ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบันใช่หรือไม่?
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง [4] และนำไปสู่จำนวน e ที่ไม่ทราบค่าดังนี้
แฟกทอเรียล
ฟังก์ชันพายไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล ไปเป็นฟังก์ชันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเกือบทุกจำนวน และไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เมื่อใดก็ตามที่มันถูกนิยาม แต่ไม่ว่าด้วยเหตุผลอันใด ฟังก์ชันพายมักเป็นตัวแทนโดยปริยายเมื่อต้องการหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเดียวที่รับค่า 1 แล้วให้ผลลัพธ์เป็น 1, สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน Γ("n" + 1) = "n"Γ("n"), เป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนจำนวนเชิงซ้อน, และเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม (logarithmically convex function) บนแกนจำนวนจริงบวก เงื่อนไขที่คล้ายกันนี้ก็ปรากฏในฟังก์ชันพาย โดยเปลี่ยนสมการเชิงฟังก์ชันเป็น Π("n") = "n"Π("n" − 1)