D. R. Kaprekar
دتاتریہ رام چندر کپریکر (17 جنوری 1905-1986) ایک ہندوستانی تفریحی ریاضی دان تھے جنہوں نے قدرتی اعداد کی کئی کلاسیں بیان کیں جن میں کپریکر، ہرشد اور سیلف نمبر شامل ہیں اور انہوں نے کپریکر کا مستقل دریافت کیا، جس کا نام ان کے نام پر رکھا گیا ہے۔ کوئی رسمی پوسٹ گریجویٹ ٹریننگ نہ ہونے اور اسکول ٹیچر کے طور پر کام کرنے کے باوجود، انہوں نے بڑے پیمانے پر اشاعت کی اور تفریحی ریاضی کے حلقوں میں مشہور ہو گئے۔ سوانح عمری کپریکر نے اپنی ثانوی اسکول کی تعلیم تھانے میں حاصل کی اور گوہاٹی کے کاٹن کالج میں تعلیم حاصل کی۔ 1927 میں، انہوں نے ریاضی میں ایک اصل کام کے لیے رینگلر آر پی پرانجپی ریاضیاتی انعام جیتا۔ انہوں نے ممبئی یونیورسٹی میں تعلیم حاصل کی اور 1929 میں بیچلر کی ڈگری حاصل کی۔ کبھی بھی کوئی رسمی پوسٹ گریجویٹ ٹریننگ حاصل نہ کرنے کے بعد، اپنے پورے کیریئر (1930-1962) کے لیے وہ بھارت کے دیولالی مہاراشٹر کے سرکاری جونیئر اسکول میں اسکول ٹیچر تھے۔ ایک جگہ سے دوسری جگہ سائیکلنگ کرتے ہوئے انہوں نے نجی طلباء کو غیر روایتی طریقوں کی تربیت بھی دی، خوشی خوشی دریا کے کنارے بیٹھ کر "تھیوریمز کے بارے میں سوچنا"۔ انہوں نے بڑے پیمانے پر شائع کیا، بار بار اعشاریہ، جادوئی مربع، اور خصوصی خصوصیات والے انٹیجرز جیسے موضوعات کے بارے میں لکھا۔ انہیں "گنیتانند" کے نام سے بھی جانا جاتا ہے۔ دریافتیں بڑی حد تک اکیلے کام کرتے ہوئے، کپریکر نے نمبر تھیوری میں متعدد نتائج دریافت کیے اور اعداد کی مختلف خصوصیات کو بیان کیا۔ کاپرکر کے مستقل اور کاپرکر نمبروں کے علاوہ جو ان کے نام پر رکھے گئے تھے، انہوں نے سیلف نمبرز یا دیولالی نمبرز، ہرشد نمبرز اور ڈیملو نمبرز بھی بیان کیے۔ اس نے کوپرنیکس جادوئی چوک سے متعلق بعض قسم کے جادوئی چوک بھی بنائے۔ ابتدائی طور پر ان کے خیالات کو ہندوستانی ریاضی دانوں نے سنجیدگی سے نہیں لیا، اور ان کے نتائج بڑی حد تک نچلے درجے کے ریاضی کے جرائد میں شائع ہوئے یا نجی طور پر شائع ہوئے، لیکن بین الاقوامی شہرت اس وقت آئی جب مارٹن گارڈنر نے اپنے مارچ 1975 کے کالم میتھمیٹیکل گیمز فار سائنٹفک امریکن میں کپریکر کے بارے میں لکھا۔ آج ان کا نام مشہور ہے اور بہت سے دوسرے ریاضی دانوں نے ان کی دریافت کردہ خصوصیات کا مطالعہ کیا ہے۔ کپریکر کا مستقل 1949 میں، کپریکر نے 6174 نمبر کی ایک دلچسپ خاصیت دریافت کی، جسے بعد میں کپریکر مستقل نام دیا گیا۔ انہوں نے دکھایا کہ 6174 آخر میں پہنچ جاتا ہے کیونکہ ایک بار بار سب سے زیادہ اور سب سے کم اعداد کو گھٹا دیتا ہے جو چار ہندسوں کے سیٹ سے بنائے جا سکتے ہیں جو سب ایک جیسے نہیں ہیں۔ اس طرح، 1234 سے شروع کرتے ہوئے، ہمارے پاس: 4321−1234 = 3087، پھر 8730−0378 = 8352، اور 8532−2358 = 6174 ہیں۔ اس نقطہ سے آگے دہرانے سے وہی عدد نکلتا ہے (7641−1467 = 6174)۔ عام طور پر، جب آپریشن یکجا ہوتا ہے تو یہ زیادہ سے زیادہ سات تکرار میں ایسا کرتا ہے۔ 3 ہندسوں کے لیے اسی طرح کا مستقل 495 ہے۔ تاہم، بیس 10 میں ایسا واحد مستقل صرف 3 یا 4 ہندسوں کی تعداد کے لیے موجود ہے۔ 10 کے علاوہ دیگر ہندسوں کی لمبائی یا اڈوں کے لیے، اوپر بیان کردہ کپریکر کا معمول الگورتھم عام طور پر متعدد مختلف مستقل یا بار بار چکروں میں ختم ہو سکتا ہے، جو ابتدائی قدر پر منحصر ہے۔ کاپرکر کے مستقل کی جانچ کے لیے ازگر کوڈ ازگر کوڈ: کاپرکر _ کانسٹینٹ = 6174 n = 1234 پرنٹ (f 'n = {n}') جبکہ درست: ہندسوں میں i کے لیے ہندسوں میں (4): digits.append (n ٪ 10) n/= 10 digits.sort (الٹا = سچ) بڑے = 0 کے لیے d ہندسوں میں: بڑے = بڑے * 10 + d digits.sort () چھوٹے = 0 کے لیے ڈی ہندسوں میں: چھوٹے = چھوٹے * 10 + d n = بڑے-چھوٹے پرنٹ (f '{بڑے:> 4}-{چھوٹے:> 4} = {n:> 4') اگر n = = = کاپرکر نمبر ایک مثبت عدد ہے جس کی خاصیت یہ ہے کہ اگر اسے مربع کیا جائے تو اس کی نمائندگی کو دو مثبت عدد حصوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے جس کا مجموعہ اصل نمبر کے برابر ہے (مثال کے طور پر۔ 45، چونکہ 452 = 2025، اور 20+25 = 45، بھی 9، 55، 99 وغیرہ۔) تاہم، اس پابندی کو نوٹ کریں کہ دونوں نمبر مثبت ہیں ؛ مثال کے طور پر، 100 کاپرکر نمبر نہیں ہے حالانکہ 1002 = 10000، اور 100+00 = 100 ہے۔ مربع کے سب سے دائیں ہندسوں کو لینے اور اسے سب سے بائیں ہندسوں سے بنے عدد میں شامل کرنے کے اس عمل کو کپریکر عمل کے نام سے جانا جاتا ہے۔ نمبر 9، 99، 999 کے علاوہ بیس 10 میں کپریکر نمبروں کی کچھ مثالیں یہ ہیں: دیولالی یا سیلف نمبر 1963 میں، کپریکر نے اس پراپرٹی کی تعریف کی جو سیلف نمبروں کے نام سے جانا جاتا ہے، ان عددوں کے طور پر جو کسی دوسرے نمبر کو لے کر اور اس میں اپنے ہندسوں کو شامل کر کے پیدا نہیں کیا جا سکتا۔ مثال کے طور پر، 21 ایک سیلف نمبر نہیں ہے، کیونکہ اسے 15:15 + 1 + 5 = 21 سے بنایا جا سکتا ہے۔ لیکن 20 ایک سیلف نمبر ہے، کیونکہ اسے کسی دوسرے عدد سے نہیں بنایا جا سکتا۔ اس نے کسی بھی تعداد میں اس پراپرٹی کی تصدیق کے لیے ایک ٹیسٹ بھی دیا۔ ان کو بعض اوقات دیولالی نمبر کہا جاتا ہے (اس قصبے کے بعد جہاں وہ رہتے تھے) ؛ اگرچہ یہ ان کا ترجیحی عہدہ معلوم ہوتا ہے، لیکن "سیلف نمبر" کی اصطلاح زیادہ وسیع ہے۔ بعض اوقات ان کو بعد کے عہدہ کے بعد کولمبیا کے نمبر بھی نامزد کیا جاتا ہے۔ ہرشد نمبر کپریکر نے ہرشد نمبروں کو بھی بیان کیا جسے انہوں نے ہرشد کا نام دیا، جس کا مطلب ہے "خوشی دینا" (سنسکرت ہرش، خوشی + دا تدھتا پرتییا، محرک) ؛ ان کی تعریف اس خاصیت سے کی جاتی ہے کہ وہ اپنے ہندسوں کے مجموعے سے تقسیم ہوتے ہیں۔ اس طرح 12، جو 1 + 2 = 3 سے تقسیم ہوتا ہے، ایک ہرشد نمبر ہے۔ 1977 میں کینیڈا کے ریاضی دان ایوان ایم نیوین کے ان پر لیکچر کے بعد انہیں بعد میں نیوین نمبر بھی کہا گیا۔ وہ اعداد جو تمام اڈوں (صرف 1، 2، 4، اور 6) میں ہرشاد ہوتے ہیں، تمام ہرشاد نمبر کہلاتے ہیں۔ ہرشیڈ نمبروں، اور ان کی تقسیم، تعدد وغیرہ پر بہت کام کیا گیا ہے۔ آج کل نمبر تھیوری میں کافی دلچسپی کا معاملہ ہے۔ ڈیملو نمبر کپریکر نے ڈیملو نمبروں کا بھی مطالعہ کیا، جس کا نام اس وقت کے جی آئی پی ریلوے پر بمبئی سے 30 میل دور ایک ٹرین اسٹیشن ڈیملو (جسے اب ڈومبیویلی کہا جاتا ہے) کے نام سے ماخوذ تھا جہاں انہیں ان کا مطالعہ کرنے کا خیال آیا تھا۔ ان میں سے سب سے زیادہ مشہور حیرت انگیز ڈیملو نمبر 1، 121، 12321، 1234321 ہیں، جو 1، 11، 111,111 کے مربع ہیں۔