Fractional approval voting
ভগ্নাংশ অনুমোদন ভোটদান একটি নির্বাচনী ব্যবস্থা যা অনুমোদনের ব্যালট ব্যবহার করে (প্রতিটি ভোটার এক বা একাধিক প্রার্থী বিকল্প নির্বাচন করে), যেখানে ফলাফল ভগ্নাংশ হয়ঃ প্রতিটি বিকল্প জে-এর জন্য 0 এবং 1-এর মধ্যে একটি ভগ্নাংশ পিজে থাকে, যেমন পিজে-এর যোগফল 1 হয়। এটিকে অনুমোদনের ভোটদানের সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারেঃ পরেরটিতে, একজন প্রার্থী জয়ী হন (পিজে = 1) এবং অন্য প্রার্থীরা পরাজিত হন (পিজে = 0)। বিন্যাসের উপর নির্ভর করে ভগ্নাংশ pj বিভিন্ন উপায়ে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপঃ সময় ভাগাভাগিঃ প্রতিটি বিকল্প জে সময়ের একটি ভগ্নাংশ পিজে প্রয়োগ করা হয় (যেমন। প্রতিটি প্রার্থী জে মেয়াদের একটি ভগ্নাংশ পিজে অফিসে কাজ করে)। বাজেট বণ্টনঃ প্রতিটি বিকল্প জে মোট বাজেটের একটি ভগ্নাংশ পিজে পায়। সম্ভাব্যতাঃ ভগ্নাংশ ফলাফল গণনা করার পরে, একজন প্রার্থী নির্বাচন করার জন্য একটি লটারি হয়, যেখানে প্রতিটি প্রার্থী জে সম্ভাব্যতা পিজে দিয়ে নির্বাচিত হয়। অধিকারঃ ভগ্নাংশ ফলাফলগুলি ভাগের নিয়মে অধিকার হিসাবে (ওজনও বলা হয়) বা বিভিন্ন অধিকারের সাথে ন্যায্য বিভাগের অ্যালগরিদমগুলিতে ব্যবহৃত হয়। ভগ্নাংশ অনুমোদন ভোটদান ভগ্নাংশ সামাজিক পছন্দের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে সমস্ত ভোটারদের দ্বৈত পছন্দ রয়েছে। এটি সাহিত্যে বিভিন্ন পরিভাষায় দেখা যায়ঃ লটারি, ভাগ করে নেওয়া, ভাগ করা, মেশানো এবং বিতরণ। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা প্রার্থীদের একটি সীমাবদ্ধ সেট সি রয়েছে (এছাড়াও বলা হয়ঃ ফলাফল বা বিকল্প), এবং এন ভোটারদের একটি সীমাবদ্ধ সেট এন (এছাড়াও বলা হয়ঃ এজেন্ট)। প্রতিটি ভোটার সি-এর একটি উপসেট এআই নির্দিষ্ট করে, যা ভোটার অনুমোদিত প্রার্থীদের সেটকে উপস্থাপন করে। একটি ভগ্নাংশ অনুমোদনের ভোটদানের নিয়ম সেট এআই-এর সেটকে ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং আউটপুট হিসাবে একটি মিশ্রণ (যা ডিস্ট্রিবিউশন বা লটারি নামেও পরিচিত) প্রদান করে-[0,1]-এ বাস্তব সংখ্যার একটি ভেক্টর পি, প্রতিটি প্রার্থীর জন্য একটি সংখ্যা, যাতে সংখ্যার যোগফল 1 হয়। এটা ধরে নেওয়া হয় যে, প্রতিটি প্রতিনিধি তার অনুমোদন সেট এআই-তে প্রতিটি প্রার্থীর কাছ থেকে 1 টাকা এবং এআই-তে নেই এমন প্রতিটি প্রার্থীর কাছ থেকে 0 টাকা সুবিধা লাভ করে। অতএব, এজেন্ট আই প্রতিটি মিশ্রণ পি থেকে লাভ করে, এর একটি উপযোগিতা। উদাহরণস্বরূপ, যদি 'পি' মিশ্রণটিকে বাজেট বন্টন হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়, তবে 