History of combinatorics
متعدد قدیم معاشروں میں مجموعہیات کے ریاضیاتی شعبے کا مختلف ڈگریوں تک مطالعہ کیا گیا۔ یورپ میں اس کا مطالعہ 13 ویں صدی عیسوی میں لیونارڈو فبونیکی کے کام سے ملتا ہے، جس نے عرب اور ہندوستانی نظریات کو براعظم میں متعارف کرایا۔ جدید دور میں اس کا مطالعہ جاری ہے۔ سب سے ابتدائی ریکارڈ مشترکہ تکنیکوں کا سب سے قدیم ریکارڈ شدہ استعمال رائنڈ پیپرس کے مسئلہ 79 سے آتا ہے، جو 16 ویں صدی قبل مسیح کا ہے۔ یہ مسئلہ ایک مخصوص ہندسی سلسلے سے متعلق ہے، اور اس میں فبونیکی کے 1s اور 2s کی کمپوزیشن کی تعداد گننے کے مسئلے سے مماثلت ہے جو کسی دیئے گئے کل کا مجموعہ ہے۔ یونان میں، پلوٹارک نے لکھا ہے کہ چیلسیڈن کے زینوکریٹس (396-314 BC) نے یونانی زبان میں ممکنہ مختلف حروف کی تعداد دریافت کی۔ یہ ترتیبات اور امتزاج میں کسی مشکل مسئلے کو حل کرنے کے لیے ریکارڈ پر پہلی کوشش ہوتی۔ تاہم، یہ دعوی ناقابل فہم ہے: یہ یونان میں امتزاج کے چند ذکروں میں سے ایک ہے، اور انہیں جو تعداد ملی، 1.002 × 10.12، ایک اندازے سے کہیں زیادہ گول لگتی ہے۔ بعد میں، کریسیپس (تیسری صدی قبل مسیح) اور ہپارکس (دوسری صدی قبل مسیح) کے درمیان ایک نازک عددی مسئلے کی دلیل کا ذکر کیا گیا، جسے بعد میں شروڈر-ہپارکس نمبروں سے متعلق دکھایا گیا۔ اس بات کے بھی شواہد موجود ہیں کہ اوسٹوماچیون میں، آرکیمیڈیز (تیسری صدی قبل مسیح) نے ٹائلنگ پہیلی کی تشکیل پر غور کیا، جبکہ کچھ مشترکہ مفادات اپولونیئس کے گمشدہ کاموں میں موجود ہو سکتے ہیں۔ ہندوستان میں، بھگوتی سترا میں سب سے پہلے امتزاج کے مسئلے کا ذکر تھا ؛ مسئلہ یہ تھا کہ ایک، دو، تین وغیرہ میں ذائقوں کے انتخاب سے ذائقوں کے کتنے ممکنہ امتزاج ممکن ہیں۔ چھ مختلف ذائقوں کے انتخاب سے (میٹھا، تیز، تیز، کھٹا، نمک اور تلخ)۔ بھگوتی وہ پہلا متن بھی ہے جس میں منتخب فنکشن کا ذکر کیا گیا ہے۔ دوسری صدی قبل مسیح میں پنگالا نے چند سوتر (چند سوتر بھی) میں ایک گنتی کا مسئلہ شامل کیا جس میں پوچھا گیا کہ چھ حرفی میٹر کو چھوٹے اور لمبے نوٹوں سے کتنے طریقوں سے بنایا جا سکتا ہے۔ پنگالا نے میٹر کی تعداد معلوم کی جس میں لمبے نوٹ اور چھوٹے نوٹ تھے۔ یہ بائنومیل کوفیشنٹس کو تلاش کرنے کے مترادف ہے۔ بھگوتی کے خیالات کو ہندوستانی ریاضی دان مہاویر نے 850 عیسوی میں عام کیا تھا، اور پروسوڈی پر پنگل کے کام کو بھاسکر دوم اور ہیما چندر نے 1100 عیسوی میں وسعت دی تھی۔ بھاسکر وہ پہلا معروف شخص تھا جس نے عمومی انتخاب کا فنکشن تلاش کیا، حالانکہ برہم گپتا کو پہلے ہی معلوم ہو چکا ہوگا۔ ہیما چندر نے پوچھا کہ اگر ایک لمبے نوٹ کو مختصر نوٹ سے دوگنا لمبا سمجھا جائے تو ایک مخصوص لمبائی کے کتنے میٹر موجود ہیں، جو کہ فبونیکی نمبروں کو تلاش کرنے کے برابر ہے۔ الوہیت کی قدیم چینی کتاب I چنگ ایک ہیکسگرام کو چھ لائنوں کی تکرار کے ساتھ ایک ترتیب کے طور پر بیان کرتی ہے جہاں ہر لائن دو حالتوں میں سے ایک ہو سکتی ہے: ٹھوس یا ڈیشڈ۔ ہیکسگرام کو اس انداز میں بیان کرتے ہوئے وہ اس بات کا تعین کرتے ہیں کہ ممکنہ ہیکسگرام موجود ہیں۔ ایک چینی راہب نے بھی 700 عیسوی کے آس پاس گو سے ملتے جلتے کھیل کی ترتیبات کی تعداد شمار کی ہوگی۔ اگرچہ چین نے عددی امتزاج میں نسبتا کم پیش رفت کی تھی، لیکن 100 عیسوی کے آس پاس انہوں نے لو شو اسکوائر کو حل کیا جو کہ آرڈر تھری کے عام جادوئی مربع کا مشترکہ ڈیزائن کا مسئلہ ہے۔ جادوئی مربع چین کی دلچسپی رہے، اور انہوں نے 900 اور 1300 عیسوی کے درمیان اپنے اصل مربع کو عام کرنا شروع کیا۔ چین نے 13 ویں صدی میں اس مسئلے کے بارے میں مشرق وسطی سے خط و کتابت کیا۔ مشرق وسطی نے ہندوستانی کام سے بائنومیل کوفیشنٹس کے بارے میں بھی سیکھا اور کثیر الجہتی توسیع سے تعلق پایا۔ ہندوؤں کے کام نے عربوں کو متاثر کیا جیسا کہ الخلیل ابن احمد کے کام میں دیکھا گیا ہے جس نے حروف کی تشکیل کے لیے خطوط کے ممکنہ انتظامات پر غور کیا۔ ان کے حسابات ترتیبات اور امتزاج کی سمجھ کو ظاہر کرتے ہیں۔ عرب ریاضی دان عمر الخیامی کے 1100 کے قریب کے کام کے ایک حصے میں، اس بات کی تصدیق کی گئی ہے کہ ہندوؤں کو بائنومیل کوفیشنٹس کا علم تھا، لیکن یہ بھی کہ ان کے طریقے مشرق وسطی تک پہنچ گئے تھے۔ ابو بکر ابن محمد ابن الحسین الکرجی (c.953-1029) نے بائنومیل تھیوریم اور پاسکل کے مثلث پر لکھا۔ اب کھوئے ہوئے کام میں جو صرف ال-ساموال کے بعد کے اقتباس سے معلوم ہوتا ہے، ال-کرجی نے ریاضیاتی انضمام کے ذریعے دلیل کا خیال متعارف کرایا۔ فلسفی اور ماہر فلکیات ربی ابراہیم ابن عزرا (c. 1140) نے الہی نام کی آواز میں تکرار کے ساتھ ترتیبات کو شمار کیا۔ اس نے بائنومیئل کوفشنٹس کی ہم آہنگی بھی قائم کی، جبکہ ایک بند فارمولا بعد میں 1321 میں ٹالموڈسٹ اور ریاضی دان لیوی بین گیرسن (جسے گیرسنائڈز کے نام سے جانا جاتا ہے) نے حاصل کیا۔ ریاضیاتی مثلث-ایک گرافیکل خاکہ جو بائنومیل کوفشنٹس کے درمیان تعلقات کو ظاہر کرتا ہے-ریاضی دانوں نے 10 ویں صدی کے مقالے میں پیش کیا تھا، اور آخر کار اسے پاسکل کا مثلث کہا جاتا۔ بعد میں، قرون وسطی کے انگلینڈ میں، کیمپینولوجی نے ان تبدیلیوں پر بعض کیلی گرافوں میں ایسی مثالیں فراہم کیں جو اب ہیملٹنین سائیکلوں کے نام سے مشہور ہیں۔ مغربی امتزاج میں امتزاج 13 ویں صدی میں ریاضی دان لیونارڈو فبونیکی اور جورڈنس ڈی نیمور کے ذریعے یورپ آیا۔ فبونیکی کے لبیر اباکی نے بہت سے عربی اور ہندوستانی نظریات کو یورپ میں متعارف کرایا، بشمول فبونیکی نمبروں کے۔ جورڈنس وہ پہلا شخص تھا جس نے مثلث میں بائنومیل کوفیشنٹس کو ترتیب دیا، جیسا کہ اس نے ڈی ارتھمیٹیکا کی تجویز 70 میں کیا تھا۔ یہ مشرق وسطی میں بھی 1265 میں اور چین میں 1300 کے آس پاس کیا گیا تھا۔ آج اس مثلث کو پاسکل کا مثلث کہا جاتا ہے۔ اس مثلث میں پاسکل کی شراکت جو اس کا نام رکھتی ہے اس کے بارے میں رسمی ثبوتوں پر ان کے کام اور پاسکل کے مثلث اور امکان کے درمیان کیے گئے رابطوں سے آتی ہے۔ لیبنز نے ڈینیل برنولی کو بھیجے گئے ایک خط سے ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ لیبنز 17 ویں صدی میں تقسیم کے ریاضیاتی نظریہ کا باضابطہ طور پر مطالعہ کر رہے تھے، حالانکہ کوئی رسمی کام شائع نہیں ہوا تھا۔ لیبنز کے ساتھ مل کر، پاسکل نے 1666 میں ڈی آرٹے کمبنیٹوریا شائع کیا جسے بعد میں دوبارہ شائع کیا گیا۔ لیبنز کا ہیبلیٹیشن تھیسس ڈی آرٹے کمبنیٹوریا 1666 میں ایک کتاب کے طور پر شائع ہوا اور بعد میں دوبارہ شائع ہوا۔ پاسکل اور لیبنز کو جدید کمبنیٹوریا کا بانی سمجھا جاتا ہے۔ پاسکل اور لیبنز دونوں سمجھ گئے کہ بائنومیل توسیع چوائس فنکشن کے مساوی ہے۔ یہ تصور کہ الجبرا اور امتزاج مطابقت رکھتے ہیں، ڈی مویور نے وسعت دی، جس نے ایک کثیر الجہتی کی توسیع کو پایا۔ ڈی مویور نے شمولیت-اخراج کے اصول کا استعمال کرتے ہوئے انحراف کا فارمولا بھی تلاش کیا، یہ طریقہ نیکولس برنولی سے مختلف ہے، جس نے اسے پہلے پایا تھا۔ ڈی مویور نے بائنومیل کوفیشنٹس اور فیکٹوریئل کا تخمینہ لگانے میں بھی کامیابی حاصل کی، اور جنریٹنگ فنکشنز ایجاد کرکے فبونیکی نمبروں کے لیے ایک بند شکل تلاش کی۔ 18 ویں صدی میں، اویلر نے امتزاج کے مسائل، اور امکانات کے کئی مسائل پر کام کیا جو امتزاج سے منسلک ہیں۔ اویلر نے جن مسائل پر کام کیا ان میں نائٹس ٹور، گریکو لاطینی اسکوائر، یولیرین نمبرز اور دیگر شامل ہیں۔ کونگسبرگ کے سات پلوں کے مسئلے کو حل کرنے کے لیے اس نے گراف تھیوری ایجاد کی، جس کی وجہ سے ٹوپولوجی کی تشکیل بھی ہوئی۔ آخر میں، اس نے جنریٹنگ فنکشنز کے استعمال سے پارٹیشنز کے ساتھ زمین توڑ دی۔ عصری امتزاج 19 ویں صدی میں، جزوی طور پر ترتیب شدہ سیٹوں اور جالی کے نظریہ کا موضوع ڈیڈیکنڈ، پیئرس اور شروڈر کے کام سے شروع ہوا۔ تاہم، یہ 1967 میں شائع ہونے والی اپنی کتاب لیٹیس تھیوری میں گیریٹ برخوف کا بنیادی کام تھا، اور جان وان نیومن کے کام نے ہی مضامین کو صحیح معنوں میں قائم کیا۔ 1930 کی دہائی میں، ہال (1936) اور ویسنر (1935) نے آزادانہ طور پر عام موبیئس الٹ فارمولہ بیان کیا۔ 1964 میں، گیان کارلو روٹا کی آن دی فاؤنڈیشنز آف کمبینٹوریئل تھیوری I۔ موبیئس فنکشنز کے نظریہ نے پوزیٹ اور لیٹس کے نظریہ کو امتزاج میں نظریات کے طور پر متعارف کرایا۔ رچرڈ پی اسٹینلے نے میٹرایڈ تھیوری میں اپنے کام کے لیے عصری امتزاج میں بڑا اثر ڈالا ہے، زیٹا کثیر الجہتی کو متعارف کرانے کے لیے، یولیرین پوزیشنوں کی واضح طور پر وضاحت کرنے کے لیے، روٹا اور پیٹر ڈوبیلیٹ کے ساتھ بائنومیل پوزیشنوں کا نظریہ تیار کرنے کے لیے، اور بہت کچھ۔ پال ایرڈس نے پوری صدی میں امتزاج میں بنیادی شراکت کی، اور ان شراکتوں کے لیے جزوی طور پر ولف انعام جیتا۔ ۔