Exterior space
গণিতে, একটি টপোলজিকাল স্পেস এক্স-এ বহিরাগতবিদ্যার ধারণাটি পরিবারের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে সাধারণীকরণ করে εXcc = {E: X: X\E হল এক্স-এর বদ্ধ কম্প্যাক্ট সাবস্পেসগুলির পরিপূরকের একটি বদ্ধ কম্প্যাক্ট সাবসেট, যা এর আলেকজান্দ্রফ কম্প্যাক্টিফিকেশন তৈরিতে ব্যবহৃত হয়। একটি বহিরাগতবিদ্যা শেষ বিন্দুর একটি ধারণা প্রবর্তন করার অনুমতি দেয়, শেষ বিন্দুতে অভিসারের পরিপ্রেক্ষিতে জালের বিচ্যুতি অধ্যয়ন করার জন্য এবং এটি অ-কম্প্যাক্ট টপোলজিকাল স্পেসের কিছু পরিবারের অধ্যয়ন এবং শ্রেণিবিন্যাসের জন্য একটি দরকারী সরঞ্জাম। এটি অন্যান্য টপোলজিকাল স্পেসের সীমা হিসাবে একটি টপোলজিকাল স্পেসের কাছে পৌঁছানোর জন্যও ব্যবহার করা যেতে পারেঃ হিলবার্ট স্পেসে এম্বেড করা একটি কম্প্যাক্ট মেট্রিক স্পেস যখন তার খোলা পাড়াগুলির কাছে পৌঁছায় তখন বহিরাগতগুলি খুব কার্যকর হয়। সংজ্ঞা ধরা যাক (এক্স, τ) একটি টপোলজিকাল স্থান। (X, τ)-এর উপর একটি বহিরাগত বিজ্ঞান হল মুক্ত উপসেটগুলির একটি অ-খালি সংগ্রহ ε যা সন্তোষজনকঃ যদি E1, E2 ω ε, তাহলে E1 ω E2 ω ε; যদি E ω ε, U ω τ এবং E ω U, তাহলে U ω ε। একটি বাহ্যিক স্থান (X, τ, ε) একটি টপোলজিকাল স্থান (X, τ) এবং একটি বহিরাগত স্থান ε নিয়ে গঠিত। একটি খোলা E যা ε-তে থাকে তাকে একটি বাহ্যিক-খোলা উপসেট বলা হয়। একটি মানচিত্র f: (X, τ, ε) → (X ', τ', ε ') কে একটি বাহ্যিক মানচিত্র বলা হয় যদি এটি অবিচ্ছিন্ন হয় এবং f − 1 (E) ω ε, সমস্ত E ω ε' এর জন্য। বাহ্যিক স্থান এবং বাহ্যিক মানচিত্রের বিভাগকে ই দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। এটি লক্ষণীয় যে ই একটি সম্পূর্ণ এবং সম্পূর্ণ বিভাগ। বাহ্যিক স্থানের কিছু উদাহরণ একটি স্থানের জন্য (X, τ) কেউ সর্বদা তুচ্ছ বহির্বিদ্যা εtr = {X}, এবং অন্যদিকে, মোট বহির্বিদ্যা εtot = τ বিবেচনা করতে পারে। লক্ষ্য করুন যে একটি বহিরাগতবিদ্যা ε একটি টপোলজি যদি এবং শুধুমাত্র যদি খালি সেটটি ε এর সদস্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি ε = τ হয়। একটি স্থান (এক্স, τ) দেওয়া হলে, এক্স-এর বদ্ধ কম্প্যাক্ট উপসেটগুলির পরিপূরকের এক্সটার্নোলজি সঠিক মানচিত্রের তত্ত্বের সাথে সংযোগের অনুমতি দেয়। একটি স্থান (X, τ) এবং একটি উপসেট A′X দেওয়া হলে পরিবার ε (X, A) = {U′X: A′U, U′τ} হল X-এর একটি বহিরাগতবিদ্যা। যথাক্রমে আকৃতি তত্ত্ব এবং গতিশীল ব্যবস্থার উপর গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ সহ দুটি বিশেষ ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলি রয়েছেঃ যদি এ হিলবার্ট কিউব এক্স = কিউ-এর একটি বদ্ধ সাবস্পেস হয় তবে