Vector notation
গণিত এবং পদার্থবিজ্ঞানে, ভেক্টর স্বরলিপি হল ভেক্টরের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য একটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত স্বরলিপি, যা ইউক্লিডীয় ভেক্টর বা আরও সাধারণভাবে, ভেক্টর স্থানের সদস্য হতে পারে। একটি ভেক্টরের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য, সাধারণ টাইপোগ্রাফিক কনভেনশন হল লোয়ার কেস, সোজা বোল্ডফেস টাইপ। ইন্টারন্যাশনাল অর্গানাইজেশন ফর স্ট্যান্ডার্ডাইজেশন (আই. এস. ও) সুপারিশ করে হয় গাঢ় ইটালিক সেরিফ, যেমন ডান তীর দ্বারা উচ্চারিত, অথবা নন-বোল্ড ইটালিক সেরিফ। উন্নত গণিতে, ভেক্টরগুলি প্রায়শই যে কোনও চলকের মতো একটি সাধারণ ইটালিক আকারে উপস্থাপন করা হয়। 1835 সালে গিউস্টো বেলাভাইটিস সমতুল্য নির্দেশিত লাইন সেগমেন্টের ধারণা প্রবর্তন করেন যার ফলে এই ধরনের সেগমেন্টের সমতুল্য শ্রেণী হিসাবে ভেক্টরের ধারণা তৈরি হয়। ভেক্টর শব্দটি ডব্লিউ. আর. হ্যামিল্টন 1843 সালের দিকে উদ্ভাবন করেছিলেন, কারণ তিনি কোয়াটারনিয়ন প্রকাশ করেছিলেন, একটি সিস্টেম যা একটি চার-মাত্রিক স্থান প্রসারিত করতে ভেক্টর এবং স্কেলার ব্যবহার করে। একটি চতুর্ভুজ q = a + b + cj + dk-এর জন্য, হ্যামিল্টন দুটি অনুমান ব্যবহার করেছিলেনঃ S q = a, q-এর স্কেলার অংশের জন্য, এবং V q = b + cj + dk, ভেক্টর অংশ। আধুনিক শব্দ ক্রস প্রোডাক্ট (×) এবং ডট প্রোডাক্ট (। ), দুটি ভেক্টর p এবং q-এর চতুর্ভুজ গুণফলকে pq =-p. q + p × q লেখা যেতে পারে। 1878 সালে, ডব্লিউ. কে. ক্লিফোর্ড তাঁর পাঠ্যপুস্তক এলিমেন্টস অফ ডায়নামিক-এ শিক্ষার্থীদের জন্য কোয়াটারনিয়ন অপারেশনকে কার্যকর করার জন্য দুটি পণ্যকে বিচ্ছিন্ন করেন। ইয়েল বিশ্ববিদ্যালয়ে বক্তৃতা দেওয়ার সময়, জোসিয়াহ উইলার্ড গিবস স্কেলার পণ্য এবং ভেক্টর পণ্যগুলির জন্য স্বরলিপি সরবরাহ করেছিলেন, যা ভেক্টর বিশ্লেষণে প্রবর্তিত হয়েছিল। 1891 সালে, অলিভার হেভিসাইড স্কেলার থেকে ভেক্টরকে আলাদা করার জন্য ক্লারেন্ডনের পক্ষে যুক্তি দিয়েছিলেন। তিনি টেইট দ্বারা গ্রীক অক্ষর এবং ম্যাক্সওয়েল দ্বারা গথিক অক্ষর ব্যবহারের সমালোচনা করেছিলেন। 1912 সালে, জে. বি. শ কোয়াটারনিয়ন সোসাইটির বুলেটিনে তাঁর "কম্পারেটিভ নোটেশন ফর ভেক্টর এক্সপ্রেশনস" অবদান রাখেন। পরবর্তীকালে, আলেকজান্ডার ম্যাকফারলেন একই প্রকাশনায় ভেক্টর সহ স্পষ্ট অভিব্যক্তির জন্য 15টি মানদণ্ড বর্ণনা করেছেন। ভেক্টর ধারণাগুলি 1841 সালে হারমান গ্রাসম্যান এবং আবার 1862 সালে জার্মান ভাষায় উন্নীত করেছিলেন। কিন্তু জার্মান গণিতবিদদের ইংরেজিভাষী গণিতবিদদের মতো কোয়াটারনিয়ন দিয়ে নেওয়া হত না। ফেলিক্স ক্লেইন যখন জার্মান গাণিতিক বিশ্বকোষ সংগঠিত করছিলেন, তখন তিনি আর্নল্ড সমারফেল্ডকে ভেক্টর স্বরলিপি প্রমিত করার দায়িত্ব দিয়েছিলেন। 