Fraňková–Helly selection theorem
গণিতে, ফ্রানকোভা-হেলি নির্বাচন উপপাদ্য হল নিয়ন্ত্রিত ফাংশনের ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ বৈচিত্র্যের ফাংশনের জন্য হেলির নির্বাচন উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ। 1991 সালে চেক গণিতবিদ ডানা ফ্রানকোভা এটি প্রমাণ করেন। পটভূমি ধরা যাক X একটি পৃথকযোগ্য হিলবার্ট স্থান, এবং BV ([0, T]; X) সমস্ত ফাংশনের আদর্শ ভেক্টর স্থানকে বোঝায় f: [0, T] → X ব্যবধানের [0, T] উপর সীমাবদ্ধ মোট বৈচিত্র্য সহ, মোট বৈচিত্র্যের নিয়মে সজ্জিত। এটা সর্বজনবিদিত যে, বি. ভি ([0, টি]; এক্স) হেলির নির্বাচন উপপাদ্য নামে পরিচিত কম্প্যাক্টনেস উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করেঃ বি. ভি ([0, টি]; এক্স)-তে মোট বৈচিত্র্যের নিয়মে অভিন্নভাবে আবদ্ধ ফাংশনের (এফ. এন.) যে কোনও ক্রম দেওয়া হলে, একটি ধারাবাহিকতা এবং একটি সীমা ফাংশন রয়েছে যা এফ. বি. ভি ([0, টি]; এক্স) এমনভাবে বিদ্যমান যে, প্রতিটি টি-এর জন্য এফ. এন. (কে) (টি) এক্স থেকে এফ (টি)-তে দুর্বলভাবে একত্রিত হয়। অর্থাৎ, প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক কার্যকরী λ bul X *-এর জন্য, এখন সমস্ত নিয়ন্ত্রিত ফাংশন f: [0, T] → X-এর বানাচ স্পেস রেগুলেশন ([0, T]; X) বিবেচনা করুন, যা সর্বোচ্চ নিয়মে সজ্জিত। হেলির উপপাদ্যটি স্থান রেগ ([0, টি]; এক্স)-এর জন্য ধারণ করে নাঃ একটি পাল্টা উদাহরণ ক্রম দ্বারা দেওয়া হয়, তবে কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারে, যদি একটি দুর্বল নির্বাচন উপপাদ্য সত্য হয়, এবং ফ্রাঙ্কোভা-হেলি নির্বাচন উপপাদ্যটি এমন একটি ফলাফল হয়। ফ্রানকোভা-হেলি নির্বাচন উপপাদ্যের বিবৃতি আগের মতোই, ধরা যাক এক্স একটি পৃথকযোগ্য হিলবার্ট স্থান এবং ধরা যাক রেগ ([0, টি]; এক্স) নিয়ন্ত্রিত ফাংশনের স্থানকে বোঝায় f: [0, টি] → এক্স, যা সর্বোচ্চ নিয়মে সজ্জিত। ধরা যাক (fn) n ω N নিম্নলিখিত শর্তটি সন্তুষ্ট করার জন্য Reg ([0, T]; X)-এ একটি ক্রমঃ প্রতিটি ε> 0-এর জন্য, কিছু Lε> 0 বিদ্যমান যাতে প্রতিটি fn একটি un ω BV ([0, T]; X) দ্বারা আনুমানিক হতে পারে এবং যেখানে।-। X-এ আদর্শকে বোঝায় এবং Var (u) u-এর প্রকরণকে বোঝায়, যা [0, T]-এর সমস্ত বিভাজনের উপর সর্বোচ্চ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। তারপর একটি ধারাবাহিকতা এবং একটি সীমা ফাংশন f ωR ([0, T]; X) রয়েছে যাতে প্রতিটি t ωR [0, T]-এর জন্য fn (k) (t) X-এ দুর্বলভাবে f (t)-এ একত্রিত হয়। অর্থাৎ, প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন রৈখিক কার্যকরী λ ωx *-এর জন্য, বিশ্লেষণে রেফারেন্স উপপাদ্যগুলি কম্প্যাক্টনেস উপপাদ্য