Time-evolving block decimation
টাইম-ইভোলভিং ব্লক ডেসিমেশন (টি. ই. বি. ডি) অ্যালগরিদম হল একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতি যা এক-মাত্রিক কোয়ান্টাম মাল্টি-বডি সিস্টেম অনুকরণ করতে ব্যবহৃত হয়, যা সর্বাধিক নিকটতম-প্রতিবেশী মিথস্ক্রিয়া দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটিকে টাইম-ইভোলভিং ব্লক ডেসিমেশন বলা হয় কারণ এটি গতিশীলভাবে একটি সূচকীয়ভাবে বৃহত্তর মূল হিলবার্ট স্থানের প্রাসঙ্গিক নিম্ন-মাত্রিক হিলবার্ট সাবস্পেসগুলি চিহ্নিত করে। ম্যাট্রিক্স প্রোডাক্ট স্টেটস ফর্মালিজমের উপর ভিত্তি করে অ্যালগরিদমটি অত্যন্ত দক্ষ হয় যখন সিস্টেমে জড়িয়ে পড়ার পরিমাণ সীমিত থাকে, একটি প্রয়োজনীয়তা যা একটি মাত্রায় কোয়ান্টাম মাল্টি-বডি সিস্টেমের একটি বড় শ্রেণী দ্বারা পূরণ করা হয়। ভূমিকা সাধারণ কোয়ান্টাম বহু-বস্তু পদ্ধতির অনুকরণের সহজাত অসুবিধাগুলি বিবেচনা করে, পদ্ধতির আকারের সাথে পরামিতিগুলির সূচকীয় বৃদ্ধি এবং তদনুসারে, উচ্চ গণনামূলক ব্যয়, একটি সমাধান হবে এমন সংখ্যাসূচক পদ্ধতির সন্ধান করা যা বিশেষ ক্ষেত্রে মোকাবিলা করে, যেখানে কেউ পদ্ধতির পদার্থবিজ্ঞান থেকে লাভবান হতে পারে। একটি কোয়ান্টাম মাল্টি-বডি সিস্টেমকে সম্পূর্ণরূপে চিহ্নিত করতে ব্যবহৃত সমস্ত পরামিতিগুলির সাথে সরাসরি মোকাবিলা করে কাঁচা পদ্ধতিটি সিমুলেশনের জন্য প্রয়োজনীয় ভেরিয়েবলের পরিমাণের সিস্টেমের আকারের সাথে প্রচুর পরিমাণে সূচকীয় গঠনের দ্বারা গুরুতরভাবে বাধাগ্রস্ত হয়, যা সর্বোত্তম ক্ষেত্রে, অযৌক্তিকভাবে দীর্ঘ গণনামূলক সময় এবং মেমরির বর্ধিত ব্যবহারের দিকে পরিচালিত করে। এই সমস্যাটি কাটিয়ে ওঠার জন্য সময়ের সাথে সাথে বেশ কয়েকটি বিভিন্ন পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে এবং প্রয়োগ করা হয়েছে, যার মধ্যে অন্যতম সফল হল কোয়ান্টাম মন্টে কার্লো পদ্ধতি (কিউএমসি)। এছাড়াও ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স পুনর্নবীকরণ গোষ্ঠী (ডি. এম. আর. জি) পদ্ধতি, কিউ. এম. সি-র পাশে, একটি অত্যন্ত নির্ভরযোগ্য পদ্ধতি, যেখানে ব্যবহারকারীদের একটি সম্প্রসারিত সম্প্রদায় এবং শারীরিক ব্যবস্থায় ক্রমবর্ধমান সংখ্যক প্রয়োগ রয়েছে। যখন প্রথম কোয়ান্টাম কম্পিউটারটি প্লাগ ইন এবং কার্যকরী হবে, তখন গণনামূলক পদার্থবিজ্ঞানের ক্ষেত্রের দৃষ্টিভঙ্গি বরং আশাব্যঞ্জক দেখাবে, তবে সেই দিন পর্যন্ত একজনকে শাস্ত্রীয় কম্পিউটার দ্বারা প্রদত্ত জাগতিক সরঞ্জামগুলিতে নিজেকে সীমাবদ্ধ রাখতে হবে। পরীক্ষামূলক পদার্থবিজ্ঞানীরা যখন প্রথম কোয়ান্টাম কম্পিউটার তৈরির জন্য প্রচুর প্রচেষ্টা চালাচ্ছেন, তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানীরা কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্বের (কিউআইটি) ক্ষেত্রে প্রকৃত কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের জন্য অনুসন্ধান করছেন, যা একটি ধ্রুপদী কম্পিউটারে সমাধান করার চেষ্টা করার সময় খারাপভাবে কাজ করবে, তবে কোয়ান্টাম একটিতে বেশ দ্রুত এবং সফল হবে। এই ধরনের অ্যালগরিদমগুলির অনুসন্ধান এখনও চলছে, সর্বাধিক পরিচিত (এবং প্রায় একমাত্র পাওয়া গেছে) হল শোরের অ্যালগরিদম, বড় সংখ্যার ফ্যাক্টরিংয়ের জন্য, এবং গ্রোভারের অনুসন্ধান অ্যালগরিদম। কিউ. আই. টি-র ক্ষেত্রে প্রকৃত কোয়ান্টাম গণনার জন্য প্রয়োজনীয় প্রাথমিক সংস্থানগুলি চিহ্নিত করতে হবে। এই ধরনের সম্পদ কোয়ান্টাম বনাম ধ্রুপদীতে স্পিডআপ লাভের জন্য দায়ী হতে পারে, তাদের চিহ্নিত করার অর্থ এমন সিস্টেমগুলিও চিহ্নিত করা যা শাস্ত্রীয় কম্পিউটারে যুক্তিসঙ্গতভাবে দক্ষ পদ্ধতিতে সিমুলেট করা যেতে পারে। এই ধরনের একটি সম্পদ হল কোয়ান্টাম এনট্যাঙ্গলমেন্ট; অতএব, কোয়ান্টাম গণনামূলক গতি বাড়ানোর জন্য প্রয়োজনীয় এনট্যাঙ্গলমেন্টের জন্য একটি স্বতন্ত্র নিম্ন সীমা স্থাপন করা সম্ভব। ইনস্টিটিউট ফর কোয়ান্টাম ইনফরমেশন, ক্যালটেকের গুইফ্রে ভিদাল সম্প্রতি কোয়ান্টাম সিস্টেমের একটি নির্দিষ্ট বিভাগের অনুকরণের জন্য দরকারী একটি পরিকল্পনার প্রস্তাব দিয়েছেন। তিনি জোর দিয়ে বলেন যে "বিশুদ্ধ অবস্থার সাথে যে কোনও কোয়ান্টাম গণনা একটি ধ্রুপদী কম্পিউটারের সাহায্যে দক্ষতার সাথে সিমুলেট করা যেতে পারে যদি জড়িত জড়িয়ে পড়ার পরিমাণ যথেষ্ট সীমাবদ্ধ থাকে"। সাধারণ হ্যামিল্টনিয়ানরা স্থানীয় মিথস্ক্রিয়া প্রদর্শন করে, উদাহরণস্বরূপ, হাবার্ডের মতো হ্যামিল্টনিয়ানদের ক্ষেত্রে এটি ঘটে। পদ্ধতিটি সিস্টেমে উপস্থিত জড়িয়ে পড়ার পরিমাণের সাপেক্ষে গণনামূলক সময় বৃদ্ধির ক্ষেত্রে একটি নিম্ন-ডিগ্রি বহুপদী আচরণ প্রদর্শন করে। অ্যালগরিদমটি এমন একটি পরিকল্পনার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে যা এই এক-মাত্রিক ব্যবস্থাগুলিতে সিস্টেমের দ্বিদলীয় বিভাজনের উপর হ্রাস ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালুগুলি তাত্পর্যপূর্ণভাবে ক্ষয় হচ্ছে, এইভাবে আমাদের নির্বাচিত আইগেনভ্যালুগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আইগেনভেক্টর দ্বারা পুনরায় আকারের জায়গায় কাজ করার অনুমতি দেয়। একটি ধ্রুপদী কম্পিউটারে একটি কোয়ান্টাম সিস্টেমের অনুকরণের জন্য প্রয়োজনীয় গণনামূলক সম্পদের পরিমাণও অনুমান করা যেতে পারে, এটি জেনে যে সিস্টেমের মাপের সাথে সিস্টেমের স্কেলে কীভাবে জড়িয়ে রয়েছে। ধ্রুপদীভাবে (এবং কোয়ান্টাম, পাশাপাশি) সম্ভাব্য সিমুলেশনগুলি হল সেগুলি যা শুধুমাত্র হালকাভাবে জড়িয়ে থাকা সিস্টেমগুলিকে জড়িত করে-অন্যদিকে দৃঢ়ভাবে জড়িয়ে থাকা সিস্টেমগুলি শুধুমাত্র প্রকৃত কোয়ান্টাম গণনার জন্য ভাল প্রার্থী। একটি লক্ষ্য হ্যামিল্টনিয়ান এবং একটি হ্যামিল্টনিয়ানের মধ্যে কাল্পনিক-সময় বিবর্তন বা আইসেন্ট্রোপিক ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করে