Brahmagupta
برہم گپتا (-) ایک ہندوستانی ریاضی دان اور ماہر فلکیات تھے۔ وہ ریاضی اور فلکیات پر دو ابتدائی کاموں کے مصنف ہیں: برہمسفوتاسدھانتا (بی ایس ایس، "برہما کا صحیح طریقے سے قائم کردہ نظریہ"، تاریخ 628)، ایک نظریاتی مقالہ، اور کھنڈکھادیاکا ("خوردنی کاٹنے"، تاریخ 665)، ایک زیادہ عملی متن۔ 628 عیسوی میں، برہم گپتا نے سب سے پہلے کشش ثقل کو ایک پرکشش قوت کے طور پر بیان کیا، اور اسے بیان کرنے کے لیے سنسکرت میں "گروتوکارشنم" کی اصطلاح استعمال کی۔ برہم گپتا کو ان کے اہم کام برہما-اسفوتا-سدھانتا میں کواڈریٹک فارمولے (کواڈریٹک مساوات کا حل) کی پہلی واضح وضاحت کا سہرا دیا جاتا ہے۔ زندگی اور پیشہ برہم گپتا، ان کے اپنے بیان کے مطابق، 598 عیسوی میں پیدا ہوئے تھے۔ چاوڑا خاندان کے حکمران ویاگراہمکھا کے دور حکومت میں گرجردیسا (راجستھان، ہندوستان میں جدید بھینمل) کے بھیلامالا میں پیدا ہوئے، ان کے آباؤ اجداد غالبا سندھ سے تھے۔ وہ جشنو گپتا کا بیٹا تھا اور مذہب کے لحاظ سے ہندو تھا، خاص طور پر شیو۔ انہوں نے اپنی زندگی کا ایک اچھا حصہ وہاں گزارا اور کام کیا۔ بعد کے مبصر پرتھوداک سوامین نے انہیں بھیلملاچاریہ کہا، جو بھیلملا کا استاد تھا۔ بھیلملا مغربی ہندوستان کی دوسری سب سے بڑی سلطنت گرجردیش کا دارالحکومت تھا، جو جدید دور کے ہندوستان میں جنوبی راجستھان اور شمالی گجرات پر مشتمل ہے۔ یہ ریاضی اور فلکیات کے لیے سیکھنے کا مرکز بھی تھا۔ وہ برہم پکشا اسکول کے ماہر فلکیات بن گئے، جو اس عرصے کے دوران ہندوستانی فلکیات کے چار بڑے اسکولوں میں سے ایک ہے۔ انہوں نے ہندوستانی فلکیات پر پانچ روایتی سدھانت کے ساتھ ساتھ دیگر ماہرین فلکیات کے کام کا بھی مطالعہ کیا جن میں آریہ بھٹ اول، لتا دیو، پردیومنا، وراہامیہر، سمہا، سریسین، وجینندن اور وشنو چندر شامل ہیں۔ سال 628 میں، 30 سال کی عمر میں، اس نے برہمسفوتاسدھانتا ("برہما کا بہتر مقالہ") تحریر کیا جس کے بارے میں خیال کیا جاتا ہے کہ یہ برہم پکش فلکیات کے اسکول کے موصولہ سدھانت کا ایک نظر ثانی شدہ ورژن ہے۔ اسکالرز کا کہنا ہے کہ انہوں نے اپنی نظر ثانی میں بہت زیادہ اصلیت کو شامل کیا، جس سے کافی مقدار میں نئے مواد کا اضافہ ہوا۔ یہ کتاب 24 ابواب پر مشتمل ہے جس میں آریہ میٹر میں 1008 آیات ہیں۔ اس کا ایک اچھا سودا فلکیات ہے، لیکن اس میں ریاضی کے اہم ابواب بھی شامل ہیں، جن میں الجبرا، جیومیٹری، ٹرگونومیٹری اور الگورتھم شامل ہیں، جن کے بارے میں خیال کیا جاتا ہے کہ وہ خود برہم گپتا کی وجہ سے نئی بصیرت پر مشتمل ہیں۔ بعد میں، برہم گپتا اجینی، اونتی چلا گیا، جو وسطی ہندوستان میں فلکیات کا ایک بڑا مرکز ہے۔ 67 سال کی عمر میں، انہوں نے اپنا اگلا معروف کام کھنڈ-کھادیاکا تحریر کیا، جو کہ ہندوستانی فلکیات کا ایک عملی دستی ہے جو کرانا زمرے میں طلباء کے ذریعے استعمال کیا جاتا ہے۔ برہم گپتا کا انتقال 668 عیسوی میں ہوا، اور خیال کیا جاتا ہے کہ ان کا انتقال اجین میں ہوا تھا۔ برہم گپتا کے کام مندرجہ ذیل مقالے مرتب کرتے ہیں: برہمسفوتاسدھنتا، جو 628 عیسوی میں مرتب ہوا۔ کھنڈکھادیکا، 665 عیسوی میں تشکیل دی گئی۔ گرہنارکجنان، (ایک مخطوطے میں منسوب) استقبال برہم گپتا کی ریاضیاتی پیشرفت کو اجین کے ایک نسب نسل بھاسکر دوم نے آگے بڑھایا، جس نے برہم گپتا کو گنک-چکر-چوڈامنی (ریاضی دانوں کے حلقے کا منی) قرار دیا۔ پرتھوداک سوامین نے ان کے دونوں کاموں پر تبصرے لکھے، مشکل آیات کو آسان زبان میں پیش کیا اور عکاسی کا اضافہ کیا۔ 8 ویں اور 9 ویں صدی میں لالہ اور بھٹوتپال نے کھنڈ کھڈیاک پر تبصرے لکھے۔ مزید تبصرے 12 ویں صدی تک لکھے جاتے رہے۔ برہم گپتا کی موت کے چند دہائیوں بعد، سندھ 712 عیسوی میں عرب خلافت کے ماتحت آگیا۔ گرجردیسا (عرب مورخین کے مطابق "جورز میں البیلمان") میں مہمات بھیجی گئیں۔ ایسا لگتا ہے کہ بھیلملا کی سلطنت ختم ہو گئی تھی لیکن اجین نے ان حملوں کو پسپا کر دیا۔ خلیفہ المنصور (754-775) کے دربار کو سندھ سے ایک سفارت خانہ موصول ہوا، جس میں کنک نامی ایک ماہر فلکیات بھی شامل تھا، جو برہمگپت سمیت فلکیاتی تحریریں (ممکنہ طور پر حفظ شدہ) لے کر آیا تھا۔ برہم گپتا کی تحریروں کا عربی میں ترجمہ المنصور کے دربار کے ماہر فلکیات محمد الفضاری نے سندھی اور اراکھنڈ کے نام سے کیا تھا۔ متن میں استعمال ہونے والے اعشاریہ نمبر کے نظام کا پھیلاؤ ایک فوری نتیجہ تھا۔ ریاضی دان الخوارزمی (800-850 CE) نے الجام وال طفریق بی حصال الہند (ہندوستانی ریاضی میں اضافہ اور گھٹاؤ) کے نام سے ایک متن لکھا، جس کا ترجمہ 13 ویں صدی میں لاطینی میں الگورتھمی ڈی نمبر انڈورم کے نام سے کیا گیا۔ ان تحریروں کے ذریعے اعشاریہ عدد کا نظام اور ریاضی کے لیے برہم گپتا کے الگورتھم پوری دنیا میں پھیل چکے ہیں۔ الخوارزمی نے سندھ کا اپنا ورژن بھی لکھا، جس میں الفضری کے ورژن پر روشنی ڈالی گئی اور ٹولیمک عناصر کو شامل کیا گیا۔ ہندوستانی فلکیاتی مواد صدیوں تک وسیع پیمانے پر گردش کرتا رہا، یہاں تک کہ قرون وسطی کے لاطینی متون میں بھی اپنا راستہ بنا لیا۔ سائنس کے مورخ جارج سارٹن نے برہم گپتا کو "اپنی نسل کے عظیم ترین سائنسدانوں میں سے ایک اور اپنے وقت کا عظیم ترین" قرار دیا۔ ریاضی الجبرہ برہم گپتا نے برہمسفوت سدھانت کے اٹھارہ ویں باب میں عمومی لکیری مساوات کا حل دیا، روپوں کے درمیان فرق، جب الٹا اور [نامعلوم] کے [کوفیشنٹس] کے فرق سے تقسیم کیا جاتا ہے، تو مساوات میں نامعلوم ہوتا ہے۔ روپوں کو اس کے نیچے [طرف سے گھٹا دیا جاتا ہے] جس سے مربع اور نامعلوم کو گھٹایا جانا ہے۔ جو اس مساوات کا حل ہے جہاں روپوں سے مراد مستقلات اور ہیں۔ دیا گیا حل اس کے مساوی ہے۔ انہوں نے مزید عمومی کواڈریٹک مساوات 18.44 کے دو مساوی حل دیے۔ روپوں کی مربع جڑ کو درمیانی [نمبر] سے گھٹا کر مربع سے چار گنا بڑھا کر درمیانی [نمبر] کے مربع سے بڑھا کر بقیہ کو مربع سے دوگنا تقسیم کریں۔ [نتیجہ] درمیانی [نمبر] ہے۔ 18.45۔ روپوں کی مربع جڑ جو بھی ہو اسے مربع سے ضرب دے کر [اور] نامعلوم کے آدھے کے مربع سے بڑھا کر، نامعلوم کو آدھے سے کم کر کے [اور] بقیہ کو اس کے مربع سے تقسیم کر دے۔ [نتیجہ] نامعلوم ہے۔ جو بالترتیب مساوات کے مساوی حل ہیں، اور انہوں نے بیک وقت غیر متعین مساوات کے نظام کو حل کرتے ہوئے کہا کہ مطلوبہ متغیر کو پہلے الگ کیا جانا چاہیے، اور پھر مساوات کو مطلوبہ متغیر کے گتانک سے تقسیم کیا جانا چاہیے۔ خاص طور پر، انہوں نے متعدد نامعلوم کے ساتھ مساوات کو حل کرنے کے لیے "پلورائزر" کا استعمال کرنے کی سفارش کی۔ 18.51۔ پہلے رنگ سے مختلف رنگوں کو گھٹا دیں۔ [بقیہ] کو پہلے [رنگ کے گتانک] سے تقسیم کرنا پہلے کی پیمائش ہے۔ [اصطلاحات] دو سے دو [کو] سمجھا جاتا ہے [جب گھٹا دیا جاتا ہے] اسی طرح کے تقسیم کار، [اور اسی طرح] بار بار۔ اگر بہت سے [رنگ] ہیں، تو پلورائزر [استعمال کیا جانا ہے]۔ ڈیوفنٹس کے الجبرا کی طرح، برہم گپتا کے الجبرا کو مطابقت پذیر کیا گیا تھا۔ اضافہ نمبروں کو ایک ساتھ رکھ کر، سبٹراینڈ پر ایک ڈاٹ رکھ کر گھٹا کر، اور ڈیویزر کو ڈیویڈنڈ سے نیچے رکھ کر تقسیم کیا گیا تھا، جو ہمارے اشارے کی طرح ہے لیکن بار کے بغیر۔ ضرب، ارتقاء، اور نامعلوم مقداروں کی نمائندگی مناسب اصطلاحات کے مخففات سے کی جاتی تھی۔ اس مطابقت پذیری پر یونانی اثر کی حد، اگر کوئی ہو، معلوم نہیں ہے اور یہ ممکن ہے کہ یونانی اور ہندوستانی مطابقت پذیری دونوں ایک مشترکہ بابل کے ماخذ سے اخذ کی گئی ہو۔ چار بنیادی حرکتیں (اضافہ، گھٹاؤ، ضرب، اور تقسیم) برہم گپتا سے پہلے بہت سی ثقافتوں میں جانی جاتی تھیں۔ یہ موجودہ نظام ہندو-عربی عددی نظام پر مبنی ہے اور سب سے پہلے برہماسفوتاسدھانتا میں ظاہر ہوا۔ برہم گپتا ضرب کو مندرجہ ذیل طریقے سے بیان کرتا ہے: ضرب کو مویشیوں کے لیے ایک تار کی طرح دہرایا جاتا ہے، جتنی بار ضرب میں مربوط حصے ہوتے ہیں اور بار بار ان سے ضرب دی جاتی ہے اور مصنوعات کو ایک ساتھ شامل کیا جاتا ہے۔ یہ ضرب ہے۔ یا ضرب کو اتنی بار دہرایا جاتا ہے جتنی بار ضرب میں اجزاء کے حصے ہوتے ہیں۔ ہندوستانی ریاضی کو قرون وسطی کے یورپ میں موڈس انڈورم کے نام سے جانا جاتا تھا جس کا مطلب ہے "ہندوستانیوں کا طریقہ"۔ برہمسفوطاسدھنتا میں ضرب کے چار طریقے بیان کیے گئے تھے، جن میں گوموترکا بھی شامل ہے، جس کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ یہ موجودہ دور کے طریقوں کے قریب ہے۔ اپنے برہمسفوطاسدھنت کے باب بارہ کے آغاز میں، جس کا عنوان "حساب" ہے، وہ حصوں پر کارروائیوں کی بھی تفصیل دیتا ہے۔ قارئین سے توقع کی جاتی ہے کہ وہ مربع جڑ لینے تک بنیادی ریاضی کی کارروائیوں کو جان لے گا، حالانکہ وہ بتاتا ہے کہ کسی عدد کی مکعب اور مکعب جڑ کو کیسے تلاش کیا جائے اور بعد میں مربع اور مربع جڑوں کی گنتی کو آسان بنانے والے اصول دیتا ہے۔ اس کے بعد وہ حصوں کے پانچ قسم کے امتزاج سے نمٹنے کے لیے اصول دیتا ہے: ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ اور۔ مربع اور کیوب برہم گپتا پھر پہلے انٹیجرز کے مربع اور کیوب کا مجموعہ دیتے ہیں۔ 12.20۔ مربعوں کا مجموعہ یہ ہے کہ [مجموعہ] کو دو گنا سے ضرب دینے پر [مراحل کی تعداد] کو ایک سے بڑھا کر [اور] کو تین سے تقسیم کیا جائے۔ کیوب کا مجموعہ ان کے اس [مجموعہ] ڈھیر کا مربع ہے جس میں ایک جیسی گیندیں ہیں [جس کا حساب بھی لگایا جا سکتا ہے]۔ یہاں برہم گپتا نے نتیجہ پہلے عددوں کے مجموعے کے لحاظ سے پایا، بجائے اس کے کہ جدید عمل کے لحاظ سے۔ وہ پہلے قدرتی اعداد کے مربعوں کا مجموعہ اور پہلے n قدرتی اعداد کے کیوب کا مجموعہ اس طرح دیتا ہے۔ زیرو برہم گپتا کی برہمسفوتا سدھانتا پہلی کتاب ہے جو ریاضی کی ہیرا پھیری کے لیے قواعد فراہم کرتی ہے جو صفر اور منفی اعداد پر لاگو ہوتے ہیں۔ برہمسفوطاسدھنتا سب سے قدیم متن ہے جس میں صفر کو اپنے طور پر ایک نمبر کے طور پر شمار کیا گیا ہے، بجائے اس کے کہ کسی دوسرے نمبر کی نمائندگی کرنے میں محض ایک پلیس ہولڈر ہندسے کے طور پر جیسا کہ بابلیوں نے کیا تھا یا مقدار کی کمی کی علامت کے طور پر جیسا کہ بطلیموس اور رومیوں نے کیا تھا۔ اپنے برہمسفوت سدھانت کے اٹھارہ ویں باب میں، برہم گپتا منفی اعداد پر کارروائیوں کی وضاحت کرتا ہے۔ وہ سب سے پہلے اضافہ اور گھٹاؤ کی وضاحت کرتا ہے، 18.30۔ دو مثبت کا [مجموعہ] مثبت ہے، دو منفی کا منفی ؛ مثبت اور منفی کا [مجموعہ] ان کا فرق ہے ؛ اگر وہ برابر ہیں تو یہ صفر ہے۔ منفی اور صفر کا مجموعہ منفی ہے، [وہ] مثبت اور صفر مثبت کا، [اور] دو صفر صفر کا۔ [.] 18.32۔ ایک منفی مائنس صفر منفی ہے، ایک مثبت [مائنس صفر] مثبت ہے ؛ صفر [مائنس صفر] صفر ہے۔ جب مثبت کو منفی سے یا منفی کو مثبت سے گھٹانا ہو تو اسے شامل کرنا ہوتا ہے۔ وہ ضرب کی وضاحت کرتا ہے، 18.33۔ منفی اور مثبت کا پروڈکٹ منفی ہے، دو منفی مثبت اور مثبت کا۔ صفر اور منفی کا پروڈکٹ، صفر اور مثبت کا، یا دو صفر کا پروڈکٹ صفر ہے۔ لیکن صفر سے تقسیم کی اس کی وضاحت ہماری جدید سمجھ سے مختلف ہے: 18.34۔ ایک مثبت کو مثبت سے تقسیم کرنا یا منفی کو منفی سے تقسیم کرنا مثبت ہے۔ ایک صفر کو صفر سے تقسیم کرنا صفر ہے۔ ایک مثبت کو منفی سے تقسیم کرنا منفی ہے۔ ایک منفی کو مثبت سے تقسیم کرنا منفی بھی ہے۔ 18.35۔ ایک منفی یا مثبت کو صفر سے تقسیم کرنے پر وہ [صفر] اس کے تقسیم کار کے طور پر ہوتا ہے، یا صفر کو منفی یا مثبت سے تقسیم کیا جاتا ہے [وہ منفی یا مثبت اس کے تقسیم کار کے طور پر ہوتا ہے]۔ منفی یا مثبت کا مربع مثبت ہے ؛ صفر کا [مربع] صفر ہے۔ جس کا [مربع] مربع ہے وہ [اس کا] مربع جڑ ہے۔ یہاں برہم گپتا بیان کرتا ہے کہ = 0 اور جہاں تک اس سوال کا تعلق ہے کہ اس نے خود کو ارتکاب نہیں کیا۔ منفی اعداد اور صفر پر ریاضی کے لیے ان کے اصول جدید تفہیم کے بالکل قریب ہیں، سوائے اس کے کہ جدید ریاضی میں صفر سے تقسیم کو غیر متعین چھوڑ دیا جاتا ہے۔ ڈیوفنٹائن تجزیہ پایتھاگورین ٹرپلٹس اپنے برہمسفوتاسدھانتا کے باب بارہ میں، برہم گپتا پایتھاگورین ٹرپل پیدا کرنے کے لیے مفید فارمولا فراہم کرتا ہے: 12.39۔ کسی پہاڑ کی اونچائی کو ایک دیئے گئے ضرب سے ضرب دینا کسی شہر کا فاصلہ ہے ؛ اسے مٹایا نہیں جاتا ہے۔ جب اسے ضرب دو سے بڑھا کر تقسیم کیا جاتا ہے تو یہ ان دونوں میں سے ایک کی چھلانگ ہوتی ہے جو ایک ہی سفر کرتے ہیں۔ یا، دوسرے لفظوں میں، اگر، تو ایک مسافر جو اونچائی والے پہاڑ کی چوٹی سے عمودی طور پر اوپر کی طرف چھلانگ لگاتا ہے، اور پھر پہاڑ کی بنیاد سے افقی فاصلے پر کسی شہر کی طرف سیدھی لکیر میں سفر کرتا ہے، اتنا ہی فاصلہ طے کرتا ہے جتنا کہ وہ شخص جو عمودی طور پر پہاڑ سے نیچے اترتا ہے اور پھر افقی طور پر شہر کی طرف سفر کرتا ہے۔ ہندسی طور پر بیان کیا گیا ہے، یہ کہتا ہے کہ اگر دائیں زاویہ والے مثلث کی لمبائی اور اونچائی کی بنیاد ہے، تو اس کے ہائپوٹینوس کی لمبائی اس کے ذریعہ دی جاتی ہے۔ اور، درحقیقت، ابتدائی الجبرائی ہیرا پھیری سے پتہ چلتا ہے کہ جب بھی قدر بیان کی جاتی ہے۔ نیز، اگر اور عقلی ہیں، تو ہیں، اور۔ اس لیے ایک پایتھاگورین ٹرپل حاصل کیا جا سکتا ہے، اور ان میں سے ہر ایک کو ان کے ڈینومینیٹرز کے سب سے کم مشترکہ ضرب سے ضرب دے کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔ پیل کی مساوات برہم گپتا نے یوکلڈین الگورتھم کا استعمال کرتے ہوئے دوسری ڈگری کی ڈیوفنٹائن مساوات کی کچھ مثالوں جیسے (جسے پیل کی مساوات کہا جاتا ہے) کے حل پیدا کرنے کے لیے تکرار کا تعلق دیا۔ یوکلڈین الگورتھم کو وہ "پلورائزر" کے نام سے جانتے تھے کیونکہ یہ نمبروں کو چھوٹے چھوٹے ٹکڑوں میں تقسیم کرتا ہے۔ مربعوں کی نوعیت: 18.64۔ [نیچے رکھیں] کسی دیئے گئے مربع کی مربع جڑ کو ضرب سے دوگنا کریں اور صوابدیدی [نمبر] سے بڑھا یا کم کریں۔ پہلے [جوڑے] کا پروڈکٹ، ضرب سے ضرب، آخری [جوڑے] کے پروڈکٹ کے ساتھ، آخری computed.18.65 ہے۔ تھنڈربولٹ مصنوعات کا مجموعہ پہلا ہے۔ ضمیمہ ضمیمہ کی پیداوار کے برابر ہوتا ہے۔ دو مربع جڑیں، جو اضافی یا گھٹاؤ سے تقسیم ہوتی ہیں، اضافی روپا ہیں۔ اس کے حل کی کلید شناخت تھی، جو ایک شناخت کی عمومی شکل ہے جسے ڈیوفنٹس نے دریافت کیا تھا، اس کی شناخت اور اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے کہ اگر اور مساوات کے حل ہیں اور، بالترتیب، تو اس کا حل ہے، وہ پیل کی مساوات کا لازمی حل تلاش کرنے میں کامیاب رہا۔ برہم گپتا اپنے حل کو تمام ممکنہ اقدار کے لیے یکساں طور پر لاگو کرنے کے قابل نہیں تھا، بلکہ وہ صرف یہ ظاہر کرنے کے قابل تھا کہ اگر = ±1، ±2، یا ±4 کے لیے انٹیجر حل ہے، تو اس کا حل ہے۔ عام پیل کی مساوات کے حل کو بھاسکر دوم کا انتظار کرنا پڑے گا۔ جیومیٹری برہم گپتا کا فارمولا برہم گپتا کا جیومیٹری میں سب سے مشہور نتیجہ سائیکلک کواڈریلیٹرلز کے لیے ان کا فارمولا ہے۔ کسی بھی چکور چوطرفہ کے اطراف کی لمبائی کو دیکھتے ہوئے، برہم گپتا نے اعداد و شمار کے رقبے کے لیے ایک تخمینہ اور ایک درست فارمولا، 12.21 دیا۔ لگ بھگ رقبہ ایک مثلث اور چوطرفہ کے اطراف اور مخالف اطراف کے مجموعوں کے نصف حصے کا پروڈکٹ ہے۔ درست [رقبہ] سہ رخی کے [ہر] طرف سے کم ہونے والے اطراف کے مجموعوں کے حصوں کے پروڈکٹ سے مربع جڑ ہے۔ لہذا لمبائی کو دیکھتے ہوئے، اور ایک چکور چوطرفہ کا، تخمینہ رقبہ ہے جبکہ، عین مطابق رقبہ ہے۔ اگرچہ برہم گپتا واضح طور پر یہ نہیں کہتا ہے کہ یہ چوطرفہ چکور ہیں، لیکن اس کے اصولوں سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ایسا ہی ہے۔ ہیرون کا فارمولا اس فارمولے کا ایک خاص معاملہ ہے اور اسے کسی ایک طرف کو صفر کے برابر ترتیب دے کر اخذ کیا جا سکتا ہے۔ مثلث برہم گپتا نے اپنے کام کا کافی حصہ جیومیٹری کے لیے وقف کیا۔ ایک نظریہ دو حصوں کی لمبائی دیتا ہے کہ ایک مثلث کی بنیاد کو اس کی اونچائی سے تقسیم کیا جاتا ہے: 12.22۔ بیس سے تقسیم شدہ اطراف کے مربعوں کے درمیان فرق سے بیس کم اور بڑھتا ہے۔ جب دو سے تقسیم کیا جاتا ہے تو وہ حقیقی حصے ہوتے ہیں۔ عمودی [اونچائی] ایک طرف کے مربع سے مربع جڑ ہے جو اس کے حصے کے مربع سے کم ہوتی ہے۔ اس طرح دونوں حصوں کی لمبائی ہے۔ اس کے علاوہ وہ عقلی مثلثوں پر ایک نظریہ پیش کرتا ہے۔ عقلی اطراف، اور عقلی رقبے والا مثلث اس شکل کا ہوتا ہے: کچھ عقلی اعداد کے لیے، اور۔ برہم گپتا کا نظریہ برہم گپتا جاری ہے، 12.23۔ غیر غیر مساوی کواڈریلیٹرل کے اطراف اور مخالف اطراف کے دو پروڈکٹ کے مجموعے کی مربع جڑ اخترن ہے۔ اخترن کا مربع بیس اور اوپری حصے کے آدھے مجموعے کے مربع سے کم ہو جاتا ہے ؛ مربع جڑ عمودی [اونچائی] ہے۔ لہذا، ایک "غیر غیر مساوی" چکور کواڈریلیٹرل (یعنی ایک آئسوسیلس ٹریپیزائڈ) میں، ہر اخترن کی لمبائی ہے۔ وہ ہندسی اعداد و شمار کی لمبائی اور رقبے کے لیے فارمولے دینا جاری رکھتا ہے، جیسے کہ آئسوسیلس ٹریپیزائڈ اور اسکیلین کواڈریلیٹرل کا سرکمریڈیئس، اور اسکیلین سائیکلک کواڈریلیٹرل میں ڈائیگنلز کی لمبائی۔ یہ برہم گپتا کے مشہور نظریہ، 12.30-31 کی طرف لے جاتا ہے۔ غیر مساوی اطراف کے ساتھ [ایک چکور چوطرفہ] کے اندر دو مثلثوں کی امیجنگ کرتے ہوئے، دونوں ترچھے دو بیس ہیں۔ ان کے دو حصے الگ الگ ہوتے ہیں، بالائی اور نچلے حصے [بنے ہوئے] مثلث کے چوراہے پر۔ دو ترازو کے دو [نچلے حصے] مثلث میں دو رخ ہوتے ہیں۔ [چوطرفہ کی بنیاد مثلث کی بنیاد ہے]۔ اس کا پرپینڈکیولر [مرکزی] پرپینڈکیولر کا نچلا حصہ ہے۔ [مرکزی] پرپینڈکیولر کا اوپری حصہ [اطراف] پرپینڈکیولر کے مجموعے کا نصف ہے جو نچلے [مرکزی پرپینڈکیولر کے حصے] سے کم ہوتا ہے۔ پائی آیت 40 میں، وہ 12.40 کی اقدار دیتا ہے۔ رداس کا قطر اور مربع [ہر ایک] کو 3 سے ضرب دینا [بالترتیب] عملی دائرہ اور [دائرے کا رقبہ] ہے۔ درست [اقدار] ان دونوں کے مربعوں کے مربع جڑ ہیں جنہیں دس سے ضرب دی جاتی ہے۔ لہذا برہم گپتا 3 کو "عملی" قدر کے طور پر، اور 1 فیصد سے کم غلطی کے ساتھ "درست" قدر کے طور پر استعمال کرتا ہے۔ پیمائش اور تعمیرات آیت 40 سے پہلے کی کچھ آیات میں، برہم گپتا صوابدیدی پہلوؤں کے ساتھ مختلف اعداد و شمار کی تعمیرات پیش کرتا ہے۔ انہوں نے بنیادی طور پر دائیں مثلثوں کو آاسوسیلیس مثلث، اسکیلین مثلث، مستطیل، آاسوسیلیس ٹریپیزوائڈز، تین مساوی اطراف والے آاسوسیلیس ٹریپیزوائڈز، اور ایک اسکیلین سائیکلک کواڈریلیٹرل تیار کرنے کے لیے ہیرا پھیری کی۔ پائی کی قدر دینے کے بعد، وہ طیارہ کے اعداد و شمار اور ٹھوسوں کی جیومیٹری سے نمٹتا ہے، جیسے کہ حجم اور سطح کے رقبے (یا ٹھوسوں سے کھودی گئی خالی جگہیں) تلاش کرنا۔ اسے آئتاکار پرنزم، اہرام، اور مربع اہرام کا فراسٹم ملتا ہے۔ وہ مزید گڑھوں کے سلسلے کی اوسط گہرائی کا پتہ لگاتا ہے۔ اہرام کے فرسٹم کے حجم کے لیے، وہ "عملی" قدر کو اوپر اور نیچے کے چہروں کے کناروں کے اوسط کے مربع کی گہرائی کے اوقات کے طور پر دیتا ہے، اور وہ "سطحی" حجم کو ان کے اوسط رقبے کی گہرائی کے اوقات کے طور پر دیتا ہے۔ تریگونومیٹری سائن ٹیبل اپنے برہماسفوتاسدھانتا کے باب 2 میں، جس کا عنوان سیاروں کے حقیقی طول البلد ہے، برہم گپتا ایک سائن ٹیبل پیش کرتا ہے: 2.2-5۔ سین: پروجینیٹرز، جڑواں بچے ؛ ارسا میجر، جڑواں بچے، وید ؛ دیوتا، آگ، چھ ؛ ذائقے، نرد، دیوتا ؛ چاند، پانچ، آسمان، چاند ؛ چاند، تیر، سورج [۔] یہاں برہم گپتا جگہ کی قیمت کے ہندسوں کے ہندسوں کی نمائندگی کے لیے اشیاء کے نام استعمال کرتا ہے، جیسا کہ سنسکرت کے مضامین میں عددی اعداد و شمار کے ساتھ عام تھا۔ ہندوستانی کاسمولوجی میں پروجینیٹرز 14 پروجینیٹرز ("منو") کی نمائندگی کرتے ہیں یا 14، "جڑواں" کا مطلب ہے 2، "ارسا میجر" ارسا میجر کے سات ستاروں کی نمائندگی کرتا ہے یا 7، "وید" سے مراد 4 ویدوں یا 4، پاسے روایتی ڈائی کے اطراف کی تعداد کی نمائندگی کرتے ہیں یا 6، اور اسی طرح۔ اس معلومات کا ترجمہ سنوں کی فہرست میں کیا جا سکتا ہے، 214، 427، 638، 846، 1051، 1251، 1446، 1635، 1817، 1991، 2156، 2312، 2459، 2594، 2719، 2832، 2933، 3021، 3096، 3159، 3207، 3242، 3263، اور 3270، جس کا رداس 3270 ہے (یہ اعداد اس کی نمائندگی کرتے ہیں)۔ انٹرپولیشن فارمولا 665 میں برہم گپتا نے پہلے سے ٹیبل شدہ دیگر اقدار سے سائن فنکشن کی نئی اقدار کو انٹرپولیٹ کرنے کے لیے سیکنڈ آرڈر کے نیوٹن-سٹرلنگ انٹرپولیشن فارمولے کا ایک خاص کیس وضع کیا اور استعمال کیا۔ فارمولہ کسی فنکشن کی قیمت کا تخمینہ اس کی دلیل (کے ساتھ اور) کی قیمت پر دیتا ہے جب اس کی قیمت پہلے ہی معلوم ہوتی ہے، اور۔ تخمینہ کا فارمولا یہ ہے: فرسٹ آرڈر فارورڈ فرق آپریٹر کہاں ہے، یعنی۔ کشش ثقل کے ابتدائی تصور برہم گپتا نے 628 میں سب سے پہلے کشش ثقل کو ایک پرکشش قوت کے طور پر بیان کیا، اس کو بیان کرنے کے لیے "گروتوکرشنم (گروتوکرشنم)" کی اصطلاح استعمال کرتے ہوئے: زمین اپنے تمام اطراف ایک جیسی ہے ؛ زمین پر موجود تمام لوگ سیدھے کھڑے ہیں، اور تمام بھاری چیزیں فطرت کے قانون کے مطابق زمین پر گرتی ہیں، کیونکہ چیزوں کو اپنی طرف متوجہ کرنا اور برقرار رکھنا زمین کی فطرت ہے، کیونکہ پانی کا بہاؤ فطرت ہے۔ اگر کوئی چیز زمین سے زیادہ گہرائی میں جانا چاہتی ہے تو اسے کوشش کرنے دیں۔ زمین واحد نچلی چیز ہے، اور بیج ہمیشہ اس کی طرف لوٹتے ہیں، آپ انہیں کسی بھی سمت پھینک دیں، اور زمین سے کبھی اوپر کی طرف نہیں اٹھتے۔ فلکیات برہم گپتا نے حریف ماہرین فلکیات کے کام کی طرف بہت زیادہ تنقید کی، اور ان کا برہمسفوت سدھانت ہندوستانی ریاضی دانوں کے درمیان ابتدائی اختلافات میں سے ایک کو ظاہر کرتا ہے۔ تقسیم بنیادی طور پر ریاضی کے بارے میں نہیں بلکہ جسمانی دنیا میں ریاضی کے اطلاق کے بارے میں تھی۔ برہم گپتا کے معاملے میں، اختلافات بڑی حد تک فلکیاتی پیرامیٹرز اور نظریات کے انتخاب سے پیدا ہوئے۔ حریف نظریات پر تنقید پہلے دس فلکیاتی ابواب میں ظاہر ہوتی ہے اور گیارہواں باب مکمل طور پر ان نظریات پر تنقید کے لیے وقف ہے، حالانکہ بارہویں اور اٹھارہویں ابواب میں کوئی تنقید نظر نہیں آتی۔ فلکیات میں برہم گپتا کی طرف سے کی گئی کچھ اہم شراکتوں میں وقت کے ساتھ آسمانی اجسام کی پوزیشن کا حساب لگانے کے ان کے طریقے (ایفیمیرائڈز)، ان کے اٹھنے اور ترتیب، امتزاج، اور سورج اور قمری گرہن کا حساب شامل ہیں۔ اپنے برہمسفوت سدھانت کے ساتویں باب میں، جس کا عنوان قمری ہلال ہے، برہم گپتا نے اس خیال کی تردید کی ہے کہ چاند زمین سے سورج سے زیادہ دور ہے۔ وہ سورج کی طرف سے چاند کی روشنی کی وضاحت کرتے ہوئے ایسا کرتا ہے۔ 1. اگر چاند سورج کے اوپر ہوتا تو چاند کے طول البلد کے حساب سے موم ہونے اور کم ہونے وغیرہ کی طاقت کیسے پیدا ہوتی؟ قریب نصف ہمیشہ روشن رہے گا۔ 2. جس طرح سورج کی روشنی میں کھڑے برتن کا آدھا حصہ سورج کو نظر آتا ہے وہ روشن ہوتا ہے، اور غیر مرئی آدھا سیاہ ہوتا ہے، اسی طرح چاند کی [روشنی] سورج کے نیچے ہوتی ہے۔ 3. سورج کی سمت میں چمک میں اضافہ ہوتا ہے۔ ایک روشن کے آخر میں [یعنی. ویکسنگ] نصف ماہ، قریب نصف روشن اور دور نصف سیاہ ہے۔ لہذا، سینگوں کی بلندی [ہلال کی] حساب سے حاصل کی جا سکتی ہے۔ [.] وہ وضاحت کرتے ہیں کہ چونکہ چاند سورج کے مقابلے زمین کے قریب ہے، اس لیے چاند کے روشن حصے کی ڈگری سورج اور چاند کی متعلقہ پوزیشنوں پر منحصر ہوتی ہے، اور اس کا حساب دونوں اجسام کے درمیان کے زاویے کے سائز سے لگایا جا سکتا ہے۔ سیاروں کے طول البلد کی کھوج، روزانہ کی گردش، قمری اور سورج گرہن، طلوع ہونے اور ترتیبات، چاند کا چاند اور سیاروں کے امتزاج، ان کے مقالے کھنڈکھادیکا میں زیر بحث ہیں۔ ۔