Hadamard product (matrices)
গণিতে, হ্যাডামার্ড গুণফল (যা উপাদান-ভিত্তিক গুণফল, প্রবেশ-ভিত্তিক গুণফল বা শুর গুণফল নামেও পরিচিত) হল একটি বাইনারি অপারেশন যা একই মাত্রার দুটি ম্যাট্রিক্স গ্রহণ করে এবং গুণিত সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির একটি ম্যাট্রিক্স প্রদান করে। এই ক্রিয়াকে একটি "সরল ম্যাট্রিক্স গুণন" হিসাবে ভাবা যেতে পারে এবং এটি ম্যাট্রিক্স পণ্য থেকে আলাদা। এটি ফরাসি-ইহুদি গণিতবিদ জ্যাক হাদামার্ড বা জার্মান-ইহুদি গণিতবিদ ইসাই শুরের নামে নামকরণ করা হয়েছে। হ্যাডামার্ড পণ্যটি সহযোগী এবং বিতরণমূলক। ম্যাট্রিক্স পণ্যের বিপরীতে, এটি বিনিময়যোগ্যও। সংজ্ঞা দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য এবং একই মাত্রার জন্য, হ্যাডামার্ড গুণফল (কখনও কখনও) অপারেন্ডগুলির মতো একই মাত্রার একটি ম্যাট্রিক্স, যার দ্বারা প্রদত্ত উপাদানগুলি বিভিন্ন মাত্রার (এবং, যেখানে বা) ম্যাট্রিক্সের জন্য, হ্যাডামার্ড গুণফল অনির্ধারিত। উদাহরণস্বরূপ, দুটি নির্বিচারে 2 × 3 ম্যাট্রিক্সের জন্য হ্যাডামার্ড পণ্যটি হলঃ বৈশিষ্ট্য হ্যাডামার্ড পণ্যটি বিনিময়যোগ্য (একটি বিনিময়যোগ্য বলয়ের সাথে কাজ করার সময়), সংযোজনমূলক এবং বিতরণমূলক। অর্থাৎ, যদি A, B এবং C একই আকারের ম্যাট্রিক্স হয় এবং k একটি স্কেলারঃ দুটি ম্যাট্রিক্সের হ্যাডামার্ড গুণনের অধীনে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স একটি ম্যাট্রিক্স যেখানে সমস্ত উপাদান 1 এর সমান। এটি নিয়মিত ম্যাট্রিক্স গুণনের অধীনে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স থেকে আলাদা, যেখানে শুধুমাত্র প্রধান তির্যকের উপাদানগুলি 1 এর সমান। উপরন্তু, হ্যাডামার্ড গুণনের অধীনে একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোনও উপাদান শূন্যের সমান না হয়। ভেক্টর এবং, এবং সংশ্লিষ্ট তির্যক ম্যাট্রিক্সের জন্য এবং এই ভেক্টরগুলিকে তাদের প্রধান তির্যক হিসাবে, নিম্নলিখিত পরিচয়টি ধারণ করেঃ যেখানে এর কনজুগেট ট্রান্সপোজকে বোঝায়। বিশেষত, একের ভেক্টর ব্যবহার করে, এটি দেখায় যে হ্যাডামার্ড পণ্যের সমস্ত উপাদানের যোগফল হল যেখানে সুপারস্ক্রিপ্ট টি ম্যাট্রিক্স ট্রান্সপোজকে বোঝায়, অর্থাৎ। বর্গ এবং,-এর জন্য একটি সম্পর্কিত ফলাফল হল যে তাদের হাদামার্ড গুণফলের সারি-সমষ্টি হল এর তির্যক উপাদানঃ একইভাবে, উপরন্তু, একটি হাদামার্ড ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণফলকে এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যেখানে ম্যাট্রিক্সের তির্যক থেকে ভেক্টর গঠিত হয়। হ্যাডামার্ড পণ্য হল ক্রোনেকার পণ্যের একটি প্রধান সাবম্যাট্রিক্স। হ্যাডামার্ড পণ্য র্যাঙ্ক বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে যদি এবং ধনাত্মক-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয়, তবে হ্যাডামার্ড পণ্যের সাথে জড়িত নিম্নলিখিত বৈষম্যটি ধারণ করেঃ এর দশম বৃহত্তম আইগেনভ্যালু কোথায়। যদি এবং তির্যক ম্যাট্রিক্স হয়, তবে দুটি ভেক্টরের হ্যাডামার্ড গুণফল এবং এটি অন্য ভেক্টরের সংশ্লিষ্ট তির্যক ম্যাট্রিক্স দ্বারা একটি ভেক্টরের ম্যাট্রিক্স গুণনের সমানঃ ভেক্টর থেকে তির্যক ম্যাট্রিক্স অপারেটরকে হ্যাডামার্ড গুণফল ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যেখানে উপাদানগুলির সাথে একটি ধ্রুবক ভেক্টর এবং এটি পরিচয় ম্যাট্রিক্স। মিশ্র-পণ্য সম্পত্তি যেখানে ক্রোনেকার পণ্য, অনুমান করা হয় যে এর এবং এর সাথে একই মাত্রা রয়েছে। যেখানে মুখ-বিভাজনকারী পণ্য বোঝায়। কলাম-ভিত্তিক খাত্রি-রাও পণ্য কোথায়? শুর পণ্য উপপাদ্য দুটি ধনাত্মক-সমপরিমিত ম্যাট্রিক্সের হ্যাডামার্ড গুণফল হল ধনাত্মক-সমপরিমিত। রাশিয়ান গণিতবিদ ইসাই শুর-এর নামানুসারে এটি শুর পণ্য উপপাদ্য নামে পরিচিত। দুটি ধনাত্মক-সেমিডিফাইনাইট ম্যাট্রিক্সের জন্য এবং, এটিও জানা যায় যে তাদের হ্যাডামার্ড পণ্যের নির্ধারক তাদের নিজ নিজ নির্ধারকগুলির গুণফলের চেয়ে বড় বা সমানঃ সমতুল্য ক্রিয়াকলাপ অন্যান্য হ্যাডামার্ড ক্রিয়াকলাপগুলি গাণিতিক সাহিত্যেও দেখা যায়, যথা এবং (যা ভগ্নাংশ সূচকের কারণে কার্যকরভাবে একই জিনিস), একটি ম্যাট্রিক্সের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয় যেমনঃ জন্য এবং পড়ার জন্যঃ এ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ প্রোগ্রামিং ভাষাগুলিতে বেশিরভাগ বৈজ্ঞানিক বা সংখ্যাসূচক প্রোগ্রামিং ভাষাগুলিতে বিভিন্ন নামে হ্যাডামার্ড পণ্য অন্তর্ভুক্ত থাকে। প্রোগ্রামিং ভাষা জুলিয়া একটি সাধারণ সম্প্রচার অপারেটর ব্যবহার করে। যেকোনও ফাংশনকে মৌলিকভাবে প্রয়োগ করা। সুতরাং, হাদামার্ড গুণনকে সম্প্রচার গুণ বলা হয় এবং a দিয়ে চিহ্নিত করা হয়। * খ, হাদামার্ড ক্ষমতা a. ^ b ব্যবহার করে, এবং উপসর্গ স্বরলিপির যে কোনও ফাংশন f. (x) হিসাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে। এই পদ্ধতির কারণে, ম্যাট্রিক্স গুণ এবং ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়ালের জন্য যথাক্রমে * এবং ^ সংরক্ষণ করা সম্ভব। পাইথনের অন্তর্নির্মিত অ্যারে সমর্থন নেই, যা অসঙ্গতিপূর্ণ/পরস্পরবিরোধী স্বরলিপির দিকে পরিচালিত করে। NumPy সংখ্যাসূচক গ্রন্থাগারটি a * b বা a.multiply (b) কে হাদামার্ড পণ্য হিসাবে ব্যাখ্যা করে এবং ম্যাট্রিক্স পণ্যের জন্য a@b বা a.matmul (b) ব্যবহার করে। সিমপাই প্রতীকী গ্রন্থাগারের সাথে, বস্তুর গুণ a * b বা a@b