Class formation
গণিতে, শ্রেণী গঠন হল একটি নির্দিষ্ট শর্ত পূরণকারী মডিউলের উপর কাজ করা একটি টপোলজিকাল গ্রুপ। শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বে প্রদর্শিত বিভিন্ন গ্যালোয়া গোষ্ঠী এবং মডিউলগুলিকে সংগঠিত করার জন্য এমিল আর্টিন এবং জন টেট শ্রেণী গঠনের প্রবর্তন করেছিলেন। সংজ্ঞা একটি গঠন হল একটি টপোলজিকাল গ্রুপ জি যার সাথে একটি টপোলজিকাল জি-মডিউল এ রয়েছে যার উপর জি ক্রমাগত কাজ করে। একটি গঠনের স্তর E/F হল খোলা উপগোষ্ঠী E, G-এর F-এর একটি জোড়া, যাতে F হল E-এর একটি সসীম সূচক উপগোষ্ঠী। যদি F হল E-এর একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী, তবে এটিকে একটি স্বাভাবিক স্তর বলা হয়, এবং একটি চক্রীয় স্তর বলা হয়, যদি এর অতিরিক্ত ভাগফলের গোষ্ঠীটি চক্রীয় হয়। যদি ই জি-এর একটি উপগোষ্ঠী হয়, তবে এই-কে ই দ্বারা স্থির করা এ-এর উপাদান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আমরা যখনই ই/এফ একটি স্বাভাবিক স্তর হয় তখন টেট কোহোমোলজি গ্রুপ এইচএন (ই/এফ, এএফ)-এর জন্য এইচএন (ই/এফ) লিখি। (কিছু লেখক ই এবং এফ-কে জি-এর উপগোষ্ঠীর পরিবর্তে স্থির ক্ষেত্র বলে মনে করেন, তাই ই/এফ-এর পরিবর্তে এফ/ই লিখুন।) প্রয়োগের ক্ষেত্রে, জি প্রায়শই একটি ক্ষেত্রের পরম গ্যালোয়া গোষ্ঠী, এবং বিশেষত এটি অসীম, এবং তাই উন্মুক্ত উপগোষ্ঠীগুলি কিছু নির্দিষ্ট পৃথকীকৃত বন্ধের মধ্যে থাকা ক্ষেত্রের সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। শ্রেণী গঠন হল এমন একটি গঠন যাতে প্রতিটি স্বাভাবিক স্তরের জন্য ই/এফ এইচ1 (ই/এফ) তুচ্ছ হয় এবং এইচ2 (ই/এফ) |E এফ। ক্রমের চক্রাকার হয়। বাস্তবে, এই চক্রাকার গোষ্ঠীগুলি মৌলিক শ্রেণী নামে পরিচিত ক্যানোনিকাল জেনারেটর ইউ. ই/এফ. এইচ. 2 (ই/এফ) সরবরাহ করে, যা এই অর্থে একে অপরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে একটি মৌলিক শ্রেণীর সীমাবদ্ধতা (কোহোমোলজি শ্রেণীর) আরেকটি মৌলিক শ্রেণী। প্রায়শই মৌলিক শ্রেণীগুলিকে শ্রেণী গঠনের কাঠামোর অংশ হিসাবে বিবেচনা করা হয়। যে গঠন শুধুমাত্র H1 (E/F) = 1 শর্ত পূরণ করে তাকে কখনও কখনও ক্ষেত্র গঠন বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি G একটি ক্ষেত্র L এবং A = L ×-এ কাজ করে এমন কোনও সসীম গোষ্ঠী হয়, তবে এটি হিলবার্টের উপপাদ্য 90 দ্বারা একটি ক্ষেত্র গঠন। উদাহরণ শ্রেণী গঠনের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণগুলি (মোটামুটিভাবে কঠিনতার ক্রমে সাজানো) নিম্নরূপঃ আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বঃ মডিউল এ হল অ-শূন্য জটিল সংখ্যার গ্রুপ, এবং জি হয় তুচ্ছ বা জটিল সংমিশ্রণ দ্বারা উত্পন্ন ক্রম 2-এর চক্রাকার গ্রুপ। সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রঃ মডিউল এ হল পূর্ণসংখ্যা (তুচ্ছ জি-অ্যাকশন সহ), এবং জি হল একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের পরম