Ambient construction
সামঞ্জস্যপূর্ণ জ্যামিতিতে, পরিবেষ্টিত গঠন চার্লস ফেফারম্যান এবং রবিন গ্রাহামের একটি নির্মাণকে বোঝায় যার জন্য মাত্রা n-এর একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ বহুগুণ একটি নির্দিষ্ট পয়েনকারে বহুগুণের সীমানা হিসাবে বা বিকল্পভাবে একটি নির্দিষ্ট ছদ্ম-রিম্যানিয়ান বহুগুণের স্বর্গীয় গোলক হিসাবে (পরিবেষ্টিতভাবে) উপলব্ধি করা হয়। পরিবেষ্টিত গঠনটি এই অর্থে অনুমোদিত যে এটি শুধুমাত্র মেট্রিকের কনফরমাল ক্লাস ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়ঃ এটি কনফরমালভাবে অপরিবর্তনীয়। যাইহোক, নির্মাণ শুধুমাত্র উপসর্গহীনভাবে কাজ করে, আনুমানিক একটি নির্দিষ্ট ক্রম পর্যন্ত। সাধারণভাবে, সমালোচনামূলক ক্রম অতিক্রম করে এই সম্প্রসারণ অব্যাহত রাখতে একটি বাধা রয়েছে। বাধাটি নিজেই টেনসোরিয়াল চরিত্রের, এবং এটি (কনফর্মাল) বাধা টেনসর হিসাবে পরিচিত। এটি, ওয়েইল টেনসরের সাথে, কনফরমাল ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির দুটি আদিম অপরিবর্তনীয়ের মধ্যে একটি। অবস্ট্রাকশন টেনসর ছাড়াও, পরিবেষ্টিত গঠনটি জিজেএমএস অপারেটর নামে পরিচিত সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে অপরিবর্তনীয় ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের একটি শ্রেণীকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি সম্পর্কিত নির্মাণ হল ট্র্যাক্টর বান্ডিল। ওভারভিউ পরিবেষ্টিত নির্মাণের জন্য মডেল সমতল জ্যামিতি হল মিনকোভস্কি স্পেসে ভবিষ্যতের নাল শঙ্কু, যার উৎস মুছে ফেলা হয়েছে। অনন্ততায় মহাজাগতিক গোলকটি হল কনফরমাল ম্যানিফোল্ড এম, এবং শঙ্কুতে নাল রশ্মিগুলি এম-এর উপর একটি লাইন বান্ডিল নির্ধারণ করে। উপরন্তু, নাল শঙ্কু একটি মেট্রিক বহন করে যা শঙ্কু জেনারেটরের দিকে অবনমিত হয়। এই সমতল মডেল স্থানের পরিবেষ্টিত নির্মাণটি তখন জিজ্ঞাসা করেঃ যদি একজনকে তার অবক্ষয়িত মেট্রিক সহ এই ধরনের একটি লাইন বান্ডিল সরবরাহ করা হয়, তবে ক্যানোনিকাল উপায়ে নাল শঙ্কু থেকে মেট্রিককে কতটা প্রসারিত করা সম্ভব, এইভাবে পরিবেষ্টিত মিনকোভস্কি স্থান পুনরুদ্ধার করা সম্ভব? আনুষ্ঠানিক ভাষায়, ডিজেনারেট মেট্রিক এক্সটেনশন সমস্যার জন্য একটি ডিরিচলেট সীমানা শর্ত সরবরাহ করে এবং যেমনটি ঘটে, বর্ধিত মেট্রিকের জন্য স্বাভাবিক অবস্থা হল রিচি সমতল (স্বাভাবিক কনফরমাল সংযোগের স্বাভাবিকীকরণের কারণে)। পরিবেষ্টিত গঠন এটিকে সেই ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করে যখন এম সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে বাঁকানো থাকে, প্রথমে একটি ডিজেনারেট মেট্রিক সহ একটি প্রাকৃতিক নাল লাইন বান্ডিল এন তৈরি করে এবং তারপরে এন × (-1,1)-এ সম্পর্কিত ডিরিচলেট সমস্যা সমাধান করে। বিবরণ এই বিভাগটি নির্মাণের একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ প্রদান করে, প্রথমে নাল লাইন বান্ডিল এবং তারপরে এর পরিবেষ্টিত সম্প্রসারণ। নাল লাইনের বান্ডিলটি ধরুন যে এম একটি কনফরমাল