Ramanujan's lost notebook
رامانوجن کی گمشدہ نوٹ بک وہ مخطوطہ ہے جس میں ہندوستانی ریاضی دان سری نواس رامانوجن نے اپنی زندگی کے آخری سال (1919-1920) کی ریاضیاتی دریافتوں کو درج کیا۔ اس کا ٹھکانہ کچھ ریاضی دانوں کے علاوہ سب کے لیے نامعلوم تھا جب تک کہ اسے 1976 میں جارج اینڈریوز نے ٹرینیٹی کالج، کیمبرج کی ورن لائبریری میں محفوظ جی این واٹسن کے اثرات کے ایک خانے میں دوبارہ دریافت نہیں کیا۔ "نوٹ بک" کوئی کتاب نہیں ہے، بلکہ کاغذ کی ڈھیلی اور غیر ترتیب شدہ چادروں پر مشتمل ہے جسے رامانوجن کی مخصوص تحریر میں 138 اطراف میں لکھے گئے ایک سو سے زیادہ صفحات کے طور پر بیان کیا گیا ہے۔ شیٹس میں چھ سو سے زیادہ ریاضیاتی فارمولے تھے جو بغیر کسی ثبوت کے لگاتار درج کیے گئے تھے۔ کئی کتابیں شائع کی ہیں جن میں وہ نوٹ بک میں شامل رامانوجن کے فارمولوں کے ثبوت دیتے ہیں۔ برنڈٹ نوٹ بک کی دریافت کے بارے میں کہتے ہیں: "اس 'گمشدہ نوٹ بک' کی دریافت نے ریاضیاتی دنیا میں تقریبا اتنی ہی ہلچل مچا دی جتنی بیتھوون کی دسویں سمفنی کی دریافت موسیقی کی دنیا میں پیدا کرے گی۔" تاریخ 26 اپریل 1920 کو 32 سال کی عمر میں رامانوجن کے انتقال کے بعد ان کی اہلیہ نے اپنی نوٹ بکس مدراس یونیورسٹی کو دے دیں۔ 30 اگست 1923 کو رجسٹرار فرانسس ڈریوسبری نے اس مواد کا زیادہ تر حصہ ٹرنیٹی کالج میں رامانوجن کے سرپرست جی ایچ ہارڈی کو بھیجا، جہاں انہیں شاید گمشدہ نوٹ بک کے نسخے موصول ہوئے۔ 1934 اور 1947 کے درمیان کسی وقت، ہارڈی نے شاید نوٹ بک جی این واٹسن کو سونپی، جنہوں نے بی ایم ولسن کے ساتھ مل کر رامانوجن کی نوٹ بکس میں ترمیم کرنے کا منصوبہ شروع کیا۔ تاہم، ولسن کا 1935 میں انتقال ہو گیا اور ایسا لگتا ہے کہ واٹسن نے 1930 کی دہائی کے آخر میں اس منصوبے میں دلچسپی کھو دی تھی۔ 1965 میں واٹسن کی موت کے بعد، جے ایم وٹیکر نے واٹسن کے کاغذات کی جانچ پڑتال کی (جو کچھ دنوں میں جلنے کی وجہ سے مکمل طور پر گڑبڑ تھے) اور رامانوجن کی نوٹ بک ملی، جسے انہوں نے اور آر اے رینکن نے 26 دسمبر 1968 کو ٹرینیٹی کالج رن لائبریری کو بھیجا تھا۔ لوسی سلیٹر کی تجویز کے بعد، 1976 کے موسم بہار میں ٹرینیٹی کالج کے دورے کے دوران کھوئی ہوئی نوٹ بک ملی۔ اسے 22 دسمبر 1987 کو ناروسا پبلشنگ ہاؤس نے شائع کیا تھا۔ امریکی ریاضی دان جارج اینڈریوز نے اس دریافت کے بارے میں اینڈریوز کے بیان میں 2012 میں رامانوجن کی 125 ویں پیدائش کے جشن کی دریافت کا ایک بیان لکھا تھا۔ اپنے بیان میں، اینڈریوز کا کہنا ہے کہ وہ پہلے سے ہی ماک تھیٹا افعال اور ہائپر جیومیٹرک سیریز جیسے شعبوں میں ایک اعلی درجے کے محقق تھے، جو رامانوجن کے کاموں سے قریب سے متعلق تھے۔ 1970 میں، ایک وقفے کی توقع کرتے ہوئے، انہوں نے برطانوی ریاضی دان لوسی سلیٹر کو خط لکھا۔ سلیٹر نے اپنے جواب میں "دلچسپ انداز میں" کہا کہ اسے واٹسن، بیلی، جیکسن اور راجرز جیسے ریاضی دانوں سے مقالے کا ایک "عظیم مجموعہ" وراثت میں ملا تھا، جو غیر ترتیب شدہ تھا، جس میں رامانوجن کا آخری مقالہ بھی شامل تھا۔ انہوں نے یہ بھی بتایا کہ دیگر مقالے ٹرینیٹی کالج لائبریری کے پاس تھے۔ اگرچہ 1970 میں یورپ کا سفر کرنے سے قاصر تھے، اینڈریوز 1976 میں ایسا کرنے کے قابل ہو گئے، جب وہ فرانکو-جرمن سرحد کے قریب اسٹراسبرگ میں ایک یورپی کانفرنس میں شرکت کرنے والے تھے۔ انہوں نے سلیٹر، ٹرینیٹی کالج لائبریری، اور اپنے پروفیسر بین نوبل سے کانفرنس کے بعد کیمبرج جانے کی اجازت اور تعاون حاصل کیا، تاکہ واٹسن اور دیگر کی "انمول" غیر شائع شدہ تحریروں کی تحقیقات کی جا سکیں۔ نوبل نے اتفاق کیا، انہوں نے مزید کہا کہ اگر وہ ایک ہی وقت میں جیمز کلرک میکسویل کا کھویا ہوا کاغذ تلاش کرنے کی کوشش کر سکتے ہیں تو اس کی تعریف کی جائے گی۔ لائبریری کے دستاویزات میں واٹسن کی جائیداد سے متعلق معاملات کی فہرست شامل تھی۔ اس فہرست میں یہ آئٹم شامل تھا: "کیو سیریز پر ایس رامانوجن کا 139 صفحات پر مشتمل مخطوطہ"، جس میں رامانوجن کے آخری سال کا کام شامل ہے۔ اگرچہ اس طرح کا لیبل نہیں لگایا گیا تھا، لیکن کاغذات کی شناخت طے ہو گئی تھی کیونکہ ہارڈی کو لکھے گئے رامانوجن کے آخری خطوط میں رامانوجن کے فرضی تھیٹا افعال کی دریافت کا حوالہ دیا گیا تھا، حالانکہ اس میں کوئی بڑی تفصیل نہیں تھی، اور مخطوطات میں وہ چیزیں شامل تھیں جو بظاہر ان پر ان کے مکمل نوٹ دکھائی دیتی تھیں۔ مواد نے گمشدہ نوٹ بک کو تفصیل سے بیان کیا۔ فارمولوں کی اکثریت q-سیریز اور فرضی تھیٹا افعال کے بارے میں ہے، تقریبا ایک تہائی ماڈیولر مساوات اور واحد ماڈیولی کے بارے میں ہے، اور باقی فارمولے بنیادی طور پر انٹیگرلز، ڈیرچلیٹ سیریز، ہم آہنگی اور ایسمپٹوٹکس کے بارے میں ہیں۔ نوٹ بک میں موجود فرضی تھیٹا افعال بلیک ہولز کی اینٹروپی کا حساب لگانے کے لیے مفید پائے گئے ہیں۔ ۔