Gopal Prasad
گوپال پرساد (پیدائش 31 جولائی 1945 غازی پور، ہندوستان میں) ایک ہندوستانی-امریکی ریاضی دان ہیں۔ ان کے تحقیقی مفادات لائ گروپوں کے شعبوں، ان کے مجرد ذیلی گروپوں، الجبرائی گروپوں، ریاضی کے گروپوں، مقامی طور پر ہم آہنگ خالی جگہوں کی جیومیٹری، اور تخفیف p-adic گروپوں کی نمائندگی کے نظریہ پر محیط ہیں۔ وہ این آربر میں مشی گن یونیورسٹی میں ریاضی کے راؤل باٹ پروفیسر ہیں۔ ایجوکیشن پرساد نے 1963 میں مگدھ یونیورسٹی سے ریاضی میں آنرز کے ساتھ بیچلر کی ڈگری حاصل کی۔ دو سال بعد، 1965 میں، انہوں نے پٹنہ یونیورسٹی سے ریاضی میں ماسٹر ڈگری حاصل کی۔ انڈین انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی کانپور میں ریاضی کے پی ایچ ڈی پروگرام میں مختصر قیام کے بعد، پرساد نے 1966 میں ٹاٹا انسٹی ٹیوٹ آف فنڈامینٹل ریسرچ (ٹی آئی ایف آر) میں پی ایچ ڈی پروگرام میں داخلہ لیا۔ وہاں انہوں نے اپنے مشیر ایم ایس رگھوناتھن کے ساتھ کئی موضوعات پر ایک طویل اور وسیع تعاون کا آغاز کیا جس میں نیم سادہ جھوٹ گروپوں میں جالی کا مطالعہ اور ہم آہنگی ذیلی گروپ کا مسئلہ شامل ہے۔ 1976 میں پرساد نے ممبئی یونیورسٹی سے پی ایچ ڈی کی ڈگری حاصل کی۔ پرساد 1979 میں ٹی آئی ایف آر میں ایسوسی ایٹ پروفیسر اور 1984 میں پروفیسر بنے۔ 1992 میں انہوں نے این آربر میں مشی گن یونیورسٹی میں فیکلٹی میں شامل ہونے کے لیے ٹی آئی ایف آر چھوڑ دیا، جہاں وہ ریاضی کے راؤل باٹ پروفیسر ایمریٹس ہیں۔ خاندان گوپال پرساد کے والدین رام کرشن پرساد اور لکشمی دیوی تھے۔ رام کرشن پرساد ایک سماجی کارکن، انسان دوست تھے، اور انہیں انگریزوں نے برطانوی حکومت کے خلاف ہندوستانی جدوجہد آزادی میں حصہ لینے پر جیل بھیج دیا تھا۔ یہ خاندان خوردہ اور تھوک کاروبار میں شامل تھا۔ 1969 میں، اس نے دیوریا کی اندو دیوی (نی پودار) سے شادی کی۔ گوپال پرساد اور اندو دیوی کا ایک بیٹا ہے، انوپ پرساد، جو ڈی ای میں منیجنگ ڈائریکٹر ہے۔ شا اینڈ کمپنی، اور ایک بیٹی، ایلا فائیٹ، جو ایم آئی ٹی میں نیورو سائنس کی پروفیسر ہیں، اور پانچ پوتے پوتیاں۔ چیپل ہل میں نارتھ کیرولائنا یونیورسٹی میں ریاضی کے پروفیسر شراون کمار، ٹیکساس یونیورسٹی، آسٹن میں فلکی طبیعیات کے پروفیسر پون کمار اور انڈین انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی، ممبئی میں ریاضی کے پروفیسر دیپیندر پرساد ان کے چھوٹے بھائی ہیں۔ ریاضی میں پرساد کے ابتدائی کام میں کچھ شراکت حقیقی اور پی-ایڈک نیم سادہ گروپوں کے مجرد ذیلی گروپوں پر تھی۔ انہوں نے رینک 1 کے حقیقی نیم سادہ گروپوں میں جالی کی "مضبوط سختی" کو ثابت کیا اور پی-ایڈک گروپوں میں جالی کی بھی، دیکھیں [1] اور [2]۔ اس کے بعد انہوں نے نیم سادہ الجبرائی گروپوں پر گروپ تھیوریٹک اور ریاضی کے سوالات سے نمٹا۔ انہوں نے گلوبل فنکشن فیلڈز [3] پر محض منسلک نیم سادہ گروپوں کے لیے "مضبوط تخمینہ" کی خاصیت کو ثابت کیا۔ پرساد نے ان گروپوں کی ٹپوولوجیکل مرکزی توسیع کا تعین کیا اور ایم ایس رگھوناتھن کے تعاون سے آئسوٹروپک گروپوں کے لیے "میٹاپلیکٹک دانا" کا حساب لگایا، دیکھیں [11]، [12] اور [10]۔ پرساد اور رگھوناتھن نے کنیسر-ٹٹس کے مسئلے پر بھی نتائج حاصل کیے ہیں، [13]۔ بعد میں، آندرے ریپینچک کے ساتھ مل کر، پرساد نے تمام سیدھے جڑے ہوئے نیم سادہ گروپوں کے لیے میٹاپلیکٹک دانا کا درست حساب لگایا، دیکھیں [14]۔ 1987 میں، پرساد نے نیم سادہ گروپوں کے S-ریاضیاتی کوٹینٹس کے حجم کے لیے ایک فارمولا پایا، [4]۔ اس فارمولے اور مخصوص تعداد کے نظریاتی اور گالوئس الکحلیاتی تخمینوں کا استعمال کرتے ہوئے، ارمانڈ بوریل اور گوپال پرساد نے ریاضی کے گروپوں کے بارے میں کئی محدود نظریات کو ثابت کیا، [6]۔ حجم کا فارمولا، نمبر تھیوریٹک اور بروہٹ-ٹٹس تھیوریٹک تحفظات کے ساتھ مل کر گوپال پرساد اور سائی-کی ینگ کے ذریعہ جعلی پروجیکٹو طیاروں (ہموار پروجیکٹو پیچیدہ سطحوں کے نظریہ میں) کی 28 غیر خالی کلاسوں میں درجہ بندی کا باعث بنا [21] (یہ بھی دیکھیں [22] اور [23])۔ یہ درجہ بندی، ڈونلڈ کارٹرائٹ اور ٹم اسٹیگر کے حسابات کے ساتھ مل کر، جعلی پروجیکٹو طیاروں کی مکمل فہرست کا باعث بنی ہے۔ یہ فہرست آئسومیٹری (28 کلاسوں میں تقسیم) تک بالکل 50 جعلی پروجیکٹو طیاروں پر مشتمل ہے۔ یہ کام بورباکی سیمینار میں گفتگو کا موضوع تھا۔ پرساد نے ایلن موئے کے ساتھ تخفیف پ-اڈک گروپوں کی نمائندگی کے نظریہ پر کام کیا ہے۔ پیراہورک ذیلی گروپوں کی فلٹریشن، جسے "موئے پرساد فلٹریشن" کہا جاتا ہے، نمائندگی کے نظریہ اور ہارمونک تجزیہ میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتا ہے۔ موئے اور پرساد نے ان فلٹریشن اور بروہٹ-ٹٹس تھیوری کو "غیر واضح کم از کم کے-اقسام" کے وجود کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا، تاکہ ناقابل تلافی قابل قبول نمائندگی کی "گہرائی" کے تصور کی وضاحت کی جا سکے اور گہرائی صفر کی نمائندگی کی درجہ بندی کی جا سکے، دیکھیں [8] اور [9]۔ ان دونوں مقالے [8]، [9] میں متعارف کرائے گئے نتائج اور تکنیکوں نے اس میدان میں اہم پیشرفتوں کا ایک سلسلہ شروع کیا۔ آندرے ریپینچک کے تعاون سے، پرساد نے نیم سادہ گروہوں کے زرسکی گھنے ذیلی گروہوں کا مطالعہ کیا ہے اور بہت سی مطلوبہ خصوصیات کے ساتھ باقاعدہ نیم سادہ عناصر کے اس طرح کے ذیلی گروپ میں وجود کو ثابت کیا ہے، [15]، [16]۔ ان عناصر کو ہندسی اور ایرگوڈک نظریاتی سوالات کی تحقیقات میں استعمال کیا گیا ہے۔ پرساد اور ریپینچک نے ریاضی کے ذیلی گروپوں کی "کمزور-مطابقت پذیری" کا ایک نیا تصور متعارف کرایا اور ایک دیئے گئے نیم سادہ گروپ میں ریاضی کے گروپوں کی "کمزور-مطابقت پذیری کلاسوں" کا تعین کیا۔ انہوں نے اپنے نتائج کو کمزور مطابقت پر استعمال کیا تاکہ لمبائی کے قابل اور آئسو اسپیکٹرل ریاضی مقامی طور پر ہم آہنگ خالی جگہوں پر نتائج حاصل کیے جا سکیں، دیکھیں [17]، [18] اور [19]۔ جیو-کانگ یو کے ساتھ مل کر، پرساد نے جی کے بروہاٹ-بلڈنگ پر ایک تخفیف پ-اڈک گروپ جی کے آٹومورفزم کے ایک محدود گروپ کے عمل کے تحت طے شدہ پوائنٹ سیٹ کا مطالعہ کیا ہے، [24]۔ ایک اور مشترکہ کام میں، جو ہندسی لینگ لینڈز پروگرام میں استعمال کیا گیا ہے، پرساد اور یو نے ایک مجرد ویلیوایشن رنگ (ڈی وی آر)، [25] پر تمام نیم تخفیف گروپ اسکیموں کا تعین کیا۔ برائن کونراڈ اور اوفر گیبر کے تعاون سے، پرساد نے فرضی تخفیف گروپوں کی ساخت کا مطالعہ کیا ہے، اور عام ہموار جڑے ہوئے لکیری الجبرائی گروپوں کے لیے کنجوگیسی تھیوریمز کے ثبوت بھی فراہم کیے ہیں، جن کا اعلان آرمنڈ بوریل اور جیکس ٹٹس نے تفصیلی ثبوت کے بغیر کیا ہے۔ ان کے تحقیقی مونوگراف [26] میں یہ سب شامل ہے۔ دوسرے مونوگراف [27] میں فرضی تخفیف گروپوں کی مکمل درجہ بندی شامل ہے، جس میں ٹٹس طرز کی درجہ بندی اور بہت سی دلچسپ مثالیں بھی شامل ہیں۔ فرضی تخفیف گروپوں کی درجہ بندی کے پہلے سے ہی بہت سے استعمال ہیں۔ مارچ 2010 میں ٹٹس، کونراڈ-گیبر-پرساد کے فرضی تخفیف گروہوں پر کام پر بورباکی سیمینار ہوا۔ پرساد نے بروہاٹ-ٹٹس تھیوری [28] [29] میں غیر رمفائیڈ اور ٹاملی ریمفائیڈ نزول کے لیے نئے طریقے تیار کیے ہیں۔ تاشو کلیتھا کے ساتھ مل کر، اس نے حال ہی میں بروہت-ٹٹس تھیوری پر ایک کتاب [30] لکھی ہے جس میں کئی نتائج کے نئے ثبوت موجود ہیں۔ آنرز پرساد نے مشی گن یونیورسٹی میں گگنہیم فیلوشپ، ہمبولٹ سینئر ریسرچ ایوارڈ، اور راؤل باٹ پروفیسرشپ حاصل کی ہے۔ انہیں شانتی سوروپ بھٹناگر انعام (حکومت ہند کی کونسل آف سائنٹفک اینڈ انڈسٹریل ریسرچ کی طرف سے) سے نوازا گیا۔ انہوں نے انڈین نیشنل سائنس اکیڈمی، انڈین اکیڈمی آف سائنسز میں فیلوشپ حاصل کی ہے۔ پرساد نے 1990 میں کیوٹو میں منعقدہ ریاضی دانوں کی بین الاقوامی کانگریس میں ایک مدعو تقریر کی۔ 2012 میں وہ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی کے فیلو بن گئے۔ انہوں نے 2011 سے 2018 تک انفوسس انعام کی ریاضیاتی علوم کی جیوری میں خدمات انجام دی ہیں۔ پرساد ایک دہائی سے زیادہ عرصے تک مشی گن میتھمیٹیکل جرنل کے منیجنگ ایڈیٹر رہے، چھ سال تک اینلز آف میتھمیٹکس کے ایسوسی ایٹ ایڈیٹر رہے، اور اس کے آغاز سے ہی ایشین جرنل آف میتھمیٹکس کے ایڈیٹر ہیں۔ ۔