Pendulum (mechanics)
পেন্ডুলাম হল এমন একটি বস্তু যা একটি নির্দিষ্ট আধার থেকে ঝুলিয়ে রাখা হয় যাতে এটি মাধ্যাকর্ষণের প্রভাবে অবাধে পিছনে পিছনে দুলতে পারে। যখন একটি পেন্ডুলাম তার বিশ্রাম, ভারসাম্য অবস্থান থেকে পাশের দিকে স্থানান্তরিত হয়, তখন এটি মাধ্যাকর্ষণের কারণে একটি পুনরুদ্ধার বলের সাপেক্ষে যা এটিকে ভারসাম্য অবস্থানের দিকে ত্বরান্বিত করবে। মুক্ত হলে, পেন্ডুলামের ভরের উপর কাজ করা পুনরুদ্ধার শক্তি এটিকে ভারসাম্য অবস্থানের দিকে দোলায়, এটিকে পিছনে পিছনে দোলায়। পেন্ডুলামের গণিত সাধারণভাবে বেশ জটিল। সহজতর অনুমান করা যেতে পারে, যা একটি সাধারণ পেন্ডুলামের ক্ষেত্রে গতির সমীকরণগুলিকে ছোট-কোণ দোলনগুলির জন্য বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধান করার অনুমতি দেয়। সরল মাধ্যাকর্ষণ পেন্ডুলাম একটি সাধারণ মাধ্যাকর্ষণ পেন্ডুলাম একটি বাস্তব পেন্ডুলামের একটি আদর্শ গাণিতিক মডেল। এটি একটি পিভট থেকে ঝুলন্ত একটি ভরহীন কর্ডের শেষে একটি ওজন (বা বব), ঘর্ষণ ছাড়াই। যেহেতু এই মডেলে কোনও ঘর্ষণ শক্তি হ্রাস হয় না, যখন একটি প্রাথমিক স্থানচ্যুতি দেওয়া হয় তখন এটি একটি ধ্রুবক প্রশস্ততায় পিছনে পিছনে দুলবে। মডেলটি এই অনুমানগুলির উপর ভিত্তি করেঃ যে রড বা কর্ডের উপর বব দোলায় তা ভরহীন, অবিচ্ছেদ্য এবং সর্বদা টানটান থাকে। বব হল একটি বিন্দু ভর। গতি শুধুমাত্র দুটি মাত্রায় ঘটে, অর্থাৎ। বব একটি উপবৃত্তাকার নয় বরং একটি চাপের সন্ধান করে। ঘর্ষণ বা বায়ু প্রতিরোধের কারণে গতি শক্তি হারায় না। মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র অভিন্ন। সমর্থন সরছে না। একটি সাধারণ পেন্ডুলামের গতির প্রতিনিধিত্বকারী ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি হল যেখানে মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের মাত্রা, রড বা কর্ডের দৈর্ঘ্য এবং উল্লম্ব থেকে পেন্ডুলাম পর্যন্ত কোণ। ক্ষুদ্র-কোণ আনুমানিক উপরে প্রদত্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সহজে সমাধান করা যায় না এবং এমন কোনও সমাধান নেই যা প্রাথমিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে। যাইহোক, দোলনটির প্রশস্ততার আকারে একটি সীমাবদ্ধতা যোগ করলে এমন একটি রূপ পাওয়া যায় যার সমাধান সহজেই পাওয়া যায়। যদি ধরে নেওয়া হয় যে কোণটি 1 রেডিয়ানের চেয়ে অনেক কম (প্রায়শই 0.1 রেডিয়ানের চেয়ে কম, প্রায় 6° হিসাবে উল্লেখ করা হয়), বা তারপরে ছোট-কোণের আনুমানিক ব্যবহার করার জন্য প্রতিস্থাপন করলে, একটি সুরেলা দোলকের জন্য সমীকরণ পাওয়া যায়, আনুমানিক কারণে ত্রুটিটি