Umbilical point
তিনটি মাত্রায় পৃষ্ঠের ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতিতে, নাভি বা নাভি বিন্দুগুলি এমন একটি পৃষ্ঠের বিন্দু যা স্থানীয়ভাবে গোলাকার। এই বিন্দুগুলিতে সমস্ত দিকের স্বাভাবিক বক্রতা সমান, তাই, উভয় প্রধান বক্রতা সমান, এবং প্রতিটি স্পর্শক ভেক্টর একটি প্রধান দিক। "নাভি" নামটি ল্যাটিন নাভি (নাভি) থেকে এসেছে। অম্বিলিক বিন্দুগুলি সাধারণত পৃষ্ঠের উপবৃত্তাকার অঞ্চলে বিচ্ছিন্ন বিন্দু হিসাবে ঘটে; অর্থাৎ, যেখানে গাউসিয়ান বক্রতা ধনাত্মক হয়। গোলকটি হল একমাত্র পৃষ্ঠ যেখানে অ-শূন্য বক্রতা রয়েছে যেখানে প্রতিটি বিন্দু নাভি। একটি সমতল নাভি হল শূন্য গাউসিয়ান বক্রতা সহ একটি নাভি। বানরের স্যাডল একটি সমতল নাভি সহ একটি পৃষ্ঠের উদাহরণ এবং সমতলে প্রতিটি বিন্দু একটি সমতল নাভি। একটি টরাসের কোনও নাভি থাকতে পারে না, তবে অ-শূন্য অয়লার বৈশিষ্ট্যের প্রতিটি বদ্ধ পৃষ্ঠ, ইউক্লিডিয়ান স্পেসে মসৃণভাবে এম্বেড করা, কমপক্ষে একটি নাভি থাকে। কনস্ট্যান্টিন কারাথিওডোরির একটি অপ্রমাণিত অনুমান বলে যে ইউক্লিডীয় স্থানের প্রতিটি মসৃণ টপোলজিকাল গোলকের কমপক্ষে দুটি নাভি রয়েছে। তিনটি প্রধান ধরনের নাভি বিন্দু হল উপবৃত্তাকার নাভি, প্যারাবলিক নাভি এবং হাইপারবোলিক নাভি। উপবৃত্তাকার নাভির তিনটি শৈলশিরা থাকে যা নাভির মধ্য দিয়ে যায় এবং হাইপারবোলিক নাভির একটি মাত্র থাকে। প্যারাবলিক নাভি হল একটি ট্রানজিশনাল কেস যার দুটি শৈলশিরা রয়েছে যার মধ্যে একটি একবচন। ট্রানজিশনাল ক্ষেত্রে অন্যান্য কনফিগারেশন সম্ভব। এই ঘটনাগুলি রেনে থম-এর বিপর্যয় তত্ত্বের ডি4-, ডি5 এবং ডি4 + প্রাথমিক বিপর্যয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। অম্বিলিকগুলি নাভি চারপাশে প্রধান দিক ভেক্টর ক্ষেত্রের প্যাটার্ন দ্বারাও চিহ্নিত করা যেতে পারে যা সাধারণত তিনটি বিন্যাসের মধ্যে একটি গঠন করেঃ তারা, লেবু এবং লেমনস্টার (বা মনস্টার)। ভেক্টর ক্ষেত্রের সূচক হয়-1⁄2 (তারা) অথবা 1⁄2 (লেবু, মনস্টার)। উপবৃত্তাকার এবং প্যারাবলিক নাভিগুলির সর্বদা তারার প্যাটার্ন থাকে, যেখানে হাইপারবোলিক নাভিগুলি তারা, লেবু বা মনস্টার হতে পারে। এই শ্রেণিবিন্যাসটি প্রথমে ডারবাক্সের কারণে হয়েছিল এবং নামগুলি হ্যানে থেকে এসেছে। বিচ্ছিন্ন নাভি সহ জেনাস 0 সহ পৃষ্ঠের জন্য, যেমন। একটি উপবৃত্তাকার ক্ষেত্রে, পয়েনকারে-হপফ উপপাদ্য অনুসারে প্রধান দিক ভেক্টর ক্ষেত্রের সূচক অবশ্যই 2 হতে হবে। জেনেরিক জেনাস 0 পৃষ্ঠের কমপক্ষে চারটি সূচক 1⁄2-এর নাভি থাকে। বিপ্লবের একটি উপবৃত্তাকারের দুটি