বাহ্যিকবিদ্যা εA = ε (কিউ, এ) আকৃতি তত্ত্বের অর্থে এ-এর একটি রেজোলিউশন। ধরা যাক এক্স একটি অবিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থা এবং পি পর্যায়ক্রমিক বিন্দুর উপসেট; আমরা বাহ্যিকবিদ্যা ε (এক্স, পি) বিবেচনা করতে পারি। আরও সাধারণভাবে, যদি এ একটি অপরিবর্তনীয় উপসেট হয় তবে বহির্বিদ্যা ε (এক্স, এ) প্রবাহের গতিশীল বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়নের জন্য কার্যকর। বাহ্যিক স্থানগুলির প্রয়োগ সঠিক সমস্থানিক তত্ত্বঃ টপোলজিকাল স্থানগুলির মধ্যে একটি অবিচ্ছিন্ন মানচিত্র f: X → Y সঠিক বলে মনে করা হয় যদি Y-এর প্রতিটি বদ্ধ কম্প্যাক্ট উপসেট K-এর জন্য, f−1 (K) X-এর একটি কম্প্যাক্ট উপসেট হয়। স্থানের বিভাগ এবং সঠিক মানচিত্রগুলি পি দ্বারা চিহ্নিত করা হবে। এই বিভাগ এবং সংশ্লিষ্ট সঠিক হোমোটপি বিভাগটি অ-কম্প্যাক্ট স্থানগুলির অধ্যয়নের জন্য খুব কার্যকর। তবুও, একজনের সমস্যা রয়েছে যে এই বিভাগের পর্যাপ্ত সীমা এবং কলিমিট নেই এবং তারপরে আমরা লুপ, হোমোটপি সীমা এবং কলিমিট ইত্যাদির মতো সাধারণ হোমোটপি নির্মাণগুলি বিকাশ করতে পারি না। এই সমস্যার একটি উত্তর হল বাহ্যিক স্থান E-এর বিভাগ যা কুইলন মডেল কাঠামোকে স্বীকার করে এবং স্থান এবং সঠিক মানচিত্রের বিভাগকে একটি সম্পূর্ণ উপবিভাগ হিসাবে ধারণ করে; অর্থাৎ, পূর্ণ এবং বিশ্বস্ত ফাংক্টর P → E রয়েছে যা বাহ্যিক স্থান (X, τ, εXCC)-এ একটি টপোলজিকাল স্থান (X, τ) বহন করে। যথাযথ এল. এস বিভাগঃ (কো) সীমার অভাবের কারণে এই সঠিক অপরিবর্তনীয়ের গ্যানিয়া এবং হোয়াইটহেড বৈশিষ্ট্য খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটি যথাযথ বিভাগের মধ্যে সম্মুখীন হতে পারে না। তা সত্ত্বেও, বাহ্যিক স্থানের বিভাগে এই অপরিবর্তনীয়তার সম্প্রসারণ এই ধরনের সমস্যার সমাধান খুঁজে বের করার অনুমতি দেয়। এই সংখ্যাসূচক সঠিক অপরিবর্তনীয় উন্মুক্ত 3-ম্যানিফোল্ডের অধ্যয়নে প্রয়োগ করা হয়েছে। আকৃতি তত্ত্বঃ একটি কম্প্যাক্ট মেট্রিক স্পেসের অনেক আকৃতি অপরিবর্তনীয় (বোরসুক গ্রুপ, কুইগলি অভ্যন্তরীণ এবং নিকটবর্তী গ্রুপ) হিলবার্ট কিউব-এ এম্বেড করা একটি কম্প্যাক্ট মেট্রিক স্পেসের খোলা আশেপাশের দ্বারা নির্ধারিত বাহ্যিক স্থানের বাহ্যিক সমস্থানিক গ্রুপ হিসাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। বিচ্ছিন্ন এবং অবিচ্ছিন্ন গতিশীল ব্যবস্থা (আধা-প্রবাহ এবং প্রবাহ): এমন অনেক গঠন রয়েছে যা একটি বাহ্যিক স্থানকে একটি গতিশীল ব্যবস্থার সাথে যুক্ত করে, উদাহরণস্বরূপঃ একটি অবিচ্ছিন্ন (বিচ্ছিন্ন) প্রবাহের পরিপ্রেক্ষিতে পর্যায়ক্রমিক বিন্দু, পয়সন পর্যায়ক্রমিক বিন্দু, ওমিগা সীমা ইত্যাদির উপসেটের খোলা আশেপাশের দ্বারা প্ররোচিত বাহ্যিক স্থানগুলি বিবেচনা করা যেতে পারে। এই সম্পর্কিত বাহ্যিক স্থানগুলির নির্মাণ এবং বৈশিষ্ট্যগুলি (আধা-প্রবাহ) প্রবাহের গতিশীল বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করতে ব্যবহৃত হয়। রেফারেন্স এম. কার্ডেনাস, এফ. এফ. ল্যাশেরাস এবং এ. কুইন্টেরো। সঠিক এল. এস বিভাগের জন্য কোহোমোলজি ক্লাস সনাক্ত করা হচ্ছে। আধা-স্থিতিশীল 3-ম্যানিফোল্ডের ক্ষেত্রে, গণিত। প্রোক। ক্যাম্ব। ফিলোসফি। সোস। (2011)। এ. ডেল রিও, এল. জে। হার্নান্দেজ এবং এম. টি. রিভাস রদ্রিগেজ। এস-টাইপ অফ গ্লোবাল টাওয়ার অফ স্পেস অ্যান এক্সটেরিওর স্পেস, অ্যাপল। বিভাগ। স্ট্রাকচার., 17 নং। 3, 287-301, (2009)। এল. এস্পানোল, জে. এম. গার্সিয়া-ক্যালসিনেস, এম. সি. মিঙ্গুয়েজ। সঠিক এবং বাহ্যিক ক্রমানুসারে, অ্যাপল। বিভাগ। স্ট্রাকচার., 18, নং। 6, 653-668, (2010)। জে. আই. এক্সট্রিমিয়ানা, এল. জে। হার্নান্দেজ এবং এম. টি. রিভাস। পোস্টনিকভ ফ্যাক্টরাইজেশন অ্যাট ইনফিনিটি, টোপোল। অ্যাপল., 153,370-393, (2005)। জে. আই. এক্সট্রিমিয়ানা, এল. জে। হার্নান্দেজ এবং এম. টি. রিভাস। বাহ্যিক স্থান ব্যবহার করে গতিশীল ব্যবস্থার একটি পদ্ধতি। মিরিয়ান আন্দ্রেস গোমেজের সম্মানে বৈজ্ঞানিক অবদান, 307′318, বিশ্ববিদ্যালয়। লা রিওজা সার্ভ। প্রকাশনা., লোগ্রোনো, 2010। জে. এম গার্সিয়া-ক্যালসিনেস, পি. আর. গার্সিয়া-দিয়াজ, এ. মুরিলো মাস। সঠিক লুস্টারনিক-স্নিরেলম্যান বিভাগের জন্য একটি হোয়াইটহেড-গ্যানিয়া পদ্ধতি। গণিত। প্রোক। ক্যাম্ব। ফিলোসফি। সোস। 142 (2007), নং। 3, 439-457। জে. এম গার্সিয়া-ক্যালসিনেস, পি. আর. গার্সিয়া-দিয়াজ, এ. মুরিলো মাস, দ্য গ্যানিয়া কনজেকচার ইন প্রপার হোমোটপি ভায়া এক্সটার্নাল হোমোটপি থিওরি। গণিত। প্রোক। ক্যাম্ব। ফিলোসফি। সোস। 149 (2010), নং। 1, 75-91। জে. এম গার্সিয়া-ক্যালসিনেস, এম. গার্সিয়া পিনিলোস এবং এল. জে। হার্নান্দেজ। সঠিক হোমোটপি এবং আকৃতি তত্ত্বের জন্য একটি বদ্ধ মডেল বিভাগ, বুল। অস্টি। গণিত। সোস। 57 নং 2,221-242, (1998)। জে. এম গার্সিয়া-ক্যালসিনেস এবং এল. জে। হার্নান্দেজ। সিকোয়েন্সিয়াল হোমোলজি, টোপোল। অ্যাপল। 114/2, 201-225, (2001)। জে. এম গার্সিয়া-ক্যালসিনেস, এম. গার্সিয়া পিনিলোস এবং এল. জে। হার্নান্দেজ। বাহ্যিক এবং যথাযথ হোমোটপির জন্য বন্ধ সরল মডেল কাঠামো, অ্যাপল। বিভাগ। গঠন। 12, নং 3,225-243, (2004)। এম. গার্সিয়া-পিনিলোস, এলজে। হার্নান্দেজ প্যারিসিও এবং এম. টি. রিভাস রদ্রিগেজ। সঠিক ক্রম এবং বদ্ধ মডেল বিভাগ, অ্যাপল। বিভাগ। স্ট্রাকচার., 18, নং। 4, 343-375 (2010)। ডিওআই 10.1007/s10485-008-9176-x (2009)। টপোলজি হোমোটোপি তত্ত্ব