গ্যালোইস গ্রুপ, যা পূর্ণসংখ্যার অসীম সমাপ্তির সমতুল্য। বৈশিষ্ট্য p> 0-এর স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বঃ মডিউল A হল একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর আনুষ্ঠানিক লরেন্ট সিরিজের ক্ষেত্রের পৃথকযোগ্য বীজগাণিতিক সমাপ্তি, এবং G হল গ্যালোইস গ্রুপ। বৈশিষ্ট্য 0-এর অ-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বঃ মডিউল এ হল পি-অ্যাডিক সংখ্যার একটি ক্ষেত্রের বীজগাণিতিক সমাপ্তি, এবং জি হল গ্যালোইস গ্রুপ। বৈশ্বিক শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব p> 0: মডিউল A হল একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের উপর কিছু ফাংশন ক্ষেত্রের পৃথকীকৃত সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণের আদর্শ শ্রেণীর গোষ্ঠীগুলির মিলন, এবং G হল গালোয়া গোষ্ঠী। বৈশ্বিক শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব 0: মডিউল এ হল বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্রের আদর্শ শ্রেণীর গোষ্ঠীগুলির মিলন, এবং জি হল A-এর উপর কাজ করা মূলদ সংখ্যার (বা কিছু বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র) গ্যালোয়া গোষ্ঠী। সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে এবং আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে শ্রেণী গঠনের বৈশিষ্ট্য যাচাই করা সহজ, তবে অবশিষ্ট ক্ষেত্রে আরও কঠিন। শ্রেণীক্ষেত্র তত্ত্বের বেশিরভাগ কঠোর পরিশ্রম প্রমাণ করে যে এগুলি প্রকৃতপক্ষে শ্রেণী গঠন। নীচের বিভাগগুলিতে বর্ণিত হিসাবে এটি বেশ কয়েকটি ধাপে করা হয়। প্রথম অসমতা শ্রেণীক্ষেত্র তত্ত্বের প্রথম অসমতা বলে যে |H0 (E/F)। ≤ |E F। চক্রাকার স্তর E/F-এর জন্য। এটি সাধারণত হারব্র্যান্ড ভাগফলের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে আরও সুনির্দিষ্ট আকারে |H0 (E/F)। = |E F। × |H1 (E/F)। দ্বারা প্রমাণিত হয়। এটি প্রমাণ করা মোটামুটি সোজা, কারণ হারব্র্যান্ড ভাগফলটি বের করা সহজ, কারণ এটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রমগুলিতে গুণিতক এবং সীমাবদ্ধ মডিউলগুলির জন্য 1। প্রায় 1950 সালের আগে, প্রথম বৈষম্য দ্বিতীয় বৈষম্য হিসাবে পরিচিত ছিল, এবং তদ্বিপরীত। দ্বিতীয় অসমতা শ্রেণীক্ষেত্র তত্ত্বের দ্বিতীয় অসমতা বলে যে সমস্ত স্বাভাবিক স্তরের জন্য |H0 (E/F)। ≤ |E F। স্থানীয় ক্ষেত্রের জন্য, এই অসমতা হিলবার্টের উপপাদ্য 90 থেকে প্রথম অসমতা এবং গ্রুপ কোহোমোলজির কিছু মৌলিক বৈশিষ্ট্য সহ সহজেই অনুসরণ করে। দ্বিতীয় অসমতাটি প্রথম বিশ্ব ক্ষেত্রের জন্য ওয়েবার দ্বারা নিম্নোক্ত এল সিরিজের সংখ্যা ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে প্রমাণিত হয়েছিল। মনে করুন যে, E/F স্তরটি বৈশ্বিক ক্ষেত্রের একটি এক্সটেনশন kÂ K-এর সাথে মিলে যায়। কে ওয়ান-এর ডেডেকিন্ড জিটা ফাংশন অধ্যয়ন করে দেখা যায় যে, কে-এর 