The Story of Maths
دی اسٹوری آف میتھس ایک چار حصوں پر مشتمل برطانوی ٹیلی ویژن سیریز ہے جو ریاضی کی تاریخ کے پہلوؤں کا خاکہ پیش کرتی ہے۔ یہ اوپن یونیورسٹی اور بی بی سی کے درمیان مشترکہ پروڈکشن تھی اور اکتوبر 2008 میں بی بی سی فور پر نشر ہوئی۔ یہ مواد آکسفورڈ یونیورسٹی کے پروفیسر مارکس ڈو سوٹوئے نے لکھا اور پیش کیا تھا۔ مشیر اوپن یونیورسٹی کے ماہرین تعلیم رابن ولسن، پروفیسر جیریمی گرے اور جون بیرو گرین تھے۔ کم ڈیوک کو سیریز پروڈیوسر کا سہرا دیا جاتا ہے۔ اس سیریز میں بالترتیب چار پروگرام شامل تھے جن کا عنوان تھا: کائنات کی زبان ؛ مشرق کی ذہانت ؛ خلا کے محاذ ؛ اور انفینٹی اور اس سے آگے۔ ڈو ساؤٹوئے ریاضی کی ترقی کو دستاویز کرتا ہے جس میں مضامین کا احاطہ کیا گیا ہے جیسے کہ صفر کی ایجاد اور غیر ثابت شدہ ریمن مفروضہ، ایک 150 سال پرانا مسئلہ جس کے حل کے لیے کلے میتھمیٹکس انسٹی ٹیوٹ نے $1,000,000 انعام کی پیشکش کی ہے۔ وہ موضوع کی تاریخ اور جغرافیہ کے ذریعے ناظرین کو تحفظ فراہم کرتا ہے۔ وہ کلیدی ریاضیاتی نظریات کی ترقی کا جائزہ لیتے ہیں اور یہ ظاہر کرتے ہیں کہ ریاضیاتی خیالات دنیا کی سائنس، ٹیکنالوجی اور ثقافت کو کس طرح تقویت دیتے ہیں۔ وہ قدیم مصر میں اپنا سفر شروع کرتا ہے اور موجودہ ریاضی کو دیکھ کر اسے ختم کرتا ہے۔ اس کے درمیان وہ بابل، یونان، ہندوستان، چین اور قرون وسطی کے مشرق وسطی سے گزرتا ہے۔ وہ یورپ اور پھر امریکہ میں ریاضی کو بھی دیکھتا ہے اور ناظرین کو بہت سے عظیم ریاضی دانوں کی زندگیوں کے اندر لے جاتا ہے۔ "کائنات کی زبان" اس افتتاحی پروگرام میں مارکس ڈو سوٹوئے قدیم مصر، میسوپوٹیمیا اور یونان کی ریاضی کو دیکھنے سے پہلے یہ دیکھتے ہیں کہ ریاضی ہماری زندگیوں کے لیے کتنی اہم اور بنیادی ہے۔ دو سوتوئے کا آغاز مصر میں ہوتا ہے جہاں موسموں کے نمونوں کی ریکارڈنگ اور خاص طور پر دریائے نیل کا سیلاب ان کی معیشت کے لیے ضروری تھا۔ ٹیکس کے مقاصد کے لیے زمین کے رقبے جیسے عملی مسائل کو حل کرنے کی ضرورت تھی۔ ڈو سوٹوئے ہاتھوں کی انگلیوں پر مبنی اعشاریہ نظام کے استعمال کو دریافت کرتا ہے، جو ضرب اور تقسیم کا غیر معمولی طریقہ ہے۔ وہ رائنڈ پیپرس، ماسکو پیپرس کا جائزہ لیتا ہے اور بائنری نمبروں، حصوں اور ٹھوس شکلوں کے بارے میں ان کی سمجھ کو تلاش کرتا ہے۔ اس کے بعد وہ بابل کا سفر کرتا ہے اور دریافت کرتا ہے کہ جس طرح سے ہم آج وقت بتاتے ہیں وہ بابل کے 60 بیس نمبر سسٹم پر مبنی ہے۔ لہذا بابلیوں کی وجہ سے ہمارے پاس ایک منٹ میں 60 سیکنڈ اور ایک گھنٹے میں 60 منٹ ہوتے ہیں۔ اس کے بعد وہ دکھاتا ہے کہ کس طرح بابلیوں نے اپنی زمین کی پیمائش کے لیے مربع مساوات کا استعمال کیا۔ وہ پلمپٹن 322 کے ساتھ مختصر طور پر پیش کرتا ہے۔ یونان میں، جو قدیم یونانی ریاضی کا گھر ہے، وہ اس کے کچھ عظیم ترین اور معروف ریاضی دانوں کی شراکت کو دیکھتا ہے جن میں پایتھاگورس، افلاطون، یوکلڈ اور آرکیمیڈیز شامل ہیں، جو کچھ ایسے لوگ ہیں جنہیں ریاضی کی تبدیلی کا آغاز کرنے کا سہرا دیا جاتا ہے۔ ایک متنازعہ شخصیت، پایتھاگورس کی تعلیمات کو مشکوک سمجھا جاتا تھا اور اس کے پیروکاروں کو سماجی بے دخل کے طور پر دیکھا جاتا تھا اور یہ قدرے عجیب اور معمول کے مطابق نہیں تھا۔ ایک روایت چل رہی ہے کہ اس کے پیروکاروں میں سے ایک، ہپاسس، اس وقت ڈوب گیا جب اس نے غیر معقول اعداد کی دریافت کا اعلان کیا۔ دائیں زاویہ مثلث کی خصوصیات پر اپنے کام کے ساتھ ساتھ، پایتھاگورس نے موسیقی کے آلات کا مشاہدہ کرنے کے بعد ایک اور اہم نظریہ تیار کیا۔ انہوں نے دریافت کیا کہ ہم آہنگ موسیقی کے سروں کے درمیان وقفے ہمیشہ پوری تعداد کے وقفوں میں ہوتے ہیں۔ یہ اسکندریہ کے ہائپیٹیا سے مختصر طور پر متعلق ہے۔ "دی جینیئس آف دی ایسٹ" قدیم یونان کے زوال کے ساتھ، یورپ میں ریاضی کی ترقی رک گئی۔ تاہم مشرق میں ریاضی کی ترقی جاری رہی۔ ڈو سوٹوئے انجینئرنگ کے منصوبوں میں ریاضی کے چینی استعمال اور اعداد کی صوفیانہ طاقتوں پر ان کے عقیدے دونوں کو بیان کرتا ہے۔ اس نے کن جیوشاؤ کا ذکر کیا ہے۔ انہوں نے ہندوستانی ریاضی دانوں کی مثلثی کی ایجاد کو بیان کیا ؛ صفر نمبر کے لیے ایک علامت کا ان کا تعارف اور انفینیٹی اور منفی نمبروں کے نئے تصورات میں ان کی شراکت۔ اس میں گوالیار کا قلعہ دکھایا گیا ہے جہاں اس کی دیواروں پر صفر کندہ ہے۔ اس میں صفر کے موضوع پر برہم گپتا اور بھاسکر دوم کے کام کا ذکر ہے۔ انہوں نے سنگمگرام اور آریہ بھٹ کے مادھو کا ذکر کیا ہے اور π (پائی) کا حساب لگانے کے لیے-تاریخی طور پر پہلا درست-فارمولا بیان کیا ہے۔ ڈو سوٹوئے پھر مشرق وسطی پر غور کرتا ہے: الجبرا کی نئی زبان کی ایجاد اور کیوبک مساوات کے حل کا ارتقاء۔ وہ محمد ابن موسی الخوارزمی کے ساتھ ہاؤس آف وزڈم کے بارے میں بات کرتا ہے اور وہ الکرائین یونیورسٹی کا دورہ کرتا ہے۔ انہوں نے عمر خیام کا ذکر کیا ہے۔ آخر میں وہ لیونارڈو فبونیکی جیسے ریاضی دانوں کے ذریعے مغرب میں مشرقی علم کے پھیلاؤ کا جائزہ لیتے ہیں، جو فبونیکی ترتیب کے لیے مشہور ہیں۔ اس نے نکولو فونٹانا ٹارٹاگلیا کا ذکر کیا ہے۔ "دی فرنٹیئرز آف اسپیس" سترہویں صدی سے یورپ نے مشرق وسطی کو ریاضیاتی نظریات کے انجن ہاؤس کے طور پر تبدیل کر دیا۔ ڈو ساؤٹوئے ریاضی دان اور فنکار پیریو ڈیلا فرانسیسکا کی دی فلیگلیشن آف کرائسٹ کا استعمال کرتے ہوئے نقطہ نظر متعارف کرانے کے لیے اربینو کا دورہ کرتے ہیں۔ ڈو سوٹوئے رینے ڈیکارٹس کے اس احساس کو بیان کرنے کے لیے آگے بڑھتے ہیں کہ مڑے ہوئے خطوط کو مساوات کے طور پر بیان کرنا ممکن تھا اور اس طرح الجبرا اور جیومیٹری کو جوڑنا ممکن تھا۔ وہ ڈیکارٹس کے بارے میں ہینک جے ایم بوس سے بات کرتا ہے۔ وہ دکھاتا ہے کہ کس طرح پیئر ڈی فرمیٹ کا ایک نظریہ اب ان کوڈز کی بنیاد ہے جو انٹرنیٹ پر کریڈٹ کارڈ کے لین دین کی حفاظت کرتے ہیں۔ انہوں نے آئزک نیوٹن کی ریاضی اور طبیعیات کی ترقی کو انجینئرنگ میں حرکت پذیر اشیاء کے رویے کو سمجھنے کے لیے اہم قرار دیا۔ وہ لیبنز اور نیوٹن کیلکولس تنازعہ اور برنولی خاندان کا احاطہ کرتا ہے۔ انہوں نے مزید ٹپوولوجی کے والد لیون ہارڈ اویلر اور گاؤس کی مساوات کو سنبھالنے کے ایک نئے طریقے، ماڈیولر ریاضی کی ایجاد کا احاطہ کیا۔ اس نے جانوس بولئی کا ذکر کیا ہے۔ پرائم نمبروں کی تقسیم کے بارے میں ہماری سمجھ میں گاؤس کی مزید شراکت کا احاطہ کیا گیا ہے اس طرح پرائم نمبروں پر برن ہارڈ ریمن کے نظریات کو پلیٹ فارم فراہم کیا گیا ہے۔ اس کے علاوہ ریمن نے اشیاء کی خصوصیات پر کام کیا، جسے انہوں نے کئی گنا کے طور پر دیکھا جو کثیر جہتی خلا میں موجود ہو سکتے ہیں۔ "ٹو انفینٹی اینڈ بیونڈ" ہلبرٹ کا پہلا مسئلہ آخری قسط 20 ویں صدی میں ریاضی دانوں کا سامنا کرنے والے عظیم غیر حل شدہ مسائل پر غور کرتی ہے۔ 8 اگست 1900 کو ڈیوڈ ہلبرٹ نے پیرس میں ریاضی دانوں کی بین الاقوامی کانگریس میں ایک تاریخی تقریر کی۔ ہلبرٹ نے ریاضی میں تیئیس پھر غیر حل شدہ مسائل پیش کیے جن کے بارے میں ان کا خیال تھا کہ وہ سب سے زیادہ فوری اہمیت کے حامل ہیں۔ ہلبرٹ 20 ویں سی ریاضی کا ایجنڈا ترتیب دینے میں کامیاب ہوا اور پروگرام کا آغاز ہلبرٹ کے پہلے مسئلے سے ہوا۔ جارج کینٹر نے مکمل اعداد 1، 2، 3 کے لامحدود مجموعے پر غور کیا۔ جس کا موازنہ انہوں نے اعداد 10، 20، 30 کے چھوٹے مجموعے سے کیا۔ کینٹر نے دکھایا کہ اعداد کے ان دو لامحدود سیٹوں کا اصل سائز ایک ہی تھا کیونکہ ہر نمبر کو جوڑنا ممکن تھا۔ 1-10، 2-20، 3-30 وغیرہ۔ اگر اب فریکشنوں پر غور کیا جائے تو دونوں مکمل اعداد میں سے کسی ایک کے درمیان فریکشنوں کی ایک لامحدود تعداد موجود ہے، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ فریکشنوں کا انفینٹی، مکمل اعداد کے انفینٹی سے بڑا ہے۔ پھر بھی کینٹر اس طرح کے ہر ایک حصے کو پورے نمبر 1-1/1 ؛ 2-2/1 ؛ 3-1/2 وغیرہ سے جوڑنے میں کامیاب رہا۔ کے ذریعے ؛ یعنی۔ فریکشن اور ہول نمبر دونوں کی انفینٹیز کا سائز ایک جیسا دکھایا گیا۔ لیکن جب تمام لامحدود اعشاریہ نمبروں کے سیٹ پر غور کیا گیا تو کینٹر یہ ثابت کرنے میں کامیاب رہا کہ اس سے ایک بڑا انفینٹی پیدا ہوا۔ اس کی وجہ یہ تھی کہ، اس بات سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ کسی نے اس طرح کی فہرست بنانے کی کوشش کیسے کی، کینٹر ایک نیا اعشاریہ نمبر فراہم کرنے میں کامیاب رہا جو اس فہرست سے غائب تھا۔ اس طرح اس نے ظاہر کیا کہ مختلف لامحدودتیں ہیں، جن میں سے کچھ دوسروں سے بڑی ہیں۔ تاہم، ایک مسئلہ تھا جسے کینٹر حل کرنے سے قاصر تھا: کیا تمام حصوں کے چھوٹے انفینٹی اور اعشاریہ کے بڑے انفینٹی کے درمیان کوئی انفینٹی ہے؟ کینٹر کا یقین تھا، جس میں کنٹینم مفروضہ کے نام سے جانا جاتا ہے، کہ ایسا کوئی سیٹ نہیں ہے۔ یہ ہلبرٹ کا درج کردہ پہلا مسئلہ ہوگا۔ پوئن کیری قیاس آرائی اگلا مارکس 'بینڈی جیومیٹری' کے نظم و ضبط پر ہنری پوئن کیری کے کام پر تبادلہ خیال کرتا ہے۔ اگر دو شکلوں کو ایک دوسرے کی شکل میں ڈھالا یا تبدیل کیا جا سکتا ہے تو ان کی ٹوپولوجی ایک جیسی ہے۔ پوئن کیری تمام ممکنہ دو جہتی ٹپوولوجیکل سطحوں کی شناخت کرنے کے قابل تھا۔ تاہم 1904 میں وہ ایک ٹپوولوجیکل مسئلہ، پوئن کیری قیاس کے ساتھ آیا، جسے وہ حل نہیں کر سکا۔ یعنی تھری ڈی کائنات کے لیے تمام ممکنہ شکلیں کیا ہیں۔ پروگرام کے مطابق، اس سوال کو 2002 میں گریگوری پیلمین نے حل کیا تھا جس نے اس مسئلے کو ریاضی کے ایک مختلف شعبے سے جوڑا تھا۔ پیریلمین نے اس حرکیات کو دیکھا کہ چیزیں کس طرح شکل کے اوپر بہہ سکتی ہیں۔ اس نے اسے وہ تمام طریقے تلاش کرنے کے قابل بنایا جس سے تھری ڈی جگہ کو اعلی جہتوں میں لپیٹا جا سکے۔ ڈیوڈ ہلبرٹ کی کامیابیوں پر اب غور کیا گیا۔ ہلبرٹ کے مسائل، ہلبرٹ اسپیس، ہلبرٹ کی درجہ بندی اور ہلبرٹ عدم مساوات کے علاوہ، ڈو ساؤٹوئے نے مساوات پر ہلبرٹ کے ابتدائی کام کو اجاگر کرتے ہوئے اسے نئے طریقوں سے سوچنے کے قابل ریاضی دان کے طور پر نشان زد کیا۔ ہلبرٹ نے دکھایا کہ اگرچہ مساوات کی ایک لامحدود تعداد موجود تھی، لیکن ان مساوات کو سیٹوں جیسے بلڈنگ بلاک کی ایک محدود تعداد سے بنایا جا سکتا ہے۔ ہلبرٹ سیٹوں کی وہ فہرست نہیں بنا سکے۔ انہوں نے صرف یہ ثابت کیا کہ یہ موجود ہے۔ درحقیقت ہلبرٹ نے ریاضی کا ایک نیا اور تجریدی انداز تخلیق کیا تھا۔ ہلبرٹ کا دوسرا مسئلہ 30 سال تک ہلبرٹ کا خیال تھا کہ ریاضی ایک ایسی عالمگیر زبان ہے جو تمام سچائیوں کو کھولنے اور اپنے 23 مسائل میں سے ہر ایک کو حل کرنے کے لیے کافی طاقتور ہے۔ پھر بھی، جیسا کہ ہلبرٹ کہہ رہے تھے کہ ہمیں معلوم ہونا چاہیے، ہمیں معلوم ہوگا، کرٹ گوڈل نے اس عقیدے کو توڑ دیا تھا۔ اس نے ہلبرٹ کے دوسرے مسئلے کے اپنے مطالعہ کی بنیاد پر نامکمل نظریہ وضع کیا تھا: اس بیان کو ثابت نہیں کیا جا سکتا۔ پرائم نمبروں پر مبنی کوڈ کا استعمال کرتے ہوئے، گوڈل مذکورہ بالا کو ریاضی کے خالص بیان میں تبدیل کرنے میں کامیاب رہا۔ منطقی طور پر، مذکورہ بالا غلط نہیں ہو سکتے اور اس لیے گوڈل نے ریاضیاتی بیانات کا وجود دریافت کیا تھا جو سچ تھے لیکن ثابت ہونے کے قابل نہیں تھے۔ ہلبرٹ کے پہلے مسئلے پر دوبارہ غور کیا گیا 1950 کی دہائی میں امریکی ریاضی دان پال کوہن نے کینٹر کے کنٹینم مفروضے کا چیلنج اٹھایا جس میں پوچھا گیا کہ "کیا اعداد کا کوئی لامحدود مجموعہ ہے جو مکمل اعداد کے مجموعے سے بڑا ہے لیکن تمام اعشاریہ جات کے مجموعے سے چھوٹا ہے یا نہیں۔" کوہن نے پایا کہ دو یکساں طور پر مستقل ریاضیاتی دنیایں موجود ہیں۔ ایک دنیا میں مفروضہ درست تھا اور اس طرح کا کوئی مجموعہ موجود نہیں تھا۔ پھر بھی ایک باہمی خصوصی لیکن یکساں طور پر مستقل ریاضیاتی ثبوت موجود تھا کہ مفروضہ غلط تھا اور اس طرح کا ایک مجموعہ موجود تھا۔ کوہن بعد میں ہلبرٹ کے آٹھویں مسئلے، ریمن مفروضے پر کام کریں گے، حالانکہ ان کے پہلے کام کی کامیابی کے بغیر۔ ہلبرٹ کا دسواں مسئلہ ہلبرٹ کا دسواں مسئلہ پوچھتا ہے کہ کیا کوئی ایسا عالمگیر طریقہ ہے جو یہ بتا سکے کہ آیا کسی مساوات کا مکمل نمبر حل ہے یا نہیں۔ بڑھتا ہوا عقیدہ یہ تھا کہ ایسا کوئی طریقہ ممکن نہیں تھا پھر بھی سوال باقی رہا کہ آپ یہ کیسے ثابت کر سکتے ہیں، چاہے آپ کتنے ہی ذہین ہوں، آپ کبھی بھی ایسا طریقہ نہیں لے کر آئیں گے۔ اس نے پال کوہن کا ذکر کیا ہے۔ اس کا جواب دینے کے لیے جولیا رابنسن، جس نے رابنسن مفروضہ تخلیق کیا جس میں کہا گیا تھا کہ یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ ایسا کوئی طریقہ نہیں تھا، آپ کو صرف ایک مساوات تیار کرنی تھی جس کے حل اعداد کا ایک بہت ہی مخصوص مجموعہ تھے: اعداد کے مجموعے کو تیزی سے بڑھنے کی ضرورت تھی لیکن پھر بھی ہلبرٹ کے مسئلے کے مرکز میں موجود مساوات کے ذریعے پکڑا جائے۔ رابنسن اس سیٹ کو تلاش کرنے سے قاصر تھا۔ حل کا یہ حصہ یوری میٹیسیویچ کے پاس گیا جس نے دیکھا کہ ہلبرٹ کے دسویں کے مرکز میں موجود مساوات کا استعمال کرتے ہوئے فبونیکی ترتیب کو کیسے پکڑا جائے۔ الجبرائی جیومیٹری حتمی سیکشن مختصر طور پر الجبرائی جیومیٹری کا احاطہ کرتا ہے۔ ایورسٹی گالوئس نے ریاضی کے لیے ایک نئی زبان کو بہتر بنایا تھا۔ گالوئس کا خیال تھا کہ ریاضی کو تعداد اور شکل کے برخلاف ساخت کا مطالعہ ہونا چاہیے۔ گالوئس نے یہ بتانے کے لیے نئی تکنیکیں دریافت کی تھیں کہ آیا بعض مساوات کے حل ہو سکتے ہیں یا نہیں۔ بعض ہندسی اشیاء کی ہم آہنگی کلیدی تھی۔ گالوئس کے کام کو آندرے ویل نے اٹھایا جس نے الجبرائی جیومیٹری بنائی، جو کہ ایک بالکل نئی زبان ہے۔ ویل کے کام نے نمبر تھیوری، الجبرا، ٹوپولوجی اور جیومیٹری کو منسلک کیا۔ آخر میں ڈو سوٹوئے نے افسانوی ریاضی دان نکولس بورباکی کی تخلیق میں ویل کے کردار اور بورباکی کے آؤٹ پٹ میں ایک اور معاون الیگزینڈر گروتھینڈیک کا ذکر کیا ہے۔ ۔