Jean-François Mertens
জঁ-ফ্রাঁসোয়া মার্টেন্স (11 মার্চ 1946-17 জুলাই 2012) একজন বেলজিয়ান খেলা তাত্ত্বিক এবং গাণিতিক অর্থনীতিবিদ ছিলেন। মার্টেন্স অর্ডার-বুক অফ মার্কেট গেমস, কো-অপারেটিভ গেমস, নন-কো-অপারেটিভ গেমস, পুনরাবৃত্ত গেমস, কৌশলগত আচরণের মহামারী মডেল এবং ন্যাশ ভারসাম্যের পরিমার্জন সম্পর্কে অর্থনৈতিক তত্ত্বে অবদান রেখেছিলেন (সমাধান ধারণা দেখুন)। সমবায় গেম তত্ত্বে তিনি মূল এবং শ্যাপলি মান নামক সমাধান ধারণাগুলিতে অবদান রেখেছিলেন। পুনরাবৃত্ত গেম এবং স্টোকাস্টিক গেম সম্পর্কে, মার্টেন্সের 1982 এবং 1986 সালের জরিপ নিবন্ধ এবং সিলভাইন সোরিন এবং শমুয়েল জামিরের সাথে সহ-লেখক তাঁর 1994 সালের সমীক্ষা, তাঁর নিজস্ব অবদান সহ এই বিষয়ে ফলাফলের সংকলন। মার্টেন্স সম্ভাব্যতা তত্ত্বে অবদান রেখেছিলেন এবং প্রাথমিক টপোলজির উপর নিবন্ধ প্রকাশ করেছিলেন। মহামারী মডেল মার্টেন্স এবং জামির অসম্পূর্ণ তথ্য সহ গেম মডেল করার জন্য জন হারসানিয়ির প্রস্তাবটি বাস্তবায়িত করেছিলেন এই ভেবে যে প্রতিটি খেলোয়াড় একটি ব্যক্তিগতভাবে পরিচিত প্রকার দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যা তার সম্ভাব্য কৌশল এবং বেতনগুলির পাশাপাশি অন্যান্য খেলোয়াড়দের প্রকারের উপর সম্ভাব্যতা বিতরণ বর্ণনা করে। তারা বিভিন্ন ধরনের একটি সর্বজনীন স্থান তৈরি করেছিল, যেখানে নির্দিষ্ট ধারাবাহিকতার শর্ত সাপেক্ষে, প্রতিটি প্রকার অন্যের সম্ভাব্য বিশ্বাস সম্পর্কে তার সম্ভাব্য বিশ্বাসের অসীম শ্রেণিবিন্যাসের সাথে মিলে যায়। তারা আরও দেখিয়েছেন যে কোনও সাবস্পেসকে একটি সীমাবদ্ধ সাবস্পেস দ্বারা নির্বিচারে ঘনিষ্ঠভাবে অনুমান করা যেতে পারে, যা প্রয়োগের ক্ষেত্রে স্বাভাবিক কৌশল। অসম্পূর্ণ তথ্য সহ পুনরাবৃত্ত গেম অসম্পূর্ণ তথ্য সহ পুনরাবৃত্ত গেম, ওমান এবং মাস্লার দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল। মাঠে জিন-ফ্রাঙ্কোইস মার্টেন্সের অবদানের মধ্যে দুটি হল উভয় পক্ষের অসম্পূর্ণ তথ্য সহ পুনরাবৃত্ত দুই ব্যক্তির শূন্য-সমষ্টি খেলার সম্প্রসারণ (1) খেলোয়াড়দের জন্য উপলব্ধ তথ্যের ধরণ এবং (2) সংকেত কাঠামো। (1) তথ্যঃ মার্টেন্স তত্ত্বটিকে স্বাধীন কেস থেকে প্রসারিত করেছিলেন যেখানে খেলোয়াড়দের ব্যক্তিগত তথ্য স্বাধীন র্যান্ডম ভেরিয়েবল দ্বারা উত্পন্ন হয়, নির্ভরশীল ক্ষেত্রে যেখানে পারস্পরিক সম্পর্ক অনুমোদিত। (2) সিগন্যালিং কাঠামোঃ স্ট্যান্ডার্ড সিগন্যালিং তত্ত্ব যেখানে প্রতিটি পর্যায়ের পরে উভয় খেলোয়াড়কে আগের চলাফেরা সম্পর্কে অবহিত করা হয়, সাধারণ সিগন্যালিং কাঠামো মোকাবেলা করার জন্য প্রসারিত করা হয়েছিল যেখানে প্রতিটি পর্যায়ের পরে প্রতিটি খেলোয়াড় একটি ব্যক্তিগত