Filter (set theory)
গণিতে, একটি সেটের একটি ফিল্টার হল উপসেটগুলির একটি পরিবার যেমনঃ এবং যদি এবং, তারপর যদি, এবং, তারপর একটি সেটের একটি ফিল্টারকে "বড় উপসেটগুলির সংগ্রহ" প্রতিনিধিত্ব করে বলে মনে করা যেতে পারে, একটি স্বজ্ঞাত উদাহরণ হল প্রতিবেশী ফিল্টার। ফিল্টারগুলি ক্রম তত্ত্ব, মডেল তত্ত্ব এবং সেট তত্ত্বে উপস্থিত হয়, তবে টপোলজিতেও পাওয়া যায়, যেখান থেকে তাদের উৎপত্তি হয়। একটি ফিল্টারের দ্বৈত ধারণা একটি আদর্শ। 1937 সালে হেনরি কার্টান দ্বারা ফিল্টারগুলি চালু করা হয়েছিল এবং টপোলজির ফিল্টারগুলির জন্য নিবেদিত নিবন্ধে বর্ণিত হিসাবে, পরবর্তীকালে নিকোলাস বোরবাকি তাদের বই টপোলজি জেনারেল-এ 1922 সালে ই. এইচ. মুর এবং হারমান এল স্মিথ দ্বারা বিকশিত জাল সম্পর্কিত ধারণার বিকল্প হিসাবে ব্যবহার করেছিলেন। অর্ডার ফিল্টারগুলি সেট থেকে নির্বিচারে আংশিকভাবে অর্ডার করা সেটগুলিতে ফিল্টারগুলির সাধারণীকরণ। বিশেষত, একটি সেটের একটি ফিল্টার বিশেষ ক্ষেত্রে কেবল একটি যথাযথ অর্ডার ফিল্টার যেখানে আংশিকভাবে অর্ডার করা সেটটি সেট অন্তর্ভুক্তি দ্বারা অর্ডার করা পাওয়ার সেট নিয়ে গঠিত। প্রারম্ভিক, স্বরলিপি এবং মৌলিক ধারণাগুলি এই নিবন্ধে, বড় হাতের রোমান অক্ষরগুলি সেটগুলিকে নির্দেশ করে (তবে অন্যথায় নির্দেশিত না হলে পরিবারগুলি নয়) এবং একটি পাওয়ার সেটের একটি উপসেটকে নির্দেশ করবে (বা সহজভাবে,) যেখানে এটি যদি সেটের পরিবারগুলির একটি উপসেট হয় তবে বড় হাতের ক্যালিগ্রাফি অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হবে যেমন যখনই এই অনুমানগুলির প্রয়োজন হয়, তখন এটি ধরে নেওয়া উচিত যে এটি খালি নয় এবং ইত্যাদি। "প্রিফিল্টার" এবং "ফিল্টার বেস" শব্দগুলি সমার্থক এবং বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহার করা হবে। প্রতিযোগিতামূলক সংজ্ঞা এবং স্বরলিপি সম্পর্কে সতর্কবার্তা দুর্ভাগ্যবশত ফিল্টার তত্ত্বের বেশ কয়েকটি পদ রয়েছে যা বিভিন্ন লেখক দ্বারা ভিন্নভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এর মধ্যে "ফিল্টার"-এর মতো কিছু গুরুত্বপূর্ণ শব্দ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। যদিও একই শব্দের বিভিন্ন সংজ্ঞাগুলির সাধারণত উল্লেখযোগ্য ওভারল্যাপ থাকে, ফিল্টারগুলির খুব প্রযুক্তিগত প্রকৃতির (এবং পয়েন্ট-সেট টপোলজি) কারণে, সংজ্ঞাগুলিতে এই পার্থক্যগুলি প্রায়শই গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি ঘটায়। গাণিতিক সাহিত্য পড়ার সময়, পাঠকদের ফিল্টার সম্পর্কিত পরিভাষাটি কীভাবে লেখক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় তা পরীক্ষা করার পরামর্শ দেওয়া হয়। এই কারণে, এই নিবন্ধটি সমস্ত সংজ্ঞা যেমন ব্যবহার করা হয়েছে তেমন স্পষ্টভাবে উল্লেখ করবে। দুর্ভাগ্যবশত, ফিল্টার সম্পর্কিত সমস্ত স্বরলিপি সুপ্রতিষ্ঠিত নয় এবং কিছু স্বরলিপি সাহিত্য জুড়ে ব্যাপকভাবে পরিবর্তিত হয় (উদাহরণস্বরূপ, একটি সেটে সমস্ত প্রিফিল্টারগুলির সেটের জন্য স্বরলিপি) তাই এই ক্ষেত্রে এই নিবন্ধটি যা স্ব-বর্ণনা বা সহজেই মনে রাখা যায় তা ব্যবহার করে। ফিল্টার এবং প্রিফিল্টার তত্ত্বটি ভালভাবে বিকশিত হয়েছে এবং এর অনেকগুলি সংজ্ঞা এবং স্বরলিপি রয়েছে, যার মধ্যে অনেকগুলি এখন অপ্রচলিতভাবে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে যাতে এই নিবন্ধটি প্রলিক্স হতে না পারে এবং স্বরলিপি এবং সংজ্ঞাগুলির সহজ সন্ধানের অনুমতি দেয়। তাদের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলি পরে বর্ণনা করা হয়েছে। সেটের ক্রিয়াকলাপ সেট করে সেটের একটি পরিবারের 'বা' হল এবং একইভাবে 'এর' হল সর্বত্র, একটি মানচিত্র এবং এটি একটি সেট। নেট এবং তাদের লেজ এ একটি প্রি-অর্ডার সহ একটি সেট, যা দ্বারা চিহ্নিত করা হবে (যদি না স্পষ্টভাবে অন্যথায় নির্দেশিত হয়), যা একটি () তৈরি করে; এর অর্থ হল যে সকলের জন্য এমন কিছু বিদ্যমান যা যে কোনও সূচকের জন্য স্বরলিপিটি বোঝাতে সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে এটি ধরে রাখার অর্থ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে এটি সত্য যে (যদি প্রতিসম হয় তবে এটি সমতুল্য)। এ হল একটি অ-খালি নির্দেশিত সেট থেকে একটি মানচিত্র এই নোটেশনটি কঠোর তুলনা ব্যবহার করার বিষয়ে ডোমেন সতর্কতা সহ একটি নেট বোঝাতে ব্যবহৃত হবে যদি একটি নেট হয় এবং তারপরে যে সেটটি বলা হয় তা খালি হওয়া সম্ভব (উদাহরণস্বরূপ, নির্দেশিত সেটের উপরের সীমা হলে এটি ঘটে)। এই ক্ষেত্রে, পরিবারে খালি সেট থাকবে, যা এটিকে প্রিফিল্টার হতে বাধা দেবে (পরে সংজ্ঞায়িত)। এটি বা এমনকি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করার (গুরুত্বপূর্ণ) কারণ এবং এটি এই কারণেই যে সাধারণভাবে, একটি নেটের লেজের প্রিফিল্টার নিয়ে কাজ করার সময়, কঠোর বৈষম্য বৈষম্য ফিল্টার এবং প্রিফিল্টারগুলির সাথে বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে না নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির একটি তালিকা যা সেটগুলির একটি পরিবারের থাকতে পারে এবং তারা ফিল্টার, প্রিফিল্টার এবং ফিল্টার সাববেসগুলির সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য গঠন করে। যখনই এটি প্রয়োজন হয়, এটি ধরে নেওয়া উচিত যে উপরে এবং নীচে সংজ্ঞায়িত অনেক বৈশিষ্ট্য, যেমন "যথাযথ" এবং "নীচের দিকে নির্দেশিত", এই ধরনের শর্তাবলী ব্যবহার করার সময় সেটটি উল্লেখ করা ঐচ্ছিক। "ফিল্টার অন"-এর মতো "ঊর্ধ্বমুখী বন্ধ" হওয়ার সাথে জড়িত সংজ্ঞাগুলি নির্ভর করে তাই প্রসঙ্গ থেকে স্পষ্ট না হলে সেটটি উল্লেখ করা উচিত। কোনও প্রিফিল্টার নেই (বা কোনও জালও মূল্যবান নয়), যে কারণে বেশিরভাগ লেখকের মতো এই নিবন্ধটিও কোনও মন্তব্য ছাড়াই স্বয়ংক্রিয়ভাবে ধরে নেবে যে যখনই এই অনুমানের প্রয়োজন হবে। মৌলিক উদাহরণ নাম দেওয়া উদাহরণ সিঙ্গলটন সেটকে বলা হয় বা এটি অনন্য ফিল্টার কারণ এটি প্রতিটি ফিল্টারের একটি উপসেট; যাইহোক, এটি প্রতিটি প্রিফিল্টারের একটি উপসেট হওয়ার প্রয়োজন নেই দ্বৈত আদর্শকেও বলা হয় (আসলে একটি ফিল্টার না হওয়া সত্ত্বেও)। এটি একমাত্র দ্বৈত আদর্শ যার উপর কোনও ফিল্টার নেই যদি এটি একটি টপোলজিকাল স্থান হয় এবং তারপরে আশেপাশের ফিল্টারটি একটি ফিল্টার হয়। ক) যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি প্রিফিল্টার হয় (রেসপ। একটি ফিল্টার সাববেস) এবং যে ফিল্টারটি উৎপন্ন করে তা আশেপাশের ফিল্টারের সমান উন্মুক্ত আশেপাশের উপপরিবারটি উভয় প্রিফিল্টারগুলির জন্য একটি ফিল্টার বেস যা টপোলজির জন্য একটি বেস গঠন করে যার মধ্যে টপোলজি তৈরি করা হয় তার চেয়ে মোটা। এই উদাহরণটি অবিলম্বে পয়েন্টের আশেপাশের এলাকা থেকে অ-খালি সাবসেটগুলির আশেপাশের এলাকা পর্যন্ত সাধারণীকরণ করে যদি কিছু ক্রমের জন্য একটি বা একটি যদি কোনও প্রাথমিক প্রিফিল্টার দ্বারা উত্পন্ন একটি ফিল্টার হয়। একটি ক্রম দ্বারা উত্পন্ন লেজের ফিল্টার যা শেষ পর্যন্ত ধ্রুবক নয় তা অবশ্যই একটি আল্ট্রাফিল্টার। একটি গণনাযোগ্য সেটের প্রতিটি প্রধান ফিল্টার ক্রমবর্ধমান যেমন একটি গণনাযোগ্য অসীম সেটের প্রতিটি কোফাইনাইট ফিল্টার। সীমাবদ্ধভাবে অনেক ক্রমিক ফিল্টারগুলির ছেদ আবার ক্রমিক। সমস্ত কোফাইনাইট উপসেটগুলির সেট (যার অর্থ সেই সেটগুলির পরিপূরক সসীম) সঠিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি অসীম হয় (বা সমতুল্যভাবে, অসীম হয়), যে ক্ষেত্রে একটি ফিল্টার হয় যা বা অন হিসাবে পরিচিত হয় যদি সসীম হয় তবে দ্বৈত আদর্শের সমান হয় যা একটি ফিল্টার নয়। যদি অসীম হয় তবে সিঙ্গেলটন সেটগুলির পরিপূরক পরিবার একটি ফিল্টার সাববেস যা ফ্রেচেট ফিল্টার তৈরি করে যে কোনও সেটের পরিবারের মতো যার উপরে ফ্রেচেট ফিল্টারের কার্নেল রয়েছে তা খালি সেটঃ যে কোনও অ-খালি পরিবারের সমস্ত উপাদানের ছেদ নিজেই একটি ফিল্টার যাকে বলা হয় বা যার কারণে এটি ভিন্নভাবে বলা যেতে পারে, কারণ প্রতিটি ফিল্টারের একটি উপসেট হিসাবে থাকে, এই ছেদটি কখনই খালি হয় না। সংজ্ঞা অনুসারে, অসীম হল প্রতিটি সদস্যের উপসেট হিসাবে থাকা সেরা/বৃহত্তম (আপেক্ষিক) ফিল্টার যদি ফিল্টার হয় তবে তাদের অসীম ফিল্টার হয় যদি প্রিফিল্টার হয় তবে এটি একটি প্রিফিল্টার যা উভয়ের তুলনায় মোটা (সাপেক্ষে) হয় (অর্থাৎ,); প্রকৃতপক্ষে, এটি এই ধরনের সেরা প্রিফিল্টারগুলির মধ্যে একটি, যার অর্থ হল যে যদি একটি প্রিফিল্টার হয় তবে অগত্যা আরও সাধারণভাবে, যদি অ-খালি পরিবার হয় এবং যদি তখন এবং এটি একটি বৃহত্তম উপাদান (সাপেক্ষে) হয় তবে লেট এবং লেট বা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যা একটি উপসেট হিসাবে প্রতিটি উপাদান ধারণ করার ক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতম (আপেক্ষিক) দ্বৈত আদর্শ; অর্থাৎ, এটি ধারণ করার ক্ষেত্রে এটি ক্ষুদ্রতম (আপেক্ষিক) দ্বৈত আদর্শ। এই দ্বৈত আদর্শটি হল যেখানে সেটগুলির যে কোনও অ-খালি পরিবারের মতো, দ্বারা উত্পন্ন-সিস্টেমটি ফিল্টারে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি ফিল্টার সাববেস হয়, বা সমতুল্যভাবে, যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি ফিল্টার থাকে যে ক্ষেত্রে এই পরিবারটি একটি উপসেট হিসাবে প্রতিটি উপাদান ধারণ করার ক্ষেত্রে সবচেয়ে ছোট (আপেক্ষিক) ফিল্টার এবং অপরিহার্যভাবে এটি বিদ্যমান থাকলে দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, সংজ্ঞা অনুসারে একটি উপসেট হিসাবে প্রতিটি উপাদান ধারণকারী সবচেয়ে ছোট (আপেক্ষিক) ফিল্টার। যদি এটি বিদ্যমান থাকে তবে অবশ্যই (উপরে সংজ্ঞায়িত হিসাবে) এবং সমস্ত ফিল্টারগুলির ছেদনের সমান হবে এই শ্রেষ্ঠত্বটি বিদ্যমান যদি এবং কেবলমাত্র যদি দ্বৈত আদর্শটি সর্বনিম্ন উপরের সীমানায় একটি ফিল্টার হয় ফিল্টার হতে ব্যর্থ হতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, যদি কমপক্ষে 2টি স্বতন্ত্র উপাদান থাকে তবে এমন ফিল্টার রয়েছে যার জন্য একটি ফিল্টার রয়েছে যা উভয়ই ধারণ করে। যদি প্রিফিল্টার থাকে (রেসপ। ফিল্টার চালু) তারপর একটি প্রিফিল্টার (রেসপ। একটি ফিল্টার) যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি অ-ক্ষয়প্রাপ্ত হয় (অথবা ভিন্নভাবে বলা হয়, যদি এবং শুধুমাত্র যদি জাল হয়), এই ক্ষেত্রে এটি সবচেয়ে মোটা প্রিফিল্টার (রেসপ। সবচেয়ে মোটা ফিল্টার) চালু (সাপেক্ষে) যা উভয়ের চেয়ে সূক্ষ্ম (সাপেক্ষে) এর অর্থ হল যদি কোনও প্রিফিল্টার (রেসপ) থাকে। যেকোনও ফিল্টার) এমন হয় যে, তারপর আবশ্যিকভাবে কোন ক্ষেত্রে এটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, ধরা যাক অ-খালি সেট এবং প্রতিটির জন্য একটি দ্বৈত আদর্শ হতে হবে। একটি নিয়মিত অগণিত কার্ডিনালের ক্লাব ফিল্টার হল সমস্ত সেটের ফিল্টার যা একটি ক্লাব উপসেট ধারণ করে এটি একটি সম্পূর্ণ ফিল্টার যা তির্যক ছেদটির অধীনে বন্ধ থাকে। অন্যান্য উদাহরণ যাক এবং যাক যা একটি প্রিফিল্টার এবং একটি ফিল্টার সাববেস তৈরি করে যা সীমাবদ্ধ ছেদগুলির অধীনে বন্ধ হয় না। কারণ এটি একটি প্রি-ফিল্টার, যার মধ্যে সবচেয়ে ছোট প্রি-ফিল্টার রয়েছে তা হল-এর দ্বারা উৎপন্ন সিস্টেমটি হল-বিশেষত, ফিল্টার সাববেস ধারণকারী সবচেয়ে ছোট প্রি-ফিল্টারটি সেটের সমস্ত সীমাবদ্ধ ছেদগুলির সেটের সমান। নন-ডিজেনারেট, একটি ফিল্টার সাববেস, একটি প্রিফিল্টার, সীমাবদ্ধ ইউনিয়নের অধীনে বন্ধ) তাহলে একই কথা প্রযোজ্য যদি একটি ফিল্টার চালু থাকে তবে এটি একটি প্রিফিল্টার তবে অগত্যা একটি ফিল্টার নয় যদিও এটি সমতুল্য একটি ফিল্টার একটি (খালি নয়) টপোলজিকাল স্পেসের সমস্ত ঘন খোলা উপসেটগুলির সেট একটি যথাযথ-সিস্টেম এবং তাই একটি প্রিফিল্টারও। যদি স্থানটি একটি বেয়ার স্থান হয়, তবে ঘন খোলা উপসেটগুলির সমস্ত গণনাযোগ্য