Numerical continuation
সংখ্যাসূচক ধারাবাহিকতা হল প্যারামিটারাইজড অরৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের আনুমানিক সমাধান গণনা করার একটি পদ্ধতি, প্যারামিটারটি সাধারণত একটি বাস্তব স্কেলার এবং সমাধানটি একটি এন-ভেক্টর। একটি নির্দিষ্ট পরামিতি মানের জন্য, ইউক্লিডীয় এন-স্পেসকে নিজের মধ্যে ম্যাপ করে। প্রায়শই মূল ম্যাপিংটি নিজেই একটি বানাচ স্থান থেকে হয় এবং ইউক্লিডীয় এন-স্পেস একটি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক বানাচ স্থান। প্রবাহ বা মানচিত্রের একটি প্যারামিটারাইজড পরিবারের একটি স্থির অবস্থা বা স্থির বিন্দু এই রূপের হয় এবং একটি প্রবাহের গতিপথকে পৃথক করে বা একটি মানচিত্রের পুনরাবৃত্তি করে, পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ এবং হেটেরোক্লিনিক কক্ষপথকেও এর সমাধান হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। অন্যান্য রূপ কিছু অরৈখিক সিস্টেমে, পরামিতিগুলি স্পষ্ট। অন্যগুলিতে এগুলি অন্তর্নিহিত, এবং অরৈখিক সমীকরণের পদ্ধতিটি যেখানে একটি এন-ভেক্টর লেখা হয়, এবং এর চিত্রটি একটি এন-1 ভেক্টর। একটি সুস্পষ্ট পরামিতি স্থান ব্যতীত এই সূত্রটি সাধারণত নিম্নলিখিত বিভাগগুলির সূত্রগুলির জন্য উপযুক্ত নয়, কারণ তারা ফর্মের পরামিতিগত স্বায়ত্তশাসিত অরৈখিক গতিশীল সিস্টেমগুলিকে বোঝায়ঃ তবে, একটি বীজগাণিতিক সিস্টেমে অজানা এবং পরামিতিগুলির মধ্যে কোনও পার্থক্য নেই। পর্যায়ক্রমিক গতি হল পর্যায় স্থানে একটি বদ্ধ বক্ররেখা। অর্থাৎ, কিছু সময়ের জন্য, পর্যায়ক্রমিক গতির পাঠ্যপুস্তক উদাহরণ হল আনড্যাম্পড পেন্ডুলাম। যদি পর্যায় স্থানটি এক বা একাধিক স্থানাঙ্কে পর্যায়ক্রমিক হয়, ধরুন, একটি ভেক্টর সহ, তবে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি দ্বিতীয় ধরনের পর্যায়ক্রমিক গতি সংজ্ঞায়িত করা হয়। পর্যায়ক্রমিক গতির জন্য একটি অন্তর্নিহিত পদ্ধতি লেখার প্রথম ধাপ হল সময়কালকে সীমানা শর্ত থেকে ও. ডি. ই-তে স্থানান্তরিত করাঃ দ্বিতীয় ধাপ হল একটি অতিরিক্ত সমীকরণ, একটি পর্যায় সীমাবদ্ধতা যোগ করা, যা সময়কাল নির্ধারণ হিসাবে মনে করা যেতে পারে। এটি প্রয়োজনীয় কারণ উপরের সীমানা মান সমস্যার যে কোনও সমাধান সময়মতো একটি নির্বিচারে পরিমাণ দ্বারা স্থানান্তরিত করা যেতে পারে (সময় সংজ্ঞায়িত সমীকরণগুলিতে উপস্থিত হয় না-গতিশীল ব্যবস্থাটিকে স্বায়ত্তশাসিত বলা হয়)। পর্যায় সীমাবদ্ধতার জন্য বেশ কয়েকটি বিকল্প রয়েছে। যদি কাছাকাছি কোনও প্যারামিটার মানের একটি পরিচিত পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ হয়, তবে পয়েনকারে ব্যবহার করা হয় যা বলে যে এটি একটি সমতলে অবস্থিত যা বদ্ধ বক্ররেখার স্পর্শক ভেক্টরের সাথে অর্থোগোনাল। এই সমতলকে পয়েনকারে বিভাগ বলা হয়। একটি সাধারণ সমস্যার জন্য একটি ভাল পর্যায় সীমাবদ্ধতা হল ইউসেবিয়াস ডোডেল দ্বারা প্রবর্তিত একটি অবিচ্ছেদ্য সীমাবদ্ধতা, যা পর্যায়টি বেছে নেয় যাতে পরিচিত এবং অজানা কক্ষপথের মধ্যে দূরত্ব হ্রাস করা যায়ঃ হোমোক্লিনিক এবং হেটেরোক্লিনিক গতি সংজ্ঞা সমাধান উপাদান অরৈখিক ব্যবস্থার