1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
অসীম সিরিজ যার পদগুলি স্বাভাবিক সংখ্যা একটি বিচ্যুত সিরিজ। সিরিজের nতম আংশিক যোগফল হল ত্রিভুজাকার সংখ্যা যা n-এর অনন্ততায় যাওয়ার সাথে সাথে আবদ্ধ না হয়ে বৃদ্ধি পায়। যেহেতু আংশিক যোগফলের ক্রম একটি সীমাবদ্ধ সীমার মধ্যে একত্রিত হতে ব্যর্থ হয়, তাই এই সিরিজের কোনও যোগফল নেই। যদিও প্রথম দৃষ্টিতে এই সিরিজের কোনও অর্থপূর্ণ মূল্য নেই বলে মনে হয়, তবে এটি বেশ কয়েকটি গাণিতিকভাবে আকর্ষণীয় ফলাফল দেওয়ার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, গণিতে অনেক যোগসূত্র পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় একটি ভিন্ন সারিতেও সংখ্যাসূচক মান নির্ধারণ করার জন্য। বিশেষত, জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ এবং রামানুজন যোগফলের পদ্ধতিগুলি সিরিজটিকে একটি মান নির্ধারণ করে, যা একটি বিখ্যাত সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়ঃ যেখানে বাম দিকটিকে পূর্বোক্ত যোগফলের পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করে প্রাপ্ত মান হিসাবে ব্যাখ্যা করতে হবে এবং তার স্বাভাবিক অর্থে অসীম সিরিজের যোগফল হিসাবে নয়। জটিল বিশ্লেষণ, কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং স্ট্রিং তত্ত্বের মতো অন্যান্য ক্ষেত্রেও এই পদ্ধতিগুলির প্রয়োগ রয়েছে। আলবার্টা বিশ্ববিদ্যালয়ের গণিতবিদ টেরি গ্যানন চাঁদের আলো তত্ত্বের উপর একটি মনোগ্রাফ-এ এই সমীকরণটিকে "বিজ্ঞানের অন্যতম উল্লেখযোগ্য সূত্র" বলে অভিহিত করেছেন। আংশিক যোগফল সিরিজের আংশিক যোগফল হল, ইত্যাদি। নবম আংশিক যোগফল একটি সহজ সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছেঃ এই সমীকরণটি খ্রিষ্টপূর্ব ষষ্ঠ শতাব্দীর গোড়ার দিকে পিথাগোরীয়দের কাছে পরিচিত ছিল। এই রূপের সংখ্যাগুলিকে ত্রিভুজাকার সংখ্যা বলা হয়, কারণ এগুলিকে সমবাহু ত্রিভুজ হিসাবে সাজানো যেতে পারে। ত্রিভুজাকার সংখ্যার অসীম ক্রম + ν তে বিচ্ছিন্ন হয়, তাই সংজ্ঞা অনুসারে, অসীম সিরিজটিও + ν তে বিচ্ছিন্ন হয়। বিচ্যুতি হল সিরিজের রূপের একটি সহজ পরিণতিঃ পদগুলি শূন্যের কাছাকাছি পৌঁছায় না, তাই সিরিজটি পরীক্ষা শব্দ দ্বারা বিচ্ছিন্ন হয়। ধ্রুপদী ডাইভারজেন্ট সিরিজের মধ্যে, একটি সীমাবদ্ধ মানকে পরিচালনা করা তুলনামূলকভাবে কঠিন। ডাইভারজেন্ট সিরিজে সংখ্যাসূচক মান নির্ধারণের জন্য অনেক যোগসূত্র পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, যার মধ্যে কিছু অন্যদের তুলনায় বেশি শক্তিশালী। উদাহরণস্বরূপ, সিজারো যোগফল একটি সুপরিচিত পদ্ধতি যা গ্রান্ডির সিরিজ, হালকাভাবে বিচ্যুত সিরিজকে