Regulated function
গণিতে, একটি নিয়ন্ত্রিত ফাংশন বা শাসিত ফাংশন হল একক বাস্তব চলকের একটি নির্দিষ্ট ধরনের সু-আচরণমূলক ফাংশন। নিয়ন্ত্রিত ফাংশনগুলি ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের একটি শ্রেণী হিসাবে উদ্ভূত হয় এবং এর বেশ কয়েকটি সমতুল্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে। 1949 সালে নিকোলাস বোরবাকি তাদের "লিভ্রে IV: ফঙ্কশনস ডি 'উন ভেরিয়েবল রিল" বইয়ে নিয়ন্ত্রিত ফাংশনগুলি প্রবর্তন করেছিলেন। সংজ্ঞা X-কে আদর্শ।।-। |X সহ একটি বানাচ স্থান হিসাবে ধরা যাক। একটি ফাংশন f: [0, T] → X কে একটি নিয়ন্ত্রিত ফাংশন বলা হয় যদি নিম্নলিখিত দুটি সমতুল্য শর্তের মধ্যে একটি (এবং তাই উভয়) সত্য হয়ঃ [0, T] ব্যবধানের প্রতিটি t-এর জন্য, বাম এবং ডান উভয় সীমা f (t−) এবং f (t +) X-এ বিদ্যমান (স্পষ্টতই, f (0−) এবং f (T +) বাদে); ধাপ ফাংশনের একটি ক্রম বিদ্যমান φn: [0, T] → X সমানভাবে f (অর্থাৎ। শ্রেষ্ঠত্বের নিয়মের সাপেক্ষে।।-।।।)। এই দুটি শর্ত সমতুল্য তা দেখানোর জন্য সামান্য পরিশ্রমের প্রয়োজন। যাইহোক, এটি তুলনামূলকভাবে সহজ যে দ্বিতীয় শর্তটি নিম্নলিখিত সমতুল্য উপায়ে পুনরায় উল্লেখ করা যেতে পারেঃ প্রতিটি δ> 0-এর জন্য, কিছু ধাপ ফাংশন φδ: [0, T] → X এমন যে f স্থানের ধাপ ([0, T] থেকে X-এর মধ্যে সমস্ত ধাপ ফাংশনের ([0, T] থেকে X-এর মধ্যে সমস্ত সীমাবদ্ধ ফাংশনের স্থান B ([0, T]; X)-এর সর্বোচ্চ আদর্শের সাপেক্ষে বন্ধ হয়ে যায়। নিয়ন্ত্রিত ফাংশনের বৈশিষ্ট্য ধরা যাক রেগ ([0, টি]; এক্স) সমস্ত নিয়ন্ত্রিত ফাংশনের সেটকে বোঝায় f: [0, টি] → এক্স। নিয়ন্ত্রিত ফাংশনের যোগফল এবং স্কেলার গুণফল আবার নিয়ন্ত্রিত ফাংশন। অন্য কথায়, রেগ ([0, টি]; এক্স) স্পেস এক্স হিসাবে একই ক্ষেত্র কে উপর একটি ভেক্টর স্থান; সাধারণত, কে বাস্তব বা জটিল সংখ্যা হবে। যদি এক্স গুণনের ক্রিয়াকলাপের সাথে সজ্জিত হয়, তবে নিয়ন্ত্রিত ফাংশনের পণ্যগুলি আবার নিয়ন্ত্রিত ফাংশন হয়। অন্য কথায়, যদি এক্স একটি কে-বীজগণিত হয়, তবে তাই রেগ ([0, টি]; এক্স)। সর্বোচ্চ মান হল রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি রেগুলেটরি উপরে উল্লিখিত হিসাবে, রেগ ([0, টি]; এক্স) হল সর্বোচ্চ আদর্শের সাপেক্ষে ধাপ ([0, টি]; এক্স)-এর বি ([0, টি]; এক্স)-এর সমাপ্তি। যদি এক্স একটি বানাচ স্থান হয়, তবে রেগ ([0, টি]; এক্স) সর্বোচ্চ আদর্শের ক্ষেত্রেও একটি বানাচ স্থান। রেগ ([0, টি]; আর) একটি অসীম-মাত্রিক বাস্তব বানাচ বীজগণিত গঠন করেঃ সীমাবদ্ধ রৈখিক সংমিশ্রণ এবং নিয়ন্ত্রিত ফাংশনের পণ্যগুলি আবার নিয়ন্ত্রিত ফাংশন। যেহেতু একটি