<s>[INST] Combinatoric Identities Ho to prove the following two identities?
I cannot see the trick:
(a) $\binom{-x}{k}=(-1)^k\binom{x+k-1}{k}$
(b) $\binom{k+x}{2k+1}=-\binom{k-x}{2k+1}$
 [/INST] Note that $(2k+1)-(k+x)-1=k-x$, the upper number of $\binom{k-x}{2k+1}$. Thus, you can negate the upper index:
$$\binom{k+x}{2k+1}=(-1)^{2k+1}\binom{(2k+1)-(k+x)-1}{2k+1}\;,$$
Therefore:

${k+x \choose 2k + 1}=-{k-x \choose 2k + 1} $
$=(-1)^{2k+1}\binom{(2k+1)-(k+x)-1}{2k+1}\;$
$=(-1)^{2k+1}\binom{2k-(k+x)}{2k+1}$
$=(-1)^{2k+1}\frac{(2k-(k+x)).(2k-(k+x) -1).(2k-(k+x)-2) ... (2k-(k+x)-2k) }{(2k+1)!}$
$=\frac{-1(2k-(k+x)).-1(2k-(k+x) -1).-1(2k-(k+x)-2) ... -1(2k-(k+x)-2k) }{(2k+1)!}$
$=\frac{1}{(2k+1)!}.((k+x)-2k).((k+x) -2k +1).((k+x)-2k +2) ... ((k+x)-2k+2k)$
$=\frac{1}{(2k+1)!}.(\frac{(k+x)!}{((k+x)-2k-1)!})$
$=\frac{1}{(2k+1)!}.(\frac{(k+x)!}{((k+x)-(2k +1))!})$
$=\frac{(k+x)!}{(2k+1)! . ((k+x)-(2k +1))!}$
$=\binom{k+x}{2k+1}$
$\square$
</s>