Brahmagupta
ब्रह्मगुप्त (-) एक भारतीय गणितशास्त्री और खगोलशास्त्री थे। वे गणित और खगोल विज्ञान पर दो प्रारंभिक कार्यों के लेखक हैंः ब्रह्मस्फुतसिद्धांत (बी. एस. एस., "ब्रह्मा का सही ढंग से स्थापित सिद्धांत", दिनांक 628), एक सैद्धांतिक ग्रंथ, और खंडखाद्यक ("खाद्य काटने", दिनांक 665), एक अधिक व्यावहारिक पाठ। 628 ईस्वी में, ब्रह्मगुप्त ने पहली बार गुरुत्वाकर्षण को एक आकर्षक बल के रूप में वर्णित किया, और इसका वर्णन करने के लिए संस्कृत में "गुरुत्वकर्म" शब्द का उपयोग किया। ब्रह्मगुप्त को उनकी मुख्य कृति ब्रह्म-स्फुत-सिद्धांत में द्विघात सूत्र (द्विघात समीकरण का समाधान) के पहले स्पष्ट वर्णन का श्रेय दिया जाता है। उनके अपने कथन के अनुसार, जीवन और वृत्ति ब्रह्मगुप्त का जन्म 598 ईस्वी में हुआ था। चावड़ा राजवंश के शासक व्याघ्रमुख के शासनकाल के दौरान गुर्जरदेश (राजस्थान, भारत में आधुनिक भिनमल) के भिल्लामाल में जन्मे, उनके पूर्वज शायद सिंध के थे। वे जिष्णुगुप्त के पुत्र थे और धर्म से हिंदू थे, विशेष रूप से एक शैव। वे अपने जीवन का एक अच्छा हिस्सा वहाँ रहे और काम किया। पृथ्वीका स्वामीन, जो बाद में एक टिप्पणीकार बने, उन्हें भिल्लामाला के शिक्षक भिल्लामालाचार्य कहते थे। भिल्लामाला पश्चिमी भारत के दूसरे सबसे बड़े राज्य गुर्जरदेश की राजधानी थी, जिसमें आधुनिक भारत में दक्षिणी राजस्थान और उत्तरी गुजरात शामिल थे। यह गणित और खगोल विज्ञान के लिए सीखने का केंद्र भी था। वह इस अवधि के दौरान भारतीय खगोल विज्ञान के चार प्रमुख विद्यालयों में से एक ब्रह्मपक्ष स्कूल के खगोलशास्त्री बन गए। उन्होंने भारतीय खगोल विज्ञान पर पांच पारंपरिक सिद्धांत के साथ-साथ आर्यभट्ट प्रथम, लाटदेव, प्रद्युम्न, वराहमिहिर, सिंह, श्रीसेन, विजयानंदिन और विष्णुचंद्र सहित अन्य खगोलविदों के कार्यों का अध्ययन किया। वर्ष 628 में, 30 वर्ष की आयु में, उन्होंने ब्रह्मस्फुतसिद्धांत ("ब्रह्मा का बेहतर ग्रंथ") की रचना की, जिसे खगोल विज्ञान के ब्रह्मपक्ष स्कूल के प्राप्त सिद्धांत का एक संशोधित संस्करण माना जाता है। विद्वानों का कहना है कि उन्होंने अपने संशोधन में बहुत अधिक मौलिकता को शामिल किया, जिसमें काफी मात्रा में नई सामग्री जोड़ी गई। इस पुस्तक में 24 अध्याय हैं जिनमें आर्य छंद में 1008 छंद हैं। इसका एक अच्छा सौदा खगोल विज्ञान है, लेकिन इसमें बीजगणित, ज्यामिति, त्रिकोणमिति और एल्गोरिदमिक्स सहित गणित पर प्रमुख अध्याय भी शामिल हैं, जिनके बारे में माना जाता है कि उनमें स्वयं ब्रह्मगुप्त के कारण नई अंतर्दृष्टि है। बाद में, ब्रह्मगुप्त उज्जैन, अवंती चले गए, जो मध्य भारत में खगोल विज्ञान का एक प्रमुख केंद्र था। 