Quasiconvex function
গণিতে, একটি কোয়াসিকোভেক্স ফাংশন হল একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন যা একটি ব্যবধান বা একটি বাস্তব ভেক্টর স্থানের উত্তল উপসেটে সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে ফর্মের যে কোনও সেটের বিপরীত চিত্রটি একটি উত্তল সেট হয়। একটি একক চলকের ফাংশনের জন্য, বক্ররেখার যে কোনও প্রসারিত অংশ বরাবর সর্বোচ্চ বিন্দু হল শেষ বিন্দুগুলির মধ্যে একটি। একটি কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনের ঋণাত্মককে কোয়াসিকোকেভ বলা হয়। সমস্ত উত্তল ফাংশনও কোয়াসিকোভেক্স, তবে সমস্ত কোয়াসিকোভেক্স ফাংশন উত্তল নয়, তাই কোয়াসিকোভেক্সিটি উত্তলের একটি সাধারণীকরণ। ইউনিভ্যারিয়েট ইউনিমোডাল ফাংশনগুলি কোয়াসিকোভেক্স বা কোয়াসিকোকেভ, তবে একাধিক আর্গুমেন্ট সহ ফাংশনের ক্ষেত্রে এটি অগত্যা নয়। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিমাত্রিক রোজেনব্রক ফাংশনটি একমুখী তবে কোয়াসিকোভেক্স নয় এবং স্টার-কনভেক্স সাব-লেভেল সেটগুলির সাথে ফাংশনগুলি কোয়াসিকোভেক্স না হয়েও একমুখী হতে পারে। সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য একটি বাস্তব ভেক্টর স্থানের উত্তল উপসেটে সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন হল কোয়াসিকোভেক্স যদি সকলের জন্য এবং আমাদের থাকে। লক্ষ্য করুন যে বিন্দু এবং, এবং সরাসরি তাদের মধ্যে বিন্দু, একটি লাইনের বিন্দু হতে পারে বা আরও সাধারণভাবে এন-মাত্রিক স্থানের বিন্দু হতে পারে। একটি আধা-উত্তল ফাংশন সংজ্ঞায়িত করার একটি বিকল্প উপায় (ভূমিকা দেখুন) হল প্রতিটি উপ-স্তর সেটকে একটি উত্তল সেট হতে হবে। যদি সর্বোপরি সকলের জন্য এবং, তবে এটি কঠোরভাবে কোয়াসিকোভেক্স। অর্থাৎ, কঠোর কোয়াসিকোভেক্সিটির জন্য প্রয়োজন যে অন্য দুটি বিন্দুর মধ্যে সরাসরি একটি বিন্দু অবশ্যই অন্য একটি বিন্দুর তুলনায় ফাংশনের কম মান দেবে। একটি কোয়াসিকোনেভ ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যার ঋণাত্মক হল কোয়াসিকোনেভেক্স, এবং একটি কঠোরভাবে কোয়াসিকোনেভ ফাংশন হল এমন একটি ফাংশন যার ঋণাত্মক হল কঠোরভাবে কোয়াসিকোনেভেক্স। সমতুল্যভাবে একটি ফাংশন হল কোয়াসিকোকেভ যদি এবং কঠোরভাবে কোয়াসিকোকেভ হয় যদি এ (কঠোরভাবে) কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনে (কঠোরভাবে) উত্তল নিম্ন কনট্যুর সেট থাকে, যখন একটি (কঠোরভাবে) কোয়াসিকোকেভ ফাংশনে (কঠোরভাবে) উত্তল উপরের কনট্যুর সেট থাকে। একটি ফাংশন যা কোয়াসিকোভেক্স এবং কোয়াসিকোকেভ উভয়ই কোয়াসিলিনিয়ার। আধা-গহ্বরের একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, যদি, একঘেয়েমি