ক্রমানুসারে হয় (টেইলর সম্প্রসারণ থেকে)। শুরুর কোণটি হতে দিন। যদি ধরে নেওয়া হয় যে পেন্ডুলামটি শূন্য কৌণিক বেগ সহ মুক্তি পেয়েছে, তবে সমাধানটি হয়ে যায় গতিটি সরল সুরেলা গতি যেখানে দোলনটির প্রশস্ততা (অর্থাৎ, পেন্ডুলামের রড এবং উল্লম্বের মধ্যে সর্বাধিক কোণ)। গতির সংশ্লিষ্ট আনুমানিক সময়কাল তখন হয় যা সেই সময়ের জন্য ক্রিস্টিয়ান হাইজেন্সের সূত্র হিসাবে পরিচিত। লক্ষ্য করুন যে ক্ষুদ্র-কোণ আনুমানিকতার অধীনে, সময়কালটি প্রশস্ততা থেকে স্বাধীন; এটি গ্যালিলিও আবিষ্কৃত আইসোক্রোনিজমের বৈশিষ্ট্য। পেন্ডুলামের দৈর্ঘ্যের জন্য থাম্বের নিয়ম দেয় যদি এস. আই একক ব্যবহার করা হয় (অর্থাৎ। মিটার এবং সেকেন্ডে পরিমাপ করা হয়), এবং ধরে নেওয়া হয় যে পরিমাপ পৃথিবীর পৃষ্ঠে হচ্ছে, তারপর, এবং (0.994 হল 3টি দশমিক স্থানের আনুমানিক পরিমাপ)। অতএব, দৈর্ঘ্য এবং সময়ের জন্য তুলনামূলকভাবে যুক্তিসঙ্গত অনুমানগুলি হলঃ যেখানে দুটি বিটের মধ্যে সেকেন্ডের সংখ্যা (দোলের প্রতিটি পাশের জন্য একটি বীট), এবং মিটারে পরিমাপ করা হয়। আর্বিট্রারি-অ্যাম্প্লিট্যুড পিরিয়ড ছোট কোণের সন্নিকটের বাইরে বিস্তারের জন্য, প্রথমে শক্তি পদ্ধতি () থেকে প্রাপ্ত কৌণিক বেগের সমীকরণটি উল্টে দিয়ে এবং তারপরে একটি সম্পূর্ণ চক্রের উপর বা অর্ধ-চক্রের দ্বিগুণ বা চতুর্থ-চক্রের চারগুণ একীকরণ করে সঠিক সময়কাল গণনা করা যেতে পারে যা লক্ষ্য করুন যে এই ইন্টিগ্রালটি উল্লম্বের দিকে এগিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে বিচ্ছিন্ন হয়ে যায় যাতে উল্লম্ব হওয়ার জন্য সঠিক শক্তি সহ একটি পেন্ডুলাম আসলে কখনই সেখানে পৌঁছাতে না পারে। (বিপরীতভাবে, তার সর্বোচ্চ কাছাকাছি একটি পেন্ডুলাম নিচে পড়ে যেতে একটি নির্বিচারে দীর্ঘ সময় নিতে পারে।) এই ইন্টিগ্রালটিকে উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রালের পরিপ্রেক্ষিতে পুনর্লিখন করা যেতে পারে যেখানে প্রথম ধরনের অসম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রাল দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে বা আরও সংক্ষিপ্তভাবে প্রতিস্থাপন দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে, এখানে প্রথম ধরনের সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রাল দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এখান থেকে উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রাল গণনা করার অনেক উপায় রয়েছে। উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রালের জন্য লেজেন্ড্রে পলিনোমিয়াল সমাধান দেওয়া হয়েছে এবং উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রালের জন্য লেজেন্ড্রে পলিনোমিয়াল সমাধানঃ যেখানে ডাবল ফ্যাক্টোরিয়াল বোঝায়, একটি সাধারণ পেন্ডুলামের সময়ের একটি সঠিক সমাধান হলঃ চিত্র 4 পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে আপেক্ষিক ত্রুটিগুলি দেখায়। এটি রৈখিক আনুমানিক, এবং যথাক্রমে 2য় থেকে 10ম ঘাত পর্যন্ত পদগুলি অন্তর্ভুক্ত করা। উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রালের জন্য পাওয়ার সিরিজ সমাধান উপরের সমাধানটির আরেকটি সূত্র পাওয়া যেতে পারে যদি নিম্নলিখিত ম্যাকলাউরিন সিরিজঃ উপরের লেজেন্ড্রে বহুপদী সমাধানে ব্যবহার করা হয়। ফলস্বরূপ পাওয়ার সিরিজটি হ 'লঃ পূর্ণসংখ্যা ক্রমের অন-লাইন এনসাইক্লোপিডিয়ায় আরও ভগ্নাংশ পাওয়া যায় যার মধ্যে সংখ্যা এবং হর রয়েছে। উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রালের জন্য গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় সমাধান দেওয়া হয়েছে এবং উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রালের গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় সমাধানঃ এবং এর গাণিতিক-জ্যামিতিক গড় কোথায়। এটি সময়ের জন্য একটি বিকল্প এবং দ্রুত-রূপান্তরকারী সূত্র দেয়ঃ এই অ্যালগরিদমের প্রথম পুনরাবৃত্তি দেয় এই আনুমানিক 96.11 ডিগ্রি পর্যন্ত কোণের জন্য 1 শতাংশেরও কম আপেক্ষিক ত্রুটি রয়েছে। যেহেতু অভিব্যক্তিটি আরও সংক্ষিপ্তভাবে লেখা যেতে পারে এই অ্যালগরিদমের দ্বিতীয় ক্রমের সম্প্রসারণ একটি দ্বিতীয় পুনরাবৃত্তিতে হ্রাস করে দেয় এই দ্বিতীয় আনুমানিক 163.10 ডিগ্রি পর্যন্ত কোণের জন্য 1 শতাংশেরও কম আপেক্ষিক ত্রুটি রয়েছে। অ-রৈখিক পেন্ডুলাম সময়ের জন্য আনুমানিক সূত্র যদিও যে কোনও সীমাবদ্ধ প্রশস্ততা র্যাডের জন্য, সংশ্লিষ্ট সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার ইন্টিগ্রালের মূল্যায়ন করে সঠিক সময়কাল নির্ধারণ করা যেতে পারে, যেখানে, এটি প্রায়শই প্রয়োগগুলিতে এড়ানো হয় কারণ প্রাথমিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে এই ইন্টিগ্রালটিকে একটি বদ্ধ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়। এটি প্রশস্ততার সাথে পেন্ডুলামের সময়কাল বৃদ্ধির জন্য সহজ আনুমানিক সূত্রের উপর গবেষণার পথ তৈরি করেছে (প্রারম্ভিক পদার্থবিজ্ঞান পরীক্ষাগার, শাস্ত্রীয় বলবিজ্ঞান, বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয়তা, শব্দবিজ্ঞান, ইলেকট্রনিক্স, অতিপরিবাহীতা ইত্যাদিতে দরকারী)। বিভিন্ন লেখকের পাওয়া আনুমানিক সূত্রগুলি নিম্নরূপ শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারেঃ 'এত বড়-কোণ নয়' সূত্র, অর্থাৎ। যারা রেডের নিচে প্রশস্ততার জন্য ভাল অনুমান দেয় (একটি নমনীয় স্ট্রিংয়ের শেষে একটি ববের জন্য একটি প্রাকৃতিক সীমা), যদিও সঠিক সময়ের সাথে সম্পর্কিত বিচ্যুতি প্রশস্ততার সাথে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়, রেডের কাছাকাছি প্রশস্ততার জন্য অনুপযুক্ত। সাহিত্যে পাওয়া সহজতম সূত্রগুলির মধ্যে একটি হল লিমার (2006) নিম্নলিখিত সূত্রঃ, যেখানে। 'খুব বড়-কোণ' সূত্র, অর্থাৎ। যেগুলি র্যাডের কাছাকাছি প্রশস্ততার জন্য উপসর্গহীনভাবে সঠিক সময়কালকে আনুমানিক করে, একটি ত্রুটি সহ যা ছোট প্রশস্ততার জন্য একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায় (অর্থাৎ, ছোট প্রশস্ততার জন্য অনুপযুক্ত)। এই ধরনের সূত্রগুলির মধ্যে একটি হল ক্রোমারের সূত্র, যথাঃ অবশ্যই, প্রশস্ততার সাথে এর বৃদ্ধি আরও স্পষ্ট হয় যখন, যেমন একটি অনমনীয় রড বা ডিস্ক ব্যবহার করে অনেক পরীক্ষায় দেখা গেছে। যেহেতু সঠিক টাইমার এবং সেন্সর বর্তমানে প্রারম্ভিক পদার্থবিজ্ঞান পরীক্ষাগারেও পাওয়া যায়, তাই 'খুব বড়-কোণ' পরীক্ষায় পাওয়া পরীক্ষামূলক ত্রুটিগুলি ইতিমধ্যে সঠিক সময়ের সাথে তুলনা করার জন্য যথেষ্ট ছোট এবং তত্ত্ব এবং পরীক্ষার মধ্যে একটি খুব ভাল চুক্তি যেখানে ঘর্ষণ নগণ্য পাওয়া গেছে। যেহেতু এই ক্রিয়াকলাপকে অনেক প্রশিক্ষক উৎসাহিত করেছেন, তাই সমস্ত সম্ভাব্য প্রশস্ততার জন্য বৈধ পেন্ডুলাম সময়ের জন্য একটি সহজ আনুমানিক সূত্র চাওয়া হয়েছিল, যার সাথে পরীক্ষামূলক তথ্যের তুলনা করা যেতে পারে। 2008 সালে, লিমা এই বৈশিষ্ট্য সহ একটি ওজন-গড় সূত্র তৈরি করেছেঃ যেখানে, যা শুধুমাত্র 0.6% (এ. টি) এর সর্বোচ্চ ত্রুটি উপস্থাপন করে। আর্বিট্রারি-অ্যাম্প্লিট্যুড কৌণিক স্থানচ্যুতি ফুরিয়ার সিরিজের সম্প্রসারণ উপবৃত্তাকার নোম এবং কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি দ্বারা দেওয়া হয়। যদি একটি সংজ্ঞায়িত হয় তবে সম্প্রসারণ ব্যবহার করে আনুমানিক করা যেতে পারে (দেখুন)। লক্ষ্য করুন যে আমাদের জন্য, এইভাবে আনুমানিক এমনকি বড় প্রশস্ততার জন্যও প্রযোজ্য। সমতুল্যভাবে, কোণটি মডুলাসের জন্য জ্যাকোবি উপবৃত্তাকার ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া যেতে পারে, এবং, তাই সমাধানটি পেন্ডুলাম (মেকানিক্স) #Small-কোণ আনুমানিকতায় দেওয়া সমাধান দ্বারা ভালভাবে অনুমান করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, নীচের অ্যানিমেশনগুলি ববের প্রাথমিক স্থানচ্যুতির ক্রমবর্ধমান পরিমাণের সাথে একটি সাধারণ (ঘর্ষণহীন) পেন্ডুলামের গতি