Euler summation
কনভার্জেন্ট এবং ডাইভারজেন্ট সিরিজের গণিতে, অয়লার যোগফল একটি যোগফল পদ্ধতি। অর্থাৎ, এটি একটি সিরিজে একটি মান নির্ধারণের একটি পদ্ধতি, যা আংশিক যোগফলের সীমা নেওয়ার প্রচলিত পদ্ধতি থেকে আলাদা। একটি সিরিজ দেওয়া হলে, যদি এর অয়লার রূপান্তর একটি যোগফলের সাথে মিলিত হয়, তবে সেই যোগফলকে মূল সিরিজের অয়লার যোগফল বলা হয়। ডাইভারজেন্ট সিরিজের জন্য মান সংজ্ঞায়িত করার পাশাপাশি, অয়লার যোগফল সিরিজের অভিসরণকে ত্বরান্বিত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। অয়লার যোগফলকে (E, q) চিহ্নিত পদ্ধতির একটি পরিবারে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, যেখানে q ≤ 0। (ই, 1) যোগফল হল সাধারণ অয়লার যোগফল। এই সমস্ত পদ্ধতি বোরেল যোগফলের তুলনায় কঠোরভাবে দুর্বল; q> 0-এর জন্য এগুলি আবেল যোগফলের সাথে তুলনা করা যায় না। সংজ্ঞা কিছু মান y-এর জন্য আমরা একটি নির্দিষ্ট আনুষ্ঠানিক যোগফলের সাথে সম্পর্কিত অয়লার যোগফলকে (যদি এটি y-এর সেই মানের জন্য একত্রিত হয়) সংজ্ঞায়িত করতে পারিঃ যদি সমস্ত আনুষ্ঠানিক যোগফল প্রকৃতপক্ষে একত্রিত হয়, তাহলে অয়লার যোগফল বাম দিকের সমান হবে। যাইহোক, অয়লার যোগফলের ব্যবহার অভিসরণকে ত্বরান্বিত করতে পারে (এটি বিশেষত পর্যায়ক্রমিক সিরিজের জন্য দরকারী); কখনও কখনও এটি বিচ্যুত যোগফলকে একটি দরকারী অর্থও দিতে পারে। এই পদ্ধতির ন্যায্যতা প্রমাণ করার জন্য লক্ষ্য করুন যে বিনিময় যোগফলের জন্য, অয়লারের যোগফল প্রাথমিক সিরিজে নেমে আসে, কারণ এই পদ্ধতিটি নিজেই পুনরাবৃত্ত প্রয়োগের মাধ্যমে উন্নত করা যায় না, উদাহরণস্বরূপ, আনুষ্ঠানিক যোগফলের জন্য y = 1 ব্যবহার করে আমরা পাই যদি Pk ডিগ্রি k-এর একটি বহুপদী হয়। মনে রাখবেন যে অভ্যন্তরীণ যোগফল শূন্য হবে, তাই এই ক্ষেত্রে অয়লারের যোগফল একটি অসীম সিরিজকে একটি সীমাবদ্ধ যোগফলের মধ্যে কমিয়ে দেয়। নির্দিষ্ট পছন্দটি বার্নৌলি সংখ্যার একটি স্পষ্ট উপস্থাপনা প্রদান করে, যেহেতু (রিমান জিটা ফাংশন)। প্রকৃতপক্ষে, এই ক্ষেত্রে আনুষ্ঠানিক যোগফল বিচ্ছিন্ন হয় কারণ k ধনাত্মক, কিন্তু জিটা ফাংশনে (বা বরং, সম্পর্কিত ডিরিচলেট ইটা ফাংশনে) অয়লার যোগফল প্রয়োগ করলে ফলন হয় (সিএফ। বিশ্বব্যাপী অভিসারী সিরিজ) যা বদ্ধ আকারের। y-এর একটি উপযুক্ত পছন্দের সাথে (অর্থাৎ। এই সিরিজটি −) এর সমান বা কাছাকাছি মিলিত হয়। আরও দেখুন দ্বিপদী রূপান্তর বোরেল যোগফল সিজেরো যোগফল ল্যাম্বার্ট যোগফল পেরনের সূত্র আবেলিয়ান এবং টাউবেরিয়ান উপপাদ্য আবেল-প্লানা সূত্র আবেলের যোগফল সূত্র ভ্যান উইঞ্জগার্ডেন রূপান্তর ইউলার-বুল যোগফল গাণিতিক সিরিজের যোগফল পদ্ধতি