67 साल की उम्र में, उन्होंने अपनी अगली प्रसिद्ध कृति खंड-खाद्यक की रचना की, जो छात्रों द्वारा उपयोग की जाने वाली करना श्रेणी में भारतीय खगोल विज्ञान की एक व्यावहारिक पुस्तिका है। ब्रह्मगुप्त की मृत्यु 668 ईस्वी में हुई थी और माना जाता है कि उनकी मृत्यु उज्जैन में हुई थी। ब्रह्मगुप्त ने निम्नलिखित ग्रंथों की रचना कीः ब्रह्मस्फुतसिद्धांत, जिसकी रचना 628 ईस्वी में हुई थी। खंडखाद्यक, 665 ईस्वी में रचित। (एक पांडुलिपि में वर्णित) ग्रहण ब्रह्मगुप्त की गणितीय प्रगति को उज्जैन के एक वंश के वंशज भास्कर द्वितीय द्वारा आगे बढ़ाया गया, जिन्होंने ब्रह्मगुप्त को गणक-चक्र-चूड़ामणि (गणितविदों के वृत्त का रत्न) के रूप में वर्णित किया। कठिन छंदों को सरल भाषा में प्रस्तुत करते हुए और चित्र जोड़ते हुए, पृथ्वीक स्वामी ने अपनी दोनों कृतियों पर टिप्पणियां लिखीं। 8वीं और 9वीं शताब्दी में लल्ला और भट्टोतपाल ने खंड-खाद्यक पर टिप्पणियां लिखीं। 12वीं शताब्दी में और अधिक टिप्पणियां लिखी जाती रहीं। ब्रह्मगुप्त की मृत्यु के कुछ दशकों बाद, सिंध 712 ईस्वी में अरब खलीफा के अधीन आ गया। अभियानों को गुर्जरदेशा (अरब इतिहासकारों के अनुसार, "जुर्ज़ में अल-बायलामन") में भेजा गया था। ऐसा लगता है कि भिल्लामल राज्य का सफाया हो गया था, लेकिन उज्जैन ने हमलों को विफल कर दिया। खलीफा अल-मंसूर (754-775) के दरबार को सिंध से एक दूतावास मिला, जिसमें कनक नामक एक ज्योतिषी भी शामिल था, जो ब्रह्मगुप्त सहित (संभवतः याद किए गए) खगोलीय ग्रंथ लेकर आया था। ब्रह्मगुप्त के ग्रंथों का अरबी में अनुवाद अल-मंसूर के दरबार में एक खगोलशास्त्री मुहम्मद अल-फजारी ने सिंध और अरखंड के नाम से किया था। एक तत्काल परिणाम ग्रंथों में उपयोग की जाने वाली दशमलव संख्या प्रणाली का प्रसार था। गणितशास्त्री अल-ख्वारिज़्मी (800-850 CE) ने अल-जाम वाल-तफ़रीक़ बी हिसल-अल-हिंद (भारतीय अंकगणित में जोड़ और घटाव) नामक एक पाठ लिखा, जिसका 13वीं शताब्दी में लैटिन में एल्गोरिदमी डी न्यूमेरो इंडोरम के रूप में अनुवाद किया गया था। इन ग्रंथों के माध्यम से, दशमलव संख्या प्रणाली और अंकगणित के लिए ब्रह्मगुप्त के एल्गोरिदम दुनिया भर में फैल गए हैं। अल-ख्वारिज़्मी ने अल-फ़ज़ारी के संस्करण पर चित्र बनाते हुए और टॉलेमिक तत्वों को शामिल करते हुए सिंध का अपना संस्करण भी लिखा। भारतीय खगोलीय सामग्री सदियों तक व्यापक रूप से प्रसारित हुई, यहाँ तक कि मध्ययुगीन लैटिन ग्रंथों में भी अपना स्थान बनाया। विज्ञान के इतिहासकार जॉर्ज सार्टन ने ब्रह्मगुप्त को "अपनी जाति के महानतम वैज्ञानिकों में से एक और अपने समय का महानतम" कहा। गणित बीजगणित ब्रह्मगुप्त ने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत के अठारहवें अध्याय में सामान्य रैखिक समीकरण का समाधान दिया, रूपों के बीच का अंतर, जब [अज्ञात] के [गुणांक] के अंतर से उल्टा और विभाजित किया जाता है, तो समीकरण में अज्ञात होता है। जिसके नीचे वर्ग और अज्ञात को घटाया जाना है, उसके नीचे रूपों को [किनारे पर घटाया जाता है]। जो उस समीकरण के लिए एक समाधान है जहाँ रूप स्थिरांक और को संदर्भित करता है। दिया गया समाधान इसके बराबर है। उन्होंने आगे सामान्य द्विघात समीकरण 18.44 के दो समतुल्य समाधान दिए। मध्य [संख्या] से रूपों की वर्गमूल को घटाकर वर्ग के चार गुना से गुणा करें और मध्य [संख्या] के वर्ग से बढ़ाएं; शेष को वर्ग के दोगुने से विभाजित करें। [परिणाम] मध्य [संख्या] है। 18.45। रूपों की वर्गमूल जो भी हो, उसे वर्ग से गुणा किया जाता है और अज्ञात के आधे वर्ग से बढ़ाया जाता है, जिससे अज्ञात को आधा कर दिया जाता है और शेष को वर्ग से विभाजित किया जाता है। [परिणाम] अज्ञात है। जो क्रमशः समतुल्य समीकरण के लिए समाधान हैं, और उन्होंने एक साथ अनिश्चित समीकरणों की प्रणालियों को यह कहते हुए हल किया कि वांछित चर को पहले अलग किया जाना चाहिए, और फिर समीकरण को वांछित चर के गुणांक से विभाजित किया जाना चाहिए। विशेष रूप से, उन्होंने कई अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करने के लिए "पल्वराइज़र" का उपयोग करने की सिफारिश की। 18.51। पहले रंग से अलग रंगों को घटाएँ। [शेष] को पहले [रंग के गुणांक] से विभाजित करना पहले का माप है। दो से दो [शब्दों] को समान भाजक माना जाता है, [और इसी तरह] बार-बार। यदि कई [रंग] हैं, तो पल्वराइज़र [का उपयोग किया जाना है]। डायोफैंटस के बीजगणित की तरह, ब्रह्मगुप्त के बीजगणित को सिंकोपेट किया गया था। जोड़ को संख्याओं को एक साथ रखकर, सबट्रैन्ड पर एक बिंदु रखकर घटाकर, और विभाजक को लाभांश के नीचे रखकर विभाजित करके इंगित किया गया था, हमारे संकेतन के समान लेकिन बार के बिना। गुणन, विकास और अज्ञात मात्राओं को उपयुक्त शब्दों के संक्षिप्त नामों द्वारा दर्शाया गया था। इस सिंकोपेशन पर यूनानी प्रभाव की सीमा, यदि कोई हो, ज्ञात नहीं है और यह संभव है कि यूनानी और भारतीय सिंकोपेशन दोनों एक सामान्य बेबीलोनियन स्रोत से प्राप्त हो सकते हैं। चार मौलिक क्रियाएँ (जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन) ब्रह्मगुप्त से पहले कई संस्कृतियों में ज्ञात थीं। यह वर्तमान प्रणाली हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर आधारित है और पहली बार ब्रह्मस्फुतसिद्धांत में प्रकट हुई थी। ब्रह्मगुप्त निम्नलिखित तरीके से गुणन का वर्णन करते हैंः गुणक को मवेशियों के लिए एक तार की तरह दोहराया जाता है, जितनी बार गुणक में अभिन्न भाग होते हैं और बार-बार उनसे गुणा किया जाता है और उत्पादों को एक साथ जोड़ा जाता है। यह गुणन है। या गुणक को उतनी ही बार दोहराया जाता है जितनी बार गुणक में घटक भाग होते हैं। भारतीय अंकगणित को मध्यकालीन यूरोप में मोडस इंडोरम के रूप में जाना जाता था जिसका अर्थ है "भारतीयों की विधि"। ब्रह्मस्फुतसिद्धांत में, गुणा के लिए चार विधियों का वर्णन किया गया था, जिसमें गोमूत्रिका भी शामिल है, जिसे वर्तमान समय की विधियों के करीब कहा जाता है। अपने ब्रह्मस्फुतसिद्धांत के बारहवें अध्याय की शुरुआत में, जिसका शीर्षक "गणना" है, उन्होंने अंशों पर संचालन का भी विवरण दिया है। पाठक से वर्गमूल लेने के लिए बुनियादी अंकगणितीय संचालन को जानने की उम्मीद की जाती है, हालांकि वह बताते हैं कि एक पूर्णांक के घन और घन-मूल को कैसे खोजना है और बाद में वर्ग और वर्गमूल की गणना को सुविधाजनक बनाने वाले नियम देते हैं। फिर वह भिन्नों के पांच प्रकार के संयोजनों से निपटने के लिए नियम देता हैः;;;; और। वर्ग और घन ब्रह्मगुप्त फिर पहले पूर्णांकों के वर्ग और घन का योग देते हैं। 