Brahmagupta's interpolation formula
ब्रह्मगुप्त का अंतर्वेशन सूत्र 7वीं शताब्दी ईस्वी की शुरुआत में भारतीय गणितशास्त्री और खगोलशास्त्री ब्रह्मगुप्त (598-668 CE) द्वारा विकसित एक द्वितीय-क्रम बहुपद अंतर्वेशन सूत्र है। सूत्र का वर्णन करने वाला संस्कृत दोहे खंडकाद्यक के पूरक भाग में पाया जा सकता है जो ब्रह्मगुप्त का 665 ईस्वी में पूरा किया गया कार्य है। यही दोहे ब्रह्मगुप्त के पहले के ध्यान-ग्रह-अधिकार में दिखाई देते हैं, जो शायद "7 वीं शताब्दी ईस्वी की दूसरी तिमाही की शुरुआत के पास, यदि पहले नहीं" लिखा गया था। ब्रह्मगुप्त द्वितीय क्रम के अंतरों का उपयोग करके एक अंतर्वेशन सूत्र का वर्णन और उपयोग करने वाले पहले लोगों में से एक थे। ब्रह्मगुप्त का अंतर्वेशन सूत्र आधुनिक समय के दूसरे क्रम के न्यूटन-स्टर्लिंग अंतर्वेशन सूत्र के बराबर है। ब्रह्मगुप्त से पहले के गणितविदों ने एक सरल रैखिक अंतर्वेशन सूत्र का उपयोग किया था। गणना के लिए रैखिक अंतर्वेशन सूत्र कहाँ है। की गणना के लिए, ब्रह्मगुप्त एक अन्य अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित होता है जो अधिक सटीक मान देता है और जो दूसरे क्रम के अंतर्वेशन सूत्र का उपयोग करने के बराबर है। योजना के बारे में ब्रह्मगुप्त का वर्णन ब्रह्मगुप्त की शब्दावली में अंतर घटखंड है, जिसका अर्थ है अतीत का अंतर या जिस अंतर को पार किया गया था, वह है भोग्याखंड जो अभी आने वाला अंतर है। विकला मिनटों में वह राशि है जिसके द्वारा अंतराल को उस बिंदु पर कवर किया गया है जहाँ हम अंतर्वेशन करना चाहते हैं। वर्तमान संकेतनों में यह है। नई अभिव्यक्ति जो प्रतिस्थापित करती है उसे स्फुत-भोग्याखंड कहा जाता है। स्फुत-भोग्याखंड का वर्णन निम्नलिखित संस्कृत दोहे में निहित है (ध्यान-ग्रह-उपदेश-अध्याय, 17; खंडक खाद्याक, IX, 8): इसका अनुवाद भट्टोलपाल (10वीं शताब्दी ईस्वी) की टिप्पणी का उपयोग करके इस प्रकार किया गया हैः विकास को घटखंड और भोग्याखंड के आधे अंतर से गुणा करें और उत्पाद को 900 से विभाजित करें। परिणाम को घटखंड और भोग्याखंड के आधे योग में जोड़ें यदि उनकी आधी राशि भोग्याखंड से कम है, तो अधिक होने पर घटाएं। (प्रत्येक मामले में परिणाम यह है कि स्फुत-भोग्याखंड सही सारणीबद्ध अंतर है।) यह सूत्र मूल रूप से साइन फलन के मूल्यों की गणना के लिए कहा गया था जिसके लिए अंतर्निहित आधार तालिका में सामान्य अंतराल 900 मिनट या 15 डिग्री था। अतः 900 का संदर्भ वास्तव में सामान्य अंतराल का संदर्भ है। आधुनिक संकेतन में ब्रह्मगुप्त की पद्धति में शुतभ्यखंड की गणना को आधुनिक संकेतन में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता हैः स्फुत-योग्यखंड ± चिह्न को इस आधार पर लिया जाना है कि क्या कम है या अधिक, या समतुल्य है या नहीं। ब्रह्मगुप्त की अभिव्यक्ति को निम्नलिखित रूप में रखा जा सकता हैः स्फुत-भोग्यखंड इस सुधार कारक से निम्नलिखित अनुमानित मूल्य प्राप्त होता हैः यह स्टर्लिंग का अंतर्वेशन सूत्र है जिसे दूसरे क्रम के अंतरों पर काट दिया गया है। यह ज्ञात नहीं है कि ब्रह्मगुप्त अपने अंतर्वेशन सूत्र पर कैसे पहुंचे। ब्रह्मगुप्त ने उस मामले के लिए एक अलग सूत्र दिया है जहां स्वतंत्र चर के मान समान रूप से नहीं हैं। ।