Følner sequence
গণিতে, একটি গোষ্ঠীর জন্য একটি ফোলনার ক্রম হল একটি নির্দিষ্ট শর্ত পূরণকারী সেটের ক্রম। যদি কোনও গোষ্ঠীর নিজের উপর তার ক্রিয়ার সাপেক্ষে একটি ফোলনার ক্রম থাকে, তবে গোষ্ঠীটি উপযুক্ত। ফোলনার জাল সম্পর্কে আরও একটি সাধারণ ধারণা অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এবং অগণিত গোষ্ঠীগুলির অধ্যয়নের জন্য উপযুক্ত। ফোলনার সিকোয়েন্সগুলি এরলিং ফোলনারের নামে নামকরণ করা হয়েছে। সংজ্ঞা একটি গোষ্ঠী দেওয়া যা একটি গণনাযোগ্য সেটের উপর কাজ করে, ক্রিয়ার জন্য একটি ফোলনার ক্রম হল সসীম উপসেটগুলির একটি ক্রম যার মধ্যে নিষ্কাশন হয় এবং যা কোনও গোষ্ঠী উপাদান দ্বারা কাজ করার সময় "খুব বেশি নড়াচড়া করে না"। সুনির্দিষ্টভাবে, প্রত্যেকের জন্য, এমন কিছু রয়েছে যা সকলের জন্য, এবং সমস্ত গোষ্ঠী উপাদানের জন্য। উপরে ব্যবহৃত স্বরলিপির ব্যাখ্যাঃ সেটটি বাম দিকে কাজ করার ফলাফল। এটি সকলের জন্য ফর্মের উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত। প্রতিসম পার্থক্য অপারেটর, অর্থাৎ, ঠিক একটি সেটের উপাদানগুলির সেট এবং। এটি একটি সেটের কার্ডিনালিটি। সুতরাং, এই সংজ্ঞাটি যা বলে তা হল যে কোনও গোষ্ঠী উপাদানের জন্য, তার উপাদানগুলির অনুপাত বড় হওয়ার সাথে সাথে 0-তে চলে যায়। একটি পরিমাপ স্থানের উপর কাজ করা একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট গ্রুপের সেটিংয়ে আরও সাধারণ সংজ্ঞা রয়েছে। সীমাবদ্ধ হওয়ার পরিবর্তে, সেটগুলির সসীম, অ-শূন্য পরিমাপ থাকা প্রয়োজন, এবং তাই ফোলনারের প্রয়োজনীয়তা হবে তা, বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে অনুরূপ। স্ট্যান্ডার্ড কেসটি হল বাম অনুবাদ দ্বারা নিজের উপর কাজ করা গোষ্ঠীর, এই ক্ষেত্রে প্রশ্নযুক্ত পরিমাপটি সাধারণত হার পরিমাপ হিসাবে ধরে নেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, যে কোনও সসীম গোষ্ঠীর প্রত্যেকটির জন্য একটি করে ফোলনার ক্রম থাকে। যোগ দ্বারা নিজের উপর কাজ করে পূর্ণসংখ্যার গ্রুপ বিবেচনা করুন। ধরা যাক এবং এর মধ্যে পূর্ণসংখ্যা রয়েছে। তারপর এবং এর মধ্যে পূর্ণসংখ্যা নিয়ে গঠিত। বড়ের ক্ষেত্রে, প্রতিসম পার্থক্যের আকার থাকে, অন্যদিকে আকার থাকে। ফলস্বরূপ অনুপাত হল, যা বড় হওয়ার সাথে সাথে 0-তে যায়। ফোলনার সিকোয়েন্সের মূল সংজ্ঞার সাথে, একটি গ্রুপের একটি ফোলনার সিকোয়েন্স থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি গণনাযোগ্য এবং উপযুক্ত হয়। একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট গ্রুপের একটি ফোলনার ক্রম থাকে (সাধারণীকৃত সংজ্ঞা সহ) যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি উপযুক্ত এবং দ্বিতীয় গণনাযোগ্য হয়। স্বাচ্ছন্দ্যের প্রমাণ আমাদের একটি গোষ্ঠী এবং একটি ফোলনার ক্রম রয়েছে এবং আমাদের একটি পরিমাপ সংজ্ঞায়িত করতে হবে, যা দার্শনিকভাবে বলতে গেলে বলে যে কোনও উপসেট কতটা গ্রহণ করে। প্রাকৃতিক সংজ্ঞা যা আমাদের ফোলনার ক্রম ব্যবহার করে তা হবে অবশ্যই, এই সীমাটি অপরিহার্যভাবে বিদ্যমান নেই। এই প্রযুক্তিগততা কাটিয়ে উঠতে, আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর একটি আল্ট্রাফিল্টার নিই যার মধ্যে ব্যবধান রয়েছে। তারপর আমরা নিয়মিত সীমার পরিবর্তে একটি আল্ট্রালিমিট ব্যবহার করিঃ দেখা যায় যে আল্ট্রালিমিটগুলিতে আমাদের প্রয়োজনীয় সমস্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। অর্থাৎ, এটি একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ। অর্থাৎ, যেহেতু আল্ট্রালিমিট বিদ্যমান থাকাকালীন নিয়মিত সীমার সাথে মিলে যায়। এটি চূড়ান্তভাবে যোগাত্মক। এর কারণ হল আল্ট্রালিমিটগুলি নিয়মিত সীমার মতোই সংযোজনের সাথে যাতায়াত করে। অপরিবর্তনীয় রেখে দেওয়া হয়। এটি ফোলেনার সিকোয়েন্সের সংজ্ঞা অনুসারে। তথ্যসূত্র জ্যামিতিক গোষ্ঠী তত্ত্ব