Method of mean weighted residuals
ফলিত গণিতে, গড় ওজনযুক্ত অবশিষ্টাংশের পদ্ধতি (এমডব্লিউআর) হল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি। এই ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির সমাধানগুলি পরীক্ষার ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ যোগফল দ্বারা ভালভাবে আনুমানিক বলে ধরে নেওয়া হয়। এই ধরনের ক্ষেত্রে, ওজনযুক্ত অবশিষ্টাংশের নির্বাচিত পদ্ধতিটি প্রতিটি সংশ্লিষ্ট পরীক্ষার ফাংশনের সহগ মান খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়। একটি নির্বাচিত নিয়মে পরীক্ষার ফাংশনের রৈখিক সংমিশ্রণ এবং প্রকৃত সমাধানের মধ্যে ত্রুটি হ্রাস করার জন্য ফলস্বরূপ সহগ তৈরি করা হয়। এই পৃষ্ঠার স্বরলিপি বিভ্রান্তি এড়ানোর জন্য এই পদ্ধতিটি কীভাবে কার্যকর করা হয় তা উপস্থাপনের আগে ব্যবহৃত স্বরলিপিগুলি প্রায়শই বাছাই করা খুব গুরুত্বপূর্ণ। এমডব্লিউআর পদ্ধতি প্রয়োগ করা হচ্ছে এমন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান বোঝাতে ব্যবহার করা হবে। উল্লিখিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান "অবশিষ্টাংশ ফাংশন" নামক কিছু ফাংশনকে শূন্যে স্থাপন করে সম্পন্ন করা হবে। গড় ওজনযুক্ত অবশিষ্টাংশের প্রতিটি পদ্ধতিতে কিছু "টেস্ট ফাংশন" জড়িত থাকে যা দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। স্বাধীনতার মাত্রা দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। যদি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের অনুমিত রূপটি রৈখিক হয় (স্বাধীনতার মাত্রায়) তবে উক্ত আকারে ব্যবহৃত বেসিস ফাংশনগুলি দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। পদ্ধতির গাণিতিক বিবৃতি গড় ওজনযুক্ত অবশিষ্টাংশের পদ্ধতিটি এমনভাবে আরোপ করে সমাধান করে যে স্বাধীনতার মাত্রা এমন যেঃ সন্তুষ্ট হয়। যেখানে ইনার প্রোডাক্ট হল কিছু ওয়েটিং ফাংশনের সাপেক্ষে স্ট্যান্ডার্ড ফাংশন ইনার প্রোডাক্ট যা সাধারণত বেসিস ফাংশন সেট দ্বারা বা নির্বিচারে যে কোনও ওয়েটিং ফাংশন সবচেয়ে সুবিধাজনক অনুসারে নির্ধারিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যখন ভিত্তি সেটটি কেবল প্রথম ধরনের চেবিশেভ বহুপদী হয়, তখন ওজন ফাংশনটি সাধারণত হয় কারণ অভ্যন্তরীণ পণ্যগুলি তখন চেবিশেভ রূপান্তর ব্যবহার করে আরও সহজে গণনা করা যায়। উপরন্তু, এই সমস্ত পদ্ধতির মধ্যে মিল রয়েছে যে তারা সীমানা শর্তগুলি প্রয়োগ করে যে ভিত্তি ফাংশনগুলি (একটি রৈখিক সংমিশ্রণের ক্ষেত্রে) পৃথকভাবে মূল বি. ভি. পি-তে সীমানা শর্তগুলি প্রয়োগ করে (এটি কেবল তখনই কাজ করে যখন সীমানা শর্তগুলি সমজাতীয় হয় তবে এই অভিব্যক্তিটিকে মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে এবং নতুন সমাধানের জন্য সমজাতীয় সীমানা শর্ত আরোপ করে যা u (x) অর্থাৎ v (x) খুঁজে বের করার চেষ্টা করা হচ্ছে যেখানে L (x) এমন একটি ফাংশন যা u-এর উপর আরোপিত সীমানা শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে যা জানা যায়। ), অথবা স্পষ্টভাবে সীমানা আরোপ করে ম্যাট্রিক্সে n সারি সরিয়ে যা বিচ্ছিন্ন সমস্যার প্রতিনিধিত্ব করে যেখানে n ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ক্রমকে বোঝায় এবং তাদের সাথে প্রতিস্থাপিত করে যা সীমানা শর্তের প্রতিনিধিত্ব করে। পরীক্ষার ফাংশনের পছন্দ আগে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, পরীক্ষার ফাংশনের পছন্দ নির্ভর করে ব্যবহৃত নির্দিষ্ট পদ্ধতির উপর (গড় ওজনযুক্ত অবশিষ্ট পদ্ধতির সাধারণ শিরোনামের অধীনে)। এখানে সাধারণভাবে ব্যবহৃত নির্দিষ্ট এমডাব্লুআর পদ্ধতি এবং তাদের সংশ্লিষ্ট পরীক্ষার ক্রিয়াকলাপগুলির মোটামুটিভাবে তাদের জনপ্রিয়তা অনুসারে একটি তালিকা রয়েছেঃ গ্যালারকিন পদ্ধতি, যা বেসিস ফাংশনগুলিকে পরীক্ষা ফাংশন হিসাবে ব্যবহার করে বা একটি অরৈখিক অনুমিত ফর্মের আরও সাধারণ ক্ষেত্রে (যেখানে অরৈখিকতা স্বাধীনতার মাত্রায় থাকে) গ্যালারকিন পদ্ধতি পরীক্ষার ফাংশনগুলি ব্যবহার করেঃ সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতি যা বিচ্ছিন্ন এক্স পয়েন্টের একটি সেটকে কেন্দ্র করে ডিরাক ডেল্টা ফাংশন ব্যবহার করে এবং সেই এক্স পয়েন্টে অবশিষ্টাংশ ফাংশনকে শূন্য করার সমতুল্য। ন্যূনতম-বর্গ পদ্ধতিটি পরীক্ষার ফাংশন ব্যবহার করেঃ এই পদ্ধতিতে অবশিষ্টাংশ ফাংশনের (অর্থাৎ) L2-আদর্শের বর্গকে স্বাধীনতার মাত্রার সাপেক্ষে ন্যূনতম করার প্রভাব রয়েছে। মুহুর্তের পদ্ধতিটি পরীক্ষার ফাংশনের সহজ সেট ব্যবহার করে এবং হিলবার্ট ম্যাট্রিক্সকে উল্টানোর সাথে সম্পর্কিত গণনামূলক সমস্যার কারণে যখন উচ্চ মাত্রার নির্ভুলতার প্রয়োজন হয় তখন খুব কমই প্রয়োগ করা হয়। তথ্যসূত্র ফলিত গণিতের পরিচিতি, ওয়েলেসলি-কেমব্রিজ প্রেস (1986)। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