Schottky group
গণিতে, স্কটকি গ্রুপ হল একটি বিশেষ ধরনের ক্লাইনিয়ান গ্রুপ, যা প্রথম অধ্যয়ন করেন। সংজ্ঞা রিমান গোলকের উপর কিছু বিন্দু p স্থির করুন। প্রতিটি জর্ডান বক্ররেখা p এর মধ্য দিয়ে না গিয়ে রিমান গোলককে দুটি অংশে বিভক্ত করে এবং আমরা p ধারণকারী টুকরোটিকে বক্ররেখার "বাহ্যিক" এবং অন্য টুকরোটিকে তার "অভ্যন্তরীণ" বলি। ধরুন, রিম্যান গোলকে 2জি বিচ্ছিন্ন জর্ডান বক্ররেখা A1, B1,., Ag, Bg রয়েছে। যদি মোবিয়াস রূপান্তরগুলি আই-এর বাইরের অংশকে বি-এর অভ্যন্তরে নিয়ে যায়, তবে এই রূপান্তরগুলির দ্বারা উত্পন্ন গ্রুপটি একটি ক্লেইনীয় গ্রুপ। স্কটকি গ্রুপ হল যে কোনও ক্লেইনীয় গ্রুপ যা এইভাবে তৈরি করা যেতে পারে। গুণাবলী অনুসারে, একটি সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন ক্লেইনীয় গোষ্ঠী স্কটকি হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি সীমিতভাবে উত্পন্ন হয়, মুক্ত হয়, বিচ্ছিন্নতার অ-খালি ক্ষেত্র থাকে এবং সমস্ত অ-তুচ্ছ উপাদানগুলি লক্সোড্রোমিক হয়। জর্ডান বক্ররেখার বাইরের অংশ দ্বারা একটি স্কটকি গ্রুপ জি-এর কর্মের জন্য একটি মৌলিক ক্ষেত্র দেওয়া হয়েছে যা রিম্যান গোলকের নিয়মিত বিন্দু ω (জি)-তে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। সংশ্লিষ্ট ভাগফল স্থান ω (G)/G জর্ডান বক্ররেখা জোড়ায় জোড়ায় দেওয়া হয়, একইভাবে এটি গণ g-এর একটি কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠ। এটি 3-ম্যানিফোল্ডের সীমানা যা ভাগফল (H ω (G))/3-মাত্রিক হাইপারবোলিক H স্থানের G এবং স্কটকি গ্রুপ G-এর নিয়মিত সেট ω (G) নিয়ে দেওয়া হয়, যা গণ g-এর একটি হ্যান্ডেল বডি। বিপরীতভাবে গণ G-এর যে কোনও কম্প্যাক্ট রিম্যান পৃষ্ঠটি গণ g-এর কিছু স্কটকি গ্রুপ থেকে পাওয়া যেতে পারে। ধ্রুপদী এবং অ-ধ্রুপদী স্কটকি গ্রুপ A স্কটকি গ্রুপকে ধ্রুপদী বলা হয় যদি জেনারেটরের কিছু সেটের সাথে সম্পর্কিত সমস্ত বিচ্ছিন্ন জর্ডান বক্ররেখা বৃত্ত হিসাবে বেছে নেওয়া যায়। অ-ধ্রুপদী স্কটকি গোষ্ঠীর অস্তিত্বের একটি পরোক্ষ এবং অ-গঠনমূলক প্রমাণ দিয়েছেন এবং এর একটি স্পষ্ট উদাহরণ দিয়েছেন। এটি দ্বারা দেখানো হয়েছে যে সমস্ত সীমাবদ্ধভাবে উত্পন্ন শাস্ত্রীয় স্কটকি গোষ্ঠীগুলির 2-এর চেয়ে কম সার্বজনীন ধ্রুবক দ্বারা কঠোরভাবে উপরে আবদ্ধ হাউজডর্ফ মাত্রার সীমা সেট রয়েছে। বিপরীতভাবে, প্রমাণিত হয়েছে যে সমস্ত অ-ধ্রুপদী স্কটকি