Mertens-stable equilibrium
গেম তত্ত্বে, মার্টেনের স্থায়িত্ব একটি সমাধান ধারণা যা একটি অসহযোগমূলক খেলার ফলাফলের পূর্বাভাস দিতে ব্যবহৃত হয়। সীমিত সংখ্যক খেলোয়াড় এবং কৌশল সহ গেমগুলির জন্য ইলন কোলবার্গ এবং জিন-ফ্রাঙ্কোইস মার্টেন্স স্থিতিশীলতার একটি অস্থায়ী সংজ্ঞা প্রস্তাব করেছিলেন। পরে, মার্টেন্স একটি শক্তিশালী সংজ্ঞা প্রস্তাব করেছিলেন যা শ্রীহরি গোবিন্দান এবং মার্টেন্স আরও বিশদভাবে ব্যাখ্যা করেছিলেন। এই সমাধান ধারণাকে এখন মার্টেনের স্থায়িত্ব বা কেবল স্থায়িত্ব বলা হয়। খেলা তত্ত্বে ব্যবহৃত ন্যাশ ভারসাম্যের অন্যান্য পরিমার্জনগুলির মতো স্থিতিশীলতা ন্যাশ ভারসাম্যের সেটের উপসেটগুলি নির্বাচন করে যার কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। স্থিতিশীলতা অন্যান্য পরিমার্জনগুলির তুলনায় শক্তিশালী মানদণ্ডের আহ্বান জানায় এবং এর ফলে আরও কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট হয় তা নিশ্চিত করে। রিফাইনমেন্ট রিফাইনমেন্টের কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্যগুলি প্রায়শই গ্রহণযোগ্যতা, ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন এবং ফরোয়ার্ড ইন্ডাকশনের যুক্তি দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়। দুই খেলোয়াড়ের খেলায়, একজন খেলোয়াড়ের জন্য গ্রহণযোগ্য সিদ্ধান্তের নিয়ম হল এমন কোনও কৌশল যা অন্যের দ্বারা দুর্বলভাবে প্রভাবিত হয় তা ব্যবহার করে না (কৌশলগত আধিপত্য দেখুন)। ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন বলে যে কোনও ক্ষেত্রে একজন খেলোয়াড়ের সর্বোত্তম ক্রিয়াটি অনুমান করে যে তার এবং অন্যদের পরবর্তী ক্রিয়াগুলি সর্বোত্তম। সাবগেম পারফেক্ট ইকুইলিব্রিয়াম নামক পরিশোধনটি পশ্চাৎমুখী প্রবর্তনের একটি দুর্বল সংস্করণ প্রয়োগ করে এবং ক্রমবর্ধমান শক্তিশালী সংস্করণগুলি হল ক্রমিক ভারসাম্য, নিখুঁত ভারসাম্য, আধা-নিখুঁত ভারসাম্য এবং যথাযথ ভারসাম্য। ফরওয়ার্ড ইন্ডাকশন বলে যে কোনও ইভেন্টে একজন খেলোয়াড়ের সর্বোত্তম ক্রিয়া অন্যের অতীত ক্রিয়াগুলির অনুকূলতা অনুমান করে যখনই তা তার পর্যবেক্ষণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। ফরওয়ার্ড ইন্ডাকশন একটি ক্রমিক ভারসাম্য দ্বারা সন্তুষ্ট হয় যার জন্য একটি তথ্য সেটে একজন খেলোয়াড়ের বিশ্বাস কেবল অন্যের সর্বোত্তম কৌশলগুলিকে সম্ভাব্যতা বরাদ্দ করে যা সেই তথ্য পৌঁছাতে সক্ষম করে। কোলবার্গ এবং মার্টেন্স আরও জোর দিয়েছিলেন যে একটি সমাধান ধারণার অপরিবর্তনীয় নীতিকে সন্তুষ্ট করা উচিত যে এটি কৌশলগত পরিস্থিতির অনেক সমতুল্য উপস্থাপনার মধ্যে কোনটির উপর নির্ভর করে একটি বিস্তৃত-ফর্ম খেলা হিসাবে ব্যবহৃত হয় তার উপর নির্ভর করে না। সুতরাং এটি কেবল বিশুদ্ধ কৌশলগুলি বাদ দেওয়ার পরে প্রাপ্ত হ্রাসকৃত স্বাভাবিক-ফর্মের খেলার উপর নির্ভর করা উচিত যা অপ্রয়োজনীয় কারণ সমস্ত খেলোয়াড়দের জন্য তাদের বেতন অন্যান্য বিশুদ্ধ কৌশলগুলির মিশ্রণ দ্বারা প্রতিলিপি করা যেতে পারে। মার্টেন্স ছোট বিশ্বের নীতির গুরুত্বের উপরও জোর দিয়েছিলেন যে একটি সমাধান ধারণা শুধুমাত্র খেলোয়াড়দের পছন্দের সাধারণ বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করা উচিত এবং খেলাটি বহিরাগত খেলোয়াড়দের অন্তর্ভুক্ত করে কিনা তার উপর নির্ভর করা উচিত নয় যার ক্রিয়া মূল খেলোয়াড়দের সম্ভাব্য কৌশল এবং প্রতিদানের উপর কোনও প্রভাব ফেলে না। কোলবার্গ এবং মার্টেন্স উদাহরণের মাধ্যমে দেখিয়েছেন যে এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য একটি সমাধান ধারণা থেকে প্রাপ্ত করা যায় না যা একক ন্যাশ ভারসাম্য নির্বাচন করে। অতএব, তারা প্রস্তাব করেছিলেন যে একটি সমাধান ধারণার ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়ার সেটের বদ্ধ সংযুক্ত উপসেটগুলি নির্বাচন করা উচিত। সেটটি সংযুক্ত থাকার প্রয়োজনীয়তা সমস্ত ইকুইলিব্রিয়া নির্বাচন করে এমন তুচ্ছ পরিশোধনকে বাদ দেয়। যদি শুধুমাত্র একটি একক (সম্ভবত সংযোগহীন) উপসেট নির্বাচন করা হয় তবে কেবলমাত্র তুচ্ছ পরিশোধন এইচ. নর্ডে, জে. পটার্স, এইচ. রেইজনিয়ার্স এবং ডি. ভার্মিউলেন (1996) দ্বারা আহ্বান করা শর্তগুলি সন্তুষ্ট করেঃ "ভারসাম্য নির্বাচন এবং ধারাবাহিকতা, গেমস এবং অর্থনৈতিক আচরণ, 12:219-225। ব্যাকওয়ার্ড ইনডাকশন এবং ফরওয়ার্ড ইনডাকশনঃ একটি স্থিতিশীল সেটের মধ্যে খেলার স্বাভাবিক রূপের একটি যথাযথ ভারসাম্য রয়েছে যা একটি আধা-নিখুঁত এবং তাই প্রতিটি বিস্তৃত-ফর্মের খেলায় একটি ক্রমিক ভারসাম্যকে নিখুঁত স্মরণ সহ প্ররোচিত করে যার একই স্বাভাবিক রূপ রয়েছে। একটি স্থিতিশীল সেটের একটি উপসেট দুর্বলভাবে প্রভাবিত কৌশল এবং কৌশলগুলির পুনরাবৃত্তিমূলক নির্মূল থেকে বেঁচে থাকে যা সেটের প্রতিটি ভারসাম্যে নিকৃষ্ট উত্তর দেয়। ইনভ্যারিয়েন্স এবং স্মল ওয়ার্ল্ডসঃ একটি গেমের স্থিতিশীল সেট হল যে কোনও বড় গেমের স্থিতিশীল সেটের অনুমান যেখানে এটি মূল খেলোয়াড়দের সম্ভাব্য কৌশল এবং বেতন সংরক্ষণের সময় এম্বেড করা থাকে। ডিকম্পোজিশন এবং প্লেয়ার স্প্লিটিং। দুটি স্বাধীন গেমের পণ্যের স্থিতিশীল সেট হল তাদের স্থিতিশীল সেটের পণ্য। কোনও খেলোয়াড়কে এজেন্টদের মধ্যে বিভক্ত করে স্থিতিশীল সেটগুলি প্রভাবিত হয় না যাতে গেম ট্রি দিয়ে কোনও পথেই দুই এজেন্টের ক্রিয়া অন্তর্ভুক্ত না থাকে। নিখুঁত প্রত্যাহার এবং সাধারণ অর্থপ্রদান সহ দুই খেলোয়াড়ের গেমগুলির জন্য, স্থিতিশীলতা এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে মাত্র তিনটি বৈশিষ্ট্যের সমতুল্যঃ একটি স্থিতিশীল সেট শুধুমাত্র অনির্দিষ্ট কৌশল ব্যবহার করে, একটি