Holonomic constraints
ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানে, হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা হল অবস্থানের চলকগুলির (এবং সম্ভবত সময়) মধ্যে সম্পর্ক যা নিম্নলিখিত আকারে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ যেখানে n সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক রয়েছে যা সিস্টেমকে বর্ণনা করে (অনিয়ন্ত্রিত কনফিগারেশন স্পেসে)। উদাহরণস্বরূপ, একটি গোলক পৃষ্ঠের উপর সীমাবদ্ধ একটি কণার গতি একটি হোলোনমিক সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে, কিন্তু যদি কণাটি মাধ্যাকর্ষণের প্রভাবে গোলক থেকে পড়ে যেতে সক্ষম হয়, তবে সীমাবদ্ধতাটি অ-হোলোনমিক হয়ে যায়। প্রথম ক্ষেত্রে, হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা সমীকরণ দ্বারা দেওয়া যেতে পারে যেখানে ব্যাসার্ধের একটি গোলকের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব, যেখানে দ্বিতীয় অ-হোলোনমিক ক্ষেত্রে বেগ-নির্ভর সীমাবদ্ধতা (যাকে আধা-হোলোনমিক সীমাবদ্ধতাও বলা হয়) দ্বারা দেওয়া যেতে পারে যেমন সাধারণত হোলোনমিক নয়। ধ্রুপদী বলবিজ্ঞানে একটি ব্যবস্থাকে হোলোনমিক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যদি ব্যবস্থার সমস্ত সীমাবদ্ধতা হোলোনমিক হয়। একটি সীমাবদ্ধতা হোলোনমিক হওয়ার জন্য এটি অবশ্যই একটি ফাংশন হিসাবে প্রকাশযোগ্য হতে হবেঃ একটি হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা শুধুমাত্র স্থানাঙ্ক এবং সম্ভবত সময়ের উপর নির্ভর করে। এটি t-এর সাপেক্ষে বেগ বা কোনও উচ্চতর-ক্রমের ব্যুৎপত্তির উপর নির্ভর করে না। একটি সীমাবদ্ধতা যা উপরে দেখানো আকারে প্রকাশ করা যায় না তা হল একটি অ-হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা। ভূমিকা উপরে বর্ণিত হিসাবে, একটি হোলোনমিক সিস্টেম (সহজভাবে বলতে গেলে) এমন একটি সিস্টেম যেখানে কেউ সময়ের সাথে সাথে সিস্টেমের উপাদানগুলির অবস্থানের পরিবর্তন জেনে একটি সিস্টেমের অবস্থা অনুমান করতে পারে, তবে বেগ বা উপাদানগুলি একে অপরের আপেক্ষিকভাবে কোন ক্রমে চলেছিল তা জানার প্রয়োজন নেই। বিপরীতে, একটি ননহোলোনমিক সিস্টেম প্রায়শই এমন একটি সিস্টেম যেখানে সময়ের সাথে সাথে উপাদানগুলির বেগ অবশ্যই সিস্টেমের অবস্থার পরিবর্তন নির্ধারণ করতে সক্ষম হতে হবে, বা এমন একটি সিস্টেম যেখানে একটি চলমান অংশ একটি সীমাবদ্ধ পৃষ্ঠের সাথে আবদ্ধ হতে সক্ষম নয়, বাস্তব বা কাল্পনিক। হোলোনমিক সিস্টেমের উদাহরণ হল গ্যান্ট্রি ক্রেন, পেন্ডুলাম এবং রোবোটিক অস্ত্র। ননহোলোনমিক সিস্টেমের উদাহরণ হল সেগওয়ে, ইউনিসাইকেল এবং অটোমোবাইল। পরিভাষা কনফিগারেশন স্পেস সিস্টেমের উপাদানগুলির স্থানচ্যুতি তালিকাভুক্ত করে, প্রতিটি ডিগ্রি স্বাধীনতার জন্য একটি করে। একটি সিস্টেম যা একটি কনফিগারেশন স্পেস ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারে তাকে স্ক্লেরোনমিক