12.20। वर्गों का योग यह है कि [योग] को दोगुने से गुणा करने पर [चरणों की संख्या] एक से बढ़ जाती है [और] तीन से विभाजित हो जाती है। क्यूब्स का योग उन [योग] ढेरों का वर्ग है जिनमें समान गेंदें हैं [जिनकी गणना भी की जा सकती है]। यहाँ ब्रह्मगुप्त ने परिणाम को पहले पूर्णांकों के योग के संदर्भ में पाया, न कि आधुनिक अभ्यास के संदर्भ में। वह पहली प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग और पहली n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग देता है। शून्य ब्रह्मगुप्त की ब्रह्मस्फुतसिद्धांत पहली पुस्तक है जो शून्य और ऋणात्मक संख्याओं पर लागू होने वाले अंकगणितीय जोड़-तोड़ के लिए नियम प्रदान करती है। ब्रह्मस्फुतसिद्धांत शून्य को अपने आप में एक संख्या के रूप में मानने वाला सबसे पहला ज्ञात पाठ है, न कि किसी अन्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने में केवल एक स्थानधारक अंक के रूप में, जैसा कि बेबीलोनियों द्वारा किया गया था या मात्रा की कमी के प्रतीक के रूप में, जैसा कि टॉलेमी और रोमनों द्वारा किया गया था। ब्रह्मगुप्त ने अपने ब्रह्मस्फुतसिद्धांत के अठारहवें अध्याय में ऋणात्मक संख्याओं पर संचालन का वर्णन किया है। वे सबसे पहले जोड़ और घटाव का वर्णन करते हैं, 18.30। दो सकारात्मक का [योग] सकारात्मक है, दो नकारात्मक का नकारात्मक; एक सकारात्मक और एक नकारात्मक का [योग] उनका अंतर है; यदि वे बराबर हैं तो यह शून्य है। एक नकारात्मक और शून्य का योग नकारात्मक है, एक सकारात्मक और शून्य सकारात्मक का, और दो शून्य शून्य का। [.] 18.32। एक नकारात्मक शून्य शून्य नकारात्मक है, एक सकारात्मक [शून्य शून्य] सकारात्मक है; शून्य [शून्य शून्य] शून्य है। जब सकारात्मक को नकारात्मक से घटाया जाना है या नकारात्मक को सकारात्मक से घटाया जाना है, तो इसे जोड़ा जाना है। वह गुणन का वर्णन करते हैं, 18.33। एक नकारात्मक और एक सकारात्मक का गुणनफल नकारात्मक है, दो नकारात्मक सकारात्मक और सकारात्मक का गुणनफल; शून्य और एक नकारात्मक, शून्य और एक सकारात्मक, या दो शून्य का गुणनफल शून्य है। लेकिन शून्य से विभाजन का उनका वर्णन हमारी आधुनिक समझ से अलग हैः 18.34। एक सकारात्मक को सकारात्मक से विभाजित करने पर या एक नकारात्मक को नकारात्मक से विभाजित करने पर सकारात्मक होता है; शून्य को शून्य से विभाजित करने पर शून्य होता है; एक सकारात्मक को नकारात्मक से विभाजित करने पर नकारात्मक होता है; एक नकारात्मक को सकारात्मक से विभाजित करने पर नकारात्मक भी होता है। 18.35। एक नकारात्मक या शून्य से विभाजित एक सकारात्मक के भाजक के रूप में वह [शून्य] होता है, या शून्य को नकारात्मक या सकारात्मक से विभाजित किया जाता है [इसके भाजक के रूप में वह नकारात्मक या सकारात्मक होता है]। एक नकारात्मक या सकारात्मक का वर्ग सकारात्मक है; शून्य का [वर्ग] शून्य है। जिसका वर्ग वर्ग है, वह वर्गमूल है। यहाँ ब्रह्मगुप्त का कहना है कि = 0 और जहाँ तक इस सवाल का सवाल है कि उन्होंने खुद को प्रतिबद्ध नहीं किया था। ऋणात्मक और शून्य पर अंकगणित के लिए उनके नियम आधुनिक समझ के काफी करीब हैं, सिवाय इसके कि आधुनिक गणित में शून्य से विभाजन को अनिर्धारित छोड़ दिया जाता है। डायोफैंटाइन विश्लेषण पाइथागोरियन ट्रिपल अपने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत के बारहवें अध्याय में, ब्रह्मगुप्त पाइथागोरियन ट्रिपल उत्पन्न करने के लिए उपयोगी सूत्र प्रदान करते हैंः 12.39। एक पहाड़ की ऊँचाई को एक दिए गए गुणक से गुणा करना एक शहर की दूरी है; इसे मिटाया नहीं जाता है। जब इसे दो से बढ़े हुए गुणक से विभाजित किया जाता है तो यह उन दोनों में से एक की छलांग होती है जो एक ही यात्रा करते हैं। या, दूसरे शब्दों में, यदि, तो एक यात्री जो ऊंचाई वाले पहाड़ की चोटी से ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर "छलांग" लगाता है, और फिर पहाड़ के आधार से क्षैतिज दूरी पर एक सीधी रेखा में एक शहर की यात्रा करता है, उसी दूरी की यात्रा करता है जो पहाड़ से ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे उतरता है और फिर शहर की ओर क्षैतिज रूप से यात्रा करता है। ज्यामितीय रूप से, यह कहा गया है कि यदि एक समकोण त्रिभुज की लंबाई और ऊंचाई का आधार है, तो इसके हाइपोटेंज़ की लंबाई, द्वारा दी जाती है। और, वास्तव में, प्राथमिक बीजगणितीय हेरफेर से पता चलता है कि जब भी मूल्य बताया गया है। इसके अलावा, यदि और तर्कसंगत हैं, तो हैं, और हैं। इसलिए एक पाइथागोरियन ट्रिपल प्राप्त किया जा सकता है, और उनमें से प्रत्येक को उनके भाजकों के सबसे कम सामान्य गुणक से गुणा करके। पेल के समीकरण ब्रह्मगुप्त ने यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके दूसरी डिग्री के डायोफैंटाइन समीकरणों के कुछ उदाहरणों जैसे (जिसे पेल का समीकरण कहा जाता है) के समाधान उत्पन्न करने के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध दिया। यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को वे "पल्वराइज़र" के रूप में जानते थे क्योंकि यह संख्याओं को छोटे-छोटे टुकड़ों में विभाजित करता है। वर्गों की प्रकृतिः 18.64। किसी दिए गए वर्ग की वर्गमूल का दो बार गुणक द्वारा और एक मनमाने [संख्या] द्वारा बढ़ाया या घटाया जाता है। पहले [जोड़े] का गुणन, गुणक द्वारा गुणा किया गया, अंतिम [जोड़े] के गुणन के साथ, अंतिम computed.18.65 है। थंडरबोल्ट उत्पादों का योग पहला है। योजक योजकों के उत्पाद के बराबर होता है। दो वर्गमूल, जो योजक या घटाव से विभाजित होते हैं, योजक रूप होते हैं। उनके समाधान की कुंजी पहचान थी, जो एक पहचान का सामान्यीकरण है जिसे डायोफेंटस द्वारा खोजा गया था, अपनी पहचान और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि यदि और समीकरणों के समाधान हैं और, क्रमशः, तो एक समाधान है, वह रूप के समीकरणों की एक श्रृंखला के माध्यम से पेल के समीकरण के अभिन्न समाधान खोजने में सक्षम था। ब्रह्मगुप्त अपने समाधान को सभी संभावित मूल्यों के लिए समान रूप से लागू करने में सक्षम नहीं थे, बल्कि वे केवल यह दिखाने में सक्षम थे कि यदि = ±1, ±2, या ±4 के लिए एक पूर्णांक समाधान