미분이란?
미분
동사로서의 미분()은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수로부터 미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를 구하는 것 역시 미분법(differential calculus)의 주요주제이다. 역사적으로나 직관적으로나, 미분의 개념은 주어진 변위의 물체의 순간 속도를 구하는 물리학 문제 및 주어진 곡선의 접선의 기울기를 구하는 기하학 문제와 연관 있다. 즉, 순간 속도는 평균 속도의 극한이며, 접선의 기울기는 할선의 기울기의 극한인데, 서로 다른 이 두 문제의 수학적 실질은 미분으로 서로 같다. 전자는 아이작 뉴턴이, 후자는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 연구하였다.
미적분학
콜린 매클로린(Colin Maclaurin)을 포함한 다수의 수학자들이 무한소의 사용이 정당하는 것을 증명하려고 시도했지만 그것은 150년이 지나서야 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스에 의해서 증명됐고 무한소의 의미가 극히 작은 값이라는 관념을 막을 방법을 찾았다. 이것이 미분과 적분을 위한 기초를 놓았다. 코시의 필기에서 무한소의 형태로 적혀진 연속의 정의와 극한의 (ε-δ) 정의의 원형 등의 기초에 접근하기 위한 다양한 방법을 찾을 수 있다. 코시의 업적에서 바이어슈트라스는 극한의 정의를 공식화 시키고 무한소의 개념을 없애버린다. 바이어슈트라스의 작업에 따라서 미적분학은 무한소가 아닌 극한에 기초하는 것이 일반적이게 됐다. 베른하르트 리만은 바이어슈트라스의 개념을 사용해서 적분의 정확한 개념을 만들었다. 그리고 이 발견의 기간 동안 미적분학의 아이디어들은 유클리드 공간과 복소평면에서 일반화됐다.
현대 수학에서 미적분학의 기초는 미적분학의 정리에 대한 완전한 정의와 증명들을 포함하는 실해석 분야에 포함되어 있고 미적분학의 범위는 엄청나게 확대됐다. 앙리 르베그는 측도론을 만들어서 거의 모든Pathological function에서 적분을 가능하게 했다. 로랑 슈바르츠는 어떤 함수도 미분시킬 수 있는 분포 이론을 만들었다.