ছেদগুলির সেটটি একটি-সিস্টেম এবং একটি প্রিফিল্টার যা তার চেয়ে সূক্ষ্ম হয় যদি (সহ) তবে সীমাবদ্ধ লেবস্গু পরিমাপযুক্ত সমস্তগুলির সেটটি একটি যথাযথ-সিস্টেম এবং মুক্ত প্রিফিল্টার যা প্রিফিল্টারগুলির একটি যথাযথ উপসেট এবং সমতুল্য এবং তাই একই ফিল্টার তৈরি করে। এই উদাহরণটি একটি ফিল্টার সাববেসের একটি অস্বাভাবিক শ্রেণীকে চিত্রিত করে যেখানে উভয় সেট এবং তার উত্পন্ন-সিস্টেমকে ফর্মের সেট হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে যাতে বিশেষত, উত্পন্ন-সিস্টেমটি বর্ণনা করার জন্য দুটি ভেরিয়েবলের (বিশেষত,) প্রয়োজন হয় না। সকলের জন্য যেখানে সর্বদা ধরে রাখা যাক তাই অনুমান যোগ করে কোনও সাধারণতা হারিয়ে যায় না সমস্ত বাস্তব জন্য যদি অ-নেতিবাচক হয় তবে ইতিবাচক বাস্তবগুলির প্রতিটি সেটের জন্য, ধরা যাক এবং ধরে নেওয়া যাক একটি এককটন সেট নয়। তারপর একটি ফিল্টার সাববেস কিন্তু একটি প্রিফিল্টার নয় এবং এটি একটি-সিস্টেম যা এটি তৈরি করে, তাই এটি ধারণ করার ক্ষেত্রে অনন্য ক্ষুদ্রতম ফিল্টার তবে, এটি একটি ফিল্টার অন (এটি একটি প্রিফিল্টারও নয় কারণ এটি নীচের দিকে পরিচালিত হয় না, যদিও এটি একটি ফিল্টার সাববেস) এবং ফিল্টারের একটি যথাযথ উপসেট যদি অ-খালি ব্যবধান হয় তবে ফিল্টার সাববেসগুলি একই ফিল্টার তৈরি করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি প্রিফিল্টার সন্তোষজনক হয় তবে যে কোনও পরিবারের জন্যও একটি প্রিফিল্টার সন্তোষজনক এটি দেখায় যে একটি ন্যূনতম/ন্যূনতম (সাপেক্ষে) প্রিফিল্টার বিদ্যমান থাকতে পারে না যা উভয়ই ধারণ করে এবং-সিস্টেমের একটি উপসেট উভয়ই এটি দ্বারা উত্পন্ন হয়। অতি ফিল্টারগুলির গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলিও সেই নিবন্ধে বর্ণনা করা হয়েছে। যে কোনও অ-অবক্ষয়কারী পরিবার যার একটি উপাদান হিসাবে সিঙ্গলটন সেট রয়েছে তা আল্ট্রা, এই ক্ষেত্রে এটি একটি আল্ট্রা প্রিফিল্টার হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির সীমাবদ্ধ ছেদ বৈশিষ্ট্যও থাকে। তুচ্ছ ফিল্টারটি আল্ট্রা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি সিঙ্গলটন সেট হয়। আল্ট্রাফিল্টার লেম্মা নিম্নলিখিত গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যটি আলফ্রেড টারস্কির (1930) কারণে। অতি-ফিল্টার লেম্মার একটি পরিণতি হল যে প্রতিটি ফিল্টার এটি ধারণকারী সমস্ত অতি-ফিল্টারগুলির ছেদনের সমান। জেরমেলো-ফ্রেনকেল (জেডএফ)-এর স্বতঃসিদ্ধগুলি ধরে নিলে, অতি-ফিল্টার লেমা পছন্দের স্বতঃসিদ্ধ থেকে অনুসরণ করে (বিশেষত জর্নের লেমা থেকে) তবে এর চেয়ে কঠোরভাবে দুর্বল। আল্ট্রাফিল্টার লেম্মা সীমাবদ্ধ সেটগুলির জন্য পছন্দের স্বতঃসিদ্ধকে বোঝায়। যদি হাউসডর্ফ স্পেস নিয়ে আলোচনা করা হয়, তবে টপোলজির বেশিরভাগ মৌলিক ফলাফল (যেমন কম্প্যাক্ট হাউসডর্ফ স্পেসের জন্য টাইকনোফের উপপাদ্য এবং আলেকজান্ডার সাববেস উপপাদ্য) এবং কার্যকরী বিশ্লেষণে (যেমন হান-বানাচ উপপাদ্য) শুধুমাত্র আল্ট্রাফিল্টার লেম্মা ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে; পছন্দের স্বতঃসিদ্ধের সম্পূর্ণ শক্তির প্রয়োজন নাও হতে পারে। কার্নেল কার্নেল প্রিফিল্টার এবং সেটের অন্যান্য পরিবারের বৈশিষ্ট্যগুলি শ্রেণীবদ্ধ করতে কার্যকর। যদি তারপর কোনও বিন্দুর জন্য কার্নেলের বৈশিষ্ট্যগুলি যদি এই সেটটি-সিস্টেমের কার্নেলের সমান হয় যা দ্বারা উত্পন্ন হয় বিশেষত, যদি একটি ফিল্টার সাববেস হয় তবে নিম্নলিখিত সমস্ত সেটের কার্নেলগুলি সমান হয়ঃ (1) (2) দ্বারা উত্পন্ন-সিস্টেম এবং (3) দ্বারা উত্পন্ন ফিল্টার যদি একটি মানচিত্র হয় এবং যদি তখন যদি এবং সমতুল্য হয় তবে সমতুল্য পরিবারগুলির সমান কার্নেল থাকে। দুটি প্রধান পরিবার সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের কার্নেল সমান হয়; অর্থাৎ, যদি এবং প্রধান হয় তবে তারা সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের কার্নেল দ্বারা পরিবারগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। বিশেষত, একটি ফিল্টার সাববেস যদি গণনাযোগ্য হয় (উদাহরণস্বরূপ, মৌলিক সংখ্যা), সীমাবদ্ধ পরিমাপের একটি সেটে একটি স্বল্প সেট, বা এর একটি সীমাবদ্ধ উপসেট যদি একটি এককটন সেট হয় তবে ফ্রেচেট ফিল্টারের জন্য একটি সাববেস প্রতিটি ফিল্টারের জন্য দ্বৈত আদর্শের একটি অনন্য জোড়া বিদ্যমান যেমন মুক্ত, প্রধান এবং জাল নয় (অর্থাৎ,)। দ্বৈত আদর্শকে ওয়াইল বলা হয় যেখানে এই দ্বৈত আদর্শগুলির মধ্যে অন্তত একটি ফিল্টার হয়। যদি প্রধান হয় তবে অন্যথায়, এবং একটি মুক্ত (অ-ক্ষয়কারী) ফিল্টার। সীমাবদ্ধ প্রিফিল্টার এবং সসীম সেট যদি একটি ফিল্টার সাববেস সসীম হয় তবে এটি স্থির করা হয় (অর্থাৎ, মুক্ত নয়); কারণ এটি একটি সসীম ছেদ এবং ফিল্টার সাববেসের সসীম ছেদ বৈশিষ্ট্য রয়েছে। একটি সীমাবদ্ধ প্রিফিল্টার অপরিহার্যভাবে প্রধান, যদিও এটি সীমাবদ্ধ ছেদগুলির অধীনে বন্ধ করতে হবে না। যদি সসীম হয় তবে উপরের সমস্ত সিদ্ধান্ত যে কোনও ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। বিশেষত, একটি সসীম সেটে কোনও মুক্ত ফিল্টার সাববেস নেই (এবং তাই কোনও মুক্ত প্রিফিল্টার নেই), সমস্ত প্রিফিল্টারগুলি প্রধান এবং সমস্ত ফিল্টারগুলি তাদের (অ-খালি) কার্নেল দ্বারা উত্পন্ন প্রধান ফিল্টার। তুচ্ছ ফিল্টারটি সর্বদা একটি সীমাবদ্ধ ফিল্টার এবং যদি অসীম হয় তবে এটি একমাত্র সীমাবদ্ধ ফিল্টার কারণ একটি সেটে একটি অ-তুচ্ছ সীমাবদ্ধ ফিল্টার সম্ভব যদি এবং শুধুমাত্র যদি সীমাবদ্ধ হয়। যাইহোক, যে কোনও অসীম সেটে অ-তুচ্ছ ফিল্টার সাববেস এবং প্রিফিল্টার রয়েছে যা সীমাবদ্ধ (যদিও সেগুলি ফিল্টার হতে পারে না)। যদি একটি সিঙ্গলটন সেট হয় তবে তুচ্ছ ফিল্টারটি একমাত্র সঠিক উপসেট এবং তদুপরি, এই সেটটি একটি প্রধান আল্ট্রা প্রিফিল্টার এবং সীমাবদ্ধ ছেদ বৈশিষ্ট্য সহ যে কোনও সুপারসেট (যেখানে) একটি প্রধান আল্ট্রা প্রিফিল্টারও হবে (এমনকি অসীম হলেও)। স্থির আল্ট্রা প্রিফিল্টারগুলির বৈশিষ্ট্য যদি সেটগুলির একটি পরিবার স্থির থাকে (অর্থাৎ,) তবে আল্ট্রা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর কিছু উপাদান একটি সিঙ্গলটন সেট হয়, তবে অবশ্যই একটি প্রিফিল্টার হবে। প্রতিটি প্রধান প্রিফিল্টার স্থির থাকে, তাই একটি প্রধান প্রিফিল্টার আল্ট্রা হয় যদি এবং শুধুমাত্র একটি সিঙ্গলটন সেট হয়। একটি বিন্দুতে প্রধান প্রতিটি ফিল্টার একটি আল্ট্রাফিল্টার, এবং যদি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধ হয়, তবে এগুলি ছাড়া অন্য কোনও আল্ট্রাফিল্টার নেই। পরবর্তী উপপাদ্যটি দেখায় যে প্রতিটি অতি-ফিল্টার দুটি বিভাগের একটিতে পড়েঃ হয় এটি মুক্ত অথবা অন্যথায় এটি একটি একক বিন্দু দ্বারা উত্পন্ন একটি প্রধান ফিল্টার। সূক্ষ্ম/মোটা, অধীনতা এবং মেশিং টপোলজিতে প্রিফিল্টার (এবং ফিল্টার) ব্যবহারের জন্য নীচে যে প্রি-অর্ডারটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তার মৌলিক গুরুত্ব রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এই প্রি-অর্ডারটি "পরবর্তী"-এর সমতুল্য প্রি-ফিল্টারকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে ""-কে "পরবর্তী" হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে (তাই "অধীনস্থ" হল "পরবর্তী"-এর সমতুল্য প্রি-ফিল্টার)। এটি একটি টপোলজিকাল স্পেসে প্রিফিল্টার কনভারজেন্স সংজ্ঞায়িত করতেও ব্যবহৃত হয়। মেশের সংজ্ঞা যা প্রি-অর্ডারের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত তা ক্লাস্টার পয়েন্টগুলি সংজ্ঞায়িত করতে টপোলজিতে ব্যবহৃত হয়। সেটের দুটি পরিবার এবং, যদি জাল না থাকে তবে সেগুলি লেখা দ্বারা নির্দেশিত হয়। যদি বলা হয় যদি জাল, বা সমতুল্যভাবে, যার পরিবারে খালি সেট না থাকে, যেখানে ট্রেসকে উদাহরণের নামও বলা হয়ঃ যদি এর একটি অনুসরণ হয় তবে প্রতীকের অধীনে থাকেঃ এবং সাধারণ ইংরেজিতেও উল্লেখ করা হয়, একটি অনুসরণের লেজের প্রিফিল্টার সর্বদা মূল ক্রমের অধীনে থাকে। এটি দেখার জন্য, স্বেচ্ছাচারী হতে দিন (বা সমতুল্যভাবে, স্বেচ্ছাচারী হতে দিন) এবং এটি দেখানোর জন্য রয়ে গেছে যে এই সেটটিতে কিছু রয়েছে সেটটি ধারণ করার জন্য এটি যথেষ্ট যেহেতু কঠোরভাবে বর্ধিত পূর্ণসংখ্যা রয়েছে, এমন অস্তিত্ব রয়েছে এবং তাই পছন্দ মতো ধরে রাখে। ফলস্বরূপ, বাম হাতের দিকটি ডান হাতের দিকের একটি উপসেট হবে যদি (উদাহরণস্বরূপ) প্রতিটি বিন্দু অনন্য হয় (অর্থাৎ, যখন ইনজেকটিভ হয়) এবং জোড়-সূচক পরবর্তী কারণ এই অবস্থার অধীনে, পরবর্তী অংশের প্রতিটি লেজ (প্রত্যেকের জন্য) ডান হাতের ফিল্টারের অন্তর্গত হবে তবে বাম হাতের ফিল্টারের নয়। আরেকটি উদাহরণের জন্য, যদি কোনও পরিবার থাকে তবে সর্বদা ধরে রাখে এবং উপরন্তু, ধরে নিন যে সেটগুলির পরিবার যা সন্তুষ্ট করে তারপর এবং এছাড়াও যদি একটি ফিল্টার বেস এবং তারপরে একটি ফিল্টার সাববেস এবং জালও হয়। আরও সাধারণভাবে, যদি উভয়ই এবং যদি এর যে কোনও দুটি উপাদানের ছেদ খালি না হয়, তবে জাল। প্রতিটি ফিল্টার সাববেস এটি তৈরি করে এমন-সিস্টেম এবং এটি তৈরি করে এমন ফিল্টার উভয়ের চেয়ে মোটা। যদি এমন পরিবার থাকে যে পরিবারটি অতিপ্রাকৃত, এবং তাহলে অবশ্যই অতিপ্রাকৃত। এটি অনুসরণ করে যে কোনও পরিবার যা একটি অতি পরিবারের সমতুল্য তা অবশ্যই অতি হবে। বিশেষত, যদি একটি প্রিফিল্টার হয় তবে এটি এবং এটি যে ফিল্টার তৈরি করে তা উভয়ই আল্ট্রা বা কোনওটিই আল্ট্রা নয়। যদি একটি ফিল্টার সাববেস আল্ট্রা হয় তবে এটি অবশ্যই একটি প্রিফিল্টার, এই ক্ষেত্রে এটি যে ফিল্টার তৈরি করে তাও আল্ট্রা হবে। একটি ফিল্টার সাববেস যা প্রিফিল্টার নয় তা আল্ট্রা হতে পারে না; তবে প্রিফিল্টার এবং ফিল্টার দ্বারা উত্পন্ন আল্ট্রা হওয়া এখনও সম্ভব। যদি উপরের দিকে বন্ধ করা হয় তবে অধস্তনতার আপেক্ষিক বৈশিষ্ট্য সম্পর্কটি প্রতিফলিত এবং ক্ষণস্থায়ী, যা এটিকে প্রি-অর্ডারে পরিণত করে। সম্পর্কটি প্রতিসম তবে একাধিক বিন্দু থাকলে এটি প্রতিসম। : যে কোনও সেটের জন্য একাধিক বিন্দু থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি সম্পর্কটি প্রতিসম হয়। : যদি কিন্তু বিপরীতটি সাধারণভাবে ধরে না থাকে, তবে এটি ধরে রাখে যদি উপরের দিকে বন্ধ থাকে (যেমন যদি একটি ফিল্টার হয়)। দুটি ফিল্টার সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সমান হয়, যা অ্যান্টিসিমেট্রিকের সীমাবদ্ধতা তৈরি করে। কিন্তু সাধারণভাবে, অ্যান্টিসিমেট্রিক অন বা অন; অর্থাৎ, অগত্যা বোঝায়; এমনকি উভয়ই প্রিফিল্টার হলেও নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি প্রিফিল্টার হয় কিন্তু একটি ফিল্টার না হয় তবে সেটগুলির সমতুল্য পরিবারগুলি প্রি-অর্ডারটি তার ক্যানোনিকাল সমতুল্য সম্পর্ককে প্ররোচিত করে যেখানে সকলের জন্য যদি নিম্নলিখিত সমতুল্য শর্তগুলির মধ্যে কোনওটি থাকেঃ দুটি ঊর্ধ্বমুখী বদ্ধ (ইন) উপসেট সমতুল্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সমান হয়। যদি তা অপরিহার্যভাবে এবং সমতুল্য হয় তবে প্রতিটি সমতুল্য শ্রেণী ব্যতীত একটি অনন্য প্রতিনিধি (অর্থাৎ, সমতুল্য শ্রেণীর উপাদান) থাকে যা সমতুল্য পরিবারের মধ্যে সংরক্ষিত বৈশিষ্ট্যগুলিতে উপরের দিকে বন্ধ থাকে তবে আসুন নির্বিচারে এবং সেটগুলির যে কোনও পরিবার হতে দিন। যদি সমতুল্য হয় (যা বোঝায় যে) তবে নীচে তালিকাভুক্ত প্রতিটি বিবৃতি/বৈশিষ্ট্যের জন্য, হয় এটি সত্য বা অন্যথায় এটি মিথ্যা হয়ঃ খালি নয় সঠিক (অর্থাৎ, কোনও উপাদান নয়) উপরন্তু, যে কোনও দুটি অবক্ষয় পরিবার অবশ্যই সমতুল্য। সাববেস প্রিফিল্টার ফিল্টার করুন যে ক্ষেত্রে একই ফিল্টার চালু হয় (অর্থাৎ, তাদের ঊর্ধ্বমুখী বন্ধ সমান হয়)। ফ্রি প্রিন্সিপাল আল্ট্রা তুচ্ছ ফিল্টারের সমান শব্দের অর্থ হল এর একমাত্র উপসেটটি