1950 সালে অ্যাকাডেমিক প্রেস যখন সামারফেল্ডের লেকচারস অন থিওরিটিক্যাল ফিজিক্সের দ্বিতীয় সংস্করণের জি. কুয়ের্টির অনুবাদ প্রকাশ করে, তখন ভেক্টর নোটেশন একটি পাদটীকার বিষয় ছিলঃ "মূল জার্মান পাঠ্যে, ভেক্টর এবং তাদের উপাদানগুলি একই গথিক ধরনের মুদ্রিত হয়। এই অনুবাদের জন্য দুটির মধ্যে টাইপোগ্রাফিক পার্থক্য করার আরও সাধারণ উপায় গ্রহণ করা হয়েছে। আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে, একটি ভেক্টর তার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক দ্বারা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে, যা সংখ্যার একটি টুপল। অর্ডার্ড সেট নোটেশন একটি ভেক্টর একটি অর্ডার্ড সেট উপাদান ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে, যা বন্ধনী বা কোণ বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে। সাধারণ অর্থে, একটি n-মাত্রিক ভেক্টর v কে নিম্নলিখিত রূপগুলির মধ্যে যে কোনও একটিতে নির্দিষ্ট করা যেতে পারেঃ যেখানে v1, v2,.., vn−1, vn হল v-এর উপাদান। রো ম্যাট্রিক্স হিসাবে নির্দিষ্ট একটি ভেক্টর রো ভেক্টর হিসাবে পরিচিত; একটি কলাম ম্যাট্রিক্স হিসাবে নির্দিষ্ট একটি কলাম ভেক্টর হিসাবে পরিচিত। আবার, একটি এন-মাত্রিক ভেক্টর ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে নিম্নলিখিত যে কোনও একটিতে নির্দিষ্ট করা যেতে পারেঃ যেখানে v1, v2,.., vn −1, vn হল v-এর উপাদান। কিছু উন্নত প্রসঙ্গে, একটি সারি এবং একটি কলাম ভেক্টরের ভিন্ন অর্থ রয়েছে; আরও তথ্যের জন্য ভেক্টরের সহপরিবর্তন এবং বিপরীততা দেখুন। একক ভেক্টর স্বরলিপি একটি ভেক্টরকে (বা তার চেয়ে কম মাত্রায়, যেমন নিচে vz শূন্য) ভেক্টরের উপাদানগুলির স্কেলার গুণিতকগুলির যোগফল হিসাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে যার মধ্যে স্ট্যান্ডার্ড বেসিসের সদস্যরা থাকে। ভিত্তি একক ভেক্টরের সাথে প্রতিনিধিত্ব করা হয়, এবং। একক ভেক্টর স্বরলিপি ব্যবহার করে একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টরকে নিম্নলিখিত আকারে নির্দিষ্ট করা যেতে পারেঃ যেখানে vx, vy এবং vz হল v-এর স্কেলার উপাদান। স্কেলার উপাদানগুলি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে; একটি স্কেলার উপাদানের পরম মান হল এর মাত্রা। মেরু স্থানাঙ্ক একটি সমতলে একটি বিন্দুর দুটি মেরু স্থানাঙ্ককে দ্বিমাত্রিক ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এই ধরনের ভেক্টর একটি মাত্রা (বা দৈর্ঘ্য) এবং একটি দিক (বা কোণ) নিয়ে গঠিত। সাধারণত r হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা মাত্রাটি একটি প্রারম্ভিক বিন্দু, উৎপত্তি থেকে যে বিন্দুটি প্রতিনিধিত্ব করা হয় তার