<s>[INST] Proving that $\binom{n}{k}\binom{\smash{k}}{m}\binom{m}{r} = \binom{n}{r}\binom{n-r}{n-m}\binom{n-m}{n-k}$ How would you show that 
$$\binom{n}{k}\binom{k}{m}\binom{m}{r} = \binom{n}{r}\binom{n-r}{n-m}\binom{n-m}{k-m}$$
for $n\geq k\geq m\geq r$ ?
 [/INST] $$
\begin{align}
  & \binom{n}{k}\binom{k}{m}\binom{m}{r} \\
= & \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \cdot \frac{k!}{(k-m)! \cdot m!} \cdot \frac{m!}{(m-r)! \cdot r!} \\
= & \frac{n! \cdot k! \cdot m!}{(n-k)! \cdot k! \cdot (k-m)! \cdot m!\cdot (m-r)! \cdot r!} \\
= & \frac{n!}{(n-k)! \cdot (k-m)! \cdot (m-r)! \cdot r!} \cdot \frac{(n-r)!}{(n-r)!} \\
= & \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!} \cdot \frac{(n-r)!}{(n-k)! \cdot (k-m)! \cdot (m-r)!} \\
= & \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!} \cdot \frac{(n-r)!}{(n-k)! \cdot (k-m)! \cdot (m-r)!} \cdot \frac{(n-m)!}{(n-m)!} \\
= & \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!} \cdot \frac{(n-r)!}{(n-m)! \cdot (m-r)!} \cdot \frac{(n-m)!}{(k-m)! \cdot (n-k)!} \\
= & \frac{n!}{r! \cdot (n-r)!} \cdot \frac{(n-r)!}{(n-m)! \cdot ((n-r)-(n-m))!} \cdot \frac{(n-m)!}{(k-m)! \cdot ((n-m)-(k-m))!} \\
= & \binom{n}{r}\binom{n-r}{n-m}\binom{n-m}{k-m}
\end{align}
$$
Q.E.D.
</s>