একটি সমাধান উপাদান হল বিন্দুগুলির একটি সেট যা সমাধানের পথ দ্বারা সন্তুষ্ট করে এবং প্রাথমিক সমাধানের সাথে সংযুক্ত থাকে যার জন্য এবং। সংখ্যাসূচক ধারাবাহিকতা একটি অ্যালগরিদম যা প্যারামিট্রাইজড অরৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম এবং একটি প্রাথমিক সমাধান ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং সমাধান উপাদানের উপর পয়েন্টগুলির একটি সেট তৈরি করে। একটি নিয়মিত বিন্দু হল এমন একটি বিন্দু যেখানে জ্যাকোবিয়ান পূর্ণ র্যাঙ্ক হয়। একটি নিয়মিত বিন্দুর কাছাকাছি সমাধান উপাদান হল একটি বিচ্ছিন্ন বক্ররেখা যা নিয়মিত বিন্দুর (অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য) মধ্য দিয়ে যায়। উপরের চিত্রে একটি নিয়মিত বিন্দু রয়েছে। একক বিন্দু হল এমন একটি বিন্দু যেখানে এফ-এর জ্যাকোবিয়ান পূর্ণ র্যাঙ্ক নয়। একটি একক বিন্দুর কাছাকাছি সমাধান উপাদানটি নিয়মিত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বিচ্ছিন্ন বক্ররেখা নাও হতে পারে। স্থানীয় কাঠামো উচ্চতর ডেরিভেটিভ দ্বারা নির্ধারিত হয়। যে বিন্দুতে দুটি নীল বক্ররেখা অতিক্রম করে তার উপরের চিত্রে একটি একক বিন্দু রয়েছে। সাধারণভাবে দ্রবণের উপাদানগুলি হল শাখাযুক্ত বক্ররেখা। শাখা বিন্দুগুলি হল একক বিন্দু। একটি একক বিন্দু ছেড়ে যাওয়া সমাধান বক্ররেখা খুঁজে বের করাকে শাখা পরিবর্তন বলা হয়, এবং দ্বিখণ্ডিত তত্ত্ব (এককত্ব তত্ত্ব, বিপর্যয় তত্ত্ব) থেকে কৌশল ব্যবহার করে। সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ব্যবস্থার জন্য (উপরে সংজ্ঞায়িত) লিয়াপুনভ-শ্মিট পচন দুটি পদ্ধতি তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যার জন্য অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য প্রযোজ্য। লিয়াপুনভ-শ্মিট পচন জ্যাকোবিয়ানের শূন্য স্থান এবং জ্যাকোবিয়ানের পরিসরের পরিপূরক হিসাবে সিস্টেমের সীমাবদ্ধতা ব্যবহার করে। যদি ম্যাট্রিক্সের কলামগুলি এর নাল স্পেসের জন্য একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি হয় এবং ম্যাট্রিক্সের কলামগুলি এর বাম নাল স্পেসের জন্য একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি হয়, তবে সিস্টেমটি পুনরায় লেখা যেতে পারে যেখানে এর নাল স্পেসের পরিপূরকে রয়েছে। প্রথম সমীকরণে, যা জ্যাকোবিয়ান () এর নাল স্পেস দ্বারা প্যারামিট্রাইজ করা হয়, জ্যাকোবিয়ানের সাপেক্ষে অ-একক। সুতরাং অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্যটি বলে যে একটি ম্যাপিং রয়েছে যেমন এবং। দ্বিতীয় সমীকরণটিকে (প্রতিস্থাপিত সহ) দ্বিখণ্ডিত সমীকরণ বলা হয় (যদিও এটি সমীকরণের একটি পদ্ধতি হতে পারে)। দ্বিখণ্ডিত সমীকরণে একটি টেলর সম্প্রসারণ রয়েছে যার মধ্যে ধ্রুবক এবং রৈখিক পদের অভাব রয়েছে। মূল ব্যবস্থার জ্যাকোবিয়ানের সমীকরণ এবং শূন্য স্থান পরিমাপ করে অ-একক জ্যাকোবিয়ান সহ একটি ব্যবস্থা পাওয়া যেতে পারে। স্কেল করা দ্বিখণ্ডন সমীকরণের টেলর সিরিজের ধ্রুবক পদটিকে বীজগাণিতিক দ্বিখণ্ডন সমীকরণ বলা হয় এবং অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য প্রয়োগ করা দ্বিখণ্ডন সমীকরণ বলে যে বীজগাণিতিক দ্বিখণ্ডন সমীকরণের প্রতিটি বিচ্ছিন্ন সমাধানের জন্য মূল সমস্যার সমাধানের একটি শাখা রয়েছে যা একক বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। আরেকটি একক বিন্দু হল একটি টার্নিং পয়েন্ট দ্বিখণ্ডন, বা স্যাডল-নোড দ্বিখণ্ডন, যেখানে বক্ররেখা অনুসরণ করার সাথে সাথে পরামিতিটির দিক বিপরীত হয়। উপরের চিত্রের লাল বক্ররেখা একটি মোড়কে চিত্রিত করে। বিশেষ অ্যালগরিদম প্রাকৃতিক পরামিতি ধারাবাহিকতা সমীকরণের অরৈখিক পদ্ধতির সমাধানের বেশিরভাগ পদ্ধতি হল পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি। একটি নির্দিষ্ট পরামিতি মানের জন্য একটি ম্যাপিং বারবার একটি প্রাথমিক অনুমানের জন্য প্রয়োগ করা হয়। যদি পদ্ধতিটি একত্রিত হয়, এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তবে সীমার মধ্যে পুনরাবৃত্তি একটি সমাধানের কাছে পৌঁছায়। প্রাকৃতিক পরামিতি ধারাবাহিকতা একটি প্যারামিট্রাইজড সমস্যার পুনরাবৃত্তিমূলক সমাধানকারীর একটি খুব সহজ অভিযোজন। এর একটি মানের সমাধানটি এ-এর সমাধানের প্রাথমিক অনুমান হিসাবে ব্যবহৃত হয়। যথেষ্ট ছোট হলে প্রাথমিক অনুমানের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা পুনরাবৃত্তি একত্রিত হওয়া উচিত। প্রাকৃতিক পরামিতি ধারাবাহিকতার একটি সুবিধা হল এটি ব্ল্যাক বক্স হিসাবে সমস্যার সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করে। যা প্রয়োজন তা হল একটি প্রাথমিক সমাধান দেওয়া (কিছু সমাধানকারী সর্বদা একটি নির্দিষ্ট প্রাথমিক অনুমান দিয়ে শুরু করতেন)। ব্ল্যাক বক্স সলভারগুলিতে আরও পরিশীলিত অ্যালগরিদম প্রয়োগের ক্ষেত্রে বড় আকারের ধারাবাহিকতার ক্ষেত্রে অনেক কাজ হয়েছে (উদাহরণস্বরূপ দেখুন। এলওসিএ)। যাইহোক, প্রাকৃতিক পরামিতি ধারাবাহিকতা টার্নিং পয়েন্টে ব্যর্থ হয়, যেখানে সমাধানের শাখাটি বৃত্তাকার হয়ে যায়। সুতরাং টার্নিং পয়েন্টের সমস্যাগুলির জন্য, ছদ্ম-আর্ক্লেন্থ ধারাবাহিকতার মতো আরও পরিশীলিত পদ্ধতি অবশ্যই ব্যবহার করতে হবে (নীচে দেখুন)। সরল বা পিসওয়াইজ লিনিয়ার কন্টিনিউয়েশন বা পিসওয়াইজ লিনিয়ার কন্টিনিউয়েশন (অলগাওয়ার এবং জর্জ) তিনটি মৌলিক ফলাফলের উপর ভিত্তি করে। প্রথমটি হল {। শ্রেণী = "উইকিটেবল"।-|If F (x) মানচিত্র IR ^ n গুণিত IR ^ (n-1), একটি (n-1)-মাত্রিক সিম্পলেক্সে একটি অনন্য রৈখিক ইন্টারপোলেন্ট রয়েছে যা সিম্পলেক্সের শীর্ষে ফাংশন মানগুলির সাথে একমত। ।} দ্বিতীয় ফলাফলটি হলঃ {। শ্রেণী = "উইকিটেবল"।-|An (n-1)-মাত্রিক সিমপ্লেক্স পরীক্ষা করে দেখা যেতে পারে যে অনন্য রৈখিক ইন্টারপোলেন্ট সিমপ্লেক্সের ভিতরে 0 মানটি গ্রহণ করে কিনা। ।