Berkovich space
গণিতে, একটি বারকোভিচ স্থান, দ্বারা প্রবর্তিত, একটি অ-আর্কিমিডিয়ান ক্ষেত্রের উপর একটি বিশ্লেষণাত্মক স্থানের একটি সংস্করণ (যেমন। পি-এডিক ক্ষেত্র), একটি কঠোর বিশ্লেষণাত্মক স্থান সম্পর্কে টেটের ধারণাকে পরিমার্জন করে। অনুপ্রেরণা জটিল ক্ষেত্রে, বীজগাণিতিক জ্যামিতি জটিল অ্যাফিন স্থানকে সংজ্ঞায়িত করে শুরু হয় প্রত্যেকটির জন্য আমরা বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের বলয়কে হোলোমরফিক ফাংশনের বলয় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি, অর্থাৎ। এর উপর ফাংশনগুলি প্রতিটি বিন্দুর আশেপাশে একটি অভিসারী শক্তি সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে। একটি জটিল বিশ্লেষণাত্মক স্থান হল একটি স্থানীয়ভাবে বৃত্তাকার-স্থান যা একটি স্থানীয় মডেল স্থানের জন্য স্থানীয়ভাবে সমরূপ। যখন একটি সম্পূর্ণ অ-আর্কিমিডিয়ান ক্ষেত্র থাকে, তখন আমাদের সম্পূর্ণ সংযোগ বিচ্ছিন্ন থাকে। এই ক্ষেত্রে, আমরা যদি জটিল ক্ষেত্রে একই সংজ্ঞা অব্যাহত রাখি, তাহলে আমরা একটি ভাল বিশ্লেষণাত্মক তত্ত্ব পাব না। বারকোভিচ একটি সংজ্ঞা দিয়েছেন যা এই ধরনের উপর সুন্দর বিশ্লেষণাত্মক স্থান দেয় এবং সাধারণ সংজ্ঞাও দেয়। অ-আর্কিমিডিয়ান ক্ষেত্রের উপর বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার পাশাপাশি, বারকোভিচ স্থানগুলির একটি সুন্দর অন্তর্নিহিত টপোলজিকাল স্থানও রয়েছে। বারকোভিচ বর্ণালী একটি বলয়ের উপর একটি সেমিনর্ম এমন একটি অ-ধ্রুবক ফাংশন যা সকলের জন্য। এটিকে গুণিতক বলা হয় এবং যদি বোঝায় তবে এটিকে আদর্শ বলা হয়। যদি আদর্শ সহ একটি আদর্শ বলয় হয়, তবে বারকোভিচ বর্ণালী, যা চিহ্নিত করা হয়, তা হল গুণিতক সেমিনোর্মের সেট যা এর আদর্শ দ্বারা আবদ্ধ। বারকোভিচ বর্ণালী দুর্বলতম টপোলজিতে সজ্জিত যেমন যে কোনও মানচিত্রের জন্য অবিচ্ছিন্ন। একটি আদর্শ বলয়ের বারকোভিচ বর্ণালী শূন্য না হলে খালি থাকে না এবং সম্পূর্ণ হলে কম্প্যাক্ট হয়। যদি বর্ণালীর একটি বিন্দু হয় তবে উপাদানগুলি এর একটি মৌলিক আদর্শ গঠন করে। এই মৌলিক আদর্শ দ্বারা ভাগফলের ভগ্নাংশের ক্ষেত্রটি একটি আদর্শ ক্ষেত্র, যার সমাপ্তি একটি গুণিতক আদর্শ সহ একটি সম্পূর্ণ ক্ষেত্র; এই ক্ষেত্রটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং একটি উপাদানের চিত্র দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এর চিত্র দ্বারা ক্ষেত্রটি তৈরি হয়। বিপরীতভাবে একটি গুণনীয়ক মান সহ একটি সম্পূর্ণ আদর্শ ক্ষেত্রের একটি আবদ্ধ মানচিত্র যা এর চিত্র দ্বারা উত্পন্ন হয় তার বর্ণালীতে একটি বিন্দু দেয়। এর বর্ণালী ব্যাসার্ধ উদাহরণের সমান একটি মূল্যায়নের ক্ষেত্রে একটি সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের বর্ণালী তার মূল্যায়নের সাথে সম্পর্কিত একটি একক বিন্দু। যদি একটি বিনিময়যোগ্য সি *-বীজগণিত হয় তবে বারকোভিচ বর্ণালী গেলফ্যান্ড বর্ণালীর সমান। গেলফ্যান্ড বর্ণালীর একটি বিন্দু মূলত একটি সমরূপতা, এবং এর পরম মান হল বারকোভিচ বর্ণালীর সংশ্লিষ্ট সেমিনোর্ম। অস্ট্রোস্কির উপপাদ্য দেখায় যে পূর্ণসংখ্যার বারকোভিচ বর্ণালী (স্বাভাবিক আদর্শ সহ) একটি মৌলিক সংখ্যা বা মৌলিক সংখ্যার জন্য স্বাভাবিক মূল্যায়নের ক্ষমতা নিয়ে গঠিত। যদি একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে এবং যদি হয় তবে যখন এই সমস্তগুলি সমস্ত অ-শূন্য উপাদানগুলির উপর তুচ্ছ মূল্যায়নের সাথে মিলে যায়। প্রতিটি (মৌলিক বা অনন্ত)-এর জন্য আমরা একটি শাখা পাই যা একটি বাস্তব ব্যবধানের সমরূপ, শাখাগুলি তুচ্ছ মূল্যায়নের সাথে সম্পর্কিত বিন্দুতে মিলিত হয়। তুচ্ছ মূল্যায়নের উন্মুক্ত এলাকাগুলি এমন যে এগুলিতে সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি শাখা রয়েছে এবং প্রতিটি শাখার সাথে তাদের ছেদ উন্মুক্ত। বারকোভিচ অ্যাফিন স্পেস যদি একটি মূল্যায়ন সহ একটি ক্ষেত্র হয়, তবে এন-ডাইমেনশনাল বারকোভিচ অ্যাফিন স্পেস, চিহ্নিত করা হয়, আদর্শ প্রসারিত করার জন্য গুণিতক সেমিনোর্মের সেট। বারকোভিচ অ্যাফিন স্থানটি দুর্বলতম টপোলজিতে সজ্জিত যে কোনও মানচিত্রের জন্য অবিচ্ছিন্ন। এটি একটি বারকোভিচ বর্ণালী নয়, তবে শক্তি সিরিজের বলের বারকোভিচ বর্ণালীর একটি ক্রমবর্ধমান মিলন যা কিছু বলে একত্রিত হয় (তাই এটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট)। আমরা একটি উন্মুক্ত উপসেটে একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনকে একটি মানচিত্র হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি, যা যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের একটি স্থানীয় সীমা, অর্থাৎ, প্রতিটি বিন্দুর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য সহ একটি উন্মুক্ত প্রতিবেশী থাকেঃ জটিল ক্ষেত্রে একই সংজ্ঞা অব্যাহত রেখে, মূল্যায়ন সহ যে কোনও ক্ষেত্রের উপর বিশ্লেষণাত্মক ফাংশনের বলয়, স্থানীয় মডেলের স্থান এবং বিশ্লেষণাত্মক স্থানগুলি সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (কেউ আদর্শ বলয়ের উপর অনুরূপ বস্তুগুলিও সংজ্ঞায়িত করতে পারে)। এটি একটি অ-তুচ্ছ মূল্যায়ন এবং পূর্ণসংখ্যার বলয়ের ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ ক্ষেত্রগুলির জন্য যুক্তিসঙ্গত বস্তু দেয় যেখানে এটি অনুপ্রেরণা বিভাগে বর্ণিত একই বস্তু দেবে। এই বিশ্লেষণাত্মক স্থানগুলি অ-আর্কিমিডিয়ান ক্ষেত্রগুলির উপর সমস্ত বিশ্লেষণাত্মক স্থান নয়। বারকোভিচ অ্যাফিন লাইন 1-মাত্রিক বারকোভিচ অ্যাফিন স্পেসকে বারকোভিচ অ্যাফিন লাইন বলা হয়। যখন একটি বীজগাণিতিকভাবে বন্ধ অ-আর্কিমিডিয়ান ক্ষেত্র, তার মূল্যায়নের ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ হয়, তখন কেউ অ্যাফিন রেখার সমস্ত বিন্দু বর্ণনা করতে পারে। একটি ক্যানোনিকাল এম্বেডিং রয়েছে। স্থানটি একটি স্থানীয়ভাবে সংক্ষিপ্ত, হাউজডর্ফ, এবং অনন্যভাবে পথ-সংযুক্ত টপোলজিকাল স্থান যা একটি ঘন সাবস্পেস হিসাবে রয়েছে। উপযুক্ত পদ্ধতিতে, অনন্তের একটি বিন্দুকে সংলগ্ন করে বারকোভিচ প্রজেক্টিভ লাইনকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। ফলস্বরূপ স্থানটি একটি সংক্ষিপ্ত, হাউজডর্ফ, এবং অনন্যভাবে পথ-সংযুক্ত টপোলজিকাল স্থান যা একটি ঘন সাবস্পেস হিসাবে রয়েছে। তথ্যসূত্র বাইরের লিঙ্ক ইনস্টিটিউট ডি ম্যাথমেটিক্স ডি জুসিউ সামার স্কুল "বারকোভিচ স্পেস" 2010 বীজগাণিতিক জ্যামিতি