Solder form
গণিতে, আরও সুনির্দিষ্টভাবে ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ডের সাথে একটি ফাইবার বান্ডিলের সোল্ডারিং (বা কখনও কখনও সোল্ডার ফর্ম) এমনভাবে ফাইবারগুলিকে বহুগুণের সাথে সংযুক্ত করার একটি পদ্ধতি যা তাদের স্পর্শক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। স্বজ্ঞাতভাবে, সোল্ডারিং বিমূর্ত ভাষায় এই ধারণাটি প্রকাশ করে যে একটি ম্যানিফোল্ডের প্রতিটি বিন্দুতে একটি নির্দিষ্ট মডেল ক্লেইন জ্যামিতির সাথে যোগাযোগের বিন্দু থাকতে পারে। বাহ্যিক ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, সোল্ডারিং কেবল মডেল স্পেসের বহুগুণের স্পর্শক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অভ্যন্তরীণ জ্যামিতিতে, এটি প্রকাশ করার জন্য অন্যান্য কৌশল প্রয়োজন। 1950 সালে চার্লস এহরেসম্যান এই সাধারণ আকারে সোল্ডারিং প্রবর্তন করেছিলেন। একটি ফাইবার বান্ডিলের সোল্ডারিং ধরা যাক এম একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড, এবং জি একটি লাই গ্রুপ, এবং ই একটি মসৃণ ফাইবার বান্ডিল এম এর উপর স্ট্রাকচার গ্রুপ জি সহ। ধরুন যে জি ই এর সাধারণ ফাইবার এফ এর উপর ক্ষণস্থায়ীভাবে কাজ করে, এবং সেই ম্লান এফ = ম্লান এম। ই থেকে এম এর একটি সোল্ডারিং নিম্নলিখিত তথ্য নিয়ে গঠিতঃ একটি বিশিষ্ট বিভাগ o: M → E। ভেক্টর বান্ডিলের একটি রৈখিক সমরূপতা θ: TM → o * VE M এর স্পর্শক বান্ডিল থেকে বিশিষ্ট বিভাগ বরাবর E এর উল্লম্ব বান্ডিলের পুলব্যাক পর্যন্ত। বিশেষত, এই পরবর্তী শর্তটিকে এই বলে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে θ x-এ M-এর স্পর্শক স্থান থেকে বিশিষ্ট বিভাগ দ্বারা নির্ধারিত বিন্দুতে তন্তুটির (উল্লম্ব) স্পর্শক স্থান পর্যন্ত একটি রৈখিক সমরূপতা নির্ধারণ করে। θ ফর্মটিকে সোল্ডারিংয়ের জন্য সোল্ডার ফর্ম বলা হয়। বিশেষ ক্ষেত্রে প্রচলিত রীতি অনুসারে, যখনই সোল্ডারিংয়ের পছন্দটি অনন্য বা ক্যানোনিকালভাবে নির্ধারিত হয়, সোল্ডার ফর্মটিকে ক্যানোনিকাল ফর্ম বা টাউটোলজিকাল ফর্ম বলা হয়। অ্যাফিন বান্ডিল এবং ভেক্টর বান্ডিল ধরুন E একটি অ্যাফিন ভেক্টর বান্ডিল (শূন্য বিভাগের বিকল্প ছাড়াই একটি ভেক্টর বান্ডিল)। তারপর E-এর একটি সোল্ডারিং প্রথমে একটি বিশিষ্ট বিভাগ নির্দিষ্ট করেঃ অর্থাৎ, শূন্য বিভাগ o-এর একটি পছন্দ, যাতে E-কে ভেক্টর বান্ডিল হিসাবে চিহ্নিত করা যায়। সোল্ডার ফর্মটি তখন একটি রৈখিক আইসোমরফিজম হয় তবে, একটি ভেক্টর বান্ডিলের জন্য উৎপত্তির উল্লম্ব স্থান এবং ফাইবার ভিওই ≈ ই-এর মধ্যে একটি ক্যানোনিকাল আইসোমরফিজম রয়েছে। এই সনাক্তকরণটি তৈরি করে, সোল্ডার ফর্মটি একটি রৈখিক আইসোমরফিজম দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়। অন্য কথায়, একটি অ্যাফিন বান্ডিল ই-তে একটি সোল্ডারিং হল এম-এর স্পর্শক বান্ডিলের সাথে ই-এর আইসোমরফিজমের