} বিস্তারিত জানার জন্য দয়া করে পিসওয়াইজ লিনিয়ার কন্টিনিউয়েশন সম্পর্কিত নিবন্ধটি দেখুন। এই দুটি ক্রিয়াকলাপের সাথে এই ধারাবাহিকতা অ্যালগরিদমটি বর্ণনা করা সহজ (যদিও অবশ্যই একটি দক্ষ বাস্তবায়নের জন্য আরও পরিশীলিত পদ্ধতির প্রয়োজন। দেখুন [বি1])। একটি প্রাথমিক সিম্প্লেক্স দেওয়া হয়েছে বলে মনে করা হয়, একটি রেফারেন্স সরল পচন থেকে। প্রাথমিক সিমপ্লেক্সের কমপক্ষে একটি মুখ থাকতে হবে যাতে সেই মুখের অনন্য রৈখিক ইন্টারপোলেন্টের একটি শূন্য থাকে। সিম্প্লেক্সের অন্যান্য মুখগুলি তারপর পরীক্ষা করা হয় এবং সাধারণত একটি অভ্যন্তরীণ শূন্য সহ একটি অতিরিক্ত মুখ থাকবে। প্রাথমিক সিমপ্লেক্সটি তারপর সিমপ্লেক্স দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় যা শূন্য ধারণকারী উভয় মুখ জুড়ে অবস্থিত এবং প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করা হয়। তথ্যসূত্রঃ অলগাওয়ার এবং জর্জ [বি1] অ্যালগোথিহমের একটি সুস্পষ্ট, স্পষ্ট বিবরণ প্রদান করে। ছদ্ম-খিলান দৈর্ঘ্যের ধারাবাহিকতা এই পদ্ধতিটি এই পর্যবেক্ষণের উপর ভিত্তি করে যে একটি বক্ররেখার "আদর্শ" পরামিতি হল খিলান দৈর্ঘ্য। ছদ্ম-আর্ক্লেন্থ হল বক্ররেখার স্পর্শক স্থানে আর্ক্লেন্থের একটি আনুমানিক অনুমান। ফলস্বরূপ পরিবর্তিত প্রাকৃতিক ধারাবাহিকতা পদ্ধতিটি ছদ্ম-আর্ক্লেন্থের (পরিবর্তে) একটি ধাপ তৈরি করে। পুনরাবৃত্তিমূলক সমাধানকারীকে প্রদত্ত ছদ্ম-আর্ক্লেন্থের একটি বিন্দু খুঁজে বের করতে হয়, যার জন্য n দ্বারা n + 1 জ্যাকোবিয়ানের সাথে একটি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা (ছদ্ম-আর্ক্লেন্থ সীমাবদ্ধতা) যুক্ত করা প্রয়োজন। এটি একটি বর্গাকার জ্যাকোবিয়ান তৈরি করে এবং যদি ধাপের আকার যথেষ্ট ছোট হয় তবে পরিবর্তিত জ্যাকোবিয়ান পূর্ণ পদমর্যাদার হয়। ছদ্ম-আর্ক্লেন্থ ধারাবাহিকতা 1960-এর দশকের শেষের দিকে সীমাবদ্ধ উপাদান প্রয়োগের জন্য এডওয়ার্ড রিক্স এবং জেরাল্ড ওয়েম্পনার দ্বারা স্বাধীনভাবে বিকশিত হয়েছিল এবং 1970-এর দশকের গোড়ার দিকে এইচবি দ্বারা জার্নালে প্রকাশিত হয়েছিল। কেলার। এম. এ. ক্রিসফিল্ডঃ ননলাইনিয়ার ফাইনাইট এলিমেন্ট অ্যানালাইসিস অফ সলিডস অ্যান্ড স্ট্রাকচারস, ভলিউম 1: বেসিক কনসেপ্টস, উইলি, 1991-এর পাঠ্যপুস্তকে এই প্রাথমিক বিকাশের বিশদ বিবরণ দেওয়া হয়েছে। ক্রিসফিল্ড এই শ্রেণীর পদ্ধতির অন্যতম সক্রিয় বিকাশকারী ছিলেন, যা এখন বাণিজ্যিক অরৈখিক সীমাবদ্ধ উপাদান প্রোগ্রামগুলির মানক পদ্ধতি। অ্যালগরিদম হল একটি ভবিষ্যদ্বাণীকারী-সংশোধনকারী পদ্ধতি। ভবিষ্যদ্বাণী ধাপটি বিন্দুটি খুঁজে পায় (আইআর-এ (এন + 1)) যা বর্তমান পয়েন্টারের স্পর্শক ভেক্টর বরাবর একটি ধাপ। সংশোধক সাধারণত নিউটনের পদ্ধতি, বা কিছু বৈকল্পিক, অরৈখিক সিস্টেম সমাধান করার জন্য যেখানে স্পর্শক ভেক্টর হয়। এই ব্যবস্থার জ্যাকোবিয়ান হল সীমানা ম্যাট্রিক্স নিয়মিত বিন্দুতে, যেখানে অপরিবর্তিত জ্যাকোবিয়ান পূর্ণ র্যাঙ্ক, স্পর্শক ভেক্টর এই নতুন জ্যাকোবিয়ানের উপরের সারির শূন্য স্থান জুড়ে বিস্তৃত। শেষ সারি হিসাবে স্পর্শক ভেক্টরকে যুক্ত করা নিউটন সিস্টেমের সাধারণ সমাধানে নাল ভেক্টরের সহগ নির্ধারণ হিসাবে দেখা যেতে পারে (নির্দিষ্ট সমাধান এবং নাল ভেক্টরের একটি নির্বিচারে গুণিতক)। গাউস-নিউটন ধারাবাহিকতা এই পদ্ধতিটি ছদ্ম-আর্ক্লেন্থ ধারাবাহিকতার একটি রূপ। আর্ক্লেন্থ সীমাবদ্ধতার প্রাথমিক বিন্দুতে স্পর্শক ব্যবহার করার পরিবর্তে, বর্তমান সমাধানে স্পর্শক ব্যবহার করা হয়। এটি নিউটনের পদ্ধতিতে জ্যাকোবিয়ানের ছদ্ম-বিপরীত ব্যবহার করার