ম্যানিফোল্ড, এবং এটি [জি] এম-এর উপর সংজ্ঞায়িত কনফরমাল মেট্রিককে বোঝায়। ধরা যাক π: এন → এম কনফরমাল মেট্রিকের সমস্ত প্রতিনিধিদের দ্বারা সংজ্ঞায়িত টি * এম * টি * এম-এর স্বতঃস্ফূর্ত সাববুন্ডলকে বোঝায়। একটি নির্দিষ্ট পটভূমি মেট্রিক g0-এর পরিপ্রেক্ষিতে, N মেট্রিকের সমস্ত ধনাত্মক গুণিতক ω2g0 নিয়ে গঠিত। N-এর উপর R +-এর একটি প্রাকৃতিক ক্রিয়া রয়েছে, যা N দ্বারা প্রদত্ত হয়েছে। উপরন্তু, এটি N-এর উপর R + ক্রিয়ার অধীনে ডিগ্রি 2-এর সমজাতীয়ঃ ধরা যাক X উল্লম্ব ভেক্টর ক্ষেত্র যা স্কেলিং ক্রিয়া তৈরি করে। তারপর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি তাৎক্ষণিকঃ h (X,-) = 0 LXh = 2h, যেখানে LX হল ভেক্টর ক্ষেত্র X বরাবর লাই ডেরিভেটিভ। পরিবেষ্টিত স্থানটি N ~ = N × (-1,1), প্রাকৃতিক অন্তর্ভুক্তি সহ i: N → N ~। ব্যাসার্ধ δω প্রাকৃতিকভাবে N ~ পর্যন্ত প্রসারিত হয়, এবং তাই ব্যাসার্ধের জেনারেটর X-ও তাই করে। এন-এর উপর একটি পরিবেষ্টিত মেট্রিক হল একটি লরেঞ্জিয়ান মেট্রিক এইচ ~ যে মেট্রিকটি সমজাতীয়ঃ δω * এইচ ~ = ω2 এইচ ~ মেট্রিকটি একটি পরিবেষ্টিত এক্সটেনশনঃ আই * এইচ ~ = এইচ, যেখানে আই * প্রাকৃতিক অন্তর্ভুক্তি বরাবর পুলব্যাক। মেট্রিকটি রিচি সমতলঃ রিক (এইচ ~) = 0। ধরুন, এম-এর উপর কনফরমাল মেট্রিক জি এবং একটি স্থানীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা x = (xi)-এর একটি নির্দিষ্ট প্রতিনিধি বেছে নেওয়া হয়েছে। এগুলি এন-এর তন্তুতে একটি বিন্দু (x, t2g (x)) দিয়ে চিহ্নিত করে এন-এর উপর স্থানাঙ্ককে প্ররোচিত করে যেখানে t> 0 হল তন্তু স্থানাঙ্ক। (এই স্থানাঙ্কে, এক্স = টি. এস. টি) পরিশেষে, যদি ρ N-এ N-এর একটি সংজ্ঞায়িত ফাংশন হয় যা বিস্তারের অধীনে 0 ডিগ্রির সমজাতীয় হয়, তবে (x, t, ρ) হল N-এর স্থানাঙ্ক। উপরন্তু, যে কোনও এক্সটেনশন মেট্রিক যা ডিগ্রি 2-এর সমজাতীয়, এই স্থানাঙ্কে এই আকারে লেখা যেতে পারেঃ যেখানে gij হল n2 ফাংশন যেখানে g (x, 0) = g (x), প্রদত্ত সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রতিনিধি। কিছু গণনার পরে দেখা যায় যে রিচি সমতলতা নিম্নলিখিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমতুল্য, যেখানে মৌলিকটি ρ-এর সাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েশনঃ নল শঙ্কু থেকে পরিবেষ্টিত মেট্রিকের অ্যাসিম্পটোটিক বিকাশ পেতে ρ-এ একটি পাওয়ার সিরিজ হিসাবে এই সমীকরণটি আনুষ্ঠানিকভাবে সমাধান করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ρ = 0 প্রতিস্থাপন এবং সমাধান করলে gij′ (x, 0) = 2Pij পাওয়া যায় যেখানে P হল স্কাউটেন টেনসর। এরপরে, আবার পার্থক্য করে এবং সমীকরণের মধ্যে gij′ (x, 0) এর পরিচিত মান প্রতিস্থাপন করে, দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি বাখ টেনসরের গুণিতক হিসাবে পাওয়া যেতে পারে। এবং ইত্যাদি। আরও দেখুন এ. ডি. এস/সি. এফ. টি চিঠিপত্র হলোগ্রাফিক নীতি রেফারেন্স সাধারণ আপেক্ষিকতায় সামঞ্জস্যপূর্ণ জ্যামিতি টেনসর