1 নম্বর মৌলিক সংখ্যার ডিরিচলেট ঘনত্ব রয়েছে যা এস = 1-এ মেরুর ক্রম দ্বারা প্রদত্ত, যা হল 1 (যখন কে মূলদ, এটি মূলত অয়লারের প্রমাণ যে রিম্যান জিটা ফাংশনের এস = 1-এ মেরু ব্যবহার করে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।) যেহেতু k-এর প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা যা একটি আদর্শ, তা কে-এর ডিগ্ (কে/কে) = |E এফ। স্বতন্ত্র ডিগ্রি 1 মৌলিক সংখ্যার গুণফল, এটি দেখায় যে k-এর মৌলিক সংখ্যার যে সেটটি আদর্শ, তার ঘনত্ব 1/|E এফ। রয়েছে। অন্যদিকে, H0 (E/F) গোষ্ঠীর অক্ষরের ডিরিচলেট এল-সিরিজ অধ্যয়ন করে দেখা যায় যে, এই গোষ্ঠীর তুচ্ছ উপাদানের প্রতিনিধিত্বকারী k-এর মৌলিক সংখ্যার ডিরিচলেট ঘনত্বের ঘনত্ব 1/|H0 (E/F)।।।। (প্রমাণের এই অংশটি ডিরিচলেটের প্রমাণের একটি সাধারণীকরণ যে গাণিতিক অগ্রগতিতে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।) কিন্তু একটি মৌলিক সংখ্যা H0 (E/F) গোষ্ঠীর একটি তুচ্ছ উপাদানকে উপস্থাপন করে যদি এটি একটি আদর্শ মডুলো প্রধান আদর্শের সমান হয়, তাই এই সেটটি অন্তত মৌলিক সংখ্যার সেটের মতো ঘন হয় যা আদর্শ। সুতরাং 1/|H0 (E/F)। ≤1/|E F। যা দ্বিতীয় অসমতা। 1940 সালে শেভালি দ্বিতীয় বৈষম্যের একটি বিশুদ্ধ বীজগাণিতিক প্রমাণ খুঁজে পান, তবে এটি ওয়েবারের মূল প্রমাণের চেয়ে দীর্ঘ এবং কঠিন। প্রায় 1950 সালের আগে, দ্বিতীয় অসমতা প্রথম অসমতা হিসাবে পরিচিত ছিল; নামটি পরিবর্তন করা হয়েছিল কারণ চেভালির বীজগাণিতিক প্রমাণ প্রথম অসমতা ব্যবহার করে। তাকাগি একটি শ্রেণীক্ষেত্রকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন যেখানে দ্বিতীয় বৈষম্যের মধ্যে সমতা রয়েছে। নীচের আর্টিন আইসোমরফিজম অনুসারে, H0 (E/F) হল E/F-এর আবেলিয়ানাইজেশনের সমতুল্য, তাই দ্বিতীয় বৈষম্যের সমতা আবেলিয়ান এক্সটেনশনের জন্য ঠিক প্রযোজ্য, এবং শ্রেণী ক্ষেত্রগুলি আবেলিয়ান এক্সটেনশনের মতোই। প্রথম এবং দ্বিতীয় বৈষম্যগুলি নিম্নরূপ একত্রিত করা যেতে পারে। চক্রাকার স্তরগুলির ক্ষেত্রে, দুটি অসমতা একসঙ্গে প্রমাণ করে যে H1 (E/F) |E F। = H0 (E/F) ≤ |E F। তাই H0 (E/F) = |E F। এবং H1 (E/F) = 1। এখন কোহোমোলজি গ্রুপ সম্পর্কে একটি মৌলিক উপপাদ্য দেখায় যে যেহেতু সমস্ত চক্রীয় স্তরের জন্য H1 (E/F) = 1, তাই আমাদের কাছে সমস্ত স্বাভাবিক স্তরের জন্য H1 (E/F) = 1 রয়েছে (তাই বিশেষ করে গঠনটি একটি ক্ষেত্র গঠন)। এই প্রমাণ যে এইচ1 (ই/এফ) সর্বদা তুচ্ছ, বরং বৃত্তাকার; বৈশ্বিক ক্ষেত্রের জন্য এর কোনও "সরাসরি" প্রমাণ (এর অর্থ যাই হোক না কেন) জানা যায় না। (স্থানীয় ক্ষেত্রের জন্য H1 (E/F)-এর বিলুপ্ত হওয়া হিলবার্টের উপপাদ্য 90 মাত্র।) চক্রীয় গোষ্ঠীর জন্য, H0 হল H2-এর সমান, তাই সমস্ত চক্রীয় স্তরের জন্য H2 (E/F) = |E F।। গ্রুপ কোহোমোলজির আরেকটি উপপাদ্য দেখায় যে, যেহেতু সমস্ত স্বাভাবিক স্তরের জন্য H1 (E/F) = 1 এবং সমস্ত চক্রীয় স্তরের জন্য H2 (E/F) ≤ |E F।