দূরত্ব। কোণটি, সাধারণত θ (গ্রীক অক্ষর থিটা) হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যা সাধারণত একটি নির্দিষ্ট দিকের মধ্যে পরিমাপ করা হয়, সাধারণত ধনাত্মক x-অক্ষের দিক এবং উৎপত্তি থেকে বিন্দু পর্যন্ত দিক। কোণটি সাধারণত রেডিয়ান রেঞ্জের মধ্যে থাকে বা হ্রাস করা হয়। ক্রমযুক্ত সেট এবং ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি ভেক্টরগুলি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কের মতো ক্রমযুক্ত জোড়া স্বরলিপি (কেবল দুটি উপাদান ব্যবহার করে ক্রমযুক্ত সেট স্বরলিপির একটি উপসেট) বা ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে। এই রূপগুলিতে ভেক্টরের প্রথম উপাদানটি হল r (v1 এর পরিবর্তে) এবং দ্বিতীয় উপাদানটি হল θ (v2 এর পরিবর্তে)। মেরু স্থানাঙ্ককে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক থেকে আলাদা করার জন্য, কোণটি কোণ প্রতীক, এর সাথে যুক্ত করা যেতে পারে। ক্রমযুক্ত জোড়া বা ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি ব্যবহার করে v-এর জন্য দ্বি-মাত্রিক মেরু স্থানাঙ্ককে নিম্নলিখিত যে কোনও একটি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ যেখানে r হল মাত্রা, θ হল কোণ এবং কোণ প্রতীক () ঐচ্ছিক। ডাইরেক্ট নোটেশন ভেক্টরগুলি সরলীকৃত স্বায়ত্তশাসিত সমীকরণ ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে যা স্পষ্টভাবে r এবং θ সংজ্ঞায়িত করে। এটি অপ্রয়োজনীয় হতে পারে, তবে দ্বি-মাত্রিক আয়তক্ষেত্রাকার ভেক্টরগুলির সাথে বিভ্রান্তি এড়ানোর জন্য দরকারী যা ক্রমযুক্ত জোড়া বা ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি ব্যবহার করে উদ্ভূত হয়। একটি দ্বি-মাত্রিক ভেক্টর যার মাত্রা 5 একক, এবং যার দিক π/9 রেডিয়ান (20°), নিম্নলিখিত রূপগুলির যে কোনও একটি ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা যেতে পারেঃ নলাকার ভেক্টর একটি নলাকার ভেক্টর হল মেরু স্থানাঙ্কের ধারণার তিনটি মাত্রায় সম্প্রসারণ। এটি নলাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি তীরের অনুরূপ। একটি নলাকার ভেক্টর xy-সমতলে একটি দূরত্ব, একটি কোণ এবং xy-সমতল (একটি উচ্চতা) থেকে একটি দূরত্ব দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়। প্রথম দূরত্ব, সাধারণত r বা ρ (গ্রীক অক্ষর rho) হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়, xy-সমতলে ভেক্টরের অভিক্ষেপের মাত্রা। কোণটি, সাধারণত θ বা φ (গ্রীক অক্ষর phi) হিসাবে উপস্থাপিত হয়, ধনাত্মক দিকে x-অক্ষের সাথে সমান্তরাল রেখা থেকে অফসেট হিসাবে পরিমাপ করা হয়; কোণটি সাধারণত সীমার মধ্যে থাকে। দ্বিতীয় দূরত্ব, সাধারণত এইচ বা জেড হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হয়, xy-সমতল