র এই শর্ত সাপেক্ষে যে এই শর্তটি বাইনারি অপারেশনের সহযোগীতার সাথে মিলে যায়; গুণগতভাবে লেখা, উপরের শর্তটি হল। অপারেশনের এই সাহচর্যকে রচনার সাহচর্যের সাথে বিভ্রান্ত করা উচিত নয় যা কোনও অপারেডে ধারণ করে; উপরের সাহচর্যের স্বতঃসিদ্ধ দেখুন। সহযোগী অপারেডে, প্রতিটি প্রতিসম গোষ্ঠী দ্বারা দেওয়া হয়, যার উপর সঠিক গুণ দ্বারা কাজ করে। সংমিশ্রণটি তার ইনপুটগুলিকে ব্লক অনুসারে এবং উপযুক্ত অনুসারে ব্লকের মধ্যে বিন্যাস করে। সহযোগী অপারেডের উপরের অ্যালজেব্রা সঠিকভাবে সেমিগ্রুপঃ একটি একক বাইনারি সহযোগী ক্রিয়াকলাপের সাথে একত্রিত হয়। সহযোগী অপারেডের উপর কে-লিনিয়ার অ্যালজেব্রা হল সুনির্দিষ্টভাবে সহযোগী কে-অ্যালজেব্রা। টার্মিনাল প্রতিসম অপেরাড হল একটি অপেরাড যার প্রতিটি এন-এর জন্য একটি একক এন-এরি অপারেশন রয়েছে, যার প্রতিটি তুচ্ছভাবে কাজ করে। এই অপারেডের উপরের অ্যালজেব্রা হল বিনিময়যোগ্য সেমিগ্রুপ; কে-লিনিয়ার অ্যালজেব্রা হল বিনিময়মূলক সহযোগী কে-অ্যালজেব্রা। একইভাবে, একটি নন-অপারেড রয়েছে যার জন্য প্রতিটি আর্টিন ব্রেড গ্রুপ দ্বারা দেওয়া হয়। উপরন্তু, এই নন-অপেরাদে একটি ব্রেইড অপেরাদের কাঠামো রয়েছে, যা প্রতিসম থেকে ব্রেইড গ্রুপ পর্যন্ত একটি অপেরাদের ধারণাকে সাধারণীকরণ করে। রৈখিক বীজগণিতে, বাস্তব ভেক্টর স্থানগুলিকে সমস্ত রৈখিক সংমিশ্রণের অপারেডের উপর আলজেব্রা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এই অপারেডটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, পারমিউটিং উপাদানগুলির সুস্পষ্ট ক্রিয়া এবং ভেক্টরগুলির সংহতকরণ দ্বারা প্রদত্ত গঠন, যেখানে। উদাহরণস্বরূপ ভেক্টর 2,3,-5,0, সহগগুলির সাথে একটি রৈখিক সংমিশ্রণ গঠনের ক্রিয়াকলাপকে উপস্থাপন করে। এই দৃষ্টিভঙ্গি এই ধারণাকে আনুষ্ঠানিক করে তোলে যে রৈখিক সংমিশ্রণ একটি ভেক্টর স্পেসে সবচেয়ে সাধারণ ধরণের ক্রিয়াকলাপ-এই বলে যে একটি ভেক্টর স্পেস রৈখিক সংমিশ্রণের অপারেডের উপর একটি বীজগণিত ঠিক এই বিবৃতি যে একটি ভেক্টর স্পেসে সমস্ত সম্ভাব্য বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপ রৈখিক সংমিশ্রণ। ভেক্টর সংযোজন এবং স্কেলার গুণনের মৌলিক ক্রিয়াকলাপগুলি সমস্ত রৈখিক সংমিশ্রণের অপারেডের জন্য একটি জেনারেটিং সেট, যেখানে রৈখিক সংমিশ্রণগুলি একটি ভেক্টর স্পেসে সমস্ত সম্ভাব্য ক্রিয়াকলাপকে ক্যানোনিকভাবে এনকোড করে। একইভাবে, অ্যাফিন সংমিশ্রণ, শঙ্কু সংমিশ্রণ এবং উত্তল সংমিশ্রণগুলি উপ-অপারেডগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে বিবেচনা করা যেতে পারে যেখানে ভেক্টরের পদগুলির যোগফল 1, পদগুলি যথাক্রমে অ-নেতিবাচক, বা উভয়ই। চিত্রগতভাবে, এগুলি হল অসীম অ্যাফিন হাইপারপ্লেন, অসীম হাইপার-অক্টেন্ট এবং অসীম সিম্প্লেক্স। এটি মডেল স্পেস হওয়া বা স্ট্যান্ডার্ড সিম্প্লেক্স হওয়ার অর্থকে আনুষ্ঠানিক করে তোলে এবং এই ধরনের পর্যবেক্ষণ যে প্রতিটি আবদ্ধ উত্তল পলিটোপ একটি সিম্প্লেক্সের