Binary quadratic form
ریاضی میں، بائنری کواڈریٹک شکل دو متغیرات میں ایک کواڈریٹک یکساں کثیر الجہتی ہے جہاں a، b، c گتانک ہیں۔ جب کوفشنٹس صوابدیدی پیچیدہ اعداد ہو سکتے ہیں، تو زیادہ تر نتائج دو متغیرات کے معاملے کے لیے مخصوص نہیں ہوتے ہیں، اس لیے انہیں کواڈریٹک شکل میں بیان کیا جاتا ہے۔ انٹیجر کوفشنٹس کے ساتھ ایک کواڈریٹک فارم کو انٹیگرل بائنری کواڈریٹک فارم کہا جاتا ہے، جسے اکثر بائنری کواڈریٹک فارم کہا جاتا ہے۔ یہ مضمون مکمل طور پر مربوط بائنری کواڈریٹک شکلوں کے لیے وقف ہے۔ یہ انتخاب الجبرائی نمبر تھیوری کی ترقی کے پیچھے محرک قوت کے طور پر ان کی حیثیت سے متاثر ہوتا ہے۔ انیسویں صدی کے آخر سے، بائنری کواڈریٹک شکلوں نے الجبرائی نمبر تھیوری میں اپنی برتری کواڈریٹک اور زیادہ عام نمبر فیلڈز میں چھوڑ دیا ہے، لیکن بائنری کواڈریٹک شکلوں کے لیے مخصوص پیش رفت اب بھی موقع پر ہوتی ہے۔ پیئر فرمیٹ نے بیان کیا کہ اگر p ایک عجیب پرائم ہے تو مساوات کا حل iff ہے، اور اس نے مساوات کے بارے میں اسی طرح کا بیان دیا، اور۔ اور اسی طرح کواڈریٹک شکلیں ہیں، اور کواڈریٹک شکلوں کا نظریہ ان نظریات کو دیکھنے اور ثابت کرنے کا ایک متحد طریقہ فراہم کرتا ہے۔ کواڈریٹک شکلوں کی ایک اور مثال پیل کی مساوات ہے۔ بائنری کواڈریٹک شکلیں کواڈریٹک فیلڈز میں آئیڈیلز سے قریب سے متعلق ہیں، اس سے کواڈریٹک فیلڈ کی کلاس نمبر کا حساب کسی دیئے گئے ڈسکریمیننٹ کی کم شدہ بائنری کواڈریٹک شکلوں کی تعداد کو گن کر کیا جا سکتا ہے۔ 2 متغیرات کی کلاسیکی تھیٹا فنکشن ہے، اگر ایک مثبت قطعی کواڈریٹک شکل ہے تو ایک تھیٹا فنکشن ہے۔ مساوات دو شکلیں f اور g کو مساوی کہا جاتا ہے اگر ایسے عدد موجود ہوں جن میں درج ذیل شرائط ہوں: مثال کے طور پر، ساتھ اور،، اور، ہم پاتے ہیں کہ f مساوی ہے، جو آسان بناتا ہے۔ مذکورہ بالا مساوات کے حالات انٹیگرل کواڈریٹک فارموں کے سیٹ پر مساوات کے تعلق کی وضاحت کرتے ہیں۔ اس کے بعد چوتھائی شکلوں کو مساوات کی کلاسوں میں تقسیم کیا جاتا ہے، جنہیں چوتھائی شکلوں کی کلاسیں کہا جاتا ہے۔ کلاس غیر متغیر کا مطلب یا تو فارموں کی مساوات کلاسوں پر بیان کردہ فنکشن یا ایک ہی کلاس میں تمام شکلوں کے ذریعہ مشترکہ پراپرٹی ہو سکتا ہے۔ لگرینج نے مساوات کا ایک مختلف تصور استعمال کیا، جس میں دوسری شرط کی جگہ لے لی گئی ہے۔ گوس کے بعد سے یہ تسلیم کیا گیا ہے کہ یہ تعریف اوپر دی گئی تعریف سے کمتر ہے۔ اگر فرق کرنے کی ضرورت ہو تو، بعض اوقات فارموں کو اوپر کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے مناسب طریقے سے مساوی کہا جاتا ہے اور اگر وہ لگرینج کے معنی میں مساوی ہیں تو غلط طریقے سے مساوی کہا جاتا ہے۔ میٹرکس کی اصطلاحات میں، جو کبھی کبھار نیچے استعمال ہوتی ہے، جب انٹیجر اندراجات اور ڈیٹرمیننٹ 1 ہوتا ہے، تو نقشہ بائنری کواڈریٹک شکلوں کے سیٹ پر ایک (دائیں) گروپ ایکشن ہوتا ہے۔ اس کے بعد اوپر مساوات کا تعلق گروپ کے اعمال کے عمومی نظریہ سے پیدا ہوتا ہے۔ اگر، تو اہم غیر متغیرات میں ڈسکریمیننٹ شامل ہے۔ مواد، جو a، b، اور c کے سب سے بڑے مشترکہ تقسیم کار کے برابر ہے۔ اصطلاحات کلاسوں اور ان کی شکلوں کو ان کے غیر متغیرات کے لحاظ سے درجہ بندی کرنے کے لیے پیدا ہوئی ہیں۔ تبعیض کی ایک شکل قطعی ہوتی ہے اگر، اگر ایک کامل مربع ہو تو انحطاط پذیر ہو، اور بصورت دیگر غیر معینہ مدت تک۔ ایک فارم ابتدائی ہوتا ہے اگر اس کا مواد 1 ہو، یعنی اگر اس کے کوفیشنٹس کوپرائم ہوں۔ اگر کسی فارم کا ڈسکریمیننٹ بنیادی ڈسکریمیننٹ ہے، تو فارم ابتدائی ہے۔ تبعیض آٹومورفزم کو مطمئن کرتے ہیں اگر f ایک کواڈریٹک شکل ہے، تو ایک میٹرکس میں f کی آٹومورفزم ہے۔ مثال کے طور پر، میٹرکس شکل کا ایک آٹومورفزم ہے۔ کسی شکل کے آٹومورفزم ایک ذیلی گروہ کی تشکیل کرتے ہیں۔ جب f قطعی ہوتا ہے، تو گروپ محدود ہوتا ہے، اور جب f غیر معینہ ہوتا ہے، تو یہ لامحدود اور چکور ہوتا ہے۔ نمائندگی بائنری کواڈریٹک فارم ایک انٹیجر کی نمائندگی کرتا ہے اگر انٹیجرز کو تلاش کرنا اور مساوات کو مطمئن کرنا ممکن ہو تو اس طرح کی مساوات بائی کی نمائندگی ہے۔ مثالوں میں ڈیوفنٹس نے غور کیا کہ آیا، ایک عجیب عدد کے لیے، انٹیجرز تلاش کرنا ممکن ہے اور کس کے لیے۔ جب ہمارے پاس ایسا ہوتا ہے تو ہمیں ایسے جوڑے ملتے ہیں جو چال چلاتے ہیں۔ ہم مزید جوڑے حاصل کرتے ہیں جو اور اور/یا ایک یا دونوں کی علامت کو تبدیل کرکے کام کرتے ہیں۔ مجموعی طور پر سولہ مختلف حل کے جوڑے ہوتے ہیں۔ دوسری طرف، جب مساوات میں انٹیجر حل نہیں ہوتے ہیں۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ کیوں، ہم نوٹ کرتے ہیں کہ جب تک یا نہیں۔ اس طرح، 3 سے تجاوز کرے گا جب تک کہ نو جوڑوں میں سے ایک کے ساتھ اور ہر ایک کے برابر یا 1 نہ ہو۔ ہم ان نو جوڑوں کو براہ راست چیک کر سکتے ہیں تاکہ یہ دیکھا جا سکے کہ ان میں سے کوئی بھی مطمئن نہیں ہے، اس لیے مساوات میں انٹیجر حل نہیں ہیں۔ اسی طرح کی دلیل سے پتہ چلتا ہے کہ ہر ایک کے لیے، مساوات میں حل کی صرف ایک محدود تعداد ہو سکتی ہے کیونکہ یہ اس وقت تک بڑھ جائے گی جب تک کہ مطلق اقدار اور دونوں اس سے کم نہ ہوں۔ اس رکاوٹ کو پورا کرنے والے جوڑوں کی صرف ایک محدود تعداد ہے۔ کواڈریٹک شکلوں پر مشتمل ایک اور قدیم مسئلہ ہمیں پیل کی مساوات کو حل کرنے کے لیے کہتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہم عدد x اور y تلاش کر سکتے ہیں تاکہ۔ حل میں x اور y کی علامتوں کو تبدیل کرنے سے ایک اور حل ملتا ہے، لہذا مثبت عددوں میں صرف حل تلاش کرنا کافی ہے۔ ایک حل یہ ہے کہ مساوات موجود ہے۔ اگر اس کا کوئی حل ہے، تو ایسا ہی ایک اور جوڑا ہے۔ مثال کے طور پر، جوڑی سے، ہم حساب لگاتے ہیں، اور ہم چیک کر سکتے ہیں کہ یہ مطمئن ہے۔ اس عمل کو دہراتے ہوئے، ہمیں مزید جوڑے ملتے ہیں: یہ اقدار سائز میں بڑھتی رہیں گی، لہذا ہم دیکھتے ہیں کہ شکل کے لحاظ سے 1 کی نمائندگی کرنے کے لامحدود طریقے ہیں۔ اس تکراری وضاحت پر یوکلڈ کے عناصر پر تھیون آف سمیرنا کی تفسیر میں بحث کی گئی تھی۔ نمائندگی کا مسئلہ بائنری کواڈریٹک شکلوں کے نظریہ میں سب سے قدیم مسئلہ نمائندگی کا مسئلہ ہے: کسی دیئے گئے نمبر کی نمائندگی کو ایک دی گئی کواڈریٹک شکل f سے بیان کریں۔ "بیان کریں" کے مختلف معنی ہو سکتے ہیں: تمام نمائندگی پیدا کرنے کے لیے ایک الگورتھم دیں، نمائندگی کی تعداد کے لیے ایک بند فارمولا، یا یہاں تک کہ صرف اس بات کا تعین کریں کہ آیا کوئی نمائندگی موجود ہے۔ مندرجہ بالا مثالوں میں نمبر 3 اور 65 کے لیے فارم کے لحاظ سے اور نمبر 1 کے لیے فارم کے لحاظ سے نمائندگی کے مسئلے پر تبادلہ خیال کیا گیا ہے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ 65 کی نمائندگی سولہ مختلف طریقوں سے کی جاتی ہے، جبکہ 1 کی نمائندگی لامحدود طور پر کئی طریقوں سے کی جاتی ہے اور 3 کی نمائندگی بالکل نہیں کی جاتی ہے۔ پہلے معاملے میں، سولہ نمائشیں واضح طور پر بیان کی گئیں۔ یہ بھی دکھایا گیا کہ ایک عدد کی نمائندگی کی تعداد ہمیشہ محدود ہوتی ہے۔ مربع فنکشن کا مجموعہ n کے فنکشن کے طور پر n کی نمائندگی کی تعداد دیتا ہے۔ ایک بند فارمولا ہے جہاں n کے تقسیم کاروں کی تعداد ہے جو 1 ماڈیولو 4 سے ہم آہنگ ہیں اور n کے تقسیم کاروں کی تعداد ہے جو 3 ماڈیولو 4 سے ہم آہنگ ہیں۔ نمائندگی کے مسئلے سے متعلق کئی کلاس غیر متغیرات ہیں: انٹیجرز کا مجموعہ جس کی نمائندگی کلاس کرتی ہے۔ اگر کسی عدد n کی نمائندگی کسی کلاس میں کسی فارم کے ذریعے کی جاتی ہے، تو اس کی نمائندگی کلاس کی دیگر تمام شکلوں کے ذریعے کی جاتی ہے۔ کم از کم مطلق قدر جس کی نمائندگی کلاس کرتی ہے۔ یہ انٹیجرز کے سیٹ میں سب سے چھوٹی غیر منفی ویلیو ہے جس کی نمائندگی کلاس کرتی ہے۔ ہم آہنگی کی کلاسیں کلاس کی نمائندگی کرنے والے کلاس کے امتیازی سلوک کو ماڈیول کرتی ہیں۔ کلاس کی طرف سے نمائندگی کی جانے والی کم از کم مطلق قیمت انحطاط شدہ کلاسوں کے لیے صفر اور قطعی اور غیر معینہ کلاسوں کے لیے مثبت ہوتی ہے۔ ایک قطعی شکل سے ظاہر ہونے والے تمام اعداد کی علامت ایک ہی ہوتی ہے: مثبت اگر اور منفی اگر۔ اس وجہ سے، سابقہ کو مثبت قطعی شکلیں کہا جاتا ہے اور مؤخر الذکر منفی قطعی ہوتے ہیں۔ اگر f قطعی ہے تو کسی عدد n کی نمائندگی کی تعداد محدود ہے اور اگر f غیر معینہ مدت ہے تو لامحدود ہے۔ ہم نے مندرجہ بالا مثالوں میں اس کی مثالیں دیکھیں: مثبت قطعی اور غیر معینہ مدت ہے۔ مساوی نمائندگی شکلوں کی مساوات کے تصور کو مساوی نمائندگی تک بڑھایا جا سکتا ہے۔ نمائندگی اور مساوی ہیں اگر انٹیجر اندراجات اور ڈیٹرمیننٹ 1 کے ساتھ ایک میٹرکس موجود ہے تاکہ اور مندرجہ بالا شرائط بائنری کواڈریٹک فارموں کے ذریعہ انٹیجرز کی نمائندگی کے سیٹ پر گروپ کا (دائیں) ایکشن دیں۔ اس کے بعد یہ ہوتا ہے کہ اس طرح سے بیان کردہ مساوات ایک مساوات کا رشتہ ہے اور خاص طور پر یہ کہ مساوی نمائندگی میں موجود شکلیں مساوی شکلیں ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک نمائندگی پر غور کریں۔ اس طرح کی نمائندگی مندرجہ بالا مثالوں میں بیان کردہ پیل مساوات کا حل ہے۔ میٹرکس میں ڈیٹرمیننٹ 1 ہوتا ہے اور یہ f کا آٹومورفزم ہے۔ اس میٹرکس کے ذریعے نمائندگی پر عمل کرنے سے مساوی نمائندگی حاصل ہوتی ہے۔ یہ اس کے لامحدود حل پیدا کرنے کے لیے اوپر بیان کردہ عمل میں تکرار کا مرحلہ ہے۔ اس میٹرکس عمل کو دہراتے ہوئے، ہم پاتے ہیں کہ 1 کی طرف سے f کی نمائندگی کا لامحدود مجموعہ جو اوپر طے کیا گیا تھا وہ سب مساوی ہیں۔ عام طور پر ایک عدد n کی نمائندگی کی بہت سی مساوی کلاسیں دی گئی غیر صفر تفریق کی شکلوں کے ذریعہ ہوتی ہیں۔ ان کلاسوں کے لیے نمائندوں کا ایک مکمل مجموعہ نیچے دیے گئے حصے میں بیان کردہ کم شدہ فارموں کے لحاظ سے دیا جا سکتا ہے۔ جب، ہر نمائندگی ایک کم شدہ شکل کے ذریعہ ایک منفرد نمائندگی کے مساوی ہوتی ہے، تو نمائندوں کا ایک مکمل مجموعہ n کی محدود طور پر بہت سی نمائندگی کے ذریعہ امتیازی سلوک کی کم شدہ شکلوں کے ذریعہ دیا جاتا ہے۔ جب زاجیر نے ثابت کیا کہ مثبت عدد n کی امتیازی شکل کی طرف سے ہر نمائندگی ایک منفرد نمائندگی کے برابر ہے جس میں زاجیر کے معنی میں f کو کم کیا جاتا ہے اور،۔ اس طرح کی تمام نمائندگی کا مجموعہ نمائندگی کے مساوی طبقات کے لیے نمائندوں کا ایک مکمل مجموعہ تشکیل دیتا ہے۔ کمی اور کلاس نمبر لگرینج نے ثابت کیا کہ ہر قدر D کے لیے، ڈسکریمیننٹ D کے ساتھ بائنری کواڈریٹک شکلوں کی صرف بہت سی کلاسیں ہیں۔ ان کی تعداد ڈسکریمیننٹ D کی ہے۔ انہوں نے ایک الگورتھم بیان کیا، جسے کمی کہا جاتا ہے، ہر کلاس میں کینونکل نمائندے کی تعمیر کے لیے، کم شدہ شکل، جس کے گتانک مناسب معنوں میں سب سے چھوٹے ہوتے ہیں۔ گاؤس نے دریافت ریاضی میں ایک اعلی تخفیف الگورتھم دیا، جو اس کے بعد سے تخفیف الگورتھم رہا ہے جو عام طور پر نصابی کتابوں میں دیا جاتا ہے۔ 1981 میں، زاجیر نے ایک متبادل تخفیف الگورتھم شائع کیا جس نے گاؤس کے متبادل کے طور پر کئی استعمال پائے ہیں۔ کمپوزیشن کمپوزیشن سے مراد عام طور پر ایک ہی ڈسکریمیننٹ کی شکلوں کی ابتدائی مساوات کی کلاسوں پر بائنری آپریشن ہے، جو گاؤس کی گہری دریافتوں میں سے ایک ہے، جو اس سیٹ کو ایک محدود ابیلین گروپ میں بناتا ہے جسے ڈسکریمیننٹ کا فارم کلاس گروپ (یا صرف کلاس گروپ) کہا جاتا ہے۔ اس کے بعد سے کلاس گروپ الجبرائی نمبر تھیوری میں مرکزی نظریات میں سے ایک بن گئے ہیں۔ جدید نقطہ نظر سے، ایک بنیادی ڈسکریمیننٹ کا کلاس گروپ ڈسکریمیننٹ کے کواڈریٹک فیلڈ کے تنگ کلاس گروپ کے لیے آئسومورفک ہے۔ منفی کے لیے، تنگ کلاس گروپ مثالی کلاس گروپ کے برابر ہے، لیکن مثبت کے لیے یہ دوگنا بڑا ہو سکتا ہے۔ "کمپوزیشن" سے بعض اوقات، تقریبا، بائنری کواڈریٹک شکلوں پر بائنری آپریشن سے بھی مراد ہے۔ لفظ "تقریبا" دو انتباہات کی نشاندہی کرتا ہے: بائنری کواڈریٹک شکلوں کے صرف کچھ جوڑے بنائے جا سکتے ہیں، اور اس کے نتیجے میں بننے والی شکل اچھی طرح سے متعین نہیں ہے (حالانکہ اس کی مساوات کی کلاس ہے)۔ مساوات کی کلاسوں پر کمپوزیشن آپریشن کی تعریف پہلے فارموں کی کمپوزیشن کی وضاحت اور پھر یہ ظاہر کرنے سے کی جاتی ہے کہ یہ کلاسوں پر ایک اچھی طرح سے متعین آپریشن کو جنم دیتا ہے۔ "کمپوزیشن" سے مراد شکلوں کے لحاظ سے انٹیجرز کی نمائندگی پر بائنری آپریشن بھی ہو سکتا ہے۔ یہ عمل شکلوں کی ساخت سے کافی زیادہ پیچیدہ ہے، لیکن تاریخی طور پر سب سے پہلے پیدا ہوا۔ ہم ذیل میں ایک علیحدہ سیکشن میں اس طرح کی کارروائیوں پر غور کریں گے۔ ساخت کا مطلب ہے ایک ہی امتیاز کی 2 چوتھائی شکلیں لینا اور انہیں یکجا کر کے ایک ہی امتیاز کی ایک چوتھائی شکل پیدا کرنا، جیسا کہ برہم گپتا کی شناخت سے درج ذیل ہے۔ فارموں اور کلاسوں کی تشکیل فارموں کی ساخت کی مختلف تعریفیں دی گئی ہیں، اکثر گاؤس کی انتہائی تکنیکی اور عمومی تعریف کو آسان بنانے کی کوشش میں۔ ہم یہاں آرنڈٹ کا طریقہ پیش کرتے ہیں، کیونکہ یہ اتنا آسان ہونے کے باوجود کافی عام رہتا ہے کہ ہاتھ سے حساب کتاب کے قابل ہو۔ ایک متبادل تعریف بھارگو کیوب میں بیان کی گئی ہے۔ فرض کریں کہ ہم فارموں کی تشکیل کرنا چاہتے ہیں اور، ہر ایک قدیم اور ایک ہی امتیازی ہے۔ ہم مندرجہ ذیل مراحل انجام دیتے ہیں: مطابقت کے نظام کا حساب لگائیں اور حل کریں۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس نظام میں ہمیشہ ایک منفرد عدد حل ماڈیولو ہوتا ہے۔ ہم من مانی طور پر اس طرح کے حل کا انتخاب کرتے ہیں اور اسے بی۔ کمپیوٹ سی کہتے ہیں۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ C ایک عدد عدد ہے۔ شکل "دی" کمپوزیشن آف اینڈ ہے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ اس کا پہلا گتانک اچھی طرح سے متعین ہے، لیکن دیگر دو کا انحصار B اور C کے انتخاب پر ہے۔ اس کو ایک اچھی طرح سے طے شدہ عمل بنانے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ B کا انتخاب کرنے کے لیے ایک من مانی روایت بنائی جائے-مثال کے طور پر، B کو اوپر کے ہم آہنگی کے نظام کا سب سے چھوٹا مثبت حل منتخب کریں۔ متبادل طور پر، ہم ترکیب کے نتیجے کو ایک شکل کے طور پر نہیں، بلکہ فارم کے میٹرکس کے گروپ کے عمل کو ماڈیولو فارموں کی ایک مساوات کلاس کے طور پر دیکھ سکتے ہیں، جہاں n ایک عدد ہے۔ اگر ہم اس عمل کے تحت کی کلاس پر غور کریں، تو کلاس میں فارموں کے درمیانی گتانک انٹیجرز ماڈیولو 2 اے کی ہم آہنگی کلاس بناتے ہیں۔ اس طرح، ترکیب بائنری کواڈریٹک شکلوں کے جوڑوں سے لے کر ایسی کلاسوں تک ایک اچھی طرح سے متعین فنکشن فراہم کرتی ہے۔ یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اگر اور بالترتیب اور کے مساوی ہیں، تو اور کی ساخت اور کی ساخت کے مساوی ہے۔ اس کے بعد یہ ہے کہ ترکیب امتیازی سلوک کے ابتدائی طبقات پر ایک اچھی طرح سے طے شدہ عمل کو جنم دیتی ہے، اور جیسا کہ اوپر ذکر کیا گیا ہے، گاؤس نے دکھایا کہ یہ کلاسیں ایک محدود ابیلین گروپ تشکیل دیتی ہیں۔ گروپ میں شناختی کلاس ایک منفرد کلاس ہے جس میں تمام شکلیں ہوتی ہیں، یعنی پہلے گتانک 1 کے ساتھ۔ (یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اس طرح کی تمام شکلیں ایک ہی طبقے میں ہیں، اور پابندی کا مطلب یہ ہے کہ ہر امتیازی سلوک کی ایسی شکل موجود ہے۔) کلاس کو الٹنے کے لیے، ہم ایک نمائندہ لیتے ہیں اور کلاس کی تشکیل کرتے ہیں۔ متبادل طور پر، ہم اس کے بعد سے کلاس تشکیل دے سکتے ہیں اور مساوی ہیں۔ بائنری کواڈریٹک شکلوں کی جنرا، گاؤس کو مساوات کا ایک موٹا تصور بھی سمجھا جاتا ہے، جس میں ہر موٹا طبقے کو شکلوں کی جینس کہا جاتا ہے۔ ہر جینس ایک ہی امتیاز کے مساوی طبقات کی ایک محدود تعداد کا اتحاد ہے، جس میں طبقات کی تعداد صرف امتیاز پر منحصر ہے۔ بائنری کواڈریٹک شکلوں کے تناظر میں، جنرا کی تعریف یا تو نمبروں کی ہم آہنگی کلاسوں کے ذریعے کی جا سکتی ہے جن کی نمائندگی شکلوں کے ذریعے کی جاتی ہے یا شکلوں کے سیٹ پر بیان کردہ جینس حروف کے ذریعے کی جا سکتی ہے۔ تیسری تعریف n متغیرات میں کواڈریٹک شکل کی جینس کا ایک خاص معاملہ ہے۔ اس میں کہا گیا ہے کہ شکلیں ایک ہی جینس میں ہیں اگر وہ تمام عقلی پرائمز (بشمول آرکیمیڈین جگہ) پر مقامی طور پر مساوی ہیں۔ تاریخ الجبرائی شناختوں کے پروٹو ہسٹورک علم کے حالات کے ثبوت موجود ہیں جن میں بائنری کواڈریٹک شکلیں شامل ہیں۔ بائنری کواڈریٹک شکلوں سے متعلق پہلا مسئلہ مخصوص بائنری کواڈریٹک شکلوں کے ذریعہ انٹیجرز کی نمائندگی کے وجود یا تعمیر کا مطالبہ کرتا ہے۔ اہم مثالیں پیل کی مساوات کا حل اور انٹیجرز کی نمائندگی دو مربعوں کے مجموعے کے طور پر ہیں۔ پیل کی مساوات پر پہلے ہی ہندوستانی ریاضی دان برہم گپتا نے 7 ویں صدی عیسوی میں غور کیا تھا۔ کئی صدیوں کے بعد، ان کے خیالات کو پیل کی مساوات کے مکمل حل تک بڑھایا گیا جسے چکروالا طریقہ کے نام سے جانا جاتا ہے، جو ہندوستانی ریاضی دانوں میں سے کسی ایک جے دیو یا بھاسکر دوم سے منسوب ہے۔ انٹیجرز کو دو مربعوں کے مجموعے سے ظاہر کرنے کے مسئلے پر تیسری صدی میں ڈیوفنٹس نے غور کیا تھا۔ 17 ویں صدی میں، ڈیوفنٹس کی ارتھمیٹیکا کو پڑھتے وقت متاثر ہو کر، فرمیٹ نے مخصوص مربع شکلوں کی نمائندگی کے بارے میں کئی مشاہدات کیے جن میں وہ بھی شامل ہے جسے اب دو مربعوں کے مجموعے پر فرمیٹ تھیوریم کے نام سے جانا جاتا ہے۔ اویلر نے فرمیٹ کے مشاہدات کے پہلے ثبوت فراہم کیے اور بغیر کسی ثبوت کے مخصوص شکلوں کے ذریعے نمائندگی کے بارے میں کچھ نئے قیاس آرائیاں شامل کیں۔ کواڈریٹک شکلوں کا عمومی نظریہ لاگرانج نے 1775 میں اپنی ریچرچز ڈی ارتھمیٹک میں شروع کیا تھا۔ لاگرانج نے سب سے پہلے یہ محسوس کیا کہ "ایک مربوط عمومی نظریہ کے لیے تمام شکلوں پر یکساں غور و فکر کی ضرورت ہوتی ہے"۔ وہ پہلا شخص تھا جس نے امتیازی سلوک کی اہمیت کو تسلیم کیا اور مساوات اور تخفیف کے ضروری تصورات کی وضاحت کی، جو ویل کے مطابق، "تب سے ہی کواڈریٹک شکلوں کے پورے موضوع پر حاوی ہے"۔ لگرینج نے دکھایا کہ دیئے گئے ڈسکریمیننٹ کی محدود طور پر بہت سی مساوات کی کلاسیں ہیں، اس طرح پہلی بار ریاضی کے کلاس نمبر کی وضاحت کی گئی ہے۔ ان کے تخفیف کے تعارف نے امتیازی سلوک کی کلاسوں کی فوری گنتی کی اجازت دی اور بنیادی ڈھانچے کی حتمی ترقی کی پیش گوئی کی۔ 