হয়, যেখানে স্থানীয়ভাবে সর্বাধিক মান থাকে। গাণিতিক বিশ্লেষণ, গাণিতিক অপ্টিমাইজেশান এবং গেম থিওরি ও অর্থনীতিতে কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনের প্রয়োগ রয়েছে। গাণিতিক অপ্টিমাইজেশনে অরৈখিক অপ্টিমাইজেশনে, কোয়াসিকোভেক্স প্রোগ্রামিং পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করে যা কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনের জন্য ন্যূনতম (যদি একটি বিদ্যমান থাকে) রূপান্তরিত হয়। কোয়াসিকোভেক্স প্রোগ্রামিং হল উত্তল প্রোগ্রামিংয়ের একটি সাধারণীকরণ। কোয়াসিকোভেক্স প্রোগ্রামিং "সারোগেট" দ্বৈত সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয়, যার দ্বৈতগুলি প্রাথমিক সমস্যার কোয়াসিকোভেক্স ক্লোজার সরবরাহ করে, যা তাই ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান দ্বৈত সমস্যা দ্বারা প্রদত্ত উত্তল ক্লোজারের তুলনায় কঠোর সীমা প্রদান করে। তত্ত্বগতভাবে, কোয়াসিকোভেক্স প্রোগ্রামিং এবং উত্তল প্রোগ্রামিং সমস্যাগুলি যুক্তিসঙ্গত সময়ের মধ্যে সমাধান করা যেতে পারে, যেখানে পুনরাবৃত্তির সংখ্যা সমস্যার মাত্রায় বহুপদের মতো বৃদ্ধি পায় (এবং আনুমানিক ত্রুটির পারস্পরিক সহনীয়তায়); তবে, তাত্ত্বিকভাবে এই ধরনের "দক্ষ" পদ্ধতিগুলি "ডাইভারজেন্ট-সিরিজ" ধাপের আকারের নিয়মগুলি ব্যবহার করে, যা প্রথম ধ্রুপদী উপ-গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতির জন্য তৈরি করা হয়েছিল। ডাইভারজেন্ট-সিরিজ নিয়ম ব্যবহার করে ধ্রুপদী সাবগ্রেডিএন্ট পদ্ধতিগুলি উত্তল হ্রাসকরণের আধুনিক পদ্ধতির তুলনায় অনেক ধীর, যেমন সাবগ্রেডিএন্ট প্রজেকশন পদ্ধতি, অবতরণের বান্ডিল পদ্ধতি এবং ননসমথ ফিল্টার পদ্ধতি। অর্থনীতি এবং আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণঃ মিনিম্যাক্স উপপাদ্য মাইক্রোইকোনমিক্সে, কোয়াসিকোকেভ ইউটিলিটি ফাংশনগুলি বোঝায় যে ভোক্তাদের উত্তল পছন্দ রয়েছে। গেম থিওরি, ইন্ডাস্ট্রিয়াল অর্গানাইজেশন এবং জেনারেল ইকুইলিব্রিয়াম থিওরি, বিশেষ করে সিয়নের মিনিম্যাক্স থিওরেমের প্রয়োগের ক্ষেত্রেও কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনগুলি গুরুত্বপূর্ণ। জন ভন নিউম্যানের একটি মিনিম্যাক্স উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করে, আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের তত্ত্বেও সিয়নের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়। কোয়াসিকোভেক্সিটি সংরক্ষণ ক্রিয়াকলাপ কোয়াসিকোভেক্সিটি সংরক্ষণ সর্বোচ্চ কোয়াসিকোভেক্স ফাংশন (অর্থাৎ) এটি কোয়াসিকোভেক্স। একইভাবে, কঠোর কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনগুলির সর্বাধিক হল কঠোর কোয়াসিকোভেক্স। একইভাবে, ন্যূনতম কোয়াসিকোকেভ ফাংশন হল কোয়াসিকোকেভ, এবং ন্যূনতম কঠোরভাবে-কোয়াসিকোকেভ ফাংশন হল কঠোরভাবে-কোয়াসিকোকেভ। একটি অ-হ্রাসকারী ফাংশন সহ গঠনঃ কোয়াসিকোভেক্স, অ-হ্রাসকারী, তারপর হয় কোয়াসিকোভেক্স। একইভাবে, যদি কোয়াসিকোকেভ, অ-হ্রাসকারী হয়, তবে কোয়াসিকোকেভ। ন্যূনতমকরণ (অর্থাৎ। কোয়াসিকোভেক্স, কনভেক্স সেট, তারপর কোয়াসিকোভেক্স) কোয়াসিকোভেক্সিটি সংরক্ষণ না করা ক্রিয়াকলাপ একই ডোমেনে সংজ্ঞায়িত কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনের সমষ্টি কোয়াসিকোভেক্স হওয়ার দরকার নেইঃ অন্য কথায়, যদি কোয়াসিকোভেক্স হয়, তবে কোয়াসিকোভেক্স হওয়ার দরকার নেই। বিভিন্ন ডোমেনে সংজ্ঞায়িত কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনের সমষ্টি (অর্থাৎ। যদি কোয়াসিকোভেক্স হয়,) কোয়াসিকোভেক্স হওয়ার প্রয়োজন নেই। এই ধরনের ফাংশনগুলিকে অর্থনীতিতে "অ্যাডিটিভলি ডিকম্পোজড" এবং গাণিতিক অপ্টিমাইজেশনে "সেপারেবল" বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি উত্তল ফাংশন হল কোয়াসিকোভেক্স। একটি অবতল ফাংশন কোয়াসিকোভেক্স হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অবতল এবং কোয়াসিকোভেক্স উভয়ই। যে কোনও একবৃত্তীয় ক্রিয়া হল কোয়াসিকোভেক্স এবং কোয়াসিকোকেভ উভয়ই। আরও সাধারণভাবে, একটি ফাংশন যা একটি বিন্দু পর্যন্ত হ্রাস পায় এবং সেই বিন্দু থেকে বৃদ্ধি পায় তা হল কোয়াসিকোভেক্স (এককত্বের তুলনা)। ফ্লোর ফাংশন একটি কোয়াসিকোভেক্স ফাংশনের একটি উদাহরণ যা উত্তল বা অবিচ্ছিন্ন নয়। আরও দেখুন কনভেক্স ফাংশন অবতল ফাংশন লগারিথমেটিক্যালি অবতল ফাংশন বিভিন্ন জটিল চলকের অর্থে সিউডোকনভেক্সিটি (সাধারণীকৃত উত্তলতা নয়) সিউডোকনভেক্স ফাংশন ইনভেক্স ফাংশন কনক্যাভিফিকেশন রেফারেন্স অ্যাভ্রিয়েল, এম., ডিউয়ার্ট, ডব্লিউ. ই., শেইবল, এস. এবং জাং, আই., সাধারণীকৃত অবতল, প্লেনম প্রেস, 1988। গায়ক, ইভান বিমূর্ত উত্তল বিশ্লেষণ। কানাডিয়ান ম্যাথমেটিকাল সোসাইটি মনোগ্রাফ এবং উন্নত পাঠ্যের সিরিজ। একটি উইলি-ইন্টারসায়েন্স প্রকাশনা। জন উইলি অ্যান্ড সন্স, ইনকর্পোরেটেড, নিউ ইয়র্ক, 1997. xxii + 491 পিপি। এক্সটার্নাল লিঙ্কস এসআইওএন, এম., "অন জেনারেল মিনিম্যাক্স থিওরেমস", প্যাসিফিক জে। গণিত। 8 (1958), 171-176। গাণিতিক প্রোগ্রামিং শব্দকোষ অবতল এবং আধা-কনকেভ ফাংশন-চার্লস উইলসন, এনওয়াইইউ অর্থনীতি বিভাগ কোয়াসিকোনাভিটি এবং কোয়াসিকোনাভিটি-মার্টিন জে অসবর্ন, টরন্টো বিশ্ববিদ্যালয় অর্থনীতি বিভাগ কনভেক্স বিশ্লেষণ কনভেক্স অপ্টিমাইজেশন সাধারণীকৃত উত্তল প্রকৃত বিশ্লেষণ প্রকারের ফাংশন