Torsion (algebra)
গণিতে, বিশেষত বলয় তত্ত্বে, একটি টর্জন উপাদান হল একটি মডিউলের এমন একটি উপাদান যা বলয়ের কোনও অ-শূন্য-বিভাজক দ্বারা গুণ করলে শূন্য উৎপন্ন করে। একটি মডিউলের টর্জন সাব-মডিউল হল টর্জন উপাদান দ্বারা গঠিত সাব-মডিউল। একটি টর্জন মডিউল হল একটি মডিউল যা তার টর্জন সাব-মডিউলের সমান। একটি মডিউল টর্জন-মুক্ত হয় যদি তার টর্জন সাব-মডিউল শুধুমাত্র শূন্য উপাদান নিয়ে গঠিত হয়। এই পরিভাষাটি সাধারণত একটি ডোমেনের উপর মডিউলগুলির জন্য ব্যবহৃত হয়, অর্থাৎ, যখন রিংয়ের নিয়মিত উপাদানগুলি তার সমস্ত অ-শূন্য উপাদান হয়। এই পরিভাষাটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর ক্ষেত্রে প্রযোজ্য ("মডিউল" এবং "সাব-মডিউল" "গ্রুপ" এবং "সাব-গ্রুপ" দ্বারা প্রতিস্থাপিত)। এটি এই সত্য দ্বারা অনুমোদিত যে আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলি পূর্ণসংখ্যার বলয়ের উপর মডিউল (প্রকৃতপক্ষে, এটি পরিভাষার উৎস, যা মডিউলে সাধারণীকরণের আগে আবেলিয়ান গোষ্ঠীর জন্য চালু করা হয়েছে)। অসংক্রামক গোষ্ঠীগুলির ক্ষেত্রে, একটি টর্জন উপাদান সসীম ক্রমের একটি উপাদান। বিনিময়মূলক ক্ষেত্রে বিপরীত, টর্জন উপাদানগুলি সাধারণভাবে একটি উপগোষ্ঠী গঠন করে না। সংজ্ঞা একটি রিং R-এর উপর একটি মডিউল M-এর একটি উপাদান m-কে মডিউলের টর্জন উপাদান বলা হয় যদি রিংয়ের একটি নিয়মিত উপাদান r থাকে (একটি উপাদান যা বাম বা ডান শূন্য বিভাজক নয়) যা m-কে ধ্বংস করে, অর্থাৎ, একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেনে (শূন্য বিভাজক ছাড়া একটি বিনিময়যোগ্য রিং), প্রতিটি অ-শূন্য উপাদান নিয়মিত হয়, তাই একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেনের উপর একটি মডিউলের টর্জন উপাদান অবিচ্ছেদ্য ডোমেনের একটি অ-শূন্য উপাদান দ্বারা ধ্বংস হয়। কিছু লেখক এটিকে একটি টর্জন উপাদানের সংজ্ঞা হিসাবে ব্যবহার করেন, তবে এই সংজ্ঞাটি আরও সাধারণ বলয়ের উপর ভালভাবে কাজ করে না। একটি রিং আর-এর উপর একটি মডিউল এম-কে টর্জন মডিউল বলা হয় যদি এর সমস্ত উপাদান টর্জন উপাদান হয়, এবং টর্জন-মুক্ত যদি শূন্য একমাত্র টর্জন উপাদান হয়। যদি রিং আর বিনিময়যোগ্য হয় তবে সমস্ত টর্জন উপাদানগুলির সেট এম-এর একটি উপ-মডিউল গঠন করে, যাকে এম-এর টর্জন উপ-মডিউল বলা হয়, কখনও কখনও টি (এম) চিহ্নিত করা হয়। যদি আর বিনিময়যোগ্য না হয়, তাহলে টি (এম) একটি উপ-মডিউল হতে পারে বা নাও হতে পারে। এটি দেখানো হয়েছে যে আর একটি ডান আকরিক বলয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি