Congruence lattice problem
গণিতে, কংগ্রুয়েন্স ল্যাটিস সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করে যে প্রতিটি বীজগাণিতিক বিতরণকারী ল্যাটিস অন্য কোনও ল্যাটিসের কংগ্রুয়েন্স ল্যাটিসের সমতুল্য কিনা। সমস্যাটি রবার্ট পি. দিলওয়ার্থ দ্বারা উত্থাপিত হয়েছিল এবং বহু বছর ধরে এটি জাল তত্ত্বের সবচেয়ে বিখ্যাত এবং দীর্ঘস্থায়ী উন্মুক্ত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি ছিল; এটি জাল তত্ত্বের বিকাশে গভীর প্রভাব ফেলেছিল। প্রতিটি ডিস্ট্রিবিউটিভ ল্যাটিস একটি কংগ্রুয়েন্স ল্যাটিসের অনুমান সর্বাধিক এ1 কম্প্যাক্ট উপাদান সহ সমস্ত ডিস্ট্রিবিউটিভ ল্যাটিসের জন্য সত্য, তবে এফ. ওয়েহ্রুং কুরাটোভস্কির মুক্ত সেট উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে একটি নির্মাণ ব্যবহার করে এ2 কম্প্যাক্ট উপাদানগুলির সাথে ডিস্ট্রিবিউটিভ ল্যাটিসের জন্য একটি পাল্টা উদাহরণ প্রদান করেছেন। প্রিলিমিনারি আমরা কন এ দ্বারা একটি বীজগণিত এ-এর কংগ্রুয়েন্স ল্যাটিসকে বোঝাই, অর্থাৎ অন্তর্ভুক্তির অধীনে এ-এর সমস্ত কংগ্রুয়েন্সের ল্যাটিস। নিম্নলিখিতটি হল একটি সার্বজনীন-বীজগাণিতিক তুচ্ছতা। এটি বলে যে একটি সঙ্গতির জন্য, সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন হওয়া একটি জাল-তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য। লেম্মা। একটি বীজগণিত 'ক'-এর সামঞ্জস্য চূড়ান্তভাবে উৎপন্ন হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি 'কন এ'-এর একটি সংক্ষিপ্ত উপাদান হয়। যেহেতু একটি বীজগণিতের প্রতিটি সঙ্গতি তার নীচের সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন সঙ্গতিগুলির সংযোগ (যেমন, একটি মডিউলের প্রতিটি উপ-মডিউল তার সমস্ত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন উপ-মডিউলগুলির মিলন), তাই আমরা নিম্নলিখিত ফলাফলটি পাই, যা 1948 সালে বারখফ এবং ফ্রিঙ্ক দ্বারা প্রথম প্রকাশিত হয়েছিল। উপপাদ্য (বারখফ এবং ফ্রিঙ্ক 1948)। যেকোনও বীজগণিত এ-এর কংগ্রুয়েন্স ল্যাটিস কন এ হল একটি বীজগাণিতিক ল্যাটিস। যদিও গোষ্ঠী, মডিউল, বলয়ের (মহাবিশ্বের উপসেটগুলির সাথে তাদের চিহ্নিত করা যায় না) তুলনায় জালগুলির সঙ্গতিগুলি কিছু হারায়, তবুও এখনও সম্মুখীন হওয়া অন্যান্য সমস্ত কাঠামোর মধ্যে তাদের একটি অনন্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উপপাদ্য (ফুনাইমা এবং নাকায়মা 1942)। যে কোনও জালের সঙ্গতিপূর্ণ জালটি বন্টনশীল। এটি বলে যে, একটি প্রদত্ত জালকের α, β, এবং γ-এর যে কোনও সমন্বয়ের জন্য α (β) = (α) β। এই ফলাফলের এনালগ ব্যর্থ হয়, উদাহরণস্বরূপ, মডিউলগুলির জন্য, একটি নিয়ম হিসাবে, একটি প্রদত্ত মডিউলের উপ-মডিউল এ, বি, সি-এর জন্য। এই ফলাফলের পরপরই, দিলওয়ার্থ নিম্নলিখিত ফলাফলটি প্রমাণ করেন। তিনি ফলাফলটি প্রকাশ করেননি তবে এটি 1948 সালে বারখফ-এ তাঁর কৃতিত্বের একটি অনুশীলন হিসাবে প্রদর্শিত হয়। প্রথম প্রকাশিত প্রমাণ গ্র্যাটজার এবং শ্মিট 1962-এ রয়েছে। উপপাদ্য (ডিলওয়ার্থ ≈ 1940, গ্র্যাটজার এবং শ্মিট 1962)। প্রতিটি সসীম বন্টনের জাল কিছু সসীম জালের সঙ্গতিপূর্ণ জালের সমরূপ। এটি পর্যবেক্ষণ করা গুরুত্বপূর্ণ যে গ্র্যাটজার এবং শ্মিটের প্রমাণের মধ্যে পাওয়া সমাধান জালটি বিভাগীয়ভাবে