যোগ করে। আবেল যোগফল একটি আরও শক্তিশালী পদ্ধতি যা কেবল গ্রান্ডির সিরিজের যোগফলই নয়, বরং আরও জটিল সিরিজের যোগফলও দেয়। উপরের সিরিজের বিপরীতে, সিজারো যোগফল বা আবেল যোগফল নয়। এই পদ্ধতিগুলি ডাইভারজেন্ট সিরিজের দোলন ঘটাতে কাজ করে, তবে তারা একটি সিরিজের জন্য একটি সীমাবদ্ধ উত্তর তৈরি করতে পারে না যা + ν তে বিচ্ছিন্ন হয়। একটি ডাইভারজেন্ট সিরিজের যোগফলের বেশিরভাগ প্রাথমিক সংজ্ঞা স্থিতিশীল এবং রৈখিক, এবং যে কোনও পদ্ধতি যা স্থিতিশীল এবং রৈখিক উভয়ই একটি সীমাবদ্ধ মানের যোগফল হতে পারে না; নীচে দেখুন। আরও উন্নত পদ্ধতি প্রয়োজন, যেমন জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ বা রামানুজন যোগফল। এই পদ্ধতিগুলির সাথে সম্পর্কিত কিছু মোটামুটি হিউরিস্টিক্স ব্যবহারের মূল্যের জন্য তর্ক করাও সম্ভব। হিউরিস্টিক্স শ্রীনিবাস রামানুজন তাঁর প্রথম নোটবুকের 8ম অধ্যায়ে "" এর দুটি ব্যুৎপত্তি উপস্থাপন করেছেন। সহজতর, কম কঠোর ব্যুৎপত্তি দুটি ধাপে এগিয়ে যায়, নিম্নরূপ। প্রথম মূল অন্তর্দৃষ্টি হল যে ধনাত্মক সংখ্যার সিরিজটি পর্যায়ক্রমিক সিরিজের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। পরের সিরিজটিও ভিন্ন, তবে এর সাথে কাজ করা অনেক সহজ; বেশ কয়েকটি ধ্রুপদী পদ্ধতি রয়েছে যা এটিকে একটি মান দেয়, যা 18শ শতাব্দী থেকে অন্বেষণ করা হয়েছে। সিরিজটিকে রূপান্তরিত করার জন্য, দ্বিতীয় টার্ম থেকে 4, চতুর্থ টার্ম থেকে 8, ষষ্ঠ টার্ম থেকে 12 ইত্যাদি বিয়োগ করা যেতে পারে। বিয়োগ করার মোট পরিমাণ হল, যা মূল সিরিজের 4 গুণ। এই সম্পর্কগুলি বীজগণিত ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে। তারপর এই সমীকরণটিকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং প্রথমটি থেকে দ্বিতীয় সমীকরণটি বিয়োগ করুনঃ দ্বিতীয় মূল অন্তর্দৃষ্টিটি হল যে বিকল্প সিরিজটি ফাংশনের আনুষ্ঠানিক শক্তি সিরিজের সম্প্রসারণ কিন্তু x কে 1 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। (এটি x-এর অ-ঋণাত্মক শক্তির পর্যায়ক্রমিক যোগফলের সমতুল্য করে এবং তারপর সমীকরণের উভয় দিককে পৃথক ও বাতিল করে দেখা যেতে পারে।) তদনুসারে, রামানুজন লিখেছেন উভয় পক্ষকে −3 দ্বারা ভাগ করলে, একটি c = পায়। সাধারণভাবে বলতে গেলে, অসীম সিরিজকে এমনভাবে পরিচালনা করা ভুল, যেন সেগুলি সসীম যোগফল। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বিচ্ছিন্ন সিরিজের নির্বিচারে অবস্থানে শূন্য সন্নিবেশ করা হয়, তবে এমন ফলাফল পাওয়া সম্ভব যা স্ব-সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, অন্যান্য পদ্ধতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। বিশেষত, এই পদক্ষেপটি শুধুমাত্র যোগাত্মক পরিচয় আইন দ্বারা ন্যায্য নয়। একটি চরম উদাহরণের জন্য, সিরিজের সামনে একটি একক শূন্য যুক্ত করা একটি ভিন্ন ফলাফলের দিকে নিয়ে যেতে পারে। এই পরিস্থিতির প্রতিকারের একটি উপায়, এবং শূন্য সন্নিবেশিত হতে পারে এমন জায়গাগুলিকে সীমাবদ্ধ করার জন্য, কিছু ফাংশনের উপর নির্ভরতা সংযুক্ত করে সিরিজের প্রতিটি পদের উপর নজর রাখা। এই সিরিজে, প্রতিটি পদ n কেবল একটি সংখ্যা। যদি n শব্দটি n − s ফাংশনে উন্নীত করা হয়, যেখানে s একটি জটিল পরিবর্তনশীল, তবে কেউ নিশ্চিত করতে পারে যে শুধুমাত্র পদগুলির মতো যোগ করা হয়েছে। ফলস্বরূপ সিরিজটি আরও কঠোর পদ্ধতিতে ম্যানিপুলেট করা যেতে পারে এবং পরিবর্তনশীল s-কে পরে −1 এ সেট করা যেতে পারে। এই কৌশল বাস্তবায়নের নাম হল জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ। জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণে, সিরিজটি সিরিজ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। পরের সিরিজটি ডিরিচলেট সিরিজের একটি উদাহরণ। যখন s-এর বাস্তব অংশ 1-এর চেয়ে বড় হয়, তখন ডিরিচলেট সিরিজ একত্রিত হয় এবং এর যোগফল হল রিমান জিটা ফাংশন ζ (s)। অন্যদিকে, ডিরিচলেট সিরিজটি বিচ্ছিন্ন হয় যখন s-এর আসল অংশটি 1-এর চেয়ে কম বা সমান হয়, তাই, বিশেষত, s =-1 সেট করার ফলে যে সিরিজটি একত্রিত হয় না। রিমান জিটা ফাংশন প্রবর্তনের সুবিধা হল যে এটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা s এর অন্যান্য মানগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এরপরে কেউ জিটা-নিয়মিত যোগফলকে ζ (−1) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। এই বিন্দু থেকে, প্রমাণ করার কয়েকটি উপায় রয়েছে যে একটি পদ্ধতি, অয়লারের যুক্তির ভিত্তিতে, রিমান জিটা ফাংশন এবং ডিরিচলেট ইটা ফাংশন η (গুলি) এর মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করে। এটা ফাংশন একটি বিকল্প ডিরিচলেট সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই এই পদ্ধতিটি পূর্ববর্তী অনুসন্ধানের সমান্তরাল। যেখানে উভয় ডিরিচলেট সিরিজ একত্রিত হয়, সেখানে একজনের পরিচয় থাকেঃ পরিচয়টি বজায় থাকে যখন উভয় ফাংশন বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা প্রসারিত হয় যাতে s এর মানগুলি অন্তর্ভুক্ত করা হয় যার জন্য উপরের সিরিজটি বিচ্ছিন্ন হয়। এখন, η (−1) গণনা করা একটি সহজ কাজ, কারণ ইটা ফাংশনটি তার সংজ্ঞায়িত সিরিজের আবেল যোগফলের সমান, যা একটি একতরফা সীমাঃ উভয় পক্ষকে −3 দ্বারা ভাগ করলে, একজন কাটঅফ নিয়মিতকরণ পায়। মসৃণতা হল জটিল বিশ্লেষণের উপর নির্ভরশীলতা সহ জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ এবং ইউলার-ম্যাকলাউরিন সূত্রের শর্টকাট সহ রামানুজন যোগফলের মধ্যে একটি ধারণাগত সেতু। পরিবর্তে, পদ্ধতিটি সরাসরি সিরিজের রক্ষণশীল রূপান্তরের উপর কাজ করে, বাস্তব বিশ্লেষণ থেকে পদ্ধতি ব্যবহার করে। ধারণাটি হল খারাপ আচরণের বিচ্ছিন্ন সিরিজটিকে একটি মসৃণ সংস্করণের সাথে প্রতিস্থাপন করা যেখানে f উপযুক্ত বৈশিষ্ট্য সহ একটি কাটঅফ ফাংশন। কাটঅফ ফাংশনটিকে অবশ্যই স্বাভাবিক করতে হবে; এটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে ব্যবহৃত একটি থেকে আলাদা স্বাভাবিককরণ। কাটঅফ ফাংশনে সিরিজের বলিরেখা মসৃণ করার জন্য পর্যাপ্ত বাউন্ডেড ডেরিভেটিভ থাকা উচিত এবং সিরিজটি বাড়ার চেয়ে এটি দ্রুত 0-তে ক্ষয় হওয়া উচিত। সুবিধার জন্য, একজনের প্রয়োজন হতে পারে যে f মসৃণ, আবদ্ধ এবং কম্প্যাক্টভাবে সমর্থিত। তখন কেউ প্রমাণ করতে পারে যে এই মসৃণ যোগফলটি অ্যাসিম্পটোটিক, যেখানে সি একটি ধ্রুবক যা f-এর উপর নির্ভর করে। অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণের ধ্রুবক পদটি f-এর উপর নির্ভর করে নাঃ এটি অবশ্যই বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা প্রদত্ত একই মান। রামানুজনের যোগফলও হল। রামানুজন 1913 সালের 27শে ফেব্রুয়ারি জি. এইচ. হার্ডিকে লেখা তাঁর দ্বিতীয় চিঠিতে লিখেছিলেনঃ "প্রিয় স্যার, 1913 সালের 8ই ফেব্রুয়ারির আপনার চিঠিটি পড়ে আমি অত্যন্ত সন্তুষ্ট। আমি আপনার কাছ থেকে এমন একটি উত্তর আশা করছিলাম যা লন্ডনের গণিতের একজন অধ্যাপক আমাকে ব্রমউইচের ইনফাইনাইট সিরিজটি সাবধানে অধ্যয়ন করতে এবং ডাইভারজেন্ট সিরিজের ফাঁদে না পড়তে বলে লিখেছিলেন। । আমি তাকে বলেছিলাম যে সিরিজের অসীম সংখ্যক পদের যোগফলঃ আমার তত্ত্বের অধীনে। আমি যদি আপনাকে এটি বলি তবে আপনি অবিলম্বে আমার লক্ষ্য হিসাবে পাগলের আশ্রয়কে নির্দেশ করবেন। আমি কেবল আপনাকে বোঝানোর জন্য এই বিষয়ে বিস্তারিত আলোচনা করছি যে, আমি যদি একটি অক্ষরে যে লাইনগুলির উপর এগিয়ে যাই, তা নির্দেশ করি, তা হলে আপনি আমার প্রমাণের পদ্ধতিগুলি অনুসরণ করতে পারবেন না। রামানুজন যোগফল হল একটি ধারার আংশিক যোগফলের জন্য ইউলার-ম্যাকলাউরিন সূত্রে ধ্রুবক পদকে পৃথক করার একটি পদ্ধতি। একটি f ফাংশনের জন্য, সিরিজের ধ্রুপদী রামানুজন যোগফলকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে f (2k−1) হল f-এর (2k−1)-তম অন্তরজ এবং B2k হল 2k-তম বার্নৌলি সংখ্যাঃ, ইত্যাদি। সেটিং, f এর প্রথম ডেরিভেটিভ হল 1, এবং অন্য প্রতিটি শব্দ অদৃশ্য হয়ে যায়, তাই অসঙ্গতি এড়ানোর জন্য, রামানুজন যোগফলের আধুনিক তত্ত্বের প্রয়োজন যে f "নিয়মিত" এই অর্থে