Lebesgue differentiation theorem
গণিতে, লেবস্গু ডিফারেনশিয়েশন উপপাদ্য হল বাস্তব বিশ্লেষণের একটি উপপাদ্য, যা বলে যে প্রায় প্রতিটি বিন্দুর জন্য, একটি ইন্টিগ্রেবল ফাংশনের মান হল বিন্দু সম্পর্কে নেওয়া অসীম গড়ের সীমা। এই উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয়েছে হেনরি লেবস্গুয়ের নামে। বিবৃতি আরএন-এর উপর একটি লেবস্গু ইন্টিগ্রেবল বাস্তব বা জটিল-মূল্যবান ফাংশন f-এর জন্য, অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল হল একটি সেট ফাংশন যা একটি পরিমাপযোগ্য সেট A-কে লেবস্গু ইন্টিগ্রালের সাথে ম্যাপ করে, যেখানে সেট A-এর বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনকে বোঝায়। এটি সাধারণত λ, n-মাত্রিক লেবস্গু পরিমাপ দিয়ে লেখা হয়। x-এ এই ইন্টিগ্রালের ডেরিভেটিভকে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে |B। x-কে কেন্দ্র করে একটি বল B-এর আয়তনকে (অর্থাৎ, লেবস্গু পরিমাপ) বোঝায় এবং B → x মানে হল যে B-এর ব্যাস 0-এর দিকে থাকে। লেবস্গু পৃথকীকরণ উপপাদ্য বলে যে এই ব্যুৎপত্তিটি বিদ্যমান এবং প্রায় প্রতিটি বিন্দুতে f (x) এর সমান। প্রকৃতপক্ষে একটি সামান্য শক্তিশালী বিবৃতি সত্য। লক্ষ্য করুন যেঃ শক্তিশালী দাবি হল যে ডান দিকটি প্রায় প্রতিটি বিন্দু x-এর জন্য শূন্যের দিকে থাকে। যে x পয়েন্টগুলির জন্য এটি সত্য, সেগুলিকে f-এর লেবস্গু পয়েন্ট বলা হয়। আরও একটি সাধারণ সংস্করণও ধারণ করে। একজন বল 'বি' কে সীমাবদ্ধ উৎকেন্দ্রিকতার সেট 'ইউ'-এর একটি পরিবার দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারে। এর মানে হল যে কিছু নির্দিষ্ট সি> 0 রয়েছে যাতে পরিবারের প্রতিটি সেট ইউ একটি বল বি-তে থাকে। এটিও ধরে নেওয়া হয় যে প্রতিটি বিন্দু x ωRn থেকে নির্বিচারে ছোট সেটগুলিতে রয়েছে। যখন এই সেটগুলি x-এ সঙ্কুচিত হয়, তখন একই ফলাফল থাকেঃ প্রায় প্রতিটি বিন্দু x-এর জন্য, ঘনগুলির পরিবার এমন একটি পরিবারের উদাহরণ, যেমন R2-এ আয়তক্ষেত্রগুলির পরিবার (m) এমন যে কোনও নির্দিষ্ট m ≤ 1-এর জন্য বাহুর অনুপাত m−1 এবং m-এর মধ্যে থাকে। যদি আরএন-এর উপর একটি নির্বিচারে আদর্শ দেওয়া হয়, তবে আদর্শের সাথে যুক্ত মেট্রিকের জন্য বলের পরিবার আরেকটি উদাহরণ। এক-মাত্রিক মামলাটি এর আগে দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। যদি বাস্তব লাইনে f ইন্টিগ্রেবল হয়, তবে ফাংশনটি প্রায় সর্বত্রই ডিফারেন্সিয়ালযোগ্য, একটি রিম্যান ইন্টিগ্রাল দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এটি মূলত ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য হবে, তবে লেবস্গু প্রমাণ করেছেন যে লেবস্গু ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করার সময় এটি সত্য থাকে। প্রমাণ উপপাদ্যটি তার শক্তিশালী আকারে-যে প্রায় প্রতিটি বিন্দু স্থানীয়ভাবে ইন্টিগ্রেবল ফাংশন f-এর একটি লেবস্গু বিন্দু-হার্ডি-লিটলউড ম্যাক্সিমাল ফাংশনের দুর্বল-L1 অনুমানের ফলস্বরূপ প্রমাণিত হতে পারে। নীচের প্রমাণটি স্ট্যান্ডার্ড চিকিত্সা অনুসরণ করে যা পাওয়া যেতে পারে, এবং। যেহেতু বিবৃতিটি স্থানীয় অক্ষরের, তাই f কে সীমাবদ্ধ ব্যাসার্ধের কিছু বলের বাইরে শূন্য বলে ধরে নেওয়া যেতে পারে এবং তাই অবিচ্ছেদ্য। এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে সেটটিতে সমস্ত α> 0 এর জন্য