Period mapping
গণিতে, বীজগাণিতিক জ্যামিতির ক্ষেত্রে, পিরিয়ড ম্যাপিং হজ কাঠামোর পরিবারের সাথে কেলার ম্যানিফোল্ডের পরিবারগুলিকে সম্পর্কিত করে। এহরেসম্যানের উপপাদ্যটি একটি হোলোমরফিক ডুবন্ত মরফিজম হতে পারে। বি-এর একটি বিন্দু বি-এর জন্য, আমরা এফ-এর ফাইবারকে বি-এর উপর এক্সবি দ্বারা নির্দেশ করি। বি. এহরেসম্যানের উপপাদ্য নিশ্চিত করে যে, 0-এর কাছাকাছি একটি ছোট উন্মুক্ত এলাকা U রয়েছে যেখানে f একটি ফাইবার বান্ডেলে পরিণত হয়। অর্থাৎ, এটি ডিফিয়োমরফিক। বিশেষ করে, যৌগিক মানচিত্রটি একটি ডিফিয়োমরফিজম। এই ডিফিয়োমরফিজম অনন্য নয় কারণ এটি তুচ্ছকরণের পছন্দের উপর নির্ভর করে। ইউ-তে মসৃণ পথ থেকে তুচ্ছকরণ তৈরি করা হয় এবং এটি দেখানো যেতে পারে যে ডিফিয়োমোর্ফিজমের হোমোটপি শ্রেণী শুধুমাত্র বি থেকে 0 পর্যন্ত পথের একটি হোমোটপি শ্রেণীর পছন্দের উপর নির্ভর করে। বিশেষত, যদি U সঙ্কুচিত হয়, তবে হোমোটপি পর্যন্ত একটি সু-সংজ্ঞায়িত ডিফিয়োমরফিজম রয়েছে। Xb থেকে X0 পর্যন্ত ডিফিয়োমরফিজম কোহোমোলজি গ্রুপগুলির একটি আইসোমরফিজমকে প্ররোচিত করে এবং যেহেতু সমস্থানিক মানচিত্রগুলি কোহোমোলজির উপর অভিন্ন মানচিত্রকে প্ররোচিত করে, তাই এই আইসোমরফিজম শুধুমাত্র b থেকে 0 পর্যন্ত পথের সমস্থানিক শ্রেণীর উপর নির্ভর করে। স্থানীয় অনপোলারাইজড পিরিয়ড ম্যাপিং ধরে নিন যে f সঠিক এবং X0 একটি কেলার জাত। কাহলার শর্তটি খোলা, তাই সম্ভবত ইউ সঙ্কুচিত হওয়ার পরে, এক্সবি কমপ্যাক্ট এবং ইউ-তে সমস্ত বি-এর জন্য কাহলার। ইউ আরও সঙ্কুচিত হওয়ার পরে আমরা ধরে নিতে পারি যে এটি চুক্তিবদ্ধ। তারপর X0 এবং Xb-এর কোহোমোলজি গ্রুপের মধ্যে একটি সুনির্দিষ্ট আইসোমরফিজম রয়েছে। কোহোমোলজি গ্রুপের এই আইসোমরফিজমগুলি সাধারণভাবে এক্স0 এবং এক্সবি-র হজ কাঠামো সংরক্ষণ করবে না কারণ এগুলি ডাইফিওমরফিজম দ্বারা প্ররোচিত হয়, বাইহোলোমরফিজম দ্বারা নয়। আসুন হজ পরিস্রাবণের pth ধাপটি নির্দেশ করি। Xb-এর হজ সংখ্যা X0-এর সমান, তাই সংখ্যাটি b-এর থেকে স্বাধীন। পিরিয়ড ম্যাপ হল সেই মানচিত্র যেখানে F হল bp মাত্রার সাবস্পেসের চেইনের ফ্ল্যাগ বৈচিত্র্য, সমস্ত p-এর জন্য k, যা পাঠায় কারণ Xb একটি কেলার ম্যানিফোল্ড, হজ পরিস্রাবণ হজ-রিম্যান দ্বিমাত্রিক সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। এগুলি বোঝায় যে সাবস্পেসের সমস্ত পতাকা এই শর্তটি পূরণ করে না। এই শর্ত পূরণকারী পতাকার বৈচিত্র্যের উপসেটকে বলা হয় আনপোলারাইজড লোকাল পিরিয়ড ডোমেইন এবং এটি চিহ্নিত করা হয়। স্থানীয় মেরুকৃত পিরিয়ড ম্যাপিং ধরে নিন যে এখন প্রতিটি এক্সবি কেবল কেলার নয়, বরং একটি কেলার শ্রেণী রয়েছে যা বি-তে হোলোমরফিক্যালি পরিবর্তিত