De Donder–Weyl theory
গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে, ডি ডোন্ডার-ওয়েইল তত্ত্ব হল স্থানকালের উপর বৈচিত্র্য এবং শাস্ত্রীয় ক্ষেত্র তত্ত্বের গণনায় হ্যামিল্টনীয় আনুষ্ঠানিকতার একটি সাধারণীকরণ যা স্থান এবং সময়ের স্থানাঙ্ককে সমান ভিত্তিতে বিবেচনা করে। এই কাঠামোতে, বলবিজ্ঞানে হ্যামিল্টনীয় আনুষ্ঠানিকতাকে ক্ষেত্র তত্ত্বের জন্য সাধারণীকরণ করা হয় যাতে একটি ক্ষেত্রকে এমন একটি ব্যবস্থা হিসাবে উপস্থাপন করা হয় যা স্থান এবং সময় উভয় ক্ষেত্রেই পরিবর্তিত হয়। এই সাধারণীকরণ ক্ষেত্র তত্ত্বের ক্যানোনিকাল হ্যামিল্টনিয়ান আনুষ্ঠানিকতা থেকে আলাদা যা স্থান এবং সময়ের চলকগুলিকে ভিন্নভাবে বিবেচনা করে এবং শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রগুলিকে সময়ের সাথে বিবর্তিত অসীম-মাত্রিক ব্যবস্থা হিসাবে বর্ণনা করে। ডি ডোন্ডার-ওয়েল ক্ষেত্র তত্ত্বের গঠন ডি ডোন্ডার-ওয়েল তত্ত্বটি লেজেন্ড্রে রূপান্তর নামে পরিচিত চলকগুলির পরিবর্তনের উপর ভিত্তি করে তৈরি। xi কে স্থানকাল স্থানাঙ্ক হিসাবে ধরা যাক, i = 1 থেকে n এর জন্য (n = 4 স্থান ও সময়ের 3 + 1 মাত্রার প্রতিনিধিত্ব করে), এবং ya ক্ষেত্রের চলকগুলি, a = 1 থেকে m এর জন্য, এবং L ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ঘনত্ব বহুগুণক পিয়ার সাথে এবং ডি ডোন্ডার-ওয়েল হ্যামিল্টনিয়ান ফাংশন H কে ডি ডোন্ডার-ওয়েল সমীকরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ এই ডি ডোন্ডার-ওয়েল হ্যামিল্টনিয়ান ক্ষেত্র সমীকরণের রূপটি সহপরিবর্তনশীল এবং এটি ইউলার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণের সমতুল্য যখন লেজেন্ডার চলকগুলির রূপান্তর পিয়া এবং H একক নয়। এই তত্ত্বটি হ্যামিল্টনীয় ক্ষেত্র তত্ত্বের একটি গঠন যা ক্যানোনিকাল হ্যামিল্টনীয় আনুষ্ঠানিকতা থেকে আলাদা এবং n = 1 এর জন্য এটি হ্যামিল্টনীয় বলবিজ্ঞানে হ্রাস পায় (বৈচিত্র্যের গণনায় ক্রিয়া নীতিও দেখুন)। 1935 সালে হারমান ওয়েইল ডি ডোন্ডার-ওয়েইল তত্ত্বের জন্য হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি তত্ত্ব তৈরি করেছেন। একইভাবে ফেজ স্পেসের সিমপ্লেক্টিক জ্যামিতি ব্যবহার করে প্রণীত বলবিজ্ঞানে হ্যামিল্টনিয়ান ফর্মালিজমের মতো ডি ডন্ডার-ওয়েল তত্ত্বটি মাল্টিসিম্প্লেক্টিক জ্যামিতি বা পলিসিম্প্লেক্টিক জ্যামিতি এবং জেট বান্ডিলের জ্যামিতি ব্যবহার করে প্রণয়ন করা যেতে পারে। ডি ডোন্ডার-ওয়েল তত্ত্বের পয়সন বন্ধনীগুলির একটি সাধারণীকরণ এবং গেরস্টেনহেবার বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করে সাধারণীকৃত পয়সন বন্ধনীগুলির পরিপ্রেক্ষিতে ডি ডোন্ডার-ওয়েল সমীকরণগুলির উপস্থাপনা 1993 সালে কানাচিকোভ দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল। আনুষ্ঠানিকতা, যা এখন ডি ডোন্ডার-ওয়েইল (ডিডব্লিউ) তত্ত্ব নামে পরিচিত, থিওফাইল ডি ডোন্ডার এবং হারমান ওয়েইল দ্বারা বিকশিত হয়েছিল। 