Brahmagupta's identity
الجبرا میں، برہم گپتا کی شناخت کا کہنا ہے کہ، دی گئی شکل کے دو نمبروں کا پروڈکٹ خود اس شکل کا ایک نمبر ہے۔ دوسرے لفظوں میں، اس طرح کے اعداد کا مجموعہ ضرب کے تحت بند ہوتا ہے۔ خاص طور پر: مساوات کے ہر پہلو کو بڑھا کر (1) اور (2) دونوں کی تصدیق کی جا سکتی ہے۔ نیز، (2) کو (1) سے، یا (1) کو (2) سے، b کو −b میں تبدیل کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ یہ شناخت انٹیجرز کی رنگ اور عقلی اعداد کی رنگ دونوں میں ہوتی ہے، اور زیادہ عام طور پر کسی بھی مواصلاتی رنگ میں ہوتی ہے۔ شناخت نام نہاد فبونیکی شناخت (جہاں n = 1) کی عمومی شکل ہے جو دراصل ڈیوفنٹس ارتھمیٹیکا (III، 19) میں پائی جاتی ہے۔ اس شناخت کو ایک ہندوستانی ریاضی دان اور ماہر فلکیات برہم گپتا (598-668) نے دوبارہ دریافت کیا، جس نے اسے عام کیا اور اسے اپنے مطالعہ میں استعمال کیا جسے اب پیل کی مساوات کہا جاتا ہے۔ محمد الفضری نے ان کے برہمسفوتا سدھانت کا سنسکرت سے عربی میں ترجمہ کیا، اور اس کے بعد 1126 میں اس کا لاطینی میں ترجمہ کیا گیا۔ یہ شناخت بعد میں 1225 میں فبونیکی کی بک آف اسکوائرز میں شائع ہوئی۔ پیل کی مساوات پر اطلاق اس کے اصل تناظر میں، برہم گپتا نے اپنی دریافت کو اس حل پر لاگو کیا جسے بعد میں پیل کی مساوات کہا گیا، یعنی x2 − Ny2 = 1۔ شناخت کو اس شکل میں استعمال کرتے ہوئے وہ نئے ٹرپل کو پیدا کرنے کے لیے ٹرپل (x1, y1, k1) اور (x2, y2, k2) جو کہ x2 − Ny2 = k کے حل تھے، کو "کمپوز" کرنے میں کامیاب رہا۔ اس سے نہ صرف ایک حل سے شروع ہونے والے x2 − Ny2 = 1 کے لامحدود حل پیدا کرنے کا راستہ ملا، بلکہ اس طرح کی ساخت کو k1k2 سے تقسیم کرکے، انٹیجر یا "تقریبا انٹیجر" حل بھی اکثر حاصل کیے جا سکتے تھے۔ 1150 میں بھاسکر دوم کی طرف سے دی گئی پیل مساوات کو حل کرنے کا عمومی طریقہ، یعنی چکروالا (چکور) طریقہ بھی اسی شناخت پر مبنی تھا۔ ۔