হয়। অন্য কথায়, ধরে নিন যে একটি শ্রেণী ω রয়েছে যাতে প্রতিটি b-এর জন্য, ω থেকে Xb-এর সীমাবদ্ধতা ωb একটি কেলার শ্রেণী। ωb এই নিয়ম দ্বারা Hk (Xb, C)-এর উপর একটি দ্বিমাত্রিক ফর্ম Q নির্ধারণ করে এই ফর্মটি b-তে হোলোমরফিকভাবে পরিবর্তিত হয় এবং ফলস্বরূপ পিরিয়ড ম্যাপিংয়ের চিত্রটি অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতাগুলি সন্তুষ্ট করে যা আবার হজ-রিম্যান দ্বিমাত্রিক সম্পর্ক থেকে আসে। এগুলি হলঃ অর্থোগোনালিটিঃ Q-এর সাপেক্ষে অর্থোগোনাল। ইতিবাচক নিশ্চিততাঃ সকলের জন্য, প্রকারের আদিম শ্রেণীর সীমাবদ্ধতা ইতিবাচক নির্দিষ্ট। মেরুকৃত স্থানীয় পিরিয়ড ডোমেইন হল মেরুকৃত স্থানীয় পিরিয়ড ডোমেইনের উপসেট যার পতাকা এই অতিরিক্ত শর্তগুলি পূরণ করে। প্রথম শর্তটি হল একটি বদ্ধ অবস্থা, এবং দ্বিতীয়টি হল একটি উন্মুক্ত অবস্থা, এবং ফলস্বরূপ মেরুকৃত স্থানীয় পিরিয়ড ডোমেনটি মেরুকৃত স্থানীয় পিরিয়ড ডোমেন এবং ফ্ল্যাগ বৈচিত্র্য এফ-এর একটি স্থানীয়ভাবে বন্ধ উপসেট। পিরিয়ড ম্যাপিংটি আগের মতোই সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। মেরুকৃত স্থানীয় পিরিয়ড ডোমেন এবং মেরুকৃত পিরিয়ড ম্যাপিং এখনও যথাক্রমে এবং হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। গ্লোবাল পিরিয়ড ম্যাপিং শুধুমাত্র স্থানীয় পিরিয়ড ম্যাপিং-এর উপর ফোকাস করা বেস স্পেস বি-এর টপোলজিতে উপস্থিত তথ্যকে উপেক্ষা করে। গ্লোবাল পিরিয়ড ম্যাপিং তৈরি করা হয়েছে যাতে এই তথ্য এখনও পাওয়া যায়। বৈশ্বিক পিরিয়ড ম্যাপিং তৈরিতে অসুবিধা বি-এর মনোড্রোমি থেকে আসেঃ ফাইবার এক্সবি এবং এক্স0 সম্পর্কিত ডিফিয়োমোর্ফিজমের আর কোনও অনন্য সমস্থানিক শ্রেণী নেই। পরিবর্তে, বি-তে পথের স্বতন্ত্র সমস্থানিক শ্রেণীগুলি সম্ভবত ডিফিয়োমোর্ফিজমের স্বতন্ত্র সমস্থানিক শ্রেণীকে প্ররোচিত করে এবং তাই সম্ভবত সমস্থানিক গোষ্ঠীর স্বতন্ত্র সমস্থানিক। ফলস্বরূপ প্রতিটি তন্তুর জন্য আর একটি সুনির্দিষ্ট পতাকা নেই। পরিবর্তে, পতাকাটি শুধুমাত্র মৌলিক গোষ্ঠীর ক্রিয়া পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করা হয়। অনপোলারাইজড ক্ষেত্রে, মনোড্রোমি গ্রুপকে জিএল (এইচকে (এক্স0, জেড))-এর উপগোষ্ঠী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন যা উপরের হিসাবে বি-তে বক্ররেখার সমস্থানিক শ্রেণী দ্বারা প্ররোচিত সমস্ত অটোমরফিজম নিয়ে গঠিত। পতাকার বৈচিত্র্য হল একটি প্যারাবলিক উপগোষ্ঠী দ্বারা একটি লাই গোষ্ঠীর একটি ভাগফল, এবং মনোড্রোমি গ্রুপ হল লাই গোষ্ঠীর একটি গাণিতিক উপগোষ্ঠী। গ্লোবাল আনপোলারাইজড পিরিয়ড ডোমেইন হল স্থানীয় আনপোলারাইজড পিরিয়ড ডোমেইনের ভাগফল (এটি