সংকেত পায় যা চাল এবং রাষ্ট্রের উপর নির্ভর করতে পারে। এই সেট-আপগুলিতে জিন-ফ্রাঙ্কোইস মার্টেন্স নির্ভরশীল ক্ষেত্রে রাষ্ট্র স্বাধীন সংকেত সহ অসীম খেলার জন্য মিনম্যাক্স এবং ম্যাক্সমিন মানের বৈশিষ্ট্যের একটি সম্প্রসারণ প্রদান করেছিলেন। উপরন্তু শ্মুয়েল জামিরের সাথে, জিন-ফ্রাঙ্কোইস মার্টেন্স একটি সীমিত মানের অস্তিত্ব দেখিয়েছিলেন। এই ধরনের মানকে হয় মঞ্চের খেলার মূল্যবোধের সীমা হিসাবে ভাবা যেতে পারে, যেমন অনন্ত পর্যন্ত যায়, অথবা ছাড় পাওয়া খেলার মূল্যবোধের সীমা হিসাবে, কারণ এজেন্টরা আরও ধৈর্যশীল হয়ে ওঠে। মার্টেন্স এবং জামিরের পদ্ধতির একটি বিল্ডিং ব্লক হল একটি অপারেটরের নির্মাণ, যা এখন তাদের সম্মানে মাঠে এমজেড অপারেটর হিসাবে উল্লেখ করা হয়। অবিচ্ছিন্ন সময়ে (অসম্পূর্ণ তথ্য সহ ডিফারেনশিয়াল গেম), এমজেড অপারেটর এই ধরনের গেমের তত্ত্বের মূলে একটি অসীম অপারেটর হয়ে ওঠে। এক জোড়া কার্যকরী সমীকরণের অনন্য সমাধান, মার্টেন্স এবং জামির দেখিয়েছেন যে সীমা মানটি ম্যাক্সমিন বা মিনম্যাক্সের (সম্পূর্ণ তথ্যের ক্ষেত্রে মান) বিপরীতে একটি অতীন্দ্রিয় ফাংশন হতে পারে। একদিকে অসম্পূর্ণ তথ্য এবং সাধারণ সিগন্যালিং কাঠামো সহ খেলার ক্ষেত্রে মার্টেন্স সঠিক হারের সমন্বয় খুঁজে পেয়েছেন। এন-স্টেজ গেমের (সীমিতভাবে পুনরাবৃত্ত) মানের তার সীমার সাথে একত্রীকরণের গতির বিশদ বিশ্লেষণের কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য এবং স্বাভাবিক আইনের পাশাপাশি আবদ্ধ মার্টিঙ্গেলগুলির সর্বাধিক বৈচিত্র্যের সাথে গভীর সংযোগ রয়েছে। রাষ্ট্র নির্ভর সংকেত এবং পুনরাবৃত্তিমূলক কাঠামো ছাড়াই গেমগুলির কঠিন ক্ষেত্রে অধ্যয়নের উপর আক্রমণ করে, মার্টেন্স এবং জামির একটি সহায়ক গেমের উপর ভিত্তি করে প্রবর্তনের উপর নতুন সরঞ্জাম চালু করেছিলেন, কৌশলগুলির সেটকে এমন একটি কেন্দ্রে কমিয়ে দিয়েছিলেন যা 'পরিসংখ্যানগতভাবে যথেষ্ট'। জামিরের (এবং সোরিনের সাথেও) সাথে যৌথভাবে জিন-ফ্রাঙ্কোইস মার্টেন্সের অবদান দুই ব্যক্তি শূন্য যোগ পুনরাবৃত্ত গেমের জন্য একটি সাধারণ তত্ত্বের ভিত্তি প্রদান করে যা অসম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ তথ্যের দিকগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে এবং যেখানে ব্যাপক প্রাসঙ্গিকতার ধারণাগুলি স্থাপন করা হয় উদাহরণস্বরূপ খ্যাতি, বেতনগুলির জন্য যুক্তিসঙ্গত স্তরের সীমা, তবে লেম্মা বিভাজন, সংকেত এবং যোগাযোগের মতো সরঞ্জামগুলিও। যদিও অনেক উপায়ে এখানে মার্টেন্সের কাজ শূন্য-সমষ্টি দুই ব্যক্তির সেট আপ সহ গেম তত্ত্বের ভন নিউম্যান মূল শিকড়ে ফিরে যায়, বৃহত্তর প্রয়োগের সাথে জীবনীশক্তি এবং উদ্ভাবনগুলি বিস্তৃত হয়েছে। 