Sixth power
ریاضی اور الجبرا میں کسی عدد n کی چھٹی طاقت n کی چھ مثالوں کو ایک ساتھ ضرب دینے کا نتیجہ ہے۔ تو: چھٹی طاقتیں کسی عدد کو اس کی پانچویں طاقت سے ضرب دے کر، کسی عدد کے مربع کو اس کی چوتھی طاقت سے ضرب دے کر، مربع کو کیوب کر کے، یا مکعب کو مربع کر کے تشکیل دی جا سکتی ہیں۔ عدد کی چھٹی طاقتوں کی ترتیب یہ ہے: 0، 1، 64، 729، 4096، 15625، 46656، 117649، 262144، 531441، 1000000، 1771561، 2985984، 4826809، 7529536، 11390625، 1677216، 24137569، 34012224، 47045881، 64000000، 85766121، 113379904، 148035889، 191102976، 244140625، 308915776، 387420489، 481890304،۔ ان میں اہم اعشاریہ نمبر 106 (ایک ملین)، 1006 (ایک مختصر پیمانے پر ٹریلین اور طویل پیمانے پر بلین)، 10006 (ایک کوئنٹیلین اور طویل پیمانے پر ٹریلین) وغیرہ شامل ہیں۔ مربع اور کیوب عدد کی چھٹی طاقتوں کو ان اعداد کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جو بیک وقت مربع اور کیوب ہوتے ہیں۔ اس طرح، وہ اعداد کی دو دیگر کلاسوں سے مشابہت رکھتے ہیں: مربع مثلث نمبر، جو بیک وقت مربع اور مثلث ہوتے ہیں، اور کینن بال کے مسئلے کا حل، جو بیک وقت مربع اور مربع اہرام ہوتے ہیں۔ مربع اور کیوب سے ان کے تعلق کی وجہ سے، چھٹی طاقتیں مورڈیل منحنی خطوط کے مطالعہ میں اہم کردار ادا کرتی ہیں، جو اس شکل کے الپٹک منحنی خطوط ہیں۔ جب چھٹے پاور سے تقسیم ہوتا ہے، تو اس مساوات کو اسی پاور سے تقسیم کرکے کم کیا جا سکتا ہے تاکہ اسی شکل کی ایک آسان مساوات دی جا سکے۔ نمبر تھیوری میں ایک معروف نتیجہ، جسے روڈولف فوئیٹر اور لوئس جے مورڈیل نے ثابت کیا ہے، بیان کرتا ہے کہ، جب کوئی عدد جو چھٹی طاقت سے تقسیم نہیں ہوتا ہے (غیر معمولی صورتوں اور کے علاوہ)، تو اس مساوات کا یا تو کوئی عقلی حل نہیں ہوتا ہے اور دونوں غیر صفر یا ان میں سے لامحدود طور پر بہت سے۔ رابرٹ ریکارڈے کے آثار قدیم میں، کسی عدد کی چھٹی طاقت کو "زینزی کیوب" کہا جاتا تھا، جس کا مطلب مکعب کا مربع ہوتا ہے۔ اسی طرح، 12 ویں صدی کے ہندوستانی ریاضی میں بھاسکر دوم کے ذریعہ استعمال ہونے والی چھٹی طاقتوں کے اشارے نے بھی انہیں مکعب کا مربع یا مربع کا مکعب کہا۔ خلاصہ چھٹی طاقتوں کی متعدد معروف مثالیں ہیں جن کا اظہار سات دیگر چھٹی طاقتوں کے مجموعے کے طور پر کیا جا سکتا ہے، لیکن چھٹی طاقت کی کوئی مثال ابھی تک معلوم نہیں ہے جو صرف چھ چھٹی طاقتوں کے مجموعے کے طور پر ظاہر ہو۔ یہ اسے متغیر k = 1، 2،.، 8 والی طاقتوں میں منفرد بناتا ہے، جن میں سے ہر ایک کو k دیگر k-th طاقتوں کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے، اور جن میں سے کچھ (اویلر کے طاقتوں کے مجموعے کی خلاف ورزی کرتے ہوئے) کو اس سے بھی کم k-th طاقتوں کے مجموعے کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ وارنگ کے مسئلے کے سلسلے میں، ہر کافی بڑے عدد کو عدد کی زیادہ سے زیادہ 24 چھٹی طاقتوں کے مجموعے کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔ ڈیوفنٹائن مساوات کے لامحدود طور پر بہت سے مختلف غیر معمولی حل ہیں۔ یہ ثابت نہیں ہوا ہے کہ آیا اس مساوات کا کوئی غیر معمولی حل ہے، لیکن لینڈر، پارکن اور سیلفریج قیاس کا مطلب یہ ہوگا کہ ایسا نہیں ہے۔ دیگر خصوصیات 7 سے تقسیم ہوتی ہیں اگر n 7 سے تقسیم نہیں ہوتا ہے۔ ۔