Chakravala method
چکراوالا طریقہ () پیل کی مساوات سمیت غیر متعین کواڈریٹک مساوات کو حل کرنے کے لیے ایک چکور الگورتھم ہے۔ اسے عام طور پر بھاسکر دوم (1114-1185 عیسوی) سے منسوب کیا جاتا ہے، حالانکہ کچھ لوگ اسے جے دیو (950 ~ 1000 عیسوی) سے منسوب کرتے ہیں۔ جے دیو نے نشاندہی کی کہ اس قسم کی مساوات کو حل کرنے کے لیے برہم گپتا کے نقطہ نظر کو عام کیا جا سکتا ہے، اور پھر اس نے اس عمومی طریقہ کو بیان کیا، جسے بعد میں بھاسکر دوم نے اپنے بیجگنیتا مقالے میں بہتر بنایا۔ انہوں نے اسے چکرول طریقہ کہا: چکر جس کا مطلب سنسکرت میں "پہیہ" ہے، الگورتھم کی چکور نوعیت کا حوالہ ہے۔ سی۔ او۔ سیلینیئس کا خیال تھا کہ بھاسکر کے وقت کوئی بھی یورپی پرفارمنس، نہ ہی بہت بعد میں، ریاضیاتی پیچیدگی کی حیرت انگیز بلندی سے تجاوز نہیں کر سکی۔ اس طریقہ کو چکور طریقہ کے نام سے بھی جانا جاتا ہے اور اس میں ریاضیاتی انضمام کے نشانات ہوتے ہیں۔ سنسکرت میں تاریخ چکر کا مطلب سائیکل ہے۔ مشہور داستان کے مطابق، چکرول پہاڑوں کے ایک افسانوی سلسلے کی نشاندہی کرتا ہے جو زمین کے گرد ایک دیوار کی طرح چکر لگاتا ہے اور روشنی اور اندھیرے سے محدود نہیں ہوتا ہے۔ برہم گپتا نے 628 عیسوی میں غیر متعین کواڈریٹک مساوات کا مطالعہ کیا، جس میں کم از کم عدد x اور y کے لیے پیل کی مساوات بھی شامل ہے۔ برہم گپتا اسے کئی N کے لیے حل کر سکتا تھا، لیکن سب کے لیے نہیں۔ جے دیوا (9 ویں صدی) اور بھاسکر (12 ویں صدی) نے مساوات کا پہلا مکمل حل پیش کیا، حل تلاش کرنے کے لیے چکروالا طریقہ استعمال کیا۔ یہ معاملہ اپنی مشکل کے لیے بدنام تھا، اور یورپ میں پہلی بار برونکر نے 1657-58 میں فرمیٹ کے چیلنج کے جواب میں، مسلسل حصوں کا استعمال کرتے ہوئے حل کیا۔ عام مسئلے کے لیے ایک طریقہ سب سے پہلے 1766 میں لگرینج نے مکمل طور پر بیان کیا تھا۔ تاہم، لگرینج کے طریقہ کار کے لیے 61 کے مربع جڑ کے لیے مسلسل فریکشن کے 21 مسلسل کنورجنٹس کے حساب کی ضرورت ہوتی ہے، جبکہ چکروالا طریقہ بہت آسان ہے۔ سیلینیئس، چکراوالا طریقہ کار کی اپنی تشخیص میں، کہتا ہے کہ "یہ طریقہ کم سے کم لمبائی کے ایک بہترین تخمینہ الگورتھم کی نمائندگی کرتا ہے، جو کئی کم سے کم خصوصیات کی وجہ سے، کم سے کم کوشش کے ساتھ اور بڑی تعداد سے گریز کرتے ہوئے خود بخود مساوات کا بہترین حل پیدا کرتا ہے۔ چکروالا طریقہ کار نے ایک ہزار سال سے زیادہ عرصے تک یورپی طریقوں کی پیش گوئی کی۔ لیکن الجبرا کے پورے میدان میں بھاسکر کے مقابلے میں بہت بعد میں کوئی بھی یورپی کارکردگی، جو کہ ہمارے زمانے کے تقریبا برابر تھی، چکراوالا کی حیرت انگیز پیچیدگی اور ذہانت کے برابر نہیں تھی۔ " ہرمن ہینکل چکراوالا طریقہ کو "لاگرانج سے پہلے اعداد کے نظریہ میں حاصل کی گئی بہترین چیز" کہتے ہیں۔ طریقہ برہم گپتا کی شناخت سے، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ دیئے گئے N کے لیے، مساوات کے لیے، یہ دو حل ٹرپل کی "ترکیب" (سماس) اور ایک نئے ٹرپل میں اجازت دیتا ہے۔ عام طریقہ یہ ہے کہ کوئی بھی ٹرپل (یعنی، جو مطمئن کرتا ہے) کسی بھی m کے لیے نیا ٹرپل حاصل کرنے کے لیے ٹریوئل ٹرپل کے ساتھ تشکیل کیا جا سکتا ہے۔ فرض کریں کہ ہم نے ٹرپل سے شروعات کی ہے جس کے لیے، اسے k سے چھوٹا کیا جا سکتا ہے (یہ بھاسکر کا لیما ہے): چونکہ مربع کے اندر کی علامتوں سے کوئی فرق نہیں پڑتا، اس لیے درج ذیل متبادل ممکن ہیں: جب ایک مثبت عدد m کا انتخاب کیا جاتا ہے تاکہ (a + bm)/k ایک عدد ہو، تو دوسرا بھی ایسا ہی ہے۔ اس طرح کے m میں، طریقہ کار اس کا انتخاب کرتا ہے جو m2−N کی مطلق قدر کو کم سے کم کرتا ہے اور اس لیے (m2−N)/k کی۔ پھر منتخب کردہ قیمت کے برابر m کے لیے متبادل تعلقات کا اطلاق ہوتا ہے۔ اس کے نتیجے میں ایک نیا ٹرپل (a، b، k) بنتا ہے۔ یہ عمل اس وقت تک دہرایا جاتا ہے جب تک کہ ٹرپل کے ساتھ نہ مل جائے۔ یہ طریقہ ہمیشہ ایک حل کے ساتھ ختم ہوتا ہے (1768 میں لگرینج نے ثابت کیا)۔ اختیاری طور پر، ہم اس وقت رک سکتے ہیں جب k ± 1، ± 2، یا ± 4 ہو، کیونکہ برہم گپتا کا نقطہ نظر ان معاملات کا حل فراہم کرتا ہے۔ برہم گپتا کی ترکیب کا طریقہ 628 عیسوی میں، برہم گپتا نے تلاش کرنے کا ایک عام طریقہ دریافت کیا اور جب دیا جاتا ہے، جب k ± 1، ± 2، یا ± 4 ہوتا ہے۔ k = ± 1 برہم گپتا کی شناخت کا استعمال کرتے ہوئے اپنے ساتھ ٹرپل مرتب کرنا: نئے ٹرپل کا اظہار اس طرح کیا جا سکتا ہے۔ متبادل سے ایک حل ملتا ہے: کیونکہ اصل پہلے سے ہی ایک حل تھا۔ تبدیل کرنے سے ایک سیکنڈ حاصل ہوتا ہے: k = ± 2 پھر مساوات کا استعمال کرتے ہوئے، تبدیل کرنا، تبدیل کرنا، k = 4 مساوات میں تبدیل کرنا ٹرپل پیدا کرتا ہے۔ کون سا حل اگر یکساں ہے: اگر a عجیب ہے، تو مساوات اور سے شروع کریں۔ ٹرپل اور کی طرف لے جاتا ہے۔ ٹرپل کی تشکیل سے پتہ چلتا ہے کہ کب عجیب ہے، k =-4 کب، پھر۔ اپنے ساتھ مل کر کمپوز کرنے سے فائدہ ہوتا ہے۔ دوبارہ خود کو مرتب کرنے سے نتیجہ نکلتا ہے آخر میں، سابقہ مساوات سے، تین گنا کمپوز کریں اور، حاصل کرنے کے لیے۔ یہ ہمیں حل فراہم کرتا ہے (نوٹ، پیل کی مساوات کا حل تلاش کرنے کے لیے مفید ہے، لیکن یہ ہمیشہ سب سے چھوٹا عدد جوڑا نہیں ہوتا ہے۔ مثلا۔ ۔ مساوات آپ کو دے گی، جو جب پیل کی مساوات میں ڈالی جاتی ہے، جو کام کرتی ہے، لیکن اس کے لیے بھی کرتی ہے۔ مثالیں n = 61 n = 61 کیس (ایک تسلی بخش عدد حل کا تعین)، جسے کئی صدیوں بعد فرمیٹ نے ایک چیلنج کے طور پر جاری کیا تھا، بھاسکر نے ایک مثال کے طور پر دیا تھا۔ ہم کسی بھی طریقے سے پائے جانے والے کسی بھی k کے حل سے شروع کرتے ہیں۔ اس صورت میں ہم b کو 1 ہونے دے سکتے ہیں، اس طرح، چونکہ، ہمارے پاس ٹرپل ہے۔ اس کے ساتھ کمپوز کرنے سے ٹرپل ملتا ہے، جسے نیچے اسکیل کیا جاتا ہے (یا بھاسکر کا لیما براہ راست استعمال کیا جاتا ہے): 3 کے تقسیم کرنے اور کم سے کم ہونے کے لیے، ہم انتخاب کرتے ہیں، تاکہ ہمارے پاس ٹرپل ہو۔ اب جب کہ k −4 ہے، ہم برہم گپتا کے خیال کو استعمال کر سکتے ہیں: اسے عقلی حل تک بڑھایا جا سکتا ہے، جو بالترتیب تین بار اپنے ساتھ تشکیل پاتا ہے، جب k مربع ہو جاتا ہے اور اسکیلنگ کا اطلاق کیا جا سکتا ہے، تو یہ دیتا ہے۔ آخر میں، اس طرح کے طریقہ کار کو اس وقت تک دہرایا جا سکتا ہے جب تک کہ حل نہ مل جائے (9 اضافی خود ساخت اور 4 اضافی مربع پیمانے کی ضرورت ہوتی ہے): یہ کم از کم عدد حل ہے۔ n = 67 فرض کریں کہ ہمیں x اور y کے لیے حل کرنا ہے۔ ہم کسی بھی طریقے سے پائے جانے والے کسی بھی k کے حل سے شروع کرتے ہیں۔ اس صورت میں ہم b کو 1 ہونے دے سکتے ہیں، اس طرح پیدا ہوتا ہے۔ ہر مرحلے پر، ہمیں ایک m> 0 اس طرح ملتا ہے کہ k a + bm کو تقسیم کرتا ہے، اور |m2 −67 | کم سے کم ہے۔ اس کے بعد ہم بالترتیب a، b، اور k کو اپ ڈیٹ کرتے ہیں۔ پہلی تکرار ہمارے پاس ہے۔ ہم ایک مثبت عدد m چاہتے ہیں کہ k a + bm کو تقسیم کرے، یعنی۔ 3 8 + m کو تقسیم کرتا ہے، اور |m2 −67 | کم سے کم ہے۔ پہلی شرط کا مطلب ہے کہ m 3t + 1 کی شکل کا ہے (یعنی۔ 1، 4، 7، 10، وغیرہ۔ )، اور اس طرح کے m کے درمیان، m = 7 کے لیے کم از کم قدر حاصل کی جاتی ہے۔ (a، b، k) کو تبدیل کرنے سے ہمیں نئی اقدار ملتی ہیں۔ یعنی، ہمارے پاس نیا حل ہے: اس مقام پر، چکور الگورتھم کا ایک دور مکمل ہو جاتا ہے۔ دوسری تکرار اب ہم اس عمل کو دہراتے ہیں۔ ہمارے پاس ہے۔ ہم ایک m> 0 اس طرح چاہتے ہیں کہ k a + bm کو تقسیم کرے، یعنی۔ 6 41 + 5 میٹر کو تقسیم کرتا ہے، اور |m2 −67 | کم سے کم ہے۔ پہلی شرط کا مطلب ہے کہ m 6t + 5 کی شکل کا ہے (یعنی۔ 5، 11، 17، وغیرہ۔ )، اور اس طرح کے m میں، |m2 −67 | m = 5 کے لیے کم سے کم ہے۔ یہ نئے حل a = (41.5 + 67.5)/6 وغیرہ کی طرف لے جاتا ہے۔ : تیسرا تکرار 7 کے لیے 90 + 11 میٹر کو تقسیم کرنے کے لیے، ہمارے پاس m = 2 + 7t ہونا چاہیے (یعنی۔ 2، 9، 16، وغیرہ) اور اس طرح کے m میں سے ہم m = 9 کا انتخاب کرتے ہیں۔ حتمی حل اس مقام پر، ہم چکور طریقہ کار کے ساتھ جاری رکھ سکتے ہیں (اور یہ سات تکرار کے بعد ختم ہو جائے گا)، لیکن چونکہ دائیں ہاتھ کی طرف ±1، ±2، ±4 کے درمیان ہے، اس لیے ہم براہ راست برہم گپتا کے مشاہدے کو بھی استعمال کر سکتے ہیں۔ ٹرپل (221، 27، −2) کو اپنے ساتھ تشکیل دیتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں کہ، ہمارے پاس انٹیجر حل ہے: یہ مساوات تقریبا تقریبا کے مارجن کے اندر ہے۔ ۔