1953 সালে লয়েড শ্যাপলি স্টোকাস্টিক গেম চালু করেন। প্রথম গবেষণাপত্রে সীমিতভাবে অনেকগুলি অবস্থা এবং ক্রিয়া সহ ছাড়যুক্ত দুই ব্যক্তির শূন্য-সমষ্টি স্টোকাস্টিক খেলাটি অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং একটি মূল্য এবং স্থির সর্বোত্তম কৌশলগুলির অস্তিত্ব প্রদর্শন করা হয়েছিল। 1968 সালে ব্ল্যাকওয়েল এবং ফার্গুসন এবং 1974 সালে কোলবার্গের দ্বারা বিশেষ মামলাগুলির সমাধান সহ অগণিত মামলার অধ্যয়ন পরবর্তী তিন দশকে বিকশিত হয়েছিল। 1981 সালে জিন-ফ্রাঙ্কোইস মার্টেন্স এবং আব্রাহাম নেইম্যান খুব শক্তিশালী অর্থে একটি অভিন্ন মূল্য এবং সীমিত গড় মূল্যের অস্তিত্ব প্রমাণ করেছিলেন। একটি সাধারণ অবস্থা এবং ক্রিয়া স্থান সহ অ-শূন্য-যোগফলের অধ্যয়ন অনেক মনোযোগ আকর্ষণ করেছিল এবং মার্টেন্স এবং পার্থসারথি এই শর্তে একটি সাধারণ অস্তিত্বের ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন যে রাষ্ট্র এবং ক্রিয়াগুলির একটি ফাংশন হিসাবে রূপান্তরগুলি ক্রিয়াগুলিতে স্বাভাবিকভাবে অবিচ্ছিন্ন। মার্কেট গেমসঃ সীমিত মূল্যের প্রক্রিয়া মার্টেন্সের ধারণা ছিল যে, সীমিত অর্ডারের মডেল তৈরি করতে এবং মাল্টিভ্যারিয়েট সেট আপের জন্য দ্বৈত নিলামকে সাধারণীকরণ করতে একটি অর্ডার বুক (ট্রেডিং) হিসাবে রৈখিক প্রতিযোগিতামূলক অর্থনীতিকে ব্যবহার করা হবে। খেলোয়াড়দের গ্রহণযোগ্য আপেক্ষিক মূল্য তাদের রৈখিক পছন্দ দ্বারা প্রকাশ করা হয়, অর্থ পণ্যগুলির মধ্যে একটি হতে পারে এবং এই ক্ষেত্রে এজেন্টদের জন্য অর্থের জন্য ইতিবাচক প্রান্তিক উপযোগিতা থাকা ঠিক আছে (সমস্ত এজেন্ট আসলে কেবল অর্ডার!)। বাস্তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই এমনটা হয়ে থাকে। একাধিক অর্ডার (এবং সংশ্লিষ্ট অর্ডার-এজেন্ট) একই প্রকৃত এজেন্ট থেকে আসতে পারে। ভারসাম্যে বিক্রি হওয়া পণ্য অবশ্যই ক্রয় করা পণ্যের তুলনায় আপেক্ষিক মূল্যে থাকতে হবে যা ইউটিলিটি ফাংশন দ্বারা সূচিত মূল্যের চেয়ে কম নয়। বাজারে আনা পণ্যগুলি (ক্রমানুসারে পরিমাণ) প্রাথমিক অনুদানের মাধ্যমে সরবরাহ করা হয়। সীমা ক্রমটি নিম্নরূপ উপস্থাপন করা হয়ঃ অর্ডার-এজেন্ট একটি পণ্য বাজারে নিয়ে আসে এবং সেই পণ্যটিতে শূন্য নয় এমন প্রান্তিক উপযোগিতা থাকে এবং অন্যটি (অর্থ বা সংখ্যা)। বাজারে বিক্রি অর্ডারের বাজারে বিক্রি হওয়া পণ্যের জন্য শূন্য উপযোগিতা এবং অর্থ বা সংখ্যার জন্য ধনাত্মক উপযোগিতা থাকবে। সহায়ক রৈখিক অর্থনীতির জন্য বেশিরভাগ সাধারণ অভ্যন্তরীণ শর্ত লঙ্ঘন করা সত্ত্বেও, মার্টেন্স প্রতিযোগিতামূলক ভারসাম্য ব্যবহার করে একটি মিলযুক্ত ইঞ্জিন তৈরির আদেশগুলি সাফ করে দেয়। মার্টেন্সের প্রক্রিয়াটি শ্যাপলি-শুবিক