Hitchin's equations
গণিতে, এবং বিশেষত ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি এবং গেজ তত্ত্বে, হিচিনের সমীকরণগুলি একটি রিমান পৃষ্ঠের উপর একটি ভেক্টর বান্ডিল বা প্রধান বান্ডিলের উপর একটি সংযোগ এবং হিগস ক্ষেত্রের জন্য আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি ব্যবস্থা, যা 1987 সালে নাইজেল হিচিন লিখেছিলেন। হিচিনের সমীকরণগুলি স্থানীয়ভাবে গঠন গোষ্ঠীর দ্বৈত প্রতিসম স্থানের একটি পৃষ্ঠের জন্য সুরেলা মানচিত্র সমীকরণের সমতুল্য। এগুলি চার মাত্রা থেকে দুই মাত্রায় স্ব-দ্বৈত ইয়াং-মিলস সমীকরণের একটি মাত্রিক হ্রাস হিসাবেও প্রদর্শিত হয় এবং হিচিনের সমীকরণগুলির সমাধানগুলি হিগস বান্ডিল এবং হোলোমরফিক সংযোগের উদাহরণ দেয়। একটি কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠে হিচিনের সমীকরণের সমাধানের অস্তিত্ব সংশ্লিষ্ট হিগস বান্ডিল বা সংশ্লিষ্ট হোলোমর্ফিক সংযোগের স্থায়িত্ব থেকে অনুসরণ করে এবং এটি ননবেলিয়ান হজ চিঠিপত্রের সহজতম রূপ। হিচিনের সমীকরণগুলির সমাধানের মডুলি স্থানটি হিচিন দ্বারা একটি কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠের দ্বিতীয় স্থানে তৈরি করা হয়েছিল এবং এটি নির্মিত হাইপারকেলার ম্যানিফোল্ডের প্রথম উদাহরণগুলির মধ্যে একটি ছিল। নন-অ্যাবেলিয়ান হজ চিঠিপত্র দেখায় যে এটি হিগস বান্ডিল মডুলি স্পেস এবং হোলোমর্ফিক সংযোগের মডুলি স্পেসের সমরূপ। হিগসের সমীকরণের পরিপ্রেক্ষিতে হিগস বান্ডিল মডুলি স্পেসে মেট্রিক কাঠামো ব্যবহার করে, হিচিন হিচিন সিস্টেম তৈরি করেছিলেন, একটি সম্পূর্ণ ইন্টিগ্রেবল সিস্টেম যার একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর বাঁকানো সাধারণীকরণ এনগো বাও চাউ ল্যাংল্যান্ডস প্রোগ্রামের মৌলিক লেমার প্রমাণ হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন, যার জন্য তাকে 2010 ফিল্ডস পদক দেওয়া হয়েছিল। সংজ্ঞাটি একটি ভেক্টর বান্ডিল বা প্রধান বান্ডিলের সংযোগের জন্য তৈরি করা যেতে পারে, যেখানে দুটি দৃষ্টিভঙ্গি মূলত বিনিময়যোগ্য। এখানে প্রধান বান্ডিলগুলির সংজ্ঞা উপস্থাপন করা হয়েছে, যা হিচিনের রচনায় প্রদর্শিত হয়। একটি কম্প্যাক্ট রিমান পৃষ্ঠের উপর একটি কম্প্যাক্ট বাস্তব লাই গ্রুপের জন্য একটি প্রধান-বান্ডিল হতে দিন। সরলতার জন্য আমরা বিশেষ একক গোষ্ঠী বা বিশেষ অর্থোগোনাল গোষ্ঠীর বিষয়টি বিবেচনা করব। ধরুন একটি সংযোগ চালু আছে, এবং ধরা যাক জটিল ভেক্টর বান্ডিলের একটি অংশ, যেখানে লাই বীজগণিতের জটিলতা দ্বারা প্রদত্ত ফাইবারের সাথে সংলগ্ন বান্ডিলের জটিলতা রয়েছে। অর্থাৎ, এটি একটি জটিল-মূল্যবান-ফর্ম। ইয়াং-মিলস তত্ত্বে আবির্ভূত সহায়ক হিগস ক্ষেত্রের সাথে সাদৃশ্য হিসাবে এই ধরনের ক্ষেত্রকে হিগস ক্ষেত্র বলা হয়। একটি জুটির জন্য, হিচিনের সমীকরণগুলি দাবি করে যে যেখানে বক্রতা রূপটি, জটিল সংলগ্ন বান্ডিলের উপর প্ররোচিত সংযোগের-অংশ, এবং লাই বীজগণিত-মূল্যবান ডিফারেনশিয়াল ফর্মের অর্থে-মূল্যবান এক-ফর্মের বিনিময়কারী। যেহেতু এটি প্রকারের, তাই হিচিনের সমীকরণগুলি দাবি করে যে-উপাদান। যেহেতু, এটি বোঝায় যে এটি একটি ডলবিওল্ট অপারেটর এবং এই লাই বীজগণিত বান্ডিলটিকে একটি হোলোমরফিক ভেক্টর বান্ডিলের কাঠামো দেয়। অতএব, শর্তটির অর্থ হল এটি একটি হোলোমর্ফিক-মূল্যবান-ফর্ম। একটি হোলোমর্ফিক ভেক্টর বান্ডিল এবং একটি হোলোমর্ফিক এন্ডোমর্ফিজম-মূল্যবান-ফর্মের সমন্বয়ে গঠিত একটি জুটিকে হিগস বান্ডিল বলা হয় এবং তাই হিচিনের সমীকরণের প্রতিটি সমাধান হিগস বান্ডিলের একটি উদাহরণ তৈরি করে। হিচিনের সমীকরণগুলি ইয়াং-মিলস সমীকরণগুলির চার মাত্রা থেকে দুই মাত্রায় একটি মাত্রিক হ্রাস হিসাবে উদ্ভূত করা যেতে পারে। একটি তুচ্ছ মূল-বান্ডিলের উপর একটি সংযোগ বিবেচনা করুন। তারপরে চারটি ফাংশন রয়েছে যেমন স্ট্যান্ডার্ড কোঅর্ডিনেট ডিফারেনশিয়াল ফর্মগুলি কোথায় রয়েছে। সংযোগের জন্য স্ব-দ্বৈত সমীকরণ, ইয়াং-মিলস সমীকরণের একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, লেখা যেতে পারে যেখানে এর বক্রতা দ্বি-রূপ। মাত্রিকভাবে দুটি মাত্রায় হ্রাস করার জন্য, একটি আরোপ করে যে সংযোগ ফর্মগুলি স্থানাঙ্ক থেকে স্বাধীন। এইভাবে উপাদানগুলি সীমাবদ্ধ বান্ডিলের উপর একটি সংযোগকে সংজ্ঞায়িত করে এবং যদি একটি রিলেবেল হয়, তবে এগুলি সহায়ক-মূল্যবান ক্ষেত্র। যদি কেউ এখন লেখে এবং স্ট্যান্ডার্ড কমপ্লেক্স-ফর্মটি কোথায় থাকে, তবে উপরের স্ব-দ্বৈত সমীকরণগুলি সঠিকভাবে হিচিনের সমীকরণে পরিণত হয়। যেহেতু এই সমীকরণগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে অপরিবর্তনীয়, তাই তারা সমতলের একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ কম্প্যাক্টিফিকেশনের উপর অর্থবোধ করে, একটি রিম্যান পৃষ্ঠ। তথ্যসূত্র ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি