Quasiregular map
গাণিতিক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে, কোয়াশিরেগুলার মানচিত্র হল একই মাত্রার ইউক্লিডীয় স্পেস আরএন-এর মধ্যে বা আরও সাধারণভাবে, একই মাত্রার রিমানিয়ান ম্যানিফোল্ডের মধ্যে অবিচ্ছিন্ন মানচিত্রের একটি শ্রেণী, যা একটি জটিল চলকের হোলোমরফিক ফাংশনের সাথে কিছু মৌলিক বৈশিষ্ট্য ভাগ করে নেয়। একটি জটিল চলকের হোলোমর্ফিক (= বিশ্লেষণাত্মক) ফাংশনের তত্ত্ব সমগ্র গণিতের সবচেয়ে সুন্দর এবং সবচেয়ে দরকারী অংশগুলির মধ্যে একটি। এই তত্ত্বের একটি ত্রুটি হল যে এটি শুধুমাত্র দ্বিমাত্রিক স্থানের (রিম্যান পৃষ্ঠতল) মধ্যে মানচিত্র নিয়ে কাজ করে। বেশ কয়েকটি জটিল চলকের ফাংশন তত্ত্বের একটি ভিন্ন চরিত্র রয়েছে, মূলত কারণ বেশ কয়েকটি চলকের বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। অনানুষ্ঠানিক মানচিত্রগুলি ইউক্লিডীয় স্থানগুলির মধ্যে নির্বিচারে মাত্রার মধ্যে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, কিন্তু যখন মাত্রাটি 2-এর চেয়ে বেশি হয়, তখন এই শ্রেণীর মানচিত্রগুলি খুব ছোট হয়ঃ এটি শুধুমাত্র মোবিয়াস রূপান্তর নিয়ে গঠিত। এটি জোসেফ লিউভিলের একটি উপপাদ্য; মসৃণতা অনুমানগুলি শিথিল করা সাহায্য করে না, যেমনটি ইউরি রেশেতনিয়াক দ্বারা প্রমাণিত হয়েছে। এটি সামঞ্জস্যের বৈশিষ্ট্যের একটি সাধারণীকরণের অনুসন্ধানের পরামর্শ দেয় যা উচ্চতর মাত্রায় মানচিত্রের একটি সমৃদ্ধ এবং আকর্ষণীয় শ্রেণী দেবে। সংজ্ঞা Rn থেকে Rn-এ একটি অঞ্চল D-এর একটি পার্থক্যযোগ্য মানচিত্র f-কে K-কোয়াশিরেগুলার বলা হয় যদি নিম্নলিখিত বৈষম্য D-এর সমস্ত বিন্দুতে থাকেঃ এখানে K ±1 একটি ধ্রুবক, Jf হল জ্যাকোবিয়ান নির্ধারক, Df হল অন্তরজ, যা জ্যাকোবি ম্যাট্রিক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত রৈখিক মানচিত্র, এবং।।। ম্যাট্রিক্সের স্বাভাবিক (ইউক্লিডীয়) আদর্শ। এই ধরনের মানচিত্রের তত্ত্বের বিকাশ দেখায় যে ধ্রুপদী অর্থে পৃথকীকরণযোগ্য মানচিত্রে নিজেকে সীমাবদ্ধ রাখা অযৌক্তিক, এবং মানচিত্রের "সঠিক" শ্রেণীটি সোবোলেভ স্পেস ডাব্লু-তে অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র নিয়ে গঠিত যার আংশিক ব্যুৎপত্তিগুলি বিতরণের অর্থে স্থানীয়ভাবে যোগযোগ্য এন-তম শক্তি রয়েছে এবং যাতে উপরের বৈষম্য প্রায় সর্বত্র সন্তুষ্ট হয়। এটি কে-চতুষ্কোণীয় মানচিত্রের একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা। একটি মানচিত্রকে কোয়াসিরেগুলার বলা হয় যদি এটি কিছু কে সহ কে-কোয়াসিরেগুলার হয়। ধ্রুবক মানচিত্রগুলি কোয়াসিরেগুলার মানচিত্রের শ্রেণী থেকে বাদ দেওয়া হয়। বৈশিষ্ট্য কোয়াসিরেগুলার মানচিত্র সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্যটি রেশেতনিয়াক দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিলঃ কোয়াসিরেগুলার মানচিত্রগুলি উন্মুক্ত এবং বিচ্ছিন্ন। এর মানে হল যে খোলা সেটগুলির চিত্রগুলি খোলা থাকে এবং পয়েন্টগুলির প্রিমেজগুলি বিচ্ছিন্ন পয়েন্ট নিয়ে গঠিত। মাত্রা 2-এ, এই দুটি বৈশিষ্ট্য অ-ধ্রুবক বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের শ্রেণীর একটি টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য প্রদান করেঃ সমতলে একটি সমতল ডোমেনের প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন খোলা এবং বিচ্ছিন্ন মানচিত্র একটি সমরূপতার সাথে পূর্ব-রচিত হতে পারে, যাতে ফলাফলটি একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হয়। এটি সিমিয়ন স্টোইলভের একটি উপপাদ্য। রেশেতনিয়াকের উপপাদ্যটি বোঝায় যে সমস্ত বিশুদ্ধ টপোলজিকাল ফলাফল বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন সম্পর্কে (যেমন সর্বাধিক মডুলাস নীতি, রুচের উপপাদ্য ইত্যাদি)। আধা-নিয়ন্ত্রক মানচিত্র পর্যন্ত প্রসারিত। ইনজেকটিভ কোয়াসিরেগুলার মানচিত্রগুলিকে কোয়াসিকোফর্মাল বলা হয়। অ-ইনজেকটিভ কোয়াসিরেগুলার মানচিত্রের একটি সহজ উদাহরণ 3-স্পেসে নলাকার স্থানাঙ্কে সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে এই মানচিত্রটি 2-কোয়াসিরেগুলার। এটি জেড-অক্ষ ব্যতীত সর্বত্র মসৃণ। একটি উল্লেখযোগ্য সত্য হল যে সমস্ত মসৃণ অর্ধ-নিয়ন্ত্রক মানচিত্রগুলি স্থানীয় সমরূপতা। আরও উল্লেখযোগ্য হল যে, প্রতিটি কোয়াসিরেগুলার স্থানীয় সমরূপতা Rn → Rn, যেখানে n ≤ 3, একটি সমরূপতা (এটি ভ্লাদিমির জোরিকের একটি উপপাদ্য)। এটি ব্যাখ্যা করে যে কেন কোয়াসিরেগুলার মানচিত্রের সংজ্ঞায় মসৃণ মানচিত্রে নিজেকে সীমাবদ্ধ রাখা যুক্তিসঙ্গত নয়ঃ আরএন-এর সমস্ত মসৃণ কোয়াসিরেগুলার মানচিত্র নিজেই কোয়াসিকোফর্মাল। রিকম্যানের উপপাদ্য একটি জটিল চলকের হোলোমর্ফিক ফাংশনের জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে অনেক উপপাদ্য অর্ধ-নিয়ন্ত্রক মানচিত্রে প্রসারিত করা হয়েছে। এই এক্সটেনশনগুলি সাধারণত অত্যন্ত অ-তুচ্ছ। সম্ভবত এই ধরনের সবচেয়ে বিখ্যাত ফলাফল হল পিকার্ডের উপপাদ্যের সম্প্রসারণ যা সেপ্পো রিকম্যানের কারণেঃ একটি কে-কোয়াসিরেগুলার মানচিত্র Rn → Rn সর্বাধিক একটি সীমাবদ্ধ সেট বাদ দিতে পারে। যখন n = 2 হয়, তখন এই বাদ দেওয়া সেটটিতে সর্বাধিক দুটি বিন্দু থাকতে পারে (এটি পিকার্ডের উপপাদ্যের একটি সহজ সম্প্রসারণ)। কিন্তু যখন n> 2, বাদ দেওয়া সেটটিতে দুটির বেশি পয়েন্ট থাকতে পারে এবং এর কার্ডিনালিটি উপর থেকে n এবং K-এর পরিপ্রেক্ষিতে অনুমান করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, যে কোনও সীমাবদ্ধ সেট বাদ দেওয়া যেতে পারে, যেমন ডেভিড ড্রাসিন এবং পেক্কা পাঙ্কা দেখিয়েছেন। সম্ভাব্য তত্ত্বের সাথে সংযোগ যদি f একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হয়, তবে লগটি সাবহার্মোনিক এবং f এর শূন্য থেকে দূরে সুরেলা। কোয়াসিরেগুলার মানচিত্রের জন্য সংশ্লিষ্ট সত্যটি হল লগ উপবৃত্তাকার ধরনের একটি নির্দিষ্ট অ-রৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। রেশেতনিয়াকের এই আবিষ্কার অ-রৈখিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বের বিকাশকে উদ্দীপিত করে, যা এই ধরনের সমীকরণগুলিকে স্বাভাবিক সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মতো হারমোনিক এবং সাবহার্মোনিক ফাংশনগুলির সাথে আচরণ করে। আরও দেখুন ইউরি রেশেতনিয়াক ভ্লাদিমির জোরিক রেফারেন্স গাণিতিক বিশ্লেষণ