Semi-differentiability
গণিতের একটি শাখা ক্যালকুলাসে, একটি বাস্তব চলকের বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন f-এর একতরফা ডিফারেনশিবিলিটি এবং আধা-ডিফারেনশিবিলিটির ধারণা ডিফারেনশিবিলিটির চেয়ে দুর্বল। বিশেষত, f ফাংশনকে একটি বিন্দুতে সঠিক ডিফারেনশিয়াল বলা হয় যদি, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, একটি ডেরিভেটিভকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে ফাংশনের যুক্তি x ডান থেকে a-তে চলে যায় এবং a-তে বাম ডিফারেনশিয়াল হয় যদি ডেরিভেটিভকে সংজ্ঞায়িত করা যায় যেমন x বাম থেকে a-তে চলে যায়। এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে গণিতে, একটি বাম অন্তরজ এবং একটি ডান অন্তরজ হল অন্তরজ (একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার) যা একটি ফাংশনের যুক্তি দ্বারা শুধুমাত্র একটি দিকে (বাম বা ডান; অর্থাৎ, নিম্ন বা উচ্চতর মান) চলাচলের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। সংজ্ঞাগুলি ধরা যাক f বাস্তব সংখ্যার একটি উপসেট I-এ সংজ্ঞায়িত একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনকে নির্দেশ করে। যদি একটি সীমা বিন্দু হয় এবং এক-পার্শ্বীয় সীমাটি একটি বাস্তব সংখ্যা হিসাবে বিদ্যমান থাকে, তবে f কে a-তে ডান অবকলনযোগ্য বলা হয় এবং ষ্ণ + f (a) সীমাকে a-তে f-এর ডান অন্তরজ বলা হয়। যদি একটি সীমা বিন্দু হয় এবং এক-পার্শ্বীয় সীমাটি একটি বাস্তব সংখ্যা হিসাবে বিদ্যমান থাকে, তবে f কে a-তে লেফট ডিফারেনশিয়েবল বলা হয় এবং a-তে f-এর লেফট ডেরিভেটিভ বলা হয়। যদি একটি সীমা বিন্দু হয় এবং f যদি a-তে বাম এবং ডানদিকে ডিফারেনশিয়েবল হয়, তবে f-কে a-তে আধা-ডিফারেনশিয়েবল বলা হয়। যদি বাম এবং ডান অন্তরজ সমান হয়, তবে তাদের স্বাভাবিক ("দ্বিমুখী") অন্তরজ হিসাবে একই মান থাকে। একটি প্রতিসম ব্যুৎপত্তিও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা বাম এবং ডান ব্যুৎপত্তিগুলির গাণিতিক গড়ের সমান (যখন তারা উভয়ই বিদ্যমান থাকে), তাই প্রতিসম ব্যুৎপত্তিটি বিদ্যমান থাকতে পারে যখন স্বাভাবিক ব্যুৎপত্তিটি বিদ্যমান থাকে না। মন্তব্য এবং উদাহরণ একটি ফাংশন তার ডোমেনের একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে ডিফারেনশিয়াল হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি a-তে আধা-ডিফারেনশিয়াল হয় এবং বাম ডেরিভেটিভ ডান ডেরিভেটিভের সমান হয়। একটি আধা-অবকলনীয় ফাংশনের উদাহরণ, যা অবকলনীয় নয়, তা হল a = 0-এ পরম মান ফাংশন। আমরা সহজেই খুঁজে পাই যদি একটি ফাংশন একটি বিন্দু a-তে আধা-অবকলনীয় হয়, তবে এটি বোঝায় যে এটি a-তে অবিচ্ছিন্ন। সূচক ফাংশন 1 [0, ν) প্রতিটি বাস্তব a-তে সঠিকভাবে অবকলনীয়, কিন্তু শূন্যে অবকল (লক্ষ্য করুন যে এই সূচক ফাংশনটি শূন্যে অবকলনীয় নয়)। প্রয়োগ যদি বাস্তব রেখার একটি ব্যবধান I-এ সংজ্ঞায়িত