Freudenthal spectral theorem
গণিতে, ফ্রয়েডেনথাল বর্ণালী উপপাদ্যটি 1936 সালে হ্যান্স ফ্রয়েডেনথাল দ্বারা প্রমাণিত রিসজ মহাকাশ তত্ত্বের একটি ফলাফল। এটি মোটামুটিভাবে বলে যে প্রধান অভিক্ষেপ বৈশিষ্ট্য সহ একটি রিজ স্পেসে একটি ধনাত্মক উপাদান দ্বারা প্রভাবিত যে কোনও উপাদানকে এক অর্থে সহজ ফাংশন দ্বারা অভিন্নভাবে অনুমান করা যেতে পারে। ফ্রয়েডেনথাল বর্ণালী উপপাদ্য থেকে অসংখ্য সুপরিচিত ফলাফল পাওয়া যেতে পারে। সুপরিচিত রেডন-নিকোডিম উপপাদ্য, পয়সন সূত্রের বৈধতা এবং স্বাভাবিক অপারেটর তত্ত্ব থেকে বর্ণালী উপপাদ্যকে ফ্রয়েডেনথাল বর্ণালী উপপাদ্যের বিশেষ ক্ষেত্রে অনুসরণ করা যেতে পারে। বিবৃতি একটি Riesz স্থান E-তে যে কোনও ধনাত্মক উপাদানকে e বলে ধরে নিন। E-তে p-এর একটি ধনাত্মক উপাদানকে e-এর উপাদান বলা হয় যদি। যদি ই-এর যুগ্মভাবে বিচ্ছিন্ন উপাদান হয়, তবে ই-এর যে কোনও বাস্তব রৈখিক সংমিশ্রণকে ই-সিম্পল ফাংশন বলা হয়। ফ্রয়েডেনথাল বর্ণালী উপপাদ্যটি বলেঃ E-কে প্রধান অভিক্ষেপ বৈশিষ্ট্য সহ যে কোনও Riesz স্থান এবং E-তে যে কোনও ধনাত্মক উপাদান হিসাবে ধরা যাক। তারপর e দ্বারা উত্পন্ন প্রধান আদর্শের যে কোনও উপাদান f-এর জন্য, ক্রম এবং ই-সরল ফাংশন বিদ্যমান, যেমন এক স্বর বৃদ্ধি পায় এবং e-কে f-এর সাথে অভিন্নভাবে একত্রিত করে, এবং এক স্বর হ্রাস পায় এবং e-কে f-এর সাথে অভিন্নভাবে একত্রিত করে। র্যাডন-নিকোডিম উপপাদ্যের সাথে সম্পর্ক ধরা যাক একটি পরিমাপ স্থান এবং স্বাক্ষরিত-সংযোজনমূলক পরিমাপের বাস্তব স্থান। এটি দেখানো যেতে পারে যে এটি মোট বৈচিত্র্যের আদর্শ সহ একটি ডেডেকাইন্ড সম্পূর্ণ বানাচ জাল, এবং তাই এর প্রধান অভিক্ষেপ বৈশিষ্ট্য রয়েছে। যে কোনও ধনাত্মক পরিমাপের জন্য,-সহজ ফাংশনগুলি (উপরে যেমন সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে)-পরিমাপযোগ্য সহজ ফাংশনগুলির (স্বাভাবিক অর্থে) সাথে ঠিক সামঞ্জস্যপূর্ণ হিসাবে দেখানো যেতে পারে। অধিকন্তু, যেহেতু ফ্রয়েডেনথাল বর্ণালী উপপাদ্য দ্বারা, দ্বারা উত্পন্ন ব্যান্ডের যে কোনও পরিমাপ নীচের থেকে-পরিমাপযোগ্য সহজ ফাংশন দ্বারা একঘেয়েভাবে অনুমান করা যেতে পারে, লেবসগের মনোটোন কনভারজেন্স উপপাদ্য দ্বারা একটি ফাংশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হিসাবে দেখানো যেতে পারে এবং তৈরি ব্যান্ড এবং বানাচ ল্যাটিসের মধ্যে একটি আইসোমেট্রিক ল্যাটিস আইসোমরফিজম প্রতিষ্ঠা করে। আরও দেখুন কার্যকরী বিশ্লেষণে র্যাডন-নিকোডিম উপপাদ্য রেফারেন্স উপপাদ্য