Pasch's axiom
জ্যামিতিতে, পাস্চের স্বতঃসিদ্ধ হল সমতল জ্যামিতিতে একটি বিবৃতি, যা ইউক্লিড দ্বারা অন্তর্নিহিতভাবে ব্যবহৃত হয়, যা ইউক্লিড যেমন দিয়েছেন তেমন স্বীকার্য থেকে উদ্ভূত করা যায় না। এর অপরিহার্য ভূমিকা 1882 সালে মরিৎজ পাস্চ আবিষ্কার করেছিলেন। বিবৃতি স্বতঃসিদ্ধটি বলে যে, এসি এবং বিসি বিভাগগুলি উভয়ই রেখা দ্বারা ছেদ করা হয় না, এটি পি বার্নেসের লেখা 1ম সম্পূরক-এ প্রমাণিত হয়েছে। এই স্বতঃসিদ্ধের আরও আধুনিক সংস্করণটি নিম্নরূপঃ (যদি তৃতীয় দিকটি আমাদের রেখার সমান্তরাল হয়, তবে আমরা একটি "অনন্তের ছেদ" কে বাহ্যিক হিসাবে গণনা করি।) স্বতঃসিদ্ধের আরও অনানুষ্ঠানিক সংস্করণ প্রায়শই দেখা যায়ঃ হিস্ট্রি পাস্চ 1882 সালে এই স্বতঃসিদ্ধটি প্রকাশ করে এবং দেখায় যে ইউক্লিডের স্বতঃসিদ্ধগুলি অসম্পূর্ণ ছিল। স্বতঃসিদ্ধটি সমতল জ্যামিতিতে ক্রমের ধারণা প্রবর্তনের জন্য পাস্চের পদ্ধতির অংশ ছিল। সমতুল্যতা প্রাথমিক জ্যামিতির অন্যান্য চিকিৎসায়, স্বতঃসিদ্ধের বিভিন্ন সেট ব্যবহার করে, পাস্চের স্বতঃসিদ্ধকে একটি উপপাদ্য হিসাবে প্রমাণ করা যেতে পারে; এটি সমতল পৃথকীকরণ স্বতঃসিদ্ধের একটি পরিণতি যখন এটিকে একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে নেওয়া হয়। হিলবার্ট ইউক্লিডীয় জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধ চিকিৎসায় পাস্চের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করেন। হিলবার্টের সিস্টেমে অবশিষ্ট স্বতঃসিদ্ধগুলির পরিপ্রেক্ষিতে, এটি দেখানো যেতে পারে যে পাস্চের স্বতঃসিদ্ধটি যৌক্তিকভাবে সমতল পৃথকীকরণ স্বতঃসিদ্ধের সমতুল্য। হিলবার্টের পাস্চের স্বতঃসিদ্ধ ডেভিড হিলবার্ট তাঁর বই ফাউন্ডেশন্স অফ জিওমেট্রি-তে পাস্চের স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করেছেন যা ইউক্লিডীয় জ্যামিতির জন্য একটি স্বতঃসিদ্ধ ভিত্তি প্রদান করে। সংস্করণের উপর নির্ভর করে, এটি II. 4 বা II. 5 সংখ্যাযুক্ত। তাঁর বক্তব্য উপরে দেওয়া হয়েছে। হিলবার্টের চিকিৎসায়, এই স্বতঃসিদ্ধটি ক্রমের স্বতঃসিদ্ধ সম্পর্কিত বিভাগে উপস্থিত হয় এবং এটিকে ক্রমের সমতল স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে উল্লেখ করা হয়। যেহেতু তিনি একটি ত্রিভুজের বাহুর পরিপ্রেক্ষিতে স্বতঃসিদ্ধ শব্দটি উচ্চারণ করেন না (রেখাখন্ডের পরিবর্তে রেখা হিসাবে বিবেচিত), তাই ত্রিভুজ এ. বি. সি-র বাহুর সাথে রেখার অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক ছেদ সম্পর্কে কথা বলার প্রয়োজন নেই। ক্যাভিটস পাস্চের স্বতঃসিদ্ধ পাস্চের উপপাদ্য থেকে আলাদা যা একটি লাইনের চারটি বিন্দুর ক্রম সম্পর্কে একটি বিবৃতি। যাইহোক, সাহিত্যে এমন অনেক উদাহরণ রয়েছে যেখানে পাস্চের স্বতঃসিদ্ধিকে পাস্চের উপপাদ্য হিসাবে উল্লেখ করা হয়। এর একটি উল্লেখযোগ্য উদাহরণ হল। পাস্চের স্বতঃসিদ্ধিকে প্রজেক্টিভ জ্যামিতির জন্য ভেব্লেন-ইয়ং স্বতঃসিদ্ধের সাথে বিভ্রান্ত করা উচিত নয়, যা এইভাবে বলা যেতে পারেঃ ভেব্লেন-ইয়ং স্বতঃসিদ্ধের বিবৃতিতে অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক ছেদগুলির কোনও উল্লেখ নেই যা কেবল লাইনের বৈঠকের আপতন বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত। প্রজেক্টিভ জ্যামিতিতে মধ্যবর্তীতার ধারণাটি (অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক সংজ্ঞায়িত করার জন্য প্রয়োজনীয়) বৈধ নয় এবং সমস্ত রেখা মিলিত হয় (তাই সমান্তরাল রেখার সমস্যা দেখা দেয় না)। বিবরণ বাহ্যিক যোগসূত্র ইউক্লিডীয় সমতল জ্যামিতি জ্যামিতির ভিত্তি