চিত্র। এখানে সাব-অপারেডগুলি আরও সীমাবদ্ধ ক্রিয়াকলাপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং এইভাবে আরও সাধারণ তত্ত্ব। কমিউটেটিভ-রিং অপের্যাড এবং লাই অপের্যাড কমিউটেটিভ-রিং অপের্যাড হল একটি অপের্যাড যার অ্যালজেব্রা হল কমিউটেটিভ রিং। এটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, চলকের জন্য বহুপদ (পুনঃসংখ্যাযুক্ত চলক সহ) প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে প্রদত্ত সুস্পষ্ট ক্রিয়া এবং অপারেডিক গঠন সহ। একটি অনুরূপ অপারেড সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যার অ্যালজেব্রা কিছু নির্দিষ্ট বেস ক্ষেত্রের উপর সহযোগী, বিনিময়যোগ্য অ্যালজেব্রা। এই অপেরাদের কোসজুল-দ্বৈত হল লাই অপেরাদ (যার আলজেব্রা হল লাই আলজেব্রা), এবং তদ্বিপরীত। ফ্রি অপারেডস সাধারণ বীজগাণিতিক গঠন (যেমন, মুক্ত বীজগণিত নির্মাণ) অপারেডগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। আসুন সেই বিভাগটিকে নির্দেশ করি যার বস্তুগুলি সেট যার উপর গোষ্ঠীটি কাজ করে। তারপরে একটি ভুলে যাওয়া ফাংক্টর রয়েছে, যা কেবল অপারেডিক রচনাটি ভুলে যায়। এই ভুলে যাওয়া ফাংক্টরের বাম পাশে একটি নির্মাণ করা সম্ভব (এটি ফ্রি ফাংক্টরের সাধারণ সংজ্ঞা)। অপারেশন ই-এর একটি সংগ্রহ দেওয়া হলে, ই-তে মুক্ত অপারেড হয়। একটি গ্রুপ বা রিংয়ের মতো, মুক্ত নির্মাণ জেনারেটর এবং সম্পর্কের ক্ষেত্রে একটি অপারেড প্রকাশ করার অনুমতি দেয়। একটি অপেরাদের একটি মুক্ত উপস্থাপনা দ্বারা, আমরা একটি মুক্ত অপেরাদের একটি ভাগফল হিসাবে লেখা বোঝাতে চাই যেখানে ই এর জেনারেটর এবং এপিমরফিজমের কার্নেল সম্পর্কগুলি বর্ণনা করে। একটি (প্রতিসম) অপারেডকে চতুর্ভুজ বলা হয় যদি এটির একটি মুক্ত উপস্থাপনা থাকে যেমন জেনারেটর এবং সম্পর্কটি অন্তর্ভুক্ত থাকে। ক্লোনগুলি হল অপারেডগুলির বিশেষ কেস যা একসাথে আর্গুমেন্টগুলি সনাক্ত করার অধীনেও বন্ধ থাকে (কিছু ডেটা "পুনরায় ব্যবহার")। ক্লোনগুলিকে সমতুল্যভাবে অপারেড হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা একটি মিনিয়ন (বা ক্লোনয়েড)। স্ট্যাশেফ লিখেছেনঃ "হোমোটপি"-র একটি ভাল ধারণা সহ বিভাগগুলিতে অপারেডগুলি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ এবং দরকারী, যেখানে তারা উচ্চতর হোমোটপিগুলির শ্রেণিবিন্যাস সংগঠিত করার ক্ষেত্রে মূল ভূমিকা পালন করে। আরও দেখুন পিআরও (বিভাগ তত্ত্ব) একটি অপারেডের উপর বীজগণিত উচ্চ-ক্রমের অপারেড ই-অপারেড সিউডোঅ্যালজেব্রা মাল্টিক্যাটেগরি নোটস উদ্ধৃতি রেফারেন্স মিগুয়েল এ. মেন্ডেজ (2015)। কম্বিনেটরিক্স এবং কম্পিউটার সায়েন্সে অপারেড সেট করুন। স্প্রিংগারব্রিফস ইন ম্যাথমেটিক্স। । স্যামুয়েল গিরাডো (2018)। কম্বিনেটরিক্সে ননসিমেট্রিক অপারেডস। স্প্রিঙ্গার ইন্টারন্যাশনাল পাবলিশিং। । বাহ্যিক লিঙ্ক https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html বিমূর্ত বীজগণিত বিভাগ তত্ত্ব