1798 میں، لیجنڈری نے ایسائی سر لا تھیوری ڈیس نومبریس شائع کیا، جس میں اویلر اور لگرینج کے کام کا خلاصہ کیا گیا اور ان کی اپنی کچھ شراکتوں کو شامل کیا گیا، جس میں فارموں پر کمپوزیشن آپریشن کی پہلی جھلک بھی شامل ہے۔ اس نظریہ کو ڈسکوزیشنز ارتھمیٹی کے سیکشن V میں گاؤس نے وسیع پیمانے پر بڑھایا اور بہتر بنایا۔ گاؤس نے ایک کمپوزیشن آپریٹر کا ایک بہت ہی عمومی ورژن متعارف کرایا جو مختلف امتیازی اور غیر مجرمانہ شکلوں کی بھی تشکیل کی اجازت دیتا ہے۔ انہوں نے لگرینج کی مساوات کو مناسب مساوات کے زیادہ درست تصور کے ساتھ تبدیل کر دیا، اور اس نے انہیں یہ ظاہر کرنے کے قابل بنایا کہ دیئے گئے امتیازی سلوک کی ابتدائی کلاسیں کمپوزیشن آپریشن کے تحت ایک گروپ تشکیل دیتی ہیں۔ انہوں نے جینس تھیوری متعارف کرائی، جو مربعوں کے ذیلی گروپ کے ذریعہ کلاس گروپ کے حصص کو سمجھنے کا ایک طاقتور طریقہ فراہم کرتا ہے۔ (گاؤس اور اس کے بعد کے بہت سے مصنفین نے b کی جگہ 2b لکھا ؛ xy کے گتانک کو عجیب ہونے کی اجازت دینے والا جدید رواج آئزنسٹین کی وجہ سے ہے)۔ گاؤس کی ان تحقیقات نے دو سے زیادہ متغیرات میں کواڈریٹک شکلوں کے ریاضیاتی نظریہ اور الجبرائی نمبر تھیوری کی اس کے بعد کی ترقی دونوں کو مضبوطی سے متاثر کیا، جہاں کواڈریٹک فیلڈز کو زیادہ عمومی نمبر فیلڈز سے تبدیل کیا جاتا ہے۔ لیکن اثر فوری نہیں تھا۔ دریافت کے سیکشن V میں واقعی انقلابی خیالات شامل ہیں اور اس میں بہت پیچیدہ حسابات شامل ہوتے ہیں، جو بعض اوقات قارئین پر چھوڑ دیے جاتے ہیں۔ مشترکہ طور پر، نیاپن اور پیچیدگی نے سیکشن V کو بدنام مشکل بنا دیا۔ ڈیرچلیٹ نے اس نظریہ کی آسانیاں شائع کیں جس نے اسے وسیع تر سامعین کے لیے قابل رسائی بنا دیا۔ اس کام کا اختتام ان کا متن Vorlesungen über Zhalentheori ہے۔ اس کام کے تیسرے ایڈیشن میں ڈیڈیکنڈ کے دو ضمیمہ شامل ہیں۔ ضمیمہ الیون رنگ تھیوری متعارف کراتا ہے، اور اس کے بعد سے، خاص طور پر ہلبرٹ کے زہلبریکٹ کی 1897 کی اشاعت کے بعد، بائنری کواڈریٹک شکلوں کے نظریہ نے الجبرائی نمبر تھیوری میں اپنی اولین پوزیشن کھو دی اور الجبرائی نمبر فیلڈز کے زیادہ عمومی نظریہ کی وجہ سے سایہ دار ہو گیا۔ اس کے باوجود، انٹیجر کوفیشنٹس کے ساتھ بائنری کواڈریٹک شکلوں پر کام آج تک جاری ہے۔ اس میں کواڈریٹک نمبر فیلڈز کے بارے میں متعدد نتائج شامل ہیں، جن کا اکثر بائنری کواڈریٹک شکلوں کی زبان میں ترجمہ کیا جا سکتا ہے، لیکن اس میں شکلوں کے بارے میں پیش رفت بھی شامل ہیں یا جو شکلوں کے بارے میں سوچنے سے پیدا ہوئی ہیں، بشمول شینکس کا بنیادی ڈھانچہ، زاجیر کا تخفیف الگورتھم، کونوے کے ٹوپوگراف، اور بھارگوا کی بھرگوا کیوب کے ذریعے ترکیب کی دوبارہ تشریح۔ ۔