চিত্রিত করে। প্রতিটি পেন্ডুলামের উপরের ছোট গ্রাফটি সংশ্লিষ্ট পর্যায় সমতল চিত্র; অনুভূমিক অক্ষটি স্থানচ্যুতি এবং উল্লম্ব অক্ষটি বেগ। স্যাঁতসেঁতে, চালিত পেন্ডুলাম উপরের আলোচনাটি শুধুমাত্র মাধ্যাকর্ষণ শক্তি দ্বারা চালিত একটি পেন্ডুলাম ববের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। এখানে আমরা পরিবর্তে একটি স্যাঁতসেঁতে বল অনুমান করি, যেমন। বায়ু প্রতিরোধের পাশাপাশি একটি সাইনোসয়েডাল চালিকা শক্তি শরীরের উপর কাজ করে। এই ব্যবস্থাটি একটি স্যাঁতসেঁতে, চালিত দোলক এবং বিশৃঙ্খল। সমীকরণ (1) কে এইভাবে লেখা যেতে পারে (উপরের সমীকরণ (1)-এর টর্ক ব্যুৎপত্তি দেখুন)। আমরা এখন ডানদিকে একটি ড্যাম্পিং শব্দ এবং একটি ফোর্সিং শব্দ যোগ করতে পারি যেখানে আমরা ড্যাম্পিং দম্পতিকে কৌণিক বেগের আনুপাতিক বলে ধরে নিয়েছি (এটি কম গতির বায়ু প্রতিরোধের জন্য সত্য, ড্র্যাগ (পদার্থবিজ্ঞান) দেখুন)। এবং ধ্রুবকগুলি যথাক্রমে বল প্রয়োগের প্রশস্ততা এবং স্যাঁতসেঁতে হওয়ার মাত্রাকে সংজ্ঞায়িত করে। এটি ড্রাইভিং দোলনগুলির কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি। আমরা এখন দ্বারা ভাগ করে এবং সঠিকভাবে ধ্রুবকগুলিকে নতুন করে সংজ্ঞায়িত করে সরলীকরণ করতে পারি এই সমীকরণটি বিশৃঙ্খল আচরণ প্রদর্শন করে। এই পেন্ডুলামের সঠিক গতি শুধুমাত্র সংখ্যাসূচকভাবে পাওয়া যায় এবং প্রাথমিক অবস্থার উপর অত্যন্ত নির্ভরশীল, যেমন। প্রাথমিক বেগ এবং প্রারম্ভিক প্রশস্ততা। যাইহোক, উপরে বর্ণিত ক্ষুদ্র কোণ আনুমানিক এখনও একটি আনুমানিক বিশ্লেষণাত্মক সমাধান দেওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তে ব্যবহার করা যেতে পারে। যৌগিক পেন্ডুলাম একটি যৌগিক পেন্ডুলাম (বা শারীরিক পেন্ডুলাম) হল এমন একটি জায়গা যেখানে রডটি ভরহীন নয় এবং এর আকার প্রসারিত হতে পারে; অর্থাৎ, একটি স্বেচ্ছাচারী আকৃতির অনমনীয় বস্তু যা একটি পিভট দ্বারা দুলছে। এই ক্ষেত্রে পেন্ডুলামের সময়কাল পিভট পয়েন্টের চারপাশে তার জড়তার মুহুর্তের উপর নির্ভর করে। টর্কের সমীকরণ দেয়ঃ যেখানেঃ কৌণিক ত্বরণ। টর্ক হল টর্ক মাধ্যাকর্ষণ দ্বারা উৎপন্ন হয় তাইঃ যেখানেঃ বস্তুর ভর হল পিভট থেকে বস্তুর ভর কেন্দ্রের দূরত্ব উল্লম্ব থেকে কোণ তাই, ছোট-কোণ আনুমানিকতার অধীনে, পিভট বিন্দু সম্পর্কে বস্তুর জড়তার মুহূর্ত কোথায়। জন্য অভিব্যক্তিটি প্রচলিত সরল পেন্ডুলামের মতো একই আকারের এবং এর একটি সময়কাল দেয় এবং এর একটি ফ্রিকোয়েন্সি দেয় যদি প্রাথমিক কোণটি বিবেচনা করা হয় (বড় প্রশস্ততার জন্য), তবে জন্য অভিব্যক্তিটি হয়ে যায়ঃ এবং একটি সময়কাল দেয়ঃ যেখানে দোলন