বাস্তব-সময়ের গতিবিদ্যা বা স্থল অবস্থার গণনার অনুকরণে সংখ্যাসূচক পদ্ধতিটি কার্যকর। গণনামূলক সময় সিস্টেমের আকারের সাথে রৈখিকভাবে স্কেল করে, তাই 1ডি-তে বহু-কণা সিস্টেম তদন্ত করা যেতে পারে। টিইবিডি অ্যালগরিদমের একটি দরকারী বৈশিষ্ট্য হল যে এটি নির্ভরযোগ্যভাবে সময়-নির্ভর হ্যামিল্টনিয়ানদের সময় বিবর্তনের সিমুলেশনের জন্য নিযুক্ত করা যেতে পারে, যা অপটিক্যাল ল্যাটিসগুলিতে ঠান্ডা পরমাণু দিয়ে বা কোয়ান্টাম পরিবহনে ভারসাম্য থেকে দূরে থাকা সিস্টেমে উপলব্ধি করা যেতে পারে এমন সিস্টেমগুলি বর্ণনা করে। এই দৃষ্টিকোণ থেকে, ডি. এম. আর. জি-র তুলনায় টি. ই. বি. ডি-র একটি নির্দিষ্ট উত্থান ছিল, যা একটি অত্যন্ত শক্তিশালী কৌশল, কিন্তু সাম্প্রতিক সময় পর্যন্ত সময়-বিবর্তন অনুকরণের জন্য খুব উপযুক্ত ছিল না। ম্যাট্রিক্স প্রোডাক্ট স্টেটসের আনুষ্ঠানিকতা ডি. এম. আর. জি-র গাণিতিক কেন্দ্রবিন্দুতে থাকায়, টি. ই. বি. ডি প্রকল্পটি ডি. এম. আর. জি সম্প্রদায় দ্বারা গৃহীত হয়েছিল, এইভাবে সময় নির্ভর ডি. এম. আর. জি, টি-ডি. এম. আর. জি-র জন্ম দেয়। প্রায় একই সময়ে, অন্যান্য গোষ্ঠীগুলি অনুরূপ পদ্ধতির বিকাশ করেছে যেখানে কোয়ান্টাম তথ্য একটি প্রধান ভূমিকা পালন করে, উদাহরণস্বরূপ, পর্যায়ক্রমিক সীমানা অবস্থার জন্য ডি. এম. আর. জি বাস্তবায়নে এবং এক-মাত্রিক কোয়ান্টাম জাল পদ্ধতিতে মিশ্র-অবস্থার গতিবিদ্যা অধ্যয়নের জন্য। এই শেষ পদ্ধতিগুলি প্রকৃতপক্ষে একটি আনুষ্ঠানিকতা প্রদান করে যা মূল টিইবিডি পদ্ধতির চেয়ে বেশি সাধারণ, কারণ এটি ম্যাট্রিক্স পণ্য অপারেটরদের সাথে বিবর্তন মোকাবেলা করার অনুমতি দেয়; এটি টিইবিডি মামলার বিপরীতে অ-তুচ্ছ অ-অসীম বিবর্তনের অনুকরণকে সক্ষম করে এবং ম্যাট্রিক্স পণ্য অবস্থার উচ্চ-মাত্রিক সাদৃশ্যগুলির সাথে মোকাবিলা করার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান। অবস্থার পচন অবস্থার পচন প্রবর্তন ফাংশন দ্বারা বর্ণিত এন কিউবিটের একটি শৃঙ্খল বিবেচনা করুন। বর্ণনা করার সবচেয়ে স্বাভাবিক উপায় হল স্থানীয়-মাত্রিক ভিত্তি ব্যবহার করাঃ যেখানে এম হল স্থল-মাত্রার মাত্রা। টি. ই. বি. ডি-র কৌশল হল সহগগুলিকে পুনরায় লেখাঃ এই ফর্ম, যা ম্যাট্রিক্স পণ্য অবস্থা হিসাবে পরিচিত, গণনাকে ব্যাপকভাবে সহজতর করে। কেন, তা বোঝার জন্য, একটি অবস্থার শ্মিট পচনের দিকে নজর দেওয়া যেতে পারে, যা সীমিত জড়তা সহ একটি অবস্থাকে আরও সহজভাবে প্রকাশ করতে একক মান পচনের ব্যবহার করে। শ্মিট পচন একটি দ্বিদলীয় ব্যবস্থার অবস্থা বিবেচনা করে। এই ধরনের প্রতিটি অবস্থাকে যথাযথভাবে নির্বাচিত ভিত্তিতে এইভাবে উপস্থাপন করা যেতে পারেঃ যেখানে ভেক্টর দিয়ে গঠিত হয় যা একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি তৈরি করে এবং অনুরূপভাবে, ভেক্টর, যা একটি অর্থোনর্মাল ভিত্তি গঠন করে, সহগগুলি বাস্তব এবং ধনাত্মক হয়। একে