, তাই আমাদের কাছে সমস্ত স্বাভাবিক স্তরের জন্য H2 (E/F) ≤ |E F। রয়েছে। (প্রকৃতপক্ষে, সমতা সমস্ত স্বাভাবিক স্তরের জন্য প্রযোজ্য, তবে এর জন্য আরও বেশি পরিশ্রম করতে হয়; পরবর্তী বিভাগটি দেখুন।) ব্রয়ার গোষ্ঠী একটি শ্রেণী গঠনের ব্রয়ার গোষ্ঠী এইচ2 (ই/*) কে এইচ2 (ই/এফ) গোষ্ঠীর সরাসরি সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় কারণ এফ ই-এর সমস্ত উন্মুক্ত উপগোষ্ঠীর উপর চলে। সমস্ত স্তরের জন্য এইচ1-এর বিলুপ্তির একটি সহজ পরিণতি হল যে এইচ2 (ই/এফ) গোষ্ঠীগুলি ব্রয়ার গোষ্ঠীর সমস্ত উপগোষ্ঠী। স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বে ব্রাউয়ার গোষ্ঠীগুলি ব্রাউয়ার ক্ষেত্রের গোষ্ঠীগুলির মতোই, তবে বৈশ্বিক শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বে গঠনের ব্রাউয়ার গোষ্ঠী সংশ্লিষ্ট বৈশ্বিক ক্ষেত্রের ব্রাউয়ার গোষ্ঠী নয় (যদিও তারা সম্পর্কিত)। পরবর্তী ধাপটি হল প্রমাণ করা যে এইচ2 (ই/এফ) ঠিক |E এফ। ক্রমের চক্রাকার; পূর্ববর্তী বিভাগটি দেখায় যে এটির সর্বাধিক এই ক্রম রয়েছে, তাই এইচ2 (ই/এফ)-এ |E এফ। ক্রমের কিছু উপাদান খুঁজে বের করা যথেষ্ট। স্বেচ্ছাচারী সম্প্রসারণের প্রমাণটি কার্নেল জি-এর সাথে পূর্ণসংখ্যার অসীম সমাপ্তির উপর জি গ্রুপ থেকে একটি সমরূপতা ব্যবহার করে, অথবা অন্য কথায়, কার্নেল জিএন সহ সমস্ত এন-এর জন্য ক্রমের এন-এর চক্রীয় গোষ্ঠীর উপর জি-এর সমরূপতার একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্রম। এই সমরূপতা ক্ষেত্রগুলির চক্রাকার সাইক্লোটোমিক এক্সটেনশন ব্যবহার করে তৈরি করা হয়; সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির জন্য এগুলি বীজগাণিতিক ক্লোজার দ্বারা দেওয়া হয়, অ-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্রগুলির জন্য এগুলি সর্বাধিক আনরেমিফাইড এক্সটেনশন দ্বারা দেওয়া হয় এবং গ্লোবাল ক্ষেত্রগুলির জন্য এগুলি কিছুটা জটিল। যেহেতু এই এক্সটেনশনগুলি স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়েছে, তাই কেউ পরীক্ষা করতে পারে যে তাদের একটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে H2 (G/Gn) একটি ক্যানোনিকাল জেনারেটর সহ n ক্রমের চক্রীয়। এর থেকে বোঝা যায় যে, যে কোনও স্তর E-এর জন্য H2 (E/E θ G φ) গোষ্ঠীটি প্রামাণিকভাবে Q/Z-এর সমরূপ। চেবোটারেভ তাঁর চেবোটারেভের ঘনত্ব উপপাদ্যের প্রমাণ হিসাবে ঐক্যের শিকড় ব্যবহার করার এই ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন এবং এর পরেই আর্টিন তাঁর পারস্পরিকতা উপপাদ্য প্রমাণ করতে ব্যবহার করেছিলেন। সাধারণ স্তর E, F-এর জন্য একটি সঠিক ক্রম রয়েছে এই ক্রমের শেষ দুটি গোষ্ঠী উভয়কেই Q/Z দিয়ে চিহ্নিত করা যেতে পারে এবং তাদের মধ্যে মানচিত্রটি তখন |E F। দ্বারা গুণিত হয়। সুতরাং প্রথম গ্রুপটি Z/nZ-এর সমতুল্য। যেহেতু এইচ2 (ই/এফ)-এর ক্রম সর্বাধিক জেড/এনজেড অবশ্যই জেড/এনজেড-এর