এইভাবে ডাবল কোসেটগুলির একটি সংগ্রহ)। পোলারাইজড ক্ষেত্রে, মনোড্রোমি গ্রুপের উপাদানগুলি দ্বিমাত্রিক ফর্ম Q সংরক্ষণ করতে হবে এবং গ্লোবাল পোলারাইজড পিরিয়ড ডোমেনটি একইভাবে  তাই দ্বারা ভাগফল হিসাবে নির্মিত হয়। উভয় ক্ষেত্রেই, পিরিয়ড ম্যাপিং এক্সবি-তে হজ পরিস্রাবণের শ্রেণীতে বি-এর একটি বিন্দু নেয়। বৈশিষ্ট্য গ্রিফিথস প্রমাণ করেছেন যে পিরিয়ড ম্যাপটি হলোমর্ফিক। তাঁর ট্রান্সভার্স্যালিটি উপপাদ্য পিরিয়ড ম্যাপের পরিসরকে সীমাবদ্ধ করে। পর্যায় ম্যাট্রিক্স হজ পরিস্রাবণ পর্যায় ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে স্থানাঙ্কে প্রকাশ করা যেতে পারে। kth ইন্টিগ্রাল হোমোলজি গ্রুপের টর্জন-মুক্ত অংশের জন্য একটি ভিত্তি δ1,., δr বেছে নিন। p এবং q এর সাথে ঠিক করুন, এবং ধরণের সুরেলা রূপগুলির জন্য একটি ভিত্তি ω1,., ωs বেছে নিন। এই ভিত্তির সাপেক্ষে X0-এর পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স হল ম্যাট্রিক্স পিরিয়ড ম্যাট্রিক্সের এন্ট্রিগুলি নির্ভর করে ভিত্তির পছন্দ এবং জটিল কাঠামোর উপর। δs একটি ম্যাট্রিক্স λ-এর পছন্দ দ্বারা পরিবর্তিত হতে পারে এবং ωs একটি ম্যাট্রিক্স A-এর পছন্দ দ্বারা পরিবর্তিত হতে পারে। একটি পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স ω এর সমতুল্য যদি এটি A এবং λ এর কিছু পছন্দের জন্য A ωλ হিসাবে লেখা যায়। উপবৃত্তাকার বক্ররেখার ক্ষেত্রে উপবৃত্তাকার বক্ররেখার পরিবার বিবেচনা করুন যেখানে λ হল এমন কোনও জটিল সংখ্যা যা শূন্য বা এক-এর সমান নয়। একটি বক্ররেখার প্রথম কোহোমোলজি গ্রুপের হজ পরিস্রাবণের দুটি ধাপ রয়েছে, F0 এবং F1। যাইহোক, F0 হল সমগ্র কোহোমোলজি গ্রুপ, তাই পরিস্রাবণের একমাত্র আকর্ষণীয় শব্দ হল F1, যা হল H1,0, হলোমর্ফিক হারমোনিক 1-ফর্মের স্থান। H1,0 এক-মাত্রিক কারণ বক্ররেখাটি উপবৃত্তাকার, এবং সমস্ত λ-এর জন্য, এটি ডিফারেনশিয়াল ফর্ম দ্বারা বিস্তৃত। বক্ররেখার সমতুল্য গোষ্ঠীর সুস্পষ্ট প্রতিনিধিদের খুঁজে বের করার জন্য, লক্ষ্য করুন যে বক্ররেখাটি রিমান গোলকের বহুগুণিত ফাংশনের গ্রাফ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এই ফাংশনের শাখা বিন্দুগুলি শূন্য, এক, λ এবং অনন্ত। দুটি শাখা কাটা করুন, একটি শূন্য থেকে একটিতে এবং অন্যটি λ থেকে অনন্ত পর্যন্ত। এগুলি ফাংশনের শাখা পয়েন্টগুলিকে নিঃশেষ করে দেয়, তাই তারা বহু-মূল্যবান ফাংশনটিকে দুটি একক-মূল্যবান শীটে কেটে দেয়। একটি ছোট ঠিক করুন। এই শীটগুলির একটিতে, বক্ররেখাটি চিহ্নিত করুন। যথেষ্ট ছোট ε-এর জন্য, এই বক্ররেখা শাখা কাটাটিকে ঘিরে রাখে এবং শাখা কাটা পূরণ করে না। এখন আরেকটি বক্ররেখা δ (t) খুঁজে বের করুন যা