Regular category
বিভাগ তত্ত্বে, একটি নিয়মিত বিভাগ হল এমন একটি বিভাগ যার সীমাবদ্ধ সীমা এবং কার্নেল জোড়া নামক এক জোড়া মরফিজমের সমতুল্য, যা নির্দিষ্ট নির্ভুলতার শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে। এইভাবে, নিয়মিত বিভাগগুলি সংযোজনশীলতার প্রয়োজন ছাড়াই চিত্রের অস্তিত্বের মতো আবেলিয়ান বিভাগের অনেক বৈশিষ্ট্য পুনরুদ্ধার করে। একই সময়ে, নিয়মিত বিভাগগুলি প্রথম-ক্রম যুক্তির একটি অংশ অধ্যয়নের জন্য একটি ভিত্তি প্রদান করে, যা নিয়মিত যুক্তি হিসাবে পরিচিত। সংজ্ঞা এ বিভাগ সি-কে নিয়মিত বলা হয় যদি এটি নিম্নলিখিত তিনটি বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করেঃ সি চূড়ান্তভাবে সম্পূর্ণ। যদি f: X → Y সি-তে একটি মরফিজম হয় এবং এটি একটি পুলব্যাক হয়, তবে p0, p1-এর কো-ইকুয়ালাইজার বিদ্যমান। এই জুটিকে (p0, p1) f-এর কার্নেল জোড়া বলা হয়। একটি পুলব্যাক হওয়ায়, কার্নেল জোড়াটি একটি অনন্য সমরূপতা পর্যন্ত অনন্য। যদি f: X → Y সি-তে একটি অঙ্গসংস্থান হয়, এবং এটি একটি পুলব্যাক হয়, এবং যদি f একটি নিয়মিত অঙ্গসংস্থান হয়, তবে g একটি নিয়মিত অঙ্গসংস্থানও। একটি নিয়মিত এপিমরফিজম হল একটি এপিমরফিজম যা কিছু জোড়া মরফিজমের কো-ইকুয়ালাইজার হিসাবে উপস্থিত হয়। নিয়মিত বিভাগগুলির উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছেঃ সেট, সেটগুলির মধ্যে সেট এবং ফাংশনের বিভাগ আরও সাধারণভাবে, প্রতিটি প্রাথমিক টোপোস জিআরপি, গ্রুপগুলির বিভাগ এবং গ্রুপ সমরূপতা বলয় এবং রিং সমরূপতার বিভাগ আরও সাধারণভাবে, যে কোনও বৈচিত্র্যের মডেলের বিভাগ প্রতিটি আবদ্ধ মিলিত-সমরূপতা, প্রতিটি আবেলিয়ান বিভাগের ক্রম সম্পর্ক দ্বারা প্রদত্ত অঙ্গসংস্থান সহ নিম্নলিখিত বিভাগগুলি নিয়মিত নয়ঃ শীর্ষ, টপোলজিকাল স্পেস এবং অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের বিভাগ বিড়াল, ছোট বিভাগগুলির বিভাগ এবং ফাংক্টর এপি-মনো ফ্যাক্টরাইজেশন একটি নিয়মিত বিভাগে, নিয়মিত-এপিমারফিজম এবং মনোমরফিজমগুলি একটি ফ্যাক্টরাইজেশন সিস্টেম গঠন করে। প্রতিটি অঙ্গসংস্থান f: X → Y-কে একটি নিয়মিত অঙ্গসংস্থান e: X → E-তে ফ্যাক্টরাইজ করা যেতে পারে যার পরে একটি মনোমরফিজম m: E → Y থাকে, যাতে f = m হয়। ফ্যাক্টরাইজেশন এই অর্থে অনন্য যে যদি e ': X → E' আরেকটি নিয়মিত এপিমরফিজম হয় এবং m ': E' → Y আরেকটি মনোমরফিজম হয় যেমন f = m 'e, তাহলে একটি আইসোমরফিজম বিদ্যমান h: E → E' যেমন সে = e 'এবং m' h = m। মনোমরফিজম m-কে বলা হয় f-এর চিত্র। সঠিক ক্রম এবং নিয়মিত ফাংক্টর একটি নিয়মিত বিভাগে, ফর্মের একটি চিত্রকে একটি সঠিক ক্রম বলা হয় যদি এটি একটি কো-ইকুয়ালাইজার এবং একটি কার্নেল জোড়া উভয়ই হয়। পরিভাষাটি হল সমতাত্ত্বিক বীজগণিতে সঠিক ক্রমের একটি সাধারণীকরণঃ একটি আবেলিয়ান বিভাগে, একটি চিত্র এই অর্থে সঠিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি স্বাভাবিক অর্থে একটি সংক্ষিপ্ত সঠিক ক্রম হয়। নিয়মিত বিভাগগুলির মধ্যে একটি ফাংক্টরকে