তুচ্ছ ফিল্টারের সমতুল্য। সাধারণভাবে, সমতার এই উপসংহারটি অ-তুচ্ছ ফিল্টারগুলিতে প্রসারিত হয় না (একটি ব্যতিক্রম হল যখন উভয় পরিবার ফিল্টার হয়)। উপরের তালিকা থেকে অনুপস্থিত শব্দটি হল "ফিল্টার" কারণ এই বৈশিষ্ট্যটি সমতুল্য দ্বারা সংরক্ষিত। যাইহোক, যদি ফিল্টারগুলি চালু থাকে তবে তারা সমতুল্য হয় যদি এবং কেবল যদি তারা সমান হয়; এই বৈশিষ্ট্যটি প্রিফিল্টারগুলিতে প্রসারিত হয়। প্রিফিল্টার এবং ফিল্টার সাববেসগুলির সমতা যদি একটি প্রিফিল্টার থাকে তবে নিম্নলিখিত পরিবারগুলি সর্বদা একে অপরের সমতুল্যঃ; দ্বারা উত্পন্ন-সিস্টেম; দ্বারা উত্পন্ন ফিল্টার; এবং উপরন্তু, এই তিনটি পরিবার একই ফিল্টার তৈরি করে (অর্থাৎ, এই পরিবারগুলির ঊর্ধ্বমুখী বন্ধ সমান)। বিশেষ করে, প্রতিটি প্রিফিল্টার যে ফিল্টার তৈরি করে তার সমতুল্য। ট্রানজিটিভিটি দ্বারা, দুটি প্রিফিল্টার সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা একই ফিল্টার তৈরি করে। প্রতিটি প্রিফিল্টার ঠিক একটি ফিল্টারের সমতুল্য যার উপর এটি যে ফিল্টার তৈরি করে (অর্থাৎ, প্রিফিল্টারের ঊর্ধ্বমুখী বন্ধ)। ভিন্নভাবে বললে, প্রিফিল্টারগুলির প্রতিটি সমতুল্য শ্রেণীতে ঠিক একটি প্রতিনিধি থাকে যা একটি ফিল্টার। এইভাবে, ফিল্টারগুলিকে প্রিফিল্টারগুলির এই সমতুল্য শ্রেণীর স্বতন্ত্র উপাদান হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। একটি ফিল্টার সাববেস যা একটি প্রিফিল্টারও এটি যে প্রিফিল্টার (বা ফিল্টার) তৈরি করে তার সমতুল্য হতে পারে। এর বিপরীতে, প্রতিটি প্রিফিল্টার যে ফিল্টার তৈরি করে তার সমতুল্য। এই কারণেই প্রিফিল্টারগুলি মূলত ফিল্টারগুলির সাথে বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহার করা যেতে পারে যা তারা তৈরি করে যখন ফিল্টার সাববেসগুলি পারে না। প্রতিটি ফিল্টার একটি-সিস্টেম এবং সেটের একটি রিং উভয়ই। সমতুল্যতা/অ-সমতুল্যতা নির্ধারণের উদাহরণগুলিঃ ধরা যাক এবং পূর্ণসংখ্যার সেট (বা সেট) হতে দিন। সেটগুলি সংজ্ঞায়িত করুন তিনটি সেটই ফিল্টার সাববেস তবে কোনওটিই ফিল্টার চালু নেই এবং কেবল প্রিফিল্টার (প্রকৃতপক্ষে, সীমাবদ্ধ ছেদগুলির অধীনে এমনকি মুক্ত এবং বন্ধ)। মুক্ত থাকাকালীন সেটটি স্থির থাকে (যদি না হয়)। এগুলি সন্তুষ্ট করে তবে এই দুটি পরিবারের মধ্যে কোনওটিই সমতুল্য নয়; উপরন্তু, এই তিনটি ফিল্টার সাববেস দ্বারা উত্পন্ন ফিল্টারগুলির মধ্যে কোনও দুটিই সমতুল্য/সমান নয়। তারা যে-সিস্টেমগুলি তৈরি করে তা সমতুল্য নয় তা দেখিয়ে এই উপসংহারে পৌঁছানো যেতে পারে। একটি উপসেট হিসাবে কনটেইন দ্বারা উত্পন্ন-সিস্টেমের প্রতিটি সেটের বিপরীতে, যা তাদের উত্পন্ন-সিস্টেমগুলিকে (এবং তাই তাদের উত্পন্ন ফিল্টারগুলিকে) সমতুল্য হতে বাধা দেয়। যদি এর পরিবর্তে হয় তবে তিনটি পরিবারই মুক্ত থাকবে এবং যদিও সেটগুলি একে অপরের সমতুল্য থাকবে, তাদের উত্পন্ন-সিস্টেমগুলি সমতুল্য হবে এবং ফলস্বরূপ, তারা একই ফিল্টার তৈরি করবে; তবে, এই সাধারণ ফিল্টারটি এখনও সেট তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য এবং নির্মাণ দ্বারা উত্পন্ন ফিল্টারের তুলনায় কঠোরভাবে মোটা হবে ট্রেস এবং মেশিং ইফ একটি প্রিফিল্টার (রেসপ)। ফিল্টার) তারপর যা পরিবারের ট্রেস একটি প্রিফিল্টার (রেসপ। একটি ফিল্টার) যদি এবং শুধুমাত্র যদি জাল (অর্থাৎ,), এই ক্ষেত্রে এর ট্রেস বলা হয়। যদি আল্ট্রা হয় এবং যদি জাল হয় তবে ট্রেসটি আল্ট্রা হয়। যদি একটি আল্ট্রাফিল্টার চালু থাকে তবে এর ট্রেস একটি ফিল্টার চালু থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি উদাহরণস্বরূপ, ধরুন এটি একটি ফিল্টার চালু থাকে যা এমন হয় যে জাল এবং তার উপর একটি ফিল্টার তৈরি করে যা প্রিফিল্টার জালের তুলনায় কঠোরভাবে সূক্ষ্ম হয় যদি খালি না থাকে তবে পরিবারটি সন্তুষ্ট হয় এবং যদি সঠিক হয় (রেসপ। একটি প্রিফিল্টার, একটি ফিল্টার সাববেস) তাহলে এটি উভয়ের ক্ষেত্রেই সত্য। এই ক্ষেত্রে, একটি প্রিফিল্টার (রেসপ)। ফিল্টার সাববেস) যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি উভয় ক্ষেত্রেই সত্য হয় ভিন্নভাবে বলা, যদি প্রিফিল্টার হয় তবে তারা যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি প্রিফিল্টার হয় তবে তারা জাল করে। সাধারণীকরণ সম্পূর্ণরূপে অধীনতার পরিপ্রেক্ষিতে "জাল"-এর একটি সুপরিচিত বৈশিষ্ট্য প্রদান করে (অর্থাৎ,): দুটি প্রিফিল্টার (রেসপ। ফিল্টার সাববেস) জাল যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি প্রিফিল্টার (রেসপ) বিদ্যমান থাকে। ফিল্টার সাববেস) এমন যে এবং যদি দুটি ফিল্টারের সর্বনিম্ন উপরের সীমা বিদ্যমান থাকে তবে এই সর্বনিম্ন উপরের সীমাটি পুরো ফাংশনের অধীনে চিত্র এবং প্রিমেজের সমান, অ-খালি সেটগুলির মধ্যে মানচিত্র হবে। প্রিফিল্টারগুলির চিত্রগুলি মানচিত্রের চিত্রের অধীনে সংরক্ষিত থাকতে পারে এমন অনেকগুলি বৈশিষ্ট্য; উল্লেখযোগ্য ব্যতিক্রমগুলির মধ্যে রয়েছে ঊর্ধ্বমুখী বন্ধ হওয়া, সীমাবদ্ধ ছেদগুলির অধীনে বন্ধ করা এবং একটি ফিল্টার হওয়া, যা অগত্যা সংরক্ষিত নয়। স্পষ্টতই, যদি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি সত্য হয় তবে এটি অবশ্যই সত্য হবে (যদিও সম্ভবত সার্জেক্টিভ না হলে কোডোমেইনে নয়): ফিল্টার বৈশিষ্ট্যগুলিঃ আল্ট্রা, আল্ট্রাফিল্টার, ফিল্টার, প্রিফিল্টার, ফিল্টার সাববেস, ডুয়াল আইডিয়াল, ঊর্ধ্বমুখী বন্ধ, যথাযথ/অ-ডিজেনারেট। আদর্শ বৈশিষ্ট্যঃ আদর্শ, সীমাবদ্ধ সংযোগের অধীনে বন্ধ, নিচের দিকে বন্ধ, উপরের দিকে নির্দেশিত। উপরন্তু, যদি একটি প্রিফিল্টার হয় তবে উভয়ই আল্ট্রা সেটের মানচিত্রের নীচে চিত্রটি আবার আল্ট্রা এবং যদি একটি আল্ট্রা প্রিফিল্টার হয় তবে এটিও তাই যদি একটি ফিল্টার হয় তবে এটি রেঞ্জের একটি ফিল্টার তবে এটি কোডোমেইনের একটি ফিল্টার যদি এবং শুধুমাত্র যদি সার্জেক্টিভ হয়। অন্যথায় এটি কেবল