যে f এর উচ্চ-ক্রমের ডেরিভেটিভগুলি ইউলার-ম্যাকলাউরিন সূত্রের অবশিষ্ট পদগুলির জন্য দ্রুত ক্ষয় হয়। রামানুজন নীরবে এই সম্পত্তি গ্রহণ করেছিলেন। নিয়মিততার প্রয়োজনীয়তা স্পেস-আউট সিরিজের উপর রামানুজন যোগফলের ব্যবহারকে বাধা দেয়, কারণ কোনও নিয়মিত ফাংশন সেই মানগুলি গ্রহণ করে না। পরিবর্তে, এই ধরনের একটি সিরিজ অবশ্যই জিটা ফাংশন নিয়মিতকরণ দ্বারা ব্যাখ্যা করা আবশ্যক। এই কারণে, হার্ডি সংশ্লিষ্ট সিরিজের যোগফল খুঁজে বের করার জন্য পরিচিত সিরিজের রামানুজনের যোগফল প্রয়োগ করার সময় "অত্যন্ত সতর্কতার" পরামর্শ দেন। স্থিতিশীল রৈখিক যোগ পদ্ধতির ব্যর্থতা একটি যোগ পদ্ধতি যা রৈখিক এবং স্থিতিশীল তা কোনও সীমাবদ্ধ মানের সাথে সিরিজের যোগফল করতে পারে না। (স্থিতিশীল মানে হল যে সিরিজের শুরুতে একটি শব্দ যোগ করলে যোগ করা শব্দের মান দ্বারা যোগফল বৃদ্ধি পায়।) এটি নিম্নরূপ দেখা যেতে পারে। যদি উভয় পাশে 0 যোগ করা হয় তবে স্থিতিশীলতা পাওয়া যায়। রৈখিকতা দ্বারা, কেউ প্রথম থেকে দ্বিতীয় সমীকরণটি বিয়োগ করতে পারে (কলামে প্রথম লাইন থেকে দ্বিতীয় লাইনের প্রতিটি উপাদান বিয়োগ করে) যাতে উভয় দিকে 0 যোগ করলে আবার পাওয়া যায় এবং শেষ দুটি সিরিজ বিয়োগ করলে পরস্পরবিরোধী স্থিতিশীলতা পাওয়া যায়। অতএব, প্রতিটি পদ্ধতি যা যোগফলকে একটি সীমাবদ্ধ মান দেয় তা স্থিতিশীল বা রৈখিক নয়। পদার্থবিজ্ঞান বোসনিক স্ট্রিং তত্ত্বে, একটি স্ট্রিংয়ের সম্ভাব্য শক্তির মাত্রা, বিশেষত, সর্বনিম্ন শক্তির স্তর গণনা করার চেষ্টা করা হয়। অনানুষ্ঠানিকভাবে বলতে গেলে, স্ট্রিংয়ের প্রতিটি হারমোনিককে ডি-2 স্বাধীন কোয়ান্টাম হারমোনিক দোলকের সংগ্রহ হিসাবে দেখা যেতে পারে, প্রতিটি আড়াআড়ি দিকের জন্য একটি, যেখানে ডি হল স্থানকালের মাত্রা। যদি মৌলিক দোলন ফ্রিকোয়েন্সি ω হয়, তবে একটি দোলকের শক্তি n-তম হারমোনিকে অবদান রাখে। সুতরাং ডাইভারজেন্ট সিরিজ ব্যবহার করে, সমস্ত হারমোনিক্সের সমষ্টি হল। শেষ পর্যন্ত এই সত্যটি, গডার্ড-থর্ন উপপাদ্যের সাথে মিলিত হয়, যা বোসনিক স্ট্রিং তত্ত্বকে 26 ব্যতীত অন্য মাত্রায় সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে ব্যর্থ করে। একটি মাত্রায় স্কেলার ক্ষেত্রের জন্য ক্যাসিমির বল গণনা করার ক্ষেত্রেও এর নিয়মিতকরণ জড়িত। একটি সূচকীয় কাটঅফ ফাংশন সিরিজটি মসৃণ করার জন্য যথেষ্ট, যা এই সত্যের প্রতিনিধিত্ব করে যে নির্বিচারে উচ্চ-শক্তি মোডগুলি পরিবাহী প্লেট দ্বারা অবরুদ্ধ নয়। সমস্যার স্থানিক প্রতিসাম্য সম্প্রসারণের দ্বিঘাত পদটি বাতিল করার জন্য দায়ী। যা বাকি আছে তা হল ধ্রুবক শব্দ − 1/12, এবং এই ফলাফলের নেতিবাচক চিহ্নটি এই সত্যকে প্রতিফলিত