সমান হতে হবে (এবং বিশেষত মধ্য গ্রুপে রয়েছে)। এটি দেখায় যে কোনও স্তরের দ্বিতীয় কোহোমোলজি গ্রুপ এইচ2 (ই/এফ) হল |E এফ। ক্রমের চক্রাকার, যা একটি শ্রেণী গঠনের স্বতঃসিদ্ধগুলির যাচাইকরণ সম্পূর্ণ করে। প্রমাণগুলিতে একটু বেশি যত্ন সহকারে, আমরা এইচ2 (ই/এফ)-এর একটি ক্যানোনিকাল জেনারেটর পাই, যাকে মৌলিক শ্রেণী বলা হয়। এর থেকে বোঝা যায় যে ব্রাউয়ার গ্রুপ এইচ2 (ই/*) (ক্যানোনিক্যালি) কিউ/জেড গ্রুপের সমরূপ, আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্র আর এবং সি-এর ক্ষেত্রে ব্যতীত যখন এর ক্রম 2 বা 1 থাকে। টেটের উপপাদ্য এবং আর্টিন ম্যাপ গ্রুপ কোহোমোলজিতে টেটের উপপাদ্য নিম্নরূপ। মনে করুন যে A একটি সসীম গ্রুপ G-এর উপর একটি মডিউল এবং a হল H2 (G, A)-এর একটি উপাদান, যাতে G H1 (E, A)-এর প্রতিটি সাবগ্রুপ E-এর জন্য তুচ্ছ, এবং H2 (E, A) রেস (a) দ্বারা উৎপন্ন হয় যার ক্রম E থাকে। যদি আমরা একটি শ্রেণী গঠনে টেটের উপপাদ্যের কেস n = −2 প্রয়োগ করি, তবে আমরা দেখতে পাই যে কোনও স্বাভাবিক স্তর E/F-এর জন্য একটি সমরূপতা H − 2 (E/F, Z) → H0 (E/F, AF) রয়েছে। গ্রুপ এইচ-2 (ই/এফ, জেড) হল ই/এফ-এর আবেলিয়ানাইজেশন, এবং গ্রুপ এইচ0 (ই/এফ, এএফ) হল এ. ই মডুলো যা এ. এফ-এর নিয়মের গ্রুপ। অন্য কথায়, আমাদের কাছে এ. ই-এর পরিপ্রেক্ষিতে গ্যালোইস গ্রুপ ই/এফ-এর আবেলিয়ানাইজেশনের একটি স্পষ্ট বিবরণ রয়েছে। এই সমরূপতার বিপরীতটি গ্রহণ করলে E/F-এর সমরূপতা AE → আবেলিয়ানাইজেশন পাওয়া যায় এবং সমস্ত উন্মুক্ত উপগোষ্ঠী F-এর উপর সীমা গ্রহণ করলে E-এর সমরূপতা AE → আবেলিয়ানাইজেশন পাওয়া যায়, যাকে আর্টিন মানচিত্র বলা হয়। আর্টিন মানচিত্রটি অগত্যা সারজেক্টিভ নয়, তবে এর ঘন চিত্র রয়েছে। অস্তিত্ব উপপাদ্য অনুসারে এর কার্নেলের নীচে এই-এর (শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বের জন্য) সংযুক্ত উপাদান রয়েছে, যা অ-আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্রের শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব এবং ফাংশন ক্ষেত্রের জন্য তুচ্ছ, তবে আর্কিমিডিয়ান স্থানীয় ক্ষেত্র এবং সংখ্যা ক্ষেত্রের জন্য অ-তুচ্ছ। তাকাগি অস্তিত্ব উপপাদ্য শ্রেণীক্ষেত্র তত্ত্বের প্রধান অবশিষ্ট উপপাদ্য হল তাকাগি অস্তিত্ব উপপাদ্য, যা বলে যে আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর প্রতিটি সীমাবদ্ধ সূচক বন্ধ উপগোষ্ঠী কিছু আবেলিয়ান সম্প্রসারণের সাথে সম্পর্কিত নিয়মের গোষ্ঠী। এটি প্রমাণ করার ধ্রুপদী উপায় হল নিয়মের ছোট ছোট গোষ্ঠীর সাথে কিছু এক্সটেনশন তৈরি করা, প্রথমে ঐক্যের অনেক শিকড় যোগ করে এবং তারপরে কামার এক্সটেনশন এবং আর্টিন-শ্রিয়ার এক্সটেনশন গ্রহণ করে। এই এক্সটেনশনগুলি অ-আবেলিয়ান হতে পারে (যদিও এগুলি আবেলিয়ান গোষ্ঠী দ্বারা আবেলিয়ান গোষ্ঠীর এক্সটেনশন); তবে, এটি আসলে গুরুত্বপূর্ণ নয়, কারণ একটি অ-আবেলিয়ান গ্যালোইস এক্সটেনশনের