আধা-নিখুঁত ভারসাম্য অন্তর্ভুক্ত করে এবং একটি বৃহত্তর খেলায় এম্বেড করার জন্য অনাক্রম্য। একটি স্থিতিশীল সেটের সংজ্ঞা একটি স্থিতিশীল সেটকে গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়ার গ্রাফের একটি বদ্ধ সংযুক্ত এলাকা থেকে প্রজেকশন ম্যাপের প্রয়োজনীয়তা দ্বারা যা সম্পূর্ণ মিশ্র কৌশলগুলির প্রতি খেলোয়াড়দের কৌশলগুলিকে বিভ্রান্ত করে প্রাপ্ত বিশৃঙ্খল গেমগুলির স্থানের উপর। এই সংজ্ঞাটির জন্য নিকটবর্তী প্রতিটি খেলার চেয়ে কাছাকাছি ভারসাম্য থাকা প্রয়োজন। অপরিহার্যতার জন্য আরও প্রয়োজন যে সীমানায় অভিক্ষেপ মানচিত্রের কোনও বিকৃতি না হওয়া, যা নিশ্চিত করে যে ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করা স্থির বিন্দু সমস্যার বিশৃঙ্খলার কাছাকাছি সমাধান রয়েছে। উপরে তালিকাভুক্ত সমস্ত কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য অর্জনের জন্য এটি আপাতদৃষ্টিতে প্রয়োজনীয়। মের্টেনস সমসংস্থান বা সমস্থানিকবিদ্যার জন্য ব্যবহৃত সহগ মডিউলের উপর নির্ভর করে বেশ কয়েকটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা প্রদান করেন। একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞার জন্য কিছু স্বরলিপির প্রয়োজন। একটি প্রদত্ত খেলার জন্য আসুন খেলোয়াড়দের মিশ্র কৌশলগুলির সরলতার ফলস্বরূপ। প্রত্যেকটির জন্য, এর টপোলজিকাল সীমানা হতে দিন। কোনও বিশুদ্ধ কৌশলের ন্যূনতম সম্ভাবনা ধরা যাক। যে কোনও খেলোয়াড়ের জন্য বিশৃঙ্খল খেলাটিকে এমন একটি খেলা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে প্রতিটি খেলোয়াড়ের কৌশল সেটটি প্রোফাইলে একই রকম, তবে যেখানে কৌশল প্রোফাইল থেকে অর্থ প্রদান করা হয়। ধরুন এটি একটি বিশৃঙ্খল ভারসাম্য যদি এর একটি ভারসাম্য। ধরা যাক বিশৃঙ্খল ভারসাম্য চিঠিপত্রের গ্রাফ, অর্থাৎ, গ্রাফটি সেই জোড়াগুলির সেট যা একটি বিশৃঙ্খল ভারসাম্য। কারণ, এর সংশ্লিষ্ট ভারসাম্য। থেকে থেকে প্রাকৃতিক অভিক্ষেপ মানচিত্র দ্বারা চিহ্নিত করুন। জন্য, যাক এবং যাক। পরিশেষে, পূর্ণসংখ্যা সহগের সাথে চেচ কোহোমোলজিকে বোঝায়। নিম্নলিখিতটি মার্টেন্সের সংজ্ঞাগুলির মধ্যে সর্বাধিক অন্তর্ভুক্ত একটি সংস্করণ, যাকে একটি *-স্থিতিশীল সেটের *-stability.Definition বলা হয়ঃ একটি *-স্থিতিশীল সেট যদি এটির সাথে কিছু বন্ধ উপসেটের জন্য নিম্নলিখিত দুটি বৈশিষ্ট্য থাকেঃ সংযোগঃ প্রতিটি পাড়ার জন্য, সেটটির একটি সংযুক্ত উপাদান থাকে যার বন্ধ একটি পাড়ার মধ্যে থাকে। কোহোমোলজিক্যাল এসেনশিয়ালিটিঃ কারো কারো কাছে শূন্য নয়। যদি কোহোমোলজি বা হোমোলজিতে প্রয়োজনীয়তা হোমোটপিতে শিথিল করা হয়, তবে একটি দুর্বল সংজ্ঞা পাওয়া যায়, যা প্রধানত পচন বৈশিষ্ট্যের দুর্বল আকারে পৃথক হয়। তথ্যসূত্র খেলা তত্ত্ব ভারসাম্য ধারণাগুলি অসহযোগমূলক খেলা