है, तो एक समाधान है। सामान्य पेल के समीकरण के समाधान के लिए भास्कर द्वितीय की प्रतीक्षा करनी होगी। ज्यामिति में ब्रह्मगुप्त का सबसे प्रसिद्ध परिणाम चक्रीय चतुर्भुजों के लिए उनका सूत्र है। किसी भी चक्रीय चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई को देखते हुए, ब्रह्मगुप्त ने आकृति के क्षेत्रफल के लिए एक अनुमानित और सटीक सूत्र दिया, 12.21। एक त्रिभुज और एक चतुर्भुज की भुजाओं और विपरीत भुजाओं के योग के आधे भाग का गुणनफल अनुमानित क्षेत्रफल है। सटीक [क्षेत्र] चतुर्भुज के [प्रत्येक] पक्ष द्वारा घटाई गई भुजाओं के योग के आधे भागों के गुणनफल से वर्गमूल है। तो लंबाई को देखते हुए, और एक चक्रीय चतुर्भुज की, अनुमानित क्षेत्र है, जबकि, सटीक क्षेत्र है। हालाँकि ब्रह्मगुप्त स्पष्ट रूप से यह नहीं कहते हैं कि ये चतुर्भुज चक्रीय हैं, लेकिन उनके नियमों से यह स्पष्ट है कि ऐसा ही है। हेरॉन का सूत्र इस सूत्र का एक विशेष मामला है और इसे शून्य के बराबर पक्षों में से एक को निर्धारित करके प्राप्त किया जा सकता है। त्रिभुज ब्रह्मगुप्त ने अपने काम का एक बड़ा हिस्सा ज्यामिति को समर्पित किया। एक प्रमेय दो खंडों की लंबाई देता है कि एक त्रिभुज का आधार इसकी ऊंचाई से विभाजित होता हैः 12.22। आधार से विभाजित भुजाओं के वर्गों के बीच के अंतर से आधार कम और बढ़ जाता है; जब दो से विभाजित किया जाता है तो वे वास्तविक खंड होते हैं। लंबवत [ऊँचाई] एक तरफ के वर्ग से वर्गमूल है जो इसके खंड के वर्ग से कम हो जाता है। इस प्रकार दोनों खंडों की लंबाई है। वह आगे परिमेय त्रिभुजों पर एक प्रमेय देता है। परिमेय भुजाओं और परिमेय क्षेत्र के साथ एक त्रिभुज का रूप हैः कुछ परिमेय संख्याओं के लिए, और। ब्रह्मगुप्त की प्रमेय ब्रह्मगुप्त जारी है, 12.23। एक गैर-असमान चतुर्भुज की भुजाओं और विपरीत भुजाओं के दो उत्पादों के योग का वर्गमूल विकर्ण है। विकर्ण का वर्ग आधार और शीर्ष के आधे योग के वर्ग से कम हो जाता है; वर्ग-मूल लंबवत [ऊंचाई] है। तो, एक "गैर-असमान" चक्रीय चतुर्भुज (यानी, एक समद्विबाहु त्रिभुज) में, प्रत्येक विकर्ण की लंबाई है। वह ज्यामितीय आकृतियों की लंबाई और क्षेत्रों के लिए सूत्र देना जारी रखते हैं, जैसे कि एक समद्विबाहु त्रिभुज और एक परिधीय चतुर्भुज की परिधि, और एक परिधीय चक्रीय चतुर्भुज में विकर्णों की लंबाई। यह ब्रह्मगुप्त के प्रसिद्ध प्रमेय, 12.30-31 तक ले जाता है। असमान भुजाओं के साथ [एक चक्रीय चतुर्भुज] के भीतर दो त्रिभुजों की कल्पना करते हुए, दोनों विकर्ण दो आधार हैं। उनके दो खंड अलग-अलग विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर ऊपरी और निचले खंड हैं। दो विकर्णों के दो [निचले खंड] एक त्रिभुज में दो भुजाएँ हैं; आधार [चतुर्भुज का त्रिभुज का आधार है]। इसका लंबवत [केंद्रीय] लंबवत का निचला हिस्सा है; [केंद्रीय] लंबवत का ऊपरी हिस्सा [पक्षों] लंबवत के योग का आधा है जो निचले [केंद्रीय लंबवत के हिस्से] से कम हो जाता है। पाई श्लोक 40 में, वह 12.40 के मान देता है। त्रिज्या [प्रत्येक] का व्यास और वर्ग को 3 