Lindley's paradox
লিন্ডলির প্যারাডক্স হল পরিসংখ্যানের একটি বিপরীতমুখী পরিস্থিতি যেখানে একটি অনুমান পরীক্ষার সমস্যার প্রতি বায়েসিয়ান এবং ফ্রিকোয়েন্টিস্ট দৃষ্টিভঙ্গি পূর্ববর্তী বিতরণের নির্দিষ্ট পছন্দগুলির জন্য বিভিন্ন ফলাফল দেয়। দুটি পদ্ধতির মধ্যে মতবিরোধের সমস্যা হ্যারল্ড জেফ্রেসের 1939 সালের পাঠ্যপুস্তকে আলোচনা করা হয়েছিল; 1957 সালের একটি গবেষণাপত্রে ডেনিস লিন্ডলি এই মতবিরোধকে একটি প্যারাডক্স বলে অভিহিত করার পরে এটি লিন্ডলির প্যারাডক্স নামে পরিচিত হয়ে ওঠে। যদিও একটি প্যারাডক্স হিসাবে উল্লেখ করা হয়, বায়েসিয়ান এবং ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পদ্ধতির থেকে ভিন্ন ফলাফলগুলি দুটি পদ্ধতির মধ্যে প্রকৃত মতবিরোধের পরিবর্তে মৌলিকভাবে ভিন্ন প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য তাদের ব্যবহার হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। তা সত্ত্বেও, একটি বড় শ্রেণীর প্রাইওরদের জন্য ফ্রিকোয়েন্টিস্ট এবং বায়েসিয়ান পদ্ধতির মধ্যে পার্থক্যগুলি তাৎপর্য স্তর স্থির রাখার কারণে ঘটেঃ যেমন লিন্ডলিও স্বীকার করেছেন, "তত্ত্বটি তাৎপর্য স্তর স্থির রাখার অনুশীলনকে ন্যায়সঙ্গত করে না" এবং এমনকি "সেই গবেষণাপত্রের আলোচনায় অধ্যাপক পিয়ারসনের কিছু গণনায় জোর দেওয়া হয়েছিল যে, যদি ক্ষতি এবং পূর্বের সম্ভাব্যতা স্থির রাখা হয় তবে নমুনার আকারের সাথে তাৎপর্য স্তরটি কীভাবে পরিবর্তন করতে হবে।" প্রকৃতপক্ষে, যদি নমুনার আকারের সাথে সমালোচনামূলক মানটি দ্রুত বৃদ্ধি পায়, তবে নমুনার আকার বাড়ার সাথে সাথে ফ্রিকোয়েন্টিস্ট এবং বায়েসিয়ান পদ্ধতির মধ্যে মতবিরোধ নগণ্য হয়ে যায়। প্যারাডক্সের বিবরণ কিছু পরীক্ষার ফলাফলের দুটি সম্ভাব্য ব্যাখ্যা রয়েছে, হাইপোথিসিস এবং, এবং কিছু পূর্ববর্তী বন্টন যা অনিশ্চয়তার প্রতিনিধিত্ব করে যে কোন হাইপোথিসিসটি বিবেচনায় নেওয়ার আগে আরও সঠিক। লিন্ডলির প্যারাডক্স তখন ঘটে যখন ফলাফলটি একটি ঘন ঘন পরীক্ষার দ্বারা "তাৎপর্যপূর্ণ" হয়, যা 5 শতাংশ স্তরে প্রত্যাখ্যান করার জন্য পর্যাপ্ত প্রমাণ নির্দেশ করে এবং প্রদত্ত হওয়ার পরবর্তী সম্ভাবনা বেশি, যা শক্তিশালী প্রমাণ নির্দেশ করে যা এর চেয়ে ভাল সম্মতিতে রয়েছে। এই ফলাফলগুলি একই সময়ে ঘটতে পারে যখন খুব নির্দিষ্ট, আরও বিস্তৃত, এবং পূর্ববর্তী বিতরণ এক বা অন্যটির পক্ষে দৃঢ়ভাবে সমর্থন করে না, যেমন নীচে দেখা গেছে। সংখ্যাসূচক উদাহরণ নিম্নলিখিত সংখ্যাসূচক উদাহরণটি লিন্ডলির প্যারাডক্সকে চিত্রিত করে। একটি নির্দিষ্ট শহরে একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে 49,581 জন ছেলে এবং 48,870 জন মেয়ে জন্মগ্রহণ করেছে। পুরুষ জন্মের পর্যবেক্ষিত অনুপাত এইভাবে 49,581/98,451 ≈ 0.5036। আমরা ধরে নিই যে পুরুষ জন্মের ভগ্নাংশটি পরামিতি সহ একটি দ্বিপদী পরিবর্তনশীল। আমরা 0.50 বা অন্য কোনও মান কিনা তা পরীক্ষা করতে আগ্রহী। অর্থাৎ, আমাদের নাল হাইপোথিসিস হল এবং বিকল্প হল। ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পদ্ধতি পরীক্ষার ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পদ্ধতি হল একটি পি-মান গণনা করা, যা ছেলেদের একটি ভগ্নাংশ পর্যবেক্ষণের সম্ভাবনা অন্তত যতটা বড় অনুমান করা যায় ততটাই সত্য। যেহেতু জন্মের সংখ্যা খুব বড়, তাই আমরা পুরুষ জন্মের ভগ্নাংশের জন্য একটি স্বাভাবিক অনুমান ব্যবহার করতে পারি, এবং, গণনা করার জন্য আমরা যদি 49,581 জন মহিলার জন্ম দেখি, অর্থাৎ আমরা সমানভাবে অবাক হতাম। সুতরাং, একজন ফ্রিকোয়েন্টিস্ট সাধারণত একটি দ্বিমুখী পরীক্ষা করবেন, যার জন্য পি-মান হবে। উভয় ক্ষেত্রেই, পি-মান 5 শতাংশের তাৎপর্য স্তর α-এর চেয়ে কম, তাই ঘন ঘন পদ্ধতিটি প্রত্যাখ্যান করে কারণ এটি পর্যবেক্ষিত তথ্যের সাথে একমত নয়। বায়েসিয়ান পদ্ধতি অন্যটির উপর একটি অনুমানকে সমর্থন করার কোনও কারণ ধরে না নিয়ে, বায়েসিয়ান পদ্ধতিটি হবে পূর্বের সম্ভাব্যতা এবং নীচে একটি অভিন্ন বন্টন নির্ধারণ করা, এবং তারপরে বায়েসের উপপাদ্য ব্যবহার করার পরবর্তী সম্ভাব্যতা গণনা করা, ছেলেদের জন্মের বাইরে পর্যবেক্ষণ করার পরে, আমরা একটি দ্বিপদী চলকের জন্য সম্ভাব্যতা ভর ফাংশন ব্যবহার করে প্রতিটি অনুমানের পরবর্তী সম্ভাব্যতা গণনা করতে পারি, যেখানে বিটা ফাংশন। এই মানগুলি থেকে, আমরা এর পরবর্তী সম্ভাবনা খুঁজে পাই, যা দৃঢ়ভাবে সমর্থন করে। দুটি পন্থা-বায়েসিয়ান এবং ফ্রিকোয়েন্টিস্ট-দ্বন্দ্বে রয়েছে বলে মনে হয় এবং এটিই হল "প্যারাডক্স"। বায়েসিয়ান এবং ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পদ্ধতির পুনর্মিলন নামান পরীক্ষার প্রায় নিশ্চিত অনুমান মিথ্যা ইতিবাচক নিয়ন্ত্রণের জন্য নমুনা আকারের সাথে তাৎপর্য স্তরের একটি অভিযোজনের প্রস্তাব দেয়ঃ, যেমন এর সাথে। অন্তত সংখ্যাসূচক উদাহরণে, নেওয়ার ফলে 0.00318-এর একটি তাৎপর্যপূর্ণ স্তর পাওয়া যায়, তাই ফ্রিকোয়েন্টিস্ট নাল হাইপোথিসিসকে প্রত্যাখ্যান করবে না, যা বায়েসিয়ান পদ্ধতির সাথে একমত। তথ্যহীন অগ্রাধিকার যদি আমরা আগে একটি তথ্যহীন ব্যবহার করি এবং ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পদ্ধতির অনুরূপ একটি অনুমান পরীক্ষা করি, তবে প্যারাডক্সটি অদৃশ্য হয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা পোস্টেরিয়র ডিস্ট্রিবিউশন গণনা করি, একটি অভিন্ন পূর্ববর্তী ডিস্ট্রিবিউশন ব্যবহার করে (অর্থাৎ। ), আমরা খুঁজে পাই যদি আমরা এটি ব্যবহার করে দেখি যে একটি নবজাতকের একটি মেয়ের চেয়ে ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা বেশি, অর্থাৎ। , আমরা দেখতে পাই অন্য কথায়, পুরুষ জন্মের অনুপাত 0.5-এর উপরে হওয়ার সম্ভাবনা খুব বেশি। কোনও বিশ্লেষণই সরাসরি প্রভাবের আকারের কোনও অনুমান দেয় না, তবে উদাহরণস্বরূপ, ছেলের জন্মের ভগ্নাংশ কোনও নির্দিষ্ট সীমার উপরে থাকার সম্ভাবনা রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করতে উভয়ই ব্যবহার করা যেতে পারে। প্রকৃত বৈপরীত্যের অভাব দুটি পদ্ধতির মধ্যে আপাত মতবিরোধ কারণগুলির সংমিশ্রণের কারণে ঘটে। প্রথমত, রেফারেন্স ছাড়াই পরীক্ষার উপরের ঘন ঘন পদ্ধতি। বায়েসিয়ান পদ্ধতিটি একটি বিকল্প হিসাবে মূল্যায়ন করে এবং পর্যবেক্ষণগুলির সাথে আরও ভাল একমত হওয়ার জন্য প্রথমটি খুঁজে পায়। এর কারণ হল পরবর্তী অনুমানটি অনেক বেশি বিস্তৃত, যেমন যে কোনও জায়গায় হতে পারে, যার ফলে এটির পরবর্তী সম্ভাবনা খুব কম থাকে। কেন তা বোঝার জন্য, দুটি অনুমানকে পর্যবেক্ষণের উৎপাদক হিসাবে বিবেচনা করা সহায়কঃ নীচে, আমরা বেছে নিই এবং জিজ্ঞাসা করি যে 98,451টি জন্মের মধ্যে 49,581টি ছেলেকে দেখার সম্ভাবনা কতটা। এর অধীনে, আমরা 0 থেকে 1 এর মধ্যে যে কোনও জায়গা থেকে এলোমেলোভাবে বেছে নিই এবং একই প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করি। আন্ডার-এর সম্ভাব্য মানগুলির বেশিরভাগই পর্যবেক্ষণ দ্বারা খুব দুর্বলভাবে সমর্থিত। সংক্ষেপে, পদ্ধতিগুলির মধ্যে আপাত মতবিরোধ মোটেও কোনও মতবিরোধ নয়, বরং অনুমানগুলি কীভাবে তথ্যের সাথে সম্পর্কিত সে সম্পর্কে দুটি ভিন্ন বিবৃতিঃ ফ্রিকোয়েন্টিস্ট এটি পর্যবেক্ষণের জন্য একটি দুর্বল ব্যাখ্যা বলে মনে করেন। বায়েসিয়ান আবিষ্কার করেছে যে পর্যবেক্ষণের জন্য এটি অনেক ভাল ব্যাখ্যা। ঘন ঘন পরীক্ষা অনুসারে, নবজাতকের লিঙ্গের অনুপাত অসম্ভবভাবে 50/50 পুরুষ/মহিলা। তবুও 50/50 বেশিরভাগের তুলনায় একটি ভাল অনুমান, তবে সমস্ত নয়, অন্যান্য অনুপাত। অনুমানটি পর্যবেক্ষণের সাথে প্রায় অন্যান্য সমস্ত অনুপাতের তুলনায় অনেক বেশি মানানসই হত। উদাহরণস্বরূপ, অনুমান এবং পূর্ব সম্ভাবনার এই পছন্দটি এই বিবৃতিটি বোঝায়ঃ "যদি> 0.49 এবং <0.51 হয়, তবে ঠিক 0.5 হওয়ার পূর্ব সম্ভাবনা 0.50/0.51 98% হয়।" এই ধরনের দৃঢ় পছন্দের পরিপ্রেক্ষিতে, এটি সহজেই বোঝা যায় যে কেন বায়েসীয় দৃষ্টিভঙ্গি এর পক্ষে, যদিও এর পর্যবেক্ষিত মান 0.5 থেকে দূরে থাকে। ফ্রিকোয়েন্টিস্ট পদ্ধতিতে 2 সিগমারও বেশি বিচ্যুতি গুরুত্বপূর্ণ বলে মনে করা হয়, তবে বায়েসিয়ান পদ্ধতিতে এর তাৎপর্য পূর্ববর্তী দ্বারা বাতিল করা হয়। এটিকে অন্যভাবে দেখলে, আমরা দেখতে পাই যে পূর্ববর্তী বন্টন মূলত একটি ডেল্টা ফাংশন সহ সমতল। এটা স্পষ্টতই সন্দেহের বিষয়। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি বাস্তব সংখ্যাগুলিকে অবিচ্ছিন্ন হিসাবে কল্পনা করেন, তবে এটি অনুমান করা আরও যুক্তিসঙ্গত হবে যে কোনও প্রদত্ত সংখ্যার পক্ষে ঠিক প্যারামিটার মান হওয়া অসম্ভব, অর্থাৎ আমাদের ধরে নেওয়া উচিত। বিকল্প অনুমানের জন্য আরও বাস্তবসম্মত বন্টন এর পরবর্তী অংশের জন্য কম বিস্ময়কর ফলাফল তৈরি করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা প্রতিস্থাপন করি, অর্থাৎ, সর্বাধিক সম্ভাব্যতা অনুমানের জন্য, এর পরবর্তী সম্ভাবনা 0.93 এর তুলনায় মাত্র 0.07 হবে (অবশ্যই, কেউ প্রকৃতপক্ষে পূর্ববর্তী বিতরণের অংশ হিসাবে এম. এল. ই ব্যবহার করতে পারে না)। সাম্প্রতিক আলোচনা প্যারাডক্স সক্রিয় আলোচনার একটি উৎস হিসাবে অব্যাহত রয়েছে। আরও দেখুন বায়েস ফ্যাক্টর নোটস আরও পড়া পরিসংখ্যানগত অনুমান পরিসংখ্যানগত প্যারাডক্স বায়েসিয়ান পরিসংখ্যান পরীক্ষা করছে