একটি প্রিফিল্টার চালু এবং একটি ফিল্টার পাওয়ার জন্য এর ঊর্ধ্বমুখী ক্লোজারটি অবশ্যই নিতে হবে। এর ঊর্ধ্বমুখী বন্ধ হল যেখানে যদি ঊর্ধ্বমুখী বন্ধ করা হয় (অর্থাৎ, একটি ফিল্টার) তবে এটি সহজতর হয়ঃ যদি অন্তর্ভুক্তির মানচিত্র হিসাবে গ্রহণ করা হয় তবে দেখায় যে কোনও প্রিফিল্টার (রেসপ)। আল্ট্রা প্রিফিল্টার, ফিল্টার সাববেস) ও একটি প্রিফিল্টার (রেসপ। আল্ট্রা প্রি-ফিল্টার, ফিল্টার সাববেস) প্রি-ফিল্টারগুলির প্রি-ইমেজের উপর যাক অনুমানের অধীনে যা সার্জেক্টিভঃ একটি প্রি-ফিল্টার (রেসপ)। ফিল্টার সাববেস,-সিস্টেম, সীমাবদ্ধ সংযোগের অধীনে বন্ধ, সঠিক) যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সত্য হয় তবে, যদি একটি আল্ট্রাফিল্টার চালু থাকে তবে সার্জেক্টিভ হলেও (যা একটি প্রিফিল্টার তৈরি করবে), তবুও প্রিফিল্টারের পক্ষে আল্ট্রা বা ফিল্টার হওয়া সম্ভব নয় (উদাহরণস্বরূপ এই পাদটীকাটি দেখুন)। যদি সার্জেক্টিভ না হয় তবে এই ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে ট্রেসটি কোথায় সন্তুষ্ট হয় তার ট্রেস নির্দেশ করুনঃ এবং ফলস্বরূপঃ এই শেষ সমতা এবং ট্রেসটি সেটগুলির একটি পরিবার হওয়ার অর্থ হল ট্রেস সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য এর জায়গায় ব্যবহার করা যেতে পারে এবং এর জায়গায় ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপঃ একটি প্রিফিল্টার (রেসপ)। ফিল্টার সাববেস,-সিস্টেম, যথাযথ) যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সত্য হয় এইভাবে, যেখানে (অপরিহার্যভাবে) সার্জেক্টিভ নয়, সেই ক্ষেত্রে একটি সার্জেক্টিভ ফাংশনের ক্ষেত্রে হ্রাস করা যেতে পারে (যা এই উপধারার শুরুতে বর্ণিত একটি ঘটনা)। এমনকি যদি একটি আল্ট্রাফিল্টার চালু থাকে যদি এটি সার্জেক্টিভ না হয় তবে এটি সম্ভব যে এটি অবক্ষয় ঘটাবে। পরবর্তী বৈশিষ্ট্যটি দেখায় যে অবক্ষয়ই একমাত্র বাধা। যদি একটি প্রিফিল্টার হয় তবে নিম্নলিখিতগুলি সমতুল্যঃ একটি প্রিফিল্টার; একটি প্রিফিল্টার; এর সাথে মেশ এবং তদুপরি, যদি একটি প্রিফিল্টার হয় তবে যদি এবং যদি অন্তর্ভুক্তি মানচিত্রকে বোঝায় তবে এর ট্রেস সমান হয় এই পর্যবেক্ষণটি এই উপবিভাগের ফলাফলগুলিকে একটি সেটে ট্রেস তদন্তের জন্য প্রয়োগ করার অনুমতি দেয়। বিজেকশন, ইনজেকশন এবং সার্জেকশন ফিল্টার জড়িত সমস্ত বৈশিষ্ট্য বাইজেকশনের অধীনে সংরক্ষিত থাকে। এর মানে হল যে যদি একটি বাইজেকশন হয়, তবে এটি একটি প্রিফিল্টার (রেসপ)। আল্ট্রা, আল্ট্রা প্রিফিল্টার, ফিল্টার সাববেসে আল্ট্রাফিল্টারে ফিল্টার,-সিস্টেম, আদর্শ চালু ইত্যাদি) যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি মানচিত্র ইনজেকটিভ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সমস্ত প্রিফিল্টারগুলির জন্য সমতুল্য হয় একটি ইনজেকশনের অধীনে সেটগুলির একটি অতি পরিবারের চিত্র আবার অতিপ্রাকৃত হয়। মানচিত্রটি একটি সারজেকশন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যখনই একটি প্রিফিল্টার চালু থাকে তখন একই কথা প্রযোজ্য হয় (এই ফলাফলের জন্য আল্ট্রাফিল্টার লেমার প্রয়োজন হয় না)। অধস্তনতা চিত্র এবং প্রিমেজ দ্বারা সংরক্ষিত হয় সম্পর্কটি সেটের পরিবারের চিত্র এবং প্রিমেজ উভয়ের অধীনে সংরক্ষিত থাকে। এর মানে হল যে পরিবারগুলির জন্য উপরন্তু, নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলি সর্বদা গোষ্ঠীগুলির পরিবারের জন্য থাকেঃ যেখানে সমতা যদি উদ্বেগমূলক হয় তবে তা বজায় থাকবে। উপরন্তু, যদি তখন এবং যেখানে সমতা বজায় থাকবে যদি ইনজেকটিভ হয়। প্রিফিল্টারগুলির পণ্যগুলি ধরুন এক বা একাধিক অ-খালি সেটের একটি পরিবার, যার পণ্যটি দ্বারা চিহ্নিত করা হবে এবং প্রতিটি সূচকের জন্য ক্যানোনিকাল প্রজেকশনকে বোঝানো যাক। ধরা যাক অ-খালি পরিবারগুলিও এমনভাবে সূচীভুক্ত করা হয় যাতে প্রতিটি পরিবারের জন্য পণ্য টপোলজির মৌলিক উন্মুক্ত উপসেটগুলি কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তার সাথে একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (যদি এগুলি সমস্ত টপোলজি হয়)। অর্থাৎ, উভয় স্বরলিপিই সমস্ত সিলিন্ডার উপসেটগুলির পরিবারকে বোঝায় যাতে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি ব্যতীত সকলের জন্য এবং যেখানে এইগুলির মধ্যে যে কোনও একটির জন্য সীমাবদ্ধভাবে অনেক ব্যতিক্রম থাকে (অর্থাৎ, প্রয়োজনীয়ভাবে এমন যে কোনওটির জন্য)। যখন প্রতিটি একটি ফিল্টার সাববেস হয় তখন পরিবারটি দ্বারা উত্পন্ন ফিল্টারের জন্য একটি ফিল্টার সাববেস হয় যদি এটি একটি ফিল্টার সাববেস হয় তবে এটি যে ফিল্টার তৈরি করে তাকে বলা হয়। যদি প্রতিটি প্রি-ফিল্টার চালু থাকে তবে একটি প্রি-ফিল্টার চালু থাকবে এবং উপরন্তু, এই প্রি-ফিল্টারটি সবচেয়ে মোটা প্রি-ফিল্টারের সমান হবে যেমন প্রতিটি সেট বিয়োগের জন্য একটি ফিল্টার হলেও একটি ফিল্টার হতে ব্যর্থ হতে পারে এবং কিছু উদাহরণ কার্নেলের একটি উপসেট বাদ দেওয়ার জন্য সেট করুন যদি একটি প্রি-ফিল্টার চালু থাকে তবে এটি একটি প্রি-ফিল্টার, যেখানে এই পরবর্তী সেটটি একটি ফিল্টার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি ফিল্টার হয় এবং বিশেষত, যদি একটি টপোলজিকাল স্থানের একটি বিন্দুতে অন্তত 2 পয়েন্ট থাকে তবে এটি একটি প্রি-ফিল্টার। আদর্শ এবং দ্বৈত আদর্শের মধ্যে দ্বৈততা ব্যবহার করে একটি দ্বৈত সম্পর্ক রয়েছে বা যার অর্থ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যে প্রতিটি কিছু স্পষ্টভাবে, এর অর্থ হল যে প্রত্যেকের জন্য, এমন কিছু আছে যা এই অর্থে দ্বৈত যে যদি এবং শুধুমাত্র যদি সম্পর্কটি একটি পরিবারের নিম্নমুখী বন্ধের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত হয় যেমনটি ঊর্ধ্বমুখী বন্ধ পরিবারের সাথে সম্পর্কিত। এই দ্বৈততা ব্যবহার করে এমন একটি উদাহরণের জন্য, ধরুন একটি মানচিত্র