Complete intersection ring
বিনিময়যোগ্য বীজগণিতে, একটি সম্পূর্ণ ছেদ বলয় হল একটি বিনিময়যোগ্য বলয় যা বিভিন্ন প্রকারের স্থানাঙ্ক বলয়ের অনুরূপ যা সম্পূর্ণ ছেদ। অনানুষ্ঠানিকভাবে, এগুলিকে মোটামুটিভাবে স্থানীয় বলয় হিসাবে ভাবা যেতে পারে যা সম্পর্কের "ন্যূনতম সম্ভাব্য" সংখ্যা ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়ের জন্য, অন্তর্ভুক্তির নিম্নলিখিত শৃঙ্খল রয়েছেঃ সংজ্ঞা একটি স্থানীয় সম্পূর্ণ ছেদ বলয় হল একটি নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয় যার সমাপ্তি একটি নিয়মিত ক্রম দ্বারা উত্পন্ন একটি আদর্শ দ্বারা একটি নিয়মিত স্থানীয় বলয়ের ভাগফল। সমাপ্তি গ্রহণ করা একটি ছোটখাটো প্রযুক্তিগত জটিলতা যা এই কারণে ঘটে যে সমস্ত স্থানীয় বলয় নিয়মিত বলয়ের সমতুল্য নয়। যে বলয়গুলি নিয়মিত স্থানীয় বলয়ের ভাগফল, যা বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে ঘটে যাওয়া বেশিরভাগ স্থানীয় বলয়কে অন্তর্ভুক্ত করে, তাদের সংজ্ঞায় সম্পূর্ণতা নেওয়ার প্রয়োজন নেই। একটি বিকল্প অভ্যন্তরীণ সংজ্ঞা রয়েছে যা নিয়মিত স্থানীয় রিংয়ে রিংটি এম্বেড করার উপর নির্ভর করে না। যদি R সর্বাধিক আদর্শ m সহ একটি নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয় হয়, তবে m/m2-এর মাত্রাকে R-এর এম্বেডিং ডাইমেনশন এম্ব ডিম (R) বলা হয়। একটি শ্রেণীবদ্ধ বীজগণিত H (R)-কে m/m2-এর জেনারেটরের ন্যূনতম পদ্ধতির সাপেক্ষে কোসজুল কমপ্লেক্সের সমরূপতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন। সমরূপতা পর্যন্ত এটি কেবল R-এর উপর নির্ভর করে এবং m-এর জেনারেটরের পছন্দের উপর নয়। H1 (R)-এর মাত্রাকে ε1 দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং এটিকে R-এর প্রথম বিচ্যুতি বলা হয়; এটি অদৃশ্য হয়ে যায় যদি এবং শুধুমাত্র R নিয়মিত হয়। একটি নোইথেরিয়ান স্থানীয় বলয়কে একটি সম্পূর্ণ ছেদ বলয় বলা হয় যদি এর এম্বেডিং মাত্রাটি মাত্রা এবং প্রথম বিচ্যুতির যোগফল হয়ঃ এম্ব ডিম (আর) = ডিম (আর) + ε1 (আর)। স্থানীয় সম্পূর্ণ ছেদ বলয়ের একটি পুনরাবৃত্তিমূলক বৈশিষ্ট্যও রয়েছে যা নিম্নরূপ একটি সংজ্ঞা হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। ধরুন, R একটি সম্পূর্ণ নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়। যদি R-এর মাত্রা 0-এর চেয়ে বেশি হয় এবং x সর্বাধিক আদর্শের একটি উপাদান যা শূন্য বিভাজক না হয় তবে R একটি সম্পূর্ণ ছেদ বলয় হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি R/(x) হয়। (যদি সর্বোচ্চ আদর্শটি সম্পূর্ণরূপে শূন্য বিভাজক নিয়ে গঠিত হয় তবে R একটি সম্পূর্ণ ছেদ বলয় নয়।) যদি R-এর মাত্রা 0 হয়, তাহলে দেখান যে এটি একটি সম্পূর্ণ ছেদ বলয় যদি এবং শুধুমাত্র তার সর্বোচ্চ আদর্শের উপযুক্ত আদর্শটি অ-শূন্য হয়। উদাহরণস্বরূপ নিয়মিত স্থানীয় বলয়গুলি সম্পূর্ণ ছেদ বলয়, তবে বিপরীতটি সত্য নয়ঃ বলয়টি একটি 0-মাত্রিক সম্পূর্ণ ছেদ বলয় যা নিয়মিত নয়। একটি সম্পূর্ণ ছেদ নয় স্থানীয়ভাবে একটি সম্পূর্ণ ছেদ বলয়ের উদাহরণ যা একটি সম্পূর্ণ ছেদ বলয় নয় যার দৈর্ঘ্য 3 কারণ এটি একটি ভেক্টর স্থান হিসাবে সমরূপ। পাল্টা উদাহরণ সম্পূর্ণ ছেদ স্থানীয় বলয়গুলি হল গোরেনস্টাইন বলয়, কিন্তু বিপরীতটি সত্য নয়ঃ বলয়টি একটি 0-মাত্রিক গোরেনস্টাইন বলয় যা একটি সম্পূর্ণ ছেদ বলয় নয়। একটি-ভেক্টর স্থান হিসাবে এই বলয়টি সমরূপ, যেখানে, এবং এটি গোরেনস্টাইন হিসাবে দেখানো হয়েছে কারণ শীর্ষ-ডিগ্রি উপাদানটি মাত্রা এবং এটি পয়েনকেয়ার বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। এটি একটি স্থানীয় সম্পূর্ণ ছেদ বলয় নয় কারণ আদর্শটি-নিয়মিত নয়। উদাহরণস্বরূপ, এটি একটি শূন্য-বিভাজক। উদ্ধৃতি বিনিময়যোগ্য বীজগণিত