Classical probability density
ধ্রুপদী সম্ভাব্যতা ঘনত্ব হল সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন যা একটি ধ্রুপদী যান্ত্রিক ব্যবস্থায় সম্ভাব্য শক্তির সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট অবস্থানের আশেপাশে একটি কণা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনার প্রতিনিধিত্ব করে। এই সম্ভাব্যতা ঘনত্বগুলি চিঠিপত্রের নীতি সম্পর্কে অন্তর্দৃষ্টি অর্জন করতে এবং অধ্যয়নরত কোয়ান্টাম সিস্টেম এবং শাস্ত্রীয় সীমার মধ্যে সংযোগ স্থাপনে সহায়ক। গাণিতিক পটভূমি একটি সাধারণ সুরেলা দোলকের উদাহরণ বিবেচনা করুন যা প্রাথমিকভাবে প্রশস্ততার সাথে স্থির থাকে। মনে করুন যে এই সিস্টেমটি একটি হালকা-আঁটসাঁট পাত্রে এমনভাবে স্থাপন করা হয়েছিল যাতে কেউ কেবল একটি ক্যামেরা ব্যবহার করে এটি দেখতে পারে যা কেবল ভিতরে কী ঘটছে তার একটি স্ন্যাপশট নিতে পারে। প্রতিটি স্ন্যাপশটে দোলককে তার গতিপথ বরাবর যে কোনও সম্ভাব্য অবস্থানে দেখার কিছু সম্ভাবনা থাকে। ধ্রুপদী সম্ভাব্যতা ঘনত্ব অন্তর্ভুক্ত করে যে কোন অবস্থানগুলি বেশি সম্ভাবনাময়, যা কম সম্ভাবনাময়, সিস্টেমের গড় অবস্থান ইত্যাদি। এই ফাংশনটি বের করার জন্য, বিবেচনা করুন যে অবস্থানগুলিতে দোলকটি পাওয়া যাওয়ার সম্ভাবনা সবচেয়ে বেশি সেই অবস্থানগুলিতে যেখানে দোলক তার বেশিরভাগ সময় ব্যয় করে। প্রকৃতপক্ষে, একটি প্রদত্ত-মূল্যে থাকার সম্ভাবনা সেই-মূল্যের আশেপাশে ব্যয় করা সময়ের সাথে আনুপাতিক। যদি দোলক একটি প্রদত্ত-মানের আশেপাশে একটি অসীম পরিমাণ সময় ব্যয় করে, তবে সেই আশেপাশে থাকার সম্ভাবনা হবে যেহেতু দোলকের উপর কাজ করা বল রক্ষণশীল এবং গতি একটি সীমাবদ্ধ ডোমেনের উপর ঘটে, গতিটি কিছু সময়ের সাথে চক্রীয় হবে যা চিহ্নিত করা হবে। যেহেতু ন্যূনতম সম্ভাব্য-মান এবং সর্বাধিক সম্ভাব্য-মানের মধ্যে দোলকের যে কোনও সম্ভাব্য অবস্থানে থাকার সম্ভাবনা অবশ্যই 1 হতে হবে, তাই স্বাভাবিককরণ ব্যবহার করা হয়, যেখানে স্বাভাবিককরণ ধ্রুবক। যেহেতু দোলনশীল ভর তার অর্ধেক সময়ের মধ্যে অবস্থানের এই পরিসীমা জুড়ে থাকে (একটি সম্পূর্ণ সময়কাল তারপর থেকে ফিরে যায়) তাই ইন্টিগ্রাল ওভার সমান, যা হতে নির্ধারিত হয়। চেইন রুল ব্যবহার করে, ভরটি যে উচ্চতায় স্থায়ী হচ্ছে তার পরিপ্রেক্ষিতে এটি উল্লেখ করা যেতে পারে, তাই আমাদের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব হয়ে যায় যেখানে দোলকের গতি তার অবস্থানের একটি ফাংশন হিসাবে। (লক্ষ্য করুন যে গতি যেহেতু একটি স্কেলার, তাই উভয় অর্ধকালের জন্য একই।) এই মুহুর্তে, যা প্রয়োজন তা হল পাওয়ার জন্য একটি ফাংশন প্রদান করা। রক্ষণশীল শক্তির সাপেক্ষে ব্যবস্থাগুলির জন্য, এটি গতির সাথে শক্তির সম্পর্ক স্থাপন করে করা হয়। যেহেতু গতিশক্তি হল এবং মোট শক্তি, সিস্টেমের সম্ভাব্য শক্তি কোথায়, গতিটিকে উৎপাদনের জন্য আমাদের অভিব্যক্তিতে প্লাগিং হিসাবে লেখা যেতে পারে যদিও আমাদের প্রারম্ভিক উদাহরণটি ছিল সুরেলা দোলক, এই বিন্দু পর্যন্ত সমস্ত গণিত একটি রক্ষণশীল বলের সাপেক্ষে