Digital topology
ডিজিটাল টপোলজি দ্বি-মাত্রিক (2ডি) বা ত্রিমাত্রিক (3ডি) ডিজিটাল চিত্রের বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্য নিয়ে কাজ করে যা বস্তুর টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য (যেমন, সংযোগ) বা টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্য (যেমন, সীমানা) এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ডিজিটাল টপোলজির ধারণা এবং ফলাফলগুলি গুরুত্বপূর্ণ (নিম্ন-স্তরের) চিত্র বিশ্লেষণ অ্যালগরিদমগুলি নির্দিষ্ট করতে এবং ন্যায়সঙ্গত করতে ব্যবহৃত হয়, যার মধ্যে রয়েছে পাতলা করার জন্য অ্যালগরিদম, সীমানা বা পৃষ্ঠের সন্ধান, উপাদান বা সুড়ঙ্গের গণনা, বা অঞ্চল-পূরণ। 1960-এর দশকের শেষের দিকে কম্পিউটার চিত্র বিশ্লেষণ গবেষক আজরিয়েল রোজেনফেল্ড (1931-2004) দ্বারা ডিজিটাল টপোলজি প্রথম অধ্যয়ন করা হয়েছিল, যার এই বিষয়ে প্রকাশনাগুলি এই ক্ষেত্রটি প্রতিষ্ঠা ও বিকাশে প্রধান ভূমিকা পালন করেছিল। "ডিজিটাল টপোলজি" শব্দটি নিজেই রোজেনফেল্ড উদ্ভাবন করেছিলেন, যিনি 1973 সালের একটি প্রকাশনায় এটি প্রথমবার ব্যবহার করেছিলেন। গ্রিড সেল টপোলজি নামে একটি সম্পর্কিত কাজ, যা ক্লাসিক কম্বিনেটোরিয়াল টপোলজির একটি লিঙ্ক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, পাভেল আলেকজান্দ্রোভ এবং হেইঞ্জ হপফের বই, টপোলজি 1 (1935)-এ প্রকাশিত হয়েছিল। রোজেনফেল্ড এবং অন্যান্য। প্রস্তাবিত ডিজিটাল সংযোগ যেমন দুটি মাত্রায় 4-সংযোগ এবং 8-সংযোগের পাশাপাশি তিন মাত্রায় 6-সংযোগ এবং 26-সংযোগ। একটি সংযুক্ত উপাদান অনুমান করার জন্য লেবেলিং পদ্ধতি 1970-এর দশকে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। থিওডোসিওস পাভলিডিস (1982) সংযুক্ত উপাদানগুলি খুঁজে বের করার জন্য গভীরতা-প্রথম অনুসন্ধান পদ্ধতির মতো গ্রাফ-তাত্ত্বিক অ্যালগরিদম ব্যবহারের পরামর্শ দিয়েছিলেন। ভ্লাদিমির এ. কোভালেভস্কি (1989) আলেকজান্দ্রোভ-হপফ 2ডি গ্রিড কোষ টপোলজিকে তিন এবং উচ্চতর মাত্রায় প্রসারিত করেছিলেন। তিনি স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ টপোলজিকাল স্পেস এবং বিমূর্ত কোষ কমপ্লেক্সের আরও সাধারণ স্বতঃসিদ্ধ তত্ত্বের প্রস্তাব করেছিলেন (2008) যা পূর্বে আর্নস্ট স্টেইনিটজ (1908) দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল। এটি আলেকজান্দ্রোভ টপোলজি। 2008 সালের বইটিতে মেট্রিক থেকে স্বাধীন টপোলজিকাল বল এবং গোলকের নতুন সংজ্ঞা এবং ডিজিটাল চিত্র বিশ্লেষণের অসংখ্য প্রয়োগ রয়েছে। 