Bessel–Clifford function
গাণিতিক বিশ্লেষণে, ফ্রেডরিক বেসেল এবং উইলিয়াম কিংডন ক্লিফোর্ডের নামে নামকরণ করা বেসেল-ক্লিফোর্ড ফাংশন হল দুটি জটিল চলকের একটি সম্পূর্ণ ফাংশন যা বেসেল ফাংশন তত্ত্বের বিকল্প বিকাশ প্রদান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি পারস্পরিক গামা ফাংশনের মাধ্যমে সম্পূর্ণ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়, তবে বেসেল-ক্লিফোর্ড ফাংশনটি সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় ধারাবাহিক পদগুলির অনুপাত হল z/k (n + k), যা z এবং n এর সমস্ত মানের জন্য ক্রমবর্ধমান k এর সাথে শূন্যে প্রবণতা দেখায়। অনুপাত পরীক্ষা দ্বারা, এই সিরিজটি সমস্ত z এবং n এর জন্য একেবারে একত্রিত হয় এবং সমস্ত অঞ্চলের জন্য সমানভাবে আবদ্ধ |z।, এবং তাই বেসেল-ক্লিফোর্ড ফাংশন দুটি জটিল চলক n এবং z এর একটি সম্পূর্ণ ফাংশন। বেসেল-ক্লিফফোর্ড ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এটি x-এর সাপেক্ষে পার্থক্য করার উপরের সিরিজ থেকে অনুসরণ করে যা রৈখিক দ্বিতীয়-ক্রমের সমজাতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এই সমীকরণটি সাধারণীকৃত হাইপারজিওমেট্রিক প্রকারের, এবং প্রকৃতপক্ষে বেসেল-ক্লিফফোর্ড ফাংশনটি একটি স্কেলিং ফ্যাক্টর পর্যন্ত একটি পোচহ্যামার-বার্নেস হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন; আমাদের আছে যদি না n একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা না হয়, এই ক্ষেত্রে ডান দিকটি অনির্ধারিত হয়, দুটি সংজ্ঞা মূলত সমতুল্য; হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশনকে স্বাভাবিক করা হচ্ছে যাতে z = 0 এ এর মান এক হয়। বেসেল ফাংশনের সাথে সম্পর্ক প্রথম ধরনের বেসেল ফাংশনকে বেসেল-ক্লিফোর্ড ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যখন n একটি পূর্ণসংখ্যা নয় তখন আমরা এটি থেকে দেখতে পারি যে বেসেল ফাংশন সম্পূর্ণ নয়। একইভাবে, প্রথম ধরনের পরিবর্তিত বেসেল ফাংশনকে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে পদ্ধতিটি অবশ্যই বিপরীত হতে পারে, যাতে আমরা বেসেল-ক্লিফফোর্ড ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি তবে এই প্রারম্ভিক বিন্দু থেকে আমাদের তখন সম্পূর্ণ দেখাতে হবে। পুনরাবৃত্তির সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত সিরিজ থেকে, এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে এটি ব্যবহার করে, আমরা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি পুনরায় লিখতে পারি যা বেসেল-ক্লিফোর্ড ফাংশনের পুনরাবৃত্তির সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে। এটি 0F1-এর জন্য অনুরূপ সম্পর্কের সমতুল্য। আমাদের কাছে রয়েছে, গাউসের অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে এটি দেখানো যেতে পারে যে এই অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশটি সমস্ত ক্ষেত্রে একত্রিত হয়। দ্বিতীয় ধরনের বেসেল-ক্লিফফোর্ড ফাংশনের বেসেল-ক্লিফফোর্ড ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান রয়েছে। যেহেতু উৎপত্তি হল অবকল সমীকরণের একটি নিয়মিত একক বিন্দু, এবং যেহেতু এটি সম্পূর্ণ, তাই দ্বিতীয় সমাধানটি অবশ্যই উৎপত্তির সময় একক হতে হবে। যদি আমরা কোনটির জন্য একত্রিত হয় তা নির্ধারণ করি এবং বিশ্লেষণাত্মকভাবে এটি চালিয়ে যাই, তবে আমরা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি দ্বিতীয় রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান পাই। দ্বিতীয় ধরনের বেসেল ফাংশনের সাথে সামঞ্জস্য করার জন্য 1/2 এর ফ্যাক্টর সন্নিবেশ করা হয়। সুতরাং, ঠিক যেমন বেসেল ফাংশন এবং প্রথম ধরনের পরিবর্তিত বেসেল ফাংশন উভয়ই এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে, দ্বিতীয় ধরনের উভয়ই এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে। যদি আমরা এক্সপ (টি) এবং এক্সপ (জেড/টি)-এর জন্য একেবারে অভিসারী সিরিজকে একসাথে গুণ করি, তাহলে আমরা এক্সপ (টি + জেড/টি)-এর জন্য একটি সম্পূর্ণ অভিসারী সিরিজ পাই (যখন টি শূন্য নয়)। টি-তে পদগুলি সংগ্রহ করে, আমরা পাওয়ার সিরিজের সংজ্ঞার সাথে তুলনা করে দেখতে পাই যে আমাদের আছে এই জেনারেটিং ফাংশনটি তখন আরও সূত্র পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে, বিশেষত আমরা কাউচির ইন্টিগ্রাল সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি এবং পূর্ণসংখ্যা এন-এর জন্য রেফারেন্স হিসাবে পেতে পারি। । । । । । বিশেষ হাইপারজিওমেট্রিক ফাংশন