সমতুল্য, এবং দীর্ঘ পদক্ষেপ করার অনুমতি দেয়। [বি17] একাধিক প্যারামিটারে ধারাবাহিকতা উপরে বর্ণিত অ্যালগরিদমগুলির প্যারামিটারটি একটি বাস্তব স্কেলার। বেশিরভাগ শারীরিক এবং নকশার সমস্যাগুলিতে সাধারণত একাধিক পরামিতি থাকে। উচ্চ-মাত্রিক ধারাবাহিকতা বোঝায় যখন একটি কে-ভেক্টর হয়। একই পরিভাষা প্রযোজ্য। একটি নিয়মিত সমাধান হল এমন একটি সমাধান যেখানে জ্যাকোবিয়ান পূর্ণ পদমর্যাদার হয়। একটি একক সমাধান হল এমন একটি সমাধান যেখানে জ্যাকোবিয়ান পূর্ণ পদমর্যাদার চেয়ে কম। একটি নিয়মিত সমাধান একটি কে-মাত্রিক পৃষ্ঠের উপর অবস্থিত, যা স্পর্শক স্থানের একটি বিন্দু (জ্যাকোবিয়ানের শূন্য স্থান) দ্বারা পরিমাপ করা যেতে পারে। এটি আবার ইমপ্লিসিট ফাংশন উপপাদ্যের একটি সহজবোধ্য প্রয়োগ। সংখ্যাসূচক ধারাবাহিকতা কৌশলগুলির প্রয়োগ সংখ্যাসূচক ধারাবাহিকতা কৌশলগুলি বিশৃঙ্খল গতিশীল ব্যবস্থা এবং বিপর্যয় তত্ত্বের ক্ষেত্রের অন্তর্গত অন্যান্য বিভিন্ন পদ্ধতির অধ্যয়নে প্রচুর পরিমাণে গ্রহণযোগ্যতা পেয়েছে। এই ধরনের ব্যবহারের কারণ হল যে বিভিন্ন অ-রৈখিক গতিশীল ব্যবস্থা ব্যবস্থার সমীকরণগুলিতে অন্তর্ভুক্ত পরামিতিগুলির মধ্যে একটি নির্ধারক এবং অনুমানযোগ্য পদ্ধতিতে আচরণ করে। যাইহোক, একটি নির্দিষ্ট প্যারামিটার মানের জন্য সিস্টেমটি বিশৃঙ্খলভাবে আচরণ করতে শুরু করে এবং তাই সিস্টেমটি কখন অ-অনুমানযোগ্য হতে শুরু করে এবং ঠিক কী (তাত্ত্বিকভাবে) সিস্টেমটিকে অস্থির করে তোলে তার ঘটনাগুলি বুঝতে সক্ষম হওয়ার জন্য প্যারামিটারটি অনুসরণ করা প্রয়োজন হয়ে পড়ে। পরামিতি ধারাবাহিকতার বিশ্লেষণ স্থিতিশীল/সমালোচনামূলক বিন্দু বিভাজন সম্পর্কে আরও অন্তর্দৃষ্টির দিকে পরিচালিত করতে পারে। স্যাডল-নোড, ট্রান্সক্রিটিক্যাল, পিচ-ফর্ক, পিরিয়ড ডবলিং, হপফ, সেকেন্ডারি হপফ (নেইমার্ক) স্থিতিশীল সমাধানের দ্বিখণ্ডনের অধ্যয়ন পরিস্থিতি এবং গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুতে উদ্ভূত ঘটনাগুলির একটি তাত্ত্বিক আলোচনার অনুমতি দেয়। প্যারামিটার ধারাবাহিকতা একটি গতিশীল সিস্টেম বিশ্লেষণ করার জন্য আরও নির্ভরযোগ্য সিস্টেম দেয় কারণ এটি আরও ইন্টারেক্টিভ, সময়-ধাপযুক্ত সংখ্যাসূচক সমাধানের চেয়ে বেশি স্থিতিশীল। বিশেষত এমন ক্ষেত্রে যেখানে গতিশীল সিস্টেমটি নির্দিষ্ট পরামিতি মানগুলিতে (বা একাধিক পরামিতিগুলির জন্য মানগুলির সংমিশ্রণ) উড়িয়ে দেওয়ার প্রবণতা রয়েছে। অ-রৈখিক আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধ্যয়নে স্থিতিশীল সমাধানের (আকর্ষণ বা প্রতিরোধ) উপস্থিতি সম্পর্কে এটি অত্যন্ত অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ যেখানে ক্র্যাঙ্ক নিকোলসন অ্যালগরিদমের আকারে পদক্ষেপ নেওয়ার সময় অত্যন্ত সময়সাপেক্ষ এবং সিস্টেমে নির্ভরশীল চলকগুলির অ-রৈখিক বৃদ্ধির ক্ষেত্রে অস্থির। অশান্তির অধ্যয়ন আরেকটি ক্ষেত্র যেখানে কম রেনল্ডস সংখ্যা থেকে শুরু করে একটি সিস্টেমে অশান্তির আবির্ভাব অধ্যয়নের জন্য সংখ্যাসূচক ধারাবাহিকতা কৌশল ব্যবহার করা হয়েছে। এছাড়াও, এই কৌশলগুলি ব্যবহার করে গবেষণা নিউটনীয় মাধ্যাকর্ষণের সীমাবদ্ধ তিন-বস্তু সমস্যার