অ-জেনেরিক নাভি থাকে যার প্রত্যেকটির সূচক 1 থাকে। নাভির শ্রেণিবিন্যাস কিউবিক ফর্ম নাভির শ্রেণিবিন্যাস বাস্তব কিউবিক ফর্মের শ্রেণিবিন্যাসের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত। একটি কিউবিক ফর্মের বেশ কয়েকটি মূল রেখা থাকবে যাতে কিউবিক ফর্মটি সমস্ত বাস্তব জন্য শূন্য হয়। বেশ কয়েকটি সম্ভাবনা রয়েছে যার মধ্যে রয়েছেঃ তিনটি স্বতন্ত্র রেখাঃ একটি উপবৃত্তাকার ঘন রূপ, আদর্শ মডেল। তিনটি লাইন, যার মধ্যে দুটি কাকতালীয়ঃ একটি প্যারাবলিক কিউবিক ফর্ম, স্ট্যান্ডার্ড মডেল। একটি একক বাস্তব রেখাঃ একটি হাইপারবোলিক কিউবিক ফর্ম, আদর্শ মডেল। তিনটি কাকতালীয় রেখা, আদর্শ মডেল। অভিন্ন স্কেলিংয়ের অধীনে এই ধরনের কিউবিকের সমতুল্য শ্রেণীগুলি একটি ত্রিমাত্রিক বাস্তব প্রজেক্টিভ স্থান গঠন করে এবং প্যারাবোলিক ফর্মগুলির উপসেট একটি পৃষ্ঠকে সংজ্ঞায়িত করে-ক্রিস্টোফার জিম্যান দ্বারা নাভি ব্রেসলেট বলা হয়। স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার আবর্তনের অধীনে সমতুল্য শ্রেণী গ্রহণ করলে আরও একটি পরামিতি অপসারণ করা হয় এবং একটি একক জটিল পরামিতি সহ জটিল ঘন রূপ দ্বারা একটি ঘন রূপকে উপস্থাপন করা যেতে পারে। অভ্যন্তরীণ ডেল্টয়েড, উপবৃত্তাকার রূপগুলি ডেল্টয়েডের ভিতরে এবং হাইপারবোলিক রূপগুলি বাইরে থাকলে প্যারাবলিক রূপগুলি ঘটে। যদি এবং ঐক্যের একটি ঘনমূল না হয় তবে ঘন রূপটি একটি ডান-কোণযুক্ত ঘন রূপ যা নাভিগুলির জন্য একটি বিশেষ ভূমিকা পালন করে। যদি তা হয় তবে দুটি মূলরেখা অর্থোগোনাল হয়। একটি দ্বিতীয় ঘন রূপ, জ্যাকোবিয়ান ভেক্টর মূল্যবান ফাংশনের জ্যাকোবিয়ান নির্ধারক গ্রহণ করে গঠিত হয়। একটি ধ্রুবক গুণিতক পর্যন্ত এটি ঘন রূপ। জটিল সংখ্যা ব্যবহার করে জ্যাকোবিয়ান একটি প্যারাবলিক কিউবিক ফর্ম যখন, শ্রেণীবিভাগ চিত্রের বাইরের ব-দ্বীপ। অম্বিলিক শ্রেণীবিভাগ উৎপত্তিস্থলে একটি বিচ্ছিন্ন নাভি বিন্দু সহ যে কোনও পৃষ্ঠকে মঙ্গে ফর্ম প্যারামিটারাইজেশন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেখানে অনন্য প্রধান বক্রতা। নাভির ধরনটি কিউবিক অংশ এবং সংশ্লিষ্ট জ্যাকোবিয়ান কিউবিক ফর্ম থেকে কিউবিক ফর্ম দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। যদিও প্রধান দিকগুলি একটি নাভির উপর অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না, পৃষ্ঠের উপর একটি শৈলশিরা অনুসরণ করার সময় প্রধান দিকগুলির সীমা পাওয়া যায় এবং এগুলি ঘন আকারের মূল-রেখার সাথে মিলে যায়। বক্ররেখার বিন্যাস জ্যাকোবিয়ান দ্বারা নির্ধারিত হয়। নাভি