করে যে কাসিমির শক্তি আকর্ষণীয়। রিমান জিটা ফাংশনের জায়গায় এপস্টাইন জিটা-ফাংশন ব্যবহার করে তিনটি মাত্রায় একই ধরনের গণনা করা হয়। লিওনহার্ড অয়লার এই সিরিজের সারসংক্ষেপ করেছেন কিনা তা স্পষ্ট নয়। মরিস ক্লাইনের মতে, ডাইভারজেন্ট সিরিজের উপর অয়লারের প্রাথমিক কাজ ফাংশন সম্প্রসারণের উপর নির্ভর করেছিল, যেখান থেকে তিনি উপসংহারে এসেছিলেন। রেমন্ড আইয়ুবের মতে, ডাইভারজেন্ট জিটা সিরিজটি আবেল-সমষ্টিগত নয় বলে অয়লার জিটা ফাংশনটি ইটা ফাংশনের মতো অবাধে ব্যবহার করতে বাধা দিয়েছিলেন এবং তিনি এই সিরিজের সাথে "কোনও অর্থ সংযুক্ত করতে পারতেন না"। অন্যান্য লেখকরা যোগফলের জন্য অয়লারকে কৃতিত্ব দিয়েছেন, পরামর্শ দিয়েছেন যে অয়লার জিটা এবং ইটা ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ককে ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যায় প্রসারিত করতেন। প্রাথমিক সাহিত্যে, এই সিরিজটি ইউলারের 1760 সালের প্রকাশনায় ভিন্ন জ্যামিতিক সিরিজের পাশাপাশি উল্লেখ করা হয়েছে। অয়লার ইঙ্গিত দেন যে এই ধরনের সিরিজের সসীম, ঋণাত্মক যোগফল রয়েছে এবং তিনি জ্যামিতিক সিরিজের জন্য এর অর্থ কী তা ব্যাখ্যা করেন, কিন্তু তিনি আলোচনা করতে ফিরে আসেন না। একই প্রকাশনায়, অয়লার লিখেছেন যে এর যোগফল অসীম। জনপ্রিয় গণমাধ্যমে ডেভিড লেভিটের 2007 সালের উপন্যাস দ্য ইন্ডিয়ান ক্লার্ক-এ একটি দৃশ্য রয়েছে যেখানে হার্ডি এবং লিটলউড এই সিরিজের অর্থ নিয়ে আলোচনা করেছেন। তাঁরা এই উপসংহারে পৌঁছেছেন যে রামানুজন ζ (−1) পুনরায় আবিষ্কার করেছেন, এবং তাঁরা তাঁর দ্বিতীয় চিঠিতে "পাগলাটে আশ্রয়" লাইনটি একটি চিহ্ন হিসাবে গ্রহণ করেছেন যে রামানুজন তাদের সাথে খেলছেন। সাইমন ম্যাকবার্নির 2007 সালের নাটক এ ডিসঅ্যাপিয়ারিং নম্বর উদ্বোধনী দৃশ্যে সিরিজের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। প্রধান চরিত্র রুথ একটি লেকচার হলে প্রবেশ করে এবং "আমি আপনাকে সত্যিই রোমাঞ্চকর কিছু দেখাতে চলেছি" বলে ঘোষণা করার আগে একটি ভিন্ন সিরিজের ধারণার পরিচয় দেয়। রুথ যখন জিটা ফাংশনের কার্যকরী সমীকরণের উৎপত্তি শুরু করেন, তখন অন্য একজন অভিনেতা শ্রোতাদের সম্বোধন করে স্বীকার করেন যে তারা অভিনেতাঃ "কিন্তু গণিত বাস্তব। এটা ভয়ংকর, কিন্তু বাস্তব। " 2014 সালের জানুয়ারিতে, নম্বরফাইল এই সিরিজের একটি ইউটিউব ভিডিও তৈরি করে, যা প্রথম মাসে 15 লক্ষেরও বেশি বার দেখা হয়। নটিংহ্যাম বিশ্ববিদ্যালয়ের পদার্থবিজ্ঞানী টনি প্যাডিলা 8 মিনিটের ভিডিওটি বর্ণনা করেছেন। পাদিলা শুরু করেন এবং রামানুজনের যুক্তির অনুরূপ একটি শব্দ-দ্বারা-মেয়াদী বিয়োগ ব্যবহার করার সাথে পরেরটিকে