বলা হয় একটি অবস্থার শ্মিট ডিকম্পোজিশন (এসডি)। সাধারণভাবে যোগফল পর্যন্ত যায়। দ্বিদলীয় বিভাজনের শ্মিট র্যাঙ্কটি অ-শূন্য শ্মিট সহগের সংখ্যা দ্বারা দেওয়া হয়। যদি শ্মিট র্যাঙ্ক এক হয়, তবে বিভাজনটি একটি পণ্য অবস্থা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এসডির ভেক্টরগুলি একটি পর্যায় পর্যন্ত নির্ধারিত হয় এবং আইগেনভ্যালু এবং শ্মিট র্যাঙ্ক অনন্য। উদাহরণস্বরূপ, দ্বি-কিউবিট অবস্থারঃ নিম্নলিখিত এসডি রয়েছেঃ অন্যদিকে, অবস্থাঃ একটি পণ্য অবস্থাঃ অবস্থার পচন তৈরি করা এই মুহুর্তে আমরা কীভাবে স্পষ্টভাবে পচন তৈরি করি তা দেখার চেষ্টা করার জন্য যথেষ্ট জানি (আসুন এটিকে ডি বলি)। দ্বিদলীয় বিভাজনের কথা বিবেচনা করুন। এস. ডি-তে সহগ এবং আইগেনভেক্টর রয়েছে। স্থানীয় ভিত্তিতে 's'-কে প্রসারিত করে, কেউ লিখতে পারেনঃ প্রক্রিয়াটি তিনটি ধাপে বিভক্ত করা যেতে পারে, শৃঙ্খলের প্রতিটি বন্ধনের (এবং, অনুরূপভাবে, এসডি) জন্য পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারেঃ ধাপ 1: কিউবিট 2-এর জন্য স্থানীয় ভিত্তিতে 's' প্রকাশ করুনঃ ভেক্টরগুলি অগত্যা স্বাভাবিক করা হয় না। ধাপ 2: প্রতিটি ভেক্টরকে সর্বাধিক (ভিদালের জোর) শ্মিট ভেক্টর এবং তদনুসারে, সহগগুলির পরিপ্রেক্ষিতে লিখুনঃ ধাপ 3: প্রতিস্থাপন করুন এবং অর্জন করুনঃ 1 থেকে 3 ধাপের পুনরাবৃত্তি করে, কেউ ডি অবস্থার সম্পূর্ণ পচন তৈরি করতে পারে। শেষেরগুলি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, প্রথমগুলির মতো, বন্ধনে ডান হাতের শ্মিট ভেক্টরগুলিকে জালের জায়গায় স্থানীয় ভিত্তির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করে। যেমন দেখানো হয়েছে, বন্ধনে শ্মিট পচন অর্জন করা সোজা, অর্থাৎ। ডি থেকে শ্মিট আইগেনভ্যালুগুলি স্পষ্টভাবে ডি-তে দেওয়া হয়েছেঃ শ্মিট আইগেনভেক্টরগুলি সহজভাবেঃ এবং যুক্তিসঙ্গত এখন, প্রাথমিক পদগুলির পরিবর্তে ডি-এর দিকে তাকিয়ে, রয়েছে। আপাতদৃষ্টিতে এটি সহগগুলিকে পুনর্লিখন করার একটি অভিনব উপায়, তবে বাস্তবে এর চেয়েও বেশি কিছু রয়েছে। N জোড় বলে ধরে নিলে, চেইনের মাঝখানে একটি দ্বিদলীয় কাটার জন্য শ্মিট র্যাঙ্কের সর্বাধিক মান হতে পারে; এই ক্ষেত্রে আমরা অন্তত সহগগুলির সাথে শেষ করি, শুধুমাত্র প্রথমটির চেয়ে সামান্য বেশি বিবেচনা করে! সত্যটি হল যে পচন ডি এমন ব্যবস্থাগুলির সাথে মোকাবিলা করার সময় কার্যকর হয় যা কম মাত্রায় জড়তা প্রদর্শন করে, যা সৌভাগ্যবশত অনেক 1ডি ব্যবস্থার ক্ষেত্রে হয়, যেখানে স্থল অবস্থার শ্মিট সহগগুলি একটি সূচকীয় পদ্ধতিতে ক্ষয় হয়ঃ অতএব, শুধুমাত্র শ্মিট সহগগুলির (যথা বৃহত্তমগুলি) কয়েকটি বিবেচনা করা সম্ভব, অন্যদের বাদ দিয়ে এবং ফলস্বরূপ আবার অবস্থাকে স্বাভাবিক করেঃ রাখা শ্মিট সহগগুলির সংখ্যা কোথায়। আসুন এই বিমূর্ত চিত্র থেকে দূরে সরে যাই এবং এই পচন ঘটানোর সুবিধার উপর জোর দেওয়ার জন্য একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে নিজেকে সতেজ করি। উদাহরণস্বরূপ, সরলতার জন্য একটি ফেরোম্যাগনেটিক চেইনে 50টি ফার্মিয়নের বিষয়টি বিবেচনা করুন। 12 এর একটি মাত্রা, ধরা যাক, একটি যুক্তিসঙ্গত পছন্দ হবে, বাতিল হওয়া আইগেনভ্যালুগুলিকে মোটের% এ রাখা, যেমনটি সংখ্যাসূচক গবেষণায় দেখানো হয়েছে, যার অর্থ মোটামুটি সহগ, মূলগুলির তুলনায়। এমনকি যদি শ্মিট আইগেনভ্যালুগুলির এই সূচকীয় ক্ষয় না থাকে, তবে তারা একটি বীজগাণিতিক হ্রাস দেখায়, তবুও আমরা আমাদের অবস্থা বর্ণনা করতে ডি ব্যবহার করতে পারি। একটি বিশ্বস্ত বর্ণনার জন্য দায়ী সহগের সংখ্যা বোধগম্যভাবে বড় হতে পারে, তবে এখনও চূড়ান্ত সংখ্যাসূচক সিমুলেশনের নাগালের মধ্যে। পার্শ্ববর্তী কিউবিটগুলিতে এক-কিউবিট গেট (ও. কিউ. জি) এবং দুই-কিউবিট গেট (টি. কিউ. জি) দিয়ে কাজ করার সময় পচনশীল ডি-এর আচরণের তদন্ত করতে এখন এগিয়ে যেতে পারেন। সমস্ত সহগগুলি আপডেট করার পরিবর্তে, আমরা নিজেদেরকে বেশ কয়েকটি ক্রিয়াকলাপে সীমাবদ্ধ রাখব যা নিম্ন মাত্রার বহুপদী হিসাবে বৃদ্ধি পায়, এইভাবে গণনামূলক সময় সাশ্রয় করে। কিউবিট কে-তে কাজ করা এক-কিউবিট গেটগুলি ওকিউজিগুলি কেবল সেই কিউবিটকে প্রভাবিত করছে যার উপর তারা কাজ করছে, কিউবিট কে-তে একটি একক অপারেটরের পরে অবস্থার আপডেট বাম দিকের শ্মিট আইগেনভ্যালু বা ভেক্টরগুলিকে পরিবর্তন করে না, ফলস্বরূপ 'গুলি, বা ডানদিকে, তাই' গুলি। শুধুমাত্র 'গুলি যা আপডেট করা হবে তা হল' গুলি (শুধুমাত্র বেশিরভাগ ক্রিয়াকলাপে প্রয়োজন), কিউবিট কে, কে + 1-এ কাজ করা দুই-কিউবিট গেট হিসাবে 'গুলি এবং' গুলি আপডেট করার জন্য প্রয়োজনীয় পরিবর্তনগুলি, কিউবিট কে, কে + 1-এ একক ক্রিয়াকলাপ ভি অনুসরণ করে, শুধুমাত্র উদ্বেগ এবং। এগুলি বেশ কয়েকটি মৌলিক ক্রিয়াকলাপ নিয়ে গঠিত। ভিদালের মূল পদ্ধতি অনুসরণ করে, শুধুমাত্র চারটি সাবসিস্টেমের অন্তর্গত হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারেঃ সাবস্পেস জে হ্রাস ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টর দ্বারা বিস্তৃতঃ একইভাবে, সাবস্পেস কে হ্রাস ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টর দ্বারা বিস্তৃত হয়ঃ সাবস্পেস এবং কিউবিট কে এবং কে + 1 এর অন্তর্গত। এই ভিত্তি এবং পচন D ব্যবহার করে লেখা যেতে পারেঃ OQG-র মতো একই যুক্তি ব্যবহার করে, k, k + 1-এর কিউবিটে TQG V প্রয়োগ করার জন্য শুধুমাত্র আপডেট করা প্রয়োজন, এবং আমরা এইভাবে লিখতে পারিঃ যেখানে নতুন পচন খুঁজে বের করার জন্য, k বন্ধনে নতুন এবং তাদের সংশ্লিষ্ট শ্মিট আইগেনভেক্টরগুলিকে অবশ্যই গণনা করতে হবে এবং পচন D-এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে হবে। তাই হ্রাসকৃত ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সটি তির্যক করা হয়েছেঃ এর আইগেনভ্যালুগুলির বর্গমূলগুলি নতুন। তির্যক ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টরগুলিকে এই ভিত্তিতে প্রকাশ করাঃ 'গুলিও পাওয়া যায়ঃ বাম হাতের আইগেনভেক্টরগুলি থেকে, তাদের ভিত্তিতে প্রকাশ করার পরে,' গুলিঃ গণনামূলক ব্যয় ডি-তে বৃহত্তম টেনসরগুলির মাত্রা ক্রমানুসারে হয়; একটি তৈরি করার সময় একটি যোগফল তৈরি করে এবং প্রত্যেকটির জন্য, মোট ক্রিয়াকলাপ যোগ করে। উপাদানগুলির গঠনের ক্ষেত্রে, বা বাম হাতের আইগেনভেক্টর গণনা করার ক্ষেত্রে, যথাক্রমে সর্বাধিক মৌলিক ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। কিউবিটের ক্ষেত্রে, অতএব মৌলিক ক্রিয়াকলাপের সংখ্যার মাত্রার ক্রমের জন্য এর ভূমিকা খুব বেশি প্রাসঙ্গিক নয়, তবে যখন সাইটের মাত্রা দুটির চেয়ে বেশি হয় তখন এর একটি নির্ণায়ক অবদান থাকে। সংখ্যাসূচক সিমুলেশন সংখ্যাসূচক সিমুলেশন একটি লাইনে সাজানো কণাগুলির একটি সিস্টেমের হ্যামিল্টনিয়ানদের (সম্ভবত সময়-নির্ভর) লক্ষ্যবস্তু করছে, যা নির্বিচারে ওকিউজি এবং টিক্যুজি দ্বারা গঠিতঃ দুটি সম্ভাব্য অ-কমিউটিং পদের সমষ্টি হিসাবে বিচ্ছিন্ন করা দরকারী, যেখানে যে কোনও দ্বি-দেহ পদ যাতায়াত করেঃ, এটি ম্যাসুও সুজুকি এবং হেল ট্রটারের নামে নামকরণ করা এক্সপোনেনশিয়াল অপারেটরের সুজুকি-ট্রটার সম্প্রসারণ (এসটি) করার জন্য করা হয়। সুজুকি-ট্রটার সম্প্রসারণ প্রথম ক্রমের (এস. টি. 1) সুজুকি-ট্রটার সম্প্রসারণ সূচকীয় অপারেটর লেখার একটি সাধারণ পদ্ধতির প্রতিনিধিত্ব করেঃ অথবা, সমতুল্য সংশোধন শব্দটি সীমাতে অদৃশ্য হয়ে যায় কোয়ান্টাম গতিবিদ্যার সিমুলেশনগুলির জন্য আদর্শ সংরক্ষণ করে (পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণের বিপরীতে) একক অপারেটর ব্যবহার করা দরকারী, এবং এখানেই ট্রটার-সুজুকি সম্প্রসারণ আসে। কোয়ান্টাম গতিবিদ্যার সমস্যায় এস. টি সম্প্রসারণে অপারেটরদের এককত্ব বেশ ব্যবহারিক প্রমাণিত হয়, কারণ ত্রুটিটি সামগ্রিক পর্যায়ে মনোনিবেশ করে, এইভাবে আমাদের বিশ্বস্তভাবে প্রত্যাশার মান এবং সংরক্ষিত পরিমাণ গণনা করতে দেয়। যেহেতু এস. টি ফেজ-স্পেস ভলিউম সংরক্ষণ করে, তাই এটিকে সিমপ্লেক্টিক ইন্টিগ্রেটরও বলা হয়। এস. টি. 2-এর কৌশল হল একক অপারেটরগুলিকে এইভাবে লেখাঃ কোথায়। এই সংখ্যাটিকে ট্রটার নম্বর বলা হয়। সময়-বিবর্তনের অনুকরণ অপারেটরদের প্রকাশ করা সহজ, যেমনঃ যেহেতু যে কোনও দুটি অপারেটর, (যথাক্রমে,,) প্রথম ক্রমের জন্য যাতায়াত করে এবং একটি এস. টি সম্প্রসারণ শুধুমাত্র সূচকীয়গুলির গুণফল রাখে, এই ক্ষেত্রে আনুমানিক হয়ে ওঠে, সঠিক। সময়-বিবর্তন অনুসারে করা যেতে পারে প্রতিটি "সময়-ধাপ"-এর জন্য, সমস্ত বিজোড় স্থানগুলিতে ক্রমানুসারে প্রয়োগ করা হয়, তারপর জোড় স্থানগুলিতে এবং আবার বিজোড় স্থানগুলিতে; এটি মূলত টি. কিউ. জি-র একটি ক্রম, এবং এগুলি প্রয়োগ করার সময় কীভাবে পচন আপডেট করা যায় তা উপরে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। আমাদের