Abel's summation formula
গণিতে, নিলস হেনরিক আবেল দ্বারা প্রবর্তিত আবেলের যোগসূত্র সূত্রটি বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব এবং সিরিজ গণনার জন্য বিশেষ ফাংশন অধ্যয়নে নিবিড়ভাবে ব্যবহৃত হয়। সূত্র ধরা যাক বাস্তব বা জটিল সংখ্যার একটি ক্রম। যে কোনও বাস্তব সংখ্যার জন্য আংশিক যোগফলের সংজ্ঞা দিন। বাস্তব সংখ্যা স্থির করুন, এবং একটি অবিচ্ছিন্নভাবে ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন হতে দিন। তারপরঃ সূত্রটি একটি রিম্যান-স্টিল্টজেস ইন্টিগ্রালের জন্য অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন প্রয়োগ করে উদ্ভূত হয় এবং। পরিবর্তনগুলি বাম প্রান্তবিন্দুটি গ্রহণ করলে সূত্রটি পাওয়া যায় যদি ক্রমটি থেকে শুরু করে সূচীভুক্ত করা হয়, তবে আমরা আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। পূর্ববর্তী সূত্রটি হয়ে ওঠে আবেলের যোগসূত্র সূত্রটি প্রয়োগ করার একটি সাধারণ উপায় হল এই সূত্রগুলির মধ্যে একটির সীমা হিসাবে নেওয়া। ফলস্বরূপ সূত্রগুলি হল এই সমীকরণগুলি তখনই ধরে থাকে যখন ডান দিকের উভয় সীমা বিদ্যমান থাকে এবং সীমাবদ্ধ থাকে। একটি বিশেষভাবে দরকারী কেস হল সকলের জন্য ক্রম। এই ক্ষেত্রে,। একইভাবে, ক্রম এবং সকলের জন্য, সূত্রটি হয়ে যায় সীমা হিসাবে গ্রহণ করার পরে, আমরা ধরে নিই যে ডান দিকের উভয় পদই বিদ্যমান এবং সীমাবদ্ধ। আবেলের যোগসূত্র সূত্রটি এমন ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে যেখানে শুধুমাত্র অবিচ্ছিন্ন বলে ধরে নেওয়া হয় যদি ইন্টিগ্রালটিকে রিম্যান-স্টিল্টজেস ইন্টিগ্রাল হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয়ঃ কিছু ক্রমের সাথে সম্পর্কিত আংশিক যোগফল ফাংশন হিসাবে গ্রহণ করে, এটি অংশ সূত্র দ্বারা যোগফলের দিকে পরিচালিত করে। উদাহরণস্বরূপ হারমোনিক সংখ্যা যদি এবং তারপর এবং সূত্রটি ফলন দেয় বাম দিকটি হল হারমোনিক সংখ্যা। রিম্যানের জিটা ফাংশনের উপস্থাপনা একটি জটিল সংখ্যা স্থির করুন। যদি জন্য এবং তারপর এবং সূত্রটি হয়ে যায় যদি, তাহলে বিদ্যমান সীমাটি এবং সূত্রটি উৎপন্ন করে যেখানে রিমান জিটা ফাংশন। এটি ডিরিচলেটের উপপাদ্যটি বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যার একটি সাধারণ মেরু রয়েছে যার অবশিষ্টাংশ 1। রিমান জিটা ফাংশনের পারস্পরিকতা পূর্ববর্তী উদাহরণের কৌশলটি অন্যান্য ডিরিচলেট সিরিজের ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। যদি মোবিয়াস ফাংশন হয় এবং, তাহলে এটি মার্টেন্স ফাংশন এবং এই সূত্রটি এর জন্য ধারণ করে। আরও দেখুন অংশ দ্বারা সারসংক্ষেপ অংশ দ্বারা একীকরণ রেফারেন্স। সংখ্যা তত্ত্ব যোগযোগ্যতা পদ্ধতি