Mean curvature flow
গণিতে ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির ক্ষেত্রে, গড় বক্রতা প্রবাহ একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডে হাইপারসার্ফেসগুলির জ্যামিতিক প্রবাহের একটি উদাহরণ (উদাহরণস্বরূপ, ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্পেসে মসৃণ পৃষ্ঠতল)। স্বজ্ঞাতভাবে, পৃষ্ঠতলের একটি পরিবার গড় বক্রতা প্রবাহের অধীনে বিবর্তিত হয় যদি পৃষ্ঠের উপর একটি বিন্দু যে বেগের গতিবেগ বহন করে তার স্বাভাবিক উপাদানটি পৃষ্ঠের গড় বক্রতা দ্বারা দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্তাকার গোলক গড় বক্রতা প্রবাহের অধীনে অভ্যন্তরীণভাবে একইভাবে সঙ্কুচিত হয়ে বিবর্তিত হয় (যেহেতু একটি গোলকের গড় বক্রতা ভেক্টর ভিতরের দিকে নির্দেশ করে)। বিশেষ ক্ষেত্রে ব্যতীত, গড় বক্রতা প্রবাহ এককত্ব বিকাশ করে। সীমাবদ্ধতার অধীনে যে আয়তনটি আবদ্ধ থাকে তা ধ্রুবক, এটিকে পৃষ্ঠ টান প্রবাহ বলা হয়। এটি একটি প্যারাবলিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, এবং এটিকে "মসৃণকরণ" হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। মাইকেল গেজ এবং রিচার্ড এস হ্যামিল্টন প্যারাবলিক জ্যামিতিক প্রবাহের জন্য হ্যামিল্টনের সাধারণ অস্তিত্ব উপপাদ্যের প্রয়োগ হিসাবে নিম্নলিখিতগুলি দেখিয়েছিলেন। একটি কম্প্যাক্ট মসৃণ ম্যানিফোল্ড হতে দিন, একটি সম্পূর্ণ মসৃণ রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ড হতে দিন, এবং একটি মসৃণ নিমজ্জন হতে দিন। তারপর একটি ধনাত্মক সংখ্যা রয়েছে, যা অসীম হতে পারে, এবং নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সহ একটি মানচিত্র রয়েছেঃ যে কোনওটির জন্য একটি মসৃণ নিমজ্জন যা যে কোনওটির জন্য রয়েছে, এট-এর বক্ররেখার ডেরিভেটিভ এট-এর গড় বক্রতা ভেক্টরের সমান। যদি উপরের চারটি বৈশিষ্ট্য সহ অন্য কোনও মানচিত্র থাকে, তবে এবং যে কোনও প্রয়োজনীয়তার জন্য, এর সীমাবদ্ধতা হল। একটি প্রাথমিক তথ্য সহ (সর্বাধিক বর্ধিত) গড় বক্রতা প্রবাহ হিসাবে উল্লেখ করে। কনভার্জেন্স উপপাদ্য হ্যামিল্টনের 1982 সালের যুগের রিচি প্রবাহের উপর কাজ অনুসরণ করে, 1984 সালে গেরহার্ড হুইস্কেন গড় বক্রতা প্রবাহের জন্য নিম্নলিখিত অনুরূপ ফলাফল তৈরি করার জন্য একই পদ্ধতি ব্যবহার করেছিলেনঃ যদি ইউক্লিডীয় স্থান হয়, যেখানে এর মাত্রা বোঝায়, তবে তা অবশ্যই সীমাবদ্ধ। যদি 'প্রাথমিক নিমজ্জন'-এর দ্বিতীয় মৌলিক রূপটি কঠোরভাবে ধনাত্মক হয়, তবে নিমজ্জনের দ্বিতীয় মৌলিক রূপটিও প্রত্যেকের জন্য কঠোরভাবে ধনাত্মক হয়, এবং উপরন্তু যদি কেউ এমন ফাংশনটি বেছে নেয় যাতে রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডের আয়তন স্বাধীন হয়, তবে নিমজ্জনগুলি মসৃণভাবে এমন একটি নিমজ্জনে একত্রিত হয় যার চিত্রটি একটি গোলাকার গোলক। লক্ষ্য করুন যে যদি এবং একটি মসৃণ অতিপৃষ্ঠ নিমজ্জন হয় যার দ্বিতীয় মৌলিক রূপটি ধনাত্মক হয়, তবে গাউস মানচিত্রটি একটি ডিফিয়োমোর্ফিজম, এবং তাই শুরু থেকেই কেউ জানে যে প্রাথমিক ডিফারেনশিয়াল টপোলজি থেকে ডিফিয়োমোর্ফিক এবং উপরে বিবেচিত সমস্ত নিমজ্জনগুলি এম্বেডিং। গেজ এবং হ্যামিল্টন মামলাটিতে হুইস্কেন-এর ফলাফল বাড়িয়ে দেন। ম্যাথিউ গ্রেসন (1987) দেখিয়েছেন যে যদি কোনও মসৃণ এম্বেডিং হয়, তবে প্রাথমিক তথ্য সহ গড় বক্রতা প্রবাহ অবশেষে কঠোরভাবে ইতিবাচক বক্রতার সাথে একচেটিয়াভাবে এম্বেডিং নিয়ে গঠিত, যে সময়ে গেজ এবং হ্যামিল্টনের ফলাফল প্রযোজ্য। সংক্ষেপেঃ যদি একটি মসৃণ এম্বেডিং হয়, তবে প্রাথমিক তথ্যের সাথে গড় বক্রতা প্রবাহ বিবেচনা করুন। তারপর প্রত্যেকের জন্য একটি মসৃণ এম্বেডিং রয়েছে এবং এমন কিছু রয়েছে যার প্রত্যেকটির জন্য ইতিবাচক (বাহ্যিক) বক্রতা রয়েছে। যদি কেউ হুইস্কেন ফলাফলের মতো ফাংশনটি নির্বাচন করে, তবে এম্বেডিংগুলি মসৃণভাবে একটি এম্বেডিংয়ে একত্রিত হয় যার চিত্রটি একটি বৃত্তাকার বৃত্ত। বৈশিষ্ট্য গড় বক্রতা প্রবাহ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে চরম করে তোলে এবং ন্যূনতম পৃষ্ঠগুলি গড় বক্রতা প্রবাহের জন্য গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু; মিনিমা আইসোপেরিমেট্রিক সমস্যার সমাধান করে। একটি কেলার-আইনস্টাইন ম্যানিফোল্ডে এম্বেড করা ম্যানিফোল্ডের জন্য, যদি পৃষ্ঠটি একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ড হয়, তবে গড় বক্রতা প্রবাহ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ধরনের হয়, তাই পৃষ্ঠটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান সাবম্যানিফোল্ডের শ্রেণীর মধ্যে বিবর্তিত হয়। হুইস্কেন-এর একঘেয়েমি সূত্রটি গড় বক্রতা প্রবাহের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি পৃষ্ঠের সাথে একটি সময়-বিপরীত তাপ কার্নেলের সংমিশ্রণের একঘেয়েমি বৈশিষ্ট্য দেয়। সম্পর্কিত প্রবাহগুলি হলঃ বক্রতা-সংক্ষিপ্ত প্রবাহ, গড় বক্রতা প্রবাহের এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে পৃষ্ঠের টান প্রবাহ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গড় বক্রতা প্রবাহ বিপরীত গড় বক্রতা প্রবাহ একটি ত্রিমাত্রিক পৃষ্ঠের গড় বক্রতা প্রবাহের জন্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত একটি পৃষ্ঠের গড়-বক্রতা প্রবাহের জন্য একটি ধ্রুবক যা বক্রতা এবং পৃষ্ঠের স্বাভাবিক গতির সাথে সম্পর্কিত, এবং গড় বক্রতা সীমার মধ্যে থাকে এবং যাতে পৃষ্ঠটি তার স্বাভাবিকের সাথে প্রায় সমতল হয় এবং প্রায় z অক্ষের সমান্তরালে থাকে, এটি একটি বিস্তার সমীকরণে হ্রাস পায় যদিও প্রচলিত বিস্তার সমীকরণটি একটি রৈখিক প্যারাবলিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং এককত্ব বিকাশ করে না (যখন সময় এগিয়ে যায়)। সাধারণভাবে গড় বক্রতা প্রবাহের অধীনে এককত্ব রোধ করার জন্য একটি পৃষ্ঠে অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা স্থাপন করা প্রয়োজন। প্রতিটি মসৃণ উত্তল পৃষ্ঠ গড়-বক্রতা প্রবাহের অধীনে একটি বিন্দুতে ধসে পড়ে, অন্যান্য এককত্ব ছাড়াই, এবং এটি একটি গোলকের আকারে একত্রিত হয়। দুই বা ততোধিক মাত্রার পৃষ্ঠের জন্য এটি গেরহার্ড হুইস্কেন-এর একটি উপপাদ্য; এক-মাত্রিক বক্ররেখা-সংক্ষিপ্ত প্রবাহের জন্য এটি হল গেজ-হ্যামিল্টন-গ্রেসন উপপাদ্য। যাইহোক, গোলক ব্যতীত দুই বা ততোধিক মাত্রার অন্তর্নিহিত পৃষ্ঠ রয়েছে যা অ্যাঞ্জেনেন্ট টরাস সহ গড়-বক্রতা প্রবাহের অধীনে একটি বিন্দুতে সঙ্কুচিত হওয়ার সাথে সাথে স্ব-সমতুল্য থাকে। উদাহরণস্বরূপঃ এম-ডাইমেনশনাল গোলকের গড় বক্রতা প্রবাহ গড় বক্রতা প্রবাহের একটি সহজ উদাহরণ কেন্দ্রীভূত বৃত্তাকার হাইপারস্ফিয়ারের একটি পরিবার দ্বারা দেওয়া হয়। ব্যাসার্ধের একটি-মাত্রিক গোলকের গড় বক্রতা হল। গোলকের ঘূর্ণন প্রতিসাম্যের কারণে (বা সাধারণভাবে, আইসোমেট্রিগুলির অধীনে গড় বক্রতার অপরিবর্তনীয়তার কারণে) গড় বক্রতা প্রবাহ সমীকরণটি ব্যাসার্ধের একটি প্রাথমিক গোলকের জন্য সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে হ্রাস পায়, এই ODE-এর সমাধান (প্রাপ্ত, উদাহরণস্বরূপ, চলকগুলির পৃথকীকরণ দ্বারা) হল, যা এর জন্য বিদ্যমান। রেফারেন্স। । । বিশেষ করে 3এ এবং 3বি সমীকরণ দেখুন। জ্যামিতিক প্রবাহ ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি