Residually finite group
গ্রুপ তত্ত্বের গাণিতিক ক্ষেত্রে, একটি গ্রুপ জি অবশিষ্টভাবে সীমাবদ্ধ বা সীমাবদ্ধভাবে আনুমানিক হয় যদি প্রতিটি উপাদান জি-এর জন্য যা জি-তে পরিচয় নয়, জি থেকে একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীতে একটি সমরূপতা এইচ থাকে, যেমন বেশ কয়েকটি সমতুল্য সংজ্ঞা রয়েছেঃ একটি গ্রুপ অবশিষ্টভাবে সীমাবদ্ধ হয় যদি গ্রুপের প্রতিটি অ-পরিচয় উপাদানের জন্য, সেই উপাদানটি ধারণ না করে সীমাবদ্ধ সূচকের একটি স্বাভাবিক উপগোষ্ঠী থাকে। একটি গোষ্ঠী অবশিষ্টাংশগতভাবে সীমাবদ্ধ হয় যদি এবং কেবলমাত্র তার সীমাবদ্ধ সূচকের সমস্ত উপগোষ্ঠীর ছেদ তুচ্ছ হয়। একটি গোষ্ঠী অবশিষ্টাংশগতভাবে সীমাবদ্ধ হয় যদি এবং কেবল তখনই যদি সসীম সূচকের সমস্ত স্বাভাবিক উপগোষ্ঠীর ছেদ তুচ্ছ হয়। একটি গোষ্ঠী অবশিষ্টাংশগতভাবে সীমাবদ্ধ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর একটি পরিবারের সরাসরি পণ্যের মধ্যে এম্বেড করা যায়। অবশিষ্টভাবে সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির উদাহরণ হল সসীম গোষ্ঠী, মুক্ত গোষ্ঠী, সসীমভাবে উৎপন্ন নিলপোটেন্ট গোষ্ঠী, পলিসাইক্লিক-বাই-সসীম গোষ্ঠী, সসীমভাবে উৎপন্ন রৈখিক গোষ্ঠী এবং সংহত 3-ম্যানিফোল্ডের মৌলিক গোষ্ঠী। অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর উপগোষ্ঠীগুলি অবশিষ্টভাবে সীমাবদ্ধ এবং অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর প্রত্যক্ষ পণ্যগুলি অবশিষ্টভাবে সীমাবদ্ধ। অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির যে কোনও বিপরীত সীমা অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ। বিশেষ করে, সমস্ত অসীম গোষ্ঠী অবশিষ্টাংশগতভাবে সীমাবদ্ধ। অ-অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির উদাহরণগুলি এই সত্যটি ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে যে সমস্ত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী হপফিয়ান গোষ্ঠী। উদাহরণস্বরূপ, বামস্লাগ-সোলিটার গ্রুপ বি (2,3) হপফিয়ান নয়, এবং তাই অবশিষ্টভাবে সীমাবদ্ধ নয়। প্রফাইনাইট টপোলজি প্রতিটি গ্রুপ জি-কে একটি টপোলজিকাল গ্রুপে পরিণত করা যেতে পারে পরিচয়ের উন্মুক্ত প্রতিবেশীদের ভিত্তি হিসাবে গ্রহণ করে, জি-তে সীমাবদ্ধ সূচকের সমস্ত স্বাভাবিক উপগোষ্ঠীর সংগ্রহ। ফলস্বরূপ টপোলজিকে জি-তে প্রফাইনাইট টপোলজি বলা হয়। একটি গ্রুপ অবশিষ্টভাবে সীমাবদ্ধ হয় যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, এর প্রফাইনাইট টপোলজি হাউসডর্ফ হয়। এমন একটি গোষ্ঠী যার চক্রাকার উপগোষ্ঠীগুলি প্রোফাইনাইট টপোলজিতে আবদ্ধ বলে মনে করা হয়। যে গোষ্ঠীগুলির প্রতিটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন উপগোষ্ঠীগুলি অসীম টপোলজিতে বন্ধ থাকে তাদের উপগোষ্ঠী বিভাজ্য বলা হয় (স্থানীয়ভাবে বর্ধিত অবশিষ্টাংশের জন্য এলইআরএফও বলা হয়)। যে গ্রুপে প্রতিটি কনজুগেসি ক্লাস প্রোফাইনাইট টপোলজিতে বন্ধ থাকে তাকে কনজুগেসি সেপারেবল বলা হয়। অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর বৈচিত্র্য একটি প্রশ্ন হলঃ এমন একটি বৈচিত্র্যের বৈশিষ্ট্য কী যার সমস্ত গোষ্ঠী অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ? এগুলি সম্পর্কে দুটি ফলাফল হ 'লঃ শুধুমাত্র অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির সমন্বয়ে গঠিত যে কোনও জাত একটি এ-গ্রুপ দ্বারা তৈরি হয়। শুধুমাত্র অবশিষ্ট সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীগুলির সমন্বয়ে গঠিত যে কোনও বৈচিত্র্যের জন্য, এতে একটি সীমাবদ্ধ গোষ্ঠী থাকে যাতে সমস্ত সদস্য সেই সীমাবদ্ধ গোষ্ঠীর সরাসরি উৎপাদনে আবদ্ধ থাকে। আরও দেখুন অবশিষ্ট সম্পত্তি (গণিত) তথ্যসূত্র বাইরের লিঙ্ক উপরের কয়েকটি বিবৃতির প্রমাণ সহ নিবন্ধ অসীম গোষ্ঠী তত্ত্ব গোষ্ঠীর বৈশিষ্ট্য