Refinement monoid
গণিতে, একটি পরিমার্জিত মনোয়েড হল একটি বিনিময়যোগ্য মনোয়েড এম যাতে এম-এর যে কোনও উপাদানের জন্য a0, a1, b0, b1 যেমন a0 + a1 = b0 + b1, এম-এর উপাদান c00, c01, c10, c11 এমন হয় যে a0 = c00 + c01, a1 = c10 + c11, b0 = c00 + c10, এবং b1 = c01 + c11। যদি x + y = 0 বোঝায় যে x = y = 0, যে কোনও উপাদানের জন্য x, m এর y। মৌলিক উদাহরণ শূন্য সহ একটি জয়েন-সেমিল্যাটিস একটি পরিশোধন মনোয়েড হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি বিতরণমূলক হয়। যে কোনও আবেলিয়ান গোষ্ঠী একটি পরিমার্জিত মনোয়েড। আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত আবেলিয়ান গ্রুপ জি-এর ধনাত্মক শঙ্কু জি + একটি পরিমার্জিত মনোয়েড হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি জি একটি ইন্টারপোলেশন গ্রুপ হয়, তবে পরেরটির অর্থ হল যে জি-এর যে কোনও উপাদানের জন্য a0, a1, b0, b1 এমন যে সমস্ত i, j <2-এর জন্য এআই ≤ bj, জি-এর একটি উপাদান x রয়েছে যাতে সমস্ত i, j <2-এর জন্য এআই ≤ x ≤ bj থাকে। উদাহরণস্বরূপ, জি-এর জাল-আদেশের ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য। একটি বুলিয়ান বীজগণিত বি-এর সমরূপতা প্রকার হল সমস্ত বুলিয়ান বীজগণিতে বি-এর সমরূপতার শ্রেণী। (যদি আমরা এটি একটি সেট হতে চাই, তবে সেট-তাত্ত্বিক র্যাঙ্কের বুলিয়ান অ্যালজেব্রাগুলিতে সীমাবদ্ধ থাকুন যা বি-এর একটির নিচে।) (যে কোনও বুলিয়ান অ্যালজেব্রা এক্স এবং ওয়াই-এর জন্য, যেখানে এক্স-এর আইসোমরফিজম প্রকারকে বোঝায়) দ্বারা সংজ্ঞায়িত সংযোজন দ্বারা সমৃদ্ধ বুলিয়ান অ্যালজেব্রার আইসোমরফিজম প্রকারের শ্রেণীটি একটি শঙ্কুযুক্ত পরিশোধন মনোয়েড। বুলিয়ান বীজগণিতে ভোট পরিমাপ একটি বুলিয়ান বীজগণিত A এবং একটি বিনিময়যোগ্য মনোয়েড M-এর জন্য, একটি মানচিত্রঃ A → M একটি পরিমাপ, যদি μ (a) = 0 হয় এবং শুধুমাত্র যদি a = 0 হয়, এবং যখনই a এবং b বিচ্ছিন্ন হয় (অর্থাৎ, a, b = 0), যে কোনও a, b-এর জন্য। এছাড়াও আমরা বলি যে, একটি ভোট পরিমাপ (রবার্ট লসন ভোট-এর পরে) বা ভি-পরিমাপ হল, যদি এ-তে সমস্ত সি এবং এম-এ সমস্ত এক্স, ওয়াই-এর জন্য এমন হয় যে, এ-তে এ, বি-কে এমনভাবে বিচ্ছিন্ন করে দেওয়া হয় যে, সি = এ. বি, এম. এ = এক্স, এবং এম. ও (বি) = ওয়াই। একটি বিনিময়যোগ্য মনোয়েড M-এ একটি উপাদান e পরিমাপযোগ্য (M-এর সাপেক্ষে), যদি একটি বুলিয়ান বীজগণিত A থাকে এবং একটি V-পরিমাপঃ A → M এমন হয় যে μ (1) = e---- আমরা বলি যে μ পরিমাপ করে e। আমরা বলি যে M পরিমাপযোগ্য, যদি M-এর কোনও উপাদান পরিমাপযোগ্য হয় (M-এর সাপেক্ষে)। অবশ্যই, প্রতিটি পরিমাপযোগ্য মনোয়েড একটি শঙ্কু পরিশোধন মনোয়েড। হান্স ডবার্টিন 1983 সালে প্রমাণ করেছিলেন যে সর্বাধিক এ1 উপাদান সহ যে কোনও শঙ্কু পরিশোধন মনোয়েড পরিমাপযোগ্য। তিনি আরও প্রমাণ করেন যে, সর্বাধিক গণনাযোগ্য শঙ্কু পরিশোধন মনোয়েডের যে কোনও উপাদান সর্বাধিক গণনাযোগ্য বুলিয়ান বীজগণিতে একটি অনন্য (আইসোমরফিজম পর্যন্ত) ভি-পরিমাপ দ্বারা পরিমাপ করা হয়। তিনি সেখানে কোনও শঙ্কু পরিশোধন মনোয়েড পরিমাপযোগ্য কিনা তা নিয়ে সমস্যা উত্থাপন করেছিলেন। 1998 সালে ফ্রেডরিখ ওয়েহ্রুং এর নেতিবাচক উত্তর দেন। পাল্টা উদাহরণগুলির যে কোনও কার্ডিনালিটি α2-এর চেয়ে বেশি বা সমান হতে পারে। ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয়ের অকার্যকর কে-তত্ত্ব একটি বলয়ের জন্য (একক সহ) আর, এফপি (আর) দ্বারা সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন প্রজেক্টিভ ডান আর-মডিউলগুলির শ্রেণী দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সমতুল্যভাবে, এফপি (আর)-এর বস্তুগুলি হল আরএন ফর্মের সমস্ত মডিউলের সরাসরি যোগফল, যার মধ্যে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা রয়েছে, যা নিজের উপরে একটি সঠিক মডিউল হিসাবে দেখা হয়। এফপি (আর)-তে একটি বস্তু এক্স-এর সমরূপতা প্রকার দ্বারা চিহ্নিত করুন। তারপর এফপি (আর)-এর সমস্ত আইসোমরফিজম ধরনের সদস্যদের সেট ভি (আর), যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত সংযোজন দ্বারা সমৃদ্ধ, একটি শঙ্কুযুক্ত বিনিময়যোগ্য মনোয়েড। উপরন্তু, যদি আর ভন নিউম্যান নিয়মিত হয়, তবে ভি (আর) একটি পরিশোধন মনোয়েড। এটির অর্ডার-ইউনিট রয়েছে। আমরা বলি যে ভি (আর) আর-এর অস্থিতিশীল কে-তত্ত্বকে এনকোড করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আর একটি বিভাজন বলয় হয়, তবে এফপি (আর)-এর সদস্যরা ঠিক আর-এর উপর সীমাবদ্ধ-মাত্রিক ডান ভেক্টর স্পেস, এবং দুটি ভেক্টর স্পেস আইসোমরফিক হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের একই মাত্রা থাকে। অতএব, ভি (আর) সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার মনোয়েডের সমরূপ, যা তার স্বাভাবিক যোগফল দ্বারা সমৃদ্ধ। একটি সামান্য জটিল উদাহরণ নিম্নরূপ পাওয়া যেতে পারে। একটি F ক্ষেত্রের উপর ম্যাট্রিসিয়াল বীজগণিত হল রূপের বলয়ের একটি সসীম গুণফল, পরিবর্তনশীল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য n সারি সহ সমস্ত বর্গ ম্যাট্রিক্সের বলয় এবং F-এ এন্ট্রি। F-এর উপর ম্যাট্রিসিয়াল বীজগণিতের একটি সরাসরি সীমা হল F-এর উপর একটি স্থানীয় ম্যাট্রিসিয়াল বীজগণিত। প্রতিটি স্থানীয় ম্যাট্রিসিয়াল বীজগণিত হল ভন নিউম্যান নিয়মিত। স্থানীয়ভাবে যে কোনও ম্যাট্রিসিয়াল বীজগণিতের জন্য, V (R) হল একটি তথাকথিত মাত্রার গোষ্ঠীর ধনাত্মক শঙ্কু। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি মাত্রিক গোষ্ঠী হল একটি আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত আবেলিয়ান গোষ্ঠী যার অন্তর্নিহিত ক্রম নির্দেশিত হয়, যার ধনাত্মক শঙ্কু একটি পরিশোধন মনোয়েড, এবং যা ছিদ্রহীন, অক্ষরটির অর্থ হল যে mx ≤ 0 বোঝায় যে x ≤ 0, G-এর যে কোনও উপাদান x এবং যে কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা m-এর জন্য। যে কোনও সরল গোষ্ঠী, অর্থাৎ, ফর্মের একটি আংশিকভাবে ক্রমযুক্ত আবেলিয়ান গোষ্ঠী, একটি মাত্রিক গোষ্ঠী। এফ্রোস, হ্যান্ডেলম্যান এবং শেন 1980 সালে প্রমাণ করেছিলেন যে মাত্রা গোষ্ঠীগুলি সরল গোষ্ঠীর সরাসরি সীমা, যেখানে রূপান্তর মানচিত্রগুলি ইতিবাচক সমরূপতা। এই ফলাফলটি ইতিমধ্যে 1976 সালে পি. এ. গ্রিলেট দ্বারা কিছুটা ভিন্ন আকারে প্রমাণিত হয়েছিল। এলিয়ট 1976 সালে প্রমাণ করেন যে, কিছু স্থানীয় ম্যাট্রিসিয়াল বলয় আর-এর জন্য সরল গোষ্ঠীর যে কোনও গণনাযোগ্য সরাসরি সীমার ধনাত্মক শঙ্কু ভি (আর)-এর সমরূপ। অবশেষে, গুডিয়ারল এবং হ্যান্ডেলম্যান 1986 সালে প্রমাণ করেন যে, যে কোনও মাত্রার গোষ্ঠীর ধনাত্মক শঙ্কু সর্বাধিক এ1 উপাদান সহ ভি (আর)-এর সমরূপ, কিছু স্থানীয় ম্যাট্রিসিয়াল বলয় আর-এর জন্য (যে কোনও প্রদত্ত ক্ষেত্রের উপর)। 1998 সালে ওয়েহ্রুং প্রমাণ করেন যে, ক্রম-একক সহ এমন কিছু মাত্রা গোষ্ঠী রয়েছে যাদের ধনাত্মক শঙ্কুকে ভি (আর) হিসাবে উপস্থাপন করা যায় না, একটি ভন নিউম্যান নিয়মিত বলয় আর-এর জন্য। প্রদত্ত উদাহরণগুলিতে α2-এর চেয়ে বড় বা সমান যে কোনও কার্ডিনালিটি থাকতে পারে। সর্বাধিক এ1 (বা এমনকি এ0) উপাদান সহ কোনও শঙ্কু পরিশোধন মনোয়েডকে আর ভন নিউম্যান নিয়মিতের জন্য ভি (আর) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে কিনা তা একটি উন্মুক্ত সমস্যা। রেফারেন্স আরও পড়া সেমিগ্রুপ তত্ত্ব