Band (algebra)
গণিতে, একটি ব্যান্ড (যাকে আইডেম্পোটেন্ট সেমিগ্রুপও বলা হয়) হল একটি সেমিগ্রুপ যেখানে প্রতিটি উপাদান আইডেম্পোটেন্ট (অন্য কথায় তার নিজস্ব বর্গের সমান)। ব্যান্ডগুলি প্রথমে অধ্যয়ন এবং নামকরণ করা হয়েছিল। 1970-এর দশকের গোড়ার দিকে বিরিয়ুকভ, ফেনেমোর এবং গেরহার্ড বিভিন্ন ধরনের ব্যান্ডগুলির জাল স্বাধীনভাবে বর্ণনা করেছিলেন। সেমিলেটিস, বাম-শূন্য ব্যান্ড, ডান-শূন্য ব্যান্ড, আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড, সাধারণ ব্যান্ড, বাম-নিয়মিত ব্যান্ড, ডান-নিয়মিত ব্যান্ড এবং নিয়মিত ব্যান্ড হল ব্যান্ডগুলির নির্দিষ্ট উপশ্রেণী যা এই জালের নীচের অংশে অবস্থিত এবং যা বিশেষ আগ্রহের বিষয়; সেগুলি সংক্ষেপে নীচে বর্ণনা করা হয়েছে। ব্যান্ডগুলির বৈচিত্র্য একটি শ্রেণীর ব্যান্ড একটি বৈচিত্র্য গঠন করে যদি এটি সাব-সেমিগ্রুপ, সমরূপ চিত্র এবং সরাসরি পণ্য গঠনের অধীনে বন্ধ থাকে। প্রতিটি বৈচিত্র্যময় ব্যান্ড একটি একক সংজ্ঞায়িত পরিচয় দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। সেমিলেটিস সেমিলেটিসগুলি ঠিক বিনিময়যোগ্য ব্যান্ড; অর্থাৎ, তারা হল সেই ব্যান্ড যা সকলের জন্য সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এবং। ব্যান্ডগুলি একটি প্রি-অর্ডার প্ররোচিত করে যা এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। কমিউটেটিভিটির প্রয়োজনীয়তা বোঝায় যে এই প্রি-অর্ডারটি একটি (সেমিল্যাটিস) আংশিক ক্রমে পরিণত হয়। শূন্য ব্যান্ড একটি বাম-শূন্য ব্যান্ড হল এমন একটি ব্যান্ড যা সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, যেখান থেকে এর কেলি টেবিলে ধ্রুবক সারি থাকে। প্রতিসমভাবে, একটি ডান-শূন্য ব্যান্ড সন্তোষজনক, যাতে কেলি টেবিলে ধ্রুবক কলাম থাকে। একটি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড হল এমন একটি ব্যান্ড যা সকলের জন্য সন্তুষ্ট করে, বা সমতুল্যভাবে, সকলের জন্য, যে কোনও সেমিগ্রুপে প্রথম পরিচয়টি একটি নোওয়েয়ার কমিউটেটিভ সেমিগ্রুপকে চিহ্নিত করার জন্য যথেষ্ট। কোথাও কমিউটেটিভ সেমিগ্রুপ প্রথম পরিচয় বোঝায় না। যে কোনও নমনীয় ম্যাগমার মধ্যে তাই প্রতিটি উপাদান তার বর্গক্ষেত্রের সাথে যাতায়াত করে। সুতরাং যে কোনও নোওয়েয়ার কমিউটেটিভ সেমিগ্রুপে প্রতিটি উপাদান আইডেম্পোটেন্ট তাই যে কোনও নোওয়েয়ার কমিউটেটিভ সেমিগ্রুপ আসলে একটি নোওয়েয়ার কমিউটেটিভ ব্যান্ড। এইভাবে যে কোনও কোথাও কমিউটেটিভ সেমিগ্রুপে সুতরাং প্রথম চরিত্রগত পরিচয়ের সাথে এবং এইভাবে যাতায়াত করে। যে কোনও আধা-গোষ্ঠীতে প্রথম পরিচয়টি আদর্শকে বোঝায় যেহেতু এটি এতটাই আদর্শ (একটি ব্যান্ড)। তারপরে কোনও ব্যান্ড থেকে কোথাও বিনিময় হয় না তাই কোনও ব্যান্ডে কোনও সেমিগ্রুপে প্রথম পরিচয়টি দ্বিতীয়টিকেও বোঝায় কারণ। একটি আয়তক্ষেত্রাকার সেমিগ্রুপের আইডেম্পোটেন্টগুলি একটি সাব ব্যান্ড গঠন করে যা একটি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড তবে একটি আয়তক্ষেত্রাকার সেমিগ্রুপে এমন উপাদান থাকতে পারে যা আইডেম্পোটেন্ট নয়। একটি ব্যান্ডে