Depth (ring theory)
বিনিময়মূলক এবং সমতাত্ত্বিক বীজগণিতে, গভীরতা বলয় এবং মডিউলগুলির একটি গুরুত্বপূর্ণ অপরিবর্তনীয়। যদিও গভীরতা আরও সাধারণভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, তবে সবচেয়ে সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয় একটি বিনিময়যোগ্য নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়ের উপর মডিউলগুলির ক্ষেত্রে। এই ক্ষেত্রে, একটি মডিউলের গভীরতা আউসল্যান্ডার-বুচসবাম সূত্র দ্বারা তার প্রজেক্টিভ মাত্রার সাথে সম্পর্কিত। গভীরতার একটি প্রাথমিক বৈশিষ্ট্য হল অসমতা যেখানে মডিউলটির ক্রাল মাত্রা বোঝায়। গভীরতা ভাল বৈশিষ্ট্য সহ রিং এবং মডিউলগুলির শ্রেণীগুলি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ, কোহেন-ম্যাকোলে রিং এবং মডিউল, যার জন্য সমতা রয়েছে। সংজ্ঞা ধরা যাক একটি বিনিময়যোগ্য বলয়, একটি আদর্শ এবং সঠিকভাবে অন্তর্ভুক্ত বৈশিষ্ট্য সহ একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন-মডিউল। (অর্থাৎ, কিছু উপাদান এর মধ্যে নেই।) তারপর-এর গভীরতা, যাকে সাধারণত গ্রেডও বলা হয়, সংজ্ঞায়িত করা হয় সংজ্ঞা অনুসারে, একটি সর্বাধিক আদর্শ সহ একটি স্থানীয় বলয়ের গভীরতা হল তার উপর একটি মডিউল হিসাবে তার-গভীরতা। যদি একটি কোহেন-ম্যাকোলে স্থানীয় বলয় হয়, তবে এর গভীরতা এর মাত্রার সমান। ডেভিড রিসের একটি উপপাদ্য দ্বারা, একটি নিয়মিত ক্রমের ধারণা ব্যবহার করে গভীরতা চিহ্নিত করা যেতে পারে। উপপাদ্য (রিস) ধরুন এটি সর্বাধিক আদর্শ সহ একটি বিনিময়যোগ্য নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয় এবং একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন-মডিউল। তারপর সমস্ত সর্বাধিক নিয়মিত ক্রম, যেখানে প্রতিটি সম্পর্কিত, এর সমান দৈর্ঘ্য-গভীরতার সমান। গভীরতা এবং প্রজেক্টিভ মাত্রা একটি বিনিময়যোগ্য নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়ের উপর একটি মডিউলের প্রজেক্টিভ মাত্রা এবং গভীরতা একে অপরের পরিপূরক। এটি আউসল্যান্ডার-বুচসবাম সূত্রের বিষয়বস্তু, যা কেবল মৌলিক তাত্ত্বিক গুরুত্বের নয়, একটি মডিউলের গভীরতা গণনা করার একটি কার্যকর উপায়ও সরবরাহ করে। ধরুন এটি সর্বাধিক আদর্শ সহ একটি বিনিময়যোগ্য নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয় এবং একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন-মডিউল। যদি এর প্রজেক্টিভ মাত্রা সীমাবদ্ধ হয়, তবে আউসল্যান্ডার-বুচসবাম সূত্রটি বলে যে গভীরতা শূন্য বলয় একটি বিনিময়যোগ্য নোথেরিয়ান স্থানীয় বলয়ের গভীরতা শূন্য থাকে যদি এবং কেবলমাত্র যদি এর সর্বাধিক আদর্শ একটি সম্পর্কিত মৌলিক সংখ্যা হয়, বা সমতুল্যভাবে, যখন এমন একটি অ-শূন্য উপাদান থাকে (অর্থাৎ, ধ্বংস হয়)। এর অর্থ হল, মূলত, বদ্ধ বিন্দুটি একটি অন্তর্নির্মিত উপাদান। উদাহরণস্বরূপ, বলয়টি (যেখানে একটি ক্ষেত্র), যা উৎপত্তিস্থলে একটি অন্তর্নির্মিত দ্বৈত বিন্দু সহ একটি রেখা () উপস্থাপন করে, তার উৎপত্তিস্থলে গভীরতা শূন্য, তবে মাত্রা একঃ এটি একটি বলয়ের উদাহরণ দেয় যা কোহেন-ম্যাকালে নয়। রেফারেন্স উইনফ্রিড ব্রুন্স; জার্গেন হার্জগ, কোহেন-ম্যাকালে রিং। কেমব্রিজ স্টাডিজ ইন অ্যাডভান্সড ম্যাথমেটিক্স, 39। কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, কেমব্রিজ, 1993. xii + 403 পিপি। মডিউল তত্ত্ব বিনিময়যোগ্য বীজগণিত