Power transform
পরিসংখ্যানে, পাওয়ার ট্রান্সফর্ম হল ফাংশনগুলির একটি পরিবার যা পাওয়ার ফাংশন ব্যবহার করে ডেটার একঘেয়ে রূপান্তর তৈরি করতে প্রয়োগ করা হয়। এটি একটি তথ্য রূপান্তর কৌশল যা বৈকল্পিকতা স্থিতিশীল করতে, তথ্যকে আরও স্বাভাবিক বিতরণের মতো করতে, সংযোগের পরিমাপের বৈধতা উন্নত করতে (যেমন ভেরিয়েবলের মধ্যে পিয়ারসন পারস্পরিক সম্পর্ক) এবং অন্যান্য তথ্য স্থিতিশীলতা পদ্ধতির জন্য ব্যবহৃত হয়। বহু-রেজোলিউশন এবং ওয়েভলেট বিশ্লেষণ, পরিসংখ্যানগত তথ্য বিশ্লেষণ, চিকিৎসা গবেষণা, শারীরিক প্রক্রিয়াগুলির মডেলিং, ভূ-রাসায়নিক তথ্য বিশ্লেষণ, মহামারীবিদ্যা এবং অন্যান্য অনেক ক্লিনিকাল, পরিবেশগত এবং সামাজিক গবেষণার ক্ষেত্র সহ একাধিক ক্ষেত্রে পাওয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করা হয়। সংজ্ঞা শক্তি রূপান্তরকে একটি অবিচ্ছিন্নভাবে পরিবর্তিত ফাংশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, শক্তি পরামিতি λ-এর সাপেক্ষে, একটি টুকরো-ভিত্তিক ফাংশন আকারে যা এটিকে এককত্বের বিন্দুতে (λ = 0) অবিচ্ছিন্ন করে তোলে। তথ্য ভেক্টরের (y1,., yn) জন্য যেখানে প্রতিটি yi> 0, শক্তি রূপান্তর হল যেখানে পর্যবেক্ষণের জ্যামিতিক গড় y1,., yn। ক্ষেত্রে সীমাটি 0-এর কাছাকাছি পৌঁছেছে। এটি দেখতে, লক্ষ্য করুন যে-টেইলর সিরিজ ব্যবহার করে। তারপর, এবং সবকিছু কিন্তু যথেষ্ট ছোট জন্য নগণ্য হয়ে যায়। বিভাজনে জ্যামিতিক গড়ের (λ−1) তম শক্তির অন্তর্ভুক্তি জড়িত যে কোনও সমীকরণের বৈজ্ঞানিক ব্যাখ্যাকে সহজতর করে তোলে, কারণ λ পরিবর্তনের সাথে সাথে পরিমাপের এককগুলি পরিবর্তিত হয় না। বক্স এবং কক্স (1964) প্রথমে সম্ভাবনার সাথে পুনরুদ্ধার শক্তি রূপান্তরের জ্যাকোবিয়ানকে অন্তর্ভুক্ত করে এই রূপান্তরটিতে জ্যামিতিক গড় প্রবর্তন করেছিলেন। এই জ্যাকোবিয়ানটি নিম্নরূপঃ এটি স্বাভাবিক লগ সম্ভাব্যতাকে তার সর্বাধিক হিসাবে নিম্নরূপ লেখার অনুমতি দেয়ঃ এখান থেকে, জন্য অভিব্যক্তিটিতে শোষণ করা এমন একটি অভিব্যক্তি তৈরি করে যা প্রতিষ্ঠিত করে যে অবশিষ্টাংশের বর্গের যোগফলকে হ্রাস করা স্বাভাবিক লগ সম্ভাব্যতা এবং জ্যাকোবিয়ানের রূপান্তরের যোগফলকে সর্বাধিক করার সমতুল্য। যে কোনও λ-এর জন্য Y = 1-এ মান হল 0, এবং Y-এর সাপেক্ষে যে কোনও λ-এর জন্য ডেরিভেটিভ হল 1। কখনও কখনও Y হল কিছু অন্যান্য চলকের একটি সংস্করণ যা কোনও ধরণের গড় মূল্যে Y = 1 দিতে স্কেল করা হয়। রূপান্তরটি