Spray (mathematics)
ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, একটি স্প্রে হল স্পর্শক বান্ডিল টি. এম-এর উপর একটি ভেক্টর ক্ষেত্র এইচ যা বেস ম্যানিফোল্ড এম-এর উপর সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি কোয়াসিলিনিয়ার দ্বিতীয় ক্রম ব্যবস্থাকে এনকোড করে। সাধারণত একটি স্প্রেকে এই অর্থে সমজাতীয় হতে হবে যে তার অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা t → φHt (ω) ω TM ধনাত্মক পুনরুদ্ধারের ক্ষেত্রে φHt (ω) = φHλt (ω) নিয়ম মেনে চলে। যদি এই প্রয়োজনীয়তা বাদ দেওয়া হয়, তাহলে এইচ-কে সেমিস্প্রে বলা হয়। রিমানিয়ান এবং ফিন্সলার জ্যামিতিতে প্রাকৃতিকভাবে স্প্রেগুলি জিওডেসিক স্প্রে হিসাবে উদ্ভূত হয় যার অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা সঠিকভাবে স্থানীয় দৈর্ঘ্যের ন্যূনতম বক্ররেখার স্পর্শক বক্ররেখা। ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞানে অ্যাকশন ইন্টিগ্রালের চরম বক্ররেখা হিসাবে সেমিস্প্রে স্বাভাবিকভাবেই উদ্ভূত হয়। এই সমস্ত উদাহরণকে সাধারণীকরণ করলে, এম-এর উপর যে কোনও (সম্ভবত অরৈখিক) সংযোগ একটি সেমিস্প্রে এইচ-কে প্ররোচিত করে, এবং বিপরীতভাবে, যে কোনও সেমিস্প্রে এইচ এম-এর উপর একটি টর্জন-মুক্ত অরৈখিক সংযোগকে প্ররোচিত করে। যদি মূল সংযোগটি টর্জন-মুক্ত হয় তবে এটি এইচ দ্বারা প্ররোচিত সংযোগের সাথে মিলে যায়, এবং সমজাতীয় টর্জন-মুক্ত সংযোগগুলি পূর্ণ স্প্রেগুলির সাথে এক-থেকে-এক চিঠিতে থাকে। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা ধরা যাক এম একটি ডিফারেনশিয়েবল ম্যানিফোল্ড এবং (টিএম, πTM, এম) এর স্পর্শক বান্ডিল। তারপর টিএম-এর উপর একটি ভেক্টর ক্ষেত্র এইচ (অর্থাৎ, ডাবল ট্যানজেন্ট বান্ডিল টিটিএম-এর একটি বিভাগ) হল এম-এর উপর একটি সেমিস্প্রে, যদি নিম্নলিখিত তিনটি সমতুল্য শর্তের মধ্যে যে কোনও একটি থাকেঃ (πTM) * এইচ. স্পিনি = φ. জে. এইচ = ভি, যেখানে জে হল টিএম-এর উপর স্পর্শক কাঠামো এবং ভি হল টিএম-এর উপর ক্যানোনিকাল ভেক্টর ক্ষেত্র। জে ডিগ্রি এইচ = এইচ, যেখানে জেঃ টিটিএম → টিটিএম হল ক্যানোনিকাল ফ্লিপ এবং এইচ একটি ম্যাপিং টিএম → টিটিএম হিসাবে দেখা হয়। এম-এর উপর একটি সেমিস্প্রে এইচ একটি (পূর্ণ) স্প্রে হয় যদি নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলির মধ্যে কোনওটি থাকেঃ এইচ. এল. স্পিনি = λ * (λ. এইচ. স্পিনি), যেখানে λ *: টি. টি. এম → টি. টি. এম হল ধনাত্মক স্কেলার λ> 0 দ্বারা λ: টি. এম. → টি. এম গুণনের ধাক্কা-এগিয়ে। ক্যানোনিকাল ভেক্টর ক্ষেত্র V বরাবর H-এর লাই-ডেরিভেটিভ [V, H] = H-কে সন্তুষ্ট করে। এইচ-এর অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি-এর সমতুল্য বক্ররেখা টি - প্রতিটি স্পর্শক স্থানে স্থানাঙ্কের ভিত্তিতে) স্থানীয় স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত স্থানীয় স্থানাঙ্ক হতে দিন। তারপর টিএম-এর প্রতিটি সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ফর্মটির স্থানীয় উপস্থাপনা রয়েছে কিনা তার উপর একটি সেমিস্প্রে হয়। সেমিস্প্রে এইচ একটি (পূর্ণ) স্প্রে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি স্প্রে সহগ জি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞানে সেমিস্প্রেগুলিকে সন্তুষ্ট করে একটি ভৌত ব্যবস্থা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞানে একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ফাংশন এলঃ টিএম → আর দ্বারা কিছু কনফিগারেশন স্পেস এম-এর স্পর্শক বান্ডিলের উপর মডেল করা হয়। গতিশীল আইনটি হ্যামিল্টনিয়ান নীতি থেকে প্রাপ্ত হয়, যা বলে যে সিস্টেমের অবস্থার সময় বিবর্তন γ: [a, b] → M ক্রিয়া অবিচ্ছেদের জন্য স্থির। টিএম-এর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কে ক্রিয়া ইন্টিগ্রালের প্রথম পরিবর্তনটি পড়ে যেখানে এক্সঃ [এ, বি] → আর হল γs-এর পরিবর্তনের সাথে যুক্ত বৈচিত্র্য ভেক্টর ক্ষেত্রঃ [এ, বি] → এম প্রায় γ (টি) = γ0 (টি)। এই প্রথম বৈচিত্র্য সূত্রটি নিম্নলিখিত ধারণাগুলি প্রবর্তন করে আরও তথ্যপূর্ণ আকারে পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারেঃ সহ কোভেক্টর হল এর সংযুগ্ম ভরবেগ। এর সাথে সম্পর্কিত এক-রূপ হল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের সাথে যুক্ত হিলবার্ট-রূপ। সঙ্গে দ্বিমাত্রিক রূপটি হল ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের মৌলিক টেনসর। ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান লেজেন্ডারের শর্তটি সন্তুষ্ট করে যদি মৌলিক টেনসরটি প্রতিটি ক্ষেত্রে অ-অবনমিত হয়। তারপর এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের সাথে সম্পর্কিত শক্তি হল। যদি লেজেন্ডারের শর্তটি সন্তুষ্ট হয়, তবে dα ω2 (TM) একটি সিমপ্লেক্টিক ফর্ম, এবং হ্যামিল্টনিয়ান ফাংশন E-এর সাথে সম্পর্কিত TM-এর উপর একটি অনন্য হ্যামিল্টনিয়ান ভেক্টর ক্ষেত্র H রয়েছে। ধরা যাক (xi, yi) টিএম-এর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কে হ্যামিল্টনীয় ভেক্টর ক্ষেত্র এইচ-এর উপাদান। তারপর এবং তাই আমরা দেখতে পাই যে হ্যামিল্টনিয়ান ভেক্টর ক্ষেত্র এইচ হল স্প্রে সহগ সহ কনফিগারেশন স্পেস এম-এর একটি সেমিস্প্রে এখন প্রথম পরিবর্তনশীল সূত্রটি পুনরায় লেখা যেতে পারে এবং আমরা দেখতে পাই যে γ [a, b] → M নির্দিষ্ট শেষ বিন্দুগুলির সাথে ক্রিয়া ইন্টিগ্রালের জন্য স্থির যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর স্পর্শক বক্ররেখা γ ': [a, b] → TM হ্যামিল্টনিয়ান ভেক্টর ক্ষেত্র এইচ-এর জন্য একটি অবিচ্ছেদ্য বক্ররেখা হয়। অতএব যান্ত্রিক ব্যবস্থার গতিবিদ্যা ক্রিয়া ইন্টিগ্রাল থেকে উদ্ভূত সেমিস্প্রে দ্বারা বর্ণনা করা হয়। জিওডেসিক স্প্রে রিম্যানিয়ান এবং ফিনসলার ম্যানিফোল্ডের স্থানীয়ভাবে দৈর্ঘ্য হ্রাসকারী বক্ররেখাকে জিওডেসিক বলা হয়। ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞানের কাঠামো ব্যবহার করে স্প্রে কাঠামো দিয়ে এই বক্ররেখা বর্ণনা করা যেতে পারে। টিএম-এর উপর একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ফাংশন সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে F: TM → R হল ফিন্সলার ফাংশন। রিমানীয় ক্ষেত্রে F2 (x, ω) = gij (x) ωx ব্যবহার করা হয়। এখন উপরের বিভাগ থেকে ধারণাগুলি উপস্থাপন করুন। রিমানীয় ক্ষেত্রে দেখা যায় যে, মৌলিক টেনসর জিজ (x, x) হল কেবল