ক্ষেত্রে স্থিতিশীল বহুগুণ এবং অপরিবর্তনীয়-তোরির দ্বিখণ্ডনের সন্ধানের সম্ভাবনা সরবরাহ করেছে এবং লরেঞ্জ সমীকরণের মতো সিস্টেমগুলির আচরণ সম্পর্কে আকর্ষণীয় এবং গভীর অন্তর্দৃষ্টিও দিয়েছে। সফ্টওয়্যার (নির্মাণাধীন) আরও দেখুন দ্য সিয়াম অ্যাক্টিভিটি গ্রুপ অন ডাইনামিক্যাল সিস্টেমের তালিকা http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw অটোঃ অবিচ্ছেদ্য সীমাবদ্ধতা সহ টু পয়েন্ট বাউন্ডারি ভ্যালু প্রবলেম (টিপিবিভিপি)-এর সমাধানের গণনা। https://sourceforge.net/projects/auto-07p সোর্সফোর্জে পাওয়া যায়। হোমকন্টঃ হোমোক্লিনিক এবং হেটেরোক্লিনিক কক্ষপথের গণনা। অটো ম্যাটকোন্টে অন্তর্ভুক্তঃ সোর্সফোর্জে উপলব্ধ সংখ্যাসূচক ধারাবাহিকতা এবং দ্বিখণ্ডনের জন্য ম্যাটল্যাব টুলবক্স। ডি. ডি. ই. বি. আই. এফ. টি. ও. এলঃ বিলম্ব বিভেদমূলক সমীকরণের সমাধানের গণনা। একটি ম্যাটল্যাব প্যাকেজ। কে. ইউ. লিউভেন পাইকনট থেকে পাওয়া যায়ঃ সংখ্যাসূচক ধারাবাহিকতা এবং দ্বিখণ্ডনের জন্য একটি পাইথন টুলবক্স। নির্দিষ্ট বিন্দু ধারাবাহিকতার জন্য নেটিভ পাইথন অ্যালগরিদম, অন্যান্য ধরনের সমস্যার জন্য অটোতে পরিশীলিত ইন্টারফেস। পাইডস্টুল ক্যান্ডিস/কিউএ-এর অংশ হিসাবে অন্তর্ভুক্তঃ ইউনিভার্সিটাট পটসডাম [এ16] ম্যানপাক থেকে উপলব্ধঃ নেটলিব [এ15] পি. ডি. ডি. ই-কন্ট থেকে উপলব্ধঃ <আই. ডি. 2> ~ আর. এস. 1909/পি. ডি. ডি. ই/মাল্টিফারিয়োঃ <আই. ডি. 1> এল. ও. সি. এঃ <আই. ডি. 3> ডি. এস. টি. জি. এ. আই. ও. এস. সি. আই. এল. এল. 8: অসসিল8 একটি গতিশীল সিস্টেম টুল যা ব্যবহারকারীকে দ্বিখণ্ডিত বিশ্লেষণ কৌশল ব্যবহার করে অরৈখিক ও. ডি. ই-এর উচ্চ-মাত্রিক প্যারামিটার স্থান অন্বেষণ করতে দেয়। সোর্সফোর্জ থেকে পাওয়া যায়। ম্যানল্যাবঃ সমাধানের ফুরিয়ার সিরিজ (হারমোনিক ব্যালেন্স পদ্ধতি) এবং সমাধান শাখার টেলর সিরিজের বিকাশ (অ্যাসিম্পটোটিক সংখ্যাসূচক পদ্ধতি) ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ভারসাম্য, পর্যায়ক্রমিক এবং আধা-পর্যায়ক্রমিক সমাধানের গণনা। এল. এম. এ মার্সেই থেকে পাওয়া যায়। BifurcationKit.jl: এই জুলিয়া প্যাকেজের লক্ষ্য হল বৃহৎ মাত্রিক সমীকরণ এফ (ইউ, λ) = 0-এর স্বয়ংক্রিয় দ্বিখণ্ডন বিশ্লেষণ করা যেখানে পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি, বিরল গঠন এবং নির্দিষ্ট হার্ডওয়্যার (যেমন. জিপিইউ)। উদাহরণস্বরূপ, এফ যে বিন্দুগুলিকে উৎপত্তির মধ্যে চিহ্নিত করে তা খুঁজে বের করার এই সমস্যাটি কম্পিউটার গ্রাফিক্সে কনট্যুর মানচিত্র (এন = 2), বা আইসোসারফেস (এন = 3) আঁকার সমস্যা হিসাবে প্রদর্শিত হয়। মান এইচ সহ কনট্যুর হল এফ-এইচ = 0 রেফারেন্স বই [বি1] "সংখ্যাসূচক ধারাবাহিকতা পদ্ধতির ভূমিকা", ইউজিন এল. অলগাওয়ার এবং কার্ট জর্জ, ফলিত গণিতে সিয়াম ক্লাসিকস 45-এর সমস্ত সমাধান উপাদানের সেট। 