Sz.-Nagy's dilation theorem
Sz.-Nagy প্রসারণ উপপাদ্য (বেলা স্জোকফালভি-ন্যাগি দ্বারা প্রমাণিত) বলে যে হিলবার্ট স্থানের প্রতিটি সংকোচনের একটি হিলবার্ট স্থানের একক বিস্তার রয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে, যেখানে উপর থেকে অভিক্ষেপটি রয়েছে। উপরন্তু, এই ধরনের বিস্তার অনন্য (একক সমতা পর্যন্ত) যখন কেউ ধরে নেয় যে K ন্যূনতম, এই অর্থে যে K-এর রৈখিক বিস্তার K-তে ঘন। যখন এই ন্যূনতম অবস্থা বজায় থাকে, তখন U-কে T-এর ন্যূনতম একক বিস্তার বলা হয়। একটি সংকোচনের জন্য প্রমাণ T (অর্থাৎ, (), এর ত্রুটি অপারেটর DT-কে (অনন্য) ধনাত্মক বর্গমূল DT = (I-T * T) 1⁄2 হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। বিশেষ ক্ষেত্রে যে S একটি আইসোমেট্রি, DS * একটি প্রজেক্টর এবং DS = 0, তাই নিম্নলিখিতটি একটি Sz। প্রয়োজনীয় পলিনোমিয়াল কার্যকরী ক্যালকুলাস বৈশিষ্ট্য সহ S-এর ন্যাগি ইউনিটারি ডাইলেশনঃ একটি সংকোচন T-এর সাধারণ ক্ষেত্রে ফিরে আসা, হিলবার্ট স্পেস H-এর প্রতিটি সংকোচন T-এর একটি আইসোমেট্রিক ডাইলেশন থাকে, আবার ক্যালকুলাস বৈশিষ্ট্য সহ, S-কে প্রতিস্থাপন করে দেওয়া হয় এইভাবে একটি আইসোমেট্রি S-এর জন্য পূর্ববর্তী Sz.-Nagy ইউনিটারি ডাইলেশনে নির্মিত, একটি সংকোচনের জন্য একটি ইউনিটারি ডাইলেশন পাওয়া যায় T: স্ক্যাফার ফর্ম একটি ইউনিটারি Sz-এর স্ক্যাফার ফর্ম। ন্যাগি ডাইলেশনকে একটি প্রদত্ত সংকোচনের জন্য প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য সহ সমস্ত একক বিস্তারের বৈশিষ্ট্যের জন্য একটি সূচনা বিন্দু হিসাবে দেখা যেতে পারে। বার্জার, ফোইয়াস এবং লেবো দ্বারা এই উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ দেখায় যে যদি এক্স টি-র জন্য একটি বর্ণালী সেট হয় এবং একটি ডিরিচলেট বীজগণিত হয়, তবে টি-এর উপরের রূপের একটি ন্যূনতম স্বাভাবিক δX বিস্তার রয়েছে। এর একটি পরিণতি হল যে কোনও অপারেটরের একটি সহজভাবে সংযুক্ত বর্ণালী সেট X সহ ন্যূনতম স্বাভাবিক δX বিস্তার থাকে। এটি Sz.-Nagy-এর উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করে, লক্ষ্য করুন যে সংকোচন অপারেটরদের একটি বর্ণালী সেট হিসাবে একক ডিস্ক D রয়েছে এবং একক বৃত্ত δD-তে বর্ণালী সহ স্বাভাবিক অপারেটরগুলি একক। রেফারেন্স অপারেটর তত্ত্ব কার্যকরী বিশ্লেষণে উপপাদ্যের প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