1980-এর দশকের গোড়ার দিকে, ডিজিটাল পৃষ্ঠগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছিল। ডেভিড মর্গেনথালার এবং রোজেনফেল্ড (1981) ত্রিমাত্রিক ডিজিটাল স্পেসে পৃষ্ঠতলের একটি গাণিতিক সংজ্ঞা দিয়েছেন। এই সংজ্ঞায় মোট নয় ধরনের ডিজিটাল পৃষ্ঠ রয়েছে। 1990-এর দশকে ডিজিটাল ম্যানিফোল্ড নিয়ে গবেষণা করা হয়েছিল। 1993 সালে চেন এবং ঝাং স্বজ্ঞাতভাবে ডিজিটাল কে-ম্যানিফোল্ডের একটি পুনরাবৃত্তিমূলক সংজ্ঞা প্রস্তাব করেছিলেন। ইমেজ প্রসেসিং এবং কম্পিউটার ভিশনে অনেক প্রয়োগ পাওয়া গেছে। মৌলিক ফলাফল ডিজিটাল টপোলজিতে একটি প্রাথমিক (প্রাথমিক) ফলাফল বলে যে 2ডি বাইনারি চিত্রগুলির পৃথকীকরণ এবং সংযোগের মৌলিক টপোলজিকাল দ্বৈততা নিশ্চিত করার জন্য 4-বা 8-অ্যাডজ্যাসেন্সি বা "পিক্সেল সংযোগ" ("অবজেক্ট" বা "নন-অবজেক্ট" পিক্সেলের জন্য) এর বিকল্প ব্যবহারের প্রয়োজন হয়। এই বিকল্প ব্যবহার 2ডি গ্রিড কোষের টপোলজিতে খোলা বা বন্ধ সেটের সাথে মিলে যায় এবং ফলাফলটি 3ডি-তে সাধারণীকরণ করেঃ 6-বা 26-অ্যাডজ্যাসেন্সির বিকল্প ব্যবহার 3ডি গ্রিড কোষের টপোলজিতে খোলা বা বন্ধ সেটের সাথে মিলে যায়। গ্রিড সেল টপোলজি মাল্টিলেভেল (যেমন, রঙ) 2ডি বা 3ডি চিত্রের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, উদাহরণস্বরূপ সম্ভাব্য চিত্রের মানগুলির মোট ক্রমের উপর ভিত্তি করে এবং 'সর্বাধিক-লেবেল নিয়ম' প্রয়োগ করে (ক্লেট এবং রোজেনফেল্ডের বইটি দেখুন, 2004)। ডিজিটাল টপোলজি কম্বিনেটোরিয়াল টপোলজির সাথে অত্যন্ত সম্পর্কিত। তাদের মধ্যে প্রধান পার্থক্যগুলি হলঃ (1) ডিজিটাল টপোলজি মূলত গ্রিড কোষ দ্বারা গঠিত ডিজিটাল বস্তুগুলি অধ্যয়ন করে এবং (2) ডিজিটাল টপোলজি অ-জর্ডান ম্যানিফোল্ডগুলির সাথেও কাজ করে। একটি কম্বিনেটোরিয়াল ম্যানিফোল্ড হল এক ধরনের ম্যানিফোল্ড যা একটি ম্যানিফোল্ডের বিচক্ষণতা। এর অর্থ সাধারণত সরল জটিল দ্বারা তৈরি একটি পিসওয়াইজ লিনিয়ার ম্যানিফোল্ড। ডিজিটাল ম্যানিফোল্ড হল একটি বিশেষ ধরনের সমন্বিত ম্যানিফোল্ড যা ডিজিটাল ক্ষেত্রে সংজ্ঞায়িত করা হয়। গ্রিড কোষের স্থান। গাউস-বনেট উপপাদ্যের একটি ডিজিটাল রূপ হলঃ ধরা যাক এম সরাসরি সংলগ্নতায় একটি বদ্ধ ডিজিটাল 2ডি ম্যানিফোল্ড (অর্থাৎ, 3ডি-তে a (6,26)-পৃষ্ঠ)। বংশের সূত্রটি হল, যেখানে পৃষ্ঠ-বিন্দুর সেট নির্দেশ করে যার প্রত্যেকটির পৃষ্ঠে i সংলগ্ন বিন্দু রয়েছে (চেন এবং রং, আইসিপিআর 2008)। যদি এম কেবল সংযুক্ত থাকে, অর্থাৎ, তাহলে। (আরও দেখুন অয়লারের বৈশিষ্ট্য।) আরও দেখুন ডিজিটাল জ্যামিতি সম্মিলিত টপোলজি গণনামূলক জ্যামিতি গণনামূলক টপোলজি টপোলজিকাল ডেটা বিশ্লেষণ টপোলজি পৃথক গণিত ভূস্থানিক টপোলজি রেফারেন্স ভ্লাদিমির এ কোভালেভস্কি। (2008)।