হিসাবে ম্যাট্রিক্স পণ্য তৈরি করবে। হ্যাডামার্ড পণ্যটি a.multiply_elementwise (b) পদ্ধতি কলের মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে। কিছু পাইথন প্যাকেজের মধ্যে রয়েছে np.power (a, b), বা পাণ্ডাস পদ্ধতি a.pow (b) এর মতো পদ্ধতি ব্যবহার করে হাদামার্ড শক্তির জন্য সমর্থন। সি + +-এ, আইগেন লাইব্রেরি ক্লাসের জন্য একটি সিওয়াইজপ্রডাক্ট মেম্বার ফাংশন প্রদান করে (a.cwiseProduct (বি)), আর আর্মাদিলো লাইব্রেরি কম্প্যাক্ট এক্সপ্রেশন তৈরি করতে অপারেটর% ব্যবহার করে (a% b; a * b একটি ম্যাট্রিক্স পণ্য)। ম্যাটল্যাব, গাউস এবং এইচপি প্রাইমে এই ক্রিয়াকে অ্যারে গুণন বলা হয়। ফোরট্রান, আর, এপিএল, জে এবং ওল্ফ্রাম ল্যাঙ্গুয়েজ (ম্যাথমেটিকা)-এ গুণন অপারেটর * বা × হাদামার্ড গুণফল প্রয়োগ করে, যেখানে ম্যাট্রিক্স গুণফল ম্যাটমুল,% *%, +. ×, +/ব্যবহার করে লেখা হয়। * এবং., যথাক্রমে। R প্যাকেজ ম্যাট্রিক্স ক্যাল্ক সংখ্যাসূচক ম্যাট্রিক্স বা ভেক্টরের হ্যাডামার্ড প্রোডাক্টের জন্য ফাংশন hadamard.prod () প্রবর্তন করে। অ্যাপ্লিকেশন হ্যাডামার্ড পণ্যটি জেপিইজির মতো লসি কম্প্রেশন অ্যালগরিদমগুলিতে উপস্থিত হয়। ডিকোডিং ধাপে প্রবেশের জন্য একটি পণ্য জড়িত থাকে, অন্য কথায় হ্যাডামার্ড পণ্য। ইমেজ প্রসেসিং-এ, হ্যাডামার্ড অপারেটর ইমেজ অঞ্চলগুলিকে উন্নত, দমন বা মাস্ক করার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি ম্যাট্রিক্স মূল চিত্রের প্রতিনিধিত্ব করে, অন্যটি ওজন বা মাস্কিং ম্যাট্রিক্স হিসাবে কাজ করে। এটি মেশিন লার্নিং সাহিত্যে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ, পুনরাবৃত্ত নিউরাল নেটওয়ার্কগুলির স্থাপত্যকে জিআরইউ বা এলএসটিএম হিসাবে বর্ণনা করতে। এটি এলোমেলো ভেক্টর এবং ম্যাট্রিক্সের পরিসংখ্যানগত বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করতেও ব্যবহৃত হয়। ভি. স্লাইউসারের সংজ্ঞা অনুসারে পি × জি ম্যাট্রিক্স এবং পি × জি ব্লক () সহ এন-ডাইমেনশনাল ম্যাট্রিক্সের (এন> 1) পেনেট্রেটিং ফেস প্রোডাক্ট হল আকারের একটি ম্যাট্রিক্সঃ উদাহরণস্বরূপ যদি প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি যেখানে ম্যাট্রিক্সের ফেস-স্প্লিটিং প্রোডাক্টকে বোঝায়, সেখানে একটি ভেক্টর কোথায়। প্রয়োগ অনুপ্রবেশকারী মুখের পণ্যটি ডিজিটাল অ্যান্টেনা অ্যারের টেনসর-ম্যাট্রিক্স তত্ত্বে ব্যবহৃত হয়। এই অপারেশনটি কৃত্রিম নিউরাল নেটওয়ার্ক মডেলগুলিতে, বিশেষত কনভোলিউশনাল স্তরগুলিতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। আরও দেখুন ফ্রোবেনিয়াসের অভ্যন্তরীণ পণ্য পয়েন্টওয়াইজ পণ্য ক্রোনেকার পণ্য খাত্রি-রাও পণ্য রেফারেন্স ম্যাট্রিক্স তত্ত্ব