পরিপূরক, অর্থাৎ, এটির একটি সর্বনিম্ন উপাদান রয়েছে (যে কোনও সীমাবদ্ধ জালের জন্য সত্য) এবং সমস্ত উপাদানের জন্য a ≤ b একটি উপাদান x রয়েছে যার সাথে a ≤ x = b এবং a ≤ x = 0 রয়েছে। সেই গবেষণাপত্রেই সিএলপি প্রথম প্রকাশিত আকারে উল্লেখ করা হয়েছে, যদিও মনে করা হয় যে সিএলপি-র প্রথম দিকের প্রচেষ্টাটি দিলওয়ার্থ নিজেই করেছিলেন। সীমাবদ্ধ জালের সংযোগ জালগুলিকে প্রচুর পরিমাণে মনোযোগ দেওয়া হয়েছে, যার জন্য একটি রেফারেন্স গ্র্যাটজারের 2005 মনোগ্রাফ। কংগ্রুয়েন্স ল্যাটিস প্রবলেম (সিএলপি): প্রতিটি ডিস্ট্রিবিউটিভ বীজগাণিতিক ল্যাটিস কি কিছু ল্যাটিসের কংগ্রুয়েন্স ল্যাটিসের সমরূপ? সিএলপি সমস্যাটি জাল তত্ত্বের সবচেয়ে কৌতূহলোদ্দীপক এবং দীর্ঘস্থায়ী উন্মুক্ত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি। সর্বজনীন বীজগণিতের কিছু সম্পর্কিত ফলাফল নিম্নরূপ। উপপাদ্য (গ্র্যাটজার এবং শ্মিট 1963)। প্রতিটি বীজগাণিতিক জাল কিছু বীজগণিতে সঙ্গতিপূর্ণ জালের সমতুল্য। ভেক্টর স্পেস V-এর সমস্ত সাবস্পেসের ল্যাটিস সাব V অবশ্যই একটি বীজগাণিতিক ল্যাটিস। পরবর্তী ফলাফল অনুযায়ী, এই বীজগাণিতিক জালগুলিকে উপস্থাপন করা কঠিন। উপপাদ্য (ফ্রিস, ল্যাম্প এবং টেলর 1979)। ধরা যাক, ভি একটি অগণিত ক্ষেত্র এফ-এর উপর একটি অসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্থান। তারপর কন এ-এর সমরূপতা থেকে সাব ভি বোঝায় যে কোনও বীজগণিত এ-এর জন্য এ-এর কমপক্ষে কার্ড এফ অপারেশন রয়েছে। যেহেতু ভি অসীম-মাত্রিক, তাই সাব ভি-এর বৃহত্তম উপাদান (একক) কম্প্যাক্ট নয়। এটি যতই নিরুপদ্রব মনে হোক না কেন, উপরের ফলাফলের বিবৃতিতে কম্প্যাক্ট ইউনিট অনুমান অপরিহার্য, যা নিম্নলিখিত ফলাফল দ্বারা প্রদর্শিত হয়। উপপাদ্য (ল্যাম্পে 1982)। কম্প্যাক্ট ইউনিট সহ প্রতিটি বীজগাণিতিক জাল কিছু গ্রুপয়েডের কংগ্রুয়েন্স জালের সমতুল্য। সিএলপি-র সেমিল্যাটিস গঠন একটি বীজগণিত এ-এর কংগ্রুয়েন্স ল্যাটিস কন এ হল একটি বীজগাণিতিক ল্যাটিস। কন এ-এর কম্প্যাক্ট উপাদানগুলির (ষ্ণ, 0)-সেমিল্যাটিসকে কনক এ দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং এটিকে কখনও কখনও এ-এর কংগ্রুয়েন্স সেমিল্যাটিস বলা হয়। তারপর কন এ হল কন এ-এর আদর্শ জালের সমতুল্য। এখানে বর্ণিত হিসাবে, সমস্ত (, 0)-সেমিলেটিসের বিভাগ এবং সমস্ত বীজগাণিতিক ল্যাটিসের বিভাগের (মরফিজমের উপযুক্ত সংজ্ঞা সহ) মধ্যে শাস্ত্রীয় সমতা ব্যবহার করে, আমরা সিএলপি-র নিম্নলিখিত সেমিলেটিস-তাত্ত্বিক সূত্রটি পেতে পারি। সি. এল. পি-র সেমিল্যাটিস-তাত্ত্বিক গঠনঃ প্রতিটি ডিস্ট্রিবিউটিভ (′, 0)-সেমিল্যাটিস কি কোনও ল্যাটিসের কংগ্রুয়েন্স সেমিল্যাটিসের সমরূপ? ধরুন যে একটি ডিস্ট্রিবিউটিভ (ষ্ণ, 0)-সেমিলেটিস প্রতিনিধিত্বযোগ্য, যদি এটি কিছু ল্যাটিস এল-এর জন্য কনক এল-এর সমরূপ হয়। সুতরাং সিএলপি জিজ্ঞাসা করে যে প্রতিটি ডিস্ট্রিবিউটিভ (ষ্ণ, 0)-সেমিলেটিস প্রতিনিধিত্বযোগ্য কিনা। এই সমস্যাকে ঘিরে অনেক তদন্তে সেমিলেটিস বা অ্যালজেব্রার রেখাচিত্র জড়িত। এগুলি সম্পর্কে সবচেয়ে দরকারী লোককাহিনীর ফলাফল নিম্নরূপ। উপপাদ্য। একটি প্রদত্ত স্বাক্ষরের সমস্ত বীজগণিতে সংজ্ঞায়িত ফাংক্টর কনক, সমস্ত (′, 0)-সেমিলেটিসের জন্য, সরাসরি সীমা সংরক্ষণ করে। ডিস্ট্রিবিউটিভ জয়েন-হোমোমর্ফিজমের