Denjoy–Wolff theorem
গণিতে, ডেনজয়-ওল্ফ উপপাদ্য হল জটিল বিশ্লেষণ এবং গতিশীল ব্যবস্থার একটি উপপাদ্য যা স্থির বিন্দু এবং জটিল সংখ্যার একক ডিস্কের হোলোমর্ফিক ম্যাপিংয়ের পুনরাবৃত্তি সম্পর্কিত। 1926 সালে ফরাসি গণিতবিদ আর্নড ডেনজয় এবং ডাচ গণিতবিদ জুলিয়াস উলফ এই ফলাফল স্বাধীনভাবে প্রমাণ করেন। বিবৃতি উপপাদ্য। ধরা যাক ডি হল সি-তে খোলা একক ডিস্ক এবং ধরা যাক এফ একটি হোলোমরফিক ফাংশন যা ডি-কে ডি-তে ম্যাপিং করে যা ডি-এর অটোমরফিজম নয় (অর্থাৎ। একটি মোবিয়াস রূপান্তর)। তারপর D-এর বন্ধে একটি অনন্য বিন্দু z থাকে যাতে D-এর সংক্ষিপ্ত উপসেটগুলিতে f-এর পুনরাবৃত্তির প্রবণতা অভিন্নভাবে z হয়। যদি Z, D-তে থাকে, তবে এটি f-এর অনন্য স্থির বিন্দু। ম্যাপিং f অপরিবর্তনীয় হাইপারবোলিক ডিস্কগুলিকে z-কে কেন্দ্র করে ছেড়ে দেয়, যদি z, D-তে থাকে, এবং ডিস্কগুলিকে z-এ একক বৃত্তের স্পর্শক দেয়, যদি z, D-এর সীমানায় থাকে। যখন নির্দিষ্ট বিন্দুটি z = 0-এ থাকে, তখন z-এ কেন্দ্রিক হাইপারবোলিক ডিস্কগুলি কেবল কেন্দ্র 0 সহ ইউক্লিডীয় ডিস্ক হয়। অন্যথায় f কে মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা সংযুক্ত করা যেতে পারে যাতে স্থির বিন্দুটি শূন্য হয়। উপপাদ্যটির একটি প্রাথমিক প্রমাণ নীচে দেওয়া হয়েছে, যা শাপিরো (1993) এবং বার্কেল (1981) থেকে নেওয়া হয়েছে। কার্লসন অ্যান্ড গেমেলিন (1993)-এ আরও দুটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ পাওয়া যায়। উপপাদ্যের প্রমাণ ডিস্কে স্থির বিন্দু যদি ডি-তে f-এর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু z থাকে, তবে মোবিয়াস রূপান্তর দ্বারা সংযুক্ত হওয়ার পরে, এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে যে z = 0। ধরা যাক M (r) হল |z। = r <1-এ f-এর সর্বোচ্চ মডুলাস। |z। ≤ r-এর জন্য শোয়ার্জ লেম্মা দ্বারা, যেখানে এটি পুনরাবৃত্তি দ্বারা অনুসরণ করে যে |z। ≤ r-এর জন্য। এই দুটি অসমতা এই ক্ষেত্রে ফলাফলকে বোঝায়। কোনও নির্দিষ্ট বিন্দু নেই যখন f নির্দিষ্ট বিন্দু ছাড়াই D-তে কাজ করে, ওলফ দেখিয়েছিলেন যে সীমানায় এমন একটি বিন্দু z রয়েছে যাতে f-এর পুনরাবৃত্তি প্রতিটি ডিস্ককে সীমানার সাথে অপরিবর্তনীয় রেখে যায়। 1-এ ক্রমবর্ধমান একটি ক্রম নিন এবং সেট করুন রুচের উপপাদ্য প্রয়োগ করে এবং, ডি-তে ঠিক একটি শূন্য রয়েছে। যদি প্রয়োজন হয় তবে একটি পরবর্তী অংশে পাস করা, এটি ধরে নেওয়া যেতে পারে যে বিন্দু z ডি-তে থাকতে পারে না, কারণ, সীমা অতিক্রম করে, z একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হতে হবে। স্থির বিন্দুর ক্ষেত্রে ফলাফলটি বোঝায় যে মানচিত্রগুলি সমস্ত ইউক্লিডীয় ডিস্ককে অপরিবর্তনীয় রাখে যার হাইপারবোলিক কেন্দ্র অবস্থিত। সুস্পষ্ট গণনাগুলি দেখায় যে, k বাড়ার সাথে সাথে কেউ এই ধরনের ডিস্কগুলি বেছে নিতে পারে যাতে তারা z-এ সীমানার যে কোনও প্রদত্ত ডিস্ক স্পর্শকের দিকে ঝুঁকে থাকে। ধারাবাহিকতা অনুসারে, f এই ধরনের প্রতিটি ডিস্ককে অপরিবর্তনীয় রাখে। এটি দেখতে যে কম্প্যাক্টাতে ধ্রুবক z-এর সাথে অভিন্নভাবে একত্রিত হয়, এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে কোনও পরবর্তী অংশের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য, একই অর্থে g-এর সাথে অভিসারী, ধরুন। মন্টেলের উপপাদ্য অনুসারে এই ধরনের সীমা বিদ্যমান, এবং যদি g অ-ধ্রুবক হয়, তবে এটিও ধরে নেওয়া যেতে পারে যে এর একটি সীমা রয়েছে, h বলুন। কিন্তু তারপর ডি-তে ডাব্লু-এর জন্য. যেহেতু এইচ হলোমর্ফিক এবং জি (ডি) ওপেন, সমস্ত ডাব্লু-এর জন্য। সেটিং, এটি অনুমান করা যেতে পারে যে এটি এফ-এর সাথে অভিসারী। কিন্তু তারপর f (F (w)) = w = f (F (w)), এই সত্যের বিরোধিতা করে যে f একটি অটোমরফিজম নয়। সুতরাং প্রতিটি পরবর্তী ধারা ডি-তে কম্প্যাক্টার উপর কিছু অভিন্ন ধ্রুবকের দিকে প্রবণতা দেখায়। α-এর অপরিবর্তিতা বোঝায় যে এই ধরনের প্রতিটি ধ্রুবক প্রতিটি ডিস্কের বন্ধের মধ্যে থাকে α, এবং তাই তাদের ছেদ, একক বিন্দু z। মন্টেলের উপপাদ্য অনুসারে, এটি অনুসরণ করে যে কম্প্যাক্টাতে ধ্রুবক z-এর সাথে অভিন্নভাবে মিলিত হয়। তথ্যসূত্র গতিশীল ব্যবস্থায় উপপাদ্য জটিল বিশ্লেষণে উপপাদ্য