বলা হয়। সময়ের সাথে সাথে সিস্টেমে পরিবর্তনের প্রতিনিধিত্ব করার জন্য একটি পরিবর্তনশীল সংযোজন ব্যতীত ইভেন্টের স্থানটি কনফিগারেশন স্থানের অনুরূপ (যদি সিস্টেমটি বর্ণনা করার প্রয়োজন হয়)। একটি সিস্টেম যা শুধুমাত্র একটি কনফিগারেশন স্পেসের পরিবর্তে একটি ইভেন্ট স্পেস ব্যবহার করে বর্ণনা করা আবশ্যক, তাকে রিওনোমিক বলা হয়। অনেক ব্যবস্থাকে স্ক্লেরোনমিক বা রিওনোমিকভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি পেন্ডুলামের মোট অনুমোদিত গতি একটি স্ক্লেরোনমিক সীমাবদ্ধতার সাথে বর্ণনা করা যেতে পারে, তবে সময়ের সাথে একটি পেন্ডুলামের গতি অবশ্যই একটি রিওনোমিক সীমাবদ্ধতার সাথে বর্ণনা করা উচিত। স্টেট স্পেস হল কনফিগারেশন স্পেস, এবং কনফিগারেশন স্পেসে প্রতিটি শব্দের বেগ বর্ণনা করে। রাষ্ট্রীয় সময় স্থান সময় যোগ করে। উদাহরণস্বরূপ গ্যান্ট্রি ক্রেন ডানদিকে যেমন দেখানো হয়েছে, একটি গ্যান্ট্রি ক্রেন হল একটি ওভারহেড ক্রেন যা তীর দ্বারা নির্দেশিত 3টি অক্ষে তার হুকটি সরাতে সক্ষম। স্বজ্ঞাতভাবে, আমরা অনুমান করতে পারি যে ক্রেনটি একটি হোলোনমিক সিস্টেম হওয়া উচিত, কারণ এর উপাদানগুলির একটি প্রদত্ত চলাচলের জন্য, উপাদানগুলি কোন ক্রম বা বেগ নিয়ে চলে তা বিবেচ্য নয়ঃ যতক্ষণ না প্রদত্ত প্রারম্ভিক অবস্থা থেকে প্রতিটি উপাদানের মোট স্থানচ্যুতি একই থাকে, ততক্ষণ সমস্ত অংশ এবং সামগ্রিকভাবে সিস্টেমটি একই অবস্থায় শেষ হবে। গাণিতিকভাবে আমরা এটি প্রমাণ করতে পারিঃ আমরা সিস্টেমের কনফিগারেশন স্পেসকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারিঃ আমরা বলতে পারি যে ক্রেনের প্রতিটি উপাদানের তার "শূন্য" অবস্থান থেকে বিচ্যুতি যথাক্রমে নীল, সবুজ এবং কমলা উপাদানগুলির জন্য। স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার অভিযোজন এবং অবস্থান কোনও ব্যবস্থা হোলোনমিক কিনা তা বিবেচ্য নয়, তবে এই উদাহরণে উপাদানগুলি তার অক্ষের সমান্তরালে চলে। যদি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উৎপত্তি ক্রেনের পিছন-নীচে-বামে হয়, তাহলে আমরা অবস্থান সীমাবদ্ধতার সমীকরণটি এভাবে লিখতে পারিঃ ক্রেনের উচ্চতা কোথায়। ঐচ্ছিকভাবে, আমরা স্ট্যান্ডার্ড ফর্মটিতে সরলীকরণ করতে পারি যেখানে সমস্ত ধ্রুবকগুলি চলকগুলির পরে স্থাপন করা হয়ঃ যেহেতু আমরা হোলোনমিক আকারে একটি সীমাবদ্ধতা সমীকরণ অর্জন করেছি (বিশেষত, আমাদের সীমাবদ্ধতা সমীকরণের ফর্মটি কোথায় রয়েছে), আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এই সিস্টেমটি অবশ্যই হোলোনমিক হতে হবে। পেন্ডুলাম ডানদিকে যেমন দেখানো হয়েছে, একটি সাধারণ পেন্ডুলাম হল একটি ওজন এবং একটি স্ট্রিং দ্বারা গঠিত একটি সিস্টেম। স্ট্রিংটি উপরের প্রান্তে একটি পিভটের সাথে এবং নীচের প্রান্তে একটি ওজনের সাথে সংযুক্ত থাকে। অবিচ্ছেদ্য হওয়ায়, স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্য একটি ধ্রুবক। এই ব্যবস্থাটি হোলোনমিক কারণ এটি হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা মেনে চলে যেখানে ওজনের অবস্থান এবং স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্য। একটি অনমনীয় বস্তুর কণাগুলি হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা মেনে চলে যেখানে, যথাক্রমে কণাগুলির অবস্থান এবং, এবং তাদের মধ্যে দূরত্ব। যদি একটি প্রদত্ত সিস্টেম হোলোনমিক হয়, তবে প্রশ্নযুক্ত সিস্টেমের উপাদানগুলির সাথে অতিরিক্ত অংশগুলি কঠোরভাবে সংযুক্ত করা এটিকে অ-হোলোনমিক করে তুলতে পারে না, ধরে নেওয়া যায় যে স্বাধীনতার মাত্রা হ্রাস করা হয় না (অন্য কথায়, কনফিগারেশন স্থান অপরিবর্তিত ধরে নেওয়া)। ফাফিয়ান ফর্ম একটি সীমাবদ্ধতার নিম্নলিখিত ডিফারেনশিয়াল ফর্মটি বিবেচনা করুনঃ ith সীমাবদ্ধতার সমীকরণের জন্য ডিফারেনশিয়ালগুলির সহগগুলি কোথায়। এই রূপটিকে ফাফিয়ান ফর্ম বা ডিফারেনশিয়াল ফর্ম বলা হয়। যদি ডিফারেনশিয়াল ফর্মটি ইন্টিগ্রেবল হয়, অর্থাৎ, যদি কোনও ফাংশন সমতা সন্তুষ্ট করে তবে এই সীমাবদ্ধতা একটি হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা; অন্যথায়, এটি ননহোলোনমিক। অতএব, সমস্ত হোলোনমিক এবং কিছু ননহোলোনমিক সীমাবদ্ধতা ডিফারেনশিয়াল ফর্ম ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে। ননহোলোনমিক সীমাবদ্ধতার উদাহরণ যা এইভাবে প্রকাশ করা যায় না সেগুলি হল সাধারণ বেগের উপর নির্ভরশীল। ফাফিয়ান আকারে একটি সীমাবদ্ধ সমীকরণের সাথে, সীমাবদ্ধতা হোলোনমিক বা ননহোলোনমিক কিনা তা ফাফিয়ান ফর্মটি ইন্টিগ্রেবল কিনা তার উপর নির্ভর করে। একটি ফাফিয়ান ফর্ম সীমাবদ্ধতার সংহতকরণ (বা অভাব) যাচাই করার জন্য একটি পরীক্ষার বিবরণের জন্য নীচে হোলোনমিক সীমাবদ্ধতার জন্য সর্বজনীন পরীক্ষা দেখুন। হোলোনমিক সীমাবদ্ধতার জন্য সর্বজনীন পরীক্ষা যখন কোনও সিস্টেমের সীমাবদ্ধতার সমীকরণটি ফাফিয়ান সীমাবদ্ধতার আকারে লেখা হয়, তখন সিস্টেমটি হোলোনমিক কিনা তা নির্ধারণের জন্য একটি গাণিতিক পরীক্ষা রয়েছে। একটি সীমাবদ্ধ সমীকরণ বা সীমাবদ্ধ সমীকরণের সেটের জন্য (লক্ষ্য করুন যে সময়ের প্রতিনিধিত্বকারী পরিবর্তনশীল (গুলি) উপরে এবং নিম্নলিখিত আকারে অন্তর্ভুক্ত করা যেতে পারে): আমরা পরীক্ষার সমীকরণটি ব্যবহার করতে পারিঃ যেখানে প্রতি সীমাবদ্ধ সমীকরণের পরীক্ষার সমীকরণের সংমিশ্রণে, সীমাবদ্ধ সমীকরণের সমস্ত সেটের জন্য। অন্য কথায়, তিনটি ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেমকে একবার পরীক্ষা করতে হবে একটি পরীক্ষার সমীকরণের সাথে শর্ত সমীকরণের পদগুলি (যে কোনও ক্রমে) পরীক্ষা করতে হবে, তবে চারটি ভেরিয়েবলের একটি সিস্টেম পরীক্ষা করতে হবে চারটি ভিন্ন পরীক্ষার সমীকরণ সহ চারবার পর্যন্ত পরীক্ষা করতে হবে, পদগুলি পদ, এবং চারটি ভিন্ন পরীক্ষায় বাধা সমীকরণে (প্রতিটি যে কোনও ক্রমে)। পাঁচটি চলকের একটি পদ্ধতির জন্য, এই সত্যটি যাচাই করার জন্য একটি হোলোনমিক পদ্ধতিতে দশটি পরীক্ষা করতে হবে