একটি শীটে শুরু হয় এবং অন্য শীটে অব্যাহত থাকে। এই বক্ররেখার প্রতিটি অর্ধেক রিমান পৃষ্ঠের দুটি পাতার 1 এবং λ বিন্দুকে সংযুক্ত করে। সেইফার্ট-ভ্যান কাম্পেন উপপাদ্য থেকে, বক্ররেখার সমতাত্ত্বিক গোষ্ঠীটি দ্বিতীয় স্থান থেকে মুক্ত। যেহেতু বক্ররেখা একটি বিন্দুতে মিলিত হয়, তাই তাদের সমতাত্ত্বিক শ্রেণীর কোনওটিই অন্য কোনও সমতাত্ত্বিক শ্রেণীর যথাযথ গুণিতক নয় এবং তাই তারা এইচ1-এর ভিত্তি গঠন করে। এই পরিবারের জন্য পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স তাই এই ম্যাট্রিক্সের প্রথম এন্ট্রি আমরা A এবং দ্বিতীয়টিকে B হিসাবে সংক্ষিপ্ত করব। দ্বিমাত্রিক ফর্ম Q ধনাত্মক নির্দিষ্ট কারণ স্থানীয়ভাবে, আমরা সর্বদা ω কে f dz হিসাবে লিখতে পারি, তাই পয়েনকারে দ্বৈততা দ্বারা, γ এবং δ কোহোমোলজি ক্লাসের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ γ * এবং δ * যা একসাথে একটি ভিত্তি। এটি অনুসরণ করে যে ω কে γ * এবং δ * এর রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে। γ এবং δ দ্বৈত মৌলিক উপাদানের সাপেক্ষে ω মূল্যায়ন করে সহগগুলি দেওয়া হয়ঃ যখন আমরা এই পদগুলিতে Q-এর ধনাত্মক নির্দিষ্টতা পুনর্লিখন করি, তখন আমাদের আছে যেহেতু γ * এবং δ * অবিচ্ছেদ্য, তাই সংমিশ্রণে সেগুলি পরিবর্তিত হয় না। উপরন্তু, যেহেতু γ এবং δ একটি বিন্দুতে ছেদ করে এবং একটি বিন্দু H0-এর উৎপাদক, তাই γ * এবং δ *-এর কাপ গুণফল হল X0-এর মৌলিক শ্রেণী। ফলস্বরূপ এই ইন্টিগ্রাল সমান হয়। ইন্টিগ্রালটি কঠোরভাবে ধনাত্মক, তাই এ বা বি উভয়ই শূন্য হতে পারে না। ω পুনরুদ্ধার করার পরে, আমরা ধরে নিতে পারি যে পিরিয়ড ম্যাট্রিক্স কঠোরভাবে ধনাত্মক কাল্পনিক অংশ সহ কিছু জটিল সংখ্যা τ-এর সমান। এটি ক্রিয়া থেকে আসা অস্পষ্টতা দূর করে। এর ক্রিয়াটি তখন উপরের অর্ধ-সমতলে মডুলার গ্রুপের স্বাভাবিক ক্রিয়া। ফলস্বরূপ, পিরিয়ড ডোমেইন হল রিমান গোলক। এটি একটি জাল হিসাবে একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার স্বাভাবিক পরামিতি। আরও দেখুন হজ তত্ত্ব জ্যাকোবিয়ান বৈচিত্র্য মডুলার গ্রুপ রেফারেন্স গণনা ফর্মের বক্ররেখার জন্য পিরিয়ড ম্যাট্রিক্সের স্পষ্ট গণনা-উদাহরণ অন্তর্ভুক্ত হাইপারেলিপটিক বক্ররেখার জন্য পিরিয়ড ম্যাট্রিক্সের স্পষ্ট গণনা-উদাহরণ অন্তর্ভুক্ত হাইপারসার্ফেসগুলির সময়কাল গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম সাধারণ ভয়েসিন, হজ তত্ত্ব এবং জটিল বীজগাণিতিক জ্যামিতি I, II অ্যাপ্লিকেশন হাইপারেলিপটিক জ্যাকোবিয়ানদের লোকাসের মধ্যে শিমুরা বক্ররেখা গণ তিনটি বাহ্যিক লিঙ্ক গণিত হজ তত্ত্ব উপবৃত্তাকার বক্ররেখার বিশ্বকোষের পিরিয়ড ম্যাপিং