আদর্শ গোষ্ঠীটি তার সর্বাধিক আবেলিয়ান এক্সটেনশনের মতোই (এটি আমরা ইতিমধ্যে শ্রেণী ক্ষেত্র সম্পর্কে যা জানি তা ব্যবহার করে দেখানো যেতে পারে)। এটি যথেষ্ট (আবেলিয়ান) এক্সটেনশন দেয় যা দেখায় যে আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর যে কোনও সীমাবদ্ধ সূচক উপগোষ্ঠীর সাথে সম্পর্কিত একটি আবেলিয়ান এক্সটেনশন রয়েছে। ফলস্বরূপ, আর্টিন মানচিত্রের কার্নেল হল আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর পরিচয়ের সংযুক্ত উপাদান, যাতে এফ-এর গ্যালোইস গোষ্ঠীর আবেলিয়ানাইজেশন হল আদর্শ শ্রেণী গোষ্ঠীর অসীম সমাপ্তি। স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বের জন্য, লুবিন-টেট আনুষ্ঠানিক গোষ্ঠী আইন ব্যবহার করে আরও স্পষ্টভাবে আবেলিয়ান এক্সটেনশন তৈরি করা সম্ভব। বৈশ্বিক ক্ষেত্রগুলির জন্য, আবেলিয়ান এক্সটেনশনগুলি কিছু ক্ষেত্রে স্পষ্টভাবে নির্মাণ করা যেতে পারেঃ উদাহরণস্বরূপ, যুক্তিসঙ্গতগুলির আবেলিয়ান এক্সটেনশনগুলি ঐক্যের শিকড় ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে এবং চতুর্ভুজ কাল্পনিক ক্ষেত্রগুলির আবেলিয়ান এক্সটেনশনগুলি উপবৃত্তাকার ফাংশন ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে, তবে নির্বিচারে বৈশ্বিক ক্ষেত্রগুলির জন্য এর একটি এনালগ খুঁজে পাওয়া একটি অমীমাংসিত সমস্যা। ওয়েল গ্রুপ এটি কোনও ওয়েল গ্রুপ নয় এবং ওয়েল-চ্যাটলেট গ্রুপ বা মর্ডেল-ওয়েল গ্রুপের সাথে এর কোনও সংযোগ নেই মৌলিক শ্রেণী ইউই/এফ Π এইচ 2 (ই/এফ, এএফ) সহ একটি শ্রেণী গঠনের ওয়েল গ্রুপ হল এক ধরনের পরিবর্তিত গ্যালোইস গ্রুপ, যা শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্বের বিভিন্ন গঠনে এবং বিশেষত ল্যাংল্যান্ডস প্রোগ্রামে প্রবর্তিত এবং ব্যবহৃত হয়। যদি E/F একটি স্বাভাবিক স্তর হয়, তাহলে E/F-এর ওয়েইল গ্রুপ U হল H2 (E/F, AF)-এর মৌলিক শ্রেণী uE/F-এর সাথে সম্পর্কিত এক্সটেনশন 1 → AF → U → E/F → 1। সমগ্র গঠনের ওয়েইল গোষ্ঠীকে সমস্ত স্তরের জি/এফ-এর ওয়েইল গোষ্ঠীর বিপরীত সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, জি-এর একটি উন্মুক্ত উপগোষ্ঠী এফ-এর জন্য। শ্রেণী গঠনের পারস্পরিক মানচিত্র (জি, এ) এজি থেকে ওয়েইল গোষ্ঠীর অবিলিয়ানাইজেশনে একটি সমরূপতা প্ররোচিত করে। আরও দেখুন আবেলিয়ান এক্সটেনশন আর্টিন এল-ফাংশন আর্টিন পারস্পরিকতা শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব জটিল গুণন গ্যালোইস কোহোমোলজি হাস্স আদর্শ উপপাদ্য হারব্র্যান্ড ভাগফল হিলবার্ট শ্রেণী ক্ষেত্র ক্রোনেকার-ওয়েবার উপপাদ্য স্থানীয় শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব তাকাগি অস্তিত্ব উপপাদ্য টেট কোহোমোলজি গ্রুপ রেফারেন্স, বিশেষ করে। একাদশ অধ্যায়ঃ শ্রেণী গঠন, তাঁর সংগৃহীত গবেষণাপত্রের প্রথম খণ্ডে পুনঃমুদ্রিত, বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্ব শ্রেণী ক্ষেত্র তত্ত্ব