একটি বাস্তব-মূল্যবান, ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন f-এর সর্বত্র শূন্য ডেরিভেটিভ থাকে, তবে এটি ধ্রুবক, যেমন গড় মান উপপাদ্যের প্রয়োগ দেখায়। ডিফারেনশিয়েবিলিটির অনুমানকে f-এর ধারাবাহিকতা এবং একতরফা ডিফারেনশিয়েবিলিটিতে দুর্বল করা যেতে পারে। ডান ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের সংস্করণটি নীচে দেওয়া হয়েছে, বাম ডিফারেনশিয়েবল ফাংশনের সংস্করণটি অনুরূপ। বাম বা ডানদিকে কাজ করা ডিফারেনশিয়াল অপারেটর আরেকটি সাধারণ ব্যবহার হল ইনফিক্স নোটেশনে বাইনারি অপারেটর হিসাবে বিবেচিত ডেরিভেটিভগুলি বর্ণনা করা, যেখানে ডেরিভেটিভগুলি বাম বা ডান অপারেন্ডে প্রয়োগ করতে হয়। উদাহরণস্বরূপ, পয়সন বন্ধনীটির সাধারণীকরণ সংজ্ঞায়িত করার সময় এটি কার্যকর। এক জোড়া f এবং g ফাংশনের জন্য, বাম এবং ডান ডেরিভেটিভগুলি যথাক্রমে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। ব্রা-কেট নোটেশনে, ডেরিভেটিভ অপারেটর ডান অপারেন্ডে নিয়মিত ডেরিভেটিভ হিসাবে বা বাম দিকে নেতিবাচক ডেরিভেটিভ হিসাবে কাজ করতে পারে। উচ্চ-মাত্রিক ক্ষেত্রে এই উপরের সংজ্ঞাটিকে বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে যা Rn-এর উপসেটে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে দিকনির্দেশক অন্তরজের একটি দুর্বল সংস্করণ ব্যবহার করে। ধরা যাক a হল f-এর ডোমেইনের একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু। তারপর f-কে a বিন্দুতে আধা-ডিফারেনশিয়াল বলা হয় যদি প্রতিটি দিকের জন্য r সহ সীমাটি একটি বাস্তব সংখ্যা হিসাবে বিদ্যমান থাকে। সেমি-ডিফারেনশিবিলিটি এইভাবে গেটক্স ডিফারেনশিবিলিটির চেয়ে দুর্বল, যার জন্য কেউ কেবলমাত্র ধনাত্মক মানগুলিতে সীমাবদ্ধ না করে h → 0 এর উপরের সীমাটি গ্রহণ করে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশনটি এখানে আধা-অবকলনীয়, কিন্তু সেখানে গেটক্স অবকলনীয় নয়। প্রকৃতপক্ষে, এর সাথে (লক্ষ্য করুন যে এই সাধারণীকরণটি n = 1-এর মূল সংজ্ঞার সমতুল্য নয় কারণ একতরফা সীমা বিন্দুর ধারণাটি অভ্যন্তরীণ বিন্দুর শক্তিশালী ধারণা দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়।) বৈশিষ্ট্য Rn-এর একটি উত্তল উন্মুক্ত উপসেটে যে কোনও উত্তল ফাংশন আধা-বিচ্যুতিযোগ্য। যদিও একটি চলকের প্রতিটি আধা-পার্থক্যযোগ্য ফাংশন অবিচ্ছিন্ন; এটি বেশ কয়েকটি চলকের ক্ষেত্রে আর সত্য নয়। সাধারণীকরণ বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের পরিবর্তে, আরএন বা বানাচ স্পেসে মান গ্রহণকারী ফাংশন বিবেচনা করা যেতে পারে। আরও দেখুন ডেরিভেটিভ ডাইরেকশনাল ডেরিভেটিভ আংশিক ডেরিভেটিভ গ্রেডিয়েন্ট গেটক্স ডেরিভেটিভ ফ্রেচেট ডেরিভেটিভ (সাধারণীকরণ) ডিনি ডেরিভেটিভ রেফারেন্স রিয়েল অ্যানালাইসিস ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস প্রুফ ফাংশন এবং ম্যাপিং সম্বলিত নিবন্ধ