'আই'-এর উপযোগিতা হল তার পছন্দের ফলাফলের জন্য বরাদ্দকৃত মোট বাজেট। কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য মৌলিক বৈশিষ্ট্য সাধারণভাবে ভোটদানের নিয়মের দুটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং বিশেষত ভগ্নাংশ-অনুমোদন-ভোটদানের নিয়মগুলি হ 'লঃ নামহীনতা-ভোটারদের নাম কোন ব্যাপার না; নিরপেক্ষতা-প্রার্থীদের নাম কোন ব্যাপার না; দক্ষতা বৈশিষ্ট্য পারেটো-দক্ষতা (পিই) মানে কোনও মিশ্রণ কোনও এজেন্টকে উচ্চতর উপযোগিতা দেয় না এবং কমপক্ষে অন্য সকলের জন্য উচ্চ উপযোগিতা দেয়। এক্স-পোস্ট পিই একটি দুর্বল সম্পত্তি, যা শুধুমাত্র একটি মিশ্রণকে লটারি হিসাবে ব্যাখ্যার জন্য প্রাসঙ্গিক। এর অর্থ হল, লটারির পরে কোনও ফলাফল একজন এজেন্টকে উচ্চতর উপযোগিতা দেয় না এবং কমপক্ষে অন্য সকলকে উচ্চ উপযোগিতা দেয় না (অন্য কথায়, এটি পিই ফলাফলের উপর একটি মিশ্রণ)। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন 5 জন প্রার্থী (এ, বি, সি, ডি, ই) এবং 6 জন ভোটারের অনুমোদন রয়েছে (এসি, এড, এই, বিসি, বিডি, বি)। যে কোনও একক প্রার্থী নির্বাচন করা পিই, তাই প্রতিটি লটারি এক্স-পোস্ট পিই হয়। কিন্তু লটারিতে তিন ভাগের এক ভাগ সম্ভাব্যতা সহ সি, ডি, ই নির্বাচন করা পিই নয়, কারণ এটি প্রতিটি ভোটারকে তিন ভাগের এক ভাগ সম্ভাব্যতা দেয়, অন্যদিকে দুই ভাগ সম্ভাব্যতা সহ এ, বি নির্বাচন করা লটারি প্রতিটি ভোটারকে দুই ভাগের এক ভাগ সম্ভাব্যতা দেয়। পিই সর্বদা এক্স-পোস্ট পিই বোঝায়। নিম্নলিখিত ক্ষেত্রেও বিপরীতটি সত্যঃ যখন সর্বাধিক 4 জন ভোটার বা সর্বাধিক 3 জন প্রার্থী থাকে। যখন প্রার্থীদের এমন একটি লাইনে অর্ডার করা যেতে পারে যাতে প্রতিটি অনুমোদনের সেট একটি ব্যবধান হয় (একক শীর্ষ পছন্দগুলির অনুরূপ)। ন্যায্যতার বৈশিষ্ট্য ন্যায্যতার প্রয়োজনীয়তাগুলি ন্যায্য শেয়ার (এফএস) ধারণার বৈচিত্র্য দ্বারা ধরা হয়। ইন্ডিভিজুয়াল-এফ. এস (যাকে ফেয়ার ওয়েলফেয়ার শেয়ারও বলা হয়) মানে হল যে প্রতিটি ভোটারের উপযোগিতা কমপক্ষে 1/এন, অর্থাৎ বাজেটের কমপক্ষে 1/এন বরাদ্দ করা হয় i দ্বারা অনুমোদিত প্রার্থীদের জন্য। ইন্ডিভিজুয়াল-আউটকাম-এফ. এস মানে হল যে প্রতিটি ভোটারের উপযোগিতা i অন্তত একটি লটারিতে তার উপযোগিতা যা এলোমেলোভাবে একজন প্রার্থীকে নির্বাচন করে, অর্থাৎ কমপক্ষে k/|C।