Petrov–Galerkin method
পেট্রোভ-গ্যালারকিন পদ্ধতি হল একটি গাণিতিক পদ্ধতি যা আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের আনুমানিক সমাধানের জন্য ব্যবহৃত হয় যেখানে বিজোড় ক্রমের পদ থাকে এবং যেখানে টেস্ট ফাংশন এবং সমাধান ফাংশন বিভিন্ন ফাংশন স্পেসের অন্তর্গত। এটিকে বুবনভ-গ্যালারকিন পদ্ধতির একটি সম্প্রসারণ হিসাবে দেখা যেতে পারে যেখানে পরীক্ষার কার্যকারিতা এবং সমাধান কার্যকারিতার ভিত্তি একই। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি অপারেটর গঠনে, পেত্রভ-গ্যালারকিন পদ্ধতিকে এমন একটি অভিক্ষেপ প্রয়োগ হিসাবে দেখা যেতে পারে যা বুবনভ-গ্যালারকিন পদ্ধতির বিপরীতে অর্থোগোনাল নয়। একটি বিমূর্ত সমস্যার সাথে পরিচয় পেট্রোভ-গ্যালারকিনের পদ্ধতি গ্যালারকিন পদ্ধতির একটি প্রাকৃতিক সম্প্রসারণ এবং একইভাবে নিম্নরূপ চালু করা যেতে পারে। দুর্বল গঠনে একটি সমস্যা আসুন আমরা হিলবার্ট স্পেসের একটি জুটির উপর একটি দুর্বল গঠন হিসাবে উত্থাপিত একটি বিমূর্ত সমস্যা বিবেচনা করি এবং, অর্থাৎ, এমন একটি খুঁজে বের করি যা সকলের জন্য। এখানে, একটি দ্বিমাত্রিক রূপ এবং একটি আবদ্ধ রৈখিক কার্যকরী। পেট্রোভ-গ্যালারকিনের মাত্রা হ্রাস n মাত্রার এবং m মাত্রার সাবস্পেসগুলি বেছে নিন এবং অভিক্ষিপ্ত সমস্যাটি সমাধান করুনঃ এমন কিছু খুঁজে বের করুন যা সকলের জন্য উপযুক্ত। আমরা লক্ষ্য করেছি যে সমীকরণটি অপরিবর্তিত রয়েছে এবং কেবল স্থানগুলি পরিবর্তিত হয়েছে। সমস্যাটিকে একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ভেক্টর সাবস্পেসে হ্রাস করার ফলে আমরা সংখ্যাসূচকভাবে বেস ভেক্টরগুলির একটি সীমাবদ্ধ রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে গণনা করতে পারি। পেট্রোভ-গ্যালারকিন সাধারণ অর্থোগোনালিটি পেট্রোভ-গ্যালারকিন পদ্ধতির মূল বৈশিষ্ট্য হল যে ত্রুটিটি কিছু অর্থে নির্বাচিত সাবস্পেসগুলির "অর্থোগোনাল"। যেহেতু, আমরা মূল সমীকরণে একটি পরীক্ষা ভেক্টর হিসাবে ব্যবহার করতে পারি। দুটিকে বিয়োগ করলে, আমরা ত্রুটির জন্য সম্পর্ক পাই, যা মূল সমস্যার সমাধান এবং গ্যালারকিন সমীকরণের সমাধানের মধ্যে ত্রুটি, যা সকলের জন্য নিম্নরূপ। ম্যাট্রিক্স ফর্ম যেহেতু অনুমানের লক্ষ্য হল সমীকরণের একটি রৈখিক ব্যবস্থা তৈরি করা, তাই আমরা এর ম্যাট্রিক্স ফর্ম তৈরি করি, যা সমাধানটি অ্যালগরিদমিকভাবে গণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এর জন্য একটি ভিত্তি এবং একটি ভিত্তি হতে দিন। তারপর, গ্যালারকিন সমীকরণ পরীক্ষা করার জন্য এগুলি ব্যবহার করা যথেষ্ট, অর্থাৎ। এই পূর্ববর্তী সমীকরণটি আসলে সমীকরণের একটি রৈখিক ব্যবস্থা, যেখানে ম্যাট্রিক্সের প্রতিসাম্য ম্যাট্রিক্স এন্ট্রিগুলির সংজ্ঞার কারণে, ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসাম্য হয় যদি দ্বিমাত্রিক রূপটি প্রতিসাম্য হয়,, এবং সকলের জন্য বুবনভ-গ্যালারকিন পদ্ধতির বিপরীতে, সিস্টেম ম্যাট্রিক্স এমনকি বর্গক্ষেত্রও নয়, যদি বুবনভ-গ্যালারকিন পদ্ধতিও দেখুন নোটস আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