Serial relation
সেট তত্ত্বে একটি ক্রমিক সম্পর্ক হল একটি সমজাতীয় সম্পর্ক যা একটি অনুক্রমের একটি উপাদানের সাথে নিম্নলিখিত উপাদানটির সংযোগ প্রকাশ করে। প্রাকৃতিক সংখ্যা সংজ্ঞায়িত করতে পেনো দ্বারা ব্যবহৃত উত্তরসূরি ফাংশনটি একটি ক্রমিক সম্পর্কের প্রোটোটাইপ। বার্ট্রান্ড রাসেল দ্য প্রিন্সিপলস অফ ম্যাথমেটিক্স (1903)-এ ক্রম তত্ত্বের ভিত্তি এবং এর প্রয়োগগুলি অন্বেষণ করার সময় ক্রমিক সম্পর্ক ব্যবহার করেছিলেন। ক্রমিক সম্পর্ক শব্দটিও বি দ্বারা ব্যবহৃত হয়েছিল। এ. বার্নস্টাইন একটি নিবন্ধের জন্য যা দেখায় যে ক্রম তত্ত্বের নির্দিষ্ট সাধারণ স্বতঃসিদ্ধগুলি প্রায় অসামঞ্জস্যপূর্ণঃ সংযোগ, অপরিবর্তনীয়তা এবং ক্ষণস্থায়ীতা। একটি ক্রমিক সম্পর্ক আর হল একটি সেট ইউ-এর উপর একটি এন্ডোরিলেশন। রাসেল যেমন বলেছেন, যেখানে সার্বজনীন এবং অস্তিত্বগত পরিমাপকগুলি U কে বোঝায়। সম্পর্কের সমসাময়িক ভাষায়, এই বৈশিষ্ট্যটি একটি সম্পূর্ণ সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে। কিন্তু একটি মোট সম্পর্ক ভিন্নধর্মী হতে পারে। ধারাবাহিক সম্পর্ক ঐতিহাসিক আগ্রহের বিষয়। একটি সম্পর্ক R-এর জন্য, ধরা যাক {y: xRy} x-এর "উত্তরসূরি প্রতিবেশী" কে নির্দেশ করে। একটি ক্রমিক সম্পর্ককে সমতুল্যভাবে এমন একটি সম্পর্ক হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যার জন্য প্রতিটি উপাদানের একটি অ-খালি উত্তরসূরি প্রতিবেশী থাকে। একইভাবে, একটি বিপরীত ক্রমিক সম্পর্ক হল এমন একটি সম্পর্ক যেখানে প্রতিটি উপাদানের অ-খালি "পূর্ববর্তী প্রতিবেশী" থাকে। সাধারণ মোডাল লজিক-এ, ক্রমিক বৈশিষ্ট্য দ্বারা মৌলিক স্বতঃসিদ্ধ সেট কে-এর সম্প্রসারণ স্বতঃসিদ্ধ সেট ডি-তে ফলাফল দেয়। রাসেলের সিরিজ সম্পর্কগুলি গণিতের মূলনীতিগুলিতে সিরিজ বিকাশ করতে ব্যবহৃত হয়। প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর এক-এক সম্পর্ক হিসাবে প্রোটোটাইপ হল পিনোর উত্তরসূরি ফাংশন। রাসেলের সিরিজ সসীম হতে পারে বা একটি চক্রাকার ক্রম প্রদানকারী সম্পর্ক দ্বারা উত্পন্ন হতে পারে। সেক্ষেত্রে, বর্ণনার জন্য বিন্দু-জোড়া পৃথকীকরণ সম্পর্ক ব্যবহার করা হয়। একটি প্রগ্রেশন সংজ্ঞায়িত করার জন্য, তার জেনারেটিং সম্পর্ককে একটি সংযুক্ত সম্পর্ক হতে হবে। তারপর ক্রমিক সংখ্যাগুলি অগ্রগতি থেকে উদ্ভূত হয়, সসীম সংখ্যাগুলি সসীম ক্রমিক। খোলা এবং বন্ধ সিরিজের পার্থক্য করার ফলে মোট চারটি ক্রম হয়ঃ সসীম, এক প্রান্ত, কোন শেষ এবং খোলা, এবং কোন শেষ এবং বন্ধ। অন্যান্য লেখকদের বিপরীতে, রাসেল নেতিবাচক অর্ডিনাল স্বীকার করেন। অনুপ্রেরণার জন্য, বৈজ্ঞানিক স্বরলিপি ব্যবহার করে পরিমাপের স্কেলগুলি বিবেচনা করুন, যেখানে দশের শক্তি পরিমাপের একটি দশককে উপস্থাপন করে। অনানুষ্ঠানিকভাবে, এই পরামিতিটি ভৌত একক পরিমাপ করতে ব্যবহৃত মাত্রার ক্রমের সাথে মিলে যায়। প্যারামিটারটি নেতিবাচক এবং ইতিবাচক মান গ্রহণ করে। স্ট্রেচ রাসেল মেইনং থেকে প্রসারিত শব্দটি গ্রহণ করেছিলেন, যিনি দূরত্বের তত্ত্বে অবদান রেখেছিলেন। প্রসারিত একটি সিরিজের দুটি বিন্দুর মধ্যে মধ্যবর্তী পদগুলিকে বোঝায় এবং "পদের সংখ্যা সমগ্রের দূরত্ব এবং বিভাজ্যতা পরিমাপ করে"। মাইনংকে ব্যাখ্যা করার জন্য, রাসেল কেলি-ক্লেইন মেট্রিককে বোঝায়, যা অ্যানহার্মোনিক অনুপাতে প্রসারিত স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে যা লগারিদম ব্যবহার করে দূরত্ব নির্ধারণ করে। তথ্যসূত্র বাইরের লিঙ্ক এখানেঃ পৃষ্ঠা 416। বাইনারি সম্পর্ক অর্ডার তত্ত্ব