নিয়মিত বলা হয়, যদি এটি সীমিত সীমা এবং কার্নেল জোড়ার সমতুল্য সংরক্ষণ করে। একটি ফাংক্টর নিয়মিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সীমাবদ্ধ সীমা এবং সঠিক ক্রম সংরক্ষণ করে। এই কারণে, নিয়মিত ফাংক্টরদের কখনও কখনও সঠিক ফাংক্টর বলা হয়। যে ফাংটরগুলি সীমাবদ্ধ সীমা বজায় রাখে তাদের প্রায়শই সঠিক বলে মনে করা হয়। নিয়মিত যুক্তি এবং নিয়মিত বিভাগ নিয়মিত যুক্তি হল প্রথম-ক্রম যুক্তির একটি অংশ যা ফর্মের বিবৃতি প্রকাশ করতে পারে যেখানে এবং নিয়মিত সূত্র অর্থাৎ। পারমাণবিক সূত্র থেকে তৈরি সূত্র, সত্য ধ্রুবক, বাইনারি মিলিত (সংযোগ) এবং অস্তিত্বগত পরিমাণ। এই ধরনের সূত্রগুলি একটি নিয়মিত বিভাগে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে, এবং ব্যাখ্যাটি একটি অনুক্রমের একটি মডেল, যদি এর ব্যাখ্যার মাধ্যমে কারণগুলির ব্যাখ্যা করা হয়। এটি প্রতিটি তত্ত্বের জন্য (অনুক্রমের সেট) টি এবং প্রতিটি নিয়মিত বিভাগের জন্য সি-তে টি মডেলের একটি বিভাগ মোড (টি, সি) দেয়। এই নির্মাণটি একটি ফাংক্টর মোড (টি,-) দেয়ঃ ছোট নিয়মিত বিভাগের রেগক্যাট বিভাগ থেকে রেগক্যাট → ক্যাট এবং ছোট বিভাগে নিয়মিত ফাংক্টর। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল যে প্রতিটি তত্ত্ব টি-এর জন্য একটি নিয়মিত বিভাগ আর (টি) রয়েছে, যেমন প্রতিটি নিয়মিত বিভাগের সি-এর জন্য একটি সমতা রয়েছে যা সি-তে স্বাভাবিক। এখানে, আর (টি) কে নিয়মিত তত্ত্ব টি-এর শ্রেণীবিভাগ বিভাগ বলা হয়। সমতা পর্যন্ত যে কোনও ছোট নিয়মিত বিভাগ এইভাবে কিছু নিয়মিত তত্ত্বের শ্রেণীবিভাগ বিভাগ হিসাবে উদ্ভূত হয়। সঠিক (কার্যকর) বিভাগ সমতুল্য সম্পর্কের তত্ত্ব একটি নিয়মিত তত্ত্ব। একটি নিয়মিত বিভাগের একটি বস্তুর সমতুল্য সম্পর্ক হল একটি মনোমরফিজম যা রিফ্লেক্সিভিটি, প্রতিসাম্য এবং ট্রানজিটিভির শর্তগুলির ব্যাখ্যাকে সন্তুষ্ট করে। প্রতিটি কার্নেল জোড়া একটি সমতুল্য সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে। বিপরীতভাবে, একটি সমতুল্য সম্পর্ককে কার্যকর বলা হয় যদি এটি একটি কার্নেল জোড়া হিসাবে উদ্ভূত হয়। একটি সমতুল্য সম্পর্ক কার্যকর হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটির একটি সমতুল্যকারী থাকে এবং এটি এর কার্নেল জোড়া হয়। একটি নিয়মিত বিভাগকে বার অর্থে সঠিক, বা সঠিক, বা কার্যকর নিয়মিত বলা হয়, যদি প্রতিটি সমতুল্য সম্পর্ক কার্যকর হয়। (লক্ষ্য করুন যে "সঠিক বিভাগ" শব্দটি কুইলেনের অর্থে সঠিক বিভাগগুলির জন্যও ভিন্নভাবে ব্যবহৃত হয়।) সঠিক বিভাগগুলির উদাহরণ সেটগুলির বিভাগ এই অর্থে সঠিক, এবং একইভাবে যে কোনও (প্রাথমিক) টোপো। প্রতিটি সমতুল্য সম্পর্কের একটি কো-ইকুয়ালাইজার থাকে, যা সমতুল্য শ্রেণী গ্রহণের মাধ্যমে পাওয়া যায়। প্রতিটি আবেলিয়ান বিভাগই সঠিক। প্রতিটি বিভাগ যা সেটের বিভাগের উপর ম্যান্ডিক তা সঠিক। পাথরের জায়গার বিভাগটি নিয়মিত, তবে সঠিক নয়। আরও দেখুন উপাখ্যান (বিভাগ তত্ত্ব) টোপোস সঠিক সমাপ্তি রেফারেন্স বিভাগ তত্ত্বের বিভাগগুলি