, যেখানে k হল i দ্বারা অনুমোদিত প্রার্থীদের সংখ্যা। ইন্ডিভিজুয়াল-এফ. এস এবং ইন্ডিভিজুয়াল-আউটকাম-এফ. এস অপর্যাপ্ত কারণ তারা ভোটারদের গোষ্ঠীগুলিকে উপেক্ষা করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি 99 শতাংশ ভোটার এক্স-কে অনুমোদন করে এবং 1 শতাংশ ওয়াই-কে অনুমোদন করে, তবে উভয় সম্পত্তিই বাজেটের এক-তৃতীয়াংশ এক্স-কে এবং এক-তৃতীয়াংশ ওয়াই-কে দেওয়ার অনুমতি দেয়। ওয়াই সমর্থকদের দলের জন্য এটি যুক্তিযুক্তভাবে অন্যায্য। একক-ভোট-এফএস (বিশ্বস্তও বলা হয়) মানে হল, যদি প্রতিটি ভোটার একজন প্রার্থীকে অনুমোদন করে, তবে প্রতিটি প্রার্থীকে নির্ধারিত ভগ্নাংশ জে-কে এন দ্বারা ভাগ করা ভোটারদের সংখ্যার সমান। একক-ভোট-এফএস একটি মৌলিক প্রয়োজনীয়তা, তবে এটি অপর্যাপ্ত কারণ এটি সেই ক্ষেত্রে কিছু বলে না যেখানে ভোটাররা দুই বা ততোধিক প্রার্থীকে অনুমোদন করতে পারে। সর্বসম্মত-এফএস মানে হল, অভিন্ন পছন্দের ভোটারদের প্রতিটি সেট এস-এর জন্য, এস-এর প্রতিটি সদস্যের উপযোগিতা কমপক্ষে |S।// এন। সর্বসম্মত-এফএস একক-ভোট-এফএস বোঝায়, তবে এটি এখনও অপর্যাপ্ত কারণ এটি এজেন্টদের গোষ্ঠী সম্পর্কে কিছু বলে না যাদের অনুমোদন-সেটগুলি ওভারল্যাপ করে। গ্রুপ-এফএস (আনুপাতিক ভাগাভাগিও বলা হয়) মানে, প্রতিটি ভোটার সেট এস-এর জন্য, এস-এর কমপক্ষে একজন সদস্য দ্বারা অনুমোদিত প্রার্থীদের জন্য বরাদ্দ মোট বাজেট কমপক্ষে |S।/এন। গ্রুপ-এফএস মানে সর্বসম্মত-এফএস, একক-ভোট-এফএস এবং স্বতন্ত্র-এফএস। গ্রুপ-এফএস ডিকম্পোসেবিলিটি নামক একটি সম্পত্তির সমতুল্যঃ 1/এন যোগফলের এন বিতরণে বিতরণকে এমনভাবে বিচ্ছিন্ন করা সম্ভব, যাতে এজেন্ট আই-কে প্রস্তাবিত বিতরণ শুধুমাত্র অনুমোদিত প্রার্থীদের ক্ষেত্রে ধনাত্মক হয়। গড়-এফএস মানে হল, প্রতিটি ভোটার সেট এস-এর জন্য কমপক্ষে একজন অনুমোদিত প্রার্থী সহ, এস-এ ভোটারদের গড় উপযোগিতা কমপক্ষে |S।/এন। কোর-এফএস মানে হল, প্রতিটি ভোটার সেট এস-এর জন্য, তাদের |S।/এন বাজেটের অন্য কোনও বন্টন নেই, যা এস-এর সমস্ত সদস্যকে একটি উচ্চতর উপযোগিতা দেয়। কোর-এফএস বলতে গ্রুপ-এফএস বোঝায়। কৌশলগত বৈশিষ্ট্য ভোটদানের নিয়মের জন্য স্ট্র্যাটেজি প্রুফনেস (এস. পি)-এর বিভিন্ন রূপ অধ্যয়ন করা হয়েছেঃ ইন্ডিভিজুয়াল-এস. পি-র অর্থ হল যে একজন স্বতন্ত্র ভোটার, যিনি আন্তরিক পছন্দের কথা জানান, তিনি উচ্চতর উপযোগিতা পেতে পারেন না। দুর্বল-গোষ্ঠী-এস. পি-র অর্থ হল, ভোটারদের একটি গোষ্ঠী, যারা সমন্বয়ে আন্তরিক পছন্দের কথা জানায়, তাদের সকলের জন্য উচ্চতর উপযোগিতা পেতে পারে না। গ্রুপ-এস. পি-র অর্থ হল, ভোটারদের একটি গোষ্ঠী, যারা সমন্বয়ে আন্তরিক পছন্দের কথা জানায়, তাদের মধ্যে অন্তত একটির জন্য উচ্চতর উপযোগিতা এবং অন্তত তাদের সকলের জন্য উচ্চ উপযোগিতা পেতে পারে না। অগ্রাধিকার-একঘেয়েমির অর্থ হল যে কোনও ভোটার, যিনি আগে কোনও নির্দিষ্ট প্রার্থী এক্স-কে সমর্থন করেননি, যদি এক্স-কে সমর্থন