টি (এম) সমস্ত সঠিক আর-মডিউলের জন্য এম-এর একটি উপ-মডিউল হয়। যেহেতু ডান নয়েথেরিয়ান ক্ষেত্রগুলি হল আকরিক, তাই যখন আর একটি সঠিক নয়েথেরিয়ান ক্ষেত্র (যা বিনিময়যোগ্য নাও হতে পারে) তখন এই ক্ষেত্রটি অন্তর্ভুক্ত হয়। আরও সাধারণভাবে, ধরা যাক M একটি রিং R-এর উপর একটি মডিউল এবং S R-এর গুণিতকভাবে বন্ধ উপসেট। M-এর একটি উপাদান m-কে S-টর্জন উপাদান বলা হয় যদি S-এ এমন কোনও উপাদান থাকে যা m-কে ধ্বংস করে, অর্থাৎ, বিশেষত, কেউ S-এর জন্য রিং R-এর নিয়মিত উপাদানগুলির সেট নিতে পারে এবং উপরের সংজ্ঞাটি পুনরুদ্ধার করতে পারে। একটি গ্রুপ জি-এর একটি উপাদান জি-কে বলা হয় গোষ্ঠীর একটি টর্জন উপাদান যদি এর সসীম ক্রম থাকে, অর্থাৎ, যদি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এম থাকে যেমন জি. এম = ই, যেখানে ই গ্রুপের পরিচয় উপাদানকে বোঝায় এবং জি. এম জি-এর এম অনুলিপিগুলির গুণফলকে বোঝায়। একটি গ্রুপকে টর্জন (বা পর্যায়ক্রমিক) গ্রুপ বলা হয় যদি এর সমস্ত উপাদানগুলি টর্জন উপাদান হয় এবং যদি এর একমাত্র টর্জন উপাদানটি পরিচয় উপাদান হয়। যে কোনও আবেলিয়ান গোষ্ঠীকে পূর্ণসংখ্যার Z বলয়ের উপর একটি মডিউল হিসাবে দেখা যেতে পারে এবং এই ক্ষেত্রে টরসনের দুটি ধারণা মিলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও রিং আর-এর উপর এম-কে একটি মুক্ত মডিউল হিসাবে ধরা যাক। তারপর এটি এই সংজ্ঞা থেকে অবিলম্বে অনুসরণ করে যে এম-কে টর্জন-মুক্ত (যদি রিং আর একটি ডোমেন না হয় তবে টর্জনকে আর-এর অ-শূন্য-বিভাজকের সেট এস-এর সাপেক্ষে বিবেচনা করা হয়)। বিশেষত, যে কোনও মুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপ টর্জন-মুক্ত এবং একটি ক্ষেত্র K-এর উপর যে কোনও ভেক্টর স্থান টর্জন-মুক্ত হয় যখন K-এর উপর মডিউল হিসাবে দেখা হয়। উদাহরণ 1-এর বিপরীতে, যে কোনও সসীম গ্রুপ (আবেলিয়ান বা না) পর্যায়ক্রমিক এবং সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হয়। বার্নসাইডের সমস্যা, বিপরীতভাবে, জিজ্ঞাসা করে যে কোনও সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন পর্যায়ক্রমিক গোষ্ঠী অবশ্যই সীমাবদ্ধ হতে হবে কিনা? উত্তরটি সাধারণভাবে "না", এমনকি সময়কাল নির্দিষ্ট হলেও। একটি ক্ষেত্রের গুণিতক গোষ্ঠীর টর্জন উপাদানগুলি হল এর ঐক্যের মূল। মডুলার গ্রুপে, 2 × 2 পূর্ণসংখ্যা ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ এস. এল (2, জেড) থেকে একক নির্ধারক সহ তার কেন্দ্রটি ফ্যাক্টর করে প্রাপ্ত, যে