Cayley–Bacharach theorem
গণিতে, কাইলি-বাচারাচ উপপাদ্যটি প্রজেক্টিভ সমতলে ঘন বক্ররেখা (তিন ডিগ্রি সমতল বক্ররেখা) সম্পর্কে একটি বিবৃতি। মূল রূপটি বলেঃ ধরে নিন যে দুটি ঘনক্ষেত্র এবং প্রজেক্টিভ সমতলে নয়টি (ভিন্ন) বিন্দুতে মিলিত হয়, যেমনটি তারা সাধারণভাবে একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর করে। তারপরে প্রতিটি ঘনক্ষেত্র যে কোনও আটটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় তাও নবম বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। কাইলি-বাচারাচ উপপাদ্যের আরও একটি অন্তর্নিহিত রূপ নিম্নরূপঃ একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর প্রতিটি ঘন বক্ররেখা যা আটটি বিন্দুর একটি প্রদত্ত সেটের মধ্য দিয়ে যায় তাও একটি নবম বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় (গুণ গণনা) যা শুধুমাত্র নির্ভর করে। ফরাসি জ্যামিতিবিদ মিশেল চ্যাসেলস প্রথমে শঙ্কুবিদ্যার উপর একটি সম্পর্কিত ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন এবং পরে আর্থার কেলি এবং ইসাক বাচারাচ দ্বারা কিউবিকে সাধারণীকরণ করেছিলেন। যদি সাতটি বিন্দু একটি শঙ্কুতে থাকে, তবে নবম বিন্দুটি সেই শঙ্কুতে বেছে নেওয়া যেতে পারে, কারণ বেজাউটের উপপাদ্যের কারণে সর্বদা পুরো শঙ্কুটি থাকবে। অন্যান্য ক্ষেত্রে, আমাদের নিম্নলিখিতগুলি রয়েছে। যদি কোন সাতটি বিন্দু সহ-শঙ্কুযুক্ত না হয়, তবে ঘন সমজাতীয় বহুপদীগুলির ভেক্টর স্থান যা (এর অ্যাফিন শঙ্কুগুলির) উপর অদৃশ্য হয়ে যায় (দ্বিগুণ বিন্দুর জন্য বহুগুণ সহ) তার মাত্রা দুই থাকে। সেক্ষেত্রে, প্রতিটি ঘনক্ষেত্র যে কোনও দুটি ভিন্ন ঘনক্ষেত্রের ছেদস্থলের মধ্য দিয়েও যায়, যার বেজাউটের উপপাদ্যের কারণে কমপক্ষে নয়টি বিন্দু (বীজগাণিতিক বন্ধের উপর) রয়েছে। এই পয়েন্টগুলি শুধুমাত্র দ্বারা আচ্ছাদিত করা যাবে না, যা আমাদের দেয়। যেহেতু অবক্ষয়িত শঙ্কুগুলি সর্বাধিক দুটি রেখার মিলন, তাই একটি অবক্ষয়িত শঙ্কুতে সর্বদা সাতটির মধ্যে চারটি বিন্দু থাকে যা কোলিনিয়ার হয়। ফলস্বরূপঃ যদি কোনও অ-অবক্ষয়িত শঙ্কুতে কোনও সাতটি বিন্দু না থাকে এবং একটি রেখার উপর কোনও চারটি বিন্দু না থাকে, তবে ঘন সমজাতীয় বহুপদের ভেক্টর স্থান যা (এর অ্যাফিন শঙ্কুগুলির) উপর অদৃশ্য হয়ে যায় তার মাত্রা দুই। অন্যদিকে, ধরে নিন যে এগুলি কোলিনিয়ার এবং এর মধ্যে কোনও সাতটি পয়েন্ট কো-কনিক নয়। তারপর কোন পাঁচ পয়েন্ট এবং কোন তিন পয়েন্ট সমরেখার হয় না। যেহেতু বেজাউটের উপপাদ্যের কারণে সর্বদা পুরো রেখাটি থাকবে, তাই ঘন সমজাতীয় বহুপদগুলির ভেক্টর স্থান যা (এর অ্যাফিন শঙ্কুগুলির) উপর অদৃশ্য হয়ে যায় তা দ্বিঘাত সমজাতীয় বহুপদগুলির ভেক্টর স্থানের সমরূপ, যা অদৃশ্য হয়ে যায় (এর অ্যাফিন শঙ্কুগুলির), যার মাত্রা দুই। যদিও উভয় মাত্রার দুটি ফলাফলের জন্য শর্তের সেটগুলি ভিন্ন, তবে তারা উভয়ই সম্পূর্ণ সাধারণ অবস্থানের তুলনায় কঠোরভাবে দুর্বলঃ তিনটি পয়েন্টকে কলিনিয়ার হতে দেওয়া হয় এবং ছয় পয়েন্টকে একটি শঙ্কুতে থাকতে দেওয়া হয় (সাধারণভাবে দুটি পয়েন্ট একটি রেখা নির্ধারণ করে এবং পাঁচটি পয়েন্ট একটি শঙ্কু নির্ধারণ করে)। কাইলি-বাচারাচ উপপাদ্যের জন্য, একক বিন্দুর পরিবর্তে নয়টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে ঘনক্ষেত্রের একটি পরিবার থাকা প্রয়োজন। বেজাউটের উপপাদ্য অনুসারে, একটি বীজগাণিতিকভাবে বদ্ধ ক্ষেত্রের উপর দুটি ভিন্ন ঘন বক্ররেখা যার কোনও সাধারণ অপরিবর্তনীয় উপাদান নেই ঠিক নয়টি বিন্দুতে মিলিত হয় (বহুগুণের সাথে গণনা করা হয়)। কাইলি-বাচারাচ উপপাদ্যটি এইভাবে দাবি করে যে বক্ররেখার পরিবারের যে কোনও দুই সদস্যের ছেদনের শেষ বিন্দুটি সরানো হয় না যদি আটটি ছেদ বিন্দু (সাতটি সহ-শঙ্কু ছাড়া) ইতিমধ্যে নির্ধারিত থাকে। প্রয়োগ একটি বিশেষ উদাহরণ হল প্যাসকেলের উপপাদ্য, যে ক্ষেত্রে দুটি ঘনক্ষেত্রের সবগুলিই অধঃপতিত হয়ঃ একটি শঙ্কুতে (একটি ষড়ভুজ) ছয়টি বিন্দু দেওয়া হলে, বিপরীত দিক প্রসারিত করে প্রাপ্ত রেখাগুলি বিবেচনা করুন-এটি তিনটি রেখার দুটি ঘনক্ষেত্র উৎপন্ন করে, যা 9টি বিন্দুতে ছেদ করে-শঙ্কুতে 6টি বিন্দু এবং আরও 3টি। এই 3টি অতিরিক্ত বিন্দু একটি রেখার উপর অবস্থিত, কারণ শঙ্কু যোগ যে কোনও দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাটি 8টি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি ঘনক্ষেত্র। দ্বিতীয় প্রয়োগটি হল পাপ্পাসের ষড়ভুজ উপপাদ্য, যা উপরেরটির অনুরূপ, তবে ছয়টি বিন্দু একটি শঙ্কুরেখার পরিবর্তে দুটি লাইনে রয়েছে। পরিশেষে, উপবৃত্তাকার বক্ররেখা বিন্দু সংযোজনের সহযোগীতা প্রমাণ করার জন্য একটি তৃতীয় কেস পাওয়া যায়। প্রথম ঘনক্ষেত্রে তিনটি রেখা বিসি, ও (এ + বি) এবং এ (বি + সি) এবং দ্বিতীয় ঘনক্ষেত্রে তিনটি রেখা এবি, ও (বি + সি) এবং সি (এ + বি) থাকে। নিম্নলিখিত আটটি বিন্দু উভয় ঘনক্ষেত্রের জন্য সাধারণঃ এ, বি, সি, এ + বি,-এ-বি, বি + সি,-বি-সি, ও। সুতরাং তাদের নবম বিন্দু অবশ্যই একই হতে হবে-এ-(বি + সি) =-(এ + বি)-সি, যা সহযোগীতা প্রদান করে। মাত্রা গণনা একজন কেইলি-বাচারাচ উপপাদ্যটি বুঝতে পারেন, এবং মাত্রা গণনা দ্বারা এটি ডিগ্রি 3-এর জন্য কেন উদ্ভূত হয়। সহজ কথায় বলতে গেলে, নয়টি বিন্দু একটি ঘনক্ষেত্র নির্ধারণ করে, তবে সাধারণভাবে একটি অনন্য ঘনক্ষেত্রকে সংজ্ঞায়িত করে। সুতরাং যদি নয়টি বিন্দু একাধিক ঘনক্ষেত্রের উপর থাকে, সমতুল্যভাবে দুটি ঘনক্ষেত্রের (এ. এস) ছেদস্থলে, তবে সেগুলি সাধারণ অবস্থানে থাকে না-সেগুলি একটি মাত্রা দ্বারা অতিরিক্ত নির্ধারিত হয়-এবং এইভাবে তাদের মধ্য দিয়ে যাওয়া ঘনক্ষেত্রগুলি একটি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা পূরণ করে, যা "আটটি মানে নয়টি" বৈশিষ্ট্যের মধ্যে প্রতিফলিত হয়। সাধারণ ঘটনাটিকে অতি প্রাচুর্য বলা হয়; পৃষ্ঠতলের জন্য রিম্যান-রক উপপাদ্য দেখুন। আনুষ্ঠানিকভাবে, প্রথমে মনে রাখবেন যে ডিগ্রির দুটি বক্ররেখা দেওয়া হলে, তারা সংজ্ঞায়িত সমীকরণগুলির প্রজেক্টিভ রৈখিক সংমিশ্রণ গ্রহণ করে ডিগ্রি বক্ররেখার একটি পেন্সিল (এক-পরামিতি রৈখিক ব্যবস্থা) সংজ্ঞায়িত করে; এটি বক্ররেখার পরামিতি স্থানে একটি প্রজেক্টিভ লাইন নির্ধারণকারী দুটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়, যা কেবল প্রজেক্টিভ স্থান। কাইলি-বাচারাচ উপপাদ্যটি উচ্চ মাত্রার জন্য উদ্ভূত হয় কারণ ডিগ্রির দুটি বক্ররেখার ছেদ বিন্দুর সংখ্যা, যথা (বেজাউটের উপপাদ্য দ্বারা), ডিগ্রির বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করার জন্য প্রয়োজনীয় বিন্দুর সংখ্যার চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পায়, যা দ্বারা দেওয়া হয়। বিস্তারিতভাবে, ডিগ্রির বক্ররেখা নির্ধারণের জন্য প্রয়োজনীয় পয়েন্টের সংখ্যা হল ডিগ্রির মনোমিয়ালের সংখ্যা, প্রজেক্টিভাইজেশন থেকে বিয়োগ 1। প্রথম কয়েকটির জন্যঃ 2 এবং 1ঃ দুটি বিন্দু একটি রেখা নির্ধারণ করে, দুটি রেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, 5 এবং 4ঃ পাঁচটি বিন্দু একটি শঙ্কু নির্ধারণ করে, দুটি শঙ্কু চারটি বিন্দুতে ছেদ করে, 9 এবং 9ঃ নয়টি বিন্দু একটি ঘনক্ষেত্র নির্ধারণ করে, দুটি ঘনক্ষেত্র নয়টি বিন্দুতে ছেদ করে, 14 এবং 16। এইভাবে এগুলি প্রথমে 3-এর জন্য সম্মত হয়, এবং যখন ছেদগুলির সংখ্যা বেশি হয়। এর অর্থ হল যে দুটি কিউবিকের ছেদনের 