Primary ideal
গণিতে, বিশেষত বিনিময়যোগ্য বীজগণিতে, একটি বিনিময়যোগ্য বলয় A-এর একটি সঠিক আদর্শ Q-কে প্রাথমিক বলা হয় যদি যখনই xy, Q-এর একটি উপাদান হয়, তখন x বা yn-ও Q-এর একটি উপাদান হয়, কিছু n> 0-এর জন্য। উদাহরণস্বরূপ, Z পূর্ণসংখ্যার বলয়ে, (pn) একটি প্রাথমিক আদর্শ, যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয়। বিনিময়যোগ্য বলয় তত্ত্বে প্রাথমিক আদর্শের ধারণাটি গুরুত্বপূর্ণ কারণ একটি নোথেরিয়ান বলয়ের প্রতিটি আদর্শের একটি প্রাথমিক পচন থাকে, অর্থাৎ, সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি প্রাথমিক আদর্শের ছেদ হিসাবে লেখা যেতে পারে। এই ফলাফলটি ল্যাস্কার-নোইথার উপপাদ্য নামে পরিচিত। ফলস্বরূপ, একটি নোথেরিয়ান বলয়ের একটি অপরিবর্তনীয় আদর্শ প্রাথমিক। প্রাথমিক আদর্শকে অ-বিনিময়যোগ্য বলয়ে সাধারণীকরণের বিভিন্ন পদ্ধতি বিদ্যমান, তবে বিষয়টি প্রায়শই বিনিময়যোগ্য বলয়ের জন্য অধ্যয়ন করা হয়। অতএব, এই নিবন্ধের বলয়গুলি পরিচয় সহ বিনিময়যোগ্য বলয় বলে মনে করা হয়। উদাহরণ এবং বৈশিষ্ট্য সংজ্ঞাটি আরও প্রতিসম পদ্ধতিতে পুনর্বিবেচনা করা যেতে পারেঃ একটি আদর্শ প্রাথমিক হয় যদি, যখনই, আমাদের বা থাকে। (এখানে র্যাডিকালকে বোঝানো হয়েছে।) আর-এর একটি আদর্শ কিউ প্রাথমিক হয় যদি আর/কিউ-এর প্রতিটি শূন্য বিভাজক নিলপোটেন্ট হয়। (এটিকে মৌলিক আদর্শের সাথে তুলনা করুন, যেখানে P মৌলিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি R/P-এর প্রতিটি শূন্য বিভাজক প্রকৃতপক্ষে শূন্য হয়।) যে কোনও মৌলিক আদর্শ প্রাথমিক, এবং উপরন্তু একটি আদর্শ মৌলিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি প্রাথমিক এবং অর্ধ-মৌলিক হয় (বিনিময়মূলক ক্ষেত্রে র্যাডিক্যাল আদর্শও বলা হয়)। প্রতিটি প্রাথমিক আদর্শই মৌলিক। যদি Q একটি প্রাথমিক আদর্শ হয়, তবে Q-এর র্যাডিকেল অবশ্যই একটি মৌলিক আদর্শ P হয় এবং এই আদর্শকে Q-এর সংশ্লিষ্ট মৌলিক আদর্শ বলা হয়। এই পরিস্থিতিতে, কিউ-কে পি-প্রাইমারি বলা হয়। অন্যদিকে, একটি আদর্শ যার মূলক মৌলিক, তা অপরিহার্যভাবে প্রাথমিক নয়ঃ উদাহরণস্বরূপ, যদি, এবং, তারপর মৌলিক এবং, কিন্তু আমাদের আছে, এবং সমস্ত n> 0-এর জন্য, তাই প্রাথমিক নয়। এর প্রাথমিক পচন হল; এখানে-প্রাথমিক এবং-প্রাথমিক। একটি আদর্শ যার র্যাডিকেল সর্বাধিক, তবে প্রাথমিক। র্যাডিক্যাল সহ প্রতিটি আদর্শ একটি ক্ষুদ্রতম-প্রাথমিক আদর্শের মধ্যে থাকেঃ সমস্ত উপাদান যেমন কারো কারো জন্য। ক্ষুদ্রতম-প্রাথমিক আদর্শ ধারণকারীকে এর তম প্রতীকী শক্তি বলা হয়। যদি পি একটি সর্বাধিক মৌলিক আদর্শ হয়, তবে পি-এর শক্তি ধারণকারী যে কোনও আদর্শ পি-প্রাথমিক হয়। সমস্ত পি-প্রাথমিক আদর্শের পি-এর শক্তি হওয়ার প্রয়োজন হয় না, তবে কমপক্ষে তাদের মধ্যে পি-এর শক্তি থাকে; উদাহরণস্বরূপ, আদর্শ (x, y2) হল পি-প্রাথমিক, যা k [x, y] বলয়ের আদর্শ পি = (x, y)-এর জন্য, তবে এটি পি-এর শক্তি নয়, তবে এতে পি 2 রয়েছে। যদি A একটি নোথেরিয়ান বলয় এবং P একটি মৌলিক আদর্শ হয়, তাহলে A থেকে P-তে A-এর স্থানীয়করণের মানচিত্রের কার্নেল হল সমস্ত P-প্রাথমিক আদর্শের ছেদ। - প্রাইমারি আদর্শের একটি সসীম অ-খালি গুণফল হল-প্রাইমারি কিন্তু-প্রাইমারি আদর্শের একটি অসীম গুণফল-প্রাইমারি নাও হতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, সর্বাধিক আদর্শ সহ একটি নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়ে, (ক্রুল ছেদ উপপাদ্য) যেখানে প্রতিটি-প্রাইমারি, উদাহরণস্বরূপ স্থানীয় বলয়ের সর্বাধিক (এবং তাই মৌলিক এবং তাই প্রাথমিক) আদর্শের অসীম গুণফল শূন্য আদর্শ প্রদান করে, যা এই ক্ষেত্রে প্রাথমিক নয় (কারণ শূন্য ভাজক নিলপোটেন্ট নয়)। প্রকৃতপক্ষে, একটি নোথেরিয়ান বলয়ে,-প্রাথমিক আদর্শের একটি অ-খালি গুণফল-প্রাথমিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এমন কিছু পূর্ণসংখ্যা বিদ্যমান থাকে। পাদটীকার উল্লেখ মৌলিক আদর্শের উপর, ল্যাডিস্লাস ফুচস এক্সটার্নাল লিঙ্ক গণিতের এনসাইক্লোপিডিয়া কমিউটেটিভ বীজগণিত আদর্শের প্রাথমিক আদর্শ (রিং তত্ত্ব)