Indian mathematics
برصغیر پاک و ہند میں ہندوستانی ریاضی 1200 قبل مسیح سے 18 ویں صدی کے آخر تک ابھری۔ ہندوستانی ریاضی کے کلاسیکی دور (400 عیسوی سے 1200 عیسوی) میں، آریہ بھٹ، برہم گپتا، بھاسکر دوم، اور وراہمہر جیسے اسکالرز نے اہم تعاون کیا۔ آج استعمال ہونے والا اعشاریہ نمبر کا نظام سب سے پہلے ہندوستانی ریاضی میں درج کیا گیا تھا۔ ہندوستانی ریاضی دانوں نے صفر کے تصور کے بطور عدد، منفی اعداد، ریاضی اور الجبرا کے مطالعہ میں ابتدائی تعاون کیا۔ اس کے علاوہ، ہندوستان میں مثلثی کو مزید آگے بڑھایا گیا، اور خاص طور پر، وہاں سائن اور کوسین کی جدید تعریفیں تیار کی گئیں۔ یہ ریاضیاتی تصورات مشرق وسطی، چین اور یورپ میں منتقل ہوئے اور مزید پیش رفت کا باعث بنے جو اب ریاضی کے بہت سے شعبوں کی بنیادیں ہیں۔ قدیم اور قرون وسطی کے ہندوستانی ریاضیاتی کام، جو سبھی سنسکرت میں لکھے گئے تھے، عام طور پر ستروں کے ایک حصے پر مشتمل ہوتے تھے جس میں قواعد یا مسائل کا ایک مجموعہ عظیم معیشت کے ساتھ آیت میں بیان کیا جاتا تھا تاکہ طالب علم کو حفظ کرنے میں مدد ملے۔ اس کے بعد ایک دوسرا حصہ تھا جس میں ایک نصوص تفسیر (بعض اوقات مختلف اسکالرز کے متعدد تبصرے) شامل تھے جس میں مسئلے کی مزید تفصیل سے وضاحت کی گئی اور حل کا جواز فراہم کیا گیا۔ نصوص کے حصے میں، شکل (اور اس وجہ سے اس کی یادداشت) کو اتنا اہم نہیں سمجھا جاتا تھا جتنا کہ اس میں شامل خیالات کو۔ تمام ریاضیاتی کام تقریبا 500 قبل مسیح تک زبانی طور پر منتقل کیے گئے تھے۔ اس کے بعد، انہیں زبانی اور مخطوطات کی شکل میں منتقل کیا گیا۔ برصغیر پاک و ہند پر تیار کردہ سب سے قدیم موجودہ ریاضیاتی دستاویز برچ کی چھال کا بخشالی مخطوطہ ہے، جو 1881 میں پشاور (جدید پاکستان) کے قریب بخشالی گاؤں میں دریافت ہوا تھا اور غالبا 7 ویں صدی عیسوی کا ہے۔ ہندوستانی ریاضی میں بعد میں ایک تاریخی سنگ میل 15 ویں صدی عیسوی میں کیرالہ اسکول کے ریاضی دانوں کے ذریعہ مثلثی افعال (سائن، کوسین، اور آرک ٹینجینٹ) کے لیے سیریز کی توسیع کی ترقی تھی۔ ان کا کام، یورپ میں کیلکولس کی ایجاد سے دو صدیوں پہلے مکمل ہوا، جو اب پاور سیریز (ہندسی سیریز کے علاوہ) کی پہلی مثال سمجھی جاتی ہے۔ تاہم، انہوں نے تفریق اور انضمام کا کوئی منظم نظریہ وضع نہیں کیا، اور نہ ہی ان کے نتائج کے کیرالہ سے باہر منتقل ہونے کا کوئی براہ راست ثبوت ہے۔ ہڑپہ، موہن جو دارو اور وادی سندھ کی تہذیب کے دیگر مقامات پر قبل از تاریخ کی کھدائی سے "عملی ریاضی" کے استعمال کے ثبوت ملے ہیں۔ وادی سندھ کی تہذیب کے لوگ ایسی اینٹیں تیار کرتے تھے جن کے طول و عرض 4:2:1 کے تناسب میں ہوتے تھے، جو اینٹوں کے ڈھانچے کے استحکام کے لیے سازگار سمجھی جاتی تھیں۔ انہوں نے تناسب کی بنیاد پر وزن کا ایک معیاری نظام استعمال کیا: 1/20، 1/10، 1/5، 1/2، 1، 2، 5، 10، 20، 50، 100، 200، اور 500، جس میں یونٹ کا وزن تقریبا 28 گرام کے برابر ہے (اور تقریبا انگریزی اونس یا یونانی یونشیا کے برابر ہے)۔ انہوں نے باقاعدہ ہندسی شکلوں میں بڑے پیمانے پر وزن پیدا کیا، جس میں ہیکساہیڈرا، بیرل، شنک اور سلنڈر شامل تھے، جس سے بنیادی جیومیٹری کے علم کا مظاہرہ ہوتا ہے۔ سندھ تہذیب کے باشندوں نے بھی لمبائی کی پیمائش کو اعلی درجے کی درستگی تک معیاری بنانے کی کوشش کی۔ انہوں نے ایک حکمران-موہنجو دارو حکمران-ڈیزائن کیا جس کی لمبائی کی اکائی (تقریبا 1.32 انچ یا 3.4 سینٹی میٹر) کو دس مساوی حصوں میں تقسیم کیا گیا تھا۔ قدیم موہن جو دارو میں تیار کی جانے والی اینٹوں کے طول و عرض اکثر لمبائی کی اس اکائی کے لازمی ضرب ہوتے تھے۔ خول سے بنی اور لوتھل (2200 قبل مسیح) اور دھولاویرا میں پائی جانے والی کھوکھلی بیلناکار اشیاء کو ہوائی جہاز میں زاویوں کی پیمائش کرنے کے ساتھ ساتھ نیویگیشن کے لیے ستاروں کی پوزیشن کا تعین کرنے کی صلاحیت کا مظاہرہ کیا گیا ہے۔ ویدک دور سمہیتا اور برہمن ویدک دور کی مذہبی تحریریں بڑی تعداد کے استعمال کا ثبوت فراہم کرتی ہیں۔ (1200-900 BCE) کے وقت تک، متن میں اتنی ہی زیادہ تعداد شامل کی جا رہی تھی۔ مثال کے طور پر، اناہوما ("فوڈ اوبلشن رائٹ") کے آخر میں منتر (مقدس تلاوت) اشومیدھا کے دوران انجام دیا جاتا ہے، اور طلوع آفتاب سے ٹھیک پہلے، اس کے دوران اور اس کے فورا بعد کہا جاتا ہے، سو سے ایک کھرب تک دس کی طاقتوں کو پکارتا ہے: جزوی حصے کا حل رگ وید کے لوگوں کو پروش سکتا (آر وی 10.90.4) میں ریاستوں کے طور پر معلوم تھا: ستپٹھ برہمن (7 ویں صدی قبل مسیح) میں رسمی ہندسی تعمیرات کے قوانین شامل ہیں جو سلبا ستروں سے ملتے جلتے ہیں۔ شولبا ستراس (لفظی طور پر، ویدک سنسکرت میں "چارڈز کے اقوال") (c. 700-400 BCE) قربانی کی آگ کی قربان گاہوں کی تعمیر کے لیے قوانین کی فہرست دیتے ہیں۔ شولبا ستروں میں زیر غور زیادہ تر ریاضیاتی مسائل "ایک واحد مذہبی ضرورت" سے نکلتے ہیں، یعنی آگ کی قربان گاہیں تعمیر کرنا جن کی شکلیں مختلف ہوتی ہیں لیکن وہ ایک ہی علاقے پر قابض ہوتی ہیں۔ قربان گاہوں کو جلی ہوئی اینٹوں کی پانچ تہوں سے تعمیر کرنے کی ضرورت تھی، اس مزید شرط کے ساتھ کہ ہر پرت 200 اینٹوں پر مشتمل ہو اور کسی بھی دو ملحقہ تہوں میں اینٹوں کے یکساں انتظامات نہ ہوں۔ حیاشی کے مطابق، شولبا ستراس میں "دنیا میں پایتھاگورین نظریہ کا قدیم ترین موجودہ زبانی اظہار موجود ہے، حالانکہ یہ پرانے بابلیوں کو پہلے ہی معلوم تھا"۔ ایک آئبلونگ (آئتاکار) کی ڈائیگنل رسی () دونوں پیدا کرتی ہے جو فلینک (پارشومانی) اور افقی () <رسیاں> الگ الگ پیدا کرتی ہیں۔ چونکہ بیان ایک سوتر ہے، اس لیے اسے لازمی طور پر دبایا جاتا ہے اور رسیاں جو پیدا کرتی ہیں اس کی وضاحت نہیں کی جاتی ہے، لیکن سیاق و سباق واضح طور پر ان کی لمبائی پر بنائے گئے مربع علاقوں کو ظاہر کرتا ہے، اور استاد نے طالب علم کو اس کی وضاحت کی ہوگی۔ ان میں پایتھاگورین ٹرپل کی فہرستیں ہیں، جو ڈیوفنٹائن مساوات کے مخصوص معاملات ہیں۔ ان میں دائرے کو مربع کرنے اور "مربع کے گرد چکر لگانے" کے بارے میں بیانات بھی شامل ہیں (جو کہ پس منظر میں ہم قریب قریب جانتے ہیں)۔ بودھیانا (تقریبا 8 ویں صدی قبل مسیح) نے بودھیانا سلبا سوترا کی تشکیل کی، جو سب سے مشہور سلبا سوترا ہے، جس میں سادہ پائیتھاگورین ٹرپل کی مثالیں شامل ہیں، جیسے:،،، اور، نیز مربع کے اطراف کے لیے پائیتھاگورین تھیوریم کا ایک بیان: "رسی جو مربع کے اخترن پر پھیلی ہوئی ہے وہ اصل مربع کے سائز سے دوگنا رقبہ پیدا کرتی ہے"۔ اس میں پایتھاگورین تھیوریم (ایک مستطیل کے اطراف کے لیے) کا عمومی بیان بھی شامل ہے: "ایک مستطیل کے اخترن کی لمبائی کے ساتھ پھیلی ہوئی رسی ایک ایسا رقبہ بناتی ہے جسے عمودی اور افقی اطراف ایک ساتھ بناتے ہیں۔" بودھیان دو کے مربع جڑ کے لیے ایک اظہار دیتا ہے: اظہار پانچ اعشاریہ مقامات تک درست ہے، جس کی حقیقی قیمت 1.41421356 ہے۔ یہ اظہار ساخت میں پرانے بابل کے دور (1900-1600 BCE) سے میسوپوٹیمیا کی گولی پر پائے جانے والے اظہار سے ملتا جلتا ہے: جو جنسی نظام میں ظاہر ہوتا ہے، اور جو 5 اعشاریہ مقامات تک درست بھی ہے۔ ریاضی دان ایس جی دانی کے مطابق، 1850 قبل مسیح میں لکھی گئی بےبیلونین کونیفارم ٹیبلٹ پلمپٹن 322 میں پندرہ پائیتھاگورین ٹرپل ہیں جن میں کافی بڑی اندراجات ہیں، جن میں (13500، 12709، 18541) جو کہ ایک قدیم ٹرپل ہے، خاص طور پر اس بات کی نشاندہی کرتا ہے کہ 1850 قبل مسیح میں میسوپوٹیمیا میں اس موضوع پر نفیس تفہیم تھی۔ "چونکہ یہ تختیاں سلبسوتر دور سے کئی صدیوں پہلے کی ہیں، کچھ تین تختیوں کی سیاق و سباق کی ظاہری شکل کو مدنظر رکھتے ہوئے، یہ توقع کرنا مناسب ہے کہ ہندوستان میں بھی اسی طرح کی سمجھ ہوتی۔" دانی مزید کہتا ہے: مجموعی طور پر تین سلبا سترا بنائے گئے تھے۔ بقیہ دو، منوا سلبا سترا جو منوا (فل۔ 750-650 قبل مسیح) اور اپستمبا سلبا سوترا، جو اپستمبا (تقریبا 600 قبل مسیح) نے ترتیب دیا تھا، میں بودھیان سلبا سوترا سے ملتے جلتے نتائج موجود تھے۔ ویاکرن ویدک دور کا ایک اہم سنگ میل سنسکرت گرامر کا کام تھا، (c. 520-460 BCE)۔ ان کے گرائمر میں بولین منطق، نیل آپریٹر، اور سیاق و سباق سے پاک گرائمرز کا ابتدائی استعمال شامل ہے، اور اس میں بیکس-نور فارم (تفصیل پروگرامنگ زبانوں میں استعمال ہوتا ہے) کا پیش خیمہ شامل ہے۔ پنگلا (300 قبل مسیح-200 قبل مسیح) ویدک دور کے بعد کے اسکالرز میں جنہوں نے ریاضی میں اہم کردار ادا کیا، سب سے زیادہ قابل ذکر پنگلا (پنگلا) (فل۔ 300-200 قبل مسیح)، ایک میوزک تھیوریسٹ جس نے چنڈاس شاستر (چنڈاس سوترا بھی) تحریر کیا، جو پروسوڈی پر سنسکرت کا مقالہ ہے۔ اس بات کا ثبوت موجود ہے کہ سلیبک امتزاج کی گنتی پر اپنے کام میں پنگالا نے پاسکل کے مثلث اور بائنومیل گتانک دونوں پر ٹھوکر کھائی، حالانکہ اسے خود بائنومیل تھیوریم کا علم نہیں تھا۔ پنگالا کے کام میں فبونیکی نمبروں (جسے ماترمیرو کہا جاتا ہے) کے بنیادی خیالات بھی شامل ہیں۔ اگرچہ چندہ سوتر مکمل طور پر زندہ نہیں رہا ہے، لیکن اس پر 10 ویں صدی کی ایک تفسیر ہلائدھ نے کی ہے۔ حلودھ، جو پاسکل مثلث کو میرو-پرستر (لفظی طور پر "مارو پہاڑ کی سیڑھی") کے طور پر حوالہ دیتے ہیں، کا کہنا ہے کہ: متن یہ بھی اشارہ کرتا ہے کہ پنگل مشترکہ شناخت سے واقف تھا: کاٹیان کاٹیان (تقریبا تیسری صدی قبل مسیح) ویدک ریاضی دانوں میں سے آخری ہونے کی وجہ سے قابل ذکر ہے۔ انہوں نے کٹیانا سلبا سترا لکھی، جس میں بہت زیادہ جیومیٹری پیش کی گئی، جس میں عمومی پایتھاگورین تھیوریم اور 2 درست سے پانچ اعشاریہ مقامات کے مربع جڑ کا حساب شامل ہے۔ جین ریاضی (400 قبل مسیح-200 عیسوی) اگرچہ ایک مذہب اور فلسفے کے طور پر جین مت اپنے سب سے مشہور ماہر مہاویرسوامی (چھٹی صدی قبل مسیح) سے پہلے کا ہے، لیکن ریاضیاتی موضوعات پر زیادہ تر جین متون چھٹی صدی قبل مسیح کے بعد لکھے گئے تھے۔ جین ریاضی دان تاریخی طور پر ویدک دور کی ریاضی اور "کلاسیکی دور" کے درمیان اہم روابط کے طور پر اہم ہیں۔ جین ریاضی دانوں کا ایک اہم تاریخی تعاون ہندوستانی ریاضی کو اس کی مذہبی اور رسمی رکاوٹوں سے آزاد کرنے میں ہے۔ خاص طور پر، بہت بڑی تعداد اور لامحدود کی گنتی کے ساتھ ان کی دلچسپی نے انہیں اعداد کو تین زمروں میں درجہ بندی کرنے پر مجبور کیا: قابل شمار، بے شمار اور لامحدود۔ انفینٹی کے سادہ تصور سے مطمئن نہیں، ان کی تحریریں انفینٹی کی پانچ مختلف اقسام کی وضاحت کرتی ہیں: ایک سمت میں انفینٹ، دو سمتوں میں انفینٹ، رقبے میں انفینٹ، ہر جگہ انفینٹ، اور ہمیشہ کے لیے انفینٹ۔ اس کے علاوہ، جین ریاضی دانوں نے مربع اور کیوب جیسے اعداد کی سادہ طاقتوں (اور متغیرات) کے لیے اشارے وضع کیے، جس نے انہیں سادہ الجبرائی مساوات (بیجگنیتا سمیکرن) کی وضاحت کرنے کے قابل بنایا۔ جین ریاضی دانوں نے بظاہر سب سے پہلے صفر کا حوالہ دینے کے لیے شونیا (سنسکرت میں لفظی طور پر کالعدم) لفظ استعمال کیا۔ ایک ہزار سال سے زیادہ عرصے کے بعد، ہندوستان سے یورپ تک ترجمے اور نقل حرفی کے ایک مشکل سفر کے بعد ان کی اپیل انگریزی لفظ "صفر" بن گئی۔ (زیرو: ایٹمیولوجی دیکھیں۔) سوریہ پرجناپتی کے علاوہ، ریاضی پر اہم جین کاموں میں استھاننگ سوترا (300 قبل مسیح-200 عیسوی) ؛ انویوگدوارہ سوترا (200 قبل مسیح-100 عیسوی)، جس میں ہندوستانی ریاضی میں فیکٹوریلز کی قدیم ترین وضاحت شامل ہے ؛ اور ستکھنڈگاما (دوسری صدی عیسوی) شامل ہیں۔ اہم جین ریاضی دانوں میں بھدر بہو (وفات 298 قبل مسیح)، جو دو فلکیاتی کاموں کے مصنف تھے، بھدر بہوی-سمہیتا اور سوریہ پرجینپتی پر ایک تفسیر ؛ یاتی ورشم آچاریہ (تقریبا 176 قبل مسیح)، جنہوں نے تیلویا پنتی نامی ریاضیاتی متن تحریر کیا ؛ اور اماسوتی (تقریبا 150 قبل مسیح)، جو اگرچہ جین فلسفے اور مابعد الطبیعات پر اپنی بااثر تحریروں کے لیے مشہور تھے، انہوں نے ایک ریاضیاتی کام ترتیب دیا جسے تتوارتھادھیگاما-سوتر بھاشیا کہا جاتا ہے۔ زبانی روایت قدیم اور ابتدائی قرون وسطی کے ہندوستان کے ریاضی دان تقریبا تمام سنسکرت پنڈت ("تعلیم یافتہ آدمی") تھے، جنہیں سنسکرت زبان اور ادب میں تربیت دی گئی تھی، اور جن کے پاس "گرامر ()، تفسیر () اور منطق (نیا) میں علم کا ایک مشترکہ ذخیرہ" تھا۔ تلاوت کے ذریعے "جو سنا جاتا ہے" (سنسکرت میں شروتی) کی یادداشت نے قدیم ہندوستان میں مقدس متون کی ترسیل میں اہم کردار ادا کیا۔ یادداشت اور تلاوت کا استعمال فلسفیانہ اور ادبی کاموں کے ساتھ ساتھ رسم و رواج اور گرائمر پر مقالے بھی منتقل کرنے کے لیے کیا جاتا تھا۔ قدیم ہندوستان کے جدید اسکالرز نے "ہندوستانی پنڈتوں کی واقعی قابل ذکر کامیابیوں کو نوٹ کیا ہے جنہوں نے ہزاروں سالوں سے زبانی طور پر بہت زیادہ بڑی تحریروں کو محفوظ کیا ہے"۔ یادداشت کے انداز قدیم ہندوستانی ثقافت نے اس بات کو یقینی بنانے کے لیے بے پناہ توانائی خرچ کی تھی کہ ان متون کو نسل در نسل بے حد وفاداری کے ساتھ منتقل کیا جائے۔ مثال کے طور پر، مقدس ویدوں کو حفظ کرنے میں ایک ہی متن کی تلاوت کی گیارہ شکلیں شامل تھیں۔ متن کو بعد میں مختلف تلاوت شدہ ورژنوں کا موازنہ کرکے "پروف ریڈ" کیا گیا۔ تلاوت کی شکلوں میں (لفظی طور پر "میش ریٹیشن") شامل تھا جس میں متن کے ہر دو ملحقہ الفاظ کو پہلے ان کی اصل ترتیب میں پڑھا جاتا تھا، پھر الٹی ترتیب میں دہرایا جاتا تھا، اور آخر میں اصل ترتیب میں دہرایا جاتا تھا۔ اس طرح تلاوت آگے بڑھی: لفظ 1 لفظ 2، لفظ 2 لفظ 1، لفظ 1 لفظ 2 ؛ لفظ 2 لفظ 3، لفظ 3 لفظ 2، لفظ 2 لفظ 3 ؛۔ تلاوت کی ایک اور شکل میں، (لفظی طور پر "فلیگ ریٹیشن") این الفاظ کی ایک ترتیب کو پہلے دو اور آخری دو الفاظ کو جوڑ کر پڑھا جاتا تھا (اور حفظ کیا جاتا تھا) اور پھر اس طرح آگے بڑھتا تھا: لفظ 1 لفظ 2، لفظ این-1 لفظ این ؛ لفظ 2 لفظ 3، لفظ این-2 لفظ این-1 ؛ ؛ لفظ این-1 لفظ این، لفظ 1 لفظ 2 ؛ تلاوت کی سب سے پیچیدہ شکل، (لفظی طور پر "گھنے تلاوت")، فلیوزات کے مطابق، اس نے شکل اختیار کی: لفظ 1 لفظ 2، لفظ 2 لفظ 1، لفظ 1 لفظ 2 لفظ 3، لفظ 3 لفظ 2 لفظ 1، لفظ 1 لفظ 2 لفظ 3 ؛ لفظ 2 لفظ 3، لفظ 3 لفظ 2، لفظ 2 لفظ 3، لفظ 2 لفظ 3 لفظ 3 ریاضیاتی متون کو حفظ کرنے کے لیے بھی اسی طرح کے طریقے استعمال کیے جاتے تھے، جن کی ترسیل ویدک دور (تقریبا 500 قبل مسیح) کے اختتام تک خصوصی طور پر زبانی رہی۔ قدیم ہندوستان میں سوتر صنف کی ریاضیاتی سرگرمی مقدس ویدوں پر "طریقہ کار پر مبنی عکاسی" کے ایک حصے کے طور پر شروع ہوئی، جس نے "وید کے معاون" (7 ویں-4 ویں صدی قبل مسیح) نامی کاموں کی شکل اختیار کی۔ (صوتیات) اور چنڈاس (میٹرکس) کے استعمال سے مقدس متن کی آواز کو محفوظ رکھنے کی ضرورت ؛ (گرائمر) اور نرکت (ایٹمیولوجی) کے استعمال سے اس کے معنی کو محفوظ رکھنے کی ضرورت ؛ اور کلپا (رسم) اور (ستوتیش) کے استعمال سے صحیح وقت پر رسومات کو صحیح طریقے سے انجام دینے کی ضرورت نے اس کے چھ مضامین کو جنم دیا۔ ریاضی آخری دو مضامین، رسم و رواج اور فلکیات (جس میں ستوتیش بھی شامل تھی) کے ایک حصے کے طور پر ابھری۔ چونکہ قدیم ہندوستان میں تحریر کے استعمال سے فورا پہلے، انہوں نے خصوصی طور پر زبانی ادب میں سے آخری تشکیل دی۔ ان کا اظہار انتہائی کمپریسڈ یادداشت کی شکل میں کیا گیا تھا، سوترا (لفظی طور پر، "دھاگہ"): انتہائی مختصر پن متعدد ذرائع سے حاصل کیا گیا تھا، جس میں "قدرتی زبان کی رواداری سے بالاتر" ایلیپسس کا استعمال، طویل وضاحتی ناموں کے بجائے تکنیکی ناموں کا استعمال، صرف پہلی اور آخری اندراجات کا ذکر کرکے فہرستوں کو مختصر کرنا، اور مارکر اور متغیرات کا استعمال کرنا شامل تھا۔ سترا یہ تاثر پیدا کرتے ہیں کہ متن کے ذریعے مواصلات "پوری ہدایت کا صرف ایک حصہ تھا۔ باقی ہدایات نام نہاد گرو ششیہ پرمپرا، 'استاد (گرو) سے طالب علم (ششیہ) تک بلاتعطل جانشینی' کے ذریعے منتقل کی گئی ہوں گی، اور یہ عام لوگوں کے لیے کھلی نہیں تھی اور شاید اسے خفیہ بھی رکھا گیا تھا۔ سوتر میں حاصل ہونے والی مختصرتا کا مظاہرہ بودھیانہ شولبا سوتر (700 قبل مسیح) سے درج ذیل مثال میں کیا گیا ہے۔ ویدک دور میں گھریلو آگ کی قربان گاہ رسم کے مطابق مربع بنیاد کی ضرورت ہوتی تھی اور ہر پرت میں 21 اینٹوں کے ساتھ اینٹوں کی پانچ تہوں پر مشتمل ہوتی تھی۔ قربان گاہ کی تعمیر کا ایک طریقہ یہ تھا کہ مربع کے ایک طرف کو تار یا رسی کا استعمال کرتے ہوئے تین مساوی حصوں میں تقسیم کیا جائے، اس کے بعد متوازی (یا عمودی) طرف کو سات مساوی حصوں میں تقسیم کیا جائے، اور اس طرح مربع کو 21 ہم آہنگ مستطیلوں میں تقسیم کیا جائے۔ اس کے بعد اینٹوں کو جزو آئتاکار کی شکل میں ڈیزائن کیا گیا اور پرت بنائی گئی۔ اگلی پرت بنانے کے لیے، وہی فارمولا استعمال کیا گیا تھا، لیکن اینٹوں کو الٹا ترتیب دیا گیا تھا۔ اس کے بعد تعمیر کو مکمل کرنے کے لیے اس عمل کو مزید تین بار (متبادل ہدایات کے ساتھ) دہرایا گیا۔ بودھیانہ شولبا سترا میں، اس طریقہ کار کو درج ذیل الفاظ میں بیان کیا گیا ہے: فلیوزات کے مطابق، مذبح کی تعمیر کرنے والے عہدیدار کے پاس صرف چند اوزار اور مواد موجود ہیں: ایک تار (سنسکرت، راججو، ایف۔)، دو کھمبے (سنسکرت، شنکو، ایم۔)، اور اینٹوں کو بنانے کے لیے مٹی (سنسکرت، ایف۔)۔ خلاصہ سوتر میں حاصل کیا جاتا ہے، واضح طور پر اس بات کا ذکر نہ کرتے ہوئے کہ صفت "ٹرانسورس" کیا اہل ہے ؛ تاہم، استعمال شدہ (سنسکرت) صفت کی نسائی شکل سے، "کارڈ" کو اہل بنانے کا آسانی سے اندازہ لگایا جاتا ہے۔ اسی طرح، دوسرے جملے میں، "اینٹوں" کا واضح طور پر ذکر نہیں کیا گیا ہے، لیکن "شمال کی طرف اشارہ" کی نسائی جمع شکل سے دوبارہ اندازہ لگایا گیا ہے۔ آخر میں، پہلا سٹانزا، کبھی بھی واضح طور پر یہ نہیں کہتا ہے کہ اینٹوں کی پہلی پرت مشرق-مغرب کی سمت میں ہوتی ہے، لیکن وہ بھی دوسرے سٹانزا میں "شمال کی طرف اشارہ" کے واضح ذکر سے ظاہر ہوتا ہے ؛ کیونکہ، اگر دو تہوں میں واقفیت ایک جیسی ہوتی، تو اس کا یا تو بالکل ذکر نہیں کیا جاتا یا صرف پہلے سٹانزا میں اس کا ذکر کیا جاتا۔ یہ تمام نتائج افسر کی طرف سے بنائے جاتے ہیں کیونکہ وہ اپنی یادداشت سے فارمولہ یاد کرتا ہے۔ تحریری روایت: نصوص تفسیر ریاضی اور دیگر عین مطابق علوم کی بڑھتی ہوئی پیچیدگی کے ساتھ، تحریر اور حساب دونوں کی ضرورت تھی۔ نتیجتا، بہت سے ریاضیاتی کام مخطوطات میں لکھے جانے لگے جنہیں بعد میں نسل در نسل نقل اور دوبارہ نقل کیا گیا۔ سب سے قدیم ریاضیاتی نصوص تفسیر یہ تھی کہ اس کام پر، (499 عیسوی میں لکھا گیا)، فلکیات اور ریاضی پر ایک کام۔ اس کا ریاضیاتی حصہ 33 ستروں (آیت کی شکل میں) پر مشتمل تھا جو ریاضیاتی بیانات یا اصولوں پر مشتمل تھا، لیکن بغیر کسی ثبوت کے۔ تاہم، حیاشی کے مطابق، "اس کا لازمی مطلب یہ نہیں ہے کہ ان کے مصنفین نے انہیں ثابت نہیں کیا۔ یہ شاید نمائش کے انداز کا معاملہ تھا۔ " بھاسکر اول (600 عیسوی کے بعد) کے زمانے سے، نصوص کے تبصروں میں تیزی سے کچھ مشتقات (اپاپتی) شامل ہونے لگے۔ اس پر بھاسکر اول کی تفسیر کا ڈھانچہ مندرجہ ذیل تھا: بھاسکر اول کی تفسیر کے ذریعے آیت میں قاعدہ ('سوتر')، جس میں شامل ہے: حکمرانی کی وضاحت (مشتقات اس وقت بھی نایاب تھیں، لیکن بعد میں زیادہ عام ہو گئیں) مثال (ادیشکا) عام طور پر آیت میں۔ عددی اعداد و شمار کی ترتیب (نیاس/استھان)۔ حل کا کام کرنا (کرانا)۔ جواب کی تصدیق (، لفظی طور پر "یقین دلانا")۔ یہ 13 ویں صدی تک نایاب ہو گئے، اس وقت تک مشتقات یا ثبوتوں کی حمایت کی جا رہی تھی۔ عام طور پر، کسی بھی ریاضیاتی موضوع کے لیے، قدیم ہندوستان میں طلباء سب سے پہلے ستروں کو حفظ کرتے تھے، جو، جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، وضاحتی تفصیلات میں "جان بوجھ کر ناکافی" تھے (تاکہ ننگے ہڈیوں والے ریاضیاتی اصولوں کو واضح طور پر بیان کیا جا سکے)۔ اس کے بعد طلباء نے چاک اور ڈسٹ بورڈز (یعنی ڈسٹ بورڈز) پر لکھ کر (اور خاکے کھینچ کر) نصوص تفسیر کے موضوعات پر کام کیا۔ دھول سے ڈھکے ہوئے بورڈ)۔ مؤخر الذکر سرگرمی، جو ریاضیاتی کام کا ایک اہم حصہ تھی، بعد میں ریاضی دان-ماہر فلکیات، برہم گپتا (فل۔ 7 ویں صدی عیسوی)، فلکیاتی حسابات کو "دھول کے کام" (سنسکرت: دھولیکرمن) کے طور پر نمایاں کرنے کے لیے۔ اعداد اور اعشاریہ نمبر کا نظام یہ اچھی طرح سے جانا جاتا ہے کہ آج استعمال ہونے والا اعشاریہ جگہ کی قیمت کا نظام سب سے پہلے ہندوستان میں درج کیا گیا تھا، پھر اسلامی دنیا میں اور آخر کار یورپ میں منتقل ہوا۔ شامی بشپ سیورس سیبوخت نے ساتویں صدی عیسوی کے وسط میں اعداد کے اظہار کے لیے ہندوستانیوں کی "نو علامتوں" کے بارے میں لکھا تھا۔ تاہم، اعشاریہ جگہ کی قدر کا پہلا نظام کیسے، کب اور کہاں ایجاد ہوا اتنا واضح نہیں ہے۔ ہندوستان میں استعمال ہونے والا قدیم ترین موجودہ رسم الخط شمال مغرب کی گندھارا ثقافت میں استعمال ہونے والا رسم الخط تھا۔ خیال کیا جاتا ہے کہ یہ ارامی نسل کا ہے اور یہ چوتھی صدی قبل مسیح سے چوتھی صدی عیسوی تک استعمال میں تھا۔ تقریبا ہم عصر طور پر، ایک اور رسم الخط، برہمی رسم الخط، برصغیر کے بیشتر حصوں پر نمودار ہوا، اور بعد میں جنوبی ایشیا اور جنوب مشرقی ایشیا کے بہت سے رسم الخط کی بنیاد بن گیا۔ دونوں رسم الخط میں عددی علامتیں اور عددی نظام تھے، جو ابتدائی طور پر جگہ کی قدر کے نظام پر مبنی نہیں تھے۔ ہندوستان اور جنوب مشرقی ایشیا میں اعشاریہ جگہ کی قیمت کے اعداد کا قدیم ترین زندہ ثبوت پہلی صدی عیسوی کے وسط سے ہے۔ گجرات، ہندوستان کی ایک تانبے کی پلیٹ میں 595 عیسوی کی تاریخ کا ذکر ہے، جو اعشاریہ جگہ کی قدر کے اشارے میں لکھی گئی ہے، حالانکہ پلیٹ کی صداقت کے بارے میں کچھ شک ہے۔ انڈونیشیا اور کمبوڈیا میں جہاں ہندوستانی ثقافتی اثر کافی تھا، پتھر کے نوشتہ جات میں 683 عیسوی کے سالوں کو ریکارڈ کرنے والے اعشاری اعداد بھی ملے ہیں۔ متن کے پرانے ذرائع موجود ہیں، حالانکہ ان متون کی موجودہ مخطوطات کی کاپیاں بہت بعد کی تاریخوں کی ہیں۔ غالبا اس طرح کا سب سے قدیم ماخذ بدھ مت کے فلسفی واسومترا کا کام ہے جس کی تاریخ غالبا پہلی صدی عیسوی ہے۔ تاجروں کے گنتی کے گڑھوں پر بحث کرتے ہوئے، واسومترا تبصرہ کرتے ہیں، "جب [وہی] مٹی کا گنتی کا ٹکڑا اکائیوں کی جگہ ہوتا ہے، تو اسے ایک کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، جب کہ سینکڑوں میں، ایک سو"۔ اگرچہ اس طرح کے حوالہ جات سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ ان کے قارئین کو اعشاریہ جگہ کی قدر کی نمائندگی کا علم تھا، تاہم "ان کے حوالہ جات کی مختصر اور ان کی تاریخوں کی ابہام، اس تصور کی ترقی کی تاریخ کو ٹھوس طور پر قائم نہیں کرتی ہے"۔ تیسری اعشاری نمائندگی کو آیت کی ترکیب کی تکنیک میں استعمال کیا گیا تھا، جسے بعد میں بھوٹا-سنکھیا (لفظی طور پر، "آبجیکٹ نمبرز") کا نام دیا گیا جو تکنیکی کتابوں کے ابتدائی سنسکرت مصنفین استعمال کرتے تھے۔ چونکہ بہت سے ابتدائی تکنیکی کام آیت میں لکھے گئے تھے، اس لیے اعداد کی نمائندگی اکثر قدرتی یا مذہبی دنیا میں ایسی اشیاء کے ذریعے کی جاتی تھی جو ان سے مطابقت رکھتی تھیں۔ اس سے ہر نمبر کے لیے کئی سے ایک خط و کتابت کی اجازت ملتی تھی اور آیت کی ترکیب آسان ہو جاتی تھی۔ پلوفکر کے مطابق، مثال کے طور پر نمبر 4 کی نمائندگی لفظ "وید" (چونکہ ان میں سے چار مذہبی تحریریں تھیں)، نمبر 32 کی نمائندگی لفظ "دانت" (چونکہ ایک مکمل سیٹ 32 پر مشتمل ہوتا ہے)، اور نمبر 1 کی نمائندگی "چاند" (چونکہ صرف ایک چاند ہے) سے کی جا سکتی ہے۔ لہذا، وید/دانت/چاند اعشاریہ عدد 1324 کے مطابق ہوگا، کیونکہ اعداد کا رواج دائیں سے بائیں ان کے ہندسوں کی گنتی کرنا تھا۔ آبجیکٹ نمبروں کو استعمال کرنے والا سب سے قدیم حوالہ 269 عیسوی کا سنسکرت متن، یاوناجاتاکا (لفظی طور پر "یونانی کنڈلی") ہے، جو اس سے پہلے (150 عیسوی) ہندوستانی نصوص کی موافقت ہے جو ہیلینسٹک ستوتیش کے گمشدہ کام کی موافقت ہے۔ اس طرح کے استعمال سے ایسا لگتا ہے کہ تیسری صدی عیسوی کے وسط تک، اعشاریہ مقام قدر کا نظام کم از کم ہندوستان میں فلکیاتی اور ستوتیش متون کے قارئین کے لیے واقف تھا۔ یہ قیاس کیا گیا ہے کہ ہندوستانی اعشاریہ جگہ کی قیمت کا نظام پہلی صدی قبل مسیح کے وسط سے ہی چینی گنتی بورڈوں پر استعمال ہونے والی علامتوں پر مبنی تھا۔ پلوفکر کے مطابق، ان گنتی بورڈوں میں، ہندوستانی گنتی کے گڑھوں کی طرح، اعشاریہ جگہ کی قیمت کا ڈھانچہ تھا۔ ہندوستانیوں نے چینی بدھ مت کے زائرین یا دیگر مسافروں سے ان اعشاریہ جگہ کی قیمت "چھڑی کے اعداد" کے بارے میں اچھی طرح سے سیکھا ہوگا، یا انہوں نے اپنے پہلے کے غیر جگہ کی قیمت کے نظام سے آزادانہ طور پر تصور تیار کیا ہوگا۔ کسی بھی نتیجے کی تصدیق کرنے کے لیے کوئی دستاویزی ثبوت موجود نہیں ہے۔ باکھشالی مخطوطات ہندوستان کا سب سے قدیم موجودہ ریاضیاتی مخطوطات باکھشالی مخطوطات ہیں، جو برچ کی چھال کا ایک مخطوط ہے جو شراڈا رسم الخط میں "بدھ ہائبرڈ سنسکرت" میں لکھا گیا ہے، جو 8 ویں اور 12 ویں صدی عیسوی کے درمیان برصغیر پاک و ہند کے شمال مغربی علاقے میں استعمال ہوا تھا۔ اس مخطوطے کو 1881 میں ایک کسان نے پشاور (اس وقت برطانوی ہندوستان میں اور اب پاکستان میں) کے قریب بخشالی گاؤں میں پتھر کے باڑے میں کھدائی کے دوران دریافت کیا تھا۔ نامعلوم تصنیف اور اب آکسفورڈ یونیورسٹی میں بوڈلین لائبریری میں محفوظ، اس مخطوطے کی تاریخ حال ہی میں 224 عیسوی-383 عیسوی بتائی گئی ہے۔ بچ جانے والے مخطوطے میں ستر پتے ہیں، جن میں سے کچھ ٹکڑوں میں ہیں۔ اس کا ریاضیاتی مواد قواعد اور مثالوں پر مشتمل ہے، جو نظم میں لکھے گئے ہیں، ساتھ ہی نصوص کے تبصرے بھی شامل ہیں، جن میں مثالوں کے حل شامل ہیں۔ زیر بحث موضوعات میں ریاضی (فریکشن، مربع جڑیں، منافع اور نقصان، سادہ سود، تین کی حکمرانی، اور ریگولا فالسی) اور الجبرا (بیک وقت لکیری مساوات اور کواڈریٹک مساوات)، اور ریاضی کی پیش رفت شامل ہیں۔ اس کے علاوہ، مٹھی بھر ہندسی مسائل ہیں (بشمول بے قاعدہ ٹھوسوں کی مقدار کے بارے میں مسائل)۔ بخشالی مخطوطات میں "ایک اعشاریہ جگہ کی قدر کا نظام بھی استعمال کیا گیا ہے جس میں صفر کے لیے ایک ڈاٹ ہے"۔ اس کے بہت سے مسائل ایک زمرے کے ہیں جنہیں 'مساوات کے مسائل' کے نام سے جانا جاتا ہے جو لکیری مساوات کے نظام کی طرف لے جاتے ہیں۔ فریگمنٹ III-5-3v کی ایک مثال درج ذیل ہے: مثال کے ساتھ موجود نصوص تفسیر اسے چار نامعلوم میں تین (کم طے شدہ) مساوات میں تبدیل کر کے اور یہ فرض کر کے کہ قیمتیں تمام انٹیجر ہیں، مسئلے کو حل کرتی ہے۔ 2017 میں، مخطوطات کے تین نمونے ریڈیو کاربن ڈیٹنگ کے ذریعے تین مختلف صدیوں سے دکھائے گئے تھے: 224 سے 383 عیسوی، 680-779 AD، اور 885-993 AD۔ یہ معلوم نہیں ہے کہ مختلف صدیوں کے ٹکڑوں کو ایک ساتھ کیسے پیک کیا گیا۔ کلاسیکی دور (400-1600) اس دور کو اکثر ہندوستانی ریاضی کا سنہری دور کہا جاتا ہے۔ اس دور میں ریاضی دانوں جیسے آریہ بھٹ، وراہامیہر، برہم گپتا، بھاسکر اول، مہاویر، بھاسکر دوم، سنگمگرام کے مادھو اور نیلکنتھا سومیاجی نے ریاضی کی بہت سی شاخوں کو وسیع تر اور واضح شکل دی۔ ان کا تعاون ایشیا، مشرق وسطی اور آخر کار یورپ تک پھیل گیا۔ ویدک ریاضی کے برعکس، ان کے کاموں میں فلکیاتی اور ریاضیاتی دونوں کی شراکت شامل تھی۔ درحقیقت، اس دور کی ریاضی کو 'فلکیاتی سائنس' (جیوتھیشستر) میں شامل کیا گیا تھا اور یہ تین ذیلی مضامین پر مشتمل تھی: ریاضیاتی علوم (گنیتا یا تانتر)، کنڈلی علم فلکیات (ہورا یا جاٹکا) اور الوہیت (سامھتا)۔ یہ سہ فریقی تقسیم وراہمہیرہ کی چھٹی صدی کی تالیف-پنکاسدھانتیکا (لفظی طور پر پنکا، پانچ، سدھانتا، "غور و فکر کا اختتام"، تاریخ 575 عیسوی) میں نظر آتی ہے-اس سے پہلے کی پانچ تصانیف، سوریہ سدھانتا، روماکا سدھانتا، پالیسا سدھانتا، وششٹھ سدھانتا اور پائیتماہا سدھانتا، جو میسوپوٹیمیا، یونانی، مصری، رومن اور ہندوستانی فلکیات کے ابتدائی کاموں کی موافقت تھیں۔ جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا ہے، اہم تحریریں سنسکرت کی آیتوں میں لکھی گئی تھیں، اور اس کے بعد نصوص کے تبصرے تھے۔ چوتھی سے چھٹی صدی تک سوریہ سدھانت اگرچہ اس کی تصنیف نامعلوم ہے، لیکن سوریہ سدھانت (تقریبا 400) میں جدید مثلثی کی جڑیں موجود ہیں۔ چونکہ اس میں غیر ملکی نژاد بہت سے الفاظ موجود ہیں، کچھ مصنفین کا خیال ہے کہ یہ میسوپوٹیمیا اور یونان کے زیر اثر لکھا گیا تھا۔ یہ قدیم متن پہلی بار درج ذیل کو مثلثی افعال کے طور پر استعمال کرتا ہے: سائن (جیا)۔ کوسین (کوجیا)۔ الٹا سائن (اوٹکرم جیا)۔ بعد میں آریہ بھٹ جیسے ہندوستانی ریاضی دانوں نے اس متن کا حوالہ دیا، جبکہ بعد میں عربی اور لاطینی ترجمے یورپ اور مشرق وسطی میں بہت بااثر رہے۔ چھڑی کیلنڈر یہ چھڑی کیلنڈر (594) جدید جگہ کی قیمت والے ہندو-عربی عددی نظام کا ابتدائی استعمال پر مشتمل ہے جو اب عالمی سطح پر استعمال ہوتا ہے۔ آریہ بھٹ اول آریہ بھٹ (476-550) نے آریہ بھٹیا لکھی۔ انہوں نے 332 شلوکوں میں ریاضی کے اہم بنیادی اصولوں کو بیان کیا۔ مقالہ میں شامل ہیں: کواڈریٹک مساوات ٹرگونومیٹری π کی قدر، 4 اعشاریہ مقامات پر درست ہے۔ آریہ بھٹ نے آریہ سدھانت بھی لکھی، جو اب ختم ہو چکی ہے۔ آریہ بھٹ کی شراکتوں میں شامل ہیں: مثلثی: (یہ بھی دیکھیں: آریہ بھٹ کی سائن ٹیبل) مثلثی افعال کا تعارف کرایا۔ سائن (جیا) کو نصف زاویے اور نصف راگ کے درمیان جدید تعلق کے طور پر بیان کیا۔ کوسائن (کوجیا) کی وضاحت کی۔ ورسین (اتکرم-جیا) کی وضاحت کی۔ الٹا سائن (اوٹکرم جیا) کی وضاحت کی۔ ان کی لگ بھگ عددی اقدار کا حساب لگانے کے طریقے بتائے۔ 0° سے 90° تک 3.75° وقفوں میں، درستگی کے 4 اعشاریہ مقامات تک، سائن، کوسین اور ورسین اقدار کی ابتدائی میزیں پر مشتمل ہے۔ مثلثی فارمولا sin (n + 1) x − sin nx = sin nx − sin (n − 1) x − (1/225) sin nx پر مشتمل ہے۔ کروی مثلثیات۔ ریاضی: مسلسل فریکشن۔ الجبرا: بیک وقت کواڈریٹک مساوات کے حل۔ جدید طریقہ کار کے مساوی طریقہ کار کے ذریعے لکیری مساوات کے مکمل تعداد کے حل۔ غیر متعین لکیری مساوات کا عمومی حل۔ ریاضیاتی فلکیات: فلکیاتی مستقلات کے لیے درست حساب، جیسے: سورج گرہن۔ چاند گرہن۔ کیوب کے مجموعے کا فارمولا، جو انٹیگرل کیلکولس کی ترقی میں ایک اہم قدم تھا۔ وراہامیہرا وراہامیہرا (505-587) نے پنچ سدھانت (پانچ فلکیاتی اصول) تیار کیے۔ انہوں نے مثلثیات میں اہم تعاون کیا، بشمول درستگی کے 4 اعشاریہ مقامات پر سائن اور کوسین ٹیبلز اور سائن اور کوسین افعال سے متعلق درج ذیل فارمولے: ساتویں اور آٹھویں صدی ساتویں صدی میں، ہندوستانی ریاضی میں دو الگ الگ شعبوں، ریاضی (جس میں پیمائش بھی شامل تھی) اور الجبرا کا ابھرنا شروع ہوا۔ ان دونوں شعبوں کو بعد میں (لفظی طور پر "الگورتھم کی ریاضی") اور (لفظی طور پر) کہا جائے گا۔ "بیجوں کی ریاضی"، "بیجوں" کے ساتھ-پودوں کے بیجوں کی طرح-اس معاملے میں، مساوات کے حل پیدا کرنے کی صلاحیت کے ساتھ نامعلوم افراد کی نمائندگی کرتی ہے)۔ برہم گپتا نے اپنے فلکیاتی کام (628 عیسوی) میں ان شعبوں کے لیے وقف دو ابواب (12 اور 18) شامل کیے۔ باب 12، جس میں سنسکرت کی 66 آیات ہیں، کو دو حصوں میں تقسیم کیا گیا تھا: "بنیادی کارروائیاں" (بشمول مکعب جڑیں، فریکشن، تناسب اور تناسب، اور بارٹر) اور "عملی ریاضی" (بشمول مرکب، ریاضیاتی سلسلہ، سطحی اعداد و شمار، اینٹوں کا ڈھیر لگانا، لکڑی کا کاٹنا، اور اناج کا ڈھیر لگانا)۔ مؤخر الذکر حصے میں، اس نے ایک چکور چوطرفہ کے ترازو پر اپنا مشہور نظریہ بیان کیا: برہم گپتا کا نظریہ: اگر ایک چکور چوطرفہ میں ترازو ہوتے ہیں جو ایک دوسرے کے لیے عمودی ہوتے ہیں، تو ترازو کے چوراہوں کے کسی بھی طرف کے چوراہے کے نقطہ سے کھینچی گئی عمودی لکیر ہمیشہ مخالف سمت کو دو حصوں میں تقسیم کرتی ہے۔ باب 12 میں چکور چوطرفہ (ہیرون کے فارمولے کی عمومی شکل) کے رقبے کے لیے ایک فارمولہ بھی شامل تھا، ساتھ ہی عقلی مثلثوں کی مکمل وضاحت بھی شامل تھی۔ عقلی اطراف اور عقلی علاقوں کے ساتھ مثلث)۔ برہم گپتا کا فارمولا: a، b، c، d لمبائی کے اطراف کے ساتھ ایک چکور چوطرفہ کا رقبہ، A، بالترتیب، اس جگہ سے دیا جاتا ہے جہاں s، سیمی پیری میٹر، عقلی مثلثوں پر برہم گپتا کے نظریہ کے ذریعہ دیا گیا ہے: عقلی اطراف اور عقلی رقبے والا مثلث اس شکل کا ہوتا ہے: کچھ عقلی اعداد کے لیے اور۔ باب 18 میں 103 سنسکرت آیات شامل ہیں جو صفر اور منفی اعداد پر مشتمل ریاضیاتی کارروائیوں کے اصولوں سے شروع ہوتی ہیں اور اسے موضوع کا پہلا منظم علاج سمجھا جاتا ہے۔ قواعد (جن میں شامل اور) سب درست تھے، ایک رعایت کے ساتھ: بعد میں باب میں، اس نے کواڈریٹک مساوات کا پہلا واضح (اگرچہ ابھی تک مکمل طور پر عام نہیں) حل دیا: یہ اس کے مساوی ہے: نیز باب 18 میں، برہم گپتا پیل کی مساوات کے (لازمی) حل تلاش کرنے میں پیش رفت کرنے میں کامیاب رہا، جہاں ایک غیر مربع عدد ہے۔ اس نے مندرجہ ذیل شناخت کو دریافت کرکے ایسا کیا: برہم گپتا کی شناخت: جو ڈیوفنٹس کی سابقہ شناخت کی عمومی شکل تھی: برہم گپتا نے اپنی شناخت کو مندرجہ ذیل لیما کو ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا: لیما (برہم گپتا): اگر اس کا حل ہے اور، اس کا حل ہے، تو: اس کا حل ہے۔ اس نے اس لیما کو پیل کی مساوات کے لامحدود (لازمی) حل پیدا کرنے کے لیے استعمال کیا، ایک حل دیا، اور مندرجہ ذیل نظریہ بیان کیا: نظریہ (برہم گپتا): اگر مساوات میں پیل کی مساوات میں سے کسی ایک کے لیے عدد حل ہے: تو اس کا بھی عدد حل ہے۔ برہم گپتا نے اصل میں نظریہ کو ثابت نہیں کیا، بلکہ اپنے طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے مثالیں تیار کیں۔ اس نے جو پہلی مثال پیش کی وہ تھی: مثال (برہم گپتا): ایسے عدد تلاش کریں کہ: اپنی تفسیر میں، برہم گپتا نے مزید کہا، "جو شخص ایک سال کے اندر اس مسئلے کو حل کرتا ہے وہ ریاضی دان ہوتا ہے۔" اس نے جو حل فراہم کیا وہ یہ تھا: بھاسکر اول بھاسکر اول (c. 600-680) نے اپنی کتابوں مہابھاسکریا، آریہ بھتیہ-بھشیا اور لگھو بھاسکریا کے عنوان سے آریہ بھٹ کے کام کو وسعت دی۔ انہوں نے پیش کیا: غیر متعین مساوات کے حل۔ سائن فنکشن کا ایک عقلی تخمینہ۔ ٹیبل کے استعمال کے بغیر ایکیوٹ اینگل کے سائن کا حساب لگانے کے لیے ایک فارمولا، جو دو اعشاریہ مقامات پر درست ہے۔ نویں سے بارہویں صدی تک ویرسینا ویرسینا (آٹھویں صدی) کرناٹک کے مانیاکھیٹا کے راشٹرکوٹ بادشاہ اموگھورشا کے دربار میں ایک جین ریاضی دان تھے۔ انہوں نے جین ریاضی پر ایک تفسیر، دھوالا لکھی، جو: اردھچیڈا کے تصور سے متعلق ہے، ایک عدد کو کتنی بار آدھا کیا جا سکتا ہے، اور اس عمل سے متعلق مختلف اصولوں کی فہرست دیتا ہے۔ یہ بائنری لوگرتھم کے ساتھ موافق ہوتا ہے جب دو کی طاقتوں پر لاگو ہوتا ہے، لیکن دوسرے نمبروں پر مختلف ہوتا ہے، جو 2-ایڈک آرڈر سے زیادہ ملتا جلتا ہے۔ بیس 3 (ٹریکاچیڈا) اور بیس 4 (کیٹورتھچیڈا) کے لیے ایک ہی تصور۔ ویرسینا نے یہ بھی بتایا: ایک قسم کے لامحدود طریقہ کار کے ذریعے فرسٹم کے حجم کا مشتق۔ یہ خیال کیا جاتا ہے کہ دھول میں زیادہ تر ریاضیاتی مواد پچھلے مصنفین سے منسوب کیا جا سکتا ہے، خاص طور پر کنڈکنڈ، شماکنڈ، تمبولورا، سامنت بھدر اور بپا دیو اور تاریخ جنہوں نے 200 اور 600 عیسوی کے درمیان لکھا تھا۔ کرناٹک سے تعلق رکھنے والے مہاویر مہاویر آچاریہ (c. 800-870)، جو کہ قابل ذکر جین ریاضی دانوں میں سے آخری تھے، 9 ویں صدی میں رہتے تھے اور انہیں راشٹرکوٹ بادشاہ اموگھورشا کی سرپرستی حاصل تھی۔ انہوں نے عددی ریاضی پر گنیت سار سنگرھا کے عنوان سے ایک کتاب لکھی، اور ریاضیاتی موضوعات کی ایک وسیع رینج کے بارے میں مقالے بھی لکھے۔ ان میں ریاضی شامل ہے: صفر مربع کیوب مربع جڑیں، مکعب جڑیں، اور ان طیاروں کی جیومیٹری سے آگے پھیلی ہوئی سیریز ٹھوس جیومیٹری ایک دائرے کے اندر ایک ایلیپس اور کواڈریلیٹرل کے رقبے کا حساب لگانے کے لیے اخذ کردہ شیڈوز فارمولوں کی کاسٹنگ سے متعلق مسائل۔ مہاویر نے یہ بھی کہا کہ منفی عدد کا مربع جڑ موجود نہیں ہے۔ اس سلسلے کا مجموعہ دیا جس کی اصطلاحات ریاضی کی ترقی کے مربع ہیں، اور ایک الپس کے رقبے اور دائرے کے لیے تجرباتی اصول دیے۔ حل شدہ کیوبک مساوات۔ حل شدہ چوتھائی مساوات۔ کچھ کوئنٹک مساوات اور اعلی درجے کے کثیر الجہتی کو حل کیا۔ اعلی ترتیب کی کثیر الجہتی مساوات کے عمومی حل دیے: غیر متعین کواڈریٹک مساوات کو حل کیا۔ غیر متعین کیوبک مساوات کو حل کیا۔ غیر متعین اعلی ترتیب کی مساوات کو حل کیا۔ بنگال میں رہنے والی شریدھرا شریدھرا (c. 870-930) نے نو شتیکا، تری شتیکا اور پتی گنیتا کے عنوان سے کتابیں لکھیں۔ اس نے دیا: دائرے کے حجم کو تلاش کرنے کے لیے ایک اچھا اصول۔ کواڈریٹک مساوات کو حل کرنے کا فارمولا۔ پتی گنیتا ریاضی اور پیمائش پر ایک کام ہے۔ یہ مختلف کارروائیوں سے متعلق ہے، بشمول: مربع اور مکعب جڑوں کو نکالنے والی ابتدائی کارروائیاں۔ فریکشنز۔ صفر پر مشتمل کارروائیوں کے لیے آٹھ اصول دیے گئے ہیں۔ مختلف ریاضی اور ہندسی سیریز کے مجموعے کے طریقے، جو بعد کے کاموں میں معیاری حوالہ جات بننے والے تھے۔ منجولا آریہ بھٹ کی مساوات کی وضاحت 10 ویں صدی میں منجولا (منجلا بھی) نے کی تھی، جس نے محسوس کیا کہ اس اظہار کا اظہار تقریبا اس طرح کیا جا سکتا ہے کہ اس کی وضاحت اس کے بعد کے پیشرو بھاسکر دوم نے کی تھی جس سے سائن کا مشتق مل گیا۔ آریہ بھٹ دوم آریہ بھٹ دوم (c. 920-1000) نے شری دھارا پر ایک تفسیر، اور ایک فلکیاتی مقالہ مہا سدھانت لکھا۔ مہا سدھانت میں 18 ابواب ہیں، اور اس میں بحث کی گئی ہے: عددی ریاضی (انک گنیت)۔ الجبرہ۔ غیر متعین مساوات کے حل (کٹکا)۔ شریپتی شریپتی مشرا (1019-1066) نے 19 ابواب میں فلکیات پر ایک اہم کام سدھانت شیکھر، اور سریدھرا کے ایک کام پر مبنی 125 آیات میں ایک نامکمل ریاضیاتی مقالہ گنت تلکا، کتابیں لکھیں۔ انہوں نے بنیادی طور پر: ترتیبات اور امتزاج پر کام کیا۔ بیک وقت غیر متعین لکیری مساوات کا عمومی حل۔ وہ دھکوٹی ڈاکارنا کے مصنف بھی تھے، جو کہ سورج گرہن پر بیس آیات پر مشتمل ہے۔ چاند گرہن۔ دھرومانسا 105 آیات پر مشتمل ایک کام ہے: سیاروں کے طول البلد کا حساب لگانا۔ سیاروں کی منتقلی۔ نیمی چندر سدھانت چکرورتی (1100 عیسوی) نے ایک ریاضیاتی مقالہ لکھا جس کا عنوان گومی مٹ سار تھا۔ بھاسکر دوم بھاسکر دوم (1114-1185) ایک ریاضی دان-ماہر فلکیات تھے جنہوں نے کئی اہم مقالے لکھے، جن میں سدھانت شیرومانی، لیلاوتی، بیجگنیتا، گولا ادھایا، گرہا گنیتم اور کرن کوتوہل شامل ہیں۔ ان کی متعدد شراکتیں بعد میں مشرق وسطی اور یورپ میں منتقل کی گئیں۔ ان کی شراکتوں میں شامل ہیں: ریاضی: دلچسپی کا حساب ریاضیاتی اور ہندسی پیش رفت طیارہ کی جیومیٹری ٹھوس جیومیٹری امتزاج کے گنومون حلوں کے سائے نے صفر کے لامحدود ہونے سے تقسیم کا ثبوت دیا۔ الجبرہ: دو مربع جڑوں والے مثبت عدد کی پہچان۔ سرڈز۔ کئی نامعلوم مصنوعات کے ساتھ آپریشن۔ کے حل: کواڈریٹک مساوات۔ کیوبک مساوات۔ چوتھائی مساوات۔ ایک سے زیادہ نامعلوم کے ساتھ مساوات۔ ایک سے زیادہ نامعلوم کے ساتھ کواڈریٹک مساوات۔ چکروالا طریقہ استعمال کرتے ہوئے پیل کی مساوات کی عمومی شکل۔ چکروالا طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے عمومی غیر متعین کواڈریٹک مساوات۔ غیر متعین کیوبک مساوات۔ غیر متعین چوتھائی مساوات۔ غیر متعین اعلی ترتیب کی کثیر الجہتی مساوات۔ جیومیٹری: پایتھاگورین تھیوریم کا ثبوت دیا۔ حساب: تفریق کے ابتدائی تصور نے تفریق گتانک کو دریافت کیا۔ رولز تھیوریم کی ابتدائی شکل بیان کی گئی، جو اوسط قدر تھیوریم کا ایک خاص معاملہ ہے (کیلکولس اور تجزیہ کے سب سے اہم نظریات میں سے ایک)۔ سائن فنکشن کے تفریق کو اخذ کیا حالانکہ مشتق کے تصور کو دھوکہ نہیں دیا۔ حساب شدہ π، پانچ اعشاریہ مقامات پر درست ہے۔ سورج کے گرد زمین کے گردش کی لمبائی کا حساب 9 اعشاریہ مقامات پر لگایا۔ مثلثیات: کروی مثلثیات کی ترقی مثلثیاتی فارمولے: کیرالہ ریاضی (1300-1600) کیرالہ فلکیات اور ریاضی کے اسکول کی بنیاد کیرالہ، جنوبی ہندوستان میں سنگمگرام کے مادھو نے رکھی تھی اور اس کے اراکین میں پرمیشور، نیلکانتا سومیاجی، جیشتا دیو، اچیوتا پشارتی، میلپتور نارائن بھٹاتھیری اور اچیوتا پنیکر شامل تھے۔ یہ 14 ویں اور 16 ویں صدی کے درمیان پروان چڑھا اور ایسا لگتا ہے کہ اسکول کی اصل دریافتیں نارائن بھٹاتھیری (1559-1632) کے ساتھ ختم ہوئیں۔ فلکیاتی مسائل کو حل کرنے کی کوشش میں، کیرالہ اسکول کے ماہرین فلکیات نے آزادانہ طور پر ریاضی کے کئی اہم تصورات تخلیق کیے۔ سب سے اہم نتائج، مثلثی افعال کے لیے سلسلہ وار توسیع، نیل کانت کی ایک کتاب تنترسنگرہ میں سنسکرت کی آیت میں دی گئی تھی اور اس کام پر ایک تفسیر جسے نامعلوم تصنیف کا تنترسنگرہ وکیا کہا جاتا ہے۔ تھیوریمز کو بغیر کسی ثبوت کے بیان کیا گیا تھا، لیکن سائن، کوسین اور الٹا ٹینجینٹ کے سلسلے کے ثبوت ایک صدی بعد ملیالم میں لکھی گئی کتاب یوکتی بھاشا (c.1500-c.1610) میں فراہم کیے گئے تھے، جو جیستادیوا نے لکھی تھی۔ کیلکولس کی ان تین اہم سیریز کی توسیع کی ان کی دریافت-یورپ میں آئزک نیوٹن اور گوٹ فرائیڈ لیبنز کے ذریعہ کیلکولس تیار کرنے سے کئی صدیوں پہلے-ایک کامیابی تھی۔ تاہم، کیرالہ اسکول نے کیلکولس ایجاد نہیں کیا، کیونکہ اگرچہ وہ اہم مثلثی افعال کے لیے ٹیلر سیریز کی توسیع کو تیار کرنے میں کامیاب رہے، لیکن انہوں نے نہ تو تفریق یا انضمام کا نظریہ تیار کیا، اور نہ ہی کیلکولس کا بنیادی نظریہ۔ کیرالہ اسکول کی طرف سے حاصل کردہ نتائج میں شامل ہیں: (لامحدود) ہندسی سلسلہ: نتیجہ کا ایک نیم سخت ثبوت (نیچے "انڈکشن" تبصرہ دیکھیں): بڑے n کے لیے۔ ریاضیاتی انڈکشن کا بدیہی استعمال، تاہم، انڈکٹو مفروضہ ثبوتوں میں وضع یا استعمال نہیں کیا گیا تھا۔ sin x، cos x، اور arctan x کے لیے (ٹیلر-میکلورین) لامحدود سیریز حاصل کرنے کے لیے (جو بننے والا تھا) تفریق اور لازمی کیلکولس سے خیالات کے اطلاق۔ تنترسنگرہ واکھیا سیریز کو آیت میں دیتا ہے، جس کا ترجمہ جب ریاضیاتی اشارے میں کیا جاتا ہے، تو اسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے: جہاں، r = 1 کے لیے، سیریز ان مثلثی افعال کے لیے معیاری پاور سیریز میں گھٹ جاتی ہے، مثال کے طور پر: اور ان نتائج کا ثبوت دینے کے لیے دائرے کے آرک کی اصلاح (لمبائی کا حساب) کا استعمال۔ (لیبنز کا بعد کا طریقہ، کواڈریچر کا استعمال کرتے ہوئے، یعنی۔ دائرے کے آرک کے نیچے رقبے کا حساب، استعمال نہیں کیا گیا تھا۔) π کے لیے لیبنز فارمولا حاصل کرنے کے لیے π کی سیریز کی توسیع کا استعمال: ان کی دلچسپی کی سیریز کے محدود مجموعے کے لیے غلطی کا ایک عقلی تخمینہ۔ مثال کے طور پر، سیریز کے لیے غلطی، (n طاق، اور i = 1، 2، 3 کے لیے): ایک تیز کنورجنگ سیریز حاصل کرنے کے لیے غلطی کی اصطلاح میں ہیرا پھیری: عقلی اظہار حاصل کرنے کے لیے بہتر سیریز کا استعمال کرتے ہوئے، 104348/33215 π کے لیے نو اعشاریہ مقامات تک درست، یعنی 3.141592653۔ ان نتائج کا حساب لگانے کے لیے حد کے بدیہی تصور کا استعمال۔ کچھ مثلثی افعال کی تفریق کا ایک نیم سخت طریقہ (اوپر کی حدود پر تبصرہ دیکھیں)۔ تاہم، انہوں نے کسی فنکشن کا تصور وضع نہیں کیا، یا انہیں ایکسپونینشل یا لوگرتھمک افعال کا علم نہیں ہے۔ کیرالہ اسکول کے کام سب سے پہلے مغربی دنیا کے لیے انگریز سی ایم نے لکھے تھے۔ 1835 میں وش۔ وش کے مطابق، کیرالہ کے ریاضی دانوں نے "بہاؤ کے ایک مکمل نظام کی بنیاد رکھی تھی" اور ان کاموں میں "بہاؤ کی شکلیں اور سلسلے بہت زیادہ تھے جو بیرونی ممالک کے کسی بھی کام میں نہیں پائے جاتے تھے"۔ تاہم، وہش کے نتائج کو تقریبا مکمل طور پر نظر انداز کر دیا گیا، ایک صدی سے زیادہ عرصے بعد تک، جب سی راج گوپال اور ان کے ساتھیوں نے کیرالہ اسکول کی دریافتوں کی دوبارہ تحقیقات کی۔ ان کے کام میں یوکتی بھاشا میں ارکٹن سیریز کے ثبوتوں پر تبصرے شامل ہیں جو دو کاغذات میں دیے گئے ہیں، یوکتی بھاشا کے سائن اور کوسین سیریز کے ثبوت پر ایک تفسیر اور دو مقالے جو ارکٹن، سین اور کوسین (انگریزی ترجمہ اور تفسیر کے ساتھ) کے سلسلے کے لیے تنترسانگرہاوکھیا کی سنسکرت آیات فراہم کرتے ہیں۔ نارائن پنڈت 14 ویں صدی کے ریاضی دان ہیں جنہوں نے دو اہم ریاضیاتی کام لکھے، ایک ریاضیاتی مقالہ، گنیتا کومودی، اور ایک الجبرائی مقالہ، بجگنیتا وتمسا۔ نارائن کے بارے میں یہ بھی خیال کیا جاتا ہے کہ وہ بھاسکر دوم کی لیلاوتی کی ایک تفصیلی تفسیر کے مصنف ہیں، جس کا عنوان کرماپرادیپکا (یا کرما-پڈھتی) ہے۔ سنگمگرام کے مادھو (c. 1340-1425) کیرالہ اسکول کے بانی تھے۔ اگرچہ یہ ممکن ہے کہ اس نے 1375 اور 1475 کے درمیان کسی وقت لکھی گئی کتاب کرانا پدھتی لکھی ہو، لیکن ہم واقعی ان کے کام کے بارے میں جو کچھ جانتے ہیں وہ بعد کے اسکالرز کے کاموں سے آتا ہے۔ پرمیشور (c. 1370-1460) نے بھاسکر اول، آریہ بھٹ اور بھاسکر دوم کے کاموں پر تبصرے لکھے۔ بھاسکر دوم کی لیلاوتی پر ایک تفسیر، ان کی لیلاوتی بھسیہ، ان کی ایک اہم دریافت پر مشتمل ہے: اوسط قدر تھیوریم کا ایک ورژن۔ نیلکنتھا سومیاجی (1444-1544) نے تنتر سمگرہ کی تشکیل کی (جس نے بعد میں ایک گمنام تفسیر تنترسنگرہ ویاکھیا کو 'جنم' دیا اور 1501 میں لکھی گئی یوکٹیڈی پائیکا کے نام سے ایک مزید تفسیر)۔ انہوں نے مادھو کے تعاون کی وضاحت اور توسیع کی۔ چتربھنو (c. 1530) کیرالہ سے تعلق رکھنے والا 16 ویں صدی کا ریاضی دان تھا جس نے دو نامعلوم میں بیک وقت دو الجبرائی مساوات کے 21 قسم کے نظاموں کے انٹیجر حل دیے۔ یہ اقسام مندرجہ ذیل سات شکلوں کے مساوات کے تمام ممکنہ جوڑے ہیں: ہر معاملے کے لیے، چتربھنو نے اپنی حکمرانی کی وضاحت اور جواز کے ساتھ ساتھ ایک مثال بھی دی۔ ان کی کچھ وضاحتیں الجبرائی ہیں، جبکہ دیگر ہندسی ہیں۔ جیستادیوا (c. 1500-1575) کیرالہ اسکول کا ایک اور رکن تھا۔ ان کا اہم کام یوکتی بھاشا (ملیالم میں لکھا گیا، جو کیرالہ کی ایک علاقائی زبان ہے) تھا۔ جیستادیوا نے زیادہ تر ریاضیاتی نظریات اور لامحدود سیریز کے ثبوت پیش کیے جو پہلے مادھو اور کیرالہ اسکول کے دیگر ریاضی دانوں نے دریافت کیے تھے۔ یوروسینٹریزم کے الزامات یہ تجویز کیا گیا ہے کہ ریاضی میں ہندوستانی شراکت کو جدید تاریخ میں مناسب اعتراف نہیں دیا گیا ہے اور یہ کہ ہندوستانی ریاضی دانوں کی بہت سی دریافتیں اور ایجادات فی الحال ثقافتی طور پر ان کے مغربی ہم منصبوں سے منسوب ہیں، یوروسینٹریزم کے نتیجے میں۔ "ایتھنوماتھمیٹکس" پر جی جی جوزف کے نقطہ نظر کے مطابق: [ان کا کام] کلاسیکی یوروسینٹرک ٹریجیکٹوری کے بارے میں اٹھائے گئے کچھ اعتراضات کو قبول کرتا ہے۔ [ہندوستانی اور عربی ریاضی کے بارے میں] آگاہی یونانی ریاضی کے مقابلے میں ان کی اہمیت کو مسترد کرنے کے ساتھ معتدل ہونے کا امکان ہے۔ دیگر تہذیبوں کی شراکت-خاص طور پر چین اور ہندوستان، کو یا تو یونانی ذرائع سے قرض لینے والے کے طور پر سمجھا جاتا ہے یا مرکزی دھارے کی ریاضیاتی ترقی میں صرف معمولی شراکت کی گئی ہے۔ مزید حالیہ تحقیقی نتائج کے لیے کشادگی، خاص طور پر ہندوستانی اور چینی ریاضی کے معاملے میں، افسوس کے ساتھ غائب ہے "ریاضی کے مورخ، فلورین کاجوری نے تجویز کیا کہ انہیں اور دیگر کو" شبہ ہے کہ ڈیوفنٹس کو الجبرائی علم کی پہلی جھلک ہندوستان سے ملی ہے "۔ تاہم، انہوں نے یہ بھی لکھا کہ "یہ یقینی ہے کہ ہندو ریاضی کے کچھ حصے یونانی نژاد ہیں"۔ حال ہی میں، جیسا کہ مذکورہ بالا حصے میں بحث کی گئی ہے، مثلثی افعال کے لیے کیلکولس کی لامحدود سیریز (جسے گریگوری، ٹیلر اور میکلورین نے 17 ویں صدی کے آخر میں دوبارہ دریافت کیا تھا) کو ہندوستان میں کیرالہ اسکول کے ریاضی دانوں نے قابل ذکر طور پر تقریبا دو صدیوں پہلے بیان کیا تھا۔ کچھ اسکالرز نے حال ہی میں تجویز کیا ہے کہ ان نتائج کا علم تاجروں اور جیسوئٹ مشنریوں کے ذریعے کیرالہ سے تجارتی راستے کے ذریعے یورپ منتقل کیا گیا ہوگا۔ کیرالہ چین اور عرب کے ساتھ مسلسل رابطے میں تھا، اور تقریبا 1500 سے یورپ کے ساتھ۔ مواصلاتی راستوں کا وجود اور ایک مناسب تواریخ یقینی طور پر اس طرح کی ترسیل کو ایک امکان بناتی ہے۔ تاہم، متعلقہ مخطوطات کے ذریعے اس بات کا کوئی براہ راست ثبوت نہیں ہے کہ اس طرح کی ترسیل اصل میں ہوئی تھی۔ ڈیوڈ بریسوڈ کے مطابق، "اس بات کا کوئی ثبوت نہیں ہے کہ ہندوستانی سیریز کا کام انیسویں صدی تک ہندوستان سے باہر، یا کیرالہ سے باہر بھی جانا جاتا تھا۔" عرب اور ہندوستانی دونوں اسکالرز نے 17 ویں صدی سے پہلے ایسی دریافتیں کیں جنہیں اب حساب کا حصہ سمجھا جاتا ہے۔ تاہم، انہوں نے، جیسا کہ نیوٹن اور لیبنز نے کیا، "مشتق اور انٹیگرل کے دو متحد موضوعات کے تحت بہت سے مختلف نظریات کو یکجا نہیں کیا، دونوں کے درمیان تعلق کو ظاہر کیا، اور حساب کو آج ہمارے پاس موجود عظیم مسئلہ حل کرنے والے آلے میں تبدیل کر دیا۔" نیوٹن اور لیبنز دونوں کے دانشورانہ کیریئر اچھی طرح سے دستاویزی ہیں اور ان کے کام کے ان کے اپنے نہ ہونے کا کوئی اشارہ نہیں ہے۔ تاہم، یہ یقینی طور پر معلوم نہیں ہے کہ آیا نیوٹن اور لیبنز کے فوری پیشروؤں، بشمول، خاص طور پر، فرمیٹ اور رابرول نے اسلامی اور ہندوستانی ریاضی دانوں کے کچھ نظریات کو ان ذرائع سے سیکھا جن سے ہم اب واقف نہیں ہیں۔ یہ موجودہ تحقیق کا ایک فعال شعبہ ہے، خاص طور پر اسپین اور مغرب کے مخطوطات کے مجموعے میں۔ یہ تحقیق دیگر مقامات کے علاوہ سی این آر ایس میں کی جا رہی ہے۔ ۔