একটি কণার জন্য সম্পূর্ণ সাধারণ। এই সূত্রটি সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্য শক্তি ফাংশনটি প্লাগ করে যে কোনও এক-মাত্রিক ভৌত ব্যবস্থার জন্য সাধারণীকরণ করা যেতে পারে। একবার এটি হয়ে গেলে, যে কোনও অনুমোদিত শক্তির জন্য সহজেই পাওয়া যায়। উদাহরণ সাধারণ সুরেলা দোলক উপরের উৎপত্তির উদাহরণ থেকে শুরু করে, সাধারণ সুরেলা দোলকের সম্ভাব্য শক্তি ফাংশন রয়েছে যেখানে দোলকের স্প্রিং ধ্রুবক এবং দোলকের প্রাকৃতিক কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি। দোলকের মোট শক্তি টার্নিং পয়েন্টগুলিতে মূল্যায়ন করে দেওয়া হয়। এই ফাংশনটির টার্নিং পয়েন্টে দুটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট রয়েছে, যা শারীরিক অর্থবোধ করে কারণ টার্নিং পয়েন্টগুলি যেখানে দোলক বিশ্রাম নেয়, এবং এইভাবে সম্ভবত সেই মানগুলির আশেপাশে পাওয়া যাবে। লক্ষ্য করুন যে যদিও সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনটি অনন্তের দিকে ঝুঁকে থাকে, তবুও সম্ভাব্যতা এখনও বক্ররেখার নীচে এলাকার কারণে সীমাবদ্ধ, এবং বক্ররেখা নিজেই নয়, যা সম্ভাবনার প্রতিনিধিত্ব করে। বাউন্সিং বল ক্ষতিহীন বাউন্সিং বলের জন্য, সম্ভাব্য শক্তি এবং মোট শক্তি হল যেখানে বলের সর্বোচ্চ উচ্চতা পৌঁছায়। এগুলিকে উৎপাদনে যুক্ত করা যেখানে সম্পর্কটি ব্যবহার করা হয়েছিল সামনের দিকের কারণগুলিকে সহজতর করার জন্য। এই ফাংশনের ক্ষেত্রটি হল (বলটি মেঝেতে পড়ে না), তাই সাধারণ সুরেলা দোলকের ক্ষেত্রে বিতরণটি প্রতিসম নয়। আবার, টার্নিং পয়েন্টে একটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট রয়েছে। মোমেন্টাম-স্পেস ডিস্ট্রিবিউশন পজিশন স্পেসে সম্ভাব্যতা ডিস্ট্রিবিউশনগুলি দেখার পাশাপাশি, একটি সিস্টেমকে তার মোমেন্টামের উপর ভিত্তি করে চিহ্নিত করাও সহায়ক। উপরের মত একটি অনুরূপ যুক্তি অনুসরণ করে, ফলাফল হল যেখানে অবস্থানের ফাংশন হিসাবে কণার উপর বল কাজ করছে। বাস্তবে, এই ফাংশনটিকে অবশ্যই ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের মাধ্যমে ভরবেগের পরিপ্রেক্ষিতে রাখতে হবে। সহজ সুরেলা দোলক উপরের সহজ সুরেলা দোলকের উদাহরণ গ্রহণ করে, সম্ভাব্য শক্তি এবং বলকে সিস্টেমের সর্বাধিক ভরবেগ হিসাবে চিহ্নিত করা হিসাবে লেখা যেতে পারে, এটি লক্ষ্য করা সহজ করে যে এটির অবস্থান-স্থান সম্ভাব্যতা বিতরণের মতো একই কার্যকরী রূপ রয়েছে। এটি সাধারণ সুরেলা দোলকের সমস্যার জন্য নির্দিষ্ট এবং গতির সমীকরণগুলির মধ্যে এবং এর মধ্যে প্রতিসাম্যের কারণে উদ্ভূত হয়। বাউন্সিং বল বাউন্সিং বলের উদাহরণ আরও সোজা, কারণ এই ক্ষেত্রে বল একটি ধ্রুবক, যার ফলে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন হয় যেখানে বলের সর্বোচ্চ গতিবেগ। এই ব্যবস্থায়, সমস্ত মুহূর্ত সমানভাবে সম্ভাব্য। আরও দেখুন সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন চিঠিপত্রের নীতি ধ্রুপদী সীমা তরঙ্গ ফাংশন রেফারেন্স পদার্থবিজ্ঞানে ধারণাগুলি ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞান