Elementary matrix
গণিতে, একটি প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স হল একটি ম্যাট্রিক্স যা একটি একক প্রাথমিক সারি অপারেশন দ্বারা পরিচয় ম্যাট্রিক্স থেকে পৃথক হয়। প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সগুলি যখন একটি ক্ষেত্র হয় তখন সাধারণ রৈখিক গোষ্ঠী তৈরি করে। একটি প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স দ্বারা বাম গুণন (প্রাক-গুণন) প্রাথমিক সারির ক্রিয়াকলাপকে উপস্থাপন করে, যেখানে ডান গুণন (গুণন-পরবর্তী) প্রাথমিক কলাম ক্রিয়াকলাপকে উপস্থাপন করে। প্রাথমিক সারির ক্রিয়াকলাপগুলি গাউসিয়ান নির্মূলকরণে একটি ম্যাট্রিক্সকে সারি ইকোলন আকারে হ্রাস করতে ব্যবহৃত হয়। এগুলি গাউস-জর্ডান নির্মূলের ক্ষেত্রেও ব্যবহার করা হয় যাতে ম্যাট্রিক্সকে আরও হ্রাস করে রো ইকোলন আকারে পরিণত করা যায়। প্রাথমিক সারির ক্রিয়াকলাপ তিন ধরনের প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স রয়েছে, যা তিন ধরনের সারির ক্রিয়াকলাপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ (যথাক্রমে, কলাম ক্রিয়াকলাপ): সারি পরিবর্তন ম্যাট্রিক্সের মধ্যে একটি সারি অন্য সারির সাথে পরিবর্তন করা যেতে পারে। সারি গুণন একটি সারির প্রতিটি উপাদানকে একটি অ-শূন্য ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা যেতে পারে। এটি স্কেলিং এ রো নামেও পরিচিত। সারি সংযোজন একটি সারি সেই সারির যোগফল এবং অন্য সারির গুণিতক দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে। যদি একটি প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স হয়, যেমন নীচে বর্ণনা করা হয়েছে, একটি ম্যাট্রিক্সে প্রাথমিক সারি অপারেশন প্রয়োগ করার জন্য, একটি বাম দিকের প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণিত হয়। যে কোনও সারি অপারেশনের জন্য প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের উপর অপারেশনটি সম্পাদন করে প্রাপ্ত হয়। এই সত্যটিকে ম্যাট্রিক্সের বিভাগে প্রয়োগ করা ইয়োনেডা লেম্মার একটি উদাহরণ হিসাবে বোঝা যেতে পারে। সারি-পরিবর্তন রূপান্তর একটি ম্যাট্রিক্সের প্রথম ধরনের সারি অপারেশন সারির সমস্ত ম্যাট্রিক্স উপাদানকে তাদের প্রতিরূপগুলির সাথে একটি ভিন্ন সারিতে পরিবর্তন করে। সংশ্লিষ্ট প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সারি এবং সারি অদলবদল করে প্রাপ্ত হয়। সারি এবং সারি বিনিময় দ্বারা উত্পাদিত ম্যাট্রিক্সও তাই। গুণাঙ্ক অনুসারে, ম্যাট্রিক্সকে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ বৈশিষ্ট্য এই ম্যাট্রিক্সের বিপরীতটি নিজেইঃ যেহেতু আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক হল একক, এটি অনুসরণ করে যে কোনও বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য (সঠিক আকারের), আমাদের আছে। তাত্ত্বিক বিবেচনার জন্য, সারি-সংযোজন এবং সারি-গুণন রূপান্তরগুলি থেকে সারি-পরিবর্তন রূপান্তরটি পাওয়া যেতে পারে কারণ সারি-গুণন রূপান্তরগুলি একটি ম্যাট্রিক্সের উপর পরবর্তী ধরণের সারি ক্রিয়াকলাপ সারির সমস্ত উপাদানকে গুণ করে যেখানে একটি অ-শূন্য স্কেলার (সাধারণত একটি বাস্তব সংখ্যা)। সংশ্লিষ্ট প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সটি একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স, যেখানে এটি রয়েছে সেখানে 1ম অবস্থান ব্যতীত সর্বত্র তির্যক এন্ট্রি রয়েছে। সারি দ্বারা গুণ করলে যে ম্যাট্রিক্স উৎপন্ন হয় সেটিও তাই। সহগ অনুসারে, ম্যাট্রিক্সকে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ বৈশিষ্ট্য এই ম্যাট্রিক্সের বিপরীতটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা দেওয়া হয় এবং এর বিপরীতটি তির্যক ম্যাট্রিক্স। সুতরাং একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের জন্য (সঠিক আকারের), আমাদের সারি-সংযোজন রূপান্তর রয়েছে একটি ম্যাট্রিক্সের উপর চূড়ান্ত ধরনের সারি অপারেশন সারিতে একটি স্কেলার দ্বারা গুণিত সারি যোগ করে। সংশ্লিষ্ট প্রাথমিক ম্যাট্রিক্স হল আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স তবে একটি অবস্থানে রয়েছে। সারিতে সারির সময় যোগ করে যে ম্যাট্রিক্স তৈরি হয় সেটিও তাই। এবং এটি কলামে টাইমস কলাম যোগ করে তৈরি করা ম্যাট্রিক্স। সহগ অনুসারে, ম্যাট্রিক্সকে সংজ্ঞায়িত করা হয়ঃ বৈশিষ্ট্য এই রূপান্তরগুলি এক ধরনের শিয়ার ম্যাপিং, যা ট্রান্সভেকশন নামেও পরিচিত। এই ম্যাট্রিক্সের বিপরীতটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা দেওয়া হয় এবং এর বিপরীতটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স। অতএব, একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য (সঠিক আকারের) আমাদের স্টাইনবার্গ সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করার জন্য রো-অ্যাডিশন ট্রান্সফর্ম রয়েছে। আরও দেখুন গাউসীয় অপসারণ রৈখিক বীজগণিত পদ্ধতি রৈখিক সমীকরণ ম্যাট্রিক্স (গণিত) এলইউ পচন ফ্রোবেনিয়াস ম্যাট্রিক্স রেফারেন্স রৈখিক বীজগণিত