Mock modular form
গণিতে, একটি মক মডুলার ফর্ম হল একটি সুরেলা দুর্বল মাস ফর্মের হোলোমরফিক অংশ, এবং একটি মক থিটা ফাংশন মূলত ওজনের একটি মক মডুলার ফর্ম। মক থিটা ফাংশনের প্রথম উদাহরণগুলি শ্রীনিবাস রামানুজন জি. এইচ. হার্ডিকে লেখা তাঁর শেষ 1920 সালের চিঠিতে এবং তাঁর হারিয়ে যাওয়া নোটবুকে বর্ণনা করেছিলেন। স্যান্ডার জওয়েগার্স আবিষ্কার করেন যে, তাদের মধ্যে কিছু অ-হলোমর্ফিক ফাংশন যোগ করা তাদের সুরেলা দুর্বল মাস আকারে পরিণত করে। ইতিহাস 1920 সালের 12ই জানুয়ারি হার্ডিকে লেখা রামানুজনের চিঠিতে ফাংশনের 17টি উদাহরণ তালিকাভুক্ত করা হয় যাকে তিনি মক থিটা ফাংশন বলে অভিহিত করেন এবং তাঁর হারিয়ে যাওয়া নোটবুকে আরও বেশ কয়েকটি উদাহরণ রয়েছে। (রামানুজন "থিটা ফাংশন" শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন যা আজ একটি মডুলার ফর্ম বলা হবে।) রামানুজন উল্লেখ করেছিলেন যে, কিউএসপি-তে তাদের একটি অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ রয়েছে, যা ওজনের মডুলার ফর্মের মতো, সম্ভবত কিউএসপি-তে খুঁটির সাথে, তবে "সাধারণ" থিটা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যায় না। তিনি অনুরূপ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফাংশনগুলিকে "মক থিটা ফাংশন" বলে অভিহিত করেছিলেন। জ্বেগার্স পরে দুর্বল মাস ফর্মের সাথে মক থিটা ফাংশনের সংযোগ আবিষ্কার করেন। রামানুজন তাঁর মক থিটা ফাংশনের সাথে একটি অর্ডার যুক্ত করেছিলেন, যা স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। জ্বেগার্সের কাজের আগে, পরিচিত মক থিটা ফাংশনের ক্রমের মধ্যে 3,5,6,7,8,10 অন্তর্ভুক্ত ছিল। রামানুজনের ক্রম সম্পর্কে ধারণাটি পরে ওজনের হারমোনিক মাস ফর্মের নেবেন্টিপাস চরিত্রের পরিবাহীর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে প্রমাণিত হয় যা রামানুজনের মক থিটা ফাংশনকে তাদের হোলোমরফিক অনুমান হিসাবে স্বীকার করে। পরবর্তী কয়েক দশকে, ওয়াটসন, অ্যান্ড্রুজ, সেলবার্গ, হিকারসন, চোই, ম্যাকিনটশ এবং অন্যান্যরা রামানুজনের মক থিটা ফাংশনগুলি অধ্যয়ন করেছিলেন, যারা তাদের সম্পর্কে রামানুজনের বক্তব্যকে প্রমাণ করেছিলেন এবং আরও বেশ কয়েকটি উদাহরণ এবং পরিচয় খুঁজে পেয়েছিলেন। (বেশিরভাগ "নতুন" পরিচয় এবং উদাহরণ ইতিমধ্যে রামানুজনের জানা ছিল এবং তার হারিয়ে যাওয়া নোটবুকে আবার আবির্ভূত হয়েছিল।) 1936 সালে, ওয়াটসন আবিষ্কার করেন যে মডুলার গ্রুপের উপাদানগুলির ক্রিয়ার অধীনে, ক্রম 3 মক থিটা ফাংশনগুলি প্রায় ওজনের মডুলার রূপের মতো রূপান্তরিত হয় (q এর উপযুক্ত শক্তি দ্বারা গুণিত হয়), তবে কার্যকরী সমীকরণে "ত্রুটি পদ" রয়েছে, সাধারণত স্পষ্ট ইন্টিগ্রাল হিসাবে দেওয়া হয়। যাইহোক, বহু বছর ধরে মক থিটা ফাংশনের কোনও ভাল সংজ্ঞা ছিল না। 