বিন্দুর শ্রেণিবিন্যাস নিম্নরূপঃ অভ্যন্তরীণ ডেল্টয়েডের ভিতরে-উপবৃত্তাকার নাভি অভ্যন্তরীণ ডেল্টয়েডের উপর-দুটি রিজ লাইন স্পর্শক-অভ্যন্তরীণ ডেল্টয়েডের বাইরে প্যারাবলিক নাভি-বাইরের বৃত্তের ভিতরে হাইপারবোলিক নাভি-তারার প্যাটার্ন বাইরের বৃত্তের উপর-নাভির জন্ম বাইরের বৃত্ত এবং বাইরের ডেল্টয়েডের মধ্যে-মনস্টার প্যাটার্ন বাইরের ডেল্টয়েডের বাইরে-লেবুর প্যাটার্ন অভ্যন্তরীণ ডেল্টয়েডের কুস্পস-কিউবিক (প্রতীকী) নাভি তির্যক এবং অনুভূমিক রেখার উপর-আয়নার প্রতিসাম্য সহ প্রতিসম নাভি পৃষ্ঠতলের একটি সাধারণ পরিবারে তৈরি করা যেতে পারে, বা জোড়া হিসাবে ধ্বংস করা যেতে পারেঃ নাভি রূপান্তরের জন্ম। উভয় নাভি হাইপারবোলিক হবে, একটি স্টার প্যাটার্ন সহ এবং একটি মনস্টার প্যাটার্ন সহ। চিত্রের বাইরের বৃত্তটি, একটি সমকোণ ঘন রূপ, এই রূপান্তরমূলক কেসগুলি দেয়। প্রতীকী নাভি হল এর একটি বিশেষ উদাহরণ। ফোকাস পৃষ্ঠ উপবৃত্তাকার নাভি এবং হাইপারবোলিক নাভিগুলির স্বতন্ত্রভাবে ভিন্ন ফোকাস পৃষ্ঠ রয়েছে। পৃষ্ঠের একটি শৈলশিরা একটি কুস্পাইডাল প্রান্তের সাথে মিলে যায় তাই উপবৃত্তাকার ফোকাল পৃষ্ঠের প্রতিটি শীটে তিনটি কুস্পাইডাল প্রান্ত থাকবে যা নাভি ফোকাসে একত্রিত হয় এবং তারপর অন্য শীটে চলে যায়। একটি হাইপারবোলিক নাভির জন্য একটি একক কুস্পাইডাল প্রান্ত থাকে যা এক শীট থেকে অন্য শীটে পরিবর্তিত হয়। রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ডে উচ্চতর মাত্রার সংজ্ঞা একটি রিম্যানিয়ান সাবম্যানিফোল্ডে একটি বিন্দু p নাভিগত হয় যদি, p এ, (ভেক্টর-মূল্যবান) দ্বিতীয় মৌলিক রূপটি কিছু স্বাভাবিক ভেক্টর টেনসর হয় যা প্ররোচিত মেট্রিক (প্রথম মৌলিক রূপ)। সমতুল্যভাবে, p, II (U, V) = gp (U, V)-এ সমস্ত ভেক্টর U, V-এর জন্য, p-এ গড় বক্রতা ভেক্টর কোথায়। একটি সাব-ম্যানিফোল্ডকে নাভি (বা সমস্ত-অম্বিলিক) বলা হয় যদি এই অবস্থা প্রতিটি বিন্দু "p"-এ থাকে। এটি বলার সমতুল্য যে পার্শ্ববর্তী ("পরিবেষ্টিত") বহুগুণের মেট্রিকের যথাযথ সামঞ্জস্যপূর্ণ পরিবর্তনের মাধ্যমে সাবম্যানিফোল্ডটিকে সম্পূর্ণ ভূগণিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ইউক্লিডীয় স্থানের একটি পৃষ্ঠ নাভির মতো হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি একটি গোলকের টুকরো হয়। আরও দেখুন নাভি-একটি শারীরবৃত্তীয় শব্দ যার অর্থ, বা নাভি সম্পর্কিত রেফারেন্স ভলিউম I ভলিউম II ভলিউম III ভলিউম IV তারা, লেবু, মনস্টার এবং আরও রেফারেন্স পৃষ্ঠতলের ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি