Mordell–Weil group
গাণিতিক জ্যামিতিতে, মর্ডেল-ওয়েইল গ্রুপ হল একটি আবেলিয়ান গ্রুপ যা একটি সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত যে কোনও আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের সাথে যুক্ত, এটি আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের একটি গাণিতিক অপরিবর্তনীয়। এটি কেবল-পয়েন্টের গ্রুপ, তাই মর্ডেল-ওয়েইল গ্রুপ 207। এই গোষ্ঠী সম্পর্কে প্রধান কাঠামো উপপাদ্য হল মর্ডেল-ওয়েইল উপপাদ্য যা দেখায় যে এই গোষ্ঠীটি আসলে একটি সীমাবদ্ধভাবে সৃষ্ট আবেলিয়ান গোষ্ঠী। উপরন্তু, এই গোষ্ঠীর সাথে সম্পর্কিত অনেকগুলি অনুমান রয়েছে, যেমন বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমান যা একটি বিশেষ বিন্দুতে সম্পর্কিত এল-ফাংশনের শূন্যের সাথে র্যাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত। একটি আবেলিয়ান জাতের মর্ডেল-ওয়েইল গোষ্ঠীর সুস্পষ্ট উদাহরণ তৈরি করা একটি অ-তুচ্ছ প্রক্রিয়া যা সর্বদা সফল হওয়ার নিশ্চয়তা দেয় না, তাই আমরা পরিবর্তে একটি নির্দিষ্ট উপবৃত্তাকার বক্ররেখার ক্ষেত্রে বিশেষজ্ঞ। পরিমাপযোগ্য সংখ্যার উপর ওয়েয়ারস্ট্রাস সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক। এটিতে বৈষম্য রয়েছে (এবং এই বহুপদীটি একটি বৈশ্বিক মডেল সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে)। এটি নিম্নলিখিত পদ্ধতির মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে। প্রথমত, আমরা কিছু সংখ্যা প্লাগ করে কিছু সুস্পষ্ট টর্জন পয়েন্ট খুঁজে পাই, যা হল এছাড়াও, কিছু ছোট জোড়া পূর্ণসংখ্যা চেষ্টা করার পরে, আমরা এমন একটি বিন্দু খুঁজে পাই যা স্পষ্টতই টর্জন নয়। টর্জন অংশটি খুঁজে বের করার জন্য একটি দরকারী ফলাফল হল যে প্রাইমের টর্জন, ভাল হ্রাসের জন্য, নির্দেশিত ইনজেকশন, তাই আমরা দুটি মৌলিক সংখ্যায় পরীক্ষা করি এবং সেট নোটের কার্ডিনালিটি গণনা করি যে যেহেতু উভয় মৌলিক সংখ্যায় কেবল একটি ফ্যাক্টর থাকে, তাই আমরা সমস্ত টর্জন পয়েন্ট খুঁজে পাই। উপরন্তু, আমরা জানি যে বিন্দুটির অসীম ক্রম রয়েছে কারণ অন্যথায় উভয় কার্ডিনালিটি দ্বারা ভাগ করা একটি প্রধান ফ্যাক্টর থাকবে, তাই র্যাঙ্ক অন্তত হবে। এখন, র্যাঙ্ক গণনা করা একটি আরও কঠিন প্রক্রিয়া যেখানে সমতাত্ত্বিক বীজগণিত এবং কুমের মানচিত্র থেকে কিছু দীর্ঘ সঠিক ক্রম ব্যবহার করে গ্রুপ গণনা করা হয়। বিশেষ ক্ষেত্রে উপপাদ্য নির্দিষ্ট মাত্রার আবেলিয়ান জাতের মর্ডেল-ওয়েইল গোষ্ঠীর কাঠামো, নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের উপর, বা অন্য কোনও বিশেষ বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে সাহিত্যে অনেক উপপাদ্য রয়েছে। একটি হাইপারেলিপটিক বক্ররেখা এবং একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রের উপর সংজ্ঞায়িত একটি আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের জন্য, আমরা আচ্ছাদন মানচিত্রের সাথে সম্পর্কিত ক্ষেত্র সম্প্রসারণের গ্যালোইস কোহোমোলজির 1-কোসাইলে দ্বারা (ফাংশন ক্ষেত্রের পুলব্যাক) এর মোড়কে নির্দেশ করি। লক্ষ্য করুন যে মানচিত্র থেকে যা অনুসরণ করা হয়েছে তা হাইপারেলিপটিক। আরও স্পষ্টভাবে, এই 1-কোসাইলে গোষ্ঠীগুলির একটি মানচিত্র হিসাবে দেওয়া হয়েছে যা সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে দুটি মানচিত্র দেওয়ার সমান, তাই আমরা এটিকে একটি মানচিত্র হিসাবে লিখতে পারি যেখানে অন্তর্ভুক্তি মানচিত্র রয়েছে এবং নেতিবাচক হিসাবে পাঠানো হয়। এটি বীজগাণিতিক জ্যামিতির সাধারণ তত্ত্ব ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত বাঁকানো আবেলিয়ান বৈচিত্র্যকে সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। বিশেষত, এই নির্মাণের সর্বজনীন বৈশিষ্ট্য থেকে, একটি আবেলিয়ান বৈচিত্র্য যার উপর বেস-পরিবর্তনের পরে আইসোমরফিক হয়। উপপাদ্য উপরে প্রদত্ত বিন্যাসের জন্য, আবেলিয়ান গোষ্ঠীগুলির একটি সমরূপতা রয়েছে যেখানে বক্ররেখার জ্যাকোবিয়ান, এবং এর 2-টর্জন উপগোষ্ঠী। আরও দেখুন মর্ডেল-ওয়েইল উপপাদ্য রেফারেন্স আরও উদাহরণ এবং ক্ষেত্রে মরডেল-ওয়েইল গ্রুপ অফ কার্ভস অফ জিনস 2 সর্বজনীন উপবৃত্তাকার বক্ররেখার মর্ডেল-ওয়েইল গ্রুপ নির্ধারণ গ্যালোইস বংশোদ্ভূত এবং একটি আবেলিয়ান বৈচিত্র্যের মোচড় জ্যাকোবিয়ানদের মর্ডেল-ওয়েইল গোষ্ঠীগুলিতে ফাংশন ক্ষেত্রের উপর ডায়োফ্যান্টাইন জ্যামিতি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা আবেলিয়ান বৈচিত্র্য