<s>[INST] Calculate this integral $\int _{\frac{1}{4}}^2\:\frac{\ln\left(2x\right)}{x\ln\left(4x\right)}dx$ I have to calculate this integral .
$$\int _{\frac{1}{4}}^2\:\frac{\ln\left(2x\right)}{x\ln\left(4x\right)}\,dx$$
I have no idea how to start , help someone ?
Thanks.
 [/INST] $$\int _{ \frac { 1 }{ 4 }  }^{ 2 } \: \frac { ln\left( 2x \right)  }{ xln\left( 4x \right)  } dx=\int _{ \frac { 1 }{ 4 }  }^{ 2 }{ \frac { \ln { 2 } +\ln { \left( x \right)  }  }{ \ln { 4 } +\ln { \left( x \right)  }  } d\left( \ln { \left( x \right)  }  \right)  } =\int _{ \frac { 1 }{ 4 }  }^{ 2 }{ \frac { \ln { 2 } +\ln { \left( x \right)  }  }{ 2\ln { 2 } +\ln { \left( x \right)  }  } d\left( \ln { \left( x \right)  }  \right)  } \\ \ln { \left( x \right) =t } \\ \int _{ \ln { 1/4 }  }^{ \ln { 2 }  }{ \frac { \ln { 2 } +t }{ 2\ln { 2 } +t } dt } =\int _{ \ln { 1/4 }  }^{ \ln { 2 }  }{ \frac { 2\ln { 2 } +t-\ln { 2 }  }{ 2\ln { 2 } +t } dt } =\int _{ \ln { 1/4 }  }^{ \ln { 2 }  }{ \left( 1-\frac { \ln { 2 }  }{ 2\ln { 2 } +t }  \right) dt } =\\ =\int _{ \ln { 1/4 }  }^{ \ln { 2 }  }{ dt } -\ln { 2 } \int _{ \ln { 1/4 }  }^{ \ln { 2 }  }{ \frac { d\left( 2\ln { 2+t }  \right)  }{ 2\ln { 2 } +t } = } $$
$$=\ln { 2-\ln { \frac { 1 }{ 4 }  } - } \ln { 2 } \left[ \ln { \left| 2\ln { 2+\ln { 2 }  }  \right|  } -\ln { \left| 2\ln { 2+\ln { \frac { 1 }{ 4 }  }  }  \right|  }  \right] \\ $$
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