ট্রেডিং পোস্টগুলির একটি সাধারণীকরণ প্রদান করে এবং একটি বাজারে শুধুমাত্র একজন বিশেষজ্ঞের পরিবর্তে বাজার জুড়ে সীমিত অর্ডার সহ বাস্তব জীবনের বাস্তবায়নের সম্ভাবনা রয়েছে। অ-পারমাণবিক সমবায় গেমের তত্ত্বের তির্যক সূত্রটি প্রতিটি অসীম খেলোয়াড়ের শাপলে মানকে খেলোয়াড়দের জনসংখ্যার একটি নিখুঁত নমুনার মূল্যে তার প্রান্তিক অবদান হিসাবে সুন্দরভাবে চিহ্নিত করে যখন সমস্ত সম্ভাব্য নমুনা আকারের উপর গড় হয়। এই ধরনের প্রান্তিক অবদান সবচেয়ে সহজেই একটি ব্যুৎপত্তিগত আকারে প্রকাশ করা হয়েছে-যা ওমান এবং শ্যাপলি দ্বারা প্রণীত তির্যক সূত্রের দিকে পরিচালিত করে। এটিই ঐতিহাসিক কারণ যে কারণে অ-পারমাণবিক সমবায় গেমগুলির শ্যাপলি মান সংজ্ঞায়িত করার জন্য মূলত কিছু পার্থক্যের শর্তের প্রয়োজন হয়েছে। কিন্তু প্রথমে "সমস্ত সম্ভাব্য নমুনা আকারের উপর গড়" নেওয়ার ক্রম বিনিময় করে এবং এই ধরনের একটি ব্যুৎপত্তি গ্রহণ করে, জিন-ফ্রাঙ্কোইস মার্টেন্স তির্যক সূত্রের প্রয়োগযোগ্যতা বাড়ানোর জন্য এই ধরনের গড় প্রক্রিয়ার মসৃণ প্রভাব ব্যবহার করেন। এই কৌশলটি একা সংখ্যাগরিষ্ঠ গেমগুলির জন্য ভাল কাজ করে (জোটের জনসংখ্যার শতাংশের উপর প্রয়োগ করা একটি পদক্ষেপ ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়)। ব্যুৎপত্তি গ্রহণ করার আগে গড় নেওয়ার এই বিনিময় ধারণাকে আরও কাজে লাগিয়ে, জিন-ফ্রাঙ্কোইস মার্টেন্স ব্যুৎপত্তি গ্রহণ করার আগে অপরিবর্তনীয় রূপান্তরগুলি দেখে এবং সেগুলির উপর গড় নিয়ে ব্যয় করেন। এটি করার সময়, মার্টেন্স তির্যক সূত্রটি গেমের অনেক বড় জায়গায় ব্যয় করে, একই সময়ে একটি শ্যাপলি মান সংজ্ঞায়িত করে। রিফাইনমেন্ট এবং মার্টেন্স-স্থিতিশীল ভারসাম্য সমাধান ধারণাগুলি যা ন্যাশ ভারসাম্যের পরিশোধন যা প্রাথমিকভাবে পশ্চাদগামী প্রবর্তন এবং অগ্রগামী প্রবর্তন জন্য যুক্তি দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছে। ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন বলে যে একজন খেলোয়াড়ের সর্বোত্তম ক্রিয়া এখন তার এবং অন্যদের ভবিষ্যতের ক্রিয়াগুলির সর্বোত্তমতার প্রত্যাশা করে। সাবগেম পারফেক্ট ইকুইলিব্রিয়াম নামক পরিশোধনটি পশ্চাদগামী প্রবর্তনের একটি দুর্বল সংস্করণ প্রয়োগ করে এবং ক্রমবর্ধমান শক্তিশালী সংস্করণগুলি হল ক্রমিক ভারসাম্য, নিখুঁত ভারসাম্য, আধা-নিখুঁত ভারসাম্য এবং যথাযথ ভারসাম্য, যেখানে পরের তিনটি বিশৃঙ্খল কৌশলের সীমা হিসাবে প্রাপ্ত হয়। ফরওয়ার্ড ইন্ডাকশন বলে যে একজন খেলোয়াড়ের সর্বোত্তম ক্রিয়া এখন অন্যের অতীত ক্রিয়াগুলির অনুকূলতা অনুমান করে যখনই তা তার পর্যবেক্ষণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। ফরওয়ার্ড