থেকে ভেক্টরের শেষ বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব। সাজানো সেট এবং ম্যাট্রিক্স নোটেশন সিলিনড্রিকাল ভেক্টর মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে, যেখানে দ্বিতীয় দূরত্বের উপাদানটিকে তৃতীয় উপাদান হিসাবে একত্রিত করে সাজানো ট্রিপল (আবার, সাজানো সেট নোটেশনের একটি উপসেট) এবং ম্যাট্রিক্স তৈরি করা হয়। কোণটি কোণ চিহ্ন () দিয়ে উপসর্গ করা যেতে পারে; দূরত্ব-কোণ-দূরত্বের সংমিশ্রণটি এই স্বরলিপিতে নলাকার ভেক্টরকে অনুরূপ স্বরলিপিতে গোলাকার ভেক্টর থেকে আলাদা করে। একটি ত্রিমাত্রিক নলাকার ভেক্টর v-কে নিম্নোক্ত যে কোনও একটি হিসাবে প্রদর্শিত করা যেতে পারে, যা ক্রমানুসারে ত্রিগুণ বা ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি ব্যবহার করেঃ যেখানে r হল xy-সমতলে v-এর অভিক্ষেপের মাত্রা, θ হল ধনাত্মক x-অক্ষ এবং v-এর মধ্যবর্তী কোণ, এবং h হল xy-সমতল থেকে v-এর শেষ বিন্দু পর্যন্ত উচ্চতা। আবার, কোণ প্রতীক () ঐচ্ছিক। একটি নলাকার ভেক্টর সরাসরি নির্দিষ্ট করা যেতে পারে, সরলীকৃত স্বায়ত্তশাসিত সমীকরণ ব্যবহার করে যা r (বা ρ), θ (বা φ), এবং h (বা z) কে সংজ্ঞায়িত করে। চলকগুলির জন্য ব্যবহার করার জন্য নামগুলি বেছে নেওয়ার সময় সামঞ্জস্য ব্যবহার করা উচিত; ρ কে θ ইত্যাদির সাথে মিশ্রিত করা উচিত নয়। একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর, যার xy-সমতলে অভিক্ষেপের মাত্রা 5 একক, যার ধনাত্মক x-অক্ষ থেকে কোণ π/9 রেডিয়ান (20°), এবং xy-সমতল থেকে যার উচ্চতা 3 একক তা নিম্নলিখিত যে কোনও আকারে নির্দিষ্ট করা যেতে পারেঃ গোলাকার ভেক্টর একটি গোলাকার ভেক্টর হল মেরু ভেক্টরের ধারণাকে তিনটি মাত্রায় প্রসারিত করার আরেকটি পদ্ধতি। এটি গোলাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি তীরের অনুরূপ। একটি গোলাকার ভেক্টর একটি মাত্রা, একটি আজিমুথ কোণ এবং একটি শীর্ষ কোণ দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়। এই মাত্রাকে সাধারণত ρ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়। আজিমুথ কোণ, সাধারণত θ হিসাবে উপস্থাপিত হয়, ধনাত্মক x-অক্ষ থেকে () অফসেট হয়। শীর্ষ কোণ, সাধারণত φ হিসাবে উপস্থাপিত হয়, ধনাত্মক z-অক্ষ থেকে অফসেট হয়। উভয় কোণই সাধারণত শূন্য (অন্তর্ভুক্ত) থেকে 2π (একচেটিয়া) পর্যন্ত সীমার মধ্যে থাকে। ক্রমযুক্ত সেট এবং ম্যাট্রিক্স স্বরলিপিগুলি মেরু ভেক্টরের মতো নির্দিষ্ট করা হয়, যেখানে শীর্ষ কোণটি তৃতীয় উপাদান হিসাবে একত্রিত হয়ে ক্রমযুক্ত ত্রয়ী এবং ম্যাট্রিক্স গঠন করে। আজিমুথ এবং জেনিথ কোণ উভয়ই কোণ প্রতীক () এর সাথে উপসর্গযুক্ত হতে পারে; উপসর্গটি দূরত্ব-কোণ-কোণ সংমিশ্রণ তৈরি করতে ধারাবাহিকভাবে ব্যবহার করা উচিত যা গোলাকার ভেক্টরকে নলাকার থেকে আলাদা করে। একটি ত্রিমাত্রিক গোলাকার ভেক্টর v কে নিম্নোক্ত যে কোনও একটি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, হয় ক্রমযুক্ত ত্রিগুণ বা ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি ব্যবহার করেঃ যেখানে ρ হল মাত্রা, θ হল আজিমুথ কোণ এবং φ হল শীর্ষ কোণ। মেরু এবং নলাকার ভেক্টরের মতো, গোলাকার ভেক্টরগুলি সরলীকৃত স্বায়ত্তশাসিত সমীকরণ ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে, এই ক্ষেত্রে ρ, θ এবং φ এর জন্য। একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর যার মাত্রা 5 একক, যার আজিমুথ কোণ π/9 রেডিয়ান (20°), এবং যার শীর্ষ কোণ π/4 রেডিয়ান (45°) এইভাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারেঃ যে কোনও ভেক্টর স্পেসে, ভেক্টর সংযোজন এবং স্কেলার গুণনের ক্রিয়াকলাপগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়। নর্মড ভেক্টর স্পেসগুলি আদর্শ (বা মাত্রার নির্ধারণ) নামে পরিচিত একটি ক্রিয়াকেও সংজ্ঞায়িত করে। অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থানগুলিও অভ্যন্তরীণ পণ্য হিসাবে পরিচিত একটি ক্রিয়াকে সংজ্ঞায়িত করে। অভ্যন্তরীণ পণ্যটি ডট পণ্য হিসাবে পরিচিত। এবং, ক্রস প্রোডাক্ট নামে পরিচিত একটি অতিরিক্ত ক্রিয়াকেও সংজ্ঞায়িত করা হয়। ভেক্টর সংযোজন ভেক্টর সংযোজন দুটি ভেক্টরের মধ্যে অপারেটর হিসাবে ব্যবহৃত যোগ চিহ্ন দিয়ে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। দুটি ভেক্টর u এবং v-এর যোগফলকে এভাবে উপস্থাপন করা হবেঃ স্কেলার গুণন স্কেলার গুণনকে বীজগাণিতিক গুণনের মতো একই পদ্ধতিতে উপস্থাপন করা হয়। একটি ভেক্টরের পাশে একটি স্কেলার (যার মধ্যে একটি বা উভয়ই বন্ধনীতে থাকতে পারে) স্কেলার গুণকে বোঝায়। দুটি সাধারণ অপারেটর, একটি বিন্দু এবং একটি ঘোরানো ক্রসও গ্রহণযোগ্য (যদিও ঘোরানো ক্রস প্রায় কখনও ব্যবহার করা হয় না), তবে তারা বিন্দু পণ্য এবং ক্রস পণ্যগুলির সাথে বিভ্রান্তির ঝুঁকি নেয়, যা দুটি ভেক্টরের উপর কাজ করে। ভেক্টর v সহ একটি স্কেলার k-এর গুণফল নিম্নলিখিত যে কোনও ফ্যাশনে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ ভেক্টর বিয়োগ এবং স্কেলার বিভাজন স্কেলার গুণের পাশাপাশি বিয়োগ এবং বিভাজনের বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে দুটি ভেক্টরকে "বিয়োগ" করা এবং একটি ভেক্টরকে স্কেলার দ্বারা "ভাগ" করা সম্ভব। ভেক্টর বিয়োগ প্রথম ভেক্টর অপারেন্ডে দ্বিতীয় ভেক্টর অপারেন্ডের সাথে −1 এর স্কেলার গুণিতক যোগ করে সঞ্চালিত হয়। অপারেটর হিসাবে বিয়োগ চিহ্ন ব্যবহার করে এটি উপস্থাপন করা যেতে পারে। দুটি ভেক্টর u এবং v-এর মধ্যে পার্থক্য নিম্নলিখিত যে কোনও একটি