<s>[INST] Integrate a quotient with fractional power of a quadratic polynomial I need help finding the indefinite integral of
$$\int\,\frac{x}{(7x - 10 - {x^2})^{3/2}}\,\text{d}x\,.$$
 [/INST] $$\int { \frac { x }{ \sqrt { { \left( 7x-10-{ x }^{ 2 } \right)  }^{ 3 } }  } dx } =\int { \frac { x }{ \sqrt { { -\left( { x }^{ 2 }-7x+10 \right)  }^{ 3 } }  } dx= } \int { \frac { x }{ \sqrt { { -\left( { x }^{ 2 }-7x+\frac { 49 }{ 4 } -\frac { 49 }{ 4 } +10 \right)  }^{ 3 } }  } dx= } \\ =\int { \frac { x }{ \sqrt { { { \left( \frac { 9 }{ 4 } -{ \left( x-\frac { 7 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ 3 } } }  } dx } \\ x-\frac { 7 }{ 2 } =\frac { 3 }{ 2 } \sin { t } \\ x=\frac { 1 }{ 2 } \left( 7+3\sin { t }  \right) \Rightarrow dx=\frac { 3 }{ 2 } \cos { t } dt\\ \int { \frac { \frac { 3 }{ 2 } \cos { t }  }{ \sqrt { { { \left( \frac { 9 }{ 4 } -{ \frac { 9 }{ 4 }  }\sin ^{ 2 }{ t }  \right)  }^{ 3 } } }  } dt } =\int { \frac { \frac { 3 }{ 2 } \cos { t }  }{ { \left( \frac { 3 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }\sqrt { { { \left( 1-\sin ^{ 2 }{ t }  \right)  }^{ 3 } } }  } dt } =\frac { 4 }{ 9 } \int { \frac { \cos { t }  }{ \cos ^{ 3 }{ t }  } dt=\frac { 4 }{ 9 } \int { \frac { dt }{ \cos ^{ 2 }{ t }  } =\frac { 4 }{ 9 }  }  } \tan { t } +C\\ \sin { t } =\left( \frac { 2x-7 }{ 3 }  \right) \Rightarrow t=\arcsin { \left( \frac { 2x-7 }{ 3 }  \right)  } \\ \frac { \\ 4 }{ 9 } \tan { \arcsin { \left( \frac { 2x-7 }{ 3 }  \right)  }  } +C=\frac { 4 }{ 9 } \frac { \left( \frac { 2x-7 }{ 3 }  \right)  }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 2x-7 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  } +C=\frac { 8x-28 }{ 9\sqrt { -4x^{ 2 }+28x-40 }  } +C$$
so

$$\int { \frac { x }{ \sqrt { { \left( 7x-10-{ x }^{ 2 } \right)  }^{ 3 } }  } dx } =\frac { 8x-28 }{ 9\sqrt { -4x^{ 2 }+28x-40 }  } +C$$

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