Picard–Lefschetz theory
গণিতে, পিকার্ড-লেফশেৎজ তত্ত্ব একটি জটিল ম্যানিফোল্ডের টপোলজি অধ্যয়ন করে ম্যানিফোল্ডের উপর একটি হোলোমর্ফিক ফাংশনের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি দেখে। এটি এমিল পিকার্ড তাঁর বইয়ে জটিল পৃষ্ঠতলের জন্য প্রবর্তন করেছিলেন এবং দ্বারা উচ্চতর মাত্রায় প্রসারিত হয়েছিল। এটি মোর্স তত্ত্বের একটি জটিল সাদৃশ্য যা একটি বাস্তব ফাংশনের সমালোচনামূলক পয়েন্টগুলি দেখে একটি বাস্তব বহুগুণের টপোলজি অধ্যয়ন করে। পিকার্ড-লেফশেৎজ তত্ত্বকে আরও সাধারণ ক্ষেত্রের বৈচিত্র্যে প্রসারিত করেন এবং ডেলিগনে তাঁর ওয়েইল অনুমানের প্রমাণ হিসাবে এই সাধারণীকরণটি ব্যবহার করেন। পিকার্ড-লেফশেটস সূত্র পিকার্ড-লেফশেটস সূত্রটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুতে মনোড্রোমি বর্ণনা করে। ধরুন যে f একটি (k + 1)-মাত্রিক প্রজেক্টিভ জটিল থেকে প্রজেক্টিভ লাইন P1 পর্যন্ত একটি হোলোমরফিক মানচিত্র। এছাড়াও ধরুন যে সমস্ত সমালোচনামূলক বিন্দু অ-ক্ষয়প্রাপ্ত এবং বিভিন্ন তন্তুতে অবস্থিত, এবং পি1-এ x1,., xn চিত্র রয়েছে। পি1-এ অন্য যে কোনও বিন্দু x বেছে নিন। মৌলিক গ্রুপ π1 (P1-{x1,., xn}, x) xi বিন্দুর চারপাশে লুপ দ্বারা উত্পন্ন হয় এবং প্রতিটি বিন্দু xi-তে ফাইবারের সমতুল্য Hk (Yx)-এ একটি অদৃশ্য চক্র থাকে। লক্ষ্য করুন যে এটি মধ্য সমরূপতা কারণ তন্তুটির জটিল মাত্রা k, তাই বাস্তব মাত্রা 2k। Hk (Yx)-এর উপর π1 (P1-{x1,., xn}, x)-এর মনোড্রোমি ক্রিয়াটি পিকার্ড-লেফশেট্জ সূত্র দ্বারা নিম্নরূপ বর্ণনা করা হয়েছে। (অন্যান্য সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীর উপর মনোড্রোমির ক্রিয়াটি তুচ্ছ।) যেখানে δi হল xi-এর বিলুপ্তির চক্র, সেখানে মৌলিক গোষ্ঠীর একটি জেনারেটরের একবৃত্তীয় ক্রিয়াটি দেওয়া হয় ωHk (Yx)-এর উপর। এই সূত্রটি k = 2 (বিলুপ্ত চক্র δi-এর সুস্পষ্ট সহগ ছাড়া)-এর জন্য অন্তর্নিহিতভাবে প্রদর্শিত হয়। সমস্ত মাত্রায় সুস্পষ্ট সূত্র দিয়েছেন। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, কোথায় প্যারামিটার এবং তার দ্বারা সংজ্ঞায়িত বংশের হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার প্রজেক্টিভ পরিবারের কথা বিবেচনা করুন। তারপর, এই পরিবারে যখনই ডাবল-পয়েন্ট অবক্ষয় হয়। যেহেতু বক্ররেখাটি তোরির একটি সংযুক্ত যোগফল, তাই একটি সাধারণ বক্ররেখার ছেদ রূপটি হল ম্যাট্রিক্স যা আমরা সহজেই একটি অবক্ষয়ের চারপাশে পিকার্ড-লেফশেটস সূত্রটি গণনা করতে পারি। ধরুন এগুলি হল-তম টরাস থেকে আসা-চক্র। তারপর, পিকার্ড-লেফশেটস সূত্রটি পড়ে যদি-তম টরাসে অদৃশ্য চক্র থাকে। অন্যথায় এটি পরিচয় মানচিত্র। আরও দেখুন লেফশেৎজ পেন্সিল রেফারেন্স বীজগাণিতিক জ্যামিতি