সম্পর্কিত করেন। নম্বরফাইল নটিংহ্যামের পদার্থবিজ্ঞানী এড কোপল্যান্ডকে নিয়ে ভিডিওটির একটি 21 মিনিটের সংস্করণও প্রকাশ করেছে, যিনি আরও বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করেছেন কিভাবে একটি আবেল যোগফল, এবং ζ (−1) হিসাবে। প্রথম ভিডিওতে কঠোরতার অভাব সম্পর্কে অভিযোগ পাওয়ার পরে, পাদিলা তার ওয়েবপেজে প্রাসঙ্গিক ডিরিচলেট সিরিজের বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার মধ্যে পরিচয় সম্পর্কিত ভিডিওতে কারসাজি সম্পর্কিত একটি ব্যাখ্যাও লিখেছিলেন। দ্য নিউইয়র্ক টাইমস-এ নম্বরফাইল ভিডিওর কভারেজে গণিতবিদ এডওয়ার্ড ফ্রেঙ্কেল মন্তব্য করেছেনঃ "এই গণনাটি গণিতের অন্যতম সেরা গোপন বিষয়। বাইরের কেউ এ বিষয়ে জানে না। স্মিথসোনিয়ান ম্যাগাজিনে এই বিষয়টির কভারেজ নম্বরফাইল ভিডিওটিকে বিভ্রান্তিকর হিসাবে বর্ণনা করে এবং উল্লেখ করে যে যোগফলের ব্যাখ্যা বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার কৌশল থেকে সমান চিহ্নের জন্য একটি বিশেষ অর্থের উপর নির্ভর করে, যার সাথে সমান অর্থ যুক্ত। জার্মান গণিতবিদ বার্কার্ড পোলস্টার 2018 সালে তাঁর ম্যাথোলগার ইউটিউব চ্যানেলে একই ভিত্তিতে নম্বরফাইল ভিডিওটির সমালোচনা করেছিলেন, 2023 সালের মধ্যে তাঁর ভিডিওটি 27 লক্ষ বার দেখা হয়েছিল। তথ্যসূত্র গ্রন্থপঞ্জি আরও পড়ুন পৃ. 293 দেখুন। বাহ্যিক লিঙ্ক ল্যাম্ব ই. (2014), "1 + 2 + 3 কি সত্যিই সমান-1/12? ", সায়েন্টিফিক আমেরিকান ব্লগস। গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে এই সপ্তাহের অনুসন্ধান (সপ্তাহ 124), (সপ্তাহ 126), (সপ্তাহ 147), (সপ্তাহ213) অয়লারের প্রমাণ যে 1 + 2 + 3 + ꯘꯥ = − 1/12-জন বায়েজের দ্বারা অয়লার-ম্যাকলাউরিন সূত্র, বার্নৌলি সংখ্যা, জিটা ফাংশন এবং টেরেন্স তাও দ্বারা বাস্তব-পরিবর্তনশীল বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা লবোস মোটল লিঙ্ক দ্বারা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জিটার পুনরাবৃত্তিমূলক মূল্যায়ন নম্বরফাইল ভিডিও 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + =-1/12 প্রাকৃতিক সংখ্যার যোগফল (দ্বিতীয় প্রমাণ এবং অতিরিক্ত ফুটেজ) অয়লারের পদ্ধতির প্রদর্শন অন্তর্ভুক্ত করে। সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি করলে আমরা কী পাব? টনি প্যাডিলার ভিডিও সম্পর্কে মন্তব্যের প্রতিক্রিয়া নিউইয়র্ক টাইমস থেকে সম্পর্কিত নিবন্ধ কেন-1/12 এডওয়ার্ড ফ্রেঙ্কেল ডাইভারজেন্ট সিরিজের সাথে একটি সোনার নাগেট ফলো-আপ নম্বরফাইল ভিডিওঃ কেন 1 + 2 + 3 + হি =-1/12 অ্যারিজোনা ডাইভারজেন্ট সিরিজ অ্যারিথমেটিক সিরিজের ব্রাইডন কেইস দ্বারা