সর্বাধিক কোণ (উল্লম্বের সাপেক্ষে) এবং এটি প্রথম ধরনের সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অবিচ্ছেদ্য। জ্যাকোবিয়ান উপবৃত্তাকার ফাংশন যা একটি পেন্ডুলামের অবস্থানকে সময়ের ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করে তা একটি বাস্তব সময়কাল এবং একটি কাল্পনিক সময়কাল সহ দ্বিগুণ পর্যায়ক্রমিক ফাংশন। প্রকৃত সময়কাল হল, অবশ্যই, একটি পূর্ণ চক্রের মধ্য দিয়ে যেতে পেন্ডুলামের যে সময় লাগে। পল অ্যাপেল কাল্পনিক সময়ের একটি ভৌত ব্যাখ্যা তুলে ধরেছেনঃ যদি একটি পেন্ডুলামের সর্বাধিক কোণ এবং অন্যটির সর্বাধিক কোণ হয়, তবে প্রত্যেকটির বাস্তব সময়কাল হল অন্যটির কাল্পনিক সময়ের মাত্রা। কাপল্ড পেন্ডুলা কাপল্ড পেন্ডুলাম একে অপরের গতিকে প্রভাবিত করতে পারে, হয় একটি দিক সংযোগের মাধ্যমে (যেমন ববসকে সংযুক্ত করার একটি স্প্রিং) অথবা একটি সহায়ক কাঠামোর গতির মাধ্যমে (যেমন একটি টেবিলটপ)। দুটি অভিন্ন সরল পেন্ডুলামের গতির সমীকরণগুলি ববসকে সংযুক্ত করে একটি স্প্রিং দ্বারা মিলিত হয় যা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান বলবিজ্ঞান ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। সিস্টেমের গতিশক্তি হলঃ যেখানে ববসের ভর, স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্য, এবং, ভারসাম্য থেকে দুটি ববসের কৌণিক স্থানচ্যুতি। সিস্টেমের সম্ভাব্য শক্তি হলঃ যেখানে মহাকর্ষীয় ত্বরণ, এবং বসন্ত ধ্রুবক। তার ভারসাম্য অবস্থান থেকে স্প্রিং-এর স্থানচ্যুতি ক্ষুদ্র কোণের আনুমানিক অনুমান ধরে নেয়। তারপর ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান হল যা নিম্নলিখিত যুগ্ম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সেটের দিকে পরিচালিত করেঃ এই দুটি সমীকরণ যোগ ও বিয়োগ করে, এবং ক্ষুদ্র কোণের আনুমানিক প্রয়োগ করে, চলকগুলিতে দুটি সুরেলা দোলক সমীকরণ দেয় এবংঃ সংশ্লিষ্ট সমাধানগুলির সাথে যেখানে এবং,, একীকরণের ধ্রুবক। এককভাবে সমাধানগুলি প্রকাশ করাঃ যদি ববসগুলিকে প্রাথমিক ধাক্কা না দেওয়া হয়, তবে শর্তটি প্রয়োজন, যা দেয় (কিছু পুনর্বিন্যাসের পরে): আরও দেখুন হারমোনোগ্রাফ কনিকাল পেন্ডুলাম সাইক্লয়েডাল পেন্ডুলাম ডাবল পেন্ডুলাম ইনভার্টেড পেন্ডুলাম কাপিৎজার পেন্ডুলাম রেলে-লরেন্টজ পেন্ডুলাম ইলাস্টিক পেন্ডুলাম ম্যাথিউ ফাংশন পেন্ডুলাম সমীকরণ (সফ্টওয়্যার) রেফারেন্স আরও পড়া ম্যাথিউ ফাংশন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উপর ম্যাথওয়ার্ল্ড নিবন্ধ গতিশীল সিস্টেম হরোলজি গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান গণিত