এবং সংজ্ঞায়িত করুন যা খালি সেটটি ধারণ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তা করে। আল্ট্রাফিল্টার হওয়া এবং সীমাবদ্ধ ছেদগুলির অধীনে খালি বা বন্ধ না হওয়া সম্ভব (উদাহরণস্বরূপ পাদটীকা দেখুন)। যদিও ফিল্টারগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি খুব ভালভাবে সংরক্ষণ করে না, যদি নীচের দিকে বন্ধ থাকে (রেসপ। সসীম সংযোগের অধীনে বন্ধ, একটি আদর্শ) তাহলে এটি আদর্শ এবং দ্বৈত আদর্শের মধ্যে দ্বৈততা ব্যবহার করার ক্ষেত্রেও সত্য হবে যা নিম্নলিখিত ফিল্টার নির্মাণের অনুমতি দেয়। ধরুন একটি ফিল্টার চালু আছে এবং যদি এর ডুয়াল একটি ফিল্টার হবে। অন্যান্য উদাহরণ-একটি টপোলজিকাল স্পেসের সমস্ত ঘন খোলা উপসেটগুলির সেট একটি যথাযথ-সিস্টেম এবং একটি প্রিফিল্টার। যদি স্থানটি একটি বেয়ার স্থান হয়, তবে ঘন খোলা উপসেটগুলির সমস্ত গণনাযোগ্য ছেদগুলির সেট হল একটি-সিস্টেম এবং একটি প্রিফিল্টার যা উদাহরণের চেয়ে সূক্ষ্মঃ সীমাবদ্ধ লেবস্গু পরিমাপের সমস্ত ঘন খোলা সেটের পরিবার হল একটি যথাযথ-সিস্টেম এবং একটি মুক্ত প্রিফিল্টার। প্রিফিল্টারটি যথাযথভাবে প্রিফিল্টারে অন্তর্ভুক্ত এবং সমতুল্য নয়, যেহেতু এটি একটি বেয়ার স্পেস, সেটগুলির প্রতিটি গণনাযোগ্য ছেদ ঘন (এবং কম এবং অ-পরিমাপ) তাই এর উপাদানগুলির সমস্ত গণনাযোগ্য ছেদগুলির সেট একটি প্রিফিল্টার এবং-সিস্টেম; এটি ফিল্টার এবং নেটগুলির তুলনায় সূক্ষ্ম এবং সমতুল্য নয় এই বিভাগটি প্রিফিল্টার এবং নেটগুলির মধ্যে সম্পর্ককে খুব বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করবে কারণ এই বিবরণগুলি টপোলজিতে ফিল্টার প্রয়োগ করছে-বিশেষত নেট ব্যবহার থেকে ফিল্টার এবং ভাইস শ্লোক ব্যবহার করার ক্ষেত্রে-এবং এটি পরে বুঝতে সহজ করে তোলে যে কেন সাবনেটগুলি (তাদের সর্বাধিক ব্যবহৃত সংজ্ঞা সহ) নেট থেকে প্রিফিল্টার একটি নেট ক্যানোনিকালভাবে তার লেজের প্রিফিল্টারের সাথে যুক্ত হয় যদি একটি মানচিত্র হয় এবং এটি একটি নেট হয় তবে প্রিফিল্টার থেকে নেট এ হল একটি জোড়া যা একটি খালি সেট এবং একটি উপাদান নিয়ে গঠিত যে কোনও পরিবারের জন্য যদি তা হলেও এই প্রি-অর্ডারটি অ্যান্টিসিমেট্রিক নয় এবং সেটের যে কোনও পরিবারকে আংশিকভাবে অর্ডার দেওয়া হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি সম্পূর্ণরূপে সিঙ্গলটন সেট থাকে তবে নির্দিষ্ট সেটগুলিতে একটি ক্যানোনিকাল প্রি-অর্ডার সংজ্ঞায়িত করুন। যদি একটি সর্বাধিক উপাদান হয়; উপরন্তু, সমস্ত সর্বাধিক উপাদান এই ফর্মের হয়। যদি একটি সর্বশ্রেষ্ঠ উপাদান হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই ক্ষেত্রে সমস্ত সর্বশ্রেষ্ঠ উপাদানগুলির সেট হয়। যাইহোক, একটি সর্বশ্রেষ্ঠ উপাদান হল একটি সর্বাধিক উপাদান যদি এবং শুধুমাত্র যদি তা হয় তবে সর্বাধিক একটি উপাদান থাকে যা সর্বাধিক এবং সর্বশ্রেষ্ঠ উভয়ই হয়। একটি ক্যানোনিকাল মানচিত্র রয়েছে যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যদিও এটি সাধারণভাবে আংশিকভাবে সাজানো সেট নয়, এটি একটি নির্দেশিত সেট যদি (এবং শুধুমাত্র যদি) একটি প্রিফিল্টার হয়। সুতরাং "একটি প্রিফিল্টার দ্বারা প্ররোচিত নেট"-এর সংজ্ঞার জন্য সবচেয়ে তাৎক্ষণিক পছন্দ হল ইনটু থেকে অ্যাসাইনমেন্ট যদি একটি প্রিফিল্টার চালু থাকে তবে একটি নেট এবং এর সাথে যুক্ত প্রিফিল্টার হয়; অর্থাৎঃ এটি অবশ্যই সত্য হবে না যদি এর যথাযথ উপসেটে সংজ্ঞায়িত করা হত। এর পরিবর্তে সিঙ্গলটন সেটে সংজ্ঞায়িত করা হত যেখানে এর সীমাবদ্ধতা সাময়িকভাবে নির্দেশ করা হবে, ততদিনে এর সাথে যুক্ত লেজের প্রিফিল্টারটি মূল ফিল্টারের পরিবর্তে প্রধান প্রিফিল্টার হবে; এর অর্থ হল সমতা, তাই প্রিফিল্টারের বিপরীতে আরও খারাপ থেকে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে, যখন প্রিফিল্টারের অনন্য ফিল্টারটি পরিবর্তে একটি ফিল্টার (অর্থাৎ একটি আল্ট্রাফিল্টার) তৈরি করে। আল্ট্রানেট এবং আল্ট্রা প্রিফিল্টার একটি নেটকে বলা হয় অ্যান বা ইন যদি প্রতিটি উপসেট শেষ পর্যন্ত থাকে বা শেষ পর্যন্ত থাকে; এটি তখনই ঘটে যখন এটি একটি আল্ট্রা প্রিফিল্টার হয়। একটি প্রিফিল্টার একটি আল্ট্রা প্রিফিল্টার হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি আংশিকভাবে অর্ডার করা নেটের একটি আল্ট্রানেট হয় ক্যানোনিকাল নেটের ডোমেনটি সাধারণত আংশিকভাবে অর্ডার করা হয় না। যাইহোক, 1955 সালে ব্রুনস এবং শ্মিট এমন একটি নির্মাণ আবিষ্কার করেন যা ক্যানোনিকাল নেটের জন্য এমন একটি ডোমেন রাখার অনুমতি দেয় যা আংশিকভাবে অর্ডার এবং পরিচালিত উভয়ই হয়; এটি 1970 সালে আলবার্ট উইলানস্কি দ্বারা স্বাধীনভাবে পুনরায় আবিষ্কৃত হয়েছিল। এটি একটি কঠোর আংশিক ক্রম (যার অর্থ একটি ক্ষণস্থায়ী এবং অপরিবর্তনীয় সম্পর্ক) নির্মাণের সাথে শুরু হয় যার একটি উপসেট কঠোর আংশিক ক্রমের অভিধানগত ক্রমের অনুরূপ যে কোনও ব্যক্তির জন্য ঘোষণা করা হয় যে যদি এবং কেবলমাত্র যদি বা সমতুল্যভাবে, যদি এবং কেবলমাত্র যদি দ্বারা চিহ্নিত অ-কঠোর আংশিক ক্রমটি এই সংজ্ঞাগুলি আনওয়াইন্ডিং ঘোষণা করে সংজ্ঞায়িত করা হয় নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য প্রদান করেঃ যা দেখায় যে এটি কেবল অভিধানগত ক্রম যা দ্বারা প্ররোচিত হয় যেখানে আংশিকভাবে সমতা দ্বারা আদেশ করা হয় উভয়ই ক্রমিক এবং কোনও বৃহত্তম উপাদান বা সর্বাধিক উপাদানের অধিকারী নয়; এটি সত্য থাকে যদি তারা প্রত্যেকে সংজ্ঞায়িত উপসেটের মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে যেখানে এটি এখন থেকে ধরে নেওয়া হবে। এই উপসেট থেকে অ্যাসাইনমেন্টটি এইভাবে চিহ্নিত করুনঃ যদি ঠিক আগের মতোই, শুরুর দিকের লেজ সমান হয় যদি একটি প্রিফিল্টার চালু থাকে তবে একটি নেট যার ডোমেনে আংশিকভাবে অর্ডার করা সেট এবং তদুপরি, কারণ এর লেজগুলি অভিন্ন (যেহেতু উভয়ই প্রিফিল্টারের সমান), সাধারণত