করতে শুরু করেন, তবে অন্যান্য প্রার্থীদের শেয়ার বৃদ্ধি পায় না। এর অর্থ হল স্বতন্ত্র-এস. পি। এসপির একটি দুর্বল রূপ হল বাদ দেওয়া যায় এমন এস. পি। এটি এমন পরিস্থিতিতে প্রাসঙ্গিক যেখানে কিছু প্রার্থী বিকল্প ব্যবহার থেকে ভোটারদের বাদ দেওয়া সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রার্থীরা সাক্ষাতের সময় হয়, তবে ভোটারদের অনুমোদিত না হওয়া সময়ে সভায় অংশগ্রহণ করা থেকে বাদ দেওয়া সম্ভব। এটি পরিচালনা করা কঠিন করে তোলে এবং তাই, প্রয়োজনীয়তা দুর্বল। অংশগ্রহণ সম্পত্তি বিধিমালা ভোটারদের ভোটদান প্রক্রিয়ায় অংশগ্রহণ করতে উৎসাহিত করবে। অংশগ্রহণের বেশ কয়েকটি মানদণ্ড অধ্যয়ন করা হয়েছেঃ দুর্বল অংশগ্রহণঃ একজন ভোটার যখন অংশগ্রহণ করেন তখন তার উপযোগিতা অন্তত ততটাই বেশি হয় যতটা সে যখন অংশগ্রহণ করে না (এটি 'নো শো প্যারাডক্স'-এর বিরোধিতা)। কঠোর অংশগ্রহণঃ একজন ভোটার যখন অংশগ্রহণ করেন তখন তাঁর উপযোগিতা, যখন তিনি অংশগ্রহণ করেন না তখন তাঁর উপযোগিতার তুলনায় কঠোরভাবে বেশি হয়। বিশেষ করে, একজন ভোটার অংশগ্রহণ করে লাভবান হন, এমনকি তার "ক্লোন"-একই পছন্দের ভোটার থাকলেও। অংশগ্রহণমূলক বাজেট বিন্যাসে একটি শক্তিশালী সম্পত্তির প্রয়োজন হয় যেখানে ভাগ করে নেওয়ার জন্য বাজেট ভোটাররা নিজেরাই দান করেনঃ পুলিং অংশগ্রহণঃ একজন ভোটার যখন এই ব্যবস্থার মাধ্যমে দান করেন তখন তার উপযোগিতা অন্তত ততটাই বেশি হয় যতটা সে নিজে নিজে দান করলে তার উপযোগিতা। নিয়মাবলী ব্যবহারিক শাসন ব্যবহারিক নিয়মের লক্ষ্য হল সর্বাধিক উপযোগিতার সমষ্টি তৈরি করা, এবং তাই এটি সর্বাধিক সংখ্যক ভোটারদের দ্বারা অনুমোদিত প্রার্থীদের মধ্যে পুরো বাজেট বিতরণ করে। বিশেষত, যদি একজন প্রার্থী সর্বাধিক সংখ্যক ভোট পান, তবে এই প্রার্থী 1 (অর্থাৎ সমস্ত বাজেট) পান এবং অন্যরা 0 পান, যেমন একক-বিজয়ী অনুমোদনের ভোটদানের ক্ষেত্রে। যদি কিছু 'কে' প্রার্থী সমান সংখ্যক ভোট পান, তবে তাদের মধ্যে বাজেট সমানভাবে ভাগ করা হয়, এই ধরনের প্রত্যেক প্রার্থীকে 1/কে এবং অন্যান্য সকলকে 0 দেওয়া হয়। উপযোগবাদী নিয়মের বেশ কয়েকটি কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ এটি বেনামী, নিরপেক্ষ, পিই, স্বতন্ত্র-এসপি এবং পছন্দ-মনোটোন। এটি গণনা করাও সহজ। তবে, এটি সংখ্যালঘুদের প্রতি ন্যায্য নয়-এটি ইন্ডিভিজুয়াল-এফএস (পাশাপাশি এফএস-এর সমস্ত শক্তিশালী রূপ) লঙ্ঘন করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি 51 শতাংশ ভোটার এক্স-কে অনুমোদন করে এবং 49 শতাংশ ভোটার ওয়াই-কে অনুমোদন করে, তাহলে উপযোগবাদী নিয়মটি সমস্ত বাজেট এক্স-কে দেয় এবং ওয়াই-কে কোনও বাজেট দেয় না, তাই 49 শতাংশ যারা ওয়াই-কে ভোট দেয় তারা 0-এর উপযোগিতা পায়। অন্য কথায়, এটি সংখ্যাগরিষ্ঠের অত্যাচারের অনুমতি দেয়। উপযোগবাদী শাসনও দুর্বল-গোষ্ঠী-এস. পি নয় (এবং তাই গোষ্ঠী-এস. পি নয়)। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন 3 জন প্রার্থী (ক, খ, গ) এবং 3 জন ভোটার রয়েছেন, তাদের প্রত্যেকে একজন করে প্রার্থীকে অনুমোদন করেন। যদি তারা আন্তরিকভাবে ভোট দেয়, তবে উপযোগিতামূলক মিশ্রণটি হল (1/3,1/3,1/3) তাই প্রতিটি এজেন্টের উপযোগিতা হল 1/3। যদি কোনও একক ভোটার অত্যন্ত নিষ্ঠুরভাবে ভোট দেন (ধরুন, প্রথমজন a এবং b উভয়কেই ভোট দেন), তবে মিশ্রণটি হল (0,1,0), যা আন্তরিক ভোটারদের জন্য আরও খারাপ। যাইহোক, যদি দুইজন ভোটার মিলেমিশে ভোট দেন (ধরুন, প্রথম দুইজন ভোটার প্রথম দুটি ফলাফলের পক্ষে ভোট দেন), তবে উপযোগিতামূলক মিশ্রণটি (1/2,1/2,0), যা উভয় আন্তরিক ভোটারদের জন্য ভাল। ন্যাশ-সর্বোত্তম নিয়ম ন্যাশ-সর্বোত্তম নিয়মটি উপযোগিতার লগারিদমের যোগফলকে সর্বাধিক করে। এটি বেনামী এবং নিরপেক্ষ, এবং নিম্নলিখিত অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ পিই; গ্রুপ-এফএস (ডিকম্পোসেবিলিটি), এভারেজ-এফএস, কোর-এফএস; পুলিং অংশগ্রহণ (এবং কঠোর অংশগ্রহণ); অন্য কোনও স্ট্র্যাটেজি প্রুফনেস প্রোপার্টি (এমনকি বাদ দেওয়া-এস. পি-তেও ব্যর্থ); ন্যাশ-অপ্টিমাল নিয়মটি একটি উত্তল প্রোগ্রাম সমাধান করে গণনা করা যেতে পারে। আরেকটি নিয়ম রয়েছে, যাকে ফেয়ার ইউটিলিটারিয়ান বলা হয়, যা অনুরূপ বৈশিষ্ট্যগুলি (পিই এবং গ্রুপ-এফএস) সন্তুষ্ট করে তবে গণনা করা সহজ। সমতাবাদী শাসন সমতাবাদী (লেক্সিমিন) নিয়ম ক্ষুদ্রতম উপযোগিতা, তারপর পরবর্তী-ক্ষুদ্রতম ইত্যাদি সর্বাধিক করে। এটি বেনামী এবং নিরপেক্ষ, এবং নিম্নলিখিত অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ পিই; ইন্ডিভিজুয়াল-এফএস, কিন্তু সর্বসম্মত-এফএস নয়; এক্সক্লুডেবল-ইন্ডিভিজুয়াল-এসপি, কিন্তু ইন্ডিভিজুয়াল-এসপি নয়; দুর্বল-অংশগ্রহণ, কিন্তু কঠোর-অংশগ্রহণ নয় (যেহেতু "ক্লোন"-অভিন্ন পছন্দের ভোটারদের-একক ভোটার হিসাবে বিবেচনা করা হয়)। অন্যান্য কল্যাণবাদী নিয়ম যে কোনও একঘেয়েভাবে ক্রমবর্ধমান ফাংশন f-এর জন্য, f (ui)-এর যোগফল সর্বাধিক করা যেতে পারে। উপযোগবাদী নিয়ম একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে f (x) = x, এবং ন্যাশ নিয়ম একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে f (x) = log (x)। প্রতিটি এফ-ম্যাক্সিমাইজিং নিয়ম হল পিই, এবং এর নিম্নলিখিত অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ যদি এফ লগের কোনও অবতল ফাংশন হয়, তবে এটি ইন্ডিভিজুয়াল-এফএস-এর নিশ্চয়তা দেয়। যদি-এবং-শুধুমাত্র-f নিজেই লগ ফাংশন হয়, তবে এটি গ্রুপ-FS এবং সর্বসম্মত-FS-এর নিশ্চয়তা দেয় (এটি ন্যাশ-সর্বোত্তম নিয়মের সাথে মিলে যায়)। যদি-এবং-শুধুমাত্র-f একটি রৈখিক ফাংশন হয়, তবে এটি স্বতন্ত্র-এস. পি (এটি উপযোগবাদী নিয়মের সাথে মিলে যায়)। যদি-এবং-শুধুমাত্র-যদি এটি উপযোগবাদী বা সাম্যবাদী নিয়ম হয়, তবে এটি বাদ দেওয়া যায়-এস. পি; যদি-এবং-শুধুমাত্র-যদি এটি উপযোগবাদী বা সাম্যবাদী নিয়ম না হয়, তবে এটি কঠোর অংশগ্রহণকে সন্তুষ্ট করে। অগ্রাধিকারের নিয়ম একটি অগ্রাধিকারের নিয়ম (যাকে ক্রমিক একনায়কত্বও বলা হয়) ভোটারদের একটি ক্রমবিন্যাস দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয়, যা একটি অগ্রাধিকার ক্রমের প্রতিনিধিত্ব করে। এটি এমন একটি ফলাফল নির্বাচন করে যা সর্বোচ্চ-অগ্রাধিকার এজেন্টের উপযোগিতা সর্বাধিক করে; তা সাপেক্ষে, দ্বিতীয়-সর্বোচ্চ-অগ্রাধিকার এজেন্টের উপযোগিতা সর্বাধিক করে; ইত্যাদি। প্রতিটি অগ্রাধিকার নিয়ম নিরপেক্ষ, পিই, দুর্বল-গোষ্ঠী-এসপি এবং পছন্দ-মনোটোন। যাইহোক, এটি বেনামী নয় এবং কোনও ন্যায্যতার ধারণাকে সন্তুষ্ট করে না। র্যান্ডম অগ্রাধিকার নিয়মটি এলোমেলোভাবে ভোটারদের একটি বিন্যাস নির্বাচন করে এবং তারপরে সেই বিন্যাসের জন্য অগ্রাধিকার নিয়ম প্রয়োগ করে। এটি বেনামী, নিরপেক্ষ এবং নিম্নলিখিত অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ এক্স-পোস্ট পিই, তবে (এক্স-এন্টে) পিই নয়। একক-শীর্ষ পছন্দগুলির এনালগ সহ (প্রার্থীদের একটি লাইনে অর্ডার করা হয় এবং প্রতিটি ভোটার একটি ব্যবধান অনুমোদন করে), এলোমেলো-অগ্রাধিকার হল পিই। দুর্বল গোষ্ঠী-এস. পি। গ্রুপ-এফ. এস। এই নিয়মের একটি অসুবিধা হল যে সঠিক সম্ভাব্যতা খুঁজে পাওয়া গণনামূলকভাবে কঠিন (ডিক্টেটরশিপ mechanism#Computation দেখুন)। শর্তসাপেক্ষ উপযোগবাদী নিয়ম শর্তসাপেক্ষ উপযোগবাদী নিয়মে, প্রতিটি প্রতিনিধি মোট বাজেটের 1/এন পায়। প্রতিটি প্রতিনিধি তার অনুমোদিত প্রার্থীদের মধ্যে অন্যান্য প্রতিনিধিদের দ্বারা সর্বাধিক সংখ্যক সমর্থিত ব্যক্তিদের খুঁজে পায় এবং তাদের মধ্যে তার বাজেট সমানভাবে ভাগ করে নেয়। এটি বেনামী এবং নিরপেক্ষ, এবং নিম্নলিখিত অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করেঃ ইন্ডিভিজুয়াল-এস. পি; গ্রুপ-এফ. এস; এক্স-পোস্ট পি. ই কিন্তু (এক্স-এন্টে) পি. ই নয়। এটি তত্ত্ব এবং সিমুলেশন উভয় ক্ষেত্রেই এলোমেলো-অগ্রাধিকারের চেয়ে বেশি কার্যকর। এটি সর্বদা গ্রুপ-এফএস ডিস্ট্রিবিউশনের উপসেটের মধ্যে একটি