Row equivalence
রৈখিক বীজগণিতে, দুটি ম্যাট্রিক্স সারির সমতুল্য হয় যদি প্রাথমিক সারির ক্রিয়াকলাপের ক্রম দ্বারা একটিকে অন্যটিতে পরিবর্তন করা যায়। বিকল্পভাবে, দুটি m × n ম্যাট্রিক্স সারির সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের একই সারির স্থান থাকে। ধারণাটি সাধারণত ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয় যা রৈখিক সমীকরণের পদ্ধতির প্রতিনিধিত্ব করে, এই ক্ষেত্রে একই আকারের দুটি ম্যাট্রিক্স সারির সমতুল্য হয় যদি এবং কেবলমাত্র যদি সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় ব্যবস্থাগুলির সমাধানের একই সেট থাকে, বা সমতুল্যভাবে ম্যাট্রিক্সগুলির একই শূন্য স্থান থাকে। যেহেতু প্রাথমিক সারির ক্রিয়াকলাপগুলি বিপরীতমুখী, তাই সারির সমতুল্যতা একটি সমতুল্য সম্পর্ক। এটি সাধারণত একটি টিল্ড (~) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। কলাম সমতুল্যতার একটি অনুরূপ ধারণা রয়েছে, যা প্রাথমিক কলাম অপারেশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়; দুটি ম্যাট্রিক্স কলাম সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সগুলি সারির সমতুল্য হয়। দুটি আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স যা প্রাথমিক সারি এবং কলাম উভয় ক্রিয়াকলাপের অনুমতি দেয় একে অপরের মধ্যে রূপান্তরিত করা যেতে পারে তাদের কেবল সমতুল্য বলা হয়। প্রাথমিক সারির ক্রিয়াকলাপ একটি প্রাথমিক সারির ক্রিয়াকলাপ হল নিম্নলিখিত যে কোনও একটি পদক্ষেপঃ অদলবদল করুনঃ একটি ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি অদলবদল করুন। স্কেলঃ একটি ম্যাট্রিক্সের সারিটিকে একটি অ-শূন্য ধ্রুবক দ্বারা গুণ করুন। পিভটঃ একটি ম্যাট্রিক্সের একটি সারির গুণিতক অন্য সারিতে যোগ করুন। দুটি ম্যাট্রিক্স এ এবং বি সারির সমতুল্য যদি প্রাথমিক সারির ক্রিয়াকলাপের ক্রম দ্বারা এ-কে বি-তে রূপান্তর করা সম্ভব হয়। একটি ম্যাট্রিক্সের সারি স্থান হল তার সারি ভেক্টরের সমস্ত সম্ভাব্য রৈখিক সংমিশ্রণের সেট। ম্যাট্রিক্সের সারিগুলি যদি রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের প্রতিনিধিত্ব করে, তবে সারির স্থানটি সমস্ত রৈখিক সমীকরণ নিয়ে গঠিত যা সিস্টেমের থেকে বীজগাণিতিকভাবে অনুমান করা যেতে পারে। দুটি m × n ম্যাট্রিক্স সারির সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের একই সারির স্থান থাকে। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্সগুলি সারির সমতুল্য, সারির স্থানটি ফর্মের সমস্ত ভেক্টর। সমজাতীয় সমীকরণের সংশ্লিষ্ট পদ্ধতিগুলি একই তথ্য প্রকাশ করেঃ বিশেষত, এই উভয় পদ্ধতিই সংজ্ঞাগুলির সমতুল্য রূপের প্রতিটি সমীকরণকে বোঝায় দুটি ম্যাট্রিক্সের সারি সমতুল্য হওয়ার বিষয়টি যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের একই সারি স্থান থাকে তবে রৈখিক বীজগণিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য। প্রমাণটি নিম্নলিখিত পর্যবেক্ষণগুলির উপর ভিত্তি করেঃ প্রাথমিক সারির ক্রিয়াকলাপগুলি কোনও ম্যাট্রিক্সের সারির স্থানকে প্রভাবিত করে না। বিশেষত, যে কোনও দুটি সারির সমতুল্য ম্যাট্রিক্সের একই সারির স্থান থাকে। যে কোনও ম্যাট্রিক্সকে প্রাথমিক সারি অপারেশন দ্বারা হ্রাসকৃত সারি ইকোলন আকারে একটি ম্যাট্রিক্সে হ্রাস করা যেতে পারে। হ্রাসকৃত সারি ইকোলন আকারে দুটি ম্যাট্রিক্সের একই সারি স্থান থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা সমান হয়। যুক্তির এই লাইনটি প্রমাণ করে যে প্রতিটি ম্যাট্রিক্স হ্রাসকৃত সারি ইকোলন ফর্ম সহ একটি অনন্য ম্যাট্রিক্সের সমতুল্য সারি। অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য যেহেতু একটি ম্যাট্রিক্সের শূন্য স্থানটি সারি স্থানের অর্থোগোনাল পরিপূরক, তাই দুটি ম্যাট্রিক্স সারি সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের একই শূন্য স্থান থাকে। একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক সারির জায়গার মাত্রার সমান, তাই সারির সমতুল্য ম্যাট্রিক্সের অবশ্যই একই র্যাঙ্ক থাকতে হবে। এটি হ্রাসকৃত সারি ইকোলন আকারে পিভটগুলির সংখ্যার সমান। একটি ম্যাট্রিক্স বিপরীতমুখী হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সমতুল্য হয়। ম্যাট্রিক্স এ এবং বি সারি সমতুল্য হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি একটি বিপরীতমুখী ম্যাট্রিক্স পি থাকে যেমন এ = পিবি। আরও দেখুন প্রাথমিক সারির ক্রিয়াকলাপ সারির স্থানের ভিত্তি (রৈখিক বীজগণিত) সারির হ্রাস (হ্রাস) সারির স্তরের গঠন তথ্যসূত্র বাহ্যিক সংযোগ রৈখিক বীজগণিত ম্যাট্রিসের সমতা (গণিত)