Density (polytope)
জ্যামিতিতে, একটি তারা পলিহেড্রনের ঘনত্ব হল দুটি মাত্রা থেকে উচ্চতর মাত্রায় ঘূর্ণায়মান সংখ্যার ধারণার একটি সাধারণীকরণ, যা পলিহেড্রনের প্রতিসাম্য কেন্দ্রের চারপাশে পলিহেড্রনের ঘূর্ণনের সংখ্যাকে উপস্থাপন করে। এটি কেন্দ্র থেকে অনন্ত পর্যন্ত একটি রশ্মি প্রেরণ করে, শুধুমাত্র পলিটোপের দিকগুলির মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে এবং কোনও নিম্ন মাত্রিক বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্য দিয়ে নয়, এবং এটি কতগুলি দিকের মধ্য দিয়ে যায় তা গণনা করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। পলিহেড্রার জন্য যার জন্য এই গণনা রশ্মির পছন্দের উপর নির্ভর করে না, এবং যার জন্য কেন্দ্রীয় বিন্দু নিজেই কোনও দিকের উপর নয়, ঘনত্বটি ক্রস করা দিকগুলির এই গণনা দ্বারা দেওয়া হয়। যে কোনও উত্তল পলিহেড্রনের জন্য একই গণনা করা যেতে পারে, এমনকি প্রতিসাম্যবিহীন যে কোনও একটি, পলিহেড্রনের কেন্দ্র হিসাবে অভ্যন্তরের যে কোনও বিন্দু বেছে নিয়ে। এই পলিহেড্রাগুলির জন্য, ঘনত্ব হবে 1। আরও সাধারণভাবে, যে কোনও অ-স্ব-ছেদকারী (অ্যাকোপটিক) পলিহেড্রনের জন্য, ঘনত্বটি একটি অনুরূপ গণনা দ্বারা 1 হিসাবে গণনা করা যেতে পারে যা একটি অভ্যন্তরীণ বিন্দু থেকে একটি রশ্মি বেছে নেয় যা কেবল পলিহেড্রনের দিকগুলির মধ্য দিয়ে যায়, যখন এই রশ্মিটি পলিহেড্রনের অভ্যন্তর থেকে বাইরের দিকে যায় তখন একটি যোগ করে এবং যখন এই রশ্মিটি পলিহেড্রনের বাহ্যিক থেকে অভ্যন্তরে যায় তখন একটি বিয়োগ করে। যাইহোক, ক্রসিংয়ে চিহ্নগুলির এই বরাদ্দ সাধারণত স্টার পলিহেড্রার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়, কারণ তাদের একটি সুনির্দিষ্ট অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক নেই। ওভারল্যাপিং মুখগুলির সাথে টেসেলেশনগুলি একইভাবে যে কোনও নির্দিষ্ট বিন্দুতে মুখের আবরণের সংখ্যা হিসাবে ঘনত্বকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। বহুভুজ একটি বহুভুজের ঘনত্ব হল বহুভুজ সীমানা তার কেন্দ্রের চারপাশে কতবার বাতাস প্রবাহিত করে। জর্ডান বক্ররেখা উপপাদ্য অনুসারে, উত্তল বহুভুজ এবং আরও সাধারণভাবে সাধারণ বহুভুজগুলির (স্ব-ছেদকারী নয়) জন্য ঘনত্ব হল 1। একটি বহুভুজের ঘনত্বকে তার ঘূর্ণন সংখ্যাও বলা যেতে পারে; 360° দ্বারা বিভক্ত সমস্ত শীর্ষের ঘূর্ণন কোণের সমষ্টি। এটি একটি সমতলে সমস্ত একমুখী পথের জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা হবে। একটি যৌগিক বহুভুজের ঘনত্ব হল উপাদান বহুভুজের ঘনত্বের সমষ্টি। নিয়মিত তারা বহুভুজ একটি নিয়মিত তারা বহুভুজ {p/q}-এর জন্য ঘনত্ব হল q। কেন্দ্র থেকে অনন্ত পর্যন্ত একটি রশ্মির প্রান্ত অতিক্রমের সর্বনিম্ন সংখ্যা গণনা করে এটি দৃশ্যমানভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ পলিহেড্রন এ এবং এর দ্বৈতের ঘনত্ব একই। মোট বক্রতা একটি