গোষ্ঠীর সীমা সেটের হাউসডর্ফ মাত্রার উপর একটি সর্বজনীন নিম্ন সীমা বিদ্যমান। স্কটকি গোষ্ঠীর সীমা সেট একটি স্কটকি গোষ্ঠীর সীমা সেট, ω (জি)-এর পরিপূরক, সর্বদা লেবস্গু পরিমাপ শূন্য থাকে, তবে ডি <2-এর জন্য ধনাত্মক ডি-মাত্রিক হাউসডর্ফ পরিমাপ থাকতে পারে। এটি নিখুঁত এবং ধনাত্মক লগারিদমিক ক্ষমতা সহ কোথাও ঘন নয়। লেবস্গু পরিমাপের বিবৃতিটি পয়েনকারে সিরিজের অস্তিত্ব থেকে ধ্রুপদী স্কটকি গোষ্ঠীগুলির জন্য অনুসরণ করে দেখায় যে। সিআই।-4 সিরিজটি গোষ্ঠীর অ-পরিচয় উপাদানগুলির উপর সংক্ষিপ্তসারযোগ্য। প্রকৃতপক্ষে মৌলিক ডোমেনের অভ্যন্তরে একটি বদ্ধ ডিস্ক গ্রহণ করলে, বিভিন্ন গোষ্ঠী উপাদানের অধীনে এর চিত্রগুলি বিচ্ছিন্ন হয় এবং একটি নির্দিষ্ট ডিস্কে প্রায় 0 থাকে। সুতরাং এলাকার যোগফল সীমাবদ্ধ। চলক সূত্রের পরিবর্তন দ্বারা, ক্ষেত্রফল একটি ধ্রুবক গুণ। সিআই।-4-এর চেয়ে বেশি হয়। একটি অনুরূপ যুক্তি বোঝায় যে সীমা সেটটিতে লেবস্গু পরিমাপ শূন্য রয়েছে। কারণ এটি n দ্বারা বেষ্টিত শব্দের দৈর্ঘ্য সহ গোষ্ঠী উপাদান দ্বারা মৌলিক অঞ্চলের চিত্রগুলির মিলনের পরিপূরকের মধ্যে রয়েছে। এটি বৃত্তের একটি সীমাবদ্ধ মিলন তাই এর সীমাবদ্ধ এলাকা রয়েছে। সেই ক্ষেত্রটি n শব্দের দৈর্ঘ্যের উপাদানগুলির পয়েনকারে যোগফলের একটি ধ্রুবক গুণ দ্বারা উপরে আবদ্ধ, তাই 0-তে হ্রাস পায়। স্কটকি স্থান স্কটকি স্থান (কিছু গণের জি 2) হল জি গণের চিহ্নিত স্কটকি গোষ্ঠীর স্থান, অন্য কথায় পিএসএল 2 (সি)-এর জি উপাদানগুলির সেটগুলির স্থান যা একটি স্কটকি গ্রুপ তৈরি করে, মোবিয়াস রূপান্তরের অধীনে সমতুল্য পর্যন্ত। এটি 3g−3 জটিল মাত্রার একটি জটিল বহুগুণ। এটিতে ধ্রুপদী স্কটকি গোষ্ঠীর সাথে সম্পর্কিত উপসেট হিসাবে ধ্রুপদী স্কটকি স্থান রয়েছে। জি গণের স্কটকি স্থানটি সাধারণভাবে সংযুক্ত নয়, তবে এর সর্বজনীন আচ্ছাদন স্থানটি কমপ্যাক্ট জি রিমান পৃষ্ঠের টেকমুলার স্থানের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। আরও দেখুন বেলট্রামি সমীকরণ রিলে স্লাইস নোটস রেফারেন্স ডেভিড মামফোর্ড, ক্যারোলিন সিরিজ, এবং ডেভিড রাইট, ইন্দ্রের মুক্তাঃ দ্য ভিশন অফ ফেলিক্স ক্লেইন, কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, 2002 এক্সটার্নাল লিঙ্ক তিনটি রূপান্তর থেকে একটি স্কটকি গ্রুপ তৈরি করে। ক্লেইনীয় গোষ্ঠী গোষ্ঠী তত্ত্ব বিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী মিথ্যা গোষ্ঠী