Landau's problems
1912 সালের গণিতবিদদের আন্তর্জাতিক কংগ্রেসে, এডমন্ড ল্যান্ডাউ মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে চারটি মৌলিক সমস্যা তালিকাভুক্ত করেছিলেন। এই সমস্যাগুলি তাঁর বক্তৃতায় "গণিতের বর্তমান অবস্থায় আক্রমণাত্মক নয়" হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছিল এবং এখন ল্যান্ডাউয়ের সমস্যা হিসাবে পরিচিত। সেগুলি নিম্নরূপঃ গোল্ডবাখের অনুমানঃ 2-এর চেয়ে বড় প্রতিটি জোড় পূর্ণসংখ্যাকে কি দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে? যমজ মৌলিক অনুমানঃ অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা p কি এমন যে p + 2 মৌলিক সংখ্যা? কিংবদন্তীর অনুমানঃ ধারাবাহিক নিখুঁত বর্গক্ষেত্রের মধ্যে কি সর্বদা অন্তত একটি মৌলিক সংখ্যা থাকে? অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা p কি এমন যে p − 1 একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র? অন্য কথায়ঃ n2 + 1 আকারে কি অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে? চারটি সমস্যারই সমাধান হয়নি। সমাধানের দিকে অগ্রগতি গোল্ডবাখের অনুমান গোল্ডবাখের দুর্বল অনুমান, 5-এর চেয়ে বড় প্রতিটি বিজোড় সংখ্যাকে তিনটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, এটি গোল্ডবাচের অনুমানের ফল। ইভান ভিনোগ্রাদভ 1937 সালে এটিকে যথেষ্ট বড় n (ভিনোগ্রাদভের উপপাদ্য)-এর জন্য প্রমাণ করেছিলেন এবং 2013 সালে হ্যারাল্ড হেলফগট এটিকে গোল্ডবাচের দুর্বল অনুমানের সম্পূর্ণ প্রমাণ হিসাবে প্রসারিত করেছিলেন। চেনের উপপাদ্য, গোল্ডবাখের অনুমানের আরেকটি দুর্বলতা, প্রমাণ করে যে পর্যাপ্ত পরিমাণে বড় n-এর জন্য, যেখানে p মৌলিক এবং q হয় মৌলিক বা অর্ধ মৌলিক। বোর্ডিগনন, জনস্টন এবং স্টারিচকোভা ইয়ামাদার সংশোধন ও উন্নতি করে চেনের উপপাদ্যের একটি স্পষ্ট সংস্করণ প্রমাণ করেছেনঃ প্রতিটি জোড় সংখ্যা একটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল এবং সর্বাধিক দুটি মৌলিক সংখ্যার গুণফলের চেয়ে বড়। বোর্ডিগনন এবং স্টারিচকোভা এটিকে ডিরিচলেট এল-ফাংশনগুলির জন্য জেনারেলাইজড রিম্যান হাইপোথিসিস ধরে নেওয়ার জন্য হ্রাস করেছেন। জনসন এবং স্টারিচকোভা একটি সংখ্যা ব্যবহার করার মূল্যে সমস্ত n> = 4-এর জন্য কাজ করে এমন একটি সংস্করণ দেন যা একটি মৌলিক বা অর্ধ-মৌলিক সংখ্যার পরিবর্তে সর্বাধিক 369 মৌলিক সংখ্যার গুণফল; জিআরএইচ-এর অধীনে তারা 369 থেকে 33 পর্যন্ত উন্নতি করে। মন্টগোমেরি এবং ভন দেখিয়েছেন যে জোড় সংখ্যার ব্যতিক্রমী সেটটি দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশযোগ্য নয়, ঘনত্ব শূন্য ছিল, যদিও সেটটি সীমাবদ্ধ বলে প্রমাণিত হয়নি। ব্যতিক্রমী সেটের সেরা বিদ্যুৎ সীমা হল (যথেষ্ট বড় x-এর জন্য) পিন্টজের কারণে এবং আর. এইচ-এর অধীনে, গোল্ডস্টনের কারণে। লিনিক প্রমাণ করেছিলেন যে যথেষ্ট বড় জোড় সংখ্যাকে দুটি মৌলিক সংখ্যা এবং কিছু (অকার্যকর) ধ্রুবক K-এর 2-এর শক্তির যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। অনেক অগ্রগতির পরে (একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণের জন্য পিন্টজ দেখুন), পিন্টজ এবং রুজা এটিকে কে = 8-এ উন্নত করেছেন। জিআরএইচ-এ এটি কে = 7-এ উন্নীত করা যেতে পারে। যমজ মৌলিক অনুমান ইটাং ঝাং দেখিয়েছেন যে 7 কোটি দ্বারা সীমাবদ্ধ ব্যবধান সহ অসীম সংখ্যক মৌলিক জোড়া রয়েছে