2001 সালে এটি পরিবর্তিত হয় যখন জ্বেগার্স অ-হলোমর্ফিক মডুলার ফর্ম, লার্চ যোগফল এবং অনির্দিষ্ট থিটা সিরিজের সাথে সম্পর্ক আবিষ্কার করেন। ওয়াটসন এবং অ্যান্ড্রুজের পূর্ববর্তী কাজ ব্যবহার করে জ্বেগার্স দেখিয়েছিলেন যে, 3,5 এবং 7 ক্রমের মক থিটা ফাংশনকে ওজনের একটি দুর্বল মাস ফর্মের যোগফল এবং একটি ফাংশন যা কিউএসপি-তে শেষ হওয়া ভূগণিতের সাথে আবদ্ধ হিসাবে লেখা যেতে পারে। দুর্বল মাস ফর্মের হাইপারবোলিক ল্যাপলেসিয়ানের অধীনে আইগেনভ্যালু রয়েছে (ওজনের হোলোমর্ফিক মডুলার ফর্মগুলির মতো একই মান); তবে, এটি কুস্পসের কাছাকাছি দ্রুত দ্রুত বৃদ্ধি পায়, তাই এটি মাস তরঙ্গ ফর্মগুলির জন্য স্বাভাবিক বৃদ্ধির শর্তকে সন্তুষ্ট করে না। জ্বেগার্স এই ফলাফলকে তিনটি ভিন্ন উপায়ে প্রমাণ করেছেন, মক থিটা ফাংশনকে হেকের ডাইমেনশন 2-এর অনির্দিষ্ট ল্যাটিসের থিটা ফাংশন এবং অ্যাপেল-লার্চ যোগফল এবং মেরোমর্ফিক জ্যাকোবি ফর্মের সাথে সম্পর্কিত করে। জ্বেগার্সের মৌলিক ফলাফল দেখায় যে মক থিটা ফাংশনগুলি ওজনের প্রকৃত বিশ্লেষণাত্মক মডুলার ফর্মগুলির "হোলোমর্ফিক অংশ"। এটি থিটা ফাংশনগুলিকে উপহাস করার জন্য মডুলার ফর্মগুলি সম্পর্কে অনেক ফলাফল প্রসারিত করার অনুমতি দেয়। বিশেষত, মডুলার ফর্মগুলির মতো, মক থিটা ফাংশনগুলি নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ-মাত্রিক স্থানে থাকে, যা তাদের মধ্যে অনেক পরিচয়ের দীর্ঘ এবং শক্ত প্রমাণকে রুটিন রৈখিক বীজগণিতে হ্রাস করে। প্রথমবারের মতো মক থিটা ফাংশনের অসীম সংখ্যক উদাহরণ তৈরি করা সম্ভব হয়েছিল; এই কাজের আগে মাত্র 50টি উদাহরণ জানা ছিল (যার বেশিরভাগই রামানুজন প্রথম খুঁজে পেয়েছিলেন)। জ্বেগার্সের ধারণাগুলির আরও প্রয়োগ হিসাবে, ক্যাথরিন ব্রিঙ্গম্যান এবং কেন ওনো দেখিয়েছেন যে রজার্স-ফাইন মৌলিক হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ থেকে উদ্ভূত নির্দিষ্ট কিউ-সিরিজ ওজন হারমোনিক দুর্বল মাস ফর্মের হোলোমর্ফিক অংশগুলির সাথে সম্পর্কিত এবং দেখিয়েছেন যে জর্জ অ্যান্ড্রুজ এবং লেইলা ড্রাগনেট দ্বারা অধ্যয়ন করা অর্ডার 3 মক থিটা ফাংশন এফ (কিউ) এর সহগগুলির জন্য অ্যাসিম্পটোটিক সিরিজ সহগগুলিতে একত্রিত হয়। বিশেষত মক থিটা ফাংশনে মডুলার গ্রুপের কিউএসপি-তে অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ রয়েছে, যা উপরের অর্ধ-সমতলে কাজ করে, যা কিউএসপি-তে মেরু সহ ওজনের মডুলার রূপের অনুরূপ। সংজ্ঞা একটি মক মডুলার ফর্মকে একটি সুরেলা দুর্বল মাস ফর্মের "হোলোমরফিক অংশ" হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হবে। একটি