এবং তিনটি সীমাবদ্ধ সমীকরণের সেট সহ পাঁচটি চলকের একটি পদ্ধতির জন্য, ত্রিশটি পরীক্ষা (একটি পরিবর্তন-এর-চলকের মতো সরলীকরণ ধরে নিয়ে সেই সংখ্যাটি হ্রাস করা যায়নি)। এই কারণে, তিনটি ভেরিয়েবলের সিস্টেমে এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করার সময় সাধারণ জ্ঞান ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয় যে প্রশ্নযুক্ত সিস্টেমটি হোলোনমিক কিনা, এবং কেবলমাত্র যদি সিস্টেমটি সম্ভবত না হয় তবে পরীক্ষা চালিয়ে যাওয়া উচিত। উপরন্তু, কোন পরীক্ষা প্রথমে ব্যর্থ হবে এবং সেই পরীক্ষা দিয়ে শুরু হবে তা ভবিষ্যদ্বাণী করার চেষ্টা করার জন্য গাণিতিক অন্তর্দৃষ্টি ব্যবহার করাও একইভাবে সর্বোত্তম, প্রথমে যে পরীক্ষাগুলি সফল হতে পারে বলে মনে হয় সেগুলি এড়িয়ে যাওয়া। যদি প্রতিটি পরীক্ষার সমীকরণ সমস্ত সীমাবদ্ধ সমীকরণের জন্য সংমিশ্রণের পুরো সেটের জন্য সত্য হয়, তবে সিস্টেমটি হলোনমিক। যদি এটি একটিও পরীক্ষার সংমিশ্রণের জন্য অসত্য হয়, তবে সিস্টেমটি ননহোলোনমিক। উদাহরণ ফাফিয়ান আকারে একটি সীমাবদ্ধ সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত এই গতিশীল সিস্টেমটি বিবেচনা করুন। কনফিগারেশন স্পেস, পরিদর্শন দ্বারা, হয়। যেহেতু কনফিগারেশন স্পেসে মাত্র তিনটি পদ রয়েছে, তাই শুধুমাত্র একটি পরীক্ষার সমীকরণের প্রয়োজন হবে। প্রতিস্থাপনের প্রস্তুতির জন্য আমরা সীমাবদ্ধ সমীকরণের পদগুলিকে এইভাবে সংগঠিত করতে পারিঃ পদগুলি প্রতিস্থাপন করলে, আমাদের পরীক্ষার সমীকরণটি হয়ে যায়ঃ সমস্ত আংশিক ব্যুৎপত্তি গণনা করার পরে, আমরা পাইঃ সরলীকরণ করে, আমরা দেখতে পাই যেঃ আমরা দেখি যে আমাদের পরীক্ষার সমীকরণটি সত্য, এবং এইভাবে, সিস্টেমটি অবশ্যই হোলোনমিক হতে হবে। আমরা আমাদের পরীক্ষা শেষ করেছি, কিন্তু এখন এই পদ্ধতিটি হলোনমিক বলে জেনে আমরা হলোনমিক সীমাবদ্ধতার সমীকরণটি খুঁজে বের করতে চাই। আমরা ফাফিয়ান রূপের প্রতিটি পদকে সংহত করে এবং তাদের একটি সমীকরণে একত্রিত করার চেষ্টা করে এটি খুঁজে বের করার চেষ্টা করতে পারি, যেমনঃ এটি সহজেই দেখা যায় যে আমরা আমাদের একীকরণের ফলাফলগুলিকে একত্রিত করে হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা সমীকরণটি খুঁজে পেতে পারিঃ যেখানে সি হল একীকরণের ধ্রুবক। ধ্রুবক সহগের সীমাবদ্ধতা একটি প্রদত্ত ফাফিয়ান সীমাবদ্ধতার জন্য যেখানে প্রতিটি ডিফারেনশিয়ালের প্রতিটি সহগ একটি ধ্রুবক, অন্য কথায়, আকারে একটি বাধাঃ সীমাবদ্ধতা অবশ্যই হোলোনমিক হতে হবে। আমরা এটি নিম্নরূপ প্রমাণ করতে পারিঃ ফাফিয়ান আকারে সীমাবদ্ধতার একটি ব্যবস্থা বিবেচনা করুন যেখানে প্রতিটি ডিফারেনশিয়ালের প্রতিটি সহগ একটি ধ্রুবক, যেমন সরাসরি উপরে বর্ণিত হয়েছে। সীমাবদ্ধতার এই পদ্ধতিটি হোলোনমিক কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য, আমরা সার্বজনীন পরীক্ষাটি ব্যবহার করি। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে পরীক্ষার সমীকরণে তিনটি পদ রয়েছে যার যোগফল অবশ্যই শূন্য হতে হবে। অতএব, যদি প্রতিটি সম্ভাব্য পরীক্ষার সমীকরণে এই তিনটি পদের প্রত্যেকটি শূন্য হয়, তবে সমস্ত পরীক্ষার সমীকরণগুলি সত্য এবং এই পদ্ধতিটি হলোনমিক। প্রতিটি পরীক্ষার সমীকরণের প্রতিটি পদ এই আকারে থাকেঃ যেখানেঃ,, এবং একটি প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার জন্য কিছু সংমিশ্রণ (মোট সংমিশ্রণ সহ)। ,, এবং এবং এর সংশ্লিষ্ট সংমিশ্রণ। উপরন্তু, পরীক্ষার সমীকরণের সেট রয়েছে। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, সংজ্ঞা অনুসারে, সবগুলিই ধ্রুবক। ক্যালকুলাসে এটি সুপরিচিত যে কোনও ধ্রুবকের যে কোনও অন্তরজ (পূর্ণ বা আংশিক) হল। অতএব, আমরা প্রতিটি আংশিক অন্তরজকে হ্রাস করতে পারিঃ এবং তাই প্রতিটি পদ শূন্য, বাম দিকের প্রতিটি পরীক্ষার সমীকরণ শূন্য, প্রতিটি পরীক্ষার সমীকরণ সত্য এবং সিস্টেমটি হোলোনমিক। দুটি বা একটি চলকের বিন্যাস স্থান যে কোনও সিস্টেম যা একটি ফাফিয়ান সীমাবদ্ধতা দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে এবং কেবল দুটি চলক বা একটি চলকের বিন্যাস স্থান বা অবস্থা স্থান থাকে তা হল হোলোনমিক। আমরা এটি এইভাবে প্রমাণ করতে পারিঃ একটি কনফিগারেশন স্পেস বা স্টেট স্পেস সহ একটি গতিশীল সিস্টেম বিবেচনা করুনঃ যদি সিস্টেমটি একটি স্টেট স্পেস দ্বারা বর্ণনা করা হয়, আমরা কেবল বলি যে এটি আমাদের সময় পরিবর্তনশীলের সমান। এই ব্যবস্থাটি ফাফিয়ান আকারে বর্ণনা করা হবেঃ সীমাবদ্ধতার সেট সহ। সর্বজনীন পরীক্ষা ব্যবহার করে পদ্ধতিটি পরীক্ষা করা হবে। যাইহোক, সার্বজনীন পরীক্ষার জন্য কনফিগারেশন বা স্টেট স্পেসে তিনটি ভেরিয়েবল প্রয়োজন। এটিকে সামঞ্জস্য করার জন্য, আমরা কেবল কনফিগারেশন বা স্টেট স্পেসে একটি ডামি ভেরিয়েবল যুক্ত করিঃ যেহেতু ডামি ভেরিয়েবল সংজ্ঞা অনুসারে সিস্টেমের কোনও কিছুর পরিমাপ নয়, তাই ফাফিয়ান আকারে এর সহগ অবশ্যই হতে হবে। এইভাবে আমরা আমাদের ফাফিয়ান রূপটি সংশোধন করিঃ যদি সীমাবদ্ধতার একটি সেট থাকে তবে এখন আমরা প্রদত্ত সীমাবদ্ধতার জন্য পরীক্ষাটি ব্যবহার করতে পারিঃ এটি উপলব্ধি করার পরেঃ যেহেতু সিস্টেমটি বর্ণনা করতে ব্যবহৃত সহগগুলিতে ডামি ভেরিয়েবল উপস্থিত হতে পারে না, তাই আমরা দেখতে পাই যে পরীক্ষার সমীকরণটি অবশ্যই সীমাবদ্ধতার সমীকরণের সমস্ত সেটের জন্য সত্য হতে হবে এবং তাই সিস্টেমটি অবশ্যই হোলোনমিক হতে হবে। একটি অনুরূপ প্রমাণ কনফিগারেশন বা স্টেট স্পেসে একটি প্রকৃত পরিবর্তনশীল এবং দুটি ডামি পরিবর্তনশীলের সাথে পরিচালিত হতে পারে যা নিশ্চিত করে যে ফাফিয়ান আকারে বর্ণিত এক-ডিগ্রি-অফ-ফ্রিডম সিস্টেমগুলিও সর্বদা হোলোনমিক। উপসংহারে, আমরা বুঝতে পারি যে যদিও ফাফিয়ান আকারে অ-হোলোনমিক সিস্টেমের মডেল করা সম্ভব, তবে দুই বা তার কম ডিগ্রি অফ ফ্রিডম (ডিগ্রি অফ ফ্রিডমের সংখ্যা কনফিগারেশন স্পেসে পদের সংখ্যার সমান) সহ ফাফিয়ান আকারে মডেলযোগ্য যে কোনও সিস্টেম অবশ্যই