Kerala school of astronomy and mathematics
کیرالہ فلکیات اور ریاضی کا مکتب یا کیرالہ مکتب ریاضی اور فلکیات کا ایک مکتب تھا جس کی بنیاد سنگماگرام کے مادھو نے ترور، ملاپورم، کیرالہ، ہندوستان میں رکھی تھی، جس میں اس کے اراکین میں پرمیشور، نیلکانتا سومیاجی، جیشتا دیو، اچیوتا پشارتی، میلپتور نارائن بھٹاتھیری اور اچیوتا پنیکر شامل تھے۔ یہ مکتب 14 ویں اور 16 ویں صدی کے درمیان پروان چڑھا اور لگتا ہے کہ اس کی اصل دریافتیں نارائن بھٹاتھیری (1559-1632) کے ساتھ ختم ہوئیں۔ فلکیاتی مسائل کو حل کرنے کی کوشش میں، کیرالہ اسکول نے آزادانہ طور پر کئی اہم ریاضیاتی تصورات دریافت کیے۔ ان کے سب سے اہم نتائج-مثلثی افعال کے لیے سلسلہ وار توسیع-نیل کانت کی ایک کتاب تنترسنگرہ میں سنسکرت کی آیت میں بیان کیے گئے تھے، اور پھر اس کام پر ایک تفسیر میں، جسے تنترسنگرہ وکیا کہا جاتا ہے، نامعلوم تصنیف کی۔ تھیوریمز کو بغیر کسی ثبوت کے بیان کیا گیا تھا، لیکن سائن، کوسین اور الٹا ٹینجینٹ کے سلسلے کے ثبوت ایک صدی بعد ملیالم میں لکھی گئی کتاب یوکتی بھاسا (یوکتی بھاسا) میں، جیستادیوا کی طرف سے، اور تنترسنگرہ پر ایک تفسیر میں بھی فراہم کیے گئے تھے۔ ان کا کام، یورپ میں کیلکولس کی ایجاد سے دو صدیوں پہلے مکمل ہوا، جو اب پاور سیریز (ہندسی سیریز کے علاوہ) کی پہلی مثال سمجھی جاتی ہے۔ پس منظر اسلامی اسکالرز نے 1000 عیسوی تک کثیر الجہتی کے انٹیگرلز کو تلاش کرنے کے لیے تقریبا ایک عمومی فارمولا تیار کیا تھا-اور ظاہر ہے کہ وہ کسی بھی کثیر الجہتی کے لیے ایسا فارمولا تلاش کر سکتے تھے جس میں وہ دلچسپی رکھتے تھے۔ لیکن، ایسا لگتا ہے، وہ چار سے زیادہ ڈگری کے کسی بھی کثیر الجہتی میں دلچسپی نہیں رکھتے تھے، کم از کم کسی بھی مواد میں جو ہمارے پاس آیا ہے۔ دوسری طرف، ہندوستانی اسکالرز، 1600 تک، جن افعال میں دلچسپی رکھتے تھے، ان کے لیے پاور سیریز کا حساب لگانے میں صوابدیدی انٹیگرل پاورز کے لیے ابن الحیاتم کے مجموعہ فارمولے سے ملتا جلتا فارمولا استعمال کرنے کے قابل تھے۔ اسی وقت تک، وہ یہ بھی جانتے تھے کہ ان افعال کے تفریق کا حساب کیسے لگایا جاتا ہے۔ لہذا کیلکولس کے کچھ بنیادی نظریات نیوٹن سے کئی صدیوں پہلے مصر اور ہندوستان میں معلوم تھے۔ تاہم، ایسا نہیں لگتا کہ اسلامی یا ہندوستانی ریاضی دانوں نے کچھ مختلف نظریات کو جوڑنے کی ضرورت کو دیکھا جسے ہم کیلکولس کے نام سے شامل کرتے ہیں۔ بظاہر وہ صرف ان مخصوص معاملات میں دلچسپی رکھتے تھے جن میں ان خیالات کی ضرورت تھی۔ انفنائٹ سیریز اور کیلکولس کیرالہ اسکول نے انفنائٹ سیریز اور کیلکولس کے شعبوں میں متعدد تعاون کیا ہے۔ ان میں درج ذیل لامحدود ہندسی سلسلے شامل ہیں: کیرالہ اسکول نے ریاضیاتی انڈکشن کا بدیہی استعمال کیا، حالانکہ انڈکٹو مفروضہ ابھی تک ثبوتوں میں وضع یا استعمال نہیں کیا گیا تھا۔ انہوں نے نتیجہ کا ایک نیم سخت ثبوت دریافت کرنے کے لیے اس کا استعمال کیا: بڑے n کے لیے۔ انہوں نے، اور کے لیے (ٹیلر-میکلورین) لامحدود سیریز حاصل کرنے کے لیے (جو بننے والا تھا) تفریق اور لازمی حساب سے خیالات کا اطلاق کیا۔ تنترسنگرہ واکھیا اس سلسلے کو آیت میں پیش کرتا ہے، جس کا جب ریاضیاتی اشارے میں ترجمہ کیا جاتا ہے، تو اسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے: جہاں، سیریز کے لیے ان مثلثی افعال کے لیے معیاری پاور سیریز تک کم ہو جاتا ہے، مثال کے طور پر: (کیرالہ اسکول نے "فیکٹوریل" علامت کا استعمال نہیں کیا۔) کیرالہ اسکول نے ان نتائج کا ثبوت دینے کے لیے دائرے کے آرک کی اصلاح (لمبائی کا حساب) کا استعمال کیا۔ (لیبنز کا بعد کا طریقہ، کواڈریچر کا استعمال کرتے ہوئے (یعنی۔ دائرے کے آرک کے نیچے رقبے کا حساب لگانا)، ابھی تیار نہیں ہوا تھا۔) انہوں نے ایک لامحدود سیریز کا اظہار (جسے بعد میں گریگوری سیریز کے نام سے جانا جاتا ہے) حاصل کرنے کے لیے سیریز کی توسیع کا بھی استعمال کیا: ان کی سیریز کے محدود مجموعے کے لیے غلطی کا ان کا عقلی تخمینہ خاص دلچسپی کا باعث ہے۔ مثال کے طور پر، سیریز کے لیے ایرر، (n طاق، اور i = 1، 2، 3 کے لیے): انہوں نے جزوی فریکشن ایکسٹینشن کا استعمال کرتے ہوئے اصطلاحات میں ہیرا پھیری کی: زیادہ تیزی سے کنورجنگ سیریز حاصل کرنے کے لیے: انہوں نے بہتر سیریز کا استعمال عقلی اظہار حاصل کرنے کے لیے کیا، نو اعشاریہ مقامات تک درست کرنے کے لیے، یعنی۔ ۔ انہوں نے ان نتائج کا حساب لگانے کے لیے ایک حد کے بدیہی تصور کا استعمال کیا۔ کیرالہ اسکول کے ریاضی دانوں نے بھی کچھ مثلثی افعال کی تفریق کا ایک نیم سخت طریقہ پیش کیا، حالانکہ کسی فنکشن، یا ایکسپونینشل یا لوگرتھمک افعال کا تصور ابھی تک وضع نہیں کیا گیا تھا۔ 1825 میں جان وارن نے جنوبی ہندوستان میں وقت کی تقسیم پر ایک یادداشت شائع کی، جسے کالا سنکلیتا کہا جاتا ہے، جس میں کیرالہ کے ماہرین فلکیات کی طرف سے لامحدود سیریز کی دریافت کا مختصر ذکر کیا گیا ہے۔ کیرالہ اسکول کے کام سب سے پہلے 1835 میں انگریز سی ایم وش نے مغربی دنیا کے لیے لکھے تھے۔ وش کے مطابق، کیرالہ کے ریاضی دانوں نے "بہاؤ کے ایک مکمل نظام کی بنیاد رکھی تھی" اور ان کاموں میں "بہاؤ کی شکلیں اور سلسلے بہت زیادہ تھے جو بیرونی ممالک کے کسی بھی کام میں نہیں پائے جاتے تھے"۔ تاہم، وہش کے نتائج کو تقریبا مکمل طور پر نظر انداز کر دیا گیا، ایک صدی سے زیادہ عرصے بعد تک، جب سی ٹی راج گوپال اور ان کے ساتھیوں نے کیرالہ اسکول کی دریافتوں کی دوبارہ تحقیقات کی۔ ان کے کام میں یوکتی بھاسا میں ارکٹن سیریز کے ثبوتوں پر تبصرے شامل ہیں جو دو کاغذات میں دیے گئے ہیں، یوکتی بھاسس پر ایک تفسیر جو سائن اور کوسین سیریز کے ثبوت پر ہے اور دو مقالے جو تانترسانگرہاوکھیا کی سنسکرت آیات کو ارکٹن، سین اور کوسین کے سلسلے کے لیے فراہم کرتے ہیں (انگریزی ترجمہ اور تفسیر کے ساتھ)۔ 1952 میں اوٹو نیوگی باؤر نے تامل فلکیات پر لکھا۔ 1972 میں کے وی شرما نے اپنی اے ہسٹری آف دی کیرالہ اسکول آف ہندو ایسٹرونومی شائع کی جس میں اسکول کی خصوصیات کو بیان کیا گیا جیسے کہ 13 ویں سے 17 ویں صدی تک علم کی ترسیل کا تسلسل: گووندا بھٹاتھیری سے پرمیشور سے دامودرا سے نیلکنتھا سومایاجی سے جیستادیوا سے اچیوتا پسارتی۔ استاد سے شاگرد تک منتقلی نے علم کو "فلکیات جیسے عملی، نمائشی شعبے میں اس وقت محفوظ رکھا جب طباعت شدہ کتابوں اور سرکاری اسکولوں کا پھیلاؤ نہیں تھا"۔ 1994 میں یہ دلیل دی گئی کہ کیرالہ میں سورج مرکز ماڈل کو تقریبا 1500 عیسوی میں اپنایا گیا تھا۔ کیرالہ کے اسکول کے نتائج کی یورپ میں ممکنہ ترسیل 1979 میں اے کے بیگ نے تجویز پیش کی کہ ان نتائج کا علم تاجروں اور جیسوئٹ مشنریوں کے ذریعے کیرالہ سے تجارتی راستے کے ذریعے یورپ منتقل کیا گیا ہوگا۔ کیرالہ چین، عرب اور یورپ کے ساتھ مسلسل رابطے میں تھا۔ کچھ مواصلاتی راستوں کی تجویز اور کچھ اسکالرز کی تاریخ اس طرح کی ترسیل کو ممکن بنا سکتی ہے ؛ تاہم، متعلقہ نسخوں کے ذریعے اس بات کا کوئی براہ راست ثبوت نہیں ہے کہ اس طرح کی ترسیل ہوئی تھی۔ ڈیوڈ بریسوڈ کے مطابق، "اس بات کا کوئی ثبوت نہیں ہے کہ ہندوستانی سیریز کا کام انیسویں صدی تک ہندوستان سے باہر، یا کیرالہ سے باہر بھی جانا جاتا تھا۔" وی جے کاٹز نوٹ کرتے ہیں کہ کیرالہ اسکول کے کچھ نظریات 11 ویں صدی کے عراقی اسکالر ابن الحیاتم کے کام سے مماثلت رکھتے ہیں، جس سے اسلامی ریاضی سے کیرالہ میں خیالات کی ممکنہ منتقلی کا مشورہ ملتا ہے۔ عرب اور ہندوستانی دونوں اسکالرز نے 17 ویں صدی سے پہلے ایسی دریافتیں کیں جنہیں اب حساب کا حصہ سمجھا جاتا ہے۔ کاٹز کے مطابق، انہوں نے ابھی تک "مشتق اور انٹیگرل کے دو متحد موضوعات کے تحت بہت سے مختلف نظریات کو یکجا کرنا، دونوں کے درمیان تعلق کو ظاہر کرنا، اور کیلکولس کو آج ہمارے پاس موجود عظیم مسئلہ حل کرنے والے آلے میں تبدیل کرنا"، جیسے نیوٹن اور لیبنز۔ نیوٹن اور لیبنز دونوں کے دانشورانہ کیریئر اچھی طرح سے دستاویزی ہیں اور ان کے کام کے ان کے اپنے نہ ہونے کا کوئی اشارہ نہیں ہے۔ تاہم، یہ یقینی طور پر معلوم نہیں ہے کہ آیا نیوٹن اور لیبنز کے فوری پیشروؤں، بشمول، خاص طور پر، فرمیٹ اور رابرول نے اسلامی اور ہندوستانی ریاضی دانوں کے کچھ نظریات کے بارے میں سیکھا جن کے ذرائع سے اب ہم واقف نہیں ہیں۔ یہ موجودہ تحقیق کا ایک فعال شعبہ ہے، خاص طور پر اسپین اور مغرب کے مخطوطات کے مجموعوں میں، جو تحقیق اب پیرس میں سینٹر نیشنل ڈی لا ریچرچ سائنٹفک میں دیگر مقامات کے درمیان کی جا رہی ہے۔ ۔