1934 সালে হারমান ওয়েইল কনস্ট্যান্টিন কারাথিওডোরির কাজ থেকে অনুপ্রাণিত হয়ে তাঁর প্রস্তাব দিয়েছিলেন, যা ভিটো ভল্টেরার কাজের উপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। অন্যদিকে ডি ডোন্ডারের কাজ এলি কার্টানের অবিচ্ছেদ্য অপরিবর্তনীয় তত্ত্ব থেকে শুরু হয়েছিল। ডি ডোন্ডার-ওয়েইল তত্ত্ব 1930-এর দশক থেকে বৈচিত্র্যের গণনার একটি অংশ এবং প্রাথমিকভাবে এটি পদার্থবিজ্ঞানে খুব কম প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে। সম্প্রতি এটি কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং কোয়ান্টাম মাধ্যাকর্ষণ প্রসঙ্গে তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে প্রয়োগ করা হয়েছিল। 1970 সালে, জ্যামিতিক কোয়ান্টাইজেশন এবং কোয়ান্টাম মেকানিক্সের লেখক জেড্রজেজ স্নিয়াটিকি ডি ডোন্ডার এবং ওয়েইলের কাজের উপর ভিত্তি করে জেট বান্ডিলগুলির একটি অপরিবর্তনীয় জ্যামিতিক সূত্র তৈরি করেছিলেন। 1999 সালে ইগর কানাচিকোভ দেখিয়েছেন যে ডি ডোন্ডার-ওয়েল কোভ্যারিয়েন্ট হ্যামিলটোনিয়ান ক্ষেত্র সমীকরণগুলি ডাফিন-কেমার-পেটিয়াউ ম্যাট্রিক্সের পরিপ্রেক্ষিতে প্রণয়ন করা যেতে পারে। আরও দেখুন হ্যামিল্টনীয় ক্ষেত্র তত্ত্ব কোভ্যারিয়েন্ট হ্যামিল্টনীয় ক্ষেত্র তত্ত্ব আরও পড়া জিওডেসিক ফিল্ডের উপর নির্বাচিত গবেষণাপত্র, ডি. এইচ. ডেলফেনিচ দ্বারা অনুবাদিত এবং সম্পাদিত। পার্ট 1, পার্ট 2 এইচ. এ। কস্তুরপ, পদার্থবিজ্ঞানে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান গতিশীল ব্যবস্থার ক্যানোনিকাল তত্ত্ব, পদার্থবিজ্ঞান প্রতিবেদন, খণ্ড 101, সংখ্যা 1-2, পৃষ্ঠা 1-1 (1983)। মার্ক জে গোটে, জেমস ইসেনবার্গ, জেরল্ড ই. মার্সডেন, রিচার্ড মন্টগোমেরিঃ "মোমেন্টাম ম্যাপস অ্যান্ড ক্লাসিকাল রিলেটিভিস্টিক ফিল্ডস। প্রথম অংশঃ কোভ্যারিয়েন্ট ফিল্ড থিওরি "কর্নেলিয়াস পফলার, হার্টম্যান রোমারঃ ডি ডন্ডার-ওয়েল সমীকরণ এবং মাল্টিসিম্প্লেক্টিক জ্যামিতি, রিপোর্টস অন ম্যাথমেটিকাল ফিজিক্স, খণ্ড। 49 (2002), নং। 2-3, পিপি। 325-334 ক্রিজিস্তফ মরিনঃ দ্য রিম্যান লিগ্যাসিঃ গণিত ও পদার্থবিজ্ঞানে রিম্যানিয়ান ধারণাগুলি, দ্বিতীয় অংশ, অধ্যায় 7.16 একাধিক ইন্টিগ্রালের জন্য বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাসের জন্য ক্ষেত্র তত্ত্ব, ক্লুয়ার একাডেমিক পাবলিশার্স, 1997, পৃ. 482 এফএফ। তথ্যসূত্র গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের বৈচিত্র্যের গণনা