কোনও অ-তুচ্ছ টর্জন উপাদানের হয় অর্ডার দুই থাকে এবং এটি উপাদান এস-এর সাথে সংযুক্ত থাকে বা তৃতীয় ক্রম থাকে এবং এটি উপাদান এস. টি-র সাথে সংযুক্ত থাকে। এই ক্ষেত্রে, টর্জন উপাদানগুলি একটি উপগোষ্ঠী গঠন করে না, উদাহরণস্বরূপ, এস. এস. টি = টি, যার অসীম ক্রম রয়েছে। আবেলিয়ান গ্রুপ কিউ/জেড, যৌক্তিক সংখ্যা মডুলো 1 নিয়ে গঠিত, পর্যায়ক্রমিক, অর্থাৎ। প্রতিটি উপাদানের একটি নির্দিষ্ট ক্রম রয়েছে। অনুরূপভাবে, একটি চলকের পলিনোমিয়ালের R = K [t] বলয়ের উপর K (t)/K [t] মডিউলটি বিশুদ্ধ টর্জন। এই দুটি উদাহরণকে নিম্নরূপ সাধারণীকরণ করা যেতে পারেঃ যদি R একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেন হয় এবং Q তার ভগ্নাংশের ক্ষেত্র হয়, তবে Q/R একটি টর্জন R-মডিউল। (আর/জেড, +) এর টর্জন উপগোষ্ঠী হল (কিউ/জেড, +) এবং গ্রুপগুলি (আর, +) এবং (জেড, +) টর্জন-মুক্ত। একটি উপগোষ্ঠী দ্বারা একটি টর্জন-মুক্ত আবেলিয়ান গোষ্ঠীর ভাগফল ঠিক তখনই টর্জন-মুক্ত হয় যখন উপগোষ্ঠীটি একটি বিশুদ্ধ উপগোষ্ঠী হয়। একটি সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেস V-এর উপর কাজ করা একটি রৈখিক অপারেটর L-কে বিবেচনা করুন। যদি আমরা V-কে প্রাকৃতিক উপায়ে একটি F [L]-মডিউল হিসাবে দেখি, তবে (অনেক কিছুর ফলস্বরূপ, হয় কেবল সসীম-মাত্রিকতা দ্বারা বা কেলি-হ্যামিল্টন উপপাদ্যের ফলস্বরূপ), V হল একটি টর্জন F [L]-মডিউল। একটি প্রধান আদর্শ ডোমেনের ক্ষেত্রে মনে করুন যে, R একটি (বিনিময়যোগ্য) প্রধান আদর্শ ডোমেইন এবং M একটি চূড়ান্তভাবে উৎপন্ন R-মডিউল। তারপর একটি প্রধান আদর্শ ডোমেনের উপর সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলির জন্য কাঠামো উপপাদ্যটি আইসোমরফিজম পর্যন্ত মডিউল এম-এর একটি বিস্তারিত বিবরণ দেয়। বিশেষত, এটি দাবি করে যে যেখানে এফ একটি সীমাবদ্ধ র্যাঙ্কের মুক্ত আর-মডিউল (শুধুমাত্র এম-এর উপর নির্ভর করে) এবং টি (এম) হল এম-এর টর্জন সাব-মডিউল। এই কোরোলারি আরও সাধারণ বিনিময়যোগ্য ডোমেনের জন্য ধারণ করে না, এমনকি R = K [x, y]-এর জন্যও, দুটি চলকের বহুপদের বলয়। অ-চূড়ান্তভাবে উত্পন্ন মডিউলগুলির জন্য, উপরের সরাসরি পচন সত্য নয়। একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর টর্জন উপগোষ্ঠী এর সরাসরি যোগফল নাও হতে পারে। টর্জন এবং স্থানীয়করণ ধরে নিন যে আর একটি বিনিময়যোগ্য ডোমেন এবং এম একটি আর-মডিউল। ধরা যাক Q হল রিং R-এর ভাগফল ক্ষেত্র। তারপর স্কেলারের সম্প্রসারণ দ্বারা M থেকে প্রাপ্ত Q-মডিউলটি বিবেচনা করা যেতে