Ramanujan–Nagell equation
ریاضی میں، نمبر تھیوری کے میدان میں، رامانوجن-ناگیل مساوات ایک مربع نمبر اور ایک ایسے نمبر کے درمیان ایک مساوات ہے جو دو کی طاقت سے سات کم ہے۔ یہ ایک ایکسپونینشیل ڈیوفنٹائن مساوات کی ایک مثال ہے، ایک ایسی مساوات جسے انٹیجرز میں حل کیا جانا چاہیے جہاں متغیرات میں سے ایک ایکسپونینٹ کے طور پر ظاہر ہوتا ہے۔ اس مساوات کا نام سری نواس رامانوجن کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے قیاس کیا کہ اس کے صرف پانچ عدد حل ہیں، اور ٹرگوی ناگیل کے نام پر، جس نے قیاس کو ثابت کیا۔ اس کا مطلب ہے کہ کم از کم ہیمنگ فاصلہ 5 یا 6 کے ساتھ کامل بائنری کوڈز کا عدم وجود۔ مساوات اور حل مساوات ہے اور قدرتی اعداد n اور x میں حل صرف اس وقت موجود ہوتے ہیں جب n = 3، 4، 5، 7 اور 15 ہوتا ہے۔ اس کا قیاس 1913 میں ہندوستانی ریاضی دان سری نواس رامانوجن نے کیا تھا، 1943 میں ناروے کے ریاضی دان ولہیم لجنگرن نے آزادانہ طور پر تجویز کیا تھا، اور 1948 میں ناروے کے ریاضی دان ٹریگوی ناگیل نے ثابت کیا تھا۔ n کی اقدار x کی اقدار سے مطابقت رکھتی ہیں:-x = 1، 3، 5، 11 اور 181۔ مثلث مرسین نمبر 2b−1 (مرسین نمبرز) کی شکل کے تمام نمبروں کو تلاش کرنے کا مسئلہ جو مثلث ہیں مساوی ہے: b کی اقدار صرف n−3 کی ہیں، اور متعلقہ مثلث مرسین نمبرز (جنہیں رامانوجن-ناگیل نمبرز بھی کہا جاتا ہے) یہ ہیں: x = 1، 3، 5، 11 اور 181 کے لیے، 0، 1، 3، 15، 4095 دیتے ہیں اور اس سے زیادہ نہیں۔ رامانوجن-ناگیل قسم کی مساوات مقررہ D، A، B اور متغیر x، n کی شکل کی مساوات کو رامانوجن-ناگیل قسم کا کہا جاتا ہے۔ سیگل کا نتیجہ یہ ظاہر کرتا ہے کہ ہر معاملے میں حل کی تعداد محدود ہے۔ ساتھ اور ساتھ کی نمائندگی کرنے سے، رامانوجن-ناگیل قسم کی مساوات کو تین مورڈیل منحنی خطوط (انڈیکس شدہ) تک کم کر دیا جاتا ہے، جن میں سے ہر ایک میں عدد حلوں کی ایک محدود تعداد ہوتی ہے:،،۔ کے ساتھ مساوات کے زیادہ سے زیادہ دو حل ہوتے ہیں، سوائے رامانوجن-ناگیل مساوات سے مطابقت رکھنے والے معاملے کے۔ D کی لامحدود بہت سی اقدار ہیں جن کے دو حل ہیں، بشمول۔ لیبسگ-ناگیل قسم کی مساوات مقررہ D، A اور متغیر x، y، n کے لیے فارم کی مساوات کو لیبسگ-ناگیل قسم کا کہا جاتا ہے۔ اس کا نام وکٹر امیڈی لیبسگیو کے نام پر رکھا گیا ہے، جس نے ثابت کیا کہ مساوات کا کوئی غیر معمولی حل نہیں ہے۔ شوری اور تیجدیمان کے نتائج سے پتہ چلتا ہے کہ ہر معاملے میں حل کی تعداد محدود ہے۔ بوگاؤد، مگنوٹے اور سکسیک نے اس قسم کی مساوات کو A = 1 اور 1 ≤ D ≤ 100 کے ساتھ حل کیا۔ خاص طور پر، رامانوجن-ناگیل مساوات کی درج ذیل عمومی شکل: مثبت عدد حل صرف اس صورت میں ہوتے ہیں جب x = 1، 3، 5، 11، یا 181 ہو۔ ۔