Schwartz–Bruhat function
গণিতে, লরেন্ট শোয়ার্জ এবং ফ্রাঁসোয়া ব্রুহাটের নামে নামকরণ করা একটি শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশন হল অ্যাডেলের মতো স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট আবেলিয়ান গ্রুপের একটি জটিল মূল্যবান ফাংশন, যা একটি বাস্তব ভেক্টর স্পেসে একটি শোয়ার্জ ফাংশনকে সাধারণীকরণ করে। একটি টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশনকে শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনের স্থানের উপর একটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক কার্যকরী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সংজ্ঞা একটি বাস্তব ভেক্টর স্পেসে, শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনগুলি কেবল সাধারণ শোয়ার্জ ফাংশন (সমস্ত ডেরিভেটিভ দ্রুত হ্রাস পাচ্ছে) এবং স্থান গঠন করে। একটি টরাসে, শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশন হল মসৃণ ফাংশন। পূর্ণসংখ্যার অনুলিপিগুলির সমষ্টিতে, শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনগুলি দ্রুত হ্রাসমান ফাংশন। একটি প্রাথমিক গোষ্ঠীতে (অর্থাৎ, একটি আবেলিয়ান স্থানীয়ভাবে সংক্ষিপ্ত গোষ্ঠী যা বাস্তব, পূর্ণসংখ্যা, বৃত্ত গোষ্ঠী এবং সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর অনুলিপিগুলির একটি গুণফল), শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনগুলি মসৃণ ফাংশন যার সমস্ত ডেরিভেটিভ দ্রুত হ্রাস পাচ্ছে। একটি সাধারণ স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট আবেলিয়ান গ্রুপে, একটি কম্প্যাক্টলি জেনারেটেড সাবগ্রুপ এবং প্রাথমিক ধরনের একটি কম্প্যাক্ট সাবগ্রুপ হতে হবে। তারপর একটি শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনের পুলব্যাক হল একটি শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশন চালু, এবং সমস্ত শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশন উপযুক্ত এবং উপযুক্ত হওয়ার জন্য এইভাবে প্রাপ্ত হয়। (শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনের স্থানটি ইন্ডাক্টিভ সীমা টপোলজি দ্বারা সমৃদ্ধ।) একটি অ-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্রে, একটি শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশন কম্প্যাক্ট সাপোর্টের একটি স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক ফাংশন। বিশেষত, একটি বৈশ্বিক ক্ষেত্রের উপর অ্যাডেলের বলয়ের উপর, শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনগুলি প্রতিটি স্থানের উপর পণ্যগুলির সীমাবদ্ধ রৈখিক সংমিশ্রণ, যেখানে প্রতিটি স্থানীয় ক্ষেত্রের উপর একটি শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশন এবং সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি ব্যতীত সকলের জন্য পূর্ণসংখ্যার বলয়ের বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশন। (আর্কিমিডিয়ান স্থানগুলির জন্য, কেবলমাত্র সাধারণ শোয়ার্জ ফাংশন চালু রয়েছে, অন্যদিকে অ-আর্কিমিডিয়ান স্থানগুলির জন্য অ-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্রগুলির শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশন রয়েছে।) অ্যাডেলের উপর শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনের স্থানকে স্থানীয় ক্ষেত্রের শোয়ার্জ-ব্রুহাট স্থানগুলির সীমাবদ্ধ টেনসর পণ্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে স্থানগুলির একটি সীমাবদ্ধ সেট। এই স্থানের উপাদানগুলি আকারে রয়েছে, যেখানে সকলের জন্য এবং সকলের জন্য সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি। প্রত্যেকটির জন্য আমরা লিখতে পারি, যা সসীম এবং এইভাবে সুনির্দিষ্ট। উদাহরণস্বরূপ প্রতিটি শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনকে, যেখানে প্রতিটি, এবং হিসাবে লেখা যেতে পারে। এটি পর্যবেক্ষণ করে দেখা যায় যে একটি স্থানীয় ক্ষেত্র হওয়ার অর্থ হল সংজ্ঞা অনুসারে কম্প্যাক্ট সাপোর্ট রয়েছে, অর্থাৎ, একটি সীমাবদ্ধ সাবকভার রয়েছে। যেহেতু প্রতিটি ওপেন সেটকে আমাদের ফর্মের (কারো কারো জন্য এবং) খোলা বলের বিচ্ছিন্ন মিলন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। ফাংশনটি অবশ্যই স্থানীয়ভাবে ধ্রুবক হতে হবে, তাই কারো কারো জন্য। (শূন্যে মূল্যায়নের ক্ষেত্রে, সর্বদা একটি শব্দ হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়।) যুক্তিসঙ্গত অ্যাডেলগুলিতে শোয়ার্জ-ব্রুহাট স্থানের সমস্ত ফাংশন সমস্ত যুক্তিসঙ্গত মৌলিক সংখ্যার সীমাবদ্ধ রৈখিক সংমিশ্রণ, যেখানে, এবং সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি ছাড়া সকলের জন্য। সেট এবং হল যথাক্রমে পি-অ্যাডিক সংখ্যা এবং পি-অ্যাডিক পূর্ণসংখ্যার বলয়ের ক্ষেত্র। স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট আবেলিয়ান গ্রুপে একটি শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনের ফুরিয়ার রূপান্তর হল পন্ট্রিয়াগিন দ্বৈত গ্রুপের একটি শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশন। ফলস্বরূপ, ফুরিয়ার রূপান্তর দ্বৈত গোষ্ঠীর টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশনে এই ধরনের গোষ্ঠীর টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশন নেয়। বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বে, শোয়ার্টজ-ব্রুহাট স্থানের (যোগাত্মক) হার পরিমাপের পরিপ্রেক্ষিতে, অ্যাডেলের উপর শোয়ার্টজ-ব্রুহাট ফাংশনগুলি বিশ্লেষণ থেকে পয়সন যোগসূত্র সূত্রের একটি অ্যাডেলিক সংস্করণ দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে, অর্থাৎ, প্রত্যেকের জন্য, কোথায় আছে। জন টেট তাঁর ডক্টরাল থিসিসে রিম্যান জিটা ফাংশনের কার্যকরী সমীকরণের আরও সাধারণ সংস্করণ প্রমাণ করার জন্য এই সূত্রটি তৈরি করেছিলেন। এর মধ্যে একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের জিটা ফাংশনকে একটি অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা দেওয়া জড়িত যেখানে একটি পরীক্ষা ফাংশন হিসাবে নির্বাচিত একটি শোয়ার্জ-ব্রুহাট ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য একটি নির্দিষ্ট অক্ষর দ্বারা মোচড় দেওয়া হয় এবং এই গোষ্ঠীর গুণিতক হার পরিমাপের সাপেক্ষে সংহত করা হয়। এটি এই জিটা ইন্টিগ্রালের মাধ্যমে জিটা ফাংশন অধ্যয়নের জন্য বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি প্রয়োগ করার অনুমতি দেয়। তথ্যসূত্র সংখ্যা তত্ত্ব টপোলজিকাল গ্রুপ