Quantum mutual information
কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্বে, জন ভন নিউম্যানের পরে কোয়ান্টাম মিউচুয়াল ইনফরমেশন বা ভন নিউম্যান মিউচুয়াল ইনফরমেশন হল কোয়ান্টাম অবস্থার সাবসিস্টেমগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কের একটি পরিমাপ। এটি শ্যানন পারস্পরিক তথ্যের কোয়ান্টাম যান্ত্রিক এনালগ। অনুপ্রেরণা সরলতার জন্য, এটি ধরে নেওয়া হবে যে নিবন্ধের সমস্ত বস্তু সীমাবদ্ধ-মাত্রিক। কোয়ান্টাম মিউচুয়াল এনট্রপির সংজ্ঞাটি ধ্রুপদী কেস দ্বারা অনুপ্রাণিত। দুটি চলক p (x, y)-এর সম্ভাব্যতা বণ্টনের জন্য, দুটি প্রান্তিক বন্টন হল ধ্রুপদী পারস্পরিক তথ্য I (X: Y) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে S (q) সম্ভাব্যতা বণ্টনের শ্যানন এনট্রপিকে বোঝায়। কেউ সরাসরি গণনা করতে পারে সুতরাং পারস্পরিক তথ্য হল যেখানে বিটগুলিতে পারস্পরিক তথ্য পাওয়ার জন্য লগারিদমটি 2-এর ভিত্তিতে নেওয়া হয়। কিন্তু এটি সঠিকভাবে p (x, y) এবং p (x) p (y) এর মধ্যে আপেক্ষিক এনট্রপি। অন্য কথায়, যদি আমরা x এবং y দুটি চলককে সম্পর্কহীন বলে ধরে নিই, তবে পারস্পরিক তথ্য হল এই (সম্ভবত ভুল) অনুমানের ফলে অনিশ্চয়তার মধ্যে অসামঞ্জস্য। এটি আপেক্ষিক এনট্রপির বৈশিষ্ট্য থেকে অনুসরণ করে যে I (X: Y) ≤0 এবং সমতা বজায় থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি p (x, y) = p (x) p (y) হয়। সংজ্ঞা ধ্রুপদী সম্ভাব্যতা বিতরণের কোয়ান্টাম যান্ত্রিক প্রতিরূপ ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের সাথে মডেল করা হয়। একটি কোয়ান্টাম সিস্টেমের কথা বিবেচনা করুন যা এ এবং বি-এই দুটি ভাগে বিভক্ত করা যেতে পারে, যাতে উভয় অংশেই স্বাধীন পরিমাপ করা যায়। সমগ্র কোয়ান্টাম সিস্টেমের স্টেট স্পেস তখন দুটি অংশের স্পেসের টেনসর প্রোডাক্ট। ধরা যাক ρAB একটি ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স যা এইচ. এ. বি-র অবস্থার উপর কাজ করে। ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স এস (ρ)-এর ভন নিউম্যান এনট্রপি হল শ্যানন এনট্রপির কোয়ান্টাম যান্ত্রিক সাদৃশ্য। একটি সম্ভাব্যতা বণ্টন p (x, y)-এর জন্য, x বা y চলকগুলিকে একীভূত করে প্রান্তিক বণ্টন পাওয়া যায়। ঘনত্ব ম্যাট্রিক্সের জন্য সংশ্লিষ্ট ক্রিয়াটি হল আংশিক ট্রেস। সুতরাং কেউ উপব্যবস্থা এ-তে একটি অবস্থাকে ρ নির্ধারণ করতে পারে যেখানে সিস্টেম বি-এর ক্ষেত্রে টিআরবি আংশিক ট্রেস। এটি সিস্টেম এ-তে ρAB-এর হ্রাসকৃত অবস্থা। সিস্টেম এ-এর সাপেক্ষে ρAB-এর হ্রাসপ্রাপ্ত ভন নিউম্যান এনট্রপি হল S (ρB) একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এখন দেখা যায় যে, ধ্রুপদী সংজ্ঞার সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ কোয়ান্টাম পারস্পরিক তথ্যের সংজ্ঞা নিম্নরূপ হওয়া উচিত। কোয়ান্টাম পারস্পরিক তথ্যকে ধ্রুপদী ক্ষেত্রে একইভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারেঃ এটি দেখানো যেতে পারে যে কোথায় কোয়ান্টাম আপেক্ষিক এনট্রপি বোঝায়। লক্ষ্য করুন যে কোয়ান্টাম ক্ষেত্রে পারস্পরিক তথ্যের একটি বিকল্প সাধারণীকরণ রয়েছে। একটি প্রদত্ত অবস্থার জন্য উভয়ের মধ্যে পার্থক্যকে কোয়ান্টাম ডিসকর্ড বলা হয়, যা প্রশ্নযুক্ত অবস্থার কোয়ান্টাম পারস্পরিক সম্পর্কের একটি পরিমাপ। বৈশিষ্ট্য যখন অবস্থাটি বিশুদ্ধ (এবং এইভাবে) হয়, তখন পারস্পরিক তথ্যটি অবস্থার এনট্যাঙ্গলমেন্ট এনট্রপির দ্বিগুণ হয়ঃ একটি ধনাত্মক কোয়ান্টাম পারস্পরিক তথ্য অবশ্য জড়িত হওয়ার ইঙ্গিত দেয় না। পৃথকীকৃত অবস্থার একটি ধ্রুপদী মিশ্রণে সর্বদা শূন্য জড়তা থাকবে, তবে শূন্যেতর কিউএমআই থাকতে পারে, যেমন এই ক্ষেত্রে, অবস্থাটি কেবল একটি ধ্রুপদীভাবে পরস্পর সম্পর্কিত অবস্থা। মাল্টিপার্টি জেনারেলাইজেশন ধরুন একটি সিস্টেম n সাবসিস্টেম দ্বারা গঠিত হয়ঃ যেখানে এবং যোগফল পুনরাবৃত্তি ছাড়াই সাবসিস্টেমের সমস্ত স্বতন্ত্র সংমিশ্রণের উপরে থাকে। উদাহরণস্বরূপ, নিন এখনঃ লক্ষ্য করুন যে আমরা আসলে যা করছি তা হল প্রতিবার একটি সাবসিস্টেমের উপর আংশিক ট্রেস নেওয়া, উদাহরণ নিন, প্রথম টার্মে আমরা ট্রেস করছি, দ্বিতীয় টার্মে ট্রেস শেষ হয়ে গেছে এবং আরও অনেক কিছু। তথ্যসূত্র কোয়ান্টাম মেকানিক্যাল এনট্রপি কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্ব