কোনও প্রিফিল্টারের সাথে যুক্ত নেটের ডোমেনটি আংশিকভাবে অর্ডার করা হয়েছে বলে ধরে নিয়ে কিছুই হারিয়ে যায় না। যদি সেটটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় তবে কঠোর আংশিক ক্রমটিও একটি ঘন ক্রম হবে। অধস্তন ফিল্টার এবং সাবনেট "অধীনস্ত" (লিখিত) ধারণাটি ফিল্টার এবং প্রিফিল্টারগুলির জন্য যা "এর পরবর্তী" ক্রমের জন্য। উদাহরণস্বরূপ, যদি এর লেজের সেট নির্দেশ করে এবং যদি পরবর্তী (যেখানে) লেজের সেট নির্দেশ করে তবে (অর্থাৎ,) সত্য তবে সাধারণভাবে মিথ্যা। সাবনেট এবং অধস্তন ফিল্টারগুলির অসামঞ্জস্য একটি পূর্বনির্ধারিত স্থানের একটি উপসেট হল বা যদি প্রত্যেকটির জন্য কিছু বিদ্যমান থাকে তবে এর একটি লেজ থাকে বা; স্পষ্টভাবে, এর অর্থ হল যে কিছু বিদ্যমান (অর্থাৎ,)। একটি চূড়ান্ত সেট অবশ্যই খালি নয়। একটি উপসেট চূড়ান্ত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এর পরিপূরক ঘন ঘন না হয় (যাকে বলা হয়)। দুটি পূর্বনির্ধারিত সেটের মধ্যে একটি মানচিত্র হল যখনই উইলার্ড অর্থে সাবনেট এবং কেলি অর্থে সাবনেট "সাবনেট"-এর সর্বাধিক ব্যবহৃত সংজ্ঞা হয়। সাবনেটের প্রথম সংজ্ঞা 1955 সালে জন এল. কেলি দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। স্টিফেন উইলার্ড 1970 সালে কেলির সাবনেটের সংজ্ঞার নিজস্ব সংস্করণ চালু করেন। স্মাইলি (1957), আর্নেস অ্যান্ড অ্যান্ডিনেস (1972) এবং মুরদেশ্বর (1983) দ্বারা স্বাধীনভাবে এএ-সাবনেট চালু করা হয়েছিল; আর্নেস এবং অ্যান্ডিনেস দ্বারা এএ-সাবনেটগুলি খুব বিস্তারিতভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছিল তবে সেগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় না। কেলির জন্য মানচিত্রটি অর্ডার প্রিজারভেশন করার প্রয়োজন ছিল না, তবে এএ-সাবনেটের সংজ্ঞাটি দুটি নেটের ডোমেনের মধ্যে যে কোনও মানচিত্রকে সম্পূর্ণরূপে সরিয়ে দেয় এবং পরিবর্তে সম্পূর্ণরূপে-নেটের সাধারণ কোডোমেইনের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। প্রতিটি উইলার্ড-সাবনেট একটি কেলি-সাবনেট এবং উভয়ই এএ-সাবনেট। বিশেষত, যদি একটি উইলার্ড-সাবনেট বা একটি কেলি-সাবনেট হয় তবে উদাহরণস্বরূপঃ আসুন এবং একটি ধ্রুবক ক্রম হতে দিন, ধরুন এবং তাই এটি একটি নেট অন। তারপর একটি এএ-সাবনেট কারণ তবে এটি একটি উইলার্ড-সাবনেট নয় কারণ এমন কোনও মানচিত্র নেই যার চিত্রটি একটি কো-ফাইনাল উপসেট এবং এটি একটি কেলি-সাবনেট নয় কারণ যদি কোনও মানচিত্র হয় তবে এটি একটি কো-ফাইনাল উপসেট তবে অবশেষে এএ-সাবনেটগুলির একটি সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা অবিলম্বে দেখায় যে তারা সাব (অর্ডিনেট) ফিল্টারগুলির সাথে সম্পূর্ণরূপে বিনিময়যোগ্য। স্পষ্টতই, যা বোঝানো হয়েছে তা হল এএ-সাবনেটগুলির জন্য নিম্নলিখিত বিবৃতিটি সত্যঃ যদি প্রিফিল্টার হয় তবে এটি একটি এএ-সাবনেট হয় যদি "এএ-সাবনেট" কে "উইলার্ড-সাবনেট" বা "কেলি-সাবনেট" দ্বারা প্রতিস্থাপিত করা হয় তবে উপরের বিবৃতিটি হয়ে যায়। বিশেষত, সমস্যাটি হল যে নিম্নলিখিত বিবৃতিটি সাধারণভাবে ভুলঃ বিবৃতিঃ যদি প্রিফিল্টারগুলি এমন হয় যা একটি কেলি-সাবনেট হয় যেহেতু প্রতিটি উইলার্ড-সাবনেট একটি কেলি-সাবনেট, এই বিবৃতিটি মিথ্যা থেকে যায় যদি "কেলি-সাবনেট" শব্দটি "উইলার্ড-সাবনেট" দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। : সকলের জন্য যাক যা একটি সঠিক-ব্যবস্থা, এবং যেখানে উভয় পরিবার প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রিফিল্টার, কারণ একটি ধারাবাহিকতা হিসাবে একটি ক্রম। সুতরাং আদর্শভাবে, এর একটি সাবনেট হওয়া উচিত ধরা যাক ডোমেনে একটি কো-ফাইনাল সাবসেট রয়েছে যা অর্ডার আইসোমরফিক এবং ফলস্বরূপ কোনও সর্বাধিক বা সর্বশ্রেষ্ঠ উপাদান নেই। ধরা যাক এটি একটি সর্বাধিক এবং সর্বশ্রেষ্ঠ উপাদান উভয়ই নির্দেশিত সেটটিতে একটি উপসেট রয়েছে যা সমতুল্য ক্রমের (কারণ এতে এমন একটি উপসেট রয়েছে) তবে সর্বাধিক উপাদানের কারণে এই জাতীয় কোনও উপসেট চূড়ান্ত হতে পারে না ফলস্বরূপ, যে কোনও ক্রম-সংরক্ষণকারী মানচিত্র অবশ্যই পরিশেষে ধ্রুবক (মান সহ) হতে হবে যেখানে তখন পরিসীমার একটি বৃহত্তম উপাদান কারণ এর কারণে, এমন কোনও ক্রম সংরক্ষণকারী মানচিত্র থাকতে পারে না যা উইলার্ড-সাবনেট হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে (কারণ এই জাতীয় মানচিত্রের পরিসীমা সহ-চূড়ান্ত হতে পারে না)। মনে করুন দ্বন্দ্বের স্বার্থে এমন একটি মানচিত্র রয়েছে যা অবশেষে সকলের জন্য রয়েছে কারণ এমন একটি বিদ্যমান রয়েছে যে প্রত্যেকের জন্য কারণ শেষ পর্যন্ত এটির মধ্যে থাকা প্রয়োজন যে বিশেষত, যদি সংজ্ঞা অনুসারে কোনটি সমতুল্য হয় তবে তা মিথ্যা। ফলস্বরূপ, যদি "সাবনেট" কে উইলার্ড-সাবনেট বা কেলি-সাবনেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে নেট এবং ফিল্টারগুলি সম্পূর্ণরূপে বিনিময়যোগ্য নয় কারণ একটি ফিল্টার-সাব (অর্ডিনেট) ফিল্টার সম্পর্ক রয়েছে যা দুটি প্ররোচিত নেটের মধ্যে নেট-সাবনেট সম্পর্কের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যায় না। বিশেষত, সমস্যাটি হল কেলি-সাবনেট এবং উইলার্ড-সাবনেটগুলি অধস্তন ফিল্টারগুলির সাথে সম্পূর্ণরূপে বিনিময়যোগ্য। যদি "সাবনেট" ধারণাটি ব্যবহার না করা হয় বা "সাবনেট" মানে এএ-সাবনেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে এটি একটি সমস্যা হয়ে দাঁড়ায় এবং তাই নেট এবং ফিল্টারগুলি বিনিময়যোগ্য বলে বলা সঠিক হয়ে ওঠে। উইলার্ড এবং কেলি সাবনেটগুলির মতো এএ-সাবনেটগুলির কোনও সমস্যা না থাকা সত্ত্বেও, সেগুলি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত বা জানা যায় না। আরও দেখুন নোটস প্রুফস সাইটেশনস রেফারেন্স (টপোলজি এবং মেট্রিক স্পেসে ফিল্টারগুলির একটি প্রারম্ভিক পর্যালোচনা প্রদান করে।) সাধারণ টপোলজি অর্ডার তত্ত্ব সেট তত্ত্ব