মাধ্যমে শ্মিটের দৃষ্টিভঙ্গি আমরা বলি যে a (′, 0)-সেমিলেটিস শ্মিটের শর্তকে সন্তুষ্ট করে, যদি এটি B এর কিছু ডিস্ট্রিবিউটিভ জয়েন-সঙ্গতির অধীনে একটি সাধারণীকৃত বুলিয়ান সেমিলেটিস B এর ভাগফলের সমরূপ হয়। (ষ্ণ, 0)-সেমিলেটিসের প্রতিনিধিত্বযোগ্যতা সম্পর্কে গভীরতম ফলাফলগুলির মধ্যে একটি হল নিম্নলিখিত। উপপাদ্য (শ্মিট 1968)। শ্মিটের শর্তকে সন্তুষ্ট করে এমন যে কোনও (, 0)-সামঞ্জস্য প্রতিনিধিত্বযোগ্য। এটি একই পত্রিকায় বর্ণিত নিম্নলিখিত সমস্যাটি উত্থাপন করেছে। সমস্যা 1 (শ্মিট 1968)। কোনও (ষ্ণ, 0)-সেমিলেটিস কি শ্মিটের শর্ত পূরণ করে? আংশিক ইতিবাচক উত্তরগুলি নিম্নরূপ। উপপাদ্য (শ্মিট 1981)। শূন্য সহ প্রতিটি ডিস্ট্রিবিউটিভ ল্যাটিস শ্মিটের শর্তকে সন্তুষ্ট করে; সুতরাং এটি প্রতিনিধিত্বযোগ্য। ফোর্সিং এবং বুলিয়ান-মূল্যবান মডেল ব্যবহার করে একটি খুব দীর্ঘ এবং প্রযুক্তিগত প্রমাণের মাধ্যমে এই ফলাফলটি আরও উন্নত করা হয়েছে। উপপাদ্য (ওয়েহ্রুং 2003)। শূন্য এবং (, 0)-সমরূপতা সহ বিতরণমূলক জালগুলির একটি গণনাযোগ্য ক্রমের প্রতিটি সরাসরি সীমা প্রতিনিধিত্বযোগ্য। অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ প্রতিনিধিত্বমূলক ফলাফলগুলি সেমিল্যাটিসের কার্ডিনালিটির সাথে সম্পর্কিত। 1985 সালে হুনের মৃত্যুর পর ডবার্টিন নিম্নলিখিত ফলাফলটি প্রকাশের জন্য প্রস্তুত করেছিলেন। 1989 সালে দুটি সংশ্লিষ্ট গবেষণাপত্র প্রকাশিত হয়। উপপাদ্য (হুহ্ন 1985)। সর্বাধিক এ1-এ কার্ডিনালিটির প্রতিটি ডিস্ট্রিবিউটিভ (, 0)-সেমিল্যাটিস শ্মিটের শর্তকে সন্তুষ্ট করে। সুতরাং এটি প্রতিনিধিত্বযোগ্য। বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে, ডাববার্টিন নিম্নলিখিত ফলাফল পেয়েছিলেন। উপপাদ্য (ডবার্টিন 1986)। প্রতিটি বন্টনশীল (, 0)-সামঞ্জস্য যেখানে প্রতিটি প্রধান আদর্শ সর্বাধিক গণনাযোগ্য তা প্রতিনিধিত্বযোগ্য। সমস্যা 2 (ডবার্টিন 1983)। প্রতিটি শঙ্কু পরিষ্করণ কি পরিমাপযোগ্য? পুডলাকের দৃষ্টিভঙ্গি; (, 0)-সমতুল্য চিত্র উত্তোলন পুডলাক তাঁর 1985 সালের গবেষণাপত্রে সিএলপি-র পদ্ধতির পরামর্শ দিয়েছেন যা ভিন্ন। এটি পুডলাকের 1985 সালের গবেষণাপত্রে নিম্নলিখিত ফলাফল, ফ্যাক্ট 4, পৃ. 100-এর উপর ভিত্তি করে তৈরি, যা ইউরি এল. এরশভ তাঁর 1977 সালের মনোগ্রাফ পরিচয়ের ধারা 3-এর প্রধান উপপাদ্য হিসাবে আগে পেয়েছিলেন। উপপাদ্য (এরশভ 1977, পুডলাক 1985)। প্রতিটি ডিস্ট্রিবিউটিভ (ষ্ণ, 0)-সেমিলেটিস হল তার সীমাবদ্ধ ডিস্ট্রিবিউটিভ (ষ্ণ, 0)-সাবসেমিলেটিসের নির্দেশিত মিলন। এর মানে হল যে, একটি ডিস্ট্রিবিউটিভ (ষ্ণ, 0)-সেমিলেটিস S-এর প্রতিটি সসীম উপসেট S-এর কিছু সসীম ডিস্ট্রিবিউটিভ (ষ্ণ, 0)-সেমিলেটিসের মধ্যে থাকে। এখন আমরা একটি প্রদত্ত ডিস্ট্রিবিউটিভ (ষ্ণ, 0)-সেমিলেটিস S-কে কন্ক L হিসাবে উপস্থাপন করার চেষ্টা করছি, কিছু ল্যাটিস L-এর জন্য। যদি এটি করা যায়, তবে, যেমন আমরা দেখেছি যে কনক ফাংক্টর সরাসরি সীমা সংরক্ষণ করে, সরাসরি সীমা সন্তুষ্ট করে। যদিও সাধারণভাবে এটি করা যেতে পারে কিনা সমস্যাটি প্রায় 20 বছর ধরে খোলা ছিল, পুডলাক এটিকে শূন্যের সাথে বিতরণমূলক জালের জন্য প্রমাণ করতে পারে, এইভাবে একটি কার্যকরী সমাধান প্রদান করে শ্মিটের ফলাফলগুলির মধ্যে একটি প্রসারিত করে। উপপাদ্য (পুডলাক 1985)। শূন্য এবং 0-ল্যাটিস এম্বেডিং সহ সমস্ত ডিস্ট্রিবিউটিভ ল্যাটিসের বিভাগ থেকে শূন্য এবং 0-ল্যাটিস এম্বেডিং সহ সমস্ত ল্যাটিসের বিভাগ পর্যন্ত ফাংক্টর সংরক্ষণের একটি সরাসরি সীমা রয়েছে, যেমন কনসফায়ার স্বাভাবিকভাবেই পরিচয়ের সমতুল্য। উপরন্তু, যে কোনও সসীম বন্টনের জন্য φ (S) একটি সসীম পারমাণবিক জাল। এই ফলাফলটি আরও অনেক বেশি জটিল নির্মাণের মাধ্যমে, 2004 এবং 2006 সালে রুজিচকা দ্বারা স্থানীয়ভাবে সসীম, বিভাগীয় পরিপূরক মডুলার জালগুলিতে আরও উন্নত হয়। পুডলাক 1985 সালে জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে তাঁর উপরের ফলাফলটি (, 0)-এমবেডিং সহ ডিস্ট্রিবিউটিভ (, 0)-সেমিলেটিসের পুরো বিভাগে প্রসারিত করা যেতে পারে কিনা। সমস্যাটি খোলা ছিল যতক্ষণ না এটি সম্প্রতি টুমা এবং ওয়েহ্রুং দ্বারা নেতিবাচকভাবে সমাধান করা হয়েছিল। উপপাদ্য (টুমা এবং ওয়েহ্রুং 2006)। সসীম বুলিয়ান (, 0)-সেমিলেটিস এবং (, 0,1)-এমবেডিং-এর একটি ডায়াগ্রাম ডি রয়েছে, যা একটি সসীম আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত সেট দ্বারা সূচীভুক্ত করা হয়েছে, যা কং ফাংক্টরের সাপেক্ষে, ল্যাটিস এবং ল্যাটিস সমরূপতার কোনও ডায়াগ্রাম দ্বারা উত্তোলন করা যায় না। বিশেষত, এটি অবিলম্বে বোঝায় যে সিএলপি-র কোনও কার্যকরী সমাধান নেই। উপরন্তু, এটি 1998 সালে কেয়ার্নেস এবং সেন্ড্রেই-এর তথাকথিত কমিউটেটর তত্ত্বের বৈচিত্র্যের সর্বজনীন বীজগণিতের গভীর ফলাফল থেকে অনুসরণ করে যে উপরের ফলাফলটি সমস্ত জালের বৈচিত্র্য থেকে যে কোনও বৈচিত্র্যে প্রসারিত করা যেতে পারে যাতে সমস্ত কন এ, স্বাক্ষরের একটি নির্দিষ্ট অ-তুচ্ছ পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে (সংক্ষেপে, একটি অ-তুচ্ছ সঙ্গতিপূর্ণ পরিচয় সহ)। আমাদের আরও উল্লেখ করা উচিত যে সিএলপি-তে অনেক প্রচেষ্টাও নিম্নলিখিত ফলাফলের উপর ভিত্তি করে করা হয়েছিল, যা 1978 সালে বুলম্যান-ফ্লেমিং এবং ম্যাকডোয়েল শ্যাননের 1974 সালের একটি স্পষ্ট ফলাফল ব্যবহার করে প্রথম প্রমাণ করেছিলেন, সরাসরি যুক্তির জন্য 2001 সালে গুডিয়ারল এবং ওয়েহ্রুংও দেখুন। উপপাদ্য (বুলম্যান-ফ্লেমিং এবং ম্যাকডোয়েল 1978)। প্রতিটি ডিস্ট্রিবিউটিভ (ষ্ণ, 0)-সেমিলেটিস হল সসীম বুলিয়ান (ষ্ণ, 0)-সেমিলেটিস এবং (ষ্ণ, 0)-সমরূপতার একটি সরাসরি সীমা। এটি লক্ষ্য করা উচিত যে, এরশভ-পুডলাক উপপাদ্যতে ব্যবহৃত রূপান্তর সমরূপতাগুলি (0)-এমবেডিং হলেও, উপরের ফলাফলে ব্যবহৃত রূপান্তর সমরূপতাগুলি অগত্যা এক-থেকে-এক নয়, উদাহরণস্বরূপ যখন কেউ তিন-উপাদান শৃঙ্খলের প্রতিনিধিত্ব করার চেষ্টা করে। কার্যত এটি খুব বেশি ঝামেলা সৃষ্টি করে না এবং নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি প্রমাণ করা সম্ভব করে তোলে। উপপাদ্য। সর্বাধিক এ1-এ কার্ডিনালিটির প্রতিটি ডিস্ট্রিবিউটিভ (, 0)-সেমিল্যাটিস (1) কনক এল-এর সমতুল্য, কিছু স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ, তুলনামূলকভাবে পরিপূরক মডুলার ল্যাটিস এল-এর জন্য (টুমা 1998 এবং গ্র্যাটজার, ল্যাকসার এবং ওয়েহ্রুং 2000)। (2) কিছু (অপরিহার্যভাবে একমুখী নয়) ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয়ের (ওয়েহ্রুং 2000) দ্বিমুখী আদর্শের সেমি-ল্যাটিস। (3) কনক এল, কিছু বিভাগীয় পরিপূরক মডুলার ল্যাটিস এল (ওয়েহ্রুং 2000) এর জন্য। (4) কিছু স্থানীয়ভাবে সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর (রুজিচকা, টুমা এবং ওয়েহ্রুং 2007) সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন স্বাভাবিক উপগোষ্ঠীর আধা-জাল। (5) একটি (অ-বিনিময়যোগ্য) বলয়ের উপর কিছু ডান মডিউলের উপ-মডিউল জাল (রুজিচকা, টুমা এবং ওয়েহ্রুং 2007)। আমরা স্মরণ করি যে একটি (একক, সহযোগী) বলয় R-এর জন্য, আমরা V (R) দ্বারা সীমাবদ্ধভাবে উৎপন্ন প্রজেক্টিভ ডান R-মডিউলগুলির সমরূপতা শ্রেণীর (শঙ্কুযুক্ত, বিনিময়যোগ্য) মনোয়েডকে নির্দেশ করি, আরও বিশদ বিবরণের জন্য এখানে দেখুন। মনে রাখবেন যে আর যদি ভন নিউম্যান নিয়মিত হয়, তবে ভি (আর) একটি পরিশোধন মনোয়েড। আই. ডি. সি. আর দ্বারা চিহ্নিত করুন আর-এর পরিমিতভাবে উৎপন্ন দ্বিমুখী আদর্শের সমান্তরালতা। আমরা এল (আর) দ্বারা একটি ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয় আর-এর সমস্ত প্রধান ডান আদর্শের জালিকা নির্দেশ করি। এটি সুপরিচিত যে এল (আর) একটি পরিপূরক মডুলার জালিকা। প্রধানত জনসন এবং গুডিয়ারল দ্বারা পূর্ববর্তী কাজগুলির উপর ভিত্তি করে নিম্নলিখিত ফলাফলটি ওয়েহ্রুং দ্বারা পর্যবেক্ষণ করা হয়েছিল। উপপাদ্য (ওয়েহ্রুং 1999)। ধরা যাক R একটি ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয়। তারপর আই. ডি. সি. আর এবং কনক্রিট এল (আর) উভয়ই ভি (আর)-এর সর্বাধিক সেমিল্যাটিস ভাগফলের সমরূপ। বার্গম্যান 1986 সাল থেকে একটি সুপরিচিত অপ্রকাশিত নোটে প্রমাণ করেছেন যে, যে কোনও সর্বাধিক গণনাযোগ্য বন্টন (, 0)-সমতুল্য আই. ডি. সি আর-এর সমতুল্য, কিছু স্থানীয়ভাবে ম্যাট্রিসিয়াল রিং আর-এর জন্য (যে কোনও প্রদত্ত ক্ষেত্রের উপর)। এই ফলাফলটি ওয়েহ্রুং দ্বারা 2000 সালে সর্বাধিক এ1-এ কার্ডিনালিটির সেমিলেটিসগুলিতে প্রসারিত করা হয়, শুধুমাত্র আর-এর নিয়মিততা বজায় রেখে (প্রমাণ দ্বারা নির্মিত রিংটি স্থানীয়ভাবে ম্যাট্রিসিয়াল নয়)। এ1 মামলায় আর-কে স্থানীয়ভাবে ম্যাট্রিসিয়াল হিসাবে নেওয়া যেতে পারে কিনা এই প্রশ্নটি কিছু সময়ের জন্য খোলা ছিল, যতক্ষণ না 2004 সালে ওয়েহ্রুং দ্বারা এটি বাতিল করা হয়। উপরের উপপাদ্যটি ব্যবহার করে ল্যাটিস জগতে ফিরে অনুবাদ করা এবং 1998 সালে ওয়েহ্রুং দ্বারা প্রবর্তিত ডাইমেনশন মনোয়েড নামে পরিচিত ভি (আর) নির্মাণের একটি ল্যাটিস-তাত্ত্বিক এনালগ ব্যবহার করে নিম্নলিখিত ফলাফল পাওয়া যায়। উপপাদ্য (ওয়েহ্রুং 2004)। কার্ডিনালিটি এ1-এর একটি ডিস্ট্রিবিউটিভ (, 0,1)-সেমিল্যাটিস রয়েছে যা কনক এল-এর সমতুল্য নয়, যে কোনও মডুলার ল্যাটিস এল-এর জন্য যার প্রতিটি ফাইনাইলি জেনারেটেড সাবল্যাটিসের দৈর্ঘ্য সীমাবদ্ধ। সমস্যা 3 (গুডিয়ারল 1991)। ক্রম-একক সহ কোনও মাত্রার গোষ্ঠীর ধনাত্মক শঙ্কু কি কিছু ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয় আর-এর জন্য ভি (আর)-এর সমরূপ? কুরাটোভস্কির মুক্ত সেট উপপাদ্যের প্রথম প্রয়োগ উপরে উল্লিখিত সমস্যা 1 (শ্মিট), সমস্যা 2 (ডবার্টিন) এবং সমস্যা 3 (গুডিয়ারল) 1998 সালে একযোগে নেতিবাচকভাবে সমাধান করা হয়েছিল। উপপাদ্য (ওয়েহ্রুং 1998)। ক্রম-একক সহ যুক্তিসঙ্গতগুলির উপর একটি মাত্রার ভেক্টর স্থান G রয়েছে যার ধনাত্মক শঙ্কু G + যে কোনও ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয় R-এর জন্য V (R)-এর সমতুল্য নয় এবং ডাবার্টিনের অর্থে পরিমাপযোগ্য নয়। উপরন্তু, জি + এর সর্বাধিক অর্ধবৃত্তীয় ভাগফল শ্মিটের শর্তকে সন্তুষ্ট করে না। উপরন্তু, জি-কে α2-এর চেয়ে বড় বা সমান যে কোনও প্রদত্ত কার্ডিনালিটি থেকে নেওয়া যেতে পারে। এটি শ্মিট, হুন, ডবার্টিন, গুডিয়ারল এবং হ্যান্ডেলম্যানের পূর্বে উল্লিখিত কাজগুলি থেকে অনুসরণ করে যে উপরের তিনটি নেতিবাচক ফলাফলের মধ্যে এ 2 বাউন্ড সর্বোত্তম। যেমন এ. 2 বাউন্ড থেকে বোঝা যায়, অসীম সংমিশ্রণ জড়িত। ব্যবহৃত নীতিটি হল কুরাটোভস্কির মুক্ত সেট উপপাদ্য, যা 1951 সালে প্রথম প্রকাশিত হয়। এখানে শুধুমাত্র n = 2 ব্যবহার করা হয়েছে। উপরের ফলাফলের সেমিল্যাটিস অংশটি একটি অসীম সেমিল্যাটিস-তাত্ত্বিক বিবৃতি ইউ. আর. পি (ইউনিফর্ম রিফাইনমেন্ট প্রপার্টি)-এর মাধ্যমে অর্জন করা হয়। যদি আমরা শ্মিটের সমস্যাটিকে ভুল প্রমাণ করতে চাই, তবে ধারণাটি হল (1) প্রমাণ করা যে যে কোনও সাধারণীকৃত বুলিয়ান সেমিল্যাটিস ইউ. আর. পি-কে সন্তুষ্ট করে (যা সহজ), (2) যে ইউ. আর. পি একটি দুর্বলভাবে বিতরণমূলক সমরূপতার অধীনে সমরূপ চিত্রের অধীনে সংরক্ষিত রয়েছে (যা সহজও), এবং (3) যে কার্ডিনালিটির একটি বিতরণমূলক (0)-সমতুল্য রয়েছে যা ইউ. আর. পি-কে সন্তুষ্ট করে না (যা কঠিন, এবং কুরাটোস্কির মুক্ত সেট উপপাদ্য ব্যবহার করে)। গাণিতিকভাবে, উপরের উপপাদ্যটির গঠন নিম্নরূপ বর্ণনা করা যেতে পারে। একটি সেটের জন্য, আমরা জেনারেটর 1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত ভেক্টর স্পেস E (ω) এবং i <2-এর জন্য এই, x, এবং ω-এ x, এবং ω-এর যে কোনও x-এর জন্য a0, x + a1, x = 1, a0, x ω0, এবং a1, x ω0 সম্পর্ক বিবেচনা করি। ডাইমেনশন গ্রুপ তত্ত্বের একটি স্কোলেমাইজেশন ব্যবহার করে, আমরা E (ω)-কে একটি ডাইমেনশন ভেক্টর স্পেস F (ω)-এ কার্যকরীভাবে এম্বেড করতে পারি। উপরের উপপাদ্যটির ভেক্টর স্পেস পাল্টা উদাহরণ হল G = F (ω), কমপক্ষে α2 উপাদান সহ যে কোনও সেটের জন্য। এই পাল্টা উদাহরণটি পরবর্তীকালে প্লোসিকা এবং টুমা দ্বারা একটি সরাসরি সেমিল্যাটিস নির্মাণে পরিবর্তিত হয়েছে। a, b, c-এর জন্য a, b, c-এর জন্য, বৃহত্তর সেমিল্যাটিস R (S) হল নতুন উপাদান t (a, b, c) দ্বারা স্বাধীনভাবে উৎপন্ন হওয়া (a, b, c)-সেমিল্যাটিস, যাতে c ≤ a ≤ b, শুধুমাত্র c = t (a, b, c) ≤ t (b, a, c) এবং t (a, b, c) ≤ a সম্পর্কের সাপেক্ষে। এই গঠনটি পুনরাবৃত্তি করলে S-এর মুক্ত বন্টন এক্সটেনশন পাওয়া যায়। এখন, একটি সেটের জন্য ω, L (ω) হল জেনারেটর 1 এবং a দ্বারা সংজ্ঞায়িত (ω, 0)-সেমিল্যাটিস। পরিশেষে, G (ω) = D (L (ω)) রাখুন। বেশিরভাগ সম্পর্কিত কাজে, নিম্নলিখিত অভিন্ন পরিশোধন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয়। এটি 1998 এবং 1999 সালে ওয়েহ্রুং দ্বারা প্রবর্তিত একটি পরিবর্তন। সংজ্ঞা (প্লোসিকা, টুমা এবং ওয়েহ্রুং 1998)। আমরা বলি যে দুর্বল অভিন্ন পরিশোধন বৈশিষ্ট্য ডাব্লু. ইউ. আর. পি ই-তে ধরে রাখে, যদি সমস্ত পরিবার এবং এস-এর উপাদানগুলির জন্য এমন হয় যে আই-এর সমস্ত আই-এর জন্য আই বাই = ই হয়, তবে এস-এর উপাদানগুলির একটি পরিবার রয়েছে যাতে সম্পর্কগুলি রয়েছে; সি আই, জে ≤ আই, বিজে, সি আই, জে ≤ জে বাই = ই, সি আই, কে ≤ সি আই, জে ≤ সি আই, কে আই-এর সমস্ত আই, জে, কে-এর জন্য ধরে রাখে। আমরা বলি যে এস ডাব্লু. ইউ. আর. পি-কে সন্তুষ্ট করে, যদি ডাব্লু. ইউ. আর. পি এস-এর প্রতিটি উপাদান ধরে রাখে। ওয়েহ্রুং-এর মাত্রা ভেক্টর স্পেসের উপর উল্লিখিত কাজের উপর ভিত্তি করে, প্লোসিকা এবং টুমা প্রমাণ করেছে যে ডাব্লু. ইউ. আর. পি জি (ω)-তে ধরে রাখে না, কমপক্ষে α2 কার্ডিনালিটির কোনও সেটের জন্য। তাই জি (ω) শ্মিটের শর্ত পূরণ করে না। এখানে উল্লিখিত সমস্ত নেতিবাচক উপস্থাপনা ফলাফল সর্বদা কিছু অভিন্ন পরিশোধন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, যার মধ্যে প্রথমটি ডাইমেনশন ভেক্টর স্পেস সম্পর্কে। যাইহোক, এই নেতিবাচক ফলাফলগুলিতে ব্যবহৃত সেমিল্যাটিসগুলি তুলনামূলকভাবে জটিল। 1998 সালে প্লোসিকা, টুমা এবং ওয়েহ্রুং দ্বারা প্রমাণিত নিম্নলিখিত ফলাফলটি আরও আকর্ষণীয়, কারণ এটি প্রতিনিধিত্বযোগ্য সেমিলেটিসের উদাহরণ দেখায় যা শ্মিটের শর্তকে সন্তুষ্ট করে না। আমরা এফ. ভি. (ω) দ্বারা যে কোনও ধরনের ভি-এর জালের জন্য ভি-তে ω-এর উপর মুক্ত জালকে নির্দেশ করি। উপপাদ্য (প্লোসিকা, টুমা এবং ওয়েহ্রুং 1998)। সেমিল্যাটিস কনক এফভি (ω) ডাব্লুইউআরপি-কে সন্তুষ্ট করে না, কার্ডিনালিটির যে কোনও সেটের জন্য কমপক্ষে এ 2 এবং ল্যাটিসের যে কোনও অ-বিতরণকারী বৈচিত্র্য ভি-এর জন্য। ফলস্বরূপ, কনক এফভি (ω) শ্মিটের শর্ত পূরণ করে না। 2001 সালে টুমা এবং ওয়েহ্রুং দ্বারা প্রমাণিত হয় যে, কোন জাল এল-এর জন্য পারম্যুটেবল কংগ্রুয়েন্স সহ কনক এফভি (ω) কনক এল-এর সমতুল্য নয়। ডাব্লু. ইউ. আর. পি-র সামান্য দুর্বলতা ব্যবহার করে, এই ফলাফলটি 2007 সালে রুজিচকা, টুমা এবং ওয়েহ্রুং দ্বারা ক্রমবর্ধমান সঙ্গতি সহ নির্বিচারে বীজগণিতে প্রসারিত করা হয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যদি ω-এর কমপক্ষে α2 উপাদান থাকে, তবে কনক এফভি (ω) কোনও গোষ্ঠীর স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী জাল বা কোনও মডিউলের উপ-মডিউল জালের সমরূপ নয়। সিএলপি সমাধানঃ ক্ষয় লেমা নিম্নলিখিত সাম্প্রতিক উপপাদ্যটি সিএলপি সমাধান করে। উপপাদ্য (ওয়েহ্রুং 2007)। সেমি ল্যাটিস জি (ω) কোনও ল্যাটিস এল-এর জন্য কনক এল-এর সমতুল্য নয়, যখনই সেট ω-এ কমপক্ষে αω + 1 উপাদান থাকে। সুতরাং, সিএলপি-র পাল্টা উদাহরণ প্রায় দশ বছর ধরে জানা ছিল, এটা ঠিক যে কেউ জানত না কেন এটি কাজ করে! উপরের উপপাদ্যটির পূর্ববর্তী সমস্ত ফলাফলের মধ্যে কোনও না কোনও ধরনের সংযোগের বিন্যাসযোগ্যতা ব্যবহার করা হয়েছে। অসুবিধা ছিল অ-সঙ্গতিপূর্ণ-পারমযোগ্য জালগুলির সঙ্গতিপূর্ণ জালগুলিতে পর্যাপ্ত কাঠামো খুঁজে পাওয়া। আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যার উপর 'প্যারিটি ফাংশন' কে ε দ্বারা চিহ্নিত করব, অর্থাৎ যে কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা n-এর জন্য ε (n) = n মড 2। আমরা L-কে এমন একটি বীজগণিত হিসাবে ধরে নিই যার একটি অর্ধবৃত্তাকার (L, ′) কাঠামো রয়েছে যাতে L-এর প্রতিটি সঙ্গতিও ক্রিয়াকলাপের জন্য একটি সঙ্গতি হয়। আমরা রাখি এবং আমরা কন্ক্যু এল দ্বারা নির্দেশ করি সমস্ত প্রধান কংগ্রুয়েন্স দ্বারা উত্পন্ন কন্ক এল-এর (ষ্ণ, 0)-সাবসমিলেটিস θ (u, v) (= L-এর সর্বনিম্ন কংগ্রুয়েন্স যা u এবং v-কে চিহ্নিত করে), যেখানে (u, v) U × U-এর অন্তর্গত। আমরা L. br/> দ্য ইরোশন লেমা (ওয়েহ্রুং 2007)-তে সমস্ত u, v-এর জন্য θ + (u, v) = θ রাখি। ধরা যাক, L-এ x0, x1 এবং একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য, L-এর একটি সীমাবদ্ধ উপসেট হতে হবে। তারপর জে <2-এর জন্য এমন সঙ্গতি রয়েছে, যাতে (গাণিতিক যুক্তিতে প্রথম-ক্রম রেজোলিউশনের সাথে ক্ষীণ আনুষ্ঠানিক মিল লক্ষ্য করুন। এই সাদৃশ্যকে কি আরও এগিয়ে নিয়ে যাওয়া যেতে পারে?) উপরের উপপাদ্যটির প্রমাণ সেমি-ল্যাটিসের কংগ্রুয়েন্স ল্যাটিসের জন্য একটি কাঠামো উপপাদ্য স্থাপন করে চলে-যথা, ইরোশন লেমা, মুক্ত বিতরণমূলক এক্সটেনশন জি (ω)-এর জন্য অ-কাঠামো উপপাদ্যের বিরুদ্ধে, প্রধানটিকে বাষ্পীভবন লেমা বলা হয়। যদিও পরেরটি প্রযুক্তিগতভাবে কঠিন, তবে কিছু অর্থে এগুলি অনুমানযোগ্য। সম্পূর্ণ বিপরীতভাবে, ইরোশন লেমার প্রমাণ প্রাথমিক এবং সহজ, তাই এটি সম্ভবত তার বিবৃতির অদ্ভুততা যা ব্যাখ্যা করে যে এটি এত দিন ধরে লুকিয়ে রাখা হয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, উপরের উপপাদ্যটিতে আরও প্রমাণিত হয়েছেঃ যে কোনও বীজগণিতের জন্য একক সহ সংযুক্ত-সমতুল্য কাঠামো সহ L এবং কমপক্ষে αω + 1 উপাদান সহ যে কোনও সেটের জন্য, কোনও দুর্বলভাবে বিতরণমূলক সমরূপতা নেই। বিশেষ করে, সিএলপি ছিল জাল তত্ত্বের সমস্যা নয়, বরং সর্বজনীন বীজগণিতের সমস্যা-আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, সেমিল্যাটিস তত্ত্ব! এই ফলাফলগুলি একটি অভিন্ন পরিশোধন বৈশিষ্ট্যের পরিপ্রেক্ষিতেও অনুবাদ করা যেতে পারে, যা সিএলআর দ্বারা ওয়েহ্রুং-এর কাগজে সিএলআর-এর সমাধান উপস্থাপন করে, যা ডব্লিউইউআরপি-র তুলনায় লক্ষণীয়ভাবে আরও জটিল। পরিশেষে, রুজিচকা দ্বারা কার্ডিনালিটি বাউন্ড αω + 1-কে সর্বোত্তম বাউন্ড α2-এ উন্নত করা হয়েছে। উপপাদ্য (2008)। সেমি ল্যাটিস জি (ω) কোনও ল্যাটিস এল-এর জন্য কনক এল-এর সমতুল্য নয়, যখনই সেট ω-এ কমপক্ষে α2 উপাদান থাকে। রুজিচকার প্রমাণ ওয়েহ্রুংয়ের প্রমাণের মূল লাইনগুলি অনুসরণ করে, তবে এটি কুরাটোভস্কির মুক্ত সেট উপপাদ্যের একটি বর্ধিতকরণের প্রবর্তন করে, যাকে মুক্ত গাছের অস্তিত্ব বলা হয়, যা এটি ক্ষয় লেমার সাথে জড়িত চূড়ান্ত যুক্তিতে ব্যবহার করে। ডিস্ট্রিবিউটিভ সেমিলেটিসের জন্য একটি ইতিবাচক উপস্থাপনা ফলাফল সিএলপি-র জন্য নেতিবাচক সমাধানের প্রমাণ দেখায় যে ল্যাটিসের কম্প্যাক্ট কংগ্রুয়েন্স দ্বারা ডিস্ট্রিবিউটিভ সেমিলেটিসের প্রতিনিধিত্ব করার সমস্যা ইতিমধ্যে সেমিলেটিসের কংগ্রুয়েন্স ল্যাটিসের জন্য উপস্থিত হয়। আংশিকভাবে সাজানো সেটের কাঠামো অনুরূপ সমস্যা সৃষ্টি করবে কিনা এই প্রশ্নের উত্তর নিম্নলিখিত ফলাফল দ্বারা দেওয়া হয়। উপপাদ্য (ওয়েহ্রুং 2008)। (1) x ≤ y বোঝায় যে, (2) (x, z) ≤ μ (x, y) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (4) পি-তে x-এর জন্য, যোগ-সমান্তরাল হিসাবে, সমস্ত উপাদান দ্বারা এস উৎপন্ন হয়। উপরন্তু, যদি এস-এর একটি বৃহত্তম উপাদান থাকে, তবে পি-কে একটি বৃহত্তম উপাদান সহ একটি জাল হিসাবে ধরে নেওয়া যেতে পারে। এটি যাচাই করা কঠিন নয় যে উপরের শর্তগুলি (1)-(4) এস-এর বিতরণকে বোঝায়, তাই উপরের ফলাফলটি (0,0)-সেমিলেটিসের জন্য বিতরণের একটি বৈশিষ্ট্য দেয়। উদ্ধৃতি ল্যাটিস তত্ত্ব গাণিতিক সমস্যা