Āryabhaṭa's sine table
آریہ بھٹ کی سائن ٹیبل چوبیس نمبروں کا ایک مجموعہ ہے جو فلکیاتی مقالہ آریہ بھٹیا میں دیا گیا ہے جو پانچویں صدی کے ہندوستانی ریاضی دان اور ماہر فلکیات آریہ بھٹ (476-550 CE) نے ایک دائرے کے آرکس کے ایک مخصوص سیٹ کے نصف تاروں کی گنتی کے لیے ترتیب دیا تھا۔ اعداد کا مجموعہ آریہ بھٹیہ کے باب 1 دساگتیکا میں آیت 12 میں ظاہر ہوتا ہے۔ یہ ریاضیاتی ٹیبل کے جدید معنوں میں ٹیبل نہیں ہے ؛ یعنی یہ قطاروں اور کالموں میں ترتیب شدہ اعداد کا مجموعہ نہیں ہے۔ آریہ بھٹا کی میز بھی روایتی معنوں میں مثلثی سائن فنکشن کی اقدار کا مجموعہ نہیں ہے۔ یہ مثلثی سائنوں کی اقدار کے پہلے اختلافات کی ایک میز ہے جس کا اظہار آرک منٹ میں کیا جاتا ہے، اور اس وجہ سے میز کو آریہ بھٹا کی سائن فرق کی میز بھی کہا جاتا ہے۔ آریہ بھٹہ کی میز ریاضی کی تاریخ میں تعمیر کی جانے والی پہلی سائن ٹیبل تھی۔ ہپارکس (تقریبا 190 قبل مسیح-تقریبا 120 قبل مسیح) اور مینیلاس (تقریبا 70-140 عیسوی) اور بطلیموس (تقریبا 90 عیسوی-تقریبا 168 عیسوی) کی اب گمشدہ میزیں تمام میزیں تھیں نہ کہ نصف میلوں کی۔ آریہ بھٹا کی میز قدیم ہندوستان کی معیاری سائن ٹیبل کے طور پر بنی رہی۔ اس ٹیبل کی درستگی کو بہتر بنانے کی مسلسل کوششیں کی گئیں۔ ان کوششوں کا اختتام بالآخر کیرالہ اسکول آف ایسٹرونومی اینڈ میتھمیٹکس کے بانی، سنگمگراما کے مادھو (c. 1350-c. 1425) کے ذریعہ سائن اور کوسین افعال کی پاور سیریز کی توسیع کی دریافت اور مادھو کے ذریعہ سات یا آٹھ اعشاریہ مقامات تک درست اقدار کے ساتھ ایک سائن ٹیبل کی ٹیبلیولیشن میں ہوا۔ ریاضی کے کچھ مورخین نے استدلال کیا ہے کہ آریہ بھتیہ میں دی گئی سائن ٹیبل قدیم یونان کے ریاضی دانوں اور ماہرین فلکیات کے ذریعہ تعمیر کردہ اس طرح کی ٹیبلز کی موافقت تھی۔ ڈیوڈ پنگری، جو قدیم دور میں عین مطابق علوم کے بارے میں امریکہ کے سرکردہ مورخین میں سے ایک ہیں، اس طرح کے نظریے کے ترجمان تھے۔ اس مفروضے کو فرض کرتے ہوئے، جی جے ٹومر لکھتے ہیں، "ہندوستان میں یونانی فلکیاتی نمونوں کی ابتدائی آمد کے لیے، یا اس معاملے کے لیے کہ وہ نمونے کیسے نظر آتے ہوں گے، شاید ہی کوئی دستاویز موجود ہو۔ لہذا یہ معلوم کرنا بہت مشکل ہے کہ جو کچھ ہمارے پاس آیا ہے وہ کس حد تک منتقل شدہ علم کی نمائندگی کرتا ہے، اور ہندوستانی سائنسدانوں کے ساتھ اصل کیا ہے۔ ۔ حقیقت شاید دونوں کا الجھا ہوا مرکب ہے۔ " جدول جدید اشارے میں آریہ بھٹا کی سنسکرت آیت میں انکوڈ کردہ اقدار کو آریہ بھٹیہ میں بیان کردہ عددی اسکیم کا استعمال کرتے ہوئے ڈی کوڈ کیا جا سکتا ہے، اور ڈی کوڈ شدہ اعداد نیچے دیے گئے جدول میں درج ہیں۔ ٹیبل میں، آریہ بھٹا کی سائن ٹیبل سے متعلق زاویہ کی پیمائش دوسرے کالم میں درج ہے۔ تیسرے کالم میں دیواناگری رسم الخط میں اوپر دی گئی سنسکرت آیت میں موجود اعداد کی فہرست موجود ہے۔ دیواناگری کو پڑھنے سے قاصر صارفین کی سہولت کے لیے، یہ لفظ اعداد آئی ایس او 15919 نقل حرفی کے چوتھے کالم میں دوبارہ پیش کیے گئے ہیں۔ اگلے کالم میں یہ اعداد ہندو عربی ہندسوں میں موجود ہیں۔ آریہ بھٹہ کے اعداد سینوں کی اقدار میں پہلا فرق ہیں۔ سائن (یا زیادہ واضح طور پر، جیا کی) کی متعلقہ قدر اس فرق تک کے اختلافات کا خلاصہ کرکے حاصل کی جا سکتی ہے۔ اس طرح 18°45′ کے مطابق جیا کی قیمت 225 + 224 + 222 + 219 + 215 = 1105 ہے۔ آریہ بھٹہ کے حسابات کی درستگی کا اندازہ لگانے کے لیے، جیس کی جدید اقدار جدول کے آخری کالم میں دی گئی ہیں۔ ہندوستانی ریاضیاتی روایت میں، زاویہ کا سائن (یا جیا) اعداد کا تناسب نہیں ہے۔ یہ ایک مخصوص لائن سیگمنٹ کی لمبائی ہے، ایک مخصوص نصف کورڈ۔ بیس سرکل کا رداس اس طرح کی میزوں کی تعمیر کے لیے بنیادی پیمانہ ہے۔ تاریخی طور پر، اس پیرامیٹر کے لیے مختلف اقدار کا استعمال کرتے ہوئے کئی میزیں بنائی گئی ہیں۔ آریہ بھٹہ نے اپنی سائن ٹیبل کی گنتی کے لیے 3438 نمبر کو بیس سرکل کے رداس کی قیمت کے طور پر منتخب کیا ہے۔ اس پیرامیٹر کے انتخاب کا جواز زاویے کی پیمائش میں دائرے کے دائرے کی پیمائش کا خیال ہے۔ فلکیاتی حسابات میں فاصلے کو ڈگری، منٹ، سیکنڈ وغیرہ میں ماپا جاتا ہے۔ اس پیمائش میں، ایک دائرے کا دائرہ 360° = (60 × 360) منٹ = 21600 منٹ ہے۔ دائرے کا رداس، جس کے دائرے کی پیمائش 21600 منٹ ہے، 21600/2π منٹ ہے۔ آریہ بھٹ کو معلوم قدر π = 3.1416 کا استعمال کرتے ہوئے اس کی گنتی کرنے پر دائرے کا رداس تقریبا 3438 منٹ ہوتا ہے۔ آریہ بھٹا کی سائن ٹیبل بیس سرکل کے رداس کے لیے اس قدر پر مبنی ہے۔ یہ ابھی تک قائم نہیں کیا گیا ہے کہ بیس ریڈیئس کے لیے اس قدر کو استعمال کرنے والا پہلا شخص کون ہے۔ لیکن آریہ بھٹیہ سب سے قدیم زندہ بچ جانے والا متن ہے جس میں اس بنیادی مستقل کا حوالہ ہے۔ آریہ بھٹا کا کمپیوٹیشنل طریقہ آریہ بھٹیہ کا دوسرا حصہ، جس کا عنوان گنیتا پاڈ ہے، اے میں ایک سٹانزا ہے جو سائن ٹیبل کی گنتی کے طریقہ کار کی نشاندہی کرتا ہے۔ اس آیت کے معنی کی صحیح تشریح میں کئی ابہام موجود ہیں۔ مثال کے طور پر، درج ذیل کاٹز کی طرف سے دی گئی آیت کا ترجمہ ہے جس میں مربع بریکٹ میں الفاظ مترجم کے اندراج ہوتے ہیں نہ کہ آیت میں متن کے ترجمے۔ "جب تقسیم شدہ دوسرا نصف (کورڈ) پہلے نصف کورڈ سے کم ہوتا ہے، جو کہ [متعلقہ] آرک کے [تقریبا برابر] ہوتا ہے، تو ایک خاص مقدار سے، بقیہ [سائن فرق] پہلے نصف کورڈ سے تقسیم کردہ رقم سے [پچھلے کے مقابلے میں] کم ہوتے ہیں۔" یہ اس حقیقت کا حوالہ دے سکتا ہے کہ سائن فنکشن کا دوسرا مشتق سائن فنکشن کے منفی کے برابر ہے۔ ۔