কম্প্যাক্ট স্পেসে সংজ্ঞায়িত একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন (যেমন [0, T]) স্বয়ংক্রিয়ভাবে অভিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন, তাই প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন f: [0, T] → X-ও নিয়ন্ত্রিত হয়। প্রকৃতপক্ষে, সর্বোচ্চ আদর্শের ক্ষেত্রে, অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের স্থান C0 ([0, T]; X) হল Reg ([0, T]; X)-এর একটি বদ্ধ রৈখিক সাবস্পেস। যদি এক্স একটি বানাচ স্পেস হয়, তবে সীমাবদ্ধ বৈচিত্র্যের ফাংশনের স্পেস বিভি ([0, টি]; এক্স) রেগ ([0, টি]; এক্স) এর একটি ঘন রৈখিক সাবস্পেস গঠন করেঃ যদি এক্স একটি বানাচ স্পেস হয়, তবে একটি ফাংশন এফঃ [0, টি] → এক্স নিয়ন্ত্রিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি কিছু φ এর জন্য আবদ্ধ φ-বৈচিত্র্যের হয়ঃ যদি এক্স একটি পৃথকযোগ্য হিলবার্ট স্পেস হয়, তবে রেগ ([0, টি]; এক্স) ফ্রাঙ্কোভা-হেলি নির্বাচন উপপাদ্য নামে পরিচিত একটি কম্প্যাক্টনেস উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে। সীমাবদ্ধ বৈচিত্র্য বিভি-র একটি নিয়ন্ত্রিত ফাংশনের বিচ্ছিন্নতার সেটটি গণনাযোগ্য কারণ এই ধরনের ফাংশনে কেবল লাফ-টাইপ বিচ্ছিন্নতা রয়েছে। এটি দেখার জন্য এটি লক্ষ্য করা যথেষ্ট যে, যে বিন্দুতে ডান এবং বাম সীমার মধ্যে সীমাবদ্ধতার চেয়ে বেশি পার্থক্য রয়েছে। বিশেষত, বিচ্ছিন্নতা সেটের পরিমাপ শূন্য, যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি নিয়ন্ত্রিত ফাংশনের একটি সু-সংজ্ঞায়িত রিম্যান ইন্টিগ্রাল রয়েছে। মন্তব্যঃ বেয়ার বিভাগ উপপাদ্য অনুসারে এই ধরনের ফাংশনের বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর সেট হয় সামান্য বা অন্যথায় খালি অভ্যন্তরীণ থাকে। এটি সর্বদা গণনার সমতুল্য নয়। ইন্টিগ্রাল, স্পষ্টভাবে ধাপ ফাংশনের উপর সংজ্ঞায়িত হিসাবে, একটি নিয়ন্ত্রিত ফাংশনের ইন্টিগ্রালকে তার সাথে অভিন্নভাবে রূপান্তরিত ধাপ ফাংশনের যে কোনও ক্রমের ইন্টিগ্রালের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে স্বাভাবিকভাবেই রেগ ([0, টি]; এক্স) পর্যন্ত প্রসারিত হয়। এই এক্সটেনশনটি সু-সংজ্ঞায়িত এবং একটি ইন্টিগ্রালের সমস্ত স্বাভাবিক বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। বিশেষত, নিয়ন্ত্রিত ইন্টিগ্রাল হল Reg ([0, T]; X) থেকে X পর্যন্ত একটি আবদ্ধ রৈখিক ফাংশন; অতএব, X = R-এর ক্ষেত্রে, ইন্টিগ্রাল হল স্থানের একটি উপাদান যা Reg ([0, T]; R)-এর দ্বৈত; যা রিমান ইন্টিগ্রালের সাথে একমত। তথ্যসূত্র বাহ্যিক যোগসূত্র বাস্তব বিশ্লেষণ প্রকারের ফাংশন