Frobenius characteristic map
গণিতে, বিশেষত উপস্থাপনা তত্ত্ব এবং সংমিশ্রণে, একটি ফ্রোবেনিয়াস চরিত্রগত মানচিত্র হল প্রতিসম গোষ্ঠীর অক্ষরের বলয় এবং প্রতিসম ফাংশনের বলয়ের মধ্যে একটি আইসোমেট্রিক আইসোমরফিজম। এটি প্রতিসম গোষ্ঠীগুলির উপস্থাপনা তত্ত্ব এবং বীজগাণিতিক সংমিশ্রণের মধ্যে একটি সেতু তৈরি করে। এই মানচিত্রটি প্রতিসম ফাংশনের সাহায্যে উপস্থাপনা সমস্যাগুলি অধ্যয়ন করা সম্ভব করে তোলে এবং তদ্বিপরীত। এই মানচিত্রের নামকরণ করা হয়েছে জার্মান গণিতবিদ ফার্দিনান্দ জর্জ ফ্রোবেনিয়াসের নামে। সংজ্ঞা অক্ষরের বলয়টি ওভারের সমস্ত অপরিবর্তনীয় অক্ষর দ্বারা উত্পন্ন-মডিউল হতে পারে। বিশেষ করে এবং তাই। অক্ষরের বলয়টিকে একটি শ্রেণীবদ্ধ বিনিময়যোগ্য বলয় তৈরি করার জন্য নিম্নলিখিত গুণের সাথে সরাসরি যোগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। প্রদত্ত এবং, পণ্যটিকে বোঝাপড়ার সাথে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা অন্তর্নিহিত এবং প্ররোচিত চরিত্রকে বোঝায়। ফ্রোবেনিয়াস চরিত্রগত মানচিত্রের জন্য, ফ্রোবেনিয়াস চরিত্রগত মানচিত্রের মান, যাকে ফ্রোবেনিয়াস চিত্রও বলা হয়, বহুপদী মন্তব্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, কখন এবং, পার্টিশনের সাথে মিলে যায়। বিপরীতভাবে, একটি পার্টিশন (হিসাবে লেখা) একটি কনজুগেসি ক্লাস নির্ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি কনজুগেসি ক্লাস দেওয়া হয়েছে। সুতরাং স্বরলিপির অপব্যবহার দ্বারা নির্ধারিত কনজুগেসি শ্রেণীর মান নির্দেশ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। মনে রাখবেন এটি সর্বদা অর্থপূর্ণ কারণ এটি একটি শ্রেণী ফাংশন। এর একটি বিভাজন ধরা যাক, তাহলে এটি চলক দ্বারা নির্ধারিত ক্ষমতার সমষ্টি প্রতিসম বহুপদের গুণফল। উদাহরণস্বরূপ, প্রদত্ত, একটি বিভাজন, অবশেষে, হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে কনজুগেসি শ্রেণীর কার্ডিনালিটি। উদাহরণস্বরূপ, কখন। এর দ্বিতীয় সংজ্ঞাটি তাই সরাসরি ন্যায়সঙ্গত হতে পারেঃ বৈশিষ্ট্য অভ্যন্তরীণ গুণফল এবং আইসোমেট্রি হল অভ্যন্তরীণ গুণফল প্রতিসম ফাংশনের বলয়ের অভ্যন্তরীণ গুণফল হল হল অভ্যন্তরীণ গুণফল। এটা আবশ্যক। এখানে, এটি একটি মনোমিয়াল প্রতিসম ফাংশন এবং সম্পূর্ণ সমজাতীয় প্রতিসম ফাংশনের একটি গুণফল। সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, পূর্ণসংখ্যার একটি বিভাজন ধরা যাক, তারপর বিশেষ করে, এই অভ্যন্তরীণ গুণফলের সাপেক্ষে, একটি অর্থোগোনাল ভিত্তি গঠন করেঃ, এবং শুর বহুপদগুলি একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি গঠন করেঃ, যেখানে ক্রোনেকার ব-দ্বীপ। অক্ষরের অভ্যন্তরীণ গুণফল ধরা যাক, তাদের অভ্যন্তরীণ গুণফলকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যদি, তাহলে আইসোমেট্রি হিসাবে ফ্রোবেনিয়াস চরিত্রগত মানচিত্র একজন প্রমাণ করতে পারে যে ফ্রোবেনিয়াস চরিত্রগত মানচিত্রটি স্পষ্ট গণনার মাধ্যমে একটি আইসোমেট্রি। এটি দেখানোর জন্য, এটি ধরে নেওয়া যথেষ্ট যেঃ রিং আইসোমরফিজম মানচিত্রটি এবং-রিংয়ের মধ্যে একটি আইসোমরফিজম। এই মানচিত্রটি যে একটি রিং সমরূপতা তা ফ্রোবেনিয়াস পারস্পরিকতা দ্বারা দেখানো যেতে পারে। ফ্রোবেনিয়াস চরিত্রগত মানচিত্রের জন্য এবং দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা একটি সংক্ষিপ্ত আকারে লেখা যেতে পারেঃ বিশেষ করে, যদি একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা হয়, তবে এটি চলকের একটি শুর বহুপদী। এটি অনুসরণ করে যে একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তির একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তির মানচিত্র তৈরি করে। অতএব এটি একটি সমরূপতা। উদাহরণস্বরূপ, ফ্রোবেনিয়াস ইমেজ গণনা করা যাক, এর বিকল্প উপস্থাপনা, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে বিন্যাসের চিহ্ন। তিনটি সংযুক্তি শ্রেণী রয়েছে, যা (পরিচয় বা তিনটি 1-চক্রের গুণফল), (স্থানান্তর বা একটি 2-চক্র এবং একটি 1-চক্রের গুণফল) এবং (3-চক্র) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। এই তিনটি কনজুগেসি ক্লাস তাই,, দ্বারা প্রদত্ত তিনটি বিভাজনের সাথে মিলে যায়। এই তিনটি শ্রেণীর মান যথাক্রমে। অতএবঃ যেহেতু এটি একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনা (যা এর অক্ষর গণনা করে দেখানো যেতে পারে), উপরের গণনাটি বিভাজনের সাথে সম্পর্কিত তিনটি চলকের শুর বহুপদ দেয়। তথ্যসূত্র উপস্থাপনা _ তত্ত্ব সমন্বয়বিদ্যা