লক্ষ্য হল এন-কণা হ্যামিল্টনিয়ান ব্যবহার করে একটি সময় টি-এর জন্য একটি অবস্থার সময় বিবর্তন করা। একটি নির্বিচারে এন-কণার অবস্থার জন্য পচন তৈরি করা যদি সম্ভব হয় তবে এটি বরং সমস্যাযুক্ত, কারণ এর অর্থ হবে প্রতিটি বন্ধনে শ্মিট পচন গণনা করতে হবে, শ্মিট আইগেনভ্যালুগুলিকে হ্রাসকারী ক্রমে সাজাতে হবে এবং প্রথম এবং উপযুক্ত শ্মিট আইগেনভেক্টরগুলি বেছে নিতে হবে। মনে রাখবেন এটি কিছুটা উদার হ্রাস ঘনত্বের ম্যাট্রিক্সকে তির্যক করার ইঙ্গিত দেয়, যা, যে পদ্ধতির উপর নির্ভর করে একজনকে অনুকরণ করতে হয়, তা আমাদের নাগালের বাইরে এবং ধৈর্যের বাইরে একটি কাজ হতে পারে। পরিবর্তে, নিম্নলিখিতগুলি করার চেষ্টা করা যেতে পারেঃ i) একটি সাধারণ প্রাথমিক অবস্থার জন্য পচন তৈরি করুন, ধরা যাক, কিছু পণ্য অবস্থা, যার জন্য পচন সোজা। ii) একটি পর্যাপ্ত স্থানীয় রূপান্তর দ্বারা একটি হ্যামিল্টনিয়ানের স্থল অবস্থার সাথে সম্পর্কিত Q (একটি যা উদাহরণস্বরূপ, টিক্যুজির একটি পণ্য হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে) iii) হ্যামিল্টনিয়ানের স্থল অবস্থার দিকে একটি কাল্পনিক-সময়ের বিবর্তন তৈরি করুন, অনুসারেঃ অথবা, বিকল্পভাবে, একটি সময়-নির্ভর হ্যামিল্টনিয়ান ব্যবহার করে একটি আইসেন্ট্রোপিক বিবর্তন অনুকরণ করুন, যা হ্যামিল্টনিয়ানের মধ্যে অন্তর্বর্তী হয়, যার স্থল অবস্থা হিসাবে পণ্য অবস্থা রয়েছে এবং হ্যামিল্টনিয়ান; বিবর্তন অবশ্যই যথেষ্ট ধীর গতিতে করা উচিত, যাতে সিস্টেমটি সর্বদা স্থল অবস্থায় থাকে বা কমপক্ষে তার খুব কাছাকাছি থাকে। iv) পরিশেষে, হ্যামিল্টনিয়ান ব্যবহার করার জন্য রাষ্ট্রের সময়-বিবর্তন করুনঃ ত্রুটির উৎস সিমুলেশনের ত্রুটিগুলি সুজুকি-ট্রটার আনুমানিক এবং হিলবার্ট স্থানের জড়িত ছাঁটাইয়ের ফলে ঘটে। সুজুকি-ট্রটার সম্প্রসারণ থেকে আসা ত্রুটিগুলি ট্রটার অর্ডারের আনুমানিক ক্ষেত্রে, ত্রুটিটি ক্রমানুসারে হয়। পদক্ষেপগুলি বিবেচনা করে, টি সময়ের পরে ত্রুটিটি হ 'লঃ অপ্রয়োজনীয় অবস্থাটি হ' লঃ ট্রটার সম্প্রসারণের পরে রাষ্ট্রটি কোথায় রাখা হয় এবং সম্প্রসারণ করার সময় যে অংশটি অবহেলিত হয় তার হিসাব। মোট ত্রুটি সময়ের সাথে স্কেল করেঃ ট্রটার ত্রুটি চেইনের মাত্রা থেকে স্বাধীন। হিলবার্ট স্থানের ছাঁটাই থেকে আসা ত্রুটিগুলি ডিকম্পোজিশন ডি-তে গঠিত হিলবার্ট স্থানের ছাঁটাই থেকে উদ্ভূত ত্রুটিগুলি বিবেচনা করে, সেগুলি দ্বিগুণ। প্রথমত, যেমনটি আমরা উপরে দেখেছি, শ্মিট বর্ণালীতে ক্ষুদ্রতম অবদানগুলি বাদ দেওয়া হয়েছে, অবস্থাটি বিশ্বস্তভাবে প্রতিনিধিত্ব করা হচ্ছেঃ বন্ধনে হ্রাস ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের সমস্ত পরিত্যক্ত আইগেনভ্যালুগুলির যোগফল কোথায়। একটি প্রদত্ত বন্ধনে অবস্থাটি শ্মিট পচন দ্বারা বর্ণিত হয়ঃ যেখানে ছাঁটাইয়ের পরে অবস্থাটি রাখা হয় এবং ক্ষুদ্রতম, অপ্রাসঙ্গিক শ্মিট সহগগুলির সাথে সম্পর্কিত আইগেন ফাংশন দ্বারা গঠিত অবস্থা, যা অবহেলিত। এখন, কারণ এগুলি অর্থোগোনাল স্পেসের সাথে সম্পর্কিত ভেক্টর দ্বারা বিস্তৃত। ট্রটার সম্প্রসারণের জন্য একই যুক্তি ব্যবহার করে, ছাঁটাইয়ের পরে ত্রুটিটি হ 'লঃ পরবর্তী বন্ধনে যাওয়ার পরে, অবস্থাটি একই রকমঃ দ্বিতীয় ছাঁটাইয়ের পরে ত্রুটিটি হ' লঃ এবং আরও অনেক কিছু, যখন আমরা বন্ধন থেকে বন্ধনে যাই। পচনে ভাঁজ করা দ্বিতীয় ত্রুটির উৎসটি আরও সূক্ষ্ম এবং এর জন্য সামান্য গণনার প্রয়োজন হয়। যেমনটি আমরা আগে গণনা করেছি, বন্ধনে ছাঁটাই করার পরে স্বাভাবিককরণ ধ্রুবকটি হলঃ এখন আসুন আমরা বন্ধনে যাই এবং ডান হাতের শ্মিট ভেক্টরের আদর্শ গণনা করি; পূর্ণ শ্মিট মাত্রা বিবেচনা করে, আদর্শটি হলঃ, যেখানে। কাটা স্থানটি বিবেচনা করে, নিয়মটি হ 'লঃ পার্থক্যটি গ্রহণ করে, আমরা পাইঃ অতএব, হ্রাস ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স তৈরি করার সময়, ম্যাট্রিক্সের ট্রেসকে ফ্যাক্টর দ্বারা গুণ করা হয়ঃ মোট ছাঁটাই ত্রুটি উভয় উত্স বিবেচনা করে মোট ছাঁটাই ত্রুটিটি উপরের দ্বারা সীমাবদ্ধঃ ট্রটার সম্প্রসারণ ব্যবহার করার সময়, আমরা বন্ধন থেকে বন্ধনে যাই না, তবে একই সমতার বন্ধনের মধ্যে; উপরন্তু, এস. টি 2-এর জন্য, আমরা বিজোড়ের জন্য জোড় এক এবং দুটির একটি সুইপ করি। কিন্তু তা সত্ত্বেও, উপরে উপস্থাপিত গণনাটি এখনও বহাল রয়েছে। প্রতিবার যখন আমরা হ্রাস ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স তৈরি করি এবং এর প্রাসঙ্গিক আইগেনভ্যালু নির্বাচন করি, তখন স্বাভাবিককরণ ধ্রুবকের সাথে পর্যায়ক্রমে গুণ করে ত্রুটিটি মূল্যায়ন করা হয়। "অভিযোজিত" শ্মিট মাত্রা একটি জিনিস যা নির্ভুলতা না হারিয়ে গণনার অনেক সময় বাঁচাতে পারে তা হল সমস্ত বন্ধনের জন্য একটি নির্দিষ্ট বন্ধনের পরিবর্তে প্রতিটি বন্ধনের জন্য একটি ভিন্ন শ্মিট মাত্রা ব্যবহার করা, যথারীতি প্রাসঙ্গিক সহগের প্রয়োজনীয় পরিমাণ বজায় রাখা। উদাহরণস্বরূপ, প্রথম বন্ধনটি গ্রহণ করলে, কিউবিটের ক্ষেত্রে, শ্মিট মাত্রা মাত্র দুটি। অতএব, প্রথম বন্ধনে, নিরর্থকভাবে তির্যককরণের পরিবর্তে, ধরা যাক, 10 বাই 10 বা 20 বাই 20 ম্যাট্রিক্স, আমরা কেবল নিজেদেরকে সাধারণ 2 বাই 2 এর মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখতে পারি, এইভাবে অ্যালগরিদমটি সাধারণত দ্রুততর করে তোলে। এর পরিবর্তে আমরা যা করতে পারি তা হল এসডি-র আইগেনভ্যালুগুলির জন্য একটি সীমা নির্ধারণ করা, যা শুধুমাত্র সীমার উপরে থাকে। টিইবিডি সুজুকি-ট্রটার সম্প্রসারণ ব্যবহার করে সূচকীয় সময়-বিবর্তন অপারেটরের ফ্যাক্টরাইজেশনের কারণে সরাসরি সমান্তরালকরণের সম্ভাবনাও সরবরাহ করে। একটি সমান্তরাল-টি. ই. বি. ডি-র অ-সমান্তরাল প্রতিরূপের মতো একই গণিত রয়েছে, একমাত্র পার্থক্য হল সংখ্যাসূচক বাস্তবায়নে। তথ্যসূত্র কোয়ান্টাম মেকানিক্স গণনামূলক পদার্থবিজ্ঞান