Positive harmonic function
গণিতে, জটিল সংখ্যার একক ডিস্কে একটি ধনাত্মক হারমোনিক ফাংশনকে বৃত্তের একটি সীমাবদ্ধ ধনাত্মক পরিমাপের পয়সন ইন্টিগ্রাল হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। এই ফলাফল, হারগ্লটজ-রিসেস উপস্থাপনা উপপাদ্য, 1911 সালে গুস্তাভ হারগ্লটজ এবং ফ্রিগিয়াস রিসেস দ্বারা স্বাধীনভাবে প্রমাণিত হয়েছিল। এটি ধনাত্মক বাস্তব অংশ সহ একক ডিস্কের যে কোনও হোলোমর্ফিক ফাংশনের জন্য একটি সম্পর্কিত সূত্র এবং বৈশিষ্ট্য প্রদান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ধরনের ফাংশনগুলি ইতিমধ্যে 1907 সালে কনস্ট্যান্টিন ক্যারাথিওডোরি দ্বারা তাদের টেলর সহগের ইতিবাচক নির্দিষ্টতার পরিপ্রেক্ষিতে চিহ্নিত করা হয়েছিল। হারমোনিক ফাংশনের জন্য হারগ্লটজ-রিজ উপস্থাপনা উপপাদ্য f (0) = 1 সহ একক ডিস্কে একটি ধনাত্মক ফাংশন f হারমোনিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একক বৃত্তে এমন একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ থাকে যে সূত্রটি স্পষ্টভাবে f (0) = 1 সহ একটি ধনাত্মক হারমোনিক ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে। বিপরীতভাবে যদি f ধনাত্মক এবং সুরেলা হয় এবং rn 1-এ বৃদ্ধি পায়, তাহলে একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপ কোথায় তা নির্ধারণ করুন। একটি কম্প্যাক্টনেস আর্গুমেন্ট দ্বারা (বা সমতুল্যভাবে এই ক্ষেত্রে স্টিল্টজেস ইন্টিগ্রালের জন্য হেলির নির্বাচন উপপাদ্য), এই সম্ভাব্যতা পরিমাপের একটি ধারাবাহিকতার একটি দুর্বল সীমা রয়েছে যা একটি সম্ভাব্যতা পরিমাপও। যেহেতু rn 1-এ বৃদ্ধি পায়, যাতে fn (z) f (z)-এ প্রবণতা দেখায়, তাই হারগ্লটজ সূত্রটি অনুসরণ করে। হোলোমর্ফিক ফাংশনের জন্য হারগ্লটজ-রিসেস উপস্থাপনা উপপাদ্য f (0) = 1 সহ একক ডিস্কে একটি হোলোমর্ফিক ফাংশনের ধনাত্মক বাস্তব অংশ থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি একক বৃত্তে এমন কোনও সম্ভাব্যতা পরিমাপ থাকে যে এটি পূর্ববর্তী উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা হয় কারণঃ পয়সন কার্নেল হল একটি হোলোমর্ফিক ফাংশনের বাস্তব অংশের উপরে ইন্টিগ্র্যান্ডের বাস্তব অংশটি হারমোনিক এবং একটি স্কেলারের সংযোজন পর্যন্ত হোলোমর্ফিক ফাংশন নির্ধারণ করে উপরের সূত্রটি একটি হোলোমর্ফিক ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করে, যার আসল অংশটি পূর্ববর্তী উপপাদ্য দ্বারা দেওয়া হয়। তারপর f (z)-এর ডিস্কে ধনাত্মক বাস্তব অংশ থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি কোনও জটিল সংখ্যার জন্য λ0, λ1,., λN, যেখানে m> 0-এর জন্য। প্রকৃতপক্ষে n> 0 এর জন্য হারগ্লটজ উপস্থাপনা থেকে তাই বিপরীতভাবে, λn = zn সেটিং, বোচনারের উপপাদ্য দেখুন।