বিতরণ খুঁজে পায় যা পিই। সংখ্যাগরিষ্ঠ শাসন সংখ্যাগরিষ্ঠ শাসনের লক্ষ্য হল ন্যায্যতার নিশ্চয়তা দেওয়ার পাশাপাশি অল্প সংখ্যক প্রার্থীর হাতে যতটা সম্ভব ক্ষমতা কেন্দ্রীভূত করা। এটি রাউন্ডে এগিয়ে যায়। প্রাথমিকভাবে, সমস্ত প্রার্থী এবং ভোটাররা সক্রিয়। প্রতিটি রাউন্ডে, নিয়মটি একজন সক্রিয় প্রার্থী সি নির্বাচন করে যিনি সক্রিয় ভোটারদের বৃহত্তম সেট, এনসি দ্বারা অনুমোদিত। তারপর, নিয়মটি এই ভোটারদের এন. সি থেকে সি-কে "বরাদ্দ" করে, অর্থাৎ, এটি ধরে নেয় যে এন. সি-র ভোটাররা শুধুমাত্র সি-কে ভোট দিয়েছেন, এবং সি-কে |Nc।/এন ভগ্নাংশ বরাদ্দ করে। তারপর, প্রার্থী সি এবং এনসি-র ভোটাররা নিষ্ক্রিয় হয়ে যায় এবং নিয়মটি পরবর্তী পর্যায়ে চলে যায়। লক্ষ্য করুন যে শর্তসাপেক্ষ-উপযোগবাদী নিয়ম একই রকম, তবে এনসি-র ভোটাররা নিষ্ক্রিয় হন না। সংখ্যাগরিষ্ঠ নিয়মটি বেনামী, নিরপেক্ষ, স্বতন্ত্র-এফ. এস এবং একক-ভোট-এফ. এস-এর নিশ্চয়তা দেয়। অসম্ভবতা ফলাফল কিছু বৈশিষ্ট্যের সংমিশ্রণ একযোগে অর্জন করা যায় না। এক্স-পোস্ট পিই এবং গ্রুপ-এসপি অসামঞ্জস্যপূর্ণ (3 জন ভোটার এবং 3 জন প্রার্থীর জন্য)। নামহীনতা, নিরপেক্ষতা, প্রাক্তন পি. ই এবং দুর্বল-গোষ্ঠী-এস. পি অসঙ্গতিপূর্ণ (4 জন ভোটার এবং 6 জন প্রার্থীর জন্য)। যদি আমরা এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি সরিয়ে ফেলি, তবে বাকি তিনটি অর্জন করা যেতে পারে। এক্স-পোস্ট পিই, ইন্ডিভিজুয়াল-এসপি এবং ইন্ডিভিজুয়াল-ফলাফল-এফএস অসামঞ্জস্যপূর্ণ (3 জন ভোটার এবং 3 জন প্রার্থীর জন্য)। যদি আমরা এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি সরিয়ে ফেলি, তবে বাকি দুটি অর্জন করা যেতে পারে। যাইহোক, যদি আমরা প্রতিটি এজেন্টকে তার ন্যায্য-ফলাফল-ভাগের মাত্র ε গুণ দেওয়ার অনুমতি দিয়ে স্বতন্ত্র-ফলাফল-এফএসকে দুর্বল করি, কিছু ε> 0 এর জন্য, অসম্ভবতা রয়ে যায়। নামহীনতা, নিরপেক্ষতা, পি. ই, স্বতন্ত্র-এস. পি এবং স্বতন্ত্র-এফ. এস অসঙ্গতিপূর্ণ (5 জন ভোটার এবং 17 জন প্রার্থীর জন্য)। যদি আমরা পিই বা ইন্ডিভিজুয়াল-এসপি বা ইন্ডিভিজুয়াল-এফএস সরিয়ে ফেলি, তাহলে বাকি চারটি বৈশিষ্ট্য অর্জন করা যেতে পারে। আমরা যদি নাম প্রকাশ না করা এবং নিরপেক্ষতা সরিয়ে ফেলি, তবে অসম্ভবতা এখনও রয়েছে, তবে প্রমাণ করা অনেক কঠিন। বিপরীতে, একক-শীর্ষ পছন্দের এনালগ-এ (প্রার্থীরা একটি লাইনে অর্ডার করা হয় এবং প্রতিটি ভোটার একটি ব্যবধান অনুমোদন করে), সমস্ত বৈশিষ্ট্য এলোমেলো-অগ্রাধিকার দ্বারা অর্জন করা হয়। যদি আমরা স্বতন্ত্র-এস. পি-কে বাদ দেওয়া-এস. পি-তে দুর্বল করে দিই, তবে সমতার নিয়ম দ্বারা