ইন্ডাকশন একটি ক্রমিক ভারসাম্য দ্বারা সন্তুষ্ট হয় যার জন্য একটি তথ্য সেটে একজন খেলোয়াড়ের বিশ্বাস কেবল অন্যের সর্বোত্তম কৌশলগুলিকে সম্ভাব্যতা বরাদ্দ করে যা সেই তথ্য পৌঁছাতে সক্ষম করে। বিশেষত যেহেতু সম্পূর্ণরূপে মিশ্র ন্যাশ ভারসাম্য ক্রমিক-এই ধরনের ভারসাম্য যখন বিদ্যমান থাকে তখন তারা সামনের এবং পিছনের ইন্ডাকশন উভয়কেই সন্তুষ্ট করে। তাঁর রচনায় মার্টেন্স প্রথমবার ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়া নির্বাচন করেন যা সামনের এবং পিছনের ইন্ডাকশন উভয়কেই সন্তুষ্ট করে। পদ্ধতিটি হল এই ধরনের বৈশিষ্ট্যকে বিশৃঙ্খল খেলা থেকে উত্তরাধিকারসূত্রে পাওয়া যায় যা সম্পূর্ণ মিশ্র কৌশল অবলম্বন করতে বাধ্য হয়-এবং লক্ষ্যটি কেবল মার্টেন্স-স্থিতিশীল ভারসাম্যের সাথে অর্জন করা হয়, সহজতর কোলবার্গ মার্টেন্স ভারসাম্যের সাথে নয়। ইলন কোলবার্গ এবং মার্টেন্স জোর দিয়েছিলেন যে একটি সমাধান ধারণা গ্রহণযোগ্য সিদ্ধান্তের নিয়মের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়া উচিত। উপরন্তু, এটি একটি বিস্তৃত ফর্ম খেলা হিসাবে কৌশলগত পরিস্থিতির অনেক সমতুল্য উপস্থাপনাগুলির মধ্যে কোনটি ব্যবহার করা হয় তার উপর নির্ভর করা উচিত নয়। বিশেষত, এটি কেবল বিশুদ্ধ কৌশলগুলি অপসারণের পরে প্রাপ্ত খেলার হ্রাসকৃত স্বাভাবিক রূপের উপর নির্ভর করা উচিত যা অপ্রয়োজনীয় কারণ সমস্ত খেলোয়াড়দের জন্য তাদের বেতন অন্যান্য বিশুদ্ধ কৌশলগুলির মিশ্রণ দ্বারা প্রতিলিপি করা যেতে পারে। মার্টেন্স ছোট বিশ্বের নীতির গুরুত্বের উপরও জোর দিয়েছিলেন যে একটি সমাধান ধারণা শুধুমাত্র খেলোয়াড়দের পছন্দের সাধারণ বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করা উচিত এবং খেলাটি বহিরাগত খেলোয়াড়দের অন্তর্ভুক্ত করে কিনা তার উপর নির্ভর করা উচিত নয় যার ক্রিয়া মূল খেলোয়াড়দের সম্ভাব্য কৌশল এবং প্রতিদানের উপর কোনও প্রভাব ফেলে না। কোলবার্গ এবং মার্টেন্স অস্থায়ীভাবে একটি সেট-মূল্যবান সমাধান ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করেছেন যা সীমাবদ্ধ সংখ্যক বিশুদ্ধ কৌশল সহ গেমগুলির জন্য স্থিতিশীলতা নামে পরিচিত যা গ্রহণযোগ্যতা, অপরিবর্তনীয়তা এবং ফরোয়ার্ড ইন্ডাকশনকে সন্তুষ্ট করে, তবে একটি পাল্টা উদাহরণ দেখায় যে এটি ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশনকে সন্তুষ্ট করতে হবে না; যেমন। সেটটিতে একটি ক্রমিক ভারসাম্য অন্তর্ভুক্ত নাও থাকতে পারে। পরবর্তীকালে, মার্টেন্স একটি পরিমার্জনের সংজ্ঞা দিয়েছিলেন, যাকে স্থিতিশীলতাও বলা হয় এবং এখন প্রায়শই মার্টেন্স-স্থিতিশীল ভারসাম্যের একটি সেট বলা হয়, যার বেশ কয়েকটি কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য রয়েছেঃ গ্রহণযোগ্যতা এবং পরিপূর্ণতাঃ একটি স্থিতিশীল সেটের সমস্ত ভারসাম্য নিখুঁত, তাই গ্রহণযোগ্য। ব্যাকওয়ার্ড ইনডাকশন এবং ফরওয়ার্ড ইনডাকশনঃ একটি স্থিতিশীল সেটের মধ্যে খেলার স্বাভাবিক রূপের একটি যথাযথ ভারসাম্য রয়েছে যা প্রতিটি বিস্তৃত-ফর্মের খেলায় একটি অর্ধ-নিখুঁত এবং ক্রমিক ভারসাম্যকে নিখুঁত স্মরণের সাথে প্ররোচিত করে যার একই স্বাভাবিক রূপ রয়েছে। একটি স্থিতিশীল সেটের একটি উপসেট দুর্বলভাবে প্রভাবিত কৌশল এবং কৌশলগুলির পুনরাবৃত্তিমূলক নির্মূল থেকে বেঁচে থাকে যা সেটের প্রতিটি ভারসাম্যে নিকৃষ্ট উত্তর দেয়। ইনভ্যারিয়েন্স এবং স্মল ওয়ার্ল্ডসঃ একটি গেমের স্থিতিশীল সেট হল যে কোনও বড় গেমের স্থিতিশীল সেটের অনুমান যেখানে এটি মূল খেলোয়াড়দের সম্ভাব্য কৌশল এবং বেতন সংরক্ষণের সময় এম্বেড করা থাকে। ডিকম্পোজিশন এবং প্লেয়ার স্প্লিটিং। দুটি স্বাধীন গেমের পণ্যের স্থিতিশীল সেট হল তাদের স্থিতিশীল সেটের পণ্য। কোনও খেলোয়াড়কে এজেন্টদের মধ্যে বিভক্ত করে স্থিতিশীল সেটগুলি প্রভাবিত হয় না যাতে গেম ট্রি দিয়ে কোনও পথেই দুই এজেন্টের ক্রিয়া অন্তর্ভুক্ত না থাকে। নিখুঁত প্রত্যাহার এবং সাধারণ অর্থপ্রদান সহ দুই খেলোয়াড়ের গেমগুলির জন্য, স্থিতিশীলতা এই বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে মাত্র তিনটি বৈশিষ্ট্যের সমতুল্যঃ একটি স্থিতিশীল সেট শুধুমাত্র অনির্দিষ্ট কৌশল ব্যবহার করে, একটি আধা-নিখুঁত ভারসাম্য অন্তর্ভুক্ত করে এবং একটি বৃহত্তর খেলায় এম্বেড করার জন্য অনাক্রম্য। একটি স্থিতিশীল সেটকে গাণিতিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (সংক্ষেপে) ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়ার গ্রাফের একটি বদ্ধ সংযুক্ত এলাকা থেকে প্রজেকশন ম্যাপের প্রয়োজনীয়তা দ্বারা যা সম্পূর্ণ মিশ্র কৌশলগুলির প্রতি খেলোয়াড়দের কৌশলগুলিকে বিভ্রান্ত করে প্রাপ্ত বিশৃঙ্খল গেমগুলির স্থানের উপর। এই সংজ্ঞাটি এই বৈশিষ্ট্যের চেয়ে বেশি বোঝায় যে কাছাকাছি প্রতিটি খেলার কাছাকাছি ভারসাম্য রয়েছে। অপরিহার্যতার জন্য আরও প্রয়োজন যে সীমানায় অভিক্ষেপ মানচিত্রের কোনও বিকৃতি না হওয়া, যা নিশ্চিত করে যে ন্যাশ ইকুইলিব্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করা স্থির বিন্দু সমস্যার বিশৃঙ্খলার কাছাকাছি সমাধান রয়েছে। উপরে তালিকাভুক্ত সমস্ত কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্য অর্জনের জন্য এটি আপাতদৃষ্টিতে প্রয়োজনীয়। সামাজিক পছন্দ তত্ত্ব এবং আপেক্ষিক উপযোগবাদ একটি সামাজিক কল্যাণ ফাংশন (এসডাব্লুএফ) বিকল্পগুলির একটি নির্দিষ্ট সেটের উপর সামাজিক পছন্দগুলির ব্যক্তিগত