হোলোনমিক হতে হবে। গুরুত্বপূর্ণ দ্রষ্টব্যঃ উপলব্ধি করুন যে পরীক্ষার সমীকরণটি ব্যর্থ হয়েছে কারণ ডামি ভেরিয়েবল, এবং তাই পরীক্ষায় অন্তর্ভুক্ত ডামি ডিফারেনশিয়াল, প্রকৃত কনফিগারেশন বা স্টেট স্পেস ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন যে কোনও কিছুকে আলাদা করবে। একটি কনফিগারেশন বা স্টেট স্পেস সহ একটি সিস্টেম থাকাঃ এবং সীমাবদ্ধতার একটি সেট যেখানে এক বা একাধিক সীমাবদ্ধতা ফাফিয়ান আকারে রয়েছেঃ সিস্টেমটি হোলোনমিক হওয়ার গ্যারান্টি দেয় না, যদিও একটি ডিফারেনশিয়ালের একটি সহগ রয়েছে, তবুও তিনটি ডিগ্রি রয়েছে কনফিগারেশন বা স্টেট স্পেসে বর্ণিত স্বাধীনতা। স্বাধীন সাধারণীকৃত স্থানাঙ্কে রূপান্তর হলোনমিক সীমাবদ্ধতা সমীকরণগুলি আমাদের সিস্টেমে কিছু নির্ভরশীল পরিবর্তনশীলকে সহজেই অপসারণে সহায়তা করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা অপসারণ করতে চাই, যা সীমাবদ্ধতা সমীকরণের একটি পরামিতি, আমরা সমীকরণটিকে নিম্নলিখিত আকারে পুনর্বিন্যাস করতে পারি, ধরে নিই যে এটি করা যেতে পারে এবং উপরের ফাংশনটি ব্যবহার করে সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণে প্রতিস্থাপন করতে পারি। এটি সর্বদা সাধারণ ভৌত ব্যবস্থার জন্য করা যেতে পারে, যদি এর অন্তরজ অবিচ্ছিন্ন হয়, তবে অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য দ্বারা, সমাধানটি কিছু উন্মুক্ত সেটের মধ্যে নিশ্চিত করা হয়। সুতরাং, নির্ভরশীল চলকের সমস্ত ঘটনা অপসারণ করা সম্ভব। ধরুন, একটি ভৌত ব্যবস্থার ডিগ্রি অফ ফ্রিডম রয়েছে। এখন, সিস্টেমের উপর হোলোনমিক সীমাবদ্ধতা আরোপ করা হয়। তারপর, স্বাধীনতার মাত্রার সংখ্যা কমে যায়। সিস্টেমের গতি সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করতে আমরা স্বাধীন সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক () ব্যবহার করতে পারি। রূপান্তর সমীকরণটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা যেতে পারেঃ ভৌত ব্যবস্থার শ্রেণীবিভাগ শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানকে কঠোরভাবে এবং পদ্ধতিগতভাবে অধ্যয়নের জন্য, আমাদের ব্যবস্থাগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করতে হবে। পূর্ববর্তী আলোচনার ভিত্তিতে, আমরা ভৌত ব্যবস্থাগুলিকে হোলোনমিক পদ্ধতি এবং অ-হোলোনমিক পদ্ধতিতে শ্রেণীবদ্ধ করতে পারি। অনেক উপপাদ্য এবং সমীকরণের প্রয়োগযোগ্যতার জন্য একটি শর্ত হল যে সিস্টেমটি অবশ্যই একটি হোলোনমিক সিস্টেম হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি ভৌত ব্যবস্থা একটি হোলোনমিক সিস্টেম এবং একটি মনোজেনিক সিস্টেম হয়, তবে হ্যামিল্টনের নীতিটি ল্যাগ্রাঞ্জের সমীকরণের সঠিকতার জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত। আরও দেখুন ননহোলোনমিক সিস্টেম গোরিয়াচেভ-চ্যাপলিগিন শীর্ষ ফাফিয়ান সীমাবদ্ধতা উদওয়াড়িয়া-কলাবা সমীকরণ রেফারেন্স ধ্রুপদী বলবিজ্ঞান