দ্বিতীয় পরিচয় স্পষ্টতই প্রথমটিকে বোঝায় তবে এর জন্য দক্ষতা প্রয়োজন। এমন সেমিগ্রুপ রয়েছে যা দ্বিতীয় পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে কিন্তু ব্যান্ড নয় এবং প্রথমটিকে সন্তুষ্ট করে না। আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ডগুলির একটি সম্পূর্ণ শ্রেণীবিভাগ রয়েছে। প্রদত্ত নির্বিচারে সেট এবং সেটিং দ্বারা একটি ম্যাগমা অপারেশন সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে এই অপারেশনটি সহযোগী কারণ যে কোনও তিনটি জোড়ার জন্য, আমাদের আছে এবং একইভাবে এই দুটি ম্যাগমা পরিচয় এবং উপরের দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যযুক্ত পরিচয়ের সমতুল্য। এই দুটি একসঙ্গে সাহচর্যকেও বোঝায়। যে কোনও ম্যাগমা যা এই দুটি আয়তক্ষেত্রাকার পরিচয় এবং আদর্শকে সন্তুষ্ট করে তাই একটি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড। সুতরাং যে কোনও ম্যাগমা যা বৈশিষ্ট্যগত পরিচয় (চারটি পৃথক ম্যাগমা পরিচয়) উভয়কেই সন্তুষ্ট করে তা হল একটি ব্যান্ড এবং তাই একটি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড। উপরে সংজ্ঞায়িত ম্যাগমা অপারেশনটি একটি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড কারণ আমাদের যে কোনও জোড়ার জন্য প্রতিটি উপাদান আইডেম্পোটেন্ট এবং প্রথম বৈশিষ্ট্যগত পরিচয়টি আইডেম্পোটেন্সের সাথে দ্বিতীয়টি থেকে অনুসরণ করে। কিন্তু একটি ম্যাগমা যা শুধুমাত্র প্রথম বৈশিষ্ট্য এবং স্বকীয়তার পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে তা সহযোগী হওয়ার প্রয়োজন নেই তাই দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যটি কেবল একটি সেমিগ্রুপে প্রথমটি থেকে অনুসরণ করে। যে কোনও আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড উপরের ফর্মগুলির মধ্যে একটির সমরূপ (হয় খালি, বা কোনও উপাদান বেছে নিন, এবং তারপর () একটি সমরূপতা সংজ্ঞায়িত করে)। বাম-শূন্য এবং ডান-শূন্য ব্যান্ডগুলি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড এবং প্রকৃতপক্ষে প্রতিটি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড একটি বাম-শূন্য ব্যান্ড এবং একটি ডান-শূন্য ব্যান্ডের সরাসরি গুণফলের সমরূপ। মৌলিক ক্রমের সমস্ত আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড শূন্য ব্যান্ড, হয় বাম বা ডান। একটি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ডকে সম্পূর্ণরূপে আয়তক্ষেত্রাকার বলা হয় যদি এটি বাম-শূন্য বা ডান-শূন্য ব্যান্ড না হয়। শ্রেণীগত ভাষায়, কেউ বলতে পারেন যে খালি নয় এমন আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ডগুলির বিভাগটি সমতুল্য, যেখানে খালি নয় এমন সেটগুলি বস্তু হিসাবে এবং মরফিজম হিসাবে ফাংশন সহ বিভাগটি রয়েছে। এটি কেবল বোঝায় না যে প্রতিটি খালি আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড এক জোড়া সেট থেকে আসা একটির সমরূপ, তবে এই সেটগুলি একটি ক্যানোনিকাল সমরূপতা পর্যন্ত অনন্যভাবে নির্ধারিত হয় এবং ব্যান্ডগুলির মধ্যে সমস্ত সমরূপতা সেটগুলির মধ্যে জোড়া ফাংশন থেকে আসে। উপরের ফলাফলে যদি সেটটি খালি থাকে, তবে আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ডটি এর থেকে স্বাধীন এবং তদ্বিপরীত। এই কারণেই উপরের ফলাফলটি খালি নয় এমন আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ড এবং খালি নয় এমন জোড়া সেটের মধ্যে একটি সমতা দেয়। আয়তক্ষেত্রাকার ব্যান্ডগুলিও-অ্যালজেব্রা, যেখানে সেটের উপর মোনাড রয়েছে, যা তির্যক মানচিত্র এবং। একটি সাধারণ ব্যান্ড হল এমন একটি ব্যান্ড যা সকলের জন্য সন্তোষজনক, এবং। আমরা এটাও বলতে পারি যে একটি সাধারণ ব্যান্ড হল এমন একটি ব্যান্ড যা সকলের জন্য সন্তোষজনক, এবং। এই একই সমীকরণটি মিডিয়াল ম্যাগমাস সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, তাই একটি সাধারণ ব্যান্ডকে মিডিয়াল ব্যান্ডও বলা যেতে পারে এবং সাধারণ ব্যান্ডগুলি মিডিয়াল ম্যাগমাসের উদাহরণ। বাম-নিয়মিত ব্যান্ড একটি বাম-নিয়মিত ব্যান্ড হল এমন একটি ব্যান্ড যা সকলের জন্য সন্তোষজনক, যদি আমরা একটি সেমিগ্রুপ নিই এবং যদি সংজ্ঞায়িত করি, আমরা একটি আংশিক ক্রম পেতে পারি যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই সেমিগ্রুপটি একটি বাম-নিয়মিত ব্যান্ড হয়। বাম-নিয়মিত ব্যান্ডগুলি এইভাবে পজিটের অধ্যয়নে স্বাভাবিকভাবেই প্রদর্শিত হয়। ডান-নিয়মিত ব্যান্ড একটি ডান-নিয়মিত ব্যান্ড হল এমন একটি ব্যান্ড যা সকলের জন্য সন্তোষজনক যে কোনও ডান-নিয়মিত ব্যান্ড বিপরীত পণ্য ব্যবহার করে একটি বাম-নিয়মিত ব্যান্ড হয়ে ওঠে। প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি বৈচিত্র্যময় ব্যান্ডের একটি 'বিপরীত' সংস্করণ রয়েছে; এটি নীচের চিত্রে প্রতিফলন প্রতিসাম্যের জন্ম দেয়। নিয়মিত ব্যান্ড একটি নিয়মিত ব্যান্ড হল এমন একটি ব্যান্ড যা বিভিন্ন জাতের সমস্ত জালের জন্য সন্তোষজনক যখন আংশিকভাবে অন্তর্ভুক্তি দ্বারা অর্ডার করা হয়, বিভিন্ন ধরনের ব্যান্ড স্বাভাবিকভাবেই একটি জাল গঠন করে, যেখানে দুটি জাতের মিলন তাদের ছেদ এবং দুটি জাতের সংযোগ হল ক্ষুদ্রতম জাত যা উভয়ই ধারণ করে। এই জালের সম্পূর্ণ কাঠামো জানা যায়; বিশেষ করে, এটি গণনাযোগ্য, সম্পূর্ণ এবং বিতরণযোগ্য। নিয়মিত ব্যান্ডগুলির 13টি জাতের সমন্বয়ে গঠিত সাবল্যাটিসটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। বাম-শূন্য ব্যান্ড, অর্ধবৃত্তাকার এবং ডান-শূন্য ব্যান্ড হল এই জালের তিনটি পরমাণু (অ-তুচ্ছ ন্যূনতম উপাদান)। চিত্রে দেখানো প্রতিটি বৈচিত্র্যময় ব্যান্ড শুধুমাত্র একটি পরিচয় দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি কোনও কাকতালীয় ঘটনা নয়ঃ প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি বৈচিত্র্যময় ব্যান্ডকে একটি একক পরিচয় দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। এছাড়াও বুলিয়ান বলয় দেখুন, একটি বলয় যেখানে প্রতিটি উপাদান (গুণগতভাবে) স্বয়ংসম্পূর্ণ, কোথাও বিনিময়যোগ্য সেমিগ্রুপ নেই সেমিগ্রুপের বিশেষ শ্রেণী অর্থোডক্স সেমিগ্রুপ নোটস রেফারেন্স। । । । । । । । । । বীজগাণিতিক কাঠামো সেমিগ্রুপ তত্ত্ব