একটি শক্তি রূপান্তর, তবে এটি এমনভাবে করা হয় যাতে এটি λ = 0-এ পরামিতি λ-এর সাথে অবিচ্ছিন্ন হয়। এটি ইকোনোমেট্রিক্স সহ রিগ্রেশন বিশ্লেষণে জনপ্রিয় প্রমাণিত হয়েছে। বক্স এবং কক্স রূপান্তরের আরও একটি সাধারণ রূপের প্রস্তাব করেছিলেন যা একটি স্থানান্তর পরামিতি অন্তর্ভুক্ত করে। যা ধরে রাখে যদি সমস্ত i এর জন্য yi + α> 0 হয়। যদি τ (Y, λ, α) একটি কাটা স্বাভাবিক বন্টন অনুসরণ করে, তবে Y একটি বক্স-কক্স বন্টন অনুসরণ করে বলে মনে করা হয়। বিকেল এবং ডক্সাম সমস্ত y-তে রূপান্তরের পরিসীমা প্রসারিত করে একটি কাটা বন্টন ব্যবহার করার প্রয়োজনীয়তা দূর করেছে, নিম্নরূপঃ যেখানে sgn (। এটি সাইন ফাংশন। সংজ্ঞার এই পরিবর্তনের ব্যবহারিক গুরুত্ব ততটা কম যতটা কম, যা সাধারণত হয়। বিকেল এবং ডক্সাম আরও প্রমাণ করেছেন যে উপযুক্ত নিয়মিততার অবস্থার অধীনে পরামিতি অনুমানগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অ্যাসিম্পটোটিকভাবে স্বাভাবিক, যদিও স্ট্যান্ডার্ড ক্র্যামার-রাও নিম্ন সীমাটি শব্দের বৈচিত্র্যের তুলনায় পরামিতি মানগুলি ছোট হলে বৈচিত্র্যকে যথেষ্ট পরিমাণে অবমূল্যায়ন করতে পারে। যাইহোক, বৈচিত্র্যকে অবমূল্যায়ন করার এই সমস্যাটি অনেক প্রয়োগে একটি মূল সমস্যা নাও হতে পারে। বক্স-কক্স রূপান্তর এক-পরামিতি বক্স-কক্স রূপান্তরকে মূল নিবন্ধে বর্ণিত দুই-পরামিতি বক্স-কক্স রূপান্তর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। উপরন্তু, প্রথম রূপান্তরগুলি ধরে রাখে, এবং দ্বিতীয়টি ধরে রাখে। প্রোফাইল সম্ভাব্যতা ফাংশন ব্যবহার করে এবং গুডনেস-অফ-ফিট পরীক্ষা ব্যবহার করে প্যারামিটারটি অনুমান করা হয়। আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান বক্স-কক্স রূপান্তরের জন্য আত্মবিশ্বাসের ব্যবধানটি প্রোফাইল সম্ভাব্যতা ফাংশনের উপর উইল্কসের উপপাদ্য ব্যবহার করে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে তৈরি করা যেতে পারে যার সমস্ত সম্ভাব্য মানগুলি নিম্নলিখিত সীমাবদ্ধতা পূরণ করেঃ উদাহরণ বিইউপিএ লিভার ডেটা সেটে লিভার এনজাইম এএলটি এবং জিজিটি সম্পর্কিত তথ্য রয়েছে। ধরুন আমরা এ. এল. টি-র পূর্বাভাস দিতে লগ (γGT) ব্যবহার করতে আগ্রহী। তথ্যের একটি প্লট চিত্রের প্যানেল (ক)-এ প্রদর্শিত হয়। অবিচ্ছিন্ন বৈচিত্র্য রয়েছে বলে মনে হয়, এবং একটি বক্স-কক্স রূপান্তর সাহায্য করতে পারে। পাওয়ার প্যারামিটারের লগ-লাইকিহুড প্যানেলে (খ) প্রদর্শিত হয়। অনুভূমিক রেফারেন্স লাইনটি সর্বাধিক থেকে χ 12/2 দূরত্বে রয়েছে এবং λ-এর জন্য আনুমানিক 95 শতাংশ আত্মবিশ্বাসের ব্যবধান পড়তে ব্যবহার করা যেতে পারে। মনে হচ্ছে শূন্যের কাছাকাছি একটি মান ভাল হবে, তাই আমরা লগ গ্রহণ করি। সম্ভবত, লগ রূপান্তরটিতে একটি শিফট প্যারামিটার যোগ করে রূপান্তরটি উন্নত করা যেতে পারে। চিত্রের প্যানেল (সি) লগ-লাইকিহুড দেখায়। এই ক্ষেত্রে, সম্ভাবনার সর্বাধিক শূন্যের কাছাকাছি থাকে যা বোঝায় যে একটি স্থানান্তর পরামিতি প্রয়োজন হয় না। চূড়ান্ত প্যানেলটি একটি সুপারইম্পোজড রিগ্রেশন লাইন সহ রূপান্তরিত তথ্য দেখায়। মনে রাখবেন যে যদিও বক্স-কক্স রূপান্তরগুলি মডেল ফিটের ক্ষেত্রে বড় উন্নতি করতে পারে, তবে কিছু সমস্যা রয়েছে যা রূপান্তরটি সাহায্য করতে পারে না। বর্তমান উদাহরণে, তথ্যগুলি বরং ভারী-লেজযুক্ত যাতে স্বাভাবিকতার অনুমান বাস্তবসম্মত না হয় এবং একটি শক্তিশালী রিগ্রেশন পদ্ধতি আরও সুনির্দিষ্ট মডেলের দিকে পরিচালিত করে। অর্থনীতিবিদরা প্রায়শই বক্স-কক্স রূপান্তরের কিছু রূপ দ্বারা উৎপাদন সম্পর্ককে চিহ্নিত করেন। মূলধন স্টক কে দ্বারা প্রদত্ত পরিষেবাগুলির উপর নির্ভরশীল হিসাবে উৎপাদন কিউ-এর একটি সাধারণ উপস্থাপনা বিবেচনা করুন এবং শ্রম ঘন্টা এন দ্বারাঃ বক্স-কক্স রূপান্তরকে বিপরীত করে কিউ-এর জন্য সমাধান করা যা আমরা খুঁজে পাই যা প্রতিস্থাপনের ধ্রুবক স্থিতিস্থাপকতা (সিইএস) উৎপাদন ফাংশন হিসাবে পরিচিত। সিইএস উৎপাদন ফাংশন হল প্রথম মাত্রার একটি সমজাতীয় ফাংশন। যখন λ = 1 হয়, তখন এটি রৈখিক উৎপাদন ফাংশন তৈরি করেঃ যখন λ → 0 হয় তখন এটি বিখ্যাত কোব-ডগলাস উৎপাদন ফাংশন তৈরি করেঃ ক্রিয়াকলাপ এবং প্রদর্শন এস. ও. সি. আর সম্পদ পৃষ্ঠাগুলিতে জাভা অ্যাপলেট এবং চার্ট ব্যবহার করে বক্স-কক্স (শক্তি) রূপান্তর প্রদর্শন করে বেশ কয়েকটি হ্যান্ডস-অন ইন্টারেক্টিভ ক্রিয়াকলাপ থাকে। এগুলি সরাসরি কিউ-কিউ প্লট, এক্স-ওয়াই স্ক্যাটারপ্লট, টাইম-সিরিজ প্লট এবং হিস্টোগ্রামের উপর এই রূপান্তরের প্রভাবগুলি চিত্রিত করে। ইও-জনসন রূপান্তর ইও-জনসন রূপান্তর এর শূন্য এবং নেতিবাচক মানগুলির জন্যও অনুমতি দেয়। যে কোনও বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, যেখানে পরিচয়ের রূপান্তর ঘটে। রূপান্তর আইনটি পড়েঃ উল্লেখ বাহ্যিক লিঙ্ক (স্থির লিঙ্ক) সানফোর্ড ওয়েইসবার্গ, ইয়েও-জনসন পাওয়ার ট্রান্সফর্মেশন সাধারণ বিতরণ পরিসংখ্যানগত তথ্য রূপান্তর