পারে। যেহেতু কিউ একটি ক্ষেত্র, তাই কিউ-এর উপর একটি মডিউল একটি ভেক্টর স্পেস, সম্ভবত অসীম-মাত্রিক। এম থেকে এমকিউ পর্যন্ত আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির একটি ক্যানোনিকাল সমরূপতা রয়েছে এবং এই সমরূপতার কার্নেলটি সঠিকভাবে টর্জন সাবমডিউল টি (এম)। আরও সাধারণভাবে, যদি এস রিং আর-এর একটি গুণিতকভাবে বন্ধ উপসেট হয়, তবে আমরা আর-মডিউল এম-এর স্থানীয়করণ বিবেচনা করতে পারি, যা স্থানীয়করণ আরএস-এর উপর একটি মডিউল। এম থেকে এমএস পর্যন্ত একটি ক্যানোনিকাল মানচিত্র রয়েছে, যার কার্নেলটি ঠিক এম-এর এস-টর্জন সাব-মডিউল। সুতরাং এম-এর টর্জন সাব-মডিউলটিকে "স্থানীয়করণে অদৃশ্য হয়ে যাওয়া" উপাদানগুলির সেট হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। একই ব্যাখ্যা আকরিক শর্তকে সন্তুষ্ট করে এমন বলয়ের অ-বিনিময়মূলক বিন্যাসে, বা আরও সাধারণভাবে যে কোনও ডান বিভাজক সেট এস এবং ডান আর-মডিউল এম-এর জন্য বজায় থাকে। সমতাত্ত্বিক বীজগণিতে টর্জন সমতাত্ত্বিক বীজগণিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। যদি এম এবং এন একটি বিনিময়যোগ্য ডোমেন আর-এর উপর দুটি মডিউল হয় (উদাহরণস্বরূপ, দুটি আবেলিয়ান গ্রুপ, যখন আর = জেড), টর ফাংক্টরগুলি আর-মডিউল তোরি (এম, এন)-এর একটি পরিবার উৎপন্ন করে। একটি আর-মডিউল এম-এর এস-টর্জন টোরআর *-এর সঠিক ক্রম দ্বারা টরআর1 (এম, আরএস/আর)-এর সমতুল্যঃ আর-মডিউলগুলির সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম একটি সঠিক ক্রম প্রদান করে, তাই এটি এম-এর স্থানীয়করণ মানচিত্রের কার্নেল। এই একই ফলাফল অ-বিনিময়যোগ্য বলয়ের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যতক্ষণ সেট এস একটি ডান বিভাজক সেট হয়। আবেলিয়ান জাত আবেলিয়ান জাতের টর্জন উপাদানগুলি হল টর্জন পয়েন্ট বা, একটি পুরানো পরিভাষায়, বিভাজন পয়েন্ট। উপবৃত্তাকার বক্ররেখার উপর এগুলি বিভাজন বহুপদের পরিপ্রেক্ষিতে গণনা করা যেতে পারে। আরও দেখুন বিশ্লেষণাত্মক টর্জন গাণিতিক গতিবিদ্যা ফ্ল্যাট মডিউল অ্যানিহিলেটর (রিং থিওরি) একটি আবেলিয়ান গ্রুপের একটি মডিউল র্যাঙ্কের স্থানীয়করণ রে-সিঙ্গার টর্জন মুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপ সর্বজনীন সহগ উপপাদ্য রেফারেন্স সোর্স আর্নস্ট কুঞ্জ, "কমিউটেটিভ বীজগণিত এবং বীজগাণিতিক জ্যামিতির পরিচয়", বারখাউসার 1985, ইরভিং কাপলানস্কি, "ইনফাইনাইট আবেলিয়ান গ্রুপ", মিশিগান বিশ্ববিদ্যালয়, 1954। আবেলিয়ান গোষ্ঠী তত্ত্ব মডিউল তত্ত্ব সমজাতীয় বীজগণিত