ফ্যাশনে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ স্কেলার অপারেন্ডের সংখ্যাসূচক বিপরীতের সাথে ভেক্টর অপারেন্ডকে গুণ করে স্কেলার বিভাজন করা হয়। এটি অপারেটর হিসাবে ভগ্নাংশ বার বা বিভাজন চিহ্নগুলির ব্যবহার দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে। একটি ভেক্টর v এবং একটি স্কেলার c-এর ভাগফল নিম্নলিখিত যে কোনও আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ একটি ভেক্টরের আদর্শ ভেক্টরের উভয় পাশে ডাবল বার দিয়ে উপস্থাপন করা হয়। ভেক্টর ভি-এর আদর্শকে এভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ আদর্শটিকে কখনও কখনও একক বার দিয়েও উপস্থাপন করা হয়, যেমন, তবে এটি পরম মানের সাথে বিভ্রান্ত হতে পারে (যা এক ধরনের আদর্শ)। অভ্যন্তরীণ গুণফল দুটি ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ গুণফলকে (স্কেলার গুণফল হিসাবেও পরিচিত, স্কেলার গুণনের সাথে বিভ্রান্ত হবেন না) কোণ বন্ধনীতে আবদ্ধ একটি ক্রমযুক্ত জোড়া হিসাবে উপস্থাপন করা হয়। দুটি ভেক্টর u এবং v-এর অভ্যন্তরীণ গুণফলকে এইভাবে উপস্থাপন করা হবেঃ বিন্দু গুণফল ভিতরে, অভ্যন্তরীণ গুণফলটি বিন্দু গুণফল নামেও পরিচিত। স্ট্যান্ডার্ড ইনার প্রোডাক্ট নোটেশন ছাড়াও, ডট প্রোডাক্ট নোটেশন (অপারেটর হিসাবে ডট ব্যবহার করে) ব্যবহার করা যেতে পারে (এবং এটি আরও সাধারণ)। দুটি ভেক্টর u এবং v-এর বিন্দু গুণফলকে এভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ কিছু পুরোনো সাহিত্যে, বিন্দু গুণফলটি পাশাপাশি লেখা দুটি ভেক্টরের মধ্যে নিহিত থাকে। এই স্বরলিপিটি দুটি ভেক্টরের মধ্যে ডায়্যাডিক পণ্যের সাথে বিভ্রান্ত হতে পারে। ক্রস পণ্য দুটি ভেক্টরের ক্রস পণ্য (ইন) একটি অপারেটর হিসাবে ঘূর্ণিত ক্রস ব্যবহার করে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। দুটি ভেক্টর u এবং v-এর ক্রস গুণফলকে এইভাবে উপস্থাপন করা হবেঃ কিছু নিয়মাবলী দ্বারা (যেমন। ফ্রান্সে এবং উচ্চতর গণিতের কিছু ক্ষেত্রে), এটি একটি ওয়েজ দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়, যা ওয়েজ পণ্যের সাথে বিভ্রান্তি এড়ায় কারণ দুটি তিনটি মাত্রায় কার্যকরীভাবে সমতুল্যঃ কিছু পুরানো সাহিত্যে, নিম্নলিখিত স্বরলিপিটি u এবং v এর মধ্যে ক্রস পণ্যের জন্য ব্যবহৃত হয়ঃ নাবলা অপারেটরের মাধ্যমে ক্যালকুলাসের সাথে নাবলা ভেক্টর স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়ঃ একটি স্কেলার ফাংশন f দিয়ে, গ্রেডিয়েন্টটি একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে লেখা হয়, F বিচ্যুতিটি একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে লেখা হয়, F কার্লটি ইউক্লিডীয় ভেক্টর ফেজার রেফারেন্স গাণিতিক স্বরলিপি ভেক্টর (গণিত এবং পদার্থবিজ্ঞান) হিসাবে লেখা হয়।