রিমানীয় মেট্রিক জিজ (x)। সাধারণ ক্ষেত্রে ফিন্সলার-ফাংশনের সমরূপতার শর্তটি নিম্নলিখিত সূত্রগুলি বোঝায়ঃ শাস্ত্রীয় যান্ত্রিকের পরিপ্রেক্ষিতে শেষ সমীকরণটি বলে যে সিস্টেমের সমস্ত শক্তি (এম, এল) গতিজ আকারে রয়েছে। উপরন্তু, কেউ একরূপতা বৈশিষ্ট্যগুলি অর্জন করে যার মধ্যে শেষটি বলে যে এই যান্ত্রিক ব্যবস্থার জন্য হ্যামিল্টনিয়ান ভেক্টর ক্ষেত্র এইচ একটি পূর্ণ স্প্রে। অন্তর্নিহিত ফিন্সলার (বা রিম্যানিয়ান) ম্যানিফোল্ডের ধ্রুবক গতির ভূগণিত এই স্প্রে দ্বারা নিম্নলিখিত কারণগুলির জন্য বর্ণনা করা হয়েছেঃ যেহেতু জি-স্পিনি ফিন্সলার স্পেসের জন্য ধনাত্মক নির্দিষ্ট, তাই কার্যকরী দৈর্ঘ্যের জন্য প্রতিটি ছোট যথেষ্ট স্থির বক্ররেখা দৈর্ঘ্যকে হ্রাস করে। ক্রিয়া ইন্টিগ্রালের জন্য প্রতিটি স্থির বক্ররেখা ধ্রুবক গতির, কারণ শক্তি স্বয়ংক্রিয়ভাবে গতির ধ্রুবক। ধ্রুবক গতির যে কোনও বক্ররেখার জন্য ক্রিয়া অবিচ্ছেদ্য এবং কার্যকরী দৈর্ঘ্য দ্বারা সম্পর্কিত সুতরাং, একটি বক্ররেখা ক্রিয়া অবিচ্ছেদ্যের সাথে স্থির থাকে যদি এবং কেবলমাত্র যদি এটি স্থির গতির হয় এবং কার্যকরী দৈর্ঘ্যের সাথে স্থির থাকে। হ্যামিল্টনীয় ভেক্টর ক্ষেত্র এইচ-কে ফিনসলার ম্যানিফোল্ড (এম, এফ)-এর জিওডেসিক স্প্রে বলা হয় এবং সংশ্লিষ্ট প্রবাহকে জিওডেসিক প্রবাহ বলা হয়। অরৈখিক সংযোগের সাথে যোগাযোগ একটি মসৃণ বহুগুণের উপর একটি সেমিস্প্রে তার অনুভূমিক এবং উল্লম্ব অনুমানের মাধ্যমে স্লিট ট্যানজেন্ট বান্ডেলের উপর একটি এহরেসম্যান-সংযোগকে সংজ্ঞায়িত করে টিএম\0-এর এই সংযোগে সর্বদা একটি অদৃশ্য টর্জন টেনসর থাকে, যা ফ্রলিচার-নিজেনহুইস বন্ধনী টি = [জে, ভি] হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আরও প্রাথমিক ভাষায় টর্জনকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে TM\0-এর উপর ক্যানোনিকাল ভেক্টর ক্ষেত্র V-এর পরিচয় দেওয়া এবং প্রেরিত সংযোগের সংলগ্ন কাঠামো θ সেমি-স্প্রে-এর অনুভূমিক অংশকে hH = θ হিসাবে লেখা যেতে পারে। প্রথম স্প্রে অপরিবর্তনীয় সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মাধ্যমে প্ররোচিত অ-রৈখিক সংযোগের উত্তেজনার সাথে সম্পর্কিত তাই, প্রথম স্প্রে অপরিবর্তনীয় ε (এবং তাই পুরো আধা-স্প্রে এইচ) দ্বারা অ-রৈখিক সংযোগ থেকে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে এই সম্পর্ক থেকে কেউ এটাও দেখতে পায় যে প্ররোচিত সংযোগটি সমজাতীয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এইচ একটি পূর্ণ স্প্রে হয়। জ্যাকোবি স্প্রে এবং সেমিস্প্রের ক্ষেত্রগুলি জ্যাকোবি সেমিস্প্রের ক্ষেত্রগুলির জন্য একটি ভাল উৎস হল সেকশন 4.4, যা বুকাতারু এবং মিরনের সর্বজনীনভাবে উপলব্ধ বই ফিন্সলার-ল্যাগ্রেঞ্জ জ্যামিতির একটি সেমিস্প্রের জ্যাকোবি সমীকরণ। একটি গতিশীল কোভ্যারিয়েন্ট ডেরিভেটিভ সম্পর্কে তাদের ধারণাটি বিশেষভাবে লক্ষণীয়। আরেকটি গবেষণাপত্রে বুকাতারু, কনস্টান্টিনেস্কু এবং ডাল এই ধারণাকে কোসাম্বি দ্বিমুখী অপারেটরের সাথে সম্পর্কিত করেছেন। কোসাম্বির পদ্ধতির একটি ভাল পরিচয়ের জন্য, প্রবন্ধটি দেখুন, কোসাম্বি-কার্টন-চেরন তত্ত্ব কী? রেফারেন্স। । ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি ফিন্সলার জ্যামিতি