से गुणा करना [क्रमशः] व्यावहारिक परिधि और [वृत्त का क्षेत्रफल] है। सटीक [मान] उन दोनों के वर्गों के वर्गमूल हैं जिन्हें दस से गुणा किया जाता है। इसलिए ब्रह्मगुप्त 3 का उपयोग 1 प्रतिशत से कम त्रुटि के साथ "व्यावहारिक" मूल्य के रूप में और "सटीक" मूल्य के रूप में करते हैं। माप और निर्माण श्लोक 40 से पहले के कुछ छंदों में, ब्रह्मगुप्त मनमाने पक्षों के साथ विभिन्न आकृतियों का निर्माण देते हैं। उन्होंने अनिवार्य रूप से समद्विबाहु त्रिभुज, स्केलीन त्रिभुज, आयत, समद्विबाहु ट्रैपेज़ोइड, तीन समान भुजाओं वाले समद्विबाहु ट्रैपेज़ोइड और एक स्केलीन चक्रीय चतुर्भुज का उत्पादन करने के लिए सही त्रिकोणों में हेरफेर किया। पाई का मान देने के बाद, वह समतल आकृतियों और ठोस पदार्थों की ज्यामिति से संबंधित है, जैसे कि आयतन और सतह क्षेत्रों (या ठोस पदार्थों से खोदे गए खाली स्थानों) का पता लगाना। वह आयताकार प्रिज्म, पिरामिड और एक वर्गाकार पिरामिड के फ्रस्टम की मात्रा पाता है। वह आगे गड्ढों की एक श्रृंखला की औसत गहराई का पता लगाता है। एक पिरामिड के फ्रस्टम के आयतन के लिए, वह "व्यावहारिक" मान को ऊपर और नीचे के किनारों के माध्य के वर्ग की गहराई के रूप में देता है, और वह "सतही" आयतन को उनके औसत क्षेत्र की गहराई के रूप में देता है। त्रिकोणमिति साइन टेबल अपने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत के अध्याय 2 में, जिसका शीर्षक ग्रहों का सच्चा देशांतर है, ब्रह्मगुप्त एक साइन टेबल प्रस्तुत करते हैंः 2.2-5। साइनः पूर्वज, जुड़वाँ; उर्स मेजर, जुड़वाँ, वेद; देवता, अग्नि, छह; स्वाद, पासा, देवता; चंद्रमा, पाँच, आकाश, चंद्रमा; चंद्रमा, तीर, सूर्य [।] यहाँ ब्रह्मगुप्त स्थान-मूल्य अंकों के अंकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए वस्तुओं के नामों का उपयोग करते हैं, जैसा कि संस्कृत ग्रंथों में संख्यात्मक डेटा के साथ आम था। भारतीय ब्रह्मांड विज्ञान में जनित्र 14 जनित्रों ("मनु") का प्रतिनिधित्व करते हैं या 14, "जुड़वां" का अर्थ है 2, "उर्स मेजर" उर्स मेजर या 7 के सात सितारों का प्रतिनिधित्व करता है, "वेद" 4 वेदों या 4 को संदर्भित करता है, पासा पारंपरिक डाई या 6 के किनारों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, और इसी तरह। इस जानकारी का अनुवाद साइन, 214,427,638,846,1051,1446,1635,1817,1991,2156,2312,2459,2594,2719,2832,2933,3021,3096,3159,3207,3242,3263 और 3270 की सूची में किया जा सकता है, जिसकी त्रिज्या 3270 है (यह संख्या दर्शाती है)। 665 में ब्रह्मगुप्त ने पहले से ही सारणीबद्ध अन्य मूल्यों से साइन फ़ंक्शन के नए मूल्यों को प्रक्षेपित करने के लिए द्वितीय क्रम के न्यूटन-स्टर्लिंग प्रक्षेप सूत्र का एक विशेष मामला तैयार किया और उसका उपयोग किया। सूत्र एक फलन के मूल्य के लिए उसके तर्क (और के साथ) के मूल्य पर एक अनुमान देता है जब इसका मूल्य पहले से ही ज्ञात है, और। अनुमान के लिए सूत्र हैः प्रथम क्रम आगे-अंतर प्रचालक कहाँ है, अर्थात। गुरुत्वाकर्षण की प्रारंभिक अवधारणा ब्रह्मगुप्त ने 628 में पहली बार गुरुत्वाकर्षण को एक आकर्षक बल के रूप में वर्णित किया, जिसका वर्णन करने के लिए "गुरूत्वकर्म (गुरुत्वकर्म)" शब्द का उपयोग किया गयाः पृथ्वी अपने सभी किनारों पर समान है; पृथ्वी पर सभी लोग सीधे खड़े हैं, और सभी भारी चीजें प्रकृति के एक नियम द्वारा पृथ्वी पर गिरती हैं, क्योंकि चीजों को आकर्षित करना और रखना पृथ्वी की प्रकृति है, क्योंकि यह प्रवाहित होने के लिए पानी की प्रकृति है। अगर कोई चीज पृथ्वी से अधिक गहराई तक जाना चाहती है, तो उसे कोशिश करने दें। पृथ्वी एकमात्र नीची चीज है, और बीज हमेशा उस पर लौटते हैं, चाहे आप उन्हें किसी भी दिशा में फेंक दें, और कभी भी पृथ्वी से ऊपर की ओर नहीं उठते हैं। खगोल विज्ञान ब्रह्मगुप्त ने प्रतिद्वंद्वी खगोलविदों के काम की बहुत आलोचना की, और उनका ब्रह्मस्फुतसिद्धांत भारतीय गणितविदों के बीच सबसे शुरुआती मतभेदों में से एक को प्रदर्शित करता है। विभाजन मुख्य रूप से भौतिक दुनिया में गणित के अनुप्रयोग के बारे में था, न कि स्वयं गणित के बारे में। ब्रह्मगुप्त के मामले में, असहमति काफी हद तक खगोलीय मापदंडों और सिद्धांतों के चयन से उपजी थी। प्रतिद्वंद्वी सिद्धांतों की आलोचना पहले दस खगोलीय अध्यायों में दिखाई देती है और ग्यारहवां अध्याय पूरी तरह से इन सिद्धांतों की आलोचना के लिए समर्पित है, हालांकि बारहवें और अठारहवें अध्यायों में कोई आलोचना नहीं दिखाई देती है। खगोल विज्ञान में ब्रह्मगुप्त द्वारा किए गए कुछ महत्वपूर्ण योगदान समय के साथ स्वर्गीय पिंडों की स्थिति की गणना करने के उनके तरीके (अल्पकालिक), उनके उदय और सेटिंग, संयोजन और सौर और चंद्र ग्रहणों की गणना हैं। ब्रह्मगुप्त ने अपने ब्रह्मस्फुतसिद्धांत के सातवें अध्याय में, जिसका शीर्षक चंद्र अर्धचंद्र है, इस विचार का खंडन किया है कि चंद्रमा सूर्य की तुलना में पृथ्वी से अधिक दूर है। वह सूर्य द्वारा चंद्रमा की रोशनी की व्याख्या करके ऐसा करता है। 1. यदि चंद्रमा सूर्य के ऊपर होता, तो चंद्रमा के देशांतर की गणना से वैक्सिंग और क्षय आदि की शक्ति कैसे उत्पन्न होती? निकट आधा हमेशा उज्ज्वल रहेगा। 2. जिस तरह सूर्य के प्रकाश में खड़े बर्तन का सूर्य द्वारा देखा गया आधा हिस्सा उज्ज्वल होता है, और अदृश्य आधा अंधेरा होता है, उसी तरह सूर्य के नीचे चंद्रमा की [रोशनी] होती है। 3. सूर्य की दिशा में चमक बढ़ जाती है। एक उज्ज्वल के अंत में [अर्थात। आधा महीना, लगभग आधा चमकीला और दूर आधा अंधेरा होता है। इसलिए, गणना से [अर्धचंद्र के] सींगों की ऊँचाई प्राप्त की जा सकती है। [.] वे बताते हैं कि चूंकि चंद्रमा सूर्य की तुलना में पृथ्वी के करीब है, इसलिए चंद्रमा के प्रकाशित हिस्से की डिग्री सूर्य और चंद्रमा की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करती है, और इसकी गणना दोनों पिंडों के बीच के कोण के आकार से की जा सकती है। ग्रहों के देशांतर, दैनिक घूर्णन, चंद्र और सौर ग्रहण, उदय और सेटिंग, चंद्रमा के अर्धचंद्र और ग्रहों के संयोजन की खोज करने के लिए आगे के काम पर उनके ग्रंथ खंडखाद्यक में चर्चा की गई है। ।