পছন্দগুলির প্রোফাইলগুলি ম্যাপ করে। একটি মৌলিক গবেষণাপত্রে অ্যারো (1950) বিখ্যাত "অসম্ভবতা উপপাদ্য" দেখিয়েছে, অর্থাৎ। এমন কোনও এসডাব্লুএফ নেই যা স্বতঃসিদ্ধগুলির একটি খুব ন্যূনতম ব্যবস্থাকে সন্তুষ্ট করেঃ অনিয়ন্ত্রিত ডোমেন, অপ্রাসঙ্গিক বিকল্পগুলির স্বাধীনতা, পারেটো মানদণ্ড এবং অ-একনায়কত্ব। একটি বড় সাহিত্য সম্ভাব্য ফলাফল পেতে তীরের স্বতঃসিদ্ধগুলিকে শিথিল করার বিভিন্ন উপায় নথিভুক্ত করে। রিলেটিভ ইউটিলিটেরিয়ানিজম (আরইউ) (ধিল্লন এবং মার্টেন্স, 1999) একটি এসডাব্লুএফ যা 0 এবং 1 এর মধ্যে পৃথক ইউটিলিটিগুলিকে স্বাভাবিক করে এবং সেগুলি যুক্ত করে এবং এটি একটি "সম্ভাবনা" ফলাফল যা স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির একটি সিস্টেম থেকে উদ্ভূত হয় যা তীরের মূলগুলির খুব কাছাকাছি তবে লটারির চেয়ে পছন্দের স্থানের জন্য পরিবর্তিত হয়। ধ্রুপদী উপযোগবাদের বিপরীতে, আরইউ মূল উপযোগিতা বা আন্তঃব্যক্তিগত তুলনা অনুমান করে না। লটারির চেয়ে পৃথক পছন্দ থেকে শুরু করে, যা ভন-নিউম্যান-মরগেনস্টার্ন স্বতঃসিদ্ধ (বা সমতুল্য) সন্তুষ্ট বলে মনে করা হয়, স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থাটি আন্তঃব্যক্তিক তুলনাকে অনন্যভাবে স্থির করে। উপপাদ্যটিকে "সঠিক" আন্তঃব্যক্তিক তুলনার জন্য একটি স্বতঃসিদ্ধ ভিত্তি প্রদান হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, এমন একটি সমস্যা যা দীর্ঘ সময় ধরে সামাজিক পছন্দ তত্ত্বকে জর্জরিত করেছে। স্বতঃসিদ্ধগুলি হ 'লঃ ব্যক্তিবাদঃ সমস্ত ব্যক্তি যদি সমস্ত বিকল্পের মধ্যে উদাসীন হয় তবে সমাজও তাই, অ-তুচ্ছতাঃ এসডাব্লুএফ সমস্ত বিকল্পের মধ্যে ক্রমাগত সম্পূর্ণ উদাসীন নয়, কোনও অসুস্থতা হবে নাঃ এটি সত্য নয় যে যখন সমস্ত ব্যক্তি কিন্তু একজন সম্পূর্ণ উদাসীন তখন সমাজের পছন্দগুলি তার বিপরীত হয়, বেনামীঃ সমস্ত ব্যক্তির একটি ক্রমবর্ধমান সামাজিক পছন্দগুলি অপরিবর্তিত রাখে। অপ্রয়োজনীয় বিকল্পগুলির স্বাধীনতাঃ এই স্বতঃসিদ্ধটি অ্যারোর অপ্রাসঙ্গিক বিকল্পগুলির স্বাধীনতাকে (আইআইএ) সীমাবদ্ধ করে যেখানে পরিবর্তনের আগে এবং পরে উভয় ক্ষেত্রেই, "অপ্রাসঙ্গিক" বিকল্পগুলি অন্যান্য বিকল্পগুলির উপর লটারি হয়। নীচের "ভাল ইচ্ছার স্বতঃসিদ্ধ"-এর তুলনায় একঘেয়েমি অনেক দুর্বলঃ দুটি লটারি এবং দুটি পছন্দের প্রোফাইল বিবেচনা করুন যা ব্যতীত সমস্ত ব্যক্তির জন্য মিলে যায়, প্রথম প্রোফাইলের মধ্যে এবং মধ্যে উদাসীন তবে দ্বিতীয় প্রোফাইলে কঠোরভাবে পছন্দ করে, তারপরে সমাজ কঠোরভাবে দ্বিতীয় প্রোফাইলেও পছন্দ করে। পরিশেষে, কন্টিনিউইটি স্বতঃসিদ্ধটি মূলত একটি বদ্ধ গ্রাফ সম্পত্তি যা পছন্দের প্রোফাইলগুলির জন্য সবচেয়ে শক্তিশালী সম্ভাব্য অভিসরণ গ্রহণ করে। মূল উপপাদ্যটি দেখায় যে আরইউ সমস্ত স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে এবং যদি ব্যক্তির সংখ্যা তিনটির চেয়ে বেশি হয়, তবে প্রার্থীদের সংখ্যা 5-এর চেয়ে বেশি হয় তবে যে কোনও এসডাব্লুএফ উপরের স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে আরইউ-এর সমতুল্য, যখনই কমপক্ষে 2 জন ব্যক্তি বিদ্যমান থাকে যাদের ঠিক একই বা ঠিক বিপরীত পছন্দ নেই। নীতি মূল্যায়নে আন্তঃপ্রজন্ম সমতা আপেক্ষিক উপযোগিতাবাদ ব্যয়-সুবিধা বিশ্লেষণের জন্য আন্তঃপ্রজন্মগতভাবে ন্যায্য সামাজিক ছাড়ের হার হিসাবে 2 শতাংশ ব্যবহারকে যুক্তিসঙ্গত করতে কাজ করতে পারে। মার্টেন্স এবং রুবিনচিক দেখান যে (অস্থায়ী) নীতিগুলির একটি সমৃদ্ধ স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত একটি পরিবর্তন-অপরিবর্তনীয় কল্যাণ ফাংশন, যদি পার্থক্যযোগ্য হয়, তবে একটি নির্দিষ্ট ছাড়ের হার, অর্থাৎ প্ররোচিত সামাজিক ছাড়ের হার সহ পলিসির একটি ছাড়ের যোগফল (পরিবর্তন) থাকে। (স্থানান্তর-বৈপরীত্যের জন্য মূল নীতির মূল্যের একটি সংযুক্ত রূপান্তর ফিরিয়ে দেওয়ার জন্য একটি স্থানান্তরিত নীতির উপর মূল্যায়ন করা একটি ফাংশন প্রয়োজন, যেখানে সহগগুলি শুধুমাত্র সময়-পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে।) বহির্জাগতিক প্রবৃদ্ধির সাথে একটি ওভারল্যাপিং প্রজন্মের মডেলে (সময়টি সম্পূর্ণ বাস্তব রেখা সহ), ভারসাম্যপূর্ণ বৃদ্ধির ভারসাম্যকে ঘিরে (মূলধন স্টক দ্রুত বৃদ্ধি সহ) (ছোট অস্থায়ী) নীতিগুলির উপর মূল্যায়ন করা হলে আপেক্ষিক উপযোগবাদী কার্যকারিতা পরিবর্তনশীল নয়। যখন নীতিগুলিকে ব্যক্তির দানের পরিবর্তন (স্থানান্তর বা কর) হিসাবে উপস্থাপন করা হয় এবং সমস্ত প্রজন্মের উপযোগিতাকে সমানভাবে মূল্যায়ন করা হয়, তখন আপেক্ষিক উপযোগবাদ দ্বারা প্ররোচিত সামাজিক ছাড়ের হার হল মাথাপিছু জিডিপির বৃদ্ধির হার (মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে 2 শতাংশ)। এটি ইউএস অফিস অফ ম্যানেজমেন্ট অ্যান্ড বাজেটের সার্কুলার এ-4-এ বর্ণিত বর্তমান অনুশীলনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যেখানে বলা হয়েছেঃ আপনার নিয়মের যদি গুরুত্বপূর্ণ আন্তঃপ্রজন্মগত সুবিধা বা খরচ থাকে তবে আপনি 3 এবং 7 শতাংশ ছাড়ের হার ব্যবহার করে নিট সুবিধা গণনা করার পাশাপাশি কম কিন্তু ইতিবাচক ছাড়ের হার ব্যবহার করে আরও সংবেদনশীলতা বিশ্লেষণ বিবেচনা করতে পারেন। রেফারেন্স বেলজিয়ামের অর্থনীতিবিদ গেম তাত্ত্বিক বেলজিয়ামের গণিতবিদ ইউনিভার্সিটি ক্যাথলিক ডি লুভেইনের প্রাক্তন শিক্ষার্থী ইউনিভার্সিটি ক্যাথলিক ডি লুভেইনের একাডেমিক কর্মী 1946 জন্ম 2012 মৃত্যু