9টি বিন্দু কিউবিকের ক্ষেত্রে বিশেষ অবস্থানে থাকে, উচ্চতর মাত্রার জন্য একটি ফোরটিয়োরি, তবে নিম্ন মাত্রার বিপরীতেঃ দুটি রেখা একটি বিন্দুতে ছেদ করে, যা সাধারণ রৈখিক অবস্থানে তুচ্ছ, এবং দুটি চতুর্ভুজ চারটি বিন্দুতে ছেদ করে, যা (চতুর্ভুজগুলি অপরিবর্তনীয় বলে ধরে নেওয়া হয় তাই কোনও তিনটি বিন্দু সমান্তরাল নয়) সাধারণ দ্বিঘাত অবস্থানে থাকে কারণ পাঁচটি বিন্দু একটি দ্বিঘাত নির্ধারণ করে এবং যে কোনও চারটি বিন্দুতে (সাধারণ রৈখিক অবস্থানে) তাদের মধ্য দিয়ে চতুর্ভুজের একটি পেন্সিল থাকে, কারণ সিস্টেমটি অনির্ধারিত। কিউবিকের ক্ষেত্রে, নয়টি বিন্দু একটি কিউবিক নির্ধারণ করে, কিন্তু সাধারণভাবে তারা একটি অনন্য কিউবিক নির্ধারণ করে-এইভাবে দুটি ভিন্ন কিউবিক তাদের মধ্য দিয়ে যাওয়া (এবং এইভাবে একটি পেন্সিল) বিশেষ-সমাধানের স্থানটি প্রত্যাশার চেয়ে এক মাত্রা বেশি, এবং এইভাবে সমাধানগুলি একটি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা পূরণ করে, যথা "8 মানে 9" বৈশিষ্ট্য। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, যেহেতু তিনটি চলকের মধ্যে ডিগ্রি তিন-এর সমজাতীয় বহুপদের ভেক্টর স্থানের মাত্রা রয়েছে, তাই আটটি (ভিন্ন) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া ঘন বক্ররেখার ব্যবস্থাকে মাত্রার ভেক্টর স্থান দ্বারা পরামিতি করা হয় (এক বিন্দুতে বহুপদের অদৃশ্য হয়ে যাওয়া একটি একক রৈখিক শর্ত আরোপ করে)। এটি দেখানো যেতে পারে যে মাত্রাটি ঠিক দুই হয় যদি কোনও চারটি বিন্দু সমরেখীয না হয় এবং কোনও শঙ্কুতে কোনও সাতটি বিন্দু না থাকে। এই সত্য থেকে কাইলি-বাচারাচ উপপাদ্য অনুমান করা যেতে পারে। আরও দেখুন বিভাজকের রৈখিক পদ্ধতি রেফারেন্স পাদটীকা গ্রন্থপঞ্জি মিশেল চ্যাসলেস, ট্রেইট ডেস সেকশনস কনিকস, গৌথিয়ার-ভিলার্স, প্যারিস, 1885। এডওয়ার্ড ডি. ডেভিস, অ্যান্থনি ভি. জেরামিটা, এবং ফেরুকিও ওরেচিয়া, গোরেনস্টাইন অ্যালজেব্রাস এবং কেলি-ব্যাচারাক উপপাদ্য, আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির কার্যধারা 93 (1985), 593-597। ডেভিড আইজেনবড, মার্ক গ্রিন এবং জো হ্যারিস, কেলি-ব্যাচারাক উপপাদ্য এবং অনুমান, বুলেটিন অফ দ্য আমেরিকান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি 33 (1996), নং। 3, 295-324। বীজগাণিতিক বক্ররেখা প্রক্ষিপ্ত জ্যামিতিতে উপপাদ্য বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে উপপাদ্য