2003 সালে। [বি2] "ডাইনামিক্যাল ইকুইলিব্রিয়ার দ্বিখণ্ডনের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি", উইলি জে. এফ. গোভার্টস, সিয়াম 2000। [বি3] "লাইয়াপুনভ-শ্মিট মেথডস ইন ননলাইনিয়ার অ্যানালাইসিস অ্যান্ড অ্যাপ্লিকেশনস", নিকোলাই সিডোরভ, বরিস লোগিনভ, আলেকজান্ডার সিনিটসিন এবং মাইকেল ফালালেভ, ক্লুয়ার একাডেমিক পাবলিশার্স, 2002। [বি4] "মেথডস অফ বাইফারকেশন থিওরি", শুই-নি চাউ এবং জ্যাক কে. হেল, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ 1982। [বি5] "এলিমেন্টস অফ অ্যাপ্লায়েড বাইফারকেশন থিওরি", ইউরি এ. কুনেটসভ, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেস 112,1995। [বি6] "ননলাইনার অসিলেশনস, ডাইনামিক্যাল সিস্টেমস, অ্যান্ড বাইফারকেশনস অফ ভেক্টর ফিল্ডস", জন গুকেনহেইমার এবং ফিলিপ হোমস, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেস 42,1983। [বি7] "প্রাথমিক স্থিতিশীলতা এবং দ্বিখণ্ডিত তত্ত্ব", জেরার্ড ইয়োস এবং ড্যানিয়েল ডি. জোসেফ, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ আন্ডারগ্রাজুয়েট টেক্সটস ইন ম্যাথমেটিক্স, 1980। [বি8] "সিঙ্গুলারিটি থিওরি অ্যান্ড অ্যান ইন্ট্রোডাকশন টু ক্যাটাস্ট্রোফ থিওরি", ইয়ুং-চেন লু, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ, 1976। [বি9] "গ্লোবাল বাইফারকেশনস অ্যান্ড ক্যাওস, অ্যানালিটিক মেথডস", এস. উইগিন্স, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেস 73,1988। [বি10] "সিঙ্গুলারিটিস অ্যান্ড গ্রুপস ইন বাইফারকেশন থিওরি, ভলিউম 1", মার্টিন গলুবিটস্কি এবং ডেভিড জি শেফার, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেস 51,1985। [বি11] "সিঙ্গুলারিটিস অ্যান্ড গ্রুপস ইন বাইফারকেশন থিওরি, ভলিউম 2", মার্টিন গলুবিটস্কি, ইয়ান স্টুয়ার্ট এবং ডেভিড জি শেফার, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ অ্যাপ্লায়েড ম্যাথমেটিকাল সায়েন্সেস 69,1988। [বি12] "প্রকৌশল ও বৈজ্ঞানিক সমস্যার জন্য ধারাবাহিকতা ব্যবহার করে বহুপদী ব্যবস্থার সমাধান", আলেকজান্ডার মরগান, প্রেন্টিস-হল, এঙ্গেলউড ক্লিফস, এন. জে. 1987। [বি13] "পাথওয়েজ টু সলিউশনস, ফিক্সড পয়েন্টস অ্যান্ড ইকুইলিব্রিয়া", সি. বি. গার্সিয়া এবং ডব্লিউ. আই. জাংউইল, প্রেন্টিস-হল, 1981। [বি14] "দ্য ইমপ্লিসিট ফাংশন থিওরেমঃ হিস্ট্রি, থিওরি অ্যান্ড অ্যাপ্লিকেশনস", স্টিভেন জি. ক্রান্টজ এবং হ্যারল্ড আর. পার্কস, বারখাউসার, 2002। [বি15] "ননলাইনিয়ার ফাংশনাল অ্যানালাইসিস", জে. টি. শোয়ার্জ, গর্ডন এবং ব্রিচ সায়েন্স পাবলিশার্স, নোটস অন ম্যাথমেটিক্স অ্যান্ড ইটস অ্যাপ্লিকেশনস, 1969। [বি16] "টপিকস ইন ননলাইনিয়ার ফাংশনাল অ্যানালাইসিস", লুই নিরেনবার্গ (রালফ এ. আর্টিনোর নোটস), এ. এম. এস কোরান্ট লেকচার নোটস ইন ম্যাথমেটিক্স 6,1974। [বি17] "নিউটন মেথডস ফর ননলাইনিয়ার প্রবলেম-অ্যাফিন ইনভ্যারিয়েন্স অ্যান্ড অ্যাডাপটিভ অ্যালগরিদমস", পি. ডিফলহার্ড, সিরিজ কম্পিউট্যাশনাল ম্যাথমেটিক্স 35, স্প্রিংগার, 2006। জার্নাল নিবন্ধ [এ1] "এন অ্যালগরিদম ফর পিসওয়াইজ লিনিয়ার এপ্রোক্সিমেশন অফ ইমপ্লিসিটলি ডিফাইন্ড টু-ডাইমেনশনাল সারফেস", ইউজিন এল. অলগাওয়ার এবং স্টেফান গানুটজম্যান, সিয়াম জার্নাল অন নিউমেরিকাল অ্যানালাইসিস, খণ্ড 24, সংখ্যা 2,452-469,1987। ই. এল. অলগাওয়ার এবং কে. জর্জ, সিয়াম রিভিউ, খণ্ড 