একটি পছন্দ। প্রায়শই একটি ভেক্টর বান্ডিলের উপর একটি সোল্ডার ফর্মের কথা বলা হয়, যেখানে এটি একটি অগ্রাধিকার বোঝা যায় যে সোল্ডারিংয়ের বিশিষ্ট বিভাগটি বান্ডিলের শূন্য বিভাগ। এই ক্ষেত্রে, ভেক্টর বান্ডিলের কাঠামো গ্রুপটি প্রায়শই জিএল (এন)-এর আধা-পরোক্ষ পণ্য দ্বারা ই-এর সাধারণ তন্তু (যা জিএল (এন)-এর প্রতিনিধিত্ব) দ্বারা পরোক্ষভাবে প্রসারিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, স্পর্শক বান্ডিল নিজেই একটি ক্যানোনিকাল সোল্ডার ফর্ম বহন করে, যথা পরিচয়। যদি এম-এর একটি রিমানিয়ান মেট্রিক (বা সিউডো-রিমানিয়ান মেট্রিক) থাকে, তবে কোভ্যারিয়েন্ট মেট্রিক টেনসর স্পর্শক বান্ডিল থেকে কোটানজেন্ট বান্ডিল পর্যন্ত একটি আইসোমরফিজম দেয়, যা একটি সোল্ডার ফর্ম। হ্যামিল্টনিয়ান বলবিজ্ঞানে, সোল্ডার ফর্মটি টাউটোলজিকাল এক-ফর্ম, বা বিকল্পভাবে লিউভিল এক-ফর্ম, পয়েনকারে এক-ফর্ম, ক্যানোনিকাল এক-ফর্ম, বা সিমপ্লেক্টিক সম্ভাব্যতা হিসাবে পরিচিত। প্রয়োগ একটি ভেক্টর বান্ডেলে একটি সোল্ডার ফর্ম একটি সংযোগের টর্জন এবং কনটার্সন টেনসর সংজ্ঞায়িত করার অনুমতি দেয়। সোল্ডার ফর্মগুলি সিগমা মডেলে ঘটে, যেখানে তারা একটি স্পেসটাইম ম্যানিফোল্ডের স্পর্শক স্থানকে ক্ষেত্র ম্যানিফোল্ডের স্পর্শক স্থানের সাথে আঠালো করে। সাধারণ আপেক্ষিকতায় ভিয়ারবিন বা টেট্রাডগুলি সোল্ডার ফর্মের মতো দেখায়, যাতে তারা একসঙ্গে আঠালো করে স্পেসটাইম ম্যানিফোল্ডের উপর চার্টগুলিকে সমন্বয় করে, স্পর্শক স্থানের পছন্দসই, সাধারণত অর্থোনর্মাল ভিত্তিতে, যেখানে গণনাগুলি যথেষ্ট সরলীকৃত করা যেতে পারে। অর্থাৎ, স্থানাঙ্ক চার্টগুলি উপরের সংজ্ঞাগুলিতে রয়েছে এবং ফ্রেম ক্ষেত্রটি উল্লম্ব বান্ডিল। সিগমা মডেলে, ভিয়ারবিনগুলি স্পষ্টভাবে সোল্ডার ফর্ম। প্রধান বান্ডিলগুলি প্রধান বান্ডিলগুলির ভাষায়, একটি মসৃণ প্রধান জি-বান্ডিল পি-এর উপর একটি মসৃণ ম্যানিফোল্ড এম-এর উপর একটি সোল্ডার ফর্ম হল একটি অনুভূমিক এবং জি-সমতুল্য ডিফারেনশিয়াল 1-ফর্ম যা জি-এর রৈখিক উপস্থাপনায় মান সহ যাতে স্পর্শক বান্ডিল টিএম থেকে সম্পর্কিত বান্ডিল পি × জিভি-তে সম্পর্কিত বান্ডিল মানচিত্রটি একটি বান্ডিল আইসোমরফিজম হয়। (বিশেষ করে, ভি এবং এম-এর অবশ্যই একই মাত্রা থাকতে হবে।) একটি সোল্ডার ফর্মের একটি অনুপ্রেরণামূলক উদাহরণ হল একটি ম্যানিফোল্ডের ফ্রেম বান্ডেলের উপর টাউটোলজিকাল বা মৌলিক রূপ। নামটির কারণ হল যে একটি সোল্ডার ট্যানজেন্ট বান্ডিলের সাথে সম্পর্কিত একটি বান্ডিল চিহ্নিত করে ম্যানিফোল্ড এম-এর সাথে বিমূর্ত প্রধান বান্ডিলটি সোল্ডার (বা সংযুক্ত) করে। সোল্ডার ফর্মগুলি জি-কাঠামো অধ্যয়নের জন্য একটি পদ্ধতি প্রদান করে এবং কার্টান সংযোগের তত্ত্বে গুরুত্বপূর্ণ। পরিভাষা এবং পদ্ধতি পদার্থবিজ্ঞান সাহিত্যে বিশেষভাবে জনপ্রিয়। তথ্যসূত্র ডিফারেনশিয়াল ফর্ম ফাইবার বান্ডিল