Antiderivative (complex analysis)
জটিল বিশ্লেষণে, গণিতের একটি শাখা, একটি জটিল-মূল্যবান ফাংশন g-এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ বা প্রিমিটিভ হল এমন একটি ফাংশন যার জটিল ডেরিভেটিভ হল g। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, জটিল সমতলে একটি উন্মুক্ত সেট এবং একটি ফাংশন যা অ্যান্টিডেরিভেটিভ হল এমন একটি ফাংশন যা সন্তুষ্ট করে। এইভাবে, এই ধারণাটি একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভের জটিল-পরিবর্তনশীল সংস্করণ। এককত্ব একটি ধ্রুবক ফাংশনের অন্তরজ হল শূন্য ফাংশন। অতএব, যে কোনও ধ্রুবক ফাংশন শূন্য ফাংশনের একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ। যদি একটি সংযুক্ত সেট হয়, তবে ধ্রুবক ফাংশনগুলি শূন্য ফাংশনের একমাত্র অ্যান্টিডেরিভেটিভ। অন্যথায়, একটি ফাংশন শূন্য ফাংশনের একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি প্রতিটি সংযুক্ত উপাদানের উপর স্থির থাকে (সেই ধ্রুবকগুলি সমান হওয়ার প্রয়োজন নেই)। এই পর্যবেক্ষণটি বোঝায় যে যদি কোনও ফাংশনের একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ থাকে, তবে সেই অ্যান্টিডেরিভেটিভ একটি ফাংশনের সংযোজন পর্যন্ত অনন্য যা এর প্রতিটি সংযুক্ত উপাদানের উপর স্থির থাকে। অস্তিত্ব একটি বাস্তব চলকের ফাংশনের মতো জটিল সমতলে পাথ ইন্টিগ্রালের মাধ্যমে অ্যান্টিডেরিভেটিভের অস্তিত্বকে চিহ্নিত করতে পারে। সম্ভবত অবাক হওয়ার মতো বিষয় নয় যে, g-এর একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ f থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি, a থেকে b পর্যন্ত প্রতিটি γ পথের জন্য, যে কোনও বদ্ধ পথ γ-এর জন্য সমতুল্যভাবে অবিচ্ছেদ্য পথ হয়। যাইহোক, এই আনুষ্ঠানিক সাদৃশ্য সত্ত্বেও, একটি জটিল-বিরোধী ধারণকারী তার প্রকৃত প্রতিরূপের তুলনায় অনেক বেশি সীমাবদ্ধ অবস্থা। যদিও একটি বিচ্ছিন্ন বাস্তব ফাংশনের জন্য একটি অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ থাকা সম্ভব, তবে একটি জটিল চলকের হোলোমরফিক ফাংশনের জন্যও অ্যান্টি-ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব থাকতে পারে না। উদাহরণস্বরূপ, পারস্পরিক ফাংশন বিবেচনা করুন, g (z) = 1/z যা পঞ্চার সমতল C\ {0}-এ হোলোমরফিক। একটি সরাসরি গণনা দেখায় যে, উৎপত্তিস্থলকে ঘিরে থাকা যে কোনও বৃত্ত বরাবর g-এর ইন্টিগ্রাল শূন্য নয়। সুতরাং জি উপরে উল্লিখিত শর্তটি ব্যর্থ করে। এটি রক্ষণশীল ভেক্টর ক্ষেত্রগুলির জন্য সম্ভাব্য ফাংশনের অস্তিত্বের অনুরূপ, যেখানে গ্রীনের উপপাদ্যটি কেবল তখনই পথের স্বাধীনতার নিশ্চয়তা দিতে সক্ষম হয় যখন প্রশ্নযুক্ত ফাংশনটি একটি সহজভাবে সংযুক্ত অঞ্চলে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেমন কচি ইন্টিগ্রাল উপপাদ্যের ক্ষেত্রে। প্রকৃতপক্ষে, হোলোমর্ফি স্থানীয়ভাবে একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ থাকার দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, অর্থাৎ, g হল হোলোমর্ফিক যদি তার ডোমেনের প্রতিটি z-এর জন্য, z-এর কিছু প্রতিবেশী U থাকে যাতে g-এর U-এর উপর একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ থাকে। উপরন্তু, কোনও ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভ থাকার জন্য হলোমর্ফি একটি প্রয়োজনীয় শর্ত, কারণ যে কোনও হলোমর্ফিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল হলোমর্ফিক। কচি ইন্টিগ্রাল উপপাদ্যের বিভিন্ন সংস্করণ, কচি ফাংশন তত্ত্বের একটি অন্তর্নিহিত ফলাফল, যা পাথ ইন্টিগ্রালগুলির ব্যাপক ব্যবহার করে, পর্যাপ্ত শর্ত দেয় যার অধীনে, একটি হোলোমর্ফিক জি-এর জন্য, যে কোনও বদ্ধ পথ γ-এর জন্য অদৃশ্য হয়ে যায় (যা উদাহরণস্বরূপ, হতে পারে যে জি-এর ডোমেনটি কেবল সংযুক্ত বা স্টার-কনভেক্স হতে পারে)। প্রয়োজনীয়তা প্রথমে আমরা দেখাই যে, যদি f হল U-তে g-এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ হয়, তাহলে g-এর পাথ ইন্টিগ্রাল প্রপার্টি উপরে দেওয়া আছে। যে কোনও পিসওয়াইজ C1 পথ γ: [a, b] → U দেওয়া হলে, কেউ γ-এর উপর g-এর পাথ ইন্টিগ্রাল প্রকাশ করতে পারে। চেইন রুল এবং ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, γ-এর উপর g-এর ইন্টিগ্রাল প্রকৃত পথ γ-এর উপর নির্ভর করে না, বরং শুধুমাত্র তার শেষ বিন্দুর উপর নির্ভর করে, যা আমরা দেখাতে চেয়েছিলাম। পর্যাপ্ততা এরপরে আমরা দেখাই যে যদি g হলোমর্ফিক হয়, এবং যে কোনও পথের উপর g-এর ইন্টিগ্রাল শুধুমাত্র শেষ বিন্দুর উপর নির্ভর করে, তবে g-এর একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ রয়েছে। আমরা স্পষ্টভাবে একটি অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করে তা করব। সাধারণতা না হারিয়ে, আমরা ধরে নিতে পারি যে জি-এর ডোমেন ইউ সংযুক্ত, অন্যথায় প্রতিটি সংযুক্ত উপাদানের উপর একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভের অস্তিত্ব প্রমাণ করা যেতে পারে। এই অনুমানের সাথে, U-তে একটি বিন্দু z0 স্থির করুন এবং U-তে যে কোনও z-এর জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করুন যেখানে γ হল z0 থেকে z-এর সাথে যুক্ত হওয়া কোনও পথ। এই ধরনের একটি পথ বিদ্যমান যেহেতু U একটি উন্মুক্ত সংযুক্ত সেট বলে ধরে নেওয়া হয়। f ফাংশনটি সুনির্দিষ্ট কারণ ইন্টিগ্রাল শুধুমাত্র γ এর শেষ বিন্দুর উপর নির্ভর করে। এই f যে g-এর একটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ, তা বাস্তব মামলার মতোই যুক্তি দেওয়া যেতে পারে। U-তে একটি প্রদত্ত z-এর জন্য, আমাদের অবশ্যই z-কে কেন্দ্র করে একটি ডিস্ক থাকতে হবে এবং সম্পূর্ণরূপে U-এর মধ্যে থাকতে হবে। তারপর এই ডিস্কের মধ্যে z ব্যতীত প্রতিটি ডাব্লু-এর জন্য যেখানে [z, w] z এবং w-এর মধ্যে রেখা বিভাগকে বোঝায়। g-এর ধারাবাহিকতা দ্বারা, চূড়ান্ত অভিব্যক্তিটি শূন্যে চলে যায় যখন ডাব্লু z-এর কাছাকাছি আসে। অন্য কথায়, f′ = g। তথ্যসূত্র বাহ্যিক লিঙ্ক জটিল বিশ্লেষণ