22,28-85,1980। [এ3] "অ্যান অ্যালগরিদম ফর পিসওয়াইজ-লিনিয়ার অ্যাপ্রক্সিমেশন অফ অ্যান ইম্প্লিসিটলি ডিফাইন্ড ম্যানিফোল্ড", ইউজিন এল. অলগাওয়ার এবং ফিলিপ এইচ. শ্মিট, সিয়াম জার্নাল অন নিউমেরিকাল অ্যানালাইসিস, খণ্ড 22, সংখ্যা 2,322-346, এপ্রিল 1985। [এ4] "কনট্যুর ট্রেসিং বাই পিসওয়াইজ লিনিয়ার অ্যাপ্রোক্সিমেশনস", ডেভিড পি. ডবকিন, সিলভিও ভি. এফ. লেভি, উইলিয়াম পি. থার্স্টন এবং অ্যালান আর. উইল্কস, এসিএম ট্রানজেকশনস অন গ্রাফিক্স, 9 (4) 389-423,1990। [এ5] "দ্বিখণ্ডিতকরণ এবং অরৈখিক আইগেনভ্যালু সমস্যার সংখ্যাসূচক সমাধান", এইচ. বি. কেলার, "দ্বিখণ্ডিতকরণ তত্ত্বের প্রয়োগ", পি. রবিনোভিটস সংস্করণ, অ্যাকাডেমিক প্রেস, 1977। [এ6] "একটি স্থানীয় প্যারামিটারাইজড কন্টিনিউয়েশন প্রসেস", ডব্লিউ. সি. রাইনবোল্ট এবং জে. ভি। বারকার্ড, এসিএম ট্রানজেকশনস অন ম্যাথমেটিকাল সফ্টওয়্যার, ভলিউম 9,236-246,1983। [এ7] "অরৈখিক সংখ্যা" ই. ডোডেল, ইন্টারন্যাশনাল জার্নাল অফ বাইফারকেশন অ্যান্ড ক্যাওস, 7 (9): 2127-2143,1997। [এ8] "অরৈখিক গণনা", আর. সেডেল, ইন্টারন্যাশনাল জার্নাল অফ বাইফারকেশন অ্যান্ড ক্যাওস, 7 (9): 2105-2126,1997। [এ9] "অন এ মুভিং ফ্রেম অ্যালগরিদম অ্যান্ড দ্য ট্রায়াঙ্গুলেশন অফ ইকুইলিব্রিয়াম ম্যানিফোল্ডস", ডব্লিউ. সি. রাইনবোল্ট, ইন টি. কুপার, আর. সেডেল এবং এইচ. ট্রোগার সংস্করণ। "আইএসএনএম79: বাইফারকেশনঃ অ্যানালাইসিস, অ্যালগরিদমস, অ্যাপ্লিকেশনস", পৃষ্ঠা 256-267। বিরখৌসার, 1987। [এ10] "অন দ্য কম্প্যুটেশন অফ মাল্টি-ডাইমেনশনাল সলিউশন ম্যানিফোল্ডস অফ প্যারামিটারাইজড ইকুয়েশনস", ডব্লিউ. সি. রাইনবোল্ট, নিউমেরিশ ম্যাথমেটিক, 53,1988, পৃষ্ঠা 165-181। [এ11] "অন দ্য সিম্প্লিসিয়াল অ্যাপ্রক্সিমেশন অফ ইমপ্লিসিটলি ডিফাইন্ড টু-ডাইমেনশনাল ম্যানিফোল্ডস", এম. এল. ব্রডজিক এবং ডব্লিউ. সি. রাইনবোল্ট, কম্পিউটারস অ্যান্ড ম্যাথমেটিক্স উইথ অ্যাপ্লিকেশনস, 28 (9): 9-21,1994। [এ12] "দ্য কম্পিউটশন অফ সিম্প্লিসিয়াল অ্যাপ্রক্সিমেশনস অফ ইম্প্লিসিটলি ডিফাইন্ড পি-ম্যানিফোল্ডস", এম. এল. ব্রডজিক, কম্পিউটারস অ্যান্ড ম্যাথমেটিক্স উইথ অ্যাপ্লিকেশনস, 36 (6): 93-113,1998। [এ13] "দ্বি-মাত্রিক সংখ্যাসূচক ধারাবাহিকতার জন্য নতুন অ্যালগরিদম", আর. মেলভিল এবং ডি. এস. ম্যাকি, অ্যাপ্লিকেশন সহ কম্পিউটার এবং গণিত, 30 (1): 31-46,1995। [এ14] "মাল্টিপল প্যারামিটার কন্টিনিউয়েশনঃ কম্পিউটিং ইমপ্লিসিটলি ডিফাইন্ড কে-ম্যানিফোল্ডস", এম. ই. হেন্ডারসন, আইজেবিসি 12 [3]: 451-76,2003। [এ15] "ম্যানপ্যাকঃ অন্তর্নিহিতভাবে সংজ্ঞায়িত ম্যানিফোল্ডের উপর গণনার জন্য অ্যালগরিদমের একটি সেট", ডব্লিউ. সি. রাইনবোল্ট, কম্পিউট। গণিত। আবেদন করুন। 27 পৃষ্ঠা 15-9,1996। [এ16] "ক্যান্ডিস/কিউএ-ননলাইনিয়ার ডায়নামিক্যাল সিস্টেমের গুণগত বিশ্লেষণের জন্য একটি সফ্টওয়্যার সিস্টেম", ফিউডেল, ইউ. এবং ডব্লিউ. জ্যানসেন, ইন্ট। জে. বাইফারকেশন অ্যান্ড ক্যাওস, খণ্ড। 2 নং। 4, পিপি। 773-794, বিশ্ব বৈজ্ঞানিক, 1992। সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণ গতিশীল পদ্ধতি