সম্পত্তিগুলি সন্তুষ্ট হয়। পিই এবং বর্জনযোগ্য-এসপি কঠোর-অংশগ্রহণ এবং/অথবা সর্বসম্মত-এফএস-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ কিনা তা উন্মুক্ত। পিই, প্রেফারেন্স-মনোটোনিসিটি এবং পজিটিভ-শেয়ার (স্বতন্ত্র-এফএস-এর তুলনায় দুর্বল একটি সম্পত্তি) অসামঞ্জস্যপূর্ণ (6 জন ভোটার এবং 6 জন প্রার্থীর জন্য)। নামহীনতা, নিরপেক্ষতা, পি. ই, স্বতন্ত্র-এস. পি এবং গ্রুপ-এফ. এস অসঙ্গতিপূর্ণ (5 জন ভোটার এবং 4 জন প্রার্থীর জন্য)। যদি আমরা পিই বা স্বতন্ত্র-এসপি বা গ্রুপ-এফএস সরিয়ে ফেলি, তবে বাকি চারটি বৈশিষ্ট্য অর্জন করা যেতে পারে। আমরা যদি নাম প্রকাশ না করা এবং নিরপেক্ষতা সরিয়ে ফেলি, তবে অসম্ভবতা এখনও রয়েছে, তবে প্রমাণ করা অনেক কঠিন। যখন সর্বাধিক 4 জন ভোটার বা সর্বাধিক 3 জন প্রার্থী থাকে, তখন এলোমেলো একনায়কতন্ত্রের একটি সাধারণ রূপ 5টি বৈশিষ্ট্যই অর্জন করেঃ একজন স্বৈরশাসককে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত করা হয় এবং তার পছন্দের সবচেয়ে জনপ্রিয় ফলাফল নির্বাচন করা হয়। এই নিয়মটি বেনামী, নিরপেক্ষ, এক্স-পোস্ট পিই, স্বতন্ত্র-এসপি, গ্রুপ-এফএস এবং এক্স-পোস্ট পিই; তবে সর্বাধিক 4 জন ভোটার বা সর্বাধিক 3 জন প্রার্থী সহ, এক্স-পোস্ট পিই পিই বোঝায়। পিই, স্বতন্ত্র-এসপি এবং পজিটিভ-শেয়ার অসামঞ্জস্যপূর্ণ (6 জন ভোটার এবং 4 জন প্রার্থীর জন্য)। এটি 386 টি বিভিন্ন প্রোফাইল ব্যবহার করে একটি স্যাট সমাধানকারীর সাহায্যে প্রমাণিত হয়েছিল-সম্ভবত সামাজিক পছন্দের দীর্ঘতম প্রমাণ। অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য হিসাবে নামহীনতা এবং নিরপেক্ষতার সাথে, অসঙ্গতি ইতিমধ্যে 5 জন ভোটার এবং 4 জন প্রার্থীর জন্য রয়েছে এবং প্রমাণটি অনেক সহজ। সারণি নীচের সারণিতে, প্রতিটি কোষের সংখ্যা সম্পত্তির "শক্তি" উপস্থাপন করেঃ 0 মানে কিছুই নয় (বৈশিষ্ট্যটি সন্তুষ্ট নয়); 1 সম্পত্তির দুর্বল বৈকল্পিকের সাথে মিলে যায়; 2 একটি শক্তিশালী বৈকল্পিকের সাথে মিলে যায়; ইত্যাদি। আরও দেখুন ন্যায্য প্রতিনিধিত্ব-ন্যায্য-ভাগের অনুরূপ একটি সম্পত্তি, তবে পৃথক ফলাফলের জন্য। পার্টি-অনুমোদন ভোটদান-প্রার্থীরা দল, এবং প্রতিটি দলকে বরাদ্দ করা ভগ্নাংশটি সংসদে প্রাপ্ত আসনের ভগ্নাংশের সাথে মিলে যায়। অংশগ্রহণমূলক বাজেট অ্যালগরিদম-একটি বাজেট ন্যায্যভাবে বিতরণ করার জন্য অন্যান্য পন্থা। কিছু লেখক বিভিন্ন বিতরণ নিয়মের ন্যায্যতার মূল্য অধ্যয়ন করেছেন। বিতরণ সমস্যাটি আরও চ্যালেঞ্জিং পরিবেশেও অধ্যয়ন করা হয়েছে যেখানে এজেন্টদের অ্যাডিটিভ ইউটিলিটি রয়েছে। তথ্যসূত্র সামাজিক পছন্দ তত্ত্ব অনুমোদন ভোটদান