Thurstonian model
থার্স্টোনিয়ান মডেল হল একটি স্টোকাস্টিক ট্রানজিটিভিটি মডেল যা কিছু অবিচ্ছিন্ন স্কেলের ম্যাপিংকে বিচ্ছিন্ন, সম্ভবত প্রতিক্রিয়ার ক্রমযুক্ত বিভাগগুলিতে বর্ণনা করার জন্য সুপ্ত ভেরিয়েবল সহ। মডেলটিতে, প্রতিক্রিয়ার এই বিভাগগুলির প্রতিটি একটি সুপ্ত চলকের সাথে মিলে যায় যার মান একটি স্বাভাবিক বন্টন থেকে নেওয়া হয়, অন্যান্য প্রতিক্রিয়া চলকগুলির থেকে স্বাধীনভাবে এবং ধ্রুবক বৈকল্পিকতা সহ। যাইহোক, গত দুই দশকের উন্নয়নগুলি থার্স্টোনিয়ান মডেলগুলির দিকে পরিচালিত করেছে যা অসম বৈচিত্র্য এবং অ-শূন্য কোভ্যারিয়েন্স পদগুলিকে অনুমতি দেয়। থার্স্টোনিয়ান মডেলগুলি সংবেদনশীল বৈষম্যমূলক কাজের বিশ্লেষণে সাধারণীকৃত রৈখিক মডেলগুলির বিকল্প হিসাবে ব্যবহৃত হয়েছে। এগুলি মার্কিন সংবিধানের সংশোধনীর ক্রমের মতো ক্রমিত বিকল্পগুলির র্যাঙ্কিং কাজে দীর্ঘমেয়াদী স্মৃতির মডেল তৈরি করতেও ব্যবহৃত হয়েছে। অন্যান্য মডেলের র্যাঙ্কিং কাজের তুলনায় তাদের প্রধান সুবিধা হল যে তারা বিকল্পগুলির অ-স্বাধীনতার জন্য দায়ী। এনিস পছন্দসই পছন্দ, রেটিং, ট্রায়াড, টেট্রাড, দ্বৈত জোড়া, একই-ভিন্ন এবং পার্থক্যের ডিগ্রি, র্যাঙ্ক, প্রথম-শেষ পছন্দ এবং প্রয়োগযোগ্যতা স্কোরিং সহ বিভিন্ন ধরনের আচরণগত কাজের জন্য থার্স্টোনিয়ান মডেলগুলির উৎপত্তি সম্পর্কে একটি বিস্তৃত বিবরণ প্রদান করে। এই বইয়ের 7ম অধ্যায়ে, 1988 সালে উদ্ভূত ইউক্লিডীয়-গাউসীয় সাদৃশ্য মডেলের জন্য একটি বদ্ধ রূপের অভিব্যক্তি দেওয়া হয়েছে যা সুপরিচিত সমস্যার সমাধান প্রদান করে যে অনেক থারস্টোনিয়ান মডেল গণনামূলকভাবে জটিল যা প্রায়শই একাধিক সংহতকরণের সাথে জড়িত। 10ম অধ্যায়ে, র্যাঙ্কিং কাজের জন্য একটি সহজ ফর্ম উপস্থাপন করা হয়েছে যা শুধুমাত্র অভিন্ন স্বাভাবিক বন্টন ফাংশনের গুণফলকে জড়িত করে এবং র্যাঙ্ক-প্ররোচিত নির্ভরতা পরামিতিগুলি অন্তর্ভুক্ত করে। একটি উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে যা দেখায় যে নির্ভরতা পরামিতিগুলির নির্দিষ্ট রূপটি এই সরলীকরণ সম্ভব হওয়ার একমাত্র উপায় সরবরাহ করে। অধ্যায় 6 কেন্দ্রীয় এফ ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের ওজনযুক্ত যোগফলের আকারে একটি সাধারণ মাল্টিভ্যারিয়েট মডেলের মাধ্যমে বৈষম্য, সনাক্তকরণ এবং পছন্দসই পছন্দকে সংযুক্ত করে এবং আইটেমগুলির জন্য একটি সাধারণ বৈচিত্র্য-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের অনুমতি দেয়। সংজ্ঞা এন স্বাধীন বিচারকদের দ্বারা র্যাঙ্ক করা এম বিকল্পগুলির একটি সেট বিবেচনা করুন। এই ধরনের র্যাঙ্কিং ক্রমবর্ধমান ভেক্টর rn = (rn1, rn2,., rnm) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। র্যাঙ্কিংগুলি বাস্তব-মূল্যবান সুপ্ত চলক জিজ থেকে উদ্ভূত বলে মনে করা হয়, যা বিচারক আই দ্বারা বিকল্প জে-এর মূল্যায়নের প্রতিনিধিত্ব করে। র্যাঙ্কিং রি নির্ধারণমূলকভাবে জি থেকে উদ্ভূত হয় যেমন জি (রি1) <জি (রি2) <. <জি (রিম)। প্রতিটি বিকল্পের জন্য একটি অন্তর্নিহিত স্থল সত্য মান μ থেকে জি উদ্ভূত হয়েছে বলে মনে করা হয়। সর্বাধিক সাধারণ ক্ষেত্রে, এগুলি বহুমাত্রিক-স্বাভাবিকঃ একটি সাধারণ সরলীকরণ হল প্রতিটি বিচারকের জন্য একটি একক মানক বিচ্যুতি পরামিতি সহ একটি আইসোট্রপিক গাউসিয়ান বিতরণ অনুমান করাঃ অনুমান মডেল পরামিতিগুলি অনুমান করার জন্য গিবস-স্যাম্পলার ভিত্তিক পদ্ধতির কারণ ইয়াও এবং বোকেনহোল্ট (1999)। ধাপ 1: β,  নিষ্পত্তি, এবং রি দেওয়া, নমুনা জি। তাদের র্যাঙ্ক অর্ডার সংরক্ষণের জন্য জিজকে অবশ্যই একটি কাটা মাল্টিভ্যারিয়েট স্বাভাবিক বন্টন থেকে নমুনা নিতে হবে। হাজিভাসিলিউ-এর কাটা মাল্টিভ্যারিয়েট নরমাল গিবস স্যাম্পলার দক্ষতার সাথে নমুনা নিতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ধাপ 2: β একটি স্বাভাবিক বন্টন থেকে নমুনা নেওয়া হয়েছেঃ যেখানে β * এবং σ * হল মাধ্যম এবং সহপরিবর্তন ম্যাট্রিক্সের বর্তমান অনুমান। ধাপ 3: প্রদত্ত β, zi, নমুনা  নিষ্পন্ন করা হয়েছে। একটি উইশার্ট পোস্টেরিয়র থেকে নমুনা নেওয়া হয়েছে, εi = zi-β নমুনা থেকে প্রাপ্ত তথ্য সম্ভাবনার সাথে পূর্ববর্তী একটি উইশার্টকে একত্রিত করা হয়েছে। ইতিহাস লুই লিওন থারস্টোন তুলনামূলক বিচারের আইন বর্ণনা করার জন্য থারস্টোনিয়ান মডেলগুলি প্রবর্তন করেছিলেন। 1999 সালের আগে, থার্স্টোনিয়ান মডেলগুলি খুব কমই 4 টিরও বেশি বিকল্পের সাথে জড়িত মডেলিং কাজের জন্য ব্যবহৃত হত কারণ মডেলের পরামিতিগুলি অনুমান করার জন্য উচ্চ-মাত্রিক সংহতকরণের প্রয়োজন ছিল। 1999 সালে, ইয়াও এবং বোকেনহোল্ট মডেল প্যারামিটারগুলি অনুমান করার জন্য তাদের গিবস-স্যাম্পলার ভিত্তিক পদ্ধতির প্রবর্তন করেছিলেন। যাইহোক, এই মন্তব্যটি শুধুমাত্র র্যাঙ্কিংয়ের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য এবং 1999 সালের আগে আরও বিস্তৃত পরিসরের প্রয়োগ সহ থার্স্টোনিয়ান মডেলগুলি তৈরি করা হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, 1993 এবং 1994 সালে প্রকাশিত গবেষণাপত্রের উপর ভিত্তি করে এনিস (2016)-এর 6ষ্ঠ অধ্যায়ে একটি সাধারণ বৈচিত্র্য-সহপরিবর্তন কাঠামোর সাথে অগ্রাধিকার পছন্দের জন্য একটি বহুবিধ থারস্টোনিয়ান মডেল নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। এরও আগে, 1988 সালে এনিসের (2016) 7ম অধ্যায়ে আলোচিত নির্বিচারে কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের সাথে সাদৃশ্যের একটি থার্স্টোনিয়ান মাল্টিভ্যারিয়েট মডেলের একটি বদ্ধ রূপ প্রকাশিত হয়েছিল। এই মডেলটির অসংখ্য প্রয়োগ রয়েছে এবং এটি কোনও নির্দিষ্ট সংখ্যক আইটেম বা ব্যক্তির মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। কিছু সংবেদনশীল ধারাবাহিকতা বরাবর উদ্দীপনার মধ্যে সংবেদনশীল দূরত্ব অনুমান করার জন্য শ্রবণ, স্বাদ এবং ঘ্রাণ বৈষম্য সহ বিভিন্ন সংবেদনশীল বৈষম্যমূলক কাজে থার্স্টোনিয়ান মডেলের প্রয়োগ প্রয়োগ করা হয়েছে। থার্স্টোনিয়ান দৃষ্টিভঙ্গি ফ্রিজারের (1979) গ্রিডম্যানের প্যারাডক্সের ব্যাখ্যাকে অনুপ্রাণিত করেছিল, যা বৈষম্যমূলক ননডিস্ক্রিমিনেটরদের প্যারাডক্স নামেও পরিচিতঃ লোকেরা তিনটি বিকল্প বাধ্যতামূলক পছন্দের কাজে আরও ভাল পারফর্ম করে যখন আগে থেকে বলা হয় যে উদ্দীপনার কোন মাত্রায় মনোযোগ দিতে হবে। (উদাহরণস্বরূপ, লোকেরা যখন আগে থেকে বলে যে পার্থক্যটি মিষ্টির মাত্রায় হবে তখন তিনটি পানীয়ের মধ্যে কোনটি অন্য দুটির থেকে আলাদা তা সনাক্ত করতে ভাল।) এই ফলাফলটি বিভিন্ন জ্ঞানীয় কৌশল দ্বারা হিসাব করা হয়ঃ যখন প্রাসঙ্গিক মাত্রাটি আগে থেকে জানা যায়, তখন লোকেরা সেই নির্দিষ্ট মাত্রা বরাবর মানগুলি অনুমান করতে পারে। যখন প্রাসঙ্গিক মাত্রাটি আগে থেকে জানা যায় না, তখন তাদের অবশ্যই সংবেদনশীল দূরত্বের আরও সাধারণ, বহুমাত্রিক পরিমাপের উপর নির্ভর করতে হবে। উপরের অনুচ্ছেদে গ্রিজম্যানের প্যারাডক্সের থারস্টোনিয়ান রেজোলিউশনের একটি সাধারণ ভুল বোঝাবুঝি রয়েছে। যদিও এটি সত্য যে তিনটি বিকল্পের মধ্যে বেছে নেওয়ার ক্ষেত্রে বিভিন্ন সিদ্ধান্তের নিয়ম (জ্ঞানীয় কৌশল) ব্যবহার করা হয়, তবে একটি বৈশিষ্ট্য আগে থেকে জানার নিছক সত্যটি প্যারাডক্সকে ব্যাখ্যা করে না, বা বিষয়গুলিকে সংবেদনশীল পার্থক্যের আরও সাধারণ, বহুমাত্রিক পরিমাপের উপর নির্ভর করতে হয় না। উদাহরণস্বরূপ, ত্রিভুজ পদ্ধতিতে, বিষয়টিকে তিনটি আইটেমের মধ্যে সবচেয়ে ভিন্নটি বেছে নেওয়ার নির্দেশ দেওয়া হয়, যার মধ্যে দুটি ধারণাগতভাবে অভিন্ন। আইটেমগুলি এক-মাত্রিক স্কেলে ভিন্ন হতে পারে এবং বিষয়টিকে আগে থেকে স্কেলের প্রকৃতি সম্পর্কে সচেতন করা যেতে পারে। গ্রিডম্যানের প্যারাডক্স এখনও দেখা যাবে। 3-বিকল্প বাধ্যতামূলক পছন্দের কাজের ফলাফলের মডেল হিসাবে ধরে নেওয়া মাত্রা-ভিত্তিক সিদ্ধান্তের নিয়মের বিপরীতে দূরত্ব-ভিত্তিক সিদ্ধান্তের নিয়মের সাথে মিলিত নমুনা প্রক্রিয়াটির কারণে এটি ঘটে। আরও দেখুন থার্স্টোন স্কেল ব্র্যাডলি-টেরি মডেল স্টোকাস্টিক ট্রানজিটিভিটি রেফারেন্স সুপ্ত পরিবর্তনশীল মডেল সাইকোমেট্রিক্স