পলিহেড্রনকে এমন একটি পৃষ্ঠ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যার গৌসীয় বক্রতা শীর্ষে ঘনীভূত এবং একটি কোণ ত্রুটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। একটি পলিহেড্রনের ঘনত্ব 4π দ্বারা ভাগ করা মোট বক্রতার (তার সমস্ত শীর্ষে যোগ করা) সমান। উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘনক্ষেত্রের 8টি শীর্ষ থাকে, যার প্রত্যেকটির 3টি বর্গ থাকে, যার ফলে π/2 কোণের ত্রুটি থাকে। 8 × π/2 = 4π। সুতরাং ঘনক্ষেত্রের ঘনত্ব হল 1। সরল পলিহেড্রা সরল মুখ এবং শীর্ষ আকৃতি সহ একটি পলিহেড্রনের ঘনত্ব অয়লার বৈশিষ্ট্যের অর্ধেক, χ। যদি এর গণ g হয়, তবে এর ঘনত্ব 1-g। χ = V − E + F = 2D = 2 (1-g)। নিয়মিত তারা পলিহেড্রা আর্থার কেলি নিয়মিত তারা পলিহেড্রার জন্য কাজ করার জন্য অয়লারের পলিহেড্রন সূত্র (ভি − ই + এফ = 2) সংশোধন করার একটি উপায় হিসাবে ঘনত্ব ব্যবহার করেছিলেন, যেখানে ডিভি একটি শীর্ষ আকৃতির ঘনত্ব, একটি মুখের ডিএফ এবং সামগ্রিকভাবে পলিহেড্রনের ডিঃ উদাহরণস্বরূপ, গ্রেট আইকোসাহেড্রন, {3,5/2}, এর 20 টি ত্রিভুজাকার মুখ (ডিএফ = 1), 30 টি প্রান্ত এবং 12 টি পেন্টাগ্রামিক ভার্টেক্স চিত্র (ডিভি = 2) রয়েছে, যা 2·12−30 + 1·20 = 14 = 2ডি দেয়। এর অর্থ হল 7 এর ঘনত্ব। অয়লারের অপরিবর্তিত পলিহেড্রন সূত্রটি ছোট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রন {5/2,5} এবং এর দ্বৈত গ্রেট ডোডেকাহেড্রন {5,5/2}-এর জন্য ব্যর্থ হয়, যার জন্য V − E + F = −6। নিয়মিত তারা পলিহেড্রা দুটি দ্বৈত জোড়ায় বিদ্যমান, প্রতিটি আকৃতির ঘনত্ব তার দ্বৈতের সমানঃ একটি জোড়ার (ছোট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রন-গ্রেট ডোডেকাহেড্রন) ঘনত্ব 3 এবং অন্যটির (গ্রেট স্টেলেটেড ডোডেকাহেড্রন-গ্রেট আইকোসাহেড্রন) ঘনত্ব 7। সাধারণ তারা পলিহেড্রা এডমন্ড হেস বিভিন্ন ধরনের মুখ সহ তারা পলিহেড্রার সূত্রকে সাধারণীকরণ করেছেন, যার মধ্যে কিছু অন্যদের উপর পিছন দিকে ভাঁজ হতে পারে। ঘনত্বের ফলস্বরূপ মানটি সংশ্লিষ্ট গোলাকার পলিহেড্রনটি কতবার গোলককে আবৃত করে তার সাথে মিলে যায়। এটি কক্সেটার এবং অন্যান্যদের অনুমতি দেয়। বেশিরভাগ অভিন্ন পলিহেড্রার ঘনত্ব নির্ধারণ করা, যার একটি শীর্ষ প্রকার এবং একাধিক মুখের প্রকার রয়েছে। নন-ওরিয়েন্টেবল পলিহেড্রা হেমিপলিহেড্রার জন্য, যার কিছু মুখ কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়, ঘনত্ব সংজ্ঞায়িত করা যায় না। অ-অভিমুখী পলিহেড্রারও সুনির্দিষ্ট ঘনত্ব নেই। নিয়মিত 4-পলিটোপ 10টি নিয়মিত তারা 4-পলিটোপ রয়েছে (যাকে শ্ল্যাফলি-হেস 4-পলিটোপ বলা হয়), যার ঘনত্ব 4,6,20,66,76 এবং 191 এর মধ্যে রয়েছে। এগুলি দ্বৈত জোড়ায় আসে, স্ব-দ্বৈত ঘনত্ব-6 এবং ঘনত্ব-66 সংখ্যা ব্যতীত। নোটস রেফারেন্স কক্সেটার, এইচ. এস. এম.; নিয়মিত পলিটোপ, (3য় সংস্করণ, 1973), ডোভার সংস্করণ, বাহ্যিক লিঙ্ক পলিটোপ