P-adic gamma function
গণিতে, পি-অ্যাডিক গামা ফাংশন হল গামা ফাংশনের অনুরূপ একটি পি-অ্যাডিক চলকের একটি ফাংশন। এটি প্রথমে স্পষ্টভাবে দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল, যদিও উল্লেখ করা হয়েছে যে অন্তর্নিহিতভাবে একই ফাংশন ব্যবহার করা হয়েছে। লগের একটি পি-অ্যাডিক অ্যানালগ জিপি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে. পূর্বে গামা ফাংশনের একটি ভিন্ন পি-অ্যাডিক অ্যানালগের সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছিল, তবে তার ফাংশনের সন্তোষজনক বৈশিষ্ট্য নেই এবং খুব বেশি ব্যবহার করা হয় না। সংজ্ঞা p-adic গামা ফাংশন হল একটি p-adic পূর্ণসংখ্যা x (মান সহ)-এর অনন্য অবিচ্ছিন্ন ফাংশন যাতে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা x-এর জন্য, যেখানে গুণফলটি পূর্ণসংখ্যা i-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে যা p দ্বারা বিভাজ্য নয়। যেহেতু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি p-adic টপোলজির সাপেক্ষে ঘন, তাই এটিকে এককভাবে সমগ্র পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে। এখানে p-adic পূর্ণসংখ্যার বলয় রয়েছে। এটি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে এর মানগুলি বিপরীতমুখী; এর কারণ হল এই মানগুলি পূর্ণসংখ্যার গুণফল যা p দ্বারা বিভাজ্য নয়, এবং এই বৈশিষ্ট্যটি অবিচ্ছিন্ন সম্প্রসারণের পরে ধরে রাখে। এইভাবে। এখানে বিপরীতমুখী পি-অ্যাডিক পূর্ণসংখ্যার সেট রয়েছে। পি-অ্যাডিক গামা ফাংশনের মৌলিক বৈশিষ্ট্য ধ্রুপদী গামা ফাংশন যে কোনও কার্যকরী সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। মোরিটা গামা ফাংশনের ক্ষেত্রে এর একটি সাদৃশ্য রয়েছেঃ পি-অ্যাডিক ক্ষেত্রে অয়লারের প্রতিফলন সূত্রের নিম্নলিখিত সহজ প্রতিরূপ রয়েছেঃ x-এর পি-অ্যাডিক সম্প্রসারণে প্রথম অঙ্কটি কোথায়, যদি না, এই ক্ষেত্রে 0-এর পরিবর্তে। বিশেষ মান এবং, সাধারণভাবে, মোরিতা গামা ফাংশন কিংবদন্তি প্রতীকের সাথে সম্পর্কিতঃ এটিও দেখা যায়, তাই হিসাবে। অন্যান্য আকর্ষণীয় বিশেষ মানগুলি গ্রস-কোব্লিটজ সূত্র থেকে আসে, যা প্রথমে কোহোমোলজিকাল সরঞ্জাম দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল এবং পরে আরও প্রাথমিক পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, যেখানে প্রথম অঙ্ক 3 সহ বর্গমূলকে বোঝায় এবং প্রথম অঙ্ক 2 সহ বর্গমূলকে বোঝায়। (যদি আমরা শিকড়ের কথা বলি তবে এই ধরনের নির্দিষ্টকরণগুলি সর্বদা করা উচিত।) আরেকটি উদাহরণ হল যেখানে 1 মডুলো 3-এর বর্গমূল সর্বসম। পি-এডিক রাবে সূত্র ধ্রুপদী গামা ফাংশনের জন্য রাবে-সূত্রটি বলে যে মোরিতা গামা ফাংশনের ইওয়াসাওয়া লগারিদমের জন্য এটির একটি এনালগ রয়েছেঃ সিলিং ফাংশনকে পি-এডিক সীমা হিসাবে বোঝা যায় যেমন মূলদ পূর্ণসংখ্যার মাধ্যমে। মাহলার সম্প্রসারণ শাস্ত্রীয় বিশ্লেষণে টেলর সম্প্রসারণের মতো পি-অ্যাডিক ফাংশনের জন্যও মাহলার সম্প্রসারণ একইভাবে গুরুত্বপূর্ণ। পি-অ্যাডিক গামা ফাংশনের মাহলার সম্প্রসারণ নিম্নরূপঃ যেখানে ক্রমটি নিম্নলিখিত পরিচয় দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ আরও দেখুন গ্রস-কোব্লিটজ সূত্র রেফারেন্স সংখ্যা তত্ত্ব পি-অ্যাডিক সংখ্যা