পরিমাপ 0 রয়েছে। ধরা যাক ε> 0 দেওয়া হয়েছে। L1 (Rn)-এ কম্প্যাক্ট সাপোর্টের কন্টিনিউয়াস ফাংশনের ঘনত্ব ব্যবহার করে, কেউ এমন একটি ফাংশন খুঁজে পেতে পারে যা g-কে সন্তুষ্ট করে এটি তখন মূল পার্থক্যটি পুনর্লিখন করতে সহায়ক হয় প্রথম পদটিকে f−g-এর জন্য সর্বাধিক ফাংশনের x-এ মান দ্বারা আবদ্ধ করা যেতে পারে, যা এখানে দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছেঃ দ্বিতীয় পদটি সীমাতে অদৃশ্য হয়ে যায় যেহেতু g একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, এবং তৃতীয় পদটি |f (x) −g (x)। দ্বারা আবদ্ধ। মূল পার্থক্যের পরম মান সীমার মধ্যে 2α এর চেয়ে বেশি হওয়ার জন্য, প্রথম বা তৃতীয় পদগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি পরম মানের α এর চেয়ে বেশি হতে হবে। যাইহোক, হার্ডি-লিটলউড ফাংশনের অনুমান বলে যে কিছু ধ্রুবকের জন্য একটি শুধুমাত্র মাত্রার উপর নির্ভর করে n। মার্কভ বৈষম্য (যাকে চেবিশেভের বৈষম্যও বলা হয়) বলে যে ε যেহেতু নির্বিচারে ছিল, তাই এটিকে নির্বিচারে ছোট হিসাবে নেওয়া যেতে পারে এবং উপপাদ্যটি অনুসরণ করে। প্রমাণের আলোচনা এই উপপাদ্যের প্রমাণের জন্য লেম্মাকে কভার করা ভিটালি গুরুত্বপূর্ণ; হার্ডি-লিটলউড ম্যাক্সিমাল ফাংশনের অনুমান প্রমাণ করার ক্ষেত্রে এর ভূমিকা রয়েছে। উপপাদ্যটি আরও ধরে রাখে যদি বলগুলি প্রতিস্থাপিত হয়, ডেরিভেটিভের সংজ্ঞায়, শূন্যের দিকে ঝুঁকে থাকা ব্যাসের সেটগুলির পরিবার দ্বারা, যা লেবসেগুর নিয়মিততার অবস্থাকে সন্তুষ্ট করে, উপরে সীমাবদ্ধ উৎকেন্দ্রিকতা সহ সেটগুলির পরিবার হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এটি অনুসরণ করা হয় কারণ ভিটালি আচ্ছাদন লেম্মার বিবৃতিতে একই প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। আলোচনা এটি ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যের একটি এনালগ এবং একটি সাধারণীকরণ, যা একটি রিমান ইন্টিগ্রেবল ফাংশন এবং তার (অনির্দিষ্ট) ইন্টিগ্রালের ডেরিভেটিভের সমতুল্য। একটি বিপরীতও দেখানো সম্ভব-যে প্রতিটি ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন তার ডেরিভেটিভের ইন্টিগ্রালের সমান, তবে এর জন্য একটি হেনস্টক-কুর্জওয়েল ইন্টিগ্রাল প্রয়োজন যাতে একটি নির্বিচারে ডেরিভেটিভ সংহত করতে সক্ষম হয়। লেবসগ ডিফারেন্সিয়েশন উপপাদ্যের একটি বিশেষ উদাহরণ হল লেবসগ ঘনত্ব উপপাদ্য, যা পরিমাপযোগ্য সেটগুলির বৈশিষ্ট্যমূলক ফাংশনের জন্য ডিফারেন্সিয়েশন উপপাদ্যের সমতুল্য। ঘনত্ব উপপাদ্যটি সাধারণত একটি সহজ পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণিত হয় (যেমন। পরিমাপ এবং বিভাগ দেখুন)। এই উপপাদ্যটি লেবস্গু পরিমাপের পরিবর্তে আরএন-এর উপর প্রতিটি সসীম বোরেল পরিমাপের জন্যও সত্য (একটি প্রমাণ পাওয়া যেতে পারে যেমন। )। আরও সাধারণভাবে, এটি একটি পৃথক মেট্রিক স্পেসে যে কোনও সীমাবদ্ধ বোরেল পরিমাপের ক্ষেত্রে সত্য যে নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি ধারণ করেঃ মেট্রিক স্পেস একটি রিম্যানিয়ান ম্যানিফোল্ড, মেট্রিক স্পেস একটি স্থানীয়ভাবে কম্প্যাক্ট আল্ট্রামেট্রিক স্পেস, পরিমাপ দ্বিগুণ হচ্ছে। এই ফলাফলগুলির একটি প্রমাণ (ফেদেরার 1969)-এর 2.8-2.9 বিভাগে পাওয়া যাবে। আরও দেখুন লেবসগের ঘনত্ব উপপাদ্য বাস্তব বিশ্লেষণে রেফারেন্স উপপাদ্য পরিমাপ তত্ত্বের উপপাদ্য