<s>[INST] Integrate $\int \frac{x^2-2}{(x^2+2)^3}dx$ $$\int \frac{x^2-2}{(x^2+2)^3}dx$$
What I did :
Method $(1) $ Re writing $x^2-2 = (x^2+2)-4 $ and partial fractions.
Method $(2) $ Substituting $x^2 = 2\tan^2 \theta $ 
Is there any other easy methods ? 
Some substitution  ? 
 [/INST] $$\int  \frac { x^{ 2 }-2 }{ \left( x^{ 2 }+2 \right) ^{ 3 } } dx=\int { \frac { { x }^{ 2 }+2-4 }{ { \left( x^{ 2 }+2 \right)  }^{ 3 } }  } dx=\underbrace { \int { \frac { dx }{ { \left( x^{ 2 }+2 \right)  }^{ 2 } }  }  }_{ { I }_{ 1 } } -4\underbrace { \int { \frac { dx }{ { \left( x^{ 2 }+2 \right)  }^{ 3 } }  }  }_{ { I }_{ 2 } } =\\ x=\sqrt { 2 } \tan { t } \\ dx=\sqrt { 2 } \frac { dt }{ \cos ^{ 2 }{ t }  } \\ \\ { I }_{ 1 }=\int { \frac { dx }{ { \left( x^{ 2 }+2 \right)  }^{ 2 } }  } =\sqrt { 2 } \int { \frac { dt }{ 4{ \left( \tan ^{ 2 }{ t } +1 \right)  }^{ 2 }\cos ^{ 2 }{ t }  }  } =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 4 } \int { \cos ^{ 2 }{ t } dt } =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 4 } \int { \frac { 1+\cos { 2t }  }{ 2 }  } dt=\\ =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 8 } \left( t+\frac { \sin { 2t }  }{ 2 }  \right) =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 8 } \left( \arctan { \left( \frac { x }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  } +\frac { \sin { 2\left( \arctan { \left( \frac { x }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }  \right)  }  }{ 2 }  \right) \\ \\ { I }_{ 2 }=\int { \frac { dx }{ { \left( x^{ 2 }+2 \right)  }^{ 3 } }  } =\sqrt { 2 } \int { \frac { dx }{ { 8\left( \tan ^{ 2 }{ t } +1 \right)  }^{ 3 }\cos ^{ 2 }{ t }  }  } =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 8 } \int { \cos ^{ 4 }{ t } dt } =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 8 } \int { { \left( \frac { 1+\cos { 2t }  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } } dt=\\ =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 32 } \int { \left( 1+2\cos { 2t+\cos ^{ 2 }{ 2t }  }  \right)  } dt=\frac { \sqrt { 2 }  }{ 32 } \int { \left( 1+2\cos { 2t } +\frac { 1+\cos { 4t }  }{ 2 }  \right)  } dt=\\ =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 32 } \left( \frac { 3t }{ 2 } +\sin { 2t+\frac { \sin { 4t }  }{ 8 }  }  \right) =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 32 } \left( \frac { 3\arctan { \left( \frac { x }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }  }{ 2 } +\sin { 2\left( \arctan { \left( \frac { x }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }  \right)  } +\frac { \sin { 4\left( \arctan { \left( \frac { x }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }  \right)  }  }{ 8 }  \right) $$ 
 so the anwer will be   $$\int  \frac { x^{ 2 }-2 }{ \left( x^{ 2 }+2 \right) ^{ 3 } } dx=\frac { \sqrt { 2 }  }{ 8 } \left( \frac { 3\sin { 2\left( \arctan { \left( \frac { x }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }  \right)  }  }{ 2 } -\frac { \arctan { \left( \frac { x }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }  }{ 2 } +\frac { \sin { 4\left( \arctan { \left( \frac { x }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }  \right)  }  }{ 8 }  \right) $$
further you can simplify this "monster"
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