এবং পলিমাথ প্রকল্পের সহযোগিতামূলক প্রচেষ্টার মাধ্যমে এই ফলাফলটি 246 দৈর্ঘ্যের ব্যবধানগুলিতে উন্নত করা হয়েছে। সাধারণ এলিয়ট-হ্যালবারস্টাম অনুমানের অধীনে এটি 6-এ উন্নীত করা হয়েছিল, মেনার্ড এবং গোল্ডস্টন, পিন্টজ এবং ইল্ডিরিমের পূর্ববর্তী কাজকে প্রসারিত করে। চেন দেখিয়েছেন যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা p (পরে চেন মৌলিক সংখ্যা নামে পরিচিত) রয়েছে যাতে p + 2 হয় একটি মৌলিক সংখ্যা অথবা একটি অর্ধ মৌলিক সংখ্যা। লেজেন্ডারের অনুমান এটি পরীক্ষা করার জন্য যথেষ্ট যে p থেকে শুরু হওয়া প্রতিটি মৌলিক ব্যবধান তার চেয়ে ছোট। সর্বাধিক মৌলিক ব্যবধানের একটি সারণী দেখায় যে অনুমানটি 264 ≈ 1.8 অবধি রয়েছে। সেই আকারের কাছাকাছি একটি পাল্টা উদাহরণের জন্য গড় ব্যবধানের একশো মিলিয়ন গুণ বড় ব্যবধানের প্রয়োজন হবে। জার্ভিনিমি, হিথ-ব্রাউন এবং মাতোমাকির উপর উন্নতি করে দেখান যে বেশিরভাগ ব্যতিক্রমী মৌলিক সংখ্যার পরে এর চেয়ে বড় ফাঁক রয়েছে; বিশেষত, ইঙ্গামের কারণে একটি ফলাফল দেখায় যে প্রতিটি যথেষ্ট বড় n-এর মধ্যে এবং এর জন্য একটি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। নিকট-বর্গ মৌলিক সংখ্যা ল্যান্ডাউ-এর চতুর্থ সমস্যা জিজ্ঞাসা করেছিল যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে কিনা যা পূর্ণসংখ্যা n-এর আকারের। (এই ফর্মের পরিচিত মৌলিক সংখ্যার তালিকা হল।) বুনিয়াকোভস্কি অনুমান এবং বেটম্যান-হর্ন অনুমানের মতো অন্যান্য সংখ্যা-তাত্ত্বিক অনুমানের ফলস্বরূপ এই ধরনের অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব অনুসরণ করা হবে। , এই সমস্যাটি উন্মুক্ত। নিকট-বর্গ মৌলিক সংখ্যার একটি উদাহরণ হল ফার্মাট মৌলিক সংখ্যা। হেনরিক আইওয়ানিক দেখিয়েছেন যে সর্বাধিক দুটি মৌলিক গুণক সহ ফর্মের অসীম সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। অ্যানকেনি এবং কুবিলিয়াস প্রমাণ করেছেন যে, হেক অক্ষরের উপর এল-ফাংশনগুলির জন্য বর্ধিত রিম্যান অনুমান ধরে নিয়ে, ফর্মের অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। ল্যান্ডাউয়ের অনুমান শক্তিশালীদের জন্য। সেরা নিঃশর্ত ফলাফলটি হারমান ও লুইসের কারণে এবং এটি দেয়। মেরিকোস্কি, পূর্ববর্তী কাজগুলির উন্নতি করে দেখিয়েছেন যে কমপক্ষে সর্বাধিক মৌলিক গুণক সহ ফর্মের অসীম সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। সূচকটিকে 2 দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে ল্যান্ডাউয়ের অনুমান পাওয়া যাবে। ফ্রিডল্যান্ডার-আইওয়ানিক উপপাদ্য দেখায় যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা এই আকারে রয়েছে। বায়ার এবং ঝাও প্রমাণ করেছেন যে, এই ফর্মের অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে; সূচকটিকে এল-ফাংশনগুলির জন্য সাধারণ রিম্যান অনুমানের অধীনে এবং একটি নির্দিষ্ট এলিয়ট-হ্যালবারস্টাম ধরনের অনুমানের অধীনে উন্নত করা যেতে পারে। ব্রুন চালনী আকৃতির মৌলিক সংখ্যার ঘনত্বের উপর একটি উপরের সীমা স্থাপন করেঃ পর্যন্ত এই ধরনের মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। তাই এই রূপের প্রায় সমস্ত সংখ্যাই যৌগিক। আরও দেখুন গণিতের অমীমাংসিত সমস্যাগুলির তালিকা হিলবার্টের সমস্যাগুলি নোটস রেফারেন্স বাহ্যিক লিঙ্ক সংখ্যা তত্ত্বে মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে অমীমাংসিত সমস্যাগুলি