ওজন k ঠিক করুন, সাধারণত 2k ইন্টিগ্রাল দিয়ে। এস. এল. 2 (জেড)-এর একটি উপগোষ্ঠী নির্ধারণ করুন (অথবা যদি কে অর্ধ-ইন্টিগ্রাল হয় তবে মেটাপ্লেক্টিক গোষ্ঠীর) এবং একটি অক্ষর নির্ধারণ করুন। এই অক্ষরের জন্য একটি মডুলার ফর্ম f এবং এই গ্রুপটি k একটি দুর্বল মাস ওজন k এর উপাদানগুলির অধীনে রূপান্তরিত হয় যা উপরের অর্ধেক সমতলে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন যা ওজন k এর মডুলার ফর্মের মতো রূপান্তরিত হয় এবং ওজন k ল্যাপলেসিয়ান অপারেটরের একটি আইগেন ফাংশন, এবং যদি এর আইগেনভ্যালু হয় তবে তাকে হারমোনিক বলা হয়। এটি হলোমর্ফিক ওজন কে মডুলার ফর্মগুলির আইগেনভ্যালু, তাই এগুলি সবই সুরেলা দুর্বল মাস ফর্মগুলির উদাহরণ। (একটি মাস ফর্ম একটি দুর্বল মাস ফর্ম যা কুস্পসে দ্রুত হ্রাস পায়।) সুতরাং একটি সুরেলা দুর্বল মাস ফর্ম ডিফারেনশিয়াল অপারেটর দ্বারা ধ্বংস করা হয় যদি F কোনও সুরেলা দুর্বল মাস ফর্ম হয় তবে দ্বারা প্রদত্ত ফাংশন g হল হোলোমর্ফিক এবং ওজন k এর মডুলার ফর্মের মতো রূপান্তরিত হয়, যদিও এটি কুস্পসে হোলোমর্ফিক নাও হতে পারে। যদি আমরা একই চিত্র g সহ অন্য কোনও ফাংশন g * খুঁজে পাই, তবে F − g * হলোমর্ফিক হবে। এই ধরনের ফাংশন ইন্টিগ্রেশন দ্বারা ডিফারেনশিয়াল অপারেটরকে উল্টে দিয়ে দেওয়া হয়; উদাহরণস্বরূপ আমরা সংজ্ঞায়িত করতে পারি যে মূলত অসম্পূর্ণ গামা ফাংশন কোথায়। ইন্টিগ্রাল একত্রিত হয় যখনই g-এর cusp i φ-তে শূন্য থাকে, এবং অসম্পূর্ণ গামা ফাংশনটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার মাধ্যমে বাড়ানো যেতে পারে, তাই এই সূত্রটি F-এর হোলোমরফিক অংশ g * সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে এমনকি যখন g i φ-তে মেরোমর্ফিক হয়, যদিও এর জন্য কিছু যত্ন প্রয়োজন যদি k 1 হয় বা ইন্টিগ্রাল না হয় বা যদি n = 0 হয়। ডিফারেনশিয়াল অপারেটরের বিপরীতটি অনন্য থেকে অনেক দূরে কারণ আমরা তার চিত্রকে প্রভাবিত না করে g *-এর সাথে যে কোনও সমরূপ ফাংশন যুক্ত করতে পারি এবং ফলস্বরূপ g * ফাংশনটি  তাই গ্রুপের অধীনে অপরিবর্তনীয় হতে হবে না। এইচ = এফ − জি * ফাংশনটিকে এফ-এর হোলোমরফিক অংশ বলা হয়। একটি মক মডুলার ফর্মকে কিছু সুরেলা দুর্বল মাস ফর্ম এফ-এর হোলোমরফিক অংশ এইচ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। সুতরাং মক মডুলার ফর্ম এইচ-এর স্থান থেকে সুরেলা দুর্বল মাস ফর্মগুলির একটি সাবস্পেসে একটি আইসোমরফিজম রয়েছে। মক মডুলার ফর্ম এইচ হলমর্ফিক তবে বেশ মডুলার নয়, অন্যদিকে এইচ + জি * মডুলার তবে বেশ হলমর্ফিক নয়। ওজন k-এর মক মডুলার ফর্মগুলির স্পেসে সাবস্পেস হিসাবে ওজন k-এর প্রায় মডুলার ফর্মগুলির ("মডুলার ফর্ম যা কিউএসপি-তে মেরোমর্ফিক হতে পারে") স্থান রয়েছে। ভাগফলটি 2−k ওজনের হোলোমর্ফিক মডুলার ফর্মগুলির স্থানের সমতুল্য। একটি মক মডুলার ফর্ম এইচ-এর সাথে সম্পর্কিত ওজন-(2−কে) মডুলার ফর্ম জি-কে এর ছায়া বলা হয়। বিভিন্ন মক থিটা ফাংশনের জন্য একই ছায়া থাকা বেশ সাধারণ। উদাহরণস্বরূপ, রামানুজন দ্বারা আবিষ্কৃত ক্রম 5-এর 10টি মক থিটা ফাংশন 5-এর দুটি গ্রুপে পড়ে, যেখানে প্রতিটি গ্রুপের সমস্ত ফাংশনের একই ছায়া থাকে (একটি ধ্রুবক দ্বারা গুণন পর্যন্ত)। ডন জাগিয়ার একটি মক থিটা ফাংশনকে q = e2i গুণ ওজনের একটি মক মডুলার ফর্মের যুক্তিসঙ্গত শক্তি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন যার ছায়া একটি ধনাত্মক যুক্তিসঙ্গত κ এবং একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন ε এর জন্য ফর্মের একটি থিটা সিরিজ। (এই ধরনের যে কোনও থিটা সিরিজ হল ওজনের একটি মডুলার রূপ)। q-এর যুক্তিসঙ্গত শক্তি একটি ঐতিহাসিক দুর্ঘটনা। বেশিরভাগ মক মডুলার ফর্ম এবং দুর্বল মাস ফর্মের কিউএসপি-তে দ্রুত বৃদ্ধি হয়। এই শর্ত আরোপ করা সাধারণ যে তারা কিউএসপি-তে সর্বাধিক দ্রুত বৃদ্ধি পায় (যা মক মডুলার ফর্মগুলির জন্য মানে তারা কিউএসপি-তে "মেরোমর্ফিক")। মক মডুলার ফর্মগুলির (প্রদত্ত ওজন এবং গোষ্ঠীর) স্থান যার বৃদ্ধি কিউএসপি-তে কিছু নির্দিষ্ট সূচকীয় ফাংশন দ্বারা আবদ্ধ থাকে তা সীমাবদ্ধ-মাত্রিক। অ্যাপেল-লার্চ যোগফল অ্যাপেল-লার্চ যোগফল, ল্যামবার্ট সিরিজের একটি সাধারণীকরণ, প্রথম পল এমিল অ্যাপেল এবং ম্যাথিয়াস লার্চ দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। ওয়াটসন অর্ডার 3 মক থিটা ফাংশনগুলি অ্যাপেল-লার্চ যোগফলের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করে অধ্যয়ন করেছিলেন এবং জওয়েগার্স এগুলি ব্যবহার করে দেখিয়েছিলেন যে মক থিটা ফাংশনগুলি মূলত মক মডুলার ফর্ম। অ্যাপেল-লার্চ সিরিজ হল যেখানে এবং পরিবর্তিত সিরিজ যেখানে এবং y = Im () এবং নিম্নলিখিত রূপান্তর বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে অন্য কথায়, পরিবর্তিত অ্যাপেল-লার্চ সিরিজ একটি মডুলার ফর্মের মতো রূপান্তরিত হয়। যেহেতু মক থিটা ফাংশনগুলি অ্যাপেল-লার্চ সিরিজের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে, এর অর্থ হল মক থিটা ফাংশনগুলি মডুলার ফর্মের মতো রূপান্তরিত হয় যদি তাদের সাথে একটি নির্দিষ্ট অ-বিশ্লেষণাত্মক সিরিজ যুক্ত থাকে। অনির্দিষ্ট থিটা সিরিজ জর্জ অ্যান্ড্রুজ দেখিয়েছেন যে রামানুজনের পঞ্চম ক্রমের বেশ কয়েকটি মক থিটা ফাংশন কোটিয়েন্টের সমান যেখানে θ () ওজনের একটি মডুলার রূপ এবং θ () একটি অনির্দিষ্ট বাইনারি চতুর্ভুজ রূপের একটি থিটা ফাংশন, এবং ডিন হিকারসন সপ্তম ক্রমের মক থিটা ফাংশনের জন্য অনুরূপ ফলাফল প্রমাণ করেছেন। জ্বেগার্স দেখিয়েছেন যে কীভাবে প্রকৃত বিশ্লেষণাত্মক মডুলার ফর্ম তৈরি করতে অনির্দিষ্ট থিটা ফাংশনগুলি সম্পূর্ণ করা যায় এবং মক থিটা ফাংশন এবং দুর্বল মাস তরঙ্গ ফর্মগুলির মধ্যে সম্পর্কের আরেকটি প্রমাণ দিতে এটি ব্যবহার করেন। মেরোমর্ফিক জ্যাকোবি ফর্ম জর্জ অ্যান্ড্রুজ পর্যবেক্ষণ করেছেন যে রামানুজনের পঞ্চম ক্রমের কিছু মক থিটা ফাংশন জ্যাকোবির থিটা ফাংশনের কোটিয়েন্টের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। জ্বেগার্স এই ধারণাটি মেরোমর্ফিক জ্যাকোবি ফর্মের ফুরিয়ার সহগ হিসাবে মক থিটা ফাংশনগুলি প্রকাশ করতে ব্যবহার করেছিলেন। অ্যাপ্লিকেশন রুথ লরেন্স এবং ডন জাগিয়ার 3-ম্যানিফোল্ডের কোয়ান্টাম অপরিবর্তনীয়গুলির সাথে মক থিটা ফাংশন সম্পর্কিত। এ. এম. সেমিখাতভ, এ. তাওরমিনা এবং আই. ইউ টিপুনিন মক থিটা ফাংশনকে অসীম-মাত্রিক লাই সুপারঅ্যালজেব্রা এবং দ্বি-মাত্রিক কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত করেছেন। জে. ট্রুস্ট দেখিয়েছেন যে মক মডুলার ফর্মগুলির মডুলার সম্পূর্ণতা অবিচ্ছিন্ন বর্ণালী সহ কনফরমাল ফিল্ড তত্ত্বের উপবৃত্তাকার জেনেরা হিসাবে উদ্ভূত হয়। অম্ব্রাল মুনশাইন তত্ত্বে মক থিটা ফাংশন দেখা যায়। আতিশ দাভোলকর, সমীর মূর্তি এবং ডন জাগিয়ার দেখিয়েছেন যে মক মডুলার রূপগুলি এন = 4 স্ট্রিং তত্ত্বের কোয়ান্টাম ব্ল্যাকহোলের অবক্ষয়ের সাথে সম্পর্কিত। উদাহরণস্বরূপ, ওজন k-এর যে কোনও মডুলার ফর্ম (সম্ভবত শুধুমাত্র কিউএসপি-তে মেরোমর্ফিক) হল ছায়া 0 সহ ওজন k-এর একটি মক মডুলার ফর্ম। ওজন 2 এবং স্তর 1-এর কোয়াসিমোডুলার আইজেনস্টাইন সিরিজ হল ওজন 2-এর একটি মক মডুলার রূপ, যার ছায়া একটি ধ্রুবক। এর অর্থ হল এটি ওজন 2 (যেখানে = x + iy) এর মডুলার রূপের মতো রূপান্তরিত হয়। কাল্পনিক দ্বিঘাত ক্ষেত্রের হুরউইৎজ শ্রেণী সংখ্যা এইচ (এন)-এর ফুরিয়ার সহগগুলির সঙ্গে ডন জাগিয়ার যে ফাংশনটি অধ্যয়ন করেছেন, তা হল ওজন, স্তর 4 এবং ছায়ার একটি মক মডুলার রূপ σqn2। সংশ্লিষ্ট দুর্বল মাস তরঙ্গ রূপটি হল যেখানে y = Im (), q = e2i। মক থিটা ফাংশন হল ওজনের মক মডুলার রূপ যার ছায়া একটি ইউনারি থিটা ফাংশন, যা q এর যুক্তিসঙ্গত শক্তি দ্বারা গুণিত হয় (ঐতিহাসিক কারণে)। জ্বেগার্সের কাজ তাদের নির্মাণের জন্য একটি সাধারণ পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করার আগে, বেশিরভাগ উদাহরণ মৌলিক হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন হিসাবে দেওয়া হয়েছিল, তবে এটি মূলত একটি ঐতিহাসিক দুর্ঘটনা, এবং বেশিরভাগ মক থিটা ফাংশনের এই ধরনের ফাংশনের ক্ষেত্রে কোনও পরিচিত সহজ অভিব্যক্তি নেই। "তুচ্ছ" মক থিটা ফাংশনগুলি হল ওজনের (হোলোমরফিক) মডুলার রূপ, যা সেরে এবং স্টার্ক দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছিল, যারা দেখিয়েছিলেন যে এগুলি সবই 1-মাত্রিক জালের থিটা ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে। নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে q-পোচহ্যামার চিহ্ন (a; q) n ব্যবহার করা হয়েছে যা এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছেঃ অর্ডার 2 কিছু অর্ডার 2 মক থিটা ফাংশন ম্যাকিনটশ দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। রামানুজন তাঁর হারিয়ে যাওয়া নোটবুকে এই ফাংশনটি খুঁজে পেয়েছিলেন। এগুলি অর্ডার 3 দ্বারা অর্ডার-8 ফাংশন বিভাগে তালিকাভুক্ত ফাংশনগুলির সাথে সম্পর্কিত রামানুজন হার্ডিকে লেখা তাঁর চিঠিতে চারটি অর্ডার-3 মক থিটা ফাংশন উল্লেখ করেছেন এবং তাঁর হারিয়ে যাওয়া নোটবুকে আরও তিনটি তালিকাভুক্ত করেছেন, যা জি. এন. ওয়াটসন পুনরায় আবিষ্কার করেছিলেন। পরেরটি রামানুজনের দ্বারা বর্ণিত তাদের মধ্যে সম্পর্কের প্রমাণ দেয় এবং মডুলার গ্রুপের উপাদানগুলির অধীনে তাদের রূপান্তরগুলি অ্যাপেল-লার্ক যোগফল হিসাবে প্রকাশ করে খুঁজে পায়। ড্রাগনেট তাদের সহগের অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ বর্ণনা করেছেন। জ্বেগার্স এগুলিকে সুরেলা দুর্বল মাস রূপের সাথে সম্পর্কিত করেছিলেন। নাথান ফাইনের মনোগ্রাফটিও দেখুন। রামানুজনের দেওয়া সাতটি অর্ডার-3 মক থিটা ফাংশন হল, । । । । । । এর মধ্যে প্রথম চারটি একই ছায়া (একটি ধ্রুবক পর্যন্ত) সহ একটি গোষ্ঠী গঠন করে এবং শেষ তিনটিও তাই করে। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, ফাংশনগুলি নিম্নলিখিত সম্পর্কগুলিকে সন্তুষ্ট করে (রামানুজন দ্বারা আবিষ্কৃত এবং ওয়াটসন দ্বারা প্রমাণিত): অর্ডার 5 রামানুজন হার্ডিকে তাঁর 1920 সালের চিঠিতে অর্ডার 5-এর দশটি মক থিটা ফাংশন লিখেছিলেন এবং তাদের মধ্যে কিছু সম্পর্ক উল্লেখ করেছিলেন যা ওয়াটসন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। তাঁর হারিয়ে যাওয়া নোটবুকে তিনি এই ফাংশনগুলির সাথে সম্পর্কিত আরও কিছু পরিচয় উল্লেখ করেছেন, যা নকল থিটা অনুমানের সমতুল্য, যা হিকারসন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। অ্যান্ড্রুজ ওজনের মডুলার ফর্ম দ্বারা একটি অনির্দিষ্ট থিটা সিরিজের ভাগফল হিসাবে এই ফাংশনগুলির অনেকগুলি উপস্থাপনা খুঁজে পেয়েছেন। অর্ডার 6 রামানুজন তাঁর হারিয়ে যাওয়া নোটবুকে অর্ডার 6-এর সাতটি মক থিটা ফাংশন লিখেছিলেন এবং তাদের মধ্যে 11টি পরিচয় উল্লেখ করেছিলেন, যা অ্যান্ড্রুজ এবং হিকারসন দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। রামানুজনের দুটি পরিচয় বিভিন্ন যুক্তিতে φ এবং ± সম্পর্কিত, তাদের মধ্যে চারটি অ্যাপেল-লার্চ সিরিজের পরিপ্রেক্ষিতে φ এবং ± প্রকাশ করে এবং শেষ পাঁচটি পরিচয় φ এবং ± এর পরিপ্রেক্ষিতে অবশিষ্ট পাঁচটি ষষ্ঠ-ক্রমের মক থিটা ফাংশন প্রকাশ করে। বার্নড্ট এবং চ্যান আরও দুটি ষষ্ঠ-ক্রমের ফাংশন আবিষ্কার করেন। অর্ডার 6 মক থিটা ফাংশনগুলি হলঃ অর্ডার 7 রামানুজন হার্ডিকে তাঁর 1920 সালের চিঠিতে অর্ডার 7-এর তিনটি মক থিটা ফাংশন দিয়েছেন। এগুলি সেলবার্গ দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল, যিনি তাদের সহগের জন্য অ্যাসিম্পটোটিক সম্প্রসারণ খুঁজে পেয়েছিলেন এবং অ্যান্ড্রুজ দ্বারা। হিকারসন ওজনের মডুলার ফর্ম দ্বারা অনির্দিষ্ট থিটা সিরিজের কোটিয়েন্ট হিসাবে এই ফাংশনগুলির অনেকগুলি উপস্থাপনা খুঁজে পেয়েছেন। জ্বেগাররা তাদের মডুলার রূপান্তর বৈশিষ্ট্যগুলি বর্ণনা করেছেন। এই তিনটি মক থিটা ফাংশনের বিভিন্ন ছায়া রয়েছে, তাই রামানুজনের অর্ডার-3 এবং অর্ডার-5 ফাংশনের মতো নয়, তাদের এবং সাধারণ মডুলার ফর্মগুলির মধ্যে কোনও রৈখিক সম্পর্ক নেই। সংশ্লিষ্ট দুর্বল মাস ফর্মগুলি যেখানে এবং কমবেশি পরিপূরক ত্রুটি ফাংশন। মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের অধীনে, এই তিনটি ফাংশন মেটাপ্লেক্টিক গ্রুপের একটি নির্দিষ্ট ত্রিমাত্রিক উপস্থাপনা অনুযায়ী নিম্নরূপ রূপান্তরিত হয়। অর্ডার 8 গর্ডন এবং ম্যাকিনটশ অর্ডার 8-এর আটটি মক থিটা ফাংশন খুঁজে পেয়েছেন। তারা তাদের সাথে জড়িত পাঁচটি রৈখিক সম্পর্ক খুঁজে পেয়েছিল এবং অ্যাপেল-লার্ক যোগফল হিসাবে চারটি ফাংশন প্রকাশ করেছিল এবং মডুলার গ্রুপের অধীনে তাদের রূপান্তরগুলি বর্ণনা করেছিল। এর আগে রামানুজন তাঁর হারিয়ে যাওয়া নোটবুকে ভি1 এবং ইউ0 দুটি ফাংশন খুঁজে পেয়েছিলেন। অর্ডার 10 রামানুজন তাঁর হারিয়ে যাওয়া নোটবুকে চারটি অর্ডার-10 মক থিটা ফাংশন তালিকাভুক্ত করেছিলেন এবং তাদের মধ্যে কিছু সম্পর্ক উল্লেখ করেছিলেন, যা চোই দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। নোটস রেফারেন্স তাঁর সংগৃহীত কাজের প্রথম খণ্ডে পুনরায় মুদ্রিত। আরও পড়া বাহ্যিক লিঙ্ক আন্তর্জাতিক সম্মেলনঃ মক থিটা ফাংশন এবং অ্যাপ্লিকেশন 2009 জর্জ অ্যান্ড্রুজ দ্বারা মক থিটা ফাংশন সম্পর্কিত কাগজপত্র ক্যাথরিন ব্রিংম্যান দ্বারা মক থিটা ফাংশন সম্পর্কিত কাগজপত্র কেন ওনো দ্বারা মক থিটা ফাংশন সম্পর্কিত কাগজপত্র স্যান্ডার জওয়েগার্সের মক থিটা ফাংশন সম্পর্কিত কাগজপত্র মডুলার ফর্ম কিউ-অ্যানালগস শ্রীনিবাস রামানুজন